Solucionario - Matemáticas 1º ESO (SM, Proyecto ESFERA)

4

1 NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

Copia en tu cuaderno las siguientes expresiones y escribe los números que faltan.a) 6 327 � 6 M � � C � 2 D � � U c) 3��5 � � M � 7 C � 9 D � � Ub) �� 5 M � 1 C � 0 D � 4 U d) 4�8� � � M � 3 C � � D � 0 U

a) 6 327 � 6 M � 3 C � 2 D � 7 U c) 3 795 � 3 M � 7 C � 9 D � 5 Ub) 5 104 � 5 M � 1 C � 0 D � 4 U d) 4 380 � 4 M � 3 C � 8 D � 0 U

Escribe, en cada caso, el número que corresponda.a) 37 centenas, 2 unidades.b) 48 millares, 5 centenas, 16 unidades.Escribe como se nombran los números anteriores.

a) 37 centenas, 2 unidades � 3 700 � 2 � 3 702 � tres mil setecientos dosb) 48 millares, 5 centenas, 16 unidades � 48 000 � 500 � 16 � 48 516 � cuarenta y ocho mil quinientos dieciséis

Observa el mapa de los códigos postales y señala de qué provincias son los siguientes.a) 27004 b) 50336 c) 14260 d) 40511

a) Lugo b) Zaragoza c) Córdoba d) Segovia

Busca en una guía de teléfonos a qué provincias pertenecen los siguientes números.a) 950 303 033 b) 947 054 111 c) 927 430 001 d) 954 280 280

a) Almería b) Burgos c) Cáceres d) Sevilla

Copia en tu cuaderno, sustituye por el número que corresponda y explica la propiedad que aplicas encada caso.a) 10 � 83 � � � 10 b) (7 � 4) � 32 � 7 � �

a) 10 � 83 � 83 � 10. Propiedad conmutativa b) (7 � 4) � 32 � 7 � (4 � 32). Propiedad asociativa

Copia en tu cuaderno, sustituye por el número que falta y explica la propiedad que consideras en cadacaso.a) 13 � 7 � � ⇒ 18 � � � 6 b) 2 � (6 � �) � � � 18

a) 13 � 7 � 6 ⇒ 18 � 12 � 6. Propiedad de la resta b) 2 � (6 � 9) � 12 � 18. Propiedad distributiva

Halla tres múltiplos de 11 comprendidos entre 27 y 90.

33, 44, 55, 66, 77, 88

Comprueba si 556 es múltiplo de 4.

556 � 4 � 139, resto � 0

Comprueba si 12 es divisor de 144.

144 � 12 � 12, resto � 0. Luego 12 es divisor de 144.

¿Cuál de estos números es divisor de 91?a) 3 b) 7 c) 11 d) 13

a) 91 � 3 � 30, resto 1; como la división no es exacta, 3 no es divisor de 91.b) 91 � 7 � 13, resto 0; como la división es exacta, 7 es divisor de 91.c) 91 � 11 � 8, resto 3; como la división no es exacta, 11 no es divisor de 91.d) 91 � 13 � 7, resto 0; como la división es exacta, 13 es divisor de 91.

1.10

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

41039_Solucionario 26/6/09 10:10 Página 4

Encuentra todos los divisores de los siguientes números.a) 24 b) 27 c) 48 d) 25 e) 7 f) 56

a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 e) 1, 7

b) 1, 3, 9, 27 d) 1, 5, 25 f) 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Señala cuáles de estos números tienen, exactamente, tres divisores.a) 4 b) 25 c) 15 d) 49

a) 1, 2, 4. Sí b) 1, 5, 25. Sí c) 1, 3, 5, 15. No d) 1, 7, 49. Sí

Aplica los criterios de divisibilidad para rellenar la siguiente tabla.

Encuentra dos números de cinco cifras que sean divisibles por 2 y por 5 a la vez, y no lo sean por 100.

Son divisibles por 2 y 5 si terminan en 0, y no lo son por 100 si no terminan en 00. Por ejemplo: 11 110 y 11 120.

Escribe dos números de cinco cifras que sean múltiplos de los siguientes.a) De 3 y de 11, pero no de 9. b) De 9 y de 11. ¿Lo son de 3?

a) La forma más sencilla es formar un número tal que la suma de sus cifras pares sea 3, así como la de sus cifras impares:20 031 y 13 002.

b) La forma más sencilla es formar un número tal que la suma de sus cifras pares sea 9, así como la de sus cifras impares:26 631 y 53 262.

Calcula los divisores de cada uno de estos números e indica cuál es primo.a) 8 b) 101 c) 57 d) 49

a) 1, 2, 4 y 8 b) 1, 101. Sí es primo. c) 1, 3, 19 y 57 d) 1, 7 y 49

¿Puede haber algún número primo par? Razona la respuesta.

El único número primo que es par es el dos, porque cualquier otro tiene por lo menos tres divisores: el 1, el propio númeroy el 2.

Halla tres números primos entre 500 y 550.

501, 503, 509

Haz la descomposición en factores primos de los siguientes números.a) 108 c) 42 e) 100b) 99 d) 37 f) 840

a) 108 � 22 � 33 c) 42 � 2 � 3 � 7 e) 100 � 22 � 52

b) 99 � 32 � 11 d) 37 � 1 � 37 f) 840 � 23 � 3 � 5 � 7

Copia y completa estas descomposiciones en factores primos.a) 360 � 2� � �2 � 5 b) 300 � �2 � � � 52

a) 360 � 23 � 32 � 5 b) 300 � 22 � 3 � 52

1.20

1.19

1.18

1.17

1.16

1.15

1.14

1.13

1.12

1.11

5

Divisiblepor 2 3 4 5 9 10 11 25 100

375

990

1 848

12 300

14 240

Divisiblepor 2 3 4 5 9 10 11 25 100

375 X X X

990 X X X X X X

1 848 X X X X

12 300 X X X X X X X

14 240 X X X X


Indica los divisores de los siguientes números y calcula su máximo común divisor.a) 2 y 16 b) 3 y 25 c) 9, 12 y 18 d) 27, 36 y 63

a) Divisores de 2: 1, 2 Divisores de 16: 1, 2, 4, 8, 16 m.c.d.(2, 16) � 2b) Divisores de 3: 1, 3 Divisores de 25: 1, 5, 25 m.c.d.(3, 35) � 1c) Divisores de 9: 1, 3, 9 Divisores de 12: 1, 3, 4, 6 Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

m.c.d.(9, 12, 18) � 3d) Divisores de 27: 1, 3, 9, 27 Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Divisores de 63: 1, 3, 7, 9, 21, 63

m.c.d.(9, 12, 18) � 3

Averigua el máximo común divisor de los siguientes números.a) 4, 6, 18 y 32 b) 3, 4, 12, 36 y 48

a) 4 � 22 6 � 2 � 3 18 � 2 � 32 32 � 25 m. c. d.(4, 6, 18, 32) � 2b) 3 � 3 4 � 22 12 � 22 � 3 36 � 22 � 32 48 � 24 � 3 m. c. d.(3, 4, 12, 36, 48) � 1

Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números.a) 9, 12 y 18 b) 27, 36 y 63

a) 9 � 32 12 � 22 � 3 18 � 2 � 32 m.c.m.(9, 12, 18) � 22 � 32 � 36b) 27 � 33 36 � 22 � 32 63 �32 � 7 m.c.m.(27, 36, 63) � 22 � 33 � 7 � 756

Halla el mínimo común múltiplo de estos números. ¿Qué conclusión sacas?a) 2, 4, 8 y 16 b) 3, 4, 6 y 12

a) 2 � 2 4 � 22 8 � 23 16 � 24 m.c.m.(2, 4, 8, 16) � 24 � 16b) 3 � 3 4 � 22 6 � 2 � 3 12 � 22 � 3 m.c.m.(3, 4, 6, 12) � 22 � 3 � 12

Cuando en un conjunto de números uno de ellos es múltiplo de todos, ese es el m.c.m.

R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S

Daniel, Patricia y Gonzalo son tres amigos que deciden juntar su dinero para invitar a golosinas a otrosamigos. Daniel tiene 4 euros; Patricia, 2 euros más, y Gonzalo, lo mismo que Daniel y Patricia juntos.¿Cuánto dinero han reunido?

Daniel tiene: 4 euros Patricia tiene: 4 � 2 � 6 euros Gonzalo tiene: 4 � 6 � 10 eurosTOTAL: 4 � 6 � 10 � 20 eurosHan reunido 20 euros.

Una bolsa de naranjas cuesta 6 euros. Otra bolsa con dos kilogramos más de naranjas cuesta 10 euros.¿Cuántos kilogramos tiene cada bolsa?

Los 2 kg de más de la segunda bolsa cuestan la diferencia de precio entre ambas bolsas, 10 � 6 � 4 euros, luego cada kilo-gramo de naranjas cuesta 2 euros.La primera bolsa tiene 3 kilogramos, y la segunda, 5.

Jorge ha ido al súper y ha comprado una caja de 6 litros de leche que vale 4 euros, 3 kilogramos de man-zanas a 2 euros cada kilogramo, y 6 cajas de galletas que cuestan 3 euros cada caja, pero que están enoferta de “lleve 3 y pague 2”. Si entrega a la cajera un billete de 50 euros, ¿cuánto le devuelve?

Jorge gastó: 4 euros por la leche2 � 3 � 6 euros por las manzanas3 � 4 � 12 euros por las galletas (pagó 4 cajas aunque se llevó 6)TOTAL: 4 � 6 � 12 � 22 eurosSi pagó con un billete de 50 euros, le devolvieron 50 � 22 � 28 euros.

Una empresa fabrica 5 bombillas cada minuto. Si se trabajan 8 horas diarias, ¿cuántos días se tardan enfabricar 24 000 bombillas?

8 horas diarias suponen 8 � 60 � 480 minutos al día. Como cada minuto se fabrican 5 bombillas, en total se fabrican 5 � 480 � 2400bombillas diarias.Para fabricar 24 000 bombillas se necesitan 24 000 � 2 400 � 10 días.

1.28

1.27

1.26

1.25

1.24

1.23

1.22

1.21

6


C Á L C U L O M E N T A L

Observa el ejemplo y expresa cada número como cociente de otros dos, de dos maneras diferentes.a) 12 � 24 � 2 � 48 � 4 b) 8 c) 15 d) 22

b) 8 � 16 � 2 � 40 � 5 c) 15 � 30 � 2 � 45 � 3 d) 22 � 44 � 2 � 66 � 3

Descompón en factores primos los números siguientes.a) 9 c) 24 e) 50b) 12 d) 36 f) 75

a) 9 � 32 c) 24 � 23 � 3 e) 50 � 2 � 52

b) 12 � 22 � 3 d) 36 � 22 � 32 f) 75 � 3 � 52

Calcula el m.c.d. de estos pares de números.a) 5 y 10 b) 3 y 4 c) 6, 8 y 12 d) 5, 25 y 125

a) m.c.d.(5, 10) � 5 b) m.c.d.(3, 4) � 1 c) m.c.d.(6, 8, 12) �2 d) m.c.d.(2, 25, 125) � 5

Halla el m.c.m. de los siguientes grupos de números.

a) 4 y 6 b) 8 y 12 c) 4, 6 y 12 d) 3, 9 y 27

a) m.c.m.(4, 6) � 12 b) m.c.m.(8, 12) � 24 c) m.c.m.(4, 6, 12) = 12 d) m.c.m.(3, 9, 27) � 27

E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E

El sistema de numeración decimal

Copia y completa la siguiente tabla.

Dados los números: 345, 2 621, 94 013.a) ¿Cuántas decenas hay en cada uno?b) ¿Cuántas unidades habrá que quitar a cada uno para que tengan exactamente una decena menos?

a) 345 → 34 decenas 2 621 → 262 decenas 94 013 → 9 401 decenasb) 10 unidades

Escribe de forma numérica estos números expresados con letras.a) Nueve mil quinientos dos. c) Mil quinientos sesenta y seis.b) Ocho millones cuatrocientos trece. d) Setenta mil setenta.

a) 9 502 b) 8 000 413 c) 1 566 d) 70 070

Escribe el nombre de los siguientes números.a) 20 012 b) 234 234 000 c) 33 840

a) Veinte mil doce.b) Doscientos treinta y cuatro millones doscientos treinta y cuatro mil.c) Treinta y tres mil ochocientos cuarenta.

Los números naturales como códigos

Alejandro ha escrito su fecha de nacimiento: 03/12/2000.a) ¿Qué día celebrará su cumpleaños? b) ¿Cuántos años tiene hoy?

a) El día tres de diciembre. b) La solución dependerá del año en curso.

1.37

1.36

1.35

1.34

1.33

1.32

1.31

1.30

1.29

7

Número M C D U

7 816 7 8 1 6

69 513

27 5 4 0

2 318

Número M C D U

7 816 7 8 1 6

69 513 69 5 1 3

27 540 27 5 4 0

2 318 2 3 1 8


Asocia cada dirección con su código postal.

a) b) c) d)

a) 14004, Córdoba b) 46810, Valencia c) 28230, Madrid d) 40001, Segovia

Busca códigos numéricos en tu entorno.a) En el supermercado. b) En tu casa.

a) Códigos de barras, códigos de la fruta. b) DNI, código del teléfono, pin del móvil.

Operaciones con números naturales. Propiedades

Copia en tu cuaderno las siguientes operaciones y escribe los números que faltan, e indica en cada casola propiedad que aplicas.a) 140 � 68 � 72 → 142 � 70 � � c) 20 � (15 � 2) � � � 15 � 20 � �

b) 431 � 88 � 343 → 421 � � � 343 d) 5 � (10 � �) � 5 � 10 � � � 4

a) 140 � 68 � 72 → 142 � 70 � 72 c) 20 � (15 � 2) � 20 � 15 � 20 � 2b) 431 � 88 � 343 → 421 � 78 � 343 d) 5 � (10 � 4) � 5 � 10 � 5 � 4

Propiedad de la resta: a y b Propiedad distributiva: c y d

Completa en tu cuaderno la tabla sin hacer las divisiones, y explica la propiedad que estás teniendo en cuenta.

Propiedad de la división.

Múltiplos y divisores de un número

Averigua los cinco primeros múltiplos de estos números.a) 10 c) 8 e) 222b) 25 d) 11 f) 43

a) 10, 20, 30, 40, 50 c) 8, 16, 24, 32, 40 e) 222, 444, 666, 888, 1 110b) 25, 50, 75, 100, 125 d) 11, 22, 33, 44, 55 f) 43, 86, 129, 172, 215

Escribe todos los divisores de los números indicados.a) 54 b) 77 c) 8 d) 60

a) 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 c) 1, 2, 4, 8b) 1, 7, 11, 77 d) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Copia esta tabla en tu cuaderno y sustituye el símbolo � por el número que corresponda.1.44

1.43

1.42

1.41

1.40

1.39

1.38

8

Dividendo Divisor Cociente Resto

364 148 2 68

91 37 2 17

888 444 2 0

Dividendo Divisor Cociente Resto

364 148 2 68

91 37

444 2 0

Multiplicación Divisiones Múltiplos Divisoresasociadas

30 : 5 � 6 30, múltiplo 5 y 6, 5 � 6 � 30 divisores

30 : 6 � 5 de 5 y 6 de 30

28 : � � 4 �, múltiplo � y �, 7 � 4 � 28 divisores

28 : � � 7 de 4 y 7 de 28

56 : 8 � � 56 múltiplo � y �, �� divisores

56 : � � 8 de � y � de 56

Multiplicación Divisiones Múltiplos Divisoresasociadas


30 : 6 � 5 de 5 y 6 de 30


28 : 4 � 7 de 4 y 7 de 28

56 : 8 � 7 56 múltiplo 7 y 8, 7 � 8 � 56 divisores

56 : 7 � 8 de 7 y 8 de 56

C/ Dr. Marañón n.º 1

CÓRDOBA

C/ Los Ángeles n.º 13

VALENCIA

C/ Paseo del Pinar n.º 53

MADRID

C/ Santurce n.º 19

SEGOVIA


Escribe todos los múltiplos de 7 que estén entre 100 y 150.

El primer múltiplo que se encuentra es 105; a partir de ahí vamos sumando 7, obteniendo:105, 112, 119, 126, 133, 140 y 147.

Divisibilidad

Indica, sin hacer las divisiones, cuáles de los siguientes números son múltiplos de 2.a) 4 576 b) 225 c) 34 930 d) 170

a) Sí b) No c) Sí d) Sí

Señala, sin dividir, cuáles de los siguientes números son múltiplos de 2 y de 5 a la vez.a) 552 b) 3 970 c) 255 d) 45 670

b y d son múltiplos de 2 y 5 a la vez por acabar en 0.

Determina, aplicando los criterios explicados en la unidad, si los números 3 033, 18 951, 21 073 y 90 sonmúltiplos de los siguientes.a) 3 b) 9 c) 3 y 9

a) Los múltiplos de tres son: 3 033, 18 951 y 90.b) Los múltiplos de 9: 3 033 y 90.c) Múltiplos de tres y de nueve: 3 033 y 90.

Averigua, sin hacer la división, si los números: 144, 900, 4 255 y 1 875 son múltiplos de estos otros números.a) 4 b) 25 c) 4 y 25

a) Múltiplos de 4: 144 y 900b) Múltiplos de 25: 900 y 1 875c) Múltiplos de ambos: 900

Aplica el criterio de divisibilidad por 11, para averiguar cuáles de los siguientes números son divisibles por 11.a) 31 b) 99 c) 2728 d) 5 500 e) 528 726 f) 719 290

Son divisibles por 11: 99, 2 728, 5 500, 528 726, 719 290.

Indica cuáles de estos números son primos, calculando previamente todos sus divisores.a) 13 c) 49 e) 121b) 100 d) 1 f) 65

a) Divisores de 13: 1, 13, primo d) Divisores de 1: 1b) Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 50, 100 e) Divisores de 121: 1, 11, 121c) Divisores de 49: 1, 7, 49 f) Divisores de 65: 1, 5, 13, 65

¿Cuáles de los números siguientes tienen exactamente cuatro divisores? Calcúlalos.a) 77 c) 12 e) 21 g) 27b) 6 d) 8 f) 30 h) 125

a) Divisores de 77: 1, 7, 11, 77 d) Divisores de 8: 1, 2, 4, 8 g) Divisores de 27: 1, 3, 9, 27b) Divisores de 6: 1, 2, 3, 6 e) Divisores de 21: 1, 3, 7, 21 h) Divisores de 125: 1, 5, 25, 125

Busca un número de tres cifras que sea múltiplo, a la vez, de 2, 3 y 5, pero no lo sea ni de 9 ni de 11.

Lo más fácil es hacer que la suma de las cifras sea múltiplo de 3, pero no de 9; por ejemplo, 3 ó 6.300, 501, 105, 510, 303, 210…

Además, para que sea múltiplo de 2 y de 5 tiene que terminar en 0.300, 510, 210…

Y por último, que la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan el lugar par y la suma de las cifras que ocupan el lugarimpar no sea 0 ni múltiplo de 11.

300, 210, 510…

1.53

1.52

1.51

1.50

1.49

1.48

1.47

1.46

1.45

9


Si un número es múltiplo de 2 y de 3 al mismo tiempo, ¿lo es también de 6? Razona la respuesta.

Sí, ya que el múltiplo más pequeño común de 2 y 3 es 6.

Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo

Calcula el máximo común divisor de los siguientes grupos de números.a) 27 y 64 d) 121 y 77 g) 10, 15 y 50 j) 33, 77 y 121b) 44 y 35 e) 20, 15 y 30 h) 9, 12 y 24c) 25 y 40 f) 18, 30 y 36 i) 10, 100 y 50

a) 27 � 33 64 � 26 m.c.d.(27, 64) � 1b) 44 � 22 � 11 35 � 5 � 7 m.c.d.(44, 35) � 1c) 25 � 52 40 � 23 � 5 m.c.d.(25, 40) � 5d) 121 � 112 77 � 7 � 11 m.c.d.(11, 7) � 11e) 20 � 22 � 5 15 � 3 � 5 30 � 2 � 3 � 5 m.c.d.(20, 15, 30) � 5f) 18 � 2 � 32 30 � 2 � 3 � 5 36 � 22 � 32 m.c.d.(18, 30, 36) � 2 � 3 � 6g) 10 � 2 � 5 15 � 3 � 5 50 � 2 � 52 m.c.d.(10, 15, 50) � 5h) 9 � 32 12 � 22 � 3 24 � 23 � 3 m.c.d.(9, 12, 24) � 3i) 10 � 2 � 5 100 � 22 � 52 50 � 2 � 52 m.c.d.(10, 100, 50) � 10j) 33 � 3 � 11 77 � 7 � 11 121 � 112 m.c.d (33, 77, 121) � 11

Haya el mínimo común múltiplo de estos grupos de números.a) 4 y 9 d) 2, 4 y 6 g) 10, 100 y 200 j) 33, 77 y 121b) 6 y 7 e) 15, 5 y 35 h) 7, 8 y 9c) 32 y 16 f) 9, 6 y 12 i) 11, 22 y 20

a) 4 � 22 9 � 32 m.c.m.(4, 9) � 22 � 32 � 36b) 6 � 2 � 3 7 � 7 � 1 m.c.m.(6, 7) � 42c) 32 � 25 16 � 24 m.c.m.(16, 32) � 25 � 32d) 2 � 2 � 1 4 � 22 6 � 2 � 3 m.c.m.(2, 4, 6) � 22 � 3 � 12e) 15 � 3 � 5 5 � 5 � 1 35� 5 � 7 m.c.m.(5, 15, 35) � 3 � 5 � 7 � 105f) 9 � 32 6 � 2 � 3 12 � 22 � 3 m.c.m.(6, 9, 12) � 22 � 32 � 36g) 10 � 2 � 5 100 � 22 � 52 200 � 23 � 52 m.c.m.(10, 100, 200) � 200h) 7 � 7 � 1 8 � 23 9 � 32 m.c.m.(7, 8, 9) � 23 � 32 � 7 � 504i) 11 � 11 � 1 22 � 2 � 11 20 � 22 � 5 m.c.m.(11, 20, 22) � 22 � 5 � 11 � 220j) 33 � 3 � 11 77 � 7 � 11 121� 11 m.c.m.(33, 77, 121) � 3 � 7 � 112 � 2 541

P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R

Escribe 56 como diferencia de dos números mayores que 60.

Respuesta abierta.Un ejemplo puede ser: 61 � 56 � 61 � 56

Las distancias entre las ciudades A, B y C son: entre A y B, 235 kilómetros; entre A y C, 49 kilómetros,y entre B y C, 134 kilómetros. Calcula los kilómetros que recorre Silvia en estos casos.a) Va de A a C pasando por B.b) Va de B a A visitando antes a su prima en C.

a) 235 � 134 � 369 kmb) 134 � 49 � 183 km

Está previsto que asistan 120 personas a una fiesta. ¿De cuántos comensales pueden ser las mesas si to-das han de ser iguales y estar completas?

Los divisores de 120 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120; por tanto, las mesas pueden ser de cualquierade esos números de comensales.

Para obtener un número de cuatro cifras divisible por 2, ¿qué cifras puedes añadir a la derecha de 357?

Se puede añadir cualquiera de entre: 0, 2, 4, 6 y 8.

1.60

1.59

1.58

1.57

1.56

1.55

1.54

10


Estudia qué cifras tendrías que añadir a la izquierda de 451 para obtener un número de cuatro cifrasmúltiplo de 3.

Como 4 � 5 � 1 � 10, podría añadir: 2, 5 y 8, ya que así las cifras sumarían 12, 15 y 18, que son todos múltiplos de 3.

Sustituye la letra a por una cifra para que el número 730a sea:a) Divisible por 3, pero no por 5.b) Divisible por 5, pero no por 3.c) Divisible por 11.

a) 7 � 3 � 0 � 10, luego puedo añadir 2 u 8.b) Puedo añadir sólo el 0.c) Suma de las cifras de lugar par: 7 � 0 � 7. La suma de las cifras de lugar impar 3 � a, luego para que sumen 7, a � 4.

Indica cuáles de estas expresiones no se corresponden con una descomposición en factores primos, y enesos casos corrígelas.a) 90 � 2 � 5 � 9 b) 350 � 2 � 52 � 7 c) 225 � 152 d) 2 160 � 24 � 32 � 5

a) 90 � 2 � 32 � 5 c) 225 � 32 � 52 d) 2 160 � 24 � 33 � 52

Busca un número capicúa de 4 cifras con las siguientes características y, después, descomponlo en fac-tores primos.• El valor posicional de 5 es 500.• La cifra de las unidades es igual a 2.

Si 5 tiene el valor de posición 500, entonces ocupa el lugar de las centenas. Como la cifra de las unidades es 2, el número seráde la forma: �5�2. Como el número es capicúa, será: 2 552.

2 552 � 23 � 11 � 29

Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días, y Pedro lo hace cada 3. El día 20 de mayose encontraron allí. ¿Cuándo volverán a coincidir?

Tenemos que calcular el m.c.m.(3, 5) � 3 � 5 � 15. Tienen que pasar 15 días.Vuelven a coincidir el 4 de junio.

En un terreno rectangular de 240 por 360 metros, se proyecta colocar placas cuadradas del mayor ta-maño posible, para recoger energía solar. ¿Qué longitud tienen que tener los lados de las placas?

240 � 24 � 3 � 5 360 � 23 � 32 � 5Se calcula el m.c.d.(240, 360) � 23 � 3 � 5 � 120 m de lado deben tener las placas.

Tres autobuses de tres líneas distintas salen de una estación: el primero cada 10 minutos, el segundocada 12 minutos y el tercero cada 15 minutos. Si a las 8 de la mañana salió un autobús de cada línea,¿a qué hora volverán a salir los tres a la vez?

Se calcula el m.c.m.(10, 12, 15) � 22 � 3 � 5 � 60. Los tres vuelven a coincidir a las nueve.

Pedro, al colocar sus fotos en un álbum, se ha dado cuenta de que si coloca 4 en cada página, solo que-dan 2 para la última página. Lo mismo ocurre si coloca 5 ó 6 fotos en cada página.a) ¿Cuántas fotos tiene Pedro?b) ¿Cuántas debe colocar en cada página para que todas tengan el mismo número y no sobre ninguna?

a) Calculamos el m.c.m.(4, 5, 6) � 22 � 5 � 3 � 60. Ahora, sumando 2 unidades, 60 � 2, hallamos el menor número posiblede fotos que tiene Pedro.

b) Los divisores de 62 son: 1, 2, 31, luego con cualquier número de fotos igual a sus divisores cumple la condición pedida.

Marta tiene un número de libros comprendido entre 500 y 1 000. Está colocándolos en una estantería.Si coloca 12 en cada estante, quedan 11 libros en el último; si pone 14 en cada estante, en el último co-loca 13, y cuando los ordena de 15 en 15, en el último estante coloca 14. ¿Cuántos libros tiene Marta?

Si sumamos 1 al número de libros que tiene, el número obtenido es divisible por 12, por 14 y por 15. Por tanto, es divisible porel mínimo común múltiplo de 12, 14 y 15.

m.c.m.(12, 14, 15) � 22 � 3 � 5 � 7 � 420El único múltiplo de 420 mayor que 500 y menor que 1 000 es 840.

840 � 1 � 839 Marta tiene 839 libros.

1.69

1.68

1.67

1.66

1.65

1.64

1.63

1.62

1.61

11


Un número dividido entre 2 da de resto 1. Si se divide entre 4, el resto es 3; al dividirlo entre 6, el res-to es 5; al dividirlo entre 7, el resto es 6, y por último, cuando se divide entre 9, el resto que obtene-mos es 8.a) ¿Cuál es el menor número que cumple estas condiciones?b) ¿Cuáles son los dos siguientes?

a) Si al número se le suma 1, se obtiene otro número que es múltiplo de 4, de 6, de 7 y de 9.Por tanto, es múltiplo del m.c.m.(4, 6, 7, 9) � 252.El menor número es: 252 � 1 � 251.

b) Los dos siguientes son: 252 � 2 � 1 � 503 y 252 � 3 � 1 � 755.

R E F U E R Z O

Los números naturales

Contesta a las siguientes preguntas.a) ¿Cuántas unidades tenemos con 45 decenas?b) ¿Cuántas centenas enteras hay en 7 239 unidades?

a) Tenemos 45 � 10 � 450 unidades.b) Como 7 M � 70 C; 70 � 2 � 72 centenas.

Escribe el valor posicional de la cifra 8 en cada uno de los siguientes números.a) 586 b) 83 102 c) 8 344 d) 18

a) Decenas b) Decenas de millar c) Unidades de millar d) Unidades

Múltiplos y divisores. Divisibilidad

Escribe los cinco primeros múltiplos de 15, 19, 24 y 30.

Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75 Múltiplos de 24: 24, 48, 72, 96, 120Múltiplos de 19: 19, 38, 57, 76, 95 Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150

Calcula todos los divisores de estos números.a) 6 b) 39 c) 65

a) Divisores de 6: 1, 2, 3, 6 b) Divisores de 39: 1, 3, 13, 39 c) Divisores de 65: 1, 5, 13, 65

Utiliza los criterios de divisibilidad, para buscar todos los múltiplos de los siguientes números com-prendidos entre 100 y 200.a) 2 b) 4 c) 9

a) 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120,122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140,142, 144, 146, 148, 150,152, 154, 156, 158, 160,172, 174, 176, 178, 180, 182, 184, 186, 188, 190,192, 194, 196, 198, 200

b) 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140,144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200c) 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198

Indica, sin hacer la división, cuáles de estos números son múltiplos de 6.a) 27 b) 324 c) 112

Los múltiplos de 6 son los que son múltiplos a la vez de 2 y de 3; por tanto, tenemos que 324 es el único que hay.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Determina a qué número corresponden los siguientes productos de factores primos.a) 22 � 7 b) 23 � 32

a) 28 b) 72

Realiza la descomposición en factores primos de estos números.a) 25 b) 75 c) 140 d) 144

a) 25 � 52 b) 75 � 3 � 52 c) 140 � 22 � 5 � 7 d) 144 � 24 � 32

1.78

1.77

1.76

1.75

1.74

1.73

1.72

1.71

1.70

12


Halla el m.c.d. y el m.c.m. de estos números.a) 30 y 45 b) 28 y 48 c) 38 y 138 d) 1 000 y 2 000

a) 30 � 2 � 3 � 5 45 � 32 � 5 m.c.m.(30, 45) � 2 � 32 � 5 � 90 m.c.d.(30, 45) � 15b) 28 � 22 � 7 48 � 24 � 3 m.c.m.(28, 48) � 24 � 3 � 7 � 336 m.c.d.(28, 48) � 4c) 38 � 2 � 19 138 � 2 � 3 � 23 m.c.m.(38, 138) � 2 � 3 � 19 � 23 � 2 622 m.c.d.(38, 138) � 2d) 1 000 � 23 � 53 3 000 � 24 � 53 m.c.m.(1 000, 2 000) � 24 � 53 � 2 000 m.c.d.(1 000, 2 000) � 23 � 53 � 1 000

Calcula el m.c.d y el m.c.m de los siguientes números.a) 24 y 42 b) 108 y 504 c) 405 y 1 305 d) 120, 330 y 450

a) 24 � 23 � 3 42 � 2 � 3 � 7 m.c.m.(24, 42) � 168 m.c.d.(24, 42) = 6b) 108 � 22 � 33 504 � 23 � 32 � 7 m.c.m.(108, 504) � 23 � 33 � 7 � 1 512 m.c.d.(108, 504) = 36c) 435 � 3 � 5 � 29 1 305 � 32 � 5 � 29 m.c.m.(435, 1 305) � 32 � 5 � 29 � 1 305 m.c.d.(435, 1 305) = 435d) 120 � 23 � 3 � 5 330 � 2 � 3 � 5 � 11 450 � 2 � 32 � 52 m.c.m.(120, 330, 450) � 23 � 32 � 52 � 11 � 19 800

m.c.d.(120, 330, 450) � 2 x 3 x 5 � 30

A M P L I A C I Ó N

Para cualquier par de números naturales, a y b, se cumple que: a � b � m.c.d.(a, b) � m.c.m.(a, b)Utilízalo para hallar un número a si se sabe que m.c.d.(a, 15) � 3 y m.c.m.(a, 15) � 90

a � 15 � 3 � 90 ⇒ a � �3

1�590� � 18

Los antiguos mesopotámicos tenían un sistema de numeración de base 60. ¿Cuántas cifras utilizaban?

Utilizaban 60 cifras.

Un número se llama perfecto si cumple la siguiente propiedad:El número es igual a la suma de todos sus divisores excluido él mismo.Comprueba que 6, 28 y 8 128 son números perfectos.

Divisores de 6: 1, 2, 3 6 � 1 � 2 � 3Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14 28 � 1 � 2 � 4 � 7 � 14Divisores de 8 128: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1 016, 2 032, 4 064

8 128 � 1 � 2 � 4 � 8 � 16 � 32 � 64 � 127 � 254 � 508 � 1 016 � 2 032 � 4 064

¿Cuáles son los dos números más pequeños que cumplen todas estas condiciones a la vez?• Al dividirlo por 2, el resto es 1.• Al dividirlo por 4, el resto es 3.• Al dividirlo por 6, el resto es 5.• Al dividirlo por 7, el resto es 6.• Al dividirlo por 9, el resto es 8.• Es múltiplo de 11.

Por cumplir las cinco primeras condiciones, si se suma 1 al número, es múltiplo común de 2, 4, 6, 7, 9.Por tanto, múltiplo del m.c.m.(2, 4, 6, 7, 9) � 252.Luego deberá ser múltiplo de 252 � 1 : 251, 502, 753, 1 004… y además deberá ser múltiplo de 11.Los dos primeros números que cumplen las condiciones anteriores son: 2 761 y 5 522.

Un estadio olímpico tiene capacidad para 30 000 espectadores. En un determinado acontecimiento de-portivo hubo un número de asistentes que cumplía las siguientes características:Ser divisible por 2. Ser divisible por 7. Ser divisible por 11. Ser un cuadrado perfecto.Calcula el número de espectadores.

Al ser divisible por 2, por 7 y por 11, debe ser múltiplo común de 2, 7 y 11.Por tanto, múltiplo del m.c.m.(2, 7, 11) � 154.Como además es un cuadrado perfecto, debe ser múltiplo de 1542 � 23 716.Como el siguiente múltiplo es mayor que 30 000, el número de espectadores es igual a 23 716.

1.85

1.84

1.83

1.82

1.81

1.80

1.79

13


P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

El producto máximo y el producto mínimo

Javier tiene cinco tarjetas con los números 1, 9, 3, 7 y 5, y las coloca formando un producto de dos nú-meros como se ve en el dibujo.

a) ¿Cómo deberá colocar las tarjetas para que el pro-ducto sea el mayor posible?

b) ¿Cómo deberá colocar las tarjetas para que el pro-ducto sea el menor posible?

c) Explica el procedimiento que has utilizado para en-contrar las respuestas.

a) El máximo será: 93 � 751 � 69 843b) El mínimo será: 15 � 379 � 5 685c) Se deben escoger dos tarjetas para el número de dos cifras.

Las otras formarán el de tres cifras.

Las cifras deberán ir en orden decreciente para el máximo y creciente para el mínimo.

EngranajesObserva detenidamente el engranaje de la figura.

a) ¿Cuántas vueltas ha de dar la rueda menor paraque vuelvan a coincidir las líneas roja y verde? Enese momento, ¿cuántas vueltas ha dado la ruedamayor?

b) Si la rueda menor va a 15 revoluciones por minuto,¿a cuánto va la rueda mayor?

m.c.m.{12, 18} � 36 �3162� � 3

a) Cuando la rueda pequeña da 3 vueltas completas se han desplazado 36 dientes. Por tanto, la rueda grande habrá dado �3168� � 2

vueltas completas.b) Cuando la rueda menor ha dado 3 vueltas, la mayor ha dado 2. Cuando la rueda menor ha dado 1 vuelta, la mayor ha dado �

23

� devuelta.Cuando la rueda menor ha dado 15 vueltas, la mayor ha dado �

23

� � 15 � 10 vueltasLa rueda mayor irá a 10 revoluciones por minuto.

A U T O E V A L U A C I Ó N

Escribe, para cada caso, el número que corresponda y cómo se lee.a) 15 centenas y 7 unidades.b) 88 millares, 67 decenas y 29 unidades.c) 3 millares, 34 centenas y 42 decenas.

a) 15 centenas � 1 500 unidades; 1 500 � 7 � 1 507; mil quinientos siete.b) 88 millares � 88 000 unidades; 67 decenas � 670 unidades; 88 000 � 670 � 29 � 88 699; ochenta y ocho mil seiscientos no-

venta y nueve.c) 3 millares � 3 000 unidades; 34 centenas � 3 400 unidades; 42 decenas � 420 unidades; 3 000 � 3 400 � 420 � 6 820;

seis mil ochocientos veinte.

1.A1

1.87

1.86

14

97 � 531 � 51 507 73 � 951 � 69 423

95 � 731 � 69 445 71 � 953 � 67 663

93 � 751 � 69 843 53 � 971 � 51 463

91 � 753 � 68 523 51 � 973 � 49 623

75 � 931 � 69 825 31 � 975 � 30 225

79 � 135 � 10 665 37 � 159 � 5 883

59 � 137 � 58 083 17 � 359 � 6 103

39 � 157 � 56 123 35 � 179 � 6 265

19 � 357 � 56 783 15 � 379 � 5 685

57 � 139 � 57 923 13 � 579 � 7 527


Indica alguna propiedad de los números naturales que no se cumple cuando actúan como códigos.

No se pueden realizar operaciones aritméticas con ellos.

Copia en tu cuaderno y completa con el número que corresponda, y explica en cada caso la propiedadque aplicas.a) 44 � 13 � 13 � � c) 133 � �= 86 ⇒ 100 � 14 � �

b) 5 � (7 � 8) � 35 � � d) 12 � (� � �) � � � 5 � 12 � 17

a) 44 � 13 � 13 � 44. Propiedad conmutativa de la suma.b) 5 � (7 � 8) � 35 � 40. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma.c) 133 � 47� 86 ⇒ 100 � 14 � 86. Si al minuendo y al sustraendo se les suma o resta el mismo número, la diferencia no varía.d) 12 � (5 � 17) � 12 � 5 � 12 � 17. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

Halla los múltiplos de 4 comprendidos entre 50 y 75.

El primero es 52, y a partir de él, sumando cuatro consecutivamente, obtenemos que los números pedidos son: 52, 56, 60, 64,68 y 72.

Obtén todos los divisores de 140.

Divisores de 140: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140

Aplica los criterios de divisibilidad para indicar cuáles de los siguientes números: 4 158, 7 058, 1 800,14 727, 1 530, son divisibles por estos otros números.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9 f) 11

a) 4 158, 7 058, 1 800, 1 530 c) 1 800 e) 4 158, 1 800, 1 530b) 4 158, 1 800, 14 727, 1 530 d) 1 800, 1 530 f) 4 158

Escribe dos números compuestos que sean primos entre sí.

Por ejemplo, 4 y 9, 15 y 8…

¿De cuántas formas distintas pueden agruparse los 40 componentes de un club de montaña de ma-nera que en todos los grupos haya el mismo número de miembros?

Divisores de 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Luego podrán agruparse en un número igual a cualquiera de los divisores de 40.

Descompón en factores primos 729.

729 � 36

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos números.a) 28 y 72 b) 4, 16 y 20

a) 28 � 22 � 7 72 � 23 � 32 m.c.m.(28, 72) � 23 � 32 � 7 � 504 m.c.d.(28, 72) � 22 � 4b) 4 � 22 6 � 24 20 � 22 � 5 m.c.m.(4, 16, 20) � 24 � 5 � 80 m.c.d.(4, 16, 20) � 22 � 4

M U R A L D E M A T E M Á T I C A S

Jugando con las matemáticas

NUESTRO CÓDIGO

Un club de lectura ha asignado a sus socios un código consistente en una columna de tres números. Cadamiembro ha contestado a las preguntas del cuestionario con un 1 si la respuesta es afirmativa y con un 0 sies negativa.¿Cuál de los siguientes códigos corresponde a la persona del dibujo?

El código que corresponde a la persona del dibujo es el 1,1,1.

1.A10

1.A9

1.A8

1.A7

1.A6

1.A5

1.A4

1.A3

1.A2

15


16

2 NÚMEROS ENTEROS


Expresa con un número entero las siguientes informaciones.a) El avión está volando a 9 500 metros de altura.b) La temperatura mínima de ayer fue de 3 �C bajo cero.c) El garaje está en el segundo sótano del edificio.d) El buceador está nadando a 20 metros de profundidad.e) Sergio debe 25 euros.

a) �9 500 b) �3 c) �2 d) �20 e) �25

Expresa cada enunciado con un número entero.a) La latitud del ecuador. b) Nuestra ciudad está al nivel del mar.

a) 0 b) 0

Indica el significado de los números �2, 0 y �4 en las siguientes situaciones.a) En un ascensor. b) En una cuenta bancaria. c) En un termómetro.

a) �2; El ascensor está en el segundo sótano.0; El ascensor está en la entrada.

�4; El ascensor está en la cuarta planta.

b) �2; Debemos 2 euros al banco.0; No tenemos nada ahorrado.

�4; He ahorrado 4 euros.

c) �2; Hace 2 �C bajo cero.0; La temperatura es de 0 �C.

�4; La temperatura es de 4 �C.

Representa en una recta los siguientes números.

a) �1 b) �3 c) �7 d) �5

Calcula el valor absoluto de estos números.

a) ��9 � b) ��5 � c) ��3 � d) ��7 � e) �0 � f)��8 �

a) ��9 � � 9 b) ��5 � � 5 c) ��3 � � 3 d) ��7 � � 7 e) � 0 � � 0 f) ��8 � � 8

¿Qué números están marcados con un punto rojo en esta recta?

Halla el número que tiene por valor absoluto 7 y está situado entre �8 y �6.

Hay dos números con el valor absoluto igual a 7: �7 y �7.De los dos, el que está situado entre �8 y �6 es �7.

2.7

2.6

2.5

2.4

2.3

2.2

2.1

0–2 +5–3–5 +3+1

0–1 +7–5 +3

0


Copia en tu cuaderno y completa con el signo “<” o el signo “>” estas expresiones.a) �4 � �1 c) 0 � �3 e) �2 � 0b) �1 � �6 d) �8 � �2 f) �5 � �9

a) �4 � �1 c) 0 � �3 e) �2 � 0b) �1 � �6 d) �8 � �2 f) �5 � �9

Ordena de menor a mayor estos números enteros positivos.�12 �5 �8 �11

�5 � �8 � �11 � �12

Ordena de mayor a menor los siguientes números enteros negativos.�5 �1 �2 �25

�1 � �3 � �5 � �25

Ordena de menor a mayor estos números: �4, �7, �6, �3, �5.Represéntalos después en una recta, y comprueba así que los has ordenado correctamente.

�6 � �4 � �3 � �5 � �7

El resultado es el mismo, puesto que en la recta los números más pequeños están más a la izquierda y van siendo mayores alavanzar hacia la derecha.

Efectúa estas operaciones.a) (�9) � (�3) c) (�8) � (�2)b) (�10) � (�15) d) (�1) � (�4)

a) (�9) � (�3) � �12 c) (�8) � (�2) � �10b) (�10) � (�15) � �5 d) (�1) � (�4) � �3

Realiza las siguientes sumas.a) (�10) � (�5) � (�3) b) (�9) � (�3) � (�12)

a) (�10) � (�5) � (�3) � �15 � (�3) � �12 b) (�9) � (�3) � (�12) � (�9) � (�15) � �6

Completa los números que faltan.a) (�6) � � � �9 c) (�2) � � � �3b) � � (�4) � �1 d) (�3) � � � �4

a) (�6) � (�3) � �9 c) (�2) � (�1) � �3b) (�5) � (�4) � �1 d) (�3) � (�7) � �4

Halla el resultado de estas sumas.a) (�13) � (�8) � (�7) � (�1) b) (�6) � (�4) � (�3) � (�8)

a) (�13) � (�8) � (�7) � (�1) � [(�8)�(�7)] � [(�13) � (�1)] � (�15) � (�14) � �1b) (�6) � (�4) � (�3) � (�8) � [(�6) � (�8)] � [(�4) � (�3)] � (�14) � (�7) � �7

Halla el opuesto de cada uno de los siguientes números.a) �4 b) �8 c) �15 d) �301

a) op (�4) � �4 b) op (�8) � �8 c) op (�15) � �15 d) op (�301) � �301

Escribe el valor absoluto del opuesto de estos números.a) �4 b) �11 c) �200 d) �1 001

a) 4 b) 11 c) 200 d) 1 001

Obtén el opuesto del opuesto de �5.

op [op (�5)] � op (�5) � �5.También se podría haber resuelto diciendo que el opuesto del opuesto es el mismo número.

2.18

2.17

2.16

2.15

2.14

2.13

2.12

2.11

2.10

2.9

2.8

17

0 +7–4 +5–6 –3


Comprueba si se cumplen estas igualdades.a) op [(�4) � (�3)] = op (�4) � op (�3)b) op [(�5) � (�8)] = op (�5) � op (�8)c) op [(�7) � (�8)] = op (�7) � op (�8)

a) op [(�4) � (�3)] � op (�7) � �7 op (�4) � op (�3)� �4 � (�3) � �7b) op [(�5) � (�8)] � op (�13) � �13 op (�5) � op (�8) � �5 � 8 � �13c) op [(�7) � (�8)] � op (�1) � �1 op (�7) � op (�8) � �7 � (�8) � �1

Halla el resultado de estas operaciones.a) (�2) � (�8) d) (�10) � (�4)b) (�6) � (�7) e) (�3) � (�9)c) (�19) � (�20) f) (�16) � (�2)

a) (�2) � (�8) � (�2) � (�8) � �10 d) (�10) � (�4) � (�10) � (�4) � �6b) (�6) � (�7) � (�6) � (�7) � �1 e) (�3) � (�9) � (�3) � (�9) � �12c) (�19) � (�20)� (�19) � (�20) � �1 f) (�16) � (�2) � (�16) � (�2) � �18

En una resta de dos números enteros, uno de ellos es 15, y la diferencia es �2. ¿Cuál es el otro?

Para que al restar a �15 un número entero dé un resultado negativo, ese número ha de ser positivo. Y para que la diferenciaen valor absoluto sea 2, su valor absoluto debe ser dos unidades mayor que el valor absoluto de �15.Por tanto, el número es �17.Comprobación: �15 � (�17) � �2

Averigua los números que faltan en estas igualdades.a) (�5) � (�6) � (�5) � � � �

b) (�3) � (�8) � (�3) � � � �

c) (�12) � � � (�12) � (�6) � �

a) (�5) � (�6) � �5 � (�6) � �1b) (�3) � (�8) � �3 � (�8) � �11c) (�12) � (�6) � �12 � (�6) � �6

Expresa la resta (�34) � (�47) como suma de dos números. ¿Cuál es su valor?

(�34) � (�47) � �13

Calcula el resultado de estas multiplicaciones.a) �8) � (�3) c) (�5) � (�4)b) (�9) � (�2) d) (�6) � (�7)

a) (�8) � (�3) � �(8 � 3) � �24 c) (�5) � (�4) � �(5 � 4) � �20b) (�9) � (�2) � �(9 � 2) � �18 d) (�6) � (�7) � �(6 � 7) � �42

Averigua los números que faltan.a) (�4) � � � �24 c) � � (�2) � �6b) � � (�5) � �30 d) (�10) � � � 90

a) (�4) � (�6) � �24 c) (�3) � (�2) � �6b) (�6) � (�5) � �30 d) (�10) � (�9) � 90

Obtén el resultado de las siguientes divisiones.a) (�27) � (�3) c) (�48) � (�8)b) (�10) � (�5) d) (�63) � (�9)

a) (�27) � (�3) � �(27 � 3) � �9 c) (�48) � (�8) � �(48 � 8) � �6b) (�10) � (�5) � �(10 � 5) � �2 d) (�63) � (�9) � �(63 � 9) � �7

En una división exacta, el dividendo es �12, y el cociente, �4. ¿Cuál es el divisor?

El divisor es un número tal que al dividir �12 entre él debe dar �4. Por tanto, debe ser un número negativo.El divisor es �3.Comprobación: (�12) � (�3) � �4

2.27

2.26

2.25

2.24

2.23

2.22

2.21

2.20

2.19

18


Averigua los números que faltan en estas igualdades.a) (�49) � (�7) � � c) (�35) � � � �5b) (�30) � � � �5 d) � � (�8) � �4

a) (�49) � (�7) � �7 c) (�35) � (�7) � �5b) (�30) � (�6) � �5 d) (�32) � (�8) � �4

Averigua los números que faltan en estas igualdades.a) (�42) � (�6) � � c) (�13) � � � �1 e) � � (�2) � �4b) (�30) � � � �3 d) (�50) � � � �5 f) � � (�6) � �1

a) (�42) � (�6) � �7 c) (�13) � (�13) � �1 e) (�8) � (�2) � �4b) (�30) � (�10) � �3 d) (�50) � (�10) � �5 f) (�6) � (�6) � �1

Escribe cada uno de estos números como cociente de otros dos.a) �5 c) �2 e) �100b) �8 d) �9 f) �11

a) �5 � (�25) � (�5) c) �2 � (�8) � (�4) e) �100 � (�700) � (�7)b) �8 � (�16) � (�2) d) �9 � (�18) � (�) f) �11 � (�121) � (�11)

Halla el resultado de dos formas distintas.a) (�3) � [(�7) � (�10)] b) (�5) � [(�12) � (�4)]

a) Aplicando la propiedad distributiva: (�3) � [(�7) � (�10)] � (�3) � (�7) � (�3) � (�10) � (�21) � (�30) � �51Primero la suma y luego la multiplicación: (�3) � [(�7) � (�10)] � (�3) � (�17) � �51

b) Aplicando la propiedad distributiva: (�5) � [(�12) � (�4)] � (�5) � (�12) � (� 5) � (�4) � (�60) � (�20) � �40Primero la suma y luego la multiplicación: (�5) � [(�12) � (�4)] � (�5) � (�8) � �40

Obtén el resultado utilizando la propiedad distributiva.a) (�9) � [8 � (�9)] c) 4 � [(�5) � 9 � (�6)]b) 2 � [(�10) � (�3)] d) [(�9) � 7 � (�2)] � (�8)

a) (�9) � [(�8) � (�9)] � (�9) � (�8) � (�9) � (�9) � (�72) � (�81) � �153b) 2 �[(�10) � (�3)] � (�2) � (�10) � (�2) � (�3) � (�20) � (�6) � �14c) 4 � [(�5) � 9 � (�6)] � 4 � (�5) � 4 � (�9)� 4 � (�6) � (�20) � (�36) � (�24) � �8d) [(�9) � 7 � (�2)] � (�8) � (�9) � (�8) � (�7) � (�8) � (�2) � (�8) � (�72) � (�56) � (�16) � �32

Copia en tu cuaderno y completa.a) (�5) � [9 � (�4)] � (�5) � � � �25 c) 9 � 8 � 9 � (5 � �) � � � (�27) � �

b) � � [5 � (�7)] � �10 � � � � d) 3 � [(�6) � �] � 3 � � � 3 � (�9) � �

a) (�5) � [9 � (�4)] � (�5) � (�5) � �25 c) 9 � 8 � 9 � [5 � (�3)] � (�45) � (�27) � �72b) (�2) � [5 � (�7)] � �10 � (�14) � �4 d) 3 � [(�6) � (�9)] � 3 � (�6) � 3 � (�9) � �45

Escribe �28 como producto de �4 por una suma de dos sumandos.

Respuesta abierta. Por ejemplo: (�4) � [9 � (�2)] � (�36) � (�8) � �28

Escribe 64 como producto de �8 por una suma de tres sumandos.

Respuesta abierta.Por ejemplo: (�8) � [(�4) � (�2) � (�6)] � (�8) � (�4) � (�8) � (�2) � (�8) � (�6) � 32 � (�16) � 48 � 64

2.35

2.34

2.33

2.32

2.31

2.30

2.29

2.28

19


Saca factor común en cada una de estas operaciones y obtén el resultado.

a) (�5) � 7 � (�5) � (�12) d) (�9) � (�12) � (�9) � 13b) (�2) � 7 � (�2) � (�3) e) 7 � 2 � 7 � �21)c) 5 � 9 � 5 � (�11) f) (�2) � 7 � (�2) � (�3)

a) (�5) � 7 � (�5) � (�12) � (�5) � [7 � (�12)] � (�5) � (�5) � 25

b) (�2) � 7 � (�2) � (�3) � (�2) � [7 � (�3)] � (�2) � 4 � �8

c) 5 � 9 � 5 � (�11) � 5 � [9 � (�11)] � 5 � (�2) � �10

d) (�9) � (�12) � (�9) � 13 � (�9) � [(�12) � 13)] � (�9) � (�1) � �9

e) 7 � 2 � 7 � (�21) � 7 � [2 � (�21)] � 7 � (�19) � �133

f) (�2) � 7 � (�2) � (�3) � (�2) � [7 � (�3)] � (�2) � 4 � �8

Copia en tu cuaderno y completa las siguientes expresiones. Calcula el resultado.

a) (�5) � 8 � (�5) � (�7) � (�5) � (� � �)b) (�45) � 5 � (�11) � 5 � � � 11)c) 24 � 2 � (�7) � � � [12 � (�7)]

a) (�5) � 8 � (�5) � (�7) � (�5) � [8 � (�7)] � �5

b) (�45) � 5 � (�11) � 5 � [(�9) �11)] � 10

c) 24 � 2 � (�7) � 2 � [12 � (�7)] � 10

Saca factor común y resuelve estas sumas.

a) 5 � (�3) � (�6) � 4 � (�3) � (�7)b) (�5) � 2 � (�3) � 4 � 2 � 13

a) 5 � (�3) � (�6) � 4 �(�3) � (�7) � 5 � (�3) � (�3) � 2 � 4 � (�3) � (�7) � (�3) � [5 � 2 � 4 � (�7)] �� (�3) � 6 � �18

b) (�5) � 2 � (�3) � 4 � 2 � 13 � (�5) � 2 � (�3) � 2 � 2 � 2 � 13 � 2 � [(�5) � (�3) � 2 � 13] � 2 � 2 � 4

Realiza los siguientes cálculos.

a) 32 � (�12) � 6 d) 27 � (�3) � 2 � (�4)b) (�8) � 9 � 15 � (�3) e) (�18) � 6 � 5 � (�10)c) (�4) � 10 � 2 � 14 � (�7)

a) 32 � (�12) � 6 � 32 � (�2) � 30

b) (�8) � 9 � 15 � (�3) � �72 � (�45) � �72 � (�45) � �27

c) (�4) � 10 � 2 � 14 � (�7) � �40 � 2 � (�2) � �20 � (�2) � �22

d) 27 � (�3) � 2 � (�4) � (�9) � 2 � (�4) � �18 � 4 � �14

e) (�18) � 6 � 5 � (�10) � (�3) � (�50) � �53

Obtén el resultado de estas operaciones.

a) 18 � 9 � 5 � [(�15) � 3 � 12 � 4] d) [((�12) � (�3)) � 8] � 24 � [((�2) � (�6)) � 2]b) (�6) � [4� (�2)] � [�8 � (�3) � 2] e) [(3 � 4) � (�2)] � 4 � 9 � (�3) � 6c) (�35) � (5 � 2) � (�4) � 9 � (7 � 2 � 5)

a) 18 � 9 � 5 � [(�15) � 3 � 12 � 4] � 18 � 9 � 5 � [�45 � 48] � 18 � 9 � 5 � 3 � 2 � 5 � 3 � 4

b) (�6) � [4 � (�2)] � [�8 � (�3) � 2] � (�6) � (4 � 2) � [�8 � (�6)] � �6 � 6 � (�14) � �36 � (�14) � �50

c) (�35) � (5 � 2) � (�4) � 9 � (7 � 2 � 5) � (�35) � 7 � (�4) � 9 � [7 � 10] � (�35) � 7 � (�4) � 9 � (�3) �� 5 � (�36) � 3 � �41 � 3 � �38

d) [((�12) � (�3)) � 8] � 24 � [((�2) � (�6)) � 2] � [(�9) � 8] � 24 � [(�8) � 2] � �72 � 24 � (�4) �� 72 � (�6) � �78

e) [(3 � 4) � (�2)] � 4 � 9 � (�3) � 6 � [(�1) � (�2)] � 4 � (�3) � 6 � (�3) � 4 � (�18) � (�12) � (�18) � �30

2.40

2.39

2.38

2.37

2.36

20



Un autobús comienza su viaje con 43 pasajeros; en la primera parada se bajan 3 personas y suben 7;en la segunda parada se bajan 11; y en la tercera parada se suben 4 y baja solo 1 persona.

a) ¿Cuántos pasajeros quedan en el autobús?b) ¿Cuántas personas se bajaron en total?

a) Después de la primera parada hay en el autobús 43 � 3 � 7 � 47 pasajeros.Después de la segunda, 47 � 11 � 36 pasajeros.Después de la tercera, 36 � 4 � 1 � 39 pasajeros.En el autobús quedan 39 pasajeros.

b) En la primera parada se bajaron 3 personas.En la segunda, 11.En la tercera solo se bajó 1 persona.En total se bajaron del autobús: 3 � 11 � 1 � 15 personas.

Alicia está jugando a un pasatiempo que consiste en responder preguntas. Por cada respuesta correctaobtiene 6 puntos, pero por cada una que responde mal pierde 4 puntos.

Si el pasatiempo consta de 20 preguntas, y Alicia ha contestado bien a 14 preguntas, ¿cuántos puntosha obtenido?

Por las preguntas bien contestadas obtiene 14 6 � 84 puntos.Por las preguntas mal contestadas (20 � 14 � 6 preguntas) le quitan 6 4 � 24 puntos.En total obtiene 84 � 24 � 60 puntos.


Indica los números que faltan en la tabla.

Enumera todos los enteros comprendidos entre estos pares.

a) �5 y 0 b) �2 y �2

a) �4, �3, �2, �1 b) �1, 0, �1

Anota todos los números enteros cuyo valor absoluto sea menor que cada uno de los siguientes.

a) 2 b) 5 c) 7 d) 12

a) �1, 0, �1b) �4, �3, �2, �1, 0, �1, �2, �3, �4c) �6, �5, �4, �3, �2, �1, 0, �1, �2, �3, �4, �5, �6d) �11, �10, �9, �8, �7, �6, �5, �4, �3, �2, �1, 0, �1, �2, �3, �4, �5, �6, �7, �8, �9, �10, �11

2.45

2.44

2.43

2.42

2.41

21

Anterior Número Siguiente

13 14 15

�6 �5

�13

�10

�8

Anterior Número Siguiente

13 14 15

�6 �5 �4

�13 �12 �11

�11 �10 �9

�10 �9 �8


Halla el número que falta.a) (�6) � op (�) � 0 b) op (�) � 15 � 0

a) �6 � op (6) � 0 b) op (�15) � 15 � 0

Obtén el resultado.a) 17 � (�15) c) (�1) � (�3)b) 25 � (�4) � (�6) d) �(�12) � (�8)

a) 17 � (�15) � 32 c) �1 � (�3) � �4b) 25 � (�4) � (�6) � �15 d) �(�12) � (�8) � �20

Halla los números que faltan.a) (�3) � 8 � � c) (�5) � (�9) � �

b) (�16) � � � �48 d) 7 � � � �42

a) (�3) � 8 � �24 c) (�5) � (�9) � �45b) (�16) � (�3) � �48 d) 7 � (�6) � �42

Calcula.a) El triple del opuesto de �8.b) La mitad del opuesto de 44.c) El opuesto de 5 � (�8).

a) op (�8) � �8 ⇒ El triple del opuesto de �8 es �24.b) op (44) � �44 ⇒ La mitad del opuesto de 44 es �22.c) op [5 � (�8)] � 40 ⇒ El opuesto de �40 es 40.


Números enteros. Valor absoluto

Expresa con números enteros.a) La temperatura mínima es de 5 �C bajo cero.b) El monte Aconcagua es de 7 010 metros.c) Euclides nació en el año 300 antes de Cristo.d) La profundidad de la fosa de Tonga, en el océano Índico, es de 10 882 metros.

a) �5 b) �7 010 c) �300 d) �10 882

¿Qué números representan las letras en esta recta?

A � �4 B � 8 C � �1 D � �6 E � �3 F � 0

El valor absoluto de un número es igual a 8 y se representa en una recta a la izquierda del cero. ¿Cuáles el número?

Hay dos números enteros cuyo valor absoluto es 8: �8 y �8.De ellos, el que se representa a la izquierda del cero es el negativo. Por tanto, el número es �8.

Halla el resultado de estas operaciones en valor absoluto.a) (�2) � [(�7) � 9] c) 6 � 3 � (�7)b) 12 � (�3) � 8 d) [(�9) �3] � 4

a) (�2) � [(�7) � 9] � (�2) � 2 � �4 ⇒ ��4 � � 4 c) 6 � 3 � (�7) � 6 � 21 � 27 ⇒ ��27 � � 27b) 12 � (�3) � 8 � (�4) � 8 � � 4 ⇒ ��4 � � 4 d) [(�9) �3] � 4 � (�12) � 4 � �3 ⇒ ��3 � � 3

2.53

2.52

2.51

2.50

2.49

2.48

2.47

2.46

22

+2B D A CFE


Ordenación

¿Qué número entero cumple estas dos condiciones?• Es mayor que �2 y menor que 1.• No coincide con su opuesto.

Si es mayor que �2 y menor que 1, puede ser �1 ó 0.Como 0 coincide con su opuesto, el número que cumple las dos condiciones es -1.

Escribe todos los números enteros que faltan.

a) �4 < ... < �4 c) �1 < ... < �5b) �10 < ... < 0 d) 0 < ... < �7

a) �4 � �3 � �2 � �1 � 0 � �1 � �2 � �3 � �4b) �10 � �9 � �8 � �7 � �6 � �5 � �4 � �3 � �2 � �1 � 0c) �1 � 0 � �1 � �2 � �3 � �4 � �5d) 0 � �1 � �2 � �3 � �4 � �5 � �6 � �7

Ordena estos números de mayor a menor.

a) �3, �5, �2, 0, �4 c) �1, �2, �1, �6, �4, �7b) �6, 0, �3, �1, �5, �3 d) �2, �6, 0, �3, �5, �9

a) �5 � 0 � �2 � �3 � �4 c) �4 � �2 � �1 � �1 � �6 � �7b) �6 � �5 � �3 � 0 � �1 � �3 d) �9 � �3 � 0 � �2 � �5 � �6

Escribe los números que faltan.

a) 7 � (�1) � op (�) b) 3 � op [op (�)] � 0

a) 7 � (�1) � op (�6) b) 3 � op [op (�3)] � 0

Operaciones con números enteros

Realiza las siguientes sumas.

a) 10 � (�4) � (�2) c) (�3) � 15 � (�2) � 25b) (�5) � (�3) � 10 d) (�6) � 8 � (�25) � (�3)

a) 10 � (�4) � (�2) � 10 � (�6) � 4b) (�5) � (�3) � 10 � �8 � 10 � 2c) (�3) � 15 � (�2) � 25 � (�3) � (�2) � 15 � 25 � �5 � 40 � 35d) (�6) � 8 � (�25) � (�3) � 8 � (�6) � (�25) � (�3) � 8 � (�34) � �26

Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala.

Sin efectuar las multiplicaciones, averigua si el resultado de estos productos es un número positivo onegativo.a) (�12) � 18 � (�144) c) (�75) � 25 � (�12)b) (�42) � 23 � 18 d) 43 � (�6) � 15

a) (�) � (�) � (�) � (�) � (�) � � c) (�) � (�) � (�) � (�) � (�) � �

b) (�) � (�) � (�) � (�) � (�) � � d) (�) � (�) � (�) � (�) � (�) � �

2.60

2.59

2.58

2.57

2.56

2.55

2.54

23

Resta En forma de suma Resultado

12 � (�8) 12 � 8 20

(�15) � (�4) � � 4 �

� � 9 12 � (��) �

8 � � � � 7 15

Resta En forma de suma Resultado

12 � (�8) 12 � 8 20

(�15) � (�4) �15 � 4 �11

12 � 9 12 � (�9) 3

8 � (�7) 8 � 7 15


Calcula el resultado de estas operaciones.a) (�8) � 4 c) (�11) � (�9)b) 12 � (�5) d) (�7) � (�3)

a) (�8) � 4 � �32 c) (�11) � (�9) � 99b) 12 � (�5) � �60 d) (�7) � (�3) � 21

Realiza las siguientes divisiones.a) (�12) � (�4) b) (�28) � 7 c) 45 � (�3) d) (�6) � 6

a) �12 � (�4) � 3 c) 45 � (�3) � �15b) (�28) � 7 � �4 d) (�6) � 6 � �1

Escribe cada uno de los siguientes números como diferencia de dos números enteros, de dos formas distintas.a) 21 b) �12 c) 14 d) �34

Respuesta abierta. Por ejemplo:a) 21 � (�22) � (�1) � �24 � (�3) c) 14 � �20 � (�6) � 18 � (�4)b) �12 � �11 � (�1) � �10 � (�2) d) �34 � �37 � (�3) � �30 � (�4)

Expresa cada uno de estos números como producto de un número entero negativo por otro entero, dedos formas distintas.a) �14 b) 20 c) �48 d) �24

En algún caso hay más de una solución:a) �14 � (�2) � (�7) � (�2) � (�7) c) �48 � (�24) � (�2) � (�4) � (�12)b) 20 � (�2) � (�10) � (�4) � (�5) d) �24 � (�3) � (�8) � (�6) � (�4)

Averigua los números que faltan.a) (�9) � � � �2 b) � � (�10) � 60 c) 39 � � � �13 d) 4 � � � 5

a) (�9) � 7 � �2 c) 39 � (�3) � �13b) (�6) � (�10) � 60 d) 4 � (�1) � 5

¿Cuál es el número que al sumarle 15 da como resultado �12?

El número es el que se obtiene restando a �12 el sumando conocido, 15: �12 � 15 � �27.Comprobación: 15 � (�27) � �12

Propiedad distributiva y sacar factor común

Calcula de dos formas distintas.a) (�8) � [6 � (�9)] b) 12 � [(�4) � 2]

a) Forma 1: Primero la suma y luego la multiplicación.(�8) � [6 � (�9)] � (�8) � (�3) � 24

Forma 2: Propiedad distributiva.(�8) �[6 � (�9)] � (�8) � 6 � (�8) � (�9) � �48 � 72 � 24

b) Forma 1: Primero la suma y luego la multiplicación.12 � [(�4) � 2] � 12 � (�2) � �24

Forma 2: Propiedad distributiva.12 � [(�4) � 2] � 12 � (�4) � 12 � 2 � �48 � 24 � �24

Aplica la propiedad distributiva y calcula.a) 12 � [(�13) � 9]b) (�3) � [(�8) � 15 � (�3)]c) 7 � [6 � (�4) � (�2)]

a) 12 � (�13 � 9) � 12 � (�13) � 12 � 9 � �156 � 108 � �48b) (�3) � [(�8) � 15 � (�3)] � (�3) � (�8) � (�3) � 15 � (�3) � (�3) � 24 � (�45) � 9 � 33 � (�45) � �12c) 7 � [6 � (�4) � (�2)] � 7 � 6 � 7 � (�4) � 7 � (�2) � 42 � (�28) � (�14) � 42 � (�42) � 0

2.68

2.67

2.66

2.65

2.64

2.63

2.62

2.61

24


Calcula, sacando primero factor común.a) 4 � (�8) � 4 � 3 � 4 � (�2) c) 3 � 7 � 3 � (�9) � 6b) (�2) � 5 � (�2) � (�11) � 2 � (�7) d) 5 � (�4) � (�5) � 1 � 5 � 8

a) 4 � (�8) � 4 � 3 � 4 � (�2) � 4 � [(�8) � 3 � (�2)] � 4 � [(�10) � 3] � 4 � (�7) � �28b) (�2) � 5 � (�2) � (�11) � 2 � (�7) � (�2) � 5 � (�2) � (�11) � (�2) � 7 � (�2) � [5 � (�11) � 7] �

� (�2) � (1) � �2c) 3 � 7 � 3 � (�9) � 6 � 3 � 7 � 3 � (�9) � 3 � 2 � 3 � [7 � (�9) �2] � 3 � [9 � (�9)] � 3 � 0 � 0d) 5 � (�4) � (�5) � 1 � 5 � 8 � 5 � (�4) � 5 � (�1) � 5 � 8 � 5 � [(�4) � (�1) � 8] � 5 � [�5 � 8] � 5 � 3 � 15

Expresa estas operaciones como producto de dos números enteros, sacando factor común.a) 2 � 8 c) (�15) � 18b) 6 � (�27) d) (�10) � 25

a) 2 � 8 � 2 � 1 � 2 � 4 � 2 � (1 � 4) � 2 � 5b) 6 � (�27) � 3 � 2 � 3 � (�9) � 3 � [2 � (�9)] � 3 � (�7)c) (�15) � 18 � 3 � (�5) � 3 � 6 � 3 � [(�5) � 6] � 3 � 1d) (�10) �25 � 5 � (�2) � 5 � (�5) � 5 � [(�2) � (�5)] � 5 � (�7)

Operaciones combinadas

Realiza las siguientes operaciones.a) 9 � (�3) � 8 � (�5) � 36 d) (�4) � 32 � (�8) � 2 � (�6)b) (�12) � 4 � (�32) � 8 � (�5) e) 15 � (�40) � 10 � 15 � (�5) � 2c) 65 � (�5) � 2 � 28 � (�7)

a) 9 � (�3) � 8 � (�5) � 36 � �3 � (�40) � 36 � �43 � 36 � �7b) (�12) � 4 � (�32) � 8 � (�5) � (�48) � (�4) � (�5) � (�48) � 4 � 5 � (�48) � 9 � �39c) 65 � (�5) � 2 � 28 � (�7) � (�13) � 2 � (�4) � (�26) � (�4) � �30d) (�4) � 32 � (�8) � 2 � (�6) � �4 � 4 � (�12) � �12e) 15 � (�40) � 10 � 15 � (�5) � 2 � 15 � (�4) � (�3) � 2 � 15 � 4 � (�6) � 19 � (�6) � 13

Calcula el resultado de estas operaciones.a) [(�14) � 18] � (�2) � 7 d) (�18) � 3 � (5 � 2 � 6)b) 3 � (18 - 4) � (�5) � (�6) e) (�24) � (�2) + 7 � [(-1) � 3 � (�4)]c) (�5) � (7 + 6) � 48 � (�8)

a) [(�14) � 18] � (�2) � 7 � 4 � (�2) � 7 � �2 � 7 � 5b) 3 � (18 � 4) � (�5) � (�6) � 3 � 14 � (�5) � (�6) � 3 � 14 � 30 � 33 � 14 � 19c) (�5) � (7 � 6) � 48 � (�8) � (�5) � 13 � 48 � (�8) � (�65) � (�6) � (�65) � 6 � �59d) (�18) � 3 � (5 � 2 � 6) � (�18) � 3 � (10 � 6) � (�18) � 3 � 4 � �18 � 12 � �30e) (�24) � (�2) � 7 � [�1 � 3 � (�4)] � (�24) � (�2) � 7 � [�1 � (�12)] � (�24) � (�2) � 7 � (�13) �

12 � (�91) � �79

Los dos miembros de estas igualdades se diferencian en unos paréntesis. Indica cuáles son correctas ycuáles no.a) 21 � (12 � 8) � 21 � 12 �8b) [(�13) � 9] � 5 � (�13) � 9 �5c) �(8 � 6) � 10 � (�8) �6 � 10

a) No es correcta. 21 � (12 � 8) � 21 � 4 � 17 y 21 � 12 � 8 � 21 � 20 � 1b) Es correcta. [(�13) � 9] � 5 � �4 � 5 � �9 y �13 � 9 � 5 � �18 � 9 � �9c) No es correcta. �(8 � 6) � 10 � �2 � 10 � 8 y �8 � 6 � 10 � �14 � 10 � �4


Ayer a las 20.00, el termómetro marcaba 2 �C. A las 00.00 la temperatura descendió 5 grados. ¿Qué tem-peratura marcaba el termómetro a las 00.00?

�2 � (�5) � �3El termómetro marcaba �3 �C.

2.74

2.73

2.72

2.71

2.70

2.69

25


Un avión vuela a 3 500 metros y un submarino está sumergido a 40 metros. ¿Qué altura en metros lossepara?

3 500 � (�40) � 3 500 � 40 � 3 540 m de altura los separan.

Elisa gana 18 euros cada noche que se queda cuidando a los niños de una familia. ¿Cuántos euros ganasi se queda 4 noches?

Cada noche gana 18 € ⇒ �18Se queda 4 noches ⇒ �4En total gana: (�18) � (�4) � �72 €

Elisa ha estado ocupada preparando sus exámenes y no ha podido ir a cuidar a los niños. Dice que haperdido 54 euros. ¿Cuántas noches ha dejado de ir?

Pierde 54 euros ⇒ �54 €Cada noche pierde 18 euros ⇒ �18 €En total ha dejado de ir: (�54) � (�18) � �3 noches.

Roma fue fundada en el año 753 a. C. y el final del Imperio romano en Occidente tuvo lugar en el año476 d. C. ¿Cuántos años transcurrieron desde la fundación de Roma hasta el final del Imperio?

753 antes de Cristo: �753 476 después de Cristo: �476Han transcurrido: 476 � (�753) � 476 � 753 � 1 229 años.

Hace dos años una empresa obtuvo unos beneficios por valor de 200 000 euros. El año pasado tuvo pér-didas de 52 000 euros. ¿Cuál ha sido el resultado global de la empresa en los dos últimos años?

Beneficios: �200 000 € Pérdidas: �52 000 €Balance � Beneficios � Pérdidas � 200 000 � (�52 000) � 148 000 €En los dos últimos años, la empresa ha obtenido un beneficio de 148 000 euros.

Un grupo de amigos, con un monitor, hicieron el fin desemana descenso de cañones por el siguiente itinerario.a) Expresa el recorrido con números enteros.b) Calcula cuántos metros descendieron en total.

a) R-1: �5 R-2: �6 R-3: �6 R-4: �7 R-5: �3

b) �5 � (�6) � (�6) � (�7) � (�3) � �27 metros.

El descenso fue de 27 metros.

La latitud de Madrid es de unos 40� N y la de Buenos Aires, de unos 58� S. ¿Cuál es, en valor absoluto, ladiferencia entre las latitudes de las dos ciudades?

Expresando las latitudes con los enteros correspondientes resulta:Latitud de Madrid: �40 Latitud de Buenos Aires: �58El valor absoluto de la diferencia es: ��40 � (�58) � � � 40 � 58 � � � 98 � � 98.

Daniel ha ido al hospital a visitar a un amigo. Ha subido al ascensor y ha pulsado la planta en la queestá su amigo, pero antes de llegar ha hecho el siguiente recorrido: 1.º Sube 5 pisos. 2.º Baja 7 pisos.3.º Sube 10 pisos. 4.º Sube 4 pisos. 5.º Baja 3 pisos.¿En qué planta se encuentra su amigo?

Sustituyendo las paradas por los enteros correspondientes, resulta: �5, �7, �10, �4, �3.La suma de todos ellos es la planta en la que se encuentra su amigo: 5 � (�7) � 10 � 4 � (�3) � 19 � (�10) � 9Su amigo está en la novena planta.

2.82

2.81

2.80

2.79

2.78

2.77

2.76

2.75

26


La temperatura en una mañana de invierno era de �3 �C. Al mediodía, la temperatura en grados eraigual al opuesto del doble de la temperatura de la mañana.

a) Cuál era la temperatura al mediodía?b) Calcula la diferencia entre la temperatura del mediodía y la de la mañana.

a) El doble de la temperatura de la mañana es: 2 � (�3) � �6�.El opuesto del número anterior es �6�.Entonces, la temperatura al mediodía era de 6 �C.

b) La diferencia entre la temperatura del mediodía y la de la mañana es: 6 � (�3) � 6 � 3 � 9 �C.

Iván y Paola gastan en el supermercado 57 euros. Compran tres cajas de leche y, además, un lote deproductos de la pescadería por valor de 15 euros. ¿Cuánto ha costado cada caja de leche?

Las cajas de leche les han costado 57 � 15 � 42 euros.Como han comprado 3 cajas, cada una de ellas ha costado: 42 � 3 � 14 euros.

El grifo de una fuente estaba estropeado y se perdían 3 litros de agua cada hora. Lo arreglaron cuan-do se habían perdido 72 litros. ¿Cuántas horas estuvo estropeado?

Había perdido 72 litros ⇒ �72Perdía 3 litros a la hora ⇒ �3Estuvo estropeado: (�72) � (�3) � �24 horas.

El producto de un número entero negativo por otro número es igual a �48. El valor absoluto del pri-mer número es mayor que 6. ¿Cuáles son los números?

Si el producto de los números es negativo y uno de ellos es negativo, el otro ha de ser positivo.Por tanto, hay que buscar dos parejas de números (uno positivo y otro negativo) cuyo producto sea �48.El valor absoluto del número negativo ha de ser mayor que 6 y dividir a 48: 8, 12, 16, 24 y 48. Entonces, el número negativopuede ser: �8, �12, �16, �24, �48.Los números que multiplicados por cada uno de los anteriores dan como resultado �48 son: �6, �4, �3, �2, �1.Entonces, los números pueden ser: �8 y 6, �12 y 4, �16 y 3, �24 y 2, �48 y 1.

Escribe tres números enteros distintos, tales que el primero multiplicado por la suma de los otros dossea igual al opuesto del primero.

Para que al multiplicar un número por otro dé el opuesto del primero, el segundo número tiene que ser (�1), es decir, la sumade los otros dos debe ser (�1).Pueden ser: �5, �2 y (�3) ⇒ 5 � [2 � (�3)] � 5 � (�1) � �5

�9, �7 y 6 ⇒ �9 � [(�7) � 6] � �9 � (�1) � 9

R E F U E R Z O

Operaciones con números enteros

Expresa estos datos con números enteros.

a) El submarino está a 110 metros.b) María va a escalar 800 metros.c) El suelo del pozo de una mina está a 518 metros de profundidad.

a) �110 b) �800 c) �518

Representa en la recta todos los números enteros cuyo valor absoluto sea mayor que 2 y menor que 7.

Ordena estos números de menor a mayor.

a) �7, �5, �3, �4, 0 b) �8, �6, �2, �4, �9

a) �5 � �3 � 0 � �4 � �7 b) �9 � �4 � �2 � �6 � �8

2.90

2.89

2.88

2.87

2.86

2.85

2.84

2.83

27

0 +6–4 +5–6 –3–5 +4+3


Escribe el número que falta.

a) (�4) � op (�) � 0 b) � � op [op (�2)]

a) �4 � op (�4) � 0 b) �2 � op [op (�2)]

Realiza las siguientes operaciones.

a) (�7) � 15 � 3 d) (�13) � (�2)b) (�8) � (�10) e) (�32) � (�16)c) (�4) � (�2) � 6 f) 55 � (�11)

a) (�7) � 15 � 3 � (�7) � 18 � 11 d) (�13) � (�2) � �26b) (�8) � (�10) � (�8) � 10 � 2 e) (�32) � (�16) � 2c) (�4) � (�2) � 6 � �6 � 6 � 0 f) 55 � (�11) � �5

Propiedad distributiva y sacar factor común

Aplica la propiedad distributiva y calcula.

a) (�6) � [(�8) � 3] b) 9 � [(�6) � 8] c) 5 � [7 � (�2)] d) (�3) � [4 � (�1)]

a) (�6) � [(�8) � 3] � (�6) � (�8) � (�6) � 3 � 48 � (�18) � 30b) 9 � [(�6) � 8] � 9 � (�6) � 9 � 8 � �54 � 72 � 18c) 5 � [7 � (�2)] � 5 � 7 � 5 � (�2) � 35 � (�10) � 25d) (�3) � [4 � (�1)] � (�3) � 4 � (�3) � (�1) � �12 � 3 � �9

Saca factor común y halla el resultado.

a) 6 � (�3) � 6 � 8b) (�3) � (�5) � (�3) � 7c) (�4) � 2 � 4 � (�1)

a) 6 � (�3) � 6 � 8 � 6 � [(�3) � 8] � 6 � 5 � 30b) (�3) � (�5) � (�3) � 7 � (�3) � [(�5) � 7] � (�3) � 2 � �6c) (�4) � 2 � 4 � (�1) � 4 � (�2) � 4 � (�1) � 4 � [(�2) � (�1)] � 4 � (�3) � �12

Operaciones combinadas

Realiza estos cálculos.

a) 8 � (�9) � (�16) � (�4)b) 13 � (�5) � 7 � 28 � (�2)c) (�36) � (�9) � 10 � (�3) � 20

a) 8 � (�9) � (�16) � (�4) � �72 � 4 � �68b) 13 � (�5) � 7 � 28 � (�2) � 13 � (�35) � (�14) � 13 � 35 � (�14) � 48 � (�14) � 34c) (�36) � (�9) � 10 � (�3) � 20 � 4 � (�30) � (�20) � 4 � (�50) � �46

Efectúa estas operaciones.

a) �[5 � (9 � 2) � (3 � 7)] � 6b) 9 � 2 � (5 � 3) � 18c) (�4) � 6] � (�3) � (�5) � (�2)

a) �[5 � (9 � 2) � (3 � 7)] � 6 � �[5 � 11 � (�4)] � 6 � �[(�6) � (�4)] � 6 � �(�10) � 6 � 10 � 6 � 4b) 9 � 2 � (5 � 3) � 18 � 9 � 2 � 2 � 18 � 9 � 4 � 18 � 5 � 18 � 23c) [(�4) � 6] � (�3) � (�5) � (�2) � 2 � (�3) � 10 � �6 � 10 � 4

2.96

2.95

2.94

2.93

2.92

2.91

28



Escribe cada uno de estos números como diferencia de dos números enteros.

a) 77 b) �113 c) �217 d) 0

Respuesta abierta. Por ejemplo:a) �2 � (�79) � 77 b) �115 � (�2) � �113 c) �219 � (�2) � �217 d) �5 � (�5) � 0

Expresa cada uno de los siguientes números como producto de un entero negativo por una diferenciade enteros.

a) �16 b) 48 c) �30

Respuesta abierta. Por ejemplo:a) �16 � �4 � [�2 � (�6)] b) 48 � �6 � [�9 � (�1)] c) �30 � �3 � [�2 � (�12)]

Transforma en productos estas sumas.

a) 7 � (�14) � 28 c) 10 � (�8) � 12b) (�16) � (�32) � 4 d) (�40) � 5 � (�35)

a) 7 � (�14) � 28 � 7 � 1 � 7 � (�2) � 7 � 4 � 7 � [1 � (�2) � 4] � 7 � [5 � (�2)] � 7 � 3b) (�16) � (�32) � 4 � 4 � (�4) � 4 � (�8) � 4 � 1 � 4 � [(�4) � (�8) � 1] � 4 � (�12 � 1) � 4 � (�11)c) 10 � (�8) � 12 � 2 � 5 � 2 � (�4) � 2 � 6 � 2 � [5 � (�4) � 6] � 2 � (1 � 6) � 2 � 7d) (�40) � 5 � (�35) � 5 � (�8) � 5 � 1 � 5 � (�7) � 5 � [�8 � 1 � (�7)] � 5 � (�15 � 1) � 5 � (�14)

Escribe cada número como suma de un entero y un producto de enteros (fíjate en el primer apartado).

a) �18 � �3 � (�5) � 3 b) �32 c) 43 d) 54

Respuesta abierta. Por ejemplo:b) �32 � �16 � (�4) � 4

c) 43 � 3 � (�4) � (�10)

d) 54 � 40 � (�2) � (�7)

Efectúa estos cálculos.a) (�32) � [5 � (�3)] � 7 � (�4) d) 3 � [7 � (4 � 9) � 2] � 10b) (50 � 9 � 6) � [(�10 � 8) � (�2)] e) [16 � 3 � (�5)] � (8 � 2 � 4)c) (�7) � (3 � 5) � (23 �1) � (�6 � 5)

a) (�32) � [5 � (�3)] � 7 � (�4) � (�32) � (5 � 3) � 7 � (�4) � �32 � 8 � 7 � (�4) � �4 � (�28) � �32b) (50 � 9 � 6) � [(�10 � 8) � (�2)] � (50 � 54) � [(�2) � (�2)] � �4 � 1 � �4c) (�7) � (3 �5) � (23 � 1) � (�6 � 5) � �7 � (�2) � 22 � (�11) � 14 � (�2) � 12d) 3 � [7 � (4 � 9) � 2] � 10 � 3 � [7 � (�5) � 2] � 10 � 3 � [7 � (�10)] � 10 � 3 � (7 � 10) � 10 �

� 3 � 17 � 10 � 61e) [16 � 3 � (�5)] � (8 � 2 � 4) � [16 � (�15)] � (8 � 8) � 1 � 0 � 0

Expresa cada número como suma de un entero negativo y un cociente de enteros.

a) 14 b) �16 c) 43 d) 54

Respuesta abierta. Por ejemplo:a) 14 � �1 � (�45) � (�3) c) 43 � �2 � (�90) � (�2)

b) �16 � �1 � (�45) � 3 d) 54 � �1 � (�110) � (�2)

Pon paréntesis en el primer miembro de la igualdad para que esta sea cierta.

a) (�5) � 7 � 2 � �45 c) 4 � 5 � 2 � 3 � 36b) (�12) � 9 � 3 � �2 d) (�2) � 1 � (�4) � 3 � 1

a) (�5) � (7 � 2) � �45 c) 4 � (5 � 2) � 3 � 36

b) (�12) � (9 � 3) � �2 d) [(�2) � 1] � [(�4) � 3] � 1

2.103

2.102

2.101

2.100

2.99

2.98

2.97

29



Las dos excursiones

La figura muestra el momento en que Ana y Eva par-ten de excursión.

La tabla recoge el punto kilométrico en que se encuentra cada una a lo largo de la mañana.

a) ¿Quién ha recorrido más distancia?b) ¿Quién ha circulado más deprisa desde las 12:30 hasta el final del trayecto?c) Elabora una tabla que muestre la distancia que separa a Ana de Eva en cada momento.

a) Ana ha recorrido 185 � 150 km � 35 km, mientras que Eva ha recorrido 122 � 75 km � 47 km, por lo tanto, Eva harecorrido más distancia.

b) En la última media hora Ana ha recorrido 5 km y Eva 15 km, por lo que Eva ha ido más deprisa.c)

Frío y calor

El gráfico muestra las temperaturas máximas y mínimasalcanzadas el 1 de enero en varias capitales mundiales.a) Indica las temperaturas más alta y más baja y en qué

lugares se alcanzan. Halla la diferencia entre ambas.b) ¿En qué ciudad hay más diferencia entre la tempe-

ratura máxima y la mínima? Calcula dicha diferencia.c) Ordena las ciudades en orden creciente de tempera-

turas mínimas.

a) La temperatura máxima es 32 �C en La Habana y Buenos Aires, y la temperatura mínima es �15 �C en Moscú. La diferencia es 47 �C.b) En Buenos Aires hay 13� de diferencia al igual que en Moscú.c) Moscú, Nueva York, París, El Cairo, Buenos Aires, La Habana


Expresa las cantidades con números enteros.

a) La altura del Everest es de 8 844 metros. c) El coche está en el tercer sótano del aparcamiento.b) María debe 52 euros. d) Euclides nació en el año 300 a. C.

a) �8 844 b) �52 c) �3 d) �300

Sustituye las letras por los números que representan, e indica el valor absoluto de cada uno.

� A � � ��3 � � 3 � B � � ��3 � � 3 � C � � 0 � 0 � D � � ��2 � � 2 � E � � ��2 � � 2

2.A2

2.A1

2.105

2.104

30

11:00 11:30 12:00 12:30 13:00

Ana 150 160 172 180 185

Eva 122 114 102 90 75

11:00 11:30 12:00 12:30 13:00

Ana 150 160 172 180 185

Eva 122 114 102 90 75

Distancia 28 46 70 90 110

Tem

pera

tura

(ºC

)

-20

-10

0

10

20

30

40

París

Moscú

BuenosAires

NuevaYork

El CairoLaHabana

MínimaMáxima

–1 BDA CE


�2 0 5

8 1 �6

�3 2 4

Calcula el resultado de estas sumas y restas.

a) 18 � 22 � 5 b) �10 � 15 � 35 c) �12 � (�10) � 6 d) 5 � (�9) � 9

a) 18 � 22 � 5 � 18 � (�22) � (�5) � 18 � (�27) � �9b) �10 � 15 � 35 � �10 � 15 � (�35) � �10 � (�20) � �30c) �12 � (�10) � 6 � �12 � 10 � 6 � �12 � 16 � 4d) 5 � (�9) � 9 � 5 � 9 � 9 � 5 � 0 � 5

El anterior de un número es �7.

a) ¿Cuál es su opuesto? b) ¿Y su valor absoluto?

El anterior de �7 es �8.a) El opuesto de �8 es �8. b) El valor absoluto de �8 es: ��8 � � 8.

Halla el resultado de estas multiplicaciones.

a) (�3) � (�5) � 7 b) (�8) � (�3) � (�10)

a) (�3) � (�5) � 7 � 15 � 7 � 105 b) (�8) � (�3) � (�10) � 24 � (�10) � �240

Obtén el resultado de estas divisiones.

a) 102 � (�6) b) (�305) � (�5)

a) 102 � (�6) � �17 b) (�305) � (�5) � 61

Aplica la propiedad distributiva y calcula estos productos.

a) 7 � (�5 � 10) b) (�4) � [(�3) � 8]

a) 7 � (�5 � 10) � 7 � (�5) � 7 � 10 � �35 � 70 � 35b) (�4) � [(�3) � 8] � (�4) � (�3) � (�4) � 8 � 12 � (�32) � �20

Saca factor común y opera.

a) 9 � 9 � 3 b) (�4) � 6 � 6 c) 20 � (�15) d) (�4) � 14

a) 9 � 9 � 3 � 9 � (1 � 3) � 9 � 4 � 36b) (�4) � 6 � 6 � [(�4) � 1] � 6 � (�3) � 6 � �18c) 20 � (�15) � 4 � 5 � 5 � (�3) � 5 � [4 � (�3)] � 5 � 1 � 5d) (�4) � 14 � 2 � (�2) � 2 � (�7) � 2 � [�2 � (�7)] � 2 � (�9) � �18

Efectúa estas operaciones.

a) 5 � (�28) � (�4) b) 18 � (�6) � (�42) � 7

a) 5 � (�28) � (�4) � 5 � 7 � 12 b) 18 � (�6) � (�42) � 7 � �3 � (�6) � �3 � 6 � 3

Halla el resultado de estas operaciones.

a) 5 � (12 � 9) � 24 � (�3) b) (�7) � 44 � (�11) � [32 � 5 � (�6)]

a) 5 � (12 � 9) � 24 � (�3) � 5 � 3 � 24 � (�3) � 15 � (�8) � 7b) (�7) � 44 � (�11) � [32 � 5 3 (�6)] � �7 � 44 � (�11) � [32 � (�30)] � �7 � 44 � (�11) � 2 �

� �7 � (�4) � 2 � �11 � 2 � �13


Jugando con las matemáticasCUADRADO MÁGICOColoca en el tablero los siguientes números enteros �6, �3, �2, 0, 1, 2, 4, 5, 8 de forma que al sumar losnúmeros de cada fila, cada columna y cada diagonal del cuadrado, obtengas el mismo resultado. Una pista:el resultado de la suma es 3.

2.A10

2.A9

2.A8

2.A7

2.A6

2.A5

2.A4

2.A3

31


32

3 POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA


Indica la base y el exponente de las siguientes potencias y calcula su valor.

a) 24 c) 43 e) 35 g) (�10)4

b) 34 d) 53 f) (�2)5 h) �(62)

a) Base 2, exponente 4; 24 � 16 e) Base 3, exponente 5; 35 � 243

b) Base 3, exponente 4; 34 � 81 f) Base �2, exponente 5; (�2)5 � �32

c) Base 4, exponente 3; 43 � 64 g) Base �10, exponente 4; (�10)4 � 10 000

d) Base 5, exponente 3; 53 � 125 h) Base 6, exponente 2; �(62) � �36

Copia en tu cuaderno y completa esta tabla.

Calcula (4 � 2 � 7)2 como producto de potencias.

(4 � 2 � 7)2 � 42 � 22 � 72 � 16 � 4 � 49 � 3 136

Efectúa esta división (12 � (�4))4 mediante un cociente de potencias.

[12 � (�4)]4� 124 � (�4)4 � 20 736 � 256 � 81

Realiza estas operaciones de dos maneras distintas.

a) (3 � 8 � 5)4 b) (2 � 3 � (�3))3 c) (6 � 2)4 d) ((�15) � 3)3

a) (3 � 8 � 5)4 � 1204 � 207 360 000 (3 � 8 � 5)4 � 34 � 84 � 54 � 81 � 4 096 � 625 � 207 360 000

b) (2 � 3 � (�3))3� �183 � �5 832 (2 � 3 � (�3))3

� 23 � 33 � (�3)3 � 8 � 27 � (�27) � �5 832

c) (6 � 2)4 � 34 � 81 (6 � 2)4 � 64 � 24 � 1 296 � 16 � 81

d) ((�15) � 3)3� (�5)3 � �125 ((�15) � 3)3

� (�15)3 � 33 � �3 375 � 27 � �125

Copia en tu cuaderno estas igualdades y completa los huecos con los números que correspondan encada caso.

a) (3 � 2)4 � �4 � 24 � � � 16 � � c) (� � 3)3 � (�2)3 � �

b) ((�2) � �)3� (�2)� � 53 � (�8) � � � � d) ((�6) � �)4

� (�6)�� 2� � � � � � �

a) (3 � 2)4 � 34 � 24 � 81 � 16 � 1 296 c) (�6 � 3)3 � (�2)3 � �8

b) ((�2) � 5)3� (�2)3 � 53 � (�8) � 125 � �1 000 d) ((�6) � 2)4

� (�6)4 � 24 � 1296 � 16 � 81

Escribe los siguientes productos en forma de potencia y determina su valor.

a) 33 � 32 � 3 b) 23 � 2 � 26

a) 33 � 32 � 3 � 36 � 729 b) 23 � 2 � 26 � 210 � 1 024

3.7

3.6

3.5

3.4

3.3

3.2

3.1

Potencia Base Exponente Valor

(�6)3 �6 3 �216

�3 4

�4 16

3 �1 000


(�6)3 �6 3 �216

(�3)4 �3 4 81

(�4)2 �4 2 16

(�10)3 �10 3 �1 000


Copia estas igualdades en tu cuaderno y complétalas con los números que faltan.a) 33 � 32 � 27 � � � � c) (�2)2 � (�2)3 � (�2)� � �

b) (�5)2 � (�5) � (�5)2 � 25 � � � � � � d) 33 � 32 � 3 � 3� � �

a) 33 � 32 � 27 � 9 � 243 c) (�2)2 � (�2)3 � (�2)5 � �32b) (�5)2 � (�5) � (�5)2 � 25 � (�5) � 25 � �3 125 d) 33 � 32 � 3 � 36 � 729

Calcula el resultado de estas multiplicaciones.a) (�2)4 � (�2) b) (�2)4 � (�2)3

a) (�2)4 � (�2) � (� 2)5 � �32 b) (�2)4 � (�2)3 � (�2)7 � �128

Expresa estas multiplicaciones en forma de producto de potencias de la misma base.a) 9 � (�3)3 � (�3) b) (�5)2 � 125

a) 9 � (�3)3 � (�3) � 32 � (�3)3 � (�3) � (�3)2 � (�3)3 � (�3) � (�3)6 � 36

b) (�5)2 � 125 � (�5)2 � 53 � 52 � 53 � 55

Escribe el producto (�4)2 � 4 � 43 como potencia de 4 y de base 2.

(�4)2 � 4 � 43 � 42 � 4 � 43 � 46 (�4)2 � 4 � 43 � 16 � 4 � 64 � 24 � 22 � 26 � 212

Escribe en forma de potencia los siguientes cocientes y determina su valor.a) 35 � 32 c) (�5)4 � (�5)4

b) 26 � 22 d) (�8)7 � (�8)2

a) 35 � 32 � 33 � 27 c) (�5)4 � (�5)4 � (�5)0 � 1b) 26 � 22 � 24 � 16 d) (�8)7 � (�8)2 � (�8)5 � �32 768

En cada caso del ejercicio anterior, calcula el dividendo y el divisor, y halla luego el cociente. Comprue-ba que coinciden los resultados.

a) 35 � 32 � 243 � 9 � 27 c) (�5)4 � (�5)4 � 625 � 625 � 1b) 26 � 22 � 64 � 4 � 16 d) (�8)7 � (�8)2 � (�2 097 152) � 64 � �32 768

Calcula el resultado de estas divisiones.a) 74 � 72 b) (�3)5 � (�3)3 c) (�15)4 � 153

a) 74 � 72 � 72 � 49 b) (�3)5 � (�3)3 � (�3)2 � 9 c) (�15)4 � 153 � 154 � 153 � 151 � 15

Copia en tu cuaderno y completa estas igualdades con los números que correspondan.a) 25 � 23 � 2� � � c) (�3)12 � (�3)� � (�3)3 � �

b) (�5)3 � (�5)2 � (�5)� � � d) 7�� 75 � 78 � �

a) 25 � 23 � 22 � 4 c) (�3)12 � (�3)9 � (�3)3 � �27b) (�5)3 � (�5)2 � (�5)1 � �5 d) 713 � 75 � 78 � 5 764 801

Expresa cada división en forma de cociente de potencias de la misma base.a) 54 � 25b) (�81) � (�3)3

c) (�343) � ( �49)

a) 54 � 25 � 54 � 52

b) (�81) � (�3)3 � � (�3)4 � (�3)3

c) (�343) � (�49) � (�73) � [�(72)] � [�(73)] � [�(72)] � 73 � 72

Calcula las siguientes potencias de potencias.a) (34)2 c) (((�1)2)5)7

b) ((�3)2)3 d) (((�10)2)2)2

a) (34)2� 38 � 6 561 c) (((�1)2)5)7

� (�1)70 � 1

b) ((�3)2)3� (�3)6 � 729 d) (((�10)2)2)2

� (�10)8 � 100 000 000

3.17

3.16

3.15

3.14

3.13

3.12

3.11

3.10

3.9

3.8

33


Copia estas expresiones en tu cuaderno y completa los espacios con los números que faltan.a) 312 � (34)� c) (�3)8 � ((�3)�)4

b) 524 � (5�)� d) 1 � (237)�

a) 312 � (34)3 c) (�3)8 � ((�3)2)4

b) 524 � (56)4� (53)8

� (52)12� (51)24 d) 1 � (237)0

Copia en tu cuaderno y completa esta tabla.

Expresa las siguientes potencias como potencias de potencias.a) 42 c) 163

b) 92 d) (�25)4

a) 42 � (22)2 c) 163 � (42)3

b) 92 � (32)2 d) (�25)4 � [�(5)2]4

Haz una tabla de cuadrados perfectos comprendidos entre 100 y 300.

Averigua si estos números son cuadrados perfectos y, en el caso de que lo sean, halla su raíz cuadradaexacta.a) 28 c) 256 e) 225 g) 220b) 121 d) 400 f) 444 h) 1 600

a) 52 � 25 y 62 � 36 → 52 � 28 � 62. Luego 28 no es cuadrado perfecto.b) 121 � 112. Luego 121 es cuadrado perfecto.c) 256 � 162. Luego 256 es cuadrado perfecto.d) 400 � 202. Luego 400 es cuadrado perfecto.e) 225 � 152. Luego 225 es cuadrado perfecto.f) 212 � 441 y 222 � 484 → 212 � 444 � 222. Luego 444 no es cuadrado perfecto.g) 142 � 196 y 152 � 225 → 142 � 220 � 152. Luego 220 no es cuadrado perfecto.h) 1 600 � 402. Luego 1 600 es cuadrado perfecto.

Copia estos cálculos en tu cuaderno y complétalos con los números que correspondan.a) 112 < 130 < 122 b) �2 < 375 < �2

La raíz entera de 130 es �. La raíz entera de 375 es �.Resto: 130 � 112 � � Resto: 375 � �2 � �

a) 112 � 130 � 122 b) 192 � 375 � 202

La raíz entera de 130 es 11. La raíz entera de 375 es 19.Resto: 130 � 112 � 130 � 121 � 9 Resto: 375 � 192 � 375 � 361 � 14

3.23

3.22

3.21

3.20

3.19

3.18

34

Números 10 11 12 13 14 15 16 17

Cuadrados perfectos 100

Números 10 11 12 13 14 15 16 17

Cuadrados perfectos 100 121 144 169 196 225 256 289

Potenciade Base Exponente Potencia Signo

potencia

((�7)4)2�7 8 (�7)8 �

((�13)15)5

�10 2 � 3 � 5

(�5)36

Potenciade Base Exponente Potencia Signo

potencia

((�7)4)2�7 8 (�7)8 �

((�13)15)5�13 75 (�13)75 �

(((�10)2)3)5�10 2 � 3 � 5 (�10)30 �

(((�5)2)3)6�5 2 � 3 � 6 (�5)36 �


Escribe cada número entre dos cuadrados consecutivos, e indica el valor de la raíz cuadrada entera y elresto de cada número.a) 18 b) 21 c) 75 d) 140 e) 150 f) 1 003

a) 16 � 18 � 25 → 42 � 18 � 52 → �18� � 4. Resto: 18 � 16 � 2b) 16 � 21 � 25 → 42 � 21 � 52 → �21� � 4. Resto: 21 � 16 � 5c) 64 � 75 � 81 → 82 � 75 � 92 → �75� � 8. Resto: 75 � 64 � 11d) 121 � 140 � 144 → 112 � 140 � 122 → �140� � 11. Resto: 140 � 121 � 19e) 144 � 150 � 169 → 122 � 150 � 132 → �150� � 12. Resto: 150 � 144 � 6f) 961 � 1 003 � 1 024 → 312 � 1 024 � 322 → �1 003� � 31. Resto: 1 003 � 961 � 42

La raíz cuadrada entera de un número es igual a 32. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener el resto?

El número está comprendido entre 322 � 1 024 y 332 � 1� 1 088.Luego el mayor valor que puede tener el resto es 1 088 � 1 024 � 64.

Averigua cuántas cifras tienen las raíces cuadradas de los siguientes números.a) 95 b) 190 c) 1 200 d) 38 692

a) Una cifra b) Dos cifras c) Dos cifras d) Tres cifras

Calcula por aproximaciones la raíz cuadrada entera de estos números.a) 18 b) 110 c) 2 500 d) 4 324

a) La raíz cuadrada entera de 18 tiene una cifra.32 � 9 � 1842 � 16 � 1852 � 25 � 18La raíz cuadrada entera de 18 es 4.

b) La raíz cuadrada entera de 110 tiene dos cifras.102 � 100 � 110112 � 121 � 110La raíz cuadrada entera de 110 es 10.

c) La raíz cuadrada de 2 500 tiene dos cifras.452 � 2 025 � 2 500482 � 2 304 � 2 500492 � 2 401 � 2 500502 � 2 500La raíz cuadrada de 2 500 es 50. (Esta raíz es exacta.)

d) La raíz cuadrada de 4 324 tiene dos cifras.602 � 3 600 � 4 324652 � 4 225 � 4 324662 � 4 356 � 4 324La raíz cuadrada entera de 4 324 es 65.

Estima entre qué centenas se encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números.a) 12 500 b) 52 000 c) 95 600

a) 1002 � 10 000 � 12 5002002 � 40 000 � 12 500La raíz cuadrada de 12 500 se encuentra entre 1 centena y 2 centenas.

b) 2002 � 40 000 � 52 0003002 � 90 000 � 52 000La raíz cuadrada de 52 000 se encuentra entre 2 centenas y 3 centenas.

c) 3002 � 90 000 � 95 6004002 � 160 000 � 95 600La raíz cuadrada de 95 600 se encuentra entre 3 centenas y 4 centenas.

3.28

3.27

3.26

3.25

3.24

35


Calcula la raíz cuadrada entera de estos números aplicando la regla explicada en el texto.a) 520 b) 6 321 c) 15 361

a) b) c)


Ana cuenta una noticia a 5 personas. A la hora siguiente, cada una de ellas se la cuenta a otras 5, y asísucesivamente. ¿Cuánto tardan en conocerla 100 000 personas?

1 � 51 � 52 � 53 � 54 � 55 � 56 � 57 � 1 � 5 � 25 � 125 � 625 � 3 125 � 15 625 � 78 125 � 97 656Al cabo de 7 horas todavía no conocen la noticia 100 000 personas. Pero al cabo de 8 horas la conocen:

97 656 � 58 � 97 656 � 390 625 � 488 281

Un cierto tipo de bacterias se reproduce dividiéndose en dos cada 5 minutos. Calcula cuántas bacteriasse han generado en dos horas y media.

2 horas y media � 120 minutos � 30 minutos � 150 minutos.Períodos de tiempo de 5 minutos: 150 � 5 � 30Número de bacterias generadas:21 � 22 � 23 � 24 � 25 � 26 � 27 � 28 � 29 � 210 � 211 � … � 229 � 230 � 2 147 483 646 bacterias


Copia estos números en tu cuaderno y completa con el signo igual a (�) o distinto de (�).a) 24 � 8 f) 103 � 1 000b) 33 � 9 g) 25 � 10c) 23 � 8 h) 32 � 9d) 43 � 64 i) 42 � 8e) 92 � 18 j) 1002 � 10 000

a) 24 � 8 f) 103 � 1 000b) 33 � 9 g) 25 � 10c) 23 � 8 h) 32 � 9d) 43 � 64 i) 42 � 8e) 92 � 18 j) 1002 � 10 000

Halla el valor de estas potencias.a) (�4)2 c) (�2)5 e) (�1)0

b) (�3)2 d) (�10)2 f) (�11)3

a) (�4)2 � 16 c) (�2)5 � �32 e) (�1)0 � 1b) (�3)2 � 9 d) (�10)2 � 100 f) (�11)3 � �1 331

Calcula las siguientes operaciones.a) 12 � 22 c) 23 � 22 e) 82 � 15

b) 102 � 52 d) 75 � 73 f) 25 � 23

a) 12 � 22 � 5 c) 23 � 22 � 4 e) 82 � 15 � 65b) 102 � 52 � 75 d) 75 � 73 � 16 464 f) 25 � 23 � 24

3.34

3.33

3.32

3.31

3.30

3.29

36

�5200� 22000000000�4 42 � 2 � 84

120�84

36

�6 3210� 790000�49 149 � 9 � 1341

1 421�1 341

80

�15 361�0� 123000000000�1 22 � 2 � 44

� 053 243 � 3 � 729�44

�1 0961�729

232


Expresa estas operaciones como una sola potencia.a) 22 � 24 e) 57 � 55

b) 36 � 33 f) 64 � 64

c) 5 � 53 � 52 g) (�5)5 � (�5)2

d) (�4)3 � (�4)2 � (�4)4 h) 45 � 26

a) 22 � 24 � 26 e) 57 � 55 � 52

b) 36 � 33 � 39 f) 64 � 64 � 60

c) 5 � 53 � 52 � 56 g) (�5)5 � (�5)2 � (�5)3

d) (�4)3 � (�4)2 � (�4)4 � (�4)9 h) 45 � 26 � (22)5� 26 � 210 � 26 � 24

Calcula estas raíces cuadradas exactas.a) �25� c) �121� e) �400� g) �2 500�b) �100� d) �16� f) �49� h) �10 000�

a) �25� � 5 c) �121� � 11 e) �400� � 20 g) �2 500� � 50

b) �100� � 10 d) �16� � 4 f) �49� � 7 h) �10 000� � 100

Averigua la raíz cuadrada entera de los siguientes números.a) 48 c) 22 e) 115 g) 405b) 72 d) 99 f) 170 h) 1 610

a) �48� � 6 c) �22� � 4 e) �115� � 10 g) �405� � 20

b) �72� � 8 d) �99� � 9 f) �170� � 13 h) �1 610� � 40


Potencias de exponente natural

Expresa estas multiplicaciones en forma de potencia.a) 5 � 5 � 5 d) 3 � 3 � 3 � 3b) 8 � 8 e) 2 � 2 � 2 � 2 � 2c) 9 � 9 � 9 f) 15 � 15 � 15 � 15

a) 5 � 5 � 5 � 53 d) 3 � 3 � 3 � 3 � 34

b) 8 � 8 � 82 e) 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 25

c) 9 � 9 � 9 � 93 f) 15 � 15 � 15 � 15 � 154

Escribe las siguientes potencias en forma de producto y halla su valor.a) 24 d) (�7)3

b) (�2)5 e) 106

c) 81 f) (�25)2

a) 24 � 2 � 2 � 2 � 2 � 16 d) (�7)3 � (�7) � (�7) � (�7) � �343b) (�2)5 � (�2) � (�2) � (�2) � (�2) � (�2) � �32 e) 106 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 1 000 000c) 81 � 8 f) (�25)2 � (�25) � (�25) � 625

Calcula el resultado de estas potencias.a) 34 d) 101

b) 52 e) 96

c) 25 f) 73

a) 34 � 81 d) 101 � 10b) 52 � 25 e) 96 � 531 441c) 25 � 32 f) 73 � 343

3.40

3.39

3.38

3.37

3.36

3.35

37


Copia en tu cuaderno la tabla y complétala.

Calcula la base de estas potencias.a) �2 � 36 c) �5 � 32 e) �3 � 27b) �3 � 8 d) �2 � 100 f) �5 � �32

a) 62 � 36 c) 25 � 32 e) 33 � 27b) 23 � 8 d) 102 � 100 f) (�2)5 � �32

Determina el exponente.a) 3� � 9 c) 10� � 10 000 e) 2� � 16b) (�5)� � �125 d) 4� � 64 f) (�6)� � �216

a) 32 � 9 c) 104 � 10 000 e) 24 � 16b) (�5)3 � �125 d) 43 � 64 f) (�6)3 � �216

Operaciones con potencias

Escribe estas potencias como producto de potencias.a) (2 � 4)3 d) (3 � 2 � 5)4

b) (7 � 6)6 e) ((�5) � (�3) � 6)3

c) (2 � 5 � 8)2 f) ((�2) � (�5) � (�8))6

a) (2 � 4)3 � 23 � 43 d) (3 � 2 � 5)4 � 34 � 24 � 54

b) (7 � 6)6 � 76 � 66 e) [(�5) � (�3) � 6]3� (�5)3 � (�3)3 � 63

c) (2 � 5 � 8)2 � 22 � 52 � 82 f) [(�2) � (�5) � (�8)]6� (�2)6 � (�5)6 � (�8)6

Expresa las siguientes potencias como cociente de potencias y halla su valor.a) (32 � 4)3 c) (�12 � 3)5

b) (8 � 2)4 d) (�48 � 6)3

a) (32 � 4)3 � 323 � 43 � 32 768 � 64 � 512 c) (�12 � 3)5 � (�12)5 � 35 � �248 832 � 243 � �1 024b) (8 � 2)4 � 84 � 24 � 4 096 � 16 � 256 d) (�48 � 6)3 � (�48)3 � 63 � �110 592 � 216 � �512

Escribe estos productos con una sola potencia y halla el resultado.a) 33 � 32 � 3b) (�2)3 � (�2)2 � (�2)0

c) (�7)2 � (�7)3

a) 33 � 32 � 3 � 36 � 729b) (�2)3 � (�2)2 � (�2)0 � (�2)5 � �32c) (�7)2 � (�7)3 � (�7)5 � �16 807

3.46

3.45

3.44

3.43

3.42

3.41

38


32 3 2 9

(�4)6

84

(�2)2

270

(�10)3


32 3 2 9

(�4)6 �4 6 4 096

84 8 4 4 096

(�2)2 �2 2 4

270 27 0 1

(�10)3 �10 3 �1 000


Calcula el valor de estas potencias.a) ((3)2)2 d) ((2)2)5

b) ((�1)3)3 e) (((�2)2)2)2

c) ((�1)3)4 f) (((�10)3)2)2

a) ((3)2)2� 34 � 81 d) ((2)2)5 � 210 � 1 024

b) ((�1)3)3� (�1)9 � �1 e) (((�2)2)2)2

� (�2)8 � 256c) ((�1)3)4

� (�1)12 � 1 f) (((�10)3)2)2� (�10)12 � 1 000 000 000 000

Escribe estos productos como una sola potencia y obtén el resultado.a) 23 � 8 b) 27 � 32 c) 125 � 52

a) 23 � 8 � 23 � 23 � 26 � 64b) 27 � 32 � 33 � 32 � 35 � 243c) 125 � 52 � 53 � 52 � 55 � 3 125

Cuadrados perfectos

Indica cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos. Razona la respuesta.a) 8 c) 120 e) 1 000b) 81 d) 3 600 f) 432

a) 8 no es cuadrado perfecto porque no existe un número entero cuyo cuadrado sea 8.b) 81 es cuadrado perfecto porque existe un número entero, el 9, cuyo cuadrado es 81.c) 120 no es cuadrado perfecto porque no existe un número entero cuyo cuadrado sea 120d) 3 600 es cuadrado perfecto porque existe un número entero, el 60, cuyo cuadrado es 3 600.e) 1 000 no es cuadrado perfecto porque no existe un número entero cuyo cuadrado sea 1 000.f) 432 es un cuadrado perfecto porque existe un número entero, el 43, cuyo cuadrado es 432.

Sin hacer el cálculo, averigua la cifra de las unidades de estos cuadrados. Explícalo.a) 1992 c) 17 6232

b) 2052 d) 23 6902

a) La cifra de las unidades de 1992 es 1 porque 9 � 9 � 81.b) La cifra de las unidades de 2052 es 5 porque 5 � 5 � 25.c) La cifra de las unidades de 17 6232 es 9 porque 3 � 3 � 9.d) La cifra de las unidades de 23 6902 es 0 porque 0 � 0 � 0.

La cifra de las unidades de un cuadrado perfecto es 1. ¿Cuáles pueden ser las cifras de las unidades delnúmero?

La cifra de las unidades puede ser 1 y 9, porque 1 � 1 � 1 y 9 � 9 � 81.

Te dicen que la cifra de las unidades de un cuadrado perfecto es 2. ¿Estás seguro de que te dicen la verdad?

No dicen la verdad porque no hay ningún número entero de una cifra que al elevarlo al cuadrado sea igual a 2.

Eleva al cuadrado 0, 1, 2, 3, …, 9. Analizando los resultados obtenidos, ¿se puede afirmar cuál puedeser la cifra de las unidades de cualquier cuadrado perfecto?

02 � 0 12 � 1 22 � 4 32 � 9 42 � 16 52 � 25 62 � 36 72 � 49 82 � 64 92 � 81La cifra de las unidades de cualquier cuadrado perfecto puede ser: 0, 1, 4, 5, 6 y 9.

Raíz cuadrada exacta

Copia en tu cuaderno la tabla y complétala.3.54

3.53

3.52

3.51

3.50

3.49

3.48

3.47

39

Cuadrados perfectos 16 225

Raíz cuadrada exacta 4 67 43

Cuadrados perfectos 16 225 4 489 1 849

Raíz cuadrada exacta 4 15 67 43


Clara dice que está segura de que el número 361 tiene raíz cuadrada exacta. ¿Cómo comprobamosque Clara está en lo cierto?

La cifra de las unidades de 361 es 1, lo cual permite afirmar que puede ser un cuadrado perfecto.La raíz cuadrada de 361 tiene dos cifras.Como 202 � 400, la raíz cuadrada de 361 es menor que 20.Calculamos 192 � 361. Comprobamos que 19 es la raíz cuadrada de 361. Clara está en lo cierto.

Las fichas de la figura forman un cuadrado perfecto.a) ¿Cuál es la raíz?b) ¿Cuántas fichas hay que añadir al cuadrado para que

la raíz cuadrada exacta sea una unidad mayor que laanterior?

a) La raíz es �9� � 3.b) La raíz cuadrada exacta es una unidad mayor: 3 � 1 � 4; 42 � 16.Las fichas que hay que añadir son: 16 � 9 � 7.

Raíz cuadrada entera

Para calcular la raíz cuadrada entera de 42 se hacen estas aproximaciones.

42 � 16 < 42 52 � 25 < 42 62 � 36 < 42 72 � 49 > 42 82 � 64 > 42a) ¿Cuál es la raíz cuadrada entera de 42?b) ¿Y cuál es el resto?

a) La raíz cuadrada entera de 42 es 6 porque 62 � 42 � 72.b) El resto es: 42 � 36 � 6.

Escribe el número 1 238 entre los cuadrados de dos números consecutivos.a) ¿Cuál es la raíz cuadrada entera?b) Calcula el resto.

El número 1 238 está comprendido entre 302 � 900 y 402 � 1 600.Hacemos estas aproximaciones: 312 � 961; 322 � 1 024; 332 � 1 089; 342 � 1 156; 352 � 1 225; 362 � 1 296.El número 1 238 está comprendido entre 352 y 362.a) La raíz cuadrada entera de 1 238 es 35.b) El resto es: 1 238 � 352 � 1 238 � 1 225 � 13.

Calcula estas raíces cuadradas.

a) �324� b) �7 275� c) �1 254� d) �2 116�


Un teatro tiene 25 filas de butacas, y en cada fila hay 25 butacas. ¿Cuántas butacas tiene el teatro?

25 � 25 � 252 � 625El teatro tiene 625 butacas.

Un paquete tiene 12 cajas. Cada caja tiene 12 estuches. Cada estuche, 12 rotuladores. Escribe en formade potencia el número de rotuladores y halla el resultado.

12 � 12 � 12 � 123 � 1 728En cada paquete hay 1 728 rotuladores.

3.61

3.60

3.59

3.58

3.57

3.56

3.55

40

a) �3240� 18 � 2 ��1 28 � 8

224�224

0

b) �7 2750� 85 � 2 ��64 165 � 5

875� 825

50

c) �1 2540� 35 � 2 �� 9 65 � 5

354� 325

29

d) �2 1160� 46 � 2 �� 16 86 � 6

516� 516

0


Tenemos 5 cajas. Cada caja contiene 5 montones de 5 billetes de 5 euros. Escribe en forma de potenciael número de billetes y el número de euros que hay en las cinco cajas.

Número de billetes: 53 � 125Número de euros: 54 � 625

En un contenedor cúbico de 1,5 metros de arista se introducen cubos de un decímetro de arista, hastallenarlo completamente. ¿Cuántos decímetros cúbicos hay en el contenedor?

La arista del contenedor mide 1,5 m � 15 dm.La arista de cada cubo mide 1 dm.Luego caben 15 cubos a lo largo, 15 a lo ancho y 15 a lo alto. En total: 15 � 15 � 15 � 153 � 3 375 dm3.

Un campo cuadrangular tiene 10 000 metros cuadrados de superficie.a) ¿Cuánto mide su lado?b) ¿Cuál es su perímetro?

a) �10 000� � 100. El lado mide 100 metros.b) 4 � 100 � 400. El perímetro mide 400 metros.

Se desea vallar un campo cuadrangular de 256 metros cuadrados de superficie. ¿Cuántos metros de vallase necesitan?

�256� � 16. El lado del campo cuadrangular mide 16 metros. Luego se necesitan 16 � 4 � 64 metros de valla.

Los caramelos de un montón se han dispuesto en 7 filas y en 7 columnas, y sobran 15 caramelos. ¿Cuántoshabía en el montón?

El número de caramelos dispuestos en 7 filas y en 7 columnas es: 7 � 7 � 49.El total de caramelos es: 49 � 15 � 64.

Con 50 monedas de 5 céntimos, ¿se puede formar un cuadrado, colocándolas en filas y en columnas?

Utilizando el total de las 50 monedas no se puede formar un cuadrado.Se podría formar un cuadrado de 7 monedas de lado, pero sobraría una moneda.

¿Cuál es la raíz cuadrada entera del número de puntos representado en la figura?

¿Cuál es el resto? ¿Qué le falta para ser un cuadrado perfecto?

Tenemos 76 puntos ⇒ 82 � 64 � 76 � 81 � 92 ⇒ Luego la raíz cuadrada entera es 8.El resto es 76 � 64 � 12 puntos.Habría que añadir 5 puntos (81 � 76 � 5).

¿Cuál es el número mínimo de cuadraditos que habrá que añadir a la figura para convertirla en un cuadrado?

Tenemos 39 cuadraditos: 62 � 36 � 39 � 49 � 72, luego el cuadrado siguiente debetener por lado 7 cuadraditos.La diferencia de cuadraditos es: 49 � 39 � 10. Luego hacen falta 10 cuadraditos.

3.69

3.68

3.67

3.66

3.65

3.64

3.63

3.62

41


Observa la figura de puntos, e indica cuál es la raíz cuadrada entera del número 28 y el resto.

El lado del mayor cuadrado completo que se puede formar tiene 5 puntos. Luego la raíz cuadrada entera de 28 es 5. El restoes: 28 � 25 � 3 (los tres puntos que no forman parte del cuadrado).

En una panadería se han hecho 196 magdalenas. Se decide colocarlas en una bandeja formando un cua-drado lo más grande posible.a) ¿Cuántas magdalenas tendría por lado?b) ¿Cuántas se necesitarían para formar otro cuadrado con una magdalena más de lado?

a) El número de magdalenas que debe tener el lado es: �196� � 14.b) Para formar un cuadrado de una magdalena más de lado se necesitarían: 152 � 225 magdalenas.

Luego habría que añadir: 225 � 196 � 29 magdalenas.

Un vivero planta 1 444 semillas formando un cuadrado. ¿Cuántas semillas tendrán que plantar por lado?¿Sobra alguna?

El número de semillas que hay que plantar por lado es la raíz cuadrada de 1 444: �1 444� � 38.No sobra ninguna semilla porque la raíz de 1 444 es exacta.

Un cuadrado de puntos tiene 13 puntos de lado. ¿Cuántos puntos habrá que añadir a ese cuadrado, yen qué forma, para conseguir otro cuadrado de 14 puntos de lado?

Hay que añadir 13 puntos en un lado y otros 13 puntos en el adyacente; además hay que añadir 1 punto en la esquina. Entotal, 13 � 13 � 1 � 27 puntos.

La raíz cuadrada exacta de un número es 127. ¿Cuántas unidades habrá que sumar a dicho número paraque la raíz cuadrada del resultado sea exacta y de una unidad mayor?

1272 � 16 129 1282 � 16 384 16 384 � 16 129 � 255Al número 16 129 hay que sumarle 255 unidades.

La cumbre más elevada de España es el Teide. Averigua su altitud con estos datos.• Su raíz cuadrada entera es igual a 60.• Si se le sumara 3, sería un cuadrado perfecto.

La altura está comprendida entre 602 � 3 600 y 612 � 3 721.Como la segunda condición dice que si se suma 3 sería cuadrado perfecto, el número es 3 721 � 3 � 3 718.La altura del Teide es de 3 718 metros.

R E F U E R Z O

Potencias de exponente natural

Escribe cada producto en forma de potencia y señala la base y el exponente.a) 3 � 3 � 3 � 3b) (�2) � (�2) � (�2)c) 5 � 5 � 5 � 5 � 5

a) 3 � 3 � 3 � 3 � 34. Base, 3; exponente, 4b) (�2) � (�2) � (�2) � (�2)3. Base, �2; exponente, 3c) 5 � 5 � 5 � 5 � 5 � 55. Base, 5; exponente, 5

3.76

3.75

3.74

3.73

3.72

3.71

3.70

42


Copia en tu cuaderno esta tabla y complétala.

Escribe el término que falta en cada caso.a) �2 � 49 c) �4 � 625b) 10� � 1 d) 3� � 81

a) 72 � 49 c) 54 � 625b) 100 � 1 d) 34 � 81

Operaciones con potencias

Calcula multiplicando potencias.a) (3 � 5)2 b) (2 � 3 � 1)3 c) ((�2) � 3 � 4)3 d) ((�1) � (�2) � 1)6

a) (3 � 5)2 � 32 � 52 � 9 � 25 � 225b) (2 � 3 � 1)3 � 23 � 33 � 13 � 8 � 27 � 1 � 216c) ((�2) � 3 � 4)3

� (�2)3 � 33 � 43 � �8 � 27 � 64 � �13 824d) ((�1) � (�2) � 1)6

� (�1)6 � (�2)6 � 16 � 1 � 64 � 1 � 64

Opera dividiendo potencias.a) (48 � 4)2 b) (15 � (�3))3 c) ((�4) � 2)5 d) ((�6) � (�3))6

a) (48 � 4)2 � 482 � 42 � 2 304 � 16 � 144 c) ((�4) � 2)5� (�4)5 � 25 � (�1 024) � 32 � �32

b) (15 � (�3))3� 153 � (�3)3 � 3 375 � (�27) � �125 d) ((�6) � (�3))6

� (�6)6 � (�3)6 � 46 656 � 729 � 64

Expresa estas operaciones de potencias como una sola potencia.a) 23 � 24 � 22 � 25 c) 102 � 10 � 105 e) 27 � 26

b) 32 � 3 � 34 � 36 d) 54 � 53 f) 56 � 5

a) 23 � 24 � 22 � 25 � 214 c) 102 � 10 � 105 � 108 e) 27 � 26 � 21

b) 32 � 3 � 34 � 36 � 313 d) 54 � 53 � 51 f) 56 � 5 � 55

Escribe la base y el exponente de las siguientes expresiones.a) (52)3 b) (((�2)3)2)5

c) (((�1)2)7)2d) ((�10)4)5

a) (52)3� 56 b) (((�2)3)2)5

� (�2)30 c) (((�1)2)7)2� (�1)28 d) ((�10)4)5

� (�10)20

Expresa como una sola potencia.a) 25 � 43 c) 162 � 42

b) (�27)3 � (�3)2 d) (�100)2 � 252

a) 25 � 43 � 25 � (22)3� 25 � 26 � 211

b) (�27)3 � (�3)2 � [(�3)3]3� (�3)2 � (�3)9 � (�3)2 � (�3)11

c) 162 � 42 � (42)2� 42 � 44 � 42 � 42

d) (�100)2 � 252 � (�4 � 25)2 � 252 � (�4)2 � 252 � 252 � (�4)2 � 42

Raíces exactas y enteras

Escribe cuatro cuadrados perfectos menores que 100 y cinco cuadrados perfectos mayores que 200.

Ejemplos de cuadrados perfectos menores que 100: 12 � 1; 32 � 9; 72 � 49; 82 � 64.Ejemplos de cuadrados perfectos mayores que 200: 152 � 225; 172 � 289; 182 � 324; 202 � 400; 212 � 441.

3.84

3.83

3.82

3.81

3.80

3.79

3.78

3.77

43


23 2 5 32

(�2)4

5 125


23 2 5 32

(�2)4 �2 4 16

53 5 3 125


La raíz cuadrada entera de un número es igual a 11, y su resto es igual a 14. ¿Cuál es el número?

El número está comprendido entre 112 � 121 y 122 � 144.Al ser el resto 14, el número es 121 � 14 � 135.

Calcula la raíz cuadrada de estos números.a) 725 c) 2 035 e) 1 255b) 3 746 d) 8 700 f) 3 066


Copia estas igualdades en tu cuaderno y completa con los números que faltan.

1 � 1 � 12

1 � 3 � 4 � 22

1 � 3 � 5 � � � �2

1 � 3 � 5 � 7 � � � �2

1 � 3 � 5 � 7 � 9 � … � � � � � 92

Escribe la propiedad que se puede deducir y compruébala para dos casos más.

1 � 1 � 12

1 � 3 � 4 � 22

1 � 3 � 5 � 9 � 32

1 � 3 � 5 � 7 � 16 � 42

1 � 3 � 5 � 7 � 9 � 11 � 13 � 15 � 17 � 81 � 92

Propiedad: La suma de los números impares consecutivos, empezando por el 1, es igual al cuadrado del número de impares quese sumen.Comprobación: 1 � 3 � 5 � 7 � 9 � 11 � 36 � 62 1 � 3 � 5 � 7 � 9 � 11 � 13 � 15 � 17 � 19 � 100 � 102

El doble de un número elevado al cuadrado es igual a 324. ¿Cuál es dicho número?

Como el doble del número elevado al cuadrado es igual a 324, el doble del número es: �324� � 18.Si el doble del número es 18, el número es 18 � 2 � 9.

Se tienen dos cuadrados, tales que uno de ellos tiene por lado el doble que el otro. ¿Cuántas veces ma-yor es la superficie de uno respecto a la del otro?

Cuadrado lado menor: L Cuadrado lado mayor: 2 � LSuperficie: L2 Superficie: (2 � L)2 � 4 � L2

Por tanto, la superficie del cuadrado con doble longitud de ladoes 4 veces mayor.

3.89

3.88

3.87

3.86

3.85

44

b) �3 7460� 61 0�02 �36 121 � 1

146�121

25

a) �7250� 2 � 02 �4 46 � 6

325�276

49

d) �8 7000� 93 0�02 �81 183 � 3

600�549

51

c) �2 0350� 45 0�2 �16 85 � 5

435�425

10

f) �3 0660� 55 0�02 �25 105 � 5

566�525

41

e) �1 2550� 35 0�2 �9 65 � 5

355�325

30


El largo de un terreno rectangular es el doble queel ancho. Su superficie es de 512 metros cuadrados.¿Cuál es el perímetro del terreno?

La mitad del terreno es un cuadrado de 512 � 2 � 256 me-tros cuadrados.El lado del cuadrado es: �256� � 16 metros.El perímetro del terreno es: 16 � 16 � 32 � 32 � 96 metros.

La raíz cuadrada entera de un número es 15, y su resto es el menor posible. ¿Cuál es el número?

152 � 225El resto menor posible es 1: 225 � 1 � 226 → El número es 226.

Un cuadrado está formado por 81 puntos. ¿Cuántos puntos habrá que añadir a dicho cuadrado para ob-tener otro cuadrado cuyo lado tenga 2 unidades más que el primero?

Si el cuadrado tiene 81 puntos, el lado del cuadrado está constituido por �81� � 9 puntos.El cuadrado que buscamos debe tener 2 unidades más por lado que el primero, es decir: 9 � 2 � 11 puntos.Dicho cuadrado estará constituido por 112 � 121 puntos.Luego el número de puntos que habrá que añadir es: 121 � 81 � 40.


La clave

Marta ha ideado una clave para cifrar mensajes en laque cada letra es una fila de cuatro fichas rojas o ver-des en un orden determinado.

a) ¿Cuántas letras distintas se pueden formar? ¿Habrá suficientes filas para todas las letras del alfabeto?b) Marta ha tenido suficientes letras con las del tablero para escribir el nombre de su animal favorito.

Averígualo.

a) 2 2 2 2 � 24 � 16

No habría combinaciones suficientes para contar con todas las le-tras del alfabeto.

b) Tiene que escribir el nombre de su animal favorito en cuatro len-guas:

BOLBORETA (en gallego)TXIMELETA (en euskera)PAPALLONA (en valenciano)MARIPOSA (en castellano)

3.93

3.92

3.91

3.90

45

AEI

OUVCNX

L

MB

P

R

S

T



Calcula las siguientes potencias.a) 73 b) (�2)4

a) 73 � 343 b) (�2)4 � 16

Escribe el término que falta en cada igualdad.a) �4 � 16 b) (�6)� � 36

a) 24 � 16 b) (�6)2 � 36

Expresa estas potencias como producto o cociente de potencias, según corresponda.a) (5 � 2)3 b) ((�2) � 5 � (�1))7 c) (8 � 3)5 d) ((�12) � 3)3

a) (5 � 2)3 � 53 � 23 c) (8 � 3)5 � 85 � 35

b) ((�2) � 5 � (�1))7� (�2)7 � 57 � (�1)7 d) ((�12) � 3)3 � (�12)3 � 33

Obtén como resultado una potencia y el valor correspondiente.a) 32 � 3 � 33 � 32 c) 229 � 226

b) (�5) � (�5)2 � (�5)4 d) (365 � 68)2

a) 32 � 3 � 33 � 32 � 38 � 6 561 c) 229 � 226 � 23 � 8b) (�5) � (�5)2 � (�5)4 � (�5)7 � �78 125 d) (365 � 68)2

� [(62)5� 68]2

� (610 � 68)2� (62)2

� 64 � 1 296

Halla la raíz cuadrada y el resto de los siguientes números.a) 9 b) 23 c) 400 d) 80

a) 32 � 9 ⇒ La raíz es 3, y el resto, 0.b) 42 � 16 � 23 � 52 � 25 ⇒ La raíz cuadrada entera es 4, y el resto: 23 � 16 � 7.c) 202 � 400 ⇒ La raíz cuadrada es 20, y el resto, 0.d) 82 � 64 � 80 � 92 � 81 ⇒ La raíz cuadrada entera es 8, y el resto: 80 � 64 � 16.

La raíz cuadrada de 314 está comprendida entre 15 y 20. Calcula, por aproximaciones, la raíz cuadra-da del número 314 y el resto.

152 � 225 � 314 162 � 256 � 314 172 � 289 � 314 182 � 324 � 314La raíz cuadrada entera es 17, y el resto: 314 � 289 � 25.

Un campo cuadrangular tiene 2 500 metros cuadrados de superficie. ¿Cuántos metros de valla son ne-cesarios para vallarlo?

El lado del campo rectangular es la raíz cuadrada de 2 500 metros cuadrados: �2 500� � 50.Si el lado del campo mide 50 metros, serán necesarios 4 � 50 � 200 metros de valla para cercarlo.

Se tiene un cuadrado de 121 centímetros cuadrados.¿Cuántos centímetros cuadrados más serán necesarios para obtener un cuadrado de 2 centímetros másde lado?

El lado del cuadrado de 121 cm2 es: �121� � 11 cm.El lado del cuadrado con dos centímetros más medirá 13 cm.El número de centímetros cuadrados de este cuadrado es 132 � 169.Son necesarios 169 � 121 � 48 cm2 más para obtener el cuadrado de 2 centímetros más de lado.

3.A8

3.A7

3.A6

3.A5

3.A4

3.A3

3.A2

3.A1

46

121 cm2


El mayor valor que puede tomar el resto de una raíz es 54.a) ¿Cuál es la raíz?b) ¿Cuál es el número del que se obtiene esa raíz y ese resto?

a) Consideramos un cuadrado de puntos. En un lado de este cuadrado colocamos 27 puntos, y en el adyacente, otros 27 pun-tos (solo faltaría un punto, el correspondiente a la esquina, para completar un cuadrado de 28 puntos de lado). Luego laraíz cuadrada entera es 27.

b) El número es: 272 � 54 � 729 � 54 � 783.

Aplica a estos números la regla explicada para obtener la raíz cuadrada y el resto.

a) 2 081 b) 1 204



CONTAR UN BILLÓN

Como ya sabes, el número 100 se puede poner como una potencia de 10 (100 � 102). Lo mismo le ocurre al1 000 (1 000 � 103), al 10 000, al 100 000…Un billón es la unidad seguida de doce ceros: 1012 � 1 000 000 000 000.Vamos a intentar un ejercicio: calcular el tiempo que tardaríamos en contar desde 1 a un billón. Así, a ojo,parece que tardaremos un rato largo. Pero ¿muy largo?Si contamos cien números por minuto, en una hora contamos hasta el 6 000; en un día, hasta el 144 000; enun año, hasta el 52 560 000…¿Cuánto tardaríamos en llegar al billón?

Si contamos 100 números por minuto, un billón lo contaremos en: 1100

1

0

2

� 1012 � 2 � 1010 minutos.

Si pasamos estos minutos a años obtenemos: 60

1204

10

365 años, lo que equivale a 19 025 años, 10 meses y 19 días.

3.A10

3.A9

47

b) �1 2040� 34 0�0 �9 64 � 4

304�256

48

a) �2 0810� 45 0�2 �16 85 � 5

481�425

56


48

4 FRACCIONES


Indica mediante una fracción la parte coloreada de cada figura.

a) b) c)

a) �26

� b) �24

� c) �38

�

Representa en un segmento la fracción —130.—

Representa mediante un dibujo las siguientes fracciones.

a) —12

— b) —23

— c) —24

— d) —132—

a) �12

� → c) �24

� →

b) �23

� → d) �132� →

Averigua qué parejas de fracciones son equivalentes.

a) —12

— y —1350— b) —

6582— y —

1173— c) —

239— y —

3637—

a) 1 � 30 � 30 y 2 � 15 � 30, luego son equivalentes.

b) 68 � 13 � 884 y 52 � 17 � 884, luego son equivalentes.

c) 3 � 67 � 201 y 29 � 33 � 957, luego no son equivalentes.

Escribe tres fracciones equivalentes que expresen la parte coloreada de la figura.

�146�, �

28

�, �14

�

4.5

4.4

4.3

4.2

4.1


Halla cuatro fracciones ampliadas de cada una de las siguientes.

a) —14

— c) —173— e) —

155—

b) —25

— d) —1117— f) —

110—

a) �14

� � �132� � �

146� � �

250� � �

140000

� c) �173� � �

1246� � �

2319� � �

3356� � �

17300

� e) �155� � �

1300� � �

2600� � �

2755� � �

3900�

b) �25

� � �140� � �

165� � �

2500� � �

2525� d) �

1117� � �

2324� � �

3531� � �

5855� � �

111700

� f) �110� � �

220� � �

330� � �

550� � �

11000

�

Escribe dos fracciones reducidas de cada una de las siguientes.

a) —142— b) —

1220— c) —

6864— d) —

1455— e) —

15000

—

a) �142� � �

26

� � �13

� b) �1220� � �

160� � �

35

� c) �6864� � �

3432� � �

1114� d) �

1455� � �

155� � �

13

� e) �15000

� � �150� � �

12

�

Indica si son irreducibles estas fracciones.

a) —2355— b) —

57

— c) —9489—

a) No es irreducible porque el numerador y el denominador tienen un divisor común distinto de 1: el 5.

b) Sí es irreducible porque el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1.

c) No es irreducible porque el numerador y el denominador tienen un divisor común distinto de 1. Es un número entero: el 49.

Calcula la fracción irreducible en cada caso.

a) —46

— c) —132— e) —

3450—

b) —240— d) —

26

— f) —17050

—

a) �46

� � �23

� c) �132� � �

14

� e) �3450� � �

78

�

b) �240� � �

15

� d) �26

� � �13

� f) �17050

� � �34

�

Simplifica lo más posible las siguientes fracciones.

a) —146— c) —

1105— e) —

1532—

b) —1241— d) —

2455— f) —

3334—

a) �146� � �

14

� c) �1105� � �

23

� e) �1532� � �

14

�

b) �12

41� � �

23

� d) �2445� � �

59

� f) �3334� � �

3334�

Reduce a común denominador.

a) —15

— y —37

— b) —29

— y —16

— c) —34

— y —38

—

a) �15

� y �37

� → denominador común 5 � 7 � 35 → �1

3�

57

�, �3

3�

55

� → �375�, �

1355�

b) �29

� y �16


5�

46

�, �1

5�

49

� → �1524�, �

594�

c) �34

� y �38


3�

28

�, �3

3�

24

� → �2342�, �

1322�

4.11

4.10

4.9

4.8

4.7

4.6

49



a) —58

—, —12

— y —172— b) —

53

—, —152—, —

34

— y —290—

a) �58

�, �12

� y �172� → denominador 8 � 2 � 12 � 192 → , , → �

112902

�, �19962

�, �111922

�

b) �53

�, �152�, �

34

� y �290� → denominador 3 � 12 � 4 � 20 � 2 880

, , , → , , ,

Reduce a mínimo común denominador.

a) —116— y —

38

— b) —376—, —

470— y —

29

—

a) m.c.m.(16, 8) � 24 � 16 → �116� � �

11�

61

�, �38

� � �38

�

�

22

� � �166� → �

116�, �

166�

b) m.c.m.(36, 40, 9) � 23 � 32 � 5 � 360

�376� � �

376

�

�

1100

� � �37600

�, �470� � �

470

�

�

99

� � �36630

�, �29

� � �29

�

�

4400

� � �38600

�


a) —78

—, —12

— y —190— b) —

34

—, —152—, —

73

— y —1230—

a) �78

�, �12

�, �190� → m.c.m.(8, 2, 10) � 23 � 5 � 40 → �

78

� � �78

�

�

55

� � �3450�, �

12

� � �12

�

�

2200

� � �2400�, �

190� � �

190

�

�

44

� � �3460�

b) �34

�, �152�, �

73

�, �12

30� → m.c.m.(4, 12, 3, 20) � 22 � 3 � 5 � 60

�34

� � �34

�

�

11

55

� � �4650�, �

152� � �

152

�

�

55

� � �2650�, �

73

� � �73

�

�

2200

� � �16400

�, �1230� � �

1230

�

�

33

� � �3690�

Escribe una fracción menor que cada una de las siguientes, con igual denominador.

a) —57

— c) —171— e) —

143—

b) —1117— d) —

140— f) —

185—

a) �47

� c) �151� e) �

123�

b) �197� d) �

130� f) �

145�

Escribe una fracción mayor que cada una de las siguientes, con el mismo numerador.

a) —29

— b) —151— c) —

1222— d) —

1135— e) —

9979—

a) �27

� b) �59

� c) �1221� d) �

1132� e) �

9876�

4.16

4.15

4.14

4.13

1 296�2 880

2 160�2 880

1 200�2 880

4 800�2 880

9 � 3 � 12 � 4��

2 8803 � 3 � 12 � 20��

2 8805 � 3 � 4 � 20��

2 8805 � 12 � 4 � 20��

2 880

7 � 8 � 2��

1921 � 8 � 12��

1925 � 2 � 12��

192

4.12

50


Indica cuál es la fracción mayor de cada par.

a) —25

— y —56

— b) —13

— y —37

— c) —89

— y —1112—

a) m.c.m.(5, 6) � 5 � 6 � 30 → �1320� y �

2350�. Es mayor �

56

�.

b) m.c.m.(3, 7) � 21 → �271� y �


37

�.

c) m.c.m.(9, 12) � 22 � 32 � 36 → �3326�, �


1112�.


a) —121— � —

25

— b) —176— � —

78

— c) —133— � —

15

—

a) m.c.m.(5, 11) � 5 � 11 � 55 → �121� � �

25

� � �121

�

�

55

� � �25

�

�

1111

� � �1505� � �

2525� � �

3525�

b) m.c.m.(16, 8) � 24 � 16 → �176� � �

78

� � �176� � �

78

�

�

22

� � �176� � �

1146� � �

2116�

c) m.c.m.(13, 5) � 13 � 5 � 65 → �133� � �

15

� � �133

�

�

55

� � �15

�

�

1133

� � �1655� � �

1635� � �

625�

Calcula el resultado de estas operaciones.

a) —1115— � —

23

— b) —16

— � —34

— � —12

— c) —1101— � —

270— � —

49

— � —1385—

a) m.c.m.(15, 3) � 3 � 5 � 15 → �1115� � �

23

� � �1115� � �

21�

55

� � �1115� � �

1105� � �

115�

b) m.c.m.(6, 4, 2) � 22 � 3 � 12 → �16

� � �34

� � �12

� � �1

1�

22

� � �3

1�

23

� � �1

1�

26

� � �122� � �

192� � �

162� � �

152�

c) m.c.m.(11, 20, 9, 35) � 22 � 32 � 5 � 7 � 11 � 13 860

�11

01� � �

270� � �

49

� � �1385� ��

101�

3 8162060

��71�

3 866903

��4

1�

3 8165040

� ��18

13�

863096

�� 1123

680600

� � �143885610

� � �163186600

� � �173182680

� � �163788610

�


a) 5 � —15

— b) 7 � —25

— c) —59

— � 1

a) 5 � �15

� � �255� � �

15

� � �2265� b) 7 � �

25

� � �355� � �

25

� � �357� c) �

59

� � 1 � �59

� � �99

� � �194�

Calcula el resultado de estas operaciones.

a) 8 � —67

— b) —72

— � 2 c) 6 � —37

— � —114—

a) 8 � �67

� � �576� � �

67

� � �570�

b) �72

� � 2 � �72

� � �42

� � �32

�

c) 6 � �37

� � �114� � �

8144� � �

164� � �

114� � �

8194�

4.21

4.20

4.19

4.18

4.17

51


Para cada figura, escribe la fracción y, a continuación, el número mixto equivalente.

a) b)

a) �86

� � 1�26

� � 1�13

� b) � 3�58

�

Escribe cada fracción como un número entero y otra fracción.

a) —74

— c) —190— e) —

52

—

b) —43

— d) —3321— f) —

13052

—

a) �74

� → 1�34

� c) �190� → 1�

19

� e) �52

� → 2�15

�

b) �43

� → 1�13

� d) �3321� → 1�

311� f) �

13052

� → 2�3325�

Realiza las siguientes multiplicaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

a) —49

— � 3 c) —227— � 3 e) —

16

— � 16

b) 6 � —47

— d) 7 � —258— f) 11 � —

535—

a) �49

� � 3 � �192� � �

43

� c) �227� � 3 � �

267� � �

29

� e) �16

� � 16 � �166� � �

83

�

b) 6 � �47

� � �274� d) 7 � �

258� � �

3258� � �

54

� f) 11 � �535� � �

3535� � �

35

�

Haz un dibujo para cada multiplicación y, después, halla el resultado.

a) —25

— � —12

— b) —45

— � —23

— c) —83

— � —382—

a) → �25

� � �12

� � �120� � �

15

�

b) → �45

� � �23

� � �185�

c) → �83

� � �382� � �

83

� � 4 � �332�

Escribe una multiplicación para cada frase y obtén el resultado.

a) Un cuarto de dos metros. b) Dos quintos de medio metro.

a) �14

� � 2 � �24

� � �12

�. Resultado: medio metro b) �25

� � �12

� � �120� � �

15

�. Resultado: un quinto de un metro

4.26

4.25

4.24

4.23

29�8

4.22

52


Escribe las fracciones inversas de estas fracciones.

a) —23

— c) —130— e) —

17

—

b) —54

— d) —12

— f) —253—

a) �23

� → �32

� c) �130� → �

130� e) �

17

� → 7

b) �54

� → �45

� d) �12

� → 2 f) �253� → �

253�

Representa la fracción —35

— en una recta, y representa en la misma recta la fracción inversa.

a) Compara ambas fracciones.b) ¿Se puede afirmar, en general, que si una fracción es menor que la unidad, su inversa es mayor que

la unidad?

a) En la recta se observa que la fracción inversa de �35

� es mayor.b) Sí se puede afirmar, porque la fracción inversa es mayor que la unidad por tener el numerador mayor que el denominador.

Realiza las siguientes divisiones.

a) —27

— � —13

— b) —141— � —

75

— c) 9 � —23

—

a) �27

� � �13

� � �27

� � 3 � �67

� b) �141� � �

75

� � �141� � �

57

� � �2707� c) 9 � �

23

� � 9 � �32

� � �227�

Calcula el resultado de estas divisiones y exprésalo como fracción irreducible.

a) —59

— � —13

— b) —841— � —

7174— c) 3 � —

271—

a) �59

� � �13

� � �59

� � 3 � �195� � �

53

� b) �841� � �

7174� � �

841� � �

1747� � �

1310384

� � �5165

74

� c) 3 � �271� � 3 � �

271� � �

2211� � 1


Un señor compra un electrodoméstico y lo paga en cuatro plazos. En el primer plazo, paga la sexta partedel precio. En el segundo, paga la mitad de lo que debe en ese momento. En el tercero, paga la quinta par-te de la deuda pendiente. Y en el cuarto, lo que resta, que son 180 euros. ¿Cuánto costaba el electro-doméstico?

Primer plazo: �16

� del precio

Segundo plazo: la mitad de �56

�, es decir, �152�. Lleva pagados �

16

� � �152� � �

172� del precio.

Tercer plazo: la quinta parte de lo que debe, es decir, �152� � 5 � �

112� del precio.

En total lleva pagados �172� � �

112� � �

182� � �

23

� del precio.

Lo que le falta es �13

� del precio, que son 180 euros.

El precio del electrodoméstico es: 180 � 3 � 540 euros.

Hacemos un esquema.

4.31

4.30

4.29

4.28

4.27

53

0 1 253

35

1.er plazo

2.o plazo

4.o plazo3.er plazo


La mitad de la tercera parte de un número es 7. ¿De qué número se trata?

La mitad de la tercera parte es �13

� � 2 � �16

� del número, luego el número buscado es: 7 � 6 � 42.

Si Julio se come las dos quintas partes de una tarta y Ana la mitad de lo que queda, todavía queda untrozo que pesa 150 gramos. ¿Cuál era el peso de la tarta?

Si Julio come �25

�, quedan �35

� de la tarta.

Ana come: �35

� � 2 � �130�

En total han comido �25

� � �130� � �

170�, y quedan, por tanto,

�130� de la tarta, que pesan 150 gramos.

El peso de la tarta era de 500 gramos.


Simplifica las siguientes fracciones.

a) —155— b) —

2300— c) —

1287— d) —

1515—

a) �155� � �

13

� b) �2300� � �

23

� c) �1287� � �

23

� d) �1515� � �

15

�

Expresa en octavos cada fracción.

a) —12

— b) —1146— c) —

2342— d) —

2450—

a) �12

� � �48

� b) �1146� � �

78

� c) �2342� � �

68

� d) �2450� � �

58

�

Realiza los siguientes productos.

a) —79

— � 18 b) —54

— � —135— c) —

25

— � 13

a) �79

� � 18 � 14 b) �54

� � �135� � �

14

� c) �25

� � 13 � �256�

Calcula el resultado de estas divisiones.

a) —25

— � —52

— b) —72

— � —23

— c) —34

— � —52

—

a) �25

� � �52

� � �245� b) �

72

� � �23

� � �241� c) �

34

� � �52

� � �130�

4.37

4.36

4.35

4.34

4.33

4.32

54

Un terciodel total

Un medio de un tercio

Julio

Trozo restante

Ana


Calcula el denominador común para cada par de fracciones y reduce a él las fracciones.

a) —12

—, —13

— b) —12

—, —34

— c) —56

—, —14

—

a) �12

�, �13

� → �36

�, �26

� b) �12

�, �34

� → �24

�, �34

� c) �56

�, �14

� → �1102�, �

132�

Suma las fracciones y expresa el resultado con una fracción irreducible.

a) —58

— � —18

— b) —152— � —

112— c) —

56

— � —23

—

a) �58

� � �18

� � �68

� � �34

� b) �152� � �

112� � �

162� � �

12

� c) �56

� � �23

� � �56

� � �46

� � �96

� � �32

�

Calcula el resultado de las siguientes restas.

a) —35

— � —15

— b) —78

— � —12

— c) —72

— � —74

—

a) �35

� � �15

� � �25

� b) �78

� � �12

� � �78

� � �48

� � �38

� c) �72

� � �74

� � �144� � �

74

� � �74

�

Realiza estas operaciones.

a) 5 � —12

— b) 3 � —13

— c) —94

— � 2

a) 5 � �12

� � �121� b) 3 � �

13

� � �130� c) �

94

� � 2 � �14

�


Fracciones equivalentes

Escribe las fracciones correspondientes a las partes coloreadas y di si son equivalentes.

�34

� y �11

26�

Estas fracciones son equivalentes porque representan la misma parte de un todo. Además, si se multiplican por 4 el numeradory el denominador de la primera fracción, se obtiene la segunda. También podemos comprobar que los productos cruzados soniguales.

Halla otra fracción equivalente a la dada, con términos más pequeños.

a) —36

— b) —248— c) —

132— d) —

1300—

a) �36

� � �12

� b) �248� � �

17

� c) �132� � �

14

� d) �1300� � �

13

�

4.43

4.42

4.41

4.40

4.39

4.38

55


Copia en tu cuaderno y escribe los números que faltan en estas igualdades.

a) —�

5— � —

24

— b) —125— � —

3�

0— c) —

157— � —

1�

6—

a) �150� � �

24

� b) �125� � �

340� c) �

157� � �

1551�

Simplifica las siguientes fracciones.

a) —120— c) —

184— e) —

166— g) —

240—

b) —2505— d) —

231— f) —

1750— h) —

1762—

a) �120� � �

15

� c) �184� � �

47

� e) �166� � �

38

� g) �240� � �

15

�

b) �25

05� � �

141� d) �

231� � �

17

� f) �1750� � �

134� h) �

1762� � �

29

�

Reducción a común denominador


a) —27

— y —14

— b) —251— y —

32

— c) —35

— y —110—

a) �288� y �

278� b) �

1402� y �

6432� c) �

3500� y �

550�


a) —14

— y —16

— b) —274— y —

136— c) —

35

— y —110— d) —

47

—, —13

— y —154—

a) m.c.m.(4, 6) � 22 � 3 � 12 c) m.c.m.(5, 10) � 5 � 2 � 10

�14

� � �14

�

�

33

� � �132�, �

16

� � �16

�

�

22

� � �122� �

35

� � �35

�

�

22

� � �160�, �

110�

b) m.c.m.(24, 16) � 24 � 3 � 48 d) m.c.m.(7, 3, 14) � 2 � 3 � 7 � 42

�274� � �

274

�

�

22

� � �1448� �

136� � �

136

�

�

33

� � �498� �

47

� � �47

�

�

66

� � �2442� �

13

� � �13

�

�

1144

� � �1442� �

154� � �

154

�

�

33

� � �1452�

Comparación de fracciones

Expresa como fracción la parte coloreada y compara las fracciones obtenidas.

a) b)

a) �45

� y �180.� Las dos fracciones son equivalentes. Representan la misma parte de un todo. Si se multiplican el numerador y el

denominador de la primera fracción por 2, se obtiene la segunda.

b) �48

�, �48

� y �85.� Las dos primeras fracciones son iguales, y la tercera es mayor que las anteriores.

4.48

4.47

4.46

4.45

4.44

56


Halla los y los del número 36, y de acuerdo con el resultado obtenido, indica cuál de las dos frac-

ciones es mayor.

�56

� de 36 � �56

� � 36 � 30 �89

� de 36 � �89

� � 36 � 32 De acuerdo con los resultados, �89

� � �56

�.

Dibuja dos rectángulos iguales. Uno, divídelo en 3 partes iguales y colorea 2. El otro, lo divides en6 partes iguales y coloreas 3. Expresa la parte coloreada en fracciones y compáralas.

En las figuras observamos que �23

� > �36

�.

Compara las fracciones de cada par.

a) —47

— y —67

— b) —34

— y —45

— c) —35

— y —58

—

a) �47

� � �67

�

b) m.c.m.(4, 5) � 20 → �1250� y �

1260� → �

1250� � �

1260� → �

34

� � �45

�

c) m.c.m.(5, 8) � 40 → �2440� y �

2450� → �

2440� � �

2450� → �

35

� � �58

�

Ordena de menor a mayor estas fracciones.

—191—, —

45

— y —2535—

�191�, �

45

�, �25

35� → m.c.m.(11, 5, 55) � 55 → �

4555�, �

4545�, �

2535� → �

2535� < �

45

� < �191�

Copia en tu cuaderno y completa con un número, de modo que se cumpla la relación.

a) —57

— > —�

3— b) —

�

9— < —

69

— c) —2123— > —

�

1—

a) �57

� � �23

� b) �59

� � �69

� c) �2123� � �

113�

Suma y resta


a) —32

— � —25

— b) —12

— � —14

— c) —85

— � —58

— d) 5 � —23

—

a) �32

� � �25

� → m.c.m.(2, 5) � 2 � 5 � 10 c) �85

� � �58

� → m.c.m.(5, 8) � 23 � 5 � 40

�32

� � �25

� � �11

50� � �

140� � �

1190� �

85

� � �58

� � �6440� � �

2450� � �

8490�

b) �12

� � �14

� → m.c.m.(2, 4) � 22 � 4 d) 5 � �23

� → m.c.m.(1, 3) � 3

�12

� � �14

� � �24

� � �14

� � �34

� 5 � �23

� � �135� � �

23

� � �137�

4.54

4.53

4.52

4.51

4.50

8—9

5—6

4.49

57

23

36


Calcula el resultado de estas restas.

a) —37

— � —154— b) —

38

— � —141— c) —

52

— � 1

a) �37

� → �154� � m.c.m.(7, 14) � 14 b) �

38

� → �141� � m.c.m.(8, 11) � 88 c) �

52

� � 1 → m.c.m.(2, 1) � 2

�37

� � �154� � �

164� � �

154� � �

114� �

38

� � �141� � �

3838� � �

3828� � �

818� �

52

� � 1 � �52

� � �22

� � �32

�

¿Qué número hay que sumar a —27

— para obtener 1?

1 � �27

� � �77

� � �27

� � �57

�. El número que hay que sumar es la fracción �57

�.

Realiza las siguientes operaciones.

a) 5 � —38

— b) —247— � —

152— � 1 c) 5 � —

37

— � 2

a) m.c.m.(1, 8) � 8 → 5 � �38

� � �480� � �

38

� � �483�

b) m.c.m.(4, 12) � 12 → �247� � �

152� � 1 � �

8112� � �

152� � �

1122� � �

7142� � �

367�

c) m.c.m.(1, 7) � 7 → 5 � �37

� � 2 � 3 � �37

� � �271� � �

37

� � �178�

Fracciones con el numerador mayor que el denominador

Las siguientes fracciones tienen el numerador mayor que el denominador. Escribe el número entero yfracción equivalentes a cada una de ellas.

a) —73

— b) —43

— c) —125— d) —

1130— e) —

54

—

a) �73

� → 2 �13

� b) �43

� → 1 �13

� c) �125� → 7 �

12

� d) �1130� → 1 �

130� e) �

54

� → 1 �14

�

Expresa estos números mediante una fracción.

a) 3 —13

— b) 5 —12

— c) 1 —12

— d) 4 —116— e) 12 —

35

—

a) �130� b) �

121� c) �

32

� d) �6156� e) �

653�

Escribe la fracción correspondiente a la parte coloreada de la figura.

a) b)

a) 1 � 1 � 1 � �34

� � 3 � �34

� � �142� � �

34

� � �145� b) 1 � 1 � �

34

� � �24

� � 2 � �54

� � �84

� � �54

� � �143�

4.60

4.59

4.58

4.57

4.56

4.55

58


Multiplicación y división

Calcula el resultado de estos productos.

a) —13

— � 12 b) —113— � —

113— c) —

141— � —

56

— d) —29

— � —12040

—

a) �13

� � 12 � �132� � 4 b) �

113� � �

113� � 1 c) �

141� � �

56

� � �2606� � �

13

03� d) �

29

� � �12040

� � �94080

� � �21225

�

Realiza estos cocientes.

a) —130— � —

58

— b) —25

— � —43

— c) —64

— � —17

— d) 2 � —47

—

a) �130� � �

58

� � �25

40� � �

1225� b) �

25

� � �43

� � �260� � �

130� c) �

64

� � �17

� � �442� � �

221� d) 2 � �

47

� � 2 � �74

� � �144� � �

72

�

El producto de una fracción por —53

— da de resultado —12

—. ¿Cuál es la fracción?

Fracción � �53

� � �12

�. Esta expresión es equivalente a: Fracción � �12

� � �53

� � �130�.

La fracción es �130�.


En un centro escolar de educación secundaria están matriculados 750 alumnos. En 1.º de ESO hay ma-triculados 125 alumnos. Expresa mediante una fracción irreducible la parte que representan los alumnosde dicho curso.

�172550

� � �12050

� � �350� � �

16

�

Los alumnos de 1.º de ESO representan �16

� de los alumnos del centro.

Un entrenador dispone de 11 jugadores titulares y 6 suplentes. Expresa mediante una fracción la partede jugadores suplentes.

El número total de jugadores es: 11 � 6 � 17.

El número de suplentes es: 6.

Luego la parte de jugadores suplentes es �167�.

Observa el mosaico y calcula la fracción irreducible que expresa la parte de los baldosines de color res-pecto a todos los baldosines del mosaico.

Número total de baldosines: 25

Número de baldosines de color: 10

Luego la parte de baldosines de color es: �1205� � �

25

�.

4.66

4.65

4.64

4.63

4.62

4.61

59


A lo largo de una semana, una tienda de discos ha vendido 231 CD, de los cuales eran de músicapop. ¿Cuántos discos de esta música se han vendido?

�57

� de 231 � �57

� � 231 � �1 1

755� � 165

Se han vendido 165 CD de música pop.

Se han sacado 250 litros de agua de un depósito que contenía 5 000 litros. ¿Qué fracción del contenidodel depósito queda por consumir?

Número de litros totales: 5 000

Número de litros consumidos: 250

Litros que quedan por consumir: 5 000 � 250 � 4 750

Fracción que queda por consumir: �45

70

5000

� � �4570

50

� � �1290�

La fracción que queda por consumir es �1290�.

En dos tiendas de informática venden un modelode ordenador al mismo precio. Pero en la primera

hacen una rebaja de —29

— de su valor, y en la segunda

la rebaja es de —131— del valor.

¿Dónde comprarías el ordenador?

�29

� y �131� → �

2929� y �

2979� ⇒ �

2979� � �

29

29�

Luego �131� � �

29

�; por tanto, haría la compra en la segunda tienda porque hacen mayor descuento.

Carlos tiene una tableta de chocolate dividida en 12 trozos iguales. Invita a Ana con la mitad de los —23

—de la tableta. ¿Cuántos trozos recibe Ana?

Los dos tercios de la tableta son: �23

� � 12 � �234� � 8 trozos.

La mitad de los dos tercios de la tableta es: �12

� � 8 � 4 trozos.

Ana recibe 4 trozos de chocolate.

También se puede resolver directamente así: �12

� � �23

� � 12 � �13

� � 12 � 4

Una familia gasta —14

— de sus ingresos mensuales en consumo de agua, gas, electricidad y teléfono, y —25

—

en alimentación. ¿Qué parte de los ingresos le queda disponible para ahorro y otros gastos?

Parte de los ingresos consumidos: �14

� � �25

� � �250� � �

280� � �

12

30�

Parte de los ingresos no consumidos: 1 � �1230� � �

2200� � �

1230� � �

270�

La parte de ingresos disponible para ahorros y otros gastos viene dada por la fracción �270�.

Jaime está realizando un trabajo. Cuando ya ha dedicado 4 horas, ha conseguido hacer los —34

— del tra-bajo. ¿Cuánto tiempo le llevará hacer todo el trabajo?

�34

� � Total de tiempo � 4 ⇒ Total de tiempo � 4 � �34

� � �136� � 5 �

13

� horas

Realizar todo el trabajo le llevará 5 horas y 20 minutos.

4.72

4.71

4.70

4.69

4.68

5—7

4.67

60


Un agente comercial tiene programadas en su agenda las 8 horas de trabajo de un determinado día. Si

—14

— de este tiempo lo dedica a visitar a sus clientes, ¿qué fracción de todo el día dedica a visitar clientes?

Horas dedicadas a visitar clientes: �14

� de 8 � �14

� � 8 � 2 horas

La fracción de todas las horas del día que dedica a visitar clientes es �224� � �

112�.

Dispones de 50 euros para comprar libros y material deportivo y para hacer fotocopias; lo que no gastas

lo dedicas al ahorro. A lo largo de la primera quincena del mes te has gastado —12

— del dinero inicial, y a

lo largo de la segunda quincena, —25

— de lo que te quedaba. ¿Cuánto dinero has podido ahorrar en estemes?

Dinero gastado en la primera quincena: �12

� � 50 � 25. Te quedan 25 euros.

Dinero gastado en la segunda quincena: �25

� � 25 � 10. Te quedan 25 � 10 � 15 euros.

En el mes has podido ahorrar 15 euros.

En una clase se forman dos grupos de trabajo. El primer grupo representa —14

— del total, y el segundo, los —25

—.

Los 7 alumnos restantes optan por hacer trabajo individual.

a) ¿Cuántos alumnos tiene la clase?

b) ¿Y cuántos pertenecen a cada grupo?

a) La fracción que representa a los dos grupos juntos es: �14

� � �25

� � �1230�.

La fracción que representa a los alumnos que optan por hacer trabajo individual es �270�.

Si �270� corresponde a 7 alumnos, �

210� corresponderá a 1 alumno, y el total corresponderá a 20 alumnos.

b) Al primer grupo pertenecen �14

� � 20 � 5 alumnos.

Al segundo grupo pertenecen �25

� � 20 � 8 alumnos.

R E F U E R Z O

Fracciones equivalentes

Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura y di qué fracciones son equivalentes.

a) b) c)

a) �24

� b) �186� c) �

58

�

Las dos primeras fracciones son equivalentes porque representan la misma parte de un todo. Además, los productos cruzadosson iguales: 2 � 16 � 4 � 8 � 32.

4.76

4.75

4.74

4.73

61


Averigua si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.

a) —34

— y —1284— b) —

15

— y —1248—

a) �34

� y �12

84� → 3 � 24 � 4 � 18 � 72, son fracciones equivalentes.

b) �15

� y �12

48� → 1 � 28 � 28 y 5 � 14 � 70, no son fracciones equivalentes.

Escribe el número que falta para que las fracciones de cada par sean equivalentes.

a) —130— � —

1�

2— b) —

37

— � —2�

8—

a) �130� � �

14

20� b) �

37

� � �1228�

Simplifica estas fracciones.

a) —1162— b) —

360— c) —

1313— d) —

1191800

—

a) �11

62� � �

43

� b) �360� � �

15

� c) �1313� � �

131� d) �

1191800

� � �11918

� � �118�

Calcula —27800

— de 12, simplificando previamente la fracción.

�27800

� � �278� � �

14

� ⇒ �14

� � 12 � 3

Ordena de menor a mayor.

—25

— —47

— —34

— —58

— —49

—

m.c.m.(4, 5, 7, 8, 9) � 23 � 32 � 5 � 7 � 2 520 → �12

050280

�, �12

454200

�, �12

859200

�, �12

152200

�

�25

� � �49

� � �47

� � �58

� � �34

�

Operaciones con fracciones

Halla las fracciones inversas de estas.

a) —17

— b) —131— c) 2 d) —

19000

—

a) �17

� → 7 b) �131� → �

14

� c) 2 → �12

� d) �19000

� → �19000

�

Calcula las siguientes operaciones.

a) —23

— � —79

— b) —131— � —

14

— c) —1170— � —

24400

— d) —53

— � —87

—

a) �23

� � �79

� � �69

� � �79

� � �193� c) �

1170� � �

24400

� � �1170� � �

16

� � �1670�

b) �131� � �

14

� � �14

24� � �

1414� � �

414� d) �

53

� � �87

� � �3254�

4.83

4.82

4.81

4.80

4.79

4.78

4.77

62


Halla el resultado de estas operaciones.

a) 3 � —14

— � 2 � —12

— b) 2 � —13

— � �1 � —116—�

a) 3 � �14

� � 2 � �12

� � 5 � �14

� � �12

� � �240� � �

14

� � �24

� � �243�

b) 2 � �13

� � �1 � �116�� 2 � �

13

� � 1 � �116� � 1 � �

13

� � �116� � �

4488� � �

1468� � �

438� � �

6418�

Calcula.

a) La mitad de la sexta parte de 240. b) Los dos quintos de los tres cuartos de 60.

a) �12

� de ��16

� de 240� � �12

� � �16

� � 240 � �112� � 240 � 20

b) �25

� de ��34

� de 60� � �25

� � �34

� � 60 � �260� � 60 � 18

En un colegio hay un total de 630 alumnos y alumnas; —13

— del total practica el fútbol; —15

—, el baloncesto;

—19

—, el ciclismo; —110—, el tenis, y el resto, la natación. ¿Cuántos practican cada deporte?

Número de alumnos y alumnas que practican el fútbol: �13

� � 630 � 210

Número de alumnos y alumnas que practican el baloncesto: �15

� � 630 � 126

Número de alumnos y alumnas que practican el ciclismo: �19

� � 630 � 70

Número de alumnos y alumnas que practican el tenis: �110� � 630 � 63

Número de alumnos y alumnas que practican la natación: 630 � (210 � 126 � 70 � 63) � 630 � 469 � 161

Luis se ha propuesto regalar 20 libros. Si lo hace, habrá regalado —25

— de todos los libros que tenía. ¿Cuán-tos libros tiene Luis?

�25

� � Total de libros � 20 ⇒ Total de libros � 20 � �25

� � 50

Luis tiene 50 libros.


En una finca se han plantado árboles frutales: —35— son cerezos; —

13

—, manzanos, y —115—, perales. Si entre

cerezos y manzanos hay 140 árboles, ¿cuántos perales habrá?

�35

� � �13

� � �195� � �

155� � �

1145� → �

1145� del total de árboles corresponden a 140 árboles.

�115� del total de árboles corresponde a 10 árboles. Luego hay 10 perales.

(O también: �11

45� � Total de árboles � 140 ⇒ Total de árboles � 140 � �

1145� � 150. Perales: 150 � 140 � 10)

Determina todos los números naturales que puedas poner en lugar de la letra a en esta expresión

—a6

— < —6a

—.

Los números naturales que se pueden poner en lugar de a son 1, 2, 3, 4 y 5, porque con estos números la primera fracción tie-ne el numerador menor que el denominador, con lo que su valor es menor que 1. En cambio, la segunda fracción tiene el nu-merador mayor que el denominador, con lo que su valor es mayor que 1.

4.89

4.88

4.87

4.86

4.85

4.84

63


Antonio regala de sus pegatinas a Carmen. Carmen regala a Jorge de las pegatinas que le regaló

Antonio. Y Jorge regala a Rosa —12

— de las pegatinas que le regaló Carmen. Si Rosa recibe 8 pegatinas,¿cuántas tenía Antonio?

Rosa recibe 8 pegatinas.

Jorge tenía el doble que Rosa: 16 pegatinas.

Carmen tenía el doble que Jorge: 32 pegatinas.

Antonio tenía el doble que Carmen: 64 pegatinas.

Antonio tenía 64 pegatinas.

Ángela ha aprobado la mitad de las asignaturas de la carrera en dos cursos. Se ha propuesto aprobar

—13— de las asignaturas que le quedan en otro curso. Si lo consigue, le quedarían 12 para terminar la

carrera. ¿Cuántas asignaturas tiene la carrera que hace?

Podemos aplicar la estrategia de hacer un esquema:

1.º Aprueba en dos cursos la mitad de las asignaturas: �12

�.

2.º En otro curso se propone aprobar �13

� de las que le quedan: �13

� de �12

� � �13

� � �12

� � �16

�.

3.º Asignaturas hechas: �12

� � �16

� � �46

� � �23

�, luego le faltan para acabar �13

� de las asignaturas.

4.º �13

� � Total de asignaturas � 12 ⇒ Total de asignaturas � 12 � �12

� � 36 asignaturas

La carrera tiene 36 asignaturas.

Un autobús hace el servicio entre dos ciudades A y B. Ha recorrido la cuarta parte del trayecto 25 kiló-metros antes de hacer la primera parada, que está a 125 kilómetros del inicio del recorrido. ¿Cuál es ladistancia entre las dos ciudades?

Al hacer la cuarta parte del trayecto 25 kilómetros antes de hacer la primera parada, que está a 125 kilómetros, la cuarta par-te del recorrido es de 100 kilómetros.

Si �14

� del recorrido son 100 kilómetros, la distancia entre las dos ciudades es: 4 � 100 � 400 kilómetros.

Se han consumido los —78

— del gasóleo del depósito de un vehículo. Se repostan 38 litros, y entonces hay

gasóleo en —35

— partes del depósito. Calcula la capacidad del depósito.

Después de consumir �78

� del gasóleo, quedan en el depósito 1 � �78

� � �18

�.

Se reposta hasta los �35

� de la capacidad del depósito. Luego la fracción de gasóleo que se ha repostado es:

�35

� � �18

� � �24

40� � �

450� � �

1490�

Esta fracción corresponde a 38 litros: �1490� � capacidad del depósito � 38, que equivale a:

Capacidad del depósito: 38 � �1490� � �

381�

940

� � 80

La capacidad del depósito es de 80 litros.

4.93

4.92

4.91

1—2

1—2

4.90

64



Refresco de frutas

Un refresco está compuesto por agua y por zumos de naranja, pera y manzana de forma que: el volu-men total de los tres zumos es el doble que el de agua; el volumen de zumo de naranja es el dobleque el de pera y el volumen de zumo de manzana es la mitad que el de agua.¿Qué fracción de cada componente hay en un volumen de refresco? Razona que gráficos representanesta composición.

Agua 33,3 % es decir �13

�

Naranja 33,3 % es decir �13

�

Pera 16,7 % es decir �16

�

Manzana 16,7 % es decir �16

�

Por tanto, son válidos los gráficos b y d.

La huertaEn una huerta de 400 metros cuadrados se han sembrado cuatro tipos de verduras: tomates, judías, pi-mientos y lechugas.Observando la figura, averigua el área dedicada al cultivo de cada verdura.

Tomates: �25

� � �44

� � �280� �

280� de 400 � �

280� � 400 � 160 m2

Lechugas: �35

� � �14

� � �230� �

230� de 400 � �

230� � 400 � 60 m2

Pimientos: �25

� � �34

� � �260� �

260� de 400 � �

260� � 400 � 120 m2

Judías: �15

� � �34

� � �230� �

230� de 400 � �

230� � 400 � 60 m2


Escribe la fracción que expresa la parte destacada de cada segmento. ¿Cómo son las fracciones?

a)

b)

c)

a) �13

� b) �26

� c) �142�

Las fracciones son equivalentes.

4.A1

4.95

4.94

65

Naranja Pera Manzana Agua

Naranja Pera Manzana Agua

a)

b)

c)

d)

Naranja

PeraManzana

Agua

Naranja

Pera

Manzana

Agua


Dada la fracción encuentra la fracción equivalente que tiene:

a) Numerador 18.

b) Denominador 25.

c) Denominador 100.

a) �560� � �

560

�

�

33

� � �11580

� b) �560� � �

560

�

�

22

� � �235� c) �

560� � �

560

�

�

22

� � �11020

�

Simplifica las siguientes fracciones hasta conseguir la fracción irreducible.

a) —363— c) —

110658

—

b) —3258— d) —

292050

—

a) �363� � �

121� c) �

110658

� � �3556� � �

58

�

b) �32

58� � �

54

� d) �292050

� � �37050

� � �12050

� � �250� � �

14

�

Ordena las fracciones de mayor a menor.

—35

— —78

— —34

—

m.c.m.(5, 8, 4) � 23 � 5 � 40 → �2440�, �

3450�, �

3400� → �

78

� � �34

� � �35

�

Haz las siguientes operaciones.

a) —15

— � 2 � —125— � —

13

—

b) —43

— � �—125— � —

19

—�a) �

15

� � 2 � �125� � �

13

� � �135� � �

3105� � �

125� � �

155� � �

4105� � �

83

�

b) �43

� � ��125� � �

19

�� 43

� � �125� � �

19

� � �6405� � �

465� � �

455� � �

5495�

Realiza estas operaciones.

a) —12

— � —35

— b) 1 � —115— c) �—

67

— � —15

—� � 1

a) �12

� � �35

� � �130�

b) 1 � �115� � 15

c) ��67

� � �15

�� 1 � �370� � 1 � �

370� � �

77

� � �377� � 5 �

27

�

Alicia ha escrito los —49

— de un trabajo de 36 páginas. ¿Cuántas páginas ha escrito?

�49

� de 36 � �49

� � 36 � 16. Alicia ha escrito 16 páginas.

4.A7

4.A6

4.A5

4.A4

4.A3

6—50,

4.A2

66


Una especialista en informática ha cobrado 403 euros por instalar una red de ordenadores. Ha dedica-do 6 horas y un quinto de la siguiente. ¿Cuál es el precio de su hora de trabajo?

403 � 6 �15

� � 403 � �351� � �

230115� � 65

El precio de la hora de trabajo es de 65 euros.

Una caja de tornillos pesa —34

— de kilogramo. Si tenemos almacenados en total 4 kilogramos y medio de

tornillos, ¿cuántas cajas hay?

4 �12

� � �34

� � �92

� � �34

� � �366� � 6. Hay 6 cajas de tornillos.

En clase de Lengua, nos recomiendan leer —38

— de las páginas de un libro. Adrián ha leído ya la mitad

de dichas páginas. Si el libro tiene 224 páginas, ¿cuántas ha leído Adrián?

�38

� de 224 � �38

� � 224 � 84

Adrián ha leído la mitad de estas páginas: 84 � 2 � 42 páginas

Adrián ha leído 42 páginas.



LIMONADA EMBOTELLADA

María ha comprado las siguientes botellas de limonada para su fiesta de cumpleaños:

6 botellas de 1 litro

5 botellas de —34

— de litro

4 botellas de —12

— de litro

3 botellas de —14

— de litro

Quiere colocar las botellas en dos mesas, de forma que en cada una de ellas haya la misma cantidad de li-monada y la misma cantidad de botellas.¿Podrías ayudarle a hacer el reparto?

Calculando el total de litros de limonada, 6 � 1 � 5 � �34

� � 4 � �12

� � 3 � �14

� � �225�, y el total de botellas, 18, deducimos que en

cada mesa debe haber 25 � 2 � 12,5 litros de limonada en 9 botellas.

Un posible reparto es:

Primera mesa: 4 botellas de 1 litro Segunda mesa: 2 botellas de 1 litro

2 botellas de �34

� de litro 3 botellas de �34

� de litro

3 botellas de �14

� de litro 4 botellas de �12

� de litro

4.A10

4.A9

4.A8

67


68

5 NÚMEROS DECIMALES


Expresa los siguientes números en los distintos órdenes de unidades.

Expresa en unidades.a) 23 decenas c) 4,24 décimasb) 100 centésimas d) 5 centenas

a) 23 decenas � 230 unidades c) 4,24 décimas � 0,424 unidadesb) 100 centésimas � 1 unidad d) 5 centenas � 500 unidades

Copia y completa estas igualdades.a) 27 d � 2 U � 7 d � 2,7 e) 450 C �

b) 235 d � 23 U � 5 d � f) 75 U �

c) 159 c � g) 105 m �

d) 242 m � h) 7 856 c �

a) 27 d � 2 U � 7 d � 2,7 e) 450 C � 4 DM � 5 UM � 45 000b) 235 d � 2 C � 3 U � 5 d � 23,5 f) 75 U � 7 C � 5 U � 75c) 159 c � 1 U � 5 d � 9 c � 1,59 g) 105 m � 0 U � 1 d � 0 c � 5 m � 0,105d) 242 m � 0 U � 2 d � 4 c � 2 m � 0,242 h) 7 856 c � 7 D � 8 U � 5 d � 6 c � 78,56

Escribe los números decimales correspondientes.a) 7 decenas, 8 milésimas c) 9 centenas, 5 unidades, 3 décimasb) 5 unidades, 6 centésimas d) 19 milésimas

a) 7 decenas, 8 milésimas = 70,008 c) 9 centenas, 5 unidades, 3 décimas � 905,3b) 5 unidades, 6 centésimas = 5,06 d) 19 milésimas � 0,019

Representa —15

—, —38

— y —23

— en una recta y determina el número decimal equivalente.

�15

� � 0,2 �38

� � 0,375 �23

� � 0,666…

Indica el período de estos números decimales.a) 1,1111… c) 2,555…b) 2,5 d) 0,2123123123…

a) 1,1111… Período: 1 c) 2,555… Período: 5b) 2,5 Exacto d) 0,2123123123… Período: 123

5.6

5.5

5.4

5.3

5.2

5.1

Número C D U d c m

5,27 5 2 7

42,36

235,04

110,204

Número C D U d c m

5,27 5 2 7

42,36 4 2 3 6

235,04 2 3 5 0 4

110,204 1 1 0 2 0 4

0 1

38

15

23


Escribe en forma de fracción decimal los siguientes números decimales exactos.a) 6,78 e) 45,009b) 12,73 f) 54,6c) 0,02 g) 90,012d) 8,057 h) 0,003

a) 6,78 � �61

70

80

� e) 45,009 � �415000009

�

b) 12,73 � �1120703

� f) 54,6 � �51406

�

c) 0,02 � �1

200� g) 90,012 � �

910000102

�

d) 8,057 � �81

00

50

70

� h) 0,003 � �1 0

300�

Ordena de menor a mayor estos números decimales.a) 1,1 1,09 1,11b) 4,88 4,79 4,8…

a) 1,1 1,09 1,11 → 1,09 � 1,1 � 1,11b) 4,88 4,79 4,8… → 4,79 � 4,88 � 4,88…

Ordena de menor a mayor los siguientes números, expresando las fracciones previamente en forma de-cimal.

—12

— 0,4 —49

— 0,6 —59

—

�12

� � 0,5 0,4 �49

� � 0,444… 0,6 �59

� � 0,555…

0,4 � 0,444… � 0,5 � 0,555… � 0,6 → 0,4 � �49

� � �12

� � �59

� � 0,6

Copia las siguientes sumas y averigua las cifras que faltan.

a) b)

a) b)

Copia las siguientes restas y averigua las cifras que faltan.

a) b)

a) b)

Halla el resultado de estas multiplicaciones.

a) 0,1 � 10 b) 0,05 � 10 c) 0,01 � 100 d) 0,006 � 100

a) 0,1 � 10 � 1 b) 0,05 � 10 � 0,5 c) 0,01 � 100 � 1 d) 0,006 � 100 � 0,6

5.12

5.11

5.10

5.9

5.8

5.7

69

� 0,87� 0,�� 0,396� 2,166

� 23,�96� 59,8� 6,54� 89,7�6

� 5,17� �,6� 1,57

� 26,45� 8,�93� 17,8��

� 0,87� 0,9� 0,396� 2,166

� 23,396� 59,8� 6,54� 89,736

� 5,17� 3,6� 1,57

� 26,45� 8,593� 17,857


Realiza las siguientes divisiones.a) 25,5 � 10 b) 0,5 � 10 c) 10,1 � 100 d) 10,06 � 1 000

a) 25,5 � 10 = 2,55 b) 0,5 � 10 = 0,05 c) 10,1 � 100 = 0,101 d) 10,06 � 1000 = 0,01006

Efectúa las siguientes multiplicaciones.a) 0,8 � 0,7 c) 0,5 � 0,136 e) 2 � 3,005b) 0,69 � 0,04 d) 3,5 � 0,32 f) 1,01 � 101

a) c) e)

b) d) f)

Copia y completa estas igualdades.a) 0,5 � 7 � � c) 0,06 � 0,1 � �

b) 0,6 � 0,1 � � d) 0,5 � 0,01 � �

a) 0,5 � 7 � 3,5 c) 0,06 � 0,1 � 0,006b) 0,6 � 0,1 � 0,06 d) 0,5 � 0,01 � 0,005

Calcula mentalmente el número que falta.a) 3,25 � � � 0,325 c) 0,2 � � � 1,6b) 12,3 � � � 1,23 d) 0,05 � � � 1

a) 3,25 � 0,1 � 0,325 c) 0,2 � 8 � 1,6b) 12,3 � 0,1 � 1,23 d) 0,05 � 20 � 1

En un vaso caben 0,24 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua caben en 7 vasos?

0,24 � 7 � 1,68 LEn 7 vasos caben 1,68 litros de agua.

Cada bombón de una caja pesa 20,18 gramos. ¿Cuánto pesa la caja si contiene 18 bombones?

20,18 � 18 � 363,24 gLa caja de bombones pesa 363,24 gramos.

Haz estas divisiones.

a) 25,8 � 1,2 c) 324,7 � 17b) 4,08 � 2,5 d) 43,76 � 0,8

a) 25,8 � 1,2 → 258 � 12 c) 324,7 � 17

b) 4,08 � 2,5 → 40,8 � 25 d) 43,76 � 0,8 → 437,6 � 8

5.19

5.18

5.17

5.16

5.15

5.14

5.13

70

0,8� 0,70,56

0,136� 0,50,0680

3,005� 26,010

0,69� 0,040,0276

3,5� 0,32

701052

1,120

1,01� 101

10110152

102,01

258 12218 21,525602500

324,7 12154 19,110172500

40,8 2515 8 1,63210801005010000

437,6 8437,6 54,7435,6543 0


Halla los cocientes de las siguientes divisiones, con una cifra decimal.

a) 14,3 � 2,1 c) 308 � 3

b) 11,82 � 3,5 d) 123,8 � 0,07

a) c)

b) d)

La pieza de tela de la figura se divide en trozos de 0,75 metros cada uno. ¿Cuántos trozos se puedenobtener?

Se pueden obtener 7 trozos.


Juan tiene que decir el resultado de la operación: 3,4 � 16,35 � 1,1 � 0,826, sabiendo que es uno de estosnúmeros:

Ayúdale sin utilizar lápiz y papel, ni calculadora.

A simple vista, sumando las partes enteras de los números, vemos que el resultado es mayor que 20, con lo que se descarta el19,476, y como las partes decimales también suman más que 1, podemos descartar el 20,076.

A su vez, haciendo la suma por exceso, el resultado no llega a 23, con lo que se descarta el 23,876 y nos quedamos con el úni-co resultado posible: 21,676.

Hemos dividido dos números naturales con la calculadora y en la pantalla ha aparecido el resultado:0,764705882

Si el dividendo es menor que 20, averigua de qué números se trata.

Los números son 13 y 17. Procedemos así: el resultado de �Dd

� está próximo a �34

� � 0,75. Las fracciones equivalentes a �34

� en las

que el numerador es menor que 20 son �34

� � �68

� � �192� � �

1126� � �

1250� � �

12

84�. Como 0,7647… es algo mayor que �

34

�, probamos

a aumentar una unidad el numerador y el denominador: 4 entre 5, 7 entre 9, y llegamos a 13 entre 17, que da el resultado

pedido.

El numerador de la fracción buscada es 13, y el denominador, 17.

5.23

5.22

5.21

5.20

71

14,3 � 2,1 → 143 21170 6,8102

30,8 � 3 → 30,8 300 8 10,21 02

11,82 � 3,5 → 118,2 3513 2 3,3

1 27

5,25 � 0,75 → 525 7500 7

123,8 � 0,07 → 12 380 715 380 1 768,5

1 12 481 12 4601 12 48401 12 48445

20,076 23,876 21,676 19,476



¿Cuántas unidades tienen los siguientes números?

a) 21,032 c) 1,9 e) 100

b) 0,91 d) 0,99 f) 312,28

a) 21 c) 1 e) 100

b) 0 d) 0 f) 312

¿Cuántas centésimas tienen estos números decimales?

a) 0,01 c) 3 e) 0,7532

b) 0,10 d) 1,8 f) 12

a) 1 c) 300 e) 75

b) 10 d) 180 f) 1 200

Averigua los números que faltan.

a) 0,4 � 0,5 � � c) 1,8 � 1,3 � � e) 1,7 � 9 � �

b) 1,1 � 1,9 � � d) 8,2 � 5 � � f) 8 � 10 � �

a) 0,4 � 0,5 � 0,9 c) 1,8 � 1,3 � 0,5 e) 1,7 � 9 � 15,3

b) 1,1 � 1,9 � 3 d) 8,2 � 5 � 1,64 f) 8 � 10 � 80

Calcula estos productos.

a) 0,2 � 10 c) 0,05 � 10 e) 0,09 � 100

b) 0,92 � 10 d) 0,1 � 100 f) 0,9 � 10

a) 0,2 � 10 � 2 c) 0,05 � 10 � 0,5 e) 0,09 � 100 � 9

b) 0,92 � 10 � 9,2 d) 0,1 � 100 � 10 f) 0,9 � 10 � 9

Copia y completa estas igualdades.

a) 8,3 � � � 0,3 d) 1,1 � � � 110

b) 2,5 � � � 5 e) 20 � � � 2

c) � � 3,5 � 7 f) 20 � � � 200

a) 8,3 � 8 � 0,3 d) 1,1 � 100 � 110

b) 2,5 � 2 � 5 e) 20 � 10 � 2

c) 2 � 3,5 � 7 f) 20 � 0,1 � 200

Calcula los siguientes cocientes.

a) 0,5 � 10 d) 0,9 � 100

b) 3,4 � 10 e) 9,1 � 10

c) 0,34 � 10 f) 23,28 � 1 000

a) 0,5 � 10 � 0,05 d) 0,9 � 100 � 0,009

b) 3,4 � 10 � 0,34 e) 9,1 � 10 � 0,91

c) 0,34 � 10 � 0,034 f) 23,28 � 1 000 = 0,02328

5.29

5.28

5.27

5.26

5.25

5.24

72



Cifras decimales

Descompón cada número en los distintos órdenes de unidades.a) 227,3 d) 234,52b) 0,045 e) 224,05c) 0,24 f) 0,008

a) 227,3 � 2 C 2 D 7 U 3 d d) 234,52 � 2 C 3 D 4 U 5 d 2 cb) 0,045 � 4 c 5 m e) 224,05 � 2 C 2 D 4 U 0 d 5 cc) 0,24 � 2 d 4 c f) 0,008 � 8 m

Escribe el número decimal correspondiente en cada caso.a) 28 c d) 2 D 3 cb) 25 d e) 5 C 8 U 2 cc) 500 c f) 3 U 1 m

a) 28 c � 0,28 d) 2 D 3 c � 20,03b) 25 d � 2,5 e) 5 C 8 U 2 c � 508,02c) 500 c � 5 f) 3 U 1 m � 3,001

Escribe el número decimal que se componga de:a) 234 milésimas y 2 decenasb) 3 centenas y 1 235 milésimasc) 23 unidades y 6 centésimas

a) 234 milésimas y 2 decenas � 0,234 � 20 � 20,234b) 3 centenas y 1 235 milésimas � 300 � 1,235 � 301,235c) 23 unidades y 6 centésimas � 23 � 0,06 � 23,06

Ordenación

Escribe el número que es una décima mayor que cada uno de estos números.a) 0,6 d) 0,136b) 0,24 e) 0,9c) 0,05 f) 0,016

a) 0,6 → 0,7 d) 0,136 → 0,236b) 0,24 → 0,34 e) 0,9 → 1c) 0,05 → 0,15 f) 0,016 → 0,116

Escribe el número que es menor en 3 centésimas que los siguientes números.a) 0,827 d) 0,52b) 1,2 e) 10,2c) 2,2 f) 10,02

3 c � 0,03

a) 0,827 � 0,03 � 0,797 d) 0,52 � 0,03 � 0,49b) 1,2 � 0,03 � 1,17 e) 10,2 � 0,03 � 10,17c) 2,2 � 0,03 � 2,17 f) 10,02 � 0,03 � 9,99

Encuentra el número que es 1 décima y 5 centésimas menor que cada uno de los siguientes números.a) 2,5 c) 0,001b) 12,1 d) 1,9

1 d y 5 c � 0,15

a) 2,5 � 0,15 � 2,35 c) 0,001 � 0,15 � �0,149b) 12,1 � 0,15 � 11,95 d) 1,9 � 0,15 � 1,75

5.35

5.34

5.33

5.32

5.31

5.30

73


Encuentra el número que es 2 décimas y 5 milésimas menor que cada uno de estos números.

a) 1,258 d) 2,0035b) 3,75 e) 0,205c) 0,3 f) 9,00085

2 d y 5 m = 0,205

a) 1,258 � 0,205 � 1,053 d) 2,0035 � 0,205 � 1,7985b) 3,75 � 0,205 � 3,545 e) 0,205 � 0,205 � 0c) 0,3 � 0,205 � 0,095 f) 9,00085 � 0,205 � 8,79585

Ordena de mayor a menor los siguientes números.

a) 3,235 3,205 3,215b) 0,562 1,0035 0,4987c) 0,0238 0,048 0,01287

a) 3,235 � 3,215 � 3,205b) 1,0035 � 0,562 � 0,4987c) 0,048 � 0,0238 � 0,01287

Fracciones y decimales

Expresa cada fracción como número decimal y di si es exacto o periódico.

a) —12

— b) —25

— c) —116—

a) �12

� � 0,5 → Exacto b) �25

� � 0,4 → Exacto c) �116� � 0,0625 → Exacto

Indica el período de los números decimales correspondientes a estas fracciones.

a) —13

— c) —161— e) —

194—

b) —222— d) —

161— f) —

3214—

a) �13

� � 0,333… Período: 3 c) �161� � 1,8333… Período: 3 e) �

194� � 1,555… Período: 5

b) �12

22� � 0,545454… Período: 54 d) �

161� � 0,545454… Período: 54 f) �

3214� � 1,291666… Período: 6

Suma y resta de números decimales


a) 1,9 � 0,1 c) 123,824 � 250,001b) 2,89 � 0,11 d) 2,9 � 2 991,199

a) 1,9 � 0,1 � 2 c) 123,824 � 250,001 � 373,825b) 2,89 � 0,11 � 3 d) 2,9 � 2 991,199 � 2 994,099

Haz las siguientes restas.

a) 2,9 � 0,9 c) 1 324,89 � 1,11b) 132,87 � 14,89 d) 12,999 � 11,09

a) 2,9 � 0,9 � 2 c) 1 324,89 � 1,11 � 1 323,78b) 132,87 � 14,89 � 117,98 d) 12,999 � 11,09 � 1,909

5.41

5.40

5.39

5.38

5.37

5.36

74


Realiza las siguientes operaciones.a) 123,208 � 12,8 � 0,1b) 0,098 � 0,007 � 3,088c) 2,008 � 0,02 � 0,15

a) 123,208 � 12,8 � 0,1 � 110,508b) 0,098 � 0,007 � 3,088 � 3,179c) 2,008 � 0,02 � 0,15 � 1,878

Multiplicación de números decimales

Halla estos productos.a) 8 � 0,7 c) 2,08 � 0,25 e) 0,5 � 0,136b) 0,69 � 0,7 d) 0,7 � 4 f) 21,05 � 3,8

a) c) e)

b) d) f)

Realiza las siguientes multiplicaciones.a) 21,09 � 208,08b) 8,00087 � 12,09c) 101,9007 � 12,001d) 3,12 � 0,08e) 4,89 � 0,11

a) b) c)

d) 3,12 � 0,08 � 0,2496 → 0,2 e) 4,89 � 0,11 � 0,5379 → 0,5

División de números decimales

En cada una de estas divisiones, coloca la coma en el lugar que corresponda.

a) b) c) 18,36 � 9 � 204 d) 49,35 � 329 � 15

a) b) c) 18,36 � 9 � 2,04 d) 49,35 � 3,29 � 15

5.45

5.44

5.43

5.42

75

56,32 1658,32 35256,3256,30

15,61 71,611 2231521515,01

56,32 1658,32 3,5256,3256,30

15,61 71,611 2,231521515,01

8� 0,7

5,6

0,136� 0,50,0680

0,69� 0,70,483

0,7� 4

2,8

2,08� 0,25

10404162

0,5200

21,09� 208,08

168721687272

421872524388,4072

21,05� 3,81684063152

79,990

8,00087� 12,09

720078316001748380008748396,7305183

101,9007� 12,001

10190072038014007

101900740071222,9103007


Haz las siguientes divisiones.

a) 36,9 � 4,1 c) 47,7 � 0,09 e) 4,992 � 0,08b) 5,36 � 0,67 d) 4,731 � 0,57 f) 2,183 � 0,37

a) c) e)

b) d) f)


Una ONG recogió 10 cajas de 325,7 kilogramos de arroz, 100 bolsas de 40,25 kilogramos de patatas y 1000bolsas de 12,725 kilogramos de azúcar. ¿Cuántos kilogramos de alimentos recogieron?

325,7 � 10 � 3 257 kg 40,25 � 100 = 4 025 kg 12,725 � 1 000 = 12 725 kg

3 257 � 4 025 � 12 725 � 20 007 kg

Recogieron 20 007 kilogramos de alimentos.

En el depósito de un coche caben 48,5 litros de gasolina. En la gasolinera llenan el depósito con 42,7 li-tros. ¿Cuántos litros de gasolina tenía el depósito antes de repostar?

48,5 � 42,7 � 5,8 L

El depósito contenía 5,8 litros antes de repostar.

David tiene 31,92 euros ahorrados, y ha decidido regalar la cuarta parte a su hermana por su cumpleaños.a) ¿Cuánto dinero regala David a su hermana?b) ¿Cuánto dinero le queda?

31,92 � 4 � 7,98. David le regala a su hermana 7,98 euros.

31,92 � 7,98 � 23,94. A David le quedan 23,94 euros.

Una de las maravillas naturales del mundo son las cataratas de Iguazú, situadas entre Argentina, Brasily Paraguay. Tienen 82 metros de altura y 3 kilómetros de anchura. Expresa su altura en kilómetros y de-termina cuántas veces es mayor su anchura que su altura.

Altura: 82 m � 0,082 km

3 � 0,082 � 36,59 → 37 veces

La anchura de las cataratas es 37 veces mayor que la altura.

El túnel ferroviario más largo del mundo es el Seikan, en Japón, que mide 33,42 millas.Calcula su longitud en kilómetros, sabiendo que una milla equivale a 1,609 kilómetros.

33,42 � 1,609 � 53,77

El túnel mide 53,77 kilómetros.

La anchura de una habitación es 3,15 metros. La longitud es 1,5 veces mayor que la anchura.¿Cuánto mide el rodapié de toda la habitación, si la anchura de la puerta es de 60 centímetros?

Anchura: 3,15 m Longitud: 3,15 � 1,5 � 4,725 m Puerta: 60 cm � 0,60 m

Rodapié: 2 � 3,15 � 2 � 4,725 � 0,60 � 15,15 m

El rodapié mide 15,15 metros.

5.52

5.51

5.50

5.49

5.48

5.47

5.46

76

36,9 � 4,1 → 369 411 00 9

47,7 � 0,09 → 4770 94270 530400420

4,992 � 0,08 → 499,2 8419 62,449324130

5,36 �0,67 → 536 67500 8

4,731 � 0,57 → 473,1 57417,1 8,347,00

2,183 � 0,37 → 218,3 37433,3 5,947,00


Sonia sale de su casa con 22,55 euros. Compra un libro por 19,55 euros, y con la quinta parte de lo quele queda compra una barra de pan. ¿Con cuánto dinero vuelve Sonia?

Dinero que le queda: 22,55 � 19,55 € � 3 €La quinta parte de lo que le queda: 3 � 5 � 0,60 €Vuelve con: 3 € � 0,60 € � 2,40 €Sonia vuelve con 2,40 euros.

El principio activo de una cápsula de un analgésico pesa 575 miligramos.¿Cuántos gramos de principio activo son necesarios para fabricar una caja con 20 cápsulas?

575 � 20 � 11 500 mg � 11,500 gPara una caja de 20 cápsulas son necesarios 11,5 g de principio activo.

El largo reglamentario de una pista de tenis es 23,77 metros. La anchura es 0,3462 veces el largo, y elalto de la red, 0,0378 veces el largo.¿Cuáles son las medidas reglamentarias de una pista de tenis?

Largo: 23,77 mAncho: 23,77 � 0,3462 = 8,23 mAlto de la red: 23,77 � 0,0378 = 0,90 mLa anchura de la pista y el alto de la red miden 8,23 y 0,9 metros, respectivamente.

Tres amigos han decidido comprar un ordenador que cuesta 724,57 euros.¿Cuántos euros y céntimos tiene que pagar cada amigo si lo pagan a partes iguales?

724,57 � 3 = 241,52333… €Cada amigo tiene que pagar 241 euros y 52 céntimos.

En el trayecto de casa al trabajo, un coche consume 7,25 litros de gasolina sin plomo cada 100 kilóme-tros. El trayecto de casa al trabajo es de 18 kilómetros.Si el trabajador hace un viaje de ida y otro de vuelta diarios durante los 22 días que trabaja al mes,¿cuál es el gasto mensual en gasolina si el litro de gasolina sin plomo cuesta 0,918 euros?

Consumo por kilómetro: 7,25 � 100 � 0,0725 LConsumo por día: 0,0725 � 36 � 2,61 LConsumo a lo largo de los 22 días: 2,61 � 22 � 57,42 LGasto mensual: 57,42 � 0,918 � 52,71156 € ⇒ 52 € 71 centEl gasto mensual en gasolina es de 52 euros y 71 céntimos.

De un listón de madera de 2,15 metros de longitud se recortan trozos iguales de 25 centímetros. ¿Cuántosmetros de madera se desperdician si se recortan 5 listones?

Trozos de un listón: 2,15 � 0,25 � 8,6 ⇒ 8 trozos, y se desperdician 0,6 � 0,25 � 0,15Desperdicio con 5 listones: 0,15 m � 5 � 0,75 mEn cinco listones se desperdician 0,75 metros.

R E F U E R Z O

Números decimales y fracciones

Descompón los siguientes números en decenas, unidades, décimas, centésimas y milésimas.a) 22,5 e) 2,002b) 2,7 f) 20,21c) 23,028 g) 0,009d) 0,91 h) 1,111

a) 22,5 � 2 D 2 U 5 d e) 2,002 � 2 U 2 mb) 2,7 � 2 U 7 d f) 20,21 � 2 D 2 d 1 cc) 23,028 � 2 D 3 U 0 d 2 c 8 m g) 0,009 � 9 md) 0,91 � 0 U 9 d 1 c h) 1,111 � 1 U 1 d 1 c 1 m

5.59

5.58

5.57

5.56

5.55

5.54

5.53

77


Expresa en milésimas estos números.a) 5 e) 0,025b) 5,1 f) 0,0005c) 5,12 g) 3,845d) 5,124 h) 12,0908

a) 5 � 5 000 m e) 0,025 � 25 mb) 5,1 � 5 100 m f) 0,0005 � 0,5 mc) 5,12 � 5 120 m g) 3,845 � 3 845 md) 5,124 � 5 124 m h) 12,0908 � 12 090,8 m

Expresa en décimas cada uno de los siguientes números.a) 1,011 d) 1,203b) 11 e) 2,99999c) 0,3114 f) 0,09898

a) 1,011 � 10,11 d d) 1,203 � 12,03 db) 11 � 110 d e) 2,99999 � 29,9999 dc) 0,3114 � 3,114 d f) 0,09898 � 0,9898 d

A partir de estas fracciones, obtén los números decimales correspondientes. Indica si son exactos operiódicos, y señala el período.

a) —65

— b) —163— c) —

181— d) —

1145— e) —

3215— f) —

232—

a) �65

� � 1,2 → Exacto d) �1145� � 0,9333… → Periódico. Período: 3

b) �163� � 2,1666… → Periódico. Período: 6 e) �

3215� � 1,24 → Exacto

c) �181� � 0,727272… → Periódico. Período: 72 f) �

232� � 0,1363636… → Periódico. Período: 36

Ordenación de números decimales

Ordena de mayor a menor los siguientes números.0,378 0,370 0,379 0,4

0,4 � 0,379 � 0,378 � 0,370

Ordena estos números de menor a mayor.a) 1,2 1,9 1,19 1,21 b) 0,3 0,35 0,33 —

13

—

a) 1,19 � 1,2 � 1,21 � 1,9 b) �13

� � 0,33… ⇒ 0,3 � 0,33 � 0,3… � 0,35

¿Qué número es mayor, 0,4444 ó —49

—? Explícalo.

Expresión decimal de �49

� � 0,4…

Si vamos comparando las cifras de los primeros cuatro órdenes, son iguales, pero las del 5.º orden son 0 y 4.

Por tanto, 4 � 0 ⇒ �49

� � 0,4444.

Operaciones con números decimales

Realiza las siguientes operaciones.a) 0,09 � 25,3 � 38,025 b) 21,032 � 14,008 � 3,2109

a) b)

5.66

5.65

5.64

5.63

5.62

5.61

5.60

78

� 0,09� 25,3� 38,025� 63,415

� 21,032� 14,008� 3,2109� 38,2509


Efectúa estas multiplicaciones.a) 0,45 � 5 c) 3,28 � 7 e) 4,62 � 35b) 3,205 � 11 d) 12,09 � 9,1 f) 200,4 � 32,08

a) c) e)

b) d) f)

Calcula el cociente de estas divisiones, con tres cifras decimales.a) 23,2 � 2,2 c) 0,857 � 1,54b) 0,0277 � 1,3 d) 0,0058 � 0,037

a) c)

b) d)

Con 3,75 litros de zumo, ¿cuántos vasos de 0,27 litros se pueden llenar?

3,75 � 0,27 � 13,88888… ⇒ 14Se pueden llenar unos 14 vasos.


El perímetro de un rectángulo es 29,75 centímetros. La longitud del lado AB es 3 veces menor que ladel perímetro. Calcula la longitud de cada lado.

Lado AB: 29,75 cm � 3 � 9,92 cmLado AB más su opuesto: 9,92 � 9,92 � 19,84 cmPerímetro menos la longitud de los dos lados opuestos: 29,75 � 19,84 � 9,91 cmLongitud del otro lado: 9,91 � 2 � 4,96 cmUn lado mide 9,92 centímetros, y el otro, 4,96.

El ancho de un campo de fútbol es los tres cuartos dellargo. Calcula cuántas vueltas hay que dar al perímetrodel campo para recorrer 2 050 metros.

Largo: 120 m

Ancho: 120 � �34

� � 90 m

Perímetro del campo: 120 � 2 � 90 � 2 � 240 � 180 � 420 m

Número de vueltas al campo: 2 050 � 420 � 4,8809523

Hay que dar 5 vueltas.

5.71

5.70

5.69

5.68

5.67

79

0,45� 52,25

3,28� 722,96

4,62� 35

231013862

161,70

3,205� 11

32053205235,255

12,09� 9,1

1209108812110,019

200,4� 32,08

16032400832

6012 ...6428,832

0,0277 � 1,3 → 0,277 134 2170 0,0214 214

32,2 � 22 → 23,2 224 1200 1,0544 11004 1112

0,857 � 1,54 → 85,7 1544 870 0,5564 10004 76

0,0058 � 0,037 → 5,8 374 210 0,1564 22504 2228


Ana y Marta han conseguido ahorrar 42,57 euros entre las dos. El ahorro de Ana es 2,5 veces mayorque el de Marta. ¿Cuánto ha ahorrado cada una?

El ahorro de Marta lo consideramos como una parte.El ahorro de Ana es 2,5 veces más que el de Marta, o sea, 2,5 partes.En total son 3,5 partes.Para averiguar lo que ahorra Marta, habrá que dividir el ahorro total por 3,5 partes: 42,57 � 3,5 � 12,16 €Ahorro de Ana: 12,16 � 2,5 � 30,40 €Ahorro de Marta: 42,57 � 30,4 � 12,17 €Marta ha ahorrado 12,16 euros, y Ana, 30,40.

Manuel propone este juego a Sofía: “He pensado un número y, si lo adivinas, te regalo una entradapara el concierto de esta tarde. Te doy las siguientes pistas:• Es uno de estos tres números:• a) 2,24 • b) 229 centésimas • c) 23 décimas• Está más cerca de 2 que de 3.• Está más próximo de 22 décimas que de 23 décimas”.¿Sabes cuál es el número?

Los tres números están más cerca de 2 que de 3, así que el primer criterio no nos permite hacer ninguna elección.Está más próximo de 22 décimas que de 23 décimas. Para facilitar la comparación expresamos los tres números en décimas:22,4 décimas, 22,9 décimas, 23 décimas.El número más próximo a 22 décimas es 22,4 décimas, luego el número pedido es 2,24.

P A R A R E S O L V E R E I N T E R P R E T A R

Más aparcamientoEn la calle Cantarranas se encuentran aparcados seis cochesiguales y con la misma distancia entre ellos.

¿Cuántos centímetros deben acercarse los coches entre sípara dejar espacio a otro igual de manera que siga ha-biendo la misma distancia entre dos coches consecutivos?

La longitud total del tramo es de 2 6 � 0,5 5 � 14,5 metros.

Si se quiere que haya siete coches aparcados, el espacio total entre ellosdebería ser: 14,5 � 7 2 � 0,5 m

Por tanto, el espacio entre cada dos coches consecutivos debería ser: �570� � 8,3 cm

El tren de alta velocidadUn tren de alta velocidad recorre los 350 kilómetros que separan Villacero de Villafin, parando en tresestaciones intermedias, que se encuentran a 90, 210 y 315 kilómetros de Villacero. En la primera per-manece 5 minutos; en la segunda, 10, y en la tercera, 5. El tiempo que tarda en realizar todo el reco-rrido, contando las paradas, es de 1 hora y 40 minutos.a) Calcula la velocidad media del tren considerando solo el tiempo que está en circulación.b) Si el primer tren sale a las siete de la mañana, averigua a qué hora pasa por cada parada y a qué

hora llega a su destino.

a) El tiempo que el tren está en marcha durante todo el trayecto es: 1 h 40 min � 5 min � 10 min � 5 min � 1 h 20 min

La velocidad media del tren es: �1,3

335303...

� � 262,5 km/h

b) Llegará al destino a las 8 h 40 min.

�23

15

00

� 1 h 20 min � 0,8 h � 48 min. Por tanto, tardará en llegar a la estación de parada 2, 48 min � 5 min � 53 min

y, en consecuencia, llegará a las 7 h 53 min.

�33550

� 1 h 20 min � 8 min. Por tanto, saldrá de la estación de parada 3 a las 8 h 40 min � 8 min � 8 h 32 min

5.75

5.74

5.73

5.72

80



Descompón el número 7,835.a) En sus distintos órdenes de unidades.b) En unidades, centésimas y milésimas.c) En décimas y milésimas.

a) 7,835 � 7 U � 8 d � 3 c � 5 mb) 7,835 � 7 U � 83 c � 5 mc) 7,835 � 78 d � 35 m

Un tubo está dividido en 11 partes de igual longitud. Se pintan 8 partes.a) Expresa mediante una fracción la parte del tubo que se ha pintado.b) Expresa el número decimal equivalente en forma aproximada con dos cifras decimales.

a) Parte del tubo pintada: �181�

b) 8 � 11 � 0,727272 … ⇒ 0,73

En los Juegos Olímpicos de Sydney, las mejores marcas en lanzamiento de disco femenino fueron:A. Kelesidou (Grecia), con 65,71 metros, N. Sadova (Rusia), con 65,00 metros, E. Zvereva (Bulgaria),con 68,40 metros, S. Tsikouna (Grecia), con 64,08 metros, I. Yatchenko (Bulgaria), con 65,20 metros.Ordena estas marcas de mayor a menor.

1.ª E. Zvereva (68,40 m)2.ª A. Kelesidou (65,71 m)3.ª I. Yatchenko (65,20 m)4.ª N. Sadova (65,00 m)5.ª S. Tsikouna (64,08 m)

Halla la diferencia entre la marca de Ellina Zvereva (68,40 metros) y la de Styliani Tsikouna (64,08 metros).

68,40 � 64,08 � 4,32 mLa diferencia entre las marcas es de 4,32 metros.

Calcula el resultado de estas operaciones.a) 0,0012 � 100 c) 27,33 � 0,1b) 3,1 � 0,001 d) 5 � 1 000

a) 0,0012 � 100 � 0,12 c) 27,33 � 0,1 � 2,733b) 3,1 � 0,001 � 3 100 d) 5 � 1 000 � 0,005

Realiza las siguientes multiplicaciones.a) 0,32 � 0,27 c) 23,5 � 1,35b) 0,045 � 0,27 d) 7,2 � 0,0051

a) c)

b) d)

5.A6

5.A5

5.A4

5.A3

5.A2

5.A1

81

0,32� 0,27

224642

0,0864

0,045� 0,27

315902

0,01215

7,2� 0,0051

723602

0,03672

23,5� 1,35

11757055

2357531,725


Efectúa estas divisiones.

a) 7,24 � 0,028

b) 0,054 � 0,25

c) 315 � 0,005

d) 5 � 0,02

e) 2,34 � 0,33

f) 0,14 � 12,8

a) d)

b) e) 2,34 � 0,33 � 0,7722 → 0,8

c) f) 0,14 � 12,8 � 0,0109375 → 0,011

En una fiesta de cumpleaños, se utilizan 24 latas de refresco de 0,33 litros cada una, para llenar 35 va-sos iguales. ¿Qué capacidad tiene cada vaso? Expresa el resultado con dos cifras decimales.

0,33 � 24 � 7,92 L

7,92 � 35 � 0,22639 L → 0,23 L

Cada vaso tiene una capacidad de 0,23 litros.

El precio de venta al público de un televisor de una marca nueva es 725,75 euros. Para promocionar

la marca se hace una rebaja de —235— del precio del televisor. ¿Cuántos euros se necesitan para comprarlo?

725,27 �235� � 87,09

725,27 � 87,09 � 638,66

Se necesitan 638,66 euros para comprar el televisor.

5.A9

5.A8

5.A7

82

7,24 � 0,028 → 7240 281640 258,571124016160164200164040164012

315 � 0,005 → 315000 51150 63000120016100164200164040

0,054 � 0,25 → 5,4 2511400 0,2161215016100

5 � 0,02 → 500 211100 2501110011100




EL TAMAÑO DE LOS VIRUS

Por término medio, el tamaño de un virus es 0,000000015 metros. Averigua cuántos virus puestos en fila sonnecesarios para alcanzar 1 kilómetro de largo.

Se dividen los metros que hay en un kilómetro, 1 km = 1 000 m, entre el tamaño de un virus, 0,000000015 metros.

Necesitaríamos 66 666 666 666,666… virus para alcanzar un kilómetro.

83


84

6 EL LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES


El perímetro de un rectángulo viene dado por la expresión: 2 � x � 2 · y (x: largo; y: ancho). Calcula elperímetro de cualquier rectángulo; el que tú elijas.

Respuesta abierta, por ejemplo, el perímetro de la tabla de una mesa de 1,2 metros de largo y 90 centímetros de ancho:

P � 2 � x � 2 � y � 2 � 1,2 � 2 � 0,9 � 2,4 � 1,8 � 4,2 m

El perímetro de la mesa mide 4,2 metros.

Expresa en lenguaje algebraico.

a) El número natural anterior al número n.b) El doble de un número.c) El tercio de un número.d) El cuadrado de un número menos el mismo número.

a) n � 1 b) 2n c) �3x

� d) y 2 � y

Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas y escribe las frases correspondientes.a) a � x c) a2 � y 2 e) (x � y)2

b) 2y d) (a � y)2 f) (2p)3

a) Diferencia de dos númerosb) Doble de un númeroc) Diferencia de los cuadrados de dos númerosd) Cuadrado de la diferencia de dos númerose) Cuadrado de la suma de dos númerosf) Cubo del doble de un número

Escribe la expresión algebraica de las siguientes frases.a) La diferencia de a y b.b) La diferencia del doble de a y del doble de b.c) El doble de la suma de a y b.

a) a � bb) 2a � 2bc) 2(a � b)

Calcula el valor numérico de 5a2 � b2.a) Para a � 1 y b � 2.b) Para a � 4 y b � 10.

a) 5 � 12 � 22 � 5 � 4 � 9b) 5 � 42 � 102 � 80 � 100 � 180

Indica cuál de los números siguientes es el valor numérico de la expresión x 2 � 3x � 5, para x � �1.a) 10 b) �10 c) 9 d) 7

Para x � �1, el valor numérico es: (�1)2 � 3 � (�1) � 5 � 1 � 3 � 5 � 9

Opera las siguientes expresiones algebraicas:a) a2 � 3a2 b) 4b3 � 2b3 c) 4x � 3x

a) a2 � 3a2 � 4a2 b) 4b3 � 2b3 � 2b3 c) 4x � 3x � x

6.7

6.6

6.5

6.4

6.3

6.2

6.1


Explica por qué cada una de estas expresiones no se puede reducir.a) 2y 2 � y b) a � b c) 5p3 � 5q3

a) Porque la letra y tiene distintos exponentes.b) Porque son distintas letras.c) Porque las letras son distintas.

Una tarifa de taxis viene dada por esta fórmula y � 1,95 � 0,75 � x, siendo x los kilómetros recorridose y el coste del servicio.a) ¿Qué significa 1,95 y 0,75 en la fórmula?b) Halla el coste de un recorrido de 5 kilómetros.

a) 1,95 euros es el coste de la bajada de bandera, y 0,75 euros, el coste por kilómetro recorrido.b) y � 1,95 � 0,75 � 5 � 5,70 €

Una empresa de alquiler de coches cobra 97 euros por día y 0,13 euros por kilómetro recorrido. Expre-sa mediante una fórmula el coste del alquiler c de un día, llamando x a los kilómetros recorridos.

c � 97,00 � 0,13 � x

Halla el valor numérico de los dos miembros de la igualdad.x � 3x � 2 � 5x para x � 1

¿Teniendo en cuenta el resultado puedes afirmar que es una identidad?

x � 3x � 2 � 1 � 3 � 1 � 2 � 25x � 5 � 1 � 5No es una identidad porque no se verifica para todos los valores de x; por ejemplo, para x � 1 no se verifica.

Razona si las siguientes igualdades son o no identidades.a) 12x � 3x � 9x c) 3x � 6 � 15 � 2x � 25b) 4x � 5 � 3x � 2 � x � 7 d) 2x � 2y � 2z � 2(x � y � z)

a) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene 9x, que es idéntico al segundo miembro.b) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene x � 7, que es idéntico al segundo miembro.c) No es una identidad, pues al reducir el primer miembro se obtiene 3x � 9, que no es idéntico al segundo.d) Es una identidad, pues al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro se obtiene una expresión idéntica a la del

primer miembro.

Copia las siguientes expresiones y rellena con el signo igual (�) o distinto (�), según corresponda.a) 12 � 2 � 10 d) 8 � 5 � 40b) 25 � 2 � 21 � 1 e) 20 � 4 � 2 � 32c) 8 � 6 � 18 � 5 � 1 f) 2 � 5 � 2 � 16 � 2

a) 12 � 2 � 10 d) 8 � 5 � 40b) 25 � 2 � 21 � 1 e) 20 � 4 � 2 � 32c) 8 � 6 � 18 � 5 � 1 f) 2 � 5 � 2 � 16 � 2

Encuentra la condición que debe cumplir la letra para que se verifiquen cada una de las siguientesecuaciones.

a) x � 2 � 8 d) 4 � x � 10 � 2b) a � 2 � 6 e) 4r � 20c) 5 � x � 3 f) 14 � y � 4

a) x � 6 b) a � 8 c) x � �2 d) x � 4 e) r � 5 f) y � �10

6.14

6.13

6.12

6.11

6.10

6.9

6.8

85


¿Las siguientes ecuaciones son equivalentes?a) x � 4 � 8 b) x � 4 � 5 c) x � 4 � 2 � 8 � 2 d) x � 8 � �4

Son equivalentes las ecuaciones a, c y d porque tienen la misma solución, x � 4.La b no es equivalente a las anteriores porque tiene distinta solución: x � 1

Escribe tres ecuaciones que sean equivalentes entre sí.

Respuesta abierta, por ejemplo:

4x � x � 8 � x 5x � x � 6 � 2 x � 2

Las tres ecuaciones son equivalentes porque tienen la misma solución, x � 2.

Resuelve las siguientes ecuaciones.a) x � 7 � 7 � 12 c) 24 � x � 6 � 50 � 6b) 5 � x � 12 � 25 � 5 d) 17 � 3 � x � 5 � 3

Como son ecuaciones sencillas, se puede calcular mentalmente el valor de la incógnita:a) x � 12 b) x � 13 c) x � 38 d) x � 12

Aplica la regla de la suma para hallar el valor de x.a) 7x � 6 � x � 8 � 5x b) 6x � 2 � 4x � 9 � x � 8 c) 3 � 4x � �7 � 5x � 1

a) 7x � 6 � x � 8 � 5xSe resta 5x: 2x � 6 � x � 8Se resta x: x � 6 � 8Se suma 6: x � 14

b) 6x � 2 � 4x � 9 � x � 8Se resta x: 5x � 2 � 4x � 17Se resta 2: 5x � 4x � 15Se resta: x � 15

c) 3 � 4x � �7 � 5x � 1Se resta 4x: 3 � �7 � x � 1Se suma: 3 � �8 � xSe suma 8: 11 � x

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) —34x— � 24 b) —

52x— � 2 � 20 � 2

a) �34x� � 24 b) �

52x� � 2 � 20 � 2

Se multiplica por 4: 3x � 96 Se multiplica por 2: 5x � 4 � 40 � 4Se divide entre 3: x � 32 Se resta 4: 5x � 40

Se divide entre 5: x � 8

Halla el valor de x.

a) 3x � 4 � 24 � x b) —53x— � 7 � —

23x— � 25

a) 3x � 4 � 24 � x b) �53x� � 7 � �

23x� � 25

Se suma x: 4x � 4 � 24 Se multiplica por 3: 5x � 21 � 2x � 75Se suma 4: 4x � 28 Se resta 2x: 3x � 21 � 75Se divide entre 4: x � 7 Se resta 21: 3x � 54

Se divide entre 3: x � 18

6.20

6.19

6.18

6.17

6.16

6.15

86


Resuelve esta ecuación.3(x � 6) � 5(2 � x) � 10 � 4(6 � 2x)

Se suprimen paréntesis: 3x � 18 � 10 � 5x � 10 � 24 � 8xSe opera para reducir términos: �2x � 28 � �14 � 8xSe suma 8x: 6x � 28 � �14Se resta 28: 6x � �42Se divide entre 6: x � �7

Resuelve esta ecuación.

—10x

2� 55— � 10x � —

95 �

210x—

Se multiplica por 2: 10x � 55 � 20x � 95 � 10xSe opera 20x � 10x: 10x � 55 � 30x � 95Se resta 30x: �20x � 55 � �95Se suma 55: �20x � �40Se divide entre �20: x � 2


El doble de mi edad más 15 es la edad de mi padre que tiene 39 años. ¿Cuántos años tengo?

Ecuación: 2x � 15 � 392x � 15 � 15 � 39 � 152x � 24x � 12

Tengo 12 años.

En una clase de 27 alumnos hay 5 chicas más que chicos. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay?

Ecuación: x � x � 5 � 272x � 5 � 272x � 5 � 5 � 27 � 52x � 22x � 11

Hay 11 chicos y 16 chicas.

6.24

6.23

6.22

6.21

87

Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico

¿Cuántos años tengo? x

El doble de mi edad 2x

El doble de mi edad más 15 2x � 15

Es igual a la edad de mi padre: 39 años 2x � 15 � 39


Número de chicos x

Hay 5 chicas más que chicos x � 5

El total de alumnos es 27 x � x � 5 � 39


Daniel tiene ahora 8 años más que su hermana Cristina, pero dentro de 4 años la edad de Daniel seráel doble de la de Cristina. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Ecuación: x � 8 � 4 � 2(x � 4)x � 12 � 2x � 8x � 12 � 12 � 2x � 8 � 12x � 2x � 4x � 4 � 2x � 4 � 4x � 4 � 2xx � 4 � x � 2x � x4 � x ⇒ x � 8 � 4 � 8 � 12

Dentro de 4 años, Cristina tendrá 8 años, y Daniel, 16, que es el doble de 8.


Determina cuáles de las siguientes expresiones son igualdades.

a) 2 � 3 � 5

b) 1 � 6 � 8c) 2 � 3 � 1 � 3 � 2 f) 21 � 4 � 2 � 42

d) 6 � 3 � 6 � 3 � 8 g) (1 � 5) � 3 � 52 � 7

a) 2 � 3 � 5

b) 1 � 6 � 8c) 2 � 3 � 1 � 3 � 2 f) 21 � 4 � 2 � 42

d) 6 � 3 � 6 � 3 � 8 g) (1 � 5) � 3 � 52 � 7

Encuentra el valor que tiene que tomar cada letra para que se verifiquen las siguientes igualdades.

a) y � 2 � 8 c) t � 5 � 35 e) x + 2 � 3

b) x � 2 � 6 d) z � 10 � 5 f) p � 15 � 5

a) y � 6 c) t � 40 e) x � 1

b) x � 4 d) z � 15 f) p � 20

Resuelve estas ecuaciones.

a) c � 6 � �1 c) �t � 2 � 3 e) 1 � x � 4

b) q � 100 � 400 d) �y � 7 � 3 f) 15 � d � 12

a) c � 5 c) t = �1 e) x � 3

b) q � 500 d) y � 4 f) d � 3

6.28

6.27

6.26

6.25

88


Edad de Cristina ahora x

Daniel tiene ahora 8 años más que Cristina x � 8

Dentro de 4 años la edad de Cristina será x � 4

Dentro de 4 años la edad de Daniel será x � 8 � 4

Dentro de 4 años la edad de Daniel será el doble de la de Cristina x � 8 � 4 � 2 � (x � 4)

e) 7 � —120— � —

2163—

e) 7 � �120� � �

2163�


Halla el valor de la incógnita en cada ecuación.

a) 4x = 20 c) 9z � 45 e) 4p � 44 g) 75 � 25x i) 5a � 45b) 16 = 4y d) 100 � 10x f) 20 � 10t h) 9q � 90 j) 4x � �20

a) x � 5 c) z � 5 e) p � 11 g) x � 3 i) a � 9b) y � 4 d) x � 10 f) t � 2 h) q � 10 j) x � �5

Calcula el valor de la incógnita para el cual se verifica la igualdad.

a) �6y � 12 c) 7 � —y2

— e) —x9

— � 11 g) �2 � �—p4

— i) —53

— � �—x3

—

b) �—3t— � 10 d) 5 � —

m5— f) �—

1r— � �3 h) —

m2— � —

12

— j) z � —12

— � —32

—

a) y = �2 c) y � 14 e) x � 99 g) p � 8 i) x � �5b) t = �30 d) m � 25 f) r � 3 h) m � 1 j) z � 2


Letras y números

La superficie de un rectángulo es 4 � 2. La de otro rectángulo es 5 � 3. ¿Cómo expresarías la superfi-cie de un rectángulo cualquiera?

Largo x ancho � xy

Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones.

a) El cubo de un número.b) El cuadrado de un número más el doble del mismo.c) Un número más el tercio del mismo.d) Un número par.e) Dos números enteros consecutivos.

a) x3 b) a2 � 2a c) b � �13

�b d) 2n e) n, n � 1

Escribe con letras, números, y el signo igual (�), las siguientes frases.

a) El doble de un número más 3 es igual a 13.b) La mitad de un número es igual a 9.c) El cuadrado de un número es igual a 16.

a) 2x � 3 � 13 b) �2z

� � 9 c) t 2 � 16

Escribe las siguientes operaciones en lenguaje ordinario.

a) y � 3 c) 10 � t e) 3y � 2b) x � 2 d) 3x f) a2

a) Un número más 3.b) Un número menos 2.c) 10 menos un número.d) Triple de un número.e) Triple de un número menos 2.f) Cuadrado de un número.

6.34

6.33

6.32

6.31

6.30

6.29

89


Calcula los valores numéricos de las expresiones siguientes para x � 1 y para x � �2.

a) 6x � 2 c) 4(1 � x2)

b) 3(x � 1) d) —x2

— � 3x � 1

a) 6 � 1 � 2 � 4 6 � (�2) � 2 � �14b) 3 � (1 � 1) � 0 3 � (�2 � 1) � �9c) 4 � (1 � 12) � 0 4 � [1 � (�2)2] � �12

d) �12

� � 3 � 1 � 1 � �52

� ��22� � 3 � (�2) � 1 � �8

Halla el valor de y en las siguientes igualdades para el valor de x indicado.

a) y � 0,5 � 2x para x � 5b) y � 1,75x para x � 6

a) y � 0,5 � 2 � 5 � 10,5b) y � 1,75 � 6 � 10,5

¿Cuál de estas expresiones es una identidad?

a) 4x � 20 b) x � y � 1 c) 3x � 6 � 3(x � 2)

La expresión c es una identidad porque, al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro, el resultado es idéntico alprimer miembro: 3(x � 2) � 3x � 6.

Para el valor de x indicado, comprueba si se cumple o no la igualdad.

a) 24 � 4x � 4 para x � 5b) 20 � 2x para x � 11c) x � 4 � 20 para x � 24d) 12 � 5x � x � x para x � 1

a) 24 � 4x � 4 ⇒ 24 � 4 � 5 � 4 Sí se cumple la igualdad.b) 20 � 2x ⇒ 20 � 22 No se cumple la igualdad.c) x � 4 � 20 ⇒ 24 � 4 � 20 Sí se cumple la igualdad.d) 12 � 5x � x � x ⇒ 6 � 1 No se cumple la igualdad.

Escribe en lenguaje algebraico.

a) La edad de Carmen dentro de 6 años, si ahora tiene x años.b) La edad de Alberto hace 5 años, si ahora tiene x años.

a) x � 6b) x � 5

Expresa en lenguaje ordinario.

a) —x3

— b) (b � 2)2 c) xz d) x 2 � 2x e) 2a � 3b f) x 2 � y2

a) Tercio de un número.b) Cuadrado de la suma de un número y 2.c) Producto de dos números.d) Diferencia del cuadrado de un número y del doble del mismo.e) Diferencia del doble de un número y del triple de otro númerof) Diferencia del cuadrado de dos números.

6.40

6.39

6.38

6.37

6.36

6.35

90


Escribe con letras y números y utilizando el signo (�).a) El doble de un número más 5 es igual a 27.b) Un número sumado a 6 es igual a 33.c) Un número más el doble del mismo es igual a 39.

a) 2x � 5 � 27 b) y � 6 � 33 c) z � 2z � 39

Soluciones de una ecuación

Comprueba si el número asignado a x es la solución de la ecuación.a) 2x � 10 � 16 x � 3 d) 10(x � 2) � 1 x � 2b) 10x � 50 x � 5 e) 6x � 2 � 31 � 5x x � 3c) 5x � 10 � 7x � 2 x � 4

a) 16 � 16 ⇒ Sí es la solución. d) 0 � 1 ⇒ No es la solución.b) 50 � 50 ⇒ Sí es la solución. e) 16 � 16 ⇒ Sí es la solución.c) 30 � 30 ⇒ Sí es la solución.

Averigua para cada par de ecuaciones si son equivalentes.a) 2x � 6 � 16 2x � 22b) 5y � 10 � 30 5y � 40

c) —93x— � 6 � —

63x— � 3 3x � 27 � 0

a) Son equivalentes porque tienen la misma solución, x � 11.b) No son equivalentes porque tienen distinta solución, y � 4 e y � 8.c) Son equivalentes porque tienen la misma solución, x � �9.

Resolución de ecuaciones

Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones.a) x � 5 � 11 c) �3 � x � 14 e) 3 � x � �1b) 2 � x � 5 d) x � 1 � �2 f) 5 � �x � 2

a) x � 5 � 11 d) x � 1 � �2Se resta 5: x � 6 Se resta 1: x � �3

b) 2 � x � 5 e) 3 � x � �1Se resta 2: x � 3 Se suma x: 3 � �1 � x

Se suma 1: 4 � x

c) �3 � x � 14 f) 5 � �x � 2Se suma 3: x � 17 Se suma x: 5 � x � 2

Se resta 5: x � �3

Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones.

a) 4x � 8 b) �x � 5 c) —27x— � 4 d) �—

35x— � —

�

1158

—

a) 4x � 8 c) �27x� � 4

Se divide por 4: x � 2 Se multiplica por 7: 2x � 28Se divide por 2: x � 14

b) �x � 5 d) ��35x� � �

�1158

�

Se multiplica por �1: x � �5 Se multiplica por 15: �9x � �18Se divide por �9: x � 2

6.45

6.44

6.43

6.42

6.41

91


Resuelve estas ecuaciones.

a) 5x � 30 � 0 d) —x2

— � �55

b) 3x � 5 � 4 e) —54x— � 3 � 7

c) 6 � 7x � 20 f) —31x0— � 15 � 0

a) 5x � 30 � 05x � 30 � 30 � 30x � 6

b) 3x � 5 � 43x � 5 � 5 � 4 � 53x � 9x � 3

c) 6 � 7x � 206 � 7x � 6 � 20 � 6�7x � 14x � �2


a) 5(2 � x) � 3(x � 6) � 10 � 4(6 � 2x) c) 3(x � 3) � 5(x � 1) � 6x

b) 4(x � 2) � 1 � 5(x � 1) � 3x d) 3(5x � 9) � 3(x � 7) � 11(x � 2) � 7

a) 5(2 � x) � 3(x � 6) � 10 � 4(6 � 2x) c) 3(x � 3) � 5(x � 1) � 6x

10 � 5x � 3x � 18 � 10 � 24 � 8x 3x � 9 � 5x � 5 � 6x�2x � 28 � �14 � 8x 3x � 9 � �5 � x�2x � 28 � 8x � �14 � 8x � 8x 3x � 9 � x � �5 � x � x6x � 28 � �14 4x � 9 � �56x � 28 � 28 � �14 � 28 4x � 9 � 9 � � 5 � 9

�66x� � �

�642� 4x � 4

x � �7 x � 1

b) 4(x � 2) � 1 � 5(x � 1) � 3x d) 3(5x � 9) � 3(x � 7) � 11(x � 2) � 7

4x � 8 � 1 � 5x � 5 � 3x 15x � 27 � 3x � 21 � 11x � 22 � 74x � 7 � 2x � 5 12x � 48 � 11x � 154x � 7 � 2x � 2x � 5 � 2x 12x � 48 � 48 � 11x � 15 � 482x � 7 � 5 12x � 11x � 632x � 7 � 7 � 5 � 7 12x � 11x � 11x � 63 � 11x2x � 12 x � �63x � 6

6.47

6.46

92

d) �2x

� � �5

�2x

� � 2 � �5 � 2

x � �10

e) �54x� � 3 � 7

4 � �54x� � 4 � 3 � 4 � 7

5x � 12 � 285x � 12 � 12 � 28 � 125x � 40x � 8

f) �13x0� � 15 � 0

10 � �13x0� � 10 � 15 � 0

3x � 150 � 03x � 150 � 150 � �1503x � �150x � �50


Resuelve.

a) —x

�

�

23

— � 4 c) —x

�

�

41

— � 8

b) —x �

33

— � x � 5 d) —123x

— � 2 � —32x— � 4

a) �x

��

23

� � 4

��2(

�

x2� 3)� � 4 � (�2)

x � 3 � �8

x � 3 � 3 � �8 � 3

x � �5

b) �x �

33

� � x � 5

3 � �x �

33

� � 3 � (x � 5)

x � 3 � 3x � 15

x � 3 � 3x � 3x � 15 � 3x

�2x � 3 � 15

�2x � 3 � 3 � 15 � 3

�2x � 12

x � �6

c) �x

��

41

� � 8

�4 � �x

��

41

� � 8 � (�4)

x � 1 � �32

x � 1 � 1 � �32 � 1

x � �31

d) �132x� � 2 � �

32x� � 4

4x � 2 � �32x� � 4

2 � (4x � 2) � 2 � �32x� � 4 � 2

8x � 4 � 3x � 8

8x � 4 � 3x � 3x � 8 � 3x

5x � 4 � 8

5x � 4 � 4 � 8 � 4

5x � 4

�55x� � �

45

�

x � �45

�

6.48

93



a) —x �

61

— � —x �

34

— � 2 � —14

—

b) —23x— � —

54

— � —x6

— � 7 � 0

c) 3�2x � —12

—� � 2(x � 3) � 7

d) 10x � —95

2� x— � —

10x2� 55—

e) —5x

2� 7— � —

2x3� 4— � —

3x4� 9— � 5

a) �x �

61

� � �x �

34

� � 2 � �14

�

m.c.m.(6, 3, 4) � 12

12 � ��x �6

1� � �

x �3

4�� 12 � �2 � �

14

��2(x � 1) � 4(x � 4) � 24 � 3

2x � 2 � 4x � 16 � 27

�2x � 14 � 27

�2x � 14 � 14 � 27 � 14

�2x � 41

��

22x

� � ��41

2�

x � ��

241�

b) �23x� � �

54

� � �6x

� � 7 � 0

m.c.m. (2, 3, 4) � 12

12 � ��23x� � �

54

� � �6x

� � 7� � 0 � 12

4 � 2x � 3 � 5 � 2x � 12 � 7 � 0

8x � 15 � 2x � 84 � 0

10x � 69 � 0

10x � 69 � 69 � �69

10x � �69

x � ��61

90�

c) 3 � �2x � �12

�� 2 �(x � 3) � 7

6x � �32

� � 2x � 6 � 7

12x � 3 � 4x � 12 � 14

16x � 9 � 14

16x � 9 � 9 � 14 � 9

16x � 5

x � �156�

6.49

94

d) 10x � �95

2� x� � �

10x2� 55�

20x � (95 � x) � 10x � 55

20x � 95 � x � 10x � 55

21x � 95 � 10x � 55

21x � 95 � 10x � 10x � 55 � 10x

11x � 95 � �55

11x � 95 � 95 � �55 � 95

11x � 40

x � �4101�

e) �5x

2� 7� � �

2x3� 4� � �

3x4� 9� � 5

m.c.m.(2, 3, 4) � 12

12 � �5x

2� 7� � 12 � �

2x3� 4� � 12 � �

3x4� 9� � 12 � 5

6(5x � 7) � 4(2x � 4) � 3(3x � 9) � 60

30x � 42 � 8x � 16 � 9x � 27 � 60

22x � 58 � 9x � 87

22x � 58 � 9x � 9x � 87 � 9x

13x � 58 � 87

13x � 58 � 58 � 87 � 58

13x � 29

x � �2193�



Tres amigos van a una librería a hacer compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el triple queAlicia. Si entre los tres gastan 72 euros, ¿cuánto ha gastado cada uno?

Gasto de Alicia: x

Gasto de Juan: 2x

Gasto de Ana: 3x

Gasto total: x � 2x � 3x � 72

Ecuación: x � 2x � 3x � 726x � 72x � 12 ⇒ 2x � 24, 3x � 36

Alicia gasta 12 euros; Juan, 24, y Ana, 36.

Las medidas de la figura vienen dadas en centímetros. El perímetro mide 36 centímetros. Calcula los la-dos de la figura.

Ancho: x

Largo: 2x � 5

Perímetro: 2x � 2 � (2x � 5) � 36

Ecuación: 2x � 2 � (2x � 5) � 362x � 4x � 10 � 366x � 10 � 366x � 10 � 10 � 36 � 106x � 26

�66x� � �

266�

x � 4,33 ⇒ 2x � 5 � 2 � 4,33 � 5 � 13,66

El ancho mide 4,33 centímetros, y el largo, 13,66.

Un grupo de 5 amigos hace una competición con juegos de estrategia. Acuerdan repartir 210 euros enpremios, de modo que a cada uno le correspondan 10 euros más que al que se quede en posición in-mediata inferior. ¿Cuántos euros recibe cada uno?

Número de euros para el que queda en 5.ª posición: xNúmero de euros para el queda en 4.ª posición: x � 10Número de euros para el que queda en 3.ª posición: x � 10 � 10Número de euros para el que queda en 2.ª posición: x � 10 � 10 � 10Número de euros para el que queda en 1.ª posición: x � 10 � 10 � 10 � 10El reparto total es: x � (x � 10) � (x � 10 � 10) � (x � 10 � 10 � 10) � (x � 10 � 10 � 10 � 10) � 210

Ecuación: x � (x � 10) � (x � 10 � 10) � (x � 10 � 10 � 10) � (x � 10 � 10 � 10 � 10) � 210x � x � 10 � x � 20 � x � 30 � x � 40 � 2105x � 100 � 2105x � 100 � 100 � 210 � 1005x � 110x � 22

El 5.º recibe 22 euros; el 4.º, 32; el 3.º, 42; el 2.º, 52, y el 1.º, 62.

6.52

6.51

6.50

95

Ancho

Doble del ancho + 5


La hermana mayor de Patricia tiene 6 años más que ella. Y su hermana menor tiene 8 años menos queella. Si entre las tres suman 37 años. ¿Cuántos años tiene Patricia?

Edad de Patricia: x

Edad de la hermana mayor: x � 6

Edad de la hermana menor: x � 8

Entre las tres suman: x � x � 6 � x � 8 � 37

Ecuación: x � x � 6 � x � 8 � 37

3x � 2 � 37

3x � 2 � 2 � 37 � 2

3x � 39

x � 13

Patricia tiene 13 años.

El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 centímetros. El lado desigual mide la mitad de uno delos lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado?

Longitud de uno de los dos lados iguales: x

Longitud del lado desigual: �2x�

Perímetro: x � x � �2x

� � 20

Ecuación: x � x � �2x

� � 20

2x � 2x � x � 40

5x � 40

x � 8 ⇒ �2x

� � 4

Los lados iguales miden 8 centímetros cada uno, y el otro lado, 4 centímetros.

La diferencia de dos números es 10, siendo el menor la sexta parte del mayor. ¿Cuál es el valor de cadauno?

Número mayor: x

Número menor: �6x

�

Diferencia: x � �6x

� � 10

Ecuación: x � �6x

� � 10

6x � x � 60

5x � 60

x � 12 ⇒ �6x

� � 2

El número mayor es 12, y el menor, 2.

6.55

6.54

6.53

96


El transporte de un tipo de libros se realiza en cajas de igual largo que ancho y de 30 centímetros dealtura. Para reforzar las aristas de cada caja se aplica cinta adhesiva. Para una caja se necesitan 400 cen-tímetros de cinta. ¿Cuánto miden las aristas de una caja?

Altura: 30

Cuatro aristas (en altura): 120

Una arista a lo largo o a lo ancho: x

Ocho aristas a lo largo o a lo ancho: 8x

Longitud de cinta: 120 � 8x � 400

Ecuación: 120 � 8x � 400

120 � 8x � 120 � 400 � 120

8x � 280

x � 35

Las aristas de una caja miden 35, 35 y 30 centímetros.

El doble de las horas del día que han transcurrido es igual al cuádruplo de las horas que quedan portranscurrir. ¿Qué hora es?

Horas transcurridas: x

Horas que quedan por transcurrir: 24 � x

Doble de las horas transcurridas: 2x

Cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir: 4 � (24 � x)

Ecuación: 2x � 4 � (24 � x)

2x � 96 � 4x

2x � 4x � 96 � 4x � 4x

6x � 96

x � 16

Son las 16.00.

La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 1. Calcula los números.

Un número: x

Siguiente: x � 1

Siguiente: x � 2

Ecuación: x � x � 1 � x � 2 � 2 � (x � 2) � 1

3x � 3 � 2x � 4 � 1

3x � 3 � 2x � 5

3x � 3 � 2x � 2x � 5 � 2x

x � 3 � 5

x � 3 � 3 � 5 � 3

x = 2 ⇒ x � 1 � 3 x � 2 � 4

Los números son: 2, 3 y 4.

6.58

6.57

6.56

97


El perímetro de esta pieza mide 38 centímetros. Calcula el valor de los lados desconocidos.

Ecuación: 9 � 2x � 4 � 4 � 5 � 2x � 4 � 38

4x � 26 � 38

4x � 26 � 26 � 38 � 26

4x � 12

x � 3

2x � 2 � 3 � 6 cm

2x � 4 � 2 � 3 � 4 � 10 cm

Los lados desconocidos miden 6 y 10 centímetros.

De una pieza de tela después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte, quedan 20metros. Halla la longitud de una pieza de tela.

Longitud de la pieza de tela: x

Ecuación: x � �2x

� � �5x

� � �1x0� � 20

m.c.m.(2, 5, 10) � 10

10 � x � 10 � �2x

� � 10 � �5x

� � 10 � �1x0� � 10 � 20

10x � 5x � 2x � x � 200

10x � 8x � 200

2x � 200

x � 100

La longitud de una pieza de tela es de 100 metros.

Un segmento que mide 22 centímetros se parte en dos, de modo que una de las partes mide 6 centí-metros más que la otra. ¿Cuánto mide cada trozo?

Longitud de una parte: x

Longitud de la otra parte: 22 � x

Ecuación: x � (22 � x) � 6

x � 22 � x � 6

x � 28 � x

x � x � 28 � x � x

2x � 28

x � 14 ⇒ 22 � x � 22 � 14 � 8

Una parte mide 14 centímetros, y la otra, 8.

6.61

6.60

6.59

98

9

2x

5

2x + 4


Tres personas se reparten 3 000 euros. Una recibe 65 euros más que otra, y esta 200 euros más que unatercera. ¿Qué dinero recibe cada una?

Dinero recibido por la tercera persona: x

Ecuación: x � (x � 200) � [(x � 200) � 65] � 3 000

x � x � 200 � x � 200 � 65 � 3 000

3x � 465 � 3 000

3x � 465 � 465 � 3 000 � 465

3x � 2 535

x � 845 ⇒ x � 200 � 1 045 x � 200 � 65 � 1 110

Las tres personas reciben 845 euros, 1 045 y 1 110.

Una barra mide 74 centímetros y está pintada de azul y blanco. La longitud pintada de azul es 14 ve-ces mayor que la mitad de la longitud pintada de blanco. Halla la longitud pintada de cada color.

Longitud pintada de blanco: xLongitud pintada de azul: 74 � x

Ecuación: 74 � x � 14 · �2x

�

74 � x � 7x

74 � x � x � 7x � x

74 � 8x

9,25 � x ⇒ 74 � x � 74 � 9,25 � 64,75 cm

La parte pintada de blanco mide 9,25 centímetros, y la pintada de azul, 64,75.

El padre de David tiene el triple de la edad de su hijo, y éste, tiene 24 años menos que su padre. ¿Cuán-tos años tiene cada uno?

Edad del hijo: xEdad del padre: 3x

Ecuación: x � 3x � 24

x � 24 � 3x � 24 � 24

x � 24 � 3x

x � 24 � x � 3x � x

24 � 2x

12 � x ⇒ 3x � 36

David tiene 12 años, y su padre, 36.

En una bolsa hay bolas azules, blancas y rojas. El número de bolas rojas es igual al de bolas blancasmás 14, y hay 6 bolas azules menos que blancas. Si en total hay 98 bolas, halla cuántas bolas hay decada color.

Número de bolas blancas: xNúmero de bolas rojas: x � 14Número de bolas azules: x � 6

Ecuación: x � (x � 14) � (x � 6) � 98

x � x � 14 � x � 6 � 98

3x � 8 � 98

3x � 8 � 8 � 98 � 8

3x � 90

x � 30 ⇒ x + 14 = 30 + 14 = 44 rojas x � 6 � 30 � 6 � 24 azules

Hay 30 bolas blancas, 44 rojas y 24 azules.

6.65

6.64

6.63

6.62

99


R E F U E R Z O

Letras y números

Escribe en lenguaje matemático las siguientes frases.a) Dos números pares consecutivos.b) La edad dentro de 10 años de una persona que tiene ahora x años.c) La edad hace 1 año de un niño que ahora tiene y años.d) La mitad de un número es igual a 9.e) El perímetro de un cuadrado.

a) 2n, 2n + 2 b) x � 10 c) y � 1 d) �2x

� � 9 e) 4x (x, lado)

Escribe en lenguaje ordinario frases que correspondan a las siguientes expresiones matemáticas.a) x � 1 d) x 2

b) 3x e) (a � b)2

c) x � 1 f) a2 � b2

a) Un número más 1 d) Cuadrado de un númerob) Triple de un número e) Cuadrado de la suma de dos númerosc) Un número menos 1 f) Suma de los cuadrados de dos números

Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2t � 6 � —2t— para los valores de 4.

a) t � 1 c) t � 10b) t � �1 d) t � �20

a) 2t � 6 � �2t� � 2 � 1 � 6 � �

12

� � ��72

�

b) 2t � 6 � �2t�� 2 � (�1) � 6 � �

�21� � �2 � 6 � �

12

� � ��127�

c) 2t � 6 � �2t� � 2 � 10 � 6 � 5 � 19

d) 2t � 6 � �2t� � 2 � (�20) � 6 � 10 � �40 � 6 � 10 � �56

Comprueba si se verifican las siguientes ecuaciones para el valor que se indica.a) 5x � 2 � 4 para x � 1b) 4x � x � 5x � 10 para x � �2

a) 3 � 4 ⇒ No se cumple.b) �6 � 0 ⇒ No se cumple.

¿Qué valor hay que asignar a x para que se verifique la ecuación?x � 1 � �x � 1

x � 1

Resolución de ecuaciones

Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones.a) x � 20 � 32 c) �12 � x � �12b) x � 5 � 12 d) 3 � x � 15

a) x � 20 � 32 c) �12 � x � �12x � 20 � 20 � 32 � 20 �12 � x � 12 � �12 � 12x � 12

b) x � 5 � 12 d) 3 � x � 15x � 5 � 5 � 12 � 5 3 � x � x � 15 � xx � 17 3 � 15 � x

3 � 15 � 15 � x � 15�12 � x

6.71

6.70

6.69

6.68

6.67

6.66

100


Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones.

a) 3x � 33 b) —17

— x � 3 c) 57 � �3x d) —43

— x � —25

—

a) 3x � 33 b) �17

�x c) 57 � �3x d) �43

�x � �25

�

�33x� � �

333� 7 � �

17

�x � 3 � 7 ��57

3� � �

��

33x

� 3 � �43

�x � 3 � �25

�

x � 11 x � 21 19 � x 4x � �65

�

5 � 4x � 5 � �65

�

20x � 6

�2200x

� � �260�

x � �130�

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x � 3 � 5 � 3xb) 9x � 8 � 10x � 7x � 15 � 5x

a) 2x � 3 � 5 � 3x

2x � 3x � 3 � 5 � 3x � 3x

5x � 3 � �5

5x � 3 � 3 � 5 � 3

5x � 2

�55x� � �

25

�

b) 9x � 8 � 10x � 7x � 15 � 5x

19x � 8 � 12x � 15

19x � 8 � 12x � 12x � 15 � 12x

7x � 8 � 15

7x � 8 � 8 � 15 � 8

7x � 7

x � 1

Dos hermanos, Irene y Alejandro, tienen 73 discos. Irene tiene el doble de discos que Alejandro más 1.¿Cuántos discos tiene cada uno?

Número de discos de Alejandro: x

Número de discos de Irene: 73 � x

Ecuación: 73 � x � 2x � 1

73 � x � x � 2x � 1 � x

73 � 3x � 1

73 � 1 � 3x � 1 � 1

72 � 3x

24 � x ⇒ 73 � x � 73 � 24 � 49 discos

Alejandro tiene 24 discos, e Irene, 49.

6.74

6.73

6.72

101


La edad de Pablo es el doble que la de su hermana Fátima. En total suman 15 años. ¿Qué edad tienecada uno?

Edad de Fátima: x

Edad de Pablo: 2x

Ecuación: x � 2x � 153x � 15x � 5 ⇒ 2x � 10

Fátima tiene 5 años, y Pablo, 10.


a) 5[(x � 4) � 6] � 4(x � 6)

b) 2(x � 3) � 6(5 � x) � 3x � 4

c) 3x � 8 � 5x � 5 � 2(x � 6) � 7x


a) —43x— � 2(x � 1) � —

x2

— b) —2x

�

�

26

— � x � �5

a) �43x� � 2(x � 1) � �

2x

� b) �2x

��2

6� � x � 5

m.c.m.(2, 3) � 6 (�2) � �2x

��2

6� � (�2) � (x � 5)

6 � �43x� � 6 � 2(x � 1) � 6 � �

2x

� 2x � 6 � �2x � 10

2 � 4x � 12(x � 1) � 3x 2x � 6 � 2x � �2x � 10 � 2x

8x �12x � 12 � 3x 4x � 6 � 10

�4x � 12 � 3x 4x � 6 � 6 � 10 � 6

�4x � 12 � 3x � 3x � 3x 4x � 16

�7x � 12 � 0 x � 4

�7x � 12 � 12 � 0 � 12

�7x � 12

��

77x

� = ��12

7�

x � �172�

6.77

6.76

6.75

102

a) 5[(x � 4) � 6] � 4(x � 6)5[x � 4 � 6] � 4x � 245[x � 2] � 4x � 245x � 10 � 4x � 245x � 10 � 4x � 4x � 24 � 4xx � 10 � 24x � 10 � 10 � 24 � 10x � 14

b) 2(x � 3) � 6(5 � x) � 3x � 42x � 6 � 30 � 6x � 3x � 4�4x � 24 � 3x � 4�4x � 24 � 24 � 3x � 4 � 24�4x � 3x � 28�7x � 28

��

77x

� � ��28

7�

x � �4

c) 3x � 8 � 5x � 5 � 2(x � 6) � 7x�2x � 3 � 2x � 12 � 7x�2x � 3 � �5x � 12�2x � 3 � 5x � �5x � 12 � 5x3x � 3 � 123x � 3 � 3 � 12 � 33x � 9x � 3




a) —x �

21

— � —x �

54

— � —x �

43

— � 1 b) —x �

83

— � —x

1�

03

— � —x �

45

— � 1

a) �x �

21

� � �x �

54

� � �x �

43

� � 1 b) �x �

83

� � �x

1�0

3� � �

x �4

5� � 1

m.c.m.(2, 5, 4) � 20 m.c.m.(8, 10, 4) � 40

20 � �x �

21

� � 20 � �x �

54

� � 20 � �x �

43

� � 20 � 1 40 � �x �

83

� � 40 � �x

1�0

3� � 40 � �

x �4

5� � 40 � 1

10 � (x � 1) � 4 � (x � 4) � 5 � (x � 3) � 20 5 � (x � 3) � 4 � (x � 3) � 10 � (x � 5) � 4010x � 10 � 4x � 16 � 5x � 15 � 20 5x � 15 � 4x � 12 � 10x � 50 � 409x � 11 � 20 x � 27 � 10x � 909x � 11 � 11 � 20 � 11 x � 27 � x � 10x � 90 � x9x � 9 27 � 9x � 90x � 1 27 � 90 � 9x � 90 � 90

117 � 9x

�1197

� � �99x�

x � 13

Si tenemos 2 800 euros en billetes de 500 euros y de 100 euros, de manera que el número de estos esel doble que el de los primeros. ¿Cuántos billetes se tienen de cada clase?

Número de billetes de 500 euros: x

Número de billetes de 100 euros: 2x

Ecuación: 500x � (2x) � 100 � 2 800500x � 200x � 2 800700x � 2 800

�770000x

� � �2780000

�

x � 4 ⇒ 2x � 2 � 4 � 8

Tenemos 4 billetes de 500 euros y 8 billetes de 100.

Hace 12 años, la edad de una madre era el cuádruplo de la de su hijo. Sabiendo que la madre tenía 27años cuando nació el hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos?

Edad actual del hijo: x

Edad actual de la madre: x � 27

Edad del hijo hace 12 años: x � 12

Edad de la madre hace 12 años: x � 27 � 12

Ecuación: x � 27 � 12 � 4 � (x � 12)x � 15 � 4x � 48x � 15 � x � 4x � 48 � x15 � 3x � 4815 � 48 � 3x63 � 3xx � 21

Edad actual del hijo: 21 años.

Edad actual de la madre: 21 � 27 � 48 años.

La edad actual de la madre es de 48 años, y la del hijo, de 21.

6.80

6.79

6.78

103


Cervantes nació en el siglo XVI. La suma de las cifras del año de su nacimiento es 17 y la cifra de lasunidades es 7. ¿En qué año nació el autor de El Quijote?

El siglo XVI comprende los años 1500 a 1599, ambos inclusive.

El año es: 15d7, donde d es la cifra de las decenas.

Ecuación: 1 � 5 � d � 7 � 1713 � d � 1713 � d � 13 � 17 � 13d � 4

La cifra de las decenas es 4, luego el año en que nació Cervantes fue el 1547.

Con los baldosines cuadrados que tengo puedo formar un cuadrado y sobran 23. Si formo otro de 1 bal-dosín más por lado, faltan 46. ¿Cuántos baldosines tengo?

Lado del cuadrado: x

Con los baldosines se puede formar un cuadrado y sobran 23: x 2 � 23

Si el lado es x � 1, faltan 46 para completar un cuadrado: (x � 1)2 � 46

Ecuación: x 2 � 23 � (x � 1)2 � 46x 2 � 23 � x 2 � 2x � 1 � 46x 2 � 23 � x 2 � x 2 � 2x � 45 � x 2

23 � 2x � 4523 � 45 � 2x � 45 � 4568 � 2xx � 34 ⇒ x 2 � 23 � 342 � 23 � 1 179

Tengo 1 179 baldosines.


El almacénEn un almacén hay cajas marrones, amarillas y blancas, correspondiendo cada color a un tamaño de-terminado. Se almacenan apilando una caja encima de otra.

Una pila formada por 3 cajas marrones alcanza la misma altura que una de 2 amarillas, y una pila de 4cajas marrones y 2 amarillas tiene la misma altura que una de 4 amarillas y una blanca.Si las cajas blancas tienen 50 centímetros de altura, ¿qué altura tienen las demás?

altura 3 cajas marrones � altura 2 cajas amarillas

x � altura de caja marrón

3x � altura 2 cajas amarillas

50 cm � altura caja blanca

Ecuación: 4x � 3x � 6x � 507x � 6x � 507x � 6x � 50x � 50 cm

La altura de la caja marrón es de 50 cm

La altura de la caja amarilla es de 75 cm

6.83

6.82

6.81

104


Visita al museoLa comisión de actividades extraescolares de un colegio está estudiando las empresas que ofrecenautocares.La empresa Viajes Escolares, S.A., envía la siguiente respuesta comercial.

Averigua el número de autocares de cada tipo del que dispone la empresa

x coches de 50 plazas y 21 � x coches de 40 plazas

50x � 40 � (21 � x) � 970 ⇒ 50x � 840 � 40x � 970 ⇒ 10x � 130 ⇒ x � �11300

� � 13

13 coches de 50 plazas y 8 coches de 40 plazas


Escribe en lenguaje algebraico estas frases.

a) El triple de un número más la mitad del mismo.b) Un número menos 10 es igual al triple de dicho número.

a) 3x � �2x

� b) x � 10 � 3x

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión para x � �3.

1 � x � —6 �

42x

— � 5

Para x � 3: 1 � x � �6 �

42x

� � 5 � 1 � (�3) � �6 � 2

4� (�3)� � 5 � 1 � 3 � �

142� � 5 � 4 � 3 � 5 � 6

Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la suma.

a) 5x � 16 � 4x � 2 b) 12x � 6 � 5 � 11x

a) 5x � 16 � 4x � 2 b) 12x � 6 � 5 � 11xx � 16 � 2 12x � 6 � 11x � 5 � 11x � 11xx � 16 � 16 � 2 � 16 x � 6 � 5x � �14 x � 6 � 6 � 5 � 6

x � 11

Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto.

a) 4x � 48 b) —x5

— � 12 c) —�

7x— � 2

a) 4x � 48 b) �5x

� � 12 c) ��7

x� � 2

�44x� � �

448� 5 � �

5x

� � 5 � 12 7 � ��7

x� � 7 � 2

x � 12 x � 60 �x � 14

(�1) � (�x) � (�1) � 14

x � �14

6.A4

6.A3

6.A2

6.A1

6.84

105

Autocares:de 40 y de 50 plazas

N.o total de autocares: 21

N.o total de plazas: 970



a) 6(x � 1) � 4(x � 2) b) 5(2x � 3) � 3(3x � 6) c) 9(2x � 1) � 3(5x � 3) � 18

a) 6(x � 1) � 4(x � 2) b) 5(2x � 3) � 3(3x � 6) c) 9(2x � 1) � 3(5x � 3) � 186x � 6 � 4x � 8 10x � 15 � 9x � 18 18x � 9 � 15x � 9 � 186x � 6 � 4x � 4x � 8 � 4x 10x � 15 � 9x � 9x � 18 � 9x 3x � 182x � 6 � 8 x � 15 � 18 x � 62x � 6 � 6 � 8 � 6 x � 15 � 15 � 18 � 152x � 14 x � 3x � 7


a) 12 � —31x0— � 2 b) 1 � —

x2

— � —34

— c) —23x— � —

54

— � —x6

— � 7 � 0

Halla el valor de x para el cual se cumple la ecuación.

�3x

1�2

7� � �

2x6� 3� � �

x �8

1�

m.c.m.(12, 6, 8) � 24

24 � �3x

1�2

7� � 24 � �

2x6� 3� � 24 � �

x �8

1�

2(3x � 7) � 4(2x � 3) � 3(x � 1)6x � 14 � 8x � 12 � 3x � 36x - 14 � 5x � 96x � 14 � 5x � 5x � 9 � 5xx � 14 � � 9

x � 14 � 14 � �9 � 14 x � 5

El padre de Claudia tiene 37 años. Esta edad es 4 años más que el triple de la edad de Claudia. Calculala edad de Claudia.

Edad de Claudia: xEdad del padre: 3x � 4 � 37

Ecuación: 3x � 4 � 373x � 4 � 4 � 37 � 43x � 33x � 11 La edad de Claudia es 11 años.

6.A8

6.A7

6.A6

6.A5

106

a) 12 � �130x� � 2

10 � 12 � 10 � �130x� � 10 � 2

120 � 3x � 20

120 � 20 � 3x + 20 � 20

100 � 3x

x � �10

30

�

b) 1 � �2x

� � �34

�

4 � 1 � 4 � �2x

� � 4 � �34

�

4 � 2x � 3

4 � 2x � 4 � 3 � 4

�2x � �1

��

22x

� � ��

12�

x � �12

�

c) �23x� � �

54

� � �6x

� � 7 � 0

m.c.m.(3, 4, 6) � 12

12 � �23x� � 12 � �

54

� � 12 � �6x

� � 12 � 7 � 12 � 0

4 � 2x � 15 � 2x � 84 � 0

8x � 15 � 2x � 84 � 0

8x � 2x � 69 � 0

10x � �69 � 0

10x � 69 � 69 � 0 � 6910x � 69

�1100x

� � �6190�

x � �6190�


Para vallar un campo rectangular se han necesitado 850 metros de valla. El largo del campo es el do-ble del ancho más 5 metros. Calcula el largo y el ancho del campo.Ancho: xLargo: 2x � 5

Ecuación: 2x � 2(2x � 5) � 8502x � 4x � 10 � 8506x � 10 � 8506x � 10 � 10 � 850 � 106x � 840

�66x� � �

8460

�

x � 140

Ancho: 140 metrosLargo: 2 � 140 � 5 � 285 metrosEl ancho mide 140 metros, y el largo, 285.

En un centro escolar se ha preparado una sala de proyección de cine, con varios bancos dispuestosuno detrás de otro. Si se colocan 10 alumnos en cada banco, quedan sin sitio 11 alumnos. Y si se co-locan 11 alumnos en cada banco, quedan 7 plazas disponibles. ¿Cuántos alumnos hay en el grupo?Número de bancos: xNúmero de alumnos con 10 en cada banco: 10x + 11Número de alumnos con 11 en cada banco: 11x � 7

Ecuación: 10x � 11 � 11x � 710x � 11 � 10x � 11x � 7 � 10x11 � x � 711 � 7 � x � 7 � 718 � x

Número de bancos: x � 18Número de alumnos: 10x � 11 � 10 � 18 � 11 � 191 alumnosEn el grupo hay 191 alumnos.



LA BOTELLA CON TAPÓN

El precio de una botella y su tapón es de 1,50 euros. Si la botella cuesta 1 euro más que el tapón, ¿sabríasdecir el precio de cada cosa?

Precio del tapón: xPrecio de la botella: x � 1Ecuación: x � x � 1 � 1,50

2x � 1 � 1,502x � 1 � 1 � 1,50 � 1

�22x� � �

0,250�

x � 0,25

La botella cuesta 1,25 euros, y el tapón, 0,25.

6.A10

6.A9

107


108

7 SISTEMA DE MEDIDAS


Mide el segmento AB eligiendo como cantidad de referencia otro segmento de menor longitud.

El segmento AB contiene 5 veces a u. Luego mide 5u.

Observa las dos figuras y averigua si tienen la misma cantidad de superficie.

Ambas tienen la misma superficie: 12 cuadrados.

Indica la unidad que utilizarías para expresar estas magnitudes.

a) La capacidad del depósito de gasolina de un coche.b) La distancia entre Bilbao y Cádiz.c) La masa de un envase de café.

a) El litro.b) El kilómetro.c) El gramo.

Dibuja un segmento y mídelo con la regla graduada.

a) ¿Qué magnitud has medido?b) ¿Cuánto mide el segmento que has dibujado?c) ¿Qué unidad has utilizado?


a) Longitud.b) 78 milímetros.c) El milímetro.

Expresa en metros estas longitudes.

a) 25 dam b) 2,7 km

a) 25 dam � 250 m b) 2,7 km � 2 700 m

7.5

7.4

7.3

7.2

7.1

A

B

u


Pasa las siguientes longitudes a centímetros.

a) 1 200 mm b) 2,7 km

a) 1 200 mm � 120 cm b) 2,7 km � 270 000 cm

Pasa estas longitudes a las unidades que se indican en cada caso.

a) 3 m 7 cm a centímetros.b) 2 m 5 dm a kilómetros.c) 8 km 5 dam a decámetros.d) 6 hm 50 m a decímetros.

a) 3 m 7 cm a centímetros � 300 cm � 7 cm � 307 cmb) 2 m 5 dm a kilómetros � 0,002 km � 0,0005 km � 0,0025 kmc) 8 km 5 dam a decámetros � 800 dam � 5 dam � 805 damd) 6 hm 50 m a decímetros � 6 000 dm � 500 dm � 6 500 dm

Pasa a metros cuadrados estas medidas.

a) 25 dam2 b) 12,5 km2 c) 15 hm2

a) 25 dam2 � 2 500 m2 b) 12,5 km2 � 12 500 000 m2 c) 15 hm2 � 150 000 m2

Expresa estas superficies en centímetros cuadrados.

a) 1 200 mm2 b) 2,27 dam2

a) 1 200 mm2 � 12 cm2 b) 2,27 dam2 � 2 270 000 cm2

¿A cuántos metros cuadrados equivalen estas superficies?

a) 5 dam2 6 m2

b) 2 hm2 200 dm2

a) 5 dam2 6 m2 � 500 m2 � 6 m2 � 506 m2

b) 2 hm2 200 dm2 � 20 000 m2 � 2 m2 � 20 002 m2

Expresa las siguientes superficies en áreas.

a) 1 000 ca b) 5 ha c) 2 ha 50 a

a) 1 000 ca � 10 a b) 5 ha � 500 a c) 2 ha 50 a � 200 a � 50 a � 250 a

Pasa estas medidas a hectáreas.

a) 100 000 m2 c) 35 km2

b) 1 400 dam2 d) 8 278 m2

a) 100 000 m2 � 10 hm2 � 10 ha c) 35 km2 � 3 500 hm2 � 3 500 hab) 1 400 dam2 � 14 hm2 � 14 ha d) 8 278 m2 � 0,8278 hm2 � 0,8278 ha

Expresa estas superficies en metros cuadrados.

a) 50 ha 1 000 ab) 350 a 65 ca

a) 50 ha 1 000 a � 500 000 ca � 100 000 ca � 600 000 ca � 600 000 m2

b) 350 a 65 ca � 35 000 ca � 65 ca � 35 065 ca � 35 065 m2

Expresa estos volúmenes en centímetros cúbicos.

a) 1 dm3 b) 0,25 dm3 c) 6 m3

a) 1 dm3 � 1 000 cm3 b) 0,25 dm3 � 250 cm3 c) 6 m3 � 6 000 000 cm3

7.14

7.13

7.12

7.11

7.10

7.9

7.8

7.7

7.6

109


Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.a) El volumen de un televisor es menor que un metro cúbico.b) El volumen de tu libro de Matemáticas es mayor que un decímetro cúbico.c) El volumen del aula es mayor que un metro cúbico.d) El volumen de una caja de cerillas es menor que un centímetro cúbico.

a) Cierta.b) Falsa.c) Cierta.d) Falsa.

Copia en tu cuaderno y completa estas igualdades con las unidades que faltan.a) 1 dam3 � 1 000 � c) 1 km3 � 1 000 000 �

b) 1 hm3 � 1 000 � d) 5,7 � � 5 700 dam3

a) 1 dam3 � 1 000 m3 c) 1 km3 � 1 000 000 dam3

b) 1 hm3 � 1 000 dam3 d) 5,7 hm3 � 5 700 dam3

Expresa en metros cúbicos las siguientes medidas.a) 6 dam3 25 m3

b) 0,5 hm3 10 dam3

c) 5 000 dm3 450 000 cm3

d) 0,050 dam3 5 250 dm3

e) 0,005 km3 0,05 hm3

f) 0,105 dam3 3 000 000 cm3

a) 6 dam3 25 m3 � 6 000 m3 � 25 m3 � 6 025 m3

b) 0,5 hm3 10 dam3 � 500 000 m3 � 10 000 m3 � 510 000 m3

c) 5 000 dm3 450 000 cm3 � 5 m3 � 0,450 m3 � 5,450 m3

d) 0,050 dam3 5 250 dm3 � 50 m3 � 5,250 m3 � 55,250 m3

e) 0,005 km3 0,05 hm3 � 5 000 000 m3 � 50 000 m3 � 5 050 000 m3

f) 0,105 dam3 3 000 000 cm3 � 105 m3 � 3 m3 � 108 m3

Expresa estas medidas en centilitros.a) 2,5 L c) 235 mLb) 0,5 daL d) 25 dL 75 mL

a) 2,5 L � 250 cL c) 235 mL = 23,5 cLb) 0,5 daL = 500 cL d) 25 dL 75 mL = 250 cL + 7,5 cL = 257,5 cL

Expresa en gramos las siguientes masas.a) 125 mg c) 7,5 dag 8 500 mgb) 50 dg d) 63 kg 18 hg

a) 125 mg � 0,125 g c) 7,5 dag 8 500 mg � 75 g � 8,5 g � 83,5 gb) 50 dg � 5 g d) 63 kg 18 hg � 63 000 g � 1 800 g � 64 800 g

Pasa estas medidas a centímetros cúbicos.a) 5 L c) 8 cLb) 0,05 L d) 0,0075 kL

a) 5 L � 5 dm3 � 5 000 cm3 c) 8 cL � 80 mL � 80 cm3

b) 0,05 L � 50 mL � 50 cm3 d) 0,0075 kL � 7,5 L � 7 500 mL � 7 500 cm3

Expresa en litros estas medidas de volumen.a) 2 000 cm3 c) 1 500 mm3

b) 3,5 dm3 d) 58 m3

a) 2 000 cm3 � 2 dm3 � 2 L c) 1 500 mm3 � 0,0015 dm3 � 0,0015 Lb) 3,5 dm3 � 3,5 L d) 58 m3 � 58 000 dm3 � 58 000 L

7.21

7.20

7.19

7.18

7.17

7.16

7.15

110



Las ruedas de un coche tienen la forma de una circunferencia de 140 centímetros. Calcula cuántas vueltasdará cada una si el automóvil recorre esta distancia: 19 km 1 hm 5 dam 2 m.

Distancia recorrida en centímetros: 19 km 1 hm 5 dam 2 m � 1 900 000 � 10 000 � 5 000 � 200 � 1 915 200 cmNúmero de vueltas: 1 915 200 � 140 � 13 680Cada rueda da 13 680 vueltas.

La masa de un camión vacío es de 5 t 6 q 8 kg, y puede cargar 8 contenedores si la masa de cada unoes de 6 mag 4 kg 5 hg. ¿Cuánto sería la masa del camión totalmente cargado?

Masa del camión vacío: 5 t 6 q 8 kg � 5 000 � 600 � 8 � 5 608 kgMasa de cada contenedor: 6 mag 4 kg 5 hg � 60 � 4 � 0,5 � 64,5 kgMasa total: 5 608 � 64,5 � 8 � 5 608 � 516 � 6 124 kgLa masa total del camión totalmente cargado sería de 6,124 toneladas.


Expresa estas longitudes en centímetros.

a) 12 m c) 3 hmb) 5 dm d) 10 km

a) 12 m � 1 200 cm c) 3 hm � 30 000 cmb) 5 dm � 50 cm d) 10 km � 1 000 000 cm

¿A cuántos metros equivalen estas longitudes?a) 25 dam c) 0,007 kmb) 1,5 dm d) 500 mm

a) 25 dam � 250 m c) 0,007 km � 7 mb) 1,5 dm � 0,15 m d) 500 mm � 0,5 m

Expresa estas medidas de capacidad en litros.a) 8 daL c) 33 cLb) 6 hL d) 250 mL

a) 8 daL � 80 L c) 33 cL � 0,33 Lb) 6 hL � 600 L d) 250 mL � 0,250 L

Pasa a centilitros estas medidas.a) 4,5 L c) 25,5 mLb) 0,6 daL d) 0,0005 hL

a) 4,5 L � 450 cL c) 25,5 mL � 2,55 cLb) 0,6 daL � 600 cL d) 0,0005 hL � 5 cL

Escribe las siguientes masas en gramos.a) 5 kg c) 5 000 mgb) 12 dag d) 60 dg

a) 5 kg � 5 000 g c) 5 000 mg � 5 gb) 12 dag � 120 g d) 60 dg � 6 g

7.28

7.27

7.26

7.25

7.24

7.23

7.22

111


Expresa en kilogramos estas masas.a) 250 g c) 0,5 tb) 0,5 dag d) 2 000 000 mg

a) 250 g � 0,250 kg c) 0,5 t � 500 kgb) 0,5 dag � 0,005 kg d) 2 000 000 mg � 2 kg

Pasa las siguientes superficies a metros cuadrados.a) 5 dam2 c) 80 000 cm2

b) 20 km2 d) 0,05 hm2

a) 5 dam2 � 500 m2 c) 80 000 cm2 � 8 m2

b) 20 km2 � 20 000 000 m2 d) 0,05 hm2 � 500 m2

Expresa en kilómetros cuadrados estas superficies.a) 5 000 m2 c) 25 000 dam2

b) 2 750 hm2 d) 1 000 000 dm2

a) 5 000 m2 � 0,005 km2 c) 25 000 dam2 � 2,50 km2

b) 2 750 hm2 � 27,50 km2 d) 1 000 000 dm2 � 0,01 km2

Escribe estas medidas en centímetros cúbicos.a) 0,1 dm3 c) 1 000 mm3

b) 0,5 m3 d) 0,0007 dam3

a) 0,1 dm3 � 100 cm3 c) 1 000 mm3 � 1 cm3

b) 0, 5 m3 � 500 000 cm3 d) 0,0007 dam3 � 700 000 cm3

Pasa estas medidas de volumen a litros.a) 7 dm3

b) 250 dm3

c) 2 m3

a) 7 dm3 � 7 Lb) 250 dm3 � 250 Lc) 2 m3 � 2 000 L

Expresa las siguientes medidas de capacidad en centímetros cúbicos.a) 1 Lb) 0,5 Lc) 500 cL

a) 1 L � 1 dm3 � 1 000 cm3

b) 0,5 L � 0,5 dm3 � 500 cm3

c) 500 cL � 5 000 mL � 5 000 cm3


Unidades de longitud

Copia en tu cuaderno y completa las siguientes igualdades.a) 23 dam � � dm � � mmb) 0,75 m � � cm � � mmc) 2,5 km � � m � � cm

a) 23 dam � 2 300 dm � 230 000 mmb) 0,75 m � 75 cm � 750 mmc) 2,5 km � 2 500 m � 250 000 cm

7.35

7.34

7.33

7.32

7.31

7.30

7.29

112


Completa estas igualdades con el número o unidad que corresponda.

a) 5 m � 50 � � 5 000 � c) 6,2 hm � 620 � � 62 000 �

b) 10 km � � hm � � m d) � cm � 3,5 dam � 3 500 �

a) 5 m � 50 dm � 5 000 mm c) 6,2 hm � 620 m � 62 000 cmb) 10 km � 100 hm � 10 000 m d) 3 500 cm � 3,5 dam � 3 500 cm


2,5 dam 2 400 dm 0,075 km 250 000 mm

Reducimos a la misma unidad, por ejemplo, a metros:2,5 dam � 25 m2 400 dm � 240 m0,075 km � 75 m250 000 mm � 250 m

Orden de menor a mayor: 2,5 dam � 0,075 km � 2 400 dm � 250 000 mm

Añade la medida necesaria para que sume 1 metro en cada caso.

a) 5 cm � � cm c) 7,2 dm � � �

b) 225 mm � � � d) 0,0006 km � � �

a) 5 cm � 95 cm c) 7,2 dm � 2,8 dmb) 225 mm � 775 mm d) 0,0006 km � 0,0004 km

Unidades de superficie

Expresa en metros cuadrados estas superficies.

a) 2,5 hm2 b) 250 dm2

a) 2,5 hm2 � 25 000 m2 b) 250 dm2 � 2,50 m2

Copia en tu cuaderno y completa.

a) 2 dam2 � � m2 c) 3,6 m2 � 360 �

b) 5,50 dm2 � � mm2 d) � km2 � 250 hm2

a) 2 dam2 � 200 m2 c) 3,6 m2 � 360 dm2

b) 5,50 dm2 � 55 000 mm2 d) 2,50 km2 � 250 hm2

Expresa estas superficies en áreas.

a) 7 ha c) 100 cab) 0,7 ha d) 50 ca

a) 7 ha � 700 a c) 100 ca � 1 ab) 0,7 ha � 70 a d) 50 ca � 0,5 a

Pasa a metros cuadrados estas medidas.

a) 2 cm2 c) 500 dm2 e) 42 ca g) 1,5 hab) 2 a d) 2,5 a f) 27 dm2 h) 0,5 ca

a) 2 cm2 � 0,0002 m2 e) 42 ca � 42 m2

b) 2 a � 2 dam2 � 200 m2 f) 27 dm2 � 0,27 m2

c) 500 dm2 � 5 m2 g) 1,5 ha � 1,5 hm2 � 15 000 m2

d) 2,5 a � 2,5 dam2 � 250 m2 h) 0,5 ca � 0,5 m2

7.42

7.41

7.40

7.39

7.38

7.37

7.36

113


Expresa en áreas las siguientes superficies.

a) 2 hm2 d) 5 dam2

b) 2 700 dm2 e) 5 cac) 1 000 ca f) 2 ha

a) 2 hm2 � 2 ha � 200 a d) 5 dam2 � 5 ab) 2 700 dm2 � 0,27 dam2 � 0,27 a e) 5 ca � 0,05 ac) 1 000 ca � 10 a f) 2 ha � 200 a

Unidades de volumen

Haz un dibujo para explicar cuántos centímetros cúbicos contiene un decímetro cúbico.

1 dm3 � 1 000 cm3

Explica cuántos centímetros cúbicos contiene un metro cúbico.

Sabemos que una unidad de volumen es 1 000 veces mayor que la del orden inmediato inferior. Tenemos entonces que:1 m3 � 1 000 dm3

A su vez, 1 dm3 � 1 000 cm3

Luego 1 m3 � 1 000 dm3 � 1 000 000 cm3

Un metro cúbico contiene un millón de centímetros cúbicos.

Expresa en centímetros cúbicos estas medidas.

a) 12 dm3 c) 2 m3

b) —12

— dam3 d) 0,5 m3

a) 12 dm3 � 12 000 cm3 c) 2 m3 � 2 000 000 cm3

b) �12

� dam3 � 0,500 dam3 � 500 000 000 cm3 d) 0,5 m3 � 500 000 cm3

Pasa estos volúmenes a decímetros cúbicos.

a) 0,25 cm3 c) 0,000250 m3

b) 10 dam3 d) 3 cm3

a) 0,25 cm3 � 0,00025 dm3 c) 0,000250 m3 � 0,250 dm3

b) 10 dam3 � 10 000 000 dm3 d) 3 cm3 � 0,003 dm3

Completa estas igualdades con las unidades que faltan.

a) 1 dm3 � 1 000 � c) 1 m3 � 1 000 �

b) 1 cm3 � 1 000 � d) 5,7 dam3 � 5 700 �

a) 1 dm3 � 1 000 cm3 c) 1 m3 � 1 000 dm3

b) 1 cm3 � 1 000 mm3 d) 5,7 dam3 � 5 700 m3

7.48

7.47

7.46

7.45

7.44

7.43

114

1 dm = 10 cm 1 dm = 10 cm

1 dm = 10 cm



0,02 m3 500 cm3 27 000 dm3 0,005 km3

Expresamos todas las cantidades en la misma unidad de medida, por ejemplo, en decímetros cúbicos:0,02 m3 � 20 dm3

500 cm3 � 0,500 dm3

27 000 dm3 � 27 000 dm3

0,005 km3 � 5 000 000 000 dm3

Orden de menor a mayor: 500 cm3 � 0,02 m3 � 27 000 dm3 � 0,005 km3

Indica qué medida hay que sumar a las siguientes para obtener 1 decímetro cúbico en cada caso.

a) 27 cm3 c) 0,0001 m3

b) 300 cm3 d) 12 000 mm3

a) 27 cm3 � 973 cm3 c) 0,0001 m3 � 0,1 dm3; 0,1 dm3 � 0,9 dm3

b) 300 cm3 � 700 cm3 d) 12 000 mm3 � 0,012 dm3; 0,012 dm3 � 0,988 dm3

Unidades de capacidad

Copia en tu cuaderno y completa estas igualdades.

a) 15 cL � � L � � mL c) � daL � 50 L � � kLb) 0,025 kL � � cL � � L d) 0,5 kL � 500 � � 5 �

a) 15 cL � 0,15 L � 150 mL c) 5 daL � 50 L � 0,050 kLb) 0,025 kL � 2 500 cL � 25 L d) 0,5 kL � 500 L � 5 hL

Ordena de mayor a menor.

5 daL 0,6 hL 500 L 0,1 kL

Expresamos todas las cantidades en la misma unidad de medida, por ejemplo, en litros.5 daL � 50 L0,6 hL � 60 L500 L � 500 L0,1 kL � 100 L

Orden de mayor a menor: 500 L � 0,1 kL � 0,6 hL � 5 daL

Une con flechas las medidas de capacidad que suman 1 litro.

20 cL 250 mL

0,05 daL 80 cL

25 mL 97,5 cL

75 cL 0,5 L

20 cL 250 mL

0,05 daL 80 cL

25 mL 97,5 cL

75 cL 0,5 L

7.53

7.52

7.51

7.50

7.49

115


Unidades de masa

Expresa las siguientes cantidades en gramos.

a) 25 dag d) 0,015 mgb) 7,5 hg e) 0,1 cgc) 7 500 mg f) 0,005 t

a) 25 dag � 250 g d) 0,015 mg � 0,000015 gb) 7,5 hg � 750 g e) 0,1 cg � 0,001 gc) 7 500 mg � 7,5 g f) 0,005 t � 5 000 g

Completa con los signos >, <, �, según corresponda.

a) 5 g � 5 000 mg c) 30 cg � 0,03 gb) 1 kg � 100 g d) 0,1 hg � 0,01 kg

a) 5 g � 5 000 mg c) 30 cg � 0,03 gb) 1 kg � 100 g d) 0,1 hg � 0,01 kg

Relación entre las unidades de volumen y de capacidad

Expresa estas medidas de capacidad en decímetros cúbicos.

a) 1 L c) 500 cLb) 1 kL d) 1 000 mL

a) 1 L � 1 dm3 c) 500 cL � 5 L � 5 dm3

b) 1 kL � 1 000 L � 1 000 dm3 d) 1 000 mL � 1 L � 1 dm3

Pasa las siguientes medidas a centímetros cúbicos.

a) 1 L c) 1 mLb) 1 cL d) 500 dL

a) 1 L � 1 dm3 � 1 000 cm3 c) 1 mL � 1 cm3

b) 1 cL � 10 mL � 10 cm3 d) 500 dL � 50 000 mL � 50 000 cm3

¿A cuántos litros equivalen estos volúmenes?

a) 10 dm3 b) 1 000 cm3 c) 1 000 000 mm3

a) 10 dm3 � 10 Lb) 1 000 cm3 � 1 dm3 � 1 Lc) 1 000 000 mm3 � 1 dm3 � 1 L

¿A cuántos mililitros equivalen las siguientes medidas de volumen?

a) 2,5 cm3 b) 10 mm3 c) 0,5 dm3

a) 2,5 cm3 � 2,5 mLb) 10 mm3 � 0,010 cm3 � 0,010 mLc) 0,5 dm3 � 500 cm3 � 500 mL

Ordena estas medidas de menor a mayor, expresando todas ellas en unidades de capacidad.

2 L 3 dm3 1 000 cm3 0,01 kL

Elegimos como unidad de capacidad el litro:2 L3 dm3 � 3 L1 000 cm3 � 1 dm3 � 1 L0,01 kL � 10 L

Orden de menor a mayor: 1 000 cm3 � 2 L � 3 dm3 � 0,01 kL

7.60

7.59

7.58

7.57

7.56

7.55

7.54

116


Ordena de mayor a menor estas medidas, expresando todas en unidades de volumen.0,5 dam3 20 kL 10 000 L 0,0001 hm3

Pasamos todas las cantidades a dm3:0,5 dam3 � 500 000 dm3

20 kL � 20 000 L � 20 000 dm3

10 000 L � 10 000 dm3

0,0001 hm3 � 100 000 dm3

Orden de mayor a menor: 0,5 dam3 � 0,0001 hm3 � 20 kL � 10 000 L

Calcula esta resta: 1 mL � 1 mm3

1 mL � 1 mm3 � 1 cm3 � 1 mm3 � 1 000 mm3 � 1 mm3 � 999 mm3


El largo de una plaza rectangular es 1,2 hectómetros, y su ancho 75 metros. ¿Cuántos metros hay quecaminar para dar una vuelta completa a la plaza?

Perímetro de la plaza � 2 � 1,2 � 2 � 75 � 2,4 hm � 150 m � 240 m � 150 m � 390 mPara dar una vuelta completa a la plaza hay que caminar 390 metros.

La distancia de la casa de Julia al colegio es de 0,550 kilómetros. Si cada paso de Julia mide unos 65centímetros, ¿cuántos pasos deberá dar para ir de casa al colegio?

Dividimos la distancia de la casa al colegio por la medida del paso de Julia, pero teniendo cuidado de reducir ambas cantidades ala misma unidad:

0,550 km � 550 m � 55 000 cm55 000 � 65 � 846,15

Julia deberá dar 846 pasos.

Calcula la superficie de esta alfombra rectangular.

Superficie: 1,75 � 0,95 � 1,6625 cm2

La superficie de la alfombra es 1,6625 cm2.

Una piscina se llena con 450 metros cúbicos de agua. ¿Cuántos decímetros cúbicos de agua habría queverter para llenar tres cuartas partes de su capacidad?

Volumen de la piscina: 450 m3 � 450 000 dm3

Agua que hay que verter: �34

� � 450 000 dm3 � 337 500 dm3

Hay que verter 337 500 dm3.

Un antibiótico viene preparado en sobres de 500 miligramos. El médico ha indicado una dosis máximadiaria de 1,5 gramos. ¿Cuántos sobres hay que consumir para tomar la dosis diaria indicada?

Dosis indicada: 1,5 g � 1 500 mg de antibiótico.Sobres necesarios: 1 500 � 500 � 3Hay que consumir 3 sobres de antibiótico.

7.67

7.66

7.65

7.64

7.63

7.62

7.61

117


Un depósito contiene 1 metro cúbico de agua. ¿Cuántas botellas de 1,5 litros se pueden llenar con elagua del depósito?

Agua del depósito: 1 m3 � 1 000 dm3 � 1 000 LNúmero de botellas: 1 000 � 1,5 � 666,67

Se pueden llenar 666 botellas.

El largo de un campo de fútbol mide 90 metros, y el ancho mide los —34

— del largo. ¿Cuántas vueltas hayque dar al campo para recorrer 4 kilómetros?

Largo: 90 m

Ancho: �34

� � 90 � 67,5 m

Una vuelta: 2 � 90 � 2 � 67,5 � 180 � 135 � 315 mSe quiere recorrer: 4 km � 4 000 mNúmero de vueltas: 4 000 � 315 � 12,7

Hay que dar al campo 13 vueltas, aproximadamente.

Si una chapa de 6 metros de largo por 4 de ancho se recortara en cuadraditos de 1 centímetro de ladoy se pusieran todos en fila, ¿qué longitud se alcanzaría?

Largo: 6 m � 600 cmAncho: 4 m � 400 cmSuperficie: 600 � 400 � 240 000 cm2

La chapa contiene 240 000 cuadrados de 1 cm de lado.Si uniéramos estos cuadrados formando una fila, alcanzaría una longitud de 2 400 metros.

Un terreno rústico de 5 hectáreas está valorado en 450 000 euros y se desea vender por metros cua-drados. ¿Cuál es el precio del metro cuadrado?

Superficie del terreno: 5 ha � 500 a � 50 000 ca � 50 000 m2

Precio del metro cuadrado: 450 000 � 50 000 � 9

El precio del metro cuadrado es de 9 euros.

Una ballena azul pesa unos 100 000 kilogramos. Solo su lengua pesa 4 toneladas. ¿Cuántas veces pesamás la ballena que su lengua?

Masa de la ballena: 100 000 kgMasa de la lengua: 4 t � 4 000 kg

100 000 � 4 000 = 25

La ballena pesa 25 veces más que su lengua.

¿Cuántos cubos de agua de 1 centímetro de arista hay que verter en un recipiente para tener 5 litrosde agua?

Capacidad: 5 L � 5 dm3 � 5 000 cm3.Luego en el recipiente hay que verter 5 000 cubos de agua de 1 centímetro de arista.

La arista de un cubo mide medio metro. ¿Cuántos cubos de 1 decímetro de arista puede contener?

Medio metro de arista � 0,5 m � 5 dmA lo largo se pueden poner 5 cubos; a lo ancho, 5, y a lo alto, 5.En total: 5 � 5 � 5 � 125 cubos

El depósito de una motocicleta tiene una capacidad de 5 litros. Se llena de gasolina, y en un viaje se

consumen —34

— partes del combustible. Calcula cuántos centímetros cúbicos quedan en el depósito.

Gasolina consumida: �34

� de 5 L � �34

� � 5 L � 3,75 L � 3,75 dm3 = 3 750 cm3

En el depósito quedan 5 000 cm3 � 3 750 cm3 = 1 250 cm3.

7.75

7.74

7.73

7.72

7.71

7.70

7.69

7.68

118


La figura muestra el plano de una habitación cuyas medidas están expresadas en metros.

Si se va a embaldosar la habitación con baldosas cuadradas de 30 centímetros de lado, ¿cuántas bal-dosas se necesitarán?

Superficie a embaldosar: (4 � 8) � (2 � 2) � 28 m2 � 280 000 cm2

Superficie de cada baldosa: 30 � 30 � 900 cm2

Número de baldosas: 280 000 � 900 � 311,11Se necesitarán 311 baldosas.

Para construir un prisma de base cuadrada con varillas de alambre se ha utilizado 1 metro de alambre.La altura del prisma es tres veces mayor que el lado de la base.Calcula cuántos centímetros mide cada arista del prisma.

Lado de la base: xTotal lados de las dos bases: 8xUna arista lateral: 3xTotal aristas laterales: 12xTotal aristas del prisma: 8x � 12x � 20xLa longitud total de las aristas es de 1 m � 100 cm ⇒ 20x � 100 ⇒ x � 5El lado de la base mide 5 centímetros, y cada arista lateral, 3 � 5 � 15 cm.

R E F U E R Z O

Unidades de longitud

Expresa estas medidas de longitud en metros.

a) 12 hm d) 50 mmb) 4 dam e) 2,5 cmc) 0,5 km f) 0,075 dm

a) 12 hm � 1 200 m d) 50 mm � 0,05 mb) 4 dam � 40 m e) 2,5 cm � 0,025 mc) 0,5 km � 500 m f) 0,075 dm � 0,0075 m

Copia en tu cuaderno y completa las siguientes igualdades.

a) 3,5 dam = � m = � cmb) 0,8 km = � m = � mmc) 250 cm = � m = � damd) 7,4 hm = � m = � dm

a) 3,5 dam � 35 m � 3 500 cmb) 0,8 km � 800 m � 800 000 mmc) 250 cm � 2,5 m � 0,25 damd) 7,4 hm � 740 m � 7 400 dm

7.79

7.78

7.77

7.76

119


El ancho de una ventana mide 60 centímetros, y el alto, los —85

— del ancho. Calcula cuántos metros de ma-dera se necesitan para enmarcar la ventana.

Ancho de la ventana: 60 cm

Alto de la ventana: �85

� � 60 cm � 96 cm

Marco de la ventana: 2 � 60 � 2 � 96 � 120 � 192 � 312 cmPara enmarcar la ventana se necesitan 3,12 metros de madera.

Unidades de superficie y de volumen

Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie.a) 3 dam2 d) 0,01 km2

b) 10 dm2 e) 3,85 hm2

c) 150 cm2 f) 10 000 mm2

a) 3 dam2 � 300 m2 d) 0,01 km2 � 10 000 m2

b) 10 dm2 � 0,10 m2 e) 3,85 hm2 � 38 500 m2

c) 150 cm2 � 0,0150 m2 f) 10 000 mm2 � 0,01 m2

Pasa a decímetros cúbicos estas medidas de volumen.a) 1 000 000 mm3 d) 0,005 hm3

b) 10 cm3 e) 0,000250 km3

c) 0,001 dam3 f) 0,001 m3

a) 1 000 000 mm3 � 1 dm3 d) 0,005 hm3 � 5 000 000 dm3

b) 10 cm3 � 0,010 dm3 e) 0,000250 km3 � 250 000 000 dm3

c) 0,001 dam3 � 1 000 dm3 f) 0,001 m3 � 1 dm3

Unidades de capacidad y de masa

Pasa a litros estas medidas de capacidad.a) 4 hL d) 10 dLb) 17 daL e) 2,5 mLc) 2,5 kL f) 0,75 cL

a) 4 hL � 400 L d) 10 dL � 1 Lb) 17 daL � 170 L e) 2,5 mL � 0,0025 Lc) 2,5 kL � 2 500 L f) 0,75 cL � 0,0075 L

Copia y completa esta tabla.7.84

7.83

7.82

7.81

7.80

120

kg hg dag g

0,75

82

1 250

kg hg dag g

0,75 7,5 75 750

8,2 82 820 8 200

1,25 12,5 125 1 250


Un camión cisterna, de 4 kilolitros de capacidad, tiene que abastecer de agua a una población en unaemergencia. ¿Cuántos litros de agua se podrán servir a cada una de las 50 familias de la población?

Capacidad de la cisterna en litros: 4 kL � 4 000 LPara cada familia: 4 000 � 50 � 80 LA cada familia se le pueden servir 80 litros de agua.

Relación entre volumen y capacidad

Pasa a litros estas medidas de volumen.

a) 2 dm3 c) 1 hm3

b) 5 dam3 d) 0,5 dm3

a) 2 dm3 � 2 Lb) 5 dam3 � 5 000 m3 � 5 000 000 dm3 � 5 000 000 Lc) 1 hm3 � 1 000 dam3 � 1 000 000 m3 � 1 000 000 000 dm3 � 1 000 000 000 Ld) 0,5 dm3 � 0,5 L

Expresa en centímetros cúbicos estas medidas de capacidad.

a) 5 L c) 0,5 daLb) 33 cL d) 0,001 L

a) 5 L � 5 000 mL � 5 000 cm3 c) 0,5 daL � 5 L � 5 dm3 � 5 000 cm3

b) 33 cL � 330 mL � 330 cm3 d) 0,001 L � 1 mL � 1 cm3

Un grifo mal cerrado gotea 15 milímetros cúbicos de agua por segundo.¿Cuántos litros de agua se pierden si permanece goteando 7 días completos?

7 días � 168 horas � 10 080 minutos � 604 800 segundosPérdida de agua: 604 800 � 15 mm3 � 9 072 000 mm3

Litros de agua que se pierden: 9 072 000 mm3 � 9 072 cm3 � 9,072 dm3 � 9,072 L


En un frasco de jarabe de 120 mililitros de capacidad solo quedan 4 centilitros de jarabe. ¿Qué fracciónde la capacidad del frasco contiene jarabe?

En el frasco quedan 4 cL � 40 mL de jarabe.

Fracción de lo que queda: �14200

� � �142� � �

13

�

La fracción de la capacidad del frasco que contiene jarabe es �13

�

La suma de las aristas de un cubo es de 1 224 milímetros. ¿Con cuántos centilitros de agua se llena estecubo?

El cubo tiene 12 aristas iguales.Cada arista mide: 1 224 � 12 � 102 mm.Volumen del cubo: 1023 mm3 � 1 061 208 mm3 � 1 061,208 cm3 � 1 061,208 mL � 106,1208 cLEl cubo se llena con 106,1208 centilitros de agua.

7.90

7.89

7.88

7.87

7.86

7.85

121


Julia ha tomado doble cantidad de batido de chocolate que Pedro, y Antonio el doble que Julia. Entrelos tres han tomado 3 litros y medio. ¿Cuántos centilitros de batido ha tomado cada uno?

Lo resolvemos mediante una ecuación.Batido que toma Pedro: xBatido que toma Julia 2xBatido que toma Antonio 4xEcuación: x � 2x � 4x � 3,5

7x � 3,53 � 3, 5 � 7 � 0,5

Pedro ha tomado: 0,5 L � 50 cL; Julia ha tomado: 1 L � 100 cL; Antonio ha tomado: 2 L � 200 cL.

La superficie de la base de un cubo es 225 centímetros cuadrados. ¿Cuántos litros de agua se puedenverter en él?

Arista del cubo: �225� � 15 cmVolumen del cubo: 153 cm3 � 3 375 cm3 � 3,375 dm3 � 3,375 LEn el cubo se pueden verter 3,375 litros de agua.

¿Cuál es la profundidad de esta piscina si para llenarla se necesitan 1 890 000 litros de agua?

Volumen de la piscina: 1 890 000 L � 1 890 000 dm3 � 1 890 m3

largo � ancho � profundidad � 1 890 m3

50 m � 21 m � profundidad � 1 890 m3

Profundidad = 1 890 � 1 050 � 1,8 mLa piscina tiene una profundidad de 1,8 metros


Información nutricional

a) Indica la cantidad de cada nutriente que hay en unvaso de 250 mililitros y en una botella de un litrode esta bebida.

b) La cantidad diaria recomendada de calcio es de 800miligramos. Si se quiere cubrir la cuarta parte dedicha cantidad consumiendo esta bebida, ¿cuántose deberá beber al día?

a) b) �200

120100� � 167 mL

7.94

7.93

7.92

7.91

122

En 250 mL En 1 L

Proteínas 8,25 g

Hidratos de carbono 7 g

Grasas 4,75 g

Fibra alimentaria 1,5 g

Sodio 0,5 g

Calcio 1,2 g

Vitaminas 0,0025 g

Vitaminas

Calcio

Sodio

Fibra

Grasas

Azúcares

Proteínas 3,3 g

2,8 g

1,9 g

0,6 g

50 mg

120 mg

0,25 mg

Por 100 mL


Zuttelechtan

Daniel compró en Zuttelechtan por 10 zutten una tela que medía 8 chan de largo. Al llegar a casa y medirel largo de la tela vio que era de 4 metros, y al hacer sus cuentas comprobó que le había costado 60 euros.La distancia entre dos ciudades de Zuttelechtan es de 18 000 matchan, y el viaje cuesta un zummo másun zusso. Expresa la distancia en kilómetros y calcula su precio en euros.

Del enunciado se deduce que 8 ch se corresponden con 4 metros. Es decir 1 m � 2 chTambién se deduce que 10 zutten son 60 euros. Es decir 1 zutten � 6 euros18 000 Matchan � 18 000 � 25 chan � 450 000 chan � 225 000 m � 225 km

13 mm � 0,013 m � 0,026 chan � �00,0,0

256

� � 0,52 tch

1 zummo � 1 zusso � 125 � 25 � 150 zutten � 150 � 6 = 900 euros


Una barra para colgar cortinas mide 2,24 metros.

a) ¿Cuántos centímetros mide?b) ¿Y cuántos milímetros?

a) 2,24 m � 224 cmb) 2,24 m � 2 240 mm

Una botella de refresco tiene una capacidad de 20 centilitros. Expresa esta medida en las siguientesunidades.

a) Litrosb) Mililitros

a) 20 cL � 0,20 Lb) 20 cL � 200 mL

La masa de un envase de café es 250 gramos. ¿Cuántos envases hay que comprar para tener un kilo-gramo de café?

1 kg � 1 000 g1 000 � 250 � 4

Hay que comprar 4 envases.

La superficie de un campo de fútbol mide 6 075 metros cuadrados. Expresa esta medida en cada unade estas unidades.

a) Hectómetros cuadradosb) Hectáreasc) Áreasd) Decámetros cuadrados

a) 6 075 m2 � 0,6075 hm2

b) 6 075 m2 � 0,6075 hac) 6 075 m2 � 60,75 ad) 6 075 m2 � 60,75 dam2

7.A4

7.A3

7.A2

7.A1

7.95

123

MONEDAS1 zummo � 125 zutten1 zusso � 25 zutten1 zutto � 5 zutten

UNIDADES DE LONGITUD1 matchan � 25 chan1 rachan � 5 chan1 glochan � 0,5 chan


El suelo de una cocina mide 4 metros de largo y 2,5 metros de ancho. Se desea solar con baldosas cua-dradas de 25 centímetros de lado.

a) ¿Se necesita un número exacto de baldosas?b) ¿Cuántas baldosas se necesitan?

a) 4 m � 400 cm ⇒ 400 � 25 � 16. Se necesitan 16 baldosas a lo largo.2,5 m � 250 cm ⇒ 250 � 25 � 10. Se necesitan 10 baldosas a lo ancho.Sí se necesita un número exacto de baldosas.

b) Se necesitan 16 � 10 � 160 baldosas.

Si un depósito contiene 7,850 metros cúbicos de agua, ¿cuántos bidones de 5 litros se pueden llenarcon toda el agua del depósito?

Capacidad del depósito: 7,850 m3 � 7 850 dm3 � 7 850 LNúmero de bidones: 7 850 � 5 � 1 570.Se pueden llenar 1 570 bidones.

Ordena de menor a mayor estas cantidades.

3,5 daL 0,041 m3 352 dm3 32 500 cL 1 200 L

Expresamos todas las cantidades en la misma unidad, el litro.3,5 daL � 35 L0,041 m3 � 41 L352 dm3 � 352 L32 500 cL � 325 L1 200 L

3,5 daL � 0,041 m3 � 32 500 cL � 352 dm3 � 1 200 L

Se desea vender un terreno cuya superficie es media hectárea. ¿Cuánto cuesta si el valor del metrocuadrado es 12,50 euros?

Superficie en metros cuadrados: 0,5 ha � 50 a � 5 000 ca � 5 000 m2

Coste del terreno: 5 000 � 12,50 � 62 500.El coste del terreno es de 62 500 euros.

En una ciudad, el metro cúbico de agua cuesta 0,75 euros. Una familia consume unos 400 litros diarios.¿Cuál será el importe, aproximado, que tendrá que pagar cada trimestre por el consumo de agua?

Consumo aproximado por trimestre: 400 � 90 � 36 000 L � 36 000 dm3 � 36 m3

Importe: 36 � 0,75 � 27El importe que tiene que pagar por cada trimestre es de 27 euros.

¿Cuál es el máximo número de cubos de 4 centímetros de arista que puede contener un cubo de 2 de-címetros de arista?

Arista del cubo contenedor: 2 dm � 20 cmVeces que contiene la arista del contenedor a la arista de cada cubo: 20 � 4 � 5Se pueden colocar 5 cubos a lo largo, 5 cubos a lo ancho y 5 cubos a lo alto. En total, 5 � 5 � 5 � 53 � 125 cubos.El número máximo de cubos que se pueden colocar es 125.

7.A10

7.A9

7.A8

7.A7

7.A6

7.A5

124

4 cm2 dm




EL PASTEL MISTERIOSO

Si un pastel pesa 3 kilogramos más que medio pastel, ¿cuánto pesa un pastel y medio?

Peso del pastel: x

Peso de medio pastel: �2x

�

Ecuación: �2x

� � 3 � x ⇒ x � 6

Peso de un pastel y medio: x � �2x

� � �32x� � �

32 6� � 9 kg

125


126

8. MAGNITUDES PROPORCIONALES. PORCENTAJES


Halla la razón entre 5 y 2.

�52

� � 2,5. La razón entre 5 y 2 es 2,5.

Comprueba si son ciertas estas proporciones.

a) —172— � —

67

— b) —1235— � —

12

351235

—

a) �172� � �

67

� no son proporción, ya que 7 � 7 � 6 � 12.

b) �1235� � �

12

3512

35

� si son proporción, ya que 13 � 2 525 � 25 � 1 313.

¿Qué valor ha de tomar x para que los números 3, 5, 12 y x formen una proporción?

De la proporción �35

� � �1x2� resulta:

3 � x � 12 � 5 ⇒ x � 20

Calcula el valor de las letras en las siguientes proporciones.

a) —165— � —

8x

— c) —165— � —

z5�

03

—

b) —165— � —

1y0— d) —

165— � —

t �

21

—

a) �165� � �

8x

� ⇒ x � �8 �

615� � 20 c) �

165� � �

z5�0

3� ⇒ z � 3 � �

61�550� ⇒ z � 3 � 20 ⇒ z � 17

b) �165� � �

1y0� ⇒ y � �

61�510� � 4 d) �

165� � �

t �2

1� ⇒ t � 1 � �

2 �6

15� ⇒ t � 1 � 5 ⇒ t � 6

Comprueba si la siguiente tabla corresponde a magnitudes directamente proporcionales.

�240� � �

350� ⇒ No son magnitudes directamente proporcionales.

Razona si son directamente proporcionales.a) La altura de un árbol y la longitud de su sombra.b) El número de obreros y el tiempo que tardan en construir un puente.

a) Sí son directamente proporcionales porque a medida que aumenta la altura, aumenta la longitud de la sombra.b) No son directamente proporcionales porque a medida que aumenta el número de obreros, disminuye el tiempo que tardan

en construir el puente.

8.6

8.5

8.4

8.3

8.2

8.1

Magnitud 1.a 2 4 5 6

Magnitud 2.a 10 20 30 40

Completa las siguientes tablas que relacionan magnitudes directamente proporcionales, e indica, paracada tabla, la razón de proporcionalidad.

a) b)

a) b)

La razón de proporcionalidad es 2. La razón de proporcionalidad es �19

�.

Pablo compra 3 bocadillos por 2,52 euros.

a) ¿Cuántos bocadillos podrá comprar con 20 euros?

b) ¿Cuánto costarán 7 bocadillos?

a) Número de bocadillos Euros (€)

3 2,52

�2,

352� � 1,19 1

1,19 � 20 � 23,8 20

Pablo podrá comprar 23 bocadillos.

b) Bocadillos Euros (€)

3 2,52

1 �2,

352� � 0,84

7 0,84 � 7 � 5,88

Los 7 bocadillos costarán 5,88 euros.

Ana compra 5 kilogramos de peras por 7,50 euros.

a) ¿Cuánto le costarán 7 kilogramos?

b) ¿Cuántos kilogramos comprará con 6 euros?

a) Peras (kg) Euros (€)

5 7,50

1 �7,

550� � 1,5

7 7 � 1,5 � 10,5 ⇒ Siete kilogramos le costarán 10,50 euros.

b) Por 6 euros nos darán: �1,

650� � 4 kg de peras.

8.9

8.8

8.7

127


Magnitud 2.a 1



Magnitud 1.a 5 8

Magnitud 2.a 36 72 108


Magnitud 2.a 36 45 72 108

Una máquina fabrica 4 000 clavos en 5 horas.

a) ¿Cuánto tiempo necesitará para hacer 10 000 clavos?b) ¿Cuántos clavos fabrica en 7 horas?c) Si un día solo funciona 3 horas, ¿cuántos clavos fabrica?

a) Se resuelve con una regla de tres simple:

b)

c)

Con 200 kilogramos de harina se elaboran 250 kilogramos de pan.

a) ¿Cuántos kilogramos de harina se necesitan para hacer un pan de 2 kilogramos?b) ¿Cuántos panecillos de 150 gramos se podrán hacer con 500 kilogramos de harina?

a)

Para hacer un pan de 2 kilogramos se necesitan 1,6 kilogramos de harina.

b)

Como cada panecillo pesa 150 gramos, se podrán hacer: �62

1550000

� � 4 166,6 panecillos con 500 kilogramos de harina.

Indica el porcentaje expresado por las siguientes razones y números decimales.

a) —1200— c) 0,007

b) —19090

— d) 0,27

a) �1

200� � 2 % c) 0,007 � 0,7 %

b) �19090

� � 99 % d) 0,27 � 27 %

Encuentra la razón y el número decimal equivalentes a cada uno de los siguientes porcentajes.

a) 70 % c) 1 %b) 95 % d) 0,09 %

a) 70 % � �17000

� � 0,7 c) 1 % � �1

100� � 0,01

b) 95 % � �19050

� � 0,95 d) 0,09 % � �01,0009

� � 0,0009

8.13

8.12

8.11

8.10

128

4 000 clavos 5 horas10 000 clavos ⇒ x � �

140000000

� � 12,5 ⇒ Necesitará 12 horas y 30 minutos.

4 000 clavos 5 horas10 x00 clavos ⇒ x � �

4 0050 � 7� � 5 600 ⇒ En 7 horas fabrica 5 600 clavos.

4 000 clavos 5 horas10 x00 clavos ⇒ x � �

4 0050 � 3� � 2 400 ⇒ En 3 horas fabrica 2 400 clavos.

200 kg de harina 250 k0x0 kg de harina 2 ⇒ x � �

252050

� 2� � 1,6

200 kg de harina 250 k500 kg de harina x ⇒ x � �

50020

�0250� � 625 kg de pan

Aplica los siguientes porcentajes a la cantidad 5 400, utilizando la razón y el número decimal equiva-lentes en cada caso.

a) 12 % c) 1 %b) 5 % d) 25,5 %

a) 12 % de 5 400 � �11020

� � 5 400 � 648; 0,12 � 5 400 � 648

b) 5 % de 5 400 � �1

500� � 5 400 � 270; 0,05 � 5 400 � 270

c) 1 % de 5 400 � �1100� � 5 400 � 54; 0,01 � 5 400 � 54

d) 25,5 % de 5 400 � �2150,05

� � 5 400 � 1 377; 0,255 � 5 400 � 1 377

Una marca de margarina tiene un 85 % de grasa. ¿Cuántos gramos de grasa hay en 500 gramos de estamargarina?

85 % de 500 � 0,85 � 500 � 425 g de grasa.En 500 gramos de margarina hay 425 gramos de grasa.

Unos ciclistas han recorrido 45 kilómetros de una etapa que tiene 180 kilómetros. ¿Qué porcentaje dela etapa han recorrido?

�10

x0

� de 180 � 45 ⇒ �10

x0

� � 180 � 45 ⇒ x � �45

1�80

100� � 25

Han recorrido el 25 % de la etapa.

El 15 % de los alumnos de Secundaria de un centro escolar participan como voluntarios en una campañapara mantener limpia su ciudad. Si participan 24 alumnos, ¿cuántos alumnos de Secundaria hay en elcentro?

Hay 160 alumnos de Secundaria en el centro.

Calcula la cantidad que resulta después de aplicar los siguientes aumentos a 6 800 euros.

a) 20 % c) 93 %b) 40 % d) 4 %

a) 1,20 � 6 800 � 8 160 € c) 1,93 � 6 800 � 13 124 €b) 1,4 � 6 800 � 9 520 € d) 1,04 � 6 800 � 7 072 €

Calcula la cantidad que resulta después de aplicar las siguientes disminuciones a 3 200 litros.

a) 10 % c) 78 %b) 50 % d) 3 %

a) 0,90 � 3 200 � 2 880 L c) 0,22 � 3 200 � 704 Lb) 0,5 � 3 200 � 1 600 L d) 0,97 � 3 200 � 3 104 L

Ana ahorra 12 euros todos los meses para colaborar con una ONG. A partir de enero decide aumentarun 25 % la cantidad de dinero que ahorra cada mes. ¿Cuántos euros ahorra a partir de ese momento?

12 � 1,25 � 15 euros ahorra Ana al mes a partir de enero.

8.20

8.19

8.18

8.17

8.16

8.15

8.14

129

24 alumnosx alumnos

15 %100 %⇒ x � �

241�5100� � 160

Luis compra un libro que cuesta 18 euros. Al ir a pagar le hacen un 15 % de descuento.a) ¿Cuánto dinero le descuentan?b) ¿Cuánto le cuesta el libro?

a) 15 % de 18 � �11050

� � 18 � 2,70 euros le descuentan a Luis.

b) 18 � 2,7 � 15,30 euros le cuesta el libro a Luis.


Un coche gasta 68,7 litros de gasolina en un viaje entre dos ciudades que se encuentran a una distanciade 748 kilómetros y 400 metros.a) ¿Cuánto gastará si recorre 1 063 kilómetros?b) ¿Cuánto gastará si hace un viaje de 389 kilómetros?c) ¿Cuántos kilómetros recorrerá con 53,6 litros?

Son magnitudes directamente proporcionales, lo resolvemos reduciendo a la unidad.

a)

b) 0,09 � 389 = 35,01 litros gastará si hace un viaje de 389 kilómetros.

c)

En una tienda, para conseguir nuevos clientes, se anuncia una rebaja del 13,6 % sobre el precio de ventade todos sus artículos. En otra tienda se tacha el precio de un artículo que marcaba 18,60 euros y sepone debajo 11,30 euros como precio nuevo, y aplicando la misma proporción, se rebajan todos losartículos. ¿En cuál de las dos se hace mayor descuento?

�10

x0

� de 18,60 � 11,30 ⇒ �10

x0

� � 18,60 � 11,30 ⇒ x � �11,3

108,6

�0100

� � 60,75

En la segunda tienda se hace un 39,25 % de descuento.Por tanto, se hace más descuento en la segunda tienda.


Calcula el valor de las siguientes razones.

a) —142— c) —

126—

b) —150— d) —

146—

a) �142� � 3 c) �

126� � 8

b) �150� � 2 d) �

146� � �

14

�

8.24

8.23

8.22

8.21

130

Gasolina (L) Distancia (km)

68,7

�76488,7,4

� � 0,09

748,4

1 � ⇒ 0,09 � 1 063 � 95,67 litros gastará si recorre 1 063 kilómetros.

Gasolina (L) Distancia (km)

748,4

�76488,,74

� � 10,89

68,7

1 � ⇒ 10,89 � 53,6 � 583,70 kilómetros recorrerá con 53,6 litros.

La razón entre 10 y 5 es 2. Da otros tres pares de números cuya razón sea 2.

Respuesta abierta, por ejemplo: 6 y 3; 8 y 4; 12 y 6

Comprueba si son verdaderas o no las siguientes proporciones.

a) —52

— � —140—

b) —13,5— � —

53

—

a) 5 � 4 � 20 � 10 � 2. Luego sí forman proporción.

b) 3 � 3 � 9 � 7,5 � 5 � 1,5. Luego no forman proporción.

Halla el valor de x para que se cumplan las siguientes proporciones.

a) —132— � —

4x

— b) —1x0— � —

42

—

a) �132� � �

45

� ⇒ x � 1 b) �1x0� � �

42

� ⇒ x � 5

Copia y completa la tabla, calculando de modo que las magnitudes sean directamente proporcionales.

Copia y completa la tabla, calculando de modo que las magnitudes sean directamente proporcionales.

Calcula los siguientes porcentajes.

a) 10 % de 650 c) 10 % de 20

b) 25 % de 400 d) 1 % de 20

a) 10 % de 650 = 0,1 � 650 = 65 c) 10 % de 20 = 0,1 � 20 = 2

b) 25 % de 400 = 0,25 � 400 = 100 d) 1 % de 20 = 0,01 � 20 = 0,2

8.30

8.29

8.28

8.27

8.26

8.25

131

Magnitud 1.a 5 6 7 8 9 10 11

Magnitud 2.a 15 18

Magnitud 1.a 5 6 7 8 9 10 11

Magnitud 2.a 15 18 21 24 27 30 33

Magnitud 1.a 1 2 4 6 8


Magnitud 1.a 1 2 4 6 8 12

Magnitud 2.a 5 10 20 30 40 60


Razones y proporciones


�126� � 8

Escribe la razón entre 27 y 3.

�237� � 9

¿Cuántas veces es mayor 255 que 15?

�21555

� � 17 ⇒ 255 es 17 veces mayor que 15.

Halla x para que la razón entre 7 y x sea 3,45.

�7x

� � 3,45 ⇒ x � �3,

745�

Indica dos números cuya razón sea 2,5.

Respuesta abierta. Por ejemplo, los números 5 y 2, cuya razón es 2,5.

Indica dos números cuya razón sea 5.

Respuesta abierta. Por ejemplo, los números 10 y 2, cuya razón es 5.

¿Qué valor tiene que tomar x para que los números 4, 7, x y 21 formen una proporción?

�47

� � �2x1� ⇒ x � �

4 �7

21� � 12

Averigua si son verdaderas o no las siguientes proporciones.

a) —3200— � —

210100

—

b) —15224015224

— � —1331—

a) 30 � 110 � 3 300 � 4 000 � 200 � 20 ⇒ Por tanto, no es cierta la proporción.b) 52 052 � 31 � 1 613 612 � 124 124 � 13 ⇒ Por tanto, es cierta la proporción.


a) —155— � —

2x0— c) —

165— � —

x8

—

b) —4122— � —

t1�

02

— d) —182— � —

z3�

01

—

a) �155� � �

2x0� ⇒ x � �

2015

� 5� � 6,67

b) �41

22� � �

t �10

2� ⇒ t � 2 � �

421�2

10� ⇒ t � 2 � 35 ⇒ t � 33

c) �165� � �

8x� ⇒ x � �

156� 8� � 20

d) �182� � �

z3�0

1� ⇒ z � 1 � �

3012

� 8� ⇒ z � 1 � 20 ⇒ z � 19

8.39

8.38

8.37

8.36

8.35

8.34

8.33

8.32

8.31

132

Porcentajes

Asocia cada fracción con el porcentaje equivalente.

—1500— —

120— —

2550— —

14

— —25

— —34

— —1380—

5 % 75 % 60 % 50 % 25 % 20 % 40 %

�1

500� � 5 % �

120� � 20 % �

2550� � 50 % �

14

� � 25 % �25

� � 40 % �34

� � 75 % �1380� � 60 %

Asocia cada porcentaje con el número decimal equivalente.

3 % 1 % 58 % 10 % 30 % 99 % 0,1 %

0,1 0,58 0,3 0,99 0,03 0,001 0,01

3 % � 0,03 1 % � 0,01 58 % � 0,58 10 % � 0,1 30 % � 0,3 99 % � 0,99 0,1 % � 0,001

Encuentra la fracción irreducible que representa cada uno de los siguientes porcentajes.

a) 15 % d) 90 %b) 19 % e) 2 % c) 16 % f) 10 %

a) 15 % � �11050

� � �230� d) 90 % � �

19000

� � �190�

b) 19 % � �11090

� e) 2 % � �1

200� � �

510�

c) 16 % � �11060

� = �245� f) 10 % � �

11000

� � �110�

La parte coloreada de rojo representa un aumento. Indica cuál es su valor.

La parte coloreada de rojo es �120� � 0,2 � 20 %. Representa un aumento del 20 %.

Magnitudes directamente proporcionales

Copia y completa las siguientes tablas que relacionan magnitudes directamente proporcionales.

a)

b)

a)

b)

8.44

8.43

8.42

8.41

8.40

133

100 %


Magnitud 2.a 10


Magnitud 2.a 5 10 15 20 25



Magnitud 1.a 4,67 7 14 21 23,33

Magnitud 2.a 5 7,5 15 22,5 25

Copia y completa las siguientes tablas que relacionan magnitudes directamente proporcionales.

a) b)

a) b)

Di en qué casos las magnitudes son directamente proporcionales. Razona tu respuesta.

a) Altura de un edifico y longitud de su sombra.b) Número de personas y tiempo que tardan en pintar una valla.c) Número de grifos de una bañera y tiempo que tardan en llenarla.

a) Magnitudes directamente proporcionales, porque a medida que aumenta la altura, aumenta la sombra.b) Magnitudes no son directamente proporcionales, porque cuantas más personas pinten la valla, menos tiempo tardan.c) Magnitudes no son directamente proporcionales, porque cuantos más grifos haya, menos tiempo se tardará en llenarla.

Pon un ejemplo de dos magnitudes que cumplan cada una de estas condiciones.

a) Que sean directamente proporcionales.b) Que no sean directamente proporcionales.

Respuesta abierta:

a) Cantidad de carne y precio que se paga por ella.b) Peso y edad de una persona.

Si dos cintas de vídeo cuestan 5 euros, ¿cuánto costarán 7 cintas?

Se trata de magnitudes directamente proporcionales.

¿Cuántos cartones de leche podré comprar con 12 euros?

Se trata de magnitudes directamente proporcionales.

Podrá comprar 16 cartones de leche.

8.49

8.48

8.47

8.46

8.45

134


Magnitud 2.a 24

Magnitud 1.a 4 8 16

Magnitud 2.a 0,5


Magnitud 2.a 8 16 24 32


Magnitud 2.a 0,25 0,5 1 2

2 cintas 5 euros7 cintas x euros ⇒ x � �

72� 5� � 17,50 euros costarán 7 cintas.

2 cartonesx cartones

1,42 euros12 euros⇒ x � �

21�,4

122

� � 16,9

Cálculo de porcentajes

Halla n sabiendo que:

a) El 30 % de n es 21 c) El 56 % de n es 112

b) El 16 % de n es 8 d) El 14 % de n es 11

a) n � �21

3�0100� � 70 c) n � �

1125�6

100� � 200

b) n � �8 �

16100� � 50 d) n � �

111�4100� � 78,57

Responde a las siguientes preguntas.

a) ¿Qué tanto por ciento de 28 es 14?

b) ¿Qué tanto por ciento de 32 es 4?

c) ¿Qué tanto por ciento de 10 es 6?

a) x � �100

28� 14� � 50, 14 es el 50 % de 28.

b) x � �100

32� 4� � 12,5, 4 es el 12,5 % de 32.

c) x � �100

10� 6� � 60, 6 es el 60 % de 10.

Sustituye n por el valor que corresponda.

a) n % de 8 es 6 c) n % de 85,5 es 57

b) n % de 10 es 5 d) n % de 75 es 15

a) �10

x0

� de 8 es 6 ⇒ �10

x0

� � 8 � 6 ⇒ x � �6 �

8100� � 75 ⇒ El 75 % de 8 es 6.

b) �10

x0

� de 10 es 5 ⇒ �10

x0

� � 10 � 5 ⇒ x � �5 �

10100� � 50 ⇒ El 50 % de 10 es 5.

c) �10

x0

� de 85,5 es 57 ⇒ �10

x0

� � 85,5 � 57 ⇒ x � �57

8�5,

1500

� � 66,67 ⇒ El 66,67 % de 85,5 es 57.

d) �10

x0

� de 75 es 15 ⇒ �10

x0

� � 75 � 15 ⇒ x � �15

7�5100� � 20 ⇒ El 20 % de 75 es 15.

Copia y completa la tabla calculando el 25 % de cada cantidad.

¿Cuál de los siguientes números es el 7 % de 2 400?

a) 14 b) 48 c) 168 d) 18,6

�1

700� de 2 400 � �

7 �1200

400� � 168. El 7 % de 2 400 es 168; por tanto, es el apartado c.

8.54

8.53

8.52

8.51

8.50

135

400 300 100 50 25 10 1 000

400 300 100 50 25 10 1 000

100 75 25 12,5 6,25 2,5 250

Copia y completa la tabla aplicando a 5 000 los siguientes porcentajes.

Copia y completa para que se cumpla la igualdad, como muestra el ejemplo.

a) 25 % � 75 % � 100 %b) 5 % � � � 100 %c) � � 2,5 % � 100 %

a) 25 % � 75 % � 100 %b) 5 % � 95 % � 100 %c) 97,5 % � 2,5 % � 100 %

Elige la cantidad más próxima al 20 % de 3 512.

a) 6 000 b) 7 000 c) 500 d) 700

20 % de 3 512 � 0,20 � 3 512 � 702,4

La cantidad más próxima es 700, correspondiente al apartado d.

Al comprar este televisor nos hacen un descuento del 12 %. ¿Cuánto pagaremos?

Si nos descuentan el 12 %, pagaremos el 88 % de 329,96 €.

88 % de 329,96 � 0,88 � 329,96 � 290,36 € pagaremos al comprar el televisor.

Un aparato de aire acondicionado cuesta 480,21 euros y hay que añadirle un 16 % de IVA. ¿Cuál es elprecio final?

1,16 � 480,21 � 557,04 € es el precio final del aparato de aire acondicionado.


El Parque Nacional de las Tablas de Daimiel tiene una superficie de 1 928 hectáreas. ¿Cuántas veces esmayor el Parque Nacional de Cabañeros si la superficie de este son 39 000 hectáreas?

�319902080

� � 20,23

El Parque Nacional de Cabañeros es 20 veces mayor que el de las Tablas de Daimiel.

8.60

8.59

8.58

8.57

8.56

8.55

136

5 % 50 % 75 % 100 % 1 % 16 % 27 %

5 % 50 % 75 % 100 % 1 % 16 % 27 %

250 2 500 3 750 5 000 50 800 1 350

En una tienda de electrodomésticos van a rebajar un 12 % todos sus artículos. Calcula la cantidad dedinero que descuentan en estos electrodomésticos y el precio final.

a) b)

a) Descuento: 340,12 � 0,12 � 40,81 € b) Descuento: 236 � 0,12 � 28,32 €Precio final: 340,12 � 0,88 � 299,31 € Precio final: 236 � 0,88 � 207,68 €

Al acabar el año, una tienda de deportes ha decidido subir un 18% el precio de todos sus artículos. Calcula elprecio de estos artículos después del incremento.

a) b)

a) Precio final: 21 � 1,18 � 24,78 € b) Precio final: 89 � 1,18 � 105,02 €

En un centro escolar hay 2,4 veces más alumnos de Secundaria que de Bachillerato. Si el número dealumnos de Bachillerato es 120, ¿cuántos alumnos hay de Secundaria?

2,4 � 120 � 288 alumnos de Secundaria.

Una asociación de vecinos organiza una excursión para las personas mayores del barrio. Por cada 10mujeres asisten 6 hombres. Si el número total de mujeres es 140, ¿cuántos hombres van a la excursión?

Si x es el número total de hombres, se verifica:

A la excursión van 84 hombres.

Luisa tenía ahorrados 33,60 euros y se ha gastado el 35 % de sus ahorros en un regalo de cumpleañospara su padre. ¿Cuánto le ha costado el regalo?

35 % de 33,66 � 0,35 � 33,66 � 11,78 € ha costado el regalo.

Después de haber consumido el 12 % del depósito de gasolina de un coche quedan 44 litros. ¿Cuál esla capacidad del depósito?

88 % de x � 44 ⇒ 0,88 � x � 44 ⇒ x � �04,848

� � 50 litros es la capacidad del depósito.

8.66

8.65

8.64

8.63

8.62

8.61

137

10 mujeres140 mujeres

6 hombresx hombres⇒ x � �

14010

� 6� � 84

Los embalses que abastecen una ciudad se encuentran al 22 % de su capacidad, lo que representa176 kilómetros cúbicos. ¿Cuál es su capacidad total?

Sea x la capacidad total de los embalses, entonces:

22 % de x � 176 ⇒ �12020

� � x � 176 ⇒ x � �176

2�2

100� � 800 km3

La capacidad total de los embalses es de 800 km3.

La factura de electricidad se ha reducido 1,75 euros. Si el mes pasado se pagaron 35 euros, ¿quéporcentaje supone esa disminución?

�10

x0

� de 25 � 1,75 ⇒ �10

x0

� � 35 � 1,75 ⇒ x � �1,75

3�5

100� � 5 %

La disminución supone un 5 %.

La superficie de Andalucía es de 87 597 kilómetros cuadrados. Sabiendo que la superficie total de Españaes de 505 988 kilómetros cuadrados, ¿qué porcentaje del total de la superficie de España ocupaAndalucía?

�10

x0

� de 505 988 � 87 597 ⇒ �10

x0

� � 505 988 � 87 597 ⇒ x � �87

550957

9�88

100� � 17,31

Andalucía representa el 17,31 % de la superficie de España.

El 16 % de los alumnos de un colegio estuvieron enfermos con gripe durante el curso pasado.

a) Si hubo 144 enfermos con gripe, ¿cuántos alumnos tiene el colegio?

b) Si el colegio tuviera 1 350 alumnos, ¿cuántos alumnos habrían estado enfermos con gripe?

a) Si x es el número total de alumnos del colegio:

16 % de x � 144 ⇒ �11060

� � x � 144 ⇒ x � �144

1�6

100� � 900

El colegio tiene 900 alumnos.

b) 16 % de 1 350 ⇒ �11060

� � 1 350 � 216

Habrían estado enfermos 216 alumnos.

8.70

8.69

8.68

8.67

138

¿Cuánto cuestan 8 paquetes de azúcar?

Los 8 paquetes cuestan 7,36 euros.

Si 7 metros de tela han costado 23 euros, ¿cuánto costarán 31 metros de esa tela?

Los 31 metros de tela costarán 101,88 €.

Un calentador de agua consume 900 litros de gas en 5 horas y media. Otro calentador consume 100 li-tros de gas en 3 horas y media.¿Cuál de los dos calentadores gasta más por hora?

Se pasan las horas a minutos.

Primer calentador

Segundo calentador

Gasta más por hora el primer calentador: 163 litros.

En un supermercado han cambiado los precios de algunos productos: el kilogramo de arroz ha pasadode 1,38 euros a 1,54 euros y el kilogramo de garbanzos, de 1,51 euros ahora cuesta 1,45 euros.a) ¿Qué tanto por ciento ha subido el kilogramo de arroz? b) ¿Qué porcentaje ha bajado el kilogramo de garbanzos?

a) �10

x0

� de 1,38 � 1,54 ⇒ �10

x0

� � 1,38 � 1,54 ⇒ x � �1,54

1,3�8100

� � 111,6

El kilogramo de arroz ha subido un 11,6 %.

b) �10

x0

� de 1,51 � 1,45 ⇒ �10

x0

� � 1,51 � 1,45 ⇒ x � �1,45

1,5�1100

� � 96,03

El kilogramo de garbanzos ha bajado un 3,97 %.

8.74

8.73

8.72

8.71

139

3 paquetes8 paquetes

2,76 eurosx euros ⇒ x � �

2,763

� 8� � 7,36

7 metros31 metros

23x ⇒ x � �

317� 23� � 101,88

Agua (L) Tiempo (h)

330

1

900

�950,50

� � 163,63 � ⇒ x � �900

33�0

60� � 163,63

Agua (L) Tiempo (h)

3,5

1

100

�130,50

� � 28,57 � ⇒ x � �100

21�0

60� � 28,57

R E F U E R Z O

Razones y proporciones


�770� � 10. La razón entre 70 y 7 es 10.

Halla x para que la razón entre 12 y x sea 2,4.

�1x2� � 2,5 ⇒ x � �

21,24� � 5

Escribe una proporción que tenga como extremos 3 y 15, y como medios, 9 y 5.

�35

� � �195�

Señala cuáles de los siguientes pares de razones forman proporción e indica, en su caso, la razón deproporcionalidad.

a) —162— y —

63

— c) —45

— y —56

—

b) —84

— y —63

— d) —68

— y —34

—

a) �162� � �

63

� , ya que 12 � 3 � 6 � 6, forman proporción y la razón de proporcionalidad es 2.

b) �84

� � �63

�, ya que 8 � 3 � 4 � 6, forman proporción y la razón de proporcionalidad es 2.

c) �45

� � �56

�, ya que 4 � 6 � 5 � 5, no forman proporción.

d) �68

� � �34

�, ya que 6 � 4 � 8 � 3, forman proporción y la razón de proporcionalidad es �34

�.

Halla el valor de x en las siguientes proporciones.

a) —146— � —

6x4— b) —

130— � —

8x1—

a) �146� � �

6x4� ⇒ x � �

41�664� � 16 b) �

130� � �

8x1� ⇒ x � �

813� 10� � 270

Porcentajes

Expresa las siguientes fracciones como porcentajes.

a) —12

— b) —520— c) —

34

— d) —1320—

a) �12

� � 0,5 � 50 % c) �34

� � 0,75 � 75 %

b) �520� � 0,04 � 4 % d) �

13

20� � 0,40 � 40 %

8.80

8.79

8.78

8.77

8.76

8.75

140

Expresa los siguientes decimales como porcentajes.

a) 0,15 b) 0,5 c) 0,91 d) 0,01

a) 0,15 � 15 % c) 0,91 � 91 %b) 0,5 � 50 % d) 0,01 � 1 %

Encuentra el número decimal equivalente a los siguientes porcentajes.

a) 25 % b) 1 % c) 99 % d) 2,5 %

a) 25 % � �12050

� � 0,25 c) 99 % � �19090

� � 0,99

b) 1 % � �1

100� � 0,01 d) 2,5 % � �

120,50

� � 0,025

Halla n sabiendo que:

a) El 25 % de n es 210.b) El 72 % de n es 108.

a) El 25 % de n es 210 ⇒ 0,25 � n � 210 ⇒ n � �02,1205

� � 840

b) El 72 % de n es 108 ⇒ 0,25 � n � 180 ⇒ n � �01,0785

� � 840

Responde a las siguientes preguntas.

a) ¿Qué tanto por ciento de 30 es 6?b) ¿Qué tanto por ciento de 92 es 18?

a) �10

x0

� de 30 � 6 ⇒ �10

x0

� � 30 � 6 ⇒ x � �6 �

30100� � 20 ⇒ 6 es el 20 % de 30.

b) �10

x0

� de 92 � 18 ⇒ �10

x0

� � 92 � 18 ⇒ x � �18

9�2100� � 19,57 ⇒ 18 es el 19,57 % de 92.

Magnitudes directamente proporcionales

Copia y completa la siguiente tabla que relaciona magnitudes directamente proporcionales.

¿Cuántos CD podremos comprar con 6 euros?

Podremos comprar 25 CD con 6 euros.

8.86

8.85

8.84

8.83

8.82

8.81

141

Magnitud 1.a 4 12 100 200

Magnitud 2.a 9

Magnitud 1.a 4 12 100 200

Magnitud 2.a 3 9 75 150

5 CDx CD

1,20 euros6 euros ⇒ x � �

61,

�20

5� � 25


En una empresa hay dos categorías de puestos de trabajo. Al empezar el año se incrementa el sueldode este modo:Categoría 1.ª: de 680 euros a 753.Categoría 2.ª: de 921 euros a 1 093.¿Ha sido el aumento proporcional?

El aumento es proporcional si se verifica: �76

5830

� � �1902913

�

Pero la igualdad no es cierta, ya que: 753 � 921 � 693 513 � 743 240 � 680 � 1 093

Por tanto, el aumento no ha sido proporcional.

Una tarta de 6 raciones necesita 3 huevos, 100 gramos de mantequilla, 120 gramos de chocolate y 60gramos de levadura. ¿Qué cantidades serán necesarias para hacer una tarta de 8 raciones?

Huevos:

Mantequilla:

Chocolate:

Levadura:

Por tanto, para hacer una tarta de 8 raciones son necesarios 4 huevos, 133,3 gramos de mantequilla, 160 gramos de chocolatey 80 gramos de levadura.

Dos equipos de baloncesto han obtenido el siguiente número de aciertos:

Equipo A: de 30 tiros, 20 encestados.

Equipo B: de 45 tiros, 30 encestados.

¿Cuál de los dos equipos tiene mayor efectividad?

Se calcula cuál de las dos razones es mayor

Equipo A: �32

00� � �

32

� Equipo B: �43

50� � �

32

�

Luego los dos equipos han tenido la misma efectividad.

8.89

8.88

8.87

142

6 raciones8 raciones

3 huevosx huevos ⇒ x � �

86� 3� � 4 huevos


100 gx ⇒ x � �

8 �6100� � 133,3 gramos de mantequilla


120 gx ⇒ x � �

8 �6120� � 160 gramos de chocolate


60 gx ⇒ x � �

8 �6

60� � 80 gramos de levadura

La figura indica que por cada 100 metros de avance en horizontal se ascienden 5 metros: se dice quesu pendiente es del 5 %.

¿Cuál es la pendiente de un tramo de carretera en el que por cada 500 metros de avance en horizontal seascienden 30 metros?

Se ascienden 30 metros por 500 metros de avance horizontal: �53000

�

�53000

� � �1600� � 6 %

La pendiente del tramo de carretera es del 6 %.

La pendiente de un tramo de carretera es del 8 %. Si un coche avanza en horizontal 250 metros, ¿cuántosmetros habrá ascendido?

8 % � �1800� � �

540� � �

22500

�. Por 250 m de avance horizontal asciende 20 metros.

También se puede calcular directamente, aplicando el 80 % a 250 metros.


La factura eléctricaRicardo Requena, cliente y a la vez empleado de la compañía eléctrica Eleólica, S.A., ha recibido lasiguiente información.

Si en el último mes ha consumido 390 kW, ¿cuánto deberá abonar en la próxima factura?

Conexión: 13,5

Consumo: 250 kwh 25140 kwh 15,4

Compensación (13,5 � 25 � 15,4) � 0,15 � 8,09

Impuesto ecológico 45,81 � 0,005 � 0,23

IVA 45,81 � 0,16 � 7,33

TOTAL 45,81 � 0,23 � 7,33 � 53,37 euros

8.92

8.91

8.90

143

5 m

100 m

ELEÓLICA, S.A.Conexión: 13,5 €.Consumo mensual:

– Primeros 250 kW:0,1 €/kW– A partir de 250 kW:0,11 €/kW

• Descuentoempleados: 15 %

• Impuestoecológicocomunitario: 0,5 %• IVA: 16 %

(Los impuestos seaplican una vezrealizado el descuento)

Subidas y bajadas de precios

Tras leer el cartel Pedro ahorró para comprar un programa. Cuando fue a la tienda, le dijeron quetodos los programas habían sufrido una subida del 15 %. Le recomendaron que esperase una semana,porque entonces comenzarían las rebajas, con descuentos de 15 % en juegos, 10 % en aplicaciones, 14 %en enciclopedias y 15 % en el resto.¿Qué programas podrá adquirir Pedro?

�1,

115� � 0,87 ⇒ 1 � 0,87 � 0,13

Para poder adquirir un programa, es necesario que lo bajen en más de un 13 %. Por tanto podrá adquirir cualquier programamenos las aplicaciones.


Halla la razón entre los siguientes números.

a) 84 y 16 c) 18 y 36b) 72 y 15 d) 12,5 y 0,5

a) �81

46� � 5,25 c) �

13

86� � 0,5

b) �71

25� � 4,8 d) �

102,,55

� � 25


a) —130— � —

1x2—

b) —122— � —

3x0—

a) �130� � �

1x2� ⇒ 10 � x � 12 � 3 ⇒ x � �

3160� � 3,6

b) �122� � �

3x0� ⇒ 2 � 30 � x � 12 ⇒ x � �

21�230� � �

6102� � 5

Copia y completa la siguientes tabla que relaciona magnitudes directamente proporcionales e indica larazón de proporcionalidad.

Razón de proporcionalidad: �15

� � 0,2

8.A3

8.A2

8.A1

8.93

144


Magnitud 2.a 10 15


Magnitud 2.a 5 10 15 20

O F E R T A

Programas para PC:

• Juegos • Aplicaciones• Enciclopedias • Etc

¡Todos a 20 € la unidad!

Razona en qué casos las magnitudes son directamente proporcionales.a) Cantidad de limones en kilogramos y precio por kilogramo.b) Distancia entre dos ciudades y tiempo que se tarda en llegar de una a otra.c) Números de asientos vacíos en el cine y personas que asisten a una sesión.

a) Directamente proporcionales. Si aumenta el número de kilogramos de limones, aumenta el precio.b) Directamente proporcionales. Si la distancia aumenta, el tiempo aumenta.c) No son directamente proporcionales. Si el número de personas que asisten aumenta, el número de asientos vacíos disminuye.

Encuentra la razón y el número decimal equivalentes a cada uno de los siguientes porcentajes.

a) 70 % b) 95 % c) 1 % d) 0,09 %

a) 70 % � �17000

� � 0,7 c) 1 % � �1100� � 0,01

b) 95 % � �19050

� � 0,95 d) 0,09 % � �01,0009

� � 0,0009

Para hacer 2 litros de zumo de naranja se necesitan 16 naranjas.a) ¿Cuántas naranjas se necesitan para hacer 5 litros de zumo?b) ¿Cuántos litros de zumo se consiguen si se utilizan 21 naranjas?

Se trata de magnitudes directamente proporcionales

a)

b)

En una de las casetas de la Feria del Libro de una ciudad se han vendido en un día 312 ejemplares,que equivalen al 20 % de los libros. Calcula el número total de libros que tiene la caseta.

En una caja de galletas, la etiqueta anuncia que contiene un 25 % más de lo habitual. Si la caja con-tenía 24 galletas, ¿cuántas contiene el nuevo envase?

24 � 1,25 � 30 galletas contiene el nuevo envase.

Laura ha comprado una camisa que cuesta 18 euros. Al ir a pagar le hacen un 25 % de descuento.a) ¿Cuánto dinero le descuentan?b) ¿Cuánto le cuesta la camisa?

a) 18 � 0,25 � 4,50 € le descuentan.b) 18 � 0,75 � 13,50 € le cuesta la camisa.



A PARES

En una localidad hay 27 000 personas. Un 76 % de ellas utiliza un par de gafas. Del resto, la mitad utiliza dospares de gafas, y la otra mitad, ninguno. ¿Cuántos pares de gafas se utilizan en total en esa localidad?

27 000 gafas se utilizan en total en esa localidad.

8.A9

8.A8

8.A7

8.A6

8.A5

8.A4

145

2 L5 L

16 naranjasx naranjas ⇒ �

126� � �

5x

� ⇒ x � �5 �

216� � 40 naranjas

2 Lx L

16 naranjas21 naranjas ⇒ �

126� � �

2x1� ⇒ x � �

21�621� � 2,625 litros se consiguen utilizando 21 naranjas.

312 librosx libros

20 %100 % ⇒ �

32102

� � �10

x0

� ⇒ x � �312

2�0

100� � 1 560 libros tenía la caseta.

146

9 FUNCIONES


Escribe las coordenadas de los puntos que aparecen en la figura.

A(2, 2), B(0, 2), C (�3, 3), D(�4, 0), E (�2, �2), F (1, �3)

Representa en unos ejes de coordenadas los siguientes puntos.

A(3, 2) B(5, �2) C(�3, 1) D(1, �1) E(0, 4)

Representa en unos ejes de coordenadas estos puntos e indica en qué cuadrante está cada uno.

A(1, 2) B(�3, �1) C(�4, 3) D(0, �1) E(0, 2)

A está en el 1.er cuadrante, B, en el 3.o; C, en el 2.o; D y E, sobre los ejes.

9.3

9.2

9.1

AB

C

D

E

X

F

Y

O

1

1

O

Y

X1

1

E

A

B

D

C

O

Y

X1

1E A

D

C

B


La tabla refleja la evolución de la población española, en millones de personas, a lo largo del siglo xx.

a) ¿En función de qué varía la población?b) ¿Cuál era la población en el año 1990?c) ¿En qué año la población era de 28 millones de personas?d) ¿En qué años la población estuvo entre 30 y 35 millones de personas?

a) Del año en que nos encontremos.b) 39 millones de habitantes.c) En 1950.d) En 1960 y 1970.

La tabla muestra el número de toneladas de pilas recogidas en puntos limpios de España.

a) ¿Depende la cantidad de pilas de los años?b) ¿Cuántas toneladas de pilas se recogieron en el año 1997?c) ¿En qué año se recogieron menos pilas? ¿Y más?

a) Depende del año en el que estemos.b) En 1997 se recogieron 150 toneladas de pilas.c) El año en el que se recogieron menos pilas fue 1996, y el año en el que más se recogieron fue 2000.

La tabla muestra el número de horas que dedica Ana a la lectura durante una semana.

a) ¿Qué día dedica más horas a la lectura?b) ¿Dedica algunos días el mismo número de horas a la lectura?c) ¿Qué día dedica menos horas?

a) El día que más horas dedica a la lectura es el miércoles.b) Sí, el lunes y el sábado, una hora, y el martes y el domingo, una hora y media.c) El viernes, que dedicó media hora.

La temperatura de un enfermo en la UCI de un hospital está registrada permanentemente por un aparato.Un día se obtuvo este registro:

a) ¿Cuál es su temperatura a las 8.00?b) En cierto momento, el paciente sufrió un paro cardiaco con un brusco descenso de la temperatura.

¿A qué hora se inició?c) ¿Cuándo empezó la recuperación?

a) A las ocho de la mañana, la temperatura era de 37,5�.b) A las 13.00.c) A las 14.00.

9.7

9.6

9.5

9.4

147

Año 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Población 19 20 21 24 26 28 31 34 38 39 40

Año 1996 1997 1998 1900 2000 2001

Toneladas 17 150 159 138 190 189

Día L M X J V S D

Horas 1 1,5 1,75 2 0,5 1 1,5

41403938373635

2 4 8 10 12 14 24222016 186O

Tem

pera

tura

(ºC

)

Hora del día


En una revista de coches aparece la gráfica siguiente, para expresar cómo el consumo de gasolina decierto modelo de coche depende de la velocidad a la que circula.

a) Si el coche circula a 80 kilómetros por hora, ¿cuántos litros consume cada 100 kilómetros?b) ¿A qué velocidad se consume menos?c) ¿Qué ocurre al aumentar la velocidad?

a) Consume unos 5,25 litros cada 100 kilómetros.b) El menor consumo se produce a 70 kilómetros por hora.c) Al aumentar la velocidad, aumenta también el consumo de gasolina.

A partir de los valores de la tabla, escribe la fórmula que relaciona las dos magnitudes.

y � x � 3

En la fórmula y � 3x � 2, calcula el valor de y para cada uno de los siguientes valores de x.

a) 2 b) 6 c) 0 d) �1 e) �5

a) y � 3 � 2 � 2 � 8b) y = 3 � 6 � 2 � 20c) y = 3 � 0 � 2 � 2d) y = 3 � (�1) � 2 � �1e) y = 3 � (�5) � 2 � �13

Escribe la fórmula que relaciona el lado del cuadrado con su área.

Si S es el área o superficie y l es el lado, la fórmula es: S � l 2.

Escribe una fórmula general en la que a un número entero le corresponde su cuadrado menos 5.

y � x 2 � 5

Escribe una fórmula general que relaciona un número entero con 3 más el número multiplicado por 4.

y � 4x � 3

Halla el valor de la variable dependiente en la fórmula y � x 2 � 4 para los siguientes valores de lavariable independiente.

a) x � 5 b) x � �1 c) x � �8 d) x � 3

a) y � 52 � 4 � 29 b) y � (�1)2 � 4 � 5 c) y � (�8)2 � 4 � 68 d) y � 32 � 4 � 13

Determina la fórmula de la función que relaciona estos valores y completa la tabla.

La fórmula de la función es: y � 2x.

9.15

9.14

9.13

9.12

9.11

9.10

9.9

9.8

148

x 1 5 10 15

y 4 8 13 18

x �3 �2 �1 0 1 2 3

y �6 2

x �3 �2 �1 0 1 2 3

y �6 �4 �2 0 2 4 6

OC

onsu

mo

de g

asol

ina

(lit

ros

por

cada

100 k

m)

Velocidad (km/h)

1110987654

20 40 80 100 120 14060


Indica si son o no funciones las siguientes relaciones.a) Relacionamos cada número natural con su anterior y con su posterior.b) Asociamos cada número entero con su opuesto.c) Hacemos corresponder cada número con los dígitos que lo forman.d) Asociamos cada número entero de dos cifras con su cifra de las decenas.

Son funciones b y d. No son funciones a y c.

Dibuja la gráfica de la función y � x � 1.

Dibuja la gráfica de la función y � 3x � 2.

La fórmula que expresa el perímetro de un triángulo equilátero en función de su lado es: P � 3 � l.Representa gráficamente dicha función.

Para hacer un bizcocho se necesitan dos medidas de harina por cada yogur. Representa la gráfica de lafunción.

h � 2y

9.20

9.19

9.18

9.17

9.16

149

x y�2 �1�1 00 12 3

x y�2 �4�1 �10 21 5

P l0 01 32 63 9

Yogures Harina0 01 22 43 6

O

Y

X1

1y = x + 1

O 1

1

h = 2y

Har

ina

Yogures2 3

2

3

O

Y

X1

1

y = 3x + 2

O 1

1

P = 3L

Perím

etro

de

un t

riáng

ulo

Longitud del lado


El precio del revelado de un carrete es 1 euro y por cada foto cobran 0,50 euros. Representa la gráficade esta función.

y � 0,5x � 1

Copia y completa en tu cuaderno esta tabla y dibuja la gráfica de la función asociada.

La fórmula de la función es: y � 2x.

Representa estas funciones.

a) y � 4x d) y � xb) y � �3x e) y � �xc) y � �2x f) y � 5x

El peso de un objeto en la Luna es la sexta parte de su peso en la Tierra. Representa la función que dael peso de un objeto en la Luna.

y � �16

�x

9.24

9.23

9.22

9.21

150

x y6 112 218 3

Fotos Euros0 12 26 424 1336 19

x �3 �2 �1 0 1 2

y �6 2

x �3 �2 �1 0 1 2

y �6 �4 �2 0 2 4

O 4

2

y = 0,5x + 1

Euro

s

Fotos

O

Y

X1

1 y = 2x

O

Y

X1

2

y = 5x

y = 4x

y = x

y = –x

y = –2x

y = –3x

O

1

Peso

en

la L

una

Peso en la Tierra

12

2

3

6 18

y = 1 x6


La razón de proporcionalidad de dos magnitudes directamente proporcionales es 0,5.

a) Escribe la fórmula de la función que relaciona las dos magnitudes.

b) Representa gráficamente la función.

a) y � 0,5x

b)


Busca un contraejemplo que pruebe que la función que aplicada a un número, lo multiplica por 2 y alresultado le resta 1; no es la misma función que aplicada al mismo número, le resta 1 y el resultado lomultiplica por 2.Dibuja sus gráficas.

Respuesta abierta. En general, 2x � 1 � 2(x � 1). Por ejemplo, si x � 5, 2 � 5 � 1 � 9 � 8 � 2 � (5 � 1).

Las gráficas son:

y � 2x � 1 y � 2(x � 1)

Las funciones y � x � 4 e y � �x3

� dan el mismo resultado cuando se aplican a x � 6.

a) ¿Quiere decir esto que son la misma función?

b) Explica tu respuesta.

a) No.

b) Porque en otros valores dan diferentes resultados.

Así, en x � 9, la primera función da de resultado y � 9 � 4 � 5, mientras que la segunda da y � �93

� � 3.

9.27

9.26

9.25

151

x y�2 �10 02 14 2

x y�1 �30 �11 12 3

x y�1 �40 �21 02 2

O

Y

X1

1

y = 0,5x

O

Y

X1

1

y = 2x –1

O

Y

X1

1y = 2(x –1)



Completa en tu cuaderno la tabla, sabiendo que un kilogramo de patatas cuesta 0,60 euros.

Dadas las tablas siguientes:

a)

b)

c)

¿Cuáles corresponden a funciones de proporcionalidad directa?

La única que es de proporcionalidad directa es la a, y la constante de proporcionalidad es 2.

Completa en tu cuaderno las tablas asociadas a las siguientes funciones.

a) y � 3x

b) y � 3x � 7

c) y � x 2 � 2

a)

b)

c)

9.30

9.29

9.28

152

Cantidad (kg) 2 3 4 5 6

Precio (€)

Cantidad (kg) 2 3 4 5 6

Precio (€) 1,2 1,8 2,4 3 3,6

x 0 1 2 3 4 ...

y 0 2 4 6 8 ...

x 0 1 2 3 4 ...

y 0 1 4 9 16 ...

x 0 1 2 3 4 ...

y 1 2 3 4 5 ...

x 0 1 2 10

y 9 21 33 36

x �5 �2 �1 3 5 7

y 27 2 102

x �5 �2 �1 0 3 5 7 10

y 27 6 3 2 11 27 51 102

x 0 1 2 3 7 10 11 12

y 0 3 6 9 21 30 33 36

x �3 �2 �1 0 1 2 3 4

y

x �3 �2 �1 0 1 2 3 4

y �16 �13 �10 �7 �4 �1 2 5



Coordenadas en el plano

Representa estos puntos de coordenadas.

A(3, 2) B(�1, 5) C(0, 7) D(�2, �6) E(5, 0) F(4, �5)

Escribe las coordenadas de los puntos representados en la siguiente figura.

A (6, 1), B (4, 0), C (0, 1), D (�2, 4), E (�6, 0), F (�2, �2), G (0, �2), H (3, �3)

Indica en qué cuadrante están estos puntos.a) A(5, �2) c) C(�2, �1)

b) B(2, 2) d) D(0, 8)

Escribe cuáles son la abscisa y la ordenada de cada uno de ellos.

a) El punto A está en el cuadrante IV, la abscisa es 5 y la ordenada es �2.b) El punto B está en el cuadrante I, la abscisa es 2 y la ordenada es 2.c) El punto C está en el cuadrante III, la abscisa es �2 y la ordenada es �1.d) El punto D está en el eje Y, la abscisa es 0 y la ordenada es 8.

Relaciones dadas por tablas

Pedro está viajando en tren. La tabla muestra la distancia, expresada en kilómetros, que le falta parallegar a su destino a medida que pasa el tiempo, expresado en horas.

a) ¿Cuánto dura el viaje?

b) ¿Entre qué horas adelanta más kilómetros?

c) ¿Hay una única distancia para cada hora?

a) Cuatro horas.b) Entre las 12.00 y las 13.00 adelanta 155 km.c) Sí.

9.34

9.33

9.32

9.31

153

Tiempo (h) 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00

Distancia (km) 560 425 275 120 0

1

1

Y

AC

F

B

GH

D

O XE

O

Y

X1

1

C

A

E

D

B

F


La tabla recoge las dimensiones de diferentes rectángulos cuya superficie mide 36 metros cuadrados.

Completa la tabla

Relaciones dadas por gráficas y fórmulas

Halla el valor de la variable dependiente, para los números �2, �1, 0, 1 y 2, en estas fórmulas.a) y � �x 2 b) y � �x 2 � 2 c) y � 3 � 4x

a)

b)

c)

La gráfica muestra la evolución de las ventas de unproducto nuevo a medida que transcurren los mesesdesde que salió al mercado.a) ¿En qué mes hubo más ventas?b) ¿En qué mes hubo menos ventas?c) ¿Hubo dos meses las mismas ventas?d) ¿Le corresponde a cada mes un único número de

ventas?

a) En el cuarto mes.b) En el segundo mes.c) Sí, el tercero y el quinto mes.d) Sí.

Expresa mediante una fórmula las siguientes frases.a) Asociamos a cada número x su doble.b) Asociamos a cada número x su triple más dos.c) Asociamos a cada número x su cuadrado menos tres.d) Asociamos a cada número x el opuesto de su cuadrado.

a) y � 2xb) y � 3x � 2c) y � x 2 � 3d) y � �x 2

Funciones y gráficas

María quiere regalar a su madre bombones. Elige un tipo de bombones que cuestan 35 euros cadakilogramo.a) Escribe una fórmula que relacione la cantidad de bombones que compra María con lo que tiene que

pagar.b) ¿Corresponde la fórmula anterior a una función?c) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente?

a) y � 35x, donde x es el número de kilogramos de bombones, e y, el coste de los bombones.b) Sí, porque para cada cantidad de bombones hay un único precio.c) La variable independiente es la cantidad de bombones. La variable dependiente es el precio en euros.

9.39

9.38

9.37

9.36

9.35

154

x �2 �1 0 1 2

y �4 �1 0 �1 �4

x �2 �1 0 1 2

y �2 1 2 1 �2

x �2 �1 0 1 2

y �5 �1 3 7 11

Base (m) 2 2,5 6 9 18

Altura (m) 14,4 9 3

Base (m) 2 2,5 4 6 9 12 18

Altura (m) 18 14,4 9 6 4 3 2

O

Vent

as

Meses1 2 43 5 6

1000


El área del círculo en función del radio viene dada por esta fórmula: A � � � r 2, donde � vale aproxi-madamente 3,14.

a) Construye una tabla para distintos valores de r.b) Representa gráficamente los valores de la tabla.c) ¿Tiene sentido unir los puntos obtenidos?d) ¿Le corresponde a cada radio un único valor del área del círculo?

a)

b)

c) Sí tiene sentido unir los puntos, porque la función puede tomar cualquier valor real positivo.d) Sí.

Para la función y � 3x � 1, calcula los valores de la variable independiente conociendo los siguientesvalores de la variable dependiente.

a) y � 1 b) y � 10 c) y � �8 d) Representa gráficamente la función.

a) 1 � 3x � 1 → 0 � 3x → x � 0b) 10 � 3x � 1 → 9 � 3x → x � 3c) �8 � 3x � 1 → �9 � 3x → x � �3

d)

Indica cuáles de estos puntos pertenecen a la función y � �x � 1.a) A(1, 0) b) B(0, �1) c) C(4, 2) d) D(4, �3)Representa gráficamente los puntos anteriores y comprueba cuáles están en la gráfica de la función.

Los puntos que pertenecen a la función dada son el A y el D, pues 0 � �1 � 1 y �3 � �4 � 1.

9.42

9.41

9.40

155

R 1 2 3 4 5 10

A 3,14 12,56 28,26 50,24 78,5 314

O 5

50

Área

Radio

O

Y

X1

2y = 3x +1

O

Y

X1

1y = –x +1 C

D

A

B


Función de proporcionalidad directa

Escribe la fórmula de las funciones lineales cuyas razones de proporcionalidad sean las siguientes.

a) 3 b) �5 c) —12

— d) �—17

—

a) y � 3x b) y � �5x c) y � �12

�x d) y � ��17

�x

Representa en los mismos ejes de coordenadas la gráfica de las siguientes funciones de proporcionali-dad directa.

a) y � 0,5x y � x y � 2x y � 3x

b) y � �0,5x y � �x y � �2x y � �3x

a) b)

Dada la función de proporcionalidad directa y � �2x, responde a los siguientes apartados.

a) Averigua los números que faltan.

f(3) � f(�1) � f( ) � 6

b) Representa gráficamente esta función.

a) f (3) � �2 � 3 � �6 f (�1) � (�2) � (�1) � 2 f (x ) � �2 � x � 6 → x � �3

b)

9.45

9.44

9.43

156

O

Y

X1

1

y = 3xy = 2x

y = x

y = 0,5x

O

Y

X1

1

y = –3xy = –2x

y = –x

y = –0,5x

O

Y

X1

1

y = –2x

�? �?�?



La gráfica muestra la temperatura de un horno mientras se hace un bizcocho.

a) ¿En qué momento se alcanza la mayor temperatura? ¿Cuál es esta?b) ¿Cuándo la temperatura es de 50 �C?c) ¿Entre qué minutos se aprecia una subida fuerte de la temperatura?d) ¿Le corresponde a cada tiempo una única temperatura?

a) A los 40 minutos.b) A los 2 minutos y a los 65 minutos.c) En los 10 primeros minutos y de los 30 a los 40 minutos.d) Sí.

Una ONG compra 10 vacunas para niños por cada euro que aportamos.

a) Escribe la fórmula que relaciona la cantidad de dinero aportada con las vacunas compradas.b) ¿Es una función de proporcionalidad directa?c) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?d) Represéntala.

a) y � 10x, donde x es el número de euros que aportamos.b) Es una función de proporcionalidad directa.c) La constante de proporcionalidad es 10.d)

Describe la gráfica del siguiente paseo en bicicleta.

En los primeros 6 minutos recorre 2 kilómetros. Luego aumenta mucho la velocidad, ya que en los 4 minutos siguientes avanzaotros 2 kilómetros. Tras este acelerón descansa seis minutos.

9.48

9.47

9.46

157

OTiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

) 200

150

100

50

20 40 806010 30 50 70

OTiempo (min)

Dis

tanc

ia a

l pun

tode

par

tida

(km

) 4

2

2 12 144 6 8 10

O

10

Vacu

nas

Euros (€)

1

y = 10x


En los triángulos de altura 3, la función que asocia el área con cada base, b, viene dada por la fórmula.

A � b � �32

�

a) Construye una tabla con valores para las dos variables.

b) Representa la función.

a)

b)

Haz una gráfica para ilustrar la caminata que realiza Alejandro.

• En la primera hora anda 3 kilómetros.

• Hace un kilómetro más en la siguiente hora y luego descansa otra hora.

• Se aleja un kilómetro más durante una hora y decide regresar a casa.

• En la siguiente hora, de regreso, hace 4 kilómetros y descansa una hora.

• Tras el descanso, recorre el kilómetro que le falta para llegar en un tiempo similar.

9.50

9.49

158

b 1 2 4 6

A �32

� 3 6 9

O

1

Área

Dimensiones de la base1

A = b . 32

O

1

Dis

tanc

ia (km

)

Tiempo (h)1


El franqueo postal se rige por la siguiente tabla.

Alberto ha escrito cartas a algunos amigos. La carta que envía a Alejandro pesa 15 gramos; la de Inés, 80;la de Elena, 90, y la de Pedro, 500.

a) ¿Qué franqueo tendrá que poner a cada carta?b) ¿Es posible que a dos cartas con distinto peso les corresponda el mismo franqueo?c) ¿La relación definida en la tabla es una función?

a) Tiene que poner a la de Alejandro 0,27 euros; a las de Inés y Elena, 0,55, y a la de Pedro, 3,12.b) Sí es posible.c) Sí es una función porque a cada peso le corresponde un único franqueo.

La siguiente gráfica indica el tiempo que tardan en hacer su recorrido seis personas.

a) ¿Qué persona es más rápida, E o F?b) Dibuja un punto que represente a una persona más rápida que C. ¿Hay más de una?c) ¿Es la gráfica de una función? Razona la respuesta.

a) Es más rápida F porque en el mismo tiempo recorre más distancia.b) Cualquier punto situado en la región sombreada sería válido; por ejemplo (15, 2).

c) La gráfica no representa una función, pues hay un valor de abscisas, 25, al que corresponden dos ordenadas: 1,5 y 2,5.

9.52

9.51

159

Peso (g) Franqueo (€)Hasta 20 g 0,27

De más de 20 g hasta 50 g 0,40

De más de 50 g hasta 100 g 0,55

De 100 g hasta 250 g 0,89

De 250 g hasta 500 g 1,58

De 500 g hasta 1 000 g 3,12

De 1 000 g hasta 2 000 g 3,80

O

A C

FB

E

D

Dis

tanc

ia (km

)

Tiempo (min)5

3

2

1

10 15 20 25

O

A C

FB

E

D

Dis

tanc

ia (km

)

Tiempo (min)5

3

2

1

10 15 20 25

(15, 2)


R E F U E R Z O

Coordenadas de puntos

Escribe las coordenadas de estos puntos.

A (4, 0), B (3, 2), C (0, 3), D (�3, 1), E (�6, 0), F (�4, �2), G (0, �5), H (3, �2)

Representa los siguientes puntos.

A(�3, 4) B(0, �5) C(�2, 0) D(4, �2)

Indica a qué cuadrante corresponde cada uno de ellos.

A está en el II cuadrante; B, en el eje Y; C, en el eje X, y D, en el IV cuadrante.

Tablas, gráficas y fórmulas

Una tarifa de aparcamiento viene dada por esta tabla.

a) Explica por qué la tabla representa una función.b) El padre de Juan estuvo 3 horas y 40 minutos. ¿Cuánto tuvo que pagar?

a) La tabla representa una función porque a cada valor de la variable independiente corresponde uno solo de la variable de-pendiente.

b) El padre de Juan pagó 3,70 euros.

9.55

9.54

9.53

160

O

Y

X1

1

A

B

D

C

Tiempo Precio (€)Cada una de las tres primeras horas 1

Cada una de las tres horas siguientes 0,70

A partir de la sexta hora 0,50

Y

O XA

C

F

B

G

E

H

D

1

1


Una función asigna a cada número el 5.

a) Escribe la fórmula de esta función.b) Construye una tabla con cinco valores para la variable independiente y los correspondientes para la

variable dependiente.c) Representa gráficamente la función.

a) y � 5

b)

c)

Funciones de proporcionalidad directa y gráficas

Halla el valor de la variable dependiente para los números �3, 0, 1 y 2 en las siguientes funciones.

a) y � �2x b) y � 3x � 5 c) y � �x d) y � x(x � 1)

Indica cuáles son de proporcionalidad directa.

a) f (�3) � 6 f (0) � 0 f (1) � �2 f (2) � �4 Esta función es de proporcionalidad directa.

b) f (�3) � �4 f (0) � 5 f (1) � 8 f (2) � 11 Esta función no es de proporcionalidad directa.

c) f (�3) � 3 f (0) � 0 f (1) � �1 f (2) � �2 Esta función es de proporcionalidad directa.

d) f (�3) � 6 f (0) � 0 f (1) � 2 f (2) � 6 Esta función no es de proporcionalidad directa.

Representa gráficamente estas funciones de proporcionalidad directa.

a) y � 5x b) y � �5x c) y � —12

— x d) y � �—35

— x e) y � 0,25x f) y � �0,25x

9.58

9.57

9.56

161

x 1 4 5 8 10

y 5 5 5 5 5

O

Y

X1

1

Y = 5

O

Y

X1

1

y = 5x y = x

y = 1 x2

y = 1 x4

y = – 3 x5

y = – 1 x4

y = –5x


Escribe las fórmulas de las funciones lineales cuyas razones de proporcionalidad sean las siguientes.

a) 2 b) �3 c) —15

— d) �—13

—

a) y � 2x b) y � �3x c) y � �15

� x d) y � ��13

� x


La siguiente tabla corresponde a una función f.

a) Completa los números que faltan.b) Encuentra la fórmula de dicha función.

a)

b) y � 4 � 2x

Se llama diagonal de un polígono al segmento que une dos vértices no consecutivos. Estudia cuántasdiagonales tiene un polígono de 3, 4, 5, 6, …, x lados.

a) Construye una tabla.b) Representa los valores de la tabla.c) ¿Se pueden unir los puntos obtenidos?

a)

Desde cada vértice se pueden trazar diagonales a todos los vértices menos a sí mismo y a los dos adyacentes; por tanto, x(x � 3)

diagonales. Se divide entre 2 para no contar las diagonales que se repiten, y queda �x (x

2� 3)� diagonales de un polígono de

x lados.

b)

c) Los puntos obtenidos no se pueden unir, porque solo hay polígonos con un número entero de lados.

9.61

9.60

9.59

162

x 0 1 2 3 ...

f(x) 4 6 8 12 ...

Número de lados del polígono 3 4 5 6 ... x

Número de diagonales 0 2 5 9 ... �x(x �

23)

�

O

1

N.o

de

diag

onal

es

N.o de lados

1

�?

�?

x 0 1 2 3 4 ...

f(x) 4 6 8 10 12 ...


Un granjero tiene 72 metros de valla para hacer un corral de gallinas de forma rectangular.

a) ¿Cómo cambiará el área del corral al variar la longitud de uno de los lados?b) Construye una tabla de valores.c) Representa los valores de la tabla.

a) Perímetro � 2x � 2y � 72Luego: x � y � 36

De donde: y � 36 � x

S � x(36 � x)

b)

c)

Una empresa petrolífera paga a sus empleados según los metros excavados. El primer metro lo paga a90 euros, y los restantes, a 60 euros cada uno.

a) Construye una tabla de valores.b) Representa la gráfica asociada a la tabla anterior.c) Determina la fórmula que permite calcular el precio en función de los metros excavados.

a)

b)

c) y � 60(x � 1) � 90, siendo x el número de metros excavados, e y, el coste en euros.

9.63

9.62

163

x 1 4 10 14 18 20 24

36 � x 35 32 26 22 18 16 12

S � x(36 � x) 35 128 260 308 324 320 288

N.o de metros 1 2 3 4 5 ...

Coste en euros 90 150 210 270 330 ...

O

50

Área

(S)

Lado (x )

100150200250300350

24 32164 8 12 20 28 36

y = x ( 3 6 – x )

O

100

Cos

te (

€)

N.o de metros1

y = 60(x – 1) + 90

y

x



Al encuentro

Pablo se encuentra en la cima, C, de un monte, y Eva, en el punto más bajo, B, del mismo. A las diezde la mañana parten uno al encuentro del otro. La gráfica representa la distancia de B a la que se en-cuentra cada uno en función del tiempo.

a) ¿Cuánto mide el monte?b) ¿A qué hora se encuentran? ¿Qué distancia ha recorrido

cada uno hasta ese momento?c) Calcula la velocidad media que han llevado Pablo y Eva.

a) La distancia entre los puntos C y B es de 9 km.

b) Se encuentran a la hora y media del inicio del recorrido, es decir a las 11 h 30 min. En este momento, Pablo ha bajado 6 kmy Eva ha subido 3 km.

c) Las velocidades medias son �16,5� � 4 km/h para Pablo y �

13,5� � 2 km/h

Oferta de trabajoEn un periódico se publica la siguiente oferta de empleo.

¿Cuánto ganaría cada mes la persona que contratasen para ese trabajo? Elabora una gráfica que reflejeesos datos.

Los 6 primeros meses ganaría 1 700 euros al mes, el séptimo mes 1 750 euros, el octavo 1 800 y así sucesivamente, 50 eurosmás cada mes.

9.65

9.64

164

EMPRESA EUROPEA BUSCA INFORMÁTICO/A

Se exige:

• Certificación oficial.

• Inglés nivel medio.

• Edad de 20 a 40 años.

Se ofrece:

• Contrato de dos años.

• Sueldo primer semestre: 10 200 euros (total de los seis meses).

• A partir del séptimo mes, el sueldo se aumentará 50 euroscada mes.

Enviar currículum vitae antes de 15 días.

B 30 60 90

Min.

Km.

8

6

4

2

Pablo

EvaE

C

O

1 600

Sue

ldo

(€)

Mes6

1 8002 0002 2002 4002 6002 800

18 2412



Representa en unos ejes de coordenadas: A(0, 3) B(�3, 3) C(4, 0) D(2, �2)

Representa en unos ejes de coordenadas un punto P de abscisa 1 y ordenada �3.

Escribe las coordenadas de los puntos de la figura.

A(2, 3), B(1, 0), C(�1, �3), D(4, �2)

Dada la función y � 2x � 1:Construye una tabla con cinco valores para la variable independiente y los correspondientes valorespara la variable dependiente.Representa gráficamente la función.¿Es función de proporcionalidad directa? Razona la respuesta.

a)

b)

c) No es función de proporcionalidad, su gráfica no es una recta que pasa por el origen.

9.A4

9.A3

9.A2

9.A1

165

x �1 0 2 3 8

y �3 �1 3 5 15

Y

O X

A

C

B

D

1

1

O

Y

X1

1 y = 2x – 1

O

Y

X1

1

AB

D

C

O

Y

X1

1

P


Escribe la fórmula de una función lineal de razón de proporcionalidad 3. Representa gráficamente dichafunción.

y � 3x

Dada f(x) � 2x, halla los valores que faltan.

a) f(�4) � ?b) f(�? ) � 1c) f(0) � �?

a) f (-4) � 2 � (� 4) � �8b) f (x ) � 1 → 1 � 2x → x � �

12

�

c) f (0) � 2 � 0 � 0

Indica cuál es la variable independiente y cuál la dependiente para la siguiente función.

La variable independiente es el tiempo.La variable dependiente es la distancia recorrida.

La tabla muestra la variación de peso de un recién nacido en sus primeras semanas de vida.

a) ¿Entre qué semanas ha disminuido el peso?b) ¿Cuándo se ha producido el mayor aumento de peso?

a) El peso ha disminuido a lo largo de la primera semana.b) Entre la primera y la segunda semana y entre la tercera y la cuarta se ha producido el mayor aumento de peso, este ha

sido de 150 gramos.

La relación que asocia a cada moneda su valor en euros y su valor en céntimos de euro, ¿es una función?Razona la respuesta.

Esa relación no es una función, pues para cada valor de la variable independiente (valor de las monedas) hay dos valores dela variable dependiente (valor en euros y valor en céntimos de euro).

9.A9

9.A8

9.A7

9.A6

9.A5

166

Semanas 0 1 2 3 4 5

Peso (kg) 3,20 3,15 3,30 3,40 3,55 3

O

Y

X1

1

y = 3x

OTiempo (min)

Dis

tanc

ia (m

) 300

200

100

2 10 12 144 6 8


Representa en los mismos ejes las funciones y � 3x e y � �x.



LA CALCULADORA

Carolina ha inventado una calculadora con una tecla roja y otra verde de forma que cuando introduces unnúmero en la pantalla, si pulsas la tecla roja, la máquina se encarga de multiplicar el número por 2 y al re-sultado sumarle 3; mientras que si pulsas la tecla verde, la calculadora multiplica por 3 el número que tieneen la pantalla y al resultado le resta 5. Carolina escribe el número 4 en la pantalla y juega a pulsar sucesi-vamente la tecla roja y la tecla verde.¿Cuántas veces tiene que pulsar cada una de las teclas para que aparezca en la pantalla un número mayorque 1 000?

4 R 11 V 28 R 59 V 172 R 347 V 1 036 (3 veces cada tecla).

9.A10

167

O

Y

X1

1

y = 3xy = –x


168

10 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD


Se lanza un dado, y se obtienen estos resultados.

5 4 3 6 2 1 3 4 5 6 1 2 4 3 1 2 2 5 4 6

Construye una tabla estadística.

La duración, en minutos, de 10 llamadas telefónicas ha sido:

8 4 7 4 8 6 5 4 7 8

Elabora una tabla estadística.

10.2

10.1

Datos Recuento Frecuencia Frecuenciaabsoluta relativa

1 /// 3 �230�

2 //// 4 �240�

3 /// 3 �230�

4 //// 4 �240�

5 /// 3 �230�

6 /// 3 �230�

20 1

Duración Frecuencia Frecuenciaen minutos absoluta relativa

4 3 �130�

5 1 �110�

6 1 �110�

7 2 �120�

8 3 �130�

10 1


La tabla recoge la edad de un grupo de jóvenes encuestados.

a) Realiza el diagrama de barras.b) Dibuja el polígono de frecuencias.

a) b)

Las veces que han ido al teatro un grupo de amigos en un año son:

4 8 5 3 4 7 7 5a) Representa los datos en un diagrama de barras.b) Dibuja el polígono de frecuencias.

a) b)

Realiza un diagrama de sectores con los siguientes datos.

o o e i u e a a e e i a i i e

�n.o tota

3l6d0e�

datos� �

a: �31650��

13n�� ⇒ n� � 72�

e: �31650��

15n�� ⇒ n� � 120�

i: �31650��

14n�� ⇒ n� � 96�

o: �31650��

12n�� ⇒ n� � 48�

u: �31650��

11n�� ⇒ n� � 24�

n��frecuencia absoluta correspondiente

10.5

10.4

10.3

169

Edad (años) 15 16 17 18 19

Frecuencia absoluta 5 8 2 20 5

Vocal Frecuenciaabsoluta

a 3

e 5

i 4

o 2

u 1

15

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

15Edad (años)

16 17 18 19

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

1

2

3

3N.o de veces

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

4 5 6 7 8

1

2

3

3N.o de veces

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

4 5 6 7 8

Vocal u1 Vocal a

3

Vocal e5

Vocal i4

Vocal o2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

15Edad (años)

16 17 18 19

Frec

uenc

ias

abso

luta

s


Representa los datos de la tabla en un diagrama de sectores.

�n.o tota

3l6d0e�

datos� �

15 años: �34600��

15n�� ⇒ n� � 45�

16 años: �34600��

18n�� ⇒ n� � 72�

17 años: �34600��

12n�� ⇒ n� � 18�

18 años: �34600��

12n0�

� ⇒ n� � 180�

19 años: �34600��

15n�� ⇒ n� � 45�

Calcula la media aritmética simple de este conjunto de datos.

1 2 1 5 1 0 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2 2 4 2 2 0 2 2 1 2 1 2 0

Media aritmética simple � �4288� � 1,71

Para hallar la puntuación final de una prueba de atletismo se multiplica por 3 el resultado de la primeramarca, por 4 el de la segunda y por 5 el de la tercera. Las marcas de Belén son 9, 5 y 2. Halla la mediaaritmética ponderada que obtiene.

Media aritmética ponderada � � �5172� � 4,75

Halla la moda de los siguientes conjuntos de datos.

a) 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 4b) a a a a a a a a a a a a a a a a ac) a a a a a a a a b a a a a a a a ad) 1 3 2 4 5 3 2 3 1 1 4 2 5 1 3 1 3

a) Moda � 2b) Moda � ac) Moda � ad) Moda � 1 y 3

10.9

3 � 9 � 4 � 5 � 5 � 2��

3 � 4 � 5

10.8

10.7


10.6

170

Edad (años) 15 16 17 18 19

Frecuencia absoluta 5 8 2 20 5

Edad Frecuenciaabsoluta

15 5

16 8

17 2

18 20

19 5

40

Datos Frecuencias absolutas Productos

0 3 0

1 9 9

2 12 24

3 2 6

4 1 4

5 1 5

28 48

15 años5

16 años8

17 años218 años

20

19 años5


Se ha lanzado un dado y se han obtenido los siguientes resultados de la tabla.

a) Dibuja un diagrama de barras.b) Halla la media aritmética y la moda.

a)

b) Media aritmética � � �15968

� � 3,54

Moda � 2

Se lanzan dos monedas distintas y se anotan los resultados.a) Escribe el espacio muestral.b) Indica el suceso sacar dos caras o dos cruces.

a) E � {(C, C ), (C, X ), (X, C ), (X, X )}b) Sacar dos caras o dos cruces: {(C, C ), (X, X )}

Tenemos una caja con 2 bolas rojas, y 3 verdes. Se sacan 3 a la vez y se anotan los colores.Escribe el espacio muestral y el suceso salir al menos dos bolas iguales.

Espacio muestral: E � {(r, r, v), (r, v, v), (v, v, v)}Salir al menos dos iguales: {(r, r, v), (v, v, r), (v, v, v)}

En una baraja española de 40 cartas, halla:a) La probabilidad de obtener un oro.b) La probabilidad de obtener un as.c) La probabilidad de sacar el as de oros.

a) P (oro) � �14

00� � 0,25

b) P (as) � �440� � 0,1

c) P (as de oros) � �410� � 0,025

Tenemos tres cajas de distintos colores: roja, azul y amarilla. Alberto quiere colocar, sin mirar, una bolaazul en la caja de su color. Halla la probabilidad de que Alberto acierte.

P (acierto) � �13

� � 0,33

10.14

10.13

10.12

10.11

1 � 7 � 2 � 12 � 3 � 8 � 4 � 10 � 5 � 11 � 6 � 8��

7 � 12 � 8 � 10 � 11 � 8

10.10

171

Cara 1 2 3 4 5 6

Frecuencia absoluta 7 12 8 10 11 8

2

4

6

8

10

12

1Cara

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

2 3 4 5 6



Realiza un diagrama de las posibilidades que existen de ordenar las letras de la palabra ROSA, sinrepetir ninguna letra y sin que importe que la palabra compuesta tenga sentido.

Utiliza un diagrama para escribir todos los números de dos cifras distintas que se pueden formar conlos dígitos 1, 2, 3, 4 y 5.

Seis amigas, Ana, Bea, Claudia, Daniela, Elena y Flor, se quieren apuntar a un torneo de tenis por pa-rejas.

Haz un diagrama para representar las distintas formas posibles que tienen de hacerlo.

¡Ojo, ten cuidado con las parejas que se repiten!


Halla la media de los siguientes datos.

a) 4, 7 b) 10, 12 c) 7, 4, 1 d) 61, 63, 62

a) Media � �4 �

27

� � 5,5 b) 11 c) 4 d) 62

10.18

10.17

10.16

10.15

172

R

O

S

A

S

A

O

A

S

O

A

S

A

O

O

S

ROSA

ROAS

RSOA

RSAO

RASO

RAOS

O

R

S

A

S

A

R

A

R

S

A

S

A

R

S

R

ORSA

ORAS

OSRA

OSAR

OARS

OASR

S

R

O

A

O

A

R

A

R

O

A

O

A

R

O

R

SROA

SRAO

SORA

SOAR

SARO

SAOR

A

R

O

S

O

S

R

S

R

O

S

O

S

R

O

R

AROS

ARSO

AORS

AOSR

ASRO

ASOR

5

1

4

2

34

1

5

2

33

1

5

2

42

1

5

3

41

2

5

3

4

A

B

D

F

C

E

B

C

D

F

EC

D

F

E D

E

F

E F


Calcula el valor de la letra x para que la media de:

a) 5, x sea 4 b) 7, 7, x sea 7 c) x, 6 sea 5,5 d) 2, 3, x sea 4

a) x � 3 b) x � 7 c) x � 5 d) x � 7

Calcula si son ciertas las siguientes afirmaciones.

a) La media de 10 y 12 es 11,5.b) La media de 60, 58 y 56 es 58.c) La media de 110, 110, 110 y 110 es 110.d) La media de 12 y 14 es 13,5.

a) Falsa, la media es 11.b) Cierta.c) Cierta.d) Falsa, la media es 13.

Determina cuál de las probabilidades de estos sucesos es mayor.

a) Obtener cara en el lanzamiento de una moneda.b) Obtener un múltiplo de tres al lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6.

a) P (cara) � �12

� � 0,5

b) P (múltiplo de 3) � �26

� � 0,3333…

Es mayor la probabilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda.


Datos estadísticos. Frecuencias

Se ha preguntado a 32 lectores cuál fue el género del último libro que leyeron y se ha elaborado la si-guiente tabla con los resultados.

Construye la tabla estadística con las frecuencias absolutas y relativas.

10.22

10.21

10.20

10.19

173

Género Número de lectores

Novela 25

Poesía 3

Teatro 4

Datos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Novela 25 �2352�

Poesía 3 �332�

Teatro 4 �342�

32 1


El número de veces al mes que Ana ha ido al teatro en un año ha sido:

4 2 1 2 4 1 3 2 1 3 3 4

A partir de estos datos, construye una tabla con las frecuencias absolutas y relativas.

Con esta lista de números:

11 10 12 14 14 17 13

13 17 10 10 10 11 14

11 14 13 12 12 11 10

a) Realiza el recuento de los datos.

b) Construye la tabla con las frecuencias absolutas y relativas.

a) y b) Recuento y tabla de frecuencias.

10.24

10.23

174

Datos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

10 ///// 5 �251�

11 //// 4 �241�

12 /// 3 �231�

13 /// 3 �231�

14 //// 4 �241�

17 // 2 �221�

21 1

Datos Frecuencia Frecuenciaabsoluta relativa

1 3 �132�

2 3 �132�

3 3 �132�

4 3 �132�

12 1


Gráficos estadísticos

A 30 jóvenes se les ha preguntado sobre sus revistas favoritas y el resultado se recoge en esta tabla.

a) Forma la tabla estadística.b) Representa los datos mediante un diagrama de barras.c) Representa los datos mediante un diagrama de sectores.

a) Tabla estadística:

b) Diagrama de barras:

c) Diagrama de sectores: �n.o tota

3l6d0e�

datos� �

Deportes: �33600��

11n0�

� ⇒ n� � 120�

Científicas: �33600��

12n�� ⇒ n� � 24�

Divulgación: �33600��

11n2�

� ⇒ n� � 144�

Animales: �33600��

15n�� ⇒ n� � 60�

Históricas: �33600��

11n�� ⇒ n� � 12�


10.25

175

Tipo N.o de jóvenes

Deportes 10

Científicas 2

Divulgación 12

Animales 5

Históricas 1

Tipo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Deportes 10 �1300�

Científicas 2 �320�

Divulgación 12 �1320�

Animales 5 �350�

Históricas 1 �310�

30 1

Tipo Frecuenciaabsoluta

Deportes 10

Científicas 2

Divulgación 12

Animales 5

Históricas 1

30

2

4

6

8

10

12

14

Deportes

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

Científicas Divulgación Animales Históricas

Animales5

Históricas1

Deportes10

Científicas2Divulgación

12


Los componentes de un grupo juvenil de baile tienen las siguientes edades:

14 14 13 16 18 17 13 14 14 17 14 16 13 13 15 18 16 1715 18 14 14 13 16 13 14 16 13 13 14 14 14 15 15 16 17

a) Realiza el recuento y construye una tabla estadística.b) Dibuja el diagrama de barras.c) Dibuja el diagrama de sectores.



c) Diagrama de sectores:

�n.o tota

3l6d0e�

datos� �

13 años: �33660��

18n�� ⇒ n� � 80�

14 años: �33660��

11n1�

� ⇒ n� � 110�

15 años: ��33660��

14n�� ⇒ n� � 40�

16 años: �33660��

16n�� ⇒ n� � 60�

17 años: �33660��

14n�� ⇒ n� � 40�

18 años: �33660��

13n�� ⇒ n� � 30�


10.26

176

Edad Frecuenciaabsoluta

13 8

14 11

15 4

16 6

17 4

18 3

36

Datos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

13 //// /// 8 �386�

14 //// //// / 11 �1316�

15 //// 4 �346�

16 //// / 6 �366�

17 //// 4 �346�

18 /// 3 �336�

36 1

13 años8

16 años6

17 años4

18 años3

15 años4

14 años11

2

4

6

8

10

12

13Edad (años)

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

14 15 16 17 18


Se ha preguntado a un grupo de estudiantes de una escuela de idiomas por el idioma que cursan. Elresultado se refleja en el siguiente diagrama de barras.

Construye la tabla estadística con frecuencias absolutas y relativas.

Media aritmética y moda

Calcula la media aritmética de los siguientes datos.

a) 6, 7, 8, 8, 9b) 9, 11, 12, 13, 14, 18, 20c) 13, 15, 6, 7, 7, 3, 13d) 7, 12, 11, 8, 11, 13, 8, 8, 7

a) Media � � 7,6

Moda � 8

b) Media � � 13,86

No tiene moda.

c) Media � � 9,14

Moda � 7 y 13

d) Media � � 9,44

Moda � 8

7 � 7 � 8 � 8 � 8 � 11 � 11 � 12 � 13��

9

3 � 6 � 7 � 7 � 13 � 13 � 15��

7

9 � 11 � 12 � 13 � 14 � 18 � 20��

7

6 � 7 � 8 � 8 � 9��

5

10.28

10.27

177

Idioma Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Francés 10 �1409�

Inglés 18 �1489�

Alemán 13 �1439�

Italiano 8 �489�

49 1

20181614121086420

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

Idiomas que se cursan

Francés Inglés Alemán Italiano


En una competición de gimnasia rítmica hay tres pruebas: la puntuación de la primera tiene valor cuá-druple; la puntuación de la segunda tiene valor triple, y la puntuación de la última se valora el doble.

a) Nuria obtiene las siguientes puntuaciones.

Halla la puntuación final calculando la media aritmética ponderada.

b) Pilar obtiene las siguientes puntuaciones.

Halla la puntuación final calculando la media aritmética ponderada.

c) Compara las puntuaciones finales de las dos gimnastas.

d) ¿Cómo serían las puntuaciones finales de las dos gimnastas si las de todas las pruebas tuvieran elmismo valor?

a) Nuria: Puntuación final � � 50,22

b) Pilar: Puntuación final � � 49,88

c) Nuria obtiene más puntuación que Pilar.

d) Si las puntuaciones de los tres jueces tuviesen el mismo valor, las puntuaciones finales serían las siguientes.

Nuria: Puntuación final � �50 � 4

38 � 54� � 50,66

Pilar: Puntuación final � �52 � 4

39 � 47� � 49,33

En este caso, la diferencia de puntuaciones entre ambas patinadoras es mayor.

Observa la tabla y contesta.

¿Qué lugar de vacaciones es la moda de los datos que aparecen en ella?

La moda es la playa.

Halla la moda de los siguientes datos.

10 10 11 14 11 14 11 10 12 14 14 17 13 13 17 10 13 12 12 11 10

La moda es 10.

10.31

10.30

52 � 4 � 49 � 3 � 47 � 2��

9

50 � 4 � 48 � 3 � 54 � 2��

9

10.29

178

Primera prueba Segunda prueba Tercera prueba

50 48 54

Primera prueba Segunda prueba Tercera prueba

52 49 47

Lugar de vacaciones N.o de jóvenes

Playa 20

Montaña 8

Viaje cultural 4

Datos Frecuencia absoluta

10 5

11 4

12 3

13 3

14 4

17 2


Probabilidad de un suceso aleatorio

Se realiza un experimento aleatorio que consiste en anotar el número de la bola sacada de una cajacon siete bolas numeradas del 1 al 7.

a) Forma el espacio muestral.

b) Escribe los elementos del suceso sacar un número par.

c) Escribe los elementos del suceso sacar un número menor o igual que 3.

a) E � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b) Suceso sacar un número par: {2, 4, 6}

c) Suceso sacar un número menor o igual que 3: {1, 2, 3}

Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Obtener la cara 1.

b) Obtener un múltiplo de 4.

c) Obtener un número mayor que 3.

a) P (1) � �16

�

b) P (múltiplo de 4) � P (4) � �16

�

c) P (número mayor que 3) � P (4, 5, 6) � �36

� � �12

�

Se le pregunta a una persona por su fecha de nacimiento. Calcula la probabilidad de que esa persona:

a) Naciera en diciembre.

b) Naciera el día 20 de mayo.

a) P (diciembre) � �112�

b) P (20 de mayo) � �3165�

10.34

10.33

10.32

179



Las temperaturas, en grados centígrados, en una ciudad española durante un mes de invierno fueronlas siguientes:

7 9 9 11 12 10 11 12 11 10 11 9 12 11 10 7 7 9 10 11 12 11 12 11 10 10 9 11 11 12

A partir de esta información, responde a los siguientes apartados.

a) Realiza el recuento de datos.b) Construye una tabla con los datos, las frecuencias absolutas y los productos de los datos por las fre-

cuencias absolutas.c) Calcula la temperatura media que hizo en la ciudad ese invierno.d) Determina la moda de las temperaturas.e) Alejandro fue a esa ciudad un día de ese mes. ¿Cuál fue la probabilidad de que la temperatura fuera

de 12 �C?


c) Media � � �33008

� � 10,27

d) La moda es 11�.

e) P (12�) � �360� � �

15

�

Se tienen cinco bolsas con fichas rojas y verdescomo muestra la figura.Si sacamos una ficha de cada una de las bolsas,¿en cuál es más fácil obtener roja?

La probabilidad de sacar una ficha roja en cada bolsa es:

En la bolsa que hay 11 fichas: P (roja) � �171� � 0,64

En la bolsa que hay 12 fichas: P (roja) � �172� � 0,58

En la bolsa que hay 27 fichas: P (roja) � �12

67� � 0,59

En la bolsa que hay 22 fichas: P (roja) � �12

42� � 0,64

En la bolsa que hay 11 fichas: P (roja) = �161� = 0,55

Por tanto, es más fácil obtener ficha roja en las bolsas que contienen 11 y 22 fichas.

10.36

7 � 3 � 9 � 5 � 10 � 6 � 11 � 10 � 12 � 6��

30

10.35

180

Temperaturas Recuento Frecuencia Productomínimas absoluta

7 /// 3 7 � 3 � 21

9 //// 5 9 � 5 � 45

10 //// / 6 10 � 6 � 60

11 //// //// 10 11 � 10 � 110

12 //// / 6 12 � 6 �72

30 308


El servicio de control de calidad de un gran almacén ha pesado 30 paquetes de arroz etiquetados con250 gramos.Los resultados obtenidos, en gramos, son:

251 230 232 245 243 246 231 232

247 245 245 247 250 245 248 247

243 245 252 230 245 240 253 251

249 245 243 251 245 243 253 251

a) ¿Cuál es el peso medio de los paquetes de arroz que se han pesado?b)¿Cuál es el valor de la moda?c) ¿Qué tanto por ciento de paquetes tienen pesos superiores a lo etiquetado?

a) Efectuamos el recuento:

El peso medio es: �7

33019� � 243,97 gramos.

b) La moda es 245 gramos.

c) Paquetes con pesos superiores al peso etiquetado hay 5 de un total de 30; por tanto, representa un 16,67 %.

Se toma una de estas figuras.

Halla la probabilidad de que la figura sea:

a) Un círculo.b) El triángulo azul.

a) P (círculo) � �36

� � �12

�

b) P (triángulo azul) � �16

�

10.38

10.37

181

Peso (g) Recuento Frecuencia absoluta Producto

230 // 2 460

231 / 1 231

232 // 2 464

240 / 1 240

243 //// 4 972

245 //// /// 8 1 960

246 / 1 246

247 /// 3 741

248 / 1 248

249 / 1 249

250 / 1 250

251 /// 3 753

252 / 1 252

253 / 1 253

30 7 319


Se han echado 1 000 bolas por uno de los aparatos. Hemos contado 386 bolas en la caja A y 614bolas en la caja B.

¿Qué aparato se ha utilizado, el 1 ó el 2?

Si la bola cae desde el aparato 1, tenemos una posibilidad de que caiga en B; sin embargo, si cae desde el aparato 2, tene-mos dos posibilidades de que lo haga en B. Por tanto, se ha utilizado el aparato 2.

Para calcular la nota de final de curso, un profesor hace tres exámenes por trimestre. Los segundosejercicios de cada trimestre valen el doble que los primeros, y los terceros el triple que los primeros.

Las notas de Inés y Rafa son las que se muestran en la tabla.

Calcula la media ponderada de cada uno en cada trimestre.

Inés Rafa

Trimestre 1 Media P � �6 � 1 � 2

6� 5 � 3� � 3,83 Media P � �

6 � 6 � 26

� 1 � 3� � 3,5


6� 3 � 3� � 3,83 Media P � �

8 � 8 � 26

� 8 � 3� � 8


6� 6 � 3� � 5,16 Media P � �

2 � 2 � 76

� 8 � 3� � 6,67

La altura media de 6 hombres es 1,79 y la de 5 mujeres es 1,64. ¿Cuál será la altura media del grupo?

Suma de las tallas de los hombres: 1,79 � 6 � 10,74 m

Suma de las tallas de las mujeres: 1,64 � 5 � 8,2 m

Suma de las tallas del grupo: 10,74 � 8,2 � 18,94 m

Altura del grupo: �18

1,194� � 1,72 m

10.41

10.40

10.39

182

Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3

Inés 6 1 5 4 5 3 5 4 6Rafa 6 6 1 8 8 8 2 7 8


R E F U E R Z O

Datos y gráficos estadísticos

Se ha lanzado una moneda 18 veces y ha salido 6 veces cara. Halla la frecuencia absoluta y relativa delos sucesos salir cara y salir cruz.

Frecuencia absoluta (cara) � 6

Frecuencia relativa (cara) � �168�

Frecuencia absoluta (cruz) � 12

Frecuencia relativa (cruz) � �1128�

El número de hijos de 18 familias seleccionadas al azar es el siguiente:

1 2 3 0 2 1 1 0 5 2 1 0 2 2 1 4 1 6

a) Realiza el recuento de datos.

b) Construye la tabla estadística.

c) Dibuja un diagrama de barras.


c) Diagrama de barras:

10.43

10.42

183

N.o de hijos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

0 /// 3 �138�

1 //// / 6 �168�

2 //// 5 �156�

3 / 1 �118�

4 / 1 �118�

5 / 1 �118�

6 / 1 �118�

18 1

0

2

4

6

8

0Número de hijos

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

1 4 5 62 3


Se han revisado 30 paquetes de tornillos y en cada uno se han encontrado estos tornillos defectuosos.

1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 1 3 0 1 0

4 0 1 2 0 0 2 2 3 4 1 2 1 0 1

a) Realiza el recuento de datos.

b) Construye la tabla de frecuencias.

c) Representa el diagrama de sectores.


c) Diagrama de sectores:

�n.o tota

3l6d0e�

datos� �

0 tornillos defectuosos: �33600��

19n�� ⇒ n� � 108�


11n2�

� ⇒ n� � 144�


15n�� ⇒ n� � 60�


12n�� ⇒ n� � 24�


12n�� ⇒ n� � 24�

Media aritmética y moda

Halla la media y la moda de estos datos.

2 0 0 1 1 1 1 1 0 0 2 4 0 1 0

Media � � �1145� � 0,93

Hay dos modas, el 0 y el 1.

6 � 0 � 6 � 1 � 2 � 2 � 1 � 4��

15

10.45


10.44

184

Defectuosos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

0 //// //// 9 �390�

1 //// //// // 12 �1320�

2 //// 5 �350�

3 // 2 �320�

4 // 2 �320�

30 1

4 defectuosos23 defectuosos

2

2 defectuosos5

0 defectuosos9

1 defectuoso12


Calcula la media y la moda de los siguientes datos.a) 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12

b) 2, 2, 8, 8, 3, 6, 7, 5, 9, 3

a) Media � � �576� � 8

No hay moda.

b) Media � � �5130� � 5,3

Moda: hay tres modas, el 2, el 3 y el 8.

Probabilidad

Se lanza un dado que tiene tres caras con una A, dos caras con una B y una cara con una C. ¿Quéletra es más probable que aparezca?

La cara más probable es la cara A, ya que:

P (cara A ) � �36

� P (cara B ) � �26

� P (cara C ) � �16

�

Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenidosea mayor que 2?

P (número mayor que 2) � �46

� � �23

�

Una urna tiene siete bolas azules y seis verdes. Se extrae una bola al azar. Halla la probabilidad de estossucesos.

a) Sacar bola azul. b) Extraer bola verde.

a) P (azul) � �173� b) P (verde) � �

163�

En un aparcamiento están aparcados ahora mismo 32 coches y 8 motos. Se oye el motor de un vehículo.¿Qué probabilidad hay de que sea un coche?

P (coche) � �34

20�


Halla la probabilidad de que al lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6, la suma de las carasvisibles sea múltiplo de 5.

P (la suma de las caras visibles es múltiplo de 5) � �26

�

10.51

10.50

10.49

10.48

10.47

2 � 2 � 3 � 2 � 5 � 1 � 6 � 1 � 7 � 1 � 8 � 2 � 9 � 1��

10

4 � 6 � 7 � 8 � 9 � 10 � 12��

7

10.46

185

Cara oculta Suma de las caras visibles

1 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 múltiplo de 5

2 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19

3 1 + 2 + 4 + 5 + 6 = 18

4 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 17

5 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 múltiplo de 5


Una moneda está cargada de modo que la probabilidad de que aparezca cara es el doble de que apa-rezca cruz. Halla la probabilidad de que salga cara y la de que salga cruz.

C � suceso salir cara X � suceso salir cruz

P (C ) � 2 P (X )

Como P (C ) � P (X ) � 1, sustituyendo resulta:

2 P (X ) � P (X ) � 1 ⇔ 3 P (X ) � 1; P (X ) � �13

� y P (C ) � �23

�

Se lanzan dos monedas.

a) Describe el espacio muestral.

b) ¿Qué es más probable obtener, dos caras o una cara y una cruz?

1.o Si las monedas se lanzan consecutivamente:

a) E � {CC, CX, XC, XX }

b) P (CC ) � �14

� P (una cara y una cruz) � P (CX, XC ) � �24

� � �12

�

Por tanto, es más probable obtener una cara y una cruz que obtener dos caras.

2.o Si las monedas se lanzan a la vez:

• Monedas iguales:

a) E � {CC, CX, XX}

b) P (CC ) � �13

� P (una cara y una cruz) � P (CX ) � �13

�

Por tanto, tienen la misma probabilidad de salir.

• Monedas distintas:

a) E � {CC, CX, XC, XX}

b) P (CC ) � �14

� P (una cara y una cruz) � P (CX, XC ) � �24

� � �12

�

Por tanto, es más probable obtener una cara y una cruz que obtener dos caras.

Dos niños escriben, cada uno por separado, un número con las cifras 4, 6 y 7. Halla la probabilidad deque los dos formen el mismo número.

En primer lugar vemos cuántos números se pueden formar con las cifras 4, 6 y 7:

467, 476, 647, 674, 746, 764

Las posibles combinaciones que son:

Luego la probabilidad pedida es P (formen el mismo número) � �366� � �

16

�

10.54

10.53

10.52

186

467

467

476

647

674

746

764

1.er niño 2.o niño

467

476

476

647

674

746

764


467

647

476

647

674

746

764


467

674

476

647

674

746

764


467

746

476

647

674

746

764


467

764

476

647

674

746

764



Se realiza un experimento que consiste en abrir al azar una guía telefónica, anotar los dos últimos dígitosdel primer abonado de la página y hallar el resto al dividir por 5 el número que forman estos dígitos.¿Cuál es la probabilidad de que al hacer esto con un abonado elegido al azar dé resto 0?

Al dividir un número por 5 y anotar el resto pueden ocurrir 5 casos.

– Que tenga resto 0.





El espacio muestral es E � {0, 1, 2, 3, 4}

Los dos últimos dígitos pueden ir desde el 00 hasta el 99.

Por tanto, hay 100 números, de los que 20 tienen resto 0, 20 tienen resto 1, etc. Luego los sucesos elementales del experi-mento son equiprobables.

Entonces, P (tenga resto 0) � �15

� � 0,2

Se pide a dos chicas que escriban, por separado, una de las cinco vocales.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos escriban la a?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos escriban la misma?

El número de casos posibles del experimento es 25:{aa, ae, ai, ao, au, ea, ee, ei, eo, eu, ia, ie, ii, io, iu, oa, oe, oi, oo, ou, ua, ue, ui, uo, uu}

a) P (escriban las dos chicas la a) � �215�

b) P ( escriban la misma letra) � �225� � �

15

�

Calcula la probabilidad de que la matrícula de un coche de 4 dígitos.

a) Termine en 87.

b) Sea múltiplo de 4.

c) Tenga las cuatro cifras iguales.

a) Los dos últimos dígitos de las matrículas de un coche pueden tomar 100 valores posibles desde 00 hasta 99 y, de ellos, soloel 87 es favorable.

Por tanto, P (acabe en 87) � �1100�

b) Un número es múltiplo de 4 si sus dos últimas cifras son múltiplo de 4.

Número de casos posibles � 100, casos favorables � �1040

� � 25

Por tanto, P (sea múltiplo de 4) � �12050

� � �14

�

c) Matrículas con las cuatro cifras iguales hay 10: 0000, 1111, 2222, …, 9999, y el número total de matrículas es 10 000.

Por tanto, P (cuatro cifras iguales) � �10

10000� � �

1 0100�

10.57

10.56

10.55

187



Yendo a clase

Los diagramas de barras muestran el tiempo que tardan los alumnos de los tres grupos de 1.º de ESOde un centro en llegar a clase.

Asocia cada uno con su correspondiente diagrama de sector.

Gráfico de sectores 1: grupo C

Gráfico de sectores 2: grupo A

Gráfico de sectores 3: grupo B

Ahorro de agua

El Gobierno ha promovido una campaña de reducción del gasto de agua.

Este histograma representa el agua ahorrada por las familias que formaron parte de la muestra utilizadapara estudiar la bondad de las medidas.

a) ¿Qué porcentaje de familias de la muestra ahorraron entre 10 y 30 litros diarios?

b) Ocho familias de la muestra ahorraron menos de 10 litros diarios. ¿Cuántas familias ahorraronentre 30 y 40 litros diarios?

a) 10 � 35 � 45% de familias ahorraron entre 10 y 30 litros diarios

b) Si el 20% son 8 familias, el 15% son �1250� � 8 � 6 familias que ahorraron entre 30 y 40 litros diarios.

10.59

10.58

188

Grupo 1.º A Grupo 1.º B Grupo 1.º C

Más de20’17%

Menosde 10’17%

Más de20’33%

Menosde 10’17%

Entre 10’y 20’33%

Másde 20’17%

Entre 10’ y 20’66%

Entre 10’ y 20’50%

Menos de 10’50%

Porc

enta

jes

de fa

mili

as

Litros diarios de ahorro100 20 30 40 50

05

10152025303540



En un supermercado se ha hecho un estudio sobre el tipo de refrescos vendidos en un día y se hanobtenido los siguientes datos.

a) Forma la tabla estadística.b) Representa los datos en un diagrama de barras.



Los goles que un equipo de fútbol sala metió en los distintos partidos de un torneo fueron:

5 6 5 5 6 7 6 8 9 5 6 6 7 9 6 5

a) Calcula la media de los datos.b) ¿Cuál es la moda?

a) Media � � �16011

� � 6,31

b) La moda es 6 goles.

5 � 5 � 6 � 6 � 2 � 7 � 1 � 8 � 2 � 9��

16

10.A2

10.A1

189

Tipo Botes vendidos

De naranja 150

De limón 200

De cola 400

Otros 50

Tipo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

De naranja 150 �185000

�

De limón 200 �280000

�

De cola 400 �480000

�

Otros 50 �85000

�

800 1

100

200

300

400

Naranja

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

Limón Cola Otros


En una bolsa hay 7 bolas rojas, 5 verdes y 4 amarillas. Se extrae una bola. Halla la probabilidad de lossucesos.

a) Salir una bola roja.b) Salir una bola verde.

a) P (roja) � �176�

b) P (verde) � �156�

Un examen consta de tres partes: un test, un problema y el desarrollo de un tema.

Para dar la calificación final multiplicamos por 1 la nota del test, por 2 la nota de la parte práctica ypor 3 el desarrollo del tema.

Nuria obtuvo un 7 en el test, un 6 en la parte práctica y un 9 en el desarrollo del tema. ¿Cuál será sucalificación final?

Media aritmética ponderada � � �466� � 7,67

Se extrae una carta de la baraja española. Halla la probabilidad de estos sucesos.

a) Obtener una espada.b) Sacar una sota.c) Obtener una figura.d) Sacar la sota de espadas.

a) P (una espada) � �1400� � �

14

�

b) P (una sota) � �440� � �

110�

c) P (una figura) � �1420� � �

130�

d) P (sota de espadas) � �410�

En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extrae una bola al azar, determina:

a) El espacio muestral del experimento.b) La probabilidad de que sea mayor que 3.c) La probabilidad de que sea inferior a 6.d) La probabilidad de que sea mayor que 3 y menor que 7.

a) E � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

b) P (mayor que tres) � �69

� � �23

�

c) P (inferior a 6) � �59

�

d) P (mayor que 3 e inferior a 7) � �39

� � �13

�

10.A6

10.A5

7 � 1 � 6 � 2 � 9 � 3��

1 � 2 � 3

10.A4

10.A3

190




JUNTANDO MONEDAS

¿Sabrías decir de cuántas formas se pueden reunir 3 euros utilizando solo monedas de 1 euro, de 50 cénti-mos y de 20 céntimos? Una pista: haz un cuadro similar a este y vete escribiendo el número y tipo de mo-nedas que necesitas en cada caso.

191

Número de monedas

1 euro 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0

50 céntimos 0 2 0 4 2 0 6 4 2 0

20 céntimos 0 0 5 0 5 10 0 5 10 15


192

11 FORMAS GEOMÉTRICAS


Dos puntos determinan una recta.

a) ¿Cuántas rectas se pueden trazar con un solo punto?

b) ¿Cómo son las rectas que pasan por ese punto?

a) Tantas como se quiera.

b) Secantes, porque se cortan todas en ese punto.

Dibuja dos rectas paralelas a la recta r que pasen por los puntos A y B.

La medida de un ángulo Ap es 49� 45� y la de otro ángulo Bp es 130� 4�. ¿Son suplementarios losángulos Ap y Bp?

Ap � Bp � 49� 45� � 130� 4� � 179� 49� � 180� ⇒ Ap y Bp no son suplementarios.

La medida del ángulo Ap es 50� 30�.

a) Halla el complementario de Ap.

b) ¿Cuánto mide el suplementario de Ap?

a) El complementario de Ap es: 90� � Ap � 90� � 50� 30� � 39� 30�.

b) El suplementario de Ap es: 180� � Ap � 180� � 50� 30� � 129� 30�.

11.4

11.3

11.2

11.1

A

B r

A

B

r


Halla los valores de los ángulos que faltan.

Bp � 120� por ser opuestos por el vértice.

Ap es el suplementario de 120�; por tanto: Ap � 180� � 120� � 60�.

Cp � Ap � 60� por ser opuesto a Ap por el vértice.

Calcula los ángulos que faltan.

Llamamos Cp al ángulo que mide 45�.

Bp y Cp son ángulos agudos y tienen lados paralelos dos a dos, luego Bp � Cp � 45�.

Ap y Cp tienen lados paralelos dos a dos; Ap es un ángulo obtuso, y Cp, un ángulo agudo, luego son suplementarios,Ap � 180� � Cp � 135�

Identifica en la figura los elementos de la circunferencia que aparecen marcados en rojo. Si el radio mide1,5 centímetros, ¿cuánto mide el diámetro?

Como d � 2 � r � 2 � 1,5 � 3 cm

El diámetro mide 3 cm.

11.7

11.6

11.5

193

A120º

BC

A

45ºB

B

A

O

B

A

O

Radio

Cuerda


Dibuja un círculo de 5 centímetros de diámetro y dos radios que formen ángulo recto. ¿Qué figura cir-cular resulta?

La figura resultante es un sector circular.

Dibuja un círculo de 2 centímetros de radio y una circunferencia de 3 centímetros de diámetro con elmismo centro. ¿Qué figura circular resulta entre ambos?

Resulta una corona circular.

Indica la posición relativa de esta circunferencia y cada una de las rectas.

Rectas exteriores: q y r

Rectas secantes: s y t

Rectas tangentes: p y u

El radio de una circunferencia mide 3 decímetros. La distancia de una recta al centro de la circunfe-rencia es 4 decímetros. ¿Cuál es su posición relativa?

Como la distancia de la recta al centro, 4 dm, es mayor que el radio, 3 dm, son exteriores.

11.11

11.10

11.9

11.8

194

O 5 cm

O

1,5 cm2 cm

s

t

q r

up


¿Cómo son una recta y una circunferencia si la longitud del radio de la circunferencia es de 7 centí-metros y la distancia de su centro a la recta es 10 centímetros?

Como la distancia de la recta al centro, 10 cm, es mayor que el radio, 7 cm, son exteriores.

El radio de una circunferencia mide 4 centímetros. Si la distancia de su centro a una recta es 4 centí-metros, ¿cuál es su posición relativa?

La distancia de la recta al centro, 4 cm, es igual que el radio, 4 cm; por tanto, son tangentes.

Indica la posición relativa de estas circunferencias.

¿Cómo son dos circunferencias si sus radios miden 14 y 10 centímetros, respectivamente y la distanciaentre sus centros es 3 centímetros?

Como la distancia entre los centros, 3 cm, es menor que la diferencia de los radios, 14 � 10 � 4 cm, las circunferencias soninteriores.

Los radios de dos circunferencias miden 4 y 6 centímetros, respectivamente. La distancia entre sus centroses de 2 centímetros. ¿Cuál es su posición relativa?

Como la distancia entre los centros, 2 cm, es igual a la diferencia de los radios, 6 � 4 � 2 cm, las circunferencias sontangentes interiores.

Traza las mediatrices de dos segmentos paralelos de 4 y 6 centímetros de longitud.11.17

11.16

11.15

11.14

11.13

11.12

195

A B

6 cm

C D

4 cm

Tangenteexterior

Tangenteinterior

Secante

Interior


La distancia del punto A al punto M es 2,5 centímetros. Si M es el punto medio del segmento AB,¿cuánto mide el segmento AB?

Por ser M el punto medio del segmento AB, la distancia del punto M al punto B es igual que la distancia del punto A alpunto M.Por tanto, el segmento AB mide: distancia AB � distancia AM � distancia MB � 2 � distancia AM � 2 � 2,5 � 5 cm.

Dibuja un segmento vertical de 7 centímetros de longitud.

a) Traza su mediatriz utilizando regla y compás.

b) Comprueba que el punto de corte de la mediatriz con el segmento es su punto medio.

a)

b) Con la regla se comprueba que la distancia del punto M a A y de M a B es de 3,5 cm.

Traza la bisectriz del siguiente ángulo utilizando regla y compás.

¿Cuánto miden los dos ángulos en que la bisectriz divide un ángulo recto?

Como los divide en dos ángulos iguales, cada uno mide: 920� � 45�.

Se traza la bisectriz de un ángulo llano. ¿Cuánto miden los ángulos que se forman?

Cada uno mide: 18

20� � 90�

11.22

11.21

11.20

11.19

11.18

196

A

B

35º

35o


Dibuja la bisectriz de los siguientes ángulos.

a) Un ángulo obtuso.b) Un ángulo cóncavo.

a) b)

Calcula la medida del ángulo central Ap en los siguientes casos.

a) b)

a) Ap � 360� � (160� � 95�) � 105� b) Ap � 360� � (30� � 130� � 97�) � 103�

El diámetro de una circunferencia mide 6 centímetros. Dibuja un arco de 90� y su ángulo central.

Al ser el radio la mitad del diámetro, este mide: r � 62

� 3.

La medida de un arco es la misma que la de su ángulo central correspondiente; por tanto, hay que dibujar un ángulo centralde 90�.

11.25

11.24

11.23

197

90o

3 cmO

160ºA

95º 130º

A

97º30º

B

A


Las circunferencias de los dibujos se han dividido en partes iguales. Determina la medida de los arcosque se indican.

a) b)

a) Como la circunferencia mide 360�, si se divide en 5 partes iguales, el ángulo central de cada uno es: 36

50� � 72�. El arco

correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, 72�.

Como el arco AB abarca dos de las 5 partes de la circunferencia, el arco mide 2 � 72� � 144�.

b) Como la circunferencia mide 360�, si se divide en 6 partes iguales, el ángulo central de cada uno es: 36

60� � 60�. El arco

correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, 60�.

Como el arco AB abarca dos de las 6 partes de la circunferencia, el arco mide 2 � 60� � 120�.

En una semicircunferencia, ¿cuánto miden el ángulo central y su arco correspondiente?

El ángulo central mide 180�.

El arco correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, 180�.

La circunferencia se ha dividido en arcos iguales. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito Ap?

Como la circunferencia se ha dividido en 5 arcos iguales, cada uno de ellos mide: 36

50� � 72�

El arco que abarca Ap es 3 de las 5 partes de la circunferencia, el arco mide: 3 � 72� � 216�

El ángulo inscrito Ap mide la mitad del arco que abarca: Ap � 21

26� � 108�

11.28

11.27

11.26

198

B

A

O

AO

A

B

O


Cuánto mide el ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia?

Como la medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que abar-ca y esta coincide con la medida del ángulo central, 180�, por ser una semicircunferencia,obtenemos:

Ap � 18

20� � 90�

El ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia mide 90�.

Un ángulo inscrito está formado por dos semirrectas tangentes. Con ayuda de un dibujo, calcula cuántovale el ángulo central correspondiente.

La medida del ángulo inscrito, 180�, es igual a la mitad de la medida del arco que abarca,360�; por tanto, la medida de un arco es la misma que la de un ángulo central.

El ángulo central mide 360�.

El radio de una circunferencia mide 9 centímetros. ¿Cuál es la longitud de esa circunferencia?

La longitud de la circunferencia es: L � 2 � � r � 2 � 3,14 � 9 � 56,52 cm

En un campo de fútbol, el radio del círculo central mide 9,15 metros. Calcula la longitud de la circun-ferencia que hay que pintar.

La longitud de la circunferencia que hay que pintar es: L � 2 � � r � 2 � 3,14 � 9,15 � 57,46 m

El radio de una circunferencia mide 6 centímetros. ¿Cuál es la longitud de un arco de 120�?

Larco de 120� � 2 �

36�0r�

� n� �

2 � 3,1436

�06�

� 120� � 12,56 cm

La longitud de un arco de 120� y radio 6 cm es 12,56 cm.

El diámetro de una circunferencia mide 8 decímetros. ¿Cuál es la longitud de un arco de 85�?

r � d2

� 4 dm ⇒ Larco de 85� � 2 �

36�0r�

� n� �

2 � 3,1346�0�

4 � 85� � 5,93 dm


Sobre una recta dada, construye un ángulo de 45�.11.35

11.34

11.33

11.32

11.31

11.30

11.29

199

Se fijan dos puntos A y B en larecta r.

Se traza una rectaperpendicular a r por B.

Con centro en B, se lleva ladistancia AB sobre laperpendicular a r.

El ángulo CAB mide 45�, porqueel triángulo ABC es isóscelesrectángulo.

BAr

BAr

BAr

C

BAr

45o

C

A

O

A

O


Sobre una recta dada, construye un ángulo de 120�.


Calcula la medida de los ángulos en que la bisectriz divide a cada uno de los siguientes.

a) 40� b) 120� c) 180� d) 210�

La bisectriz divide un ángulo en dos partes iguales:

a) 420� � 20� b)

1220� � 60� c)

1820� � 90� d)

2120� � 105�

Calcula la medida del ángulo central cuando el ángulo inscrito en una circunferencia mide:

a) 30� b) 50� c) 60� d) 80�

La medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito.

a) 2 � 30� � 60� b) 2 � 50� � 100� c) 2 � 60� � 120� d) 2 � 80� � 160�

Elige y razona la respuesta. El ángulo Ap de la figura mide:

a) 30� b) 15� c) 60� d) 10�

El ángulo Ap, por ser inscrito, tiene como medida la mitad del arco que abarca: Ap � 620� � 30�.

Calcula la longitud de una semicircunferencia de 2 centímetros de diámetro.

Se calcula la longitud de una circunferencia y la dividimos por 2.

r � d2

� 1 cm ⇒ Lcircunferencia � 2 � � r � 2 � 3,14 �1 � 6,28 cm

Lsemicircunferencia � Lcircun

2ferencia �

6,228 � 3,14 cm

11.40

11.39

11.38

11.37

11.36

200

Se fijan dos puntos A y B enla recta r.

Con centro en A, se trazaun arco de radio AB, y concentro en B, se traza unarco de radio AB.

Se determina el punto C.El ángulo CABq mide 60º,porque el triángulo ABCes equilátero.

El ángulo suplementariode Ap mide 120º.

BAr

BAr

BAr

60o

C

BAr

120o

C

A

60ºO


¿Cuánto mide el complementario de 60�?

a) 120� b) 90� c) 180� d) 30�

Dos ángulos son complementarios si suman 90�; por tanto, el complementario de 60� es el del apartado d, 30�.

Halla el valor de los ángulos Bp y Dp de la figura.

Bp es opuesto por el vértice a 160�. Entonces, Bp � 160�.

Dp es opuesto por el vértice a 20�. Entonces, Dp � 20�.

Un alumno dice que los ángulos Ap, Bp y Cp son iguales. ¿Por qué?

Son iguales por ser ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco.

En un segmento de 10 decímetros de longitud se traza la mediatriz. ¿Cuánto mide cada una de las partesque resultan?

La mediatriz pasa por el punto medio, así que divide el segmento en dos partes iguales. Cada una mide 5 cm.


Ángulos

Clasifica los siguientes ángulos.

a) c)

b) d)

a) Obtuso y convexo. c) Obtuso y cóncavo.

b) Agudo y convexo. d) Obtuso y convexo.

11.45

11.44

11.43

11.42

11.41

201

B

160º

20º D

O

AC

M N

B


Calcula, cuando sea posible, el complementario y el suplementario de:

a) Ap � 25� 15� b) Cp � 108� c) Bp � 34� 37� d) Dp � 89� 30�

a) Complementario: 90� � Ap � 90� � 25� 15� � 64� 45�

Suplementario: 180� � Ap � 180� � 25� 15� � 154� 45�

b) Complementario: No se puede calcular porque es el ángulo que hay que sumar a Cp para obtener 90� y Cp es mayor de 90�.Suplementario: 180� � Cp � 180� � 108� � 72�

c) Complementario: 90� � Bp � 90� � 34� 37� � 55� 23�

Suplementario: 180� � Bp � 180� � 34� 37� � 145� 23�

d) Complementario: 90� � Dp � 90� � 89� 30� � 30�

Suplementario: 180� � Dp � 180� � 89� 30� � 90� 30�

Si Ap es un ángulo agudo y Bp es obtuso, ¿pueden sumar 90�? ¿Por qué?

Porque Bp, al ser obtuso, ya mide más de 90�.

Ángulos iguales

Dibuja dos ángulos iguales a Ap utilizando ángulos de lados paralelos.

Calcula los ángulos que faltan en la figura.

Se considera Ap � 80�.

Bp � 80�, por ser opuesto a Ap por el vértice.

Cp es el suplementario de Bp, entonces: Cp � 180� � Bp � 180� � 80� � 100�

Dp � Cp � 100� por ser Dp y Cp opuestos por el vértice.

11.49

11.48

11.47

11.46

202

C

D

B80º

A

B

C


Con el valor de uno de los ángulos de la figura, calcula el valor del resto.

Se considera Ap � 75�.

Bp � 75� por ser Ap y Bp opuestos por el vértice.

Ep y Fp son ángulos agudos y de lados paralelos a Bp. Por tanto, Ep � Fp � Bp � 75�.

Cp es el suplementario de 75�, entonces: Cp � 180� � 75� � 105�.

Dp � Cp � 105� por ser Dp y Cp opuestos por el vértice.

Gp es el suplementario de Ep � 75�, entonces: Gp � 180� � 75� � 105�.

Hp � Gp � 105� por ser Gp y Hp opuestos por el vértice.

Posiciones de rectas y circunferencias

¿Cuál es la posición relativa de una recta situada a 8 centímetros de una circunferencia de 6 centímetrosde radio?

Como la distancia de la recta al centro de la circunferencia es mayor que el radio de la misma, la recta es exterior a la cir-cunferencia.

Dibuja dos circunferencias tangentes interiores y una recta tangente a ambas.

Traza una circunferencia de 0,2 decímetros de radio y dos rectas tangentes a ella y paralelas entre sí.

r � 0,2 dm � 2 cm

11.53

11.52

11.51

11.50

203

2 cmO

r

s

r

6 cmO

r

8 cm

C

D

B 75ºG

H

EF


Si el centro de una circunferencia está sobre otra circunferencia, ¿cuál es la posición relativa de las doscircunferencias?

Las dos circunferencias resultan secantes.

Dos circunferencias tienen de radio 6 y 8 centímetros, respectivamente.

a) ¿Cuál es su posición relativa si la distancia entre los centros es 14 centímetros?

b) ¿Y si fuera 10 centímetros?

a) b)

Tangentes exteriores Secantes

Mediatriz y bisectriz

Calcula el ángulo Ap de la figura.

La bisectriz divide Ap en dos ángulos iguales de 35� 27�; entonces: Ap � 2 � 35� 27� � 70� 54�.

Traza las bisectrices de los ángulos Ap y Bp y di qué observas.

Las bisectrices de los dos ángulos coinciden en la misma recta.

11.57

11.56

11.55

11.54

204

C1

C2

6 cm 8 cm

14 cm

6 cm 8 cm

10 cm

A

Bisectriz

35º 27’

A

B

A

B


Traza las mediatrices de los segmentos AC y BD y di qué observas.

La mediatriz del segmento DB contiene el segmento AC.La mediatriz del segmento AC contiene el segmento DB.

En la siguiente figura, r es la mediatriz del segmento AB. Halla B.

Para obtener B hay que prolongar el segmento que une A con M, y con un compás se traza el arco, con centro M y radio MA.El punto obtenido de la intersección del arco con la recta que contiene AM es B.

Ángulos centrales y ángulos inscritos

Calcula los ángulos Ap y Bp de las siguientes figuras.

a) b)

La medida del ángulo central es el doble del arco que abarca el ángulo inscrito correspondiente.

a) Ap � 2 � 55� � 110�

b) Bp � 2 � 75� � 150�

11.60

11.59

11.58

205

A55º

B

75º

B

A

rM

r

A

A

D

C

B

BD

A

C


Halla el valor del ángulo central Ap utilizando los datos de cada figura.

a) b)

a) Ap � 360� � 120� � 80� � 160�

b) Ap � 360� � 42� � 49� � 120� � 72� � 77�

Determina la medida de los siguientes ángulos inscritos, sabiendo que la circunferencia se ha divididoen partes iguales.

a) b)

a) La circunferencia se ha dividido en 5 arcos iguales, luego miden: 36

50� � 72�

Como Ap es inscrito y abarca el arco de 72�, mide la mitad de este: Ap � 722� � 36�

b) Esta circunferencia se ha dividido en 9 arcos iguales, luego miden: 36

90� � 40�

Como Ap es inscrito y abarca un arco de 40�, mide la mitad de este: Ap � 420� � 20�

Los seis arcos en los que se ha dividido la circunferencia son iguales. Calcula los ángulos inscritos,Ap, Bp, Cp, Dp, Ep y Fp.

Los seis arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego cada arco mide: 36

60� � 60�

Según los arcos que abarca cada ángulo y teniendo en cuenta que al ser inscritos, equivalen a la mitad de ese arco, se obtiene:

Ap � 2 �

260� � 60� Bp �

3 �

260� � 90� Dp �

4 �

260� � 120� Ep �

2 �

260� � 60� Fp �

620� � 30�

11.63

11.62

11.61

206

A

A

80º

120º

A

120º

42º

49º72º

A

B

F

E

D

A


Longitud de circunferencia y arcos

Calcula la longitud de una circunferencia:

a) De 7 centímetros de radio.

b) De 18 decímetros de diámetro.

c) Si un arco de 90� mide 1,57 metros.

a) La longitud de la circunferencia es: L � 2 � � r � 2 � � 7 = 43,96 cm

b) La longitud de la circunferencia es: L � � d � � 18 = 56,52 dm

c) Si se conoce la longitud de un arco de 90�, se sabe la longitud de 14

de la circunferencia, puesto que 36

40� � 90�.

Entonces, la longitud de la circunferencia es: L � 4 � 1,57 ⇒ L � 6,28 m

El diámetro de una circunferencia mide 6 centímetros. Determina el valor de la longitud de un arco conlos siguientes grados.

a) 30� b) 120� c) 45� d) 90�

a) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

603�

� 30� � 1,57 cm

b) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

603�

�120� � 6,28 cm

c) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

603�

� 45� � 2,36 cm

d) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

603�

� 90� � 4,71 cm


Se quiere forrar el borde de una mesa circular de 90 centímetros de diámetro. ¿Cuántos metros de ma-terial se necesitan?

Se necesitan: L � 2 � � r � 2 � � 45 � 282,6 cm � 2,83 metros de material.

Los compañeros de Ismael tienen que calcular en cuántas partes iguales ha dividido una circunferenciasabiendo que el ángulo central que une dos puntos consecutivos es de 45�.

Como el ángulo central que une dos puntos consecutivos es de 45�, al dividir 360� entre 45� debe darnos el número de partes.

Por tanto, la circunferencia se ha dividido en: 34650�

� � 8 partes.

Calcula los ángulos Bp y Cp indicados de la siguiente figura.

El ángulo Bp es inscrito; por tanto, mide la mitad del central: 524� � 27�

El arco correspondiente al ángulo Cp es el suplementario de 54�, es decir, 180� � 54� � 126�

El ángulo Cp es inscrito, luego su medida es: 12

26� � 63�

11.68

11.67

11.66

11.65

11.64

207

O

54º

C

B


Rosa y Luis quieren dibujar en el suelo dos circunferencias tangentes exteriores de 3 y 8 centímetrosde diámetro. Si ellos se sitúan en el centro, ¿a qué distancia deben colocarse uno del otro?

Para que sean tangentes, solo deben tener un punto común, y eso sólo es posible cuando la distancia entre los centros es iguala la suma de los radios.

Por tanto, Rosa y Luis deben situarse a 1,5 � 4 � 5,5 cm de distancia.

Copia la figura y construye a partir de ella los ángulos inscritos cuyas medidas son las siguientes.

a) 18� b) 36� c) 54� d) 72�

El arco de cada división mide: 31600� � 36�

Luego basta construir ángulos inscritos que abarquen 1, 2, 3 y 4 divisiones, respectivamente.

Si consideramos el ángulo inscrito que abarca: 1 división: 36�

2� 1 �

326� � 18�

2 divisiones: 36�

2� 2 �

722� � 36�

3 divisiones: 36�

2� 3 �

1028� � 54�

4 divisiones: 36�

2� 4 �

1424� � 72�

Observa la báscula de la figura.

a) ¿Qué ángulo recorre la aguja al pasar de unkilogramo a otro?

b) ¿Y cuando recorre 100 gramos?

a) Ángulo recorrido al pasar de un kilogramo a otro: 31620� � 30�

b) Como un kilogramo equivale a 10 veces 100 g, el ángulo que recorre la aguja en este caso es: 3100�

� 3�

11.71

11.70

11.69

208

4 cm

1,5 cm

C1

C2

72o

54o

36o

18o


¿Cuánto mide el borde de la tapa de una cacerola de aluminio de 24 centímetros de diámetro?

Las cacerolas tienen formas circulares. Por tanto, su tapa es un círculo, y el borde de esta, una circunferencia.

El borde mide: L � � d � � 24 � 75,36 cm

En la noria de la figura, ¿a qué distancia se encuentra cada cestillo si el diámetro de la noria es de 75centímetros?

Si la noria tiene 6 cestillos y están todos a la misma distancia, el ángulo central que abarca dos cestillos consecutivos

mide: 36

60� � 60�.

Como el radio es la mitad del diámetro, r � 725 � 37,5 cm

La longitud del arco que hay entre un cestillo y otro es: L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 � �

33670,�

5 � 60� � 39,25 cm

Calcula la diferencia entre las longitudes de las circunferencias de las monedas de 20 céntimos de euroy 50 céntimos de euro. Indica cómo has hallado los datos que necesitas para ello.

Para poder calcular las longitudes hay que hallar primero el diámetro de cada una de las monedas.

El diámetro de la moneda de 0,20 € es 22,25 mm y el de la moneda de 0,50 € es 24,25 mm.

Sus longitudes son: L0,20 € � � d � � 22,25 = 69,87 mm

L0,50 € � � d � � 24,25 = 76,15 mm

La diferencia entre las longitudes es: L0,50 € � L0,20 € � 76,15 � 69,87 � 6,28 mm

Un relojero quiere construir un reloj de esfera circular de 8 decímetros de diámetro.a) ¿Cuánto miden los ángulos centrales que se forman al unir el centro de la circunferencia con cada

uno de los números que marcan la hora?b) ¿Cuál es la longitud del arco de circunferencia que une cada número con el siguiente?

a) En el reloj hay que poner 12 números, así que habrá 12 ángulos centrales.

Cada uno de ellos medirá: 31620� � 30�

b) La longitud del arco de circunferencia que le corresponde a cada ángulo de 30� es:

L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

604�

� 30� � 2,09 dm

El radio de la rueda de un remolque mide 60 centímetros. ¿Cuánto mide la longitud de la huella quedeja en el suelo en una vuelta?

La longitud de la huella de la rueda es: L � 2 � � r � 2 � � 60 � 376,8 cm � 3,8 m

11.76

11.75

11.74

11.73

11.72

209


El ecuador terrestre tiene 40 000 kilómetros de longitud aproximadamente. Si suponemos que la Tie-rra es una esfera perfecta, ¿cuánto mide el radio de la Tierra?

La longitud de la circunferencia es: L � 2 � � r

40 000 � 2 � � r ⇒ 40 000 � 6,28 � r ⇒ r � 460,02080

� 6 369,43 km

El radio mide 6 369,43 km.

R E F U E R Z O

Posiciones relativas

El radio de una circunferencia mide 1 centímetro y el diámetro de otra mide 50 milímetros. La distan-cia entre sus centros es 3,5 centímetros. ¿Cuál es su posición relativa?

Las circunferencias son tangentes exteriores porque la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

Junto a dos circunferencias concéntricas de radios 2 y 6 centímetros, respectivamente, se dibuja unarecta a una distancia del centro de 3 centímetros. ¿Qué posición tiene la recta respecto a cada una delas circunferencias?

La situación del problema queda reflejada en la figura.

La recta es exterior a la circunferencia de 2 cm de radio y secante a la circunferencia de 6 cm de radio.

Mediatriz y bisectriz

Traza dos rectas secantes que se corten formando un ángulo de 90� y las bisectrices de los 4 ángulosformados.

11.80

11.79

11.78

11.77

210

Bisectriz

Bisectriz

r1

r2

6 cm

2 cm3 cm

1 cm 2,5 cm

3,5 cm


En un círculo de 10 centímetros de diámetro se considera un sector circular de 90� y su cuerda corres-pondiente. ¿Qué relación existe entre la bisectriz del sector y la mediatriz de la cuerda?

La bisectriz del sector y la mediatriz de la cuerda coinciden.

Ángulos: iguales, centrales e inscritos

¿Son iguales el complementario de 32� 40� y el suplementario de 147� 20�?

Complementario de 32� 40�: 90� � 32� 40� � 57� 20�

Suplementario de 147� 20�: 180� � 147� 20� � 32� 40�

No son iguales porque no miden lo mismo.

¿Cómo son y cuánto miden los arcos que abarcan un ángulo central de 75� y un ángulo inscrito de 37� 30�?

El arco que abarca el ángulo central mide lo mismo que él. Por tanto, es de 75�.

El arco que abarca el ángulo inscrito es el doble de su medida. Entonces es de 2 � 37� 30� = 75�.

Los dos miden lo mismo, 75�; por tanto, son iguales.

¿Cuánto mide el ángulo Ap de la figura?

Como la circunferencia se ha dividido en 9 partes iguales, cada arco mide: 36

90� � 40�

El ángulo Ap abarca dos arcos de 40�, es decir, abarca un arco de 80�.

Como Ap es un ángulo inscrito: Ap � 820� � 40�

11.84

11.83

11.82

11.81

211

Mediatriz

O

B

A

Bisectriz

Cuerda

A


Longitudes de circunferencias y arcos

En una circunferencia de radio 4 centímetros dibuja un ángulo inscrito de 30�.

a) ¿Cuánto mide el ángulo central correspondiente?

b) ¿Cuál es la longitud del arco de circunferencia que abarca?

a) Si el ángulo inscrito es de 30�, el arco que abarca es el doble, 60�.

El ángulo central mide lo mismo que el arco que abarca, 60�.

b) L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

604�

� 60� � 4,19 cm

La longitud de arco mide 4,19 cm.

Calcula la longitud de la circunferencia.

El diámetro de la circunferencia coincide con el lado del cuadrado. Entonces mide 4 cm.

Su longitud es: L � � d � � 4 � 12,56 cm


Encuentra un ángulo que sea igual a su complementario y otro que sea igual a su suplementario.

En el primer caso hay que encontrar un ángulo que sumado con él mismo dé 90�. Ese ángulo es: 920� � 45�

En el segundo caso hay que encontrar un ángulo que sumado con él mismo dé 180�. El ángulo es: 18

20� � 90�

Calcula los ángulos que faltan en esta figura.

Bp � 142� por ser opuestos por el vértice.

Ap es el suplementario de 142�. Entonces, Ap � 180� � 142� � 38�.

Cp � Ap � 38� por ser opuestos por el vértice.

11.88

11.87

11.86

11.85

212

A

4 cm

DA

CB

142º

C A

B


Estudia el ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos.

a) Suplementarios. b) Complementarios.

a) b)

Forman un ángulo de 90�. Forman un ángulo de 45�.

Si una circunferencia de 9 centímetros de diámetro se divide en 10 arcos iguales, ¿cuál es la longitudde cada uno de ellos?

Si la circunferencia se ha dividido en 10 arcos iguales, cada ángulo central mide: 31600� � 36�

Como el radio es la mitad del diámetro, r � 92

� 4,5 cm

Entonces, la longitud de uno de los arcos es: L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

640,5�

� 60� � 2,83 cm

La longitud de un arco de circunferencia correspondiente a un ángulo central de 30� mide 26 centí-metros.

a) ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?

b) ¿Y la del diámetro?

a) Si el ángulo central mide 30�, el arco también.

La circunferencia se ha dividido en un número entero de arcos de 30� de amplitud, es decir, en 33600�

� � 12 arcos, que mide

cada uno 26 centímetros.

Luego la longitud de la circunferencia es: 12 � 26 � 312 cm

b) L � � d ⇒ 312 � 3,14 � d ⇒ d � 33,1124

� 99,36 cm

11.91

11.90

11.89

213

A

B

Bisectriz

Bisectriz

A

B


Calcula los ángulos inscritos indicados en las siguientes figuras.

a) b)

a) Los 6 arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego miden: 36

60� � 60�

Los 3 ángulos son inscritos; por tanto, miden la mitad del arco que abarcan:

Ap abarca 4 arcos de 60�: Ap � 4 �

260� � 120� Cp abarca 1 arco de 60�: Cp �

620� � 30�

b) Los 5 arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego miden: 36

50� � 72�

Los 2 ángulos son inscritos; por tanto, miden la mitad del arco que abarcan:

Ap abarca 1 arco de 72�: Ap � 722� � 36� Bp abarca 3 arcos de 72�: Bp �

3 �

272� � 108�

La longitud de una semicircunferencia es 9,42 centímetros.

a) ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?

b) ¿Cuánto mide el radio?

a) Una semicircunferencia es la mitad de una circunferencia. Entonces: L � 2 � 9,42 � 18,84 cm.

b) Utilizando la fórmula de la longitud de la circunferencia y sustituyendo en ella el valor obtenido en el apartado anterior:

L � 2 � � r ⇒ 18,84 � 2 � � r ⇒ 18,84 � 6,28 � r ⇒ r � 168,,2884

� 3 cm

El radio mide 3 cm.

Determina el valor de los ángulos que faltan en la figura sabiendo que Ap � Cp � 94�.

Ap y Cp son iguales por ser opuestos por el vértice y entre los dos suman 94�:

Ap � Cp � 924� � 47�

Ep y Gp son los correspondientes de Ap y Cp. Por tanto, Ep � Gp � Ap � Cp � 47�.

Bp es el suplementario de Ap: Bp � 180� � Ap � 180� � 47� � 133�

Dp � Bp � 133� por ser opuestos por el vértice.

Fp y Hp son los correspondientes de Bp y Dp. Entonces, Fp � Hp � Bp � Dp � 133�.

11.94

11.93

11.92

214

GB E

F

C

D

AH

B

A

C

A B



Entradas para el cine

Roberto va a adquirir una entrada para el cinepor internet. En la pantalla del ordenador leofrecen el siguiente esquema de la sala de cine:

Con ayuda de regla y compás, indica los asientos adecuados para que Roberto:

a) Esté situado a ocho metros de cada uno de los altavoces.b) Esté situado a ocho metros de uno de los altavoces y a siete metros de la pantalla.

a) El asiento más adecuado es el C5.

b) Los asientos más adecuados son el D4 y el D6.

Abastecimiento de energía

Se quiere situar un transformador eléctrico que permita abastecer de energía a cuatro casas.

a) ¿Sería posible encontrar un punto equidistante delas cuatro casas independientemente de cómo es-tas se encuentren situadas?

b) Intenta hallar dicho punto en el caso representadoen el siguiente dibujo.

a) No se puede en todos los casos ya que las mediatrices de lossegmentos de extremos dos de las casas no tienen que pasartodas por un mismo punto fijo.

b) En este caso sí es posible ya que las mediatrices pasan todaspor un mismo punto.

11.96

11.95

215

Altavoz Pantalla Altavoz

A

B

C

D

E

F1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 m

Transformador

Altavoz Pantalla Altavoz

1 m

1 2 3 4 5 6 7 8 9

ABCDEF



Una recta está a una distancia de 50 milímetros del centro de una circunferencia de 10 centímetros dediámetro. ¿Qué posición tienen la recta y la circunferencia?

El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro: 5 cm � 50 mm.Como la recta está a la misma distancia del centro que cualquier punto de la circunferencia, es tangente a ella.

Calcula el ángulo central correspondiente a un ángulo inscrito de 84�.

El ángulo central es el doble del ángulo inscrito. Entonces, el ángulo central mide 2 � 84� � 168�.

¿Cuál es el complementario y el suplementario de los ángulos?

a) 32� b) 63� 5� c) 87�

a) Complementario: 90� � 32� � 58� Suplementario: 180� � 32� � 148�

b) Complementario: 90� � 63� 5� � 26� 55� Suplementario: 180� � 63� 5� � 116� 55�

c) Complementario: 90� � 87� � 3� Suplementario: 180� � 87� � 93�

Halla la medida del ángulo inscrito en cada caso.

a) b)

a) Como la circunferencia se ha dividido en 4 arcos iguales, cada uno mide: 36

40� � 90�

El ángulo inscrito abarca dos arcos, es decir, abarca un arco de 2 � 90� � 180� ⇒ Ap � 18

20� � 90�

b) Como la circunferencia se ha dividido en 6 arcos iguales, cada uno mide: 36

60� � 60�

El ángulo inscrito abarca dos arcos, es decir, abarca un arco de 2 � 60� � 120� ⇒ Bp � 12

20� � 60�

En una circunferencia de 22 centímetros de diámetro, calcula la longitud del arco que abarca unángulo inscrito de 45�.

El arco que abarca el ángulo inscrito es el doble de su medida: 2 � 45� � 90�.El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro: r � 11 cm.

Entonces, la longitud del arco es: L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

6101�

� 90� � 17,27 cm

Dibuja la bisectriz de un ángulo de 45� e indica cuánto miden cada uno de los ángulos en que quedadividido por ella.

La bisectriz divide un ángulo en dos iguales.

Cada uno de estos mide: 425� � 22� 30�.

11.A6

11.A5

11.A4

11.A3

11.A2

11.A1

216

AA

45❏


Explica por qué los ángulos Bp y Cp son iguales al ángulo Ap.

Bp y Ap son ángulos iguales por ser opuestos por el vértice.

Cp � Ap por ser ángulos de lados paralelos.

Una circunferencia de 6 decímetros de radio se divide en 3 partes iguales. ¿Cuánto mide el arcocorrespondiente a cada una de ellas?

Si la circunferencia se ha dividido en 3 arcos iguales, cada ángulo central mide: 36

30� � 120�.

La longitud de cada parte de los arcos es: L � 2 �

36�

0r�

� n� �

2 �

3�

660�

� 120� � 12,56 dm

Un arco de 90� de una circunferencia mide 25,12 centímetros. ¿Cuánto mide la longitud de la circun-ferencia?

25,12 � 2 �

36�

0r�

� n� ⇒ r �

225,1

�

2

�

�

3n60�

� � 16 cm ⇒ L = 2 � � r � 2 � 3,14 � 16 � 100,48 cm

La longitud de la circunferencia es de 100,48 cm.

Calcula la longitud de una semicircunferencia sabiendo que el radio mide 5 centímetros.

Lcircunferencia � 2 � � r � 2 � 3,14 � 5 � 31,4 cm ⇒ Lsemicircunferencia � Lcircun

2ferencia � 15,7 cm



CAMBIO DE RUMBO

El pez del dibujo está formado por ocho segmentos. Cambia de lugar tres segmentos como máximo para queel pez nade en sentido contrario.

11.A10

11.A9

11.A8

11.A7

217

B

AC


218

12 FIGURAS PLANAS


Dibuja polígonos convexos de 3, 4 y 5 lados con sus correspondientes diagonales. ¿Cuántas hay en cada uno?

Triángulo (0 diagonales) Cuadrilátero (2 diagonales) Pentágono (5 diagonales)

Dibuja las siguientes figuras planas.

a) Un polígono cóncavo regular. b) Una figura que no sea un polígono.

a) Al ser un polígono cóncavo, tiene al menos un ángulo mayor de 180�. Si fuera regular, debería tener todos los ángulos igua-les, y eso es imposible, porque no existe un polígono regular con los ángulos mayores de 180�.

b) No es un polígono porque los lados se cortan y no están unidos sucesivamente.

Dibuja un pentágono regular en una circunferencia circunscrita de 4 centímetros de radio. ¿Cuánto mideel lado del pentágono?

Se dibuja la circunferencia de 4 cm de radio y 5 ángulos centrales de 72�.

El lado del pentágono mide 4,70 cm.

12.3

12.2

12.1

72o


¿Se puede dibujar un hexágono de 6 centímetros de lado en una circunferencia de 6 centímetros de diá-metro?

No porque en el radio de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular tiene la misma medida que el lado del hexágono. Yel radio de esa circunferencia es de 3 cm y no de 6 cm.

Construye un decágono regular de 25 milímetros de lado.

Se dibuja un decágono regular en una circunferencia cualquiera. Luego se prolonga un lado del decágono hasta que tenga25 mm y se dibujan los radios y las paralelas para obtener la circunferencia circunscrita al polígono buscado.

Dibuja un octógono de 3,5 centímetros de lado.

a) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita?

b) ¿Cómo construirías un cuadrado a partir del octógono? ¿Cuánto mediría su lado?

Se realiza como en el ejercicio anterior pero con un octógono.

a) El radio de la circunferencia mide 4,58 cm

b) Uniendo vértices no contiguos dejando uno entre ellos. Su lado mediría: l � �(4,58)2�� (4,5�8)2� � 6,48 cm

Dibuja un triángulo rectángulo isósceles.

Para que sea rectángulo debe tener un ángulo de 90�, y para que sea isósceles, los catetos deben medir lo mismo.

Fíjate en el rectángulo y el romboide.

a) ¿Qué tienen en común? b) ¿En qué se diferencian?

a) Son paralelogramos con lados paralelos iguales.

b) En que el rectángulo tiene los cuatro ángulos iguales, y el romboide los tiene iguales dos a dos.

12.8

12.7

12.6

12.5

12.4

219

3 cm

3 cm


Clasifica los polígonos.

a) De tres lados. b) De cuatro lados.

a) Triángulo escaleno acutángulo. b) Cuadrilátero, paralelogramo, romboide.

¿Se puede construir un triángulo de manera que sus ángulos midan 105�, 45� y 35�? Razona larespuesta.

La suma de los ángulos de un triángulo debe ser 180�.

Se suman los 3 ángulos dados: 105� � 45� � 35� � 185� � 180�; por tanto, no se puede construir el triángulo.

En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 30�. ¿Cuánto mide el otro?

En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 90�, y conocemos otro que mide 30�.

Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180�, el otro ángulo mide: 180� � 90� � 30� � 60�.

Contesta a las siguientes cuestiones sobre un heptágono regular.

a) ¿Cuál es la suma de sus ángulos interiores?

b) ¿Cuánto mide cada uno de ellos?

c) Si el heptágono fuera irregular, ¿valdrían lo mismo?

a) La suma de sus ángulos interiores es: 180� � (n � 2) � 180� � (7 � 2) � 180� � 5 � 900�

b) Al ser regular, todos los lados y ángulos miden lo mismo. Cada ángulo mide: �907

0� � 128,57� � 128� 34

c) Podrían valer lo mismo. Por ejemplo, si en el primerheptágono, que es regular, sustituimos cualquier lado,por ejemplo, b, por otro segmento paralelo b, los ángu-los permanecen iguales, pero los lados a, b y c varían.

¿Son iguales los siguientes rectángulos?

Sí, porque tienen los lados iguales y los ángulos correspondientes iguales.

Si dos cuadrados tienen un lado igual, ¿se puede decir que son iguales?

Sí, porque los cuadrados tienen todos los ángulos iguales a 90� y todos los lados iguales. Por tanto, si coinciden en un lado,coinciden en todos.

12.14

12.13

12.12

12.11

12.10

12.9

220

a

b

c

b’

c’

a’

4 cm

2 cm4 cm

2 cm


Si dos rombos tienen un lado igual, ¿se puede decir que son iguales?

No necesariamente. Solo se puede afirmar que al ser los lados de un rombo iguales, los dos rombos tienen los lados iguales,pero no se puede asegurar que sus ángulos también lo sean.

¿Son iguales dos hexágonos regulares con los lados iguales?

Como los ángulos de cualquier hexágono regular miden 120� y sus lados son iguales, los hexágonos son iguales.

Indica cuáles de las rectas dibujadas en la figura son ejes de simetría.

Los ejes de simetría son: a y d

Dibuja un triángulo equilátero de 8 centímetros de lado y traza en él todos los ejes de simetría. ¿Cuán-to mide el ángulo que forman dos ejes contiguos?

El ángulo que forman dos ángulos contiguos mide:

�18

30�� 60�

Traza todos los ejes de simetría que tiene un hexágono regular cuya circunferencia circunscrita tiene5 centímetros de radio. ¿Cuánto mide el ángulo que forman dos ejes contiguos?

El ángulo que forman dos ángulos contiguos mide:

�18

60�� 30�

12.19

12.18

12.17

12.16

12.15

221

b

a

cd


Dibuja un triángulo con los datos siguientes.a) Un lado mide 7 centímetros, y los ángulos contiguos, 45� y 63�.b) Un ángulo es recto, y los catetos miden 3 y 4 centímetros.c) Dos lados miden 5 y 6 centímetros, y el ángulo que forman es de 108�.

a) Dibujamos el segmento a � 7 y, con vértice en sus extremos, construimos los ángulosCp � 45� y Bp � 63�.

El punto de corte es el otro vértice, A, del triángulo.

b) Dibujamos el ángulo recto. A partir de su vértice y sobre cada uno de sus lados dibu-jamos los segmentos a � 3 y b � 4. Unimos los extremos de los segmentos y obte-nemos el triángulo.

c) Dibujamos el ángulo Cp � 108� con el compás o el transportador. A partir de su vértice ysobre cada uno de sus lados dibujamos los segmentos a � 5 y b � 6.

Unimos los extremos de los segmentos y obtenemos el triángulo.

Las medidas de los lados de un triángulo son: 5 centímetros, 7,20 centímetros y 35 milímetros. Los la-dos de otro triángulo miden: 72 milímetros, 3,5 centímetros y 0,5 decímetros. Dibújalos y estudia si soniguales.

Si ponemos todas las medidas en centímetros, los lados de los triánguloscoinciden: 5; 7,2 y 3,5 cm.Por el primer criterio de igualdad de triángulos, estos dos triángulos soniguales ya que tienen los lados iguales.

¿Es posible construir un triángulo con los lados iguales a 4, 6 y 10 centímetros? ¿Por qué?

No, porque la suma de las medidas de los lados más pequeños debe ser mayor que la del grande.Al intentar dibujarlo, resultaría un segmento.

Dibuja las mediatrices de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 centímetros y el ánguloque forman es de 80�. Señala el circuncentro.

Traza las mediatrices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 5 centímetros. ¿Dónde secortan?

Las tres mediatrices se cortan en el circuncentro.

12.24

12.23

12.22

12.21

12.20

222

63o

7 cm

45o

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

108o

35 mm = 3,50 cm

7,20 cm = 72 mm

5 cm = 0,5 dm

8 cm 8 cm

C

80o

C5 cm

12 cm


Uno de los lados de un triángulo mide 7 centímetros, y sus ángulos contiguos, 65� y 40�.

a) Señala su circuncentro.

b) Dibuja la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

a) Construimos el triángulo dibujando el lado. En sus extremos trazamos dos semirrectas con las medidas de los ángulos, ydonde se cortan está el otro vértice.

Luego, trazamos las mediatrices y señalamos el punto donde se cortan, que es el circuncentro.

b) Es la circunferencia que tiene como centro el circuncentro y por radio la distancia de este punto a cualquiera de los vérti-ces del triángulo.

Traza las bisectrices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 3 centímetros.

Una vez realizado el triángulo, trazamos las bisectrices de los tres ángulos.

Uno de los lados de un triángulo mide 6 centímetros, y los ángulos contiguos a él, 45� y 80�.

a) Señala el incentro.

b) ¿Cuál es el radio de la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo?

Dibujamos el triángulo empezando por el lado y luego, en sus extremos, midiendo los ángulos.Las semirrectas que determinan esos ángulos se cortan en un punto que es el otro vértice deltriángulo.

a) Luego, trazamos las bisectrices de los ángulos, y el punto de corte es el incentro, I.

b) El radio de la circunferencia tangente a los tres lados es la longitud del segmento IP.

12.27

12.26

12.25

223

7 cm

C65o40o

4 cm

3 cm

6 cm

P

45o80o

I

7 cm

C65o40o


En un triángulo isósceles los lados iguales miden 7 centímetros cada uno y el ángulo que forman, 120�.

a) Dibuja su incentro.

b) Dibuja la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

a) Una vez dibujado el triángulo, trazamos las bisectrices de los ángulos, y el punto de corte es el incentro, I.

b) La circunferencia es la que tiene su centro en el incentro del triángulo, y su radio es la distancia del incentro a uno de loslados del triángulo.

Traza las alturas de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 6 centímetros cada uno y el ánguloque forman es de 70�.

Dibuja un triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a 5 centímetros. Halla el ortocentro e indicacon qué otro punto coincide.

El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

12.30

12.29

12.28

224

7 cm120o

I

7 cm

7 cm120o

I

7 cm

6 cm

70o

6 cm

5 cm

5 cmO


Los tres lados de un triángulo miden 5, 4 y 8 centímetros.a) Traza sus alturas.b) Señala su ortocentro e indica si es interior o exterior al triángulo.

a) y b) El ortocentro es exterior al triángulo.

Copia los siguientes triángulos y dibuja sus medianas.

a) b)

a) b)

Halla el baricentro de un triángulo de lados 8, 6 y 10 centímetros. ¿Es necesario trazar las tres alturas?

Construimos el triángulo; luego, dos medianas, y el punto de corte de estas es el baricentro. Por tanto, no es necesario trazarlas alturas.

Comprueba que en un triángulo isósceles la mediana sobre el lado desigual lo divide en dos triángulosiguales.

En un triángulo isósceles trazamos la mediana sobre el lado desigual.

Se forman dos triángulos rectángulos, T1 y T2, con los 3 lados iguales.

Las hipotenusas, por ser los lados iguales de un triángulo isósceles.

Los catetos mayores, por ser la mediana, y los catetos menores, por ser la mitad de la basedel triángulo inicial.

Por tanto, aplicando el criterio 1, T1 y T2 son iguales.

12.34

12.33

12.32

12.31

225

8 cm

5 cm

O

4 cm

B

A

C

A

BCE

F

G

6 cmG

8 cm

10 cm

B

CA

T1 T2

G

F

E



Escribe la fórmula que da la medida de un ángulo de un polígono regular en función del número delados.

Encuentra la fórmula que da la medida de un ángulo central de un polígono regular en función delnúmero de lados.


¿Qué tipo de polígono ilustra cada uno de los siguientes dibujos?

a) b) c)

a) Pentágono convexo irregular.b) Octógono convexo regular.c) Cuadrilátero (trapezoide).

¿Qué cuadriláteros son los que tienen los lados iguales? ¿Y cuáles tienen los ángulos iguales?

Los cuadrados y los rombos son los cuadriláteros que tienen los lados iguales.

Los cuadrados y los rectángulos son los cuadriláteros que tienen los ángulos iguales.

12.38

12.37

12.36

12.35

226

Número de lados Número máximo de triángulos Medida de todos Medida de cadadel polígono en que se puede dividir los ángulos ángulo

3 1 180� �18

30�� 60�

4 2 180� � 2 � 360� �36

40�� 90�

5 3 180� � 3 � 540� �54

50�� 108�

6 4 180� � 4 � 720� �72

60�� 120�

n n � 2 180� � (n � 2) �180� �

n(n � 2)�

Triánguloequilátero Cuadrado Pentágono

n lados

�36

30

� � 120� �36

40

� � 90� �36

50

� � 72� �36

n0��

STOP


Un triángulo rectángulo tiene los dos catetos iguales. ¿Qué puedes decir de los ángulos agudoscorrespondientes?

Los ángulos agudos correspondientes son iguales. Se trata de un triángulo rectángulo isósceles.

Di cuáles son las rectas r, s y t trazadas en el siguiente triángulo.

r es la altura sobre el lado BC.

s es la mediana sobre el lado AC.

t es la mediatriz del lado AB.

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero?

Los tres ángulos de un triángulo suman 180�, y en un triángulo equilátero, los tres ángulos son iguales.

Entonces, cada ángulo mide: �18

30�� 60�

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Hay paralelogramos que no son rombos.

b) Hay trapecios que tienen los cuatro ángulos iguales.

c) Hay cuadriláteros que son rombos y rectángulos a la vez.

d) Hay rectángulos que tienen los cuatro ángulos iguales, pero no rectos.

a) Verdadero. Por ejemplo, los rectángulos y los romboides.

b) Falso. Si tienen los cuatro ángulos iguales, son rectángulos o cuadrados.

c) Verdadero. Por ejemplo, el cuadrado.

d) Falso. Los rectángulos, por definición, tienen los cuatro ángulos rectos.

En los siguientes triángulos, calcula el ángulo o los ángulos que faltan.

a) b) c) d)

a) Ap � 35� � 110� � 180� ⇒ Ap � 180� � 110� � 35� ⇒ Ap � 35�

b) Ap � Ap � 80� � 180� ⇒ Ap � Ap � 180� � 80� ⇒ 2 � Ap � 100� ⇒ Ap � �10

20�� 50�

c) Ap � 55� � 90� � 180� ⇒ Ap � 180� � 55� � 90� ⇒ Ap � 35�

d) Ap � 60� � 100� � 180� ⇒ Ap � 180� � 100� � 60� ⇒ Ap � 20�

12.43

12.42

12.41

12.40

12.39

227

A

B

C

r

s

t

A

110º35º

80º

AA

A 90º

55º

Da b



Polígonos

Clasifica los siguientes polígonos.

a) b) c) d)

a) Pentágono irregular cóncavo.b) Heptágono regular convexo.c) Octógono irregular cóncavo.d) Hexágono irregular convexo.

¿Cuántos ángulos iguales tiene un octógono regular?

Como es un polígono regular, tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Por tanto, tiene 8 ángulos iguales.

El lado de un cuadrado mide 3,5 centímetros, y el de otro, 35 milímetros. Razona si son iguales.

Si la medida de los lados se expresa en la misma unidad, centímetros, los dos miden lo mismo, 3,5 cm.Por tanto, si tienen sus lados y sus ángulos iguales, los dos cuadrados son iguales.

Calcula cuántas diagonales tiene un heptágono.

Sea n el número de lados de un polígono.El número de diagonales de un polígono de 7 lados, es decir, del heptágono, es: �

n � (n2

� 3)� � �

7 � (72

� 3)� � 14

Completa en tu cuaderno las siguientes frases.

a) El cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos y los ángulos iguales es un …b) El polígono con dos lados iguales que forman ángulo recto y un tercer lado distinto es un …c) El polígono con sus cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos es un …d) El triángulo con los tres lados distintos es …

a) Rectángulo c) Rombob) Triángulo rectángulo isósceles d) Escaleno

¿Verdadero o falso?: “Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, se trata de un rombo”.Dibuja las figuras correspondientes para razonar tu respuesta.

Es falso porque el trapezoide también cumple esa condición.

12.49

12.48

12.47

12.46

12.45

12.44

228

Rombo Trapezoide


Construcción de polígonos regulares

Construye un eneágono regular sabiendo que el diámetro de su circunferencia circunscrita mide 7 cen-tímetros.

Traza un pentágono regular de 3 centímetros de lado.

Construye un octógono regular en una circunferencia circunscrita de 8 centímetros de diámetro. Unecon segmentos los vértices no consecutivos del octógono. La figura que obtienes de este modo, ¿esregular?

Se obtiene un triángulo equilátero.

Suma de los ángulos de un polígono

Calcula el ángulo Ap en los siguientes triángulos.

a) b)

a) Ap � 63� � 49� � 180� ⇒ Ap � 180� � 63� � 49� ⇒ Ap � 68�

b) Ap � 65� � 80� � 180� ⇒ Ap � 180� � 65� � 80� ⇒ Ap � 35�

12.53

12.52

12.51

12.50

229

63º

49º

A

A80º

65º


En el siguiente trapecio rectángulo falta un ángulo. ¿Cuánto mide?

La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 180� � (4 � 2) � 360�.Los 3 ángulos conocidos suman: 90� � 90� � 30� � 210�

Si se llama Ap al ángulo que falta, se obtiene: Ap � 360� � 210� � 150�

Calcula la suma de los ángulos interiores de estos polígonos.

a) Trapezoide c) Octógono regularb) Dodecágono d) Eneágono regular

a) Tiene 4 lados. Entonces, 180� � (4 � 2) � 360� c) Tiene 8 lados. Entonces, 180� � (8 � 2) � 1 080�

b) Tiene 12 lados. Entonces, 180� � (12 � 2) � 1 800� d) Tiene 9 lados. Entonces, 180� � (9 � 2) � 1 260�

Contesta a las siguientes preguntas sobre un decágono.

a) ¿En cuántos triángulos se puede dividir?b) A partir del resultado anterior, ¿cuánto miden sus ángulos?

a) En 2 unidades menos que el número de lados que tiene. Por tanto, en 8 triángulos.b) Sus ángulos miden: 180� � (10 � 2) � 1 440�

Clasifica según su suma los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Al ser un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 90�, y la suma de los otros dos ángulos agudos es 90�, luego soncomplementarios.

Un triángulo tiene dos lados iguales y uno de los ángulos mide 60�. ¿Se puede afirmar que es un trián-gulo equilátero?

Si el ángulo que forman los lados iguales mide 60�, entonces los ángulos de la base

miden lo mismo: Ap ⇒ 180� � 60� � 2 · Ap ⇒ Ap = �180�

2� 60�� 60�

Por tanto, el triángulo es equilátero.

Si tiene dos lados iguales, los ángulos de la base han de ser iguales, y si uno deellos es el de 60�, el otro también debe medir 60�. Entonces, el tercer ángulo tam-bién es de 60�.

Por tanto, el triángulo también es equilátero.

En un triángulo se sabe que un ángulo es igual a la suma de los otros. ¿Qué clase de triángulo es?

Sean Ap, Bp y Cp los tres ángulos.

Como Ap � Bp � Cp y 180� � Ap � Bp � Cp ⇒ 180� � 2Ap ⇒ Ap � �18

20�� 90�. Luego el triángulo es rectángulo.

12.59

12.58

12.57

12.56

12.55

12.54

230

90º

90º 30º

a

a60o

a

60o

a


Igualdad de polígonos

¿Son iguales los siguientes romboides? ¿Por qué?

Sí son iguales porque tienen los lados y los ángulos iguales.

Estudia si son iguales los siguientes triángulos.

En el triángulo ABC se conocen un lado y los dos ángulos contiguos.

Si en el triángulo DEF un lado y los dos ángulos contiguos coincidieran con el anterior, serían iguales según el tercer criteriode igualdad.

En DEF se conocen dos ángulos. Se puede hallar el tercero:

60� � 77� � Fp � 180� ⇒ Fp � 180� � 60� � 77� ⇒ Fp � 43�

Entonces, en DEF, el lado conocido y los ángulos contiguos a él coinciden con los de ABC. Por tanto, son iguales.

El lado de un triángulo mide 48 milímetros, y sus ángulos contiguos, 35� y 80�. En otro, un lado mide0,48 decímetros, y el ángulo opuesto, 65�. ¿Se puede afirmar que son iguales?

El lado conocido mide lo mismo, 0,48 dm � 48 mm. Veamos si miden lo mismo los ángulos contiguos.

180� � Ap � Bp � 65� ⇒ Ap � Bp � 115�; entonces, en el segundo triángulo, entre los dos ángulos desconocidos

suman 115�, pero eso no significa que uno sea de 35� y otro de 80�, podrían ser también de 40� y de 75�.

En ese caso, los ángulos contiguos al lado conocido no coincidirían.

Por tanto, no se puede afirmar que sean iguales.

Simetrías en las figuras planas

En un rectángulo, ¿son ejes de simetría sus diagonales? ¿Hay algún eje de simetría?

– No son ejes de simetría sus diagonales.– Sí las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos.

Dibuja las siguientes figuras y señala, si los tienen, los ejes de simetría.

a) Trapecio rectángulo. b) Triángulo isósceles.

a) b)

No tiene ejes de simetría.

12.64

12.63

12.62

12.61

12.60

231

77º

60º

F E

D

4,5 cm

A

B

C43º60º

4,5 cm


Dibuja un cuadrado y traza en él todos sus ejes de simetría. ¿Por qué punto pasan todos ellos?

Pasan todos por el centro del cuadrado.

Rectas y puntos de un triángulo

Dibuja un triángulo equilátero de 8 centímetros de lado y traza en él las mediatrices, bisectrices, me-dianas y alturas. Señala los puntos de corte correspondientes. ¿Qué observas?

Mediatrices Bisectrices Alturas MedianasO Circuncentro O Incentro O Ortocentro O Baricentro

Se observa que el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro son el mismo punto, O.

Los lados de un triángulo miden 6, 4 y 7 centímetros.

a) Dibuja una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo. ¿Cuál es el centro?

b) Traza la circunferencia que es tangente a los tres lados.

a) El centro de la circunferencia es el circuncentro (punto de cortede las mediatrices), y el radio es la distancia del centro a uno delos vértices del triángulo.

b) El centro de la circunferencia es el incentro (punto de corte de lasbisectrices), y el radio es la distancia del centro a uno de loslados del triángulo.

12.67

12.66

12.65

232

8 cm

O

CA

B

8 cm

8 cm

8 cm

O

CA

B

8 cm

8 cm

8 cm

O

CA

B

8 cm

8 cm

8 cm

O

CA

B

8 cm

8 cm

4 cm

7 cm

I6 cm

4 cm

7 cmC

6 cm


El triángulo de la figura es rectángulo en B.

Calcula los ángulos indicados con letras.

M es el punto donde se interseca la altura desde B, con el segmento AC.

ABM y BMC son triángulos rectángulos.

En ABM: Dp � 32� � 90� � 180� ⇒ Dp � 180� � 32� � 90� � 58� ⇒ Dp � 58�

En ABC, Dp y Ep son complementarios: Dp � Ep � 90� ⇒ Ep � 90� � 58� � 32� ⇒ Ep � 32�

En BMC, Ep y Cp son complementarios: Ep � Cp � 90� ⇒ Cp� 90� � 32� � 58� ⇒ Cp � 58�


Para dibujar un terreno con forma triangular se han medido dos de sus lados y el ángulo comprendidoentre ellos. ¿Es suficiente con esas medidas para tener determinado el terreno?

Sí es suficiente con esos datos para determinar el triángulo,basta unir los dos extremos de los lados.

Explica si son iguales las siguientes figuras.

a) Dos triángulos equiláteros.b) Dos triángulos rectángulos de catetos 3 centímetros.

a) No son iguales, porque aunque tengan los ángulos iguales, los lados pueden ser distintos.b) Sí, porque se verifica el segundo criterio de igualdad de los triángulos.

A Ana le gusta mucho el diseño y va a hacer una colección de colgantes y pulseras que llamará Geo-metría regular. No sabe si le gusta más el tamaño que tienen si están inscritos en una circunferenciade 10 milímetros de radio o si su lado mide 10 milímetros, y probará con un pentágono regular y uncuadrado para elegir los más pequeños.¿Cuáles elegirá?

Dibujar las figuras en la circunferencia circunscrita de 10 mm de radio para hallar la longitud del lado:

El lado del pentágono es 1,16 cm. El lado del cuadrado es 1,40 cm.

Son más pequeños si los hace de 10 mm de lado.

12.71

12.70

12.69

12.68

233

C

A BD

C

E

32º

Da b


Observa el dibujo. Halla el punto donde hay que colocar la pelota para que esté a la misma distanciade los tres jugadores. ¿Cómo se llama ese punto?

El punto que se encuentra a la misma distancia de los jugadores es el punto del triángulo que está a la misma distancia delos tres vértices, es decir, donde se cortan las tres mediatrices, el circuncentro.

La profesora de Matemáticas propone un juego a sus alumnos. Tienen que adivinar qué polígonodibuja en un papel sabiendo solamente la suma de los ángulos interiores del mismo. ¿Qué polígonosha dibujado en cada caso?

a) La suma de los ángulos es 180�.

b) La suma de los ángulos es 360�.

c) La suma de los ángulos es 720�.

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180� � (n � 2)

a) 180� � (n � 2) � 180� ⇒ n � 2 � �11

8800��

� ⇒ n � 3, el polígono es un triángulo.

b) 180� � (n � 2) � 360� ⇒ n � 2 � �31

6800��

� ⇒ n � 2 � 2 ⇒ n � 4, el polígono es un cuadrilátero.

c) 180� � (n � 2) � 720� ⇒ n � 2 � �7128

00��

� ⇒ n � 2 � 4 ⇒ n � 6, el polígono es un hexágono.

Dos pintores van a pintar una pared triangular y tienen los dos la misma cantidad de pintura. ¿Cómotienen que repartirse la pared para que los dos pinten la misma superficie?

Se dibuja la mediana por un vértice cualquiera, y así el triángulo queda dividido en dos regiones de igual superficie.

12.74

12.73

12.72

234


Laura ha ido con sus padres a Nueva York y dice que allí las señales de tráfico no son iguales que lasde España. La profesora enseña a la clase algunas de ellas.

Estudia los polígonos y los ejes de simetría que aparecen en estas señales.

Las cuatro señales son cuadrados.Se comprueba que cada eje divide las figuras en dos partes iguales.

Los abuelos de Pablo tienen un prado sin cercar en forma triangular y un caballo. Quieren atar el ca-ballo de modo que desde un punto pueda ir lo más lejos posible, alcanzando solamente a dos ladosdel prado pero sin pacer la hierba de la vecina.

a) ¿Dónde tienen que colocar la estaca?

b) Haz la construcción correspondiente.

a) La estaca pueden colocarla en cualquier punto de cualquier bisectriz, ya que equidista de los lados.

b) Trazado de la bisectriz:

Con centro en B, trazamos con el compás dos segmentosiguales BM y BN sobre los lados.

Con el centro en los puntos M y N y radio BM, trazamossendos arcos que se cortan en un punto P.

La recta BP es la bisectriz.

R E F U E R Z O

Polígonos

Clasifica los siguientes polígonos según el número de lados, convexidad y regularidad.

a) b)

a) Hexágono irregular cóncavo. b) Pentágono regular convexo.

12.77

12.76

12.75

235

P

B

C

A N

M


Completa el cuadro poniendo SÍ o NO en las casillas vacías.

Halla el valor de los ángulos que faltan en los polígonos.

a) b)

a) Ap � 57� porque los dos ángulos están formados por lados paralelos.

Como la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360�, entonces:

Bp � Bp � 57� � 57� � 360� ⇒ Bp � Bp � 360� � 57� � 57� ⇒ 2 · Bp � 246� ⇒ Bp � �24

26�� 123�

b) La suma de los ángulos de un pentágono es: 180� � (5 � 2) � 540�

Ap � 129� � 111� � 80� � 141� � 540� ⇒ Ap � 540� � 461� � 79� ⇒ Ap � 79�

Igualdad de polígonos

Estudia si son iguales estos cuadriláteros.

Los dos tienen los lados iguales y los ángulos iguales. Por tanto, son iguales.

12.80

12.79

12.78

236

64º90º

A

Rombo Romboide

Los 4 lados son iguales

Los 4 ángulos son iguales

Es un paralelogramo

Rombo Romboide

Los 4 lados son iguales SÍ NO

Los 4 ángulos son iguales NO NO

Es un paralelogramo SÍ SÍ

57º

B

B

A


¿Cuánto debe valer el ángulo Dp para que los dos triángulos sean iguales?

Por el 2.� criterio de igualdad de triángulos: dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendidoentre ellos; por tanto, para que sean iguales los triángulos se debe verificar que Dp � Ap.

Calculamos: Ap � Ap � 82� � 56� � 180� ⇒ Ap � 180� � 138� � 42� ⇒ Dp � Ap � 42�

Rectas y puntos en un triángulo

En un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 centímetros y el ángulo que forman 100� traza:

a) La mediatriz del lado desigual.

b) La bisectriz del ángulo desigual.

c) La altura sobre el lado desigual.

d) La mediana sobre el lado desigual.

e) ¿Cómo son las cuatro rectas trazadas?

a) c)

b) d)

e) Todas las rectas coinciden.

12.82

12.81

237

A C

B

56º

82º

4 cm

6 cm

D F

E

D

4 cm

6 cm

100o

8 cm8 cm100o

8 cm8 cm

100o

8 cm8 cm100o

8 cm8 cm



Copia en tu cuaderno el siguiente triángulo.

a) Señala los puntos medios de los lados.

b) Une los puntos medios formando un nuevotriángulo.

c) Traza las medianas de los dos triángulos. ¿Cómoson?

d) Señala el baricentro.

a) b)

c) y d) Las medianas de los dos triángulos coinciden. Por tanto, el bari-centro, G, también.

En un trapecio rectángulo se sabe que la altura es igual a la diferencia de las bases. ¿Cuánto midensus ángulos?

En el trapecio de la figura, BH � HC, puesto que la altura es igual a la diferenciade las bases.

Como el triángulo BCH es rectángulo isósceles, Cp � 45�

La suma de todos los ángulos es 360�, entonces: Bp � 90� � 90� � 45� � 360�

Por tanto: Bp � 360� � 225� � 135�

12.84

12.83

238

A

C

B

C

A

B

M

P

N

C

A

B

M

P

N

G

C

A

B

M

P

N

T

S

R

D

A B

H C


En un cuadrado se construyen cuatro triángulos, uno equilátero y los otros tres isósceles, tal como seindica en la figura. Calcula la medida del ángulo Xp.

Indicación: Los lados cortados con el signo (II) son iguales.

El triángulo AOB es equilátero, de modo que sus ángulos miden 60�.

Los triángulos AOD y BOC son isósceles. Por tanto, tienen dos ángulos iguales e iguales entre sí.

En esos triángulos, Ap � Bp � 90� � 60� � 30�.

Como entre los tres ángulos deben sumar 180� y los otros dos son iguales, esos valen: �180�

2� 30�� 75� cada uno.

En el punto O se conocen tres de los ángulos que aparecen en la figura: 60�, 75� y 75�. Falta Xp.

Como entre todos suman una vuelta completa, 360�: Xp � 360� � (60� � 75� � 75�) ⇒ Xp � 150�


Muchas condiciones

Dadas las siguientes figuras:

Indica si verifican o no cada una de las siguientescondiciones:

1. El triángulo ABC es rectángulo en B.

2. BD es una altura del triángulo ABC.

3. EF es un segmento contenido en una mediatrizdel triángulo ABC.

4. GE es perpendicular a CB en su punto medio.

5. E es el circuncentro del triángulo ABC.

a) No verifica la condición 4.a

b) No verifica la condición 1.a, 4.a y 5.a

c) Verifica todas las condiciones

d) No verifica la condición 2.a

12.86

12.85

239

A

C

B

D

O

X

a)B

A

CD

E

GF

b)

B

A

C

D E

FG

c) B

A

CE

F

G

d)

D

B

A

C

E

FG

D


La recta de Euler

a) Mide las dimensiones de este trián-gulo y cópialo en tu cuaderno.

b) Halla el baricentro, el ortocentro yel circuncentro del triángulo de lafigura. ¿Qué observas?

c) Compara las distancias del baricen-tro y el circuncentro al ortocentro.¿Qué observas?

a)

b) Los tres puntos están alineados.

c) La distancia del baricentro al ortocentro es dos tercios la del circuncentro al ortocentro.


Clasifica, según los ángulos y los lados los siguientes polígonos.

a) b) c)

a) Cuadrilátero convexo. b) Hexágono cóncavo. c) Triángulo convexo.

12.A1

12.87

240

A

C B

Ortocentro

C

BaricentroCircuncentro

B

A


Construye un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 5 y 4 centímetros y el ángulo que for-man es de 63�. ¿Qué tipo de triángulo se obtiene?

Se dibuja el ángulo con el transportador. A partir de su vértice ysobre cada uno de sus lados se dibujan los segmentos de 4 y 5centímetros.

Se unen los extremos de los segmentos y se obtiene el triángulo.

Resulta un triángulo escaleno porque la medida del tercer lado nocoincide con ninguno de los dos dados.

Se trazan todas las diagonales desde uno de los vértices de un polígono de 11 lados.

a) ¿Cuántos triángulos se obtienen?

b) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de ese polígono?

a) Se obtienen 2 unidades menos que el número de lados del polígono.

Por tanto: 11 � 2 � 9 triángulos

b) La suma es: 180� � (n � 2) � 180� � (11 � 2) � 180� � 9 � 1 620�

Dos lados de un triángulo miden 4 y 7 centímetros y forman un ángulo de 110�. Traza las alturas y hallael ortocentro.

Se dibuja el triángulo y se trazan las alturas a los lados (perpendiculares a los lados que pasan por el vértice opuesto). Perocomo el triángulo es obtusángulo, para trazar las alturas hay que prolongar dos de sus lados. El ortocentro queda en el exte-rior del triángulo.

De un triángulo rectángulo se sabe que un ángulo agudo mide 18�. ¿Cuánto mide el otro?

Como entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90�, el otro mide: 90� � 18� � 72�

12.A5

12.A4

12.A3

12.A2

241

4 cm

65o

5 cm

4 cm

110o

7 cm

O


En un triángulo de lados 5, 8 y 10 centímetros.

a) Halla el incentro.

b) Traza una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

a) El incentro es el punto de corte de las bisectrices. b) La circunferencia tiene el centro en el incentro, y

Es suficiente con trazar dos de ellas. el radio es la distancia de este a un lado del triángulo.

Calcula los ángulos que faltan en estas figuras.

a) b)

a) Como es un trapecio isósceles, Ap � 69�.

Por tratarse de un cuadrilátero, la suma de sus ángulos debe ser 360�, y como los dos conocidos suman 138�, se obtiene:

Bp � Bp � 360� � 138� ⇒ Bp � Bp � 222� ⇒ Bp � �22

22�� 111�

b) Como es un cuadrilátero, la suma de sus ángulos debe ser 360�.

Los conocidos suman: 360� � Ap � 26� � 38� � 26� ⇒ Ap � 360� � 90� � 270� ⇒ Ap � 270�

12.A7

12.A6

242

5 cm10 cm

I

8 cm

5 cm10 cm

I

8 cm

A69º

B B

A

26º

38º

26º




TRIÁNGULOS MÁGICOS

Corta dos veces el triángulo de la figura de forma que, juntando las piezas resultantes, obtengas un rectángulo.

Se corta el triángulo por los segmentos DE y DF, donde D y E son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente, y DF esperpendicular a AC. Colocamos las partes formando el rectángulo pedido.

243

2

CA

D

B

E1

1

D E D

BA F

12


244

13 LONGITUDES Y ÁREAS


Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

a) b)

a) p � 2 � 4 � 2 � 2,5 � 8 � 5 � 13 cm b) p � 2 � 4 � 3 � 9 cm

Halla el perímetro de estas figuras.

a) Un cuadrado de 6 centímetros de lado.b) Un triángulo isósceles cuya base mide 5 centímetros, y cuyos lados iguales miden 8 centímetros.c) Un pentágono regular de 4 centímetros de lado.

a) Perímetro � 4 � 6 � 24 cmb) Perímetro � 5 � 2 � 8 � 5 � 16 � 21 cmc) Perímetro � 5 � 4 � 20 cm

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden lo siguiente.

a) 3 y 4 centímetros, respectivamente.b) 6 y 8 centímetros, respectivamente.

a) Por el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 � 32 � 42 ⇒ a2 � 25 ⇒ a � �25� � 5 cmb) Por el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 = 62 � 82 ⇒ a2 � 100 ⇒ a � �100� � 10 cm

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 centímetros, y un cateto, 12 centímetros. ¿Cuántomide el otro?

Por el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ 132 � 122 � c 2 ⇒ 169 � 144 � c 2 ⇒ c � �25� � 5 cm

¿Es posible que en un triángulo rectángulo la hipotenusa mida 2 centímetros, y cada cateto, 1 centí-metro?

Si el triángulo es rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2.

Sustituyendo en la fórmula, se obtiene: 22 � 12 � 12 ⇒ 4 � 2

Como la igualdad que se obtiene es falsa, es imposible que el triángulo sea rectángulo.

13.5

13.4

13.3

13.2

13.1

2,5 cm

4 cm

2 cm

4 cm3 cm


Calcula la diagonal de estas figuras.

a) Un rectángulo cuyos lados miden 1 y 5 centímetros, respectivamente.

b) Un cuadrado de 6 centímetros de lado.

a) Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras:

d 2 � 52 � 12 ⇒ d 2 � 26 ⇒ d � �26� � 5,10 cm

b) Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras:

d 2 � 62 � 62 ⇒ d 2 � 72 ⇒ d � �72� � 8,49 cm

Halla la medida de la altura de estos triángulos.

a) Equilátero, cuyo lado mide 10 centímetros.

b) Isósceles, con la base de 4 centímetros, y lados iguales de 3 centímetros.

Si se observa la figura:

a) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB.

Por ser equilátero, AH es el semilado de la base: �120� � 5 cm

Utilizando el teorema de Pitágoras:

a2 � b2 � c 2 ⇒ 102 � 52 � c 2 ⇒ 100 � 25 � c 2 ⇒ c � �75� � 8,66 cm

b) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB.

Por ser isósceles, AH es el semilado de la base: �42

� � 2 cm


a2 � b2 � c 2 ⇒ 32 � 22 � c 2 ⇒ 9 � 4 � c 2 ⇒ c � �5� � 2,24 cm

Calcula el área de estas figuras, tomando como unidad de medida el cuadrado de la cuadrícula.

a) b)

a) La superficie contiene 13 cuadrados. Por tanto, el área es de 13 unidades.

b) La superficie contiene 12 cuadrados. Por tanto, el área es de 12 unidades.

Halla el área de las figuras del ejercicio 8, usando como unidad de medida el triángulorectángulo.

a) La superficie contiene 26 triángulos rectángulos. Por tanto, el área es de 26 unidades.

b) La superficie contiene 24 triángulos rectángulos. Por tanto, el área es de 24 unidades.

13.9

13.8

13.7

13.6

245

5 cm

1 cmd

6 cm

d 6 cm

5 cm

h10 cm

A CH

B

2 cm

h3 cm

A CH

B


Observa las siguientes figuras.

¿Tienen la misma área?

La superficie de ambas figuras contiene 5 cuadrados; por tanto, el área de las dos figuras coincide y es de 5 unidades.

Calcula el área de estas figuras en las que las medidas vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) A � l 2 ⇒ A � 42 � 16 cm2

b) A � b � h ⇒ A � 4 � 6 � 24 cm2

Halla el área de la figura cuyas medidas vienen dadas en centímetros, descomponiéndola antes enrectángulos y cuadrados.

La figura se puede descomponer en un rectángulo y un cuadrado.

Arectángulo � b � h � 12 � 4 � 48 cm2

Acuadrado � l 2 � 42 � 16 cm2

Afigura � 48 cm2 � 16 cm2 � 64 cm2

Halla el área de un paralelogramo de 5 centímetros de base y 30 milímetros de altura.

Altura � h � 30 mm � 3 cm

A � b � h � 5 � 3 � 15 cm2

Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 7 centímetros, respectivamente. Calcula su área.

La base y la altura del triángulo rectángulo coinciden con sus catetos.

A � �b

2� a� � �

72� 3� � 10,5 cm2

13.14

13.13

13.12

13.11

13.10

246

4

8

12

4

4

12

4

4

4

7 cm

3 cm

44

6


Determina el área de cada triángulo formado a partir de la diagonal de un paralelogramo de 4 metrosde base y 3 metros de altura. Expresa el resultado en centímetros cuadrados.

El área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo.

Aparalelogramo � b � h � 4 � 3 � 12 m2 � 120 000 cm2 ⇒ Atriángulo � �120

2000� = 60 000 cm2

El área de cada triángulo es de 60 000 cm2.

Calcula el área de estos trapecios.

a) b)

a) A � ��B �2

b�� h � ��12

2� 8�� 10 � 100 cm2

b) A � ��B �2

b�� h � ��9 �

26

�� 4 � 30 cm2

Halla el área del siguiente trapecio.

Se calcula la altura h, utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo señalado:

La base es: �5 �

23

� � 1 cm

Entonces: h2 � 12 � 42 ⇒ h2 � 16 � 1 � 15 ⇒ h � �15� � 3,87 cm

A � ��B �2

b�� h � ��5 �

23

�� 3,87 � 15,48 cm2

13.17

13.16

13.15

247

12 cm

8 cm

10 cm

6 cm 9 cm

4 cm

5 cm

4 cm

3 cm

4 cm

3 cm

1 cm

h


Halla por triangulación el área del trapezoide.

Se puede descomponer en dos triángulos: uno isósceles cuyos lados iguales miden 6 cm y otro rectángulo de catetos 8 cm y2 cm. La hipotenusa de éste último es la base del primero.

Por Pitágoras se calcula la base del triángulo isósceles:

a2 � 82 � 22 ⇒ a2 � 68 ⇒ a � �68� � 8,25 cm

Para obtener la altura de este triángulo, se aplica de nuevo Pitágoras en el triángulo que tiene como hipotenusa uno de loslados iguales y como catetos, la mitad de la base y la altura:

62 � 4,132 � h2 ⇒ 36 � 17,06 � h2 ⇒ h � �18,94� � 4,35 cm

El área del triángulo rectángulo es: Ar � �b

2� a� � �

82� 2� � 8 cm2

Y el área del triángulo isósceles es: Ai � �b

2� a� � �

8,252� 4,35� � 17,94 cm2

Entonces, el área del trapezoide es: A � Ai � Ar � 17,94 � 8 � 25,94 cm2

Halla el área de un decágono regular de 5 centímetros de lado y 9 centímetros de apotema.

Se calcula el perímetro: p � 10 � 5 � 50 cm

A � �p

2� a� � �

502� 9� � 225 cm2

¿Cuál es el área del pentágono regular de 8 centímetros de lado y 5 centímetros de radio?

Se calcula la apotema utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo señalado.

52 � a2 � 42 ⇒ a2 � 25 � 16 � 9 ⇒ a � �9� � 3 cm

Entonces, A � �p

2� a� � �

n �2l � a� � �

5 � 82

� 3� � 60 cm2

El área del pentágono es de 60 cm2.

¿Cuál es el área de un círculo de 10 metros de radio?

A � � � r 2 � � � 102 � 314,16 m2

Calcula el área del círculo de la figura.

El diámetro del círculo coincide con el lado del cuadrado, 4 cm. Por tanto, el radio mide: r � �42

� � 2 cm.

A � � � r 2 � � � 22 � 12,56 cm2

13.22

13.21

13.20

13.19

13.18

248

8 cm

5 cm

10 cm5 cm

4 cm

a 5 cm

4 cm


Determina el área de la siguiente superficie.

La figura está formada por dos semicírculos de 5 y 2 cm de diámetro, respectivamente.Semicírculo de diámetro AB Semicírculo de diámetro BC

A � ��

2� r 2

� � ��

22,52

� � 9,81 cm2 A � ��

2� r 2

� � ��

2� 12

� � 1,57 cm2

El área de la figura es: Afigura � 9,81 cm2 � 1,57 cm2 � 11,38 cm2

Calcula el área de una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de radios 1,60 y1,20 centímetros, respectivamente.

A = � � (R2 � r 2) � � � (1,602 � 1,202) � � � 1,12 � 3,52 cm2

En un círculo de 2 decímetros de radio se considera un sector circular cuyo ángulo determinado es de120�. ¿Cuál es su área?

A � ��

3r6

2

0� n

� � �� 2

3

2

60�120

� � 4,19 dm2

Halla el área del segmento circular de la figura.

El área del segmento circular se puede obtener restando al área del sector circular correspondiente el área del triángulo formado.

Asector � ��

3r6

2

0� n

� � ��

336

2

0�

90� � 7,07 cm2 Atriángulo � �

b2� a� � �

32� 3� � 4,50 cm2

El área del segmento circular es: A � Asector � Atriángulo � 7,07 � 4,50 � 2,57 cm2

Calcula el área de la zona coloreada en verde.

Se observa que se trata de un círculo donde se ha quitado un cuadrado:

Acírculo � � � r 2 � � � 32 � 28,26 cm2

Acuadrado � l 2 � 22 � 4 cm2

Entonces, el área de la zona coloreada es: A � Acírculo � Acuadrado � 28,26 � 4 � 24,26 cm2

13.27

13.26

13.25

13.24

13.23

249

A B CAB = 5 cmBC = 2 cm

3

3 cm

2 cm


Halla el área de la siguiente figura; todas las medidas están expresadas en metros.

La figura se puede descomponer en dos rectángulos y un triángulo.

Arectángulo 1 � b � h � 3 � 1,5 � 4,5 m2

Arectángulo 2 � b � h � 7 � 2 � 14 m2

Atriángulo � �b

2� h� � �

4 �21,5� � 3 m2

El área de la figura es: A � 4,5 m2 � 14 m2 � 3 m2 � 21,5 m2


Estima el área del triángulo de la figura, sabiendo que el lado de cada uno de los cuadrados de la cua-drícula mide 1 decímetro.

El área se calcula completando cuadrados con las regiones de la cuadrícula que for-man el triángulo, pintando del mismo color aquellas regiones d el triángulo que uni-das forman un cuadrado. El área es, aproximadamente, de 5,5 dm2.

Determina de forma aproximada el área de este cuadrilátero. Considera que el lado de cada cuadradode la cuadrícula mide 2 centímetros.

El área se calcula completando cuadrados con las regiones de la cuadrícula que forman el cuadrilátero, pintando del mismocolor aquellas regiones del cuadrilátero que unidas forman un cuadrado. Tenemos 6 cuadrados y cada cuadrado mide 4 cm2,luego el área es, aproximadamente, de 6 � 4 � 24 cm2.

13.30

13.29

13.28

250

7

2

1,5

2

3

2

1

42

7

1,5

3

1,5



Calcula el lado de estas figuras.a) Un cuadrado de 36 decímetros de perímetro.b) Un triángulo equilátero de 42 centímetros de perímetro.

a) p � 4 � l ⇒ 36 � 4 � l ⇒ l � �346� � 9 dm

b) p � 3 � l ⇒ 42 � 3 � l ⇒ l � �432� � 14 cm

Comprueba cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos. Las medidas vienen dadas en centí-metros.a) 3, 4 y 5 c) 6, 8 y 10b) 5, 8 y 10 d) 5, 12 y 13

Para que el triángulo sea rectángulo debe cumplir el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2.a) 32 � 42 � 9 � 16 � 25 � 52 ⇒ Se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.b) 52 � 82 � 25 � 64 � 89 � 100 � 102 ⇒ No se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo no es rectángulo.c) 62 � 82 � 36 � 64 � 100 � 102 ⇒ Se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.d) 52 � 122 � 25 � 144 � 169 � 132 ⇒ Se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.

Calcula la diagonal de un rectángulo cuya base mide 30 centímetros y cuya altura mide 40 centímetros.

Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras:

d 2 � 302 � 402 � 900 � 1 600 � 2 500 ⇒ d � �2 500� � 50 cm

¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su área es 81 metros cuadrados?

A � l 2 ⇒ 81 � l 2 ⇒ l � �81� � 9 m2

Halla la base de un rectángulo, sabiendo que su superficie mide 48 centímetros cuadrados, y su altura,6 centímetros.

A � b � h ⇒ 48 � b � 6 ⇒ b � 8 cm

Las siguientes cantidades corresponden a triángulos. Averigua los datos que faltan.13.36

13.35

13.34

13.33

13.32

13.31

251

Base (cm) Altura (cm) Área (cm2)

8 4 16

6 4

12 5

24 60

18 36

20 210

Base (cm) Altura (cm) Área (cm2)

8 4 16

6 4 12

12 5 30

5 24 60

18 4 36

21 20 210

d

A

C B


Calcula cuánto vale el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, silos cuadrados construidos sobre los catetos tienen por área las siguientes medidas dadas en centímetroscuadrados.a) 9 y 16 c) 36 y 64

b) 5 y 144 d) 4 y 16

Según la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual ala suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos.

a) A � 9 � 16 � 25 cm2 c) A � 36 � 64 � 100 cm2

b) A � 5 � 144 � 149 cm2 d) A � 4 � 16 � 20 cm2


Teorema de Pitágoras

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 13 centímetros, respectivamente. Calcula el valor dela hipotenusa.

Utilizando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 � 52 � 132 � 194 ⇒ a � �194� � 13,93 cm.

La hipotenusa vale 13,93 cm.

Los siguientes datos, en centímetros, corresponden a las medidas de los lados de dos triángulos. ¿Sontriángulos rectángulos?

a) 15, 20 y 25 b) 3, 6 y 8

Para que el triángulo sea rectángulo debe cumplir el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2.

a) 152 � 202 � 225 � 400 � 625 � 252 ⇒ Se cumple el teorema de Pitágoras, luego es un triángulo rectángulo.

b) 32 � 62 � 9 � 36 � 45 � 82 ⇒ No se cumple el teorema de Pitágoras, luego no es un triángulo rectángulo.

Halla el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos.

a) b) c) d)

a) Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ 102 � 22 � c 2 ⇒ 100 � 4 � c 2 ⇒ c � �96� � 9,80 cm.

b) Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 � 32 � 62 ⇒ a2 � 45 ⇒ a � �45� � 6,71 cm.

c) Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ a2 � 72 � 72 ⇒ a2 � 98 ⇒ a � �98� � 9,90 cm.

d) Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2 ⇒ 92 � 62 � c 2 ⇒ 81 � 36 � c 2 ⇒ c � �45� � 6,71 cm.

13.40

13.39

13.38

13.37

252

2 cm

10 cm 6 cm

3 cm7 cm

7 cm

6 cm

9 cm


Cálculo de distancias

Halla la diagonal del rectángulo cuyos lados tienen las siguientes medidas.

a) 5 y 12 centímetros. b) 21 y 28 centímetros.

La diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras:

a) d 2 � 122 � 52 ⇒ d 2 � 169 ⇒ d � �169� � 13 cm

b) d 2 � 212 � 282 ⇒ d 2 � 1 225 ⇒ d � �1 225� � 35 cm

Calcula la altura del triángulo equilátero cuyo lado, en centímetros, mide lo siguiente.

a) 8 b) 12 c) 18 d) 26

La altura, c, es uno de los catetos del triángulo rectángulo que forma esta junto con un lado del triángulo y la mitad de labase. Utilizando el teorema de Pitágoras:

a) a2 � b2 � c 2 ⇒ 82 � 42 � c 2 ⇒ 64 � 16 � c 2 ⇒ La altura mide: c � �48� � 6,93 cm

b) a2 � b2 � c 2 ⇒ 122 � 62 � c 2 ⇒ 144 � 36 � c 2 ⇒ La altura mide: c � �108� � 10,39 cm

c) a2 � b2 � c 2 ⇒ 182 � 92 � c 2 ⇒ 324 � 81 � c 2 ⇒ La altura mide: c � �243� � 15,59 cm

d) a2 � b2 � c 2 ⇒ 262 � 132 � c 2 ⇒ 676 � 169 � c 2 ⇒ La altura mide: c � �507� � 22,52 cm

Determina la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles, sabiendo que sus lados miden5,5 y 6 decímetros, respectivamente.

La altura es uno de los catetos del triángulo rectángulo que forma esta junto con un ladodel triángulo y la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras:

a2 � b2 � c 2 ⇒ 52 � 32 � c 2 ⇒ 25 � 9 � c 2 ⇒ c � �16� � 4 dm

La altura mide 4 dm.

Con los datos de la figura, calcula el lado del cuadrado.

El diámetro del círculo coincide con la diagonal del cuadrado: d � 2 � 6 � 12 cm

Esta forma con los lados del cuadrado un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales.

Utilizando el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c2

122 � l 2 � l 2 ⇒ 144 � 2 � l 2 ⇒ l 2 � �1424

� � 72 ⇒ l � �72� � 8,49 cm

El lado del cuadrado mide 8,49 cm.

13.44

13.43

13.42

13.41

253

db

c

b

ac

3

c5 5

6 cm

12 cm

l

l

A

D

B

C


Las diagonales de un rombo miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. Halla la longitud del lado.

El triángulo AOB del rombo es un triángulo rectángulo.

Los lados AO y OB son la mitad de las diagonales.

Utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo AOB se obtiene el lado del rombo.

a2 � 32 � 42 ⇒ a2 � 9 � 16 ⇒ a � �25� � 5 cm

Área de figuras planas

Calcula el área de las siguientes figuras, cuyas longitudes vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) A � b � h � 4 � 2 � 8 cm2

b) A � �b

2� a� � �

42� 2� � 4 cm2

Halla el área de estas figuras.a) Un cuadrado de lado 6 decímetros.b) Un romboide de 5 centímetros de base y 3 centímetros de altura.

a) A � l 2 ⇒ A � 62 ⇒ A � 36 dm2

b) A � b � h ⇒ A � 5 � 3 ⇒ A � 15 cm2

¿Cuál es el área de las siguientes figuras cuyas medidas vienen expresadas en decímetros?

a) b)

a) A � �b

2� a� � �

5,52� 4,5� � 12,38 dm2 b) A � ��B �

2b

�� h � ��5 �2

2�� 3 � 10,5 dm2

Halla el área de estos polígonos regulares.

a) b)

a) A � �p

2� a� � �

n �2l � a� � �

6 � 42� 3,5� � 42 m2 b) A � �

p2� a� � �

12 � 3,25 � 5,8� � 121,8 cm2

13.49

13.48

13.47

13.46

13.45

254

4

2

4A

B

O

3a

4

2

5,5

4,53

2

5

3,5 m

4 m

3,5 cm5,8 cm


Calcula el área de estas figuras; las medidas vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) Para calcular el área es necesario hallar primero la altura. El romboide se descompone enun trapecio y un triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa y un cateto. Utili-zando el teorema de Pitágoras:

52 � 32 � h2 ⇒ h2 � 52 � 32 � 16 ⇒ h � �16� � 4 cm

El área es: A � b � h � 9 � 4 � 36 cm2

b) Hay que hallar la altura del triángulo. Se observa en la figura que:

La altura h es BH, cateto del triángulo AHB.

AH es la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras:

52 � 2,52 � h2 ⇒ 25 � 6,25 � h2 ⇒ h � �18,75� � 4,33 cm

El área del triángulo es: A � �b

2� a� � �

5 �24,33� � 10,83 cm2

Determina el área por triangulación.

a) b)

a) Dibujando la diagonal de arriba a abajo se obtienen dos triángulos rectángulos:

AT1� �

22� 4� � 4 cm2 AT2

� �3 �

23,32� � 4,98 cm2

El área de la figura es:

A � AT1� AT2

� 4 � 4,98 cm2 � 8,99 cm2

b) Al dibujar la diagonal horizontal, resultan dos triángulos rectángulos:

AT1� �

7,492

� 4� � 14,98 cm2 AT2

� �6

2� 6� � 18 cm2

El área de la figura es:

A � AT1� AT2

� 4 � 4,98 cm2 � 8,99 cm2

13.51

13.50

255

5

5

5

5

912

12 – 9 = 3

h

2,5

h5 5

A CH

B

4 cm

3 cm5

cm

3 cm 4 cm

4 cm

12 c

m

13 cm

4 cm

5 cm

5

912


Calcula el área por cuadriculación.

El área es de 10,5 unidades cuadradas.

Área del círculo y de figuras circulares

Calcula el área de un círculo, sabiendo que su diámetro mide 8 centímetros.

El área mide: A � � � r 2 � � � 42 � 50,24 cm

¿Cuál es el área de una corona circular cuyo radio mayor mide 8,2 centímetros y cuyo radio menormide 5 centímetros?

A � � � (R2 � r 2) � � � (8,22 � 52) � � � 42,24 = 132,63 cm2

Halla el área de estos sectores circulares.

a)

b)

a) A � ��

3r6

2

0� n

� � ��

356

2

0�

30� � 6,54 cm2

b) A � ��

3r6

2

0� n

� � �� 7

3

2

60�150

� � 64,11 cm2

13.55

13.54

13.53

13.52

256

5 cm30°

7 cm

150°


Composición y descomposición de figuras

Calcula el área de las siguientes figuras.

a) c) e)

b) d) f)

a) La figura se puede descomponer en un rectángulo y un semicírculo.

Asemicírculo � ��

2� r 2

� � ��

2� 32

� � 14,13 cm2


Afigura � 14,13 cm2 � 6 cm2 � 20,13 cm2

b) La figura se puede descomponer en un rectángulo y dos trapecios iguales.


Atrapecio � ��B �2

b�� h � ��7 �

24

�� 3 � 16,5 cm2

Afigura � 8 cm2 � 2 � 16,5 cm2 � 41 cm2

c) La figura se descompone en dos romboides y un sector circular.

Aromboide � 16 � 8 � 128 cm2

Asector circular � ��

3r6

2

0� n

� � �� 1

306

2

0�

120� � 104,67 cm2

Afigura � 2 � Aromboide � Asector circular � 2 � 128 cm2 � 104,67 � 360,67 cm2

d) La figura se puede descomponer en un rectángulo y un romboide.


Aromboide � b � h � 6 � 4 � 24 cm2

Afigura � 30 cm2 � 24 cm2 � 54 cm2

e) La figura se puede descomponer en un semicírculo y un rectángulo menos un semicírculo.


2� r 2

� � ��

23,52

� � 19,23 cm2

Arectángulo � b � h � 7 � 3,5 � 24,5 cm2


2� r 2

� � ��

21,52

� � 3,53 cm2

Afigura � 19,23 cm2 � (24,5 cm2 � 3,53 cm2) � 40,2 cm2

f) La figura está formada por un triángulo isósceles y un cuadrado al que se le ha quitado un semicírculo.Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar la altura del triángulo.

52 � 32 � h2 ⇒ 25 � 9 � h2 ⇒ h � �16� � 4 cm

Atriángulo � �6

2� 4� � 12 cm2

Acuadrado � 62 � 36 cm2

13.56

257

2

3

6

6

6

5

7

1

3

7

6

6

4

5

5

4

6

6

3

2

3

23 3

47

8

7

10

8

16

120°

8

4

2

7

3,5

33,5

7

7

6

3

5h

6



Iván quiere enmarcar una acuarela que le ha regalado una amiga. El cuadro tiene 32,5 centímetros delargo y 24 centímetros de ancho. Si el metro del marco que ha elegido cuesta 15 euros, ¿cuánto le costaráenmarcar la acuarela?

Se debe calcular la longitud del marco, que es el perímetro de un rectángulo.

p � 2 � 32,5 � 2 � 24 � 113 cm � 1,13 m

El marco costará: 15 � 1,13 � 16,95 €.

Un albañil apoya una escalera de 5 metros contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2 metrosdel muro. Calcula la altura a la que se encuentra la parte superior de la escalera.

Utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que forma la escalera con el muro y el suelo:

52 � 22 � h2 ⇒ h2 � 25 � 4 � 21 ⇒ h � �21� � 4,58 m

La parte superior de la escalera se encuentra a una altura de 4,58 metros.

Un carpintero construye marcos rectangulares de madera para ventanas. Para que no se deformen, clavaun travesaño en diagonal. Una de las ventanas mide 1,2 metros de base y 2 metros de altura. El car-pintero ha cortado un travesaño de 3 metros. ¿Ha hecho lo correcto?

El travesaño es la diagonal de un rectángulo. Por tanto, para que sea correcto, se debe cumplir el teorema de Pitágoras:

32 � 1,22 � 22 ⇒ 9 � 1,44 � 4

Como la igualdad no es cierta, el travesaño que ha cortado no es de la longitud correcta.

Para celebrar el “Día de las Matemáticas”, Andrea y sus compañeros están haciendo figuras planas ylas están rodeando de cintas de colores. Ella tiene que hacer un octógono y decorarlo con 50 centí-metros de cinta roja. ¿Cuánto debe medir el lado del octógono?

Como la cinta debe rodear el octógono, el perímetro de este debe coincidir con los centímetros de cinta que tiene.

Entonces, 50 � 8 � l, siendo l el lado del octógono.

El lado debe medir: l � �580� � 6,25 cm.

El padre de Carlos ha comprado dos alfombrillas para el ratón del ordenador. Una es cuadrada de 19,5centímetros de lado, y la otra, circular de 11 centímetros de radio. Carlos cree que es mejor la circularporque ocupa mayor superficie, pero su padre opina que es mejor la cuadrada. ¿Cuál de los dos tienerazón?

Acuadrada � l 2 � 19,52 � 380,25 cm2

Acircular � � � r 2 � � � 112 � 379,94 cm2

Aunque la diferencia es mínima, tiene razón el padre de Carlos.

13.61

13.60

13.59

13.58

13.57

258


Un solar cuadrado mide 1 600 metros cuadrados. ¿Cuántos metros mide su lado?

Como A � l 2 ⇒ 1 600 � l 2

Por tanto, cada lado mide: l � �1 600� � 40 m

La superficie de un rectángulo mide 20 metros cuadrados, y el ancho, 10 metros. ¿Cuánto mide el largo?

Como A � b � h ⇒ 20 � b � 10

El largo mide: b � �21

00� � 2 m

Calcula el área de esta pared de ladrillos,sabiendo que las medidas vienen dadas encentímetros.

El número total de ladrillos que forman la pared son 36.

Aladrillo � b � h � 23 � 11 � 253 cm2

Atotal � 36 � 253 � 9 108 cm2

El área de la pared es de 9 108 cm2.

Julia ha construido una casita de muñecas con unostrozos de madera que ha encontrado. El diseño dela casa no es regular por la forma que tenía lamadera.

Ahora la va a decorar y en el suelo pondrá unpapel adhesivo que parece parquet. ¿Cuántos centí-metros cuadrados necesita para el suelo del dormi-torio si su forma es la del dibujo?

Trazando la diagonal de arriba a abajo el cuadrilátero queda dividido en dos triángulos rectángulos.

AT1� �

62� 8� � 24 cm2 AT2

� �7,07

2� 7,07� � 25 cm2

El área de la figura es: A � AT1� AT2

� 24 � 25 cm2 � 49 cm2

Necesita 49 cm2 de papel adhesivo para el dormitorio.

Una fuente circular tiene alrededor un seto. Determina el área del seto si la fuente tiene 4 metros dediámetro, y el seto, 1,45 metros de ancho.

El área del seto es el de una corona circular.

El radio del círculo menor es: r � �42

� � 2 m

El radio del círculo mayor es: R � r � 1,45 � 3,45 m

Aseto � � � (R2 � r 2) � � � (3,452 � 22) � 24,81 m2

El área del seto mide 24,81 m2.

13.66

13.65

13.64

13.63

13.62

259

12 cm3 cm

4 cm

13 cm


¿Cuántas baldosas de 30 centímetros de lado se necesitan para solar un salón como el de la figura?

El salón se puede descomponer en dos rectángulos.

Arectángulo 1 � b � h � 3,25 � 3,10 � 10,075 m2

Arectángulo 2 � b � h � 5,45 � 2,05 � 11,1725 m2

Asalón � 10,075 � 11,725 � 21,2475 m2 � 212 475 cm2

Abaldosa � l 2 � 302 � 900 cm2

Número de baldosas: 212 475 � 900 � 236,08

El número de baldosas que se necesitan aproximadamente para el salón es de 236.

R E F U E R Z O

Teorema de Pitágoras. Cálculo de distancias

¿Son rectángulos los triángulos cuyos lados, en centímetros tienen estas medidas?a) 4, 5 y 8b) 0,5; 12 y 13

a) Para que el triángulo sea rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras: a2 � b2 � c 2

42 � 52 � 41 � 64 � 82 ⇒ No se verifica el teorema de Pitágoras; por tanto, no es rectángulo.b) 122 � 0,52 � 144,25 � 169 � 132 ⇒ No se verifica el teorema de Pitágoras; por tanto, no es rectángulo.

Halla la diagonal de un cuadrado, sabiendo que el lado mide 8,6 centímetros.

La diagonal forma con los lados un triángulo rectángulo. Utilizando el teorema de Pitágoras:

d 2 � 8,62 � 8,62 ⇒ d 2 � 147,92 ⇒ d � �147,92� � 12,16 cm

La diagonal del cuadrado mide 12,16 cm.

Con los datos de la figura, calcula el lado del triángulo equilátero.

El triángulo ABC es equilátero; por tanto, el lado AC � 2AM � 2a.

Como el triángulo AOM es rectángulo, se aplica el teorema de Pitágoras.

102 � a2 � 52 ⇒ a2 � 100 � 25 � 75 ⇒ a � �75� � 8,66 cm

El lado del triángulo es: 2 � 8,66 � 17,32 cm.

13.70

13.69

13.68

13.67

260

5,45 m

3,25 m

3,10 m

2,05 m

5 cm10 cm

10 cm

H

5 cm

A

O

C

B

a


Áreas de figuras planas

Calcula el área de estos triángulos.

a) b)

a) A � �b

2� a� � �

52� 3� � 7,5 cm2

b) A � �b

2� a� � �

82� 4� � 16 cm2

Halla el área de las siguientes figuras planas.

a) b)

a) A � ��B �2

b�� h � ��3,2 �

21,3

�� 2,8 � 6,3 cm2

b) A � �p

2� a� � �

n �2l � a� � �

6 � 22� 5,3� � 31,8 cm2

Área del círculo y de figuras circulares

Calcula el área de estas figuras circulares.

a) b)

a) r � �d2

� � 9 cm ⇒ A � � � r 2 � � � 92 � 254,34 cm2

b) A � ��

3r6

2

0� n

� � �� 7

3

2

60�150

� � 64,11 cm2

13.73

13.72

13.71

261

3 cm

5 cm

4 cm

8 cm

1,3 cm

3,2 cm

2,8 cm 5,3 cm

2 cm

18 cm

7 cm

150°


Composición y descomposición de figuras


a) b)

a) La figura se descompone en un rectángulo menos un semicírculo.

Afigura � Arectángulo � Asemicírculo � b � h � ��

2� r 2

� � 7 � 2 � ��

212

� � 14 cm2 � 1,57 cm2 � 12,43 cm2

El área de la figura es de 12,43 cm2.

b) La figura es el resultado de unir un rectángulo y un trapecio isósceles.

Afigura � Arectángulo � Atrapecio � b · h � ��B �2

h�� · h � 5 � 3 � ��9 �

25

�� · 1 � 15 cm2 � 7 cm2 � 22 cm2

El área de la figura es de 22 cm2.


Calcula la apotema del hexágono regular cuyo lado mide 6 centímetros.

El radio de la circunferencia coincide con el lado del hexágono.

Se observa en la figura que la apotema, junto con uno de los radios BC y la mitad de otrolado, HC, forma un triángulo rectángulo, del que la apotema es un cateto. Aplicando elteorema de Pitágoras:

62 � 32 � a2 ⇒ 36 � 9 � a2 ⇒ a � �27� � 5,20 cm

¿Cuántos centímetros de alambre se necesitan para construir un rombo si sus diagonales miden 18 y12 centímetros, respectivamente?

Se calcula el lado del rombo que junto con la mitad de las diagonales forma un triángulorectángulo, AOB, en el que el lado AB es la hipotenusa.


l 2 � 92 � 62 � 81 � 36 � 117 ⇒ l � �117� � 10,82 cm

El perímetro del rombo es: p � 4 � l � 4 � 10,82 � 43,28 cm.

Se necesitan 43,28 cm de alambre.

Halla el lado del cuadrado, sabiendo que su área es igual a la de un círculo de 1 metro de radio.

Acírculo � � � r 2 � � � 12 = 3,14 m2

Como Acuadrado � Acírculo ⇒ Acuadrado � l 2 � 3,14 ⇒ l � �3,14� � 1,77 m

El lado del cuadrado mide 1,77 m.

13.77

13.76

13.75

13.74

262

2 cm

7 cm

9 cm

5 cm

43 cm

HA

6

C

B

a

6 cm

9 cm

18 cm

12 cm

O

B

A


Calcula el área de las superficies coloreadas y exprésala en centímetros cuadrados.

a) b) c)

a) La superficie es un sector circular de 90 de ángulo y 1 dm � 10 cm de radio.


3r6

2

0� n

� � �� 1

306

2

0� 90� � 78,50 cm2

El área de la superficie coloreada es de 78,50 cm2.

b) Esta figura resulta de restar al sector circular del apartado a) un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 dm = 10 cm.

A � Asector circular � Atriángulo � 78,50 � �b

2� h� � 78,50 � �

102� 10� � 28,50 cm2


c) La figura está formada por un rectángulo de base 3 dm � 30 cm y altura 1 dm � 10 cm al que se le han quitado trescírculos de diámetro 1 dm � 10 cm.

Su área es: Afigura � Arectángulo � 3 � Acírculo � b � h � 3 � � � r 2 � 30 � 10 � 3 � � � 52 � 64,5 cm2


Averigua la medida de los lados de esta figura.

El triángulo ADC es rectángulo.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

AD 2 � 202 � 152 � 175 ⇒ AD � �175� � 13,23 cm

El triángulo ABD es rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras:

AB2 � 162 � 13,232 � 80,96 ⇒ AB � �80,96� � 8,99 cm

Si M es el punto de corte de la altura del trapecio, BM � AD, el triángulo BMC esrectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras:

BC 2 � BM 2 + MC 2 � AD 2 � MC 2

BC 2 � 13,232 � (15 � 8,99)2 � 175,03 � 36,12 � 211,15

BC � �211,15� � 14,53 cm

Los lados de la figura miden 13,23, 8,99 y 14,53 cm.

13.79

13.78

263

1 dm 1 dm 1 dm

M15 cm

A

C

B

D

16 c

m

20 cm

16 cm

15 cm

20 cm


Una cancha de baloncesto es rectangular, de 26 metros de largo y 14 metros de ancho.a) Calcula la base y la altura de un triángulo acutángulo de la misma superficie.b) Si la cancha fuera circular y tuviera la misma superficie, ¿cuál sería su radio?

a) Arectángulo � Atriángulo ⇒ b � h � �b

2� h�

Puede haber dos soluciones.

La base del triángulo es el doble que la del rectángulo, y las alturas son iguales. Entonces, la base del triángulo mide 52 m, y laaltura, 14 m.

Pero también puede ser que las bases sean iguales y la altura del triángulo sea el doble que la del rectángulo. Entonces, labase mide 26 m, y la altura, 28 m.

b) Arectángulo � Acírculo

b � h � � � r 2 ⇒ 26 � 14 � � � r 2 ⇒ � � r 2 � 364 ⇒ r 2 � �33,6144

� � 115,92

El radio sería: r � �115,92� � 10,77 m.

Determina la medida del ángulo, x, del siguiente sector circular, sabiendo que su área es 3,14 decímetroscuadrados.


3r6

2

0� n

� ⇒ 3,14 � ��

3630

2

� x

� ⇒ x � �3,1

�4 �

�33620

� � 40

El ángulo del sector circular mide 40.


Reparto de parcelas

Lola ha comprado una parcela de 40 � 50 metroscuadrados que quiere dividir en tres zonas comomuestra la figura: 275 metros cuadrados para lacasa, 825 metros cuadrados para el jardín, y el restopara la zona deportiva.

Calcula las dimensiones que ha de tener cada zona.

La extensión de la zona deportiva será: 40 � 50 � 275 � 825 � 900 m2

El ancho de la zona deportiva deberá ser: �94000

� � 22,5 m

El largo de la zona de la casa deberá ser: �50 �

27522,5� � 10 m

El largo del jardín deberá ser: 40 � 10 � 30 m

13.82

13.81

13.80

264

x

3 dm

Jardín

Zonadeportiva

Casa

50 m

40 m


En el geoplanoEn una trama realizada con un tablero y clavos he-mos colocado una cuerda que mide 52 centímetros.Calcula la distancia entre dos puntos consecutivos dela trama y el área del triángulo construido en ella.

Aplicando el teorema de Pitágoras y tomando como unidad ladistancia entre dos puntos de la trama:

L � �122 ��52� � 13. Por tanto, 13 unidades se correspondencon 52 cm; es decir, cada unidad equivale a 4 cm

La base del triángulo mide 10 unidades es decir 40 cm

La altura del triángulo mide 4 unidades es decir 16 cm

El área del triángulo será: S � �40

2� 16� � 320 cm2


Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 centímetros, y la hipotenusa, 8 centímetros. ¿Cuánto mideel otro cateto?

Utilizando el teorema de Pitágoras:a2 � b2 � c 2 ⇒ 82 � 52 � c 2 ⇒ 64 � 25 � c 2 ⇒ c � �39� � 6,24 cm

El otro cateto mide 6,24 cm.

El perímetro de un decágono regular es 18 metros. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

El perímetro es: p � 10 � l ⇒ 18 � 10 � l

Entonces, cada lado mide: l � �1180� � 1,8 m

Cada lado del decágono mide 1,8 m.

Determina los valores indicados con letras en las siguientes figuras.

a) b)

a) Utilizando el teorema de Pitágoras: d 2 � 82 � 82 ⇒ d 2 � 128 ⇒ d � �128� � 11,31 cm

b) Utilizando el teorema de Pitágoras: 82 � a2 � a2 ⇒ 64 � 2 � a2 ⇒ a2 � �624� � 32 ⇒ a � �32� � 5,66 cm

Calcula el área de estas figuras planas cuyas medidas vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) A � �b

2� a� � �

62� 4� � 12 cm2

b) A � �p

2� a� � �

n �2l � a� � �

7 � 32

� 2� � 21 cm2

13.A4

13.A3

13.A2

13.A1

13.83

265

d 8 cm

8 cm

a

a

8 cm

6

4

3

2


¿Qué longitud debe tener una escalera para que alcance la altura de 10 metros, si su base se apoya a3 metros de la pared?

La escalera forma con el muro y el suelo un triángulo rectángulo en el que ella es la hipotenusa.

Utilizando el teorema de Pitágoras: e2 � 32 � 102 ⇒ e2 � 109 ⇒ e � �109� � 10,44 m.

La escalera debe tener una longitud de 10,44 m.

Halla el área de una corona circular de 8,2 centímetros de radio mayor y 5 centímetros de radio menor.

A � � � (R2 � r 2) � � � (8,22 � 52) � � � 42,24 � 132,63 cm2

El área de la corona mide 132,63 cm2.


a) b)

a) Asector circular � ��

3r6

2

0� n

� � �� 9

3

2

60�120

� � 84,78 cm2

b) La figura es la mitad de una corona circular de radio mayor 2 cm y radio menor 2 � 1,5 � 0,5 cm.

A � �� (R

2

2 � r 2)� � �

� � (22

2� 0,52)� � �

� �23,75� � 5,89 cm2

Averigua el área de estas figuras.

a) b)

a) La figura está formada por un rectángulo y un trapecio isósceles.

Arectángulo � b � h � 10,2 � 8,5 � 86,7 cm2


b�� h � � � � 8,5 � 10,4 � 8,5 � 88,4 cm2

El área de la figura es: A � Arectángulo � Atrapecio � 86,7 � 88,4 � 175,10 cm2

b) Esta figura está formada por un trapecio isósceles y un triángulo.


b�� h � ��9,6 �

23,2

�� 4,5 � 28,8 cm2

Atriángulo � �b

2� a� � �

9,6 �2

13,5� � 64,8 cm2

El área de la figura es: A � Atrapecio � Atriángulo � 28,8 � 64,8 � 93,6 cm2

(2,1 � 10,2 � 2,1) � 6,4��

2

13.A8

13.A7

13.A6

13.A5

266

120°9 cm 2 cm

1,5 cm

8,5 cm

6,4 cm

8,5 cm2,1 2,1

10,2 cm

13,5 cm

4,5 cm3,2

9,6 cm

3,23,2




DESCOMPONIENDO FIGURAS

Divide esta figura en otras cuatro que tengan la misma forma.

267


268

14 CUERPOS GEOMÉTRICOS. VOLÚMENES


¿Qué condiciones debe cumplir un prisma triangular para ser regular? Dibújalo

Para que un prisma triangular se regular su base tiene que ser un triángulo equilátero y sus cara regulares rectángulos.

Dibuja el desarrollo plano de un ortoedro y el de un cubo.

Dibuja una pirámide que no sea regular y describe sus elementos.

Dibuja una pirámide regular, de modo que tenga cinco caras laterales.

¿Qué polígono forma su base?

La base de esta pirámide es un pentágono.

Elige como base de una pirámide un triángulo rectángulo. ¿Puedes construir con esta base una pirámi-de regular?

No se puede construir una pirámide regular eligiendo como base un triángulo rectángulo pues este no es un polígono regular.

14.5

14.4

14.3

14.2

14.1

A

B C

D

E

F G

H

B C

A D

A D

F G

E HA

B C

D A

BE

F

C

D

G

HE

F G

H

C

D

B

A

B

A

B C

A D

Vértice

Caralateral

Base

Altura


Con un cuadrado como base, ¿podrías dibujar una pirámide que fuera poliedro regular?

Con un cuadrado como base no se puede dibujar una pirámide que sea poliedro regular pues el poliedro no tendría todos suslados iguales: la base sería un cuadrado y las caras laterales triángulos.

Dibuja un cilindro y señala sus elementos.

Una cartulina tiene forma de rectángulo.¿Cuántos cilindros distintos puede generar? Dibújalos.

Puede generar dos cilindros: uno con generatriz el lado AB, y el otro con generatriz el lado BC.

Dibuja un cono y señala sus elementos.

Una cartulina tiene forma de triángulo rectángulo escaleno. ¿Cuántos conos distintos puede generar?

Puede generar dos conos, eligiendo como eje de giro cada uno de los dos catetos.

Dibuja una esfera y señala sus elementos.14.11

14.10

14.9

14.8

14.7

14.6

269

Centro

RadioDiámetro

Generatriz

Radio

Vértice

Altura

Base

B

A

C

D

B

A

C

DAB

C D

Base

Altura

Generatriz


Señala los elementos que obtienes al cortar una esfera por un plano secante.

Determina el volumen de los siguientes cuerpos, tomando como unidad un cubo.

a) b)

a) 8 cubos b) 27 cubos

Averigua el volumen del cuerpo de la figura si cada cubo representa 1 decímetro cúbico.

El volumen del cuerpo es: 7 � 4 � 4 � 2 � ��12

�� 28 � 4 � 1 � 33 dm3.

Determina el volumen de este ortoedro si las medidas vienen dadas en centímetros.

V � 6 � 1,5 � 2 � 18 cm3

Calcula el volumen, en decímetros cúbicos, de los ortoedros cuyas medidas se indican.

a) a � 4 dm b � 2 dm c � 7 dm

b) a � 0,5 dm b � 25 cm c � 1 dm

c) a � 0,07 m b � 0,8 dm c � 4,25 cm

d) a � 8 m b � 80 dm c � 800 cm

a) V � 4 � 2 � 7 � 56 dm3 c) V � 0,7 � 0,8 � 0,425 � 0,238 dm3

b) V � 0,5 � 2,5 � 1 � 1,25 dm3 d) V � 80 � 80 � 80 � 803 dm3 � 512 000 dm3

14.16

14.15

14.14

14.13

14.12

270

Casquete esférico

Casquete esférico

R

6

2

1,5


Calcula el volumen de estos poliedros si las medidas vienen expresadas en centímetros.

a) b)

a) V � Abase � h � �p

2� a� � h � �

29,42� 4,04� � 9 � 534,492 cm3

b) V � �13

� � Abase � h � �13

� � ��4 2� 2�� 9 � 12 cm3

La base de un prisma es un hexágono regular de lado 7 centímetros y apotema 6,06 centímetros. Hallael volumen del prisma sabiendo que su altura mide 10 centímetros.

V � Abase � h � �p

2� a� � h � �

42 �26,06� � 10 � 1 272,6 cm3

El volumen del prisma es de 1 272,6 cm3.

La base de una pirámide es un cuadrado de 5 centímetros de lado, y la altura es el triple del lado dela base. Halla el volumen de la pirámide.

Altura de la pirámide: 3 � 5 � 15 cm

V � �13

� � Abase � h � �13

� � 52 � 15 � 125 cm3

Calcula el volumen de estos cilindros sabiendo que las medidas vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) V � Abase � h � � � r 2 � h � 3,14 � 32 � 7 � 197,82 cm3

b) V � Abase � h � � � r 2 � h � 3,14 � 2,52 � 8 � 157 cm3

Calcula el volumen de estos conos cuyas medidas vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) V � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 52 � 10 � 261,67 cm3

b) V � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 22 � 12 � 50,24 cm3

14.21

14.20

14.19

14.18

14.17

271

5,88

4,04

9

2

49

7

3

8 5

10

5

122


Calcula el volumen de estas esferas cuyas medidas vienen dadas en centímetros.

a) b)

a) V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 23 � 33,493 cm3 b) V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 6,73 � 1 259,194 cm3

El diámetro de un balón reglamentario de fútbol mide 22,3 centímetros. Calcula su volumen en decí-metros cúbicos.

V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 11,153 � 5 803,540 cm3

Calcula el volumen de la siguiente semiesfera.

V � �12

� � ��43

� � � � r 3� � �12

� � ��43

� � 3,14 � 43� � 133,973 cm3


De un bloque de madera con forma de ortoedro y dimensiones 90, 48 y 36 centímetros, queremos ob-tener piezas cúbicas del mayor tamaño posible sin que nos sobre nada de madera.a) ¿Cuáles son las dimensiones de las aristas de los cubos?b) ¿Cuántos cubos podemos obtener?

a) Para obtener a partir del ortoedro un número exacto de cubos, la arista de cada cubo tiene que ser divisor de 90, 48 y 36.Y para que sea del mayor tamaño posible, la medida de la arista tiene que ser el máximo común divisor de dichas dimen-siones:90 � 32 � 2 � 5 48 � 24 � 3 36 � 22 � 32 → m.c.d.(90, 48, 36) � 2 � 3 � 6La arista de cada cubo debe ser de 6 centímetros.

b) Volumen del bloque de madera: 90 � 48 � 36 � 155 520 cm3

Volumen de cada cubo: 63 � 216 cm3

Número de cubos: 155 520 � 216 � 720

Un fabricante de zapatos, los empaqueta en cajas de dimensiones 50, 30 y 20 centímetros. Quiere trans-portar las cajas en contenedores cúbicos lo más pequeños posibles, de modo que en ellos quepan exac-tamente las cajas.a) ¿Cuál es el volumen del contenedor?b) ¿Cuántas cajas pueden transportarse en cada contenedor?

a) Para que en el contenedor cúbico quepan un número exacto de cajas, la medida de la arista del contenedor tiene que sermúltiplo de la medida de las aristas de las cajas: 50, 30 y 20 cm. Y como el contenedor ha de ser lo más pequeño posible,su arista tiene que ser el mínimo común múltiplo de 50, 30 y 20:50 � 2 � 52 30 � 2 � 5 � 3 20 � 22 � 5 → m.c.m.(50, 30, 20) � 22 � 3 � 52 � 300El volumen del contenedor es: 3003 � 27 000 000 cm3.

b) Volumen de cada caja: 50 � 30 � 20 � 30 000 cm3

27 000 000 � 30 000 � 900 cajas

14.26

14.25

14.24

14.23

14.22

272

2 13,4

4 cm



Las siguientes cantidades vienen dadas en metros, y corresponden a distintas habitaciones. Calcula elvolumen de cada una de ellas.

a) 4 3 3 b) 10 8 3 c) 9 9 6

a) V � 4 � 3 � 3 � 36 m3 b) V � 10 � 8 � 3 � 240 m3 c) V � 9 � 9 � 6 � 486 m3

Determina el volumen de las siguientes cajas cuyas medidas vienen dadas en centímetros.

a) 34 6 3 c) 5 4 23

b) 15 4 3 d) 6 3 5

a) V � 4 � 6 � 3 � 72 cm3 c) V � 5 � 4 � 3 � 60 cm3

b) V � 15 � 4 � 3 � 180 cm3 d) V � 6 � 3 � 5 � 90 cm3

Averigua las aristas de los ortoedros sabiendo el volumen que ocupan.

a) 24 cm3 d) 50 cm3

b) 18 cm3 e) 200 cm3

c) 30 cm3 f) 2 cm3


a) 2 cm, 3 cm, 4 cm d) 5 cm, 2 cm, 5 cm

b) 6 cm, 3 cm, 1 cm e) 10 cm, 5 cm, 4 cm

c) 5 cm, 3 cm, 2 cm f) 2 cm, 1 cm, 1 cm

Dado el volumen y la altura de los siguientes ortoedros de base cuadrada, halla el lado de la base.

a) 100 cm3; 4 cm

b) 80 cm3; 5 cm

c) 108 cm3; 3 cm

a) 100 � 4 � 25 cm2 ⇒ 5 cm

b) 80 � 5 � 16 cm2 ⇒ 4 cm

c) 108 � 3 � 36 cm2 ⇒ 6 cm

El primer dato corresponde al área de la base de un prisma y el segundo, a la altura. Calcula el volumende cada prisma.

a) 6 cm2; 4 cm

b) 10 cm2; 8 cm

c) 2 dm2; 20 cm

a) 24 cm3 b) 80 cm3 c) 4 000 cm3

Calcula el volumen que contienen los vasos cilíndricos cuyos radios y alturas se indican.

a) Radio � 10 cm Altura � 10 cm

b) Radio � 1 dm Altura � 10 cm

c) Radio � 5 cm Altura � 4 cm

a) V � � � r 2 � h � 3,14 � 102 � 10 � 3 140 cm3

b) V � � � r 2 � h � 3,14 � 102 � 10 � 3 140 cm3

c) V � � � r 2 � h � 3,14 � 52 � 4 � 314 cm3

14.32

14.31

14.30

14.29

14.28

14.27

273



Poliedros

Calcula la suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice de los poliedros regulares.¿Qué observas?

TETRAEDO: En un vértice concurren tres triángulos equiláteros; 60� � 60� � 60� � 180�

CUBO: En un vértice concurren tres cuadrados; 90� � 90� � 90� � 270�

OCTAEDRO: En un vértice concurren cuatro triángulos equiláteros; 60� � 60� � 60� � 60� � 240�

DODECAEDRO: En un vértice concurren tres pentágonos regulares; 108� � 108� � 108� � 324�

ICOSAEDRO: En un vértice concurren cinco triángulos equiláteros; 60� � 60� � 60� � 60� � 60� � 300�

Observamos que en todos los casos la suma de los ángulos es menor de 360�.

¿Cuál de estos dos desarrollos planos daría lugar a un ortoedro? Dibújalo.

El segundo desarrollo es el que da lugar a un ortoedro.

Si una pirámide tiene 8 aristas, ¿qué polígono es su base? Dibuja la pirámide.

La base es un cuadrado.

¿Existe alguna pirámide con 9 aristas? Razona la respuesta.

NO. El número de aristas de una pirámide es la suma de las aristas de la base más las aristas que no están en ella; ambosnúmeros de aristas son iguales, porque en los dos casos coinciden con el número de vértices de la base, por tanto, el númerototal de aristas de una pirámide siempre es par porque es el resultado de multiplicar por dos el número de vértices de la base.

Dibuja una pirámide cuya base sea un cuadrilátero y su desarrollo plano.14.37

14.36

14.35

14.34

14.33

274


Cuerpos redondos

La altura de un cilindro mide 10 centímetros y el radio de sus bases, 4 centímetros. ¿Cuáles son lasmedidas del rectángulo de su desarrollo plano?

ALTURA: es igual a la altura del cilindro, es decir, 10 cm.BASE: es igual a la longitud de la circunferencia de su base, es decir, 2 � � � 4 � 25,13 cm

Indica cuáles de estas figuras generan un cono al girar en torno a uno de sus lados.a) Un cuadrado.b) Un pentágono regular.c) Un triángulo rectángulo.d) Un triángulo equilátero.

Solamente el triángulo rectángulo, que puede generar dos conos diferentes, eligiendo como eje de giro cada uno de los doscatetos.

El radio de un cono mide 10 centímetros. ¿Cuánto mide el arco del sector circular correspondiente a sudesarrollo?

La longitud del arco del sector circular del desarrollo del cono es igual a la longitud de la circunferencia de la base delmismo: 2 � � � 10 � 62,83 cm

Los radios de dos esferas miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. Si la distancia entre sus centroses de 14 centímetros, ¿cuántos puntos tienen en común?

Las esferas tienen un único punto en común, ya que son tangentes.

El diámetro de una pelota de plástico mide 12 centímetros. ¿Cuánto mide la circunferencia máxima?

La circunferencia máxima mide: � � 12 � 37,7 cm

Volumen del prisma

Calcula el volumen de las siguientes cajas.

a) b)

a) V � 2 � 4 � 2 � 16 cm3 b) V � 4 � 1,5 � 3 � 18 m3

El área de la base de este prisma mide 226,16 centímetros cuadrados. Calcula su volumen.

V � Abase � h � 226,16 � 8 � 1 809,28 cm3

14.44

14.43

14.42

14.41

14.40

14.39

14.38

275

2 cm

4 cm2 cm 1,5 m

3 m

4 m

8 cm


Calcula el volumen de este prisma.

V � Abase � h � ��2,52� 2,5�� 8 � 25 cm3

Volumen de la pirámide

Calcula el volumen de esta pirámide.

V � �13

� � Abase � h � �13

� � 3 � 5 � 8 � 40 cm3

La base de la pirámide representada en la figura es un rectángulo, de largo el doble que de ancho.Calcula su volumen.

Largo de la base: 2 � 3 cm � 6 cm

V � �13

� � Abase � h � �13

� � (6 � 3) � 12 � 72 cm3

La base de la siguiente pirámide es un cuadrado. ¿Cuál es su volumen?

V � �13

� � Abase � h � �12

� � 42 � 10 � 53,333 cm3

14.48

14.47

14.46

14.45

276

8 cm

2,5 cm

2,5 cm

5 cm

3 cm

8 cm

12 cm

3 cm

10 cm4 cm


Volumen del cilindro y del cono

Calcula el volumen de los cilindros sabiendo que las medidas de la altura y el radio de la base son lassiguientes.a) h � 8 cm r � 50 mmb) h � 20 cm r � 1 dmc) h � 2,5 dm r � 15 cm

a) V � � � r 2 � h � 3,14 � 52 � 8 � 628 cm3

b) V � � � r 2 � h � 3,14 � 102 � 20 � 6 280 cm3

c) V � � � r 2 � h � 3,14 � 152 � 25 � 17 662,5 cm3

Halla el volumen de los conos sabiendo que las medidas de la altura y el radio de la base son lassiguientes.

a) h � 0,5 dm r � 1 cmb) h � 20 cm r � 1 dm

c) h � —25

— r r � 50 mm

a) V � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 12 � 5 � 5,233 cm3

b) V � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 102 � 20 � 2 093,333 cm3

c) V � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 502 � 20 � 52 333 mm3 � 52,333 cm3

Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 centímetros y el diámetro de su base 18centímetros.

Para calcular la altura del cono aplicamos el teorema de Pitágoras:

h � �252 ��92� � �625 �� 81� � �544� � 23,32 cm

V � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 92 � 23,32 � 1 977,069 cm3

Volumen de la esfera

Calcula el volumen de las esferas de radio el indicado. Expresa el resultado en centímetros cúbicos.

a) 1,1 cm b) 1,5 dm c) 0,05 m

a) V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 1,13 � 5,572 cm3

b) V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 153 � 14 130 cm3

c) V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 53 � 523,33 cm3

El diámetro interior de una esfera hueca mide medio metro. Expresa su capacidad en litros.

Radio: �12

� � 0,5 � 0,25 m � 2,5 dm ⇒ V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 2,53 � 67,417 dm3

Como 1 dm3 � 1 L, la capacidad de esta esfera es de 67,417 litros.

14.53

14.52

14.51

14.50

14.49

277

25 cm

9 cm

h


Observa las figuras y estima cuál tiene mayor volumen, un cubo de 1 metro de arista o una esfera de1 metro de diámetro.

Comprueba tu estimación calculando los volúmenes de ambos cuerpos.

Observando ambas figuras vemos que el cubo tiene mayor volumen que la esfera, ya que esta se podría introducir en el cubo,quedando huecos en el mismo.

Vcubo � a3 � 13 � 1 m3 Vesfera � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 0,53 � 0,523 m3


La arista de un depósito cúbico mide 1,5 metros. ¿Con cuántos litros de agua se llenará?

V � a3 � 1,53 � 3,375 m3 � 3 375 dm3 � 3 375 LEl depósito se llena con 3 375 litros.

Para construir parte de los cimientos de un edificio se ha tenido que hacer un cilindro de 6 metros dediámetro y 5 metros de profundidad. ¿Cuántos metros cúbicos de tierra se han tenido que extraer?

V � � � r 2 � h � 3,14 � 32 � 5 � 141,3 m3

El radio de la Tierra mide 6 369 kilómetros, y el de la Luna, 1 738 kilómetros. ¿Cuántas veces es mayorel volumen de la Tierra que el de la Luna?

VTierra � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 6 3693 km3

VLuna � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 1 7383 km3

�VV

T

L

i

u

e

n

rr

a

a� � �

61

37

63

98

3

3� � 49,2

El volumen de la Tierra es 49,2 veces mayor que el de la Luna.

Calcula el volumen de este salón.

El volumen del salón es igual al de un ortoedro de 6 m de largo, 4 m de ancho y 3 m de alto, menos el volumen de laesquina, que es otro ortoedro de 1 m de largo por 1 m de ancho y 3 m de alto.

Vortoedro salón � 6 � 4 � 3 � 72 m3 Vsalón � 72 � 3 � 69 m3 Vesquina � 1 � 1 � 3 � 3 m3

14.58

14.57

14.56

14.55

14.54

278

1 m

1 m


Se han fabricado unos radiadores eléctricos para calentar recintos de entre 60 y 65 metros cúbicos.¿Comprarías un radiador de este tipo para un salón que tiene 6 metros de largo, 3,8 metros de anchoy 2,8 metros de alto?

Vsalón � 6 � 3,8 � 2,8 � 63,84 m3

Como el volumen del salón está comprendido entre 60 y 65 m3, sí compraríamos el radiador.

Una torre tiene forma de pirámide hexagonal regular. El lado de la base mide 2 metros y la apotema1,72 metros. La altura de la pirámide mide 6 metros. Halla su volumen.

V � �13

� � Abase � h � �13

� � �p

2� a� � h � �

13

� � �12 �

21,72� � 6 � 20,64 m3

En un recinto ferial se ha instalado una carpa, siendo la parte inferior cilíndrica y la superior cónica. Eldiámetro de la parte cilíndrica mide 30 metros y su altura 10 metros. La altura de la parte cónica esde 8 metros. ¿Cuál es el volumen del circo?

Vcilindro � � � r 2 � h � 3,14 � 152 � 10 � 7 065 m3

Vcono � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 152 � 8 � 1 884 m3

Vcirco � 7 065 m3 � 1 884 m3 � 8 949 m3

Un bloque de madera de forma de ortoedro tiene 1 metro de largo, 1 metro de ancho y medio metrode alto. ¿Cuál es el máximo número de bloques cúbicos de 1 decímetro de arista que se pueden ob-tener serrando adecuadamente el bloque?

La arista del cubo cabe 10 veces en el largo del ortoedro.La arista del cubo cabe 10 veces en el ancho del ortoedro.La arista del cubo cabe 5 veces en el alto del ortoedro.El número máximo de bloques cúbicos será: 10 � 10 � 5 � 500.

El diámetro de la base de un vaso cilíndrico mide 4,5 centímetros, y la altura, 5 centímetros. Con el re-fresco de una botella de 1,5 litros, ¿cuántos vasos se pueden llenar?

Vvaso � � � r 2 � h � 3,14 � 2,252 � 5 � 79,481 cm3

Vbotella � 1,5 L � 1,5 dm3 � 1 500 cm3

1 500 � 79,481 � 18,87Se pueden llenar 18 vasos.

Las aristas de una caja de madera miden 2, 2 y 3 decímetros.a) ¿Cuántas bolas de 1 decímetro de diámetro caben en la caja?b) Calcula el volumen de la caja que queda sin ocupar.

a) En un piso se pueden colocar 4 bolas. Se pueden formar 3 pisos. Luego caben 12 bolas.

b) Vuna bola � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 0,53 � 0,523 dm3

V12 bolas � 12 � 0,523 dm3 � 6,276 dm3

Vcaja � 2 � 2 � 3 � 12 dm3

El volumen de la caja que queda sin ocupar es: 12 dm3 � 6,276 dm3 � 5,724 dm3.

La altura de una torre cónica es —35

— del diámetro, que mide 8 metros. Calcula el volumen de la torre.

Altura de la torre: �35

� � 8 m � 4,8 m

V � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 42 � 4,8 � 80,384 m3

14.65

14.64

14.63

14.62

14.61

14.60

14.59

279


Dos canicas de 1 centímetro de diámetro se guardan en un tubo del mismo diámetro y 5 centímetrosde longitud.a) ¿Qué volumen queda sin ocupar en el tubo?b) ¿Es mayor o menor que el de una canica?

a) Vtubo � � � r 2 � h � 3,14 � 0,52 � 5 � 3,925 cm3

Vcanica � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 0,53 � 0,523 cm3

Vdos canicas � 2 � 0,523 cm3 � 1,046 cm3

Vsin ocupar � 3,925 cm3 � 1,046 cm3 � 2,879 cm3

b) El volumen que queda sin ocupar en el tubo es mayor que el de una canica.

Observa las medidas de la pieza y calcula el volumen del material del que está construida.

Vtotal � 4 � 4 � 10 � 160 cm3

Vagujero � 2 � 2 � 10 � 40 cm3

Vpieza � 160 cm3 � 40 cm3 � 120 cm3

Observa las medidas del tubo y calcula el volumen del material del que está construido.

Vtotal � � � r 2 � h � 3,14 � 62 � 100 � 11 304 cm3

Vcilindro vacío � � � r 2 � h � 3,14 � 42 � 100 � 5 024 cm3

Vtubo � 2 826 cm3 � 1 256 cm3 � 6 280 cm3

R E F U E R Z O

Prismas y pirámides

Dibuja un poliedro regular cuyas caras sean cuadrados. Señala sus elementos.14.69

14.68

14.67

14.66

280

Vértice

Cara

CUBOArista


Un prisma cuya base es un rectángulo, ¿es regular? ¿Y una pirámide? Dibújalos.

Si la base de un prisma es un rectángulo el prisma no puede ser regular, porque el rectángulo no es un polígono regular.

Si la base de una pirámide es un rectángulo, la pirámide no puede ser regular porque el rectángulo no es un polígono regular.

Expresa en decímetros cúbicos el volumen de un cubo de arista 0,8 metros.

V � a3 � 0,83 � 0,512 m3 � 512 dm3

Calcula el volumen de este prisma.


2� a� � h � �

20 �22,75� � 10 � 275 cm3

Calcula el volumen de esta pirámide.

V � �13

� � Abase � h � �13

� � (3 � 3) � 7 � 21 cm3

14.73

14.72

14.71

14.70

281

4 cm

10 cm

2,75 cm

3 cm3 cm

7 cm


La base de un prisma recto es un cuadrado de 49 centímetros cuadrados, y su altura mide el triple dellado de la base. Calcula el volumen de este prisma.

Lado de la base: �49� � 7 cmAltura del prisma: 3 � 7 cm � 21 cmV � Abase � h � 49 � 21 � 1 029 cm3

Cuerpos redondos

Dibuja un cilindro, un cono y sus desarrollos planos. Indica en ellos sus elementos.

Dibuja un plano que corte una esfera y marca los dos casquetes esféricos. Señala el radio de la sección.

Determina el volumen de estos cuerpos cuyas medidas se indican en las siguientes figuras.

a) b)

a) V � � � r 2 � h � 3,14 � 22 � 5 � 62,8 cm3 b) V � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 402 � 70 � 117 227,667 cm3

Calcula el volumen de estas esferas y expresa los resultados en centímetros cúbicos.

a) b)

a) V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 1,53 � 14,13 cm3

b) V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 1003 � 4 186 666,67 cm3

14.78

14.77

14.76

14.75

14.74

282

Base

Superficielateral

BaseRadio Radio

gg

r

V V

r

SecciónCasquete esférico

Radio r de lasección

Casquete esférico

R R

4 dm

70 cm

1,5 cm 10 dm

5 cm

2 cm


El diámetro de un vaso cilíndrico mide 7 centímetros y la altura 8 centímetros. Calcula su volumen.

V � � � r 2 � h � 3,14 � 3,52 � 8 � 307,72 cm3

Se tiene una canica de 1 centímetro de radio y otra de 2 centímetros.a) Calcula el volumen de cada canica.b) ¿Cuántas veces es mayor el volumen de una canica respecto al de la otra?

a) V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 13 � 4,187 cm3

V � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 23 � 33,493 cm3

b) 33,493 � 4,187 � 8. El volumen de la canica de radio 2 es 8 veces mayor que el de la otra canica.


Un depósito tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base mide 1 metro, y la altura delprisma 2 metros. Se echa agua a razón de 100 litros por minuto. Calcula el tiempo que tarda en llenarse.

Para calcular la apotema, se aplica el teorema de Pitágoras:

a � �12 � 0�,52� � �0,75� � 0,87 m


2� a� � h � �

6 �20,87� � 2 � 5,22 m3 � 5 220 dm3 � 5 220 L

5 220 � 100 � 52,20 minutos � 52 min 12 seg

Un recipiente cilíndrico de plomo sin tapa tiene de dimensiones exteriores las siguientes: 17 centímetrosde diámetro y 16 centímetros de altura. El espesor de la base mide 6 milímetros y el de la parte lateral,4 milímetros. ¿Cuánto pesa el recipiente si un decímetro cúbico de plomo pesa 11,4 kilogramos?

Vtotal � � � r 2 � h � 3,14 � 8,52 � 16 � 3 629,84 cm3

Dimensiones del cilindro vacío:

Diámetro de la base: 17 cm � 2 � 0,4 cm � 17 cm � 0,8 cm � 16,2 cmRadio de la base: 16,2 cm � 2 � 8,1 cmAltura: 16 cm � 0,6 cm � 15,4 cm

Vcilindro vacío � � � r 2 � h � 3,14 � 8,12 � 15,4 � 3 172,64 cm3

Vmaterial � 3 629,84 cm3 � 3 172,64 cm3 � 457,2 cm3 � 0,4572 dm3

Peso del recipiente: 0,4572 � 11,4 � 5,21 kilogramos.

Una pelota de plástico tiene 50 milímetros de diámetro exterior y 4 milímetros de espesor. ¿Cuántoskilogramos de plástico necesita una fábrica que produce 25 000 pelotas, sabiendo que 1 decímetro cú-bico de plástico pesa 0,85 kilogramos?

Vpelota � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 2,53 � 65,417 cm3

Dimensiones de la esfera vacía:

Diámetro: d � 5 � 2 � 0,4 � 5 � 0,8 � 4,2 cm ⇒ Radio: r � 4,2 cm � 2 � 2,1 cm

Vesfera vacía � �43

� � � � r 3 � �43

� � 3,14 � 2,13 � 38,773 cm3

Vmaterial � 65,417 cm3 � 38,773 cm3 � 26,644 cm3 � 0,026644 dm3

Masa de cada pelota: 0,026644 � 0,85 � 0,0226 kilogramos.

Masa total: 0,0226 kg � 25 000 � 565 kg de plástico necesita.

14.83

14.82

14.81

14.80

14.79

283

0,5 cm

a

1 cm

16 cm

8,5 – 0,4

0,6


El área total de un cubo hueco es 216 decímetros cuadrados. ¿Podrá contener este cubo un númeroexacto de ortoedros de base cuadrada de lado 2 centímetros y 3 centímetros de altura?

Área de una cara: 216 � 6 � 36 dm2

Longitud de la arista: �36� � 6 dm � 60 cm

La arista del cubo es múltiplo de 2 y de 3: a lo largo caben 30 ortoedros; a lo ancho, 30, y a lo alto, 20.

El cubo sí puede contener un número exacto de ortoedros: 30 � 30 � 20 � 18 000 ortoedros.


Midiendo la lluviaPaco y su vecino han colocado en sus tierras recipientes como los que aparecen en la figura, para medirel agua que cae cuando llueve.Calcula la altura alcanzada por el agua en cada recipiente tras una tormenta en la que cayeron 15 litrospor metro cuadrado.

Primera figura: Habrá recogido �10

100�00

�015

� � 0,15� litros � 150� cm3

Aplicando la fórmula del volumen de un cilindro:

V � � � 102 � h � 150�

Despejando el valor de la altura:

h � �115000��

� � 1,5 cm

Segunda figura: Habrá recogido �6

1�0800�015

� � 0,072 litros � 72 cm3

Aplicando la fórmula del volumen de un ortoedro:

V � 8 � 6 � h = 72

Despejando el valor de la altura:

h � �7428� � 1,5 cm

14.85

14.84

284

8 cm

10 m6 cm


Caminos de hormigasLa figura representa un cubo y su desarrollo.Señala sobre el desarrollo los vértices que faltan por nombrar, y sobre el cubo, el trayecto PQRGS queha seguido una hormiga al caminar sobre su superficie.


Indica qué tipo de cuerpo geométrico representa cada una de las siguientes figuras.

a) Cilindrob) Ortoedroc) Conod) Semiesferae) Casquete esféricof) Pirámide

14.A1

14.86

285

A B

DC

E F

H G

A B

DC

E F

HG

S

Q

R

A B

E F

CD

GH

PQ

R

S

A B

B A D

F E H

C

G

D

H

E F

P

Q

R

S

a) b) c)

d) e) f)


Calcula el volumen de los siguientes poliedros.

a) b)

a) V � Abase � h � �4,5

2� 6� � 8 � 108 cm3 b) V � �

13

� Abase � h � �13

� � �30 �

24,1� � 7 � 143,5 cm3

El diámetro de un cono mide 1,2 decímetros. La altura mide los —34

— del diámetro. Determina el volumende este cono.

d � 1,2 dm � 12 cm ⇒ r � 6 cm

h � �34

� � 12 cm � 9 cm

V � �13

� � � � r 2 � h � �13

� � 3,14 � 62 � 9 � 339,12 cm3

Un recipiente de plástico tiene forma de semiesfera, de 24 centímetros de diámetro. Halla el volumende líquido que puede contener y exprésalo en centímetros cúbicos, y su capacidad, en litros.

Vsemiesfera � �23

� � � � r 3 � �23

� � 3,14 � 123 � 3 617,28 cm3 � 3,617 dm3 � 3,6 L

Las medidas de una piscina son 50 metros, 21 metros y 18 decímetros. Se llena hasta los cuatro quin-tos de su capacidad. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se necesitarán para llenarla?

V � 50 � 21 � 1,8 m3 � 1 890 m3

Los cuatro quintos: �45

� � 1 890 m3 � 1 512 m3

Se necesitan 1 512 m3 para llenar la piscina.

Un gran depósito de agua de forma cilíndrica de 10 metros de diámetro y 8 metros de altura, abastece aotros depósitos más pequeños de forma cúbica y arista 1,5 metros. ¿A cuántos depósitos puede abas-tecer hasta llenarlos de agua?

Vcilindro � � � r 2 � h � 3,14 � 52 � 8 m3 � 628 m3

Vcubo � a3 � 1,53 m3 � 3,375 m3

628 � 3,375 � 186 depósitos

¿Cuántos paquetes se pueden colocar en la caja del dibujo?

Vcaja � B � h � 36 � 24 � 30 � 25 920Vpaquete � B � h � 9 � 6 � 5 � 270El número de paquetes que caben en la caja son: 25 920 � 270 � 96.

14.A7

14.A6

14.A5

14.A4

14.A3

14.A2

286

4,5 cm

8 cm

6 cm

6 cm

4,1 cm

7 cm




CONSTRUYENDO RECIPIENTES

Tenemos una cartulina rectangular que mide 40 por 60 centímetros. Todos sabemos que si la enrollamosobtenemos un cilindro. Claro que dependiendo de cómo la enrollemos, por el lado más largo o por el más corto,los cilindros que conseguimos son diferentes. Pero… ¿tienen los dos el mismo volumen?

� V � � � r 2 � h � 3,14 � 9,552 � 40 � 11,455 cm3

� V � � � r 2 � h � 3,14 � 6,372 � 60 � 7 645 cm3

Tienen diferente volumen.

Lbase � 40 cm ⇒ 2 � � � r � 40 ⇒ r � 6,37 cmh � 60 cm

Lbase � 60 cm ⇒ 2 � � � r � 60 ⇒ r � 9,55 cmh � 40 cm

287


Solucionario - Matemáticas 1º ESO (SM, Proyecto ESFERA)

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