Solucionario Demidovich Tomo II - ByPriale

Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER.Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3

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ANALISIS MATEMATICO IIS O L U C I O N A R I O D E M I D O V I C H

T O M O I I

CO

W nn - \

♦ I N T E G R A L I N D E F I N I D A

♦ I N T E G R A L D E F I N I D A

♦ I N T E G R A L I M P R O P I A

♦ A P L I C A C I O N E S

E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S


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INDICE

C A P Í T U L O I V

INTEGRAL INDEFINIDA

Pag.

1.1. Reglas Principales para la Integración. 1

1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial. 8

1.3. Métodos de Sustitución. 45

1.4. Integración por Partes. 57

1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79

1.6. Integración de Funciones Racionales. 88

1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales. 116

1.8. Integrales de las Diferenciales Binómicas. 129

1.9. Integrales de Funciones Trigonométricas. 134

1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157

1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el

Cálculo de Integrales de la forma JR(x, Vax1 +bx + c )d x . 161

’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167

1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176

1.14. Integración de distintas Funciones. 180


C A P Í T U L O V

L A IN T EG R A L D E FIN ID A

2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 2182.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 2232.3. Integrales Impropias. 2342.4. Cambio de Variable en la Integral Definida. 2482.5. Integración por Partes. 2612.6. Teorema del Valor Medio. 268

C A P Í T U L O V I

. 3 1 , .

[A P L IC A C IO N E S D E LA IN T EG R A L D E FIN ID A

3.1. Areas de las Figuras Planas. 2763.2. Longitud de Arco de una Curva. 3103.3. Volumen de Revolución. 3253.4. Area de una Superficie de Revolución. 3473.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 3573.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas

de Física.377

Integral Indefinida1

C A P Í T U L O I V

4 . I N T E G R A L I N D E F I N I D A .

4.1. REG LA S PR IN C IPA LE S PA R A LA IN T E G R A C IO N .

0 F '(je) = / ( x) entonces j" f (x)dx = F(x) + c , c constante.

( 2 ) J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.

@ J(/(jc)±g(x)<¿x = j f ( x ) d x ± ^ g ( x ) d x .

© Si J / ( x > k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )

TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.

Sea u una función de x.

© J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c

2 Eduardo Espinoza Ramos

1031

J u 2 +a

du

y[a2 - u 2

audu = -

■ = are. sen f u ' + c = -are. eos

- + c , a > 0

+ c, ;a > 0

10) \ e ud u = e u +cJ12) I eosu du = senu+c

J = ln(w + y¡u2+a) + c ,a ? í0

J

J ln(fl)

^s zn (u )du = -cos(m) + c (l2) j"

j t g u d u = — ln|cosw| + c = lnjsecMj + C! ^4) tg u.du = ln |sen m| + c

Jsec u.du = tgu + c J csc2 u.du = -c tg u +c

Jcscu.du = lnjsec¿¿ + tgu\ + c (l^ jcscu.du = Ln\cscu-clgu\ + c

Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c @ Jcosh(M)¿K =senh(«)

j c s c 2 h(u).du = ctgh(u)+c @ Jsec2 h(u)du = tgh(n)

Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración:

J

) + c

) + c

I5a2x2dx

Desarrollo

Integral Indefinida 3

1032

1033

1034

1035

1036

(i6x2 + 8jc + 3 )dx.

Desarrollo

(6x2 + 8* + 3 )dx = 6 J x 2dx + 8 J xdx + 3 J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x

x(x + a)(x + b)dx

Desarrollo

+ c

í<C i ? x a + b 3 ab 2 í

x(x + a) (x + b)dx= \ ( x 3 +(a+b)x2 +abx)dx = — + - — x + y * +c

(a + bx^)2dx.

Desarrollo

=I<(a + bx3)2dx = I (a2 +2abx3 +b2x6)dx = a2x + Y x* + ^ - j - + c

J2 p x dx.

Desarrollo

\ ¡ 2 7 x d x = V 2 ^ J xU2dx = ^ 3/2 y¡2p +c = x j l f x + c

<fxDesarrollo


1037

1038

1039

1040

I\ - n

(nx) n dx.

Desarrollo

P P j p l l í iI (nx) n d x = \ u n — = — I m " du = (nx)n + c

í(a2,3- x 2/3)3dx.

J ( a 2/3 — x2/3 )3dx = j (a2 —

Desarrollo

3a4/3x 2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx

2 9 4 /3 5 /3 9 2/3 7 /3 X 3= a x — a x +—a x ----- + c5 7

J (yfx + 1) (x - \ [ x + \)dx.

Desarrollo

J" (%/3c -H1) ( x - \ f x + \)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X + C = — - J x + x + i

J(x2 + \ ) ( x2 - 2 ) j-------- -------- dx

3^7

Desarrollo

J U +l) _ 2)dx = ~ l ^ 2 dx = J (*10/3- X 4'3 - 2 x-2,3)dx

Integral Indefinida

= — X4y¡X-----x 2\fx~ 6 y jx + c13 7

1041 iT x

Desarrollo

.m „n \2 2« r í ü d 2m+2n~1 £2=*(x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m - xn )2 , f jc2"1 - 2jtm+n + *2n f

J— ----7i-- dx i2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x4m +1 2m + 2n +1 4« +1

1042 4 x f _ dxyjax

Desarrollo

+ c

\f-

f(V a-V jc)4 d _ f fl2 -4ayfax + 6ax-4x\[ax + x 2 ^

J \[ax J 4ax

= J [a2( a x y in - 4 a + 6-Jax - 4 x + x 2 (ax)“1/2 ] dx

2x3= 2a Ja x - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = + c

5 yfax

1043J í ! +7

Desarrollo


1044

1045

1046

1047

Í dxjr2 —10

Desarrollo

¡ T T o ' Í T - -

í

dx 1(Vio)2 2V10

ln x +VioC-VÍO

+ c

\¡4 + x 2Desarrollo

Por la fórmula 7 se tiene: | = In I x + \ lx2 +4 I + cJ (x +4)

I V8-JC2

t e - /

Desarrollo

X•--------------- = ore. sen (— =■) + c , resulta de la fórmula 8.

7(272)2 -* 2 2V2

J

í

■s/2 + x 2 - J 2 - X 2

•Ja-x*dx

Desarrollo

yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 J C /J2 + X2 y / 2 - x 2dx = f ( ^ 2 V 2 -* 2

» V^4-X4 V 4 - r4dx

= f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x + y¡2 + x 2J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2

+ c

por fórmulas 7 y 8.


1048 a) 1 tg2J

Desarrollo

r rJ , 8! A»fe = J<Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .

b) I tgh2

Desarrollo

Jtgh2 xdx = J(l-sec! Ax)iír = x-tgh+ c.

1049 a) 1 c tg" xdx.*

Desarrollo t V v *

[c tg 2x d x - J (c sc2 x - \ ) d x C t g X - j : + C.

b) 1 c tgh xdx.w

Desarrollo

J , ,g

1050 ¡3xexdx

Desarrollo

Í3 xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ -J J ln(3e)


4.2. IN T EG R A C IO N M ED IA N TE LA IN T R O D U C C IÓ N BA JO EL SIG N O DE LA DIFER EN C IA L.

Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:

J* f(y/(x)).y/'(x)dx = J f(u)du , donde u = y/(x)

a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la diferencial.

, , adx 1051 ------

1054

J -J a- xDesarrollo

sea u = a - x —> du = -d x —> dx = -du

f adx f dx f du , , cI ------ = a I ------- = -a I — = — aLn + aLn - aLn \------J a - x J a - x J u a - .

f 2x + 3J 2x+l

1052 Idx

Desarrollo------------

[ l —^ d x f ( - — + — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3| J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 2 4

f xdx J a +bx

Desarrollo

f xdx f 1 a , 1 , x a , . , .I --------= I [------- (-------- )]dx —------ —Ln\a + bx\+c

J a + bx J b b a + bx b b

+c

11055 I — + b dxax+ ¡5


1056

1057

1058

1059

Desarrollo

J ax + l3 J a a a + ¡i a a

\ ^ d xJ x - l

Desarrollo

2f X + 1 dx = f(x + l + —1— )dx = — + x + 21n | x - l |+ cJ x - l J x - l X

f x2 + 5x + 7 ,I --------------dxJ x + 3

Desarrollo

f x +^X + '! dx= j*(x + 2 h— -—)dx = — + 2x + In | x + 3 1J x+ 3 J x+ 3 2

J x - lDesarrollo

[ x U x 2 + 1 dx= f(x 3 + x 2 +2x + 2 + - Í -J x - l J x + l

+c

)dx

í

r 4 r 3= — + — + x2 +2x + 3 1 n |x - l |+ c

4 3

(a + -~ -)2dxX - f l

Desarrollo

r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | -+ cJ x - a J x - a (x - f l)“ x ~ a


1060

1061

1062

J X dx(jt + 1)2

Desarrollo

sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l

\ ~ T du= f ( ~— = ln | w | +—+ c = ln|* + l|+ —— + c i (JC + 1)2 J u2 J U u2 u x + l

f bdy

J VwDesarrollo

Sea u = 1 - y => dy = - du

J = b ~ y ll2(iy = ~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = -2 b y ] l-y + c

JVa -bxdx.

Desarrollo

Sea u - a - bx => dx = ~ —b

f s¡a-bxdx= fwl/2( -^ -) = - - \ u m du = - — u>fü+c = - — (a -b x )Ja -b x J J b b j 3b 3b

+c

1063 dx

Desarrollo


1064

1065

1066

1067

f - ¡ J L = d x = í (x 2 + i r 1/2^ = \u~U2 — = yfu+C = J x 2 +l+cJ V 7 7 T J J 2

f y / x + lnxJ X

-dx

Desarrollo

C yfx+ lnx , f . 1 ln * \ , 0 r , ln x- ----------dx= l(-p r + ----- )dx = 2 ^ x + —— + cJ X J yjx X 2

Í —J 3x2 + 5Desarrollo

í —t — = í r f X— = —J —¡= a rc tg C ^-) + c =-^= arctg(x í^ ) + cJ 3x + 5 J (J3x)2 +(J5)2 S S \¡5 %/I5 V5

f dxJ 7*2 +8

Desarrollo

dx j*______ dx______- * in i V7jf —2>/21 x 2 - 8 J (V7x)2 -(2>/2)2 y¡l 4V2 J l x + 2 ^ 2

dx _ ,--------------------- - ; 0 < b < a(a + b ) - ( a - b ) x

+c

Desarrollo

dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________

J (a + b ) - (a ~ b )x2 J (Ja + b)2 - ( J a - b x ) 2 J (Ja + bj2 -(-J a - b x )2

1 . yja+b + sja—bx .~ ln ,----- ---- f = = - \+c

2yja-b.\¡a + b \la + b - y /a -b x


1068

1069

1070

1071

1 . . yfa + b + y j a - b x .In | ------ -----— | +c2yja2 - b 2 J a + b -->J a - b x

rx 2dx

x 2 + 2Desarrollo

Ix3dx

~2 F a - xDesarrollo

f x3dx fJ

Jt2 - 5 x + 6

2 2 2 / x v f x a t o .(* + ~ -----= - ( — + — In | jc - a |) + c

x~ - a 2 2

i x 2 + 4dx

Desarrollo

Cx2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d xJ x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4

f dx

J yJl + Zx2

= In | *2 + 4 1 +arc.tg(—) + c 2 2

Desarrollo

2yfldxr dx f - 1 fj yll + Sx2 j yjl + (2y¡2x)2 2\¡2 J y¡7 + (2^/2x)2


1072

1073

1074

= 1 Ln 12- 2x + 7 +8jc2 | +c , por la fórmula 72v2

Ídx

yjl - 5 x 2Desarrollo

r dx _ j*______dx _ 1 |* '¡5dx------- =-^=arcsen(^í) + c

J 3* - 2Desarrollo

yftdx

1 , , . 5 . . y ¡3x-y¡2 ,= - ln 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l+c3 2>/3.V2 \¡3x + yj2oHonr,a»q

1 , I , 2 T I ^ i„ | ' f i x= —In - 2l- 2 lnl ^ + V2+c

Í3 - 2x , dx

5x +7Desarrollo

f = 2 f f Ü Ü L = - i l n 15 ^ + 71 +cJ 5jc2 + 7 SJ 5Jí! + 7 5V7 7 5.X _5 5

3 a rc tg (^ x ) - In 15x2 + 7 | +c>/35


1075

1076

1077

1078

J3.x:+ 1

dx\lsx2 +1

Desarrollo

( - * 2 L d x . 3 [ ' t b + ( * = 1 f i f Vm.Jy j5 x2 +l J s]5x2+l J yj5x2 +l 10 J y¡5x2 +1 S J ^(y¡5x)2 +1

- j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \yÍ5x+y¡5x2 + 1 1 +c 5 \ 5

Ix + 3

-dxs ¡ J ^ 4

Desarrollo

i r ? ' dx + 3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x + yjx2 - 4 |+ c , por la fórmulaj \ x - 4 J y j x 2 - 4

í x2 - 5Desarrollo

f ^ - = i f — —ln |x 2 —5 |+ c J a:2 - 5 2 J x — 5 2 '

J 2jc2 +3Desarrollo

J a x + b1079

Desarrollo

Integral Indefinida

1080

1081

1082

1083

) a 2x 2 +b2 ) a"x +b" J a2x2 +b2

1 , 9 o » ? i 1= — l n |a ' j r + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c 2a a b

f jcdx

J 4 7 ^ 7Desarrollo

(* xdx _ 1 f 2 xdx _ J_J Va4-*4 _2j^4_;c4 "2

2

= -^arc. sen(— ) + c úT

J i « 6Desarrollo

„2 ,f iL * L = f A </Y- = l f J £ ^ = Ia rc tg U 3) + c

J l + x6 J l + U 3)2 3 j l + (x ) 3

j" x 2dx

J VTmDesarrollo

f x 1 f 3a = - ln | x3 + \¡xb - l | + c , por la fórmula 7j V*6 - l 3 J V(;t3)2 -1 3

f jares'J vT :

arcsen* , dx

x2

J S p * = | <arcsenJ.

Desarrollo

dx


donde u = arcsen x => du =2

í

\¡ \ — X

- 2 - 2 u 2du = —u 2 +c = — (arcsen x)2 + c 3 3

f arctg(~) 1084 --------é~dx

4 + x2Desarrollo

f arctg(^) j f 2arctg(^) j f x 2dx arctg2(” t C

1085l + 4x2

Desarrollo

f Jr-7 a rc tg 2 Jr d,j = 1 f j £ * i f (arclg 2 f ) 3 - i *J 1 + 4x2 8 J 1 + 4* 2 Jl + 4x2

3

= - ln |l + 4jt2 I -- (a rc tg 2 x )2 +c8 3

1086

h

dx

yj(l + x 2) ln(x + Vi + x2 )Desarrollo

f ■ ^ ,____ - ¡ I M x + J u x 1 )] ----- -J y/(l + x 2) ln (x+ Jl + x 2) J v l + x


1087

1088

1089

1090

donde u = ln(x + vi-+ x2) => dudx

\ll + x 2

+ x2 ) + c2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl

J ae~mxdx

Desarrollo

duSea u = -mx => dx = -----

m

\a e -mxdx = a fe“ (-—) = - - \ e udu = - - e u J J m m J m

\

+ c = - - e~mx+c m

42~3xdx

Desarrollo

duJ 42 3 <íjc = 16J"4 3xdx, sea u = -3x => dx = -'-

16 4“ - 4 2.4~3* 42~3*

J ( e ' ~ e ~ ' )d t - j e ' d t - je~ 'd t - e ’ +e~'

3 ln(4) 31n4 31n4- + c

)dt

Desarrollo

+ c

m *

I (ea +e a)2dx

Desarrollo


1091

1092

1093

1094

m x x m 2 x 2 x 2 x 2 x

i (ea +e a )2d x - I (e a +2 + e a )dx = ^ e a + 2 x - ^ e a +c2 2

-x ,_^2-dxf (ax ~ b x)2

J axbxDesarrollo

2 (■ 2* ^„x<x..2x\ ^ x - b± d x = dx= f(( a- y - 2 + £ Y ) d xJ axbx J a 'b x J b a

¿ Y i - ) x j fl b- b _ + — - 2 x + c = ± r - ( £ ) x + ( - ) x) - 2 x + cln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a

b a

[ alX~ XAJ - J T *

Desarrollo

3 x xi x X „ y 2 o y

— + ------- + cIn a In a

f a -1 f , a 1 , f . y -§ w 2 a_ _ r f * = ( - = — -j=)dx= \ ( a 2 - a i ) d x = - . ~j ¿ Y J y f c 7 7 J 3 lr

Je + ^ x d x

Desarrollo

Sea u = -(a '2 +1) => du = -2x dx => xdx = ~ —2

J e~^+l)xdx = J e \ ~ ) = — fe^du = ~ \ eU + c = _ ^ " (Jrí+1> +c

I*.7* <£t

Desarrollo


Sea u — x~ => du = 2xdx => xdx = —2

í x . lx dx = [ 7 ^ ^ = Í7 “ — = - Í 7 " d « = - —J J J 2 2 J 21n('

1- + c = ----------7 + c2 ln(7) 21n(7)

l

1095 I 7dx1Desarrollo

1 dx dxSea u = — => du= — ■? => — = -duX X X

1096 I 5 ^ —

J e— dx = j e u (-du) = - J eudu = —

dx

T x

\_+ c = - e 1 + c

1Desarrollo

r dx dxSea u = yjx => d u - —=• => 2d u = —j= 2\¡x s¡x

{ 5J~xdx = \ 5“.2du = 2 ( 5“ du= —J V i J J ln(5;

1097 f — — dxJ ex - \

Desarrollo

Sea « = £ * -1 => du = e xdx

í C> — - = f — = In | m | +c = In | e* - 1 1 +cJ ex - l J «

+ c = — 5 ^ + 0 ln(5) ln(5)


1098

1099

1100

bexdx

Desarrollo

, . r . X . dUSea u = a - b e => du = -be dx => e dx —-----b

[ ( a - b e x)^exd x - [u^ [u^du = —— u^ +c = -^ - -J (a -b e x)3 +cJ J b b J 3b 3b

IX 1 X

(ea +1 y>eadx

Desarrollo

¿ - dxSea u = e a + 1 => du = ea — => adu = ea dxa

f - - — f - f - 3a - 3a —I (ea + l)3eadx = I u 3adu = a \ u 3du = -^ -u i +c = — (ea -1 )

J

* * 3 +c

dx 2X +3

Desarrollo

f — — f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X + 31)J 2* +3 3 J 2* +3 3 ln2

+ c

110. l - a ™J \ + a

Desarrollo


1102

1103

1104

f axdx 1 f du 1 1 ,------— = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c

J l + a m a j \ + u lna lna

f- J 1-e~fa¿jc I + e~2hx

Desarrollo

Sea u = e hx => du= -be~ hxdx => e~bxdx = - —

f <rto<¿r l f á 1 , x 1 , -h — h — 2’ = _ 7:arcts (M)+t: = - T arctg(^ ) +c J 1+e ¿ J 1 + w b b

f- J 1-«dt

Desarrollo-e2'

Sea w = e' => du = e ‘dt

f e!í/í C du 1, , 1 + u . 1, . 1 + e‘ .I — = I ----- í- = - ln ----- +c = —l n -------1 +c

J l — e J l - u 2 2 1-M 2 ' l - e' '

J sen(a + bx)dx

Desarrollo

Sea u = a + bx => du = b dx => d x - —b

f r du 1 fJ sen(a + bx)dx = J sen(w)— = — I sen(u)du

= - —cos(«) + c = -icos(« + kO + c6 fe


1105

1106

1107

1108

JJt

COS( ~7=)dxv5

Desarrollo

Sea u - -—= => \¡5

J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen(«) + c = . 5 sen( * ) + c

J (cos(oa) + sen(ax))2 dx

Desarrollo

J"(cos(a.v) + sen(ax))2 dx - J*(cos(a.v) + sen(<u))~ dx = I (eos (ax) + 2 sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx

i= I (1 + 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2<ru) + c

2 a

Jcos(Vx). dx4~x

Desarrollo

r dx dx _ ,Sea u = y/x => d u = — -¡= => —¡= = 2du 2 \Jx y X

j* cos(Vx).-^- = J* cos(u).2du = 2 J eos (u)du = 2sen(w) + c = 2sen (\fx)

í

+ c

sen(log x).— x

Desarrollo

Sea u = logx => d u - ——— => — = ln(10)í/w ln(10)x a-


1109

1110

1111

1112

J senflog x )—— = J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* sen (u)du

isen2 xdx

= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c

Desarrollo

., , ? 1 - cos2jcUsar la identidad: sen x = -----------

Jsen2.xí¿t = j i

j e o s 2 xdx

- cos(2jc) , x sen(2x)------------ d x - --------------- + c

2 2 4

Desarrollo

2 1 + cos(2jc)Usar la identidad eos x = --------------

2

J*cos2 jc</x = J -

í

2 2 4

s ecz(ax+b)dx

Desarrollo

duSea u = ax + b => dx = —

a

[ see2 (ax + b)dx = fsec2u — = - | see2 udu = - t g n + c = -tg (o x + fc) + c J J a a J a a

j c t g 2(ax)dx


Desarrollo

Usar la identidad: 1 + c tg 2 x = ese2 x

je tg2 (ax).dx = J (csc2(ax) -1 )dx = _ * + c

1113 f dx

sen(-)

Desarrollo

_ x _ , x „ , x ,Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— )

a 2a 2a

i — - \' sen(-) J

dx

2sen(— ).cos(— 2a 2 a > 2 ¡

s e c (^ ) 2 a

sen(— ) 2a

dx

- l i

2, Xsee (— ) 2 a

sen(— ).sec(— 2a 2 a

-d x = - f ) 2 j

j f sec2( ^ )1 ‘ 2a dx

Sea u = tg(— ) 2a

du = see (— ).— 2a 2a

? JCDe donde se tiene: see (— )dx = 2a dx 2a

Integral Indefinida25

1114

1115

1116

dxK

3co s(5 x -—)4

Desarrollo

dx 1 i 5x JT. i" ------ = — ln |tg [— + - ] |+ co /« * * 1 5 2 83cos(5x---- )

4

dxsen(ax + b)

Desarrollo

ax + b ax + bSe conoce sen(ax + b) = 2 sen( — ).cos( ^ )

f ■ - fJ sen(ox + b) J

dx,ax + b s ax + b

2 sen(— -—).cos(—- )

, r s e c = ( í ^ >, . sec(—- — ) , [>sec - > , , a x + b . .=1 f - - - 2— dx= - i - - - - h r dx = - lnltg(— )!+c2 J sn ,(£ £ ± * ) . g ( H ± í , “ 2

Jxdx

~)Desarrollo

cos2(x2)


1117

1118

1119

1120

J*sen (l-jr)í£c

Desarrollo

Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —

f »J*.í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2 )xdx = J sen

1 f j 1 1 2J $enud u = — cosu+c = —cos(l- X ) + c

I sen(;tr - \ ) 2dx

sen(xv2)

Desarrollo

J (¡enxv^ ~ 1)2 dX = J (CSC ~ 1)2 dX = J (CS° 2 (Xs^ ) " 2 csc(;cV2) + IWjc

= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | l n | ,g(^ )|+ c

/ tgxdx

Desarrollo

eos * +cf * * * = f — dx = -lnJ J eos Jf

tg xdx

Desarrollo

\ c ig x d x = = ln | sen jc| +cJ J senjr


1121

1122

1123

1124

1‘W r )dxb

Desarrollo

Sea u = — =* dx = (a -b)du a - b

J c tg(— -j-)dx = Je tg a.(a - b)du = ( a - ¿?) J cigudu

X= ( a - b ) In I senu | +c = (a - b ) ln | sen(------ ) | +c

a - b

Idx,x .

W j)

Desarrollo

r , r f co s( |)I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c

J t g í í ) J 5 J s e n A 5tgCj)

J tg(\fx). dXVI

Desarrollo

i— i dx dx ~ ,Sea z = \ x => dz - — => —¡ = - 2 d z

2yjx yjx

J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2 j tg zdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c

JxCtg(A'2v" +1 )dx

Desarrollo


1125

1126

1127

1128

Sea u = x 2 +1 => x dx — ——2

J xc tg(x2 + 1 )dx = J r tg(x2 + l)xdx = j c l g u . du~2

= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) | +c

ídx

sen x. eos xDesarrollo

f dx f secx , f see x , , , ,I -------------= I -------dx = I --------dx = ln tg x \+c

J sen xcos.r J senx J tg jc

ícos(—).sen(—)J a a

-)dx

Desarrollo

fcos(—).sen(—)dx = — sen2(— J a a 2 a

I sen3(6x).cos(6x)í¿v

Desarrollo

Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx

J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju

J

i du u4 sen4(6jc)— = — + c - --------- — - + C6 24 24

cos(ax) , dx

sen5(ax)Desarrollo


1129

1130

1131

p o s t a d L a * « , ) ) - * .* * « ) * . = — J-+C = --------!¡J sen (ax) J J a u a a sen

, + c (ax)

dudonde u = sen (ax) => cos(ax)dx - —

a

Isen(3x)djc 3 + cos(3jc)

Desarrollo

dzSea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = ——

f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I ln l z l + c = - i l n | 3 + COS(3x) |+c J 3 + cos(3jc) 3J z 3 3

Isen*, eos jc .r dx

Veos2 Jt-sen2 xDesarrollo

Se conoce que: sen x.cos x = — ^— y eos x — sen x — cos(2.r)

f sen xcosx = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx

J Veos2 Jt.sen2 x ~ >/cos(2x) 2 J

yJcos(2x)

2 ~

V1 + 3 eos2 x sen(2*)dx

Desarrollo

Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx


1132

1133

1134

1135

du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx

J*(l + 3cos2 x)2 ,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 +c = - ^ y j ( l + 3cos2 jc)3 +<

,sec2(—)dx3

Desarrollo

Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx

J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u 4 3 a . X.+ c = - t g ( - ) + c 4 3

dxx

Desarrolloeos2 X

f ^ ^ = f(tgx)2.sec2 xdx = — tg2(x) + cJ eos" x J 3

í2

sen (x)Desarrollo

c c t s 3 (x) r - ~ ~I r---- |c t g 3(x).csc (x)dx = — ctg3(x) + c

J sen (x) J 5

J1+ sen(3x) , dx

cos2(3.y)

Desarrollo

Integral Indefinida

1136

1137

1138

1139

f l + sen(3.t) ¿jr_ f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx = J cos2(3x) J

tg(3x) | sec(3x) | c

í(cos(üx) + sen(ax))2

sen(ax)Desarrollo

r (cos(ojc) + sen(ax)) _ f l + 2sen(ax).cos(flx) ^J sen(cijc) J sen(ox)

J (csc(ax) + 2 cos(ax))dx = — (ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c

f csc3(3x) _ ^J b - a c tg(3x)

Desarrollo

dU 2 V 1Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x ~ ^¡~ csc

f _ £ ! £ ! 2 íL .^ = _L f = ._Lln | u | +c = J -ln |b-- aCtg(3x) | J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a

J (2 senh(5x) - 3 cosh(5x))t/x

+c

Desarrollo

f 2 3(2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c

1senh2 xdx

Desarrollo


1140

1141

1142

1143

Jsenh2 xdx = J (—i

í

cosh(2*)N , x senh(2x)H-------------)dx —----- 1--------------1- c

2 2 4

senh(jc)Desarrollo

d'X = ln | tghí^) | +<~senh(x) 2

dxcosh(jt)

Desarrollo

f — —— = f ------- dx - 2 f e— - dx - 2 arctg(g*) + cJcoshU ) J \ + e2x J l + e2*

i senh(jc).cosh(jc)Desarrollo

f dx f seeh(x) J Csech2( x ) , , . , , .I -------------------- = -------— dx = --------— dx - ln | tgh(x) | + cJ senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x)

J tgh(A‘)¿VDesarrollo

J" tgh(x)dx = J* Senj * | dx = ln | cosh(x) | +c

1144 \ctgh(x)dx

Desarrollo


1145

1146

1147

í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c J J senh(x)

Hallar las siguientes integrales indefinidas:

í ' ^■x2dx

Desarrollo

J x\¡5 - x 2dx = J* (5 - X 2 )5 xdx = —^ j*(5 - x2 )5 (-2 x)dx =

J x - 4* +1

a2)6 +C

Desarrollo

Sea u = x 4 - 4 x + l =$ - = (x3 - l )d x4

f — - — í— dx = — f — = — ln |m |+c = — ln | a 4 - 4 x + \ \ J x4 — 4jc + 1 4 J u 4 4

1

+c

A + 5Desarrollo

f x3dx _ fJ ^ 5 _ J

x 3dx 1 , x Atg (.-!=)+ C

(a4)2 +(y¡5)2 4^5 J s

1148 í xe x dx

Desarrollo


1149

1150

j xe x dx = j e x xdx = —i j e u 1 « 1du =— e +c = — e +c 2 2

J 3 -> /2 + 3.í 2 dx2 + 3*2

Desarrollo

dx

72 + 3*‘J 2 + 3* J 2 + 3* J

Usando las formulas 4 y 7, se tiene:

f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx f Jx

J 2 + 3* J 2 + 3* J V2 + 3*2

= a rc tg (* ^-) - ln | \¡3x + y¡2 + 3x2 \ +c

f ¡ L ± d x J * + 1

Desarrollo

(* - * + 1--- — )dx = -(-* —21n * + 1 +c* + 1 3 2

Desarrollo


1152

1153

1154

1155

f 1 -sen * J * + cos*

dx

Desarrollo

S e a z = x + cosx =» dz = (1 - sen x)dx

fj—sen. x_ ¿x = í — = ln | z | +c = ln | * + eos * | +cJ * + cos* J z

f tg(3*)-ctg(3*)^J sen(3*)

Desarrollo

f jg(3*)—ctg(3*) _ f (Sec(3 _ c tg(3x)csc(3*))d*J sen(3*) J

= - [ln | sec( 3*) + tg(3*) | + ---- ——] + c3 sen(3*)

Jdx

* ln2 *Desarrollo

f d\ - = f(lnx) = f«J * ln ' * J x J

- 2 . 1 1du = — + c ---------- 1-cu ln(*)

dxdonde u = ln x => d u - —

*

Jsee2 xdx

y¡ig2 x - 2Desarrollo

Sea u = tg x => du= see2 xdx

f see2 xdx f du , , rI — - I — In I u + \luJ s]tg2 x - 2 J yju2 - 2

2 - 2 | +c = ln | lgx + \jtg2 x - 2 l+c


1156

1157

1158

1159

J(2h----- — )- *2x +1 2x +1

Desarrollo

f x dx C dx f xdx

J *"+ 2x2 +1 2x2 +1 ~ J 2x2 +1 + J (2x2 +1)2

= \Í2 arctg(W2)--------—— + c4(2x“ +1)

íasenx eos xdx

Desarrollo

Sea u - a sen x => du - a scnx cos x. In a dx => = asenx eos xdxIn a

f sen* f du 1 asenxl a cos xdx = I -----= ------u + c - -------J J \na lna lna

J* x2dx

J W T \

+ c

Desarrollo

„ 3 , dU ■ySea u = x +1 => — = x~dx

3

f X dx f 3 -r 2 . f du 1I —...-..... - I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = — uJ J 3 2

x4Desarrollo


1160

1161

1162

1163

f xdx 1 f 2 xdx 1 2\I ,____ = — I —= = = = = = — aresen(x ) + cJ V Í I 7 2 2

íXg2(ax)dx

Desarrollo

tg¿(ax)dx= I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ ax'> - x + cJ" tg2(ax)dx = J*(

J sen2('(^r)dx2

Desarrollo

« , , i 1-cos(2jc)Por la identidad sen' x ---------------- se tiene:

J sen2(-^)ífa = J -

J

— eos x . x sen* --------- dx = ---------------h c

2 2

see2 xdx

\ ¡ 4 - t g 2 x

f see*

Desarrollo

2 xdx= aresen(-----) + c

f dx

^ eos(—)

Desarrollo


1164

1165

1166

1167

1y¡\ + In x ---------- dx

Desarrollo

Sea u = 1 + ln x => du = l~x

J Vi + ln x — - J*“

J y f x - l

l 3 - 3 -3d u - —u 3’ +c= — (1 + lnx)3 +c

4 4

x -1 ) .-J x - l

Desarrollo

dx „ , dxSea z - y j x - l => dz= Jí— => 2dz = -

2yjx~l y j x - l

J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c

i xdx

)Desarrollo

sen(x2)

f xdx 1 , , , r %l 1 , ,I -------j - = -In I tg(— ) | +c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + c

J se n (x ) 2 2 2

J

sen(x ) 2

e ^ ' + x l n ü + x V l1 + x2

dx

Desarrollo

Ce ^ + x W + x ^ + l ^ = fJ 1+x2 X ~ J

. , . e aMgv x ln(l + x2) 1 wdx = | (------ - + --------- - + --------)dx

1 + X 1 + x~ 1 + X

arctot ln (1 + X ~ )= e ° + ------------- + arctg * + c


1168

1169

1170

1171

1sen x -e o s x ,--------------- dxsen x + eos x

Desarrollo

Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx

f sen x - eos x , f du , , . ,--------------- dx = I ------= - ln w + c = - ln |s e n x + cosx |+ cJ senx + cosx J u

í

(1 - sen(-~ ))2---------

se „ < - |)

Desarrollo

,( l- s e n (™ ))2f -----------— — = í ( ---- -------- 2 + sen {-^=))dx

sen(- =) sen(^=)"72

= V2 ln | fg (~ = ) | -2 x - yjl eos( -j=) + c

I2

x dx x 2 - 2

Desarrollo

f (1 + A-)2J x(l + x2

dx - 1(1 + —^— )dx = x + -^= ln j —— | +c x —2 V2 x+V 2

-dx x(l + x¿)

Desarrollo


1172 j"esen* sen lxdx

Desarrollo

Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx

5

Vi"-3^

f 5 -3 * f d* f xdx 5 V3* I------- 7I ~~r ' ti* = 5 I ..... - 3 I = -=arcsen(——) + V 4-3 *

J V4 - 3*2 J V 4 - 3 7 V3 2

f ¿*J e* +1

1173 f - .5 3A dxJ J 4 - 3 r 2

1174

1175

Desarrollo

+ c

Desarrollo

f dx f ,I —----= I ------- -í/* = - ln 1 + e ■* +c = -{\n(} + e x) - l n e x] + cJ e +1 J l + e

= - [ ln |l + e JC |-* ] + c = * - l n | l + e* |+c

h (a + b) + (a-b)x~Desarrollo

f _____ * ____ _ = _ L f _J (a + b) + (a-b)x~ a - b j a-

dx 1 1 t= arctg (~ t ) + c

(a + b) + ( a - b ) x 1 a - b j a + b | a - b ¡a + b " ¡a+b

1 a ~ b . -arctg(* /------ ) + c■Ja2 - b 2 Vfl + ¿

Integral Indefinida

1176 í , e — - dx

1177

£

s¡e2x- 2Desarrollo

f e ' d x - f - 7=¿ £ = = m |^ + V ¡ 2 2 | + cJ 4 e l x - 2 J J(eA )2 - 2

¡

dxsen(fl.v). cosía*)

Desarrollo

f dx = f sec(^2</* = f Scc2(a- ^ = — ln | tg(ax) | +cJ sen(a*).cos(fl*) J sen(ax) J tg(a*) «

1 2tt? , 1178 sen(— + yf0)dti '

Desarrollo

2 Kt 2n . , rj. duSea u —-----+ i//n => d u = — dt => dt = T — ~

T T ¿n

j s e n ( - ^ + 1/ 0 )dt = J sen u.T — = ~ J sen u du

eos 11 T , 2tt/= - r ------ + c = ------ cos(-— +v^0) + c

27T 2n 1

1179r rf*J *(4-ln2.*(4-ln~ *)

Desarrollo

dxSea u = !n x => du = —


1180

1181

1182

1183

f . f _ * l | „ | i ± ü J x (4 - ln 'x ) J 4 -u ~ 4 2 - u

1, , 2 + ln x ,+ c - — l n --------- +c4 2 - ln x

. arccos(—)

Desarrollo

dx

Sea u = arccos(—) => du = — — d u = -2 / l _ ( | ) 2 V ^ X 2

-arccos(-) f «2 1 -I —-j— 2 dx = - \ udu = - — + c - — (arccos(—))2 +c

J V 4 - r 2 J 2 2 2

í

V4

e~lg 1 see2 xdx

Desarrollo

Sea u = - tg x =» du= — sec2 xdx

J*e~tg' .sec2 xdx = -J*eV « = —e" + c = - e _tgA + c

f senx.

J V2 - sen4 x

eos .v , dx

Desarrollo

,------ ----- - dx = — arcsen(— =—) + cV 2-sen4* 2 V2

dxsen2 .v.cos2 *

Desarrollo


1184

1185

1186

sen 2*sen x.cos * = --------

f -------—-------= 4 f — ^ -= 4 f csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + cJ sen2 x.cos2 x J sen“(2x) J

íaresen x + x ,

dx

Desarrollo•x2

¡ ^ x + x d x = ^ l f _ ^ + c

f secx.tgx ,J i 2.......J vsec x + 1

Desarrollo

f secx.tgx , f secx.tgx . / 2 „ . , 1 , „I — </r= I 0 — d x - In j ser r + vsec x + l |+CJ Vsee2 x + 1 J y(secx)2+1

Icos(2x) dx

4 + cos2(2x)Desarrollo

f cos(2x)</x f cos(2x) f cos(2x)rfx 1 ^ i ^+ sen d x )J 4 + cos2(2x) J 4 + 1 —sen2(2x) J 5 -se n 2(2x1 4^5 V5-sen(2x)

+c

1187 f — í i J 1 + cos

Desarrollo


1188

1189

1190

f¡n(x + -Jx2 +1)

Sea a = ln(x + yfx2

Desarrollo

na;- l+1) => du =

dx

x 2

f ln(.v + n/a" + 1 ) (* /“’J 7 dx f ,i ------ d x - I (\n(x + \¡x + 1 ))2 —p------ = I u du —

j v i + x 2 j 7 , ^ 7 J

— ■\](ln(x + y¡x2 + l))^ + c3

í jc2 cosh(;t3 + 3)<£c

Desarrollo

o 3 -> d u 2 ,Sea u — x +3 => — = x dx

f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 +3)I x cosh(x + 3 ) d x - I cosh(«)~— = ------— + c = ------ -------- J J 3 3 3

^tgh(A)

+ C

í , dx cosh“(jc)

Desarrollo

Sea u = tgh x => du = see l r (x )d x

j* -jtglUjr) /• » ~u i tgh x

I - 1— , -dx= I 3'gb *.see hx2dx = 13 “ du = --------- + c --------+ cJ cosh“(.v) J J ln3 ln3

{NI I r*-i


4.3. M E T O D O D E SU STIT U C IO N .-

PRIMERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRACION INDEFINIDA.

Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función continua diferenciable,

f ( x ) d x = J f(\f/(t))xif\t)dt . . . ( 1)

La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) tome una forma más adecuada para la integración.

SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

1 Si la integral contiene el radical \[a2 -

xdx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—)

a

x se toma: sen 0 = ; x = a sen 0a

2 Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: sec0 = —, x= a see 0

dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-)a

\/x2 - a2

a


1191

3 Si la integral contiene el radical 4 a2 + x2 se toma: tgd = —

x = a tg 0 ; dx = a see2 6 d6 ; 9 ~ arctg(—)a

Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.

a)i* dx 1

J x J T ^ . ' x ~~>Desarrollo

1 A d t A - 1x — - => dx = — — ademas t = —t r x

dt-dt 1

xyjx2 - 2 J 2r2 J V l-2 r2 V2(V2í)-arccos(v2 ?) + c

b)

1 V2 /--7=arccos(— ) + c , x> \J2 V2 x

f dxJ ex +1

x = - ln t

Desarrollo


dt

L + / l+c = - ln \ \ + e~x I +cJ e ' + l J e " ln,+1 J l + í

c) I x(5x2 - 3)7 dx , 5x2 - 3 = ti ‘

Desarrollo

? , dt 5x - 3 = t => jcí/x = — 10

\ x (5 x2 - 3 ) 1dx= f / 7- = 4J J 10 80(5x -3 )

+ c = ---------- — + c80

f xdx i---- rd) I , t = J x + \J Vx + 1

Desarrollo

t = yjx+1 => dt = ----7 = = i t = y ¡ X + 1 => X = f 2 -12y¡X + \

f eos xdx e) / ’ 1 = sen x

J VI + sen aDesarrollo

t = sen x => dt = eos x dx

f eos xdx f dt _

J Vi + sen2 x J \¡\+t~= In I ? + Vl + r I +c = ln | sen x + + sen2 x | +c


1192

1193

Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas.

I x(2x + 5 )wdx

Desarrollo

t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^ 2 2

f x(2x + 5)}0dx= f — = - f ( /n - 5 t w )dt = - [ - ----- — í“ ] + cJ J 2 2 4 j 4 12 11

; i í a * ± s F _ ± (2x+ n4 12 11

I1 + X

dxl + yfx

Desarrollo

Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt

J 1 + yJX ' J 1 + t J í + 1

T 2 /3 t22J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /-2 1 n |f + l|] + <?

= 2[— -----— + 2\[x - 2 \n | \ + \[x |] + c

1194 f dxJ x\J2x + l

Desarrollo


1195

1196

1197

2 .i------- i t — 1Sea t = yj2.V + 1 = > r = 2 a + 1 ; x = ------ => dx = td t

f dX - f -y —— = 2 f -y— - In 1 [ +c = ln | i * + 1J x \ j 2 x + 1 J r - 1 í - 1 V2 a + 1 - 1

yj2x + 1 + 1 .

+c

- i 2

ídx

•je* -1Desarrollo

Sea t = \Je' -1 t ~ —e x — 1 e x —t +1

2tdtt2 + 1

e cdx = 2 id / => dx = -

2tdt

f —I— = f ? ± 1 = 2 f f ' = 2 arctg t + c = 2arctg(V?7J V ^ - l J f J r + l

fln(2x) dx J ln(4x) a

Desarrollo

ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2

fln(2x) dx _ j* lnA + ln2 dx _ f ln2 dxJ ln(4x) x J l n x + 2 ln 2 a J l n A + 21n2 x

= ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c

f(arcsenx)2 ,

JDesarrollo

■l) + c


Sea t = arcsen x => d t -dx

v r

1198

1199

f (arcsen r f f 2 /J J T 7 - 1 ■

í

V l - x

e2xdx

(arcsen*)3 + c = --------------- í-c

Vex +]Desarrollo

Sea t 2 = ex + 1 => ex = t 2 -1 => exdx = 2rdt

r e2xdx Cf_-

J V77I J r

I

1 l td t = 2(t- - t ) + c =^-í(r2 -3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x

sen xdx

Desarrollo

Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; como t 2 = eos *

=> í 4 = eos2 * - 1-sen* * ; sen~* = l - í 4

j W « f a = f l z í l . (_2„ d, = - 2 f (1- ,< v , = - 2 ( , - 4 ) + <' = 7'(>4 J v cosx J t J

= y Veos *(cos2 * - 5) + c

- 2 ) + c

5) + c

1200 f y -J *Vi+*~

Desarrollo

Integral indefinida 51

dtt.-z-

f - 7 ^ = = í -?==== = - f “ 7=== = “ In Ir + V í^+T| +cj *vtt7 j r r

. i Vi+*2 1, , , i + V i+ *2 , . , * .= —ln | — h----------1 -t-c = — ln ¡-------------- ¡ +c = ln |------ = = ¡ + c* * * 1+V1 + * 2

Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.

1201 I" x2dx

J VHvDesarrollo

cos0 = V i - * 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d 0

fW O .c o s I ) ^ ¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’)J V i-* 2 j cose J J 2

de

0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi:-------------------hC = ------------* -------2 2 2 2

1202 í x ' dx

&


Desarrollo

\Í2 eos8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡2sen9 => dx = \Í2cos9d9

íx dx

y¡2-

2>/2 J sen3 0 d6 = 2V2J (1 -

= 2\¡2(-

scn} OdO = 2V2 I ( l -c o s ¿ 9 )s e n 9 d 9 = 2a /2 (-cos0 + ~"-) + c

7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 )+ cV2 2 ' 3V2

1203 IDesarrollo

x2 - a2

a.tg# = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0

7 2 - X 2

f 2V2 sen3 0.V2 eos 6 d 0 J V2cos0


f \ jx 2 - a2 _ j>a íg 0 .íisec0 .tg 0 í/0 _ f 2J x J a sec0 J

6 d 6

= « | (see2 0 - 1 )d9 = a tg 9 - u9 + c - \ jx 2 - a 2 - a.are see( —) + cJ a

1204f dx

J x T T T Í

= 7 ^ 2 - « 2 -a.arecos(—) + cx

Desarrollo

c tg 0 = - ¡ = L = ; cos0= — 9 = árceos—7 7 7 1 x a

x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0

1205

f — — = fcos0rtg9.scc0.tg0dO - f d 9 - 0 + l -aiccos(—) + tJ x T ^ T J ~ ~ J

7 x2 +1 ,— dx

Desarrollo

tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7 x 2 +1

1


f í £ i . sec= í ) < » = rJ X J tg 0 J

J ( see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd

sec0(l + tg~0)úí0 t20

] _eos f)= ln ¡c s c 0 -c tg 0 | + sec0+ c = ln| —------ -|+ sec0 + c

sen0

- _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2 + 1 - ln | 1 + C OS 0

1206 f -----p------x2y ¡ 4 - x 2

Desarrollo

x = 2 sen 0 => dx = 2 co s0 d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0

l + Vx + l+c

f — = f — 1 J x2y¡4-x2 J 4 sen2

2c°s0 1 f 2 ctg 0 J 4 -X 2------------- do = - ese 6 dO = ----- — + c = ------------0 -2 c o s0 4 J 4 4x

+c

1207 x 1 dx

Desarrollo

x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2


1208

1209

J \ ¡ l - x 2dx = J0 sen 0. eos 0 aresen x x \ ¡ l - x 22 + *

Calcular la integra! I

- + c = - + c

J V I V T I

Desarrollo

Sea x = sen2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt,

2 2

valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .

como x - sen / => sen t ■ Jx t = aresen VI

f — * L _ = f - 2 sen ' - i— - 1 = 2 f - 2 t + c - 2 aresen VIJ VIVICI J sen r V i-sen2/ J sen/.cosí

+ c

j V ? + x 2dx

Desarrollo

Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:

Va2 + a'2 = V«2 + «2 sen2 ht = acoshf ; dx = a cosh t. dt

2 f 1 + cosh 2í , a2 , senh2fJ Va2 +x2dx = a2 J cosh2 f dt = «2 J -rfí = — (/+- 2 2

) + r


1210

= — (t + senhí.coshO + í' = — ln (x + yja2 + x 2) +—4 a 2 + a2 + c2 2 2

t, , x v « “ + X“donde, senh t - —, cosh t = ------------a a

e' = cosh t + senh t x + yfa2 + x2

í ;

2x~dxHallar I r-------- ; haciendo x = a cosh t

J T ^ a 2Desarrollo

x = a cosh t => dx = a senh t. dt

f x 'dx f a2 cosh2 í.senhí dt 7 f ,= I ------------------------= a I cosh t dt

J y j x 2 - a 2 J senhí J

= ° f+ cosh2í , a2 . senh2í, a2dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c

2 2 2 2

como x = a cosh t => cosh t = —, ademása

L , x x"> +x"senhf = „ l + ( ~ yV V

V 2 I í 2a + x“ , . x + vx~ +ae = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ----------------a

f x~dx _ a

i J x 2 - a 2

a 2 , x + 4 x 2 +a2 . xyja2 + x 2[ln i---------------- 1+--------r----- ] + cI o 7 o L 1 1 „2ix - a

i2

a

= — ln | .v + \[x~ + a 2 | + —yja2 + x~ +k


4.4. IN T E G R A C IO N PO R PA R TES.-

Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v = <p(x); son funciones diferenciables, tendremos que:

» »u dv = uv~ vdu

•

Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por partes.

1211 J- xdx

Haciendou = ln x =» d u - —

x

Desarrollo

dx

dv — dx => v = x

\nxdx = A ln x - | x —- = jc.ln* —Jt + cJ*ln xdx - A‘ln x — J x — - .

1212 I arctg xdx

Desarrollo

Haciendou - arctg x => du =

dv = dx => v = a-

dx

(1 + JC2)

Jr x ¿x i . ,, ?,arctg a* dx = x. arctg x - I ----- = X arctg x - — ln 11 + x~ | +c

1 4" X~

J1213 are sen a dx

Desarrollo


1214

1216

1217

Haciendou = arcsen x =$ du =

dx

dv = dx => v - x

arcsen xdx - x. arcsen x - íxdx r. 2= x arcsen x + v i - x +c

xsen xdx

Desarrollo

Haciendou - x => d u - d x

dv = eos 3x dx v =sen3x

í

I;

xcos 3x dx = -xsen3x fsen3x , xsen3x cos3x

í -dx - + c

-dx

Desarrollo

Haciendou = x => du = dx

II dx — =>i

ex

- - Idx x 1

J “ 7 ~ ex ex + C ~x + 1

- + c

í x.2 ' dx

Haciendo

Desarrollo

u = x => du= dx

dv = 2 x dx => v = — -ln 2


1218

1219

L 2- ^ = - x .2I - f - 2I ^ = - x . ^ . -J ln2 J in 2 ln2

P

2~* xln2 + l+ c = ---------r— + c

In -2 2jr ln2 2

Desarrollo

Haciendou = x_ => <ím = 2xáx

c/v = e3xc/x,3*

V = ■

xe ’xdx

Haciendo -u = x => du= dx

j 3r . edv - e ' dx => v = —3x

1r2 0 <* -.3*2„3* > X „3jx W x = — eJJC- - [3 3 3 -P - d x \ = - e 3x~ e3* + -------+ c

3 3 9 272x 2e3x

e3x 2 - — (9x‘ - 6x + 2) + c 27

2x + 5)e Xdx

Desarrollo

Haciendoj u = x - 2 x + 5 du = 2(x-X)dx

\dv = e~xdx => v = -e~x


1220

Haciendo« = * -1 => du = dx

dv = e~xdx => v = -e~

J

(x¿ - 2 x + 5)e Xdx = - e X(x2 - 2 x + 5) + 2 (x - l) ( -e x) - 2 e x +c

X

x3e 3dx

Haciendo

= -e~x(x2 +5 ) + c

Desarrollo

u = x3 => du - 3x2dxX X

dv = e 3dx => v = —3e 3

e 3dx = -3 x 3e 3 - J*(3x2)(-3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx

Haciendou = x" => du = 2xdx

X X

d v - e 3dx => v = -3e 3

J' J ’

Haciendou = x => d u - d x

Xdv = e 3dx => v = -3e 3

m _ X X X

\ x 3e 3dx = - 3 x 2e 3 (x + 3) + 54(-3x<? 3 -9 e 3) + c

- - X = - 3 x 2e 3 (x + 3 ) -5 4 e 3(3x + 9) + c = -e~3(3x3 + 9x2 + 162x + 486) + c

X

= —3e 3(x3 + 3 x 2 + 54x + 162) + c


1221

1222

Jxsen x. cosxdx

Desarrollo

Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x

í x sen x. eos x d x ~ — í x sen 2x dx2 J

Haciendou = x du = dx

dv = sen2xdx => v -eos 2x

f 1 f N , 1 , x . sen2xNj xsenx.cosxdlx = — J xsen(2x)dx = — (——cos2xh----- — ) + c

2 2

x . sen2x= — cos(2x) + ---------- ve

4 8

í (x2 + 5x + 6)cos2xdx

Desarrollo

Haciendou = x2 + 5x + 6 => du = (2x + 5)dx

dv — eos 2 xdx => v =sen 2x

i (x‘ + 5x + 6) eos 2x dx =x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx

2 2 a

Haciendou = 2x + 5 => du = 2í/x

dv = sen2xdx => v =eos 2x

i

i62 Eduardo Espinoza Ramos

i (x2+5X+6)co&2xdx = 5 ± l sen2xA {. ^ l l cos2x + ^ l ) +c2 2 2 2

2x2 +lOx + l \ „ 2x + 5= — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c

4 4

1223 j x 2 lnxdx

Desarrollo

Haciendou = ln x => du — —

dv = x 2dx => v = —

1224

f 1.. > / ** i f ** dx x3 , jr3i lu u/< In r - I -------* — ln jc------J ’ J 3 x 3 9

J ln1 x dx

+ c

Desarrollo

Haciendo M = ln*x => du = 2lnx.

d v - d x => v = x

dx

j l n 2 x.dx = x l a 2 x - j x . 2 l n x.— = x \n2 x - 2 J* ln xdx

Haciendom = ln x => d u = —

xd v - d x => v — x

ln2 x.dx = xln2 x-2xlnx+2x+c


1225

1226

1227

flnjJ x3

dx

Desarrollo

Haciendou = lnx => du

_¿xX

1- ll^1

8- => v =1

2x2

lnx dx _

2x2 . ! 2x2 X- + c

4 x

dx

Haciendou = ln x => du= —

x

dv = => v = 2 VI\lx

Desarrollo

dx

dx = 2 V i ln x - 1 2 V i ^ = 2 V I ln x - 2 J V i y = ln + ‘

í xarctgx</x

Haciendo

Desarrollo

. dxu = arctg x => du ------- -

1 + x2

dv - x d x => v —2

Jxarctgx<it = -arctgx-2 J ——- d x arctgx J(1 _ x ^ dx


x2 1 * * + 1 , x- — arctg*H— atctg*— + c = --------arctg * - — + c2 2 2 2 2

11228 * arcsen* dx

Haciendo

u - arcsen x => du =

dv = xdx => v = —

Desarrollo

dx

s í i ^ x 2

dxf ¿ X 1 l C X 2cI x arcsen xdx = — arcsen*— —¡=J 2 2 J ^ Z x2

Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0

V i-se n 2 9= f « n ’ #« ,»= í í ^ í " , »-2 ““sen2 O.cosOdd = j sen" t) dt) = j ----—

9 sen 20 9 sen 9 eos 9 arcsen* * v l - * 22 4 2

2Luego: * arcsen xdx = — arcsen * - —(

J 2 2 21 arcsen* *V l - * 2 ) + c

arcsen* * r , T+ - V 1 - * +c

1229 J ln(* + Vi + *2 W*

Desarrollo

Haciendou = ln(*+ Vl + *2 => =

dv = dx => v = *

dx

V1+*2


1230

1231

1232

f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx]n(x+'h+x2) - 'J \ + x~ +cJ J V i+ * 2

íxdx en2 *

Desarrollo

*cos ec2xdx

Haciendoíw = * =i> du = dx

líiv = cosec2xdx =£ v = - c tg *

J - A = - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +cj sen * J

f xcosxdxJ sen2 *

Desarrollo

f * c o s * ^ _ f xc o se c x c Xgxdx J sen"* J

Haciendou = x => du = dxdv = cosecx.ctgxdx => v = - c o s ecx

f.vcosx , f ,I —dx = -e o sec x- I -e o secxdxJ sen * J

X x= -xcosecx + ln I eos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡ tg— | +c

sen* 2

íex sen xdx

Desarrollo

66

1233

Eduardo Espinoza Ramos

Haciendou = sen x => du = eos x dx

I

dv = e dx => v = e

ex senx d x - e x s e n x - j e * cosxdx

u = eos x => du = - sen xdxHaciendo

I

d v - e * d x => v = e*

e* sen xdx = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)dx)J‘

J‘= e* sen x - e* cos x - I ex sen xdx = — (senx -eo s x) + c2

13* eos xdx

Desarrollo

Haciendou — eosx => du = - s e n x d x

3*

13X eos xdx =

dv = 3xdx => v

3* eos xln3 I-

ln3

3X , 3X eos—— sen xdx = --------ln 3 ln 3

í + — f ln 3 j

3X sen xdx

Haciendow =senx => du = eos xdx

3Xdv = 3xdx v = -

ln3

, 3*cosx 3* sen x3 cos x d x - --------- -H---------—

ln3 ln3 - ¡ y3X eos xdx

, 3* (sen x + ln3cosx)3 cosxdx = ----------- ----------------- \-c

ln 3 +1


1234

1235

íeax sen(bx)dx

Desarrollo

m = sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dxHaciendo

dv = emdx =* v = ----a

f eax sen(bx)dx = sen bx - \ b e— cosbxdx = e- ^ ^ - b f•* a J a a a J

Haciendou = eos bx => du = - b sen bxdx

e“*dv = eaxdx => v = -a

Jeax sen bx dx = e™ senbx b . e ^ cosbx b--- (■

a a a+ — f e sen bxdx)

e“* sen bx b m b2 f „-----—e eos bx— - l e sen bxdx

a~ J

7>J(1 + —r) I e“* sen bxdx =

a a

aeax sen bx - beax eos bx

l ax , , ax.asenbx-bcosbx ,J e sen bx dx = e°* (--------- — —------ ) + ca2 +b2

J sen(ln x)dx

Desarrollo

eos bxdx

Sea z = ln x => x - e z => dx = e zdz


f f ez sen — e" eos 7J sen(ln x)dx = I ez sen zd z = -------- — ----------+ c , por el ejercicio 1234.

íe njrsen(lnx)-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x)

sen(ln x)dx = ---------- -------------------- ----- - + c = ----------------------- ------- + c2 2

Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos:

J a - ' ,1236 I x e~x dx

'

Haciendo •

Desarrollo

h = x 2 => du = 2xdx

e-*dv = xe~* dx => v = ■

j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ - - X 1 e x e x ■>e ----------i-c = -------- (x~ + 1) + c2 2

1237 I e ^ d x

Desarrollo

Sea z 2 = x => dx = 2zdz

J"e ^ d x = 2 f zezdz

Haciendou = z => du — dz

dv = e zdz => v = ez

^ e ^ d x = 2J zezdz = 2(zez - e z ) + c = 2(yfxe'^x - e ^ ) + c = 2e' x (\[x - l ) + t


1238

1239

J (x -2 x + 3 )ln x d x

Desarrollo

Haciendou = ln x => d u = —

x

dv = (x2 - 2x + 3)dx => v = —— x2 +3xi .3

J*(jc2 - 2 x + 3)lnxdx = ( ^ - - x 2 + 3x)I n — J * — jc + 3 )dx

fx ln ( |—:-)dx J 1 + x

r 3 3 2= (------x2 + 3x)lnx------- ¡-------3x + c

3 9 2

Desarrollo

J x ln(|—- )dx = J" jcln(l — x)dx - J x ln(l + x)dx

integrando J x ln (l-x )d x

(1)

Haciendou = ln(l - x ) => du = -

dv - xdx => v = —2

dx\ - x

Ixln(l - x)dx = — ln(l - x) + ^2 J 1-

2 x2dx = — ln (l-x )+ [

x 21 f(_x_l+J-2 J 1-;

)dx]

(2)


iintegrando I xln(l + x)í/x

Haciendou = ln(l + x) du =

dv = xdx => v = — 2

dxí+ x

I x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f . 2 J 1

x2 x2— dx = — ln(l + x)- + x 2

- f ( x - l + —2 J 1 + ;

■)dx

X X X 1= — ln(l + x ) - — + ------- ln(l + x)

2 4 2 2... (3)

reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene:

fxln(-—-)<£t = — ln (l-x )-—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H---------H—ln(l+x)J 1+x 2 ' " " "4 2 2 4 2 2

x2 , 1 -x 1, , 1 - x . x2 - l . , 1 - * .= — ln---------x — ln(-- ) + c = ---------- l n |-------1 - x + c

2 1 + x 2 \ + x 1 + x

1240 I\n¿x

dx

Haciendo

Desarrollo

dxu = ln x => d u - 2lnx.

dvdx 1


1241

1242

Haciendou = ln x => du= —

x. dx 1d v - — =* V —----

x¿ X

ñln2 x lnx f dx . ln2x 2 lnx 2

-dx = — — + 2(—x- x

f ln(ln x)

í

y-dx

Desarrollo

Haciendou = ln(ln x) => du =

i dx idv — — => v = ln xx

dx xln x

ln(in jc)dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.-

J

dxxlnx

= (ln(ln x) - 1) ln x + c

= ln x. ln(ln x) - ln x + c

x arctg(3x)í£c

Desarrollo

Haciendou = arctg(3x) => du =

j 2 , x dv = x dx => v = -—-

3 dx l + 9x2

J, x3

x arctg(3x)dx = — arctg(3x) -f x dx _ x'J l+9x

- f ( - — — - J 9 162 118x+ 9x2

-)dx

J x 1- — arctg(3x)-------1----- ln 11 + 9x2 | +c

3 18 162


1243

i ■

1244

I x(arctg x)2dx

Desarrollo

Sea z = arctg x =* x = tgz => dx = sec2 z dz

JA(arctg x)2dx = J z 2 tg z.sec2 z dz

u - z 2 => du = 2zdzHaciendo

7 t g 2 Zdv = tgz.sec zdz => v = ——2

7 2 - 2= — tg2 z + ~ - I zsecz zdz

j*x(arctgx)2í¿x = ^ - tg 2 z - J z t g 2 zdz = ~ ~ tg 2 z - j"(zsec2 z~z )dz

- I '

integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes

Jx(arctg x)2 dx = - y (tg2 z +1) - z tg z - In | cos z | +c

Í(arcsen x)2dx

z2= — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c

= i arct§ AL ( Ar2 +l)-jcarctgA + 2 ln (l + x 2) + c

Desarrollo


1245

Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz

J (arcsen x)2 dx = J z2 cos z dz

Haciendou = z2 =* du = 2z<iz dv = cos zdz => v = senz

J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 J z sen z dz

I'm = z => du=dz \dv = sen z */z => v = -cos z

J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 (-z cos z - J - cos zdz)

Haciendo

z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x)2 + 2V1 - x2 arcsen x -2 x + c

f arcsen x IX

DesarrolloJ „ -dx

x2

Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz

farcsen x^ _ f /- Co szd z= f zctgz.coseczcfz J x J sen z J

HaciendoU - z => du = dzdv = c tgz.coseczdz => v = -cosecz

f arcsen x . f , z , f dz»-------- dx = -zcosecz — I -coseczdz =------- + >----I ---------- dx = -zco s ecz - I -cos ecz az = ---------+ i -------J x2 J sen z J sen z

+ ln |tg ( - ) |+ csenz 2


1246

1247

farcsenx , z , , . , arcsen* , , * L ,I ---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z -c t g z | = -------------+ ln ¡------ - |+cJ * sene * 1 + V 1-*

f arcsenJ jr r x dxDesarrollo

Sea[ z = arcsen V* => V* = sen z

* = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz

f arcsen V* , f z-2senz.cosz , „ f ,I — -------dx - I — -dz = 2 I zsenzazJ v i - * J V i-se n 2 z J

Haciendou = z => d u = d zdv = senzdz => v = -cosz

f arC en - * dx = 2(-z eos z - f -eos z dz) = -2 z eos z + 2 sen z + cJ Vl~ * J

= -2arcsen V*Vl~* +2\ fx + c

Jx tg 2*rf*

Desarrollo

(*sec2 2x - x ) d x

Haciendou = x => du = d x

dv = sec2 2xdx => v = ^


1248

1249

Isen2 x , --------dx

Desarrollo

i 2 x , f l-c o s2 *f sen" x f 1 - cos 2x 1 f 1 f ,I -------- dx= I ------------ dx = — \e d x ---- l e eos 2 xdxJ ex J 2ex 2 J 2 j

4 1 -e~2

e JCcos2xdx ... (1)

1integrando le *cos2 x d x , por partes se tiene:

Haciendou = eos 2x => du = -2 sen 2x dx

dv = e~xdx v — —e x

j e ~ x cos2xdx = e ' ' co&2x+2je~x sealxdx

integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)

f sen2 x , e~x / c o s 2 * -2 se n 2 * - l reemplazando (2) en (1) se tiene: | ------— dx = —r- (---------------------------- ;--) + <■yr

Jeos2 (ln x)dx

Desarrollo

, J 2 1 + eos 2*Usar la identidad eos x = ------------

J eos2 (ln x)dx = J 1 + COS 2 ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)dx ... (1)


Sea z = ln x => x — e l => dx — e 'd z

J cos(2 ln x)dx = J e z eos 2z dz

« = ez => du = ezdzHaciendo

dv = cos2xdx => v = -sen2z

J cos(2 ln jc)í/jc = y sen 2z - — J e~ sen 2zdz

Haciendou - e z =$ du = ezdz.

d v - s t n l z d z =* v = -cos2z

Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - - f ( - — cos2z + - (Vcos22<fe)2 J 2 2 J

= - sen 2(ln x) + - cos( 2 ln x) - - f eos 2(ln *)cfx2 4 4 J

1cos(2 ln x)dx -2x sen(2 ln x) + x cos(ln x) . . . (2)

reemplazando (2) en (1) se tiene:

‘ l + cos(21nx) x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x)

1250

j*eos2 (ln x)dx = J -

I x dx

(1 + *2)2

-dx = — + - 2

Desarrollo

10+ c


Haciendou = x => du = dx

dv =xdx

(1 + Jr2)2=> v = — 1

2(x +1)

1251

— f - + ( J ( l + x2)2 2(x +1) J

í

dx

2(x +1) J 2(x +1) 2(x +1) 2x 1----- + —arctgx + c

dx

(x2 + a 2)2Desarrollo

Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 dd

f dx _ f a sec~ 9 d9 f a sJ ( x 2 + a 2)2 J (a2 tg: 0 + a 2)2 J a

see2 Odd4 sec4 9

= 4r [cos2Odd = -2 - f(l + cos26)dd = -— ■ +a3 J 2a3 J 2a3

9 sen 9 cos 9---- ----- + c2a3,

arctg(-) arctg(-)/7 CL\ 1 /i X

--------- r — + -------r -------------- + C = ----- -----------------------h —-------- ^ ) + C2a' 2(«‘ + x ) a 2a2 a a + x

1252 J J a 2 - x 2dx

Desarrollo

Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0

X Xsen9 = — => 9 = arcsen(—)

a a

J*'Ja2~—x2dx = j y f a 2 - a 7 sen2 9 .acos9d9 - a2 j c o s 2 9 d9

¡

7g Eduardo Espinoza Ramos

2 f l + cos20 a" a" a= a2 I ------------¿Q = — 0H----- sen0cos0+ íJ 2 2 2

« * 1 2 2 ,= — arcsen(—) + — v a -•* +c2 a 2

1253 |V a + ;c2</;c

Desarrollo

Sea x = VÁtg 9 => dx = VÂ see2 9 d9

tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^=)Va Va

J yj A + x 2dx = J s¡A + A ig29.yfÁ sec2 dO = J A see3 9 dO

se integra por partes:

J A see3 0 d9 = A J (1 + tg2 9 ) see 9 d9 = A J (sec0 + tg2 9 see 9)d9

= A ln |sec0 + tg0 |+ A tg 0 s e c 0 -A js e c 30 ¿ 0

= y [ ln |s e e 0 + tg0 | + tg0sec0] + c

J V Â 7 7 d x -= | [ l n I I + ^ V Á ^ 7 ] + c

— 1 n I a: + y fÂ+ x2 \ +—VÁ+~? + k2 2


1254 1x 2dx

y ¡9 -x 2Desarrollo

x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9

X xsen 0 = — => 0 = arcsen(—)

3 3

f x2dx (*9sen 20 f ,I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = 9 I sen ' 0 ¿0J V 9-.Ï2 J 3eos0 J

= 1 1 -90 9

2 eos 9)d9 = —- — sen0eos0 + c2 2

9 -v 9 x y ¡9 - x2 9 i jc r 7= — aresen(—) — ( - ) -----+ c - - a rc s e n ( - ) — yJ9-x~ +c

2 3 2 3 3 2 3 2

4.5. IN T EG R A L ES EL E M E N T A L E S Q U E C O N T IEN E N UN T R IN O M IO C U A D R A D O .-

0 INTEGRALES DEL TIPO.

171X + Yl .dx, el procedimiento es el siguiente: El trinomio der ,

J ax +bx + c

segundo grado ax2 + b x + c , se reduce a la forma2 "yax +bx + c = a(x+k) + L , donde k, L; son constantes y esto se

consigue completando cuadrados.

© INTEGRALES DEL TIPO.-

ímx + n

d x , los caiculos son analogos del 1 ) y después son\fax2 +bx + c

integrales inmediatos.


© INTEGRALES DEL TIPO.

(mx + n), se usa la sustitución inversa-------- = t

(mx + n)\¡ax2 +bx + c ,nx + n

© INTEGRALES DEL TIPO.-

1255 I

ax1 +bx + c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una

de las integrales principales.

dxx2 + 2.x + 5

1256

Desarrollo

x +2x + 5 J (x + 1) + 4 2

dxIx

Desarrollox 2 + 2x

f dx _ f dx _ f dx _ 1 1 | x +1 — 1 J x 2+2x J x 2+2x + 1-1 J(x+1)2 -1 2 x + 1 + 1 2 x+2

1257

1258 J

3x2 — x + 1

dx3x2 — x + 1

xdxx 2 - 7 x + 13

Desarrollo

dx 1 f dx 3 6 x - l .U n

3 3 6 36

Desarrollo


1259

1260

1261

f xdx _ 1 2 x ~ l 7

J x 2 - 7 x + 13 2 ] x2 - l x + \ 3 + ~x2 - 7 x + l3 )dX

j* 3xJ x 2 -

2' 4

3x — 2-dx

4x + 5Desarrollo

- i f - î ï = i _ * + 4 f *J x -4 x + 5 J x~ - 4 x +5 2 j x 2 - 4 x + 5 J x 2 - 4 x + 5

= - ¡ n l x 2 - 4 x + 5 j + 4 j — = |ln |x 2-4x + 5|+4arctg(x-2) + c

f (x -1 )2dxJ x2 + 3x+4

Desarrollo9

f (x -1 Ÿ dx _ f 5x + 3 5 f 2x + 3 Ô

J ^ + í «+4 - J <1" ? T 5 7 r ï>& =I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1

f ^ - 3 a + í f — ± —^ + 3 ^+ 4 2 J u + 3 )¡ + 7

2 4

- x - - ln | x2 + 3x + 4 1 + ~ a rc tg ( -^ Í l) + c2 V7 V7

f x2dxJ x 2 - 6 x + 10

Desarrollo


f x2dx f 6 x -1 0 w f f 6 x -1 0 JI í— ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx+ - T-~--------- dx

J x - 6 x + 10 J x - 6 x + 10 J J x~ - 6x + 10

f 2 x -6 f dx= x + 3 —----------- dx + 8 -------- J x - 6 x + 10 J (x -3 ) +1

1262 J

( x - 3 ) ¿

= x + 31n | x 2 -6 x + 10 |+8arctg(x-3) + c

dx

y¡2 + 3 x - 2 x 2Desarrollo

1263

f dx (* dx 1 f dx

\¡2 + 3 x - 2 x 2 J j 2(l + 3 x _ x2} 4 2 J J 1 + 3 x _ x2

72 í

í

x 1 , 4 x - 3 ,r I i ~ -------= —¡= arcsen(--------- ) + c

y j x - x 2Desarrollo

dx

1264¡ f s

dx

= arcsen(2x -1 ) + c

+ px + qDesarrollo

' ~ = f~j-------- ~ X = \ n \ x + £ + 4 x 2 + px + q l + cJ \ X + DX + a J l r> ^ n


f 3 x -6

J \[x2 - 4 x + ‘.1265 I ------ dx

h5Desarrollo

~ 2 w — dxJ ’ í i S — s L fJ y¡x - 4 x + 5 * \lx - 4x + 5

/------------- x —2Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx

Vx2 - 4 x + 5

f —-j2~^L= Jt= dx = 3 f - — L=^===rdx = 3 Idu = 3u + c = 3-v/*2 - 4 x + 5 + < J \¡x2 - 4 x + 5 * v x 2 - 4 x + 5 J

1266 J 2X 6...- dx2 x -8

Vi - x — x”Desarrollo

f = f e * +1)- y = f-7J £ Ü _*=9 fJ y j l - x - x 2 J >jl—x - x ? * j \ - x - x 2 J « f ) 2 - U + 2- ) , )5

= -2 -v /l-x -x 2 - 9 arcsen(— Í - ) + cyf5

í1267 I -= = = J = = = = d xV5x2 - 2 x + l

Desarrollo

f , - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx» v5x2 - 2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1

^ ..... * + l f .^ J v 5 x 2 - 2 x + l V5x2 - 2 x + 1


= -- >/5jc2 —2 x +l h— í= f - . =

4 ^ 7 ^ + J _ t o U _ i t ^ T | 7 J | +c

- ) 2 + ( - ) 2 5 5

1268 Jdx

x \ J l - x 2Desarrollo

Sea x = - => dx = —~ t t2

J-dt

= - l n | i + ——— | +c = ln | ----- vX | +c. * * Í + V i^ ^

- 1 1 +c

1269 1d;c

x\¡x2 + JC+1

i

Sea x = - => dx = ~ — t t2

Desarrollo

Jdt_

dx = f 12 = _ f dt _ _ r dt

4 2

/ 2 í - ^ ,2 - j r= - arcsen(—= -) + c - ~ arcsen( ) + cv5 V5x


1270

1271

1272

f ___ dx

J (x —(x - l ) y¡x2 - 2Desarrollo

1 1 i j dtSea t - ----- => - = x - l => dx = — -x - l t t2

_dt

í ____ * ____ , r y , . = jJ í r _ n J J I 2 J i [ i .„2 „ J

= -arcsen( — ) + c

1

(jc-I)Vjc2 - 2 J l ^ l + 1)2 _ 2 J Vl + 2 í - í 2 J 2 ( x - D

dx

(x + l )4 x2 + 2xDesarrollo

i1 di '

Sea x +1 = - => dx - — — í í2

dt1

- arcsen t + c = ~ arcsen(------ ) + cx + lr _ _ _ ¿ __________ r * — .

' - J ( ~ - l ) 2 + 2 ( - - l ) ^í V t t

y x 2 +2x + 5dx

Desarrollo

* J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í) 2 +4dx

yj(x + l)2 + 4 + - ln | jc + I + Ví-í + I)2 + 4 l+cX + l

2 v 2

= £ ± IV x 2 +2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 +2x + 5 | +c2


1273

1274

1275

1276

S ' / * - * 2dx

Desarrollo

1

j \ f x x~dx - j ( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c

2 x - l I 2 1- — -— \ x - x + -arcsen(2A-l) + c 4 8

-ji1 dx

Desarrollo

l

{ ' f a - x - x dx= í j — -(* + —)-dx =—- 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(- -í-í-) + c J J V 4 z 2 2 4 3

_ 2x + l £ 7 9 2 * + l-------— \ 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c4 8 3

; xdx J x4 - 4x24x2 +3

Desarrollo

f _ xdx _ f xdx 1 1 x 2 - 2 - 1 . _J - 4^+3 - J Í7TÍ7TT=i -2ln I TTiTI1+" i ln 17T71+c

I(a2 - 2 ) 2 - 1 2 2 ' x2 - 2 + 1' !~ 4 ' x 2 —1

eos xdxí + 12 •

Desarrollosen2 x -6 se n jc + 12


1277

1278

1279

T exdx

J y¡Vve*~+e2xDesarrollo

- + yjl + ex +e2* I +c

ísenjedx

Veos2 x + 4cos.x + lDesarrollo

f sen a ¿y _ f sen .y dx

J Veos2 x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3

= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c

f lnjcrtx

J * V l-4 1 n x - ln 2 xDesarrollo

ln xdxf ln xdx f ____J|

J x \ ¡ l - 4 \ n x - l n 2 x J Xy¡5- (ln x + 2)2

dx , tSea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2

x

f lnAdt j" ln xdx _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du

J vVl-4ln;c-ln2 a J xy¡5-( \nx+2)2 J y j5-u2 J y¡5-u^ J y¡5-u2

,lnA + 2 x- -y¡5 - ii' - 2 arcsen( - =r) + c = -V 1 - 4 ln a - ln" a - 2 arcscn( j - ) + c


4.6. IN T EG R A C IO N D E FU N C IO N ES R A C IO N A LES.

® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-

Consideremos dos funciones polinómicas:

P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amx m +amAxm~{ + ...+alx+ a0

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x)decirQ(x)

Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función racional se denomina función racional propia, en caso contrario se denomina impropia.

Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se puede representar la función dada como la suma de un polinomio y de una función racional.

P(x) R(x)Es decir: ------ = C(x) + ---- , donde el grado de R(x) es menor que el

Q(x) grado de Q(x).

Q(x)

Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias:

P(x)í Q(x)

d x , para esto consideremos los siguientes casos:

PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales ydistintos.

Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2) . . . (x -an) , para este caso escribiremos:

donde Al ,A 2,...,An , son constantes]P(x)Q(x) x - a ¡ x - a 2 x - a n

que se van a determinar.


SEGUNDO CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y

algunos se repiten, suponiendo que ( jc - a , ) es el factor que se repite P

veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.

A A, AP— — + -----3 _ + ... + ------c—x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p

donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.

TERCER CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticosirreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor

cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma:

Ax + B x2 +bx + c

CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.

Si x 2 +bx + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las

fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:

A|X +P| A2x + B2 j

ax2 + bx + c (ax2 +bx + c)2 (ax2 + bx + c)m

( 2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.-

Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:

\ P^ d x = X M + ... (a )• Q(x) Qx(x) J Q2(x )

donde Qt (x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su

derivada Q'(x).


1280

1281

& (*) = -“ :* 0 i W . X(x) e Y(x)Qi(x)

son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son

menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x ) , respectivamente, los

coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la identidad (a).

Hallar las integrales:

dxJ (x + a)(x + b)

Desarrollo

^ , efectuando y agrupando:Cx + a)(x + b) x + a x + b

A + B = 0 } i i1 A = -------- , B = -

Ab+ Ba = l! a —b a — b

f, * - M — i-* ---L . f J Ü - + - L . fjJ (x + a)(x + b) J x + a x + b a - b J x + a a - b j a

dxT b

1 > i i l . i , i \ \ x + b ,- ln | jc + « | h------- \n \x + b\+c = -------ln | -------¡+c, a ^ ba - b a - b a - b x+ a

Ix 2 - 5 jc + 9

x 2 - 5 jc + 6dx

Desarrollo


1282

1283

1dx

(jc — 1)(jc + 2)(jc + 3)

1

Desarrollo

A h— — + — — , efectuando y agrupando:( jc- 1 ) ( jc + 2)(.x + 3) jc — 1 x + 2 x + 3

1 = (A + B + C )x2 + (5A + 2B + C)x + (6A - 3B - 2C)

A + B + C — 0 5 A + 2 B + C = 0 6 A - 3 B - 2 C = 0

A = — ; B = - ~ ; C = - 12 3 4

Jdx

(jc-l)(;t+2)(x + 3)B C u+ ------- 1------- )dx

x+ 2 x+3

_L f dx 1 f dx + J_ f 12 J jc -l 3 J x + 2 4 J

dx „t + 3

1 ln ! jc — 11 - - - I n ! x + 2 |+ — ln | x + 3| +ci i 3 i 412

= - | - [ ln |x - l ¡ - 4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c ln|- 12 12 (x+3)

1 , . (jc-IX jc+3)3 |+c

r 2x2J ( x - i )

+ 4 U - 9 11)(jc + 3 )(jc- 4 )

2jc + 41jc—91

-dx

Desarrollo

A B Ch------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene:

( x - 1 ) ( j í + 3 )(x -4 ) x - l x + 3 x - 4

2 x2 +41jc-91 = (A + B + C )x2 + ( - A - 5 B + 2 C ) x - l2 ( A - 4 B + 3C)


1284

A + B + C = 2 de donde se obtiene: - A - 5 B + 2 C -4 1

-(12A -4B + 2C) = -91

resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5

2x2 + 41x-91(x - l) (x + 3)(x + 4)

-dx■ M r -J JC — 1 X +

+ 3 ,n | í i t ^ - 4)5 |+cx + 3 x - 4 (x + 3)

5x +2x3 + 5x2 + 4x

dx

Desarrollo

5x3 +2 . 25.x2 -2 0 * + 2 , 25x2 -2 0 * + 2— ------- -------- = 5 + — -------- ----------= 5 + ------------------------x - 5 x +4x x - 5x“ + 4x x(x 4)(.\ I)

25x2 - 20x + 2 A B Cx (x - l) (x -4 ) x x -1 c - 4

de donde

25 .v" — 20 x + 2 — {A + B + C)x~ + (5 A — 4B~ ( )x ■+ 4 A

A + B + C = 25 - 5 A - 3 B - C = -20 4A = 2

1 „ 7 ^ 161, resolviendo el sistema: A .11 . C = —2 3 6


1285

1286

ídx

x(x + l)

1

Desarrollo

= — h— — + — —— , efectuando la operaciónx (x + l)2 A' X + l (x + l)‘

l = A (x + l ) 2 + B x (x + l) + Cx => 1 =( A + B )x2 +(2A + B + C)x + A , de donde:

resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1A+B = 02A + B + C = 0 A = 1

dxJJ x(x + l)2 J * X+l (x + l)

,A B C( _ + -------+ . ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^J X x 1 (x + l)"

)dx

= ln x - ln I x + l I + —— + c = ln | ----- ¡ + -------+ c1 1 x + l x + l x + l

f —J 4x3 - Adx

Desarrollo

* _ i x3 — 1 1 4- = - + - ^

x - 4

4x3 x 4 4x' x x(x + 2 ) (x _ ^ )

A B C 1 . ~ x + 1 + 1x + — x —

2 2

B C\ Ade donde x - 4 = (A+B + C)x2 + ( - — + —)x ——

2 2 A

A + B + C = 0 _ B C =1

2 + 2resolviendo el sistema: A =16, B =-9, C =-7


1287

\ - ^ T ^ d x = IVJ 4 x - x J 4

A B C w . t i H-----1------ — -i------ 7~)dx — — i— | 1 .

4 x , 1 „ 1 4 16J , l v 1,í -

x - 4í/x

x + — x — 2 2

x(x + - ) ( x - - ) 2 2

x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti ,—h— I (— +-— -------- r)dx = — h— [16lnx-9ln(x+ — ) - 7 ln ( x - ~ )]4 16 J x 1 1 4 16 2 2xH— x —

2 2

x 1 .= —+— ln 4 16

„16

(x + i ) 9( x - i ) 7 2 2

| +c = — + — ln |4 16 (2x + l) (2 x - l)

y \ + c

f x4 - 6x3J x3 - 6x2

+ 12x‘ + 6+ 12x -8

dx

Desarrollo

x4 - 6x3 + 12x2 + 6 x3 - 6x2 + 12x -8

: x + - 8x + 6x - 6x‘ + 12x - 8

= x + -8x + 6

(x~ 2)3

íx4 - 6x3 + 12x2 +6 x3 - 6x2 + 12x -8 í ‘dx = I (x +

8x + 6 ( x - 2)3

)dx

__x1 +

2

B( x - 2)2 ( x - 2)3

)dx

8x + 6 A + — ! L _ +_ C _ =>sx + 6 = A x2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C( x - 2)3 x - 2 ( x - 2)2 ( x - 2)3

A = 0 .B-4A = 8 2 A - 2 B + C = 6

, resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22

x4 - 6x3 + 12x2 + 6 , x2 f \ 8 22 w—------ --------------dx = — + (-------- - + ------— )dx


1288

1289

___8 112 x - 2 ( x - 2)2 C

f (5x2 + 6x + 9 )dxJ (x -3 )2(x + 1)2

Desarrollo

5x2+6x + 9 _ A B C D(x - 3 )2(x + 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2 + x + 1 + (x + 1)2

5x2 + 6x + 9 = (A + C)x3 + (-A + B - 5 C + D)x2 +

+(-5 A + 2B + 3 C - 6 D)x + (-3 A + B + 9C + 9D)

A + C = 0- A + 5 - 5 C + D = 5 -5 A + 2Z? + 3C - 6D = 6 -3 A + B + 9C + 9D = 9

9 lresolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, B = — , D = —

2 2

f 5x2 + 6x + 9 J 9 C dx 1 f dx 9 1 1 , 1 ,------------ ------------r - d x = - ------------T + - I ---------------------------------------------------------- — = -( ---------- ) -( -------------) + C

j (x -3 )2(x + 1)2 2 J (x -3 ) 2 J (x + 1) 2 x - 3 2 x + 1

f + 7 J (x2 - 3 x - 1 0 )2 X

Desarrollo

f x2 - 8x + 7 J f x2 - 8 x + 7 ,I —i-------------^rdx— I ---------- --------- dx

J (x -3 x -1 0 ) J (x -5 )2(x + 2 )2


1290

1291

, A B t C | D x - 5 + ( x - 5 ) 2+ x+ 2 (x + 2)2

x 2 - 8jc + 7 = A(x + 5){x + 2)2 + B(x + 2)2 + C(.x + 2)(x - 5)2 + D(x - 5)2

i ! « = _ A C = - — __343 ’ 49 ’ 343 ’ 49

f x 2 - S x + 1 , 3 0 , , c , , 8 1 30 , ,J *= 5 4 3 ln 1' - 5 1 - - 3 « ln 1A+21"

= _ » ________ - — + ü L i „ |— j *49(jc —5) 49U + 2) ~ ~

J (aT

30 8 30 n - 27agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - - — , C - - ——, U - -

49(jc-5 ) 49U + 2) 343 a:+ 2

2jc —3 —rdx 2)

Desarrollo

— dx (x~ — 3a:+ 2)

Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x -3 )d x

J (ac — 3ac+ 2) J w3 2/ r

Como

11 (x2 - 3jc + 2)3 ~' J «3 2m2 +C 2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2

IX3 + AT +1a:(a:2 + 1)

dx

Desarrollo

fAT3+JC+l (" 1 w f d.V-----r------dx = I (H—=--- )dx = x + ------- -----J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1)

___ !___ = A + Bx + C = (A + B)x -+ C x+ A ^ l = x 2 (A+C) + Cx +AJC(.V2 +1) * X2 + l Af( A-2 +1)


1292

A + B = 0] de donde: C = 0

A = 1resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0

fAT3 +JC+l f 1 x| ---- r-----dx = x+ | ( ------ —J x(x2 +1) J X X2 H

)dx = x+lnx — ln(jc +l) + c + 1 2

= x + ln |Va:2 +1

\+c

f x 4dxJ x 4- 1

Desarrollo

\ s d x = L ' ) dx =x +J * 4 - l J JC4 — 1 J a4 -1

1 A B Cx+D- + ----- + -(ac-1)(a. + 1)(at + 1) * - 1 JC- 1 x2 +1

1 = (A + B + C)x3 + (A — B + D)x2 + (A + B + C)x + A — B — D

A + B + C =0 A - B + D = 0 A + B - C = 0 A - B - D = 1

, resolviendo el sistema: A = — , B = — , C = 0, D4 4

f ac4 f A B Cx + D 1 f dx 1 f dx 1 f dx—— dx = x+ | ( ----- + ------+ —------)dx = x + - ---------- -------------I - —J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + \ 2 J x - + l

1 , . JT- 1 . 1= x + - ln | ---- -1- - a r c t g x + c4 AC + 1 2


f_______ * _______J (x2 — 4x + 3)(x2 + 4x + 5)

Desarrollo

1 _ A + B + Cx+D(jc2 - 4 x + 3)(x2 + 4x + 5) x - 3 x - \ x2+4x + 5

efectuando operaciones y simplificando se tiene:

A(x3 + 4x + 5x) - A(x2 + 4x + 5) + fí(x3 + 4 + 5x) - 3fi(x2 + 4x + 5) +

+ C(x3 - 4x2 + 3x) + D(x2 - 4x + 3) = 1

(A + B + C)x3 +(3A+B + 4C + D)x2 + ( A - 7 B + 3 C - 4 D ) x - 5 A - l 5 B + 3D = l

A + B + C = 0 3A + B - 4 C + D = 0 A - 7 B + 3C - 4 D = 0 -5 A - 1 5 B + 3D = 1

1 1 2 3resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D = —

52 20 65 36

f dx f , A B Cx+D—-----------------------------= (------+ ------ + —----------- )dxJ (x - 4 x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5

= _L f_*L+ f 65I j L d x5 2 j x - 3 20j x - 1 J x 2+4x + 5

1 1 1 f 2x + 4 7 f dx= — ln (x -3 )----- ln(x-l)H -----I —------------ dx + ~— I —------------

52 20 65 J x + 4x + 5 1 3 0 jx 2 +4x + 5

= — ln (x -3 )— — ln(x — 1) + — ln(x2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2)52 20 65 130


1294

1295

f dxJ77T

i i

Desarrollo

A Bx + Cx3 + l (x + l)(x2 - x + l) * + l X2 - X + l

1 — (A + B)x~ + (“ A + B + C )x + A + C

A + B = 0 -A + ¿f + C = 0 A + C = 1

1 „ 1 „ 2, resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = —

3 3 3

x 2

\ ^ - = f ( - ^ - + B2X+C )dx = ] - [ — + f 3 3 dxJ X +1 J x + 1 x ~ -x + l 3 j x +1 J x - x +1

= — ln(x + l)~ — ln(x2 - x + 1) + — arctg(-:~ -) + c3 6 V3 V3

1 , , (x + 1)2 1= —l n . - - , ,6 x“ - x +1 v3

2x - l

f dxJ x 4+1

Desarrollo

Ax + B Cx+D- + -x4 + l (x2 +\Jlx + l)(x2 - V2x + 1) X 2 +y[lx + \ x 2 - y ¡ l x + 1

l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y¡2A)x2 +(A + C + y¡2A-yÍ2B)x+B+D

A + C = 0

B + D + \¡2C - \Í2A = 0

A + C + y¡2D-y¡2B = 0 B + D = 1


1296

resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = — , C - —2V2 ’ 2 ’ 272

1 1 1 1X + — -----T = X + -

f dx i* Ax + B Cx+D C 2V2 2 2\¡2 2 ,Jx4+l“J x2+V2x+l + x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l

1 f X + SÍ2 _ 1 f X - y ¡ 2 .

' í T í j I?— T *+ yflx + 1 2\/2 J .Y“ — yflx + 1

2 ■ + y f l ,X + 1 * V2 X y f í .In I — -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c

J

4V2 X2 - y í l x + \ 4 1 -x 2

dx! +1

Desarrollox4 + x2 +1

x4 +x2 + l = x4 + 2x2 + l-x2 =(x2 +1)2 -x2x4 + x2 +1=(x2 + x+ l)(x2 — x +1)

Ax+ B Cx+D - + -

X4 + X 2 +1 X~ + X + 1 X — X + 1

1 — (Ax + fí)(x — x + 1) + (Cx + D)(x~ + x +1)

1 = (í4 + C)x3 + ( B - A + C + D )x2 + ( A - B + C + D)x+B + D

A + C = 0 B - A + C + D = 0 A - B + C + D = 0 B + D = l

integral Indefinida 101

1297

1298

resolviendo el sistema se tiene: A = — , B = — , C = ——, D =2 2 2 2

f dx f . Ax+ B Cx+D N , 1 f x + 1 , 1 f x —1—------5— = (—---------------------------------------------------- + -3--------- )dx = - , d x - - —— ---- dx

J x + x +1 J x ' + x + l x -x + 1 2 J x‘ + x +1 2 J x' - x + 1

I

1 , . x + x + l . 1 x - l= - ln | —---------1 + — j= arctgí— -=-) + c

x x —x+1 2V3 x%/3

dx

7Desarrollo

(l + .v2)2

Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO

í — ^ r T = f - ec2y - ~ = f - ^ _ = fcos20dOJ (l + x“)~ J ( l + tg‘ 0)" J sec“0 J

f l + cos20 9 sen0 eos9 arctgx x= ------------ d G = - + --------------- + c = -— — + --------r -

J 2 2 2 2 2(1 + x )r 3 x +5I —r----------r— d x

J (x“ +2x + 2)Desarrollo

(x2 + 2x + 2)2 = (x + 1)2 + 12 => z = x + l => dz = dx

f — — 2 = 3 í —T ~ ~ — ~ t x+ f J (x 2 + 2x + 2) J (x 2 + 2x + 2)‘ J (x 2 + 2x + 2)~

= _______2_____ + 2 f _____ * _____2(x2 + 2 x + 2 ) J (x2 + 2 x + 2 ) 2


1299

3 + f dx ________ 3_____ +2 f dx2(x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2 x + 2) J(z2+1)2

= ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a + 2) J2( x '+ 2x + 2) J (z + 1) (z + 1)

■ J ; :+ 2 arctg z — 21 —--- - ... (1)2(x2 + 2x + 2) ” ~ J ( z 2+ 1)2

1, „ , z 2d z Z arctg;integrando por partes; —----- =--- ---- h--—

' (z2+l)2 2(z +1) 2

Luego reemplazando en (1) se tiene:

J

í

3 a + 5 3 „ 2x+2— ----------- dx = ------ ----- — + 2 arctg( a + 1) + — -------------- arctgU + 1)+c(x~ +2x+2) 2(x +2x+2) 2 ( a 2 + 2 a + 2 )

2x + \= ---- ,------------ + arctg(.v + 1) + c

2(x~ + 2x + 2)

dxHa + 1 )2

Desarrollo

A Bx + C Dx + B- + -

( a + 1 ) 2 ( a 2 + x + i ) 2

( a + 1 ) ( a 2 + A + l)2 A + l X 2 + A' + 1 (x2+ x + l)2

efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene:

1 = A(x2 + a + 1) + ( B x + C ) ( a + 1 ) ( a 2 +x + l) + (x + l)(Dx+E)


A + B = 0 2 A + 2 B + C = 0

agrupando y por entidad de polinomios tenemos: 3A + 2B + 2C' + D = 02A+ B + 2C + D + E = 0 A + C + E = 1

resolviendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0

f - _____J ( A + 1 ) ( x 2 + A + l ) 2 J A + l

Bx + C Dx + E- + —---------+ — ---------- -]dx

(A + 1 ) ( a ” + A + 1 ) “ J A + l A + A + 1 (A ^ + A + 1)

ít 1 * * W(---- ---------------------------------_)£/x

A + l X~+X+l (x~ + X+1)

, . i r 2a + i i w i r; ln | x + 1 I (—- ---------- ) d x - ~2 J X + A + 1 X + A + 1 2 J

, 2 a + 1 1( --------- ------ ---------- -)dx(A + X + 1) ( a + A + 1 ) “

i i . i l . i 2 i i 5 2 a + 1 a + 2: In a + i j — ln x + A + l + — =rarctg(— ?= -) + ------------------- ;--------+ c2 3V3 v3 3( a + a + 1)

lx3 +1

1 3 0 0 ! -----------------d x

Desarrollo( a 2 — 4 a + 5 ) 2

a 3 + 1 Ax + B Cx+D( a 2 - 4 a + 5 ) 2 a 2 - 4 a + 5 ( a 2 - 4 a + 5 ) 2

efectuando operaciones y eliminado denominadores:

a 3 + l = (A x + i? ) (x 2 + x + 1) + Cx +Z>

a 3 + 1 = A*3 + (-4 A + B) x 2 + (5 A -4 B + C)x + 5B + D


por identidad se obtiene:

A = 1-4 A + f í= 0 5 A - 4 B + C = 0 5B + D = l

A = 1B = 4A => B = 4 C = 11 D = - 49

J (x ~ -4 x + 5)- J. Ax+i? Cx+D ,( - -----------+ —5------------ 7)dxx2- 4 x + 5 (x — 4x + 5)

, x + 4 l lx -1 9 ,= H — ------ + - T — ----- - r )d *1«x2 - 4x + 5 (x2 - 4x + 5)2

1 f , 2x — 4 12 J 11 f 2 x - 4 J r dx= - (-5-----------+ — ------------- ¿ v + 3 I —--------------

2 J x - 4 x + 5 x ~ -4 x + 5 2 J (x~-4 x + 5)" J ( x " - 4 x + 5)

= —Inlx2 -4 x + 5 |+ ó arc tg (x -2 )-— (—-——------ )+ —arctg(x-2)H-----~ — -----2 1 5 2 ;c2_ 4jc + 5 2 6V 2(x - 4x + 5)

1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x-17= — ln x - 4 x + 5 h— arctgíx- 2 )-1------ --------------he2 ' 2 2(x - 4 x + 5)

Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:

f dxJ (x + l)2(x2+ l)2

Desarrollo

f dx _ Ax2 + Bx + C ^ f Dx2 + Ex + FJ (x +1)2 (x2 +1)2 (x + l)(x2 +1) J (x + l)(x2 + 1)

derivando y agrupando se tiene:


Dx5 +(E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3 +(x + l)2(x2+ l)2 (x + l)2(x2+ l)2

+(A + E + F - B + D - 3 C ) x ‘-+(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C (x + l)2(x2+ l)2

de donde se tiene:

1 = Dx +(E + D - A ) x 4 + (E + D + F - 2B)x +(A + E + F — B + D — 3C)x~ +

D = 0E + D - A = 0 E + D + F - 2 B = 0 A + E + F + D - B - 2 C =0 2A + E + F - 2C = 0 B + F - C = 1

+(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C

1 1 1 3resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - — , C = 0 , E = — , F = —

4 4 4 4

Como:dx__________________ A x 2 + Bx + C |* Dx2 + E x + F

i (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)(x2+ l) J (x + l)(x2+ l /

- X 2 + X__________ r x —34(x + l)(x2+ l) 4 J (x + l)(x~ + 1)

dx

- X +x 1 f -2 -I i ------dx +4(x + l)(x2 +1) 4 ' J x + l 1 7 h * - ¡

------^ -+ —In I x + l | ~ —ln |x 2 + 1 | + —arctgx + c4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4 6


1302 f dx

ídx

Desarrollo

A x ’ + Bx2 +Cx+D f Ex’ + Fx2 +Gx+H(x4 - l ) 2 x4 - l +J x4 +l

derivando, simplificando y agrupando se tiene:

1 _ 3A(x6 - x2) + 2B(x5 ~ x) + C(x4 - l ) - 4 A x 6 + 4Bx5 - 4 Cx4 - 4 / l r 3(x4- l )2 (x4 - \ ) 2

Ex3 + Fx2 + Gx + Hx4 —l

1 = E x7 + (F - A)x6 + ( G - 2B)x5 + ( H - 3C)x4 + (-3 D - E )x3 +

+ (—3A — F ) x 2 + (—2 B - G ) x - C — H

E = 0 F - A = 0 G - 2 B = 0 H - 3 C = 0 -3 A - E = 0 - 3 A - F = 0 - 2 B - G = 0 - C - H = 1

, resolviendo el sistema se tiene:

A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - -4 4

Ax3 + Bx2 +Cx + D f Ex3 + Fx2 +Gx+Hx4 - l


I 1 _ I, ------1 — + Í - 4 - * = -------í -------2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx

4(x — 1) J x 4 -1 4(x - 1) 4 J x + l x - \ x + 1

X 3 f 1 1 w 3 f dx----- ----- + — I (-------- — )dx + ~ I —-----4( x ' - 1) 16 J x + l x - 1 8 J jc +1

x 3 , i x + l , 3- + — ln | ----- |+ -a rc tg x + c4(x4 - 1) 16 x - 1

3 x 3 , x - l-a rc tg x ------------------- ln ------8 4(x - 1) 16 x + l

1303 í (x2+ l)4dx

)4Desarrollo

2 ,Sea x = tg 0 => dx = sec Odd

f dx f sec" d dd _ f sec ~9d9 _ f d0 J(x2+1)4 J(tg20 + 1)4 J see8 9 J see60

JcOS60í/0 = J (co s20)3d0 =

■¿J

■¿J

(1 + 3cos2 29 + 3cos29 + eos3 29)d9

(1+ -(1 +cos40) + 3cos20 +cos2 29 eos 2 9)d92

= 1 f ( l + 2 c o s8 j 2 2

cos4# + 3cos20 + ( l - s e n 20)cos201<i0


1304

1 r59 3 3 sen 26» sen3 26.:_ [— - + —sen 40+—sen 29 h— ------------------ ] + c8 2 8 2 2 6

= —[— + —sen9 eos9 (2eos2 9 - 1) + 4 sen9 eos9 — — sen39 eos39] + c 8 2 2 3

1.5 3 x 2 4x 4x3= - [ - arctg x + ----- (—------- 1) + —------------------------- -- -] + c8 2 2(x "+ l) x +1 x~ +1 3(x~ + l)

15 15x5 +40x3 +33x= — arctg * + ----------- ----------- + c48 48(x +1)

íx - 2x + 2 ,

—r--------------d x(x - 2 x + 2)

Desarrollo

r 4x3 -10x2 + 8 x -2f —2 2X +22 d x = f(l + -

J ( x - 2 x + 2 ) J)dx

(x~ - 2 x + 2) J (x - 2x + 2)

f 4x3 — 1 Ox2 + 8x - 2 ,= x+ ------ -------------— dx . . . (1)

J (x - 2x + 2)

f4 x -lO x + 8x + 2 , Ax+B f Cx+D------ r------------ ~z— dx = —--------- + —--------- — dx

J (x - 2x + 2) x - 2 x + 2 J x - 2 x +2

derivando, simplificando y agrupando se tiene:

4x3 -1 0 x 2 + 8x —2 - A x 2 - 2 B x + 2A + 2B Cx + D(x2 - 2x + 2)2 (x2 - 2x + 2)3 x2 - 2x + 2

Cx3 + ( D - 2 C - A)x2 + (2C - 2 D - 2 B ) x + 2A + 2B + 2D(x2 - 2x + 2)2


1305

4x -lO x +8x--2 - Cx3 + ( D - 2 C - A ) x ¿ + (2 C - 2 D - 2 B ) x + 2 A + 2B + 2D

C — 4D - 2 C - A = -10 2C - 2D - 2 B = 8 2A + 2B + 2D = -2

resolviendo el sistema se tiene: A=-l, B=3, C = 4, D = -3

14x3 — 10x2 + 8 x -2

(x2 - 2 x + 3)2x - 3dx = — ------------- 1-

I -4 x -3

x2~ 2x + 2 J x z - 2x + 2-dx

x - 3x" - 2x + 2


‘4x3 - 10x" + 8x - 2

- + 21n |x 2 - 2x + 2 |+ a rc tg (x -l) (2)

íx4 - 2x2 + 2

(x2 - 2x + 2)2dx = * + J ‘

: X —-

(x - 2x + 2)

x - 3 , 2

dx

+ 21n ¡x - 2x + 2 |+ a rc tg (x -l) + cx - 2x + 2

Hallar las integrales siguientes empleando diversos procedimientos.

x5dx

I (x + l)(x + 8)Desarrollo

Sea z = x3 dz = 3x2dx — = x 2dx3

f x5 dx x3 .x2 dx 1 f zdz _ 1 fI (x3 + l)(x3+ 8) j (x3 + l)(x3 + 8) 3 ,¡ (z + l)(z + 8) 3 J / A B(-------1------- )dz

z + 1 z +8

A B (A+B)z + 8A + B(z + l)(- + 8) z + 1 z + 8 (z + l)(z + 8)

110•v


1306

z = (A + B)z + 8a + B por igualdad se tiene:

A +B = l ) 1 n 8> entonces A = — ,B = —

8A + £ = 0 7 7

f x5dx 1 f A B 1 . . , .—3— -------------------- i-----= o I ( -T + ----------ñ ^ z ~ -t81n U + 8 - ln z + 1 ] + cJ (x3+l)(.r3+ 8) 3 J z + l z + 8 21

= ~ [8 1 n | -v3 + 81- ln | x3 + 11] + c

íx7+*3 J

dxxI2 - 2x4 + l

Desarrollo

yP _L v-3 r „ 3 , „ 4

J x - 2 x +1 J x - 2 x +1

Sea z = x 4 =* dz = 4 x 3dx

f x l + x ¡ J x = l f z + l j . = 1 f (z + l)<feJ x12 - 2x4 +1 4 J z3 _ 2z + l " 4 J ( z - l ) ( z 2 + z —1)_ 1 f A Bz + C

z2 + z - 1)dz

z + l A Bz + C- + -( z - l ) ( z 2 + z - l ) z - 1 z2 + z - l

efectuando operaciones y agrupando se tiene:

A + £ = 0z + l = (A + B)z2+ (A -B + C ) z - A - C , de donde A ~ B + C = 1-

—A — C = 1


1307

2z + 3 -)dzz ‘ + Z - 1

resolviendo el sistema se tiene: A = 2, B = -2, C = -3

f .x7+ x 3 . 1 f A Bz + C _ 1 f 24 j <r i + ? T 7 ^ T

- ¿ t a u - i i - i r ^ - * —2 4 J z + z - l 2 J z " + z - l

1 , 1 .i 1 - i 2 i i 1 i i 2z + 1 — y¡5 .= - ln z - 1 — ln z ' + z - l -t=- l n --------------------------■==2 1 ' 4 ' 2>/5 2z + l+V5

1 . ¿i , 1 i k 4 t l , i 2x4 +1 — *J5 ,= —ln x - 1 — ln x + x - 1 ------------------------p in — -------------- j= +c

2 4 2^5 2x +\ + \¡5

í;x2 — x +14

-dx( x - 4 ) ( x —2)

Desarrollo

jr2 - x + 14 A B C D-H----------— H--------- + -

( x - 4 ) 3 ( x - 2 ) ( x - 4 ) 3 ( x - 4 ) 2 ( x - 4 ) x - 2


x 2 - x + l4 = (C + D)x3 + ( B - \ 0 C - \ 2 D ) x 2 + ( A - 6 B + 32C + 48D)x -

-2 A -8 B -3 2 C -6 4 D

C + D = 0 B -10C —12D = 1 A - 6 B + 32C + 48D = -1 -2A + 8 B -3 2 C -6 4 D = 14

resolviendo el sistema se tiene: A = 13, B = -3, C = 2, D = -2

r112 Eduardo Espinoza Ramos

1308

f ' r " ,,, f,J (x -4 ) ( x - 2) J ( x -

A B C DH---------1------- )dx(x -4 ) ( x - 2) J ( x - 4 )3 (x -4 ) - x - 4 x - 2

= 13 j* — - —— - 3 f —— — + 2 — 2J ( x - 4 )3 J ( x - 4 )2 J x - 4 J x - 2

I

1:

2(x-4)~ x - 4

dx

13 3 , x - 4 ,+ -------+ 2 In I------- 1 +c

x4(x3 + l)2Desarrollo

dx

■ Í 7 " I

f x3 + l i !J x4(x3+ l)2 x4(x3 + 1)2<

r dx f dxJ x 4(x3+ 1) ,J x(x3 + 1)2

A B

- i , * J+I X3

)dx

)dx(x‘ + 1) J x (x + 1) x (x + 1)

(------------------------- )dx — —— - - l n x + -ln (x + 1)x(x +1) x(x +1) 3x 3

A = I —- = — —r + — ln(x3 +1) — In xI:

f

x4(x3+ l) 3x3 3

dx 1 , , 3 , , 1 , 1B= I ----—— 7 = — In | x + l |+ - ( —-----) + lnx

x(x +1) 3 ' 3 x3 + l

Luego:

(1)


1309

1310

I = - ( l n x - - l n ( x 2 +1) + — ^ — —) - l n x + ^ l n ( x 3 +1) 1x4(x2+ l)2 3(x +1) 3x

1 , ,x 3+ l , 1 1 , ,x 3+ l . 1= ” ln I —5— I ■ - + - ln I

3 ' x3 ' 3(x3 +1) 3 * *' x3 3x2

) + c - - [ 21n |1 „ . ,a + 1 , 1 13 x3 ' 3 x3 + l x3 3* x" x — 1 xJ

- - d + c

dx4x2 + 5 x -2

Desarrollo

1 1 A B C- H-------- f* -

i3 - 4 x 2 + 5 x -2 (x —l)2( x - 2) ( x - 1)2 x - 1 x - 2


1 = A ( x - 2 ) + B(x2 -3 x + 2 ) + C(x2 - 2 x + l) , de donde se tiene:

B + C = 0 A - 3 B - 2 C = 0 -2 A + 2B + C = \

■ resolviendo el sistema: A = -l, B = - l, C = 1

í____ * ____ , f(J x3 — 4x2 +5x —2 J (x -1 )2 X - 1 x - 2

f dx i* dx j* dx _ 1j (x -1 )2 J x - 1 J x - 2 x -

- + lnj — j \ f c 1 x - 1

f _ dxJ x(x7 ■

d X

x(x7 + 1)Desarrollo

1 ] 4 Eduardo Espinoza Ramos

1311í

dxl)2

Desarrollo*(x5+ l)2

r dx f x5 + i f x* d x _ r dx r x4 ±xJ x(x5 +1)2 J x(xs +1) J (at5 +1)2 J x(x5 +1) J (x5 +1)2

= f - ^ * - í /< b J x(x + 1) J x(x + 1) J (

■Jf-J4

x(xr> + 1) J U ' + i r

dx +----- ;--------------- + c = l n x — ln | x + 1 |+ 7-+ cx5 + l 5(x5 +1) 5 5(x +1)

1312 Jdx

(x2 + 1x + 2)(x2 + 2x + 5)Desarrollo

1 A x+ B ^ Cx + D

(x2+2x + 2)(xz +2x + 5) x l +2x + 2 x¿ +2x + 5


1 = A(x3 + 2 x2 + 5x) + B(x2 + 2x + 5) + C(x3 + 2x2 + 2x) + D (x2 +2x + 2)

A + C = 02A + B + 2C + D = 0

de donde se tiene: _____5 A + 2 B + 2 C + 2 D = 05A + 2 D -1

KchiiIvIpihIo pI ilvtriiim k" (tone A •* 0. II , C' O , /) ^


f _________________ = f( M+J - + ^ x + D - )dxJ (x 2 + 2x + 2)(x2 + 2 x + 5) J x 2 +2x + 2 x 2 +2x + 5

1 f dx 1 f dx 1 1 ,* + l \ ,= - I --------------------- I ----------------- = - a r c tg ( x + l ) — arctg(---------) + c3 J x2 + 2x + 2 3 J x + 2x + 5 3 6 6 2

f x 2dx 1313 ---------

J ( * - l ) 10Desarrollo

Sea z = x --1 = > x = z + l= > dx = dz

_ 1________ 14 ( x - l)8 9 (x - l) '

1314

Desarrollo

f. dx .. = f __ * __ = í ( - í l ± i ------------ % -----)dxJx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l)

___ L— f f . p - d x + \ - 4 — dx5x's J x (x_ + 1) J x (x +1)

1 1 f x 2 +\ , _ f X2dx

“Í7 + Í7 + J x2(x2 +1) íiA J x2(x2+l)1 1 1

= ---- r + — ------- arctg x + c5x 3x *

i “J U - l )2dx _ f ( z + l)~

!ü J 10

f 1 2' J z8 + z9 .10 )dz

1I z 1 4z 9z9+C 7 ( x - l)7

+ c

I ihuiiilii ! spinoza Ramos

4.7. INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONESIRRACIONAL ES.-

( 7 ) INTEGRALES DEL TIPO.-

J cx + d cx + d

donde R es una función racional y p¡. q l p 1. q 2 ... son númerosenteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución.

ax + b „ex + d

donde n es el mínimo común múltiplo de los números q { , q 2


Desarrollo

Sea z 2 = x -1 => dx = 2z dz

Como z2 = x —1 => z = Vx— 1

= 2í (z + 3 : + 3z" + \)dz ■■2 (— + - z 5+ z3 + z) + c7 5

= 2z(— + - z4 + z2 + l) + c = 2V x - l(———— + — (x — l)2 +x) + c7 5 7 5


1316

1317

1318

J xdxyjax+b

Desarrollo

, 3 2Sea z =ax + b => dx = — z d za

Como z3 =ax + b => z = s a x + b además x =z3 - b

a

iz3- b

xdx yjax + b

í a3 z2

i z az)dz

= JL ( i i - - z2 ) + c = - 1 - (2^(ox + b f - 5 bl](ax+b)2 ) + c a 5 2 10o

f dx

* Vx +1 + (.x + 1)3Desarrollo

Sea z2 = x + l => z = Vx + 1 => z i =yj(x+\Ÿ

Como z2 = x + l => x = z 2 - l dx = 2zdz

f dx —- —= = f ^ ^ - = 2 [ ^ Z = 2arctg(z) + c = 2arctg(Vx + l)J V x+I + x + l)3 J z + z‘ J z "+1

I -

+ c

Vx + VxDesarrollo


z 3 z2= 6(—---- — + z-ln(z + l)) + c

1319 J f r r “Desarrollo

Sea x = z 6 => sfx = z? => Hx = z2 aaemás dx = 6 z5dz

[ ^ j h ± d x = í - y - ^ - 6z5dz = 6 \ —y — dzJ # t + l J z +1 J z +1

*6 | (z6 - z 4 - z 3 - z 2 - z - 1 — -)dzz +1

7 7 75 74 73 72 1= 6(---------------- + — + —— z — ln(z2 +l) + arctgz)

7 5 4 3 2 2

- “ VI - V? - V? + 2VI + 3\fx - 6\¡x - 3 ln(VI + 1) + 6 arctg yfx + c

h1320 | — ± j L = d x

(a + 1) — yj X + 1Desarrollo

Sea z 2 = jc+1 => dx = 2z dz

f Vx+T + 2 f z + 2 o f z -*-2 , „ f , A Bz + C ,I — t---- j = = d x = I — 2zdz = 2 I —— dz = 2 (------ + - T— )dzJ (x + 1)2 -V I Í T J z 4 - z J z3- 1 J z - 1 z + z +1

Z - 1 Z -1 Z2 + Z + l

z + 2 = A(z2 + z + l )+(z -V)(Bz + C) =>z + 2 = A(z2 +z + \ ) +B( z 2 - z ) + C ( z - l )


1321

A +fí = 0 de donde: A - B + C = \

A - C - 2resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1

f — # i ^ = <a=2 f i f í ¿ i=2 f +- ^ - cJ (x + l)2-VITl J z — 1 J z -1 Z +z-

= 2 j*(—----- 2Z + 1- ~)dz = 21n(z-D- f -2c + 1- dz- f-J Z -1 z + z +1 J z + z +1 J z +Z + 1

-)dz : + l

dz

= 21n (z - l ) - ln ( z 2 + z + l ) - JV 1 sT 3l z + - y + - ,

2 4

■? 2 2z + l= 2 ln(z - 1) - ln(z‘ + z + 1) - arctgí—-j~~) + c

, ( z - 1)2 2 - 2z + 1= ln—-------------7=-arctg(— -r -) + xZ + Z + 1 y¡3 V3

(\fx + \ —Y)~ 2 ■ 2\Jx+1 +1= ln - ----- -¡= ? — -f= arctg( — — ■). + c

X + 2 + v x +1 V 3 a/3. . .

f VI dx ' .J x+2

Desarrollo

Sea z 2 = x =$ dx = 2zdz

\ ^ - d x = f - ^ - d z = 2 ( - ^ - d z = 2 Í ( l — 2J x + 2 J z +2 J z +2 J z‘ + 2

= 2(z - -JL arctg(-^=)) + c = 2 V I - 272 a r c tg (^ ) + c

2■)dz


1322

1323

f e

dx

(2 ~ x ) y j l - xDesarrollo

Sea l - x = z 2 => 2 - x = z 2 +1 => dx = -2z dz

dx f -2zdz 2 arctg(z) + c = —2 arctg(Vl — x ) + c

Desarrollo

7 X2 - 1

J V*+i J V T ^ I

see 0 = x dx, = see 9. tg 0 d0

eosec9 = ....... , => f x. ——-dx = f ,. X ,{x-l )dx4 J T X J v * + i J

= Jcos<?c0(sec0-l)sec0tg0í/0 = J(sec0-l)see d d d

= Jsec3 9 dQ - Jsec2 9 d9

ix-1: = J see3 6 dO - J sx^j— —dx = | sec- 9 d 9 - | see“ 9 d6 (a)


1324

integrando por partes I see3 0 dO se tiene:

Jsec3 9 d 9 = ^ [ln | sec0 -r tg0 ¡ + sec0 tg0]

! x. ——~í£t = —[In I see# tg0 |+ sec0 tg 0 ] - t g # + cjc + 1 2

= — [In I x + yfx2 - 1 I + W x2 - \ ] - \ ¡ x2 - \ + c2

= i l n | x + V 7 ^ l | + £ ^ -(x — 2 ) + c2

-dx

Desarrollo

3 x+ \ z3 + l , -6 z 2dzSea z ------- => x = —5— => dx = —-------

x - l z3 - l (Z3-1 )2

dz

l)2

f ______M ______ r , A | B 1 Cz + D | Ez + F

J ( z - l ) 2(z2 + z + l)2 J z - í (z l)2 z2 + z + l (z2 + z + l)

z3 A B Cz+D Ez + F- + --------------------- + -T---+

(z i) z - i (z-ir z +z+i (z¿+z+ ir



1325

z3 =(A+C)z5 + ( A + B - C + D)z4 + (A + 2 B -D + E ) z i + ( B - A - C - 2 E + F)z2

+ (2 B -A + C —D + E - 2F)z + B - A + D + F

por identidad de polinomios se tiene:

A + C = 0 A + B - C + D = 0 A + 2 B - D + E = l B - A - C - 2 E + F = 0 2 B - A + C - + E - 2 F = 0 B - A + D + F =0

a ^ , b = ^ c = - ^ , d = - ^ , E = J - , f = ^81 9 81 81 27 27

resolviendo el sistema se tiene:

j é ? * - 6!. A B Cz + D Ez + F ,(_--- h---------H----- ---- — H---- ------------)dzz - 1 (z — 1) z + z + l (z +z + \ y

11 1 11 31 7 11— Z + — ZH-----

, 9 81 81 . 27 27 w .+ --------7 — ........ + — -----------7)dz( z - 1) z~+z + l (z" + z + l)~- 4 *

integrando cada termino y simplificando se tiene:

J é ?x + 1 , 1 , z2 + z + l 2 2z + l 2z , , J - í + 1

J

-3/:-----dx = - ln--------— + —¡= arctg(— = -) + —------ 1- c donde z = h1 3 (z — 1) yfc * J3 z3 - l V x -1

x + 3 ~dxx 2\J 2x + 3

Desarrollo

2 z2 - 3Sea z = 2x + 3 z dz = dx => x = -------


z2 - | + 3f 2 X+ l ^ d x = f------^ ---- zd z = 2 Í

v 2x + 3 J ^22 ——-)2^ *

z2 +3

(z2 ^ 3)2dz

. Áz + S Cz + D dz = (—7----- 7 + --7— -)dz

(z2 - 3)2 z2 - 3

derivando, simplificando v agrupando:

z +3 Az —2Bz —3 A + Cz + D Cz3 +(D-A) z + (- 2B -3 C )z -3 A -3D

(z2 - 3)2 (z2- 3 )2 z2 - 3 (z2 - 3 )2

z + 3 = Cz + (£>- A)z + (-2 S - 3C)z - 3 A - 3 D

C = 0- 2 8 - 3C = 0 D - A = l - 3 A - 3 D = 3

resolviendo se tiene: A = -1, B = 0, C = 0, D = 0

Az + B Cz+Dz2 - 3 (z2 - 3 )2

)dz = -z2 - 3

(2)


x + 3L i t L = * = 2 f -J x~V2x + 3 J (z

z + 3 . 2z V2x + 3dz = -----,----- + C = ---------------he

(z2 - 3 ) 2 z - 3

© INTEGRALES DEL TÌPO.-

donde p n (x) es un polinomio de grado n, se supone que1pn(x)dx

yjax2 +bx + c


f _ Pn x ~ = d x = Qr '_x ( x)'Jax2 +bx + c + A f -?= » y a x 2 +bx + c J \¡a

dx

ax‘ + bx +1... (3)

1326

donde Qn_,(x) es un polinomio de grado (n - 1) con coeficientes

indeterminados y X es un numero. Los coeficientes del polinomio

Qn-1 (•*) Y numero A, se hallan derivando la identidad (3).

® INTEGRALES DEL TIPO.-

, se reduce al 2° tipo de integrales valiéndose deIdx

( x - a ) n \fax2 +bx + i

la sustitución: ------ = tx - a


í;x 2dx

4 x ^ - x + l

íx 2dx

X - x + l

Desarrollo

= (Ax+ B)sjx2 - x + l + A í —j=~--L= •* V x2 - x +1

, derivando se tiene:

2A(x 2 - x +1) + A(2x2 - x) + B(2x- 1) + 2

x + l 2yfx2 ^ x + l

2x2 = 4Ax2 + ( 2 B -3 A )x + 2 A - B + 2Á, dedonde: A = - , B = - , A = —2 4 8

J 4 x 2 - x + l 2 4 8 jdx

1 x - x + l


1327

1328

— — Vx2- x + l - - l n | 2x - l + 2Vx2- x + l |+ c

r x^dx

j ^ / w 2Desarrollo

f x dx - = (Ax4 + Bx3 + Cx2 +Dx+ E)y j l - x2 + A f — derivando se tieneJ J i - x 2

s fl -

x5 i ? ^ /T 2 x(Ax4 +Bx*+Cx2+ Dx+E) A= = (4Ax3 + 3Bx + 2Cx+D)y¡l-x2 — ------------ = = ----------- - + ~ r =

s f l -x

X5 = (4Ax3 +3 Bx2 + 2 Cx + D)( 1 - x 2) - (A x 5 +Bx4 + Cx3 +Dx2 + £x) + A

x5 = -5A x5 -4 f lx 4 + (4 A -3 C )x3 + (3 B -2 D )x 2 + (2 C -£ )x + D + A

-5A = 1 -4B = 0 4 A -3 C = 0 3B - 2D = 0 2 C - E = 0 D + A = 0

1 4 8• resolviendo se tiene: A = - - , C = _ ^ > D = 0, E = , A. = 0

dx

VÍ^X2

= (_ £ _ _ ± ^ _ A ) V í r 7 = - 8 + 4 * + 3 x .^ 7 + c5 15 15 15

x.’dx


1329

Desa rrollo

dxi - ,—*- dx = (Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx + E)\ll + x2 + A f —pJJlTx2 J Vi + x2


x6 _ 6Ax6 + 5Bx5 + (5A + 4C)x4 + (4B + 3D)x3 +

\ i i+ x 2 v r+ x 2"2+(3C + 2 £ V + (2D + F)x + E + A

Ví + X*

x6 = 6Ax +5 Bx5 + (5 A+ 4C)x4 + (4fí + 3D)x3 + (3 C + 2 E)x2 +(2D+ F)x + E + X

de donde: A = - , B = 0, C = ~ — , D = 0, £ = — , A = - —6 24 16 16

f _ í= ^ = = (Ax5 + Bx4 +Cx3 + Dx2 + £x+F)Vl + *2 + A f , ¿XJ V iT 7 J V iT ?

/7~ 7 5 f dx6 24 16 16 J

= ^ Y ~ ^ d +T ¿ ^ l+x2 ~ y 7 l n \ x + ^ ] + xl l+c 6 24 16 16

l + x2

J *x5Desarrollo


dt4

dt

tf \ t 2 1

= (At3 + Bt2 + Ct + D)\ J l - t2 -A f ^J V I - ? .


- , 4 = —4f4 - 3Sí3 + (3 A - 2C)t2 + ( 2 B -D ) t + C + X

1 3 3de donde: A = — , B = 0, C = —, D = 0 , A = —

4 8 8

f p = = - [ - ^ L , = (A t3 + Bt2 +C í + D)Vl-í2 +a[-7¿LJ x’ V ^ M j V T ? j V w

* = (4 4 )V ^4 8 S j J Z S 4 8T 3f — arcsení + c

= (—i— + — -)V*2 - 1 - - arcsen(—) + c 4x 8x 8 x

1330 í (x+1 )3V*2 + 2xDesarrollo

1 , 1 jHacemos ------= / => x+1 = - => dx = — -x +1 / r


1331

j , / i \2 i f t~dt r - í 2+ l - ldonde x + 2x = (x + 1) - ] = - 1 - = I —

J J V ÍZ 7 2 2

í//

- arcsen í - arcsen í + c

t rr~2 i i I. i i , i= —V l- í — are.*arcsent + c = --------- 1------------ — arcsen(------ ) + c2(x + l)V (A + l)2 2 x + l

------— — Vx2 +2x - —arcseni— —) + c2(x + l) 2 x + \

x 2 + X + 1 -(lx:Vx2 - x + +l

Desarrollo

f x2 + x + l f x(x + l) 1— 1 = = = d x = ( — ?=•: ■ ^ + - -7=.= ■ = ) < &

j xVx - x + l J xvx2 - x + l x vx2 - x + l

= i~r===i£ï+ f - r fr• W x " - x + l J xy¡x‘' - x + 1

_ 1 f 2jc—1 + 1 f i* dx f

2J yjx2 - X + l J X \ ¡ X 2 - X + l J

fifx

W ^ - J C + l J yjx2 - x + l

1 f 2 x - l 3 f </x f dx

x + 2 ¡ 4 7 ^ ¡ + I W ? : x + l

integrando y de acuerdo a las integrales anteriores se tiene:

= -\/x2 —x + l+ ln | x |+ -^ ln | x - -^ + Vx2 - x + l | - In 11 —- + Vx2 - x + l |+c


4.8. IN T E G R A L E S DE LA S D IFE R E N C IA L E S B IN O M IC A S.-

xm(a+bxn)pdx ... (1)

donde m, n y p son números racionales.

CONDICIÓN DE CHEBICHEC.-

La integral (1), puede expresarse por medio de una combinación finita de funciones elementales, únicamente en los tres casos:

Cuando p es entero.

© Cuando es número entero, aquí se emplea la sustituciónn

m + 1 n

a + bxn = z s , donde “s” es el divisor de la fracción p.

© Cuando + p , es número entero, en este caso se emplea lam + 1 n

sustitución ax~n + b = z


3

1332 J x 3 (1 + 2 x 2 ) 2dx

Desarrollo

m + 1 3 + 1 4------ = ------= —- 2 es un enteron 2 2

2 2 2 Z2 - l j Zdzentonces: l + 2 x “ - z ‘ => x = ------- => xdx = ——2 2

3J x3(1 + 2x2) 2dx = Jx2(l + 2x2) 2xdx = J 2 ^ *.(z2) 2 = ^ J ( 1 -z ’ )tiz


1333 I

K K 1 z +1 1 2 + 2x N 1 1 + x .= - ( z + - ) + c = - ( ------- ) + c = — (—== = ) + c = — (—= = = ? ) + c4 z 4 z 4 J 1 + 2x2 2 V! + 2.v2

dx7

Desarrollo

Sea x 4 + l = z 4 => .v4= — j c= 1. => dx = - z 3(z4-1) 4¿z? - i Vz4 !

J Z -1 J Z + 1 Z~1 Z + 1

z 2 A B Cz + D _- H---------i- —r---- , efectuando operaciones y agrupando

5

z4 - l Z + 1 Z - l z2 + l

z~ = (A + B + C)zi + ( B - A + D)z2 +(A + B - C ) z + B - A - D de donde se tiene:

A + B + C = 0 B - A + D = 1 A + B - C = 0 B - A - D = 0

resolviendo el sistema se tiene: A = —- , fí = — ,C = 0, D = —4 4 2

f z2 , f , A B Cz + D 1, . 1, . . 1— — dz= (— + ----- + ■ )dz = —- ln |z + l |+ - l n |z - l |+ - a r c t g z + c

J z - 1 J z + 1 z - l z +1 4 4 2

i , I z - l I 1 = - - l n — - |+ - a r c tg z + c 4 z + 1 2

Luego:


í — — — = - i - —“ = ~ ( ~ ln | ——- | + —a rc tg z )+ c = —l n | | — ar ct gz+c J 4 / n V J z — 1 4 z + 1 2 4 Z - l 2

a , „ | ^ S ± I | - I a re,g ^ + c4 ' V ^ T l - l 2

1334I - Xí \

dx

x 2Desarrollo

X 'Jl + X'

1 dtSea x = - => dx = — -

t r

dt

í -----$ = = f -----p = = - [ - 4 ^ = = - [ / (1 + í )J x4^ / i í 7 J i C Z J J

,4 V t2

i2dt

Sea z 2 = l + / 2 => z dz = t dt

.3f -----^ ==r = - j ' - i = d f = - f ( z 2 - l ) z .zdz

= - J ( z 2- l)d z = - ( y - z ) + c = - | ( z 2 -3 ) + c = i l i - ( l + , 2- 3 ) + C

. } 0 ± L (ti - 2 ) + c = - ' '

11+^ - V T - 2

3 V 3x3x ' - ( -A r- 2 )+ c = — ^-( 2x2 - l ) + c

1335 J: dx

f l + x


Desarrollo

i 3 _íSea l + ;t5 = z 3 =* x5 = z3 - l => x = (z3- l ) 5 , dx = - - ( z 3 - l ) 5 z2dz

f — = fjc_,(l + jc5) 3dx = f(z 3- l ) 5(z3) 3 - ( z3 - 1 ) 5z2dzJ r\/l + r 5 J J 5X\Jl + X'

= - í(z 3 - ir 'z d z = - [ - 5 - * = - f -----5 J 5 J z - l 5 J ( z -

zdzl)(z2 + z + l)

= - f (— 5 J z - 1

Bz + C w+ —------- : )dzz + z + l

A Bz + C- + —-------- de donde se tiene:z3 - l Z - l Z2 + Z + l

z = (A + B)z2 + ( A - B + C)z + A - C

A + fl = 0 A - B + C =1 A -C = 0

resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = , C = —3 3 3

\ - r - ~ f l - £ - - < ^ - ) l * = - [ f — * - J jc /i + x5 5 J z - l 3 z + z + l 5 J z - l J z + z + l

= ^ [ln( z -1 )- -^ \n(\lz2 + z + l) + \/3 arctg(2^ -)]

1 ln (z - l)2 - ln (z 2 + z + l) V3 /2z + l.-------------- --------------- + _ are,g(_ ? r ) + c

= — ln-^f——— l-^ -a rc tg (2~ ^ - ) + c donde z = yjl + x510 z2 + z + l 5 V3


1336f dx

5

x2(2 + x3)3Desarrollo

- 1 3 3 2 l / lSea 2x +1 = z => x = —— => x = --------- - => dx = -

* (z3- l )3

a-2 = ( ^ 2)2(z3- l ) 3 => x 2 = (Z y } ] - = > 2 + a 3 - 2j

5

j ------—— - = J jc_2(2 + jc3) 3é/jc

jc2(2 + a 3)32

= J í i i j l i ( 2z3(z2 - i r ' ) 3(-^/2)(z3 -1) 3z2dz

2 3 2. j (z3 _ z -5(z3 _ {)i z 2 dz = - I J ( z 3f t

1337 Idx

Desarrollo

-lf2(z3 - l i 3 z2dz

:3(z3 - l )-1

-l)z~ 3</z

1 + c


Hacemos 1 + —L= = /3 , t = J 1+ 1-7.V3

- V = ^ i - = » í / í = 31 . 1 1r3 - 1 3 - l

4/U * 4/77 1V.v = -------- - , v* = —----- —, t ( r -D "

(f3- l )3

-At dtde 1 + .— = r ’ => — = 3t~dt => dx = ---- , Luego:

f f - 4 r g 3 - i ) 2 d{ f r V - u V

'lxi \ l \ + i [ 7 (P _ 1)3 J j L . (i3 - 1)3 t

Vi - 1

- l )3

2/ + C = - 2(3/1 + —r = ) 2 +c — —2(]l(l + x 4 )2) + cV

4.9. IN T EG R A L ES D E FU N C IO N E S T R IG O N O M E T R IC A S.-

( I ) INTEGRALES DE LA FORMA.-

donde m y n son números enteros.Jsen” jtí/jt , y Jcos" xdxPRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par se usan las

identidades siguientes:

•> 1 - eos 2x o 1 + eos 2.vsen- x = ——----- , eos" x --------------


SEGUNDO CASO.- Cuando n es un entero positivo impar dentro del integrando se saca el factor común sen x dx o eos x dx, respectivamente, luego se usa la identidad:

sen2 x + cos” x = l

0 PARA LOS INTEGRALES DE LA FORMA.-

f tg” xdx y c tg" xdxJ J

si n es par o impar se usan las identidades:

1 + tg2 x = se£2 x , 1 + c tg 2 x = csc2 x

@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-

»

sen"1 x.cos" x dx

PRIM ER CASO.- Si m o n es un entero positivo impar y el otro cualquier numero.

Se procede de la siguiente manera:

Si m es impar se saca factor sen x dx y se usa la identidad: sen2 x + eos2 x = 1

SEGUNDO CASO.- Si m y n son enteros positivos pares se usa la fórmula:

•> l - c o s 2x 2 i + cos2xsen“ x = ----------- , eos x = ------ ------__________ 2________________2

@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-

f ígm x.sec" x d x ,•rtg"' x.csc" xdx

J J


1338

1339

PRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par y m es cualquier número, se saca el factor.

see2 xd x o ese2 xdx

y se usan las identidades: l + tg2 x = see2 x , 1 + c tg 2 x = csc2 x

SEGUNDO CASO.- Cuando m es un entero positivo impar, n es cualquier número, se saca como factor.

sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx

y se usa la identidad: 1 + tg2 x = sec2 x , 1 + e tg 2 x = csc2 x ’

Hallar las integrales

/ eos3 xdx

Desarrollo

J*cos xdx — J eos* x.cos xdx = f (1 — sen" x) eos xdx

= J cos xdx - J sen“ x.cos xdx = senx

I

sen3 x --------- I-C

sen5 xdx

Desarrollo

| sen xdx = | sen4 x.sen x dx = j (1 -e o s 2 x)2 sen xdxJ* sen5 xdx = J* sen4 x.sen xdx = J (

J( l - 2cos~ x + cos4 x)senxdx


1340

1341

J* sen xdx - 2 J= I senxdx - 2 I cos2 x.senxdx + I eos4 x.senxdx

i

2 eos3 x eos5 x= - C O S X + ---------------------------------l-C

sen2 x.cos3 xdx

Desarrollo

J sen2 x.cos3 xdx = J sen2 x.cos2 x.cos xdx

J* sen2 x(l - sen2 x) cos x dx = J sen2 Xcos x dx - J sen4 x. eos x dx

sen5 x sen5 x -----------he

Jsen3 (—). eos5 ( - )dx 2 2

Desarrollo

j* sen3 (^).cos5 (~~)dx = J cos5(^).sen2(^).sen(^)dx

= Jeo s5 (^).(l - eos2 ( - ) ) sen¿ ) d x

= J eos5 (^) sen(^)dx - J eos7 (—) sen(—)dx - -eos (—) eos (------- 2_ + ---------- -rt,

3 4

f eos5 X ,1342 ---- r- d x

J sen xDesarrollo


1343

1344

feos3* , f ( l - s e n “ *)I — t— dx = I ------ -------- eos xdxJ sen' x J sen *

f l - 2sen2 * + sen4 x , f ,I -------------t----------eosxdx= ((c tg x csc * - 2c tg * + senxcos*)d*

J sen x J

sen2 x 1

2 2 sen“ *--21n I sen I +c

1sen4 xdx

Desarrollo

2 1 - eos 2*sen“ x = -------------

J*sen4 * dx = J*(- - ~s - x )2C¡X = i J*(l — 2 eos 2x + eos2 2x)dx

l r . x sen(4*) 3* sen(2*) sen(4*)= —[ x - sen(2*) + — + ----- — -] + c = --------— — - + ---- — - + c4 2 8 8 4 32

I sen2 x c o s2 xdx

sen*, eos* =

Desarrollo

sen(2*)

J sen2 *cos2 xdx = J (sen *cos x f d x = J (—■-l X)dx = i j s e n 2 2 xdx

4J1- e o s 4* , 1 sen4*, * sen4*----------- dx = - [ * ----------- ] + c = ------------- + c

2 8 4 8 32


1345

1346

J sen2 x c o s4 xdx

Desarrollo

2 1 - eos 2* 2 1 + eos 2*sen * = -------------, eos * = ---------------2 2

f 2 4 . f l - c o s 2 * 1 + c o s 2 x 2 ,I sen x co s xdx = -------------.(------------- y d xj J 2 2

= - J(1 - eos2 2*)(1 + eos 2x)dx = ~ J sen2 2*(1 + eos 2x)dx

■ &

I

-e o s 4* 2 o t u l rA' sen4* sen3 2*,---------- +sen 2x c o s2*]J* = - [ --------------+ ---------- l + c2 8 2 8 6

* sen 4* sen3 2*-----------------------1------------------j_ Q16 64 48

eos0 3 xdx

Desarrollo

t „ 1 + eos 6*eos“ 3* = -------------

2

Jc o s6 3xdx = J (co s2 3x)3dx

f ,1 + cos6jcx* , 1 f /4 , , 3= J ( ----- ----- ) dx = — J (l + 3co s6 x -f3 eos ójc + cos 6x)dx

140 Eduardo Espinoza Ramo'.

1347

1348

1349

_ 1 ,5x sen 6a sen 12 a sen 6.v sen3 6 v= 8(T + ~ + ~ T - + ^ -------- Ì8~ , + C

_ 5a | senÓA sen 12a sen3 6a 16 12 64 144

Idx

xDesarrollo

sen4 x

/ s è n ^ I = J CS° 4 XdX = | CS° 2 JCCSC2 xdx = | (1 + <****)cscZ xdx2

- J

3

(csc2 x + ctg2x.csc2 x)dx = - c t e x - - ~ — + c3

Jdx

xDesarrollo

cos6 X

í ---- — = f sec6 xdx = f sec4 a. sec2 xdxJ COS° X J J

= J*(l + tg2 a )2 sec2 xdx = J(1 + tg x) sec xd x = I (1 + 2 tg2 x + tg4 a )see2 xdx

-JJ

cos2 A ,---- r— dxsen x

(sec- x + 2 tg2 a sec“ x+ tg4 a. see2 x)dx = tg x + — tg3 x + ^ ' A + c3 5 i

Desarrollo


1350

1351

■Jo 7 4 2 C tg3 X C tg5 X(ctg A.CSC*A + Ctg A. CSC x)dx = ----- --------------- + C

sen2 a cos4 xIDesarrollo

f__*__= f” = f(-L- + , 1 y )dXJ sen2 a. eos4 a J sen2 a eos4 a J eos a sen a. eos a

= J(sec4 a + 4 csc2 2x)dx = J*[(1 + tg2 a) sec2 a + 4 csc2 2x)]dx

= tgx + —^ - 2 c t g 2 x + c

Jdx

sen5 a eos3 xDesarrollo

«6 v rf__ ÉL__= í___ csc6/ = f CSCV ^J sen5 acos3 a J csc6 A.sen5 acos a J csca.cos a

í í-l+ ctg f i - dx = [tg a sec2 a(1 + 3c tg2 a + 3c tg4 x + c tg6 x)dx J C tg A. COS A J

= J(tgA.sec2 A + 3 ) ^ - ^ + 3tg 3x sec2 A + tg 5 x.sec2 x)dxtgA

1352 I

t2 x 3 1= + 3 ln(tg A) - — — ■- — — -+ c

2 2tg a 4tg a

dxX 3 Xsen -.eos -2 2


Desarrollo

2 y*\ax , ü + c t2‘ í ,2f dx f csc 2(2 )dx |.( l + c tg 2( |) )d *

s e n c o s 3 ^ J csc2A .s e n ( |) .c o s 3(J ) J c tg (-).cos2(*)¿ ¿ 2 2 2 2 2

2 •*f x x y r see —= tg ( - )s e c 2(-)( l + c tg 2-)í/* = ( tg - .se c 2- + ------ ^)dx

J ¿ 2 2 J 2 2 *tg2

2 Xsee —, , x x x o= I (s e c -- .tg - .s e c - + ------ ±-)dx

2 2 2 . a2

■/<

= sec2 J + 21n |tg ^ - |+ c = — — + 21n | t g - |+ c 2 2 2 x 2eos —

2,.sen(* + —)

1353 ---------- 1 -d xJ sen*.eos*

Desarrollo

.sen(* + —) »sen*, eos — + sen — .eos*»SCIHX1- - ; »sen *. eos — f- sen —. eos * pr .f ----------4_rfi= r----------- 4— 4— dx = V2

J sen*.cos* J sen*.cos* 2 J

_ V2 f , l l w V2 f- “r - I v--------1-------)dx = —— I (sec* + csc*)J*

2 J eos* .ve/!* 2 J

jen* + eos *---------------dxsenx. eos*


* l- c o s * = l - ^ o s* _ _ lj-eos* _ —l------ £2£jL = CSc ^ - c t g *2 Vl + cos* V i-e o s2 * senjc s¿r‘ A‘ sen*

A 7Tanálogamente In | see * + tg * |= ln | tg(— + —) |

1354 Idx

xDesarrollo

sen5 *

f dx — ~ íese5 xdx= f (l + c tg2 *) ese3 * dx J sen * J J

= fcsc3 *dx + J c t g 2 *.cse3 *d* —(l)

integrando se tiene:

J* ese3 * dx = [In | esc * - c tg * | - c tg *. esc *]

f i 1 , 1 eos * , 1 r, . 1 — eos * . ,ese3 xdx = — [ l n ---------------- 1 - c tg *csc *J = — [ln | ------------ 1 - c tg *csc*]

J 2 sen * sen * 2 sen *

= —[ln | | - c tg*.csc*] = ^-fln | tg ^ | -c tg*.csc*] ...(2)2 Vl + cos* 2 2

integrando por partes J e tg2 *.csc3 * dx

du = -e sc “ xdx u = c tg * —■> i. 3 . , CSC Xdv = csc x.c tg xdx v = ----------

f , , , C tgxcsc3* 1 f 5 ,j c tg" *.csc xdx = -----SL-^---------3j CSC X


1355

reemplazando (3), (2) en (1)

f dx f 5 I . , x . 1 c tg x csc3* 1 f s ,I , - I CSC dx = - ln jtg —I— c tg x c s c x ----- --------------- csc' xdx

J sen x J 2 2 2 3 3 J

i

5 3 . jc 3 eos x 1 eos x= I csc xdx = — ln | tg — — —---- ------ ----- — he‘ sen4 x8 2 8 sen2 x 4 r™ 4

1sec5 4 xdx

Desarrollo

Jse c 5 4xdx = J*(l + tg2 4x)sec3 4xdx = Jsec3 4xdx + J tg 2 4xsec3 4xdx ... (1)

integrando por partes: J s e c 3 4xdx = ^[sec4x. tg 4x + ln | sec4x + tg 4x |]

integrando por partes: J tg2 x. sec3 4x dx = — —' ^ C - i J s e c 5 4xdx

reemplazando en (1) se tiene:

J sec5 4 xdx = J sec3 4xdx + J tg2 4xsec3 4 xdx

sec4xtg4jc 1 tg4x.sec3 4x 1 f , ,= ---------------+ in sec4jc + tg4x + —------------------- sec5 4xdx8 8 12 3 j

— fsec54x<¿t = - ln |s e c 4jc+tg4jc|H—sen4x + _ sen4x 3 J 8 8 eos 4x 12eos 4*

fsec54 x ^ = - lln |s e c 4 A + 4 x |+ ^ + + e J 32 12 16


1356

1357

1358

1359

J tg2 5 xdx

Desarrollo

tg¿ 5jc dx = | (secz 5x - 1 )dx = — - x + c

IDesarrollo

j c i g 3 xdx = j (csc2 x - l)c tg xdx = J (c tg x ese2 x - c tgx)dx

c tg3 xdx

c tg 2 x , . .----------- ln sen x +c

í ctg4 xdx

Desarrollo

J e tg4 xdx = J (c sc2 x - l)c tg2 xdx - J íc sc 2 x c tg 2 j e -c s c 2 x + Y)dx

c tg ’ x---------+ ctgjc + jc + c

í (tg - + tg - ) d x

Desarrollo

Jtg3^dx = J(sec2 -l)tgjdx =- jtg2^ + 3 1 n |co s^ | ... (1)

J tg4 = J (sec2 ^ - 1) tg2 ~~dx ~ J (sec2 ~ tg2 - sec2 ~ +1 )dx ... (2)3 3


1360

1361

1362

- tg3 — — 3 tg — + X + C 3 3

remplazando de (1) y (2) en la integral:

C, 3 x 4 x . 3 2 x 3 x . x , , , X.J (tg 3 +tg - ) dx = - t g - + t g —- 3 tg —+ 31n ¡eos—|+ x + c

Jx sen2 x 2dx

Desarrollo

f 2 2 , f 1 - cos 2x2 1 f , 2 x 2 sen 2x2I xsen x dx= \ x ------------- dx = — | ( x - x c o s 2 x )dx = -----J J 2 2 J 4

1

- + c

eos2 x ,---- T~“xsen x

Desarrollo

f eos2 x f 2 2 , c tg3 *I ----:—dx= Ic tg x.csc xdx = ------ — + cJ sen x J 3

J s e n 5 x.lj eos xeos x dx

Desarrollo

j* sen5 x.yjc os x d x = j sen4 x.cos3 x sen x dx = j* (1 -eos2 x)2 eos3 x.senxdx

= J*(l - 2eos2 x + eos4 x)eos3 x.sen xdx

I1 7 13

(eos3 x sen x - 2 eos 3 x. sen x + eos3 x. sen x)dx


1363 í

16

3 t 3 t 3 eosx3 x: — eos3 x + —eos3 x -----------------1-c

4 5 16

= - —Veos4 x + --v eo s '% ——Veos16 x + < 4 5 16

dx

Vsen x.cos3 xDesarrollo

j* dx _ f ______ dx______ _ j*J V ^ , c o s 3x J cosxVsenZcosx J -

secxdx

1364

V sen x. eos3 x “ J eos x\/sen x. eos x j Vsenx.cosx

= f sef x d x . . . . ~ f sec2x f sec^dx ^ 2 + c J seexVsenx.cosx J Vsen x. see2 x.cosx ■» VlSx

f dx

•» V tg iDesarrollo

« 9 2 j 2zdzSea z - t g x => x = arctg z , dx = ----- ^

1 + z

J v/ íg l J z l + Z J z +1

de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:


1365

1366


f — o f di 1 . i Z~ + y¡2z +1 | y¡2 z-Jl i----J V é í " J ? 7 I : W ? ' T - V S T T ^ T “ '“ 8 ? ^ d“ “^ = ^

© INTEGRALES DE LAS FORMAS.-

j* sen mx. cosnx d x , J sen mx. sen nxdx , J eos mx.eos nxdx

en estos casos es emplean las fórmulas siguientes:

© sen(rax).cos(nx) = ^-[sen(w + rt)x + sen(/w-n)x]

© sen(mx). sen(nx) = i[cos(w - n )x - eos(m + n)x]

© c o s ( w x ) . c o s ( h x ) = — [cos(m - n)x + eos (m + n)x]


J sen 3x. eos 5 xdx

Desarrollo

Jsen3x.cos5xdx - J* - [sen 8x + sen(-2x)]dx = ^ J (sen 8x - sen 2x)dx

icos8x eos2x

— —— + --------- + c16 4

senl0x.senl5xdx

Desarrollo

sen 5x sen 25xJ sen 1 Ox. sen 15x dx = ~ j* (eos 5* - eos 25x)dx =10 50 ~ + C


1367

1368

1369

1370

1371

feos —.eos—J 2 3

dx

Desarrollo

f x x j l f / x 5 1 x 6 5I eos—eos—dx = — I (eos— + cos—x)dx = — (6sen — + — sen—x) J 2 3 2 J 6 6 2 6 5 6

+ c

x 3 5x= 3sen —+ -se n — + c

6 5 6

ix 2.x

sen—.eos—- dx3 3

Desarrollo

f x 2x , 1 r, , .I sen —. cos — dx = — I [ sen x + sen(— )jdx J 3 3 2 J 3

1 x, cosx 3 x= — (-co sx + 3cos— ) + c -----------v —eos— + c

2 3 2 2 3

í eos(ax + b).cos(ax - b)dx

Desarrollo

* . , xcos2b sen2oxcos(ax + b).cos(ax- b)dx = — I (eos2b + eos2ax)dx = ■— - — + — ------+ c

~ 2 4 aJ cos(ax + b).cos(ax-b)dx “ ^ J

sen w/.senívvr + \¡f )dtíDesarrollo

f 1 f s , tcosw sen(2wt + i¡/)I sen wt.sen(wt+\¡f)dt = - I (cos(- i//) - cos(2w/ +y/)dt = — ------------- — ------+ c

4 w

í cosx. eos" 3 xdx

Desarrollo


1372

2 1 + cos 6xCOS J t = -------------------

f,™ „ 2 -, , f 1 + COSÓJC , 1 fJ eos x.cos i xd x - J eos x.----- -----dx = — I (eos x + eos x.eos 6x)dx

4 / (eos * + - (eos 5a + eos lx))dx = + ----5a + _ n7_ + c2 2 20 28í sen x. sen 2x. sen 3x dx

Desarrolio

sen 2x. sen 3* = — (eos x — eos 5a)2

j*sen x. sen 2x. sen 3* dx = — J* (sen x. eos x - sen x. eos 5x)dx

= i f(sen2*-eos4* + eos6*)í¿c + + c4 J 8 16 24

sen 6x sen 4x eos 2 a- + c24 16 8

© INTEGRALES DE LA FORMA.-

/ /?(senx,cosx)<ÍA donde R es una función racional.

© Valiéndose de la sustitución.-

tg ^ = f , donde s e n x ^ - ^ - , cosa = ^—t— , dx = -2dt1 + t2 ' 1 + t2 ' 1 + t2

La integral se reduce a integrales de funciones racionales de la nueva variable.


1373

© Si se verifica la identidad para reducir la integral a la forma racional se puede emplear la sustitución tg x = t.


dx13 + 5 eos x

Desarrollo

2 dt 1 - rdx = ------ r . eos X -

1+ r 1+t2

2 dt 2 + tg xí_ —— = f_ l± £ Í__ , f * = i in |l í lJ 3 + 5 cosa J 5(1- í ) J 4 - / ' 4 2 - t

3 + -------- z—

+c = — In I- - - — l+c4 2- H i

1 + í2

xdonde t = tg —2

1374 í ----- — -----J sen a + eos a

Desarrollo

1375

132

1376

1377

1378


J 1 + COS X

Desarrollo2 dt

f a - — !— wx=x- fJ 1 + eosx J 1 + eos X J 1 + eos X J 1 - t 2 J

1 + - —1 + r

= x - j d t = x -

f seJ 1-s

-t + c = x-tg — + c 2

senxsen x

Desarrollo

* sen x(l + senx) fsen x + sen2x2 -dx= \- -sen x J eos2 x

f _ s e n jc _ ^ = Tsen J 1-senx J i

= J*(tgxseex+tg2 x)dx = seex+tgx — x + c

J8 - 4 sen x + 7 eos x

f----- -------- = íJ 8 -4 s e n x + 7eosx J

Desarrollo

2 dt 1 + t2

8í _ + 7 _ It- = 2 Í

dtt - 8 í + 15

1 + í2 1 + í2_o f dt , 11 — 4 — 1 , , , / - 5 , , , tg ? 5■ 2J ¡ T l i T T I = ln 17 ^ 7 1+c = ln 1 1+ í = ln 14 -

18 2 ~

+c

I dxcosx + 2senx + 3

Desarrollo


2 dtdtf dx f 1 + r ... 2 f dt f ______dt_

J cosx + 2senx+ 3 J t2 4t j 2 í 2 +4í + 4 Jr + 2,

I

1------- j + -----7 + 31+ r 1+ r

———— = arctg(í +1) + c = arctg(tg-f +1) + c (í + 1) +1 2

+ 2í + 2

f3 sen x + 2cosx ,?79 I ------------------- dx

J 2senx + 3cosxDesarrollo

3 sen x + 2 eos x = a(2 sen x + 3 eos x) + B(2 sen x + 3 eos x)

3 sen x + 2 eos x = (2a - 3Bx)sen x + (3a + 2B)cos x

2a-3 .fi = 3] 12 _ 5> =£ a = ----- , fi = ------

3a + 2fi = 2j 13 13

j*3senx + 2cosx ^ 12 f 5 f(2 sen x + 3cosx)í/xJ 2senx + 3cosx 13 J 13 J 2senx + 3cosx

= — x —— ln ! 2senx + 3cosx I +c 13 13

380 f 1 + tg.-.dx J 1 -tg xDesarrollo

j dt Sea tg x = t => dx =i + r

f i t a ñ * . f -±.% f j ±J 1-tgx J 1-í 1+/2 J 1-/ J 1 + í2IÉ L =_in(í_i) + Iin(í2+l) + c 1 + í" 2= - ln | tg x -11 + — ln | tg2 x +1 ¡ +c = - In | see2 x | -In | tg x -11 +c

2 2


1381 /dx

1 + 3cos2 xDesarrollo

1382

f dx f see' xdx f sec2 xdx 1 tgxJ 1 +3cos2 x J see2 x + 3 J tg2 x + 4 ~ 2 drag(~^T) +(

¡

1383

3sen2 x + 5cos2 xDesarrollo

Dividiendo el numerador y denominador por eos2 a .

f dx f sec2 xdx 1 V3tgxJ 3cos2 x + 5cos2 a J 3tg2 a + 5 ar° tg he

/dx

sen* x + 3sen x co sx -co s2 x

Desarrollo

Al igual que el ejercicio anterior dividir por eos2 a

f ___________dx____________ f sec2 xdxJ sen' x -3 s e n x c o s x -c o s 2 x J tg2 x + 3 tg A -l

r 2 * „ 3 VÍ3f sec ' x d x T sec2 xdx l lSx+~——> * v f ■ « * + ! - ” tg I+ ^ + ^ p l+c

_ 1 2 tgx + 3 -V Í3 ,- ~ 7= ln I — ------------------ 7= +C

v 13 2 tgx + 3 + Vl3

\


1384 ídx

sen2 x - 5 sen xcos xDesarrollo

Al igual que los casos anteriores.

dx f sec2 xdx f sec2 xdxI* dx f sec xdx fJ sen2 x — 5senx cosx J tg2 x - 5 tg x J ,sen2 j t - 5senxcosji- Jtg2A-5tgA J - ( - ) 2

_ 5 _ 51 tg t j i 1 . tg x —5 ,

= —In |------- i r I +c = —ín | ------ !+c5 5 5 5 tg xtg a — + - a

5 2 2

. sen a1385 | -------------- -d x

(1-cos a )J;Desarrollo

Sea u = 1 - eos x => du = sen x dx

f sen a dx _ f du ____ 1_ _______J (1-c o s a )3 ~J m3 ~ 2u2 * C~ 2(1 - c<

j + c eos a)

iri sen 2a ,

1386 | --------- «— dxl + sen x

f sen 2xdx _ f 2senx.J 1 + sen2 a J 1 + si

Desarrollo

COSA dxsen2 a

Sea u = l + sen2 a => du = 2 sen x. eos x dx

f sen2A<¿* f du , , . , ,, 2 i ,I — = I — = In I u j +c = ln 11 + sen a | +cJ l + sen a J u

1 s,) Eduardo Espinoza Ramos

1388

1389

J;1387 f — C° S2* dx J cos x + sen x

IDesarrollo

eos 2 xdx

cos4 x + sen4 x + 2x sen2 x cos2 x - 2 sen2 x cos2 x

cos 2x dx f cos 2xdx 1 , ,V2+sen2A |

sen2x

f __________ cos 2xdx__________ f cos 2xdx 1 ^2 +J (cos2x+sen2x)2 -2sen2xcos2x J 2-sen 2 2x 2^2 V2 -

f —J sen x -

+c

cos xdx- 6 sen x + 5

Desarrollo

I*_______cos xdx______ f cos xdx 1J sen2 x - 6senx + 9 - 4 J (se n x -3 )2 - 4 ~ 4 n 'sen jc - 3 + 2

1, i senx - 3 - 2 ,+c

_ 1 , sen-v- 5 , 1 , , 5- s e n x ,7 ln I--------- -1 +c = — In ----------- +c4 sen x -1 4 1 -sen x

l a - -dx

J (2 - sen x)(3 - sen x)

Desarrollo

Sea z = sen x de donde se tiene: ------------ í________ = A B(2 - sen x)(3 - sen x) 2 - z 3 - z

1 — - z) + B(2 - z) => 1 = -(A + B) + 3A + 2B, de donde se tiene:

A - B = 0 3A + 2B = 1 => A = 1, B = -1

2 dz 2 dzí ----------- —-----------= f( ------í-------------\ - f 1 + z2 f 1 + z2J (2-senx)(3-senx) j 2-se n x 3 -sen x J 2z J 2z

1 + z2 1 + z2


2 , « f " 1 1 3t« f * 1 r arctg " (— =¡=—) — j= arctg(----- -=—) + c

3z2 - 2 z + 3 - £ ' S V2 2V l

r i = ¡J l + s1390 , ij^senx + c o s x ^

sen x — eos xDesarrollo

Efectuando la división de: 1 - sen x + eos x entre 1 + sen x - eos x

1 - sen x + eos X- = - l + -1 + sen x - eos x 1 + sen x -co sx

2 dz1 + z2f 1-senx+cosx f , 2 i 0 f------------------ dx= (-1 + -------------------)dx = - x + 2 I

J 1 + senx-cosx J 1+senx-cosx J1 + Z’ 1 + Z"

= —x +4 f ■----- j -~—------- 7 = -x + 4 í ----- —------------- = -x + 2 í - ^ 1J 1+z + 2z - l+ z " J 1+z"+ 2z - l + z" J z " +

= -x + 2 í ( - ---- — )dz = -x + 21n | —— |+c = - x + 21n |J z z +1 z+\

+ z

X

tg 2 ,---- ±— \+cx ,

lg2

4.10. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBOLICAS.-

La integración de las funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las funciones trigonométricas. Se debe tener presente las fórmulas siguientes:

(T ) cosh2 x -s e n h 2 x = 1 cosh" x = —(cosh(2x) + l)

( 3) senh2 x = * (cosh(2x ) - l ) (T ) senhx.coshx = -^senh(2x)


1391

1392

1393

1394

Hallar las integrales.

í senh3 xdx

Desarrollo

Jsen h 3 xdx ~ J sen h 2 x.senh xdx = J (co sh ' x -l)se n h xdx

= í (cosh2 x.senh x - senh x)dx = C0-- - cosh x + c

Jcosh4 xdx

Desarrollo

J cosh4 xdx = J [-^(cosh(2x) + l)]2dx = ^ J (cosh2(2x) + 2cosh(2x) + Y)dx

- (cosh(4x) +1 )dx + senh(2x) + x] + c

senh(4x) 3x senh(2x)-------------i------1------- hC32 8 4

senh3 x.cosh xdx

Desarrollo

senh3 x.cosh xdx = SCn X + c

senh2 x.cosh2 xdx

Desarrollo


1395

1396

1397

| senh2 x.cosh2 x,dx = (cosh(2x) - 1)^ (cosh(2x) + \)dx = (cosh2 (2x) - 1 )dx

= i[J(^ (co sh (4 x ) + l)-l]d x

I

cosh(4x) 1, , senh 4x x—— ¿— )dx = -------------- + c2 2 32 8

dxsh2 x

Desarrollosenh x. cosh2 x

f _____—------- = f sec h dx = í 1 + tgh...- dx = í (ese hx + tgh x.sec hx)dxJ senh x. cosh2 x J senhx J senhx J

x x= In I tgh(-) I + sec hx + c = ln | tgh(—) | + ---- — + c

2 2 coshx

1dx

>sh2 xDesarrollo

senh2 x.cosh2 x

í ____------------- = f — — = 4 íese h2 2xdx = —2c tgh 2x + cJ senh2 x.cosh2 x J senh2 2x J

1tgh3 xdx

Desarrollo

J tgh3 xdx = J tgh2 x. tgh xdx = J(sec /)2x +1) tgh x dx

r , , i , * tgh2 x= J (sec h -. tgh x + tgh x)dx = ln | cosh x | + —- — + c

1398 le tgh-* xdx

Desarrollo


Je tgh4 xdx = J (csc/z2x + l)ctgh2 xdx = J (ese/i2x.c tgh2 x +ese/z2x + l)dx

ctg h ’ x- c tgh x + x + c

1399 I

3

dxsenh2 x + cosh2 x

Desarrollo

1400

f ¡ 4J senh x + cosh x J

I

see h2 xdxsenh" x + cosh“ x J tgh x + 1

dx2senhx + 3coshx

Desarrollo

= arctg(tgh x) + c

f dx _ j* dx _ f 2 dx _ 2 f

J 2senhx + 3coshx J 2ex -2e~x 3ex +3e~x J 5ex +e~x J 5e2x+ \- + ------------

1401 J

2 f S e x 2 , r- Xs= - p —r— —dx = —¡= arctg(V 5e ) + c

V5 J 5e +1 75

dxtg h x - 1

f— =íJ tghx - 1 J

Desarrollo

coshxsenh x - cosh x

-dx

(senh x +cosh x ) , entonces:senh x -c o sh x

f — —— = f ---------------------------------------------------- C X-dx = - f cosh(senh x + cosh x)dxj tg h x - 1 J sen h x -co sh x J


= - |rsenhx.coshx + i(co sh 2 x + l)]í/x =J 2 2

senh2 x senh2x x----------------- hC

1402 ísenh xdx \j cosh 2x

Desarrollo

senh xdx _ j* senh xdx _ 1 j* 2 senh xdx

''/cosh 2x J y]2cosh2 x +1 2 J yj(y¡2 coshx)2 + 1

: —\= ln | \¡2 cosh x + V2 cosh ' x + 1 v 2

+e

ln | \Í2 cosh x + Vcosh 2x | +c

4.11. EM PL EO D E SU STIT U C IO N T R IG O N O M E T R IC A S E H IPE R B O L IC A S PA R A EL C A LC U L O D E IN T E Q R A L E S DE LA FO RM A.-

R(x, \lax2 +bx + c)dx - (1)

Donde R es una función racional, transformando el trinomio de segundo grado

ax~ +bx + c , en una suma o resta de cuadrados, reducimos la integral (1) o uno de los integrales de las formas siguientes:

© J*(z,V© )R (z ,l

m —z )dz © J/?(z,Vm + ; )dz

z 2 - m2 )dz

Estas integrales se resuelven valiéndose de las sustituciones:

(T ) z = m sen t o /. = m tgh t ( 2 ^ z = m tg t o z = m senh t

( 3) z = m sec t o z = m cosh t


1403

1404

1405

Hallar las integrales

3 - 2 x - x 2dx

Desarrollo

3 - 2 x - x 2 = 4 - ( x + l)2

|V 3 - 2 x - x 2dx = J ^ 2 2 ~ ( x + \ )2dx = ^ ( x + \ ) ^ 3 - 2 x - x 2 + 4 arctgx+1---------- hC

2 + x 2dx

Desarrollo

J y¡2 + x 2dx = y¡2 + x 2 + 2 ln | x + 2 + x 2 \ +c

Ix2 ,dx

Desarrollo

Sea x = 3 tg t =» dx = 3sec2 tdt

f x 2dx f 9 tg 2r.3sec2íí/r f o , .I = — . =— = 91 tg" t .sec td t , integrando por partes:

JV 9 + X2 J V9 + 9tg 2t J

9= —[tg /.secr-ln |sec f+ tgr |] + c

f x 'dx f tg" f.sec" tdt 9 r . .I —■■■ = 9 I ----= — [tg r.sec í-ln | sec/ + tg? ||J a/9 + x2 J secí 2


1406 IV x2 - 2 x + 2dx

Desarrollo

J ^ /x 2 - 2 x + 2dx = J* >/(x — 1) “ + 1 í /x

—— - a / a 2 - 2 x + 2 + — l n |( x - l ) W * 2 - 2 x + 2 | + c 2 2

1407 |V x -4 d x

Desarrollo

jV x 2 - 4 d x = -^[xy¡x2 - 4 -41n | x + Vx2 - 4 1] =-^Vx2 - 4 -21n | x + 7 x 2 - 4 |+c

1408 | V x2 + x dx

Desarrollo

J V x 2 + x d x = j J x 2+x + 7-^dx = f J (x + i ) 2 - i -d x4 4 JV 2 4

= — ((x + — )%/x2 + x - - ln [ x + - + Vx2 + x])2 2 4 2

_ 2 x + 2 ^ x 2 + x - — ln 12x +1 + 2-\/*2 + * I +c 4 8

1409 | V x - 6x - 7 dx

Desarrollo


1410

= X^ 'Jx2 —6x — l -81n | x - 3 + j x 2 -6.x —7 | +c

J<3

„2(x +x + \)2dx

Desarrollo

j ( x 2 + x + \)2 dx = J V 2 +x+l)\ jx2 +x+ldx = J*KX + "^ + —]^(x + ~)2 +~^dx

Sea x + — = ^ - t g G => dx = ^ - s e c 2 OdO2 2 2

J*(x2 + x + l )2 dx - J[(jc + —)“ + —]^(x + —)2 + ~ d x

= |[T tg 20 + | ] J | t g 20 + s e c 20 d 0

— fsee20.— secO.— see2 OdO 4 ) 2 2

9_16.

- fsee50d 0 = — | (see3 0 + see3 0.tg2 0)d0 ... (1)> J 16 J

integrando por partes I see3 0 dO , es decir:

J1 1

see OdO = — [tg0.see0 +ln | see# + tg0 |] —(2)

integrando por partes I see3 0. tg2 9 dOJS


1411

u = tg 0

dv = see3 O.lgO dO

du = see2 OdO

see3 0

í,3 a a ¿a - te, o sec - — J see5 0 dOsee3 0 .tg2 0 dO = tg 0.-

reemplazando (3), (2) en (1):

tgfl.see3 0 ] + c16 4 2

27= — [tg 9 .se e g (-+ SeC ^~) + ~ ln I see0 + tg0 |] + c 64 2 3 2

(3)

= - L (2x + l)(8x2 + 8* + 17 )V ? + x + l + In 12x +1 + 2\íx2 + x -f 1 1 +c64 1"°

1dx

( x - l ) J x 2 - 3 x + 2Desarrollo

x2 - 3 x + 2 = ( x - - ) 2 ; see 0 = 2x - 32 4

— sec0 . tg0=dx' , x - 1 2 2

sec0 + \ 3 see 02 2

166Eduardo Espinoza Ramos

f d x f ___________ d x _____________ i*

(x — l)\jx2 — 3x + 2 » , I ~ 3 2 T J (x _dx

(x l)y[x 3x+2 - L J ( x - l ) y j x2 - 3 x + 2V 2 4

de_ f 2sec0 tg O CsecOdO 1-cosfl _ x - 2

* sec0 + l I see2 0 - 1 J l + sec0 l + cos0 ^ y /x-1 +<?

1412 h2

dx

2 see2 O dO

J 3

(x2 - 2 x + 5)i

Desarrollo

x 2 ~ 2 x + 5 = ( x - 1 ) 2 +4

j ~ ~ F = J ~ — J = j(x - 2 x + 5)2 {{x -1 )2 +A)2 (4tg‘ 0 + 4)2

donde x - l = 2 t g 0 ; dx = 2sec2 0 d 6

_ f 2 s ec2OdO Ç2sec20 . „ l f iJ Q =7 I cos0 d 0 = - s e n 0 + c(2sec20)2 U s e C G 4 J 4

x - 1= + c

1413 f dx

(l + X2) y / l - x 2

2x + 5

Desarrollo


í dd - Ir see2 6 dd 1 1 rV 2sec2 OdO

J 2sen20 + cos20 J* 2 tg20 + l V2 J1 (y¡2tg0)2 +1

1 i------ 1 V 2x= -j=arctg(yj2tg0) + c = -j= a r c tg ( - j= = ) + c-x2

1414 dx

\ l - x 2)y¡l + x2I . , , , -Desarrollo

tg 0 = x => dx = sec2 6 d0

j" dx j* sec2 0 dO _ j* sec20 d 0

J ( l - x 2)yjl + x2 J ( l - t g 20)y¡\ + tg20 J C l-tg2ejseç0

fsec0d0 f cos0dO _ j* cosOdO J l - t g 20 J eos20 - s e n 20 J 1 — 2s-tg 0 J cos 0 - s e n 0 J l -2 s e n 0

= ± [ JV2 J 1-1 f yfícOsO d0 1 , I yj\ + x 2 + y[2x‘,In , -------- +c

-(V2sen0)2 2V2 sj\ + x 2 - j l x

4.12. IN T EG R A C IO N DE D IV E R SA S FU N C IO N E S T R A SC EN D E TES.-

Hallar las integrales.-

1415 j" ( je2 + l)2e2xdx

Des:; rrollo

it = (x2 +1)2 => du = 4x(x2 +1 )dxIntegrando por partes y haciendo 2.v, 2xj edv = e dx => v = ----

2


J ( a 2 - l ) 2 e2xdx = (x2 +1 )2 - 2 J x(x + \)e2xdx

integrando j x(x2 +l)e2xdx por partes

haciendo:u = x(x2 +1) => du = (3x~ +1 )dx

e 2xdv = e2xdx => v = ----

J *(*2 + \)e2xdx = x(x2 j ~ ~ Y ~ ~ e2X(ÍX

integrando

haciendo

!3a +1 2x

2

3 a-2 + 1

dv = e2xdx

e dx por partes

du = 3 a dx

J2x

(1)

(2)

J 2 3 2 J xe2xdx

integrando I xelxdx =xe2x e2x

2 4

reemplazando (4) en (3):

F r 1e2xdx = ? ^ e 2x- - x e 2x+- e 2x

(3)

(4)


1416

reemplazando en (2)

r p x p x p xI a ( a 2 + \)e2xdx = a ( a 2 + 1 )~ ------_ 6x + 5) = - ^ - ( 2 a 3 - 3 a 2 + 4 a -

reemplazando en (1) se tiene:

f(x 2 +\)2e2xdx = - — ( a 2 + 1 )2 ——— ( 2 a 3 - 3 a 2 + 4 a - —) + cJ 2 2 2

2x -j= -------- ( a 4 - 2 a 3 + 5 a 2 - 4 a + —) + c

2 2

I 2 c o s 2 ( 3 a ) c?a

Desarrollo

f 2 2 ^ » f 0 , 1 + COS 6 A 1 f , 2 2 s \ jJ a cos 3xdx = I x (----- - -----)dx = — J ( a + a cosox)ax

eos 6xdx)l , x 3 f= - ( — + A

2 3 J

integrando Ja2 eos6 a í /a se tiene: ■

f 2 - , a2sen6a TaI a eos 6a dx = --------------I —J 6 J 3

(1)

U = A

dv = c o s ( 6 a ) ¿ a = > v =

= 2 a í / a

s e n 6 x

sen 6 a J a =a 2 6 sen 6 a a

6

sen6x-H------COSÓA

6 18 2 1 6. ( 2)

reemplazando (2) en (1)

ío 2 „ , a 3 a 2 sen 6 a a . sen 6 a

a ‘ c o s 3 x d x = -------1------------------H--------C O SÓ A ----------------+ c6 1 2 3 6 4 3 2

1 , 3 a , a . s e n 6 A N( a + — sen 6 a + —eos 6 a ----- — -) + c

6 2 6 7 2

>/-> I in


1417

1418

1419

ix sen x. eos 2xdx

Desarrollo

sen x eos 2x = ^ [sen 3 a + sen(-x)] = i (sen 3* - sen x)

J x sen x. eos 2xdx ~ x( sen 3 a - sen x)dx

u = x => du =dx

eos 3 adv = (sen3A -senx)dx => v = c o s a - -

J

1

a sen a . eos xdx = - [ a c o s a - — eos 3 a ] - s e n x + ££ÜÍL?. + C2 3 2 18

e2x sen2 xdx

Desarrollo

-dx = - | (elx - e2x eos 2x)dx

= i [ I V ' * - f e 2' eos 2*1*2 J J 4 8 8

e2x= —— (2 -sen 2a - e o s 2x) + c

O

j e x sen a . sen 3xdx

Desarrollo

sen a . sen 3 a = (eos 2a - eos 4a )


1420

J ex sen a . sen 3 a dx = — Jex s e n a . s e n 3xdx = — I e x ( e o s 2 x - c o s 4 A ) d A - ( 1 )

Seau — ex => du = exdx

sen 2 adv = eos 2 a dx => v = -

ex sen 2 a C ex sen 2 a dxf , . , ex sen 2 a fI e eos 2xdx —----- ------- I

£ ^ £ + £ l COs 2A - - |^ C O S 2AdA2 4

j 4| e*eos2xdx = — ^2sen2a + eos2a) — = — (2sen2a + eos2a) . . .(2)

4 5 5

en forma análoga para: l e x eos 4 a dx = — ( 4 sen 4 a + eos 4x) ... ( 3 )

reemplazando (3), (2) en (1):

ex 2 sen 2 a + eos a 4 sen 4 a + eos 4 a

ex sen a . sen 3 a dx = — (------------------------------- 7Z >+ c2 5 17

Ae* eos xdx

Desarrollo


r £Xintegrando J ex sen xdx = ~ ( sen x - c o s x ) ... (1)

. f * , u = x e x => du = (xex +ex )dxintegrando i x e s e n xd x , se tiene: <J [dv = senxdx => v = -c o sx

j x e x senxdx = - x e x cos x + J* e* eos x dx + j x e x eosxdx

ex r= -x ex eos x + — (cos x + sen x + I xex eos x dx) ... (2)

reemplazando (2), (1) en (a)

Ix &xex eos xdx = xexsenx - — (senx - eos x) + xex eos x -

—— (eos x + senx) - | xex eos x dxi

2 I xex eos x dx = xex (sen x + eos x) - ex sen x

J6

xex eos xdx = — [x(sen x + eos x) - sen x] + c

J1421 1 dxe2x+ex - 2

Desarrollo

f dx j* dx 1 fJ e 2x+ex - 2 J (ex +2)(ex - l ) ~ 3 J (eLX + ef —2 J ( e x + 2)(ex -1 ) 3 J (ex + 2 ex - l* * *

■4J (-------------- ----- )dx — —-ln(l + 2ex) H—— ln( 1 — e x) + c1 + 2e \~é~x 6 3


1422

1423

= - — + - \n (ex + 2) + - ln (e jr- l ) + c 2 6 3

Idx

yje2x +ex +1Desarrollo

I* dx i* e~xdx f e 'dx _ j*

J y¡e2x +ex +1 J e~x\¡e2x +ex +1 J Je~2x +e~x + 1 J

e~xdxx\¡e2x +ex + { J yf, J / 1 , 3

2 4

■J-e x dx

= - ln | e + — + \]e 2x +e x + 1 1 +c 1 . 7 3 2(e-<+ - )2 + r

= —ln |

f x 2 l n ^J 1 —x

e* + 2 + 2\[e^x + e x +1

2ex

2x

| +c = x - ln | ex + 2 + 2\¡e2x +ex + 1 1 +c

dx

Desarrollo

Haciendo

. 1 + x , 2 dxu = ln ------ => du = -------1 - x

dv = x 2dx

1 — x

l 1' 1 — x 31 + x 2 f x3 x3 ,1 + x , 2 f , x---------- ----- - d x = — ln ----- — I (-x + ----1 -* 3 J l - x 3 1 - x 3 J l — j

-)dx

= £ _ i , i |i± £ | + ^ _ + i i n ¡ i - x2 l+c = i [ x 3 ln | | + ln 11 - x2 |] + <3 l - x J J 3 \ - x


1424

1425

J ln2(x + Vi

Desarrollo

Haciendou = ln2(x + Vl + x2 ) => du =

dv = dx => v = x

2 ln(x + Vl + x2 )t¿x

V i+ *2

J ln 2(x + Vl + x2 )dx = x ln2 (x + V l ^ 5" ) - 2jxln(x +V1 + *“ )

V T ^dx ... (1)

l + x

integrando J: ln(x + Vl + x2 )x dx

Vl + JC2

haciendo

u = ln(jc + Vi + x2 ) dn =xdx

dx

Vl + x2

dv = -V i+ x 2

VT' - 2v = Vl + x

[ x \ n ( x + J ^ ) d x = J — í in{x + J — í ) _ :

J V1 + JC2

reemplazando (2) en (1):

... (2)

J ln 2(x +Vl + x2 )dx = xln 2(x + Vl + *2 ) -2 'J \ + x 2 ln(x + yj\ + x 2 ) - 2 x + c

íx arccos(5x - 2)dx

Desarrollo


1426

Haciendo

u = arccos(5x - 2) => du = -5dx

V l- ( 5 x - 2 )2

dv = xdx => v = — 2

Ix-2 5

x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + ^5 j" x2dx

2 J V l- ( 5 x -2 )2... (1)

integrando íx 'dx

V l - ( 5 x - 2 )2tomando sen 0 = 5x - 2 => dx = cos^ d0

cos0 = y [ \ - ( 5 x - 2 ) 2 como sen9 = 5 x - 2sen 0 + 2

J y ¡ l - ( 5 x - 2 r J

= — [ ( - 125 J

(sen0 + - ) 2^ d 0 5 5

V 1- s e n 2 0

-e o s 20

* — f 125 J (sen 0 + 4 se n 0 + 4)d0

/i a 1 ,90 sen 20+ 4sen 0 + 4 )d 0 = — - ( — ------------ 4cos0) + c2 125 2 4

= -(— arccos(5x- 2 ) — X+ J l - ( 5 x - 2)2 )125 2 2

(2)

reemplazando (2) en ( 1).

í

í

, x~ , , „ 1 9arcsen(5x - 2)x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + — (---------------------

2 50 2

5x + 6V20jx-25x" — 3) + c

sen x. senh x dx

Desarrollo


C f —6~X 1 f vF sen x. senh x dx = I sen*.---- ----- dx = — J (ex s e n x -e %e.nx)dx

_ 1 sen .v — eos x ( sen x -c o s ^~ 2 2 g 2

1 ex +e~x ex - e * .- — (---------- sen x ------------- eos x) + c2 2 2

= — (sen x. cosh x - eos x. senh x) + c2

4.13. EMPLEO DE LAS FÓRMULAS DE REDUCCION.

Deducir las fórmulas de reducción de las integrales

f dx 1 ________x_______ 2 « - 3 f dx

1427 " " J (x2 + a2 )n ~ a2 (2n - 2)(*2 + o2 T 1 (2« - 2)a2 J (x2 + a 2 T 1

n * 1 Hallar / 2 e / 3Desarrollo

f dx _ 1 fjc2^ 2 - ^ 2 . 1 , f *2+«2 ■ f/n “ J ( X 2 + a2 r a2 J (x2 + a2 )" a 2 J U 2 + fl2 )" J («2 + ** )"

/ =_L f ___^ ____" a2 J ( x 2 +a2 r l a2 )

* 2 ( lx . . . (1)

calcular la integral

x 2dx

1(*2 + a 2)"por partes

(x2 +a2)"

it — x => du = dx xdx

dv = (x2+a2)" 2(n-l)(jc2 + a2)'1-1


1428

f x2í¿c _ x f dxJ (x2 +a2)n 2 (n - l ) ( x2 +a2)"~l + J 2 (n - \)(x2 +a2)n~l

reemplazando (2) en ( 1 )

dx_ 1 f dx + x 1 f” a2 J (x2 + a2 + 2a(n - l)(;t2 + a2 a2 J 2(n - l)(x2 + a 2

— > í > i- l) J(a 2 2a2( n - \ ) J (x2 +a2)n~' + 2a2( n - l ) ( x 2 +a2)n~l

L =f dx _ x 2 n -3 fJ (x2 + a2 )" 2a2 ( n - l ) ( x 2 + a 2)"-1 + 2a2(n-1) JI* dx _ x + 1 C dx J (x2 +a2)2 2a2 (x2 +a2) 2a2 J (x2 +a2)

dx

, 2— r + v a g i - ) +c2a (x +a ) 2a a

_ f dx x 3 f3 ~ J (x2 +a2Ÿ ~ 4a2(x2 +a2)2 + 4 ¿ ) ]

■ 1

dx

dx x 3 . x 1 x

(x2 +a2Ÿ 4 a2(x2 +a2)3 4 a2 2 a 2(x2 +a2) 2 a¡

„ - f sen" xdx = _ sen” x.cosx + n_J_ f sen„_2 ^ ^J n n J

Desarrollo


« = sen'! l x du = ( n - 1) sen" 2 xcosxdxdv = senxdx v = -c o sx

xdx = -sen" x eo sx + ( n - l ) | sen" x.eos xdx— i» J S

= , coS, + , „ - WJ s , n - , 0 - s e » = ^ ]

J*sen" xdx = -sen"_l x.eosx+(n-l)Jsen"-2 xd x - (n-1)Jsen" xdx

n jsen " xdx = - s e n "-1 x.eosx + (n - l ) J s e n "~2 xdx

f „ , sen"~‘ xcosx n - 1 f n_2 ,/„ = I sen xd x = --------------------H--------I sen xdx

J n n J

f 4 , sen3 x.eosx 3 f 27d = I sen xdx = ------------------- I sen xdxJ 4 4 J

sen3 xcosx 3 , senxcosx 1------------------+ _ ( --------------------+ _ x ) + c4 4 2 2

sen3xeosx 3 3x------------------- sen xeos x + — + c

4 8 8

f í , sen4 xcos x 4 f ,= I sen xdx = ------------------ h— I sen xdx5 J 5 5 J

\isen4 x.eos x 4 / sen2 x.eos x 2 .-------------------- (------------------ + — I senxdx)

5 5 3 ~ 1

sen4 x. eos x 4 2 8---------------------- sen x .cosx----- -eosx + c5 15 15


1429 f dx sen* n - 2 . „ ,» = I— 7T~ =- - 7T- - +- - - - - 7 n-2 » Hallar. /3, /4J eos x (n-l)cos x n -1(n-1) eos x

Desarrollo

xdx

dx

t

( n - 1) eos x

dx ~

(2)

I„= f —— - = f sen" xdx = í (1 + tg2 x ) see" 2 xd x J eos" x J J

= f — + f tg2 xsec"-2 xdx ... (1)J eos" x J

integrando por partes Jtg2 xsec"~2 xd x

{du = sec2 x d x

K = t g X

=> .^ n -2 vdv = see x .lg xd x v = —-- n-2f. 2 n-2 , tgx.secn_l x f see" JI tg x.sec xdx = —--------------- I --------J n - 2 J n -

reemplazando (2) en (1) se tiene:í | = f s e c " , * » f — ä x + t£x.secr~l x _J eos" x J J eos" x n-2 n -f see" xdx + —-— i see" xdx = -----—— — + Í

J n - 2 J ( n - 2)cos x J eos xn - 1 f . . senx— — see" xdx = ----------------— + — —n-2J (n-2)eos" x J eosf „ , senx n-2 f d.I see xdx = -------------- — + ------ — -J (n-Dcos"- x n-1 j eos


sen x n — 2j r dx íjvha ^ " — i" J eos" x (n - l)c o s" 1 x « - I

1430 l n = | xne~xdx = - x ne~x + n J xn~'e~xdx . Hallar I

In = J x"e Xdx , integrando por partes:

l n = j xne-xdx = - x ne-x + n j xn

Desarrollo

u = xn => du — nx"~]dx

dv = e~xdx => v = —e x

'e~xdx

7io = J xi0e~xdx = - x we~x +loJx9e~xdx = - x ,0e x +10(-x9e x + 9 j x 9e Xdx)

= - x i0e~x - I 0 x 9e~x +90 + j x 9e~xdx = -x '° -1 0 *9 -9 0 x 8 -720*7 + ... + C

4.14. IN T E G R A C IÓ N D E D IST IN T A S FU N C IO N E S.

1431 ídx

2x2 - 4 x + 9Desarrollo

f - 1 f dx - I f — í — = _ L a rc .8( ^ i ^ ) + íJ 2.x2 - 4x + 9 2 J v2 _ 2jc+9 2 J u _ 1)2+7 VÍ4 >/7

11432 I —r ~— dxx2 - 2.X + 2

Desarrollo


1433

1434

= -^ln | x2 - 2.x+ 2 1 -4 a rc tg (x -l) + c

JXs dx

2 1X + X + -

Desarrollo

„3,

j [ ( * - l ) + V X + l { ))dxX * + X H— * x } + X H—

2 2

U - l ) 2 . i r _ 2x + l _ ^ + , r * 4 J jc2 + jc + I 4 J- +

2 1JC +JC + - 2

(* - ! ) 1 . , ■» 1 , 1 „= ---------- 1— In h r + jc + — h— arctg(2jr + l)... + c2 4 2 2

Jdx

5)Desarrollo

f dx f A Bx + C ^ . 1I ----- ------= (— + —5--------------)dx ; ----—

J x(x +5) J x x +5 jc(jc +5) x x +5

efectuando operaciones y simplificando


1435

1436

I

1 In x 2 - \n(x2 + 5) 1 x2= - ( ----------- ----------------- -) + c = —In. —-+ c5 2 5 \ x 2 + 5

dx( x + 2 ) 2 ( x + 3 ) 2

Desarrollo

Sea u = x + 2 ; u + 1 = x + 3 => du = dx

f----r — j = f 2 du 2 = Mr+—[— — r — WuJ (x + 2) (x + 3)2 J u^(u + 1) J (« +1) u + u

1 1 i u i - , i m + 1 i 1 1- — 2 In I----- l+c = 21n I-------1-------------- + c

Í

U U + 1 W+l U U U + 1

, x + 3 , 1 1= 21n ------ --------------------+ rx+ 2 x+ 2 x+3

dx(x + l)2(x2+l)

Desarrollo

f dx _ f A B Cx + DJ u+i)2u2+i)~J ^T+u+d2+ x2 +\

I A B Cx + D- + --------r + -

(x + l)2(x2+ l) X + \ (x + l)2 x 2 + l

efectuando operaciones y simplificando

1 = (A + C)x3 +(A + B + 2C + D )x2 +(A +C+ 2D)x+ A +B + D

resolviendo el sistema

A + C = 0 A + B + 2C + D = 0 A + C + 2D = 0 A + B + D = 1


se tiene: A = — , B = ~ —, C = ——, D = 02 2 2

f dx f A B Cx+£)--------^ 7-----= (------ + -------- t + —ó----- )dx

J ( x + l)(x ~ + l) J x + \ (x + l)~ x + l

= 4 f (—2 J x4+ - j _ - - £ _ ) í£c = ± ( ln (x + l)----- ’- - ^ l n U 2 + l)) + c

x + l (x+l) x2 +\ 2 x + l 2

1437

1 . , x + l , 1= —(ln l-7=r— I— - r ) +c

2 sjx2 + 1 X+l

ídx

(x2 + 2)2Desarrollo

SÍ2

x = \ Í2tg0 => dx = y¡2 see2 OdO

f dx i* a/2 sec2 d d d yfl f 2 n j n V2 |* l+ cos20I — ------ = I ------ -— = -— cos Odd = — I --------------------dOJ (x +2) J 4(tg20 + l)2 4 J 4 J 2

y ¡ 2 sen 0 cosí) \¡2 x xy¡2= -7r^e + ------ ;------) + c = - ¿ - ( arctg ( - r ) + —— ) +c8 4 8 V2 x + 2


1438 ídx

x4 - 2x2 +1Desarrollo

I* dx _ j* dxJ (x4- 2x2+l) " J (x2 - l )2

Vx2 - 1

see 0 = x => dx = see 0. tg 0 d0f dx _ f dx _ Csec8tg8d8

J x3- 2 x 2 +\ J (x2 -1)2 J(sec20-1)2Csec8tg8d8 _ f s ecOdO _ j"eos20^ _ f lJ tg40 J tg30 J sen3 8 J

-se n 2 8 sen3 8

dd = J (ese3 8 -ese 8 )dd

= — [ln | ese8 — c tg8 \ -ctgé>csc0] - ln | csc0 - c t g d | +c

1[ln | ese8 — ctg8 | + c tg 0.csc0] + r


Desarrollo

f xdx _ 1 rJ (JC2 — JC+1)3 2 J

n/ £2

„ 2 x - \ 1(— ----------- +(x2 - x + l)3 x2 - x + l)3

)dx

1 dx

integrando i f — f 2 J (x2 -

4(x2 — x + 1)2 2 J (jc2 — jc +1)3dx

(x~ - X + 1)

2 1 2 3completando cuadrados se tiene: x - x +1 = (x - —)“ + —

1x —tg# = — ; dx = ^ - s e c 2 8 d8

V3 73 22

dxV3

(1)

r dx 1 r dx f 2 sec~6 d e _ 73 I* see2 8 ddJ(x2-x + l)3 2 j [u_l)2 + 3]3 2J (3 20+3)3 4j22sec60

2 4 4 4 642 J (x - x + 1)

27 J 27 J 2, 1673 f

27

_ 4 73 f27 J

2 4

1673 f l + cos20

473,(l + 2cos20+cos‘ 28)dd = —— [0 + sen20 + — +27

8 sen 48]+c


1440

4>/3r30 sen20cos20 4y¡3 36 ™ /4+c°s20- — +sen2 0+--------------- ]+c = ------ [— + sen2 0(------------ )] + c27 2 4 27 2 4

4■ — -[30 + sen0cos0(3+2cos20)] + c

27

2V3 2\Í3 Q Q 4>/3 . _ 2= ----- 0 h-------sen0 cos0 + -------sen0 cos0 cos 69 9 27

2 ,2 x - l . 2 jc —1 2 x - l ...= — -= arctg(— = - ) + — T------------------------------------------------+ ----- T----------r r ••• (2)

23^3 73 6(x -x + 1 ) 12(x - x + 1)

remplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:

f á 1 2 2x - l 2 x - \ 2 x - \i t f - x + l ? - ~ 4 ( x 2- x + l)2 + 3 S 6(x2 -x + l) I2(x2 - x + 1)2

f xdx x — 2 2 x - \ 2 2 x - l—5-------- — = — ;-------— + — ------- — + z r ¡ z aicXB(.— ¡ r - ) + c

J ( x~-J

í

(x2 - x + l)3 6(jc2 — jc -H l)2 6(x2 - x + l)2 3^3 \¡3

(3 -4 x ) J (1 - 2yfx)2

Desarrollo

Sea z 2 = x => dx = 2z dz

,2f 3~4* 2 = f (3 4 z ,) 2z<fe = - f 8--— — & = - [ ( 2 - + 2- - - — -)¿zJ (1-2VI)2 J ( l-2z )2 J 4z —4z + l J (1 — 2z)~

, 2 o 1 (~3x-2xy[x + 2y[x - \ ) , _= -(Z - 2 z ----— ) = ------------------------------------------------------ 7=-rCl -2 z \ -2 s [ x

3x + 2xy[x 1-2 Vx x(3 + 2\[x)= ------------- -------- 1-------------p=- + C = --------------- j= — 1-1 + c

l - 2 \ [ x \ — 2\¡x 1 -2 Vx


1442

- J a !

J

3 - 4 x , x(3 + 2 Vx) ,rfx = ---------- 7=— + k

(1 -2 Vx)2 l-2 v 'j

(n/ I + 1)2-ax

Desarrollo

f (V I+ i)2 . fx + 2 7 7 + i r 1 2 1 1 4 1------r— í/x= ------- — dx= (-T + - r + -r )dx = --------------------* --------- —J X3 J x3 J x2 5 x3 x 3xVx 2.v

1441 | - - T — dx

J ¿A

V x 2 + X + 1

Desarrollo

[ - = £ = = f = ln | x + — + V?+~v-MJ I, 1,2 3 2

+c( x + - r + -

2 4

1443 I — = ^ d xJJv'2 xDesarrollo

j* dx = j*l(2 x) 2 - ( 2 x ) 6]dx = \Í2x ~ ^ y [ (2 x f +í1 i

1444 f Jx

J ( V 7 + 7 I ) 2Desarrollo

Sea|x = z6 => dz = 3z2dz

I x = zJ => V ? = z2 :


1445

r dz, f 3z2dz _ 3 r

j (7? + 7x)2 J (z2+ z ) 2 Jí dx - ^ + c

j ( s f x 2 + y f x ) 2 7 x + l

( 2 x + \ ) d x

s ¡ ( 4 x 2 - 2 x + \ f

dz

(z +1)2 Z + 1 yfx +1+ C

íDesarrollo

4 x 2 - 2 x + \ = 4(x - —)2 + — ; tgO = 4 4

2< * 4 > 4 , - 1V5 "2

d x = -^-sec2 9 d 6 ; 2x + l = -^ -(tg 0 + 73)

f ( 2 x + l ) d x _ f

j yj(4x2 - 2 x + l)3 J 3V3 3 - 73 J sec0----- s e r 9

= -4= I senQ+ \¡3cosQd6 =-^¡= Í(sen0 + y¡3cos6)d973 J 7 3 J

COS0

" 7 T+ sen 9 + c , efectuando la función trigonoméetrica tenemos:


1446

4 x - l+ — ,................. = + c2 y ¡ 4 x 2 - 2 x + \ 2 s¡ 4 x 2 - 2 x + \

4 x - 2 2x — 1= + C = -T = + c

2 y ¡ 4 x 2 - 2x + l xz - 2x + l

íd x

i í ^ X + y f ^ -Desarrollo

Sea 5 - x = z4 => dx = - 4 z i dz

\ ¡ 5 - x = z y 7 5 - x = z2

f dx f z3dz . f z2dz . f , , * . ,=====---- = = = -4 —-----= -4 -------= -4 ( z - l + ------ )dzJ 7 5 - x + 7 5 - x J z +z J z + 1 J z + 11

= - z + ln | z + 1 |) + c = - 2 z ~ + 4 z-4 1 n | z + 11 + c

1447

= - 2 7 5 - x + 4 \ /5 - x - 4 1 n 1 7 5 -x + 11 +c

= ^ ( T ^ x - 1)2 - 4 ln | T ^ x + 1 1+/t

Ix 2d x

V(»2 - o 3Desarrollo

7x2 -1

1


1448

Sea x = sec 0 dx = see 0. tg 0 d0

sec2 0.sec0.tg0 dO _ f see Q.tgO-de

J V(sec20 -1 )3 J

= C sj¿ ecw = r , t f e d B m \ j « f d eJ tg 9 J J sen 0

= Jsec0 .csc20 í/0 = Jsec0 (l + c tg ‘ 0)¿0

= J(sec0 + sec0.ctg2 9)d6 = J (sec0+ C0Sy -)d9 sen 0

= In I x + J x - l I — , f=— + c

íxdx

(l + x2) s j l - x 4Desarrollo

2 C°s0Sea a: = sen 0 ; xdx ---------dO

f xdx _ f

J íl + X 1 — JC4 J

COS0 d9

(l + x2) \¡ l - x 4 J (l + sen 0)V l-sen 20 2 J l + sen0■ijid9


1449

1450

1 f l - s e n 0 1 f l - s e n 0 1 f 2= — I --------— d0 = — ----- t— d9 = — I (see 0-íg0 .sec0)cí0

2 J 1-sen 0 2 J cos20 2 j V

2= — (fg 0 -sec0 ) + c - — (s e c 0 -tg 0 ) + c = — (■■■;.....— — ¡X )+c

2 2 2 yjl-x* y]\ -x4

1 1-JC2 1r + C = ------<

1-jc2 1 1- x 2

= ~ 2 ' J Z 7 + C = ~ 2 ^ I T 7 7 +C = ~ 2 \ 7 7 7 + c

xdx1V í- 2jc2 - x4

Desarrollo

l - 2 x 2 - x 4 = 2 - ( x 2 +1)2

2xdx 1 .x ‘ + l .= — arcsen(— = - ) + cj* xdx _ j* xdx _ 1 |* í_______

j y j \ - 2 x 2 - x 4 j j 2 - ( x 2 + l ) 2 2 J ^ 2 - U 2 + l)2 2 v y¡2

J—U 2 + l)2

Desarrollo

Sea x = tg 0 => dx = sec' 0 rf0

f (jr + 1)¿/jc _ f (tg0 + l)sec20 ¿ 0 _ 1*(tg0 + l)sec2 0 ^J 2 J 2 J sec3 0

(x +1)2 (tg"0 + l)2

_ ! tg0 + l _ f (c()S0+Sen0)í/0=Sen0_ COS0+C J sec0 J

x 1 jc —1: + C = —I + C

y j x 2 + 1 y j x 2 + 1 \ l x 2 + \


.451 J

„2

dx

(.x2 + 4x)\J 4 —x2Desarrollo

' -± < ± --U+ 4x 4 x x + 4

f dx _ 1 f dx 1 f dx

J (x2 +4x) \ l4 - x2 4 J x y ¡ 4 -x2 4 J (x + 4 ) \ ] 4 - x 2

í -integrando I — , ... ... Sea x = - => dx = — l-

x j ^ x 2 1 t2

dtf dx [* t 2 f dt

J WH?” J MTjl ~ ~' ~ 27V ~ ,2 ,

J;integrando I --------dx. Sea x + 4 = - => dx = - ^ r(x + 4 )y ¡4 -x 2 1 1

_dt_f dx f _______ r _ f dt

J (x + 4)y¡4-x2 J i j .1 (1 l - 4^2 J V-12í3+ 8 r -l

-JlT 2^3

2>/3 X + 4 2>/3 X + 4


(1)

= - l n | ^4 *2— | ...(2)

1 arcsen( (2* + 2)) = J L a r c s e n ( ^ ^ ) ...(3)


1454

f dx 1 f dx 1 f dx

J (x2 + 4 x )V 4 -x 2 4 J x ^ 4 - x 2 4 J (x + 4)y¡4-x2

1 , , \ ¡ 4 - x 2 + 2 . 1 2(x + l)= — ln -------------- ------- = arcsen(--------- )8 x 8^3 x + 4

1452 I V x - 9 dx

Desarrollo

JV x 2 - 9 dx = i ( x \ /x 2 - 9 - 91n|x + >/x2 - 9 |+c

= ^ 9 - U n | x + Vx2 - 9 l+c

1453 J V x - 4 x 2dx

Desarrollo

= ((2x - ~ ) \ ¡ x - x 2 + ~ arcsen(8x -1))]2 2 4 16

= i ( ——-V x -x 2 + — arcsen(8x - 1)) + c4 4 16

= ——-V x -x 2 + — arcsen(8x - 1) + c 16 64

1 dx

xVx2 +X + 1


1455

Desarrollo

1 —dtX = - = > d x = - r -

t t 2

*f dx = r f2 = _ r <& = _ r dt

j x jx 2+x + l J l J , 2+t + l J Ví2+r + 1 J J (í + i ) 2 + |

I 1 í~2 7 I 1 I 1 + JC +1 I= -ln |í + - + Ví‘ + f+ 1 | = — ln | — + — + ------------- |+c2 i 2 , x

.2

, , x + 2 + 2 y J x 2 + x + 1 . . i x .= -!„ I--------- ------------|+c = ln|----------l+c

x +2 + 2Vx" + Jc + 1

J x ' J x 2 + 2 x + 2 d x

Desarrollo

J W 7 + 2 jc + 2 í/jc = j* x y j ( x + ] ) 2 + 1 d x

Sea z = X +1 => dx = dz z = x + 1 ==> j r - z - 1

J*x y j x 2 + 2 x + 2 d x = J x y j ( x +1)2 +1 í/jc = j*(z - l)Vz2 -1 dz

3

f zVz2 +1 ¿ z - ÍV z2 +1 í/z = — -— —Vz2 +1 ln | z + a/z2 +1 l+cJ J 2 3 2 2

3.2

= (z +1): -~ V z 2+ l- - ln | z + Vz2+l I+C3 2 2


(je2 +2x+2)>Jx +2x+2 x +1... 3..

U N 2.v + íW .V + 2.( + 2 -+2JC + 2 -^ -ln I jc+1 +Va:2 + 2jc + 2 |+c

1456h

dx

1 w dt Sea x = - = > d x = — —/ r

dt

Desarrollo

í ■- f A~ = f ----- = - f ] dt ; sea t = sen 0 ; dt = eos 0 d0J x44 x ^ \ J i J V í ^

í4 í

v/1 - t 2

see tí =

f * f r3dr _ T

J J Vw7 J

■J

sen30.eostíí/tí eos 0 -i- 1 sen3 0d6

eos3 0= - (1-cos 0)sentí¿0 = -(-costí + -------,) + c

= cos0 eos + C

yl(x2 - l f :------------- 1----------- + C3*3


14571 -

dx

:Vlxv i - x

Sea1 - x3 = z2 =$ dx -

dx 2 z dz

Desarrollo

2 zdz 3x2

x 3 - 3 z

f dx _ T dx _ j* - 2 z dz 2 f dz

J x j l - x 3 J y¡ ( l - x3) x J z (3 -3 z2) Í J z 2 - l

2 . z - \ . 2 . V l-x 3 - 1= — ln | ----- 1 +c = —In I —..... — | +c

3 z +1 3 xJ +1

1458 ídx

f l + JtDesarrollo

y ¡ l + X

m + 1

(1 + x3) 3rfx; m = 0, n = 3, /? = —

- + p = es un entero, entoncesn

- 3 , i _ 3 __. v 3 1 n/ i + X' ’X +1 = 2 => X = —---- => Z =z3- 1

_i 4además * = (z3- l ) 3 => dx = - z 2(z3- 1) 3dz

Ít? <~~~t = f I----- 1 =r(-z2(z3- l ) 3)¿Zj /l + x3 J i . A Z

i '


1459

44 1

= - J * * * — flfe = - J z ( z 3 - 1)~3 (z3 - l ) 3dz

r(z3- l )3

~ f X * ~ r — — - f t - i j . 2Jz3-1 J (z-l)(z2 + z + l) J z -1 r + Z + 1

z _ A(z2 + z +1) + B(z2 - z ) + C (z - l) z3 - l ( z - l ) ( z 2 + z + l)

z = (A + B)z2 + ( A - B + C)z + A - C

A + B = 0 A - B + C = 0 A -C = 0

resolviendo se tiene: A = ■-, B = - —, C = — 3 3 3

f dx f z , f , A ^ Bz + C l f ¿ x l f z -1J 1¡Í + X3 J z3 + l ' J : - l z2+z+l ' 3J Z-1 3 j ; : + z+l

= ——ln I Z—1| + — f ^ — { f~2~~3 6J z “ + z + l 6J z “ + z + l 3 J z + z + l

= ——ln| z — 1 1+ — ln | z2 + z + l | — ^ a rc tg —■i ~ + c donde z = 3 6 V3 %/3

V í + 7

J5xdx

Desarrollo

[ 5xdx _ 5 j* 2xdx _ 5 2 ^

J ^ 7 2 - \ W )2 2


1461

146« Jc o s 4x¿x

Desarrollo

I cos4 xdx = I (cos2 X f d x = J (~ C°s2a)2</t = Ì J(1 + 2cos 2x + eos2 2 x)dx

= j ( x + sen2x + f — os 4x ¿x) = - ( x + sen2x + - + -^ -^ -) + c 4 J 2 4 2 8

3x sen 2x sen 4.v :---- 1-----------1---------- (. (•8 4 32

f - - £ _J eos x sen x

Desarrollo

í - jsec x.csc5 xdx = f (1 + c tg2 x)2 see x.ese xdxJ eos x. sen x J J

= J*(l + 2c tg2 x + c tg4 x) see x.csc xdx

= J*(see x.csc x + 2c tg" x.see x.csc x + c tg4 x. see x.csc x)dx

f secx cosx cos3x ,= (-------------------------------------------------- + 2------- — + ---- — )dx

J senx sen' x sen x

J's e c 2 x 9 , , .„4(-+ 2c tg x.csc* x + c tg X.CSC" x)dx = In I tg x I -c H: c - ~ — +c

tgx 4

/<

f ! Æ aJ sen"x

Desarrollo


1463

1464

|*1 + -y/c,tg x dx _ f (csc2 x + y]ctgx esc2 x)dx J sen x J

2 ~ 2 /-----------= -C tg X --C tg 2 X + C = -C tgX ---y /c tg3X+C

j* sesen3 xdx

Veos3 xDesarrollo

f sen^Sfáx _ f sen x(l - eos2 x)dx = [ {senx(cosx)Í _ s m x.cJ x)dx

j Veos3 X J Veos3 X J

= - —eos5 x + — eos5 x + c = — (eos2 x - 6)Vcos2 x + c2 12 12

I csc5 5x¿x

Desarrollo

J CSC5 5xí£c = J(1 + c tg2 5x)csc3 5xdx = J esc3 5x áx + Je tg2 5x.cos3 5x d x ... (1)

J*integrando I csc3 5xdx por partes


1465

f ‘integrando I c tg2 5x. esc3 5x dx por partes

u = c tg 5 x du = —5esc25xdx

dv = ese3 5x.ctg5xdx => v = - CSC—15

„3 ,f 2 c 3 r , Ctg5x.CSC 5 l 1 f < ,I c tg 5x.csc 5xdx = ----- ------------------ I ese 5xdx ... (3)J 15 3 J

reemplazando (2), (3) en (1) se tiene:

J esc5 5 xdx = J* ese3 5xdx + J*c tg2 5x.csc2 5 xdx

1 . . 5 x , ctg5x.csc5x ctg5x.csc35x 1 f <„ ,= — ln tg— 2------------------e--------- --------I ese 5xdx10 2 10 15 3 J

f 5 c t 3 , 5 x . 3 , , 1 , 3I ese 5xdx = — ln tg— ----- ctg5x.csc5x------ctg5x.csc 5x + cJ 40 2 40 20

cos5x 3cos5x 3 , , 5 x .+ — ln | tg—- l+c

20 sen4 5x 40 sen2 5x 40 2

Isen2 x ,

—— dxeos x

Desarrollo

f S e n " X , f 2 4 , ¡ * 2 / . 2 , 2 ,I -— dx = Itg 'x .sec xdx ~ I tg x (l+ tg “ x)sec xdxJ eos X J J

f 2 1 f 5 2 tg3 X tg5 X= J tg“ xsec“ xdx = I tg x.sec" xdx = —+ ■- —- + c


1466

1467

|“"(TK

- x) sen(— h x)dx 4

Desarrollo

n n n V2sen(---- x) = sen —.eos x —sen x.cos— = — (eos x -se n x)4 4 4 2

71 71 7t y ¡ 2 . , ,sen(— + x) = sen—. eos x + eos—. sen x = — (eos x + sen x) 4 4 4 2

. .n . y¡2 , 1/2sen(----- x). sen(— + x) = — (eos x - sen x)— (eos x + sen x)4 4 2 2

1 2 2 eos 2x= —(eos x -se n x) = --------2 2

f sen(—-x).sen(—+ x)dx = f cos 2x dx = i-sen 2x + c J 4 4 J 2 4

f i ,X 7t.J tg(r T }J t g ( | + )dx = j tg2 ( | + t g ( | + )dx = J (sec2 ( f + ^ ) - 1) tg ( f+j ñ d x

= f (sec2(^ + ) t g ( í + ) d x - í tg (^ + )dx J 2 4 2 4 J 2 4

-)dx

Desarrollo

- tg2(— + — ) + 21n Icos(— H— )|+ c 5 2 4 2 4

r dx 1468 ------------------------

J 2senx + 3 co sx -5Desarrollo

2 0 2 Eduardo Espinoza Ramos

2t 1 - í 2Se conoce que: sen a = -----— ; eos x =

1 + t2 ' ’ 1 + í2

x 2dtl ~ = t => dx =2 1 + í2

2 dtf _______^ f 1 + í2 f dt _ f ____ dí_J 2senx + 3cosx-5 J 41 3-3 12 „ J 4r2 — 2r + 1 J Aít l->2i J ~ Jl J 4(f- —)2 + —

1 + í2 1 + í2 4 4

1469 1

1 4 /-1 1= _ _ arctg(_ _ ) + c

dx>2 x

Desarrollo2 + 3cos2 x

2+ 3 eos2 x ~ 2 sen2 x + 5cos2 x

f dx _ f dx _ fj 2 + 3 c o s 2 x J 2sen2x + 5cos2x j 2 tg¿ x + 5

sec° xdx

1 f \Í2 sec" xdx 1 1 \¡2tgx 1 , 2tgxN: vf J (V5 tgx)2+5 v ^ )+c

idx1470

eos2 x + 2senxcosx + 2sen2 x

Desarrollo

Dividiendo entre eos x se tiene:


f dx j* see2 xdx _ 1 fJ eos2 x + 2senxeosx + 2sen2 x J 2 tg2 x + 2 tgx + l 2 J

sec2 xdx-2senxeosx + 2sen2x J 2 tg2x + 2 tgx + l 2 J 2 x + tgx + _

1__ 1 f — sec *dx = I .i-a rc tg (-----— - ) + c = arctg(2 tgx + l) + c

2 j (tgx+ -I)2 + i 2 i 1( tg x + '- r6 2 4 2 2

1471 1dx

senxsen2xDesarrollo

, 2 „ . „ „ „ 2

1472

f dx f sen x + cos x , f , 1 cosx _ ,I ------------- = I ------------------- dx = I (---------+ ---------- )dxJ senxcosx J 2sen2xcosx J 2cosx 2sen2x

1 f , 1 1 1= — I (secx + ctgx.cscx)dx = ~ ln I secx + tg x | cscx + c

r _______ dx_______J (2 + cosx)(3 + cosx)

Desarrollo

1 1 A BSea z = eos x ; entonces ------------------------ = ---------------- = -------- 1--

(2+cosx)(3 + cosx) (2+z)(3+z) 2 + z 3 + z

A + B = 0 ,1 = (A + B)z + 3A + 2B de donde se tiene: [ A = l , B = -l

3A + 2B = 1|

1 1 1(2 + cosx)(3 + cosx) 2 + cosx 3 -c o sx

f ----------- - ----------- = f — — f . . . a )J (2 + cosx)(3 + cosx) J 2 + cosx J 3 + cosx


1473

1474

, Ç dx 2 2integrando: -----------= - = arctg(—-£-) ... (2)

J 2 + cosx V3 V3

, f dx 1 tg 28 • " ,3>


f dx 2 tg2 1 tg2J (2 + c^ -w o _____ , = “/? arctg ( -7r ) - — a r c t g ( ^ ) + c-cosx)(3 + cos.*) 73 y¡3 y¡2 \Í2

Jsec2 xdx

7 tg2 x + 4 tg x +1Desarrollo

f sec2 xrfx f sec2 xdx

J 7 tg2x + 4 + tg x + l J y](tgx + 2)2 - 3

Sea u = tg x + 2 => du = sec2 xdx

|* sec2 A j* sec2 xdx _ f dw

j g2 4tg JC-J-1 j yf(tgx + 2 f ^ 3 J Vm2 - 3

= ln |m+V«2 - 3 I +c = ln | tgx + 2 + -y/tg2 x + 4 tg x + l |+c

J æcosar

dx2 +sen2 ax

Desarrollo

f eos axdx _ j* eos axdx

* V«2 +sen2 ax J y¡a2 + (senax)2


1475

1476

Sea u = sen ax => du = a eos ax dx

= — In I senax + Vfl2 +sen2 ax I +cf cos axdx 1 f acosaxdx 1 , [~----------= _ _ ^ _ _ _ = = . = — In I sen ax + \ aJ sja2 + sen2 ax a J \Ja2 +(sen ax)2 a

íxdx

eos2 3xDesarrollo

f xdx _ f J eos2 3x J xsec2 3xdx , integrando por partes y haciendo:

u = x du = dx

2 o j t ë 3*dv = sec 3xdx => v = ------

f xdx _ rJ cos23x Jj x sen1 xdx

xsec2 3xdx = - t g 3 x - —— dx + c = - t g 3x + - ln |c o s 3 x |+ c 3 J 3 3 9

Desarrollo

J x s e n 2 xdx = J x .1 C°^~X dx = Ì J (x -x c o s 2 x)dx

= - [ f x d x - \ xcos lxdx\ = — - — íx c o s2x££x ... (1)2 J J 4 2 J

integrando J x eos 2xdx por partes

u = x => du = dxhaciendo: „ , sen 2x

dv = cos lxdx => v = --------


1477

1478

1479

1* . •* - cos2xjc eos 2x dx = — sen 2 x + -------- ... (2)

2 4


J2 , x 2 xsen 2 je eos 2 je

JEsen xdx = -------------------------------he

í2 x*x e dx

Desarrollor *

Sea « = x3 du = 3x2dx => x 2dx = —3

f 2 i1 . f u du eu eI x e dx = e — = — + c = -J J 3 3

J

V+ c

xe2xdx

Sea

Desarrollo

u = je => d u - d x

e^xdv = e2xdx => v —-----

í xe2xdx = - e 2x- ~ í e2xdx = - e 2x- — J 2 2 j 2 4

J x2 ln yfí —

2x

•fe

x d x

Desarrollo

J x2 ln V i- j e <±e = i Jje2 ln(l - x)dx

»


1480

1481

Seadx

u = ln(l - je ) => du =

2 , X'dv = x dx => v = — 3

JE — 1.3

f je2 ln \J \ - x d x = — (— ln ( l - x ) - — í ------dx)J 2 3 3 J jc —1

3 ______ i p i

= — ln V l-J t I (x2 + X + 1H-------3 6 J jc —1

í

)dx

= — I n V i- jE - -— —— ———ln | jc—11 +c3 18 12 6 6

xarctg x , dx

Desarrollo

dx

J ü x 2

u = arctg x => du =\ l 1 + x2

f x a r c t |x ^ f ^ ^ d x = arctgx - f - *J VÍT7 J 1 + * J V1 + x2

= \ll + x 2 arctg x - ln | x + V 1 + x2 | +c

ísen2(—).cos(—)dx 2 2

Desarrollo


1482

1483

J sen2 ( ) cos(~)dx = i J (1 - eos x) cos(^f)dx

1 f , ,3x ,3x 1 3x 1 f 5x ,x .. ,= — (cos(— )—eosxcosí— ))dx = - s e n -------- I (cosí— ) + cos(—))ax2 J 2 2 3 2 4J 4 2

1

1 3x 1 5x 1 x.= - sen(— ) ------sen(— ) — sen(-) + c

3 2 10 2 2 2

dx)Sx)2

Desarrollo(sen x + cos x)2

f___*___=í-J (senx + cosx)2 J sdx

(sen x + eosx) J sen2 x+ 2sen xcos x + cos2 x

see2 xdx f sec2 xdx 1tg x + 2 tg x + l J (tgx + 1) tgx + 1

_ j* see xdx _ I* J t g 2x + 2 tg x + l J

1dx

en2 xDesarrollo

(tgx + 1) sen2 x

f _____ dx______ fcsc2x d * _ fe se2x .ctgx^J (tgx + l)sen2 x J 1 + tgx J 1 + ctg x

f ese2 xdx f ( l + ctgx)esc2 x , f - c s c 2 xdx f 2= —-----------+ -------- — --------dx = ------------- + ese 'xd x

J 1 + ctgx J 1 + ctgx J l + ctgx J

| - e s c x + csc x + csc x c tg x - i ------------------------------------- dx1 + C tg X

2 . r __ 2

= ln | 1 + ctg x | - ctg x + c


1484

1485

1486

I senh x.cosh xdx

Desarrollo

Sea u = senh x du = cosh x dx

Jsenh x.cosh xdx = j u d u = —

f senh Vi - *

(senh x)+ c = ---------— + c

2 2

-dxJ VTDesarrollo

,----- -dx 0 , _ dxSea u = V 1 —x => du - -—-, => 2du —

2 Vi - x V i - *

| !el V ^ . dx = j senh u.(-2 dw) = - 2 J senh u du

= - 2 cosh u + c = - 2 cosh V i - * + c

í* senh x. cosh x ^J senh2 x + cosh2 x

Desarrollo

Sea u = senh2 x + cosh2 x , derivando se tiene:

du = (2 senh x cosh x + 2 cosh x senh x)dx => du = 4 senh x cosh x dx

f senhxeoshxdx _ 1 f * = I ln|H|+c = i ln | senh2 x + cosh2 x |+c J senh2 x + cosh2 x 4J u 4 4

= iln |c o sh 2 x|+c4

2 1 0 Eduardo Espinoza Ramos

1487

1488

f xdx J senh2 x

Desarrollo

f xdx _ f J senh2 x J

sea

xcsch 'xdx

u = x ídu=dxdv = ese h2xdx [v = -ctghjc

J s e n h 2 a- = J ACSC hxdx = ~ x c t g h x + J c tghxdx = ‘x ctgh x + ln lsenhj* dxJ e2x -

x + c

Sea

- 2exDesarrollo

e* - l = z => ex = z + l

dz = exdx => = dxZ + l

f— * = ¡ -J e 2x- 2ex J (

dxe¿x - 2 e x J(< ?*-I)2 - l

dzr dx r dx rJ e 2x- 2 e x J (z2- i) (z + l) J (z + l)2( z - l )

I l J_

= í = - - j ln | z + l | + — }— + —ln | z - 11J z + l (z + l)2 Z — 1 4 2(z + l) 4 ' 1

= - j l n | ^ - l + l | + - L + i l n | ^ - l | + c = - - + — +-]n\ex -2\+c4 2e 4 4 2ex 4


1489

1490

1491

1492

I e2x - 6ex + 13exdx _

i-13Desarrollo

ex - 3f exdx f exdx 1 e * -3----------------- = I ---------- ------= — arctg-------- + cJ e 2x- 6 e x +l3 J ( e * - 3 ) 2 +4 2 2

ie2xdx

\_

(ex + 1)4Desarrollo

Seafex +l = z4 ^ p = z 4 - l

\exdx = 4 t 'd z i e2xdx = (z4 -1 )4 z3dz

(<?*+l)4

= —■ z4 — z4 + c = —\J(ex + 1)7 - - $ l ( e x + 1)3 +c 7 3 1 3

f 2 XdxJ 1-4*—4X

Desarrollo

f 2 Xdx f 2 Xdx x ,I ------- = I ---------- - ; sea u = 2 du = 2 ln 2 dxJ 1-4* J i - r-(2*)2

r 2 ^ = p ^ _ =_L f * = _!_b i|l± 21 |+ cJ 1- 4* J l - ( 2*)2 ln 2 j 1-M 21n 2 1 - u 21n 2 1- 2*

J t f - 1) .10~2*í¿c

Desarrollo


1493

Sea ■u = x 2 ~ 1 => du = 2xdx

. , n - 2 x j K T 2*dv = 10 dx => i21n l 0

í (x2 — 1). 10 2xdx = - ~ — Ll0' 2jt+ - i - fjc.10~2xdx . . . (1)J 21nl0 InlOj

u = x => du =dx

, , n - 2 x , 1 0 " 2*dv = 10 dx =>

¡ x . 10~2xdx = - f - 10-2* + J r : ... (2)

21n l 0

r 2jt

21n l0" ' 22 ln210

reemplazando (2) en (1), se tiene:

.2 “ I21n l 0 21n 210 22 ln310

J V - 1)10-2xdx = 1 + - 4 — + — )10-2jr + c

21nl0 lnlO 21n210

ex +1 dx

Desarrollo

Sea\ z 2 = ex + l

I exdx = 2 zdz

z 2 - l = ex, 2 zdzdx = —----

; 2 - l

j*Ve ‘ +1 dx - J —~ dz = 2J* (1 + — .. )dz

= 2(z +-^-ln | - —í- |) + c = 2yjex + 1 + Ih | -^==¿2— - 1 +c 2 Z + 1 yjex +1 +1


1494

1495

1 dx

Seau = arctg x

dxdv = —x2

du =

Desarrollodx

l + x 1

f arctg x , arctg x i* dx arctg x | f i_J x(\ + x 2) x J x \ + x

-)dx

arctg x , I , , , 2 1 arctg x , , r 7= ------------ t-lnx — ln |l + A | +c = -------h ln x - ln v l + A +<

2 x

í

xarctg x

x

, 1x arcsen(—)dx

+ ln Iy j l - x 2

+c

Seau = arcsen(—)

xdv = x'dx

Desarrollodxdu = -

vV x2 — 1

v = -

I X3 arcsení—)dx = — arcsen( ... (1)

integrando I --------- dx por sustituciónJ x — 1

\/x2 - 1

1


1496

sec 0 = x => dx = sec 0 tg 0 d0

„4j* x dx _ j*see 6.seed.tgOd6 _ fsee40.tg0 _ f

J yjx2- 1 J '/see29 - 1 J tg0 J

= J ( l + íg20)see20dé? = j*

de = I see e de

3


{\+tg-0)sec¿ 6 de = \ (sec¿0 + tgz Osee2 9)d9 = lg9+ ^ ~

(x¿ + 2) . ..(2)

J*3 *4 , 1 , 1 Va2 - 1 2aresen(—)dx = — arcsen(—) H— .---------- (x + 2) + c

x 4 x 4 3

1 . 4 1 Va - 1 , 2= —(x aresen —H----------- (x + 2)) + c4 x 3

= — ( jc aresen — + 4 jc

1cos(ln x)dx

DesarroHo

Sea z = ln x => x = e z => dx = e zdz

I cos(ln x)dx = I ez eos z dzJ* eos(ln x)dx = j e

du = ezdz dv = cos z dz I v = sen z

Jcos(ln x)dx = j e z eos zdz = ez s e n z - j e z sen zdz


1497

1498

J cos(ln x)dx = Jcos(ln x)dx = \ e z eos z dz = ez sen z + ez eos z - \ e z eos z d:J*

1= \ e z eos z dz = — (sen z + eos z) + c = — (sen(ln x) + eos(ln x)) + c

J(x — 3x)sen5xáx

Desarrollo

\u = x* - 3x

dv = sen 5x dx

du = (2x - 3 )dx cos5x

I'"2-x2 — 3x

3x) sen 5 xd x = - :------- — eos 5x +5 I

2 x -3eos 5x dx

x “ -3 xeos 5x +

5 53) eos 5x dx

í u = 2x - 3

Jv = eos5x£?x

du = 2 dx sen5x

í, 2 o s J , x -3 x 2 x -3 2 f(x -3x )sen5xax = ----------------- c o s 5 x h --------------s e n 5 x -— I sen5xdx

25 2 5 J

x -3 x 2 x -3eos 5x + — — sen 5x + ----- eos 5x + c

5 25 125

I

2 2 3= — (-x 2 eos 5x + — sen 5x + 3x eos 5x + — eos 5x — sen 5x) + c

5 5 25 5

x arctg(2x + 3 )dx

Desarrollo


1499

u = arctg(2x + 3)=>

dv = a dx

dxdu =■

2 a2 + 6a + 5Ox~

v = - 2

J a a r c t g ( 2 A + 3)d* = ~ a r c tg ( 2 A + 3) - J*4 a 2 + 1 2 a + 1 0

52 1 (* » 3a H—

= — arctg(2A + 3) — ( I dx+ I — ------- - ----- dx)2 4 J J 4a + 12a + 10

a 2 , i 1 f 6a + 5= —-arctg(2A + 3 ) - - + - — ---- -— — dx2 4 2 J 4a + 12a+10

a2 . i ! f bxdx 5 f dx■ ««gO x+ S - J + - j — — T + i j -

a 2 + 3 a + — a 2 + 3 a + 2

a 2 x 4 f 2 a + 3 1 f dx= — arctg(2A + 3 ) - —+ — — ---------- — dx— I

2 4 8 J 2 ' , 5 2 JA 2 + 3 a + — ^ J A 2 + 3 a + —

2jc A* 3 5

= :— arctg(2A + 3 ) - — + — ln ( a 2 + 3 a + — | - arctg(2A + 3 ) 2 4 8 2

= Í[(a2 -2)arctg(2A + 3 ) + -ln | 2 a 2 +6a + 5 | ~^] + c

J arcsen V* dx> Desarrollo

Sea a = z 2 => dx = 2z dz

j* arcsen 7a dx = 2 j* z arcsen z dz

</1 | <N


Seau = arcsen z

dv = z dz

du = dz

Ví^ 2

í* 7 | p 72I arcsen \fx dx = 2(— arcsen z — I . dz)

J 2 2 J -y/i-Z2

z = sen 0 => dz = eos 0 d0

-2 sen2 9. eos 9 dOt í ü - fsen f 0 d8 =-~ f (1 —J Vi—72 V1 - sen2 9 J •*

Luego:

eos 2 9)d9

1 1 /--T= - (0 - sen 9 eos 6 ) = — (arcsen z - zv 1 - z") + c2 2

í arcsen Va dx = 2(— arcsen z — - (arcsen z - z V1 - z ) 2 4

1= z‘ arcsen z- — arcsenz- Vi-z2 - arcsen(z2 - — ) - ^ y J l - z ~ +c

= arcsen Vx(x — ) --------(V i-* ) + c2 2

1500 J WDesarrollo


C A P I T U L O V

5 . L A I N T E G R A L D E F I N I D A

5.1. LA INTEGRAL DEFINIDA COMO LIMITE DE UNA SUMA

DEFINICIÓN.- Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b].Entonces la integral definida de f de a a b, denotada por:

f b f h 'ST'f ( x ) d x , está dada por: I f (x)dx = lim > / (£i)Ax- , si 3 el límiteJ a J a '

1=0

donde x¡ < < xM , Ax, = x M - x ¡ , i = 0,1,..., n - 1

Calcular las integrales siguientes, considerándolos como límites de las correspondientes suma integrales:

• b1501 I dxsy a

Desarrollo

r/ . . b - a „ , . . b - a .i(x) = 1, Ax¡ = ------ , g. tomamos de las siguiente manera: g¡ = a + i ;

£i =a + iAx¡, como f (x )= l => f (^ ¡) = 1

I dx= lim f(L¡)Ax¡ = lim ——— = lim n ——— = b - aJ a Ax,->0 ¿ 1. 1/ A r( —*0 Z u /i Ax,->0 n

i=0 i=0

Integral Definida 219

1502

1503

I (V0 + gf , donde V0 y g son constantes Jo

Desarrollo

Sean f ( t ) = V0 + g t , Ar, = ^ = —n n

& = l + i , A* = - ¿ ; / ( í ) = / ( 6 )»V 0 + — «'

- 7- n-1 w-1I (V0+ g O * = lim V /(£ , )Ax,. = lim V (V + g - i ) -

Jo Ax^oÁ—t Ax, ^ oJLj n n(= 0 i= 0

T f ' K T gT2 g T 2= lun > ( - 2- + ÍE— i) = lim(V0r + — > i)

Ax ( —>0 A m m i t i f t n —>°° 2

1;_ g72 (B-lXn) . r 2- lim —---------------= V y + p —-&x¡—>o n2 2 0 * 2

j : x l dx\

Desarrollo

Sean f ( x ) = x 2, Ax¡ = — = -2 + — = a + í'Ax,n n n

f ( x ) = x ¿ => / ( £ ) = (-2 + - ) 2/ ( £ ) = 4 ------ «+-n 72

[ *2<¿x = lim y / ( I , )Ax¡ = lim V ( 4 - — + - ) . - J _2 n->°° ¿mj n n ni=0 i=0

2 2 0Eduardo Espinoza Ramos

lim(12 - — + — (W 1)n(2n — ) =12 - 18 + 9 = -6 + 9 = 3 n2 2 «3 6

f 101504 2*dxJ o

Desarrollo

10 , 10/Sea / (x) = 2 y A x ,= — ; £• = —

n n

10Como f ( x ) = 2 x =* / ( £ ) = 2»

10 n-1 w-1 10f 2"dx = lim Y /(£ • )Ar, = lim Y 2 " / —I „ Ax —>°° £¡mmí n—*°° '■■■ WJ 0 ' i'= 0 <=o

10 2.10 3.10 , , , 1 0i « _ ------ ------ (n-1).—= lim —(1 + 2 " +2 " + 2 " +... + 2

n—>°° n

10~ „ 1010 1 — (2 n 1 —

= lim — ( 1 donde r = 2 "n-»°= n _

1- 2 "

10 10

= l im ( l - 210) — 1'l— = 0 - 210)lim12 '* ' n'->~ 121- 2 ” 1- 2 "

102 2 10 — 1

por L ’HOSPITAL = (1 - 210) lim — —*■------- = — —^ „_>» 12 ir> m 22 " , - ^ ln 2

n


1505

1506

I x 3dx

Desarrollo

Sea /(x ) = x3 , Ax(- = ——- = —, £, = a + /Ax, = 1 + — n n n

Como f ( x ) = x 3 => /(!,-) = 0 + — )3n

[ % 3dx= lim Y / ( ^ = l i m V (1 + + 1 ^ - + - ) - J , Ax —>0 i a J rt nz n n

i=0 1=0

„ 48(w-l)w 192 (n- l)n(2n-1 ) 256 w2 ( n - l ) \

“ i ! f . (4+ - 7 T - + T ' -------- i -------- -----------------2

= lim(4+24 — +32.(" ~ 1)l,2,' ~ 1> + 62(” r 1)i) = 4<.24t64+64=156n-*~ « n<- n-

Hallar el área del trapecio mixtilíneo, limitada por la hipérbola y = — , el eje X,x

y las dos ordenadas x = a, x = b, (0 < a < b)

Desarrollo

J?, s 1 * b ~ a £ b ~ a/ ( x ) = - => Ax,. = ------ ; q¡ = a - i -------x n n

como f ( x ) = - =* /(£ • ) = - ----- -------a + í(------ )

n

n- 1A = lim V / (£ , )Ax¡

A l,-» 0 Á m J 1=0


n- 1V " 1 . b - aA — lim > (------ ----- ) -----

. b - a n i=o a + 1 -

nn-1

A= lim y — — -— ,en forma análoga el ejercicio 1505; se tiene: A = ln — Ax,->o Á^an+i(Jb-a) a

i=0

1507 f ( x ) = I sent dt ' oJ.

Desarrollo

f ( x ) = I sen t d t , donde f(t) = sen tJ o

At¡ = — , L = — como f(t) = sen t => /(£ ,) = sen — n n n

x n-1 «-1/ (x) = | sen t d t = lim y /(£ )A í- = lim y ^ sen(—).—

I n A l-> 0 .¿^ Ai —>0 jLmM n n0 1=0 1=0

x x x x n — 1= lim — (sen(0. —) + sen 1. — + sen 2.— + ...+ sen-------x)

ai, —>0 n n n n n

= lim —(----- ------ (eos — -eo s (/i- —) —))Ar(->o n ~ x 2 n 2 n2 sen —

2 nx

x 1 x= lim ----- ----- . lim (eos------- cos(n — ) —)

n— X . n— 2 n 2 n2sen(— )2 n

= 1 - eos x, aplicando L’HOSPITAL

1 , « 1 , .NOTA.- sen a + sen 2a + ... + sen n a = -----------(eos —-cos(n + —)a)„ a 2 22 sen —2


5.2. CÁ LC U LO DE LA S IN T EG R A L ES D E FIN ID A S PO R M E D IO DE IN D EFIN ID A S.-

I o INTEGRAL DEFINIDA CON EL LÍM ITE SUPERIOR VARIABLE.-

Consideremos la función f(t) continua en el segmento [a,b], la función

^ ( x ) ~ f ( t )d t es una función primitiva de f(x), es decir: Ja

F'(x) = f ( x ) p a r a a < x < b

2o FÓRMULA DE NEWTON - LEIBNIZ.-

r h ihSi F'(x) = f ( x ) se tiene f (x )dx= F(x) \ = F(b ) -F (a )

Ja la

1508 Sea / = f — ,( b > a > 1). Hallar: a) — b) —Ja InAr da db

a) / =J a lnx J b ln.

Desarrollo

dx di _ 1x da In a

b) I- J a

h dx di 1ln x db ln b

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

1509 F(x)= I \n td t , x > 0

Desarrollo

F(x) = I ln td t => F '(x) = lnx

224

1510 F(x) = f yjl + t4dtJ X

Desarrollo

F(x) = J sj\ + t4dt = - j VT^

v X

tAdt => F '(x) =

1511 F (x )= I e~' dt

Desarrollo

. oc x~ r 2 r x 2F(x)= I e~' dt = I e~1 dt+ I e~‘ di

J x J x J o

F(jc) = — I e~r dt+ I e~r dt entonces: F '(x)Jo Jo

Ji.1512 1= I eos (t2)dt

X

Desarrollo

r> -Jx í» a (• \fx

7 = 1 eos(t2)dt= i eos t2dt+ eos(t2)dtX

- 1 x cost2 dt + I Ja Ja

sTx/ = - I * eos t¿dt+ I eos t2dt entonces:

dI , 1 X / 1 X / 1 X— = - COS(——).(--- - ) + COS x(-----— )dx x~ X" 2y[x


- V i + X4

y'1 _ r 4= —é + 2xe

di 1 1 , 1 .— = — -= eos x + — cos( —)dx 2 vx x* x“


1513

1514

1515

1516

f x SCYltHallar los puntos extremos de la función: y = I ----- dt en el campo x > 0 .

Jo {

f x set=J „ "Desarrollo

sent , , sen x , „dt => y = ------ => y = 0

para los puntos críticos =» sen x = 0 => x = njt donde n = 1,2,3... ti los

juntos extremos de la función es x = mr, n = 1,2,3...

Utilizando la fórmula de Newton - Leibniz.-

Hallar las siguientes integrales:

í1 dx) 1 + X

Desarrollo

1 I 1T n I— = ln(l + ;c) = ln 2 - In 1 = ln 2J01+* lo

11 dx

-2 x3Desarrollo

-i i i -i

E í - i l

J>

= - ( —- —) = - _2 8 2 8

dt

Desarrollo

f e'dt = e‘ I =£>*-<TX =J - X I - X

2 senhx


1517

1518

1519

í cos t dto

Desarrollo

I eos t dt = sent\ = senx => I eos t dt - senxJo lo Jo

Valiéndose de las integrales definidas, hallar los límites de las sumas.

.. . 1 n - 1lim ——)n->°° n¿ n*

Desarrollo

1 2 n - 1 1 ,1 2 n - 1Sea S„ = — + — ----- )

n~ n n~ n n n n

Consideremos: Ax, = y f(x) = x n

Luego el límite es igual a la integral I / (x)dxJ o

- 1 "-I j: / (x)dx = lim V f(£¡)áXi donde £ = - como f(x) = x => /(£,■) = -

J n M «u i= 0

f 1 ■i-4 -r-i 1 (n - l)n 1/(x )d * = lim \ /(£ , )Ax,. = lim > — = lim — — = -

J n n— Z-W n->~ n n->~ 2« ¿^ U ,=0 <=0

,• , 1 1 1 1 ^lim (------- h-------- 1--------- K..H-------- )»->“ n + 1 n + 2 n + 3 « + n

Desarrollo


1520

1521

Sea S„ = —— H— !— r... + —!— => j = i ( _ i _ + _ i _ + _L_)n +1 n + 2 « + n « 1 2 «

1 + - 1 + - 1 + —n n n

Luego Ax,- = — es la “n” participación en [0.1 ] y f ( x ) = —— ; <¡? = — n 1 + x n

m i I

i f ( x ) d x= lim y / )Ax, = lim y - ( -----—J n n—>°° aí—>oo /i i

1=0 í=0 1 + -

= u m y _ l = f ‘j L = to a» - * - n + i J o 1 + X

1=0

lp +2 p +... + n plim ---------------------n— np

nn-l . I . !

+ x)| = ln 2I o

Desarrollo

_ _ l p +2p +... + np 1 , l p +2P +...+np sSea S„ = --------------------- = —(----------------------)np+1 n nP

s n =n n n n

Luego: Ax, = —, que es las “n” particiones en [0,1] y f ( x ) = x p n

í f ( x )d x= [ ;Jo Jo

p+ i ■ i , p +1 -Luego: lim Sn = I /(x )d x = I x pdx = ------ 1 = ---------0 = -------

/? + l lo p + 1 p + 1

Calcular las integrales:

i 2

J (x2 - 2 x + 3)dx

Desarrollo


1524

1525

12 3 i 2

(x2 - 2x + 3)dx = (—— x2 + 3x) = (—- 4 + 6) - ( —-1 + 3) = — - — = — i 3 h 3 2 3 3 3

1522 f 8I (V2x + \¡x)dxJ o

Desarrollo

f ( y f ^ + \ f x ) d x = (— -j2x+ — y[x)Jo 3 4

J,1523 | U- ^ - d y

yDesarrollo

f 41 + J y f 4 1 l 1 2 14 1 -5 7— ^ d y ^ \ + —y-)dy --------- j=)\ = -(-j + l) + (l + 2) = — + 3 = —

J i y J i / - y ^ y 11 4 4 4y 2

r 6J \ l x - 2 dx

Desarrollo

2 2 _ „ i „ 16f yfx—2 d x = —( x - 2 ) 2 \ = - ( 6- 2)2 - 0 J 2 3 | 2 3 ' 3

I3 dx

V 25 + 3xDesarrollo

f " ^ = = i v s í 3 j r 3 = í - í “ = _ iJo \¡25 + 3x 3 lo 3 3 3


1526

1527

1528

j :3 dx

-2 X2 - lDesarrollo

1 3 — = — ln | ——- 11 3 = —ln|-^—Í-I-—ln|-^— .2 *2 - 1 2 1 x + 1 'I _2 2 -3 + 1 2 -2 + 1

= —ln 2 ~ —ln3 = —ln —2 2 2 3

I 'J oxdx

x2 + 3x + 2Desarrollo

f 1 * dx _ 1 f 1 2x + 3 ^ 3 f 1J o x2 + 3x + 2 2 J o x~ + 3x + 2 2 J o x2 + 3x + 2

dx.2

3 11 3 X+9 ~ 9 '*

= [— ln(x2 + 3x + 2) — ln | ------— -2 2 3 1¿ x + - + -

2 2o

= [— ln(x2 +3x + 2 ) - —ln | -2 2 x + o

I

= (— ln 6 - —ln —) - (— ln 2 - —ln —) = 2 ln 3 - 2 ln 2 = 2 ln - = ^(7 ) 2 2 3 2 2 2 2 4

1 y 2dy -1 y +2

Desarrollo

V - f — d y = í 1 ( y - 2 + - - ) d y = [ ( ^ — 2 y + 4\n(y + 2)ÍJ _i y + 2 J -i ' y + 2 2 l- i


1529

1530

í

= (— - 2 + 4 1 n 3 )-(— + 2 + 41nl) = 4 1 n 3 -4 2 2

dx

+5Desarrollo

o x 2 + 4jc + 5

f dx f dx | 1—;----------- = I --------- ---- = arctg(x + 2)1 = arctg 3 - arctg 2 = arctg —

J o * + 4*+ 5 J o ( j f + 2) +1 lo 7

NOTA: Sea z = arctg 3 tg z = 3

y = arctg 2 => tg y = 2

t g z - t g y 3 - 2 1tg (z -y ) =

1 + tg z. tg y 1 + 6 7

tg (z -y ) = y =* z - y = arctg(-~)

arctg 3 - arctg 2 = arctg y

dx

J3 x2 -3 x3x + 2Desarrollo

3 1x ~ z — z I 4

( x ----Y ---- X----+ -2 4 2 2

x - 2 ! 4 2 1= In | ------ Il = In — ln — = ln 2 - ln3 + ln2 = ln4 - ln3 = ln

x —l 13 3 2


1531

1533

1534

J o z

1 z3dz

o z8 +1Desarrollo

f ' _ 4 z ^ = l 4 | 'Joz8+l Jo(z4)2+l 4 J o (z ) +1 4 lo

1 , 1 n n■ — arctg 1 — arctg O = — 4 4 16

K

1 1 '1532 I 1 see2 a d a

6Desarrollo

K K4 2 í I 4 f t f t i 1sec" a d a = tga\ = tg — tg — = 1 — ■=

1 IZI 4 6 V36 6

7 5

2 dx

0 J l - x 2

V2

2 dx

0 \ l l - x 2

> 3.5 dx

2 \¡5 + 4x

Desarrollo

sfi. r -I 2 v 2 7T= arcienxl = arcsen------ arcsenU = —

Desarrollo

f ^ = f - ----- - = arcseni— J = arcsen - - arcsen 0 = -J 2 j5 + 4 x - x 2 J2 ^ 9 - ( x -2 )2 3 >2 2 6


1535

1536

1537

1538

J.1 2 jy ay

y6 +4

Desarrollo

r 1 y2dy _ i f

0 V>’6 + 4 3 *'í

1 3v2dv 1

V(y 3)2+ 4 3- ln | y3 +>/ y6 + 4

= - l n | l + V5 | - i l n 2 = - l n | Ü ^ - 3 ' ' 3 3 2

í ,4 2 ieos a J a

Desarrollo

í 4 2 . f í l eos a d a = \ —J o Jo

■eos2a , « sen la----------d a = (—+ ----------)

2 2 44 _ n 1 o ~ ”8 + 4

ísen \¡í di¡t

Desarrollo

I 2 setv'xj/ dì// = !Jo J i

3 . 1 2 , , i , COS ' W I 2sen y/di / / - I (1 -c o s - \f/)sen\i/d\j/ = (-cosi/m ---------—)r

í ;

í;

dx xln x

dxx ln x

= (0- 0) - ( - l + I ) = |3 3

Desarrollo

= InOn x) = ln(ln e2 ) - ln(ln 3) = ln(-----)\ e ln 3


1539

1540

1541

1542

í;sen(ln x) , — -------- dx

Desarrollo

f " í ew(lnX1 dx = - cos(ln x)| = -(cos(lne)—cos(lnl)) = -(cosl-cosO) = 1- cosíJ i x 11

I 4 tgxdxJ -*

Desarrollo

n_ £| % gx dx = - ln(cos x)| 4n = -(ln(cos - ln(cos(- - ) ) )

= - ln(cos — ) - ln(cos — )) = 0 4 4

f 3 ctg4\f/ d\¡/

6Desarrollo

- - 3 I " I “ 8 Kf 3 ctg4y/d\j/= í 4 (eos2 y /- l)c tg2\ i / d y f = - ^ ^ y K+(ctgii/+y/)\ ^ =

6 6 « 6

r 1 exdx j o l + e2*

Desarrollo

f 1 , 1 ’ , *------— = arcíge^ = arcfge - —J o l + e lo 4


1543 I cosh x dx

1544

Jo

Desarrollo

r I e * - e " \ ' e - e - ' 1 1f cosh dx — \ ' e— +e ' dx = _ Jo J o 2

J„

-------= - ( e — )2 2 e

■ In 3 ,dx

' In 2 C O Sh2 X

Desarrollo

f '"3 dx f in3 |l"3J in 2 ^ B J „, “C b d X ' H „ 3 = Win 3) - .ghdn 2),

[ senh2jJ 0

1545 I senh xdx

Desarrollo

f senh2xd x = ^ f (g2t - 2+ e~2* )dx = - ( - 2.y + — ■ e )| * J « 4 J o 4 2 |oJt 1 1 ^ 1

: ( - — + — senh2x)\ = — cosh 2k - —2 4 l o 4 ‘ 2

IN T E G R A L E S IM PR O PIA S .

(T ) DEFINICIÓN.- Sea “f ’ es continua en [a,+°°>, ijm fb—>+oo J

existe, entonces definimos:

• •

» <2f (x)d.x = lim I f (x )dx

b—¥+oo I

bf (x )dx ,

a


(T ) DEFINICIÓN.- Si “f” es continua en <-°°,b] y si lim í f ( x) dx

existe, entonces definimos:

íb rb

f {x)dx = lim I f ( x )d x a->-°°Ja

(T ) DEFINICIÓN.- Si “f ’ es continua en < - ° o ,+ o o > entonces:

/•+00 mOJ f ( x ) d x= lim J f ( x) dx+ lim í f (x )dx

/>->+“ J Q

NOTA.- Estas integrales son convergentes. Cuando existen estos límites en caso contrario se dice que es divergente.

( ? ) DEFINICIÓN.- Si “f” es continua en [a,b> definimos/.ft (•&-£

/ (x)dx = lim f (x )dx siempre que esteJ u °Jalímite exista.

( ? ) DEFINICIÓN.- Si “f ’ es continua en <a,b] definimos

f (x)dx = lim / ( x)dx , siempre que esteJ a e ~ * ° j a+e

límite exista.

( ó ) DEFINICIÓN.- Si “f” es una función en [a,b] exce >i.) en x = cdonde a < c < b, entonces:

*b i»c-£ rbf (x )dx = lim I f (x)dx+Y\m I f ( x ) d x , siempre que existan

Ja £_>0Ja £_>0Jc+£

estos límites.


1546

1547

1548

1549

Calcular las siguientes integrales impropias (o determinar su convergencia).

fJo

dx

o v*Desarrollo

í —f= = üm f = lim 2Vx| = lim(2- 2Ve) = 2 Jo vx £ ~ * ° J e Vx £~>0 le f_>0

f 2 dxJ-i x

Desarrollo

c 2 d x _ r ° d x [ 2dx r e dx f 2dx , r £ i :- h I — - l im i — + lim — = lim In x| + lim ln jcj

J - 1 x J X J () X e—»0J _J x E - + Ü X £->0 |_J £->0 ¡¿

= lim [ln (-e)-ln (-l)] + l im (ln 2 -ln e ) => 3 £->0 £-*0

por tanto la integral es divergente.

dx

iDesarrollo

f * , f dx 1 I1 ¿~P I1 i £i-p j— = hm — = lim------------ = lim ------ = lim(— ---- - — ) = —

J o x p £->0 J eX p £-*0(l -p)xp~l \e * -> ° l-p |£ £->0 1-/7 1 - p 1- j

si p < 1 es divergente, y si p > 1 es convergente.

Jo (x - l Ÿ

Desarrollo

3 / i v / jv j . . a i—e j »3J r ^ = - lim f 1 6 — — y + lim fJo ( * - 1) Jo ( x - l ) J l (X - l)2 Jo (X - l)2 e->oJ,+e (X -l)2

dx


1550

1551

1 l ,£ 1 I3 . . . 1 1 A 1= lim--------¡ + lim-------- 1 = - lim(------- ---------- ) - lim (---------------)£->o x-l|o £—>o x —1 li+£ £-*o 1—e —1 0-1 £—>o 2 1 + e - l

1 ^ dx= -(-oo) -1 — + +oo = °° . Luego: j ---------—, es divergente

2 Jo ( x - l) 2

dxr *Jo Vi-*2

Desarrollo

f ‘ dX.... = lim f E —jÉ?L = = limarcsen xj ' *j oVl-x2 £ °Jo yfl-7 £ ° lo

r

n= lim (arcsen(l - e) - arcsen(O)) = arcsen 1 = —

£-»o 2

dxx

Desarrollo

f — = l im í — = lim ln x | = lim (In b - ln 1) = lim ln b = ln(°°) = J ] X />-»“ J i X 11 6 -*“1 í>-»~

r d xLuego la integral I — es divergente.

J i x

1552 rdx~~2

Desarrollo


rDesarrollo

dx ¿~p | fc ,bl~p 1 ^ i if •— = lim f — = lim —— I = lim(—— —) =0- - - - - - - - - - — s¡r»lJi x p xp 1 — /?Ii 1-/7 1 - p 1- p p - 1

1554

1555

r dx Luego: I —J¡ x p

í

es convergente si p > 1 divergente si p < 1i x y

dx>

Desarrollo

0 J- dx

> 1 + x 2

f - ^ = f A t f A , Ita f - V » fJ -oo 1 + J-ool + X Jo l + X 1 + X J(

L x2 +

1 + X Jo 1 + x

= limarctg x| + limarctg x|| a |0

= lira (arctg 0 - arcíg a) + lim (arctg b - arete 0)

71 K= arctg(~) + arctg(oo) = —+ — = n . Luego la integral es convergente.

dx

4x+9Desarrollo

r dx r dx r 2 dx___ + r ~ ____ dx_J-«, x 2 + 4x + 9 J-~ (x + 2)2 + 5 J—(x + 2)2+5+J-( x + 2 r + 5 J -2 (x+2) +5


1556

1557

1 x + 2 1 x + 2 I; lim —¡= arctg(— + lim —= arctg(—=^)

a 5 V 5 \a h~>°° V 5 V 5 I 2

: lim (~ s arctg(O) — -r- a rc tg (^ ¿ ) + lim ( ~ arctg(-^=~ ) — \= arctg(O))- S S S b-~ s s s

1 x 1-=■ arctg(-oo) + —= arctg(oo)S S

2 K- 7=rarctg(oo) = —j= . Luego la integral es convergente.S n/5

Lsen x dx

oDesarrollo

. b ibMOO /» P I O

sen x d x = lim j senxdx= lim -co sx = lim (eos b -eo s 0) . 2 Jo b °°Ja b~,°° 10 b °°

por lo tanto la integral es divergente

i’2 dx

x ln xDesarrollo

í 2 dx = lim f 2 — = lim ln(lnx)|" Jo x ln x c->oJ£ x ln x e->o | £

l n -= lim[ln(ln —) - ln(ln e)] = lim ln(— —) = +°°

e- > 0 2 £-»0 ln£Luego la integral es divergente.


1558i2 dx

o x ln2 xLDesarrollo

i i í Ine — ln —p dx f 2 dx ,. 1 \~2 , 1 1 , 2----- — = lim ---- — = lim --— = -h m (— -— -— ) = hm --------- —

Jo xln~ x £-*°Je x\n x £_>0 ln jc |£ £_>0 £->02 ' 2

]_ln e + ln 2 e 1 1 1 1

= lim------------ = - lim — ----- = - lim -£->o 1 £-»o 1 1 £->o 1 1 lnl —ln 2 ln 2ln e .ln - l n - . — ln - ln -

2 l e 2 2

Luego la integral es convergente

íJo1559 | - É L . , a > 1

jcln xDesarrollo

pi>f = lim f -ÉL— - ijm ]n(ln jc)I = lim fln(ln b) - ln(ln a)] = lim ln(——)

Jo jcln* xlnx b-**> \a b->°° b->°° lna

= ln(—) = ln °° = oo . Luego la integral es divergente a

f " dx

Ja Jtln2 *1560 i -----, a > 1

Desarrollo

r dx .. r dx i f . .. i i , ..I — -— = hm [ ---- —- = hm ----------- = - l im ( ------------) = - l i m -----Ja Jtln * h-^°°Ja x \n~ x h~*°° lnxla b->~ \nb lna f>->~lna.

• b 1l n - - j= lim ----- — = lim ~ -— = ------ . La integral es convergente.

lna.lnb ¿>->~ 1 lna — lna b

i a ln —blnfc


1561

1562

1563

1564

I 2 c tg xdxJo

Desarrollon

I 2 r 2 |2 7ÜI c\ g xd x = \ \m I c tg x dx = lim !n(senx)| = lim(ln(sen—)-ln (sene))Jo £_>0 Je £—>0

= lim (lnl-lnO ) = 0 - ln 0 3 . Luego la integral es divergente£->0

fJo

e ^ d x

Desarrollo

í e kxdx = lim í e kxd x = lim -^—— I = —— lim(e bx- 1) = —Jo ¿j—>°°Jo b-*~ k lo k

La integral es divergente

’ arctg xIX

Desarrollo

r-Jo 1

2 dx+ X

(•“ arctg* = ,.m f ” arctg* = üm arctg_£| = ^Jo 1 + * 6~*°°Jo 1 + JC. b~*°° 2 lo b->°°

? " ,b arctg2b arctg2(0)b—>°° 2

I

arctg2(°o) arctg2(0) _ n 2

dx

)2Desarrollo

2 U 2 - l )2

f°° dx Cb dx f dx— ----- 7 = llm “ i ----- t integrando — —J 2 ( X 2 - 1 )2 J 2 ( X 2 - 1 )2 J ( X 2 - l ) 2


1565

n/x2 - 1

Es decir: sec0 = x ; dx = se c 0 tg 0 d 0

f dx fsecfl. tgOdd fsec0.tg6>¿0 f „ , f ,

integrando por partes: = - - [ c s c 0.c tg0 + ¡n | csc0 - c t g 01|

í = - f e +ta|^ é ;

Luego: L= - - l i m (—— -+ -

2 (x2 - l ) 2 b->~J2 (x2 - l ) 2 2*— V - l V T I í l

10 JT+1

= lim [ ( - ^ — + ln - /L _ L ) - ( - + 1„_ L )j2*-*“ ¿>2- l V3 V5

- - - r ( 0 - — + ln>/3) = - - i- ln > /3 = - - —ln 3 2 3 3 2 3 4

1 1 1 1

Desarrollo

f " dx Cb dx . fI ~5—- = Iwn I —-— integrando I Jo *3 + l Jo x +1 J

dx x 3 +1

de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:


1566

ídx 1 , (* + l)2 1 2; t - l „ ,• = — ln------------— j= arctg — ■==-, por tanto se tiene:

*3+ 1 6 6 r x

r dx j*fc dx rl , U + l)2 1 t 2jc-1—— = lim —— = lim [-ln —--------- + -= a rc tg — ■=-Jo x +1 *-»“ Jo x +1 *->“ 6 x - x + 1 V3 V3

1, (*+D 1 2b~ K A 1 W= lim (—ln—r--------- + -¡= arctg— p - ) - 0— parctg (— r )i->~ 6 (fo2 -¿> + l 73 V3 V3 V3

1 1 1 7T n 2k» O ^ a r c t g W ^ a r e t g ^ ^ ^ ^

f ' Í¿C

Jo 5jc2Desarrollo

1 1 1i

f - 3 - 2 = lim f ~ J ~ ~ 2 = lim f ( - 2 5 - 4 + - ^ ) d x Jox3 - 5;t2 e^oJe e^oJf x JC-5

= lim(— — ln x + — + — ln | x - 5 1)e-*o 25 5x 25 £

= 0 + I + — in(-4) + — lnO + — - + — ln(0-5) 5 25 25 5(0) 25

.100

1567 íf

»Je -

dx3 lim I —------ - por lo tanto la integral impropia es divergente.e->oJ£ jc3 - 5x2

dx

0 y[x + 2\fx + X3Desarrollo


Sea /(* ) = _ --- 1—— 1— V x > OVx + 2^ + x3 x2 + l

f '00___ dx i”00 dx

Jo yfx + 2\fx + x3 ~ J 0 x2 +l

f 100 dx I100 f 100 dx— = arctg x| = arctg 100 => —---- , es convergente, por lo l

Jo * +1 lo Jo x2 + l

1568

100 , dxtt=---- -t=---- t , es convergente

o <]x + 2 y x + xs

dx

i 2x + yjx2 +] +5Desarrollo

1 1Sea / (x) = ------- r = = -------------- • puesto que

2x + \fx2 + 1 + 5 4* + 5 F

yjx2 + 1 <2x => 2x + >/x2 + l + 5 < 4 x + 5

1 1 f°° dx f ” dx------ r ---- -- ----- r => I ------- ¡ = ------^ I --------- , Pero:2x + vx +1+5 4* + 5 Ji 2jc + V +1 + 5 Ji 4x + 5

f — = -í-ln|4* + 5||°° = o=-—ln3 = <»Ji 4x + 5 4 ' 'I, 4

f~ dx f~ dxLuego I -------- es divergente, por lo tanto I --------=====---- es divergente

j> 4 jc + 5 J. 2 * + ^ n + 5

1569 f -----J-i x2 + Vx4 + 1

Desarrollo


1570

1571

Sea /(x ) = --------L ===<—L - , V x > -1x2 + í[7 7 \ x + i

Luego f ------< í - ~x— , de dondeJ - .x 2+ ^ / 7 7 i J - 1A-+ 1

r dx 1“ n . , k n— - = arctg xl = --a r c tg (- l) = - + - = —

J-i x" +1 l-i 2 2 4 4

r~ dx r dxentonces I —----es convergente por lo tanto I -------- —....- es convergenteJ - , a 2+ V 7 T I

f Jo

xdx

iDesarrollo

'o 4 x 5 + \

Sea /(x ) = -= ■■*....— , V x > 0V T T í *2 + i

f ” xdx (*“ dx , J dx r n n nI ,....— < I —r---- de donde se tiene: I —----= arctg .vi = -----0 = —

Jo Vx5+1 Jo x2 +l Jo x2+l lo 2 2

f dx , f°° xdxLuego I —---- es convergente, por lo tanto: I ------ , es convergente.Jo x~ +1 Jo yjx5 +1

f 1 dx

JoDesarrollo

x4

Sea f ( x ) = - j J = r = 1 < J ------ luego:V l-x 4 i¡( l - x 2)(l + x2) y¡\ + x 2


1572

1573

de dondeJ o ÿ T T ? J . ÿ ï T ?

f 1 xí/x 3 - I 1 3 2 f 1 • /",/ ■ ~ - ( l + .V)3 = — (23 - 1) entonces | ^ A es convergente,J'Wl + JC2 4 lo 4 Jo ¿A + v2. r ¿A-

por lo tanto I .. es convergente.Jo V i- * 4

ídx

x ln xDesarrollo

lnx x Ir, a

í fj] In.r J, .

Entonces j -------> | ~ d x de donde se tiene:xlnx

rdx f " dx I ■

—-— = lim I -------= lim ln(ln x)|x lnx e->o J l+e xln x £->o

= lim(ln(ln 2) - ln(ln(l - e)) = ln(ln 2) - ln(ln 1) = ln(ln 2) - ln 0 = -=o

Il+£

i r dx i*2 dxLuego I —-— es divergente, por lo tanto I ----- es divergente.

Ji * lnx Ji lnx

/ :senx ,

- d x

Desarrollo

S e a / ( x ) = ~ < - L d e ¿ o n d e f ^ ^ d x < f ~ e n t o n c e s* X 2 J?- XT J l X 2


1574

1575

r dx i r 2

h x 1 2x\E

2n n

r d x , . .I — es convergente, de dondeJ - x"

l

sen.x ,— — dx es convergente.

- X 2

Demostrar que la integral de Euler de primer especie (función Beta).

B(p,q)= x p~l( \ - x ) q~ld x , es convergente cuando p > 0 y q > 0 .JoJo

Desarrollo

Sea f ( x ) = x p \ \ - x ) q 1 luego: Z?(¿>,g) = J f (x)dx = j 2 f (x)dx+ f (x)dx2

- dB(p,q) = í ; f (x)dx+ j* f {x)dx , por el criterio de comparación se tiene:

2

lim f ( x )x '~p = 1 y lim( 1 - x) l~q f ( x ) = 1x—0 x—»0

esto cuando 1 — p < 1 y 1 — q < 1, de donde p >0 y q >0 en este caso las

- iintegrales J 2 / (x)dx y f (x )dx son convergentes, por tanto:

2

B(p,q)= I x p~] (1 - x)q~x dx es convergente cuando p > 0 y q > 0 .Jo

Demostrar que la integral de Euler, de segunda especie (función Gamma).

V(p)= I x p le Xdx es convergente cuando p > 0.Jo

Desarrollo


En T (p)= I x p le Xd x , el factor e 1 —>0 cuando t —> Luego:Je

í x p le Xdx converge en el límite superior para cualquier valor de P, en elo

límite inferior el factor e~‘ —»1 , cuando t —» 0 y el factor / p' 1 °° cuando

p < 1 y, para que sea convergente en el límite superior P debe ser positivo.

(El límite se obtiene por el Teorema deL’HOSPITAL)

NOTA.- r (p ) = f x p~le~xdx = lim í x p~le~xdxJo '-»“ Jo

5.4. C A M BIO D E V A R IA B L E E N LA IN T EG R A L D E FIN ID A .-

Consideremos f(x) una función continua en [a,b] y x = \j/(t) continua y i (t)

continua en a < t < (3 donde a = y (a ) y b = \|/([i) y además la función

f(\j/(t)) continua en [a ,(3], Entonces:

r h rPf (x)dx = f[y/{t)].\i/’(t)dt

Ja Ja

1576 Se puede calcular la integral i \ ¡ \ - x 2dx valiéndose de las sustituciónJo

x = eos t?Desarrollo

Sea f ( x ) = \l 1 - x 2 => = yj\ — cos21 = (sent)

donde \|/(t) = eos t y ij/'(t) = -se n t

/ ( y / ( t ) ) y / \ t ) d t , donde x = eos t


1577

1578

1579

»2 ___ /»arccos2 2 »arccos2 5\ J \ - x 2dx= i (senf)3(-sen(W í = - l sen3 tdt no se puede calcular

Jo h k2 2

Transformar las siguientes integrales definidas valiéndose de las sustituciones que se indican.

J* \ /x + \ d x , x = 2t - l

Desarrollo

.3£ -Jx + Ídx = 2 J y]2t - 1 + 1 dt = 2 J V2 sit dt = 2V2^ V? dt

j*1 dxJi

1

i

ViDesarrollo

Sea x = sen t => dx = eos t dt

i - -f dx _ 1*2 eos tdt (*2 eos tdt

V i-* 4 Vi -sen4 í J* V (l-sen2r)(l + sen2r)2 6 o y7T * 7£

_ costdt ^ r 2 dt

yjeos2 í(l + sen2 /) ’J^. Vi + sen2 f

L

4

3 , x = senh t3 V 7 7 I >.

Desarrollo

H f In3 coshrdí f ln3 .I - = ... .. ■ ■„=■ = 1 d t , dondeJ— V*2 +1 J'n2 Vsenh21 + 1 Jin2


e' -e ~‘x = senil t => dx = cosh t dt jc = senh t = ---------

3 4para x = — , t = ln2, x = — , t = ln3

4 3

K

1580 i 2 f ( x ) d x , x = arctg tJo

x = arctg t => dx =

Desarrollo

dt1 + t2

71 Típara x = Ü => 0 = arctg t => t = 0 x ~~2 ^ — = arctSí t = °°

f / (x)dx = f /(arctg t) dt Jo Jo 1+t2

1581 Para la integral i / (x )dx , (b > a) indicar una sustitución lineal entero Ja

x = a t + p que de por resultado que los límites de integración se hagan respectivamente iguales a: 0 y 1.

Desarrollo

íb

f (x ) d x , como x = a t + (3, la sustitución lineal entera entonces buscaremos

a y P para que los límites de integración sean 0 y 1.

Luego: a = a t + P ==> t = ———a

b = a t + p => t = - —— a


1582

o , a = b - Ppara t = 0 => a = B ; t = 1 =» ------------a = b ~ a

por tanto: x = a t + p ; x = (b - a)t + a

Utilizando las sustituciones que se indican, calcular las siguientes integrales:

í4 dx

0 \ + s í x

Desarrollo

Como x = t 2 =$ x = t 2

además para x = 0 => t = 0 ; x = 4 => t = 2

f 4 d x f22t d t 0 f 2 1 , ,Luego: ----- ■== ---- = 2 (1- - — )dyJo 1 + Vx Jo 1 + f Jo l + t

12= 2(2 - ln 3) - 2(0 - ln 1) = 4 - 2 ln 3

o'

= 4 -2 1 n 3I t

I

4 dxyfx

1583 x - 2 = z3U - 2)3 +3

Desarrollo

Como x — 2 = z 3 => dx = d>z2dz

Para x = 3 => z = l ; x = 29 => z = 3

f 29 (x — 2)^dx f 3 z23 z 2dz z4dzLuego; J -------- = =

( x - 2 ) 3 +3


1584

1585

= 3 f (z2 - 3 + - ^ — )dz = 3(—— 3 z + - ia r c tg - ^ ) | Ji z +3 3 V3 V3 I

= 3 (9 -9 + a r c t g - | ) - ( I - 3 + a r c t g ( ^ ) )

2^ + 8 = A - 8 , J * J í z ^ , 8 + _ U2 2j3 " J3

C x-2)3 +3

f ln2 -------ylex - \ d x , e x - l = z 2

JoDesarrollo

Como e x - l = z 2 => e*dx = 2zdz. ; dx = ^z +1

Para x = 0. z = 0 ; z = ln 2 , z = l

pln2 y-- 9 H i ilLuego: I \lex —ldx = I ——- = 2 I (1— -— )dz = 2 (z-arc tg z) = 2 - —

«o Jo z '+ l Jo z +1 lo 2

,Jo

i

• In 2 ____Jex - l d x = 2 - ?

* dt to 3 + 2cosí ® 2

Desarrollo

Como tg — = z => dt = ■ y eos t = -——2 1 + z ' 1 + z2

Para t = 0, z = 0 ; t = rc, z = °o


2dzib

r ~ ± — r ~ » ± ¿ T -Jo 3+2cosf Jo 2- 2z Jo z +5 *-*-Jo z +5 fc->~V5 V5+ 1+z2

o

= 2 lim (4 = a r c t g — j=arctgO) = \ arctgc*-Q = Z L V5 V5 V5 5 V5

íK dt n

o

1586 1

3 + 2cosí ¡5

dxa i2 x

Desarrolloo 1 + a2 +sen2 x

, dt , t Como tg x = t => dx = ------ ademas senx =1 + t2 Vl + í2

KPara x= 0, t = 0 ; x = —, t = °°2

<ir —r f r 1 + 7 _ r _ _ * _ = _ J L _ i i m fJo l + a2sen2x Jo a2f2 Jo (l + a2)í2+l \[\ + a2 Jo (l + a“)r +1

1 + f2

=■ lim arctg(Vl + a2í)| = ■ 1 - lim (arctg \l\ + a2b - arctg 0) 2 |o Vl + a2yfl + a

1 7Tr[arctg(oo) - arctg(O)] =—7==Ltuvv5vvv/ r-

Vl + a 2 2v l

n

- f2 dx K

0 1 + a2 sen2 a 2\]l + a2


Valiéndose de sustituciones adecuadas, calcular las integrales:

15872£2

Desarrollo

Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0

Para x = — =* B = — \ x = 1 => 0 = —2 4 2

Luego:J:fl x 2 J I sen 0 J l sen 0

k n

= J 2 c tg2 e de = J 2 (ese2 0 - 1)¿0 = (-£■ tg 0 - e )|24 4 T

= ( - c t g 0 - e ) 2 = ( - o - * ) - ( - i - - ) = i - - + - = i - - l í 2 4 2 4 4

4

- J i1

dx = 1----X2 42

,2V ?1588 ^Ji x

Desarrollo

Sea x = see 0 => dx = see 0 tg 0 d0

Para x = 1 => 0 = 0 ; x = 2 => 0 = j . Luego:

, 2V*2- 1 , f l Vsec2 0 - 1


1589

f 2. - U = f 3 Vsec20 1secg tggdg = f 3tg20J0 Ji * Jo sec0 Jo

= f 3(sec20 - l ) í /0 = (tg0 - 0)|3 = ( - j 3 ~ ) - ( 0 - 0 ) = > ¡ 3 ~ Jo lo 3 3

/. í 2^ ± d x = J Í - - Ji X 3

1ln5 exy[e*—Í

ex +3Desarrollo

, . 2 . 2zdze - l = z => í/x = ----- -1 + z

para x = 0 = » z = 0 ; x = ln5 => z = 2. Luego:

F ' d E l « .Jo ex + 3 Jo z~+4 1 + z Joz"+4 Jo z +4

= 2(z - larctg- ) | = 2(2 - 2 arctg (1) ) - 2(0 - 2 arctg (0)) = 4 - n2 ' o

1590 r ------% =Jo 2x + y]?>x + \

Desarrollo


1591

Para x = O => z = 1 ; x = 5 => z = 4. Luego:

i»5 j *4 —zdz *f ___ ÉL___ = f _ _ J _______ 2 I

Jo 2x + \¡3x + l Ji 2 /_2 _ n , Ji(z2 — 1) + z 1 + ~’z 2

1 2

- 2 f ------— -----= 2 j* (— + - ^ - ) d z = [-ln(2z -l)+ -ln (z+ 2)JJ, (2z-l)(z + 2) J, 2z - l z + 2 5 5 |

1 4 1 4 1 4 4 4= (—ln7 + —ln6) - ( —lnl + —ln3) = -ln 7 + - ln 3 + - l n 2 - - l n 3

1 4 1= - l n 7 + —ln2 = —ln l l2

5 5 5

Calcular las integrales:

dx

i x\l x¿ + 5x +1Desarrollo

Sea x = - => dx = - É - t t 2

Para x = 1 => t = 1 ; x = 3 => t = -3

i . Éf ____ él____ = fa / 2 _ n dt____ = r ' _

Ji xsIx2 +5x +\ Ji l O “ Vr2+5í + l

1 di

- U 5,2 213 'I 2 — ~4

- l n | ( - + í) + Ví2+5í + l |j j = l n | - + >/7 | - l n | ^ - + y -1


1592

1593

1594

j;

, 7 + 2V7 . 9 , , 7 + 2^= ln------------ln—= l n ----------2 2 9

dx

!)2Desarrollo

- 1 (1 + *2)2

í — ÉL— = ¿e acUerdo al ejercicio 1297J (1 + x2)2 2(1 + x ) 2

dx x arctgx l1 1 arctg(l) 1 arctg(-l)- -)| = (—+ — - — ; - ( —- + - — -— ;

f dx x arctgx IJ-i(l +jc2)2 2(1 + jc2) + 2 Ii(1 + jc2)2 2(1 + x ) 2 4 2 4 2

Jo

1 1 n = — + arctg(l) = — + —2 2 4

x" dx

Desarrollo

f ' ] ax -x2dx= f j - — ( x - ~ ) 2dx = - [ ( x - —) \ l a x - x 2 +— arcsen(—Jo Jo V 4 2 2 2 4 a-;j

lo2

, 2 x - a I 2 ° 2 2* - a Ia= (------------ v a x - x + — arcsen--- )4 8 a lo

2 2 2 2 = (0 + — arcsen(l))- (0 + — arcsen(-l)) = — arcsen(l) = ——-

íl n

o 5-3cosxdx

sxDesarrollo

|n> I

a


1595

c . x 2 dz 1- z 2sean tg — = z , dx = ----- cosx =1+ z 1+ . 2

2 dzr2n ¿ir c2* 2 i r2K i * i i2® i „ i2tcf dx r 1 + 72 i f-* 2dz 1 „ ¡2” 1 x j

ol+z2

v In Jt= —arctg(2 tg(-))| = arctg2tg(-)-arctg(2tg{0))

. 7T _ 7T- arctg oo - arctg(O) = — - 0 = —

/•a /• aDemostrar que si f(x ) es una función par ! f ( x) dx = 2 j / (x)dx . Si por el

J a J O

contrario f(x) es una función impar L f (x )dx = 0

Desarrollo

rr> 1*0 j»a

f ( x ) d x = \ /(x )dx + f ( x )d x . . .(1)J -a J - a J O

como f(x) es par => f(x) = f(-x)

Sea x = -y => dx = -dy

I / (x)dx = - I / (x)dx , para x = 0 => y = 0; x = -a => y = a. Luego:J-a Jo

f f ( x ) d x = - f f (x)dx = - f /(-yX -y) = - f f ( y ) - ( d y )j - a Jo Jo Jo -

= Í f ( y ) d y = í /(x )d x Jo Jo


1596

1597

<•0 0Opor lo tanto I f {x)dx = I f (x )dx ... (2)

J-a Jo

*a *areemplazando (2) en (1): / (x)dx = 2 j f ( x )d x en forma análoga para

J-a Jof(x) impar.

f “ -*2J „ f " f “Demostrar que: I e dx = 2 e dx = I — p —J-o= Jo Jo V*

Desarrollo_ 2

/(x) = e x es simétrica respecto al eje “Y”.

• 0e~x dx = I é~x dx + I e~x dx = I e~x dx + I e x dx

e x dx ; por la simetría ahora demostraremos que:

1 e x dx = I e x dx + I e x dx = I e x dx + IJ-oo J-eo Jo Jo Jo

■ i

2 i e~x dx = i e~x . Sea z 2 = x => dx = 2z dzJo Jo V*

Como z 2 = x => \ fx = z

r e ~ xdx r 2 z . n r -z2 , o f ”= I —= - = 1 e —-dz = 2 I e ~ ífe = 2 I e dxJo Vx Jo 2 Jo Jo

1 J.-_ C dx C 2 sen x ,Demostrar que: | ---------- = I -------d xJ()arccosx J() x

Desarrollo

Sea arccos x = z => x = eos z ; dx = sen z dz

KPara x= 0 => z = — ; x = 1 z = 02


1598

re k1 o of dx [ -sen zdz _ f senz ^ _ j*2 se n z ^ _ f 2Sen;c¿tJo árceosx J* z J í z J0 z Jo x

2 2

1 -C dx f 2 sen x ,Luego: I -------------= ---- -dxJo árceos x J0 x

£ £Demostrar que: I 2 /(senx)rfx = j ~ f (eos x)dx

Jo Jo

Desarrollo

Sea z = senx =$ V l - z 2 = eosx

dz = eos x dx => — = dxVl- z

para x = 0 => z = 0 ; x = -~ =s> z = 12

<•- 1í 2 / (senx)dx = í f ( z ) - r ^ = ... (1 )

Jo Jo J 1~ 72vi - z

sea y = eos x => dy = - sen x dx

como J l - y 2 = senx =? — r¿ L = = dx

71para x = 0 => y = 1 ; ■* = — =^y = 0

Tí

f 2/(C0Sx)dx= f f ( y ) ( - ! É = ) ) = Í l f ( y ) - Í L = = f ' / ( z ) - ^ = ... (2)Jo J i y j l—y' *'° y ¡ l - y 2 *'° v i - z 2

í. * de (1) y (2) se obtiene: | 2 /(senx)dx = i 2 f (cosx)dx

Jo Jo


5.5. IN T E G R A C IO N PO R PA R T E S,-

1599

Calcular las siguientes integrales, empleando ía fórmula de integración por partes:

i, x eos x dx

Haciendo

Desarrollo

u = x => du = dx

dv = cosxdx => v = senx

í xcosxdx = x sen jd

n k

p - f lo Jo

sen xdx = xsenxi 2 + eos xlle !c

1601

. \ l 2 ( 7Z TZ TT. . 7 t _ . 7 t■ (jesen a' + cosjc)| = (—sen— i- eos —) - (0 + 1) = - + 0 -1 = ---- 1lo 2 2 2 2 2

1600 í ln xdx

Haciendo

Desarrollo

K = lnx => d u = — x

dv = dx => v = x

J* lnxdx = x inx | - J* dx = (x lnx -x )J = ( e - e ) - (O - l) = 1

f x3e2xdxJo

Desarrollo

Haciendou = x

dv = e2xdx => v = -

du =3x2dx


1602

f x3e2xdx = ~ - e 2x\ x2e2xdxJo ¿ lo 2 J 0

Haciendou. = x =$ du = 2xdx

„2xdv = e2xdx => v = -

í x3e2xdx = ( ~ e 2x- ~ x 2e2x)¡ + - f xe2xdx Jo 2 4 ¡o 2 Jo

(— e2* A 2*)!o 4

e2x 3 3 2 3 3 1' e2 3 ¿>2 +3------ ( X -------X + — X -------) | = -----+ - = ------------

2 2 2 4 lo 8 8 8

fJosen xdx

Desarrollo

u = e x => du = exdx dv = senxdx =» v = —cosx

Je* sen xdx = -e* eos x + | ex eos xdxí ‘

| u = ex => du = exdx [dv = eos xdx => v = sen x

I ex sen xdx - ~ex cos+ ex sen x - ex sen xdx = — (sen x - eos x)

_ nr* ex ¡ - e 2 i

Luego: J ex sen xdx = — (senx-cosx )l = — (1) — (0-1 ) = Jo 2 lo 2 2

e xts> ¡


1603

1604

I xe~xdxo

Desarrollo

u = x => du = dx

dv = e~xdx => v = -e~x

xe~xdx = -xe~r + i e 'xdx = - e _Jt (x +1), Luego:

í xe~xdx + lim f xé~xdx = lim - e x(x + 1)1 = - lim (—-— 1) = —(0 - 1) = 1Jo i-»00 Jo h~>°° ‘

i >+1

í ,e_flJtcosbxdx, (a > 0)

oDesarrollo

k = e_<u; => du = ~ ae axdx sen ¿x

dv = cosbxdx => v = -

f “ , . e~“ seniw a f “ _ai , ,I e cos bxdx = ---------------- 1— j <? senoxdxJo ¿> ¿Jo

u = e-“ => d u = - a e - axdx eos ¿x

dv = sen bxdx => v = -

f°° -a* , j e “ senfcx a - e ^ c o s b x a f ”| e cosbxdx = --------------+ —(-----------— I e cosbxdx)Jo b b b Jo3 2 /•00

r ' ^ J osen b x - a e cosbx= £e “ ------------------------- 1 — — | e cosbxdx


1605

f e - eos bxdx = senbx-ae~ax c osbxl~b2 Jo ¿ 2 lo

f V a* eos bxdx = L l ib s e a b x - a c m b x ) |°° _ 0 - ( 0 - fl )=; a Jo b2 +a~ lo a2 + b 2 a 2 +

l

b 2

e ‘“ senbxdx, a >0■ax ,e 0

Desarrollo

u = e ai => du = -ae ‘“dx

eos bxdv = senbxdx ==> v = —b

f -a x I . e “ c o s í í j r f l f ° °| e senfaxdr = ---------------------I e “ cos bxdxJo b b Jo

u = e ax => du = - a é axdxj , , senbxdv = eos bxdx => v = ----------

f senfrxdr = - f _ T cos^ ü r ^ s e n f o + £ f*Jo ¿Jo ¿>Jo

H— I eac senbxdx

.6 cos fox + a se n to a2 f~ '= - e " ( ---------- ----------- ) — - e sen fotdx

Jofo2

_ ax/beosbx + asenbx^ _ax / beosbx + a sen bx2 72 ' ~ ~ e *--------i----9------ ta +b2 a +b |0

b b= - 0 +

a2 + b 2 a2 + b 2


1606 Demostrar que para la función Gamma es válida la fórmula dereducción: T(p + 1) = PI\p), p > 0, se deduce que F(n + 1) = n! Si n es un

número natural.Desarrollo

La func ión Gamma por definición es: T(p)= I e 14up ldu para u > 0Jo

sustituyendo p por p + 1 T(p + 1)= e~uupdu , integrando por partes:Jo

j w = u p => d w = p u p~'du

\dv = e~udu => v = -e~“

r ( p + \) = -e~u.up\ + p [ e~uu p~ldu lo Jo

como p > 0 => e~" - * 0 , cuando u -> «> puesto que p es fija, e~“u p -> 0 ,

cuando u L u e g o : + e "up lduJo

T(p + l) = pHP) de esto se obtiene:

T(n + 1) = n l\(n - 1) + 1) = n(n - D R n - 1)

r(n + 1) =,n(n - l)(n - 2) ... 2.1 ... (1)

T(n + 1) = n!.

K 7T_

1607 Demostrar que para la integral /„ = I 2 sen" xdx = I eos" xdx es válido laJo Jo

fórmula de reducción: /„ = ----- /„_2 • Hallar I n , si n es número natural,n

utilizando la fórmula obtenida. Calcular / 9 e / ,0


Desarrollo

K,#1-1

Se conoce: J 2 sen" dx = " ' x'cosx , f X(¡X

J n n J

K

Luego: / , , P W xdx - f f ^ ' ^Jo n lo n J 0

f ? -

'■ = J . 2” n" xdx ‘ t 1 / , 2 sra"'2 * « - « i

n lo n J0

*

'• ‘ r c° s" x d x = t 1 j ? ' “ 8""1 x i x = » = p e » ' ■ > * = — v 2... (2 )u Jo n

de (1) y (2) se obtiene:

f § £/„ = " sen" xdx = i 2cosn xd x = f 2cosn ;r¿r

*'° J o Jo

n ^I - f 2«Pn" yiffr - 1-3- - (« -3 ) ( /l - l ) Jt

Jo 2A . . ( w - 2)« - 2 "P“ y ” >>

2 .4 ...(n -3 )(n -l)Í X ^ - 2)n ’ nim par y n >1


1608 Calcular la integral siguiente empleando reiteradamente la integra! por partes:

#( <?) = í */’_1 (1 - a)9-1 d x , donde p y q son enteros y positivos.Jo

Desarrollo

u = x p~] => du = ( p - l ) x p~2dx

dv = ( \ - x ) q 1 dx => v = —( l - x ) q

B(p ,q)= í xp~l( l - x ) q~ldx = - - — (1 A) I + ^ —!- f vp 2(1 - x f d xJo <7 lo <? Jo

B(p,q) = ——- f x p l { \ - x ) q dx <7 Jo

u = xp 2 => d u = ( p - 2)xp 3dxHaciendo •! ñ - x f ^

dv = (1 - x)q dx => v = -------------<7 + 1

B( p ,q ) = p - L [ ( - x p- 2 {l )| + ^ - 4 fq <7 + 1 lo <7 + 1 Jo

B ( p ,q) = P - l . P —^ f x p- \ \ - x ) q+xdx q + 1 a + 1 Jo

Haciendou = x p 3 du = ( p - 3 ) x p 4dx

a - x ) q+2dv = (l - x)q+l dx => v = —c¡ + 2


B(P, q ) = J L 2 ' P z 2 ' P z l | V 4a - * r 2d*q q +1 í + 2Jo

continuando con este procedimiento se llega B(p,q) =(P + q - l ) '

1609 Expresar^ por medio de B (func.ón Beta) la integral

/"'"1 = J0 sení” XC0S” xdx ’ Si m y n son números enteros no negativos.

Desarrollo

Sea / = sen2 x => l - t = cos2 x

dt = 2 sen x. eos x dx => dx = ~ ___ —

para x = 0, t = 0 ; x = - t = 12

tt m n

In,m= i 2 senm x.cos" xdx = f — ^ ~ tÍ í dLJo Jo - -2 / 2(1 _ 0 2

1 f * m~* «-1 = 4 1 t 2 .(1

2 Jo 2 2 2

5.6. T E O R EM A DEL V A LO R M E D IO -

(T ) ACOTACIÓN DE LAS INTEGRALES.-

Si f(x) < F(x) para a < * < b, se tiene f f ( x ) d x< f F(x)dx ; Si f(x)Ja Ja

y vj/(x) son continuas para a < x < b y además \|/(x) > 0, se tiene:

w j y / ( x )d x < j f (x) y / ( x)dx<M j y(x)dx . . . (1)


1610

donde m es el valor mínimo absoluto y M es el valor máximo absoluto de

la función f(x) en el segmento [a.b]. El particular cuando y(x) = 1. se

tiene:

m ( b - a ) < I / (x)dx < M (b - a) ... (2)

De (1) y (2) se puede sustituir por sus respectivas igualdades equivalentes.

fJaf(x)y/(x)dx = f ( c ) í iff(x)dx y j* f ( x )d x = f { $ ) ( b - a ) donde

Ja * a¡;, son números que se encuentran entre a y b.

© VALOR MEDIO DE LA FUNCION.-

cy

1 Chu =------ I

b - a JaEl número u = — — | f (x)dx se llama valor medio de la función f(x)

en el segmento a < x < b.

Determinar el signo de las integrales siguientes sin calcular las:

a) í X3dx r c)f 2n sen x

b) x eos xdx ------ dxJ-i Jo Jo x

Desarrollo

a) Graficando f ( x ) = x

rLuego I x d x , tiene signo más (+).


NOTA: Para determinar el signo de la integral sin calcular, se hace elgráfico en el segmento indicado.

La región de la parte superior del eje X es positiva, y la parte inferior del eje X es negativa.

b) Haciendo la grafica de f(x) = x eos x

para c) tiene el signo mas (+).

161! Determinar (sin cálculos), cual de las siguientes integrales es mayor.

a) í yj 1 + x" o j" xdx Jo Jo

Desarrollo

V x e R , \ + x 2 > x 2 ; yjl + x 2 > x

tomando integrales I \j\ + x~dx > f x d x . Luego el primero es mayor Jo Jo

b) x~ sen2 xdx o x sen2 xdx Jo Jo


1612

Desarrollo

V x e [0,1] => x 2 < x , luego x 2 sen2 x < Jrsen'2 x

tomando integrales I x 1 sen ~ xdx < I x sen2 xd x .Jo Jo

Luego el segundo es mayor.

c) J e x dx o J exdx

Desarrollo

V x e [1,2] => x 2 > x , de donde e x~ > ex , integrando de 1 a 2

J ex dx > J exd x , luego el primero es mayor.

Hallar los valores medios de las siguientes funciones en el segmento que se

indican.

f ( x ) = x 2, 0 < x < 1Desarrollo

1 f*El valor medio de la función es: u = ------ I / (x)dx , luego:

b — a J a

1 f ‘u = ----- I1 -0 Jo

x ldx = X3 ! 1 i iu = —3 lo 3 3

i ru = ----- f (x)dxb - a j a

1 f* 1 Iffu = -----------I (a + ¿eos x)dx = — (ax + bsenx) I7C-(-7t)J-„ 2k \-n


1613

1614

1615

H = -í-[(OT + 0) - (-flTT + 0)] = — 2n 2k

f(x) = a + b eos x, -7t < x < n

Desarrollo

El valor medio de la función es:

L f ‘ » -< i J .

/ (x)dx, luego u rn - ( - n ) J_„

(a + bcosx)dx

1 I* 1 9u = - - ( a x + b senx) = — {(a + 0 ) - ( -an + 0)] = — . Luego u =

l-jt ¿Tt 2n

f (x) — sen í x , 0 < x < n

Desarrollo

E! valor medio de la función es:

1 fb -a Ja

n Jn

1 Iu = -------i s,7 1 - 0 J 0

sen xdx

eos 2* I r sen 2*.!*' 1 7r-dx = ~ ( ~ -« 2 4 '|0 7r'"2

/ (a) - sen 4 x

Desarrollo

El valor medio 1 riio de la función es: u = ------ f ( x ) d x . Luego sb - a j a

se tiene:

i r * l CTii = ------ | sen4 xdx = — I

* - O j 0 f f J 0f I ^ ¡ 2 x j , dx


1616

. . i r“ Jo1 f ’r l -c o s 2 x + 2cos22x , 1 . 0 x sen4x1 dx = — (x -se n 2x + — + — -— )

4 4 k 2 8

„ = j _ w , 0+ í + o ) = ^ 44 n 2 8?r 8

Demostrar que la integral í ^ <ÍX está comprendida entreJo j 2 + x - x 2

~ = 0.70s[2

Desarrollo

2 +x - x 2 = — ( x — ) , para x e [0,1] => 0 < x < l 4 2

1 1 ^ 1 i 1 i 1=* - 2 Í X ~ l - 2 =*

- =* 4 s - (t4 ,2 s o

„ - I + £ < £ - (¡t- I ) i < 2 =, 2 S í - ( x - i , » S i4 4 4 2 4 . 4 2 4

=> 2 < 2 + x - x 2 < — => V2 < yjl + x - x 1 < ^4 2

¿ i i [ 2 J r dx— < < -p r => —¿X< | , ... .....= < | —7=

x —x2 V2 Jo 3 Jo -\/2 + x —x2 Jo x/2

1 r ' dx < x ■'2 I f

3 lo Jo y¡2 + X - X 2 V2 I0

- < f dx < _ L luego la integral [ , ^ ■ esta comprendida3 Jo v2 + x — x V2 Jo v2 + x - x 2

2 1entre — = 0.67 y —= = 0.70 ahora el valor exacto es:3 V2


1617

1618

1619

r - r f i ^ . r" 0 \ 2 + x - x Jo

x - -= arcsen(—— = arcsen(— —-)|

I1 1 1= arcsen(-) - arcsenf— ) = 2 arcsen. - 3 3 3

Acotar las integrales:

• i

i ,\¡4 + x 2dx

Desarrollo

V x e [0,1] => 0 < x < 1 => 0 < x 2 < 1 4 < 4 + x 2 <5 => 2 < V4 + x2 < Vs

=> í 2dx< í \¡4 + x 2 < f \¡5 d x . Luego 2 < 1 < \fs Jo Jo Jo

í ,dx

r

Desarrollo8 + x3

Si X G [-1,1] => -1 < X < 1

9 A-3 + 8 7- l < x 3 <l => 7 < x 2 +8 <9 => < -

f 1 dx f ‘ dx f 1 djLuego:

I* s f _ * . < £ [ * 2 < fi -i J - i x3 +8 7 |_ , 9 j

dx x j1 2 f 1 dx 2 „ , 2 , 2, , ;----- < —I => — < J —------- < — . Por lo tanto: — < / < —

91 i J - ! x j +8 7 1., 9 J_i xJ +8 7 9 7

2 re

Jt dx10 + 3eosx


Desarrollo

Se oonoce que: -1 < cos x < 1 ; -3 < 3 eos x < 3

7 < 10 + 3 eos x < 13 ; — < ------ ------- < -13 10 + 3eosx 7

r 2K dx r n dx „ r KLuego tomando integrales se tiene: I — < ------------- S

J0 13 Jo 10 + 3cosx Jo

2n dx 2n 2n ^ ^ 2n— < I ------------- < — , por tanto: — < / < -—13 Jo 10 + 3cosx 7 13 7

K1620 j 4 xyjtgx dx

JoDesarrollo

Como la función crece monótamente 0 < ^/tgx < 1 para x e [0 ,^ :

0 < x^ tg x < x tomando integral

n_ Jt_ n_ 1 £0 < í 4x^tgxdx< í 4xdx ; 0 < | 4x^tgxdx< — | 4

Jo Jo Jo 2 lo

» - _______ _______ 2 _20 < I 4 Xyjtg xd x < — ; luego: 0 < I < —

Jo 32 32n

111621 i 4

. 1 X

Desarrollo

1 V2En forma análoga a los demas —<1< —

• 200nr eos x1622 Integrando por partes, demostrar que: 0 < j ------ dx<

Jiloo ít x 100;r ejercicio 1609, por tanto dejamos para el lector.

dxy

análoga al


C A P I T U L O V I

6 . _____A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A

6.1.__ AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS.-

0 EL AREA EN COORDENADAS CARTESIANAS.-

Se determina por la fórmula S = í f ( x )d x , donde y = f(x)> 0, que esJa

el área del trapecio mixtilíneo, limitado por dicha curva, dos verticales en los puntos x = a y x = b y el segmento a < x < b.

En un caso más general, cuando el área S de la figura limitada por dos curvas continuas y = f ¡ (x) e y = f 2 (x) y por dos verticales x = a y

x = b, donde / , (x) < f 2 (x)

Aplicaciones de la Integral Definida 277

▲ y

Y = f2(x)

Y = f1(x)

Para a < x < b tenemos: 5 = [ f2( x ) - f t(x)\dx. Si las curvas se danJa

en forma paramétrica: x = <p(t), y = \|/(t), el área del trapecio mixtilíneo limitado por esta curva y dos verticales, x = a e y = b, respectivamente y por el segmento del eje X, se obtiene:

S = f i¡/(t)(p\t)dt, donde tx y t2J'i

se determinan de las ecuaciones: a = tp(ti ) y b = (p(t2) (tp > 0) en el segmento [tx, t 2]

( 2 ) AREA EN COORDENADAS POLARES.-

Si la curva continua, se da en coordenadas polares por una ecuación r = f(\|/), el área del sector AOB, limitado por el arco de la curva y los radios polares OA y OB, correspondientes a los valores </ / ,=a ,

y/2 = ¡i , se expresa por la integral:

B_ r -


1623

1624

[ f(V)]2dy/

Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4 x - x 2 y el eje de abcisas.

Desarrollo

y = 4 x - x 2 la intersección con el eje X es:

para y = 0 => 4 x - x 2 = 0 ; x = 0 ; x = 4

como y = 4 x - x 2 => y — 4 = — (x — 2)2, es una parábola

\ y = 4x - x2

= f yd y = f Jo Jo

( 4 x - x 2)dx = (2x2 = ( 3 2 - — ) - 0 = —3 lo 3 3

i c 32 2Luego: 5 = — u ~3

Calcular el área de la figura limitada por la curva y = ln x, el eje OX y la recta x = e.

Desarrollo

Hallaremos la intersección con el eje X de y = ln x.


Luego: para y = 0 ; l n x = 0 => x = l

S = J ydx = ^ \nxdx = ( x l n - jc)|

S = (e ln e - e) - (1 ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1); luego S = 1 u 2

1625 Hallar el área de la figura limitada por la curva y= x(x - l)(x - 2) y el eje OX.

Desarrollo

4 11 v 4 12

5 = (------x ' + x H + (------+ x3- x 2)4 lo 4 li


S = ( I - l + l ) - (0 )+ ( J £ + 8 _ 4 ) - ( - I + i - i ) .•.5 = i + I = I = I ¡<24 4 4 4 4 2 2

1626 Hallar el área de la figura limitada por la curva y 3 = x , la recta y = 1, la

vertical x = 8.

Desarrollo

y 3 = -V => y = 2fx

(y - l) ¿ x = J (< /I-lW x = | j c 3 |X- x j 8

S = 2 ( 1 6 - 1 ) - ( 8 - l ) = — - i l ; lueeo: S u24 4 4 4

1627 Calcular el área de la figura comprendida entre una semionda de la sinusoide y = sen x y el eje OX.

Desarrollo

= c o s J = - (eos 71 - eos 0) = -(-1 - 1) = 2 lo

'= í ydx = rJo Jo

sen x dx

Por lo tanto: S = 2 u 2


1628

1629

Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje OX,

nlas rectas x = —3

Desarrollo

Y J ,i y = tg x

A

/ t í l S

iii r

/ X lic

j|s

1 K X 2

= JJo

- —

3 tg xdx = ln(cos x)| ’ = -(ln (cos^) - ln(cosO))lo 3

S = -( ln —- l n l ) = - ( - l n 2 ) . Porlotanto: 5 = l n2M22

Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola xy = m 2 , los verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX.

Desarrollo

El grafico de xy = m es:


1630

S - m" (\n?>a - \n a) = m 2 ln 3 porlolanto: S = w 2 ln 3 « 2

Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi. y =

y el eje de abcisas.Desarrollo

x 2 +a2

El gráfico de y = —------ es:x 2 +a2

f f ” _ f L . A +J — J -~ a +íz J ^ x +a Jo x~+a

S = lim i — a 2 dx+ lim f - - ^ É L = lim a~’~™ Ja x~ + a o X +13“ a-»-« arctg—I + lim a arctg-

^ aV™ (a atcíi= a ~ arctg(G))+ lim (a2 a r c t g - - a 2 arctg(O))¿7 /]


S = 0 - a 2 arctg(-°°) + a 2 arctg(°°)-0 = 2 a 2arctg(°°) = a 2n

O Opor lo tanto: S =a~K u~

1631 Calcular el área de la figura limitada por la curva y = x 3, la recta y = 8 y el

eje OY.Desarrollo

El gráfico de y = a es:3 es:

y/ y =

< II 00

/

y

/0 X

Como y = x => x = ^Jy

.8 ~ 4■f 8 í*8 r- 3 - I 8 35 = Aífv= l [ y d y = - y 3\ = - ( 1 6 - 0 ) . Por

Jo Jo ' 4 ’ lo 4lo tanto: S = 12 u ‘

1632 Hallar el área de la figura limitada por las parábolas y “ = 2px y x~ = 2py

Desarrollo

Y -, y-, = 7 2 pxL _ ( 2p ,2p)

x f / X2

^ 2p X

y2 = 2px

284

1633


Buscaremos la intersección entre las curvas y 2 = 2px, x 2 = 2py

como x - 2 py => - Reemplazando en y2 - 2 p x

X4 3 •>' ~ ‘-Px => x ' =8p~ => x = 2p y x = 0

V

par ax = 2p=> y 2 =2px = 4 p 2 =*. y = 2 p ? x = 0 = > y = 0

f 2? r 2p 2( : V i = I (y ¡2px -— )dx

J o Jo 2n

* 0)6 p

„ _ 8 / r 4 /> 2 4 , 4

3 3 ~ ~ 3 P ' Porlotanto: S = ~ P u 2

Calcular el área de la figura limitada por ia parábola y = 2 x - x 2 y la recta y = -x

Desarrollo

Buscaremos la intersección de: y = 2x — x 2 , y = -x

Luego: - x = 2 x - x 2 => 3-t-jc2 = 0 => x = 0, x = 3

Como y = 2 x - x 2 => y - l = - ( x 2 - 2 x + l) => y - i = _ ( ^ _ i )2

Es un parábola de vértices V(l , l ). Su gráfico es:

Aplicaciones de ¡a Integral Definida 285

y = 2x - x2

3jc2 r \ | 3 27 27 „ 81-54 27 9 n „ 1 2= (----------- ) = (----- — ) - 0 = --------- = — = - . Por tanto: S = A - u ¿2 3 ¡o 3 3 6 6 2 2

1634 Calcular el área del segmento de la parábola y = x 2 que corta la recta y = 3-2x

Desarrollo

Los puntos de intersección son:

y = x 2 ; y = 3 - 2 x => x 2 = 3 - 2 x => x 2 + 2 x - 3 = 0 x = -3 => x = l

para x = -3, y = 9 ; x = 1, y = 1. Su gráfico es:


1635

S - J [(3-2x )~ x 2]dx = ( 3 x - x 2 ) J

$ - O 1 —) - ( - 9 - 9 + — ) = — - ( - 9 ) = — + 9 . Por tanto S = —~ u2 = 10 J 3 3 3 3

Calcular e! área de la figura comprendida entre las parábolas y = x 2 , y = —2

y la recta y = 2x.Desarrollo

Las intersecciones de las rectas y = 2x

Con la parábola y = x 2 s o n *2 = 2* =* x = 0 o x = 2

Luego los puntos de intersección son (0,0), (2,4), las intersecciones de la recta *2

y = 2x con y = — son (0,2) y (4,8). Luego: S = S, + S 2

.3 |4

2

~ ^ 3 - 6^_ 0 + (1 6 -^ “ _ 4 _ ^ = T + T ‘ Portanto: S = — = 4 u 2 3 6 6 6 3 3 3

U> | K

>


1636

1637

x2Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = — -

y = 4 - - x 23

Desarrollo

Las intersecciones entre las parábolas son:

— = 4 - - x 2 => x 2 =4 => x = - 2 o x = 23 3

Luego los puntos

x 2

X

5 = [ ' ( 4 - - x 2 - — )dx= f ‘ (4 - x 2)dxJ-2 J -2

Calcular el área de la figura comprendida entre las curva de Agnesi:

y = — —- y la parábola y = — .l + x 2

Desarrollo

4 4de intersección (- 2,—), (2,—). Su gráfico es:

4 - ^ x 2


1 x ■Las intersecciones entre la curva y = ----- - y la parábola y = :— , son:

1 + *2 2

Luego los puntos de intersección son: (—1,—) , (1,—)2 2

f* 1 x 2 Io x3!1 1 1S = (—r-i — ~)dx = arctg J — ~ \ = arctg (l) — arctg (—!) — [— + —]

j - i l + x¿ 2 |_i 6 !_[ 6 6

5 = 2 a rc tg Q ) - - = 2~ - . Portanto: S = ( - - - ) u 23 4 3 2 3

1638 Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = e x , y = e~x y la recta x = 1.

Desarrollo

La región comprendida por las curvas y la recta es:


'= Í (ex ~< Jo

ii-e~x)dx = (ex +e~x)f

lo

S = (e + e 1) - 2 = portanto: S = ——— m2

2 2 x y1639 Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola — + ~

a~ bDesarrollo

Como: + -^- = 1 ; b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2a2 b2

2 -y , 2 2 2, 2 , Vb2x 2 - a 2 b2a y =b x - a b ; y = ± ------------------

„ C2a \lb2x2 - a 2b2 J , b C 2a r ^5 = 2 ----------------- d x = 2- V* -J a a a j n

S - — (—\jx2 ~-a~ ln \x + y[x2 a2 |)ja 2 2 |

S = —[ ( x jx 2 - a2 - a 2 ln | x + x 2 - a2 |)]|a la

a2dx

2a

S = — [ ( 2 a \ ] 4 a 2 - a 2 - a 2 [ n ( 2 a + y ¡ 4 a 2 - a 2 )) + In a 1

5 = —[2a2 V3- a 2 ln(2a + a^ )] = ab[2sj3 - ln(2 + 7 3 )]u2 a a

2 2 2

1640 Hallar el área limitada por la astroide: x 3 + y 3 = a 3

Desarrollo

= 1 y la recta x= 2a


Como las cuatro regiones son simétricas se tiene:

2 2 3pa ña _ _ _

5 = 4 >>ÉÍr = 4 | (a3 - x 3) 2dx. Sea x = az3 => dx = 3az2dz Jo Jo

r* 2 2 2 *»> 35 = 4 I (a3- a 3z2)23az2dz = 12a2 j (l-z2)2z2dz Jo Jo

z = sen 0 => dz = eos 0 d0

Kpara z = 0 =* 0 = 0 ; z = l => 9 =■

2 ^

S = 12a2 I (1 - z 2)2 z2dz = 12a2 I " (1 -sen2 z)2(sen z.cos zdz)r 1 3 f - 35 I ( l - z 2)2z2dz = 12a 2 i " (1- s e n 2 z)2(

Jo Jo

K 1X

2 í “ eos4 z.sen2 zdz = 12a 2 f ^ ( —Jo Jo

* 2O 1 0 Z I ¿ 4 Z _r i o Z 1 0 . . 1 " ^ C O S 2 0 , .5 -1 2 « I cos z.sen“ z d z - 12a I (------------)(------------ )d6

' = — a 2 í '2 Jo

2 (sen2 29 + sen2 29.cos29)d0


1641

3 2 f ^ r 1= 2 J„ [- - eos 49 + sen" 20.eos 29]d9

r _ 3 2^6 sen 29 eos 29 sen3 2 9 1 2 _ 3 ^2 3a~n ^2

Hallar el área de la figura comprendida entre la catenaria y = a cosh(—) , el ejea

ü 9OY y la recta y = — (e~ +1).

2eDesarrollo

El gráfico de y = acosh(—) es: a

- r *2 i * 1 it 2 . 1 _ a re +1 ~ J a £ +1 _i ,S =■—í—-----x - a e a +ae a ]\ = —[-a - a e + ae + a - a J

2 e lo 2 2

a re2 + l 1 a 2 e2 +l 1 a" 1 1 2a~ 2 -iS = - [ ------ -~ e + - ] = — [-----------e + - ] = — [e + — e + -] = — - = a~e2 e e 2 e e 2 e e 2e

Por tanto: S = 2a2e 1 u


1642

1643

Hallar el área de la figura limitada por !a curva a2y2 = x2(a2-x2)Desarrollo

de

Como la figura es simétrica y = ± —yja 2 - x 2a4l y dx ~ ~ Va~ ~ x d x . Sea x = a sen 0 dx = a eos 0

K

S = 4J ' senQyfa2 - a 2 sen2 9 a eos 9 <19 = 4a2 f 2 eos2 9 sen 0 dOJo

= - | a 2cos30| 2= - l a 2(O-l) => S = i aVJ lo 3 3

Calcular el area de la figura comprendida dentro de la curva (~)2 + (2 ,35 4

Desarrollo


Como la curva es simétrica, se tiene: y = ---- (25 - x 2)2 luego:' 125

Sea x = 5 sen 0 => dx = 5 eos 0 d0

Para x = 0 => 0 = 0 ; x = 5 => 9 = —2

i6 r5 — i6 r l —S = — (25-A:2)2dx = - — (25 - 25 sen2 9 )2 5 cosí» d9

125 Jo 125 Jo

= 80 f 2 eos4 9 d9)\6x5 = 80 í 2 ( ^ ^ - ) 2d9 Jo Jo -

— a= 20 í 2 (1 + 2cos 29 + eos2 29)d9 = 20(9 + sen 29 + - + 2

Jo 2 8 lo

n= 20(— + sen 29 + 2 = 20(— — 0) = 1 5tt por lo tanto: S = 15* u 2

2 8 lo 4

1644 Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola equilátero

a 2 - y 2 = 9 , el eje OX y el diámetro que pasa por le punto (5,4).

DesarrolloY


1645

m = — => y = - jc ; la intersección es: x2 - — x2 =9 => 9 x 2 = 225 =¡> x=± 5 5 5 25

como la curva es simétrica se tiene:

-9 )dx]-52) = 2 lJ ~a.ííx: + J j x - y j x 2 - í

5 = 2(— |3+ — 15- [ - j x 2 - 9 - - \ n [ x + J x 2 - 9 ] ] |5) 5 lo 5 |3 2 2 |3

1 O 1 O Q O ~

5 = 2f(— + 10---- )~(10 — ln9) — ln3]. Por tanto: S = 9 1 n 3 «5 5 2 2

Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = — , el eje OX y la

recta x = 1, (x > 1)Desarrollo

5 = i " ydx= = lim p ^ = l i m - - r = l i m ¿ - l ) Ji Ji x *-x”Ji x b-*°° -xli í’~>“ b

S = -(0 - 1) = 1 por tanto 5 = 1

Aplicaciones de la Integral Definida295

1646 Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y y su asíntota2a - x

x =2a, ( a > 0).Desarrollo

Por la simetría se tiene:

/»2a

f

— - — dx = 2 lim j x J - ^ - d x2 a - x \ 2 a x

Hallamos la integral I x J 2a ~ d x ' Se3 * Z ^ dx 2zá z

f \~~X~ - [ z 2-z-2zdz ? f Z*dZ } X\ 2a - x J >/2a - z 2 J ^ 2a - :

Sea z 7 \¡2asend => dz = \l2aeos9 d9

r ~ f 74di f 4a2 sen4 9.y¡2a cos9 dO

f e r 2J— ^


1647

= 2a2 f (1 - 2 eos20 + eos2 26)d6 = 2a2(---sen20 +—— )J 2 8

* 2 a 2- £

1•* Jocomo 5 —2 lim I x.j--------dx cambiando los limites se tiene:

£-»°J o \ 2a - x

S = 2.2a2 ( ^ - sen 20 + 2 = 4a2 ( ^ - 0) = 3a2*2 8 lo

por tanto: S = 3a2n u 2

Hallar el área de la figura comprendida entre la estrofoide y 2 = — —— , y2a - x

su asíntota a > 0.Desarrollo

La grafica de la estrofoide y 2 = ————2a —x

2es:

X

.v =

sea

[ 2a

2 ( va( x - a )

■J 2a

x = z 2 => dx = 2zdz, para x = a, z = 4a ; x = 2a=> z = y¡2a

(.x - á ) - ¡ J L = ;V2 a - x


1648

f 2 fl í«V2 a= 2 1 ( x - a ) —¡ = = d x = 2 |

Jfl y ¡ 2 a - X ' JyfZ(z2 - a) - ¡ = L = 2 z dz

\¡2a - z 2

A = 4J.■Ja v2a -... (1 )

sen0 =\¡2a

tg 0 =-¡2a - z 2

: = V ía sen 0 derivando se tiene: dz = -Jla cosOdO

I— 1 Tíz = \¡a, sen0 = —¡=, u = —V 2 4

t- — ttz = V2a, sen0 =l, 0 = —

= 4 f (72 - a) z — = 4 | 2 (2asen20-a> '/2asen0 .tg0 .\/2acos0d0

A = 8a I (2 sen ~ 0 -a)sen 0 d 0 = 8 a71

'J¿

« 4 - eos 20(1- eos 29)d9 = 4 a

4

n

„„ „ l - c o s 20eos 20 -1 ) ------------dO

-e o s 40 -e o s 2 0)d9

A = 4«*<® _ ü í i i _ J í = V [ ( í - - 0) - ( | - 1)]2 2 2 I* 4 8 2

A = a (—+ 2)m 2

Calcular el área de las dos partes en que la parábola y = 2x divide el circulo

DesarrolloX2 + y 2 = 8 .


Buscaremos los puntos de intersección x 2 + y 2 =8

x 2 + 2 x - 8 = 0 => (x + 4 ) (x -2 ) = 0 => x = 4 o x = 2

Luego x = -4 no se toma en cuenta, por tanto los puntos de intersección es: (2,2), (2,-2), por la simetría se tiene:

- v>

r 2 r 2'/2 -2 .y¡2 _____B = Jo + j ydx] = 2[J s¡2xdx + j y j s - x 2dx

i-

b = 2 í ^ | í i | ! + ( £ V ¡ r 7 + 4 arcsen^ =)| 2V' ]3 lo 2 2V2 I2

! .

B = 2[—+4arcsen(l) - (2 + 4arcsén 4 = )] = 2[ - + 2n - n] = (2* + - ) u 2 J V2 3 3

para la parte A se tiene: A = n r 2 - B = %n - (2n + - ) = (8n - 2 n - - ) u 23 3

Por tanto: A = (6n - - ) u 23


1649

1650

Calcular el área de la superficie comprendida entre la circunferencia

x 2 + y 2 = 16 y la parábola x 2 = 12( y - l ) .

Desarrollo

Buscaremos los puntos de intersección:

jt2 + y 2 = 16 => .v2 = 1 6 - y 2 => * 2 = 12( y - l )

=> 1 6 - y 2 = 12_y —12 => y 2 + 1 2 y -2 8 = 0

de donde y = 2 => x = ± 2y¡3 ; por la simetría se tiene:

r 2>/3 .------------- 2 -------------- 3 |2>/3

5 = 2 [V 1 6 - x 2 ------------------------ \]dx = 2[— V16 — jc2 +8 arcsen--a]|Jo 12 9 4 36 lo

S = 2 l 2 j 3 + - - - S ] = — - - S = ( - ^ - - V 3 )u23 3 3 3 3 3

. 2 16 4 /— 32 4 rr 2para la parte A se tiene: A = x r - s = lb7t - ( — n — V 3) = (— n +—\l3)u3 3 3 3

Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = a eos31 , y = b sen31 .

Desarrollo

)0 Eduardo Espinoza Ramos

y/(f) = a cos3 1 => para x = 0 =* i, = —

=> x = a => t2 = 0 => \¡t(t) = b sen3 r

como y/(t) = acosi t y/'(t) = -3acos2 t .s tn td t

C2 <*° .5 = 4 i//(/).v/'(Od/‘ = 4 | ¿>scn f(-3a cos t.sen t)dt

«Q * 05 = - 12afc f sen4 /cos2 iJi = — y - I sen2 2r(l - cos 2i)df

2 2

2 J"1 i - c o s 4 í o , 3ab,t sen At sen3 2 /!°(i—12_ _ _ Sen 2t.cos 2t)dt = — — [ - ----- ----------— I

2 2 2 8 6 7T2 * " "2

3ab r„ n , 3o/?* c 3 abn 25 = -------[0-----] = ------- por tanto: 5 = —-— u2 4 8 8

651 Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la

cicloide: x = a(t - sen t ) ; y = a(l - eos t).

Desarrollo

Para x = 0 => /, = 0 ; x =2na => t 2 =2n

Como: \|í(t) = a(l - eos t)

V|f(t) = a(t - sen t) =* y/'(t) = (a -a e o s t )d t

C2rc l C2” 25 = J o(l - eos t ) ( a - a eos t)dt = a2 j (1 -c o s t) dt


1652

2 f a , , 2 x . 2 / o * sen2í I2*S = a I ( l -2 e o s í + eos t)dt = a ( t - 2 s e n t + — + -------- )|Jo 2 4 lo

2 3í „ sen2r | 2,r „ 2 _ „ „ 2 25 = í j “(------ 2sení + -—-— )| = a (37T — 0) = 3 a n . Por tanto: S =3a~n u"

Hallar el área de la figura limitada por una de la trocoide x = at - b sen t;

y = a - b eos t, (0 < b < a) y la tangente a la misma en sus puntos inferiores.

Desarrollo

Como x = (p(t) = at - b sen t

x = \j/(t) = a - b eos t

S = j \ff{t)\¡f\t)dt-A\ hallaremos: f, y t2J',

0 = y/(tl ) = atl - b s e n t l => 0 = a/, -b se n f ,

2aK = <p(t2) = at2 - b s e n t 2 => 2an = at2 - b s e n t 2

como la tangente en los puntos inferiores es paralela al eje X => y '= 0 , es decir:

302

1653


y'z=\fi'(t) = -b se n t = 0 => /, =0 enx = 0

y '= y/ ' (?) = - b sení = 0 => t2 = 2n en x = 2na. Luego:

S = { \ f ( t ) ( p \ t ) d t - A =J'i

i»2jt5 = I (a2 - 2abeost + b2 eos2 t ) d t - 2a2n + 2abn

Jo

_ . 2 „ , ¿>2 sen2f . |2,c - 2 .S =(a t -2 a b s e n t + — + ---------- ) - 2 a +2abn2 4 lo

S = 2a2n + b 2K - 2 a 2n + 2abn portanto: S = n (b 2 +2ab)u2

Hallar el área de la figura limitada por la cardiode x = a(2 eos t - eos 2t);

y = a (2 sen t - sen 2t)

Desarrollo

S = f y/(í)i// \t)dt donde \j/(t) = a (2 sen t - sen 2t)J»,

\j/(t) = a (2 cost - cos 2t) ; y/' (t) = a(2 sen 2t - 2 sen t )

f 2*I (a - b eos t ) ( a - b eos t ) d t - ( a - b ) 2K

Jo


1654

- i r°

= 2a 2 i

a (2 sen í - sen 2í)a( 2 sen 2t - 2 sen t)dt

(2 sen t - 2 sen t eos t )(4 sen t eos t - 2 sen t)dt

S = 8a | (sen t - eos t sen /)(2 sen t eos t - sen t)dtí

í5 = 8¿r I sen /( l-co sf)(2 c o s /- l)d ff°

= - 8a 2 j Jjl

sen / ( l-3 c o s f+ 2cos“ t)dt

„ 2,3r senícosf 3 sen2feos2r / ° „ 2/ft 3?r. , 2 25 = - 8a 2(------------------------------------------------------------------------------- sen í -- ) / = - 8cT(0------- ) = 6azj tu ¿4 2 8 / * 4

Hallar el área de la figura limitada por el lazo del folium de descartes 3a/ 3at2

Desarrollo

S = y/(t)(p'(t)dt, donde y = y(t), x = <p(t)

3at 3atsiendo \¡/(t) = ------— y <p(t) =

(1 + /3) (1 + í3)


1655

3a? 3a(l-2í )Como: 9 (0 = -— j => V (0 = n <3"

i + r (l + r )

Jo (1 + í 3) Jo (1 + f )

S = 9a2[ f ” —^ y y ¿ / - 2 f 4 ± ÍT íÍí1Jo (1 + f3)2 Jo (r3+l)3

S = 9 a ¿[-l + r3) / o

9a2f 0 - [ - - + - ] ]2(1+ r3)2 3(1+ r ) 7 0 2 3

S = 9a 2(—) = ^ — por lo tanto: S = ^ —u~6 2 2

Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = 0 (1 + eos \|/)

Desarrollo

•PSe conoce que: 5 = 1 f

2 Jar d y , donde r = f(\|/)

El gráfico de r = 0 (1 + eos vj/) es:


S = 2.— f r2dy/ = f [a(l + cosi^)]2í/i/2 Jo Jo

5 = a 2J (l + 2cosy/ + cos2\¡/)d\¡/ = a 2( ^ + 2sen0 + sei^~ ^) j

_ 3a2* 1por tanto: S = -------

2

1656 Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquímedes: r = avy

Desarrollo

De acuerdo al gráfico se tiene:

1 f 2*S = — (r22 - rf )d\ff , donde r, = a y/ ; r2 = (y/ + 2*)2 Jo

1 f 2,1S = — I ([a(i//+ 2*)]2 - a 2\¡/2]d\f/ por lo tanto: 5 = 8 a 2* 3M2

2 Jo

1656 Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquímedes: r = ay

Desarrollo



1657

S = - f (r2 - r2)di¡/ , donde r, = a y ; r2 - (y + 2n)2 Jo

s = I (2a2y/n + 2a2Jt2 )d y = {a2y 2K + 2a2n y ) j ^Jo

2 3 2 por tanto: S = 8a K u

Hallar el área de las hojas de la curva.

Desarrollo



1658

1659

2 a K 2a , sen4w / t ¿r/t 2= — (v +

2 4 / o 8

Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 4i^

Desarrollo

= 4.— f2 Jo

= - 2a 2(— ) = a2 por tanto: S = a 2u 24 4

Hallar el área limitada por la curva r = a sen 3\|/

Desarrollo


5 = —.3 f 3 r2dy/ = — f 3 a 2sen23t//dy/ = - a 2 f 3 (1 L° S^ -)d\f/2 Jo 2 Jo 2 Jo 2

3a1 , sen6yr 3a2 t n _ „ a2n 2= -----(w ----—) / 3 = ---------- (-----0 ). Por tanto: 5 = ------u4 6 / 0 4 3 4

1660 Hallar el área limitada por le caracol de Pascal r = 2 + eos \|/

Desarrollo

El área es el doble del área desde 0 a tc, luego

5 = 2.— I r2d\)f= I (2 + cosif/)2d\f/ = I (4 + 4cosy/ + cos?2 Jo Jo Jo

w sen 2u/ i n _ 9 ?= (4w + 4senu/ + —+ ------ —) / . Por tanto: S = —ttm~r r 2 4 / o 2

*1661 Hallar el área limitada por la parábola r = a sec* y las sennrectas W ~ ~

n71 _ 1 |*2 2 .

y * '= 2 ; S = 2 j í 4

Desarrollo


1662

1663

Hallar el área e la figura limitada por la elipse r =1 + ecosi^

, (0 < e < 1)

5 = 4 . - f 2 r2d\¡/ = 2 f 2------ -------- - d y2 Jo Jo (1 + ecosyO

Desarrollo

2

5 = 2/? 1dljf , Ttp 2—-— ■— integrando se tiene: 5 = --------- - u

o (1 + ecosr) (1+e2)2

Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 3\|/ que esta fuera del circulo r = a

Desarrollo


Sean r, = 2a eos 3i¡/ y r2 = a

n £5 = 6. - f 6 ( r2 - r2 )d\¡f = 3 j* (4a2 eos2 3y - a 2)d\¡/

2 Jo ' Jo

2Ü TC 2por lo tanto S = ----- u2

1664 Hallar el área limitada por la curva x 4 + y 4 = x~ + y " . Sugerencia: pasar a

coordenadas polares; por tanto 5 = K\¡2u~

6^2. L O N G IT U D DE AR CO D E U N A CU R V A .-

© LONGITUD DEL ARCO EN COORDENADAS RECTANGULARES

Consideremos y = f(x) una curva, la longitud L del arco de la curva comprendida entre dos puntos x = a; x = b es:

L= í x/l + y'2dx ____Ja__________

© LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA DADA EN FORMA l'ARAMETRICA.-

Sea x = \|/(t), y = vj/(t) ecuaciones de la curva en forma paramétrica, la

longitud L del arco de la curva:

L = ( yjx12+ y ,2dt ____¿í,____________

donde r, y i , son los valores del parámetro correspondiente a los extremos del arco.


© LONGITUD DE LA CURVA DADA EN FORMA POLAR.-

Si r = V|/(9) es la ecuación de la curva en coordenadas polares r y vj/, la longitud L del arco es:

L - I \Jr2 + r ,2 d yJ a ________________

donde a y P son los valores del ángulo polar en los puntos extremos del arco.

1665 Calcular la longitud del arco de la parábola semicubica y 2 = x 3, desde el origen de coordenadas hasta el punto, cuyas coordenadas son x = 4; y = 8.

Desarrollo

L = f V Í T y ¡ d x = = / 4 = ± ( i o S ó - i )Jo Jo V 4 27 4 / o 27

X1666 Hallar la longitud de la catenaria y = acosh(—) desde el vértice A(0,a) hasta

ael punto B(b,h).

Desarrollo


1667

£ ) = a(£ l ± f _ l ) de donde e ' + 1 = 0 , despejando

2y. 4y2 - 4y ± \ ¡ y 2 -<■

* , ,y+- = ln(— a a

dx a

dy ^ y 2 - ó 2

E Z . ) x = aln( y+

t dxs2 a^ W 2 2dy y - a

í f W dy ‘ 1 f ^ 5 d y = 1 dy v

= V^2 - a 2 “ O longitud L = \ h ~ - a 2

Calcular la longitud del arco de la parábola y = 2 ^ desde x = 0 hasta x = 1.

Desarrollo

y '2 =■

2 I I l ^ X d xfx

f ‘V IT Í

Jo V i '

dz = 2zd z ; * = z 2 - l y z = VT+T

calculando | ——j=—d x , se tiene z x +1Jo V*


f V* + l , f z l z d z f z 2dz

) ^ r d x - ) w r r 2) ^

z = see 0 => dz = see 0 tg 0 d0

C z dz f see d.secB.tgOdG f 3 Q ,a I ------- = ........ . -----= I see 0 du , integrando por partesJ Vz~ — 1 J Vsec20 - 1 J

J & - J 1

f - 5-^.... = l [ ln |z + Vz2 - l | + z V z 2 - l ]J V ¡ M 2

■ = | OdO = —[ln | see# + tg0 | + tg0 .sec0]

(2)


'V-jf + 1 r * 2J dx ~ 2 J = ln | z + Vz2 - 1 1 +zVz2 - 1

j* ~ j = J - d x = l n | V * + l + V x | +Va.V* + 1 j

L = f - dx = (In | yjx + \ + \l~x | +\¡x.yjx+ 1) /Jo V* ’ o

Por lo tanto L = V2 + ln(l + V2)

1668 Calcular la longitud del arcó de la curva y = e* , comprendido entré los

puntos (0,1) y (l,e).Desarrollo

y = e x =* y'-e* => y'2 = e 2jr


1669

+ e2x dx calculamos J \f\ + e2xdx

para esto z2 = \ + e2x => zdz = e 2xdx

pero l + e 2x= z 2 => e 2x = z 2 -1

z dzLuego zdz = e 2xdx = ( z 2 - l )d x de donde dx = z2- 1

I -- 1 . y]e2x +1 -1 í, 57 1. + 1 -1 )“= Vl + e2* + - ln ■= = = — =V l + e2x + —ln------- ^ --------2 V ¡ ^ + 1 2

ex

L = J yl\+e2xdx = [y¡l + e2x + ln ^ e ^ ~ ~ ] /Q

L = ^ + 7 + y¡2 - ln(V2 - 1)e

L = ^ - J ~ 2 + ta Í ^ M ± 2e

NOTA: in ^ - ^ ^ ^ i n - J — = -ln(x/2 + l)>/2 +1 v 2 +1

Hallar la longitud del arco de al cuya y = ln x desde x = \¡3 hasta x = -s/8

Desarrollo


, 1 ,2 1y = ln x => y = - => >' = — x x

para esto x = tg 9 => dx = sec2 9 dO

N x ~ + l . f yjtg2e + l 2 f 3 C°S0--------- dx= - -sec 6 d d = I sec d.— dd

J x J tg6 J sen 9

_ f sec 0 ^ _ f (cosccq + tg£ sccd)d9 = ln | cosec 0 - ctg 9 |+sec 9 J sen# J

, . y]\ + x 2 1 . r j , n/i + jc2 - 1 í. 2= l n |— ---- -— I+VI + a: = ln -------------- + Vl + xx x x

L = í JÍJ M dx = llnX X i £

0 1 1L = (ln-yr + 3 ) - ( ln - r +2) = ln-7= + l + ln>/3

v 8 V3 v 2

= l n ^ + lnv/3 + l = l n ( ^ ) + l = l + - l n - V2 2 2

1670 Hallar la longitud del arco y = arcsen e”* desde x = 0 hasta x = l .

Desarrollo


1671

1672

_ ,2 *** y = arcsen e => y = — f => y =-— 757I - * '

= f ' eX<bc - 1 -1 [ / ’ = ln(é’ + V ¡ M ) - l n ( l + 0) = ln(e + V ¡ M )' o

Calcular la longitud del arco de la curva x = ln sec y, comprendido entre ny = 0 a y = —3

Desarrollo

dx sec y tg yx = ln sec y => — = ------------= tg v

dy sec y

n_ ________ itL = J l + ( ~ ) 2dy= f 3 n/i + tg2 ydy = í sec y dy

Jo V dy Jo Jo

a= ln(sec y + tg y ) j 3 = ln(2 + \¡3) - ln 1 = ln(2 + >/3)

1 2 1Hallar la longitud del arco de la curva x = — y* - — ln y desde y = 1 hasta y = e

Desarrollo

_ 1 2 1 dx y _1_ dx _ y2 - 1J‘ _ 4 'V ~ 2 n y ^ d y _ 2: 2y d y ~ 2 y


1673

•e - 2 . 1 -2 1 r« e2 1 1 e2+lL = f 2_ t l ^ = (2L + I i n y ) r = -

Ji 2y 4 2 / 12y 4 2 / 1 4 2 4 4

Hallar la longitud del arco de la curva derecha de tractriz ^ r 2 2"

x = -^ a 2 - y2 + o ln | ——— ----— | desde y = a hasta y = b (0 < b < c.)y

Desarrollo


1674

1675

Hallar la longitud de la parte cerrada de la curva 9ay 2 = x ( x - ' ia )2 .

Desarrollo

9ay2 = x ( x - 3 a )2 =» — = ( x -3 a ) 2 +2x(x~3a) dx

10 ¿y o/ o w a dy ( x -3 a ) ( x -a ) 18ay— = 3 (x -3 a ) (x -a ) ; — = ------------------dx dx 6 ay

Como 9ay2 = x (x~ 3a )2 y= -( x - 3 a)J~x

3\[a

Luego ¿ U Í f Z f W ? ( * ) 2 = <ÍZ2>! dx 2a\lx dx 4 ax

Como la curva es simétrica respecto al eje y, se tiene:

ÍL - 2 \ J 1 + (^ y d x = 2 r j l + d x

dx Jo V 4ax Jn V 4<3A“to

L = [ a \± ± ¿ d x = -^=(—x 2 +2ax2) l “ = 4y¡3aJo \' V^ 3 7 o

= 2JJo

3a ' u + 2)2dx

Hallar la longitud del arco de la curva y = ln(ctgh—) desde x = aa

hasta x = b, (0 < a < b)Desarrollo


1676

, x , v , x ea +e ay = ln(ctgh—) => e ^ = c tg h —= -----------a a í -~

ea —e “

e a + e a e X + 1

y = ln ----------- = ln --------£ _£ ex - 1

ea —e a

dy _ e x - 1 d (ex +l ex - l ( - 2ex)dx ex +1 dx ex —1 ex +1 (ex - 1)2

- f

dx e2x- \ dx (e2x -Y )2

(*) esta expresión sigue del asterisco.

-e-2x)dx

= [x + ln(l - e~2x) \ ¡ h = b - a + ln(l - e~b) - ln(l - e ~2b)/ a

1 - e~2b e2b - 1 e2a e2b e2a= b - a + ln------ - = b - a + l n - ----- .— = b - a + l n - ------ + ln^—

l - e - 2fl e2fl- l e2¿ e2a- l e2b

2h _ , 2b _ |= b - a + ln—----- + lne2a - \ n e 2b = a - b + ln———

e - 1 e - 1

Hallar la longitud del arco de la evolvente del circulo x = a(cos t + 1 sen t); y = a (sen t - 1 eos t) desde, t = 0 hasta t = T.

Desarrollo


1677

dxx = a (eos t + 1 sen t) => — = at cos t

dt

d \y = a (sen t - 1 eos t) =» — = at sen/dt

L = \ J(~—)2+(— )2dt = f Va2/2 eos2 / + a2t2sen2t dtJ, V dt dt Jo

f T . at2 ,T a T 2= I at dt = ---- / = ------

Jo 2 / o 2

2 2

Hallar la longitud de la evolvente de la elipse x = — eos / ; y = — sen / ,a b

í „2 _ 2 . 2-.(c = a —b )Desarrollo

c 3 y = sen tb

dy 3c 2— = -----sen icos/d/ b

Jo V d t d t


1678

4 2 9 c 2 4 -> , . f 2 » 2 I COS2 / « T I 2/tsen t + ——sen tc o s ' td t = 41 3c sentcosí.¡^=~~— i-----—a/¿>2 Jo V a

1 - s e n 2t sen2t ,2— +^ ~ dt 2 b2 ,

\b~ +(a~-b")sen"t , 6c f 2. /Ti 2~ j= 41 3c sent co s t .----------—;—------------------------------------------------ dt = ----- j Isent eos t\¡b +c~sentdtJo \ a2b2 ah Jo

= _ L . Í £ ^ 2 Í ¿ / L J _ , » 2 ^ 2 ,5 _ J _ „ 3 aZ?c 3 / 0 aZ?c

2

: _ í _ (a2)f _ J _ fc3 = 4 a l _ 4 ^ = ^ - ¿ » c = (a3 -Z>3) a¿>c abe be ac abe ab

Hallar la longitud de la curva x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t).

Desarrollo

x = a (2 eos t - eos 2t) => x'= a(2sen2t - 2 eos/) => x' = 2a(sen2t — sent)

y = a (2 sen t - sen 2t) => y'= 2a (c o s r-c o s2/)

Z- = 2 f J (—)2 + (— )2d/ = 2 f J4 a 2 (senlt - sent)2 + 4 a 2(eos / - eos 2t)2 dt Jo V dz dt J 0

= 4a J sen2 2t-2sent.sen2t+eos2 / -2 c o s /c o s2 / + cos2 2/ dt Jo

= 4 a f ^ : Jo

4 s e n t cos / - 2 cos / + 2 cos tsen t dto


= 4a í V2 - 2 eost(sen2t + eos2 t)dt = 4a f V 2 -2 c o s tdtJü Jo

r_ ñ>¡ _____ _ t K - t C” t= 4a\¡2\ j l - eos t dt = 4 s ¡2 a I y¡2sen—dt =%a\ sen—dt

Jo Jo 2 Jo 2

= 8a(-2cos— ) / = -16a(cos7T -cosO) = -16a(0-l) = 16a 2 / o

1679 Hallar la longitud de la primera espiral de la espiral de Arquimides r = a \j/.Desarrollo

drSi r = a\u = > ---- = a

dy/

»0 .--------- f 2n .— ---------- *2 re .— ---------L= I s r 2 + r ,2dyf = i \¡a2y/ 2 + a2dy/ = a y¡y/2 + ldy/

Ja Jo Jo

= l ~ 1 ln ! ¥ + y¡¥2 +1 il/

= (2*V4*2 +l + ln |2* + >/4*2 +11) •••(*)

= aK\¡4n'’ +1 + ^ !n ¡ 2k + \[4k2 +1 ¡

1680 Hallar la longitud total de la cardioide r = a ( 1 + eos \|0

Desarrollo


1681

/i a drr = a ( 1 + eos y ) => — = -asemif dy/

como la curva es simétrica con respecto al eje X, la longitud total de la cardioide es:

¿ - 2 f \¡r2 + r '2 dr = 2 ^ yja2( l+cosy)2 + a2sen2y/dy/ = 2a ¡ y¡2 + 2cosy/dy/ Jo Jo Jo

ñK _______L = 2V2a yfl+cosy/dy/ = 2\Í2a %/2cos(—)dyr

Jo Jo 2

r y/ w / 71 tc= 4a cos— dy/ = 4a.2sen(—) / = 8 a.ve/?------SasenO = 8aJo 2 2 / 0 2

Hallar la longitud dei arco de la parte de la parábola r = a sec2 (—), cortada de2

la misma por la recta vertical que pasa por el polo.

Desarrollo

2 dr a 2r = asee (—) => ---- = —sec (—)tg(—)2 dy/ 2 2 2

L = 2 ¡ r2 + Á 2dy, Jo V dy/

= 2 j* ‘ ^J a 2 sec4 y + a 2 see4 Xj . t g 2 ~ d y / = 2 a J 2 sec3 % ¡d y /

2a[ln \tg~- + scc~-\ +tg•— sec —] / 2 = 2afln | íg —+ see— \ +tg —.sec — ]2 2 2 2 / 0 4 4 4 4

— 2¿z(ln(l + V2 ) + V2 )


1682

1683

1684

Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica r\\i = 1 , desde el punto

(2, i ) hasta el punto ( ^ , 2).

Desarrollo

1 „ 1 1 „rvj/ = 1 => yr = - para r, = 2 => \¡/\ = — ; r, = — =* \\fi = 2r 2 2

1 dr 1r y = l => r = — => ---- = ----- -W dyt y/-

l ’ C d v ' / i " I i t "

r, i r,--------2 I ^ \ , 2 , , 3 + v 5 , y Í5= [ln | -y/l + i/A + -------- ] / , = ln(— — ) + —y/ / - 2 2

Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica / </<'" mi • 0>, que seencuentra dentro del circulo r = a. -y-

Desarrollo

r = aem - ame”'vd y/

L= f aemsja + m2dy/ =— en"t>\l\ + ni2 / ' 71 • *m * »'<

Hallar la longitud del arco de la ciu vn i / ' • * i ■ ■ I I h i m u i = 3 .f

Dr&lUI ollu

De y/ = —(r + -—) despejamos i • >il«m 2 r


r = y/± -Jy/ 2 - 1 como r > 1 se tiene:

= yi + Jy/2 -1 de donde —— = 1 h— — además d V yjy/2 - 1

l^ = Z (r + - ) para r , = l , \|/, = 1, r2 = 3 , y/, = 2 r ’ 3

como

L = [ ¡r2 + ( ^ - ) 2d y / = í 3 ¡(y/ + -Jy/2 - l ) 2 +(1 + - j ^ = ) 2dy/Ji¡/, V dyt J¡ y - i

= Í \ </> + \/y/T^ 7 )2 + ^ l É I l L d y r = f ’ L + dyrJ i \ y/' -1 Ji y/~ -1

5 5

= pO/' + Vv'2-!) - r~r—dy/ = f 3 (V' + —X=)dy/VV7'2 -1 1 w 2 -1

= i V t V v '2 _ 1 + ~ ln I V + 'J y 2 “ 1 ll/ 3 porlotanto Z. =

6.3. V O LU M EN E S D E C U ER PO S SO LID O S.

© VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN.-

Los volúmenes de los cuerpos engendrados por la revolución de un trapecio mixtilíneo, limitado por una curva y = f(x), el eje X y dos verticales x = a, x = b, alrededor de los ejes OX y OY, se expresan respectivamente por las fórmulas.

Ja© Vv = [ xy dx

Ja


1685

en el caso mas general, los volúmenes de los cuerpos engendrados por la rotación de una figura, limitada por las curvas.

>’i - / ] W e y2 = f 2W (siendo / , (x) < f 2 ( x ) ).

Y por las rectas x = a, x = b, alrededor de los ejes de coordenadas OX, OY; serán respectivamente:

r b *b(>2 - >f >dx y K = 2k I x(y'2 - >'¡ )dx

Ja Ja

Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX, de la superficie limitada por el eje OX y la parábola \y = a x - x 2 (a > 0).

Desarrollo

f a o r a , - rV = n \ y~dx = n \ {ax~ x Y d x = n J

Jo Jo Jo(iax — x ¿Y d x = n I (a2x2 - 2 a x i + x*)dx. 3 ^ v. 4 ,

^ 3 4 5a x ax x: Tí(-------------- -f----3 2 5 /a

= 7T(-0

a5 a5 a5 nas _ _


1686

1687

Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la rotación de la elipse2 2 x y

— + alrededor del eje OX.a~ b

Desarrollo2 2 2

~ Z + ~ T ~ 1 ; y 2 = V - ~ ) b 2a b a~

VCa Ca x2 x3h2 I a

= 2n I y 2dx = 2n I (1— -)b2dx = 2n(b2x -------- ) /J o ' Jo a2 3a~ * °

,2 ob x 2= 2n ( a b ------- ) - 0 = ----- b

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX laX

superficie limitada por la catenaria y = a cosh(—) , el eje OX, y las rectas x =±aa

DesarrolloX X

ea +e ay = acoshí—) = a.

a 2

2 2x_ _2xy2 = — (e a +e a + 2)

4


1688

1689

» a r a ^ 2 2* _ 2 x

V = 2n I y^dx = 2 n \ — (e a + e 0 + 2 ) d x = ^ —(—e a ——e a +2 x) / Jo Jo 4 2 2 2 /

na a 2 a -2 * a a — ( - < r — e ¿ + 2a — + - + 0) 2 2 2 2 2

tffl2 fl 2 a -2 - ■ n a * , i -2 :----- ( _ e — e ~ + 2a) = ----- -(e —e +4)2 2 2 4

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la

curva y = sen2x , en el intervalo x = 0 hasta x = jt

Desarrollo

Y <

^ \( ^ rivV " .

0 A n X

r 2 r 2 2 rV = n I y"dx = n (sen x) dx = n I sen x dxJo Jo Jo

r ( iz c o s i x 2 d x = 1 r Jo 2 4 Jolo 2

,3x sercx senAx„ ¡ n 3= n ( --------------+ -------- ) / = n(— 0) =

8 4 32 / o 8

(1 —2cos2x + cos 2x)dx

3 n~

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la

parábola semicúbica y 2 = x 3, el eje OX y la recta x = 1, alrededor del eje OX.


1690

Desarrollo

</ f ' 2 . f ' 3 . n x A / ' n nV = n \ y dx = n I x~ dx = -— - / = ---- 0 = —J o ' Jo 4 / o 4 4

Hallar el volumen de! cuerpo engendrado al girar la misma superficie del

problema (1689), alrededor del eje OY.

Desarrollo


1691

1692

Haiíar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar las superficies limitadas por las líneas y = e x , \ = 0 e y = 0 alrededor.

a) Del eje OXDesarrollo

b) Del eje OY

Hallar el volumen del cuerpo engendrado a! girar alrededor del eje OY la parte

de la parábola y 2 = 4ax que intercepta la recta x = a.

Desarrollo


1693

Y

1 2a

¡ C n...... i .......................... :

i / \0 a X/✓¡ ✓

i ^j - - "i -2a

= 2n f V - ( f ) 2» = 2 *(* = 2*2«’ - f 4 )Jo 4 n SICin / 0 80/2

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a, la

parte de la parábola y 2 = 4a x , que se intercepta por la misma recta.

Desarrollo

El volumen de la región cortada al girar alrededor de x = a, es:


1694

V = 2n f (a - x:)( y, - v-, )dxJa

Luego para nuestro caso se tiene:

V = 4tt f [a-x)(\Í4ax — 0)dx = 4n f (a —x)2-Jaxdx Jo Jo

3 1 5 3 3 1 5

= 8 ^ - ) / " = Sk(2 ^ ~ - 2 —— ) / “ / o 3 5 / o3 5

2 2

, t o ( 3 ¿ _ í l „ 8T(1 0 ? ! z 6 f Í l = S £ V3 5 15 15

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor de la recia y = -p,

la figura limitada por la parábola v2 = 2px y por la recta x =

Desarrollo


1695

1696

V = 7T 2[(p + y¡2px)2 - ( p - y [ 2 p x ) 2]dx = n ' 4 p ^ 2 p x Jo Jo

dx

3 P

= j t j 2 J 2 p x 2 pdx = 2n [ ^ ( 2 px)2 ] j 2 = _°1 =47T /r

Hallar el volumen del cuerpo engendrado ai girar alrededor del eje OX, la

superficie comprendida entre las parábolas y = .v2 e y = \¡x

Desarrollo

= 7rl Jo 2 5 / 0 2 5 10

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girara alrededor del eje OX, el lazo

de la curva ( x - 4 a ) y 2 = a x ( x -3 a ) .

Desarrollo

(x — 4 a) y = ax(x-3a)2 a x (x -3 a ) y = -----. Luego:

f 3“ 2 j f 3ü= n I y dx = n IJo Jo

ax (x -3 a )x — 4 a

dx

x - 4 a

• 3a

10Jo

J 4 a*(ax + a~ H---------- )dxx - 4 a


1697

1698

2 -x, ÜX 9 i i 1 /j= ^ ( - z - + a * + 4« ln(jc-4a))/ = * (— + 4o3 ln (-— ))

• o 2 4a

= n ( ~ — 4a3 In4) = ^ - (1 5 -1 6 1 n 2 )

2Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide y2 = — —

2a - xalrededor de su asíntota x = 2a.

Desarrollo

V - 2n \ (2 a - x)y d x ; para nuestro caso por simetría se tiene:Ja

r 2a IT. /»2a

V = 4 n \ ( 2 a - x ) x - = = d x = 4 n j ( 2 a - x ) . x j x d xJo \ '2 a - x Jo

calculando la integral, completando cuadrados se tiene: V = 2n V 3

Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es R y su altura es H.

Desarrollo

La ecuación de la parábola es x~ =ky de donde x = yjky cuando x = R,

R 2 eby = H, luego k = — como: V = n \ [f (x ) ]2dx

Ja


1699

Entonces para nuestro caso se tiene:

V = n \ (^fxy)2 dy = K [ ky dy = nk — I -=nk Jo Jo 2 • o

H t R ~ como k = —2 H

H 2 R 2 HRV = n — (— ) = n

2 H 2

Un segmento parabólico recto de base igual a 2a y de altura h gira alrededor de su base. Determinar el volumen del cuerpo de revolución que se engendra (“Limón” de Cavalieri).

Desarrollo

4 2Cuando y =h, x = 2a; Luego k = - ^ — como: x" = ky => x = yfky = g ( y ) ;

hpor el método de la corteza cilindrica al hacer rotar alrededor de la recta x = h,

• bse tiene: V = 2t t Í ( k -

Jay )g (y )dy , por lo tanto:


f i— - 7 - 2 - i h 16 i 4a2V = 2tc I ( / i - y)y¡ky dy = 2 n k 2 (—hy2 — v2) / = — ^ a / r donde k = ——

Jo 3 5 / o 15 h

1700 Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución, engendrado al

girar la hipérbola equilátera x~ - y 2 = a 2 alrededor del eje OX que

intercepta al plano x = 2a, es igual al volumen de una esfera de radio a.

ñ2a p2 a 2V = ;r i y 2dx = n I (x2 - a 2)dx = n (x i - a 2x ) /

Ja Ja 'a

r, 8fl3 3 V 3 2fl3 2fl3 4^03~3 T ~ " n = « — +~ r , = —

que es el volumen de una esfera de radio a.

1701 Hallar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar la figura limitada por un arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX alrededor de:

a) Del eje OX.

c) Del eje de simetría de la figura.

Desarrollo

b) Del eje OY.


b) Al hacer girar el tubo cilindrico alrededor del eje Y se tiene:

V = 2 ir jxyd x ; de donde para x = 0, t = 0 ; x = 2rta, t = 2n

Luego: ^ = 1 Inxy dx = 2/r a(t-sent)a{ 1 -Jo Jo

í

eostY a dt

• 2 n

V = 2ira3 I (1 -e o s í)2(/ - sent)dt = 6n iai’o

c) El eje de simetría es x = Tra, y el volumen de este rectángulo rotado

alrededor de la figura es dV = 27i(7ta - x) y dx, de donde:n

V = f " dV = 2ain f ( n - t + sent)( 1Jo Jo

V = 2<x'n í ( n -J o

-eos t)~ dt

. 3 _ eos 21 ,t + sent)(----2 cos t H--------- )dt2 2

V = n a 3(9n2 -16) 2 1 + cos 21; sugerencia: cos" t = -----------

1702 Hallar el volumen dei cuerpo engendrado al girar la astroide x = a eos ’ t , _y = asen^t , alrededor del eje OX.

Desarrollo


1703

X

3 3 x 3 3 yx — a eos t , eos t = —; y = asen t , sen t = —a a

- - 1 1 eos2 1 = (—)3 , sen2t = (—)3 entonces sen2í + eos2 / = (—)3 + (—)3 = 1

a a

2 2 2 2 2 3

de donde jc3+>,3 = a 3 ; y = (a 3 - jc 3)2

(27rfJo

2 2 3

ÍV) =105

V = 2(2tc\ x(a3 - x 3)2dy) = — n a 2

Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotación de cardioide

r = a (1 + eos y) alrededor del eje polar.

Desarrollo

27r ^Como V = — | r send d 6 . entonces

V

3 Jo2n r 3 3 27raJ (1 + cosi//)4 / “

= — I «’ (1 + cosi//) íe/¡y/ dy/ = —---------- -■■■■ /3 Jo 3 4 / o

Jo

\4


1704 Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva r = ac o s ‘ \|/

alrededor del eje polar.Desarrollo

Í tt

La variación de la integral desde y = 0 hasta y/ =K

luego V2?r f í 3 , . 47T f:= 2(— ) ( r }seny/ dy/ ) = —3 Jo 3 Jo

2 a 3 eos6 y/ senyr dy/

V = W cos7 y/ p = W = W3 7 / 0 21 21

1705 Hallar el volumen del obelisco, cuyas bases paralelas son rectángulos de lados

A, B y a, b y la altura es igual a h.

Desarrollo

A


1706

a 9 9La ecuación de !a recta L: y —- = —— — (x - 0)

A a ~ 2 ~

2 hA - a a

y = --------- x -i—2h 2

A2

La ecuación de la recta L ':

b B - ba 2 h

B - b bz = ----------x + —

2 h 2

-( .v -0)

Área del rectángulo, MNOP es: A = (2y).(2z)

V

= f A d x = fJo Jc

* 41 ‘Jo

(2y)(2 z)dx

yzdx = 4 [( A - a ) ( B - b ) x ( A - a ) b x~ ( B - b ) a x ab

Ah+ -

2 Ah 2 A■ at> i I

4 / c

i/ h Ab Ba h , An Ab + aBV = — (AB H------- + — - + ab) = — (AB + --------------- i- ab)3 2 2 3 2

Hallar el volumen del cono elíptico recto, cuya base es una elipse de semi -

ejes a y b, y cuya altura es igual h.

Desarrollo

El i - esimo disco elíptico de la figura tiene por volumen dV = rcAB dx,

donde A y B son los semi - ejes.

Luego por semejanza de triángulos se tiene:

A x B X ax bx— = —, — = — de donde A = — , B = —a h b h h h


1707

f ha x b x , abn Ch 2 , abn .x3 ¡ h abnh3 V = 7 t \ — .— dx = — T- \ x-dx = —^-(— ) / =

J 0 h h h~ Jo h 3 / 0 3h¿

V =abnh

3

1 2

Sobre las cuerdas de la astroide x 3 + y3 = a 3 paralelas al eje OX, se han

construido unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las

cuerdas y los planos en que se encuentren son perpendiculares al plano XOY.

Hallar el volumen del cupero que forman estos cuadrados.

Desarrollo

Para el volumen del i - esimo sólido se tiene dV = área base x altura

pero área base = (2a )2 y la altura es dy, luego:


1708

V = 2 f Jop q 2 2 ma 4 2 2 4

V = 8 j (a3 — _y3)dy = 8 I (a2 — 3a3 y 3 + 3a3;y3 — y 2)dy Jo Jo

4 2

v 2 9 a3 | 9«3 I # " 128 3V =8 ( a y -----------------------— yJ + ----------y 3) / = ----------5 7 / o 105

Un círculo deformable se desplaza de tal forma que, uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY, el centro describe la elipse

2 2 x y .~¿2 +^ 2 =1, mientras que el plano del círculo es perpendicular al plano XOY,

hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicho círculo.Desarrollo


1709

El volumen de i - esimo disco circular de la figura es dV = n y 2d x ; donde2 2

iL + Z _ = i «2 b2

Luego el volumen será cuatro veces el volumen de la región comprendida por

le arco de AB es:

f a r ra b ■> ->V = 4 I dV = 41 n y 2dx = 4 n \ — (a2 - x 2)dx

Jo Jo Jo a"

, b 2 , 2 I . I a 4b2n , 3 8/?V ;r 8Jtab2= 4 - ( a 2x - x 2) J = — — ( a ^ - a 2) ^ - — — = — — - a~ • o a" 3a“ 3

El plano de un triangulo móvil permanece perpendicular al diámetro fijo de un círculo de radio a. La base del triángulo es la cuerda de dicho círculo mientras que su vértice resbala por una recta paralela al diámetro fijo que se encuentra a una distancia h del plano del círculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado conoide) engendrado por el movimiento de este triángulo desde un extremo del

diámetro hasta el otro.Desarrollo

A = = y.h A(x) = j a 2 - x 2h2


1710

V = J A(x)dx = J \la2 - x 2hdx = 2 h j \¡a2 - x 2dx

i - n — 7JL + ] / a = 2a 2h(—)

2 a a l o 4

a resen= 2a h[- V =

n a 'h

-> 2 _ 2Hallar el volumen de! cuerpo limitado por los cilindros x~ + z - a e

2 2 2 y +z = a ¿ .Desarrollo

2 2 2Las ecuaciones de los cilindros es: x + z ■ —a~2 2 2 y +Z = a

. . . (1)

... (2)

de ( 1) se tiene: x = y¡a2 - z 2 ; de (2) se tiene: y = Va2 - r

además el área de la sección es: xy, es decir el área = xy = a — z Luego.

a 3. 16a3V = s f (a2 —z2)dz = 8 (a2z - 4 —) ^ = 8(a3 ——) -

Jo

\plicaciones de la Integral Definida 345

1711

1712

2 2 y zHallar el volumen dei segmento parabólico elíp tico----- f- — < x , interceptado2 p 2q

por el plano x = a.Desarrollo

La sección del sólido determinado por un plano paralelo al plano >'z a una distancia x del origen, es una elipse cuya área es:

A = n zy como y = yj2px , z = y¡2qx

luego: A = n^2px.^¡2qx = 2nx*Jpq . Por lo tanto:

mo r— aV = I 2n x j p q dx = 2yf p q 1—■ / = n a 2J p q

Jo 2 / 0

Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja2 2 2 X V z

— ----- - = 1 ; y losplanos z =0 y z = k.a b c~

Desarrollo

Para cada valor z en [0,h] se tiene una sección plana elíptica al plano XY2 2 ,2 2

anotada por la elipse — ■ + el área de la sección plano es = n.a" b c


1713

x2 y 2 c1 + z2 (producto de semi - ejes), como — + = \—

a 1 2 2X = - \ l c ¿ + Z

y = — yfc2 +Z2C

r hluego: V = nxydz

Jo

V = n \ —>Jc2 + z2 — Ve2 + z2dz = - j - í (c2 + z2)dz Jo c C c Jo

abn i zJ i h abn , 2, h3 , n= — (c2z + — ) / = — (c A + — ) = a¿tor(l + —y) r 2 3 I o c¿ 3 3c

*> 2 7x “ y zHallar el volumen del elipsoide — + — + — = 1

a b2 c2

Desarrollo

"> 2 2 2 , x~ y c - zUna sección plana elíptica al plano xy anotada por la elipse — + — - ,

a b cse obtiene para cada valor de z en [-c,c] donde el área de dicha sección es:

a = n por el producto de sus semi - ejes de la elipse, donde se tiene:

x bc c

= -yJc2 - z 2 y y = - y jc 2 - z 2 luego:

V = J Adz = j —z2 ■'Je2 - z 2dz = —y - J* (c2 - z 2)dz

nab ^ - \ nabc/ - c C 3 Ó D2 ' 3


6.4. A R E A DE U N A SU PER FIC IE D E R E V O LU C IO N .-

E1 área de una superficie engendrada por la rotación alrededor del OX, del arco de una curva regular y = f(x) entre los puntos x = a y x = b, se expresa por la formula:

Sx = 2 j" y ^ - d x = 2;r j* yyjl + y ,2dx ... (1)

donde ds es la diferencial del arco de la curva.

Cuando la ecuación de la curva se da de otra forma, el área de la superficie S x ,se obtiene la formula (1), efectuando los correspondientes cambios de variables, es decir:

V dy

1714 En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la superficie de este espejo.

Desarrollo

sea y 2 = 4 px el punto a(a,4a), de donde 16a2 = 4ap entonces p = 4a

por lo tanto y 2 =16ax => y ' = 2.£i = 2n J* y yJl + y ’2 dx = 2n J 4 \[ax. 4 a

1 + — dx = 8na I yfx + 4a dxX Jo


1715

1716

3

= 8ttV^ - X- + *a y ¡ aQ= ~ - ^ [ ( 5 a )2 - ( 4 a)2 ] = ^ j - a 2(5^5 - 8)

2

Hallar el área de la superficie del “huso” que resulta al girar una semi - onda de la sinusoide y = sen x, alrededor del eje OX.

Desarrollo

Un arco completo de la curva y = sen x se obtiene haciendo varias x desde x = 0 hasta x = n como:

A = 2n í ysj\ + y '2dx = 2n j senx\¡\ + eos2 x dx = 2/r í senx j 1 + cos2 x dx Jo Jo Jo

consideremos u = eos x => du = - sen x dx

cuando x = 0, u = 1; x = n, u = -l. luego:

A = 2n j* senx\Jl +cos2 x dx = ~K j >/l + w2 (-du) = 2 n j yj\ + u2du

= 2 Jt[—-ju2 +1 + —ln (u + yju2 + 1) ] / = 7t[ (u ju2 + 1 +ln (u + \lu2 + 1) ) ] /2 2 / -i / -i

= 7t[(J2 + ln(l+ V2) + y¡2 - ln(—1 + V2)] = k( 2^2 + ln 1 ) = 2 k ( S + In(>/2 + 1))V2-1

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de

tangentoide y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededor del eje OX.4

Desarrollo


1717

2 . du ,sea u = tg x => du — see x dx => —---- = dxu~ +1

1 ' dui = 2n j 4 tgx-J 1 + sec4 xd x = 2n I u-J(u

Jo Jo

2 , dz ,sea z — u +1 => — = u du2

2+ l)2 + lu2 +1

. _ f 1 f. 2 7 du . f ' / z " +1 ,A = 2n I u J ( u ~ + lY + l——- = 2 | ---------- dzJo u +\ Ji z

2 . .2

A = 2 n \ — —— dz efectuando la integral, se tiene:Ji z

A = n ( S - S - ) + n \ n ^ ^ - V5+1

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX, del arco de la curva y = e~x comprendido entre x = 0 y x = +°°.

Desarrollo

y = e~x =* y '= -e~x => y '2 = e~2x

A = 2 J y j l + ^ f d x = 2 J e~x Vi + e~2xdx

sea u = e x => d u = e Xd x , para x = 0, u = 1 ; x = +°°, u = 0

A = 2 í e~x\¡l + e~2xdx = e f yj\ + u2du = 2 j* sj\ + u2 daJo Ji Jo

= 2n(—y¡\ + u2 + — ln(M +1 + a2 ) / = 7T( V2 + ln(l + V2 ))2 2 / o


1718 Hallar el área de la superficie (denominada catenoide), engendrada por laX

rotación e la catenaria y = a cosh — alrededor del eje OX, entre losa

limites x = 0 y x = a.Desarrollo

, x dv , xy = a cosh — => — = senh —a dx a

A — 2*1" y. II + ( ~ ) 2dx = 2 n \ acosh — .1+ senh2 — dx Jo V dx J0 a \ a

r a x x r a x Ca 2xA = 2* I a cosh—. cosh—dx = 2an I cosh2 — = na \ (cosh — +1 )dx

Jo a a Jo « Jo a

r a , 2x , Ia 2, senh2x n a 2 , 2 -2= n [ a - s e n h -— + x ] / =na (--------- + 1) = ------(e ~ -e +4)

2 a / o 2 4

2 2 2

1719 Hallar el área de la superficie de revolución de la astroide x 3 + y 3 = a 3

alrededor del eje OY.Desarrollo


1720

1721

i12na3 , 12*a2

»2 iHallar el área de la superficie de revolución de la curva x = ^ - - — \n y y

alrededor del eje OX, comprendida entre y = 1 e y = e.

Desarrollo

-)2dy

a =- K * r ) f ¥ ¥ d y =l í , (y í ■2,n 2+y!+7 *

= — I (------------Xy'+lVfy =— I (y - 2 y l n y - 2 — )dy4Ji y 4J, y

2, 7 , ? , #£ * . e 4 -2 9 n(e4 - 29)= —(y4 - y lny + y - h r y ) / = - ( — ) = ----- -----4 / i 4 4 16

Hallar el área de la superficie del tuvo engendrado por la rotación del círculo

x 2 + (y - b )2 = a 2 alrededor del eje OX (b > a).

Desarrollo

Como x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 => y = b ± \¡ a 2 - x 2

Primero calcula el área ,4, de la superficie engendrado por la rotación del arco

CB, como el arco CB esta definido por la ecuación: y = b + yja2 - x 2 , 0< x < a de donde


dy - x

d* \¡a2 —X2

A, = 27T j* ( b + a 2 - Jo

= 2k \ (b + J a 2 „ , -----Jo

x2\¡ 1 + —T-—-dx2 2 a — x

x 2)- dx = 2/r j (Je 'Ja2

-2a¿arcsen—/ + 2jcclx / =2abn(arcsen(X)-arcsenQi) + 2na2 = abn2 + 2 k ü 2 a>o l o

ahora calcularemos el área A2 de la superficie engendrada por la rotación del

arco AB donde el arco AB es definido por la ecuación y = b — yja2 —x 2 ;

0 < x < a de donde dy— -------------

a 2- * 2

Ai ~ y^l + (~ -)2dx = 2J (¿ -V a 2 -

= 2 í (b — yja2 - x 2) = 2nabaresen— / - 2 a x l = n 2a b - 2n a 2Jo yja2 - x 2 0 0 ’ 0

x2)J l + - ^ j d x a~ - x


1722

Luego por simetría calcularemos el área A de la superficie del tubo, es decir:

A = 2(A, + A2) = 2[7T2a¿7 + 27T¿r + 7T2ab-27ra2] = 4a¿OT2

-> 0 jT y“Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse: — + — = 1

a~ b"alrededor:

1) Del eje OX 2) Del eje OY (a > b)Desarrollo

X + 2_ = i ^ >’ = — Va2 - x 2 , parametrizando la ecuación se tienea2 b2

x = a eos t, y = b sen t para x = 0, t = —: x = a, t = 0

además: A = 27T í y(t)yj[x'(t)]2 + [y '(/)]'di Ja

/•O *--------------------------- 0 i--------------------------A = 2 t t | bsent^a2sen2i + b2 eos2 1 dt = 2n I bcostyjb2 +{a2 - b 2 )sen-t dt

2

•o= 2nb f eost\¡b2 + V(«2 - b 2sent)2 dt

-> 2uabhaciendo el calculo de la integral se tiene: A = 2^¿" + ———are sen E

I 2 _fo2donde E = ------------en forma similar para la otra parte se obtiene:

x o 2 n b 2 , 1 + E ¿ A VA = 2na +----- ln ------- donde E =E 1 - E a


1723 Hallar el área de !a superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide x = a (t - sent t); y = a (1 - eos t), alrededor:

a) Del eje OX b)

c) De la tangente a la cicloide en su punto superior.

Desarrollo

Y iL

A2as 1 X

( 1 V 1 *0 na 2 na X

= 2-t í y(t)yJ[xX, Jo

' ( . t ) f + [ y W d t

x = a ( t - sen t) =* x'(r) = a ( l-c o s r)

y = a ( l - c o s t ) => y'(t) = asent

A = 2 x ¡ a(l - eos t)>Ja2 ( Ì - eos t)2 + a2sen2tdt = 2Jta2 f ( l - c o s í^ V l-c o s ? dtJo Jo

2 t 1-COSÍ . . o 2 fsen" — = --------- 1 - eos t = 2sen —i "> 2

f 2* . t r 2* tA = 2na2 2 sen2 - M M s e n ( - ) d t = 8*«" rc«3

J 0 2 2 Jo 2

= 8* a 2 ( - 2 eos - + - e o s 3 - ) / = 8* o 2(2 + = 64^ —2 3 2 / 0 3 3


1724

2„2b) En forma similar cuando es alrededor del eje Y, de donde A = 16n~a

c) Un arco completo de la cicloide se obtiene haciendo variar t en el intervalo [0,2ti] y además el punto mas alto es en t = ti puesto que:

dy _ y '(0 _ asentdx x '(0 a ( l-c o s í)

dyLuego la pendiente en t = n es:

dxtangente es y = 2a.

, por lo tanto la ecuación de lat=n=0

Luego la distancia del punto p(x,y) déla cicloide a la recta tangente es

(2jta - y) de donde el área pedida es:

A = 2. t Í (2 a-y)yJ[x\t)]2 +[yXt)]2dt Jo

de donde al simplificar se tiene:

, o 2 f 2* 2 t t \6na2 3 / r * 7>2na2A = Una I eos ' —sen —di = — ------ - e o s —/ = --------Jo 2 2 3 2 / o 3

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX de la Cardioide x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t).

Desarrollo

x = a (2 eos t - eos 2t) => x - a ( -2sent + 2sen2t)

y = a (2 sen t - s e n 2t) => y'= a (2c o s í - 2cos2r)

A = 2 ¡ y(t)y¡[x'(t)]2 +[y\t)]2dtJo


l*Æi = AKyfla2 I

Jolisent ~ sent eos t)\¡\ -eos.' dt = 8n\Í2a2

Jo(1-c o s t)2 sent dt

. 16 R -1/, sí / " 1/5A = — v 2wa“(l-c o s í)2 / = — na 5 / o 5

« 128 2

1725 Hallar el área de la superficie engendrada al girar la Lemiscata r 2 = a ° cos2\|/alrededor del eje polar.

Desarrollo

7T

> = 47M 4Jo

, , a"sen~2y ,eos l y s e n y ^ a " eos 2i/a + — — ----- d y

f 4 t y¡2A = 47r«J 4 aseny d y = -Ana2 c o sy J 4 = -4 ;ra2[ - ^ - - l ] = 2(l--V2);ra

1726 Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la

cardioide r = 2a (1 + eos y ) alrededor del eje polar.

Desarrollo


Se tiene: A = 2n I rseny Ir2 + ( - ^ ) 2d y- 2, 1 ' ,Jo

A = 2;r | 2a(l + eos y )senyy¡4a2 ( 1 + eos i//)2 + 4a2sen 2y d y Jo

A = 8;rfl2 [ (l + cosy)senyyJl + 2cosy + COS2 y + sen2y d y Jo

= 8 rt2 l seny( 1 + eos y )\Í2 + cosy d yJo

5K ~

= Sna2 \Í2 j (1+ + COSI//)2 seny d y = -%Jta2 \¡2 ■ /Jo / o

516 / t 2.. a I n . 1287raA = ----- \[2n a 2 (l + c o s y )1 1 A = -

6.5. M O M E N T O S, C E N T R O S DE G R A V E D A D , T E O R E M A S D E G ULD IN.

0 MOMENTO ESTÁTICO.-

Se llama momento estático de un punto material A, de masas m, situado a una distancia d, del eje 1, con respecto a este mismo eje 1, a la magnitudM, = md .

Se denomina momento estático de un sistema de n - puntos materiales, de

masas m] , m2 ,..., mn situados en el mismo plano que el eje 1, con respecto al

cual se toman y separados de el por la distancias d x, d 2,..., dn la suma es:

M x = 2 ^ m idi ...(a )i=i


debiendo tomarse la distancia de los puntos que se encuentran a un lado del eje 1, con signo mas (+), y los que están al otro lado con signo menos (-), en forma similar se determina el momento estático de un sistema de puntos con respecto a un plano. Si la masa ocupa continuamente toda una línea o una figura del plano XOY, los momentos estáticos M x y M y , respecto a los ejes de

coordenadas OX y OY en lugar de la suma (oc), se expresa por las

correspondientes integrales.

Cuando se trata e figuras geométricas, la densidad se considera igual a la

unidad en particular:

© Para la curva x = x(s); y = y(s), donde el parámetro s es la longitud del

arco, tenemos:

donde ds = \](dx)2 + (dy)2 es la diferencial del arco.

© Para una figura plana, limitada por la curva y = y(x), el eje OX y dos verticales x = a e y = b, obtenemos:

M x My =

© MOMENTO DE INERCIA.-

Se llama momento de inercia, respecto a un eje 1, de punto material de masa m,

situado a una distancia d, de dicho eje 1, a un número I¡ = >nd2 . Se denomina

momento de inercia a un eje 1 de un sistema de n puntos materiales, de masa

m ¡, m2 , •••, mn a la suma:


donde d{, d 2, ..., dn son las distancias desde los puntos al eje 1, cuando la masa es continua en lugar de la suma, obtendremos la integral correspondiente.

© CENTRO DE GRAVEDAD.-

Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana (ya sea arco o superficie) de masa M, se calcular por la formula:

- M y - M xM ' y M

donde M x , M y son los momentos estáticos de las masas, cuando se trata de

figuras geométricas, la masa M es numéricamente igual al correspondiente arco

o al área. Para las coordenadas del centro de gravedad ( X, Y) de un arco

de curva plana y = f(x), (a < x < b), que une los puntos A(a), f(a) y B(b), f(b) tenemos:

í -*■ ds f xyjl + (y')~dx { y d s f }’\J\ + (y ')2dx_ * A____ J a __________ y — Ja J a _________

s " ' " 5 ‘ J TJa Ja

n + ( y T d x

Las coordenadas del centro de gravedad (X ,7) del trapecio mixtilíneo

a < x < b , 0 < y < f(x) se puede calcular por las fórmulas:

J y * y ÍTb

y 2dxa

s S


4

1727

donde ds = I y dx es el área de la figura.Ja

En forma similar se emplea para hallar las coordenadas del centro de gravedad de los cuerpos sólidos.

TEOREMA DE GULDIN.-

TEOREMA 1.- El área de la superficie engendrada por la rotación del arco de una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo

plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la longitud de dichos arcos por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad del mismo.

TEOREMA 2.- El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano

que la figura, pero que no se corte con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la misma.

Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes de coordenados, del segmento de la línea recta.

Desarrollo

x y— + — = 1 , comprendidos entre dichos ejes de coordenadosa b

Los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados es:

u - ‘ 1 y í * W dx • " •=i x f ^ W dy

X y b / „ dy bcomo — + — = 1 =» y = - ( a - x ) , — = -----a b a dx a


1728

Ai,Jo a V a 2 a 2 2 / o

byja2 + u2M. = - " t - - [0 - a 2]

b'Ja2 + b 22a

M

M

)2dy , donde x = - ( b - y ) => b

=I t a U b 1 <b ~ y)

dy b

Í / c2 / o

a-ja2 + b 2

I b 2

Hallar los momentos estáticos del rectángulo de lados a y b, respecto a estos mismos lados.

Desarrollo

Y x = a

b

0 a X

y = a

fJo

a 2bPara el eje y = b, se tiene: Mb = 1 bxdx =

r b ab2Para el eje x = a se tiene: M a = I ay dy = -----

Jo 2

Luego los momentos estáticos respecto a los ejes x e y respectivamente son:


1729

1730

M a b M ab

Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas del centro de gravedad x + y = a, x = 0, y = 0.

Desarrollo

rArea = A = I (a

Jo

Af _ f°J Jox (a -x )d x = a 6 y — = I y (a -y )d y = a

x Jo

Para encontrar x = , y = —1 donde M es la masa y para este caso, MM M

- Ai, M v — — aes el área; es decir: M = A luego x = ——, y = —— de donde x = y = — y

A A 3

los momentos estáticosM M ax y 6

Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas2 2 2

del centro de gravedad del arco de la astroide: x 3 + y 3 =-a3 situado en el primer cuadrante.

Desarrollo


I I I l 1 1 dy ( Jx 3 + y 3 = a 3 ; v = ( a3 - J r3)3 derivando — = --------- ------- se sabe que

dx i*3

íJo

1 1 1 M x = \ (a3 —,*3)2

/o

2 2

1 + - -dx ■I. 2 2 3 1

(a 3 - a 3)2(— )3dx = — a 2 x 5

realizando el mismo procedimiento se obtiene:

M , las coordenadas del centro de gmvedad son:

- M - Mx = — - , y = —- , donde M es la masa total para nuestro caso, para el arco

M ' M2 2 2

va de (0,a) y (a,0) de la curva: x 3 + y 3 = a 3 nos piden hallar (x, y ) , comoi _I

dx = a ' .V :'d x .

i i 3a

l — I a 3x 3dx = ~ a Luego: x = - ~ — = ^ a en forma similar y = ^ aJo A 5

2a


1731 Hallar el momento estático de la circunferencia r = 2a sen 0, respecto al eje polar.

Desarrollo

M =A =

fiJT a/j jr

= 2 a2 (l-cos20)dfl = 2a2 ( Q ) / = 2a2(n -0 ) = 2a2nJo 2 / o

Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria

y = acosh— comprendido entre x = -a y x = a. a

Desarrollo

1732


1733

r a x ¡ aSea L = longitud del arco indicado = I ds = asenh — /J-a a! -a

L = a senh (1) - a senh (-1) = 2a senh (1)

M x = í yds= í acosh2 *dx = a \ (cosh — + \)dxJ ~a j ~a d J —q a

M x = a(— senh — + x) / =[(— senh2 + a ) - ( — senh(-2) -a )]2 a • -a 2 2

M x = a(asenh(2 )+ 2a) = a2(2 + senh(2))

paM = I xds = I x cosh --dx= (axsenh — a 2 cosh—) /J-a J-a « a a / -a

M y = (a2senh(\) - a 2 c o sh ( l) -(-a 2ie n / j ( - l ) - o 2 cosh(-l))

M y = a 2(senh(\) - cosh(l) + senh(-1) + cosh(-l)) = 0

. ~ M y 0 - M a2 (2 + senh(2))luego: x = —- = — ——— = 0 ; y = — - = — --- ----------------L 2asenh(l) ' L 2asenh(X)

- _ a(2 + senh(2)) - - _ a(2 + senh(2))2senh(l) ’ 2senh(\)

Hallar el centro de gravedad del arco de circunferencia de radio a, que subtiene el ángulo 2a.

Desarrollo

Si x coincide con al abscisa del centro de gravedad de la mitad superior e— . dx y dx 2 a2y = 0 , tenemos: Si — = — , y, l + (— ) = —

dy x dy x


1734

Puesto que x 2 + y 2 = a 2 para la mitad superior del arco se tiene: S = T - a.

í Jo

dr {asertaa a x | x</l + (— )2dy = a j dy

dy

a a x - a sena- aseriax = -----—

a

Por lo tanto el centro de gravedad esta sobre la bisectriz a una distancia senaa.------ del centro de la circunferencia. Entonces el centro de gravedad del

a

arco de circunferencia esta:

Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer cado de la cicloide: x = a (t - sen tj, y = a (1 - eos t).

Desarrollo

Se conoce que ds = \j(dx)2 +(dy)2 = asen X dt puesto que

(dx)2 - a 2 ( l - e o s t)2(dt)2 => (dy)2 = a 2sen2t(dt)2

yj(dx)2 + (dy)2 = íj^/(1-cosí)2 +sen2t dt = a\Í2 y fl-co s t dt = lasen —dt

[ 2iz [ 2k

= J d s = \ :Jo Jo

t t ! 2k lasen—dt = —4a eos — / =8 a2 / o


1735

*2n j *2 x iM x = I yds= I a(\-cos t) la sen—d t= 4 a 2 \ sen3(—)dt

Jo Jo 2 J0

32M x = — a2 en forma similar para M y = 8a zJt.

Luego el centro de gravedad es:

31a2- M 8 a2n - M 3 4 ---- 4x = - + = — — = a n ; y = - ± = —2— = - a => (x,y) = (a n , - a )

L Sa L Sa 3 3

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la2 2x yelipse — + — = 1 y por lo ejes de coordenadas OX y O Y: (x > 0, y > 0 )

a~ b'(0 < t < 2k).

Desarrollo


1736

M X = f y f ( y ) d y = f ^-yyjb2 - y 2dy = ^ ~ J a J O & 3

Las coordenadas del centro de gravedad son: x = —— = — ; y = = —M 3n M 3n

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las

curvas y = x 2, y = \[jt .

Desarrollo

A- =y 1' \fx + x 2 f~ 2 3--------- ( y ¡ x -x - ) d x = —

o 2 20

— M — M — gy = ~ r r i x - —— '■ luego: y = - ~ = —M M

para x se tiene: A~x ~ J X<~X ~x2 )dx

A 3 - 9 I - - 9A- = — => x = — ; Luego: x = y = —1 20 20 20


1737 Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por el primer arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX.

Desarrollo

x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t)

r»¿> pina

M f f= J ydx = J yd x , (0,0) si t = 0, (2rca,0) si t = 2ji

Ahora encontrando el área se tiene:

.2 nM = f ydx = f

Jo Je

1k pina( 1 - cos t)a( 1 - eos t)dt = a2 I (1 - eos t)2 dt

o Jo

M = 3a n , ahora calcularemos M x , M y

M.

M

4 i :

= f x f (x)dx = f J a Je

r 2=a3f Jo

a2 (1- eos í)2fl(l~ eos t)dt

3 p2n c _3_,, . 3 . 5a tí(1 -c o s /) dt = ------

b finx f(x )d x = I a (t-sen t)a ( \-eos t)a (l-eos t)dt

o

(t - sent)(\ — cost)2 dt =3 Jt2a3


1738

5ain- _ M v 3a 'n - - M 2 ' 5 - - 5x - - ¡ r r ~ - — Y ~ n a ' y ~ ~ T r~ ~ T T ~ = 7 a ( x , y ) - ( n a , - a )M 3na M 3a n 6 6

Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a con el centro en el origen de coordenadas sobre el plano XOY.

Desarrollo

Se conoce que ds = 2nr dz, donde r = a por hipótesis y dz es la altura de la

2k f azdzzona esférica. z = — —--------= — I z d z - —

l ú a 1 a Jo 2

como x = y = 0 => el centro de gravedad es (0,0,—)2

1739 Hallar el centro de gravedad de un cono circular recto homogéneo, si el radio de la base es r y la altura es h.

Desarrollo


1740

Por simetría se tiene que el centro de gravedad se encuentra en el eje Y; luego:j c=z = 0

Calcularemos M xz = momento estático del cono, respecto del plano XZ. El

disco de la figura de base paralelo al plano XZ., tiene volumen dv = na~dy,r

■ donde el radio a, por semejanza de triangulo se tiene: a = —(h -y ) - , Luegoh

ñ h 2 p h _ 2 » 2. _ f . 7ir f . \2 j htenemos que: M xz = ydv = —— I y ( n - y ) ay = -

' J o h' Jo

- h ,, n r 2h

12

Luego y = —— = — puesto que V =y 4 3

3Luego el centro de gravedad esta a la distancia de a partir de la base del

cono.

Hallar el centro de gravedad del hemisferio de una bola homogénea de radio a, con el centro en el origen de coordenadas situado sobre el plano XOY.

Desarrollo

Determinaremos z para esto se tiene lo siguiente: la masa de una de las caras elementales (dividido el hemisferio) por medio de planos paralelos se tiene:

dm = P nr2dz , donde P es la densidad, z la distancia entre el plano secante y

la base del hemisferio, r = s]a2 - z 2 , el radio de la sección, tenemos:

n f («2 - J o

z2)dz 3z = ----------------= — a ; Luego por simetría se tiene: x = y = 0

2 -„3 8—na3

3El centro de gravedad es: C.G. = (0,0, - a)


1741

1742

Hallar el momento de inercia de una circunferencia de radio a, respecto a su propio diámetro.

Desarrollo

r 2 I 7 v 7Se conoce que: 7 = 41 y .11 + (— y dxJo V dx

Donde la ecuación de la circunferencia de radio a, es:

2 2 2 2 2 2 dy XX + y =a => y = a —x y — = —dx y

, ‘ 4l ( a 2 ~ x2)i + 7 dx= 4 f \ C

Jo2 je 2 dx

n

fJo, 3 I 2 2 /1 .« . 3 , 0 send.cosd ¡ K , . 3 .* . 3/ = 4a I eos 0 ¿0 = 4a (—+ ------------- ) / =» I = 2a (—) = Ka

2 2 / 0 2

Hallar el momento de inercia de un rectángulo de lados a y b, respecto a estos lados: Ia , l h .

Desarrollo

Se conoce que / = I r dmI '

/ a = T y 2dm = a f y 2dy / ' = -Jo Jo 3 ' o

rJo

dm dy

I, = I x“í/m , donde dm = b dx

fJo4 = 1 xAbdx = b^ l o =* 4 =

¿o 1


1743 Hallar el momento de inercia de un segmento parabólico recto, respecto a su eje de simetría si la base es 2b y la altura es h.

Desarrollo

_ 4hb3 15

1744 Hallar el momento de inercia de la superficie de la elipse —- + — = 1,a b

respecto a sus ejes principales.

Desarrollo

De acuerdo a la figura, el momento de inercia del tubo cilindrico generado por rotación alrededor del eje X, del rectángulo R de la figura que tiene por base dy, y altura 2x.

Es decir: dla = y 2dv = y 1 (2ny)(2x)dy

dla =4ny3xdx Luego Ia = I dla = 4n I y 'xd yJo Jo

para esto paramétrizamos haciendo:

»ftx = a eos t, y = b sen t; Ia = 4 n \ b3sen3t.a eos íi> eos t dt

Jo


1745

1746

n nIa = 4 rtab4 I “ sen?t eos2 / dt = 4nab4 I " (1- eos21)eos2 t.sent dt

Jo Jo

, 4 . cos3í cos5r / r 8nab4 . .- 4nab (--------- + --------) / = --------- en forma similar para el otro caso.3 5 / o 15

Hallar el momento polar de inercia de un anillo circular de radios /?, y R2 (Rl < R2) , es decir el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro del anillo y es perpendicular el plano del mismo.

Desarrollo

Dividimos el anillo, en anillos elementales concéntricos, donde la masa de cada

uno de estos anillos será dm = r 2r k dr y el momento de inercia es:

C 4 R jrI = 2n \ r 'd r , donde r = l entonces I = 2n.— / 2 = —(R% -R ? )

Jr, 4 / r, 2 2 1

Hallar el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su eje, si el radio de la base es R, y la altura es H.

Desarrollo

Dividimos en una serie de tubos cilindricos elementales paralelos al eje del cono.

El volumen de uno de estos tubos elementales será dv = 2rtrhr dr, donde r es el radio del tubo; es decir la distancia hasta el eje del cono.

rh = H( 1----- ) es la altura del tubo, en este caso el momento de inercia es:

R

r R/ = r I 2 n H ( \ - - ) r ' d r

Jo ^


calculando la integral se tiene: I = — —— donde r es la densidad del cono.

1747 Hallar el momento de inercia de una bola homogénea de radio a y masa M, respecto a su diámetro.

Desarrollo

Escogemos un disco delgado paralelo al plano XZ y suponiendo que la densidad es P, el momento de inercia de un disco delgado de radio x, respecto

al eje Y es ~ x 2 para hallar el momento de inercia I y de toda la esfera se

suman los momentos individuales que acabamos de hallar en donde:

dM = Pdv = Pnx2dy entonces í v = - ( P n x 2dy)x2 = — Px4dyy 2 2

La ecuación de la sección de la esfera en el plano XY (circulo) es

x 2 + y 2 = R 2, donde R = a.

Luego: /„ = — f (o2 - y 2)dy = — nPR5 como la masa es m = —n a 3P ;* Z J-a 15 3

4 - 2a2 2 7 2 ■>se tiene: I „ = ( - t ta P \ ----- ) = - M a Respuesta: I = - M a ~

y 3 5 5 -v 5


1748

1749

1750

Hallar el área y el volumen de un tubo engendrado por la revolución de un círculo de radio a, alrededor de un eje situado en el mismo plano que el círculo

y que se encuentra a una distancia b (b > a) del centro de este.

Desarrollo

V = 2it2a 2b; S = 4 n 2ab

a) Determinar la posición del centro de gravedad del arco de la astroide2 2 2

x 3 + y 3 = a 3 situado en el primer cuadrante.

b) Hallar el centro de gravedad de la figura limitada por la curvas: y 2 = 2 px y x 2 = 2py .

Desarrollo„ - - 2a - - 9p

a) x =j* xdx J x,]\+ y '1 dx j" x J l + (—)3dx

f + y '2dx f y¡l + y '2dxJ a JO

3 f / ‘- 5 * / o 2a . , - — 2ax = ——-—- = — ; luego por simetría se tiene: x = y = —

3 - . a 5 572 / o

b) En forma similar el caso desarrollado de a)

a) Hallar el centro de gravedad del semicírculo, aplicando el teorema deguldin.

b) Demostrar aplicando el teorema de guldin que es el centro de gravedad deun triangulo dista de su base a un tercio de la altura.

Desarrollo


a) Al girar la figura genera un cono cuyo

4 n 3volumen es: V = — R según el

teorema de guldin el producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad, es igual al volumen entonces:

Área de la circunferencia = rcR¿ ; longitud de la circunferencia = 2n y

comparando y efectuando se tiene: (2n y) = —JtR3

, . , - 4 R , írs4 Rde donde y = — por lo tanto (0,-— )

3tt 3/r

b) Al girar el triangulo alrededor de su base genera un cono cuyo volumen Jtbh2es: V = ------- donde b es la base y h es la altura del triangulo, según el

teorema de guldin este mismo volumen seria: V = 2 donde x es

la distancia del centro de gravedad a la base, luego comprobando se tiene:„ bhx„ nbh" - h2 t t ( ———) = — - — = > x - —

2 3 3

6.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE FISICA.

(T ) TRAYECTORIA RECORRIDA POR UN PUNTO.-

Si un punto se mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad v = f(t) es una función conocida del tiempo t, el espacio recorrido por dicho

punto en un intervalo de tiempo [tl ,t2\ ser igual a:


- f

© TRABAJO DE UNA FUERZA.-

Si una fuerza variable x = f(x) actúa en la dirección del eje OX, el trabajo de

esta fuerza es el segmento [x¡,x2] será igual a:

A =

© ENERGIA CINETICA.-

Se da el nombre de energía cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a la siguiente expresión:

r f (x )d x

La energía cinética de un sistema de n puntos materiales de masas m¡ , m2 ,..., mn , cuyas velocidades respectivas sean v¡, v2,..., v„ es igual a:

Para calcular la energía cinética de un cuerpo, hay que dividirlos convenientemente en partes elementales (que juegan el papel de puntos materiales) y después, sumando la energía cinética de estas partes, y pasando a limites, en lugar de la suma (1) se obtendrá la correspondiente integral.

© PRESION DE LOS LIQUIDOS.-

Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de pascal, según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área s sumergía a una profundidad h es igual a: p = yhs, donde y es el peso especifico

del liquido.


1751

1752

La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una

velocidad inicial v0 , despreciando la resistencia del aire, se expresa por la

formula: v = v0 - g t , donde t es el tiempo transcurrido y g es la aceleración de

la gravedad, a que distancia de la posición inicial se encontrara este cuerpo a los t seg. de haberlo lanzado?

Desarrollo

datos:v = v0 - g t t = tiempog = aceleración de la gravedad

cálculo de la distancia recorrida a los t seg.

dsv « - = v0 - s , => f'(v 0 - Jo Jo

gt)dt

s = v0t - g -

La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0 , contando la resistencia del aire, se expresa por la fórmula

v = cJg(~— y + arctg — ) donde t es la tiempo transcurrido, g es la aceleraciónc c

de la gravedad y c es una constante, hallar la altura a que se eleva el cuerpo.

Desarrollo

datos:

v = c /g ( -g - + arctg (— ))

t = tiempo c = constante g = gravedad


dh , t v0v = — = clg ( -g - + arctg — )

dt c c

f dh= f [c .tg (-g - +arctg — ))dtJo Jo c c

h = ~ — ln |sec (-g — + arctg— ) | / g c c > o

2 2 2

h = ln | see ( -g — + arctg — | + — ln(l + -y )g C c g C¿

2 2 2 2 2 2

h = - h +— ln (l+ ^ -) => 2h = — ln(l + - ) de donde h = — ln(l + - )g e 2 g e - 2 g e

1753 Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con una velocidad que viene dada por la fórmula v = v0 cosco?, donde t es el

tiempo y v0 y co son unas constantes, hallar la ley de la vibración del punto, si

para t = 0, tenia una abscisa x = 0. a que será igual el valor medio de la magnitud absoluta de la velocidad del punto durante el periodo de la vibración.

Desarrollo

v = v0coscor, t = 0, x = 0

a) calculo de la ley de vibración del punto.

v = — = v0cos©í => dx = v0cos(ütdt

vn cos cot d t , de donde x = — sencot / =— sencüt(0 1 0 0)

Vqx = — sencot (O


1754

1755

La velocidad del movimiento de un punto es: v = te~°mu . hallar elseg

camino recorrido por dicho punto desde que comenzó a moverse hasta que paro por completo.

Desarrollo

dato: v = te~°'ou

calculo del camino recorrido por un punto desde que comenzó hasta que paro.

ds -oon • . r , f ' -ooir e“° ol'( 0.01f - l ) / 'v = — = te , integrando I ds = I te dt = --------------- -------/dt Jo Jo (0.01)2 / o

_ g -0-01' (1- 0.0 ir)0.0001

el punto para que se pare por completo es cuando v = 0 => t = 0.

para t = 0, s = — -m = \ 04m s = 104m(íor4

Un proyectil cohete se levanta verticalmente, suponiendo que, siendo constante la fuerza de arrastre, la aceleración del cohete aumenta a causa e la

disminución de su pero según la ley: j = ------- , (a - bt > 0). hallar la longituda - b t

del cohete en cualquier instante t, si su velocidad inicial es igual a cero, hallar también la altura que alcanza el cohete en el instante t = tx.

Desarrollo

a) Calculo de la velocidad del cohete:

Datos: v0 = 0 ; j = ------- » a - b t > 0a - b t

dv A , A dtj = — = ------- => dv = -dt a - b t a - b t


1756

f v f' Adt A , x /'I dv = I ------- => v = ------ln(a -b t) IJo Jo a - b t b / o

A A A a A , av = ---- \n (a -b t) + — lna = — ln(-------------------------------------------------- ) v = —ln(---- —)

b b b a - b t b a - b t

b) Calculo de la altura en el instante t.

— = v = — ln(—-—) = — l n a - —\n(a-bt) => ds = - ( \ n a - \n ( a - b t ) ) d t dt b a -b t b b b

f ds = — f (ln a - ln(a - bt))dtJo b Jo

s = — [/ ln a - 1 ln (a -b t ) + 1 + — ln(a - b t)] / b b I o

= Ar [bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln (a - b t ) ] l h2 l o

sb

s = — (bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln(a - bt) - a ln a) b2

s = -4 - (bt - (a - bt) ln a + (a - bt) ln(a - bt)) b2

s = Ar(bt + ( a - b t ) ln(a ■- -)) s = A r ( b t - ( a - b t ) ln( ■))fe2 a a - ¿ í

Calcular el trabajo necesario para sacar agua que hay en una cuba cilindrica vertical, que tiene un radio de base R y una altura H.

Desarrollo


1757

T c o - F d s = E „

H E p - mgh , y =

yv

m g

m = — donde y = peso especifico g

V = itR~H , derivando se tiene:

dV = nR dh

dEp = d (mgh)

calculando dm:

yv , dvm ~ — => dm - y —8 8

(1)

... (2)

ahora (1) en (2) se tiene: dm = yrcR — y dE = (yn R -— )gh

Jo Joghdh - ynR2 I hdh

ch

i 1 Jo

yrrR2H 2 JtyR2H 2t = ----------- pero E = a) por lo tanto co = —---------

Calcular el trabajo necesario para sacar el agua que hay en un recipiente cónico, con el vértice hacia abajo, cuyo radio de la base es R y la altura H.

Desarrollo


Ep = F d s =m

donde to = trabajo

mg yvY = — => m = ——

v 8(1)

y = peso especifico

1 oV = —n r H 3

dV = —Jtr2dh 3

dm = y dv

yjcrreemplazando (2) en (3) se tiene: dm = ------dh

3 g

E„ = mgh => dE = d(mgh)

f M "Jo Jo

jKr~3g

Rh

(gh)dh , ahora cambio de r a R

h R— = — => r =r H H

Ep = g ~ \ h A 2h2dh Ep =-Ó Jo /2 3 // Jo 12

■ (2)

.(3)

. _ ^ / / p 12


1758

1759

Calcular el trabajo necesario para sacar el agua de una caldera semiesférica, que tiene un radio R = 10 m.

Desarrollo

0 R

dm<T_ x X

X'

/ dx

r

El disco comprendido entre x y x + dx tiene un volumen.

dV = tiy2dx = n(R2 - x 2)dx

La fuerza F requerida para bombear el agua de este dV es igual a su peso.

p dV = pn(R 2 - x 2)dx

La distancia en el cual actúa esta fuerza es:

—> —>[x, x+dx] => dW = F .d r = p n(R 2 - x 2 ) x d x , integrando en ambos miembros:

f “ f * R 2 x 2 x 4I dco = I pn (R 2 - x 2)xdx = Pn (—1------------ ) /Jo Jo 2 4 * o

jzR(ú = p -= (0.79)103 xl O4 , siendo p el peso de 1 dmi de agua

4

/. (0 = 0.79JtlO7 k g - f Im

Calcular el trabajo necesario para sacar, por el orificio superior, el aceite contenido en una cisterna de forma cilindrica con el eje horizontal, si el peso

especifico del aceite es y, la longitud de la cisterna H, y el radio de la base R.

Desarrollo

386 Eduardo Espinola Ramos

m 8 Y v / i \y = — => m = — ... (1)H

. . (2)

. . (3)

... (4)

Ep = co = mgh dcü = d(gmh)

Jo Jo. ÍJodh (ù = ynR H

1760 Que trabajo hay que realizar para levantar un cuerpo de masa m, de la superficie de la tierra, cuyo radio es R, a una altura h?. A que será igual este trabajo si hay que expulsar el cuerpo al infinito.

■

Desarrollo

Según la ley de gravitación universal, la fuerza F que ejerce la tierra un cuerpo

, , „ mMde masa m esta dado por: F = y — —R2

donde y = constante de gravitación

M = masa de la tierra, m = masa de un cuerpo cualquiera

R = radio de la tierra

wCR^h mM mM / R+h- J . ^ dR- y^ L w - y m M ( - ------ -— )

' R R + h

i

... (1)

como la fuerza atracción es igual peso (mg)


1761

1762

mM gR2=* m8 = y — r => v = - r r - (2)R- M

de (2) en (1) se tiene: W = gm~- si hay que expulsar el cuerpo al infinito h->°°1 + -

RmMw = y-----

R

Dos cargas eléctricas e0 = 100 CGSE y e¡ = 200 CGSE, se encuentran en el eje OX en los puntos xQ = 0 , xi = 1 cm , respectivamente. ¿Que trabajo se realizara si la segunda carga se traslada al punto x2 = 10 cm ?

Desarrollo

£ cLa fuerza de acción mutua de las cargas será F = dinas, por consiguiente,

xel trabajo necesario para trasladar la carga e, desde el punto xx al punto x2

C*2 dx .1 1 . . o , ft4, -T = e0e¡(--------- ) = l .8.d 0 ergiosJx, JC2 x, X2

»v^I.SaIO4 ergios

Un cilindro con un embolo móvil, de diámetro D = 20 cm., y de longitud i = 80 cm., esta lleno de vapor a una presión de p -1 0 kgf I cm2 . ¿Qué trabajo hace falta realizar para disminuir el volumen del vapor en dos veces si la temperatura es constante (proceso isotérmico)?

Desarrollo

Para el proceso isotérmico pv = p0v0 . El trabajo realizado en al expresión del gas desde el volumen v0 hasta el volumen v, es igual a:

vw = I pdv= p0v0 ln— = 800*ln2 kgf / m .\ w = 800jtln2 kg f / mJV2 vo

sera: w = e0et


1763

1764

Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabática del aire, hasta ocupar en volumen v ,= 10m3, si el volumen inicial es v0 = 1 m3 y la presión

p0 =1 kg f / cm2 .Desarrollo

Para el proceso adiabático es valida la ley de Paisson pvk = p 0Vq , donde k =

1.4, de donde: [ l - ^ - 1]Jj2 k k - 1 V[

de donde al reemplazar sus valores se tiene: w = 15,000 kg - f / m

Un árbol vertical, de peso P y radio a, se apoya en una zanja AB la fricción entre una parte pequeña o de la base del árbol y la superficie del apoyo que esta en contacto con ella es igual a F = upo donde p = constante es la presión del árbol sobre la superficie del apoyo, referida a la unidad de superficie del mismo , y u es el coeficiente de función. Hallar el trabajo de la fuerza de fricción en una revolución del árbol.

Si a es el radio de la base del árbol, la presión s sobre la unidad de superficie de

apoyo será P = ——-, la fuerza de frotamiento de un anillo de anchura dr, que n a '

se encuentra a una distancia r del centro, será igual a r dr .a


1755

1766

El trabajo de la fuerza de frotamiento, sobre estos anillos, durante una vuelta

completa es: dw ■■ dr , por lo cual el trabajo total

w =4nup f" 2a2 Je r~dr = —Jtupa

Calcular la energía cinética de un disco, de masa M y radio R, que gira alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco con una velocidad angular co.

Desarrollo

La energía cinética de un elemento del disco:

„ v2dm pr2ío2 , , , , , ,d k = -------= ---------d a . donde da = 27irdr2 2

es el elemento de superficie, r, su distancia al eje de giro; p, la densidad ^ ^ 2

superficial p = ---- — de esta forma dk = ----— r2dr , de donde:nR- 2 k R-

kMeo2 f Ä

R2 Jo r3rfr =MR2(02 w = -MR2(02

Calcular la energía cinética de un cono circular recto, de masa M, que gira alrededor de su eje con una velocidad angular ©. El radio de la base del cono es R, la altura H.

Desarrollo

/VI „ i :vi '

Cdm) disco = PdV

(dEc)disco =

k R2H

w2x 2 3Mx2

M 2 , 3Mx¿dzKX dz = ■

R2Hdz =

R2H

3Mw2x*dz 4 R 2H

Z H ;------ = — =» dz = — -dxR - x R R


1767

r °3 Mw2x\ W f 3Mw 4 j 3 M w x / «(Ec)cono = I — ^ = ----- — x*dx = ------- — /

J* 4R H R Jo 4/? 20/? ' o

£ .=3Mw2R2

20

Que trabajo es necesario realizar para detener una bola de hierro de radio

R = 2m que gira alrededor de su diámetro con una velocidad angular co = 1000

vueltas / crecimiento?. (El peso especifico del hierro es r = 7.8 gf /cm 3 ).

Desarrollo

w - mad, hallamos masas “m” sabemos que:

y ~ ~ =>m = yV=> M = ~n r3Y ... (1)

hallamos la aceleración a, este caso seria “a” por cinemática:

2 c o 2tú' = 2aQ => 0 = — ... (2)20

hallamos la distancia “d” este caso seria la longitud de arco:

02nr(—~) = d => d = n 9r ... (3)

2 71

para n vueltas. Reemplazando (1), (2) y (3) en w = mad

r4 3 0)2 0 j j , 4 yurnO . 4 ,w - —7tYr — .nOr de donde w - —n l -I r dr3 20 3 20

4 2 r5 4 3 œ2r2w - —rq'co'n = ^ Ylír )—^— Para n = 2 dos vueltas

N -, , w = — co~r kgf / m w = 2 .3 a1 0 8 k g - f / m

Aplicaciones de la Integral Definida\

391

1768 Un triangulo de base b y altura h esta sumergido verticalmente en agua, con el vértice hacia abajo, de forma que su base coincide con la superficie del agua. Hallar la presión que el agua ejerce sobre el.

Desarrollo

Se sap que dp = phl dh => por relación

H - h _ H B ( H - h )í ~ B ^ ~ H

C r H H — hF = p h /d h = phB(------- )dh

Jo Jo H

B 3/ / 3 —2/ / 3 /H B H 3 P ~H 6 / o = P H ' T

F BHF ■ r.------

1769 Una presa vertical forma de trapecio. Calcular la presión total del agua sobre dicha presa, sabiendo que la base superior tiene a = 70 cm, la base inferior b = 50 cm y su altura h = 20 cm.

Desarrollo

1 = 7 fJe

p = ^

empleando semejanza de triangulo se tiene:

1 = y * h i = 1 ± 20 525a b 50 70

705 725 - h 70— = - - => / = (725-A )——70 / 725

20 -70(725- h ) - h 1II1 /. p = l 13.60 tm

o 725

Solucionario Demidovich Tomo II - ByPriale

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