SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS - editorialrubinos · Las únicas dos sumas que coinciden corresponden a...

1 SOLIDARIDAD

Entre todos los amigos, aportando 6 € cada uno, íbamos a comprar unbalón. Pero Iván y Jaime no puedenpagarlo, por lo que ahora tocamos a 10 €.

¿Cuántos amigos somos en la pandilla?

☛ ¿Cuánto les tocaría aportar entre Iván y Jaime? ¿Cuánto supone esa cantidad paracada uno de los restantes?

Hay x amigos, cada uno aporta 6 € → El balón cuesta 6x €

Ahora hay x – 2 amigos, cada uno aporta 10 € → El balón cuesta 10(x – 2) €

• ¿Cuánto iban a aportar entre Iván y Jaime?

Entre Iván y Jaime iban a aportar 6 · 2 = 12 €

• ¿Cuánto supone esa cantidad para cada uno de los restantes?

Para cada uno supone 10 – 6 = 4 € más, luego:

12 = 4(x – 2) → x – 2 = 3 → x = 5

En total somos 5 amigos en la pandilla.

2 A VUELTAS CON EL RELOJ

Divide la esfera del reloj en seis partes de forma que la su-ma de los números de cada parte sea la misma.

☛ ¿Cuánto suman todos los números de la esfera del reloj?

¿Cuánto sumará cada parte?

• ¿Cuánto suman todos los números de la esfera del reloj?

Entre todos los números suman 78.

• ¿Cuánto sumará cada parte?

Cada parte sumará = 13.

3 CAPICÚAS

¿Cuál es la suma de todos los números capicúas comprendidos entre 6000 y 7000?

☛ Resuelve primero uno más fácil: ¿Cuál es la suma de los números capicúas menoresque 100?

786

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1 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

Resolución de problemas

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11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99 =

= 11(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 11 · · 9 = 495

Hacemos lo mismo con los números entre 6 000 y 7 000:

6 006 = 6 000 + 6

6 116 = 6 000 + 100 + 10 + 6

6 226 = 6 000 + 200 + 20 + 6

6 336 = 6 000 + 300 + 30 + 6

6 446 = 6 000 + 400 + 40 + 6

6 556 = 6 000 + 500 + 50 + 6

6 666 = 6 000 + 600 + 60 + 6

6 776 = 6 000 + 700 + 70 + 6

6 886 = 6 000 + 800 + 80 + 6

6 996 = 6 000 + 900 + 90 + 6

Sumando todo nos queda:

10 · 6 000 + 100(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 10(1 + 2 + 3 + 4 + 5 +

+ 6 + 7 + 8 + 9) + 10 · 6 = 6 000 + (100 + 10) · ( · 9) + 10 · 6 =

= 10 · 6 000 + 110 · 45 + 60 = 65 010

4 MÁS CAPICÚAS

Todos los números capicúas entre 1000 y 2000 tienen un factor común.¿Cuál es?

Todos los números capicúas entre 1 000 y 2 000 son de la forma 1AA1, dondeA puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9.

1AA1 = 1 + A · 10 + A · 100 + 1 · 1 000 = 1 · (1 + 1 000) + A (10 + 100) =

= 1 001 + 110 · A1001 = 91 · 11 → múltiplo de 11110 = 10 · 11 → múltiplo de 11

Luego cualquier número de la forma 1AA1 es múltiplo de 11; 11 es el factorcomún.

5 MUCHOS CEROS

¿En cuántos ceros termina el producto de los cien primeros números naturales?

☛ Si un número acaba en cero es múltiplo de 2 y de 5 una vez. ¿Y si acaba en dos ce-ros? ¿Y si acaba en tres ceros?

1 + 92

1 + 92

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¿Cuántas veces está el factor 5?

5, 10, 15, 20, 25, 30, …

Tantas como múltiplos de 5 (100 : 5 = 20) más tantas como múltiplos de 25(aquí está el 5 dos veces como factor: hay 3).

Por tanto, hay 23 factores 5.

¿Y cuántas veces está el 2?

Evidentemente, más que 23.

Por tanto, el factor 2 · 5 está 23 veces.

El producto de los 100 primeros números naturales termina en 23 ceros.

6 ¡QUÉ ROLLO!

Si mido este rollo de cuerda de dos en dos metros me sobra uno. Si lo midode tres en tres me sobran dos, si lo mido de cuatro en cuatro me sobran tres,si lo hago de cinco en cinco me sobran cuatro, y si lo hago de seis en seis mesobran cinco. Sabiendo que tiene menos de 100 m, ¿podrías decirme su lon-gitud?

☛ Transforma el enunciado del problema teniendo en cuenta que:

2• + 1 = 2• – 1 3• + 2 = 3• – 1 4• + 3 = 4• – 1 5• + 4 = 5• – 1 6• + 5 = 6• – 1

Busco un número que sea 2•, 3

•, 4

•, 5

•y 6

•. El menor es 60 y el siguiente ya es ma-

yor que 100.

Por tanto, la longitud del rollo es de 59 m (60•

– 2 y, por tanto, 2•

– 1, 3•

– 1, etc.).

7 TIENE GEMELOS

Durante un largo viaje en tren, dosviajeros pasan el tiempo proponién-dose acertijos. Este es uno de ellos.

A: Tengo tres hijos. El producto desus edades es 36 y la suma de lasmismas coincide con el númerodel asiento que usted ocupa.

B: (Tras cavilar un rato…) Hay dos posibles soluciones, pero, dígame usted,¿los gemelos son los dos mayores?

A: No, son los dos pequeños.

B: Entonces ya sé la solución. (Y acertó).

Explica cómo lo ha conseguido y el porqué de su pregunta.

☛ ¿Cuáles son los divisores de 36? Prueba con un método para buscar los tríos quecumplen las condiciones del problema. ¿Cuánto suma cada trío?

Dada la pregunta que hace el viajero, ¿cuál debía ser el número de su asiento?

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De los divisores de 36, tomamos solo los positivos:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Las únicas dos sumas que coinciden corresponden a las edades: 1, 6, 6 y 2, 2, 9.

Las edades son 2, 2, 9, ya que el individuo A asegura que los gemelos son losdos pequeños.

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8 HUELE A CHAMUSQUINA

Un panadero mete en el horno cincobandejas de bollería, unas con magdale-nas y otras con mantecados.

En las bandejas hay 36, 15, 20, 8 y 17piezas, respectivamente.

Por un descuido, se le quema una de las bandejas. Ahora tiene el doble demantecados que de magdalenas. ¿Qué bandeja se le ha quemado? ¿Cuántasmagdalenas y cuántos mantecados tiene ahora?

☛ El número de mantecados y magdalenas que tiene ahora es múltiplo de 3.

Tenía, entre mantecados y magdalenas,

36 + 15 + 20 + 8 + 17 = 96 = 3 · 25, múltipo de 3

Si después de quemarse una bandeja le quedan x magdalenas y el doble, 2x,de mantecados, tendrá, en total, un número de piezas que será múltiplo de 3(x + 2x = 3x).

Por lo tanto, se le ha quemado una bandeja en la que hay un número de piezasque es múltiplo de 3, la de 36 o la de 15.

• Si ha sido la de 15, le quedan 81 piezas, y deben ser 27 magdalenas y 54mantecados.

Con las bandejas que quedan no es posible conseguirlo.

• Si ha sido la de 36, le quedan 60 piezas: 20 magdalenas (bandeja de 20) y 40mantecados (bandejas 15, 8 y 7).

Se le ha quemado la bandeja de 36 piezas, y tiene 20 magdalenas y 40 mante-cados.

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EDADES NÚMERO DE ASIENTO = SUMA DE LAS EDADES PRODUCTO

1, 6, 6 13 36

2, 2, 9 13 36

4, 1, 9 14 36

1, 3, 12 16 36

… … …


9 RECTÁNGULO SIN DIMENSIONES

El área del rectángulo R es 4 m2, la del rectángulo S es 13 m2 y la del rec-tángulo T es 5 m2.

¿Cuál es el área del rectángulo ABCD?

Si llamas x e y a las dimensiones de R, ¿cuálesson las dimensiones de S ? ¿Y las de T ?

Planteamos igualdades con las áreas conocidas:

� x · y = 4

� x · w = 5

� y · z = 13

� w · z = U

Operando con estas igualdades podemos calcular el área pedida:

Con � y � obtenemos: x · z · w · y = 13 · 5

Pero: → 4 · U = 13 · 5 → U = =

El área total es: 4 + 5 + 13 + = = = 38,25 m2

Las dimensiones no se pueden saber con estos datos; en realidad hay infinitos casos.

Veamos algunos

1534

88 + 654

654

654

13 · 54

x · y = 4w · z = U

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A B

D C

R S

T

A B

D C

R S

U

x z

T

y

w

1

1,25

4 13

2,25 · 17 = 38,25 m2

4 13

5 65/4

2

2 6,5

2,5

← 8,5 · 4,5 = 38,25 m2

4,25 · 9 = 38,25 m2 ←

4 13

5 65/4

4 13

1 3,25

5 65/4

4

5


• OTRA FORMA DE RESOLVERLO

Puesto que los rectángulos R y S tienen elmismo ancho, sus largos están en la misma rela-ción que sus áreas. Lo mismo les pasa a R y T.

Por tanto, el área del rectángulo completoABCD es:

(x + x) · (y + y) = x · y = xy = · 4 = 38,25 m2

10 UN EXTRAÑO SEGMENTO

Calcula la longitud de la diagonal del rectángulo que va de la esquina A a la B.

AB es la diagonal de un cuadrado de lado 5.

AB—

= = = 5 ≈ 7,07

11 LA REGIÓN DEL CÍRCULO

Deduce la fórmula del área de la figura sombreada:

Área del círculo de radio R → πR2

Área del círculo de radio r → πr2

Área del sector circular de radio R y amplitud α → A1 =

Área del sector circular de radio r y amplitud α → A2 =

Área de la figura sombreada → A = A1 – A2 = πα (R2 – r2)360°

πr2 · α360°

πR2 · α360°

√2√50√52 + 52

15316

15316

94

174

54

134

Pág. 6



A B

D C

R(4)

5—4

S(13)

U

x

T(5)

y

y

13—4

x

A

B 25

R

rα


12 LA ESTRELLA CIRCULAR

Halla el área de la parte sombreada:

A1 = 52 – = A2

A3 = 52 – A1 – A2 = 52 – 2 (52 – ) =

= – 25 = 25 ( – 1)Área zona sombreada = 4 · A3 = 100( – 1) ≈ 57,08

13 CUATRO IGUALES

Parte esta figura en cuatro piezas idénticas:

14 RECOMPONER

Con dos cortes rectos parte la figuraen tres piezas. Con ellas, construye uncuadrado.

π2

π2

25π2

π · 52

4

π · 52

4

Pág. 7



A1

l = 10 cm

A3

A2


15 TENIS

Un profesor de tenis, en un entrenamiento, reparte tres pelotas a cada alumnoy le sobran 11 pelotas. Al día siguiente lleva 20 pelotas más, con lo que cadauno recibe cinco y solo le sobra una. ¿Cuántos son los alumnos?

☛ ¿Cuántas pelotas hay de diferencia, entre entregar tres o entregar cinco a cadaalumno?

Hay x alumnos.

3x + 11 = 5x + 1 – 20 → 2x = 30 → x = 15

Hay 20 alumnos.

16 MÁS TENIS

¿Cuántos partidos hay que jugar para completar un campeonato de tenis, poreliminatorias, con 140 jugadores? ¿Y con n jugadores?

☛ Resuelve casos mucho más sencillos: 4 jugadores, 8, 12, 16, … Relaciona el númerode partidos con el número de jugadores.

Probando con distintos casos se ve que

Nº DE PARTIDOS = Nº DE JUGADORES – 1

¿Por qué?

En cada partido pierde un jugador y es eliminado. Cada jugador pierde un par-tido, salvo el que queda campeón.

17 ALGARABÍA

Seis robots dialogan en la sala de espera del psiquiatra. Están aquejados de unextraño mal: solo dicen mentiras o solo dicen verdades. Todos se conocenperfectamente. Hablan los seis, por turno, y afirman:

� Aquí solo hay uno sincero.

� Al menos hay uno sincero.

� Solo hay dos sinceros.

� Al menos dos son sinceros.

� Solo hay tres sinceros.

� Al menos hay tres sinceros.

¿Podrías decir cuáles son los sinceros y cuáles los mentirosos?

☛ No puede haber un único sincero porque estarían diciendo la verdad los números� y �.

¿Puede haber dos únicos sinceros?

Pág. 8




Descartando casos, podemos asegurar que todos mienten. Veámoslo:

Llamamos V a decir la verdad y M a mentir.

Si � es V, entonces � es V, entonces � es M, porque ya habría dos V.

Si Æ es V, entonces � y � son V, entonces � es M, porque ya habría tres V.

Si ƒ es V, entonces �, � y ➄ son V, entonces ➄ es M, porque ya habría cuatro V.

La primera conclusión que hacemos de todo esto es que �, � y ➄ son M.

Ahora cambiamos de proceder:

• Supongamos que hay un solo V → Es imposible, porque � sería V y no escierto.

• Supongamos que hay dos V → No puede ser, porque � sería V y no escierto.

• Supongamos que hay tres V → No puede ser, porque ➄ sería V y no escierto.

No puede haber más de tres V, porque solo hay seis robots y sabemos que tresde ellos son M.

La única conclusión que se saca de todo esto es que todos son M.

18 COLORES

El Sr. Pardo, el Sr. Verde y el Sr. Negro estaban almorzando juntos. Uno deellos llevaba una corbata parda, otro una corbata verde y otro una corbata negra.

—¿Se han dado cuenta —dijo el hombre de la corbata verde— de que aunquenuestras corbatas son de colores iguales a nuestros nombres, ninguno de nosotros lleva una corbata que corresponda a su nombre?

—¡Tiene razón! —exclamó el Sr. Pardo.

¿De qué color era la corbata de cada uno?

El Sr. Pardo puede llevar corbata negra o verde, pero quien habla primero la lle-va verde, luego el Sr. Pardo lleva corbata negra.

Así, el Sr. Verde lleva corbata parda y el Sr. Negro lleva corbata verde.

19 EXPERIENCIA

Entre los 100 aspirantes a un determinado puesto de trabajo técnico, se des-cubrió que 10 nunca habían acudido a un curso de química o física. Tambiénse supo que 75 de los 100 habían recibido al menos un curso de química. Porúltimo, se tuvo noticia de que 83 de las personas que deseaban optar al em-pleo habían realizado al menos un curso de física.

¿Cuántos de los aspirantes habían efectuado algún curso tanto en químicacomo en física?

Pág. 9




A algún curso habían acudido 100 – 10 = 90

Solo F → 90 – 75 = 15

Solo Q → 90 – 83 = 7

Asistieron tanto a Física como a Química:

90 – (15 + 7) = 90 – 22 = 68

20 ¡TRAMPOSO!

Informe de un empleado:

— No de consumidores entrevistados: 100

— No de personas que beben café: 78

— No de personas que beben té: 71

— No de personas que beben té y café: 48

¿Por qué despidieron al entrevistador?

78 – 48 = 30 beben solo café

71 – 48 = 23 beben solo té

+ + = = 100

30 + 23 + 48 = 101

Página 20

21 CON CUATRO CUATROS

Con cuatro cuatros, consigue tantos resultados como puedas.

Por ejemplo: (44 – 4) : 4 = 10

(Puedes obtener los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y algunos más).

Nº DE

ENTREVISTADOS

CAFÉ +TÉ

SOLO

TÉ

SOLO

CAFÉ

71 beben té48 beben café y té

78 beben café48 beben café y té

Al menos un curso de F → 83A algún curso → 90

Al menos un curso de Q → 75A algún curso → 90

Pág. 10



SoloF

SoloQ

F → físicaQ → química

100

FyQ

Ni F ni Q → 10

No coinciden.El entrevistadordebió hacer mal lascuentas.


Por ejemplo:

0 = 44 – 44

1 = 44 : 44

2 = (4 : 4) + (4 : 4)

3 = (4 + 4 + 4) : 4

4 = + + 4 – 4

5 = [(4 · 4) + 4] : 4

6 = (4 + 4) : 4 + 4

7 = (44 : 4) – 4

8 = 4 – 4 + 4 + 4

9 = (4 : 4) + 4 + 4

22 HAY ALGUNA DIFERENCIA

Supongamos que tienes un nuevo empleo, y el jefe te ofrece elegir entre:

a) 4 000 € por tu primer año de trabajo, y un aumento de 800 € por cadaaño subsiguiente.

b) 2 000 € por los primeros 6 meses y un aumento de 200 € por cada seismeses subsiguientes.

¿Qué oferta aceptarías? Razona tu respuesta.

Hacemos una tabla con lo que ganaría cada año:

La oferta b) es la mejor, supera, cada año, en 200 € a la oferta a).

Si n es el número de años:

OFERTA a) → SUELDO = 4 000 + 800(n – 1)

OFERTA b) → SUELDO = 2 · 2 000 + 200(4n – 3)

23 PALILLOS

a) Suprime tres palillos del gráfico de modoque solo queden tres cuadrados.

b) ¿Se puede conseguir que queden tres cua-drados suprimiendo solo dos palillos?

√4√4

Pág. 11



PRIMER AÑO SEGUNDO AÑO TERCER AÑO …

OFERTA a) 4 000 € 4 800 € 5 600 € …

OFERTA b)2 000 + 2 200 = 2 400 + 2 600 = 2 800 + 3 000 =

= 4 200 € = 5 000 € = 5 800 €…


a) b)

Dos cuadrados de lado 1 palillo yun cuadrado de lado 2 palillos.

24 MÁS PALILLOS

Mueve tres palillos y forma cuatro cuadrados iguales:

25 LOS BALONES

En la clase de educación física hemos co-locado los 9 balones que teníamos en 4cajas, de forma que cada una conteníaun número impar de balones y en ningu-na había el mismo número de balones.

¿Cómo lo hemos hecho?

26 ¿ES LO MISMO?

a) ¿Cuántas monedas hemos de mover para consegir que queden las tres de10 céntimos a la izquierda y las tres de 1 € a la derecha?

b) ¿Cuántas copas hemos de mover para conseguir que queden tres con zumoa la izquierda y tres vacías a la derecha?

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a) Dos monedas. Se intercambian la moneda de 1 € que ocupa el segundo lu-gar con la moneda de 10 céntimos que ocupa el quinto lugar.

b) Solo una. Se coge la copa que están en el quinto lugar y se vierte el zumo enla que ocupa el segundo lugar.

27 MENUDO TRAJÍN

Una moto gasta 5 l de gasolina en recorrer un tramo de carretera situado entredos puntos (observa el dibujo). En el depósito caben 10 l y puede llevar un bi-dón de 5 l en el sillín. ¿Cómo harías para recorrer esta carretera con la moto?(En las gasolineras, G, puedes llenar el depósito y comprar bidones de 5 l ).

¿Cuántos litros de gasolina necesitarías para llegar de una gasolinera a otradistante n tramos?

☛ Para recorrer cuatro tramos, tendrás que ir previamente a dejar un bidón en algúnpunto intermedio de la carretera.

Para resolver el problema para cinco tramos, ¿te ayudaría haberlo resuelto primeropara cuatro?

• Supongamos tres tramos entre gasolineras:

Es claro que hace dos tramos con los 10 litros y llena el depósito con su bi-dón para hacer el último tramo que le queda.

• Supongamos cuatro tramos entre gasolineras:

Sale de G1 con 10 litros y el bidón llega a �, deja el bidón y vuelve a G1 acomprar otro y rellenar su depósito. Sale de nuevo de G1 y llega a � con 5 li-tros en el depósito y un bidón, llena el depósito con el bidón que había deja-do y sale hacia G2. Solo le quedan tres tramos y puede hacerlo como vimosantes.

Resolvemos el problema considerando casos más sencillos: entre gasolinera ygasolinera hay tres tramos, cuatro tramos, cinco tramos…

� TRES TRAMOS

Es fácil ver que tres tramos se pueden recorrer con 15 litros, los diez del de-pósito más los cinco del bidón.

Pág. 13



� �

G1 G2

� � �

G1 G2


� CUATRO TRAMOS

Si conseguimos estar en el punto A en las condicio-nes de � TRES TRAMOS, con el depósito lleno y unbidón, el problema está resuelto.

Observamos que para recorrer cuatro tramos son necesarios 30 litros, proble-ma que se reduce a partir de G1 con el depósito lleno más cuatro bidones.

� CINCO TRAMOS

Si conseguimos tener en B cuatro bidones yel depósito lleno, el problema está resuelto.

Repitiendo el proceso para otros números de tramos, obtendríamos:

El número de tramos que hay que recorrer viene expresado por la siguientesucesión:

3; 3 · 3 – 3 = 6; 3 · 6 – 3 = 15; 3 · 15 – 3 = 42…

f (k + 1) = 3f (k ) – 3, cuyo término general se puede expresar así:

an + 3 = , para n = 0, 1, 2, …

Y el número de litros de gasolina necesarios puede expresarse por esta suce-sión:

bn + 3 = · 5, para n = 0, 1, 2, …3n – 1 + 32

3n – 1 + 32

Pág. 14



G1

A

G2

G1

BG2

TRAMOS LITROS

RECORRIDOS GASTADOS

Salimos de G1 con el depósito lleno y un bidón.

Dejamos el bidón en A.1 5

Regresamos a G1 y rellenamos todo. 1 5

Vamos a A. Rellenamos el depósito con uno de

los dos bidones.1 5

Estamos en las condiciones iniciales de � y ya

podemos llegar al final.3 15

6 30

NÚMERO DE TRAMOS ENTRE LAS GASOLINERAS: k 3 4 5 6

NÚMERO DE TRAMOS QUE TIENE QUE RECORRER: F (k) 3 6 15 42

NÚMERO DE LITROS GASTADOS 15 30 75 210


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