SOLUCIONARIO PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMÁTICAS UNAB … · 12 . Es número irracional III) 43 3 33...

SOLUCIONARIO

PRUEBA DE TRANSICIÓN

MATEMÁTICAS

UNAB MA02-4M-2020

1. La alternativa correcta es C

3 33 3 3 3 - - - + =

4 44 4 4 4

3 6 3 6 6 0 + + = = 0

4 4 4 4 4

2. La alternativa correcta es E

Sea x la cantidad de papas que hay en el saco

Podridas: 1

25x

Entonces: 1

20 ∙

1x x

25

= 18

1

20 ∙

24x

25

= 18

x = 18 25 20

24

= 375

3. La alternativa correcta es D

I) Falso. ya que 7

9 = 0,7 y

4

5 = 0,8

II) Verdadero. 4

5 <

9

11, ya que 4 ∙ 11 < 9 ∙ 5

III) Verdadero. 4

5 <

17

20, ya que 4 ∙ 20 < 5 ∙ 17

2

4. La alternativa correcta es B

2,005 ∙ 10 ∙ 200,5 ∙ 10-3 = 2,005 ∙ 200,5 ∙ 10 ∙ 10-3 = 2,005 ∙ 200,5 ∙ 10-2

= 2,005 ∙ 2,005

= (2,005)2

5. La alternativa correcta es A

I) 3 0

- 4 3

= 0. Es número racional

II) 3 4

= 2

12

. Es número irracional

III) 4 3

3 3

= 4

33

. Es número irracional


-1

a

b = ab

a = 3k y b = 3m, entonces ab = 3k + m = 34 = 81


log7 3 49 = log7

3 27 = log7

2

37 = 2

3 ∙ log7 7 =

2

3


( 3 )m – 27n = 0 1

m23 – 33n

m

23 = 33n

m

2 = 3n

m

n = 3 ∙ 2 = 6

3


I) Verdadero. Si a es par, para que c sea número entero, (a + b) debe ser

par, luego b es par.

II) Verdadero. Si a es impar, para que c sea número entero, (a + b) debe ser

par, luego b es impar.

III) Falso. Por (I) b debe ser par.


I) 3 2

18 = 1, racional

II) 3 10

2 2, irracional

III) 2 (2 2 – 8 ) = 0, racional


(1) Suficiente.

Si a y b son negativos a

b es positivo, luego

anb

es real.

(2) Insuficiente.

Si n = 3, 3a

b no está definida si b = 0.


Se debe cumplir que

(n + 3) – (n + 1) < x < (n + 3) + (n + 1)

2 < x < 2n + 4


-1

15

w

w

= 1

5 w

· w = 5w – 1

4


La expresión 2(x + y) 2x 2y

-x y

Puede ser escrita como (x + y)(x + y) 2(x + y)

-(x + y)

=

(x + y) 2

-1

Si –x – y = 0, entonces –(x + y) = 2

Se multiplica por -1 y resulta (x + y) = -2

Al reemplazar en la expresión simplificada

(x + y) 2

-1

=

-2 2

-1

=

-4

-1 = 4


Si AB = 3

5 5B =

3

A


De x2 + 3 = 4x

x2 – 4x + 3 = 0

(x – 3)(x – 1) = 0

x = 3

x = 1

Reemplazando se tiene que (x – 2)2 = 1, en ambos casos.


3x 4y = 8

5x + 3y = 23

9x 12y = 24

20x + 12y = 92

29x = 116

x = 116

29 = 4, reemplazando en (1)

3 ∙ 4 – 4y = 8

4 = 4y

1 = y

Por lo tanto, x + y = 4 + 1 = 5

/ ∙ 3

/ ∙ 4

(1) (2)

5


a2 – 4 = a(a – k)

a2 – 4 = a2 – ak k = 4

a


w = x – y + x – y , (x – y = y – x, dado que x < y)

w = x – y + y – x

w = 0


Si x = n° de automóviles e y = costo total, entonces:

(1) 9x = y – 12

(2) 11x = y + 4

Restando (2) - (1) se tiene:

2x = 16

x = 8


m + n = 3 y m2 + n2 = 8

m + n = 3 / ()2

m2 + 2mn + n2 = 9

2mn = 9 – 8

mn = 1

2


a b = 3ab

4 x = 3 · 4x , entonces

3 x

3 · 4

16

4x = 4-2

x = -2

a a

a

2

2

2

2 k a - k

6


[A – A-1 · B] · A-1 = B 1

A A A

= 1 – 2

B

A

= 1 –

2

1

3a1

4a

= 1 – 4a

3


y = 0,5x2 + x + 2,5

vértice (xv, f(xv))

xv = -b -1

= 2a 1

= -1

f(xv) = 1

2 · (-1)2 + (-1) +

5

2

= 1

2 - 1 +

5

2

= 4

2 = 2

vértice (-1, 2)


Entonces,

3a + x = 60

3a = 60 – x

a = 20 - x

3

base a + x = 20 - x

3 + x

Base = 20 + 2

3x

a a

a + x

7


Entonces, la suma es: n + 4 + 19 = 23 + n


La gráfica de h(x) es la gráfica de g(x) trasladada 2 unidades hacia la derecha y una

unidad hacia abajo, por lo tanto, a = -2 y b = -1 y a + b = -3.


Como f(2x) = 2x2 + x – 1 fx

2 2

= 22

x

2

+ x

2

– 1

= 2 · 2x

4 +

x

2 – 1

= 2x

2+

x

2 – 1

Por lo tanto, f(x) = 2x

2+

x

2 – 1


Basta con ver que

h(-1) = -(-1)2 + 1 = 0

h(0) = (0)2 + 1 = 1

h(1) = -(1)2 + 1 = 0

h(3) = -(3)2 + 1 = -8

Por lo tanto, h(x) = -x2 + 1 es la función

y

x

(1,3)

y

x

(-1,4)

g(x) h(x)

x h(x)

-1 0

0 1

1 0

3 -8

15 19

hoy

n + 4

n

4

8


m = 0 4 -4

= 6 -3 9

y – 0 = -4

9(x – 6)

y = -4

9(x – 6)

x = -4

9(y – 6) y = f -1(x) =

24 9x

4

f -1(2) = 24 18

4

=

3

2


f(x) =

f(10) = 10 y f(-10) = 20

Por lo tanto, f(10) – f(-10) = 10 – 20 = -10


La intersección de f(x) con el eje y, se obtiene evaluando f(0)

f(0) = 3 0 + 1 1

= 5 5


g1

3

= 3 · 1

3 = 1 y f(1) = 1 – 2 = -1

h = 1

x x =

-1

1

h h -1(x) =

1

x

h -1(-1) = 1

-1 = -1

10, si x = 10

20, si x 10

9


f

g

= 2

2

x + 4x 5

2 x x

=

2

2

x + 4x 5

-(x + x 2)

=

(x + 5)(x 1)

-1(x + 2)(x 1)

Luego, el dominio son lR – {-2, 1}


(1) Suficiente.

Se determina que k = -5.

Pues por propiedad de las raíces · = c

a = 8 3 – k = 8 k = -5

(2) Insuficiente.

-b

a = -

-1

1 = 1, es información que se puede obtener del enunciado.


(-2, 6) + (2, -2) = (0, 4) = Q

PM = -2 + 0 6 + 4

, 2 2

= (-1, 5)


El punto medio de AB tiene coordenadas (4, 4)

Por lo tanto, el centro de gravedad tiene abscisa 4, después de una rotación de 180° del

ABC en torno al centro de gravedad, éste y el vértice C siguen teniendo abscisa 4.


Como + + 90 = 180

+ = 90

Entonces, APS = y BRS =

Luego, SRB PSA por A-L-A

En el SRB, RB = b y SR = a, por teorema de Pitágoras SB = 2 2a b

A

B

P Q

R

x a

a

b b S

10


Formando un triángulo rectángulo de hipotenusa OO’ = 10

y cateto OP + TO’ = 2 + 4 = 6 y aplicando el Teorema de Pitágoras se determina que

PT = 8 cm.


I) Verdadero. Teorema de Euclides. CD2 = CE ∙ CB

II) Verdadero. DBE ACD, por A-A

III) Falso. ACD = y EDB =


Si BC = OB = OC = r, entonces

OBC es equilátero y ABC es

triángulo notable de ángulos 30° –

60° - 90°

Perímetro ABC = 2r + r + r 3 = 3r + r 3 = 6

r = 6

3 + 3 =

6

3 + 3 ∙

3 3

3 3

=

6(3 3)

9 3

=

6(3 3)

6

= 3 – 3

L P

T

O’

O

2

4

8

2

10

x

y

A D B

E

C

A B

C

30° 60°

r

r r

r r 3

O

11


Haciendo CD = 3k, CA = 7k y aplicando el T. de Thales, se tiene:

3k 7k

= 9 AB

AB = 21

A continuación, se trabaja con el trapecio ABED

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo

achurado se determina que AE = 17


6 2k

= v 3k

v = 9

3k v =

5k w w = 15

w – v = 15 – 9 = 6


La reflexión de f(x) = -2x + 5 con respecto al eje y es f(-x) = -2(-x) + 5 = 2x + 5


Se sabe que si dos triángulos son semejantes, entonces sus áreas están en razón igual al

cuadrado de la razón de semejanza.

Luego, 2

3 1 =

21 49

Entonces podemos establecer la siguiente proporción 1 6

= 49 x

de donde x = 294

Luego el área del triángulo rectángulo es 294 cm2


P(-1, 2) ; Q(1, -4) ; R(8, 5)

mPQ = 2 -4

-1 1

= -3

mQR = 5 -4

8 1

=

9

7

mPR = 5 2

8 -1

=

3

9 =

1

3

A B

D E

6 9 6

9

8 10 10

3k

C

F

D E

G

C

A B

2k

v

w 5k

3k

6

-3 ∙ 9

7 ∙

1

3 = -

9

7

12


A(2, 3) ; B(6, 1) ; C(4, 6)

Pendiente de AB = 1 3

6 2

= -

1

2

Pendiente de CD = 2

y – 6 = 2(x - 4) y = 2x - 2


La recta que cumple dicha condición es la

recta que pasa por el punto (-5, -1), cuya

pendiente es 0 y corresponde a una paralela

al eje x por dicho punto. Esta recta contiene

a todos los puntos del plano que tienen

ordenada -1, por lo tanto, el punto buscado

es (0, -1).


La pendiente entre (0, 2) y (k, 14) debe ser igual a la pendiente entre (0, 2) y

(k + 2, 17).

12 15

= k k + 2

k = 8

La pendiente entre (8, 14) y (16, n) debe ser 3

2.

n 14 3

= 8 2

n = 26


La ecuación 3x + 2y – 7 = 0, se encuentra en la forma general Ax + By + C = 0, esta se

reescribe en la forma principal, despejando la variable y por lo que resulta como:

y = -3

2x +

7

2, de esto se obtiene la pendiente m = -

3

2 y el intercepto n =

7

2.

A

B

D

C

x

y

x

y

-1

-5

0

(-5, -1) (0, -1)

13


(1) Insuficiente.

Se desconocen las coordenadas de las coordenadas u y v.

(2) Insuficiente.

No se puede determinar.

(1) y (2) son insuficientes, dado que no se puede determinar las coordenadas u y v,

para poder tener w.


I) Verdadero. k + 1 + k + 2 + 2k + 3 + 4k 2 8k + 4

x = = 4 4

= 2k + 1

II) Verdadero. Mediana= k + 2 + 2k + 3 3k + 5

= 2 2

= 1,5k + 2,5

III) Falso. Rango= 4k – 2 – (k + 1) = 3k – 3


Del gráfico de la figura

APm =

5

5 = 1

BP

m = 5

4

CPm =

5

3

DPm =

5

2

EPm =

5

1

Luego, la mediana es 5

3

y

x

u

v

y

x A B C D E 5

P 5

14


A) Verdadero. La mayor frecuencia (13) se encuentra para la edad de 82 años, por

tanto la moda es 82.

B) Verdadero. El grupo tiene 40 personas, hay 5 personas de 84 años, es decir, la

octava parte del grupo.

C) Verdadero. Hay 3 ancianos con 85 años y 2 ancianos con 86 años.

D) Verdadero. Hay 8 personas de un grupo de 40 que tienen 81 años.

E) Falso. El grupo tiene una sola moda, que es 82 años.


Sea M el número de formas que se pueden sentar 7 personas en un círculo, y N el

número de formas en que dos personas (A y B), entre 7 personas, se pueden sentar

juntas, entonces el número de formas en que se pueden sentar siete personas alrededor

de un círculo sin que dos de ellas estén juntas es: M – N.

Entonces, M = P7 = (7 – 1)! = 720

Y N = 2P6 = 2 · 5! = 2 · 120 = 240, ya que AB se considera un elemento y además,

estas dos personas (A y B) pueden permutarse de 2 formas.

Por lo tanto, M – N = 720 – 240 = 480


2k + 4k + 6k + 3k + 2k = 17k = 340

Por lo tanto, k = 20

Por lo tanto, en [a3, a5[ hay:

6k + 3k = 9k = 9 ∙ 20 = 180 observaciones

2

3

5

8

9

13

81 82 83 84 85 86 Edad en años

N° d

e a

ncia

nos

2k

3k

4k

6k

a1 a2 a3 a4 a5 a6

15


P O R T A L


Se trata de una variación, luego se aplica la fórmula N!

(N r)!.

Reemplazando en la fórmula, se tiene 10! 10!

= (10 3)! 7!

= 8 · 9 · 10 = 720


El total de datos es 120, sumando las frecuencias.

I) Verdadero. El segundo cuartil equivale al 50% de los datos, y en la

frecuencia acumulada corresponde al intervalo [50,60[ que es

63, porque acumula la mitad del total (60).

II) Verdadero. El percentil 60, es decir el 60% de los datos (72), y en la

frecuencia acumulada, se encuentra en el cuarto intervalo

[60, 70[ que efectivamente es el de menor frecuencia.

III) Verdadero. 18 = x

100 · 120 x =

18 100

120

= 15%.


P(A y A) = 3 2

12 11

= 1

22


P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

0,54 = 0,32 + P(B) – 0,08

0,3 = P(B)

I) Falso. porque P(A) P(B)

II) Falso. porque P(AB) P(A) · P(B)

III) Falso. porque P(AB) 0

5! = 120

Intervalo Frecuencia F. acumulada

[30,40[ 20 20

[40,50[ 18 38

[50,60[ 25 63

[60,70[ 14 77

[70,80[ 21 98

[80,90[ 22 120

16


P(R) = 1

4

3

= 1

4

P(M) = 1

4

3

= 1

4

1

4 ·

1

4 =

1

16


I) Verdadero. La probabilidad que sea mujer es de 65

120, y la probabilidad de

que elija el plan biólogo, dado que es mujer, es de 25

65. Por lo

tanto lo solicitado es 65 25 25

· = 120 65 120

.

II) Falso. Hay 55 varones, en un total de 120 alumnos, 55

120.

III) Verdadero. Hay 45 alumnos que eligieron humanista, entonces 45

120.


Futbol = 37

45

Básquetbol = 9

45

Futbol y Básquetbol = 2

45

Futbol o Básquetbol = 37 9 2

+ 45 45 45

Plan Diferenciado Sexo Biólogo Humanista Matemático Masculino 25 10 20 Femenino 25 35 5

1 5

7 2

30

Fútbol

Natación Básquetbol

17


Sean:

b: el número de bolitas blancas

n: el número de bolitas negras y

a: el número de bolitas azules.

(1) Insuficiente.

n = 2b

(2) Insuficiente

b = 1

3a

Juntas la probabilidad de n es n 2b 2b 1

n+b+a 2b b 3b 6b 3

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