Solucionario Fisica 2Batx

download Solucionario Fisica 2Batx

If you can't read please download the document

Transcript of Solucionario Fisica 2Batx

FSICA 2

00

9

j Introducci al clcul vectorialj Activitats nalsh Qestions1. La suma dels vectors unitaris i, j s un altre vector unitari? Justiqueu la resposta fent un grc. Els vectors unitaris i i j sn: i 5 (1, 0) j 5 (0, 1) El vector suma s: i 1 j 5 (1, 0) 1 (0, 1) 5 (1, 1) El mdul del vector suma s 12 1 12 5 1,41. Per tant, la suma no s un vector unitari, ja que el seu mdul no s la unitat. 2. Poseu dos exemples fsics en qu sapliqui el producte escalar de dos vectors. clcul de la potncia En el clcul del treball, W 5 F ?D r, i en el a partir de la fora i la velocitat, P 5 F ? v. 3. Dibuixeu dos vectors tals que el producte escalar sigui: a) Positiu.

5. Quan un cos es desplaa perpendicularment respecte de la fora neta que actua sobre aquest, la fora no efectua treball. Per qu? Perqu langle que formen s de 90 i cos 90 5 0: F D r 5 F Dx cos 90 5 0

h Problemes1. Expresseu els vectors segents en forma polar: a 5 (4, 3); b 5 (3, 22); c 5 (2, 24) a 5 (4, 3)

a 5 42 1 32 5 25 5 5 3 tg a 5 5 0,75 a 5 36,87 4

b 5 (3, 22)

b 5 32 1(22)2 5 13 5 3,61 2 tg a 5 5 0,67 a 5 33,69 3

s al 4t quadrant a 5 360 2 33,69 5 326,31 c 5 (2, 24)

c 5 22 1 (24)2 5 20 5 4,47 4 tg a 5 5 2 a 5 63,43 2

s al 4t quadrant 360 2 63,43 5 296,57 2. Un cos est lligat a una corda i un noi tira de la corda amb una fora de 150 N. Si la corda forma un angle de 30 amb el terra, quin s el valor de la fora que tendeix a fer pujar el cos verticalment?

0 , a , 90 b) Negatiu.

90 , a , 180 c) Nul. Fy 5 F sin 30 5 150 ? sin 30 5 75 N 3. La resultant de dues forces perpendiculars s 8 N. Si una delles s de 5 N, quant val laltra fora? F 5 F1 1 F2 90 , a , 180 4. El producte escalar de dos vectors de mduls 10 i 15 pot ser nul? Si aquests dos vectors sn perpendiculars, el seu producte escalar s nul, ja que a 5 90, i cos 90 5 0.

F 5 F2 1 F2 2 1

F2 5 F 2 2 F 2 5 82 2 52 5 64 2 25 5 39 5 6,24 N 1

10

00

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

4. Donats dos vectors de mduls 3 i 6 aplicats en un mateix punt, calculeu el mdul del vector resultant quan formen un angle de: Apliquem el teorema del cosinus: s 2 5 a 2 1 b 2 1 2 ab cos a a) 45 s 2 5 32 1 62 1 2 ? 3 ? 6 ? cos 45 s 5 8,39 b) 30 s 2 5 32 1 62 1 2 ? 3 ? 6 ? cos 30 s 5 8,73 c) 90 s 2 5 32 1 62 1 2 ? 3 ? 6 ? cos 90 s 5 6,71 5. Un jugador de golf ha efectuat tres cops per posar la pilota al forat. En el primer cop mou la pilota 35 m cap al nord; en el segon 8 m cap al sud-est, i en el tercer 1 m cap al sud. Quin desplaament hauria necessitat per car la pilota al forat en el primer cop? component x: 8 ? cos 45 5 5,65 component y: 35 2 1 2 8 ? sin 45 5 28,34 s 5 5,652 1 28,342 5 28,90 28,34 tg a 5 5 5,01 a 5 78,71 5,65

s 5 7,332 1 14,72 5 16,43 14,7 tg a 5 5 2,01 a 5 63,5 7,33

7. Donats els vectors en components polars a 5 330 i b 5 460, representeu-los grcament i trobeu: La representaci grca dels dos vectors s:

6. Donats els vectors en components polars a 5 530, b 5 660, c 5 790, representeu-los grcament i trobeu: a) Els vectors en components cartesians. a 5 5 ? cos 30 ? i 1 5 ? sin 30 ? j 5 4,33 i 1 2,5 j b 5 6 ? cos 60 ? i 1 6 ? sin 60 ? j 5 3 i 1 5,2 j c 5 7 ? cos 90 ? i 1 7 ? sin 90 ? j 5 7 j

a) Els vectors en components cartesians. a 5 (3 cos 30, 3 sin 30) 5 2,60 i 1 1,50 j b 5 (4 cos 60, 4 sin 60) 5 2 i 1 3,46 j

b) El vector suma dels dos vectors, grcament i en components cartesians i polars.

b) El vector suma dels tres vectors, grcament i tamb expressat en components cartesians i polars. s5a1b1c

a 5 4,33 i 1 2,5 j b 5 3,33 i 1 5,2 j 1 c 5 4,33 i 1 7,3 j

s 5 7,33 i 1 14,7 j

FSICA 2

00

11

En components cartesians: a 1 b 5 (2,60 1 2) i 1 (1,50 1 3,46) j 5 4,60 i 1 4,96 j En components polars: a 1 b 5 d 4,602 1 4,962 5 6,76 4,96 a 5 arctg 5 47,2 4,6 a 1 b 5 6,7647,2 8. Sobre un cos actuen dues forces de 5 i 10 N que formen entre si un angle de 90. Calculeu:

10. Donats els vectors a 5 (2, 4) i b 5 (8, 22), calculeu: a) La suma i la diferncia, grcament i numricament.

s 5 a 1 b 5 (2, 4) 1 (8, 22) 5 (10, 2) d 5 a 2 b 5 (2, 4) 2 (8, 22) 5 (26, 6) b) Determineu els mduls de tots dos vectors i dels vectors suma i diferncia. a 5 d 22 1 42 5 d 18 5 4,47 a) La fora que sha de fer perqu el cos no es mogui. F 5 10 1 5 5 11,18 N2 2

b 5 d 82 1 (22)2 5 d 68 5 8,25 s 5 d 102 1 22 5 d 104 5 10,20 d 5 d (26)2 1 62 5 d 72 5 8,49 11. Sabent que F1 5 100 N i F2 5 50 N, calculeu a perqu el cos de la gura es mogui en la direcci de leix X.

b) Langle que forma amb lhoritzontal la fora calculada a lapartat a) suposant que la fora horitzontal s la de 10 N. 5 tg a 5 5 0,5 a 5 26,56 10 Est al 3r quadrant a 5 180 1 26,56 5 206,56 9. Un cos de 5 kg est penjat de dos cables iguals que formen un angle de 90. Calculeu la fora que ha de fer cada cable per poder sostenir el cos.

F2 F1 sin a 5 F2 sin (245) sin a 5 sin (245) F1 50 sin a 5 sin (245) 5 0,35 a 5 20,70 100 12. Calculeu el producte escalar dels vectors a 5 2 i 1 4 j 2 k, b 5 3i 2 j 1 2 k i raoneu, com sn aquests dos vectors. a b 5 ax bx 1 ay by 1 az bz a b 5 2 ? 3 1 4 ? (21) 1 (21) ? 2 5 6 2 4 2 2 5 0 F cos 45 1 F cos 45 2 p 5 0 2 F cos 45 2 p 5 0 p 5 ? 9,8 F 5 5 2 cos 45 2 cos 45 F 5 34,65 N Els dos vectors sn perpendiculars, ja que el seu producte escalar s zero. 13. Deduu el valor de p perqu els vectors a 5 (5, 1, 22) i b 5 (2, p, 3) siguin perpendiculars.

12

00a 5 (5, 1, 22) b 5 (2, p, 3)

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

6

17. Trobeu langle ms petit que formen els vectors segents: a 5 i 1 4 j 2 k i b 5 3 i 1 2 j 1 4 k. a 5 i 1 4j 2 k

a b 5 5 ? 2 1 p 1 (22) ? 3 5 5 10 1 p 2 6 5 0 p 5 210 1 6 5 24

b 5 3i 1 2j 1 4k a b 5 ab cos a

6 6

14. Donats els vectors: a 5 3i 1 4j 2 k i b 5 i 1 5j 2 2k calculeu (2 a 2 b) (3 a 1 4 b). a 5 3 i 1 4j 2 k

a b 5 ax bx 1 ay by 1 az bz

a b 5 1 ? 3 1 4 ? 2 1 (21) ? 4 5 7 a 5 12 1 42 1 (21)2 5 4,24 a 5 32 1 22 1 42 5 5,38 a?b 7 cos a 5 5 5 0,31 a 5 72,13 a?b 4,24 ? 5,38

b 5 i 1 5j 2 2 k

6

(2 a 2 b) (3 a 1 4 b ) 2 a 2 b 5 2 ? (3 i 1 4 j 2 k) 2 (i 1 5 j 2 2 k) 5 5 6i 1 8j 2 2 k 2 i 2 5j 1 2 k 5 5i 1 3j

18. Donats els vectors a 5 4 i 2 3 j i b 5 3 i 1 2 j 2 k, calculeu: a) El vector c 5 a 1 b. a 5 4i 2 3 j 1

3 a 1 4 b 5 3 ? (3 i 1 4 j 2 k) 1 4 ? (i 1 5 j 2 2 k) 5 5 9 i 1 12 j 2 3 k 1 4 i 1 20 j 2 8 k 5 5 13 i 1 32 j 2 11 k

b 5 3i 1 2j 2 k c 5 7i 2 j 2 k

b) Els vectors unitaris de a, b i c.

(2 a 2 b) (3 a 1 4 b) 5 (5 i 1 3 j ) ? (13 i 1 32 j 2 11 k) 5 5 5 ? 13 1 3 ? 32 1 0 ? (211) 5 161 15. Calculeu els components cartesians dun vector u que sigui unitari i que tingui la mateixa direcci que el vector a 5 23 i 1 4 j per sentit contrari. a 5 (23)2 1 42 5 25 5 5 23 i 1 4 j ua 5 5 20,6 i 1 0,8 j 5 2ua 5 0,6 i 2 0,8 j

a 5 d 42 1 (23)2 5 5 b 5 d 32 1 22 1 (21)2 5 3,74 c 5 d 72 1 (21)2 1 (21)2 5 7,14 4 3 ua 5 i 2 j 5 0,8 i 2 0,6 j 5 5 3 2 1 ub 5 i 1 j 2 k 5 3,74 3,74 3,74 5 0,8 i 1 0,53 j 2 0,27 k

16. Donat el vector a 5 4 i 2 2 j 2 k, calculeu: a) Un vector b que sigui perpendicular a a i que tingui un component x 5 6 i z 5 0. ab50 (4 i 2 2 j 2 k) (6 i 1 y j) 5 0 4 ? 6 2 2y 5 0 y 5 12 b 5 6 i 1 12 j

7 1 1 uc 5 i 2 j 2 k 5 7,14 7,14 7,14 5 0,98 i 2 0,14 j 2 0,14 k

c) El cosinus de langle que formen els vectors a i b. a b 5 4 ? 3 1 (23) ? 2 1 0 ? (21) 5 6 a b 6 cos a 5 5 5 0,32 ab 5 ? 3,74 19. Calculeu el cosinus de langle que formen els vectors: a 5 4 i 2 3 j i b 5 3 i 1 2 j.

b) El vector unitari ub. b 5 62 1 122 5 13,42 6 12 ub 5 i 1 j 5 0,45 i 1 0,89 j 13,42 13,42

Calculem primer els mduls dels vectors:2 2 a 5 ax 1 ay 5 42 1 (23)2 5 5 2 2 b 5 bx 1 by 5 32 1 22 5 3,6

FSICA 2

00312 i

13

El cosinus de langle que formen aquests vectors s: ab 43 1 (23)2 cos a 5 5 5 0,33 ab 53,6 que s menor que la unitat, tal com ha de ser. 20. Donats els vectors a 5 6 i 1 2 j i b 5 29 i 1 m j, calculeu el valor de m perqu els vectors a i b siguin: a) Perpendiculars. a b 5 6 ? (29) 1 2 m 5 0 54 254 1 2 m 5 0 m 5 5 27 2 b) Paral.lels. a 5 0 a b 5 ab cos 0 5 ab a 5 62 1 22 5 40 b 5 (29)2 1 m2 5 81 1 m2

Per a t Per a t Per a t f ( 1)

1 sobt: f (1) 2 sobt: f (2) 1 sobt: 3( 1)2 i

(31 (32 2) j

2) j 2) j 3i

3i

j

322 i (3( 1)

12 i

4j

5j

23. Tenim la funci vectorial a(t) 5 (t2 2 3)i 1 (2t2 1 t)j

determineu el vector unitari que t la direcci i el sentit de la derivada per a t 5 1. a (t) 5 (t 2 2 3) i 1 (2 t 2 1 t) j a9(t) 5 2 t i 1 (4 t 1 1) j a9(1) 5 2 i 1 5 j

a9(1) 5 d 22 1 52 5 d 29 5 5,38 2 5 ua9(1) 5 i 1 j 5 0,37i 1 0,93j 5,38 5,38

6

254 1 2 m 5 40 ? 81 1 m2 (254 1 2 m)2 5 ( 40 ? (81 1 m2))2 4 m2 2 216 m 1 2 916 5 3 240 1 40 m2 36 m2 1 216 m 1 324 5 0 m2 1 6 m 1 9 5 0 26 26 6 36 2 4?9 m 5 5 5 23 2 2 21. A partir de la funci vectorial a(t) 5 2 t i 1 (2 t2 2 1) j

24. Donada la funci vectorial a(t) 5 t2 i 1 (3 2 t)j, calculeu per a t 5 3: a) a i el seu mdul. a(3) 5 3 2 i 1 (3 2 3) j 5 9 i a (3) 5 9 b) El mdul de la derivada respecte de t. a9(t) 5 2 t i 2 j

a9(t) 5 d (2 t)2 1 (21)2 5 d 4 t2 1 1 a9(3) 5 d 4 ? 32 1 1 5 d 37 5 6,08 c) La derivada del mdul. a(t) 5 d (t 2)2 1 (3 2 t)2 5 d t 4 1 (3 2 t)2 5 5 d t 4 1 t2 2 6 t 1 9

calculeu langle que formen els vectors obtinguts en fer t 5 1 i t 5 3. a (t) 5 2 t i 1 (2 t 2 2 1) j

a (1) 5 2 ? 1 i 1 (2 ? 1 2 1) j 5 2 i 1 j

a (3) 5 2 ? 3 i 1 (2 ? 32 2 1) j 5 6 i 1 17 j a (1) a (3) 5 2 ? 6 1 1 ? 17 5 29 a(1) 5 22 1 12 5 5 5 2,24 a(3) 5 d 62 1 172 5 325 5 18,03

4 t3 1 2 t 2 6 a9(t) 5 2 d t4 1 t2 2 6 t 1 9 4 ? 32 1 2 ? 3 2 6 108 a9(3) 5 5 5 6 4 2 2 ? d 81 2?d3 1 3 2 6?3 1 9 25. Donada la funci vectorial a(t) 5 (t2 2 1) i 1 (2t 1 1) j

a (1) a (3) 29 cos a 5 5 5 0,71 a 5 44 a (1) ? a (3) 2,24 ? 18,03 22. Donada la funci vectorial f(t) 5 3 t2 i 1 (3t 2 2) j

calculeu i representeu grcament els vectors segents: a) a (0) 5 2i 1 j

b) a (2) 5 (22 2 1) i 1 (2 ? 2 1 1) j 5 3 i 1 5 j

calculeu el valor daquesta funci per als valors de t 5 1, 2 i 21.

c) D a 5 a (2) 2 a (0) 5 (3 i 1 5 j) 2 (2i 1 j ) 5 5 4i 1 4j

14

00

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

4i 1 4j Da d ) 5 5 2 i 1 2 j Dt 220

c) Langle que ha girat el vector a. 21 tg a 5 5 4,2 a 5 76,6 5

27. Sigui la funci vectorial a(t) 5 ((t2 2 1), 5t); calculeu-ne la integral entre t 5 1 s i t 5 10 s. 26. Donat el vector a(t) 5 t i 1 (t2 2 4)j, determineu: a) a(2), a(5). a (2) 5 2 i 1 (22 2 4) j 5 2 i 5 (2, 0) a (5) 5 5 i 1 (5 2 4) j 5 5 i 1 21 j 5 (5, 21)2

a(t) 5 ((t2 2 1), 5t)

a(t)dt 5 1 ((t2 2 1), 5t)dt

10

Per tant,

b) Da en els instants anteriors. D a 5 a (5) 2 a (2) 5 (5, 21) 2 (2, 0) 5 (3, 21)

3

t3 5 t2 2 t, 3 2

10 1 5?10 5?1 4 5 1 2 10 2 1 1, 2 2 5 3 3 2 210 1 3 2

5 (324, 247,5)

FSICA 2

01

15

j Unitat 1. Mecnicaj Activitats nals1. Raoneu si s certa aquesta armaci: quan un cos es mou amb velocitat constant, el seu moviment s rectilini. Si la velocitat s constant (v 5 constant), aleshores el mdul, la direcci i el sentit del vector velocitat han de ser constants, i aix noms s possible quan el moviment s rectilini. 2. Per qu un moviment uniforme no es pot iniciar a partir del reps? Raoneu la resposta. Un moviment s uniforme quan la velocitat es mant constant al llarg del temps. Per tant, no pot iniciar-se a partir del reps, ja que necessita una acceleraci. 3. Com es pot representar vectorialment el moviment de la minutera dun rellotge? Quin tipus de vector s? Amb un vector axial que, en aquest cas, s el vector velocitat angular v.

Busquem lequaci de la trajectria a partir de les equacions del moviment: x 5 4 y2 1 2 i y t2 5 y 2 1 x 5 4 (y 2 1) 1 2 y 5 t2 1 1 t x 5 4y 2 2 x 1 y51 4 2 6. Una partcula descriu el moviment donat per lequaci r (t2 5 t, t2 4), expressada en unitats del SI. Calculeu el mdul del vector de posici per a t 2 s. r (t) 5 (t2 2 5 t, t2 2 4) r (2) 5 (22 2 5 ? 2, 22 2 4) 5 (26, 0) r (2) 5 d (26)2 5 6 m 7. Trobeu lequaci de la trajectria dun mbil el vector de posici del qual est determinat per la funci r

(2 t

1)i

(3 t

3) j en unitats del SI.

x 5 2t 1 1 i x21 y x 5 2 t 1 1 t 5 y 5 3t 2 3 t 2 x21 3x 3 3 9 y 5 3 2 3 5 2 2 3 y 5 x 2 2 2 2 2 2 8. Trobeu lequaci de la trajectria del mbil el vector de posici del qual est determinat per la funci r

(2 t

2, 2 t

4 t2)

en unitats del SI. x 5 2t 1 2 i x21 y x 5 2 t 1 1 t 5 2 t y 5 2t 1 4t 2 4. Lequaci del moviment dun mbil s r (t)

(2 t 1 1)i2

(2 t

3

5 t) j

x22 x22 y 5 2 1 4 2 2

2

Si mesurem el desplaament en m i el temps en s, calculeu el desplaament entre els instants t 0 i t 2 s. r (0) 5 (2 ? 02 1 1) i 1 (2 ? 03 1 5 ? 0) j 5 i

y 5 x 2 2 1 x2 2 4 x 1 4 y 5 x2 2 3 x 1 2 9. Una partcula segueix una trajectria circular de 3 m de radi. Si langle descrit est determinat per lequaci: t2 1, en qu est expressat en rad i t en s, quina s la longitud de larc recorregut entre els instants t 1 s i t 3 s? w (1) 5 12 2 1 5 0; w (3) 5 32 2 1 5 8 rad Dw 5 w (3) 2 w (0) 5 8 rad Ds 5 r ? Dw 5 3 ? 8 5 24 m 10. La Lluna descriu una rbita al voltant de la Terra que correspon prcticament a un moviment circular i uniforme, de perode T 27,4 dies. La llum procedent de la Lluna triga 1,28 s a arribar a la Terra. Calculeu la velocitat angular i lacceleraci de la Lluna. Dada: c 3 108 m/s Ds R v 5 c 5 R 5 c ? Dt Dt Dt R 5 3 ? 108 ? 1,28 5 3,84 ? 108 m

r (2) 5 (2 ? 22 1 1) i 1 (2 ? 23 1 5 ? 2) j 5 9 i 1 26 j D r 5 r (2) 2 r (1) 5 9 i 1 26 j 2 i 5 8 i 1 26 j m

5. Una partcula descriu la trajectria donada per lequaci del moviment r (4 t2 2, t2 1) expressada en unitats del SI. Calculeu el vector de posici per als instants de temps t 0 i t 3 s, el vector desplaament entre aquests dos instants i lequaci de la trajectria. r (t 5 0) 5 (4 ? 0 1 2, 0 1 1) 5 (2, 1) r (t 5 3) 5 (4 ? 32 1 2, 32 1 1) 5 (38, 10) Per tant, el desplaament s: D r 5 (38, 10) 2 (2, 1) 5 (36, 9)

16

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

2p 2p v 5 5 5 2,65 ? 1026 rad/s T 24 h 3 600 s 27,4 dies ? 1 dia 1h an 5 v2 R 5 (2,65 ? 1026)2 ? 3,84 ? 108 5 2,7 ? 1023 m/s2 11. Lequaci del moviment dun mbil s r (t)

a) Lacceleraci mitjana entre t Dv am 5 Dt

0it

2 s.

v (0) 5 4 ? 0 i 1 (6 ? 02 1 5) j 5 5 j

v (2) 5 4 ? 2 i 1 (6 ? 22 1 5) j 5 8 i 1 29 j

(3 t2

6 t) i

(t3

4 t2

2) j

Si mesurem el desplaament en m i el temps en s, calculeu: a) El desplaament entre els instants t

v (2) 2 v (0) 8 i 1 29 j 2 5 j am 5 5 5 4 i 1 12 j m/s2 t (2) 2 t (0) 2 b) Lacceleraci instantnia per a t dv a 5 5 4 i 1 12 t j dt a (1) 5 4 i 1 12 ? 1 j 5 4 i 1 12 j m/s2 c) Es tracta dun moviment uniformement accelerat? Raoneu-ho. No s un moviment uniformement accelerat, ja que lacceleraci s una funci del temps:

0it

2 s.

1 s.

r (0) 5 (3 ? 02 2 6 ? 0) i 1 (03 2 4 ? 02 1 2) j 5 2 j

r (2) 5 (3 ? 22 2 6 ? 2) i 1 (23 2 4 ? 22 1 2) j 5 26 j Dr 5 r (2) 2 r (0) 5 26 j 2 2 j 5 28 j m b) La velocitat mitjana entre aquests dos instants. Dr 28 j vm 5 5 5 24 j m/s Dt 2 c) La velocitat instantnia per a t

1 s.

a (t) 5 4 i 1 12 ? t j

dr v 5 5 (6 t 2 6) i 1 (3 t2 2 8 t) j dt v (1) 5 (6 ? 1 2 6) i 1 (3 ? 12 2 8 ? 1) j 5 25 j m/s 12. Una partcula descriu el moviment determinat per lequaci r (4 t2 2, t2 1), expressada en unitats del SI. Calculeu el vector velocitat per a linstant de temps t 3 s. A partir del vector de posici r (t) 5 (4 t2 1 2, t2 1 1), trobem el vector velocitat: d r (t) v (t) 5 5 (8 t, 2 t) dt

15. Una partcula descriu el moviment determinat per lequaci r (4 t2 2, t2 1), expressada en unitats del SI. Calculeu el vector acceleraci per a linstant de temps t 3 s. Es tracta dun moviment amb acceleraci constant? Raoneu-ho. Aprotem el resultat de lactivitat 14: v (t) 5 (8 t, 2 t) El vector acceleraci s, per tant: d v (t) a (t) 5 5 (8, 2) m/s2 dt

Veiem que s un moviment amb acceleraci constant ja que lacceleraci no depn del temps. I per a t 5 3 s resulta: a (t 5 3) 5 (8, 2) m/s2 16. Labscissa dun mbil que es desplaa sobre leix OX s t3 x m. Si el temps, t, est determinat en s, calculeu: 2 a) La posici i lacceleraci en linstant en qu la seva velocitat s de 6 m/s. dx 3 t2 v 5 5 dt 2 3 t2 Si v 5 6 5 6 t 5 2 23 Si t 5 2 s x 5 5 4 m 2 dv 6t a 5 5 5 3 t dt 2 Si t 5 2 s a 5 3 ? 2 5 6 m/s2 6?2 dllllll 5 2 s 3

Per a t 5 3 s resulta: v (t 5 3) 5 (8 ? 3, 2 ? 3) 5 (24, 6) m/s 13. Una partcula es mou dacord amb lequaci del moviment segent: r (t2 5 t, t2 4), expressada en unitats del SI. Calculeu el mdul de la velocitat per a t 2 s. dr v (t) 5 5 (2 t 2 5, 2 t) dt v (2) 5 (2 ? 2 2 5, 2 ? 2) 5 (21, 4) v (2) 5 d (21)2 1 42 5 d 17 5 4,12 m/s 14. Lequaci del moviment dun mbil s r (t)

(2 t2

1) i

(2 t3

5 t) j

Si mesurem el desplaament en m i el temps en s, calculeu: Tingueu en compte que: v (t) 5 (4 t, 6 t2 1 5)

FSICA 2

01

17

b) La velocitat i lacceleraci mitjanes entre linstant t i linstant de temps calculat en lapartat anterior. x (0) 5 0 m

0

x (2) 2 x (0) 420 i u vm 5 5 5 2 m/s 2 2 x (2) 5 4 m u y v (0) 5 0 m/s u v (2) 2 v (0) 620 u a 5 5 5 3 m/s2 t m 2 2 v (2) 5 6 m/s 17. velocitat duna partcula est determinada per la funci La v (2 t2 1, t) en unitats del SI. Si en linstant inicial la partcula es troba en la posici (10, 0) m, calculeu: v 5 (2 t2 2 1, 2t) r (0) 5 (10, 0) a) El vector de posici. dr v 5 d r 5 v d t dt

19. posici dun mbil est determinada per lequaci La r 3 t2 i 5 t j (en unitats del SI). Determineu-ne la velocitat i lacceleraci en linstant t 2 s. dr v 5 5 6 t i 2 5 j v (2) 5 12 i 2 5 j m/s dt dv a 5 5 6 i a (2) 5 6 i m/s2 dt

20. Una partcula es mou dacord amb lequaci del moviment segent: r (t2 5 t, t2 4), expressada en unitats del SI. Calculeu el mdul de lacceleraci per a t 2 s i raoneu si lacceleraci s constant o variable. Aprotem el resultat de lactivitat 13 corresponent a aquest moviment: v (t) 5 (2 t 2 5, 2 t) dv a (t) 5 5 (2, 2) a (2) 5 (2, 2) dt

#

r

r0

dr 5

#

t

vdt

0

#

r

r0

dr 5

# (2 t 2 1, 2t) d t t 2 0 t

a (2) 5 d 22 1 22 5 d 8 5 2,83 m/s2 Lacceleraci s constant ja que no depn del temps. 21. En un cert instant, la velocitat dun mbil s v 5 i 12 j, 3i 2 j en unitats del SI. Calculeu els i lacceleraci a components tangencial i normal de lacceleraci en aquest instant. v 5 5 i 2 12 j i a 5 3i 2 2j

r 2 t3 t2 [r ](10, 0) 5 2 t, 2 3 2

0

t2 2 t3 r 2 (10, 0) 5 2 t, 2 3 2 2t 2 2 t3 r 5 2 t 1 10, m 3 2

y t

b) Lacceleraci. dv a 5 5 (4 t, 21) m/s2 dt

v 5 d 52 1 (212)2 5 d 169 5 13 m/s v 5 i 2 12 j ut 5 5 5 0,38 i 2 0,92 j v 13

18. Lequaci de moviment dun mbil s r (t)

(3 t

2

6 t) i

(t

3

4t

2

2) j

Si mesurem el desplaament en m i el temps en s, calculeu: a) Lacceleraci mitjana entre t Dv am 5 Dt

at 5 a ut 5 (3 i 2 2 j ) ? (0,38 i 2 0,92 j ) 5 5 3 ? 0,38 1 (22) ? (20,92) 5 3 m/s2 aT 5 d 32 1 (22)2 5 d 13 5 3,60 m/s2 aT 5 an 1 at aT 5 d a2 1 at2 n2 an 5 d aT 2 at2 5 d 3,602 1 32 5 d 4 5 2 m/s2

0it

2 s.

v (0) 5 (6 ? 0 2 6) i 1 (3 ? 02 2 8 ? 0) j 5 26 j

v (2) 5 (6 ? 2 2 6) i 1 (3 ? 22 2 8 ? 2) j 5 6 i 2 4 j

22. La velocitat dun mbil s v (2 t2 1, t2), expressada en unitats del SI. Calculeu el mdul de lacceleraci i els seus components intrnsecs en linstant de temps t 2 s. dv a 5 5 (4 t, 2 t) a (2) 5 (4 ? 2, 2 ? 2) 5 (8, 4) dt

v (2) 2 v (0) 6 i 2 4 j 2 (26 i ) 12 i 2 4 j am 5 5 5 5 t (2) 2 t (0) 2 2 5 6 i 2 2 j m/s2 b) Lacceleraci instantnia per a t dv a 5 5 6 i 1 (6 t 2 8) j dt

a 5 d 82 1 42 5 d 80 5 8,94 m/s2 1 s. v (2) 5 (2 ? 22 2 1, 22) 5 (7, 4) v 5 d 72 1 42 5 d 65 5 8,06 m/s v (7, 4) ut 5 5 5 (0,87, 0,50) v 8,06

a (1) 5 6 i 1 (6 ? 1 2 8) j 5 6 i 2 2 j m/s2

18

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

at 5 a ut 5 (8, 4) ? (0,87, 0,50) 5 8 ? 0,87 1 4 ? 0,50 5 5 8,93 m/s22 an 5 d aT 2 at2 5 d 8,942 2 8,932 5 0,41 m/s2

dv at 5 5 21,63 t dt at (1) 5 21,63 m/s2 c) El component normal de lacceleraci.2 an 5 d aT 2 at2 5 d 21,632 2 21,632 5 0

23. Una partcula descriuuna trajectria determinada donada pel vector de posici r (t2, 2 t) en unitats del SI. Quan la partcula passa per la posici (4, 4), determineu: r 5 (t2, 2 t) i y (4, 4) 5 (t2, 2 t) t 5 2 s r 5 (4, 4) t a) La velocitat. dr v 5 5 (2 t, 2) v (2) 5 (2 ? 2, 2) 5 (4, 2) m/s dt

25. Tres ciclistes, A, B i C, descriuen una corba circular de 20 m de radi. Calculeu lacceleraci total de cada ciclista en un instant en qu el mdul de la seva velocitat s de 10 m/s, si sabem que: a) El ciclista A conserva una velocitat de mdul constant. 102 v2 an 5 5 5 5 m/s2 aT 5 5 un m/s2 r 20 b) El ciclista B accelera uniformement i la seva velocitat passa de 9,5 m/s a 10,5 m/s en 0,5 s.i 102 v2 u an 5 5 5 5 m/s2 u r 20 y u Dv 10 ? 5 2 9,5 1 2u at 5 5 5 5 2 m/s t Dt 0,5 0,5

b) Lacceleraci. dv a 5 5 (2, 0) a (2) 5 (2, 0) m/s2 dt c) Els components intrnsecs de lacceleraci. v 5 d 42 1 22 5 d 20 5 4,47 m/s v (4, 2) ut 5 5 5 (0,89, 0,45) v 4,47

at 5 a ut 5 (2, 0) ? (0,89, 0,45) 5 2 ? 0,89 1 0 ? 0,45 5 5 1,79 m/s2 aT 5 d 22 5 2 m/s22 an 5 d aT 2 at2 5 d 22 2 1,792 5 0,89 m/s2

aT 5 (5 un 1 2 ut ) m/s2 c) El ciclista C frena uniformement d11 m/s a 9 m/s en un temps de 0,5 s.i 102 v2 u an 5 5 5 5 m/s2 u r 20 y u Dv 9 2 11 2 2u at 5 5 5 2 5 24 m/s t Dt 0,5 0,5

d) El radi de curvatura. v2 v2 4,472 an 5 R 5 5 5 22,36 m 0,89 R an 24. Lequaci del moviment dun mbil s r (t)

aT 5 (5 un 2 4 ut ) m/s2 26. En un moviment circular de radi r lar est determinada per 2 6,5 m la velocitat angu3 t (en unitats del SI).

(2 t3

3, 3 t3

2)

expressat en unitats del SI. Calculeu en linstant de temps t 1 s: a) El mdul del vector acceleraci. dr v (t) 5 5 (6 t2, 9 t2) dt

a) Es tracta dun moviment circular uniformement accelerat? Per qu? dv a 5 5 3 rad/s2 5 ctant. S, perqu a 5 ctant 0. dt b) Calculeu lacceleraci tangencial i lacceleraci normal del punt mbil en linstant t 3 s. at 5 a ? r 5 19,5 m/s2 an 5 v2 ? r 5 (2 1 3 ? 3)2 ? 6,5 5 786,5 m/s2 c) Determineu la longitud de larc recorregut en els dos primers segons del moviment i la velocitat angular al nal de la primera volta. 1 1 Du 5 v0 Dt 1 a Dt2 5 2 ? 2 1 3 ? 22 5 10 rad 2 2 Ds 5 r ? Du 5 65 m

dv a (t) 5 5 (12 t, 18 t) dt

a (1) 5 (12, 18) a 5 d 122 1 182 5 d 468 5 21,63 m/s2 b) El component tangencial de lacceleraci. v (t) 5 d (6 t2)2 1 (9 t2)2 5 d 36 t 4 1 81 t 4 5 5 d 117 t4 5 10,817 t2

FSICA 2

01

19

i 1 Du 5 v0 Dt 1 a Dt 2 u y 2 u t v 5 v0 1 a Dt

Si apliquem la 2a llei de Newton, F 5 m a, en mdul, aleshores tenim que F 5 m a i F9 5 m a9. F9 d2 F F9 5 d F 2 1 F 2 5 F d 2 a9 5 5 m m

v2 5 v0 1 2 a Du v2 5 22 1 2 ? 3 ? 2 p v 5 6,5 rad/s 27. El mdul de la velocitat dun punt material que descriu una trajectria circular est determinat per lequaci (en unitats del SI) v 6 10 t. Si el radi de la trajectria s de 100 m, quina ser lacceleraci normal en linstant t 8 s? I lacceleraci tangencial? v 5 6 1 10 t v (8) 5 6 1 10 ? 8 5 86 m/s 86 an 5 5 0,86 m/s2 100 dv at 5 5 10 m/s2 dt 28. Un mbil descriu un moviment circular de radi r 2 m. Langle descrit pel mbil en funci del temps est determinat per lequaci t3 5 t 4 (en unitats del SI). Calculeu la velocitat angular i lacceleraci tangencial en linstant t 1 s. du v 5 5 3 t2 1 5 v (1) 5 8 rad/s dt dv a 5 5 6 t a (1) 5 6 rad/s2 dt 29. Expliqueu les situacions segents tenint en compte les lleis de Newton: a) Un observador est dins dun vehicle en marxa a velocitat constant. De sobte, el vehicle frena. Lobservador experimenta la seva inrcia a seguir amb el MRU i latribueix a una fora dinrcia que limpulsa cap endavant. b) Un observador es troba en reps dins dun vag duna muntanya russa al punt ms alt del seu recorregut. En un moment donat, el vag inicia el descens sobre els rals. Lobservador experimenta la seva inrcia a seguir en reps i latribueix a una fora dinrcia que lestira cap amunt. c) Lobservador anterior est en reps dins dun vag en el punt ms baix de la muntanya russa. A continuaci, el vag inicia lascens. Lobservador experimenta la seva inrcia a seguir en reps i latribueix a una fora dinrcia que lestira cap a baix. 30. Sobre una massa m actua una fora F que produeix una acdues forces celeraci a. Si sobre la mateixa massa actuen perpendiculars de mduls iguals al mdul de F, que pro dueixen una acceleraci a9, quina relaci tenen els mduls de les acceleracions?

d2 ma a9 5 5 d 2 a m31. Determineu les forces que actuen sobre cada objecte i discutiu la descomposici daquestes respecte dalgun sistema de coordenades adequat. En cada gura sindica el sistema de referncia triat i la descomposici de forces segons aquest sistema. a)

b)

c)

d)

20

01e)

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

b) La massa del cos. Amb el resultat anterior obtenim la massa del cos: 240 Dpx m 5 5 5 10 kg 24 Dvx c) El valor mitj de la fora que ha provocat aquesta variaci en la quantitat de moviment del cos si ha actuat durant 1 ms.

f)

El valor mitj de la fora considerada constant s: 240 30 Dp F 5 5 , 5 (24 ? 104, 3 ? 104) N 23 1023 Dt 10

(24 ? 104 i 1 3 ? 104 j ) N d) Limpuls mecnic que sha aplicat sobre el cos. Limpuls mecnic s igual a la variaci de la quantitat de moviment: I 5 D p 5 (240, 30) N?s 32. Tenint en compte el principi dinrcia, expliqueu qu passa quan circulem amb un autombil que descriu una corba. Si tenim en compte el principi dinrcia, lautombil tendeix a seguir en la mateixa direcci que portava. 33. En el moment que un pndol simple passa per la posici ms baixa, la tensi i el pes coincideixen? Raoneu-ho. v2 En aquesta posici, T 2 p 5 m . Si tenim en compte que l lacceleraci centrpeta s positiva, dedum que: T 2 p . 0 T . p. 34. La variaci de la quantitat de moviment dun cos est de ( px , 30) en unitats del SI. Si el terminada per: p mdul daquest increment val 50 kg m/s i el component segons leix X de la corresponent variaci de velocitat s 4 m/s, trobeu: Les dades del problema sn: D p 5 (Dpx , 30); |D p | 5 50 kg?m/s; Dvx 5 24 m/s a) El valor del component segons leix X de la variaci de la quantitat de moviment del cos. Coneixent el mdul i Dpy podem trobar Dpx: Dpx 5 d (Dp)2 2 (Dpy)2 5 d 502 2 302 5 640 kg?m/s Fixem-nos que tenim dos valors possibles per a Dpx. Ara b, com que el component de la variaci de la velocitat en aquesta direcci s negatiu i la massa sempre s positiva, hem doptar pel resultat negatiu: Dpx 5 240 kg?m/s

(240 i 1 30 j ) N?s 35. Per qu en lexpressi ms general de les lleis de Newton sutilitza la magnitud quantitat de moviment en comptes de lacceleraci? Perqu sn les expressions ms generals, vlides ns i tot per a sistemes de massa variable i tamb a fsica relativista. 36. Un cos de 5 kg de massa es mou sobre una trajectria determinada per lequaci de moviment r

(t2

t) i

(3 t3

2) j

en qu r i t sexpressen en unitats del SI. Determineu: a) La fora mitjana que actua damunt del cos entre els instants t 0 s i t 5 s. Dp Fm 5 Dt

dr v 5 5 (2 t 2 1) i 1 9 t 2 j dt v (0) 5 2i

v (5) 5 9 i 1 225 j

D p 5 m D v 5 m (v (5) 2 v (0)) 5 5 5 (9 i 1 225 j 2 (2i )) 5 5 (10 i 1 255 j ) 5 5 50 i 1 1 125 j

Dp 50 i 1 1 125 j Fm 5 5 5 (10 i 1 225 j ) N Dt 5

FSICA 2

01

21

b) La fora instantnia en funci del temps. dr dp F 5 p 5 m 5 5 [(2 t 2 1) i 1 9 t 2 j )] 5 dt dt

5 (10 t 2 5) i 1 45 t 2 j

38. Observeu el sistema representat a la gura. Calculeu la tensi i lacceleraci amb qu es mou el sistema, si el mdul de la fora F val 200 N, la massa de cada bloc s de 20 kg i el coecient de fregament s de 0,2 per a tots dos cossos.

d [(10 t 2 5) i 1 45 t 2 j ] F 5 5 (10 i 1 90 t j ) N dt

37. Sobre un cos de 2 kg, que es troba sobre un pla inclinat de 30, actua una fora F en una direcci horitzontal. Si el coecient de fregament entre el cos i el pla s negligible: p1 5 p2 5 p Cos 1: p 5 N1 1 F sin 30 20 ? 9,8 5 N1 1 200 ? sin 30 a) Representeu totes les forces que actuen sobre el cos. N1 5 20 ? 9,8 2 200 ? sin 30 N1 5 96 N F cos 30 2 m N1 2 T 5 m1 a 200 ? cos 30 2 0,2 ? 96 2 T 5 20 a 154 2 T 5 20 a Cos 2: T 2 p sin 30 2 m N2 5 m2 a i y t p cos 30 5 N2 T 2 20 ? 9,8 ? sin 30 2 0,2 ? 20 ? 9,8 ? cos 30 5 20 a T 2 131,95 5 20 a b) Calculeu el valor de la fora F perqu el cos es mogui cap a la part superior del pla amb velocitat constant. F cos 30 5 p sin 30 F 5 p tg 30 F 5 2 ? 9,8 tg 30 5 11,3 N c) Si el coecient de fregament entre el cos i el pla s de 0,3, com canviarien els apartats anteriors? F cos 30 2 p sin 30 2 Ff 5 0 i N 5 F sin 30 1 p cos 30y t

154 2 T 5 20 a i y T 2 131,95 5 20 a t 154 1 131,95 154 2 T 5 T 2 131,95 T 5 5 142,97 N 2 154 2 142,97 a 5 5 0,55 m/s2 20 1 kg, 39. En el sistema de la figura les masses sn mA 3 kg i mC 6 kg, mentre que el coecient de fregamB ment entre el cos A i B i el terra s de 0,1. Calculeu les tensions i lacceleraci del sistema.

F cos 30 2 m N 2 p sin 30 5 0 F cos 30 2 m (F sin 30 1 p cos 30) 2 p sin 30 5 0 F cos 30 2 m F sin 30 2 m p cos 30 2 p sin 30 5 0 p (m cos 30 1 sin 30) F 5 5 cos 30 2 m sin 30 2 ? 9,8 ? (0,3 cos 30 1 sin 30) 5 cos 30 2 0,3 sin 30 F 5 20,8 N

22

01Cos A T2 2 FfA 5 mA a i y t pA 5 NA

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

41. En el sistema representat a la gura cada cos t una massa de 3 kg. Negligim la massa de la politja, la massa de les cordes i el fregament. Trobeu:

T2 2 m pA 5 mA a T2 2 0,1 ? 9,8 5 a T2 5 0,98 1 a Cos B T1 2 T2 2 FfB 5 mB a i y t pB 5 NB T1 2 T2 2 m pB 5 mB a T1 2 T2 2 0,1 ? 3 ? 9,8 5 3 a T1 2 T2 2 2,94 5 3 a Cos C pC 2 T1 5 mC a 6 ? 9,8 2 T1 5 6 a T1 5 58,8 2 6 a Si solucionem el sistema dequacions, tenim: 58,8 2 6 a 2 0,98 2 a 2 2,94 5 3 a 54,88 5 10 a a 5 5,49 m/s T1 5 58,8 2 6 ? 5,49 5 25,86 N T2 5 0,98 1 5,49 5 6,47 N 40. Una molla de constant recuperadora 100 N/m i longitud natural 1 m est lligada al sostre dun ascensor. Si pengem de lextrem lliure de la molla un cos de massa m 2 kg, quina s la longitud de la molla quan: a) Lascensor puja amb una acceleraci igual a 1 m/s2 en el sentit del moviment? Perqu hi hagi una acceleraci cap amunt cal que la fora de la molla estigui dirigida cap amunt. Aix signica que shaur allargat: k Dl 2 m g 5 m a a1g 1 1 9,8 Dl 5 m 5 2 5 0,22 m k 100 l 5 1 1 0,22 5 1,22 m b) Lascensor puja a una velocitat constant? En aquest cas no hi ha acceleraci i la molla tamb est allargada per a compensar el pes: k Dl 2 m g 5 m a 5 0 g 9,8 Dl 5 m 5 2 5 0,20 m k 100 l 5 1 1 0,20 5 1,20 m2

a) Lacceleraci del sistema. p1 2 T1 5 m1 a i u p2 1 T1 2 T2 5 m2 a y u T2 2 p3 5 m3 a t __________________ p1 1 p2 2 p3 5 (m1 1 m2 1 m3) a 3 ? 9,8 1 3 ? 9,8 2 3 ? 9,8 5 (3 1 3 1 3) a 3 ? 9,8 a 5 5 3,27 m/s2 3 b) La tensi de les cordes que uneixen els blocs. T1 5 p1 2 m1 a 5 3 ? 9,8 2 3 ? 3,27 T1 5 19,6 N T2 5 p3 1 m3 a 5 3 ? 9,8 1 3 ? 3,27 5 39,2 N 42. Un extrem dun l que passa per la gorja duna petita politja xa est unit a un cos de massa 4 kg que llisca per damunt dun pla inclinat de 30, amb un coecient de fregament cintic de 0,2. De laltre extrem del l penja una massa d1 kg. Calculeu: Les dades del nostre problema sn: a 5 30; m 5 0,2; m1 5 4 kg; m2 5 1 kg

FSICA 2

01

23

a) Cap a on es mouran els cossos? Escollim com a sentit positiu de moviment lindicat a la gura (la politja es mou en sentit antihorari). Apliquem ara la 2a llei de Newton a cada massa, dacord amb el sentit positiu escollit: px1 2 p2 2 Ff 1 px1 2 T 2 Ff 1 5 m1 a i y a 5 5 t m1 1 m2 T 2 p2 5 m2 a m1 g sin a 2 m m1 g cos a 2 m2 g 5 m1 1 m2 on les tensions que actuen sobre cada cos i les acceleracions sn les mateixes perqu negligim la massa de la politja i de la corda. Substituint les dades obtenim el valor de lacceleraci: 4 ? 9,8 (sin 30 2 0,2 cos 30) 2 1 ? 9,8 a 5 5 0,6 m/s2 411 Aquest valor positiu indica que el sentit escollit com a positiu s correcte. Per tant, els cossos es mouen cap avall del pla inclinat. b) Quina s lacceleraci dels cossos i la tensi de la corda? Lacceleraci s la que acabem de calcular: a 5 0,6 m/s2 Calculem el valor de la tensi: T 2 p2 5 m2 a T 5 m2 (g 1 a) 5 1 (9,8 1 0,6) 5 10,4 N 43. Una massa M1 10 kg s a linterior duna caixa de mas30 kg. El conjunt est lligat a un cos de massa sa M2 100 kg mitjanant una corda i una politja de masses M3 negligibles, tal com es veu a la gura. Es deixa anar el sistema, que inicialment est en reps, i observem que sha desplaat 10 m durant els primers 4 s. Calculeu:

Apliquem la 2n llei de Newton a tot el sistema Ff 5 m N3 5 m M3 g p1 1 p2 2 Ff 5 (M1 1 M2 1 M3) a 10 ? 9,8 1 30 ? 9,8 2 m ? 100 ? 9,8 5 5 (10 1 30 1 100) ? 1,25 392 2 175 3,92 2 980 m 5 175 m 5 5 0,22 980 b) La tensi de la corda. Apliquem la 2a llei de Newton a un dels blocs p1 1 p2 2 T 5 (M1 1 M2) ? a 10 ? 9,8 1 30 ? 9,8 2 T 5 (10 1 30) ? 1,25 392 2 T 5 50 T 5 342 N c) La fora normal que la superfcie inferior (terra) de M2 fa sobre M1. Apliquem la 2a llei de Newton a M1 p1 2 N1 5 M1 ? a N1 5 p1 2 M1 ? a 5 10 ? 9,8 2 10 ? 1,25 5 85,5 N 44. Tres cossos iguals de massa M 20 kg cadascun estan en contacte sobre una superfcie horitzontal, tal com es veu a la gura. El sistema es mou per acci duna fora horitzontal de mdul F.

a) Suposeu que el fregament entre els cossos i la superfcie s negligible, i que la fora de contacte entre el cos B i el cos C val 60 N. Calculeu lacceleraci del sistema.

60 5 20 ? a a 5 3 m/s2 b) En les condicions de lapartat anterior, calculeu el valor de F i el valor de la fora de contacte entre els cossos A i B. a) Lacceleraci del sistema i el coecient de fricci dinmic entre M3 i la superfcie horitzontal. 1 1 x 5 x0 1 v0 Dt 1 a Dt 2 10 5 a ? 42 2 2 20 a 5 5 1,25 m/s2 16

F 5 (20 1 20 1 20) ? 3 F 5 180 N

24

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

F 2 f 5 M ? a f 5 120 N c) Suposeu que el coecient de fricci entre els cossos i la superfcie horitzontal s 0,2. Calculeu el valor de F perqu el sistema tingui una acceleraci de 2 m/s2. Considereu g 10 m/s2.i 78,4 2 T 5 8 a y T 2 49 2 16,97 5 10 a t

78,4 2 65,97 5 18 a a 5 0,69 m/s2 Si el sistema no sha de moure quan posem damunt de A un cos de massa C, les forces shan digualar: F 2 f 5 3 M ? a F 5 240 N 45. En el sistema de la gura les masses A i B valen 10 kg i 8 kg, respectivament, mentre que el coecient de fregament esttic entre la massa A i el pla inclinat s de 0,2. Determineu la massa mnima que ha de tenir C perqu el sistema no es mogui, considerant que entre el cos C i el cos A hi ha un fregament molt gran. pB 5 (pA 1 pC) sin 30 1 m (pA 1 pC) cos 30 8 ? 9,8 5 (10 ? 9,8 1 mC 9,8) sin 30 1 1 0,2 ? (10 ? 9,8 1 mC 9,8) cos 30 78,4 5 49 1 49 mC 1 16,97 1 1,7 mC 78,4 2 49 2 16,97 mC 5 5 1,88 kg 4,9 1 1,7 46. En el sistema de la gura la massa de la cabina (A) val MA 200 kg i la de la cabina (B) val MB 300 kg. Dins de cadascuna hi ha una massa M 50 kg. Suposant negligibles les masses del cable i de les politges i els efectes del fregament, calculeu:

Si hem de col.locar un cos de massa C damunt de A, hem dinterpretar que el sistema es mou inicialment cap al cos de massa B. Es pot comprovar calculant lacceleraci amb qu es mou el sistema inicial, per tenint en compte que m d , m e; per tant, podem fer un petit error en el clcul de lacceleraci.i pB 2 T 5 mB a y T 2 pA sin a 2 m pA cos a 5 mA a t

8,98 2 T 5 8 a

i y T 2 10 ? 9,8 ? sin 30 2 0,2 ? 10 ? 9,8 ? cos 30 5 10 a t

a) Lacceleraci amb qu es mou el sistema. pB 2 pA (350 2 250) ? 9,8 pB 2 pA 5 MT ? a a 5 5 MT 350 1 250 a 5 1,63 m/s2 b) La tensi del cable. pB 2 T 5 mB ? a T 5 pB 2 mB a 5 mB (g 2 a) 5 5 350 (9,8 2 1,63) 5 2 858 N

FSICA 2

01

25

c) La fora de contacte entre cada una de les masses M de 50 kg i la cabina respectiva. NA 2 mA g 5 mA ? a NA 5 mA (g 1 a) 5 5 50 (9,8 1 1,63) 5 571 N mB g 2 NB 5 mB ? a NB 5 mB (g 2 a) 5 5 50 (9,8 2 1,63) 5 409 N 47. El sistema de la gura, inicialment en reps, es posa en moviment sota lacci de la fora F, de mdul 1 370 N. A 100 kg, hi ha una linterior de la cabina, de massa m2 10 kg. El coecient de fregament maleta de massa m3 0,2. La masentre la massa m1 i el terra horitzontal s 30 kg. Les masses de la politja i de la corda sn sa m1 negligibles.

b) La fora de contacte entre la massa m3 i el terra de la cabina. Considereu gN a

10 m/s2.

m3 g

N 2 m3 g 5 m3 a

N 5 115 N

48. Les forces que actuen sobre un cos quan descriu un moviment circular uniforme, efectuen cap treball? Raoneu-ho. Si el cos es mou amb MCU, lacceleraci tangencial s zero i noms t acceleraci centrpeta. Per tant, la fora neta ha de ser centrpeta i, en tot moment, s perpendicular al vector desplaament instantani. Si apliquem lexpressi del treball, W 5 e F ? D r, veiem que W 5 0. 49. Una partcula descriu un moviment parablic en les proximitats de la superfcie de la Terra. A. Es conserva: a) Lenergia cintica de la partcula. b) La quantitat de moviment de la partcula. c) Lenergia mecnica de la partcula.

Calculeu: a) Lacceleraci del sistema i la tensi de la corda.

Lenergia mecnica es conserva si no hi ha prdues per fregament. Lopci correcta s la c). B. En el punt ms alt de la trajectria de la partcula, es compleix que: a) Lacceleraci normal de la partcula s nul.la. b) Lacceleraci tangencial de la partcula s nul.la. c) La velocitat de la partcula s nul.la.

F 2 T 2 m m1 g 5 m1 a

En el punt ms alt dun moviment parablic noms actua lacceleraci de la gravetat que s perpendicular al vector velocitat en aquest punt. Lopci correcta s la b). 50. Una partcula descriu un moviment circular de radi 50 cm de manera que langle girat varia amb el temps segons lequaci 4 t t 3, en unitats del SI. Calculem primer la velocitat angular i lacceleraci angular: dw dv v 5 5 4 2 3 t2; a 5 5 26 t dt dt

T 2 (m2 1 m3) g 5 (m2 1 m3) a

A. Lacceleraci tangencial de la partcula en t a) 3 m/s2

1 s val:

a 5 1,5 m/s2

b) 0 m/s2 c) 3 m/s2

T 5 1 265 N

26

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

Lacceleraci tangencial a t 5 1 s val: at 5 a r 5 26 ? 1 ? 0,5 5 23 m/s Lopci correcta s la a). B. Lacceleraci normal de la partcula en t a) 0,5 m/s2 2

En el punt B, si plantegem el principi de conservaci de lenergia, tenim que: Ep 5 m g h 5 m g 2 l iB

1 s val:

1 2 Ec 5 m v B B 2

u y u t

b) 0 m/s2 c) 0,5 m/s2

Aplicant el principi de conservaci de lenergia mecnica i la 2a llei de Newton, tenim que:i 1 1 2 2 2 2 m g 2 l 1 m v B 5 m vA 4 g l 1 v B 5 v A u u 2 2 u 2 u vB y TB 1 m g 5 m u l u 2 u vA u TA 2 m g 5 m t l2 l TB 1 m g l 5 m v B i u 2 l TA 2 m g l 5 m v A y

Lacceleraci normal a t 5 1 s val: an 5 v2 r 5 (4 2 3 ? 12)2 ? 0,5 5 0,5 m/s2 Lopci correcta s la c). C. Lenergia cintica de la partcula: a) Es mant constant. b) Augmenta amb el temps. c) Primer disminueix i desprs augmenta amb el temps. Lacceleraci tangencial s la responsable del canvi en el mdul de la velocitat. En aquest cas val: at 5 23 t; s a dir, s de signe contrari a la velocitat tangencial. Per tant, la velocitat primer disminueix en mdul i desprs augmenta. I el mateix passa amb lenergia cintica. Lopci correcta s la c). 51. Una partcula de massa m lligada a lextrem duna corda de longitud l gira en un cercle vertical sense que hi actu cap fora de fricci, tal com es veu a la gura.

e u e t

4gl 1 v 5 v2 B

2 A

2 2 l TA 2 m g l 5 4 m g l 1 m v B l TA 2 5 m g l 5 m v B

l TA 2 5 m g l 5 l TB 1 m g l TA 5 TB 1 6 m g 52. Un cos de 3 kg de massa es mou al llarg duna trajectria determinada per lequaci de moviment: r

(3 t2 i

2t j )m

Calculeu la velocitat, la quantitat de moviment i el treball efectuat per la fora que actua sobre aquest cos entre els instants de temps t 1 s i t 2 s. r 5 3 t2 i 2 2 t j Escolliu larmaci correcta: a) La velocitat en el punt A s la mateixa que en el punt B. b) La tensi en el punt ms baix s igual a m g. c) La tensi en el punt A excedeix en 6 m g la tensi en el punt B. d) El treball realitzat pel pes quan el cos es desplaa de A a B val 2 m g l. Lopci correcta s la c). Veiem-ho: En el punt A, si plantegem el principi de conservaci de lenergia tenim que: Ep 5 0A

dr v 5 5 6 t i 2 2 j dt

p 5 m v 5 3 ? (6 t i 2 2 j ) 5 18 t i 2 6 j dp F 5 5 18 i dt r (1) 5 3 ? 12 i 2 2 ? 1 j 5 3 i 2 2 j i e

r (2) 5 3 ? 22 i 2 2 ? 2 j 5 12 i 2 4 j t D r 5 r (2) 2 r (1) 5 12 i 2 4 j 2 3 i 1 2 j 5 9 i 2 2 j W 5 F ? d r 5 18 i ? (9 i 2 2 j ) 5 18 ? 9 2 2 ? 0 5 162 J

e

y

1 2 Ec 5 m v A A 2

i u y u t

FSICA 2

01

27

53. Un cos es mou per lacci de la fora F x i x j . Calculeu el treball exercit per la fora en traslladar el cos des del punt A (0, 4) ns al punt B (5, 8), si el desplaament t lloc:

F 5 180 2 360 x W5

#

0,5 0

360 x 2 (180 2 360 x) d x 5 180 x 2 2

0,5

50

5 180 ? 0,5 2 180 ? 0,52 5 45 J 1 W 5 DEc 5 Ecf 2 Ec0 5 m v 2 2 v5 2E 2 ? 45 dllllll 5 dlllllllll 5 212,13 m/s m 2 ? 10c 23

a) Pel cam 1. W5

#

(5, 8) (0, 4)

(x i 1 x j ) d x d y

i u u 4 5 m?0 1 b b 5 4 y 4 u 8 5 5m 1 b 8 5 5m 1 4 m 5 u 5 t

y 5 mx 1 b

55. La fora amb qu els gasos procedents de lexplosi de la crrega de combusti actuen en linterior dun fusell sobre un projectil de 5 g de massa la dna lex pressi F 400 400 x. Si el projectil surt del fusell amb una velocitat de 200 m/s, calculeu lenergia cintica en linstant de sortir del fusell i la longitud del fusell. Primer representem la fora que actua sobre el projectil:

4 4 y 5 x 1 4 dy 5 dx 5 5 W5

#

(5, 8) (0, 4) 2

(x i 1 x j ) d x d y 55

# xdx 1 # xdx 5 55 0 5 0

4

x 5 2

4 x 1 5 2 02

5

5 4?5 5 1 5 2 5?2 02 2

25 1 20 45 5 5 5 22,5 J 2 2 b) Pel cam 2. W5

La grca talla leix Y en el valor F 5 400 i a leix X en el valor: 400 2 400 x 5 0 x 5 1 m Busquem el treball fet per la fora sobre el projectil a partir de la variaci en la seva energia cintica:

# xdx 1 # xdy 5 # xdx 1 # 5dy 55 0 8 4 5 0 8 4

i u u y u u t

i u u y u u t

1 1 W 5 DEc 5 m ? (v f2 2 v 2) 5 0,005 ? (2002 2 0) 5 100 J 0 2 2 Aquest valor coincideix amb el de lenergia cintica en linstant de sortir del fusell. Ara cal trobar en la grca anterior, el desplaament tal que lrea de la funci s igual a aquest valor del treball: rea 5

y 5 4 dy 5 0 x 5 5 dx 5 0 x2 5 25

25 1 [5 y]8 5 1 40 2 20 5 32,5 J 4 2 0

c) Raoneu si la fora F s conservativa. Aquesta fora no s conservativa perqu hem comprovat que el treball que realitza entre dos punts depn del cam seguit. 54. La fora que actua sobre un projectil de 2 g de massa i 50 cm de longitud, mentre aquest s al can, la dna lex pressi F 180 360 x. Determineu la velocitat i lenergia cintica a la sortida del can.

#

x

F (x) d x 5

0

# (400 2 400 x) d x 5 [400 x 2 200 x ] 5x 0 2 x 0

5 400 x 2 200 x2 Busquem per a quin valor de desplaament sobt el treball: 400 x 2 200 x2 5 100 x1 5 0,3 m; x2 5 1,7 m Aquests sn els possibles valors de la longitud del fusell.

28

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

56. Un cos de 50 g lligat a lextrem dun l de 2 m descriu una trajectria circular vertical. La velocitat al punt ms alt de la trajectria s de 10 m/s.

v 5 10 m/s Ep 5 m g h 1 Ec 5 m v 2 0 2 Ep 5 0 1 Ec 5 m v 2 2i u y u t i u y u t

v2 v2 10 p 2 p 5 m 9 p 5 m r r v2 v2 9 m g 5 m 9 g 5 r r v 5 d 9 g r 5 d 9 ? 9,8 ? 1 5 d 88,2 5 9,39 m/si 1 Dalt: Ec 1 Ep 5 m v92 1 m g 2 l u u 2

a) Dibuixeu totes les forces i calculeu la tensi del l en el punt ms alt. v2 P 1 T 5 m r v2 102 T 5 m 2 g 5 0,05 ? 2 9,8 5 2,01 N r 2 b) Calculeu la velocitat del cos i la tensi del l en el punt ms baix. 1 1 m v2 5 m v 2 1 m g h 0 2 2 v 5 d v 1 2 g h 5 d 10 1 2 ? 9,8 ? 4 5 13,4 m/s2 0 2

1 Baix: Ec 1 Ep 5 m v2 2 1 1 m v92 1 m g 2 l 5 m v 2 2 2 1 v92 5 2 v 2 2 2 g l 2

y u u t

v9 5 d v2 2 4 g l 5 d 9,392 1 4 ? 9,8 ? 1 5 d 49 5 7 m/s 58. Una molla de constant elstica 125 N/m que s sobre un pla horitzontal es comprimeix 50 cm amb un cos de 200 g de massa, de manera que dispara aquest cos. Calculeu laltura a qu arriba el cos en el pla inclinat, si entre el cos i la superfcie no hi actua el fregament.

v2 T 2 p 5 m r v2 13,42 T 5 m 1 g 5 0,05 ? 1 9,8 5 4,95 N r 2 c) Calculeu el treball fet per la tensi del l durant una volta. W 5 e F ? d r 5 0, ja que F i Dr sn perpendiculars. 57. Es fa girar en un pla vertical un cos que est enganxat a un l d1 m de longitud. Calculeu quina ha de ser la velocitat horitzontal que sha de comunicar a la corda en la posici ms alta perqu la tensi de la corda en la posici ms baixa sigui 10 vegades ms gran que el pes.

1 Epe 1 Epq k x2 5 m g h 2 125 ? 0,52 k x2 h 5 5 5 7,97 m 2mg 2 ? 0,2 ? 9,8

FSICA 2

01

29

59. Un gronxador est format per una cadira d1,5 kg de massa i una cadena d1,80 m de longitud i massa negligible. Una nena de 20 kg shi gronxa. En el punt ms alt de loscil.laci, la cadena forma un angle de 40 amb la vertical. Determineu:

61. Un cos llisca per un pla inclinat que forma un angle de 30 amb lhoritzontal i continua movent-se per un pla horitzontal ns a aturar-se. Determineu el coecient de fregament dels plans, si la distncia que ha recorregut el cos pel pla inclinat s la mateixa que pel pla horitzontal.

DE 5 Wfnc 1 m v 2 2 m g h 5 2m m g cos a x 2 h sin 30 5 h 5 x sin 30 xi u u y u 1 1 2 2 m v 2 5 2m m g x v 5 m g x u t 2 2

a) Lacceleraci del gronxador i la tensi de la cadena en el punt ms alt de loscil.laci. T 2 m g cos u 5 0 (v 5 0) m g sin u 5 m at T 5 m g cos u 5 162 N at 5 g sin u 5 6,3 m/s2 b) La velocitat del gronxador en el punt ms baix de loscil.laci. E 5 constant 5 Upunt ms alt

1 v 2 2 g x sin 30 5 2m g cos 30 x 2

m g x 2 g x sin 30 5 2m g cos 30 x m 2 sin 30 5 2m cos 30 sin 30 m 5 5 0,27 1 1 cos 30 62. Volem fer pujar amb velocitat constant un cos de massa 10 kg per un pla inclinat i per fer-ho li apliquem una fora F. El coecient de fregament dinmic entre el cos i el pla inclinat s 0,3.

5 Ecpunt ms baix

1 m g l (1 2 cos u) 5 m v2 2 v 5 d 2 g l (1 2 cos u) 5 2,9 m/s c) La tensi mxima de la cadena. T 2 m g cos u 5 m v2 (u)/li u y u t i u y u t

cos u

v (u)

quan u augmenta Tmx en u 5 0 g cos 0 1 v2 (u 5 0) Tmx 5 m 5 310 N l 60. Una bola de 500 g que es deixa caure des duna altura de 3 m sobre una superfcie de sorra penetra 15 cm en la sorra abans daturar-se. Determineu la fora, suposada constant, de la sorra sobre la bola. DE 5 Wfnc Epf 2 Epi 5 F Dx m g (h 2 h0) 5 F Dx 0,5 ? 9,8 (20,15 2 3) 5 F ? 0,15 F 5 2102,9 N a) Quant ha de valer el mdul de F si la seva direcci s paral.lela al pla inclinat ( 0)? Ff 5 m N 5 m m g cos a F 5 0 F 2 Ff 2 px 5 0 F 5 Ff 1 px 5 5 m m g cos a 1 m g sin a 5 m g (m cos a 1 sin a) 5 5 10 ? 9,8 (0,3 cos 30 1 sin 30) 5 74,5 N

30

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

b) En aquest cas, quant varien lenergia cintica i lenergia potencial gravitatria del cos si el cos es desplaa una distncia de 5 m pel pla inclinat? Quin treball fan F i la fora de fregament en aquest trajecte? DEc 5 0 v 5 constant h sin a 5 h 5 x sin a x DEp 5 Epf 2 Epi 5 m g h 2 0 5 m g x sin a 5 5 10 ? 9,8 ? 5 sin 30 5 245 J WF 5 F Dx 5 74,5 ? 5 5 372,5 J WFf 5 2Ff Dx 5 2m m g cos a Dx 5 5 20,3 ? 10 ? 9,8 ? cos 30 ? 5 5 2127,3 J c) En el cas que fos com es representa a la gura, raoneu si la fora de fregament seria ms gran o ms petita que per a 0. Fy 1 N9 5 py N9 5 py 2 Fy N9 , N, per tant la fora de fregament ser ms petita. 63. Un objecte puntual baixa sense fricci per la rampa representada a la gura. En arribar al punt A t una velocitat horitzontal v 5 m/s i desprs vola ns a terra.

c) Determineu el mdul de la velocitat de lobjecte quan s a 1 m de terra. Quin angle forma aquesta velocitat amb la vertical? Si y 5 1 m 1 5 2,7 2 4,9 t2 1,7 5 4,9 t2 t 5i vx 5 5 m/s y vy 5 29,8 ? 0,6 5 25,8 m/s t

1,7 dlllll 5 0,6 s 4,9

v 5 d v 2 1 v 2 5 d 52 1 (25,8)2 5 7,66 m/s x y vy 25,8 tg a 5 5 5 21,16 5 vx a 5 arctg (21,16) 5 310,7 64. Un cos llisca sense fregament des duna altura de 60 m i efectua un ris de 20 m de radi. Calculeu la fora que fa la superfcie sobre el cos en els punts A, B i C.

a) Quant val h? 1 v2 52 Ei 5 Ef m g h 5 m v2 h 5 5 5 2 2g 2 ? 9,8 5 1,28 m b) A quina distncia d de la paret vertical arriba lobjecte? s un llanament horitzontal: 1 y 5 y0 1 v0y Dt 1 a Dt 2 2 x 5 x0 1 v0x Dti u v 5 v 1 a Dt i 0y y y y u t t v 5v x 0x

A:

1 m g h 5 m v2 v2 5 2 g h 2 v2 v2 F 2 p 5 m F 5 m g 1 m R R 2gh 2 ? 60 F 5 m g 1 m m g 1 1 R R F 5 7 mg

y 5 2,7 2 4,9 t 2 i vy 5 29,8 t i y y t v 55 t x 5 5t x Quan y 5 0 0 5 2,7 2 4,9 t2 t 5 x 5 5 ? 0,74 5 3,7 m 2,7 dlllll 5 0,74 s 4,9 B:

1 m g h m g 2 R 1 m v2 2 v 2 5 2 g h 2 4 g R 5 2 g 60 2 4 g 20 5 120 g 2 80 g 5 40 g

FSICA 2

01i u v 5 v 1 a Dt i 0y y y y u t t v 5v x 0x

31

v2 v2 p 1 F 5 m F 5 m 2 m g R R 40 g 40 F 5 m 2 m g F 5 m g 2 1 5 m g R 20 C: v2 F 5 m R 1 m g h 5 m v2 1 m g R 2 v 2 5 2 g h 2 2 g R 5 2 g 60 2 2 g 20 5 80 g 80 g 80 g F 5 m 5 m 5 4 m g R 20 65. Un esquiador de 80 kg que surt des de A arriba a B amb una velocitat de 30 m/s, i quan passa per C la seva velocitat s de 23 m/s. La distncia entre B i C s de 30 m.

1 y 5 y0 1 v0y Dt 1 a Dt 2 2 x 5 x0 1 v0x Dt

v0y 5 v0 sin a 5 30 sin 30 5 15 v0x

i y 5 6,8 2 4,9 t 2 i y y t 5 v0 cos a 5 30 cos 30 5 25,98 t x 5 18,8 t y t

vy 5 6,8 2 9,8 t i vx 5 18,8

15 vy 5 0 t 5 5 1,53 s 9,8 y 5 15 ? 1,53 2 4,9 ? 1,532 5 11,48 m 66. Un esquiador de 70 kg de massa llisca per un trampol de 200 m de longitud. Durant aquest trajecte, lesquiador perd 90 m daltura i sobre ell actua una fora de fregament amb la neu que suposem constant i de valor 100 N. La velocitat de lesquiador just quan perd el contacte amb el trampol i comena el vol forma un angle de 20 respecte de lhoritzontal. Lesquiador aconsegueix fer un salt de 120 m de longitud. Suposant negligible el fregament entre lesquiador i laire, calculeu:

a) Quant han variat les energies cintica i potencial de lesquiador en anar des de B ns a C? h sin 30 5 h 5 x sin 30 x 1 1 1 2 2 2 2 DEc 5 m v C 2 m v B 5 m (v C 2 v B) 5 2 2 2 1 5 80 (232 2 302) 5 214 840 J 2 DEp 5 m g hC 2 m g hB 5 m g x sin 30 5 5 80 ? 9,8 ? 30 sin 30 5 11 760 J b) Quanta energia sha perdut per fregament en el tram recte BC? Quant val la fora de fregament, suposada constant, en aquest tram? DE 5 DEC 1 DEp 5 214 840 1 11 760 5 23 080 J DE 5 Wfnc DE 5 Ff Dx DE 23 080 Ff 5 5 5 2102,67 N Dx 30 c) Si la pista sacaba a C i lesquiador fa un salt parablic, quina s la mxima altura h que assolir, mesurada sobre el nivell de C (vegeu la gura)? Suposeu negligibles els efectes del fregament amb laire. a) Lenergia que perd per fregament lesquiador en el recorregut pel trampol. DE 5 Wfnc DE 5 Ff Dx 5 2100 ? 200 5 220 000 J b) El mdul i els components del vector velocitat v. 1 DE 5 Wfnc Wfnc 5 m v 2 2 m g h 2 1 220 000 5 70 v 2 2 70 ? 9,8 ? 90 2 220 000 5 35 v 2 2 61 740 v5

61 740 2 20 000 dlllllllllllllllll 5 34,53 m/s 35

v 5 v cos 20 i 1 v sin 20 j 5 5 34,53 cos 20 i 1 34,53 sin 20 j 5 5 32,45 i 1 11,81 j m/s

32

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

c) El desnivell y0 que hi ha entre el punt A, on lesquiador ha comenat el vol, i la pista a qu arriba.i 1 y 5 y0 1 v0y Dt 1 a Dt 2u y 5 y0 1 11,81 t 2 4,9 t 2 i y y 2 u t t x 5 32,45 t x 5 x0 1 v0x Dt i u u y u u 2 y 5 0 0 5 y0 1 11,81 ? 3,7 2 4,9 ? 3,7 y0 5 23,4 mt

68. Deixem anar un pndol simple des de la posici horitzontal. Demostreu que la tensi del l, en passar per la posici vertical, s tres vegades el pes del cos.

120 x 5 120 t 5 5 3,7 s 32,45

67. Per dos plans inclinats digual alada per de diferents angles dinclinaci llisquen sense fregament dos cossos que parteixen del reps des de la part superior. Calculeu les velocitats respectives quan arriben a la base del pla inclinat:

Representem totes les forces que actuen en la posici vertical i apliquem la 2a llei de Newton:

a) Aplicant les lleis de Newton. Apliquem la 2a llei de Newton, lequaci del moviment i lequaci de la velocitat del MRUA, i tenim en compte les condicions inicials de lenunciat: F 5 m a m g sin a 5 m a a 5 g sin a 1 1 x 5 a t 2 x 5 g sin a t 2 2 2 v 5 a t v 5 g sin a t 2 h sin a 5 x Allant i substituint, trobem que: h 1 x 5 5 g sin a t 2 sin a 2 1 g h 5 g2 sin2 a t 2 2 1 g h 5 v2 v 5 d 2 g h 2 b) Aplicant el principi de conservaci de lenergia. Aplicant el principi de conservaci de lenergia mecnica: Inici: Ec 5 0 Ep 5 m g h Final: 1 Ec 5 m v 2 2 Ep 5 0

v2 F 5 m a T 2 p 5 m an T 2 p 5 m l v2 T 5 m g 1 l Per determinar la velocitat que porta el pndol en la posici vertical, apliquem el principi de conservaci de lenergia mecnica. Considerem la referncia denergia potencial zero en la posici ms baixa del pndol: Inici: Ec 5 0 Ep 5 m g l Final: 1 Ec 5 m v 2 2 Ep 5 0

1 Ei 5 Ef m g l 5 m v 2 v 5 d 2 g l 2 Substitum a lexpressi de la tensi: 2gl v2 T 5 m g 1 m T 5 m g 1 m T 5 3 m g l l 69. Un avi de massa M fa un ris (loop) de manera que segueix una trajectria circular i vertical de radi R. Quin treball fa la fora pes quan lavi va del punt ms alt B al punt ms baix A de la trajectria? Quin treball fa aquesta fora en fer una volta completa de A a A?

1 Einici 5 Enal m g h 5 m v 2 v 5 d 2 g h 2 Observeu que sha arribat al mateix resultat en els dos casos, i que la velocitat amb qu arriba un cos a la part inferior del pla inclinat no depn de langle dinclinaci.

FSICA 2

01N1

33

Tenint en compte que la fora pes s una fora conservativa. Wp (A B) 5 mg Dx 5 m g 2 R Wp (A A) 5 0 70. Un jugador de futbol, que est parat amb la pilota als peus, passa la pilota a un company que es troba 15 m davant seu i que sest allunyant amb velocitat constant en la direcci de la recta que uneix els dos jugadors. La pilota t una massa de 400 g i surt dels peus del primer jugador amb una velocitat de 20 m/s, formant un angle de 20 respecte del terra. Calculeu: a) La mxima altura assolida per la pilota en la seva trajectria. v0x 5 v0 cos a 5 20 cos 20 5 18,8 i y v0y 5 v0 sin a 5 20 sin 20 5 6,8 ti 1 y 5 y0 1 v0y Dt 1 a Dt 2u vy 5 v0y 1 a Dt i y y 2 u t t v 5v x 5 x0 1 v0x Dt x 0x

N2

F T T

a

p2

p1

b) Calculeu la fora de tracci que fa el motor del cotxe i la fora amb qu el cotxe estira el remolc. m1 5 1 500 kg; m2 5 500 kg; a 5 2 m/s2 T 2 m2 g sin 10 5 m2 a T 2 500 ? 9,8 ? sin 10 5 500 ? 2 T 5 1 851 N F 2 T 2 px1 5 m1 a F 2 T 2 m1 g sin 10 5 m1 a F 2 1 851 2 1 500 ? 9,8 sin 10 5 1 500 ? 2 F 5 7 403,5 N c) Quina haur estat la variaci de lenergia mecnica del cotxe en un recorregut de 25 m a partir del punt darrencada? 1r mtode DE 5 Wfnc DE 5 F Dx 5 7 403,5 ? 25 5 1,85 ? 105 J 2n mtodei 1 1 x 5 a t2 25 5 2 ? t2 t 5 5 s u 2 2 y

y 5 6,8 2 4,9 t 2 i vy 5 6,8 2 9,8 t i y y t v 5 18,8 t x 5 18,8 t x 6,8 ymx vy 5 0 0 5 6,8 2 9,8 t t 5 5 0,7 s 9,8 ymx 5 6,8 ? 0,7 2 4,9 ? 0,72 5 2,35 m b) La velocitat que ha de dur el segon jugador perqu la pilota caigui als seus peus just quan aquesta arribi al terra. xmx y 5 0 0 5 6,8 t 2 4,9 t 2

6,8 t (6,8 2 4,9 t) 5 0 t 5 5 1,4 s 4,9 xmx 5 18,8 ? 1,4 5 26,3 m x2 5 x0 1 v Dt 26,3 5 15 1 v ? 1,4 26,3 2 15 v 5 5 8,1 m/s 1,4 c) Els components horitzontal i vertical de limpuls mecnic que ha comunicat a la pilota el primer jugador. I 5 F Dt 5 m v

v 5 a t v 5 2 ? 5 5 10 m/s

u t

h sin 10 5 h 5 x sin 10 5 25 sin 10 5 4,34 m x 1 DE 5 Ecf 1 Epf 5 m v2 1 m g h 5 2 1 5 2 000 ? 102 1 2 000 ? 9,8 ? 4,34 5 1,85 ? 105 J 2 72. Un cos de 3 kg de massa cau des duna certa altura amb una velocitat inicial de 2 m/s dirigida verticalment cap avall. Calculeu el treball fet durant 10 s contra les forces de resistncia que suposem constants, si se sap que al nal daquest temps la velocitat del cos s de 50 m/s. ag 1 aR 5 abaixa 1 y y 5 y0 1 v0 t 1 a t 2u t 2 v 5 v0 1 a ti u

I 5 m (v0x , v0y) 5 0,4 (18,8, 6,8) 5 (7,52, 2,72) Ns 71. Un cotxe de massa 1 500 kg arrossega un remolc de 500 kg. Inicialment el cotxe est aturat en un semfor i arrenca amb una acceleraci constant de 2 m/s2. La carretera sobre la qual circula s ascendent i t una inclinaci constant de 10. Suposant que les forces de fricci sobre el cotxe i sobre el remolc sn negligibles: a) Feu un esquema amb totes les forces que actuen sobre el remolc. Per a cadascuna daquestes, indiqueu sobre quin cos saplicar la fora de reacci corresponent.

34

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

250 1 2 250 5 22 1 a ? 10 a 5 5 24,8 m/s2 10 aR 5 9,8 2 4,8 5 5 m/s2 1 y 5 y0 5 22 ? 10 1 ? 4,8 ? 102 5 2260 m/s2 2 W 5 m aR y 5 3 ? 5 ? 260 5 3 900 J Per energies: 1 1 2 DE 5 2W m v 2 2 m v0 2 m g h 5 2W 2 2 1 1 ? 3 ? 502 2 ? 3 ? 22 2 3 ? 9,8 ? 260 5 23 900 J 5 2W 2 2 W 5 3 900 J 73. Un cos de 200 g lligat a un cordill de massa negligible i 60 cm de llargada gira en un pla vertical. En el punt ms alt de la seva trajectria (A) el cos t una velocitat de 3 m/s:

c) Quina s la velocitat del cos quan passa pel punt ms baix (C)?i u u 1 EcA 5 m v 2 u A u 2 y u EpC 5 0 u u 1 EcC 5 m v2 u C 2 t

EpA 5 m g h

1 1 1 1 m g h 1 m v2 5 m v2 g 2 R 1 v 2 5 v2 A C 2 2 2 A 2 C vC 5 d 4 g R 1 v2 5 d 4 ? 9,8 ? 0,6 1 32 5 5,7 m/s A 74. Un bloc de 5 kg s llanat cap amunt per un pla inclinat de 30 amb una velocitat de 10 m/s. Si recorre una distncia de 6 m sobre la superfcie inclinada del pla i desprs llisca cap avall ns al punt de partida, calculeu la fora de fregament que actua sobre el bloc i la velocitat amb qu el bloc torna a la posici inicial.

DE 5 2Wfnc h sin 30 5 h 5 x sin 30 x 1 m g h 2 m v 2 5 2Ff x 2 1 m g x sin 30 2 m v 2 5 2Ff x 2 1 5 ? 9,8 ? 6 ? sin 30 2 ? 5 ? 102 5 2Ff ? 6 Ff 5 17,17 N 2 1 m v 2 2 m g h 5 2Ff x 2 1 ? 5 ? v 2 2 5 ? 9,8 ? 6 ? sin 30 5 217,17 ? 6 2 v 5 4,19 m/s 75. Deixem caure un cos de 50 g sobre una molla que t una constant elstica de 200 N/m. Si la distncia entre el cos i la molla s de 10 m, calculeu la deformaci de la molla.

a) Feu un esquema de les forces degudes a la corda i al pes que actuen sobre el cos quan la corda est horitzontal i quan est vertical (quan el cos passa per A, per B, per C i per D).A T p D p T C p T T p B

b) Calculeu la tensi de la corda quan el cos passa per A. v2 p 1 T 5 m an T 5 m an 2 m g 5 m 2 g 5 R 32 5 0,2 2 9,8 5 1,04 N 0,6

FSICA 2

01

35

1 m g h 5 k x2 2 x5 2mgh dllllllll 5 k

2 ? 0,05 ? 9,8 ? 10 dlllllllllllllll x 5 0,22 m 200 76. Sobre una massa M 5 kg, que es troba en reps a la base del pla inclinat de la gura, saplica una fora horitzontal F de mdul 50 N. En arribar a lextrem superior E, situat a una altura H 10 m respecte del terra horitzontal, la fora F deixa dactuar. Si el coecient de fricci durant el moviment entre la massa i el pla inclinat val 0,2 i langle del pla amb lhoritzontal 30, calculeu:

77. Una vagoneta que pesa 500 N es troba inicialment en reps al capdamunt duna rampa de 20 m de llargada, 30 dinclinaci amb lhoritzontal i coecient de fricci 0,2. La vagoneta es deixa lliure i al nal de la rampa continua el seu moviment sobre un pla horitzontal sense fricci, on topa amb una molla de constant recuperadora k 7 104 N/m. Calculeu:

a) La velocitat amb qu la vagoneta arriba al nal de la rampa.

a) La fora normal i la fora de fregament entre la massa i el pla inclinat. N 2 Fy 2 py 5 0 N 5 Fy 1 py 5 F sin b 1 m g cos b 5 5 50 sin 30 1 5 ? 9,8 cos 30 5 67,4 N Ff 5 m N 5 0,2 ? 67,4 5 13,5 N b) La velocitat de la massa en arribar a lextrem superior E. h h sin b 5 Dx 5 Dx sin b DE 5 Wfnc Ef 2 Ei 5 2Ff Dx 1 Fx 1 h h m g h 1 m v 2 5 2Ff 1 F cos b 2 sin b sin b 1 2 5 ? 9,8 ? 10 1 5 ? v 5 2 10 10 5 213,49 1 50 cos 30 sin 30 sin 30 490 1 2,5 v 2 5 596,22 v5 596,22 2 490 dlllllllllllll 5 6,51 m/s 2,5 f 5 m N 5 m m g cos a 1 2m m g cos a ? l 5 m v 2 2 m g l sin a 2 v 5 [2 g l (sin a 2 m cos a)1/2 5 11,43 m/s b) El temps que la vagoneta triga a arribar al nal de la rampa. Es tracta dun MUA: v 5 v0 1 a t v 5 g (sin a 2 m cos a) t t 5 3,5 s c) La deformaci mxima que es produeix en la molla, si no sha perdut energia mecnica en la col.lisi. Considereu g 10 m/s2. Wnc 5 DE

i 1 1 Em 5 constant k x2 5 m v 2 u u 2 1

c) Lenergia cintica amb qu la massa arribar al terra. Quin tipus de trajectria seguir la massa desprs de passar per E? DE 5 0 Epi 1 Eci 5 Ecf 1 1 Ecf 5 m g h 1 m v 2 5 5 ? 9,8 ? 10 1 5 ? 6,512 5 596 J 2 2 La trajectria s parablica.

mg 500 N m 5 5 5 50 kg g 10 m/s2

y x 5 0,3 m u u t

78. Una massa de 500 g penja dun l de 2 m de longitud. Es deixa anar la massa quan el l forma un angle amb la vertical, i quan passa pel punt ms baix la seva velocitat s de 3 m/s. En aquest instant es trenca la corda i la massa m continua movent-se sobre el pla horitzontal ns a topar

36

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

amb una molla. La compressi mxima de la molla deguda al xoc amb la massa m s de 40 cm. Es demana:

Suposeu que no hi ha fregament a la guia, i determineu: a) La velocitat de la partcula en el punt B. EpA 5 m g h i EcA 5 0y t

EpB 5 m g R 1 EcB 5 m v 2 B 2

i u y u t

Aplicant el principi de conservaci de lenergia mecnica: 1 m g h 5 m g R 1 m v2 B 2 a) La tensi de la corda just abans de trencar-se. v2 v2 F 5 m a T 2 p 5 m an 5 m T 5 m 1 g 5 l l 32 5 0,5 1 9,8 5 7,15 N 2 b) El valor de langle . l2h cos a 5 h 5 l (1 2 cos a) l 1 Ei 5 Ef m g h 5 m v 2 2 1 g l (1 2 cos a) 5 v 2 2 v2 1 2 cos a 5 2gl v2 32 cos a 5 1 2 5 1 2 5 0,77 2gl 2 ? 9,8 ? 2 a 5 39,6 c) La constant recuperadora (k) de la molla. Considereu negligible el fregament entre la massa i el pla. 1 1 m v2 0,5 ? 32 Ei 5 Ef m v 2 5 k x2 k 5 5 5 2 0,42 2 2 x 5 28,1 N/m 79. Deixem caure una massa puntual de 2 kg des de lextrem A de la guia representada a la gura, situat a 3 m de terra. Laltre extrem de la guia descriu un cercle de radi 1 m, en un pla vertical. h cos a 5 R v2 pn 2 N 5 m R Punt on cau: N 5 0 v2 v2 Pn 5 m p cos a 5 m R R v2 h v2 m g cos a 5 m g 5 v 5 d g h R R R vB 5 d 2 g (h 2 R) 5 d 2 ? 9,8 (3 2 1) 5 6,3 m/s b) La fora que la guia fa sobre la partcula en el punt B. 6,32 v2 B F 5 m an T 5 m 5 2 ? 5 78 N R 1 c) El mdul de lacceleraci total de la partcula en el punt B. 6,32 v2 B an 5 5 5 39,7 m/s2 R 1 at 5 g 5 9,8 m/s2 80. Una anella de radi R est xada verticalment en el terra. De la part de dalt llisca sense fregament un cos. A quina distncia del punt xat amb el terra cau el cos?

FSICA 2

01

37

Principi de conservaci de lenergia: Inici: Ep 5 m g 2 R Ec 5 0 1 m g 2 R 5 m g (R 1 h) 1 m v2 2 1 2 g R 5 g (R 1 h) 1 g h 2 h 2R 5 R 1 h 1 2 3 2 R5h h5R 2 3 v 5 dgh 5 2 gR dlllllll 3 Final: Ep 5 m g (R 1 h) 1 Ec 5 m v 2 2

a 5 (0, 29,8) t0 5 0 r 5 (0,74 R, 1,67 R) 1 (1,7 d R 2 1,9 d R ) t 1 1 1 ? (0, 29,8) t 2 2 x 5 0,74 R 1 1,7 d R t y 5 1,67 R 2 1,9 d R t 2 4,9 t 2i e y e t

Si y 5 0 4,9 t2 1 1,9 d R t 2 1,67 R 5 0 21,9 d R 6 dlllllllllllllll 1,92 ? (d R )2 ? 4 ? 1,67 R ? 4,9 t 5 5 9,8 21,9 d R 6 d 3,61 R 1 32,73 R 5 5 9,8 4 dlllllllllll R 2R 92 2

2 h 2 R cos a 5 5 5 R 3 R 3

x0 dR 2 h sin a 5 5 5 5 R R R2 2

21,9 d R 1 6,03 d R d R (6,03 2 1,9) 5 5 5 0,42 d R 9,8 9,8 x 5 0,74 R 1 1,7 d R ? 0,42 d R 5 0,74 R 1 0,716 R 5 1,46 R

5 5 R

4 dllllllllllll R 12 92

924 d5 dllllllll 5 9 3

x0 5 d R2 2 h2 5

4 4 dllllllllll 5 dllllllllllll 5 R 2R R 12 9 92 2 2

81. Un can de 5 000 kg dispara un projectil de 40 kg amb una velocitat inicial horitzontal de 300 m/s des dun penya-segat a una altura de 60 m sobre el nivell del mar. El can est inicialment en reps sobre una plataforma amb 0,2. Calculeu:

d5 5 R 5 0,74 R 31 r 5 r0 1 v0 Dt 1 a Dt 2 2 2 r0 5 (x0, R 1 h) 5 0,74 R, R 1 R 5 3

5 5 0,74 R, R 5 (0,74 R, 1,67 R) 3 v0 5 (v cos a, 2v sin a) 5 5 2 2 2 d Rg R dllllll? , 2 dllllllg ? 3 3 3 3 5 5

a) La velocitat del can immediatament desprs que surti el projectil. m1 5 5 000 kg; m2 5 40 kg; v2 5 300 m/s pi 5 pf 0 5 m1 v1 1 m2 v2 m2 v2 40 ? 300 v1 5 2 5 2 5 22,4 m/s 5 000 m1

5

d

8 lllllll

R g, 2 27

d

lllllll 10

R g 5 27

5 (1,7 d R 2 1,9 d R )

38

01

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

b) Lespai recorregut pel can sobre la plataforma com a conseqncia del tret. DE 5 Wfnc Ecf 2 Eci 5 2Ff Dx 1 0 2 m1 v 2 5 2m N Dx 1 2 1 m1 v 2 5 m m1 g Dx 1 2 2,42 v2 1 Dx 5 5 5 1,47 m 2gm 2 ? 9,8 ? 0,2 c) Lenergia cintica amb qu arriba el projectil a laigua. E 5 constant 1 1 E 5 m2 v 2 1 m2 g h 5 40 ? 3002 1 40 ? 9,8 ? 60 5 2 2 2 6 5 1,82 ? 10 J 82. Una partcula de massa 0,1 kg, lligada a lextrem dun l, descriu un moviment circular en un pla vertical. Quan el l es troba en posici horitzontal, la seva tensi s 10 N. Calculeu per a aquesta posici: a) Lacceleraci centrpeta de la partcula. T 5 m ac ac 5 100 m/s2, direcci i sentit de T. b) Lacceleraci tangencial de la partcula. m g 5 m at at 5 10 m/s2, direcci i sentit de g.

En ser el xoc elstic es compleix que la velocitat relativa abans del xoc s igual a la velocitat relativa desprs del xoc: v1 2 v2 5 2(v9 2 v9) 1 2 En el nostre cas: v1 5 2(v9 2 v9) v9 5 v1 1 v9 5 v1 2 |v9|, 1 2 2 1 1 on prenem el sentit positiu de X habitual. La massa 1 assoleix una altura menor que la del punt A. Aix signica que el mdul de la seva velocitat sha redut per efecte del xoc (|v9| , v1). Aleshores, de la conservaci de la quantitat de 1 moviment es dedueix: 1 m1 v1 5 m1 ? (2|v9|) 1 m2 v9 m2 5 m1 (v1 1 |v9|) 5 1 2 1 v9 2 v1 1 |v9| 1 5 m1 . m1 v1 2 |v9| 1 v1 1 |v9| 1 donat que . 1. Per tant, lopci correcta s la c). v1 2 |v9| 1 B. La quantitat de moviment de la bola m1 desprs del xoc: a) s la mateixa que abans del xoc. b) s diferent que abans del xoc. c) Es mant constant. Lopci correcta s la b) ja que la quantitat de moviment de la massa 1 ha canviat en mdul i en direcci. C. La quantitat de moviment del sistema constitut per les dues boles: a) s la mateixa en tot moment des que m1 ha sortit de A. b) Varia per efecte del xoc. c) No varia per efecte del xoc. Lopci correcta s la c). El xoc no fa variar la quantitat de moviment del sistema, per s que ho fa la fora pes des que la massa 1 est al punt A. D. En tot el procs es mant constant: a) Lenergia cintica del sistema. b) Lenergia mecnica del sistema. c) Lenergia mecnica de m1. Lopci correcta s la b). Com que no hi ha fregament, lenergia mecnica del sistema es mant constant. En canvi, la massa 1 ha perdut part de la seva energia mecnica en interaccionar amb la massa 2.

83. La gura representa una guia circular en un pla vertical. La bola m1, inicialment en reps en el punt A, llisca per la guia i xoca elsticament amb la bola m2, inicialment en reps en el punt B. Com a conseqncia del xoc, la bola m1 retrocedeix ns a la posici C. El fregament s negligible.

A. La massa de la bola m2: a) s igual que la de la bola m1. b) s ms petita. c) s ms gran.

1,5 kg 84. Considereu el sistema de la gura. La massa m1 es troba inicialment en reps, en contacte amb lextrem duna molla ideal de constant recuperadora k 500 N/m, 1,5 kg tamb es troba comprimida 30 cm. La massa m2 inicialment en reps, a una distncia de 2 m de m1, a la part inferior duna pista semicircular de radi R 0,25 m.

FSICA 2

01

39

Al tram horitzontal que separa m1 de m2, el coecient de fregament s 0,2, mentre que a la pista semicircular el fregament s negligible.

b) Les velocitats de les dues masses un instant desprs dentrar en contacte. v9 2 v9 5 2(v9 2 v9) 2 1 2 1i e y e m1 v1 1 m2 v2 5 m1 v9 1 m2 v9 t 1 2

m 1 2 m2 v9 5 v1 5 0 m/s 1 m 1 1 m2 Quan la molla es deixa anar, es descomprimeix i impulsa la massa m1, que se separa de la molla i xoca elsticament amb m2. Calculeu: a) La velocitat de m1 un instant abans dentrar en contacte amb m2. Wnc 5 DE Wnc 5 2f ? d 5 2m m1 g d Wnc 5 25,886 J 1 1 DE 5 m1v 2 2 k x 2 1 1 2 2 0,75 v2 2 22,5 5 25,886 v15 4,7 m/s 1 2 m1 v9 5 v1 5 4,7 m/s 2 m1 1 m2 c) Lacceleraci centrpeta de m2 quan arriba a la part ms alta de la pista circular (punt B).2 vB ac 5 R

i u u y u 1 1 2 m2 v92 5 m2 v B 1 m2 g ? 2 R u 2 t 2 2

a25 49,12 m/s2

40

02

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

j Unitat 2. Camp gravitatorij Activitats1. Justica el fet que a prop de la superfcie terrestre el camp associat a la fora pes s un camp uniforme. Per a altures petites es pot negligir la curvatura de la Terra i considerar que la intensitat del camp gravitatori s perpendicular a lhoritzontal. Tamb es pot suposar, sense fer massa error, que s constant i de valor igual a g. Per tant, el camp associat a la fora pes s un camp uniforme prop de la superfcie terrestre. 2. Un camp newtoni actua sobre una partcula. Quan aquesta partcula es troba a una distncia determinada del centre de forces, experimenta una fora de 200 N. Quina fora rebria la partcula si se situs al doble de distncia que abans? k F 5 5 200 N r2 Si ara en comptes de r tenim 2r: k 1 k 1 F 9 5 5 5 200 5 50 N 2 2 4 r 4 (2r) 3. Un camp newtoni pot no ser un camp central? No, perqu per denici un camp newtoni s un camp central. 4. En un camp conservatiu el treball per anar dA a B pel cam C s de 120 J. El treball per anar de B a A per un altre cam qualsevol s: a) 120 J b) 2120 J c) 0 J El treball associat a un camp conservatiu al llarg dun cam tancat s zero. Per tant, per tornar de B a A es fa un treball oposat a lanterior. Lopci correcta s la b) 2120 J. 5. En un camp conservatiu, el treball per anar dA a B s 12 J i per anar de B a C, 45 J. Quina de les armacions s la correcta? a) El treball per anar dA a C s 57 J. b) El treball per anar dA a C s 33 J. c) El treball per anar dA a C s 257 J. El treball associat a un camp conservatiu s independent del cam seguit. En aquest cas, per anar dA a C escollim el cam dA a B seguit de B a C. El treball s la suma dels dos treballs i lopci correcta s la a), W 5 12 1 45 5 57 J.

6. Si expressem la fora en N, la massa en g i la distncia en cm, quin s el valor de la constant de la gravitaci universal G? m m9 Segons la llei de la gravitaci universal, F 5 G , la r2 constant de gravitaci universal, en el sistema internacional, pren el valor de G 5 6,67 ?10211 N?m2/kg2. En les unitats demanades, G val: N?cm2 N?m2 104 cm2 1 kg2 G 5 6,67?10211 ? ? 5 6,67?10213 1 m2 106 g 2 g2 kg2 7. Dues masses satrauen amb una fora d1 N quan es troben a una distncia d. Quina ser la fora datracci quan les masses es trobin a una distncia 4 d? m m9 F 5 G 5 1 N d2 Si ara en comptes de d tenim 4 d: m m9 1 m m9 1 F 5 G 5 G 5 1 5 61022 N 2 2 2 (4 d) 4 d 16 8. Una massa de 1 000 kg es troba en lorigen de coordenades i una altra de 2 000 kg en el punt de coordenades (300, 400) m. Quin s el mdul de la fora que rep la massa de 1 000 kg? Expressa el resultat en nN. La distncia que separa les masses s: d 5 d 3002 1 4002 5 500 m Les dues masses reben la mateixa fora (en mdul): m m9 F 5 G 5 8 G N 5 5,333610210 N 0,5336 nN d2 9. Quin s el perode del moviment de rotaci de la Terra al voltant del Sol si suposem que la trajectria s circular i que aquests cossos estan allats de la resta de lUnivers? Dades: MS 5 1,99 ? 1030 kg i rST 5 1,495 ? 1011 m En girar la Terra al voltant del Sol, la fora centrpeta ha digualar la fora gravitatria: Ms mT Ms mT v2 r 5 G v2 5 G 2 r r3 Tenint en compte que la velocitat angular es pot posar en funci del perode, tenim que: 2p 2p 2p v 5 T 5 5 5 T v Ms G r3

2p 5 5 365 dies 1,99 ?1030 6,67 ?10211 ? (1,495 ? 1011)3

FSICA 2

02

41

10. Quan una nau sallunya de la Terra, el seu pes varia? Com varia? Latracci gravitatria de la Terra sobre la nau varia de forma inversament proporcional al quadrat de la distncia de la nau al centre de masses de la Terra. 11. Un cos t una massa de 50 kg. Aquest cos a la Lluna t la mateixa massa? I pes? Justiqueu la resposta. La massa s independent de la intensitat de la gravetat on es troba el cos del planeta. Per tant, la massa s 50 kg tant a la Terra com a la Lluna. En canvi, el pes a la Lluna ser menor perqu lacceleraci de la gravetat a la superfcie de la Lluna s menor que la de la Terra. 12. La intensitat de la gravetat a la superfcie dun planeta s 3,2 m/s2. Quina s la intensitat de la gravetat a una distncia de la superfcie del planeta igual al triple del seu radi? La intensitat de la gravetat s inversament proporcional a la distncia al centre. Si la massa del planeta s M i el radi s M R, la gravetat a la superfcie s: g (R) 5 G . A la distncia R2 M d 5 4 R, la gravetat s g (d) 5 . s clar que la gravetat a (4 R)2 qudruple distncia s 16 vegades ms petita, per tant, 0,2 m/s2. 13. Calculeu la intensitat de camp gravitatori que genera en la seva superfcie una gran esfera metl.lica de coure de radi 5 m i densitat 8,93 ? 103 kg/m3. Amb quina fora atrau una persona de 80 kg que est tocant lesfera? Si designem per r la densitat, la massa de lesfera s: 4 M 5 r p R3 3 La intensitat del camp gravitatori a la seva superfcie s: 4 p R3 M 3 4 N g 5 G 5 G 5 G p R 5 1,25 ? 1025 R2 R2 3 kg La fora datracci sobre una persona de massa m 5 80 kg sobre la superfcie ser: F 5 m g 5 9,98 104 N 1 mN 14. La massa de la Lluna s aproximadament de 7,3 ? 10 kg, i el radi de 1,7 ? 106 m.22

1 Lespai recorregut per un cos en un temps t s: s 5 g t 2. 2 Substituint dades: s 5 84,27 cm 0,84 m. b) Quin s el perode doscil.laci a la superfcie lunar dun pndol que a la Terra oscil.la amb un perode d1 s? El perode del pndol de longitud l ve donat per: T 5 2p l dllll g

Dividint els perodes a la Lluna i a la Terra: TL 5 TT dllll 5 2,41. Si T 5 1 s, T 5 2,41 s. g gTL T L

c) Quins pesos haurem dutilitzar a la superfcie lunar per equilibrar la massa dun cos en el plat duna balana, si aquest equilibri saconsegueix a la Terra amb pesos de 23,15 g? Dada: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2 Cal posar els mateixos pesos, s a dir, 23,15 g. 15. Si la densitat de la Terra es tripliqus sense variar el radi, quin seria el valor de g a la superfcie de la Terra? A la superfcie de la Terra, la intensitat de camp gravitatori s, en mdul: 4 r0 p R T3 M 3 4 g0 5 G 5 G 5 G r0 p RT 2 2 RT RT 3 Si la densitat fos el triple, el camp gravitatori valdria: g 5 G (3 r 0) 4 p RT 5 3 g0 5 3 ? 9,8 5 29,4 m/s2 16. A quina distncia de la Terra la gravetat es redueix a una desena part del seu valor a la superfcie? Dades: Rt 5 6 380 km El mdul de la gravetat a la superfcie de la Terra s: MT g 5 G R2 en qu R s el radi de la Terra. Si la gravetat es redueix a una desena part, lexpressi anterior queda: g MT 5 G 10 R92 Relacionem les dues expressions: MT G g R2 R92 R92 5 10 5 10 5 g MT R2 6 3802 G 10 R92

a) Quina distncia recorre un cos en 1 s, en caiguda lliure a la Lluna, si el deixem anar des dun punt proper a la superfcie? Calculem la intensitat de la gravetat a la superfcie de la Lluna: M 7,3 ? 1022 g 5 G 5 6,67 ? 10211 5 1,69 m/s2 R2 (1,7 ? 106)2

42

02

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

Resolem lequaci i ens dna que la distncia respecte al centre de la Terra s R95 20 175,3 km que correspon una altura respecte de la superfcie de la Terra de 13 795,3 km. 17. Quant pesa una persona de 90 kg al cim de lEverest? Dades: altitud Everest 5 8 840 m Aquesta persona, al nivell del mar, pesa aproximadament: p 5 mg 5 90 ? 9,8 5 882 N En el cim de lEverest la gravetat disminueix una mica i el seu valor s, respecte al valor pres inicialment, aproximadament: R2 R2 MT g9 5 G ? 5 9,8 ? 5 (R 1 H)2 R 2 (R 1 H)2 1 1 5 9,8 ? 5 9,7729 m/s2 5 9,8 ? 2 H 8,84 2 11 1 1 R 6 380

21. Calculeu el camp gravitatori creat en el punt P per la distribuci de masses representada en la gura.

1

2

1

2

Per tant, el pes ser p 5 mg 5 90 ? 9,7729 5 879,6 N 18. Trobeu la relaci de la fora gravitatria i la fora centrpeta que rep una massa m a lequador. Dades: MT 5 5,98 ? 1 024 kg; RT 5 6 380 km La fora gravitatria s: p 5 mg 5 9,8 m N La fora centrpeta s: 2p Fn 5 m v2 R 5 m 24 ? 3 600

Els vectors de posici de les masses sn:

r1 5 4 j r1 5 4 r2 5 3 i 1 4 j r2 5 5 r3 5 10 i 1 4 j r3 5 d 116

1

2 6,38 ? 10 5 0,03374 m N2 6

La intensitat de camp gravitatori de la distribuci de masses ve donada per lexpressi:

La relaci entre aquestes forces s: 9,8 m 5 290,5 0,03374 m s a dir, la fora gravitatria s 290,5 vegades ms gran que la centrpeta. 19. En els vrtexs dun triangle equilter hi ha tres masses iguals. En quin punt sanul.la la intensitat de la gravetat? La gravetat sanul.la al centre de masses (el baricentre). 20. Si en tres dels quatre vrtexs dun quadrat tenim tres esferes de masses diferents, la intensitat del camp gravitatori en el centre del quadrat varia segons la posici de les masses en els vrtexs? Justiqueu la resposta. S que varia. El component en la direcci de cada diagonal s la diferncia dels camps dels vrtexs oposats i les dues diagonals sn perpendiculars. Si canviem de posici les masses dels vrtexs, els components varien i la seva composici varia.

Mi g 5 S G r i2

500 1000 (3 i 1 4 j ) 5 000 (10 i 1 4 j ) g 5 2G j 1 ? 1 ? 5 42 52 5 (d 116 )2 d 116

1

2

5 (1,07 ?1029 i 2 5,29 ?1029 j ) m/s2 22. En els vrtexs dun quadrat de costat 10 m hi ha quatre esferes iguals de 1 000 kg. Calculeu: a) La intensitat de camp en el centre del quadrat. La intensitat del camp gravitatori s nul.la en el centre del quadrat. b) El potencial en el centre del quadrat. El potencial s 4 vegades el produt per una de les masses. La distncia de cada massa al centre s la meitat de la diagonal: d 5 5 d 2 m. Per tant, el potencial s: V = 4 G M 1000 = 46,671011 = 3,77108 J/kg d 5 2

FSICA 2

02

43

23. Si en tres dels quatre vrtexs dun quadrat tenim tres esferes de masses diferents, el potencial gravitatori en el centre del quadrat varia segons la posici de les masses en els vrtexs? Justiqueu la resposta. No, perqu les distncies sn iguals i, en conseqncia, el potenS Mi cial V 5 2G noms depn de la massa total. d 24. En els vrtexs dun triangle equilter hi ha tres masses iguals. Hi ha algun lloc proper a les masses on sanul.li el potencial? No, el potencial sempre s una suma de termes del mateix signe i no es pot anul.lar a distncia finita de les masses. 25. Tenim una massa de 10 kg en reps sobre la superfcie terrestre. Quin treball cal fer per pujar-la ns a una distncia de 10 m? I ns a una altura de 630 km? Dades: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2 RT 5 6,37 ? 106 m MT 5 5,98 ? 1024 kg h 5 10 m W 5 mgh W 5 109,8110 5 981 J o b: MT MT W 5 m 2G 1 G W 5 981 J RT 1 h RT

La distncia al centre de la Terra s r 5 RT 1 h 5 16 370 km Aplicant la segona llei de Newton: MT m G 5 m v2 r r2 2p T 5 5 2 p v r dllllll 5 20 799 s 5 5 h 46 min 39 s GM3 T

28. Si un satl.lit vol reduir el radi drbita entorn dun planeta, lenergia cintica ha daugmentar o disminuir? Justiqueu la resposta. Per a un satl.lit en rbita entorn un planeta de massa M, la seva velocitat ve donada per: v 5 GM dlllll r

En conseqncia, si es vol reduir el radi de lrbita r, cal augmentar la velocitat del satl.lit, s a dir, cal augmentar la seva energia cintica. 29. Un satl.lit articial de massa 1 500 kg descriu una trajectria circular a una distncia de 630 km respecte de la superfcie terrestre. Calculeu: a) El perode del satl.lit.

1 1

2 2

r 5 RT 1 h 5 7 106 m MT m G 5 m v2 r v 5 r2 2p T 5 5 2 p v

h 5 630 km 5 6,3105 m MT MT W 5 m 2G 1 G W 5 5,6107 J RT 1 h RT 26. Si lenergia mecnica dun cos s de 1 200 J i suposem que es troba en un camp conservatiu, pot ser que el valor de lenergia potencial sigui: a) 21 000 J b) 1 400 J c) 5 000 J Raoneu la resposta. Lenergia mecnica per a un sistema conservatiu s la suma de les seves energies cintica i potencial. A ms, lenergia cintica sempre s positiva o zero. Per tant, si lenergia mecnica s de 1 200 J, lenergia potencial no pot superar aquest valor. Lnica opci possible s la a) 21 000 J que implica un valor de 2 200 J per a lenergia cintica. 27. Quin s el perode dun satl.lit que gira a 10 000 km de distncia respecte de la superfcie de la Terra? Dades: G 5 6,67 ? 10211 N?m2/kg2 ; RT 5 6 370 km MT 5 6 ? 1024 kg

3

G?M T r3

r 5 5,82 103 s 1,62 h G MT

b) Lenergia cintica i lenergia mecnica del satl.lit en rbita. 1 1 MT m Ec 5 m v2 r 2 5 G Ec 5 4,29 1010 J 2 2 r 1 MT m MT m E 5 U 1 Ec 5 2G 1 G r 2 r E 5 24,29 1010 J c) Lenergia mnima que caldria comunicar al satl.lit en rbita perqu sallunys indenidament de la Terra. Dades: G 5 6,67 10211 N m2/kg2; RT 5 6 370 km MT 5 6 1024 kg Eadicional mnima 1 E 5 E (`) 5 0 Eadicional mnima 5 4,29 1010 J

44

02

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

30. Un cos de massa 0,5 kg s sotms a un camp denergia potencial gravitatria Ep 5 (x 2 2 25) J. Calculeu: a) Si la massa t una energia mecnica de 216 J, en quin interval es pot moure? Representem grficament lenergia potencial en funci de la distncia i establim un nivell denergia mecnica de 216 J:

33. s correcte armar que el vector intensitat de camp gravitatori va en el sentit en qu augmenta el potencial? Justiqueu la resposta. No s correcte perqu la relaci entre la direcci daugment de potencial i el vector intensitat ve donada per: d V 5 2g d r. Considerant un diferencial de cam en el mateix sentit que el camp, resulta una disminuci del potencial.

j Activitats nalsh Qestions1. Dibuixeu les lnies de camp gravitatori de dues masses iguals que es troben a una certa distncia.

E 5 x 2 2 25 i y x2 2 25 5 216 t E 5 216 x 5 9 5 63 m [23, 3] b) Quina s la velocitat mxima i en quin punt es dna aquesta velocitat? La velocitat mxima tindr lloc quan passi per lorigen de coordenades, ja que lenergia potencial s mnima i, per tant, lenergia cintica s mxima: E 5 Ec 1 E p 216 5 225 1 Ec Ec 5 9 J Que correspon a una velocitat de: 1 9 5 ? 0,5 ? v 2 v 5 6 m/s 2 31. Com sn les superfcies equipotencials duna massa puntual? Dibuixeu-les. Ats que el potencial depn inversament de la distncia, les superfcies equipotencials sn esferes concntriques amb la massa puntual. 32. Demostreu que el vector intensitat de camp s perpendicular a les superfcies equipotencials. El diferencial de potencial s d V 5 2g d r. Si prenem d r sobre la superfcie, d V 5 0. Com que la intensitat de camp no s nul.la, ha de ser perpendicular a la superfcie, de manera que el producte escalar doni zero.

2. Deniu el concepte dintensitat de camp gravitatori i apliqueu-lo en un punt de la superfcie de la Terra. La intensitat del camp gravitatori en un punt s la fora que experimenta una partcula de massa unitat situada en aquest punt. En el cas duna massa situada a la superfcie de la Terra, s la fora pes duna massa d1 kg. 3. a) Quina diferncia hi ha entre la massa i el pes? Entenem la massa com la quantitat de matria de qu el cos est format, i sol ser invariable. El pes s la fora amb qu la Terra o un planeta atrau el cos. Quan la massa es mou a velocitats properes a la de la llum, aleshores la massa varia i cal tenir en compte els efectes relativistes. b) Pot ser que una persona no tingui massa? No, no s possible. Qualsevol cos t una certa massa. c) I pes? Una massa situada en un camp gravitatori nul no rep cap fora i entenem que el seu pes s nul. Justiqueu les respostes. 4. A la Lluna, un bloc pesa 50 N. Pesa igual a la Terra? La massa varia dun lloc a laltre? No. A la Terra pesa ms ja que la gravetat s ms gran.

FSICA 2

02

45

Si no tenim en compte els efectes relativistes, la massa s invariable. 5. Enuncieu les lleis de Kepler. Vegeu Llei de la gravitaci universal. 6. Dibuixeu les lnies de camp gravitatori duna massa pun tual. Indiqueu el vector g en un punt qualsevol. Dins duna mateixa lnia de camp indiqueu dos punts A i B i especiqueu quins dels dos t ms potencial.

9. Es poden tallar dues lnies de camp gravitatori?

No s possible. En la figura hem suposat que dues lnies de camp es tallen en un punt P. En aquesta situaci, en P tindrem dues intensitats diferents que actuen sobre el mateix cos. 10. Pot ser nul.la la intensitat de camp en un punt i no ser-ho el potencial? Raoneu la resposta amb un exemple. S que s possible. Considerem, per exemple, la Terra i la Lluna.

7. Observeu les superfcies equipotencials representades a la gura. Si negligim els efectes dels altres astres, podem considerar, segons indica la figura, un punt del segment que uneix la Terra i la Lluna on g 5 0 i v 0. 11. La velocitat descapament dun planeta depn: En quin dels dos punts indicats, A o B, la intensitat de camp s ms gran? Justiqueu la resposta. La relaci entre el camp gravitatori i el potencial ve donada dV per lexpressi 5 2g. dr Com que per una distncia r determinada, en A hi ha ms variaci de potencial que en B, ja que hi ha ms densitat de lnies equipotencials, aleshores dedum que la intensitat de camp gravitatori s ms gran en A que en B. 8. Pot ser nul el potencial en un punt i no ser-ho la intensitat de camp? Raoneu la resposta amb un exemple. En el cas del camp gravitatori, el potencial en un punt s nul quan es troba a una distncia infinita de la massa, i, en aquesta situaci, el camp gravitatori tamb s nul. Les expressions segents justifiquen aquesta conclusi: m g5G r2 m V 5 2G r a) De la massa del cos que surt. b) De la massa del planeta. c) Del radi del cos que surt. Lnica opci correcta s la b): la velocitat descapament dun planeta depn de la massa del planeta. A ms, tamb depn del radi del planeta per no depn ni del radi del cos que vol escapar-se ni de la seva velocitat. 12. Quin s el camp gravitatori en el centre dun quadrat si en els vrtexs hi ha quatre cossos de la mateixa massa m?

6

Per tant, no s possible que es doni la situaci de la qesti.

Els camps gravitatoris de les parelles de masses situades a vrtexs oposats sanul.len perqu tenen igual mdul i direcci i van en sentits contraris.

46

02

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE LALUMNE

13. Quan separem dues masses, lenergia potencial: a) Augmenta. b) Disminueix. c) No varia. Lopci correcta s la a), la seva energia potencial gravitatria augmenta perqu s negativa i el seu valor absolut disminueix en augmentar la distncia entre les dues masses. 14. Suposeu que aterreu en un planeta que t la mateixa densitat que la Terra, per un radi 5 vegades ms gran. Quant pesareu en aquest planeta en comparaci del que peseu a la Terra? Suposem que R s el radi de la Terra, i r la seva densitat. En mdul, el meu pes a la Terra seria: 4 p R3r m Mm 3 4 p Terra 5 G 5 G 5 G p r m R 2 2 R R 3 En un planeta de la mateixa densitat i radi 5 R, el meu pes seria: 4 p (5 R)3 r m Mm 3 4 p planeta 5 G 5 G 5 5 ? G p r m R 5 2 2 R 3 R 5 5 p Terra 15. Calculeu el temps aproximat que trigaria a completar la seva rbita al voltant del Sol un planeta del Sistema Solar que es trobs a una distncia mitjana del Sol tres vegades ms gran que la distncia mitjana de la Terra al Sol. T2 (3 R0)3 T 2 T2 0 0 5 T 2 5 5 33 ? T 2 0 R3 R3 R3 0 0 T 5 27 T0 5 5,2 anys 16. Quan un coet cau cap a la Terra, lenergia potencial augmenta o disminueix? I lenergia cintica? Lenergia potencial entre dos cossos s: m m9 Ep 5 2G r Si suposem que negligim el fregament de latmosfera, tenim un sistema conservatiu. Si el coet cau cap a la Terra, lenergia potencial disminueix i, en conseqncia, lenergia cintica augmenta. 17. Un pndol funciona com a rellotge. Quan sallunya de la Terra, savana o sendarrereix? En augmentar la distncia a la Terra, la intensitat del camp gravitatori disminueix. Tenint en compte lexpressi que relaciona el perode amb la intensitat de camp gravitatori i la longitud dun pndol senzill: T 5 2p l dllll g

Veiem que en disminuir la intensitat de camp augmenta el perode i, per tant, el rellotge sendarrereix. 18. Quan un satl.lit augmenta el radi drbita al voltant de la Terra, el perode augmenta o disminueix? Raoneu la resposta. Considerem la llei de Kepler, T 2 5 K r 3. En augmentar el radi, augmenta el perode seguint la condici segent: T 5 dKr3 19. Qu li succeeix a un satl.lit articial quan gira al voltant de la T