Solucionario unidades 1-6€¦ · 4 Unidad 1| Matrices 1 Matrices EJERCICIOS PROPUESTOS 1 y 2....

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  • 1. Matrices ...................................................................................................................... 4

    2. Determinantes .......................................................................................................... 40

    3. Sistemas de ecuaciones lineales .............................................................................. 80

    4. Programación lineal ................................................................................................ 136

    Fin bloque I ............................................................................................................. 180

    5. Funciones, límites y continuidad ............................................................................. 186

    6. Derivadas................................................................................................................ 234

    (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque tienen alguna corrección en su

    enunciado respecto del que aparece en el libro del alumno.

  • 4 Unidad 1| Matrices

    1 Matrices

    EJERCICIOS PROPUESTOS

    1 y 2. Ejercicios resueltos.

    3. Escribe una matriz A de orden 3 × 4 tal que:

    ( )

    + − >= =−

  • Matrices | Unidad 1 5

    8. Indica, razonadamente, si las siguientes matrices son o no escalonadas.

    − − − − = = = −

    1 2 4 83 3 0

    0 3 4 5 0 0 11 0 0

    0 0 4 5 0 0 20 0 0

    0 0 0 0

    A B C

    La matriz A sí es escalonada, ya que la fila formada por todo ceros ocupa el último lugar y el primer elemento no nulo de las filas segunda y tercera está más a la derecha que el primer elemento no nulo de las filas primera y segunda, respectivamente.

    La matriz B no es escalonada, ya que el primer elemento no nulo de la segunda fila no está más a la derecha que el primer elemento no nulo de la fila primera.

    La matriz C no es escalonada, ya que el primer elemento no nulo de la segunda fila no está más a la derecha que el primer elemento no nulo de la fila primera.

    9 y 10. Ejercicios resueltos.

    11. Dadas las matrices:

    − = = − −

    A B2 1 0 1 0 03 3 5 0 1 32 2 1 0 2 2

    Calcula:

    a) 3 2A B+

    b) 1 32

    A B−

    c) Comprueba que se verifica la propiedad ( )t t tA B A B+ = + .

    a) 6 3 0 2 0 0 4 3 0

    3 2 9 9 15 0 2 6 9 7 216 6 3 0 4 4 6 2 7

    A B− − + = + − = − −

    b)

    1 11 0 4 02 23 0 0

    1 3 3 5 3 9 133 0 3 92 2 2 2 2 2 20 6 61 111 1 1 7

    2 2

    A B

    − −

    − = − − = − − − −

    c) ( )1 1 0 1 3 23 2 8 1 2 02 0 3 0 8 3

    tA B A B− − + = ⇒ + =

    2 3 2 1 0 0 1 3 21 3 2 , 0 1 2 1 2 00 5 1 0 3 2 0 8 3

    t t t tA B A B− − = − = − ⇒ + =

  • 6 Unidad 1| Matrices

    12. Calcula, en cada caso, el valor de las letras que aparecen para que:

    a) + + = + 3

    2 13x y y x

    Ax y

    y 23 6 4 1

    14 3x y

    Bx y

    − + − − = − − + sean opuestas.

    b) Si

    2

    2 2

    22 2 5

    41

    a b cA b c a

    b c

    + = + − +

    y 2 25 4 168 3a

    Ba a b

    − = + , entonces tA B= .

    a)

    2 2

    3 6 2 63 4 1 1

    5, 42 14 2 1413 3 3 13

    x y x x yy x y x y

    A B x yx y x y

    x y x y

    + = − − + = − + = + − = = − ⇒ ⇒ ⇒ = = + = + = = − − =

    b)

    2 2

    2 2 2 2

    2 2 2 2

    5 5 02 4 2 4

    16 16 5, 4, 02 8 2 82 5 3 541 41

    t

    a a a ab c b cb c b cA B a b cb c b ca a a

    a b a b

    = − + = + = + = + = + = = ⇒ ⇒ ⇒ = − = =

    + = + = − = = −

    = + + =

    13 a 16. Ejercicios resueltos.

    17. Calcula 2 3A A I− − , siendo 2 31 1

    A =

    e I la matriz identidad de orden 2.

    2 2 3 2 3 2 3 1 0 7 9 6 9 1 0 0 03 31 1 1 1 1 1 0 1 3 4 3 3 0 1 0 0

    A A I − − = − − = − − =

    18. Dadas las matrices:

    1 1 1 0 2 1 02 1 1 0 3 2 02 3 1 2 1 0 1

    A B = =

    Explica razonadamente si puedes realizar los productos AB y BA. En caso afirmativo, halla los resultados. La matriz A tiene dimensión 3 x 4 y la matriz B es de orden 3, es decir, tiene dimensión 3 x 3. Por tanto, el producto AB no se puede realizar, pues no coincide el número de columnas de A con el de filas de B. En cambio, sí se puede realizar el producto BA, pues coincide el número de columnas de B con el de filas de A, y el resultado es una matriz de dimensión 3 x 4.

    2 1 0 1 1 1 0 4 3 3 03 2 0 2 1 1 0 7 5 5 01 0 1 2 3 1 2 3 4 2 2

    BA = =

    19. Dada la matriz 1 3 2 14 5 3 2

    A = − , explica razonadamente si existen matrices B y C tales que AB y CA

    sean matrices de tres filas. La matriz A tiene dimensión 2 x 4. Para que pueda efectuarse el producto AB, la matriz B debe tener 4 filas, ya que el número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B. Del mismo modo, para que pueda efectuarse el producto CA la matriz C debe tener 2 columnas.

    Así, si la dimensión de B es 4 x b, la matriz producto AB tendrá dimensión 2 x b, es decir, la matriz AB tendrá 2 filas independientemente de qué valor tome b, luego no existe ninguna matriz B tal que AB sea una matriz de 3 filas.

    Análogamente, si la dimensión de C es c x 2, la matriz CA tendrá dimensión c x 4, por lo CA tendrá 3 filas si 3c = , es decir, siempre que C sea una matriz de dimensión 3 x 2.

  • Matrices | Unidad 1 7

    20. Dadas las matrices 2 1 13 2 01 0 1

    A− = −

    y 1 2 13 2 41 0 1

    B−

    = − −

    , comprueba que se verifica la propiedad:

    ( )t t tAB B A=

    ( )2 1 1 1 2 1 4 2 5 4 9 23 2 0 3 2 4 9 2 11 2 2 21 0 1 1 0 1 2 2 2 5 11 2

    tAB AB− − − − − = − − = − ⇒ = − − − − −

    1 3 1 2 3 1 4 9 22 2 0 1 2 0 2 2 21 4 1 1 0 1 5 11 2

    t tB A− − −

    = − = − − − − −

    21. Ejercicio interactivo.

    22. Ejercicio resuelto.

    23. Calcula el rango de las siguientes matrices.

    1 2 3 1 1 0 2 3 5 04 5 6 2 3 6 3 51 07 8 9 4 6 12 2 2

    A B C− −

    = = − = − −

    → − → −→ −

    = − − − − ⇒ =→ → − −

    2 2 1 3 3 23 3 1

    4 27

    1 2 3 1 2 3 1 2 34 5 6 0 3 6 0 3 6 rg( ) 27 8 9 0 6 12 0 0 0

    F F F F F FF F F

    A A

    2 2 1 3 3 23 3 1

    2 24

    1 1 0 1 1 0 1 1 02 3 6 0 5 6 0 5 6 rg( ) 24 6 12 0 10 12 0 0 0

    F F F F F FF F F

    B B→ − → −→ −

    − − − = − − − ⇒ =→ → − −

    2 2 12

    2 3 5 0 2 3 5 0rg( ) 13 5 0 0 0 01 0

    2 2F F F

    C C→ −

    − − = ⇒ =→ −

    24. Aplica el método de Gauss para calcular el rango de:

    − = = − −

    1 1 2 1 3 0 1 4 41 1 3 2 1 2 1 2 31 1 2 1 7 2 3 18 13

    A B

    2 2 13 3 1

    1 1 2 1 3 1 1 2 1 31 1 3 2 1 0 0 1 1 2 rg( ) 31 1 2 1 7 0 0 0 0 4

    F F FF F F

    A A→ −→ −

    = − ⇒ =→

    1 2 3 3 1 3 3 24

    0 1 4 4 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 32 1 2 3 0 1 4 4 0 1 4 4 0 1 4 4 rg( ) 22 3 18 13 2 3 18 13 0 4 16 16 0 0 0 0

    F F F F F F F FB B

    ↔ → − → −

    − − − − = − − − − ⇒ =→ → → − − −

    25 a 27. Ejercicios resueltos.

  • 8 Unidad 1| Matrices

    28. Aplicando la definición, calcula las matrices inversas de:

    − = = − −

    A B1 0 1

    1 10 1 1

    1 20 0 1

    Pongamos − =

    1 a bAc d

    , tenemos 11 11 2 2 2

    a b a c b dAA

    c d a c b d− − − + − + = = − − + − +

    y, por tanto:

    1 11 0 2 1 y 2, 1, 1, 12 0 2 1 1 1

    a c b dAA I a c b d A

    a c b d− −− + = − + = − = ⇒ ⇒ = − = − = = ⇒ = − + = − + = −

    Pongamos 1a b c

    B d e fg h i

    =

    , tenemos 11 0 10 1 10 0 1

    a b c a g b h c iBB d e f d g e h f i

    g h i g h i

    + + + = − = − − −

    y, por tanto:

    1

    1 0 0 1, 0, 1 1 0 10, 1 0 0, 1, 1 0 1 1

    0 0 1 0, 0, 1 0 0 1

    a g b h c i a b cd g e h y f i d e f Bg h i g h i

    + = + = + = = = = − − − = − = − = ⇒ = = = ⇒ = = = = = = =

    29. Calcula X de forma que AX B C+ = , siendo:

    1 3 2 4 0 22 5 2 3 4 6

    A B C− − − = = = − − −

    ( ) ( )1 1 1AX B C AX C B A AX A C B X A C B− − −+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

    Calculemos 1A− con el método de Gauss-Jordan:

    2 2 1 1 1 2 1 1

    1

    2 3

    1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 5 3 1 0 5 3 5 32 5 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1F F F F F F F F

    A−→ + → − →−

    − − − − − ⇒ =→ → → −

    Por tanto, ( )1 5 3 2 6 16 392 1 2 3 6 15

    X A C B−− − = − = = − −

    .

    30. Calcula X de forma que 2XA B C− = , siendo:

    1 1 1 1 0 40 2 3 3 0 3

    A B C− − − = = = − −

    ( ) ( )1 1 12 2 2 2XA B C XA C B XAA C B A X C B A− − −− = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +

    Calculemos 1A− con el método de Gauss-Jordan:

    1 1 2 2 2

    1

    1 12 2

    1 11 1 0 1 11 1 1 0 1 0 1 2 220 2 0 1 1 10 2 0 1 0 1 0 02 2

    F F F F F

    A−→ − →

    − − − ⇒ = → →

    Por tanto, ( ) − − − − − − = + = = − −

    1

    111 9 1 4223 9 1 3 60

    2

    X C B A .

  • Matrices | Unidad 1 9

    31. Comprueba que el rango de 1 1 10 1 21 2 3

    A−

    = −

    es 2 y observa qué ocurre si se intenta calcular 1A− por el

    método de Gauss.

    3 3 1 3 3 2

    1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 2 0 1 2 0 1 2 rg( ) 21 2 3 0 1 2 0 0 0

    F F F F F FA A

    → − → −

    − − − = ⇒ =→ → −

    Si intentamos aplicar el método de Gauss-Jordan tenemos:

    3 3 1 3 3 2

    1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 01 2 3 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 1

    F F F F F F→ − → −

    − − − → → − − − −

    El hecho de que en la parte izquierda de la expresión aparezca una fila de todo ceros indica que no es posible obtener la matriz identidad en la parte izquierda, con lo que la matriz A no tiene inversa.

    32. Utilizando el método de Gauss-Jordan, calcula las matrices inversas de:

    1 2 12 1 0 2

    0 5 31 2 1 3

    1 0 0A B C

    − − = = = − −

    Inversa de A:

    2 2 1 1 1 2 1 1

    2 2

    1

    12 51015

    2 1 2 11 02 1 1 0 2 1 1 0 10 0 4 2 5 5 5 51 2 0 1 0 5 1 2 0 5 1 2 1 2 1 20 1

    5 5 5 5F F F F F F F F

    F F

    A−→ − → + →

    − − ⇒ =→ → → − − − −

    Inversa de B:

    1 2 1 1 2 1 1

    2 2

    1

    12 32

    12

    3 31 0 1 10 2 1 0 1 3 0 1 2 0 3 2 2 21 3 0 1 0 2 1 0 0 2 1 0 1 10 1 0 0

    2 2F F F F F F F

    F F

    B−↔ → − →−

    − − − − − ⇒ = → → → −

    Inversa de C:

    3 3 1 1 1 2 1 1 33 3 2 2 2 3

    5 25 2 3

    1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 5 0 1 5 2 00 5 3 0 1 0 0 5 3 0 1 0 0 5 3 0 1 01 0 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 5 2 5

    F F F F F F F F FF F F F F F

    → − → + → +→ − → +

    − − − − −→ → → − − − − −

    1 1

    2 2

    3 3

    1

    15

    15

    5 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 1 0 0 10 5 0 15 5 15 0 1 0 3 1 3 3 1 30 0 1 5 2 5 0 0 1 5 2 5 5 2 5F F

    F FF F

    C−→

    →−

    →−

    → − − − − ⇒ = −→ − − − − −

    33. Ejercicio interactivo.

  • 10 Unidad 1| Matrices

    34. Una empresa monta ordenadores de dos tipos, de mesa y portátiles, y de tres calidades: alta, media y baja.

    En un mes monta 100 ordenadores de cada tipo, de los cuales 20 son de calidad alta, 40, de media, y 40, de baja para los de mesa, y 30 de calidad alta, 30, de media, y 40, de baja para los portátiles.

    Para los ordenadores de mesa se invierten cuatro horas de montaje y siete de instalación del software, y para los portátiles seis y ocho horas respectivamente.

    a) Escribe la matriz A que determina el número de ordenadores montados atendiendo a su calidad (filas) y su tipo (columnas).

    b) Escribe la matriz B que determina el número de horas utilizadas de montaje y de software (filas) para cada tipo de ordenador (columnas).

    c) Calcula e interpreta la matriz tAB .

    a)

    Mesa Portátil20 30

    Alta 20 3040 30

    Media 40 3040 40

    Baja 40 40

    A ⇒ =

    b) Mesa Portátil

    4 6Montaje 4 6

    7 8Software 7 8

    B ⇒ =

    c) 20 30 260 380

    4 740 30 340 520

    6 840 40 400 600

    tAB

    = =

    Los elementos de esta matriz representan el número total de horas invertidas en un mes en montaje y software (columnas) para cada calidad (filas), por ejemplo, el número de horas mensuales invertidas en instalación de software para todos los ordenadores de gama media es de 520.

    35. Observa el siguiente grafo e indica:

    a) Todos los caminos de longitud 3 que se pueden seguir para ir de C a D.

    b) Todos los caminos de longitud 4 que se pueden seguir para ir de C a A. La matriz de adyacencia del grafo y sus potencias segunda, tercera y cuarta son:

    2 3 4

    0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 2 2 2 2 1 11 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 30 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 21 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 2 2

    M M M M

    = = = =

    a) El número de caminos de longitud 3 que se pueden seguir para ir de C a D viene dado por el elemento de la tercera fila y cuarta columna de 3M , es decir, hay un único camino, en concreto, C B A D→ → → .

    b) El número de caminos de longitud 4 que se pueden seguir para ir de C a A viene dado por el elemento de la tercera fila y primera columna de 4M , es decir, hay dos posibles caminos, en concreto, estos dos caminos son C B A D A→ → → → y C B C B A→ → → → .

    36 a 45. Ejercicios resueltos.

  • Matrices | Unidad 1 11

    EJERCICIOS

    Matrices. Grafos

    46. Dada la matriz:

    − − = − − − −

    A1 5 2 4 2 25 1 1 3 5 04 1 3 3 2 3

    a) Indica su dimensión.

    b) Indica los elementos que forman su cuarta columna.

    c) Indica los elementos que forman su tercera fila.

    d) Indica el valor de los elementos 22 32 23 45, , ,a a a a

    e) ¿Cómo designas la ubicación del elemento cuyo valor es −5? ¿Y del que es 0? a) 3 x 6

    b) 14 24 344, 3, 3a a a= = = −

    c) 31 32 33 34 35 364, 1, 3, 3, 2, 3a a a a a a= − = = = − = =

    d) 22 32 23 451, 1, 1, no existea a a a= − = = −

    e) 12 265 , 0a a− = =

    47. Escribe una matriz cuadrada B de orden 3 tal que todos sus elementos verifiquen que = − +2 3 1ijb i j .

    − −

    = − − −

    0 3 62 1 44 1 2

    B

    48. Escribe una matriz cuadrada C de orden 4 tal que sus elementos verifiquen que:

    + ≤= + >

    2 si 3

    2 si 3

    ij

    i j i jc

    i j i j

    =

    5 71 33 3

    5 8 1023 3 37 8 1133 3 3

    10 113 43 3

    C

  • 12 Unidad 1| Matrices

    49. Calcula el valor de las letras a, b y c para que las matrices A y B sean iguales.

    2 2

    2 2

    2 3 4 5 0 0 02 2 1 2 1

    2 3 1 3 1

    a b a b a bA a a c b c c a b B

    a b c a c b c a

    + − + = − + + + + − = − − + + − + + − − −

    + =

    − = ⇒ = = = −− + + = − 2

    02 3 0 0, 0, 1

    1

    a ba b a b ca a c

    Para estos valores de a, b y c se cumple que todos los elementos de las matrices coinciden y, por tanto, A B= .

    50. Calcula el valor de las letras x, y para que las matrices A y B sean iguales:

    + = = −+ −

    2 2 2 4 135 112 3 3

    x x yA Bx y x y

    =

    + = ⇒ = = −+ = −

    − =

    2

    2 2

    413 2, 3

    2 3 53 11

    xx y x yx y

    x y

    51. Escribe la matriz asociada a cada uno de los siguientes grafos.

    1 2 3 4

    0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 01 1 1

    1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 01 0 0

    0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 00 1 1

    0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0

    M M M M

    = = = =

    52. La figura siguiente representa la planta de un museo con sus siete salas. En ella, se aprecian las puertas que permiten ir de una sala a otra contigua.

    Dibuja un grafo que represente la situación y escribe su matriz asociada.

    0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 1 00 0 1 0 0 1 00 0 0 0 0 1 00 1 1 1 1 0 11 0 0 0 0 1 0

    A

    =

  • Matrices | Unidad 1 13

    Operaciones con matrices

    53. Dadas las matrices:

    − − = − = − − −

    A B1 2 0 2 0 10 3 2 y 0 1 20 4 2 1 2 3

    Calcula:

    a) , y 2 3A B A B A B+ − − b) AB y BA c) ABA

    a) 3 2 1 1 2 1 4 4 30 2 4 0 4 0 2 3 0 9 21 2 5 1 6 1 3 14 5

    A B A B A B− − − − − −

    + = − − = − = − − − − − − −

    b) 1 2 0 2 0 1 2 2 3 2 0 1 1 2 0 2 0 20 3 2 0 1 2 2 7 12 0 1 2 0 3 2 0 5 20 4 2 1 2 3 2 8 14 1 2 3 0 4 2 1 8 2

    AB BA− − − − −

    = − − − = − − − = − − − = − − − −

    c) ( )2 2 3 1 2 0 2 10 22 7 12 0 3 2 2 31 102 8 14 0 4 2 2 36 12

    ABA AB A− −

    = = − − − − = − − − −

    54. Dadas las matrices:

    − − − − = − = − = − −

    A B C2 1 1 1 2 2 1 0 01 0 3 3 1 1 2 2 02 1 3 0 1 0 3 3 0

    Calcula:

    a) +2 3A B , − −2 3A B C y − +2 4A B C

    b) ABC y BAB

    c) 2 3A B

    a) 7 4 8 3 5 3 1 4 0

    2 3 11 3 9 2 3 11 8 1 2 4 7 7 54 1 6 7 6 3 16 15 6

    A B A B C A B C− − −

    + = − − − = − − − − + = − − − − − − −

    b) 24 19 0 7 4 9

    5 4 0 11 5 1220 15 0 1 1 2

    ABC BAB− − − − = − − = − − − − − −

    c) 2 33 1 2 11 8 12 27 7 144 2 8 6 9 8 8 18 241 1 4 6 4 7 7 17 24

    A B− − −

    = − − − − − = − − − −

    55. Efectúa, si es posible, la siguiente operación matricial.

    − − − − − − − − −

    1 0 0 31 1 3

    2 3 4 52 3 2

    4 8 5 6

    1 0 0 3 1 1 3 0 3 19 26

    1 1 32 3 4 5 8 7 12 4 5 32 61

    2 3 24 8 5 6 20 20 28 5 6 60 128

    − − − − − − − − − − = − − = − − − − − − − −

  • 14 Unidad 1| Matrices

    56. Dadas las matrices:

    − − − − = = = − − −

    A B C2 3 1 2 1 1 1 2

    2 3 4 20 1 0 2 1 1 0 2

    1 0 1 10 0 1 3 0 3 0 4

    a) Calcula ( )+ tA B C .

    b) Comprueba que ( ) t t tA B C AC BC+ = + .

    c) Comprueba que ( )tt tAC CA= .

    a) ( )

    2 13 4 2 4 10 5

    3 01 2 0 4 0 3

    4 10 3 1 1 15 0

    2 1

    tA B C

    − − − − + = = − − − − −

    b)

    2 1 2 12 3 1 2 1 1 1 2 3 3 7 2 10 5

    3 0 3 00 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 1 0 3

    4 1 4 10 0 1 3 0 3 0 4 2 4 17 4 15 0

    2 1 2 1

    t tAC BC

    − − − − − − − − − + = + = − + − − = − − − − − − − −

    c) ( )

    2 0 03 3

    3 1 2 2 3 4 2 3 1 0 3 1 21 2

    3 2 4 1 0 1 1 1 0 1 3 2 42 4

    2 2 3

    t

    tt tAC CA

    − − − − = − = = = − − − − − − − − −

    57. Dadas las matrices:

    ( )− = = − − 1 3 2 4 0

    1 2 1 0 42 3 1 1 4

    A B

    a) Comprueba que ( ) =tt tAB BA .

    b) Calcula ( ) +tt tAB BA .

    a) ( ) ( )

    12

    1 3 2 4 0 99 191

    2 3 1 1 4 1904

    tt tAB AB

    − − = = ⇒ = −

    ( ) ( )

    1 23 3

    1 2 1 0 4 9 192 14 10 4

    tBA

    − = − =−

    b) ( ) ( )+ = + = =2 18 38tt t t t tAB BA BA BA BA

  • Matrices | Unidad 1 15

    58. Dadas la matrices:

    1 0 1 1 0 0 1 2 11 1 1 0 0 0 0 2 21 2 1 0 0 1 1 2 1

    A B C− −

    = = = − − − − −

    Calcula:

    a) ABC b) CBA c) 2AB C d) 3CB A

    a) 0 4 22 0 02 0 0

    ABC−

    =

    c) 22 0 00 4 20 4 2

    AB C = − −

    b) 2 2 02 4 20 2 2

    CBA−

    = − −

    d) 32 2 02 4 20 2 2

    CB A−

    = − −

    59. Dada la matriz = −

    0 0 01 0 01 2 0

    A , calcula:

    a) +A I b) ( )2A I+ c) ( )3A I+ d) ( )4A I+

    a) 1 0 01 1 01 2 1

    A I + = −

    c) ( )31 0 03 1 03 6 1

    A I + = − −

    b) ( )21 0 02 1 00 4 1

    A I + = −

    d) ( )41 0 04 1 08 8 1

    A I + = − −

    60. Dadas la matrices:

    − − = = − − − −

    A B1 1 0 2

    2 1 02 1 2 1

    3 2 30 2 2 0

    Calcula, si es posible, la expresión de la matriz AB. ¿Se puede calcular BA?

    1 1 0 22 1 0 4 3 2 5

    2 1 2 13 2 3 7 1 2 8

    0 2 2 0AB

    − − − − = − − = − − − −

    No es posible calcular el BA, ya que el número de columnas de B no coincide con el de filas de A.

  • 16 Unidad 1| Matrices

    61. Se consideran las matrices:

    ( )

    1 4 3 1 0 1 7 5 4 2 1 74 0 1 1 1 9 2 0 2 1 0 0

    1 2 2 3 4 2 1 1 0 1 0 13 4 2 9 6 3 2 2 1 0 0 80 3 0 3 0 3 1 0 0 1 7 7

    A B

    − − − − = = − − − − − − −

    a) Calcula el valor del elemento de la tercera fila y primera columna de la matriz = tC AB .

    b) Calcula el valor del elemento de la primera fila y tercera columna de la matriz tD BA= .

    c) ¿Cómo son estos valores? a) Multiplicando la tercera fila de A por la primera columna de tB obtenemos 31 26c = .

    b) Multiplicando la primera fila de B por la tercera columna de tA obtenemos 13 26d = .

    c) Son iguales, ya que ( )tt t tC AB BA D= = = .

    62. Dadas las matrices:

    − = − = − −

    M N2 1 0 1 0 03 2 1 0 2 12 0 1 0 1 1

    a) Calcula −2 2M N .

    b) Calcula ( ) ( )M N M N+ − .

    c) Explica la razón de que ( ) ( )2 2M N M N M N− ≠ + − .

    a) 2 27 0 1 1 0 0 6 0 12 7 1 0 5 1 2 2 06 2 1 0 1 2 6 3 1

    M N− −

    − = − − − − = − − − − −

    b) ( ) ( )1 1 0 3 1 0 6 3 23 0 0 3 4 2 9 3 02 1 0 2 1 2 3 6 2

    M N M N− − − + − = − = − − − − −

    c) Observemos que ( ) ( ) 2 2M N M N M MN NM N+ − = − + − , como en general MN NM≠ , se sigue que, en general, MN NM O− + ≠ y ( ) ( )2 2M N M N M N− ≠ + − .

    63. Sean las matrices =

    1 00 1

    I y 1 23 4

    A− = −

    . Calcula:

    a) 2 3 4, y A A A b) 2 3 2A A I− +

    a) − − − = = = − − − 2 3 45 6 13 14 29 30

    9 10 21 22 45 46A A A

    b) 2 5 6 3 6 2 0 6 123 29 10 9 12 0 2 18 24

    A A I− − − − + = − + = − − −

  • Matrices | Unidad 1 17

    64. Calcula la matriz X para que verifique la siguiente ecuación matricial:

    − − − − − − = − − −

    0 22 1 1 0 2 5 1

    2 3 3 3 62 3 3 1 0 3 4

    1 2X

    0 2

    2 1 1 0 2 5 1 1 1 16 322 3 3 3 6 2 3

    2 3 3 1 0 3 4 11 6 5 261 2

    X X−

    − − − − − − − = ⇒ − = ⇒ − − −

    13 2916 32 3 3 13 292 2 25 26 33 18 38 44 19 22

    X X − − ⇒ = + = ⇒ =

    65. Resuelve el sistema:

    − + =

    − − = − −

    7 22 3

    3 815 14

    3 44 22

    A B

    A B

    7 2 28 8

    2 3 8 123 8 12 32

    15 14 45 423 4 9 12

    4 22 12 66

    A B A B

    A B A B

    − − + = + = ⇒ ⇒

    − − − = − = − − − −

    Sumando obtenemos 17 34 1 2

    170 34 0 2

    A A− − = ⇒ = − −

    .

    7 2 21 62 3 6 9

    3 8 9 2415 14 30 28

    3 4 6 84 22 8 44

    A B A B

    A B A B

    − − + = + = ⇒ ⇒

    − − − = − + = − −

    Sumando obtenemos 51 34 3 2

    1717 68 1 4

    B B− − = ⇒ =

    .

    66. Resuelve el sistema + =− + =3 2

    3X Y AX Y B

    , siendo:

    5 4 6 2 5 92 10 12 3 4 4

    A B− = = − − −

    + = + = ⇒ ⇒ − + = − + =

    3 2 3 23 3 9 3

    X Y A X Y AX Y B X Y B

    Sumando obtenemos 11 11 33 1 1 3

    11 311 22 0 1 2 0

    Y A B Y = + = ⇒ = − − .

    Despejando en la segunda ecuación: 1 2 0

    30 2 4

    X Y B− = − =

  • 18 Unidad 1| Matrices

    67. Resuelve el sistema:

    − = − − −

    − − − + = − − −

    0 102 4 2 4

    14 44 3

    3 2 5 25 2

    X Y

    X Y

    0 10 0 10

    2 4 2 4 2 4 2 414 4 14 4

    4 3 8 63 2 5 2 6 4 10 4

    5 2 10 4

    X Y X Y

    X Y X Y

    − = − − − = − − − − ⇒ ⇒

    − − − − − + = − − − + = − − − −

    Sumando obtenemos 8 4 2 1

    4 12 8 3 24 0 1 0

    X X− −

    − = − − ⇒ = −

    .

    0 10 0 302 4 2 4 6 12 6 12

    14 4 42 124 3 8 6

    3 2 5 2 6 4 10 45 2 10 4

    X Y X Y

    X Y X Y

    − = − − − = − − − − ⇒ ⇒

    − − − − − + = − − − + = − − − −

    Sumando obtenemos 8 24 1 3

    8 16 16 2 232 8 4 1

    Y Y− −

    − = − − ⇒ = − −

    .

    68. Dada la matriz =

    A1 20 1

    , calcula:

    a) 2 3 4, y A A A b) 23A

    a) = = =

    2 3 41 4 1 6 1 80 1 0 1 0 1

    A A A

    b) En general, tenemos =

    1 20 1

    n nA , por tanto, 231 460 1

    A =

    .

    Rango de una matriz

    69. Indica el rango de las matrices:

    a) 2 21 1

    A− = −

    b) 2 21 1

    B− =

    c) 0 0

    0 0C =

    a) rg( ) 1A = ya que las dos filas de A son proporcionales.

    b) rg( ) 2B = ya que las dos filas de B no son proporcionales.

    c) rg( ) 0C = ya que la matriz C es la matriz nula.

  • Matrices | Unidad 1 19

    70. Aplicando el método de Gauss, calcula el rango de las siguientes matrices:

    a) = − − − −

    A1 2 31 2 31 2 3

    c) 1 1 1 12 2 2 25 5 5 3

    C = − −

    b) 1 2 40 1 51 0 1

    B−

    =

    d) 1 1 4 5 33 6 8 3 02 5 12 8 3

    D− −

    = − − − −

    a) → +→ +

    = − ⇒ =→ − − −

    2 2 13 3 1

    1 2 3 1 2 31 2 3 0 4 6 rg( ) 21 2 3 0 0 0

    F F FF F F

    A A

    b) → − → +

    − − − = ⇒ =→ → −

    3 3 1 3 3 22

    1 2 4 1 2 4 1 2 40 1 5 0 1 5 0 1 5 rg( ) 31 0 1 0 2 5 0 0 15

    F F F F F FB B

    c) 2 2 1 3 3 23 3 1

    2 25

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 0 0 0 4 0 0 0 4 rg( ) 25 5 5 3 0 0 0 8 0 0 0 0

    F F F F F FF F F

    C C→ − → −→ −

    = − − − ⇒ =→ → − −

    d) 2 2 1 3 3 23 3 1

    32

    1 1 4 5 3 1 1 4 5 3 1 1 4 5 33 6 8 3 0 0 3 20 18 9 0 3 20 18 9 rg( ) 22 5 12 8 3 0 3 20 18 9 0 0 0 0 0

    F F F F F FF F F

    D D→ + → −→ +

    − − − − − − = − − − − ⇒ =→ → − − −

    71. Calcula el rango de la matriz, observando si existe dependencia lineal entre sus filas.

    − − − − − −

    1 2 5 3 12 2 1 0 41 2 17 9 11

    11 1 0 22

    Observemos que 4 212

    F F= − y 3 1 23 2F F F= + , por lo que podemos eliminar la tercera y cuarta fila, obteniendo

    1 2 5 3 12 2 1 0 4 1 2 5 3 1

    rg rg 21 2 17 9 11 2 2 1 0 411 1 0 22

    − − − − − = = − − − −

    , ya que las dos filas que quedan no son proporcionales.

    72. Calcula el rango de la siguiente matriz.

    1 1 1 1 22 1 0 1 23 3 1 1 24 2 0 2 4

    − − − − − − − −

    4 2 5 4 2 2 1 3 23 3 1

    2 2 2 23

    1 1 1 1 21 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

    2 1 0 1 2rg rg 2 1 0 1 2 rg 2 1 0 1 rg 0 3 2 1

    3 3 1 1 23 3 1 1 2 3 3 1 1 0 6 4 2

    4 2 0 2 4F F C C F F F F F

    F F F=− =− → − =

    → −

    − − − − − − − − − = − = − = − = − − − − − − − − − −

    1 1 1 1rg 2

    0 3 2 1− − = −

  • 20 Unidad 1| Matrices

    Matriz inversa

    73. Aplicando directamente la definición, calcula las matrices inversas de:

    = = −

    0 2 1 72 0 2 15

    A B

    Pongamos − =

    1 a bAc d

    , tenemos 10 2 2 22 0 2 2

    a b c dAA

    c d a b− = =

    y, por tanto:

    1 1

    102 1 2 0 1 1 2 y 0, , 0,2 0 2 1 12 2 0

    2

    c dAA I a c b d A

    a b− −

    = = = ⇒ ⇒ = = = = ⇒ = = =

    Pongamos 1a b

    Bc d

    − =

    , tenemos 11 7 7 72 15 2 15 2 15

    a b a c b dBB

    c d a c b d− + + = = − − + − +

    y, por tanto:

    1 1

    15 77 1 7 0 15 2 7 1 29 29 y , , , ,

    2 15 0 2 15 1 2 129 29 29 2929 29

    a c b dBB I a c b d B

    a c b d− −

    − + = + = = ⇒ ⇒ = = = − = ⇒ = − + = − + =

    74. Comprueba que las matrices A y B son inversas.

    − − = = − − − − − −

    1 1 4 42 12 4 3 312 0 36 24 302 16 101 41 2 3 33

    A B

    Basta comprobar que AB I= , y, en efecto,

    1 1 4 42 12 4 1 0 03 312 0 36 24 30 0 1 02 16 10 0 0 11 41 2 3 33

    AB

    − − = − − = − − − −

    75. Aplicando directamente la definición, calcula la matriz inversa de −

    = − −

    1 0 12 1 02 0 1

    A .

    Pongamos 1a b c

    A d e fg h i

    =

    , tenemos 11 0 12 1 0 2 2 22 0 1 2 2 2

    a b c a g b h c iAA d e f a d b e c f

    g h i a g b h c i

    − − − − = − = − − − − − − −

    y, por tanto:

    1

    1 0 0 1, 0, 1 1 0 12 0, 2 1 2 0 2, 1, 2 2 1 22 0 2 0 2 1 2, 0, 1 2 0 1

    a g b h c i a b ca d b e y c f d e f Aa g b h c i g h i

    − = − = − = = − = = − − = − = − = ⇒ = − = − = ⇒ = − − − = − = − = = − = = −

  • Matrices | Unidad 1 21

    76. Aplicando el método de Gauss, calcula las matrices inversas de:

    a) − − =

    1 12 3

    A c) −

    = − −

    1 1 12 1 03 4 2

    C

    b) − = − 1 21 3

    B d) −

    = − −

    1 0 22 1 00 1 3

    D

    a) 2 2 1 1 1 2 1 1

    1

    2

    1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 3 1 1 0 3 1 3 12 3 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1F F F F F F F F

    A−→ + → + →−

    − − − − − − − − − ⇒ =→ → →

    b) 2 2 1 1 1 2 1 1

    2 2

    1

    2

    1 2 1 0 1 2 1 0 1 0 3 2 1 0 3 2 3 21 3 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1F F F F F F F F

    F F

    B−→ + → + →−

    →−

    − − − − − − − ⇒ =→ → → − − − − − − −

    c) 2 2 1 1 1 2 1 1 33 3 1 3 3 2 2 2 3

    2 33 3 7 2

    1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 3 0 1 1 1 02 1 0 0 1 0 0 3 2 2 1 0 0 3 2 2 1 03 4 2 0 0 1 0 7 5 3 0 1 0 0 1 5 7 3

    F F F F F F F F FF F F F F F F F F→ + → − → +→ − → + → +

    − − − − − − −→ → → − − −

    1 1

    2 2

    1

    1313

    3 0 0 6 6 3 1 0 0 2 2 1 2 2 10 3 0 12 15 6 0 1 0 4 5 2 4 5 20 0 1 5 7 3 0 0 1 5 7 3 5 7 3F F

    F F

    C−→

    → ⇒ =→

    d) 2 2 1 3 3 2 1 1 3

    2 2 3

    2 24

    1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 02 1 0 0 1 0 0 1 4 2 1 0 0 1 4 2 1 00 1 3 0 0 1 0 1 3 0 0 1 0 0 1 2 1 1

    F F F F F F F F FF F F

    → − → + → +→ −

    − − − − − − − −→ → → − − − −

    1 13 3

    1

    1 0 0 3 2 2 1 0 0 3 2 2 3 2 20 1 0 6 3 4 0 1 0 6 3 4 6 3 40 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1

    F FF F

    D−→−→−

    − − − − − − → − − − − ⇒ = − −→ − − − − − −

    77. Dada la matriz 5 32 1

    A− = −

    , calcula:

    a) −1A y tA b) ( )− 21tA A A

    a) −→ − → + →

    − − − − − ⇒ =→ → → − − − − − 2 2 1 1 1 2 1 1

    1

    15 2 35

    5 3 1 0 5 3 1 0 5 0 5 15 1 0 1 3 1 32 1 0 1 0 1 2 5 0 1 2 5 0 1 2 5 2 5F F F F F F F F

    A

    = − − 5 23 1

    tA

    b) ( )− − − − − − − = = = = − − − − − 21 1 1 1 5 2 1 3 5 2 120 43

    3 1 2 5 3 1 67 24t t t t tA A A A A A A A A A A

  • 22 Unidad 1| Matrices

    78. Dadas las matrices 1 12 3

    A− =

    y 0 21 3

    B− =

    :

    a) Calcula ( )−

    −− −

    111 1 1, , 2 y

    3A B A B . c) Comprueba que

    −− =

    111 3

    3B B .

    b) Comprueba que ( )− −=1 1122

    A A . d) Comprueba que ( )−

    − − =

    11 11 32

    3 2A B B A .

    a) −→ + → − →−

    − − − − − − ⇒ =→ → →

    2 2 1 1 1 2 1 1

    2 2

    1

    12 55

    15

    3 1 3 11 01 1 1 0 1 1 1 0 5 0 3 1 5 5 5 52 3 0 1 0 5 2 1 0 5 2 1 2 1 2 10 1

    5 5 5 5F F F F F F F F

    F F

    A

    −↔ → + →

    →−

    − ⇒ = → → → − − − −

    1 2 1 1 2 1 1

    2 2

    1

    12 32

    12

    3 31 0 1 10 2 1 0 1 3 0 1 2 0 3 2 2 21 3 0 1 0 2 1 0 0 2 1 0 1 10 1 0 0

    2 2F F F F F F F

    F F

    B

    → + → − →−

    − − − − − ⇒→ → →

    2 2 1 1 1 2 1 1

    2 2

    12 5101

    10

    3 11 02 2 1 0 2 2 1 0 10 0 3 1 10 104 6 0 1 0 10 2 1 0 10 2 1 2 10 1

    10 10F F F F F F F F

    F F

    ( )− − ⇒ =

    1

    3 110 1022 1

    10 10

    A

    ↔ → + →

    →−

    − ⇒ = → → → − − − −

    1 2 1 1 2 1 1

    2 2

    1

    32 32

    32

    2 1 2 9 90 1 0 1 0 1 0 3 2 1 0 3 313 3 3 2 21 2 2 3 331 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 03 3 3 2 2

    F F F F F F F

    F F

    B

    b) Es una comprobación directa.

    c) Es una comprobación directa.

    d) ( ) ( ) ( )− −

    − − − − − = = =

    1 11 1 1 1 11 1 1 32 2 3

    3 3 2 2A B B A B A B A

    79. Dada la matriz a cAc d =

    a) Comprueba que su rango vale 2 cuando − ≠ 0ad bc .

    b) Comprueba que su inversa es: − − = −− 1 1 d bA

    c aad bc.

    c) Comprueba que − − =

    1 22 5

    A tiene inversa y calcúlala.

    a) → −

    = = − 2 2 1rg( ) rg rg

    0F aF cFa c a c

    Ac d ad bc

    , por tanto, =rg( ) 2A si y solo si − ≠ 0ad bc .

    b) − − − = = = = − −− − 1 0 1 01 1

    0 0 1a b d b ad bc

    AA Ic d c a ad bcad bc ad bc

    c) Según el apartado anterior A tiene inversa y − − − = = − −− + 1 5 2 5 21

    2 1 2 15 4A .

  • Matrices | Unidad 1 23

    80. Dada la matriz 2 13 1

    A− = −

    , calcula:

    a) La matriz inversa de A. b) La matriz X que verifica la ecuación − = − 1 23 4

    AX .

    a) −→ − → + →

    − − − − − ⇒ =→ → → − − − − − 2 2 1 1 1 2 1 1

    1

    12 32

    2 1 1 0 2 1 1 0 2 0 2 2 1 0 1 1 1 13 1 0 1 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 3 2F F F F F F F F

    A

    b) −− − − − − = ⇒ = = = − − − − − 11 2 1 2 1 1 1 2 4 6

    3 4 3 4 3 2 3 4 9 14AX X A

    81. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales.

    a) −

    − = −

    4 52 2

    0 30 1

    2 5X

    b) − −

    = − − −

    2 1 1 5 3 02 1 0 4 0 10 1 1 1 1 0

    X

    c) −

    − = − −

    1 1 0 50 1 1 70 2 1 10

    X

    a) La matriz −

    2 20 1

    tiene inversa, − − =

    1 12 2 120 1 0 1

    , por tanto:

    −− − − − = = = − − −

    14 5 4 5 2 112 2 10 3 0 3 0 320 1 0 12 5 2 5 1 3X

    b) La matriz −

    2 1 12 1 00 1 1

    tiene inversa,

    − − = − − − − −

    1 1 12 1 1 02 22 1 0 1 1 1

    0 1 1 1 1 2

    , por tanto:

    − − − − − = − = − = − − − − − − − − −

    1 1 12 1 1 5 3 0 5 3 0 2 1 002 22 1 0 4 0 1 4 0 1 0 2 11 1 1

    0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 11 1 2

    X

    c) La matriz −

    − −

    1 1 00 1 10 2 1

    tiene inversa,

    −− − − − = − − − − −

    11 1 0 1 1 10 1 1 0 1 10 2 1 0 2 1

    , por tanto:

    −− − − = − − = − − − = − − − −

    11 1 0 5 1 1 1 5 20 1 1 7 0 1 1 7 30 2 1 10 0 2 1 10 4

    X

  • 24 Unidad 1| Matrices

    82. Halla la matriz X tal que 2A X BX C+ = , siendo:

    1 2 1 2 0 121 1 0 1 2 4

    A B C = = = − − −

    ( )+ = ⇒ + =2 2A X BX C A B X C , así, si la matriz +2A B tiene inversa podemos despejar ( )−= + 12X A B C .

    La matriz − + = + = − − −

    2 1 4 1 2 0 62 1 0 1 2 0

    A B tiene inversa ( )− −

    + =

    12

    102

    1 06

    A B , por lo que:

    ( )− − = + = = − −

    12

    10 0 12 1 221 2 4 0 206

    X A B C

    83. Halla la matriz X sabiendo que 3X BA AB+ = y que:

    2 0 3 2 0 12 1 1 2 3 20 0 4 5 0 1

    A B− − − = − = − − −

    [ ]

    − − − − + = ⇒ = − = − − − − = − − − −

    5 0 519 0 5 4 0 101 1 13 23 3 3 3 10 3 5 03 3 3 320 0 4 10 0 19 10 0 5

    X BA AB X AB BA

    84. Halla la matriz X tal que AXB I= , siendo I la matriz unidad de orden 2 y:

    1 0 2 11 1 1 1

    A B = =

    Las matrices A y B tienen inversa, − = − 1 1 0

    1 1A y −

    − = − 1 1 1

    1 2B , por tanto:

    − − − − − − = ⇒ = = = = − − − 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

    1 1 1 2 2 3AXB I X A IB A B

    Síntesis 85. Dadas las matrices:

    2 2 2 1 27 6 5 2 4 65 4 3 1 2 3

    A B− + +

    = − − = − −

    λ λ λ

    a) Calcula el valor de λ para que el producto AB dé como resultado la matriz nula.

    b) Para el valor de λ hallado, calcula el resultado de + + 2BA BAB BAB .

    a) 2 2 2 2 2 27 7 7 7 7 7 0 15 5 5 5 5 5

    ABλ − λ − λ −

    = − λ − λ − λ = ⇔ λ = − λ − λ − λ

    b) 21 2 3 2 2 2 27 22 17

    0 0 2 4 6 7 6 5 54 44 341 2 3 5 4 3 27 22 17

    BA BAB BAB BA B B B BA− − −

    + + = + + = = − − = − − − − − −

  • Matrices | Unidad 1 25

    86. Sean las matrices:

    1 12 2 0

    a bA B

    a− = =

    ¿Qué condiciones deben verificar los números reales a y b para que A y B sean conmutables, es decir, para que AB BA= ?

    = +− + − + = λ = ⇒ = ⇒ − = − + ⇒ + = + =

    22 2

    22 2 2 2 2 0

    2 2 2

    a a ba b a a b a b a

    AB BA b a a ba b a a a b

    b a a

    Por tanto, para que AB BA= , b debe ser nulo y a puede ser cualquier número real.

    87. Dada la matriz − =

    1 12 3

    A :

    a) Halla todas las matrices posibles que conmuten con A.

    b) Da un ejemplo de matriz de la forma

    10a

    b que conmute con A.

    a)

    2 2 01 1 1 1 3 2 02 3 2 3 2 3 2 0 2

    2 3 3 2 0 2

    a c a b b c a sa b a b b d a b a b d b tc d c d a c c d a c d c t

    b d c d b c d s t

    − = + + = = − − − = − + − − = = = ⇒ ⇒ ⇒ + = + + − = = − + = − + + = = −

    Las matrices que conmutan con A son de la forma 2 2s t

    t s t − −

    con ,s t ∈ .

    b) Teniendo en cuenta el apartado anterior, para 1s = y 12

    t = la matriz 112

    1 0

    conmuta con A.

    88. Sea la matriz =

    1 03 1

    A , y n un número natural cualquiera. Encuentra el valor de nA para cada n y halla

    360 250A A− . Calculemos las primeras potencias de A:

    = = =

    2 3 41 0 1 0 1 06 1 9 1 12 1

    A A A

    Por tanto, deducimos que 1 0

    3 1nA

    n =

    y 360 2501 0 1 0 0 0

    1080 1 750 1 330 0A A − = − =

    .

  • 26 Unidad 1| Matrices

    89. Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro t:

    a) 2 32

    At

    − =

    c) 2 1 31 2 2

    3C

    t t

    − = −

    b) 22

    tB

    t− = −

    d) 1 0 12 0 24 4

    Dt t

    − = − − +

    a) 2 2 1

    2 3 2 3 Si 3 rg( ) 22 0 3 Si 3 rg( ) 1F F F

    t AA

    t t t A→ +− − ≠ − ⇒ = = ⇒→ + = − ⇒ =

    b) 2 2 1

    2 2rg( ) 1

    2 0 0F F Ft t

    B At → +

    − − = ⇒ =→ − para cualquier valor de t.

    c) 2 2 1 3 3 23 3 1

    2 5 ( 6)2

    2 1 3 1 2 2 1 2 2Si 1 rg( ) 3

    1 2 2 0 5 1 0 5 1Si 1 rg( ) 2

    3 0 6 0 0 6 6F F F F F t FF F tF

    t CC

    t Ct t t t t

    → − → − −→ −

    − ≠ ⇒ = = ⇒→ → = ⇒ = − − − −

    d) 2 2 13 3 1

    24

    1 0 1 1 0 1Si 0 rg( ) 2

    2 0 2 0 0 0Si 0 rg( ) 1

    4 4 0F F FF F F

    t DD

    t Dt t t t

    → −→ +

    − − ≠ ⇒ = = − ⇒→ = ⇒ = − +

    90. Estudia el rango de la matriz A según los diferentes valores de λ.

    a) 2 4 1 23 6 1 15 10 1 4

    A−

    = − + − λ λ b)

    1 3 2 16 4

    3 9 6 1B

    − = − − +

    λ λλ

    a) → − → + λ−→ −

    − − − = − − − ⇒→ → λ + λ − λ − λ + λ −

    2 2 1 3 3 23 3 1

    2 3 (2 3)2 5

    2 4 1 2 2 4 1 2 2 4 1 23 6 1 1 0 0 1 4 0 0 1 45 10 1 4 0 0 2 3 2 2 0 0 0 10 10

    F F F F F FF F F

    A

    λ ≠ ⇒ = λ = ⇒ =Si 1 rg( ) 3Si 1 rg( ) 2

    AA

    b) 2 2 13 3 13

    1 3 2 1 1 3 2 1Si 2 rg( ) 3

    6 4 0 6 3 4 2 0Si 2 rg( ) 1

    3 9 6 1 0 0 0 2F F FF F F

    BB

    B→ −λ→ −

    − − λ ≠ ⇒ = = λ − λ − + λ − λ ⇒→ λ = ⇒ = − λ + λ −

    91. Halla los valores k para los que el rango de la matriz es inferior a 3.

    =

    2 2

    2

    1 1 1A k k k

    k k k

    Para estos casos, indica su rango.

    2 2 13 3 1

    2 2 2 2

    2 2

    1 1 1 1 1 1Si 0 y 1 rg( ) 3

    0Si 0 o 1 rg( ) 1

    0 0F F kFF F kF

    k k AA k k k k k k k

    k k Ak k k k k

    → −→ −

    ≠ ≠ ⇒ = = − − ⇒→ = = ⇒ = −

    Por tanto, el rango de A es inferior a 3 si 0k = o 1k = , en ambos casos el rango de A es 1.

  • Matrices | Unidad 1 27

    92. Sea la matriz:

    − = − −

    1 1 00 1 1

    0 1A

    α

    a) Indica para qué valores de α la matriz A posee inversa.

    b) Calcula la matriz inversa de A para el valor 0α = .

    a) 3 3 1 3 3 2

    1 1 0 1 1 0 1 1 0Si 1 rg( ) 3

    0 1 1 0 1 1 0 1 1Si 1 rg( ) 2

    0 1 0 1 0 0 1F F F F F F

    AA

    A→ −α → +α

    − − − α ≠ ⇒ = = − − − ⇒→ → α = ⇒ = α − α − − + α

    Por tanto, la matriz A tiene inversa si 1α ≠ .

    b) Si 0α = tenemos:

    1 1 2 2 2 3 2 2

    3 31 1 3

    1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

    F F F F F F F FF FF F F

    → − → + →−→−→ −

    − − − − − − − −→ → → − − −

    11 0 0 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 1 10 0 1 0 0 1 0 0 1

    A−− − − −

    → − − ⇒ = − − − −

    93. Dada la matriz −

    = − −

    1 0 11 1

    1 4A t

    t

    a) Indica para qué valores de t la matriz A posee inversa.

    b) Mediante el método de Gauss-Jordan, calcula la matriz inversa de A para el valor 2t = .

    a) 2 2 1 3 3 23 3 1

    4

    1 0 1 1 0 1 1 0 1Si 1 rg( ) 3

    1 1 0 1 1 0 1 1Si 1 rg( ) 2

    1 4 0 4 1 0 0 3 3F F tF F F FF F F

    t AA t t t

    t At t t

    → − → −→ +

    − − − ≠ ⇒ = = − − − ⇒→ → = ⇒ = − − − +

    Por tanto, la matriz A tiene inversa si 1t ≠ .

    b) Si 2t = tenemos:

    2 2 1 3 3 2 1 1 33 3 1 2 2 3

    2 4 33

    1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 02 1 1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 01 4 2 0 0 1 0 4 1 1 0 1 0 0 3 9 4 1

    F F F F F F F F FF F F F F F→ − → − → −→ + → +

    − − − − − −→ → → − − −

    1 1

    2 2

    3 3

    1

    1313

    13

    4 1 4 11 0 0 2 23 3 3 33 0 0 6 4 11 1 1 10 3 0 3 1 1 0 1 0 1 13 3 3 30 0 3 9 4 1 4 1 4 10 0 1 3 33 3 3 3

    F F

    F F

    F F

    A−→

    →−

    − − − − − −

    → − − ⇒ = −→ − − − − − −

  • 28 Unidad 1| Matrices

    94. Comprueba que el rango de 1 1 10 1 21 0 1

    A− = − −

    es 2 y observa qué ocurre si se intenta calcular 1A− por el

    método de Gauss.

    → − → +

    − − − = ⇒ =→ → − − − −

    3 3 1 3 3 2

    1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 2 0 1 2 0 1 2 rg( ) 21 0 1 0 1 2 0 0 0

    F F F F F FA A

    → − → +

    − − − → → − − − − − −

    3 3 1 3 3 2

    1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 01 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 1

    F F F F F F

    El hecho de que en la parte izquierda de la expresión aparezca una fila nula indica que A no tiene inversa.

    95. Dadas las matrices:

    − = − = = − − − − −

    1 3 2 1 4 2 12 1 3 2 1 3 24 3 1 1 2 2 5

    A B C

    a) Demuestra que =AB AC .

    b) Calcula el rango de la matriz A. ¿Podrá tener inversa?

    c) Comprueba que si 000

    aX a AX

    a

    = ⇒ =

    a) 3 31 153 15

    AB AC− − = = −

    b) 2 2 1 3 3 23 3 1

    2 7 94

    1 3 2 1 3 2 1 3 22 1 3 0 7 7 0 7 7 rg( ) 24 3 1 0 9 9 0 0 0

    F F F F F FF F F

    A A→ − → −→ −

    − − − = − − − ⇒ =→ → − − −

    .

    Como el rango de A no coincide con su orden, no puede tener inversa.

    c) 1 3 2 02 1 3 04 3 1 0

    aAX a

    a

    − = − = − −

    96. Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n, son semejantes si existe una matriz invertible, P, tal que −= 1B P AP , donde −1P denota la matriz inversa de P.

    Determina si son semejantes las matrices A y B: = = − 1 2 1 00 1 0 1

    A B

    Para ello, intenta calcular una matriz =

    a bP

    c d que verifique la relación anterior.

    1

    2 0 02 2 0

    2 00 0

    0 0

    a a c c ba b a c b d a

    B P AP PB AP b b d b d c Pc d c d

    d d d d

    = + = = − + + = ⇒ = ⇒ = ⇒ − = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − = = =

    Pero la matriz P obtenida no es invertible para ningún valor de t, es decir, las matrices A y B no son semejantes.

  • Matrices | Unidad 1 29

    97. Una matriz cuadrada A es idempotente cuando verifica que =2A A .

    a) Escribe algún ejemplo de matriz cuadrada de orden 3 distinta de la matriz unidad y de la matriz nula y que sea idempotente.

    b) Calcula el valor de λ que hace que la matriz 4 23

    A = λ − sea idempotente.

    c) Encuentra todas las matrices del tipo 10a

    b

    que sean idempotentes.

    a) 1 0 00 0 00 0 0

    A =

    b) 2 2 16 2 4 2 2 16 4 62 9 3 2 9 3

    A Aλ + λ + = = ⇒ = ⇒ ⇒ λ = − λ λ + λ − λ + = −

    c) 1 1 1 1 1 1 1 0 0 o 00 0 0 0 0a a a ab a a ab

    ab a bb b b b ab b ab

    + + = = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = = =

    Por tanto, las matrices buscadas son de la forma 1 00t

    , 10 0

    t

    o 1 00 0

    con 0t ≠ .

    98. Una matriz cuadrada es nilpotente cuando alguna de sus potencias es igual a la matriz nula. Si n es el menor entero positivo que hace que = 0nA , se dice que A es una matriz nilpotente de grado n.

    a) Demuestra que la matriz 1 1 35 2 62 1 3

    A = − − −

    es nilpotente de grado 3.

    b) Encuentra todas las matrices del tipo 00a

    b

    que sean nilpotentes de grado 2.

    a) 21 1 3 1 1 3 0 0 05 2 6 5 2 6 3 3 92 1 3 2 1 3 1 1 3

    A = = − − − − − − − − −

    30 0 0 1 1 3 0 0 03 3 9 5 2 6 0 0 01 1 3 2 1 3 0 0 0

    A = = − − − − − −

    Al ser 3A la primera potencia de A nula, la matriz A es nilpotente de grado 3.

    b) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 00 0 0 0 0 0 0a a ab

    ab a bb b ab = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

    Por tanto, las matrices buscadas son de la forma 0 00t

    , 00 0

    t

    con 0t ≠ .

    NOTA: Observemos que no incluimos como solución la matriz 0 00 0

    , que se obtiene cuando 0a b= = , ya

    que esta matriz es nilpotente de grado 1.

  • 30 Unidad 1| Matrices

    99. Dada la matriz, = −

    1 0 00 1 00 1 1

    A :

    a) Calcula 2A , 3A y 4A .

    b) Induce la expresión de nA y calcula 99A .

    c) Calcula 1A− .

    d) Calcula la matriz inversa de B siendo 2 3B I A A A= + + + .

    a) 2 3 41 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 2 1 0 3 1 0 4 1

    A A A = = = − − −

    b) 991 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 1 0 99 1

    nA An

    = = − −

    c) 11 0 00 1 00 1 1

    A− =

    d) 2 3 1

    1 0 044 0 0

    10 4 0 0 040 6 4 3 108 4

    B I A A A B−

    = + + + = ⇒ = −

    CUESTIONES 100. Calcula los valores de m, n, p y q para que el producto de matrices 3 4mxn x pxqA B C dé como resultado una

    matriz de dos filas y una columna. Para que los productos se puedan realizar debe ser 3, 4n p= = . Para que el resultado sea una matriz 2 x 1 debe ser 2, 1m q= = .

    101. Se sabe que las matrices A, B y C son todas cuadradas y del mismo orden. Además, A, B y −A B poseen inversa. Despeja X en las igualdades siguientes:

    a) AXB C= c) AXA C= e) 2A XB C=

    b) AX BX C= + d) tA XB C= f) AX BX A B− = −

    a) 1 1AXB C X A CB− −= ⇒ =

    b) ( ) ( ) 1AX BX C AX BX C A B X C X A B C−= + ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −

    c) 1 1AXA C X A CA− −= ⇒ =

    d) ( ) ( )1 1 1 1tt tA XB C X A CB A CB− − − −= ⇒ = =

    e) ( ) ( )1 22 2 1 1 1A XB C X A CB A CB− − − −= ⇒ = =

    f) ( ) ( ) ( )1AX BX A B A B X A B X A B A B I−− = − ⇒ − = − ⇒ = − − =

  • Matrices | Unidad 1 31

    102. Sea A una matriz cuadrada tal que = 0nA y sea I la matriz unidad del mismo orden que A.

    a) Calcula ( ) ( )2 3 1... nI A A A A I A−+ + + + + − .

    b) Calcula la suma 2 3 1... nI A A A A −+ + + + + . a) ( ) ( )2 3 1 2 3 1 2 3... ... ...n n n nI A A A A I A I A A A A A A A A I A I− −+ + + + + − = + + + + + − − − − − = − =

    b) Según el apartado anterior, 2 3 1... nI A A A A −+ + + + + es la matriz inversa de I A− .

    103. Escribe dos matrices cuadradas de orden 2 que posean inversa pero tales que su suma no posea inversa.

    Las matrices 1 11 2

    A =

    y B A= − poseen inversa 12 11 1

    A−− = −

    y 1 1B A− −= − , pero 0A B+ = no tiene inversa.

    Otro ejemplo podría ser 1 10 1

    A− =

    y

    2 30 1

    B = − .

    104. Escribe dos matrices A y B cuadradas de orden 2 tales que = 0AB y sin embrago ni A ni B sean la matriz nula.

    Si 1 10 0

    A =

    y 1 01 0

    B− =

    , tenemos 0 00 0

    AB =

    .

    105. Sean dos matrices cuadradas A y B tales que = 0AB y tal que existe la inversa de A. Demuestra que = 0B .

    10 0 0 0AB A AB IB B−= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

    106. Dada la matriz − = − 1 11 1

    A . Escribe dos matrices diferentes B y C tales que =AB AC .

    Si 1 01 0

    B =

    y 0 10 1

    C =

    tenemos 0 00 0

    A B A C ⋅ = ⋅ =

    .

    107. Sean A, B y C tres matrices cuadradas y tales que A posee inversa. Demuestra que si =AB AC entonces, obligatoriamente, B y C deben ser iguales.

    1 1AB AC A AB A AC IB IC B C− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

    108. ¿Qué condiciones debe verificar las dimensiones de las matrices A y B para que se pueda calcular el producto ABA? Comprueba que, en ese caso, también se puede calcular BAB. Supongamos que las dimensiones de A y B son m x n y p x q respectivamente, para que se pueda realizar el producto m n p q m nA B A× × × debe ser n p= y m q= , es decir, el número de filas de A debe coincidir con el de columnas de B y el número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B.

    En este caso el producto p q m n p qB A B× × × también se puede realizar.

  • 32 Unidad 1| Matrices

    109. a) Si A es una matriz simétrica, ¿qué relación existe entre ella y su transpuesta?

    b) Se consideran dos matrices A y B simétricas y tales que su producto AB da como resultado una matriz también simétrica. Demuestra que A y B conmutan.

    a) Una matriz A es simétrica si y solo si coincide con su traspuesta.

    b) Como A y B son simétricas tenemos ( )tt tBA B A AB= = . Por otro lado, como AB también es simétrica tenemos ( )tAB AB= . Por tanto, ( )tAB AB BA= = , es decir, A y B conmutan.

    110. a) Demuestra que si A y B son matrices invertibles, se cumple que ( ) 1 1 1AB B A− − −= .

    Nota: Para ello calcula el producto 1 1ABB A− − .

    b) Suponiendo que exista 1A− , ¿se cumple que ( ) ( )1 22 1A A− −= ? ¿Y que ( ) ( )1 33 1A A− −= ? a) Queremos probar que 1 1B A− − es la inversa de AB, y, en efecto,

    ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1AB B A ABB A A BB A AIA AA I− − − − − − − −= = = = =

    b) Se cumplen ambas igualdades:

    ( ) ( ) ( )1 212 1 1 1A AA A A A− − − − −= = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 33 2 2 1 1 1 1A AA A A A A A− − − − − − −= = = =

    PROBLEMAS 111. Una tienda de música ha vendido dos tipos de productos: música grabada en CD y música en archivos

    digitales. La matriz A muestra el total de canciones, tanto grabadas en CD como en archivos digitales, vendidas durante los años 2014, 2015 y 2016. La matriz B muestra los precios a los que se ha vendido una canción según el tipo de grabación y según los años indicados anteriormente.

    2014 2015 2016CD's 1150 1360 1400

    Digital 780 950 1350A =

    CD's Digital2014 1,25 0,752015 1,30 0,652016 1,40 0,50

    B =

    a) Calcula el producto de matrices C AB= e indica qué significan sus elementos de la diagonal principal.

    b) Calcula el producto de matrices D BA= e indica qué significan sus elementos de la diagonal principal.

    c) Indica un significado para los términos 12c y 23d .

    a) 1,25 0,75

    1150 1360 1400 5165,5 2446,51,30 0,65

    780 950 1350 4100 1887,51,40 0,50

    C AB

    = = =

    Los elementos de la diagonal principal indican los ingresos obtenidos en el total de los tres años por las ventas de CD (término 11c ) y por las ventas de los archivos digitales (término 22c ).

    b) 1,25 0,75 2022,5 2412,5 2762,5

    1150 1360 14001,30 0,65 2002 2385,5 2697,5

    780 950 13501,40 0,50 2000 2379 2635

    D BA

    = = =

    Los elementos de la diagonal principal indican los ingresos obtenidos por el total de ventas de CD y de archivos digitales para los años 2014 (término 11d ), 2015 (término 22d ) y 2016 (término 33d )

    c) El término 12c determina los ingresos por ventas para el total de los tres años para los CD pero si se hubieran aplicado los precios de archivos digitales en los años correspondiente.

    El término 23d determina los ingresos por ventas para el total de CD y de archivos digitales para el año 2016 pero si se hubieran aplicado los precios de 2015.

  • Matrices | Unidad 1 33

    112. En cierta zona de montaña existen cuatro refugios A, B, C y D que están comunicados por sendas según se establece en el siguiente grafo.

    Debido a la pendiente, el recorrido en alguno de los sentidos de ciertas sendas carece de interés para los deportistas.

    a) Forma la matriz M asociada al grafo.

    b) Calcula la matriz M2 e interpreta los resultados.

    a)

    0 1 1 11 0 0 00 1 0 10 0 1 0

    M

    =

    b) 2

    1 1 1 10 1 1 11 0 1 00 1 0 1

    M

    =

    Los elementos de 2M indican el número de caminos diferentes de longitud 2 que se pueden seguir para ir de un vértice a otro.

    113. Una partícula puede tomar una de las cuatro posiciones A, B, C o D.

    En cada instante cambia de posición con las siguientes condiciones:

    • Si está en A, se queda fija en ese lugar.

    • Si está en D, se queda fija en ese lugar.

    • Si está en B, pasa a A con probabilidad 0,25, a C con probabilidad 0,25 y se queda en B con probabilidad 0,5.

    • Si está en C, pasa a B con probabilidad 0,25, a D con probabilidad 0,25 y se queda en C con probabilidad 0,5.

    Escribe la matriz de transición del proceso estocástico y estudia el valor de sus potencias sucesivas. Interpreta el resultado.

    1 0 0 00,25 0,5 0,25 0

    0 0,25 0,5 0,250 0 0 1

    T

    =

    2

    1 0 0 00,375 0,3125 0,25 0,0625

    0,0625 0,25 0,3125 0,3750 0 0 1

    T

    =

    3

    1 0 0 00,45313 0,21875 0,20313 0,125

    0,125 0,20313 0,21875 0,453130 0 0 1

    T

    =

    4

    1 0 0 00,50781 0,16016 0,15625 0,175780,17578 0,15625 0,16016 0,50781

    0 0 0 1

    T

    =

    En general los elementos de nT representan las probabilidades de, comenzando en una posición (filas), acabar en otra (columnas) tras n cambios de posición.

    NOTA: Según crece el exponente, se puede probar que nT se aproxima a

    1 0 0 02 10 03 31 20 03 30 0 0 1

    , es decir, a largo plazo,

    si el proceso comienza en A, la partícula se mantiene en A; si comienza en B, la partícula acaba en A con

    probabilidad 23

    y en D con probabilidad 13

    ; si comienza en C, acaba en A con probabilidad 13

    y en D con

    probabilidad 23

    , y si comienza en D, se mantiene en D.

  • 34 Unidad 1| Matrices

    114. Una empresa empaqueta cinco tipos de lotes de herramientas para bricolaje y las reparte a cuatro provincias A, B, C y D. La siguiente tabla muestra el número de lotes de cada tipo que debe repartir en cada provincia.

    Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5

    A 12 10 10 30 10

    B 15 9 15 25 12

    C 23 8 12 25 15

    D 12 12 20 15 12

    Cada tipo de lote está formado por un número de piezas P, Q y R según la siguiente distribución.

    Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5

    P 2 1 2 0 1

    Q 2 1 2 2 0

    R 0 2 2 3 3

    Escribe la matriz que determina el número de piezas de cada clase que se van a repartir a cada provincia. Consideremos la matriz M que representa el número de lotes (columnas) que se reparte en cada provincia (filas):

    12 10 10 30 1015 9 15 25 1223 8 12 25 1512 12 20 15 12

    M

    =

    Consideremos la matriz N que representa el número de piezas de cada clase (filas) que componen cada lote (columnas):

    2 1 2 0 12 1 2 2 00 2 2 3 3

    N =

    La matriz que determina el número de piezas de cada clase (columnas) que se reparten en cada provincia (filas) es:

    2 2 012 10 10 30 10 64 114 160

    1 1 215 9 15 25 12 81 119 159

    2 2 223 8 12 25 15 93 128 160

    0 2 312 12 20 15 12 88 106 145

    1 0 3

    tMN

    = =

    P Q R

    A 64 114 160

    B 81 119 159

    C 93 128 160

    D 88 106 145

  • Matrices | Unidad 1 35

    AUTOEVALUACIÓN

    Comprueba qué has aprendido 1. Dadas las matrices:

    − = − − −

    2 3 40 2 31 0 2

    M y −

    = − −

    2 1 10 0 40 3 2

    N , calcula:

    a) M N+ b) 122

    M N− c) MN d) ( )3 2tM M N−

    a) 2 3 4 2 1 1 0 4 30 2 3 0 0 4 0 2 71 0 2 0 3 2 1 3 4

    M N− − + = − + = − − − − − − − −

    b)

    1 1 11 171 54 6 8 2 2 2 212 0 4 6 0 0 2 0 4 42 2 0 4 3 30 1 2 3

    2 2

    M N

    − − − − − = − + − = − − − − −

    c) 2 3 4 2 1 1 4 14 60 2 3 0 0 4 0 9 141 0 2 0 3 2 2 5 5

    MN− − − − = − = − − − − − − −

    d) ( )2 0 1 6 9 12 4 2 2 2 0 1 10 7 14

    3 2 3 2 0 0 6 9 0 0 8 3 2 0 0 6 14 3 2 3 0 6 0 6 4 4 3 2 3 6 2

    tM M N− − − − − − − − = − − − = − − = − − − − − − − −

    23 20 2630 33 4034 2 63

    − − = − − −

    2. Calcula el rango de las matrices:

    − − − = − = − − − −

    10 2 5 1 4 6 24 2 3 1 4 2 00 14 5 1 4 10 2

    A B

    2 2 1 3 3 25 2

    10 2 5 10 2 5 10 2 54 2 3 0 14 5 0 14 5 rg( ) 20 14 5 0 14 5 0 0 0

    F F F F F FA A

    → + → −

    − − − = − − − ⇒ =→ → − −

    2 2 1 3 3 23 3 1

    2

    1 4 6 2 1 4 6 2 1 4 6 21 4 2 0 0 0 8 2 0 0 8 2 rg( ) 21 4 10 2 0 0 16 4 0 0 0 0

    F F F F F FF F F

    B B→ + → −→ +

    − − − − − − = − − − ⇒ =→ → − − −

  • 36 Unidad 1| Matrices

    3. Calcula las matrices inversas de:

    − = = − −

    2 1 13 4

    0 1 22 4

    2 2 0A B

    2 2 1 1 1 2 1 1

    2 2

    1

    13 2314

    1 0 1 1 1 13 4 1 0 3 4 1 0 3 0 3 31 3 1 32 4 0 1 0 4 2 3 0 4 2 3 0 12 4 2 4

    F F F F F F F F

    F F

    A−→ + → + →−

    →−

    − − − − − − − ⇒ =→ → → − − − − − − −

    3 3 1 1 1 2 1 1 33 3 2 2 2 3

    32

    2 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 2 0 3 1 1 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 02 2 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1

    F F F F F F F F FF F F F F F

    → − → − → −→ − → +

    − − − −→ → → − − − −

    1 1

    112

    3 32 0 0 4 2 3 1 0 0 2 1 2 12 20 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2 2 1 2

    0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1F F

    B−→

    − − − → − − → ⇒ = − − − − − − − − − −

    4. Dada la matriz − = − 1 11 0

    A :

    a) Calcula 2A , 3A y 4A . b) Calcula 35A y 94A .

    a) 2 3 2 4 31 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 01 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1

    A AA A A A I A A A IA A− − − − − = = = = = = = = = = − − − − −

    b) ( ) ( )11 3135 33 2 3 2 11 2 2 2 94 93 3 31A A A A A I A IA A A A A A A I A IA A= = = = = = = = = =

    5. Estudia el rango de la siguiente matriz A según los valores del parámetro t: −

    = −

    2 1 3 11 0 2 30 7 5

    A tt

    2 2 1 3 3 22 2

    2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 11 0 2 3 0 1 4 3 5 0 1 4 3 50 7 5 0 7 5 0 0 4 3 7 5 5

    F F F F F tFA t t t

    t t t t t→ − → −

    − − − = − −→ → − − − + + − −

    Tenemos 2 74 3 7 0 1,

    45 5 0 1

    t t t t

    t t

    − + + = ⇒ = − =− − = ⇒ = −

    , por tanto, Si 1 rg( ) 2Si 1 rg( ) 3

    t At A= − ⇒ =

    ≠ − ⇒ =.

    6. Dada la matriz −

    = −

    2 1 11 2 2

    1A

    t t:

    a) Indica para qué valores de t no posee inversa. b) Calcula la inversa para 0t = .

    a) 2 2 1 3 3 23 3 1

    2 5 ( 2)2

    2 1 1 2 1 1 2 1 1Si 3 rg( ) 3 y tiene inversa

    1 2 2 0 5 3 0 5 3Si 3 rg( ) 2 y no tiene inversa

    1 0 2 0 0 2 6F F F F F t FF F tF

    t A AA

    t A At t t t t

    → − → − −→ −

    − − − ≠ − ⇒ = = ⇒→ → = − ⇒ = − − +

    b) 2 2 1 1 1 2 1 1 3

    3 3 2 2 2 3

    2 5 3 85

    2 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 10 0 8 4 2 01 2 2 0 1 0 0 5 3 1 2 0 0 5 3 1 2 00 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 3 1 2 5

    F F F F F F F F FF F F F F F

    → − → + → −→ + → −

    − − − −→ → → − − −

    1 1

    2 2

    3 3

    11

    301513

    2 1 4 2 1 41 0 030 0 0 20 10 40 3 3 3 3 3 30 5 0 0 0 5 0 1 0 0 0 1 0 0 10 0 3 1 2 5 1 2 5 1 2 50 0 1

    3 3 3 3 3 3

    F F

    F F

    F F

    A−→

    − − − − − − → − → − ⇒ = − − − −

  • Matrices | Unidad 1 37

    7. Calcula la matriz X tal que + =XA B C siendo:

    − = = = − − − − −

    1 1 1 1 0 2 2 1 30 2 0 1 0 2 0 1 21 1 0 1 1 3 1 1 4

    A B C

    Si A tiene inversa podemos despejar:

    ( ) 1XA B C XA C B X C B A−+ = ⇒ = − ⇒ = −

    3 3 1 1 1 2 1 1 32 2

    1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 2 0 2 2 1 0 2 0 0 0 1 20 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1 01 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1

    F F F F F F F F F→ + → − → −

    − − − →→ → → − −

    1 1

    2 2

    1

    1212

    1 11 0 0 0 1 0 12 21 10 1 0 0 0 0 02 2

    0 0 1 1 0 1 1 0 1

    F F

    F F

    A−→

    − − − −

    ⇒ =→

    Por tanto,

    ( ) 1

    10 11 1 1 1 1 021 1 0 0 1 110 00 2 1 1 1 12

    1 0 1

    X C B A−

    − − − − = − = − =

    8. Dibuja un grafo que tenga asociada la matriz

    =

    1 0 1 00 0 1 10 1 0 11 0 0 0

    A .

  • 38 Unidad 1| Matrices

    Relaciona y contesta

    Elige la única respuesta correcta en cada caso

    1. Dadas las matrices A y B cuadradas y tales que ambas poseen inversa, la matriz X tal que ( )−− = 11BXA AB se puede obtener mediante la expresión:

    A. ( ) 11X BA AB −−= B. X BA= C. 1 1X B B− −= D. 1 1X A B− −=

    ( ) ( )1 11 1 1 1 1 1 1BXA AB X B AB A B B A A B B− −− − − − − − −= ⇒ = = = , la respuesta correcta es C.

    2. El producto AB es una matriz de dimensión 2 x 4. La matriz A tiene tres columnas. Las dimensiones de A y B son:

    A. dim( ) 2 4A = × y dim( ) 4 4B = × C. dim( ) 2 3A = × y dim( ) 3 2B = ×

    B. dim( ) 2 3A = × y dim( ) 3 4B = × D. dim( ) 3 3A = × y dim( ) 3 4B = ×

    Si 3nxA A= y pxqB B= , para poder calcular AB y que su dimensión sea 2 x 4, debe ser 2n = , 3p = y 4q = , por tanto, la respuesta correcta es B.

    3. Los valores de λ para los que el rango de la matriz −

    =

    A1 20 1 31 0

    λ

    λ es distinto de tres son:

    A. λ = 3 o 13

    λ = C. Únicamente para λ = 3 , rg( ) 3A ≠

    B. 3λ ≠ y 13

    λ ≠ D. Para cualquier valor de λ , rg( ) 3A ≠

    3 3 1 3 3 2( 2)

    1 2 1 2 1 2Si 3 rg( ) 3

    0 1 3 0 1 3 0 1 3Si 3 rg( ) 2

    1 0 0 2 0 0 6 2F F F F F F

    AA

    A→ − → − λ−

    −λ −λ −λ λ ≠ ⇒ = = ⇒→ → λ = ⇒ = λ λ − λ − λ

    La respuesta correcta es C.

    Señala, en cada caso, las respuestas correctas

    4. Dadas las matrices ( )= 2 1A y ( )2 2B = − :

    A. =t tAB BA C. tAB es cuadrada de orden 1.

    B. tAB no está definida. D. Todas son ciertas. Las respuestas correctas son A y C, ya que 2t tAB BA= = − .

    5. Dada la matriz 3 3 41 6 52 1 9

    A = −

    , se verifica que:

    A. = + < si ija i j i j B. = + =2 si ija i j i j C. = − > si ija i j i j D. = − > si ija i j i j

    Una simple comprobación permite verificar que las respuestas correctas son A, B y D.

  • Matrices | Unidad 1 39

    Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas 6. Cinco localidades vecinas 1, 2, 3, 4 y 5 están unidas por una serie de carreteras de doble sentido.

    Se conoce la matriz A de adyacencia del correspondiente gráfico que representa dichas carreteras.

    1. El elemento 23a de la matriz 3A vale 3.

    2. El número de caminos distintos que se pueden seguir comenzando en 2 y acabando en 3 y visitando en total 4 ciudades (repetidas o no) es 3.

    A. 1 2⇒ pero 2 1⇒ C. 1 2⇔

    B. 2 1⇒ pero 1 2⇒ D. Nada de lo anterior.

    Recordemos que los elementos de 3A determinan el número de caminos distintos que pueden seguirse para ir de una localidad (filas) a otra (columnas) en tres pasos, es decir, visitando un total de 4 ciudades (repetidas o no), por tanto, las dos afirmaciones son equivalentes y la relación correcta es C.

    Señala el dato innecesario para contestar 7. De una matriz de dimensión 3 x 4 se quiere hallar su rango. Se conocen los siguientes datos:

    1. La primera fila no es nula y es proporcional a la tercera.

    2. La primera columna no es nula y se verifican las relaciones siguientes: 2 1 3 2 4 1 2 32 4C C C C C C C C= = = + +

    A. El dato 1 es innecesario. C. Son necesarios los dos datos.

    B. El dato 2 es innecesario. D. Son innecesarios todos los datos. Del dato 2 podemos deducir que el rango de la matriz es 1, ya que 2 3 4, y C C C son proporcionales a 1C y esta columna no es nula:

    2 1 3 2 1 4 1 2 3 12 4 8 11C C C C C C C C C C= = = = + + =

    En cambio, del dato 1 solo podemos deducir que el rango es 1 (al menos 1F no es nula) o 2, dependiendo de si 2F es proporcional o no a 1F .

    Por tanto, la respuesta correcta es A.

  • 40 Unidad 2| Determinantes

    2 Determinantes

    EJERCICIOS PROPUESTOS

    1 y 2. Ejercicios resueltos.

    3. Calcula el valor de los siguientes determinantes.

    a) 4 36 1−

    c) 22

    3a

    a a− e)

    3 2 11 2 42 1 1

    − − −− −

    − −

    b) 5 27 4− −

    d) 1 0 24 1 11 3 1

    − −

    − f)

    11 11 1

    a aa

    a a− −+ −

    a) ( )4 3 4 1 3 6 4 18 226 1

    = ⋅ − − ⋅ = − − = −−

    b) 5 2 20 14 67 4

    = − + = −− −

    c) 2 2 2 222

    3 2 3 2 53

    aa a a a a a

    a a−

    = − ⋅ − ⋅ = − − = −

    d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 24 1 1 1 1 1 2 4 3 1 0 1 2 1 1 1 3 1 1 0 4 1 24 0 2 3 0 181 3 1

    − −= − ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ = − + + + + = −

    e) 3 2 11 2 4 6 1 16 4 12 2 392 1 1

    − − −− − = − + + + + =

    − −

    f) ( ) ( )3 2 21

    1 1 1 1 11 1

    a aa a a a a a a a a

    a a− − = + − + − + − + = − −+ −

  • Determinantes | Unidad 2 41

    4. Comprueba que se obtiene el mismo valor al desarrollar el determinante

    −−

    −−

    1 2 1 02 2 3 22 1 1 11 0 2 3

    por los elementos

    de la tercera fila y al desarrollarlo por los de la cuarta columna. Desarrollando por la tercera fila:

    ( ) ( ) ( )3 1 3 2 3 331 32 33 34

    1 2 1 02 1 0 1 1 0 1 2 0

    2 2 3 22 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2

    2 1 1 10 2 3 1 2 3 1 0 3

    1 0 2 3

    A A A A + + +−

    − −−

    = − + + = − − − − − + − +−

    − −−

    ( ) ( )3 41 2 1

    1 2 2 3 2 16 1 14 4 491 0 2

    +−

    + − − = ⋅ − + − − = −−

    Desarrollando por la cuarta columna:

    ( ) ( ) ( )4 2 4 3 4 441 42 43 44

    1 2 1 01 2 1 1 2 1 1 2 1

    2 2 3 20 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3

    2 1 1 11 0 2 1 0 2 2 1 1

    1 0 2 3

    A A A A + + +−

    − − −−

    = + + + = − − + − − + − − =−

    − − −−

    ( )2 9 4 3 21 49= ⋅ − + ⋅ − = −

    5. Calcula el valor del determinante

    1 6 3 32 1 0 41 2 3 07 1 0 5

    −−

    desarrollándolo por los elementos de la línea que creas

    más conveniente. Desarrollamos por la tercera columna:

    ( ) ( ) ( )3 1 3 331 33

    1 6 3 32 1 4 1 6 3

    2 1 0 43 3 3 1 1 2 0 3 1 2 1 4 3 75 3 202 831

    1 2 3 07 1 5 7 1 5

    7 1 0 5

    A A + +−

    −= − = − − − = ⋅ − ⋅ − =

    −− −

    6. Resuelve las siguientes ecuaciones.

    a) 3 1 22 x

    −= c)

    2 11 0 130 2 1

    xx

    −=

    b) 1 111 2

    xx x

    −=

    + d)

    1 2 21 1 7

    1 1 2

    xx x

    − −− − = −

    a) 3 1 2 3 2 2 02

    x xx−

    = ⇒ + = ⇒ =

    b) 2 21 511 2 1 11 2 10 0 2,1 2 2

    xx x x x x x

    x x−

    = ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ = = −+

    c) 2 22 1

    1 0 13 2 2 13 9 3, 30 2 1

    xx x x x x

    −= ⇒ + + = ⇒ = ⇒ = − =

    d) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2

    1 1 7 2 1 2 2 2 1 1 4 7 5 3 7 21 1 2

    xx x x x x x x x x x

    − −− − = − ⇒ − − + + − − − − + − = − ⇒ − + = − ⇒ =

  • 42 Unidad 2| Determinantes

    7. Ejercicio resuelto.

    8. Justifica, sin desarrollar, las siguientes igualdades.

    a) 2 1 83 5 1 00 0 0

    −− = b) 0

    2 2 2

    a b cb c a c a b+ + + = c)

    p q q sr s p r

    = −

    a) 2 1 83 5 1 00 0 0

    −− = , ya que los elementos de la tercera fila son nulos.

    b) 1 1 2 3 12

    1 1 1( ) 0

    2 2 2 2 2 2 2 2 2F F F F F

    a b c a b c a b c a b cb c a c a b b c a c a b a b c b c a c a b

    → + =

    + + + + + ++ + + = + + + = + + + + + =

    c) 1 2 Propiedad 7C C

    p q q p q sr s s r p r↔

    = − = −

    9. Comprueba, sin desarrollar, la siguiente igualdad.

    + −+ −

    =+ −+ −

    0

    a b a b c cd e d e f fp q p q r rs t s t u u

    El determinante es nulo, ya que = + −3 1 2 4C C C C .

    10 a 12. Ejercicios resueltos.

    13. Reduce los siguientes determinantes de orden tres a un determinante de orden 2.

    a) 1 2 32 5 62 7 9

    −− b)

    3 2 52 1 34 5 6

    −−−

    a) 2 2 13 3 1

    22

    1 2 3 1 2 39 12

    2 5 6 0 9 1211 3

    2 7 9 0 11 3F F FF F F→ −→ −

    − −−

    − = − = b) 1 1 23 3 2

    25

    3 2 5 7 0 117 11

    2 1 3 2 1 36 9

    4 5 6 6 0 9F F FF F F→ −→ −

    − −−

    − = − =−

    − −

    14. Reduce el siguiente determinante de orden 4 a un determinante de orden 3 y, posteriormente, a un determinante de orden 2.

    −− −

    − −

    1 2 1 32 1 2 11 2 3 42 3 4 5

    → − → −→ −→ −

    − −− − − −

    − − − − −= = = = −

    −− − − −

    − − − −2 2 1 2 2 33 3 14 4 1

    2 4

    2

    1 2 1 3 1 2 1 35 4 7 5 32 7

    2 1 2 1 0 5 4 7 5 320 4 1 0 0 1

    1 2 3 4 0 0 4 1 7 507 6 11 7 50 11

    2 3 4 5 0 7 6 11F F F C C CF F FF F F

  • Determinantes | Unidad 2 43

    15. Calcula el valor de los siguientes determinantes.

    a)

    1 1 2 01 1 2 33 3 2 11 0 1 5

    −−

    b)

    1 1 2 21 1 1 22 2 2 22 2 2 2

    − −− − −

    c)

    4 3 2 25 3 3 22 1 5 45 6 3 2

    −−

    − −

    a) 2 2 1

    1 1 2 0 1 1 2 01 1 2

    1 1 2 3 0 0 0 33 3 3 2 42

    3 3 2 1 3 3 2 11 0 1

    1 0 1 5 1 0 1 5F F F→ −

    − −−

    −= = = −

    −− −

    b) 2 2 13 3 14 4 1

    22

    1 1 2 2 1 1 2 22 3 0

    1 1 1 2 0 2 3 04 6 6 24

    2 2 2 2 0 4 6 60 2 2

    2 2 2 2 0 0 2 2F F FF F FF F F

    → −→ −→ −

    − −− − − −

    = = − − − =− − − − − −

    − −− −

    c) 1 1 32 2 34 4 3

    336

    4 3 2 2 2 0 17 102 17 10

    5 3 3 2 1 0 12 141 12 14 1702

    2 1 5 4 2 1 5 417 27 26

    5 6 3 2 17 0 27 26F F FF F FF F F

    → −→ −→ −

    − − − −− − −

    − − − −= = − − − − =

    − − −− − − − −

    16. Calcula el valor de k para que se cumpla: =

    2 3 1 11 1 3 3

    114 4 1 11 1 2 k

    1 1 23 3 24 4 2

    24

    2 3 1 1 0 1 5 51 5 5

    1 1 3 3 1 1 3 3 11 110 11 11 11 22

    4 4 1 1 0 0 11 11 1 30 1 3

    1 1 2 0 0 1 3F F FF F FF F F

    kk

    kk k

    → −→ −→ −

    − −− −

    − −= = − − − = − = −

    − − − −− −

    − −

    Por tanto, tenemos 11 22 11 3k k− = ⇒ = .

    17. Halla el valor de los siguientes determinantes haciendo previamente ceros.

    a) + + ++ + ++ + +

    5 8 116 9 127 10 13

    x x xx x xx x x

    b) 2

    2 3

    2 3 4

    1 b ab a aa a a

    a) 2 2 1 3 3 23 3 1

    2

    5 8 11 5 8 11 5 8 116 9 12 1 1 1 1 1 1 07 10 13 2 2 2 0 0 0

    F F F F F FF F F

    x x x x x x x x xx x xx x x

    → − → −→ −

    + + + + + + + + ++ + + = = =+ + +

    b) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 2 1

    2 22 2

    22 3 2 2 2 2 22 3 2

    2 3 4 2 3

    1 10

    00C C aC C C aC

    b a b a abb a b a abb a a b a a ab a ab a a aba a aa a a a a

    → − → −

    −−

    = = − = − = − − =

    ( ) ( )2 22 4a a a b a a b= − − = − −

  • 44 Unidad 2| Determinantes

    18. Transforma los siguientes determinantes en sus equivalentes triangulares y calcula su valor.

    a)

    2

    2

    2

    1 2 21 3 31 4 4

    b) x x x

    x y x xx x z x+

    +

    a) 2 2 1 3 3 23 3 1

    2

    2

    22

    1 2 2 1 2 4 1 2 4 1 2 41 3 3 1 3 9 0 1 5 0 1 5 21 4 4 1 4 16 0 2 12 0 0 2

    F F F F F FF F F→ − → −→ −

    = = = =

    b) 2 2 1 3 3 23 3 1

    Transponiendo0 00 0 0 0

    F F F F F FF F F

    x x x x x y x x x y x x x y xx y x x x x x z y z y z xyz

    x x z x x x x y z→ − → −→ −

    + + ++ = + = − = − =

    + − −

    19. Ejercicio interactivo.

    20 y 21. Ejercicios resueltos.

    22. Calcula el rango de las siguientes matrices.

    − =

    2 1 32 1 50 2 1

    A 1 3 2 02 6 4 01 3 2 1

    B− = − − − −

    4 0 rg( ) 3A A= − ≠ ⇒ =

    2 11 3 2 0

    2 rg( ) rg1 3 2 1

    F F B− = − ⇒ = − −

    . Como 2 0

    2 02 1

    = − ≠−

    , rg( ) 2B = .

    23. Estudia el rango de la matriz según los diferentes valores del parámetro λ .

    1 1 10 2 10 1 1

    λ+

    = +

    ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 1A = λ + λ + − λ + = λ + , por tanto, el único menor de orden 3 se anula si 1λ = − .

    Así, si 1λ ≠ − tenemos rg( ) 3A = y si 1λ = − tenemos 0 1 1 1

    rg( ) rg 0 1 1 rg 1 10 1 1 1

    A = = =

    .

    24 y 25. Ejercicios resueltos.

  • Determinantes | Unidad 2 45

    26. Calcula las matrices inversas de:

    − − − = = = −

    12 1 1 1 221 0 2 2 1 3

    A B C

    Inversa de A: 1 0A A= − ≠ ⇒ es invertible, ( ) 0 1Adj1 2

    A− = − −

    y ( )( )1 0 1 0 11 1Adj 1 2 1 21tA A

    A− − = = = − −−

    .

    Inversa de B: 4 0B B= ≠ ⇒ es invertible, ( ) 2 2Adj1 1

    B− =

    y ( )( )1

    1 12 11 1 2 4Adj2 1 1 14

    2 4

    tB BB

    = = = − −

    .

    Inversa de C: 1 02

    C C= ≠ ⇒ es invertible, ( )3 1

    Adj 122

    C− − =

    y ( )( )13 2 6 41 1Adj 11 2 11

    22

    tC CC

    − − = = = −−

    .

    27. Calcula las matrices inversas de:

    1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 00 2 5 2 1 1

    A B− −

    = = − − −

    Inversa de A: = ≠ ⇒1 0A A es invertible, ( )− −

    = − − −

    7 5 2Adj 6 5 2

    4 3 1A y ( )1

    7 6 41 Adj( ) 5 5 3

    2 2 1

    tA AA

    − = = − − − −

    Inversa de B: 3 0B B= − ≠ ⇒ es invertible, ( )1 1 3

    Adj 0 3 31 1 0

    B− − − = − − − −

    y

    ( )1

    1 101 0 1 3 31 1Adj(B) 1 3 1 1 113 3 3 0 3 31 1 0

    tBB

    − − = = − − − = − − −

    28. Calcula los valores de a para los cuales la matriz − = − −

    21 1

    aA

    a posee inversa y halla dicha matriz inversa

    para 2a = − . La matriz A tiene inversa si 0A ≠ :

    ( )= ⇒ − − = ⇒ − + + = ⇒ = − =20 2 1 0 2 0 1, 2A a a a a a a

    Por tanto, si ≠ −1a y 2a ≠ , la matriz A tiene inversa.

    Para 2a = − tenemos 2 23 1

    A− − = − −

    y ( )( )11 1

    1 31 1 4 2Adj2 2 3 14

    4 2

    ttA A

    A−

    − − = = = −− −

    .

    29. Halla los valores de k para los cuales no posee inversa la matriz = − − − −

    1 21 1 12 2 1

    kA k

    k.

    La matriz A tiene inversa si 0A ≠ :

    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 30 1 2 4 1 2 2 2 1 0 2 9 9 0 3,2

    A k k k k k k k k k k= ⇒ − + − − − − − + + − = ⇒ − + = ⇒ = =

    Por tanto, la matriz A no tiene inversa si 3k = o 32

    k = .

  • 46 Unidad 2| Determinantes

    30 y 31. Ejercicios resueltos.

    32. Suponiendo que, en cada caso, todas las matrices que aparecen son cuadradas del mismo orden y que las matrices A y B poseen inversa, despeja la matriz X en las siguientes expresiones.

    a) XA AB= c) XA AB C+ = e) 2AXB A= g) XAB AB BA+ =

    b) AX AB= d) AXA B= f) ( )tt tXA B AB+ = h) AXB AB BA+ =

    a) 1XA AB X ABA−= ⇒ =

    b) 1AX AB X A AB B−= ⇒ = =

    c) ( ) 1XA AB C XA C AB X C AB A−+ = ⇒ = − ⇒ = −

    d) 1 1AXA B X A BA− −= ⇒ =

    e) 2 1 2 1 1AXB A X A A B AB− − −= ⇒ = =

    f) ( ) ( ) ( ) ( ) 1t t tt t t t t tXA B AB XA AB B X AB B A − + = ⇒ = − ⇒ = −

    g) ( ) ( ) 1 1XAB AB BA XAB BA AB X BA AB B A− −+ = ⇒ = − ⇒ = −

    h) ( )1 1AXB AB BA AXB BA AB X A BA AB B− −+ = ⇒ = − ⇒ = −

    33. Halla todas las matrices X tales que 1 0 1 01 0 1 0

    X X− = −

    .

    2

    01 0 1 0 0 0

    01 0 1 0 0

    0

    b aa

    a b a b a b a b a b bX b

    c d c d c d c d a b c a dc d

    b

    = =− − − − = = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = − − = + = =

    Por tanto, las matrices buscadas son de la forma 0 0

    Xc c =

    para algún c ∈ .

    34. Calcula la matriz X tal que − =3 4XA B C , siendo:

    2 1 1 2 1 01 3 1 3 3 4

    A B C− − = = = − −

    Si A tiene inversa tendremos ( ) 13 4 4 3 4 3XA B C XA C B X C B A−− = ⇒ = + ⇒ = + .

    Como 7 0A = − ≠ , existe ( )( )13 1

    3 11 1 7 7Adj1 2 1 27

    7 7

    ttA A

    A−

    − − = = = − −−

    , por tanto:

    ( ) 13 1 27 57 6 7 74 3 7 715 25 1 2 10 57 7

    X C B A− − − − − = + = = − − −

    35. Ejercicio interactivo.

    36 a 47. Ejercicios resueltos.

  • Determinantes | Unidad 2 47

    EJERCICIOS

    Determinantes de orden 2 y 3

    48. Calcula el valor de los siguientes determinantes.

    a) 1 23 4

    c) 2 33 8− −

    − e)

    3 2

    4 4

    2 22 2

    b) 1 36 7−

    d) 1 25 8

    − f) 2

    4 5

    a aa a

    a) 1 2 23 4

    = − c) 2 3 253 8− −

    =−

    e) 3 2

    1 24 4

    2 2 1 72 2 42 2 2 2

    −−

    −= − = − = −

    b) 1 3 256 7−

    = − d) 1 2 185 8

    −= f)

    26 6

    4 50a a a a

    a a= − =

    49. Calcula el valor de los siguientes determinantes.

    a) 1 2 34 5 67 8 9

    c) 1 3 05 7 12 4 6

    −− e)

    2 2 31 0 42 3 5

    −−−

    g) 2

    22

    a aa aa a

    b) 1 2 34 5 67 8 9

    − −−

    − − d)

    1 5 83 5 9

    10 10 19

    −−

    − f)

    00 1

    1

    a ab

    a a b+ h)

    0 log2 log4log2 log4 log8log4 log8 log16

    a) 1 2 34 5 6 45 96 84 105 48 72 07 8 9

    = + + − − − =

    b) 1 2 34 5 6 45 96 84 105 48 72 07 8 9

    − −− = − − − + + + =

    − −

    c) 1 3 05 7 1 42 6 4 90 582 4 6