Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

412
&+$37(5 6HFWLRQVDQG 6DPSOHDYHUDJH [ [ Q [ PP ƒ ƒ 6DPSOHYDULDQFH [ [ V [ [ Q Q PP § ' ¤ ƒ ƒ ƒ ƒ 6DPSOHVWDQGDUGGHYLDWLRQ V PP 7KHVDPSOHVWDQGDUGGHYLDWLRQFRXOGDOVREHIRXQGXVLQJ V [ [ Q ƒ ZKHUH [ [ ƒ ’RW’LDJUDP GLDPHWHU 7KHUHDSSHDUVWREHDQRXWOLHULQWKHGDWDVHW

Transcript of Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

Page 1: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

&+$37(5��

6HFWLRQV�����DQG����

���� 6DPSOH�DYHUDJH�

[

[

Q

[

PP

L

L

Q

L

L

¦ ¦� �

��� ���

�� ����

6DPSOH�YDULDQFH�

� �

[

[

V

[

[

Q

Q

PP

L

L

L

L

L

L

QL

L

Q

§

©¨

·

¹¸

¦

¦

¦¦

��� ���

����������

������������� ���

� �

� �������

� ���������

��

� � �

6DPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�

V

PP

� ���������

� �����

7KH�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�FRXOG�DOVR�EH�IRXQG�XVLQJ

� �V

[ [

Q

L

L

Q

¦ �

ZKHUH

� �[ [L

L

¦ �

� ��������

'RW�'LDJUDP�

�����������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������GLDPHWHU

��������������������������������������������������������������������

7KHUH�DSSHDUV�WR�EH�DQ�RXWOLHU�LQ�WKH�GDWD�VHW�

Page 2: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���� 6DPSOH�DYHUDJH�

[

[

Q

[L

L

Q

L

L

¦ ¦� �

��

��

��� ��

��

�� ���

� PLQ

6DPSOH�YDULDQFH�

� �

[

[

V

[

[

Q

Q

L

L

L

L

L

L

QL

L

Q

§

©¨

·

¹¸

¦

¦

¦¦

��� ��

���������

������������ ��

��

�� �

���� ��

��

��� ��

��

��

��

� �PLQ�

6DPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�

V

��� ��

����

� PLQ

7KH�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�FRXOG�DOVR�EH�IRXQG�XVLQJ

� �V

[ [

Q

L

L

Q

¦ �

ZKHUH

� �[ [L

L

¦ �

��

���� ���

'RW�'LDJUDP�

�������������

�����������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������%UHDNGRZQ

������������������������������������������������������������

Page 3: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���� 6DPSOH�DYHUDJH�

[

[

Q

[

\DUGV

L

L

Q

L

L

¦ ¦� �

��

��

�����

��

������

6DPSOH�YDULDQFH�

� �

� �

[

[

V

[

[

Q

Q

\DUGV

L

L

L

L

L

L

QL

L

Q

§

©¨

·

¹¸

¦

¦

¦¦

�����

���������

��������������

��

�� �

������ ��

��

����� ���

��

��

6DPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�

V

\DUGV

����� ���

����

7KH�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�FRXOG�DOVR�EH�IRXQG�XVLQJ

� �V

[ [

Q

L

L

Q

¦ �

ZKHUH

� �[ [L

L

¦ �

��

������ ���

'RW�'LDJUDP�

���������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������&�

��������������������������������������������������������������

Page 4: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���� 6DPSOH�PHDQ�

[

[

Q

[

N1

L

L

Q

L

L

¦ ¦� �

��

��

����

��

��� ���

6DPSOH�YDULDQFH�

� �

[

[

V

[

[

Q

Q

N1

L

L

L

L

L

L

QL

L

Q

§

©¨

·

¹¸

¦

¦

¦¦

����

������

����������

��

�� �

�������

��

�����

��

��

� � �

6DPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�

V

N1

�����

����

7KH�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�FRXOG�DOVR�EH�IRXQG�XVLQJ

� �V

[ [

Q

L

L

Q

¦ �

ZKHUH

� �[ [L

L

¦ �

��

��������

'RW�'LDJUDP�

������������������

���������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������\LHOG

������������������������������������������������������������

Page 5: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���� 6DPSOH�DYHUDJH�

[

[

Q

[L

L

Q

L

L

¦ ¦� �

����

�����

6DPSOH�YDULDQFH�

� �

[

[

V

[

[

Q

Q

L

L

L

L

L

L

QL

L

Q

§

©¨

·

¹¸

¦

¦

¦¦

����

����� ���

����� �������

� �

���� ���

������

��

��

6DPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�

V

������

�� ���

7KH�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�FRXOG�DOVR�EH�IRXQG�XVLQJ

� �V

[ [

Q

L

L

Q

¦ �

ZKHUH

� �[ [L

L

¦ �

���� ����

'RW�'LDJUDP�

�����������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������

Page 6: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���� 6DPSOH�DYHUDJH�

[

[

Q

[

ZDWWV P

L

L

Q

L

L

¦ ¦� �

��

��

�����

��

������� �

6DPSOH�YDULDQFH�

� �

[

[

V

[

[

Q

Q

ZDWWV P

L

L

L

L

L

L

QL

L

Q

§

©¨

·

¹¸

¦

¦

¦¦

�����

��������

�������������

��

�� �

������ ���

��

�������

��

��

� �

� � � �

6DPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�

V

ZDWWV P

�������

��� �� �

� �

7KH�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�FRXOG�DOVR�EH�IRXQG�XVLQJ

� �V

[ [

Q

L

L

Q

¦ �

ZKHUH

� �[ [L

L

¦ �

��

������ ����

���� 7KH�RQO\�GDWD�VHW�WKDW�PD\�KDYH�UHVXOWHG�IURP�D�GHVLJQHG�H[SHULPHQW�LV�LQ�([HUFLVH�����

���� P ����

����� ��� ���7KH�YDOXH������LV�WKH�SRSXODWLRQ�PHDQ�VLQFH�WKH�DFWXDO�SK\VLFDO�SRSXODWLRQ�RI�DOO�IOLJKW�

WLPHV�GXULQJ�WKH�RSHUDWLRQ�LV�DYDLODEOH�

Page 7: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

���� D�� [

[

Q

[L

L

Q

L

L ¦

¦

� �

�� ��

�� ��

��

E��

� �

V

[

[

Q

Q

L

L

QL

L

Q

�� ������ ��

� �

������ ���

�� ��

¦ �¦

§

©¨

·

¹¸

��

��

����� V � �� � ���� �

F��'RW�'LDJUDP

. . . . . . . .. -------+---------+---------+---------+---------+---------C1 1.40 1.75 2.10 2.45 2.80 3.15

����� 'RW�'LDJUDP

. . . : .: ... . . .: :. . .:. .:: ::: -----+---------+---------+---------+---------+---------+-x 500 600 700 800 900 1000

����� D��'RW�'LDJUDP

. . .. . .. . +---------+---------+---------+---------+---------+-------x 24.0 32.0 40.0 48.0 56.0 64.0

E��'RW�'LDJUDP

. :. . . . . -------+---------+---------+---------+---------+---------x 12 24 36 48 60 72

�����7KH�GDWD�IURP�WKH�ORZ�UHVROXWLRQ�VFUHHQ�KDV�D�PXFK�ORZHU�FHQWHU�WKDQ�WKH�KLJK�UHVROXWLRQ�GDWD��DQG�LW�LV�

�����OHVV�V\PPHWULF�ZLWK�RQH�ODUJH�YDOXH���������

����� D�� [

[

Q

[L

L

Q

L

L ¦

¦

� �

����

�� ����

E��

� �

V

[

[

Q

Q

L

L

QL

L

Q

��� ����� ��

� �

� ���

�� ������

¦ �¦

§

©¨

·

¹¸

��

��

����� V � ������ � ������ �

F��([DPSOHV���UHSHDWDELOLW\�RI�WKH�WHVW�HTXLSPHQW��WLPH�ODJ�EHWZHHQ�VDPSOHV��RSHUDWRU�VNLOO�

Page 8: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

����� [

[

Q

[L

L

Q

L

L ¦

¦

� �

���

������

� �

V

[

[

Q

Q

L

L

QL

L

Q

��������

� �

���

��� �

¦ �¦

§

©¨

·

¹¸

����� V �� � � ���� �

'RW�'LDJUDP� . . . . . . . . . ---+---------+---------+---------+---------+---------+---drag 75.0 80.0 85.0 90.0 95.0 100.0

����� D�� [ �� ���

����� V �� ���

E��'RW�'LDJUDP

: : . . . . .. .: .: . .:..: .. :: .... .. -+---------+---------+---------+---------+---------+-----temp 30 40 50 60 70 80

F��5HPRYLQJ�WKH�VPDOOHVW�REVHUYDWLRQ�������WKH�VDPSOH�PHDQ�DQG�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�EHFRPH

���� [ �� ���

�����V� ������

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

����� 7KH�QHZ�GDWD�ZLOO�KDYH�D�UHVXOWLQJ�YDULDQFH�RI������V����7KH�VXEWUDFWLRQ�RI�D�FRQVWDQW�GRHV�QRW�HIIHFW�WKH�

YDULDQFH�RI�WKH�VDPSOH���+RZHYHU��WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�E\�D�FRQVWDQW�UHVXOWV�LQ�D�PXOWLSOLFDWLRQ�RI�WKH�YDULDQFH�

E\�WKH�FRQVWDQW�VTXDUHG�

������ � � � � � �[ D [ [ Q [ DLL

Q

LL

Q�¦ �¦ � �

� �

� ����7KH�VXP�ZULWWHQ�LQ�WKLV�IRUP�VKRZV�WKDW�WKH�TXDQWLW\�LV�PLQLPL]HG�

ZKHQ�D� � [ �

����� � �[ [LL

Q�¦

�ZLOO�EH�WKH�VPDOOHU�RI�WKH�WZR�TXDQWLWLHV�LI� P z [ �VLQFH� � �[LL

Q�¦

P �

�LV�PLQLPL]HG�ZKHQ� P [ �

������ \ D E[ � V EV\ [

����� [ ����q)�����������V[� �����q)

/HW�\L� �WHPSHUDWXUH�LQ�q& � �\ [ [L L L � � ��

���

���

8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IRXQG�LQ�([HUFLVH������ZLWK�D� ��������DQG�E� ������WKH�VDPSOH�PHDQ�DQG�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�LQ�GHJUHHV�&HOVLXV�DUH

\ & � � ���

���� ��� ��� � �

$ V\� ��

��� � � ���� � � � $&

�������8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IRXQG�LQ�([HUFLVH������ZLWK�D� � �[

V�DQG�E� ���V��WKH�PHDQ�DQG�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�WKH�]L�DUH

] � �DQG��V=� ���

Page 9: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

&+$37(5��

6HFWLRQ����

����

6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP�����2FWDQH��XQLW� ���������_���UHSUHVHQWV����

����������_�

����������_��

����������_�

����������_���

����������_������

����������_�����������

����������_����������

����������_�������������

����������_�������������

����������_��������

����������_������

����������_����

����������_

����������_��

��������+,_��������

���

D��6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP�����F\FOHV��XQLW� ���������_���UHSUHVHQWV�����

����������7_�

����������)_

����������6_����

����������R_�����

���������� _������������

����������7_�����������

����������)_���������������

����������6_�����������

����������R_������

���������� _���

����������7_��

E��1R��RQO\������VXUYLYHG�EH\RQG������F\FOHV�

����

6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP�����FRWWRQ��XQLW� ���������_���UHSUHVHQWV����

���������� _�

����������R_�����

���������� _���

����������R_��������

���������� _�������

����������R_��������������

���������� _���������

����������R_�����

���������� _���

����������R_����

���������� _��

����������R_���

Page 10: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����

6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP�����\LHOG��XQLW� �������_���UHSUHVHQWV���

����������R_�

���������� _

����������7_������

����������)_��������������

����������6_�����������������

����������R_�����������

���������� _��������������

����������7_��������

����������)_������������

����������6_������

����������R_�

����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFV

9DULDEOH��������1��0HGLDQ����4�������4�

RFWDQH�����������������������������������

����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFV

Variable N Median Q1 Q3cycles 70 1436.5 1097.8 1735.0

����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFV

Variable N Mean Median Modecotton 64 34.798 34.700 34.7

7KH�YDOXHV�RI�WKH�PHDQ��PHGLDQ��DQG�PRGH�FRLQFLGH���7KLV�LQGLFDWHV�WKDW�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�V\PPHWULF�

����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFV

Variable N Median Q1 Q3yield 90 89.250 86.100 93.125

6HFWLRQ����

����)UHTXHQF\ 7DEXODWLRQ IRU 3UREOHP ����2FWDQH

��������������������������������������������������������������������������������

/RZHU 8SSHU 5HODWLYH &XPXODWLYH &XP� 5HO�

&ODVV /LPLW /LPLW 0LGSRLQW )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\

��������������������������������������������������������������������������������

DW RU EHORZ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ � ����� �� �����

� ������ ������ ������ � ����� �� �����

� ������ ������� ������� � ����� �� ������

DERYH ������� � ����� �� ������

��������������������������������������������������������������������������������

0HDQ ������� 6WDQGDUG 'HYLDWLRQ ������ 0HGLDQ ����

Page 11: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�� �� �� �� �� ���

2FWDQH 'DWD

���

���

���

���

IUHTXHQF\

)UHTXHQF\ +LVWRJUDP

�����)UHTXHQF\ 7DEXODWLRQ IRU 3UREOHP �����&\FOHV

��������������������������������������������������������������������������������

/RZHU 8SSHU 5HODWLYH &XPXODWLYH &XP� 5HO�

&ODVV /LPLW /LPLW 0LGSRLQW )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\

��������������������������������������������������������������������������������

DW RU EHORZ ���� � ����� � �����

� ���� ������� ������� � ����� � �����

� ������� ������� ������� � ����� � �����

� ������� ������� ������� � ����� � �����

� ������� �������� ������� �� ����� �� �����

� �������� �������� �������� �� ����� �� �����

� �������� �������� �������� �� ����� �� �����

� �������� �������� �������� �� ����� �� �����

� �������� �������� �������� � ����� �� �����

� �������� �������� �������� � ����� �� ������

DERYH �������� � ����� �� ������

��������������������������������������������������������������������������������

0HDQ ������� 6WDQGDUG 'HYLDWLRQ ������� 0HGLDQ ������

� ��� ��� ���� ���� ���� ����

1XPEHU RI &\FOHV WR )DLOXUH

��

��

��

IUHTXHQF\

)UHTXHQF\ +LVWRJUDP

Page 12: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�����)UHTXHQF\ 7DEXODWLRQ IRU 3UREOHP �����&RWWRQ

��������������������������������������������������������������������������������

/RZHU 8SSHU 5HODWLYH &XPXODWLYH &XP� 5HO�

&ODVV /LPLW /LPLW 0LGSRLQW )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\

��������������������������������������������������������������������������������

DW RU EHORZ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ � ����� �� �����

� ������ ������ ������ � ����� �� ������

� ������ ������ ������ � ����� �� ������

DERYH ������ � ����� �� ������

��������������������������������������������������������������������������������

0HDQ ������� 6WDQGDUG 'HYLDWLRQ ������� 0HGLDQ ����

��������������������������������

��

��

FRWWRQ

)UHTXHQF\

�����)UHTXHQF\ 7DEXODWLRQ IRU 3UREOHP �����<LHOG

��������������������������������������������������������������������������������

/RZHU 8SSHU 5HODWLYH &XPXODWLYH &XP� 5HO�

&ODVV /LPLW /LPLW 0LGSRLQW )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\

��������������������������������������������������������������������������������

DW RU EHORZ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ � ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ � ����� �� ������

�� ������ ������� ������ � ����� �� ������

DERYH ������� � ����� �� ������

��������������������������������������������������������������������������������

0HDQ ������� 6WDQGDUG 'HYLDWLRQ ������� 0HGLDQ �����

Page 13: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�� �� �� �� �� �� ���

\LHOG

��

��

��

IUHTXHQF\

)UHTXHQF\ + LVWRJ UDP

�����)UHTXHQF\ 7DEXODWLRQ IRU 3UREOHP �����2FWDQH

��������������������������������������������������������������������������������

/RZHU 8SSHU 5HODWLYH &XPXODWLYH &XP� 5HO�

&ODVV /LPLW /LPLW 0LGSRLQW )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\ )UHTXHQF\

��������������������������������������������������������������������������������

DW RU EHORZ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� � �����

� ������ ������ ������ � ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

� ������ ������ ������ �� ����� �� �����

�� ������ ������ ������ � ����� �� �����

�� ������ ������ ������ � ����� �� �����

�� ������ ������ ������ � ����� �� �����

�� ������ ������ ������ � ����� �� �����

��������������������������������������������������������������������������������

0HDQ ������� 6WDQGDUG 'HYLDWLRQ ������ 0HGLDQ ����

�� �� �� �� �� ���

2FWDQH 5HDG LQJV �Z LWK �� E LQV�

��

��

��

IUHTXHQF\

)UHTXHQF\ + LVWRJ UDP

����7KH�RYHUDOO�VKDSHV�DSSHDU�WR�EH�WKH�VDPH�

Page 14: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�����

FRQWRXU

WULP

KROHV�VORWV

DVVHPEO\

OXEULFDWLRQ

GHQWV

SLWV

GHEXUU

����

����

����

����

��

VFRUHV

3DUHWR &KDUW IRU$XWRPRELOH 'HIHFWV

��

��

��

��

���

SHUFHQW RI WRWDO

����

����

����

��������

��������

�����

5RXJKO\�����RI�GHIHFWV�DUH�GHVFULEHG�E\�SDUWV�RXW�RI�FRQWRXU�DQG�SDUWV�XQGHU�WULPPHG�

6HFWLRQ����

�����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFVVariable N Mean Median Tr Mean StDev SE MeanTemperat 36 65.86 67.50 66.66 12.16 2.03Variable Min Max Q1 Q3Temperat 31.00 84.00 58.50 75.00D��8SSHU�4XDUWLOH����

����/RZHU�4XDUWLOH������

E��0HGLDQ������

F�'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFVVariable N Mean Median Tr Mean StDev SE MeanTemperat 35 66.86 68.00 67.35 10.74 1.82Variable Min Max Q1 Q3Temperat 40.00 84.00 60.00 75.00

����8SSHU�4XDUWLOH����

����/RZHU�4XDUWLOH����

����0HGLDQ����

7KH�ORZHU�TXDUWLOH�KDV�LQFUHDVHG�ZKLOH�WKH�XSSHU�TXDUWLOH�KDV�UHPDLQHG�XQFKDQJHG���7KH�PHGLDQ�KDV�

LQFUHDVHG�VOLJKWO\�GXH�WR�WKH�UHPRYDO�RI�WKH�GDWD�SRLQW���7KH�VPDOOHVW�YDOXH�DSSHDUV�TXLWH�GLIIHUHQW�WKDQ�WKH�

RWKHU�WHPSHUDWXUH�YDOXHV�

G��8VLQJ�WKH�HQWLUH�GDWD�VHW��WKH�ER[�SORW�LV

��

��

��

��

��

��

��

7HPSHUDWXU

����7KH�YDOXH�RI����DSSHDUV�WR�EH�RQH�SRVVLEOH�RXWOLHU�

Page 15: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFVVariable N Mean Median Tr Mean StDev SE MeanPMC 20 4.000 4.100 4.044 0.931 0.208Variable Min Max Q1 Q3PMC 2.000 5.200 3.150 4.800

D��6DPSOH�0HDQ���

E��6DPSOH�9DULDQFH�������

����6DPSOH�6WDQGDUG�'HYLDWLRQ�������

F�

30&

�����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFVVariable N Mean Median Tr Mean StDev SE MeanTime 8 2.415 2.440 2.415 0.534 0.189Variable Min Max Q1 Q3Time 1.750 3.150 1.912 2.972D��6DPSOH�0HDQ�����������6DPSOH�6WDQGDUG�'HYLDWLRQ�������

E�

���

���

���

7LPH

�����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFVVariable N Mean Median Tr Mean StDev SE MeanTemperat 9 952.44 953.00 952.44 3.09 1.03Variable Min Max Q1 Q3Temperat 948.00 957.00 949.50 955.00D��6DPSOH�0HDQ��������

����6DPSOH�9DULDQFH������

����6DPSOH�6WDQGDUG�'HYLDWLRQ������

E��0HGLDQ���������$Q\�LQFUHDVH�LQ�WKH�ODUJHVW�WHPSHUDWXUH�PHDVXUHPHQW�ZLOO�QRW�DIIHFW�WKH�PHGLDQ�

Page 16: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

F�

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

7HPSHUDWXU

�����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFVVariable N Mean Median Tr Mean StDev SE MeanCoeffici 9 83.11 82.00 83.11 7.11 2.37Variable Min Max Q1 Q3Coeffici 74.00 100.00 79.50 84.50D��8SSHU�4XDUWLOH������

����/RZHU�4XDUWLOH������

E�

���

��

��

&RHIILFLHQ

F�

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFVVariable N Mean Median Tr Mean StDev SE MeanCoeffici 8 81.00 81.50 81.00 3.46 1.22Variable Min Max Q1 Q3Coeffici 74.00 85.00 79.25 83.75

����8SSHU�4XDUWLOH�������

����/RZHU�4XDUWLOH�������

����%\�HOLPLQDWLQJ�WKH�ODUJHVW�REVHUYDWLRQ��WKH�PHDQ�KDV�EHHQ�GHFUHDVHG�VRPHZKDW��EXW�WKH�YDULDQFH�DQG

����VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�KDYH�VXEVWDQWLDOO\�GHFUHDVHG�

Page 17: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

��

��

��

&RHIILFLHQ

�����

'HVFULSWLYH�6WDWLVWLFVVariable N Mean Median Tr Mean StDev SE Meantemperat 24 48.125 49.000 48.182 2.692 0.549Variable Min Max Q1 Q3temperat 43.000 52.000 46.000 50.000

D��6DPSOH�0HDQ��������

����6DPSOH�0HGLDQ����

E��6DPSOH�9DULDQFH�������

����6DPSOH�6WDQGDUG�'HYLDWLRQ�������

F�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

WHPSHUDWXU

����7KH�GDWD�DSSHDU�WR�EH�VNHZHG�

G���WK�3HUFHQWLOH����������WK�3HUFHQWLOH����

Page 18: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6HFWLRQ����

�����

� � � �� �� ��

7LPH

���

���

���

���

����

����

5HVSRQVH

7LPH

7LPH�6HTXHQFH�3ORW

&RPSXWHU�UHVSRQVH�WLPH�DSSHDUV�UDQGRP���1R�WUHQGV�RU�SDWWHUQV�DUH�REYLRXV�

����� D�

� �� �� �� ��

7LPH

��

��

��

��

��

9LVFRVLW\

7LPH�6HTXHQFH�3ORW

6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP������9LVFRVLW\��XQLW� ������_���UHSUHVHQWV����

����������R_��

���������� _����������

����������R_����

���������� _

����������R_

���������� _

����������R_

���������� _

����������R_

���������� _�

����������R_����

���������� _������������

����������R_�������

E��7KH�SORWV�LQGLFDWHV�WKDW�WKH�SURFHVV�LV�QRW�VWDEOH�DQG�QRW�FDSDEOH�RI�PHHWLQJ�WKH�VSHFLILFDWLRQV�

Page 19: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D�

� �� �� �� ��7LPH

���

���

���

���

���

���

)RUFH

7LPH�6HTXHQFH�3ORW

E��6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP������)RUFH��XQLW� �������_���UHSUHVHQWV���

����������_���

����������_���

����������_��������

����������_����

����������_�����

����������_���

����������_����

����������_�������

����������_���

����,Q�WKH�WLPH�VHULHV�SORW�WKHUH�DSSHDUV�WR�EH�D�GRZQZDUG�WUHQG�EHJLQQLQJ�DIWHU�WLPH����

�����

� �� �� �� �� ��

%L�+RXUO\ 5HDGLQJV

��

����

����

����

����

��

����

&KHPLFDO

3URFHVV

&RQFHQ�

7LPH�6HTXHQFH�3ORW

Page 20: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�&RQFHQWUDWLRQ��XQLW� ����������_���UHSUHVHQWV�����

��������/2_���������

����������_�

����������_�

����������_�

����������_��

����������_��

����������_����

����������_�����

����������_��

����������_�����

����������_�������������

����������_����

����������_���

����������_�

����������_���

��������+,_����

����7KH�GDWD�DSSHDU�VNHZHG�

���� D�

���� ���� ���� ���� ���� ����7LPH

��

��

���

���

6XQVSRWV

7LPH�6HTXHQFH�3ORW

E��6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP������6XQVSRWV��XQLW� �������_���UHSUHVHQWV���

����������_�����������������

����������_������������

����������_����������

����������_�����������

����������_������������

����������_�����

����������_����������

����������_���

����������_����

����������_������

����������_��

����������_�

����������_���

����������_���

��������+,_���

����7KH�GDWD�DSSHDUV�WR�GHFUHDVH�EHWZHHQ������DQG�������WKH�VWHP�DQG�OHDI�SORW�LQGLFDWHV�VNHZHG�GDWD�

Page 21: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D�

� �� �� �� �� ���7LPH

���

���

����

����

����

����

PLOHV

7LPH�6HTXHQFH�3ORW

E�

6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP������PLOHV��XQLW� ���������_���UHSUHVHQWV����

����������_�

����������_���������

����������_������������

����������_�����������

����������_������������������

����������_���������

����������_�����������

����������_�������

����������_����

����������_�

����������_�

����7KHUH�LV�DQ�LQFUHDVLQJ�WUHQG�LQ�WKH�GDWD�

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

����� D��6DPSOH�0HDQ� �������

����7KH�VDPSOH�PHDQ�YDOXH�LV�FORVH�HQRXJK�WR�WKH�WDUJHW�YDOXH�WR�DFFHSW�WKH�VROXWLRQ�DV�FRQIRUPLQJ���7KHUH�LV�D�

VOLJKW�GLIIHUHQFH�GXH�WR�LQKHUHQW�YDULDELOLW\�

E��V�� ��������� V� ��������

����$�PDMRU�VRXUFH�RI�YDULDELOLW\�ZRXOG�LQFOXGH�PHDVXUHPHQW�WR�PHDVXUHPHQW�HUURU�

����$�ORZ�YDULDQFH�LV�GHVLUDEOH�VLQFH�LW�PD\�LQGLFDWH�FRQVLVWHQF\�IURP�PHDVXUHPHQW�WR�PHDVXUHPHQW�

����� D�� [ [ QL

L

L

L

��

�� ��� �� ��� �

¦ ¦ §

©¨

·

¹¸ � �

����V

[

[

Q

Q

V

L

L

LL

��

��

�� ����� ���

� ��� �

�� � � ��

¦ �

¦§

©¨

·

¹¸

� �

:

: :

Page 22: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

E�� [ Q ���

���� ��

����

� �V

[ [

Q

V

L

L�

�� �

��� �

�� � � ��

¦

��

� �

:

: :

F�� V V� ��� � � �� � �: :

����6KLIWLQJ�WKH�GDWD�IURP�WKH�VDPSOH�E\�D�FRQVWDQW�DPRXQW�KDV�QR�HIIHFW�RQ�WKH�VDPSOH�YDULDQFH�RU�VWDQGDUG�

����GHYLDWLRQ�

G��<HV��WKH�UHVFDOLQJ�LV�E\�D�IDFWRU�RI������7KHUHIRUH��V��DQG�V�ZRXOG�EH�UHVFDOHG�E\�PXOWLSO\LQJ�V��E\������

�����UHVXOWLQJ�LQ�����:���DQG�V�E\���������:��

����� D��6DPSOH�5DQJH� ����

����V�� �������

����V� �������

E��6DPSOH�5DQJH� ����

����V�� �������

����V� �������

����7KHVH�DUH�WKH�VDPH�DV�LQ�SDUW�D����$Q\�FRQVWDQW�ZRXOG�SURGXFH�WKH�VDPH�UHVXOWV�

������ D��6DPSOH���5DQJH� ��

����6DPSOH���5DQJH� ��

����<HV��WKH�WZR�DSSHDU�WR�H[KLELW�WKH�VDPH�YDULDELOLW\

E��6DPSOH���V� ������

����6DPSOH���V� ������

����1R��VDPSOH���KDV�D�ODUJHU�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�

F��7KH�VDPSOH�UDQJH�LV�D�FUXGH�HVWLPDWH�RI�WKH�VDPSOH�YDULDELOLW\�DV�FRPSDUHG�WR�WKH�VDPSOH�VWDQGDUG�

����GHYLDWLRQ��VLQFH�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�XVHV�WKH�LQIRUPDWLRQ�IURP�HYHU\�GDWD�SRLQW�LQ�WKH�VDPSOH�ZKHUHDV�

����WKH�UDQJH�XVHV�WKH�LQIRUPDWLRQ�FRQWDLQHG�LQ�RQO\�WZR�GDWD�SRLQWV���WKH�PLQLPXP�DQG�PD[LPXP�

����� D�

� �� �� �� ��

7LPH

��

��

��

��

��

��

9LVFRVLW\

7LPH 6HTXHQFH 3ORW

����7KH�GDWD�DSSHDUV�WR�YDU\�EHWZHHQ������DQG�����ZLWK�QR�REYLRXV�SDWWHUQ�

E��7KH�SORW�LQGLFDWHV�WKDW�WKH�WZR�SURFHVVHV�JHQHUDWH�VLPLODU�UHVXOWV���7KLV�LV�HYLGHQW�VLQFH�WKH�GDWD�DSSHDU

� �����WR�EH�FHQWHUHG�DURXQG�WKH�VDPH�PHDQ�

F���VW����REVHUYDWLRQV���6DPSOH�0HDQ� �������

������6DPSOH�9DULDQFH� ��������

�����QG����REVHUYDWLRQV���6DPSOH�0HDQ� ��������

�������6DPSOH�9DULDQFH� �������

����7KH�TXDQWLWLHV�LQGLFDWH�WKH�SURFHVVHV�GR�\LHOG�WKH�VDPH�PHDQ�OHYHO���7KH�YDULDELOLW\�DOVR�DSSHDUV�WR�EH�

����DERXW�WKH�VDPH��ZLWK�WKH�VDPSOH�YDULDQFH�IRU�WKH��QG����REVHUYDWLRQV�EHLQJ�VOLJKWO\�ODUJHU�WKDQ�WKDW�IRU�

����WKH��VW����

Page 23: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D�

����� ����� ����� ����� �����7LPH

��

��

&KDPSDJQH

6DOHV

�N ERWWOHV�

7LPH 6HTXHQFH 3ORW

����7KHUH�DSSHDUV�WR�EH�D�F\FOLF�YDULDWLRQ�LQ�WKH�GDWD�ZLWK�WKH�KLJK�YDOXH�RI�WKH�F\FOH�JHQHUDOO\�LQFUHDVLQJ�

E��:H�PLJKW�GUDZ�DQRWKHU�F\FOH��ZLWK�WKH�SHDN�VLPLODU�WR�\HDU������DW�DERXW������

����� D�6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP�������XQLW� �������_���UHSUHVHQWV���

����������7_�

����������)_�������

����������6_����������

����������R_�������

���������� _���

����������7_�����

����������)_��

����������6_��

����������R_���

E��6DPSOH�$YHUDJH� ������

����6DPSOH�6WDQGDUG�'HYLDWLRQ� �������

F�

� �� �� �� ��

7LPH

��

��

��

1RQFRQI�&RLO 6SULQJV

7LPH 6HTXHQFH 3ORW

����7KH�WLPH�VHULHV�SORW�LQGLFDWHV�WKHUH�ZDV�DQ�LQFUHDVH�LQ�WKH�DYHUDJH�QXPEHU�RI�QRQFRQIRUPLQJ�VSULQJV

����PDGH�GXULQJ�WKH����GD\V��,Q�SDUWLFXODU��WKH�LQFUHDVH�RFFXUV�GXULQJ�WKH�ODVW����GD\V�

Page 24: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��6WHP�DQG�OHDI�GLVSOD\�IRU�3UREOHP�������XQLW� ���������_���UHSUHVHQWV������

����������_���

����������_�������

����������_����

����������_�����

����������_�

E��6DPSOH�$YHUDJH� ����

����6DPSOH�6WDQGDUG�'HYLDWLRQ� �������

F�

� � � �� �� ��

7LPH

(UURUV

3UREOHP ���� 7LPH 6HTXHQFH 3ORW

����7KH�WLPH�VHULHV�SORW�LQGLFDWHV�D�VOLJKW�GHFUHDVH�LQ�WKH�QXPEHU�RI�HUURUV�IRU�VWULQJV���������

���� D���%R[�SORW

����

����

����

����

F\FOHV

E��%R[�SORW�IRU�WUDQVIRUPHG�GDWD

���

���

���

���

WUDQV

�����7KH�ORJ�WUDQVIRUPDWLRQ�PDGH�WKH�UHVXOWLQJ�GLVWULEXWLRQ�PXFK�PRUH�V\PPHWULFDO�LQ�ERWK�WKH�PLGGOH����

�����RI�WKH�GDWD�DQG�LQ�WKH�WDLOV�

Page 25: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

����� <HV��LQ�WKLV�FDVH��VLQFH�QR�XSSHU�ERXQG�RQ�WKH�ODVW�HOHFWURQLF�FRPSRQHQW�LV�DYDLODEOH��XVH�D�PHDVXUH�RI�FHQWUDO

ORFDWLRQ�WKDW�LV�QRW�GHSHQGHQW�RQ�WKLV�YDOXH���7KDW�PHDVXUH�LV�WKH�PHGLDQ�

6DPSOH�0HGLDQ� �[ [

KRXUV� � � �� �

�� ��

���

����� D�� [

[

Q

[ [

QQ

L

L

Q

L Q

L

Q

¦ ¦�

� �

���� [Q[ [

QQ

Q Q�

� �

��

���� [Q

Q[

[

QQ Q

Q�

� �

��

��

� �

E�� QV [ [

[ [

QQ

L

Q

Q

L

L

Q

Q

� �

�§

©¨

·

¹¸

�¦

¦�

� �

����

� �

� �

§

©¨

·

¹¸

��

��

��

��

§

©¨

·

¹¸

��

��

��

§

©¨

·

¹¸

��

ª

¬

«

¦¦ ¦

¦¦

¦¦

¦¦

[ [

[

Q

[ [

Q

[

Q

[Q

Q[

Q

Q[ [

[

Q

[Q

Q[

Q

Q[ [

Q

Q[

[

Q

[[

Q

L Q

L

QL

L

Q

Q L

L

Q

Q

L Q

L

Q

Q Q

L

L

Q

L Q

L

Q

Q Q Q

L

L

Q

L

L

L

Q

� �

� �

� ��

� ��

�> @

� � � � � �> @

� � � � � �> @

� �> @

«

º

¼

»»�

��

� �ª

¬

««

º

¼

»»�

��

��

� �� �

��

��

� ��

��

� ��

� �

¦¦ ¦ ¦

¦¦ ¦ ¦

¦

Q

Q[ [ [

[[

Q

[

Q

[

Q

Q

Q[ [ [

[[

Q

Q [ Q [

Q Q

Q

Q[ [ [

Q V[

Q Q

Q

Q[ [ [

Q VQ[

Q

Q Q Q

L

L

QL L L

Q Q Q

L

L

QL L L

Q Q Q

Q

L

Q Q Q

Q

��

� ��

� ��

�� �

��

� � �

� � �

��

� �

� �

� �� �

� � > @

� �

� �

��

� ��

� �

� ��

Q

Q[ [ [

Q VQ

Q[ [ [ [

Q VQ

Q[ [

Q Q Q

Q Q Q Q Q

Q Q Q

��

��

��

� �

� �

Page 26: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

F�� [ [Q Q �

��� ����

���� VQ Q� �� � � �

����

[

V

Q

Q

� �

��

� ��� ��

� �

����

� � �� ��

� ��� ���

� ����

� � �

� � � �

����� 7KH�WULPPHG�PHDQ�LV�SXOOHG�WRZDUG�WKH�PHGLDQ�E\�HOLPLQDWLQJ�RXWOLHUV�

D������7ULPPHG�0HDQ� ������

E������7ULPPHG�0HDQ� ������

����'LIIHUHQFH�LV�YHU\�VPDOO

F��1R��WKH�GLIIHUHQFHV�DUH�YHU\�VPDOO��GXH�WR�D�YHU\�ODUJH�GDWD�VHW�ZLWK�QR�VLJQLILFDQW�RXWOLHUV�

����� ,I�Q7�����LV�QRW�DQ�LQWHJHU��FDOFXODWH�WKH�WZR�VXUURXQGLQJ�LQWHJHU�YDOXHV�DQG�LQWHUSRODWH�EHWZHHQ�WKH�WZR���

)RU�H[DPSOH��LI�Q7����� ������RQH�FRXOG�FDOFXODWH�WKH�PHDQ�DIWHU�WULPPLQJ���DQG���REVHUYDWLRQV�IURP�HDFK�

HQG�DQG�WKHQ�LQWHUSRODWH�EHWZHHQ�WKHVH�WZR�PHDQV�

Page 27: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

&+$37(5��

6HFWLRQ����

���� /HW��D����E��GHQRWH�D�SDUW�DERYH��EHORZ�WKH�VSHFLILFDWLRQ

�� ^ `6 DDD DDE DED DEE EDD EDE EED EEE � � � � � � �

���� /HW��H��GHQRWH�D�ELW�LQ�HUURU

���/HW��R��GHQRWH�D�ELW�QRW�LQ�HUURU���R��GHQRWHV�RND\�

���6

HHHH HRHH RHHH RRHH

HHHR HRHR RHHR RRHR

HHRH HRRH HRHR RRRH

HHRR HRRR RHRR RRRH

­

®

°°

¯

°°

½

¾

°°

¿

°°

� � � �

� � � �

� � � �

� � �

���� /HW��D��GHQRWH�DQ�DFFHSWDEOH�SRZHU�VXSSO\

���/HW��I����P���F��GHQRWH�D�VXSSO\�ZLWK�D�IXQFWLRQDO��PLQRU��RU�FRVPHWLF�HUURU��UHVSHFWLYHO\�

�� ^ `6 D I P F � � �

���� ^ `6 ���� � ���� �VHW�RI�QRQQHJDWLYH�LQWHJHUV

���� ,I�RQO\�WKH�QXPEHU�RI�WUDFNV�ZLWK�HUURUV�LV�RI�LQWHUHVW��WKHQ� ^ `6 � �� ��� � �����

���,I�WKH�SDUWLFXODU�WUDFNV�ZLWK�HUURUV�DUH�RI�LQWHUHVW��WKHQ�6�LV�D�VHW�RI�YHFWRUV�ZLWK����FRPSRQHQWV�

���(DFK�YHFWRU�LQGLFDWHV�ZKLFK�WUDFNV�FRQWDLQ�HUURUV��7KDW�LV��OHW��H�GHQRWH�D�WUDFN�ZLWK�RQH�RU�PRUH

���HUURUV�DQG�OHW��R��GHQRWH�D�WUDFN�ZLWKRXW�HUURUV��7KHQ�6�LV�WKH�VHW�RI�DOO�YHFWRUV�WKDW�FRQWDLQ���

���OHWWHUV��(DFK�OHWWHU�LV�HLWKHU��H���RU��R��DV�LQ�([HUFLVH������7KH�VDPSOH�VSDFH�FRQWDLQV� ��� �YHFWRUV�

���� $�YHFWRU�ZLWK�WKUHH�FRPSRQHQWV�FDQ�GHVFULEH�WKH�WKUHH�GLJLWV�RI�WKH�DPPHWHU��(DFK�GLJLW�FDQ�EH� ������������

7KHQ�6�LV�D�VDPSOH�VSDFH�RI������SRVVLEOH�WKUHH�GLJLW�LQWHJHUV�� ^ `6 ��� ��� ���� �����

���� 6LPLODU�WR�([HUFLVH������1RZ��6�LV�WKH�VDPSOH�VSDFH�RI�����SRVVLEOH�WZR�GLJLW�LQWHJHUV�

���� /HW�DQ�RUGHUHG�SDLU�RI�QXPEHUV��VXFK�DV����GHQRWH�WKH�UHVSRQVH�RQ�WKH�ILUVW�DQG�VHFRQG�TXHVWLRQ���7KHQ��6�

FRQVLVWV�RI�WKH����RUGHUHG�SDLUV� ^ `���� ��� �����

���� 7KH�QXPEHU�RI�VPDOO��PHGLXP��DQG�ODUJH�YRLGV�FDQ�EH�UHFRUGHG�DV�D�YHFWRU�ZLWK�WKUHH�FRPSRQHQWV���(DFK�

FRPSRQHQW�FDQ�HTXDO�DQ\�QRQQHJDWLYH�LQWHJHU��,I�3�LV�WKH�VHW�RI�QRQQHJDWLYH�LQWHJHUV��WKHQ�6� �3[3[3�

����� /HW��D��GHQRWH�DQ�DFFHSWDEOH�SDUW�DQG�OHW��X��GHQRWH�DQ�XQDFFHSWDEOH�SDUW�

���7KHQ�� ^ `6 DDD DDX DXD DXX XDD XDX XXD XXX � � � � � � �

���$OWHUQDWLYHO\��LI�RQO\�WKH�QXPEHU�RI�DFFHSWDEOH�SDUWV�LV�RI�LQWHUHVW��WKHQ� ^ `6 ��� �� � � �

�����

DXWRPDWLFWUDQVPLVVLRQ

WUDQVPLVVLRQ

VWDQGDUG

ZLWKRXWZLWK

DLU

ZLWKRXW

DLUDLUDLU

ZLWK

ZKLWHUHG EOXH EODFN ZKLWHUHG EOXH EODFN ZKLWHUHG EOXH EODFN ZKLWHUHG EOXH EODFN

Page 28: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�����

35(66

&$9,7<

1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

�����

PHPRU\

GLVN VWRUDJH

� � ��

��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���

����� /HW��E��GHQRWH�D�EXV\�VLJQDO�DQG�OHW��F��GHQRWH�D�FRQQHFWHG�FDOO� ^ `6 F EF EEF EEEF � � � ����

����� ^ `6 V IV IIV III6 III)6 III))6 III)))$ � � � � � �

������������

Page 29: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

������ D��6� �QRQQHJDWLYH�LQWHJHUV�IURP���WR�WKH�ODUJHVW�LQWHJHU�WKDW�FDQ�EH�GLVSOD\HG�E\�WKH�VFDOH�

����/HW�;�UHSUHVHQW�ZHLJKW�

$�LV�WKH�HYHQW�WKDW�;�!���

%�LV�WKH�HYHQW�WKDW�;�d���&�LV�WKH�HYHQW�WKDW���d�;����

E��QRQQHJDWLYH�LQWHJHUV�IURP���WR�WKH�ODUJHVW�LQWHJHU�WKDW�FDQ�EH�GLVSOD\HG�E\�WKH�VFDOH�

F�������;�d���G��;�d���H��QRQQHJDWLYH�LQWHJHUV�IURP���WR�WKH�ODUJHVW�LQWHJHU�WKDW�FDQ�EH�GLVSOD\HG�E\�WKH�VFDOH�

I��$���&�ZRXOG�FRQWDLQ�WKH�YDOXHV�RI�;�VXFK�WKDW��;�t����7KXV��$���&�c�ZRXOG�FRQWDLQ�WKH�YDOXHV�RI�;�VXFK�WKDW��;�����J�����d�;�d���K��%c�ZRXOG�FRQWDLQ�WKH�YDOXHV�RI�;�VXFK�WKDW�;�!������7KHUHIRUH��%c���&�ZRXOG�EH�WKH�HPSW\�VHW���7KH\����KDYH�QR�RXWFRPHV�LQ�FRPPRQ�

L��%���&�LV�WKH�HYHQW����d�;�������7KHUHIRUH��$����%���&��LV�WKH�HYHQW�;�t��

�����

Page 30: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW��G��GHQRWHG�D�GLVWRUWHG�ELW�DQG�OHW��R��GHQRWH�D�ELW�WKDW�LV�QRW�GLVWRUWHG�

D��6

GGGG GRGG RGGG RRGG

GGGR GRGR RGGR RRGR

GGRG GRRG RGRG RRRG

GGRR GRRR RGRR RRRR

­

®

°°

¯

°°

½

¾

°°

¿

°°

� � � �

� � � �

� � � �

� � �

E��1R��IRU�H[DPSOH� ^ `$ $ GGGG GGGR GGRG GGRR� �� � � �

F�

$

GGGG GRGG

GGGR GRGR

GGRG GRRG

GGRR GRRR

$

RGGG RRGG

RGGR RRGR

RGRG RRRG

RGRR RRRR

­

®

°°

¯

°°

½

¾

°°

¿

°°

c

­

®

°°

¯

°°

½

¾

°°

¿

°°

� �

� �

� �

� �

$ $ $ $ GGGG

$ $ $ $

GGGG GRGG

GGGR RGGG

GGRG RRGG

GGRR

� � � �

� � � �

� � �

� � �

­

®

°°

¯

°°

½

¾

°°

¿

°°

� � � �

� �

� �

� �

����� /HW��G��GHQRWH�D�GHIHFWLYH�FDOFXODWRU�DQG�OHW��R��GHQRWH�DQ�DFFHSWDEOH�FDOFXODWRU

D�� ^ `6 GGG RGG GGR RGR GRG RRG GRR RRR � � � � � � �

E�� ^ `$ GGG GGR GRG GRR � � �

F�� ^ `% GGG GGR RGG RGR � � �

G�� ^ `$ % GGG GGR� �

H�� ^ `% & GGG GGR RGG RGR GRG RRG� � � � � �

����� QXPEHU�RI�VDPSOHV�LQ� $ %� ��

���QXPEHU�RI�VDPSOHV�LQ�$� ���

���QXPEHU�RI�VDPSOHV�LQ� $ %� ��

�����

QXPEHU�RI�VDPSOHV

c �$ % ��

c% ��

$ %� ��

�����

QXPEHU�RI�VDPSOHV

c �$ % ��

c% �

$ %� ��

����� D��$c� �^[�_�[�t�����`E��%c� �^[�_�[�d�����`F��$���%� �^[�_��������[�������`G��$���%� �^[�_�[�!��`

Page 31: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6HFWLRQ����

������ $OO�RXWFRPHV�DUH�HTXDOO\�OLNHO\

D��3�$�� ����

E��3�%�� ����

F��3�$�� ����

G��3�$�%�� ��H��3�$�%�� �3��� ��

������ D��3�$�� ����

E��3�%�� ����

F��3�$�� ����

G��3�$�%�� ��H��3�$�%�� �3��� ��

����� D��6� �^����������������`

E�����

F�����

G�����

����� D��6� �^���������������`

E�����

F�����

�����[

[��

� � � � �

������ D������������ ����

E������������ ����

����� D������

E������

����� D������

E������

������ D��3�$�� �������

E��3�%�� �������

F��3�$�� �������

G��3�$�%�� �������H��3�$�%�� �������������� �����I��3�$©�%�� �������������� �����

����� D��3�$�� �������

E��3�%�� �������

F��3�$�� �������

G��3�$�%�� �������H��3�$�%�� ��������������� �����I��3�$©�%�� ��������������� �����

����� D��3�$�� ������

E��3�%�� ������

F��3�$�� ������

G��3�$�%�� ������H��3�$�%�� �������������� ������I��3�$©�%�� �������������� ������

Page 32: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��%HFDXVH�(�DQG�(�DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH�HYHQWV�DQG�( (� c � �6

������ �3�6�� �3� ( (� c �� �3�(����3�(���7KHUHIRUH��3�(�� �����3�(�E��%HFDXVH�6�DQG���DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH�HYHQWV�ZLWK�6� �6��

����3�6�� �3�6����3�����7KHUHIRUH��3���� ��

F��1RZ��%� � $ $ %� c �� � �DQG�WKH�HYHQWV�$�DQG� c �$ % �DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH���7KHUHIRUH�

����3�%�� �3�$����3� c �$ % ���%HFDXVH�3� c �$ % ��t �����3�%��t �3�$��

6HFWLRQ����

����� D��3�$�� ����3�$�� ����

E��3�� $ %� �� �3�$����3�%����3� $ %� �� ��������������� ����

F��3� c �$ % ����3� $ %� �� �3�%���7KHUHIRUH��3� c �$ % �� ����������� ����

G��3�$�� �3� $ %� ����3� $ %� c ���7KHUHIRUH��3� $ %� c �� ����������� ����H��3�� $ %� ��� �����3� $ %� �� ��������� �����IURP�SDUW�E�

I��3� c �$ % �� �3�$����3�%����3� c �$ % �� ����������������� �����IURP�SDUW�F�

����� D��3� $ % &� � �� �3�$����3�%����3�&���EHFDXVH�WKH�HYHQWV�DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH��7KHUHIRUH�� �

����3� $ % &� � �� ������������� ����

E��3�� $ % &� � �� ����EHFDXVH� $ % &� � � ��

F��3� $ %� �� �����EHFDXVH� $ %� � ��G��3�� � �$ % &� � �� ����EHFDXVH� � �$ % &� � � � � � � �$ & % &� � � �

����� ,I�$�%�&�DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH��WKHQ�3� $ % &� � �� �3�$����3�%����3�&�� �����������������

�����ZKLFK�JUHDWHU�WKDQ����7KHUHIRUH��3�$���3�%��DQG�3�&��FDQQRW�HTXDO�WKH�JLYHQ�YDOXHV�

����� /HW�$�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�VDPSOH�KDV�KLJK�VKRFN�UHVLVWDQFH�DQG�OHW�%�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�VDPSOH�KDV�

KLJK�VFUDWFK�UHVLVWDQFH�

D��3� $ %� �� �������

E��3� $ %� �� �3�$����3�%����3� $ %� �� ���

���

��

���

��

���

��

���� �

F��%HFDXVH� $ %� �GRHV�QRW�HTXDO�� ��$�DQG�%�DUH�QRW�PXWXDOO\�H[FOXVLYH�

����� D���������

E����� � ��

���

���

���

� �

F����� � �

���

���

���

� �

G���������

����� 7RWDO�QXPEHU�RI�VKDIWV� ����

D����� ��� � � �

���

���

���

� � � �

E����� ��� � � �

���

���

���

� � � �

F��7KH�QXPEHU�RI�VKDIWV�IURP�7RRO��� ������7KH�QXPEHU�RI�VKDIWV�IURP�7RRO���WKDW�FRQIRUP�WR�VXUIDFH�ILQLVK

� �����DQG�URXQGQHVV�UHTXLUHPHQWV� ������7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV� ��� ���

���

���

���

G��7KH�QXPEHU�RI�VKDIWV�IURP�7RRO��� ������7KH�QXPEHU�RI�VKDIWV�IURP�7RRO���WKDW�FRQIRUP�WR�VXUIDFH�ILQLVK

��������UHTXLUHPHQWV� ������7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV� ��� ���

���

���

���

Page 33: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6HFWLRQ����

������ D��3�$�� ������� E��3�%�� �������

F��3� $% �� �3 $ %

3 %

� �

� �

� �� ���

�� ���

��

��

G��3�% $ �� �3 $ %

3 $

� �

� �

� �� ���

�� ���

��

��

����� D��3�$�� ������� E��3�%�� �������

F��3� $% �� �3 $ %

3 %

� �

� �

� �� ���

�� ���

��

��

G��3�% $ �� �3 $ %

3 $

� �

� �

� �� ���

�� ���

��

��

H��3�%$ �� ������

I��3� $% �� �3 $ %

3 %

� �

� �

� c

c

� ���

�� ���

��

����� D��������� E������

����� D�������� E��������� F��������

����� 1HHG�GDWD�IURP�H[DPSOH

D������

E�������

F������

G�������

H������

I������

����� D��������

E�������

F��,I�WKH�FKLSV�ZHUH�UHSODFHG��WKH�SUREDELOLW\�LQ�SDUW�E��ZRXOG�EH�������

����� D��3�$�� ������

E��3�% $ �� ������

F��3� $ %� �� �3�$��3�%�$�� ����������������� ������

G��3� $ %� �� �3�$����3�%����3� $ %� �� ���

��

��

��

��

��

��

��� ���� �

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸ �

H��3 $ % &� � �� � §

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

��

��

��

��

��

��� ���

I��3 $ % &� � �� � c §

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

��

��

��

��

��

��� ���

����� D�������� �������

E������������������ ��������

F���������������������� ������

����� D�������� �������

E�������� �������

F�� �

���

���

���� �� ��

�§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

� [

Page 34: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� 1R��LI�% $� ��WKHQ�3�$�%�� �3 $ %

3 %

3 %

3 %

� �

� �

� �

� �

� �

A

B

�����

A B

C

6HFWLRQ����

����� D��3 $ % 3 $% 3 %� � � � � � � � �� � � �� � � � � � ��

E��3 $ % 3 $ % 3 %� � � � � � � � �� � � �c � c � � � � � ��

�����

3 $ 3 $ % 3 $ %

3 $% 3 % 3 $% 3 %

� � � � � �

� � � � � � � �

� � �� � � � � �� � �

� � �

� � � c

� c c

� � � � � � � �

��� � �� � ��

����� /HW�)�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�FRQQHFWRU�IDLOV�

/HW�:�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�FRQQHFWRU�LV�ZHW�

3 ) 3 ): 3 : 3 ): 3 :� � � � � � � � � �

� � �� � � � � �� � � �

� c c

� � �� ��� � �� � �� � ���

����� /HW�)�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�UROO�FRQWDLQV�D�IODZ�

/HW�&�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�UROO�LV�FRWWRQ�

3 ) 3 ) & 3 & 3 ) & 3 &� � � � � � � � � �

� � �� � � � � �� � � �

� c c

� � �� � �� � �� � �� � ���

����� D��3�$�� �����

E��3�$�� �����

F��3�%_$�� �����

G��3�%_$�� �����

H��3� $ %� �� �3�% $ �3�$�� �������������� ������

I��3� $ %� �� �3�% $ �3�$�� �������������� ������

J��3�%�� �3�%$ �3�$����3�%$ �3�$�� ����������������������������� �������

Page 35: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�5�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�SURGXFW�H[KLELWV�VXUIDFH�URXJKQHVV��/HW�1�$��DQG�:�GHQRWH�WKH�HYHQWV�WKDW�WKH�

EODGHV�DUH�QHZ��DYHUDJH��DQG�ZRUQ��UHVSHFWLYHO\��7KHQ�

3�5� �3�5_1�3�1����3�5_$�3�$����3�5_:�3�:�

������� ��������������������������������������������

������� ������

����� /HW�%�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�JODVV�EUHDNV�

/HW�/�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�ODUJH�SDFNDJLQJ�LV�XVHG�

3�%� �3�%_/�3�/����3�%_/�3�/�

������� ������������������������� ������

����� /HW�$�GHQRWH�D�HYHQW�WKDW�WKH�ILUVW�SDUW�VHOHFWHG�KDV�H[FHVVLYH�VKULQNDJH�

/HW�%�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�VHFRQG�SDUW�VHOHFWHG�KDV�H[FHVVLYH�VKULQNDJH�

D��3�%� �3�%$ �3�$����3�%$ �3�$�

������������ ������������������������������ �����

E��/HW�&�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�VHFRQG�SDUW�VHOHFWHG�KDV�H[FHVVLYH�VKULQNDJH�

F�

3 & 3 & $ % 3 $ % 3 & $ % 3 $ %

3 & $ % 3 $ % 3 & $ % 3 $ %

� � � � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � �

� � � � � �

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

����� /HW�$�DQG�%�GHQRWH�WKH�HYHQWV�WKDW�WKH�ILUVW�DQG�VHFRQG�FKLSV�VHOHFWHG�DUH�GHIHFWLYH��UHVSHFWLYHO\�

D��3�%�� �3�%_$�3�$����3�%_$�3�$�� ����������������������������������� ����

E��/HW�$�DQG�%�GHQRWH�WKH�HYHQWV�WKDW�WKH�ILUVW�DQG�VHFRQG�FRQWDLQHUV�VHOHFWHG�DUH�GHIHFWLYH��UHVSHFWLYHO\�

����3�%�� �3�%_$�3�$����3�%_$�3�$�� ����������������������������������� �����

6HFWLRQ����

����� %HFDXVH�3� $% ��z �3�$���WKH�HYHQWV�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

����� 3�$�� �����3�$�� �����DQG�3� $ % �� �����3� $% �� ����

7KHUHIRUH��$�DQG�%�DUH�LQGHSHQGHQW�HYHQWV�

����� 3� $ %� �� ���������3�$�� ���������3�%�� ��������

7KHQ��3� $ %� ��z �3�$�3�%���VR�$�DQG�%�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

����� 3� $ %� �� ���������3�$�� ���������3�%�� ��������

7KHQ��3� $ %� ��z �3�$�3�%���VR�$�DQG�%�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

����� 3� $ %� � ����������3�$�� ���������3�%�� ���������7KHQ�3� $ %� �z �3�$�3�%���WKHUHIRUH��$�DQG�%�DUH�

LQGHSHQGHQW�

����� ,I�$�DQG�%�DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH��WKHQ�3� $ %� �� ���DQG�3�$�3�%�� ������

7KHUHIRUH��$�DQG�%�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

����� D��3� $ %� �� ���������3�$�� ���������3�%�� ����������7KHQ��3� $ %� �� �3�$�3�%���VR�$�DQG�%�DUH

�����LQGHSHQGHQW�

E��3�%$ �� �������DQG�3�%�� ����������VR�$�DQG�%�DUH�LQGHSHQGHQW���,Q�JHQHUDO��LI�$�DQG�%�DUH�

LQGHSHQGHQW��WKHQ�3� $% �� �3�$���$OVR��3� $ % �� �����3� $% ��DQG�3�$�� �����3�$���7KHUHIRUH�

3� $ % �� �3�$��DQG�$�DQG�%�DUH�LQGHSHQGHQW�

Page 36: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� ,W�LV�XVHIXO�WR�ZRUN�RQH�RI�WKHVH�H[HUFLVHV�ZLWK�FDUH�WR�LOOXVWUDWH�WKH�ODZV�RI�SUREDELOLW\��/HW�+L�GHQRWH�WKH�

HYHQW�WKDW�WKH�LWK�VDPSOH�FRQWDLQV�KLJK�OHYHOV�RI�FRQWDPLQDWLRQ�

D��3 + + + + + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �

�����E\�LQGHSHQGHQFH��$OVR��3 +L� � � � � ��7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV� � � � ���� �

E�� $ + + + + +� � � � � � � � � �� �

���� $ + + + + +� � � � � � � � � �� �

���� $ + + + + +� � � � � � � � � �� �

���� $ + + + + +� � � � � � � � � �� �

���� $ + + + + +� � � � � � � � � �� �

����7KH�UHTXHVWHG�SUREDELOLW\�LV�WKH�SUREDELOLW\�RI�WKH�XQLRQ� $ $ $ $ $� � � � �� � � � �DQG�WKHVH�HYHQWV

����DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH��$OVR��E\�LQGHSHQGHQFH�3 $L� � � � � � � � � �� � ����� ���7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV

�������������� �������

F���/HW�%�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�QR�VDPSOH�FRQWDLQV�KLJK�OHYHOV�RI�FRQWDPLQDWLRQ���7KH�UHTXHVWHG

��������SUREDELOLW\�LV�3�%�� �����3�%���)URP�SDUW��D���3�%�� ���������� ������

����� /HW� $ L �GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�LWK�ELW�LV�D�RQH�

D��%\�LQGHSHQGHQFH�3 $ $ $ 3 $ 3 $ 3 $� ��� � � � � ���� � � � � �� � �� � � �����

�� ������� � �

E��%\�LQGHSHQGHQFH��3 $ $ $ 3 $ 3 $ 3 $ F� � � � � � � � �� � � � � � � �

� � �� � � ��

���

�� ������� � �

F��7KH�SUREDELOLW\�RI�WKH�IROORZLQJ�VHTXHQFH�LV�

�������3 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $� � � �

� � � � � � � � � ��

���

�� � � � � � � � � ��E\�LQGHSHQGHQFH��7KH�QXPEHU�RI�

���VHTXHQFHV�FRQVLVWLQJ�RI�ILYH����V��DQG�ILYH����V�LV� � ��

�� ��

� ����

� ���7KH�DQVZHU�LV���

�� ���

��§

©¨

·

¹¸ �

����� /HW�$�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�VDPSOH�LV�SURGXFHG�LQ�FDYLW\�RQH�RI�WKH�PROG�

D��%\�LQGHSHQGHQFH��3 $ $ $ $ $� � � � �� � � � �

��

�� ������ � � �

E��/HW�%L�EH�WKH�HYHQW�WKDW�DOO�ILYH�VDPSOHV�DUH�SURGXFHG�LQ�FDYLW\�L���%HFDXVH�WKH�%V�DUH�PXWXDOO\

��������H[FOXVLYH��3 % % % 3 % 3 % 3 %� ��� � � � � � ��� � �� � � � � �� � � � � �

�����)URP�SDUW�D���3 %L� � � � �

� ��7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV� ��

�� ������� � �

F���%\�LQGHSHQGHQFH��3 $ $ $ $ $� � � � � �

� � � � ���

�� � � � ��7KH�QXPEHU�RI�VHTXHQFHV�LQ�

������ZKLFK�IRXU�RXW�RI�ILYH�VDPSOHV�DUH�IURP�FDYLW\�RQH�LV����7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV���

�� ������� � � � � �

����� /HW�$�GHQRWH�WKH�XSSHU�GHYLFHV�IXQFWLRQ���/HW�%�GHQRWH�WKH�ORZHU�GHYLFHV�IXQFWLRQ�

3�$�� ����������������� ������

3�%�� ������������������� ��������

3�$�%�� ������������������ ��������7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�WKDW�WKH�FLUFXLW�RSHUDWHV� �3�$�%�� �3�$���3�%����3�$�%�� ��������

����� /HW�$�GHQRWH�WKH�ILUVW�GHYLFH�IXQFWLRQV��/HW�%�GHQRWH�WKH�VHFRQG�GHYLFH�IXQFWLRQV���/HW�&�GHQRWH�WKH�WKLUG

GHYLFH�IXQFWLRQV�

3�$�� ������������������������ �����3�%�� �������������������������� ������3�&�� ������������������������ �����7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�WKDW�WKH�FLUFXLW�RSHUDWHV� �3�$�%�&�� �3�$�3�%�3�&� ������

Page 37: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�$L�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�LWK�UHDGEDFN�LV�VXFFHVVIXO��%\�LQGHSHQGHQFH��

3 $ $ $ 3 $ 3 $ 3 $� � � � � � � � � � � �

� � � � � �

�� �� � ������� � �

����� D��3�%$ �� �������DQG

���3 % 3 % $ 3 $ 3 % $ 3 $� � � � � � � � � �

� � �� � � � � �� � �

� �� � ��� � ��� ��� ���

� �������7KHUHIRUH��$�DQG�%�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

E��$�DQG�%�DUH�LQGHSHQGHQW�

6HFWLRQ����

����� %HFDXVH��3� $% ��3�%�� �3� $ %� �� �3�% $ ��3�$��

3 % $3 $ % 3 %

3 $� �

� � � �

� �

� � � �

��

� � � �

� �� ��

����� /HW�)�GHQRWH�D�IUDXGXOHQW�XVHU�DQG�OHW�7�GHQRWH�D�XVHU�WKDW�RULJLQDWHV�FDOOV�IURP�WZR�RU�PRUH�

PHWURSROLWDQ�DUHDV�LQ�D�GD\��7KHQ�

3 ) 73 7 ) 3 )

3 7 ) 3 ) 3 7 ) 3 )� �

� � � �

� � � � � � � �

� � � �

� � � � � �� �

� �� � ����

� �� � ���� � �� ����

� ���

�����

EDFNXS PDLQ�VWRUDJH

���� ����

OLIH ! � \UVOLIH ! � \UV

OLIH � � \UV OLIH � � \UV

���������� ������ ���������� ������ ����������� ������� ����������� �������

D���3�%�� �����

E���3� $% �� �����

F���3� $% �� ������

G���3� $ %� �� �3� $% �3�%�� ������������ �������

H���3� $ %� �� �3� $% �3�%�� ������������� ��������

I���3�$�� �3� $ %� ����3� $ %� �� �������������������������� ��������

J��������������������������� ���������

K�

����

3 %$3 $ % 3 %

3 $ % 3 % 3 $ % 3 %� �

� � � �

� � � � � � � �

� � � �

� � � � � � � �

� �� � ��

� �� � �� � ��� ���

����

Page 38: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�*�GHQRWH�D�SURGXFW�WKDW�UHFHLYHG�D�JRRG�UHYLHZ��/HW�+��0��DQG�3�GHQRWH�SURGXFWV�WKDW�ZHUH�KLJK��

PRGHUDWH��DQG�SRRU�SHUIRUPHUV��UHVSHFWLYHO\�

D�

���

3 * 3 * + 3 + 3 * 0 3 0 3 * 3 3 3� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� �

� �

� �� � �� � �� � �� � �� � ��

� ���E��8VLQJ�WKH�UHVXOW�IURP�SDUW�D��

����3 + *3 * + 3 +

3 *� �

� � � �

� �

� � � �

��

� �� � ��

� ���� ���

F��3 + *3 * + 3 +

3 *� �

� � � �

� �

� � � �

��

� �� � ��

� � ���� ���

)RU�SUREOHPV������WKURXJK�������&RQWLQXRXV���������������������������������������'LVFUHWH��������������DQG�����

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

����� /HW�'L�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�SULPDU\�IDLOXUH�PRGH�LV�W\SH�L�DQG�OHW�$�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�ERDUG�SDVVHV�

WKH�WHVW�

7KH�VDPSOH�VSDFH�6� � ^ `$ ' ' ' ' '� � � � �� � � � � �RU�6� � ^ `$ $ ' $ ' $ ' $ ' $ '� � � � � � � � � � �

����� /HW�0�GHQRWH�D�SDUW�ZLWK�D�PRGHUDWH�HGJH�FRQGLWLRQ�DQG�OHW�%�GHQRWH�D�SDUW�ZLWK�D�EHORZ�WDUJHW�ERUH�

D��3�0 %� �� �������� �����

E��3�0 %� �� �3�0����3�%����3�0 %� �� � ��

���

���

���

��

���

���

���

�� �

F��3�0 % � �� �3�0����3�%����3�0 % � �� ����

���

���

���

��

���

���

���� �� � �

����$OVR��3�0 % � �� �����3�0 %� �� ��������� ����

����� /HW� $ L �GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�LWK�RUGHU�LV�VKLSSHG�RQ�WLPH�

D��%\�LQGHSHQGHQFH��3 $ $ $ 3 $ 3 $ 3 $� � � � � � � � � � � �� � � � � �

�� �� � ����� �

E��/HW

����

% $ $ $

% $ $ $

% $ $ $

� � � �

� � � �

� � � �

� �

� �

� �

����7KHQ��EHFDXVH�WKH�%V�DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH�

����

3 % % % 3 % 3 % 3 %� � � � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

�� � �� � ��

����

� � � �

F��/HW

����

% $ $ $

% $ $ $

% $ $ $

% $ $ $

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� �

� �

� �

� �

����%HFDXVH�WKH�%V�DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH��

������

3 % % % % 3 % 3 % 3 % 3 %� � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � �

� �� � �� � �� � ��

� �����

� � � � � �

Page 39: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�$L�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�LWK�EROW�VHOHFWHG�LV�QRW�WRUTXHG�WR�WKH�SURSHU�OLPLW�

D��7KHQ�

����

3 $ $ $ $ 3 $ $ $ $ 3 $ $ $

3 $ $ $ $ 3 $ $ $ 3 $ $ 3 $

� � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

��

��

��

��� ���

� � � � � � �

� � �

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

E��/HW�%�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�DW�OHDVW�RQH�RI�WKH�VHOHFWHG�EROWV�DUH�QRW�SURSHUO\�WRUTXHG��7KXV��%�LV�WKH�

����HYHQW�WKDW�DOO�EROWV�DUH�SURSHUO\�WRUTXHG��7KHQ�

����3�%�� �����3�%�� ����

��

��

��

��

��

��

�������

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸ �

����� /HW�$�%�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�ILUVW��VHFRQG�SRUWLRQ�RI�WKH�FLUFXLW�RSHUDWHV��7KHQ��3�$�� �

����������������������������������� ������

3�%�� �������������������� ������DQG

3� $ %� �� �3�$��3�%�� ���������������� ������

����� /HW�'�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�FRQWDLQHU�LV�LQFRUUHFWO\�ILOOHG�DQG�OHW�+�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�D�FRQWDLQHU�LV

ILOOHG�XQGHU�KLJK�VSHHG�RSHUDWLRQ��7KHQ�

����D��3�'�� �3�'+ �3�+����3�' + �3�+�� �������������������������� �������

E��3 + '3 ' + 3 '

3 '� �

� � � �

� �

� � � �

��

� ��� � ��

� ����� ����

����� 7KH�WRRO�IDLOV�LI�DQ\�FRPSRQHQW�IDLOV��/HW�)�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�WRRO�IDLOV��7KHQ��3�)�� �� ����� �E\�

LQGHSHQGHQFH�DQG�3�)�� ������ ����� � �������

����� D��%\�LQGHSHQGHQFH�� ��� � �� ��� �� � u �

E��/HW� $ L �GHQRWH�WKH�HYHQWV�WKDW�WKH�PDFKLQH�LV�LGOH�DW�WKH�WLPH�RI�\RXU�LWK�UHTXHVW��8VLQJ�LQGHSHQGHQFH�

����WKH�UHTXHVWHG�SUREDELOLW\�LV

�����

3 $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � �� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � �

��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � ��

� ��� � ��

� ����

� � � �

F��$V�LQ�SDUW�E��WKH�UHTXHVWHG�SUREDELOLW\�LV�

���

3 $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU

$ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $ RU $ $ $ $ $

� � �� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ��� ��� � ��

� ����

������ /HW� $ L �GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�LWK�ZDVKHU�VHOHFWHG�LV�WKLFNHU�WKDQ�WDUJHW�

D��3 $ $ $� � � � � �

��

��� ���

���E�

���

3 $ $ $ 3 $ $ $ 3 $ $

3 $ $ $ 3 $ $ 3 $

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � �

��

��

��

��

��

��

� ����

F��7KH�UHTXHVWHG�SUREDELOLW\�FDQ�EH�ZULWWHQ�LQ�WHUPV�RI�ZKHWKHU�RU�QRW�WKH�ILUVW�DQG�VHFRQG�ZDVKHU�VHOHFWHG

� �����DUH�WKLFNHU�WKDQ�WKH�WDUJHW��7KDW�LV�

Page 40: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����

3 $ 3 $ $ $ RU$ $ $ RU$ $ $ RU$ $ $

3 $ $ $ 3 $ $ 3 $ $ $ 3 $ $

3 $ $ $ 3 $ $ 3 $ $ $ 3 $ $

3 $ $ $ 3 $ $ 3 $ 3 $ $ $ 3 $ $ 3 $

3 $ $ $ 3 $ $ 3 $

� � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � �

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � �

� �

� � � � � � � �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

� � � � � � �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

3 $ $ $ 3 $ $ 3 $

������ D��,I�Q�ZDVKHUV�DUH�VHOHFWHG��WKHQ�WKH�SUREDELOLW\�WKH\�DUH�DOO�OHVV�WKDQ�WKH�WDUJHW�LV���

��

��

��

�� �

�� �� �

� �

� ����

Q

Q�

Q SUREDELOLW\�DOO�VHOHFWHG�ZDVKHUV�DUH�OHVV�WKDQ�WDUJHW

� ������ ����

� ��������������� ������

� ���������������������� ������

����7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV�Q� ��

E��7KHQ�HYHQW�(�WKDW�RQH�RU�PRUH�ZDVKHUV�LV�WKLFNHU�WKDQ�WDUJHW�LV�WKH�FRPSOHPHQW�RI�WKH�HYHQW�WKDW�DOO�DUH

����OHVV�WKDQ�WDUJHW��7KHUHIRUH��3�(��HTXDOV�RQH�PLQXV�WKH�SUREDELOLW\�LQ�SDUW�D��7KHUHIRUH��Q� ���

������

D 3 $ %

E 3 $ %

F 3 $ %

G 3 $ %

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � �

� � �

��� �� ���

���� ���

���

���� ���

��� �� ���

���� ���

���

���� ���

� H�������3� $% �� �3 $ %

3 %

� �

� �

��

� ��� ���

��� ���� ���

I�������3�%$ �� � 3 % $

3 $

� �

� �

��

� ��� ���

��� ���� ���

������ /HW�(�GHQRWH�D�UHDG�HUURU�DQG�OHW�6�2�3�GHQRWH�VNHZHG��RII�FHQWHU��DQG�SURSHU�DOLJQPHQWV��UHVSHFWLYHO\�

7KHQ�

D��3�(�� �3�(_6��3�6����3�(_2��3��2����3�(_3��3�3�

������������ ��������������������������������������

������������ ��������

E��3�6_(�� �3 ( 6 3 6

3 (

� � � �

� �

� � � �

��

� �� � ��

� ������ ���

������ /HW� $ L �GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�LWK�URZ�RSHUDWHV��7KHQ��

3 $ 3 $ 3 $ 3 $� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � �� �� � �� � �� � ���� � ���� � ��

7KH�SUREDELOLW\�WKH�FLUFXLW�RSHUDWHV�LV�

� � � �� � ���� � ���� � ��

� �������

� � � �� �

3 $ 3 $ 3 $ 3 $� � � � � � � � � � �� � �� � �� � �

Page 41: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������ /HW�(�GHQRWH�D�UHDG�HUURU�DQG�OHW�6��2��%��3�GHQRWH�VNHZHG��RII�FHQWHU��ERWK��DQG�SURSHU�DOLJQPHQWV��

UHVSHFWLYHO\�

���3�(��� �3�(_6�3�6����3�(_2�3�2����3�(_%�3�%����3�(_3�3�3�

���������������������������������������������������� ��������

������� /HW�Q�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�ZDVKHUV�VHOHFWHG�

D��7KH�SUREDELOLW\�WKDW�DOO�DUH�OHVV�WKDQ�WKH�WDUJHW�LV� � �� Q ���E\�LQGHSHQGHQFH�

Q� �� Q

� ���

� ����

� �����

����7KHUHIRUH��Q� ��

E��7KH�UHTXHVWHG�SUREDELOLW\�LV�WKH�FRPSOHPHQW�RI�WKH�SUREDELOLW\�UHTXHVWHG�LQ�SDUW�D��7KHUHIRUH��Q� ��

������ /HW�[�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�NLWV�SURGXFHG�

5HYHQXH�DW�HDFK�GHPDQG

� �� ��� ���

� ��d d[ ��[ ���[ ���[ ���[

0HDQ�SURILW� ����[��������[���������[

�� ���d d[ ��[ ����������[���� ���[ ���[

0HDQ�SURILW� �>����������[����@�����������[��������[���������[

��� ���d d[ ��[ ����������[���� �����������[����� ���[

0HDQ�SURILW� �>����������[����@��������>�����������[�����@�����������[����������[�����������[

0HDQ�3URILW 0D[LPXP�3URILW

� ��d d[ ������[ ����������DW�[ ��

�� ���d d[ ������[������� �������DW�[ ���

��� ���d d[ �����[������� �������DW�[ ���

7KHUHIRUH��SURILW�LV�PD[LPL]HG�DW�����NLWV��+RZHYHU��WKH�GLIIHUHQFH�LQ�SURILW�RYHU�����NLWV�LV�VPDOO�

������ /HW�(�GHQRWH�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�QRQH�RI�WKH�EROWV�DUH�LGHQWLILHG�DV�LQFRUUHFWO\�WRUTXHG��7KH�UHTXHVWHG�

SUREDELOLW\�LV�3�(���/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�EROWV�LQ�WKH�VDPSOH�WKDW�DUH�LQFRUUHFW��7KHQ�

3�(�� �3�(_; ��3�; �����3�(_; ���3�; �����3�(_; ���3�; �����3�(_; ���3�; �����3�(_; ��3�; ��

���DQG�3�; ��� ������������������������������ ����������7KH�UHPDLQLQJ�SUREDELOLW\�IRU�[�FDQ�EH�GHWHUPLQHG

���IURP�WKH�FRXQWLQJ�PHWKRGV�LQ�$SSHQGL[�%����7KHQ�

� �� �� �

� �� �� �

� �� �� �

3 ;

3 ;

3 ;

� �

� �

� �

� �

� � � �

� � � ��

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸

� �

��

� ��

��

� ��

� �� � ��

� � �� ��� ����

� �

��

� ��

��

� ��

� ����

� �

��

� ��

��

� ��

� ����

��

��

��

��

��

��

3�; ��� �������������������������� ��������DQG�3�(_; ��� ����3�(_; ��� �������3�(_; ���

� �� � ������ � ��3�(_; ��� � � �� ��� ��� �� � u � ��3�(_; ��� � � �� � �� ��� �� � u � ��7KHQ�

3 (� � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � �

� � � u

� u

� � ���� � �� � ���� � ���� � ���� ��� �� � ����

� �� �� � ����

� ���

DQG�3�(�� ������

Page 42: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

������

3 $ % 3 $ % 3 $ %

3 $ 3 % 3 $ %

3 $ 3 % 3 $ 3 %

3 $ 3 %

3 $ 3 %

� � �> @ � � �

> � � � � � �@

� � � � � � � �

> � �@> � �@

� � � �

� � � � �

� � � �

� � �

� �

� �

� �

������ 7KH�WRWDO�VDPSOH�VL]H�LV�ND���D���NE���E� ��N�����D����N�����E�

3 $N D E

N D N E3 %

ND D

N D N E

DQG

3 $ %ND

N D N E

ND

N D E

7KHQ

3 $ 3 %N D E ND D

N D N E

N D E N D

N D E

ND

N D E3 $ %

� �� �

� � � �� � �

� � � �

� �� � � � � �� �

� � � �� �� �

>� � � � @

� �� �

� � � � � �� �� �

� � �

� � �

� � � �

� �

� �

� � �

� �

� �

� � �

� � � �

� � �

� �

� �� � �

Page 43: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

&+$37(5��

6HFWLRQ����

���� 7KH�UDQJH�RI�;�LV� ^ `��� ����� � �����

���� 7KH�UDQJH�RI�;�LV� ^ `��� ��� � �����

���� 7KH�UDQJH�RI�;�LV� ^ `��� ������ � �����

���� 7KH�UDQJH�RI�;�LV� ^ `���� � �� � � � �

���� 7KH�UDQJH�RI�;�LV� ^ `��� ���� � ����� ��%HFDXVH�����SDUWV�DUH�FRQIRUPLQJ��D�QRQFRQIRUPLQJ�SDUW�PXVW�EH�

VHOHFWHG�LQ�����VHOHFWLRQV�

���� 7KH�UDQJH�RI�;�LV� ^ `��� ���� � ����� ��$OWKRXJK�WKH�UDQJH�DFWXDOO\�REWDLQHG�IURP�ORWV�W\SLFDOO\�PLJKW�QRW�

H[FHHG�����

���� 7KH�UDQJH�RI�;�LV�FRQYHQLHQWO\�PRGHOHG�DV�DOO�QRQQHJDWLYH�LQWHJHUV��7KDW�LV��WKH�UDQJH�RI�;�LV�

^ `���� � ����

���� 7KH�UDQJH�RI�;�LV�FRQYHQLHQWO\�PRGHOHG�DV�DOO�QRQQHJDWLYH�LQWHJHUV��7KDW�LV��WKH�UDQJH�RI�;�LV�

^ `���� � ����

���� 7KH�UDQJH�RI�;�LV� ^ `��� ��� � �����

����� 7KH�SRVVLEOH�WRWDOV�IRU�WZR�RUGHUV�DUH����������� ���������������� ���������������� ���������������� �����

���������� ���������������� �����

7KHUHIRUH�WKH�UDQJH�RI�;�LV��

�� � � �

­®¯

½¾¿

6HFWLRQ����

�����

I 3 ;

I 3 ;

I

I

;

;

;

;

� � � � � � �

� � � � � � �

� � �

� � �

� � � � � � � �

�� �� � �

� � �

� � �

����� D��3�; ����� ����

E��3������;�������� �3�; �������3�; ��� ����������� ����

F��3�;�!���� ��

G��3�����d�;������ �3�; �����3�; ����� ����������� ����H��3�; ��RU�; ��� ����������� ����

����� $OO�SUREDELOLWLHV�DUH�JUHDWHU�WKDQ�RU�HTXDO�WR�]HUR�DQG�VXP�WR�RQH�

D���

E���

F������ ����

G����������������� ����� ����

����� 3UREDELOLWLHV�DUH�QRQQHJDWLYH�DQG�VXP�WR�RQH�

D��3�;�d���� ������������ ������ ����E��3�;�!���� ������������������ ����

����� 3UREDELOLWLHV�DUH�QRQQHJDWLYH�DQG�VXP�WR�RQH�

D��3�;� ���� �����

E��3�;�d���� ������������� �����F��3���d�;������ ������������� ������G��3�;�!������ ��

Page 44: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� 3UREDELOLWLHV�DUH�QRQQHJDWLYH�DQG�VXP�WR�RQH�

D��3�;� ���� ����������� �����

E��3�;�d���� ����>������������@� ������F��3�;�!���� �����3�;�d���� �����G��3�;�t���� �����3�;�d���� ����������� ����

����� 3�;� ����PLOOLRQ�� ������3�;� ���PLOOLRQ�� ������3�;� ���PLOOLRQ�� ����

����� /HW�&L�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�SDUW�,�LV�FRUUHFWO\�FODVVLILHG

3�;� ���� ������� ���[�����

3�;� ���� ��>����������������@ ������

3�;� ���� ��>����������������@ ������

3�;� ���� ������� �������

����� ;� �QXPEHU�RI�ZDIHUV�WKDW�SDVV

D��3�; ��� �������� ������

E��3�; ��� �������� ������

����3�; ��� �������������� ������

����3�; ��� �������������� ������

����3�; ��� �������� ������

������ ;� �QXPEHU�RI�FRPSRQHQWV�WKDW�PHHW�VSHFLILFDWLRQV

D��3�; ��� �������������� ������

E��3�; ��� �������������� ������

����3�; ��� ����������������������������� ������

����3�; ��� �������������� ������

����� ;� �QXPEHU�RI�FRPSRQHQWV�WKDW�PHHW�VSHFLILFDWLRQV

D��3�; ��� �������������������� ��������

E��3�; ��� �������������������� �������

����3�; ��� ����������������������������������������� ��������

����3�; ��� �������������������������������������������������������������� ��������

����3�; ��� ��������������������� ��������

����� 8VLQJ�WKH�UXOH�IRU�D�VXP�RI�D�JHRPHWULF�VHULHV�

U DD

UZKHUH UQ

[

� ���

��

f

¦ �

7KHQ�

� � � � � � � � � � � ��

�� �� � �� � �� � ��

� ��

� � ����

� �

[

[

[

[

f

f

¦ ¦ �

6HFWLRQ����

�����

) [

[

[

[

[

� �

� �

� �

d �

d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

½

¾

°°°

¿

°°°

� ��

�� ��

��� �

� �

Page 45: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�����

) [

[

[

[

[

[

[

� �

� �

� d � �

� d �

d �

d �

d

­

®

°°°°

¯

°°°°

½

¾

°°°°

¿

°°°°

� �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� �

D��3�;�d������� ����E��3�;�d������ ��F��3��������;�d���� ����������� ����G��3�;�!���� �����3�;�d���� ��������� ����

�����

) [

[

[

[

[

[

[

� �

d �

d �

d �

d �

d

­

®

°°°°

¯

°°°°

½

¾

°°°°

¿

°°°°

� �

� �� � �

� �� � �

� �� � �

�� �� � �

� �

D��3�;�������� �����

E��3�;�d���� ������F��3�;�!���� �����3�;�d���� ���������� ������G��3�����;�d���� �3�;�d������3�;�d���� ������������� ������ ����

�����

) [

[

[

[

[

� �

� �

� �

d �

d �

d

­

®°°

¯°°

½

¾°°

¿°°

� �

�� � �

� � � ��

� ��

�����

) [

[

[

[

[

[

� �

� �

� �

� �

d �

d �

d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

½

¾

°°°

¿

°°°

� �

� ��� � �

� ��� � �

� ��� � �

� �

����� D��3�;�d���� ��E��3�;�d���� ����F��3���d�;�d���� �3�; ��� ����G��3�;!��� �����3�;d��� ����

����� D��3�;d����� ��E��3�;d����� �����F��3�����d�;�d������ �3�; ���� ����G��3�;���� �����

H��3��d;������ ��I��3������;������ ��

Page 46: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��3�;d����� ����E��3�;d����� ����F��3�;d������ ����G��3�;!����� ����

H��3�;d����� ��

6HFWLRQ����

����� (�;�� ���������9�;�� �������

����� (�;�� �������9�;�� ������

����� (�;�� ����9�;�� ����

����� (�;�� ������9�;�� �����

����� (�;�� ������9�;�� �����

����� (�;�� ������9�;�� �����

����� [� ���

6HFWLRQ����

����� (�;�� ����������� �����9�;�� �>������������@���� ����

����� (�;�� ��������� ����9�;�� �>�����������@���� ������

����� ( ;� � §©̈

·¹̧�

§©̈

·¹̧�

§©̈

·¹̧

��� 9 ;� � �

§©̈

·¹̧§©̈

·¹̧�§©̈

·¹̧§©̈

·¹̧�§©̈

·¹̧§©̈

·¹̧�§©̈

·¹̧

�� ����

� � � �

����� ; �������<��<� ��������������������

(�;�� ��������(�<�� ��

���

�� ��

����

�§©̈

·¹̧ � 9 ;� �

� ��

§©̈

·¹̧

� � �ª

¬««

º

¼»»

���

�� �� � �

��� ����

� �

����� ;� ����������<��<� ����������������

(�;�� � ��� ��� �

���� ���

�§©̈

·¹̧ � � �� 9 ;� � � � �

� ��

� � �ª

¬««

º

¼»» ��

� � � �

��� �����

����� 7KH�UDQJH�RI�<�LV���������������������(�;�� ��������� ����

(�<�� �����������������������������

��������� ��>���������������������������@

��������� ��(�;�

��������� �������

��������� �����

9�;�� �����9�<�� �����V<� ������

����� ( F; F[I [ F [I [ F( ;[ [

� � � � � � � � ¦ ¦ �

9 F; F[ F I [ F [ I [ F9 ;[ [

� � � � � � � � � � � � � ¦ � ¦P P� � �

Page 47: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6HFWLRQ����

����� $�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�LV�EDVHG�RQ�LQGHSHQGHQW�WULDOV�ZLWK�WZR�RXWFRPHV�DQG�D�FRQVWDQW�SUREDELOLW\�RI�

VXFFHVV�RQ�HDFK�WULDO�

D��UHDVRQDEOH

E��LQGHSHQGHQFH�DVVXPSWLRQ�QRW�UHDVRQDEOH

F��7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKH�VHFRQG�FRPSRQHQW�IDLOV�GHSHQGV�RQ�WKH�IDLOXUH�WLPH�RI�WKH�ILUVW�FRPSRQHQW���7KH�

����ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�UHDVRQDEOH�

G��QRW�LQGHSHQGHQW�WULDOV�ZLWK�FRQVWDQW�SUREDELOLW\

H��SUREDELOLW\�RI�D�FRUUHFW�DQVZHU�QRW�FRQVWDQW�

I��UHDVRQDEOH

J��SUREDELOLW\�RI�ILQGLQJ�D�GHIHFW�QRW�FRQVWDQW�

K��LI�WKH�ILOOV�DUH�LQGHSHQGHQW�ZLWK�D�FRQVWDQW�SUREDELOLW\�RI�DQ�XQGHUILOO��WKHQ�WKH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�IRU

����WKH�QXPEHU�SDFNDJHV�XQGHUILOOHG�LV�UHDVRQDEOH�

L��EHFDXVH�RI�WKH�EXUVWV��HDFK�WULDO��WKDW�FRQVLVWV�RI�VHQGLQJ�D�ELW��LV�QRW�LQGHSHQGHQW

M��QRW�LQGHSHQGHQW�WULDOV�ZLWK�FRQVWDQW�SUREDELOLW\

�����

����

����

����

����

����

����

����

[

I�[�

D��7KH�YDOXH�RI�[�WKDW�DSSHDUV�WR�EH�PRVW�OLNHO\�LV���

E��7KH�YDOXHV�WKDW�DUH�OHDVW�OLNHO\�DSSHDU�WR�EH���DQG�����WKH�H[WUHPH�YDOXHV�

����� D� 3 ;� � � � � � � §

©¨

·

¹¸ �

��

��� �� � ���� �

E� 3 ;� � � � � � � �d §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸�

��

��� ��

��

��� ��

��

��� ��� �� � � � �

��� � �

�� �� �� �� ��

� ���

�� �� ��� � � � � � �

F�� 3 ;� � � � � � � � � � �t §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

��

��� ��

��

���� �� � ���� � �� �

G�� 3 ;� � � � � �� ���

��� ��

��

��� ��� � � �d �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

��������� �

��� �� ��� ��

� ���

�� ��� � � � � �

Page 48: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�����

����

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

[

I�[�

D��7KH�YDOXH�RI�;�WKDW�DSSHDUV�WR�EH�PRVW�OLNHO\�LV���

E��7KH�YDOXH�RI�;�WKDW�DSSHDUV�WR�EH�OHDVW�OLNHO\�LV�����DOWKRXJK�WKH�SUREDELOLWLHV�IRU�YDOXHV�RI�[�JUHDWHU�WKDQ

������DUH�YHU\�VPDOO��

����� D� � �3 ;� � � � � §

©¨

·

¹¸ u ��

��

�� �� � �� � �� ��� � �

� � � � � �

� � � �

� �

E 3 ;

F 3 ;

G 3 ;

� � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � � �

d §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

t §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

u

d � §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

u

���

�� �� � ��

��

�� �� � ��

��

�� �� � ��

� ����

���

�� �� � ��

��

��� �� � ��

� �� ��

� ���

�� �� � ��

��

�� �� � ��

���� ��

� �� � � � �

� � �� �

��

� � � �

�����

) [

[

[

[

[

[

� �

� �

� �

� �

d �

d �

d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

½

¾

°°°

¿

°°°

� �

���� � �

� � � �

� ��� � �

� �

�����

) [

[

[

[

[

[

� �

� �

� �

� �

d �

d �

d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

½

¾

°°°

¿

°°°

� �

� ���� � �

� ���� � �

� ���� � �

� �

Page 49: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�GHIHFWLYH�FLUFXLWV��7KHQ��;�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q� ����DQG

S� ��������7KHQ��3�;� ���� ���

�� �� � �� � ����� ��§

©¨

·

¹¸ � � � �

����� D� 3 ;� � � � � � � §

©¨

·

¹¸ �

����

�� ��� � ��� � ���� ���

� �

� � � � � �

E 3 ; 3 ;

F 3 ;

G ( ;

9 ;

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � �

� � � � �� � � �

t � �§

©¨

·

¹¸

d §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

� � � �����

�� ��� � ��� � ���

�����

�� ��� � ���

����

�� ��� � ��� � ��� � ���

� ���

���� � ��� �

���� � ��� � ��� � ���

� ���

� ���� � ���

���� � ���

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�WLPHV�WKH�OLQH�LV�RFFXSLHG��7KHQ��;�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK

Q� ����DQG�S� ����

D� 3 ;� � � � � � � §

©¨

·

¹¸ �

��

�� � � � � ���� �

� �

E 3 ; 3 ;

F ( ;

� � � � �

� �

� � � � � �

t �

�§

©¨

·

¹¸

� � �

���

�� � � �

� ���

�� � � �

� ��

����� D��Q� ���� S� ������ ������VLQFH�(�;�� ��� �QS�

E� � � � � � �3 ;� � � � � � � � �d §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

��

��� � �

��

��� � �

��

��� � � ����� �� � �� � ��

F� � � � �3 ;� � � � � � �t §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ u ���

��

���� � �

��

���� � � � �� ���� � �� � ��

����� (�;�� ����������� ����

9�;�� ������������������ ������

P V; ;� � � � � � ���� ���� � �

D�� 3 ; 3 ; 3 ;� � � � � � �! t � d��� � � �

�� ������� � � � �> @ � �

� � �� � �� � �� � ��

� ����

�� � ��

�� � ��� � � �

E��;�LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ����DQG�S� �����

���� � � � �

3 ; 3 ;� � � �

� � � �

! � d

�§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

ª

¬««

º

¼»»

� � �

���

�� �� � ��

��

�� �� � ��

�����

� �� � ��

F��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�WLPHV�;�H[FHHGV���LQ�WKH�QH[W�ILYH�VDPSOHV��7KHQ��<�LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ���

����DQG�S� �������IURP�SDUW�E�

��� � �3 < 3 <� � � � � � �t � �§

©¨·

¹¸

ª

¬««

º

¼»» � � � �

����� ���� � ���� �

����7KH�SUREDELOLW\�LV�������WKDW�DW�OHDVW�RQH�VDPSOH�IURP�WKH�QH[W�ILYH�ZLOO�FRQWDLQ�PRUH�WKDQ�RQH

����GHIHFWLYH�

Page 50: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�SDVVHQJHUV�ZLWK�WLFNHWV�WKDW�GR�QRW�VKRZ�XS�IRU�WKH�IOLJKW��7KHQ��;�LV�ELQRPLDO

ZLWK�Q� �����DQG�S� �����

� � � � � �

� � � �

D 3 ; 3 ;

E 3 ; 3 ;

� � � � �

� � � � � �

� � � �

� � � � � �

t � d

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

�§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

! � d

� � �

���

��� � �

���

��� � �

���

��� � �

���

��� � �

���

��� � �

� ���

� � � � ���

� ��� � ��� � ���

� ��� � ���

�F�(�;�� �QS� ���������� �����

����9�;�� QS S� � � � �� � � �� ��� �� � � �����

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�GHIHFWLYH�FRPSRQHQWV�DPRQJ�WKRVH�VWRFNHG�

� �D 3 ;

E 3 ;

F 3 ;

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � �

§

©¨

·

¹¸

d §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

d

����

�� �� � �� ����

����

�� �� � ��

���

�� �� � ��

���

�� �� � �� � ���

� � ���

� ���

� ��� � ��� � ���

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�TXHVWLRQV�DQVZHUHG�FRUUHFWO\��7KHQ��;�LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ����DQG

S� ������

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

D 3 ;

E 3 ;

� � � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � � �

t §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

�§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

� §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

�§

����

��� �� � ��

��

��� �� � ��

��

��� �� � ��

��

��� �� � ��

��

��� �� � ��

��

��� �� � �� � ����

���

�� �� � ��

��

�� �� � ��

��

�� �� � ��

��

�� � �� � �� �

�� � �� � �� �

� �� � �� � ��

� � � �©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ � �� � ��

��

�� �� � �� � ����� �� � ��

� � � � �

F��(�;�� �QS� ���������� ����� ����9�;�� QS S� � � � �� � � �� �� � �� � �� �����

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�PRUQLQJV�WKH�OLJKW�LV�JUHHQ�

� �

� �

D 3 ;

E 3 ;

F 3 ; 3 ;

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

§

©¨·

¹¸

§

©¨

·

¹¸

! � d �

��

�� � �� � ���

���

�� � �� � ���

� � � � � ��� � ���

� �

� ��

6HFWLRQ����

����� D����� E������� ������� F������� ������� G��3�;�d���� �3�; �����3�; ��� �����

����� (�;�� ����� ���S�JLYLQJ�S� ����

D����� E�������� F�������� G�������� H��������

Page 51: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�XPEHU�RI�WULDOV�WR�REWDLQ�WKH�ILUVW�VXFFHVVIXO�DOLJQPHQW���7KHQ�;�LV�D�JHRPHWULF�UDQGRP�

YDULDEOH�ZLWK�S� ����

D������������ �������

E��3�;�d���� �3�; �����3�;� ������3�;� �����3�;� ���� �������F��3�;�t���� �����3�;�d���� ����������� ������

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�QHHGHG�WR�REWDLQ�D�FRQQHFWLRQ���7KHQ��;�LV�D�JHRPHWULF�UDQGRP�YDULDEOH�

ZLWK�S� �����

D��3�; ���� �������������� �������

E��3�;!��� �����3�;�d���� �����>3�; �����3�;� ������3�;� �����3�;� ���@� ������������ �������F��(�;�� �������� ���

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�PRUQLQJV�QHHGHG�WR�REWDLQ�D�JUHHQ�OLJKW���7KHQ�;�LV�D�JHRPHWULF�UDQGRP

YDULDEOH�ZLWK�S� ������

D��3�;� ���� �������

E��%\�LQGHSHQGHQFH���������� ����������$OVR��3�;�!����� ��������

����� OHW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�QHHGHG�WR�H[FHHG���LQ�([HUFLVH��������7KHQ�<�KDV�D�JHRPHWULF�

GLVWULEXWLRQ�ZLWK�S� ��������

D��3�<� ����� ����������������������� �������E��<�LV�D�JHRPHWULF�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�S� ��������IURP�([HUFLVH������

����3�<� ����� ����������������������� �������F��(�<�� ���������� �����

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�WULDOV�WR�REWDLQ�WKH�ILUVW�VXFFHVV�

D��(�;�� ������� ��

E��%HFDXVH�RI�WKH�ODFN�RI�PHPRU\�SURSHUW\��WKH�H[SHFWHG�YDOXH�LV�VWLOO���

����� 1HJDWLYH�ELQRPLDO�UDQGRP�YDULDEOH��I�[��S��U�� [

US S[ U U�

§

©¨

·

¹¸ � ��

��� � ���:KHQ�U� ����WKLV�UHGXFHV�WR�I�[��S��U�� �

���S�[��S��ZKLFK�LV�WKH�SGI�RI�D�JHRPHWULF�UDQGRP�YDULDEOH���$OVR��(�;�� �U�S�DQG�9�;�� �>U���S�@�S��UHGXFH�WR�(�;�� ���S�DQG�9�;�� ����S��S���UHVSHFWLYHO\�

����� D��(�;�� ������� ���

E��3�; ���� ���

�� �� � � � ������ �§

©¨

·

¹¸ � � � � �

F��3�; ���� ���

�� �� � � � ������ �§

©¨

·

¹¸ � � � � �

G��3�; ���� ���

�� �� � � � ������ �§

©¨

·

¹¸ � � � � �

H��7KH�PRVW�OLNHO\�YDOXH�IRU�;�VKRXOG�EH�QHDU�P;��%\�WU\LQJ�VHYHUDO�FDVHV��WKH�PRVW�OLNHO\�YDOXH�LV�;� ����

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�DWWHPSWV�QHHGHG�WR�REWDLQ�D�FDOLEUDWLRQ�WKDW�FRQIRUPV�WR�VSHFLILFDWLRQV��7KHQ��;�

LV�JHRPHWULF�ZLWK�S� �����

3�;�d���� �3�; �����3�; �����3�; ��� ���������������������������� �������

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�ILOOV�QHHGHG�WR�GHWHFW�WKUHH�XQGHUZHLJKW�SDFNDJHV���7KHQ�;�LV�D�QHJDWLYH

ELQRPLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�S� �������DQG�U� ���

D��(�;�� ��������� �����

E��9�;�� �>���������������@� �����������7KHUHIRUH��V;� ��������

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�WUDQVDFWLRQV�XQWLO�DOO�FRPSXWHUV�KDYH�IDLOHG���7KHQ��;�LV�QHJDWLYH�ELQRPLDO�

UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�S� ������DQG�U� ���

D��(�;�� ���[�����

E��9�;�� �>���������@��������� ������[�����

Page 52: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�;�GHQRWH�D�JHRPHWULF�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�SDUDPHWHU�S��/HW�T� ���S�

( ; [ S S

S [T SG

GTT S

G

GT T

S

T

S

S S

9 ; S S S[ [ S

S [ T [T T

S [ T

[

[

[

[

[

[

S

[

[S

[

[

[

[

[

[S

[

[

[

[

� � � �

� �

� � � � � � � �

�¦

¦ ¦ª

¬««

º

¼»»

ª

¬«

º

¼»

� �¦ � �§©̈

·¹̧¦ �

¦ � ¦ � ¦

f

f

f

f

f

f

f

f

f

� � � �

� �

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

> @

> @

> @

¦ � �

¦ �

� � � �

� � � �

ª

¬««

º

¼»»� � � � �

� � �

f

� �

��

��

� �

��

� � ��

� ��

� ���

� � ��

� � �

� �

� � �

� � �

� � � �

S S

[

[ S

GGT S

GGT S

GGT

T

T S S

S [ T

S T T T

S T T T

S ST T S T

S S

S

S

S

T

S

���

� ����

� � � �

� � � �

� �

6HFWLRQ����

����� D��� �� �� �

3 ;� �� � �

� � ��

u u uu u u

��� �� �� �� �

��� �� �� �� ��� ����

���

���

����

E��3�;� ���� ����WKH�VDPSOH�VL]H�LV�RQO\���

F��� �� �� �

3 ;� �� � �

� � ��

u u uu u u

��� �� �� �� ��

��� �� �� �� ��� ����

���

���

����

G��(�;�� ����������� ����

�����9�;�� �������������������� �������

Page 53: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��� �� �� �

3 ;� �� � �

� � ��

u u uu u u

�� �� �� �� �

�� �� �� �� ��� ����

��

���

���

E��� �� �� �

3 ;� �� � �

� u u u

��

�� �� �� �� ��� �����

��

���

���

F�

���� �� �� �

� �� �� �

� �� �� �

3 ; 3 ; 3 ; 3 ;� � � � � � � �

d � �

� �

u u u�

u u u�

u u§

©¨

·

¹¸

u u u§

©¨

·

¹¸

� � � �

�����

��

���

���

��

���

���

��

���

���

�� �� �� ��

��

� �� �� ��

� �� ��

�� �� �� ��

G��(�;�� ��������� ����

����9�;�� �������������������� ������

�����

����

���

���

���

���

���

���

;

SUREDELOLW\

3 ;

3 ;

3 ;

3 ;

� �

� �

� �

� �

u

§©¨ ·

¹¸§©¨ ·

¹¸

§©¨ ·

¹¸

u

u u

§©¨ ·

¹¸ §©¨ ·

¹¸

§©¨ ·

¹¸

u u

u u

§©¨ ·

¹¸§©¨ ·

¹¸

§©¨ ·

¹¸

§©¨ ·

¹¸§©¨ ·

¹¸

§©¨ ·

¹¸

���

���

��

�� �

���

��

��

���

��

��

� � �

�� � �

��

� � �

�� � �

��

��

Page 54: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�����

) [

[

[

[

[

[

� �

� �

� �

� �

d �

d �

d �

d

­

®

°°°°°°

¯

°°°°°°

½

¾

°°°°°°

¿

°°°°°°

� �

� � � �

� � � �

�� �� � �

� �

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�XQDFFHSWDEOH�ZDVKHUV�LQ�WKH�VDPSOH�RI����

� �� �� �

� �� �� �

D 3 ;

E 3 ; 3 ;

F 3 ;

G ( ;

� � � �

� � � � � �

� � � �

� � � � � � �

� �

� �

� �

� �

� �

u u u uu u u u

t �

u u u u u

u u u u

��� �� � �� ��

�� �� �� �� ��� ����

� � � � ����

�� �� �� �� �� ��

�� �� �� �� ��� ����

�� � �� � �

��

��

��

��

��

�� ��

��

�� ��

��

��

��

� ��

� ��

��

�� ��

������/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDUGV�LQ�WKH�VDPSOH�WKDW�DUH�GHIHFWLYH�

D�

���� �� �� �

3 ; 3 ;

3 ;

3 ;

� � � �

� �� �

� ��

� � � �

� �

� �

t �

t �

� � �

���� ���

��� ���� ����

� � � ���� � ����

��

��

���

��

���

���

�� ���

���

�� ���

E�

���� �� �� �

3 ; 3 ;

3 ;

3 ;

� � � �

� �� �

� ��

� � � �

� �

� �

t �

t �

� � �

���� ���

��� ���� ����

� � � ���� � ����

��

���

��

���

���

�� ���

���

�� ���

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�EODGHV�LQ�WKH�VDPSOH�WKDW�DUH�GXOO�

D�

���� �� �� �

3 ; 3 ;

3 ;

3 ; 3 ;

� � � �

� �� �

� ��

� � � � �

� �

� �

t �

t �

� � �

��� ��

�� ��� ����

� � � � ����

��

��

��

��

� ��

��

� ��

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�GD\V�QHHGHG�WR�UHSODFH�WKH�DVVHPEO\�

����3�<� ���� � � ���� � ���� � ������ � � � �

Page 55: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

F��2Q�WKH�ILUVW�GD\��� �� �� �

3 ;� �� �

� ��

� �

� �

��� ��

�� ��� ����

��

��

��

� ��

��

� ��

����2Q�WKH�VHFRQG�GD\��� �� �� �

3 ;� �� �

� ��

� �

� �

��� ��

�� ��� ����

��

��

��

� ��

��

� ��

����2Q�WKH�WKLUG�GD\��3�;� ���� ��������IURP�SDUW�D��7KHUHIRUH�

����3�<� ���� �������������������������� ��������

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�FRXQW�RI�WKH�QXPEHUV�LQ�WKH�VWDWHV�VDPSOH�WKDW�PDWFK�WKRVH�LQ�WKH�SOD\HUV

VDPSOH���7KHQ��;�KDV�D�K\SHUJHRPHWULF�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�1� �����Q� ����DQG�.� ���

D��� �� �� �

3 ;� ��

� � � ��

§©̈

·¹̧

u�

����

� ��

�� ��������� ��

��

��

��

E��� �� �� � � �

3 ;� � � u

u ��� ��

� �� ���

��

��

��

F��� �� �� � � �

3 ;� � � u u

� � ������

��

��

�� �� ��

��

G��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�ZHHNV�QHHGHG�WR�PDWFK�DOO�VL[�QXPEHUV��7KHQ��<�KDV�D�JHRPHWULF�GLVWULEXWLRQ

ZLWK�S� ��

�� ������� ��DQG�(�<�� ���S� ������������ZHHNV��7KLV�LV�PRUH�WKDQ������FHQWXULHV�

����� D��)RU�([HUFLVH�������WKH�ILQLWH�SRSXODWLRQ�FRUUHFWLRQ�LV�������

����)RU�([HUFLVH�������WKH�ILQLWH�SRSXODWLRQ�FRUUHFWLRQ�LV�������

����%HFDXVH�WKH�ILQLWH�SRSXODWLRQ�FRUUHFWLRQ�IRU�([HUFLVH������LV�FORVHU�WR�RQH��WKH�ELQRPLDO�DSSUR[LPDWLRQ�WR

����WKH�GLVWULEXWLRQ�RI�;�VKRXOG�EH�EHWWHU�LQ�([HUFLVH������

E��$VVXPLQJ�;�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q� ���DQG�S� �����

����� �� �

3 ;

3 ;

� � � � �

� � � � �

� � � � � � ����

� � � � � � ����

� � �

� � �

����7KH�UHVXOWV�IURP�WKH�ELQRPLDO�DSSUR[LPDWLRQ�DUH�FORVH�WR�WKH�SUREDELOLWLHV�REWDLQHG�LQ�([HUFLVH

���������

F��$VVXPH�;�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q� ���DQG�S� ������&RQVHTXHQWO\��3�;� ����DQG

����3�;� ����DUH�WKH�VDPH�DV�FRPSXWHG�LQ�SDUW�E��RI�WKLV�H[HUFLVH��7KLV�ELQRPLDO�DSSUR[LPDWLRQ�LV

����QRW�DV�FORVH�WR�WKH�WUXH�DQVZHU�DV�WKH�UHVXOWV�REWDLQHG�LQ�SDUW�E��RI�WKLV�H[HUFLVH�

����� )URP�([HUFLVH�������;�LV�DSSUR[LPDWHO\�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ����DQG�S� ������ ������

D�� � �� � � �3 ;� � � � � �����

�� �

��

���

��

��

E��3 ; 3 ;� � � � �t � � � � � ����

F�� � �� � � �3 ;� � � � � �����

�� �

��

���

��

G��(�;�� ���������� �����

Page 56: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6HFWLRQ����

����� D�� 3 ;H

H� ��

� �

���

�� ����

� ��

E�� 3 ; 3 ; 3 ; 3 ;� � � � � � � �d � � � � � �

������������ � �

� �

HH H�

� � � ��

� ����

� �

F�� 3 ;H

� ��

� �

��

������

� �

G�� 3 ;H

� ��

� �

��

�� ����

� �

����� D�� 3 ; H� � �� �� � ����� �

E�� 3 ; HH H

� �� � �

� � �

���

� �

d � � �

� �

�� �

� �

�� ����� �

� � � � �

F�� 3 ;H

� �� � �

��

�� �

�� ������

� � �

G�� 3 ;H

� �� � �

��

u�

��� �

���� ��

� � ��

����� 3 ; H� � � �� � ��O ��7KHUHIRUH��O� ��OQ������� �������&RQVHTXHQWO\��(�;�� �9�;�� �������

����� D��/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LQ�RQH�KRXU��7KHQ��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�O� ����� �

3 ;H

� ��

� �

���

�� ����

�� �

E�� 3 ; HH H H

� �� � �

�d � � � �� � �

���

��

��

�� ������

�� �� � �� �

F��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LQ�WZR�KRXUV��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK

���� O � ����� 3 <H

� ��

� �

����

��� ����

�� ��

G��/HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LQ����PLQXWHV��7KHQ�:�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK

���� O � ���� 3 :H

� ��

� �

��

������

� �

����� D��/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�LQ�RQH�VTXDUH�PHWHU�RI�FORWK��7KHQ��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH

����ZLWK� O � ������ 3 ;H

� �� � �

��

���

�� ����

�� �

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�LQ����VTXDUH�PHWHUV�RI�FORWK��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH

����ZLWK� O � ���� 3 <H

H� ��

� �

���

�� ����

� ��

F��/HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�LQ����VTXDUH�PHWHUV�RI�FORWK��7KHQ��:�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH

����ZLWK O � ���� 3 : H� � � �� ������

G�� 3 < 3 < 3 < 3 <� � � � � � � �t � d � � � � � � � �

���� � �

� ��

� ����

� �H H

Page 57: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FUDFNV�LQ���PLOHV�RI�KLJKZD\��7KHQ��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK

��� O � ����� 3 ; H� � � u� �� � �� ���� �

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FUDFNV�LQ�D�KDOI�PLOH�RI�KLJKZD\��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK

���� O � ���� 3 < 3 < H� � � � �t � � �� � � � � �����

F��7KH�DVVXPSWLRQV�RI�D�3RLVVRQ�SURFHVV�UHTXLUH�WKDW�WKH�SUREDELOLW\�RI�D�FRXQW�LV�FRQVWDQW�IRU�DOO�LQWHUYDOV�

����,I�WKH�SUREDELOLW\�RI�D�FRXQW�GHSHQGV�RQ�WUDIILF�ORDG�DQG�WKH�ORDG�YDULHV��WKHQ�WKH�DVVXPSWLRQV�RI�D�3RLVVRQ�

SURFHVV�DUH�QRW�YDOLG��6HSDUDWH�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOHV�PLJKW�EH�DSSURSULDWH�IRU�WKH�KHDY\�DQG�OLJKW

����ORDG�VHFWLRQV�RI�WKH�KLJKZD\�

����� D��/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�LQ����VTXDUH�IHHW�RI�SODVWLF�SDQHO��7KHQ��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP

����YDULDEOH�ZLWK� O � ������ 3 ; H� � �� �� � ����� �

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDUV�ZLWK�QR�IODZV�

��� 3 <� � � � � � � � � §

©¨

·

¹¸ �

��

�� ���� � ���� � ������� ��

F��/HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDUV�ZLWK�VXUIDFH�IODZV��%HFDXVH�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�KDV�D

����3RLVVRQ�GLVWULEXWLRQ��WKH�RFFXUUHQFHV�RI�VXUIDFH�IODZV�LQ�FDUV�DUH�LQGHSHQGHQW�HYHQWV�ZLWK

���FRQVWDQW�SUREDELOLW\��)URP�SDUW�D���WKH�SUREDELOLW\�D�FDU�FRQWDLQV�VXUIDFH�IODZV�LV���������� ������������&RQVHTXHQWO\��:�LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ����DQG�S� ��������

���

3 : 3 : 3 :� � � � � �

� � � � � � � �

d �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

� � �

��

�� ���� � ����

��

�� ���� � ����

� ����

� �� � �

����� D��/HW�;�GHQRWH�WKH�IDLOXUHV�LQ���KRXUV��7KHQ��;�KDV�D�3RLVVRQ�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� O � ������� �

��� 3 ; H� � �� �� ��������

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�IDLOXUH�LQ����KRXUV��7KHQ��<�KDV�D�3RLVVRQ�GLVWULEXWLRQ�ZLWK

���� O � ������� 3 < 3 < H� � � � �t � � �� � � � � ������

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�WRWHV�LQ�WKH�VDPSOH�WKDW�GR�QRW�FRQIRUP�WR�SXULW\�UHTXLUHPHQWV���7KHQ��;�KDV�D�

K\SHUJHRPHWULF�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�1� �����Q� ����DQG�.� ���

3 ; 3 ;� � � �� �

� ��t � �

§

©¨·

¹¸§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸

� � � � �

��

��

��� ��

�� ��� ����

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�WKDW�DUH�DQVZHUHG�LQ����VHFRQGV�RU�OHVV��7KHQ��;�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP�

YDULDEOH�ZLWK�S� ������

D��3�;� ���� ���

�� �� � �� � ����� �§

©¨

·

¹¸ � � � � � � �

E��3�;�t����� �3�; �����3�; ������3�; ������3�; ������3�; ���

�����

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

�§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

��

��� �� � ��

��

��� �� � ��

��

��� �� � ��

��

��� �� � ��

��

��� �� � ��

�� � �� � �� �

�� � �� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

������ �������

F��(�;�� ���������� ���

Page 58: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�QHHGHG�WR�REWDLQ�DQ�DQVZHU�LQ�OHVV�WKDQ����VHFRQGV�

D��3�< ��� ������������� �������

E��(�<�� ���S� �������� ����

����� /HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�QHHGHG�WR�REWDLQ�WZR�DQVZHUV�LQ�OHVV�WKDQ����VHFRQGV���7KHQ��:�KDV�D�

QHJDWLYH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�S� ������

D��3�: ��� ��

�� �� � �� � ����� �§

©¨·

¹¸ � � � � � � �

E��(�:�� �U�S� �������� ����

����� D��/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�PHVVDJHV�VHQW�LQ�RQH�KRXU��� 3 ;H

� ��

� �

��

������

� �

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�PHVVDJHV�VHQW�LQ�����KRXUV��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�

���� O ����� 3 <H

� �� � �

��

��� �

���� ����

� � ��

F��/HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�PHVVDJHV�VHQW�LQ�RQH�KDOI�KRXU��7KHQ��:�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�

��� O � ������ 3 : 3 : 3 :� � � � � � �� � � � � � ����

����� ;�a�3RLVVRQ�O� ��������;��a�3RLVVRQ�O� ���3�;����d���� ���������

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�LQGLYLGXDOV�WKDW�UHFRYHU�LQ�RQH�ZHHN���$VVXPH�WKH�LQGLYLGXDOV�DUH�LQGHSHQGHQW�

7KHQ��;�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�Q� ����DQG�S� �������3�;�t���� �����3�;�d���� ������������ ��������

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�DVVHPEOLHV�QHHGHG�WR�REWDLQ�D�GHIHFWLYH���7KHQ��;�LV�D�JHRPHWULF�UDQGRP

�YDULDEOH�ZLWK�S� ������

D��(�;�� ���S� �����

E��9�;�� ������������ ������DQG�V;� ������

������ ,I�Q�DVVHPEOLHV�DUH�FKHFNHG��WKHQ�OHW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�GHIHFWLYH�DVVHPEOLHV���,I�3�;�t����t�������WKHQ3�; ���d��������1RZ�

3�; ��� �Q Q Q

�� �� � �� ���§

©¨·

¹¸ � � � � � � �DQG�����Q�d��������7KHUHIRUH�

Q

Q

�OQ� � �� OQ� � �

OQ� � �

OQ� � ��

� �� � ��

� ��

� ����� ��

d

t

7KLV�ZRXOG�UHTXLUH�Q� �����

������ 5HTXLUH�I������I������I������I���� �����7KHUHIRUH��F���������� �����7KHUHIRUH��F� �����

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�SURGXFWV�WKDW�IDLO�GXULQJ�WKH�ZDUUDQW\�SHULRG���$VVXPH�WKH�XQLWV�DUH

LQGHSHQGHQW���7KHQ��;�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�Q� �����DQG�S� ������

D��3�;� ���� �����[�����

E��(�;�� ����������� ���

F��3�;�!��� �����3�;�d���� �������

������ D��3�;�d���� ����������� ����E��3�;�!������ ����������������� ����

F��3�������;�������� ����������� ����

G��(�;�� ����������������������������������� ����

H��9�;�� ������������������������������������������������ �����

������

[ � ��� ��� ���

I�[� ��� ��� ��� ���

Page 59: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�EROWV�LQ�WKH�VDPSOH�IURP�VXSSOLHU���DQG�OHW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�EROWV�LQ�WKH�

VDPSOH�IURP�VXSSOLHU����7KHQ��[�LV�D�K\SHUJHRPHWULF�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�1� ������Q� ����DQG�.� ����

$OVR��<�LV�D�K\SHUJHRPHWULF�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�1� ������Q� ����DQG�.� ����

D��3�; ��RU�< ��� �3�;� ������3�<� ���

�������������

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸

��

��

���

��

��

���

� �����

E��3>�; ��DQG�< ���RU��< ��DQG�;� ���@ �

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸

��

��

��

��

���

� �����

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�HUURUV�LQ�D�VHFWRU���7KHQ��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�O� ���������D��3�;!��� �����3�;d��� �����H�����������H������������������ �������E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�VHFWRUV�XQWLO�DQ�HUURU�LV�IRXQG���7KHQ��<�LV�D�JHRPHWULF�UDQGRP�YDULDEOH�DQG

����3� �3�;�t���� �����3�; ��� �����H��������� �����������(�<�� ���S� �����

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�RUGHUV�SODFHG�LQ�D�ZHHN�LQ�D�FLW\�RI���������SHRSOH���7KHQ�;�LV�D�3RLVVRQ

UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�O� ��������� ���D��3�;�t���� �����3�;�d���� �����>H�����H���������H��������@� ������������ ��������E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�RUGHUV�LQ���ZHHNV���7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�O� ����DQG����3�<���� �3�<�d���� �H������H��������� �������

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�WRWHV�LQ�WKH�VDPSOH�WKDW�H[FHHG�WKH�PRLVWXUH�FRQWHQW���7KHQ�;�LV�D�ELQRPLDO

UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�Q� ������:H�DUH�WR�GHWHUPLQH�S�

,I�3�;�t���� ������WKHQ�3�;� ���� �������7KHQ���

�� ��� ��§

©¨

·

¹¸ � � � � � �S S ��JLYLQJ���OQ���S� OQ�������ZKLFK�

UHVXOWV�LQ�S� ��������

������ /HW�W�GHQRWH�DQ�LQWHUYDO�RI�WLPH�LQ�KRXUV�DQG�OHW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�PHVVDJHV�WKDW�DUULYH�LQ�WLPH�W�

7KHQ��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�O� ���W�7KHQ��3�; ��� �����DQG�H���W� ������UHVXOWLQJ�LQ�W� ��������KRXUV� ������VHFRQGV�

������ D��/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�LQ����SDQHOV���7KHQ��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK

����O� ���������� �����3�;� ���� �H��� ��������E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�LQ�RQH�SDQHO��WKHQ

����3�<�t���� �����3�< ��� �����H������ ����������/HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�SDQHOV�WKDW�QHHG�WR�EH

����LQVSHFWHG�EHIRUH�D�IODZ�LV�IRXQG���7KHQ�:�LV�D�JHRPHWULF�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�S� ��������DQG

����(�:�� ���������� �������

Page 60: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������

> @

( ; D D E E D

L L

E DE E D D

E D

E D E DE D

E D E DE D

E D

9 ;

L

E D

L E D L

L

D

L

E

E D

L D

E

L

� � >� � � ��� @� �

� �� � � �

� �

� �� �

� �� �� �

� �

� �

� �

� � � � � �

� ¦¦ª

¬««

º

¼»»

� � �

��ª

¬«

º

¼» � �

� � �ª

¬««

º

¼»»

� � � � �ª

¬«

º

¼» � �

�¦

� �

� �

� �

��

��

��

��

� �

� �

D

E

L D

E E D E D

E D

¦¦ �� � �ª

¬««

º

¼»»

� �

� �� ��

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�QRQFRQIRUPLQJ�SURGXFWV�LQ�WKH�VDPSOH��7KHQ��;�LV�DSSUR[LPDWHO\�ELQRPLDO�ZLWK�

S� ������DQG�Q�LV�WR�EH�GHWHUPLQHG�

,I�3 ;� � �t t� � �� ��WKHQ�3 ;� � � d� ��� �

1RZ��3�;� ���� � � �� � � �Q Q QS S S� � � �� � ��&RQVHTXHQWO\�� � � �� ���� dS Q ��DQG�

QS

d�

OQ �

OQ� ��

���

������ ��7KHUHIRUH��Q� �����LV�UHTXLUHG�

������ ,I�WKH�ORW�VL]H�LV�VPDOO������RI�WKH�ORW�PLJKW�EH�LQVXIILFLHQW�WR�GHWHFW�QRQFRQIRUPLQJ�SURGXFW��)RU�H[DPSOH��LI

WKH�ORW�VL]H�LV�����WKHQ�D�VDPSOH�RI�VL]H�RQH�KDV�D�SUREDELOLW\�RI�RQO\�����RI�GHWHFWLQJ�D�QRQFRQIRUPLQJ

SURGXFW�LQ�D�ORW�WKDW�LV�����QRQFRQIRUPLQJ�

,I�WKH�ORW�VL]H�LV�ODUJH������RI�WKH�ORW�PLJKW�EH�D�ODUJHU�VDPSOH�VL]H�WKDQ�LV�SUDFWLFDO�RU�QHFHVVDU\���)RU

H[DPSOH��LI�WKH�ORW�VL]H�LV�������WKHQ�D�VDPSOH�RI�����LV�UHTXLUHG��)XUWKHUPRUH��WKH�ELQRPLDO�

DSSUR[LPDWLRQ�WR�WKH�K\SHUJHRPHWULF�GLVWULEXWLRQ�FDQ�EH�XVHG�WR�VKRZ�WKH�IROORZLQJ��,I����RI�WKH�ORW�RI�VL]H

�����LV�QRQFRQIRUPLQJ��WKHQ�WKH�SUREDELOLW\�RI�]HUR�QRQFRQIRUPLQJ�SURGXFW�LQ�WKH�VDPSOH�LV�DSSUR[LPDWHO\

� �� ��u � ��8VLQJ�D�VDPSOH�RI������WKH�VDPH�SUREDELOLW\�LV�VWLOO�RQO\���������7KH�VDPSOH�RI�VL]H�����PLJKW

EH�PXFK�ODUJHU�WKDQ�LV�QHHGHG�

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�SDQHOV�ZLWK�IODZV��7KHQ��;�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�Q� ����DQG�S�LV�

WKH�SUREDELOLW\�RI�RQH�RU�PRUH�IODZV�LQ�D�SDQHO��7KDW�LV��S� �� ��� �H � � �������

� � � � � �� � � �

3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ;

S S S S S S

S S S S

� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � �

� � � �

� d � � � �

� � � � �

� � � �

� � � � � � �

� � �

� �

� ���

��� � ���

��� � ��

��� � ��

��� � ��

��� � ��

Page 61: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

������

/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�UROOV�SURGXFHG�

5HYHQXH�DW�HDFK�GHPDQG

� ���� ���� ����

� ����d d[ ����[ ���[ ���[ ���[

PHDQ�SURILW� �����[�����������[�����������[

���� ����d d[ ����[ �����������

�����[������

���[ ���[

PHDQ�SURILW� �����[��������>�����������������[������@�����������[�����������[

���� ����d d[ ����[ �����������

�����[������

�����������

�����[������

���[

PHDQ�SURILW� �����[��������>���������������[������@��������>�����������������[������@�����������[�����������[

���� d [ ����[ �����������

�����[������

�����������

�����[������

����������

�����[������

PHDQ�SURILW� �����[��������>���������������[������@��������>���������������[������@������>���������������[�

�����@���������[

3URILW 0D[��SURILW

� ����d d[ ������[ ������DW�[� �����

���� ����d d[ ������[����� ������DW�[� �����

���� ����d d[ ��� �����IRU�DOO����� ����d d[

���� d [ ������[������

7KHUHIRUH��WKH�SURILW�LV�PD[LPL]HG�IRU�DQ\�[�IURP�>����������@

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�DFFHSWDEOH�FRPSRQHQWV��7KHQ��;�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�S� ������DQG

Q�LV�WR�EH�GHWHUPLQHG�VXFK�WKDW�3 ;� � �t t��� � �� �

Q 3 ;� �t ���

��� �����

��� �����

��� �����

��� �����

7KHUHIRUH������FRPSRQHQWV�DUH�QHHGHG�

Page 62: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

&+$37(5��

6HFWLRQ����

���� D� 3 ; H G[ H H[ [� � � � �� � ����

��

�� � �

f

f

�³

E� 3 ; H G[ H H H[ [� � � � � �� �

�� � � � ����

� �

� �� � �� � � � � � � �³

F� 3 ; H G[[� � �³� �

G� 3 ; H G[ H H[ [� � � � �� � � � � �³� � � ����

��

H� 3 ; H G[ H H[ [� � � � �� � ����

��

�d � �

f

f

�³

���� D� 3 [ ; H G[ H H[

[

[

[

[� � � � �� � �

f

f

�³ ��� �

7KHQ��[� ��OQ������� ����

E� 3 ; [ H G[ H H[[

[[

[� � � � �d � � � � �³�

�� ��� �

����7KHQ��[� ��OQ������ �������

���� D� 3 ; H G[ H[ [� � � � � �� ��

�� � � �

f

� �

f

³ ��EHFDXVH� I [; � � � �IRU�[������7KLV�FDQ�DOVR�EH�REWDLQHG�IURP�WKH�

IDFW�WKDW� I [; � � �LV�D�SUREDELOLW\�GHQVLW\�IXQFWLRQ�IRU�����[�

E� 3 ; H G[ H H[ [� � �� � � �� � � � �����

��

��d d � � � � � � �³

F� 3 ; 3 ;� � � �� � �� � d ��)URP�SDUW�E��� 3 ;� � �d � � ���� ���7KHUHIRUH�� 3 ;� � �� � ����� �

G� 3 ; H G[ H H H[ [� � �� � � �� �� � �����

���

��� �� � � � � � � � � �³

H� 3 ; [ H G[ H H[[

[[

[� � �� � � � � �� � � � � � � � �³ �

�� � �� �

����7KHQ��[� �����OQ������� ������

���� D� 3 ;� � �� ��� ��E\�V\PPHWU\�

E� 3 ; [ G[ [� � � � � � � �

��

�� �� �� �� � ���� � �����

� �

��

� �

�� � ³

F� 3 ; [ G[ [� � � � � � �

�� d d

³�� �� �� �� �����

� �

� ��

� �

� �

G��3�;������� ��H��3�;�����RU�;�!������� ��

I�� 3 [ ; [ G[ [ [

[[

� � � � � � �� � ³�� �� �� �� � ����

��

7KHQ��[� �������

Page 63: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

���� D� 3 ;H

G[ H H

[

[

� � �! �

f f

�³��������

� ������

����

���� ����

E� 3 ;H

G[ H H H

[

[

� � ����� ��������

� �������

����

����

����

����

����� �� � � �

³ � �

F� 3 ;H

G[ H H

[

[

� � �� � �

³ ���������

� � �������

����

����

�����

G� 3 ; [H

G[ H H

[

[[ [

[� � ��� � �

³ �

����

����

����� ���

� �

���� �

����7KHQ�� H [� � ����� � � ��DQG�[� �������OQ����� ��������

���� D� 3 ; G[ [� � � ��

�! ³�� � � � � �

��

�� ��

��

�� ��

E� 3 ; [ G[ [ [

[[

� � � � ��

�! �³� �� � � � ���� ��� ��

�� ��

7KHQ���[� ������DQG�[� ������

F��(�;�� � [ G[ [� � ������ ������ ��

�� ��

�� ���

�� ��

�� ��� � �

³ �

����9�;�� � � � �� �

� � � � �

[ G[[

� �

� � ³ �� � �� ��

�� ����� � ����� � ������

�� ��

�� �� �

�� ��

�� ��

���� D� 3 ; G[ [� � � � � �

�� ³��� ��� ��� � ��

�� �

�� �

�� �

�� �

E��3�;��������RU�;�!������� �3�;�����������3�;�!�������EHFDXVH�WKH�WZR�HYHQWV�DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH��7KH

����UHVXOW�LV������������� ������

F� 3 ; G[ [� � � � � � � � � � �

��� � ��� ��� ��� ��� � � � ���

�� �

�� �

�� �

�� �� � ³

G��(�;�� � [ G[[

������

�������� ���� ��� ��

�� �

�� � �

�� �

�� �

��

� �

³ �

����9�;�� � � � �� � �

� � � � �

[ G[[

� �

� ³ �� ������ ��

�� ���� � ���� � �����

�� �

�� � �

�� �

�� �

���� D��3�;��������RU�;�!������� �3�;�����������3�;�!�������EHFDXVH�WKH�WZR�HYHQWV�DUH�PXWXDOO\�H[FOXVLYH��

����7KHQ��3�;��������� ���DQG

3�;�!������� � � � � �� ���

� ��

� �

G[

� � � �³ �

E��,I�WKH�SUREDELOLW\�GHQVLW\�IXQFWLRQ�LV�FHQWHUHG�DW�����PHWHUV��WKHQ� I [; � � � �IRU��������[��������DQG�DOO�

����URGV�ZLOO�PHHW�VSHFLILFDWLRQV�

F��(�;�� � � � �� ��� � ��

� �

� ��

� �

� �[G[ [

�� � �³ �

����9�;�� � � � �� � �

� � � � �

[ G[[

� �

� � ³ � �� �� � ��

�� ���� � ����� � ������

� �

� � �

� �

� �

Page 64: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

������%HFDXVH�WKH�LQWHJUDO� I [ G[[

[

� �

�³ �LV�QRW�FKDQJHG�ZKHWKHU�RU�QRW�DQ\�RI�WKH�HQGSRLQWV�[��DQG�[��DUH�LQFOXGHG�LQ�WKH

��������LQWHJUDO��DOO�WKH�SUREDELOLWLHV�OLVWHG�DUH�HTXDO�

6HFWLRQ����

����� D��3�;������ �3�;�d������EHFDXVH�;�LV�D�FRQWLQXRXV�UDQGRP�YDULDEOH�7KHQ��3�;������ )����� ��������� ������

E��3 ; 3 ;� � � � � � � � � � �! � d � �� � �� � � � �� � �

F��3 ; );� � � �� � � � � �

G��3 ; );� � � �! � � � � �

����� D��3 ; 3 ; );� � � � � � � � �� d �� �� �� �EHFDXVH�;�LV�D�FRQWLQXRXV�UDQGRP�YDULDEOH��7KHQ��

); � � � � � � � � ��� � �� �� � � � �� �

E��3 ; 3 ;� � � � � � �! � � d � �� � �� � �

F��3�;������� ��

G��3 ; 3 ; ) ); ;� � � � � � � �� � � � � d � � � � � � � � � ��

��

��

����� 1RZ��I [ H;[� � ��IRU�����[�DQG�) [ H G[ H H;

[[

[[

[� � ³ � �� � �

� ��

IRU�����[��7KHQ��) [

[

H [; [� �

d

� !

­

®°°

¯°°

� �

� �

����� 1RZ�� I [ [; � � � �� � �IRU������[�����DQG�) [ [ G[ [ [;

[ [ [

� � � � � � ³ ��

�� � � � � � ��

��

� �IRU������[�����

7KHQ��) [

[

[ [

[

� �

� � �

� �

� � d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

� �

� � � � � �

� �

����� 1RZ�� I [H [

� ��

� ����

�����IRU�[�!���DQG�) [

HG[ H

[[[

[� �

�� ³ �

����

����

�����

IRU�����[�

) [

[

H [[� �

��

d

� !

­

®°°

¯°°

� �

� �����

3 ; 3 ; ) H� � � � � �! � d � ����� � ���� � ���� �

Page 65: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� 1RZ��I�[�� ������IRU��������[��������DQG�) [ G[ [[

� � � � ��

³ ���� ��� �� ���� �

IRU��������[���������7KHQ�

) [

[

[ [

[

� �

� �

� � � � �

� �

� d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

� �� �

��� �� �� �� � �� �

� �� �

3 ; 3 ; )� � � � � � � �! � d � � �� � �� � �� � � � � � �EHFDXVH�;�LV�D�FRQWLQXRXV�UDQGRP�YDULDEOH�

����� I [ H [[� � � !�� ��

����� I [[

[

� �� �

� �

� �

d �

­

®°

¯°

� � � �

� � � �

����� I [[

[

� �� �

� � �

� � �

d �

­

®°

¯°

� �� � �

� � � ��

����� ) [ [G[ [[

[[

� � � �� ³ � � � ���

� � �

��

��IRU�����[�������7KHQ�

) [

[

[ [

[

� �

� �

d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

� �

� �� � �

� �

6HFWLRQ����

����� ( ; [G[[

� � � � ³ � �� � ���

��

9 ; [ G[[

� � � � � �� �

� �

³ � � �� � � ���

��

����� ( ; [ G[[

� � � � � ³ ���� �����

� ���

9 ; [ [ G[ [ [ [ G[

[[ [

� � � � � � � �

� � � �

� �³³ �

� �

���� ����

� ��� ����

��

� � ���

����

����

����

��

Page 66: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� ( ; [ G[[

� � � � ³ �

�� ���

��

9 ; [ [ G[ [[ [

G[

[ [ [

� � � � � �

� �

� � �§

©¨¨

·

¹¸¸³³

� �§

©

¨¨

·

¹

¸¸

��

���

���

��

���

��

��

�������

� � �� �

� � �

����� ( ; [G[ [� ��

� ³ � ���� ��

�� ���

�� ��

�� ��

9 ; [ G[ [ [ G[

[[ [

� � � � � �

� �

�³ � �³

� �

� �� � ��� ����

� ��� ����

� ����

�� ��

�� ���

�� ��

�� ��

��� ��

�� ��

����� ( ; [[

G[ [� � OQ � ³ ���

��� ��� ���

���

���

���

���

9 ; [[

G[ G[

[ [ [

[ [� � � � �

� � OQ � � �

� � � � � � �³ �³ �

� � �

��� �����

��� �

��� ��� �� ��� �� ����

���

���

� ��� ��

���

��� ��� �� �

� ����

���

����� ( ; [ [ G[ [� � ³ � �

f

f

� � ��

����� D��( ; [ H G[[� � � � ³� �

f

�� �

����8VLQJ�LQWHJUDWLRQ�E\�SDUWV�ZLWK�X� �[�DQG� GY H G[[ � ��� �� � ��ZH�REWDLQ

����( ; [H H G[H[ [

[

� � �� ��

� � ³ � � �

f

� �

f � �

f

��� �

��� �

��� �

���

��

����1RZ�� 9 ; [ H G[[� � � � � � � �³� �

f

� � ��� �� �

��8VLQJ�WKH�LQWHJUDWLRQ�E\�SDUWV�ZLWK� X [ �� � �� � � �DQG

��� GY H [ � ��� �� �� � ��ZH�REWDLQ� 9 ; [ H [ H G[[ [� � � � � � � �� � � � � � � �³� �

f

� �

f

�� � ��� �� �

�� �

��)URP�WKH

����GHILQLWLRQ�RI�(�;��WKH�LQWHJUDO�DERYH�LV�UHFRJQL]HG�WR�HTXDO���

����7KHUHIRUH�� 9 ;� � � � � � � � �� � ��� �

E��3 ; H G[ H H[ [� � � �� �

� �

� � �! ³ � � �

f

� �

f

� ��� �� � �����

� �

�� �

� �

�� � � �

Page 67: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D�

( ; [ G[ [

9 ; [ G[[

7KHUHIRUH 9 ;[

� � � �

� � � � � �� �

� � � �

³

�³ �

�� � �� ����

���� �� ������

�� ���

� ���

����

�����

����

����

����

���� �

����

����

V

E��&OHDUO\��FHQWHULQJ�WKH�SURFHVV�DW�WKH�FHQWHU�RI�WKH�VSHFLILFDWLRQV�UHVXOWV�LQ�WKH�JUHDWHVW�SURSRUWLRQ�RI�FDEOHV

ZLWKLQ�VSHFLILFDWLRQV�

6HFWLRQ����

����� D��(�;�� ������������� ������

9 ; DQG[

� �� � � �

� � � �

� � ��

��� � � ���

��

�V �

E��3 ; G[ [� � � � � ��

�� ³ � � � �� � �� � ����

� �

��

� �

����� D��(�;�� ���������� ����

9 ; DQG [� �� � ��

� � � � �

� �

��� � � ���

V

E��3 [ ; [ GW W [ [[

[

[

[

� � � � � �� � � ³ �

�� � � � �

�����7KHUHIRUH��[�VKRXOG�HTXDO������

����� D��I�[� �����IRU���������[����������(�;�� ������������������� �������

9 ; DQG [� �� � � �

� � � �

�� �� �� ��

��� ���� ����

V �

E��) [ GW[

� � ��

³ � ��� ��

�IRU���������[�����������7KHUHIRUH�

����) [

[

[ [

[

� �

� �

� � � �

� �

� d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

� �� ��

� �� � �� �� �� ��

� �� ��

F��3 ; )� � � � � � � � � � �� � �� � �� � � ��� �� � � �

����� D��7KH�GLVWULEXWLRQ�RI�;�LV�I�[�� ����IRU��������[���������1RZ��

) [

[

[ [

[

� �

� �

� � � �

� �

� d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

� � ��

�� � � � �� ���

� ���

E��3 ; 3 ; )� � � � � � � � � �! � d � ��� � ��� � ��� � �

F��,I�3�;�!�[� ������WKHQ�����)�;�� �������DQG�)�;�� �������7KHUHIRUH����[������� ������DQG�[� ������

G��(�;�� ����������������� ������DQG�9�;�� �� � � �

���� � ��

��� �����

��

Page 68: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��7KH�GLVWULEXWLRQ�RI�;�LV�I�[�� �����IRU����������[�����������7KHUHIRUH��

) [

[

[ [

[

� �

� �

� � � �

� �

� d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

� � ����

��� �� �� � ���� � ����

� � ����

E��3 ; )� � � � � � > � � � � @ �! � � � � ���� � � ���� � ��� � ���� �� �� � ��

F��,I�3�;�!�[� ������WKHQ�����)�;�� �������DQG�)�;�� �������7KHUHIRUH�����[��������� ������DQG�[� ��������

G��(�;�� ��������������������� ��������DQG�9�;�� �� � � �

�� ���� � ����

��� �� ��

���

u �

����� D��3 ; G[ [� � � � �! ³ �� �� �� � ���

��

��

��

E��3�;�!�[� �����DQG�3 ; [ GW [[

� � � � � �! �³ �� �� ����

1RZ���������[�� ������DQG�[� ���

F��(�;�� ������������� ����DQG�9�;�� �� �

��� ��

��� ��

��

6HFWLRQ����

����� D���������

E���������

F�������������� ��������G��3�=�!�������� �S�=��������� ��������H��3���������=��������� �3�=���������3�=�!������� ��������

����� D��3������=������ �3�=��������3�=�!������������� ���������������������������������� ��������

E��3������=������ �3�=��������>����3�=�����@������������ �������

F��3������=������ �3�=��������>����3�=�����@����������� �������

G��3�=�!���� �����3�=�������� ��������

H��3�����=������ �3�=��������3�=�������������� ����������������������� ��������

����� D��3�=��������� �����

E��3�=������ ����

F��,I�3�=�!�]�� ������WKHQ�3�=���]�� ������DQG�]� �����

G��,I�3�=�!�]�� ������WKHQ�3�=���]�� ������DQG�]� ������H��3���������=���]�� �3�=���]����3�=���������

�3�=���]����������������7KHUHIRUH��3�=���]�� ��������������� ���������DQG�]� �����

����� D��%HFDXVH�RI�WKH�V\PPHWU\�RI�WKH�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ��WKH�DUHD�LQ�HDFK�WDLO�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�PXVW�HTXDO�

������������7KHUHIRUH�WKH�YDOXH�LQ�7DEOH�,,�WKDW�FRUUHVSRQGV�WR�������LV��������7KXV��]� ������

E��)LQG�WKH�YDOXH�LQ�7DEOH�,,�FRUUHVSRQGLQJ�WR���������]� ������

F��)LQG�WKH�YDOXH�LQ�7DEOH�,,�FRUUHVSRQGLQJ�WR��������]� ����

G��)LQG�WKH�YDOXH�LQ�7DEOH�,,�FRUUHVSRQGLQJ�WR�����������]� �����

Page 69: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��3�;������� �3�=������������������ �3�=�������

����� ��������

E��3�;�!���� �����3�;�������� �����3�=��������������� �����3�=����������� �����>���3�=�������@��� �3�=�������

��� ���������

F��3�����;������� � 3 =� ��

�� ��

�� �

�§©̈

·¹̧

����������� �3������=���������������� �3�=�������3�=��������@����������� ��������

G��3�����;������ � 3 =� ��

� ��

�� �

�§©̈

·¹̧

���������� �3������=���������������� �3�=���������3�=���������������� ��������

H��3������;������ �3�;��������3�;������

������������ 3 = 3 =��§

©̈·¹̧� �

� �§©̈

·¹̧

� ��

� ��

������������ �3�=���������3�=������������������ ���������

����� D��3�;�!�[�� � 3 =[

!�§

©̈·¹̧

��

� ������7KHUHIRUH��

[ ���

�� ���DQG�[� ����

E��3�;�!�[�� � 3 =[

!�§

©̈·¹̧

��

��� ����� 3 =[

��§

©̈·¹̧

��

��� ������

����7KHUHIRUH�� 3 =[

��§

©̈·¹̧

��

� ������DQG�

[�102 � ��������&RQVHTXHQWO\��[� ������

F��3�[���;������� � 3[

=�

� �§©̈

·¹̧

��

��

����������� � 3 = 3 =[

� �� � ��§

©̈·¹̧

���

����������� ������� 3 =[

��§

©̈·¹̧

��

�� �����

����7KHUHIRUH�� 3 =[

��§

©̈·¹̧

��

� �����DQG�

[ ����

� ��������&RQVHTXHQWO\��[� ������

G��3������[���;��������[�� �3��[�����=���[������������� ������

����7KHUHIRUH��[��� ������DQG�[� �����

H��3������[���;��������[�� �3��[�����=���[������������� ������

����7KHUHIRUH��[��� ������DQG�[� �����

Page 70: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��3�;������� � 3 = ��§

©̈·¹̧

�� �

����� �3�=�������

����� ��������

E��3�;�!���� �3�=�!����������� �3�=�!���������� �����3�=������������ ��������

F��3�����;������ � 3 =� �

� �

�� �

�§©̈

·¹̧

��������� �3��������=���������������� �3�=����������3�=����������������� ��������

G��3������;������ � 3 =� �

� ��§

©̈·¹̧

� �

� �

������������ �3���������=����������������� �3�=��������3�=���������@������������ ��������

H��3�����;������ �3���������=����������������� �3�=�����������3�=������������������ ��������

����� D��3�;�!�[�� � 3 =[

!�§

©̈·¹̧�

� �����

����7KHUHIRUH��[� ���

E��3�;�!�[�� � 3 =[

!�§

©̈·¹̧�

�� ������

����7KHUHIRUH�� 3 =[

��§

©̈·¹̧�

�� �����

����7KHUHIRUH��[���

� ��������DQG�[� �������

F��3�[���;������ � 3[

=�

� �§©̈

·¹̧

�� � �����

����7KHUHIRUH��3�=��������3�=��� [���

� �����ZKHUH�3�=������ ���������

����7KXV�3�=���[���

�� �����������&RQVHTXHQWO\��[���

� ������DQG�[� ������

G��3�����;���[�� � 3 =[� �

�� �

�§©̈

·¹̧� ������

����7KHUHIRUH�� 3 =[

��§

©̈·¹̧�

����3�=��������� ������DQG� 3 =

[�

�§©̈

·¹̧�

����������� �������&RQVHTXHQWO\�

���� 3 =[

��§

©̈·¹̧�

� �����������%HFDXVH�D�SUREDELOLW\�FDQ�QRW�EH�JUHDWHU�WKDQ�RQH��WKHUH�LV�QR�VROXWLRQ�IRU�[��,Q

����IDFW��3�����;�� �3��������=�� �����������7KHUHIRUH��HYHQ�LI�[�LV�VHW�WR�LQILQLW\�WKH�SUREDELOLW\�UHTXHVWHG����FDQQRW�HTXDO������

H��3�����[���;������[�� � 3[

=[� �

� �

� �� �

� �§©̈

·¹̧

����� � 3[

=[�

� �§©̈

·¹̧� � �����

����7KHUHIRUH��[��� ������DQG�[� �������

Page 71: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��3�;��������� � 3 = ��§

©̈·¹̧

���� ����

���

� ��������� �3�=�������

��������� ��������

E��3��������;��������� �3������=������������ �3�=���������3�=������������ ��������

F��3�;�!�[�� � 3 =[

!�§

©̈·¹̧

����

���� ������

����7KHUHIRUH��[��������

� �������DQG�[� ������

����� D��3�;������� � 3 = ��§

©̈·¹̧

�� ��

����� �3�=�������

����� ��������

E��3�;������� � 3 = ��§

©̈·¹̧

�� ��

������ �3�=�������������� ��������

����� D��3�;�!������� � 3 = !�§

©̈·¹̧

� �� ��

� ��

� �

�������� �3�=�!���

�������� �����3�=������������� ��������

E��3��������;��������� �3��������=����������� �3�=����������3�=������������ ���������������������� ��������

F��3�;���[�� � 3 =[

��§

©̈·¹̧

��

� ��

�� ������

����7KHUHIRUH��[�� �� ��

��

� ������DQG�[� �������

����� D��3�;������� �3�=����� �� �

� �� ��

�� �3�=�������# �

E��3�;��������� � 3 = ��§

©̈·¹̧

��� �� �

��

� �

�������� �3�=�������������� ��������

����DQG

����3�;�!������� � 3 = !�§

©̈·¹̧

�� � �� �

��

� �

�������� �3�=�!���

�������� ���������

����7KHUHIRUH��WKH�SURSRUWLRQ�RI�FDQV�VFUDSSHG�LV������������������� ��������

F��3��������[���;����������[�� ������

����7KHUHIRUH�� 3[

=[

� � �§©̈

·¹̧�� ��� �� �����

����&RQVHTXHQWO\�� 3 =[

�§©̈

·¹̧��� �������DQG�[� ����������� �������

����7KH�OLPLWV�DUH�������������������

Page 72: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��,I�3�;�!����� ��������WKHQ� 3 = !�§

©̈·¹̧

��

��

P

�� �������

����7KHUHIRUH����

� �

�P�

�������DQG� P � ��������

E��,I�3�;�!����� ��������WKHQ� 3 = !�§

©̈·¹̧

��

� ��

P

� �������

����7KHUHIRUH����

� ��

�P�

�������DQG� P � ���������

����� D��3�;�!������ � 3 = !�§

©̈·¹̧

�� � �

� ��

� �

������ �3�=�!���

������ ������������������ ��������

E��3�������;�������� �3�����=�����

�3�=��������3�=����� ��������

F��3�;�!�[�� �������WKHQ� 3 =[

!�§

©̈·¹̧

� �

� ��

�� ������

����7KHUHIRUH��[�� �� ��

��

� �������DQG�[� �������

������ D��3��������;�� � 3 =�� � �� �

��

� �

��

§©̈

·¹̧

�������� �3�����=�

�������� �3�=�!���

�������� �����3�=������������� ������������������� ���������

����3�;��������� � 3 = ��§

©̈·¹̧

�� � �� �

��

� �

�������� �3�=������������� # � �

���7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV���������

E��7KH�SURFHVV�PHDQ�VKRXOG�EH�VHW�DW�WKH�FHQWHU�RI�WKH�VSHFLILFDWLRQV��WKDW�LV��DW� P � ������

F��3��������;��������� � 3 =�� � ��

��

�� � ��

��

�� �

�§©̈

·¹̧

��� �3������=������ ��������

����� D��3��������;��������� � 3 =�� � ��

��

�� � ��

��

�� �

�§©̈

·¹̧

��� �3������=�������� ��������

E��3�;�����������3�;�!������

����

��§

©̈·¹̧�

�!

�§©̈

·¹̧

� � � !

� � � � �

3;

3;

3 = 3 =

3 = 3 =

��

��

�� � ��

��

��

��

�� � ��

��

� �

� � �

� ����

� �

� � � �

� � � � ��

Page 73: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��3������;������� � 3 =�� ���

��

�� ���

��

�� �

�§©̈

·¹̧

������������� �3��������=�������� ������������� �3�=���������3�=��������

������������� ���������

E��3�;�!�[�� �������7KHUHIRUH�� 3 =[

!�§

©̈·¹̧

���

��� ������DQG�

[������

� ��������&RQVHTXHQWO\��[� �������

������ D��3�;��������� � 3 = ��§

©̈·¹̧

���� ����

���

��������� �3�=������������������ ���������

E��3�;�!�[�� �������7KHUHIRUH�� 3 =[

!�§

©̈·¹̧

����

���� ������DQG�

[��������

� ���������&RQVHTXHQWO\��[� ������

����� D��3�;�!��������� � 3 = !�§

©̈·¹̧

� ���� � ���

� ����

� �

������������ �3�=�!�����

������������ ���������

E��3����������;����������� �3��������=������������������� ���������

F��3����������;����������� � 3 =� ���� � ��� � ���� � ���� � � ��

� ��§

©̈·¹̧V V

�� ������������ � 3 =�

� �§©̈

·¹̧

� ���� � ����� �

V V�

����7KHUHIRUH�� 3 = �§©̈

·¹̧

� �����

V ����������&RQVHTXHQWO\��

� �����V � ������DQG� V � ����������

����� D��3�;�!����� � 3 = !�§

©̈·¹̧

�� ��

���

����� �3�=�!���

����� ��������

E��,I�3�;������� ��������WKHQ� 3 = ��§

©̈·¹̧

�� ��

V� �������

����7KHUHIRUH����� V � ������DQG� V � �������� �������

F��,I�3�;������� ��������WKHQ� 3 = ��§

©̈·¹̧

��

��

P

�� �������

����7KHUHIRUH����

� �

�P�

� ������DQG� P � �������

Page 74: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6HFWLRQ����

�����

��� ��� ��� ��� ��� ���

3UHVVXUH 6WUHQJWK

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

FXPXO�

SHUFHQW

����7KH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�DSSHDUV�UHDVRQDEOH���7KLV�LV�HYLGHQW�E\�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�IDOOV�DORQJ�D�

����VWUDLJKW�OLQH�

�����

�� �� ��� ��� ��� ���

0DFKLQH��

1RUPDO�3UREDELOLW\�3ORW

����

����

����

����

����

����

����

����

����

FXPXO�

SHUFHQW

Page 75: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�� �� �� ��� ��� ��� ���

0DFKLQH �

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

FXPXO�

SHUFHQW

����<HV��KRZHYHU��PDFKLQH���KDV�JUHDWHU�YDULDELOLW\���1RWH�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�KRUL]RQWDO�VFDOHV�

�����

��� ��� ��� ��� ���

0DFKLQH � � $GMXVWHG

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

FXPXO�

SHUFHQW

����7KH�YDULDELOLW\�EHWZHHQ�SDUWV�LV�JUHDWO\�UHGXFHG���1RZ��PDFKLQH���KDV�ORZHU�SDUW�WR�SDUW�YDULDELOLW\�WKDQ�

����PDFKLQH�����1RUPDOLW\�VWLOO�ORRNV�UHDVRQDEOH�

Page 76: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

�����

� �� �� ��� ��� ���

)DLOXUH 7LPH

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

FXPXO�

SHUFHQW

����7KH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�DSSHDUV�WR�EH�UHDVRQDEOH���7KLV�LV�HYLGHQW�E\�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�IDOO�DORQJ�

D�VWUDLJKW�OLQH�

6HFWLRQ����

����� D��(�;�� ���������� �����9�;�� ��������������� ����DQG� V; �� �

����7KHQ�� 3 ; 3 = 3 =� � � � � �d # d�§

©¨

·

¹¸ d ��

�� ��

����� � ���

E�� 3 ; 3 = 3 =� � � � � ��� ���� ��

��

�� ��

����� ���� d #

�� d

�§

©¨

·

¹¸ � � d

�������������� � � � ��� � � ��� ���� � � � �

����� D� � � � �3 ;� � � � � � � � � �� §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸�

���

��� � �

���

��� � �

���

��� � �

���

��� � �� ��� � �� � �� � ��

���� � �����

E��(�;�� �����9�;�� ��������������� ���DQG�V; � �

����7KHQ�� 3 ; 3 = 3 =� � � � � � �� # � � � �� � � ���� ��

F�� 3 ; 3 = 3 =� � � � � � �� ��� ��

�� ��

�� �� � �� � ���� � #

�� �

�§©̈

·¹̧ � � �

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�GHIHFWLYH�FKLSV�LQ�WKH�ORW�

7KHQ��(�;�� ������������ �����9�;�� ������������������ ������

D�� 3 ; 3 = 3 = 3 =� ��

� � � � � � �! # !�§

©¨

·

¹¸ ! � d ��

�� ��

�� ���� � ��� ����

E�� 3 ; 3 = 3 =� � � � � � ��

�� �� � � � ����

�� �� � # � � � �

������������� d � � � 3 = 3 =� � � � � � � �� �� � � ����� �� � ���

Page 77: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�;� �QXPEHU�RI�GHIHFWLYH�LQVSHFWHG�SDUWV

(�;�� ����������� ��

9�;�� ����������������� �����

D��3�;������ �3�;�d���� ����

� �� � �� ���

L

L L

L

§

©¨

·

¹¸ �

¦ � � � � � � �������

E� 3 ; 3 = 3 =� ��

� � � �� # ��§

©¨

·

¹¸ � � �

� �

� ��� �� � �����

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�RULJLQDO�FRPSRQHQWV�WKDW�IDLO�GXULQJ�WKH�XVHIXO�OLIH�RI�WKH�SURGXFW��7KHQ��;�LV�D

ELQRPLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�S� �������DQG�Q� ������$OVR��(�;�� ������������� �����DQG

9�;�� ������������������� ��������

3 ; 3 = 3 = 3 =� ��

�� � � �t # t

�§

©¨

·

¹¸ t � � � �

� � �

������� � �� � � � �

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�SDUWLFOHV�LQ��� FP� �RI�GXVW��7KHQ��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�

O �� ���� �� ���� � � ��$OVR��(�;�� � O �� ���� �DQG�9�;�� � O� ��� ��

3 ; 3 = 3 =� � �� �

� � �! # !�§

©¨¨

·

¹¸¸ ! �� ���

�� ��� �� ���

��

� ���

����� (�;�� ��������� ���DQG�9�;�� �������������� ����

D�� 3 ; 3 ; 3 = 3 =� � � � ��

�� � �d d # d

�§

©¨

·

¹¸ d �� � �

� � �

� ����

���� � d � � ��� � ���� ����3 =� � � � �

E�� 3 ; 3 = 3 = 3 =� ��

�� � � � � �d # d

�§

©¨

·

¹¸ d � � d�

� � �

� ���� � ���

���� � � � ��� � ���� �

F�� 3 ;� � � � � � � � �d §

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ �

��

��� � �

��

��� � �

��

��� � � ����� �� � �� � ��

����7KH�SUREDELOLW\�FRPSXWHG�XVLQJ�WKH�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ�LV�FORVHU�

G�� 3 ; 3 ; 3 = 3 =� � � � ��

�� � � �� d # d

�§

©¨

·

¹¸ d �� � �

� � �

� ���� � ���

����� (�;�� ��������� ���DQG�9�;�� �������������� ����

D�� 3 ; 3 ; 3 = 3 =� � � � ��

�� � � �t t # d

�§

©¨

·

¹¸ t � � ��

�� �

� ���� � ���

E�� 3 ; 3 = 3 =� ��

� � � �t # t�§

©¨

·

¹¸ t � �

� �

� ����� � ���

F�� 3 ; 3 ;� � � � � � � � �t � � �§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸ � � � �

��

��� � �

��

��� � � � ���� �� � ��

����7KH�SUREDELOLW\�FRPSXWHG�XVLQJ�WKH�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ�LV�FORVHU�

G�� 3 ; 3 ; 3 ; 3 =� � � � � � � � � � �! t t # t � � �� � ��� � ��

Page 78: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

������ (�;�� ��������� ���DQG�9�;�� �������������� ����

D�

3 ; 3 ; 3 =

3 = 3 = 3 =

� � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � �

� � �� � �

��� � ��� � ��� ���

� ��� � � ����� � ���

�� �

� �

� � �

� �

d d d d # d d

� d d d � d �

� �

� �

E�

3 ; 3 = 3 =

3 =

� � � � � � �

� � � �

� � � � �

� �

� � ���� �

� � ����

� � � � ��� � ���

� �

� �

� �

� �

d d # d d � d d

� d �

� �

� �

7KH�H[DFW�SUREDELOLW\�LV������

����� (�;�� ��������� ���DQG�9�;�� �������������� ����

D�

3 ; 3 ; 3 =

3 =

� � � � � � � �

� � � � �

d d # d d

d d

� ��� � � �� �

���� � ��� � ���

� � �

� �

�� � �

� �

E�

3 ; 3 ; 3 =

3 =

� � � � � � � �

� � � � �

d d # d d

� d d

� �� � � � �

� ��� � ��� ����

� � �

� �

� � �

� �

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�GHIHFWLYH�FKLSV�LQ�WKH�ORW��7KHQ��;�LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ������DQG�S� �������$OVR��

(�;�� ������������ ����DQG

9�;�� ������������������ ������

D�

���

3 ; 3 ;

3 ; 3 =

3 = 3 = 3 =

� � � �

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� � �

�� �� �� ��

�� � �� �

� ��� ��� ��� ���

� ��� � ��� � ���

�� � ��

�� �

�� � ��

�� �

� � d d

d d # d d

d d d � d

� �

E�

���

3 ; 3 ; 3 =

3 =

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

d d # d d

� d d � �

� ��� �� � �� �

� ��� ���� � ��� � � ��� � ��

�� � ��

�� �

�� � ��

�� �

F��%HFDXVH�WKH�DUHD�XQGHU�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�GHQVLW\�DORQJ�DQ�LQWHUYDO�RI�IL[HG�OHQJWK�LV�JUHDWHVW�ZKHQ

���WKH�LQWHUYDO�LV�FHQWHUHG�DW�WKH�PHDQ�RI�WKH�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ���[� ����

Page 79: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6HFWLRQ����

����� D�� 3 ; H G[[� �d �³� �

O O

E�� 3 ; H G[ H H[ [� � �t � �f

�f

�³� � � �����

F�� 3 ; H G[ H H[ [� � �d � � � � �³� � � ������

��

��

G�� 3 ; H G[ H H H[ [� � �� � � ������

��

�� �� � � � � � � �³

H�� 3 ; [ H GW H HW[

W[

[� � �d � � � � �³ � � � ���

� �DQG�[� �������

����� ,I�(�;�� �����WKHQ� O ��� �

D�� 3 ; H G[ H H[ [� � � �� �! � �f

�f

�³�� �� � ������

��

��

��

E�� 3 ; H H[� � ��! � �f

��� �������

��

F�� 3 ; H H[� � ��! � �f

��� � ������

��

G�� 3 ; [ H GW H HW[

W[

[� � � �� � �� � � � � �³ �� � � ����

��

�� �DQG�[� �������

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�WLPH�XQWLO�WKH�ILUVW�FRXQW��7KHQ��;�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O � �FRXQWV�SHU�PLQXWH�

D�� 3 ; H G[ H H[ [� � � �

� �

! � �f

�f

�³�� � � �����

� �

� �

E�� 3 ; H G[ H H[ [� � �� �

�� � � � � �³����

� ��

� �� �� � � ����

F�� 3 ; H H H[� � �� � ������

�� �� � � � � � �

����� D��(�;�� ���O� ����� �������PLQXWHVE��9�;�� ���O�� ������ ��������V� �������

F��3 ; [ H GW H HW[

W[

[� � �� ³ � � � � �� � � ���

� ��[� �������

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�WLPH�XQWLO�WKH�ILUVW�FDOO��7KHQ��;�LV�H[SRQHQWLDO�DQG�O � ���( ;� ��FDOOV�PLQXWH�

D��3 ; H G[ H H[ [

� � �! ³ � �

f�

f

��� � �����

��

��

��

��

��

E��7KH�SUREDELOLW\�RI�DW�OHDVW�RQH�FDOO�LQ�D����PLQXWH�LQWHUYDO�HTXDOV�RQH�PLQXV�WKH�SUREDELOLW\�RI�]HUR�FDOOV�LQ

����D����PLQXWH�LQWHUYDO�DQG�WKDW�LV�3�;�!�����

����3 ; H H[

� � ��! � �

f

��� � ������

��

� � �

����7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV����������� ���������$OWHUQDWLYHO\��WKH�UHTXHVWHG�SUREDELOLW\�HTXDOV

����3�;������� ��������

Page 80: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

F��3 ; H

[

H H� � �� �� �� �� � �����

��� � � �� � � �

� �

G��3�;���[�� ������DQG�3 ; [ H HW [

[� � ��� � � �

���

��� � �� ��7KHUHIRUH��[� �������PLQXWHV�

����� /HW�;�EH�WKH�OLIH�RI�UHJXODWRU��7KHQ��;�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O � � �� � � �( ;

D��%HFDXVH�WKH�3RLVVRQ�SURFHVV�IURP�ZKLFK�WKH�H[SRQHQWLDO�GLVWULEXWLRQ�LV�GHULYHG�LV�PHPRU\OHVV��WKLV

����SUREDELOLW\�LV

3�;������ � ��

� �

��� � ����H G[ H H[ [� � � �³ � � � �

E��%HFDXVH�WKH�IDLOXUH�WLPHV�DUH�PHPRU\OHVV��WKH�PHDQ�WLPH�XQWLO�WKH�QH[W�IDLOXUH�LV�(�;�� ���\HDUV�

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�WLPH�XQWLO�D�PHVVDJH�LV�UHFHLYHG��7KHQ��;�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�YDULDEOH�DQG�

O � � �� � � �( ; �

D��3�;�!���� � ��

� �

� �

� � ����H G[ H H[ [� �f f

� �³ � � �

E��7KH�VDPH�DV�SDUW�D�

F��(�;�� ���KRXUV�

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�WLPH�XQWLO�WKH�DUULYDO�RI�D�WD[L��7KHQ��;�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�

O � ��� � � �( ; �DUULYDOV��PLQXWH�

D��3�;�!����� � �� � ����� � � �

��

��

� �� �H G[ H H[ [� �f

�f

� ³

E��3�;������� � �� � � ����� � � �

���

��

� �� �H G[ H H[ [� � � � � ³

����� D��3�;�!�[�� � �� ��� � � � � �� �� � �H GW H HW W

[

[

[

� �f

�f

� ³ �DQG�[�� �������PLQXWHV�

E��3�;���[�� �����LPSOLHV�WKDW�3�;�!�[�� ������7KHUHIRUH��WKLV�DQVZHU�LV�WKH�VDPH�DV�SDUW�D�

F��3�;���[�� � � � � �H HW[

[� �

� �� � �� � � �DQG�[� ������PLQXWHV�

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�GLVWDQFH�EHWZHHQ�PDMRU�FUDFNV��7KHQ��;�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�

O � � �� � � �( ; �FUDFNV�PLOH�

D��3�;�!����� � � � ������ � � �

��

��

� �� �H G[ H H[ [� �f

�f

� ³

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FUDFNV�LQ����PLOHV�RI�KLJKZD\��%HFDXVH�WKH�GLVWDQFH�EHWZHHQ�FUDFNV�LV

����H[SRQHQWLDO��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O �� � � �� � � �FUDFNV�SHU����PLOHV��3�<� ����

H�

� ��

�� ����

��

F�� V O; � �� �PLOHV�

����� D��3 ; H G[ H H H[ [� � � �� � ��� �� � � � ����� � � �

��

��

��

��� � �� � �³ � � � � �

E��3�;�!���� � � �f

�H H[� �

� � ����� � ��%\�LQGHSHQGHQFH�RI�WKH�LQWHUYDOV�LQ�D�3RLVVRQ�SURFHVV��WKH�DQVZHU

����LV� � ���� � ������ � ��$OWHUQDWLYHO\��WKH�DQVZHU�LV�3�;�!����� � H� � ������ ��7KH�SUREDELOLW\�GRHV

����GHSHQG�RQ�ZKHWKHU�RU�QRW�WKH�OHQJWKV�RI�KLJKZD\�DUH�FRQVHFXWLYH�

F��%\�WKH�PHPRU\OHVV�SURSHUW\��WKLV�DQVZHU�LV�3�;�!����� ��������IURP�SDUW�E�

Page 81: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�OLIHWLPH�RI�DQ�DVVHPEO\��7KHQ��;�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�

O � � ���� � � �( ; �IDLOXUHV�SHU�KRXU�

D��3�;�������� � ����

��� ���

���� ��

���

� � ����H G[ H H[ [� � � � � ³� � � �

E��3�;�!������ � � �f

�H H[� � ����

���

� � � ����

F��)URP�WKH�PHPRU\OHVV�SURSHUW\�RI�WKH�H[SRQHQWLDO��WKLV�DQVZHU�LV�WKH�VDPH�DV� SDUW�D���3�;�������� ��������

����� D��/HW�8�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�DVVHPEOLHV�RXW�RI����WKDW�IDLO�EHIRUH�����KRXUV���%\�WKH�PHPRU\OHVV�SURSHUW\�

����RI�D�3RLVVRQ�SURFHVV��8�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q� ����DQG�S� ��������IURP�([HUFLVH��������7KHQ��

� �3 8 3 8� � � � � � � � �t � � � � � � � � ���� � � ���� � ������� � ��

E��/HW�9�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�DVVHPEOLHV�RXW�RI����WKDW�IDLO�EHIRUH�����KRXUV���7KHQ��9�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP

����YDULDEOH�ZLWK�Q� ����DQG�S� �3�;���������ZKHUH�;�GHQRWHV�WKH�OLIHWLPH�RI�DQ�DVVHPEO\�

����1RZ��3�;�������� � ����

���

������

����� � ����H G[ H H[ [� � �

³ � � � � � �

����7KHUHIRUH��3�9� ����� � � ����� �� �� ���� � � ���� � ����� � � � �� �

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LQ���KRXUV��%HFDXVH�WKH�WLPH�EHWZHHQ�FDOOV�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�

YDULDEOH��WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LQ���KRXUV�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH��1RZ��WKH�PHDQ�WLPH�EHWZHHQ�FDOOV�LV

����KRXUV�DQG� O � � � �� � �FDOOV�SHU�KRXU� ���FDOOV�LQ���KRXUV��

3 ; 3 ; H H H H� � � �� � � �

�t � d � � � �ª

¬«

º

¼»

� � � �

� � � � ��

��

��

��

� ����� � � � � � � �

����� /HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�DUULYDOV�LQ�RQH�KRXU��,I�WKH�WLPH�EHWZHHQ�DUULYDOV�LV�H[SRQHQWLDO��WKHQ�WKH�FRXQW�RI�

DUULYDOV�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�DQG� O � �DUULYDO�SHU�KRXU�

3�<�!���� �� � � ��

��

��

��

� ����� � � � � � � �

� d � � � �ª

¬«

º

¼»

� � � �

3 < H H H H� �� � � �

����� D��)URP�([HUFLVH�������3�<�!���� ����������/HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�RQH�KRXU�LQWHUYDOV�RXW�RI����WKDW�

����FRQWDLQ�PRUH�WKDQ���DUULYDOV��%\�WKH�PHPRU\OHVV�SURSHUW\�RI�D�3RLVVRQ�SURFHVV��:�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP

� ����YDULDEOH�ZLWK�Q� ����DQG�S� ��������

����3�:� ���� � � ���� � �� �� ���� � � ���� ��� ��� � � � �� u �

E��/HW�;�GHQRWH�WKH�WLPH�EHWZHHQ�DUULYDOV��7KHQ��;�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O � �DUULYDOV�

����SHU�KRXU��3�;�!�[�� �����DQG�3 ; [ H GW H HW

[

W

[

[� � �! ³ � �f

�f

�� � �� � � ���7KHUHIRUH��[� �������KRXUV�

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LQ����PLQXWHV��%HFDXVH�WKH�WLPH�EHWZHHQ�FDOOV�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�

YDULDEOH��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O � � �� � � �( ; �FDOOV�SHU�PLQXWH� ���FDOOV�SHU����PLQXWHV�

D��3�;�!���� �� � � � �������

���

���

���

�� d � � � �ª

¬«º¼»

� � � �

3 ; H H H H� � �� � � �

E��3�;� ���� � H�

���

�� �����

��

F��/HW�<�GHQRWH�WKH�WLPH�EHWZHHQ�FDOOV�LQ�PLQXWHV��7KHQ��3 < [� � �t � ���DQG

���3 < [ H GW H HW W

[[

[� � � � � �t �³ � �ff

��� � � � � � � ���7KHUHIRUH�� H [� � � � ��� � �DQG�[� �������PLQXWHV�

Page 82: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��)URP�([HUFLVH�������3�<�!������ � � � ��� ��� � � �

��� ���

�� �� �� �H G\ H H\ \� �f f

� � �³ u �

E��%HFDXVH�WKH�FDOOV�DUH�D�3RLVVRQ�SURFHVV��WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LQ�GLVMRLQW�LQWHUYDOV�DUH�LQGHSHQGHQW��)URP

����([HUFLVH������SDUW�E���WKH�SUREDELOLW\�RI�QR�FDOOV�LQ�RQH�KDOI�KRXU�LV� H� � � ������ ��7KHUHIRUH��WKH

����DQVZHU�LV� > @H H� � � u��

�� �� �� ��� ��$OWHUQDWLYHO\��WKH�DQVZHU�LV�WKH�SUREDELOLW\�RI�QR�FDOOV�LQ�WZR

����KRXUV��)URP�SDUW�D��RI�WKLV�H[HUFLVH��WKLV�LV� H��� �

F��%HFDXVH�D�3RLVVRQ�SURFHVV�LV�PHPRU\OHVV��SUREDELOLWLHV�GR�QRW�GHSHQG�RQ�ZKHWKHU�RU�QRW�LQWHUYDOV�DUH

����FRQVHFXWLYH��7KHUHIRUH��SDUWV�D��DQG�E��KDYH�WKH�VDPH�DQVZHU�

����� D��3 ; H G[ H H[ [� � �� �! ³ � f

� �f

�TT

T

T T

T

� � � ����

E��3 ; H H[� � ��! � �f

�� � �����

�T T

T

F��3 ; H H[� � ��! � �f

�� � �����

�T T

T

G��7KH�UHVXOWV�GR�QRW�GHSHQG�RQ� T �

����� ;�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O � �� �IODZV�SHU�PHWHU�

D��(�;�� ��� O � �PHWHUV�

E��3�;�!����� � � � ������ � � �

�� ��

�� �� �H G[ H H[ [� �f f

� �³

F��1R��VHH�([HUFLVH������SDUW�F�

G��3�;���[�� �������7KHQ��3�;���[�� � � �� �H HW[

[� �

� ��� � ���7KHUHIRUH��� � �� �� �H [� � �DQG�[� �������

����� 3�;�!���� � � � � ����� � � �

� �� �H G[ H[� �f

� ³

7KH�GLVWDQFH�EHWZHHQ�VXFFHVVLYH�IODZV�LV�HLWKHU�OHVV�WKDQ���PHWHUV�RU�QRW��7KH�GLVWDQFHV�DUH�LQGHSHQGHQW�DQG

3�;�!���� ���������/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�XQWLO�WKH�GLVWDQFH�H[FHHGV���PHWHUV��7KHQ��<�LV�D

JHRPHWULF�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�S� ��������

D��3�<� ���� � � � � � �� � ���� � ���� � ������ �

E��(�<�� ���������� ������

����� ( ; [ H G[[� � � ³�

f

O O

�8VH�LQWHJUDWLRQ�E\�SDUWV�ZLWK�X� �[�DQG�GY� � O OH [� �

7KHQ��( ; [H HH[ [

[

� � � � � ³ �

�f

�f � f

O OO

OO

� � �

9�;�� � � � �[ H G[[�³f

�� �

�O

OO �8VH�LQWHJUDWLRQ�E\�SDUWV�ZLWK�X� �� �[ � �

O�DQG

GY� � O OH [� ��7KHQ�

9 ; [ H [ H G[

[ H G[

[ [

[

� � � � � �

� � � �

� � � �³

� �³

�f

�f

�f

� �

� � � �

�O

O

O

O

O O O

OO

7KH�ODVW�LQWHJUDO�LV�VHHQ�WR�EH�]HUR�IURP�WKH�GHILQLWLRQ�RI�(�;����7KHUHIRUH��9�;�� � � ���

O�

Page 83: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6HFWLRQ�����

����� D��7KH�WLPH�XQWLO�WKH�WHQWK�FDOO�LV�DQ�(UODQJ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O � �FDOOV�SHU�PLQXWH�DQG�U� ����

E��(�;�� ������ ���PLQXWHV���9�;�� ������� �����PLQXWHV�

F��%HFDXVH�D�3RLVVRQ�SURFHVV�LV�PHPRU\OHVV��WKH�PHDQ�WLPH�LV����PLQXWHV�

����� /HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LQ�RQH�PLQXWH��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O � �FDOOV�SHU�

PLQXWH�

D��3�<� ���� �H�

� ��

������

��

E��3�<�!���� �����3 <H H H

� �� � �

�d � � � � � �

� ��

�� ����

� � � � � �

����/HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�RQH�PLQXWH�LQWHUYDOV�RXW�RI����WKDW�FRQWDLQ�PRUH�WKDQ���FDOOV��%HFDXVH�WKH

����FDOOV�DUH�D�3RLVVRQ�SURFHVV��:�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�Q� ����DQG�S� ��������

����7KHUHIRUH��3�:� ����� � � ����� �� �� ���� � � ���� � ����� � � � �� �

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�SRXQGV�RI�PDWHULDO�WR�REWDLQ����SDUWLFOHV��7KHQ��;�KDV�DQ�(UODQJ�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�U� ���

DQG� O � ��� �

D��(�;�� �U

O

��

� ������

��SRXQGV�

E��9�;�� ���

� ����� ���

��� �DQG� V; ��� ��� ��� �� � �SRXQGV�

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�WLPH�XQWLO���PHVVDJHV�DUULYH�DW�D�QRGH��7KHQ��;�KDV�DQ�(UODQJ�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�U� ���DQG�

O �� �PHVVDJHV�SHU�PLQXWH�

D��(�;�� ������ �����PLQXWH� ����VHFRQGV�

E�9�;�� ��

��� ���

� � �PLQXWH

�� �����VHFRQG�DQG� V; � ���� PLQXWH� �������VHFRQGV�

F��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�PHVVDJHV�WKDW�DUULYH�LQ����VHFRQGV��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK

��� O �� �PHVVDJHV�SHU�PLQXWH� ���PHVVDJHV�SHU����VHFRQGV�

���3 < 3 < H H H H H� � � �

� � � � �t � d � � � � �ª

¬«º¼»

� � � � �

� � � �

� ����

���

���

���

���

���

G��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�PHVVDJHV�WKDW�DUULYH�LQ���VHFRQGV��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK

���� O � �� �PHVVDJHV�SHU���VHFRQGV�

���3 < 3 <� � � � � �t � d � � � � � � ���� � ����

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�ELWV�XQWLO�ILYH�HUURUV�RFFXU��7KHQ��;�KDV�DQ�(UODQJ�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�U� ���DQG�

O ��� ��HUURU�SHU�ELW�

D��(�;�� �U

O u� ��� �ELWV�

E��9�;�� �U

O���� �� u �DQG� V; u � �� �������� �ELWV�

F��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�HUURUV�LQ�����ELWV��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK

���� O �� �� ��� �� �HUURU�SHU�ELW� ���HUURU�SHU�����ELWV�

����3 < 3 < H H H� � � � �� � �

t � d � � �ª¬«

º¼»

� � �

� � � � � �������

���

���

Page 84: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��/HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FXVWRPHUV�WKDW�DUULYH�LQ����PLQXWHV��7KHQ��;�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�

����ZLWK� O � �� �DUULYDOV�SHU�PLQXWH� ���DUULYDOV�SHU����PLQXWHV�

���3 ; 3 ; H H H H� � � � �� � � �

! � d � � � �ª¬«

º¼»

� � � �

� � � � ��������

���

���

���

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FXVWRPHUV�WKDW�DUULYH�LQ����PLQXWHV��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH

����ZLWK� O � �DUULYDOV�SHU����PLQXWHV�

����

3 < 3 <

H H H H H

� � � �

�� � � � �

t � d

� � � � �ª¬«

º¼»

� � � � �

� � �

� � �������

���

���

���

���

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�WLPH�LQ�GD\V�XQWLO�WKH�IRXUWK�SUREOHP��7KHQ��;�KDV�DQ�(UODQJ�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�U� ���DQG�

O � ��� �SUREOHP�SHU�GD\�

D��(�;�� ��

�����

�� �GD\V�

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�SUREOHPV�LQ�����GD\V��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O �

����SUREOHPV�SHU�����GD\V�

3 < H H H H� � �� � � �

� � � �ª¬«

º¼»

� � � �

� � �������

���

���

���

����� D�� *� � �� � ���

E�� * * *� � � � � � ��

� � S

F�� * * *� � � � � � ��

��

��

� � S

����� *� �U [ H G[U [ ³� �

f�

��8VH�LQWHJUDWLRQ�E\�SDUWV�ZLWK�X� �[U � �DQG�GY� H�[��7KHQ�

* *� � � � � � � �U [ H U [ H G[ U UU [ U [ � � � ³ � �� �f

� �f

� � � �

������ I [ U G[[ H

UG[

U U [

� � � �� �

OO O

³ ³f � �f

� *��/HW�\� � O[ ��WKHQ�WKH�LQWHJUDO�LV�

OO

\ H

U

U \G\

� �f

³�

� *� ���)URP�WKH�GHILQLWLRQ�RI�

*� �U ��WKLV�LQWHJUDO�LV�UHFRJQL]HG�WR�HTXDO���

������ ,I�;�LV�D�FKL�VTXDUH�UDQGRP�YDULDEOH��WKHQ�;�LV�D�VSHFLDO�FDVH�RI�D�JDPPD�UDQGRP�YDULDEOH��1RZ��(�;�� �

U

O � � �

� � �

� �

� �� �DQG� 9 ;

U� �

� � �

� � � O� �

� �

� ��� �

6HFWLRQ������

������

( ;

9 ;

� � � � � �

� � � � > � �@ �

� �

� u

� � � u

��� � ��� � �� ���

��� � ��� � � �� ��

� �

� �

� �

� �

� �

� ��

*

* *

������ D��3 ; ) H H;� � � � �� �� � � � ������ ����� � � � �������

� �� ���

E��3 ; ) H;� � � � ��

! � ����� � ���� �������� �

Page 85: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

������ /HW�;�GHQRWH�OLIHWLPH�RI�D�EHDULQJ�

D��3 ; ) H;� � � � ��! � ����� � ���� � ����� ��

E�

����( ;� � � � � � �

� � � � � � �

����� � ����� ��

����� � � � � ���� ���� �

�* *

* SF��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�EHDULQJV�RXW�RI����WKDW�ODVW�DW�OHDVW������KRXUV���7KHQ��<�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP

����YDULDEOH�ZLWK�Q� ����DQG�S� ��������

� �3 <� � � � � � � � �� � ���� � � ���� � ��������� �� � �

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�OLIHWLPH�

D��( ;� � � � � � ��

� G* G* G� � � ����

� ��7KHQ� G ��� ���1RZ��3�;�!������ � H

� � �

��

� �

� ����

E��3�;�������� �� � �����

� �

� �

H� � �

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�OLIHWLPH

D��( ;� � � � � � ��� � ��� ��

�*

E�

���9 ;� � � � > � � �@

� � � � � � �

��� � ��� ��

��� � ��� � �� ��� ��� �

� � �

� �

* *

S

F��3�;�!�������� � H�

� � �

���� �

���

� ����

������ ;�KDV�DQ�H[SRQHQWLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� O � ����� ��7KHUHIRUH��(�;�� ������

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

������ D��3 ; I [ G[� � � �� ³� ��

E��3 ; [ G[ [[� � � � � � �! � � ³� � � � � � � ���

��

F��3 ; [ G[ [[� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � ��

�� �

� �

� �

� �

� � � � ³

������ ) [ W GW W [W[

[[

� � � � � � � � � �³ � � � � � ��

��

��

��7KHQ�

) [

[

[ [

[

[� �

� � d �

d

­

®

°°°

¯

°°°

� �

� � �

� �

Page 86: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

������ ( ; [ [ G[ [ [� � � � � � � � � � � � � ³ � � � � � � ��

��

���

��

��

9 ; [ [ G[ [ [ [ G[

[ [ [ G[ [ [ [[

� � � � � � � � �� � �

� � �

� � � � �³³

� � � � � �³

��

� � ��

���

��

� ��

� ��

���

��

� ��

� ���

��

� � � � � �

� �

�� ��

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�WLPH�EHWZHHQ�FDOOV��7KHQ�� O � � �� � � �( ; �FDOOV�SHU�PLQXWH�

D��3 ; H G[ H H[ [� � � �� � �� � � ³� � �� �� � � ����� � � �

�� �

E��3 ; H H H[� � �� � �� �� � ����� �

��� � ��� � � � � � �

F��3�;���[�� �������7KHQ��3 ; [ H GW HW [[

� � � �� �� � ³� ��� � � �� � � �

���1RZ��[� �������PLQXWHV�

������ D��7KLV�DQVZHU�LV�WKH�VDPH�DV�SDUW�D��RI�([HUFLVH�������

E��7KLV�LV�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�WKHUH�DUH�QR�FDOOV�RYHU�D�SHULRG�RI����PLQXWHV���%HFDXVH�D�3RLVVRQ�SURFHVV�LV

�����PHPRU\OHVV��LW�GRHV�QRW�PDWWHU�ZKHWKHU�RU�QRW�WKH�LQWHUYDOV�DUH�FRQVHFXWLYH��

3 ; H G[ H H[ [� � � �� � �! � ³� �

f

f

�� �� � ����� � � �

��

��

��

������ D��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LQ�RQH�PLQXWH��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK� O ��� �� ��

����3 < H� � �� ��

u� �� � �� ��� � � ��

� �

E��/HW�:�GHQRWH�WKH�WLPH�XQWLO�WKH�ILIWK�FDOO��7KHQ��:�KDV�DQ�(UODQJ�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� O ��� �DQG�U� ���

����(�:�� ������� ����PLQXWHV�

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�OLIHWLPH��7KHQ� O � � �� � � �( ; �

3 ; H G[ H H[ [� � �� � �� � � ³� � �� � � �����

� �

�� �

������ /HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�&38V�WKDW�IDLO�ZLWKLQ�WKH�QH[W�WKUHH�\HDUV��7KHQ��:�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP

YDULDEOH�ZLWK�Q� ����DQG�S� ���������IURP�([HUFLVH���������7KHQ��

� �3 : 3 :� � � � � � � � �t � � � � � � � � ���� � � ���� � ������� � �� �

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�ILEHUV�YLVLEOH�LQ�D�JULG�FHOO��7KHQ��;�KDV�D�3RLVVRQ�GLVWULEXWLRQ�DQG� O ���

ILEHUV�SHU� FP� � ��������ILEHUV�SHU�VDPSOH� �����ILEHUV�SHU�JULG�FHOO�

D��3 ; 3 ;H

� � � ��

��

t � � �

� � �� �

�� ����

� � �

E��/HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�JULG�FHOOV�H[DPLQHG�XQWLO����FRQWDLQ�ILEHUV��,I�WKH�QXPEHU�RI�ILEHUV�KDYH�D

����3RLVVRQ�GLVWULEXWLRQ��WKHQ�WKH�QXPEHU�RI�ILEHUV�LQ�HDFK�JULG�FHOO�DUH�LQGHSHQGHQW��7KHUHIRUH��:�KDV�D

����QHJDWLYH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�S� ����������&RQVHTXHQWO\��(�:�� ����������� �������FHOOV�

F��9�:�� ��� � � ����

� ������ � �

����7KHUHIRUH�� V: � ��� �FHOOV�

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�KHLJKW�RI�D�SODQW�

D��3�;!����� �3�=�!���������������� �3�=�!���� �����3�=�d ���� �����E��3�������;�������� �3������=������ ������

F��3�;�!�[�� ������ �3�=�!��[����������� ������DQG��[���������� ��������7KHUHIRUH��[� ������

Page 87: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

������ D��3�;�!������IURP�SDUW�D��RI�([HUFLVH�������LV�������

E��<HV��EHFDXVH�WKH�SUREDELOLW\�RI�D�SODQW�JURZLQJ�WR�D�KHLJKW�RI�����FHQWLPHWHUV�RU�PRUH�ZLWKRXW�LUULJDWLRQ�LV�

ORZ�

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�WKLFNQHVV�

D��3�;�!������ �3�=�!�������������� �3�=�!������ �������

E��3�������;�������� �3�� � � �� �� ���

���=��� � � �� �� ���

�� �3���������=�������� ������

����7KHUHIRUH��WKH�SURSRUWLRQ�WKDW�GR�QRW�PHHW�VSHFLILFDWLRQV�LV�����3�������;�������� �������

F��,I�3�;���[�� �������WKHQ�3�=���[�� �� �

��

�� ������&RQVHTXHQWO\��[�� �� �

��

� ������DQG�[� ������

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�GRW�GLDPHWHU���,I�3����������;����������� ���������WKHQ�

3 = 3 =� � � � �� � � � � �� ���� � ��� � ���� � ��� � ���� � ���� � ����� � �� � � � V V V V

��7KHUHIRUH�� � �����V

� ���DQG�

V � ����� �

������ ,I�3�������[���;���������[���WKHQ�3��[����������=���[��������� ����������7KHUHIRUH��[�������� ���DQG�[� �

��������7KH�VSHFLILFDWLRQV�DUH�IURP��������WR��������

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�OLIH�

D��3 ; 3 = 3 = 3 =� � � � � � � � �� � � � � d ����� � � � � ������� ����

���

E��,I�3�;�!�[�� ������WKHQ�3�=���[��������

�� ������&RQVHTXHQWO\��[��������

� �������DQG�[� ������KRXUV�

������ ,I�3�;�!��������� �������WKHQ�3�=�!��� ���

���

� �P�� �������7KHUHIRUH��

�� ���

���

� �P� �������DQG� P ������ �

������ 7KH�SUREDELOLW\�D�SURGXFW�ODVWV�PRUH�WKDQ�������KRXUV�LV� > � �@3 ; ! ����� � ��E\�LQGHSHQGHQFH��,I�

> � �@3 ; ! ����� � � �������WKHQ�3�;�!�������� ��������

7KHQ��3�;�!�������� �3 =� � �! ������

���� ����

P��7KHUHIRUH��

�����

���

�P� �������DQG� P ������ �KRXUV�

������ D��8VLQJ�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�WR�WKH�ELQRPLDO�ZLWK�Q� �����DQG�S� ��������ZH�KDYH�

����3�; ��� # d d �

d�

�d

�§

©¨¨

·

¹¸¸3 ; 3

; QS

QS S� � � �

� � � �

� � �� � � � �

� � � �

� � �� � �� � ��

� � �� � ����

�� � ���� � ���� �

�� �� � ����

�� � ���� � ����

���� �3�����]���������� ��

����8VLQJ�WKH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�GLUHFWO\��3�; ��� ����������������������� ������

E��3�;�t��� # t �

�t

�§

©¨¨

·

¹¸¸ t 3 ; 3

; QS

QS S3 =� � �

� �

� � � �

� � �� � �� � �� �

� � �� � ����

�� � ���� � ������ �� �

8VLQJ�WKH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�GLUHFWO\��3�;�t���� ��

������ 8VLQJ�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�WR�WKH�ELQRPLDO�ZLWK�;�EHLQJ�WKH�QXPEHU�RI�SHRSOH�ZKR�ZLOO�EH�VHDWHG�

����;�a%LQ�����������

D��3�;�d������ # d �

�t

�§

©¨¨

·

¹¸¸ d 3 ; 3

; QS

QS S3 =� � �

� �

� � �� � �� � � ���� �

��� � ���

��� � � ���� � ����

E��3�;�������� # d �

�t

�§

©¨¨

·

¹¸¸ d 3 ; 3

; QS

QS S3 =� � �

� �

� � �� � �� � � ���� �

��� � ���

��� � � ����� � �����

F��3�;�d������#��������8VLQJ�D�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ�RI�����DQG�VXFFHVVLYHO\�WU\LQJ�YDULRXV�YDOXHV�RI�Q�7KH�QXPEHU�RI�UHVHUYDWLRQV�WDNHQ�FRXOG�EH�UHGXFHG�WR�DERXW�����

Q =R 3UREDELOLW\�3�=���=��

��� ���� �������

��� ���� �������

��� ���� �������

Page 88: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������ D��3�;�!�[��LPSOLHV�WKDW�WKHUH�DUH�U�����RU�OHVV�FRXQWV�LQ�DQ�LQWHUYDO�RI�OHQJWK�[���/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�

����FRXQWV�LQ�DQ�LQWHUYDO�RI�OHQJWK�[��7KHQ��<�LV�D�3RLVVRQ�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�SDUDPHWHU� O[ ��7KHQ��

����3 ; [ 3 < U H [ [L

LL

U

� � � �� �

�! d � ¦ �

��

�O O

E��3 ; [ H [ [L

LL

U

� �� �

�d � ¦ �

��

�O O

F�� I [ ) [;G

G[ ;� � � �

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�GLDPHWHU�RI�WKH�PD[LPXP�GLDPHWHU�EHDULQJ��7KHQ��3�;�!�������� ����3 ;� � �d ���� ��$OVR��

; d ����� �LI�DQG�RQO\�LI�DOO�WKH�GLDPHWHUV�DUH�OHVV�WKDQ���������/HW�<�GHQRWH�WKH�GLDPHWHU�RI�D�EHDULQJ��7KHQ��

E\�LQGHSHQGHQFH� > @3 ; 3 < 3 =� � � > � � �@ � � � �� ��

d d d ����� ���� � ���� � ������ ���� ��

� ���

����

7KHQ��3�;�!�������� ��������

������ D��4XDOLW\�ORVV� �(N ; P N( ; P N� � � �� � � � �V ��E\�WKH�GHILQLWLRQ�RI�WKH�YDULDQFH�

E�

���

4XDOLW\ ORVV (N ; P N( ; P

N( ; P P ;

N( ; N P N P ( ;

� � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � �

>� � � � � �� �@

� � � � � � � ��

� �

� �

� �

P P

P P P P

P P P P

����7KH�ODVW�WHUP�HTXDOV�]HUR�E\�WKH�GHILQLWLRQ�RI�WKH�PHDQ���7KHUHIRUH��TXDOLW\�ORVV� � N N PV P� �� �� � �

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�DQ�DPSOLILHU�IDLOV�EHIRUH��������KRXUV��/HW�$�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�DQ�DPSOLILHU�

PHDQ�LV��������KRXUV��7KHQ�$�LV�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�PHDQ�RI�DQ�DPSOLILHU�LV��������KRXUV��1RZ��3�(�� �

3�(_$�3�$����3�(_$�3�$��DQG�

3 ( $ H G[ H H[ [� _ � ��

� ��

� ��

³ � � � � ��

�� ���

�� ���

�� ����� ���

�� ����� � ����

3 ( $ H H[� _ � �� ��

� � � � ��� ���

�� ���� �� � ���� �

7KHUHIRUH��3�(�� ����������������������������� �������

������ 3 ; W W ; W3 W ; W W

3 ; W� �

� �

� �� � ! � � �

!� � �� � �

��IURP�WKH�GHILQLWLRQ�RI�FRQGLWLRQDO�SUREDELOLW\��1RZ�

3 W ; W W H G[ H H H

3 ; W H H

[

W

W W[

W

W WW W W

[

W

W

� �

� �

� �� � �

� �

� �� � �

� � � ³ � �

! �

��

��

� � �

�f

O O O O O

O O

7KHUHIRUH��3 ; W W ; WH H

HH 3 ; W

W W

W

W� �

� �� �� � !

� � �

� �

�� � �

� �

��

��

O O

O

O

������ D�

3 ; 3 =

SSP

� � � �

� �

P V P V� �

� � � �

�� �� � ����

� � � � � � �

u �

E�

3 ; 3

SSP

;� � � � � �

� �

� � �P V P V P V

V� �� ��

� � � � � �

� � �� � �

� � � � � � �

u

� �

Page 89: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

&+$37(5��

6HFWLRQ����

���� )LUVW��I�[�\��t ����/HW�5�GHQRWH�WKH�UDQJH�RI��;�<��7KHQ�� I [ \

5

� � � � � � ¦ �

��

���� D��3�;��������<������ �I�������� ����

E��3�;�������� �I������������I���������� ����������� ����

F��3�<������ �I���������� ����

G��3�;�!������<�������� �I����������� ����

���� (�;�� ������������������������������ �������

(�<�� ����������������������������������� ������

���� D�

[ I�[�

��� ���

��� ���

� ���

E�� I \I \

I<;<

;��

��

���

� �� � � �

� � � �DQG� I; � � ��� � ������7KHQ�

\ I \< ���

� �

� ����������� ���

� ����������� ���

F�� I [I [

I;;<

<�

�� �

� � �

� � �DQG� I< � �� � ������7KHQ�

[ I [;_ � ��

��� ����������� �

G��(�<_; ����� ��������������� �����

���� /HW�5�GHQRWH�WKH�UDQJH�RI��;�<���%HFDXVH� I [ \ F5

� � � � �¦ � � � � � � � � � � � � � � � � � ������F� ����DQG�

F� �����

���� D��3 ; < I I I;< ;< ;<� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� � � � � ��

��

E��3�;� ����LV�WKH�VDPH�DV�SDUW�D�� ����

F��3 < I I I;< ;< ;<� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��

��

G��3 ; < I;<� � � � � � � � �� � � � �� � � ���

��

����

> @ > @

> @

� � � � � �

( ; I I I I I I

I I I

;< ;< ;< ;< ;< ;<

;< ;< ;<

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� �

� � � � �

� � �

u � u � u

� �� �� �� � �� � � � �

� �� � � � �

� � � �� � �����

��

��

��

��

��

9 ;� � � � � � � � � � � � � � � � � � �����

� �

��

��

� ��

��

��

� ��

��

( <

9 <

� � �

� � �

����

� ���

Page 90: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

���� D�

[ I [ I [ I [ I [; ;< ;< ;<� � � � � � � � � � � � �� � �

� ���

� ���

� ����

E�� I \I \

I< ;;<

;

� �� � �

� �

\ I \< ;

� �

� ������������ ���

� ������������ ���

� ������������ ���

F�� I [I [

I; <;<

<

� �� � �

� �

��DQG� I I I I< ;< ;< ;<� � � � � � � � � � � �� �� � � � � � ���

�� � �

[ I [; <

� �

� ������������ ���

� ������������ ���

� ������������ ����

G��(�<_; ��� ���������������������� �����

���� I [ \ DQG I [ \5

� � � � � �t ¦� �

����� D��3 ; < I I;< ;<� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � �

E��3 ; I I;< ;<� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �

F��3 < I I I;< ;< ;<� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � �

G��3 ; < I I;< ;<� � � � � � � � � � � �! � � � �� � � � �� �� �

�����

( ;

( <

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � �

� � � �

� � � � � �

� � � �

����� D��7KH�UDQJH�RI�;�LV�^�����`

E��7KH�UDQJH�RI�<�JLYHQ�WKDW�;� ���LV�^�������`

����� %HFDXVH�;�DQG�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�SULQWHUV�LQ�HDFK�FDWHJRU\�� ; < DQG ; <t t � d� � ��

����� D��7KH�UDQJH�RI��;�<��LV

3

21

0

y

x1 2 3

Page 91: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

/HW�+��0��DQG�/�GHQRWH�WKH�HYHQWV�WKDW�D�ELW�KDV�KLJK��PRGHUDWH��DQG�ORZ�GLVWRUWLRQ��UHVSHFWLYHO\��7KHQ�

[�\ I[\�[�\�

��� �������

��� ������

��� �������

��� ��������

��� ��������

��� �������

��� ��������

��� ��������

��� ��������

��� ��������

E�

[ I[�[�

� ��������

� �������

� ��������

� ��������

F�� I \I \

I<;<

;�

�� �

� � �

� � ��I[���� ��������

\ I<_��[�

� �������

� �������

� ��������

G��(�<_; ��� ����������������������������������� ���������

����� D��7KH�UDQJH�RI��;�<��LV�DOO�SDLUV�RI�LQWHJHUV�ZLWK� � ��d d[ �DQG� � ��d d\E��7KH�PDUJLQDO�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�;�<��LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ����DQG�S� ������������

F��%HFDXVH�;�DQG�<�DUH�LQGHSHQGHQW��3�;� ����<� ���� �3�;� ����3�<� ���� �

� � � ��

�� � ��

�� � ��� �� � �� � �� � �� � ����� � � � �

G�3 ; < 3 ; 3 <� � � � � � �d d d d� � � � �DQG�

� � � �3 ;� � � � � � �d � � � �� � �� � �� � �� � �����

�� � ��

�� � �� �DQG�

� �3 <� � � � � �d � � � �� � �� � �� � ������

�� � �� ��7KHQ��3 ; <� � � �d d � � � ����

����� %HFDXVH�WKH�PDUJLQDO�GLVWULEXWLRQ�RI�;�DQG�<�DUH�ELQRPLDO��(�;�� ���������� �������9�;�� ����������������

���������(�<�� ���������� �������9�<�� ���������������� �������

����� %HFDXVH�WKH�UDQJH�RI��;�<��LV�QRW�UHFWDQJXODU��;�DQG�<�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

����� I;< � � � � ��� � �� � �� �DQG� > @I I I I; ;< ;< ;<� � � � � � � � � � � �� �� �� �� � ��

�� � � �DQG�

> @I I I I< ;< ;< ;<� � � � � � � � � � � �� �� �� �� � ��

�� � � �

%HFDXVH� I I I;< ; <� � � � � � ��� � �z ��;�DQG�<�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

����� %HFDXVH�WKH�UDQJH�RI��;�<��LV�QRW�UHFWDQJXODU��;�DQG�<�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

����� %HFDXVH�WKH�UDQJH�RI��;�<��LV�QRW�UHFWDQJXODU��;�DQG�<�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

Page 92: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

6HFWLRQ����

����� D��3 ; I I I I;<= ;<= ;<= ;<=� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� ��� �� � � �

E��3 ; < I I;<= ;<=� � � � � � � � � � � � � � � ��� �� � � ��

F��3 = I I I I;<= ;<= ;<= ;<=� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� ��� �� � ��� � �� � �

G��3 ; RU = 3 ; 3 = 3 ; =� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

H��(�;�� ����������������� ����

����� D��3 ; <3 ; <

3 <� _ �

� � �

� �

� �

� � � ��

� � � � �

� �

��� � �

��� � � �� � ��� �

E��3 ; < =3 ; < =

3 =� � _ �

� � � �

� �

� � � ��

� � � � � �

� � �

��

�� � � ��� � ��� �

F��3 ; < =3 ; < =

3 < =� _ � �

� � � �

� � �

� ��

� � �� � �

� �

� ��

� �� � ��� �

����� I [I [

I; <=;<=

<=

� �� � � �

� � �

��

���DQG� I I I<= ;<= ;<=� � � � � � � � � � � ��� ��� ��� � �� �

[ I [; <=

� �

� ��������� ���

� ��������� ���

����� D�7KH�UDQGRP�YDULDEOHV�;�<��DQG�=�KDYH�D�PXOWLQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q� ����DQG� � ��

���S S DQG S� � �� �� � �� ��� � � � � � �

E��7KH�UDQJH�RI��;�<�=��LV�WKH�VHW�RI�QRQQHJDWLYH�LQWHJHUV�ZLWK�[�\�]� ����

F��;�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q� ����DQG�S� ������

G��%HFDXVH�;�LV�ELQRPLDO��(�;�� ����������� ���DQG�9�;�� ���������������� �����

����� D��3 ; < =� � � ��

� � �� � � � � �� �

��

� �� �� �� � �� ��� � ����� �� �

E�

����

3 ; < = 3 ; < = 3 ; < =� � � � � � � � � � � �

� � �� � � �

d �

� �� � � �� � � �� �

��

� �� �� �� � �� ��� � � ����� �� �

����%HFDXVH�WKH�SRLQW� � � � ���� � ��z �LV�QRW�LQ�WKH�UDQJH�RI��;�<�=��

F��%HFDXVH�;�LV�ELQRPLDO�� � � � �3 ;� � � � � � �d � � � �� � �� � �� � �� � �����

�� � ��

�� � ��

����� D��3 ; = <3 ; = <

3 <� � _ �

� � � �

� �

� � ��� � ��

���

%HFDXVH�<�LV�ELQRPLDO�� � �3 <� � � � � �� � �� � �� � ������

�� �� � �

7KHQ��3 ; = <� � � ��

� � �

� � �

�� � � ��

��

� � ��

� �� � �� � ��

� ����� ����

� �� �

E��3 ; <3 ; <

3 <� _ �

� � �

� �

� ��� ��

����1RZ��EHFDXVH�[�\�]� �����3�; ���< ���� �3�; ���< ����= ���

������

� �� �� �� � �� � �� � ����� �� ��

� � �� � � �

Page 93: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��7KH�UDQJH�FRQVLVWV�RI�QRQQHJDWLYH�LQWHJHUV�ZLWK�[�\�]� ���

E��%HFDXVH�WKH�VDPSOHV�DUH�VHOHFWHG�ZLWKRXW�UHSODFHPHQW��WKH�WULDOV�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�DQG�WKH�MRLQW

����GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�PXOWLQRPLDO�

F�� I [ ;<

<;

I [

I��

�� �

� � �

� � ��1RZ�� I< � �� �LV�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�WZR�RI�WKH�VHOHFWHG�SULQWHUV�KDYH�H[WUD�PHPRU\�

����7KHUHIRUH��WKH�PDUJLQDO�SUREDELOLW\�GLVWULEXWLRQ�RI�<�LV�D�K\SHUJHRPHWULF�GLVWULEXWLRQ�DQG

���� �� �� �

3 <� � � � � ������

���

���

���7KHQ�� I [ 3 ; [ <;< � � � � � �� � �DQG�WKLV�HTXDOV�WKH�QXPEHU�RI�VXEVHWV

����RI�VL]H�IRXU�WKDW�FRQWDLQ�[�SULQWHUV�ZLWK�JUDSKLFV�HQKDQFHPHQW����SULQWHUV�ZLWK�H[WUD�PHPRU\��DQG���[���

������[�SULQWHUV�ZLWK�ERWK�IHDWXUHV�GLYLGHG�E\�WKH�QXPEHU�RI�VXEVHWV�WKDW�FRQWDLQ���SULQWHUV��7KHUHIRUH��

� �� �� �� �

� �� �� �� �� �� �� �� �

I

I

I

;<

;<

;<

� � � �

� � � �

� � � �

� � �����

�� �����

� � � ����

��

��

��

���

��

��

��

���

��

��

��

���

)LQDOO\�

I ;<

<

I ;<

<

I ;<

<

;I

I

;I

I

;I

I

�� ��

��

����

��

�� ��

��

� � ���

� � ���

� ����

� � �

� � �

� � �

� �

� �

� �

����� 3�; [��< \��= ]��LV�WKH�QXPEHU�RI�VXEVHWV�RI�VL]H���WKDW�FRQWDLQ�[�SULQWHUV�ZLWK�JUDSKLFV�HQKDQFHPHQWV��\

SULQWHUV�ZLWK�H[WUD�PHPRU\��DQG�]�SULQWHUV�ZLWK�ERWK�IHDWXUHV�GLYLGHG�E\�WKH�QXPEHU�RI�VXEVHWV�RI�VL]H����

)URP�WKH�UHVXOWV�LQ�$SSHQGL[�,��LW�FDQ�EH�VKRZQ�WKDW

� �� �� �� �

3 ; [ < \ = ][ \ ]

� � � �

� � �

���

���IRU�[�\�]� ���

D��� �� �� �� �

3 ; < =� � � � � � � � �������

��

��

���

E��� �� �� �� �

3 ; < 3 ; < =� � � � � � � � � � � � � � ������

��

��

���

F��7KH�PDUJLQDO�GLVWULEXWLRQ�RI�;�LV�K\SHUJHRPHWULF�ZLWK�1� �����Q� ����.� �����7KHUHIRUH��(�;�� �Q.�1�

����������DQG�9�;�� ���������������>�����@� ��������

Page 94: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D�

3 ; < = 3 ; < = 3 =� � _ � � � � � � � �

ª

¬

«««

º

¼

»»»

ª

¬

«««

º

¼

»»»

§©¨

·¹¸§©¨

·¹¸§©¨

·¹¸

§©¨

·¹¸

§©¨

·¹¸§©¨

·¹¸

§©¨

·¹¸

� � � � � � �

��

��

��

���

��

��

���

� ����

E�

3 ; < 3 ; < 3 <� _ � � � � � � �

ª

¬

«««

º

¼

»»»

ª

¬

«««

º

¼

»»»

§©¨

·¹¸§©¨

·¹¸§©¨

·¹¸

§©¨

·¹¸

§©¨

·¹¸§©¨

·¹¸

§©¨

·¹¸

� � � � �

��

��

��

���

��

���

���

�����

F��%HFDXVH�;�<�=� ����LI�<� ���DQG�=� ����WKHQ�;� �����%HFDXVH�;�PXVW�HTXDO���� I; <=� �� � �

����� /HW�;��<��DQG�=�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�RYHQV�LQ�WKH�VDPSOH�RI�IRXU�ZLWK�PDMRU��PLQRU��DQG�QR�GHIHFWV��

UHVSHFWLYHO\�

D��3 ; < =� � � ��

� � �� � � � � � �

� � �� � � � �� ������ � �

E��3 ; < =� � � ��

� � �� � � � � � �

� � �� � � � �� � ����� � �

����� I [ \ I [ \ ];< ;<=5

� � � � � � � ¦ �ZKHUH�5�LV�WKH�VHW�RI�YDOXHV�IRU�]�VXFK�WKDW�[�\�]� �����7KDW�LV��5�FRQVLVWV�RI�WKH�

VLQJOH�YDOXH�]� ���[�\�DQG� I [ \[ \ [ \

IRU [ \;<[ \ [ \� � �

� �� ��� � � �

� �� d� ��

�� � � � �� ��

����� /HW�;�<��DQG�=�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�ELWV�ZLWK�KLJK��PRGHUDWH��DQG�ORZ�GLVWRUWLRQ���7KHQ��WKH�MRLQW�

GLVWULEXWLRQ�RI�;��<��DQG�=�LV�PXOWLQRPLDO�ZLWK�Q� ��DQG�S S DQG S� � �� �� � �� � �� � � � � � �

D�

����

3 ; < 3 ; < =� � � � � � �

� � �� � � �

u �

� � � � �

� � �� �� � �� � �� �� ��� � � �

E��3 ; < =� � � ��

� � �� � � � � � �

� � �� �� � �� � �� � ����� � �

����� )URP�(TXDWLRQ�������;�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q� ���DQG�S� ��������7KHQ��(�;�� ��������� ������

DQG�9�;�� ��������������� ��������

6HFWLRQ����

����� 'HWHUPLQH�F�VXFK�WKDW� F [\G[G\ F \ G\ F F[ \

��

��

����

�� �

�³ ³³ � � � �

7KHUHIRUH��F� ������

Page 95: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��3 ; < [\G[G\ \G\� � � � � � � ��

� � ³ ³³� � � � ��� � �������

� ����

E��3�;�������� �3�;��������<������EHFDXVH�WKH�UDQJH�RI�<�LV�IURP���WR����7KHUHIRUH��IURP�SDUW�D���WKH�DQVZHU

����LV��������

F��3 < [\G[G\ \G\\

� � � � ��� �

� � � � ��

� �������

����

� �

� ����� �

� �� � ³ ³³

G��3 ; < [\G[G\ \G\� � � � � � ��

��

! � � ³ ³³��� � � � �� � �������

��

����

� �

� �

H��( ; [ \G[G\ \G\\

� � ³ ³³ ���

����

��� �

��

��

I��)URP�WKH�V\PPHWU\�EHWZHHQ�;�DQG�<��(�<�� �(�;�� ��

����� D�� I [ I [ \ G\ [ \G\ [ IRU [; ;<[� � � � � � � � ³ ³ � �

����

����

��

� � � � �

E�� I \I \

I

\\<

;<

;��

�����

��

��

��

��

���

� �� � � �

� � �

� � �

� � � ���IRU�����\�����

F��(�<_; ����� � \ \ G\ \ G\\

[ [[

��� � �� ���

��

��

��

��

�§©̈

·¹̧

³ ³ �

� �

G�� I [I [

I

[[;

;<

<�

�����

���

�� �

� � �

� �

� �

� � ����IRU�����[�����

�����

� �F [ \ G\G[ [\ G[ F [ G[ F[

[\

[

[� ��³ � ³³ �³

� ��

��� � ��

7KHUHIRUH��F� ������

����� D��3�;������<������HTXDOV�WKH�LQWHJUDO�RI� I [ \;< � � � �RYHU�WKH�IROORZLQJ�UHJLRQ�

� � �

x

y

����7KHQ��

3 ; < [ \ G\G[ [\ G[ [ G[

[ [

[

\

[

[

[

� � � � �

� � �³ � ³³ � �³

� �ª

¬««

º

¼»»

� ��

��

��

� �

��� �

���

�������

���

��

Page 96: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

E��3�����;������HTXDOV�WKH�LQWHJUDO�RI�I [ \;< � � ��RYHU�WKH�IROORZLQJ�UHJLRQ�

� � �

x

y

3 ; [ \ G\G[ [\ G[

[ G[ [

[

[\

[

[

[

� � � �

� � �

� ��

��

��

��� �

��

��

��

���

� � �³ �³³

� �ª

¬««

º

¼»» ³

� �

F��3�<�!����LV�WKH�LQWHJUDO�RI� I [ \;< � � ��RYHU�WKH�IROORZLQJ�UHJLRQ�

�� �

x

y

3 < [ \ G\G[ [ \ G\G[[

[

[� � � � � � �! �³ � �³³³

� �

��

��

�� �����

���

� �

G��3�;������<������LV�WKH�LQWHJUDO�RI� I [ \;< � � � �RYHU�WKH�IROORZLQJ�UHJLRQ�

��

x

y

3 ; < [ \ G\G[ [\ G[

[ G[ [ [

[

\

[

[ [

� � � � �

� � �

� � �³ �³³

� � � �ª

¬««

º

¼»» ³

� ��

��

��

��� �

� �

���

� �

��

��

Page 97: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

H�

( ; [ [ \ G\G[ [ \ G[

[ [ G[ [ [

[

[[\

[

[� � � �

� �

�³ �³³

� �ª

¬««

º

¼»» ³

� ��

��

��

��� �

��

��

��

� � �

����� D�� I [; � � �LV�WKH�LQWHJUDO�RI� I [ \;< � � � �RYHU�WKH�LQWHUYDO�IURP�[�WR�[����7KDW�LV�� ���

� ���� I [ [ \ G\ [\[

;[

[\

[

[� � � � �³ �

ª

¬««

º

¼»» �

� ��

��

��

��

����IRU�����[�����

E�� I \ ;<;

\<

I \

I

\

��

���

��

�� �

� � �

� �

� �

��

����IRU�����\�����

6HH�WKH�IROORZLQJ�JUDSK�

� � �

x

y

I�������\��GHILQHG�RYHU�WKLV�OLQH�VHJPHQW<_�

F��(�<_; ��� � \\G\

\ \G\ \ \ G\

\ \�

� �

� � �����

� ��

� � �

��§©̈

·¹̧

³�

� ³ �§

©¨¨

·

¹¸¸³ � � �

G�� I [ ;<

<;I [

I��

�� �

� � �

� � �DQG� I \ [ \ G[ [\<

\[

\\

� � � � �³ �ª

¬

««

º

¼

»»

��

��

� �

��

���

����IRU� � �� d\ �

� � �

x

y

I�������[��GHILQHG�RYHU�WKLV�OLQH�VHJPHQW;_�

7KHUHIRUH�� I<� � �� � � �DQG� I [[

[; �

���

� �

�� �

� �

��IRU�����[����

����� F [\G\G[ F[

��

����³ ³ � ��7KHUHIRUH��F� �����

Page 98: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

����� D��3�;���<��� ��

��

����

�[\G\G[

[

³ ³ �

E��3���;���� ��

��

����

�[\G\G[

[

³ ³ �

F��3�<!�� ��

��

��

����

�[\G\G[

[

³ ³ �

G��3�;���<���� ��

��

��

���

�[\G\G[³ ³ �

H��(�;�� ��

��

��

���

�[ [\ G\G[

[� �³ ³

I��(�<�� �

��

���

�\ [\ G\G[

[� �³ ³

����� D��I�[�� ��

��

���

[\G\[[

³

E��I�<_; ��� I \

I

\\ [

� � �

� �

� �

� �

���

� �

��

� � ��

� �

G��I�\�� �

��

��

�[\G[

\³ ��WKHUHIRUH�I�;_< �� �

I [

I

[[

\ [� � �

� �

� �

� �

���

� �

�� � �

����� F H G\G[ F[ \[

� �f

³ ³� �

��

��� ���F� �����

����� D��3�;���<���� ��� ������� �

��

�H G\G[[ \

[� �

³ ³ �

E��3���;���� �� ������� �

��

�H G\G[[ \

[� �

³ ³ �

F��3�<�!���� �� � �

��

��H G\G[ H[ \[

� �f

³ ³

G��3�;����<��� ��� � ����� �

��

�H G\G[[ \

[� �

³ ³ �

H��(�;�� ���

��

� �

��

[H G\G[[ \[

� �f

³ ³

I��(�<�� ���

� �

��

\H G\G[[ \[

� �f

³ ³

����� D��I�[� �����

��

��

� �

� �� �H G\

H HH H[ \

[ [ [[ [� �

� �

� �

³ � � �� �

E��3�<_[ ��� I \

I

H

H H

H\

\� � �

� �� �

��

��

��

������ �

� �

� � �

� �

� �

� �

F��(�<_ [ �� ���������� \H ����������\

�G\³

Page 99: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

��

G��3�;_\ ��� �I [

I

H

HH

[[� � �

� �

��

��

� �

��

� �

� ���ZKHUH�I�\�� ��H��\

����� F H G\G[ F[ \

[

� �ff

³ ³� �

�����F� ���

����� D��3�;����<���� ��� � ����� ��

�H G\G[[ \

[

� �

³ ³ �

E��3���;���� ��� � ����� �

�H G\G[[ \

[

� �f

³ ³ �

F��3�<!��� ��� ��� � ������ �

� �

��

�H G\G[ H G\G[[ \ [ \

[

� �f

� �ff

³ � ³³ ³ �

G��3�;����<���� ��� � ������ ��

�H G\G[[ \

[

� �

³ ³ �

H��(�;�� ����

� �

[H G\G[[ \

[

� �ff

³ ³

I��(�<�� ����

��

� �

\H G\G[[ \

[

� �ff

³ ³

����� D��I�[�� ��� � �� � �� � �f

³[ \ [

[

G\ H

E��I�[ ��� ��H����I���\�� ���H����\

����3 < [H

HH

\\� _ �

� �

����

��

� �

�� �

F��(�<_[ ��� ��� � �� ��� �

� �

\H G\ \H G\\ \�f

�f

³ ³

G��I�\�� �����

� �

H G[H[ \

\� �

f �

³ ���I���� ���

�H�

����3�;_\ ��� ���

��

�� �

��H

HH

[[

� �

����� 7KH�JUDSK�RI�WKH�UDQJH�RI��;��<��LV

0

1

23

45

1 2 3 4

y

x

Page 100: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

FG\G[ FG\G[

F [ G[ F G[

F F F

[

[

[

��

� �

� � � �

³³ � ³³

�³ � ³

� �

7KHUHIRUH��F� ������

����� D��3 ; < G\G[� � � � ��

��� � ³³ � � � � �

� ��

� �

� ����

E��3 ; G\G[ [ G[[

� � � � � � ��

�� ³³ �³

� � ��� �

� ��� �

� ����

��

���

F�

����

( ; G\G[ G\G[

[ [ G[ [ G[

[[

[

[

[� �

� � � � � � � � �

� �

� � �

³ �³ ³³

�³ � ³ �

� ��

� ��

�� �

��� �

�����

��

�� �

���

� �

G�

����

� � � �

( < \G\G[ \G\G[

G[ G[

[ [ G[ [G[

[

[

[

[ [ [

� �

� �

� �

� �

� � � �

³ �³ ³³

³ � ³

� �³ � ³

� � � �

�� �

��� �

�� �

��

��� �

� �

��

���

����

���

��

���

����

� � �

� � �

��

����� I�[�� �

� �

� � � �

��

� � �G\ G\

[

[

[[� �³³

��

����� D�

> @

I [ H G\

H H G\

H H G\

H

;

[ [ \ \

[ \ [ [

[\ [

[

� � �

� �

� � �

� � � � �� � � �

� � � � � � � � � �

�� � �

> � � � @

�� � �

³

³

³

�f

f � � � � � � �ª

¬«º

¼»

� �

�f

f � � � � � �­®¯

½¾¿

� �

�f

f � � � �

� � �f

f

���

� �� � � �

���

� � � � � � �� �

���

� � �� � � �

���

� � �

�� ��

� �

�� ��

� �� ��

� �

��

� ���

�� � �

S

S

S

SS

³

� � �

� f � � f

� �

H

\ [

G\

HIRU [

[

� �

� � �

� � � � �

� ��

� � �

� � �

> � � � @

� � �S

S

����EHFDXVH�WKH�LQWHJUDO�RI�D�QRUPDO�SUREDELOLW\�GHQVLW\�LV�RQH�

Page 101: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�7KH�PDUJLQDO�GLVWULEXWLRQ�RI�;�LV�UHFRJQL]HG�WR�EH�QRUPDO�ZLWK� P V; ;DQG � ���7KHUHIRUH�

(�;�� ���

�����

I \I \

I

H H

\

< ;;<

;

\

� �� � �

� �

� �

> @ �

�� � �

�� ��

� � �

� ��

� � �

���

� �

S

S

S

7KHUHIRUH��WKH�FRQGLWLRQDO�GLVWULEXWLRQ�RI�<�JLYHQ�WKDW�;� ���LV�QRUPDO�ZLWK� P V< ; < ;DQG � � �� �

����� /HW�;��<��DQG�=�GHQRWH�WKH�WLPH�XQWLO�D�SUREOHP�RQ�OLQH�������DQG����UHVSHFWLYHO\�

D�

����3 ; < = 3 ; 3 < 3 =

3 ;

� � � � � � � � � �

> � �@

! ! ! ! ! !

!

�� �� �� �� �� ��

�� �

�EHFDXVH�WKH�UDQGRP�YDULDEOHV�DUH�LQGHSHQGHQW�ZLWK�WKH�VDPH�GLVWULEXWLRQ��1RZ�

3 ; H G[ H H[ [� � � �! ³ � �f

�f

��� ���

��

��

��

��

��DQG�WKH�DQVZHU�LV� � �H H� � ��

� � ����� �

E��3 ; < = 3 ;� � � � > � �@�� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � �DQG

3 ; H H H[� � �� ��� �� � ������

��

��� � �� � � � � � � �

7KH�DQVZHU�LV� � ���� � ������ � �

6HFWLRQ����

����� D��3 ; [\] G]G\G[ [\ G\G[ [ G[ [� � � � � � � � � �� � ��

� ³³³ ³ ³³� � � � � � ���

� �

� ��

� �

� �

E�

3 ; < [\] G]G\G[

[\ G\G[ [ G[ [

� � � � � � �

� � � � � �

��

� ���

� � ³³³

³ ³³

� � � � �

� � ��

� ����

� �

� �

� �

��

� �

� �

� �

F��3�=�������� ����EHFDXVH�WKH�UDQJH�RI�=�LV�IURP���WR���

G��3�;�������RU�=������ �3�;����������3�=��������3�;��������=�������1RZ��3�=������ ��DQG�3�;��������=�����

���� �3�;����������7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV���

H��( ; [ \] G]G\G[ [ G[ [� � � � � � � ³³ ³³ � ��

� ��

��

���

Page 102: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��3 ; <� � � �� � � � � �LV�WKH�LQWHJUDO�RI�WKH�FRQGLWLRQDO�GHQVLW\� I [; < � � ����1RZ�� I [I [

I;;<

<� �

� �

� �� � �� � � �

� � � �

�����DQG

���� I [ \ [\] G] [\;< � � � � � ³ � ��

�IRU�����[�����DQG�����\������$OVR�� I \ [\] G]G[ \< � � � � ³ ³ � �

�����IRU�����\������7KHUHIRUH�� I [[

[; � ��

��� � � �IRU�����[�����

����7KHQ��3 ; < [G[� � � � ��

� ³ � � � � � � ���

� ��

E��3 ; < =� � � � � �� � � � � � � � �LV�WKH�LQWHJUDO�RI�WKH�FRQGLWLRQDO�GHQVLW\�RI�;�DQG�<��1RZ�� I ] ]= � � � �IRU

���������]�����DV�LQ�SDUW�D��DQG� I [ \I [ \ ]

I ]

[\[\;< =

;<=

=� � �

� � � �

� �

� � �

� � �

� � �

� � �� �IRU�����[�����DQG

���������\������7KHQ��3 ; < = [\ G\G[ [ G[� � � � � � � � � � � �� ��

� � ³ ³ ³� � � � � � � � � �����

� �

� ����

� �

����� D�� I \ ] [\] G[ \]<= � � � � � ³ � ��

��IRU�����\�����DQG�����]�����

7KHQ�� I [I [ \ ]

I \ ]

[[; <=

;<=

<=� �

� � � �

� � �

� � �� � �

� � �� � �

� � � � �

� � � � �� �IRU�����[�����

E��7KHUHIRUH��3 ; < = [G[� � � � � � ��

� ³ � � � � � � � � ���

� �

����� D� FG]G\G[

[ \

��

�� �³³³

� d

� �WKH�YROXPH�RI�D�F\OLQGHU�ZLWK�D�EDVH�RI�UDGLXV���DQG�D�KHLJKW�RI���

���� � �S S� � ��� ��7KHUHIRUH��F� ��

��S

E��3 ; <� �� � �� d �HTXDOV�WKH�YROXPH�RI�D�F\OLQGHU�RI�UDGLXV���DQG�D�KHLJKW�RI����� ��S��WLPHV�F��7KHUHIRUH�

�����WKH�DQVZHU�LV��

��� �

SS � �

F��3�=������HTXDOV�KDOI�WKH�YROXPH�RI�WKH�UHJLRQ�ZKHUH� I [ \ ];<= � � � � �LV�SRVLWLYH�WLPHV���F��7KHUHIRUH��WKH

����DQVZHU�LV�����

G��( ; G]G\G[ [\ G[ [ [ G[[F

[

[

F

[

[

F� � � � ³³³

ª

¬

«««

º

¼

»»»

³ ³ �

� �

�� �

� ��

��

��

��

� � ��8VLQJ�VXEVWLWXWLRQ�

X [ �� � ��GX� ���[�G[��DQG�( ; XGX [F F

� � � � ³ � �

� � ��

�� �

�� � �

Page 103: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�� I [I [

IDQG I [ \ G] IRU [ \;

;<

<;< F F�

�� �

� ��

��� �

� � �

� �� � � ³ � �

S�

$OVR�� I \ G]G[ \< F

\

\

F� � ³³ �

� �

�� �

� �IRU������\�����

7KHQ�� I [F

\; \

F

� ��

�� ��HYDOXDWHG�DW�\� ����7KDW�LV�� I [;�

� �� � �IRU� � � �� �[ �

7KHUHIRUH��3 ; < G[� _ � �� � ³ �

� �� �

� �� ����

��

� �

E�� I [ \I [ \

IDQG I ] G\G[ [ G[;<

;<=

== F

[

[

F��

�� �

��

��

�� � �� � � �

� �� � ³ �³³

� �

��

����%HFDXVH� I ]= � � �LV�D�GHQVLW\�RYHU�WKH�UDQJH�����]�����WKDW�GRHV�QRW�GHSHQG�RQ�=�� I ]= � � ����IRU�����]�����

����7KHQ�� I [ \F

;<��

� �

�� � �

S

����IRU� [ \� � �� � ��7KHQ��3 [ \ =DUHD LQ [ \

� _ � �� �� �

� ��

�� �� �

� �

S�

����� I ]I [ \ ]

I [ \= [\;<=

;<� �

� � � �

� � � �DQG�IURP�SDUW�D��� I [ \ IRU [ \;< � � � � ��

�� � �

S���7KHUHIRUH��

I ]= [\ � � �

�����

� �S

S

��IRU�����]�����

����� /HW�;�GHQRWH�WKH�SURGXFWLRQ�\LHOG�RQ�D�GD\��7KHQ��

3 ; 3 = 3 =� � � � � � �! ! ! � ����� � � ��������� ����

������

D��/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�GD\V�RXW�RI�ILYH�VXFK�WKDW�WKH�\LHOG�H[FHHGV�������7KHQ��E\�LQGHSHQGHQFH��<

����KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q� ���DQG��S� ����������7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV�

� �3 <� � � � � � � � � � ���� � � ���� � ������ � � �

E��$V�LQ�SDUW�D���WKH�DQVZHU�LV

���� � �3 < 3 < 3 <� � � � � �

� � � � � �

t �

� �

� � �

� ���� � � ���� � ���� � ������ � �

����� D��/HW�;�GHQRWH�WKH�ZHLJKW�RI�D�EULFN��7KHQ��3 ; 3 = 3 =� � � � � � � ���

! ! ! � ���� � � ������ �� �� ��

�� ����/HW�<�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�EULFNV�LQ�WKH�VDPSOH�RI����WKDW�H[FHHG������SRXQGV��7KHQ��E\�LQGHSHQGHQFH��

����<�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q� ����DQG�S� ����������7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV

���� � �3 <� � � � �� � ����� � ������� �� �

E��/HW�$�GHQRWH�WKH�HYHQW�WKDW�WKH�KHDYLHVW�EULFN�LQ�WKH�VDPSOH�H[FHHGV������SRXQGV��7KHQ��3�$�� ������3�$�

����DQG�$�LV�WKH�HYHQW�WKDW�DOO�EULFNV�ZHLJK�OHVV�WKDQ������SRXQGV��$V�LQ�SDUW�D���3�;��������� �3�=������DQG

���3 $ 3 =� � > � �@ � � � � � � ������ �

Page 104: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ����

����� (�;�� ����� �����

(�<�� ������ ������

(�;<�� �>� � ��� ��@� � �>� � ��� ��@� � �>� � ��� ��@� � �>� � ��� ��@�

��� � �� ������

u u u u u u u u

9�;�� ������� 9�<�� �������

V

UV

V V

;<

;<;<

; <

� ��� ��� � ��� � ����

� ���

� � � �� � � �

����� (�;�� ����� ��

(�<�� ���� ��

(�;<�� �>�� ��� ��@� � �>���� ��� ��@� � �>��� ��� ��@� � �>� ��� ��@�

�� ������

u � u u � u u u u u� � � �9�;�� �������

9�<�� �����

V

UV

V V

;<

;<[\

[ \

� ��� � � � ���

� � �� � �

�����

����

F [ \ F F

( ; ( < ( ;<

( ; ( < 9 ; 9 <

\[

[\

� � � �

� � � � � �

� � � � � � � �

�¦ ¦

�§©̈

·¹̧

� �

�� � ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� ����

V

U

����� (�;�� �������������������� �����

(�<�� �������������������� �����

9�;�� ������� 9�<�� �������

(�;<�� ��u �u ������� �������

V U;< ;<( ; ( < DQG � � ���� � �� � � � �

����� )URP�([HUFLVH�������F �����

)URP�([HUFLVH�������(�;�� �������DQG�(�<�� ����

1RZ�(�;<�� ��

V

U

[\

( ; ( <

Y [ Y \

�§©̈

·¹̧§©̈

·¹̧

���

����

� �

� �� � ��

���

� �� � ��� ����

� �

� � � �

� � � � � � �

� ��

Page 105: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� )URP�SUREHP�����F��DQG�����G����(�;�� ��������(�<�� ��������UHVSHFWLYHO\�

1RZ��(�;<�� �( ;< G\G[ G\G[[\

[[\

[

[� � �

� � ³ �³ ³³

� ��

� ��

�� ���� �

V

U

[\

( ; ( <

Y [ Y \

� ���� ��� ���� �����

� ���� � ���

���� �����

�����

���� ����� �����

� �

� � � �� � � �

� � � � � �

� � � � � � �

� ��

�����

����

( ; [H G\G[

( ; [ H G\G[

9 ;

( < \H G\G[

[ \

[

[ \

[

[ \

[

� � �

� �

� � � � � �

� � �

� �

� �

� �

u ³³

u ³³

u ³³

� � �ff

� � �ff

� � �ff

� �� ��� ��

� �� �������

������� ��� �� ���������

� �� ��� ��

� ��� ���

� � � ��� ���

� ��� ���

����

( < \ H G\G[

9 <

( ;< [\H G\G[

[ \

[

[ \

[

[\

� �

� � � � � �

� �

� � �� � � �

� ��

� �

� �

� � � ��� ���

� ��� ���

� �� ��������

�������� ��� �� ���������

� �� �������

������� ��� �� ��� �� ���������

���������

��������� ��������������

u ³³

u ³³

� � �ff

� � �ff

V

U

����� D��(�;�� ����(�<�� ��

( ;< [\H G[G\

[H G[ \H G\

( ; ( <

[ \

[ \

� �

� � � �

³³

³ ³

� �ff

�f

�f

��

� �

7KHUHIRUH�� V U;< ;< � �

E��(�;�� ����������������������� �����(�<� ���(�;<� �

����7KHUHIRUH��V;< �U;<� �����+RZHYHU��3�< ��� �����DQG�3�< �_; ���� �����7KHUHIRUH��;�DQG�<�DUH�QRW�����LQGHSHQGHQW�

����� 6XSSRVH�WKH�FRUUHODWLRQ�EHWZHHQ�;�DQG�<�LV�U���IRU�FRQVWDQWV�D��E��F��DQG�G��ZKDW�LV�WKH�FRUUHODWLRQ�EHWZHHQ�WKH�UDQGRP�YDULDEOHV�8� �D;�E�DQG�9� �F<�G"

1RZ��(�8�� �D�(�;����E��DQG��(�9�� �F�(�<����G�

$OVR��8���(�8�� �D>�;���(�;��@�DQG�9���(�9�� �F>�<���(�<��@���7KHQ��

V V89 ;<( 8 ( 8 9 ( 9 DF( ; ( ; < ( < DF � � � � ^> � �@> � �@` ^> � �@> � �@`

$OVR�� V V V V8 ; 9 <

( 8 ( 8 D ( ; ( ; D DQG F� � � � � � � � � � � > � �@ > � �@ �� 7KHQ�

UV

V V

U

U89

;<

; <

;<

;<

DF

D F

­

®°

¯°� � � �

LI�D�DQG�F�DUH�RI�WKH�VDPH�VLJQ

� LI�D�DQG�F�GLIIHU�LQ�VLJQ

Page 106: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ,I�;�DQG�<�DUH�LQGHSHQGHQW��WKHQ� I [ \ I [ I \;< ; <� � � � � � � �DQG�WKH�UDQJH�RI

�;��<��LV�UHFWDQJXODU��7KHUHIRUH��( ;< [\I [ I \ G[G\ [I [ G[ \I \ G\ ( ; ( <; < ; <� � � � � � � � � � � � � � ³³ ³ ³

6HFWLRQ����

�����y

x

1

1 2

(2,1)

%HFDXVH� U ! � ��WKH�PDMRU�D[LV�RI�WKH�HOOLSVH�KDV�SRVLWLYH�VORSH�DQG�LW�LV�FHQWHUHG�DW�[� ���DQG�\� ���

����� %HFDXVH� U � �DQG�;�DQG�<�DUH�QRUPDOO\�GLVWULEXWHG��;�DQG�<�DUH�LQGHSHQGHQW���7KHUHIRUH�

3��������;����������������<��������� �3��������;���������3��������<���������

3 = 3 =� � � �

� �

� �

� �

� �� �� ��

� �� �� ��

� �� � ��� ��

� �� � ��� ��

�� ���� � ����

� � � �� � � �

�����

I [ \ G[G\; <

H

;

;

<

< G[G\

;H

;

; G[<H

<

< G\

;<

[ \

[ \

� � �

� � � �

� � � �

�f

f

�f

f

�ª

¬

«««

º

¼

»»»

�f

f

�f

f

��ª

¬

«««

º

¼

»»»

�f

f�

�ª

¬

«««

º

¼

»»»

�f

f

³³

ª

¬

««««««

º

¼

»»»»»»

³³

ª

¬

««««««

º

¼

»»»»»»

³

ª

¬

««««««

º

¼

»»»»»»

³

��

��

��

���

S

P P

S

P

S

P

V VV V

VV

VV

DQG�HDFK�RI�WKH�ODVW�WZR�LQWHJUDOV�LV�UHFRJQL]HG�DV�WKH�LQWHJUDO�RI�D�QRUPDO�SUREDELOLW\�GHQVLW\�IXQFWLRQ�IURP

�f��WR�f���7KDW�LV��HDFK�LQWHJUDO�HTXDOV�RQH�

Page 107: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�����

I [

; <

H

;

;

; <

; <

<

< G\

;H

;

;

<

H

<

<

;

;

;

;

;

[ [ \ \

[ \ [ [

� �

� � � �� � � �

� � � � � � � �

��

ª

¬

«««««««

º

¼

»»»»»»»

³

³�

� ��

� ��

�ª

¬

«««

º

¼

»»»

�f

f

� �

��f

f� �

��ª

¬«

º

¼» �

�ª

¬«

º

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

SV V

V V V V

V

V

V

V V V

U

U

P U P P P

S

U

P

S U

U

P U P U P

¼»

­

®°

°̄

½

¾°

¿°

��

��f

f� �

��ª

¬««

º

¼»»

³�

� �

� �

� �

� �

G\

;H

;

;

<

H

<

<

;

;G\

[ \ [

S

P

S U

U

P U P

V

V

V

V V� �

� � � � � �

7KH�ODVW�LQWHJUDO�LV�UHFRJQL]HG�DV�WKH�LQWHJUDO�RI�D�QRUPDO�SUREDELOLW\�GHQVLW\�ZLWK�PHDQ� PV

VU P

<[< ;;

��� �

DQG�YDULDQFH� V U<� ��� �� ��7KHUHIRUH��WKH�ODVW�LQWHJUDO�HTXDOV�RQH�DQG�WKH�UHTXHVWHG�UHVXOW�LV�REWDLQHG�

����� ( ; ( < 9 ; DQG 9 <; < ; <� � � � � � � � � � � P P V V� � ��$OVR�

( ; <[ \ H

;

;

; \ <

; <

<

<

G[G\; <; <

[ [ \

; <

� �� �� �� �

� � � � �� � � �

� � �� �

� �

��

��

ª

¬

«««

º

¼

»»»

�³³

� � �

�f

f

�f

f

P PP P

V

PV V V

SV V U

U

P U P P� �

� �

� �

� � �

/HW�X ;;

DQG Y <<

[ \

� �P

V

P

V��7KHQ��

> @

( ; <XYH

GXGY

XYHGXGY

; <

X XY Y

; <

X Y Y

; <

� �� �

� �

� � �

� �

� �

ª¬«

º¼»

�³³

��­

®¯

½¾¿

�³³

� �

�f

f

�f

f

� �

�f

f

�f

f

P PS U

V V

S UV V

U

U

U

U U

� �

� �� �

� �

� �

� �� � �

� �

� � �

� � �

7KH�LQWHJUDO�ZLWK�UHVSHFW�WR�X�LV�UHFRJQL]HG�DV�D�FRQVWDQW�WLPHV�WKH�PHDQ�RI�D�QRUPDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�

PHDQ� UY �DQG�YDULDQFH�� �� U ��7KHUHIRUH��

( ; <Y

H Y GXGYY

H GY; <Y

; < ; <Y� �� � � �� � ³ ³

�f

f�

�f

f�P P

SU V V UV V

S�

�� ��

� � �

7KH�ODVW�LQWHJUDO�LV�UHFRJQL]HG�DV�WKH�YDULDQFH�RI�D�QRUPDO�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�PHDQ���DQG�YDULDQFH����

7KHUHIRUH��( ; <; < ; <� �� �� � P P UV V �DQG�WKH�FRUUHODWLRQ�EHWZHHQ�;�DQG�<�LV� U �

Page 108: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ����

����� D��(��;����<�� �������������� ���

E��9��;����<�� ��9�;�����9�<�� ���

F���;����<�LV�QRUPDOO\�GLVWULEXWHG�ZLWK�PHDQ����DQG�YDULDQFH�����7KHUHIRUH�

���3 ; < 3 = 3 =� � � � � � �� � �� � � ��� ��

��� � � � �

G��3 ; < 3 = 3 =� � � � � � � �� � �� ��� � ����� ��

��� � � � �

����� <� ������;�DQG�(�<�� ������(�;�� �����PP�

����� D��/HW�7�GHQRWH�WKH�WRWDO�WKLFNQHVV��7KHQ��7� �;���<�DQG�(�7�� ���PP�

���9�7�� � �� �� � ��� � �� � �� PP ��DQG� V7 ������ PP�

E��3�7�!������ �3�=�!�� � �� �������

�� �3�=�!������� ����������� ������

����� /HW�'�GHQRWH�WKH�ZLGWK�RI�WKH�FDVLQJ�PLQXV�WKH�ZLGWK�RI�WKH�GRRU��7KHQ��'�LV�QRUPDOO\�GLVWULEXWHG�

D��(�'�� ���� 9�'�� � � � � ���

� ���

� ����

E��3 ' 3 = 3 =� � � � � � � �! ! ! �

��

��

��

����

� �� ����

F��3 ' 3 = 3 =� � � � � � � �� � � � �

��

����

� �� �����

����� '� �$���%���&

D��(�'�� ������������ ���PP

���9 ' PP

PP'

� � � � � �

� �

�� � �� � �� � ���

�����

� � � �

V

E��3�'�������� �3�=���� � �� �������

�� �3�=���������� �������

����� D��/HW� ; �GHQRWH�WKH�DYHUDJH�ILOO�YROXPH�RI�����FDQV�V; � �

���

�� ��� � �

E��(� ; �� ������DQG�3� ; ������� �3�=����� �� �� ��� ��

�� �3�=������� �������

F��3� ; ������� �������LPSOLHV�WKDW�3�=�����

� ��

�P

�� ��������7KHQ���

� ��

�P

� �������DQG� P ������ �

����� /HW� ; �GHQRWH�WKH�DYHUDJH�WKLFNQHVV�RI����ZDIHUV��7KHQ��(� ; �� ����DQG�9� ; �� �����

D�3 ; 3 = 3 =� � � � � � � � �� �

� �� ��� ��� � ���� ��

� �

�� ��

� �� � � � � � � � � ��7KH�DQVZHU�LV����������� ������

E��3 ; DQG ; Q� � �! �� � �� �V �

����7KHUHIRUH��3 ; 3 =

Q

� � � � �! ! ��� � ���� ���

���� ���

Q

� ������DQG�Q� ������ZKLFK�LV�URXQGHG�XS�WR���

����� ;a1����������

D��/HW�<� ���;���(�<� ��(�;� �������9�<�� ��������� ������

����3�<!������ �3<

3 = 3 =\

\

�!

�§

©¨̈

·

¹¸̧ ! � � �

P

V

���� ����

������� �� � � �� � � ����� � ������ � � � � � � �

Page 109: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ����

����� 8VH�&KHE\FKHYV�LQHTXDOLW\�ZLWK�F� ����7KHQ��3 ;� �� ! d�� � ���

����� (�;�� ���DQG�V; � ���� ��7KHQ��3 ; ;� �� ! d� � ��

V �

7KH�DFWXDO�SUREDELOLW\�LV�3 ; 3 ;;� � � � �� ! � ! � � � � �� �V �

����� (�;�� ����DQG�9�;�� ������7KHQ��3 ;� �� ! d�� � ��

V �DQG�3 ;� �� ! d�� � ��

V �7KH�DFWXDO�SUREDELOLWLHV�

DUH

3 ; 3 ;

H G[ H[ [

� � � �

� �� �

� ! � � �

� ³ � �ª

¬««

º

¼»» � �

�� � � �� ��

� � �� � � ����� ��

��� ��

��

V

3 ; 3 ;

H G[ H[ [

� � � �

� �� �

� ! � � �

� ³ � �ª

¬««

º

¼»» � �

�� � � �� ��

� � �� � � ����� ��

��� ��

��

V

����� (�;�� ���DQG� V; �

3 ; DQG 3 ;� � � �� t d � t d� � � ���

����7KH�DFWXDO�SUREDELOLWLHV�DUH�

3 ; 3 ;[H

[[

� � � � � ��

� t � � � ��

¦ �

� � � � � ��

� � ���� ������

3 ; 3 ;[H

[[

� � � � ��

� t � � � ��

¦

� � � � � ��

� �������

����� /HW� ; �GHQRWH�WKH�DYHUDJH�RI�����GLDPHWHUV��7KHQ��V; [ �� �����

�� ��� �

D��3 ; DQG 3 ; [;� � � �� t d � � t�P V P� � �����

� ����

��7KHUHIRUH��WKH�ERXQG�LV� � �� �[ � �

E��,I�3 ; [� �� � P ����

��WKHQ�3; ; ;

[ ; [� � � �� �� �

V

P

V V� ���� �7KHQ�

����3 =[

[

[

[� � � ��

�� �

� �� � ��� �� ���� �DQG�

[

[� �� ��� ��������7KHUHIRUH��[� � � �� �� �� [ � �

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

����� ,I�5�GHQRWHV�WKH�UDQJH�RI��;��<���WKHQ� I [ \ DQG I [ \;<5

;<� � � � � � ¦¦ t� � �

����� D��3 ; < I;<� � � � � � � � �� � � � �� �� � � �

E��3 ; I I I;< ;< ;<� � � � � � � � � � � �d � � � �� �� �� � �

F��3 < I I I;< ;< ;<� � � � � � � � � � � � �� � � �� �� �� �� � �

G��3 ; < I I;< ;<� � � � � � � � � � � �! � � � � �� �� �� � �

Page 110: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� (�;�� �������������������������� ������

9 ;� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������

� ��

���

� ��

���

� ��

����

(�<�� �������������������������� ������

9 <� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������

� ��

���

� ��

���

� ��

����

����� D�� I [ I [ \ DQG I I I; ;<\

; ; ;� � � � � � � � � � � � � � � � ¦ � � � � � � � � � �

E�� I \I \

IDQG I I<

;<

;< <� �

� �� � �

� �� �

�� � � � � �� �

� � �

� �� � � � � � ��

���

����� %HFDXVH�WKH�UDQJH�RI��;��<��LV�QRW�UHFWDQJXODU��;�DQG�<�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

����� (�;<�� ��[�[���������[�[���������[�[���������[�[������ �����

)URP�([HUFLVH�������(�;�� �(�<�� ������

7KHQ�� U;< � ����

���

���

����

� ���� � � �

����� /HW�;��<��DQG�=�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�EROWV�UDWHG�KLJK��PRGHUDWH��DQG�ORZ�

7KHQ��;��<��DQG�=�KDYH�D�PXOWLQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�

D��3 ; < =� � � ��

� � �� � � � �� � �

��

�� � �� � � � �� � ������ � � �

E��%HFDXVH�;��<��DQG�=�DUH�PXOWLQRPLDO��WKH�PDUJLQDO�GLVWULEXWLRQ�RI�=�LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ����DQG�S� �����

F��(�=�� �QS� ��������� ���

G�

���

� � � � � �3 = 3 =� � � � � � � � � �

� �

! � d � � �ª¬«

º¼»

� � � � � � � � �� � � �� � �

� ����

��� � ��

��� � ��

��� � ��

����� D�� I ]I ]

I=

;=

;_ � �

� � �

� ���

��

�� �DQG� I [ ]

[ ] [ ];=

[ [ ] ]� � ��

� �� ��� � �� �

� �� �

��

��� � � � ���� �IRU�

���� [ ] DQG [ ]� d d d�� � �� ��7KHQ�

���� � � � �I ]=] ]

] ]

] ]

] ]

��

���� �

�� �

���� �

�� ���

� �� �

�� �� �

� � � � � �

� � � �� �

� � �

� �

�� �� ��

� �

�� �

��� ��

��

��

����IRU� � �d d] ��7KDW�LV�WKH�GLVWULEXWLRQ�RI�=�JLYHQ�;� ����LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ���DQG�S� ������

E��)URP�SDUW�D���(�=�� ���������� ���

F��%HFDXVH�WKH�FRQGLWLRQDO�GLVWULEXWLRQ�RI�=�JLYHQ�;� ����GRHV�QRW�HTXDO�WKH�PDUJLQDO�GLVWULEXWLRQ�RI�=��;

����DQG�=�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

������ /HW�;��<��DQG�=�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�DQVZHUHG�LQ�WZR�ULQJV�RU�OHVV��WKUHH�RU�IRXU�ULQJV��DQG�ILYH�ULQJV�

RU�PRUH��UHVSHFWLYHO\�

D��3 ; < =� � � ��

� � �� � � � � � �

��

� � �� � � �� � �� � ����� � �

E��/HW�:�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�DQVZHUHG�LQ�IRXU�ULQJV�RU�OHVV��7KHQ��:�LV�D�ELQRPLDO�UDQGRP�YDULDEOH

����ZLWK�Q� ����DQG�S� ������

����7KHUHIRUH��3�:� ����� � � ����� �� �� �� � �� � ����� � � �

F��(�:�� ���������� �����

Page 111: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�� I ]I ]

I=;=

;�

�� �

� � �

� � �DQG� I [ ]

[ ] [ ];=

[ [ ] ]� � ��

� �� ��� � �� �

� �� �

��

��� �� � �� � ���� �IRU�

��� [ ] DQG [ ]� d d d�� � �� ��7KHQ�

��� � � � �I ]=] ]

] ]

] ]

] ]

��� �

� �

��� �

� ���

� ��� ��

�� ��� ��

� �� � �� � ��

� �� � ��� �

� � �

� �

�� �� ��

� �

�� �

��� ��

��

��

����IRU� � �d d] ��7KDW�LV�=�LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ��DQG�S� ����������� �����

E��(�=��JLYHQ�;� ���LV�������� �����

F��%HFDXVH�WKH�FRQGLWLRQDO�GLVWULEXWLRQ�RI�=�JLYHQ�;� ���GRHV�QRW�HTXDO�WKH�PDUJLQDO�GLVWULEXWLRQ�RI�=��;

����DQG�=�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

������ F[ \G\G[ F[ G[ F F\ [�

��

��

��

� ��

���³ ³ ³ ��7KHUHIRUH��F� ������

������ D��3 ; < [ \G\G[ [ G[\ [� � �� � ³ ³ ³� �� ��

��

����

��

���� �

��

����

E��3 ; [ \G\G[ [ G[\ [� � � �

� ��� ³ ³ ³� �

� �� �����

��

����

��

� ��� �

� �

� �

F��3 < [ \G\G[ [ G[\ [� � �� � �� ��

��

����

��

���� �

���

�� � ³ ³ ³

G�

����

3 ; < [ \G\G[ [ G[\ [� � � �

� �! � � ³ ³ ³

�� ��� �

� ����

���

�����

��

��

��

��� ��

�����

H��( ; [ \G\G[ [ G[ [� � ³ ³ ³ ���

����

��� �

���

��

I��( < [ \ G\G[ [ G[ [� � ³ ³ ³ ���

� �

����

� ��

���� �

���

� �

������ D�� I [ [ \G\ [ IRU [; � � ³ � ����

���

� � �

E�� I \I \

I

\ \< ;

;<

;� �

� � �

� �

� �

�����

�IRU�����\�����

F�� I [I [

I

[

I;;<

< <�

���

��

� �� �

� � �

� � � � �DQG� I \ [ \G[ IRU \<

\� � ³ � ��

��

�� � �

����7KHUHIRUH�� I [[

[;�

���

��

� �� �

� �IRU�����[�����

Page 112: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 7KH�UHJLRQ� [ \� � �� d �DQG�����]�����LV�D�F\OLQGHU�RI�UDGLXV�����DQG�EDVH�DUHD�S ��DQG�KHLJKW����7KHUHIRUH��

WKH�YROXPH�RI�WKH�F\OLQGHU�LV��S �DQG� I [ \ ];<= � � � � �

�S�IRU� [ \� � �� d �DQG�����]�����

D��7KH�UHJLRQ� ; <� � � �� d � �LV�D�F\OLQGHU�RI�UDGLXV� � �� �DQG�KHLJKW�����7KHUHIRUH�

����3 ; <� � � �� � �� � � � �

�� � � �� d

S

S�

E��7KH�UHJLRQ� ; <� � � �� d � �DQG�����]�����LV�D�F\OLQGHU�RI�UDGLXV� � �� �DQG�KHLJKW����7KHUHIRUH�

����3 ; < =� � � � �� � �� � � � �

�� � � � �� d �

S

S

F�� I [ \I [ \

I;<;<=

=�

�� � �

� � � �

� � �DQG� I ] G\G[=

[ \

� � � ³³

� d

��

�� �� �

S

����IRU�����]������7KHQ�� I [ \ IRU [ \;<�� � �� �

� ��� � �

� � d

SS

G�� I [ G\G] [ G] [;

[

[� � ³ ³ ³ � �

� �

���

��

�� � �

� �S S S

�IRU������[����

������ D�� I ]I ]

I=;<=

;<� �

� �

� �� � �� � � �

� � � �DQG� I [ \ G];< � � � � ³ �

��

��

SS �IRU� [ \� � �� d ��7KHQ��

� ���� I ]= � �� �

�� �� � �

��

SS

�IRU�����]�����DQG� P= � � �� �

E�� I ]I [ \ ]

I [ \= [\;<=

;<� �

� � � �

� � �

��

� �

�� �

SS

�IRU�����]������7KHQ��(�=��JLYHQ�;� �[�DQG�<� �\�LV� ] G]�

��³ �

������ I [ \ F;< � � � �IRU�����[�����DQG�����\������7KHQ��

��³ ³ FG[G\ �DQG�F� �����%HFDXVH� I [ \;< � � � �LV�FRQVWDQW��

3 ; <� � �� � � � �LV�WKH�DUHD�RI�WKH�VKDGHG�UHJLRQ�EHORZ

0

0.5

0.5

1

1

7KDW�LV��3 ; <� � �� � � � � �����

������ D��/HW� ; ; ;� � �� ����� �GHQRWH�WKH�OLIHWLPHV�RI�WKH�VL[�FRPSRQHQWV��UHVSHFWLYHO\���%HFDXVH�RI�LQGHSHQGHQFH��

���3 ; ; ; 3 ; 3 ; 3 ;� � �� ��� � � � � �� �� � �� � � � � ����� ���� ���� ���� ���� ����! ! ! ! ! !

���,I�;�LV�H[SRQHQWLDOO\�GLVWULEXWHG�ZLWK�PHDQ� T ��WKHQ� OT

� �DQG� � �� �� �

���3 ; [ H GW H HW

[

W

[

[� � � � �! ³ � �f

�f

��T

T T T ��7KHUHIRUH��WKH�DQVZHU�LV

��� H H H H H H H� � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � ��� � ����� � � � � � � � �

E��%HFDXVH�WKH�FRPSRQHQW�OLIHWLPHV�DUH�LQGHSHQGHQW��WKH�FRYDULDQFH�LV�]HUR�

Page 113: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ /HW�;��<��DQG�=�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�SUREOHPV�WKDW�UHVXOW�LQ�IXQFWLRQDO��PLQRU��DQG�QR�GHIHFWV�

UHVSHFWLYHO\�

D��3 ; < 3 ; < =� � � � � � � � � � ��� � �

� � � � � � � � � � � � ������ � �

� � �

E��=�LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ����DQG�S� �����

F��(�=�� ��������� ���

������ /HW� ; �GHQRWH�WKH�PHDQ�ZHLJKW�RI�WKH����EULFNV�LQ�WKH�VDPSOH��7KHQ��(� ; �� ���DQG�

V; � ��

��� ��� � ��7KHQ��3� ; ��������� �3�=���

� �� �� �����

�� �3��=������� �������

������ %HFDXVH�

�� ��

�� ��

� ��

� ��� ��

�� �³ ³ FG\G[ F �F� ����7KH�DUHD�RI�D�SDQHO�LV�;<�DQG�3�;<�!�����LV�WKH�VKDGHG�DUHD�

WLPHV���EHORZ�

����

����

����� �����

7KDW�LV��

�� ��

�� ��

��

� ����

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��� � � �� � � �� �� � ���

�� � � OQ � �³ ³ �³ �

[[

G\G[ G[ [ [

������ D��/HW�<�GHQRWH�WKH�WRWDO�ZHLJKW�RI�WKH����FDQGLHV��7KHQ��(�<�� ��������� �����DQG

� ��� 9 <� � � � � � �� � �� � ������

E��3�<�������� �3�=���� � � �

� ����

� �

��� �3�=������ ����

F��/HW�;�GHQRWH�WKH�ZHLJKW�RI����FDQGLHV��7KHQ��(�;�� ���������� �����DQG� 9 ;� � � � � � �� � �� � ����� �

����$OVR��3�<�������� �3�=���� � � �

� ����

� �

��� �3�=���������� �������

������ /HW� ; �GHQRWH�WKH�DYHUDJH�WLPH�WR�ORFDWH����SDUWV��7KHQ��(� ; �� ���DQG� V; ��

��

D��3 ; 3 = 3 =� � � � � � � ��

! ! ! ��� ��� � ����� ��

�� ��

E��/HW�<�GHQRWH�WKH�WRWDO�WLPH�WR�ORFDWH����SDUWV��7KHQ��<�!�����LI�DQG�RQO\�LI� ; �!�����7KHUHIRUH��WKH

�����DQVZHU�LV�WKH�VDPH�DV�SDUW�D�

������ D��/HW�<�GHQRWH�WKH�ZHLJKW�RI�DQ�DVVHPEO\��7KHQ��(�<�� ������������������ ������DQG

����9�<�� � � � � � � � � � �� � � �� � � � �� � � �3 < 3 = 3 =� � � � � � � � �� �

�! ! ! ��� � � �� � ������ � �� �

� �

E��/HW� ; �GHQRWH�WKH�PHDQ�ZHLJKW�RI���LQGHSHQGHQW�DVVHPEOLHV��7KHQ��(� ; �� ������DQG�9� ; �� �������

�������������$OVR��3 ; 3 = 3 =� � � � � � ��

�! ! ! ��� � �� ��� �� �

� �����

Page 114: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ U �� �� �LPSOLHV�QHJDWLYH�VORSH�

4

(4,4)4

������ 8VLQJ�WKH�VDPH�PHWKRG�DV�LQ�H[HUFLVH�������(�;�� ����(�<�� ����(�;<�� ������(�;��� ����(�<��� ���

9�;�� ���������� �����9�<�� ���������� ���V[\� �(�;<����(�;�(�<�� �������������� �������U� ������������ �����

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������ D��(�<�� �3 ; F� �� tP V

E��%HFDXVH� < d ��� � � � �; ; <� t �P P� �

����,I� ; F� tP V ��WKHQ�<� ���DQG� � �; < F <� tP V� � �

����,I� ; F� �P V ��WKHQ�<� ���DQG� � �; < F <� P V� � � �

F��%HFDXVH� � �; F <� tP V� � � ��( ; F ( <>� � @ � �� tP V� � � �

G��)URP�SDUW�D���(�<�� �3 ; F� �� tP V ��)URP�SDUW�F��� V V P V� � �t � tF 3 ; F� � ��7KHUHIRUH�

���� �

�F3 ; Ft � t� �P V �

������ %\�WKH�LQGHSHQGHQFH�

3 ; $ ; $ ; $

S

I [ I [ IS[ G[ G[ G[

I [ G[ I [ G[

S

IS[ G[

3 ; $ 3 ; $ 3 ; $

S S$ $ $

; ; ; S S

$;

$;

$; S S

S S

� � ����� � ��� � � � ���� � � ���

� � � � ��� � �

� � � ���� � �

� � � � � � � �

� � � �

� � � �

� �� �

��

��

� � � ³ ³ ³

³ª

¬

««

º

¼

»»

³ª

¬

««

º

¼

»»

³ª

¬

«««

º

¼

»»»

� � �

������ ( < F F FS S� � ��� � � � �� � � �P P P �$OVR�

> @

> @

9 < F [ F [ F [ F F F I [ I [ IS[ G[ G[ G[

F [ F [ I [ I [ IS[ G[ G[ G[

S S S S ; ; ; S S

S S S ; ; ; S S

� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � �

³ � � � � � � �

³ � � � �

� � � � � � � ��

� � � �

� � ��

� � � �

� �

� �

P P P

P P

1RZ��WKH�FURVVWHUP

> @> @

F F [ [ I [ I [ IS[ G[ G[ G[

F F [ I [ G[ [ I [ G[

; ; ; S S

; ;

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� �

� ��

³ � �

�³ �³

� �� � � � � ���� � � ���

� � � � � � � �

P P

P P

IURP�WKH�GHILQLWLRQ�RI�WKH�PHDQ���7KHUHIRUH��HDFK�FURVVWHUP�LQ�WKH�ODVW�LQWHJUDO�IRU�9�<��LV�]HUR�DQG

> @9 < F [ I [ G[ F [ IS[ G[

F 9 ; F 9 ;

; S S S ; S S

S S

� � � � � � ��� � � � �

� � ��� � ��

�³ �³ª¬«º¼»

� �

��

� ��

� �� �

��

��

�P P

Page 115: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������

� � � �

D E

;<

D EI [ \ G\G[ FG\G[ FDE³ ³ ³ ³ � � � ��7KHUHIRUH��F� ���DE��7KHQ�� I [ FG\;

E

D� � ³

� �IRU�����[���D��DQG�

I \ FG[<

D

E� � ³

� �IRU�����\���E���7KHUHIRUH�� I �[� \� I �[�I �\�;< ; < �IRU�DOO�[�DQG�\�DQG�;�DQG�<�DUH�

LQGHSHQGHQW�

������ I [ J [ K \ G\ J [ K \ G\ DJ [ ZKHUH D K \ G\;

E E E� � � � � � � � � � � � � � � ³ ³ ³

� � �

�$OVR��

I \ EK \ ZKHUH E J [ G[<

D� � � � � � � ³

�%HFDXVH� I �[�\�;< �LV�D�SUREDELOLW\�GHQVLW\�IXQFWLRQ��

� � � �

�D E D E

J [ K \ G\G[ J [ G[ K \ G\³ ³ ³ª

¬««

º

¼»»³ª

¬««

º

¼»» � � � � � � � � � �7KHUHIRUH��DE� ���DQG� I �[� \� I �[�I �\�;< ; < �IRU�DOO�[�DQG

\�

Page 116: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

&+$37(5��

6HFWLRQ����

���� �( � � � �; (

;

Q Q( ;

QQ

L

L

Q

L

L

Q

§

©

¨¨¨¨̈

·

¹

¸¸¸¸̧

§

©¨

·

¹¸

¦¦�

�� P P

�( � � � �; (

;

Q Q( ;

QQ

L

L

Q

L

L

Q

§

©

¨¨¨¨̈

·

¹

¸¸¸¸̧

§

©¨

·

¹¸

¦¦�

� �P P ������������� ;� DQG� ;� �DUH�XQELDVHG�HVWLPDWRUV�RI��P�

7KH�YDULDQFHV�DUH�9 � �;�

�Q V

�DQG�9 � �;�

Q V

��FRPSDUH�WKH�06(��YDULDQFH�LQ�WKLV�FDVH��

����06(

06(

Q

Q

Q

Q

� � �

� � �

T

T

V

V�

6LQFH�ERWK�HVWLPDWRUV�DUH�XQELDVHG��H[DPLQDWLRQ�RI�WKH�YDULDQFHV�ZRXOG�FRQFOXGH�WKDW� ;� �LV�WKH�¦EHWWHU§�

HVWLPDWRU�ZLWK�WKH�VPDOOHU�YDULDQFH�

����� ( � � > @� � � � � � � � � �� � �T P P� � � �

��

�� � � � ( ; ( ; ( ; ( ;�

����� ( � � > @� � � � � � � > @T P P P P� � � �

��

�� � � � � ( ; ( ; ( ;

D��%RWK�� �T� DQG��T� �DUH�XQELDVHG�HVWLPDWHV�RI��P��VLQFH�WKH�H[SHFWHG�YDOXHV�RI�WKHVH�VWDWLVWLFV�DUH

����HTXLYDOHQW�WR�WKH�WUXH�PHDQ��P�

E��9 � � � �� ���� � � � � � � �T V V�

� � �

� � � �

� �

���

� � �ª

¬«º

¼» � � � 9

; ; ;9 ; 9 ; 9 ;�

��� 9� � �TV

��� ����9 � � � �� � � � � � � � � � � � � ��T�� � �

� � � � � � �

��

��

� �ª

¬«º

¼» � � � �9

; ; ;9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ;

��������������� � � ��

�� � � �V V V� �

��������������� ��

�� �� �V

���� 9� � �TV

��

��6LQFH�ERWK�HVWLPDWRUV�DUH�XQELDVHG��WKH�YDULDQFHV�FDQ�EH�FRPSDUHG�WR�GHFLGH�ZKLFK�LV�WKH�EHWWHU

��HVWLPDWRU��7KH�YDULDQFH�RI� �T� LV�VPDOOHU�WKDQ�WKDW�RI��T� �

�T� LV�WKH�EHWWHU�HVWLPDWRU�

���� �6LQFH�ERWK� �T� DQG��T� �DUH�XQELDVHG��WKH�YDULDQFHV�RI�WKH�HVWLPDWRUV�FDQ�EH�H[DPLQHG�WR�GHWHUPLQH�ZKLFK

�LV�WKH�¦EHWWHU§�HVWLPDWRU���7KH�YDULDQFH�RI� �T� �LV�VPDOOHU�WKDQ�WKDW�RI��T� WKXV�

�T� �PD\�EH�WKH�EHWWHU �

HVWLPDWRU�

5HODWLYH�(IILFLHQF\� �06(

06(

9�

9�

� � �

� � �

� �

� ��

T

T

T

T�

��

�� �

Page 117: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� 6LQFH�ERWK�HVWLPDWRUV�DUH�XQELDVHG�

5HODWLYH�(IILFLHQF\� �06(

06(

9�

9�

� � �

� � �

� �

� �

T

T

T

T

V

V�

� �

��

����06(

06(

9�

9�

� � �

� � �

� �

� ��

T

T

T

T�

��

�� �

���� (� � �T T� ���� (� � � �T T� �

%LDV ( �� � �T T�

��������� �T

T��

��������� � �T�

������� �9 � � �T� �����������9 � � �T� ��

)RU�XQELDVHGQHVV��XVH� �T� VLQFH�LW�LV�WKH�RQO\�XQELDVHG�HVWLPDWRU�

$V�IRU�PLQLPXP�YDULDQFH�DQG�HIILFLHQF\�ZH�KDYH�

5HODWLYH�(IILFLHQF\� � � � � �

� � � � �

9 %LDV

9 %LDV

T

T�

�ZKHUH��%LDV�IRU� T� LV���

7KXV�

5HODWLYH�(IILFLHQF\�

� �� ��� �

��

��

��� �

��§

©̈·¹̧

§

©¨¨

·

¹¸¸

�T T

,I�WKH�UHODWLYH�HIILFLHQF\�LV�OHVV�WKDQ�RU�HTXDO�WR���� �T� LV�WKH�EHWWHU�HVWLPDWRU�

8VH� �T� ��ZKHQ���

���

�� ��d

T

�� �� �d �� �T

�� �d TT d �� ���� RU� T t � ����

,I� � � �� ��� � ���� �T WKHQ�XVH� �T� �

)RU�XQELDVHGQHVV��XVH� �T� ���)RU�HIILFLHQF\��XVH��T�ZKHQ� T d �� ���� RU� T t � ���� DQG�XVH� �T� �ZKHQ�

� � �� ��� � ���� �T �

���� (� � �T T� 1R�ELDV 9 06(� � � � � �T T� ���

(� � �T T� 1R�ELDV 9 06(� � � � � �T T� ���

(� � �T T� z %LDV 9� � �T� � LQFOXGHV��ELDV��

��� 7R�FRPSDUH�WKH�WKUHH�HVWLPDWRUV��FDOFXODWH�WKH�UHODWLYH�HIILFLHQFLHV�

06(

06(

� � �

� � ��

T

T�

��

���� �����VLQFH�UHO��HII��!���XVH� �T� �DV�WKH�HVWLPDWRU�IRU�T

06(

06(

� � �

� � �

T

T�

��

�� ��������VLQFH�UHO��HII��!���XVH� �T� �DV�WKH�HVWLPDWRU�IRU�T

06(

06(

� � �

� � ��

T

T�

��

��� �����VLQFH�UHO��HII��!���XVH� �T� �DV�WKH�HVWLPDWRU�IRU�T

&RQFOXVLRQ�

�T� �LV�WKH�PRVW�HIILFLHQW�HVWLPDWRU�ZLWK�ELDV���T� �LV�ZRXOG�EH�WKH�EHVW�¦XQELDVHG§�HVWLPDWRU�

Page 118: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

���� �Q�� �����Q�� �����Q�� ��

6KRZ�WKDW�6��LV�XQELDVHG�

� �

� � � � � �� �� �

� �

( 6 (6 6 6

( 6 ( 6 ( 6

� �

�� �� �

��

���� �� �

���� �� �

����

� �§

©¨̈

·

¹¸̧

� �

� �

V V V

V

V

?��6��LV�DQ�XQELDVHG�HVWLPDWRU�RI�V���

����� 6KRZ�WKDW�

� �; ;

Q

L

L

Q

¦�

LV�D�ELDVHG�HVWLPDWRU�RI�V���

D�

�����

� �

� � � �

� �

� �

(

; ;

Q

Q( ; Q;

Q( ; Q( ;

QQ

Q

QQ Q Q

QQ

Q

L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

L

Q

�§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

�§

©¨

·

¹¸

�§

©¨

·

¹¸

� � �§

©¨̈

·

¹¸̧

§

©¨¨

·

¹¸¸

� � �

¦

¦

¦

¦

� � ��

� � � �

��

��

P V PV

P V P V

V

VV

�� � �

?�� �; ;

Q

L �¦�

LV�D�ELDVHG�HVWLPDWRU�RI�V���

E��%LDV� � �

(; Q;

Q Q Q

L

��

� ��

���

ª

¬

«««

º

¼

»»»� � � �

¦V V

VV

V

F��%LDV�GHFUHDVHV�DV�Q�LQFUHDVHV�

Page 119: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� 6KRZ�WKDW� ;� LV�D�ELDVHG�HVWLPDWRU�RI�P���8VLQJ� � � > @( ; 9 ; ( ;� � �� � � �

� �

� �� �

� �

� �

( ;Q

( ;

Q9 ; ( ;

QQ

QQ Q

QQ Q

( ;Q

L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

L

Q

��

�� �

� �

� � �

��

§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸

ª

¬««

º

¼»»

§

©

¨¨

·

¹

¸¸

�§

©¨

·

¹¸

§

©

¨¨

·

¹

¸¸

¦

¦ ¦

¦V P

V P

V P

VP

?�� ;� LV�D�ELDVHG�HVWLPDWRU�RI�P�

E��%LDV� � � �( ;Q Q

� ��

� ��

� � � PV

P PV

F��%LDV�GHFUHDVHV�DV�Q�LQFUHDVHV�

����� 8VLQJ�% �����DQG�Q ����DQ�HVWLPDWH�RI� � �O � � ZDV�IRXQG�ZLWK�VWDQGDUG�HUURU�RI�����

�8VLQJ�(TXDWLRQ��������1RWH���WKH�HVWLPDWHV�ZLOO�YDU\�

����� $Q�HVWLPDWH�RI�WKH�����WULPPHG�PHDQ�ZDV�IRXQG�WR�EH��������7KH�VWDQGDUG�HUURU�RI�WKLV�HVWLPDWH�ZDV�

IRXQG�WR�EH�������8VLQJ�(TXDWLRQ�������1RWH��7KH�RULJLQDO�GDWD�SRLQWV�ZHUH�WUHDWHG�DV�WKH�SRSXODWLRQ���

5DQGRPO\�VHOHFW�����VDPSOHV�RI�VL]H�Q�

����� $Q�HVWLPDWH�RI�WKH�SRSXODWLRQ�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�ZDV�IRXQG�WR�EH������ZLWK�D�VWDQGDUG�HUURU�RI�������8VLQJ

(T�������

����� $Q�HVWLPDWH�RI�WKH�SRSXODWLRQ�UDQJH�ZDV�IRXQG�WR�EH������ZLWK�D�VWDQGDUG�HUURU�RI�������8VLQJ�(T�������

6HFWLRQ����

����� I [H

[

[

� ��

�OO

�����/H L

[

H L

Q

[

[

LL

Q Q

[L

L

L

Q� �

��

OO OO O

� ¦

OQ � � OQ OQ OQ �

OQ � �

/ Q H [ [

G /

GQ [

Q

[

[ Q

[

Q

L

L

Q

L

Q

L

L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

O O O

O

O O

O

O

O

� � ¦ � ¦

� � ¦ {

� �

¦

¦

¦

� �

��

Page 120: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��7KH�MRLQW�SGI�LV�JLYHQ�E\

����I [ [ H L IRU [ [

RWKHUZLVH

QQ [

Q� � � � � � � � � � � � �� �

� �

O T O T TO T t t

� �¦

����ZKHUH�[��tT������[Q�tT�RQO\�LI�PLQ�[L��tT���7KH�H[SRQHQW�FDQ�EH�ZULWWHQ�DV � � � �¦¦O T O OT� �[ [ QL L �

����7KH�OLNHOLKRRG�LV�IRXQG�WR�EH��/�O�T� O O OTQ [ QH L� ��H[S� ��� ¦ �IRU�PLQ�[L��t�T���7KH�OLNHOLKRRG�LV���

����RWKHUZLVH�

����$V�ORQJ�DV�PLQ�[L��t�T��PD[LPL]LQJ�WKH�OLNHOLKRRG�ZLWK�UHVSHFW�WR�T�ZRXOG�LQFUHDVH�WKH�OLNHOLKRRG�VLQFH�

WKH�H[SRQHQW�LV�SRVLWLYH��7KXV��WKH�POH�RI�T�LV� �T PLQ�[L��

����7KH�ORJ�OLNHOLKRRG�LV�OQ/�O�T� Q [ Q [ [L L LOQ� � � �� OQ� � � PLQ� ��O O T O O� �¦ � �¦ ���)LQDOO\�

����

w O T

wO OT

OT

/ Q[

DQG

Q

[

L

L

� � �� ��

� ��

� � ¦

�¦

E��([DPSOH���&RQVLGHU�WUDIILF�IORZ�DQG�OHW�WKH�WLPH�WKDW�KDV�HODSVHG�EHWZHHQ�RQH�FDU�SDVVLQJ�D�IL[HG�SRLQW

����DQG�WKH�LQVWDQW�WKDW�WKH�QH[W�FDU�EHJLQV�WR�SDVV�WKDW�SRLQW�EH�FRQVLGHUHG�WLPH�KHDGZD\���7KLV�KHDGZD\�

����FDQ�EH�PRGHOHG�E\�WKH�VKLIWHG�H[SRQHQWLDO�GLVWULEXWLRQ�

����([DPSOH�LQ�5HOLDELOLW\���&RQVLGHU�D�SURFHVV�ZKHUH�IDLOXUHV�DUH�RI�LQWHUHVW���6D\�WKDW�D�VDPSOH�RU� �

SRSXODWLRQ�LV�SXW�LQWR�RSHUDWLRQ�DW�[� ����EXW�QR�IDLOXUHV�ZLOO�RFFXU�XQWLO�T�SHULRG�RI�RSHUDWLRQ���)DLOXUHV� ����ZLOO

RFFXU�DIWHU�WKH�WLPH�T�

����� I [ S S [� � � � � �� �

/ S S S L

S S L

QL

[

L

Q

Q[ Q

� � � �

� �

��

� ¦

� �

OQ � � OQ OQ� �

OQ � �

� �

� �

� �

/ S Q S [ Q S

/ S

S

Q

S

[ Q

S

S Q S [ Q

S S

Q QS S [ SQ

S S

Q [

3Q

[

LL

Q

LL

Q

LL

Q

LL

Q

LL

Q

LL

Q

� ¦ �§

©¨

·

¹¸ �

�¦ �

�{

� � ¦ �§

©¨

·

¹¸

� � ¦ �

� ¦

¦

��

��

ww

Page 121: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� I [ [� � � � �D D�

/ [ [ [

[

L

L

Q

Q

L

Q

L

� � � � � � � � ���

� �

D D D D

D

D D D

D

�� � u � u

� �

� � �

� �

OQ � � OQ� � OQ OQ ���

OQ� � OQ

OQ � �OQ

OQ

OQ

/ Q [ [

Q [

/ Q[

Q[

Q

[

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

L

D D D D

D D

w DwD D

D

D

� � � �

� � ¦

� ¦

� � ¦

� ¦

��

� �

����� D�

OQ � � � OQ

OQ� � � � OQ

� � �/ L H L

Q L L

[ [

L

Q

[ [

E GE

E

E

G G

EE

E

G G G

E

§©̈

·¹̧

ª

¬««

º

¼»»

¦

� � §©̈

·¹̧�¦

§©̈

·¹̧¦

��

E�

w E GwE E

w E GwG G

EG

EG

G G G

E

E

E

OQ � � �OQ OQ

OQ � � �� �

/ Q L L L

/ Q Q [

[ [ [

L

� §©̈

·¹̧�¦

§©̈

·¹̧¦§©̈

·¹̧

� � � �¦

��

8SRQ�VHWWLQJ�w E G

wGOQ � � �/

�HTXDO�WR�]HUR��ZH�REWDLQ

G GE EE

E

Q [ DQG[

QL

L ¦ ¦ª

¬««

º

¼»»

��

8SRQ�VHWWLQJ�w E G

wEOQ � � �/

�HTXDO�WR�]HUR�DQG�VXEVWLWXWLQJ�IRU�G��ZH�REWDLQ

Q[ Q [ [

Q[

Q Q

[[ [

Q

[[

L L L

L

[L

Q

L

L L

L

L

[L

Q

EG

GG

E E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

� �¦ ¦ �

� �¦§

©

¨¨

·

¹

¸¸

¦¦ �

¦¦

§

©

¨¨

·

¹

¸¸

¦ ¦

OQ OQ �OQ OQ �

OQ OQ OQ OQ

DQG��

E

E

E

¦

¦�¦

ª

¬

«««

º

¼

»»»

[ [

[

[

Q

L L

L

LOQ OQ

F��1XPHULFDO�LWHUDWLRQ�LV�UHTXLUHG�

Page 122: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��/ U

[ H L

UL

QU

L

U [

� � �� �

OO O

� �

*��� OQ � � � OQ � � OQ � �/ U QU U [ [ Q UL LO O O � � ¦ � ¦ �� *

E��w O

wO OOQ � � �/ U QU

[L � ¦

w Ow

OOQ � � �

OQ� �

� �

/ U

UQ [

Q U

UL � ¦ �

**

ZKHUH� *� �U [ H G[U [ ³� �

f�

��8SRQ�VHWWLQJ�HDFK�GHULYDWLYH�HTXDO�WR�]HUR��WKH�PD[LPXP�OLNHOLKRRG

HTXDWLRQV�DUH�U

[ [U

UOO � OQ

� �

� �

*

*

F��)URP�WKH�ILUVW�HTXDWLRQ�LQ�SDUW�E���WKH�VROXWLRQV�IRU�U�DQG�O�VDWLVI\�U

[O ���7KHUHIRUH�� �P [ �

����� D��%HFDXVH� �D �LV�OHVV�WKDQ�RU�HTXDO�WR��D��IRU�HYHU\�VDPSOH��(� �D ��FDQQRW�HTXDO��D��

E��<HV��(� �D ��LV�OHVV�WKDQ��D��E\�D�IDFWRU�RI�Q

Q ����$V�Q�o�f��

Q

Q ���o����DQG�(� �D ��o�D�

F�� �� �

DQ

Q

����EHFDXVH�( D Q

D( D D

Q

Q� � � �

� ��ª¬«

º¼» �

� � �

G��)<�\�� �3�<d\� 3�;�d\��;�d\������;Qd\�

��������������� �3�;�d\�3�;�d\����3�;Qd\�

��������������� ��\�D�Q

IRU���d�\�d�D�

���I \

) \

\

Q\

DIRU \ D

RWKHUZLVH

<Q

Q� �

� � d d

�w

w

����7KH�PD[LPXP�OLNHOLKRRG�HVWLPDWRU�IRU�D�LV�<���7R�VKRZ�WKDW�WKH�POH�IRU�D�LV�ELDVHG��QHHG�WR�VKRZ�WKDW�

����(�<��z�D�

����( < \Q\

D

Q\

D Q

Q

QD

Q

Q

Q

Q

DD

� �� �

³��

�� � �

����7KXV��(�<��z�D��DQG�WKH�POH�RI�D�LV�ELDVHG�

6HFWLRQ����

������3 ; 3;

Q

� � � � � �

� � �

� �

� �

���� ���� ���� ���

� ��� �

���� ���

� ��� �

d d d d§

©¨

·

¹¸� � �P

V

� d d d � d �

3 = 3 = 3 =� � � � � �

� � �

� � � �

� ���� ����� � ����

����� ; 1 QL a � � ���� �� ���

P VV

; ;Q

�����

���

3 ; 3 ;

3

3 = 3 = 3 =

;

Q

>� � � �� � �@ � � �

� � � � � � � �

� � �

��� �� � ��� � �� � ���

�� � � ��

� ���� � ���� � ����

�� � ���

��� ���

� d d � d d

d d§

©¨

·

¹¸

� d d d � d �

� � �P

V

Page 123: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� P;

SVL �� �� VV

;Q

� �

�����

��

3 ; 3

3 = 3 =

;

Q

� � �

� � � � � �

� �

� �

�t t

§©¨

·¹¸

t � d

� ��� ��

���� � ���

� � ����� � �����

�� �� �� �

����

P

V

�����

Q� �� Q� ���

VV

;Q

� �

����

VV

;Q

� �

��

� �

V;�LV�UHGXFHG�E\�������SVL

����� $VVXPLQJ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�

P VV

; ;Q

������

�������

3 ; 3

3 = 3 = 3 =

;

Q� �

� � � � � � � � � �

� � �

� � ����� ����

� �� � �� � �� � ��

� ���� � ���� � ����

���� ������ ���

���� ������ ���

d d d d§©¨

·¹¸

� d d d � d �

� � �P

V

����� VV

;Q

SVL ��

��� ���� � �VWDQGDUG�HUURU�RI� ;

����� V� ��

VV

VV

;

;

Q

Q

§

©¨

·

¹¸

§©̈

·¹̧

��

��

���� ��

� a

Page 124: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� /HW� < ; � �

P

P P

V

;

; ;

;

D E

E D

� �

��

��

��

���

� �

� �

VV

V

P

V

;

;

<

<

Q

� ���

���

��

��

� ����

��

���

� �

� �

< ; 1 � �� � ��

����

a � � � ��DSSUR[LPDWHO\��XVLQJ�WKH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP�

����� Q� ���

P

V

;

;

D E

E D

� � �

� � �

� �

��

� �

��

� � � �

��

���

��

� �

� �

� � � �

P V; ; �� �

��

� �

��

� �

];

Q

� P

V �

8VLQJ�WKH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP�

3 ; 3 =

3 =

3 = 3 =

� � � �� �

� � � �

� � � � � �

� �

� ��� � �� �

� �

� ���� � ����

� ���� � ����

� � ���� � ����

� � � � � �� � � �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

� �

� � �

� �

�����

P; � �� �PLQXWHV Q� ���

V; ��� �PLQXWHV VV

P P

;;

; ;

Q

��

��� ����

� �

��

� PLQV

8VLQJ�WKH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP�� ; �LV�DSSUR[LPDWHO\�QRUPDOO\�GLVWULEXWHG�

D��3 ; 3 = 3 =� � ��

�� � � �� �

� � ��

�� � �

� ����� � �

E��3 ; 3 =� � � ��

�� ��

� � �

� ����

�� � �

� ����� � �

��

� � � � � 3 = 3 =� � � � � �� � �� ��� � � �

F��3 ; 3 = 3 =� � ��

�� � � �� �

� � � �

� � �

� ������ �� �

Page 125: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�����

Q�

��

��

P

V

Q�

��

��

P

V

; ; 1; ;

1Q Q

1

1

; ;� �� �

� �

��

� �

� �� �

�� ��

��

��

� ��

� � �

� �

� �

a � � �

a � � �

a � � �

a � � �

P P V V

P PV V

D��3 ; ;� �� � �� !

����

3 = 3 = 3 =� � � � � � � �

� �

! ! � � d �

�� �

��� ���� � � ����

� � ���� � ����

E��3 ; ;� � � �� � � �� �d � d

����

3 = 3 = 3 =� � � � � � � �

� � �

� �� � �

��

� � �

������� � ����

� ���� � ���� �����

� �d d d � d �

����� ,I� P P% $ ��WKHQ� ; ;% $� �LV�DSSUR[LPDWHO\�QRUPDO�ZLWK�PHDQ���DQG�YDULDQFH�V V% $� �

�� ���� ��� � ��

7KHQ��3 ; ; 3 = 3 =% $� � � � � � � � ��

� ! ! ! �� � � ��� � ���� � �

�� ��

7KH�SUREDELOLW\�WKDW� ;% �H[FHHGV� ;$ �E\�����RU�PRUH�LV�QRW�WKDW�XQXVXDO�ZKHQ� P P% $DQG �DUH�HTXDO�

7KHUHIRUH��WKHUH�LV�QRW�VWURQJ�HYLGHQFH�WKDW� P% �LV�JUHDWHU�WKDQ� P$ �

����� $VVXPH�DSSUR[LPDWH�QRUPDO�GLVWULEXWLRQV�

� � a � � �

a � � �

� � � � � � � � �

; ; 1

1

3 ; ; 3 = 3 =

KLJK ORZ

KLJK ORZ

� � �

� t t � d � � �

�� ��� �

� �

� � ��� � � ���� � ���

���

���

� �

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

����� I [ [ [ [ [ H

[L

L

� � � � � �

� �

� � � � ��

��

� � ¦

SV

P

V

����� I [ [ [ H L IRU [ [ [QL

Q[

Q� � ����� � � ������ ��

� �� � � ¦ ! ! !

�O O

����� I [ [ [ [ IRU [ [ [ [� � � � � � � �� � � � � � � �� � �� �� �� � d d d d d d d d

�����

; ; 1

1

� �

� �

��� �����

��

��

� � ����

� � �

a � ��

a � � � �

Page 126: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� V; ;� �

� ���� � ����� � �

����� ; 1a � � ��� ���

3 ; 3 =

3 =

3 = 3 =

� �

� � � �

� � � � � �

� � �

� �

�� ��

�� ��

�� ��

� ���� � ���� � ����

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

d d d d§©¨

·¹¸

� d d

d � d �

� �

����� 1R��EHFDXVH�&HQWUDO�/LPLW�7KHRUHP�VWDWHV�WKDW�ZLWK�ODUJH�VDPSOHV��Q�t������ ; �LV�DSSUR[LPDWHO\�QRUPDOO\�

GLVWULEXWHG�

����� $VVXPH� ; �LV�DSSUR[LPDWHO\�QRUPDOO\�GLVWULEXWHG�

3 ; 3 ; 3 =

3 =

� � � � � �

� � �

! � d � d

� d � �

����� � ���� �

� �� �� � � �

���� ����

��� �

����� W;

V Q

P

� � ��

�� ��

�� ��� ���

W� � ��� �� ���� ��6LQFH������!!� W� ��� �� ��WKH�UHVXOWV�DUH�YHU\�XQXVXDO�

����� 3 ; 3 =� � � � �d d � �� � �� �

����� %LQRPLDO�ZLWK�S�HTXDO�WR�WKH�SURSRUWLRQ�RI�GHIHFWLYH�FKLSV�DQG�Q� �����

�����

9 ; 9 D; D ;

D 9 ; D 9 ;

D D D

D

Q QDQ

DQ

Q D Q Q D Q DQ Q

9 ;

D Q QQ D Q Q D

Q D Q Q D

D Q Q Q

D Q

Q Q

� � > � � @

� � � � � �

� � � �� �

� �� �

� �� �� �

� �

� �

� �

� � �

� � �

� � �

� � {

� �

� �

��

��

� �

� �

� �

��

� � ��

� �

� �� � �

� � �

� � �

�� �

� � � �

� � � �

� �

V V

V V V V

V

ww

V

Q Q

DQ

Q Q

� �

� �

� �

Page 127: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

����� 3 ; ;0 0

1 1� � �

� �

� �� �� �

��

3 ; ;0 1 0

1 1� � �

� �

� �� �� �

��

3 ; ;1 0 0

11

3 ; ;1 0 1 0

1 1

� � �� �

� �

� � �� �� �

� �

� �

� �

� ��

� ��

��

� � �

3 ; 0 1

3 ; 1 01

3 ; 3 ; ; 3 ; 3 ; ; 3 ;

0

1

0

1

0

1

1 0

1

0

1

3 ; 3 ; ; 3 ; 3 ; ; 3 ;

1 0

1

0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

� � �

� �

� � � _ � � � � _ � � �

� � � _ � � � � _ � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� �

� � � � � � �

��

u ��

u�

��

u �� ��

u�

%HFDXVH�3 ; ;0

1� _ �� �

�� �

�LV�QRW�HTXDO�WR�3 ;0

1� �� � �� ; DQG ;� � �DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

����� %HFDXVH�� �Q 6�� �

�V�KDV�D�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�ZLWK��Q����GHJUHHV�RI�IUHHGRP�

9>� �Q 6�� �

�V@� ����Q�����7KHUHIRUH�� 9 6

Q� ��

��

�V

�DQG�WKLV�GHFUHDVHV�DV�Q�LQFUHDVHV�

����� ,I�;�KDV�DQ�) XQ� �GLVWULEXWLRQ��WKHQ�DD QD Q

Q

D QQ

! ! �3 ; I 3 I 3X

X<

: XX

: X

< I� � � � �

� ��� �

� � ��

7KDW�LV��WKH�SUREDELOLW\�D�)X�Q �UDQGRP�YDULDEOH�LV�OHVV�WKDQ��

I XD Q� ��LV�D��7KHUHIRUH�� I

IXX

��

D Q

D Q

� �� �

����� D��

� �FQ

Q

Q

Q

*

*

> @��

E�

Q FQ�� � �

� �

*

*

� �

� � �

������

� � �����

��

�� � �

� �

*

*

��

�� � � ������

� ��

7KH�ELDV�LV�TXLWH�VPDOO�IRU�Q�DV�ODUJH�DV����

����� 3 ;F

F

Q_ _� t§©¨

·¹¸ dP V �

��IURP�&KHE\VKHYV�LQHTXDOLW\�

7KHQ��3 ;F

F

Q_ _� �§©¨

·¹¸ t �P V �

���*LYHQ�DQ�H��Q�DQG�F�FDQ�EH�FKRVHQ�VXIILFLHQWO\�ODUJH�WKDW�WKH�ODVW�SUREDELOLW\

LV�QHDU���DQG� F

Q

V �LV�HTXDO�WR�H�

Page 128: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� � � � � � �3 ; W 3 ; W IRU L Q ) WQ LQ

� � ����� > @d d �

� � � � � �3 ; W 3 ; W IRU L Q ) WLQ

� � ����� > @� � �! ! �

7KHQ�� � � � �3 ; W ) W Q� � > @� � �d � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

I WW) W Q ) W I W

IQ

WW)

QW Q ) W I W

; ;Q

; ;Q

� � � �> @

� � � �> @

� �� �

wwww

����� � � � � � �3 ; ) ) S;Q Q

� � � �> @� �

�� � � � � � � � �EHFDXVH�)���� �����S�

� � � � � � � �3 ; )Q

) SQ ;Q Q

� � � �> @ � � � �� � � � � � �

����� � � � �3 ; W ) WW

d ª¬«

º¼»

�)

P

V���)URP�([HUFLVH������

� �

� �

I W Q H

W

IQ

W Q H

W

;W

Q

;W

Q

� �

� �

� �

� �

��

� �

� �

� ª¬«

º¼»

­®¯

½¾¿

ª¬«

º¼»

­®¯

½¾¿

�� �

�� �

)

)

P

V

P

V

SV

P

V

SV

P

V

����� � �3 ; W H Wd � �� O ��)URP�([HUFLVH������

� �) W H;Q W

� ��� � � O � �I W QH H

Q H

;Q W W

Q W

� �� �

��

� � �

O O

O

O

O

� �)Q

W H;W Q

� �> @ � �� O � �I

QW Q H H;

W Q W� �

> @ � � � �� �O OO

����� � �� � � �� �3 ) ; W 3 ; ) W WQ QQ

� � � �d d �� �IURP�([HUFLVH������IRU� � �d dW �

,I� < ) ; Q � �� � ��WKHQ� I \ Q\ \<Q� � � d d�� � � ��7KHQ��( < Q\ G\

Q

Q

Q� � ³ ��

� �� � � �� �3 ) ; W 3 ; ) W W Q� � � � � �� �� � �! ! � �� �IURP�([HUFLVH������IRU� � �d dW �

,I� < ) ; � �� �� ��WKHQ� I \ Q W \<Q� � � � � � d d�� � �� �

7KHQ��( < \Q \ G\Q

Q� � � � �³ �

���

��ZKHUH�LQWHJUDWLRQ�E\�SDUWV�LV�XVHG��7KHUHIRUH�

( ) ;Q

QDQG ( ) ;

QQ> � �@ > � �@� � � �

��

��

����� ( 9 N ( ; ( ; ( ; ;L

Q

L L L L� � > � � � � � �@ ¦ � �

� �

� ���

¦ � � � �

N

N Q

L

Q

�� � � � �

� �

� �

� �

V P V P P

V

�����������7KHUHIRUH�� NQ

� �� �

Page 129: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

&+$37(5��

6HFWLRQ����

���� �D��D� �3�UHMHFW�+� �ZKHQ�+��LV�WUXH�

��������� �3� ; d������ZKHQ�P� ����� 3;

Q

�d

�§

©¨

·

¹¸

P

V �

� �

��� ��

�� � �3�=�d����� �����3�=�d���

��������� ���������������������� ���������

���������7KH�SUREDELOLW\�RI�UHMHFWLQJ�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�ZKHQ�LW�LV�WUXH�LV���������

E��E� �3�DFFHSW�+� ZKHQ�P� �������� � � �3 ; ZKHQ! ��� ����� �P � 3;

Q

�!

�§

©¨

·

¹¸

P

V �

� �

� �

��� ����

�� �

����3�=�!������ �����3�=�d������ ������������� ������������7KH�SUREDELOLW\�RI�DFFHSWLQJ�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�ZKHQ�LW�LV�IDOVH�LV���������

���� D��D� �3� ; d������ZKHQ�P� ����� 3;

Q

�d

�§

©¨

·

¹¸

P

V �

� �

��� ��

�� �� �3�=�d����� �����3�=�d���

�������� ������� ������ ����7KH�SUREDELOLW\�RI�UHMHFWLQJ�WKH�QXOO��ZKHQ�WKH�QXOO�LV�WUXH��LV���ZLWK�D�VDPSOH�VL]H�RI��� �

E��E� �3� ; �!������ZKHQ�P� ������� 3;

Q

�!

�§

©¨

·

¹¸

P

V �

� �

� �

��� ����

�� �� �3�=�!���� �����3�=�d���

�������� ������������ �������������7KH�SUREDELOLW\�RI�DFFHSWLQJ�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�ZKHQ�LW�LV�IDOVH�LV���������

������ )LQG�WKH�ERXQGDU\�RI�WKH�FULWLFDO�UHJLRQ�LI�D� ������

����� � 3 =F

d�§

©¨

·

¹¸

��

�� �� �

����:KDW�=�YDOXH�ZLOO�JLYH�D�SUREDELOLW\�RI�����"��8VLQJ�7DEOH���LQ�WKH�DSSHQGL[��=�YDOXH�LV�������

����7KXV��F ���

�� �� �� ��������� F ��������

����� ����� � 3 =F

d�§

©¨

·

¹¸

��

�� �� �

:KDW�=�YDOXH�ZLOO�JLYH�D�SUREDELOLW\�RI�����"��8VLQJ�7DEOH���LQ�WKH�DSSHQGL[��=�YDOXH�LV�������

7KXV��F ���

�� �� �� �������� F � ��������

Page 130: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

���� D��D� �3� ; d���������3� ; !�������

�������� � 3; �

d�§

©¨

·

¹¸

���

� �

��� ���

� ��

�� 3

; �!

�§

©¨

·

¹¸

���

� �

���� ���

� ��

�������� �3�=�d����������3�=�!������������� �������� ������3�=�d���������������3�=�d������������� �������� ��������������������������������� �������� �������������������� ��������

E��E� �3������d ; d�������ZKHQ�P� �����

�������� 3;��� ���

� �

���

� �

���� ���

� �

� �

�d

�d

�§

©¨

·

¹¸

�������� �3�������d�=�d��������������� �3�=�d����������3�=�d��������������� �����3�=�d��������������3�=�d��������������� ������������� ��������

F��E� �3������d ; d�������ZKHQ�P� �����

�������� 3;��� ���

� �

���

� �

���� ���

� �

� �

�d

�d

�§

©¨

·

¹¸

�������� �3������d�=�d��������������� �3�=�d�����������3�=�d��������������� �����3�=�d��������������3�=�d��������������� �������������� ���

����7KH�SUREDELOLW\�RI�DFFHSWLQJ�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�ZKHQ�LW�LV�DFWXDOO\�IDOVH�LV�VPDOOHU�LQ�SDUW�F�VLQFH�WKH�WUXH�

PHDQ��P� ������LV�IXUWKHU�IURP�WKH�DFFHSWDQFH�UHJLRQ���$�ODUJHU�GLIIHUHQFH�H[LVWV�

����� 8VH�Q� ����HYHU\WKLQJ�HOVH�KHOG�FRQVWDQW�

D��3� ; d���������3� ; !������

���� 3; �

d�§

©¨

·

¹¸

���

� �

��� ���

� ��

�� 3

; �!

�§

©¨

·

¹¸

���

� �

���� ���

� ��

���� �3�=�d����������3�=�!���������� ������3�=�d���������������3�=�d������������ ����������������������������������� ��������

E��E� �3������d ; d�������ZKHQ�P� �����

�������� 3;��� ���

� �

���

� �

���� ���

� �

� �

�d

�d

�§

©¨

·

¹¸

������� �3�������d�=�d�������������� �3�=�d����������3�=�d�������������� �����3�=�d��������������3�=�d�������

�������� ������� ������������������������� ������� ��������

F��E� �3������d [ d�������ZKHQ�P� �����

�������� 3;��� ���

� �

���

� �

���� ���

� �

� �

�d

�d

�§

©¨

·

¹¸

� �������� �3������d�=�d��������������� �3�=�d����������3�=�d��������������� �����3�=�d��������������3�=�d��������������� ������������������������� �������������������� ��������

Page 131: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

���� D��D� �3� ; !�����ZKHQ�P� �����

������� 3; �

!�§

©¨

·

¹¸

���

�� ��

��� ���

�� ��� �

������� �3�=�!������

������� �����3�=�d������������� ������������������� ��������

E��E� �3� ; d�����ZKHQ�P� �����

������� 3; �

d�§

©¨

·

¹¸

���

�� ��

��� ���

�� ��� �

������� �3�=�d�������������� �����3�=�d������

������� �������� ���������

���� D��5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�PHDQ�IRDP�KHLJKW�LV�JUHDWHU�WKDQ�����PP�

E��3� ; !�����ZKHQ�P� �����

���� 3; �

!�§

©¨

·

¹¸

���

�� ��

��� ���

�� ��� �

���� �3�=�!������� �����3�=�d��������� ���� ��������������� ���� ���������

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�D�YDOXH�RI�DW�OHDVW�����PP�ZRXOG�EH�REVHUYHG��LI�WKH�WUXH�PHDQ�KHLJKW�LV�����PP��LV�

RQO\������������7KXV��WKH�VDPSOH�YDOXH�RI� [ �����PP�ZRXOG�EH�DQ�XQXVXDO�UHVXOW�

����� 8VLQJ�Q� ����

D��D� �3� ; !�����ZKHQ�P� �����

�������� 3; �

!�§

©¨

·

¹¸

���

�� ��

��� ���

�� ��� �

�������� �3�=�!���

�������� �����3�=�d����������� �������� �������������������� �������� ��������

E��E� �3� ; d�����ZKHQ�P� �����

�������� 3; �

d�§

©¨

·

¹¸

���

�� ��

��� ���

�� ��� �

�������� �3�=�d������������ �����3�=�d���

������� �������� �������������������� �������� ���������

������� D��������� � �3 ; FZKHQ! P ��� � 3 =F

!�§

©¨

·

¹¸

���

�� ��� �3�=�t������

����7KXV������� �F ����

�� �������DQG��F� ������

E��,I�WKH�WUXH�PHDQ�IRDP�KHLJKW�LV�����PP��WKHQ

�����E� �3� ; d ������ZKHQ�P� �����

�������� 3 = d�§

©¨

·

¹¸

��� � ���

�� ��

�������� �3�=�d��������������� �����3�=�d������

�������� �������� ���������

F��)RU�WKH�VDPH�OHYHO�RI�D��ZLWK�WKH�LQFUHDVHG�VDPSOH�VL]H��E�LV�UHGXFHG�

Page 132: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��D� �3� ; d������ZKHQ�P� ������3� ; !������ZKHQ�P� ���

�������� 3; �

d�§

©¨

·

¹¸

� �� �

� �� �

� �� �� �

� �� 3

; �!

�§

©¨

·

¹¸

� �� �

��� �

� �� �� �

� �

�������� �3�=�d���������3�=�!������������� ������3�=�d��������������3�=�d������������� �������������������������������������� ���������

E��3RZHU� �����E

� ����E� �3������d ; d������ZKHQ�P� �����

������� 3;� �� ��

� �� �

��

� �� �

��� ��

� �� �

� �

� �

� �

� �

� �

�d

�d

�§

©¨

·

¹¸

������� �3�������d�=�d������������� �3�=�d����������3�=�d������������� �3�=�d���������������3�=�d������������� ������������������������������� ������������������������� ��������

��������E� ��������

������ 8VLQJ�Q� ����

D��D� �3� ; d������ZKHQ�P� ������3� ; !������ZKHQ�P� ���

�������� 3; �

d�§

©¨

·

¹¸

� �� ��

� �� �

� �� ��� �

� �� 3

; �!

�§

©¨

·

¹¸

� �� ��

��� �

� �� ��� �

� �

�������� �3�=�d���������3�=�!������������� ������3�=�d�������������3�=�d�������������� �������3�=�d�������������� ����������������������� ����������

�������� ��������

E��E� �3������d ; d������ZKHQ�P� �����

������� 3;� �� ��

� �� ��

��

� �� ��

��� ��

� �� ��

� �

� �

� �

� �

� �

�d

�d

�§

©¨

·

¹¸

������� �3����d�=�d������ ��3�=�d��������3�=�d����������� �3�=�d�������������3�=�d���������� ������������������������� ������������������ ��������

��������E� ��������

������ D� �3 � �; F/d ���3 � �; F+!

������ �3 � �; F/d ��������� �3 � �; F+!

3F/ �§

©¨

·

¹¸

� �� �� � ��������������WKXV���������

F/ � �

� �� �� ����� F/ �����

3F+ �§

©¨

·

¹¸

� �� �� � ��������������WKXV��������

F+ � �

� �� �� ������� F+ �����

� �3 ;� �� ���� �d d

Page 133: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� 2SHUDWLQJ�FKDUDFWHULVWLF�FXUYH�

[

3 =[

3 =

d�§

©¨

·

¹¸ d

�§

©¨

·

¹¸

���

�� ��

���

�� ��E

P P

� �

P 3 = d�§

©¨

·

¹¸

���

�� ��

P

� E ����E

��� 3�=�d������� ������ ������

��� 3�=�d������� ������ ������

��� 3�=�d������� ������ ������

��� 3�=�d�������� ������ ������

��� 3�=�d�������� ������ ������

��� 3�=�d�������� ������ ������

��� 3�=�d�������� ������ ������

��� 3�=�d�������� ������ ������

��� ��� ��� ��� ��� ���

P

���

���

���

���

E

2SHUDWLQJ�&KDUDFWHULVWLF�&XUYH

�����

��� ��� ��� ��� ��� ���

P

���

���

���

���

����E

3RZHU�)XQFWLRQ�&XUYH

Page 134: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� 7KH�SUREOHP�VWDWHPHQW�LPSOLHV�+���S� ������+���S�!�����DQG�GHILQHV�DQ�DFFHSWDQFH�UHJLRQ�DV� � �S d ���

���� ��

DQG�UHMHFWLRQ�UHJLRQ�DV� � �S ! � ��

D��D� � � � �3 3 ZKHQS 3 = 3 = 3 =� � �� �

� � � �� � � � �t t

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

t � � � �� � �� �� � �

� � � �

���

��� � ��� � ����� �

E��E� �3� �3 d������ZKHQ�S� ������� �3�=�d��������� ���

����� ;�a�ELQ����������,PSOLFLWO\��+���S� �����DQG�+���S������

Q� ���

$FFHSW�UHJLRQ�� � �S ! ��

5HMHFW�UHJLRQ�� � �S d ��8VH�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�IRU�SDUWV�D���E��DQG�F��

D��:KHQ�S� ����D� � � �3 S 3 =� �� �

� � � �� d

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

���� � �

� � � �

��

������� d �

3 =� � �

���

� �����

E��:KHQ�S� �����E� � �3 S 3 =� �� �

� � � �! !

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

���� � �

� � ��

��

�������

! �

� � �

3 =

3 =

� � �

� � �

���

� ���

������

F��3RZHU� �����E� ������������� ���������

������ ;�a�ELQ������������+���S� �������DQG���+���S�z����

����� ������ ����� ������

$FFHSW�5HJLRQ�� � ��� ����� � �d dS

5HMHFW�5HJLRQ�� � �S d � ��� ��RU� � �S ! ����

8VH�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�IRU�SDUWV�D��DQG�E�

D��:KHQ�S� ����� D d � !3 S 3 S� � � � � � � �� ��� ����

��������

d�

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

� !�

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

d � � !

d � � � �

3 = 3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

� ��� � �

� � � �

��

���� � �

� � � �

��

��� ���

��� � ���

������ ������

� �����

� �

� � � �

� �

� � � �

� � � � � �

� � � � � � ��

� �

Page 135: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��:KHQ�S� ������ E � d �

� d�

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

3 S 3 =� � � � �� �

� � � �

� �

� � � �� ��� ����

� ��� � �

� � ��

��

���� � �

� � ��

��

� �����

� d

d � �

3 =

3 = 3 =

� � � �

� � � � � �

� �

� �� ���

��� � ��

� ����� � �����

� �����

6HFWLRQ����

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�EUHDNLQJ�VWUHQJWK��P��������+����P� �����������+�����P��!�����������D� �����

������ ][

Q�

� P

V �

�������5HMHFW�+��LI�]��!�]D�ZKHUH�]����� �����

������� [ �� ��V� ��

]��� ���

� ��

� �

�������6LQFH�����������GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�ILEHU�ZRXOG�QRW�EH�MXGJHG�DFFHSWDEOH�DW� �

D �����E��3�YDOXH� �3�=�t����� ���� ) ����� ��������

F��)RU�D� �������DFFHSW�+��LI� ; � �§

©¨

·

¹¸ ��� ���

������ �

��� � � � �3 ; ZKHQ 3 = 3 =d d�§

©¨

·

¹¸ d � � #���� ���

���� ���

� �� �� � �� ��

�� � � �P )

����7KH�SUREDELOLW\�LV���RI�DFFHSWLQJ�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�WKH�WUXH�PHDQ�EUHDNLQJ�VWUHQJWK�LV�����SVL��ZLWK�D�

����OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�RI��D� ������G���]

D��� �]������ �����

���� [ ]Q

[ ]Q

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� � ���� �

VP

V

���� �� ����

��� ���

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� �P

���������d�P�d������� ����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�EUHDNLQJ�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ������SVL�DQG������SVL�

����� �D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�\LHOG��P���������+����P� �����������+�����P��z�����������D� �����

������� ][

Q�

� P

V �

��������5HMHFW�+��LI�]������] D�����ZKHUH��]������ �������RU��]��!�]D�����ZKHUH�]������ ������������� [ �� ��� ���V� ��

]��� �� ��

� �� ��

��

�������6LQFH���������������������GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKH�\LHOG�LV�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�

������������DW�D� ������E��3�YDOXH� ��>� � � )� � �@ > � @ �� �� � � � ����� � �����

Page 136: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F��Q� �� � � �

� �

� �

� �

] ] ] ]D E V

G

� � � � ��

��

� ��� � ��

� �

�� ��

��� ��� �

�� ��

����Q�#���

G�E ��§

©¨

·

¹¸ � � �

�§

©¨

·

¹¸) )] ]� ��� � ���

�� ��

� �

�� ��

� �� �

� �

������� �)������������������)������������������������ �)���������)�������������� �)��������������)�������������� �������������������������������� ���������

H��)RU��D� �������]D��� �]������ �����

���� [ ]Q

[ ]Q

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� � ���� �

VP

V

���� �� �� ����

��� �� ���

�� � � ��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

�����������d�P�d����������:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�\LHOG�RI�WKH�FKHPLFDO�SURFHVV�LV�EHWZHHQ��������DQG�

�����������

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�KROH�GLDPHWHU��P��������+����P� ������������+����P�z������������D� �����

������ ][

Q�

� P

V �

�������5HMHFW�+��LI�]������]D�����ZKHUH���]������ �������RU�]��!�]D�����ZKHUH��]������ ������������ [ ������ ���V� �����

]������ ���

� �� ������

� �

� ��

�������6LQFH�������������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�PHDQ�KROH���������GLDPHWHU�LV�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�����LQ��DW�D� ������E��3�YDOXH� ��>����) ��������@�#��>�����������@� ��������F��6HW�E� ���������� �����

����Q� �� ��] ]D E V

G

� �

�� � � �

� � � �

� �] ]� ��� ���

� �

����� ���

V �#�� � � � � � �

� � �

� �� ��� � ��

� ���

� �

�� �������

����Q��#����

G�E ��§

©¨

·

¹¸ � � �

�§

©¨

·

¹¸) )] ]� ��� � ���

��� ����

� �� ��

��� ����

� �� ��� �

� �

� �

� �

� �

�������#�)�����������������)������������������������ �)����������)��������������� ����������������E��#���������H��)RU�D� �������]

D��� �]������ �����

���� [ ]Q

[ ]Q

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� � ���� �

VP

V

���� ����� � ��� ��

������� � ��

� ��

��� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

����������d�P�d������

Page 137: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����7KH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�FRQVWUXFWHG�FRQWDLQV�WKH�YDOXH������WKXV�WKH�WUXH�PHDQ�KROH�GLDPHWHU�FRXOG�

����SRVVLEO\�EH�����LQ��XVLQJ�D�����OHYHO�RI�FRQILGHQFH���6LQFH�D�WZR�VLGHG�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�LV�

����HTXLYDOHQW�WR�D�WZR�VLGHG�K\SRWKHVLV�WHVW�DW��D� �������WKH�FRQFOXVLRQV�QHFHVVDULO\�PXVW�EH�FRQVLVWHQW�

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�SLVWRQ�ULQJ�GLDPHWHU��P��������+����P� ��������������+�����P�z��������������D� �����

������ ][

Q�

� P

V �

�������5HMHFW�+��LI��]������]D�����ZKHUH��]������ �������RU�]��!�]D�����ZKHUH�]������ ������������ [ �� ���� ���V� ������

]��� ��� �� ���

� ��� �����

� �

� ��

�������6LQFH������!�������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�PHDQ�SLVWRQ�ULQJ�GLDPHWHU�LV�QRW����������������PP�

E��3�YDOXH� ��>��� ) �������@ ��>�����������@� ������������$JDLQ�VLQFH�WKH�3�YDOXH�LV�OHVV�WKDQ�WKH�OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH��D��ZH�ZRXOG�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�F��)RU�D� �������]

D��� �]������ �����

���� [ ]Q

[ ]Q

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� � ���� �

VP

V

���� �� ��� � ��� ���

���� ��� � ��

� ���

��� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

������������d�P�d��������

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�SLVWRQ�ULQJ�GLDPHWHU�LV�EHWZHHQ���������DQG���������PP�

G��)RU�D� �������]D� �]����� ����

����

[ ]Q

� d

� d

� ��

�� ��� ���� ���

��

� ��

VP

P

������������d�P

����:LWK�����FRQILGHQFH��WKH�WUXH�PHDQ�SLVWRQ�ULQJ�GLDPHWHU�LV�DW�OHDVW���������PP�

Page 138: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�EXOE�OLIH��P��������+����P� ������������+����P��!������������D� �����

������ ][

Q�

� P

V �

�������5HMHFW�+��LI�]��!�]D�ZKHUH�]����� �����

������ [ ��������V� ���

]����� ����

�� ��� ���

��

�������6LQFH�������!�������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�VXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�WKH�

��������FODLP�WKH�EXOE�OLIH�H[FHHGV������KUV�DW�D� ������E��3�YDOXH� �3�=�!�������� �����3�=�d�������� ���� ) �������� ��������� ���������

F��E� ) ]� ��

���� ���� ��

���

� ��

�§

©¨̈

·

¹¸̧ �)����������������� �)�������� ��

G��Q� � � � �] ] ] ]D E V

G

V�

� �

� �� ���

� �

� �

����� ����

��� ��� ��

��� ����

� �

� �

� � � � � �

� �� �

����Q��#���H��)RU�D� �������]

D��� �]������ �����

���� [ ]Q

[ ]Q

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� � ���� �

VP

V

���� ���� �����

������ ���

��

���

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� �P

���������d�P�d�����

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�EXOE�OLIH�LV�EHWZHHQ������KUV�DQG������KUV�

I�� [ ]Q

� d� ����

VP

���� ���� ������

��� d� P

����������d�P

����:LWK�����FRQILGHQFH��WKH�WUXH�PHDQ�EXOE�OLIH�LV�DW�OHDVW������KUV�

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK��P��������+����P� ������������+�����P�z������������D� �����

������ ][

Q�

� P

V �

�������5HMHFW�+��LI�]������]D�����ZKHUH��]������ �������RU�]��!�]D�����ZKHUH�]������ ������������ [ ���� ���V� ������

]����� ����

���� ���� ��

� �

� ��

�������6LQFH�����������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV��������VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP������DW�D� ������

E��6PDOOHVW�OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH� �3�YDOXH� ��>��� ) ��������@ ��>�����@� ������7KH�VPDOOHVW�OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�DW�ZKLFK�ZH�DUH�ZLOOLQJ�WR�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LV���

Page 139: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F��]D��� �]������ �����

���� [ ]Q

[ ]Q

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� � ���� �

VP

V

���� ���� �������

������ ���

����

���

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸�

��

�P

������������d�P�d��������

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ���������SVL�DQG���������

SVL�

G��]D��� �]������ �����

���� [ ]Q

[ ]Q

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� � ���� �

VP

V

���� ���� � ������

������ � ��

����

���

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸�

��

�P

�����������d�P�d�������

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ��������SVL�DQG��������

����SVL�

����7KH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�LV�ZLGHU�WKDQ�WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO���7KH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�ZLWK�WKH� ��

ODUJHU�OHYHO�RI�FRQILGHQFH�ZLOO�DOZD\V�UHVXOW�LQ�D�ZLGHU�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�ZKHQ� [ ��V����DQG�Q�DUH�KHOG�

����FRQVWDQW�

������ ]D��� �]������ �����������(� ��

��������� Q #ª

¬«º

¼»

�� ���

��� ��

�� � �

� ��Q�#����

������ ]D��� �]������ �����������(� �������VLQFH�WKH�GHVLUHG�ZLGWK�LV����VHW�(� �

��

�������� Q #ª

¬«º

¼»

�� ���

���� �

�� � �

� ��Q�#�����

����� ]D��� �]������ ����������(� ���

���������� Q ª

¬«º

¼»

���� � ��

���� ��

�� � � �

� ��Q�#����

6HFWLRQ����

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�OLIH��P��������+����P� �������������+�����P��!�������������D� �����

�������W�� �[

V Q

� P

�������5HMHFW�+� �LI�W���!�WD�Q�� �ZKHUH�W�������� ������

������� [ �����������V� �����������Q� ���

W�� ������ � �����

������ ������

� ��

�������6LQFH����������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�

��������LQGLFDWH�WKDW�WKH�PHDQ�OLIH�RI�WKLV�QHZ�WLUH�LV�LQ�H[FHVV�RI��������NP�DW�D� ������

Page 140: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��G� �GV

P PV

� ����� �����

������� ���

��

����8VLQJ�WKH�2&�FXUYH��&KDUW�9,F��IRU��D� �������G� ��������DQG�Q� ������ZH�JHW�E�#������DQG�SRZHU�RI�������� ��������:LWK�WKH�SRZHU�EHLQJ�VPDOOHU�WKDQ�WKH�DFFHSWDEOH�OHYHO�����LV�QRW�DQ�DGHTXDWH�VDPSOH�VL]H�IRU� �

GHWHFWLQJ�D�GLIIHUHQFH�ZLWK�SUREDELOLW\�RI�DW�OHDVW������

F��WD�Q��� �W��������� ������

���� [ WV

Q[ W

V

Q�

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� �� � ��� ��� � � �P

���� ����� � ����������

������� � ����

������

��� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

�������������d�P�d����������

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�WLUH�OLIH�LV�EHWZHHQ����������NP�DQG�����������NP�

����� ,Q�RUGHU�WR�XVH�W�VWDWLVWLFV�LQ�K\SRWKHVLV�WHVWLQJ��ZH�QHHG�WR�DVVXPH�WKDW�WKH�XQGHUO\LQJ�GLVWULEXWLRQ�LV�QRUPDO�

� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�,]RG�LPSDFW�VWUHQJWK��P����+����P� �������+�����P��!�������D� �����

���W�� �[

V Q

� P

���5HMHFW�+� �LI�W���!�WD�Q�� �ZKHUH�W�������� ������

��� [ ��������V� ��������Q� ���

W�� ���� ��

� �� ��� ��

� �

� ��

���6LQFH������!��������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�VXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�LQGLFDWH�WKDW�WKH�

WUXH�,]RG�LPSDFW�VWUHQJWK�LV�JUHDWHU�WKDQ�����IW�OE�LQ�DW�D� ������

������ ,Q�RUGHU�WR�XVH�W�VWDWLVWLFV�LQ�K\SRWKHVLV�WHVWLQJ��ZH�QHHG�WR�DVVXPH�WKDW�WKH�XQGHUO\LQJ�GLVWULEXWLRQ�LV�QRUPDO�

D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�DPRXQW�RI�FXUUHQW��P��������+����P� �����������+�����P�z�����������D� �����

�������W�� �[

V Q

� P

�������5HMHFW�+� �LI�W�������WD���Q�� �ZKHUH��W�������� ��������RU�W�!�WD���Q�� �ZKHUH�W�������� ������������� [ ���������V� ���������Q� ���

W�� ���� � ���

���� �����

� ��

�������6LQFH������!��������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�VXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�LQGLFDWH�WKDW�

WKH�DPRXQW�RI�FXUUHQW�QHFHVVDU\�LV�QRW�����PLFURDPSV�DW�D� ������

��������3�YDOXH� ��3�W��������������IRU�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�RI���ZH�REWDLQ

����������������������������������������3�YDOXH�����������������������3�YDOXH��������

Page 141: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�����

���� ���� ���� ���� ���� ����

)DWW\ $FLG

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

FXPXODWLYHSHUFHQW

����7KH�QRUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�DSSHDUV�WR�EH�VDWLVILHG���7KLV�LV�HYLGHQW�E\�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�IDOO�DORQJ�D�

����VWUDLJKW�OLQH�

D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�OHYHO�RI�SRO\XQVDWXUDWHG�IDWW\�DFLG��P��������+����P� ����������+�����P�z����������D� �����

�������W�� �[

V Q

� P

�������5HMHFW�+� �LI�W�������WD���Q�� �ZKHUH��W�������� ���������RU�W�!�WD���Q�� �ZKHUH�W�������� ������������� [ ���������V� ���������Q� ��

W�� ��� �� ��

� ��� �����

� ��

� �

�������6LQFH��������������������������DFFHSW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�PHDQ�OHYHO�LV�QRW���������VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�����DW�D� ������

E��3�YDOXH� ��3�W�!��������������IRU�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�RI���ZH�REWDLQ

��������������3�YDOXH

�����������3�YDOXH

F��8VLQJ�WKH�2&�FXUYHV�RQ�&KDUW�9,E��ZLWK�G� ��

� ���

� ��������Q� �����ZKHQ�E�#�������7KHUHIRUH��WKH�FXUUHQW

����VDPSOH�VL]H�RI���LV�LQDGHTXDWH�

G��)RU�D� �������WD���Q��� �W�������� ������

���� [ WV

Q[ W

V

Q�

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� � � ��� �� � � �P

���� �� �� � ���� ���

��� �� � ���

� ���

�� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

�����������d�P�d�������

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�OHYHO�RI�SRO\XQVDWXUDWHG�IDWW\�DFLG�LV�EHWZHHQ���������

����DQG���������

Page 142: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������� D��$FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW��WKH�GDWD�DSSHDU�WR�IROORZ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ���7KLV�LV�HYLGHQW�

E\�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�IDOO�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

����

���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

&RPSUHVVLYH 6WUHQJWK

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

&XPXODWLYHSHUFHQW

E�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK��P��������+����P� ������������+�����P�z������������D� �����

�������W�� �[

V Q

� P

�������5HMHFW�+� �LI�W�������WD���Q�� �ZKHUH��W��������� ��������RU�W�!�WD���Q�� �ZKHUH�W��������� ������������� [ ��������V� ���������Q� ���

W�� ����� ����

���� ��� ���

� ��

�������6LQFH�������������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH���������WR�LQGLFDWH�WKDW�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP������SVL�DW�D� ������

F��)RU�D� ������DQG�Q� �����WD���Q��� �W��������� ������

���� [ WV

Q[ W

V

Q�

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� �� � ��� ��� � � �P

���� ���� � �������

������ � ���

����

���

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸�

��

�P

�����������d�P�d�������

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ��������SVL�DQG��������

����SVL�

G��)RU�D� ������DQG�Q� �����WD�Q��� �W�������� ������

���� [ WV

Q�

§

©¨

·

¹¸ d� �� ��� � P

���� �� �� ��������

��� �

��

§

©¨

·

¹¸ d P

������������d�P����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�WR�EH�DW�OHDVW���������SVL�

Page 143: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��$FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW�WKHUH�GRHV�QRW�VHHP�WR�EH�D�VHYHUH�GHYLDWLRQ�IURP�QRUPDOLW\�IRU�

����WKLV�GDWD���7KLV�LV�HYLGHQW�E\�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�DSSHDUV�WR�IDOO�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

��� ��� ��� ��� ��� ���

5RG 'LDPHWHU�; �����

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

&XPXODWLYHSHUFHQW

E�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�URG�GLDPHWHU��P��������+����P� �����������+�����P��!�����������D� �����

�������W�� �[

V Q

� P

�������5HMHFW�+� �LI�W��!�WD�Q�� �ZKHUH�W�������� ������

������� [ ��������V� ���������Q� ���

W�� �� �� � �

� ��� ��� ��

� �

� ��

�������6LQFH������!��������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�PHDQ�URG�GLDPHWHU�H[FHHGV�����

��������PP�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

F��3�YDOXH� �3�W�!���������IRU�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�RI������3�YDOXH���������

G��)RU�D� ������DQG�Q� �����WD���Q��� �W��������� ������

���� [ WV

Q[ W

V

Q�

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� �� � ��� ��� � � �P

���� � �� ����� ���

��� �� ����

� ���

��� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

����������d�P�d������

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�URG�GLDPHWHU�LV�EHWZHHQ�������PP�DQG�������PP�

������� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�ZDOO�WKLFNQHVV��P��������+����P� �����������+�����P�!�����������D� �����

�������W�� �[

V Q

� P

�������5HMHFW�+� �LI�W��!�WD�Q�� �ZKHUH�W�������� ������

������� [ ��������V� ��������Q� ���

W�� �� �� � �

� �� ������

� �

� ��

�������6LQFH�������!��������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�VXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�LQGLFDWH�

��������WKDW�WKH�WUXH�PHDQ�ZDOO�WKLFNQHVV�LV�JUHDWHU�WKDQ������PP�DW�D� ������

Page 144: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

3�YDOXH� �3�W�!������������������3�YDOXH���������

E��WD���Q��� �W��������� ������

���� [ WV

Q[ W

V

Q�

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� �� � ��� ��� � � �P

���� � �� � ���� ��

��� �� � ���

� ��

��� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

����������d�P�d����������:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�ZDOO�WKLFNQHVV�LV�EHWZHHQ�������PP�DQG�������PP�

������ D�

��� ��� ��� � ���

3HUFHQW (QULFKPHQW

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����FXPXODWLYHSHUFHQW

����7KH�QRUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�DSSHDUV�WR�EH�UHDVRQDEOH���7KLV�LV�HYLGHQW�E\�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�DSSHDU�WR�

����IDOO�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

E�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�SHUFHQW�HQULFKPHQW��P��������+����P� ������������+�����P�z������������D� �����

�������W�� �[

V Q

� P

�������5HMHFW�+� �LI�W�������WD���Q�� �ZKHUH��W��������� ��������RU�W�!�WD���Q�� �ZKHUH�W��������� �������������� [ �������V� ���������Q� ���

W�� �� � � ��

� ��� ������

� �

� ��

� �

�������6LQFH�������������������������DFFHSW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�QR�VWURQJ�HYLGHQFH���������WR�LQGLFDWH�WKDW�WKH�WUXH�PHDQ�SHUFHQW�HQULFKPHQW�LV�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP������DW�D� ������F��)RU�D� ������DQG�Q� �����W

D���Q��� �W��������� ������

���� [ WV

Q[ W

V

Q�

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� �� � ��� ��� � � �P

���� � � ����� ���

��� � ����

� ���

��� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

����������d�P�d�����

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�SHUFHQW�HQULFKPHQW�LV�EHWZHHQ��������DQG�������

����6LQFH�WKH�LQWHUYDO�FRQWDLQV�WKH�YDOXH�������ZLWK�D�ODUJH�OHYHO�RI�FRQILGHQFH��ZH�FRQFOXGH�WKDW�WKH�PHDQ�

����SHUFHQW�HQULFKPHQW�LV�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�������

Page 145: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�TXDQWLW\�RI�V\UXS��P��������+����P� �����������+����P�z�����������D� �����

�������W�� �[

V Q

� P

�������5HMHFW�+� �LI�W�������WD���Q�� �ZKHUH�W��������� ��������RU�W�!�WD���Q�� �ZKHUH�W��������� ������������� [ ��������V� ���������Q� ���

W�� ���� ��

� ��� �����

� �

� ��

�������6LQFH������!��������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�PHDQ�TXDQWLW\�RI�V\UXS�LV

��������VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�����IO��R]��DW�D� �����

E�����+����P� �����������+�����P��!�����������D� �����

�������W�� �[

V Q

� P

�������5HMHFW�+� �LI��W�!�WD�Q�� �ZKHUH�W�������� ������

�������W�� ������

�������6LQFH������!��������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�VXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�WKH�

��������FODLP�WKDW�WKH�PHDQ�TXDQWLW\�RI�V\UXS�GLVSHQVHG�H[FHHGV�����IO��R]��DW��D� ������

F��8VLQJ�WKH�2&�FXUYH�LQ�&KDUW�9,�H���ZLWK�G� ������������ ������DQG�Q� ����ZH�JHW�E�#�����7KXV�WKH�SRZHU�����LV�JLYHQ�E\�����E� �����7KH�VDPSOH�VL]H�LV�DGHTXDWH�IRU�WKH�H[SHULPHQW�

G��)RU�D� ������DQG�Q� �����WD���Q��� �W��������� ������

���� [ WV

Q[ W

V

Q�

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� ��� �� � ��� ��� � � �P

���� ��� � ���� ���

����� � ���

� ���

��� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

���������d�P�d������

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�TXDQWLW\�LV�EHWZHHQ������IO��R]��DQG�������IO��R]�

������ 7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�PHDQ�QDWXUDO�IUHTXHQF\��P�)RU�D� ������DQG�Q� �����W

D���Q��� �W������� ������

[ WV

Q[ W

V

Q�

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� �� � � �� �� � � �P

����� �������

������ ����

���

�� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸P

�������d�P�d�������

:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�IUHTXHQF\�LV�EHWZHHQ��������+]�DQG��������+]�

7KH�FODLP�WKDW�WKH�PHDQ�QDWXUDO�IUHTXHQF\�LV�����+]�FDQQRW�EH�VXSSRUWHG�ZLWK�D�OHYHO�RI�FRQILGHQFH�RI�

����VLQFH�WKLV�LQWHUYDO�GLG�QRW�FRQWDLQ�WKH�YDOXH�����

Page 146: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ����

������ D��,Q�RUGHU�WR�XVH�F��VWDWLVWLF�LQ�K\SRWKHVLV�WHVWLQJ�DQG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�FRQVWUXFWLRQ��ZH�QHHG�WR�DVVXPH�

����WKDW�WKH�XQGHUO\LQJ�GLVWULEXWLRQ�LV�QRUPDO�

������7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�WKH�GLDPHWHU��V���+RZHYHU��WKH�DQVZHU�FDQ���������EH�IRXQG�E\�SHUIRUPLQJ�D�K\SRWKHVLV�WHVW�RQ�V��

������+�����V�� �������

������+����V��!�������

������D� �����

������ F�� �

� �Q V�� �

�V

������5HMHFW�+��LI� F FD�

��

�!��Q �ZKHUH� F� ����

�� � ������

������Q� �����V�� ������

F�� �

� � � � �

��

Q V�

� �� � ���

� ����� ��

V������6LQFH��������������GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�LQGLFDWH�WKH�WUXH�

�������VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�WKH�GLDPHWHU�H[FHHGV������DW�D� ������E��3�YDOXH� �3�F���!�������IRU����GHJUHHV�RI�IUHHGRP���������������3�YDOXH������

F������ORZHU�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�V���

����)RU�D� ������DQG�Q� ����� FD �Q� �� F� ����

�� � �����

������ � ���

����

�� � �

����V�

�����������������V�

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�WKH�KROH�GLDPHWHU�LV�PRUH�WKDQ������������PP�

������ D��,Q�RUGHU�WR�XVH�F��VWDWLVWLF�LQ�K\SRWKHVLV�WHVWLQJ�DQG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�FRQVWUXFWLRQ��ZH�QHHG�WR�DVVXPH

����WKDW�WKH�XQGHUO\LQJ�GLVWULEXWLRQ�LV�QRUPDO�

�������7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�WKH�VXJDU�FRQWHQW��V���

�������+����V�� ���

�������+����V��z���

�������D� �����

������� F�� �

� �Q V�� �

�V

�������5HMHFW�+��LI� F FD�

�� � ���� �� �Q ZKHUH� F� ��� �� � ������RU� F F

D��

� ��!

�� �Q ZKHUH F� ��� �� � �����

�������Q� �����V�� ������

F�� �

� � � � ��

Q V�

� � ����

������

�V�������6LQFH����������������������DFFHSW�+��DQG�FRQFOXGH�WKH�HYLGHQFH�LQGLFDWHV�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�WKH�

��������VXJDU�FRQWHQW�LV�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP����PJ��DW�D� ������E��3�YDOXH� ��3�F���!��������IRU���GHJUHHV�RI�IUHHGRP

������3�F���!�������������

��������3�YDOXH������

F������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�V�����)LUVW�ILQG�D�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�V���

����)RU�D� ������DQG�Q� ���� FD � �� ��

Q� F� ��� ��� � ������DQG F

D� � ��� �

� �Q F� ��� ��� � �����

� ����

�� ��

� ����

� ��

�� � �

� � �

�d dV

�����d�V��d���������7DNH�WKH�VTXDUH�URRW�RI�WKH�HQGSRLQWV�RI�WKLV�LQWHUYDO�WR�ILQG�WKH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�V�

�����d�V�d���������:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�WKH�VXJDU�FRQWHQW�LV�EHWZHHQ�����PJ�DQG�

���������PJ�

Page 147: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��,Q�RUGHU�WR�XVH�F��VWDWLVWLF�LQ�K\SRWKHVLV�WHVWLQJ�DQG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�FRQVWUXFWLRQ��ZH�QHHG�WR�DVVXPH

����WKDW�WKH�XQGHUO\LQJ�GLVWULEXWLRQ�LV�QRUPDO�

�������7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�WLUH�OLIH��V���+RZHYHU��WKH�DQVZHU�FDQ�EH�IRXQG����������E\�SHUIRUPLQJ�D�K\SRWKHVLV�WHVW�RQ�V��

�������+�����V�� �������

�������+����V��!�������

�������D� �����

������� F�� �

� �Q V�� �

�V

�������5HMHFW�+��LI� F FD�

��

�!��Q �ZKHUH� F� �� ��

�� � �����

�������Q� �����V�� �����������

F�� �

� � � � ��

Q V�

� �� ������

��������� ��

V�������6LQFH���������!�������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�VWURQJ�HYLGHQFH�WR�LQGLFDWH�WKH�WUXH�VWDQGDUG�

��������GHYLDWLRQ�RI�WLUH�OLIH�H[FHHGV�����NP�DW�D� ������E��3�YDOXH� �3�F���!����������IRU����GHJUHHV�RI�IUHHGRP��3�YDOXH��������

F������ORZHU�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�V��

����)RU�D� ������DQG�Q� ���� FD �Q� �� F� �� ��

�� � ��

������ ������

��

��� � �

� V

�������������������V�

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�WLUH�OLIH�LV�PRUH�WKDQ��������������NP�

������ D��,Q�RUGHU�WR�XVH�F��VWDWLVWLF�LQ�K\SRWKHVLV�WHVWLQJ�DQG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�FRQVWUXFWLRQ��ZH�QHHG�WR�DVVXPH�

����WKDW�WKH�XQGHUO\LQJ�GLVWULEXWLRQ�LV�QRUPDO�

�������7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�,]RG�VWUHQJWK��V����+RZHYHU��WKH�DQVZHU�FDQ���������EH�IRXQG�E\�SHUIRUPLQJ�D�K\SRWKHVLV�WHVW�RQ�V��

�������+�����V�� �����

�������+����V��z�����

�������D� �����

������� F�� �

� �Q V�� �

�V

�������5HMHFW�+��LI� F FD�

�� � ���� �� �Q ZKHUH� F� ��� ��

�� � ������RU� F F

D��

� ��!

�� �Q ZKHUH F� ��� ���� � ������

�������Q� �����V� �����

F�� �

� � � � �

��

Q V�

� �� � ��

� ����� ��

V�������6LQFH��������!�������ZH�ZRXOG�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�,]RG�VWUHQJWK�LV�

��������VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP������IW�OE�LQ�DW�D� ������E��3�YDOXH� ��3�F���!���������IRU����GHJUHHV�RI�IUHHGRP

3�F���!����������������

����3�YDOXH�������

F������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�V���

����)RU�D� ������DQG�Q� ���� FD � �� ��

Q� F� ��� ���� � ������DQG F

D� � ��� �

� �Q F� ��� ���� � ����

������ � ��

����

�� � ��

���

��

�� � �

� � �

�d dV

����������d�V��d����������:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�,]RG�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ��������IW�OE�LQ���DQG�������

�����IW�OE�LQ��

Page 148: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��,Q�RUGHU�WR�XVH�F��VWDWLVWLF�LQ�K\SRWKHVLV�WHVWLQJ�DQG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�FRQVWUXFWLRQ��ZH�QHHG�WR�DVVXPH�

����WKDW�WKH�XQGHUO\LQJ�GLVWULEXWLRQ�LV�QRUPDO�

�������7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�WLWDQLXP�SHUFHQWDJH��V���+RZHYHU��WKH���������DQVZHU�FDQ�EH�IRXQG�E\�SHUIRUPLQJ�D�K\SRWKHVLV�WHVW�RQ�V��

� �������+�����V�� ��������

�������+����V��z��������

�������D� �����

������� F�� �

� �Q V�� �

�V

�������5HMHFW�+��LI� F FD�

�� � ���� �� �Q ZKHUH� F� ��� ��

�� � ������RU� F F

D��

� ��!

�� �Q ZKHUH� F� ��� ���� � �����

�������Q� �����V� �����

F�� �

� � � � �

� � ��

Q V�

� �� � ��

� ����� ��

�V�������6LQFH��������!�������ZH�ZRXOG�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�VXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�LQGLFDWH�WKH�WUXH�

��������VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�WLWDQLXP�SHUFHQWDJH�LV�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP������DW�D� ������E������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�V�����)LUVW�ILQG�WKH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�V���

����)RU�D� ������DQG�Q� ���� FD � �� ��

Q� F� ��� ���� � ������DQG F

D� � ��� �

� �Q F� ��� ���� � �����

������ � ��

����

�� � ��

�� ��

��

� � �

� � �

� � �

� � �d dV

����������d�V��d�����������7DNLQJ�WKH�VTXDUH�URRW�RI�WKH�HQGSRLQWV�RI�WKLV�LQWHUYDO�ZH�REWDLQ�

�������V�����������:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�WLWDQLXP�SHUFHQWDJH�LV�EHWZHHQ������DQG�

�����

����� 8VLQJ�WKH�DSSURSULDWH�FKDUW�LQ�WKH�$SSHQGL[��ZLWK�Q� ����DQG�O� �����WKH�SUREDELOLW\�RI�GHWHFWLQJ�WKLV�GLIIHUHQFH�LV�����

����� 8VLQJ�WKH�DSSURSULDWH�FKDUW�LQ�WKH�$SSHQGL[��ZLWK�O ��

������ �DQG�E� �������ZH�ILQG�Q� ����

6HFWLRQ����

����� � �S ���

�������� ��Q� ��������)RU�D� �������]

D��� �]����� � �����

���������������� � ��� ����

����

� � � ��d�S�d������������� � ��� ����

����

� � � �

����������d�S�d������

:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ�RI�GHDWKV�UHVXOWLQJ�IURP�FDQFHU�LV�EHWZHHQ�������DQG�

������

������� (� �������D� ��������]D��� �]����� � ������DQG� �S �������DV�WKH�LQLWLDO�HVWLPDWH�RI�S�

Q]

(S S

§©̈

·¹̧

� §©̈

·¹̧

� D � � � � ��

�� � � � ��

� �

����

� ������ � ���� ����� �

�Q�#�����

Page 149: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ Q� �����[� ����� � �S ��

��� �� ���D� ��������]

D���� ��]����� � �����

D������������� � �� � ��

��

� � � ��d�S�d������������ � �� � ��

��

� � � �

���������d�S�d�����

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ�RI�KHOPHWV�GDPDJHG�OLHV�ZLWKLQ������DQG������

E�� Q]

(S S

§©̈

·¹̧

� §©̈

·¹̧

� D � � � � ��

�� � � � ��

� �

����

� ��� �� � � �� ���� �� ����Q�#�����

F�� Q]

(S S

§©̈

·¹̧

� §©̈

·¹̧

� D � � ��

�� � � ��

� �

����

� ���� � �� ���� ����Q�#�����

������ 7KH�ZRUVW�FDVH�ZRXOG�EH�IRU�S� ������WKXV�ZLWK�(� ������DQG�D� ��������]D���� ��]����� � ������ZH�REWDLQ�D�

VDPSOH�VL]H�RI�

���������� ���� Q]

(S S

§©̈

·¹̧

� §©̈

·¹̧

� D � � ��

�� � � � ��

� �

�� ��

� ���� � �� ����� ����Q�#����

������ � �S ��

���� ���� ���Q� ������D� ��������]

D� �]���� � �����

7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�IUDFWLRQ�GHIHFWLYH��S�

S�d�������������� � ���� � ����

���

� � � �

S�d�������:LWK�����FRQILGHQFH��WKH�WUXH�IUDFWLRQ�GHIHFWLYH�LV�DW�PRVW�������

������ (� ��������D� ��������]D��� ��]����� � �����

Q]

(S S

§©̈

·¹̧

� §©̈

·¹̧

� D � � ��

�� � � � ��

� �

�� ��

� ����� � �� ������ ����Q�#�����

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�IUDFWLRQ�RI�GHIHFWLYH�LQWHJUDWHG�FLUFXLWV��S�

�������+����S� �����

�������+����S�z������������D� �����

�������� �

][ QS

QS S�

� ��

���RU��

� �]

S S

S S

Q

��

� ��

�����(LWKHU�DSSURDFK�ZLOO�\LHOG�WKH�VDPH�FRQFOXVLRQ

�������5HMHFW�+� �LI�]�������]D����ZKHUH��]D��� ��]������� �������RU��]� �!�]D�� �ZKHUH�]D��� ��]������ �����

�������[� �����Q� ������ � �S ��

���� ���

� �]

[ QS

QS S�

� ��

�� ��� � ��

��� � �� � �����

� �

� � �

� � �� � ��

�������6LQFH������������������������DFFHSW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�IUDFWLRQ�RI�GHIHFWLYH���������LQWHJUDWHG�FLUFXLWV�LV�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�������DW�D� ������E��3�YDOXH� ���)��������� �������)�������� ���������������� ���������$JDLQ�VLQFH�WKH�3�YDOXH�LV�JUHDWHU�WKDQ�WKH�OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH��ZH�ZRXOG�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�

Page 150: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������� D��8VLQJ�WKH�LQIRUPDWLRQ�IURP�([HUFLVH�������WHVW

����� �������+����S� �����

�������+����S�������

�������D� �����

�������� �

][ QS

QS S�

� ��

���RU��

� �]

S S

S S

Q

��

� ��

�����(LWKHU�DSSURDFK�ZLOO�\LHOG�WKH�VDPH�FRQFOXVLRQ

�������5HMHFW�+� �LI�]�������]D��ZKHUH��]D� ��]���� � ������

��������[� �����Q� ������ � �S ��

���� ���

� �]

[ QS

QS S�

� ��

�� ��� � ��

��� � �� � �����

� �

� � �

� � �� � ��

�������6LQFH�������!����������DFFHSW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�IUDFWLRQ�RI�GHIHFWLYH�LQWHJUDWHG�FLUFXLWV�LV�QRW�VLJQLILFDQWO\�OHVV�WKDQ�������DW�D� ������

E��3�YDOXH� �����)������� ��������

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ�RI�HQJLQHHUV�ZKR�FRQWLQXH�WKHLU�HGXFDWLRQ��S�

�������+����S� �����

�������+����S�z������������D� �����

�������� �

][ QS

QS S�

� ��

���RU��

� �]

S S

S S

Q

��

� ��

�����(LWKHU�DSSURDFK�ZLOO�\LHOG�WKH�VDPH�FRQFOXVLRQ

�������5HMHFW�+� �LI�]�������]D����ZKHUH��]D��� ���]������ �������RU��]� �!�]D����ZKHUH�]D��� �]������ �����

��������[� ������Q� ������ � �S ���

���� ���

� �]

S S

S S

Q

��

� ��

� ��� ���

�� � ��

���

����� �

� �

� � �

� � � ��

�������6LQFH�������������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�GDWD�IURP�¦(QJLQHHULQJ�+RUL]RQV§�\LHOG�UHVXOWV�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�WKH�FODLP�UHSRUWHG�E\�¦)RUWXQH§��DW�D� ������

E��3�YDOXH� �������)���������� ���������� ��

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�SHUFHQWDJH�RI�SROLVKHG�OHQVHV�WKDW�FRQWDLQ�VXUIDFH�GHIHFWV��S�

�������+����S� �����

�������+����S�������

�������D� �����

�������� �

][ QS

QS S�

� ��

���RU��

� �]

S S

S S

Q

��

� ��

�����(LWKHU�DSSURDFK�ZLOO�\LHOG�WKH�VDPH�FRQFOXVLRQ

�������5HMHFW�+� �LI�]�������]D�ZKHUH���]D� ��]����� ������

�������[� ����Q� ������ � �S �

���� ���

� �]

S S

S S

Q

��

� ��

� ��� � ��

� �� � � ��

���

� ��� �

� � �

� � � ��

�����6LQFH�������!�������DFFHSW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�PDFKLQH�FDQQRW�EH�TXDOLILHG�DW�WKH������������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

E��3�YDOXH� ��)�������� ��������

Page 151: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�SHUFHQWDJH�RI�IRRWEDOO�KHOPHWV�WKDW�KDYH�IODZV��S�

�������+����S� �����

�������+����S�!�����

�������D� �����

�������� �

][ QS

QS S�

� ��

���RU��

� �]

S S

S S

Q

��

� ��

�����(LWKHU�DSSURDFK�ZLOO�\LHOG�WKH�VDPH�FRQFOXVLRQ

�������5HMHFW�+� �LI�]���!�]D�ZKHUH�]D� �]����� �����

��������[� �����Q� ������ � �S ��

���� ��

� �]

[ QS

QS S�

� ��

�� ��� ���

��� ��� � ��� ���

� �

� � �

� � �� � ��

�������6LQFH���������������DFFHSW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW���������WKH�FODLP�WKDW�DW�OHDVW�����RI�DOO�IRRWEDOO�KHOPHWV�KDYH�PDQXIDFWXULQJ�IODZV�WKDW�FRXOG�SRWHQWLDOO\�

��������FDXVH�LQMXU\�WR�WKH�ZHDUHU��DW�D� ������E��3�YDOXH� �����)��������� �)�������� ���������

����� 7KH�SUREOHP�VWDWHPHQW�LPSOLHV�+���S� ������+���S�!�����DQG�GHILQHV�DQ�DFFHSWDQFH�UHJLRQ�DV� � �S d ���

���� ��

DQG�UHMHFWLRQ�UHJLRQ�DV� � �S ! � ��

D��D� � � � �3 3 ZKHQS 3 = 3 = 3 =� � �� �

� � � �� � � � �t t

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

t � � � �� � �� �� � �

� � � �

���

��� � ��� � ����� �

E��E� �3� �3 d������ZKHQ�S� ������� �3�=�d��������� ���

����� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�SHUFHQWDJH�RI�EDWWHULHV�WKDW�ZLOO�IDLO�GXULQJ�WKH�ZDUUDQW\�SHULRG��S�

���+����S� ������

���+����S��������

���D� �����

���� �

][ QS

QS S�

� ��

���RU��

� �]

S S

S S

Q

��

� ��

�����(LWKHU�DSSURDFK�ZLOO�\LHOG�WKH�VDPH�FRQFOXVLRQ

���5HMHFW�+� �LI�]������]D�ZKHUH��]D� ��]����� ������

����[� �����Q� ������� � �S ��

����� ���

� �]

[ QS

QS S�

� ��

�� ���� � ���

���� � ��� � �������

� � �

� � �� � ��

���6LQFH�������!�������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�����VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�OHVV�WKDQ�����SHUFHQW�RI�WKH�FRPSDQ\©V�EDWWHULHV�ZLOO�IDLO�GXULQJ�WKH�ZDUUDQW\�

����SHULRG��ZLWK�SURSHU�FKDUJLQJ�SURFHGXUHV�DW�D� ������

Page 152: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ����

�����

9DOXH � � � � �

2EVHUYHG�)UHTXHQF\ �� �� �� �� �

([SHFWHG�)UHTXHQF\ ����� ����� ����� ���� ����

����6LQFH�YDOXH���KDV�DQ�H[SHFWHG�IUHTXHQF\�OHVV�WKDQ����FRPELQH�WKLV�FDWHJRU\�ZLWK�WKH�SUHYLRXV�FDWHJRU\�

9DOXH � � � ���

2EVHUYHG�)UHTXHQF\ �� �� �� ��

([SHFWHG�)UHTXHQF\ ����� ����� ����� �����

����7KH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�DUH�N���S����� ����������� ��

D�����7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�IRU�;�

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�3RLVVRQ

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�3RLVVRQ

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

� �F��

¦2 (

(

L L

LL

N

�������5HMHFW�+��LI� F FR�

� �� �� � ��! � � �

������

� � � �F��

� ��� ����

����

�� ����

����� ��

�� �

���

�������6LQFH�������������GR�QRW�UHMHFW�+���:H�DUH�XQDEOH�WR�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�WKDW�WKH�GLVWULEXWLRQ�RI�

��������;�LV�3RLVVRQ�

E��3�YDOXH� ����������IRXQG�XVLQJ�0LQLWDE�

������ ����(VWLPDWHG�PHDQ� ������

9DOXH � � � � � � � �

2EVHUYHG�)UHTXHQF\ � �� � �� �� �� �� �

([SHFWHG�)UHTXHQF\ ������ ������ ������� ������� ������� ������� ������ ������

����6LQFH�WKH�ILUVW�FDWHJRU\�KDV�DQ�H[SHFWHG�IUHTXHQF\�OHVV�WKDQ����FRPELQH�LW�ZLWK�WKH�QH[W�FDWHJRU\�

9DOXH ��� � � � � � �

2EVHUYHG�)UHTXHQF\ �� � �� �� �� �� �

([SHFWHG�)UHTXHQF\ ������ ������� ������� ������� ������� ������ ������

����7KH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�DUH�N���S����� ����������� ��

D�����7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�IRU�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�3RLVVRQ

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�3RLVVRQ

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

� �F��

¦2 (

(

L L

LL

N

�������5HMHFW�+��LI� F FR�

� �� �� ����! � � �

Page 153: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������

� � � �F��

� ��� � ����

� ����

� � ����

� ����

�� �

�� ������

�������6LQFH���������������GR�QRW�UHMHFW�+����:H�DUH�XQDEOH�WR�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�WKDW�WKH�GLVWULEXWLRQ

��������RI�WKH�QXPEHU�RI�IODZV�LV�3RLVVRQ�

E��3�YDOXH� ���������IRXQG�XVLQJ�0LQLWDE�

����� ����(VWLPDWHG�PHDQ� �������

9DOXH � � � � �� �� �� �� �� ��

5HO��)UHT ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� �����

2EVHUYHG

�'D\V�

� � � � � � � � � �

([SHFWHG

�'D\V�

������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

����6LQFH�WKHUH�DUH�VHYHUDO�FHOOV�ZLWK�H[SHFWHG�IUHTXHQFLHV�OHVV�WKDQ����WKH�UHYLVHG�WDEOH�ZRXOG�EH�

9DOXH ��� � �� �� �����

2EVHUYHG

�'D\V�

� � � � �

([SHFWHG

�'D\V�

������ ������ ������ ������ ������

����7KH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�DUH�N���S����� ����������� ��D�����7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�IRU�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�DUULYLQJ�WR�D�VZLWFKERDUG

��������IURP�QRRQ�WR��SP�GXULQJ�EXVLQHVV�GD\V�

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�3RLVVRQ

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�3RLVVRQ

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

� �F��

¦2 (

(

L L

LL

N

�������5HMHFW�+��LI� F FR�

� �� �� ���! � � �

������

� � � �F��

� �� �����

�����

� � ����

� ����

�� �

�� �����

�������6LQFH�������������GR�QRW�UHMHFW�+����:H�DUH�XQDEOH�WR�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�WKDW�WKH�GLVWULEXWLRQ

��������IRU�WKH�QXPEHU�RI�FDOOV�LV�3RLVVRQ�

E��3�YDOXH� ���������IRXQG�XVLQJ�0LQLWDE�

����� ����0HDQ� �QS� ��������� ����

9DOXH � � � � �

2EVHUYHG � �� �� �� �

([SHFWHG ������ ������� ������� ������ ������

����7KH�H[SHFWHG�IUHTXHQF\�IRU�YDOXH���LV�OHVV�WKDQ�����&RPELQH�WKLV�FHOO�ZLWK�YDOXH���

9DOXH � � � ���

2EVHUYHG � �� �� ��

([SHFWHG ������ ������� ������� ������

����7KH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�DUH�N���S����� ������������ ��

Page 154: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

D�����7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�IRU�WKH�UDQGRP�YDULDEOH�;�

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ���DQG�S� �����

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ���DQG�S� �����

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

� �F��

¦2 (

(

L L

LL

N

�������5HMHFW�+��LI� F FR�

� �� �� ���! � � �

������

� � � �F��

� �� �����

�����

�� � ����

� ����

�� �

�� �������

�������6LQFH�������!������UHMHFW�+���:H�FDQ�FRQFOXGH�WKDW�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�ELQRPLDO�ZLWK�Q� ���DQG�S� �

�������������DW�D� ������E��3�YDOXH� ���������IRXQG�XVLQJ�0LQLWDE�

����� 7KH�YDOXH�RI�S�PXVW�EH�HVWLPDWHG���/HW�WKH�HVWLPDWH�EH�GHQRWHG�E\� �SVDPSOH

��������VDPSOH�PHDQ � � �

� �� � �� � �� � �

��� ����

� � � � � � � ��

������� ��

�SVDPSOH PHDQ

QVDPSOH

� ����

��� �����

9DOXH � � � �

2EVHUYHG �� �� �� �

([SHFWHG ������� ������� ������ ������

����6LQFH�YDOXH���KDV�DQ�H[SHFWHG�IUHTXHQF\�OHVV�WKDQ����FRPELQH�WKLV�FDWHJRU\�ZLWK�WKDW�RI�YDOXH���

9DOXH � � ���

2EVHUYHG �� �� ��

([SHFWHG ������� ������� �������

����7KH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�DUH�N���S����� ������������ ��D�����7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�IRU�WKH�QXPEHU�RI�XQGHUILOOHG�FDUWRQV��;�

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�ELQRPLDO

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�ELQRPLDO

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

� �F��

¦2 (

(

L L

LL

N

�������5HMHFW�+��LI� F FR�

� �� �� ���! � � �

������� � � �

F��

� � ��� ������

������

�� ������

������

�� �� ����

�� ��

��

��

� � �

��������

�������6LQFH��������������GR�QRW�UHMHFW�+���:H�DUH�XQDEOH�WR�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�WKDW�WKH�GLVWULEXWLRQ

��������RI�WKH�QXPEHU�RI�XQGHUILOOHG�FDUWRQV�LV�ELQRPLDO�DW�D� ������

E��3�YDOXH� ���������IRXQG�XVLQJ�0LQLWDE�

Page 155: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� �(VWLPDWHG�PHDQ� ��������

�$OO�H[SHFWHG�IUHTXHQFLHV�DUH�JUHDWHU�WKDQ���

�7KH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�DUH�N���S����� ������������ ���

D�����7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�IRU�WKH�QXPEHU�RI�FDUV�SDVVLQJ�WKURXJK�WKH�

��������LQWHUVHFWLRQ�

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�3RLVVRQ

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�3RLVVRQ

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

� �F��

¦2 (

(

L L

LL

N

�������5HMHFW�+��LI� F FR�

� �� ��� �� ��! � � �

��������(VWLPDWHG�PHDQ� ��������

F�� ��� �� �

��������6LQFH��������!!!��������UHMHFW�+����:H�FDQ�FRQFOXGH�WKDW�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�3RLVVRQ�DW�D� ������E��3�YDOXH� ����IRXQG�XVLQJ�0LQLWDE�

6HFWLRQ����

����� ���7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�EUHDNGRZQV�DPRQJ�VKLIW�

���+���%UHDNGRZQV�DUH�LQGHSHQGHQW�RI�VKLIW�

���+���%UHDNGRZQV�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�RI�VKLIW�

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV�

� F��

��

¦¦

� �R (

(

LM LM

LMM

F

L

U

���7KH�FULWLFDO�YDOXH�LV F� �

��� �� �� ���

����7KH�FDOFXODWHG�WHVW�VWDWLVWLF�LV F�� ���� �

��� F F��

� �� ���! � �

���GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�GDWD�SURYLGH�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�FODLP�WKDW

�����PDFKLQH�EUHDNGRZQ�DQG�VKLIW�DUH�GHSHQGHQW�DW�D� �����������3�YDOXH� ��������XVLQJ�0LQLWDE�

����� ���7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�FDOOV�E\�VXUJLFDO�PHGLFDO�SDWLHQWV�

���+��&DOOV�E\�VXUJLFDO�PHGLFDO�SDWLHQWV�DUH�LQGHSHQGHQW�RI�0HGLFDUH�VWDWXV�

���+��&DOOV�E\�VXUJLFDO�PHGLFDO�SDWLHQWV�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�RI�0HGLFDUH�VWDWXV�

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV�

� F��

��

¦¦

� �R (

(

LM LM

LMM

F

L

U

���7KH�FULWLFDO�YDOXH�LV F� �

����� � ���

���7KH�FDOFXODWHG�WHVW�VWDWLVWLF�LV F�� � ��� �

��� F F��

� �����! � �

���GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�HYLGHQFH�LV�QRW�VXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�VXUJLFDO�PHGLFDO

SDWLHQWV�DQG�0HGLFDUH�VWDWXV�DUH�GHSHQGHQW�

3�YDOXH� �����

Page 156: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�VWDWLVWLFV�JUDGHV�DQG�25�JUDGHV�

���+���6WDWLVWLFV�JUDGHV�DUH�LQGHSHQGHQW�RI�25�JUDGHV�

���+���6WDWLVWLFV�DQG�25�JUDGHV�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV�

� F��

��

¦¦

� �R (

(

LM LM

LMM

F

L

U

���7KH�FULWLFDO�YDOXH�LV� F� �

����� �����

���7KH�FDOFXODWHG�FULWLFDO�YDOXH�LV� F�� �� �� �

��� F F��

� ����!� �

�7KHUHIRUH��UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�JUDGHV�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�DW�D� ������

3�YDOXH� ������

����� ���7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�FKDUDFWHULVWLF�DPRQJ�GHIOHFWLRQV�DQG�UDQJHV�

���+���'HIOHFWLRQ�DQG�UDQJH�DUH�LQGHSHQGHQW�

���+���'HIOHFWLRQ�DQG�UDQJH�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV�

� F��

��

¦¦

� �R (

(

LM LM

LMM

F

L

U

���7KH�FULWLFDO�YDOXH�LV� F� �

��� �� � ���

���7KH�FDOFXODWHG�WHVW�VWDWLVWLF�LV� F�� ��� �

��� F F��

� �� ���! � �

���GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�HYLGHQFH�LV�QRW�VXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�WKH�GDWD�DUH�QRW

LQGHSHQGHQW�DW�D� ������3�YDOXH� ������

����� ���7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�IDLOXUHV�RI�DQ�HOHFWURQLF�FRPSRQHQW�

���+���7\SH�RI�IDLOXUH�LV�LQGHSHQGHQW�RI�PRXQWLQJ�SRVLWLRQ�

���+���7\SH�RI�IDLOXUH�LV�QRW�LQGHSHQGHQW�RI�PRXQWLQJ�SRVLWLRQ�

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV�

� F��

��

¦¦

� �R (

(

LM LM

LMM

F

L

U

���7KH�FULWLFDO�YDOXH�LV F� �

����� �����

���7KH�FDOFXODWHG�WHVW�VWDWLVWLF�LV� F�� ���� �

��� F F��

� �����! � �

���GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�HYLGHQFH�LV�QRW�VXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�WKH�W\SH�RI�IDLOXUH�LV

QRW�LQGHSHQGHQW�RI�WKH�PRXQWLQJ�SRVLWLRQ�DW�D� ������3�YDOXH� ������

Page 157: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�RSLQLRQ�RQ�FRUH�FXUULFXOXP�FKDQJH�

���+���2SLQLRQ�RI�WKH�FKDQJH�LV�LQGHSHQGHQW�RI�WKH�FODVV�VWDQGLQJ�

���+���2SLQLRQ�RI�WKH�FKDQJH�LV�QRW�LQGHSHQGHQW�RI�WKH�FODVV�VWDQGLQJ�

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV�

� F��

��

¦¦

� �R (

(

LM LM

LMM

F

L

U

���7KH�FULWLFDO�YDOXH�LV F� �

��� �� � ���

���7KH�FDOFXODWHG�WHVW�VWDWLVWLF�LV� F�

��� �� �� �

��� F F��

� �� ��!!!� �

���UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�RSLQLRQV�RQ�WKH�FKDQJH�DUH�QRW�LQGHSHQGHQW�RI�FODVV

VWDQGLQJ�

3�YDOXH�|��

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

����� 6\PPHWULF�FRQILGHQFH�LQWHUYDO������ [ �����Q

VP

Vd d �[

Q���� ��VLQFH�]������ �����

7KH�OHQJWK�RI�WKLV�LQWHUYDO�LV � ��� ���� �V V

Q Q

§

©¨

·

¹¸

§

©¨

·

¹¸

$V\PPHWULF�FRQILGHQFH�LQWHUYDO������ [Q

[Q

� d d �� �� ���� �V

PV

��VLQFH��]����� ��������DQG�]����� �����

7KH�OHQJWK�RI�WKLV�LQWHUYDO�LV� � � � � �� �� ��� � ��� §

©¨

·

¹¸

V V

Q Q

7KH�V\PPHWULF�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�LV�WKH�VKRUWHU�RI�WKH�WZR��WKH�DGYDQWDJH�WR�D�V\PPHWULF�FRQILGHQFH�

LQWHUYDO�LV�WKH�IDFW�WKDW�LQ�JHQHUDO�WKH\�DUH�VKRUWHU�WKDQ�DQ�DV\PPHWULF�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

����� P� ���������V��XQNQRZQD��Q� ������ [ �� �V� ����

���� WR �

�� ��

� ���

7KH�3�YDOXH�IRU�W�� ����GHJUHHV�RI�IUHHGRP� �����LV�EHWZHHQ�����DQG�������7KXV�ZH�ZRXOG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�

UHVXOWV�DUH�QRW�YHU\�XQXVXDO�

����������� E��Q� ���

���� WR �

�� ��

� �����

��

7KH�3�YDOXH�IRU�W�� �������GHJUHHV�RI�IUHHGRP� �����LV�EHWZHHQ������DQG������7KXV�ZH�ZRXOG�FRQFOXGH�WKDW�

WKH�UHVXOWV�DUH�VRPHZKDW�XQXVXDO�

F��Q� �������ZLWK�Q�!�����WKH�VWDQGDUG�QRUPDO�WDEOH�FDQ�EH�XVHG�IRU�WKLV�SUREOHP�

����� ]R �

�� ��

� ���� �

��

7KH�3�YDOXH�IRU�]�� ������LV�����������7KXV�ZH�ZRXOG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�UHVXOWV�DUH�YHU\�XQXVXDO�

G��)RU�FRQVWDQW�YDOXHV�RI� [ �DQG�V��LQFUHDVLQJ�RQO\�WKH�VDPSOH�VL]H��ZH�VHH�WKDW�WKH�VWDQGDUG�HUURU�RI�

���� ; GHFUHDVHV�DQG�FRQVHTXHQWO\�D�VDPSOH�PHDQ�YDOXH�RI����ZKHQ�WKH�WUXH�PHDQ�LV����LV�PRUH�XQXVXDO�IRU�

�����WKH�ODUJHU�VDPSOH�VL]HV�

Page 158: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� P� ���������� V� � ����)LQG��� � �3 V� � ��t � �DQG�� � �3 V� � ��d �

D��Q� ���

��� � �3Q V

3� � � � �

� ��

©¨̈

·

¹¸̧ t |

� �� � ��

��� �� ���

� ��

VF

��� � � � �3Q V

3 3� � � � �

� � ��

©¨̈

·

¹¸̧ d � t

� �� � ��

�� �� � � ��

� ��

��

VF F � �� �� � �� �����

�� � �� d �3 F

E��Q� ���

��� � �3Q V

3� � � � �

� ��

©¨̈

·

¹¸̧ t

� �� � ��

������

� ��

VF � �� ��� ����� � ����

�� � �� t �3 F

��� � � � �3Q V

3 3� � � � �

� � ��

©¨̈

·

¹¸̧ d � t

� �� � ��

��� �� � �� ��

� ��

��

VF F � �� �� �� �� � �����

�� � �� d �3 F

F��Q� ���

��� � �3Q V

3� � � � �

� ��

©¨̈

·

¹¸̧ t

� �� � ��

������

� ��

VF � �� ��� �������

�� �� t3 F |������

��� � � � �3Q V

3 3� � � � �

� � ��

©¨̈

·

¹¸̧ d � t

� �� � ��

����� � ����

� ��

��

VF F � �3 F��

� ���� � ���d �� �

G��$V�WKH�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV�ZLWK�DOO�RWKHU�YDOXHV�KHOG�FRQVWDQW��WKH�SUREDELOLW\ � �3 V� � ��t � GHFUHDVHV�

����EHFDXVH�WKH�ULJKW�WDLO�RI�WKH�F��GLVWULEXWLRQ�EHFRPHV�UHODWLYHO\�VKRUWHU�

H��$V�WKH�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV�ZLWK�DOO�RWKHU�YDOXHV�KHOG�FRQVWDQW��WKH�SUREDELOLW\ � �3 V� � ��d � GHFUHDVHV�

����EHFDXVH�WKH�OHIW�WDLO�RI�WKH�F��GLVWULEXWLRQ�EHFRPHV�UHODWLYHO\�VKRUWHU�

����� D��7KH�GDWD�DSSHDU�WR�IROORZ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�EDVHG�RQ�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW�VLQFH�WKH�GDWD�IDOO�

����DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

E��,W�LV�LPSRUWDQW�WR�FKHFN�IRU�QRUPDOLW\�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�XQGHUO\LQJ�WKH�VDPSOH�GDWD�VLQFH�WKH�FRQILGHQFH�

����LQWHUYDOV�WR�EH�FRQVWUXFWHG�VKRXOG�KDYH�WKH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�IRU�WKH�UHVXOWV�WR�EH�UHOLDEOH� �

�HVSHFLDOO\�VLQFH�WKH�VDPSOH�VL]H�LV�OHVV�WKDQ����DQG�WKH�FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP�GRHV�QRW�DSSO\��

F��1R��ZLWK�����FRQILGHQFH��ZH�FDQ�QRW�LQIHU�WKDW�WKH�WUXH�PHDQ�FRXOG�EH�������VLQFH�WKLV�YDOXH�LV�QRW�

����FRQWDLQHG�ZLWKLQ�WKH�JLYHQ�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

G��$V�ZLWK�SDUW�E��WR�FRQVWUXFW�D�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�WKH�YDULDQFH��WKH�QRUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�PXVW�KROG�IRU�

WKH�UHVXOWV�WR�EH�UHOLDEOH�

� H��<HV��LW�LV�UHDVRQDEOH�WR�LQIHU�WKDW�WKH�YDULDQFH�FRXOG�EH������VLQFH�WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�WKH�

����YDULDQFH�FRQWDLQV�WKLV�YDOXH�

I��L���LL��1R��GRFWRUV�DQG�FKLOGUHQ�ZRXOG�UHSUHVHQW�WZR�FRPSOHWHO\�GLIIHUHQW�SRSXODWLRQV�QRW�UHSUHVHQWHG�E\�

WKH�SRSXODWLRQ�RI�&DQDGLDQ�2O\PSLF�KRFNH\�SOD\HUV���6LQFH�GRFWRUV�QRU�FKLOGUHQ�ZHUH�WKH�WDUJHW�RI�WKLV� �

VWXG\�RU�SDUW�RI�WKH�VDPSOH�WDNHQ��WKH�UHVXOWV�VKRXOG�QRW�EH�H[WHQGHG�WR�WKHVH�JURXSV�

����� D��7KH�GDWD�DSSHDU�WR�IROORZ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�EDVHG�RQ�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW�VLQFH�WKH�GDWD�IDOO�

����DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

E�� [ ����������V� ���������Q� ������8VH�WKH�W�GLVWULEXWLRQ�WR�FRQVWUXFW�WKH�FRQILGHQFH�LQWHUYDOV��D� �������������� W WQD � � � �

� � � �� � � ���

�����

[ WV

QQ�

§

©¨

·

¹¸ d

�§

©¨

·

¹¸ d

d

�DP

P

P

� ��

���� � ���� ��

��

����ZLWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�DW�OHDVW����0SD�

Page 159: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F�� W WQD � � � � �� � � �� � � ����

���������������������

[ WV

Q[ W

V

QQ Q�

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸

d d

� �D DP

P

P

� �

� ��

� ��

� �

� �

���� � ���� ��

����� � ���

� ��

�� � ����

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ������DQG�������0SD�

����7KH�ORZHU�HQGSRLQW�RI�WKH�RQH�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�LV�WKH�VDPH�DV�WKDW�RI�WKH�WZR�VLGHG�FRQILGHQFH�

����LQWHUYDO�GXH�WR�WKH�OHYHO�RI�FRQILGHQFH�XVHG���,Q�ERWK�FDVHV�WKH�SUREDELOLW\�LQ�WKH�OHIW�WDLO�LV������

G�� F FD� �

�� �� ��

� � � � �Q ����

���

VF

V

V

D

��

�� �

��

� � ��

���

����

d�

d

d

� �

� �

� � �

Q V

Q

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�DW�PRVW�������0SD���

H�� FD � � �� �� �� �� � F

D� � �� ����

� � �� � ��ZLWK�D� �����

���

� � � �

� � �

� � �

� �

� � � � ��

Q V Q V�d d

d d

d d

� �

� � ��

�� ��

� � ��

���

�� �� �����

� ��

��

� � ��

��

FV

F

V

V

D D

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ�������DQG�������

�����0SD�����7KH�XSSHU�HQGSRLQW�RI�WKH�RQH�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�LV�WKH�VDPH�DV�WKDW�RI�WKH�WZR�VLGHG�

����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�GXH�WR�WKH�OHYHO�RI�FRQILGHQFH���,Q�ERWK�FDVHV�WKH�SUREDELOLW\�LQ�WKH�ULJKW�WDLO�LV������

I��&KDQJH������WR�����

���� [ �� �DQG�V� ����

��������FRQILGHQFH�RQ�P�

������ � ���

� �

��� � ���

� �

�� �� �� ��

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸

d d

��

��

� �

P

P����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ�������DQG�������0SD�

��������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�V���

����

� � �

�� ��

� � �

���

���� ��� ��

��

� � �

� � �

� �

d d

d d

V

V

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ�������DQG��������

�0SD���

Page 160: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����&RPSDULVRQ�RI�LQWHUYDOV�

����&RQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�P����7KH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�QRZ�FRYHUV�D�UHJLRQ�VOLJKWO\�OHVV�WKDQ�WKH�RULJLQDO��LQWHUYDO��WKDW�LV�WKH�OHQJWK�RI�WKH�VHFRQG�LQWHUYDO�LV�VKRUWHU�WKDQ�WKH�RULJLQDO�

����&RQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�V����7KH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�FRYHUV�D�UHJLRQ�VOLJKWO\�OHVV�WKDQ�WKH�RULJLQDO��WKH�

�OHQJWK�RI�WKH�VHFRQG�LQWHUYDO�LV�VKRUWHU�WKDQ�WKH�RULJLQDO�

����(IIHFWV���:H�VHH�E\�FRUUHFWLQJ�WKH�YDOXH��WKH�OHQJWK�RI�WKH�LQWHUYDOV�KDYH�EHFRPH�VKRUWHU�DQG�WKH�PHDQ�

������������������DQG�YDULDQFH�KDYH�GHFUHDVHG���,Q�SDUWLFXODU��WKH�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�DV�GHFUHDVHG�E\�DERXW�

����FDXVLQJ�WKH�FRQILGHQFH�LQWHUYDOV�WR�GHFUHDVH�VXEVWDQWLDOO\�

J��&KDQJH������WR�����

���� [ �� DQG�V� �����

�� ��������FRQILGHQFH�RQ�P�

������ � ���

� ��

��� � ���

� ��

���� ����

�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸

d d

��

��

� �

P

P

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�PHDQ�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ�������DQG�������

��������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�V���

����

� � ��

�� ��

� � ��

���

���� ��� ��

��

� � �

� � �

� �

d d

d d

V

V

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�EHWZHHQ�������DQG�������

�����0SD���

����&RPSDULVRQ�RI�LQWHUYDOV�SDUWV�I�DQG�J�

����&RQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�P���7KHUH�LV�YHU\�OLWWOH�GLIIHUHQFH�ZKHQ�WKH�GDWD�YDOXH�LV�FKDQJHG�RQO\�VOLJKWO\��� ����&RQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�V�����7KH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�KDV�FKDQJHG�YHU\�OLWWOH�ZLWK�D�VOLJKW�FKDQJH�LQ�RQH�

��GDWD�YDOXH�

����(IIHFWV��7KH�VDPSOH�PHDQ��VDPSOH�YDULDQFH��DQG�FRQILGHQFH�LQWHUYDOV�KDYH�FKDQJHG�YHU\�OLWWOH�

K��7KHUH�DUH�WZR�FDVHV�WKDW�WKH�DERYH�H[HUFLVHV�LOOXVWUDWH�����ZKHQ�D�YDOXH�LV�FKDQJHG�DQG�WKH�QHZ�YDOXH�OLHV�

IDU�IURP�WKH�VDPSOH�PHDQ��DQG����ZKHQ�D�YDOXH�LV�FKDQJHG�DQG�WKH�QHZ�YDOXH�OLHV�QHDU�WKH�VDPSOH�PHDQ��� ����:KHQ

WKH�VLWXDWLRQ�LV�FDVH����WKH�YDULDQFH�KDV�FKDQJHG�GUDPDWLFDOO\�UHVXOWLQJ�LQ�D�VPDOOHU�FRQILGHQFH� �

LQWHUYDO���7KH�PHDQ�LV�OHVV�VHQVLWLYH�WR�WKLV�FKDQJH��:KHQ�WKH�VLWXDWLRQ�LV�FDVH����WKH�PHDQ�DQG�YDULDQFH� �

KDYH�FKDQJHG�OHVV�WKDQ�LQ�FDVH�����1RWLFH�WKH�ZLGWKV�RI�WKH�FRQILGHQFH�LQWHUYDOV�IRU�WKH�RULJLQDO�GDWD��FDVH� �������DQG

FDVH���LQ�WKH�WDEOH�EHORZ�

���� :LGWK�RI�&RQILGHQFH�,QWHUYDO

3DUDPHWHU�RI�,QWHUHVW 2ULJLQDO�'DWD &DVH�� &DVH��

0HDQ��P ����� ����� �����

9DULDQFH��V� ������ ������ ������

����� :LWK�V� ����WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�WKH�PHDQ�KDV�OHQJWK�RI�DW�PRVW����WKH�HUURU�LV�WKHQ�(� �����

D� Q]

§©̈

·¹̧

§©̈

·¹̧

� ����

��

� ��

���

� ��� �� ���

�� � ���

E� Q]

§©̈

·¹̧

§©̈

·¹̧

� ����

��

� ��

���

� ��� �����

�� � ����

����$V�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�GHFUHDVHV��ZLWK�DOO�RWKHU�YDOXHV�KHOG�FRQVWDQW��WKH�VDPSOH�VL]H�QHFHVVDU\�WR����

����PDLQWDLQ�WKH�DFFHSWDEOH�OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�DQG�WKH�OHQJWK�RI�WKH�LQWHUYDO��GHFUHDVHV�

F��:H�ZRXOG�ZDQW�WR�KDYH�D�UHODWLYHO\�ODUJH�VDPSOH�VL]H��Q�t������:LWK�D�VDPSOH�VL]H�RI�DW�OHDVW�����WKH�

����FHQWUDO�OLPLW�WKHRUHP�FDQ�DSSO\�

Page 161: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� 6DPSOH�0HDQ� � �S ��6DPSOH�9DULDQFH� �� � � �S S

Q

��

6DPSOH�6L]H��Q 6DPSOLQJ�'LVWULEXWLRQ 6DPSOH�0HDQ 6DPSOH�9DULDQFH

D� �� 1RUPDO S S S� ��

��

E� �� 1RUPDO S S S� ��

��

F� ��� 1RUPDO S S S� ��

���

G��$V�WKH�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV��WKH�YDULDQFH�RI�WKH�VDPSOLQJ�GLVWULEXWLRQ�GHFUHDVHV�

����� ]D��� ��������� ( ]

S S

Q

�D �

� � � ��

D��Q� ����� �S ����

( �

����� � ��

��� ����

� � � ��

E��Q� ����� �S ���

( �

����� � ��

��� ����

� � � ��

F��Q� ����� �S ����

( �

����� � ��

���� ����

� � � ��

G��$V�WKH�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV�DQG�DOO�RWKHU�YDOXHV�KHOG�FRQVWDQW��WKH�HUURU�GHFUHDVHV�

H��]D��� ���������� ( ]

S S

Q

�D �

� � � ��

����Q� ���

( �

� ����� � ��

�������

� � � ��

����Q� ���

( �

� ����� � ��

��� ����

� � � ��

����Q� ����

( �

� ����� � ��

���� ����

� � � ��

����$V�WKH�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVH�DQG�DOO�RWKHU�YDOXHV�KHOG�FRQVWDQW��WKH�HUURU�GHFUHDVHV�

I��:KHQ�WKH�FRQILGHQFH�OHYHO�LV�LQFUHDVHG��WKH�HUURU�LQ�HVWLPDWLQJ�WKH�WUXH�YDOXH�RI�S�ZLOO�DOVR�LQFUHDVH���

����7KLV�FDQ�EH�VHHQ�E\�FRPSDULQJ�YDOXHV�EHWZHHQ�SDUWV�G�DQG�H���)RU�Q� ����ZH�VHH�WKDW�(� �������ZLWK�D�

��������OHYHO�RI�FRQILGHQFH��ZKLOH�(� �������ZLWK�D�����OHYHO�RI�FRQILGHQFH�IRU�WKH�VDPH�VDPSOH�VL]H�

����� V� ������G� ����������� ����D�

� ��� � � �]������ ������

D��Q� �����E �§

©¨̈

·

¹¸̧ ) )���

� ��

������ ����� � � � �

E��Q� �����E �§

©¨̈

·

¹¸̧ � � � ) ) )���

� ��

��� ��� � � ��� � ���� ����� � � � � � � � �

F��Q� ������E �§

©¨̈

·

¹¸̧ � � � ) ) )���

� ���

��� ��� � � ��� � � ���� ����� � � � � � � � �

Page 162: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

G��E��ZKLFK�LV�WKH�SUREDELOLW\�RI�D�7\SH�,,�HUURU��GHFUHDVHV�DV�WKH�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV�EHFDXVH�WKH�YDULDQFH�RI�WKH�VDPSOH�PHDQ�GHFUHDVHV���&RQVHTXHQWO\��WKH�SUREDELOLW\�RI�REVHUYLQJ�D�VDPSOH�PHDQ�LQ�WKH�

DFFHSWDQFH�UHJLRQ�FHQWHUHG�DERXW�WKH�LQFRUUHFW�YDOXH�RI�����PO�K�GHFUHDVHV�ZLWK�ODUJHU�Q�

����� V� ������G� ����������� ����D�

� ��� � � �]������ ������

D��Q� �����E �§

©¨̈

·

¹¸̧ ) )���

� ��

��� �� � ������ � � � �

E��Q� �����E �§

©¨̈

·

¹¸̧ � � � ) ) )���

� ��

������ � ��� � � ����� � ������ � � � � � � � �

F��Q� ������E �§

©¨̈

·

¹¸̧ � � � ) ) )���

� ���

����� � ��� � � ����� � ����� � � � � � � � �

G��7KH�SUREDELOLW\�RI�D�7\SH�,,�HUURU�LQFUHDVHV�ZLWK�DQ�LQFUHDVH�RI�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�

����� V� �����G� ����������� �����D�

� ��� � � �]������ ������

D��Q� �����E �§

©¨̈

·

¹¸̧ � ) )���

� ��

�� ��� � � � ����)������� ������������� ��������

����7KHUHIRUH��SRZHU� �����E� ��������

E��Q� �����E �§

©¨̈

·

¹¸̧ � ) )���

� ��

�� ��� � � � ����)������� ������������� ��������

�7KHUHIRUH��SRZHU� �����E� ������

F��Q� ������E �§

©¨̈

·

¹¸̧ � ) )���

� ���

����� � � � ����)������� ������������� ��������

�7KHUHIRUH��SRZHU� �����E� �������G��$V�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV��DQG�DOO�RWKHU�YDOXHV�DUH�KHOG�FRQVWDQW��WKH�SRZHU�LQFUHDVHV�EHFDXVH�WKH� ��

YDULDQFH�RI�WKH�VDPSOH�PHDQ�GHFUHDVHV���&RQVHTXHQWO\��WKH�SUREDELOLW\�RI�D�7\SH�,,�HUURU�GHFUHDVHV�� � �����ZKLFK

LPSOLHV�WKH�SRZHU�LQFUHDVHV�

������ +����P� ��� V� ��� WKH�WUXH�PHDQ�LV���

D�E PP

V d

�d

�§

©¨

·

¹¸ d �3 [ ZKHQ 3

[

Q Q3 ] Q� �

� �� � ��� ��

�� ��

��� ����

� ����Q� ����� E d � 3 ]� � � �� ���� �� � ����

����Q� ������ E d � 3 ]� � � �� ���� ��� � ����

����Q� ������E d � 3 ]� � � �� ���� ��� �����

����Q� ������� E d � 3 ]� � � �� ���� ���� � ����

E��3�YDOXH� �3 [ 3[

Q Q3 ] Q� �

� �� � �t

�t

�§

©¨

·

¹¸ t��

�� ��

��� �����P

V

����Q� �����3�YDOXH� �3 ]� � � �t � ���� �� � ����

����Q� ������3�YDOXH� �3 ]� � � �t � ���� ��� � ����

����Q� ������3�YDOXH� �3 ]� � � �t � ���� ��� �����

����Q� �������3�YDOXH� �3 ]� � � �t � ���� ���� � ���� ��RQO\�VDPSOH�WKDW�LV�VWDWLVWLFDOO\�VLJQLILFDQW

�����������DW�D� ������F��$V�WKH�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV��WKH�SUREDELOLW\�RI�FRPPLWWLQJ�DQ�HUURU��7\SH�,�RU�7\SH�,,��GHFUHDVHV�

Page 163: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��5HMHFWLQJ�D�QXOO�K\SRWKHVLV�SURYLGHV�VWURQJHU�HYLGHQFH�WKDQ�QRW�UHMHFWLQJ�D�QXOO�K\SRWKHVLV���7KHUHIRUH��

����SODFH�ZKDW�ZH�DUH�WU\LQJ�WR�SURYH�LQ�WKH�DOWHUQDWLYH�K\SRWKHVLV�

����$VVXPH�WKH�GDWD�IROORZ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�

E�����WKH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�PHDQ�ZHOG�VWUHQJWK��P��������+����P�� �����������+�����P��!�����������1RW�JLYHQ

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV�

W[

V Q�

� � P

�������6LQFH�QR�FULWLFDO�YDOXH�LV�JLYHQ��ZH�ZLOO�FDOFXODWH�WKH�3�YDOXH

������� [ ������ � W� ��� �

����������3�YDOXH� � � �3 W S YDOXHt � � ���� � �� ���� � �

�������7KHUH�LV�VRPHZKDW�VLJQLILFDQW�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKH�ZHOG�VWUHQJWK�H[FHHGV�����SVL�

���������,I�ZH�XVHG�D� ������RU�������ZH�ZRXOG�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV��WKXV�WKH�FODLP�ZRXOG�QRW�EH����������VXSSRUWHG���,I�ZH�XVHG�D� �������ZH�ZRXOG�UHMHFW�WKH�QXOO�LQ�IDYRU�RI�WKH�DOWHUQDWLYH�DQG�FRQFOXGH�WKH����������ZHOG�VWUHQJWK�H[FHHGV�����SVL�

����� +����S� �����YHUVXV�+� ��S�z����

D��)LQG�WKH�3RZHU�� �� E �IRU�����FRQILGHQFH

���

ED D

� �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

�� �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

� �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

�� �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

) )

) )

S S ]S S

Q

S S

Q

S S ]S S

Q

S S

Q

Q

Q

Q

Q

� �� �

� �

�� � � ����� � ��

� � � � �

�� � � ���� � � � �

� � � � �

� �

� �

� �

� �

� �

� � �� � � �

� � � �

� � �� � � �

� � � �

� ����Q� ������� E � � � � ) )� � � � � � � �� ��� � �� � ����� � � �����

���� � � � ����� ������� � E � �

����Q� ������ E � � � � � ) )� � � � � � � � � ���� � � � � ����� � � �����

��� � � � ����� � ������ � E � �

����Q� ������E � � � � � ) )� � � � � � � � � ���� �� � � ����� � � �����

��� � � � ����� � ������ � E � �

����3RZHU�LQFUHDVHV�DV�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV��ZKHQ�DOO�RWKHU�YDOXHV�DUH�KHOG�FRQVWDQW�

E��)LQG�WKH�3RZHU�� �� E �IRU�����FRQILGHQFH

����Q� ������� E � � � ) )� � � � � � � �� �� � �� � ���� � � ����

���� � � � ���� � ����� � E � �

����Q� ������ E � � � ) )� � � � � � � ���� ��� ������ � ������

��� � � ������ � ������ � E � �

Page 164: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����Q� ������E � � � � � ) )� � � � � � � �� �� ��� � ������ � ������

��� � � ������ ������� � E � �

����7KH�SRZHU�RI�WKH�WHVW�LV�JUHDWHU�IRU�WKH�ODUJHU�YDOXHV�RI�D��VLQFH�WKH�ODUJHU�D�YDOXH�UHVXOWV�LQ�D�VPDOOHU�����DFFHSWDQFH�UHJLRQ�

F��Q� �����S� ������D� �����

����

ED D

� �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

�� �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

� �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

�� �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

� �

) )

) )

) )

S S ]S S

Q

S S

Q

S S ]S S

Q

S S

Q

Q

Q

Q

Q

� �� �

� �

�� �� ����� � ��

�� � ��

�� �� ����� � ��

�� � ��

���

� �

� �

� �

� �

� �

� � �� � � �

� � � �

� � �� � � �

� � � �

� � � �� � �� �� �

����3RZHU� ������� ���

����$V�WKH�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�K\SRWKHVL]HG�YDOXH�RI�S�DQG�WKH�WUXH�YDOXH�RI�S�LQFUHDVHV��WKH�PRUH�

����SRZHUIXO�WKH�WHVW�

G��D� �������E� �������]D��� ��������]E� ������

����S� �����

�������Q� �� ��� �� �� ���� � � � �

�� � ���� �

� � � � � � � � � � � � � �

� ��

§

©¨̈

·

¹¸̧

�������Q� ����

����S� �����

��� �������Q� �� ��� �� �� ���� �� � �

�� ���� ��

� � � � � � � � � � � � � �

� ��

§

©¨̈

·

¹¸̧

�������Q� ���

����$�VPDOOHU�VDPSOH�VL]H�LV�UHTXLUHG�ZKHQ�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ�OLHV�IXUWKHU�IURP�WKH�K\SRWKHVL]HG�YDOXH��

����VLQFH�QRW�DV�ODUJH�RI�D�VDPSOH�ZLOO�EH�QHFHVVDU\�WR�GHWHFW�WKLV�GLIIHUHQFH�

����� D�����WKH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ��V�������+����V

�� ����

�������+����V�������

�������1RW�JLYHQ

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV������ FV

��

�� �Q V

�������6LQFH�QR�FULWLFDO�YDOXH�LV�JLYHQ��ZH�ZLOO�FDOFXODWH�WKH�S�YDOXH

�������Q� �����V� �����

�������� F��

�� ���

�������

� � ��

���������3�YDOXH� � � �3 F� ����� � � �� ��� �� � �3 YDOXH

�������7KH�3�YDOXH�LV�JUHDWHU�WKDQ�DQ\�DFFHSWDEOH�VLJQLILFDQFH�OHYHO��D��WKHUHIRUH�ZH�GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO���������K\SRWKHVLV���7KHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�LV�OHVV�WKDQ�

�����������PLFURDPSV�

Page 165: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�����Q� �����V� ���

F��

��� ���

�������

� � ��

��������3�YDOXH� � � �3 F� ����� � � � �� � ���� �� � �3 YDOXH

�������7KH�3�YDOXH�LV�OHVV�WKDQ�������WKHUHIRUH�ZH�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�VWDQGDUG����������GHYLDWLRQ�LV�VLJQLILFDQWO\�OHVV�WKDQ����PLFURDPSV�

F��,QFUHDVLQJ�WKH�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV�WKH�WHVW�VWDWLVWLF� F�� DQG�WKHUHIRUH�GHFUHDVHV�WKH�3�YDOXH��SURYLGLQJ�

����PRUH�HYLGHQFH�DJDLQVW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�

����� Q� ��

D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ��V��������+�����V

�� ����

�������+�����V��z����

�������D� �����

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV������ FV

��

�� �Q V

�������5HMHFW�+��LI� F�� �� F

D� � ��� �� �Q ZKHUH� F� ��� �

�� � �������RU� F�

� �! FD � �� ��

Q� ZKHUH� F� ��� ��� � ������

�������Q� �����V� ������

F��

�� � ���

�������

� � �

��

�������6LQFH������������������������DFFHSW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG��FRQFOXGH�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�IDWW\�DFLG�

��������IRU�GLHW�PDUJDULQH�LV�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�����DW�D� ������

E��Q� ���

�������+�����V�� ����

�������+�����V��z����

�������D� �����

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV������ FV

��

�� �Q V

�������5HMHFW�+��LI� F�� �� F

D� � ��� �� �Q ZKHUH� F� ��� ��

�� � �������RU� F�

� �! FD � �� ��

Q� ZKHUH� F� ��� ���� � ������

�������Q� ������V� ������

F��

��� � ���

�����

� � �

��

�������6LQFH���������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WUXH�YDULDQFH�RI�IDWW\�DFLG�IRU�GLHW�

��������PDUJDULQH�LV�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�����DW�D� ������

F��7KH�LQFUHDVHG�VDPSOH�VL]H�FKDQJHV�WKH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�RI�WKH�WHVW�VWDWLVWLF�DQG�WKHUHIRUH�WKH� �

�����DFFHSWDQFH�UHJLRQ��WKH�ODUJHU�VDPSOH�VL]H�DFWXDOO\�GHFUHDVHV�WKH�DFFHSWDEOH�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�

�����VDPSOH�YDULDQFH�DQG�DFWXDO�

Page 166: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ����$VVXPH�WKH�GDWD�IROORZ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�

D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ��V��������+����V

�� �����������

�������+����V��������������

�������D� �����

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV������ FV

��

�� �Q V

������� F� �� �� ���� � � UHMHFW�+��LI� F�

� ���� �

�������V� ���������DQG�D� �����

F��

� � �����

� ��������

� � �

� � ��

���������!�������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV��WKDW�LV��WKHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�FRQFOXGH�WKH�

����VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�LV�DW�PRVW���������PP�

����E��$OWKRXJK�WKH�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�LV�OHVV�WKDQ�WKH�K\SRWKHVL]HG�YDOXH�RI����������LW�LV�QRW�

��������VLJQLILFDQWO\�OHVV��ZKHQ�D� �������WKDQ���������WR�FRQFOXGH�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�LV�DW�PRVW�����������������PP���7KH�YDOXH�RI���������FRXOG�KDYH�RFFXUUHG�DV�D�UHVXOW�RI�VDPSOLQJ�YDULDWLRQ�

�����

���� ������ ������ ������ ������ ���� ������

&RQFHQWUDWLRQ�; �����

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

&XPXODWLYHSHUFHQW

$FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW��ZH�FDQ�DVVXPH�WKH�XQGHUO\LQJ�GLVWULEXWLRQ�LV�QRUPDO�

7KLV�LV�HYLGHQW�E\�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�IDOO�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH���7KH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�VKRXOG�EH�

VDWLVILHG�LQ�RUGHU�WR�SHUIRUP�D�K\SRWKHVLV�WHVW�XVLQJ�D�F��WHVW�VWDWLVWLF����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ��V����+����V

�� ���

���+����V������

�������������������1RW�JLYHQ

���7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV������ FV

��

�� �Q V

���6LQFH�QR�FULWLFDO�YDOXH�LV�JLYHQ��ZH�ZLOO�FDOFXODWH�WKH�S�YDOXH

��� Q ��

V� � ��� �

�������� F��

�� � ���

��� ������

� � ��

�����3�YDOXH� � � �3 F� � ������d � � 3�YDOXH��������

���$�3�YDOXH�RI�OHVV�WKDQ�������LV�KLJKO\�VLJQLILFDQW�HYLGHQFH�WR�FRQFOXGH�WKH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�LV�OHVV�WKDQ�

������J�O�

Page 167: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ��S�

�������+����S� �����

�������+����S�������

�������D� �����

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV������ ]S S

S S

Q

��

� ��

� �

��������]����� ��������UHMHFW�+��LI�]���������

������� � �S �

����� ����

]�� ���� � ��

� �� � � ��

����

��� �

� �

� �

� � � ��

�������������!��������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR���������VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ�LV�OHVV�WKDQ����

���������3�YDOXH� � 3 ]� � � � �d � � ��� � ������ ������

E��$OWKRXJK�WKH�VDPSOH�SURSRUWLRQ�LV�OHVV�WKDQ�WKH�K\SRWKHVL]HG�YDOXH�RI�������LW�LV�QRW�VLJQLILFDQWO\�OHVV�

����WKDQ������WR�FRQFOXGH�WKDW�WKH�SURSRUWLRQ�LV�DW�OHVV�WKDQ��������7KH�YDOXH�RI��������FRXOG�KDYH�RFFXUUHG�DV�

D�UHVXOW�RI�VDPSOLQJ�YDULDWLRQ�

����� � �S �

����� ���

D������FRQILGHQFH�LQWHUYDO��� ]D � �� � ���

�����

� � � ��

� � � �

� �

� �S ]S S

QS S ]

S S

Q

S

��

d d ��

d d

D D� �

� �

� ����� � ����

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ�RI�DLUFUDIW�WKDW�KDYH�ZLULQJ�HUURUV�OLHV�EHWZHHQ�

������������DQG��������

E�� Q]

(S S

§©̈

·¹̧

� §©̈

·¹̧

� D � � � � ��

�� � �� � � ��

� �

�� ���

� ���� ��� � � ��� ������

�����Q� ����F��8VH� � �S ��

����Q

]

(S S

Q

§©̈

·¹̧

� §©̈

·¹̧

D � � � ���

�� � �� � � �

�� �

�� ���

� ����� � �� �� ���

�� ���

G��3UHOLPLQDU\�LQIRUPDWLRQ�FDQ�VLJQLILFDQWO\�GHFUHDVH�WKH�FRPSXWHG�QHHGHG�VDPSOH�VL]H���:LWKRXW�WKLV�

����LQIRUPDWLRQ��ZH�PXVW�XVH�S� �����LQ�WKH�FRPSXWDWLRQV�UHVXOWLQJ�WKH�ZRUVW�FDVH�VL]H�

����� � �S ���

���� ���

�D������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�� ]D � �� ����

�����

� � � ��

� � � �

� �

� �S ]S S

QS S ]

S S

Q

S

��

d d ��

d d

D D� �

� �

� ��� � ���

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ�RI�QHZ�HQJLQHHULQJ�JUDGXDWHV�ZKR�ZHUH�SODQQLQJ�WR�

FRQWLQXH�VWXG\LQJ�IRU�DQ�DGYDQFHG�GHJUHH�OLHV�EHWZHHQ�������DQG�������

Page 168: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�� ]D � �� ���

�����

� � � ��

� � � �

� �

� �S ]S S

QS S ]

S S

Q

S

��

d d ��

d d

D D� �

� �

� ��� � ���

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ�RI�QHZ�HQJLQHHULQJ�JUDGXDWHV�ZKR�ZHUH�SODQQLQJ�WR�

FRQWLQXH�VWXG\LQJ�IRU�DQ�DGYDQFHG�GHJUHH�OLHV�EHWZHHQ�������DQG�������

F��&RPSDULVRQ�RI�SDUWV�D�DQG�E�

����7KH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�LV�ODUJHU�WKDQ�WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO���+LJKHU�FRQILGHQFH�DOZD\V�

����\LHOGV�ODUJHU�LQWHUYDOV��DOO�RWKHU�YDOXHV�KHOG�FRQVWDQW�

G��<HV��VLQFH�ERWK�LQWHUYDOV�FRQWDLQ�WKH�YDOXH�������WKXV�WKH�WUXH�SURSRUWLRQ�FDQQRW�EH�FRQVLGHUHG� �

�����VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP������

������ &UHDWH�D�WDEOH�IRU�WKH�QXPEHU�RI�QRQFRQIRUPLQJ�FRLO�VSULQJV��YDOXH��DQG�WKH�REVHUYHG�QXPEHU�RI�WLPHV�WKH�

QXPEHU�DSSHDUHG���2QH�SRVVLEOH�WDEOH�LV�

9DOXH � � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

2EV � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������7KH�YDOXH�RI�S�PXVW�EH�HVWLPDWHG���/HW�WKH�HVWLPDWH�EH�GHQRWHG�E\� �SVDPSOH

��������VDPSOH�PHDQ � � � �

� � � � � � �� �

��

� � � � � � � �������

������� ��

�SVDPSOH PHDQ

QVDPSOH

� ���

�������

9DOXH 2EVHUYHG ([SHFWHG

� � �������� � �������� � �������� � �������� � �������� � �������� � �������� � �������� � �������� � ��������� � ��������� � ��������� � ��������� � ��������� � ��������� � ��������� � ��������� � ��������� � ��������� � �������

Page 169: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����6LQFH�VHYHUDO�RI�WKH�H[SHFWHG�YDOXHV�DUH�OHVV�WKDQ����VRPH�FHOOV�PXVW�EH�FRPELQHG�UHVXOWLQJ�LQ�WKH�

����IROORZLQJ�WDEOH�

9DOXH 2EVHUYHG ([SHFWHG

��� � �������� � �������� � �������� � �������� � ��������� � ��������� � ��������� � �������t�� � �������

��������7KH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�DUH�N���S����� ����������� ��

D�����7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�IRU�WKH�QXPEHU�RI�QRQFRQIRUPLQJ�FRLO�VSULQJV�

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�ELQRPLDO

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�ELQRPLDO

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

� �F��

¦2 (

(

L L

LL

N

�������5HMHFW�+��LI� F F��

� �� �� �� ��! � � �

������

F��

� �

������

� �� ���

�����

� � �����

� ����� �

�� �

� ���

�� � ��������������

� � � �

� � �

��

�������6LQFH��������!�������UHMHFW�+���:H�DUH�DEOH�WR�FRQFOXGH�WKH�GLVWULEXWLRQ�RI�QRQFRQIRUPLQJ�VSULQJV�LV�

��������QRW�ELQRPLDO�DW�D� ������E��3�YDOXH� ���������IRXQG�XVLQJ�0LQLWDE�

������ &UHDWH�D�WDEOH�IRU�WKH�QXPEHU�RI�HUURUV�LQ�D�VWULQJ�RI������ELWV��YDOXH��DQG�WKH�REVHUYHG�QXPEHU�RI�WLPHV�WKH�

QXPEHU�DSSHDUHG���2QH�SRVVLEOH�WDEOH�LV�

9DOXH � � � � � �

2EV � � � � � �

��������7KH�YDOXH�RI�S�PXVW�EH�HVWLPDWHG���/HW�WKH�HVWLPDWH�EH�GHQRWHG�E\� �SVDPSOH

��������VDPSOH�PHDQ � � � � �

� � � � � � � � � � � �

����

� � � � � � � � � � � ��

������� ��

�SVDPSOH PHDQ

QVDPSOH

��

����� ����

9DOXH � � � � � �

2EVHUYHG � � � � � �

([SHFWHG ������� ������� ������� ������� ������� �������

����6LQFH�VHYHUDO�RI�WKH�H[SHFWHG�YDOXHV�DUH�OHVV�WKDQ����VRPH�FHOOV�PXVW�EH�FRPELQHG�UHVXOWLQJ�LQ�WKH�

����IROORZLQJ�WDEOH�

9DOXH � � � t�2EVHUYHG � � � �

([SHFWHG ������� ������� ������� �������

��������7KH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�DUH�N���S����� ����������� ��

Page 170: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

D�����7KH�YDULDEOH�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�IRU�WKH�QXPEHU�RI�HUURUV�LQ�D�VWULQJ�RI������ELWV�

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�ELQRPLDO

�������+���7KH�IRUP�RI�WKH�GLVWULEXWLRQ�LV�QRW�ELQRPLDO

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

� �F��

¦2 (

(

L L

LL

N

�������5HMHFW�+��LI� F F��

� �� �� ���! � � �

������

� � � �F��

� �� ������

������

� � �����

� �����

�� �

�� ���������

�������6LQFH����������������GR�QRW�UHMHFW�+���:H�DUH�XQDEOH�WR�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�WKDW�WKH�GLVWULEXWLRQ

��������RI�WKH�QXPEHU�RI�HUURUV�LV�ELQRPLDO�DW�D� ������E��3�YDOXH� ���������IRXQG�XVLQJ�0LQLWDE�

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

����� D�

7 ;

; ; ;

; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ;

Q U ; ; ; ; ; ; ;

U

U U

U U

� � �

� � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � �

� � � � �

� � � � � �

� � � � � �

���

���

� �� ��� �

%HFDXVH�;��LV�WKH�PLQLPXP�OLIHWLPH�RI�Q�LWHPV��( ;Q

� ���

O�

7KHQ��;����;��LV�WKH�PLQLPXP�OLIHWLPH�RI��Q����LWHPV�IURP�WKH�PHPRU\OHVV�SURSHUW\�RI�WKH�H[SRQHQWLDO�DQG

( ; ;Q

� �� �

� ��

��

� O�

6LPLODUO\��( ; ;Q N

N N� �� �

� � ���

� O��7KHQ�

( 7Q

Q

Q

Q

Q U

Q U

UU� �

� ����

� � �

��

� �� �� �

O O O O

��DQG�(

7

U

U§©¨

·¹¸

OP

Page 171: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��3U

7U

U�� �

�FD

O FD

D�

��

� �

��

� ��

� � �

� �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

3U

7

U

7U U

FD

O

FD�

��

��

� �

7KHQ�D�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU� PO

��LV�

��

���

7

U

7

U

U U

FD

FD�

��

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

F��Q� ������U� ������DQG�WKH�REVHUYHG�YDOXH�RI�7U�LV�������������� �����

����$�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU��

O�LV�

� ���

����

� ���

� ���� �������

� �

��� �

�� � � � �

§©̈

·¹̧

����� D

DS

D

S�

� �� �

� f³ �

�f³

� �

]

H

[

G[

]

H

[

G[

7KHUHIRUH������ D

D)� �] �

7R�PLQLPL]H�/�ZH�QHHG�WR�PLQLPL]H�) )� � � ��� �� �� � � �D D �VXEMHFW�WR�D D D� �� ��7KHUHIRUH��ZH�QHHG

WR�PLQLPL]H�) )� � � � ��� �� �� � � �D D D �

wwD

D S

D

wwD

D D S

D D

��

��

� �

� �

)

)

� �

� �

� �

� �

H

H

]

]

8SRQ�VHWWLQJ�WKH�VXP�RI�WKH�WZR�GHULYDWLYHV�HTXDO�WR�]HUR��ZH�REWDLQ� H H

] ]D D D�

��

� ��7KLV�LV�VROYHG�E\

] ]D D D� �

��&RQVHTXHQWO\��D D D D D� � �� � � �DQG�D D D

� � � �

Page 172: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� (�;Q���� � ; ���( ; ; ( ; ( ; ; ;Q Q� � � � � �� �

� � � � � �

> @

> @

> @

9 ; ; 9 ; 9 ; 9 ; 9;

Q

Q9 ; ; ;

Q9 ; 9 ; 9 ;

Q

Q

QQ

Q

Q

Q Q QL

Q

Q

� � � � � � � �

� ��� �

� � � � ��� � �

���

� � �� � �

¦§©̈

·¹̧

� � � �

� � � �

� � � �

�§©̈

·¹̧

� � �

� � �

� � �

� � �

��

��

V

V

V V V V

V V

VV

V

���� ����

7KH�GLVWULEXWLRQ�RI�; ;

6Q

Q� �

��

LV�D�W�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q�����GHJUHHV�RI�IUHHGRP�

$�������D��SHUFHQW�SUHGLFWLRQ�LQWHUYDO�RQ�;Q���FDQ�EH�GHYHORSHG�DV�

� d�

d

� � d � d �

� � d d � �

� � �

� � �

W; ;

6Q

W

W 6Q

; ; W 6Q

; W 6Q

; ; W 6Q

QQ

Q

Q Q Q

Q Q Q

D D

D D

D D

� � � �

� � � �

� � � �

� ��

� �

� � � � �

� � � � �

��

��

��

��

��

����SUHGLFWLRQ�LQWHUYDO�RQ�;���LV

; W 6Q

; ; W 6Q

;

;

Q Q Q� � d d � �

� � d d � �

d d

� � �D D� � � �

� � � � � � � � � �

� �

� � � � �

��

��

��

��

� ��� ���� � ���� ��

��� ��� ���� � ���� �

��

��� � ��

7KH�SUHGLFWLRQ�LQWHUYDO�LV�ZLGHU�EHFDXVH�LW�GHSHQGV�RQ�ERWK�WKH�HUURU�IURP�WKH�ILWWHG�PRGHO��HUURU�IURP�XVLQJ�

; �DV�WKH�HVWLPDWH��DQG�HUURU�DVVRFLDWHG�ZLWK�IXWXUH�REVHUYDWLRQV�

Page 173: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

&+$37(5��

6HFWLRQ����

�����D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�ILOO�YROXPH�� P P� ��

�������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� z �RU� P P� �z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

][ [

Q Q

�� � �

� �

� � '

V V

�������5HMHFW�+��LI�]������]D��� �������RU�]���!�]D���� ����������� [� ��������� [� ���������G� ��

�������� V� ���������� V� �����

��������Q�� ���������������Q�� ���

]�� �

�� ��� �� ��� �

� ��

��

� ���

��

� �� � �

� � � �

� � � � � �

�������VLQFH����������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�QR�HYLGHQFH�WKDW�WKH�

��������WZR�PDFKLQH�ILOO�YROXPHV�GLIIHU�DW�D� ������E��3�YDOXH� � � � �� � � ����� � ����� � � �� � � � �� � )

F��3RZHU� � �� E ��ZKHUH

����EV V V V

D D ��

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

� � ��

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

)' '

)' '

]

Q Q

]

Q Q

� ���

��

������� ) )���� ��

� ��

��

� ���

��

���� ��

� ��

��

� ���

��

� � � �

��

� � � � � �

��

� � � � � �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

� � �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

������� � � � � � � � �) ) ) )��� � � ��� � � ��� � ��� � � � � �� � � � � � �

������� ������������� ��

3RZHU� ������� ��

G����� � � � �[ [ ]Q Q

[ [ ]Q Q

� � ��

� � � � ��

� � � d � d � � �D D

V VP P

V V� �

����� � � � ��� ��� �� ��� ���� ��

��

� ���

���� ��� �� ��� ���

� ��

��

� ���

��

� �

� �

� �

� � �� � � � � �

� � �� � � � � �

� � � d � d � � �P P

����� � d � d� ���� � ����� �� �P P

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�WUXH�GLIIHUHQFH�LQ�WKH�PHDQ�ILOO�YROXPHV�LV�EHWZHHQ���������DQG��������������6LQFH���LV�FRQWDLQHG�LQ�WKLV�LQWHUYDO��ZH�FDQ�FRQFOXGH�WKHUH�LV�QR�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�

����WKH�PHDQV�

H��$VVXPH�WKH�VDPSOH�VL]HV�DUH�WR�EH�HTXDO�����XVH�D� �������E� �������DQG�'� �����

����� � � � � � � �

Q] ]

#� �

� �

D E V V

G

� � � � � � � � �

� � �� �

� � �

��� ���� � �� � ���

� ��� �� ��Q� ����XVH�Q�� �Q�� ��

Page 174: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

���� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�EUHDNLQJ�VWUHQJWKV�� P P� �� DQG�'�� ���

���+���� P P� � ��� �RU� P P� �

���+���� P P� � ��� ! �RU� P P� �!

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

][ [

Q Q

�� � �

� �

� � '

V V

���5HMHFW�+��LI�]���!�]D� ������

�� [� �������� [� ��������G� ���

���� V� ��������� V� ���

����Q�� ���������������Q�� ���

]�� �

��� � ���� ��

��

��

��

��

��� � �

�� � � �

� � � � � �

���6LQFH���������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�

WKH�XVH�RI�SODVWLF���DW�D� ������

���� E� �) ������

��

��

��� �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

��3RZHU� ������� ���

���� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�EXUQLQJ�UDWH�� P P� ��

�������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� z �RU� P P� �z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

][ [

Q Q

�� � �

� �

� � '

V V

�������5HMHFW�+��LI�]������]D��� �������RU�]���!�]D���� ����������� [� ����� [� �����G� ��

�������� V� ����� V� �

��������Q�� �������Q� � ���

]�� �

�� �� �

��

��

� �� � �

�� �

� � � �

�������6LQFH���������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�PHDQ�EXUQLQJ�UDWHV�GR�QRW�GLIIHU���������VLJQLILFDQWO\�DW�D� ������

E��3�YDOXH� � � � �� � � � �� � � �� � �� � )

Page 175: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F��EV V V V

D D ��

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

� � ��

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

)' '

)' '

]

Q Q

]

Q Q

� ��

��

������� ) )���� �

��

��

���� �

��

��

� � � �

��

� � � �

��

� � � �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

� � �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

������� � � � � � � � �) ) ) )��� � �� ��� � �� � �� � �� � � � � �� � � � � � �

������� ������������������� ��������

G����� � � � �[ [ ]Q Q

[ [ ]Q Q

� � ��

� � � � ��

� � � d � d � � �D D

V VP P

V V� �

����� � � � ��� �� ����

��

���� �� ���

��

��

� �

� �

� �

� � � d � d � � ��� � � �

�� � � �

P P

����� � d � d �� �� ���� �� �P P

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKDW�WKH�PHDQ�EXUQLQJ�UDWH�IRU�VROLG�IXHO�SURSHOODQW���H[FHHGV�WKDW�RI�SURSHOODQW���E\�

EHWZHHQ������DQG������FP�V�

���� [� �������� [� �����

V� �������� V� ����

Q�� �������Q� � ���

D������WZR�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

���� � � � �[ [ ]Q Q

[ [ ]Q Q

� � ��

� � � � ��

� � � d � d � � �D D

V VP P

V V� �

����� � �� � � � �� � � � � �

� � �� � � � � �

���� �� �� �������

��

���

������ �� �� ����

���

��

���

��

� �

� �

� �

� � � d � d � � �P P

����� � ���� � ����� �� �d � dP P

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKDW�WKH�PHDQ�ILOO�YROXPH�IRU�PDFKLQH���H[FHHGV�WKDW�RI�PDFKLQH���E\�EHWZHHQ�

�����������DQG��������IO��R]�

E������WZR�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

���� � � � �[ [ ]Q Q

[ [ ]Q Q

� � ��

� � � � ��

� � � d � d � � �D D

V VP P

V V� �

���� � �� � � � �� � � � � �

� � �� � � � � �

���� �� �� ������

��

���

������ �� �� ���

���

��

���

��

� �

� �

� �

� � � d � d � � �P P

���� � ��� � ���� �� �d � dP P

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKDW�WKH�PHDQ�ILOO�YROXPH�IRU�PDFKLQH���H[FHHGV�WKDW�RI�PDFKLQH���E\�EHWZHHQ�

����������DQG�������IO��R]�

&RPSDULVRQ�RI�SDUWV�D�DQG�E�

����$V�WKH�OHYHO�RI�FRQILGHQFH�LQFUHDVHV��WKH�LQWHUYDO�ZLGWK�DOVR�LQFUHDVHV��ZLWK�DOO�RWKHU�YDOXHV�KHOG�FRQVWDQW��

Page 176: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F������XSSHU�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

���� � �P PV V

D� � � ��

� d � � �[ [ ]Q Q

����� � �P P� �

� �

���� �� �� �������

��

���

��� d � � �� � �

� � � � � �

����� P P� � � ����� d �

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�ILOO�YROXPH�IRU�PDFKLQH���H[FHHGV�WKH�ILOO�YROXPH�RI�PDFKLQH���E\�

����QR�PRUH�WKDQ��������IO��R]�

���� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�ILOO�YROXPH��P P� ��

�������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� z �RU� P P� �z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

][ [

Q Q

�� � �

� �

� � '

V V

�������5HMHFW�+��LI�]������]D��� �������RU�]���!�]D���� ����������� [� �������� [� ��������'�� ��

�������� V� �������� V� ����

��������Q��� �����������Q� � ���

]�� �

���� �� �� �

���

��

���

��

��� � �

� � � �

� � � � � �

�������6LQFH������!������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�PHDQ�ILOO�YROXPHV�RI�PDFKLQH���DQG�

��������PDFKLQH���GLIIHU�VLJQLILFDQWO\�DW�D� ������

E��3�YDOXH� � � ��� � � � ����� � ������ � � �� � � � �� � )

F��$VVXPH�WKH�VDPSOH�VL]HV�DUH�WR�EH�HTXDO�����XVH�D� �������E� �������DQG�'� �����

����� � � �

� �

� � � �Q

] ]#

� �

� �

D E V V� � � � � � � � �

� � �� �

� � �

��� ��� ��� ���

� �����

' '��Q� ����XVH�Q�� �Q�� ��

���� [� ������� [� ����

V�

� ������� V�

� ���

�Q��� ���������Q� � ���

D������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

���� � � � �[ [ ]Q Q

[ [ ]Q Q

� � ��

� � � � ��

� � � d � d � � �D D

V VP P

V V� �

���� � �� � � � �� �

� � �� �

�� � �� � �����

��

��

���� � �� � ���

��

��

��

��� �� � � d � d � � �P P

���� � d � d ����� ����� �� �P P

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�PHDQ�URDG�RFWDQH�QXPEHU�IRU�IRUPXODWLRQ���H[FHHGV�WKDW�RI�

����IRUPXODWLRQ���E\�EHWZHHQ�������DQG�������

Page 177: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�URDG�RFWDQH�QXPEHU�� P P� �� DQG�'�� ��

�������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� � �RU� P P� ��

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

][ [

Q Q

�� � �

� �

� � '

V V

�������5HMHFW�+��LI�]������]D� �������������� [� ������� [� ����

�������� V�

� ������� V�

� ���

���������Q��� ���������Q� � ���

]�� �

�� � �� � �

��

��

��

��

� ��� � �

�� � � �

� � � � � �

���6LQFH����������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�PHDQ�URDG�RFWDQH�QXPEHU�IRU�IRUPXODWLRQ���H[FHHGV�WKDW�RI�IRUPXODWLRQ���XVLQJ�D� ������

F��3�YDOXH� � 3 ] 3 ]� � � � � �d � � d � � �� � � �� � � �

���� ����OHYHO�RI�FRQILGHQFH���(� ����DQG�]������ ������

� �Q]

(#§©̈

·¹̧

� §©̈

·¹̧

� � ���

�� ���

�� � � ��� �� � � �V V Q� ����XVH�Q�� �Q�� ��

���� ����OHYHO�RI�FRQILGHQFH��(� ����DQG�]������ ����

� �Q]

(#§©̈

·¹̧

� §©̈

·¹̧

� � ���

����

��� �� �� ��� �� � � � � �V V Q� �����XVH�Q�� �Q�� ���

����� ������&DVH�����%HIRUH�3URFHVV�&KDQJH ������&DVH�����$IWHU�3URFHVV�&KDQJH

P�� �PHDQ�EDWFK�YLVFRVLW\�EHIRUH�FKDQJH P�� ��PHDQ�EDWFK�YLVFRVLW\�DIWHU�FKDQJH

[� ����� [� ������

V� �� V� ��

Q� �� Q� �

����FRQILGHQFH�RQ� P P� �� � �WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�EDWFK�YLVFRVLW\�EHIRUH�DQG�DIWHU�SURFHVV�FKDQJH�

� � � �[ [ ]Q Q

[ [ ]Q Q

� � ��

� � � � ��

� � � d � d � � �D D

V VP P

V V� �

����� � �� � � � �� � � �

� � �� � � �

��� � ����� ������

��

��

���� � ��� �� ����

��

��

��

� �

� �

� �

� � � d � d � � �P P

����� � d � d���� � ��� �� �P P

:H�DUH�����FRQILGHQW�WKDW�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�EDWFK�YLVFRVLW\�EHIRUH�DQG�DIWHU�WKH�SURFHVV�FKDQJH�OLHV�

ZLWKLQ���������DQG��������6LQFH���LV�FRQWDLQHG�LQ�WKLV�LQWHUYDO�ZH�FDQ�FRQFOXGH�ZLWK�����FRQILGHQFH�WKDW�WKH�PHDQ�EDWFK�YLVFRVLW\�ZDV�XQDIIHFWHG�E\�WKH�SURFHVV�FKDQJH�

Page 178: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� �&DWDO\VW�� ��&DWDO\VW��

[� ����� [� �����

V� � V� �

Q� �� Q� ��

D������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ� P P� �� � �WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�DFWLYH�FRQFHQWUDWLRQ

���� � � � �[ [ ]Q Q

[ [ ]Q Q

� � ��

� � � � ��

� � � d � d � � �D D

V VP P

V V� �

���� � �� � � � �� � � �

� � �� � � �

���� �� �� ����

��

������ �� �� ���

��

��

� �

� �

� �

� � � d � d � � �P P

���� � d � d ���� ���� �� �P P

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKDW�WKH�PHDQ�DFWLYH�FRQFHQWUDWLRQ�RI�FDWDO\VW���H[FHHGV�WKDW�RI�FDWDO\VW���E\�

����EHWZHHQ������DQG������J�O�

E��<HV��VLQFH�WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�GLG�QRW�FRQWDLQ�WKH�YDOXH����ZH�ZRXOG�FRQFOXGH�WKH�PHDQ�DFWLYH�

����FRQFHQWUDWLRQ�GHSHQGV�RQ�WKH�FKRLFH�RI�FDWDO\VW�

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�EDWFK�YLVFRVLW\�EHIRUH�DQG�DIWHU�WKH�SURFHVV�FKDQJH��

�������� P P� ��

�������+���� P P� � ���

�������+���� P P� � ��� �

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

][ [

Q Q

�� � �

� �

� � '

V V

�������5HMHFW�+��LI�]������]D��ZKHUH�]���� ������������ [� ����� [� ������ '�� ���

�������� V� �� V� ��

�������� Q� �� Q� �

]�� �

��� � ����� ��

��

��

��

��� � �

�� � � �

� � � �

���6LQFH���������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�SURFHVV�FKDQJH�KDV�LQFUHDVHG�WKH�PHDQ�����E\�OHVV�WKDQ����

E��3�YDOXH� � 3 ] 3 ]� � � � � � � �d � � d � ��� � ��� � � ����� � �����

F��3DUWV�D�DQG�E�DERYH�JLYH�HYLGHQFH�WKDW�WKH�PHDQ�EDWFK�YLVFRVLW\�FKDQJH�LV�OHVV�WKDQ������7KLV�FRQFOXVLRQ�LV

����DOVR�VHHQ�E\�WKH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�JLYHQ�LQ�D�SUHYLRXV�SUREOHP�VLQFH�WKH�LQWHUYDO�GLG�QRW�FRQWDLQ�WKH�

����YDOXH������6LQFH�WKH�XSSHU�HQGSRLQW�LV�������WKHQ�WKLV�DOVR�JLYHV�HYLGHQFH�WKDW�WKH�GLIIHUHQFH�LV�OHVV�WKDQ����

Page 179: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�DFWLYH�FRQFHQWUDWLRQ�� P P� ��

���+���� P P� � �� �RU� P P� �

���+���� P P� � �� z �RU� P P� �z

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

][ [

Q Q

�� � �

� �

� � '

V V

���5HMHFW�+��LI�]������]D��� �������RU�]���!�]D���� ������� [� �������� [� ���������G� ��

���� V� ��������� V� ��

�����Q��� �����������Q� � ��

]�� �

��� � ����� �

��

��

��

� ��� � �

�� � � �

� � � �

���6LQFH����������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�PHDQ�DFWLYH�FRQFHQWUDWLRQV�GR�GLIIHU�����VLJQLILFDQWO\�DW�D� ������

����3�YDOXH� �� � � � �� � � � �� � ��� � � � ����� � ����� � )

����7KH�FRQFOXVLRQV�UHDFKHG�E\�WKH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RI�WKH�SUHYLRXV�SUREOHP�DQG�WKH�WHVW�RI�K\SRWKHVLV�

����FRQGXFWHG�KHUH�DUH�WKH�VDPH���$�WZR�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�FDQ�EH�WKRXJKW�RI�DV�UHSUHVHQWLQJ�WKH�

����¦DFFHSWDQFH�UHJLRQ§�RI�D�K\SRWKHVLV�WHVW��JLYHQ�WKDW�WKH�OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�LV�WKH�VDPH�IRU�ERWK�� ��

SURFHGXUHV���7KXV�LI�WKH�YDOXH�G�IDOOV�RXWVLGH�WKH�FRQILGHQFH�LQWHUYDO��LW�LV�WKH�VDPH�UHVXOW�DV�UHMHFWLQJ�WKH� �

QXOO�K\SRWKHVLV�

�����

���� � � � �

E �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

� � �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

� � �

) )

) )

����

��

��

����

��

��

� �� � �� ������ � �����

������

� � � �

�� �

�� �

� � � �

����3RZHU� �����E� ������������ �����������LW�ZRXOG�DSSHDU�WKDW�WKH�VDPSOH�VL]HV�ZLOO�KDYH�WR�EH�LQFUHDVHG�WR�GHWHFW�WKH�GLIIHUHQFH�RI�����&DOFXODWH�WKH�YDOXH�RI�Q�XVLQJ�D�DQG�E�

6HFWLRQ����

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�URG�GLDPHWHU�� P P� ��

��������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� z �RU� P P� �z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

VQ Q

S

�� � �

� �

� �

� �

� � '

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� � � �W Q QD � �� �

� �ZKHUH� �W� ��� ��� � ��������RU�W��!� W Q QD � �� �

� �� �

�ZKHUH�

�������� W� ��� ��� � � ������

Page 180: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�������� [� ���������� [� �������'�� �� VQ V Q V

Q QS

� � �

� �

� � � �� ��

� ��

� �

� �

���������� V�� ����������� V�

� ����� ���� �

�� � �� �� � ��

��� ���

� � � � � ��

�����������Q��� ������������Q� � ���

W�� �� � �� �

� ����

��

��

� ��� � �

� � � �

�������6LQFH�������������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WZR�PDFKLQHV�GR�QRW���������SURGXFH�URGV�ZLWK�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�PHDQ�GLDPHWHUV�DW�D� ������

E��3�YDOXH� ��3 � �W ! !� ���� ����������3�YDOXH�!�����

F������FRQILGHQFH�LQWHUYDO����W��������� ������

���� � � � �[ [ W VQ Q

[ [ W VQ Q

Q Q S Q Q S� � � �� �

� � � � � �� �

� � � �

� � � �� � � d � d � � �

� � � �D DP P� � � �� � � �

���� � �� � � � � � � � � � � � � �� �� � �� � ��� � ����

��

��� �� � �� � ��� � ���

��

��� �� � � d � d � � �P P

���� � d � d� ��� ����� �� �P P

����6LQFH�]HUR�LV�FRQWDLQHG�LQ�WKLV�LQWHUYDO��ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKDW�PDFKLQH���DQG�PDFKLQH���GR�QRW�

����SURGXFH�URGV�ZKRVH�GLDPHWHUV�DUH�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�

����� $VVXPH�WKH�SRSXODWLRQV�IROORZ�QRUPDO�GLVWULEXWLRQV�DQG�V V��

�� ���7KH�DVVXPSWLRQ�RI�HTXDO�YDULDQFHV�PD\� EH

SHUPLWWHG�LQ�WKLV�FDVH�VLQFH�LW�LV�NQRZQ�WKDW�WKH�W�WHVW�DQG�FRQILGHQFH�LQWHUYDOV�LQYROYLQJ�WKH�W�GLVWULEXWLRQ� DUH�UREXVW�WR

WKLV�DVVXPSWLRQ�RI�HTXDO�YDULDQFHV�ZKHQ�VDPSOH�VL]HV�DUH�HTXDO�

�����&DVH����$)&& ����&DVH����$7&

P�� �PHDQ�IRDP�H[SDQVLRQ�IRU�$)&& P�� �PHDQ�IRDP�H[SDQVLRQ�IRU�$7&

��������� [� ��� ������� [� ���

���������� V� ��� �������� V� ���

����������Q��� �� ��������Q� � ��

����FRQILGHQFH�LQWHUYDO��W�������� ������ VS �

� � �� � ���

�� ����

� � � � � ��

���� � � � �[ [ W VQ Q

[ [ W VQ Q

Q Q S Q Q S� � � �� �

� � � � � �� �

� � � �

� � � �� � � d � d � � �

� � � �D DP P� � � �� � � �

���� � �� � � � � � � �� � � � � ����

�� � � � � ���

�� �� � � d � d � � �P P

���� � d � d ���� ���� �� �P P

<HV��ZLWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�PHDQ�IRDP�H[SDQVLRQ�IRU�$7&�H[FHHGV�WKDW�RI�$)&&�E\�EHWZHHQ�

�����DQG������

Page 181: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�FDWDO\VW�\LHOG�� P P� ��

�������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� � �RU� P P� ��

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

VQ Q

S

�� � �

� �

� �

� �

� � '

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� � � �W Q QD �

� �� ZKHUH�� W� ��� ��� � �������

������ [� ������� [� �����'�� �� VQ V Q V

Q QS

� � �

� �

� � � �� ��

� ��

� �

� �

���������� V� ������� V� � ���� �

�� � �� �

��� ���

� �� � � ��

�����������Q��� ������Q� � ���

W��� �� �

� ����

��

��

��� � �

�� �

�������6LQFH�����������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�PHDQ�\LHOG�RI�FDWDO\VW����VLJQLILFDQWO\�H[FHHGV�WKDW�RI�FDWDO\VW���DW�D� ������

E������FRQILGHQFH�LQWHUYDO��W��������� ������

���� � � � �[ [ W VQ Q

[ [ W VQ Q

Q Q S Q Q S� � � �� �

� � � � � �� �

� � � �

� � � �� � � d � d � � �

� � � �D DP P� � � �� � � �

���� � �� � � � � � � � � ��� �� � ��� � ����

��

���� �� � ��� � ���

��

��� �� � � d � d � � �P P

���� � d � d �� ��� ����� �� �P P

�:H�DUH�����FRQILGHQW�WKDW�WKH�PHDQ�\LHOG�RI�FDWDO\VW���H[FHHGV�WKDW�RI�FDWDO\VW���E\�EHWZHHQ�������DQG�

�������

����� D��$FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORWV��WKH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�DSSHDUV�WR�EH�PHW�VLQFH�WKH�GDWD�

����IDOO�DSSUR[LPDWHO\�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH���7KH�HTXDOLW\�RI�YDULDQFHV�GRHV�QRW�DSSHDU�WR�EH�VHYHUHO\�YLRODWHG�

HLWKHU�VLQFH�WKH�VORSHV�DUH�DSSUR[LPDWHO\�WKH�VDPH�IRU�ERWK�VDPSOHV�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� �����

������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

W\SH�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

3�9DOXH� �����

$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��

6W'HY� �������

$YHUDJH� �������

������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

W\SH�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

Page 182: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������������

W\SH�

������������

W\SH�

E�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�GHIOHFWLRQ�WHPSHUDWXUH�XQGHU�ORDG��P P� ��

��������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� � �RU� P P� ��

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

VQ Q

S

�� � �

� �

� �

� �

� � '

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� � � �W Q QD �

� ��ZKHUH�� W� �� ��� � �������

�������7\SH�� 7\SH��

���� [� ������������ [� ����������'�� �� VQ V Q V

Q QS

� � �

� �

� � � �� ��

� ��

� �

� �

����� V� ������������� V� ����� ���� �

�� �� �� �� � ��

��� ��

� �� � � � � ��

�����Q��� �����������������Q� � ���

W���� � ��� ��� �

� ���

��

��

��� � �

� � � �

�������6LQFH�������!��������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�PHDQ�GHIOHFWLRQ�WHPSHUDWXUH���������XQGHU�ORDG�IRU�W\SH���GRHV�QRW�VLJQLILFDQWO\�H[FHHG�WKH�PHDQ�GHIOHFWLRQ�WHPSHUDWXUH�XQGHU�ORDG�IRU�W\SH�

��DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

F��3�YDOXH� ��3 � �W ! ���� ����������S�YDOXH�������

G�� ' � ����8VH�VS�DV�DQ�HVWLPDWH�RI�V�

����G� P P� �

� � ��� ���

VS � � ��

����8VLQJ�&KDUW�9�J��ZLWK�E� �������G� �������ZH�JHW�Q�#�������6R�� Q Q� � ��� ��7KHUHIRUH��WKH�VDPSOH�VL]HV�

����RI����DUH�LQDGHTXDWH�

Page 183: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�HWFK�UDWH�� P P� ��

��������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� z �RU� P P� �z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

VQ Q

S

�� � �

� �

� �

� �

� � '

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� � � �W Q QD � �� �

� �ZKHUH�� W� ��� ��� � ��������RU�W��!� W Q QD � �� �

� �� �

ZKHUH�

�������� W� ��� ��� � � ������

������ [� ����������� [� �������'�� �� VQ V Q V

Q QS

� � �

� �

� � � �� ��

� ��

� �

� �

���������� V� ����������� V� ������ ���� �

�� � ��� �� � ���

��� ���

� �� � � � � ��

�����������Q��� ������������Q� � ���

W�� �� �� � �

� ����

��

��

� �� � �

�� � � �

�������6LQFH����������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WZR�PDFKLQHV�PHDQ�HWFK�UDWHV�GR���������VLJQLILFDQWO\�GLIIHU�DW�D� ������

E��3�YDOXH� ��3 � �W � �� ��� ��������������3�YDOXH������������ ���������3�YDOXH��������

F������FRQILGHQFH�LQWHUYDO����W��������� ������

���� � � � �[ [ W VQ Q

[ [ W VQ Q

Q Q S Q Q S� � � �� �

� � � � � �� �

� � � �

� � � �� � � d � d � � �

� � � �D DP P� � � �� � � �

���� � �� � � � � � � �� �� �� � �����

��

��� �� �� � ����

��

��� �� � � d � d � � �P P

���� � d � d �� ��� ����� �� �P P

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKDW�WKH�PHDQ�HWFK�UDWH�IRU�VROXWLRQ���H[FHHGV�WKDW�IRU�VROXWLRQ���E\�EHWZHHQ��������

DQG�������

G��$FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORWV��WKH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�DSSHDUV�WR�EH�PHW�VLQFH�WKH�GDWD�

����IDOO�DSSUR[LPDWHO\�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH���7KH�HTXDOLW\�RI�YDULDQFHV�GRHV�QRW�DSSHDU�WR�EH�VHYHUHO\�YLRODWHG�

HLWKHU�VLQFH�WKH�VORSHV�DUH�DSSUR[LPDWHO\�WKH�VDPH�IRU�ERWK�VDPSOHV�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� ��������

$YHUDJH� ����

�����������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

VROXWLRQ

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� ��������

$YHUDJH� ����

��������������������������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

VROXWLRQ

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

Page 184: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�LPSDFW�VWUHQJWK�� P P� ��

�������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� � �RU� P P� ��

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

V

Q

V

Q

�� � �

��

��

� �

� � '

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� �WD Q� ZKHUH� W� �� ��� � ��������VLQFH

Q

Q

�§

©¨̈

·

¹¸̧

§

©¨̈

·

¹¸̧

��

§

©¨̈

·

¹¸̧

� �

#

V

Q

V

Q

V

Q

Q

V

Q

Q

��

��

��

��

�� �

� �� �� � ����

��

� �

�WUXQFDWHG�

������ [� ������� [� ���

�������� V� ��������� V� ��

��������Q��� ����������Q� � ���

W�� �

��� ��� �

��

��

��

��

� �� � �

�� �

� � � �

�������6LQFH����������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�VXSSOLHU���SURYLGHV�JHDUV�ZLWK�KLJKHU�PHDQ�LPSDFW�VWUHQJWK�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

E��3�YDOXH� �3�W�������������3�YDOXH���������F�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�LPSDFW�VWUHQJWK�� P P� ��

�������+���� P P� � ���

�������+���� P P� � ��� ! RU� P P� � ��! �

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

V

Q

V

Q

�� �

��

��

� �

� � G

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W��!� WD Q� �������ZKHUH

Q

Q

�§

©¨̈

·

¹¸̧

§

©¨̈

·

¹¸̧

��

§

©¨̈

·

¹¸̧

� �

#

V

Q

V

Q

V

Q

Q

V

Q

Q

��

��

��

��

�� �

� �� �� � ����

��

� �

������ [� ������� [� ���������� '� ��� V� ��������� V� ����Q��� ����������Q� � ���

W�� �

��� ��� ��

��

��

��

��

���� � �

� �

� � � �

�������6LQFH����������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�PHDQ�LPSDFW�VWUHQJWK�IURP�

VXSSOLHU���LV�QRW�DW�OHDVW����IW�OE�KLJKHU�WKDW�VXSSOLHU���XVLQJ�D� ������

Page 185: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� 8VLQJ�WKH�LQIRUPDWLRQ�SURYLGHG�LQ�([HUFLVH�������DQG�W��������� �������ZH�ILQG�D�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�

WKH�GLIIHUHQFH�� P P� �� �

����

� � � �

� � � � � � � �

� �

� � � �[ [ WV

Q

V

Q[ [ W

V

Q

V

Q� � � ��� ��

��

��

�� � � � � ��� ��

��

��

� �

� �

�� ��� � ��� �� � �� � ���

�� ��� �����

� � � d � d � � �

� d � d �

d � d

P P

P P

P P

6LQFH�WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�UHSUHVHQWV�WKH�GLIIHUHQFHV�WKDW� P P� �� �FRXOG�WDNH�RQ�ZLWK�����

FRQILGHQFH��ZH�FDQ�FRQFOXGH�WKDW�6XSSOLHU���GRHV�SURYLGH�JHDUV�ZLWK�D�KLJKHU�PHDQ�LPSDFW�VWUHQJWK�WKDQ�

6XSSOLHU�����7KLV�LV�YLVLEOH�IURP�WKH�LQWHUYDO������������������VLQFH�]HUR�LV�QRW�FRQWDLQHG�LQ�WKH�LQWHUYDO�DQG�

WKH�GLIIHUHQFHV�DUH�DOO�SRVLWLYH��PHDQLQJ�WKDW� P P� �� !���

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�VSHHG�� P P� ��

��������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� ! �RU� P P� �!

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

VQ Q

S

�� � �

� �

� �

� �

� � '

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W��!� W Q QD �� �

�� �ZKHUH� W��� ��� � �����

�������&DVH�������PLO &DVH�������PLO

������������� [� ��������� [� ���� VQ V Q V

Q QS

� � �

� �

� � � �� ��

� ��

� �

� �

�������������� V� ������ � V� ����� ���� �

� ��� � � ��

�������

� �� � � � � ��

��������������Q��� �� � ��Q� � ��

W���� ��� �

������

��� � �

� � � �

�������6LQFH������!�������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�UHGXFLQJ�WKH�ILOP�WKLFNQHVV�IURP����PLOV�WR�

���PLOV�VLJQLILFDQWO\�LQFUHDVHV�WKH�PHDQ�VSHHG�RI�WKH�ILOP�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH��1RWH��VLQFH�

LQFUHDVH�LQ�ILOP�VSHHG�ZLOO�UHVXOW�LQ�ORZHU�YDOXHV�RI�REVHUYDWLRQV��

E��3�YDOXH� �3 � �W ! ���� �����������3�YDOXH�������

F������FRQILGHQFH�LQWHUYDO��W�������� ������

���� � � � �[ [ W VQ Q

[ [ W VQ Q

Q Q S Q Q S� � � �� �

� � � � � �� �

� � � �

� � � �� � � d � d � � �

� � � �D DP P� � � �� � � �

���� � �� � � � � � � ���� ��� �����

���� ��� ����

�� �� � � d � d � � �P P

���� � ��� ������ �� �d � dP P

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKH�PHDQ�VSHHG�RI�WKH�ILOP�DW����PLO�H[FHHGV�WKH�PHDQ�VSHHG�IRU�WKH�ILOP�DW����PLO�

E\�EHWZHHQ��������DQG��������P-�LQ���

Page 186: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�PHOWLQJ�SRLQW�� P P� ��

����+���� P P� � �� �RU� P P� �

���+���� P P� � �� z �RU� P P� �z

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

VQ Q

S

�� � �

� �

� �

� �

� � '

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� � � �W Q QD � �� �

� �ZKHUH�� W� �� ��� � ��������RU�W��!� W Q QD � �� �

� �� �

�ZKHUH�

��� W� �� ��� � ������

�� [� ���������� [� ��� '�� ��� VQ V Q V

Q QS

� � �

� �

� � � �� ��

� ��

� �

� �

���� V� ������������� V� � ���� �

�� � �� �

��� ���

� �� � � ��

�����Q��� �������������Q� � ���

W���� ��� �

� ����

��

��

� ��� � �

�� �

���6LQFH�����������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�GDWD�GR�QRW�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDWERWK�DOOR\V�KDYH�WKH�VDPH�PHOWLQJ�SRLQW�DW��D� �����3�YDOXH� ��3 � �W � �� ���� ���3�YDOXH���������

����� G� �_ _

� ��

P P

V� �

� �� ���

�� 8VLQJ�WKH�DSSURSULDWH�FKDUW�LQ�WKH�$SSHQGL[��ZLWK�E� ������DQG�D� ������ZH�KDYH��Q � ������VR�

QQ

��� ���Q�� �Q�� ��

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�ZHDU�DPRXQW��P P� �� �

�������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� z �RU� P P� �z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

V

Q

V

Q

�� � �

��

��

� �

� � '

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� �W� ��� ��� � �ZKHUH� �W � ��� ��� � ��������RU�W��!� W� ��� ��� � ZKHUH� W � ��� ��� � �

������VLQFH

Q

Q

�§

©¨̈

·

¹¸̧

§

©¨̈

·

¹¸̧

��

§

©¨̈

·

¹¸̧

� �

#

V

Q

V

Q

V

Q

Q

V

Q

Q

��

��

��

��

�� �

� �� �� � �� ��

��

� �

�WUXQFDWHG�

Page 187: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ [� ������ [� �� '�� ���

�������� V� �������� V� �

��������Q��� ��������Q� � ���

W�� �

�� �� �

��

��

��� � �

� �

� � � �

�������6LQFH������!�������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�GDWD�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKH�WZR�

��������FRPSDQLHV�SURGXFH�PDWHULDO�ZLWK�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�ZHDU�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

E��3�YDOXH� ��3�W�!����������������������3�YDOXH�����������

������������3�YDOXH��������

F�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�ZHDU�DPRXQW�� P P� ��

�������+���� P P� � ��

�������+���� P P� � �� !

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

V

Q

V

Q

�� � �

��

��

� �

� � '

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W��!� W � �� ��� � �ZKHUH� W � �� ��� � �������VLQFH

Q

Q

�§

©¨̈

·

¹¸̧

§

©¨̈

·

¹¸̧

��

§

©¨̈

·

¹¸̧

� �

#

V

Q

V

Q

V

Q

Q

V

Q

Q

��

��

��

��

�� �

� �� �� � �� ��

��

� �

������ [� ������ [� ��

�������� V� �������� V� � '�� ���

��������Q��� ��������Q� � ���

W�� �

�� �� �

��

��

��� � �

� �

� � � �

�������6LQFH������!�������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�GDWD�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKH�

��������PDWHULDO�IURP�FRPSDQ\���KDV�D�KLJKHU�PHDQ�ZHDU�WKDQ�WKH�PDWHULDO�IURP�FRPSDQ\���XVLQJ�D������OHYHO�

��������RI�VLJQLILFDQFH�

Page 188: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�FRDWLQJ�WKLFNQHVV��P P� �� �

���+���� P P� � ��

���+���� P P� � �� !

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

V

Q

V

Q

�� �

��

��

� �

� � G

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W��!� W� ����� � ZKHUH� W � �� ��� � � �������VLQFH

Q

Q

�§

©¨̈

·

¹¸̧

§

©¨̈

·

¹¸̧

��

§

©¨̈

·

¹¸̧

� �

#

V

Q

V

Q

V

Q

Q

V

Q

Q

��

��

��

��

�� �

� ���� � ����

��

� �

�WUXQFDWHG�

�� [� ��������� [� ����

���� V� ����������� V� ����

����Q��� �������������Q� � ���

W�� �

���� �� � �

�� �

��

���

��

���� � �

� � � �

� � � � � �

���6LQFH����������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�LQFUHDVLQJ�WKH�WHPSHUDWXUH�GRHV�

����QRW�VLJQLILFDQWO\�UHGXFH�WKH�PHDQ�FRDWLQJ�WKLFNQHVV�DW��D� ������3�YDOXH� �3�W�!��������������������3�YDOXH�������

����� ,I��D� �������FRQVWUXFW�D�����ORZHU�RQH�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�WKH�GLIIHUHQFH�WR�DQVZHU�WKLV�TXHVWLRQ�W�������� ������

� �[ [ WV

Q

V

Q� � �

��

��

�� �� � � d �

D QP P

� � � � �� � � � � �

���� �� � � ����� �

��

���

��

� �

� �� � � d �P P

� d ��� �� � �� P P �

6LQFH�WKH�LQWHUYDO�FRQWDLQV����ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKHUH�LV�QR�GLIIHUHQFH�LQ�WKH�PHDQ�FRDWLQJ�WKLFNQHVV�

EHWZHHQ�WKH�WZR�WHPSHUDWXUHV��WKDW�LV��UDLVLQJ�WKH�SURFHVV�WHPSHUDWXUH�GRHV�QRW�VLJQLILFDQWO\�UHGXFH�WKH�

PHDQ�FRDWLQJ�WKLFNQHVV�

����� ����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

W��������� ������

� � � �[ [ WV

Q

V

Q[ [ W

V

Q

V

Q� �

��

��

�� � � �

��

��

� � � d � d � � �D Q D Q

P P� �

� �� � �� � � �

�� � � �

�� �� � ����

��

���� �� � ���

��

��

� �

� �

� �

� � � d � d � � �P P

���� � ���� �� �d � dP P

����ORZHU�RQH�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

W � �� �� ����� � �

Page 189: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� �[ [ WV

Q

V

Q� �

��

��

�� �� � � d �

D QP P�

� �� � � �

�� �� �����

��

��

� �

� �� � � d �� P P

��� � �� d �P P

)RU�SDUW�D��

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKH�PHDQ�DEUDVLYH�ZHDU�IURP�FRPSDQ\���H[FHHGV�WKH�PHDQ�DEUDVLYH�ZHDU�IURP�

����FRPSDQ\���E\�EHWZHHQ�������DQG�������PJ������

)RU�SDUW�F��

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKH�PHDQ�DEUDVLYH�ZHDU�IURP�FRPSDQ\���H[FHHGV�WKH�PHDQ�DEUDVLYH�ZHDU�IURP�

����FRPSDQ\���E\�DW�OHDVW�����PJ������

6HFWLRQ����

������ G ����������VG� ���������Q� ��

����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

G WV

QG W

V

QQ

GG Q

G�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� �D D

P� � � �� � � �

� ���� � ��������

�� ���� � ���

�����

�� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸PG

��������d�PG�d�������

:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�PHDQ�VKHDU�VWUHQJWK�RI�.DUOVUXKH�PHWKRG�H[FHHGV�WKH�PHDQ�VKHDU�

VWUHQJWK�RI�WKH�/HKLJK�PHWKRG�E\�EHWZHHQ��������DQG����������6LQFH���LV�QRW�LQFOXGHG�LQ�WKLV�LQWHUYDO��WKH�

LQWHUYDO�LV�FRQVLVWHQW�ZLWK�UHMHFWLQJ�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�WKDW�WKH�PHDQV�DUH�WKH�VDPH�

7KH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�LV�GLUHFWO\�UHODWHG�WR�D�WHVW�RI�K\SRWKHVLV�ZLWK������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH��DQG�WKH�

FRQFOXVLRQV�UHDFKHG�DUH�LGHQWLFDO�

����� ,W�LV�RQO\�QHFHVVDU\�IRU�WKH�GLIIHUHQFHV�WR�EH�QRUPDOO\�GLVWULEXWHG�IRU�WKH�SDLUHG�W�WHVW�WR�EH�DSSURSULDWH�DQG�

UHOLDEOH�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� �6W'HY� ��������

$YHUDJH� ��������

��������������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

GLII

1RUPDO�3UREDELOLW\�3ORW

Page 190: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�PHDQ�SDUNLQJ�WLPHV��PG����+���� PG �

���+���� PG z �

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

� �

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� �W � �� ��� � �ZKHUH� �W � �� ��� � ��������RU�W��!� W � �� ��� � �ZKHUH� W � �� ��� � ������

��� G ����

���� VG �����

���� Q ��

W����

�� �� ��� ���

� ��

���6LQFH������������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�DQG�FRQFOXGH�WKH�GDWD�GR�QRW�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKH�WZR�FDUV�KDYH�GLIIHUHQW�PHDQ�SDUNLQJ�WLPHV�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH���7KH�UHVXOW�LV�FRQVLVWHQW�ZLWK� �����WKH

FRQILGHQFH�LQWHUYDO�FRQVWUXFWHG�VLQFH���LV�LQFOXGHG�LQ�WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

����� $FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORWV��WKH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�GRHV�QRW�DSSHDU�WR�EH�YLRODWHG�VLQFH�

WKH�GDWD�IDOO�DSSUR[LPDWHO\�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� �������

������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

GLII

1RUPDO�3UREDELOLW\�3ORW

����� G �����������VG� �������Q� ������ ZKHUH�GL� �EUDQG�����EUDQG��

�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

G WV

QG W

V

QQ

GG Q

G�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸� �D D

P� � � �� � � �

� ��� ��� ��������

������� ����

����

�� � � ��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸PG

���������d�PG�d��������

�6LQFH�]HUR�LV�FRQWDLQHG�ZLWKLQ�WKLV�LQWHUYDO��ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKHUH�LV�QR�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�

WKH�WZR�EUDQGV�RI�WLUH�

Page 191: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D� G ���������VG� ��������Q� ���

��������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

��� G WV

QG W

V

QQ

GG Q

G�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸

� �D DP� � � �� � � �

��� � ��� � ���� ���

��� ��� � ���

� ���

��� �

�� �

��

§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸PG

�����������d�PG�d�����

����6LQFH�]HUR�LV�FRQWDLQHG�ZLWKLQ�WKLV�LQWHUYDO��ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKHUH�LV�QR�VLJQLILFDQW�LQGLFDWLRQ�WKDW�

����RQH�GHVLJQ�ODQJXDJH�LV�SUHIHUDEOH�

E��$FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORWV��WKH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�GRHV�QRW�DSSHDU�WR�EH�YLRODWHG�

����VLQFH�WKH�GDWD�IDOO�DSSUR[LPDWHO\�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� ��������

����

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

GLII

1RUPDO�3UREDELOLW\�3ORW

����� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�EORRG�FKROHVWHURO�OHYHO��PG����ZKHUH�GL� �%HIRUH���$IWHU����+���� PG �

���+���� PG ! �

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

� �

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W��!� W � �� ��� � ZKHUH� W � �� ��� � ������

��� G ������

���� VG �����

���� Q ��

W������

�� �� ������

� ��

���6LQFH��������!�������UHMHFW�WKH�QXOO�DQG�FRQFOXGH�WKH�GDWD�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKH�PHDQ�GLIIHUHQFH�

����LQ�FKROHVWHURO�OHYHOV�LV�VLJQLILFDQWO\�OHVV�DIWHU�IDW�GLHW�DQG�DHURELF�H[HUFLVH�SURJUDP�DW�WKH������OHYHO�RI�

����VLJQLILFDQFH�

Page 192: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�PHDQ�GLIIHUHQFH�LQ�QDWXUDO�YLEUDWLRQ�IUHTXHQFLHV��PG

��������ZKHUH�GL� �ILQLWH�HOHPHQW���(TXLYDOHQW�3ODWH��������+���� PG �

�������+���� PG z �

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

� �

�������5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� �W � ��� �� � �ZKHUH� �W � ��� �� � ��������RU�W��!� W � ��� �� � ZKHUH� W � ��� �� � �

�������������

������� G ������������� VG �����

�������� Q �

W����

���� �� ��

� �

� ��

�������6LQFH�������������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�DQG�FRQFOXGH�WKH�GDWD�VXJJHVW�WKDW�WKH�WZR�PHWKRGV�GR�QRW�SURGXFH�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�PHDQ�YDOXHV�IRU�QDWXUDO�YLEUDWLRQ�IUHTXHQF\�DW�WKH������OHYHO�RI� �

VLJQLILFDQFH�

E������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

���� G WV

QG W

V

QQ

GG Q

G�§

©¨

·

¹¸ d d �

§

©¨

·

¹¸

� �D DP� � � �� � � �

� �§

©¨

·

¹¸ d d � �

§

©¨

·

¹¸��� ����

����

���� ����

����

�� �

�� �

�PG

���������d�PG�d������

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKDW�WKH�PHDQ�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�QDWXUDO�YLEUDWLRQ�IUHTXHQF\�IURP�

����WKH�HTXLYDOHQW�SODWH�PHWKRG�DQG�WKH�QDWXUDO�YLEUDWLRQ�IUHTXHQF\�IURP�WKH�ILQLWH�HOHPHQW�PHWKRG�LV�EHWZHHQ

��������DQG�������F\FOH�V�

����� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�ZHLJKW��PG����ZKHUH�GL� :HLJKW�%HIRUH���:HLJKW�$IWHU�

���+���� PG �

���+���� PG ! �

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

� �

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W��!� W � �� �� � ZKHUH� W � �� �� � ������

��� G ��

���� VG ����

���� Q ��

W���

��� ������

� ��

���6LQFH��������!�������UHMHFW�WKH�QXOO�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�HYLGHQFH�WR�FRQFOXGH�WKDW�WKH�PHDQ�ZHLJKW�ORVV�

LV�VLJQLILFDQWO\�JUHDWHU�WKDQ����WKDW�LV��WKH�GDWD�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKLV�SDUWLFXODU�GLHW�PRGLILFDWLRQ� �

SURJUDP�LV�VLJQLILFDQWO\�HIIHFWLYH�LQ�UHGXFLQJ�ZHLJKW�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

Page 193: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�PHDQ�GLIIHUHQFH�LQ�LPSXULW\�OHYHO��PG

����ZKHUH�GL� �7HVW�����7HVW������+���� PG �

���+���� PG z �

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

� �

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W���� �W � ��� �� � ZKHUH� �W � ��� �� � ��������RU�W��!� W � ��� �� � ZKHUH� W � ��� �� � ������

��� G ����������� VG ������

���� Q �

W�� ����

����� ����

� �

� ��

���6LQFH���������������UHMHFW�WKH�QXOO�DQG�FRQFOXGH�WKH�WHVWV�JLYH�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�LPSXULW\�OHYHOV�DW�����D ����

����� ���7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�ZHLJKW�ORVV��PG

����ZKHUH�GL� �%HIRUH���$IWHU����+���� PG ��

���+���� PG ! ��

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

��

� '

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�W��!� W � �� �� � ZKHUH� W � �� �� � ������

��� G ��

���� VG ����

���� Q ��

W��� ��

��� �����

� ��

���6LQFH�������!�������UHMHFW�WKH�QXOO�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKLV�SDUWLFXODU�

GLHW�PRGLILFDWLRQ�SURJUDP�LV�HIIHFWLYH�LQ�SURGXFLQJ�D�PHDQ�ZHLJKW�ORVV�RI�DW�OHDVW����OEV�DW�WKH������OHYHO�RI�

VLJQLILFDQFH�

����� 8VH�VG��DV�DQ�HVWLPDWH�IRU�V�

� �Q

] ] G

�§

©

¨¨

·

¹

¸¸

�§

©̈·¹̧

D E V

��

���� ��� � ��

��� ���

��

� � � � �� ���Q� ��

<HV��WKH�VDPSOH�VL]H�RI����LV�DGHTXDWH�IRU�WKLV�WHVW�

6HFWLRQ����

����� D��I���������� ����� G��I���������� �� �

�������

� �� �� �I � � � ��

E��I���������� ����� H��I���������� � �

�������

��� � ��I � � � ��

F��I���������� ����� I��I���������� � �

���� ���

� �� �� �I � � � ��

Page 194: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��I���������� ����� G��I���������� � �

�������

� �� �� �I � � � ��

E��I����������� ����� H��I����������� � �

� ��� ���

��� �� ��I � � � ��

F��I����������� ����� I��I����������� � �

���� ���

� ���� ��I � � � ��

����� ���7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�YDULDQFHV�RI�FRQFHQWUDWLRQ�� V V��

���

���+��� V V��

��

���+���� V V��

��z

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�I��� I� ��� � ��� � � ZKHUH� I� ��� � ��� � � �������RU�I��!� I� ��� � ��� � � ZKHUH� I� ��� � ��� � � ����

��� Q� �� Q� ��

����� V� ��� V� ���

I�

� �

��� ���

� � �

� � ��

���6LQFH����������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�

LQGLFDWH�WKH�WZR�SRSXODWLRQ�YDULDQFHV�GLIIHU�VLJQLILFDQWO\�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

����� ���7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�HWFK�UDWH�YDULDQFHV�� V V��

��� �

���+��� V V��

��

���+���� V V��

��z

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�I��� I� ��� � �� � � �������RU�I��!� I� ��� � �� � � �����

��� Q� �� Q� ��

����� V� ����� V� ����

I�

�� ��

� ������

� � �

� � ��

���6LQFH����������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�HWFK�UDWH�YDULDQFHV�GR�QRW�

����GLIIHU�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

����� :LWK� O E D � �� ��� � ��� � � � �DQG ��ZH�ILQG�IURP�&KDUW�9,�R�WKDW�Q�� �Q�� �������7KHUHIRUH��WKH�

VDPSOHV�RI�VL]H����ZRXOG�QRW�EH�DGHTXDWH�

Page 195: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�WKH�UDWLR�RI�YDULDQFHV�

����V

VI

V

VIQ Q Q Q

��

�� � � � �

��

��

��

�� � � �

� � � �

§

©¨̈

·

¹¸̧ d d

§

©¨̈

·

¹¸̧� � � � �D D

V

V� � � � � �

����� � �

� � ��

� � �

� � ��

� ��

� ��� ���

� ��

� ��� ��

��

��

§

©¨̈

·

¹¸̧ d d

§

©¨̈

·

¹¸̧V

V

���� � ���� � �����

��

� �d dV

V

����6LQFH�WKH�LQWHUYDO�FRQWDLQV����ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKH�YDULDQFHV�IRU�WKH�URG�GLDPHWHUV�DUH�QRW�VLJQLILFDQWO\�

����GLIIHUHQW�

E������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

����V

VI

V

VIQ Q Q Q

��

�� � � � �

��

��

��

�� � � �

� � � �

§

©¨̈

·

¹¸̧ d d

§

©¨̈

·

¹¸̧� � � � �D D

V

V� � � � � �

����� � �

� � ��

� � �

� � ��

� ��

� ��� ���

� ��

� ��� ��

��

��

§

©¨̈

·

¹¸̧ d d

§

©¨̈

·

¹¸̧V

V

���� � ��� � �����

��

� �d dV

V

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKH�YDULDQFHV�IRU�WKH�URG�GLDPHWHUV�DUH�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW��7KH�����

����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�LV�ZLGHU�WKDQ�WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

F������ORZHU�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

���V

VI Q Q

��

�� � � �

��

��� �

§

©¨̈

·

¹¸̧ d� � �D

V

V� �

���� � �

� � ��

� ��

� ������

��

��

§

©¨̈

·

¹¸̧ d

V

V

��� � ��� ��

��

� dV

V

����:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�YDULDQFHV�IRU�WKH�URG�GLDPHWHUV�DUH�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�

�����HDFK�RWKHU�

����� D������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�WKH�UDWLR�RI�YDULDQFHV�

V

VI

V

VIQ Q Q Q

��

�� � � � �

��

��

��

�� � � �

� � � �

§

©¨̈

·

¹¸̧ d d

§

©¨̈

·

¹¸̧� � � � �D D

V

V� � � � � �

� � �

� � ��

� � �

� � ��

� �

������

� �

��� ��

��

��

§

©¨̈

·

¹¸̧ d d

§

©¨̈

·

¹¸̧V

V

� ����� ������

��

� �d dV

V

����6LQFH�WKH�LQWHUYDO�FRQWDLQV����ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKH�FDWDO\VW�YDULDQFHV�DUH�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�

E������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

����V

VI

V

VIQ Q Q Q

��

�� � � � �

��

��

��

�� � � �

� � � �

§

©¨̈

·

¹¸̧ d d

§

©¨̈

·

¹¸̧� � � � �D D

V

V� � � � � �

����� � �

� � ��

� � �

� � ��

� �

������

� �

��� ��

��

��

§

©¨̈

·

¹¸̧ d d

§

©¨̈

·

¹¸̧V

V

���� � ���� ����

��

� �d dV

V

����:H�DUH�����FRQILGHQW�WKH�FDWDO\VW�YDULDQFHV�DUH�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW��7KH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

����LV�ZLGHU�WKDQ�WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

Page 196: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F������ORZHU�VLGHG�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

���V

VI Q Q

��

�� � � �

��

��� �

§

©¨̈

·

¹¸̧ d� � �D

V

V� �

���� � �

� � ��

� �

��� ���

��

��

§

©¨̈

·

¹¸̧ d

V

V

��� ���� ��

��

� dV

V

���:LWK�����FRQILGHQFH��ZH�EHOLHYH�WKH�FDWDO\VW�YDULDQFHV�DUH�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�IURP�HDFK�RWKHU�

����� ���7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�WKLFNQHVV�YDULDQFHV�� V V��

���

���+���� V V��

��

���+���� V V��

��z

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�I��� I� �� � �� � � ZKHUH� I� �� � �� � � �������RU�I��!� I� �� � �� � � ZKHUH� I� �� � �� � � �����

��� Q� � Q� �

����� V� ���� V� ����

I�

���

� �����

� � �

� � ��

���6LQFH����������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WKLFNQHVV�YDULDQFHV�GR�QRW�

����VLJQLILFDQWO\�GLIIHU�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

����� ���7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�VWUHQJWK�YDULDQFHV�� V V��

���

���+���� V V��

��

���+���� V V��

��z

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�I��� I� ��� � ��� � � ZKHUH� I� ��� � ��� � � �������RU�I��!� I� ��� � ��� � � ZKHUH� I� ��� � ��� � � ����

��� Q� �� Q� ��

����� V� �� V� ��

I�

��

��� ���

� �

� ��

���6LQFH����������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�SRSXODWLRQ�YDULDQFHV�GR�QRW�

VLJQLILFDQWO\�GLIIHU�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

Page 197: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�PHOWLQJ�YDULDQFHV��V V��

���

���+���� V V��

��

���+���� V V��

��z

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�I��� I� ��� �� ��� � � ZKHUH� I� ��� �� ��� � � �������RU�I��!� I� ��� �� ��� � � ZKHUH� � ��

���� I� ��� �� ��� � � ����

��� Q� �� Q� ��

����� V� � V� �

I�

����

� �

� ��

���6LQFH����������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�SRSXODWLRQ�YDULDQFHV�GR�QRW�

VLJQLILFDQWO\�GLIIHU�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

����� ���7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�WKLFNQHVV�YDULDQFHV�� V V��

���

���+���� V V��

��

���+���� V V��

��z

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�I��� I� �� �� ��� � � ZKHUH� I� �� �� ��� � � �������RU�I��!� I� �� �� ��� � � ZKHUH

��� I� �� �� ��� � � �����

��� Q� �� Q� ��

����� V� ���� V� ����

I�

�� �

���� ����

� � �

� � ��

���6LQFH�����������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�WKLFNQHVV�YDULDQFHV�DUH�QRW�HTXDO�DW�WKH�

�����OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

����� ���7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�WLPH�WR�DVVHPEOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQV��V V� ��

���+���� V V��

��

���+���� V V��

��z

���D� ��������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�I��� I Q Q� � � �� �

� � �D � � � �������RU�I��!� I Q QD � � �� � �� �� � �����

��� Q� �� Q� ��� V� ���� V� ����

I�

���

� ��� ���

� � �

� � ��

���6LQFH����������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH��WKHUH�LV�QR�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�

WKH�FODLP�WKDW�PHQ�DQG�ZRPHQ�GLIIHU�VLJQLILFDQWO\�LQ�UHSHDWDELOLW\�IRU�WKLV�DVVHPEO\�WDVN�DW�WKH������OHYHO�RI�

VLJQLILFDQFH�

Page 198: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

����V

VI

V

VIQ Q Q Q

��

�� � � � �

��

��

��

�� � � �

� � � �

§

©¨̈

·

¹¸̧ d d

§

©¨̈

·

¹¸̧� � � � �D D

V

V� � � � � �

� � � � � � � �� ��� � ��� � ��� � ����

��

d dV

V

� ���� � �����

��

� �d dV

V

6LQFH�WKH�YDOXH���LV�FRQWDLQHG�ZLWKLQ�WKLV�LQWHUYDO��ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKHUH�LV�QR�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�

EHWZHHQ�WKH�UHSHDWDELOLW\�RI�PHDQ�DQG�ZRPHQ�IRU�WKH�DVVHPEO\�WDVN�

����� )RU�RQH�SRSXODWLRQ�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�EHLQJ�����ODUJHU�WKDQ�WKH�RWKHU��WKHQ�O� �����8VLQJ�Q� ���D� ������DQG�&KDUW�9,S��ZH�ILQG�WKDW�E�#��������7KHUHIRUH��ZH�ZRXOG�VD\�WKDW�Q� �Q�� �Q�� ���LV�DGHTXDWH�WR�GHWHFW�WKLV�GLIIHUHQFH�ZLWK�KLJK�SUREDELOLW\�

6HFWLRQ����

����� ���WKH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�SURSRUWLRQ�RI�GHIHFWLYH�SDUWV��S��DQG�S����+��� S S� �

���+��� S S� �z

���D� ��������7HVW�VWDWLVWLF�LV

]S S

S SQ Q

�� �

� �

�� �

� �§

©¨

·

¹¸

� �

� � � �

ZKHUH

�S[ [

Q Q

�� �

� �

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�]��� �]� ���� ZKHUH� �]� ���� �������RU�]��! ]� ���� ZKHUH� ]� ���� �����

��� Q� ��� Q� ���

���� [� �� [� �

���� �S� ���� �S� ������ � �S �

�� �

��� ���� ����

]�� �� � ����

� ���� � � �����

���

���

��� �

� �§©̈

·¹̧

� �

� � � �

���6LQFH���������������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�\HV�WKH�HYLGHQFH�LQGLFDWHV�����WKDW�WKHUH�LV�QRW�D�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�LQ�WKH�IUDFWLRQ�RI�GHIHFWLYH�SDUWV�SURGXFHG�E\�WKH�WZR�PDFKLQHV�DW�

WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

3�YDOXH� �����3�]���������� ��������

Page 199: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��3RZHU� �����E

E� �

� � � �) )

] STQ Q

S S ] STQ Q

S S

S S S S

D D

V V

� �

� �

� �

�� �

� � �� �

� �

� � � �

� � � �

�§

©¨

·

¹¸ � �

§

©

¨¨¨¨¨̈

·

¹

¸¸¸¸¸̧

� �§

©¨

·

¹¸ � �

§

©

¨¨¨¨¨̈

·

¹

¸¸¸¸¸̧

� �

���� S ��� � �� ��� � ��

��� ���

� � � � � ���

����� T ����

���� �� �

VS S� �� � �� � � ��

���

� �� � � ��

���

� � � � � � � ���

� �����

E� �� � � �

) )

��� � �� � ���

���

���� �� � ��

� ���

��� � �� � ���

���

���� �� � ��

� ���

� � � � � � �

� � � � � � �

�§©̈

·¹̧� �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

� �§©̈

·¹̧� �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

�� � � � � �) )� � � � � �� � �� ������ � ������� � � �

3RZHU� ������������� ��������

E�

� �� �

� �Q

]S S T T

] S T S T

S S

� �� �

§

©

¨¨

·

¹

¸¸

D E��� � � �

� � � �

� ��

������

� �� �

� �

� �� �

§

©

¨¨

·

¹

¸¸

���� �� � �� � �� � ��

���� � �� � �� � �� � ��

� �� � �������

�� � � �

� � � � � � � � �

� ��

����Q� ����

����� D��E� �� � � �

) )

] STQ Q

S S ] STQ Q

S S

S S S S

D D

V V

� �

� �

� �

�� �

� � �� �

� �

� � � �

� � � �

�§

©¨

·

¹¸ � �

§

©

¨¨¨¨¨̈

·

¹

¸¸¸¸¸̧

� �§

©¨

·

¹¸ � �

§

©

¨¨¨¨¨̈

·

¹

¸¸¸¸¸̧

� �

���� S ��� � �� ��� � ��

��� ���

� � � � � ��

� ����� T �����

���� �� �

VS S� ��

� �� � � ��

���

� �� � � ��

���

� � � � � � � ���

� �����

E� �� � � �

) )

��� ���� �����

���

������ ���

����

��� ���� �����

���

������ ���

����

� � � � � � �

� � � � � � �

�§

©¨

·

¹¸ � �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

� �§

©¨

·

¹¸ � �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

�� � � � � �) )� � � � � �� ��� � ����� � ����� � ������ � � � �

3RZHU� ������������� ��������

E��

� �� �

� �Q

]S S T T

] S T S T

S S

� �� �

§

©

¨¨

·

¹

¸¸

D E��

� � � �

� � � �

� �

����

� �� �

� �

� �� �

§

©

¨¨

·

¹

¸¸

���� �� ��� � �� � ��

���� � �� � �� � �� � ��

� �� � ����� ��

�� � � �

� � � � � � � � �

� ��

��Q� ����

Page 200: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���WKH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�SURSRUWLRQ�RI�UHVLGHQWV�LQ�IDYRU�RI�DQ�LQFUHDVH��S��DQG�S����+��� S S� �

���+��� S S� �z

���D� ��������7HVW�VWDWLVWLF�LV

]S S

S SQ Q

�� �

� �

�� �

� �§

©¨

·

¹¸

� �

� � � �

ZKHUH

�S[ [

Q Q

�� �

� �

���5HMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�]��� �]� ���� ZKHUH� �]� ���� �������RU�]��! ]� ���� �ZKHUH� ]� ���� �����

��� Q� ��� Q� ���

����� [� ��� [� ���

����� �S� ���� �S� ������ � �S ��

��� ���

��� ���� ���

]�� �� � ����

� ��� � � ����

���

���

��� �

� �§©̈

·¹̧

� �

� � � �

���6LQFH�������!������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKDW�\HV�WKH�GDWD�GR�LQGLFDWH�D�VLJQLILFDQW�

����GLIIHUHQFH�LQ�WKH�SURSRUWLRQV�RI�VXSSRUW�IRU�LQFUHDVLQJ�WKH�VSHHG�OLPLW�EHWZHHQ�UHVLGHQWV�RI�WKH�WZR�

����FRXQWLHV�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

3�YDOXH� �����3�]���������� ��������

����� ����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�WKH�GLIIHUHQFH�

� � � �� � � � � � � �

� � � �� � � � � � � �

� �S S ]S S

Q

S S

QS S S S ]

S S

Q

S S

Q� � �

� �

� �

� � � � �� �

� �

� � � �� �

��

�d � d � �

��

�D D

� � � � �� � � � � � � �

� � � � �� � � � � � � �

� �� � ���� ���� �� � � ��

���

� ���� � � ����

���� �� � ���� ���

� �� � � ��

���

� ���� � � ����

���� �� �

��

�d � d � �

��

�S S

� d � d� ���� � ���� �� �S S

6LQFH�WKLV�LQWHUYDO�FRQWDLQV�WKH�YDOXH�]HUR��ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKHUH�LV�QR�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�LQ�WKH�

IUDFWLRQ�RI�GHIHFWLYH�SDUWV�SURGXFHG�E\�WKH�WZR�PDFKLQHV�DQG�WKDW�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�SURSRUWLRQV�LV�EHWZHHQ���������DQG�������

����� ����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�WKH�GLIIHUHQFH�

� � � �� � � � � � � �

� � � �� � � � � � � �

� �S S ]S S

Q

S S

QS S S S ]

S S

Q

S S

Q� � �

� �

� �

� � � � �� �

� �

� � � �� �

��

�d � d � �

��

D D

� � � � �� � � � � � � �

� � � � �� � � � � � � �

� �� � ���� ������ � ���

���

����� � �����

������ � ���� ���

��� � ���

���

� ���� � �����

���� �� �

��

d � d � ��

��

S S

� ���� ������ �� �d � dS S

6LQFH�WKLV�LQWHUYDO�GRHV�QRW�FRQWDLQ�WKH�YDOXH�]HUR��ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKHUH�LV�D�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�LQ�

WKH�SURSRUWLRQV�RI�VXSSRUW�IRU�LQFUHDVLQJ�WKH�VSHHG�OLPLW�EHWZHHQ�UHVLGHQWV�RI�WKH�WZR�FRXQWLHV�DQG�WKDW�WKH�

GLIIHUHQFH�LQ�SURSRUWLRQV�LV�EHWZHHQ��������DQG��������

Page 201: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

������ D��7KH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�LV�QHFHVVDU\�WR�WHVW�WKH�FODLP���$FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORWV��WKH� ��

DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�GRHV�QRW�DSSHDU�WR�EH�YLRODWHG���7KLV�LV�HYLGHQW�IURP�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�DSSHDU� ����WR�IDOO

DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� �������

��������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

YHQGRU�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� �������

���������������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

YHQGRU�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

E�����WKH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�YDULDQFHV�RI�UHVLVWDQFH�RI�SURGXFWV�� V V��

���

�������+��� V V��

��

�������+��� V V��

��z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

�������5HMHFW�+��LI�I���� I� ��� �� ��� � � ZKHUH� I� ��� �� ��� � � � �

���� ���

� ��� �� ��I � � � ��

��������RU�I��!� I� ��� �� ��� � � ZKHUH� I� ��� �� ��� � � ����

�������V�� ����� V�� ����

��������Q�� ��� Q�� ���

I�

���

���� ���

� � �

� � ��

�������6LQFH����������������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKH�YDULDQFHV�DUH�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�DW�D� ������

����� D��1RUPDOLW\�DQG�HTXDOLW\�RI�YDULDQFHV�DSSHDUV�WR�EH�UHDVRQDEOH��VHH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW���7KH�GDWD�DSSHDU�

WR�IDOO�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�DQG�WKH�VORSHV�DSSHDU�WR�EH�WKH�VDPH�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� �6W'HY� �������

$YHUDJH� �������

��������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

��KRXU

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� �6W'HY� �������

$YHUDJH� �������

��������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

��KRXU

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

Page 202: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�� [� �� �� � [� ����� �

���� V� � �� � V� � �� �

���� Q� � Q� �

��������FRQILGHQFH�LQWHUYDO� W WQ QD � � � �� � � ��� ��� �� �

�ZKHUH� W� ��� ��� � ������

VS �

� � �� � � ��

�����

� �� � � � � ��

���� � � � � � � � �[ [ W VQ Q

[ [ W VQ Q

Q Q S Q Q S� � � �� �

� � � � � �� �

� � � �

� � � �� � � d � d � � �

� � � �D DP P� � � �

���� � � � � � � � ��� �� ����� ���� ����

��� �� ����� ���� ���

�� �� � � � � � � �� � � d � d � � �P P

���� ��� � ��� �� �d � dP P

F��<HV��ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKH�UHVXOWV�IURP�WKH�ILUVW�WHVW�FRQGLWLRQ�H[FHHG�WKH�UHVXOWV�RI�WKH�VHFRQG�WHVW�

����FRQGLWLRQ�E\�EHWZHHQ������DQG�������u����3$��

����� D������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU� V V��

���

��������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�V

V��

���

���� II

� ��� � �� ��� � �

� �

� ��� ����� � �

� � � �� � I� ��� � � � ��� � � �

����

V

VI

V

VI�

�� � ��� � �

��

��

��

�� � ��� � �

��

��

��

��

� ���

����� ����

� ���

����� ��

����� ����

� � � � � �

�� � �

�� � �

� �

d d

§©̈

·¹̧

d d§©̈

·¹̧

d d

V

V

V

V

V

V

E��6LQFH�WKH�YDOXH���LV�FRQWDLQHG�ZLWKLQ�WKLV�LQWHUYDO��ZLWK�����FRQILGHQFH��WKH�SRSXODWLRQ�YDULDQFHV�GR�QRW�

����GLIIHU�VLJQLILFDQWO\�DQG�FDQ�EH�DVVXPHG�WR�EH�HTXDO�

����� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�PHDQ�ZHLJKW�ORVV��PG

���������ZKHUH�GL� �,QLWLDO�:HLJKW���)LQDO�:HLJKW�

�������+��� PG �

�������+��� PG ! �

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

��

� '

�������5HMHFW�+��LI�W��!�WD�Q���ZKHUH�W������� �������

������ G �����

�������V

Q

G

����

W����� �

���� �����

� ��

�������6LQFH����������������UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�DYHUDJH�ZHLJKW�ORVV�LV�VLJQLILFDQWO\�

��������JUHDWHU�WKDQ���DW�D� ������E�����+��� PG �

�������+��� PG ! �

�������D� �����

Page 203: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

��

� '

�������5HMHFW�+��LI�W��!�WD�Q���ZKHUH�W������� �������

������ G �����

�������V

Q

G

����

W����� �

���� �����

� ��

�������6LQFH���������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�DYHUDJH�ZHLJKW�ORVV�LV�QRW�

��������VLJQLILFDQWO\�JUHDWHU�WKDQ���DW�D� ������F�����+��� PG �

�������+��� PG ! �

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

��

� '

�������5HMHFW�+��LI�W��!�WD�Q���ZKHUH�W������� ������

������ G �����

�������V

Q

G

����

W����� �

���� �����

� �

� ��

�������6LQFH�����������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�DYHUDJH�ZHLJKW�ORVV�LV�QRW���������VLJQLILFDQWO\�JUHDWHU�WKDQ���DW�D� ������8VLQJ�D� ������������+��� PG �

�������+��� PG ! �

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

��

� '

�������5HMHFW�+��LI�W��!�WD�Q���ZKHUH�W������� �������

������ G �����

�������V

Q

G

����

W����� �

���� �����

� �

� ��

�������6LQFH�����������������GR�QRW�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DQG�FRQFOXGH�WKH�DYHUDJH�ZHLJKW�ORVV�LV�QRW���������VLJQLILFDQWO\�JUHDWHU�WKDQ���DW�D� ������

����� � � � �[ [ ]Q Q

[ [ ]Q Q

� � ���

��

�� � � � �

��

��

� � � d � d � � �D D

V VP P

V V� �

D������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�� ]D � �� ���

���� � � � ��� �� ����

��

���� �� ���

��

��

� �

� �

� �

� � � d � d � � �� �P P

���� � d � d ����� � ���� �� �P P

����<HV��ZLWK�����FRQILGHQFH��WKH�GDWD�LQGLFDWH�WKDW�WKH�PHDQ�EUHDNLQJ�VWUHQJWK�RI�WKH�\DUQ�RI�PDQXIDFWXUHU���

H[FHHGV�WKDW�RI�PDQXIDFWXUHU���E\�EHWZHHQ�������DQG�������

Page 204: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�� ]D � �� � ��

���� � � � ��� �� � ���

��

���� �� � ��

��

��

� �

� �

� �

� � � d � d � � �� �P P

���� � d � d� ��� � ���� �� �P P

����<HV��ZH�DUH�����FRQILGHQW�PDQXIDFWXUHU���SURGXFHV�\DUQ�ZLWK�KLJKHU�EUHDNLQJ�VWUHQJWK�E\�EHWZHHQ������� ��

DQG�������SVL�

F��7KH�UHVXOWV�RI�SDUWV�D��DQG�E��DUH�GLIIHUHQW�EHFDXVH�WKH�FRQILGHQFH�OHYHO�RU�]�YDOXH�XVHG�LV�GLIIHUHQW����

����:KLFK�RQH�LV�XVHG�GHSHQGV�XSRQ�WKH�OHYHO�RI�FRQILGHQFH�FRQVLGHUHG�DFFHSWDEOH�

����� D��D� ����� ]D � �� ���

����� � � � � �

Q]

(#

�#

DV V�

� �

� � �

� � ��

��� �� ��

���� �� ����Q� ���

E��D� ����� ]D � �� � ��

����� � � � � �

Q]

(#

�#

DV V�

� �

� � �

� � ��

� �� �� ��

���� �� ����Q� ���

F��$V�WKH�FRQILGHQFH�OHYHO�LQFUHDVHV��VDPSOH�VL]H�ZLOO�DOVR�LQFUHDVH�

G��D� ����� ]D � �� ���

����� � � � � �

Q]

(#

�#

DV V�

� �

� � �

� � ��

��� �� ��

� ����� �� ����Q� ����

H��D� ����� ]D � �� � ��

����� � � � � �

Q]

(#

�#

DV V�

� �

� � �

� � ��

� �� �� ��

� ������� ����Q� ���

I��$V�WKH�HUURU�GHFUHDVHV��WKH�UHTXLUHG�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHV�

����� D�����7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�SURSRUWLRQV�RI�FKLOGUHQ�ZKR�FRQWUDFW�SROLR��S����S��������+����S�� �S��������+����S��z�S��������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

]S S

S SQ Q

�� �

� �

�� �

� �§

©¨

·

¹¸

� �

� � ��

�������5HMHFW�+��LI�]���� �]D �� RU�]��!� ]D �� ��ZKHUH� ]D �� �����

������� � �S[

Q�

���

������� ����� �3ODFHER� � �S

[ [

Q Q

� � �

� �

� ������

��������� � �S[

Q�

��

������� ����� �9DFFLQH�

]�� ����� � �����

� ������ � � �������

������

������

��� �

� �§©̈

·¹̧

� �

� � � �

�������6LQFH������!������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKH�SURSRUWLRQ�RI�FKLOGUHQ�ZKR�FRQWUDFWHG�SROLR�LV� �

��������VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�DW�D� ������E��D� ���������5HMHFW�+��LI�]���� �]D �� RU�]��!� ]D �� ��ZKHUH� ]D �� ����

����]�� �����

����6LQFH������!�������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKH�SURSRUWLRQ�RI�FKLOGUHQ�ZKR�FRQWUDFWHG�SROLR�LV�GLIIHUHQW�DW

����D� ������F��7KH�FRQFOXVLRQV�DUH�WKH�VDPH�VLQFH�]��LV�VR�ODUJH�LW�H[FHHGV�]D���LQ�ERWK�FDVHV�

Page 205: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� � �S[

Q�

���

����� ��� � �S

[

Q�

���

����� ����

� �� �� � � � � � � �

�S S ]S S

Q

S S

Q� � �

� �

� �

� �� r

��

�D

D�� ] ]D � � �� � ��� ���

���� � �� ��� � ���� ���� ��� � ���

����

� ���� � ����

����� � �

� � � � � � � �� r �

���� � d � d� ���� � ����� �� �S S

����6LQFH�]HUR�LV�FRQWDLQHG�LQ�WKLV�LQWHUYDO��ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKHUH�LV�QR�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�

SURSRUWLRQ�RI�XQOLVWHG�QXPEHUV�LQ�WKH�WZR�FLWLHV�

E�� ] ]D � � �� � �� ���

���� � �� ��� � ���� ���� ��� � ���

����

����� � ����

����� � �

� � � � � � � �� r �

���� � d � d� ���� � ����� �� �S S

����$JDLQ��WKH�SURSRUWLRQ�RI�XQOLVWHG�QXPEHUV�LQ�WKH�WZR�FLWLHV�GR�QRW�GLIIHU�

F�� � �S[

Q�

���

����� ���

���� � �S[

Q�

���

����� ����

��������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

���� � �� ��� � ���� ���� ��� � ���

����

� ���� � ����

����� � �

� � � � � � � �� r �

���� � d � d� ���� � ����� �� �S S

��������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�

���� � �� ��� � ���� ���� ��� � ���

����

� ���� � ����

����� � �

� � � � � � � �� r �

���� � d � d� ���� � ����� �� �S S

����,QFUHDVLQJ�WKH�VDPSOH�VL]H�GHFUHDVHG�WKH�HUURU�DQG�ZLGWK�RI�WKH�FRQILGHQFH�LQWHUYDOV��EXW�GRHV�QRW�FKDQJH�

����WKH�FRQFOXVLRQV�GUDZQ���7KH�FRQFOXVLRQ�UHPDLQV�WKDW�WKHUH�LV�QR�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�

����� D�����7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�SURSRUWLRQV�RI�WKRVH�UHVLGHQWV�ZKR�ZHDU�D�VHDW�EHOW�UHJXODUO\��S����S��������+����S�� �S��������+����S��z�S��������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

]S S

S SQ Q

�� �

� �

�� �

� �§

©¨

·

¹¸

� �

� � ��

�������5HMHFW�+��LI�]���� �]D �� RU�]��!� ]D �� ��ZKHUH� ]� ���� �����

������� � �S[

Q�

���

������� � �S

[ [

Q Q

� � �

� �

����

��������� � �S[

Q�

���

���� ���

]����� � ���

���� � �����

���

���

� ��� �

� �§©̈

·¹̧

� �

� � � �

�������6LQFH����������������������GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�HYLGHQFH�LV�LQVXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�

��������WKHUH�LV�D�GLIIHUHQFH�LQ�VHDW�EHOW�XVDJH�D� ������

Page 206: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��D� ���������5HMHFW�+��LI�]���� �]D �� RU�]��!� ]D �� ��ZKHUH� ]� ��� �����

����]�� ������

����6LQFH�����������������������GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�HYLGHQFH�LV�LQVXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�WKHUH�

LV�D�GLIIHUHQFH�LQ�VHDW�EHOW�XVDJH�D� ������F��7KH�FRQFOXVLRQV�DUH�WKH�VDPH��EXW�ZLWK�GLIIHUHQW�OHYHOV�RI�FRQILGHQFH�

G��Q�� ������Q�� ���

����D� ���������5HMHFW�+��LI�]���� �]D �� RU�]��!� ]D �� ��ZKHUH� ]� ���� �����

���� ]����� � ���

���� � �����

���

���

���� �

� �§©̈

·¹̧

� �

� � � �

����6LQFH����������������������GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�HYLGHQFH�LV�LQVXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�WKHUH�LV�

D�GLIIHUHQFH�LQ�VHDW�EHOW�XVDJH�D� ����������D� ���������5HMHFW�+��LI�]���� �]D �� RU�]��!� ]D �� ��ZKHUH� ]� ��� �����

����]�� �����

����6LQFH�����������������������GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�HYLGHQFH�LV�LQVXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�WKHUH�

LV�D�GLIIHUHQFH�LQ�VHDW�EHOW�XVDJH�D� ����������$V�WKH�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVHG��WKH�WHVW�VWDWLVWLF�KDV�DOVR�LQFUHDVHG��VLQFH�WKH�GHQRPLQDWRU�RI�]��GHFUHDVHG���

����+RZHYHU��WKH�GHFUHDVH��RU�VDPSOH�VL]H�LQFUHDVH��ZDV�QRW�HQRXJK�WR�FKDQJH�RXU�FRQFOXVLRQ�

����� D��<HV��WKHUH�FRXOG�EH�VRPH�ELDV�LQ�WKH�UHVXOWV�GXH�WR�WKH�WHOHSKRQH�VXUYH\�

E��,I�LW�FRXOG�EH�VKRZQ�WKDW�WKHVH�SRSXODWLRQV�DUH�VLPLODU�WR�WKH�UHVSRQGHQWV��WKH�UHVXOWV�PD\�EH�H[WHQGHG�

������ D�����7KH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�SURSRUWLRQ�RI�OHQVHV�WKDW�DUH�XQVDWLVIDFWRU\�DIWHU�WXPEOH�SROLVKLQJ��S���

S�

�������+����S�� �S�

�������+����S��z�S�

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

]S S

S SQ Q

�� �

� �

�� �

� �§

©¨

·

¹¸

� �

� � ��

�������5HMHFW�+��LI�]���� �]D �� RU�]��!� ]D �� ��ZKHUH� ]D �� �����

�������[�� QXPEHU�RI�GHIHFWLYH�OHQVHV

�������� � �S[

Q�

��

�������� � �S

[ [

Q Q

� � �

� �

� ����

��������� � ��S[

Q�

���

���� ����

]������ � ����

� ���� � � �����

���

���

��� �

� �§©̈

·¹̧

�� �

� � � �

�������6LQFH���������������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�VWURQJ�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKH�WZR�

��������SROLVKLQJ�IOXLGV�DUH�GLIIHUHQW�

E��7KH�FRQFOXVLRQV�DUH�WKH�VDPH�ZKHWKHU�ZH�DQDO\]H�WKH�GDWD�XVLQJ�WKH�SURSRUWLRQ�XQVDWLVIDFWRU\�RU� �

SURSRUWLRQ�VDWLVIDFWRU\���7KH�SURSRUWLRQ�RI�GHIHFWLYHV�DUH�GLIIHUHQW�IRU�WKH�WZR�IOXLGV�

Page 207: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�����

���

Q

Q

� �� �

§

©¨̈

·

¹¸̧

����� � � � �� � �

���� � � �� � � � �

� � � �

� ���

� ���� �

��

�� � � �� � � �

� � � � � � � � �

� � � �

��

����� 7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV� P P� ���

+

+

� � �

� � �

P P

P P

!o

+

+

� � �

� � �

� �

� �

P P

P P

� !

/HW�Q�� �VL]H�RI�VDPSOH�� ;� �HVWLPDWH�IRU�P�

/HW�Q�� �VL]H�RI�VDPSOH�� ;� �HVWLPDWH�IRU��P�

; ;� ��� �LV�DQ�HVWLPDWH�IRU� P P� ���

7KH�YDULDQFH�LV�9� ; ;� ��� �� �9� ;� ����9�� ;� �� �V V�

Q Q�

7KH�WHVW�VWDWLVWLF�IRU�WKLV�K\SRWKHVLV�ZRXOG�WKHQ�EH�

=; ;

Q Q

�� �

� �

� �

� �

V V

:H�ZRXOG�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LI�]��!�]D����IRU�D�JLYHQ�OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

7KH�3�YDOXH�ZRXOG�EH�3�=�t�]����

����� +��� P P� �

+��� P P� �z

Q�� �Q�� Q

E� �����D� �����

$VVXPH�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�DQG�V V V�

� �

P P V

P P

V

V

V

� �

� �

� �

G_ _

)URP�&KDUW�9�H���Q � ���

QQ

�� �

�����

Q�� �Q�� ��

Page 208: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��1R�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� ��������

$YHUDJH� �����

������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

PHUFHGHV

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� �����

������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

YRONVZDJ

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

E��7KH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORWV�LQGLFDWH�WKDW�WKH�GDWD�IROORZ�QRUPDO�GLVWULEXWLRQV�VLQFH�WKH�GDWD�DSSHDU�WR�IDOO�

DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH���7KH�SORWV�DOVR�LQGLFDWH�WKDW�WKH�YDULDQFHV�FRXOG�EH�HTXDO�VLQFH�WKH�VORSHV�DSSHDU�WR�EH� ����WKH�VDPH�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� ��������

$YHUDJH� �����

��������������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

PHUFHGHV

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� �����

����������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

YRONVZDJ

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

F��%\�FRUUHFWLQJ�WKH�GDWD�SRLQWV��LW�LV�PRUH�DSSDUHQW�WKH�GDWD�IROORZ�QRUPDO�GLVWULEXWLRQV���$SSDUHQWO\��RQH�

����REVHUYDWLRQ�FDQ�FDXVH�DQ�DQDO\VW�WR�UHMHFW�WKH�QRUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�

G������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�WKH�UDWLR�RI�WKH�YDULDQFHV��V V9 0� ��

����

V I

V II

9

0

�� � � ���

�� � � ���

� � � ���

��� � ��

� ����� �

� ��� ���

� �

��

� � �

� � �� � �

���

V

VI

V

VI9

0

9

0

9

0

9

0

9

0

� � � � ���

� � � � ���

���

� ����� ���

���

� ����� ��

����� ��� ��

§

©¨̈

·

¹¸̧ � �

§

©¨̈

·

¹¸̧

§©̈

·¹̧

� �§©̈

·¹̧

� �

� � � � � �

��

��

� �

V

V

V

V

V

V

����6LQFH�WKH�LQWHUYDO�FRYHUV�D�UDQJH�ODUJHU�WKDQ���DQG�QRW�LQFOXGLQJ����ZH�DUH�����FRQILGHQW�WKDW�WKHUH�LV�

����HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�WKH�FODLP�WKDW�WKH�YDULDELOLW\�LQ�PLOHDJH�SHUIRUPDQFH�LV�JUHDWHU�IRU�D�9RONVZDJHQ�WKDQ�

IRU�D�0HUFHGHV�

Page 209: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���WKH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�YDULDQFHV�LQ�PLOHDJH�SHUIRUPDQFH�� V V��

���

�������+��� V V��

�� :KHUH�9RONVZDJHQ�LV�UHSUHVHQWHG�E\�YDULDQFH����0HUFHGHV�E\�YDULDQFH���

�������+��� V V��

��z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

�������5HMHFW�+��LI�I���� I� ��� � �� � � ZKHUH� I� ��� � �� � � � �

� ��� ���

� ��� � �I � � � ��

��������RU�I��!� I� ��� � �� � � ZKHUH� I� ��� � �� � � �����

�������V�� ����� V�� ������

��������Q�� ��� Q�� ���

I�

���

��������

� � �

� � ��

�������6LQFH�������!�������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKHUH�LV�D�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�9RONVZDJHQ�

��������DQG�0HUFHGHV�LQ�WHUPV�RI�PLOHDJH�YDULDELOLW\���6DPH�FRQFOXVLRQV�UHDFKHG�LQ�����G�

����� D��D� �������]D��� ������(� ����

����

Q]

(V V

Q

§©̈

·¹̧

§©̈

·¹̧

D � � �

�� � � �

� ����

��� � ��

�������� ������

����1HHG�Q� ����WR�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�WKDW�WKH�WZR�DJHQWV�GLIIHU�E\�����ZLWK�SUREDELOLW\�RI�DW�OHDVW�����

E��7KH�RULJLQDO�VL]H�RI�Q� ���LQ�([HUFLVH������ZDV�QRW�DSSURSULDWH�WR�GHWHFW�WKH�GLIIHUHQFH�VLQFH�LW�LV�QHFHVVDU\�

IRU�D�VDPSOH�VL]H�RI����WR�UHMHFW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�WKDW�WKH�WZR�DJHQWV�GLIIHU�E\�����ZLWK�SUREDELOLW\�RI�DW� ����OHDVW

�����

����� D��8QGHUO\LQJ�GLVWULEXWLRQV�DSSHDU�WR�EH�QRUPDO�VLQFH�WKH�GDWD�IDOO�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�RQ�WKH�QRUPDO�

����SUREDELOLW\��SORWV�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� �����

���������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

ULGJHFUH

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� ��������

$YHUDJH� �����

������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

YDOOH\YL

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����$�WHVW�RI�K\SRWKHVLV�FDQ�EH�FRQGXFWHG�WR�WHVW�IRU�HTXDOLW\�RI�YDULDQFHV�

�������WKH�SDUDPHWHUV�RI�LQWHUHVW�DUH�WKH�YDULDQFHV�RI�WKH�ILOO�YROXPHV��V V��

���

�������+��� V V��

��

�������+��� V V��

��z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

IV

V�

��

��

Page 210: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�������5HMHFW�+��LI�I���� I� ��� � �� � � ZKHUH� I� ��� � �� � � � �

� ��� ���

� ��� � �I � � � ��

��������RU�I��!� I� ��� � �� � � ZKHUH� I� ��� � �� � � �����

�������V�� ������ V�� ������

��������Q�� ��� Q�� ���

I�

����

����� ���

� � �

� � ��

�������6LQFH�����������������������GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKH�YDULDQFHV�DUH�QRW�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�DW�

D� ������E�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�YROXPHV�� P P� ��

�������+���� P P� � �� �RU� P P� �

�������+���� P P� � �� z �RU� P P� �z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

W[ [

VQ Q

S

�� �

� �

� �

� �

� � G

�������5HMHFW�+��LI�W���� �WD Q� �� RU�]��!� WD Q� �� ��ZKHUH� W WD Q� � � �� � ��� �� ������

������ [� ����� [� ����� VS �

� ���� � ����

�����

� �� � � � � ��

�������� V� ����� V� �����

������� Q� �� Q� ��

W���� � ���� �

����

��

��

� �� � �

�� � � �

�������6LQFH�����������������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKHUH�LV�D�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�PHDQ�ILOO�

��������YROXPHV�

����� ����D� �������]D��� ������(� ���

����

Q]

(V V

Q

§©̈

·¹̧

§©̈

·¹̧

D � � �

�� � � �

� ����

����� ����

�������� ������

����8VH�Q� ��

����6LQFH�LW�LV�QHFHVVDU\�WKDW�WKH�VDPSOH�VL]H�EH�DW�OHDVW���WR�GHWHFW�WKDW�WKH�WUXH�GLIIHUHQFH�LV�DV�PXFK�DV���IOXLG�

RXQFHV��WKH�VDPSOH�VL]HV�RI����IURP�HDFK�YLQH\DUG�GR�SURYLGH�JRRG�GHWHFWLRQ�FDSDELOLW\�ZKHQ�D� ������

Page 211: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��7KH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�DSSHDUV�WR�EH�YDOLG���7KLV�LV�HYLGHQW�E\�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�OLH�DORQJ�D�

����VWUDLJKW�OLQH�LQ�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� �6W'HY� �������

$YHUDJH� ���������

�������

����

���

���

���

���

���

���

���

����3UR

EDELOLW\

GLII

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

E�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�PHDQ�GLIIHUHQFH�LQ�WLS�KDUGQHVV��PG�������+��� PG �

�������+��� PG z �

�������1R�VLJQLILFDQFH�OHYHO��FDOFXODWH�3�YDOXH

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

� �

�������5HMHFW�+��LI�WKH�3�YDOXH�LV�VLJQLILFDQWO\�VPDOO�

������ G �� ����

�������V

Q

G

���

W�� ���

��� �����

� �

� ��

�������3�YDOXH� ��3�7����������� ��3�7�!�������� ����������3�YDOXH����������

�������3�YDOXH�������

��������6LQFH�WKH�3�YDOXH�LV�ODUJHU�WKDQ�DQ\�DFFHSWDEOH�OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH��GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKHUH�

LV�QR�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�WLS�KDUGQHVV�

F��E� �����

����

P

V

G

G

G

� �

��� ���

��

����)URP�&KDUW�9,�ZLWK�D� �������Q� ����FRXSRQV

Page 212: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D��$FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW�WKH�GDWD�DSSHDU�WR�IROORZ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ���7KLV�LV�HYLGHQW�

����E\�WKH�IDFW�WKDW�WKH�GDWD�IDOO�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� ��������

����������

����

���

���

���

���

���

���

���

����3UR

EDELOLW\

GLII

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

E�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�PHDQ�GLIIHUHQFH�LQ�GHSWK�XVLQJ�WKH�WZR�JDXJHV��PG�������+��� PG �

�������+��� PG z �

�������1R�VLJQLILFDQFH�OHYHO��FDOFXODWH�S�YDOXH

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

WG

V QG

� �

�������5HMHFW�+��LI�WKH�3�YDOXH�LV�VLJQLILFDQWO\�VPDOO�

������ G �����

�������V

Q

G

� ���

��

W�����

� ��� ��� ��

� ��

�������3�YDOXH� ��3�7�!������� ����������3�YDOXH

�������3�YDOXH

��������6LQFH�WKH�3�YDOXH�LV�ODUJHU�WKDQ�DQ\�DFFHSWDEOH�OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH��GR�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKHUH�

LV�QR�GLIIHUHQFH�LQ�PHDQ�GHSWK�PHDVXUHPHQWV�IRU�WKH�WZR�JDXJHV�

F��E� �����

����

P

V

G

G

G

���

���

���

� � ���� ��

� �

� � ��

����)URP�&KDUW�9,�ZLWK�D� ������DQG�����E� �������ZH�ILQG�Q� ����

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

����� 7KH�HVWLPDWH�RI�P�LV�JLYHQ�E\� ; ���7KHUHIRUH�� � �; ; ; ; � ��

�� � � ���7KH�YDULDQFH�RI� ; �FDQ�EH�VKRZQ�WR�

EH�� 9 ;Q Q Q

� � �§

©

¨¨

·

¹

¸¸�

��

V V V���8VLQJ�V���V���DQG�V��DV�HVWLPDWHV�IRU�V��V��DQG�V��UHVSHFWLYHO\�

D��$�������D���FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�P�LV�WKHQ�

���� ; =V

Q

V

Q

V

Q; =

V

Q

V

Q

V

Q� �

§

©

¨¨

·

¹

¸¸� d d � �

§

©

¨¨

·

¹

¸¸�

D DP� ��

��

Page 213: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��$�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�P�LV

����

� � � ��

�� � � � �� ���

��

���

� �

���

� �

���

�� � � � �� ���

��

���

� �

���

� �

���

�� ���� �� ����

���� ����

� � � � � �

� � � �� � �

� � � �� � �

� � � �

� �

� �§

©̈·¹̧� �

§

©¨¨

·

¹¸¸ � d d � �

§©̈

·¹̧� �

§

©¨¨

·

¹¸¸ �

� � d d � �

� d d �

P

P

P

����6LQFH�]HUR�LV�QRW�FRQWDLQHG�LQ�WKLV�LQWHUYDO��DQG�EHFDXVH�WKH�SRVVLEOH�GLIIHUHQFHV������������������DUH�

����QHJDWLYH��ZH�FDQ�FRQFOXGH�WKDW�WKHUH�LV�VXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�LQGLFDWH�WKDW�SHVWLFLGH�WKUHH�LV�PRUH�HIIHFWLYH�

������ 7KH� 9 ; ;Q Q

� �� ��

� �V V

�DQG�VXSSRVH�WKLV�LV�WR�HTXDO�D�FRQVWDQW�N��7KHQ��ZH�DUH�WR�PLQLPL]H�

& Q & Q� � � �� �VXEMHFW�WR�V V�

�Q QN� ��8VLQJ�D�/DJUDQJH�PXOWLSOLHU��ZH�PLQLPL]H�E\�VHWWLQJ�WKH�SDUWLDO�

GHULYDWLYHV�RI� I Q Q & Q & QQ Q

N� � � �� � � � � ��

O OV V

� � � �§

©

¨¨

·

¹

¸¸ �ZLWK�UHVSHFW�WR�Q���Q��DQG�O�HTXDO�WR�]HUR��

7KHVH�HTXDWLRQV�DUH

ww

OOV

QI Q Q &

Q�� � �

��� � � � � ���

ww

OOV

QI Q Q &

Q�� � �

��� � � � � ���

wwO

OV V

I Q QQ Q

N� � � �� ��

� ���

8SRQ�DGGLQJ�HTXDWLRQV�����DQG������ZH�REWDLQ�& &Q Q

� ��

�� � �§

©

¨¨

·

¹

¸¸ O

V V

6XEVWLWXWLQJ�IURP�HTXDWLRQ�����HQDEOHV�XV�WR�VROYH�IRU�O�WR�REWDLQ�& &

N

� �� O

7KHQ��HTXDWLRQV�����DQG�����DUH�VROYHG�IRU�Q��DQG�Q��WR�REWDLQ

Q& &

N&Q

& &

N&�

�� �

��

�� �

�V V� � � �

,W�FDQ�EH�YHULILHG�WKDW�WKLV�LV�D�PLQLPXP�DQG�WKDW�ZLWK�WKHVH�FKRLFHV�IRU�Q��DQG�Q��

9 ; ;Q Q

� �� ��

� �V V

������ 0D[LPL]LQJ�WKH�SUREDELOLW\�RI�UHMHFWLQJ�+ ��LV�HTXLYDOHQW�WR�PLQLPL]LQJ

3 ][ [

]

Q Q

� ��

� �

§

©

¨¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸¸�

D

V V

DP P G� � _�

� �� � �

��

��

� 3 ] = ]

Q Q Q Q

� � � � �

§

©

¨¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸¸� �

D

V V

D

V V

G G� �� �

ZKHUH�]�LV�D�VWDQGDUG�QRUPDO�UDQGRP�YDULDEOH��7KLV�SUREDELOLW\�LV�PLQLPL]HG�E\�PD[LPL]LQJ�G

V V��

��

�Q Q�

7KHUHIRUH��ZH�DUH�WR�PLQLPL]H�V V��

��

�Q Q� �VXEMHFW�WR�Q����Q�� �1�

Page 214: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

)URP�WKH�FRQVWUDLQW��Q�� �1���Q���DQG�ZH�DUH�WR�PLQLPL]H� I QQ 1 Q

� ����

��

� �

V V��7DNLQJ�WKH�GHULYDWLYH�RI

I�Q���ZLWK�UHVSHFW�WR�Q��DQG�VHWWLQJ�LW�HTXDO�WR�]HUR�UHVXOWV�LQ�WKH�HTXDWLRQ���

��

V V��

��

��

��

�Q 1 Q� �

8SRQ�VROYLQJ�IRU�Q���ZH�REWDLQ�Q1

��

� �

V

V V�DQG�Q

1�

� �

V

V V

$OVR��LW�FDQ�EH�YHULILHG�WKDW�WKH�VROXWLRQ�PLQLPL]HV�I�Q���

����� D��D H D H ! � � �3 = ] RU = ]� � �ZKHUH�=�KDV�D�VWDQGDUG�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�

7KHQ��D H D H DH D H ! � � � � � �3 = ] 3 = ]� � � �

E��E P P GD H H � � � ��3 ] = ]� _ �� � �

E P P GD HP

V

H

D HG

V

HG

V

HG

V

D HG

V

� � � �

� � � � �

� � � �

��

3 ] ]

3 ] = ]

] ]

[

Q

Q Q

Q Q

� _ �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� �

) )

����� 7KH�UHTXHVWHG�UHVXOW�FDQ�EH�REWDLQHG�IURP�GDWD�LQ�ZKLFK�WKH�SDLUV�DUH�YHU\�GLIIHUHQW��([DPSOH�

SDLU � � � � �

VDPSOH�� ��� �� �� �� ��

VDPSOH�� ��� �� �� �� ��

[� �� [� ��

V� ���� � V� �� �� � VSRROHG �� ���

7ZR�VDPSOH�W�WHVW�� W� � �� � � 3�YDOXH� �����

[G ��� VG � ����

3DLUHG�W�WHVW��� W� ���� � � 3�YDOXH�|��

����� +��

���V V

+��

���V Vz

E F D VFD V V V

V

VF D V

V

VFD V V

� � � � � z§

©

¨¨̈

·

¹

¸¸̧

� � � � � §

©

¨¨̈

·

¹

¸¸̧

3Q Q

3Q Q

Q 6

Q 6

� � ��

�� � �

���

��

��

�� � � �

��

��

��

�� � �

���

� �

� �

� � � �_

� � � �_

� �

� �

ZKHUH�� �Q 6� � �

��V

�KDV�D�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q���GHJUHHV�RI�IUHHGRP�

Page 215: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� +� ��

���V V

+� ��

���V Vz

ED D

V

VG

V

V D

V

V D

V

VG

V

V

� � �

� �� �

©

¨¨¨

·

¹

¸¸¸

� � �

� �� �

§

©

¨¨¨

·

¹

¸¸¸

3 IQ Q

6

6I

Q Q

3 IQ Q

6

6I

Q Q

� � � � � �� �

�� � � � � �

� ��

��

��

�� � � � � � �

��

��

��

��

��

�� � � � � �

��

��

� � � � � �_

� � � � � �_

ZKHUH�6

6

��

��

��

��

V

V

�KDV�DQ�)�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q������DQG�Q�������GHJUHHV�RI�IUHHGRP�

Page 216: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

&+$37(5���

6HFWLRQ�����

������ D� \ [L L � �E E H� � �

���6[[ �

��� ��

��������

����

���6[\ �

���� ��

�� ������

�� ���

���

� �

���

� �

��

� � � � �� � �

E

E E

� ������

����

�� ������

��������� ���

� ������� �� ���

� � �

6

6

\ [

[\

[[

E� � � �\ [L L �E E� �

��� � � � � � � �\ � �� ������ �������� � � �� ��

F� � � � � � � �\ � �� ������ � ������� �� �� ��

G� H \ \L L L � � � � � ���� �� �� � ��

����� D� \ [� � � � �E E

��� 6[[ � ������� ������������

� �

��� 6[\ � ������ ���������� �� ��

��� �

� �� � �

���

� �

��

� � � �� � ��

E

E

��� ����

������

������

������� �������

� ������� � �������

6

6

[\

[[

��� � � �\ [ �� ������� � �������

���

���

���

���

���

���

���

���

��� � �� ���

[

\

E� � � � � � �\ � � ������� � ������� �� � ������

F� � � � � � �\ � � ������� � ������� �� � �������

G� � �E� � �����

����� D� � � � � �\ [ � �� ������� � ������� ����

�� � � �

� � �

\ [

\ [

� �

� ������� � ������� ��������

� ������� � �������

E� � �E� � �����

Page 217: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�5HJUHVVLRQ $QDO\VLV � /LQHDU PRGHO� < D�E;

'HSHQGHQW YDULDEOH� *DPHV ,QGHSHQGHQW YDULDEOH� <DUGV

��������������������������������������������������������������������������������

6WDQGDUG 7 3URE�

3DUDPHWHU (VWLPDWH (UURU 9DOXH /HYHO

,QWHUFHSW ������� ������� ����� ������

6ORSH �������(�� �������(�� �������� ������

��������������������������������������������������������������������������������

$QDO\VLV RI 9DULDQFH

6RXUFH 6XP RI 6TXDUHV 'I 0HDQ 6TXDUH )�5DWLR 3URE� /HYHO

0RGHO ��������� � ��������� ������� ������

5HVLGXDO ��������� �� �������

��������������������������������������������������������������������������������

7RWDO �&RUU�� ��������� ��

&RUUHODWLRQ &RHIILFLHQW ��������� 5�VTXDUHG ����� SHUFHQW

6WQG� (UURU RI (VW� �������

���� ���� ���� ���� ���� ����

<DUGV

��

��

*DPHV

5HJUHVVLRQ RI *DPHV RQ <DUGV

����,I�WKH�FDOFXODWLRQV�ZHUH�WR�EH�GRQH�E\�KDQG�XVH�(TXDWLRQV��������DQG��������

E� � � � � � �\ � ������ � ������� ���� ����

F������������������� ���������JDPHV�ZRQ�

G��

� ���������� ��

�� �\GV�GHFUHDVH�UHTXLUHG�

H� � � � � � �\ � ������ � ������� ���� � ���

����H \ \L L L �

� ��� � ��� ����

����� D�5HJUHVVLRQ $QDO\VLV � /LQHDU PRGHO� < D�E;

'HSHQGHQW YDULDEOH� 6DOH3ULFH ,QGHSHQGHQW YDULDEOH� 7D[HV

��������������������������������������������������������������������������������

6WDQGDUG 7 3URE�

3DUDPHWHU (VWLPDWH (UURU 9DOXH /HYHO

,QWHUFHSW ������� ������� ������� ������

6ORSH ������� �������� ����� ������

��������������������������������������������������������������������������������

$QDO\VLV RI 9DULDQFH

6RXUFH 6XP RI 6TXDUHV 'I 0HDQ 6TXDUH )�5DWLR 3URE� /HYHO

0RGHO ��������� � ��������� ������� ������

5HVLGXDO ��������� �� �������

��������������������������������������������������������������������������������

7RWDO �&RUU�� ��������� ��

&RUUHODWLRQ &RHIILFLHQW �������� 5�VTXDUHG ����� SHUFHQW

6WQG� (UURU RI (VW� �������

����,I�WKH�FDOFXODWLRQV�ZHUH�WR�EH�GRQH�E\�KDQG�XVH�(TXDWLRQV��������DQG��������

��� � � �\ [ ������� ������

Page 218: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E� � � � � � � �\ � ������ ������ � � �� ���

F� � � � � � � �\ � ������ ������ ����� �� ����

���� �

� �

\

H \ \

� �

�� ����

� �����

G��$OO�WKH�SRLQWV�ZRXOG�OLH�DORQJ�WKH�����D[LV�OLQH��7KDW�LV��WKH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�ZRXOG�HVWLPDWH�WKH�YDOXHV�

H[DFWO\��$W�WKLV�SRLQW��WKH�JUDSK�RI�REVHUYHG�YV��SUHGLFWHG�ORRNV�OLNH�D�UHDVRQDEOH�ILW�

�� �� �� �� �� ��

2EVHUYHG

��

��

��

��

��

��

3UHGLFWHG

3ORW RI 2EVHUYHG YDOXHV YHUVXV SUHGLFWHG

����� D�5HJUHVVLRQ $QDO\VLV � /LQHDU PRGHO� < D�E;

'HSHQGHQW YDULDEOH� 8VDJH ,QGHSHQGHQW YDULDEOH� 7HPSHUDWXUH

��������������������������������������������������������������������������������

6WDQGDUG 7 3URE�

3DUDPHWHU (VWLPDWH (UURU 9DOXH /HYHO

,QWHUFHSW ������� ������� �������� ������

6ORSH ������� ��������� ������� ������

��������������������������������������������������������������������������������

$QDO\VLV RI 9DULDQFH

6RXUFH 6XP RI 6TXDUHV 'I 0HDQ 6TXDUH )�5DWLR 3URE� /HYHO

0RGHO ��������� � ��������� ������� ������

5HVLGXDO ��������� �� ��������

��������������������������������������������������������������������������������

7RWDO �&RUU�� ��������� ��

&RUUHODWLRQ &RHIILFLHQW �������� 5�VTXDUHG ����� SHUFHQW

6WQG� (UURU RI (VW� �������

����,I�WKH�FDOFXODWLRQV�ZHUH�WR�EH�GRQH�E\�KDQG�XVH�(TXDWLRQV��������DQG��������

��� � � �\ [ � �� ���� � �����

E� � � � � � �\ � � � ���� � ����� �� ������

F��,I�PRQWKO\�WHPSHUDWXUH�LQFUHDVHV�E\� �$)� �\ �LQFUHDVHV�E\���������

G� � � � � � �\ � � � ���� � ����� �� ��� ���

��� � �\ ��� ���

��� H \ \ � � �� � � ���� �� ��� ��� ����

������ Predictor Coef StDev T PConstant 33.535 2.614 12.83 0.000x -0.03540 0.01663 -2.13 0.047S = 3.660 R-Sq = 20.1% R-Sq(adj) = 15.7%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 60.69 60.69 4.53 0.047Error 18 241.06 13.39Total 19 301.75

Page 219: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

D�� � � �\ [ ��� ���� � �������

E� � � � � � �\ � �� ���� � ���������� �� ��

F� � �\ �� ����

��� H \ \ � � � � � ���� �� ���� ������

����� D�

����������

��

��

��

[

\

Predictor Coef StDev T PConstant -16.509 9.843 -1.68 0.122x 0.06936 0.01045 6.64 0.000S = 2.706 R-Sq = 80.0% R-Sq(adj) = 78.2%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 322.50 322.50 44.03 0.000Error 11 80.57 7.32Total 12 403.08

���� � � �\ [ � ��� ���� � �������

E�� � �\ �� ���� H \ \ � � �������

F�� � � � � � �\ � � �� ���� � ������� ��� �� ��

����� D�

�����������

[

\

<HV��D�OLQHDU�UHJUHVVLRQ�ZRXOG�VHHP�DSSURSULDWH��EXW�RQH�RU�WZR�SRLQWV�DSSHDU�WR�EH�RXWOLHUV�Predictor Coef StDev T PConstant -9.813 2.135 -4.60 0.000x 0.17148 0.02566 6.68 0.000S = 1.408 R-Sq = 71.3% R-Sq(adj) = 69.7%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 88.520 88.520 44.66 0.000Error 18 35.680 1.982Total 19 124.200

E�� � � �\ [ � �� ���� �������

F�� � �\ ������ �DW�[� ���

Page 220: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�

���������

���

���

���

���

[\

����<HV

Predictor Coef StDev T PConstant 234.07 13.75 17.03 0.000x -3.5086 0.4911 -7.14 0.000S = 19.96 R-Sq = 87.9% R-Sq(adj) = 86.2%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 20329 20329 51.04 0.000Error 7 2788 398Total 8 23117

E�� � � �\ [ ���� ��� � �����

F�� � � � � � �\ � ��� ��� � ����� �� ��� ���

G�� � � �\ H ��� ��� ������

������ D�

������������������������������

��

��

��

��

[

\

����<HVPredictor Coef StDev T PConstant 0.470 1.936 0.24 0.811x 20.567 2.142 9.60 0.000S = 3.716 R-Sq = 85.2% R-Sq(adj) = 84.3%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 1273.5 1273.5 92.22 0.000Error 16 220.9 13.8Total 17 1494.5

E� � � �\ [ �� ������ �� ����

F� � � � � � �\ � � ������ �� ���� � �����

G� � � �\ H ������ �����

Page 221: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�

����������

����

����

����

[\

����<HVPredictor Coef StDev T PConstant 2625.39 45.35 57.90 0.000x -36.962 2.967 -12.46 0.000S = 99.05 R-Sq = 89.6% R-Sq(adj) = 89.0%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 1522819 1522819 155.21 0.000Error 18 176602 9811Total 19 1699421

E�� � � �\ [ ����� �� �� ����

F�� � � � � � �\ � ���� �� �� ���� �� �������

G��,I�WKHUH�ZHUH�QR�HUURU��WKH�YDOXHV�ZRXOG�DOO�OLH�DORQJ�WKH���$D[LV���7KH�SORW�LQGLFDWHV�DJH�ZDV�UHDVRQDEOH

����UHJUHVVRU�YDULDEOH�

������ � � � � � �E E E E� � � �� � � [ \ [ [ \

������ D���7KH�VORSHV�RI�ERWK�UHJUHVVLRQ�PRGHOV�ZLOO�EH�WKH�VDPH��EXW�WKH�LQWHUFHSW�ZLOO�EH�VKLIWHG�

E�� � � �\ [ ������� �� ����

� �

� �

E

E

���� ��

�� ����

�YV�

� �

� �

E

E

������

�� ����

������ /HW� [ [ [L L � ��7KHQ��WKH�PRGHO�LV� < [L L L

� �E E H� � �

(TXDWLRQV������DQG������FDQ�EH�DSSOLHG�WR�WKH�QHZ�YDULDEOHV�XVLQJ�WKH�IDFWV�WKDW�L

Q

L

L

Q

L[ \

¦ ¦ � �

� ��7KHQ�

� �E E� � �DQG� �E� � �

������ 7KH�OHDVW�VTXDUHV�HVWLPDWH�PLQLPL]HV� � �\ [L L�¦ E � ��8SRQ�VHWWLQJ�WKH�GHULYDWLYH�HTXDO�WR�]HUR��ZH�REWDLQ�

� � ��

� � � � > @\ [ [ \ [ [L L L L L L�¦ � ¦ � ¦ E E

7KHUHIRUH�� �E ¦

¦

\ [

[

L L

L�

������ � �\ [ �������� ���7KH�PRGHO�VHHPV�YHU\�DSSURSULDWH���DQ�HYHQ�EHWWHU�ILW�

Page 222: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ�����

������� D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�UHJUHVVRU�YDULDEOH�FRHIILFLHQW��E�

������ +� � ��E

������ +� � ��E z

�������D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

I06

06

66

66 Q

5

(

5

(�

� � �

�������5HMHFW�+��LI�I��!�ID������ZKHUH�I���������� �����

�������8VLQJ�UHVXOWV�IURP�([HUFLVH����

���������

66 6

66 6 66

5 [\

( \\ 5

� �

� � � � �

� �

E� � ������� �� ������

��� ��

��� ����� ��� �����

�����

������� I���� ��

����� ���� ��

� ��

�������6LQFH�������!������UHMHFW� + � �DQG�FRQFOXGH�WKDW�FRPSUHVVLYH�VWUHQJWK�LV�D�VLJQLILFDQW�LQ�SUHGLFWLQJ

��������LQWULQVLF�SHUPHDELOLW\�RI�FRQFUHWH�DW��D� �������:H�FDQ�WKHUHIRUH�FRQFOXGH�PRGHO�VSHFLILHV�D�XVHIXO�OLQHDU

��������UHODWLRQVKLS�EHWZHHQ�WKHVH�WZR�YDULDEOHV�

�������� 3 YDOXH� # � �������

E�� ��

�V�

�����

������

� 06

66

Q(

(

������ D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�UHJUHVVRU�YDULDEOH�FRHIILFLHQW��E��

������ +� � ��E

�� +� � ��E z

���D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

I06

06

66

66 Q

5

(

5

(�

� � �

�������5HMHFW�+��LI�I��!�ID������ZKHUH�I���������� ������

�����8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�([HUFLVH����

����

66 6

66 6 66

5 [\

( \\ 5

� �

� � � �� � �

� � � �

E�

�� ����

� ������� ������

�����

��� �����

�������

I������

������� ������

� ��

�����6LQFH�������!��������UHMHFW� + � DQG�FRQFOXGH�WKH�PRGHO�VSHFLILHV�D�XVHIXO�UHODWLRQVKLS�DW�D� ������

3 YDOXH� # � �������

E�� ��

�V�

�������

��� �����

� 06

66

Q(

(

Page 223: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��5HIHU�WR�$129$�WDEOH�RI�([HUFLVH������

�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�UHJUHVVRU�YDULDEOH�FRHIILFLHQW��E��

����� +� � ��E

����� +� � ��E z

�����D� ������������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV

I06

06

66

66 Q

5

(

5

(�

� � �

�������5HMHFW�+��LI�I��!�ID������ZKHUH�I���������� ������

�����8VLQJ�WKH�UHVXOWV�RI�([HUFLVH�����

I06

06

5

(� ������ �

�����6LQFH���������!�������UHMHFW� +� DQG�FRQFOXGH�WKH�PRGHO�LV�XVHIXO�DW�D� �������� 3 YDOXH� � �������

E�� � �V� ������ 06(

F���� +� � ��E

������ +� � ��E z

�������D� �����

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV� WVH

��

� � �

E

E

�������5HMHFW�+��LI��W�����WD���Q���ZKHUH��W��������� �������RU�W��!�W��������� ������������8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�([HUFLVH�����

� W�� �������

� ������������

� �

��

�������6LQFH����������������UHMHFW� + � DQG�FRQFOXGH�WKH�UHJUHVVRU�LV�XVHIXO�LQ�WKH�PRGHO�DW�D� ������

������ 5HIHU�WR�$129$�RI�([HUFLVH�����

D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�UHJUHVVRU�YDULDEOH�FRHIILFLHQW��E��

������� +� � ��E

��� +� � ��E z

���D� �������XVLQJ�W�WHVW

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV WVH

��

� � �

E

E

�������5HMHFW�+��LI��W�����WD���Q���ZKHUH��W��������� ��������RU�W��!�W��������� �������������8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�([HUFLVH�����

W�������

� ����������

��

����6LQFH�������!�������UHMHFW + � �DQG�FRQFOXGH�WKH�PRGHO�LV�XVHIXO�D� ������

E���� +� � ��E

�� +� � ��E z

���D� �����

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV� I06

06

66

66 Q

5

(

5

(�

� � �

���5HMHFW�+��LI�I��!�ID������ZKHUH�I���������� ������

���8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�([HUFLVH�����

� I��������� �

��� ����� ���� ����

� �

� ��

���6LQFH���������!��������UHMHFW + � DQG�FRQFOXGH�WKH�PRGHO�LV�XVHIXO�D� ������

����7KH�)�WHVW�LV�WKH�W�WHVW�VTXDUHG��EXW�LW�LV�UHVWULFWHG�WR�D�WZR�VLGHG�WHVW�

F�� � �V� � �����

Page 224: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 5HIHU�WR�$129$�IRU�([HUFLVH�����

D�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�UHJUHVVRU�YDULDEOH�FRHIILFLHQW�� E��

������� +� � ��E

����� +� � ��E z

�����D� �����

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV� I06

06

66

66 Q

5

(

5

(�

� � �

���5HMHFW�+��LI�I��!�ID������ZKHUH�I���������� �������

���8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�([HUFLVH�����

I��������� �

�� ������ ������� �

� �

� ��

���6LQFH���������!���������UHMHFW + � DQG�FRQFOXGH�WKH�PRGHO�LV�XVHIXO�D� ��������3�YDOXH�����������

E��06(� �66(��Q���S�� � �V� ������ F�����7KH�SDUDPHWHU�RI�LQWHUHVW�LV�WKH�UHJUHVVRU�YDULDEOH�FRHIILFLHQW�� E��

������ +� � ���E

���� +� � ���E z

�����D� �����

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV� WVH

�� � �

��

� � �

�E E

E

�������5HMHFW�+��LI��W�����WD���Q���ZKHUH��W��������� �������RU�W��!�W��������� ������������8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�([HUFLVH�����

� W�� �� ��

� ��������

� �

��

����6LQFH����������������UHMHFW + � �DQG�FRQFOXGH�WKH�UHJUHVVRU�LV�XVHIXO�DW�D� ��������3�YDOXH� ���

������ �5HIHU�WR�$129$�WDEOH�RI�([HUFLVH�����D��+� � ��E

+� � ��E z ��D� �����

I

I

I I

�����

� ���

� �����

� ���

�!

�� � �

� �D

7KHUHIRUH��GR�QRW�UHMHFW�+���3�YDOXH� �����������,QVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�FRQFOXGH�WKDW�WKH�PRGHO�LV�D�XVHIXO

UHODWLRQVKLS�

E�� � � �V 06( �� ����� � ����

���� VH� � � �E� � �������

���� VH� � � �E� ������

F��+� � � ��� �E �

+� � � ��� �E � � ��D� �����

W

W

W W

����

� ��

� ���� � ��

� �������� �����

����

� � �

�� �

� � � �

��

�� �

�D

7KHUHIRUH��GR�QRW�UHMHFW+���3�YDOXH� ������������,QVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�FRQFOXGH�WKDW� E� �LV�t�������

G��+� � ��E ��+� � ��E z ���D� �����

W

W

W W

��� ��

� ���

�� ����

� ���

!

�� �

� �D

7KHUHIRUH��UHMHFW+����3�YDOXH� ��

Page 225: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 5HIHU�WR�$129$�RI�([HUFLVH�����

D��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����I

I

I I

�����

� ���

�� ����

� ��

!

�� � �

� �D

7KHUHIRUH��UHMHFW+���3�YDOXH� ���������

E�� � � �V 06( � ������ �����

���� VH� � � �E� � �������

���� VH� � � �E� � �����

F��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����W

W

W W

�����

� ���

������

����

�� �

_ _

� �

� �D

7KHUHIRUH��GR�QRW�UHMHFW+���3�YDOXH� ���������

������ 5HIHU�WR�$129$�RI�([HUFLVH�����

D��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����I

I

I I

�� ���

� ���

�� ����

� ���

!

�� � �

� �D

7KHUHIRUH��UHMHFW+���3�YDOXH� ����������

E�� � �V� �������

F�� VH� � � �E� � �������

���� VH� � � �E� ������

G��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����W

W

W W

�����

� ���

� �����

����

!

_ _

� �

� �D

���7KHUHIRUH��UHMHFW�+���3�YDOXH� ���������

������ 5HIHU�WR�$129$�RI�([HUFLVH������

D��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����I

I

I I

�����

� ���

�����

� ���

!

�� � �

� �D

7KHUHIRUH��UHMHFW�+� �

Page 226: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��3�YDOXH����������

F�� � �V� �� �����

���� VH� � � �E� ������

���� VH� � � �E� ������

G��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����W

W

W W

�����

� ���

� ���

����

�!

�� �

� �D

7KHUHIRUH��GR�QRW�UHMHFW+���&RQFOXGH��<HV��WKH�LQWHUFHSW�VKRXOG�EH�UHPRYHG�

������ 5HIHU�WR�$129$�RI�([HUFLVH������

D��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����I

I

I I

�����

� ���

���

� ���

!

� � �

� �

D

7KHUHIRUH��UHMHFW+���3�YDOXH�����������

E�� � �V� ������

���� VH� � � �E� �� ����

���� VH� � � �E� ������

F��+� � ���E �

+� � ���E z �

D� �����

W

W

W W

�����

� ���

�� ���� ��

������� ����

����

� � �

�! �

� � �

��

_ _

� �

� �D

7KHUHIRUH��GR�QRW�UHMHFW+���3�YDOXH� ����������� ��������

G��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����W

W

�����

�� ����

� ���

�� �

���� W W� ���!D � � ��WKHUHIRUH��UHMHFW+���3�YDOXH�����������

H��+� � �����E

+� � �����E z

D� �����

W

W

�����

���� �� ����

�� ���������

����

��

�� �

���� W W� ����D � � ��WKHUHIRUH��GR�QRW�UHMHFW�+� ��3�YDOXH� ����������� ��������

Page 227: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ W

6[[

��

� �

E

V

��$IWHU�WKH�WUDQVIRUPDWLRQ� � �E E� �

E

D��6 D 6[[ [[

� �� [ D[ E � � �E E� ���DQG�

� �V V E ��7KHUHIRUH�� WE D

E D 6

W

[[

��

� ��

� �

� � � �

E

V

������ D���

E

V�

�[L¦

�KDV�D�W�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q���GHJUHH�RI�IUHHGRP�

E��)URP�([HUFLVH�������� � � � � � �E V �������� � ������ �DQG� [L� ������¦ � �

����7KH�W�VWDWLVWLF�LQ�SDUW�D��LV���������DQG�+� � ��E �LV�UHMHFWHG�DW�XVXDO�D�YDOXHV�

������ G � � �

_ � � � �_

� �� � ���

� �

� ����

���������

� 6[[ ���������� �

$VVXPH�D� �������IURP�&KDUW�9,�DQG�LQWHUSRODWLQJ�EHWZHHQ�WKH�FXUYHV�IRU�Q� ����DQG�Q� �����E # � ��� �

6HFWLRQV������DQG�����

������ ����WD���Q��� �W��������� ������

D������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�E� �

���

� � � �

� � � �

� � � � �

� �

� �

� �

E E

E

D� � � �

��� ��

� ������� � ����

� ������� ���� � ����

� ������ ��������

r

� r

� r

� d d �

�W VH

W

Q

E������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�E� �

����

� � � �

� � � � �

� �

� �E E

E

� ��� �� �

�� ������ ���� �����

�� ������ �� ������

r

r

d d

W VH

F������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�P�ZKHQ� [� � � � �

���

� � � � � � �

� � � �

� � � � � � �

� �

� � �

_

_ � �� �

� � � �

_

P

P V

P

< [

< [ Q

[ [

6

< [

W[[

�� ������ � ������� � � ��������

�������� ���� ����

�������� � ������

�������� ��������

��� ��� �

���

� � �����

�� ������

r �

r �

r

d d

G������RQ�SUHGLFWLRQ�LQWHUYDO�ZKHQ� [� � � � �

���

� � � �

� � � � �

� �

� �

� �� �

� � � �

\ W

\

Q

[ [

6[[� ��� ��

� �

���

� � �����

�� ������

�������� ���� ���� �

�������� ��������

�� ������ ��������

r � �

r � �

r

d d

V

����,W�LV�ZLGHU��EHFDXVH�LW�GHSHQGV�RQ�ERWK�WKH�HUURU�DVVRFLDWHG�ZLWK�WKH�ILWWHG�PRGHO�DV�ZHOO�DV�WKDW�ZLWK�WKH

����IXWXUH�REVHUYDWLRQ�

Page 228: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ ����WD���Q��� �W��������� ������

D� � �� � � �� �E E� � ��� �� �r W VH �

���� ������� � ��� � ������

� ������� � ��������

� � � �� � �

� �

r

d dE

E�� � �� � � �� �E E� � ��� �� �r W VH �

����� ������� � ��� � �����

� ������� � ��������

� � � �� � �

� �

r

d dE

F������FRQILGHQFH�LQWHUYDO�RQ�P�ZKHQ� [ )� �� $ �

� �

� � � �

� � � � � � �

� �

� � �

_

_ � �� �

� � �

_

P

P V

P

< [

< [ Q

[ [

6

< [

W[[

� ������

� ������ � ��� � �����

� ������ � �������

� ������� � �������

��� ��� �

���

�� �� �

������

r �

r �

r

d d

G������SUHGLFWLRQ�LQWHUYDO�ZKHQ� [ )� �� $ �

� �

� � � �

� � � � �

� �

� �

� �� �

� � �

\

\ W

\

Q

[ [

6[[

� ��� ��� �

���

�� �� �

������

� �������

� ������� � ��� � ����� �

� ������� � �������

� ������� � �������

r � �

r � �

r

d d

V

1RWH�IRU�3UREOHPV�������WKURXJK�����������7KHVH�FRPSXWHU�SULQWRXWV�ZHUH�REWDLQHG�IURP�6WDWJUDSKLFV���)RU�0LQLWDE

XVHUV��WKH�VWDQGDUG�HUURUV�DUH�REWDLQHG�IURP�WKH�5HJUHVVLRQ�VXEURXWLQH�

�������� SHUFHQW FRQILGHQFH LQWHUYDOV IRU FRHIILFLHQW HVWLPDWHV

��������������������������������������������������������������������������������

(VWLPDWH 6WDQGDUG HUURU /RZHU /LPLW 8SSHU /LPLW

&2167$17 ������� ������� ������� �������

<DUGV �������� ������� �������� ��������

��������������������������������������������������������������������������������

D�����������d�E��d�����������������������d�E��d���������

E�� ���� � ��� ������ ���

���� ������

��������

� � � � � � �� � �

�r � �

����� ��� ��������

� ����� �� ������

� �

� � �_

r

d dP< [

F�� ���� � ��� ������ � ���

���� ������

��������

� � � � � � �� � �

�r � � �

����� ��� ������

� ����� �� ������

� �

� �

r

d d\

Page 229: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�������� SHUFHQW FRQILGHQFH LQWHUYDOV IRU FRHIILFLHQW HVWLPDWHV

��������������������������������������������������������������������������������

(VWLPDWH 6WDQGDUG HUURU /RZHU /LPLW 8SSHU /LPLW

&2167$17 ������� ������� ������� �������

7D[HV ������� ������� ������� �������

��������������������������������������������������������������������������������

D����������d�E��d��������������������d�E��d���������

E�� �� ��� � ��� � ����� ���

� � � �����

�� ������

� � � � � � �� � � �

�r � �

������ ��� �����

�� ���� �� �����

� �

� � �_

r

d dP< [

F�� �� ��� � ��� � ����� � ���

� � � �����

�� ������

� � � � � � �� � � �

�r � � �

������ ��� � ����

������ �� �����

� �

� �

r

d d\

�������� SHUFHQW FRQILGHQFH LQWHUYDOV IRU FRHIILFLHQW HVWLPDWHV

��������������������������������������������������������������������������������

(VWLPDWH 6WDQGDUG HUURU /RZHU /LPLW 8SSHU /LPLW

&2167$17 �������� ������� �������� ��������

7HPSHUDWXUH ������� ������� ������� �������

��������������������������������������������������������������������������������

D����������d�E��d��������E�����������d�E��d���������

F�� ������ � ��� ������� ���

�� �� �

���� ����

� � � � � � �� � �

�r � �

���������� ��������

��� ����� ���������

� �

� � �_

r

d dP< [

G�� ������ � ��� ������� � ���

�� �� �

���� ����

� � � � � � �� � �

�r � � �

���� ���������� � �������

�������� �� ������

� �

� �

r

d d\

����,W�LV�ZLGHU�EHFDXVH�PRUH�HUURU�LV�LQFOXGHG���ERWK�IURP�WKH�ILWWHG�PRGHO�DQG�IURP�WKDW�DVVRFLDWHG�ZLWK�WKH�

����IXWXUH�REVHUYDWLRQ�

������ D����������������������

E��������������������

F�� �� �� ���� �� ������

���

��� ��� �

����� ���� � � � � � �

� � �

�r �

������ �� ��������

�� ���� �� ����

� �

� � � � �

r

G�� �� �� ���� �� ����� ��

���

��� ��� �

����� ���� � � � � � �

� � �

�r � � �

������ �� � �����

�� ���� ������

� �

� � � � �

r

Page 230: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�������������������� E���������������������

F�� �� ���� ���� � �������

���

��� ���

����� ��� � � � � � �

� �

�r � �

������ ���� �������

�� ���� ������

� �

� � � � �

r

G�� �� ���� ���� � ��������

���

��� ���

����� ��� � � � � � �

� �

�r � �

������ ���� �������

�� ���� �� ����

� �

� � � � �

r

������ D�������������������� E����������������������

F�� ������ ���� ��������

��

�� �� �

���� ����� � � � � � �

� � �

�r �

���������� � �������

� ���� � ����

� �

� � � � �

r

G�� ������ ���� ���������

��

�� �� �

���� ����� � � � � � �

� � �

�r � �

���������� � �������

����������

� �

� � � � �

r

������ D�������������������� E����������������������

F����� ��� ���� ��� �����

�� �� �

��������� � � � � � �

� � �

�r �

������� ��� �� ������

���������� ����

� �

� � � � �

r

������ D�������������������� E���������������������

F�� ����� � ��� �� �����

���

� � ������

� ������ � � � � � �

� � �

�r �

��������� � �������

�� ���� �� ����

� �

� � � � �

r

G�� ����� � ��� �� ���� ��

��

� � ������

� ������ � � � � � �

� � �

�r � �

��������� ��������

� ����������

� �

� � � � �

r

������ D����������������������� E��������������������

F��������� ���� �������

���

�� �� ����

���� ����� � � � � � �

� � �

�r � �

����������� ��������

������������ ����

� �

� � � � �

r

G��������� ���� ��������

��

�� �� ����

���� ����� � � � � � �

� � �

�r � �

����������� ��� �����

���� ���� ���� ����

� �

� � � � �

r

Page 231: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ�����

������ 8VH�WKH�UHVXOWV�RI�([HUFLVH������WR�DQVZHU�WKH�IROORZLQJ�TXHVWLRQV�

D� 5� ������� � ��7KH�SURSRUWLRQ�RI�YDULDELOLW\�H[SODLQHG�E\�WKH�PRGHO�

���� 5$GM� �

�������� ��

��� ����� ��� � ��� ���� � �

� �

� �� �

E��<HV��QRUPDOLW\�VHHPV�WR�EH�VDWLVILHG�VLQFH�WKH�GDWD�DSSHDU�WR�IDOO�DORQJ�WKH�VWUDLJKW�OLQH�

���� ���� ��� ��� ��� ���

5HVLGXDOV

1RUPDO 3 UREDELOLW\ 3 ORW

���

��

��

��

��

��

����

FXPXO�

SHUFHQW

F��6LQFH�WKH�UHVLGXDOV�SORWV�DSSHDU�WR�EH�UDQGRP��WKH�SORWV�GR�QRW�LQFOXGH�DQ\�VHULRXV�PRGHO�LQDGHTXDFLHV�

���� ���� ���� ���� ���� ����

<DUGV

����

����

���

���

���

���

5HVLGXDOV

5HJUHVVLRQ RI *DPHV RQ <DUGV

� � � � � �� ��

3UHGLFWHG 9DOXHV

����

����

���

���

���

���

5HVLGXDOV

5HVLGXDOV YV� 3UHGLFWHG 9DOXHV

������ ����8VH�WKH�5HVXOWV�RI�H[HUFLVH������WR�DQVZHU�WKH�IROORZLQJ�TXHVWLRQV�

D��6DOH3ULFH 7D[HV 3UHGLFWHG 5HVLGXDOV

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� ����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� ����������

���� ������ ���������� ����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� ����������

���� ������ ���������� ����������

���� ������ ���������� ����������

���� ������ ���������� ����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� ����������

���� ������ ���������� ����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� �����������

���� ������ ���������� ����������

Page 232: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��$VVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�GRHV�QRW�VHHP�WR�EH�YLRODWHG�VLQFH�WKH�GDWD�DSSHDU�WR�IDOO�DORQJ�D�VWUDLJKW�OLQH�

�� �� � � � � �

5HVLGXDOV

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

FXPXODWLYHSHUFHQW

F��1R�VHULRXV�GHSDUWXUH�IURP�DVVXPSWLRQ�RI�FRQVWDQW�YDULDQFH��7KLV�LV�HYLGHQW�E\�WKH�UDQGRP�SDWWHUQ�RI�WKH�

����UHVLGXDOV�

�� �� �� �� �� �� ��

3UHGLFWHG 9DOXHV

��

��

5HVLGXDOV

3ORW RI 5HVLGXDOV YHUVXV 3UHGLFWHG

��� ��� ��� ��� ��� ��� ���

7D[HV

��

��

5HVLGXDOV

3ORW RI 5HVLGXDOV YHUVXV 7D[HV

G�� 5� �� ���{ � �

������ 8VH�WKH�UHVXOWV�RI�([HUFLVH������WR�DQVZHU�WKH�IROORZLQJ�TXHVWLRQV

D�� 5� �� ���� � ��7KH�SURSRUWLRQ�RI�YDULDELOLW\�H[SODLQHG�E\�WKH�PRGHO�

E��<HV��QRUPDOLW\�VHHPV�WR�EH�VDWLVILHG�VLQFH�WKH�GDWD�DSSHDU�WR�IDOO�DORQJ�WKH�VWUDLJKW�OLQH�

���� ���� ��� ��� ���

5HVLGXDOV

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

���

��

��

��

��

��

����

FXPXODWLYHSHUFHQW

Page 233: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F��7KHUH�PLJKW�EH�ORZHU�YDULDQFH�DW�WKH�PLGGOH�VHWWLQJV�RI�[��+RZHYHU��WKLV�GDWD�GRHV�QRW�LQGLFDWH�D�VHULRXV�

����GHSDUWXUH�IURP�WKH�DVVXPSWLRQV�

��� ��� ��� ��� ��� ���

3UHGLFWHG 9DOXHV

����

����

���

���

���

5HVLGXDOV

3ORW RI 5HVLGXDOV YHUVXV 3UHGLFWHG

�� �� �� �� �� �� ��

7HPSHUDWXUH

����

����

���

���

���

5HVLGXDOV

3ORW RI 5HVLGXDOV YHUVXV 7HPSHUDWXUH

������ D��5� ������� �E��7KHVH�SORWV�LQGLFDWH�SUHVHQFH�RI�RXWOLHUV��EXW�QR�UHDO�SUREOHP�ZLWK�DVVXPSWLRQV�

���������

��

���

[

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[

�UHVSRQVH LV \�

������������������

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV WKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

F��7KH�QRUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�DSSHDUV�PDUJLQDO�

�������

��

���

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV

�UHVSRQVH LV \�

������ D�

����������

��

��

��

[

\

Page 234: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

���� � � �\ [ �� ������ � �������

E��+� � ��E +� � ��E z D� �����

����

I

I

I I

�����

� ���

� ����

���

!

�� � �

� �D

����5HMHFW�+R�

F�� � �V� �� �����

G�� � �VRULJ� � ������

����7KH�QHZ�HVWLPDWH�LV�ODUJHU�EHFDXVH�WKH�QHZ�SRLQW�DGGHG�DGGLWLRQDO�YDULDQFH�QRW�DFFRXQWHG�IRU�E\�WKH

����PRGHO�

H��<HV��H���LV�HVSHFLDOO\�ODUJH�FRPSDUHG�WR�WKH�RWKHU�UHVLGXDOV�

I��7KH�RQH�DGGHG�SRLQW�LV�DQ�RXWOLHU�DQG�WKH�QRUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�LV�QRW�DV�YDOLG�ZLWK�WKH�SRLQW�LQFOXGHG�

�������

��

���

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

J��&RQVWDQW�YDULDQFH�DVVXPSWLRQ�DSSHDUV�YDOLG�H[FHSW�IRU�WKH�DGGHG�SRLQW�

����������

��

���

[

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[

�UHVSRQVH LV \�

������

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

������ D��5� ����� �

E��+���VLPSOH�OLQHDU�UHJUHVVLRQ�PRGHO�FRUUHFW

����+���VLPSOH�OLQHDU�UHJUHVVLRQ�PRGHO�QRW�FRUUHFW

����

I

I I

I I

P Q P

�� � �� ���

� � ��

�������

� ���

�� �

�� � � � � �

� �D

����'R�QRW�UHMHFW�+���3�YDOXH� ��������

F��1R�PDMRU�GHSDUWXUH�IURP�QRUPDOLW\�DVVXPSWLRQV�

Page 235: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�������

��

��

1RUPDO6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV

�UHVSRQVH LV \�

G��$VVXPSWLRQ�RI�FRQVWDQW�YDULDQFH�DSSHDUV�UHDVRQDEOH�

�����������

��

��

[

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[

�UHVSRQVH LV \�

���������

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

������ D��5� � ������ �

E��1R�GHSDUWXUH�IURP�FRQVWDQW�YDULDQFH�DUH�QRWHG�

���������

��

��

��

���

���

���

[

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[

�UHVSRQVH LV \�

�����������

��

��

��

���

���

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

F��1RUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�DSSHDUV�UHDVRQDEOH�

������������������������

��

��

��

���

���

���

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

Page 236: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��5� �� ��� �

E��663( � ����

F��+� � �PRGHO�LV�FRUUHFW

����+�� �PRGHO�LV�QRW�FRUUHFW

����D� �����

����

I

I

I I

�� �� �

� �� �

� ����

�� ���

�� � �

� �D

����'R�QRW�UHMHFW�+� ��&RQFOXGH�WKDW�WKH�VLPSOH�OLQHDU�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�UHDVRQDEOH��3�YDOXH� �������

G��$VVXPSWLRQV�DSSHDU�UHDVRQDEOH��EXW�WKHUH�LV�D�VXJJHVWLRQ�WKDW�YDULDELOLW\�LQFUHDVHV�ZLWK� �\ �

������������������������������

��

[

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[

�UHVSRQVH LV \�

���������

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

H��1RUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�VHHPV�UHDVRQDEOH�

�������

��

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

������ D��5� � ������ �

E��<HV��WKH�WZR�SRLQWV�ZLWK�UHVLGXDOV�PXFK�ODUJHU�LQ�PDJQLWXGH�WKDQ�WKH�RWKHUV�

F��5QHZ PRGHO� � ���� �

����/DUJHU��EHFDXVH�WKH�PRGHO�LV�EHWWHU�DEOH�WR�DFFRXQW�IRU�WKH�YDULDELOLW\�LQ�WKH�GDWD�ZLWK�WKHVH�WZR�RXWO\LQJ

����GDWD�SRLQWV�UHPRYHG�

G�� � �VROG PRGHO� ������

���� � �VQHZ PRGHO� ������

����<HV��UHGXFHG�PRUH�WKDQ������EHFDXVH�WKH�WZR�UHPRYHG�SRLQWV�DFFRXQWHG�IRU�D�ODUJH�DPRXQW�RI�WKH�HUURU�

Page 237: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 8VLQJ�5 (\\

66

6� � � � ����)

Q (

\\

(

\\

6 66

(

6 66

66

6

66

6

\\ (

66

Q

\\ (�

� �

� �

� �� �

�V

$OVR�

66 \ [

\ \ [ [

\ \ [ [ \ \ [ [

\ \ [ [

6 66 [ [

( L L

L L

L L L L

L L

\\ ( L

¦ � �

¦ � � �

¦ � � ¦ � � ¦ � �

¦ � � ¦ �

� ¦ �

� � � �

� � � ��

� � � � � � � �� �

� � � � �

� � �

E E

E

E E

E

E

� ��

��

�� �

��� �

�� �

7KHUHIRUH��)6

W

[[

���

� ��

� �

E

V

%HFDXVH�WKH�VTXDUH�RI�D�W�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�Q���GHJUHHV�RI�IUHHGRP�LV�DQ�)�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK���DQG�Q��

GHJUHHV�RI�IUHHGRP��WKH�XVXDOO\�W�WHVW�WKDW�FRPSDUHV� _ _W� �WR� W QD � �� �� �LV�HTXLYDOHQW�WR�FRPSDULQJ� I W� �� �WR

I WQ QD D� � � �� � � �� � �

������ D�� I�� � ��

� � ����

� � �

���5HMHFW�+� � ��E �

E��%HFDXVH� I� � � ������ � �� ��+� �LV�UHMHFWHG�LI���

�� ��

5

5�! � �

����7KDW�LV��+� �LV�UHMHFWHG�LI

����

�� � �� �

�� �� � ��

����

� �

5 5

5

5

! �

!

!

� � �

� �

������ <HV��WKH�ODUJHU�UHVLGXDOV�DUH�HDVLHU�WR�LGHQWLI\�

������ )RU�WZR�UDQGRP�YDULDEOHV�;��DQG�;��

9 ; ; 9 ; 9 ; &RY ; ;� � � � � � � � �� � � � � ��� � �

7KHQ�

9 < < 9 < 9 < &RY < <

9 [ L

[[

L

[[

L

[[

L

[[

L L L L L L

L Q

[ [

6

Q

[ [

6 Q

[ [

6

Q

[ [

6

� � � � � � � � � � � �

� � � �

� �

� �

� � � �

� �

� � �

� � � �ª

¬

««

º

¼

»»

� �ª

¬

««

º

¼

»»� �

ª

¬

««

º

¼

»»

� �ª

¬

««

º

¼

»»

� �

��

��

��

�� �

� �

� � � � �

� �

V E E V

V V V

V

D��%HFDXVH�HL �LV�GLYLGHG�E\�DQ�HVWLPDWH�RI�LWV�VWDQGDUG�HUURU��ZKHQ� V� �LV�HVWLPDWHG�E\� �V� ��� UL �KDV

DSSUR[LPDWH�XQLW�YDULDQFH�

E��1R��WKH�WHUP�LQ�EUDFNHWV�LQ�WKH�GHQRPLQDWRU�LV�QHFHVVDU\�

F��,I�[L �LV�QHDU�[ �DQG�Q�LV�UHDVRQDEO\�ODUJH�� UL �LV�DSSUR[LPDWHO\�HTXDO�WR�WKH�VWDQGDUGL]HG�UHVLGXDO�

G��,I�[L �LV�IDU�IURP�[ ��WKH�VWDQGDUG�HUURU�RI�HL �LV�VPDOO��&RQVHTXHQWO\��H[WUHPH�SRLQWV�DUH�EHWWHU�ILW�E\�OHDVW����VTXDUHV�UHJUHVVLRQ�WKDQ�SRLQWV�QHDU�WKH�PLGGOH�UDQJH�RI�[��%HFDXVH�WKH�VWXGHQWL]HG�UHVLGXDO�DW�DQ\�SRLQW�KDV

����YDULDQFH�RI�DSSUR[LPDWHO\�RQH��WKH�VWXGHQWL]HG�UHVLGXDOV�FDQ�EH�XVHG�WR�FRPSDUH�WKH�ILW�RI�SRLQWV�WR�WKH

����UHJUHVVLRQ�OLQH�RYHU�WKH�UDQJH�RI�[�

Page 238: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ������

������ D�� � � �\ [ � �� ������� � ������

E��+� � ��E +� � ��E z D� �����

����

I

I

I I

�����

� ���

�� ���

� ��

!!

�� � �

� �D

����5HMHFW�+� �

F�� U � ��� � ���� �

G��+� ��U +� ��U z D� �����

����

W5 Q

5

W

W W

��

�����

� ���

� ����� ��

� � ���� ����

����

!

��

�� �

� �D

����5HMHFW�+� �

H��+� � �� �U +� � �� �U z D� �����

����

]

]

] ]

���

� �

� ���

���

!

��

�D

����5HMHFW�+� �

I�� WDQK�DUFWDQK�������� � WDQK�DUFWDQK�������� �] ]� � � ���� ���

�� ��d dU �ZKHUH� ]� ���� ��� �

����� � ����� �d dU �

������ D�� � � �\ [ ������� � ������

E��+� � ��E +� � ��E z D� �����

����

I

I

I I

�����

� ���

�����

� ���

!

�� � �

� �D

����5HMHFW�+� �

F�� U � ������

G��+� ��U +� ��U z D� �����

����

W

W

W W

�� ����� ��

� � ����

��� ��

� � ��

� ����

����

!

� �

� �

D

����5HMHFW�+� �

H��+� � �� �U +� � �� �U z D� �����

����]

]

] ]

�� �

���

� �

������ � � �� �����

���

�!

�DUFWDQK DUFWDQK� � �� � �

�D

����'R�QRW�UHMHFW�+� �

I�� WDQK�DUFWDQK�������� � WDQK�DUFWDQK�������� �] ]� � � ���� ����� ��

d dU �ZKHUH� ]� ���� ��� �

� ���� � ����� �d dU �

Page 239: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��U� ����������

E��+� ��U +� ��U z D� �����

����

W

W

W W

� ������ ��

� � ����

��� ��

� � ��

� ���

����

!

� �

� �

_ _D

����5HMHFW�+� ��3�YDOXH� ������(������� �����(��

F�� WDQK�DUFWDQK � ����� � WDQK�DUFWDQK � ����� �] ]� � � ���� ����� ��

d dU

����ZKHUH� ]� ���� ��� � � d d �� ��� � ���� �U �

G��+� � �� �U � +� ��� �U z � D� �����

����

]

]

] ]

�� �

���

� �

���� �� �� � ���

���

� � � �

�DUFWDQK� DUFWDQK�� � �� � �

_ _

�D

����'R�QRW�UHMHFW�+� ��3�YDOXH� ������������� �������

����� 56

6

[[

\\

§

©¨̈

·

¹¸̧�

E�

� �

�DQG�� �� 566

6

(

\\�

7KHUHIRUH�� 75 Q

5

[[

\\Q

(

\\ [[

6

6

66

6 6

��

� �

��

� � �

§

©¨̈

·

¹¸̧ �

§

©¨¨

·

¹¸¸

EE

V

����ZKHUH� �V��

66

Q

( �

����� Q� ��� U� �����

D��+� ��U +� ��U z D� �����

����

W

W

W W

U Q

U

� �� ��

� � ��

��� ��

� � ��

� �� ���

����

!

� �

� � �

� �

� �

D

����5HMHFW�+� ��3�YDOXH�#��

E�� WDQK�DUFWDQK����� � WDQK�DUFWDQK������] ]� � � ���� ���

�� ��d dU

����ZKHUH� ]� ���� � ��� ��� � ���� � ����� �d dU �

F��<HV�

������ Q� ���������U� �����

D��+� ��U +� ��U z D� �����

����

W

W

W W

U Q

U�

� �� �����

� � ��

��� ����

� � ����

� ������

���

!

� �

� � �

� �

� �

D

����5HMHFW�+� ��3�YDOXH� ����������� �������

E��6LQFH�WKH�VDPSOH�VL]H�LV�VR�ODUJH��WKH�VWDQGDUG�HUURU�LV�YHU\�VPDOO���7KHUHIRUH��YHU\�VPDOO�GLIIHUHQFHV�DUH

����IRXQG�WR�EH��VWDWLVWLFDOO\��VLJQLILFDQW���+RZHYHU��WKH�SUDFWLFDO�VLJQLILFDQFH�LV�PLQLPDO�VLQFH�U� ������LV

����HVVHQWLDOO\�]HUR�

Page 240: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��U� ���������

E��+� ��U +� ��U z D� �����

����

W

W

W W

U Q

U�

� ������ ��

� � ����

�����

� ���

�����

����

!

� � �

� �

� �

D

����5HMHFW�+��

F�� � � �\ [ ������� � ������

+� � ��E +� � ��E z D� �����

����I

I

I I

�� ���

� ���

�����

� ���

!!

�� � �

� �D

���5HMHFW+���&RQFOXGH�WKDW�WKH�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �������7KLV�WHVW�DQG�WKH�RQH�LQ�SDUW�E��DUH�LGHQWLFDO�G��+� � ��E +� � ��E z D� �����

����

W

W

W W

��� ��

� � ��

� ������

����

�!

�� �

� �D

����'R�QRW�UHMHFW�+���:H�FDQQRW�FRQFOXGH�E� �LV�GLIIHUHQW�IURP�]HUR�

H��1R�SUREOHPV�ZLWK�PRGHO�DVVXPSWLRQV�DUH�QRWHG�

����������

��

��

[

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[�UHVSRQVH LV \�

�����

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV WKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

�������

��

��

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

������ Q� ��� U� �����

D��+� ��U +� ��U z D� �����

����

W

W

W W

U Q

U

� �� ��

� � ��

��� ��

� � ��

� �� ���

� ���

!

� �

� � �

� �

� �

D

����5HMHFW�+� ��3�YDOXH� ���

E�� WDQK�DUFWDQK����� � WDQK�DUFWDQK����� �] ]� � � ���� ���

�� ��d dU

����ZKHUH� ]� ���� ��� ��� � ���� � ����� �d dU �

F��+� � �� �U +� � �� �U z D� �����

Page 241: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����

]

]

] ]

�� �

���

� �

��� �� �� �����

���

�!

�DUFWDQK DUFWDQK� � �� � �

�D

����'R�QRW�UHMHFW�+� ��3�YDOXH� ������������� ��������

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

������ D�� � � � �\ \ \ \L L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

�¦ ¦ � ¦ � � �

�DQG� \ Q [L L¦ � ¦� �E E� � �IURP�QRUPDO�HTXDWLRQ

���7KHQ�

����

� � � � �

� � � � � �

� � � �

Q [ \

Q [ [

Q [ Q [

L

L

Q

L

L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

E E

E E E E

E E E E

� �

� �

� �

� �

� �

� ¦ � ¦

� ¦ � �¦

� ¦ � � ¦

E�� � � � �\ \ [ \ [ \ [L L

L

Q

L L

L

Q

L L

L

Q

L�¦ ¦ � ¦ � � �

����DQG� \ [ [ [L

L

Q

L L

L

Q

L

L

Q

¦ ¦ � ¦�

��

� �E E �IURP�QRUPDO�HTXDWLRQV��7KHQ�

����

� � �� � �

� � � �

E E E E

E E E E

��

� �

� �

��

��

[ [ [ [

[ [ [ [

L

L

Q

L

L

Q

L

Q

L L

L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

L

L

Q

¦ � ¦ � ¦ �

¦ � ¦ � ¦ � ¦

F�����

�Q\ L

L

Q�

¦

������ D�

��� ��� ��� ��� ��� ���

[

���

���

���

���

���

\

3ORW RI \ YV [

����<HV��D�VWUDLJKW�OLQH�UHODWLRQVKLS�VHHPV�SODXVLEOH�

Page 242: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�

0RGHO ILWWLQJ UHVXOWV IRU� \

,QGHSHQGHQW YDULDEOH FRHIILFLHQW VWG� HUURU W�YDOXH VLJ�OHYHO

&2167$17 ��������� �������� ��������� ������

[ �������� �������� �������� ������

��������������������������������������������������������������������������������

5�64� �$'-�� ������ 6( �������� 0$( �������� 'XUE:DW �����

3UHYLRXVO\� ������ �������� �������� �����

�� REVHUYDWLRQV ILWWHG� IRUHFDVW�V� FRPSXWHG IRU � PLVVLQJ YDO� RI GHS� YDU�

� � �\ [ � �� ������ ������

F� $QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU WKH )XOO 5HJUHVVLRQ

6RXUFH 6XP RI 6TXDUHV ') 0HDQ 6TXDUH )�5DWLR 3�YDOXH

0RGHO ������� � ������� ������� �����

(UURU ������������ � �������������

��������������������������������������������������������������������������������

7RWDO �&RUU�� ������� �

5�VTXDUHG �������� 6WQG� HUURU RI HVW� �������(��

5�VTXDUHG �$GM� IRU G�I�� �������� 'XUELQ�:DWVRQ VWDWLVWLF �������

����� +� � ��E

����� +� � ��E z

������D� �����

������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV� I66 N

66 Q S

5

(

� �

� � �

�� ������5HMHFW�+��LI�I��!�ID�����ZKHUH�I��������� �����

��� ������8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�WKH�$129$�WDEOH

I������� �

� ���������� ��������

� �

� ��

� ������6LQFH���������!������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �������������3�YDOXH�����������

G�� �� SHUFHQW FRQILGHQFH LQWHUYDOV IRU FRHIILFLHQW HVWLPDWHV

��������������������������������������������������������������������������������

(VWLPDWH 6WDQGDUG HUURU /RZHU /LPLW 8SSHU /LPLW

&2167$17 �������� ������� �������� ��������

[ ������� ������� ������� �������

��������������������������������������������������������������������������������

���� � d d �� ����� � ������� �E

H���� +� � ��E

������ +� � ��E z

�������D� �����

�������7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV� WVH

��

� � �

E

E

������5HMHFW�+��LI��W�����WD���Q���ZKHUH��W�������� ��������RU�W��!�W�������� ������������8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�WKH�WDEOH�DERYH

W�� �����

� �������� ��

� �

��

������6LQFH������������������UHMHFW +� �DQG�FRQFOXGH�WKH�LQWHUFHSW�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� ������

Page 243: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�� � � �\ [ ��� �� �� ��

E��+� � ��E +� � ��E z D� �����

����

I

I

I I

�����

� ���

�����

� ��

!

�� � �

� �D

����5HMHFW�+� ��&RQFOXGH�WKDW� E� �z �DW�D� ������

F�� � � � �� ��� �� ����d dE

G�� � � � ��� ��� �������d dE

H�� � � � � � � �\ � �� �� �� �� � � ��� ��

����

����� ���� ��� ���

����� � ��

������

��� ��

���

� � � ���

��� ��� � �

� �

� � �

� � � �

_

r �ª

¬««

º

¼»»

r

d d

P< [

I��+� � �VLPSOH�OLQHDU�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�FRUUHFW

+�� �VLPSOH�OLQHDU�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�QRW�FRUUHFW

D� �����

����

I

I I

I I

P Q P

� �� � �

� � �

����

�����

�!� �

�� � � � �

� �

D

D

����'R�QRW�UHMHFW�+� ��&RQFOXGH�HYLGHQFH�LV�LQVXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�WKH�PRGHO�LV�QRW�FRUUHFW�DW�D� �����

����3�YDOXH� �������

������� D�

� � � � � �� ��

:LQG 9HORFLW\

���

���

���

���

���

'&2XWSXW

3ORW RI '& 2XWSXW YV :LQG 9HORFLW\

6FDWWHU�GLDJUDP�VKRZV�GHILQLWH�FXUYDWXUH��6R��D�KLJKHU�RUGHU�PRGHO�PD\�EH�DSSURSULDWH�RU�D�WUDQVIRUPDWLRQ�RI

YDULDEOHV�

E�� 0RGHO ILWWLQJ UHVXOWV IRU� '& 2XWSXW

��������������������������������������������������������������������������������

,QGHSHQGHQW YDULDEOH FRHIILFLHQW VWG� HUURU W�YDOXH VLJ�OHYHO

��������������������������������������������������������������������������������

&2167$17 �������� �������� ������ ������

:LQG 9HO �������� �������� ������� ������

��������������������������������������������������������������������������������

5�64� �$'-�� ������ 6( �������� 0$( �������� 'XUE:DW �����

3UHYLRXVO\� ������ �������� �������� �����

�� REVHUYDWLRQV ILWWHG� IRUHFDVW�V� FRPSXWHG IRU � PLVVLQJ YDO� RI GHS� YDU�

���� � � �\ [ ������ � ����

Page 244: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F�$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU WKH )XOO 5HJUHVVLRQ

��������������������������������������������������������������������������������

6RXUFH 6XP RI 6TXDUHV ') 0HDQ 6TXDUH )�5DWLR 3�YDOXH

��������������������������������������������������������������������������������

0RGHO ������� � ������� ������� �����

(UURU ������� �� ���������

��������������������������������������������������������������������������������

7RWDO �&RUU�� ������� ��

5�VTXDUHG �������� 6WQG� HUURU RI HVW� ��������

5�VTXDUHG �$GM� IRU G�I�� �������� 'XUELQ�:DWVRQ VWDWLVWLF �������

���� +� � ��E

���� +� � ��E z

�����D� �����

�����7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV� I66 N

66 Q S

5

(

� �

� � �

�� ������5HMHFW�+��LI�I��!�ID������ZKHUH�I��������� �����

��� ������8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�WKH�$129$�WDEOH

� ����� I�� ����� �

������ ����� ���

� �

� ��

� ������6LQFH���������!������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� ������G�

��� ��� ��� ��� ��� ���

3UHGLFWHG

����

����

����

���

���

5HVLGXDOV

5HVLGXDO 3ORW IRU '& 2XWSXW

� � � � � �� ��

:LQG 9HORFLW\

����

����

����

���

���

5HVLGXDOV

5HVLGXDO 3ORW IRU '& 2XWSXW

����&RQFOXGH�SORWV�LQGLFDWH�PRGHO�LQDGHTXDF\�VLQFH�WKH�UHVLGXDO�SORWV�H[KLELW�QRQUDQGRP�SDWWHUQV�

H��([DPLQLQJ�WKH�UHVLGXDO�SORWV�LQ�SDUW�G���D�WUDQVIRUPDWLRQ�RQ�WKH�[�YDULDEOH��\�YDULDEOH��RU�ERWK�ZRXOG�EH

����DSSURSULDWH���$�VLPSOH�OLQHDU�UHJUHVVLRQ�RI�\�RQ�WKH�WUDQVIRUPHG�YDULDEOH���[�PD\�EH�VDWLVIDFWRU\�

I��7KH�IROORZLQJ�DQDO\VLV�HPSOR\V�WKH�WUDQVIRUPHG�YDULDEOH����[0RGHO ILWWLQJ UHVXOWV IRU� '& 2XWSXW

,QGHSHQGHQW YDULDEOH FRHIILFLHQW VWG� HUURU W�YDOXH VLJ�OHYHO&2167$17 ������� �������� ������� ��������:LQG9HO ��������� �������� �������� ��������������������������������������������������������������������������������������5�64� �$'-�� ������ 6( �������� 0$( �������� 'XUE:DW �����3UHYLRXVO\� ������ �������� �������� ������� REVHUYDWLRQV ILWWHG� IRUHFDVW�V� FRPSXWHG IRU � PLVVLQJ YDO� RI GHS� YDU�

� � �\ [ � � ���� � ����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU WKH )XOO 5HJUHVVLRQ

6RXUFH 6XP RI 6TXDUHV ') 0HDQ 6TXDUH )�5DWLR 3�YDOXH

0RGHO ������� � ������� ������� �����

(UURU �������� �� ����������

��������������������������������������������������������������������������������

7RWDO �&RUU�� ������� ��

5�VTXDUHG �������� 6WQG� HUURU RI HVW� ���������

5�VTXDUHG �$GM� IRU G�I�� �������� 'XUELQ�:DWVRQ VWDWLVWLF �������

Page 245: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

���� +� � ��E

���� +� � ��E z

�����D� �����

�����7KH�WHVW�VWDWLVWLF�LV� I66 N

66 Q S

5

(

� �

� � �

�� ������5HMHFW�+��LI�I��!�ID������ZKHUH�I��������� �����

��� ������8VLQJ�WKH�UHVXOWV�IURP�WKH�$129$�WDEOH

I��� ���� �

� ������ ������ ��

� �

� ��

� ������6LQFH���������!������UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� ������

� ��� ��� ��� ��� � ���

3UHGLFWHG

�����

�����

�����

����

����

5HVLGXDOV

5HVLGXDO 3ORW IRU '& 2XWSXW

8VLQJ ��:LQG9HO

� ��� ��� ��� ��� ���

��:LQG9HO

�����

�����

�����

����

����

5HVLGXDOV

5HVLGXDO 3ORW IRU '& 2XWSXW

����&RQFOXGH�IURP�WKH�UDQGRP�DSSHDUDQFH�RI�WKH�UHVLGXDOV�LQ�WKH�SORWV�DQG�VLJQLILFDQFH�RI�UHJUHVVLRQ�WKDW�WKH�

PRGHO�LV�DGHTXDWH���7KH�WUDQVIRUPDWLRQ�����:LQG�9HORFLW\���DSSHDUV�WR�EH�VDWLVIDFWRU\�DV�D�UHJUHVVRU�RI

����2XWSXW�

������ D�

����������������������������

��

��

[

\

E�� � � �\ [ � �� ���� � �����

F��+� � ��E +� � ��E z D� �����

����I

I I

� ���

�����

!

� �D

����5HMHFW�+� ��&RQFOXGH�WKDW�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����

Page 246: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

G��1R��LW�VHHPV�WKH�YDULDQFH�LV�QRW�FRQVWDQW�

����

��

��

��

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

H�� � � �\ [ �� ���� � ����� ��<HV��WKH�WUDQVIRUPDWLRQ�VWDELOL]HV�WKH�YDULDQFH�

������ � � �\ [ ������ � ���� �ZKHUH� \\

���1R��PRGHO�GRHV�QRW�VHHP�UHDVRQDEOH��7KH�UHVLGXDO�SORWV�LQGLFDWH�D�

SRVVLEOH�RXWOLHU�

������ � �\ [ �����

(YHQ�WKRXJK�\�VKRXOG�EH�]HUR�ZKHQ�[�LV�]HUR��EHFDXVH�WKH�UHJUHVVRU�YDULDEOH�GRHV�QRW�QRUPDOO\�DVVXPH�YDOXHV

QHDU�]HUR��D�PRGHO�ZLWK�DQ�LQWHUFHSW�ILWV�WKLV�GDWD�EHWWHU��:LWKRXW�DQ�LQWHUFHSW��WKH�06(�LV�ODUJHU�DQG�WKH

UHVLGXDOV�SORWV�DUH�QRW�VDWLVIDFWRU\�

������ � � �\ [ �� ���� ����� ��U ���������5�� ������

7KH�PRGHO�DSSHDUV�WR�EH�DQ�H[FHOOHQW�ILW��6LJQLILFDQFH�RI�UHJUHVVRU�LV�VWURQJ�DQG�5��LV�ODUJH��%RWK�UHJUHVVLRQ

FRHIILFLHQWV�DUH�VLJQLILFDQW���1R��WKH�H[LVWHQFH�RI�D�VWURQJ�FRUUHODWLRQ�GRHV�QRW�LPSO\�D�FDXVH�DQG�HIIHFW�

UHODWLRQVKLS�

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������ D�� �E� 6

6

[<

[[

� � �E E� � �< [

&RY &RY < [&RY

&RY <&RY < 6

6

&RY < < [ [

Q6

[ [

Q6

&RY 96

[<

[[

L L L

[[

L

[[

[[

�� � � � � � � � �� � � �

� � � �� � � � � � �� � �

�� � � � �� �

E E E E E

EV

E E EV

� � � � �

� � �

¦ ¦ �

�¦

���7KHUHIRUH��&RY[

6[[

� � � � �E EV

� �

E��7KH�UHTXHVWHG�UHVXOW�LV�VKRZQ�LQ�SDUW�D�

Page 247: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��06< [

Q

H

Q(

L L L � �¦

� ¦

� � � �E E� �� �

� �

( H ( < ( ( [L L L� � � � � � � � � � � � E E� � �

)URP�([HUFLVH�������� 9 H L

[[L

Q

[ [

6� � > � �@

� � � �

V� ���

��7KHUHIRUH�

( 06( H

Q

9 H

Q

L

[[

Q

Q

Q

(L L

Q

[ [

6

� �� � � �

> � �@

> @

� �

¦

� ¦

� �¦

� �

� �

��

� �

��

� �

V

VV

E��8VLQJ�WKH�IDFW�WKDW�66 065 5 ��ZH�REWDLQ

^ `( 06 ( 6 6 9 (

66

6

5 [[ [[

[[[[

[[

� � � � � � � � > � � �@ �

�§

©¨¨

·

¹¸¸ �

E E E

VE V E

��

� ��

�� �

��

������ �E��

� �

6

6

[ <

[ [

(

( < [ L [

6

[ L [ L [ L [

6

6 [ L [ L [

6

6

6

LL

Q

[ [

L

Q

[ [

[ [L

Q

[ [

[ [

[ [

� � �

� � � �� �

� �

E

E E E

E E

EE

��

� � � ��

� � ��

��

� �

� � �

� �

� � � �

� �

� �

� �

�¦ª

¬««

º

¼»»

� � �¦

� �¦ �

1R�� �E� �LV�QR�ORQJHU�XQELDVHG�

������ 96[[

� � �EV

��7R�PLQLPL]H� 9 6[[� � ��E� �VKRXOG�EH�PD[LPL]HG��%HFDXVH�6 [ [[[ LL

Q �¦

� ��

��6[[�LV�

PD[LPL]HG�E\�FKRRVLQJ�DSSUR[LPDWHO\�KDOI�RI�WKH�REVHUYDWLRQV�DW�HDFK�HQG�RI�WKH�UDQJH�RI�[�

)URP�D�SUDFWLFDO�SHUVSHFWLYH��WKLV�DOORFDWLRQ�DVVXPHV�WKH�OLQHDU�PRGHO�EHWZHHQ�<�DQG�[�KROGV�WKURXJKRXW�WKH

UDQJH�RI�[�DQG�REVHUYLQJ�<�DW�RQO\�WZR�[�YDOXHV�SURKLELWV�YHULI\LQJ�WKH�OLQHDULW\�DVVXPSWLRQ��,W�LV�RIWHQ

SUHIHUDEOH�WR�REWDLQ�VRPH�REVHUYDWLRQV�DW�LQWHUPHGLDWH�YDOXHV�RI�[�

Page 248: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 2QH�PLJKW�PLQLPL]H�D�ZHLJKWHG�VRPH�RI�VTXDUHV� Z \ [L L LL

Q� �� �¦

E E� ��

�LQ�ZKLFK�D�<L �ZLWK�VPDOO�YDULDQFH�

�ZL �ODUJH��UHFHLYHV�JUHDWHU�ZHLJKW�LQ�WKH�VXP�RI�VTXDUHV�

wE

E E E E

wE

E E E E

�� �

�� �

�� �

�� �

Z \ [ Z \ [

Z \ [ Z \ [ [

L L LL

Q

L L LL

Q

L L LL

Q

L L LL

Q

L

� � � �

� � � �

� �¦ � � �¦

� �¦ � � �¦

6HWWLQJ�WKHVH�GHULYDWLYHV�WR�]HUR�\LHOGV

� �

� �

E E

E E

� �

� ��

Z Z [ Z \

Z [ Z [ Z [ \

L L L L L

L L L L L L L

¦ � ¦ ¦

¦ � ¦ ¦

DV�UHTXHVWHG�

������ � � �\ \ UV

V[ [

\

[ � �

����

��¦ �

�¦

� �

� � �

\6 \ \ [ [

6 6 [ [

\6

6[ [

\ [ [ [

[\ L

[[ \\ L

[\

[[

� � � �

� �

� �

� � � �

� � � �E E E E

������ D��wE

E E E E�

� ��

�� �

�� � � �\ [ \ [ [L LL

Q

L LL

Q

L� �¦ � � �¦

8SRQ�VHWWLQJ�WKH�GHULYDWLYH�WR�]HUR��ZH�REWDLQ

E E� ��

[ [ [ \L L L L¦ � ¦ ¦

7KHUHIRUH�

� � �E

E E�

��

��

� ¦¦

¦ ¦ �

¦

[ \ [

[

[ \

[

L L L

L

L L

L

E� 9 9[ <

[

[

[ [

L L

L

L

L L

� � �� �

> @E

E V V�

��

� �

� �

¦ �

¦

§

©¨¨

·

¹¸¸

¦

¦ ¦

F�� � � ��E DV

� � ��

�r �

¦

W

LQ

[

7KLV�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�LV�VKRUWHU�EHFDXVH� [ [ [L L� �¦ t �¦ � � ��$OVR��WKH�W�YDOXH�EDVHG�RQ�Q���GHJUHHV�RI

IUHHGRP�LV�VOLJKWO\�VPDOOHU�WKDQ�WKH�FRUUHVSRQGLQJ�W�YDOXH�EDVHG�RQ�Q���GHJUHHV�RI�IUHHGRP�

Page 249: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

&+$37(5���

6HFWLRQV������DQG�����

����� D�� c

ª

¬

«««

º

¼

»»»

; ;

�� ��� ���

��� ���� � �����

��� ����� �����

c

ª

¬

«««

º

¼

»»»

; \

���� �

����� �

������ �

E�� ��

E

§

©

¨¨¨

·

¹

¸¸¸

������

����

����

F��DW�[� ��������������� � �\ ��� ���

����� D� � � �E c c�; ; ; \�

E

�§

©

¨¨¨

·

¹

¸¸¸

�����

� ����

� ����

E� � � � �\ [ [ � � ������ � ���� � ����� �

��� � � � � � � � � �\ � � � ����� � ���� ��� � ���� �� �� ����

����� D� ��������0RGHO�� ��������0RGHO��

[� � �\ [ � ���� � ��� � � �\ [ [ � � ��� �� � � �� �

�\ [ ���� � �� �\ [ ���� �� �

[� � � � �\ [ � ���� � � ��� � � �\ [ [ � � ��� �� � � ��� �

�\ [ ���� � �� �\ [ ���� �� � �

02'(/��

��

��

��

��

���

���

���

���

� � � � � ��

[

\

\� ���������

\� ���������

Page 250: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

02'(/��

��

���

���

���

���

���

� � � � � ��

[

\\� �����������[

\� ������������[

���7KH�LQWHUDFWLRQ�WHUP�LQ�PRGHO���DIIHFWV�WKH�VORSH�RI�WKH�UHJUHVVLRQ�HTXDWLRQ��7KDW�LV��LW�PRGLILHV�WKH

����DPRXQW�RI�FKDQJH�SHU�XQLW�RI� [� �RQ� �\ �

E�� [� � � � �\ [ � ���� � � ��

�\ [ ���� � �

��7KHQ����LV�WKH�H[SHFWHG�FKDQJH�RQ� �\ �SHU�XQLW�RI� [� �

��12��LW�GRHV�QRW�GHSHQG�RQ�WKH�YDOXH�RI�[���EHFDXVH�WKHUH�LV�QR�UHODWLRQVKLS�RU�LQWHUDFWLRQ�EHWZHHQ�WKHVH

��WZR�YDULDEOHV�LQ�PRGHO���

F�

[� � [� � [� �

� � � � � �\ [ [ � � ��� �� � � � �� �

� �\ [ ���� ��� �

� �\ [ ���� �� �� �\ [ ���� �� � �

&KDQJH�SHU

XQLW�RI�[�

���� ��� ����

<HV��UHVXOW�GRHV�GHSHQG�RQ�WKH�YDOXH�RI�[���EHFDXVH�[��LQWHUDFWV�ZLWK�[��

�����Predictor Coef StDev T PConstant -7.634 7.848 -0.97 0.340x2 0.0039765 0.0007136 5.57 0.000X7 0.24777 0.08896 2.79 0.010X8 -0.003893 0.001296 -3.00 0.006S = 1.797 R-Sq = 76.3% R-Sq(adj) = 73.3%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 3 249.454 83.151 25.75 0.000Error 24 77.511 3.230Total 27 326.964

D�� � � � � �\ [ [ [ � � � �� ���� � ���� � ���� � ����� � �

E�� � � � � � � � � � � �\ � � � �� ���� � ���� ���� � ���� �� � ���� ����

� �\ |� �� � �JDPHV�

Page 251: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� ���Predictor Coef StDev T PConstant 33.449 1.576 21.22 0.000xl -0.054349 0.006329 -8.59 0.000x6 1.0782 0.6997 1.54 0.138S = 2.834 R-Sq = 82.9% R-Sq(adj) = 81.3%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 2 856.24 428.12 53.32 0.000Error 22 176.66 8.03Total 24 1032.90

D�� � � � �\ [ [ � ��� ���� � ����� ������� �

E�� � � � � � � � � �\ � � �� ���� � ����� ��� ������ � ����� �PSJ�

�����,QGHSHQGHQW YDULDEOH FRHIILFLHQW VWG� HUURU W�YDOXH VLJ�OHYHO

&2167$17 ����������� ���������� ������� ������

[� �������� �������� ������ ������

[� �������� �������� ������ ������

[� �������� �������� ������ ������

[� �������� �������� ������ ������

��������������������������������������������������������������������������������

5�64� �$'-�� ������ 6( ��������� 0$( �������� 'XUE:DW �����

3UHYLRXVO\� ������ �������� �������� �����

�� REVHUYDWLRQV ILWWHG� IRUHFDVW�V� FRPSXWHG IRU � PLVVLQJ YDO� RI GHS� YDU�

D��� � � � � � �\ [ [ [ [ � � � � ���� ���� � ���� � ���� ����� � ����� � � �

E��� � � � � � � � � � � � � � � �\ � � � � � ��� ���� � ���� �� � ���� �� ����� �� � ���� �� ��� ���

������ ,QGHSHQGHQW YDULDEOH FRHIILFLHQW VWG� HUURU W�YDOXH VLJ�OHYHO

&2167$17 ���������� ��������� ������ ������

[� ��������� ������� ������� ������

[� ��������� ������� ������� ������

��������������������������������������������������������������������������������

5�64� �$'-�� ������ 6( ��������� 0$( ��������� 'XUE:DW �����

3UHYLRXVO\� ������ �������� �������� �����

� REVHUYDWLRQV ILWWHG� IRUHFDVW�V� FRPSXWHG IRU � PLVVLQJ YDO� RI GHS� YDU�

D����� � � � �\ [ [ � ���� ���� ���� ������ �

E����� � � � � � � � � �\ � � ��� ���� ���� �� ����� ���� �����

F�,QGHSHQGHQW YDULDEOH FRHIILFLHQW VWG� HUURU W�YDOXH VLJ�OHYHO

&2167$17 ���������� ���������� ������ ������

[� �������� �������� ������ ������

[� �������� �������� ������ ������

[� [� �������� �������� ������� ������

��������������������������������������������������������������������������������

5�64� �$'-�� ������ 6( ��������� 0$( ��������� 'XUE:DW �����

3UHYLRXVO\� ������ ��������� ��������� �����

� REVHUYDWLRQV ILWWHG� IRUHFDVW�V� FRPSXWHG IRU � PLVVLQJ YDO� RI GHS� YDU�

�������� � � � � �c � � �\ [ [ [ [������� � ���� � ���� � ����� � � �

G����� � � � � � � � � � � �� �c � � �\ ������� � ���� �� � ���� ���� � ���� �� ����

������� � �c \ ����� 7KH�SUHGLFWHG�YDOXH�LV�ODUJHU

����� The regression equation isy = 7.46 - 0.030 x2 + 0.521 x3 - 0.102 x4 - 2.16 x5Predictor Coef StDev T PConstant 7.458 7.226 1.03 0.320x2 -0.0297 0.2633 -0.11 0.912x3 0.5205 0.1359 3.83 0.002x4 -0.10180 0.05339 -1.91 0.077x5 -2.161 2.395 -0.90 0.382S = 0.8827 R-Sq = 67.2% R-Sq(adj) = 57.8%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 4 22.3119 5.5780 7.16 0.002Error 14 10.9091 0.7792Total 18 33.2211

D�� � � � � � �\ [ [ [ [ � � � �� ���� � ���� � ���� ����� ������ � � �

E�� � � � � � � � � � � � � � � �\ � � � �� ���� � ���� �� � ���� �� ����� �� ����� �� ���� � �\ �� ���

Page 252: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�����,QGHSHQGHQW YDULDEOH FRHIILFLHQW VWG� HUURU W�YDOXH VLJ�OHYHO

&2167$17 ��������� ��������� ������ ������

[� ��������� �������� ������� ������

[� �������� �������� ������ ������

[� ��������� �������� ������� ������

��������������������������������������������������������������������������������

5�64� �$'-�� ������ 6( �������� 0$( �������� 'XUE:DW �����

3UHYLRXVO\� ������ �������� �������� �����

�� REVHUYDWLRQV ILWWHG� IRUHFDVW�V� FRPSXWHG IRU � PLVVLQJ YDO� RI GHS� YDU�

D����� � � � � �\ [ [ [ � � ������ � ���� � ���� �� ����� � �

E����� � � � � � � � � � � � � �\ � � � ����� � ���� �� � � ���� ��� �� ���� � ����

������Predictor Coef StDev T PConstant -0.07837 0.07360 -1.06 0.297TEMP 0.00004392 0.00003627 1.21 0.237SOAKTIME 0.0024544 0.0002082 11.79 0.000SOAKPCT 0.01835 0.02014 0.91 0.371DFTIME 0.007786 0.001349 5.77 0.000DIFFPCT -0.003134 0.008053 -0.39 0.700S = 0.002272 R-Sq = 96.9% R-Sq(adj) = 96.3%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 5 0.00419226 0.00083845 162.43 0.000Error 26 0.00013421 0.00000516Total 31 0.00432647

D�� � � � � � � �\ [ [ [ [ [ � � � � � �� ���� � ����� � ���� � ���� � ���� � ����� � � � �

����ZKHUH� [ 7(03 [ 62$.7,0( [ 62$.3&7 [ ')7,0( [ ',))3&7� � � � �

E�� � � � � � � � �\ � � � �� ���� � ����� ���� � ���� � � ���� ��� � ���� � � ���� � �� � � � � � � � � � �� �

���� � �\ � �����

������ Predictor Coef StDev T PConstant -8.01 16.18 -0.50 0.630Pts 0.49400 0.04806 10.28 0.000GF 0.001847 0.006424 0.29 0.779GA 0.00231 0.02091 0.11 0.914PPG 0.03830 0.05146 0.74 0.472PPcT -0.2068 0.2611 -0.79 0.445SHG -0.01284 0.02562 -0.50 0.626PPGA 0.03074 0.03802 0.81 0.436PKPcT 0.0407 0.1483 0.27 0.789SHGA -0.2083 0.1110 -1.88 0.087S = 1.523 R-Sq = 98.8% R-Sq(adj) = 97.8%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 9 2125.43 236.16 101.79 0.000Error 11 25.52 2.32Total 20 2150.95

� � � � � � �\ [ [ [ [ [ � � � � � � �� ���� � ��� � ���� � ���� � ���� � ����� � � � �

�������� � ���� � ��� � ���� � ����� � � �� � � �[ [ [ [� � �

ZKHUH

[ 3WV [ *) [ *$ [ 33* [ 33FW [ 6+* [ 33*$

[ 3.3F7 [ 6+*$

� � � � � � �

� �

Page 253: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�� I \ [ [ [ [L L L� � � � > � � � �@ E E E E E E� � � � � � � � � �� ¦ � � � � �

w

wEE E E

w

wEE E E

I\ [ [ [ [

I\ [ [ [ [ [ [

L L L

L L L L

�� � � � � � �

� � � � � � � � �

> � � � �@

> � � � �@� �

� ¦ � � � � �

� ¦ � � � � � �

w

wEE E E

I\ [ [ [ [ [ [L L L L

� � � � � � � � �� � ¦ � � � � � �> � � � �@� �

6HWWLQJ�WKH�GHULYDWLYHV�HTXDO�WR�]HUR�\LHOGV

Q \

Q [ [ [ [ [ [ \ [ [

Q [ [ [ [ [ [ \ [ [

L

L L L L L

L L L L L

E

E E E

E E E

� � � ��

� � � � � � �

� � � � � � � � ��

� �

� � � �� � � �

� �� � � � � �

¦

� �¦ � � �¦ ¦ �

� �¦ � � �¦ ¦ �

E��)URP�WKH�ILUVW�QRUPDO�HTXDWLRQ�� � E� \ �

F��6XEVWLWXWLQJ� \ \L � �IRU�\L �LQ�WKH�ILUVW�QRUPDO�HTXDWLRQ�\LHOGV�� E� � �

6HFWLRQV������DQG�����

������ Q� ���� N� ��� S� ��� D� �����+ N� � � �� ���E E E

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

����

6

; \

\

[ \

[ \

\\

L

L L

L L

¦

¦

¦

ª

¬

«««

º

¼

»»»

ª

¬

«««

º

¼

»»»

������ �����

������

����

�����

�����

�� �

����

> @� � � � �

� �

� �

E ; \

66

66 6 66

5

( \\ 5

ª

¬

«««

º

¼

»»»

� �

������ ���� ����

����

����� �

������ �

������ �

������ �����

������ ��

���� ���� �� �� ��

����

I

5

(

I

I I

66

N66

Q S

� �� ��

� � �� ��

���� �� �

�� �� ���� ��

���

!

� �

� ��

�� � �

� � �

����5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� ������

E�� � �V� � ��� �

0666

Q S(

(

F�� VH F� � � � � � � � �E V��

�� � ��� � ����� ����

VH F� � � � � � � � �E V��

�� � ��� � ����� � ����

Page 254: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

G��+� � ��E E� �

+� � ��E z E� �z

WVH

��

� ���

������� ��

� � �

��

E

EW

VH�

����

� ������ ��

� � �

��

E

E

W WD � � � � ��� ��� � ����

5HMHFW�+� 5HMHFW�+�

%RWK�VLJQLILFDQW

����� 6\\ ������

D��+� � � ��E E

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����

� �

66 ; \

\

Q

66 6 66

5

LL

Q

( \\ 5

�¦

§

©

¨¨¨

·

¹

¸¸¸�

� �

� � �

E

����� � ���� � ����

���

�����

����

���

��

���� ���� ����

��� ��

��� ��� ��

�� ��

I

5

(

I

I I

66

N66

Q S

� ����

� � �

��� �� �

�� �� �����

� ��

!

� �

� ��

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �������3�YDOXH� ���������

E�� ��

�V� �� ��

�� ����

� 06

66

Q S(

(

F�� VH (� � � � � � � �E� � ���� � ���� � � ���� �

G��+� � ��E

+� � ��E z

WVH

��

� ����

� ����� ��

� � �

��

E

E

W

W W

� �

� �

_ _

��� �

� ��

� ���

!D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW��E� �LV�VLJQLILFDQW�LQ�WKH�PRGHO�DW�D� �����

3�YDOXH� �� � �� � ��� �3 W W � ����������������� ���������

Page 255: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��+� � � � ��E E E

+��IRU�DW�OHDVW�RQH�E M z �

D� �����I

I

I I

�� � ��

� � ��

������

� ����

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����3�YDOXH�����������

E�� � �V� � ���� 06(

F�� VH F MM� � � � �E V�� � ������

G��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����W� � ���� �

W W� � � � ���� �� � ��� �� �����

_ _ � �W W� � ��!D

� 5HMHFW�+�

+� � ��E +� � ��E

+� � ��E z +� � ��E z

D� ����� D� �����W� ����� � W� � ���� � �

5HMHFW�+� 5HMHFW�+�&RQFOXGH�WKH�YDULDEOHV�DUH�VLJQLILFDQW�DW�D� �����

������ D��665� _ � � � �E E E E� � � � ������

E��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����

I66

06

I

I I

5

(�

� � � �

�����

� ���

� �������

� ����� ��

� ��

!

� _ � � � � �

��

�� � �

� �

E E E E

D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�;��UHJUHVVRU�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����3�YDOXH� �������

������� D��+� � � ��E E

+���DW�OHDVW�RQH�E z �

I

I I

I I

� �� �� � ��

� � ��

�� ����

� ��

!

�� � � � �

� �

D

D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����E��+� � ��E

+� � ��E z

W� � �� � �

W W� � � � ���� �� � ��� �� �����

_ _ � �W W� � ��!D

� 5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�[��LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����

Page 256: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

+� � ��E

+� � ��E z

D� �����W� ����� �

_ _ � �W W� � ���! D� 'R�QRW�UHMHFW�+���FRQFOXGH�WKDW�HYLGHQFH�LV�QRW�VLJQLILFDQW�WR�VWDWH�[� �LV�VLJQLILFDQW�DW�D�

�����

12��RQO\��[��FRQWULEXWHV�VLJQLILFDQWO\�WR�WKH�UHJUHVVLRQ�

������ D��E� � � ��� �W 3�YDOXH� ��������(���� ������(��

E� � � ��� �W 3�YDOXH� ��������(���� ������(��

E� � � ��� �W 3�YDOXH� ������������ �������

E��+� � ��E

+� � ��E z

D� �����W� � �� �

W

W W

D

D

� �

� �

_ _

� ��

� � ��

����

�!

'R�QRW�UHMHFW�+� �

������ D��+� � � � � ��E E E E

+��DW�OHDVW�RQH�E M z �

D� �����I

I

I I

��� �

� � �

������

� ��

�!

�� � �

� �D

'R�QRW�UHMHFW�+�3�YDOXH� �������

E�� � �V� ������ F��D� �����

+� � ��E E� � E� � E� �

+� � ��E z E� �z E� �z E� �z

W� ��� � W� ��� � W� � �� � W� � �� �

W WQ SD � � � � �� ��� � � ����

$OO� _ _ � �W W� ���! D

'R�QRW�UHMHFW�+��IRU�DQ\�UHJUHVVRU�

������ � � � �\ [ [ � �E E E� � � � � ����$VVXPH�QR�LQWHUDFWLRQ�PRGHO�

D��+� � � ��E E

+��DW�OHDVW�RQH�E M z �

I

I

I I

�� � �

� � �

� ��

� ��

�!

�� � �

� �D

'R�QRW�UHMHFW�+�

3�YDOXH� �������

Page 257: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��+� � ��E +� � ��E

+� � ��E z +� � ��E z

W� ��� � � W� ��� � �

W WD � � � � �� � ��� � ���� W W

D � � � � �� � ��� � ����

_ _ �W W� ��! D� _ _ � �W W� � ��! D

'R�QRW�UHMHFW�+��IRU�HLWKHU�UHJUHVVRU

F��665� _ � � �E E E� � � ������

+� � ��E

+� � ��E z

D� �����I

I I

I I

�� ����

� ��

���

����

�!

�� � � � �

� �

D

D

'R�QRW�UHMHFW�+�

������ D��+� � � �� ��E E E

+��DW�OHDVW�RQH�E M z �

D� �����I

I I

I I

� � �� � �

� � �

����

����

�!

�� � � � �

� �

D

D

'R�QRW�UHMHFW�+�

E��+ � �� �� E

+� �� ��E z

D� �����I

I

I I

����

� ��

���

�� ��

�!

�� � �

� �D

'R�QRW�UHMHFW�+�

F�� � �V� ������

�V� ��QR�LQWHUDFWLRQ�WHUP�� ��������

06( � � �V� �ZDV�UHGXFHG�LQ�WKH�LQWHUDFWLRQ�WHUP�PRGHO�GXH�WR�WKH�DGGLWLRQ�RI�WKLV�WHUP�

������ D����+ M� ��E IRU�DOO�M

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

I

I

I I

�� ���

� ���

���

���

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� ����������3�YDOXH� �������E�� � �V � ����F��D� ����� W WQ SD � � � � �� ��� �� � ���

����+� � ��E E� � E� � E� � +� � ��E z E� �z E� �z E� �zW� � ��� � � W� � �� � W� � �� � � W� � � � �

_ _ � �W W� � ���!D

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ���!D

_ _ � �W W� � ���!D

����'R�QRW�UHMHFW�+� 5HMHFW�+� 'R�QRW�UHMHFW�+� 'R�QRW�UHMHFW�+�

����12�

Page 258: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��+ M� ��E IRU�DOO�M

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

I

I

I I

�� � ��

� � ��

��� ��

� ��

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����E�� � �V� �� ���� F��D� ����� W WQ SD � � � � �� ��� �� � ��

+� � ��E E� � E� � +� � ��E z E� �z E� �zW� � ��� � � W� � �� � W� �� � �

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ���!D

_ _ � �W W� � ��!D

����5HMHFW�+� 'R�QRW�UHMHFW�+� 5HMHFW�+�

������ D��+ M� ��E IRU�DOO�M

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

I

I

I I

�� � ��

� � ��

��� ��

� ��

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����3�YDOXH�����������

E�� � �V� ���� � �(

F��D� ����� W WQ SD � � � � �� ��� �� � ����

+ WHPS� ��E EVRDNWLPH � ��EVRDNSFW � E')WLPH � E'LIISFW �

+ WHPS� ��E z EVRDNWLPH z � ��EVRDNSFW z � E')WLPH z � E'LIISFW z �

W� � �� � W� �� �� � �� W� � �� � W� � �� � W� � �� � �����'R�QRW�5HMHFW�+�'R�QRW�5HMHFW�+� ��'R�QRW�UHMHFW�+������5HMHFW�+� 5HMHFW�+�

G�� � � � �\ [ [ � �� ������ � ������ � ������� �

H��+ M� ��E IRU�DOO�M

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

I

I

I I

�� � ��

� � ��

��� ���

� ��

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����D� ����� W WQ SD � � � � �� ��� �� � ���

+� � ��E E� �

+� � ��E z E� �zW� �� �� � W � � �� �

_ _ � �W W� � ��!D _ _ � �W W� � ��!

D

5HMHFW�+��IRU�HLWKHU�UHJUHVVRU�YDULDEOH�DQG�FRQFOXGH�WKDW�ERWK�YDULDEOHV�DUH�VLJQLILFDQW�DW�D� �����I�� � ��VSDUW G ( �� �� ����3DUW�E��LV�VPDOOHU��VXJJHVWLQJ�D�EHWWHU�PRGHO�

Page 259: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��+ M� ��E IRU�DOO�M

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

I

I

I I

�� � ��

� � ��

��� ��

� ��

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����E��+ M� ��E + M� ��E zW� � ���� �� � ��� 376��� W� �� �� � 5HMHFW�+�

*)�� W� � �� � 'R�QRW�UHMHFW�+�

*$��� W� � �� � 'R�QRW�UHMHFW�+�

33*��� W� � �� � 'R�QRW�UHMHFW�+�

33F7�� W� � �� � � 'R�QRW�UHMHFW�+�

6+*��� W� � �� � � 'R�QRW�UHMHFW�+�

33*$�� W� � �� � 'R�QRW�UHMHFW�+�

3.3F7��� W� � �� � 'R�QRW�UHMHFW�+�

6+*$��� W� � �� � � 'R�QRW�UHMHFW�+�12��RQO\��376��LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����

F�

� � � �

�� � �

\ [ [

I

I

376 33* � � �

� ��� � ��� � ���

�����

� ��

�� ���

5HMHFW�+�

+ 376� ��E E33* �

+ 376� ��E z E33* z �

W� �� �� � W� ���� � �

5HMHFW�+� 'R�QRW�UHMHFW�+�

6HFWLRQV������DQG�����

������ D�� � �� �E V

D� ��

��r

�W FQ S

� ����

� ���� � ��� � ����

� ���� � ������

� ���� � ����

��� � �

� � � �

� � � �� � �

� �

� �

� �r

r

r

d d

W VH E

EE��[� ��� [

\

��

�� ��

� �

; ; ; ;

< [

��

� � ������

�� �� � ��� � ���� � ������

�� �� � �����

�� �� �� ���

_

� � �

� � � � � � � �

� �

� �

r

r

d dP

Page 260: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F��D� ���������[� ��� [

\

��

�� ��

� �

; ; ; ;

\ W ; ; ; ;

\

Q S

��

��

��

� ������

�� �� � ��� � ���� �������

�� �� � ���

���� �� ��

� �

� � �

� � � � � �

� � � � � � � �

� �

� �

r �

r

r

d d

DV

������ D�� � d d �� ����� � ������� �E

E�� � � � � � � �_V P�

��

� � �������

; ; ; ; VH < [�

F�� � � � � � � � � � � � �_P< [�� ����� � ����� ���� � ����� �� � ����� ���� ��� � � � �

� � � �

� � � �� � �

� �

� �

_ � � _

_

P P

P

< [ < [

< [

W VH� �

��� � ��� � ������

��� ���

����

� ��

��� ��r

r

r

d d

������ D�� � d d �� ����� � ������� �E

� d d� ����� � ������� �E

E�� � �_P< [������� VH < [� � � �_P

�������

� � � �

� � � �� � �

� �

_ � � _

_

P P

P

< [ < [

< [

W VH� �

������ ���� ������

�� ����

�� ���

��� ��r

r

d d

F�� � � � � � �\ [ [ [ [ � � � ������� � ��� � ����� ������ � ������ � � ��

� d d

� d d

� d d

� d d

½

¾

°°

¿

°°

������ � �����

������ ������

������ � �����

� ����� � �����

��

� �

� �

� �

� �

E

E

E

E

D� �����

G��,QWHUYDOV�RI�ODUJH�PRGHO�DUH�ZLGHU��SDUW�F��DUH�ZLGHU���<(6��DGGLQJ�[� �DQG�[���GLG�QRW�KHOS�WKH����VLJQLILFDQFH�RI�WKH�PRGHO��WKH�VWDQGDUG�HUURUV�LQFUHDVHG�

������ D�� � d d� ����� �������� �E

� d d

� d d

� d d

� ����� ������

� ����� � �����

������ ������

� �

� �

� �

E

E

E

E�� � �_P< [���� ��� VH < [� � � �_P

��� ��� W� � ���� � ����

� � � �

� � � �� � �

� �

_ � � _

_

P P

P

D< [ Q S < [

< [

W VH� �

��� ��� ���� �� ���

������

�����

�r

r

d d

F�� � � � � �� �\ W ; ; ; ;Q S� ��

��

��r � c c�

DV

������ ��� � ��� �� ����

��� ��� ��� ����

� � � � �

� �

r

d d\

Page 261: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�� � d d���� � ����� �E

� d d� ��� � ����� �E

E�� � d d�� ��� ������� �E

� d d

� d d

���� ����

� ��� � ���

��

� �

� �

E

E

7KHVH�SDUW�E��LQWHUYDOV�DUH�PXFK�ZLGHU�

<HV��WKH�DGGLWLRQ�RI�WKLV�WHUP�LQFUHDVHG�WKH�VWDQGDUG�HUURU�RI�WKH�UHJUHVVLRQ�FRHIILFLHQW�HVWLPDWRUV�

������ D� � d d� ��� � ����� �E

� ��� � ���

� ��� � ���

� ��� ����

� �

� �

� �

d d

� d d

� d d

E

E

E

E�� � �_P< [�� ����� VH < [� � � �_P

�� ������ W� � ���� �� � ���

� � � �

� � � �� � �

� �

_ � � _

_

P P

P

D< [ Q S < [

< [

W VH� �

� ����� ���� � ������

� ����

�� ���

�r

r

d d

F�� � �\� � ����� VH \� � � �� ������

����� ����� ���� ������

� ���� ������

� � � � �

� �

r

d d\

������ D�� � d d�� ��� ������ �E

� d d

d d

� ��� ����

�� ��� �����

� �

� �

E

E

E�� � �\� ����� VH \� � � �� � ����� W� � ������ � ���

��������� ���� � �����

����� �������

� � � � �

� �

r

d d\

F�� � �_P< [������ VH < [� � � �_P

�������

����� ���� ������

������

��� ���

� � � �� � �

� �_

r

d dP< [

������ D�� � d d� ����� � ������ �E7HPS

� ����� � �����

� ����� � �����

� ����� � �����

� ����� � �����

� �

� �

� �

� �

d d

� d d

d d

� d d

E

E

E

E

VRDNWLPH

VRDNSFW

')WLPH

'LII3FW

E�� � �_P< [�� ������� VH (< [� � � �_P

�� ��� � � W� � ���� �� � ���

� ������� � ��� ���� �

��� ��

��� �

� � � �� � �

� �_

r �

� d d �

(

( (< [P

������ D�� � �_P< [�� ���� VH (< [� � � �_P

�� �� � � W

� ����� �� � ���

� ���� ���� � �� �

��� ��

��� �

� � � �� � �

� �_

r �

� d d �

(

( (< [P

E����ZLGWK� �����(��

������ZLGWK� �����(��

����7KH�LQWHUDFWLRQ�PRGHO�KDV�D�VKRUWHU�FRQILGHQFH�LQWHUYDO���<HV��WKLV�VXJJHVWV�WKH�LQWHUDFWLRQ�PRGHO�LV

����SUHIHUDEOH�

Page 262: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��� ���� � ����� �d dE3WV

E�� � � �\ [3WV � �� ������ � ������

F��� ���� � ����� �d dE3WV

G��7KH�VLPSOH�OLQHDU�UHJUHVVLRQ�PRGHO�KDV�WKH�VKRUWHU�LQWHUYDO���<(6��WKH�VLPSOH�PRGHO�LQ�WKLV�FDVH�LV

����SUHIHUDEOH�

6HFWLRQ�����

������ D�� U� � ������ � �RU��������

E��$VVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�DSSHDUV�DGHTXDWH�

�������

��

��

��

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

F��0RGHO�DSSHDUV�DGHTXDWH��6RPH�VXJJHVWLRQ�RI�QRQFRQVWDQW�YDULDQFH�LQ�WKH�SORW�RI�[� �

����������������

��

��

��

;�

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV;�

�UHVSRQVH LV \�

������

��

��

��

;�

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV;�

�UHVSRQVH LV \�

����������������

��

��

��

[�

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[�

�UHVSRQVH LV \�

����

��

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

G��<HV��2EVHUYDWLRQV�������DQG����

Page 263: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�� U� � ����� �

E��1RUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�DSSHDUV�YDOLG�

�������

��

1RUPDO 6FRUH5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

F��$VVXPSWLRQ�RI�FRQVWDQW�YDULDQFH�DSSHDUV�UHDVRQDEOH�

����

��

[�

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[�

�UHVSRQVH LV \�

���������������

��

[O

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[O

�UHVSRQVH LV \�

������

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

G��<HV��REVHUYDWLRQV��������DQG���

Page 264: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�� U� ������ �

E��7KH�UHVLGXDO�SORWV�ORRN�UHDVRQDEOH��7KLV�LV�VRPH�LQFUHDVH�LQ�YDULDELOLW\�DW�WKH�PLGGOH�RI�WKH�SUHGLFWHG

����YDOXHV�

���������������������������

��

��

��

��

��

���

���

���

)LWWHG9DOXH5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

F��1RUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�LV�UHDVRQDEOH�

�������

��

��

��

��

��

���

���

���

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV

�UHVSRQVH LV \�

������ D��U� � ����� �

E��U� � ������ �����U��LQFUHDVHV�ZLWK�DGGLWLRQ�RI�LQWHUDFWLRQ�WHUP��1R��DGGLQJ�DGGLWLRQDO�UHJUHVVRU�ZLOO�DOZD\V�LQFUHDVH�U�

������ D��6RPH�LQGLFDWLRQ�RI�YDULDELOLW\�LQFUHDVLQJ�ZLWK�SUHGLFWHG�YDOXH�

������������������������������������

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

Page 265: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��1R��WKH�QRUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�DSSHDUV�UHDVRQDEOH�

�������

��

��

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

F��<HV��REVHUYDWLRQ�QXPEHU���

������� D��7KHUH�LV�VRPH�LQGLFDWLRQ�RI�QRQFRQVWDQW�YDULDQFH�VLQFH�WKH�UHVLGXDOV�DSSHDU�WR�¦IDQ�RXW§�ZLWK�LQFUHDVLQJ�

����YDOXHV�RI�\�

� �� �� ��� ��� ��� ���

3UHGLFWHG

��

��

��

5HVLGXDOV

5HVLGXDO 3ORW IRU \

E�6RXUFH 6XP RI 6TXDUHV ') 0HDQ 6TXDUH )�5DWLR 3�YDOXH

0RGHO ������� � ������� ������� �����

(UURU ������� �� �������

7RWDO �&RUU�� ������� ��

5�VTXDUHG �������� 6WQG� HUURU RI HVW� �������

5�VTXDUHG �$GM� IRU G�I�� �������� 'XUELQ�:DWVRQ VWDWLVWLF �������

��� 5� � ���� � �RU���������

��� 5$GM� � ���� � RU��������

F�0RGHO ILWWLQJ UHVXOWV IRU� ORJ�\�

��������������������������������������������������������������������������������

,QGHSHQGHQW YDULDEOH FRHIILFLHQW VWG� HUURU W�YDOXH VLJ�OHYHO

&2167$17 ������� �������� ������ ������

[� �������� �������� ������� ������

[� ��������� �������� ������� ������

[� �������� �������� ������ ������

��������������������������������������������������������������������������������

5�64� �$'-�� ������ 6( �������� 0$( �������� 'XUE:DW �����

3UHYLRXVO\� ������ �������� �������� �����

�� REVHUYDWLRQV ILWWHG� IRUHFDVW�V� FRPSXWHG IRU � PLVVLQJ YDO� RI GHS� YDU�

� � � � �\ [ [ [ � � �� ����� ������ � ������ �������� � �

Page 266: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

G�

� ��� ��� ��� ��� ���

3UHGLFWHG

�����

����

�����

����

���

5HVLGXDOV

5HVLGXDO 3ORW IRU ORJ�\�

3ORW�H[KLELWV�FXUYDWXUH

����7KHUH�LV�FXUYDWXUH�LQ�WKH�SORW���7KH�SORW�GRHV�QRW�JLYH�PXFK�PRUH�LQIRUPDWLRQ�DV�WR�ZKLFK�PRGHO�LV�SUHIHUDEOH�

H�

��� ��� ��� ��� ����

[�

�����

����

�����

����

���

5HVLGXDOV

5HVLGXDO 3ORW IRU ORJ�\�

3ORW�H[KLELWV�FXUYDWXUH

����9DULDQFH�GRHV�QRW�DSSHDU�FRQVWDQW��&XUYDWXUH�LV�HYLGHQW�

I�0RGHO ILWWLQJ UHVXOWV IRU� ORJ�\�

,QGHSHQGHQW YDULDEOH FRHIILFLHQW VWG� HUURU W�YDOXH VLJ�OHYHO&2167$17 �������� �������� ������� ������[� ��������� �������� ������� ������[� �������� �������� ������ ��������[� ��������� �������� �������� ��������������������������������������������������������������������������������������5�64� �$'-�� ������ 6( �������� 0$( �������� 'XUE:DW �����3UHYLRXVO\� ������ �������� �������� ������� REVHUYDWLRQV ILWWHG� IRUHFDVW�V� FRPSXWHG IRU � PLVVLQJ YDO� RI GHS� YDU�

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU WKH )XOO 5HJUHVVLRQ6RXUFH 6XP RI 6TXDUHV ') 0HDQ 6TXDUH )�5DWLR 3�YDOXH0RGHO ������� � �������� ������� �����(UURU ��������� �� ����������7RWDO �&RUU�� ������� ��5�VTXDUHG �������� 6WQG� HUURU RI HVW� ���������5�VTXDUHG �$GM� IRU G�I�� ������� 'XUELQ�:DWVRQ VWDWLVWLF �������

Page 267: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

��� ��� ��� ��� � ���

3UHGLFWHG

�����

�����

�����

����

����

����

5HVLGXDOV

5HVLGXDO 3ORW IRU ORJ�\�

8VLQJ ��[�

����7KH�UHVLGXDO�SORW�LQGLFDWHV�EHWWHU�FRQIRUPDQFH�WR�DVVXPSWLRQV�

����&XUYDWXUH�LV�UHPRYHG�ZKHQ�XVLQJ���[��DV�WKH�UHJUHVVRU�LQVWHDG�RI�[��DQG�WKH�ORJ�RI�WKH�GDWD�

������ D�������

E��1RUPDOLW\�LV�DFFHSWDEOH

�������

�����

�����

������

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV

�UHVSRQVH LV 3,7&+�

F��3ORW�LV�DFFHSWDEOH�

����������������������������

�����

�����

������

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 3,7&+�

G��1RQH�RI�WKH�SRLQWV�DSSHDU�WR�EH�LQIOXHQWLDO�

������ D��5� � ���� � ��<HV��WKH�5��XVLQJ�WKHVH�WZR�UHJUHVVRUV�LV�QHDUO\�DV�ODUJH�DV�WKH�5��IURP�WKH�PRGHO�ZLWK�

����ILYH�UHJUHVVRUV�

Page 268: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��1RUPDOLW\�LV�DFFHSWDEOH��EXW�WKHUH�LV�VRPH�LQGLFDWLRQ�RI�RXWOLHUV�

����������������������������

�����

�����

������

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 3,7&+�

�������

�����

�����

������

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV 3,7&+�

F��7KH�ODVW�REVHUYDWLRQ�LV�YHU\�LQIOXHQWLDO

������ D�� � � �\ [ � �� ������ � ������ �

E��U�� ����������RU��������

F��0RGHO�DSSHDUV�DGHTXDWH�

��������

���

���

���

���

���

���

����

����

����

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV :LQV�

G��1R��WKH�UHVLGXDOV�GR�QRW�VHHP�WR�EH�UHODWHG�WR�33*���,I�33*�ZHUH�VLJQLILFDQW��ZH�ZRXOG�GHWHFW�VRPH

����QRQUDQGRP�SDWWHUQ�LQ�WKLV�SORW�

������������

���

���

���

���

���

���

����

����

����

����

33*

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV33*

�UHVSRQVH LV :LQV�

������ D��S� �N����� ������� ��

$YHUDJH�VL]H� �S�Q� ������ �����

E��/HYHUDJH�SRLQW�FULWHULD�

K S Q

K

K

LL

LL

LL

!

!

!

� ���

� ��

� � �

� � �

K

K

����

����

� ����

� ����

3RLQWV����DQG����DUH�OHYHUDJH�SRLQWV�

Page 269: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQV������DQG������

������ D�� � � � �\ [ [ � � ������ �� ��� ��� � �� �

E��+ M� ��E IRU�DOO�M

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����I

I

I I

�� � �

� �� � �

�� ����

� ��

!

�� � �

� � �

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����

F��+� �� ��E +� �� ��E zD� �����W

W W W

W

Q S

��� � � ��� �

� ��

����

����

�!

� �

_ _ �

� � � � �D

'R�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�LQVXIILFLHQW�HYLGHQFH�WR�VXSSRUW�YDOXH�RI�TXDGUDWLF�WHUP�LQ�PRGHO�DW�D� �����

G��2QH�UHVLGXDO�LV�RXWOLHU

����1RUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�DSSHDUV�DFFHSWDEOH

����5HVLGXDOV�DJDLQVW�SUHGLFWHG�DQG�[�DUH�VRPHZKDW�XQXVXDO�SORWV��EXW�WKH�LPSDFW�RI�WKH�RXWOLHU�VKRXOG�EH

����FRQVLGHUHG�

������������

���

����

[

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[�UHVSRQVH LV \�

���������

���

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

������������������������

���

����

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

������ D�� � � � �\ [ [ � � ����� ���� ���� �

E��I�� ����������UHMHFW�+�

F��W�� ����������UHMHFW�+�

Page 270: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

G��0RGHO�LV�DFFHSWDEOH��REVHUYDWLRQ�QXPEHU����KDV�ODUJH�OHYHUDJH�

������������������

��

[

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV[

�UHVSRQVH LV \�

���������������

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

����

��

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

������

� � �

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � �

\ [ [

\ [ [

\ [ [

\ [ [

� �

� �

� � � �

� � �

E E E� � ���

��� ��� � ��� � ���

��� ��� � ��� ������ � ��� ������

������� ��� �� � ���

������ � � � � � �\ [ [ � ���� ��� �� ��� �� ��� � ���ZKHUH� [[ [

6[

D��$W�[� ������ [�

��

� �

��� ������

����������

� � � � � � � � � � �\ � � � � ��� ��� �� ��� ���� ����� ���� ��� ���� �SVL

E�� � � � �� � � ���

��

\ [ [ � �� ���� ��� ����� �����������������

������������

� � � � � � � � � �

� � � �

\ [ [

\ [ [

� � � �

� � �

��� ��� � ��� ������ � ��� ������

������� ��� �� � ���

F��7KH\�DUH�WKH�VDPH�

G�� � � � � � �\ [ [ � �� ��� � ��� � ��� �

ZKHUH� \\ \

6\

��DQG� [

[ [

6[

7KH��SURSRUWLRQ��RI�6\\�DOORFDWHG�WR�66( �LV�WKH�VDPH�IRU�ERWK�VWDQGDUGL]HG�DQG�XQVWDQGDUGL]HG�PRGHOV�

7KHUHIRUH��5��LV�WKH�VDPH�IRU�ERWK�PRGHOV�

\ [ [ � � � � E E E� � ��� ZKHUH� \

\ \

6\

��DQG� [

[ [

6[

\ [ [ � � � � E E E� � ���

Page 271: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�� � � � �\ [ [ � � �� �� ��� ��� �

E��+ M� ��E IRU�DOO�M

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����I

I

I I

�� � �

� � �

���� ��

� ��

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����F��+� �� ��E

+� �� ��E z ���D� �����

W

W

W W

��� �

� � �

� ��

� ���

!

_ _

� �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�E�� �LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����

G��2EVHUYDWLRQ�QXPEHU���LV�DQ�H[WUHPH�RXWOLHU�

H�� � � � � �\ [ [ [ � � � ��� �� �� �� � �� � ��� �

+� �� ��E

+� �� ��E z ���D� �����

W

W

W W

��� �

� � �

� ��

����

�!

_ _

� �

� �D

'R�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�FXELF�WHUP�LV�QRW�VLJQLILFDQW�DW�D� �����

������ D�� � � � � � � �\ [ [ [ [ [ [ [ � � � � � � ����� � ��� � ��� ���� � �� � ���� � � � � � �

� ��� � ��� � ��� � ���� � ��

��

��� � � �[ [ [ [ [� � �

E��+��DOO�E M �

����+��QRW�DOO�E M �

����

I

I

I I

�� ���

� ���

�� ���

���

!

�� � �

� �D

����5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����F��0RGHO�LV�DFFHSWDEOH�

G��+� �� �� �� �� �� �� ��E E E E E E

+��DW�OHDVW�RQH�ELM z �

I66 U

06

I

I I

5

(�

�� �� �� �� �� �� � � � �� ����

�� ���

� �� ���

� ����������

���

�!

� _ � �

��

� � �

� � �

E E E E E E E E E E

'R�QRW�UHMHFW�+�

66 66

66

5 5

5

� _ � � _ �

� _ �

� �

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

E E E E

�� �� �� �� �� �� � � � � �� �� �� �� �� �� � � � �

� � � �

� �������� � ������

� ����

5HGXFHG�0RGHO��� \ [ [ [ � � �E E E E� � � � � � �

Page 272: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��8VH�LQGLFDWRU�YDULDEOH�IRU�WUDQVPLVVLRQ�W\SH

[���

� ­®¯

���IRU�PDQXDO

���IRU�DXWRPDWLF

E�� � � � � �\ [ [ [ � � ��� �� � �� � �� � ��� � ��

F��+� �� ��E +� �� ��E z ����D� �����W

W

W W

��� ��

� � ��

� ��

� ��

�!

_ _

� �

� �D

'R�QRW�UHMHFW�+���1R�HYLGHQFH�WKDW�WUDQVPLVVLRQ�W\SH�DIIHFWV�PLOHDJH�

������ \ [ [ [ [ � � �E E E E� � � � � �� � �

� � � � �\ [ [ [ [ � � ������ ���� � ��� � ���� � � �

ZKHUH� [��

� ­®¯

���IRU�WRRO�W\SH����

���IRU�WRRO�W\SH����

7HVW�RI�GLIIHUHQW�VORSHV�

+� �� ��E

+� �� ��E z ����D� �����

W

W

W W

�����

� ���

���

���

�!

_ _

� �

� �D

'R�QRW�UHMHFW�+���&RQFOXGH�WKDW�GDWD�LV�LQVXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�����UHJUHVVLRQ�PRGHOV�DUH�QHHGHG�

7HVW�RI�GLIIHUHQW�LQWHUFHSWV�DQG�VORSHV�XVLQJ�H[WUD�VXPV�RI�VTXDUHV�

+� � �� ��E E

+��DW�OHDVW�RQH�LV�QRW�]HUR

66 66 66� � _ � � � � _ � � _ �

� �

E E E E E E E E E� �� � � � �� � � �

���� ����� ��� �����

�������

I66

06(�

� �� � � ������� �

� �������� ��

� � _ � � � �

��

E E E

5HMHFW�+��

6HFWLRQ������

������� D��0LQ��06( �[���[���[���[���[�

06

F

\ [ [ [ [ [

(

S

� � � � � �

����

����

�� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���� � � � �

� � � � � � �

0LQ��FS��[���[���[�

F

06

\ [ [ [

S

(

� � � �

����

� ���

� ��� � ��� � ��� � ���� � �

� � � � �

E���F����G��6DPH�DV�WKH�PLQLPXP�FS �PRGHO�

H��7KH�PLQLPXP�FS �PRGHO�VHHPV�WKH�EHVW�EHFDXVH�VWHSZLVH��IRUZDUG�DQG�EDFNZDUG�VHOHFWLRQ�DOO�FRQYHUJHG

WR�WKH�VDPH�PRGHO��$OVR��WKH�PRGHO�FRQWDLQV�IHZHU�YDULDEOHV�WKDQ�WKH�PLQLPXP�06(�PRGHO�

Page 273: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��0LQ��06(��[ [ [ [ [ [ [� � � � � � ��� � � � � �06( � ��� FS � ���

0LQ��FS��[ [ [� � ��� �

FS � ��� 06( � ���

E�� � � �\ [ ��� ��� � ��� �

06( � ��� FS � ���

F��6DPH�DV�SDUW�E�

G�� � � � � �\ [ [ [ � � �� ��� � ��� � ��� � ���� � ��

06( � ��� FS � ���

7KH�VDPH�DV�PLQLPXP�FS �PRGHO

H��0LQLPXP�FS �DQG�EDFNZDUG�HOLPLQDWLRQ�DUH�WKH�VDPH�PRGHO��6WHSZLVH�DQG�IRUZDUG�VHOHFWLRQ�DUH�WKH

����VDPH�PRGHO��%HFDXVH�LW�LV�PXFK�VPDOOHU��WKH�PLQLPXP�FS �PRGHO�VHHPV�SUHIHUDEOH�

������ D��0LQ��06(� [ [� ��

0LQ��FS�[ [� ��

FS � ��� ��06( ��� ���

� � � �\ [ [ � �� ��� � ��� �� ���� �

E�� � � �\ [ � ��� ��� �� ��� �

06( ��� ��� FS � ���

F��6DPH�DV�SDUW�E�

G��6DPH�DV�SDUW�E�

H��6WHSZLVH��IRUZDUG�DQG�EDFNZDUG�PRGHOV�DOO�DUH�WKH�VDPH��0LQ�FS �DQG�06(�PRGHOV�DGG�LQ�[��IRU�D

����VPDOO�JDLQ�LQ�06(�DQG�FS �

������ D�� � � � �\ [ [ � �� ��� � ��� � ���� �

E��6DPH�DV�SDUW�D�

F��6DPH�DV�SDUW�D�

G��$OO�PRGHOV�DUH�WKH�VDPH�

������ D�� � � � �\ [ [ � � �� ��� � ��� � ���� �

E��6DPH�DV�SDUW�D�

F��6DPH�DV�SDUW�D�

G��$OO�PRGHOV�DUH�WKH�VDPH�

����� D�� � � � � �\ [ [ [ � � � �� ��� � ��� � ��� � ���� � ��

F 06S ( � �� � ���� �

E�� � � � � � �\ [ [ [ [ � � � � �� ��� � ��� � ��� � ��� � ����� � � �

F 06S ( � �� � ���� �

F��7KH�IRUZDUG�VHOHFWLRQ�PRGHO�LV�PRUH�SDUVLPRQLRXV�ZLWK�D�ORZHU�FS �DQG�HTXLYDOHQW�06(��7KHUHIRUH��ZH

����SUHIHU�PRGHO�LQ�D�

������ 0LQ��FS�[ [� ��

� � � �\ [ [ � �� ��� � ��� � ���� �

$GMXVWHG�5� � ��� � ����0LQ��FS � ���

0D[��DGMXVWHG�5�[ [ [� � �� �

� � � � �\ [ [ [ � � �� ��� � ��� � ��� � ���� � �

$GMXVWHG�5�� ��� � ���FS � ���

1R��0D[��DGMXVWHG�5��KDV�[��LQ�DGGLWLRQ�WR�[ [� � �LQ�WKH�PRGHO��+RZHYHU��WKH�DGMXVWHG�5��YDOXHV�DUH�YHU\

FORVH�

Page 274: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��0LQ��FS�� � � �

\ [ [

FS

� � �

� ��� � ��� � ���

� ��

� �

E��0LQ�06(�� [ [ [� � �� � ����06( � ��� ���FS �� ���

� � � � �\ [ [ [ � � � �� ��� � ��� � ��� � ���� � �

F��0D[��DGMXVWHG�5� [ [ [� � �� � ��$GM��5� � ����� � ����<(6��VDPH�DV�0LQ��06(�PRGHO�

������ Q� �����N� ����S� ������ ����LQ�IXOO�PRGHO�

D�� �V� ��� 06( 5� � �� �

566

6

66

6

5

\\

(

\\

� � �

66 06 Q S( ( �

� �

� ���� �� ��

����� �� �

�����

����� �

6

\\

\\

6

66 6 66

0666

N

5 \\ (

55

����� ���� �����

�����

����� ���

I06

06

I

I I

5

(�

�� � ��

� � ��

���� ��

����� ��

� ��

!

��

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�DW�OHDVW�RQH�E M�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� ������

E��N� �� S� �� 66( ����

0666

Q S(

( �

���

�� ���

<(6��06(�LV�UHGXFHG�ZLWK�QHZ�PRGHO��N� ����

F��F66 S

Q SS( � �� �

�V�� ����FS � �

����

����� � � �� �

<HV��FS �LV�UHGXFHG�IURP�WKH�IXOO�PRGHO�

������ Q� ��� N� �� S� �� 06( IXOO� � ��

D��S� � 66( ���

0666

Q S(

( �

���

�� ��� ���

F66

06Q SS

(

( IXOO

� �

� �

� �

� �

���

���� � �

� � ��

<(6��FS �!�S

E��S� �� 66( ���

0666

Q S(

( �

���

�� ������ FS � �

���

���� � � ���� � �

<HV��ERWK�06(�DQG�FS �DUH�UHGXFHG�

Page 275: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

������ D�� � � � � �\ [ [ [ � � ����� �� � ��� �� ��� � ���� � �

E��+� � � � ��E E E

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����I

I

�� � ��

���� ��

� ��

�� � �

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�LV�VLJQLILFDQW�

3�YDOXH����������

F��$OO�DW�D� ����� W� � ���� �� � ��

+� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E zW� � �� � � W� �� �� � W� � �� �

_ _ � �W W� � ���!D

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

'R�QRW�UHMHFW�+� 5HMHFW�+� 5HMHFW�+�

G��5� � ��� � DGM��5� � ���� �H��1RUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�DSSHDUV�UHDVRQDEOH�

I��3ORW�LV�VDWLVIDFWRU\�

J��6OLJKW�LQGLFDWLRQ�WKDW�YDULDQFH�LQFUHDVHV�DV�[��LQFUHDVHV�

K�� � � � � � � � � � � � �\ � � � ���� �� � ��� ���� ����� ��� ���� ���� ���� ��

������ D��+� � � � ��E E E + M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����I

I

I I

�� � ��

� � ��

���� ��

� ��

!!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�LV�VLJQLILFDQW�

3�YDOXH����������

E��D� ����� W� � ���� �� � ��

+� � ��E +� � ��E +� � ��E

+� � ��E z +� � ��E z +� � ��E zW� � �� � � W� �� �� � W� � �� �

_ _ � �W W� � ���!D

_ _ � �W W� � ��! D _ _ � �W W� � ���!D

'R�QRW�UHMHFW�+� 5HMHFW�+� 'R�QRW�UHMHFW�+�

F��&XUYDWXUH�LV�HYLGHQW�LQ�WKH�UHVLGXDOV�SORWV�IURP�WKLV�PRGHO�

������ D�� � � � � � � �\ [ [ [ [ [ � � � � �� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���� � � � �

+� � � � � � ��E E E E E

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����I

I

I I

�� � ��

� � ��

� ��

� ��

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+�� 3�YDOXH� ��������

Page 276: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E��D� ����� W� � ���� �� � ��� +� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E zW� � �� � � W� � �� � W� � �� � W� � �� � � W� � �� �_ _ � �W W� � ��!

D_ _ � �W W� � ��!

D_ _ � �W W� � ��!

D_ _ � �W W� � ��!

D_ _ � �W W� � ���!

D

5HMHFW�+� 5HMHFW�+� 5HMHFW�+� 5HMHFW�+� 'R�QRW�UHMHFW�+�

F�� � � � � � �\ [ [ [ [ � � � �� ��� � ��� � ��� � ��� � ���� � � �

+� � � � � ��E E E E + M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����I

I

I I

�� � ��

� � ��

� ���

� ��

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��

D� ����� W� � ���� �� � ��� +� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E zW� � �� � � W� � �� � W� � �� � W� � �� � �

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

5HMHFW�+� 5HMHFW�+� 5HMHFW�+� 5HMHFW�+ �

G��7KH�DGGLWLRQ�RI�WKH��WK�UHJUHVVRU�FDXVHV�ORVV�LQ�RQH�GHJUHH�RI�IUHHGRP�LQ�WKH�GHQRPLQDWRU�DQG�WKH

UHGXFWLRQ�LQ�66(�LV�QRW�HQRXJK�WR�FRPSHQVDWH�IRU�WKLV�ORVV�

H��2EVHUYDWLRQ���LV�XVXDOO\�ODUJH�

I��5� �IRU�PRGHO�LQ�D�����������5� �IRU�PRGHO�LQ�F������������5� �IRU�PRGHO�ZLWKRXW�REV�������������

5� �KDV�LQFUHDVHG�EHFDXVH�REVHUYDWLRQ���ZDV�QRW�ILW�ZHOO�E\�HLWKHU�RI�WKH�SUHYLRXV�PRGHOV�

J��+� � � � � ��E E E E + M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����I

I

I I

�� � ��

� � ��

�� ��

� ��

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��

D� ����� W� � ���� �� � ��� +� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E zW� � �� � � W� � �� � W� � �� � W� � �� � �

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

5HMHFW�+� 5HMHFW�+� 5HMHFW�+� 5HMHFW�+�

K��7KHUH�LV�VRPH�LQGLFDWLRQ�RI�FXUYDWXUH�

������ D�� � � � � � � \ [ [ [ [ � � � � �� ��� � ��� � ��� � ��� � ���� � � �

E��+� � � � � ��E E E E

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����I

I

I I

�� � ��

� � ��

��� ��

� ��

!!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� ������

Page 277: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

D� ����� W� � ���� �� � ��� +� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E z +� � ��E zW� �� �� � W� �� �� � W� � �� � � W� � �� � �

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

_ _ � �W W� � ��!D

5HMHFW�+� 5HMHFW�+� 5HMHFW�+� 5HMHFW�+�

F��7KH�UHVLGXDO�SORWV�DUH�PRUH�VDWLVIDFWRU\�WKDQ�LQ�([HUFLVH�������

������ D�� � � � �\ [ [ � � ����� ��� � ��� � ���� �

E��+� � �� ��E E + M� ��E z

D� �����I

I

I I

�� � �

� � �

��� ��

� ��

!!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��

F��+� �� ��E +� �� ��E zD� �����

)66 U

06

I

I

I I

5

(�

�� �

�� � �

� � �

� ���� �

� �����

�� ��

� ��

!!

� _ � � � �

�� � �

� �

E E

D

5HMHFW�+��

G��6RPH�LQGLFDWLRQ�RI�QRQFRQVWDQW�YDULDQFH�

H��1RUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�LV�UHDVRQDEOH�

������ D�� � � � � � � �\ [ [ [ [ [ � � � � � ����� � � ���� � ���� � ���� � ���� �� ����� � � � �

06 S(� � � ��� �� F

S � ���

E�� � � � � � �\ [ [ [ [ � � � � ����� � � ��� � ��� � ���� �� ����� � � �

06 S( � � � ��� �� FS � ���

F��6DPH�DV�PRGHO�E�

G��0RGHOV�IURP�SDUWV�E��DQG�F��DUH�LGHQWLFDO��0RGHO�LQ�SDUW�D��LV�WKH�VDPH�ZLWK�[� �DGGHG�LQ�06(�PRGHO�LQ�SDUW�D�� ���������FS � ���

06(�PRGHO�LQ�SDUW�E�F�� ������� FS � ���

����� D�� � � � � � � \ [ [ [ [ � � � � �� ��� � ��� � ��� � ��� � ���� � � �

06 S( � � � � ���� 0LQ�FS � ��

E��6DPH�DV�SDUW�D�

F��6DPH�DV�SDUW�D�

G��$OO�PRGHOV�DUH�WKH�VDPH�

������ D��9,)� � � �E� �� ��

9,)

9,)

� � � �

� � � �

E

E

� ��

�� ��

<HV��9,)V�IRU�[� �DQG�[��H[FHHG����

E��0RGHO�IURP�([HUFLVH�������� � � � � � \ [ [ [ � � ��� �� � �� � ��� � ����� � �

Page 278: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�� � � � �\ [ [ � ���� � � �� �� �� �

� � � � � � � �\ � � ��� � �� ��� �� � � ��� �

E��6\\ ���� �� 66( ��� ��

66 6 665 \\ ( � � ���� � ��� � ���� �� � �

0666

N

0666

Q S

I06

06

55

(

(

5

(

���� �

���� �

��� �

�� ��� ���

��� �

�� ����� ���

��

��

��

+� � � ��E E

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M

D� �����I

I

I I

�� � ��

� � ��

�� ��

� ��

!

�� � �

� �D

5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�UHJUHVVLRQ�PRGHO�LV�VLJQLILFDQW�DW�D� �����

F��566

6

5

\\

� ���� �

���� �� ����

�� �RU�������

G��N� �� S� �� 66( � ��� ��

0666

Q S(

( �

� �

��� �

���� ��

12��06(�LQFUHDVHG�ZLWK�WKH�DGGLWLRQ�RI�[��EHFDXVH�WKH�UHGXFWLRQ�LQ�66(�ZDV�QRW�HQRXJK�WR�FRPSHQVDWHIRU�WKH�ORVV�LQ�RQH�GHJUHH�RI�IUHHGRP�LQ�WKH�REVHUYDWLRQ��7KLV�LV�ZK\�06(�FDQ�EH�XVHG�DV�D�PRGHO�VHOHFWLRQ

FULWHULD�

H��66 6 665 \\ ( � � ���� � ��� �� ���� ��� � �

66 66 665 5 5� _ � � � � _ � � � _ �

� �

E E E E E E E E E E E� � � � � � � � � � �

���� �� ���� ��

� �

+� � ��E +� � ��E zD� �����

I66 U

66 Q S

I

I I

5

(�

� � � �

�����

� ���

�� �

��� � ��� ���

� ��

�!

� _ � � � �

� �

� ��

�� � �

� �

E E E E

D

'R�QRW�UHMHFW�+��

Page 279: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��566

6

5

\\

66 5 6

66 6 66

5 \\

( \\ 5

� �

� � �� � �� � ��

� � � �� � ��

� � � � � � �

� � �

+� � � � �� ���E E E

+ M� ��E z IRU�DW�OHDVW�RQH�M�

D� �����

I66 N

66 Q S

I

I I

5

(�

�� � �

� � �

� �� �

� �� ��� ��

� ��

!

� �

� ��

�� � �

� �D

5HMHFW�+��

E��N� �� Q� ��� S� �� 5� � �� �

66 5 6

66 6 66

5 \\

( \\ 5

� � � � � � �

� � �

� �

� � �� � �� � ��

� � � �� � ��

66 66 IXOO 66 UHGXFHG5 [ 5 5� _ ����� � � � � � �

� �

E E E E� � �

� �� � ��

� ��

I66 U

66 Q S

I

I I

5 [

(�

� �

����

� ��

� �� �

� �� ��

� ��

�!

� _ ����� � �

� �

� �

�� � �

� �

E E E

D

'R�QRW�UHMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�WKH�HYLGHQFH�LV�LQVXIILFLHQW�WR�FODLP�WKDW�WKH�UHPRYHG�YDULDEOH�LV

VLJQLILFDQW�DW�D� �����

F��06 UHGXFHG66

Q S(

(� ��

� �

� ��

�� ����

06 IXOO(� ��

� � ��

�� ���

12��WKH�06(�LV�ODUJHU�IRU�WKH�UHGXFHG�PRGHO��7KH�LQFUHDVH�LQ�06(�LV�VXIILFLHQW�WR�FRPSHQVDWH�IRU�WKH

DGGLWLRQ�RI�RQH�GHJUHH�RI�IUHHGRP�LQ�WKH�GHQRPLQDWRU�

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������ %HFDXVH�566

6

5

\\

� �DQG�� �� 566

6

(

\\��)

66 N

66 Q N

5

(�

� �

� � ��ZKLFK�LV�WKH�XVXDO�)�WHVW�IRU�

VLJQLILFDQFH�RI�UHJUHVVLRQ��7KHQ��)�� �� �

� � � �� � ��� ��

� � �

� �

� � � � � �� �DQG�WKH�FULWLFDO�YDOXH�

I� � � ��� � �� � �� ��%HFDXVH�������!�������WKH�UHJUHVVLRQ�LV�VLJQLILFDQW�

������ 8VLQJ� Q� �����N� ���� I� � � ��� � �� � �� ��5HMHFW�+��LI

5

5

5

5

� ��� ��

�� ���

� � ��

� ��

�t

�t

7KHQ��5� � ���t � �UHVXOWV�LQ�D�VLJQLILFDQW�UHJUHVVLRQ�

Page 280: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ %HFDXVH� � � � E �; ; ; <�� H < ; < ; ; ; ; < , + < � � ��� � � � �E �

������ )URP�([HUFLVH��������HL �LV�LWK�HOHPHQW�RI��,�+�<��7KDW�LV�

H K < K < K < K < K < K <

DQG

9 H K K K K K K

L L L L L L L L L L L L L Q Q

L L L L L L L L L L Q

� � � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � �

� �

� � � � � �

� � � � � �

��� � � ���

� � � ��� � � ��� �

� � � � � � � �

��

��

�� �

�� � �

� V

7KH�H[SUHVVLRQ�LQ�SDUHQWKHVHV�LV�UHFRJQL]HG�WR�EH�WKH�LWK�GLDJRQDO�HOHPHQW�RI��,�+��,�+�� �,�+�E\�PDWUL[

PXOWLSOLFDWLRQ��&RQVHTXHQWO\��9 H KL L L� � � �� �� �V ��$VVXPH�WKDW�L���M��1RZ�

H K < K < K < K < K < K <

H K < K < K < K < K < K <

L L L L L L L L L L L L L Q Q

M M M M M M M M M M M M M Q Q

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �� � � �

� � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

%HFDXVH�WKH�< VL �DUH�LQGHSHQGHQW�

&RY H H K K K K K K K KL M L M L M L L M L L L M L� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � �

������� � � � � � �� � � �

K K K K K K K KL L M L L M M M L M M M L Q M Q� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � ��� V

7KH�H[SUHVVLRQ�LQ�SDUHQWKHVHV�LV�UHFRJQL]HG�DV�WKH�LM�WK�HOHPHQW�RI��,�+��,�+�� ��,�+��7KHUHIRUH�

&RY H H KL M LM� � � � V� �

������ � � � � � E E H E H E H � � ��; ; ; < ; ; ; 5� �;;� �;;��� ��

������ D��0LQ�/� � � �� �\ ; \ ;� �E E

VXEMHFW�WR��7E� �F

7KLV�LV�HTXLYDOHQW�WR�0LQ�=� �� � � � � �\ ; \ ; 7 F� � � �E E O E�

ZKHUH�O > � ����� @ O O O� � S�LV�D�YHFWRU�RI�/D�*UDQJH�PXOWLSOLHUV�

w

wEE O

=; \ ; ; 7 � � �� � � � �

w

wOE

=7 F � � 6HW

w

wE

w

wO

= = � �� �

7KHQ�ZH�JHW

����� � �

; ; 7 ; \

7 F

F

F

E O

E

ZKHUH� �E

F�LV�WKH�FRQVWUDLQHG�HVWLPDWRU�

)URP�WKH�ILUVW�RI�WKHVH�HTXDWLRQV�� � � � � � � � E O E OF

; ; ; \ 7 ; ; 7 � �� �� �

)URP�WKH�VHFRQG� 7 7 ; ; 7 F� � � E O� ���RU

O � �

> � � @7 ; ; 7� ��7�E ���F�

7KHQ� � � � > � � @ � � �

� � � > � � @ � � �

E E E

E E

F; ; 7 7 ; ; 7 7 F

; ; 7 7 ; ; 7 F 7

� �

� �

� � �

� � �

� � �

� � �

E��7KLV�VROXWLRQ�ZRXOG�EH�DSSURSULDWH�LQ�VLWXDWLRQV�ZKHUH�\RX�KDYH�WHVWHG�WKH�K\SRWKHVLV�WKDW�7E� �F�DQG

�����FRQFOXGHG�WKDW�WKLV�K\SRWKHVLV�FDQQRW�EH�UHMHFWHG�

Page 281: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ )RU�WKH�SLHFHZLVH�OLQHDU�IXQFWLRQ�WR�EH�FRQWLQXRXV�DW�[� �[ ��WKH�SRLQW�VORSH�IRUPXOD�IRU�D�OLQH�FDQ�EH�XVHG�WR�VKRZ�WKDW

\[ [ [ [

[ [ [ [

� � d

� � !

­

®°

¯°

E E

E E

� �

� �

� �

� �

ZKHUH�E E E� � �� � �DUH�DUELWUDU\�FRQVWDQWV�

/HW ][ [

[ [

d

!

­

®°

¯°

��

7KHQ��\�FDQ�EH�ZULWWHQ�DV�\ [ [ [ [ ] � � � � � E E E E� � � �� � � �� � �

/HW

[ [ [

[ [ [ ]

� �

� �

� � �

� �

E E

E E

E E E

7KHQ��\ [ [ � �E E E� � � � � �

������ ,I�WKHUH�LV�D�GLVFRQWLQXLW\�DW�[ [ ��WKHQ�D�PRGHO�WKDW�FDQ�EH�XVHG�LV

\[ [ [

[ [ [

� d

� !

­

®°

¯°

E E

D D

� �

� �

/HW ][ [

[ [

d

!

­

®°

¯°

7KHQ��\�FDQ�EH�ZULWWHQ�DV�\ [ [ ] [ ] [ � � � � � � � � E E D E D E E E E E� � � � � � � � � � � �>� � � � @ZKHUH

E E

E E

E D E

E D E

� �

� �

� � �

� � �

[ [

[ []

������ 2QH�FRXOG�HVWLPDWH�[ �DV�D�SDUDPHWHU�LQ�WKH�PRGHO��$�VLPSOH�DSSURDFK�LV�WR�UHILW�WKH�PRGHO�LQ�([HUFLVH�������

ZLWK�GLIIHUHQW�FKRLFHV�IRU�[ �DQG�WR�VHOHFW�WKH�YDOXH�IRU�[ �WKDW�PLQLPL]HV�WKH�UHVLGXDO�VXP�RI�VTXDUHV�

Page 282: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

&+$37(5���

6HFWLRQ�����

����� D�Source DF SS MS F PCOTTON 4 475.76 118.94 14.76 0.000Error 20 161.20 8.06Total 24 636.96

����5HMHFW�+��DQG�FRQFOXGH�WKDW�FRWWRQ�SHUFHQWDJH�DIIHFWV�EUHDNLQJ�VWUHQJWK�

����������

��

��

&27721

675(1*7+

E��7HQVLOH�VWUHQJWK�VHHPV�WR�LQFUHDVH�WR�����FRWWRQ�DQG�GHFOLQHV�DW�����FRWWRQ�

F�

������

��

��

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 675(1*7+�

�������

��

��

��

��

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV

�UHVSRQVH LV 675(1*7+�

������

��

��

��

��

&27721

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV&27721

�UHVSRQVH LV 675(1*7+�

Page 283: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�Source DF SS MS F PFLOW 2 3.6478 1.8239 3.59 0.053Error 15 7.6300 0.5087Total 17 11.2778

'R�QRW�UHMHFW�+����)ORZ�UDWH�GRHV�QRW�DIIHFW�HWFK�XQLIRUPLW\�

���������

)/2:

81,)250,7

E��5HVLGXDOV�DUH�DFFHSWDEOH�

���������������������������

��

)/2:

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV)/2:

�UHVSRQVH LV 81,)250,�

���������

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 81,)250,�

����� D�Source DF SS MS F PTECHNIQU 3 489740 163247 12.73 0.000Error 12 153908 12826Total 15 643648

5HMHFW�+����7HFKQLTXHV�DIIHFW�WKH�VWUHQJWK�RI�WKH�FRQFUHWH�

E��3�YDOXH� ��

F��5HVLGXDOV�DUH�DFFHSWDEOH

����

���

���

����

����

7(&+1,48

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV7(&+1,48

�UHVSRQVH LV 675(1*7+�

������������������������

���

���

����

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 675(1*7+�

Page 284: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�Source DF SS MS F PTEMPERAT 3 0.1391 0.0464 2.62 0.083Error 18 0.3191 0.0177Total 21 0.4582

����'R�QRW�UHMHFW�+�

E��3�YDOXH� ������

F��5HVLGXDOV�DUH�DFFHSWDEOH

���������������������������

���

���

���

����

����

7(03(5$7

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV7(03(5$7

�UHVSRQVH LV '(16,7<�

���������������

���

���

���

����

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV '(16,7<�

����� D�Source DF SS MS F PCOATINGT 4 1060.5 265.1 16.35 0.000Error 15 243.3 16.2Total 19 1303.7

5HMHFW�+�

E��7KHUH�LV�VRPH�LQGLFDWLRQ�RI�LQFUHDVLQJ�YDULDELOLW\�

�����

��

���

&2$7,1*7

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV&2$7,1*7

�UHVSRQVH LV &21'8&7,�

������������

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV WKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV &21'8&7,�

F������������������

����� D�Source DF SS MS F PCIRCUITT 2 260.9 130.5 4.01 0.046Error 12 390.8 32.6Total 14 651.7

5HMHFW�+�

E�7KHUH�LV�VRPH�LQGLFDWLRQ�RI�JUHDWHU�YDULDELOLW\�LQ�FLUFXLW�WZR�

Page 285: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

���

��

���

&,5&8,77

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV&,5&8,77

�UHVSRQVH LV 5(63216(�

������

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 5(63216(�

F����������������

����� D�Source DF SS MS F PRODDING 3 28633 9544 1.87 0.214Error 8 40933 5117Total 11 69567

����'R�QRW�UHMHFW�+�

E��3�YDOXH� ������

F�

��������

���

����

52'',1*

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV52'',1*

�UHVSRQVH LV 675(1*7+�

������������

���

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 675(1*7+�

����� D�Source DF SS MS F PORIFICE 5 1133.37 226.67 30.85 0.000Error 18 132.25 7.35Total 23 1265.63

����5HMHFW�+�

E��3�YDOXH� ��

F�

������������

��

��

��

��

��

25,),&(

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV25,),&(

�UHVSRQVH LV 5$'21�

������

��

��

��

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 5$'21�

G����������������

Page 286: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�Source DF SS MS F PAIRVOIDS 2 1230.2 615.1 8.30 0.002Error 21 1555.8 74.1Total 23 2786.0

����5HMHFW�+�

E��3�YDOXH� ������

F�

���

��

���

$,592,'6

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV$,592,'6

�UHVSRQVH LV 675(1*7+�

������

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 675(1*7+�

G����������������

H�����������������

������ D�Source DF SS MS F PPREPMETH 3 22.124 7.375 14.85 0.000Error 16 7.948 0.497Total 19 30.072�5HMHFW�+�

E��3�YDOXH� ��

F�

����

��

��

35(30(7+

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV35(30(7+

�UHVSRQVH LV 7(03(5$7�

��������

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV WKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 7(03(5$7�

G����������������

6HFWLRQ�����

������ 06(� �������VWDQGDUG�HUURU�RI�WKH�PHDQ� �06

Q

( ����

������������������������������

������ ����������������

������ �����������������������������������

������ �����������������������������������

������ �����������������

Page 287: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ �����������������������������������

������ ���������������������

������ �������������������������

������ Fisher's pairwise comparisonsFamily error rate = 0.264Individual error rate = 0.0500Critical value = 2.086Intervals for (column level mean) - (row level mean) 15 20 25 30 20 -9.346 -1.854 25 -11.546 -5.946 -4.054 1.546 30 -15.546 -9.946 -7.746 -8.054 -2.454 -0.254 35 -4.746 0.854 3.054 7.054 2.746 8.346 10.546 14.5466LJQLILFDQW�GLIIHUHQFHV�EHWZHHQ�OHYHOV����DQG��������DQG��������DQG��������DQG��������DQG��������DQG��������

DQG�����DQG����DQG����

������ Fisher's pairwise comparisonsFamily error rate = 0.117Individual error rate = 0.0500Critical value = 2.131Intervals for (column level mean) - (row level mean) 125 160 160 -1.9775 -0.2225 200 -1.4942 -0.3942 0.2608 1.36081R�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFHV�DPRQJ�WKH�OHYHOV�

������

� � � � �

� �

� �� � �� � ��

���

� � �� �����

����

� ��� � ��

� ��� � ��� ���

� � ��� � ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

� �� ���

� � �

� � �

� � �

� � � ��

� �

� �� � � � � � 5H

� �� � � � � 5H

� � �

P P P

P P P

� �

� �

� �

[ [ [

66

66

06 I

FRQWUDVW MHFW

FRQWUDVW 'RQRW MHFW

FRQWUDVW�

FRQWUDVW�

(

������ Fisher's pairwise comparisonsFamily error rate = 0.184Individual error rate = 0.0500Critical value = 2.179Intervals for (column level mean) - (row level mean) 1 2 3 2 -360 -11 3 -137 48 212 397 4 130 316 93 479 664 4426LJQLILFDQFH�GLIIHUHQFHV�EHWZHHQ�OHYHOV���DQG������DQG������DQG����DQG���DQG���

Page 288: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ Fisher's pairwise comparisons Family error rate = 0.0649Individual error rate = 0.0100Critical value = 2.947Intervals for (column level mean) - (row level mean) 1 2 3 4 2 -8.642 8.142 3 5.108 5.358 21.892 22.142 4 7.358 7.608 -6.142 24.142 24.392 10.642 5 -8.642 -8.392 -22.142 -24.392 8.142 8.392 -5.358 -7.608

6LJQLILFDQW�GLIIHUHQFHV�EHWZHHQ�OHYHOV���DQG������DQG������DQG������DQG������DQG����DQG���DQG���

������ Fisher's pairwise comparisonsFamily error rate = 0.0251Individual error rate = 0.0100Critical value = 3.055Intervals for (column level mean) - (row level mean) 1 2 2 -18.426 3.626 3 -8.626 -1.226 13.426 20.8261R�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFHV�DPRQJ�WKH�OHYHOV�

������

FRQWUDVW P� P� P� P� P� 66 I� 'HFLVLRQ

� ����� ����� ����� ����� � ��� ����� 5HMHFW

� ���� ���� ��� ��� � ������ ����� 5HMHFW

� �� � � � � ����� ����� 'R�QRW�5HMHFW

� � � �� � � ������ ����� 'R�QRW�5HMHFW

DYHUDJH ��� ������ ����� ������ ������ 06( �����

������

FRQWUDVW P� P� P� 66 I� 'HFLVLRQ

� � � �� ����� ���� 'R�QRW�UHMHFW

� � ���� ���� ����� ���� 'R�QRW�UHMHFW

DYHUDJH ���� ���� ���� 06( �����

������ Fisher's pairwise comparisons Family error rate = 0.330Individual error rate = 0.0500Critical value = 2.101Intervals for (column level mean) - (row level mean) 0.37 0.51 0.71 1.02 1.40 0.51 1.723 9.777 0.71 3.723 -2.027 11.777 6.027 1.02 6.973 1.223 -0.777 15.027 9.277 7.277 1.40 13.723 7.973 5.973 2.723 21.777 16.027 14.027 10.777 1.99 15.973 10.223 8.223 4.973 -1.777 24.027 18.277 16.277 13.027 6.2776LJQLILFDQW�GLIIHUHQFHV��EHWZHHQ�DOO�OHYHOV�H[FHSW������DQG�������DQG������DQG������

Page 289: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ Fisher's pairwise comparisons Family error rate = 0.118Individual error rate = 0.0500Critical value = 2.080Intervals for (column level mean) - (row level mean) 1 2 2 1.799 19.701 3 8.424 -2.326 26.326 15.5766LJQLILFDQW�GLIIHUHQFHV�EHWZHHQ�OHYHOV���DQG����DQG���DQG���

������ Fisher's pairwise comparisons Family error rate = 0.189Individual error rate = 0.0500Critical value = 2.120Intervals for (column level mean) - (row level mean) 1 2 3 2 -0.9450 0.9450 3 1.5550 1.5550 3.4450 3.4450 4 0.4750 0.4750 -2.0250 2.3650 2.3650 -0.13506LJQLILFDQFH�GLIIHUHQFHV�DPRQJ�DOO�OHYHOV�H[FHSW�OHYHOV���DQG���

������

FRQWUDVW P� P� P� P� 66 I� 'HFLVLRQ

� ��� ��� ���� ���� ����� ����� 5HMHFW

� � �� � � � � 'R�QRW�UHMHFW

� � � � �� ����� ���� 5HMHFW

DYHUDJH ���� ���� ���� ����� 06( ������

6HFWLRQ�����

������ D�Source DF SS MS F PLOOM 4 0.3416 0.0854 5.77 0.003Error 20 0.2960 0.0148Total 24 0.6376

5HMHFW�+���WKHUH�DUH�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFHV�DPRQJ�WKH�ORRPV�

E��������

F��������

G��5HVLGXDOV�DUH�DFFHSWDEOH

�����

���

���

���

����

����

/220

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV/220

�UHVSRQVH LV 287387�

������������

���

���

���

����

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 287387�

Page 290: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�Analysis of Variance for UNIFORMISource DF SS MS F PWAFERPOS 3 16.220 5.407 8.29 0.008Error 8 5.217 0.652Total 11 21.437

5HMHFW�+���WKHUH�LV�D�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�DPRQJ�ZDIHU�SRVLWLRQ�

E��������

F�������

G��*UHDWHU�YDULDELOLW\�DW�ZDIHU�SRVLWLRQ���

����

��

:$)(5326

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV:$)(5326

�UHVSRQVH LV 81,)250,�

����

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 81,)250,�

������ D�Source DF SS MS F PCHEMICAL 3 54.0 18.0 0.75 0.538Error 16 384.0 24.0Total 19 438.0

����'R�QRW�UHMHFW�+���WKHUH�LV�QR�GLIIHUHQFH�DPRQJ�WKH�FKHPLFDO�W\SHV�

E�����������VHW�HTXDO�WR��F���������

G��9DULDELOLW\�LV�VPDOOHU�LQ�FKHPLFDO���

����

��

��

&+(0,&$/

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV&+(0,&$/

�UHVSRQVH LV %5,*+71(�

����������

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV %5,*+71(�

������ D�� � � � �V V VWRWDO SRVLWLRQ� � � ���� �

E���

�V

V

SRVLWLRQ

WRWDO

�����

F��,W�FRXOG�EH�UHGXFHG�WR����������WKLV�LV�WKH�UHGXFWLRQ�RI�DSSUR[LPDWHO\�����

Page 291: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ�����

������ D�Source DF SS MS F PNOZZLE 4 0.102180 0.025545 8.92 0.000VELOCITY 5 0.062867 0.012573 4.39 0.007Error 20 0.057300 0.002865Total 29 0.2223475HMHFW�+���QR]]OH�W\SH�DIIHFWV�VKDSH�PHDVXUHPHQW�

������������������������������

����

����

����

����

����

9(/2&,7<

6+$3(

�����

����

����

����

����

����

12==/(

6+$3(

E������������������

���������������������

F�

������

���

���

����

9(/2&,7<

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV9(/2&,7<

�UHVSRQVH LV 6+$3(�

�����

���

���

����

12==/(

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV12==/(

�UHVSRQVH LV 6+$3(�

������������

���

���

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 6+$3(�

������ D�Source DF SS MS F PTIPTYPE 3 0.38500 0.12833 14.44 0.001SPECIMEN 3 0.82500 0.27500 30.94 0.000Error 9 0.08000 0.00889Total 15 1.29000

5HMHFW�+���WKHUH�DUH�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFHV�LQ�KDUGQHVV�PHDVXUHPHQWV�EHWZHHQ�WKH�WLSV�

E��������������������������

F��5HVLGXDOV�DUH�DFFHSWDEOH�

Page 292: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����

����

����

����

����

�����

�����

63(&,0(1

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV63(&,0(1

�UHVSRQVH LV +$5'1(66�

����

����

����

����

����

�����

�����

7,37<3(

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV7,37<3(

�UHVSRQVH LV +$5'1(66�

������������������������������������

����

����

����

����

�����

�����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV +$5'1(66�

������ D�Source DF SS MS F PTEST 2 0.0014000 0.0007000 3.00 0.125SUBJECT 3 0.0212250 0.0070750 30.32 0.001Error 6 0.0014000 0.0002333Total 11 0.0240250

����'R�QRW�UHMHFW�+���WKHUH�LV�QR�HYLGHQFH�RI�GLIIHUHQFHV�EHWZHHQ�WKH�WHVWV�

E��6RPH�LQGLFDWLRQ�RI�YDULDELOLW\�LQFUHDVLQJ�ZLWK�WKH�PDJQLWXGH�RI�WKH�UHVSRQVH�

����

����

����

����

�����

�����

�����

68%-(&7

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV68%-(&7

�UHVSRQVH LV $56(1,&�

���

����

����

����

�����

�����

�����

7(67

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV7(67

�UHVSRQVH LV $56(1,&��

������������

����

����

����

�����

�����

�����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV $56(1,&�

Page 293: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�Source DF SS MS F PSTORAGE 3 1972652 657551 4.33 0.014LOT 8 1980499 247562 1.63 0.169Error 24 3647150 151965Total 35 7600300

����5HMHFW�+���WKH�VWRUDJH�WLPHV�DUH�VLJQLILFDQWO\�GLIIHUHQW�

E��3�YDOXH� ������

F��������������������������������

G��2EVHUYDWLRQV�IURP�ORW���DW����GD\V�DSSHDUV�XQXVXDO���2WKHUZLVH��WKH�UHVLGXDOV�DUH�DFFHSWDEOH�

����������

����

���

����

/27

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV/27

�UHVSRQVH LV 352723(�

�����

����

���

����

6725$*(

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV6725$*(

�UHVSRQVH LV 352723(&�

������������

����

���

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 352723(&�

������ D�Source DF SS MS F PLENGTH 3 72.66 24.22 1.61 0.240WIDTH 4 90.52 22.63 1.50 0.263Error 12 180.83 15.07Total 19 344.01

'R�QRW�UHMHFW�+���PHDQ�OHDNDJH�YROWDJH�GRHV�QRW�GHSHQG�RQ�WKH�FKDQQHO�OHQJWK�

E��2QH�XQXVXDO�REVHUYDWLRQ�LQ�ZLGWK����OHQJWK���

�����

��

:,'7+

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV:,'7+

�UHVSRQVH LV /($.$*(�

����

��

/(1*7+

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV/(1*7+

�UHVSRQVH LV /($.$*(�

Page 294: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV /($.$*(�

������Source DF SS MS F PLENGTH 3 8.1775 2.7258 6.16 0.009WIDTH 4 6.8380 1.7095 3.86 0.031Error 12 5.3100 0.4425Total 19 20.32555HMHFW�+���PHDQ�OHDNDJH�YROWDJH�GRHV�GHSHQG�RQ�FKDQQHO�OHQJWK�

6HFWLRQ�����

������ P �� ��W�� �����W�� ����W�� �����W�� ���

)� ���

� ��� � � � � � � �

QQ D D Q Q

� �

� �� � � � �

9DULRXV�FKRLFHV�

Q )� ) D�Q��� 3RZHU ��E� � � �� ����

� � ���� �� ����

7KHUHIRUH��Q� ���LV�QHHGHG�

������ P ��� ��W�� ������W�� ����W�� ������W�� �����W�� �����)�� ����Q

Q )� ) D�Q��� 3RZHU ��E� ����� ���� �� ����

� ���� ���� �� ����

7KHUHIRUH��Q� ���LV�QHHGHG�

������ D� ����D�Q���� �����DQG�W� ��������7KXV�E� ������DQG�SRZHU� ����

������ D� ����D�Q���� �����DQG�W� ��������7KXV�E� ������DQG�SRZHU� ����

������

Q W� W D�Q��� SRZHU ��E� � � � ����

� � ���� � ����

� � ���� �� ����

� � ���� �� ���

7KHUHIRUH��Q� ���LV�QHHGHG�

Page 295: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

������ D�Analysis of Variance for RESISTANSource DF SS MS F PALLOY 2 10941.8 5470.9 76.09 0.000Error 27 1941.4 71.9Total 29 12883.2

�5HMHFW�+��

E����������������������

F������������������

G��9DULDELOLW\�RI�WKH�UHVLGXDOV�LQFUHDVHV�ZLWK�WKH�UHVSRQVH

���

��

��

��

���

���

$//2<

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV$//2<

�UHVSRQVH LV 5(6,67$1��

���������������

��

��

��

���

���

)LWWHG9DOXH5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 5(6,67$1�

������ D�Analysis of Variance for SURFROUGSource DF SS MS F PMATERIAL 3 0.2604 0.0868 5.29 0.017Error 11 0.1804 0.0164Total 14 0.4408

����5HMHFW�+�

E��2QH�REVHUYDWLRQ�LV�DQ�RXWOLHU�

����

���

���

���

���

����

����

0$7(5,$/

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV0$7(5,$/

�UHVSRQVH LV 685)528*�

�������

���

���

���

���

����

����

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV 685)528*�

F�

���������������

���

���

���

���

����

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV�UHVSRQVH LV 685)528*�

G�����������������

Page 296: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D ���Q+� �������06(� ��������

&RPSDULVRQV 'LIIHUHQFHV 5L

��YV�� ������ ������

��YV�� ������ ������

��YV�� ������ ������

��YV�� ������ ������

������ D�Analysis of Variance for SCORESource DF SS MS F PMETHOD 2 13.55 6.78 1.68 0.211Error 21 84.77 4.04Total 23 98.32

����'R�QRW�UHMHFW�+�

E��3�YDOXH� ������

F�

���

��

��

��

��

��

0(7+2'

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV0(7+2'

�UHVSRQVH LV 6&25(�

����������������

��

��

��

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 6&25(�

G����������0HWKRG�������

������ D�Analysis of Variance for VOLUMESource DF SS MS F PTEMPERAT 2 16480 8240 7.84 0.007Error 12 12610 1051Total 14 29090

����5HMHFW�+��

E��3�YDOXH� ������

F��������������������

G�

������

��

���

7(03(5$7

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV7(03(5$7

�UHVSRQVH LV 92/80(�

������������������������������������

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 92/80(�

Page 297: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�Source DF SS MS F PMEANWEIG 2 0.2227 0.1113 1.48 0.273AIRTEMP 5 10.1852 2.0370 27.13 0.000Error 10 0.7509 0.0751Total 17 11.1588

���5HMHFW�+�

E��������������������������������������

F�

���������

���

���

����

0($1:(,*

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV0($1:(,*

�UHVSRQVH LV :(,*+7*$�

�������������

���

���

����

$,57(03

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV$,57(03

�UHVSRQVH LV :(,*+7*$�

���

���

���

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV :(,*+7*$�

������ D�Source DF SS MS F PALGORITH 5 2825746 565149 6.23 0.000PROJECT 7 2710323 387189 4.27 0.002Error 35 3175290 90723Total 47 8711358

5HMHFW�+�

E�

��������

����

���

����

352-(&7

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV352-(&7

�UHVSRQVH LV 3&7(5525�

������

����

���

����

$/*25,7+

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV$/*25,7+

�UHVSRQVH LV 3&7(5525�

Page 298: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

��������

����

���

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV 3&7(5525�

F��7KH�EHVW�FKRLFH�LV�DOJRULWKP���

������ D��P� ������������� �����DQG

����)

)

�� � � �� � � � � � � � � � � � �

� ������

���

� � � � � � �

>� � � � � � � � � � � � @

� ��

1XPHUDWRU�GHJUHHV�RI�IUHHGRP� � D � � � �Q

'HQRPLQDWRU�GHJUHHV�RI�IUHHGRP� � D Q� �� � �� �Q

)URP�&KDUW�9,,��E� �����DQG�WKH�SRZHU� �����E� ����E�

Q )� ) D�Q��� E 3RZHU� ���E

� ����� ����� �� ��� ���

�� ����� ����� �� ���� ����

�� ����� ����� �� ���� ���

7KH�VDPSOH�VL]H�VKRXOG�EH�DSSUR[LPDWHO\�Q� ����

������ D��O V

V

� � �� � �

� �

����)URP�&KDUW�9,,,�ZLWK�QXPHUDWRU�GHJUHHV�RI�IUHHGRP� �D����� ����GHQRPLQDWRU�GHJUHHV�RI�IUHHGRP� �D�Q������

�����E� �������DQG�WKH�SRZHU� �����E� ������E�

Q O D�Q����� E 3RZHU� �����E� ����� �� ���� ����

7KH�VDPSOH�VL]H�VKRXOG�EH�DSSUR[LPDWHO\�Q� ��

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������ 06

\ \

D Q(

L

D

M

Q

LM L

¦ ¦ �

� � �

� �

� �

DQG�\LM L LM � �P D H ��7KHQ��\ \LM L LM L� �� �H H �DQG�

M

Q

LM L

Q

¦ �

��

� ��H H�LV�UHFRJQL]HG�WR�EH�WKH�VDPSOH�YDULDQFH�RI�WKH�LQGHSHQGHQW�UDQGRP�YDULDEOHV�

H H HL L LQ� �� ����� �

7KHUHIRUH��(Q

M

Q

LM L

¦ �

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

� ��H H

V �DQG�( 06D

(L

D� � ¦

��V

V �

7KH�GHYHORSPHQW�ZRXOG�QRW�FKDQJH�LI�WKH�UDQGRP�HIIHFWV�PRGHO�KDG�EHHQ�VSHFLILHG�EHFDXVH

\ \LM L LM L� �� �H H �IRU�WKLV�PRGHO�DOVR�

Page 299: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 7KH�WZR�VDPSOH�W�WHVW�UHMHFWV�HTXDOLW\�RI�PHDQV�LI�WKH�VWDWLVWLF

W\ \

V

\ \

VS Q Q S Q

�_ _ _ _� �

� �

� �

�LV�WRR�ODUJH��7KH�$129$�)�WHVW�UHMHFWV�HTXDOLW\�RI�PHDQV�LI�

)

Q \ \

06

L

L

(

¦ � �

��� �� ��

�LV�WRR�ODUJH�

1RZ� )\ \

06

\ \

06

Q

( ( Q

�� � �

�� �

� � � �� � � � �DQG�06 V( S � �

&RQVHTXHQWO\��) W � ��$OVR��WKH�GLVWULEXWLRQ�WKH�VTXDUH�RI�D�W�UDQGRP�YDULDEOH�ZLWK�D�Q������GHJUHHV�RI

IUHHGRP�LV�DQ�)�GLVWULEXWLRQ�ZLWK���DQG�D�Q������GHJUHHV�RI�IUHHGRP��7KHUHIRUH��LI�WKH�WDEXODWHG�W�YDOXH�IRU�D

WZR�VLGHG�W�WHVW�RI�VL]H�D��LV�W���WKHQ�WKH�WDEXODWHG�)�YDOXH�IRU�WKH�)�WHVW�DERYH�LV�W�

���7KHUHIRUH��W�!� W �

ZKHQHYHU���)� �W W�

�! �DQG�WKH�WZR�WHVWV�DUH�LGHQWLFDO�

������ 06

\ \

Q(

L M

Q

LM L

¦ ¦ �

� �

� �

� �

� �

�DQG�M

Q

LM L\ \

Q

¦ �

��

� ��

�LV�UHFRJQL]HG�DV�WKH�VDPSOH�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�

FDOFXODWHG�IURP�WKH�GDWD�IURP�SRSXODWLRQ�L��7KHQ��06V V

( �

��ZKLFK�LV�WKH�SRROHG�YDULDQFH�HVWLPDWH�

XVHG�LQ�WKH�W�WHVW�

������ 9 F < F 9 <L

D

L LL

D

L L� � � �� �

¦ ¦� �

� �IURP�WKH�LQGHSHQGHQFH�RI�< < <D� �� � �� ����� �

$OVR��9 < QL L L� �� V� � 7KHQ�� 9 F < F Q

L

D

L LL

D

L L� ��

¦ ¦�

�V

������ ,I�E��F��DQG�G�DUH�WKH�FRHIILFLHQWV�RI�WKUHH�RUWKRJRQDO�FRQWUDVWV��LW�FDQ�EH�VKRZQ�WKDW�

� � � � � � � �� � �

�L

L L

L

D

L

L

D

L L

L

D

L

L

D

L L

L

D

LL

D

LL

D

LE \

E

F \

F

G \

G

\

\

D

¦

¦

�¦

¦

�¦

¦

¦ �¦

��

� �

� �

�DOZD\V�KROGV��8SRQ�GLYLGLQJ�ERWK�VLGHV�E\�Q��

ZH�KDYH�4 4 4\

Q

\

1L

DL

��

��

��

� � ¦ �

� �� �ZKLFK�HTXDOV�66WUHDWPHQWV ��7KH�HTXDWLRQ�DERYH�FDQ�EH�REWDLQHG�

IURP�D�JHRPHWULFDO�DUJXPHQW��7KH�VTXDUH�RI�WKH�GLVWDQFH�RI�DQ\�SRLQW�LQ�IRXU�GLPHQVLRQDO�VSDFH�IURP�WKH�

]HUR�SRLQW�FDQ�EH�H[SUHVVHG�DV�WKH�VXP�RI�WKH�VTXDUHG�GLVWDQFH�DORQJ�IRXU�RUWKRJRQDO�D[HV��/HW�RQH�RI�WKH�

D[HV�EH�WKH����GHJUHH�OLQH�DQG�OHW�WKH�SRLQW�EH�� \ \ \ \� � � �� � � �� � � ���7KH�WKUHH�RUWKRJRQDO�FRQWUDVWV�DUH�WKH�

RWKHU�WKUHH�D[HV��7KH�VTXDUH�RI�WKH�GLVWDQFH�RI�WKH�SRLQW�IURP�WKH�RULJLQ�LV�L

D

L\

¦�

��DQG�WKLV�HTXDOV�WKH�VXP�RI�

WKH�VTXDUHG�GLVWDQFHV�DORQJ�HDFK�RI�WKH�IRXU�D[HV�

������ %HFDXVH�)� �

¦ �

Q

D

L

D

L� �P P

V��ZH�RQO\�QHHG�WR�VKRZV�WKDW�

'

L

D

L

�d ¦ �

� �P P �

/HW�P��DQG�P��GHQRWH�WKH�PHDQV�WKDW�GLIIHU�E\�'��1RZ�� � � � �P P��

��� � �[ [ �LV�PLQLPL]HG�IRU�[�HTXDO�WR�WKH

PHDQ�RI�P��DQG�P���7KHUHIRUH�� � � � � � � � � � �PP P

PP P

P P P P P P�� �

�� ��

��

� ��

��

�� d � � � d ¦ � L

D

L

7KHQ�� P P P PP P

� �

� �

� � � �

� � � � �

�§

©¨

·

¹¸ �

�§

©¨

·

¹¸ � d ¦ �

' ' '

L

D

L� � �

Page 300: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 06

\ \

D Q

V

D(

L

D

M

Q

LM LL

D

L

¦ ¦ �

¦

� �

� �

� �

�ZKHUH� V

\ \

QL

M

Q

LM L� �

¦ �

� ��

��%HFDXVH�VL

� �LV�WKH�VDPSOH�YDULDQFH�RI�

\ \ \L L LQ� �� ����� � �� �Q 6

L� � �

�V�KDV�D�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q���GHJUHHV�RI�IUHHGRP��7KHQ��

D Q 06(� ����V

�LV�D�VXP�RI�LQGHSHQGHQW�FKL�VTXDUH�UDQGRP�YDULDEOHV��&RQVHTXHQWO\��D Q 06(� ���

�V�KDV�D�

FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�D�Q������GHJUHHV�RI�IUHHGRP��&RQVHTXHQWO\�

3D Q

D Q 06

D Q

3D Q 06

D Q

D Q 06

D Q

(

( (

�� � �

� �

� � ��

� �

� � �

� �

� � �

FD V

FD

D

FD

VF

D

��

� �

��

� �

��

��

� �d

�d

� �

d d�

� �

§

©

¨¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸¸

8VLQJ�WKH�IDFW�WKDW�D�Q������ �1���D�FRPSOHWHV�WKH�GHULYDWLRQ�

������ )URP�([HUFLVH��������� �1 D 06(�

V��KDV�D�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�1���D�GHJUHHV�RI�IUHHGRP��1RZ��

9 <Q

L� �� �VV��

�DQG�067 �LV�Q�WLPHV�WKH�VDPSOH�YDULDQFH�RI�\ \ \D� �� � �

� ����� ��7KHUHIRUH��

� �

� �

� �D 06

Q

D 06

Q

7

Q

7�

�� �

V V VW

VW

�KDV�D�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�D�����GHJUHHV�RI�IUHHGRP��8VLQJ�WKH�

LQGHSHQGHQFH�RI�067�DQG�06(��ZH�FRQFOXGH�WKDW�

06

Q

06

7

(

V V

V

W

� �

��KDV�DQ�) D 1 D�� ���� �� �GLVWULEXWLRQ�

7KHUHIRUH�

3 I06

06 QI

3Q D 1 D

06

06 Q D 1 D

06

06

D 1 D

7

( D 1 D

I7

(I

7

(

� �

� � � �

� � � �� �

� � �

��

��

� �

��

��

��

� � � � �

d�

d �

� �

ª

¬

«««

º

¼

»»»d d

� � ��

ª

¬

«««

º

¼

»»»

§

©

¨¨¨

·

¹

¸¸¸

DV

V VD D

D

V

V D

W

W

E\�DQ�DOJHEUDLF�VROXWLRQ�IRU� V

V

W

�DQG�3 / 8� �d dV

V

W

Page 301: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ $V�LQ�([HUFLVH��������06

06 Q

7

(

V

V VW

� ���KDV�DQ�) D 1 D� ��� �� �� �GLVWULEXWLRQ�

DQG

� �

�� �

��

� �

� �

� d d

d d

� d � d �

d�

d�

DV

V

V

V

V

V

V

V V

W

W

W

W

W

3 / 8

38 /

38 /

3/

/

8

8

� �

� �

� �

� �

������ )URP�([HUFLVH�������

��

� �

� �

� �

� d d

� d�

d �

� d�

d �

d�

d�

DV

V

V

V

V V

V

V

V V

W

W

W

W

3 / 8

3 / 8

3 / 8

38 /

� �

� �

� �

� �

7KHUHIRUH�� � � ��

�8 /� ��LV�D�FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�

V

V VW

� ��

������ 06

Q \ \

D7

L

D

L L

¦ �

� �

� �� ��

�DQG�IRU�DQ\�UDQGRP�YDULDEOH�;��( ; 9 ; ( ;� � � � > � �@� � � ��7KHQ�

( 06

Q 9 < < ( < <

D7

L

D

L L L

� �

^ � � > � �@ `� �� � ��

¦ � � �

� �

1RZ�� < < < < < < < <DQ 1 Q 1 Q 1 1 Q 1 D 1 DQ�

� ���

� ��

���

��

��

� � � �� �� � � ��� � � ��� ��� ���� � � � � � � � � � � �

DQG

9 < < Q1 Q

1

( < < QQ

1

Q

1

Q 1 Q 1

Q 1D

D

� � � � � �

� � � � ���

� ��

� ��

�� � �

��

�� � �

�� �

� ��

� �

� �

� � ��

� � � � �

V

O O O O IURP��WKH��FRQVWUDLQW

7KHQ�

( 06

QL

D

Q L Q

D

Q

D7

L

D

L Q 1 LL

D

LQ

1 L LL

D

L L� �

^� � ` >� � @

¦ � �

¦ � �

� �

¦

� �

� � � �

� �

� �

� �

V O V O

V

O

%HFDXVH�( 06(� � V� �

WKLV�GRHV�VXJJHVW�WKDW�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�LV�DV�JLYHQ�LQ�WKH�H[HUFLVH�

Page 302: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��,I�$�LV�WKH�ZLGWK�RI�WKH�LQWHUYDO��WKHQ� W ( $D Q

06

QD�

� � ��

6TXDULQJ�ERWK�VLGHV�\LHOGV� W ( $D Q

06

QD�

� � �

� � ��

$V�LQ�([HUFLVH�������� W )D Q

D QD D

��

�� �

� � �� � � �

� ��7KHQ�

Q06 )

$

( D Q

�� � �

D� � � �

E��%HFDXVH�Q�GHWHUPLQHV�RQH�RI�WKH�GHJUHHV�RI�IUHHGRP�RI�WKH�WDEXODWHG�)�YDOXH�RQ�WKH�ULJKW�VLGH�RI�WKH�HTXDWLRQ�LQ�SDUW�D���

����VRPH�DSSUR[LPDWLRQ�LV�QHHGHG��%HFDXVH�WKH�YDOXH�IRU�D�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�EDVHG�RQ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�LV�������ZH�

����DSSUR[LPDWH� WD QD

��� � ��

�E\���DQG

���� W )D Q

D QD D

��

�� �

� � �� � � �

� �E\���

7KHQ��Q � � �

��

� �� ���:LWK�Q� ����D�Q������ ����DQG�)� ����� ���� � � � �

7KH�YDOXH������FDQ�EH�XVHG�IRU�)�LQ�WKH�HTXDWLRQ�IRU�Q�DQG�D�QHZ�YDOXH�FDQ�EH�FRPSXWHG�IRU�Q�DV

Q #� � ���

�� �� �

� �� � ��

%HFDXVH�WKH�VROXWLRQ�IRU�Q�GLG�QRW�FKDQJH��ZH�FDQ�XVH�Q� ����,I�QHHGHG��DQRWKHU�LWHUDWLRQ�FRXOG�EH�XVHG�WR

UHILQH�WKH�YDOXH�RI�Q�

Page 303: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

&+$37(5���

6HFWLRQ�����

����� D�Source DF SS MS F Pmaterial 2 10683.7 5341.9 7.91 0.002temperat 2 39118.7 19559.4 28.97 0.000material*temperat 4 9613.8 2403.4 3.56 0.019Error 27 18230.7 675.2Total 35 77647.0

0DLQ�IDFWRUV�DQG�LQWHUDFWLRQ�DUH�DOO�VLJQLILFDQW�

E�

���������

���

���

��

WHPSHUDW

PDWHULDO

0HDQ

,QWHUDFWLRQ�3ORW���0HDQV�IRU�OLIH

F�

���

��

���

WHPSHUDW

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWHPSHUDW�UHVSRQVH LV OLIH�

���

��

���

PDWHULDO

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVPDWHULDO�UHVSRQVH LV OLIH�

��������

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV OLIH�

����� D�

Page 304: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

Source DF SS MS F Ppaint 1 355.6 355.6 1.90 0.193drying 2 27.4 13.7 0.07 0.930paint*drying 2 1878.8 939.4 5.03 0.026Error 12 2242.7 186.9Total 17 4504.4

��2QO\�WKH�LQWHUDFWLRQ�LV�VLJQLILFDQW�

E�

������

��

��

���

���

GU\LQJ

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVGU\LQJ

�UHVSRQVH LV VXUIILQL�

���������

��

��

���

���

SDLQW

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVSDLQW

�UHVSRQVH LV VXUIILQL��

��������

��

��

���

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV VXUIILQL�

����� E�Source DF SS MS F Pglasstyp 1 14450.0 14450.0 273.79 0.000phostype 2 933.3 466.7 8.84 0.004glasstyp*phostype 2 133.3 66.7 1.26 0.318Error 12 633.3 52.8Total 17 16150.0

����0DLQ�HIIHFWV�DUH�VLJQLILFDQW��WKH�LQWHUDFWLRQ�LV�QRW�VLJQLILFDQW�

F�

���

��

��

��

���

SKRVW\SH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVSKRVW\SH�UHVSRQVH LV FXUUHQW�

���������

��

��

��

���

JODVVW\S

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVJODVVW\S�UHVSRQVH LV FXUUHQW�

Page 305: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

���������������������������

��

��

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV FXUUHQW�

����� E�Source DF SS MS F Pfurnacep 1 7160 7160 16.00 0.002temperat 2 945342 472671 1056.12 0.000furnacep*temperat 2 818 409 0.91 0.427Error 12 5371 448Total 17 958691

��%RWK�PDLQ�IDFWRUV�DUH�VLJQLILFDQW�

F�

������������������

��

��

��

��

���

���

���

���

���

WHPSHUDW

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWHPSHUDW�UHVSRQVH LV GHQVLW\�

���������

��

��

��

��

���

���

���

���

���

IXUQDFHS

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVIXUQDFHS�UHVSRQVH LV GHQVLW\�

�����������������������

��

��

��

��

���

���

���

���

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV GHQVLW\�

�����Fisher's pairwise comparisons Family error rate = 0.117Individual error rate = 0.0500Critical value = 2.131Intervals for (column level mean) - (row level mean) 800 825 825 -518.4 -445.0 850 -27.9 453.8 45.5 527.2

Page 306: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� E�

���������������

��

��

��

��

FRSSHUFR

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVFRSSHUFR�UHVSRQVH LV ZDUSLQJ�

����������������������

��

��

��

��

WHPSHUDW

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWHPSHUDW�UHVSRQVH LV ZDUSLQJ�

������

��

��

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV�UHVSRQVH LV ZDUSLQJ�

F����

��

��

��

��

��

��

FRSSHUFRQ

ZDUSLQJ

%R[SORWVRI ZDUSLQJ E\ FRSSHUFR�PHDQV DUH LQGLFDWHG E\ VROLG FLUFOHV�

Fisher's pairwise comparisonsFamily error rate = 0.195Individual error rate = 0.0500Critical value = 2.048Intervals for (column level mean) - (row level mean) 40 60 80 60 -7.139 0.389 80 -9.264 -5.889 -1.736 1.639 100 -16.514 -13.139 -11.014 -8.986 -5.611 -3.486

G��1R��EHFDXVH�WKH�IDFWRUV�GR�QRW�LQWHUDFW�

����� ��

�V;

������

�� �� 6DPH�FRQFOXVLRQV�

Page 307: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�Source DF SS MS F Pfrequenc 2 209.893 104.946 522.40 0.000environm 2 64.252 32.126 159.92 0.000frequenc*environm 4 101.966 25.491 126.89 0.000Error 27 5.424 0.201Total 35 381.535

����%RWK�PDLQ�IDFWRUV�DQG�LQWHUDFWLRQ�DUH�VLJQLILFDQW�

E�Source DF SS MS F Pfrequenc 2 7.5702 3.7851 404.09 0.000environm 2 2.3576 1.1788 125.85 0.000frequenc*environm 4 3.5284 0.8821 94.17 0.000Error 27 0.2529 0.0094Total 35 13.7092

���

���

���

���

����

����

����

HQYLURQP

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVHQYLURQP�UHVSRQVH LV JURZWKUD�

����

���

���

���

����

����

����

IUHTXHQF

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVIUHTXHQF�UHVSRQVH LV JURZWKUD�

������������

���

���

���

����

����

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV�UHVSRQVH LV JURZWKUD�

F��5HVLGXDO�SORWV�RQ�WKH�ORJ�VFDOH�DUH�LPSURYHG�

���

���

���

���

����

����

HQYLURQP

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVHQYLURQP�UHVSRQVH LV OQJURZWK�

����

���

���

���

����

����

IUHTXHQF

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVIUHTXHQF�UHVSRQVH LV OQJURZWK�

Page 308: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

���������

���

���

���

����

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV�UHVSRQVH LV OQJURZWK�

����� D�Source DF SS MS F Pdoping 1 1.442 1.442 25.23 0.000anneal 4 124.238 31.059 543.52 0.000doping*anneal 4 0.809 0.202 3.54 0.048Error 10 0.571 0.057Total 19 127.060

����%RWK�PDLQ�IDFWRUV�DQG�WKH�LQWHUDFWLRQ�DUH�VLJQLILFDQW�

E�

����������

��

��

DQQHDO

GRSLQJ

0HDQ

,QWHUDFWLRQ�3ORW���0HDQV�IRU�FXUUHQW

F�

�����

���

���

���

���

����

����

����

DQQHDO

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVDQQHDO

�UHVSRQVH LV FXUUHQW�

���������

���

���

���

���

����

����

����

GRSLQJ

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVGRSLQJ�UHVSRQVH LV FXUUHQW�

Page 309: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�����������

���

���

���

���

����

����

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV FXUUHQW�

������ D�

V

V

;

;

r r

� ������

����

� � ��

� �

E�Fisher's pairwise comparisonsFamily error rate = 0.258Individual error rate = 0.0500Critical value = 2.131Intervals for (column level mean) - (row level mean) 1 2 3 4 2 -4.9187 -3.6113 3 -6.6662 -2.4012 -5.3588 -1.0938 4 -6.9487 -2.6837 -0.9362 -5.6413 -1.3763 0.3712 5 -7.4787 -3.2137 -1.4662 -1.1837 -6.1713 -1.9063 -0.1588 0.1237

F��7KH�FRQFOXVLRQV�DUH�WKH�VDPH�

6HFWLRQ�����

������ D���E�Source DF SS MS F Phardwood 2 8.3750 4.1875 7.64 0.003cookingt 1 17.3611 17.3611 31.66 0.000freeness 2 21.8517 10.9258 19.92 0.000hardwood*cookingt 2 3.2039 1.6019 2.92 0.075hardwood*freeness 4 6.5133 1.6283 2.97 0.042cookingt*freeness 2 1.0506 0.5253 0.96 0.399Error 22 12.0644 0.5484Total 35 70.4200

����$OO�PDLQ�IDFWRUV�DUH�VLJQLILFDQW���7KH�LQWHUDFWLRQ�RI�KDUGZRRG IUHHQHVV�LV�DOVR�VLJQLILFDQW�

Page 310: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F�

������������������

��

IUHHQHVV

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVIUHHQHVV

�UHVSRQVH LV VWUHQJWK�

������������������

��

FRRNLQJW

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVFRRNLQJW

�UHVSRQVH LV VWUHQJWK�

������

��

KDUGZRRG

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVKDUGZRRG

�UHVSRQVH LV VWUHQJWK�

��������������

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV�UHVSRQVH LV VWUHQJWK�

������ D�Source DF SS MS F Pcycletim 2 393.037 196.519 40.25 0.000operator 2 256.148 128.074 26.23 0.000temperat 1 71.185 71.185 14.58 0.000cycletim*operator 4 307.519 76.880 15.75 0.000cycletim*temperat 2 67.704 33.852 6.93 0.003operator*temperat 2 13.481 6.741 1.38 0.263Error 40 195.296 4.882Total 53 1304.370

����2QO\�WKH�RSHUDWRU WHPSHUDWXUH�LQWHUDFWLRQ�LV�LQVLJQLILFDQW�

E�

������������������

��

��

��

��

WHPSHUDW

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWHPSHUDW�UHVSRQVH LV VFRUH�

���

��

��

��

��

RSHUDWRU

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVRSHUDWRU

�UHVSRQVH LV VFRUH�

Page 311: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������

��

��

��

��

F\FOHWLP

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVF\FOHWLP�UHVSRQVH LV VFRUH�

��������

��

��

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV VFRUH�

6HFWLRQ�����

������ D�Source DF SS MS F Pspeed 1 1332 1332 0.49 0.502hardness 1 28392 28392 10.42 0.010angle 1 20592 20592 7.56 0.023speed*hardness 1 506 506 0.19 0.677speed*angle 1 56882 56882 20.87 0.000hardness*angle 1 2352 2352 0.86 0.377Error 9 24530 2726Total 15 134588

E���\� ����������������[VSHHG���������[KDUGQHVV���������[DQJOH��������[VSHHG DQJOHF�

����

��

���

DQJOH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVDQJOH

�UHVSRQVH LV OLIH�

����

��

���

KDUGQHVV

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVKDUGQHVV

�UHVSRQVH LV OLIH�

����

��

���

VSHHG

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVVSHHG�UHVSRQVH LV OLIH�

������������

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV OLIH�

Page 312: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������Estimated Effects and Coefficients for scoreTerm Effect Coef StDev Coef T PConstant 175.250 0.5467 320.59 0.000A 8.250 4.125 0.5467 7.55 0.000B -10.375 -5.187 0.5467 -9.49 0.000C 2.125 1.062 0.5467 1.94 0.070D -0.375 -0.187 0.5467 -0.34 0.736A*B -0.125 -0.063 0.5467 -0.11 0.910A*C -0.625 -0.313 0.5467 -0.57 0.575A*D 9.125 4.562 0.5467 8.35 0.000B*C -0.250 -0.125 0.5467 -0.23 0.822B*D 1.250 0.625 0.5467 1.14 0.270C*D -1.250 -0.625 0.5467 -1.14 0.270A*B*C -8.000 -4.000 0.5467 -7.32 0.000A*B*D -9.250 -4.625 0.5467 -8.46 0.000A*C*D -8.750 -4.375 0.5467 -8.00 0.000B*C*D -8.625 -4.312 0.5467 -7.89 0.000A*B*C*D -1.625 -0.812 0.5467 -1.49 0.157

�����

����

��

'

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV'

�UHVSRQVH LV VFRUH�

����

��

&

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV&�UHVSRQVH LV VFRUH�

����

��

%

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV%�UHVSRQVH LV VFRUH�

����

��

$

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXV$

�UHVSRQVH LV VFRUH�

�������

��

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV VFRUH�

Page 313: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ VWDQGDUG�HUURU�RI�WKH�HIIHFWV� ���������&RQVWUXFW�DSSUR[LPDWH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDOV�RQ�HDFK�HVWLPDWHG�

HIIHFW��HVWLPDWHG�HIIHFW�r���VWDQGDUG�HUURU����)URP�WKH�LQWHUYDOV��$��&��'��$'��$%&��$%'��$&'��DQG�

%&'�

������ D�(VWLPDWHG�(IIHFWV�DQG�&RHIILFLHQWV�IRU�VWUHQJWK

7HUP����������(IIHFW

$�������������������

%�������������������

&�������������������

'�������������������

(�������������������

$ %�����������������

$ &�����������������

$ '�����������������

$ (�����������������

% &�����������������

% '�����������������

% (�����������������

& '�����������������

& (�����������������

' (�����������������

$ % &���������������

$ % '���������������

$ % (���������������

$ & '���������������

$ & (���������������

$ ' (���������������

% & '���������������

% & (���������������

% ' (���������������

& ' (���������������

$ % & '�������������

$ % & (�������������

$ % ' (�������������

$ & ' (�������������

% & ' (�������������

$ % & ' (�����������

E�

������������

��

(IIHFW

1RUPDO

6FRUH

$%''(

('

$%

$

%

1RUPDO�3UREDELOLW\�3ORW�RI�WKH�(IIHFWV�UHVSRQVH LV VWUHQJWK� $OSKD ����

����7KH�HIIHFWV�WKDW�DSSHDU�WR�EH�LPSRUWDQW�DUH�$��%��'��(��DQG�WKH�LQWHUDFWLRQV�$%��'(��DQG�$%'�

Page 314: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F��7KH�UHJUHVVLRQ�DQDO\VLV�DQG�ILQDO�PRGHO�DUH7KH�UHJUHVVLRQ�HTXDWLRQ�LV

VWUHQJWK� ������������$��������%�������'�������(�������$%�������'(��

����$%'

3UHGLFWRU�������&RHI�������6W'HY����������7��������3

&RQVWDQW��������������������������������������������

$���������������������������������������������������

%���������������������������������������������������

'���������������������������������������������������

(���������������������������������������������������

$%��������������������������������������������������

'(��������������������������������������������������

$%'�������������������������������������������������

6� �������������5�6T� �����������5�6T�DGM�� ������

$QDO\VLV�RI�9DULDQFH

6RXUFH�������')����������66����������06���������)��������3

5HJUHVVLRQ������������������������������������������������

(UURU����������������������������������

7RWDO����������������������

6RXUFH�������')������6HT�66

$��������������������������

%��������������������������

'��������������������������

(��������������������������

$%�������������������������

'(�������������������������

$%'������������������������

����%DVHG�RQ�WKH�DQDO\VLV�RI�YDULDQFH��WKH�PRGHO�DSSHDUV�WR�EH�DGHTXDWH�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� ���������

�����������������������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����

���

���

���

���

���

����

����

����

����

'(

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV '(

�UHVSRQVH LV VWUHQJ�

����

���

���

���

���

���

����

����

����

����

$%'

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV $%'

�UHVSRQVH LV VWUHQJW�

����7KH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW�RI�WKH�UHVLGXDOV�LQGLFDWHV�WKH�DVVXPSWLRQ�RI�QRUPDOLW\�LV�QRW�YLRODWHG�

����7KH�PRGHO�DSSHDUV�WR�EH�DGHTXDWH�

G��7R�PD[LPL]H�VWUHQJWK��WKH�YDULDEOHV�$��%��'��DQG�(�VKRXOG�EH�LQFUHDVHG���9DULDEOH�&�LV�QRW�VLJQLILFDQW�

�����WKXV�DQ\�OHYHO�RI�&�ZRXOG�EH�DFFHSWDEOH�

Page 315: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D���E�Estimated Effects and Coefficients for chargeTerm Effect Coef StDev Coef T PConstant -1.000 0.4462 -2.24 0.055cleanmet -5.593 -2.797 0.4462 -6.27 0.000testpos -1.280 -0.640 0.4462 -1.43 0.189cleanmet*testpos -1.220 -0.610 0.4462 -1.37 0.209

Analysis of Variance for chargeSource DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 98.771 98.7713 49.386 20.67 0.0012-Way Interactions 1 4.465 4.4652 4.465 1.87 0.209Residual Error 8 19.110 19.1101 2.389 Pure Error 8 19.110 19.1101 2.389Total 11 122.347

����7HVW�SRVLWLRQ�LV�WKH�VLJQLILFDQW�IDFWRU�

F�

���������

��

��

��

WHVWSRV

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWHVWSRV�UHVSRQVH LV FKDUJH�

���������

��

��

��

FOHDQPHW

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVFOHDQPHW

�UHVSRQVH LV FKDUJH�

�������������

��

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV FKDUJH�

������ D�

���������

��

(IIHFW

1RUPDO6FRUH

$

$%

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH (IIHFWV�UHVSRQVH LV LQFKHV� $OSKD ����

$� IDFWRUB$%� IDFWRUB%

&� IDFWRUB&

'� IDFWRUB'

Page 316: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

Estimated Effects and Coefficients for inchesTerm Effect CoefConstant 35.938factor_A -16.125 -8.063factor_B 3.125 1.562factor_C -1.125 -0.562factor_D -1.125 -0.562factor_A*factor_B -4.375 -2.187factor_A*factor_C -0.625 -0.312factor_A*factor_D -3.125 -1.562factor_B*factor_C 1.625 0.812factor_B*factor_D 0.125 0.063factor_C*factor_D -0.625 -0.313factor_A*factor_B*factor_C 0.625 0.313factor_A*factor_B*factor_D -2.375 -1.188factor_A*factor_C*factor_D -1.125 -0.563factor_B*factor_C*factor_D -0.875 -0.437factor_A*factor_B*factor_C*factor_D 0.125 0.063

����$FFRUGLQJ�WR�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW��IDFWRUV�$��%��DQG�$%�DSSHDU�WR�EH�VLJQLILFDQW�

E���F��5HPRYLQJ�WKH�WKUHH�DQG�IRXU�IDFWRU�LQWHUDFWLRQV�WKH�DQDO\VLV�DQG�UHVLGXDO�SORW�DUH�IRXQG�Term Effect Coef StDev Coef T PConstant 35.938 0.6355 56.55 0.000factor_A -16.125 -8.063 0.6355 -12.69 0.000factor_B 3.125 1.562 0.6355 2.46 0.057factor_C -1.125 -0.562 0.6355 -0.89 0.417factor_D -1.125 -0.562 0.6355 -0.89 0.417factor_A*factor_B -4.375 -2.187 0.6355 -3.44 0.018factor_A*factor_C -0.625 -0.312 0.6355 -0.49 0.644factor_A*factor_D -3.125 -1.562 0.6355 -2.46 0.057factor_B*factor_C 1.625 0.812 0.6355 1.28 0.257factor_B*factor_D 0.125 0.063 0.6355 0.10 0.925factor_C*factor_D -0.625 -0.313 0.6355 -0.49 0.644

�������

��

��

��

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV LQFKHV�

������ D�

Page 317: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�������

��

��

(IIHFW

1RUPDO6FRUH

$%&

$

%

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH (IIHFWV�UHVSRQVH LV \LHOG� $OSKD ����

$� IDFWRUB$%� IDFWRUB%

&� IDFWRUB&

'� IDFWRUB'(� IDFWRUB(

����)DFWRUV�$��%��&��DQG�WKH�LQWHUDFWLRQ�$%�DSSHDU�WR�EH�VLJQLILFDQW�

E�Term Effect Coef StDev Coef T PConstant 30.5312 0.2786 109.57 0.000factor_A 11.8125 5.9063 0.2786 21.20 0.000factor_B 33.9375 16.9687 0.2786 60.90 0.000factor_C 9.6875 4.8437 0.2786 17.38 0.000factor_D -0.8125 -0.4063 0.2786 -1.46 0.164factor_E 0.4375 0.2187 0.2786 0.79 0.444factor_A*factor_B 7.9375 3.9687 0.2786 14.24 0.000factor_A*factor_C 0.4375 0.2187 0.2786 0.79 0.444factor_A*factor_D -0.0625 -0.0313 0.2786 -0.11 0.912factor_A*factor_E 0.9375 0.4687 0.2786 1.68 0.112factor_B*factor_C 0.0625 0.0313 0.2786 0.11 0.912factor_B*factor_D -0.6875 -0.3437 0.2786 -1.23 0.235factor_B*factor_E 0.5625 0.2813 0.2786 1.01 0.328factor_C*factor_D 0.8125 0.4062 0.2786 1.46 0.164factor_C*factor_E 0.3125 0.1563 0.2786 0.56 0.583factor_D*factor_E -1.1875 -0.5938 0.2786 -2.13 0.049

Analysis of Variance for yieldSource DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 5 11087.9 11087.9 2217.58 892.61 0.0002-Way Interactions 10 536.3 536.3 53.63 21.59 0.000Residual Error 16 39.7 39.7 2.48Total 31 11664.07KH�DQDO\VLV�FRQILUPV�RXU�ILQGLQJV�IURP�SDUW�D�

F�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� ���������

����������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO�3UREDELOLW\�3ORW

Page 318: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

�������������

��

��

)LWWHG 9DOXH

6WDQGDUGL]HG5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV WKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \LHOG�

����7KH�UHVLGXDOV�DSSHDU�QRUPDOO\�GLVWULEXWHG��KRZHYHU�WKHLU�YDULDQFH�DSSHDUV�WR�LQFUHDVH�DV�WKH�ILWWHG�YDOXH

����LQFUHDVHV�

G�

����

��

��

$

6WDQGDUGL]HG5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV $

�UHVSRQVH LV \LHOG�

����

��

��

%

6WDQGDUGL]HG5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV %

�UHVSRQVH LV \LHOG�

����

��

��

&

6WDQGDUGL]HG5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV &

�UHVSRQVH LV \LHOG�

����

��

��

'

6WDQGDUGL]HG5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV '

�UHVSRQVH LV \LHOG�

Page 319: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����

��

��

(

6WDQGDUGL]HG5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV (

�UHVSRQVH LV \LHOG�

����$OO�SORWV�VXSSRUW�WKH�FRQVWDQW�YDULDQFH�DVVXPSWLRQ�H[FHSW�%�

H��7KH�LQWHUDFWLRQ�$%�DSSHDUV�WR�EH�VLJQLILFDQW���7KH�LQWHUDFWLRQ�SORW�IURP�0,1,7$%�LQGLFDWHV�WKDW�D�KLJK�

����OHYHO�RI�$�DQG�RI�%�LQFUHDVHV�WKH�PHDQ�\LHOG��:KLOH�ORZ�OHYHOV�RI�HDFK�ZRXOG�OHDG�WR�D�UHGXFWLRQ�LQ�WKH�

����PHDQ�\LHOG�

������

��

��

��

��

��

%

0HDQ

,QWHUDFWLRQ 3ORW IRU \LHOG

I���7R�LQFUHDVH�\LHOG��VHW�$��%��DQG�&�DW�WKHLU�KLJK�OHYHOV�

J�

�������

�������

�������

�������

������

�������

�������

������ �

�� �

$

%

&

��

��

&XEH 3ORW � 0HDQV IRU \LHOG

,W�LV�HYLGHQW�IURP�WKH�SORW�WKDW�ZH�VKRXOG�UXQ�WKH�SURFHVV�ZLWK�DOO�IDFWRUV�VHW�DW�WKHLU�KLJK�OHYHO�

Page 320: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��1RWH�WR�,QVWUXFWRU���,I�LQVLJQLILFDQW�WHUPV�DUH�UHPRYHG��0LQLWDE�ZLOO�LQFOXGH�D�¨/DFN�RI�)LW©�WHUP�LQ�WKH�

����DQDO\VLV�RXWSXW��DQG��WKH�06(FXUYDWXUH�FRPSXWHG�E\�KDQG�ZLOO�QRW�EH�HTXLYDOHQW�WR�06(FXUYDWXUH�FRPSXWHG�E\�

0LQLWDE�$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU LQFKHV

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

0DLQ (IIHFWV � ������� ������� ������� ����� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV �� ����� ����� ����� ���� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV �� ���� ���� ���� ���� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ���� ���� ���� ���� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ��� ��� ���� ���� �����

5HVLGXDO (UURU � ����� ����� ������

&XUYDWXUH � ����� ����� ������ ����� �����

3XUH (UURU � ���� ���� ����

7RWDO �� �������

7KH�KDQG�FDOFXODWLRQ�RI� �VF

� �LV

�� �

� �

��VF

L F

FFHQWHUSWV

\ \

Q

��

�� �

�� �

� ¦ ZKHUH� \F ����

7KH�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�WKLV�HVWLPDWH�DQG�WKH�HVWLPDWH�LQ�([HUFLVH�������LV�GXH�WR�WKH�DGGLWLRQ�RI�

FHQWHUSRLQWV�

������ D�Estimated Effects and Coefficients for yTerm Effect Coef StDev Coef T PConstant 414.58 4.316 96.06 0.000factor_A 13.75 6.87 5.286 1.30 0.263factor_B 127.75 63.87 5.286 12.08 0.000factor_C 97.75 48.87 5.286 9.25 0.001factor_A*factor_B -21.25 -10.62 5.286 -2.01 0.115factor_A*factor_C -137.25 -68.62 5.286 -12.98 0.000factor_B*factor_C -52.25 -26.13 5.286 -4.94 0.008factor_A*factor_B*factor_C -68.25 -34.12 5.286 -6.46 0.003

Analysis of Variance for ySource DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 52128 52128.4 17376.1 77.74 0.0012-Way Interactions 3 44038 44038.4 14679.5 65.68 0.0013-Way Interactions 1 9316 9316.1 9316.1 41.68 0.003Residual Error 4 894 894.0 223.5 Curvature 1 176 176.0 176.0 0.74 0.454 Pure Error 3 718 718.0 239.3Total 11 106377

6HFWLRQ�����

������

%/2&. $ % & \

� �� �� �� ���

� � � �� ���

� � �� � ���

� �� � � ���

� � �� �� ���

� �� � �� ���

� �� �� � ���

� � � � ���

Page 321: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

Term Effect CoefConstant 411.87Block 34.12factor_A 13.75 6.87factor_B 127.75 63.87factor_C 97.75 48.87factor_A*factor_B -21.25 -10.63factor_A*factor_C -137.25 -68.63factor_B*factor_C -52.25 -26.13Term Effect Coef StDev Coef T PConstant 411.87 19.94 20.65 0.002Block 34.12 19.94 1.71 0.229factor_A 13.75 6.87 19.94 0.34 0.763factor_B 127.75 63.87 19.94 3.20 0.085factor_C 97.75 48.87 19.94 2.45 0.134factor_A*factor_C -137.25 -68.63 19.94 -3.44 0.075

Analysis of Variance for ySource DF Seq SS Adj SS Adj MS F PBlocks 1 9316 9316 9316 2.93 0.229Main Effects 3 52128 52128 17376 5.46 0.1592-Way Interactions 1 37675 37675 37675 11.84 0.075Residual Error 2 6363 6363 3182Total 7 105483

������

%/2&. $ % & ' YDUB�

� � �� �� �� ���

� �� � �� �� ���

� �� �� � �� ���

� � � � �� ���

� �� �� �� � ���

� � � �� � ���

� � �� � � ���

� �� � � � ���

� �� �� �� �� ���

� � � �� �� ���

� � �� � �� ���

� �� � � �� ���

� � �� �� � ���

� �� � �� � ���

� �� �� � � ���

� � � � � ���

Term Effect CoefConstant 183.375Block -1.625factor_A -10.000 -5.000factor_B -0.750 -0.375factor_C -0.750 -0.375factor_D 5.000 2.500factor_A*factor_B 4.500 2.250factor_A*factor_C 0.500 0.250factor_A*factor_D -3.750 -1.875factor_B*factor_C -1.250 -0.625factor_B*factor_D -1.500 -0.750factor_C*factor_D 1.500 0.750factor_A*factor_B*factor_C -6.000 -3.000factor_A*factor_B*factor_D 4.750 2.375factor_A*factor_C*factor_D -0.250 -0.125factor_B*factor_C*factor_D -2.000 -1.000

Page 322: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

Term Effect Coef StDev Coef T PConstant 183.375 1.607 114.14 0.000Block -1.625 1.607 -1.01 0.336factor_A -10.000 -5.000 1.607 -3.11 0.011factor_B -0.750 -0.375 1.607 -0.23 0.820factor_C -0.750 -0.375 1.607 -0.23 0.820factor_D 5.000 2.500 1.607 1.56 0.151Analysis of Variance for var_1Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PBlocks 1 42.25 42.25 42.25 1.02 0.336Main Effects 4 504.50 504.50 126.13 3.05 0.069Residual Error 10 413.00 413.00 41.30Total 15 959.75

������

%/2&. $ % & ' YDUB�

� �� �� �� �� ���

� � � � �� ���

� � �� �� � ���

� �� � � � ���

� �� � �� �� ���

� � �� � �� ���

� � � �� � ���

� �� �� � � ���

� � � �� �� ���

� �� �� � �� ���

� �� � �� � ���

� � �� � � ���

� � �� �� �� ���

� �� � � �� ���

� �� �� �� � ���

� � � � � ���

Term Effect Coef StDev Coef T PConstant 183.938 1.958 93.96 0.000Block 1 -3.437 3.391 -1.01 0.417 2 2.563 3.391 0.76 0.529 3 -2.438 3.391 -0.72 0.547factor_A -8.875 -4.438 1.958 -2.27 0.152factor_B 0.375 0.187 1.958 0.10 0.932factor_C 0.375 0.187 1.958 0.10 0.932factor_D 6.125 3.062 1.958 1.56 0.258factor_A*factor_B 5.625 2.812 1.958 1.44 0.287factor_A*factor_C 1.625 0.813 1.958 0.42 0.718factor_A*factor_D -2.625 -1.312 1.958 -0.67 0.572factor_B*factor_D -0.375 -0.188 1.958 -0.10 0.932factor_B*factor_C*factor_D -0.875 -0.438 1.958 -0.22 0.844factor_A*factor_B*factor_C*factor_D 4.375 2.187 1.958 1.12 0.380

Analysis of Variance for var_1Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PBlocks 3 141.187 141.187 47.062 0.77 0.608Main Effects 4 466.250 466.250 116.563 1.90 0.3732-Way Interactions 4 165.250 165.250 41.313 0.67 0.6703-Way Interactions 1 3.063 3.063 3.063 0.05 0.8444-Way Interactions 1 76.562 76.562 76.562 1.25 0.380Residual Error 2 122.625 122.625 61.312Total 15 974.938

Page 323: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������Run Block A B C D E 1 1 - - - - - 2 1 + + - - - 3 1 + - + - - 4 1 - + + - - 5 1 + - - + - 6 1 - + - + - 7 1 - - + + - 8 1 + + + + - 9 1 + - - - + 10 1 - + - - + 11 1 - - + - + 12 1 + + + - + 13 1 - - - + + 14 1 + + - + + 15 1 + - + + + 16 1 - + + + + 17 2 + - - - - 18 2 - + - - - 19 2 - - + - - 20 2 + + + - - 21 2 - - - + - 22 2 + + - + - 23 2 + - + + - 24 2 - + + + - 25 2 - - - - + 26 2 + + - - + 27 2 + - + - + 28 2 - + + - + 29 2 + - - + + 30 2 - + - + + 31 2 - - + + + 32 2 + + + + +

������Run Block A B C D E 1 1 - - - - - 2 1 + + - - - 3 1 + - + + - 4 1 - + + + - 5 1 + - + - + 6 1 - + + - + 7 1 - - - + + 8 1 + + - + + 9 2 + - - - - 10 2 - + - - - 11 2 - - + + - 12 2 + + + + - 13 2 - - + - + 14 2 + + + - + 15 2 + - - + + 16 2 - + - + + 17 3 + - + - - 18 3 - + + - - 19 3 - - - + - 20 3 + + - + - 21 3 - - - - + 22 3 + + - - + 23 3 + - + + + 24 3 - + + + + 25 4 - - + - - 26 4 + + + - - 27 4 + - - + - 28 4 - + - + - 29 4 + - - - + 30 4 - + - - + 31 4 - - + + + 32 4 + + + + +

Page 324: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ ��������Term Effect CoefConstant 35.938Block -0.063factor_A -16.125 -8.062factor_B 3.125 1.563factor_C -1.125 -0.563factor_D -1.125 -0.563factor_A*factor_B -4.375 -2.187factor_A*factor_C -0.625 -0.313factor_A*factor_D -3.125 -1.563factor_B*factor_C 1.625 0.813factor_B*factor_D 0.125 0.063factor_C*factor_D -0.625 -0.312factor_A*factor_B*factor_C 0.625 0.313factor_A*factor_B*factor_D -2.375 -1.187factor_A*factor_C*factor_D -1.125 -0.562factor_B*factor_C*factor_D -0.875 -0.438

Estimated Effects and Coefficients for var_1Term Effect Coef StDev Coef T PConstant 35.938 0.7354 48.87 0.000Block -0.063 0.7354 -0.08 0.934factor_A -16.125 -8.062 0.7354 -10.96 0.000factor_B 3.125 1.563 0.7354 2.12 0.057factor_A*factor_B -4.375 -2.187 0.7354 -2.97 0.013

Analysis of Variance for var_1Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PBlocks 1 0.06 0.06 0.063 0.01 0.934Main Effects 2 1079.12 1079.12 539.562 62.35 0.0002-Way Interactions 1 76.56 76.56 76.562 8.85 0.013Residual Error 11 95.19 95.19 8.653 Lack of Fit 3 9.69 9.69 3.229 0.30 0.823 Pure Error 8 85.50 85.50 10.687Total 15 1250.94

������ D�Estimated Effects and Coefficients for yTerm Effect Coef StDev Coef T PConstant 56.37 2.633 21.41 0.000Block 1 15.63 4.560 3.43 0.014 2 -3.38 4.560 -0.74 0.487 3 -10.88 4.560 -2.38 0.054A -45.25 -22.62 2.633 -8.59 0.000B -1.50 -0.75 2.633 -0.28 0.785C 14.50 7.25 2.633 2.75 0.033A*B 19.00 9.50 2.633 3.61 0.011A*C -14.50 -7.25 2.633 -2.75 0.033B*C -9.25 -4.63 2.633 -1.76 0.130

Analysis of Variance for ySource DF Seq SS Adj SS Adj MS F PBlocks 3 1502.8 1502.8 500.9 4.52 0.055Main Effects 3 9040.2 9040.2 3013.4 27.17 0.0012-Way Interactions 3 2627.2 2627.2 875.7 7.90 0.017Residual Error 6 665.5 665.5 110.9Total 15 13835.7E�

������������������������

��

���

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV \�

�������

��

���

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV�UHVSRQVH LV \�

Page 325: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������Run Block A B C D E F 1 1 - - - + + - 2 1 + - + + - - 3 1 - + - - + + 4 1 - + + + - - 5 1 + + - + + - 6 1 - - + + + + 7 1 + - + - + - 8 1 + + + - - + 9 1 - - + - - + 10 1 + + - - - - 11 1 - + + - + - 12 1 + - - - + + 13 1 - - - - - - 14 1 - + - + - + 15 1 + + + + + + 16 1 + - - + - + 17 2 - + + - + + 18 2 + + + - - - 19 2 - - - - - + 20 2 - + + + - + 21 2 + + - - - + 22 2 + - - + - - 23 2 - - - + + + 24 2 - - + + + - 25 2 - - + - - - 26 2 + - + - + + 27 2 - + - + - - 28 2 + - + + - + 29 2 + - - - + - 30 2 + + + + + - 31 2 - + - - + - 32 2 + + - + + + 33 3 + + + + - + 34 3 - - - - + - 35 3 - + + - - - 36 3 - - + - + + 37 3 - + - - - + 38 3 - - + + - + 39 3 + - - + + + 40 3 + - + + + - 41 3 + - + - - - 42 3 + + - - + - 43 3 - + + + + - 44 3 - + - + + + 45 3 + - - - - + 46 3 + + - + - - 47 3 - - - + - - 48 3 + + + - + + 49 4 + - + + + + 50 4 - - - - + + 51 4 + - - - - - 52 4 - - + + - - 53 4 - + + + + + 54 4 - + - - - - 55 4 + - + - - + 56 4 + + - + - + 57 4 - + - + + - 58 4 + + + - + - 59 4 + + - - + + 60 4 - - + - + - 61 4 - + + - - + 62 4 + - - + + - 63 4 - - - + - + 64 4 + + + + - -

Page 326: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ�����

������ D�

���

��

(IIHFW

1RUPDO6FRUH

'

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH (IIHFWV�UHVSRQVH LV YDUB�� $OSKD ����

$� IDFWRUB$%� IDFWRUB%&� IDFWRUB&'� IDFWRUB'(� IDFWRUB(

F�Estimated Effects and Coefficients for var_1Term Effect Coef StDev Coef T PConstant 2.7700 0.2674 10.36 0.000factor_A 1.4350 0.7175 0.2674 2.68 0.025factor_B -1.4650 -0.7325 0.2674 -2.74 0.023factor_D 4.5450 2.2725 0.2674 8.50 0.000factor_A*factor_B 1.1500 0.5750 0.2674 2.15 0.060factor_A*factor_D -1.2300 -0.6150 0.2674 -2.30 0.047factor_B*factor_D 0.1200 0.0600 0.2674 0.22 0.827

Analysis of Variance for var_1Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 99.450 99.4499 33.1500 28.97 0.0002-Way Interactions 3 11.399 11.3992 3.7997 3.32 0.071Residual Error 9 10.300 10.2997 1.1444 Lack of Fit 1 0.533 0.5329 0.5329 0.44 0.527 Pure Error 8 9.767 9.7668 1.2208Total 15 121.149

&ROODSVH�XVLQJ�$��%��'�RQO\�

Estimated Effects and Coefficients for var_1Term Effect Coef StDev Coef T PConstant 2.7700 0.2762 10.03 0.000factor_A 1.4350 0.7175 0.2762 2.60 0.032factor_B -1.4650 -0.7325 0.2762 -2.65 0.029factor_D 4.5450 2.2725 0.2762 8.23 0.000factor_A*factor_B 1.1500 0.5750 0.2762 2.08 0.071factor_A*factor_D -1.2300 -0.6150 0.2762 -2.23 0.057factor_B*factor_D 0.1200 0.0600 0.2762 0.22 0.833factor_A*factor_B*factor_D -0.3650 -0.1825 0.2762 -0.66 0.527

Analysis of Variance for var_1Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 99.450 99.4499 33.1500 27.15 0.0002-Way Interactions 3 11.399 11.3992 3.7997 3.11 0.0883-Way Interactions 1 0.533 0.5329 0.5329 0.44 0.527Residual Error 8 9.767 9.7668 1.2208 Pure Error 8 9.767 9.7668 1.2208Total 15 121.149

������ D�Design Generators: D = ABCAlias StructureI + ABCDA + BCDB + ACDC + ABDD + ABCAB + CDAC + BDAD + BC

Page 327: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E� Term Effect CoefConstant 70.750A 19.000 9.500B 1.500 0.750C 14.000 7.000D 16.500 8.250A*B -1.000 -0.500A*C -18.500 -9.250A*D 19.000 9.500$� &� '� $&� DQG $' KDYH ODUJH HVWLPDWHG HIIHFWV�

F�Estimated Effects and Coefficients for rateTerm Effect Coef StDev Coef T PConstant 70.750 0.6374 111.00 0.000A 19.000 9.500 0.6374 14.90 0.004C 14.000 7.000 0.6374 10.98 0.008D 16.500 8.250 0.6374 12.94 0.006A*C -18.500 -9.250 0.6374 -14.51 0.005A*D 19.000 9.500 0.6374 14.90 0.004

Analysis of Variance for rateSource DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 1658.50 1658.50 552.833 170.10 0.0062-Way Interactions 2 1406.50 1406.50 703.250 216.38 0.005Residual Error 2 6.50 6.50 3.250Total 7 3071.50

������ 7KH�JHQHUDWRUV�DUH�( $%&��) %&'���&RPSOHWH�GHILQLQJ�UHODWLRQ�LV�,� $%&( %&') $'()���6LQFH�WKH�

UHPDLQLQJ�IDFWRUV�$��%��'��DQG�)�GR�QRW�IRUP�D�ZRUG�LQ�WKH�FRPSOHWH�GHILQLQJ�UHODWLRQ�LW�FDQ�EH�YHULILHG�WKDW�

WKH�UHVXOWLQJ�GHVLJQ�LV�D�IXOO�IDFWRULDO�

������ 6LQFH�IDFWRUV�$��%��&��DQG�(�IRUP�D�ZRUG�LQ�WKH�FRPSOHWH�GHILQLQJ�UHODWLRQ��LW�FDQ�EH�YHULILHG�WKDW�WKH�

UHVXOWLQJ�GHVLJQ�LV�WZR�UHSOLFDWHV�RI�D������IUDFWLRQDO�IDFWRULDO�

������

)DFWRU (VWLPDWHG�(IIHFW

$ �����

% ����

& ����

' ����

$%�&' �����

$&�%' ����

$'�%& ����

������ *HQHUDWRUV�' $%��( $&��IRU�������5HVROXWLRQ�,,,

$ % & ' ( YDUB�

�� �� �� � � ����

� �� �� �� �� ���

�� � �� �� � ����

� � �� � �� ����

�� �� � � �� ���

� �� � �� � ����

�� � � �� �� ����

� � � � � ����

Term Effect CoefConstant 3025.00factor_A 1450.00 725.00factor_B 3650.00 1825.00factor_C -150.00 -75.00factor_D 1750.00 875.00factor_E 650.00 325.00factor_B*factor_C 250.00 125.00factor_B*factor_E -50.00 -25.00

Page 328: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

��B��� Design Generators: D = AB E = AC F = BCDefining Relation: I = ABD = ACE = BCF = BCDE = ACDF = ABEF = DEFA + BD + CEB + AD + CFC + AE + BFD + AB + EFE + AC + DFF + BC + DEAF + BE + CD

Data Matrix Run A B C D E F 1 - - - + + + 2 + - - - - + 3 - + - - + - 4 + + - + - - 5 - - + + - - 6 + - + - + - 7 - + + - - + 8 + + + + + +

������ E��( $%&'

F�Term Effect CoefConstant 30.4375factor_A 10.8750 5.4375factor_B 33.6250 16.8125factor_C 10.6250 5.3125factor_D -0.6250 -0.3125factor_E 0.3750 0.1875factor_A*factor_B 7.1250 3.5625factor_A*factor_C 0.6250 0.3125factor_A*factor_D 0.8750 0.4375factor_A*factor_E 1.3750 0.6875factor_B*factor_C 0.8750 0.4375factor_B*factor_D -0.3750 -0.1875factor_B*factor_E 0.1250 0.0625factor_C*factor_D 0.6250 0.3125factor_C*factor_E 0.6250 0.3125

factor_D*factor_E -1.6250 -0.8125G�

�������

��

(IIHFW

1RUPDO6FRUH

$%&

$

%

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH (IIHFWV�UHVSRQVH LV YDUB�� $OSKD ����

$� IDFWRUB$%� IDFWRUB%&� IDFWRUB&'� IDFWRUB'(� IDFWRUB(

Page 329: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

H�Term Effect Coef StDev Coef T PConstant 30.438 0.4243 71.73 0.000factor_A 10.875 5.438 0.4243 12.81 0.000factor_B 33.625 16.812 0.4243 39.62 0.000factor_C 10.625 5.313 0.4243 12.52 0.000factor_A*factor_B 7.125 3.562 0.4243 8.40 0.000

Analysis of Variance for var_1Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 5447.19 5447.19 1815.73 630.31 0.0002-Way Interactions 1 203.06 203.06 203.06 70.49 0.000Residual Error 11 31.69 31.69 2.88 Lack of Fit 3 15.19 15.19 5.06 2.45 0.138 Pure Error 8 16.50 16.50 2.06Total 15 5681.94

I�

�������������

��

��

��

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV YDUB��

������

��

��

��

1RUPDO 6FRUH

5HVLGXDO

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 5HVLGXDOV

�UHVSRQVH LV YDUB��

J��7KH�PDLQ�IDFWRUV�$��%��&��DQG�WKH�LQWHUDFWLRQ�$%�DUH�DOO�VLJQLILFDQW�

6HFWLRQ�����

������� D�

������������������������

���

���

���

���

����

����

����

[�

[�

Page 330: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�(VWLPDWHG�5HJUHVVLRQ�&RHIILFLHQWV�IRU�\

7HUP�������������&RHI�������6W'HY����������7������3

&RQVWDQW�������������������������������������������

[��������������������������������������������������

[��������������������������������������������������

[� [�����������������������������������������������

[� [�����������������������������������������������

[� [�����������������������������������������������

6� �������������5�6T� �����������5�6T�DGM�� ������

$QDO\VLV�RI�9DULDQFH�IRU�\

6RXUFH����������')����6HT�66����$GM�66����$GM�06����)������3

5HJUHVVLRQ����������������������������������������������������

��/LQHDU������������������������������������������������������

��6TXDUH������������������������������������������������������

��,QWHUDFWLRQ�������������������������������������������������

5HVLGXDO�(UURU����������������������������������

��/DFN�RI�)LW�������������������������������������������������

��3XUH�(UURU������������������������������������

7RWDO�����������������������

����7KH�VHFRQG�RUGHU�PRGHO�DSSHDUV�WR�EH�VLJQLILFDQW�IRU�WKH�LQWHUDFWLRQ�WHUP��S� ���������+RZHYHU�

����WKH�VTXDUH�WHUPV�DUH�QRW�VLJQLILFDQW��S� ��������

F�

��

\

�������

���[����

���

������

��

��������

��

\

��

��

��

��������

�������

���[����

���

����7KHUH�DSSHDUV�WR�EH�D�VDGGOH�SRLQW�LQ�WKH�H[SHULPHQWDO�UHJLRQ���7KH�\LHOG�LQFUHDVHV�DV�[��LV�GHFUHDVHG�DQG�

[��LV�QHDU�WKH�]HUR�OHYHO�

������ 0RYH�����XQLWV�LQ�WKH�GLUHFWLRQ�RI�[��IRU�HYHU\������XQLW�LQ�WKH�GLUHFWLRQ�RI�[����7KXV��WKH�SDWK�RI�VWHHSHVW�

DVFHQW�SDVVHV�WKURXJK�WKH�SRLQW�������DQG�KDV�D�VORSH���������� ��������

������ D��������[�����[��!��� ������[�����[��!������

����[��!���

�[����� [���������[���������

����7KH�IHDVLEOH�UHJLRQ�LV�EHWZHHQ�WKVHV�WZR�OLQHV��ZKLFK�FDQ�EH�VKRZQ�JUDSKLFDOO\�RQ�WKH�[��[��SODQH�

E��2SHUDWLQJ�WKH�SURFHVV�ZLWK�[�� �����DQG�[�� ������UHVXOWV�LQ�\��DQG�\��FRPIRUWDEO\�ZLWKLQ�WKH�IHDVLEOH�

����UHJLRQ�

Page 331: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������� D��$�FHQWUDO�FRPSRVLWH�GHVLJQ�KDV�EHHQ�XVHG�EXW�LW�LV�QRW�URWDWDEOH�

E��7HUP &RHI 6W'HY 7 3

&RQVWDQW ������ ����� ������ �����

[� ������ ����� ������� �����

[� ���� ����� ����� �����

[� [� ����� ����� ������ �����

[� [� ����� ����� ����� �����

[� [� ���� ����� ����� �����

6 ����� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU \

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������� ������� ������ ����� �����

/LQHDU � ������� ������� ������� ����� �����

6TXDUH � ������ ������ ����� ���� �����

,QWHUDFWLRQ � ��� ��� ��� ���� �����

5HVLGXDO (UURU � ������ ������ �����

/DFN�RI�)LW � ��� ��� ��� ���� �����

3XUH (UURU � ������ ������ �����

7RWDO �� �������

����7KH�OLQHDU�WHUPV�DSSHDU�WR�EH�VLJQLILFDQW��S� ��������ZKLOH�ERWK�WKH�VTXDUH�WHUPV�DQG�LQWHUDFWLRQ�WHUPV�DUH�

LQVLJQLILFDQW��S� �������DQG�S� ��������UHVSHFWLYHO\��

����6LQFH�[��LV�WKH�RQO\�VLJQLILFDQW�IDFWRU��WR�PLQLPL]H�DVK�LQFUHDVH�WKH�YDOXH�RI�[��

���

\

[��

��

��

������

���

���

���

��

[��

��

������� D�5HVSRQVH 6XUIDFH 5HJUHVVLRQ7HUP &RHI 6W'HY 7 3

&RQVWDQW ������� ����� ������ �����

[� ������� ����� ������ �����

[� ������� ����� ����� �����

[� ������� ����� ������ �����

[� [� ������ ����� ����� �����

[� [� ����� ����� ����� �����

[� [� ����� ����� ����� �����

[� [� ������ ����� ����� �����

[� [� ������ ����� ����� �����

[� [� ������ ����� ����� �����

6 ����� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU \�

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������� ������� ������ ����� �����

/LQHDU � ������� ������� ������ ������ �����

6TXDUH � ���� ���� ���� ���� �����

,QWHUDFWLRQ � ������ ������ ����� ����� �����

5HVLGXDO (UURU �� ����� ����� ����

7RWDO �� �������

7KH�TXDGUDWLF�PRGHO�IRU�\��LV

���� \ [ [ [ [ [ [ [ [ [� � � � � � � � � ������� ��� ��� ������ ������ �� ��� �� ��� �� �� � � � � � �� � � � � � �

Page 332: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E������5HVSRQVH�6XUIDFH�5HJUHVVLRQ7HUP &RHI 6W'HY 7 3

&RQVWDQW ������ ����� ����� �����

[� ����� ����� ����� �����

[� ������ ������ ����� �����

[� ������ ������ ����� �����

6 ����� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������� ������� ������� ���� �����

/LQHDU � ������� ������� ������� ���� �����

5HVLGXDO (UURU �� ������� ������� �������

7RWDO �� �������

����7KH�OLQHDU�PRGHO�IRU�\��LV�JLYHQ�E\

���� \ [ [� � ��� ��� �� ��� ����� � �� � �

F�

��

��

��

���

���

���

��

��

��

���

���

���

����

��

[�

[�

&RQWRXU�3ORW�RI�\�

����7KH�GDUNHQHG�VHFWLRQ�UHSUHVHQWV�WKH�VPDOOHVW�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�IRU�WKH�FRPELQDWLRQ�RI�[��DQG�[����,I�WKH�

����OHYHO�RI���LV�FKRVHQ�IRU�ERWK�[��DQG�[���WKHQ�WR�DWWDLQ�WKH�GHVLUHG�OHYHO�RI�����IRU�WKH�PHDQ��VROYH�WKH�

����TXDGUDWLF�HTXDWLRQ�IRXQG�LQ�SDUW�D�XVLQJ�\� ������[�� ���DQG�[�� ���IRU�[����7KH�OHYHO�RI�[��IRU�WKLV�

����SDUWLFXODU�VLWXDWLRQ�LV�DSSUR[LPDWHO\���

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

������ D�(VWLPDWHG (IIHFWV DQG &RHIILFLHQWV IRU YLVFRVLW

7HUP (IIHFW &RHI 6W'HY &RHI 7 3

&RQVWDQW ������� ����� ������ �����

S+ ����� ����� ����� ���� �����

&DWDO\VW ������ ������ ����� ����� �����

S+ &DWDO\VW ������ ����� ����� ���� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU YLVFRVLW

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

0DLQ (IIHFWV � ������� ������� ����� ���� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ������� ������� ������ ����� �����

5HVLGXDO (UURU �� ������� ������� �����

3XUH (UURU �� ������� ������� �����

7RWDO �� �������

����7KH�PDLQ�HIIHFW�RI�S+�DQG�WKH�LQWHUDFWLRQ�RI�S+�DQG�&DWDO\VW�DUH�VLJQLILFDQW�DW�WKH������OHYHO�RI� �

VLJQLILFDQFH�

Page 333: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�

���

��

��

��

&DWDO\VW

0HDQ

,QWHUDFWLRQ�3ORW�IRU�YLVFRVLW

����7KH�LQWHUDFWLRQ�SORW�VXSSRUWV�WKH�LQIRUPDWLRQ�IRXQG�LQ�WKH�DQDO\VLV�RI�SDUW�D���7KHUH�DSSHDUV�WR�EH�D�

����VLJQLILFDQW�LQWHUDFWLRQ�EHWZHHQ�S+�DQG�&DWDO\VW�

F��7KH�PRGHO�XVHG�LV�YLVFRVLW\� ����������������S+����������&DWDO\VW���������S+ &DWDO\VW

����

��

���

S+ FDWDO

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV S+ FDWDO�UHVSRQVH LV YLVFRVLW�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� �

����

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����7KH�UHVLGXDO�SORWV�DSSHDU�WR�EH�DGHTXDWH���7KHUH�LV�D�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�WZR�OHYHOV�RI�WKH�

����LQWHUDFWLRQ�S+ &DWDO\VW�

������ D�(VWLPDWHG (IIHFWV DQG &RHIILFLHQWV IRU IODWQHVV

7HUP (IIHFW &RHI 6W'HY &RHI 7 3

&RQVWDQW �������� �������� ����� �����

*HDUW\SH �������� �������� �������� ���� �����

7LPH �������� �������� �������� ���� �����

*HDUW\SH 7LPH ��������� ��������� �������� ����� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU IODWQHVV

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

0DLQ (IIHFWV � ���������� ���������� ���������� ���� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ���������� ���������� ���������� ���� �����

5HVLGXDO (UURU � ���������� ���������� ����������

3XUH (UURU � ���������� ���������� ����������

7RWDO � ����������

����7KHUH�LV�QR�HYLGHQFH�WKDW�IODWQHVV�GLVWRUWLRQ�LV�GLIIHUHQW�IRU�WKH�GLIIHUHQW�JHDU�W\SHV��S� ����������+HDW�

����WUHDWLQJ�WLPH�DIIHFWV�WKH�IODWQHVV�GLVWRUWLRQ��S� ����������7KH�IDFWRUV�GR�QRW�LQWHUDFW��S� ��������

Page 334: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�

��

��

������

����

����

����

����

����

7LPH

*HDUW\SH

0HDQ

,QWHUDFWLRQ�3ORW�IRU�IODWQHVV

����7KH�LQWHUDFWLRQ�SORW�IRU�WKH�HIIHFWV�LQGLFDWHV�WKDW�WKHUH�LV�QR�LQWHUDFWLRQ�EHWZHHQ�JHDU�W\SH�DQG�WLPH���7KHUH�

LV�DOVR�QR�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�ORZ�DQG�KLJK�OHYHOV�RI�JHDU�W\SH���7KH�LQWHUDFWLRQ�SORW�GRHV� �

LQGLFDWH�KRZHYHU��WKHUH�PD\�EH�VRPH�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�ORZ�DQG�KLJK�OHYHOV�RI�WLPH�

F��7KH�PRGHO�XVHG�LV�IODWQHVV� ������������������*HDU�7\SH������������7LPH������������*HDU7\SH 7LPH

����

����

����

����

�����

7LPH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV 7LPH

�UHVSRQVH LV IODWQHVV�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� �6W'HY� ���������

$YHUDJH� ���������

�������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����7KH�UHVLGXDO�SORWV�DUH�DGHTXDWH���7KHUH�GRHV�QRW�DSSHDU�WR�EH�DQ\�VHULRXV�GHSDUWXUH�IURP�QRUPDOLW\�RU�

����YLRODWLRQ�RI�WKH�DVVXPSWLRQ�RI�FRQVWDQW�YDULDQFH�

������ D�)DFWRU 7\SH /HYHOV 9DOXHV

/HYHO IL[HG � � �

6DOW IL[HG � � � � � � �

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU )ODPPDEL

6RXUFH ') 66 06 ) 3

/HYHO � ����� ����� ����� �����

6DOW � ����� ����� ����� �����

/HYHO 6DOW � ����� ���� ���� �����

(UURU �� ����� ���

7RWDO �� ������

����7KHUH�LV�D�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�DSSOLFDWLRQ�OHYHOV��WKH�VDOWV��DQG�WKHUH�LV�D�VLJQLILFDQW�

����GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�WKH�OHYHOV�RI�WKH�LQWHUDFWLRQ�RI�WKH�WZR�

Page 335: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�

������������

���

���

���

6DOW

/HYHO

0HDQ

,QWHUDFWLRQ�3ORW���0HDQV�IRU�)ODPPDEL

����)URP�WKH�LQWHUDFWLRQ�SORW��ZH�VHH�WKDW�WKH�XQWUHDWHG�VDOW�KDV�D�KLJKHU�IODPPDELOLW\�DYHUDJH�WKDQ�DQ\�RI�WKH�

RWKHU�ILYH�OHYHOV���7KH�UHPDLQLQJ�ILYH�OHYHOV��0J&O���1D&O��&D&2���&D&O���1D�&2���DSSHDU�WR�KDYH�VLPLODU�

IODPPDELOLW\�DYHUDJHV���2YHUDOO��DSSOLFDWLRQ�OHYHO���LQFUHDVHV�WKH�IODPPDELOLW\�DYHUDJH�

F�

������

��

��

��

��

���

���

���

���

6DOW

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV 6DOW

�UHVSRQVH LV )ODPPDEL�

���������

��

��

��

��

���

���

���

���

/HYHO

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV /HYHO

�UHVSRQVH LV )ODPPDEL��

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� ���������

������������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����7KH�UHVLGXDO�SORWV�LQGLFDWH�D�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�DPRQJ�WKH�VDOW�W\SHV��ZKLOH�WKHUH�GRHV�QRW�DSSHDU�WR�EH�D�

����VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�EHWZHHQ�UHVLGXDOV�IRU�WKH�WZR�DSSOLFDWLRQ�OHYHOV���7KHUH�LV�QR�DSSDUHQW�YLRODWLRQ�RI�

����WKH�QRUPDOLW\�DVVXPSWLRQ�

Page 336: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�(VWLPDWHG (IIHFWV DQG &RHIILFLHQWV IRU $OLJQ$FF

7HUP (IIHFW &RHI 6W'HY &RHI 7 3

&RQVWDQW ����� ������� ����� �����

6ROGHU6L ����� ����� ������� ���� �����

$OLJQPHQ ������ ������ ������� ������ �����

6ROGHU6L $OLJQPHQ ����� ����� ������� ���� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU $OLJQ$FF

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

0DLQ (IIHFWV � ������� ������� ������� ������ �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ������ ������ ������� ����� �����

5HVLGXDO (UURU � ������ ������ �������

3XUH (UURU � ������ ������ �������

7RWDO � �������

����7KH�DQDO\VLV�LQGLFDWHV�WKDW�ERWK�VROGHU�VL]H�DQG�DOLJQPHQW�PHWKRG�VLJQLILFDQWO\�DIIHFW�DOLJQPHQW�DFFXUDF\���

7KH�LQWHUDFWLRQ�EHWZHHQ�VROGHU�VL]H�DQG�DOLJQPHQW�PHWKRG�LV�DOVR�VLJQLILFDQW�LQ�DIIHFWLQJ�DOLJQPHQW� �

DFFXUDF\

E�

$OLJQPHQ

0HDQ

,QWHUDFWLRQ 3ORW IRU $OLJQ$FF

7KH UHJUHVVLRQ HTXDWLRQ LV

$OLJQ$FF ���� � ����� 6ROGHU6L]H � ���� $OLJQPHQW � ����� 6ROGHU $OLJQ

3UHGLFWRU &RHI 6W'HY 7 3

&RQVWDQW ������� ������� ����� �����

6ROGHU6L ������� ������� ���� �����

$OLJQPHQ �������� ������� ������ �����

6ROGHU $ ������� ������� ���� �����

6 ������ 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH

6RXUFH ') 66 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������� ������ ������ �����

(UURU � ������ ������

7RWDO � �������

6RXUFH ') 6HT 66

6ROGHU6L � ������

$OLJQPHQ � �������

6ROGHU $ � ������

����6LQFH�WKH�VPDOOHU�YDOXH�LV�SUHIHUUHG��WKHQ��WR�LPSURYH�DOLJQPHQW�DFFXUDF\��LW�VHHPV�WKDW�VROGHU�VL]H�VKRXOG�

EH�VHW�DW�LWV�VPDOO�OHYHO����PP��ZKLOH�WKH�DOLJQPHQW�PHWKRG�XVHG�VKRXOG�EH�PHWKRG���

Page 337: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F�

����

���

���

���

����

����

6ROGHU $

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV 6ROGHU $

�UHVSRQVH LV $OLJQ$FF�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� �6W'HY� ��������

$YHUDJH� ���������

�����������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����7KH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW�GRHV�QRW�VXJJHVW�D�GHSDUWXUH�IURP�QRUPDOLW\���7KH�DVVXPSWLRQ�RI�FRQVWDQW�

����YDULDQFH�PD\�EH�RI�FRQFHUQ���,W�DSSHDUV�WKDW�WKH�YDULDELOLW\�LV�ORZHU�IRU�WKH�KLJK�OHYHO�RI�WKH�LQWHUDFWLRQ�

������ D�(VWLPDWHG (IIHFWV

7HUP (IIHFW

$ �����

% �����

& ����

$ % �����

$ & ����

% & �����

$ % & �����

E�(VWLPDWHG (IIHFWV DQG &RHIILFLHQWV IRU GHOWDOLQ

7HUP (IIHFW &RHI 6W'HY &RHI 7 3

&RQVWDQW ������ ����� ����� �����

$ ����� ����� ����� ����� �����

% ����� ����� ����� ����� �����

& ���� ���� ����� ���� �����

$ % ����� ����� ����� ����� �����

$ & ���� ���� ����� ���� �����

% & ����� ���� ����� ���� �����

$ % & ����� ����� ����� ����� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU GHOWDOLQ

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

0DLQ (IIHFWV � ������� ������� ������ ���� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ������� ������� ������� ���� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ������ ������ ������ ���� �����

5HVLGXDO (UURU � ������ ������ ������

&XUYDWXUH � ������ ������ ������ ���� �����

3XUH (UURU � ������ ������ �����

7RWDO �� �������

����7KH�HVWLPDWH�RI�SXUH�HUURU�XVLQJ�WKH�FHQWHUSRLQWV�LV�JLYHQ�LQ�0LQLWDE�DV���������+DQG�FDOFXODWLRQV�PD\�

����GLIIHU�VOLJKWO\�GXH�WR�VLJQLILFDQW�GLJLWV�

F��8VLQJ�WKH�RXWSXW�JLYHQ�LQ�SDUW�E���LW�DSSHDUV�IURP�WKH�0LQLWDE�RXWSXW�WKDW�WKH���ZD\�LQWHUDFWLRQV�DUH�

����VLJQLILFDQW��S� ���������ZKLOH�WKH�PDLQ�HIIHFWV�DQG���ZD\�LQWHUDFWLRQ�DUH�QRW��S� �������DQG��������

����UHVSHFWLYHO\����&XUYDWXUH�LV�DOVR�LQVLJQLILFDQW�ZLWK�S� �������

G��8VLQJ�¨5HJUHVVLRQ©�LQ�0LQLWDE�WKH�UHVXOWLQJ�PRGHO�VKRXOG�EH7KH UHJUHVVLRQ HTXDWLRQ LV

GHOWDOLQH � ���� � ���� $ � ���� % � ���� & � ���� $% � ���� $& � ���� %&

3UHGLFWRU &RHI 6W'HY 7 3

&RQVWDQW ������� ����� ����� �����

$ ������ ����� ����� �����

% ������ ����� ����� �����

& ����� ����� ���� �����

DE ������ ����� ����� �����

DF ����� ����� ���� �����

EF ����� ����� ���� �����

6 ����� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

Page 338: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

$QDO\VLV RI 9DULDQFH

6RXUFH ') 66 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������ ������ ���� �����

(UURU � ������ �����

7RWDO �� ������

6RXUFH ') 6HT 66

$ � �����

% � �����

& � �����

DE � ������

DF � �����

EF � ������

H�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� ����������

����

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����

��

$

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV $

�UHVSRQVH LV GHOWD�

����

��

%

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV %

�UHVSRQVH LV GHOWD�

����

��

&

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV &

�UHVSRQVH LV GHOWD�

����7KH�UHVLGXDO�SORWV�DSSHDU�WR�EH�DGHTXDWH�

������ D�(VWLPDWHG (IIHFWV DQG &RHIILFLHQWV IRU '2,

7HUP (IIHFW &RHI

&RQVWDQW ������

$ ����� �����

% ����� �����

& ����� �����

' ������ ������

$ % ������ ������

$ & ������ ������

$ ' ������ ������

% & ������ ������

% ' ����� �����

& ' ������ ������

$ % & ����� �����

$ % ' ������ ������

$ & ' ����� �����

% & ' ������ ������

$ % & ' ������ ������

E�

Page 339: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

��������

��

(IIHFW

1RUP

DO�6FRUH

%

$

&

1RUPDO�3UREDELOLW\�3ORW�RI�WKH�(IIHFWV�UHVSRQVH LV '2,� $OSKD ����

$� $%� %&� &'� '

����%DVHG�RQ�WKH�QRUPDO�SUREDELOLW\�SORW�LW�DSSHDUV�WKDW�IDFWRUV�$��%��DQG�&�DUH�VLJQLILFDQW�

F��5XQ�DQ�DQDO\VLV�XVLQJ�WKH�PDLQ�IDFWRUV�$��%��DQG�&�DQG�LQWHUDFWLRQV�DPRQJ�WKHVH�YDULDEOHV�WR�VHH�LI�DQ\�DUH�

VLJQLILFDQW�3UHGLFWRU &RHI 6W'HY 7 3

&RQVWDQW ������ ����� ����� �����

$ ����� ����� ���� �����

% ����� ����� ���� �����

& ����� ����� ���� �����

DE ������ ����� ����� �����

DF ������ ����� ����� �����

EF ������ ����� ����� �����

DEF ����� ����� ���� �����

6 ����� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

����%DVHG�RQ�WKLV�DQDO\VLV��RQO\�WKH�PDLQ�IDFWRUV�$��%��DQG�&�DUH�VLJQLILFDQW���5XQ�D�UHJUHVVLRQ�DQDO\VLV

����XVLQJ�WKHVH�LPSRUWDQW�IDFWRUV�

G�7KH UHJUHVVLRQ HTXDWLRQ LV

'2, ���� � ���� $ � ���� % � ���� &

3UHGLFWRU &RHI 6W'HY 7 3

&RQVWDQW ������� ������ ����� �����

$ ������ ������ ���� �����

% ������ ������ ���� �����

& ������ ������ ���� �����

6 ����� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH

6RXUFH ') 66 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������ ������ ���� �����

(UURU �� ������ �����

7RWDO �� ������

6RXUFH ') 6HT 66

$ � ������

% � ������

& � ������

'2, ���� � ���� $ � ���� % � ���� &

Page 340: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

H�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� ���������

����

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����

��

$

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV $

�UHVSRQVH LV '2,�

����

��

%

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV %

�UHVSRQVH LV '2,�

����

��

&

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV &

�UHVSRQVH LV '2,�

����7KH�UHVLGXDO�SORWV�DSSHDU�WR�EH�DGHTXDWH�

������ D�(VWLPDWHG (IIHFWV

7HUP (IIHFW

9 �����

) ������

3 �����

* ������

9 ) �����

9 3 ����

9 * ����

) 3 �����

) * �����

3 * �����

9 ) 3 ����

9 ) * �����

9 3 * ����

E�

����

��

6WDQGDUGL]HG (IIHFW

1RUP

DO6FRUH

'

%&'

%

&

$%

$

%'

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 6WDQGDUGL]HG (IIHFWV�UHVSRQVH LV 6XUIDFH5� $OSKD ����

$� 9%� )&� 3'� *

����$FFRUGLQJ�WR�WKH�SUREDELOLW\�SORW��IDFWRUV�9��)��3��DQG�*�DORQJ�ZLWK�WKH�LQWHUDFWLRQV�9)�DQG�)3*��DUH�

����SRVVLEO\�VLJQLILFDQW�

Page 341: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F��5XQQLQJ�D�UHJUHVVLRQ�DQDO\VLV�XVLQJ�WKHVH�IDFWRUV�ZH�ILQG6XUIDFH5RXJK ��� � ���� 9 � ���� ) � ���� 3 � ���� * � ���� )3* � ����9)

3UHGLFWRU &RHI 6W'HY&RHII 7 3

&RQVWDQW ������� ����� ����� �����

9 ����� ����� ���� �����

) ������ ����� ����� �����

3 ������ ����� ����� �����

* ������� ����� ����� �����

ISJ ������ ����� ����� �����

YI ������ ����� ����� �����

6 ����� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH

6RXUFH ') 66 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������ ����� ���� �����

(UURU �� ������ �����

7RWDO �� ������

6RXUFH ') 6HT 66

9 � �����

) � �����

3 � �����

* � ������

ISJ � �����

YI � �����

%DVHG�RQ�WKLV�LQLWLDO�DQDO\VLV�ZH�VHH�WKDW�3��)��DQG�WKH�LQWHUDFWLRQ�9)�DUH�LQVLJQLILFDQW�DW�WKH������OHYHO�RI�

VLJQLILFDQFH�

7KXV��WKH�UHJUHVVLRQ�DQDO\VLV�DQG�ILQDO�PRGHO�DUH6XUIDFH5RXJK ��� � ���� 9 � ���� ) � ���� 3 � ���� * � ���� ISJ

3UHGLFWRU &RHI 6W'HY&RHI 7 3

&RQVWDQW ������� ����� ����� �����

9 ����� ����� ���� �����

) ������ ����� ����� �����

3 ������ ����� ����� �����

* ������� ����� ����� �����

ISJ ������ ����� ����� �����

6 ����� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH

6RXUFH ') 66 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������ ����� ���� �����

(UURU �� ������ �����

7RWDO �� ������

6RXUFH ') 6HT 66

9 � �����

) � �����

3 � �����

* � ������

ISJ � �����

G��)URP�WKH�DQDO\VLV��ZH�VHH�WKDW�MHW�WUDYHUVH�VSHHG�DQG�DEUDVLYH�JUDLQ�VL]H�DUH�VLJQLILFDQW�DORQJ�ZLWK�WKH�

����LQWHUDFWLRQ�RI�DEUDVLYH�IORZ�UDWH��DEUDVLYH�JUDLQ�VL]H��DQG�ZDWHUMHW�SUHVVXUH���6LQFH�ZH�KDYH�DGRSWHG�D�

����KLHUDUFKLFDO�PRGHOLQJ�DSSURDFK��IORZ�UDWH�DQG�ZDWHUMHW�SUHVVXUH�DUH�DOVR�LQFOXGHG�LQ�WKH�PRGHO�

H�

3�9DOXH� �����

$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��

6W'HY� �������

$YHUDJH� ���������

��������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����

��

��

��

��

��

���

���

���

9

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV 9

�UHVSRQVH LV 6XUID�

Page 342: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����

��

��

��

��

��

���

���

���

)

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV )

�UHVSRQVH LV 6XUID�

����

��

��

��

��

��

���

���

���

3

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV 3

�UHVSRQVH LV 6XUID�

����

��

��

��

��

��

���

���

���

*

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV *

�UHVSRQVH LV 6XUID�

����7KH�UHVLGXDO�SORWV�DSSHDU�WR�LQGLFDWH�WKH�DVVXPSWLRQ�RI�FRQVWDQW�YDULDQFH�PD\�QRW�EH�PHW�

������ 2QH�SRVVLEOH�GHVLJQ�LV

$��������������%��������������&��������������'��������������'2, (VWLPDWHG�(IIHFWV

�� �� �� �� ���� 7HUP (IIHFW

�� �� �� �� ���� $ ������

�� �� �� �� ���� % ������

�� �� �� �� ���� & ������

�� �� �� �� ���� ' ������

�� �� �� �� ���� $% ������

�� �� �� �� ���� $& ������

�� �� �� �� ���� $' ������

����

���

���

���

���

����

����

����

(IIHFW

1RUP

DO6FRUH

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH (IIHFWV�UHVSRQVH LV '2,� $OSKD ����

$� $

%� %&� &'� '

����,W�PD\�EH�XVHIXO�WR�UXQ�DQDO\VLV�ZLWK�WKH�PDLQ�HIIHFWV�RQO\�WR�VHH�ZKLFK�PDLQ�HIIHFW�LV�VLJQLILFDQW�

7HUP (IIHFW &RHI 6W'HY &RHI 7 3

&RQVWDQW ������ ����� ����� �����

$ ����� ����� ����� ���� �����

% ����� ����� ����� ���� �����

& ����� ����� ����� ���� �����

' ������ ������ ����� ����� �����

Page 343: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU '2,

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

0DLQ (IIHFWV � ������ ������ ������ ���� �����

5HVLGXDO (UURU � ����� ����� �����

7RWDO � ������

����%DVHG�RQ�WKLV�DQDO\VLV��RQO\�IDFWRU�%�DSSHDUV�WR�EH�VLJQLILFDQW�DW�WKH������OHYHO�RI�VLJQLILFDQFH�

����&RPSDULQJ�WKLV�UHVXOW�WR�WKDW�RI�SUREOHP�������ZH�VHH�WKDW�WKH�)DFWRUV�$�DQG�&�ZHUH�QRW�UHYHDOHG�DV�

����VLJQLILFDQW�LQ�WKH�VPDOOHU�GHVLJQ�

������ 2QH�SRVVLEOH�GHVLJQ�LV

$��������������%��������������&��������������'��������������6XUIDFH5RXJK

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

�� �� �� �� ���

:KHUH�$� �9��%� �)��&� �3��DQG�'� �*

(VWLPDWHG�(IIHFWV

7HUP���������(IIHFW

$���������������������

%��������������������

&��������������������

'��������������������

$ %���������������

$ &����������������

$ '����������������

���������

��

��

���

���

����

6WDQGDUGL]HG (IIHFW

1RUPDO

6FRUH

'

&

%

$%

$&

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH 6WDQGDUGL]HG (IIHFWV�UHVSRQVH LV 6XUIDFH5� $OSKD ����

����)URP�WKH�HVWLPDWHG�HIIHFWV��ZH�FRXOG�WHQWDWLYHO\�LGHQWLI\�)��3��*��DQG�WKH�LQWHUDFWLRQV�9)�DQG�93�DV�

����VLJQLILFDQW�

Page 344: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

7KH�UHJUHVVLRQ�DQDO\VLV�JLYHV6XUIDFH5RXJK ��� � ����9 � ����) � ����3 � ����* � ����9) � ����93� ����9*3UHGLFWRU &RHI 6W'HY 7 3&RQVWDQW ������� ����� ����� �����9 ������ ����� ����� �����) ������ ����� ����� �����3 ������ ����� ����� �����* ������� ����� ����� �����9) ������ ����� ����� �����93 ������ ����� ���� �����9* ������ ����� ����� �����

)URP�WKH�DQDO\VLV�ZH�VHH�WKDW�IDFWRUV�)��3��*��9)��DQG�93�DUH�VLJQLILFDQW���,Q�WKH�DQDO\VLV�RI�������ZH

����IRXQG�RQO\�9��*��DQG�)3*�VLJQLILFDQW�

������ )UDFWLRQDO )DFWRULDO 'HVLJQ)DFWRUV� � %DVH 'HVLJQ� �� �� 5HVROXWLRQ� ,95XQV� �� 5HSOLFDWHV� � )UDFWLRQ� ����'HVLJQ *HQHUDWRUV� ( %&' ) $&' * $%& + $%''HILQLQJ 5HODWLRQ� , %&'( $&') $%&* $%'+ $%() $'(* $&(+ %')* %&)+ &'*+ &()* '()+ %(*+ $)*+ $%&'()*+$OLDV 6WUXFWXUH �XS WR RUGHU ��, � $%&* � $%'+ � $%() � $&') � $&(+ � $'(* � $)*+ � %&'( � %&)+ � %')* � %(*+ �&'*+ � &()* � '()+

$ � %&* � %'+ � %() � &') � &(+ � '(* � )*+% � $&* � $'+ � $() � &'( � &)+ � ')* � (*+& � $%* � $') � $(+ � %'( � %)+ � '*+ � ()*' � $%+ � $&) � $(* � %&( � %)* � &*+ � ()+( � $%) � $&+ � $'* � %&' � %*+ � &)* � ')+) � $%( � $&' � $*+ � %&+ � %'* � &(* � '(+* � $%& � $'( � $)+ � %') � %(+ � &'+ � &()+ � $%' � $&( � $)* � %&) � %(* � &'* � '()$% � &* � '+ � () � $&'( � $&)+ � $')* � $(*+ � %&') � %&(+ � %'(* � %)*+$& � %* � ') � (+ � $%'( � $%)+ � $'*+ � $()* � %&'+ � %&() � &'(* � &)*+$' � %+ � &) � (* � $%&( � $%)* � $&*+ � $()+ � %&'* � %'() � &'(+ � ')*+$( � %) � &+ � '* � $%&' � $%*+ � $&)* � $')+ � %&(* � %'(+ � &'() � ()*+$) � %( � &' � *+ � $%&+ � $%'* � $&(* � $'(+ � %&)* � %')+ � &()+ � '()*$* � %& � '( � )+ � $%') � $%(+ � $&'+ � $&() � %'*+ � %()* � &')* � &(*+$+ � %' � &( � )* � $%&) � $%(* � $&'* � $'() � %&*+ � %()+ � &')+ � '(*+

5XQ $ % & ' ( ) * +� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �

�� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � �

������ )UDFWLRQDO )DFWRULDO 'HVLJQ)DFWRUV� � %DVH 'HVLJQ� �� � 5HVROXWLRQ� ,,,5XQV� � 5HSOLFDWHV� � )UDFWLRQ� ���%ORFNV� QRQH &HQWHU SWV �WRWDO�� � 127( 6RPH PDLQ HIIHFWV DUH FRQIRXQGHG ZLWK WZR�ZD\ LQWHUDFWLRQV'HVLJQ *HQHUDWRUV� ' $% ( $&'HILQLQJ 5HODWLRQ� , $%' $&( %&'($OLDV 6WUXFWXUH , � $%' � $&( � %&'($ � %' � &( � $%&'(% � $' � &'( � $%&(& � $( � %'( � $%&'' � $% � %&( � $&'(( � $& � %&' � $%'(%& � '( � $%( � $&'%( � &' � $%& � $'(

Page 345: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

5XQ $ % & ' (� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �

������ D�

�������

��

(IIHFW

1RUP

DO6FRUH

$&

'

$'

$

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW RI WKH (IIHFWV�UHVSRQVH LV <LHOG� $OSKD ����

$� $%� %&� &'� '

����7KH�IDFWRUV�WKDW�DSSHDU�WR�KDYH�ODUJH�HIIHFWV�DUH�$��'��$&��DQG�$'�

E���7KH�UHJUHVVLRQ�DQDO\VLV�LV(VWLPDWHG (IIHFWV DQG &RHIILFLHQWV IRU <LHOG

7HUP (IIHFW &RHI 6W'HY &RHI 7 3

&RQVWDQW ������ ������ ����� �����

$ ����� ����� ������ ���� �����

& ����� ����� ������ ���� �����

' ����� ����� ������ ���� �����

$ & ������ ������ ������ ����� �����

$ ' ����� ����� ������ ���� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU <LHOG

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

0DLQ (IIHFWV � ������� ������� ������� ����� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ������� ������� ������� ����� �����

5HVLGXDO (UURU �� ������ ������ ������

/DFN RI )LW � ����� ����� ������ ���� �����

3XUH (UURU � ������ ������ ������

7RWDO �� �������

����7KH�FRQFOXVLRQV�DUH�WKDW�IDFWRUV�$��&��DQG�'�DUH�VLJQLILFDQW�DORQJ�ZLWK�WKH�LQWHUDFWLRQV�$&�DQG�$'�

F�

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� �������

$YHUDJH� ����������

����

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����

��

��

$

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV $

�UHVSRQVH LV <LHOG�

Page 346: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����

��

��

&

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV &

�UHVSRQVH LV <LHOG�

����

��

��

'

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV '

�UHVSRQVH LV <LHOG�

����7KH�UHVLGXDO�SORWV�DSSHDU�WR�EH�DGHTXDWH�

G���7KH�GHVLJQ�FDQ�EH�FROODSVHG�LQWR�D����GHVLJQ�DV�VKRZQ

����� �

����� �

������

������

������

������

������

������

'

&

$

���

��

��

&XEH�3ORW���0HDQV�IRU�<LHOG

����7KH�GDWD�DUH�0HDQ��5DQJH�IRU�HDFK�ORFDWLRQ���,W�LV�HYLGHQW�WKDW�WKH�PHDQ�\LHOG�LV�ODUJHVW�IRU�KLJK�OHYHOV�RI�$�

DQG�'�DQG�ORZ�OHYHO�RI�&�

������ ����,I�ZH�FRQVLGHU�WKH�PDLQ�HIIHFWV�$��&��DQG�'�DV�VLJQLILFDQW��ZH�PD\�ZDQW�WR�LQYHVWLJDWH�WKH�LQWHUDFWLRQV�

����FRQWDLQLQJ�WKHVH�IDFWRUV�7HUP (IIHFW &RHI 6W'HY &RHI 7 3

$ ����� ����� ������ ���� �����

& ����� ����� ������ ���� �����

' ����� ����� ������ ���� �����

$ & ������ ������ ������ ����� �����

$ ' ����� ����� ������ ���� �����

8VLQJ�WKH�UHODWLRQVKLS���VW�GHY�FRHI�� �VW��HUU��ZH�KDYH

���������� �������

)RU�D�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO��W�������� ������

7KHUHIRUH�WKH�����FRQILGHQFH�LQWHUYDOV�IRU�WKH�HIIHFWV�DUH�JLYHQ�E\����HIIHFW�r�������������

RU�HIIHFW�r��������

Page 347: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 7KH�JHQHUDWRU�IRU�WKLV�IUDFWLRQ�ZDV�, $%&'

7RWDOO\�FRQIRXQGHG�WHUPV�ZHUH�UHPRYHG�IURP�WKH�DQDO\VLV, � D E F G

D � E F G

E � D F G

F � D E G

G � D E F

H � D E F G H

D E � F G

D F � E G

D G � E F

D H � E F G H

E H � D F G H

F H � D E G H

G H � D E F H

D E H � F G H

D F H � E G H

D G H � E F H

E��(VWLPDWHG (IIHFWV DQG &RHIILFLHQWV IRU IUHHKHLJ

7HUP (IIHFW &RHI 6W'HY &RHI 7 3

&RQVWDQW ������ ������� ������ �����

D ������ ������ ������� ���� �����

E ������� ������� ������� ����� �����

F ������� ������� ������� ����� �����

G ������ ������ ������� ���� �����

H ������� ������� ������� ����� �����

D E ������� ������� ������� ����� �����

D F ������ ������ ������� ���� �����

D G ������ ������ ������� ���� �����

D H ������ ������ ������� ���� �����

E H ������ ������ ������� ���� �����

F H ������� ������� ������� ����� �����

G H ������ ������ ������� ���� �����

D E H ������ ������ ������� ���� �����

D F H ������ ������ ������� ���� �����

D G H ������� ������� ������� ����� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU IUHHKHLJ

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

0DLQ (IIHFWV � ������� ������� ������� ����� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ������� ������� ������� ���� �����

��:D\ ,QWHUDFWLRQV � ������� ������� ������� ���� �����

5HVLGXDO (UURU �� ������� ������� �������

3XUH (UURU �� ������� ������� �������

7RWDO �� �������

%DVHG�RQ�WKH�DQDO\VLV��IDFWRUV�$��%��&��DQG�(�DUH�VLJQLILFDQW���7KH�LQWHUDFWLRQ�RI�%(�LV�DOVR�VLJQLILFDQW�

F�

D�����������E��������������F���������������G��������������H���������������5DQJH

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

�� �� �� �� �� ����

Page 348: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

(VWLPDWHG (IIHFWV DQG &RHIILFLHQWV IRU 5DQJH

7HUP (IIHFW &RHI 6W'HY &RHI 7 3

&RQVWDQW ������� ������� ���� �����

D ������� ������� ������� ���� �����

E �������� �������� ������� ����� �����

F ������� ������� ������� ���� �����

G ������� ������� ������� ���� �����

H �������� �������� ������� ����� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU 5DQJH

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

0DLQ (IIHFWV � ������ ������ ������� ���� �����

5HVLGXDO (UURU �� ������ ������ �������

7RWDO �� ������

)URP�WKH�DQDO\VLV�ZH�VHH�WKDW�IDFWRU�$�LV�VLJQLILFDQW�LQ�DIIHFWLQJ�YDULDELOLW\�LQ�IUHH�KHLJKW�

H��8VLQJ�WKH�PRGHO�)UHH�KHLJKW� �������������������$

3�9DOXH� �����$�6TXDUHG� �����

$QGHUVRQ�'DUOLQJ 1RUPDOLW\ 7HVW

1� ��6W'HY� ��������

$YHUDJH� ����������

���������������������

����

���

���

���

���

���

���

���

����

3UR

EDELOLW\

5(6,�

1RUPDO 3UREDELOLW\ 3ORW

����

���

���

���

���

����

����

����

D

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV D

�UHVSRQVH LV IUHHK�

����

���

���

���

���

����

����

����

E

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV E

�UHVSRQVH LV IUHHK�

����

���

���

���

���

����

����

����

F

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV F

�UHVSRQVH LV IUHHK�

����

���

���

���

���

����

����

����

H

5HVLGXDO

5HVLGXDOV 9HUVXV H

�UHVSRQVH LV IUHHK�

����7KH�UHVLGXDO�SORWV�DSSHDU�WR�EH�DGHTXDWH�

Page 349: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������7KH DQDO\VLV ZDV GRQH XVLQJ FRGHG XQLWV�

(VWLPDWHG 5HJUHVVLRQ &RHIILFLHQWV IRU \

7HUP &RHI 6W'HY 7 3

&RQVWDQW ������� ������� ������� �����

$ ������ ������� ����� �����

% ������� ������� ������� �����

$ $ ������� ������� ������ �����

% % ������� ������� ������ �����

$ % ������ ������� ����� �����

6 ������� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU \

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������� ������� ������� ����� �����

/LQHDU � ������� ������� ������� ������ �����

6TXDUH � ������� ������� ������� ���� �����

,QWHUDFWLRQ � ������� ������� ������� ���� �����

5HVLGXDO (UURU � ������� ������� �������

/DFN�RI�)LW � ������� ������� ������� ���� �����

3XUH (UURU � ������� ������� �������

7RWDO �� �������

)URP�WKH�DQDO\VLV��ZH�VHH�WKDW�WKH�PDLQ�HIIHFWV�DQG�WKH�VTXDUH�WHUPV�DUH�VLJQLILFDQW��EXW�WKH�LQWHUDFWLRQV�DUH�

QRW���5XQQLQJ�DQ�DQDO\VLV�XVLQJ�RQO\�WKH�VLJQLILFDQW�YDOXHV�ZH�KDYH

7HUP &RHI 6W'HY 7 3

&RQVWDQW ������� ������� ������� �����

$ ������ ������� ����� �����

% ������� ������� ������� �����

$ $ ������� ������� ������ �����

% % ������� ������� ������ �����

6 ������� 5�6T ����� 5�6T�DGM� �����

$QDO\VLV RI 9DULDQFH IRU \

6RXUFH ') 6HT 66 $GM 66 $GM 06 ) 3

5HJUHVVLRQ � ������� ������� ������� ����� �����

/LQHDU � ������� ������� ������� ������ �����

6TXDUH � ������� ������� ������� ���� �����

5HVLGXDO (UURU � ������� ������� �������

/DFN�RI�)LW � ������� ������� ������� ���� �����

3XUH (UURU � ������� ������� �������

7RWDO �� �������

����

\

����

���

���$���

���

����

����

����

����

����

����

����

����

��������

�������

���%���

���

����0D[LPXP�YLVFRVLW\�LV�IRXQG�E\�FRPSXWLQJ�WKH�GHULYDWLYHV�ZLWK�UHVSHFW�WR�$�DQG�%�RI�WKH�PRGHO���7KHQ

����VHWWLQJ�WKHVH�HTXDWLRQV�HTXDO�WR���DQG�VROYLQJ�

Page 350: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

0RGHO� ����������������$����������%����������$����������%�� �\

w

w

w

w

\

$$

$

\

%%

%

� �

� ���� � ��� �

���

� ���� ���� �

� ��

� �

� �

7KH�PD[LPXP�YLVFRVLW\�LV�JLYHQ�E\�

�������������������������������������������������������������������������� �������

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������ 7KH�$%&'�LQWHUDFWLRQ�LV

> @ > @�

��� � � � � � � � � � � � � � � � �DE DF EF DG EG FG DEFG D E F G DEF DEG DFG EFG

,I�DE�LV�PLVVLQJ��WKHQ�$%&'�LQWHUDFWLRQ�ZLOO�EH�]HUR�ZKHQ

>������DE��������������������������������������@���>�����������������������������������������������@ �

7KHUHIRUH��DE��������������� ����RU��DE� �����

$IWHU�HVWLPDWLQJ�DE��RQO\�WKH�$�DQG�$'�HIIHFWV�DSSHDU�VLJQLILFDQW�

������ 7ZR�WKUHH�IDFWRU�LQWHUDFWLRQV�FRXOG�EH�XVHG�WR�JHQHUDWH�WKH�EORFNV�VXFK�DV�$%&�DQG�$&'��7KLV�ZRXOG�

FRQIRXQG�WKHVH�HIIHFWV�DQG�$%&�x�$&'� �%'�ZLWK�EORFNV��7KHUHIRUH��RQO\�RQH�WZR�IDFWRU�DQG�QR�PDLQ�

HIIHFWV�DUH�FRQIRXQGHG�ZLWK�EORFNV�

������

$ % $% EORFN

��� � � � �

D � � � �

E � � � �

DE � � � �

7KH�EORFN�HIIHFW�LV�HVWLPDWHG�E\�D E DE�

��

� ��ZKLFK�LV�WKH�VDPH�DV�WKH�HVWLPDWH�RI�WKH�HIIHFW�RI�$%�

������ D��$�GLIIHUHQW�HIIHFW�FDQ�EH�FRQIRXQGHG�LQ�HDFK�UHSOLFDWH�DV�IROORZV�

5HSOLFDWH�� 5HSOLFDWH�� 5HSOLFDWH�� 5HSOLFDWH��

$%&�FRQIRXQGHG $%�FRQIRXQGHG %&�FRQIRXQGHG $&�FRQIRXQGHG

��� D ��� D ��� E ��� D

DE E F E D F E F

DF F DE DF EF DE DF DE

EF DEF DEF EF DEF DF DEF EF

E�

6RXUFH RI 9DULDWLRQ 'HJUHHV RI IUHHGRP

5HSOLFDWHV �

%ORFNV ZLWK UHSOLFDWHV

> RU $%& �UHS� �� � $% �UHS� �� � %& �UHS� �� � $& �UHS� ��@

$ �

% �

& �

$% �IURP UHSOLFDWHV �� �� DQG �� �

$& �IURP UHSOLFDWHV �� �� DQG �� �

%& �IURP UHSOLFDWHV �� �� DQG �� �

$%& �IURP UHSOLFDWHV �� �� DQG �� �

(UURU �E\ VXEWUDFWLRQ� ��

7RWDO ��

,Q�FDOFXODWLQJ�DQ�LQWHUDFWLRQ�VXP�RI�VTXDUHV��RQO\�GDWD�IURP�WKH�UHSOLFDWHV�LQ�ZKLFK�WKH�LQWHUDFWLRQ�LV

XQFRQIRXQGHG�DUH�XVHG�

Page 351: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������

$ % & ' ( $%&' $% &'( EORFN

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

7KLV�XVHV�$%� �&'(�DV�WKH�HIIHFW�WR�FRQIRXQG�ZLWK�EORFNV�

������ 7KH�JHQHUDWRUV�DUH�)� �$%&'�DQG�*� �$%'(��7KH�FRPSOHWH�GHILQLQJ�UHODWLRQ�LV

,� �$%&')� �$%'(*� �&()*�

7KH�GHVLJQ�FDQ�EH�FRQVWUXFWHG�LQ�IRXU�EORFNV�E\�FRQIRXQGLQJ�$&(� �$)*�DQG�%&(� �%)*�ZLWK�EORFNV��7KLV

DOVR�FRQIRXQGV�$%� �&')� �'(*�ZLWK�EORFNV�

<HV��D�WZR�IDFWRU�LQWHUDFWLRQ�LV�FRQIRXQGHG�ZLWK�EORFNV��7KH�EHVW�EORFNLQJ�VFKHPH�FRQIRXQGV�RQO\�RQH�WZR�

IDFWRU�LQWHUDFWLRQ�ZLWK�EORFNV�

������ 7KH�JHQHUDWRUV�DUH�(� �$%&��)� �%&'��DQG�*� �$&'��7KH�FRPSOHWH�GHILQLQJ�UHODWLRQ�LV�,� �$%&(� �%&')�

�$'()� �$&'*� �%'(*� �$%)*� �&()*���7KH�DOLDV�VHW�$%'� �&'(� �$&)� �%()� �%&*� �$(*� �

')*�FDQ�EH�XVHG�WR�FRQVWUXFW�WKH�EORFNV��7KHQ��RQO\�WKUHH�IDFWRU�LQWHUDFWLRQ�DUH�FRQIRXQGHG�ZLWK�EORFNV�

������ D�

$ % & ' $% ( $& ) %& * $%&

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

7KH�FRPSOHWH�GHILQLQJ�UHODWLRQ�LV�,� �$%'� �$&(� �%&'(� �%&)� �$&')� �$%()� �'()�

$%&*� �&'*� �%(*� �$'(*� �$)*� �%')*� �&()*� �$%&'()*�

7KH�DOLDV�VWUXFWXUH�IROORZV��LQFOXGLQJ�RQO\�RQH��DQG�WZR�IDFWRU�HIIHFWV��

$� �%'� �&(� �)*

%� �$'� �&)� �(*

&� �$(� �%)� �'*

'� �$%� �()� �&*

(� �$&� �')� �%*

)� �%&� �'(� �$*

*� �&'� �%(� �$)

E��7KH�FRPSOHWH�GHILQLQJ�UHODWLRQ�LV�,� ��$%'� ��$&(� �%&'(� ��%&)� �$&')� �$%()� ��'()� �$%&*

����� ��&'*� ��%(*� �$'(*� ��$)*� �%')*� �&()*� ��$%&'()*�

7KH�DOLDVHV��XS�WR�WZR�IDFWRU�HIIHFWV��DUH�

$� ��%'� ��&(� ��)*

%� ��$'� ��&)� ��(*

&� ��$(� ��%)� ��'*

'� ��$%� ��()� ��&*

(� ��$&� ��')� ��%*

)� ��%&� ��'(� ��$*

*� ��&'� ��%(� ��$)

F��$OO�WKH�PDLQ�HIIHFWV�FDQ�EH�HVWLPDWHG�E\�DYHUDJLQJ�WKH�HVWLPDWHV�RI�DQ�DOLDV�VHW�FRQWDLQLQJ�D�PDLQ�HIIHFW

����IURP�HDFK�IUDFWLRQ�EHFDXVH�WKH�WZR�IDFWRU�HIIHFWV�ZLOO�FDQFHO�

Page 352: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

&+$37(5���

6HFWLRQ�����

����� 6DPSOH�0HGLDQ� ������

8VLQJ�WKH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q ���DQG�S ������3�YDOXH� ��3�5 t�_S ���� �����

����� 6DPSOH�PHGLDQ� �����

8VLQJ�WKH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q ���DQG�S ������3�YDOXH� ��3�5 d�_S ���� �����

�����+

+

� ��

� � �

�a �

� a �

P

P

8VLQJ�WKH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�Q ���DQG�S ������3�YDOXH� �3�5 d�_S ���� ������

�����U Q

Q

� � �

� � ����� 3�YDOXH� �3�_=_!����� �����

����� 3�YDOXH� �3�5 t�_S ����Q �� �����

����� =�� ��������7KH�3�YDOXH� �3�_=_!������ ���������8VLQJ�WKH�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ��WKH�3�YDOXH �����

����� =�� �������3�YDOXH 3�=!������ �����������8VLQJ�WKH�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ��=�� ������3�YDOXH ������

����� 3�YDOXH� ��3�5 t�_S ���� ���������%HFDXVH�U ��!����GR�QRW�UHMHFW�+��

������ %HFDXVH�U ��d���IRU�Q� �����UHMHFW�+�

������ =�� �������3�YDOXH 3�_=_!����� ��������UHMHFW�+����8VLQJ�WKH�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ��=�� �������3�YDOXH� �

��������UHMHFW�+��

������ %HFDXVH�U� ���!�U����� ���IRU�Q ���+��LV�QRW�UHMHFWHG�

������ %HFDXVH�U �d����IRU�Q� �����UHMHFW�+��

������ =�� �������3�YDOXH� ���������8VLQJ�WKH�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ�=�� �������3�YDOXH� ������

������ =�� ��������3�YDOXH� ����������8VLQJ�WKH�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ�=�� �������3�YDOXH� �������

������ D�� I [ H [� � �O O �IRU�[�!���DQG�

� �

� ��

�³ �O OH [ ���6ROYLQJ�IRU�O��ZH�ILQG�O� �������DQG��(�;�� ���O� �����

E��%HFDXVH�U � ���!����GR�QRW�UHMHFW�+�

F��E� �3�7\SH�,,�HUURU� 3�5 !�_ aP ����

����)RU� aP � ������(�;�� ������DQG�3�;����_ aP ����� �

� ��������� � �

��� �³ �H [ ����������7KHUHIRUH��ZLWK�Q� �

��������S� ���������E� �3�7\SH�,,�HUURU� 3�5 !�_ aP ����� ������

������ D��D� �3�=!������ ������

E��EV

P §

©¨

·

¹¸ � � 3

;

Q3 =

�� _ � � � ���� � ��� ����

F��7KH�VLJQ�WHVW�WKDW�UHMHFWV�LI�5��d���KDV�D� �������EDVHG�RQ�WKH�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�

G�� � �E P ! �3 5 � � �����_ � ���7KHUHIRUH��5��KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�S �������DQG�Q� ����ZKHQ�

P� �����7KHQ�E� ���������7KH�YDOXH�RI�E�LV�JUHDWHU�IRU�WKH�VLJQ�WHVW�WKDQ�IRU�WKH�QRUPDO�WHVW�EHFDXVH�WKH�=� �

WHVW�ZDV�GHVLJQHG�IRU�WKH�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�

Page 353: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 3�YDOXH� ��3�5��t��_S ����� ������

������ 3�YDOXH� ��3�5��d��_S ����� ����������7KH�H[DFW�S�YDOXH�FRPSXWHG�KHUH�DJUHHV�ZLWK�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�LQ�([HUFLVH�������LQ�WKH�VHQVH�WKDW�ERWK�FDOFXODWLRQV�ZRXOG�OHDG�WR�WKH�UHMHFWLRQ�RI�+����7KH�

FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ�LPSURYHV�WKH�DFFXUDF\�RI�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�

6HFWLRQ�����

������ 6DPSOH�PHGLDQ� ��������Z� �������Z � ����UHMHFW�+�

������ %HFDXVH�Z� ������!�����GR�QRW�UHMHFW�+�

������ )URP�H[HUFLVH��������=�� ���������3�YDOXH ��������GR�QRW�UHMHFW�+�

������ %HFDXVH�Z� ���������UHMHFW�+�

������ %HFDXVH�Z� ������!����GR�QRW�UHMHFW�+�

������ %HFDXVH�Z� ������������UHMHFW�+�

������ %HFDXVH�Z� ������!����GR�QRW�UHMHFW�+�

������ %HFDXVH�Z� ���������UHMHFW�+�

6HFWLRQ�����

������ %HFDXVH�Z�� ����!�Z������ ����GR�QRW�UHMHFW�+�

������ 6HW�Z PLQ�Z���Z����%HFDXVH�Z� ����!�Z����� ������GR�QRW�UHMHFW�+�

������ 6HW�Z PLQ�Z���Z����%HFDXVH�Z� ������Z����� ������UHMHFW�+�

������ =�� ��������3�YDOXH� ������

������ =�� �������DQG�3�YDOXH� ������

������ 6HW�Z PLQ�Z���Z����%HFDXVH�Z� ������Z����� ������UHMHFW�+�

������ 6HW�Z PLQ�Z���Z����%HFDXVH�Z� �����!�Z����� ������GR�QRW�UHMHFW�+�

������ =�� �������3�YDOXH� ������

������ =�� �������3�YDOXH� ������

6HFWLRQ�����

������ Kruskal-Wallis Test on strengthmixingte N Median Ave Rank Z1 4 2945 9.6 0.552 4 3075 12.9 2.123 4 2942 9.0 0.244 4 2650 2.5 -2.91Overall 16 8.5H = 10.00 DF = 3 P = 0.019H = 10.03 DF = 3 P = 0.018 (adjusted for ties)* NOTE * One or more small samples5HMHFW�+�

Page 354: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ Kruskal-Wallis Test on strengthmethod N Median Ave Rank Z1 5 550.0 8.7 0.432 5 553.0 10.7 1.653 5 528.0 4.6 -2.08Overall 15 8.0H = 4.83 DF = 2 P = 0.089H = 4.84 DF = 2 P = 0.089 (adjusted for ties)'R�QRW�UHMHFW�+�

������ Kruskal-Wallis Test on anglemanufact N Median Ave Rank Z1 5 39.00 7.6 -1.272 5 44.00 12.4 0.833 5 48.00 15.8 2.314 5 30.00 6.2 -1.88Overall 20 10.5H = 8.37 DF = 3 P = 0.039'R�QRW�UHMHFW�+�

������ Kruskal-Wallis Test on UNIFORMIFLOW N Median Ave Rank Z125 6 3.100 5.8 -2.06160 6 4.400 13.0 1.97200 6 3.800 9.7 0.09Overall 18 9.5H = 5.42 DF = 2 P = 0.067H = 5.44 DF = 2 P = 0.066 (adjusted for ties)'R�QRW�UHMHFW�+�

������ 3�YDOXH� ��������XVH�WKH�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�

������ 3�YDOXH� ���������XVH�WKH�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�

6XSSOHPHQWDO�([HUFLVHV

������ %HFDXVH�Z� ���!�Z����� ����GR�QRW�UHMHFW�+�

������ Sign test of median = 10.00 versus not = 10.00 N Below Equal Above P Mediany 10 5 0 5 1.0000 10.018VLQJ�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ��3�YDOXH ������

������ Sign test of median = 6.000 versus < 6.000 N Below Equal Above P Mediany 15 9 2 4 0.1334 4.000'R�QRW�UHMHFW�+�

������ =�� ��������3�YDOXH �������XVLQJ�WKH�FRQWLQXLW\�FRUUHFWLRQ��3�YDOXH� ������

������test1 N = 8 Median = 1.4000test2 N = 8 Median = 1.6500Point estimate for ETA1-ETA2 is -0.200095.9 Percent CI for ETA1-ETA2 is (-0.4999,0.1001)W = 53.5Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 not = ETA2 is significant at 0.1415The test is significant at 0.1377 (adjusted for ties)Cannot reject at alpha = 0.05

Page 355: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������Test of median = 10.00 versus median not = 10.00 N for Wilcoxon Estimated N Test Statistic P Mediany 10 10 28.5 0.959 10.00'R�QRW�UHMHFW�+�

������Test of median = 6.000 versus median < 6.000 N for Wilcoxon Estimated N Test Statistic P Mediany 15 13 19.0 0.035 5.0005HMHFW�+�

������ 3�YDOXH� �3�5��t���_S ����� ����������ZKHUH�5��LV�WKH�QXPEHU�RI�GLIIHUHQFHV�;EHIRUH���;DIWHU

������ 6HW�Z PLQ�Z���Z�����%HFDXVH�Z� ����������UHMHFW�+�

������ =�� �������3�YDOXH� �����������5HMHFW�+�

������ =�� �������5HMHFW�+�

������ )URP�H[HUFLVH��������=�� �������3�YDOXH� �3�=!������ ��

������ Kruskal-Wallis Test on RESISTANALLOY N Median Ave Rank Z1 10 98.00 5.7 -4.312 10 102.50 15.3 -0.093 10 138.50 25.5 4.40Overall 30 15.5

H = 25.30 DF = 2 P = 0.000H = 25.45 DF = 2 P = 0.000 (adjusted for ties)5HMHFW�+�

������Kruskal-Wallis Test on SCOREMETHOD N Median Ave Rank Z1 8 23.50 15.1 1.292 8 21.75 8.1 -2.143 8 23.05 14.3 0.86Overall 24 12.5H = 4.66 DF = 2 P = 0.098H = 4.66 DF = 2 P = 0.097 (adjusted for ties)'R�QRW�UHMHFW�+�

������Kruskal-Wallis Test on VOLUMETEMPERAT N Median Ave Rank Z70 5 1245 12.4 2.6975 5 1220 7.9 -0.0680 5 1170 3.7 -2.63Overall 15 8.0H = 9.46 DF = 2 P = 0.009H = 9.57 DF = 2 P = 0.008 (adjusted for ties)5HMHFW�+�

Page 356: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������ 8QGHU�WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�HDFK�UDQN�KDV�SUREDELOLW\�RI�����RI�EHLQJ�HLWKHU�SRVLWLYH�RU�QHJDWLYH���'HILQH�WKH�

UDQGRP�YDULDEOH�;L�DV

;UDQN LV SRVLWLYH

UDQN LV QHJDWLYHL

­®¯

7KHQ�

5 [L

DQG

( 5 ( [ L LQ Q

FH ( [

ZKHUH

9 5 9 [ L

E\ LQGHSHQGHQFH

9 ; ( ;

7KHQ

9 5Q Q Q

L

L

Q

L

L

Q

L

L

L L

¦

¦ ¦ �

¦

� �

� �

� � �

��

��

� � �

��

� � � �� �

VLQ � �

� � � �

� � > � �@

� �� � �

������ D�����VHTXHQFHV�DUH�SRVVLEOH

E��%HFDXVH�HDFK�VHTXHQFH�KDV�SUREDELOLW\������XQGHU�+���WKH�GLVWULEXWLRQ�RI�: �LV�REWDLQHG�E\�FRXQWLQJ�WKH�

����VHTXHQFHV�WKDW�UHVXOW�LQ�HDFK�YDOXH�RI�:

������ E�

Z � � � � � � � � � � �� �� �� �� �� ��

3URE ���� � � � � � � � � � � � � � � � �

F��3�Z �!����� �����

G��%\�HQXPHUDWLQJ�WKH�SRVVLEOH�VHTXHQFHV��WKH�SUREDELOLW\�WKDW�: �H[FHHGV�DQ\�YDOXH�FDQ�EH�FDOFXODWHG�XQGHU�

WKH�QXOO�K\SRWKHVLV�DV�LQ�SDUW��F����7KLV�DSSURDFK�FDQ�EH�XVHG�WR�GHWHUPLQH�WKH�FULWLFDO�YDOXHV�IRU�WKH�WHVW�

Page 357: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

&+$37(5���

1RWH�WR�WKH�,QVWUXFWRU���0DQ\�RI�WKH�FRQWURO�FKDUWV�DQG�FRQWURO�FKDUW�VXPPDULHV�DUH�FUHDWHG�XVLQJ�6WDWJUDSKLFV���)RU�

������0LQLWDE�XVHUV��WKH�VXEURXWLQH�¨,�DQG�05�&KDUWV©�XQGHU�¦&RQWURO�&KDUWV§�ZLOO�SURYLGH�VLPLODU�

������UHVXOWV�

6HFWLRQ�����

����� D�;�EDU DQG 5DQJH � ,QLWLDO 6WXG\

3UREOHP ����

;�EDU _ 5DQJH

����� _ �����

8&/� � ��� VLJPD ������� _ 8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH ����� _ &HQWHUOLQH ����

/&/� � ��� VLJPD ������� _ /&/� � ��� VLJPD �

_

RXW RI OLPLWV � _ RXW RI OLPLWV �

��������������������������������������������������������������������������������

&KDUW� %RWK 1RUPDOL]H� 1R

�� VXEJURXSV� VL]H � � VXEJURXSV H[FOXGHG

(VWLPDWHG

SURFHVV PHDQ �����

SURFHVV VLJPD �������

PHDQ 5DQJH ����

� � � �� �� ����

��

��

��

��

;�EDU

3UREOHP�����

�����

�������

�������

� � � �� �� ��VXEJURXS

�����

����

5DQJH����

�������

E�&KDUWLQJ [EDU

;�EDU _ 5DQJH

����� _ �����

8&/� � ��� VLJPD ������� _ 8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH ������� _ &HQWHUOLQH �������

/&/� � ��� VLJPD ������� _ /&/� � ��� VLJPD �

_

RXW RI OLPLWV � _ RXW RI OLPLWV �

&+$37(5���

Page 358: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

��������������������������������������������������������������������������������

�� VXEJURXSV� VL]H � � VXEJURXSV H[FOXGHG

(VWLPDWHG

SURFHVV PHDQ �������

SURFHVV VLJPD ������

PHDQ 5DQJH �������

� � � �� �� ����

��

��

��

��

��

;�EDU

3UREOHP�����

�������

�������

�������

� � � �� �� ��VXEJURXS

��

��

5DQJH

�������

�������

����� ���� [ U ��� ��

���� ���

� ��

��� ���

��

��

����

[ FKDUW

8&/ &/ $ U

&/

/&/ &/ $ U

5 FKDUW

8&/ ' U

&/

/&/ ' U

� �

� �

�� ��� ���� � ��� �� ���

�� ���

�� ��� ���� � ��� �� ���

���� � ��� � ���

� ���

� � ��� �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � �

� � �

����� D� ;�EDU DQG 5DQJH � ,QLWLDO 6WXG\

&KDUWLQJ 3UREOHP ����

;�EDU _ 5DQJH

����� _ �����

8&/� � ��� VLJPD ������� _ 8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH ������� _ &HQWHUOLQH ����

/&/� � ��� VLJPD ������� _ /&/� � ��� VLJPD �

_

RXW RI OLPLWV � _ RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

SURFHVV PHDQ �������

SURFHVV VLJPD �������

PHDQ 5DQJH ����

Page 359: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � � �� �� �����

���

���

����

����

����

;�EDU

3UREOHP�����

�������

�������

�������

� � � �� �� ��VXEJURXS

��

��

5DQJH

����

�������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�DSSHDUV�WR�EH�LQ�FRQWURO�

E��1R�SRLQWV�IHOO�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV��WKH�OLPLWV�GR�QRW�QHHG�WR�EH�UHYLVHG�

�����

����[

U

GG

U

�� � �� � ���

�� � ��� �����

�� � �

� � � � �

����

[ FKDUW

8&/ &/ $ U

&/

/&/ &/ $ U

5 FKDUW

8&/ ' U

&/

/&/ ' U

� �

� �

�� � � ��� ����� ����

�� �

�� � � ��� ����� �� ��

� ��� ������ ���

�����

� ����� �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � �

� � �

Page 360: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����� D�� [ U ����

�����

����

���� ����

����

[ FKDUW

8&/ &/ $ U

&/

/&/ &/ $ U

5 FKDUW

8&/ ' U

&/

/&/ ' U

� �

� �

��� ���� �� ��� ��� ��

���

��� ���� �� ��� �����

���� �� ��� �� ��

�� ���

� �� ��� �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � �

E�

����

��

��

P

V

[

U

G

���

�� ���

� ����� ��

����� D��������������������;�EDU�DQG�5DQJH���,QLWLDO�6WXG\&KDUWLQJ 3UREOHP ����

;�EDU _ 5DQJH

����� _ �����

8&/� � ��� VLJPD ��������� _ 8&/� � ��� VLJPD �������(��

&HQWHUOLQH ��������� _ &HQWHUOLQH ����(��

/&/� � ��� VLJPD ��������� _ /&/� � ��� VLJPD �

_

RXW RI OLPLWV � _ RXW RI OLPLWV �

��������������������������������������������������������������������������������

&KDUW� %RWK 1RUPDOL]H� 1R

�� VXEJURXSV� VL]H � � VXEJURXSV H[FOXGHG

(VWLPDWHG

SURFHVV PHDQ ���������

SURFHVV VLJPD �������(��

PHDQ 5DQJH ����(��

� � �� �� �� ��

��

����

����

����

����

��

;�EDU

�; �(���3UREOHP ����

���������

���������

���������

� � �� �� �� ��VXEJURXS

��

��

��

��

5DQJH

�; �(���

����(��

�������(��

����7KHUH�DUH�VHYHUDO�SRLQWV��RXW�RI�FRQWURO���7KH�FRQWURO�OLPLWV�QHHG�WR�EH�UHYLVHG��7KH�SRLQWV�DUH��������������

�������DQG�����RU�RXWVLGH�WKH�FRQWURO�OLPLWV�RI�WKH�5�FKDUW����DQG���

Page 361: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E� ;�EDU DQG 5DQJH � 5HYLVHG /LPLWV

&KDUWLQJ 3UREOHP ����

;�EDU _ 5DQJH

����� _ �����

8&/� � ��� VLJPD �������� _ 8&/� � ��� VLJPD �������(��

&HQWHUOLQH ��������� _ &HQWHUOLQH �������(��

/&/� � ��� VLJPD ��������� _ /&/� � ��� VLJPD �

_

RXW RI OLPLWV � _ RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

SURFHVV PHDQ ���������

SURFHVV VLJPD �������(��

PHDQ 5DQJH �������(��

� � �� �� �� ��

��

����

����

����

����

��

;�EDU

�;��(���

3UREOHP�����5HYLVHG�/LPLWV

���������

��������

���������

� � �� �� �� ��VXEJURXS

��

��

��

��

5DQJH

�;��(���

�������(��

�������(��

����� D�;�EDU DQG 5DQJH � ,QLWLDO 6WXG\

&KDUWLQJ 3UREOHP ����

;�EDU _ 5DQJH

����� _ �����

8&/� � ��� VLJPD ������� _ 8&/� � ��� VLJPD ������

&HQWHUOLQH ������ _ &HQWHUOLQH ������

/&/� � ��� VLJPD ������� _ /&/� � ��� VLJPD �

_

RXW RI OLPLWV � _ RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

SURFHVV PHDQ ������

SURFHVV VLJPD ��������

PHDQ 5DQJH ������

Page 362: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � �� �� �� �����������������������

;�EDU

3UREOHP�����

������

�������

�������

� � �� �� �� ��VXEJURXS

�����

����

����

5DQJH

������

������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�DSSHDUV�WR�EH�LQ�FRQWURO�

E��1R�SRLQWV�IHOO�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV��WKH�OLPLWV�GR�QRW�QHHG�WR�EH�UHYLVHG�

6HFWLRQ�����

����� D�������������������������,QGLYLGXDOV�DQG�05������,QLWLDO�6WXG\

��������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������&KDUWLQJ�3UREOHP�����

,QG�[����������������������������������_�05���

���������������������������������������_������

8&/������������VLJPD� �����������������_�8&/������������VLJPD� ��������

&HQWHUOLQH����������� �����������������_�&HQWHUOLQH����������� ��������

/&/������������VLJPD� �����������������_�/&/������������VLJPD� ��

���������������������������������������_

RXW�RI�OLPLWV� ������������������������_�RXW�RI�OLPLWV� ��

��������������������������������������������������������������������������������

&KDUW��%RWK������1RUPDOL]H��1R

������VXEJURXSV��VL]H��������������������������VXEJURXSV�H[FOXGHG

(VWLPDWHG

SURFHVV�PHDQ�� ������

SURFHVV�VLJPD� ���������

PHDQ�05������� ���������

Page 363: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � � �� �� ����

��

��

��

��

,QG�[

3UREOHP�����

�����

�������

�������

� � � �� �� ��VXEJURXS

��

05���

�������

�������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�DSSHDUV�WR�EH�LQ�FRQWURO�

E�

����

� �

��

��

P

V

[

PU

G

����

� �����

����� ���

������ D�����������������������������,QGLYLGXDOV�DQG�05������,QLWLDO�6WXG\

��������������������������������������������������������������������������������

������������������������������&KDUWLQJ�3UREOHP�����

,QG�[����������������������������������_�05���

���������������������������������������_������

8&/������������VLJPD� �����������������_�8&/������������VLJPD� ��������

&HQWHUOLQH����������� �����������������_�&HQWHUOLQH����������� ���������

/&/������������VLJPD� �����������������_�/&/������������VLJPD� ���

���������������������������������������_

RXW�RI�OLPLWV� ������������������������_�RXW�RI�OLPLWV� ��

��������������������������������������������������������������������������������

&KDUW��%RWK������1RUPDOL]H��1R

������VXEJURXSV��VL]H��������������������������VXEJURXSV�H[FOXGHG

(VWLPDWHG

SURFHVV�PHDQ�� ��������

SURFHVV�VLJPD� ���������

PHDQ�05������� ���������

Page 364: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � � �� �� �� ��

��

��

��

��

��

��

��

,QG�[

3UREOHP�����

�������

�������

������

� � � �� �� �� ��VXEJURXS

��

��

05���

�������

�������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�DSSHDUV�WR�EH�LQ�FRQWURO�

E�

����

� �

��

��

P

V

[

PU

G

������

������

��������

������ D�������������������������,QG�[�DQG�05������,QLWLDO�6WXG\��������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������&KDUWLQJ�GLDPHWHU

,QG�[����������������������������������_�05���

���������������������������������������_������

8&/������������VLJPD� �����������������_�8&/������������VLJPD� ���������

&HQWHUOLQH����������� �����������������_�&HQWHUOLQH����������� ��������

/&/������������VLJPD� �����������������_�/&/������������VLJPD� ��

���������������������������������������_

RXW�RI�OLPLWV� ������������������������_�RXW�RI�OLPLWV� ��

��������������������������������������������������������������������������������

&KDUW��%RWK������1RUPDOL]H��1R

������VXEJURXSV��VL]H��������������������������VXEJURXSV�H[FOXGHG

(VWLPDWHG

SURFHVV�PHDQ�� ��������

SURFHVV�VLJPD� ����������

PHDQ�05������� ���������

Page 365: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � �� �� �� ��

���

���

���

����

����

����

����

,QG�[

3UREOHP �����

�������

�������

�������

� � �� �� �� ��VXEJURXS

���

���

���

���

05���

�������

��������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�DSSHDUV�WR�EH�LQ�FRQWURO�

E�

����

� �

��

��

P

V

[

PU

G

�� ����

������

����������

������ D�������������������������,QG�[�DQG�05������,QLWLDO�6WXG\

��������������������������������������������������������������������������������

����������������������������&KDUWLQJ�3UREOHP������

,QG�[����������������������������������_�05���

���������������������������������������_������

8&/������������VLJPD� �����������������_�8&/������������VLJPD� �������

&HQWHUOLQH����������� �����������������_�&HQWHUOLQH����������� ��������

/&/������������VLJPD� �����������������_�/&/������������VLJPD� ���

���������������������������������������_

RXW�RI�OLPLWV� ������������������������_�RXW�RI�OLPLWV� ��

��������������������������������������������������������������������������������

&KDUW��%RWK������1RUPDOL]H��1R

������VXEJURXSV��VL]H��������������������������VXEJURXSV�H[FOXGHG

(VWLPDWHG

SURFHVV�PHDQ�� ������

SURFHVV�VLJPD� ���������

PHDQ�05������� ���������

Page 366: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � � �� �� �����

���

���

���

���

���

���

,QG�[

3UREOHP �����

�����

�������

�������

� � � �� �� ��VXEJURXS

��

��

��

��

05���

�������

������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�DSSHDUV�WR�EH�LQ�FRQWURO�

E�

����

� �

��

��

P

V

[

PU

G

��� �

�� ����

��������

6HFWLRQ�����

������� D��,I�WKH�SURFHVV�XVHV�������RI�WKH�VSHFLILFDWLRQ�EDQG��WKHQ��V� �������86/�/6/��WKHQ�DVVXPH� [ P����VLQFH�WKH�SURFHVV�LV�FHQWHUHG

���� � ��� � ��� � ���

� �

V P

V P P

� � �

� �

� � � � � � � � �

86/ [ [ /6/ 86/

86/ /68

��� 3&5. ª

¬«º

¼» PLQ

���

�� �

� �

���

V

V

V

V

����6LQFH�3&5�DQG�3&5N�H[FHHGV�XQLW\��WKH�QDWXUDO�WROHUDQFH�OLPLWV�OLH�LQVLGH�WKH�VSHFLILFDWLRQ�OLPLWV�DQG�YHU\�

����IHZ�GHIHFWLYH�XQLWV�ZLOO�EH�SURGXFHG�

E��$VVXPLQJ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK��V� �������86/���/6/��DQG�D�FHQWHUHG�SURFHVV��WKHQ�����V� �������86/���P����&RQVHTXHQWO\��86/���P� ����V�DQG�P���/6/� ����V

����

3 ; 86/ 3 =

3 =

3 =

� ��

� � �

� � �

! !§©̈

·¹̧

!

� �

� �

� �

� � �

� �

V

V

���%\�V\PPHWU\��WKH�IUDFWLRQ�GHIHFWLYH�LV��>3�;�!�86/�@� ���

Page 367: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�� ��

�� � �V V

U

GRU

����

� ���� ��� � �������

����

> @

3&586/ /6/

3&586/ [ [ /6/

.

� �ª

¬«

º

¼»

� �ª

¬«

º

¼»

����� �����

� � ����������

� �

����� �����

� � �������

����� �����

� � �������

���� ����

����

� � �

� �

� � ��

PLQ�

��

PLQ� �

� � ��� �

� � �

PLQ � � �

V

V V

����6LQFH�3&5�H[FHHGV�XQLW\��WKH�QDWXUDO�WROHUDQFH�OLPLWV�OLH�LQVLGH�WKH�VSHFLILFDWLRQ�OLPLWV�DQG�YHU\�IHZ�

����GHIHFWLYH�XQLWV�ZLOO�EH�SURGXFHG�

����6LQFH�3&5.�z3&5�WKH�SURFHVV�LV�VOLJKWO\�RII�FHQWHU�

E��$VVXPLQJ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� �P � ��������DQG� �V � ����������

����

� �

� �

3 ; /6/ 3 =/6/

3 =

3 =

3 ; 86/ 3 =86/

3 =

3 =

� ��§

©¨

·

¹¸

� �

� �

! !�§

©¨

·

¹¸

!

� �

� � �

� ��

� � �

� � �

P

V

P

V

���

� ���

� � �����

� �����

� ��

� � ��

� �

����7KHUHIRUH��WKH�SURSRUWLRQ�QRQFRQIRUPLQJ�LV�JLYHQ�E\

����3�;�/6/����3�;!86/�� ������������

������������ ��������

������ �D��$VVXPLQJ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� �P � ����������DQG� ��

��V

U

G�

� ���

� �������

����

� �

� �

3 ; /6/ 3 =/6/

3 =

3 =

3 =

� ��§

©¨

·

¹¸

��§

©̈·¹̧

� �

� �

� �

� � �

P

V

�� �� �� ��

����

���

� ���

� � �����

� �����

Page 368: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����

3 ; 86/ 3 =86/

3 =

3 =

3 =

� ��

� �

� � �

� � �

! !�§

©¨

·

¹¸

!�§

©̈·¹̧

!

� �

P

V

���� �� ��

����

���

� ���

� � �����

� �����

����7KHUHIRUH��WKH�SURSRUWLRQ�QRQFRQIRUPLQJ�LV�JLYHQ�E\

����3�;�/6/����3�;!86/�� �����������������

������������ ��������

E�

����

> @

3&586/ /6/

3&586/ [ [ /6/

.

� �ª

¬«

º

¼»

� �ª

¬«

º

¼»

���� �� ��

� �������

� �

���� �� ��

� ����

�� �� �� ��

� ����

���� ���

����

� � �

� �

� � ��

PLQ�

��

PLQ� �

� � ��

� �

� � �

PLQ � � �

V

V V

����6LQFH�3&5�H[FHHGV�XQLW\��WKH�QDWXUDO�WROHUDQFH�OLPLWV�OLH�LQVLGH�WKH�VSHFLILFDWLRQ�OLPLWV�DQG�YHU\�IHZ�

����GHIHFWLYH�XQLWV�ZLOO�EH�SURGXFHG�

����3&5.�#�3&5�WKH�SURFHVV�DSSHDUV�WR�EH�FHQWHUHG�

������ ���� ��

��V

U

G�

� ��

� ������� �RU��������PP

���� [ �� �����

3 ; 3 ;

3 = 3 =

3 = 3 =

� � � �

� � � � � �

� �

! � �

!�§

©̈·¹̧� �

�§©̈

·¹̧

! � � �

�� �

�� �� ����

����

� �� ����

����

��� ���

� ���� � �����

�����

���� 3&5 �

�� �

� �������

� � ��

����:LWK�WKH�3&5�PXFK�OHVV�WKDQ�XQLW\��WKH�SURFHVV�FDSDELOLW\�DSSHDUV�WR�EH�SRRU�

������ ,I�WKH�SURFHVV�XVHV�����RI�WKH�VSHF�EDQG�WKHQ��V� ������86/���/6/��DQG

3&586/ /6/

86/ /6/

���

������

� � � ��

$VVXPH� [ P DQG��V� ������86/��� [ �� ������P���/6/�7KHUHIRUH�

3&5N ª

¬«

º

¼» PLQ

� �

��� �

��

���

���

����

V

V

V

V

6LQFH�3&5�DQG�3&5N�H[FHHG�XQLW\��WKH�QDWXUDO�WROHUDQFH�OLPLWV�OLH�LQVLGH�WKH�VSHFLILFDWLRQ�OLPLWV�DQG�YHU\

IHZ�GHIHFWLYH�XQLWV�ZLOO�EH�SURGXFHG�

Page 369: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ $VVXPLQJ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� �P � �������DQG� �V �� ���

� ���

� �����

����

� �

� �

3 ; /6/ 3 =/6/

3 =

3 =

3 =

3 ; 86/ 3 =86/

3 =

3 =

3 =

� ��§

©¨

·

¹¸

��§

©̈·¹̧

� �

� �

! !�§

©¨

·

¹¸

!�§

©̈·¹̧

!

� �

� � �

� ��

� � �

� � �

P

V

P

V

��� ���

�� ��

� ��

� � ��

� � �����

� �����

��� ���

�� ��

� ��

� � ��

� � �����

� �����

����7KHUHIRUH��WKH�SURSRUWLRQ�QRQFRQIRUPLQJ�LV�JLYHQ�E\

����3�;�/6/����3�;!86/�� ������������������

������������ ��������

����

> @

3&586/ /6/

3&586/ [ [ /6/

.

� �ª

¬«

º

¼»

� �ª

¬«

º

¼»

��� ���

� �� ��� ���

� �

��� ���

� �� ��

��� ���

� �� ��

���� � ���

����

� � � � � ��

PLQ�

��

PLQ� � �

�� � �

PLQ � � �

V

V V

����7KH�SURFHVV�FDSDELOLW\�LV�PDUJLQDO�

������ $VVXPLQJ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� �P � ������DQG� �V � ����

> @

3&586/ /6/

3&586/ [ [ /6/

.

� �ª

¬«

º

¼»

� �ª

¬«

º

¼»

�� ��

� �����

� �

�� ��

� ��

�� ��

� ��

��� ���

���

� � � � � ��

PLQ�

��

PLQ� � �

�� � �

PLQ � � �

V

V V

����7KH�SURFHVV�LV�FDSDEOH�

Page 370: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ $VVXPLQJ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� �P � �������DQG� �V ������

����

� ������

> @

3&586/ /6/

3&586/ [ [ /6/

.

� �ª

¬«

º

¼»

� �ª

¬«

º

¼»

� �

� � ������

� �

� � ���

� � ���

� ��� �

� � ���

� ��� � ���

� ���

� � � � � ��

PLQ�

��

PLQ�

� � ���

� � �

PLQ � � �

V

V V

����7KH�SURFHVV�FDSDELOLW\�LV�SRRU�

������ $VVXPLQJ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� �P � ��������DQG� �V � ������

� ���

�� ��������

7KH�QDWXUDO�WROHUDQFH�OLPLWV�DUH�WKHQ

� � � � � �

� � � � �

P Vr r

� � ���� � � �����

� ���� � ����

������ $VVXPLQJ�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� �P � �������DQG� �V � ������

> @

3&586/ /6/

3&586/ [ [ /6/

.

� �ª

¬«

º

¼»

� �ª

¬«

º

¼»

��� ���

� ����� ��

� �

��� ��� �

� ����

��� � ���

� ����

� ��� ���

� ���

� � � � � ��

PLQ�

��

PLQ�

� � ��

� � �

PLQ � � �

V

V V

6LQFH�WKH�SURFHVV�FDSDELOLW\�UDWLRV�DUH�OHVV�WKDQ�XQLW\��WKH�SURFHVV�FDSDELOLW\�DSSHDUV�WR�EH�SRRU�

6HFWLRQ�����

����������������������������������3�&KDUW���,QLWLDO�6WXG\

��������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������&KDUWLQJ�3UREOHP������

3�&KDUW

�����

8&/������������VLJPD� ���������

&HQWHUOLQH����������� ���������

/&/������������VLJPD� ����������

RXW�RI�OLPLWV� ��

��������������������������������������������������������������������������������

1RUPDOL]H���1R

������VXEJURXSV��VL]H��������������������������VXEJURXSV�H[FOXGHG

(VWLPDWHG

PHDQ�3�� ���������

VLJPD��� ����������

Page 371: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � �� �� �� �� ��

VXEJURXS

���

���

���

���

3

3UREOHP������

��������

��������

���������

����7KH�SURFHVV�LV�RXW�RI�FRQWURO���7KH�FRQWURO�OLPLWV�QHHG�WR�EH�UHYLVHG��7KH�VDPSOHV�ZLWK�RXW�RI�FRQWURO

����SRLQWV�DUH���DQG����

����������������������������3�&KDUW���5HYLVHG�/LPLWV

��������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������&KDUWLQJ�3UREOHP������

3�&KDUW

�����

8&/������������VLJPD� ���������

&HQWHUOLQH����������� ���������

/&/������������VLJPD� ���������

RXW�RI�OLPLWV� ��

��������������������������������������������������������������������������������

1RUPDOL]H���1R

������VXEJURXSV��VL]H��������������������������VXEJURXSV�H[FOXGHG

(VWLPDWHG

PHDQ�3�� ���������

VLJPD��� ����������

Page 372: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � �� �� �� �� ��

VXEJURXS

���

���

���

���

3

3UREOHP �����5HYLVHG /LPLWV

��������

��������

��������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�RXW�RI�FRQWURO�IRU�WKH�UHYLVHG�OLPLWV�

������

����������

6DPSOH 1XPEHU

6DPSOH&RXQW

8 &KDUW IRU GHIHFWV

8 �����

���6/ �����

����6/ �������

����6DPSOHV���DQG����KDYH�RXW�RI�FRQWURO�SRLQWV���7KH�OLPLWV�QHHG�WR�EH�UHYLVHG�

E�

����������

6DPSOH 1XPEHU

6DPSOH&RXQW

8�&KDUW�IRU�GHIHFWV

8 �����

���6/ �����

����6/ �����

����7KH�FRQWURO�OLPLWV�DUH�FDOFXODWHG�ZLWKRXW�WKH�RXW�RI�FRQWURO�SRLQWV���7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�RXW�RI�FRQWURO�IRU�

����WKH�UHYLVHG�OLPLWV�

������

Page 373: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

& &KDUW � ,QLWLDO 6WXG\

&KDUWLQJ 3UREOHP �����

& &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH �������

/&/� � ��� VLJPD �

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ & �������

VLJPD �������

� �� �� �� ��

VXEJURXS

��

��

��

��

&

3UREOHP �����

�������

�������

����7KH�SURFHVV�LV�QRW�LQ�FRQWURO���7KHUH�DUH�VHYHUDO�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV�

������

����������

��

��

6DPSOH 1XPEHU

6DPSOH&RXQW

&�&KDUW�IRU�GHIHFWV

& �����

���6/ �����

����6/ ������

����7KHUH�DUH�WZR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH\�DUH�VDPSOHV���DQG����

����7KH�8�FKDUW�DQG�WKH�&�FKDUW�ERWK�GHWHFWHG�RXW�RI�FRQWURO�SRLQWV�DW�VDPSOHV���DQG����

������3 &KDUW � ,QLWLDO 6WXG\

&KDUWLQJ 3UREOHP �����

3 &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD ��������

&HQWHUOLQH ��������

/&/� � ��� VLJPD �������

RXW RI OLPLWV ��

(VWLPDWHG

PHDQ 3 ��������

VLJPD ���������

Page 374: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � � �� �� �� ��

VXEJURXS

���

���

���

���

3

3UREOHP �����

��������

��������

�������

����7KH�VDPSOHV�ZLWK�RXW�RI�FRQWURO�SRLQWV�DUH�����������������������������������������

����7KHUH�DUH�VHYHUDO�SRLQWV�DUH�RXW�RI�FRQWURO���7KH�FRQWURO�OLPLWV�QHHG�WR�EH�UHYLVHG�

3 &KDUW � 5HYLVHG /LPLWV

&KDUWLQJ 3UREOHP �����

3 &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD ��������

&HQWHUOLQH ��������

/&/� � ��� VLJPD ��������

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ 3 ��������

VLJPD ���������

� � � �� �� �� ��

VXEJURXS

���

���

���

���

3

3UREOHP �����

5HYLVHG /LPLWV

��������

��������

��������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�RXW�RI�FRQWURO�IRU�WKH�UHYLVHG�OLPLWV�

Page 375: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ�����

������ D�� [ �� ��� ���� V[� �������������P� ������

���� ����

3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

[

� � � �

� �

� �

� �

� � � �

� � � � � �

� � � > � � �@

� � �

������ �� ����

������ �� ��

� ����

�� ���� �� ��

� ����

��� � ��

� �� ���

� �� � ���

� ���� � �

� ����

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

� � � �

� �

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ���������� ��������

E�� $5/S

� �

� ����� �

��

������ D�� PV

� �Q

8&/

����

��� ��

���

���� ��� �

V

V � �

E�� ��

�VV

P[Q

�� ���

�3����;�����

������� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

� � � �

3;

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

[

�� ���

��� ���

�� ��

�� ��

�� � ��

� ����� �

� �����

P

V

� �

� � � � � �

� � � > � � �@

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ����������� ���������

F�� $5/S

� �

� ��������

��

������� D�� �V[� �

� ��

V

Q � ����

����� ��P� ���

����

3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

[

� � � �

� �

� � � �

� � � � � �

> � � �@ > � � �@

� � �

�� �� �� ���

�� �� ��

����

�� ��� ��

����

��� ���

��� ���

� ��� � ���

� ���� � �

� ����

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � � �

� � � � �

� � � � �

� �

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ���������� ��������

E�� $5/S

� �

� �������

��

Page 376: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������� D�� ��

��V

5

G�

� ���

� ������� �V[

� �� �

�V

Q ����

�� ��� ���P� �����

����

3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

[

� � � �

� �

� �

� � � �

� � � � � �

� � � > � � �@

� � �

�� ��� �� ���

�� ��� �� �

� ���

�� ��� �� �

� ���

� �� ���

��� � ��

��� � � ��

� ����� � �

� �����

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

� � � �

� �

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ����������� ��������

E�� $5/S

� �

� ������ �

��

������ D�� ��

��V

5

G�

� ��

� ������ �V[

� �� �

�V

Q ���

���� ��P� �����

����

3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

[

� � � �

� �

� �

� � � �

� � � � � �

� � � > � � �@

� � �

� ��� ����

���� �� �

���

���� �� �

���

��� � ��

� �� ���

� �� � ���

� ���� � �

� ����

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

� � � �

� �

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ���������� ��������

E�� $5/S

� �

� ����� ��

��

������� D�� � �V 5

G��� �� ���� �V[

� �� �

�V

Q �� ��

�����

����

3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

[

� � � �

� � � �

� � � � � �

����� ��� ��

����� ���

����

��� �� ���

����

��� � ���

� ��� ���

� � ����

� �����

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ����������� ���������

E�� $5/S

� �

���������

��

Page 377: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������� D�� � �V 5

G��� �V[

� �� �

�V

Q ��

�� ��� ��P� ���

����

3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

[

� � � �

� � � �

� � � � � �

� � � � � �@

���� ����

���� ��

� ���

���� ��

� ���

��� � ��

� �� ���

� �� ���

� � �����

� �����

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� �

� � �

� � �

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ����������� ���������

E�� $5/S

� �

� ��������

��

������� D�� � �V 5

G�� ������ �V[

� �� �

�V

Q � ������

�� ������� ��P� �������

����

3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

[

� � � �

� �

� �

� � � �

� � � � � �

� ���� � ����

� ���� � ����

� �������

� ���� � ����

� �������

��� ���

��� ���

� � �����

� �����

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ������������� ���������

E�� $5/S

� �

� ���������

��

������� D�� � �V 5

G�� ��� �V[

� �� �

�V

Q � ���

�� ��� �P� ����

����

3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

[

� � � _ � �

� � � �

� � � �

� � � � � �

� � � > � � �@

� � �

���� � ��� ��

���� ��

����

� ��� ��

� ���

� �� ���

��� � ��

��� � � ��

� � ������

������

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

� � � �

� �

P

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ����������� ���������

E�� $5/S

� �

������� ��

��

Page 378: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

6HFWLRQ������

������ D�

��

��

��

��

��

����������

6XEJURXS 1XPEHU

&XPXODWLYH6XP

8SSHU &8680

/RZHU &8680

&8680�&KDUW�IRU�SXULW\

7KH�&8680�FRQWURO�FKDUW�IRU�SXULW\�GRHV�QRW�LQGLFDWH�DQ�RXW�RI�FRQWURO�VLWXDWLRQ���7KH�6+�YDOXHV�GR�QRW�SORW�

EH\RQG�WKH�YDOXHV�RI��+�DQG�+�E�

��

��

��

��

��

�����

6XEJURXS 1XPEHU

&XPXODWLYH6XP

8SSHU &8680

/RZHU &8680

&8680�&KDUW�IRU�SXULW\DG

7KH�SURFHVV�DSSHDUV�WR�EH�LQ�VWDWLVWLFDO�FRQWURO�

������ D��V� �������E�

���

���

����

������

�������

����������

6XEJURXS 1XPEHU

&XPXODWLYH6XP

8SSHU &8680

/RZHU &8680

&8680&KDUW IRU GLDPHWHU

Page 379: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�

��

��

��

��

���

���

���

���

��

���

�����

6XEJURXS 1XPEHU

&XPXODWLYH6XP

8SSHU &8680

/RZHU &8680

&8680�&KDUW�IRU�FRQFHQWU

7KH�SURFHVV�DSSHDUV�WR�EH�LQ�VWDWLVWLFDO�FRQWURO�

E��:LWK�WKH�WDUJHW� �����DQG�D�VKLIW�WR�����LV�D�VKLIW�RI���� ���

� ����V����)URP������ZLWK�K� ���DQG�WKH�URZ�

�����RI�������$5/� ������

������ D��$�VKLIW�WR����LV�D�VKLIW�RI�P P

V

�� �� ��

�� �����VWDQGDUG�GHYLDWLRQV���)URP�7DEOH�������$5/� �����

E��,I�Q� ����WKH�VKLIW�WR�����LV�D�VKLIW�RI�P P

V

�� �� ��

� �� �Q ���VWDQGDUG�GHYLDWLRQ���)URP�7DEOH�������$5/� �

��������

������ D��ZLWK�WDUJHW� �����DQG�D�VKLIW�WR�����LV�D�VKLIW�RI���� ���

� �����VWDQGDUG�GHYLDWLRQV���)URP�7DEOH�������

����$5/� ������7KH�KRXUV�RI�SURGXFWLRQ�DUH������� ����

E��7KH�$5/� ������+RZHYHU��WKH�WLPH�WR�REWDLQ����VDPSOHV�LV�QRZ��������� ����

F��)URP�7DEOH�������WKH�$5/�ZKHQ�WKHUH�LV�QR�VKLIW�LV�������&RQVHTXHQWO\��WKH�WLPH�EHWZHHQ�IDOVH�DODUPV�LV�

������������� �������KRXUV�

G��,I�WKH�SURFHVV�VKLIWV�WR������WKH�VKLIW�LV�P P

V

�� ��� ���

� �� �Q��VWDQGDUG�GHYLDWLRQ���)URP�7DEOH�������WKH�

����$5/�IRU�WKLV�VKLIW�LV��������7KHUHIRUH��WKH�WLPH�WR�GHWHFW�WKH�VKLIW�LV��������� ������KRXUV���$OWKRXJK�WKLV�

����WLPH�LV�VOLJKWO\�ORQJHU�WKDQ�WKH�UHVXOW�LQ�SDUW��E���WKH�WLPH�EHWZHHQ�IDOVH�DODUPV�LV�������� �����KRXUV��

����ZKLFK�LV�EHWWHU�WKDQ�WKH�UHVXOW�LQ�SDUW��F��

6XSSOHPHQWDU\�([HUFLVHV

������ D�;�EDU DQG 5DQJH � ,QLWLDO 6WXG\

��������������������������������������������������������������������������������

;�EDU _ 5DQJH

����� _ �����

8&/� � ��� VLJPD ������� _ 8&/� � ��� VLJPD ���������

&HQWHUOLQH �� _ &HQWHUOLQH �������

/&/� � ��� VLJPD ������ _ /&/� � ��� VLJPD �

_

RXW RI OLPLWV � _ RXW RI OLPLWV �

��������������������������������������������������������������������������������

&KDUW� %RWK 1RUPDOL]H� 1R

(VWLPDWHG

SURFHVV PHDQ ��

SURFHVV VLJPD ���������

PHDQ 5DQJH �������

Page 380: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � �� �� �� ��

����

����

����

����

����

;�EDU

�;������3UREOHP������

��

�������

������

� � �� �� �� ��VXEJURXS

����

����

����

����

����

5DQJH

�������

���������

����7KH�SURFHVV�LV�LQ�FRQWURO�

E�� �P [ �� ��

��V

5

G�

� �����

����� ����

F�� 3&586/ /6/

�� �� ����

� � ����� ���

� �

� � ��

V

����7KH�SURFHVV�GRHV�QRW�PHHW�WKH�PLQLPXP�FDSDELOLW\�OHYHO�RI�3&5�t������G�

����

> @

3&586/ [ [ /6/

N � �ª

¬«

º

¼»

� �ª

¬«

º

¼»

PLQ�

��

PLQ�

� � ��

� � �

PLQ � � �

� �

�� �� ��

� � ����

�� ����

� � ����

� ��� � ���

� ���

V V

H��,Q�RUGHU�WR�PDNH�WKLV�SURFHVV�D�¦VL[�VLJPD�SURFHVV§��WKH�YDULDQFH�V��ZRXOG�KDYH�WR�EH�GHFUHDVHG�VXFK�WKDW�

3&5N� �������7KH�YDOXH�RI�WKH�YDULDQFH�LV�IRXQG�E\�VROYLQJ�3&5N� [ /6/�

� �V

� IRU�V�

�� ��

�� �

� �� ��

�� ��

���

VV

V

V

����7KHUHIRUH��WKH�SURFHVV�YDULDQFH�ZRXOG�KDYH�WR�EH�GHFUHDVHG�WR�V�� ��������� �������

Page 381: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

I�� �V[� �������

����

3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

[

� � � �

� �

� �

� � � �

� � � � � �

� �

���� �� ��

���� �� ���

� ����

�� �� �� ���

� ����

� �� ���

��� � ��

� ����� � �����

� �����

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV�S� ����������� ��������

��� $5/S

� �

� ���������

��

������ D�3 &KDUW � ,QLWLDO 6WXG\

3 &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD ��������

&HQWHUOLQH ����

/&/� � ��� VLJPD ���������

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ 3 ����

VLJPD ��������

� � � �� �� ��

VXEJURXS

����

����

����

����

���

����

3

3UREOHP �����

����

��������

���������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�LV�LQ�FRQWURO�

E�3 &KDUW � ,QLWLDO 6WXG\

6DPSOH 6L]H� Q ���

3 &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD ��������

&HQWHUOLQH ����

/&/� � ��� VLJPD ���������

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ 3 ����

VLJPD ���������

Page 382: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � � �� �� ��

VXEJURXS

����

����

����

����

����

����

3

3UREOHP �����E6DPSOH 6L]H Q ���

����

��������

���������

����7KHUH�LV�RQH�SRLQW�EH\RQG�WKH�XSSHU�FRQWURO�OLPLW���7KH�SURFHVV�LV�RXW�RI�FRQWURO�

����7KH�UHYLVHG�OLPLWV�DUH�3 &KDUW � 5HYLVHG /LPLWV

6DPSOH 6L]H� Q ���

3 &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD ��������

&HQWHUOLQH ��������

/&/� � ��� VLJPD ���������

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ 3 ��������

VLJPD ��������

� � � �� �� ��

VXEJURXS

����

����

����

����

����

����

3

3UREOHP �����E 5HYLVHG /LPLWV6DPSOH 6L]H� Q ���

��������

��������

���������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�LV�QRZ�LQ�FRQWURO�

F��$�ODUJHU�VDPSOH�VL]H�ZLWK�WKH�VDPH�QXPEHU�RI�GHIHFWLYH�LWHPV�ZLOO�UHVXOW�LQ�PRUH�QDUURZ�FRQWURO�OLPLWV�

����7KH�FRQWURO�OLPLWV�FRUUHVSRQGLQJ�WR�WKH�ODUJHU�VDPSOH�VL]H�DUH�PRUH�VHQVLWLYH�

Page 383: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�8 &KDUW � ,QLWLDO 6WXG\

8 &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH ����

/&/� � ��� VLJPD ��������

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ 8 ����

VLJPD ��������

� � �� �� �� ��

VXEJ URXS

��

8

3 URE OHP �� �� �

� �� �

� �� � ���

� �� � ����

����7KHUH�DUH�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�LV�RXW�RI�FRQWURO���7KH�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO

����OLPLWV�DUH������������������������DQG����

E�8 &KDUW � 5HYLVHG /LPLWV

8 &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH �������

/&/� � ��� VLJPD ��������

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ 8 �������

VLJPD ��������

� � �� �� �� ��

VXEJURXS

��

8

3UREOHP ����� 5HYLVHG /LPLWV

�������

�������

��������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�OLPLWV���7KH�SURFHVV�LV�QRZ�LQ�FRQWURO�

Page 384: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

F�8 &KDUW � ,QLWLDO 6WXG\

6DPSOHV RI �� FDVHV

8 &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH ����

/&/� � ��� VLJPD �������

RXW RI OLPLWV ��

(VWLPDWHG

PHDQ 8 ����

VLJPD ��������

� � �� �� �� ��

VXEJURXS

��

8

3UREOHP �����F 6DPSOH RI �� FDVHV

����

�������

�������

8 &KDUW � 5HYLVHG /LPLWV

8 &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH �������

/&/� � ��� VLJPD ��������

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ 8 �������

VLJPD �������

� � �� �� �� ��

VXEJURXS

��

8

3UREOHP �����F 5HYLVHG /LPLWV

�������

�������

��������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�LV�QRZ�LQ�FRQWURO�/DUJHU�VDPSOH�VL]H�QDUURZV�

����WKH�FRQWURO�OLPLWV�DQG�FDXVHV�PRUH�VDPSOH�REVHUYDWLRQV�WR�EH�GHHPHG�RXW�RI�FRQWURO�

Page 385: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D�& &KDUW � ,QLWLDO 6WXG\

& &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH ����

/&/� � ��� VLJPD �

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ & ����

VLJPD �������

� � �� �� �� ��

VXEJURXS

��

&

3UREOHP ����� ,QLWLDO 6WXG\

����

�������

����7KHUH�DUH�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�LV�RXW�RI�FRQWURO���7KH�SRLQWV�DUH����DQG����

E�& &KDUW � 5HYLVHG /LPLWV

& &KDUW

�����

8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH �������

/&/� � ��� VLJPD �

RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

PHDQ & �������

VLJPD ������

� � �� �� �� ��

VXEJURXS

��

&

3UREOHP ����� 5HYLVHG /LPLWV

�������

�������

����7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�LV�LQ�FRQWURO�

Page 386: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ D��/HW�S�GHQRWH�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�D�SRLQW�SORWV�RXWVLGH�RI�WKH�FRQWURO�OLPLWV�ZKHQ�WKH�PHDQ�KDV�VKLIWHG�IURP

����P��WR�P� �P�������V���7KHQ�3 /&/ ; 8&/

3Q

;Q

3Q

;

Q Q

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

� �

� �

� �

� � � �

� � > � �@

� > @

� �

� � � �§

©¨̈

·

¹¸̧

� ��

� �§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

� � � �

� �

PV

PV

V

V

P

V

V

V

� �

� �

���

���

� �

� �

� � �

�� � �

��

����7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�WKH�VKLIW�LV�XQGHWHFWHG�IRU�WKUHH�FRQVHFXWLYH�VDPSOHV�LV����S��� �������� �������E��,I���VLJPD�FRQWURO�OLPLWV�ZHUH�XVHG��WKHQ

� �

���

���

� �

� �

� � � �

� ������ � �

������

� �

� � �

� � � �§

©¨̈

·

¹¸̧

� ��

� �§

©¨

·

¹¸

� � � �

� � � � �

� � � � �

� � �

S 3 /&/ ; 8&/

3Q

;Q

3Q

;

Q Q

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

� �

� �

� �

� � � �

� � > � �@

� > @

PV

PV

V

V

P

V

V

V

����7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�WKH�VKLIW�LV�XQGHWHFWHG�IRU�WKUHH�FRQVHFXWLYH�VDPSOHV�LV����S��� ������������ ����������

F��7KH���VLJPD�OLPLWV�DUH�PRUH�QDUURZ�WKDQ�WKH���VLJPD�OLPLWV���6LQFH�WKH���VLJPD�OLPLWV�KDYH�D�VPDOOHU

����SUREDELOLW\�RI�D�VKLIW�EHLQJ�XQGHWHFWHG��LW�ZRXOG�EH�EHWWHU�WKDQ�WKH���VLJPD�OLPLWV�IRU�D�PHDQ�VKLIW�RI����V�

������ ����$5/� ���S�ZKHUH�S�LV�WKH�SUREDELOLW\�D�SRLQW�IDOOV�RXWVLGH�WKH�FRQWURO�OLPLWV�

D�� P P V �� �DQG�Q� ��

��� ����

S 3 ; 8&/ 3 ; /&/

3 =Q

Q3 =

Q

Q

3 = Q 3 = Q

3 = 3 = ZKHQ Q

3 = 3 =

! � �

!� � �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

� �� � �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

! � � � � �

! � � �

� � � � �

� � �

� � � �

� �

� � � �

� � � �

� � > � �@

� > @

PV

P V

V

PV

P V

V

� � � �

� �

� �

� � �

� � � �

� � ����� � �

� �����

����7KHUHIRUH��$5/� ���S� ����������� ������

Page 387: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�� P P V �� �

����

3 ; 8&/ 3 ; /&/

3 =Q

Q3 =

Q

Q

3 = Q 3 = Q

3 = 3 = ZKHQ Q

3 = 3 =

� � � �

� �

� � � �

� � � �

� � > � �@

� > @

! � �

!� � �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

� �� � �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

! � � � � �

! � � �

� � � � �

� � �

PV

P V

V

PV

P V

V

� � � �

��

��

� � � �

� � �

� � � �

� ������ � �

������

����7KHUHIRUH��$5/� ���S� ����������� ������

F�� P P V �� �

3 ; 8&/ 3 ; /&/

3 =Q

Q3 =

Q

Q

3 = Q 3 = Q

3 = 3 = ZKHQ Q

3 = 3 =

� � � �

� �

� � � �

� � � �

� � > � �@

� > @

! � �

!� � �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

� �� � �

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

! � � � � �

! � � �

� � � � �

� � �

PV

P V

V

PV

P V

V

� � � �

��

��

� � � �

� � �

� � � �

� ��� � �

���

����7KHUHIRUH��$5/� ���S� �������� ������

G��7KH�$5/�LV�GHFUHDVLQJ�DV�WKH�PDJQLWXGH�RI�WKH�VKLIW�LQFUHDVHV�IURP�V�WR��V�WR��V���7KH�$5/�ZLOO����GHFUHDVH�DV�WKH�PDJQLWXGH�RI�WKH�VKLIW�LQFUHDVHV�VLQFH�D�ODUJHU�VKLIW�LV�PRUH�OLNHO\�WR�EH�GHWHFWHG�HDUOLHU

����WKDQ�D�VPDOOHU�VKLIW�

������ D��%HFDXVH�$5/� ������RQ�WKH�DYHUDJH�ZH�H[SHFW�WKHUH�WR�EH�RQH�IDOVH�DODUP�HYHU\�����KRXUV���(DFK����GD\�

����PRQWK�FRQWDLQV����u���� �����KRXUV�RI�RSHUDWLRQ���&RQVHTXHQWO\��ZH�H[SHFW��������� �����IDOVH�DODUPV�����HDFK�PRQWK�

E��7KH���VLJPD�OLPLWV�GR�UHGXFH�WKH�$5/�IRU�GHWHFWLQJ�D�VKLIW�LQ�WKH�PHDQ�RI�PDJQLWXGH�V�VLQFH�WKH�OLPLWV�DUH�PRUH�QDUURZ���7KH�QXPEHU�RI�IDOVH�DODUPV�KDV�LQFUHDVHG�XVLQJ���VLJPD�OLPLWV�

F��:LWK���VLJPD�OLPLWV�WKH�SUREDELOLW\�RI�D�SRLQW�SORWWLQJ�RXW�RI�FRQWURO�LV�GHWHUPLQHG�DV�IROORZV��ZKHQ�

���� P P V ��

����

3 ; 8&/ 3 ; /&/

3;

3;

3 = 3 =

3 = 3 =

� � � �

� � � �

� � > � �@

� �

! � �

� �

!� � �§

©̈·¹̧�

� ��

� � �§©̈

·¹̧

! � � �

� � � � �

� � �

P V

V

P V P V

V

P V

V

P V P V

V� � � � � �� �

� �

� � � �

� ������ � � �����

����

����7KHUHIRUH��$5/ ��S� ��������� ��������7KH���VLJPD�OLPLWV�GR�UHGXFH�WKH�$5/�IRU�GHWHFWLQJ�D�VKLIW�LQ�WKH�

����PHDQ�RI�PDJQLWXGH�V���7KH�QXPEHU�RI�IDOVH�DODUPV�KDV�LQFUHDVHG�XVLQJ���VLJPD�OLPLWV�

Page 388: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

G��7KH�LQ�FRQWURO�$5/� ���S��ZKHUH

����

S 3 ; 8&/ 3 ; /&/

3;

3;

3 = 3 =

3 = 3 =

! � �

!� �§

©̈·¹̧�

��

� �§©̈

·¹̧

! � � �

� � � � �

� _ � � _ �

� � � �

� � > � �@

� � �

P P P P

P

V

P V P

V

P

V

P V P

V

� �

� � � � � �� �

� �

� � � �

� � � �����

� ����

����7KHUHIRUH��$5/� ���������� ���������7KH�QXPEHU�RI�IDOVH�DODUPV�SHU�PRQWK�LV����������� ���������7KLV�LV�

DQ�H[FHVVLYH�QXPEHU�RI�IDOVH�DODUPV��PRUH�WKDQ�RQH�SHU�GD\��DQG���VLJPD�OLPLWV�DUH�QRW�UHFRPPHQGHG�IRU� ����URXWLQH

SURGXFWLRQ���7KXV��WKLV�LQ�FRQWURO�$5/�SHUIRUPDQFH�LV�SUREDEO\�QRW�VDWLVIDFWRU\�

������ D�;�EDU DQG 5DQJH � ,QLWLDO 6WXG\

&KDUWLQJ [EDU

;�EDU _ 5DQJH

����� _ �����

8&/� � ��� VLJPD ������� _ 8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH ������ _ &HQWHUOLQH �����

/&/� � ��� VLJPD ������� _ /&/� � ��� VLJPD �

RXW RI OLPLWV � _ RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

SURFHVV PHDQ ������

SURFHVV VLJPD ��������

PHDQ 5DQJH �����

� � � �� �� ��

���

���

���

���

���

;�EDU

3UREOHP �����

������

�������

�������

� � � �� �� ��

VXEJURXS

���

���

���

5DQJH�����

�������

����7KHUH�DUH�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KH�SURFHVV�LV�RXW�RI�FRQWURO���7KH�SRLQWV�DUH�������������������

����DQG����

E���5HYLVHG�FRQWURO�OLPLWV�DUH�JLYHQ�LQ�WKH�WDEOH�EHORZ�;�EDU DQG 5DQJH � ,QLWLDO 6WXG\

&KDUWLQJ ;EDU

;�EDU _ 5DQJH

����� _ �����

8&/� � ��� VLJPD ������� _ 8&/� � ��� VLJPD �������

&HQWHUOLQH ������� _ &HQWHUOLQH �������

/&/� � ��� VLJPD ������� _ /&/� � ��� VLJPD �

RXW RI OLPLWV � _ RXW RI OLPLWV �

(VWLPDWHG

SURFHVV PHDQ �������

SURFHVV VLJPD ��������

PHDQ 5DQJH �������

Page 389: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

� � � �� �� ��

���

���

���

���

���

;�EDU

3UREOHP ����� 5HYLVHG /LPLWV

�������

�������

�������

� � � �� �� ��VXEJURXS

���

���

���

5DQJH

�������

�������

���7KHUH�DUH�QR�SRLQWV�EH\RQG�WKH�FRQWURO�OLPLWV�WKH�SURFHVV�LV�QRZ�LQ�FRQWURO�

���7KH�SURFHVV�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�HVWLPDWH�LV�JLYHQ�E\� ��

��V

5

G�

������

� �������

F�� 3&586/ /6/

��� ���

� �������

� � � ��

V

����

> @

3&586/ [ [ /6/

N � �ª

¬«

º

¼»

� �ª

¬«

º

¼»

PLQ�

��

PLQ�

� � ��

� � �

PLQ � � �

� �

��� ��� ���

� ����

��� ��� ���

� ����

��� ���

���

V V

����6LQFH�3&5�H[FHHGV�XQLW\��WKH�QDWXUDO�WROHUDQFH�OLPLWV�OLH�LQVLGH�WKH�VSHFLILFDWLRQ�OLPLWV�DQG�YHU\�IHZ�

����GHIHFWLYH�XQLWV�ZLOO�EH�SURGXFHG�

����3&5�LV�VOLJKWO\�ODUJHU�WKDQ�3&5N�LQGLFDWLQJ�WKDW�WKH�SURFHVV�LV�VRPHZKDW�RII�FHQWHU�

G��,Q�RUGHU�WR�PDNH�WKLV�SURFHVV�D�¦VL[�VLJPD�SURFHVV§��WKH�YDULDQFH�V��ZRXOG�KDYH�WR�EH�GHFUHDVHG�VXFK�WKDW�

3&5N� �������7KH�YDOXH�RI�WKH�YDULDQFH�LV�IRXQG�E\�VROYLQJ�3&5N� [ /6/�

� �V

� IRU�V�

����

��� ��� ���

�� �

� ��� ��� ���

��� ��� ���

� ����

��

VV

V

V����7KHUHIRUH��WKH�SURFHVV�YDULDQFH�ZRXOG�KDYH�WR�EH�GHFUHDVHG�WR�V�� ����������� �������

Page 390: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

H�� �V[� ������

����

S 3 ;

3;

3 =

3 = 3 =

3 = 3 =

[

� �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

� � � �

� � � �

� �

� � � _ � �

� �

� �

� � � �

� � � � � �

� � � > � � �@

� > � @

��� ��� ������ ��� �

��� ��� ��� �

����

������ ��� �

����

��� ���

��� ���

��� � ���

� ����� � ������

�����

P

P

V

����7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKLV�VKLIW�ZLOO�EH�GHWHFWHG�RQ�WKH�QH[W�VDPSOH�LV���S� ���������� ��������

��� $5/S

��������

��

������ D��7KH�3�/&/��� �3 ���8&/���ZKHQ�S� �������LV�QHHGHG�

����

/&/ SS S

Q

8&/ SS S

Q

��

��

� o

��

��

��

� �� �� �� � � ��

���� ��� �

��

� �� �� �� � � ��

�������

� ��

� � � ��

� ��

� � � ��

����7KHUHIRUH��ZKHQ�S� �����

����

3 3 3 3

33

3 =

� � � � � � � �

� �

� � � �

� �

� � � �

� � �

� ���� ����

� ��

� �� � ��

���

���� � ��

� �� � ��

���

���

� ��

d d d

d�

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

d

����8VLQJ�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�WR�WKH�GLVWULEXWLRQ�RI� �3 ���7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�RI�GHWHFWLQJ�WKH�VKLIW�

RQ�WKH�ILUVW�VDPSOH�IROORZLQJ�WKH�VKLIW�LV���������� ������E��7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKH�FRQWURO�FKDUW�GHWHFWV�D�VKLIW�WR������RQ�WKH�VHFRQG�VKLIW�LV������������ ������

F��S� �����

����

3 3 3 3

33

3 =

� � � � � � � �

� �

� � � �

� �

� � � �

� � �

� ���� ����

���

��� � ��

���

���� ���

��� � ��

���

��

� �����

d d d

d�

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

d

����XVLQJ�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�WR�WKH�GLVWULEXWLRQ�RI� �3 ���7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�RI�GHWHFWLQJ�WKH�VKLIW�

RQ�WKH�ILUVW�VDPSOH�IROORZLQJ�WKH�VKLIW�LV������������� �������������7KH�SUREDELOLW\�WKDW�WKH�FRQWURO�FKDUW�GHWHFWV�D�VKLIW�WR������RQ�WKH�VHFRQG�VKLIW�LV������������������ �

�����������

G��$�ODUJHU�VKLIW�LV�JHQHUDOO\�HDVLHU�WR�GHWHFW���7KHUHIRUH��ZH�VKRXOG�H[SHFW�D�VKLIW�WR������WR�EH�GHWHFWHG�

����TXLFNHU�WKDQ�D�VKLIW�WR������

Page 391: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ X �D��Q� ��

8&/ XX

Q

/&/ XX

Q

� �

� �

� � ��

��� ��

� � ��

����

����3� 8 !�������ZKHQ�O� ����� � 3 = !�

§

©

¨¨¨

·

¹

¸¸¸

�� �� ��

���

��������������� �3�=�!���������������������� �����3�=������������������������ ��������������������������� ��������

����3� 8 ��������� 3 = ��

§

©

¨¨¨

·

¹

¸¸¸

��� ��

���

� �������� �3�=����������������� ��

E��Q� ���

����

8&/ XX

Q

/&/ XX

Q

� �

� �

� � ��

���� ��

� � ��

�����

3�8�!�������ZKHQ�O� ����� 3 = !�

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

�� �� ��

��

��

���������� �3�=�!�������� ���������� ��

������ X ��D��Q� ��

����

8&/ XX

Q

/&/ XX

Q

� �

� �

� �� ���

��� ��

� �� ���

����

����3� 8 �!��������ZKHQ�O� ����� � 3 = !�§

©¨

·

¹¸

�� �� ��

��

������������������� �3�=�!������

������������������� �����3�=��������������������������� ������������������������������� ������

����DQG

����3� 8 ��������� � 3 = ��§

©¨

·

¹¸

��� ��

���

E��Q� ��

����

8&/ XX

Q

/&/ XX

Q

� �

� �

� �� ���

��� ��

� �� ���

����

Page 392: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����3� 8 �!�������ZKHQ�O� ����� � 3 = !�

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

�� �� ��

��

��������������� �3�=�!�����

��������������� ��������������������������� ������

3� 8 ��������ZKHQ�O� ����� � 3 = ��

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

��� ��

��

��������������� �3�=������������������������ ��

������

&/

8&/Q

/&/Q

P

PV

PV

3 ;Q

3;

Q

3 =

3 =

DQG

3 ;Q

3;

Q

3 =

3 =

! �§

©¨

·

¹¸

�!

§

©¨

·

¹¸

!

� �

� �§

©¨

·

¹¸

�� �

§

©¨

·

¹¸

� �

� �

PV P

V

PV P

V

� �

� �

� � �����

� �����

� �

� �

� � �����

� �����

� �

� �

� �

� �

7KH�DQVZHU�LV������������������� ��������

7KH�DQVZHU�IRU���VLJPD�FRQWURO�OLPLWV�LV����������7KH���VLJPD�FRQWURO�OLPLWV�UHVXOW�LQ�PXFK�IHZHU�IDOVH�

DODUPV�

Page 393: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������

&/

8&/ NQ

/&/ NQ

P

PV

PV

3 ; NQ

3;

QN

Q

3 = NQ

NQ

3 ; NQ

3;

QN

Q

3 = NQ

NQ

! �§

©¨

·

¹¸

� �! �

§

©¨

·

¹¸

! �§

©¨

·

¹¸

� �§

©¨

·

¹¸

� �§

©¨

·

¹¸

� �� � �

§

©¨

·

¹¸

� � �§

©¨

·

¹¸

� �§

©¨

·

¹¸

PV P G

V

G

V

G

V

G

V

PV P G

V

G

V

G

V

G

V

� �

� �

� )

)

7KH�DQVZHU�LV

�� �§

©¨̈

·

¹¸̧ � � �

§

©¨̈

·

¹¸̧) )N

QN

QG

V

G

V�

������ )URP�([HUFLVH��������S� ��������

D��7KH�SUREDELOLW\�RI�D�IDOVH�DODUP�LV�WKH�SUREDELOLW\�WKDW� ; LV�RXWVLGH�WKH�FRQWURO�OLPLWV�ZKHQ�WKHUH�LV�QR�VKLIW��

����L�H������������7KH�SUREDELOLW\�WKHUH�LV�QRW�D�IDOVH�DODUP�RQ�WKH�ILUVW�VDPSOH�LV������������ ����������+HQFH��WKH�SUREDELOLW\�RI�D�IDOVH�DODUP�RQ�WKH�VHFRQG�VDPSOH�EXW�QRW�RQ�WKH�ILUVW��DVVXPLQJ�WKH�WZR�VDPSOHV�DUH� �

LQGHSHQGHQW��LV������������������ ���������

E��$VVXPLQJ�DOO�WKH�VDPSOHV�DUH�LQGHSHQGHQW��WKH�SUREDELOLW\�WKDW�WKHUH�LV�QRW�D�IDOVH�DODUP�LQ�WKH�ILUVW�WKUHH�

VDPSOHV�LV����������� ���������

������ 3&5� ���EXW� P V �86/ �

3 ; 86/ 3 = 3 =� �� �

� � �� �� �§

©̈·¹̧ � �

P V P

V

�� � �����

������

��

���

��

���

�����

6XEJURXS 1XPEHU

&XPXODWLYH6XP

8SSHU &8680

/RZHU &8680

&8680&KDUW IRU KDUGQHVV

7KH�SURFHVV�LV�QRW�LQ�FRQWURO�

Page 394: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������

��

��

���

���

�����

������

�����

6XEJURXS 1XPEHU

&XPXODWLYH6XP

8SSHU &8680

/RZHU &8680

&8680�&KDUW�IRU�SXULW\

3URFHVV�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�LV�HVWLPDWHG�XVLQJ�WKH�DYHUDJH�PRYLQJ�UDQJH�RI�VL]H�����05�G���ZKHUH�G�� �������

IRU�D�PRYLQJ�UDQJH�RI�����7KH�HVWLPDWH�LV�������

������

��

���

�����

������

�����

6XEJURXS 1XPEHU

&XPXODWLYH6XP

8SSHU &8680

/RZHU &8680

&8680&KDUW IRU YLVFRVLW

3URFHVV�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�LV�HVWLPDWHG�XVLQJ�WKH�DYHUDJH�PRYLQJ�UDQJH�RI�VL]H�����05�G���ZKHUH�G�� �������

IRU�D�PRYLQJ�UDQJH�RI�����7KH�HVWLPDWH�LV�������

0LQG�([SDQGLQJ�([HUFLVHV

������ /HW�S�GHQRWH�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�D�SRLQW�SORWV�RXWVLGH�RI�WKH�FRQWURO�OLPLWV�ZKHQ�WKH�PHDQ�KDV�VKLIWHG�IURP�P�� WRP� �P�������V���7KHQ�

�����

� �� �� � � ��

���

��

� � � �

� � � �� � � � � � � � �§

©¨

·

¹¸

� ��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

S 3 /&/ ; 8&/ 3Q

;Q

3Q

;

Q Q

3 =

_ � _ �

� �

� � �

P P V PV

PV

P P V

V

V

P

V

V

V

7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�WKH�VKLIW�LV�XQGHWHFWHG�IRU�WKUHH�FRQVHFXWLYH�VDPSOHV�LV����S��� ������ �����

Page 395: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

,I���VLJPD�FRQWURO�OLPLWV�ZHUH�XVHG��WKHQ

����

� �� �� � � ��

���

��

� � � � ����� ������

� � � �� � � � � � � � �§

©¨

·

¹¸

� ��

��§

©¨

·

¹¸

� � � � �

S 3 /&/ ; 8&/ 3Q

;Q

3Q

;

Q Q

3 =

_ � _ �

� �

� � � �

P P V PV

PV

P P V

V

V

P

V

V

V

7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�WKH�VKLIW�LV�XQGHWHFWHG�IRU�WKUHH�FRQVHFXWLYH�VDPSOHV�LV����S��� ���������� �������

������

/&/ N Q

&/

8&/ N Q

P V

P

P V

D��$5/� ���S�ZKHUH�S�LV�WKH�SUREDELOLW\�D�SRLQW�SORWV�RXWVLGH�RI�WKH�FRQWURO�OLPLWV���7KHQ�

����� ��

� �

��

�� � � � ��

�§

©¨

·

¹¸

� � � � � �

S 3 /&/ ; 8&/ 3 N;

QN

3 N = N N N N

_�

_

� � � � � � � �

PP

VP

) ) )

����ZKHUH�)�=��LV�WKH�VWDQGDUG�QRUPDO�FXPXODWLYH�GLVWULEXWLRQ�IXQFWLRQ���7KHUHIRUH��S� ������)�N��DQG����$5/ ��>���)�N�@���7KH�PHDQ�WLPH�XQWLO�D�IDOVH�DODUP�LV�N�S�KRXUV�E��$5/ ��S�ZKHUH

����

� �

� �

� �� � � � � � � � �§

©¨

·

¹¸

� � � � �

� � � �

� � � � �

S 3 /&/ ; 8&/ 3 NQ

; NQ

3 N Q = N Q

N Q N Q

DQG

S N Q N Q

_� �

� � � �

� � � �

P P GVGV

V

GV

V

G G

G G

G G

) )

) )

F��$5/ ��S�ZKHUH���S� �3����=��� ����������7KXV��$5/� ��������� ��������,I�N� ���

������S� �3����=��� �������DQG�$5/ ��S� ������

����7KH���VLJPD�OLPLWV�UHVXOW�LQ�D�IDOVH�DODUP�IRU�HYHU\����SRLQWV�RQ�WKH�DYHUDJH���7KLV�LV�D�KLJK�QXPEHU�RI�IDOVH�

����DODUPV�IRU�WKH�URXWLQH�XVH�RI�D�FRQWURO�FKDUW�

G��)URP�SDUW�E���$5/� ���S��ZKHUH���S� �3 =� � �� � � � � � � � � ����� ���$5/� ������DVVXPLQJ���

����VLJPD�FRQWURO�OLPLWV�

������ 'HWHUPLQH�Q�VXFK�WKDW

� �

� �

� �

� � � _ �

� �

� � � �

� �

� �_

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

��

��

��

��

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

��

�� �

��

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

3 /&/ 3 8&/ S S

3

S NS S

QS

S S

Q

3 S

S S

Q

S NS S

QS

S S

Q

S S

3S S

S S

Q

N S S

S S=

S S

S S

Q

N S S

S S

F

F

F F

F

F F

F

F F

F

F

F F F F

F

F F F F

8VH�WKH�IDFW�WKDW�LI�SF�!� S �WKHQ�WKH�SUREDELOLW\�LV�DSSUR[LPDWHO\�HTXDO�WR�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�=�LV�OHVV�WKDQ�WKH�

XSSHU�OLPLW���7KHQ��WKH�SUREDELOLW\�DERYH�DSSUR[LPDWHO\�HTXDOV�����LI

����S S

S S

Q

N S S

S S

F

F F F F

�� �

� �

� ��

6ROYLQJ�IRU�Q��QN S S

S SF

�� �

� �

Page 396: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

������ 7KH�/&/�LV� SN S S

Q�

�� ��

SN S S

Q�

�� �� ��RU�Q

N S

S

�� �� �

������ 7KH�3 /&/ 3 8&/ S� � _ � �� � � �� LV�GHVLUHG���1RZ��XVLQJ�WKH�QRUPDO�DSSUR[LPDWLRQ�

/&/ SS S

Q

8&/ SS S

Q

3 3 S 3 3 S

33

3 =

��

� � o

��

� � �

��

§

©

¨¨¨¨

·

¹

¸¸¸¸

��

� �� �� �� � ��

���� ��� �

��

� �� �� �� � ��

�������

� ���� � �� ���� � ��

� ��

� �� � � ��

���

���� � ��

� �� � � ��

���

��� � ��

� ��

� � � ��

� ��

� � � ��

� � � _ � � � � � _ � �

� �

� � � �

� �

� � � �� � � �

7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�RI�GHWHFWLQJ�VKLIW�RQ�WKH�ILUVW�VDPSOH�IROORZLQJ�WKH�VKLIW�LV���������� ��������7KH�SUREDELOLW\�RI�GHWHFWLQJ�D�VKLIW�E\�DW�OHDVW�WKH�WKLUG�VDPSOH�IROORZLQJ�WKH�VKLIW�FDQ�EH�

GHWHUPLQHG�IURP�WKH�JHRPHWULF�GLVWULEXWLRQ�WR�EH�������������������������������� �����

������ 7KH�SURFHVV�VKRXOG�EH�FHQWHUHG�DW�WKH�PLGGOH�RI�WKH�VSHFLILFDWLRQV��WKDW�LV��DW�����

)RU�DQ� [ FKDUW�

/&/ N Q

&/

8&/ N Q

3 /&/ ; 8&/ 3;

3 =

� �

� �

� � �

��

��§

©¨

·

¹¸

� � �

P V

P

P V

P

��� � � � ��� �

���

��� � � � ���

������ ���

� �

���

� �

��� � ���

� �

� � � ��

� � � � �

� � � � �

� _ ��

� �

� � �

7KH�UHTXHVWHG�SUREDELOLW\�LV�WKHQ���������� ��������7KH�$5/� �������� ��������:LWK�P� ������WKH�VSHFLILFDWLRQV�DW����r���DQG�V� ����WKH�SUREDELOLW\�RI�D�GHIHFWLYH�LWHP�LV

3 ; 3 ; 3;

3;

3 = 3 =

� � � �

� � � � �

� � ! �

��§

©̈·¹̧�

�!

�§©̈

·¹̧

� � � !

�� ������

�� ���

���

��� ���

� � � ����

7KHUHIRUH��WKH�DYHUDJH�QXPEHU�RI�REVHUYDWLRQV�XQWLO�D�GHIHFWLYH�RFFXUV��IROORZV�IURP�WKH�JHRPHWULF�

GLVWULEXWLRQ�DV���������� ���������+RZHYHU��WKH� [ FKDUW�RQO\�UHTXLUHV������VDPSOHV�RI���REVHUYDWLRQV�HDFK� �

�������� ����REVHUYDWLRQV��RQ�DYHUDJH��WR�GHWHFW�WKH�VKLIW�

������ /HW�;�GHQRWH�WKH�QXPEHU�RI�GHIHFWLYHV�LQ�D�VDPSOH�RI�Q���7KHQ�;�KDV�D�ELQRPLDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�(�;�� �QS�

DQG�9�;�� �QS���S����7KHUHIRUH��WKH�HVWLPDWHV�RI�WKH�PHDQ�DQG�VWDQGDUG�GHYLDWLRQ�RI�;�DUH� QS �DQG�

QS S� ��� ��UHVSHFWLYHO\���8VLQJ�WKHVH�HVWLPDWHV�UHVXOWV�LQ�WKH�JLYHQ�FRQWURO�OLPLWV�

Page 397: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

E�

�����

��

��

��

��

6DPSOH 1XPEHU

6DPSOH&RXQW

13�&KDUW�IRU�GHIHFWLY

13 �����

���6/ �����

����6/ �����

F��1RWH�WKDW

QS QS S Q3 QS QS S

WKHUHIRUH

SS S

Q3 S

S S

Q

� � � � � �

��

� � ��

� � � �

��

��

� � � � �

� � � � �

7KHUHIRUH��WKH�Q3�FRQWURO�FKDUW�ZLOO�DOZD\V�SURYLGH�UHVXOWV�HTXLYDOHQW�WR�WKH�3�FKDUW�

������ D�

����

]

] [

] [ ] [ [

LQ JHQHUDO

] [

7KHUHIRUH

( = [

WM

W MW

M

W

WM

W MW

M

W

WW

� �

� � �

� � � � ��

��

��

� �

� � �

� �

� �

� �

� ��

� �

� � � � � �

� � �¦

� � �¦

� �

� �� �

P

O O P

O O O O O O P

O O O P

O O O P

O O

OP O P

P

� �

� � � � � �

� � � �

� � � � � �

>� � @

� �� �

E�

����

9 = 9 [Q

Q

Q

WM

W MM

WM

M

W

W

W

� � � � � � � �

>� � @

� �

> � � @

� ¦ �¦

� �

� �

� �

O O O OV

O O

O

V

O

OO

V

� �

�� �

� �

��

� �

� �

� �

�� �

F��7KH�FRQWURO�OLPLWV�DUH

Page 398: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���

����

/&/Q

&/

8&/Q

W

W

��

� �

��

� �

PV O

OO

P

PV O

OO

��

��

��

� �

��

� �

� �

� �

G��$V�Oo���]Wo [W ��WKHUHIRUH��WKH�(:0$�SHUIRUPV�DV�D�6KHZKDUW�FRQWURO�FKDUW�

H��Oo���WKH�ZHLJKW�JLYHQ�WR�SDVW�REVHUYDWLRQV�GHFUHDVHV�YHU\�VORZO\���&RQVHTXHQWO\��WKH�(:0$�DSSOLHV�

����DSSUR[LPDWHO\�HTXDO�ZHLJKW�WR�SUHYLRXV�REVHUYDWLRQV�DQG�WKH�FRQWURO�FKDUW�SHUIRUPDQFH�LV�VLPLODU�WR�WKDW�RI�

D�&8680�FKDUW�

I��7KH�FHQWHUOLQH�IRU�WKH�FKDUW�LV�FKRVHQ�WR�EH� [ ������IURP�([DPSOH��������DOVR��V�LV�HVWLPDWHG�LQ�([DPSOH������DV������������ ���������)LQDOO\��O�LV�FKRVHQ�WR�EH�����LQ�WKH�(:0$�FRQWURO�FKDUW�

�����

���

���

��

��

��

6DPSOH 1XPEHU

(:0$

(:0$&KDUW IRU FRQFHQWU

; �����

���6/ �����

����6/ �����

������ �����=W�����LI�DQG�RQO\�LI

���� � ��

�� �

�� � �

��

�� �

��

��

� �

� � � � �3 S

S S

Q

RU SS S

Q3 S

S S

QL

����7KHUHIRUH��D�SRLQW�LV�LQ�FRQWURO�RQ�WKLV�FKDUW�LI�DQG�RQO\�LI�WKH�SRLQW�LV�LQ�FRQWURO�RQ�WKH�RULJLQDO�S�FKDUW�

������ )RU�XQHTXDO�VDPSOH�VL]HV��WKH�VWDQGDUG�FRQWURO�FKDUW�FDQ�EH�XVHG�ZLWK�WKH�YDOXH�RI�Q�HTXDO�WR�WKH�VL]H�RI�

HDFK�VDPSOH���7KDW�LV�� =3 S

S S

Q

L

L

� ���ZKHUH�QL�LV�WKH�VL]H�RI�WKH�LWK�VDPSOH�

������������

��

��

��

2EVHUYDWLRQ 1XPEHU

]L

6WDQGDUGL]HG &KDUW IRU 3

; �����

���6/ ������

����6/ ��������

Page 399: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

$SSHQGL[�,

,��� )URP�WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�UXOH��WKH�DQVZHU�LV� � � � � ���u u u

,��� )URP�WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�UXOH��� � � ��u u

,��� )URP�WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�UXOH��� � � � ���u u u

,��� )URP�HTXDWLRQ�,����WKH�DQVZHU�LV����� ��������

,��� )URP�WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�UXOH�DQG�HTXDWLRQ�,����WKH�DQVZHU�LV������ ������

,��� )URP�HTXDWLRQ�,�����

� ���

� � �VHTXHQFHV�DUH�SRVVLEOH

,��� D��)URP�HTXDWLRQ�,����WKH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�RI�VL]H�ILYH�LV� � ��

��� ���

� ������������

� �

E��7KHUH�DUH����ZD\V�RI�VHOHFWLQJ�RQH�QRQFRQIRUPLQJ�FKLS�DQG�WKHUH�DUH� � ��

��� ���

� �����������

� ��

����ZD\V�RI�VHOHFWLQJ�IRXU�FRQIRUPLQJ�FKLSV��7KHUHIRUH��WKH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�WKDW�FRQWDLQ�H[DFWO\�RQH�

����QRQFRQIRUPLQJ�FKLS�LV��� � �u �

������������

F��7KH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�WKDW�FRQWDLQ�DW�OHDVW�RQH�QRQFRQIRUPLQJ�FKLS�LV�WKH�WRWDO�QXPEHU�RI�VDPSOHV

��� � ��

��� �PLQXV�WKH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�WKDW�FRQWDLQ�QR�QRQFRQIRUPLQJ�FKLSV� � ��

��� ��7KDW�LV� � ��

��� ��� � ��

���

����� ����

� ���

���

� ������������

� �

� ��

,��� D��,I�WKH�FKLSV�DUH�RI�GLIIHUHQW�W\SHV��WKHQ�HYHU\�DUUDQJHPHQW�RI���ORFDWLRQV�VHOHFWHG�IURP�WKH����UHVXOWV�LQ�D�

����GLIIHUHQW�OD\RXW��7KHUHIRUH��3�

�� ��

������

��OD\RXWV�DUH�SRVVLEOH�

E��,I�WKH�FKLSV�DUH�RI�WKH�VDPH�W\SH��WKHQ�HYHU\�VXEVHW�RI���ORFDWLRQV�FKRVHQ�IURP�WKH����UHVXOWV�LQ�D�GLIIHUHQW

����OD\RXW��7KHUHIRUH�� � ��

�� ��

� ����

� ��OD\RXWV�DUH�SRVVLEOH�

,��� D���

� ���

� � �VHTXHQFHV�DUH�SRVVLEOH�

E���

� � � � � �����

� � � � � � �VHTXHQFHV�DUH�SRVVLEOH�

F����� �����VHTXHQFHV�DUH�SRVVLEOH�

,���� D��(YHU\�DUUDQJHPHQW�RI���ORFDWLRQV�VHOHFWHG�IURP�WKH����FRPSULVHV�D�GLIIHUHQW�GHVLJQ�� � ��

����3�

�� ��

��������

��GHVLJQV�DUH�SRVVLEOH�

E��(YHU\�VXEVHW�RI���ORFDWLRQV�VHOHFWHG�IURP�WKH����FRPSULVHV�D�QHZ�GHVLJQ����

� ����

� � �GHVLJQV�DUH

����SRVVLEOH�

F��)LUVW�WKH�WKUHH�ORFDWLRQV�IRU�WKH�ILUVW�FRPSRQHQW�DUH�VHOHFWHG�LQ� � ��

�� ��

� ����

� ��ZD\V��7KHQ��WKH�IRXU

����ORFDWLRQV�IRU�WKH�VHFRQG�FRPSRQHQW�DUH�VHOHFWHG�IURP�WKH�QLQH�UHPDLQLQJ�ORFDWLRQV�LQ� � ����

� ����

� �

����ZD\V��)URP�WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�UXOH��WKH�QXPEHU�RI�GHVLJQV�LV� ��� ��� �����u

Page 400: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

,���� D��)URP�WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�UXOH����� ���� �SUHIL[HV�DUH�SRVVLEOH

E��)URP�WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�UXOH�� � � �� ���u u �DUH�SRVVLEOH

F��(YHU\�DUUDQJHPHQW�RI�WKUHH�GLJLWV�VHOHFWHG�IURP�WKH����GLJLWV�UHVXOWV�LQ�D�SRVVLEOH�SUHIL[�

���3�

�� ��

����

��SUHIL[HV�DUH�SRVVLEOH�

,���� D��)URP�WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�UXOH�� � ���� �E\WHV�DUH�SRVVLEOH

E��)URP�WKH�PXOWLSOLFDWLRQ�UXOH�� � ���� �E\WHV�DUH�SRVVLEOH

,���� D��7KH�WRWDO�QXPEHU�RI�VDPSOHV�SRVVLEOH�LV� � ��

�� ��

� �������

� �� �7KH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�LQ�ZKLFK�H[DFWO\�

����RQH�WDQN�KDV�KLJK�YLVFRVLW\�LV� � �� ��

�� �

� �

��

� ������ u

� �

� ���7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�LV� ��

�������

������ ��� �

E��7KH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�WKDW�FRQWDLQ�QR�WDQN�ZLWK�KLJK�YLVFRVLW\�LV� � ��

�� ��

� ������

� �� �7KHUHIRUH��WKH

����UHTXHVWHG�SUREDELOLW\�LV�� �

����

���������� �

F��7KH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�WKDW�PHHW�WKH�UHTXLUHPHQWV�LV� � �� �� ��

�� �

� �

� �

��

� ������ u u

� �

� �

� ��

����7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�LV�����

������ ��� �

,���� D��7KH�WRWDO�QXPEHU�RI�VDPSOHV�LV� � ��

�� ��

� ����

� �� �7KH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�WKDW�UHVXOW�LQ�RQH� �

����QRQFRQIRUPLQJ�SDUW�LV� � �� ��

�� �

� �

��

� ��� u

� �

� �� ��7KHUHIRUH��WKH�UHTXHVWHG�SUREDELOLW\�LV

����������� �������

E��7KH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�ZLWK�QR�QRQFRQIRUPLQJ�SDUW�LV� � ��

�� ��

� ����

� �� �7KH�SUREDELOLW\�RI�DW�OHDVW�RQH

����QRQFRQIRUPLQJ�SDUW�LV�� �

���

���� ���� �

,���� D��7KH�SUREDELOLW\�WKDW�ERWK�SDUWV�DUH�GHIHFWLYH�LV��

��

��� ����u �

E��7KH�WRWDO�QXPEHU�RI�VDPSOHV�LV� � ��

�� ��

� ��

�� ��

u�

� ���7KH�QXPEHU�RI�VDPSOHV�ZLWK�WZR�GHIHFWLYH

����SDUWV�LV� � ����

� �

� �

u�

� ���7KHUHIRUH��WKH�SUREDELOLW\�LV�

� �

�� ��

� �

�� ��� ����

u

u

u

u

� �

Page 401: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

$SSHQGL[��,,

,,��� D��( HH

P PH

H H

P H

H H

P H

W;W[

[

PW [

[

P W P W

W

W WP

W� � � �

� �

� �

� �

� � ¦ ¦

� �

��

E��0 WP

H H HW WP W� � � �� � � � ��� � � �DQG�

^ `G0 W

GW PH H H H PH H H H H HW WP W W WP W W WP W W� �� �� � � �� � � �� �� � � � � � � � � � � � � �

� � �

�� � � � � �� � �

^ `

G0 W

GW

H

P HH PH

H H

H

H

P HH PH PH

W

W

WP WPWP W

W

W

W

WP WP P W

� �

� �

� �

� �

� �

� � ��

­®°

°̄

½¾°

¿°

� � � �

��

��

8VLQJ�/©+RVSLWDO©V�UXOH�

OLP� �

OLP OLP� �

� �

OLP OLP� �

� � � �

� �

� �

� �

W W

W

W

WP WP P W

W W

W

W

W

WP WP P W

W W W W

G0 W

GW

H

P

PH P H P P H

H H

H

P

P H P H P P H

H H H H

P

P P P P P P

P

P

o o o

o o

� � � �

� �

� � � �

� � � �

u� � �

� � �

� �

� �

� � � �

� � � �

� �

� � �

� �

� �

7KHUHIRUH��(�;�� �P � ��

^ `

^ `

^ `

G 0 W

GW

H

P HPH P H P P H

H

P HH PH PH

H

P HH PH PH

W

W

WP WP P W

W

W

WP WP P W

W

W

WP WP P W

� �

� �

��

��

��

� �

� �� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � � �

� � �

� � �

8VLQJ�/©+RVSLWDO©V�UXOH�

OLP� �

OLP OLP� �

� �� �

� �

OLP OLP� �

� � � �

OLP OLP� �

� �� � � ��

� �

� �

� �

W W

W

W

WP WP P W

W W

W

W

W

WP WP P W

W W

W

W

W

WP WP P W

W W W

G 0 W

GW

H

P

P H P H P P H

H H

P;

H

P

PH P H P P H

H H

H

P

P H P H P P H

H H H

o o o

o o

o o

� � � �

� �

��

�� � � �

� �

� � � �

� � � �

� � �

� � � �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� � �

IURP WKH GHULYDWLRQ RI (� �

��

�� � � �

� � � �o o

H

P

H

P

P H P H P P H

H H H H

W

W

W

W

WP WP P W

W W W W

OLP OLP� �

� � � � � �

� �

� �

� � � ��

� � � �

� �

Page 402: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

���� ����

� � �

��

�� � � �

� �

� � �

��

�� � � �

� � � � � �

� �

o o

P P P P

P

P

H

P

P H P H P P H

H H

P P P P P P P

P P P P P P

W

W

W

WP WP P W

W W

� �

OLP OLP� �

� � � �

� � � �

� �

� �

� �

� �

� � �

� � �

� � �

� � � �

� � � � � �

� � � �

WHUPV�WKDW�WHQG�]HUR

7KHQ�

9 ;P P P P P P P

P P

� �� �

� �

��

� � � � �

� �

� � �

�� �� �� � � �

��

� �� ��

��

� � � �

,,��� D��( H HH

[H

H

[H H

WH

WW; W[

[

[ W [

[

H H� ��

� �

� � ¦ ¦

f ��

f� �

� �

�O

O O O OO O

E��G0 W

GWH H

WW H� � � �

�O

O �

G0 W

GW( ;

G 0 W

GWH H

WH H

W

G 0 W

GW

9 ;

W

W H W H

W

� �� �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� � � �

��

� �

O

O O

O O

O O O O

O O

,,��� D��(H H S SS

SH SW; W[

[

[ W [

[

� � � � > � �@ ¦ � �

�¦

f�

f

��

� � �

§

©¨

·

¹¸

� �

H S

S H

S

S

SH

S H

W

W

W

W

� �

� � � �

� � � � �

E��G0 W

GWSH S H S H SH S HW W W W W� �

� � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � � �� �

� � � � � �� �S S H S H SH S HW W W W� � � � � � � � � �� � � � �� � �

G0W

GW

S

S S(;

G 0W

GWS S H S H S H S S S H H

SH S H S H SH S H

W

W W W W W

W W W W W

� �� �

� �� � � � � � � � � �� � � �

� � � � � � � � � �

� �

� �

� � � � � � � �

� � � � � � �

� � � �

� �

��

� �� � � � � � �

� � � � �

G 0 W

GW

S

S

S

S

S

S

S S S S

S

S S S S S

S

S

S

9 ;S

S S

S

S

W

��

� �

� � �

� �

� � �

� � � � ��

� � � �

� � � � � �

� � �

� � � � � � � � � �

� �

��

��

� � � � �

� � � � �

� �

Page 403: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

,,��� 0 W (H (H (H (H<W< W�; ; W; W;

� �� �� � � �

����������� � � �� � � �� � � � � �

� � � ��� � � � � � � � � �� � �

W W WN N N N

7KHUHIRUH��<�KDV�D�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� N N� �� �GHJUHHV�RI�IUHHGRP�

,,��� D��( H H [H G[ [H G[W; W[ [ W [� � � � ³ ³�

f�

f� ��

8VLQJ�LQWHJUDWLRQ�E\�SDUWV�ZLWK�X� �[�DQG�GY� � H G[W [� ��� �DQG�GX� ���

Y� �H

W

W [� ��

��ZH�REWDLQ

[H

W

H

WG[

[H

W

H

W

W [ W [ W [ W [� � � � � � � �

� �

�f

�f �f

�f

��

�³

��

��

� � � �

7KLV�LQWHJUDO�RQO\�H[LVWV�IRU�W������,Q�WKDW�FDVH��( HW

W;� �� �

� ��IRU�W����

E��G0 W

GWW

� �� � � � �� � � �DQG�

G0 W

GW( ;

W

� �� � � �

� � � �

�� � �

F��G 0 W

GWW

���� �

� �� � � � �DQG�

G 0 W

GWW

��

��

��

� �

��7KHUHIRUH�� � �9 ;� � � �

��

,,��� D��( HH

G[H

W

H H

W

W;W[ W[ W W

� �� � � �

³ �

��E D E D E DD

E

D

EE D

E��G0 W

GW

H H

W

H H

W

W W W W� �

� � � �

� ��

��

E D E D

E D

EE D�

� � �

� � � �

� �

E D

E D

E DW H W H

W

W W� �

8VLQJ�/©+RVSLWDO©V�UXOH�

����

OLP� � � � � �

� �

� � � �

� �

� � � �� �

W

W W W W

W W W W W W

G0 W

GW

W H H W H H

W

W H H H W H H H

( ;

o

� � � � ��

� � � � � � �

� � � � � �

� �

� �

� �

E E E D D DE D

E E E E D D D D

E D

E D

E D E D

E E D D

E E E D D D

Page 404: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

,,��� D��0 W H H G[ H G[W[ [ W [� � � � ³ ³�

f�

fO OO O

� �

� � �

��

��

f�

OO

OO

O

O

O

H

W W

W [

WW

� �

��

�� �IRU�W���O

E�� � � � �� �

G0 W

GW

W

W

� �� � � �

��� �

��

�O O

OO

G0 W

GW

G 0 W

GW

W

W

� �

� �

� �

� � �

O

OO

G 0 W

GW

9 ;

W

��

� � �

� �

� �

�§©̈

·¹̧

O

O O O

,,��� D��0 W HU

[ H G[U

[ H G[W[ U [U

U W [� �� �

� �� �

� � ³ ³� �

f� �

fOO

OO O

* *�

/HW�X� ��O�W�[��7KHQ�

0 WU

X

WH

GX

W

U

U W

U UX

U

U W UW U� �

� �

� �

� �� � � �� �

�§©̈

·¹̧³

� �

��

f�O

O OO

OO

O**

*

�� IURP�WKH�GHILQLWLRQ�RI�WKH

JDPPD�IXQFWLRQ�IRU�W���O�

E��0 W U W U � � � � � � � � �� �� � �O O

0 WU

( ;

0 WU U

0 WU U

9 ;U U U U

W

W U

W

� � � �

� �� �

� �

� �� �

� �� �

�§©̈

·¹̧

� �

��

O

O

O

O O O

O

,,��� D�� � �( H ( H LW< W;

L

QW

Q� � � � � �

�O

E��)URP�([HUFLVH�,,����<�KDV�D�JDPPD�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�SDUDPHWHU�O�DQG�Q�

,,���� D��0 W H

W W

H

W

<

W W W� �

� � � �

� � � � � �P V P V P P V V� �� �

�� �

� �

�� � �

��� �

E��<�KDV�D�QRUPDO�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�PHDQ� P P� �� �DQG�YDULDQFHV� V V��

���

Page 405: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

,,���� %HFDXVH�D�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�LV�D�VSHFLDO�FDVH�RI�WKH�JDPPD�GLVWULEXWLRQ�ZLWK� O �

��DQG� U

N ���IURP�

([HUFLVH�,,���

0 W W

0 WN

W

N

N W

N

0 W N ( ;

0 W N W

N

0 W N N N

9 ; N N N N

N

W

N

WN

� � � �

� � � � � � � �

� � � �

� � � �� �

� � � �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� � � �

� �

� �

�� � � � � � �

� � � � �

� � �

� �

� �

� �

� �

,,���� D��0 W 0 0 W 0 0UW U WU

� � � � � � � � ��� � � ����

� �

� � � � � �� � �

��

��E\�7D\ORU©V�H[SDQVLRQ��1RZ��0���� ���DQG� ���

����0 UU

� � � �� P �DQG�WKH�UHVXOW�LV�REWDLQHG�

E��)URP�([HUFLVH�,,����0 W WU U U W� � ���� �

� � � �

��

��

�OO

F�� PO�

U �DQG� PO

��

� � �

�U U�ZKLFK�DJUHHV�ZLWK�([HUFLVH�,,���

Page 406: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

$SSHQGL[��,,,

,,,��� I \< � � �

��DW�\� ������������IURP�7KHRUHP�,,,���

,,,��� %HFDXVH� ; t � ��WKH�WUDQVIRUPDWLRQ�LV�RQH�WR�RQH��WKDW�LV� \ [ � �DQG� [ \ ��)URP�7KHRUHP�,,,����

I \ I \ S S< ;\

\ \� � � � � �

§

©¨

·

¹¸ �

�� �� �IRU�\� ������������

,I�S� ������� I \<\

\ \� � � � � � � �

§

©¨

·

¹¸

�� �� �� � �� �IRU�\� ������������

,,,��� D�� I \ I\ \

< ;� � �§

©¨

·

¹¸§

©¨

·

¹¸

���

��

���IRU��� d d\ ��

E��( <\ \

G\\ \

� � �

³ �§

©¨¨

·

¹¸¸

��

��

��

���

����

��

��

� ���

,,,��� %HFDXVH�\� ����OQ�[�� H

\

[�

� ��7KHQ�� I \ I H

\

H

\

H

\

< ;� � � �

� � ���

��

�IRU� � �d

dH

\

��RU� \ t � ��

ZKLFK�LV�DQ�H[SRQHQWLDO�GLVWULEXWLRQ��ZKLFK�HTXDOV�D�FKL�VTXDUH�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�N� ���GHJUHHV�RI�IUHHGRP��

,,,��� D��/HW�4� �5��7KHQ�

S L U

T U

�DQG

L

U T

S

T

-ST S T

ST

LS

LT

US

UT

� �

w

w

w

w

w

w

w

w

��

� � ��

� � � ���

� �

� �

� �� �

� � ��

I S T I T ST ST T

T

34 ,5S

T

S

T

S

T

� � � � � � � � � �

� � §

©¨

·

¹¸

d d d d

� � ���

� � ��

� � ��

� � � �IRU��

7KDW�LV��IRU� � � �d d � dS T T� �

I S T GT S3S

� � OQ ³ � � d���

�S���IRU�� ��

E��( 3 S S GS� � OQ � ³�

���/HW�X� �OQ�S��DQG��GY� �S�GS��7KHQ��GX� ���S�DQG

����Y� �S�

���7KHUHIRUH��( 3 S GS

S S S� � �OQ � � � ³

� � �

���

��

��

Page 407: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

,,,��� D��,I� \ [ � ��WKHQ� [ \ �IRU� [ t � �DQG� \ t � ��7KXV�� I \ I \ \H

\< ;

\

� � � � � �

��

��

��IRU�\�!���

E��,I� \ [ � �� ��WKHQ� [ \ � �IRU� [ t � �DQG� \ t � ��7KXV�� I \ I \ \ \H< ;\� � � � �� � ���IRU�\�!���

F��,I�\� �OQ�[��WKHQ� [ H\ �IRU� [ t � ��7KXV�� I \ I H H H H\

H\

< ;\ \ \ H \ H� � � � � � �IRU� �f � � f\ �

,,,��� D��1RZ�� DY H GYEY�

f�

³ �PXVW�HTXDO�RQH��/HW�X� �EY��WKHQ�� ³ ³f

�f

�D H GXE

D

EX H GXX

EX X� � ��

��

�)URP�WKH�

����GHILQLWLRQ�RI�WKH�JDPPD�IXQFWLRQ�WKH�ODVW�H[SUHVVLRQ�LV�D

E

D

E� ��

�*� � ��7KHUHIRUH�� D

E

��

E��,I� ZPY

���WKHQ� Y

Z

P

��IRU� Y Zt t� �� �

I Z IGY

GZ

E Z

PH

ZP PZ

E P Z H

ZP

: 9ZP

E

E

� � � � �

� �

§©¨

·¹¸

��

��

��

� �

� � � � �

IRU� Z t � �

,,,��� ,I� \ H[ ��WKHQ�[� �OQ�\�IRU�� d d d d[ \ H� � ���DQG��H ��7KXV�� I \ I \\ \

< ;� � �OQ � � �

�IRU�� d dOQ \ � ��

7KDW�LV�� I \\

< � � ��IRU� H \ Hd d � �

,,,��� 1RZ�3 < D 3 ; X D I [ G[;X D

� � � � �� � �� �

d t ³f

��%\�FKDQJLQJ�WKH�YDULDEOH�RI�LQWHJUDWLRQ�IURP�[�WR�\�E\�XVLQJ�[� �

X�\���ZH�REWDLQ

3 < D I X \ X \ G\;D

� � � � �� � �d ³�f

�EHFDXVH�DV�[�WHQGV�WR�f��\� �K�[��WHQGV�WR���f��7KHQ�

3 < D I X \ X \ G\;

D� � � � ��� � ��d ³ �

�f

��%HFDXVH�K�[��LV�GHFUHDVLQJ��X \� � �LV�QHJDWLYH��7KHUHIRUH��_X \� � _� ��

X \� � �DQG�7KHRUHP�,,,���KROGV�LQ�WKLV�FDVH�DOVR�

,,,���� ,I�\� � � �[ � � � ��WKHQ�[� � � � \ �IRU� � �d d[ �DQG�[� � � � \ �IRU� � �d d[ ��7KXV��

� �

I \ I \ \ I \ \

\

\

\

\

\ \

< ; ;� � � �_ _ � �_ _� �

� � � �

��

d d

� �

� �

��

��

� �

��

� � ��

� �

��

� ���IRU��

Page 408: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

,,,���� D��/HW�D V V � �

�DQG�\� �V���7KHQ��V

�� �\� V

D

\� �DQG

-

V

D

V

\V

D

V

\\

D\ \

� �

w

w

w

ww

w

w

w

� �

� �

� ��

�� �� ��7KHQ�� I D \ I \ \$< 6 6

D\ \

D\ \

D\

� � � � � �� � � �� � � �

���

��

IRU� � d d\ ��DQG� � �d dD\

��7KDW�LV��IRU� � d d\ ��DQG� � �d dD \ �

E�� I DD

\G\

D$

D

D� � OQ�

� ³ �� ��

��IRU� � �� dD �

,,,���� /HW�U� �Y�L�DQG�V� �L��7KHQ��L V �DQG�Y� �UV

-

L

U

L

VY

U

Y

V

V UV

w

w

w

ww

w

w

w

� �

I U V I V UV V H56 ,9UV� � � � � � t� V��IRU��UV � �DQG�� d dV � ��7KDW�LV�

I U V VH56UV� � � � �IRU�� d dV � �DQG� U t � �

7KHQ�� I U VH GV5UV� � ³

���/HW�X� �V�DQG�GY� �H

UV��GV��7KHQ��GX� �GV�DQG�Y� �

� �H

U

UV

7KHQ�

I U VH

U

H

UGV

H H

U

H

U

H H

U

H H

U

H U H U

U

5

UV UV U U UV

U U U U

U U

� �

� � � �

��

��

³ �

��

��

� � �

� � � � �

� � � �

� �

� �

��

� �

� � �

IRU�U�!���

Page 409: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

$SSHQGL[�9

9��� D��)URP�([DPSOH�9���WKH�SRVWHULRU�GLVWULEXWLRQ�IRU�P�LV�QRUPDO�ZLWK�PHDQ�� �V P V

V V

�� �

�� �

[�DQG�YDULDQFH�

����

V V

V V

�� �

�� ��

E��7KH�%D\HV�HVWLPDWRU�IRU�P�LV�REWDLQHG�IURP�([DPSOH�9���WR�EH�� �V P V

V V

�� �

�� �

[

9��� D��%HFDXVH� I [ H

[

� _ �

� �

PSV

P

V

��

� ��DQG� I

E DE� �P P

�d d

���IRU��D ��WKH�MRLQW�GLVWULEXWLRQ�LV�

I [E D

H

[

� � �� �

� �

PSV

P

V �

��

� ��IRU��f���[���f�DQG� �D d dP E ��7KHQ��

I [E D

H

[

GD

E

� �

� �

³

� �

� �

SV

P

V P �DQG�WKLV�LQWHJUDO�LV�UHFRJQL]HG�DV�D�QRUPDO�SUREDELOLW\��7KHUHIRUH��

� � � �I [E D

E [ D [� � �

�ª¬«

º¼»

� ��

) )V V

�ZKHUH�)�[��LV�WKH�VWDQGDUG�QRUPDO�FXPXODWLYH�GLVWULEXWLRQ�IXQFWLRQ��

7KHQ��

� � � �I [

I [

I [

H

[

E [ D [

� _ �� � �

� �

� �

PP

P

V

SVV V

�ª¬«

º¼»

� �

� �

� ) )

E��7KH�%D\HV�HVWLPDWRU�LV�

� � � �a

� �

PP

P

V P

SVV V

�ª¬«

º¼»

³

� �

H

[

G

E [ D [D

E

� �

� ) )�

����/HW�Y� ��[���P���7KHQ��GY� ���GP�DQG

����� � � �

� � � �

� � � � � � � �

a � �P

V

SV

V

SV

V V

V V

V V V V

�ª¬«

º¼»

³

�ª

¬«º¼»

�ª¬«

º¼»

��ª

¬«º¼»

³

� ��

� �

� �

� ��

[ Y H

Y

GY

[YH

Y

GY

E [ D [[ E

[ D

[ D [ E

E [ D [ E [ D [[ E

[ D

� �

� �

) )

) )

) ) ) )

/HW�Z� �Y�

��V��7KHQ�� GZ GY GYY Y > @ > @�

�� �

V V

�DQG

Page 410: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

� � � �

� � � �

a

� �

� �

� � � �

PV

S

V

V

V

S

V V

V V

V V

��ª

¬«º¼»�

³

ª

¬

««««««

º

¼

»»»»»»

� �

� �

� �

[H GZ

[ E

[ D

[H

[ D

H

[ E

Z

E [ D [

E [ D [

��

��

��

��

��

) )

) )

9��� D�� I [H

[

[

� ��

�OO

�IRU�[� ����������DQG� I P H

P

P PP

� �� �

� �

OO

O

OO

�§©¨

·¹¸

�� �

� �

��

��

*�IRU�O�!����7KHQ�� ���

����� �

I [P H

P [

P P [P

P� � �

� � �

� �

OO

OO

O

O

� �� � �

� �

��

��*

����7KLV�ODVW�GHQVLW\�LV�UHFRJQL]HG�WR�EH�D�JDPPD�GHQVLW\�DV�D�IXQFWLRQ�RI�O��7KHUHIRUH��WKH�SRVWHULRU� �

GLVWULEXWLRQ�RI�O�LV�D�JDPPD�GLVWULEXWLRQ�ZLWK�SDUDPHWHUV�P���[�����DQG�����P � �

�O�

E��7KH�PHDQ�RI�WKH�SRVWHULRU�GLVWULEXWLRQ�FDQ�EH�REWDLQHG�IURP�WKH�UHVXOWV�IRU�WKH�JDPPD�GLVWULEXWLRQ�WR�EH

����P [ P [

PP

� �

ª

¬«

º

¼»

� �� �

§

©¨

·

¹¸

��

��

��

O

OO

9��� D��)URP�([DPSOH�9����WKH�%D\HV�HVWLPDWH�LV� a� � � � �

�P �

���

���

� � � ��

�� ���

E��7KH�SRVWHULRU�YDULDQFH�LV��IURP�([DPSOH�9�����

�� ����

���

���

� ��

� ��7KHUHIRUH��DV�LQ�([DPSOH�9���D����

����%D\HV�LQWHUYDO�HVWLPDWH�IRU�P�LV� � ��� ��� � ���� � ��� ���� � �� � ��� � � � � � � � � �r r

F��7KH�FODVVLFDO�����FRQILGHQFH�LQWHUYDO�IRU�P�LV�

[Q

r r r ��� � �� ��� � �� ���� � �� � ����

� � � � � � � � � � � �V �

����7KH�FODVVLFDO�LQWHUYDO�LV�ORQJHU�EHFDXVH�LW�GRHV�QRW�WDNH�LQWR�DFFRXQW�WKH�SULRU�LQIRUPDWLRQ�

9��� D��)URP�([DPSOH�9���� a� � �� � � � �� � �

��P

� �� � �� � ��

� ��� ���

����

��

E��7KH�SRVWHULRU�YDULDQFH�LV�� � �� � �

� ��

� �� � ��

� �� � ��� ���

� ��7KH�����%D\HV�LQWHUYDO�HVWLPDWH�LV

� ��� ��� � ��� � ��� ����� � �� � ��� � � � � � � � � �r r

F��/HW�;�GHQRWH�WKH�ZHLJKW�RI�D�ER[��7KHQ��3�;��������� �3;� �

�� ��P

V

P

V

� ��

9��� I [ H [[� _ � �O O O t� � �DQG� I H� � � �O O �� �� � �� ��7KHQ��

I [ [ H H H[ [ [ [

� � � � � �� � � � � �

� �� � �� � � ��� � � �� � �� � �O O OO O O � � � � � �

��$V�D�IXQFWLRQ�RI�O��WKLV�LV�UHFRJQL]HG�

DV�D�JDPPD�GHQVLW\�ZLWK�SDUDPHWHUV���DQG� [ [� � � ��� � � ��7KHUHIRUH��WKH�SRVWHULRU�PHDQ�IRU�O�LV�

a

� ��O

� �

� ��

� � ��� �����

� �[ [ [�

Page 411: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

$SSHQGL[�9,,

9,,��� D��Analysis of Variance for ForceSource DF SS MS F PPrimer 2 4.5811 2.2906 19.00 0.050Appl 1 4.9089 4.9089 40.72 0.024Primer*Appl 2 0.2411 0.1206 1.47 0.269Error 12 0.9867 0.0822Total 17 10.7178

E�� � �V� � ���

�� �

�� �

�� �

VWE

VE

VW

����� � ����

�� ���

� ���� �����

�� ���

����� �����

�� ���

9,,��� Source DF SS MS F PMachine 3 24.333 8.111 1.36 0.340Operator 2 26.333 13.167 2.21 0.190Machine*Operator 6 35.667 5.944 1.59 0.234Error 12 45.000 3.750Total 23 131.333

:LWK�RSHUDWRUV�UDQGRP��WKHUH�LV�QR�VLJQLILFDQW�GLIIHUHQFH�DPRQJ�RSHUDWRUV�RU�PDFKLQHV�

9,,��� Source DF SS MS F Poperator 2 0.01005 0.00503 0.07 0.937engineer 1 0.04688 0.04688 0.62 0.512operator*engineer 2 0.15005 0.07503 1.26 0.350Error 6 0.35785 0.05964Total 11 0.56483

Source Variance Error Expected Mean Square component term (using unrestricted model) 1 operator -0.01750 3 (4) + 2(3) + 4(1) 2 engineer 3 (4) + 2(3) + Q[2] 3 operator*engineer 0.00769 4 (4) + 2(3) 4 Error 0.05964 (4)

D��+��

��VWE

+��

��VWE

z

E��%HFDXVH�WKH�VLJQLILFDQFH�OHYHO�IRU�RSHUDWRU HQJLQHHU�LV��������ZH�FDQQRW�UHMHFW�+� �

F��3RVVLEOH�YLRODWLRQ�RI�WKH�FRQVWDQW�YDULDQFH�DVVXPSWLRQ�

���������

���

���

���

���

���

����

����

����

����

HQJLQHHU

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVHQJLQHHU�UHVSRQVH LV WLPH�

���������������

���

���

���

���

���

����

����

����

����

)LWWHG9DOXH

5HVLGXDO

5HVLGXDOV9HUVXVWKH )LWWHG 9DOXHV

�UHVSRQVH LV WLPH�

Page 412: Solucionario Montgomery Probabilidade Segunda Edicao

G�� � �V�� ����

����

�� �

�� �

VWE

VE

� ���� � ����

�� ����

� ���� � ����

�� ���� �

� o

9,,��� Source DF SS MS F Pfurnacep 1 7160 7160 17.50 0.053temperat 2 945342 472671 1155.52 0.001furnacep*temperat 2 818 409 0.91 0.427Error 12 5371 448Total 17 958691

Source Variance Error Expected Mean Square component term (using unrestricted model) 1 furnacep 750.11 3 (4) + 3(3) + 9(1) 2 temperat 3 (4) + 3(3) + Q[2] 3 furnacep*temperat -12.83 4 (4) + 3(3) 4 Error 447.56 (4)

D��+��

��VW +�

���V

Wz

+� � � � ��E E E + L� �� �QRW�DOO�E

+��

��VWE

+��

��VWE

z

E��7KH�VHFRQG�QXOO�K\SRWKHVHV�FDQ�EH�UHMHFWHG�DW�D� ������IURP�WKH�$129$�WDEOH��7KH�ILUVW�DQG�WKLUG�QXOO

����K\SRWKHVLV�FDQQRW�EH�UHMHFWHG�

F�� � �V���� ��

����

�� �

��

VWE

VW

��� ��� ��� ���

����� �

���� �� ���

���� ��

� o

9,,��� Source DF SS MS F Poperator 2 0.01005 0.00503 0.07 0.937engineer 1 0.04688 0.04688 0.62 0.512operator*engineer 2 0.15005 0.07503 1.26 0.350Error 6 0.35785 0.05964Total 11 0.56483

Source Variance Error Expected Mean Square component term (using unrestricted model) 1 operator -0.01750 3 (4) + 2(3) + 4(1) 2 engineer -0.00469 3 (4) + 2(3) + 6(2) 3 operator*engineer 0.00769 4 (4) + 2(3) 4 Error 0.05964 (4)7KH�$129$�WDEOH�LV�VKRZQ�DERYH��7KH�FRQFOXVLRQV�GR�QRW�GLIIHU�IURP�([HUFLVH�9,,����1R�HIIHFWV�DUH

VLJQLILFDQW�