Solucionario Fisica I y II - Leiva - FL

FISICA I-II de Leiva

S o luc ionario

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S I L A lililí

de Leiva

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IMPRESO EN EL PERÚ

01 - 0 1 -2012

i DERECHQS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéticos o de alimentaci jü de datos, sin expreso consentimiento del autor y Editor.

RUC N° 20520372122Ley del Libro N° 28086Ley de Derechos del Autor N° 13714Registro comercial N° 10716Escritura Publica N° 448 4


El presente solucionarlo Física 1 y II de Leiva, es un aporte a los estudiantes que aún quedan con la curiosidad de saber más sobre cómo interpretar las ciencias físicas

en sus diversos problemas.

Éste texto es un humilde complemento al texto Física de Leiva que tiene un buen contenido utilizado por los estudiantes de ingeniería a nivel nacional e internacional, el

cuál recomendamos en un 100% como lectura obligatoria.

No obstante éste solucionario en su primera edición desarrollado al 80% es un avance en lo que respecta a presentación y sistema didáctico de presentación dirigido a todos los niveles de la educación que se encuentren involucrados en ésta rama.

El solucionario está desarrollado en su mayoría de aportes de profesionales que en sus pasos de enseñanza por las principales universidades, otorgan a la editorial para publicarlo bajo la supervisión y apoyo del Dr. Eduardo Espinoza Ramos, quien orienta en ciertos aspectos de la publicación.

SOLVER-EDK® es una marca registrada por Edukperu® con todos los derechos

reservados utilizado para la publicación de solucionarlos de textos importantes en el nivel universitario de las diversas carreras.


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b l C Ade Leiva

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SOLVER-EDK


VECTORES c SOLVER EDK «

Se pide demostrar que si el módulo de la suma y diferencia de dos vectores en el espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer por componentes.

Piden:Si |A-B|=|A+B|-» A y B son perpendiculares.

Sea A=(Ax,AyA )B= (Bx,By,Bz)

| (Ax-Bx, Ay-By, a z-Bz ) |=| (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz) |

j(A x-Bx)2+(Ay-By)2+(Az-Bz)2= J(Ax+Bx)2+(Ay+By)2+(Az+B;,)2

Ax+BX-2AX Bx+Ay+ By-2Ay By+A2+B¡-2AZ Bz=Ax+Bx+2AX Bx

+ Ay + By + 2Ay By-f Az + B2 + 2 Az Bz

4AxBx+4AyBy+4AzBz=0

Ax Bx+Ay By+Az Bz=0

AB=0

Si A.B=0—>A y B son perpendiculares

Demostrar que:

(PxQ) (RxS)+(QxR). (RxP)+(QxS)=0

Usar la relación: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q)

La demostración es inmediata usando la relación brindada. La idea es formar a partir de la relación los sumandos que piden demostrar, al sumar dichas ecuaciones se

www.eduKperu.com I B lUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


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encontrará con ciertos valores negativos que podrá sumar igualando a cero la expresión.Dado los vectores P=(2,-l,l) y y Q=(-l,2,2)y R=(l,-2,a)

Cuánto debe valer a para que los vectores sean coplanares.jC T lrfg filM

P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0

i j k

____________ lÉ O K ) .................................................................................................... '________ ACTORES

Resolviendo QxR= =(2a+4,a+2,0)- 1 2 2 1 -2 a

P.(QxR)=(2,-l,l)(2a+4,a+2,0)=0

=(2(2a+4)-(a+2)+0)=0

a=-2

Simplificaíx(Axí)+jx(Ax])+ío<(Axk)r:

jcrnTírarsTMTenemos:

!x (Axí)+ jx ( A x j)+ kx(Axj)...(a)

Resolviendo aplicando la propiedad

P x (Q x R)=Q(P. R)-R(Q.P)

De (a):i x (A x Í)+J x (A x J)+k x(A x j)

A í^ 0 )°+ A (J. j)1-J (A . I ) 1+ A jJ^ °- Í(5 ^ )U=2A

^|J| Si P+Q+R=0 , Demostrar quePxQ=QxR=RxP:

^ im iw rn

P+Q+R=0....(1)

2 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II' www! édükperu ’ com


Piden demostrar que PxQ=QxR=RxP

Hallamos PxQ, Sabemos por (1)

Que Q=-P- R

=*PxQ=Px-1 (P+R)=-PxP-PxR

=-PxR=RxP

Para QxR=Qx(-Q-P)=-QxQ-QxP

=-QxP=PxQ

PxQ=RxP=QxR

|j||| Simplificar (PxQ).(QxR)x(RxP)

VECTORES

Simplificando utilizando la propiedad

AxBxC=B(A.C)-C(A.B)

A.(B x C)=C(AxB)= B.(CxA)

A.nB=nA.B, A.B=B.A

=>(PxQ. [ (QxK) x(RxP)]

=>(PxQ). ¡R(QxR) .P-P(QxR) . R]

=> (PxQ). [R P(QxR)-P R(QxR)]

R (QxR)=0 ya que R IQ xR

=>=(PxQ)[R P(QxR)]

=[P.(QxR)][R.(PxQ)]

=[P. (QxR)] [P. (QxR)]

=[P.(QxR)]2

íf ¡| Demostrar: (PxQ).(RxS)=(PxR).(QxS)-(PxS).(Q xR)

( ~ SOLVER EDK «

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» SOLVER EDK VECTORES

Queremos probar que:

(PxQ). (RxS)=(PxR) (QxS)-(PxS) (QxR)

Por propiedad A(BxC)=C.(AxB)=B.(CxA)

=> (PxQ). (RxS)=R. (SxPxQ)

=r. [p (s .q )-q (s .p )]= (r .p ) (s .q )-(r .q ) (s .p )

Ordenando(PxQ).(RxS)=(P.R)(Q.S)-(P.S)(Q.R)

Teniendo en cuenta las propiedades Px(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)

P.(QxR)=R.(P.Q)=a(RxP)

P.P=0 y PxQ=-QxP(PxQ). (RxS)=S[PxQxR]... .(1)

(Q.R).(PxQ)=P[QxQxR] .. ..(2)

(R.P).(Q.S)=S[RxPxQ].... (3)

De (1)

De (3)

De (2)

S.[Q(P.R)-R(P.Q)]=(S.Q)(P.R) (S.R) (P.Q )... (a)

S.[-PxQxR]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q) .. .(p)

P[QxQxR]=0

Ya que QxQ=0 Sumando (a) y (P) Tenemos.

(PxQ)- (RxS)+(QxR)(PxQ)+(RxP) ((Q xS)=0

Demostrar que los vectores P= (2,8,0) ,Q= (-2,3,8) Y R=(0,6,-4) Pueden ser loslados de un triángulo. Hallar las longitudes de las medidas triángulo.

HSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II vvww.edukperu.com


VECTORES SOLVER EDK «

Para que los vectores puedan ser lados de un triángulo tienen que cumplir:

RP+PQ=RQ

RP=(2,2#4) PQ= (-4, -5, 8)

RP+PQ=(-2, -3,12)=RQ ••• Por tanto estos vectores si son lados de un triángulo.Tenemos el siguiente triángulo:

P

Hallamos las longitudes de las medianas:

RO-RQ--PQ

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» SOLVER EDK J VECTORES

PN=^RQ-RP

Los componentes de las medianas son:

PN=(-3,~,2)

RO=(0,-i,8)

QM=(3,4, -10)Entonces las longitudes serán:

L,=|PN |=5,02

l2=¡r o |=8,oi

L3=|QM|=11,18

Q

agm urgtüar

Teniendo en cuenta los triángulos PQR y PRS, tendremos que N y M son baricentros

respectivamente.

Dado el paralelogramo PQRS donde T Y L Son los puntos medios de los lados QRY PS respectivamente. Demostrar que PT Y PL dividen a la diagonal PQS entres partes mediante los puntos M Y N.

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Por lo tanto ON=^ÑQ....(l) y ■ MO=^SM....(2) probado en el problema 42

de los problemas resueltos.

Pero O divide en la mitad al vector MN, teniendo ^~=ON=MO...(3)

De (1), (2), y (3) obtenemos que:

m n =ñ q =sm

Tomando MP=MA+AP pero MP=^BA+^AD

Pero sabemos que: BA+AD=BD

=>MP=^BD

De esto tenemos queMPIIBD

Ahora tomamos el vector NO tenemos NO= NC+ CO

ÑO=^BC+^CD

Pero BC+CD=BD Tenemos que

ÑO=^BD

De esto obtenemos que NBIIBD

Como ÑBHBD y MPIIBD

Entonces NBIIMP y NB=MP

w w w - eduKper u , corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


>> SOLVER EDK 3 VECTORES

Lo mismo procedemos con los otros vectores:Por lo tanto:

MNHPO y.MN=OP

ÑBIIMP yÑB-MP

f t Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en unpunto y se llama incentro y corresponde al centro de las circunferencias inscritas al

triángulo.

Tenemos que demostrar que AM.OM=BN.ON=AP.OP=C)

AM.OM=ÁM.(ÁM-ÁB)

=AM. AM-AM. AO... (a)

La Proyección de AO sobre AB es

AO.p=AO cosa pero AM=AO cosa

=>AO.p-AM

En (a):

Luego:ÁMlOM

De igual forma se puede demostrar que:

BN.ON=0 y AP.OP^O En el triángulo AMO y APO usamos la Ley de Senos

HSOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II



i - - • °MI -|OM|=|AB|senasen 90 sen a |ÁO| |ÓP| -|OP|=|AO|senasen 90 sen a

Luego |OP|=|OM|=R

De igual forma se demuestra que |OP|~|OM|=R

¡y VIH Mi

Del triángulo formado por los vectores

P,Q,RPor ley de senos tenemos

_ P ___Q Rsena sen0 ~ senoc(180-Q)

QP=-- - , oc=Q-0sen0Q=$?=-- -(sen0 cos0-sen0cos0)sen0

=>P=Qsen0-Qcos0

vw. ^ cofn.' SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

l

Dado los vectores P Y Q , que forman ángulo 0, demostrar:QsenG

tan0=— —-- -P+Qcos0donde 0es el ángulo entre la resultante y el vector P .



=»tan0=Qsen0

P+Q cos0

Dado los vectores P yQ;R=mP+nQ, tal como se indica en la figura. Si P =3, Q = 5 y R =10. Hallar la relación: m/n.

Tenemos los módulos de cada vector: (P)=3 (Q)=5

Para los vectores que suman R deben de ser iguales, entonces:

(nQMmP)

¡Q|_m

ÍT"m 5 n 3

Se dan los vectores P yQ forman un ángulo agudo tal que sen0= 3/5. Si el módulo de

P=16 y sabiendo que P es ortogonal a(P-Q) : Hallar el módulo de Q

JEffllKTOTgW

m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV II www. ecj uk perú, con


VECTORESr ~ -SOLVER EDK «

Según el dato Pl(P-Q)=> =90° de la parte sombreada, por ley de senos tenemos:P O

sen (90-0) sen90 P

=>0=sen53° =20

© Las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros de lado a. (a) Hallar el ángulo que hace cada lado con la cara opuesta, (b) La distancia de un vértice a la cara opuesta. Hacerlo por vectores.

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» SOLVER EDK »VECTORES

a=|ÁB|=|BC|=|CD|=|BD|=|AD|

El área de la figura sombreada será:

,— — ,. senO A=|BD|.|DM|— -

MA+AD=MD

^MA+AD=MD

Si “O” es baricentro:

|MD|=Jr3|AC|

— 2— > OD=~MD

El

COSO|o d | _ | | m d | 2/ í ^ | a c |

: |B D f | Á C r 3 V2 |AC|

V3Cos 0=-

0=54,73°

Y la altura será: h=a sen(54,73)

h=0,81 a

© Sea PQRSTM los vértices de un hexágono regular. Hallar la resultante

representados por los vectores. PQ , PR, PS , PT, y PM .

I SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

de las fuerzas

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v e c to re s C SOLVER EDK «

Q

Haciendo coincidir el punto P con el origen de coordenadas y considerando el lado de longitud a.Tenemos:

PQ=acos60+a senóOj

PR=a senóOj+a senóOj

PS=2acos60Í+2a senóOj

MS=(a+a cos60°)í+a senóOj

PM=aiSumando en X y Y tenemos

PQ+PR+PS+MS+PM=3 a i+6a senóO]

6a cos60i+óa sen60j= 3PS

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» SOLVER EDK 3. VECTORES

% Demostrar que el polígono que resulta de unir los medios de los lados de un cuadrilátero es un paralelogramo. Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular

aA= (l,l,l) y B=(2f3,-1).

Sea el vector P tal que |P|=1

P lB P IA

Si P±B y 1P±A—>P.B=0P,A=0

P,B=(P1,P2,P3)(2,3r l)=2P1+3P2-P3=0...(l)

P.A=(P1,P2,P3)(1,1,1)=Pi+P2+P3-(I1)Resolviendo:

Hallando K:

_ 4 KP1=--KP2=KP3=3

|P|=1=JP?+PÍ + Pl

9 8 V26

P=±4=H-3,1)V26Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular a A=(l, l,l)y B=(2,3,-l)

l

14 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. ed i* perú. con


VECTORES C SOLVER EDK «

¡||p (a) Hallar todos puntos de que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo formado por los otros tres vértices A = (1,0,1), B = (-1,1,1) Y C = (2,-1,2) .(b) también hallar el área del triángulo ABC.

m m m m m

Siendo A, B, C y D vectores de un paralelogramo se cumple que A+C=B+DEn el paralelogramo se cumple A+C = B+DTenemos:(2+P1,P2,P3+2)=(0, 1, 2)

P1=-2 ,P 2=2,P3=0 P=(-2, 2, 0)

Lo mismo se aplica para hallar los demás vértices, por tanto tenemos que:

AC=(1, -1,1), AB=(-2,1, 0)

CB=(-3, 2, -1)

Sabemos que

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>> SOLVER EDK ) VECTORES

a a=q IACxABI

=¿ACxAB=¡ j k1 -1 1

-2 1 01i r r a/6

=*AA=-'Jb= —

Dos vectores P = (2,-3 ,6) y Q= (-1,2,-2) están aplicados a un mismo punto. Hallar las coordenadas del punto R que tiene la dirección de la bisectriz del ángulo

formado por los vectores P y Q, Si R = 3a/42 .

Podemos relacionar de la siguiente arquitectura manera por gráfico

Ahora hallamos K tal que

RxQIIPxR

RxQ=K PxR.... (a)

¡RxQ|=|K PxR|

| R|| Q| sen0=K | P|| K| sen0

De (a) tenemos que

-2b-2c= (-3c-6b)

2a - c = 3/7 (-2c+6a) 2a + b = 3/7(2b+3a)

3- K=7

Resolviendo

a = -K

b= 5K c=4K

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvwvv.edukperu ¡


VECTORESf~ _________________SOLVER EDK «

Su módulo del vector

Es

R=(-K, 5K, 4K)

3VÍ2

=>K2+2SR2+16K2=9V42

K=3

•*.R—C-3,15,12)

3 Si P+Q+R = Ó. Demostrar que PxQ+QxR+RxP=3PxR .

Teniendo en cuenta el problema 5) tenemos que

PxQ=RxP=QxR

^PxQ+QxR+RxP^PxQ

Hallar el área del triángulo c u y o vértices son los puntos A = (2,-2,3). B(1,-2)YC

= (4,2,-1)

CA=(-2, -4,4)

CB=(-3, -4,1)

Aa=1|CAx CB|

Aa= 1(20, -14, -4)|

AA=Vl53

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» SOLVER EDK D VECTORES

Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son P=(l,2,-1), Q=(3,4,-6)

y R=(2,1,-3)

V=|P.(Q x R)|

Q x R=i j k3 4 62 1 -3

(-6, -3, -5)

Se conoce los cosenos directos de dos vectores cuyos valores sona|,a2,a3 y b1; b2, b3 . Demostrar que ángulo entre ellos es 6 y se obtienes de la

expresión cos0=atbi+a2b2+a3b3

Como tenemos los cosenos directores de los vectores, tenemos los vectores unitarios

de ellos-,

V=^=-=(cosa, cosp, cos0)

W= 7 T=COOC', cosp', COS0' lwjEntonces tenemos los valores:V=(a1,a2, a3)

ggfgj SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1Y II vvww. edukperu. oo!Ti

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W=(b,,b2,b3)Haciendo el producto escalar obtenemos el ángulo que forman:

V.W=(|V||\V|cosO

=cosO=(a,b,a2,b2, a3b3)

Dado el vector A y el escalar m , hallar el valor de B ,tan que A.B= m.

—iii]HWÍ»3

Podemos dar la forma de:

B=A+A

Haciendo producto vectorial y considerando A=C se tiene:

AxB=CxA+AA

A.B=y||A2||A.B

o it =y

B=CxA+ ip^r .AIKII

Dos vectores Á y B tiene magnitudes iguales de 10 unidades. Están orientados

como se muestran en la figura. Su suma es R=A+B. Hallar (a) los componentes

de R. (b) el módulo de R. (C) El ángulo que forma R con el eje de los +x.

Lo dejamos como ejercicios para el lector, aplique los conceptos aplicados en los ejercicios aplicados en los anteriores ejercicios.

¡|p Dados los vectores A= (1,1,2).B= (1,3,4). C= (1,1,1) y P= (1,-5,1). Hallar los

valores de m, n y r para que mm-nB+rC=P.

Sean los vectores: A=(-l, 1, 2), B=(l, 3, 4)y C=(l, 1, -1)

' .-d jwu cosn SOLUClONARiO FISICA LE IVA 1 Y II



Por condición del problema:

mA-nB-rC=(l, -5,1)Obtenemos las siguientes expresiones:

-m-n+5=l

m-3n+r=-5

2m-4n-r=lEn este problema utilizaremos cramer:

|Am| m= JA I

¡An¡ " |A|

|Ar| r |A|

Siendo A matrices Entonces

1 -1 1-5 -3 11 -4 -1-1 -1 i1 -3 12 -4 -1

-17m=TLo mismo procede para n y r

-5

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VECTORES c SOLVER EDK <<

y

r=-4

Hallar el vector A= (2,-1,-4). Hallar el vector P, cuyo sentido es opuesto al

vector A y su módulo es la cuarta parte de A.

Para que valores dém e R, el vector |m; -m, ^(m-l)J es unitario.

El vector |m,-m,^(m-l)j es unitario

=¿su módulo = 1

Jm 2+m2+ ¿(m -l)2=l

33m2-2m-15=0l±4V3lResolviendo: m= 33

Hallar el vector unitario que une el origen con el punto medio del segmento AB,

donde A=(4,-l,l) y B=(2;l,l).

m m m m w

Sea el vector P tal que P||A y opuesto A A y|p|=l^ ,|a |=>/2T

Como P||A 3 K E R tal que (P i ;P2,P3)=-K(2, -1, -4)

=>P,=-2KP2=+KP3-4K

|P|=KV2T=^^K=74 4SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I



.•.P=(P1;P2;P3)=(-2K;K, 4K)=(0,5; 0,25; 1)

¡p Demostrar que un vector cualquiera A el espacio se puede expresar A=

(A i, A. J, A. k)

- /

Mostramos los vectores en el siguiente gráfico:

Tenemos los siguientes componentes de A:

A=(|A|jí|cos8;|A||j|cosa ;¡A|¡k¡cosy )

El producto escalar se define:

A.B=|A||B|cos0

=>A=(A.Í ,A.J,A.k)

Demostrar que un vector unitario cualquier Q en el espacio se puede :

Q= (eos a , eos p, eos y ) donde a, ¡3 y y son los ángulos que hace el vector A con los eje X , Y y Z.

m m m m

Cuáles son los valores de m y n para que A= (m,-2n,l)y =B= (n,-m,3) Son perpendiculares y A = 3.

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VECTORES

A lB —► A . B=0

(m, 2n,l) (n,-m,3)=mn+2nb+3=0

Sabemos quemn=l

A=3=V m2+4n2+l

9=m2+4n2+l , n=l/m

8m2=m4+4

m4-8m2+4=0

Resolviendo tenemos que:

m=j4±2V3

n=- 1±

Dado los vectores A y B déla figura: (a) Halla A.B (b) Hallar Axb.

De la figuraLos vectores están en el plano XY entonces tenemos

SOLVER EDK «

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■

23


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A(óV3 cos30, 6V3 sen30°; 0)

Si el módulo de la suma de dos vectores A y B es 8 y los módulos de A5 de y B =10 Hallar el módulo déla diferencia délos vectores.

|A+B|=8 y |A|=5 |B|=10

Piden

I A-B¡=?

|A+B|=J|A|2+|Bj2+2|A||B| eos 0 =8

25 + 100 + 100 cosO = 64r> 61eos 0 = - —

100

|a -b |= J|a |2+|b |!-2|a ||b | cos0 = 25+100-100 V 1 0 0 /

|A-B|=Vl80

Si el módulo de la suma de dos vectores es VÍ0 A=y V3 , B = 3. Hallar el

producto escalar A.B

|a +b |=VTo, ¡a |=V3,|b |=3

Piden hallar A . B

|a +b |=VTo=^|a |2+Sb |2+2|a ||b | cosO

12+6V3 cos0=10 -1

=»cos0=3V3 '

Sabemos que:SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v-zww. éd ukperu. corn


VECTORES I SOLVER EDK «

A.B=|A||B|cosO

V3V3' .••A.B=-1

Si el módulo de un vector es A = 2 y el otro es de doble magnitud B = 2A, Si el ángulo que forman dichos vectores es 120°. Hallar el módulo de la suma de los vectores.

Piden hallar

|a |=2 |b |=2 |a |=4

|a +b |=?

Si

|a +b |=J|a |2+|b |2+2|a ||b | cosO

0=120°

V4-16-16cosO=2V3

|A+B|=2V3

Dado dos vectores de un triángulo A= (1,1, 1), B= (l,-l,l) y C= (-2,1,-1). Hallar

el ángulo que hacen los vectores AB yAC.

wvvw. cd u Kper u, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 25www.elsolucionario.net

» SOLVER EOK VECTORES

X

A

C

> y

Piden el ángulo =? t

AC=(-3, 0, -2)

ÁB=(0, -2,0)

AC.AB= |AC||ÁB|cos0

0=Vl3.2 cos0 cos0=O

.-.0=90°

Dados los vectores P, Q, R y S, que cumple la condición PxQ=RxS y Px R- Qx S .

Demostrar que el vector P- R .

Para que P-S sea paralelo a Q-R tiene que cumplir que: (P-S)x (Q-R)= O

Demostraremos esto:(P-S)x (Q-R)

(P-S)x Q-(P-S) x R

PxQ-SxQ-P-R+S-R

Por condición:

PxQ=RxS

y PxR=QxS

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y sabiendo queAxB=-BxA

; tenemos

PxQ+QxS-RxS=0

.-.(P-S)ll(Q-R)

^ Dado los vectores A=(1,l,) , B=(-l,-a,a) y C=(a,l,-a). Cual el valor de a para que el

volumen definido por los tres vectores de igual a 7.

^ ÍUH IHLUTenemos los vectores

A=(l, 1,1) B=(-l, -a, a)

C=(a, -1, -a)V=7

=>BxC=i j k1 -a aa 1 -a

=(a2-a, a2-a, a2-l)

A. (BxC(a2-a+ a2-a+ a2-l))=7

Resolviendo tenemos que

3a2-2a-l=7

3a2-2a-8=0

-4a = 2 °-

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» SOLVER EDK

¡j} Dado los vectores A=(l,-2, 2) y B=(-2, 2, -3) . Hallar la proyección escalar y

vectorial de B sobre A.

Siendo los vectores

A=(l, -2, 2)

B=(-2, 2,4)Piden hallar

Proy escalar =? y Proy vectorial =?

B—Á

Proy escalar =

Proy. Vectorial

B^A

B.Á_2 W 3

(B.Á)Á (2,-4, 4)|A|2 = ^

Si P.Q=20 Y P=3 , Q=10 Hallar |PxQ| .

j B ü f

Tenemos que P.Q=20 y |P|=3 ,.|Q|=10

Piden |PxQ|

P.Q= |P| jQ| cosO—>cosO= \

—>0=48, 20°

VECTORES

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II I m e d ukperu. cqm'



Piden |PxQ|=|P||Q|senO

=80 sen (48, 20)

|PxQ|=10V5

Si B paralelo a C y B. (Ax C) = 0 entonces demostrar C

(PxB).

Tenemos queBlICy B.(AxC)=0

Piden demostrar queC.(ÁxB)=0

B||C si 3 KeR tal que B=KC

=>C.(AxB)=Á, (BxC)=A.(KCxC)

=Á,K(CxC)=KA(CxC)=0

=>C.(ÁxB)=0

•••C±(AxB)

Si A es un vector en el plano y p7 un vector unitario A

WTOCTTenemos los siguientes vectores en el plano:Los componentes en la recta del vector unitario es

|X||p|cosO=A.p

y la otra será|A||p|senO=¡Axp|

•••A=(Á.p , |Axp ¡)

es perpendicular a

= (A.p, |Ax p|).

eclóK¡m u , corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


» SOLVER EDK D

f t Demostrar usando componentes: Px(QxR) = Q(P.R)-R (P Q •

Primero calculamos

Ahora

QxR

QxR=i j k

di q2 °i3u r2 r3

=(q2r3-r2q3, r,q3-q1r3, q ^ - r^ )

Px(QxR)=

Px(QxR)

i j kp, P2 P3

q2r3-r2q3 r,q3-q,r3 q1r2-r,q2

=( P 2 ( q , r2-r,q2)+( p3(q, r3-r,q3)

- ( p1(q1r3-rlq3)+( P3(q 2r3-r2q3)

-(P ^ q ^ - r^ H p2(q2r3‘r2Q3))

=( p2q irr p2nq2+ p3q ir3- p3riq3

- p, q i r2+p ir t q2+ p3q2'r3-p3i'2q3)

• p1q,r3+ p¡r,q3- p2q2r3* p2r2q3)

Si le sumamos y restamos el siguiente vector

SSsOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

VECTORES

www. edüKpgnrccrn


u=(q, r, p,,q2 r2p2,q3 r3p3)

=( P2q,r2- P2nq2+ P3Qir3- P3riq3+qlriql-q1riql ,

- p,q1r2+p,r1q2+ p3q2r3-p3r2q3+q2r2p2-q2r2p2,

- P lq,r3+ P,r,q3- P2q2r3- p2r2q3+q3r3q3-q3r3q3)

=( P2q,r2+ P3qir3+ q,riPi, P,iriq2+P3q2r3+q2r2q2,

p1r,q3+ p2r2q3+ p1r1q3+ q3r3p3)+

(- P2r,q2- P3riq3- q,r,p,,- p,q,r2- p3r2q3- q2r2p2,

-p1q1r3-p2q2r3-q3r3p3)

=(q, ,q2Jq3) (p, n +p2r2+p3r3)-(r1 ,r2,r3)(p ,q ,+P2q2+P3q3)Sabemos que

P.R=(p1r,+p2r2+p3r3)

P .^ íp ^ ^ p ^ + p ^ g )

••• P(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)

© Se tiene un vector P, cuya tercera componente es 2, si P es perpendicular a

(1,-2,1) y (-1,1,-2). Hallar el vector P.

VECTORES ( __________________ SOLVER EDK «

w w w eduR peru, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net

I » SOLVER EDK D VECTORES

Jg iW IH liM r

P=(a, b, 2)

P l ( í , -2, 1) y (-1 , 1 , -2)

=>P.(l,-2,l)=0

P.(-l,l,-2)=0

a-2b-2=0

-a+b-4=0Resolviendo que

a=-6b=-2

•••P=(-6, -2,2)

‘¡¡¡Ufy Si el vector R paralelo al vector Q xP y proyQ—>P=1 sabiendo QHallar

Q.(PxR)

Piden hallarQ.(PxR)

Por condiciones del problema:

R||QxP=>el ángulo que forma o es 0o o 180°

Pi'oyQ_ p= 757=1QP

|P|

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II

2, P=6 PY R =8.

www. ed ukperu, com


Q.P=|P|

De lo anterior hallamos que ángulo forman los vectores

Q y B

Q.P=|Q||P| cosa=|P|

|P| 1cosa= ._T-r = -

|Q||P| 2

=»oc=60°

Por propiedadQ. (PxR) =-R. (QxP)

VECTORES____ _________SOLVER EDK «

-R.(QxP)=-|r| |QxP| cos(180)

|r | |Qx p |

Tenemos que

Qx(PxR)=|R| |Q| |P|sena

= 8.2.6 sen60

.-.Q.(PxR)-48V3

^ Se dan los vectores en el espacio A = (l,l,l), B= (l,-l,l) y C=-2,l,-2). Hallar: (a)

AB.BC (b) ÁC x( AB-BC) (C) El vector unitario perpendicular al plano que pasa por los puntos A, B Y C. (d) El ángulo que hace el vector unitario de la pregunta, (c) con

www.aduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II 33


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el vector D=(0,1,1). 48. Si Á es un vector constante y r es el vector que va del origen

al punto (x,y,z) demuestre que (r-A). A=0 es la ecuación de un plano.

Sean los vectores A=(0,1, 0) B=(l, -1,1) y C=(-2,1,-2)

a) Piden ÁB.BC=(l, -2, l ) (-3, +2, -3)

. AB.BC=-3-4-3=-l 0

Piden ACx(AB-BC)=(-2, 0, -2)x(4, -4,4)

ACx(AB-BC)=i j k

-2 0 -24 4 4

N=

=(-8, 0, -8)

=(4, 0,4)i j k

-2 0 -21 -2 1

El vector unitario de N es

N 1 P=T=77 = “7 = 0 / +1)N V2

D-P= cos0

COS0=D.p

|D|IPI

De esto hallaremos 0:

9=cos- , J 4 í _ )V|d ||p |/

1 / +1/V2\ 0 = C O S ' '= (---- -=r

v i.V 2 y0=60°

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY www. edukpeí u .com



Si A es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x,y,z);

xr!+yr2+ zr3-(rf+r|+r|)=0

Tenemos que como Á es un vector constante y teniendo que rf+rf+r3=CSe tiene xr!+yr2+ zr3=CQue es la ecuación cartesiana del plano.

1^3 Considerando los mismos vectores del ejercicios anterior demuestre que

(r-A).r=0;es la ecuación de la esfera.

Del anterior problema obtenemos:

ri+r2+r3“ xn+yr2+ zr3=0

Restando y sumando factores para conseguir ecuaciones cuadráticas tenemos que

demuestre que (í-A).A=0 es la ecuación de un plano.

M m m m

Sea r=(rl;r2,r3) yA=(x,y,z)

Se tiene que (A-r)r=(x-r1; y-r2; z-r3).(r1; r2; r3)

Y siendox

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» SOLVER EDK 3 VECTORES

r3-r z

y C constante Se tiene

xf+y2+zf=C

Que es la ecuación de una esfera

3 Si A+B+C=0 y A =3, B=5, C =7. Hallar el ángulo que forman AY B.

Por ley de cosenos tenemos queA+“B=-“C

rr/~E\ IT 2I| A+ B|= C

Reemplazando:

=>C==WA2+B2+2AB c o s O

49-34=30 cosO

cosO= - =>0=60°

Si B,C y D determinan un plano, la distancia de A a este plano:

|(A-B).(C-B)x (D-B)[|(C-B>(D-B)|

JgtílTOrtilMT

Cosenos B, C y D definen un plano se tiene

BSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. edukperu. com


VECTORESSOLVER EDK «

La distancia de A al plano será

d(X plano)=ProyRBA

|(A-B).N|

Del gráfico

d

d(A, Plano)=|1N,

N=(C-B)x(D-B)

|(A-B).(C-B)x(D-B)l A, Plano) j(C-B)x(D-B)|

j^ l Demostrar la mínima distancia de un puntoP i(X i,y1;Zi)

al plano cuya ecuación cartesiana en,AX+BY+ CZ+D =0

a m a w m

P.CXpYpZ,)r — -k N

Tenemos que la cartesiana es:Ax+By+Cz+D=0

De la cartesiana obtenemos N, siendoww w e d u Kd e r u. c o r n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


N=A,B,C

» SOLVER EDK_____________ ............................................................... VECTORES

La mínima distancia se halla:

min —

d(P|, Plano)=ProyRPP,

|(PrP).N|a (p,, Plano)“ j- j

|(Xr X, Yr Y,Zt-Z)-(A, B, C)|

dmin —

Va 2+b2+c2

A(Xi-X+B(Yr Y)+C(Zr Z)J a2+b2+c2

Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadros de los diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.

JRTiW'WIil»

Piden demostrar |A+B|2=A2+B2+2AB |A-B|2=A2+B2-2AB De la galáxica

|D|MA|2y|B|M C|2

=>|A+B|2+|A-B|2=A2+B2+C2+D2

Si los números a, b, c y d son diferentes de cero yaOA+bOB+cOC+dOD=0 y a +b+c+d=0. los puntos A, B, B C Y D Se encuentra en

un plano. ( sugerencia usar: a +b = - ( c + d) y el prob. 39)

Jc ïïlIÎT iM W

38 SOLUCIONARIO FISICA L E IV A IY II www. eciukperu .ccm



Demostraremos que A, B, C y D están en un mismo plano: Entonces; por condición

aÓA+ b¡ÓB+cOC+dOD=0...(l)Si tenemos a

BA= OA-ÓBEn (1) reemplazamos:

aBA+ aOB+bOB+cOC+dOD=()

aBA+ (a+b)OB+cOC+dOD=C)Pero

a+b=-(c+d)

aBA- (c+d)OB+cOC+dOD=0

aBA+ c(OC-OB)+d(OD-OB)=0

aBA+ c(BC)+d(BO)=0

Si los vectores

B A , BCy BD suman cero entonces definen un plano.

Demostrar que la distancia mínima del puntoP (X i^ )

a la recta Ax + BY+D = 0 en el plano XY es:lAX^BYt+Dl

d=--- 7= —VaW

wvvw. edukpenj.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II



Ojo la demostración viene de determinarla distancia a un punto cualquiera de la recta, la distancia mínima es cuando la proyección sobre la recta es cero, o sea haciendo sen0=O. Completa la operación.

La distancia a la recta sería, IAXt+BYt+DI

d=--- =====—V a^ b 5

Si A B C D es un cuadrilátero cualquiera P y Q son los puntos medios de sus diagonales AC y BD, y M es el punto medio de PQ. Demostrar (a)

(ÁB) +AD+CB+CD=4 PQ

(b)0A+0B+0C+0D=40M

,donde O es un punto arbitrario.

i U M Í

PQ=AQ-^AC

PQ=AD-^BD-^AC

40 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eüukperu com


VECTORES SOIVER EDK «

Pero:

Entonces:

— » — » AB CB CD CB PQ=AD-— + — —+ —

— . -—. AB —. CD PQ=AD-— +CB- —

CD=AD- AB+ i CB

AB=BC+^AD-^CD

— , — . CB AD CD —.AD 1 — CB PQ=AD—-— — + — +CB -T- + — +AB- ——2 4 4 2 4 4

— AD CB CD AB PQ- ~T~ + ~T~ + ~~7~ + ~7~4 4 4 4

••• 4 PQ=AD+CB+CD+AB

Trazando el vector AM, se tiene lo siguiente:

OM=AM+OA....aPero

ÁM=^ÁC+^PQ2 2Hallando PQ por el resultado en a:

o

PQ AD+CB+CD+AB ~2~ 8

Pero

Vwww.eduK.peru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II


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» SOLVER EDK 3VECTORES

AD=OD-OA ,CB=OB-OC

CD=CD-OC ,AB=OB-OA

PQ OD OA OB OC >~2~=~4 4 + 4 4

AC OC OA ~2~ = ~2~~ 2

Reemplazando en (oc)

___, OC OA OD OA OB OC —*om=_2 2~ + _4 4~ + _4 4~

___, OA OC OD OBOM= — + — + — + —

.-.40M=0A+0C+0D+0B

Demostrar vectorialmente, que el baricentro, circuncentro y ortocentro de untriángulo son colineales. (sugerencia usar en concepto de vectores paralelos).

i SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV IIwww.edukpertu


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Sean los triángulos AOG y GOM.

Por propiedad del baricentro obtenemos que AG=2GM y por el teorema Simpson se demuestra que

AO=2CMPor semejanza de triángulos tenemos que

OG=2GCPor definición un vector es paralelo a otro si

v=kw

OG es paralelo con GC y coolineales a la vez.Dado el paralelepípedo de base rectangular situado en el plano ZY, su altura a

lo largo del eje X .Hallar el volumen del mismo.(sugerencia hallar AxB.C).

Se dan los vectores del origen a los puntos A,B,C,D son

A=í+J+K,B=2Í+3j;C=3Í+5 J-2K y D=K-J. Demostrar que AB||CD

Tenemos los vectores

www. ecJú KDér u, cor n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I


SOLVER EDK 1 VECTORES

A=(l, 1,1)

B=(2, 3, 0)

C=(3, 5, -2)

D=(0, -1,1)

AB || CD

ABIICD

AB = KTD

ÁB=(1,2, -1)

CD=(-3, -6, 3)Por lo tanto K=-3 Entonces

3 KeR / *AB=:-3CD

3 Demostrar (AxB)xA.A=0 para todo A y B en tres dimensiones.

jcrmnrrgmTWSea

A y B

Piden demostrar

Entonces si

si 3 K6R tal que

De aquí tenemos que

HSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu co n



vectores en tres dimensiones, piden demostrar

(AxB)x A. A=0

Por propiedad

AxBxC=B(A.C)-C(A.B)

YA.B=B.A

=»Á. (AxB)xA=A[B(A.A)-A(A.B)]

=(á .b ) (a . a )-(á a ) (a .b )=o

Dado un vector B=( 1,-2,2). Hallar el vector A tal que sean paralelo a B y demódulo 9.

AIIB si 3 KeR/A=K B

^Á=(K, -2K, 2K)Y su módulo

|A¡=9

=>V91?=9 =>K=3 .-.Á=(3, -6, 6)

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» SOLVER EDK CINEMÁTICA

Un móvil recorre la mitad del camino del camino con la velocidad La parte restante la ase a una velocidad v2 la mitad del tiempo, y la velocidav3d el trayecto final. Hallar la velocidad media del móvil durante el recorrido.

Tenemos que d]+d2=-

Para el primer tramo tenemos:

Luego

Entonces despejando:

Luego también tenemos

Pero

V3t2=d2

Lti~2v;

t - L Æ Y ? )2V] V!+V3

/ media - 3-(t,+t2)...0)

46 SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II vvww. ad ukperu, coni


CINEMÁTICA SOLVER EDK «

4V1.(V2+V3) 3(2V, +V3)

Un móvil se mueve según V = t2 - 9, V (m/s) y t (seg).Hallar la aceleración para

V = 27 rrvS.

■••a=2t...(l) pero piden cuando V=27 =>Veamos 27+9=t2=>t=ó seg •••a=12m/s2

Un móvil se mueve con una aceleración a = 2t,a lo largo del eje x. Hallar (a) la velocidad para t =lseg.(b).El cambio de posición deO a lseg.Para t = 0, v=2m/s, x= 0.

m m m mTenemos que: V=t2-9 pero

Tenemos que a=2t pero

V(t)-V0= /J 2tdt pero V0=2m/s

••■V(t)=t2+2a) Piden para t=l seg b) análogamente tenemos que

V (l)= ^ /oxdx = /0tV(t)dt

www. edukper u. corrí SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net


X = - +2t

=>X(1)=

Un móvil se desplaza a lo largo del eje x y su aceleración el tiempo como se indica en la figura. Para t = 0, x=0, v1xxVs. Hallar (a) distancia total recorrida desdi a 2seg.(b) La velocidad para 2seg.

Del gráfico tenemos a=tg60°.t= V3t ,

también tenemos X=0, t=0 , V= —s

pero ^ =a /v dv=/0tadt=>V-V0=: L ^>V=1+y t2 •■••(*)

También ~ ~ v Í q d* — Íq vdt =>X = f l + ^ - - t 2 dt

X = t + ^ t 3...(*)Pidena )X (2 se9 ) = 4,31 m.

b) de (*) tenemos que V2 = 4,46 m/sUna partícula a lo largo del eje x, su grafica de velocidad en función del tiemi se da en la figura para que valores del tiempo x = 0. Si para t = 0,x =2m.

jH n flra tiia rPiden para que tiempo X=0Veamos además t=-0=»X=-2mEncontremos la ecuación de V en función de t

=>tenemos que V(t>| 2 (2-t), 0^t22 t-(t-4)-2, 2<t<4

Sabemos que: “ =V(t) dx=V(x)dt

cuando 0 < 2

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I www. ed ukperu, com


CINEMÁTICA c SOLVER EDK «

=> dx= I v(t)dt =»x+2=-t(t-4)

0<^2. ..(1 )Ahora cuando

t>2 => dx= I (2-t)dtX0 J 2

2 ^ 4 ... (2)Gomo deseamos que X=0 =» (1) = 0 y (2) = 0

=* en (1) 2=-t(t-4) =>t= (2-V2)seg

En (2) -2=-^-=>t=4seg4

Una partícula se mueve en el plano X y Y sus graficas en función del son: Hallar la aceleración y la velocidad de la partícula para t = 3 segundos. Si para t =V3 ,x = 3

De acuerdo al gráfico, veamos que X=tg60°t y Y(t)=bt2 y por dato

Y(V3)=3=b(3)=»b=l

X=V3t Y(t) = t2

Ahora de las oraciones del movimiento, tenemos:r=V3~t í+ t2]

y

SOLUCIOÑARIO FISICA LE IVA I Y II


» SOLVER EDK D CINEMÁTICA

_ drv= s

a) =>V=V3 í+ 2tj .-.V(3)=(V3j+6j)m/s

b) También a= =>a=2j m/s2

Se el gráfico de la aceleración en función del cuadrado de la velocidad, como se indica en el gráfico. Hallar la relación de la velocidad en función de la posición. Si para t = 0,x = 0,v = 3m/s.

Del gráfico tenemos que:

a=-tg (37°) V2 =>a=-0,75V2dv dv dvAhora tenemos que a= — = — .v =>a= — .v ...(*)

^ dt dx dx

En (*) tenemos que -0,75v2= ~ .v => /* -0,75dx = J3V~

=>-0,75x=Ln Qj) =>V=3eV=3c-'

Dado el vector posición de un móvil r(t)=(2-t2)T+(t3-t)j+(2t3-t2-l)k. Hallar (a) el vector unitario y tangente a la trayectoria dada, cuando t = 2seg. (b ) el módulo de

la aceleración cuando t == 2seg.

.W

Tenemos que r(t)=(2-t2)í+t3-t)J+(2t3-t2- l)k

a) Veamos sea: V=^=>-2-tí+(3t2-l)J+(6t‘2-2t)k

Sea V(2)=-4Í+lJ+20k

•••Ot=^=(-4,ii,2oW537

b) a=^=2Í+(6t)]+(12t-2)kdt=»a(2)=-2Í+12Í+22k

■SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edticp8ru.com


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CINEMÁTICASOLVER EDK «

=>a=Vó32m/s2

Una partícula se mueve en el plano x y,de acuerdo a las relaciones 2X — —2seg3t, 2V = cos3t. Cuando t - 0,x=0 y = 2vx = 4 m / sy v y = lm /s . Hallar la

ecuación de la trayectoria, (b) la velocidad para t = nJ6 seg.

Tenemos que: ax=-2sen 3t , ay=cos3t,Además Vx=4 , Vy=l m/s cuanto t = 0 , X = 0 , Y — 2

Piden f=?Veamos por la ecuación del movimiento á=-2sen3ti+cos3tj

dtdv c - r _|a= — => dv= I adt

J(4 ,l) Jo

. . 2 ~ sen 3t.=>y-(4i-lj= - ( eos 3t-l)i+ — j

/2 eos 3t-l 10\* /sen3t

Ahora V = ^ / (r02)dr = /otvdt

a) r-2j= (2 sen3t+ y ) í+ t+ i) j

/2 10t\„ /-cos3t 19\.,r=('-sen3t+ T ) i+(— t+- j j

b) De (*) tenemos que 1C

Z110. 4. ,--v= — i+ -j=>V=Vll6/3

Desde un plano inclinado un ángulo a es lanzada una piedra con una velocidad v0 y perpendicular al plano. A qué distancia del punto de lanzamiento caeésta piedra.

* * w eduKper u om SOLUCiONARIO FISICA LEIVAI Y IIwww.elsolucionario.net

» SOLVER EOK CINEMATICA

Como no existe resistencia del viento=>; este cuerpo desarrolla MPCL. Si nos regimos

a la ecuación vectorial de este movimiento tendríamos d=V0t+-gt2. Haciendo la

representación vectorial, tendríamos

También tenemos:

gsenoc

...(*)

-gt2sena=d

2Vna /sena\ ^d=—£ -.[— - ) 2 vcos2a/

© ángulo debe ser lanzado un cuerpo cuyo peso es a), para que la altura máxima que se eleva sea igual al alcance del lanzamiento. También existe una fuerza f horizontal del viento que actúa sobre el cuerpo.

Ahora analizando en el eje “Y” como en eje se desarrolla un MPCL:= Vty=V0y-gt

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu. corrí


CINEMATICASOLVER EDK «

=*Vosen0=gt

=>t=V„sen0

Vosen0 Vosen0 Vosen0 =>H= ,t=-2—— .— —

H=-V„2sen20

2g

Ahora en el eje “X”. Como dicha fuerza F, ejerce una aceleración en opuesta al movimiento

gF

Ahora

a=-w

1 gFdx=Vocos0t i --— t?2 w

De (1) tenemos que t ^

De (*) y (***) H=dx

dx^VoCosOtT-ati

dx=

dx=

Vo2sen0cos0 1 gF VoSen20 2g 8 w g2

Vn2sen0 /cos0 Fsen0\) /cos0 hsentn

Vo2sen20 Vo2sen20 í cos0 Fsen20\ 2g g V 2 8w j

=>cot0= ■4w+f4w

Dos personas están en un edificio, cuya ventana está a 250 pies. El primero suelta una piedra por la ventana dos segundos después la otra persona arroja otra piedra

wvvw. eduKperu, coro SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net


hacia abajo por la ventana. Ambas piedras llegan al suelo al mismo instante. Cual sería la velocidad inicial de la segunda piedra. G = p/seg .

Sea H lo recorrido por B y A. => A

=>H=VoAt+igt2

H=Ígt2

H=16gt2 ...(*)

Pero H=250 =>t=J =4seg

Para la esfera B.

H=V(t-2)+¿g(t-2)2

H=V (t-2)+16(t-2)2

250=V(2)-16(4) V=106 P/seg

V------------„ , r-,,.. , -7Ñ------- - www.edukpéru ;SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y IIwww.elsolucionario.net

CINEMATICA SOLVER EDK «

| Jn cuerpo es lanzado en el plano X Z, desde el punto A (4,0,0), con una velocidad inicial 10 m/s, bajo un ángulo de 60° con el eje X. la partícula es sometida además a una aceleración de un m/s2 en la dirección +z, Hallar posición del cuerpo a lo largo del eje x. Use g = 10 m/seg2.

De las ecuaciones del movimiento parabólico vectorialmente tenemos

d=Vot+^at2

-at22

También tenemos que aresul=10-4=6m/s(-k) 1

Votsen60=-at2

2vosen60 =>------- =t

...(* )Luegod=votcos60

www1. eckrkperu, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net

» s O L v g ¡vS § g n 6 0 c o s 6 0 ) cinemática---d= - —

a•••d= 14.43

•••x=18.43 m

Hallar con que velocidad vQ y 0= 60° es lanzada un proyectil tal que en el instante

2seg, la velocidad forma un ángulo de 45° con la horizontal. Use g = 10m/s2.

v 0sen60

V0cos60

Asumiendo que aún sube: como el eje x se mantiene constante:

=>Vx=Vocos60°

Vx= ■•••(*)

Vy=Vx= y •••(*)

Ahora analizando en el eje y, también para t=2

Vty=Voy-gtVo— =Vosen60°-(10)(2)

Vo=54,641

Un auto se mueve en línea recta, sobre una carretera a velocidad de 40 p/s. En cierto instante, el conductor ve un tren que empieza amoverse hacia la carretera

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II wwvv, ed uk perú. corrí



desde la estación. El conductor cree puede adelantar ai tren sin cambiar su velocidad. Si la vía y la carretera forman entre si un ángulo recto, y el tren tiene una aceleración 10 p/seg2. Sobre vivirá el conductor para contar la historia. El auto esta’ inicialmente a 200 pies del cruce, mientras que la estación está a 130 pies.

v 0 = 40p/ s

= 0

130pies

a = 1 0 p / s 2

Calculemos el tiempo que les tocará a cada uno:

Veamos para el auto V= -

200=>t. = — =5 seg v

Ahora para el tren =>d=V0tc+ at2

1130= ~ at2

t2=5,099 seg Si sobrevive el conductor (pero por poco)

O Supongan que el alcance horizontal máximo cierto cañón con una velocidad inicial fija es de R0. (a) demuestren que la velocidad inicial de vQ asociada a este canon es

de JgRQ- (b) supongan que este canon se encuentra al pie de una colina con un

ángulo de elevación a y se dispara en un ángulo a con respeto a la colina.Demuestren que la trayectoria del proyectil se puede expresar el siguiente sistema de coordenadas en la forma:

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» SOLVER EDK ) CINEMÁTICA

a) De la ecuación, vectorial del movimiento parabólico se tiene:■R,

Vot= sen0

Vo= — . (* )senGt

También tenemos:1 0Votsen0= - gt2

=»t=-2Vosen0

(**) en (* )

g (**)

R0s° 2sen0cos0

Además para que Ro sen max=>0=45°.*• Vo= jRog

b ) Ahora analizando en el eje “y”, tenemos

V=Voyt-^gt2

Luego en el eje “x”

Reemplazando (** ) en (* )

=> Y=VQsen (0+a)t \ gt2 . . . (* )

X=t.VQ eos (0+a)

=>T= Vocos(0+a)

FISICA LEIVA I Y II vvww; ed ukperu, comSOLUCIONARIO


CINEMÁTICA

=>y=xt3(e+a)- 2RoC0s2te+aj

c SOLVER EDK «

Se lanza un proyectil con una velocidad inicial v0, bajo un ángulo 6. La altura máxima que alcanza es H y el alcance horizontal es R Hallar la velocidad inicial y el ángulo de tiro en función de H Y R.

f m

Como el cuerpo desarrolla un movimiento parabólico en el eje “Y”, en la parte más alta

V,y=Voy-gt

voy=gt

VosenG

...(a )

.(*)Ahora para el eje “X”

Tenemos

••• Vox=Vocos0

-=t

Vosen20 lgV0sen28=>H= g 2 g2

04)VoSen20 / 1

=>H=g

VoSen20

R=V0X.t, pero t,=2t R=V0X(2t) de (a)

Vosen0 R=Vnv.2. —2——

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» SOLVER EDK J CINEMÁTICA

....(**)De * y (**) tenemos

2VoCos0sen0

V2=v nRS

° 2cos0sen0

1 /4H\9=ts (t )

g(R¿+16H¿) i/2

8H

© Sobre un plano inclinado, cuy ángulo es 6 se halla un cuerpo B en reposo. Con que aceleración horizontal se debe desplazar el plano inclinado, para el cuerpo B tenga caída libre hacia abajo.

Como B desarrolla un MCL, veamos t seg, luego de su movimiento

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu. cor?;*



Del triángulo tenemos que:

También Y=VABt+ gt2

En (*) reemplazando tenemos

xtg6=y ...(* )

Y=^gt2 ...(**)

X=-cot0gt2 .... (a )

Ahora como la cuña inicia su movimiento d=VABt+-t2

X= 1t2= cot0gt2 =»a=cot0g

a>cot0g

Dos partícula se mueve con velocidad constantes vt y v2 por dos líneas rectas y normales, hasta que se intersecten en 0. En el momento t = 0, las partículas se encontraban a las distancias l x y 12 del punto 0, (a) Al cabo de que tiempo la distancia entre las partículas será mínima?, (b) cual será esta distancia mínima.

www. edukperu ■ corn SOLUCiONARIO FISICA LE IVA I Y II



O ^ ►d. — m

\ 4

. - Í v

Si tenemos la velocidad relativa de la esfera (2) con respecto a (1)

De acuerdo con la gráfica la mínima distancia será cuandod=(l1.m)c o s 0 + ¿ ...(*)

Donde “d” es la distancia recorrida por la esfera (2) t= —

'2 + V ¡

v2/lPero tg0= vi m=v2ig

v2

tmiii— "V|1,+V2I.

Vf+VlDel mismo modo se demuestra que:

X= (l1.m)sen0=I Vol ,-V, 121

m ñ Un torpedo es lanzado desde el punto p en el instante que el barco enemigo se encuentra en el punto Q y navega con la velocidad 60 Km/h dirigida formando el ángulo de 60° con la línea PQ. La velocidad del torpedo es 120 Km/h. con que ángulo 6 hay que lanzarlo para que de en el blanco.

m m m \Para que llegue alcanzarlo se tiene que cumplir que una de las componentes, la vertical en el mismo tiempo hagan la misma distancia.Entonces tendremos:

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60 km 120 km—-— sen60. t = — ;— -.sen6. t h h

Despejando tenemos senO = V3/4 Luego 6 = 25.6°Un cuerpo p comienza a moverse con una velocidad inicial v1 y con la aceleración constante a1. Otro cuerpo Q comienza a moverse en el mismo instante que p con una velocidad inicial v2 y con la aceleración negativa a2. Cuanto tiempo transcurrirá desde el momento en que ambos cuerpos comienzan a moverse hasta que sus velocidades se igualan?

Para la primera tenemos

Ahora para la segunda

De (1) y (2)

V^Vj+ajt

Vf=V2-a2t

t_ V2-Vi3| +a2

Un cuerpo es lanzado con una velocidad de 10 m/seg. Con un ángulo de 45° con la

horizontal. Después de transcurrir 0. 75V2seg. Hallar la aceleración tangencial y

normal. Use g = 10 m/seg2.

Ahora tenemos quedv

Pero V(t)=V0cos45°Í+ (vosen0-gt)j

=>V=5V^+(5V2-10t)j

«¡UKO-.U co;t SOLUCIONARIO FISICA LEiVAI Y ¡Iwww.elsolucionario.net


V=10(t2-V2t+l) ...(*)

dv_ 5(2t-V2)

••• at(0,75V2)=4,46 m/seg2

Ahora

de v2a =V.— = — n dt j

j =radio de corvatura del caso anterior, se tiene V, sólo necesitamos jX2También Y=x-— , cuando X=7,5

1/2

r 3/2'♦<81m

an=8,93 m/seg2

Relación al problema anterior. Halla el radio de curvatura que tendrá la trayectoria al transcurrir el tiempo dado.

V2

j=^(*) , ahora

62,5j=8¿ r 7m-

V2(0,75a/2)=62,5 m/s

Se conoce vector posición de un cuerpo f = -3t, -2tj Hallar (a) su

velocidad, (b) rapidez, (c) aceleración (d) el módulo de la aceleración.(e) el módulo de la aceleración tangencial (0 el módulo de la aceleración normal.

H SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v* /wedukperu - om



Tenemos

Por la ecuación del movimiento

a) V = f= (f,- 3 ,2)

b) V=±Vat4+52

c) Ahora para a= =(3t, 0, 0)dt

=>|a|=3ta u d v 9t3Ahora at= — =L Ai-dt Vat4+52

d) a,n- J a2-a?~3t J j * 52

r= ( j ’ -3t’ -2t)

^ Una bola se lanza con velocidad inicial v0 y ángulo 6 hacia arriba, desde un edificio de 2H de altura. Si el proyectil choca contra el suelo a una distancia H del edificio. Hallar H.

www.edukpefu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II■www.elsolucionario.net

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Analizando de la ecuación vectorial del movimiento parabólico tenemos:

d=V^t+^gt2

Ahora en e l....ABM tenemos que BM=Htg0También para HC=2H

BC=¿gt2=2H+Htg0 ....(a )

Ahora d e l.... ABM=V0t sen0=HH

* Vosen0

...O S)Ahora ....

2V2 ~e 0 (a )y (P ) H=— ^ - ; -(2+tg0)

y p Sea una partícula que se mueve sobre una elipse, cuyo ecuación es. r = mcosüítl + nsencot). Hallar los módulos de at y an.

» SOLVER EDK )

Tenemos:r=mcoswti+nsenwtj piden at , an

Veamos V= — =-mwsenwtí+nwcoswtjdt

dv c -a= — =-mw2coswti-nw2senwtj dt

V=Vm2-(m2-n2)cos2wt.w dv (m2-n2)sen(2wt)w2

* dt 2Vm2-(m2-n2)cos2wt

a2=a2+a2

=>an=Ja2-a? • •••(*)

a=V (m2-n2) .cos2wt+n2w2

CINEMÁTICA

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y w w w .ed ukpe ro , coi


http://www.ed


w2m.m an= ......-=:==

yj (n2-m2)cos2wt+m2

Hallar cuantas veces mayor será la aceleración normal de un punto que se encuentra en la llanta de una rueda que jira, cuando el vector aceleración total de este punto forma un ángulo de 60° con su vector velocidad lineal.

JKSTTOgf>lMTenemos a la rueda, y ubicamos, por simplicidad, la parte superior de la llanta

a

artg60°=an => atV3=an /. an=l,73at

Una rueda de radio de 10 cm gira de forma que la relación la velocidad lineal de los puntos que se encuentran en su llanta y el tiempo que dura el movimiento viene dada por la ecuación v=2t +t2. Hallar el ángulo que forma el vector aceleración total con el radio de la rueda en los momentos en que el tiempo, tomado desde el momento en que la rueda comienza a girar t =lseg.y t =5ség.

Tenemos que V=2t+t2

=>a,= =2t2t y an= y= (2t+t2).|0|

,,s e = i = > o= ts- '(i)an van/

>■ SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1 Y IIwww.elsolucionario.net


a) Cuando t=l =s> 0 =tg_1 =2,54°

b) Cuando t=s ±0= tg"! =0,098°

Un ponto A se mueve a velocidad constante v, a lo largo de la circunferencia de radio a, tal como se indica en el gráfico. Hallar las componentes radial y transversal de la aceleración.

Descomponiendo V , en sentido radial y transversal, tenemos que: Vr=Vsen0 , Vr=Vcos0

Ahora: ar=dvr

dvr d0 d0 dt

dea. =Vcos0. — dt_dvr

dr dt

dv, d0 ^ at=d0 *

deaf=-Vsen6. —

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I www. ed ukper'y; con


Ahora se puede verificar que:


de_v

dt a V2cos0

ar= 9

V2sen0ar=-

© Hallar la relación entre las velocidades angulares en función de sus radios, para los discos de fricción que se indican en la fig.

jsfflnnrCTW

Ahora, en el punto A, la velocidad, es:VA=V

Luego para la Io esfera

W 1.R1=W2.R2Wi = R2

’\V2 R,

IjjTp Un cilindro de radio 10 cm gira alrededor de un eje con la frecuencia 10 RPM. A lo largo de la generatriz del cilindro se mueve un cuerpo con la velocidad constante 2ocm/seg respecto a la superficie del cilindro. Hallar la (a) velocidad total (b) la aceleración.

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r » SOLVER EDK J CINEMAT,CA

Ahora con la V respecto al cilindro, tenemos que

A lo largo de eje:

a=0, ll m/seg

V,f(.=0,2m/s

Vt=W.R

Vtal=|o(0,l)=0,llm/s

Vtal =Vrg+V2ra V,otai=0>22 m/seg

Un punto p describe una semicircunferencia el movimiento proyectado sobre el diámetro es uniforme de velocidad v0. Hallar al velocidad y la aceleración de p en la función de ángulo y hallar la dirección de su aceleración total.

T SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. edukperu. com



Ahora del gráfico vemos en el eje X, tenemosVsen0=Vo=>V=Vo/sen0

Ahora ay=-Vyx dt x

_dVx d0_ax_"d T 'd t-

Ahora ayd x; d(vocot0 d0

3y=dtVy= dé ‘ dt V0av=-Vocsc20. — - .r y sen0

Vo3y sen30r a

Una rueda de radio 10cm? gira aceleradamente de manera que el número de revoluciones aumenta V2 vuelta por segundo. Transcurridos dos segundos. Hallar (a) la aceleración total y (b) el ángulo que hace la aceleración tangencial.

Tenemos que a=n rad/seg Por ecuación de mcuv tenemos:

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w t= w 0t+^t2

Piden cuando t = 2 segWt=2rc

Ahora an4 = ( ^ ) 2=W2.R

an=3,95 m/seg2 ....(*)Y at=a.R=(n)(0,l)=0,314 m/seg2

••• a=Ja2+af

a=3;962 m/seg

También tg0= —aT

0=85.5°

w Un aeroplano vuela entre dos puntos, cuya distancia es de 500km en la dirección• este. Cuanto durara el vuelo si (a) sin viento (b) si el viento sopla de sur a norte y (c) el viento sopla de oeste a este. La velocidad del viento es de 40m/ seg, la del aeroplano con respeto al aire es de 500km/h (a) t =60min (b) t = 62min (c) t = 46.2min.

A) Ahora no tenemos acción del viento

2 SOLUCIONARIO FISICA LEI VA I Y II www. ed ukperu. corrí



- O

Vaero=500 km/h500 km

t=— r:— — = 1 hora500 km/ht=60min

B) Como el viento sopla de sur a norte con Vviento=144 km/s la velocidad del aero plano en ese eje es: VNS=144 km/s

500Kn¡>/

C) Como el viento sopla de OE => Vtotai=500+144 :=> Vtota,=644 km/h

500=> t=~— =46,58 min 644

lyp Un móvil navega por rio a una velocidad que es 2 veces menor que la corriente de este. ¿Qué ángulo respecto a la corriente debe mantener el bote para que esta lo arrastre lo menos posible?

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»SOLVER EDK Ì CINEMÁTICA

Ahora analizando al móvil en la posición mostrada => Vy=Vosen0

=> -=Vosen0 => t=— ...(*)t 0 Vosen0

Luego sea d= distancia arrastrada =>d=(2V0-Vx)t

d=(2Vo-Vocos0)t de (*)

Como deseamos que (1) sea mínimo

=> d =0

=> d =-l-2cos0

Sen20n

=>°=30-!=180-60°

01= 120°

Los barcos P y Q poseen velocidades lOcm/seg y 8m /seg la distancia PQ es de 500m. La velocidad lom/ seg, forma con PQ un ángulo de45°. Cuál debe ser el

ángulo 0que forma 8m/seg con PQpara que ambos barcos se encuentren.

Sea t el tiempo necesario para encontrarse: da=8tdp=10t

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. eü ukperti. corrí



,0

Geométricamente tenemos:

Por ley de sen0

8 _ lOtsen45° sen0

tesen'(?'f)0=62°,61

qyp En un rio cuya corriente tiene la velocidad lm/esg se debe cruzar- perpendicularmente con una canoa que puede ir a 5m/seg (a) con qué dirección debe remarse en la canoa (b) con que velocidad se cruza.

Como deseamos que la canoa debe ser perpendicular a la corriente del río 5sen0=l

wwvv. eciük perú, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II C 9 Twww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK J CINEMÁTICA

=» sen0=- 5

8=sen - 50=11,54°Como piden complementario => a=78,4ó°

a=75°,27‘V=5 cos0

V=4,89 m/seg

Una varia de longitud 2m se mueve, tal que el punto p tiene velocidad constante de3m/seg. Cuál es la velocidad del punto Q cundo 6 = 30°.

Veamos: tenemos del ......y=2sen0 ... (1) x=2cos0 ... (2)

76 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eciukperu.com


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=> x2+y2=4dx dy

=* 2 d t'(x)+2y d t=0

Luego: ^(x)+y^=0

(3)(V3)+(l)Vy=0

==s> -Vy=3V3m/s

Vy=5,19 m/s

Se tiene dos móviles se mueven en líneas recta, cuyos gráficos de velocidad - tiempo se indican en la figura adjunta. Si ambos partes de una misma posición inicial. Al cabo de cuánto tiempo se encontraran los móviles.

Del gráfico mostrado tenemos:

V .3 . «

VB=r~~-(t-t2)+V0V m

Sea t , al cual se encuentra => también ambos recorren la misma distancia,

w vw Á eduKperu. corn SOLUCION ARIO FISICA LE IVA I Y II jC f Swww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK ) CINEMÁTICA

=* dA-dB

=> t=t2+ t2(t2—t j)

Dos móviles parten de la misma posición inicial en forma simultánea, sus gráficos de velocidad -tiempo se indican en la fig. Adjunta. Una de ellas es una recta y el otro un cuarto de circunferencia. Hallar (a) la aceleración del segundo movimiento de función del tiempo (b)aceleración del primer movimiento, sabiendo que el primer punto alcanza al segundo en el instante en que este queda en reposo (c) 1 tiempo que transcurre hasta que ambos puntos tengan igual velocida . ,

Realizando su ecuación de cada, de velocidad, según la gráfica:

a)

Por la ecuación del movimiento tenemos:dv2

a2= — => a2=-t

V0=t2b) Calculando el tiempo en que V2=0

=> t=V0

Ambos recorren lo mismo

Pero d)=d2

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed y kperú. coiti



7tV0

3l _ 2t2c) Para(l)

k V0 Vi=-. — .t2 t2

=> t= 2to\[k2+4

De una torre se arroja dos cuerpos con la misma velocidad v0 e inclinaciones 0V 02. Ambas cuerpos caen en mismo punto del suelo. Hallar la altura H de la torre H=falta

i m n m m

Para la primera piedra, tenemos que (por ecuaciones vect), podemos observar que:

(1)X=V0 t2 COS0!

También H=^g t2-Vosen01 ....(2)

Análogamente para la piedra (2) tenemos X=V0 t2 cos02 .... (1)’

Vosen02t2 ....(2)’

Resolviendo

H: 2V0 cos0, cos02 eos (0|+02) g sen^+G^

vvww. ed u Kp«?ru. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y Iwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK 3 CINEMÁTICA

Un grupo se mueve a lo largo de una recta, su posición con respecto al origen de coordenadas es: x(t)=t3-2t2+3t+2. Hallar (a) la velocidad media para el intervalo [2,3] Seg. (b) La velocidad instantánea t = 3seg (a) La aceleración media en el intervalo [2,1] seg. (d) La aceleración instantánea en 3seg. © Para qué valores del tiempo su velocidad es cero.

A) Sea X=t3.2t2+3t+2 Piden

B)

V=3t2-4t-3 ...(1)C) Ahora piden

Pero V(3)=18m/sV(2)= 7 m/s

amed=llm/s2

D)

de (1)Tenemos

a=6t-4 a= 14 m/s2 de (*)

w X(3)-X(2) 3-2

=12 m/seg

dxv= *

V(3)- V(2)med- 2

dv3=dt

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3t2-4tr3=0

3 t

© Se lanza un cuerpo con una velocidad de 300 m/seg y con un ángulo de tiro de 60°. (a)Hallar la velocidad horizontal y vertical a los 10 seg después del disparo. (b)El ángulo que forma la velocidad con la horizontal en el instante de 10 seg. (c) La aceleración tangencial y normal a los 10 seg del disparo use g = 10m/seg2.

Como el movimiento es un MPCL => Vx=300 eos 60°=> Vfx=Vx=300 cos60°=150 m/segAhora trabajando en el eje “Y” vectorialmente

=> Vfy = V0y + gt

=s> V^=300 sen 60°-(10) (10)

V^=159,81 m/sega) => Vx=150 m/seg

=> Vy= 159.81 m/seg

b) tg0=^ = l,O7X

=> 0o =46,9°

O aT=£ ....(*)

Encontremos V en función de tV=150Í+(300 sen 60°-10t)J

V=10 Ct2-30 \/3t+900) 1/2

10 (t-15V3)Vt2-30V3t+900

=> ar=7,3 m/s2

a2+af=a2=g2

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=> aN=Vs2-a? aN=6,8 m/s2

© Desde la azotea de un edificio se lanza vertical mente, hacia arriba un cuerpo.Transcurridos 5 seg pasa por el punto situado a 20m por debajo de la azotea. Si g= lOm/seg2. Hallar (a) velocidad inicial (b ) la altura que se elevo por encima de la azotea (c ) la velocidad a la pasa por un punto situado a 30 m por debajo de la azotea.

A ) Como el cuerpo desarrolla un MCL, =» trabajando cot 3 ecuaciones vectoriales

Un avión tiene una velocidad de 300 km/h con respecto al aire. El avión viaja ida y vuelta entre dos puntos PQ que distan 1200km. (a) cuanto tiempo tarda de ir de P a Q en un día en que el viento sopla a lOOkm/h de Q a P.(b) cuanto tiempo emplea si existe un viento cruzado de lOOkm/h. (c ) cuanto tiempo emplea si no hay viento.

=> h=Vot- |t2=22,05 m

C) Por las ecuaciones vectoriales, tenemos que

H=V0t+ ig t2

-300=Vot-5t2=>-300=21 t-5t2 ...(* )

82 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I! www.edukperú gom


CINEMATICASOLVEREDK «

a)

o = 400

Q

V = 200Kn)/ O Q

b)

_ 1200 1200 _ 9httotal “ 400 + 200 ~

V

100 3 0 0

C)

^ 100= > CO S& = — —300 => # = 70,5°=> v y = 300sen70.5°

2400 o ,ut =----= 8.5hV

Q 30° K7 h »

=>t = 2100=8h 300

www. ed u Kper u .corri SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK ] CINEMÁTICA

El vector posición de una partícula es:r=tí+(t-2)~í-6t2 k, s i: m, t :seg. Hallar (a) En que instante la velocidad es mínima (b) el valor de la velocidad mínima (c) El radio de curvatura en función del tiempo (d) La aceleración tangencial y normal cundo la velocidad es mínima.

Se muestra

a) r=t í+ (t-2 ) 2j-6 t2 k_ dr ~

=> V= — = i+ 2(t-2)j-12t k dt

Para que

148t2-16t-17 ....(* )

dv 2_ = 0 =* t= -seg

b) En (*) del resultado obtenido, tenemos: Vmin=4,07 m/s2

c) Para calcular S haremos uso de

5= ^ (*Y5 |vxá| ....C ;Calculando á= dt=> á=lj- 12k

=» Vxá=(48-12 t)T+ 12j+k

|Vx a|= V 144 t2-l 152t-2449

(148t2- 16t-17)3/g “ V 144Í2-1152t>2449

d) Piden ár= ^ , para t=^ seg

/ 144 24\ar= ( l , - ^ ,- 3 7 ) (0 , 1 , -12)=0,96 m/seg2

aN = 1 2 m/seg

84 SOLUCIONARIO FISICA LEI VA I Y II www. eciukperu, co?tí


CINEMÁTICA SOLVER EDK C

Con que velocidad debe desplazarse una bolita por una mesa horizontal, si después de abandonar la mesa a una altura de lm, recorra la misma distancia horizontal y vertical con relación al punto de partida.

m m r n m

Luego de abandonar la bolita describe un movimiento parabólico:Analizando en el eje "X”; sea VX=V0

Ahora d=V0t=>l=V0t ....(*)Ahora en el eje “Y”

vot=0 =>dy=Voy+ gt2

1=^t2 => t=f

En (*) tenemos: V0=V5=2,24 m/seg

© Cuál debe ser el ángulo de tiro del proyectil lanzado del punto A, con una velocidad de 200m/seg, si un segundo proyectil se lanza con una velocidad de 150/mseg en dirección vertical del punto B para que colisionen.

Para que ambas colisiones=> la altura de ambas debe ser la misma: para la esfera B (trabajando vectorialmente)

H=V0Bt+|gt2 => H=150t-5t2 ...(*)

Para la esfera A, en el eje “Y”

H=V0Ayt+lgt2

H=2OOcos0t-5t2 ....(* )(* )Asumiendo que la colisión fue en el ascenso de ambas de (**) y (*)

=> V 0Ay= 150

=> COS0= -4

0 = 4 1 ,4 °

-..corrí SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I



Una persona se Halla en un edificio a una altura de lOOm y suelta una canica. Tres segundos después lanza una segunda canica idéntica a la primera. Cual debe ser la velocidad de lanzamiento de la segunda canica, para que ambos lleguen al mismo instante al suelo (g = lOm/seg2).

jR a w ra tiiM

Para la primera bolita, tenemos de las ecuaciones de MPCL

=* H=V0 lt+ |t2

H= | t2=* t=2V5seg

Para la segunda tenemos: H= V0 (t-3)+|(t-3) 2

100-Vo ( 2 V5-3)+5(2 VS-3) 2 => Vo=60,6 m/seg

jp Se lanza hacia abajo una bolita con una velocidad de 5m/seg desde una altura de 200m. Después de 2seg se lanza una bolita idéntica con una velocidad desconocida. Cuál debe ser el valor de la velocidad de la segunda bolita, para que las dos lleguen al mismo instante al suelo (g = lOm!seg2).

Análogo al anterior problema para ambas bolitas la distancia recorrida sonlas mismas: para la primera

H=V01t+Igt2

200=5t+ igt2

t=5,84 segPara la segunda: como el tiempo el cual recorre t1=t-2=3,84 seg

H=V02ti+ gt?200=VO2 (3,84)+ 5(3,84)2 Vq2=32,89 m/seg

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CINEMÁTICA SOLVER EOK «

Un avión vuela desde P a Q; separados una distancia de 2160mkm. En dirección este. Hallar el tiempo de vuelo ( despreciar el tiempo de bajada y de subida del avión (a) cuando no ase viento (b) si el viento va de sur a norte (c)El viento va de oeste a este. La velocidad del viento es 50m/seg y la del avión con respecto al aire es de 720km/h.

a) V=-J t

=> t=3hb) Como en viento va de norte a sur

=> Vy=180km/m

720 sen0= Vy

720 sen0=18O km/m => 0=14.5°

Vx=720 cos0=697.1 km/m d

t=-=3,lhv x

c) Entonces, como Vviento=180 km/h .*.Vraro=900 km/h

dt=~=2,4 h v

S p La grafica se velocidad de un móvil en función del tiempo se indica en la gráfica. Hallar la aceleración media para los intervalos (a) [0,l]seg (b) [l,5]seg (c) [0.5,4].

Por definición, a, « ^ ^ 2 ; mea tf-t0a) Parate [0,1]

=* Vo=0 , V i=20

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=> amed= Y =20 m/seg2

b) Para te [1,5]Vo=30m/seg ,V |=20 m/seg

30-20amed” j —2,5 m/seg2

C) te [0,5, 4]Para este caso: se relaciona V4=27,5 Vo,5=10

27,5- 10a med= 3 5 =5 m/seg

Un cuerpo que cae, recorre la mitad de su recorrido total en los dos últimos segundos a partir del reposo. Hallar la altura desde la cual cae.

Sea h , el recorrido total: de acuerdo al problema

5 =V0lt+Igt2

, para t=2 segDonde Voí velocidad inicial antes de que caiga ai suelo:

5=Volt(2)+20 ...(* )

Ahora sea tt , el tiempo empleado para que el cuerpo caiga

=* h=V0t+5t2 h= 5tf ....(**) para V0l=V0+ g(t,-2)

Vol=g(tr 2) ....(***)De (*), (**) y (***)

=> ¿=20(t,-2)+ 20 ....(a )

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II "



h=5tf

=> t1=6,81 seg h=231,0 m

Un móvil realiza un movimiento rectilíneo y su aceleración está dada por a=-4x, donde x se mide en m y t en seg. Hallar la relación de la velocidad en función de x, sabiendo que t0=0,X0=2m,v0=4m/seg.

Dos móviles parten del mismo punto, con aceleraciones de bm/seg2 separado en un tiempo de 3seg. A que distancia del punto de partida se encontraran.

Ejercicio para el lector

Una partícula se mueve a lo largo de una curva, su posición inicial esta dado la longitud del arco V]donde su rapidez es vty en su tiempo después t2 la longitud del arco es s2 y se rapidez v2. Si en este trayecto la aceleración tangencial es 3m/seg2. Hallarla rapidez v2?

Tenemos que por definición tenemos quea= -4x

dv a= — .v

=> J2xadx = /4vvdv

=> J*-4xdx = /4vvdv

-2 (x2- 4)= j-8

=> V= [32-4x2] U2

¿Míe

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Como la partícula, se mueve a lo largo de la trayectoriadv

* a'=7 atds=vdv

dv dv=> at = T => a t = T *v1 d ds

/s 2 ards = Jv 2 vdv , en esta trayectoria at=cte=3 m/seg2

vl-vf=» 3 (VS,)= ^- i

V2=V?+ 6 (S_2-S_1 )1/2

57. Un hombre sostiene una bola fuera de una ventana a 12m del suelo. El lanza la bola hacia arriba con una velocidad de5m/seg. Que tiempo le lleva llegar hasta el suelo y con qué rapidez llaga al suelo.

JR H IW f ilWPor las ecuaciones de un movimiento caída libre (vectorialmente)

d=V0t+ ig t2

-12=5t-5t2 => t=2,13seg Vf=V0+gt Vf=5-10 (2,13)Vf= -16,3 m/seg Vf=16,3 m/seg

58. Por un plano inclinado de ángulo 45°, se lanza una bola con la velocidad v0 y formando también un ángulo de 45° con la horizontal, que distancia por la horizontal recorrerá la bola antes de deslizarse de plano?. No considere la fricción.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.coif’



Del problema , descomponiendo V0 , a lo largo del piano y paralelo. Veamos

En lo horizontal: V0cos45°= —tvuelo

=> tvuelo • v 0 cos45°=L ...(* )Ahora paralela al plano, en la posición más alta:

=> Vf= => V0 sen45 °-a^

t 2V0 sen45° /-in^vuelo- a — v U

Descomponiendo g a lo largo de plano tenemos que:

a=g sen0 ... (2)En ( 1)

tvuelo=2 ^ ..•(**)

En (*)L= —V2S

© De una manguera brotan chorros de agua bajo los ángulos 9 y /? respecto al horizonte con la misma velocidad inicial v0. A que distancia con respecto a la horizontal los chorros se intersecan?.

En el eje “X”, tenemos: X= tT V0 Cos p X= t2 V0 Cos 0

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tiCOs(3t2= i ^ r

Ahora en el eje “Y”

Y=V0 senptr |b ?

Y=V0 sen012- |t|

De (*) tenemos que2V0sen (0-P)

ll g ( cos2p- cos20)Ahora:

_ 2 Vp Cosp sen (0-p)g (COS2P-COS°0)

ii^ l Se lanza una partícula con velocidad v0, formando un ángulo 9 con la horizontal. Qué tiempo transcurrirá para que la velocidad forme un ángulo /? con la horizontal?

Veamos que en el eje “X”

Vx=Vocos0

Luego de t seg: Vtx= Vocos0

En el eje “Y” Vfy= Vyo- gt

Del resultado final Vfy=Vfx-tgp

Vfy= VQ cos0 tgp

Entonces:V0 cos0 tgP=V0 sen0-gt

V=> t= — (sen0-cos9 tgP)

g

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DINÁMICA £ SOLVER EDK «

0 De un cuerpo de masa m1 se cuelga con una cuerda de de una masa m2, otro cuerpo de masa m3. Al cuerpo de masa m1 se aplica una fuer za f dirigida hacia arriba. Halla (a) la fuerza de la tensión en el extremo superior de la cuerda y en el centro de ella.

m1

J irsm21r

c lI\► Te

m3Hallamos la aceleración del sistema

IF=mta

F-m1g-m2g-m3g=(m1-m2-m3)aF

a=g--------mr m2-m3

Ahora en el punto “s”, hallamos la tensión que se ejerce en la cuerdaIF=mta

Fm3g+m2g-Ts= ( g - ) (m2+m3)V mi+m9+nriq/m1+m2+m3/

\m1+m2+m3/Lo mismo hacemos con la tensión en el punto C:

F

-G

m2m3S+— S-Tc=S-

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» SOLVER EDK

V f - ^ S L . ) FVm1+m2+m3/

1 ................. ............ . DINÁMICA

Se tiene el sistema que muestra en la figura, si m1=3kg,m2ym3=5km . Si no se considera el peso de la cuerda no ay rozamiento en la polea fija. Hallar (a) la aceleración del sistema (b) la tensión de la cuerda que une a las masasnrit y m2

Piden la aceleración del sistema

a) IF=maa=F/m

a=-mig+m2g-m3g

m1+m2+m3

a=-(mT+ms-ms)------------------ cm1+m2+m3 v

(3+4-5) a= b i(9’8)SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I www.edukperu.co


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DINÁMICA L SOLVER EDK «

b) Del sistema S ’ , tenemos:

a=l,63 m/seg2

i ifmiS

ZF '=ma m1 g-T=mla T=mn(g-a)

T = 3(9,8 - 1,63) T=24,51 N

En el sistema que se da, hallar la velocidad y la aceleración del bloque 3, sabien que las poleas son de radio iguales y no presentan rozamiento. Se conoce Xt =4m/seg , =-2m/seg2 ’x2 =-5m/seg, x2 =8 m/seg2.

r

m

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» SOLVER EDK DINÁMICA

La distancia de la cuerda desde el peso 1 hasta la polea B es:

Derivando:

rA mV, =4-r k J \

fi a, =2^

a - f i™ *

X1

m -5m

XoX2

Xt+tiR+Xo .- .O )

X1+0+X0=0 ;

X3

Derivando (2):Xi=-X0... (2)

X1+Xo=Q

Xi =-Xq... (3)La distancia del peso (3) al peso (2) es:

X3_Xo+X2_X()+tcR=C2 • • * (4)

Derivando:

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X 3 O^-X2 -X()+0—0 ) X 3 —2Xo-X2.-- (5)Derivando (5): X3-2Xo+X2=0

X 3 =2Xo-X2

Para hallar la velocidad de (5) y (2)V3=2 (-X t ) -X2=2 (-4) - (-5)=-3m/seg2

Para la aceleración de (2), (3) y (6 ):a3 =X3=2 (-Xt )-X2=-2 (-2) -8=-4m/seg 2

Dado el sistema de dos poleas fijas y una móvil en la cuü ! es h a y tres masasm1 ;m2y m3

Hallar la aceleración de cada masa, si se desprecia el peso de las poleas, asú como la fricción en las poleas.

R

Hallando la relación de aceleraciones:X-|-Xo+7cR +X3-X0+7tR-l1

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» SOLVER EDK ] DINÁMICA

Derivando:X1+2X0+X3=0... (1)

Derivando X1+2X0+X3=0... 2)

Para la otra cuerda:

X2-Xo-7tR=l2

X2-X¿=0

DerivandoX2 = Xc ... (3)Las ecuaciones de dinámica para cada mesa es:

rr^g-T^nM!

m2g-T2=m2a2

...(5) dondeT!=T3

m3g-T3=m3a3T2=Ti+T3

T2 = 27\ ...(7)

4m] m3-3m2m3+m1 m2 4m1m3+m2m3+mlm2

' m3+m2m3a2~ \4m1m3+m2m3+m1m2

4m! m3-3m1 m2+m2m3\4m! m3+m2m3+m1 m2)

a Una persona se desliza sobre un trineo por una montaña de pendiente 6. Elcoeficiente de rozamiento entre la superficie y el trineo es /¿. Como de moverse el hombre de masa M con respecto al trineo de masa para que este último se deslice por la pendiente con movimiento uniforme.

98 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.c


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DINAMICA SOLVER EDK «

Del Sistema totalI

F=MaM: masa del hombre

(M+m)gsen0-jj(M+m)gcos0=Ma(M+m)

a= — 77— g.(sen0-pcos0)M

Dado el sistema que se muestra en la figura. La masa de la polea, de las cuerdas y la fricción se desprecia Hallar la aceleración de las masas.

rn m m im r

Considerando quem2>m!

tenemos el siguiente diagrama, de donde obtenemos quea1~a2

Como la fuerza de gravedad es la que actúa sobre el sistemaa1=a2=g

Dado el sistema que se muestra en la figura. De la polea fija cuelga una masa m; qué fuerza F es necesario aplicar a la cuerda para que la masa m se mueva hacia arriba con aceleración a.

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Dejamos éste ejercicio al lector.

© Hallar la aceleración masam2(iTi2>mi)

para el sistema dado. Se desprecia la masa de la polea, cuerdas y no hay rozamiento.

JR t1 ílffiW 7 ÍÍ

Por dinámica para cada masa tenemos:21-iT g sen0=m1a1

lm2g-lT=m2a2

De (1) y (2) obtenemos:2m2g-m1g sene=mla1+2m2a2

Se muestra que ax = - a2íTl!

=»2m2g-m1g sen0= — a2+2m2a2

4m2g-2m1g sen0=m1a2+4m2a2

=>a2=-2g(2m2-m1 sen0

4m2+m!

En sistema que se muestra la barra m es mayor que la bola m (M > M) . La bola tiene un orificio por donde se desliza el hilo con razonamiento. En el momento inicial la

HU SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www, edukperu.com


DINÁMICA SOLVER EDK «

bola se encuentra frente al extremo inferior de la barra. Después de que el sistema quede libre. Ambos cuerpos se mueven con aceleración constante. Hallar la fuerza de razonamiento entre el hilo y la bola, si al cabo de t segundos de haber comenzado el movimiento. La bola se colocó en la parte superior de la barra, que tiene una longitud L.

La baria recorre X, mientras que la esfera recorre L+X. Por cinemática tenemos que:

X+L=^t2 ...(1 )

X= ■ ■ (2 )

D e ( l )y (2) tenemos:

Por dinámica:Mg-fr=M.aM... (4)

mg-fr=m.am... (5)De (4) y (5) en (3) obtenemos:

2LmMfr=----- 9(M-m)t2

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Dado el sistema que se inicia en la figura, la superficie es lisa, se desprecia el peso de las poleas y de las cuerdas. Hallar la aceleración de la masa mi.

M m trm rn /

Por dinámica a la masa “m0”2T = m0a ... (1)Se demuestra que

Por dinámica a las masas m1 y m2

a=-ar a2

mig-T=miaj

-m2g 4- T = m2a2 ... (3)

De (1) en (3) y reemplazando a =

Tenemos:

a=-ar a2

m0(ar a2)

=>a9=-

-m2g=m2a2

m0a1-4m2g4m2+m0

...(4)

Sumando (2) y (3) y reemplazando a2 se tiene

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Despejando ax:

/m0ar 4m2g\

4m2+rn1+m0 (nriT -hm2)'ai = 4m1m2+m0 (m1+m2)

ED Sobres las masas mi y m2 actúan las fuerzas F1 = bt y F2 =2bt; que están unidos por un hilo que puede soportar la tensión T, donde b es una constante. Hallar en que instante el hilo se romperá.

m m m w mFc>

m2 mi7777

Para cuando el hilo se rompa de la a =é 0 Por dinámica se tiene que

IF=mtaF2-F1=(m1+m2)a

2bt-bt=(m1+m2)abt=(mr m2)a

Teniendo en cuenta la dinámica de cada masa:

* 1 - 477^T

m9 7777

77mi777 /

F2-T=m2a...(2)

T-F^nr^a...(3)

De (2) y (3) obtenemos la aceleración:

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Ta=

2m1+m2

Reemplazando en (1) obtenemos el tiempo en el cual el hilo se romperá:T (m1+m2)b ‘(2m,+m2)

O Que fuerza actúa en 1 sección de una barra homogénea de longitud L a la distancia x del extremo al que se aplica una fuerza R; dirigida a lo largo de la barra.

LPor dinámica tenemos que R = ma ... (1) Definamos

m mP = L~ = Y

mx m = —

...(2). x R

Por dinámica para el trozo de la barra. rríR-F=m'a

Utilizando (1) y (2) se tiene:X\

0 Se tiene un prisma de masa M y ángulo 6, se le comunica aceleración “a” hacia la izquierda. Una masa m se halla sobre el prisma. Cuál es el valor máximo de esta aceleración, para que la masa m permanezca inmóvil con respecto al prima, sabiendo

• que el coeficiente de rozamiento entre las masas es /¿(/¿ < cotg 6)

.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II ..ei_,¡-Der.



En el eje X para el bloque se tiene:

-A

yu

O=ZFx=macos0+macos0-fr fr=macos0-macos0... (1)

En el eje Y se tiene: XFy = N2 — mgcosO — masenO = 0 N2=mgcos0+masen0... (2)

Sabemos quefr=pN2... (3)

De (1), (2) y (3 ) encontramos que:9(1+jj cotO)

max” (cot0-p)

Dado el sistema formado por el prisma de masa M y sobre él la masa m. despreciando el precio de la polea, de la cuerda y el rozamiento. Halla la aceleración del prisma M.

r SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II


» SOLVER EDK DINAMICA

Haciendo DCL para cada masa:Por dinámica tenemos para la masa m: mg SenO - T = mam ... (1)

Y para la masa M:T+N Sen0=(m+M)am

Se demuestra que:am=am COS0

De (1) y (2) y reemplazando am tenemos:

mg Sen0+NSen0=(m+M)am+

mg Cos0(l+Cos0)Cos0

9m M Cos0+m(_+Cos0)

< 9 Dado el sistema que se muestra en la figura, una polea fija por una barra, esta pasa a través del cuerpo de la masa m2, y existe una fuerza de rozamiento Fr. Despreciando el peso de las cuerdas, hallar la aceleración de las masas y la tensión del hilo.

m i l i

rifr

Xm¿

F'2

SEI SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II16www. edukperuvcóm


DINÁMICA e SOLVER EDK «

Considerando m1 > m2, se tiene; del todo el sistema por dinámica obtenemos:a(m1+m2)=Fr F2-fr

(mr m2)g-fr

Por dinámica:

De(l)en (2) tenemos:

■ i IIm,

TF1-T=m1a

...(2)

/2m2g+fr\T=m, ------V m1+m2)

o Dado el sistema de masas que se muestra en la figura y ¡j. es el coeficiente derozamiento entre la masa m y el plano indicado. Hallar la fuerza que presiona la cuerda sobre la polea. Se desprecia el rozamiento en la polea y su masa.

Por dinámica a cada masa:

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» SOLVER EDK 3 DINÁMICA

fr=pmg cos0

IF=mamg senO + [igra cosO —T — ma ... (1)

Por dinámica:

i T

m

D e (l)y (2 ) tenemos

rm3

T-mg=ma... (2)

mgT= — (1 +jj cos0+sen0)

Para hallar la fuerza que ejerce sobre la pelea, como las tensiones son iguales, entonces la fuerza F divide a la mitad al ángulo:

T

TT vPor ley de cosenos:

F?=T2+T2+2T2 eos (|-e)

F2=2T2 [l+cos (|-e)]

F2=2T2 [l-l+2cos2^ - ^ ]

Siendo

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I www. ed u k perú. co m



T= (1 +pcos0+sen0)

En el sistema que se indica, la m1> m2. Se suelta el cuerpo de masa m2 y el sistema se pone en movimiento. Cuál es la altura máxima del suelo a la que subirá el cuerpo de masa m2. Desprecie las masas de las poleas y el rozamiento.

/////////// r"2SDejamos el ejercicio para el lector.

Se tiene una barra homogénea de masa M y longitud L, es sometida a una fuerza F en uno de sus extremos. Hallar el valor de la fuerza que ejerce la región 1 sobre laregión 2 .

mi » if-x-»Por dinámica para todo el sistema.

F=ma=>a= — m

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Definimos

Por dinámica

D e (l)y (2 ) se tiene:

m

m mp=r =cx

m =m(L-X)

F-F12=m'a

XFf12=t

Se tiene la máquina de Atwood dispuesta como se muestra en la figura. La polea en estado inmóvil (las masas no se mueven) se equilibra en una balanza de palanca. En cuanto es necesario variar el peso en el plato derecho, para que al librarse la polea y moverse inmediatamente, el equilibrio se mantenga?

Para que el sistema quede equilibrio, la aceleración de la polea y de la masa en el platillo deben ser iguales.Hallando la aceleración de la polea:

m1g-Ti=m1a ~m2g + 7\ - m2a , donde T1 = T2

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DINAMICA

El peso será.

(nym2)d _(m1+m2) S

P=(m1-m2).a('mi-m9)(mr*mç)

--- .— g

SOLVER SDK «

Por din¿ímica para las 2 masas: mug ~ 2T ... ( 1)

Se demuestra que

De ( Ì) y (2) obtenemos:

Por cinemática:a2 ==4h

Orij+mo)

T-m2g=m2a2

...(2)

a2=2a!

(mr 2m.o) a - ---1 g(m ^rr^ )

8h(m1-2m2)gmj “h4m2

Luego de que el bloque de masa . llega a 1 piso. m2tiene una velocidad v, donde comienza a actuar la g como la aceleración:



¡> La máquina de Atwood, está colgada de una balanza de resorte, tal como se indica en que la figura. Hallar la aceleración de los cuerpos, la indicación de la balanza y la tensión en la cuerda que une a las masas.

m\$Por dinámica para cada masa:

D e (l)y (2 ) se tiene: g(m1-m2)=a(m1+m2)

(mr m2)g- (m,+m2)...(3)

Ahora hallamos, de (2) y (3):

m!+m2

Y la tensión de la balanza será 2T

RT=TB2T

gmr T=am1

T-gm2=am2

T^ 2m1m2g

4m1m2g 1 b='” "Tzr'm!+m2

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DINÁMICA .( SOLVER EDK «

Se tiene el sistema que se indica en la figura, hallar (a) la aceleración de cada peso. Supóngase que las cuerdas y poleas son de peso despreciable, estas últimas son lisas y las cuerdas son flexibles e inextensibles.

«g n n m n n r

Como las cuerdas son inextensibles entonces estas permanecerán constantes:

1 ! =Xt -Xo+7tR+Xo-Xo+7tR +Xq Derivando 2 veces, siendo X0 = cte , se tiene:

)C| +2X¿=0

l2=X¿-Xo, derivando 2 veces, tenemos:* ¿ ¡ = * ¿ . . . ( 2 )

13 =X2 _Xq ■+• 7i R "+X3 -XqDerivando 2 veces, se tiene:

X2-2X¿+X3=0• ..(3)

De (1), (2) y (3) se tiene:X2+X +X3=0

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» SOLVER EDK ) DINÁMICA

...(4)Por dinámica para cada masa, se obtiene:

m^-T^m^!...(5)

m2S-T2=m2a2 ... (6) se demuestra que

m3S-T3=m3a3...(7)

T=Ti=T2=T3...(8)

De (4), (5), (6), (7) y (8) se tiene:/m! m2+m! m3-2m2m3\

ai

a2=(-

a3=

8

S

)S

Reemplazando

tenemos:

V rr m3+m2m3+m1 m3 7 /m2m3+m1 m2-2m} m3\\ rr m3+m2m3+m1 m2 //m1 m3+m2m3-2m1 m2\V nr m3+m2m3+m1 m2 /'

m! =2kgm2=4kgm3=3kg

31 = 3

32=7

93=-- 4 g

■ SOLUCIONARiO FISICA LE IVA I Y II www.edukperu com


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DINAMICA c SOLVER EDK «

© Un cuerpo está colgado de dos hilos que forman ángulos 61 y 02 con la vertical,como se indica en la figura. Demostrar que si se corta el segundo hilo, la tensión en el primero varia instantáneamente en la aceleración.sen 02/seg{01 + 02)cos 61.

En el equilibrio, tenemos lo siguiente:T1cos01+T2cos02=mg... (1)

T1sen01=T2sen02... (2)De (1) y (2) obtenemos:

>r> _ mgsenGo1 sen (01 +02)

Por dinámica

mgcos01-To=-mv¿IT

Pero como V = 0 al inicio

De (3) y (4)

To-mgcosO^O To-mgcosO!... (4)

TV sen02 To~cos0r sen(01+eo)

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» SOLVER EDK j DINÁMÍCA

Se tiene una esferilia de masa rn que se mueve alrededor de un alambre de radio R;: que se halia en un plano vertical. La esferilia tiene una velocidad uniforme vO a lo largo dé! alambre. Hallar (a) la aceleración centrípeta, (b) la componente radial y tangencia! de la fuerza que se ejerce sobre la esferilia, debido ai alambre en el instante en que el radio con ía esferilia forma un ángulo 0 * con ia horizontal.

j a s a s »

Se tiene que la aceleración centrípeta es igual a:

Para hallar las fuerzas tangencial y radical se tiene del gráfico que;

Por dinámica en el eje radical se tiene:Fr + mg senO — mac

f r = ™ ~ gsend j

Se tiene un sistema formado por dos poleas fijas y un peso de 10 kg.. Hallar (a) la fuerza mínima para que el sistema se encuentre en reposo, (b) si ia fuerza F tiene un valor de 198N, hallar la aceleración del bloque, (c) cual debe ser eí váior de la fuerza

~SíDL LJC! CNARIO F'ISICALEIVA i Y l¡ ~ ~ ~~ “ —



F para que el peso suba con una aceleración de 1.2 m/seg 2? (a) F= 98N; (b) a = 10 m/seg2; (c) = 110N.

10 kS

T m ga) Para que se encuentre en equilibrio, la tensión de la cuerda debe ser igual a la fuerza F

F=t=mg

F=(10kg) (9,8 ~ ) =98N

b) Por dinámica se tiene£F=ma

F-mg 198-98 ma=-

m 10 - = 10 -segzc) De (1) se tiene:

F=98n=(10KG)(l,2-^yiV s egvF=1ION

.j Se tiene un cuerpo de masa m y está sujeto por dos resortes iguales de constante de elasticidad k, alargados ambos a una distancio AL. Hallar la magnitud de la aceleración del bloque en el instante de soltar el bloque. No hay rozamiento.

www.edukpsru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II ¡ g Twww.elsolucionario.net

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» SOLVER EDK D. DINAMICA

m FkSenO^ J^ K s e n e

FkCosOt

Por dinámica en el eje X:IF

IF=maa= — m2Fk senG 2K ALa_ ------ = --- —sen0

m m

Sobre los bloques de masa mi = 30kg. M2 =15 kg, existe una fuerza de rozamiento de 2 kg. Qué tiempo empleara partiendo del reposo para que el bloque m2 recorra una distancia 10m? si

0=60°.

g ü W IB T O *

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II ww . .edukperu,com



Considerando todo el sistema por dinámica obtenemos:

^0

rr g sen0-2fr=(m1+m2)a

Por cinemática tenemos que:

X=Xo+V0t+-at220Para cuando recorra 10m; se tiene una aceleración de a - — ... (2)

Ahora (2) en (1) obtenemos el tiempo en el que recorre 10 m.:t=2,04 seg

Se lanza una partícula con una velocidad inicial vO, hacia abajo por un plano inclinado de ángulo 9 y longitud L. Cuál será el coeficiente de fricción cinética, si la partícula alcanza el extremo inferior del Plano justo cuando llega al reposo.

FrPor dinámica en el eje X:

w w w .edukpery.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA i Y IIwww.elsolucionario.net


mg sen0-pkmg cos0=ma

gsen0-pkg cos0=a... ( 1)Por cinemática obtenemos:

a=^ = Vot=Vo (2 t t a K '

L=V0t-±at2... (3)

Reemplazando (2) en (3), obtenemos la “a”

Reemplazando (4) en (1), obtenemos

pK=tan0-2Lgcos0

© Por una porción de un canal circular de radio R, se desplaza una masa m7 sin fricción. Que altura H alcanza la masa, si el canal gira con una velocidad angular cú unifrome.

Del diagrama obtenemos que

De (1), (2) y (3) tenemos:

Pero

Ncos0=mg... (1)

NsenO = mw2r... (2)

Y r = RsenO ... (3)

mw2Rcos0=mg ... (4)

m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I wwvv.edukperu.com



Reemplazando en (4) obtenemos

R-H cos9= —— R

Un plano inclinado de ángulo 9, gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular a). Un cuerpo de masa m se halla en el extremo inferior del plano inclinado y está a una distancia R del eje de giro. Hallar el coeficiente de rozamiento mínimo que permita que la masa m se mantenga sobre el plano inclinado.

4 ^

Por dinámica y la fuerza antribeta en “X” tenemos:

U

-N sen0+fr cos0=mac=mw2R... (1) En “Y” por equilibrio se tiene:

mg=Ncos0+frsen0... (2)

Siendo f r = /uKN, reemplazando en ( 1) y (2)Nsen0+jJKN cos0=w2Rm... (3)

Ncos0+jjkN sen0=mg... (4)

/

www.edu kperu. com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II j 'jjf lwww.elsolucionario.net

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De (3) y (4) encontramos N:

N=

N=-

w2Rm pK cosG-senG*

mg

(5)

cos0-pKsen0

Igualando (5) y (6); y despejando nK tenemos:w2Rcos0+gsen0g cos0-W sen0

© Una barra sin peso, doblado como se indica en la figura, gira con una velocidadangular w, respecto al eje BC. En el punto A de fa barra hav un cuerpo de mana m.Hallar La fuerza que ejerce la barra sobre la masa m.

m m m íM

L>

Hacemos DCL a la esfera:

Por la fuerza antrípeta en “X” se tiene:F sen0-mac

Fsen# = mW2R ... (1)Por equilibrio en el eje “Y”

122 SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II *, :-dur _ _



F cosO = mg ... (2)Elevando al cuadrado (1) y (2) y luego sumamos obtenemos:

F2(sen20+cos20)=(mg)2+(mw2R)2

F2=(mg)2+(mw2R)2

PeroR=L sen0

-.1/2F= |(mg)2+(mw2L sen0)2]

Desde lo alto de una semí esfera de radio R, se desliza un cuerpo pequeño, sin rozamiento. A qué altura H se desprenderá dicho cuerpo de la cúpula.

É tm m m

Por dinámica tenemos que:mg sen0-N=mac

mg cos0-N=m (1)

Por la conservación de la energía:

(mgH-mgR)+ ^ mV2-0 =0

De (2) en (1):2mg

mg sen0-N= —— (R-H) Rw w w .edukperu. com SOLUCIONARIO FISICA LEI VA I Y I



Cuando el cuerpo se desprenda N = 0

mgsen6=^-(R-H)...(3)

Perosen0=H/R

Reemplazando en (3) y despejando H se obtiene:2

H=-R

© Hallar el radio R de un puente en arco, con la condición de que la presión de un auto que se mueva con una velocidad v se haga tres veces menor en el punto más alto del puente.

M3nrnraiiT

i

Hallamos la fuerza centrípeta en el punto A y B: En el punto más alto

En el punto más bajo

w

3 - T - *Sumando las expresiones (1) y (2)

4P 2mv2 ~3 = R

rt SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II ww ,v. sd ukperu.com



P=mg 3v2

R =2 9

Un atleta pesa 70 kg. Se coloca sobre una balanza de resorte en un ascensor. Cuanto marcara la lectura de la escala de la balanza, si el ascensor, (a) sube con una velocidad constante de 5m/seg . (b) tiene una aceleración hacia arriba de 5m/seg2 (c) tiene una aceleración hacia abajo 3.4

m/seg2

(d) cae libremente debido a que el cable se rompe.

a) Como la velocidad es constante no hay aceleración, por tanto el peso que marca la balanza es 70 kg.

b) Entonces la masa que marcará será:ma+mg

L=---- - =105,7 kgS

ma mg

c) Entonces la balanza marcarámg-ma

L=— ---=45,7 kgg

www.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY I




d) La aceleración en el exterior será la aceleración de la gravedad ya que está en caída libre, entonces la balanza marcará:

9 Un cuerpo de masa mtesta situado sobre una mesa giratoria horizontal que distan una distancia R del eje de rotación, si el coeficiente de rozamiento estático límite entre el cuerpo y la masa es fis . Una cuerda une la masam1 con la masa m2, por medio de una polea sin fricción que se encuentran en la masa giratoria, tal como se muestra en figura. Entre que límites de co debe de girar la mesa para que la masa m2 no se mueva Hacia arriba ni hacia abajo?

L=m g^g=oS

i ü

iMüiarLa velocidad angular superior es cuando la esfera tiende a salir del disco y es cuando la esfera tiende su movimiento hacia el centro:

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II wv-j sdukperu.com



fr'icuando tiende a salir del disco Para el límite superior:

i i) Para el límite inferior:

IF=m2g+f[1=m1w2Rm2S+ f1n1g=m1w|UpR

í(m2 + limy) gP J miR

IF=m2g-fr=m,wfnfRm2g-]jmlg=m1wfnfR

Winf= nr R

Una masa de Ikg, se mueve a la largo de una recta de forma que el camino recorrido x(m) en función del tiempo t (seg) es. x = A - 2t - 312 + t3. Hallar la magnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo al finalizar el tercer segundo de su movimiento.

íytUHMm=1kg

77 7 777 77--El camino recorrido se expresa por la ecuación dada X = A - 2t - 3t2 + t3 ... (1)

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net



F(t) = ma = mx ... (2)

Derivando (1)2 veces, tenemos:x=-6+6t

Reemplazando en (2) para t = 3segF(0=m(6t-6)F(3)=1 2 N

# Un cuerpo se desplaza por plano inclinado ángulo 9 = 60°. La relación entre ladistancia x (m) recorrido por el cuerpo y el tiempo t(seg) está dada por la ecuación x = t i2. Hallar el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano.

Por dinámica se tiene:mgsen0-fr=ma... (1)

Tenemos que x = 3t2 derivando 2 veces tenemos la aceleración: x ~ a = 6m/seg2 ... (2)De (2) en (1)

mgsen0-nkmgcos0=6m

jjk=0,50

© La longitud de las varillas de un regulador centrífugo es igual a 12,5 cm. Quenumeró de revoluciones por segundo dará el regulador, si al girar los contrapesos se desvían por la vertical un ángulo de 30o?

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA 1 Y II



Por la fuerza centrípeta, se tieneTsen0=mac

Tsen0=mw2 R... (1) En el equilibrio en el eje “Y”, se tiene

De ( 1 ) y ( 2 ) se tiene:

Siendo

Tcos0=mg... (2)

mgtan9=mw2 R... (3)

Reemplazando en (3), tenemos:

R = L senO

yw=2tcv

-^=m(27Cv)2LCOS0

Lcos0 =1,51 RPS

Un peso de Ion, se encuentra fijo a un cordón de goma de longitud l0 gira circularmente en un plano horizontal con una frecuencia de 3RPM. El cordón se

www. edukperu.co m SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 29www.elsolucionario.net


desvía con respecto a la vertical un ángulo 30°, Cuando el cordón se estira Icm. Se debe aplicar una fuerza de 5n. Hallar la longitud L0 del cordón sin estirar.

///////////////

Por dinámica de la fuerza centrípeta, se tiene:

T Sen30=mRw2... (1)Tenemos que cuando

T=5Al=10mmDe (1):

Reemplazando valores:T Sen30=m(lo+Al)w2... (2)

lo=24,81 m.

t

40. Sobre un pequeño cuerpo de masa m, que se encuentra en un plano horizontal lizo, en el instante t =0 , empieza a actuar una fuerza que depende del tiempo por la ley f=b t, donde b es una constante. La fuerza hace en todo instante un ángulo 0 con la horizontal. Hallar®a) La velocidad del cuerpo en el momento de la separación del plano (b) El camino, recorrido por el cuerpo este momento.

U SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www, edukperu.com


DINÁMICA .( SOLVER EDK «

« n n a iiT M

ty J ^ r »•| | 1

fN

FcosG

Tenemos en el eje X; por dinámica:

a) Por cinemática se tiene queFcos0=ma

dv d t=

Fcos0=mdvdt

Integramos

bcosOdv=-----t dtm

bcosO

En el eje “Y” se tiene que

Cuando se separe del plano; N = 0

De ( 1 ) y ( 2 ) tenemos:

2m

XF=0N+Fsen0-mg=O

Fsen0=mg

t=r^r ••• (2) bsenG

mgz‘ 2 bsen2 0

b) Para hallar la distancia se tiene quedx

: dt

wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I



bcosGt2dx=vdt= —----dt2m

Integrando:

...(3)De (2) y (3) tenemos:

x=-bcos0t3 6m

x=-m2g3cos06b2sen0

© Una lancha de masa m es mueve en una laguna a la velocidad v0. En el instante t =0 desconectan el motor si la fuerza de resistencia del aguc* j! movimiento de la lancha

proporcional a su velocidad f = -rv. Hallar (a) el tiempo del movimiento de la lancha con el motor desconectado, (b) la velocidad de la lancha en dependencia del camino recorrido con el motor desconectado, a su como el camino total hasta la parada.

i .

Por dinámica tenemos que:F=rv

-rv-ma

dv a = — dt

dv-rv-m — dt

r r f dvJ- mdt=jTPiden el tiempo que dura el movimiento de la lancha, y esto sucede cuando v = 0

132 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www,edukperu.corT>


DINÁMICA .c SOLVER EDK «

De (2)

em=0

b) De (1) tenemos que

Sabemos que

-rvm

dvd=adx

dx

rxV=V°" rñ

; x: distanciaPara hallar la distancia total, es cuando

rx°=v0- -

- mV° r

o Cuántas veces aumenta la velocidad máxima admisible de un ciclista por una pista con peralte 6 en comparación con la velocidad admisible por una pista horizontal a igualdad de los radios de curvatura y de coeficiente de rozamiento

S © fw

ti------R ------1 f r

Para cuando la pista está horizontalmente Por dinámica

fr=m-

\v.sdukperu.com ■_ SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y Iwww.elsolucionario.net


v = y[¡r ¿R

Para la otra pista, tenemos el siguiente diagrama de cuerpo libre:

En el eje X tenemos:

N Sen0+fr Cos0=

En el eje Y se tiene:...0 )

IF=mg+fr Cos0-p Cos0=O

...(2)De (2) despejando N, obtenemos:

N=mg

cos0 p SenO

...(3 )Reemplazando (3) en (1):

mV20N Sen0+pN Cos0= —— 'K

- (Sen0+|jCos0)=mVoCos0-p Sen0

Vo=(p+tan0)Rg

1-jj tan0

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I vwv\. edúkperü. cor-


DINÁMICA l__________________ SOLVER EDK <(

Por lo tanto la relación dev y v 0

es:

Vo_ (M+tan9)V Í(l-|jtan0)

© Una partícula de masa m; se mueve a io largo de una trayectoria circular de radio R, tan que su posición angular varía con el tiempo así:

0=b+ct+gt2, donde b,c yq son constantes, t es tiempo y 0 está en radianes. Hallar (a) que fuerza tangencial existe (b) que fuerza centrípeta existe para un tiempo t dado.

m m m

Las fuerzas tangencial y radical se expresa de la sgte. Forma:dv

F’ =mdí

...o )Fr = mw2R ... (2) Siendo

V=WR

d0 W= — dtNos dan la posición angular que se expresa de la siguiente manera:

0 = b + ct + qt2Derivando

d6 - w — c + 2qtdtDerivando por 2da vez:

www, ed u kpe fu . com SOLUCIONARIO FISiCA LE IVA I Y II


» SOLVER EDK___________________ _______________________ _________________________________________ DINÁMICA

d20 dw d ? = d f=2q

Reemplazando en (1) y (2) tenemos:FT=2mRqy

FR=m(c+2qt)2R

Se tiene una esferita de masa m; la cual se desplaza a lo largo de un alambre delgado de radio R, si la esferita tiene una velocidad inicial v0 y si fiK es el coeficiente de fricción cinético despreciado la gravedad, Hallar la velocidad de la esferita cuando ha transcurrido un tiempo t.

« ü n m ü r t f

Por dinámica, la fuerza tangencial será:mdv

-|h"S¡dmdv

-mn = —k dt

Y la fuerza centrípeta será:

De (2) en (1):

o 1 1 I VN=mw2R=— - R

(2)

v2 dv -uN -7= m — k R dt

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II \ edu- pe-\-


SOLVER EDK «

/SWdv

-MNt_ 1 1“ R— V + V¡

V=v0( ,+ ( ^ ) t)

© Una cadena de longitud 2m, se encuentra en reposo apoyado sobre un superficie lisa talco se indica en la figura. Se aplica una peque fuerza desequilibrarte en el extremo B dirigida hacia abajo. Hallar al aceleración y la velocidad de la cadena en función de y que es una posición cualquiera del punto A. La longitud de la cadena era igual en ambos lados.

Ip M íTDefinamos la densidad de masa lineal

MM=2L

Por dinámica; en el extremo derecho:

2L=x

M M_(2L-x)g-T=-(2L-x)a

www. ed u kpe ru. eom SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y IIwww.elsolucionario.net


En el extremo izquierdo:

De (1) y (2) obtenemos:

; pero

Sabemos que

. . .0)

M M T'2 LXS=2LXa

(L-X)a= s-r-

x+y=Ly=L-Xy

a = %<¡-L

dv■ = a

■ = a

dt dv dx dx dt vdv - adx

j dvd= j 9,8 ~dy

v2=9,82L

v=9Ji2L .Y

Un bloque de la figura pesa 30kg f, los coeficientes de rozamiento estático y cinético son 0.25 y 0.2 respectivamente. Hallar (a) La fuerza necesaria para mantener el bloque con mantenimiento rectilíneo uniforme sobre el plano inclinado de 30°. (b)La aceleración en el instante que deja de actuar la fuerza f. (g = 10m/seg2).

j s a H s a r

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II iVtt.eauKperu.coiti


DINÁMICA í SOLVER EDK «

a) Por dinámicaSFx=ma

mgsen30-fr-fcos30=maPero como el movimiento es a velocidad constante entonces a = 0

=>mgsen30=fr+F(cos30)

En el eje Y:

LFy=N-Fsen30-mgcos30=0

De (1), (2) y (3) obtenemos:

£Fy=ma=0

>N=Fsen30=mgcos30 ...(2)

Sabernos que fr=pN ...(3 )

(sen30'jjcos30) F=mg-’ (cos30-)jsen30)

F=101,48Nb) para cuando ya no actúa la fuerza F tenemos en el eje X:

mgsen30-jjmgcos30=mam

=>a=3.27 — ó seg2

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA i Y '!! mmwww.elsolucionario.net


Un plano inclinado de la figura forma un ángulo de 30° con la horizontal. La relación de las masas de los cuerpos es: m1/m2 =2/3. El coeficiente de razonamiento en el plano y el cuerpo es 0.1. Las masas de la polea y y de la cuerda se desprecian. Hallar el modulo y la dirección del cuerpo rtix si el sistema se puso en movimiento desde

el reposo.

Por dinámica para la masa m,

Pero

De(1)y (2)

ir^g-Tsn^a

T=m2gsen30+fr

...(2)

m, g-m2gsen30-fr=m | am! g-m2gsen30-pm2gcos30=m i a

m2 m2g--- g sen30-u— gcos30=am, m,3 3

a=g- g S sen30- - pcos30

=>a=0,12 g

Un bloque de masa M descansa sobre una plataforma que gira con velocidad angular a> constante. Una cuerda flexible une a este bloque con otro de masa m en la forma que se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento entre M y la plataforma esSOLÙCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edu kperu. com


http://www.edu

DINÁMICA c SOLVER EDK «

Hallar el valor máximo y mínimo de d para los cuales M permanece en reposo respecto a la plataforma.

El radio máximo o mínimo de giro dependerá hacia dónde tiende el bloque, si el bloque tie4nde a deslizarse a la izquierda tendremos el radio mínimo, y si tiende al lado contrario será el radio máximo.

fncuando el radio es mínimo

fr -.cuando el radio es máximo

i) Cuando el radio es mínimo:LF=mg-fr=Mac

minmg-tjMg=Mw2r, mg-nMg

rmin_ Mw2

ii) Para cuando el radio es máximo:EF=mg+fr=Mac

mg+^Mg=Mw2rmá mg+pMg

fmáv— “ Mw2

ígffi Cuál es el peso aparente de un hombre de lOOkg que está de pie en ascensor que sube aumentando su velocidad a razón de 2m/seg2. Cuál cundo baja?

(g=10m/seg2)

Hallamos lo que marca la balanza cuando sube y cuando baja:i) Entonces, lo que marcará la balanza será:

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II



mg-ma L=— -- =120 kg

ii) Entonces, cuando baja la balanza marcará:

mg-ma ^L=— -- =80 kg

S

Q Tres bloques de masa m, 2m y 3m son empujados a lo largo de una superficiehorizontal lisa por medio de una fuerza constante f. Hallar (a) la aceleración de cada bloque.(b) La fuerza que ejerce el bloque 2m sobre 3m.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II


DINÁMICA ( SOLVER EDK «

m m ma) Tenemos los siguientes bloques que se ejercen entre ellos unas fuerzas: Para el bloque de (3m) tenemos que

a - > a —> a►F

mF21 F12

2mF32 F234-- -- _> 3m —--->

F23=3ma... (1)

Para el bloque de (2m) se tiene que:

Para el bloque de (m) se tiene que:

, pero

b) Sabemos de (1) que:

Fi2-F32=2ma , pero

F32=F23Fl2=5ma

F-F21=ma

F21=F12F=6maF

.*• a=óm

r 23:■3ma=3m(¿)-©0 Un cuerpo de masa m está unido a un resorte de longitud L0 si estiramiento. Si el

resorte obedece la ley de Hooke(f=-kx)

y el cuerpo gira con una velocidad angular03

. Demostrar que: (a) el radio del movimiento circular uniforme es:

m m v m w¿edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I



W

Oa) Tenemos que

Por dinámica se tiene:

Pero

Js W

, siendo

Entonces:

FK=macFK=mw2R

Fk=-KX

X=R-Lo

K(R-Lo)=mw2R KR-KLo=mw2R

KLqR=K-mw2

b) Para hallar la fuerza de tensión del resorte, tenemos cuje FK = TR

Tr=K(RLo)[Kmw2

Tr=K

■ Td=

K-mw2

KLq

Lo

R K-mw2Dos cuerpos de masa m, se hallan unidos por medio de una cuerda de peso despreciable y longitud L. Se aplica una fuerza de 2mg en el centro de la curda y normal a ella (x=0). Hallar aceleración de las masas en la dirección que une las

masas.

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II vvvw. ad u kpsru. con



En el eje T tenemos por dinámica que:T = ma ... (1)

En el punto “0” obtenemos que2mg=2Tsen0

T = ^ ...(2 )sen0

De (1) y (2) obtenemos:

a=sen0Pero la aceleración en X será:

av=acos0=— - .cos0=gcot0 sen0o Una caja cuya masa es de lOkg.descansa sobre la plataforma de un camión que parte

con una aceleración de 1 m/seg2. El piso no tiene rugosidades y la caja comienza a resbalar a su movimiento se opone a una pequeña fuerza rozamiento de 5N. Hallar (a) SI la caja se encuentra inicialmente a 5m del borde de la plataforma del camión, cuánto tiempo transcurre antes de que caiga? (b)qué espacio recorre el camión antes de que se caiga la caja?

r * -

« ¡ I T 1 R K 7 *

5m £i_r\a= 1m/seg~

M-0

a) Hacemos el diagrama de cuerpo libre para el bloque: Por dinámica tenemos

- 'A-v Btíjkpenrcan SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


» SOLVER EOK D DINÁMICA

IF=ma'=ma-fr... (1)Por cinemática:

D e (l)y (2) tenemos: /2x\

ma-fr=m

Reemplazando valores en (3) se tiene: t=4,4 seg

b) Para hallar cuanto recorre el camión se tiene por cinemática:

siendot=4,4 seg

(lm/seg2)(4,4 seg)2 xi . ------ -------

Un cuerpo de masa 0.2kg. Se mueve por un tobo, como se indica en la figura. Cuando llega al punto p, tiene una velocidad de 20m/sg y el radio de curvatura es 5m, si g=10m/se5 2. Hallar la reacción del tubo sobre el cuerpo.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed u kperu, con



Por dinámica: I F = macv2

N + mg = m —

Por tanto la normal será:v2

N = m — -mg

(20)2N = 0,2—— ■— (0,2)(10)

N - 14

© Se tiene un cuerpo que se haya suspendido por dos cuerdas L1 YL2 de pesodespreciable, como se muestra en la figura. Hallar la relación de las tenciones en la cuerda Lt inmediatamente después de cortar la cuerda L2, con la que había en equilibrio.

M rn n m n síEn el equilibrio

/T1cos0+T2sen0=mg... (1)

T^senO^cosO... (2)De (1) y (2):

w w w !édukperu c o r , SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II f f f ]

Úwww.elsolucionario.net


Por dinámica:

Por tanto la normal será:

T^mgcosG... (3)

Por dinámica:

mgcos0-T =m —

Pero como V = 0 al inicio

De (3) y (4) tenemos:

T’=mgcos0... (4)

-=1

mg CosO

IF=mar

N+mg=m-

N=m — -mg K

N=0,2(20)

5N=14

(0,2)(10)

© En una feria, una niña de masa m está sobre la pared vertical de una jaula cilindrica de radio R. La jaula velocidad lineal v. Hallar el peso efectivo de la niña, (se define el peso efectivo de un cuerpo al total de fuerzas que el objeto o cuerpo ejerce sobre un dinamómetro en un sistema acelerado =

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edu kpëru ;co ;


http://www.edu

DINAMICA ( SOLVER EDK «

(*>'=jg2 + (v /Ry

é m è w

La fuerzas que actúan sobre la niña sonmg y N

Siendo la

mvoN=mac= —

Piden el peso efectivo (que es la fuerza que ejerce el cuerpo en un dinamómetro)

Wefectivo=mA|g2+(No/R)2

Una partícula de masa m se mueve a lo largo de la superficie interna lisa de un cilindro vertical de radio R. Halle la fuerza con que la partícula actúa sobre el cilindro, si en el momento de iniciarse el movimiento su velocidad v0 forma un ángulo 8 con la horizontal.

wvn-.. ed u kper u . coìti SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II



voSen0 v05Tr^vqCosÜ

Tenemos que la velocidad tangencial esV=VoCos0

Piden la fuerza de la partícula sobre el cilindro:F= mac

V2F«m T

V!F= m — cos20 R

Que fuerza constante actúa sobre una masa de 500kg.para que su velocidad inicial de 5m/seg, cambie a (-5m/seg) en un tiempo de 20 seg.

SOLUCION

Por dinámica tenemos que: YF = ma v¿-%Y por cinemática a =

V0=5m/s Vf=-5m/s4------

/—5 - 5\ F = sm k» { — )

F = -250N

|F |= 250N

© Dos cuerpos de masa lOkg. Y otro de 5kg, cuyos coeficientes de rozamiento con el plano inclinado son0.5 y 0.2 respectivamente. El cuerpo de 5kg se suelta 2 seg




después de haber partido del reposo el cuerpo delOkg. Las masas se encuentran después de 5seg que ha estado en movimiento el cuerpo de masa lOkg. Hallar la distancia inicial que los separaba.

Resumiendo lo dicho el cuerpo de 5 kg alcanza al cuerpo de 10 kg en 7 seg. Mientras que el cuerpo de 10 kg ya hizo un recorrido en 5 seg.Por dinámica para las 2 masas:

50 senSO-fr^S.as kg

...O)100 sen30-fr2=10.a10kg

...(2)Por cinemática, hallamos el recorrido:

2Xa~ T

E n (l)y (2 ) se tiene:2(d+x)

50 senSO-fr, =5. „2

...(3)2 (x)

100 sen30 — fr2 = 10. y-2

sn edukperu com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II



...(4)Siendo X recorrido en 5 seg por el cuerpo de 10 kg y =50^00530

fr2=100}J2cos30

Reemplazando en (3) y (4), hallamos que X es:d=16,8m

© Halle la aceleración del bloque de 20kg, si las fuerzas de fricción entre los bloques y las superficies son despreciables. También el valor de las tenciones entre las cuerda:

p a s m a r

mg mg

5kgT I _i_

lOkg

NT I T2

N

20kg

i mg

Por dinámica para todo el sistema, se tiene:mg-T1-T2=mtamT=masa total

Como se desprecian las tensiones, tenemos:mg=mta

20(9,8)=(35)a a=5,6 m/s2

Ahora para hallar las tensiones por dinámica para cada masa, tenemos:T,=m'a

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www- ed ukperu.com



Entonces de (1) y (2) tenemos:

T2=m"a

T1=56 NT2=28 N

© En la figura mostrada, halle la aceleración de los bloques y la tensión en la cuerda que los une, si hay rozamiento entre las masas y la superficie.

Piden la aceleración de las masas haciendo el DCL para cada masa:

Siendo

T21

m g

3kg T12

N fr

m g

3kg T12

N fr

|T12|=|T2,|

■ Vv edukDsru corr. SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I


» SOLVER EDK D DINÁMICA

y

fr=pN

>N=mg

Por dinámica en cada masa:T12-fr=ma.... (1)

F-T21-fr=ma... (2)h tai .*De (1) y (2) tenemos:

F-2tr=2ma F-2fr 20-2(n-0

3=1 >m = 2(3}rrt

a=l,37— x seg2Ahora hallando la tensión de (1)

T12=ma+fr=9,99 N■

■

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II wwv*


ESTÁTICA c SOLVER EDK «

£ Se tiene un conjunto de fuerzas concurrente ?! = (—2,3m 3), f2 = (n, —2,1) y

f3 =(-l;4,r) , para que valores de m, n y r la partícula se encuentra en equilibrio.

M m m m M

Como la partícula se encuentra en equilibrio=>EF=0

Veamos:+F2+F3—0

-2 +n-l= 0 ' 3m-2+4=0 3+1-5-0

n=T-2

:"3 r=4

m=3

Se tiene un conjunto de cinco fuerzas y la resultante de estas se indican en la figura. Hallar la quinta fuerza.

Del gráfico tenemos:F_1 =5j TM F2 =12ÍN •F3=40ÍN

F4=(16Í+12j)N

F5=?

Pero tenemos que

1MQ

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II f lg j jwww.elsolucionario.net


/12. 5.\F^ 65(i3 Í+13j) N

Fr=(60Í+25j )NLuego

? i+F2+F3+F4+F5=F r

F5=Fr-(F1+F2+F3+F4)

F5=60Í+25j-(5J+ 12Í+40Í-161+12j)F5=(24Í+18j )N

Hallar la resultante de un sistema de fuerzas que se indica en ia figura. La figura es pentágono de 10 m de lado y las fuerzas están a escala de lm =5kg

R=(202.25,-65.7)

» SOLVER EDK )

Visualizando, tenemos que el pentágono es regular, por lo que• 7t

0=a=p=36°= —571. 7t.

=>F!=50 cos-ri+50 sen-j 5 5

ESTÁTICA

S SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II vvww.edukperu.com



F2=100c o s^ I5K 71 71.

F3=1 OOcos — eos -i-1 OOcos - sen —j 5 5 5 5271. 2k „

F4=50cos — i-50sen — j5 5Luego

Fr=Fi+F2+F3+F4

=(202,25í-65,7j)kg

Dos esferas iguales de radio r y peso w se apoyan mutuamente entre si y se apoyan, además contra las paredes de un cilindro abierto por su parte inferior de radio R, que descansan sobre un plano horizontal. wt que ha de tener el cilindro para no ser volcado por peso de las esferas.

*?iTTtrairm r

Tenemos dos esferas: tal como muestra la gráfica:DCL para ambas esferasComo dicho sistema en equilibrio (claro está debido a que deseamos el mínimo valor de

ww w . ed t& pe ru . com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


» SOLVER EDK ESTÁTICA

AhoraWi

IFy=0

IFx=0

Ahora

R4-2w=0=>R4=2w R2-R, =0 .-.r2=r1

IM b=0R, (25)sena-25 cosaw=0

w=>Ri = — tga

...d)

DCL del cilindro2 A

Como deseamos que dicho cilindro no vuelques m a=o

RW,=Ri(25)sena

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I www. ed u kperu. com


ESTATICA SOLVER EDK «

...(2)

De (1) y (2) tenemos:cosaRWi =2rW —— sena senarWi=2w-cosaR

Del

tenemos queAOBC

' • 2(R-r) Rcosa= —-— = — -1 2r r=s>W,:>2w(l-£)

0 Cuál es el valor de la fuerza f para levantar la carga de 100N, si p=0.3 para todas superficies y 0= 10°.

Ahora analizando solo a la carga de 100N, carga C

www. ed u kpe ru . co m SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 159


» SOLVER EDK I ESTÁTICA

Ahoratga=0,3

a=16,7°Realizando el polígono de fuerzas, tenemos:

Por ley de senos tenemos:R1sen(9O+(0+a))lOOsen(9O-2(a+0)

R] cos(0+a)=l OOcos2(a+0) R1=66,74N

Ahora, para el bloq A

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www, ed ü kpe ru: eom



Ahora

R4sen (90-a) Fsen2 (a+0) F=98,1N

Ahora analizando al Bloq B Veamos:

www.ed u kpe ru.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net

http://www.ed

Realizando el polígono de fuerza tenemos:

» SOLVER EPK__________________ J ESTÁTICA

Por la LeyR-i sen (90- (0+2a)) =R4sen (2a+0)

R4=70,5

Tres fuerzas f, 2f actúan en los vértices de un trianguto equilátero ABC normalmente a sus lados, como se indica en la figura. Hallar la magnitud dirección y sentido de la resultante.

m m m tmTenemos:

F2=2F(cos30Í-sen30j)

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www.edukperu.com



ESTÁTICA SOLVER EDK «

F3=-3F(cos30Í+sen30j)

Ahora para calcular la resultante

Además: calculando

Si verificamos que

dirección de que

R=F-|+F2+F3

>|R|=V3F

Pr= -1/2,--V3- 1. V3„

=>pR=2i+Y j

1. V3. PQ=2i+Y j "

R es QP

Se tiene la cuerda PQRS (sin peso), la cual soporta los pesos w1. Hallar la fuerza de tracción en las porciones P Q Y QR de la cuerda. Si a =30 m y b =5 m.

Del problema tenemos el DCL para la cuerda QR

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II 163


» SOLVER EDK ESTATICA

3btga= — =»a=26,6° aComo el stm se encuentra en equilibrio

pero

Por tanto

IF x=0IFy=0

IF x=0XFy=0

=>Tx-Tx=02Ty=2w1=>Ty= w 1

Ty=TsenaW i

/.T=— -=2;24wt sena

Tx=tcos0=2w1

2w1

Se tiene la estructura representada en figura. Hallar la fuerza sobre la barra LN, si en el extremo m; se aplica un peso de 50 kg.

ám m m

Realizando el DCL de la barra LM? entonces:

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www. edLrkperu, com


ESTÁTICA .c SOLVER EDK «

A.Fw /

\

c• \

P

1— 6 —------II-------4 — — V 50 Kg

AplicandoIM P=0

4(50kg)=6sena FLN 200

^ ^ "ó se n a

= FLN =41,67 kg Para la barra LN, la fuerza FLN es a lo largo de la barra LN

8tga=7=>a~53,13°

64

sena= -5

www, edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA T Y IIwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK 1 ESTATICA

Dado la figura, se tiene una fuerza f=10N que actúa en la dirección del punto A al punto medio del lado BC. Hallar (a) el torque de la fuerza con respecto a 0. (b)el torque con respecto a B (c) el torque con respecto al lado BD.

á tm tm m

Del diagrama mostrado tenemos:

a) Piden=rxF

r=aí , F=10pF

PF=AC+AB -Vó, V6- V6r[AC+AB]

^ = > í¡F= - \ +- }+— k

_ -10V6. 5V6 5V6ri+— +T k

r

Ahora:b) tb=r1xFrl=aî -aj ,

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu,corrí



_ -10V6. 5-v/6- 5V6r F= — Í+— J+ — k

_ -5aV6 . , ~tb=— 3 — (i+j+k)

c) tBD=pBD.tbpBD=í

=>tBD—>-5a Vó „ . -5aV6- 5- O ^ k )— —

< D Se tiene dos pares de fuerzas que actúan en las aristas de de la figura. Hallar el torque resultante.

« a n a t a »

Para poder calcular tPOR de vectores, sólo es necesario:

' AConsiderando lo antes dicho, tenemos:

i rw w w . ed u kperu ; com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I



ches ia c^es la

Se tiene una placa circular de 4 m de radio, sobre dicha placa actúa cuatro fuerzas que se indica en la en la figura, (a) la resultante de las fuerzas, (b) el torque de la fuerza con respecto a 0 y (c) La posición de la resultante.

*

Se tiene el disco de radio 4 m. tal como se muestra:

distancia para el por de 5N distancia para el por de 1ON

» f5>=d,xF-.6jx [5, ( i ^ i * i c ) ]

=24V5Í+6\/5k

=>f10N=d2xF¡=2Íx (l0j)=-20k

t=24V5Í+(6V5-29)k

68 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w .e d u k p e ru .co '



Dichas fuerzas están sobre el disco a) R=LF,

b) t^ I^ F ,

=-1 k-2k-4k-3k R=-10N(k)

fj = 4 í , Fi=-ln(k)

r2=4 cos30Í+4sen30j

F2=-2k(N)r3=4j

;

F3=4(k) r4=-4 í

F4=-3(k)Fi +r2 F2+r3 F3+r4 F4

to=-20Í+(4V3-8)J

www. ed u kperu. com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY IIwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK Dc) Sea

posición de la resultante:r=(x,y,z)

t0=rxF= -1 OyT+10xj=20Í-(4V3-8)J

x=(4V3-8)/10 y=2

O Las dos mitades de un cilindro circular de radio r y peso total 2oj se apoyanmutuamente, como se muestra en la figura. La superficie entre dos cilindros es rugoso y el suelo es liso.

Se tienen dos mitades de cilindros circulares: (tratando como un sistema)

a) Como dicho sistema se encuentra en equilibrio

XFy=0

También como el piso es lizo

>Ral al piso

ESTÁTICA

m SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y wvvw.edukperu. cón



Ahora>RP || Ra

Ahora

a tenemos que:

Del

tenemos:

P+Q=2w

ZtP=0=>A02PQ

rcotoa=(rey) eos 0 2 w... (2)

a POsQ

- ¿ _ =r2y^y=^ - i _ . !)

■ (3)Resolviendo (1), (2) y (3) tenemos que

P=w(l-sen0) Q=w(l+sen0s)

b) DCL de uno de los semicilindros, tenemos:

www, ed u kperu. corri SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II f 171


» SOLVER EDK_________________ ^ ESTÁTICA

Asumiendo que R actúa en X, entonces como Fg y Q son II entonces R es paralela a Fg=>EFy=0 Q+R=w

R~w-Q=w-w(l +sen0)=wsen0

c) Del mismo modo realizamos el DCL para el otro cilindro:Aplicando ! t P = 0 , considerando

jjfgflj SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II vvww. etíu kpe ru. ce m



4rC6 de — 371

/ 45 \=>xcos0 R= tg0J cosG.w

/ 1 4 cosQ \\sen6 3nsen26J

Si se conoce 6 y el sistema está en equilibrio. Hallar (a)las relaciones en P Y Q. (b) la relación R que se ejerce entre los dos semicilindros.' (c) la distancia x a la cual actúa esta relación.

a m m m m /Realizando el DCL del sistema mostrado:

ww w , ed ukperu, com SOLUCIONARIO FISICA LEÍVA I Y IIwww.elsolucionario.net


Realizando el DCL de cada peso

Ahora para la esfera (2)

=>T=/ 100 100V3\ \tg60 3 )

...(2)De ( l)y (2)

V3w_1=(100V3)/3

w1 = 33,3kg

© Dos cuerpo de peso wx w2 =100kg. Reposan sobre dos planos inclinados lisos y están unidos por un cable de peso despreciable. Qué valor debe de tener w1 para que el cable esté en una posición horizontal.

M?mTíTffriTM

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. ed u kpe ru . com


ESTÁTICA £ SOLVER EDK «

Ahora descomponiendo las fuerzas a lo largo del plano inclinado

IF y=0Fsen0+n=wsena

...(* )£FX=0

wcos0+fs=fcos0(**)

Además, tomando momento en la polea:

wvvw 0dukp6ru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1Y I



£tn=0.

La longitud de la cuerda es:

1V2

=>fs.(lV2)sen0+N(lV2)cos0=lww

=>fssen0+Ncos0= —V2

De (*), (**), (***) tenemos queN=wsena-Fsen0

N=wsen(0+45°)-Fsen0

/sen0.V2 cos0.V2\N=w í — -— +— -— J.FsenO

...(*)N =w(sen (0+45°)-Fsen0

Dado el sistema de la esfera y plano inclinado. Hallar el ángulo 9 y la reacción normal a la esfera, para que el sistema se halle en equilibrio.

Como el cubo es liso y además h = L/4 realizando el DCL del cubo

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I w w w .edukperu.com



ESTATICASOLVER EDK «

Aplicando:

Ahora DCL de la placa

£to=0

(i)R= (i ) cos(45+a)w R=V2COS(75°)W

- ( * )

__JLw l

,TFn

£F=0£Fy=0

w 1+Rcosa=fN

EFx=0Rsena=fs

... (2)

i© Un cubo perfectamente liso de peso w y lado L, puede girar alrededor de laarticulación o y se apoya en el borde de una placa de peso w± y altura h =174.Hallar

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II-,



» SOLVER EDK___________ j _ _ _ _ _ _ _ ESJÁT1CA

el coeficiente de rozamiento ¡i entre la placa y el piso horizontal de apoyo para que haya equilibrio en la posición indicada de la figura.

Realizando el DCL de uno de los aros:

Del gráfico,r 1

senct=3r = 3 => a= 19,47°

2V2=> cosa= -O

Ahora realizado el sistema de fuerzasRasena=F-Rb

. . .0 )

Racosa=F

Resolviendo (1) y (2) tenemos'que

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w .edukperu.com



ESTATICA c SOLVER EDK « ■~S

Ra=3F/V8

R ..FO -- Í)

& . Se tiene tres aros sin peso. Uno de los aros tiene doble del radio de los otro dos que tienes radios iguales. Los tres aros están amarrados por una cuerda inextensible que hace una fuerza f. Hallar las reacciones en A Y B.

Realizando el DCL de la cuya, tenemos:

desde gráfico tenemos que

Ahora

lS0=4

a=15+0

wwm edukpe*ucom SOLUCIONARIO FISICA LE IVA ! Y II



R2cosa=R1cos0

F=R1sen0+R2sena

..•(2)Luego tenemos que

Fcos0 FcosO2~~(cosasen0+senacos0) sen(cH-O)

El diagrama de fuerzas tenemos:

g jj SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y www, ed u kpe ru , com


ESTÁTICASOLVER EDK «

Dondea=15+0

lOOsen(9O+0)=R2sen(9O-(a+0)) 1000 cos0=R2cos(a+0)

F=1000 tg(a+0) F=lOOOtg(15+20)

F « 932 kg

XFy=0

P+Q=w-|

LtP=0

Lw1=(L+X)Q...(2)

Ahora de (*) tenemos:FcosG cos(a+0)1000cos9=sen(a+0)

Dado el sistema de pesos que se indica en figura. Se quiere levantar un peso de lOOOkg, con una cuña que hace un ángulo de 15°. Hallar el valor de f, si el coeficiente de rozamiento para todas las superficies en contacto es de 0. 25.

Realizando el DCL de la barra y de la semiesfera

L L

P

ww(/v. edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II 181



Pero tenemos queL+X=rcos0

...(3)

P+Q+W=M

Analizando

!»SFy=0

...Cl)StQ=0

rcos0M=(2rcos0-bsen0-rcos0)w+25cos0P

todo el sistema

82 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II w w w .edukperu.com




M=w+w1

Una barra uniforme PQ= 2L de peso w l se apoya en P en el interior y por R sobre el borde de una semiesfera hueca de peso w. Hallar la relación de w a w l sabiendo que la posición de equilibrio de la barra es horizontal. Si C es el centro de gravedad de la semiesfera y se conoce b. Hallar el ángulo 6 y las reacciones en P; R Y M.

Como se encuentra en equilibrio

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y IIwww.elsolucionario.net


» SOLVER EDK ) ESTÁTICA

Xto=0

w2Lsen0=w1 (a-Lsen0)

senO =aw1

L(w1 4- w2)

De un punto A esta suspendido un pesou y una esfera de radio y peso w2, tal como se indica en la figura. Si 00’=L, Hallar el ángulo 9 que ase recta 00’ con la

vertical.

a) StA=0RBLcos(p+0)=bcos0w

Luego analizando el sistema de fuerzas

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. ed u kper u. co m


ESTATICA c SOLVER EDK «

Ahora (1) (3)

b) De (3) tenemos

Y por último en (2)

RA+RBcosp=w...(2)IF x=0

R0sen|3=F...(3)

F=wbcos0sen(3 Leos ((3-0)

wbcos0 Leos ((3-0)

Ra=w 1 bcos0cospi Lcos(p-0) J

Una varilla AB = l, de peso w cuyo centro de gravedad se halla a una distancia b del extremo A, se apoya en A sobre un suelo horizontal y en B en una pared inclinada,

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II




ambas superficies lisas como se muestra en la figura, (a) Hallar la fuerza f que debe aplicarse al extremo A de la varilla para que se mantenga el equilibrio con un ángulo de inclinación 0. (b) Hallar también las reacciones en A y en B.

It o=0

L2 \ í l L* ^w-j ¡ ja2 — sen0 1 -w21 - cos0 a2 — sen0

W-| (V4a2L2sen0 = ~ (Lcos0-2V4a2L2sen0 j

2V4a2L2sen0(w1 +w2)=w2Lcos0 w 2L

tg0=

0=

2(w ¡ +w2)V 4a2L2)

w 2L

2ÍW! -f-w2)V4a2L2).

m Una barra de longitud L y peso w1¿ se encuentra apoyada sobre una esferasemicircular de radio a, y superficie lisa, otro peso w2 está situado a un cuarto de longitud de la barra, como se indica la figura. Hallár 0 para que el sistema se halle en equilibrio.

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©

Del gráfico mostrado:IF y=0

P-60=0=>P=60kg

Luego aplicando l t Q = 0 tenemos10 (5cos0) -20 (5cos0) - (2,5) senG ( 10) +60 (5sen0)=0

=>0=10,3°

Se tiene dos barras homogéneas de longitud lOm, y 5m y 20 kg, lOkg de peso que están unidas formando un ángulo de 90° y soportadas en el punto p. En los extremos de la primera barra actúan los pesos de 10 kg y 20 kg. Hallar el ángulo 6 para el

equilibrio.

Primero, analizando todo el sistema

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII 187




En (1)

R1R2=w

StQ=0

2 R1 - 2

wRi=R2= *2

A STa=0a

bt=R-

aT=w—4b

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ESTÁTICA I SOLVER EDK «

Dos barras están articuladas en Q y sujetas por una cuerda PR. las cuales se apoyan sobre el suelo liso. Hallar la fuerza de tracción que se produce en la cuerda, cuando una carga w se aplica erí la articulación Q, tan como se indica en la figura.

Ojo: falta considerar o indicar que dichas barras son homogéneas Ahora:

l ' \A C = "

Lo Lo

Xc2= 2 ’ y<:2= 2’

*C3= ’ YC3=0

Í-I+L2+L3 v _ L3/ L2+L3 \ ^ 2 \Lí+L2+L3/

Li (Lt -hL2)2 L1+L2+L3

Hallar el centro de gravedad del triángulo formado por varillas de longitudh;

, para el sistema coordenado dado.

www.edu kosru. cd m SOLUCIONARIO FISJCA LEiVA I Y II


http://www.edu

» SOLVER EDK ] ESTÁTICA

Del gráfico, se tiene:6R

XNs=3R , Yns- ~k

Xc=

_-4RXNM=2R ; VNM- —7t

2RXlm=3R , Ylm= ~

3R. (3R7ü)+2R. (2 Rn)+3R(R3R. (3Rk) 8R 3R7t+2Rn+R7i 3

f— ) .3Rtc- — +2Rrc+ — .Rn 2R\/ _ \ 7t / U K ___

3R7t+2R7r+R7T n

. Hallar el centro de gravedad de la espiral LMNS, sabiendo L O =R, LM =2R; NS=6R, para el sistema coordenado.

w w «Ojo: Los lados del triángulo son distinto a R (ese dato no debe existir)

Si ubicamos el origen de coordenadas en O:Y c t o t a l=0

AhorahYAC=-=»Area=Rhó

-4R R*rcv« * i r Area= T

»2-

0 =4R /R2tt\

RH+^

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ESTÁTICA l__________________ SOLVER E D K «

H=V2R

# Se tiene dos superficies, una de ellas es semicírculo de radio R y la otra un trianguloisósceles, cuyos lados iguales son R y el de la base 2R, cuánto debe valer la altura del triángulo para que el centro de gravedad de las dos superficies, coincida con el punto o.

Aplicando por superposición:Llamaremos A r : Area Total (cuarto de circunferencia=At : semicircunferencia

9X|=2

1 3 n

A ' = T n4a

Xl= 3tt

4 a = 3n

A j = - n

y At.Yt +At .Yt . A-j + A 2

2Yc=-a=0,64aK

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» SOLVER EDK 3 ESTÁTICA

y At-Xt +At.Xt A!+At

Xc=0;345a

Hallar el centro de gravedad de la figura rayada.

Ecuación de la curva:-b r ---— ab7i

x = - v ^ y a =—

Utilizando la simetría que tiene dicha Area, tenemos:Fc = 0

Bastará encontrar Xc: veamos

^ = { 4 K) =- S ^ - y2^ x-a .

a

xc=(a^ ) =-2 f ¿(a2-y2)dy

4aXc= 3Í

192 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.com




0 Hallar el centro de gravedad de la superficie de la elipse.

] ¡ ¿ ¡ ¡ ¡^Llamaremos (1) a la región de radio=2R (sombreado)

(2) a la región de radio=R (sombreado)(3) a la región de radio=R

8 Rx i= °, Y t = — , A ,= 2 R 27t

-4R R27lII>c£lì><

371 ' ^ 2" 24R R27C

wx II 73 11 11co<1*Ico " 2 “

Reemplazando tenemos:

Xo=-A - | X - j + A 2 X 2 + A 3 X 3

A-j +A2+A3

Yr=-

Xo=¥ A 1 Y 1 +A2 Y2 +A3 Y3 -2R

Ai +A2+A3 71

Hallar el centro de gravedad de la figura rayada.

vvw w .e d u k p e ru .c o tti SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 93



Proyectando el sólido, de tal manera:

pero

ZCVT- Jz . A ,c

hí (y ZCVT= J Z.(-

o

az+b(h-z) \2 3V3) -dz=>

Vt=5

Zr=T

a2V3+b2^3+abV3

3a2+2ab+b2

h.••dista=-4

a2+ab+b2

a2+2ab+3b2

a2+ab+b

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ESTATICA c SOLVER EDK «

Las bases de un tronco de pirámide son hexágonos regulares de lados a y b respectivamente, siendo h la altura del tronco. Hallar la altura del centro de gravedad del tronco a la base de lado a.

Suponiendo que es un cono completo y proyectando de la sgte. manera, tenemos:

m2 B’ V B 7»m=-

(m+h) 2 B V B-V ?

2 B ' _ (VB-VB7) .z-VBh) 2

= — =>AZ= ~ó(m+h-z) 2 A

Zc.VTf z.A,dz

,n h"Z C . V T = ( b + 2 V b ¥ + 3 6 ) j g

( B+2-/b-B7+3B \ hZr=

y +-n/eTb'+b y 4

Halla la distancia del centro de gravedad de un tronco de pirámide a la base del

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II



» SOLVER EDK 1 ESTATICA

Teniendo en cuenta el anterior problema (31) se puede verificar que posición del CG es igual a la fórmula dada:

••• B=R27t

B =r2jt

=>ZC=R2n+2VR^%2+3r23t \ h R2K+VR2-r27t2+r27t y 4

/R2+2Rr+3r2\ h C"V R2+Rr+r2 ) 4

& Hallar la distancia del centro de gravedad de un tronco de cono a la base del mismo.

jm m m /

Ejercicio para el lector.

Hallar el centro de gravedad de las barras homogéneas de sección uniforme, que se indica en la figura, con relación al sistema de coordenadas dado.

| f

Como este es simétrica respecto a un eje:

196 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www, ed u kperu. com



bastará encontrar Zc, ya que Zc = Yc = Xc

Veamos

VD-^a3=*Zc.VD= J z.dva

dv=(a2-z2).^.dz=» j z(a2-z2).^.dz

Zc= oa=Xc=Yc

. Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la octava parte de la esferax2+y2+z2=a2

*n rn ra m w* y

Ahora sea la ecuación de la parábola:Y=ax2+am2

L-an2+am2

La=-n2+m2

...(*)

Ahora

w w w . edukperu. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net


Y=„ M i v j i + e f d x

“ c f W *

=2n

Y=2n

$ Un arco de parábola PQ gira de alrededor de eje y. Hallar la coordenada RS del centro de gravedad del cuerpo de revolución así obtenido.

AplicandoIt P=0

(t)4 sen(120°)=50 cos60.5+(10cos60°)30 T=79.4N T=79.4N(-sen30°í+cos30°j)

Ahora:P-T-80j=0P=80j-T

|P|=41,3N

Se tiene una varilla PQ de 10 m de largo y peso 50N, que hace un ángulo de 60° con la horizontal y está soportada por una cuerda MN, la cual hace un ángulo de 30° con

198 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II ww-,v edukper-j,com


ESTATICA £ SOLVER EDK «

la vertical, como se muestra en la figura. La distancia PN es de 4m. Hallar (a) la tención en la cuerda MN. (b) la reacción en el punto de apoyo p.

aprmnnfffflM

Del gráfico F1=500N

Luego

F2=260

tA=r1xFl+r2xF2

Vemos que:=-3Í

i/3. 4„\F, =500 (- i+ gj)

r2=-2k+4j;

"F" ~ "2" "=260" ("-3" A/("13” ) "i" "2" /V("13" ) "k" *)

•• tA=i Î k' Î Î k

-3 0 0 + 0 4 -2L300 400 oJ .-60VÏ3 0 40VÏ3.

t A=160 VÏ3Î +120 VÏ3J+340VÏ3-1200k

J . La figura muestra a la fuerza f, y f2 aplicadas en los vértices del paralepípedo. SI las fuerzas tienen módulo

f!=500Nyf2=260Ny siguen las direcciones con las diagonales. Cuál es el momento total con respecto

el vértice A.

ww w . edu kperu. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 199



á m m a m í

Ahora para la barra AB

T2y(Lcos200)=T2x(Lsen200)+w(0-k)cos20°w=819.6N

Desarrollando el punto C:Veamos:

g SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II w w w . ed u kpe ru . corrí



Ticos40°=500

Ti=500

cos40°T1=652.7N

T2sen30°=T1sen40°

T2=839.1N

© Si la barra AB tiene peso despreciable. Hallar el peso w para que el sistema se

encuentre en equilibrio.

Iwww, edukperu com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II S JK


» SOLVER EDK u ESTÁTICA

Como dicha distribución es simétricoRQ=4(200)cosa

RQ=800cosa

Ahora >12

cosa= — => Rq=480N

Una barra PQ de 12 m está sujeta por cuatro cables de longitud 20 metros. Cuál es la fuerza de reacción del piso, si en cada cable hay una fuerza de 200N.

De acuerdo al gráfico, podemos verificar que:

W | SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w ed ukperu.com



T,

Ahora/ -3 , 4 * 6 r\

_Tfe l+V!fJ+V6T )

r i=T(v 5 T Í' V Ü J+V5fk)

£to=0

Ahora como, está en equilibrio

-36V6T . . 50(-61)Tj+50j=0^ — =10,8N

61 V6I36

SFo=0= R0+T1+T2-l0j=0

=> Ro=10k-(Ti+T2) R0=(8,3Í-6,6k)N

& . Una barra de 10 metros de longitud, de peso ION, distribuida en forma homogénea, es sujetada por dos cuerdas PQ Y PN, tan como se indica en la figura. Hallar las tenciones en las cuerdas y la reacción en 0.

jCfflfTrar.T W

g jw w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I



» SOLVER EDK D. ESTÁTICA

0///////////////

SOLUCION 20Kg4

Se puede demostrar que

(debido a la simetría del problema)

sena= -5

cosa= - 5

Ti=T2

T^sena^senaTi=T2

. ..(1)

AhoraT ! cosa=T2cosa=20kg

2T1cosa=20kg

■m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www. edukperu. com



100T ' . - k S

50T1 = ykg=16,7kg

O Una varilla PQ homogénea de 20kg y de longitud 8m, cuelga de dos cuerdas de 5m de longitud de cada uno. Hallar las tenciones de cada cable.

AplicandoZtp-0

1(1 sen30°)T= - sen45°)l 0

T=5V2kg

Ahora P + F6 + T = 0P=F9+T

P=10j-5V2(-cos75°i+sen75°j)

P=l,83í+3,17j

Una barra de PQ de lOkg está articulada en p y sostenida por su extremo por una cuerda MQ, tal como se indica en la figura. Hallar la reacción en p.

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y Iwww.elsolucionario.net


» SOLVER EDK ESTATICA

Veamos

De(l)

(2)RM=(lm)(Rs)+(2,5)m(cos70o)25kg

RM=Rs=21,37kg

@ Una barra PQ de 5m de longitud y 25kg de peso, descansa sobre una superficie lisa, formando un ángulo de 70° con el piso y se encuentra apoyada por los puntos s y M.Si se conoce p s = lm y PM =2 Hallar las reacciones en los puntos p, S Y M.

wwwww

Para la barra AB

i

I t A=0

16 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w .edukperu.com



ESTÁTICA SOLVER EDK «

(200kg) ^ sen60°+(100kg) sen60°=wLsen(75°)

w= 149,4 kg

© Dada la varilla AB de 200kg, homogénea, está articulada en A y sujeta en B por una cuerda la cual se comunica con un peso w por medio de una polea fija. Si no ay rozamiento en la polea. Hallar el peso W para el sistema esté en equilibrio.

Analizando solo el punto P, tenemos:a=45°0= 120°

Ahora:SFx=0

TPMcosa-TPQ eos (0-90) =0

TpMcos45°=TpQ cos(30)

/V6\TpmCos I — I =Tpq

...O)XFy =0

TPMsena-TPQ sen (0-90)-3 =0

TpMsen45°+TpQ sen (30°)=3

De (1) tenemos:w w w .edukpeai.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II


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TpM-2;7kgTpQ-2;2kg

Hallar las tenciones en las cuerdas que sujetan a la lámpara. Si a = 45° y a = 120° y el peso de la lámpara es 3 kg. Desprecie el peso de las cuerdas.

g^T irm n íM

F n0

Analizando en este primer gráfico:

\ ¿ L

SFX = 0

FN1sen0-FN2sena=O

FN1 sena FN2 ~ sen0

...O)SFy =0

FN1cos0-FN2cosa-w=O

Wt SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu. com



De (1) tenemos:wsena

^N1 sen(a+0) wsenO

^N2 sen(a+0) Ahora analizando en el otro plano: sólo al cilindro

IF = 0donde

liwsenaf s l =

F-fs1+fs2fs2-

.\F=jjw

sen(a + 0) jjwsen0

sen(a+0) (sena+sen0)

sen(a+0)

Sobre una cuña asimétrica M, descansa un cilindro de peso w. Si ju es el coeficiente de rozamiento entre el cilindro y la y la cuña. Cuál es la fuerza f horizontal para iniciar el desplazamiento del cilindro.

DCL de la esfera.

www. «di u k pe r u. co m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I



Ahora tenemos:-SFy =0

FN]+0,3FN2-100=0 Fni+0;3Fn2=100 kg

-ZFX =0 F+0,3FN1-FN2=0

F+0,3FN1=FN2 ...(2)

Ahora aplicando:Zt0 = 0

, considerando r = a radio de la esfera(a) (0,3F N2)+a(0,3F N1)-aF=0

0,3(FN2+FN1)=F

... (3)

De (1), (2) y (3) tenemos:F=44,32 kg

Una esfera de lOOkg, descansa en una esquina, donde el coeficiente de rozamiento es 0.3. Para qué valor de f la esfera inicia su movimiento.

« im a n a r

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Del gráfico tenemos:

/ 4 , 3 , 2VórY\ Tab-Tab(5'-25J- 5 jT -T i A ' 3 ^2V6,

BC \25' 25 ” 5fB=V6ÓÓk

F=200(cos30°j-sen30°k

Ahora, como se encuentra en equilibrio:-zf0 =0

0=rBxTAB+rBxTBC+rBxF

í J k í J k

0=Tab04

0-3

VóOO-2V6

+ 0-4

0-3

V6Ó0-2V6

•Tbc+

25 25 5 25 25 5

0==Tab/6V6. 8Vó^ b " Í+— j >|+Tbc ( í

. 8a/6 ; J

o 100V3

En el eje “Y”

*ab8V6'5 =Tibe

8V6'5 ^Tab~Tbc

kV600-100

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» SOLVER EDK D. ESTÁTICA

En el eje “X”

de ( 1)Tab=72;17kg=Tbc\

Sobre una barra de V600 m, actúa una fuerza de 200kg en el plano y z y hace un ángulo 30° con el eje y. Del mismo punto B? actúa dos cables BC Y BA. Cuál es el valor de las tenciones en los cables para que el sistema esté en equilibrio.

Ojo: En este problema, falta indicar que la esfera es lisa: descomponiendo la fuerza a lo largo del plano.

IF x=0 wsen0-fecosa=O

wsen0cosa -=fe

n SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I w w A.8dukperu.ccrr,



, pero fe=KX

wsen0X= Ksena

0 Una esfera de peso w descansa sobre un plano inclinado de ángulo 6 y está unido a un resorte de constante elástica k y este forma un ángulo de a con el plano inclinado, como se indica en la figura. Hallar la compresión del resorte.

Analizando el bloque de peso W2

XFy=0Tsen0+FN1cos0-pFN1sen0-w2=O

Tsen0+FN1 (cos0-jjsen0)=w2

w ww, ed u kperu, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net


Á ky

Fnl _ — ' A T / i• \ X Q 1 ..+¡ e / i /L/

X

r W2SFx=0

-fN1 sen0-jjFN1 cos0+Tcos0=O fN1 (Sen0+1JCOS0)=TCOS0

De(l)y (2)T=(sen0+jjcos0)W2

Ahora analizando

Fsena + FN2 = W^osO ... (1)1FX = 0

Fcosa = fiFN2 + T ... (2)W9 (cos0u+sen 0) apcos0

p ____ .__—------ ---- j- —-------------cosa+psen0 cosa+jjsen0

Hallar la fuerza f que iniciara el movimiento, si el rozamiento entre los bloques w1; w2 y el plano inclinado es n . La polea no da lugar rozamiento.

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ESTÁTICA

©

SOLVER EDK «

y.y=4-x2

i- x—H 2 xdx

2

Yc= J (4-x2)dx= J | .y.dx= J y2 dx 0

2

= l ¡ (4-x2)dxoYc=l,6

(j (4-x2)dxj = /|xd y 4

= l j x2dy= J (4-y)dy

Xc=^=0,75

Hallar el centro de masa de la figura parabólica y =4 -x3.

www .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAh Y II




f YYC-A= J 2 ydx4 1

4/( M d*0

2f 3A= I -x3dx=3 oYc=1,7

= ¿ J ( 2-x)2dy

2

=ll (2-x)2íx2dxo

• Xc=0,4

Hallar el centro de masa de la figura indicada: y = | x3.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II216w w w .e dukp eru. com


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JSTCRffir??*

Como se encuentra en equilibrio

Se puede demostrar que

l t T = 0 rF1xF +rFxF=0

• ••(I) F=Fj

irF=2aí

F=FxT+fJJ

;

rF'=30í+4aj

í J k í J k0= -3a 4a 0 + 2a 0 0

F1r x F1ry 0 0 F 0

0=-2aF k+(-3aFy-4aFx)k

0=2F-3Fj-4Fx

F1 min

wvvw.edu kperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I


» SOLVER EDK--------

1 ESTATICA

Una varilla esta doblada, como se indica en la figura. Si todos los lados se indican en la figura. Hallar el valor mínimo de la fuerza aplicada en A para que equilibre a la varilla, cuando se aplica una fuerza vertical f dirigida hacia arriba en M. La varilla puede girar alrededor del punto T.

yi

io nlFn *

<4fs

i r50N

XFY=0FN+lOsen0=5O

' ...O)

SFx=0 10cos9=fs

...(2) •••F=0,4F

OBS. Falta el ángulo

M=COS0

5-sen0

Un cuerpo pesa 50N Y se halla sobre una superficie rugosa. Cual debe ser el valor del coeficiente de rozamiento ¿i, si la fuerza mínima necesaria para iniciar el movimiento es de ION.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II 'www.èdukperu.Còm


ESTÁTICASOLVER EDK «

Realizando el polígono de fuerzas:

Fsen9=25-FN

Fcos9=pFN

... (2)

Ahora como deseamos que dicho cilindro: Entonces de ( l )y (2 )Tenemos: que

25\i dF _ .F=— , - -— =Q9=ts 00cosG+psenG d0

25p•F=-

Peso si consideramos ja=0,259 = 14a ,

F=6,1kg



$ Alrededor de un cilindro de 25kg de peso, está enrollado un hilo inextensible e imponderable e imponderable. Cuál debe ser la fuerza mínimo y el ángulo 9, para tirar del hilo y el cilindro girando, no se desplace.


Ahora como dicha varilla está en equilibrioIt A=0

(Lcos0)(Tsena)=(Lsen0)(Tcosa)+ -cosa mg

T(senacos0-cosasen0)=-cos0 mg

...(*)Ahora

IF x=0

¡jFN=Tcosa

EFy=0Tsena+FN=mg

...(2)( cosa\

T (sena+ —— J =mg

RI SOLUCIONARIO FISICA LEiVA I Y II w w w .edukperu .com


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ESTÁTICA ...............(__________________ S0LVEREDK<<

Ahora de (*) y (**) tenemos que tga=2tg0+

•••a=tg'1 (2tg0+^)

Una varilla descansa en el punto A, sobre una superficie rugosa, cuyo coeficiente de rozamiento en fx y hace un ángulo 0 con la horizontal. Su extremo B, está sujeto con una cuerda inextensible e imponderable. Cuanto debe valer el ángulo a para que la varilla empiece a desplazarse.

|rAAhora desarrollando el DCL del plano inclinado:

T=pFN2+5senlO°

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II § £




1Fy = o

FN2=5cos10°

T=5pcos 10°+5sen 10°

Un plano inclinado, cuyo ángulo son 60° y 30° está sujeto por uno de sus extremos "B " por una curda inextensible e imponderable y su otro extremo descansa sobre una superficie horizontal lisa. Sobre el plano inclinado hay dos pesos de ION, 5N ligados por otra cuerda y que pasa por una polea sin rozamiento. Hallar el coeficiente de rozamiento entre los pesos y el plano inclinado para que el peso de ION comience a deslizar.

Tenemos que:/ 3 „ 5 -a

*=10 — i- — k VV34 V34 /

=4aj+5ak. , ^ OB 3aí+4aj+5ak ,Ahora ob= ]5Ü = 5VÜ toB=(ncR).MOB

3V2. 2V2„ V2» y° B=To~l+_5_J+ T kt° B:

_-60atoB~ m

i j k0 4a 5a30 -50

V3? . V34•Mo b

222 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www.9dukperu.com


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ESTÁTICA . ( SOLVER EDK «

i| p Se tiene un paralelepípedo de lados 3a; 4a; y 5a, en ella actúa la fuerza R= ION, tal

como se indica en la figura. Hallar el torque de / con respecto a OB.

SOLUCION

Obs. En el problema falta considerar Q = 60Q y además que la tapa es homogénea:

Pero

Ahora

M!)12LZ=6N

Zto-0

l í x=0a

(asen0)Tcos0+(acos0)Tsen0= - cos0(12)

a2aTsen0cos0=-cos0 (12)

T=——t =2V3 sen0

Xty=0

w w w .edukperu.co m SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net


0=-bLy

Ly = 0

Ahora, por últimoLFy=0

Py + Ly=TCOS0

Py=V3N

IF z=0 Px-Lz+Tsen0=12

PX=3N^ Se tiene cajón rectangular PQML, su tapa PLNJ de peso 12N está sostenida por una

varilla JQ, si JF = pQ. Hallar las reacciones en las articulaciones P Y L.

JCftTirrélíTMf

a)

b

R= (-300Í-200J-100 k) N

t=20Íx(-200j)+(60Í)(-l OOk) N

=(4000k+6000j) N-cm

t i SOLUCIONARIO FISICALEIVAI Y I www, ed u kpe ru. com


TRABAJO Y ENERGIA SOLVER-EDK «

TRABAJO Y ENERGÍA

Sobre un resorte se deposita un peso de 20kg y este se deforma 6cm. En esta posesión se deja el sistema y el peso se elevara una altura que se quiere Hallar. Sabiendo que para peso de 10kg, el resorte se comprime estáticamente 0. 5cm.

W

t E Z 3

6 cm 1

Como las únicas fuerzas que actúan son el peso mg

Y del resorte K x7 se tiene:AK+IAU=0AK+AVe+AVg=0

0=0-0+ (^ kx2_0) +(0-mg(h+6cm))

0= k(6xl0'2)2-mg(H+0,06)

H=12cm<>0,12m

o Desde una altura de lOm, sobre el nivel del agua, se deja caer una pelota pequeña de peso específico 0.4 g/cm3. Hallar la máxima profundidad que alcanza la pelota. No considere rozamiento, perdida por el choque.

SOLUCIONARIO LEIVAIY II


» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) TRABAJO Y ENERGIA

Por el P.C.E

AU=-Aw mgh=-(P-E)h YxH=(yh20V-yV)h

yH 0,4(10)= Yh20-Y= O-°'4)

h=6,67m

Sobre un plano inclinado de 30°, se halla, un resorte de constante 50kg/cm, el 5cm. Incide sobre el resorte una masa de lOOkg, con una velocidad de lOm/s. Cuanto se comprimirá el resorte.

Por P.C.E:

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AK+AU=0

0= (o-^mV2) +(0-mgKsen30)+ ^K(X+0,05)2-^K(0,01)2)

Reemplazando valores, tenemos la sgte. Ecuación:25xs+2X-5=0

Hallamos una solución para la ecuación anterior:X = 0,408/7

Si un móvil se desplaza sin fricción sobre el alambre de figura. Si la velocidad del cuerpo es de 5m/seg, cuando se halla en p. Cuál será su velocidad en Q y R. Si

h! 100 cm, h2=50 cm y h3=80cm

Sea m la masa del móvil P.P.C.E:

0• (

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y Iwww.elsolucionario.net



(U2-U ,)+ (K 2-K1)= 0 Para el tramo Tq

(Uq-Up)+(Kq-Kp)=0

(mgh2-mgh2)+ Q mVq- mVp) =0

v|=Vp-2g(h2-h,)

Remplazando valores:VQ=5,9m/s

Para el tramo FR :

(mgh3-mgh'|)+ (gmVR-^mV^ =0

VR=Vp-2g(h3-h1)Remplazando valores:

VR=5,3m/s

0 Un cuerpo de lOOg cae de una altura de lOOm, a través del aire. Si el cuerpo llega al suelo con una velocidad de lOm/s. Canta energía se perdió como trabajo contra la fricción del aire?

¿areiraraT ireM *

U SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y www, ed u kperu, com



Por e! P.C.E:

o m

AK+AU=wfSiendo wf el trabajo hecho por una fuerza no consen/ativa

wf= ^m V2-0 +(0-mgh)

ReemplazandoWf=-93J

'¡£j Un atleta de 70kg corre a lo largo de una colina de 20m de alto en un tiempo de lOseg. Cuál será la potencia desarrollada por el atleta.

La expresión de la potencia es:Aw

P="ÁFAw=tAE , en este caso solo actúa el peso: mg

vvww. ed u kperu. com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II



Pero

Aw=mghAw=13720J

AwP= — =1372w AtP=1372w. 1HP

742,35w=1,84HP

Un auto de 500kg se encuentra en reposo a una altura de lOm sobre un plano inclinado de 20m de longitud, comienza a deslizarse sobre la superficie rugoso del plano y liega a la base con una velocidad de 5m/s. cuál fue la fuerza de rozamiento que retardó el movimiento. ,

^ r f i n ira iím a r

Por el P.C.E

h=10 m

(|m V2-oj +(0-mgh)=Wf

1mV -mgh=-Fr.d

Fr

Fr=2137,5NFr=281,lKg

230 SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www.edukpertj.com


http://www.edukpertj.com

TRABAJO Y ENERGIA JC SOLVER-EDK «

Un cuerpo que pesa 2kg se abandona partiendo del reposo en A, describe una circunferencia de radio 2m. cuando llega a B tiene una velocidad de 4m/seg y se detiene en c, después de recorrer 3 metros, debida a la.fuerza de rozamiento, (a) cuánto vale el coeficiente de rozamiento en la región BC. (b) cual es el trabajo en contra de las fuerzas de rozamiento de A a B.

A R

a. En el tramo BC por P.C.E: AK+AU=wfr

Fr=5,3Pero Fr= um g.....aSi a tenemos que u es:

U=0,26b. Por el P.C.E: para el tramo AB

AK+AU=wfr

wfr=-23,2J





Una partícula de masa mueve sobre el eje x, por la acción de una fuerza.

f=(l+cx)íSi parte del reposo en x =0. Hallar su velocidad cuando x = d.

e nx=0

Tenemos que la fuerza F

También sabemos que:

Por el P.C.E:

n ±x=d

=(L+CX)i

dw =Fdx dw=(L+CX)dx

w= f (L+CX)dxJo

w = LX+CX‘

w=lLd+-cd

w=AK

lLd+-cd2 mV2Y ~ ~

v=2dl+cd2

m

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I ww w .edukperu.com



TRABAJO Y ENERGIA f SOLVER-EDK «

© Una bala de un arma es de 5g y su velocidad de salida es de 500m/seg. Qué porcentaje de la energía de combustión de la pólvora se trasfiere a la bala como energía sintética. Sabiendo que el calor de combustión es de 750 cal/g y la masa de la pólvora es de 3g.

IM W iW W M f

Tenemos que el calor de combustión escal JQC=750 — <>3135- S S

La cantidad de Qc de 3g seraQc=9405 joule

1 - .2Hallamos la Ecba|a=-mV'

Ec=625 joule Ecbala

Qc - <100=6,64%

$|j¡ Una partícula se le comunica una velocidadv0 = yf2gh

para que pueda pasar del punto A a C, siguiendo el camino del aro de diámetro H. Hallar la altura h, donde se desprende el cuerpo.





Por dinámica tenemos:N+mgcos0=mac

v 2 ,N+mgcos0=m — ........ 1KPara que se despegue del suelo o de la superficie del anillo, N=0, en 1:

V2mgcos0=2m —Hv 2_ Hgcos9 2

Por el P.C.E:

De 2 y 3:

AK+AU=0

(§ mv2' 9 mVo) +(mgh-0)-0

Vs=2gH-2gh....... 3

~cos0=2gH-2gh

cos0= / w

(h - S )¡= 2 SH-2gh

Despejando

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1 Y II w ww, ed u kperu, corn



5h=-Ho

••h=0,83H

Hallar la relación entre las fuerzas que ejerce un móvil en el centro de un puente convexo y cóncavo. Si el radio de curvatura es de 50m y la velocidad del móvil es 108km/h.

w V° mg-Ncx=m —

Ncx=-8,2m

Ncv-mS=mYeR

Ncv=27,8m

INcxlINcvl

-0,3

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS 2.TRABAJO Y ENERGIA

- . -j-

Una partícula parte del reposo de una altura H del punto A y describe la trayectoria ABCD; alrededor de un aro de radio R. Hallar la relación entre las fuerzas con las cuales el cuerpo presiona sobre los puntos BC Y D.

Para el tramoAB:AK+AU=0

^m VÍ-o) +(0-mgw)=0

V|=2gHPara B en el anillo; por dinámica:

M ^NB-mg=mac , ac=—

mV|NB= — +mg

Nr=2gHm+Rmg

RPara

AC por R.C.E AK+AU=0

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Por dinámica en C

Para ei tramo

Por dinámica:

Vc=2g(H-R)

Nc-mac ; 3C—R

Nr=2mg(H-R)

R

AD, por P.C.E AK+AU=0

^ mVp-oj +(2mgR-mgH)=0

vE=2g(Hz-2R)

N+mg=mac ; ac= Y mg

ND=-^(2h-5R)

Por lo tanto la relación será:(2H+R): (2H-2R):(2H-JR)

Un cuerpo describe una trayectoria circular de radio R en un plano vertical. Cuál debe ser su velocidad en el punto más alto, para que la tensión de lacuerda en el punto más bajo sea de 8 veces el peso del cuerpo.

i 1 ;

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,vmg

— *0

Por dinámica tenemos que:

Si t=8mg, tenemos en 1:

T+mg=mac

v *T+mg=m— ........ 1

V=3%/gR

© Un cuerpo de masa m, está atada a una cuerda y se halla en la poción indicada. Suelta, se pide hallar la tensión de la cuerda en su posesión más baja de su trayectoria.

Por el P.C.E:

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mV2-oj +(0-mgH)=0

Hallamos que V=%/2gHPor dinámica en el punto más baja:

T-mg=mac

V2T-mg=m —

2mgH T= +mS.........1

H=L-Lsen0-L(l-sen0).......2De 2 en 1

T=2mg(l -sen0)+mg T=mg(3-2sen0)

<D Una esfera de densidad pc y volumen v, cae el agua padesde una altura hay recorre en el agua una profundidad del y luego cambia de sentido debido a que la densidad del cuerpo es menor que la densidad del agua. Se pide Hallar (a) la fuerza de la resistencia del agua, si se considera constante y la altura h2, que alcanza la esferita sobre la superficie del liquido.

a. PorelP.C.E:

‘Q tha'

- ffr fíg O a

*v

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hi (E-j-fr-P)=h0P— 1Sabemos

P=lcgvE=lagv

En 1:hi(f+lagV-lcgV)=h0,cgVh1f=h0lcgV+h1lcgV-h1IagV

f= ^ [lch0+hilc-h1la]hi

f-v s[Pc( 1+K7)-l»]

b. Por el P.C.E:

OIha

En 2:

/ f a ú vot F

Ph2=(E-fc-P)h1..... 2P=lcgvE-lagv

lcVgh2= {laVg-lcVg-Vg [lc ( l + la] } hi

lch2=(2la-21c-Pc^ )h1

.••h2=2h1(p l)- h 0

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TRABAJO Y ENERGIA .e SOLVER-EDK «

^ Un cuerpo de masa M y velocidad v0, choca con otro cuerpo en reposo de masa m si el choque es perfectamente inelástico. Hallar la distancia recorrida por ambos cuerpos después de aplicarse inmediatamente el dispositivo de freno, si la fuerza de rozamiento es nó' del peso.

jaMamrraTíT^Mr

Por el P.C.M se tiene:V0m=V.(M+m)

y _ V0-m(M+m )

Por el principio de conservación de energía:

-frx=0- (m+M)V2

/m+M\ 9H ~ r )v

Pero fr=n%(m+M)

/m+M\ ( V2m2 n%(m+M)= (—— J ^

(mVo)2 X 0,02n(m+M)2

(m+M)2

Sobre una masa M, actúa una fuerza / que siempre es tangente a la trayectoria según figura adjunta. La masa se desplaza lentamente. Hallar el trabajo realizado por la fuerza f, si u es el coeficiente de rozamiento.

1 1 ^ 1

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Por el P.C E:

AK+AU=Wfr+Wp

(0-0)+(mgl-0)-Wfr+Wf mgI=Wfr+Wf

mgl=-umgl+WF WF=mgl(l+u)

O Una esferita parte del punto A y desliza por la rampa lisa de altura H que tiene un desnivel h. (a) con que altura h del desnivel la esferita recorrerá la mayor distancia s? (b) A que es igual ella?

Hallamos v, por la P.C.E:

QmV2-o) (mgh-mgH)=0

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TRABAJO Y ENERGIA .c SOLVER-EDK «

V=V2Í(H4Ó

Por cinemática obtenemos que

^ca ¡da —N

2hT

S=Vtcaida=[4(H-h)h]V2......p

S=[4(H-h)h]1/2....... a

HallamosSmaA;, derivado a respecto de h, se tiene:

Hh=2

Entonces para que S sea máximo h tiene que ser la mitad de H Para encontrar Smax , reemplazo h en p:

5 = Z7^mnx u

a s Dada la fuerza que actúa sobre un cuerpo es f 3 y í+3x](N). Hallar la energía potencial u (x, y) de la partícula.

Sabemos que- d U .d lLF -~ dx'"dY

- . . dU dU,F=3yi+3xj— — -d y j

-dU , -dUd )T 3y ’ d v =3x

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) TP'BAJO Y ENERGIA

Integrando:U (X,y)= -3xy , U(xy)=-3xy

2u(x,y)=-6xy

U(x,y)=-3xy

© Sobre un hilo elástico imponderable, el modulo de elasticidad del hilo es k, del cual se suspende la masa m. Se eleva la masa m tal forma que el hilo esté en en estado no deformado y la bajamos sin velocidad. Hallar el alargamiento máximo del hilo en el movimiento de la bola.

AK+AU=0

(0-0)+ Q KX2-0)+(0-mg x)=0)

^KX2=mgx

y 2 m g

~ ■

Sobre un plano inclinado de masa 100 kg liso y de ángulo 30° y 45, dos masas de 40 kg y 20 kg unidos por una cuerda, que pasa por una polea fija sin rozamiento. Si el peso de 40kg baja por el plano 30cm. Cuanto se desplaza el plano inclinado.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y www. ed ukperu .co r-



Haciendo D.C.L.

Por dinámica en los bloques:

(m- gsen30°-m2sen45o)=m Q dt2j

Despejando hallamos la t que se desplaza los 30 cm:t=0,784seg

Las fuerzas que actúan sobre el bloque indicando son las normales, descomponiéndolas se tiene:

Fr=(m i gsen30cos30-mgcos45°)=mta1Siendo:

2emT=160kg y a1 = -jj

e=espacio recorrido Despejando e se tiene que: e=0,28=6m

Un resorte obedece la relación entre la fuerza aplicada y al elongación: f = axbx2 cuando se aplica una fuerza de 100N el resorte se estira lOcm y cuando se aplica una fuerza de 4, 500kg, el resorte se estira 20cm, ambos

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) TP «AJO Y ENERGIA

desde su posición de equilibrio. Hallar el trabajo para estirar el resorte desde 3cm hasta 5cm.

Sabemos que

Hallamos a y b:100N

=-a(0,l)-b(0,l)2

4500N=-a(0,2)-b(0,2)2

-.(3)De 2 y 3 hallamos a y b

a=20500N/mb=2150000 N/ 2 ' nrr

Entonces (1) quedará:

Para x=5cm y xo=3cm, tenemos que el trabajo será:w=-9,38J

dw=Fdx

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TRABAJO Y ENERGIA £ SOLVER-EDK «

© En la figura que se indica, la masa de 5kg esta comprimido un resorte al dejarlo libre, la masa se desplaza a lo largo del camino horizontal y después el rizo de radio 1 m, ambos caminos son lisos y la masa parte de p. Hallar x.

J E I H JM M Í

Por el P.C.E; Tenemos:

v=0

L * | » ~ r h m_______ C .H-— *— l---

--JS

^0-^kx2j +(2mgR-0)=0

x=4mgR=l,56m

Con relación al problema anterior hallar la compresión x del resorte, si L — 10 m y a lo largo del camino PQ existe rozamiento (n =0, 4) en la región QT ( /¿ = 0) T: x=0. 99m.

Del problema anterior se dice que de PQ es un Camino seguro; por el P.C.E:

0-^kx2j +(2mgR-0)=-umg(x+l)



» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j TRABAJO Y ENERGIA

1- kx2-umgx-(2mgR+umgl)=0

40x2-19,6x-294=0 Hallamos la solución, entonces x será:

x=2,96m

Un bloque de masa 2kg comprime al resorte (1)0 .30 my se le deja libre y recorre una región rugosa RS de 1 m y jj= 0.2 y comprime al resorte (2) de igual contante elasticidad lOON/m. (a) es la máxima compresión del resorte (2) (b) cual es la distancia total recorrida por la masa antes de detenerse.

K),3rrH

±dH hXHr” L

2m —i—IrnH

a. Por el P.C.E:AK+AV2=Wfr

”1 1 \(0-0)+ (- kx2--k(°,3)2) =-umg(-lm)

x= o 2mg(0,32)2— u

x = 0,107 mb. El espacio recorrido es:

S re c o rrid o = 0 > 3 + 2 + l +X

Sreconido=3/407rn

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© Sobre una pista parabólica rugosa y =x2-6x + 11, se desplaza una partícula de

1 kg debido a la acción de una fuerzaf. Debido a la rugosidad de de la pista se pierden el 30oo de su energía inicial. Si la partícula en el punto p, tiene una velocidad de 5 m/seg y en Q 10 m/seg. Hallar el trabajo realizado por la

fuerza f.

AE=Ef-E¡=Wfr+Wp...........1 pero el Wfr=30%E¡En (1)

EF-E|=30%Ej+WpEf=70%E¡+Wf

KK+Ugr=70%(K|+Ug¡)+WF

mV|+mgY6=70% mV2+mgY2) +WF..... 2

Y6=62-6(6)+ ll= ll

Y6=22-6(2)+ll=3

Reemplazando valores en 2, se tieneWF=128,47 J

© Una bola está suspendida como un péndulo de una cuerda de 4m de largo.La cuerda se jala hacia un lado hasta que forma un ángulo de 60° con la vertical y entonces se suelta se suelta, (a) Halle la velocidad de la bola cuando ésta pasa por la posición vertical, (b) si la cuerda se rompe cuando la bola contra el piso que se encuentra a 2.45 m más bajo, (c) Repita la pregunta

TRABAJO Y ENERGIA ( SOLVER-EPK «

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(b)si la cuerda se rompe cuando forma un ángulo de 37° y I abóla se está elevando.

a. Por el P.C.E:

Ak+AU=0

mV2-o) +(0-mgh)=0

V=V2gh

V-6,3m/sb. Por cinemática tenemos que el tiempo que tarde en caer es:

t=j2H^=0,70seg

.••S=v.t=6,3 y x0,70s=4,41 m

c. Por el P.C.E:

n SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www sdukperu.com


TRABAJO Y ENERGIASOLVER-EDK «

////////////

y. mV2-^mVo) +(mgh-0)=0

v = jv 2+2gh

V=7,4m/SHallamos h para luego tener la altura máxima y calcular el tiempo de caída. Por cinemática:

Vy2 (Vsen37)2h= 2g 2g

Vseh37'

■=l,01m

t=- =0,45seg

Hmax=3,25+1,01 m=4,26m

Calculamos t de caida:

2Hn -=0,93seg

Entonces el total

t=

-t+t=1,38seg '•S=Vx.ttota| =V.cos37(1,38)

S=8,1m

: “ SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II



0 El mote r dé aire comprimido de un torpedo posee una potencia de 80 c v siendo del 85oo su rendimiento, el torpedo recorre con movimiento uniforme un trayecto de 4000 m en cuatro minutos 30 seg. Hallar (a) el trabajo efectuado por la hélice y (b) la fuerza de propulsión de la misma.

Tenemos una P=80CV solo el 85%P se convierte en trabajo por el torpedo

(t=270seg)

85%P=—- =*Aw=85%At.P AtAw =85%(80CV)270.735

Aw= 13494600J Aw=1377000kg-m

Aw=F.d=F.(4000m)F=344,25kg

Un vagón para tráfico rápido tiene peso de 93t y una velocidad de 40m/seg.El vagón es frenado y recorre todavía 6.4 km Que resistencia oponen los frenos?.

Por el P.C.E:AK+AU=W

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m\r0— g— ] +(0-0)=-F.d

Fd=-y- ; d=6,4km

V=40 m/s , m=43T

F=11613N <>F=l18=5Kg

Un peatón de 62kg. Pe peso y su equipaje pesa 7. 5kg, se halla a las 9:03 am. Una altura de 440.2m y a las 9:48 am a la altura de 736.8 m. cuál es el trabajo desarrollado (kgm) y la potencia en cv?

mT=69,5Kg

Por el principio de C.E.: .t=2700 seg

AK+AU=0AU=Wf

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WFg=[mg(736,8)-mg(440,2)]

WFs =206137N <>20613,7kg-m

Hallamos la potencia:Wc 206137 KV

P= —— = =76,3Wxt 2700 ' 735wP=0,1<V

© (a) determinar la energía de una partícula "a" dotada de una velocidad de 20,000km/seg y cuya masa vale 6.6x10-24 g, (b) calcular el número de dichas partículas que serian necesario para disponer del trabajo de 1 joule.

mV2a. La energía de la partícula se expresa

AE=AK=-

AE=0,6x10~27kg. (20000)xl 0s2

19 107 ergiosAE=l,32xl0 Jx- 1JAE=13,2xl0'6ergios

b. Se para una partícula se tiene que la energía es

E=l,32xl0‘12JPara obtener un joule de energía se tiene que la Cantidad de partículas es:76x1010 Partículas

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© Una masa m está colocada sobre el extremo libre de un resorte que obedece la ley f = - kx3 . (a) Hallar el trabajo hecho por cada una de las fuerzas cuando se le permite a la masa alargar el resorte desde su longitud sin carga L a su longitud de equilibrio L+d. (b) hallar el máximo desplazamiento de m si se le permite caer después de colgarla del extremo libre del resorte.

T -▼memg

a. El w que hace la fuerza del resorte es:

f dwr= x3dx J o

kd4wr=-

En el equilibrio

mg=kd3 multiplicando x se tiene:

mgd kd4 .

mgd""'Wr— 4

El trabajo de fuerza de gravedad es: wg = mgd

b. Sabemos que el trabajo que ejerce el resorte es:

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o kx4 kd x=——4

x=\/4d

Cuando t=0, una bola masa m choca y se introduce en una masa M que se encuentra sobre una sin rozamiento y que está fija a un resorte de constante K. si la vecindad de la bola era % antes del choque. Hallar la velocidad del sistema bala y masa M después del choque.

t r rk

_____ L1 1 T 7T 7Por el P.C.M; se tiene:

mV0=(m+M)V1

v ’= & °

Como se conserva la energía, las masas van a hacer un movimiento armónico simple, sabemos que la velocidad de un M.A.S. se expresa:

V=V1 cos(wt)

Siendo

k tM+m

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© Un resorte de constante elástica 300N/m, está comprimido 0.25 m mediante un hilo y está situado en el extremo inferior de un plano inclinado de 60° y a una distancia de 10m, se halla una masa de 0.5kg y recorre una superficie rugosa sobre el plano, cuyo coeficiente de rozamiento es 0.25. Hallar la máxima comprensión del resorte, cuando la masa tiene una velocidad de lOm/seg.

i M T H l H f l 1*

Por el P.C.E

Wfr=(0-mgh)+ (0-^mV2) + [(¿K(x+0,25)2-¿K(0,25)2)]

-umgcos60(10)=

Reemplazando valores, obtenemos la siguiente ecuación: 150x2 +70,67x-63,13= 0 Hallamos la solución x

=0,45m•••xmax=(0,45+0,25)=0,70m

1-mg(l 0,25+x)sen60- mV2+ k(k+0,25)2- - k(0,25)2

© Un peso de 0.5 se halla en A sobre una superficie parabólicay2=2xy lisa desde A hasta B. La masa parte del reposo cuando se un pequeño

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impulse y comprime el resorte desde B hasta C, recorriendo una superficie de rozamiento 0.3. Hallar la máxima comprensión del resorte si k = 200N/m.

SOLUCION

Por el P.C.E:AK+AU=Wfr

AK+AV2+AUg=Wfr

(0-0)+ (¿K X 2-o) +(0-mgH)=Wfr

^Kx2-mgVó=.uNX

i KX2+umgx-mgH-0

100x2+1,47x-12=0

Hallando solución para la ecuación anterior:x = 0,34/7

©Una esfera de masa lOkg se halla en reposo sobre un plano inclinado de 30° y la superficie es rugosa cuyo coeficiente de rozamiento es 0.3, estando a la altura de lm en el punto p, se desliza y alcanza el otro plano inclinado de

[1 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www. edukperu. com



20° y cuyo coeficiente de rozamiento es 0.2. Hallar la máxima altura que sube la esfera sobre el segundo plano inclinado.

Por el principio de conservación de la energía:AK+AU=Wfrl +Wfr2

(mgh2-mgh2)+(0-0)=-umgd-umgd mgh2-mgh1 =ugmh1 eos 30 -umgh2cos20

h2-h1=uh1 eos 30-uh2cos20 h2-l=-0,6-0,58h2

h2=0,25m

Un peso de 15N se suelta desde una altura de lm, sobre un resorte de constante elástica 2N/CM y que está comprimido inicialmente 7cm. Hallar la deformación adicional para que el resorte consiga su máxima velocidad.

r-

7cm Xlm

+ xd

1+X

7/777777777 777777777Cuando el bloque consiga su máxima velocidad el resorte se comprimirá cierta distancia x:Por el P.C.E se tiene:

[0-mg(l+x)]+ lk(x+0,07)2-ik(0,07)2 mV2-0 =0-

V=\




Para que V sea máxima derivado respecto de x e igualando a cero.

dv 1 0=dx~2

2g- — (1 )(x+0,07)+0| Í2g(l +x)-—(x+0,07)2+(x+0,07)s m J L m m'V2

2g= — (x+0,07) mx=0,08u.-.x=8cm

© Se da la fuerza f = (3x-2y+mz)í+(nx-2y+3z)j+(2x+py-2z)k, (a) cuales son los

valores de m, n y p, para que la fuerza f sea conservativa, (b) Hallar el

potencial asociado con la fuerza f

Sabemos por el P.C.E. si F es una fuerza conservativaVxF=8

VxF=i j k a a aax ay az

3x-2y+mz mx-2y+3z 2x+py-2z

=0

Reemplazando la determinante:1 k-2j+2k+pí+mj-3í=0

(p-3)i+(m-2)j+(n+2)=0 P=3 , m=2 , n=2

También sabemos queF=V.U(X,y,z)

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TRABAJO Y ENERGÍA (__________________ SOLVER-EDK «

Integrando obtenemosU (x,y,z)

3 '2U(x,y,z) =- ó x2+y2+z2+2xy-2xz-3zy

O En una rampa como se muestra en la figura, es suelta una masa m a la que se le aplica externamente una fuerza de f entre en punto (1) y el punto (2) solamente. Hallar la distancia vertical entré el nivel de lanzamiento y el punto llegada: h.

J g g aSMHTEn el tramo (1) a (2) por el P.C.E.:

AE=EF-E¡=0

lp2+mgLsena-FL-0EF2=FL-mgLsena......1

Del tramo (0)2 al punto donde se detiene el bloque por el P.C.E: (no actúa F)AE=EF-Ep2=0

mg(Lsena+h)-FL+mglsena=0..... 2De (2) obtenemos h:

FLh=---21senamg

Una masa m se obliga a permanecer junto a un resorte k1 que está comprimido xv Luego se suelta la masa m que por acción del resorte kt es impulsado en dirección al resorte k2■ Se pregunta cuánto se acortara el resorte k2 en el momento que m tenga velocidad nula?.

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Por el P.C.E:

g k m b m í

AK+AU=0AK+AUj>+AUg=0

(0-0)+ k2x¡- i ktx f) +(mgh-0)=0

2 kjxf 2mgh *2_ k2 k2

x2=kixf 2mgh

© El bloque de masa m resbala por la rampa indicada en la figura, perdiendo entre (1) y (2) el 40% de su energía por rozamiento. Asumiendo que la fuerza de fricción es constante a lo largo de toda su trayectoria. Calcular la altura que alcanza en el punto (3) si tiene una velocidad de v3 en (3) y se suelta en (1).

El trabajo hecho por la fuerza de razonamiento:Fr.d40%AE

Fr Hcsc9+ n =40%(-mgH)

Fr, 0,4 a ? s ü 2)\3+7isen0/Del tramo de 2 a 3 por P.C.E:

0-mS< H - ^ m V ^ - 0 ^ ) [ H c o s +? , g ) ]

262 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w .edukperu.com




/O,6mgsen07t \, ,,1 w2/l,2Hmgsen0\/3+Jtsen0\( 3+7csen0 +mS) ~mS 2™ 3 V 3+nsen0 /V sen0 /

\ rl,6sen0mg+3mgi 1 2hl 3«s¿ñ6—l-m3H-§mV3-°’4m3H(l,23H-Vj)(3-msen6)

~ 2g(l,6jtsen0+3)

j(^ Una partícula de masa m parte del reposo en la parte superior de un tazón esférico invertido y liso de radio R. Hallar (a) la fuerza normal ejercida por el tazón sobre la partícula en función de su poción 9 sobre la superficie del tazón (b) el ángulo al que la partícula abandona la superficie.

a. Por dinámica tenemos:V2

mgcos0-N=mac....1 , ac= -£■

En el tramo (1) a (2) por el P.C.E:

mgRcos0-mgR+ - mV2=0

mgR(cos0-l )- - mV2=0

V2=2gR(l-cos0)....... 2De (2) en (1)

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mV2N=mgcos0— —R

N=mgcos0+2mgcos0-2gmN=mg(3cos0-2)

b. Para cuando la partícula abandone la superficie N = 0 En 1

V2mgcos-0=m —R

3mgcos0=2mg

Cos0=|

0=48,20°

© Se suelta un cuerpo ligado por una cuerda ligera de longitud L al punto o, de la posición (1) mostrada en la figura. En el punto o se encuentra un clavo cuya posición en el diagrama es definida por su distancia 172 al punto o y la poción angular a como es mostrado (a). Demostrar que la velocidad del

cuerpo en la posición (2) es: v2 = [gl(cosa + cos($ - a )) - 2senO]2 (b) Demostrar que el cuerpo se ubicara en el mismo nivel con respecto al nivel de referencia del cual fue soltado al finalizar su movimiento después de pasar por el punto (2): y3 = sen 9.

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a. Por el P.C.E:

Donde

De y 3 en 1

0

\ «\ •w

\ A c N / ( l ) H\\

l í , M '( 2)

AK + AU = 0

^m V2-0 +(0-mg(H+h))=0

^mV2=mg(H+h)...... 1

1 1h= - cos(0-a)- - cosa... .2

H=Lcosa-Lsen0....3

-mV =mg1 1

Lcosa-Lsen0+ - cos(0-a)- - cosa

%V=(gl[cosa+cos(0-a)]-2glsen0) '2 En el tramo de 2 a 3 por P.C.E

(0-£mV2)+(mgH1-0)=0

mgl[cosa+cos(0-a)-2sen0]=mgH1

H1 = ^w(0-a)-^cosa+Lcosa-Lsen0^

H1 = H + h

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g ) Una partícula de 100kg de masa viaja por una trayectoria curvilíneas con una velocidad v1=(2,-1,1), posteriormente adquiere una velocidad v2 - (1,2,2). Hallar el trabajo realizado sobre la partícula.

Tenemos las siguientes velocidades

St =(2,-1,1) y =(-1,2,2)El trabajo será:

w=AK

m| ^ r m|V^|2w=—1— 1--- — —2 2(100)9 100(6)

w=- 2 2 w=150J

O Una partícula de lOkg de masa se desplaza por una curva, cuyo vector de posición es

r=(2t3-t2)í-t2J+t3k

Hallar el trabajo realizado por esta fuerza, cuando la partícula se mueve t = Iseg hasta t = 2seg.

Sabemos quedw=F.VdtperoF=ma

dw=ma.vdt

w = J má.v dt

3-1 SOLUCIQNARIO FISICA LEIVA I Y II www.edukperu.com




...O)

También sabemos quedF dr2

y=d F y§=^Sabiendo que

r=(2t3-t2)i-t2+tk

v= = (6t2-2t)í-2tJ+3t2k

...(2) d2r - -v= ^2=(12t-2)i-2j+6k

... (3)De 2 y 3 en 1 tenemos

(90t3-36t*+8t)dt

/90t4 36I3 =m( — — +4t)

.\w=2655j

Una partícula de masa m se mueve desde el reposo; según la ley a = bs, donde a: aceleración s: espacio recorrido y b constante. Hallar en trabajo en los primeros t segundos de haber iniciado el movimiento.

Según la ley tenemos;d2s

a=bs pero a= —„ =s dt2

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I I




S bsEntonces tenemos la siguiente ecuación:S=bs=0....... 1Considerando la solución general de la ecuación se tiene:

S=Aev5t+Bev5tLa velocidad es cero cuando empieza el movimiento:

S(10)=AVbeV5t-BeV5t=0 Resulta que A es igual B Por tanto la velocidad será:

S=AVb(ev5t-e‘V5t)

Por teoria el w=Ak W=Exf-Exi

Una partícula de masa lOkg, se desplaza del reposo sobre un plano inclinado de 45° y áspero cuyo coeficiente de rozamiento entre las superficies es 0.25. Después de recorrer ,15m se detiene. Hallar el trabajo de las fuerzas de rozamiento.

Siendo A y B las constantes

'HJ

» a n n ra m y — r

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed u kpe r u. com



Por el P.C. Ese tiene:

o Una partícula, cuelga de un hilo y se le lleva a la posición horizontal y se suelta. En qué punto de la trayectoria, la aceleración de la partícula está dirigida horizontalmente.

< if ~ T i t T r ir r r i f

Hallamos la ar que es:mgseh0=mar

ar=gsen0....1Ahora encontramos aN que es:

Por el P.C.E se tiene:

AU=Wfr -mg(15sen45°)=Wfr

.-.Wfr=-1039,4J

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De2y3

Pero sabemos que.

Igualando:

2gcos0 gsen0 sen0 cos0

cos20=J

COS0=N'

0=54,73°

mV¿mgRcos0= ■

Z.

V2=2gRcos0....3

aN=2gcos0...... 4

aN=asen0 y aT=acos0

a= aNsen0 a=

COS0

aN atsen0 cos0

© Una partícula de masa m, se desplaza sobre un plano inclinado de ultra mínima, el cual termina en un rizo. Si todas superficies son lisas y se desprecia la resistencia del aire. Hallar el ángulo 9, para que la partícula al llegar a p, recorra una parte en el aire y caiga en R.

V SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II w w w .edukperu. com


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Por el P.C.E se tieneAU+AK=0

^mg(R+Rcos0)-^gR^ + mV2-0 =0

V2=2Rg(l +cos0)-2gH...... 1

Para el movimiento parabólico:

£7r *Vsen v \// ^

VCosO-0 ..-'I--------2RSen 0

t=-VsenG

V2cos0sen0=2Rgsen0

v2=2RsCOS0

De 2 en 1 :2Rg =2Rg(l-cos0)-5grCOS0

2cos20-3cos0-2=O

.••c o s0=--3+V9+16 1

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e = 60°

# Una partícula de masa m parte de una altura mínima sobre una superficie curva y llega a describir el rizo completo. Cuál es la fuerza que ejerce el rizo sobre la partícula cuando pasa por el punto p, la superficie es lisa.

Por dinámica en P tenemos:

N+mgcos0=-mV¿

Por el P.C.E: AU+AK=0

Siendo

De 2 en 1 tenemos.

(mgh-mgH)+( mV2-o) =0

mV2- — =Hmg-mgh

mV2 2Hmg-2ng(R+Rcos0) _ _ = _

5 mVH=-R: —— =3mg-2mgcos0.......22 R

N=3mg-2mgcose0-mgcos0 N=3mg(l-cos0)

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TRABAJO Y ENERGIA c SOLVER-EDK «

0 Sobre una pista de altura lOm lisa, parte una partícula de masa m con una velocidad inicial nula y en la parte inferior es un arco de circunferencia de radio 3m. Hallar la aceración total de la partícula en el punto p.

Por P.C.E tenemos que:AU+AK=0

/ mV2 \(mgh-mgH)+ í — — 0j=0

V2m — =mg(H-h)

Sabemos quev 2 /h=R-rcos0 y que ac= v /p

V2=2g(H-R+cos0)

V2 2g ac= — = (H-R+Rcos0)R RReemplaza valores: ac=59,59m/seg2

H=10m

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS 1 TRABAJO Y ENERGIA

Una panícula de masa m, se desplaza a lo largo de una circunferencia de radio R. su energía cinética depende de la distancia recorrida: S.EC = bs2, donde b es una constante. Hallar la fuerza que actúa sobre la masa m.

Tenemos que F es:

F=VFt2+FN2......1De donde:

dv dvFt=m — =mv—•.......2dt ds

mV2F » = — .......... 3 •

Si la energía cinética encontramos la velocidad de la partícula:

Ec=bs2=^mV2

9 2bs2V =...... ...... 4m

Diferenciando respecto a s tenemos:VdV_2bsdS ~ m .........^

Reemplazando 5 y 4 en 3 y 2, se tiene:Bs

2b2Fn=T

274 SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www.edukperu.com




F .2 b s ju (% ) :

O . Cuando una partícula de masa m se halla en la parte inferior A de un hilo de longitud L se le comunica una velocidad mínima para que describa una circunferencia de radio L. (a) cuánto vale esta velocidad mínima?, (b) Cuánto vale al tención en el hilo cuanto la partícula se halle en la posición horizontal B?

a. Para que la velocidad sea en la más baja sea mínima, al llegar al punto más alto la tensión debe ser igual a cero.

En c por dinámica: mV2

mg+T=mac=——

Lmg=mV2Por la conservación de la energía:

/mV2 mV2min\ ^ •( “ 2------2— J +C2|gm-0)=0

www. ed u kpe ru. eorn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 5



V*min=V2+2gl

V2min=lg+4gl

••.V2min= /5gíb.En B, por dinamica:

T,-mab=mVl

Por el P.C.E:

mVb mV2 ¡n +(mgl)=0

■rr'V'b= mV2in-2gml mV2=5glm-2gmI

mV2=3gm...... (3

•••De p en a: T^Smg

© Una partícula de 2kg de masa se halla sobre un plano inclinado de altura 5m y recorre todo el plano una distancia de 15m. Después recorre una superficie horizontal, hasta que se detient. Si el coeficiente de rozamiento es 0.2.Hallar la distancia que recorre.

<wir.TiirarííM M r

. Por el principio conservación de energía:AK+AU=Wfr+Wfr

(0-0)+(0-mgh)=-umgcos0. d-umgx umgx=mgh-dumgcos0

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Como sen

6=19,47°En

$ Sobre un plano inclinado de ánguio 0, del reposo una partícula y recorre una longitud L, al llegar a la base se sigue desplazando hasta recorrer 2L y se detiene. Hallar el coeficiente de rozamiento entre la partícula y las superficies.

AU=Wfr

(O-mglsen0)=-umgcosOL-u(2l)mgmglsen0=ul(mgcos0+2mg)

sen0=u(cos0+2)

x=--dcos0.......au

ax=10,9m

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U=sen0

(cos0+2)

© Una masa de 2kg choca contra un resorte que se halla sujeto a una pared, cuya constante de elasticidad es lON/m. El resorte se comprime 1 m a partir de su posición de equilibrio. Si el coeficiente de rozamiento entre la masa y la superficie es de 0.2. Cuál fue la velocidad del choque.

Por el P.C.E:

Vn=kx2— +2ugx m

■ V0=3m/S

© Se tiene una masa m, ligado con un resorte de constante elástica k y situado sobre un plano inclinado liso de ángulo 6. Comprime el resorte una distancia xxy se deja libre. Que distancia sobre el plano inclinado recorrerá la masa antes de detenerse.

Por el P.C.E.:

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TRABAJO Y ENERGIA c SOLVER-EDK «

Q k x ^ k x i) +[0-mg(x+x1)senfll=0

1-k(x-xl)(x+xl)=mg(x+x1)senO

^kCx-x^senG

2mgsen0 •••x=x1 + - i r -

© Una masa m, está unida a una varilla de longitud L Y masa despreciable, puede girar alrededor del punto o. Estando en la poción vertical A, se deja libre y describe una trayectoria circular, (a) Cuál es la tensión en la varilla, cuando pase por el punto B, (b) para que el ángulo a, que hace la varilla con la vertical, la tensión en la varilla será igual al peso.

a) Por dinámica en B

Por el P.C.E :w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II



[0-mg(21)]+ ^m V2-o) =0

V2=4gl.........2De 2 en 1 tenemos T=5mg

b) Piden el ángulo en que la

» EDUARDO ESPINOZA RAMOS Ì

T=mg.

Por dinámica

T-mgcosa=-

lg(l-cosa)=V

Si T=mg

...1Por el P.C.E.:

[0-mg(l+lcosa)]+ ^ mV2-0 =0

V2=2gl(l+cosa)....2Igualmente (2) y (1)2gl(l+cosa)=lg(l-cosa)l=.3cosa

TRABAJO Y ENERGIA

ÜRffll SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II ww\ ¡kperu.com



cosa=-- => a=109;5°o

Un cuerpo masa m, está situado en el punto A, cuando se le comunica una velocidad horizontal v0. (a).

Por dinámica tenemos:

Por el P.C.E:

mVzmgcos0-N=mac - —— .... 1

AU+AK=Q

(mgRcos0-mgR)+ ^m V2-^mVoj =0

V2=2g (R-Rcos0) +'• o........2De 2 en 1 se tiene:

mgcos0-N=2mg ( 1 -cos0)+mVo

Para cuando se separe de la superficie N=0

mgcos0=2mg(l-cos0)+

Despejando obtenemos 9:

mVo

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COS0-- + 3 3Rg

/ '/2 0=cos '3 +3Rg

2 V6

b) En el momento inicial, por dinámica:

gmcos(0)-N¿

mg* R

VoW gR

mVo R

mVo

.£

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DINÁMICA DE UNS SISTEMA DE PARTÍCULAS SOLVER-EDK «

DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Se tiene una esfera de diámetro 15 cm y masa M, sobre ella incide una bala de masa m (m«M) Y velocidad 600m/seg. Después de atravesarla a lo largo de su diámetro la bala sale con una velocidad de 400m/seg. Considere la fuerza de resistencia que ofrece la esfera a la bala constante. Hallar que tiempo empleo para atravesarla.

Sea la fuerza de rozamiento:fs => wfs=AEK

Wfs= -1x105 m como fs const.

==> fs (0,15)= -1. 105m

=>fs = -6,67x105m...... 1

También fs, desarrolla impulso => fs.At = AP

=mVf -mV0=m(Vr V0)

=> fs(At)=m(200)De 1

At=3xl0’4seg

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

O Un proyectil de 5kg. Se dispara verticalmente, cuando alcanza su altura máxima explota en dos partes. Una parte de 3kg se mueve hacia abajo, con una velocidad de 500m/seg. Hallar la velocidad del otro fragmento.

¿em ir

) \ : 5 kg

3k O 500 m/s

Como no 3 fuerza alguna

==> -> Conservap

=> P= Pm(0)=m1V1 + m2V2

0= (3) (-500t)+(2)(V2)

V2= (750f) m/s

El arquero de un equipo de fútbol, una masa de 80 hg, y atrapa un balón de 1.5kg el cual se mueve con una velocidad horizontal constante de 8m/seg. Inicialmente el portero está en reposo. Hallar la velocidad final del portero cuando atrapa el balón.

---------J SOLUCIONARIO FISICA LEYVA IY II www, edukperu .com


DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

m^SOkg 1

[ m l+2=81l5k0

m2=l,5kg J

Asumiendo el arquero, como una esfera, para tener una idea:

AP=0

Po = Pf

mlVl+m2V2=m1+2Vf+l

(l,5)(-8X,)=81,5Vf

=>Vf=-0,15Xm/s

Una pelota de béisbol de 300g y con una velocidad de 30 m/seg, incide horizontal mente sobre un bat, la cual la golpea y la pelota sale con una velocidad de 35m/seg y en sentido opuesto a su movimiento original. Si el tiempo de contacto fue de 0.002g. Hallar el (a) impulso del choque y (b) la fuerza media.

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Ant. del choque

Ahora:I=AP=>I=mVr mVo=m(VrV0)

I=m(-35X-30?i)=-1975 kgsm

Ahora:I=FM.At

=>Fm=975(-2)N

o Una esfera de masa 3m, se encuentra en reposo, incide sobre ella centralmente otra esfera de masa m y velocidad v0. Si es el coeficiente de restitución. Hallar las velocidades de cada esfera.

m r n n m f

r> (=rComo no existe ninguna fuerza externa: a lo largo del eje choque

=*e=-v— 7 " =+ — v..... .......... 1V3m0-Vm0 V0

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AhoraAP = 0=>Po=Pf =» /nV0(y=^nVf+'3mV3mf

d e ly2 =» V0 V mf+3V3mf....2

Vm=(l-3e) y V3m=(e-l) —

Una esfera de masa 5kg y velocidad lOm/seg, choca contra otra esfera 6kg y velocidad 5m/seg. Ambas se mueven en la misma dirección y sentido, si el choque es elástico, hallar las velocidades de las esferas después del choque.

j ¡

Como el choque es elástico

= * e = l= - » L S =Vof V ii...........1V2 VI

m1=Skgm2=6kg Ahora: P0=Pf \miV o+ m2V9o= m!V1f+ m2V2f

80l=S Vlf+ 6V2f....... 2

De 1 y 2x/ 50 x/ 105Vif= - ,v 2f= —

Vif=4,55m/S , V2f=9,55m/S

Una partícula de masa lOkg se halla en reposo y sobre el incide frontalmente otra partícula de 2kg y después del choque se desvía 60° con respecto a su dirección de

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incidencia, la otra partícula de 10kg, se desvía 45° por debajo de la dirección de incidencia. Cuál es la relación de sus velocidades finales falta

Ahora como no existe fuerza exterior => p0= pf= p1f+ p2f

p,

=>2 V1 f sen 60 = (10 V2f) sen45Vif V2f

Una esfera de masa m2, cuelga de un hilo de longitud L y se encuentra en reposo. Una segunda esfera se masa m1 está sujeta a un hilo de igual longitud del mismo punto C. Hallar (a) las velocidades de cada esfera después del impacto, (b) la tención máxima que soporta la cuerda que sujeta la masa m2. (c) la altura que alcanza la masa m2. Si e es él coeficiente de restitución entre las esferas, (a) falta

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/ ¡2 | • £ D Ómi m2

Analizando a la esfera

^M° =

mgl=

=»v,= V ^ íVelocidad antes del choque

a) Ahora después del choque tenemos

P0 = Pf (ojo: la tensión no afecta debido a que h a la línea de choque)

mlA/2gí=m1V1+m2V2......1

Pero:

e=- ^ ^ V2'Vi=eV2gÍ......- 2

De 1 y 2x/ y/2$\(mvm2e) x/ mTCe+oyigí y -------- ; V2= ------m-i-m2 +ni2

b) Tenemos que

m1V2gÍ(e+l)v2 = ----------m!+m2

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=» Por la 2da ley de newtonw2 rn„ 9,0 (e+1)2

T m m2V2 .... 2mfC2gl)

r (mi+rr )2!

==>Tmax=m2g

c) Después del choque m2 tiene:

w mTCe+OVg!V o = -----------m]+m2

%rn2V¿ / m2gH

—11 v2 m2L(e+1)2 2g (m1+m2)2

Una pelota de golf lanzada desde el reposo desde una altura h rebota en una superficie de acero a una altura de 0.85h. Cuál es el coeficiente de restitución.

Como la pelota cae sin resistencia, antes del choque

mgh=imVo

V0 = j2 ¿h

■

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Luego del choque

Emo=Emf como H = 0;85h

=> ^mVf=mg(0,85)h

=*vf=l,7gh

>yfT,7Íh=Vf

V< r V2ih “ V2

Una bola de billar que se mueve con una velocidad de 2.2m/seg pega angularmente contra otra bola idéntica que se encuentra en reposo. Después del choque se halla qué una de las bolas se va moviendo con una velocidad de l.lm/seg en una dirección original del movimiento. Hallar (a) la velocidad de la otra bola, (b) la dirección de salida.

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=> 1,1 p*r sen0=V2ms píé2(l,l)sen0=V2sen02...... 11,1 senO = 1,9 sen02....... (*)


=Emo:=mf

/ imV2=ImVl+ImV2

(2,2)2=V|+(1,1)2=»V2=1,9 m/s2... 2

del mismo A tenemos:(1,1 m)cos6 + V2(m)cos62 = 2,2 m

l,lcos 0+l,9cos02=2,2. ‘.....3

De(*) y (3)02=3O°

Dos cuerpos A Y B se están moviendo a lo largo de una línea recta sobre un plano horizontal liso. El cuerpo A pesa 66.7 N y tiene una velocidad de 9.1 m/seg, hacia la derecha. El cuerpo B pesa 44.4 N y tiene una velocidad de 6.1m/seg hacia la izquierda. Los cuerpos chocan según un impacto central directo, siendo el coeficiente de restitución e =0.5. Hallar ia velocidad de cada cuerpo después del impacto y halle al fuerza promedio que ejerce el cuerpo A sobre el B durante el impacto, si su duración es de 0.01 seg

I V 6 6 . 7 N P » 4 4 . 4 \

Y *=9,1 m s Y. ó . lm s y A.♦*...Vr»

i (Á > *- (b >

SOLUCIONARIO FISICA LEYVA IY II • rG-jh.^-j.con



P0 — PF

Pao+Pbo-Paf+Pbf

336,13=(66,7)Va+44,4+Vb...... 1

e=0,5

s0M w H 6=v>+v-de 1 y 2Va=0,012m/SVb=7,59m/S

I=FAt=AP

=m2(Vr V0)

=m2(7,59+6,l)=>F6196,lN

O Dos esferitas de masas masa m2, se encuentr a en la posición indicada. Si e =0.5 entre las esferas, Hallar las velocidades de cada esfera, después del primer choque.

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Ahora antes del choquemo—Emf Mog—EmÍ2

L 1 o l í 2mS2 = 2miVim2S2 = 2m2V2

=>vl0=Vgív20=Vgi

Ahora despues del choque:

miV^-m2\^=m1Vl+m2V2

(mr m2)7gÍ=-m1V,+m2y2.....1v2+v2

e=--v2o-vlo

^0,5(2Vií)=V2+V1

V1+V2=VÜ......2

De 1 y 2 tenemos

(2mr m2)VgÍ ,, (2m2-m1)A/gIV ------ ---- V-|= -------- —m!+m2 m1+m2

Sobre una masa de 5kg, actúa una fuerza de 500kg., en un 2xl0-3seg. Cuánto vale la velocidad durante esta percusión?

294

Ü Ü I

SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II wwv».edukperu.Gom



ÉÈm m rm m m

Tenemos:

I=AP=mV=FAt (500)g At =1796 m/s

<D Una esferita de 200g cae desde una altura de Im sobre una superficie rígida y rebota elásticamente con la misma velocidad de incidencia, pero con sentido opuesto. Cuánto vale esta fuerza media, si el tiempo de duración fue de 10 seg

Antes del choque

Em°=Emf

É É tfm m w w É f

O'Im

: i Vo

mgh = - mV0 2

V0 = j2 ¿h V0=4,43 m/s

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Como el choque es elástico =Vdcm=4743 m/s =>FAt=mVdc+mVac =m(Vdc+Vca)

2m c=»F=— Vdc=l,77x10 N At

Que fuerza experimenta una paleta de turbina al iniciar sobre un chorro de agua de velocidad vx y sección A? Para los casos (a) cuando la paleta se mantiene fija (b) cuando se mueve con velocidad v2, : densidad.

a.Tenemos por de f:

Ahora como el choro también refleja

dmPero dP=dmV1 pero f=

=>dP=AfdeV1...........1de „r,

=>F=2AfV1 — =2AfV?

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DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Ahora como N2 es el movimiento de la placa=s>Velocidad del ahorro, respecto a la placaVector =(Vt +V2)

_ dP => F=2 — dt

F=2Af(Vr V2)2

© Una bala de masa m y velocidad v, incide sobre una masa M que se halla suspendido por un hilo de longitud L, si el choque es completamente inelástico. Hallar (a) la elongación descrita por el péndulo (b) la fracción de la energía cinética inicial que se transforma en calor.

a) Antes y durante el choque

Po=Pfmv=(m+M)V1

mV=>V1= —....... 1m+M

w w w .edukperu.conv SOLUCIONARIO FÍSICA LEIVAI Y II fTTílwww.elsolucionario.net

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b) AEk=^(m+m)' 2 \m+m/

Eo=^mV2 .

AEk m E0 m+M

© . Un cohete parte del reposo y alcanza una velocidad de 20km/seg. En que fracción disminuye su masa si la velocidad de los gases respecto del cohete es de 5km/seg.

Tenemos que:av dm

FM-m^-Vgas —

dv dmmg=m--Vgas —

* Jq Sdt = £ 0 vSa ■ “ Vga=cant

gt=V-VgasLn©

=>V=gt+VgasLn .........2

¡ j SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II



Tenemos que:

Vf= — m/s =0 02 m/0r looo /s 7 /2Vgas=0,005 m/s

En 2

0,02=(9,81)t+(0,005)Ln f—ÌvmQ/

=>Ln (— ) =4Vm0/

^ ^ e -^ 0 ,0 1 8 3m(— ) xl00= 1,83%Vm0/

<D Sobre una partícula de masa m; actúa una fuerza que depende del tiempo : f -te t2, con la condición t = o, v0 = 0. Hallar el impulso producido por la fuerza en el intervalo de tiempo.

Sea

F=te-tSt0=0 V0=0

=>1=0,5 (l-e'*2)

Una masa m; cuelga de una cuerda y se encuentra en reposo. Una bala de masa m y velocidad v0, se incrusta en la masa y el conjunto se eleva una altura H. Hallar el calor Q que se desprende durante el choque.

. 'wa edukperu SOLUCIONARIO FÍSICALEIVAI Y IIwww.elsolucionario.net

» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

czd n>n

< y j h iAntes dei choque tenemos que:

p¿=pímV0=(m+M)VF

mV0=>Vf=-- —...... ...1m+MAhora:

Q=AEk

lm M 1

=1/2 (m+m) ((mV_0)/(m+M))A2-l/2 mV_0A2

--mV¡o2m+M 2 1 / -Mm \ vo2 m / M \ V 2\m-fm/ 2 Vm+m/

3 Una bolita de masa m y velocidad inicial horizontal v0) choca elásticamente sobre un plano inclinado de ángulo 45° y masa M y este se désliza sobre una superficie lisa y la bolita rebota con una velocidad en dirección vertical. Hallar la velocidad de la

*

bolita, después del choque.

T m l SOLUCIONARIO FISICA LEYVA ! Y li www. edukpsru. com



Ahora comoen el eje x no existe fuerza alguna

=>se conserva P

K=pfmV0mV0=mVM=*VM= - ^ ....... i

Ahora como e3l choque fue elástico =>EM0=EMf

¿m V^m V^+ ^m Vf..........2

De 1 y 2 tenemos que:

ÍM-m v '= j— ■v»

Un péndulo balístico de masa M y longitud L, se halla en reposo. Es golpeada por una bala de masa m y se introduce en el péndulo. Hallar la velocidad máxima que debe tener la bala, para que el péndulo describa una trayectoria circular en el plano vertical.

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..••'•'•‘■•S.."\ nun

Por conservación del momentun lineal

mVmax=(m+m)V0mV«.

L=V0. .1m+mAhora por la conservación de la EM

Ahora la 2daley

>(m+m)g m+ — =>V1 =Jg\

m+mm •V5gí

Un móvil de lOOkg. De masa y de velocidad 50km/h. choca contra un vagón de 500kg y velocidad 60km/h; que viaja en sentido opuesto. Después del choque inelástico, Hallar la pérdida de energía cinética.

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DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS . ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Por la conservación de momentun lineal

Po = ?o/125\ /50\ 100

(1000) (— J -500 ( y ) =(1500)(Vf) =>Vf= —

1 /100\2 1 /125\2 1 /50\2- A E C=-(1500) ( - ) --(1000) ( - ) --(500) ( - )

=-1,6x 105(J)

=»AEC=-1,6x104 kg-m

© Un móvil de masa 10kg y tiene una energía cinética de 100 joules, choca contra otro móvil que está en reposo y de masa 5kg. Si el coeficiente de restitución es 0.6. Hallar la pérdida de energía cinética durante el choque.

<<y <?4 j o . o *E1=1000=^mVg

=»V0=10V2m/2

Conservación del momentun

p¡=pf(10)(10V2)=-10V1+5V2.......1e=0,b

ww w . ed u kpe ru. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA IY II 303



0 ,6= -^0-V o

=>0;6=V0+V1....... 2

=>V1=-6;6m/s V2=15,l m/s

Ahora:

AEC=1(10)(6,6)2+Í(5)(15,1)2-Í(10)(10V2)2

=-21,63kg-m

Una caja de 10 kg desliza sobre una superficie lisa horizontal con una velocidad de 5m/seg. Sobre la caja cae una masa de 5kg con una velocidad de 2m/seg. Si el choque es completamente elástica, el sistema en conjunto incide sobre un resorte de constante 1200N/m. Hallar la máxima comprensión del resorte.

5 KgY 2 m/s ,4/ 5 m/s

ti IMEn el eje x se conserva el momentun lineal en el choque

Po=PV(10)(5m)=(15)(V0)

......... 1=>Por la conservación de energía

£7710 - Emf

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* 1 * 1 Q 2 *J-mV^-kx2=>-(15) ( - ) = - (1200)x2=>x=0,37m

. Cuantos cuerpos se mueven como se indica en la figura y se produce un choque completamente inelástico. Hallar la perdida de energía del sistema.

Veamos:

-- - 5 r 5V2Vikg=2^- —

V ^ = ^ m/s

V¡Ü=10Xm/s

V^=(-2V3X-2S) m/s

K=Pf

(1). +(5)(lX)+2(10A.)+3(-2V3A.-2X)=llV1

Vf=(0,17X+0,95A.) m/s (Vf)=0,97m/S

AEk0= m.V2-1 m,V?- m5kgV|k- m2v lk- m3v l

(11) (0,97)2-i (1) (5)2-1 (5) (1 )2- i (2) (10)2-1 (3) (4)2

AEc=-13,6kg-m

© De un arma automático salen 10 balas por segundo con una velocidad de 500m/seg, si la masa de cada proyectil es de 20g. Hallar al fuerza media de retroceso que soporta la persona que dispara el rama.

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

SOLUCION

500 ni seg

—>0.02 Kg

Ahora como salen 10 por segundo =>I=F(1seg)=(l0)(m)V =(10) (0,02) (500)=»F=100N

Una partícula de masa 5g, se mueve con una velo dad v=(l,-2,3)m/seg choca completamente inelástico contra otra partícula de masa lOg y de velocidad

v2(-2,3,1). Hallar la, velocidad final del sistema.

Tenemos que:

m1=0,005kg-+VÍ(lí-2j+3k) m/s

m2=0,01kg-*V¡(-2Í-3j+k) m/s

P =Pfm1.vj+m2V2=(m1+m2)VF....... 1

Ahora: en 1(0,005) (lí-2j+3k)+(0,01)(-2í-3j+k)=(0,01S )%

Vf= (-3Í+4j+5k) m/s

X ) s@ )-

íf ¡ ¡ SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II www.edukperu.com




r ljl Una partícula de masa m1 y con velocidad vlt choca contra otra masa m2 que se encuentra en reposo, si el choque es elástico hallar la relación de las masas: (a) El choque es frontal y las masas se superan en sentidos opuestos a lo largo de la dirección de incidencia de m1. (b) las partículas se separan simétricamente en relación a la dirección inicial del movimiento de la masa m1 y el ángulo entre sus direcciones de separación es igual a 6.

V»=0

( mí)

a) Despues del choque

V. V:M

Por conservación del momentun

p¿=pjm1Vlo=m1V1+m2V2.......1

1 5, 1 o 1 2

==i'2 miVo=2miVl+2m2V2 De 1 podemos tener que: m1(V0+V1)=m2V2

; ™1_ V2 m2 V0+V,

-V2+V,e=l= =^Vo=V2+V,......... 2

V

v,=

0-V0 2m2i+m2 / v Vrr^+nv

nr +rr

= (^ _ .,)v 0.(ÜE2LV\mi+m9 ) \mi+m2/

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b) Despues del choque

©

..... .................< 3 mtVv

m1V1=m2V2 m-| V2 rr^ V , "

ademas:

m1V1cos0= miV0

O .

.... (*)

=*Vi =Vn

2cos0rriT

•*.— =l+2cos0 m2

Una esfera de masa m; choca contra otra masa identifica que se halla en reposo. Al chocar el ángulo que hace' entre la recta que une los centros de las esferas y la dirección del movimiento inicial de la esfera que choca, fue igual a 6. Si las esferas son lisas, hallar la parte de la energía cinética de la bola que choca, que se transforma en energía potencial en el instante de mayor deformación.

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m

Como las esferas son lisas,la bola:Se moverá a lo largo del eje que las contra:=>Para que la energía cinética, entregada a la otra esfera, se convierta en potencial =>La velocidad de 1 en la dire=>ccion del eje debe ser cero

JmV2cos20 =>R= — t--- — =cos20

-mV2

Sobre un plano inclinado liso de ángulo 0, se halla un cañón de masa m y cuando velocidad es igual a v, realiza un disparo, como consecuencia el cañón se detuvo y el proyectil es lanzado horizontalmente y tiene un impulso p, Si la duración del disparo en igual a t. cuál es el valor medio de la fuerza de reacción 0R por el plano inclinado en el tiempo t?

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO FÍSICA LEIVAI Y II fgffl




Piden calcular FR por el plano entonces, descomponiendo las fuerzas que actúan: l ero Calcular la fuerza que actúa debido al impulso

Veamos

í=P=>F=(P/t) . . . . 1— P.*.FR=mgcos0+ - sen0

Resolver el problema (28), usando el centro de masa,

a. Ahora:...... . V i.

i r m i V - -m2

m,V0 maVg-m^,^ CM«- • , „ i ''cmf- „ . „m1+m2 mi+m2

~ cmf=>m1 (V0+V1)=m2V2... *

Ahora también:

Emo=Eí

Resolviendo: V1

1 1, [TiJVVmlV l ^2m,Vcm=2^m,+ 2) Vn^+m^- )

(mg-mOVorr +rrig

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v _ 2miV°2 mi+m2

b)Vc„ . . m*V"m1 + m2

O .......................< 4 ;..........

\w nri! Vn cos0+m2V2cos0VCMo=----- — -------m m 2

•‘*V CM0=V cmf

m1V0=m1 Vn cos0+m2 V2cos0....... *

Ademas:m2V2sen0=m1V1sen0

De* tenemos

=>v2=— =*v,= v2=—m2 2cos0 2cos0

Sobre un mesa horizontal lisa, se hallan dos esferitas de masa m, unidas por un resorte imponderable. Cuando a una de la masa se le comunica una velocidad inicial v0. Cuál es la energía mecánica interna del sistema en el movimiento.

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Ahora como no existe fuerzas externas Momentun lineal se conserva

....1Ahora: el resorte comprimido hasta que la otra esfera haya alcanzado la misma velocidad de la primera esfera=>vlf=v2f=v

de lm V¿=2m(V)=>V=^....2I

Ahora: E mc= ¿ ( 2 m ) V 2= ^

Sobre un montículo liso de masa m y altura h, que :;cansa en un plano horizontal también liso, se hace incidir una esferita de masa m0. Cuál debe ser la velocidad mínima que debe tener la esferita para salvar el montículo.

/ llj \

— » / i M \

Si deseamos que ese V0sea minimo entonces:Cuando la esfera trepe hasta su maxima altura y hai se queda: .-.Veamos:Como no existe fuerzas externas

mVo = (m + m )V f ........1

Ahora considermos que para que no se destruya el moticulo => r conservación de la energia.

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=*E0-Ef1 1

Eo= 2 mVo=mgh+ - (m+m)V2

=>De 1 tenemos:

1 o 1 /mV0\2- m v0.mgh+ -(m+n„)(— )

T l m + M / =ms

»V, = [2 (1+m/m)sh]1/2

Una partícula una cantidad de movimiento lineal p=j+t(l-at2)j donde a es positivo.

Hallar el vector / en el instante, cuando? es perpendicular a p

Tenemos que:

P=í+t(l-at2)J , a>0

Tenemos también que dp dt

Ahora F. P = 0

ahora F=(l-3at2)J

=>t(l-at2).(l-3at2)=0 => V t=4=,t=03 Va Va

(3) -Ahora F=l-3a^0j 9a

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F=ljjF=(l-39 - 2 Í

Una partícula de masa m1 es dispersada elásticamente bajo un ángulo límite sobre una partícula de masa m2 en reposo. Si m1 > m2; que parte de su energía cinética pierde la partícula de masa m1.

rnV-

Asumiendo el choque frontal

P¡=PÍm1V0=m2V2-m1V1....... 1

Ademas:e=l= VoV0=V2+V1.......... 2m1V0=m2(V0-V1)-m1V1(ml-m2)V0=(m2-m1)V1

(% m ^ \ yVm2+m1/

p _ mi 2 m, 2f - T r T 0

AE 4m!m2E0 _ (m i+ m 2) 2

=*V,=

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DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS | EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

$ Un vagón que tiene una masa m0 se mueve, bajo la acción de una fuerza /. El vagón tiene una masa inicial mQ y se comienza para t =0 vertir arena con velocidad de carga ¿¿(dm/dt), desde un recipiente sobre un vagón sin considerar algún tipo de rozamiento (ejes, suelo, etc) Hallar al relación de la velocidad del vagón con el tiempo.

Tenemos que

U= ~ => J udt = / dmdt J J=>ut=m.m0=>mf=ut+m0Ahora

I=AP

Ft=(ut+m0)V

=>V- FtI (ut+m0)

© Se dispara una bala de 20g sobre un bloque de 1.5kg colocando sobre una mesa horizontal. El alojamiento de 1 abala en el bloque hace que este se deslice 40 cm a largo de la masa. Si la fuerza de fricción entren el bloque y la mesa es de 0.5N. cuál es la velocidad de la bala?

Antes del choque:

4m

mi =0,02 Ks Vo=0 Vf Vo=()-CID — > v

-- >: mi+m2 : 5..... D I5n mi+m2

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Como no existian fuerzas exWnas:

m1V=(ml +m2)Vf........1

Despues de! choque:

WfS=AEk(-0,5)(0,4)=i(m1+m2)Vf2

•Vf=0,51 m/s .........22 en 1 tenemos:

Vt-38,8m/ s

Un hombre de lOOkg de peso que está en su auto detenido por el semáforo, cuando repeminamente es acelerado aúna rapidez de 20m/seg debido a una colisión por detrás. Si la aceleración del auto se dio en 0.2seg. Hallar (a) el impulso sobre, (b) fuerza promedio ejercida sobre el por el respaldo del asiento de su auto.

V=200/seg100 K»

f

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Ahora tenemos que:

Í=AP=(100) (20)=2000kg- — seg

I=FmAt=*Fm=^=104NAt

Un neutrón con velocidad 5xi05m/seg y masa m, choca contra un núcleo de masa 4m y velocidad 3.25xl05 m/seg. Si la rapidez del neutrón después de la colisión es 5xl05 m/seg y se mueve en la dirección indicada. Cuál será la rapidez y la dirección del movimiento de la masa 4m después de la colisión.

M U

Del gráfico tenemos:Antes del

V^=5x 105í m/seg , V^=-3,25xl05m/segj

Despues(V„m fr=5x [10] A5 (-3/5 P-4/5 j A) , (V_mf) ^=V_2f senGi-V_2f cos0T

Ahora: Como no existe fuerza externa alguna para cambiar e31 momentun Lineal

.-.p;=p

m(5xl05t) — 4m(3,25xl05/) = m (-3xl05i - 4x10sj) + 4mV2f

V¡f=2x105í-2,25x105]

V¡í=3,01xl05m/S

V2fSen0=2xlO5

0=41,4°

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Un camión de masa 5 veces la masa de un auto, choca cuando van en direcciones opuestas, el auto a una velocidad de 50m/seg el camión a 80m /seg . después de la colisión los móviles quedan unidos, cuál es su rapidez del choque.

considera en reposo respecto a tierra, choca contra un aeroplano que iba a una velocidad de 500m/seg. Halle la fuerza promedio ejercida por el pájaro sobre el aeroplano.

Ahora para el pajaro I=AP=-(1,8) (500)=>1=900,Ahora falta indicar que el pájario ha estado en el aire por t = 0,6mseg

Por conservación del momentun

%=Pf(m) (50) -5m (80)=(6m) V Vf.58,3m/S

O Un ave que vuela de masa 1800 g y un tamaño aproximado de 30 cm que se

m

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I 900=15x1O5

y como dicha fuerza es ia misma para el avión Favion = 15x105N

Un auto de 1500kg de masa y con una velocidad de 10m/seg; colisiona contra un árbol y se detiene en 0.2seg (a) es la magnitud del impacto que el árbol ejerce sobre el auto (b) cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida por el árbol sobre el auto.

Ahora Ipor a rb o i =AP=Pr P0

=-Po=-(l 300) (10) =-15000kg- —segComo At=0;2seg=>FAt=I

••■F=7,5x104N

Hallar la fuerza media ejercida por un chorro de agua normal a una superficie fija. El chorro sale de una manguera de 3cm de radio, con una velocidad de lOmseg y es horizontal.

m=1500kg10m/seg------

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» EDUARDO ESP1NOZA RAMOS ) DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Tenemos que F=^==>FMdt=dP.......1

Pero dP = fAde => FM = f A % = fAV

f °*m j = dv

Fm= J AV =*A=9xlO"47t

J agua=1O3

=>Fm=-97uN

Una esferita de masa 0.2 kg con una velocidad de lOm/seg (hacia la derecha), choca contra otra esferita de 0.5kg con una velocidad de 5m/seg viaja en la misma dirección pero en sentido contrario. Hallar la velocidad de cada esferita después del choque. Si (a) el choque es elástico, (b) el coeficiente de restitución es 0.5, (c) si el choque es completamente inelástica.

a) Antes:

El choque es elástico

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Despues del choque

= > Po=Pf

(mi)Vio-m2V2o=-m1Vif+m2V2f....

-0,5= -0,2Vlf + 0,5V2f........1

Ahora:e=l = -^^=>V2f+Vlf=15....2-V20-V10V 1fl l , 4 m/S , V2f=3,5m/S

b) La única consideración que hacemos es que:

=>7,5=V2f+Vlf........... 2

de 1 y 2Vlf=6,07m/ S

V2f=l,43m/ S

*

c) Analógicamente después del choque seria

=*P o= P f

(m1)V10-m2V20=(m1+m2)V V=-0,71 m/s

Vlf=V2f=-0,71 m/ s

Un niño de 20kg; está desplazándose sobre su patinete de masa 2kg y va a una velocidad de lm/seg, en su camino se le cruza un perro bravo que viaja en sentido

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opuesto y la lanza una piedra hacia delante de 200g con una velocidad de 5m/seg respecto a su movimiento original. Cuál será su velocidad después que tiro la piedra.

=*P o= P f

m0Vo = mflV + mcf2V2......1

(22)(1) = (21,8) V + (0,2) (5) =*V=0,96m/s

© Tres partículas idénticas con velocidades: =3i-2j+6k y v2=+2Í+9j y v3=í-j-k chocansimultáneamente y forman una sola partícula. Hallar la velocidad de la partícula resultante.

Como las partículas, chocan

=*K=PfyíV¡ + v fá + m % = 3mV/

=>V=2Í+2]+l,67k

Un cuerpo inelástico que pasa 4kg y se mueve con la velocidad 2.25m/seg es alcanzado por otro también inelástico que pasa 6kg y está animado de una velocidad de 5m/seg produciéndose un choque central. Cuál será la velocidad común después del choque.

31 SOLUCIONARIO FISICA LEYVA i Y II vvww.edukperu.com



=>P0=Pfrri! V 10+m2V2o=(m 1+m2)V

(6 ) (5 )+ (4 ) (2,25)=(10) V

==>V=3;9m/seg

Dos cuerpos inelásticos que pesan en total 12kg moviéndose en sentido contrarios con velocidades de 4m/seg y 6m/seg; después de un choque central y rectilíneo adquieren una velocidad común de 0.25m/seg cuánto valdrá la pérdida de energía cinética.

m1+m2=12kg.......1

_ orsm/s

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Por conservación de!________ _lineal

)4-6(m2)=(m1+m2) (0,25) =>4mr 6m2=3.......2

^ Q/de 1 y 2 m-^ykg , m2= 72kg

.% AEC= (4)2+ m2(6)2- (m-, +m2)(0,25)2

=140,63J.•.AEc=14,3kg-m

gp Dos esferas perfectamente elástica de pesos 550g y 450g se mueven en la misma dirección con velocidad de 1.8 y 12m/seg respectivamente, (a) Que velocidades tendrán después de un choque central rectilíneo?, (b) cuando valdrá dichas velocidades si las esferas se mueven en sentido contrario? (c) hay perdida de energía cinética.

a) Por conservación de la cantidad del momentun lineal A

2 V —*

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DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Po=Pf

(m,) (1,8)+m2 (1,2)=-m, V,+m2 V2

1,53=-0,55V1 +0,45V2....... 1


De 1 y 2 tenemosV1=-l,26m/s

V2=-l,86m/s

b) P0=Pf

(m,) (1,8)+m2 (1,2)=-m, V1+m2 V2

0,45=-0,55V1 +0,45V2

=>3=V2+V,....... 2*

De 1 y 2 Vi =0,1 m/ s

í EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

1*

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V2=2,l m/s

c) Como el choque es elástico=¿AE0=0 .-.No se pierde energía

Dos cuerpos de masa m1 y m2 se mueven uno hacia el otro a lo largo de una línea recta con velocidades 20m/seg (i) y 10/seg (i), después de la colisión, la masa m2 tiene una velocidad de lOm/seg (- i ) y m1 la velocidad de 30m/seg (i). Si el choque es perfectamente elástica.

V2o=20m/s i , V2f=-10 m/s (í)

V,0=10m/s (-i) , Vlf=30 m/s (í)

%=Pfm1V1o+rn2V2o=-nr|fV1f+m2V2f-m1 (10)+m2 (20) =-mf (30)+(-10) m2 ..........1

=»30m2=40m1mT 3 m2 ~4

Dos cuerpos A Y B tienen cada uno de ellos una masa de lOkg y reciben cargas eléctricas de signos opuestos, de tal forma que atraen. Si se mueven sobre una mesa horizontal y lisa y A se acerca a una velocidad de 5m/seg mientras B está en reposo, (a) cuál es la velocidad de B en un instante posterior en que A se desplaza a una velocidad de 20m/seg, hacia B?. (b) en qué cantidad aumenta o disminuye la energía cinética de los cuerpos.

i

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DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ( EDUARDO ESPI NOZA RAMOS «

mi mPKj.- m i 1« Kg ^

=»P0=Pf(10)(5)=(10)(20)-(10)V=*V=15m/s

AEk= 1 (10)(20)2+ ¿ (10)(15)2-1 (10)(5)2

=3000J

Se deja caer una pequeña esfera metálica de masa m desde una distancia vertical h por encima de un superficie horizontal dura, (a) si asciende hasta una altura h/2 después de su primer rebote. Calcular el impulso dado a la esfera (b) si en un segundo rebote se eleva hasta una altura h/8 y así sucesivamente. Hallar el impulso total dado a la superficie.

” m

X.h i

/ |h/2 A *v '/I / I / \ h/8

v l e

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a) Antes del primer impacto:Em0“ Emf

1 2 mgh=-mV0

=^V0=-/2gh

Luego del 1° impacto:EmO=Emf

h 1 22 = 2 m

Vf,=Vsh

í =a p=p =p;=m.y^+m1/2gh

I=m-ygh(l+V2)

b) Calculando I para el 2doreboteV02=Vgh, AhoraEm0=Emf1 2 h -mVf =mg-

v,' kObs: para el primer rebote

Para 2d0, h2=

Para 3ra, h3=^

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I=I1+I2+l3+...

I=m%/2gh+ ( m /gh+m n _+m gh•+m Sh— +...+m

4+„I=m-ygh+ |^V2^+1 +

I=m7gh(V2+6,8)kg- m/s

8+„ 16+’ +„

gh_r>n-1

© El sistema que se indica en la figura, consta de dos esferas de igual masa m, que se hallan unidos por un resorte de constante elástica K. si inicialmente se unen con un hilo las esferas y después se quema, (a) cuál debe ser la compresión inicial, para que la esfera inferior salte de su lugar después de quemado el hilo (b) si la compresión inicial del resorte es 7m/k, que altura asciende el centro de gravedad del sistema.

a) Para que la esfera de la posicion mas inferior se despegue será: =>Fe=mg kd=mg d = ^ ....... *

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rmgN(— ) +msl( k )

Ademas sea L: longitud natural sea X0 = de formación inicial Por conservación de la energia

Kx2+mg(l-x)= Kd2+mg(l+d)

1 o 1=>-Kx2-mgx=-l

-x= 3mS/k

.-.Ax>3m

b) Ahora cuando la deformación inicial es:AX=7m%

Ahora por conservación de la energia, respecto r: 'ntro de gravedad

=* \ KXq= ~ KXf +2mgh

en la parte superior

r v msFe=mg—>Xf= —

12mg>h=

Se tiene un cilindro de masa 5kg que cuelga de dos hilos de longitud 1m. se dispara una bala masa 0.2kg y los hilos se desvían un ángulo de 10° con la vertical. Hallar (a) la velocidad de la bala antes de dar en el cuerpo, (b) la fracción de la energía cinética de la bala que se transforma en calor, si la bala quedó confinada dentro de la masa M.

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Antes del choque y despues del choque la conserva:

Entonces: P0=Pf

mV0=(M+m)Vf

Ahora asumamos qque dicho bloque se eleva una altura H de modo que H=l-cos0 =»E0=Ef

(M+m)g(l-cos0)=^ (M+m)Vf

=»Yf=2g(l-cos0)

$ Una partícula incide sobre otra que estaba en reposo y el choque es elástico. Hallar la relación entre las masas si: (a) el choque es frontal y las partículas se separan en sentidos contrarios y a velocidades iguales, (b) las partículas se separan

simétricamente con relación a la dirección de incidencia y el ángulo de separación es de 30°.

Como antes ni durante el choque, existió fuerzas externas

a) % = P f

m1V1 =m2V2-m1Vlf =>m1 (V-ij+Vlf)=m2V2f...... *

Ahora como el choque es elastico _ -v2f+vlf ,^ e=— =1

=>Vli=2V

wwvv.edukperu.com SOLUCIONARIO FÍSICA LEIVAI Y II gggj



m1 _ 1 rri2 3

b) Como no existen fuerzas externas el momentun lineal se conserva

O -

.•.P0=P1=P1+P2

i» / »

■ 4 f-

Del A tenemos: m 1Vlf=m 2V2f ...........1Ademas:

(mlVlf+m2V2f)cos0=m1ViO

=> m-| Vt f V3=m! Vi0Vü -

Vif= y .V 3 ........... 2

Ahora como elchoque fue elástico-V2f+V,f

— 1 = —

^ V u=v2rvif.... 3

De 2 y 3 tenemos:

De 1




DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

ml=> — =2,73 m2

Un proyectil que se desplaza a una altura de lOOkm y a una velocidad de lOOOm/seg, explota y salen tres masas iguales, de tal forma que la energía cinética del sistema aumenta en 2 veces. Cuál será la velocidad máxima de una de lasmasas.

Y V

Para la resolución de este problema, no hay que considerar el dato de la energia ademas:Solo es para uso de la conservación del momentun lineal:

Veamos:

%=Pfcomo salen formas de la misma forma y masa =>Veamos: pf=p1+p2+p3

Ahora necesitamos:P2+P3=0

w w w .edukperu.com S0LUCI0NARI0 FÍSICA LE IVA I Y II 333




3mVf=mV0

O Una partícula de masa m1; choca elásticamente contra una masa m2 que se hallaen reposo (m1 > m2). Hallar el ángulo máximo, que puede desviarse la masa m1 después del choque.

Como no existe fuerzas externas:

=»Po=Pf=P1+P2Por ley de cosenos tenemos que (m2V2)2=(mlV1)2+(mlV0)2-2(mlVl)(m lV0)cos

= > (m 2V2) 2=m2(V 2+Vo-2V1VoCOS0)..........*

Ahora como el choque es elástico entonces se conserva la energía

^miVo=m2V|+ni1Vi=»m1m2(Vo-Vf)=(m2V2)2.......**

En *Tenemos:m i m2 (Vq-V2)=m2 (V2+Vq-2V , Vocos0)

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E0=Ef



m2mi (v¿f + v }) = v i + vacóse

>COS0=mi (Vq+Vi )~m2(Vo+Vf )

2m1V0V1

Ahora si deseamos que 6max =>cos0 debe ser minimo =>Derivando, tenemos que

v/m1-m2V0v,=-

V mi+m2

cos0=■mf-m¡

mi

0=cos_1 i -mf-m2 ' m.

Un proyectil se lanza en el plano xy; con una velocidad v0, bajo un ángulo 6. Hallar la posición del proyectil después del 3er rebote, si es el coeficiente de ratificación de choque entre el proyectil y el suelo.

jB E írn w rn M B

De acuerdo a las ecuaciones del movimiento parabolico

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X=Vocos0t....... 1 Considerando liso el piso=>Ademas:Tiempo de vuelo

2V0 2Vqt=— sen0=— ^

S St1; antes del l erchoque

2Vosen0.......1

V1t2despues:donde r~ =e=>Vy=eVy

v y

2Vosen0e t2=-S

2Vosen0.ttotai=— -— (l+e+e2)

t3:pues otra vez\/iit X =E=>Vy1 =V|e Vy

2Vosen0cos0 0= ,s *— ¡ — e .......en 1

2Vosen0cos0,X=—--------(1+e+e2)

Un proyectil de masa m? incide y se incrusta en un bloque de masa M, este se desplaza a lo largo de un camino recto y una porción es rugosa de coeficiente de rozamiento ¡iK y la longitud es L, tal como se indica en la figura adjunta. Cual debe ser el valor mínimo de la velocidad de m; para que m1 de una vuelta completa alrededor de C; Si inicialmente se hallaba en reposo y colgaba del punto c, mediante una cuerda de longitud L.

SOLUCIONARIO FISICALEYVA I Y II " .■ ecL^-eru.com



■=cb — r MkJM b Q l .

Analizando primero nym

>mV=(M+m)V1

(Po = Pf )

>V =-mV

m+MAhora para el bloque (M+m)Cuando esta pasa, uk =>Wf=ÁEk

1 1 2L(M+m)guk= - (M+m)Vf - - (M+m)V1

l/ 1/ mv \2i /2

w + f e n ^ ) | ....... 2Luego el piso liso Analizando m

(M+m)V1=m1Vml

(m+M)V1

+m ym.

vm,=- m.

Ahora como la esfera realizada

www. ed u kperu. com SOLUCIONARIO FÍSICA LEIVAIY II f f f j



¿ o -

gmlV^l=2m1gL+^mlV112.

Por 2da ley

v l1=7 gi.......***£|0 * ***y 2

V= — [5m,gL(m+m)2+2uk(m+m)2gLlm

*

Una bolita de masa m y velocidades vt , incide sobre otra bolita de masa 3m y en reposo. Si el coeficiente de restitución es e, hallar las velocidades de cada bolita después del choque.

después

V

Antes_A'i:=V, V==°

W





Po=Pf

mV1=-mVlf+3mV2f

V,=-Vlf+3V2f....... 1

Ahora e = - ^ lí -V1

V,e=Vcf+Vlf.............2

De 1 y 2Vi Vi

Vlf=-^(3e-l) , V g f^C e+ l)

© Un resorte de masa despreciable soporta una tabla de masa Ikg, la cual deforma el resorte 5cm; cuando está en reposo. Sobre la tabla se deja caer una masa de 0.5kg desuna altura de Im produciéndose un choque inelástico. Cuánto vale la máxima deformación del resorte.

Analizando a la tabla y al resorte tenemos:

H<

tI Fe=kx

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kx=g

K=~=19b, 2^/m

Para la esfera

mgh=^mVr2

V=V2 hV= 4,45 m/s , antes del choqueAhora como deseamos que el resorte se comprimaLo max.El choque tiene que ser completamente inelasticoP=Pf=>m1 Vt=(m! +m2)Vf=>Vf=65,4 m/sPor conservación de energiaEf=E0

Xf = (m+m)Vo+(m+m)gh+ - KX

=0,41

Pero Xf=(h+0,05) Xt =0,05

K=196,22N/m H

•••X=0,46m

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© Dos cuerpos de masas 3kg y 5kg están separados una distancia de 5cm debido a un hilo que los une. Si la longitud del resorte es de 25cm sin deformación, Hallar las velocidades (modulo) de cada masa, cuando su separación es de 20cm, después de haber quemado el hilo y la contante elástica del resorte es de 15N/m y se desprecia cualquier fricción.

I-----5 cm----- 1AXo=0.2 m.

Como no existe fuerza horizontal =>Cm, no se mueve respecto al eje YAhora luego de soltar el hilo, se tiene que los cuerpos esten 2ocm tenemos.

=>p0=0=pf=-3V1+5V2..... 1Ahora como el piso es liso EMo=EMf

~KXo= £ mi Vi + 5 m2Vf + - KVf

=*(15) (0,2)2=3Vf+5V¡+(15) (0,05)20,5625=3Vf+5V| 2De 1 y 2 Vt =0,34 m/seg V2=0,2 m/ seg

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) DINÁMICA DE UN SISTEMA HE PARTÍCULAS

Los centros de tres esferas perfectamente elásticas están en línea recta las esferas no se tocan y sus masas son m1; m2 y m3. La primera se mueve con una velocidad vx y tiene m1 = 5m2, las demás esferas están en reposo. Después de chocar la segunda esfera con la tercera esfera, aquella m2 se mueve con velocidad determinar la masa m3 de la tercera esfera.

~ Q s-

Vuni;

Tenemos que

Ademas para

=*p¿=pí

m1=5m2

m2ym 3

m2V2f=-m2V1 +m3V3f

m2 =-m2V1+m3V3f

V,8V3f.m3=m2 — .........1

Analizando y m2, antes y despues del choque

%=Pfm1V1=-m1V1f+m2V2f 5 m2Vi = -Sm 2V1f m+ m2V2f ........ 1

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Como el choque fue elastico

1=-V2f+V1f-Vi

=»V,=V2f+V1f.....2De 1 y 2

5V, -2V,

Ademas el choque fue elástico -V3f+Vi

“v2f *V2f=V3f+V1

0V1==V3f+V1

2Vi=>V3f=—^ ......2

m3=4m24.,.m3=4m2=-m15

El martillo de un hinca pilotes cae libremente desde una altura de 2m bajo la acción de la gravedad y pesa 1.5 toneladas métricas y golpea sobre el pilote cuya masa es 40.8kg. considerando que el impacto es inelástico. Hallar (a) la energía empleada en deformar el pilote, (b) la energía utilizada en introducir en la tierra el pilote (c) la resistencia que ofrece el terreno, si el pilote se introduce lOcm.

I j M L5\Í(H>0 kg

m 40, HK Ü

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) DINÁMICA DE UN SISTEMA ZE PARTÍCULAS

Antes del choque:

Veamos:

£mo = &M f

mgh= mV2=*V2=2gh=>V=6,3 m/s

a. Ahora antes y despues se conserva la cantidad de movimiento

MV0=(M+m)Vf=6,13 m/ s2

Ahora:

E=^m.vf=78;14kg-m

b. Ahora para calcularLa energía empleada para introducir el sistema es:

E e m = \ (M+m)V2=2951 kg-m

c. Ahora asumiendo que la fuerza de razonamiento es constante: fs.d=AEk=2951 kg-m

Como se introduce 1 Ocm =>/s = 29510k

344 SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II www.edukperu.com



DINÁMICA RELACIONAL SOLVER-EDK «

DINAMICA RELACIONAL /

Un sistemas de masa, está forma por dos masas esféricas m, unidas rígidamente por una varilla de peso despreciable de longitud L, Hallar el momento inercia del cuerpo (a) con respecto a un eje normal a la varilla y que pasa por el centro c y (b) con relación a un eje normal a la varilla que pasa por una de las esferas.

O

w

() '>

(a)

Por ser masas discretas:

I=£¡m ¡rf

(a) l=m © 2+ m g )8

■4mL2(b) I=mo2+mL2

I=mL2

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) DINÁMICA RELACIONA!.

El momento de inercia de cuerpo es 2kg -m2, gira alrededor de un eje con una aceleración angular de 2nrad/seg2. Si parte del reposo. Hallar (a) cuál es su velocidad angular del cuerpo 2seg después de iniciando el movimiento, (b) cuál es su energía cinética en 2seg. (c) cuál es el torque que actúa sobre el cuerpo durante los 2 primeros segundos.

Sabemos quew — w

a = -----

(a) w = at = ( 2 (2seg)

w =4ti N-m

(b) Ek=¿Iw2=Í2(4K)2-167t2J

(c) t=l7C=2.2M=47ü N-m

lQ | Hallar la energía cinética de un aro de masa M y de radio R. si este se mueve uniformemente con velocidad v y gira con velocidad angular w con relación a un eje que pasa por su centro.

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DINÁMICA RELACIONA!. f EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Ec=Ecr+Ect

1 2 1 oEC= -IW 2+-MV2

:Ín R 2.W? 1

1 . 0 1

EC=-NR .W +-MV

Ec= - MV2+ - MV2=MV2

jj^|| Demostrar que el momento de inercia de una esfera hueca y uniforme de radio interno Rx y radio externo R2 y de masa M es:

1. El momento de inercia será:

Donde dm=■ s

r 2dm

cp dvdm=271 r cp drde

m m

.vw.sdukpe . com SOLUCIONARIO L E W A I Y II

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1= J r2- 2n r dr di

Pero r = senO y di = Rdo

1= J R4sen30 27t<p dr d.0

l=2;ccp J R4dr . J sen30 d0

f Rg1 = 2 tccp R5 -(l-cos20) d cos0

Ri

(;»)fm (R j-R ;)|tü cr1-r?)

, 2 (Rl-R?)l=-m—~5 (R¡-R?)

Una barra de longitud L, está sujeta en una de sus extremos y se encuentra en la posición horizontal, se deja caer libremente de la posición dada inicialmente. Qué velocidad tiene el extremo libre de la barra, cuando pasa por la posición vertical.

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DINÁMICA RELACIONA!. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Por P.C.E:AK+AVg=0

IW2-o) + (o-mg =o)

IW 2 = mgL ...(1 )

En (1)

l=^mL2

W2=? U Í = ^

•••V=V3gL

Ú Sobre un plano inclinado de altura h, un cilindro de masa m y radio R ; rueda a partir del reposo, comparar sus velocidades cuando llega a la base del plano, por rodamiento y por deslizamiento.

f l B B »

Por conservación de energía:1 1

mgh=-mVR2+-IW2

2mgh=mVR2+^MR2W2

4mgh=2mVR2+MR2W2

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Por cinemática:V2F

Vp=V+2ai =>á= —

Por dinámicaV?

mgsen0=ma-m ~

• li ■’ vF y¡3

[é¡¡^ Hallar el momento angular de la varilla de longitud L0 Y masa m con respecto a un eje paralelo a su longitud y situado a una distancia b, si la varilla gira con velocidad angular w, tal como se indica en la figura.

Se deja el ejercicio para el lector

Un disco de masa m, radio R. está sobre un plano inclinado de ángulo 6. Si el disco rueda sin resbalar halla su aceleración.

.» ■ w H ü ia —

Se deja el ejercicio para el lector

m SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II www edükner y . com



Un disco de masa M y radio R. puede girar alrededor de un eje que pasa por su centro de masa que no posee fricción. Una cuerda esta enrollada en el disco y en su otro extremo cuelga una masa m, que se encuentra a una altura h, con respecto al suelo, tal como se indica en la figura. Hallar la velocidad de la masa m, al caer y recorrer h desde el reposo.

Por dinámica tenemos: mg-T=ma ... (1)

Pero T = TR = la

T= — = - M —R 2 R

T=±MRa=±Ma... (2)

De (2) en ( 1 ):_2mg_ ^M+2m V J

Por cinemática: Vp=Vo+2ah

V2=2ah ... (4)

M T T ñ W *

h

ww w . ed u kperu. com SOLUCIONARIO LEYVA I Y II 351



De (3) y (4) tenemos:

4mghV= M+2m

jj El sistema que se indica están situada a una distancia r0 del eje de rotación, inicialmente el sistema gira con una velocidad angular w0, por un sistema interno que posee el sistema, las masas a una distancia (r0/3) del eje. Cuál es el incremento de la energía cinética del sistema.

Como no hay tanque exterior, la cantidad de movimiento angular permanece constante

l0w0=íw

o 2 2 R °2mrs=-- mwg

AEc=Ecf-Ec1=Í|w 2- Í|0w2

9 o 1 ,AEC = g wo lo" 2 lowo

AEc=8mr^w2

Un disco de una masa m y radio R. puede girar alrededor del eje AA, sin fricción una cuerda enrollada en el disco, ejerce una fuerza tangencial F. Hallar la aceleración tangencial del borde del disco.

OLUCIOiriDe la ecuación de la dinámica de rotación:

T=RF=Iala 1R2M

F=R =2 — “

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DINÁMICA RELACIONAL ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

F=- MRoc=-M aT2 2 T2F3j= —

© Sean dos discos de masa m y radio R. que se hallan sobre un soporte vertical. Si el disco superior tiene una velocidad angular w0 y el inferior está en reposo. Hallar el incremento de energía cinética del sistema en conjunto, cuando el disco superior cae sobre el inferior y existe rozamiento entre ellos.

Por conservación del momento angular:

lo=Ulw0=2lw

w0 W 2

La energía cinética se expresa de la siguiente forma:

Ec=^lw2 c 2

1 /MR2\ „ MR2w 2

Eci= 2 \~2~J 4 7

1 /MR2 MR2\ /W0\ 2 MR2\ /2 ECf= xl— + *2\ 2 2

Por lo tanto la variación de energía será:A Ec = 0,125 MR2w¿

Una persona con los brazos extendidos, soporta pesos en los extremos y se halla sobre una plataforma giratoria el momento de inercia del sistema es 1 0 y su velocidad angular es w0, fig. (a), en esta situación la persona contrae los brazos,

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3como se indica en la figura (b) y el momento de inercia del sistema es -10. Hallar la

energía cinética ganado por el sistema.

Por el principio de la cantidad de movimiento angular constante (se conserva)3l0w0=-l0w

5w=-wG

3 /5wn\ 2 1¿ /ow0\ I oAEC=ECF-EC|= — 10 J -gloWo

AEc=^l0Wo

# Un arco de radio r y masa m gira con velocidad angular w0 fue colocado en un plano no liso. Es aro tiene una velocidad v0. Si la fuerza de fricción es f. si v0<w0r que sucede con el aro.

i M T m i i l i *

Por el P.C.E:

o-£W2l~MV2=-fr .x... (1)

X: desplazamientox=V0 . t , I=Mr2

S P I SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II www, edukperu.com



y w = V0/r En (1)

1 , Vo 1 22 mr •' ' + 2 MV° =+fr Vot

t = mV0/fr ... (2)

En el tiempo t el aro se para, teniendo una velocidad angular: w~w0=-cxt... (3)

De (3) en (2) y sabiendo quefrra=-r

frr /MV0\ w-wn=---- i ---* 1Mr2 (?)w=wn

En ese preciso instante se mueve en sentido contrario.

© Un cilindro de masa M y radio, baja rodando sin deslizamiento a lo largo del plano inclinado de ángulo 6. Hallar (a) la velocidad del centro de masa (b) la velocidad angular y (c) la aceleración del centro de masa, transcurrido un tiempo t, partiendo del reposo.

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Por el P.C.E.: ^Iw2 + ^mvc2 = mgLsend

1 /MLR2 2\ o 1 22 \ 2 +it|R J w + 2 2

=mgLsen03 1- mR2w2+ - mw2=mgLsen0

2mv2=mgLsen0y2 _ gLsenQ

Por cinemática: L = ------ --... (2)2

De(l)y(2): V2= ¿ ^ í

. , senG,•••v=g— t

V gsenGt wW=- = í— - ; a = -R 2R t

s e n O n s e n Oya = Ra= g — .R= g —

$ Un cilindro homogéneo de longitud L Y radio R. tiene masa M, En tomo al cilindro se han enrollado tres cuerdas, dos de ellas cerca de los extremos y la otra en el medio, estando las cuerdas sostenidas en el techo. Al soltar el cilindro, este desciende sin inclinarse. Hallar (a) la aceleración lineal y angular durante la caída, (b) la tención en las cuerdas.

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Por dinámica rotacional

Pero a=otR ; a = —mPor dinámica: mg - 3T = ma

T=ía3TR=la

1 93TR=-mR2cx

6 Ta = —- mR

mamg- — =ma

2g -r mg\a= — V T= —3R 9

0 El momento angular de una partícula está dado por la relación L=2T Í-3T2J. Hallar el momento de torsión (torque) que actúa sobre la partícula cuando t =2 seg.

Por dinámica rotacional

„ dL t _ dt

=>t=(2i-6tj)Para t = 2 , tenemos que el tanque será

t=(2, -12, 0)

© Una masa 2kg; cuelga de una cuerda de peso despreciable y que se encuentra enrrollado sobre un cilindro de masa 20kg y de radio 50cm. La masa de2kg parte del reposo. Hallar (a) la aceleración de masa (b) la velocidad angular del cilindro, después de 3seg de empezar el movimiento (g=10/seg2)

v-vv.v. 30- SOLUCIONARIO LEYVA I Y II

3o



Por dinámica mg-T=ma ... (1)

Perot=TR=Ia

la 1 mR¿a 1= - ma ... (2)R 2 R 2

De (2) en (1)

Sabemos que a = aR

2mg ma~ 2m+M ’ seg2

a w0 w

at rad.-.w=-=10,02 — R seg

Sobre un cilindro (A) de masa 20kg y de radio 30cm, se enrrolla una cuerda inextensible e imponderable y se pasa por un tambor liso (B) y de su otro extremo cuelga un peso (c) de 5kg. Hallar la tención en la cuerda.

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Por dinámica mg-T=ma ... (1)

Pero t=T.r. t=Tr=la

T=±Mra

T = -Ma ... (2)2

De (2) y (l)se tiene:2mg m

a-2m+M"~^s21

=> T=-ma=33,3N

# Se tiene dos masas y m2 (m2<in1) que cuelga de un sistema de poleas de radios rh r2 y de momento de iniciar i. hallar la aceración angular del sistema cuando se suelta los pesos.

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ^ ) DIN'MICA RELACIONA!.

Por dinámica:T2-m2g=ma2

m1g-t1=ma1

Se sabe que a2 = ar2a,=ar!

T2=m2ar2+m2gTi=mlg-mlar1

Por la dinámica de rotación:T1rr T2v2=ia

(m1g-mlarl)r1-(m2ar2+m2S)r2=la

=>CL (l+m1r2+m2r|)

© Demuestre que para una esfera que resbala en un plano inclinado de ángulo 0el

coeficiente de rozamiento estático entre el plano y la esfera es menor de tg.

Por el P.C.E.1 1-Vf ■+ - lLO2-mglsen0=O

1 1-Vf+-mVf=mglsen0 2 5

7— mVf=mglsen6

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DINAMICA RELACIONA!. EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Por dinámica:

o 10mVf = — glsenG

mg sen0-pmgco0^ma

mg sen0-pmgco0^m V?2L

mg senO — /xmgcoG < - gmsenO

2-sen0 mg jjmgcosO

2M^-tan0

© Un hemisferio de radio R, hueco, tiene en su interior una esferita de radio r < R. la esferita se suelta de la posición A y llega a la posición B, rodando sin resbalar, (a) Que posición de energía cinética de fotación tiene en B. (b) Que fuerza ejerce el hemisferio sobre la esferita en B.

Por el P.C.E.1 o 1 o-mgR+ - mVf + - w2l=0

7 9— mVf=mgR

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS . ) DINÁMICA RELACIONA!.

mVf 5 Ea= — ^m gR

a) Entonces la E rotacional será:

Por dinámica, N K1 mVf 10 b) N-mg=-~- = y mg

ER=-mgR

26=-xl00%=28,5%

/10 \ 17= (jy+ ljm g= ym g

© Sobre un plano inclinado de ángulo 6. Se halla un sistema constituido por una varilla cilindrica de radios R. y de peso despreciable. Dos esferas de masa My de radio R >2r, tal como se indica en la figura. El sistema puede rodar por medio de la varilla. Hallar la aceleración angular del sistema.

g S M M M ttí

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Por dinámica se tiene que:2Mg Sen0-fr=2Ma ... (1)

Pero a=a. r

En (1) se tiene: 2Mg Sen0-fr=2Ma .r ... (2)

Por otro lado: t=fr .r=Ia

fr= y... (3)

De (3) en (2)

2Mg Sen0-y =2Ma r ... (4)

2 9El !esfera=gMR , reemplazando en (4) tenemos:

2 MR22Mg Sen0-----=2Ma r5 r

Despejando:5rg sen0

a=-----q—5r2+R

Un disco de radio R y masa M, gira alrededor de un eje horizontal con velocidad angular w0. Una astilla de masa m « M, se desprende del borde del disco en el instante que la astilla suba verticalmente sobre el punto de desprendimiento. Hallar(a) la altura máxima que sube la astilla, (b) la cantidad de movimiento angular final y la energía final.

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a) La masa “m” sale disparada con v. Para hallar la altura máxima por cinemática:

hmdx=^ ••• ( 1 )

v 2r2h -máx" 2g

b) Como no se conserva la cantidad de movimiento angular: AL ^ 0

Lf = Vw0 ... (2)

El momento de inercia después que se desprendió la masa “m” es:

l = ( fm ) R2 . ■. (3)

Reemplazando en (2)/M \

c) La energía rotacional se expresa:

Kf=¿I'Wo ... (4)

De (3) en (4) tenemos:1 /M

R2

1 /M \R2Wq

364 SOLUCIONARIO FISICA LEYVAI Y II www, edukperu.com



© Una rueda de radio 20cm con momento de inercia 10kg-m2 se le aplica un torque de 20N-m. Hallar la velocidad lineal después de 5seg, si parte del reposo.

Por dinámica rotacional:

Sabemos que a=

SOLUCION

t=la =*<*=2^

- =» A=0,4m/s2

V-Vna=- V=at=2m/s

V=2m/s

© Hallar el momento de inercia de una esfera de radio R y masa M; con respecto a una de sus tangentes.

Por el teorema de Steiner se tiene1=1C+RM

i=|mr2+mr2=4 mr25 5

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO LEYVA I Y I



» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) D IN Á '-rA RELACION AL

Un volante junto con su árbol tiene un momento de inercia de 20kg - m2 y gira con una velocidad de 100RPM. Un minuto después de que ha dejado de actuar sobre el volante el momento de rotación. El volante se detiene debido a las fuerzas de rozamiento en los cojinetes. Hallar el torque de las fuerzas de rozamiento, si esta se supone constante.

El momento de inercia del volante con su árbol es l=20kg-m2 y gira con velocidad w = 100 RPM

2n radw=100 RPM x 60 RPM seg

IOtc radw=- 3 seg

El tanque es igual a t = la

t=

Iw w

(20 kg.m2) lOrcrad 1 x 60 seg 3 seg

20rcto -N -m

Un aro, cilindro macizo y una esfera, se desplazan rodando. Qué porcentaje de la energía cinética total es de rotación.

Para el aro:Er%E¿= —

t-TOTAL1 « 1 o mR2w2

E R a r o = 2 , W = 2 ( t 0 ) W

1 SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II '■ vv )kir'ï "u com


DINÁMICA RELACIONA!.( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

mR2w2 1 , mR2w2 mR2w2ERaro = — 2“ + 2 mV = -- 2-- +

ETaro=mR2w2

El porcentaje será:

i mR2w2 %Er= -— s— xl00%

mR w2

%Er=50%

• Para el cilindro

-w2mR2ERciiindro= r — j xl00%=33,3%

-mR w4

• Para la esfera:2 2 2

EResfera= Yq w

— mR2w2 %Er= xl 00%=28,5%

-mR w210

Se tiene una varilla de longitud L y masa M, que puede girar alrededor del punto A. se hace incidir una partícula de masa m < M y velocidad v; la cual golpea a una distancia h de A y se introduce en ella. Hallar (a) el momento lineal y la velocidad angular después del choque.

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO LEYVA I Y II




M m x m rm m t í

En este caso se conserva la cantidad de movimiento angularLf=L0

mvh = Iw + mti2w mVh

w=-1+mh

Siendo

w-mVh

La cantidad de movimiento final es: pf=mvf=mwR ; siendo R = h

Pf=mv 1+H

^ Para el sistema que se muestra en la figura. Hallar (a) la aceleración angular (b) la tención en las cuerdas. M=10kg; m1=6kg; m2 =5kg, R =50cm; g =10m/se$ 2 (a) a = - 3.3rad/se 2 (b) 7i= 41.7 N; T2 =50 N.

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Por dinámica para las masas: m^g - Tt = mjOj ... (1) m2g +T2 = m2a2 ... (2)Sabemos que ar = a

Entonces:(m1g-T1)R=m,x... (3)(T2-m 2g)R = m2a ... (4)

Por dinámica de rotación: t=(Tr T2)R=la... (5)

De (3), (4) y (5) se tiene:R(m1 -m2)g-la=(m1 -m2)a

(m1-m2)gR n rada= t--- ------- =0,40 — j-MR?+(m1+m2) seS

Reemplazando (a) en (4) y (4) tenemos:Tí =55,2 N T2=54 N

© Sobre una superficie horizontal no lisa se halla una bobina de hilo de masa m. su momento de inercia con relación a su eje es I =nkg2 donde k es una constante numérica. El radio exterior de la bobina es R y el radio del hilo enrrollado es R. SI

se tira del hilo de la bobina sin rozamiento con una fuerza constante f y horizontal. Hallar el trabajo de la fuerza durante los t segundo después de iniciar el movimiento.

w w w .e dukp e-u .com SOLUCIONARIO LEYVA I Y IIwww.elsolucionario.net

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) DINÁMICA RELACIONAL

Tenemos queI=KmR2

Ahora tenemos ___ respecto a su centro de masa:tcm=rF-Rfs=\a ... (1)

AhoraFr = ma

F-fs=ma ... (2) Ra = a ... (3)

Reemplazando (1), (2) y (3) tenemos:(l-r/R)F r _ ( R k - 1 ) F

(k-l)m ' *s ~ R ( k - 1)

Por último: W=f.d , pero d=v0t+ -at2=>d= - ati^ 2=»d=-at22

F2t2(l-¿ ).-.W=

2((k-l)m

¡ I SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II www réd u koe r u, cóm



En una polea maciza fija de radio R se enrrolla un hilo no elástico, de su extremo libre se suspende un pequeño cuerpo de masa m, Halar el momento angular con relación al eje de la polea con respecto al tiempo, si el sistema parte del reposo.

Tomando___que respecto a su centro de masa:dLcm

tCm=mgR=- dt

j mgRdt= J dL

Lcn=mgRt

En una bobina de masa m y radio R, se enrrolla un hilo y pasa por una polea fija sin peso y del extremo final del hilo cuelga una masa m. si no hay fricción en ninguna región, para qué ánguio 6, el centro de gravedad de la bobina estará en reposo.

vvwvv.0dukp0ru.com SOLUCIONARIO LEYVA I Y II


» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J DINAMICA RELACIONA!.

Analizando solo la bobina, tenemos:Para que su cm. no se mueva sólo es necesario

LFr=0=» mgsen0=mg

m=> sen0=77 M

Jna fuerza de 100N está aplicada tangencialmente al borde de un disco homogéneo de radio 50em. Cuando el disco gira experimenta la acción del torque de rozamiento de ION -m. Hallar la masa del disco sabiendo que gira con aceleración angular constante de 50 rad/ seg2.

1 0 0 N

Tomando torque en c.m.=>tcn=lcx

(100)(0,5)-10=(1m R2) (50)

=> M=6,4 kg

372 SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II www.edukperu.com



♦DINAMICA RELACIGpíAL ( EDUARDO ESPINOZA ñmOi «

Se tiene des cilindros: uno de aluminio (macizo) y otro de plomo (hueco), que vienen el mismo radio 5c.m y el mismo peso ION. Hallar (a).el momento de inercia de estos cilindros (b) cuanto tiempo tardara cada cilindro en bajar rodando el piano inclinado sin resbalar?. La longitud que recorre cada cilindro es de 2¡n y el ángulo del

plano es 45° y paite del reposo los cilindros (g == .

i ¿ m

_ (10N)

I= 9 mA, -R

1=12.5 x lO kg-m2

M, /1UN\pb= v~9~ y

l=MpbR21=25 x 104kg-m2

0.05 ir.

b )

FR=ma— fs + mgeos45 = ma .. (1)

Luego aplicando

= R fs — (2)

w ww. ed-.i k pe . co *~r SOLUCIONARLO LEYVAI Y !!www.elsolucionario.net


R.a = a ... (3)Resolviendo (1), (2) y (3)

m g c o s 4 S e R 2ü = ---------... (*)m R 2 + I - J

Ahora aplicando las ecuaciones de cinemática, tenemos:

d*¿ •■(*>

Luego aAL = 4,7aPb=3,5

tAL=0,92 seg tpb=l,07 seg

© Una rueda inicia su movimiento con una aceleración angular constante de lrad/se#2

y después de lOseg de iniciando el movimiento adquiere un momento angular de 50kg - m2/seg. Hallar la energía cinética que tendrá esta rueda al término del tiempo de 20seg de haber iniciado la rotación.

10 see

Tenemos:

Esto debido a que a = ct

di

=» =dL=Iadt L = 1 a t ... (1)

Vf=V0+at

% SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II w * edukperu com



Vf=at=a(20)... (2)Pero w=a t Luego menciona que:

L=50=l(l)(10)=>1=5 kg-m2

Piden Ec luego de 20 seg

=> Ec =\mVf + i/w 2 ... (*)

=> Ec= Í ma2(20)2+ lw2= mR2a2(20)2+ lw2

Ec=i a2(20)2+ la2(20)2

Ec=3000 J Erot=1000 J

O Para un cilindro de radio 50cm y lOkg de masa, se le enrrolla una cuerda. Hallar (a) si se cuelga un cuerpo de masa 30kg, la aceleración angular del cilindro (b) si se tira del extremo de la cuerda con una fuerza de 100N, la aceleración angular del sistema, si g = 10 m/seg2.

a) Tomando torque en su CA

=>t=RFg=ID

=>□=52

0=(0,5)(10)(0,5)2 0=120 rad/seg2

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b) t = ft(100) = la

=>a= (100) (0,5) (0,5)(10)(0,5)2

a=40 rad/seg2

© Para el sistema que se muestra en la figura, hallar la aceleración angular del sistema si el coeficiente de rozamiento sobre la polea de menor radio es 0.3.el momento de inercia de todo el sistema de 20kg-m2.

Se tiene un cilindro de momento de inercia 0.5kg -m2 que gira a w (rad/seg) alrededor de su eje de simetría, si el radio es de 50 cm. Hallar la masa de un punto que hay que situar a un tercio de su radio para que la velocidad angular se reduzca a la quinta parte.

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DINÁMICA RELACIONA!. [ EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Como no exista torque alguno=> L=ct

10 w 0 = If WRw mR2 w

'o W= '°5 +— 5

=> m=^^=72kg

Sobre una superficie rugosa se coloca arco de radio R. Que gira con velocidad angular w0. Hallar la velocidad del centro del aro después de finalizar el deslizamiento. Al inicio la velocidad del centro del aro era cero.

ü.1=0

Ahora como

WfS=AEM

4 mv* 4 wo

fs = cts => Wfs = fs. d

=> fsd = ^mVf — .. (*)

Ahora aplicando torque en el C.M.

www ed u k perú. com SOLUCIONARIO LEYVA I Y II 377


EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) DINÁMICA REUCIONAL

t.nr=fs.R=lcx

-->a- -

Como a=const=> por cinemática, tenemos:

W f — wo - ai. w0 = a t => ~-=t , y también a=Ra

1 9 1 /W0V<d-

y jl Hallar el momento de inercia de una lámina semicircular de radio R, masa M y de espesor despreciable.

Calculamos ¡ del semicírculo Ahora-

di ~ - .cr . dm3

pero oda^dm => I— f-a2drn1 da, J 3

pero => aRsenodec=dm

.=> 1= :sen20.Rásen2<jdo=R4o7í

;VilM

SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y Ü 'W“v.edük H: u. t:orn •


DINÁMICA RELACIONA!. { EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

0 Hallar el momento de inercia de un triangulo de masa M, base L y altura H con respecto a su base.

pero

=> d l= -y2dmO

G =dmdA

1= J / d m

pero

Ahora por semejanza, tenemos:2h

adA=dm

U / iy d x .o ... (*)

-h y 2h/L \ . . .r = p ^ = r ( i- x) <*>

Reemplazando (**) en (*)

ry21 r2h/L \i3 h2l* 1=21 3 [t (2 'X)J odx=T2a

h3l m h2ml=l 2 ' Y =~

2

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© Sobre una horizontal hay un cilindro de masa 32kg y radio 0.5m, está enrrollada una cuerda, que pasa por una polea sin fricción y de su otro extremo cuelga un peso de lOkgf. Si el cilindro rueda, cuál es la aceleración del peso de lOkg.

Ahora, para el cilindro tenemos: y además tomando torque con el CM => tCA = RT - Rfs = la (*)”

Ademása32k=Ra

=* R(T-fs)=^fs (*)

Luego2o Ley de Newton

T-fs=32a32i<g (*)Luego para la masa, tenemos:2o Ley de Newton

100 - T = 10alo (***)Ahora como la polea es lisa

a10=a32=>" a10kg=2,94 m/seg2

Para el cilindro que rueda sin deslizar sobre una mesa horizontal. Hallar la aceleración del centro de masa, si R = 0. 5 m.

m SOLUCIONARIO FISICA LE Y VA I Y I www. ed u kperu, com


DINAMICA RELACIONA!. [ EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

SOLUCION

Ahora asumiendo que el piso es liso, tenemos:IF=ma

50# = 200aDe acá

a=2,45 m/s

© Un disco de radio R y masa M, puede girar alrededor de un eje que pasa por su

centro. Una cuerda está enrrollada sobre el borde del disco y se aplica una fuerza f que es tangente al disco, como se muestra en la figura, cuál es la aceleración lineal de la cuerda?.

Aplicando torque en su CM:=»t=la=RF

= 5 MR!( f | ) ‘ BF

=»aL=2F/M

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■

381


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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) DINÁIWCA RELACIONA!.

O Cuando ia fuerza f jala hacia arriba, la rueda gira y es jalada en la misma dirección. Hallar la aceleración ascendente, si la masa de la rueda es 5kg, su momento de inercia 0.5kg - m2 el radio de la rueda 20cm y la fuerza f =60N.

JM PiTi.iW r.-M i

Por la segunda Ley de Newton, tenemos: T+F-Mg=mac ...(1)

Ahora por dinámica de rotación, tenemos: FR-TR=la, también a=

Luego

R(p-T)= (|) (2)D e (l)y (2 ) tenemos:

2F'mS . / 2 a=--- ¡— =>a=4m/segzM-4>

R2

Una varilla de longitud 0.5m puede girar alrededor de uno de sus exOtremos (A), se aplica una fuerza de 50kgf en el punto B extremo de la varilla con una duración de 0.01 seg. Si la varilla inicialmente está en reposo. Cuál será el cambio en su momento angular?.

SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y www. ed u kpe r u. co m



Ahora, tenemos que:■ango=t-AT=AL

=s»tF=L.F.=2,50N.m AL=2.5 Kg.m2/seg

© Se hace incidir una bala de masa m y velocidad v, sobre un disco de masa M Y radio R, que se halla en reposo en una mesa.sin rozamiento. La bala incide a lo largo de una línea que pasa a una distancia del centro igual a la mitad del radio tal como se indica en la figura. Hallar: (a) la velocidad del centro de masa y la velocidad angular del disco si la bala se queda unido al borde del disco, (b) velocidad del centro de masa y la velocidad angular del disco, si el proyectil penetra antes de detenerse hasta un punto p situado a una distancia R/2. (c) La velocidad final del disco, su velocidad angular y la velocidad final de la bala. Usar los tres principios de conservación.

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a) Piden la velocidad del centro de masa, y también w

Veamos como no existe ninguna fuerza exterior

=>Po=Pf

mV=(M+m)VCM =*Vca=mv

m+mAhora como tampoco existe ningún torque =» L0=Lf (considerando m»m)

mv. 5 =Itota|W .. .(1) pero = ± MR2+mR2

=>W= - mVR(M+2M)

b) Ahora: análogamente, que caso anterior, tenemos:

Po=PfmV

mV=(m+m)Vc=»Vc=M+mTambién

=> L0=Lf

mV-j=l10W ... (1) pero

l to ta l= o m R

,mR

■ SOLUCIONARIO FISICA LEWA I Y I w w w .edukperu.com

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R /l o mR‘ i"'v r ( 2 m B + T ' J

2mVw=-

w

(2M+m)Rc) Asumiendo que la bala sale del disco

=* Lo=Lf mV=MVc+mVf mv0=MVc+mvf

Luego: como la energía se conserva

Resolviendo con L0 = Lf2mV

* Vc=

w=

Vm2+2mm2mV

*. Vf=V

RVm2+2mm ' m2-2Mmm2+2Mm

Sobre una mesa horizontal lisa, se encuentran dos discos de masa m1 = 2m2 y de radios R1=2R2, e! primero con una velocidad angular w0 y el segundo se halla en reposo. Se ponen contacto estos discos por sus bordes y luego de un instante inicial el deslizamiento parcial, ambos quedan girando sin resbalar al contacto. Hallar las velocidades angulares finales de cada disco.

Como, en dicha interacción, no existe fuerzas externa que generen momentosto-tr

L0=IW=lmlRfW0

- -jKpe^.tom SOLUCIONARIO LEYVAI Y II


J— --------------- .» EDUARDO ESP1NOZA RAMOS J

Pero al final

Lf=Ii W-j +I2W2 Ahora como se ponen en contacto ambos discos:

R1W1=R2W2. v ^ =Ri

w, r2

1 2 1 2 => L^-m^w^-maRgW;,

1 1- m2R2wo=2m2R?w1 + - m2R¡w2

R?w0=RiW1 + R¡w2

También:

DINAMICA RELACIONAL

4Rf w0=4RÍw1 + R¡w2

8w0=8w 1 +w2

w 1 =0,8wo w 1=l ;6w0

La mitad de un disco está dispuesto que pueda girar alrededor de un eje sin fricción que pasa por su centro de curvatura p. Hallar:(a) la aceleración angular en función de su posición angular 0 .(b) La máxima velocidad angular del disco si se deja libre de la posición dad.

3 SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II w w w .edukperu. com


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a) Ahora: tomando torque respecto a P

t]=Ia

Pero 1 = -mR2

b)

2R=> — .sen0(mg)=laK

2R x 1 n2— sen0(mg)=-mR a

=>a=4.9 sen0/TR

dw a = — w dO

[ a * , » / w dw2

49cos0 w2TR 2

89cos0 89--------=w 2=>w * r = —TR mK TR

.-.w=(89/TR)1/2

La cuerda mostrada tira sobre el eje de la rueda acelerando hacia adelante. Si el momento de inercia de la rueda es 0.5kg - m2 y su masa es de lOkg y de radio 45 cm; gira sin resbalar, cuál será la fuerza más intensa para que el centro de masa

tenga una aceleración de 1 m/seg2 (g=10m/seg2).

:

www. ed u kperu. com SOLUCIONARIO LEYVA 1 Y II ¡gffllwww.elsolucionario.net


Ahora por la 21 Ley de Newton, tenemos: F - fs = ma ... (1)Rfs = /a ... (2)

También tenemos:

=> /s = —reemplazando en (1)

F=a

aa=R

'm+la\

=»F=12,5N

Una esfera que viaja a 5m/seg comienza a rodar hacia arriba sobre un plano inclinado a 30°. (a) Que distancia recorre sobre el plano inclinado (,g = 10m/seg2)

VH)..

Al subir el plano inclinado, la esfera, solo se detiene, por una componente de su gravedad.

=>E0==Éf12 '-mVo=mgh=>h=l,25 m.

23 SOLUCIONARIO FISICA LEYVA IY II www.edukperu.com




1,25h ~ = 2 ,5 m .sen30

# Un arco se encuentra en reposo y reposo y recorre lm sobre un plano inclinado lisa

de ángulo 45°. Hallar la velocidad del aro cuando pasa rodando por la marca de lm en su camino hacia abajo en el plano inclinado.

Corno, dicho disco solo baja de nivel gracias a una componente de su peso: => A Ey = 0 => Ei = E0

l o 1

Pero w= — y / = -mR2D J O

Pero

mgh= - mV + - IWo

1 2 1 2V2mgh=-mV +2 mR ^2

gh=V2

^V=V^h

h=dsen01V=>/gdsen0=2,7m/s

WWW. e d ukpsru. com SOLUCIONARIO LEYVA I Y I



Con relación al problema anterior, si la velocidad del aro fue de lm/seg. Cuál será la fuerza de fricción promedio que tardara su movimiento, si su masa es de lkg.

Analizando al aro, tenemos:Asumiendo que fs es constante, y además, tomando el aro en la posición final del caso anterior:

=> wfé = aem1 1 =*Wfs= - mV2+ - IW2-mgh

1 1 V2=>fs.d= - mV2+ - mR2. -mgh

fs=mV2-mgh

fs=m(V2-gh)=6,07N

Dentro un recipiente hemisférico liso, de radio R. se coloca una esferita de radio r< R. Al dejarla en libertad, la esferita rueda sin resbalar hasta el fondo dél recipiente. Hallar la rapidez de la esferita en el fondo, tal como se muestra en la figura.

ja r e r iv r r m M f

De acuerdo a la figura, como el piso es liso=>AEM=0=>Eo=EF

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DINÁMICA RELACIONAL . ....................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

mgh=^mV2+^Iw2+mgh , pero W = £/ = \mr2

1 9 1 o=>mgh= - mV + - mv +mgr2 510sCh-r) =V2, además del A mostrado, tenemos:

= V 210g(R-2r) _ ir2

14h=R-Rcos60°

/ 1\ R“ H ' sH

=»V=2,7VR 2r

a s La fuerza f acelera al cilindro de masa m y radio R. Que tiene un movimiento de inercia I desde el reposo. Si el cilindro rueda y no se desliza cuál será su rapidez después de que ha rodado una distancia L.

Asumiendo que dicho piso es liso=>Wf=AErT1 1

=*F0L=2 mV +2 IW E°1 , 1 V2F0L= — mV + — 1 —

2 R2r 2 \

=>2FL:=V2 (m + ^ )

=>v=2FL

m+-ñR ,

1/2

Las dos ruedas idénticas que se indican en la figura, tienen radio R Y momentos de inercia I. Si la masa m, parte del reposo. Cuál será su velocidad, cundo ha caído unadistancia H?.

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO LEYVA I Y II I B




l i iT T lT T r i íH Í

como no existe fuerza externa, para mi sistema=>A E MTOt a =0

E r o = E m .l

1 1mgH= - mV + - IW + - W

mgH = -2mV2 + IW 2... (*)

También tenemos que

/.V=

VW=R

/ mgH \\™ , .i\ 2 R2/

mgH1/2

m 19 P2

@ Sobre un disco de momento de inercia I0, que gira con una velocidad angular w0f se suelta un cilindro de momento de inercia lv Hallar la velocidad angular final de rotación.

392 SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II www. ed u k pe r u .com *



SOLUCIONcomo no existe fuerza externa que genere torque, =>L=cte Veamos

Lo=Lf10W,

IoW 0= W aW=(I0+1,)W.-.W= I0+li

Un meteorito de masa m choca contra la tierra cuya velocidad angular es w0 y se entierra en está. Suponiendo que la rapidez del meteórico es v; halle el cambio en la rapidez de rotación de la tierra alrededor de su eje, si se conoce el momento de inercia de la tierral. Suponer que el movimiento orbital de la tierra no cambia.

Como no existe torque externo:=>L=cte L0 = LF

, o. IWo+mRV lW0-mRV=(l-mR )W =>— -— 5—

1+mR.-.AW=W-W0

mR(V-RW0) ’ i+R2

w w w .edukperu.com SOLUCIONARIO LEYVA I Y Iwww.elsolucionario.net



La hélice de un avión y el sistema giratoria ai cual está sujeta, tiene un momento de inercia total de 100kg -m 2 y giran a 1,200 RPM. Cual es el torque medio ejercida por la maquina sobre su soporte como consecuencia de que el avión efectúa un giro de 12 0oen lOseg.

Ahora, como tenemos un tcondL r r

* t=d t* J tdt=J dL=>t(t)=AL=IAW

Ahora:Por las ecuaciones del mcv AW=at pero

EH SOLUCIONARIO FISICA LEYVA I Y II www .edukperu.com



I íd I l Ade Leiva

a *& * ..*4*

i l

m 'tçc M p F«pP*Ili

Solucfbnario5 'S . * *

v *

SOLVER-EDK m 4 ■

Mte edukperâ


MOVIMIENTO ONDULATORIO SOLVER EDK «

Dada la onda T =0.3 sen (2 , donde Z se mide en metros y t en segundos.

Hallar la velocidad de propagación de la onda.

j^ C T M ita í

Se tiene T (Z, t)=0,3 sen (2 ;rZ-18;rt) de la ecuación de onda general, tenemos:

4* = 4*, sen (kz - wt)

Comparando podemos decir:

k = 2n = — => A = lm A

Ahora:

w = 18/r = 2nv => u = 9(1 / 5')

= y = Au = 9m / s

2ttSe tiene una onda, cuya forma matemática es: 4* (z, 0) =2 sen — z. si la onda seOmueve en la dirección negativa del eje z a la velocidad de 6 m/s. hallar la perturbación para t=l seg.

i- uoom SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

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» SOLVER EDK MOVIMIENTO ONDULATORIO

Sea H ^ O ) = 2sen— z 3

Como el caso anterior, entonces:

271 2uk - — = — => A = 3m 3 /l

Y además: V =6m/s

Luego: w = 27iv = 4n

Piden cuando b=l

> V = Au => v = 2(1 / seg)

- ^ (z ,t) = 2sen| — z + 4/rt

- ^ (z ,!) = 2sen^^-z + 4t

Se da la velocidad de fase de onda armónicas longitudinales que se propongan a loY n2

largo de un cilindro de radio R, uf = ^ i- ^ 202 4^ J

; donde E, P, a , R son

conOstantes. Hallar la velocidad de grupo de las ondas que se propagan a lo largo de la barra.

SOLUCIÓN

Tengo:

vf =VÉ7s4 V A ,

-6 R

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II vvwvv, edukperu, coni



Ahora:

VÉTp í 1 k2 6 S R2 j = 3V, - 2^JÈ7p

En una cuerda de 120 cm. de longitud se formó una onda estacionaria, con la particularidad de que los puntos, para los cuales la amplitud de desplazamiento es igual a 3.5 mm distan 15 cm. uno de otro. Hallar la amplitud máxima de desplazamiento. A qué sobretono corresponden estas oscilaciones.

R: T0 =5 mm al tercer sobretono

Se describe que en dicha cuerda se desarrolla una onda estacionaria.

X>

V V

15 cm 15 cm

www exíuKr ' • ; com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


» SOLVER EDK_____________ MOVIMIENTO ONDULATORIO

. - = 30cm2

> A = óOcm

Ahora de la ecuación general de la onda estacionaria:

VF = 2^ 560(kx) eos wt

También tenemos que:

Ax = 3,5 = 4/0sen(kx) = 4/0sen(k(x + 15))

=>sen(kx) = sen(k(x + 15))

kx = -k(x + 15) + 7r

n , 2 7 1 71Pero: k = — = — A 30

► x = (7,5)cm

Ahora:

^°sen( l r ( 7’5) l =3’5

n = — = 4nodos k

•' f = 41

Hallar el número de posibles oscilaciones propias de una columna de aire en un tubo, cuyas frecuencias son inferiores a 1250 Hz. La longitud del tubo es 85 cm. La velocidad del sonido 340 m/s. coOnsiderese dos casos siguientes (tomando los

vSOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www. eékíkmm *


MOVIMIENTO ONDULATORIO c SOLVER EDK «

extremos abiertos del tubo por los vientres de desplazamiento): (a) el tubo está cerrado en uno de sus extremos, (b) el tubo está abierto en ambos extremos.

a) Veamos: Se tiene que:

Por condición:

f = ü (2n + l) 4L ’

t <1250

=> — (2n + l)<1250 4L ’

n=6 oscilacionesb) Para el segundo tenemos:

f =— (n + l) m 4LV '

fm < 1250

=>— (n + l)<1250 4L ’

n = 11.5 oscilaciones

Un cable flexible de 30 m de longitud y 8 Kg. de peso se ata entre dos postes con una tensión de 200 kg. Si se golpea al cable en uno de sus extremos, hallar la onda transversal producida en alcanzar el otro extremo y regresar al punto de partida.

Con los datos dados, tenemos:

www.i2dukneru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I


http://www.i2dukneru.com

» SOLVER EDK J MOVIMIENTO ONDULATORIO

- iV = í— donde: T=200g

_ 8 _ _ ±30 ~~15

V = 85,8m/seg

X/ L . Lt V

*30>t = — = 0,35seg

85,8

Ahora piden el tiempo de ida y vuelta:

t = 2Ttotal ^ J

ttcal = 0,7seg

Una pieza de artillera dispara un proyectil sobre un blanco situado a una distancia de 800 m. el ruido de la explosión se oye 5 segundos después de que el proyectil, siendo la temperatura del aire de 20°C.

^ so n id o ■<-------

800 m

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vwA¥:edukperu coìti


MOVIMIENTO ONDULATORIO T=293°k R=8,31 r= 1,4

SOLVER EDK «

sonido = 344m / seg

t _ 800 _ 2 3sonido 344

Voteti, =2,7seg

vpray = | y = 296,3m/seg

¿Cuál es la velocidad y la dirección de propagación de rada una de las siguientes ondas?

a) 'f',(x ,t) = A (x + 2t)2

b) vP(x ,t) = P(Q x-Rt-D )

c) vF(x ,t) = Be ^ ^ ' 2APxl Donde A, B, P, Q, R y D son constantes.

(a) v=2 en la dirección negativa del eje x.

(b) v=R/Q en la dirección positiva del eje x.

(c) v=P en la dirección positiva del eje x.

www. edukperu. coro SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

I


» SOLVER EOK MOVIMIENTO ONDULATORIO

a) %<,t)= A (x + 2t)2

De la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio.

■ = v2cT 8x¿

Í X - 8 A ^ - 2 A a 2 ’ dx2

>8/ = V 22 /

■ V, = -2m / s

En la dirección negativo a x.

b) 'F(xt) =P(Qx2 +Rt2 -D)

d2xV 0 2vP" 1F =2PR' ^ = 2pQ

=> = V2 PCÍ

IQ

En dirección negativa.

n ir r o H A x¿A P V -4 A P V -2 a P x tC) ^(x(t)=Be

SOLUCION ARIO FISICA LEIVA I Y I ; wmr. füukperü'con =


MOVIMIENTO ONDULATORIO ( SOLVER EDK «

^ = 2Ap2 (2AP2t2 -4APtx + 2Ax2 - l) lH

= 2A (2Ax2 - 4APtx + 2Ap2t2 - 1) 4'

c2T , a2a 2 5x2

jM'p2 = zKv* =>v = p

En el acero (E=2xl0nN/m2, p =8000 kg.m3) se propaga una onda longitudinal de forma sinusoidal, en la que la amplitud del desplazamiento es 0 . 1 mm y cuya frecuencia es 1000 Hz. Cuánto valen las tensiones máximas a que tienen lugar en el material.

Tenemos que:

E = 2xl0"N/m

p = 800kg.m3

Vp,°= v p = 5000m ' ses

Ahora: como el movimiento es armónico, senoidal:

=> vF(x r) = 1 0 "4 sen(kx-wt)

www. éd ükperu. corri SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net


Pero: V =0/

=>d = 5m,w = 2^x10 :

^ (x ;t) = 10 2sen|^x--2;rxl0 3t

G = E. d4*dx

Gmax = 2,513xl07kg/m2

s| Cuanto vale la amplitud de las oscilaciones en una onda sonora de frecuencia 1000 Hz con una intensidad sonora de 130 db y de 0 dB (umbral doloroso y umbral audible).

a) Tenemos que:

v ‘o y

I=l013xl0'12

■ V S SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www; ed ukperu. eom



1=10

Ahora tenemos que: Vsonido =345 m/s, $-=1,29

P0=2*V5f. % ... *

P 2

2 y? 1Utilizando ( * ) tenemos que: Po =93,66 w

p=>^o = — —° 2nWgí

% = 3,37x10-'* m

b) Analógicamente por 6

B = 0 = Log(l/l0)

=>I = 10~12

=> De las ecuaciones dadas:

% = 1,06x10 11 m

t f l Una fuente sonora, S, emite al aire libre una onda esférica amortigua con el tiempo de potencia P=P0 e"at, donde P0 =10'4W? =0.1 seg.-1. Hallase el cabo de cuánto tiempo deja de oírse la oscilación a una distancia de 2m, cuando la intensidad del límite audible es 10'12 V/m2.

Tenemos que:wvv-v. -;i y kpe-ru coi n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


» SOLVER EDK Ì MOVIMIENTO ONDULATORIO

P = P0e_x*; donde P0=10^w

a = 0,1 g/seg.Piden t cuando I=lO'12w/m 2

Tenemos que:

l = —P0e~al,pero A=4;r(2)~ = 16;r A

i = icr12

(l0~'2)l6;r=>---- 1-- = e■',,

10“4

Ln(l0~a.16/rj = -at => 145,03seg.

Un sonido de frecuencia 1000 Hz, tiene una intensidad de 100 dB. Se pide (a) la amplitud, (b) la velocidad de las moléculas de aire y k (c) la amplitud de las fluctuaciones de presión.

Tenemos por dato, f = 1000 Hz

B = 100dB,Vsonido = 345m/s,<rane =1,25

100= 10LgCl/lo) => 1 = io-12w/m"

a) P0 =2W ^fF0....*

'ÉB fli SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu. tüm



Pero 1 = —2— => P{' = 3w .. 2vc

>% =1,07x10"6 m

b) Piden velocidad máxima.

Sea: = 1,07x10"* sen(kx-wt)

©

Pero: w=2 n fW=2xl03^

Vniax= £ £ = 1,07x1o-6 (2^x103) =

= 0,672 x 10‘2 m/s

c) de (*)

Pn= 2.9 x 10’3 atm

Un observador que esta a la orilla del mar oye el sonido de la sirena de un barco. Cuando el observador y el barco están en reposo, el sonido que percibe aquel corresponde a la frecuencia de 420 Hz. Cuando el barco se mueve en dirección al observador, la frecuencia del sonido que este percibe es de 430 Hz. Y cuando el barco se aleja del observador, la frecuencia es de 415 Hz. Hallar la velocidad del barco, en el primer y segundo caso si la velocidad del sonido es de 338m/seg.

js ro iw ra w í

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y Iwww.elsolucionario.net


a) Como el observador se encuentra en reposo entonces, la frecuencia percibida será:

V' = V(Vs/Vs-V)

=>430 = 420(338/338-V)

=> V = 28.3km / h

b) Para este caso V. b = 0, Ubote, ya que el se aleja:

V' = V(Vs/Vs + V)

4158 = 420(338/338+V)=> V = 14,7km/h

Una cuerda sometida a 15 kg. De tensión produce un diapasón 8 pulsaciones por segundo. Cuando esta cuerda se tensa hasta 16 kg. Resulta afinada al unísono con el diapasón. Hallar el número de vibraciones del diapasón.

Asumiendo que ambos se tratan con la frecuencia fundamental:

Ahora:

« SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II - '



r fT,_ Mi

f2

8Hz V15 =>f, =8,2 + 6Hz

Una fuente sonora tiene una frecuencia de 800Hz y esta en reposo respecto al aire. Un observador se mueve con una velocidad del sonido respecto al aire en reposo es 340 m/ seg. Hallar (a) la frecuencia percibida por el observador cuando se acerca y 8b) cuando se aleja de la fuente sonora.

a) Ahora, como la fuente esta en reposo y el observador se mueve:

• V' = VI 1 + —Vs

V' = 800Íl + — i = 847,6Hzl 340 J

b) Análogo que al caso anterior, solo que:

• V' = V| 1- — Vs

V' = 8001 1-— | = 752,9Hz1 340

wvvvv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y IIwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK ELASTICIDAD

jMkSe tiene de espesor uniforme e, despreciando el peso propio debido a al fuerza F ,:

módulo de young es E.

2FR = — Ln2 Ee

b

■ SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II


ELASTICIDAD C U SOLVER EDK «

Por semejanza de triángulos:

b b _ b X~ 2 2 4

x = ±(y + b)

Reemplazando en (1) el valor de x e integramos:

fdA, = f bo_ J ^ _ = 2ELnf ^ l(y + b)¿E ee v b J2FA¿ = — Ln2 eE

Una varilla recta de aluminio de 2 cm. de diámetro esta sometida a una fuerza de tracción axial de 300kg.

Hallar:

(a) El alargamiento en una longitud de 50 cm.

(b) La variación de volumen en una longitud de 50 cm.

Donde: E=7 x 106 Kg. /cm2 y // = 0,34




R: (a) A 0.00505 cm.

(b ) AL = 0.0001 cm3

—-------T

í

su

oLO1

k TAC i

1 2 0 0 k g1 cm

a) Hallamos la deformación longitudinal:

50cm.300kgA£ ■ LoFSE 7t (lcm 2 ) x7xl O6 kg / cm2

AC - 0; 0068 cm

b) Para hallar la variación de volumen calculamos:

3(1-2//)= 7,3x106 kg/cm2

AV B SB

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I wwvv. edukoéf y . com


ELASTICIDAD SOLVER EDK «

AV = m X £ = Q 0 2 1 c m ,

ÉEg Una barra de longitud L= 2m de peso despreciable esta colgado de un alambre de hierro y de un alambre de cobre. Si los alambres tienen la misma longitud e igual sección transversal. A que distancia x del alambre de hierro habrá que suspender una carga P, para que la barra quede horizontal.

Fe

nrCu

jcn rn rg n iM

Para la barra de Fe:

T LALfc= —fe SE.

vAvw.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net

* : ' V —

. ELASTICIDAD

Para la barra de Cu:

SEcu

Por condición de problema: ALfe=ALCu

T F>iaL = fru /1\T E who C-FP

£ ta =xP-LTcu(L - x ) = 0....(2)X t b = t feX - T c u ( L - x ) = 0.. . .(3)

I T c = P(L- x )-T feL = 0....(4)

De (2), (3) y (4): J ^ = —Tcu x

x Ecu _ 19,6x1010 L - x ~ Efe 11,8x10'°

x = 0,7

jfg Una barra de acero de sección uniforme esta suspendida verticalmente y soporta una carga de 3000 kg. En su extremo inferior, como se ve en la figura, 20 cm. mas arriba esta aplicada una fuerza vertical de 2000 kg. Y otros 40 cm. más arriba otra de 1500 kg. La longitud total de la barca es de 140 cm. y su sección de 10 cm2. El modulo de elasticidad es de 2 x 106 kg. / cm2- Hallar el alargamiento total de la barra.

m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II v avy/ edukpefü.corn



///////////////////////

80 cm

3000 kg

80 cm

40 cm

20 cmi 3000 kg

Para el tramo AB :

www ecf ' ,o> ruxorn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA 1 Y II j f S Üwww.elsolucionario.net

>;.v » SOLVER EDK ) ELASTICIDAD

j 3500 kg20 cm

3000 kg

F . eE.S

3000. (2 0 cm )1 2x106 kg / cm 2 .lO cm 2

A C, = 0 ,0 0 3

Para el tramo BC :

i 15

□ i «Sil

1500 kg

a e <2

40 cm 1 5000 kg

5000.(4 0 cm )2x106 kg / cm 2 .1 Ocm2

A (?2 = 0,01

Para el tramo CD :

D80 cm

j 6500 kg

6500.80cm2x106 kg / cm 2 .1 Ocm2

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I www, edtik perú. co?r¡


ELASTICIDAD ( SOLVER EDK «

Ai 3 =0,026

Af T = A f,+ A Í2+A¿3

A íT =0,039cm

O Jna barra de acero cuadrada de 5 cm. de lado y longitud de 1 m esta sometida a una fuerza de tracción axial de 10000 kg. Hallar la contracción lateral debida a esta carga, si E=2xl06

kg/cm2y u=0.25.

Sabemos por definición que:

contracción lateral relativa alcanzamiento longitudinal relativo

A % = Alati (1) A/t AC.\at v ’

5 cm

suoo

lateral

10000 kg

w w w .eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y Iwww.elsolucionario.net


Entonces para hallar la contracción lateral se da forma a (1)

» SOLVER EPK____________ j ELASTICIDAD

Pero:

A£ _ er _ FT ~ E “ s e

En (2):

(0,25) (5cm) (1 OOOOkg) (25cm2)(2xl06kg/m2)

Alat = 0,00025cm

Una barra cuadrada de 5cm de lado y 50cm de longitud, esta sometida a cargas axiales de tracción en sus extremos. Se ha hallado experimentalmente que la deformación en la dirección de la carga es 0.01 cm. /cm. Hallar el volumen de la barra cuando actúa la carga, si u=0.4.

Sabemos por definición que:

AV (1-2//)V E

(crx + cj-y + c r z ) . . . ( l )

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. eci úkperu, com


ELASTICIDAD ( SOLVER EDK «

Como las fuerzas ejercen en ele eje x:

crx = crz = 0, Entonces:

AV _ (1 -2//)

V E

Además E= — -. entonces Av = — Ax E

Por lo tanto el volumen final será:

VF = V [l + (l-//)Ax]

Reemplazando valores:

VF =1252,5cm3

www.eduKperu.eom SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y IIwww.elsolucionario.net

http://www.eduKperu.eom

» SOLVER EDK 3 ELASTICIDAD

P Consideramos un estado de tensiones en un elemento, tal que se ejerce una tensión a y en

una dirección, puede producirse contracción lateral libremente en otra dirección (Z), pero

esta impedida en la tercera (x). Hallar:

a) cry/Ayb) Ay/Ay

zDeformación libre

ay

M M / ...7

Según la condición del problema:

Ax = 0

c r x - / / ( c r z + c r y )Ax = ------ ^ ----------1 = 0

Ax = //(crz + cry)...(l)

Como el esfuerzo se hace en el eje y esta impedida en x: <jz =0

De (1) tenemos <rx = juar ..(2)

Sabemos que:

SOLUCiONARIO FISICA LEIVA I Y II www. eci ukperú. cor


ELASTICIDAD ( SOLVER EDK «v___________________________ -L----------

Ay =

Ay =

cryHallamos el cociente de: — Ay

cry E Ay 1- i?

Ahora la expresión de Az es:

A (Tz-Mivx+vy)' Az_ E

De (4) y (3) se tiene:

y t*Ay 1

Una barra circular maciza de aluminio de ó cm. de diámetro esta sometida a una fuerza axial de tracción de 9000 kg. Hallar la disminución del diámetro de la barra debida a esta carga. Para el aluminio; E = 7xl010 Kg. /cm2 y ju = 0.34.

www. ed y Rper u. co rn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net

(

» SOLVER EDK ZD ELASTICIDAD

m m m m

m//////////////////

2 ib| f =F = 9000 kg

Por definición:

Ar

A l£

Ar = //r0— ...(t)L 0

crz F Pero: — = —1- = — t n E SE

Reemplazando en (1):

aSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu corn


http://www.edukperu


Para hallar la variación del diámetro basta hallar la variación del radio:

Ad = 2Ar...(3)

De (2) y (3): Ad = ^ ¿oh


Ad = 0;00092cm

^ Una barra de vidrio cuadrada tiene 3cm de lado y 60cm de longitud y esta cargada por una fuerza de tracción axial de 5000 kg. Si E = óxlO10 kg. /cm2 y /j = 0.25. Hallar la variación

unitaria de volumen.

« i » «

///////////////////////

60 cm

3 cm| 5000 kg

Por teoría se demostró que:

WWW. ed ükperu, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net

1 7» SOLVER EDK ) ELASTICIDAD

AV (\-2fS)----- -K+ O ’y+O'z)V E

Pero solo la fuerza ejerce en el eje Z, entonces:

crx = cry = 0

AV (1 - 2 j l í )

V ” É ^

AV _ (l-2//)FV SE

Reemplazo valores:

AV— = 0,000046V

p Se tiene una barra de bronce de 6cm de base cuadrada y 60cm de longitud, esta sometida a cargas axiales de comprensión en sus extremos. Si la deformación unitaria longitudinal es 0.01. Hallar el volumen de barra, cuando esta aplicada la carga, si /i = 0.28.

m SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www. edukperu com


ELASTICIDAD c SOLVER EDK «

Por la teoría se demostró:

AV (1-2//)V E

(ax+ay +crz)

Como la fuerza ejerce en el eje x <xy = az = 0, entonces:

AV -(1-2//) -(1-2m)F— = ---------r ---------O v = --------- --------------S.E

A V _ , ( 1 - 2 m ) FV ES

Por lo tanto el volumen final será:

VF =V \ 0 - ^ ) F E.S

VF =2150,5cm3

Una varilla recta de aluminio de 2cm de diámetro esta sometido a una fuerza de tracción axial de 3000 kg. Hallar:

a) La deformación unitaria.b) La variación del diámetro.c) La variación de la sección.

Si: E = 7x1010 kg. /cm* y // = 0.34

www. edu kper u. corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y Iwww.elsolucionario.net


cm*rJ3000 kg

a) La deformación unitaria se define:

Pero sabemos que: E= —M

a FEntonces: A£ = — = —E SE

Reemplazando: At = 0,000136

b) Por definición:

Addo_

í

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. éd ukperu .com


Siendo d0 = diámetro y Ad su variación

Ad=fidA

Ad = (0,34)(2cm)(0,000136)

Ad = 0,000092cm

c) Siendo d: diámetro nuevo de la barra

d = d0 - Ad

d = 2,000092 cm.

d2La AS será: AS = Sn - n —4

AS = 2,89x104 cm2

r a En la construcción de un edificio se usa un cable de acero de 6 mm de diámetro para la elevación de materiales. Se cuelgan verticalmente 150 m de cable para elevar en su extremo inferior una carga de 200 kg. Hallar el alargamiento total del cable. El peso específico del acero es 0.0078 kg. /cm3 y E = 21 x 105 kg. / cm2.

M I W

El peso del cable también contribuye a la deformación. Hallaremos las deformaciones.

ELASTICIDAD ( SOLVER EPK «

wvvw.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net


75 m

"B

75 m

A inm

J 2OO kg

Para el tramo A B

A ,1= ^1 S.E

Á P

200 kg

A£+ =200.75

TC (ó x l 0~3 ). (21x109 kg / m m 2 )

A£y = 0,025m

Para el tram o BC

Hallam os el p eso P:

P = y .V

//////////

p200 kg

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I www. eci ukperu, corn



;r(óxl0“3)P = 0,0078kg / cm' — ----- - xl 50

P = 33,0 kg.

Entonces:

\ t2 =(200 + P ).í0

*(6X103)2xE

= 00,029m

.*. A¿T = 2,5 + 2,9 = 5,4cm

En la figura se representa dos alambres de sección uniforme S, que están articulados en X; Y, Z, inicialmente tienen una longitud H y están horizontales cuando no se ha aplicado ninguna carga. El peso del cable es despreciable. Si se aplica gradualmente un peso P en el punto y. hallar P para producir una deformación vertical V, respecto del punto y.

H J L z

I

wvyvv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II/ 35www.elsolucionario.net

» SOLVER EDK 1 ELASTICIDAD

En el eq u ilib rio :

P _ 2T eos o S ~ S

P = 2 E A ^ S c o s 6 > . . . ( 1 ) H

eos 6 = . = = . . . ( 2 )^ V 2 +H2

D e C 2 ) y ( l ) :

2EAISV H ^ V 2 ■+■ H2

2 E S (n/V2 + H 2 — H IV

Hs/v2 H2

vavw. eci ukperu ;cóm



P = E Vh2+v2H

- 125V

n/H2 -V 2

Hallar el momento del par de fuerzas capaz de torcer un alambre de 10cm de longitud y 0.05 mm de radio, en un ángulo de 5'. Se conoces el modulo de Young del material

70 x xlO9 N/m2 y su coeficiente de Poisson 0.3. Use la relación de r¡ = f (E ,n ).

M m tm m

Sabemos por teoría que:

/rnR6 „ r. .r =-----;u= Coeficiente Poison2L

n =2(1 + v)

= 26,9x109 N/m2

;r (26,9x109) (0,05x10-3 )4.5' 2x0, lm

t = 3,92x107 kgf - mm

www. edukperu .corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I Hwww.elsolucionario.net


Una barra cuya sección es S, esta sujeta en sus extremos a fuerzas tensoras F iguales y opuestas. Se considera un plano que corta a al barra y forma un ángulo con el plano vertical, según figura 0. ¿Cual es el esfuerzo cortante y la norma?

!r 3 \

J

J-j a n iM í iw

Obtenemos al pasar el plano, la siguiente sección transversal:

La superficie que se desplazará es:

S' = S see 6

- i*

Por definición el esfuerzo tangencial y normal será:

VAVW. ed y kpety. co>SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II



F FrN = l!l.,rT = -V

S1 S1

Por la tanto: F* = F eos 0

Ft = Fsen<9

Entonces:

KI F eos 0 FCOS2 rN = — -— =-----

eos#

Y:

KI Fsen# 2Fsen#cos6>rN = — -— =----------S 2S

eos 0

- Fsen2#T i = --------

2S

wv/vv. edukperu, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net


Un punto vibra armónicamente. El periodo de las vibraciones es de 2 seg., la amplitud de 50 mm y la fase inicial igual a cero. Hallar la velocidad del punto en el momento en la que elongación es igual a 25 mm.

De acuerdo a la ecuación del movimiento de un MÁS y a los datos dados tenemos:

— *■> x = 50sen(;rt)mm

i

Ahora piden:

— H YV = — = 50^rcos(^t)...(l)

Pero:

jx = 25 = 50sen(^t) => t = - seg

» V = 50;rcos — | = 1.36mm/s

La amplitud de las vibraciones armónicas de un punto material es 2 cm. y la energía total de las vibraciones 63 x 10'7j. Cuál será la elongación del punto cuando la fuerza que actúa sobreél es 2.25 x 10'5N.

— H 1SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II wvvw.edukperu.;


VECTORES í SOLVER EPK «

JPC TTO ttlW

Analizando al cuerpo a un extremo de dicho movimiento, (x = A = 0,02 m)

=> EMe 2 1°<2 = 3x10’7 j

=> k = 1,5x10"3 N / m...(l)

Ahora piden x, cuando F = 2,25 x 10'5N

=>F = kx=>x = l,5xl0_2m

| Un peso está colgado cíe un muelle. Hallar el coeficiente de deformación de este muelle sabiendo que la energía cinética máxima de las oscilaciones del peso es igual a Ij. la amplitud de la oscilaciones es de 5cm.

P.ETH I} IF

¡A__NR

w w w . e d y Rperu. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


» SOLVER EDK

dySea y = A sen (wt+ 0 ) => V = — dt

V = a ecos (wt+ 6 ) => Vmax = Aw

Pero A =0,05 m =í> w = — m

— 2 ^ ^ n f i a x

. A

=> k = 800 N / m

)e un muelle está colgado un plástico de balanza con pesas. El periodo de las oscilaciones verticales es igual a 0.5 seg. Después de poner en el platillo más pesas, el periodo de las oscilaciones verticales se hizo igual a 0.6 seg. ¿Qué alargamiento provocaron en el muelle las pesas añadidas?

Tenemos que: T, = 0,5y T2 = 0,6

mii r

(II)2 '

f jr 1\27T,1(*)

VECTORES

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu coro


VECTORES ( SOLVER EDK «

También:

m1g = kx1 l / x m2g = k x2J

Ax =| —k k

f i l 2 m\2n,

= 0,027m

0 Una persona de 0,5 Kg. f está colgada de un cordón de goma de 40cm de longitud y 1 mm de radio. Hallar el periodo de las oscilaciones verticales d la pesa sabiendo que el módulo de Young de esta goma es igual a 0.3 kg. F/ mm2.

Del gráfico tenemos:

R E

t m g

wwvv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II |F fwww.elsolucionario.net


2da ley de Newton

F -mg = m ^ . . . ( l ) •

Ahora en el punto de equilibrio tengo:

mg = F0 sea L0

ESAL E S a . . v mg = —— =— (L0+d-L0)L0 0

mg = ^ d .. . (2 )0

También podemos decir.

FSF = ^ ( L 0+d + y - L 0)

L0

Luego (2) y (3) en (1):

F = — (d + y)...(3 )L-n

ESy E S / d y+ — --- =-m— -L„ Z T dt2

ESyL

B SOLUCIONARIO FISICA LEI VA I Y II www.édükperu coVn



d'y ES n /*\d F V y ■ ( )

De Acuerdo a (*) el cuerpo desarrolla con:

w =

T - 2 * MV ES

Reemplazando valores: T = 0,92seg.

Escribir la ecuación del movimiento resultante de la composición de dos movimientos vibratorios armónicos que tienen la misma dirección, periodo y amplitud. El periodo de 8

seg. Y la amplitud 0.02 m. la diferencia de fase entre estas vibraciones es igual aW4. La fase inicial de una de las vibraciones es iguala cero.

Sea:

x1 =O,O2sen^t + 0 1

x2 = O,O2sen^t + 0 2

* x2 = 0,02sen| ^ t

«'Jukneru com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net

» SOLVER EOK VECTORES

>x = x, + x2 =0,02 se n ^ t + 0 1 j + senj^tf e

x = 0,02 o (n 0 O / \2.sen —+— eos

u 2 J lJ J /

>x = 0;037sen^t +

Un punto participa en dos vibraciones de igual periodo y fase inicial. La amplitud de estas vibraciones son 3cm y 4cm. hallar la vibración resultante si: (a) las dos vibraciones tiene la misma dirección y (b). Las dos vibraciones son perpendiculares entre si.

sea: x, = A 1sen(wt + a ) x2 = A2sen(wt + ar)

a)x1 =3sen(wt + tf)j x2 =4sen(wt + úr)J

x = 3sen(wt + ür) + 4sen(wt + tf) x = 7sen(wt + or)

x, =3sen(wt + or)l ,-----b) >r = A/xl + y2 =5sen(wt + ¿ir)

y = 4sen(wt + cz) J

|1il Jn punto participa simultáneamente en las vibraciones perpendiculares entre si: x=cos re t e y = eos 7T t / 2. Hallar la trayectoria del movimiento resultante del punto.

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Sea: r = cos^rt t +cos— t , 2

Ahora para poder ver la trayectoria, entonces, encontraremos la relación x e y.

x = cos;rt;y = cos

x = 2cos2— - 12

=>x = 2y2 - 1

¡| lj| Un cuerpo de masa 10 g realiza oscilaciones amortiguadas con amplitud máxima de 7 cm., fase inicial igual a cero y coeficiente de amortiguamiento igual a 1.6 seg.'1. Sobre este cuerpo comienza a actuar una fuerza periódica exterior que hace que las oscilaciones forzadas. La ecuación de estas oscilaciones forzadas tiene la forma x = 5 sen (10 tt t-0.75) cm. Hallar: (a) la ecuación de estas oscilaciones propias, (b) la ecuación de la fuerza periódica exterior.

a) Piden: x=Ae~vt senw't

Tenemos que: k =10, 9N/m

M=10'2kg => w0 =33.026

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=> w' = yfiñi - y2

=> w ' = 10,5n

=> x = 7e_l'6tsen(l0,5;rt)

b) Ahora, luego que actué la fuerza tenemos que:

x = 5sen (10/rt - 0,75/r)

=> F= F0sen(10,5;rt)

Pero:

(fo)5x10'2 ---------- 02--------r

[(w f-w 2)2+4r2wf]2

=> F0 =7,2x10“2

F = 7,2xl(r2sen(10;rt)

0 Un sistema que vibra esta formado por un peso 5 kg. F, un muelle cuya constante k = 4kg.F/cm y un amortiguamiento es 0.11 kg. Seg. /cm. hallar (a) la frecuencia natural amortiguada.(b) el decremento logarítmico, (c) la razón entre dos amplitudes sucesivas cualquiera.

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Tenemos que: k = 4000 N / mm = 5 Kg.

a) w = = 28,3rad/s

b) Ahora piden: D= yT

Pero: y - — => y = 1,1 / seg 2m

Pero: w = >/w'q - y2

w = 28,28rad/s

=>D = 0,242

c) piden:

“ =e'vT=i>32

™ En al figura el peso w está suspendido de un muelle cuya constante es de 4 kg. /cm. y está conectado a un embolo y cilindro que proporcionan un amortiguamiento viscoso. La fuerza de amortiguamiento es 5 kg. Cuando la velocidad del embolo es 50cm /s el peso de w más el

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» SOLVER EDK ) VECTORES

embolo es 6 kg. (a) ¿Cuál será el periodo de las vibraciones amortiguadas y (b) el periodo del sistema sin amortigua.

Tenemos que:

K=4000N /m

m = 6kg

w 0 = - 25,82rad / seg

También: F = 50 N = ÁV

■ Á = m

a, , = ¿ = 8,3

> W =, = a/wo- /

=> w = 24;5ra/s

=>T = 0,26seg

b) w 0 =25,82

1SB1 SQLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y 11 www. eü ukperu, corrí



>T0 = — = 0,243seg wn

¿A que es igual el decremento logarítmico de la amortiguación de un péndulo matemático si al amplitud de la oscilación se hace dos veces menor en 1 min? El péndulo tiene 1 m de longitud.

Veamos que: D =yt

Pero: w 0 = ^ = 3,2rad / seg

A - ¿ e~y{' Ahora: —L =A2

- = e-V('l _t2)2

=>y=0,012

W = V Wo-y2

Cond.: w„ »> y0

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» SOLVER EDK I VECTORES

. D = 1— L = 0,023 w„

p Un péndulo matemático realiza oscilaciones amortiguadas cuyo decremento logarítmico de amortiguación es igual a 0.2. ¿Cuántas veces disminuirá la aceleración total de este péndulo en su posición extrema durante una oscilación.

Tenemos que: D = 0,2 =yTv . (*)

Tenemos que: 6-Ae_yl sen (wt)

Ahora:

dé?2a - —pj- = e_ytsen(wt)(or^2 - orw) - 2aye~yt cos( wt) w

Ahora cuando t = T

a = -2 A ye

<*o ^ 2 A ? rYV 02 1 ^2Ayw yú

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas de un péndulo matemático se hace dos veces menor en l min. Cuantas veces menor se hará en 3 minutos.

SOLUCIONARIO FISICA LE1VAI Y II vvww.'éci u kperu. còiti



A, 1 ce_yt'A, 2 ce‘y(r2)

>Ln2 =y(60)

60 v 1

A l - ce ** - _ e~y(3(60))A\ ce_yÍ4

A! o =>—r = 8a ;

Calcúlese el periodo de oscilación de un péndulo de longitud 98.1cm en el aire, despreciando el rozamiento. Sea la amplitud lcm es decir, pequeña frente a L. (b) en que tanto por ciento se altera el periodo cuando el péndulo se sumerge en gliceria en donde experimenta una fuerza de fricción F 0 -0.2 (kg. / seg.) u . La masa del péndulo es 50 g.

Para el primer caso:

IT0=2n.|-

T0 = 2ít(0,316)

¡rWvw.eduKperu corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I ■11www.elsolucionario.net


T0 = l,99seg

La fuerza que actúa es: F = iv

=>¿ = 0,2

0,2 2Y 2(50x10'!)

w = Vwo-y2 =2,45

=>T = — = 2,5rad=> — = 0,28 2,45 T0

Demostrar que el movimiento oscilatorio amortiguamiento la velocidad esta dado por: V= Ae' senCwt+or + J ) donde: A'=AW0.

Tenemos que:

x = Ae ^sei^wt + ar)

i SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II wwweclukperu.com



dx- V = — = wAe_yt cosítw + a) - Aye-ytsen( tw + a ) dt v 7 7

*V = Ae * (wcos(tw + or)-ysen(ttw + a ))

V = y¡ w2 + y2 Aeyt

w>/w2 +y2

eos (tw + a ) - —= = X= sen (tw + a)y w2 +y2

Sea:

sen d = wa/w 2 + y2

>tgd =w/w2+y2 y

V = w 0Ae ^ser^wt + or-d)

una particular de masa m se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de la fuerza F = -KX. Cuando t = 2 seg. La partícula pasa a través del origen y cuando t = 4 seg. Su velocidad es 4 m /s. hallar la ecuación de la elongación y demostrar que la amplitud del movimiento será 32

42.1 n si el periodo de oscilación es de 16 seg.

0LUC1

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» SOLVER EDK J VECTORES

Tenem os que: t=2, x=0

T=4, x=4 m / s

Luego sea: x OA sen (w t+ 6 )

Para t = 2

O sen (w (2 )+ 6 ) . . . (1 )

Pero: T 0 16

w = — = > d e ( l ) 0 = ^ -8 v ' 4

Ahora:

— = V = A c o s (w t + dt V }

Para: t = 4

4 = A ( f ) c o s 0 r )

A - — V27T

32 f— (71 3 7Tx = — v2sen — t + —— 7i v 8 4

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p Hallar la ecuación de a la trayectoria del movimiento resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples perpendiculares, si:

v W2 1a) — = -,<? = — W, 3 2

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d> ^ = l ó- = ^ W, 3 4

a) Sea: W2 _ 1w, 3,

x = A seN W, t

y = Bsen w 21 +

y = B c o s (w 2t)

x = Asen3w2t

y = Bcos(Lo2t)

d = -

JSffrorffiCTy

f é - y 2

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http://www.edUkpefu.coiT


n/B2 - Y'2 3-4(B2 -y2) N

x = A sen w ,t...(l)

y = B sen | W2t + —

y = B eos W2t +

,\2-1 = sen(2w2t)...(2)

< \2 /y i i í w.t— - I = sen —,b J V 3

Pero:

x f w.t— = sen — A l 3

3 - 4sen

xA

( r \2 '\yB

3-4

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» SOLVER EDK VECTORES. # - -

X = A_ a ~ B2

“(. .2<MCQ104 1co y - d

R 2v b ;

w 4 C) Sea: —- = - , d -n

w 1 5

x = A sen (w, t)

y=B sen (w2t+ n )

^ C w 2 A 71d) Sea: —- = - , d=— w 1 3 4

x = A sen (w, t)

y = B sen (w2t + j ) sen I w 2t +

Ahora:

cosO w 0 + —n \_ a/02 - y2

> cos(2w2t) = 2- ->/B2 - y2...*D

P Un cuerpo de masa m cayo a uno de los platillos de una balanza de resorte desde una atura h.

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Las masas del platillo y el resorte son despreciables, la rigidez del último es k. el cuerpo se adhiere el platillo y comien: a a oscilar armónicamente en dirección vertical. Hallar la amplitud de estas oscilaciones y su energía.

Calculando V, tenemos

Sh = | ^ v 2

^ V = N/2Íh

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Tomando como referencia en “O”; calculamos AE , como solo existen fuerzas conservativas.

> AE = O

E =E co Cf

lm V +m s ÍA ^ ]- ik (A +¡ffl

Despejando A tenemos:

A = ms 1+2hk k y mg

E,=2

Tomando P, E, de referencia:

ET=mgh+I k í ^

lm 2 g:Et = mgh + 2k *

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VECTORES ( SOLVER EDK «

Resuélvase el problema anterior considerando la masa del platillo igual a M. hallar la amplitud de las oscilaciones en este caso.

Y operando de la misma forma que el anterior problema, tenemos que:

V = V2¡h

AE = 0

E =Fo H

x0=(m+m)g

A

-mV2 +mg 2

A +(m + m)g + -kx2 =-k

2 0 2f (m + m)g'l A + - --------

Pero: xn =mg

Despejado:

A = — U 2hkk ^ (m + m)s

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» SOLVER EDK J HIDROSTÁTICA

m m C j l||j| Un cuerpo homogéneo y compacto colocado en un líquido con peso específico yt y

pesa P, y colocado en un líquido con peso específico y2 pesa P2. Hallar el peso

específico y del cuerpo.

íajaaiy,En los diferentes líquidos tenemos los siguientes pesos:

P, =mg-E, ; E,= r ,V

P2=mg-E2 ; E2=r2V

P, =mg-r,V y P2=mg-x2V

mg = P = rcV

P, =rcv - r ,v y p2=rcv - r2v ...(« )

v = - A _ . . . (p) Yi~Y\

De (a )y (p )

P -P2 r l

Un recipiente sin fondo, cuya forma y dimensiones están representadas en la figura, se encuentra en una mesa. Los bordes del recipiente están bien ajustados a la superficie de la mesa. El peso del recipiente es W. En el recipiente se vierte un líquido. Una vez que el nivel de éste alcance una altura h, el recipiente bajo la acción del líquido se elevara. Hallar la densidad del líquido vertido.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvww. ed ukper y; coi


HIDROSTÁTICA í SOLVER EPK &

Por condición:AF = 0 -w + PS = 0

w = PS

w = pgh.;r(R2 -r2)

w/7_gh*(R2-r2)

||j| Qué radio mínimo debe poseer un globo hinchado con H2 para que sea capaz de elevar

una masa de 2000 kg, si pH = 0.09kg / m3 y crairp = 1.293kg / m3.

www, ecl u Kperu. corn SOLUCIONARIQ FISICA LE IVA i Y II Bgg jwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK HIDROSTÁTICA

En el equilibrio: f = 2000.g

V.^Pa-V./.Ph, = 2000.¿

2000 =4^r3Pa ~ Ph, S

V = 7,3 m.

Un cubo de arista 10 cm y densidad 0.9 g/crn3 se deja libre en el fondo de un recipiente, que contiene agua y cuya profundidad es de 1 m. Hallar (a) Cuánto tiempo tarda el cubo en aparecer por la superficie y que longitud de arista sobresale al quedar en equilibrio, (b) Cuál es el periodo de oscilaciones verticales que efectuará el tubo antes de quedar en reposo, use g = 1 0 m/s2.

l m

a) Por dinámica tenemos que:E — P = ma ... (1)Por cinemática tenemos que:

a 2 ht2

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.'ed ukperu com


H IDROSTÀTICA c SOLVER EDK «

E-p = m

/2mhVÉ^ P " m = ^cVc

El empuje será:e =a s v c

P = ASVrReemplazando en (2):

t = |-;- 2hA:, => t = 1,34 seg.\I(Pe ~ P c ) SCuando llega al equilibrio:P = E

Pe “ Pa /^^sumergido

PcXh = p3Xh'

h' = ¿ = 0,09mA

Por lo tanto, la altura que sobresale es: desale = ( l0 -9 )c m = lcm

b) Para hallar las oscilaciones, ya en la superficie las fuerzas que se están equilibrando son E y P.

vw w .ed uK pe ru .co rn SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y IIwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK HIOROSTÁTICA

F = n d ydt2

Es la fuerza restauradora: m = /?cSh y F = -pagy

=» F = pc/ h ^ = -pagyX dr

dt P-?.

El periodo será:

¡PchT = 2;rÍPaS

T = 0, 59 seg.

Se deja caer un cuerpo de densidad 0.8 desde una altura de 20 m de altura en el mar p = 1.022 . Hallar la profundidad que penetra en el agua y el tiempo que tarda en volver.

No hay viscosidad, g = 10 m/s2

jg fim trfíiw

o

:í p1

H = 20 m

h

a) PorelP.C.E.:

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I www. eci ukpery ; corwww.elsolucionario.net

HiDROSTÁTICA c SOLVER EDK «

P.H = (E-P)h

p ,y iH = (P^ y i - P , y 4 ) h

=* h PCH _ 0,8(2Qm)P mas- P c 1 ,022 -0 ,8

=> h = 72,07 m

b) Por dinámica:

- (P-E ) = ma ; a = f^

(A nas/S-Pt/S)- Z P c^ r

t2 = 2/xh{P™s~Pc)s

t = \l r ~ 2pch i =7'2seg-y(Pnm-Pt)8

Hállese la tensión superficial de un líquido en función de la densidad, sabiendo que ésta, el diámetro de un capilar y la altura que alcanza en él, están en progresión aritmética, siendo la razón 0.5 y que el diámetro es menor que la densidad y ésta que la altura.

jK C T rr» M yPor teoría sabemos que la altura que se eleva un líquido en un capilar es:

h= ^ rgp

Donde r: radio del capilar, p = densidad del líquido y q = 9,8 m/sPor condición del problema, se dice que h, d y p están en progresión aritmética, así tenemos que:d - p - 0,5 y h = p + 0,5

www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II lwww.elsolucionario.net



Reemplazando en la expresión

4 i

t (p + 0,5)(p-0,5)jOg 4

cr = 245(/?3-0,25p)

Q Con un cuentagotas se vierten 100 gotas de agua, que en total pesan 2.45 g. Igualmente se pesan otras 100 gotas de un líquido problema dando 1.08 g. Hállese la o del líquido.

Por la ley de Tate, tenemos:

^ 1 0 0 gotas m i00 gotas líquidoh9o

miiq ,CrH20

= 32 — cm

En una gota esférica de glicerina de 1 mm. de. radio. Hállese (a) la sobrepresión debida a la tensión superficial, (b) La fuerza total sobre toda la superficie de la gota por causa de la tensión superficial y (c) la energía potencial de la superficie.

m m ma) Por teoría la presión que se ejerce en el interior es:

2 cr r

AP =

i SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I VAvw.edukperu.ooiTi


HIDROSTÁTICA c SOLVER EDK «

2(0,0064)N/m 10“3 m

AP = 1280 d/cm2

b) La fuerza que ejerce es la presión en toda la superficie

F = AP.(4^R2)

F = 160,8 d

c) La energía potencial de la superficie de la gota es:

Up =lcr(4^R2)

Up = 8,04 ergios

Un litro de agua ha sido pulverizado en gotitas de 1 mm. de diámetro. Hállese la variación de la energía potencia que se ha producido por causa de la tensión superficial.

La energía potencial producida por la causa de la tensión superficial de dicha gota

es: Up = ct47tR2 donde a : tensión superficial y R: radio.

De la condición que 1 L de agua se pulveriza en gotitas, primero hallamos cuántas gotas de lmm de diámetro se produce:En 1L hay 10'3 m3

4 3El volumen de la gota es: V = — ;rR• 3

10~3m3Entonces: N =------- —r = 19120455,23x10'10 m3

AVP = N.<t.4;tR

AVp = (1912045) (0,073) 4.7T (0,0005)2

www- e<1 y K m r u. corh SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK 3 HIDROSTÁTICA

AVP = 43,8xl05 ergios

fj Hállese la potencia que es necesario utilizar para inflar una pompa de jabón (a = 25 d/cm), cuyo radio aumenta a razón de lmm/s, en el momento en que este vale 2 cm.

Por teoría sabemos que la presión que ejerce en una pompa de jabón es:

" - T - ™

La potencia se define como el trabajo que se hace sobre el tiempo en el que se hace:

p _ AP^d

Donde : S: área de la superficied: distancia de recorrido

De (1) y (2):4cr.S.d , , DP =----- ; siendo d = R

Rt

P „ 4°~s t

Reemplazando valores:<r = 25 d/m t = 2 0 seg

S = 4;rR2

P = 251,3x1o-4 ergios/seg.

Un portaobjetos de vidrio, de dimensiones 5 x 0,2 x 2 cm cuelga mediante un hilo de peso despreciable del platillo corto de una balanza hidrostática, estando sumergido en agua de una vasija, justamente sumergida la mitad de su superficie, primer por el lado

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w¿étíükp«


más largo vertical y luego con este horizontal. Cuál es la diferencia de pesas que hay que colocar en el otro platillo de la balanza?

HJDROSTÁTICA ( ~ SOLVER EPK «

Un problema clásico, te invito a resolverlo.

Q p Sea el ascensor hidráulico que se ilustra en la figura, donde un líquido incomprensible se encuentra en un recipiente completamente cerrado, con excepción de dos pistones móviles de áreas respectivas At y A2a) Si se aplica una fuerza F, al pistón menor de área A1; calculen mediante el principio

de Pascal, el aum nto de presión del líquido en todos sus puntos.b) Demuestren que el peso W que puede soportarse en el segundo pistón mediante

esta fuerza Fi es W = F1A2/A1

........~ '

a) El principio de pascal expresa que “La presión aplicada a un fluido se transmite sin disminución a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.Por lo tanto, si se aplica la fuerza al pistón, esta fuerza ejerce una presión a todo el fluido, por tanto '

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Ywww.elsolucionario.net


AP = F1/A1

b) En el equilibrio se tiene:

Las variaciones de presión son iguales, entonces:

APa, =APa„

F, _ w A| A2

w = f , a 2

I M Supongan que el ascensor hidráulico de la figura del problema anterior, se utiliza para elevar el peso W a una distancia d2:a) ¿A qué distancia d i se desplazara el otro pistón?

' b) ¿Qué cantidad de trabajo deberá proporcional el agente que ejerce la fuerza Fl?c) Compare su respuesta (b) con el cambio de energía potencial del peso.

g f T O l f gSiendo el siguiente sistema:

iSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu ; ?


HIDROSTÁTICA c SOLVER EDK « __________

a) Como la presión se transmite a todo el fluido, habrá una misma variación de volumen en ambos pistones, por lo tanto:AV, = AV2

A ,d ,= A2d2

b) El trabajo se define como:W = F.d

Para la fuerza Ft , se tiene un trabajo de:

W ,=F,.d,

pero: d1 = — d2 A,

entonces el trabajo será:

WFi =-J —L d2 ...(a )A i

Del problema anterior obtuvimos que:

W = F. —A,

wwwl e d uKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA J Y IIwww.elsolucionario.net

Reemplazando en (a): WF( = Wd2

c) La energía potencial de w es:AVg = w.d2

Por tanto el trabajo que hace Fi se debe al cambio de energía potencial.

^ Un hemisferio evacuado de radio a se fija firmemente a una pared vertical como se muestra en la figura. Si PQ es la presión atmosférica, demuestren que la fuerza horizontal

mínima F que se requiere para retirar el hemisferio de la pared es: F = ;ra2Pc (considere

la fuerza normal a la diferencial de superficie que se indica)

'■ » SOLVER EDK ) HIDROSTÁTICA

Un problema interesante, te invito a resolverlo.

La esfera hueca de un flotador es de chapa y queremos que se sumerja estrictamente en el agua. Siendo z el espesor de la chapa. Hallar el radio de la esfera.

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www. ed ükper u. co h

I


H1DR0STÁTICA SOLVER EDK «

Si se quiere mantener en el equilibrio = 0; Paire + Pchapa - E = 0, siendo Pajre :peso del

aire> hapa : Peso de la chapa.

P + P =Eaire T r chapa L-

4/T 3 47t¡, \3 3 \ 4n , \3r2Y r +r ' Y ^ r+£ ~ r ) = r ^ r+£)

(r ,- r )(r+ f )3= (r,- r2)i'3\

\ r'~ r \_ f r ^U - r * J 11

Despejando

www.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 77www.elsolucionario.net


» SOLVER EDK j H1DROSTÁTICA

r = -1- / i- r

Yx-Yi

Hallar la inmersión (0 de un prisma de peso P y dimensiones a, 1, b y h, cuya sección lateral es un trapecio, según la figura.

Para que el sólido esté en el equilibrio el empuje ejercido por el líquido es igual al peso. P=Er V = v y/ c t / t sumergido

vww. eci ukperu. com

iSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I



Por semejanza obtenemos x, y, b’

t(a-b) + hbx = -h

y = 2h [tCa ~ b) + hb]

b '= “

ha2I- hb3(a + b)a '-Ye

(t(a-b) + hb)3l h3b(a-b)ab (a-b)a

Despejando t, obtenemos:

■ _ [a3hVc -abhV, - b(h2 - yc + yí ) ] /3 - (b^ ) 3(a-b)V ,b2h3

Hallar la inmersión de un cono recto homogéneo de altura h y peso específico y}

líquido y , tal como se indica en la figura. %

V i * . . J'C :ru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

en un

7 9


» SOLVER EDK 3 HIDROSTÁTICA

En el equilibrio: P=E

7TR2hl r l?ry(-R2 +r2 +Rr)

Y1 X:ono ^ parte( rR2h^

4 “ ; r

Por semejanza de triágulos:

r h - y

( f =

r¡ h f [h 2 + 2h2 - 3hy + y 2 ]

21— j = y [ 3 h2 — 3hy + y 2 ]

V SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I www. ed ukperu. com



/ - 3 \V , h3^ - h3 = y [3h2 - 3hy + y2 ] + h3v i y

(h -y )3 = h3 1- Y\

.\y = h

Calcular la inmersión de una esfera homogénea que en parte sobresale del líquido.

www. edukperu, corrí SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II ¡ M jwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK HIDROSTATICA

Y\^ R 3''

3

4^R3

= ¡kV

= / |^ r3(3R-t)

t3 - 3Rt2 + 4R3 — = 0y

© Una esfera de peso específico flota entre dos líquidos de pesos específicos y de modo que la línea de separación de los líquidos pasa por el centro de la esfera. En qué relación están los tres pesos específicos.


En un recipiente prismático que tiene una pares lateral rectangular hay una cantidad de liquido de peso P. Se arroja al recipiente un cuerpo de peso P i ; que flota en el líquido. Hallar en que relación varia las presiones sobre la pared rectangular.

Ejercicio para el lector.El orificio circular de un depósito se cierra con una esfera de peso P y radio R. Hallar la fuerza necesaria para levantar dicha esfera. Si H= 4R

H

i — ■■

Www. eciukperu. cóm


HIDROSTATICASOLVER EDK «

Para poder alzar la esfera se tiene que vencer al peso de de la esfera y a la presión CP’) que el agua ejerce sobre ella.

F = P + P'.A ... (1)Donde A: área de la superficie que esta en contacto con el líquido.

F = P+/.h.A

F = P + r .y .A ...(2 )

El área de la superficie será:

a.<1f-<II<

A = 4vtR2 -2;rh'R

A = 3;rR2 ...(3)De (3) en (2) se tiene que:

F = p+^ y ) ( 5;rR2)

f = p +15" r3 2

wv-Av.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1 Y II K ftf

Hwww.elsolucionario.net

» SOLVER EDK HIDRODINAMICA

^fjj| En un torrente de agua se sumergió un tubo doblado, según se indica en la figura. La velocidad de la corriente con respecto a tubo 2 m/s. La parte superior del tubo se encuentra a 10 cm sobre el nivel del agua del torrente y tiene un pequeño agujero. ¿A qué altura h subirá el chorro de agua que sale por el agujero?

Aplicando Bernoulli, tenemos:

Pi +“ PV,2 +PSYi = P2 + 2 2 +psy2

Pero yi = 0, además: P2 = P^P, = Pafm

|/ v ,2= i/ v 22+/gh

V2 r-=> R = y + 1 => V2 = v2m/s ...(1)

Luego:

h = -gt2 ...(*) pero— = t ...(**)2 g

■ SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvww. ed ukpéru. co? n


HIDRODINAMICA SOLVER EDK «

h = 0,lm

Un recipiente ancho que tiene un pequeño orificio en el fondo se llena de agua y querosene. Despreciando la viscosidad, hallar a que velocidad sale el agua del recipiente, si el grosor de la capa de agua es de 50 cm y el de la capa de querosene 25 cm.

hiPo

Aplicando Bernoulli, tenemos:

1 + + Ph2oSY 1 + PkSh2 = 2 + 2 ^ 2 + H2oSY2

Pero P| = P2, además como el orificio es pequeño

V22 »> V,2, Y2 = 0

^ 2oV12+ s U sh,+Ah2) = HV22

2s(pH2hi+ A h2)P\\„0

Ahora:

w w w . ed ukper u , corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


» SOLVER EDK 3 HIDRODINÁMICA

A<2o = 101pk = 738 hj =0,5 h2 =0,25

Una bomba consta de un cilindro, situado horizontalmente, con un pistón de área S] y un orificio de salida de área S2 que se encuentra cerca del eje del cilindro. Halla la velocidad de la salida del chorro de la bomba si bajo la acción de la fuerza F, el pistón se desplaza con una velocidad constante, La densidad del liquido es p.

Vemos que: P, = — + Patm y P2 = Patm £>rLuego, por Bernoulli:

P1 + -/oV,2 +pgy1 =P2 +-pV 22 +pgy2

Peroy,= y2

S, 2

Ahora por continuidad:

F -4 /^=4 ^ - o )

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y www. ecSukperu .comwww.elsolucionario.net

s,v,=s2v2 =» v , = ^ v 2. ...(2)

(2) en (1)

I 2P* V2=s' J ^ i ¡ )

Un tanque tiene la forma de un cono circular recto con el vértice hacia arriba. Hallar el tiempo necesario para vaciar el tanque de líquido cuando este sale por un orificio desde su base. Si h altura del cono, R radio de la base y A área del orificio.

g m m m

HIDRODINÁMICA K SOLVER E P K « ________ ___

Ahora por Bernoulli:

% +^/v ,2+/sv, +/gy2

| v y2+g(h-y) = iv 22 ...(*)

Por continuidad:

( | (h - y ) J* = AV2

wwvv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 87


) HIDRÓü1)M*tlCA

(.S).... sV^- = V

=» v2 =VvfRA <,h

Reemplazando en (*)

|v y2+g(h-y) = I- ' ■■ ■ r—L— ■ =* Vv =•

- (h - y ) * ... (**)>qr, \

:(h-v)4 w2

y -rr2

ty ,a = tv :g.

( í ) rist (2 )

,8 - ,V fe '

2 g (h - y )----1---- —----

f(h - y ) •'«b f>n.i rlf; ; : ■ id i

Por una pequeña aproximación

V =

;?y;rV'

2 g (h - y) A^2g(h~y)

1

A 2

4Tí1 j i h - v ) ;

‘2

71

Ahora: V = dydt

=» dt = dyvy

A A ^2g (h-y) SA V g

:'111>0¡YV Q lOC! SlOllAl l ;Í En la figura dada, si la altura h del agua en el depósito es de 1,5 m. y el área A de la

.. Vj>*' í t~ --f* -V» ., ■ -—.4-pequeña abertura al fondo por la que sale el agua, tiene un valor A = 10 cm2.a) Hallar la velocidad u0 con la que fluye el agua de la abertura.b) El caudal fy~ i!')$a Lv ~

s ' ‘ ií:babiiíni?jio:/ 10°*

8Va = tv (■■/..r-'-

I

i vw edülcpe \j cdVt


HIDRODINÁMICA SOLVER EDK «

Por Bernoulli, tenemos:

a) p|+l pv? + pgy, - P2 +1 pW¡ + psy2

Donde P, = P2= P0 , y, = h , y2=0 Además V0 »> V,

2gh = V? - V,2

2gh =.Vf V2 =5,4m/sg

b) Ahora se define:

Q = AV = 5,4xl0~3 m3/s

Q = 5,4xl0'3m3/s

Supongan, en la figura del problema anterior, el área de corte transversal del cilindro es A, el area de la pequeña abertura al fondo del depósito es a, la altura h del líquido sobre la pequeña abertura en cualquier instante t. Demuestren que el índice dh/dt al que cae al nivel del agua es:

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» SOLVER EDK HIDRODINÁMICA

Por Bernoulli:P 1 + \ pVy + P S (h - y ) = P2 + 1 pW l + p g y 0=> V y + 2 g ( h - y ) = V22 . . . ( * )

Por continuidad:AVy = aV2 ... (**)

R eem plazando en (*)Vy2 + 2 g ( h - y ) = ^ Vy2

2 2 g (h —y )

Vy = ^/2g(h —y ) - J

Esto si consideram os “y ” d e sd e la parte superior:

i — vvww. ed ukperu .com


HIDRODINAMICA c SOLVER EDK «

Haciendo uso del resultado anterior, demuestren que el tiempo t que requiere el nivel del agua en el tanque para caer de la altura hi a la altura h2 es:

Del resultado anterior tenemos:

2 A a

En la figura dada, se tiene un barril de agua de lluvia sobre una plataforma de altura yQ.

Si se perfora un pequeño orificio en el fondo del barril, se descubre que la corriente resultante de agua choca contra el suelo a una distancia x0 del recipiente:a) Demuestren que la velocidad V0 del agua al salir por el orificio es:

’2y0

b) Calcular la altura h del nivel de agua en el barril por encima de la pequeña abertura en el fondo.

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js a itn rm ma) Sea V0, la velocidad a la que sale la lluvia.

Vnt = x.

En el eje y, tenemos:

y 0 = ig t 2 . . . ( 2 ) de ( l ) y (2 )

2 y 0

b) Ahora aplicando Bernoulli, para el cilindro:

P, +1 pV ,2 + pgh = P2 +1 PY0 + PSYo

=> P, = P0, y 0 = 0 , además V, « < V0

1 , . . V2•/gh = - / Y J h = — = —— 2g 4y0

¡||j|| Supongan que como resultado de una corriente horizontal de aire que sopla sobre la parte superior de uno de los brazos de tubo U de la figura, el nivel de mercurio en este

v SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY I mvw.edúkperu i


brazo se eleve 1 cm. ¿Cuál es la velocidad de la corriente de aire? Densidad del aire 1.3 kg/m3

HIDRODINÁMICA ( SOLVER EDK «

n) H)

pr* -v • _____r A >V J

V-,

T1 cm1

P

Primero vemos que el mercurio esta en equilibrio:

••• Patm=P2+ SLh •••(*)Ahora por ecuación de Bernoulli

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p0 + |p vo +8PY0 = P2 + ipV '2 + /?gy

Pero y0 = y, además V0 = 0

Patm= P 2 + Í V 2 . . . ( * * )/22hs

Ahora de (*) y (**):

1p? / = ? / - - V2 + o/*. hy&m ysim o Saire1¿Hg

1 *1 Y 2 _ Qp ho V¿a ire

V =V Aire

=> V = 44,3 m/s

Bu) ¿Cuál es la velocidad de fluido v que se asocia al flujo de agua que sale de una manguera's.H H Ü

de radio 1.1 cm a razón de 50 cm3/s.

Tenemos que Q = 50xl0_óm3/s

Además: A = 3,8 x1o-4 m2

Q = VA=* V = — = 0,16m/s A

Si la manguera del problema anterior tiene una estrangulación atrás de la abertura correspondiente a un radio de 1 cm. Hallar (a) la velocidad del fluido en el pinto de estrangulación (b) La presión del fluido en la estrangulación, en relación a la de la atmosfera P0, suponiendo que la manguera este en posición horizontal.

a) Del problema anterior, veamos:

Q = 50xl0^m3/s

I SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII ' ' vAiw.edukpefu.com


HIDRODINÁMICA c SOLVER EDK «

Además: A = 3, 1 x 1O“4 m2

=> Q = VA => V = — = 0,16m/sA

b) Por Bernoulli, tenemos:

P1+ip V f= P s+I py?

Debido a que y1 = y2

P1=^p (V22-V,2) = 4,4 N/m2

Se tiene un tanque, que tiene la forma que se indica en la figura, está inicialmente lleno de agua a una altura de h0. En el fondo del mismo hay un orificio de “a” de área, por el que circula el agua. ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse el tanque?

Tenemos según el gráfico:

w w w . ed ü Kperu > corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIwww.elsolucionario.net


Por Bernoulli, tenem os:Py + ¿ pVy2 -+- p s (h - y ) = Po + \ p V o + P S (0 )

=* | v 2 + g ( h - y ) = | v 2

A hora p o r con tinu idad ; ten em o s :y > / a + ( h - y ) ^

h

\2

V y = a V 2

. . . C * )

y s / á + ( h - y ) ^

R e em p lazan d o (**) en (*)2 g (h — y )

4 2 y V a + ( h - y ) ^4

-1a 2 h

Luego:

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II ww w . ed ukper y . corn



V.. =2g(h-y)

yV a+ (h -y)|

ah2 2g(h-y)

2síy>/a+(h-y)^

■ = V s = 4 fo

yV a+ (h-yU dy ,, ,fH 2dt 8 Jo ah2 2g(h-y)

Considerando Va » 0

=> t = 3 i e :5a V2g

■dy = J dt

En los lugares donde las secciones de un tubo de sección variable son iguales a St y S2 se instalan dos tubos manométricos. Por el tubo fluye agua, Calcular el volumen de agua que pasa por segundo a través de la sección del tubo, si la diferencia de niveles en los tubos manométricos es igual a Ah.

A l±

-TVS i

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» SOLVER EDK HIDRODINAMICA

Del problema tenemos por continuidad:.s,v,=s2v2

V =- -V2 Q V12

(*)

Luego por Bernoulli:

P|+ip V 12=P2+Ip V 22

(P1-P2) + ipV,2= IpV22 ...(*)

Además visualizamos:

P, — P2 = Ahpg =» Ah/ s + | / v ,2 = ^ A

=> 2Ahg + V2 = V22 .. (**)

Ahora, de (*) (*), tenemos:

2Ahg + V.2 =

V,=

s Y- V ,sV 2 y

r/2Ahg.S,x/sTsf

2Ahs=S-(s?-s2)Oo

11 *'s2-s2 ^ 2

En el eje de un gasoducto con el área de la sección interna igual a S se instala un tubo de Pitot. Des preciando la viscosidad, hallar el volumen del gas que pasa por segundo a través de la sección del tubo, si la diferencia de niveles en el manómetro de líquido es igual a h, y las densidades del líquido y del gas son po y p respectivamente.

Por la ecuación de Bernoulli

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www. ecl ukperu. com



p V

jAh

P, + |/>V? +P3V, • f> + ^ pV ; +pgy2

Pero Yt = y2, además V2 « 0

=>■ P,+-Uv,2=P2 ...(a)

También, como el líquido no se mueve: => P,+p'0gAh = P2 ... (P)

De (a )y (p ):

=>' ^ V f= p 0gh

V,=

••• Q = V,S = S

2p0gh

2p0Sh

Encima de un agujero circular de radio R1; practicado en el fondo horizontal de un recipiente ancho que contiene un líquido ideal, se pone un cilindro circular cerrado de radio R2 > R]. El huelgo entre el cilindro y el fondo del recipiente es muy pequeño, la

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densidad del líquido p. Hallar, en función de la distancia r hasta el eje del agujero y el cilindro, la presión estática del agua en el huelgo, si el nivel del líquido en la vasija es igual a h.

//////////X//////////


En la pared vertical de un depósito hay dos pequeños orificios: el uno está a la distancia X de la superficie del líquido y el otro, a la altura Y sobre el fondo. Los chorros de líquido que salen se encuentran en el suelo (B ) en el mismo punto. ¿En qué relación está X e Y?

f M ü l

5RI SOLUCION ARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukpem.tíoni



Por la ecuación de Bernculíi para (1) respecto a L :

P, +1 + Pgy, = P„ +1 + Pgx

Pero: P, =P0, y, =0, pero V, > » V0

=> \p v2\ =\pv¡ + p&

V,2 = 2gx ... (*)

Analógicamente para (2), respecto a L2

P2+\ p v 2 + psy2 =p° +\ +ps(h - y)

P, = P0, y2 = 0 también V2 » > V0

^ V22=2g(H-y) ...(**)

Por ecuaciones cinemáticas, tenemos:

d = V2 (>/2yg)

vvvvw. edukperu-cdrn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I


I » SOLVER EDK HIDRODINÁMICA

d = Y,(V2g(h-x>)

V2(7 / v 7 ) = VlN/// (h - x )

V22y = V,2(h-x) ...(a )Reemplazando (*) y (**) en (a):

=> 2g(H-y)y = 2gx(H-x)

Resolviendo: x = y

En una conducción llena de agua en reposo reina una presión de P1 = 3.5 atm que se ejerce sobre las paredes. ¿Cómo variará ésta posición si el agua empieza a circular con la velocidad 0.9 m/s?

Para poder calcular la presión, tenemos que por la ecuación de Bernoulli.

p,+^ pV,2 + gpy, =P2+^ pV2 + gpy2

Como ambos se encuentran al mismo nivel: yi = y2, además Vi = 0

p,=p2+-ipv * ...(*)

p , - p = \p v ¡

Como p = 1000 kg / m3 y V2 = 0,9

=> p, - p = o, 00386 atm.

Q p En un plano horizontal, dos tuberías desembocan en una tercera de igual diámetro d. Conocidos los gastos Q,, Q2 y las presiones P,, P2. Hallar la presión P en el tubo de- salida. No se tendrá en cuenta la resistencia.

jjf l SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vwvw; eci ukperu. corrí



Tenemos que:

Por las ecuaciones de Bernoulli tenemos:

P, + — /?V2 |dm + P,+pv;2 A

\/2 A 2

dm = | P + ^- |2dm

P+ ^Yl ^ _ + P +' 2 A2 2

P + + P +-r>+ n , ! +r! + 2A2

2 A2

f*% . n . =2P+-pQ22A¿

Luego:

2 P = (P1 + P2 ) - ^ ( Q 2 + Q 2 + 4 Q , Q 2)

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» SOLVER EDK D HIDRODINÁMICA

Pero: Q'2 = Q, +Q2 +2Q,Q,_,

Además: A = — d2 y y = p$ 4

P,+P2 4y;r2d4g

(q 2 +Q2 +4Q,Q2)

En un tubo horizontal que presenta un ensanchamiento brusco, circula el líquido con las velocidades respectivas VI, V2. Hallar la diferencia de presión en los puntos A y B, prescindiendo del rozamiento.

Piyi / y : P2V2

Por ecuación de Bernoulli tenemos:1 y i r ,2g 2g

p, - p , - ¿ ( v >-v . ) ( v . +v«)

Como el cambio de área fue druso:

V,xV2 P2 = P ,y ( v ,- v 2)

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I www,edykperu.í


El sifón automático de Neugebahuer tiene 3 codos B, C, D; el colo B está sumergido en el líquido. Hallar la velocidad en los puntos 3, C; D y E.

D

E

HIDRODINÁMICA ______________ SOLVER EDK «

B

T m v

M

m m m m

Para el primer tramo, aplicamos Bernoulli,

* p,=p24 p v 02

=» P,-P2+ ^ v 02

pg(h.l,) = V f

Análogamente, para el otro tramo:

V2 = V2 i0 0 1 +11, T l 2

, I2 +9M — I2 ^Vo = Vo +g 2 2 3 3I I -i- I _L_ I3 yi,+i2+i3

V02 = v02 ((l-l,)2-213(l3-2I4))

Donde: 1 = 1, +12 +5www. eduRper u .corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II


» SOLVER EDK TEMPERATURA Y DILATACIÓN

ODos reglas metálicas de latón y aluminio, respectivamente miden exactamente 1 m 0°C.

¿Qué diferencia de longitud tendrán a 150°C si aí = 1.9xlO"5oC I y aM = 2.2xlO"5oC"1

La variación de la longitud de la regla de latón y de aluminio son:

^ . a t ó n = <*L .atónA T

= ^ A I L A )A T

Por condición: Llaton = LA1 = L = lm

Las longitudes nuevas son:

latón = L (l + OfLAT)

L^ = L(l + cx Aj )

=> Llaton=l, 00285 m

=> LA1=l;0033m

•• reglas = 45 mITI

|Q | ¿Qué alargamiento sufrirá un carril de hierro de 12.50 m a 0°C, al pasar de 8°C a 80°C, si

ac„ =1.16x10"5oC"1?

Hallamos la variación de longitud.AL = £0aAT - £0aAT '

Aí = £0a(80-0)-^0a(-8 + 0)

Ai =88E0a

AC = 12,76mm

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I1 www. ed ukperu, eom


TEMPERATURA Y DILATACIÓN SOLVER EDK «

En qué tanto por mil aumentara el volumen de una esfera de plata al pasar de 15°C a

Ag '100°C, si aK =1.97x10_5oC

La variación de volumen se calcula: AV = 3V0aAT

AV = 3V0(l,297xl(T5)(85)

AV— = 0,00502 V„

— xl000 = 5,01 por mil.V

Hallar la densidad del mercurio a 300°C sabiendo que su densidad a 0°C es igual a 13.6 g/cm3. Considerar que el coeficiente de dilatación cúbica de mercurio es constante y

*que su valor medio en el intervalo de temperaturas dado es igual a 1.85xlO“4oC"1

Sabemos que: C = —M V

El volumen nuevo a la T = 300°C es:

V-V0(1 + /?AT)

m _ mPm°c Pq°c

/Ve

-(1 + /?AT)

P:m°C ~ (1 + /7AT)

Pw c =12,88 g/cm3.

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I

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» SOLVER EDK 1 TEMPERATURA Y DILATACIÓN

El módulo de comprensibilidad de benzol a 0°C y a la presión atmosférica es igual a

9xl0"5 atm_ 1 y su coeficiente de dilatación cubica 1.24xlO-3oC-1. ¿Qué presión exterior habrá que ejercer sobre el benzol para que al calentarlo 1°C su volumen no varíe?

El módulo de comprensibilidad (x) se expresa:AT

V0AP

x = 9x10 3 atm~

AP =yÍP^ 1,24x1o"1.1

y¿x 9x10“

AP = 13,78 atm.

o En un recipiente de vidrio cuya altura 10 cm hay mercurio. A la temperatura 20°C al nivel del mercurio le faltaba la altura 1 mm para llegar al borde del recipiente. ¿Cuántos grados se puede calentar el mercurio sin que rebose de este recipiente? El coeficiente

de dilatación cubica del mercurio p - 1.82x10_1°C_1. La dilatación del vidrio se respeta.

rl mm

El volumen inicial será: Y, = A. (9,99)

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w .e d u k p e ru .;


http://www.edukperu

TEMPERATURA Y DILATACION ( SOLVER EDK «. .......... .... ...............i.,...,.,-— <

y la final será:Vf =10A

=> VF-V0(l + /3AT) ... (a)

Reemplazando en (a)

10/= 9,999/(1+ /?AT)

=> AT = 55,5°C

En una rueda de madera de 100 cm de diámetro es necesario colocar un neumático de hierro, cuyo diámetro es 5 mm menor que el de la rueda. ¿En cuántos grados es

necesario elevar la temperatura del neumático si a?e = 12 x1o-6 °C “1 ?m m r n m

La variación de volumen será:a s =s o(2«fJ at

*[(0,5)2 -(0;4975)2] = (0,4975)2 ;r.2aFeAT

AT = 419,8o C

l¡j|| | La altura de la columna de mercurio medida en una escala de latón a temperatura t1; es igual a h]. ¿Cuál será la altura h0 de la columna de mercurio a t0 = 0°C se conoce del latón y del mercurio?

m m m m

Tenemos que la variación del volumen del mercurio es:AV = +V0/?(o-t,)

AV = -V0 t, ...(1)

Pero la variación del volumen en el latón:AV = S(h0+Ah,-h,) ...(2)

S: áreawww.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

1



» SOLVER EDK J TEMPERATURA Y DILATACIÓN

De (2) en (1):

^ (h 0 +Ahl -h ,) = -hl^ t ,

hD = h,-Ahl -h,/?tl ... (4)

La variación de longitud en el latón será:Ah, = h,art,

En (4):

h0 = h ,(l+ at, -/?t,)

En un centro de un disco de acero hay un orificio de diámetro 4.99 mm a 0°C, hasta qué temperatura hay que calentar el disco para que por su orificio empiece a pasar una bola

de diámetro 5.00 mm. El coeficiente lineal del acero es l.lx lO "5 oC_l

m m ü yPara que pase la esfera, el diámetro del agujero tiene que ser igual al diámetro de la esfera:

\ 252 (4,99)T 4 ~

tt(4,99) .2aAT

AT = 182,3°C

Una bola de vidrio, cuyo coeficiente de dilatación cúbica es (3, se pesa tres veces: en el aire y en un líquido a las temperaturas ti y t2. Las indicaciones para las tres pesadas son: P, Pi y P2 - Hallar el coeficiente de dilatación cúbica pi del liquido

En el líquido a diferente temperatura tenemos los siguientes pasos:P, = P-E j ...(1)

P2 = P - E 2 . . . ( 2 )

Sabemos que E = /.Vsumer<?ido

P — Pi = Pe ‘SYjumersido I • • * (3)

m SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www. m ukperu, com


TEMPERATURA Y DILATACION SOLVER EDK «

P-P2=Pr gVssumergido 2 ...(4)

Como a esta cierta temperatura el volumen cíe la esfera aumenta, entonces:

p-pt =p(.g[y0+^v0.(t1- t)}...(5 )

P - P 2 =/7rS [V 0 + /*V0(t2 - t)] ... (6) .

De (5) y (ó) obtenemos la siguiente relación:

-Pí +P1=pí .gV0(ta- t1) „ . (7 )

Pero:m

Pc = V,

P -P- = -1 2

desarrollado ~ Y d 1 )

n g X jV - t,)X [ i+ A ( t 2- t,)]

Y sabiendo que mg = P, tenemos que (3 es:

P2 “ Pi +P( 2 )A=- (p,-p2)(t2-tl)

ra Entre dos paredes se encuentra una barra, de sección S, compuesta de dos partes de igual longitud L/2 que tienen los coeficientes de dilatación lineal ai y a2, y los módulos de Young Et y E2. A la temperatura Ti los extremos de la barra apenas tocan las paredes. ¿Con que fuerza presionara dicha barra sobre las paredes si se calienta hasta la temperatura T2? Despréciese la deformación de las paredes. ¿Cuántos se desplazara la junta de las partes de la barra?

dCj df2

L/2 L/2

wvVvV.ec1uKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

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>> SOLVER EDK TEMPERATUR A Y DILATACION

También:

ACt FL +-^~ .-(2)2SE, 2SE2

Igualando (1) y (2) se tiene:L aT , L at FL , FLa, — AT + ar„ — AT =--- +----

'2 2 2 2SE, 2SE2

F = ,a 2+^LE, + E2 j

L (of1E 1+ a2E 2)y M = —

2 E,+E2

E,E2SAT

(t2-t,)

f f l De un alambre de hierro de 1 mm de radio cuelga una carga. Esta carga hace que el alambre se alargue en la misma longitud que se alargaría si se elevará 20°C su temperatura. Hallar la magnitud de la carga.

erar

//////////////

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TEMPERATURA Y DILATACION SOLVER EDK «

El módulo de Young será:

F L F =ES.Ais a í eo

También sabemos que: A£ = £0aAT ...(2)

De (2) en (1):F = ESaAT

x = 3,87x10“6 atm-1

(1)

Tomando igual a 4.8xl0~5atm el valor medio del coeficiente de comprensión del agua, hallar la densidad del igua del mar a la profundidad de 5 km sabiendo que su densidad en la superficie es igual a 1030 kg/m3. Al calcular la presión hidrostática del agua de mar supóngase que su densidad es aproximadamente igual a la densidad del agua en la superficie. %

áSfifflEffifllf .

Problema para el lector.

© El coeficiente de dilatación cubica del mercurio /? = 1.82x 10t4oC 1. Hallar su

coeficiente de compresibilidad sabiendo que para que su volumen no varíe cuando se calienta 1°C es necesario aumentar 47 atm la presión exterior.

Sabemos que el módulo de comprensibilidad se expresa:

V0APyAV = /?V0AT ...(2)

De(l)y (2):/?AT 1.82x1o-4.!

=> X = -AP 47 atm

x = 3,87x10 atm

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» SOLVER EDK CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

La figura representa el ciclo de funcionamiento de una máquina de vapor ideal por el que tenemos que: (a) cuando el vapor de la caldera comienza a entrar en el cilindro la presión en el aumenta a volumen constante VQ desde P0 hasta P] (rama AB); (b) al seguir entrando vapor en el cilindro el émbolo se mueve de izquierda a derecha (rama BC) a presión constante Pi. (c) el desplazamiento del embolo hacia la derecha continua, pero cesa la entrada del vapor de la caldera en el cilindro, tiene lugar la expansión adiabática del vapor (rama CD). (d) cuando el émbolo llega a su posición extrema derecha el vapor del cilindro sale al condensador y la presión desciende a volumen constante V2 hasta el valor P0 (rama DE), y (e) al moverse el émbolo en sentido contrario le empuja al vapor que queda en el cilindro a presión constante Po y el volumen disminuye desde V2 hasta V0 (rama EA). Hallar el trabajo que realiza esta máquina en cada ciclo si VQ = 0,51, V¡ = 1,51; V2 = 31; PQ = 1 atm, P | = 12 atm y y = 1.33 .

p B c

A

Po E

V 0 V i V 2

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y www, eci y kperu, coi


CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA SOLVER EDK «

Del gráfico:

w ,= (Pl -P0)(V 1-V0) = llatm -L

Para el proceso CD

PcVc = PD-Vp

(12)(1,5)1,33 =Pd(3)1,33

=> PD = 4,7 Atm

Ahora:

W, = í> .dV-(1)(1,5) = f ‘ ^ < IV - (1 ,5 )

w2 = 9,65 Atm -L

w tü ta l = 20,65 Atm-L => wTOTAL =2088,9 J

wvmedukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I



Una maquina frigorífica ideal funciona como bomba de calor según el ciclo de Carnot *inverso. Esta máquina recibe el calor del agua, que se encuentra a 2°C y lo transmite al aire, cuya temperatura es de 27°C. Hallar (1) el coeficiente nb es decir, la relación que existe entre la cantidad de calor cedida al aire durante un periodo determinado de tiempo y la cantidad de calor absorbida del agua durante este mismo periodo. (2) El coeficiente n2, es decir, la relación que existe entre la cantidad de calor absorbida del agua durante un periodo de tiempo determinado y la energía empleada en el funcionamiento de la maquina durante este mismo periodo (n2 recibe el nombre de coeficiente de funcionamiento o eficacia de la maquina frigorífica), y (3) el coeficiente n3

es decir, la relación entre la energía empleada en el funcionamiento de la maquina durante un intervalo de tiempo determinado y la cantidad de calor cedido al aire durante este mismo tiempo (el coeficiente n3 es el rendimiento termino del ciclo). Hallar ni, n2 y n3.

Q Ta) n, = —— = — => (esto por Carnot) Qab Tb

116 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu.com


CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA SOLVER EDK «

n, =1,09

b) Ahora para:

n =-^ab_Q ,emple

De lo anterior:Qced=l09 QWJ=1

Q,■empleada = 0,09QA

n2 =11

c) Ahora para:

^í>mnQn

QCed = 3,09QAb Qemp=0;09QAb

n3 = 0;83

Una máquina térmica ideal funciona según el ciclo de Carnot empleando aire caliente, el cual se toma a una presión inicial de 7 atm con la temperatura de 127°C. El volumen

inicial del aire es de 2xl0_3m3. Después de la primera expansión adiabático el volumen de 81. Hallar (1) el trabajo total realizado durante el ciclo (2) el rendimiento del ciclo.

j j f n f M a r

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Para el tramo (1 -> 2) el proceso es isotérmica, entonces: P,V, =P 2 V2

(7 )(2) = P2 (S)P2 = 2 , 8 Atm

Luego para ei proceso (2 -> 3)El proceso es adiabático y considerando un dictonico

P2 = V2 — P3 V3 , r = 140

P3 = 1, 45 Atm Ahora para el tramo (3 -> 4) es isotermo

p3 - v 3 = p 4 - v 4

=> P4 .P4 =11,6 ... (*)Ahora (4 -^ 1 )P ,.v r= p 4y r

P4 .V; =18,5 .. (**)Resultando (*) y (**) tenemos:

0,4 = 1 ^ = 3 2 (£ )4 2 4 V )

P4 = 3,625 atm= W w2 + w 2^ 3 + w 3^ 4 + w 4_ ,

w , ^ 2 = P.V.LrvVoy ' W 2 -> 3 + P í * Y 3 I y

o y

Vf

Ahora tenem os que

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I wyvw. edukper u, corn


CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA . 1 SOLVER EDK «

Reemplazando tenemos:

w Neto = 15,83 atm x litro

wNeto=1601J

PeroPjV, = nRT => n = 0,43

P,V,=nRTA => Ta = 329 k

=> n = 0,178

# Cierta cantidad de oxigeno ocupa el volumen V| = 31 a la temperatura ti = 27°C y a la presión Pi = 8.2 x 105 N/m2. En un segundo estado este gas tiene los parámetros V2 = 4. Si y P2 = 6 x 105 N/m'2. Hallar la variación de la energía interna del gas para ACB y ADB.

D

P2 C Bv



» SOLVER EDK ) CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

Como AC es isocoro

Ta TcTc =219.5 k

Donde: Cv =5,03

Cp = 7,03

calm ol-k

cal

PAVA =nRT

mol -k

Además Qdjs = AU

^ QdiS = nCvAT ... (1)Ahora:

n = 1 mol en (1)AUac = QACdic =-404,92 cal

= -1692,6J ... (1)Para el tramo CB el proceso es isobàrico:

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CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA c ___* "*......... - S 0 L V E R E P K « _______________

Qmr — nCpAT — AUcb + Wjg

(7,03)(109,8)(4,18)-(6x 105)(1,5x 10'3) = AVcb

AUcb = 2326,5 J ... (2)

Luego: AU^ =633,9 J

2o Debido a que ambos tramos llegan al punto B.Luego AU^n =633,9J

Dos gases distintos uno de los cuales es monoatómico y el otro diatómico, se encuentran a igual temperatura y ocupan el mismo volumen. Ambos gases se comprimen adiabáticamente de manera que sus volúmenes se reducen a la mitad. ¿Cuál de los gases se calienta más y en cuántas veces?

Para el gas monoatómicoX = l,68

2El gas diatomico

r = 1,40

2Ahora como el trabajo: AU = w para gas monoatómico, tenemos:

Pero Y = V

w = P,V(0,55) ... (2)www.eduRperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II


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Para el diatómico

PiYTW = - L - ! -

Y - 1

P.v r

w = P,V(0,6l) ...(1 )(1) y (2 ) tenemos AU = w3-nRAT, =P,V1(0;5) ... (monoatómico)

|nRAT2 =P1V1(0,6) ...(diatómico)

AT, =0,3To ... (monoatómico)AT2 = 0 ;24T0 ... (diatómico)TFi =1,3T0 TFj =1,24T0

T=> - i - = 1,05TF

Un Kilomol de gas perfecto realiza un ciclo compuesto de dos isocoras y dos isóbaras. Al ocurrir esto el volumen del gas varía desde Vi = 2m3 hasta V2 =50 m3 y la presión desde P, = 1 atm hasta P2 = 2 atm. ¿Cuántas veces será menor el trabajo realizado con este ciclo que el que se obtiene con el ciclo de Carnot, cuyas isotermas corresponde a las temperaturas máxima y mínima del ciclo que examinaremos, si durante la expansión isotérmica el volumen del gas aumenta dos veces?

122 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvww, ed ukperu. com


CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

Ahora T = T,

También para el punto (3)

T T3 _ __2_

V V3 2

T3 = 2T2 = 4T

' VvV2y

Para el punto (4)

Pi p3T. = — = 2T

w util =(1,05)x105x (25) = 26,25x 105 J

Pero tenemos en ei ciclo de Carnot

C SOLVER EDK «

YyV/' V. 0í juKperu ; corrí SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II



yn = l —4 t => n = 0,75

4/Ahora:

W u t i l = ( n R 4 t L n ( 2 ) ) n

wutn = 3nRLn(2)T ... (3)Camot

Ahora para el primer caso (punto 1) tenemos:PV = nRT(l,05xl0s)(25) = (l03)(8,3l)T

=> T = 315,9 k

.-. wuül =54,e>xl05JCamot

wutil =2,1 vecesCamot

O El diámetro del cilindro de un motor de combustión interna con carburador es de 10 cm y la carrera del émbolo es igual a 11 cm. (1) ¿Qué volumen debe tener la cámara de comprensión, sabiendo que la presión inicial es de 127°C y que a la presión final en dicha cámara después de la compresión es igual a 10 atm? (2) ¿Cuál será la temperatura del gas en la cámara después de la comprensión? (3) ¿Qué trabajo se realiza durante la compresión? Si 7 = 1.3

Ejercicio para el lector

jj|P Dos esferas concéntricas huecas de radio R, y R2 y temperaturas interna T, y externa T2 (T, > T2) y conductividades térmicas K, y K2 respectivamente. Hallar la temperatura entre las esferas a la distancia R3 y el flujo calorífico, ver figura.

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www, ed ukperu.ccir?


CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA . . c SOLVER EDK «

......„ '\/ / v - % \ \í ¡ i \ \» < i |C t i t

l V \ i\ V i ;

' j M m m m w

Tenemos que a una posición x = R3; que:

° _ —4/rk, (Tx -Tj.RgR,(Ra-R.)

o _-4^k2(T2-Tx).R2R3 2_ (R2-R3)

O o

Ahora como no existe sumideros .*. el flujo debe ser el mismo: Q ,= Q 2

-4/k, (Tx -T,).R3R, -4/k2(T2-TX).R2R3( r 3 - r , ) (r2- r3)

Y sea:

A = -^&- , R3-R, R 2 ^ 3

= AT, +BT2 A + B

Luego:

Q=-4Â(Tx-T,)R3 =-4â Í ^ Í | ^ - T 1

-4ÂB(T2 -T, )R3 -4^R,R3k, (T2 -T, )BQA + B A + B(R3-R,)

A través de un aislador cilindrico de radio exterior R2 que rodea a un tubo de conducción de vapor de radio exterior R2; fluye calor radialmente hacia afuera. La

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» SOLVER EDK I CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

temperatura de la superficie interior del aislador es Tj y la de la superficie exterior es T2. ¿A qué distancia contada desde el centro del tubo, es la temperatura igual justamente a la semisuma de Tiy T2? (Ti >T2)

Æ ü f f n y

Sea:o 2*kh(Tx-T1) o 2^kh(T2-Tx)

enel f 0 *en el / pL„í|l"A ir,J

punto x

q i=q =2 - .1') = 2 ; ^ , „ (1)l | -" R,

L í — "1 R

Ahora: T = t ,+ t2 e n ( l)

' i l iR,J

r =a/rX

(a) Las temperaturas en ambas caras de un disco de extensión infinita son TI y T2. ¿Cuál es la distribución de temperatura en el interior del disco en estado estacionario? (b) ¿Cuál es la distribución de temperatura correspondiente a un tubo de paredes gruesas manteniendo a temperaturas constantes en el interior y en el exterior?

Si hacemos pasar el eje de coordenadas por el centro del disco,a) Además ubiquemos un punto situación a X metros.

Ti

—x—•

T 2

T , > T 2

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I 'www. ecl ukperu. com


CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA c SOLVER EDK «

dTQ= kA x — , pero Ax = A = cte dx

Í x ° /*T?Qdx= í -kdTA

o J t,

Q x=-k(Tx-T,)A

=* Q x=Ak(T-Tx) ... (1)

Ahora en sentido contrariodT rd° . rT*Q= -kA xdx

J d u í*I„Qdx=JT -kAdr

=>■ Q (d-x) = -kA(T2-Tx) ...(2 )

De (1) y (2) tenemos que:

'T -T n *2 *1T = x + T,

b)

dTQ= kAx — , A x=2^x.h dx

Q=-k„7rxh dTdx

wvwv; e d a Kperu, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II


» SOLVER EDK a CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

[XQ— = fTx-2k;rhdtJ t , x Jt!

Ln(x/r,)

Análogamente realizamos de punto x a r2

q 2k7rh(T2 Tx)M r2/x)

Igualando (1) y (2)

^2k^(Tx-T,) ^2k^(Tg-Tx)

...(2)

L„(x /r i) L n ( r2 ! x )

T ^ ^ V r^ x /rO + T ,L„l —

Veinte gramos de helio, encerrados en un cilindro por un pistón se transforman de un modo infinitamente lento del estado con volumen VI =321 y presión P1 =4.1 atm al estado con volumen V2 = 91 y P2 = 15.5 atm. ¿Cuál será la mayor temperatura alcanzada por el gas en este proceso, si en el gráfico de la dependencia de la presión en función del volumen del gas el proceso está representado por una línea recta?

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CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA £ SOLVER EPK «

Tenemos como el trabajo que se efectúa es infinitamente lento. Q = AU — wentrega vv

2w = AU ...(*)Como también se trata de un monoatómico.

AU = -nATR 2

AU = —— ... (**)3 R n

Ahora del gráfico mostrado:

'Po+P,w =w (v,-v2)

w = 225.4 atm-1

4AT = -

3225,4

0,082(n)J

A T 3 3 6 5 , xAT =--- ... (a)

AT = 336,5k

Xtiax =336,5+T

Tmax =496,5k

Un cuerpo esférico de un lcm de diámetro está a una temperatura de 727°C. Suponiendo que irradia como si fuera un cuerpo negro. Hallar la cantidad de calor irradiada por unidad de tiempo emitida por su superficie.

M I M TTenemos que: T = 1000 k

e = crT4 = (5,67x10~8)(1000)4

£ = 56700 wm

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Q = = 4,25 cal/seg4,18

Un proyectil cuya temperatura es de 30°C y su calor especifico 0.09, es detenido por una placa de acero. La velocidad del proyectil es de 500 m/s en el instante del choque, y el calor producido se divide igualmente entre el proyectil y la placa. ¿Cuál es la temperatura que alcanza el proyectil?

=> Tef=196,14°C

El calor específico verdadero del grafito, referido al átomo gramo, viene dado por la expresión:

C = 2.67 + 2.62 x 10“3T - 1.17 x 10'5 T“ 2

donde T en °K . Calcular la cantidad de calor que precisan 10 kg de grafito para elevar su

El calor disipado = E M)500 m/s

m

Luego se ve que el calor ganado por la bala es:

^ = m Ce-(Tea-30) ... (2)

temperatura de 50 a 300°C.

Tenemos:C = 2.67 + 2.62 x 1Cr3T —1.17x1 (T5 T~2T (k )

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CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA c SOLVER EDK «

Í iUUGdt

50272Ahora:

C = 2,67 + 2,62 X10-3 (T - 273) - (l. T7 x 10“5 ) (T - 273)"2

Donde T(°C)

Q = mj™, (l, 95 + 2,62 x 10 '3 T - 1,17 x 10 '5 (T - 273)"2 ) dT

Q = 104 x 1,95T + I,31xl0 T +,3t2 | 1,17xlQ-5 T-273

=> Q = 6,02x10“ cal

Q = 602 kcal

Se mezclan 8 kg de agua a 100°C con 2 kg de hielo (2) Cuál será la temperatura de la mezcla (b) ¿Y si, en lugar de 2 kg; añadiéramos 15 kg de hielo? (c) ¿Y si estos 15 kg estuvieran a 20°C bajo cero? Ce (hielo) = 0.5.

a)

100

Observación:Falta indicar que el hielo se encuentra a 0 z

Tenemos que: = 0 ^

= > Q L + Q = Qperd¡do

mhieioL + Cemaaua AT, =maglkJCeAT2

(2000)(80)+(1)(2000)(TK|) = (8000)(1)(100-Teq)

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» SOLVER EDK

Teq=64°C

CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

b) Como tenemos 8 kg agua a 100°C y 15 kg hielo a 0°C; veamos cuanto calor necesita todo el hielo para fundirse.

Qtran = m Hil = ( ‘ 5 0 0 0 )8 0

= 120 kcal... (1)Podemos verificar que el calor entregado por 8 kg de agua, hasta que llegue a T = 0°C es:

=CemAT = (l)(8000)(l00) = 100 Kcal (2)max

De (1) y (2), podemos verificar que no todo el hielo se fundirá, •'« en la mezcla existía agua y hielo.

T = 0°Ceq

Sea m = masa de hielo fundidomL = Qentre8a=Cem,AT

m(80) = (8000)(l00)

=> m=.10kgaguafrja =18kg

hielofi = 5kg

c)

JQ l

-20 0°CAnálogo al caso anterior: t = 0°C

Q«« =100k = (0,5)(l5000)(2) + m(80)

100 c

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II vvww. eci ukperu. com


CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA SOLVER EDK «

=> m = 1,0625 lo que se funde.

Se introducen 3 litros de oxigeno medidos a 15°C y 760 mm con 8 litros de hidrógeno medidos a 20°C y 750 mm y 4 litros de nitrógeno a 12°C y 710 mm en un recipiente de 6 lt de capacidad y temperatura 16°C ¿Cuál será la presión de la mezcla?

Para la mezcla total piden P.

Pviz'Yviz ~ total MzPMz.(6) = ntotal(62,4)(280)

PMz=ntotal(3005,4) ..(1)

=> P^ = 1842 mmHg

PT«ai =n,+n2+n3 Para cada gas, veamos:

P ^ =n1RT1 => 'n, = 0,13(02)>

P2 V2 = n2RT2 => n2 = 0,33(M2)

P3V3 = n3RT3 => n3=0,16(N2)

AT«a¡ =0,612 mol

En un calorímetro de cobre de 25g de peso se ponen 10 gr de alcohol a 10°C, se introduce una masa de cobre de 50 g a 100°C y la temperatura de equilibrio es 16°C. Siendo 0.095 al calor específico del cobre, hallar el calor especifico de alcohol.

100 ewww. ed y K per u. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II



Q q H + Q c u , - Q c u 2

^ Cu Cu, - 01 2 2(l00)(Ce)(6)+(0,095)(25)(6) = (0,095)(50)(84)

CeoH =0,641

Una cantidad de gas de volumen V, y presión P, realiza sucesivamente las siguientes 3 transformaciones: la primera isotérmica, con un grado de expansión ff=V,/V2, la

segunda a presión constante; y la última adiabática. El estado final es idéntico al del principio. Calcular el trabajo de dilatación del gas y el calor puesto en juego durante el ciclo.

P a

~ J i %

P3=P2 T'2

Vi V3

—

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II


CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA (________________ SOLVER EPK «

Tenemos el siguiente ciclo termodinàmico:

Además : s = — , piden hallar w.

Del proceso tenemos:

p,v ,= p2v2

Además en el proceso 3 - 1 :

p, v2= £

p\r = p V r ' => = ( —1 , 2 3 p2 lv,

p2=*p,

2 I V

Ahora si:

w = P,V,LnVa dV

V7PVV r 1 V1

w = P|V1Ln| — |-fP, v ''5A

£_ ^ _ ( Vw - v r )

w = PtV1Ln| — |-ffP,Vip,v;•wY- 1

1 -y

-v;_r

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w = P1V1

El calor puesto en juego, sea Q = w

Q = p,v ,f y-\_\

1 -e y

Un ciclo se compone de una transformación a volumen constante y de otra a presión constante, separados ambos por dos transformaciones adiabáticas. El estado inicial pl, ul, TI se da, así como los grados de expansión s y s[ , de las transformaciones

adiabáticas. Hallar el trabajo de dilatación del ciclo y el calor necesario para efectuarlo.

£ = L>j / ü2sx = u4/u3

p

Pl

p4

P3=P2

A

i

P 1+ V 1

v ^

i<

ii

____

___

J

111i

11

1 VV4=Vi v 3 Vo

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II VA^w.edukperu. c


CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA l SOLVER EDK «

Del proceso (1-2) V . - i

Tenemos: P.Vf = P2W¡ => P2 = P ^

Para el tramo (3 - 4) se cumple:

P4V,'=P,V¿' =» P4 = P3=P2

P =P4 r l

W util =W,_ 2 - W 2 _3 - W 3 _ 4

=p J ^ - p2(v2-v3)-P3v/J,Y) dvv, y?-

P \JYw^ = ~ ( V'~r - V" r)- P>£> £ *■ )

- ^ p ( v r - v r )

PVyr, v,

r- iyi-r _ V 1

v1-^-P^v, P . ( v , )

7 / V / £

( r - 1)Vw - - iV1 y

wvAV.edukpwu.com' SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II


» SOLVER EDK ] CALOR Y PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

w = P,Y, 1

W =

Y

P , V , 1

8( r - 1)1.1 - Y

[ r - 1)'<i . , r )

££}

W :

dQp = nCpdT

Por la ecuación general: Pdv = nRdl

Q V jj3Pdv => Qp “ -(V3-V2) =» QP= ^R J vs

Análogamente:

V.Pí 'CR

£-£.

V,CvQv= Y -v íp,'dP => Qv = ^ - ( p4-p.)

V,cv/ f ■ V ^

£pv -P,

V y

b ) Q n e c e s = Q p + Q V > d e ( * ) Y ( * * )

Q sr + CD

P V Q = ^ - £ ' c R

+ Cn1 I a

V£i £j

...(*)

• ( * * } .

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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA ( _____ SOLVER EDK «

CAPITULO

640 g de plomo derretido a a! temperatura de fusión se vierten sobre hielo a 0 °C . Hallar la variación que experimenta la entropía durante esta transformación.

Primero hallaremos la temperatura de equilibrio del sistema, sean 100 g de hielo y por datos de tabla se tiene:

Tf = 326, 5o CAplomo

Lf =5,9-^- F"' g C *

Ce = 0,03- - g°CCe =1,074- - g°C

Lr =80—

En el equilibrio:

L^xMhiek) +Mhielo.C%o (T„ -0) = Lu -MpbC (326,5-Tj

De la expresión anterior obtenemos Teq:

Teq = 16,15 C o 289,15k

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» SOLVER EDK SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

La variación de entropía será:

_ Q fusión f p b ^ e p b

~ T J t328,5° C

AS = 6,29cal + mpbCepb n Jlv i;,

AS = 6,29cal + 640.0,03£n 594,5289,15

,\AS = 20 ,28^x^^ k leal

AS = 84,81^

dallar el aumento de entropía correspondiente a al transformación de 1 g de agua a 0°C en vaporal00°C.

JHflttCTTWLa variación de la entropía es:

• dQ _ r mCedT r mLv t ~~ J t J T

1 im ° r

o ° c 1 0 0 ° C 1 0 0 ° C

B cAgita Agita V;apor

AS = mCeaguaL„T, 373

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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA SOLVER EDK «

,c _ r . ( 373 1 mLv_ m 633113 n 273 J + 373

.\AS = 7,356-f-7 O i

6 . 6 g hidrógeno se expanden por vía isobàrica hasta duplicar su volumen. Hallar la variación que experimenta la entropía al producirse esta expansión.

Las moles serán: n = = 3,3mol2

La variación de entropía es:

Proceso

dQ fB nCpdT^ = P F = Af

AS = nCpLn

-rU -xn SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II



Para un gas ideal: PAV0=nRT1

2PaV0 = n h T2

>T2 = 2Tr ..(l)

De (2) en (1):

AS = nCp£n = nCpín2

C'Pi IAS = (3,3)7£n2 = 15,8—K

I Después de haber sido calentados 22 g de nitrógeno su temperatura absoluta aumentó 1.2 veces y la entropía en 4.19J°K. En que condiciones se llevo a cabo el calentamiento (a volumen o a presión constante)

Consideramos que se elevó a presión constante, de esto, la entropía en este proceso tiene que ser igual al dato:

AS = 4,19 J/°K •

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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA SOLVER EDK «

AS = J ^ = n C p ln |jf

Pero: i = 1,2T,

AS = nCpLn| -

AS = 4 ,1 9 -

El proceso se llevó a presión constante.

Hallar la variación que experimenta la entropía al pasar un gas del estado A al estado B en las condiciones que se indican, si la transformación se efectúa (a) por el camino ACB y (2) por el camino ADB.

8.2

6.0

P x 105 (N/m2) A

■ i

D

! t 3

B

4.5V(L)

*-

Tj = 27°C

m m m

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» SOLVER EDK SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA

Para el camino ACB se tienen 2 procesos: AC isobarico y CB isocoro.

AO rBnCvdT rnCpdT> Ao — I ------ b ------Je T . J T1 A 1

í t ) ÍT r ÌAS = nCvLn B + nCpdT c

vTc > TV A J

Considerando que es un gas diatómico:

AS = 0,4ní^Rj-0,3ní|R

AS = 0,65nR

En (A) hallamos “nR”

_ Pv 8,2x10 x3xl0nR = — = —----- ------T 300° k

nR = 8,2 J

■AS = 5,33—1 0l

Para el camino ADB se tienen de la misma forma 2 procesos: isocoro e isobàrico:

44 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. edükparu. .corríwww.elsolucionario.net


AS = nCvLn 219,5200 + nCpLn 329,3

219,5

AS = 0,4C n - 0, 3nCv

AS = 0 ,4 |^ R )n -0 ,3 Í|R |n

AS = 0,65nR

AS = 0,65(8,2 W

AS = 5,33-r-’ 0|

Un metro cúbico de aire que se encuentra a al temperatura de 0°C y a la presión de 2 kgf/cm2 se expande isotérmicamente desde el volumen V2=2V¡. Hallar la variación de al entropía que origina esta transformación.

m m m m

En un proceso isotérmico:

dV = dQ + dw = 0

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» SOLVER EDK 3 SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

dQ = PdV

Por definición:

* -í? -í¥

f nRdV _ nRL í v0J y I v J

Hallamos “nR”, como es un gas perfecto.

nRT = P.V

_ 20N/cm2.lm3 _„0 JnR =----- r----= 732—273" k °k

Reemplazando en (1):

AS = 733L„ 2V,v V, ,

AS = 507,8-7 Oí

j® Una maquina térmica que funciona entre dos temperaturas ti y t2 puede, teóricamente, convertir en trabajo útil la cuarta parte del calor que se suministra. Si la temperatura t1; correspondiente al foco caliente, disminuye 60°C, el rendimiento teórico de la máquina es la mitad del anterior. Hallar los valores de ti y t2.

146 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.com




M á q u in a " A '

l I l jv Q

-*► w = ÍQ4

/ T , \■2 n A

M á q u in a " B '-333^

U Q '

1/ _ \

Sabemos que la eficiencia es:

w T2n = — = 1 — -Q T,

En la maquinaria A:

Por condición: n = —n¿s 2

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1

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ng = 1-^55 =T, 2U

7T,-8T2 =7x333

71, -8T2 =2664...(l)

De la maquina:

TnA = l- - f A T,

1 = 1-14 T,

4T2 =3Tr ..(2)

De las ecuaciones (1) y (2) obtenemos T( y T2:

T, =107,5°C

T2 = 12,3°C

Demuestre que un proceso a volumen constante, Ds/Du =1/T y (b) que en un proceso en que no cambia la energía interna del sistema Ds/Dv =Pt

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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA ( SOLVER EDK «

1 = 1ÜL

4T2 = 3T,...(2)De las ecuaciones (1) y (2) obtenemos T¡ y T2: r, = 107.5°C í 2 = 12.3°C

jggiiyjjp Demuestre que un proceso a volumen constante, dS/dU = \ÍX y (b) Que en un proceso en

que no cambia la energía interna del sistema dS/dV = P/T.

a) Para un proceso a volumen constante dU es: dU= dQ + dw ... (1) dw = dQ + PdV...(2)como el V: cte, entonces: dw = dQ por definición:

dS = Tiq dU ^ .dS = — => — = —dS

dUJ_T

b) Para un proceso en que no cambia la energía interna: dU = 0. En (2) se tiene que: dQ = PdV Por definición:

dS = T

dS = M T

, d S _ P ' ’ dV ~ T

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u _ ---------------------------------------------

» SOLVER EDK J SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA...........

Prueba que el cambio de la entropía de un gas monoatómico ideal entre el estado inicial (P0, V0, T0) en que la entropía es S0 y un estado final (P,V,T) en que la entropía es S está dado por:S- S0 =3/2nRLn(T/T0) + nRLn(V/V0) en donde n es el número de moles de gas.

j M g r ü « r

Por teoría sabemos que:AV = AQ +Aw...(l) y la definimos de entropía es:

AS = Jy ...(2 )♦

jligfk@ Cinco moles de un gas ideal Cv = 3 experimentan una expansión isotérmica reversible

desde un volumen inicial de 24lt hasta un volumen final de 20 lt a la temperatura de 300°K. Halle: (a) El cambio en la energía interna del gas (b). El cambio en la energía interna de los alrededores, (c) el cambio en la entropía del gas (d) el cambio en la entropía de los alrededores (e). El cambio en la entropía del universo.

Proceso isotérmico

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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

Proceso isotérmico

a) Para un proceso isotérmico: AUS = 0

dQ = dw = PdV

SOLVER EDK «

b) Por teoría: AVg + AVg = 0

Av = 0

c) Como dQ = PdV, por definición de entropía:

•dQ r PdV■••.(I)T J T

Por ser un gas ideal se tiene que:

P = ^ . . . ( 2 )V

De (2) en (1) se tiene:

• nRdVA C f 'ASs=J- V

AS*’ nRf" í^

AS = nRí 2420

•1.81 — °k

d) Como la AS„ + AS =0S 3

Se tiene que la entropía de los alrededores es: AS. = AS,

ASa =-1.81 cal°k

e) Como es un proceso reversible la variación de la entropía en el universo es cero.www.edukpeiu.corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II


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» SOLVER EDK D SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

ASa =0

1J Una bolsa que contiene 75kg de arena se deja caer hasta el suelo desde una plataforma de 4 metros de altura. La temperatura en el exterior es de 30°C. Suponiendo que no se transfiere energía al piso. Halle el aumento en la entropía de la bolsa de arena.

Solo se ejerce trabajo: dQ = dw

AQ = Aw

AS = — = — =T - i T

^ (75)(9.8)(9) 303

AS = 9.7— x0.24— °k J

AS = 2.32—°k

El calor específico medio del cobre es 0.093 cal/g°C entre los límites de temperatura de 0°C a 100°C. Halle el cambio total en la entropía para los siguientes casos: (a) Un bloque de cobre de 500 g a la temperatura de 90°C se coloca en un lago cuya temperatura es de 10°C (b) Se deja caer el objeto al lago desde un helicóptero situado a 20m de altura, (c) Se unen dos bloques de obre de 500g uno a 10°C y el otro a 90°C dentro de un recipiente aislado de los alrededores.

Por definición:

•dQTAS = J-

Ce = 0.093cal / g°CSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.con:


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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA ( __________________SOLVER EDK «

a) Para el primer caso se tiene:

AS = 500g + 0.093 — - £ g°k

10 + 273 90 + 273

AS = -11.57 — °k

En este caso, ahora se hace trabajo sobre la masa:

AS = —11.51-—°k

Al unir las masas, estas llegarán a un equilibrio: mCe (Te -10) + mCe (Te - 90) = 0

Te = 50° C o 323k

La entropía es: AS = J

^ Jrin 323 - ^ d T AS = --

cal

As = mCe£

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Hallar, calculando para un mol, el incremento de la entropía del gas carbónico con el aumento de su temperatura absoluta en n = 2 veces, si el proceso de calentamiento es (a) isócoro. (b) isobarico.

Tenemos que la entropía del C02, se da:

CvcTC d T

AO rnCvdTAS = J ----- Proceso isocoro

_ r nCddT AS = J — -— roceso isobarico

Para el proceso isocoro, se tiene;

T i

V

AS = J nCvdTT

n C J r2T

vT,y

por la expresión: C = R + Cv

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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÀMICA l SOLVER EDK «

e n co n tram o s que: C v = ^r - i

AS = iHflSL = ^ '31 = 1 9 .3 ------ ------Y - 1 f 8 .8 3 'j m o l.°C

V 6 . 8 J

p ara el p ro ces o iso b à rico se tiene:

f nC d T f 2 T ^Í - T ^ ” [ t J

AS = nC £ 2,C = rRr - i

8 8 36.8

J (8 .3 Î )4

8 .8 36.8

-1

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AS = 25.05- Jmol°k

En cuántas veces es necesario aumentar isotérmicamente el volumen de V -A moles de gases perfecto, para que su entropía experimente un incremento AS = 23J/°K

Como es un proceso isotérmico: dQ = dw + dV,dV-0

dQ = dw

lAS=f ^ =f ^ vJ T J T

AS = f = n R í í —J v ( v 0.

23^ = (4)(8.3l)/n(«);a =

a = e°69 = 2 : .a = 2

Calcular el incremento de la entropía de V = 2 moles de gas perfecto cuyo exponente adiabático / = í.3, si como resultado de cierto proceso el volumen del gas aumentó en

a =2 veces y su presión disminuyó en p = 3 veces.

El proceso se asume en el siguiente diagrama:

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II vvww.edukperu X



Por definición: AS = J

A S - f d Q J d QJ T J T

nC dT cr nCriTr 1 1 ra s = ; - ^ +jA 1 B

AS = nC ¿ f —p n I -pv a ;

•nC/n Tv ...0 )

Del gráfico hallamos las relaciones de las temperaturas:a v _ V T ~ TlA *Tb = aTA...(2)

J3V P%-«=-=>Tb =/3TC...(3)*B AC

y sabiendo que: Cp = Cv + R...(4) De (2); (3) y (4) en (1) tenemos.

1A S = ^ í n £ + ____y -1 y -1

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AS = -10.9— °k

Un mol de gas perfecto efectúa un proceso en el transcurso del cual la entropía del gas varía en función de la temperatura T según la ley S = aT + CvLnT, donde a es una constante positiva, Cv la capacidad calorífica molar del gas a volumen constante. Hallar la dependencia entre la temperatura del gas y su volumen en este proceso, si cuando V = V0, la temperatura T = T0

Tenemos que la ley de la entropía en función de temperatura es:S = aT + CvLnT...(l)

La entropía se define:

como es un proceso isotérmico e isocoro se tiene que:

Comparando (1) y (2) se tiene que, la ley respecto de T se tiene:

y dS =

Entonces se tiene que para n = 1 mol se tiene:

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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA ( SOLVER EDK «

com o es un gas ideal: nRTP = - V

nRdV0dT = VIntegrando y despejando se tiene:T = T0 +KH*

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