Solucionario de Fisica I y II - Leiva

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  • IMPRESO EN EL PER

    01 - 0 1 -2012

    i DERECHQS RESERVADOS

    Este libro no puede reproducirse total parcialmente por ningn mtodo grfico, electrnico o mecnico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnticos o de alimentaci j de datos, sin expreso consentimiento del autor y Editor.

    RUC N 20520372122Ley del Libro N 28086Ley de Derechos del Autor N 13714Registro comercial N 10716Escritura Publica N 448 4

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  • El presente solucionarlo Fsica 1 y II de Leiva, es un aporte a los estudiantes que an quedan con la curiosidad de saber ms sobre cmo interpretar las ciencias fsicas

    en sus diversos problemas.

    ste texto es un humilde complemento al texto Fsica de Leiva que tiene un buen contenido utilizado por los estudiantes de ingeniera a nivel nacional e internacional, el

    cul recomendamos en un 100% como lectura obligatoria.

    No obstante ste solucionario en su primera edicin desarrollado al 80% es un avance en lo que respecta a presentacin y sistema didctico de presentacin dirigido a todos los niveles de la educacin que se encuentren involucrados en sta rama.

    El solucionario est desarrollado en su mayora de aportes de profesionales que en sus pasos de enseanza por las principales universidades, otorgan a la editorial para publicarlo bajo la supervisin y apoyo del Dr. Eduardo Espinoza Ramos, quien orienta en ciertos aspectos de la publicacin.

    SOLVER-EDK es una marca registrada por Edukperu con todos los derechos

    reservados utilizado para la publicacin de solucionarlos de textos importantes en el nivel universitario de las diversas carreras.

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  • VECTORES c SOLVER EDK

    Se pide demostrar que si el mdulo de la suma y diferencia de dos vectores en el espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer por componentes.

    Piden:Si |A-B|=|A+B|- A y B son perpendiculares.

    Sea A=(Ax,AyA )B= (Bx,By,Bz)

    | (Ax-Bx, Ay-By, a z-Bz ) |=| (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz) |

    j(A x-Bx)2+(Ay-By)2+(Az-Bz)2= J(Ax+Bx)2+(Ay+By)2+(Az+B;,)2

    Ax+BX-2AX Bx+Ay+ By-2Ay By+A2+B-2AZ Bz=Ax+Bx+2AX Bx

    + Ay + By + 2Ay By-f Az + B2 + 2 Az Bz

    4AxBx+4AyBy+4AzBz=0

    Ax Bx+Ay By+Az Bz=0

    AB=0

    Si A.B=0>A y B son perpendiculares

    Demostrar que:

    (PxQ) (RxS)+(QxR). (RxP)+(QxS)=0

    Usar la relacin: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q)

    La demostracin es inmediata usando la relacin brindada. La idea es formar a partir de la relacin los sumandos que piden demostrar, al sumar dichas ecuaciones se

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  • encontrar con ciertos valores negativos que podr sumar igualando a cero la expresin.Dado los vectores P=(2,-l,l) y y Q=(-l,2,2)y R=(l,-2,a)

    Cunto debe valer a para que los vectores sean coplanares.jC T lrfg filM

    P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0

    i j k

    ____________ l O K ) .................................................................................................... '________ ACTORES

    Resolviendo QxR= =(2a+4,a+2,0)- 1 2 2 1 -2 a

    P.(QxR)=(2,-l,l)(2a+4,a+2,0)=0

    =(2(2a+4)-(a+2)+0)=0

    a=-2

    Simplificax(Ax)+jx(Ax])+o

  • Piden demostrar que PxQ=QxR=RxP

    Hallamos PxQ, Sabemos por (1)

    Que Q=-P- R

    =*PxQ=Px-1 (P+R)=-PxP-PxR

    =-PxR=RxP

    Para QxR=Qx(-Q-P)=-QxQ-QxP

    =-QxP=PxQ

    PxQ=RxP=QxR

    |j||| Simplificar (PxQ).(QxR)x(RxP)

    VECTORES

    Simplificando utilizando la propiedad

    AxBxC=B(A.C)-C(A.B)

    A.(B x C)=C(AxB)= B.(CxA)

    A.nB=nA.B, A.B=B.A

    =>(PxQ. [ (QxK) x(RxP)]

    =>(PxQ). R(QxR) .P-P(QxR) . R]

    => (PxQ). [R P(QxR)-P R(QxR)]

    R (QxR)=0 ya que R IQ xR

    =>=(PxQ)[R P(QxR)]

    =[P.(QxR)][R.(PxQ)]

    =[P. (QxR)] [P. (QxR)]

    =[P.(QxR)]2

    f | Demostrar: (PxQ).(RxS)=(PxR).(QxS)-(PxS).(Q xR)

    ( ~ SOLVER EDK

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  • SOLVER EDK VECTORES

    Queremos probar que:

    (PxQ). (RxS)=(PxR) (QxS)-(PxS) (QxR)

    Por propiedad A(BxC)=C.(AxB)=B.(CxA)

    => (PxQ). (RxS)=R. (SxPxQ)

    =r. [p (s .q )-q (s .p )]= (r .p ) (s .q )-(r .q ) (s .p )

    Ordenando(PxQ).(RxS)=(P.R)(Q.S)-(P.S)(Q.R)

    Teniendo en cuenta las propiedades Px(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)

    P.(QxR)=R.(P.Q)=a(RxP)

    P.P=0 y PxQ=-QxP(PxQ). (RxS)=S[PxQxR]... .(1)

    (Q.R).(PxQ)=P[QxQxR] .. ..(2)

    (R.P).(Q.S)=S[RxPxQ].... (3)

    De (1)

    De (3)

    De (2)

    S.[Q(P.R)-R(P.Q)]=(S.Q)(P.R) (S.R) (P.Q )... (a)

    S.[-PxQxR]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q) .. .(p)

    P[QxQxR]=0

    Ya que QxQ=0 Sumando (a) y (P) Tenemos.

    (PxQ)- (RxS)+(QxR)(PxQ)+(RxP) ((Q xS)=0

    Demostrar que los vectores P= (2,8,0) ,Q= (-2,3,8) Y R=(0,6,-4) Pueden ser loslados de un tringulo. Hallar las longitudes de las medidas tringulo.

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  • VECTORES SOLVER EDK

    Para que los vectores puedan ser lados de un tringulo tienen que cumplir:

    RP+PQ=RQ

    RP=(2,2#4) PQ= (-4, -5, 8)

    RP+PQ=(-2, -3,12)=RQ Por tanto estos vectores si son lados de un tringulo.Tenemos el siguiente tringulo:

    P

    Hallamos las longitudes de las medianas:

    RO-RQ--PQ

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  • SOLVER EDK J VECTORES

    PN=^RQ-RP

    Los componentes de las medianas son:

    PN=(-3,~,2)

    RO=(0,-i,8)

    QM=(3,4, -10)Entonces las longitudes sern:

    L,=|PN |=5,02

    l2=r o |=8,oi

    L3=|QM|=11,18

    Q

    agm urgtar

    Teniendo en cuenta los tringulos PQR y PRS, tendremos que N y M son baricentros

    respectivamente.

    Dado el paralelogramo PQRS donde T Y L Son los puntos medios de los lados QRY PS respectivamente. Demostrar que PT Y PL dividen a la diagonal PQS entres partes mediante los puntos M Y N.

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  • VECTORES SOLVER EDK

    Por lo tanto ON=^Q....(l) y MO=^SM....(2) probado en el problema 42

    de los problemas resueltos.

    Pero O divide en la mitad al vector MN, teniendo ^~=ON=MO...(3)

    De (1), (2), y (3) obtenemos que:

    m n = q =sm

    Tomando MP=MA+AP pero MP=^BA+^AD

    Pero sabemos que: BA+AD=BD

    =>MP=^BD

    De esto tenemos queMPIIBD

    Ahora tomamos el vector NO tenemos NO= NC+ CO

    O=^BC+^CD

    Pero BC+CD=BD Tenemos que

    O=^BD

    De esto obtenemos que NBIIBD

    Como BHBD y MPIIBD

    Entonces NBIIMP y NB=MP

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  • >> SOLVER EDK 3 VECTORES

    Lo mismo procedemos con los otros vectores:Por lo tanto:

    MNHPO y.MN=OP

    BIIMP yB-MP

    f t Demostrar que las bisectrices de los ngulos de un tringulo se cortan en unpunto y se llama incentro y corresponde al centro de las circunferencias inscritas al

    tringulo.

    Tenemos que demostrar que AM.OM=BN.ON=AP.OP=C)

    AM.OM=M.(M-B)

    =AM. AM-AM. AO... (a)

    La Proyeccin de AO sobre AB es

    AO.p=AO cosa pero AM=AO cosa

    =>AO.p-AM

    En (a):

    Luego:MlOM

    De igual forma se puede demostrar que:

    BN.ON=0 y AP.OP^O En el tringulo AMO y APO usamos la Ley de Senos

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  • VECTORES SOLVER EDK

    i - - MI -|OM|=|AB|senasen 90 sen a |O| |P| -|OP|=|AO|senasen 90 sen a

    Luego |OP|=|OM|=R

    De igual forma se demuestra que |OP|~|OM|=R

    y VIH Mi

    Del tringulo formado por los vectores

    P,Q,RPor ley de senos tenemos

    _ P ___Q Rsena sen0 ~ senoc(180-Q)

    QP=-- - , oc=Q-0sen0Q=$?=-- -(sen0 cos0-sen0cos0)sen0

    =>P=Qsen0-Qcos0

    vw. ^ cofn.' SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

    l

    Dado los vectores P Y Q , que forman ngulo 0, demostrar:QsenG

    tan0= -- -P+Qcos0donde 0es el ngulo entre la resultante y el vector P .

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  • SOLVER EDK VECTORES

    =tan0=Qsen0

    P+Q cos0

    Dado los vectores P yQ;R=mP+nQ, tal como se indica en la figura. Si P =3, Q = 5 y R =10. Hallar la relacin: m/n.

    Tenemos los mdulos de cada vector: (P)=3 (Q)=5

    Para los vectores que suman R deben de ser iguales, entonces:

    (nQMmP)

    Q|_m

    T"m 5 n 3

    Se dan los vectores P yQ forman un ngulo agudo tal que sen0= 3/5. Si el mdulo de

    P=16 y sabiendo que P es ortogonal a(P-Q) : Hallar el mdulo de Q

    JEffllKTOTgW

    m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV II www. ecj uk per, con

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  • VECTORESr ~ -SOLVER EDK

    Segn el dato Pl(P-Q)=> =90 de la parte sombreada, por ley de senos tenemos:P O

    sen (90-0) sen90 P

    =>0=sen53 =20

    Las caras de un tetraedro regular son tringulos equilteros de lado a. (a) Hallar el ngulo que hace cada lado con la cara opuesta, (b) La distancia de un vrtice a la cara opuesta. Hacerlo por vectores.

    www. e

  • SOLVER EDK VECTORES

    a=|B|=|BC|=|CD|=|BD|=|AD|

    El rea de la figura sombreada ser:

    , ,. senO A=|BD|.|DM| -

    MA+AD=MD

    ^MA+AD=MD

    Si O es baricentro:

    |MD|=Jr3|AC|

    2 > OD=~MD

    El

    COSO|o d | _ | | m d | 2/ ^ | a c |

    : |B D f | C r 3 V2 |AC|

    V3Cos 0=-

    0=54,73

    Y la altura ser: h=a sen(54,73)

    h=0,81 a

    Sea PQRSTM los vrtices de un hexgono regular. Hallar la resultante

    representados por los vectores. PQ , PR, PS , PT, y PM .

    I SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

    de las fuerzas

    vvww. ed ukperu. co m

  • v e c to re s C SOLVER EDK

    Q

    Haciendo coincidir el punto P con el origen de coordenadas y considerando el lado de longitud a.Tenemos:

    PQ=acos60+a senOj

    PR=a senOj+a senOj

    PS=2acos60+2a senOj

    MS=(a+a cos60)+a senOj

    PM=aiSumando en X y Y tenemos

    PQ+PR+PS+MS+PM=3 a i+6a senO]

    6a cos60i+a sen60j= 3PS

    www.ediiKperu.cofn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK 3. VECTORES

    % Demostrar que el polgono que resulta de unir los medios de los lados de un cuadriltero es un paralelogramo. Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular

    aA= (l,l,l) y B=(2f3,-1).

    Sea el vector P tal que |P|=1

    P lB P IA

    Si PB y 1PA>P.B=0P,A=0

    P,B=(P1,P2,P3)(2,3r l)=2P1+3P2-P3=0...(l)

    P.A=(P1,P2,P3)(1,1,1)=Pi+P2+P3-(I1)Resolviendo:

    Hallando K:

    _ 4 KP1=--KP2=KP3=3

    |P|=1=JP?+P + Pl

    9 8 V26

    P=4=H-3,1)V26Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular a A=(l, l,l)y B=(2,3,-l)

    l

    14 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY IIwww. ed i* per. con

  • VECTORES C SOLVER EDK

    ||p (a) Hallar todos puntos de que pueden ser el cuarto vrtice del paralelogramo formado por los otros tres vrtices A = (1,0,1), B = (-1,1,1) Y C = (2,-1,2) .(b) tambin hallar el rea del tringulo ABC.

    m m m m m

    Siendo A, B, C y D vectores de un paralelogramo se cumple que A+C=B+DEn el paralelogramo se cumple A+C = B+DTenemos:(2+P1,P2,P3+2)=(0, 1, 2)

    P1=-2 ,P 2=2,P3=0 P=(-2, 2, 0)

    Lo mismo se aplica para hallar los dems vrtices, por tanto tenemos que:

    AC=(1, -1,1), AB=(-2,1, 0)

    CB=(-3, 2, -1)

    Sabemos que

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  • >> SOLVER EDK ) VECTORES

    a a=q IACxABI

    =ACxAB= j k1 -1 1

    -2 1 01i r r a/6

    =*AA=-'Jb=

    Dos vectores P = (2,-3 ,6) y Q= (-1,2,-2) estn aplicados a un mismo punto. Hallar las coordenadas del punto R que tiene la direccin de la bisectriz del ngulo

    formado por los vectores P y Q, Si R = 3a/42 .

    Podemos relacionar de la siguiente arquitectura manera por grfico

    Ahora hallamos K tal que

    RxQIIPxR

    RxQ=K PxR.... (a)

    RxQ|=|K PxR|

    | R|| Q| sen0=K | P|| K| sen0

    De (a) tenemos que

    -2b-2c= (^-3c-6b)

    2a - c = 3/7 (-2c+6a) 2a + b = 3/7(2b+3a)

    3- K=7

    Resolviendo

    a = -K

    b= 5K c=4K

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvwvv.edukperu

  • VECTORESf~ _________________SOLVER EDK

    Su mdulo del vector

    Es

    R=(-K, 5K, 4K)

    3V2

    =>K2+2SR2+16K2=9V42

    K=3

    *.RC-3,15,12)

    3 Si P+Q+R = . Demostrar que PxQ+QxR+RxP=3PxR .

    Teniendo en cuenta el problema 5) tenemos que

    PxQ=RxP=QxR

    ^PxQ+QxR+RxP^PxQ

    Hallar el rea del tringulo c u y o vrtices son los puntos A = (2,-2,3). B(1,-2)YC

    = (4,2,-1)

    CA=(-2, -4,4)

    CB=(-3, -4,1)

    Aa=1|CAx CB|

    Aa= ^1(20, -14, -4)|

    AA=Vl53

    vAWv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II IBM

  • SOLVER EDK D VECTORESHallar el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son P=(l,2,-1), Q=(3,4,-6)

    y R=(2,1,-3)

    V=|P.(Q x R)|

    Q x R=i j k3 4 62 1 -3

    (-6, -3, -5)

    Se conoce los cosenos directos de dos vectores cuyos valores sona|,a2,a3 y b1; b2, b3 . Demostrar que ngulo entre ellos es 6 y se obtienes de la

    expresin cos0=atbi+a2b2+a3b3

    Como tenemos los cosenos directores de los vectores, tenemos los vectores unitarios

    de ellos-,

    V=^=-=(cosa, cosp, cos0)

    W= 7^ T=COOC', cosp', COS0' lwjEntonces tenemos los valores:V=(a1,a2, a3)

    ggfgj SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1Y II vvww. edukperu. oo!Ti

    E

  • VECTORES SOLVER EDK

    W=(b,,b2,b3)Haciendo el producto escalar obtenemos el ngulo que forman:

    V.W=(|V||\V|cosO

    =cosO=(a,b,a2,b2, a3b3)

    Dado el vector A y el escalar m , hallar el valor de B ,tan que A.B= m.

    iii]HW3

    Podemos dar la forma de:

    B=A+A

    Haciendo producto vectorial y considerando A=C se tiene:

    AxB=CxA+AA

    A.B=y||A2||A.B

    o it =y

    B=CxA+ ip^r .AIKII

    Dos vectores y B tiene magnitudes iguales de 10 unidades. Estn orientados

    como se muestran en la figura. Su suma es R=A+B. Hallar (a) los componentes

    de R. (b) el mdulo de R. (C) El ngulo que forma R con el eje de los +x.

    Lo dejamos como ejercicios para el lector, aplique los conceptos aplicados en los ejercicios aplicados en los anteriores ejercicios.

    |p Dados los vectores A= (1,1,2).B= (1,3,4). C= (1,1,1) y P= (1,-5,1). Hallar los

    valores de m, n y r para que mm-nB+rC=P.

    Sean los vectores: A=(-l, 1, 2), B=(l, 3, 4)y C=(l, 1, -1)

    ' .-d jwu cosn SOLUClONARiO FISICA LE IVA 1 Y II

  • SOLVER EDK VECTORES

    Por condicin del problema:

    mA-nB-rC=(l, -5,1)Obtenemos las siguientes expresiones:

    -m-n+5=l

    m-3n+r=-5

    2m-4n-r=lEn este problema utilizaremos cramer:

    |Am| m= JA I

    An " |A|

    |Ar| r |A|

    Siendo A matrices Entonces

    1 -1 1-5 -3 11 -4 -1-1 -1 i1 -3 12 -4 -1

    -17m=TLo mismo procede para n y r

    -5

    M SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.com

  • VECTORES c SOLVER EDK /2T

    Como P||A 3 K E R tal que (P i ;P2,P3)=-K(2, -1, -4)

    =>P,=-2KP2=+KP3-4K

    |P|=KV2T=^^K=74 4SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

  • SOLVER EDK VECTORES

    ..P=(P1;P2;P3)=(-2K;K, 4K)=(0,5; 0,25; 1)

    p Demostrar que un vector cualquiera A el espacio se puede expresar A=

    (A i, A. J, A. k)

    - /

    Mostramos los vectores en el siguiente grfico:

    Tenemos los siguientes componentes de A:

    A=(|A|j|cos8;|A||j|cosa ;A|kcosy )

    El producto escalar se define:

    A.B=|A||B|cos0

    =>A=(A. ,A.J,A.k)

    Demostrar que un vector unitario cualquier Q en el espacio se puede :

    Q= (eos a , eos p, eos y ) donde a, 3 y y son los ngulos que hace el vector A con los eje X , Y y Z.

    m m m m

    Cules son los valores de m y n para que A= (m,-2n,l)y =B= (n,-m,3) Son perpendiculares y A = 3.

    SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I www.'o kpfy ,co

  • VECTORES

    A lB A . B=0

    (m, 2n,l) (n,-m,3)=mn+2nb+3=0

    Sabemos quemn=l

    A=3=V m2+4n2+l

    9=m2+4n2+l , n=l/m

    8m2=m4+4

    m4-8m2+4=0

    Resolviendo tenemos que:

    m=j42V3

    n=- 1

    Dado los vectores A y B dla figura: (a) Halla A.B (b) Hallar Axb.

    De la figuraLos vectores estn en el plano XY entonces tenemos

    SOLVER EDK

    www.ectykperuxom SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y

    23

  • SOLVER EDK D VECTORESA(V3 cos30, 6V3 sen30; 0)

    Si el mdulo de la suma de dos vectores A y B es 8 y los mdulos de A5 de y B =10 Hallar el mdulo dla diferencia dlos vectores.

    |A+B|=8 y |A|=5 |B|=10

    Piden

    I A-B=?

    |A+B|=J|A|2+|Bj2+2|A||B| eos 0 =8

    25 + 100 + 100 cosO = 64r> 61eos 0 = -

    100

    |a -b |= J|a |2+|b |!-2|a ||b | cos0 = 25+100-100 V 1 0 0 /

    |A-B|=Vl80

    Si el mdulo de la suma de dos vectores es V0 A=y V3 , B = 3. Hallar el

    producto escalar A.B

    |a +b |=VTo, a |=V3,|b |=3

    Piden hallar A . B

    |a +b |=VTo=^|a |2+Sb |2+2|a ||b | cosO

    12+6V3 cos0=10 -1

    =cos0=3V3 '

    Sabemos que:SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v-zww. d ukperu. corn

  • VECTORES I SOLVER EDK

    A.B=|A||B|cosO

    V3V3' .A.B=-1

    Si el mdulo de un vector es A = 2 y el otro es de doble magnitud B = 2A, Si el ngulo que forman dichos vectores es 120. Hallar el mdulo de la suma de los vectores.

    Piden hallar

    |a |=2 |b |=2 |a |=4

    |a +b |=?

    Si

    |a +b |=J|a |2+|b |2+2|a ||b | cosO

    0=120

    V4-16-16cosO=2V3

    |A+B|=2V3

    Dado dos vectores de un tringulo A= (1,1, 1), B= (l,-l,l) y C= (-2,1,-1). Hallar

    el ngulo que hacen los vectores AB yAC.

    wvvw. cd u Kper u, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 25

  • SOLVER EOK VECTORES

    X

    A

    C

    > y

    Piden el ngulo =? t

    AC=(-3, 0, -2)

    B=(0, -2,0)

    AC.AB= |AC||B|cos0

    0=Vl3.2 cos0 cos0=O

    .-.0=90

    Dados los vectores P, Q, R y S, que cumple la condicin PxQ=RxS y Px R- Qx S .

    Demostrar que el vector P- R .

    Para que P-S sea paralelo a Q-R tiene que cumplir que: (P-S)x (Q-R)= O

    Demostraremos esto:(P-S)x (Q-R)

    (P-S)x Q-(P-S) x R

    PxQ-SxQ-P-R+S-R

    Por condicin:

    PxQ=RxS

    y PxR=QxS

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www. ed ykperu co m

  • VECTORES c SOLVER EDK

    y sabiendo queAxB=-BxA

    ; tenemos

    PxQ+QxS-RxS=0

    .-.(P-S)ll(Q-R)

    ^ Dado los vectores A=(1,l,) , B=(-l,-a,a) y C=(a,l,-a). Cual el valor de a para que el

    volumen definido por los tres vectores de igual a 7.

    ^ UH IHLUTenemos los vectores

    A=(l, 1,1) B=(-l, -a, a)

    C=(a, -1, -a)V=7

    =>BxC=i j k1 -a aa 1 -a

    =(a2-a, a2-a, a2-l)

    A. (BxC(a2-a+ a2-a+ a2-l))=7

    Resolviendo tenemos que

    3a2-2a-l=7

    3a2-2a-8=0

    -4a = 2 -

    wvwv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK

    j} Dado los vectores A=(l,-2, 2) y B=(-2, 2, -3) . Hallar la proyeccin escalar y

    vectorial de B sobre A.

    Siendo los vectores

    A=(l, -2, 2)

    B=(-2, 2,4)Piden hallar

    Proy escalar =? y Proy vectorial =?

    B

    Proy escalar =

    Proy. Vectorial

    B^A

    B._2 W 3

    (B.) (2,-4, 4)|A|2 = ^

    Si P.Q=20 Y P=3 , Q=10 Hallar |PxQ| .

    j B f

    Tenemos que P.Q=20 y |P|=3 ,.|Q|=10

    Piden |PxQ|

    P.Q= |P| jQ| cosO>cosO= \

    >0=48, 20

    VECTORES

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II I m e d ukperu. cqm'

  • VECTORES SOLVER EDK

    Piden |PxQ|=|P||Q|senO

    =80 sen (48, 20)

    |PxQ|=10V5

    Si B paralelo a C y B. (Ax C) = 0 entonces demostrar C

    (PxB).

    Tenemos queBlICy B.(AxC)=0

    Piden demostrar queC.(xB)=0

    B||C si 3 KeR tal que B=KC

    =>C.(AxB)=, (BxC)=A.(KCxC)

    =,K(CxC)=KA(CxC)=0

    =>C.(xB)=0

    C(AxB)

    Si A es un vector en el plano y p7 un vector unitario A

    WTOCTTenemos los siguientes vectores en el plano:Los componentes en la recta del vector unitario es

    |X||p|cosO=A.p

    y la otra ser|A||p|senO=Axp|

    A=(.p , |Axp )

    es perpendicular a

    = (A.p, |Ax p|).

    eclKm u , corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK D

    f t Demostrar usando componentes: Px(QxR) = Q(P.R)-R (P Q

    Primero calculamos

    Ahora

    QxR

    QxR=i j k

    di q2 i3u r2 r3

    =(q2r3-r2q3, r,q3-q1r3, q ^ - r^ )

    Px(QxR)=

    Px(QxR)

    i j kp, P2 P3

    q2r3-r2q3 r,q3-q,r3 q1r2-r,q2

    =( P 2 ( q , r2-r,q2)+( p3(q, r3-r,q3)

    - ( p1(q1r3-rlq3)+( P3(q 2r3-r2q3)

    -(P ^ q ^ - r^ H p2(q2r3r2Q3))

    =( p2q irr p2nq2+ p3q ir3- p3riq3

    - p, q i r2+p ir t q2+ p3q2'r3-p3i'2q3)

    p1q,r3+ pr,q3- p2q2r3* p2r2q3)

    Si le sumamos y restamos el siguiente vector

    SSsOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

    VECTORES

    www. edKpgnrccrn

  • u=(q, r, p,,q2 r2p2,q3 r3p3)

    =( P2q,r2- P2nq2+ P3Qir3- P3riq3+qlriql-q1riql ,

    - p,q1r2+p,r1q2+ p3q2r3-p3r2q3+q2r2p2-q2r2p2,

    - P lq,r3+ P,r,q3- P2q2r3- p2r2q3+q3r3q3-q3r3q3)

    =( P2q,r2+ P3qir3+ q,riPi, P,iriq2+P3q2r3+q2r2q2,

    p1r,q3+ p2r2q3+ p1r1q3+ q3r3p3)+

    (- P2r,q2- P3riq3- q,r,p,,- p,q,r2- p3r2q3- q2r2p2,

    -p1q1r3-p2q2r3-q3r3p3)

    =(q, ,q2Jq3) (p, n +p2r2+p3r3)-(r1 ,r2,r3)(p ,q ,+P2q2+P3q3)Sabemos que

    P.R=(p1r,+p2r2+p3r3)

    P .^ p ^ ^ p ^ + p ^ g )

    P(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)

    Se tiene un vector P, cuya tercera componente es 2, si P es perpendicular a

    (1,-2,1) y (-1,1,-2). Hallar el vector P.

    VECTORES ( __________________ SOLVER EDK

    w w w eduR peru, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • I SOLVER EDK D VECTORES

    Jg iW IH liM r

    P=(a, b, 2)

    P l ( , -2, 1) y (-1 , 1 , -2)

    =>P.(l,-2,l)=0

    P.(-l,l,-2)=0

    a-2b-2=0

    -a+b-4=0Resolviendo que

    a=-6b=-2

    P=(-6, -2,2)

    Ufy Si el vector R paralelo al vector Q xP y proyQ>P=1 sabiendo QHallar

    Q.(PxR)

    Piden hallarQ.(PxR)

    Por condiciones del problema:

    R||QxP=>el ngulo que forma o es 0o o 180

    Pi'oyQ_ p= 757=1QP

    |P|

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II

    2, P=6 PY R =8.

    www. ed ukperu, com

  • Q.P=|P|

    De lo anterior hallamos que ngulo forman los vectores

    Q y B

    Q.P=|Q||P| cosa=|P|

    |P| 1cosa= ._T-r = -

    |Q||P| 2

    =oc=60

    Por propiedadQ. (PxR) =-R. (QxP)

    VECTORES____ _________SOLVER EDK

    -R.(QxP)=-|r| |QxP| cos(180)

    |r | |Qx p |

    Tenemos que

    Qx(PxR)=|R| |Q| |P|sena

    = 8.2.6 sen60

    .-.Q.(PxR)-48V3

    ^ Se dan los vectores en el espacio A = (l,l,l), B= (l,-l,l) y C=-2,l,-2). Hallar: (a)

    AB.BC (b) C x( AB-BC) (C) El vector unitario perpendicular al plano que pasa por los puntos A, B Y C. (d) El ngulo que hace el vector unitario de la pregunta, (c) con

    www.aduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II 33

  • SOLVER EDK D VECTORESel vector D=(0,1,1). 48. Si es un vector constante y r es el vector que va del origen

    al punto (x,y,z) demuestre que (r-A). A=0 es la ecuacin de un plano.

    Sean los vectores A=(0,1, 0) B=(l, -1,1) y C=(-2,1,-2)

    a) Piden B.BC=(l, -2, l ) (-3, +2, -3)

    . AB.BC=-3-4-3=-l 0

    Piden ACx(AB-BC)=(-2, 0, -2)x(4, -4,4)

    ACx(AB-BC)=i j k

    -2 0 -24 4 4

    N=

    =(-8, 0, -8)

    =(4, 0,4)i j k

    -2 0 -21 -2 1

    El vector unitario de N es

    N 1 P=T=77 = 7 = 0 / +1)N V2

    D-P= cos0

    COS0=D.p

    |D|IPI

    De esto hallaremos 0:

    9=cos- , J 4 _ )V|d ||p |/

    1 / +1/V2\ 0 = C O S ' '= (---- -=r

    v i.V 2 y0=60

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY www. edukpe u .com

  • VECTORES SOLVER EDK

    Si A es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x,y,z);

    xr!+yr2+ zr3-(rf+r|+r|)=0

    Tenemos que como es un vector constante y teniendo que rf+rf+r3=CSe tiene xr!+yr2+ zr3=CQue es la ecuacin cartesiana del plano.

    1^3 Considerando los mismos vectores del ejercicios anterior demuestre que

    (r-A).r=0;es la ecuacin de la esfera.

    Del anterior problema obtenemos:

    ri+r2+r3 xn+yr2+ zr3=0 Restando y sumando factores para conseguir ecuaciones cuadrticas tenemos que

    demuestre que (-A).A=0 es la ecuacin de un plano.

    M m m m

    Sea r=(rl;r2,r3) yA=(x,y,z)

    Se tiene que (A-r)r=(x-r1; y-r2; z-r3).(r1; r2; r3)

    Y siendox

    www.eduRperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK 3 VECTORESr3-r z

    y C constante Se tiene

    xf+y2+zf=C

    Que es la ecuacin de una esfera

    3 Si A+B+C=0 y A =3, B=5, C =7. Hallar el ngulo que forman AY B.

    Por ley de cosenos tenemos queA+B=-C

    rr/~E\ IT 2I| A+ B|= C

    Reemplazando:

    =>C==WA2+B2+2AB c o s O

    49-34=30 cosO

    cosO= - =>0=60

    Si B,C y D determinan un plano, la distancia de A a este plano:

    |(A-B).(C-B)x (D-B)[|(C-B>(D-B)|

    JgtlTOrtilMT

    Cosenos B, C y D definen un plano se tiene

    BSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. edukperu. com

  • VECTORESSOLVER EDK

    La distancia de A al plano ser

    d(X plano)=ProyRBA

    |(A-B).N|

    Del grfico

    d

    d(A, Plano)=|1N,

    N=(C-B)x(D-B)

    |(A-B).(C-B)x(D-B)l A, Plano) j(C-B)x(D-B)|

    j^ l Demostrar la mnima distancia de un puntoP i(X i,y1;Zi)

    al plano cuya ecuacin cartesiana en,AX+BY+ CZ+D =0

    a m a w m

    P.CXpYpZ,)r -k N

    Tenemos que la cartesiana es:Ax+By+Cz+D=0

    De la cartesiana obtenemos N, siendoww w e d u Kd e r u. c o r n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • N=A,B,C

    SOLVER EDK_____________ ............................................................... VECTORES

    La mnima distancia se halla:

    m^in

    d(P|, Plano)=ProyRPP,

    |(PrP).N|a (p,, Plano) j- j

    |(Xr X, Yr Y,Zt-Z)-(A, B, C)|

    dmin

    Va 2+b2+c2

    A(Xi-X+B(Yr Y)+C(Zr Z)J a2+b2+c2

    Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadros de los diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.

    JRTiW'WIil

    Piden demostrar |A+B|2=A2+B2+2AB |A-B|2=A2+B2-2AB De la galxica

    |D|MA|2y|B|M C|2

    =>|A+B|2+|A-B|2=A2+B2+C2+D2

    Si los nmeros a, b, c y d son diferentes de cero yaOA+bOB+cOC+dOD=0 y a +b+c+d=0. los puntos A, B, B C Y D Se encuentra en

    un plano. ( sugerencia usar: a +b = - ( c + d) y el prob. 39)

    Jc lIT iM W

    38 SOLUCIONARIO FISICA L E IV A IY II www. eciukperu .ccm

  • VECTORES SOLVER EDK

    Demostraremos que A, B, C y D estn en un mismo plano: Entonces; por condicin

    aA+ bB+cOC+dOD=0...(l)Si tenemos a

    BA= OA-BEn (1) reemplazamos:

    aBA+ aOB+bOB+cOC+dOD=()

    aBA+ (a+b)OB+cOC+dOD=C)Pero

    a+b=-(c+d)

    aBA- (c+d)OB+cOC+dOD=0

    aBA+ c(OC-OB)+d(OD-OB)=0

    aBA+ c(BC)+d(BO)=0

    Si los vectores

    B A , BCy BD suman cero entonces definen un plano.

    Demostrar que la distancia mnima del puntoP (X i^ )

    a la recta Ax + BY+D = 0 en el plano XY es:lAX^BYt+Dl

    d=--- 7= VaW

    wvvw. edukpenj.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK VECTORES

    Ojo la demostracin viene de determinarla distancia a un punto cualquiera de la recta, la distancia mnima es cuando la proyeccin sobre la recta es cero, o sea haciendo sen0=O. Completa la operacin.

    La distancia a la recta sera, IAXt+BYt+DI

    d=--- =====V a^ b 5

    Si A B C D es un cuadriltero cualquiera P y Q son los puntos medios de sus diagonales AC y BD, y M es el punto medio de PQ. Demostrar (a)

    (B) +AD+CB+CD=4 PQ

    (b)0A+0B+0C+0D=40M

    ,donde O es un punto arbitrario.

    i U M

    PQ=AQ-^AC

    PQ=AD-^BD-^AC

    40 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eukperu com

  • VECTORES SOIVER EDK

    Pero:

    Entonces:

    AB CB CD CB PQ=AD- + +

    . -. AB . CD PQ=AD- +CB-

    CD=AD- ^ AB+ i CB

    AB=BC+^AD-^CD

    , . CB AD CD .AD 1 CB PQ=AD- + +CB -T- + +AB- 2 4 4 2 4 4

    AD CB CD AB PQ- ~T~ + ~T~ + ~~7~ + ~7~4 4 4 4

    4 PQ=AD+CB+CD+AB

    Trazando el vector AM, se tiene lo siguiente:

    OM=AM+OA....aPero

    M=^C+^PQ2 2Hallando PQ por el resultado en a:

    o

    PQ AD+CB+CD+AB ~2~ 8

    Pero

    Vwww.eduK.peru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

  • SOLVER EDK 3VECTORES

    AD=OD-OA ,CB=OB-OC

    CD=CD-OC ,AB=OB-OA

    PQ OD OA OB OC >~2~=~4 4 + 4 4

    AC OC OA ~2~ = ~2~~ 2

    Reemplazando en (oc)

    ___, OC OA OD OA OB OC *om=_2 2~ + _4 4~ + _4 4~

    ___, OA OC OD OBOM= + + +

    .-.40M=0A+0C+0D+0B

    Demostrar vectorialmente, que el baricentro, circuncentro y ortocentro de untringulo son colineales. (sugerencia usar en concepto de vectores paralelos).

    i SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV IIwww.edukpertu

  • VECTORES SOLVER EDK

    Sean los tringulos AOG y GOM.

    Por propiedad del baricentro obtenemos que AG=2GM y por el teorema Simpson se demuestra que

    AO=2CMPor semejanza de tringulos tenemos que

    OG=2GCPor definicin un vector es paralelo a otro si

    v=kw

    OG es paralelo con GC y coolineales a la vez.Dado el paraleleppedo de base rectangular situado en el plano ZY, su altura a

    lo largo del eje X .Hallar el volumen del mismo.(sugerencia hallar AxB.C).

    Se dan los vectores del origen a los puntos A,B,C,D son

    A=+J+K,B=2+3j;C=3+5 J-2K y D=K-J. Demostrar que AB||CD

    Tenemos los vectores

    www. ecJ KDr u, cor n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I

  • SOLVER EDK 1 VECTORES

    A=(l, 1,1)

    B=(2, 3, 0)

    C=(3, 5, -2)

    D=(0, -1,1)

    AB || CD

    ABIICD

    AB = KTD

    B=(1,2, -1)

    CD=(-3, -6, 3)Por lo tanto K=-3 Entonces

    3 KeR / *AB=:-3CD

    3 Demostrar (AxB)xA.A=0 para todo A y B en tres dimensiones.

    jcrmnrrgmTWSea

    A y B

    Piden demostrar

    Entonces si

    si 3 K6R tal que

    De aqu tenemos que

    HSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu co n

  • VECTORES c SOLVER EDK

    vectores en tres dimensiones, piden demostrar

    (AxB)x A. A=0

    Por propiedad

    AxBxC=B(A.C)-C(A.B)

    YA.B=B.A

    =. (AxB)xA=A[B(A.A)-A(A.B)]

    =( .b ) (a . a )-( a ) (a .b )=o

    Dado un vector B=( 1,-2,2). Hallar el vector A tal que sean paralelo a B y demdulo 9.

    AIIB si 3 KeR/A=K B

    ^=(K, -2K, 2K)Y su mdulo

    |A=9

    =>V91?=9 =>K=3 .-.=(3, -6, 6)

    www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

  • SOLVER EDK CINEMTICA

    Un mvil recorre la mitad del camino del camino con la velocidad La parte restante la ase a una velocidad v2 la mitad del tiempo, y la velocidav3d el trayecto final. Hallar la velocidad media del mvil durante el recorrido.

    Tenemos que d]+d2=-

    Para el primer tramo tenemos:

    Luego

    Entonces despejando:

    Luego tambin tenemos

    Pero

    V3t2=d2

    Lti~2v;

    t - L Y ? )2V] V!+V3

    / media - 3-(t,+t2)...0)

    46 SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y IIvvww. ad ukperu, coni

  • CINEMTICA SOLVER EDK

    4V1.(V2+V3) 3(2V, +V3)

    Un mvil se mueve segn V = t2 - 9, V (m/s) y t (seg).Hallar la aceleracin para

    V = 27 rrvS.

    a=2t...(l) pero piden cuando V=27 =>Veamos 27+9=t2=>t= seg a=12m/s2

    Un mvil se mueve con una aceleracin a = 2t,a lo largo del eje x. Hallar (a) la velocidad para t =lseg.(b).El cambio de posicin deO a lseg.Para t = 0, v=2m/s, x= 0.

    m m m mTenemos que: V=t2-9 pero

    Tenemos que a=2t pero

    V(t)-V0= /J 2tdt pero V0=2m/s

    V(t)=t2+2a) Piden para t=l seg b) anlogamente tenemos que

    V (l)= ^ /oxdx = /0tV(t)dt

    www. edukper u. corr SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK CINEMTICA

    X = - +2t

    =>X(1)=

    Un mvil se desplaza a lo largo del eje x y su aceleracin el tiempo como se indica en la figura. Para t = 0, x=0, v1xxVs. Hallar (a) distancia total recorrida desdi a 2seg.(b) La velocidad para 2seg.

    Del grfico tenemos a=tg60.t= V3t ,

    tambin tenemos X=0, t=0 , V= s

    pero ^ =a /v^ dv=/0tadt=>V-V0=:^ L ^>V=1+y t2 (*)

    Tambin ~ ~ v q d* q vdt =>X = f l + ^ - - t 2 dt

    X = t + ^ t 3...(*)Pidena )X (2 se9 ) = 4,31 m.b) de (*) tenemos que V2 = 4,46 m/sUna partcula a lo largo del eje x, su grafica de velocidad en funcin del tiemi se da en la figura para que valores del tiempo x = 0. Si para t = 0,x =2m.

    jH n flra tiia rPiden para que tiempo X=0Veamos adems t=-0=X=-2mEncontremos la ecuacin de V en funcin de t

    =>tenemos que V(t>| 2 (2-t), 0^t22 t-(t-4)-2, 2

  • CINEMTICA c SOLVER EDK

    => dx= I v(t)dt =x+2=-t(t-4)

    02 => dx= I (2-t)dtX0 J 2

    2 ^ 4 ... (2)Gomo deseamos que X=0 = (1) = 0 y (2) = 0

    =* en (1) 2=-t(t-4) =>t= (2-V2)seg

    En (2) -2=-^-=>t=4seg4

    Una partcula se mueve en el plano X y Y sus graficas en funcin del son: Hallar la aceleracin y la velocidad de la partcula para t = 3 segundos. Si para t =V3 ,x = 3

    De acuerdo al grfico, veamos que X=tg60t y Y(t)=bt2 y por dato

    Y(V3)=3=b(3)=b=l

    X=V3t Y(t) = t2

    Ahora de las oraciones del movimiento, tenemos:r=V3~t + t2]

    y

    SOLUCIOARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK D CINEMTICA

    _ drv= s

    a) =>V=V3 + 2tj .-.V(3)=(V3j+6j)m/s

    b) Tambin a= ^ =>a=2j m/s2

    Se el grfico de la aceleracin en funcin del cuadrado de la velocidad, como se indica en el grfico. Hallar la relacin de la velocidad en funcin de la posicin. Si para t = 0,x = 0,v = 3m/s.

    Del grfico tenemos que:

    a=-tg (37) V2 =>a=-0,75V2dv dv dvAhora tenemos que a= = .v =>a= .v ...(*)

    ^ dt dx dx

    En (*) tenemos que -0,75v2= ~ .v => /* -0,75dx = J3V~

    =>-0,75x=Ln Qj) =>V=3eV=3c-'

    Dado el vector posicin de un mvil r(t)=(2-t2)T+(t3-t)j+(2t3-t2-l)k. Hallar (a) el vector unitario y tangente a la trayectoria dada, cuando t = 2seg. (b ) el mdulo de

    la aceleracin cuando t == 2seg.

    .W

    Tenemos que r(t)=(2-t2)+t3-t)J+(2t3-t2- l)k

    a) Veamos sea: V=^=>-2-t+(3t2-l)J+(6t2-2t)k

    Sea V(2)=-4+lJ+20k

    Ot=^=(-4,ii,2oW537

    b) a=^=2+(6t)]+(12t-2)kdt=a(2)=-2+12+22k

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edticp8ru.com

  • CINEMTICASOLVER EDK

    =>a=V32m/s2

    Una partcula se mueve en el plano x y,de acuerdo a las relaciones 2X 2seg3t, 2V = cos3t. Cuando t - 0,x=0 y = 2vx = 4 m / sy v y = lm /s . Hallar la

    ecuacin de la trayectoria, (b) la velocidad para t = nJ6 seg.

    Tenemos que: ax=-2sen 3t , ay=cos3t,Adems Vx=4 , Vy=l m/s cuanto t = 0 , X = 0 , Y 2

    Piden f=?Veamos por la ecuacin del movimiento =-2sen3ti+cos3tj

    dtdv c - r _|a= => dv= I adt

    J(4 ,l) Jo

    . . 2 ~ sen 3t.=>y-(4i-lj= - ( eos 3t-l)i+ j

    /2 eos 3t-l 10\* /sen3t

    Ahora V = ^ / (r02)dr = /otvdt

    a) r-2j= (2 sen3t+ y ) + t+ i) j

    /2 10t\ /-cos3t 19\.,r=('-sen3t+ T ) i+( t+- j j

    b) De (*) tenemos que 1C

    Z110. 4. ,--v= i+ -j=>V=Vll6/3

    Desde un plano inclinado un ngulo a es lanzada una piedra con una velocidad v0 y perpendicular al plano. A qu distancia del punto de lanzamiento caesta piedra.

    * * w eduKper u om SOLUCiONARIO FISICA LEIVAI Y II

  • SOLVER EOK CINEMATICA

    Como no existe resistencia del viento=>; este cuerpo desarrolla MPCL. Si nos regimos

    a la ecuacin vectorial de este movimiento tendramos d=V0t+-gt2. Haciendo la

    representacin vectorial, tendramos

    Tambin tenemos:

    gsenoc

    ...(*)

    -gt2sena=d

    2Vna /sena\ ^d= -.[ - ) 2 vcos2a/

    ngulo debe ser lanzado un cuerpo cuyo peso es a), para que la altura mxima que se eleva sea igual al alcance del lanzamiento. Tambin existe una fuerza f horizontal del viento que acta sobre el cuerpo.

    Ahora analizando en el eje Y como en eje se desarrolla un MPCL:=^ Vty=V0y-gt

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu. corr

  • CINEMATICASOLVER EDK

    =*Vosen0=gt

    =>t=Vsen0

    Vosen0 Vosen0 Vosen0 =>H= ,t=-2 .

    H=-V2sen20

    2g

    Ahora en el eje X. Como dicha fuerza F, ejerce una aceleracin en opuesta al movimiento

    gF

    Ahora

    a=-w

    1 gFdx=Vocos0t i -- t?2 w

    De (1) tenemos que t ^

    De (*) y (***) H=dx

    dx^VoCosOtT-ati

    dx=

    dx=

    Vo2sen0cos0 1 gF VoSen20 2g 8 w g2

    Vn2sen0 /cos0 Fsen0\) /cos0 hsentn

    Vo2sen20 Vo2sen20 cos0 Fsen20\ 2g g V 2 8w j

    =>cot0= 4w+f4w

    Dos personas estn en un edificio, cuya ventana est a 250 pies. El primero suelta una piedra por la ventana dos segundos despus la otra persona arroja otra piedra

    wvvw. eduKperu, coro SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK CINEMTICA

    hacia abajo por la ventana. Ambas piedras llegan al suelo al mismo instante. Cual sera la velocidad inicial de la segunda piedra. G = p/seg .

    Sea H lo recorrido por B y A. => A

    =>H=VoAt+igt2

    H=gt2

    H=16gt2 ...(*)

    Pero H=250 =>t=J^ =4seg

    Para la esfera B.

    H=V(t-2)+g(t-2)2

    H=V (t-2)+16(t-2)2

    250=V(2)-16(4) V=106 P/seg

    V------------ , r-,,.. , -7------- - www.edukpru ;SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

  • CINEMATICA SOLVER EDK

    | Jn cuerpo es lanzado en el plano X Z, desde el punto A (4,0,0), con una velocidad inicial 10 m/s, bajo un ngulo de 60 con el eje X. la partcula es sometida adems a una aceleracin de un m/s2 en la direccin +z, Hallar posicin del cuerpo a lo largo del eje x. Use g = 10 m/seg2.

    De las ecuaciones del movimiento parablico vectorialmente tenemos

    d=Vot+^at2

    -at22

    Tambin tenemos que aresul=10-4=6m/s(-k) 1

    Votsen60=-at2

    2vosen60 =>------- =t

    ...(* )Luegod=votcos60

    www1. eckrkperu, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • s O L v g vS g n 6 0 c o s 6 0 ) cinemtica---d= -

    ad= 14.43

    x=18.43 m

    Hallar con que velocidad vQ y 0= 60 es lanzada un proyectil tal que en el instante

    2seg, la velocidad forma un ngulo de 45 con la horizontal. Use g = 10m/s2.

    v 0sen60

    V0cos60

    Asumiendo que an sube: como el eje x se mantiene constante:

    =>Vx=Vocos60

    Vx= ^ (*)

    Vy=Vx= y (*)

    Ahora analizando en el eje y, tambin para t=2

    Vty=Voy-gtVo =Vosen60-(10)(2)

    Vo=54,641

    Un auto se mueve en lnea recta, sobre una carretera a velocidad de 40 p/s. En cierto instante, el conductor ve un tren que empieza amoverse hacia la carretera

    SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II wwvv, ed uk per. corr

  • CINEMTICA c SOLVER EDK

    desde la estacin. El conductor cree puede adelantar ai tren sin cambiar su velocidad. Si la va y la carretera forman entre si un ngulo recto, y el tren tiene una aceleracin 10 p/seg2. Sobre vivir el conductor para contar la historia. El auto esta inicialmente a 200 pies del cruce, mientras que la estacin est a 130 pies.

    v 0 = 40p/ s

    = 0

    130pies

    a = 1 0 p / s 2

    Calculemos el tiempo que les tocar a cada uno:

    Veamos para el auto V= -

    200=>t. = =5 seg v

    Ahora para el tren =>d=V0tc+ ^ at2

    1130= ~ at2

    t2=5,099 seg Si sobrevive el conductor (pero por poco)

    O Supongan que el alcance horizontal mximo cierto can con una velocidad inicial fija es de R0. (a) demuestren que la velocidad inicial de vQ asociada a este canon es

    de JgRQ- (b) supongan que este canon se encuentra al pie de una colina con un

    ngulo de elevacin a y se dispara en un ngulo a con respeto a la colina.Demuestren que la trayectoria del proyectil se puede expresar el siguiente sistema de coordenadas en la forma:

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  • SOLVER EDK ) CINEMTICA

    a) De la ecuacin, vectorial del movimiento parablico se tiene:R,

    Vot= sen0Vo= . (* )

    senGt

    Tambin tenemos:1 0Votsen0= - gt2

    =t=-2Vosen0

    (**) en (* )

    g (**)

    R0s 2sen0cos0

    Adems para que Ro sen max=>0=45.* Vo= jRog

    b ) Ahora analizando en el eje y, tenemos

    V=Voyt-^gt2

    Luego en el eje x

    Reemplazando (** ) en (* )

    => Y=VQsen (0+a)t \ gt2 . . . (* )

    X=t.VQ eos (0+a)

    =>T= Vocos(0+a)

    FISICA LEIVA I Y II vvww; ed ukperu, comSOLUCIONARIO

  • CINEMTICA

    =>y=xt3(e+a)- 2RoC0s2te+aj

    c SOLVER EDK

    Se lanza un proyectil con una velocidad inicial v0, bajo un ngulo 6. La altura mxima que alcanza es H y el alcance horizontal es R Hallar la velocidad inicial y el ngulo de tiro en funcin de H Y R.

    f m

    Como el cuerpo desarrolla un movimiento parablico en el eje Y, en la parte ms alta

    V,y=Voy-gt

    voy=gt

    VosenG

    ...(a )

    .(*)Ahora para el eje X

    Tenemos

    Vox=Vocos0

    -=t

    Vosen20 lgV0sen28=>H= g 2 g2

    04)VoSen20 / 1=>H= gVoSen20

    R=V0X.t, pero t,=2t R=V0X(2t) de (a)

    Vosen0 R=Vnv.2. 2

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  • SOLVER EDK J CINEMTICA

    ....(**)De * y (**) tenemos

    2VoCos0sen0

    V2=v n RS 2cos0sen0

    1 /4H\9=ts (t )

    g(R+16H) i/2

    8H

    Sobre un plano inclinado, cuy ngulo es 6 se halla un cuerpo B en reposo. Con que aceleracin horizontal se debe desplazar el plano inclinado, para el cuerpo B tenga cada libre hacia abajo.

    Como B desarrolla un MCL, veamos t seg, luego de su movimiento

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu. cor?;*

  • CINEMATICA SOLVER EDK

    Del tringulo tenemos que:

    Tambin Y=VABt+ ^ gt2

    En (*) reemplazando tenemos

    xtg6=y ...(* )

    Y=^gt2 ...(**)

    X=-cot0gt2 .... (a )

    Ahora como la cua inicia su movimiento d=VABt+-t2

    X= 1t2= ^ cot0gt2 =a=cot0g

    a>cot0g

    Dos partcula se mueve con velocidad constantes vt y v2 por dos lneas rectas y normales, hasta que se intersecten en 0. En el momento t = 0, las partculas se encontraban a las distancias l x y 12 del punto 0, (a) Al cabo de que tiempo la distancia entre las partculas ser mnima?, (b) cual ser esta distancia mnima.

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  • SOLVER EDK CINEMTICA

    O ^ d. m

    \ 4

    . - v

    Si tenemos la velocidad relativa de la esfera (2) con respecto a (1)

    De acuerdo con la grfica la mnima distancia ser cuandod=(l1.m)c o s 0 + ...(*)

    Donde d es la distancia recorrida por la esfera (2) t=

    '2 + V

    v2/lPero tg0= v^i m=

    v2igv2

    tmiii "V|1,+V2I.

    Vf+VlDel mismo modo se demuestra que:

    X= (l1.m)sen0=I Vol ,-V, 121

    m Un torpedo es lanzado desde el punto p en el instante que el barco enemigo se encuentra en el punto Q y navega con la velocidad 60 Km/h dirigida formando el ngulo de 60 con la lnea PQ. La velocidad del torpedo es 120 Km/h. con que ngulo 6 hay que lanzarlo para que de en el blanco.

    m m m \Para que llegue alcanzarlo se tiene que cumplir que una de las componentes, la vertical en el mismo tiempo hagan la misma distancia.Entonces tendremos:

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. cl ukper . com

  • CINEMTICA SOLVER EDK

    60 km 120 km- sen60. t = ; -.sen6. t h h

    Despejando tenemos senO = V3/4 Luego 6 = 25.6Un cuerpo p comienza a moverse con una velocidad inicial v1 y con la aceleracin constante a1. Otro cuerpo Q comienza a moverse en el mismo instante que p con una velocidad inicial v2 y con la aceleracin negativa a2. Cuanto tiempo transcurrir desde el momento en que ambos cuerpos comienzan a moverse hasta que sus velocidades se igualan?

    Para la primera tenemos

    Ahora para la segunda

    De (1) y (2)

    V^Vj+ajt

    Vf=V2-a2t

    t_ V2-Vi3| +a2

    Un cuerpo es lanzado con una velocidad de 10 m/seg. Con un ngulo de 45 con la

    horizontal. Despus de transcurrir 0. 75V2seg. Hallar la aceleracin tangencial y

    normal. Use g = 10 m/seg2.

    Ahora tenemos quedv

    Pero V(t)=V0cos45+ (vosen0-gt)j

    =>V=5V^+(5V2-10t)j

    UKO-.U co;t SOLUCIONARIO FISICA LEiVAI Y I

  • SOLVER EDK CINEMTICA

    V=10(t2-V2t+l) ...(*)

    dv_ 5(2t-V2)

    at(0,75V2)=4,46 m/seg2

    Ahora

    de v2a =V. = n dt j

    j =radio de corvatura del caso anterior, se tiene V, slo necesitamos jX2Tambin Y=x- , cuando X=7,5

    1/2

    r 3/2'

  • CINEMTICA c SOLVER EDK

    Tenemos

    Por la ecuacin del movimiento

    a) V = f= (f,- 3 ,2)

    b) V=Vat4+52

    c) Ahora para a= ^ =(3t, 0, 0)dt

    =>|a|=3ta u d v 9t3Ahora at= =L Ai-dt Vat4+52

    d) a,n- J a2-a?~3t J j * 52

    r= ( j -3t -2t)

    ^ Una bola se lanza con velocidad inicial v0 y ngulo 6 hacia arriba, desde un edificio de 2H de altura. Si el proyectil choca contra el suelo a una distancia H del edificio. Hallar H.

    www.edukpefu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

  • Analizando de la ecuacin vectorial del movimiento parablico tenemos:

    d=V^t+^gt2

    Ahora en e l....ABM tenemos que BM=Htg0Tambin para HC=2H

    BC=gt2=2H+Htg0 ....(a )

    Ahora d e l.... ABM=V0t sen0=HH

    * Vosen0

    ...O S)Ahora ....

    2V2 ~e 0 (a )y (P ) H= ^ - ; -(2+tg0)

    y p Sea una partcula que se mueve sobre una elipse, cuyo ecuacin es. r = mcostl + nsencot). Hallar los mdulos de at y an.

    SOLVER EDK )

    Tenemos:r=mcoswti+nsenwtj piden at , an

    Veamos V= =-mwsenwt+nwcoswtjdt

    dv c -a= =-mw2coswti-nw2senwtj dt

    V=Vm2-(m2-n2)cos2wt.w dv (m2-n2)sen(2wt)w2

    * dt 2Vm2-(m2-n2)cos2wt

    a2=a2+a2

    =>an=Ja2-a? (*)

    a=V (m2-n2) .cos2wt+n2w2

    CINEMTICA

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y w w w .ed ukpe ro , coi

  • CINEMTICA c SOLVER EDK w2m.m

    an= ......-=:==yj (n2-m2)cos2wt+m2

    Hallar cuantas veces mayor ser la aceleracin normal de un punto que se encuentra en la llanta de una rueda que jira, cuando el vector aceleracin total de este punto forma un ngulo de 60 con su vector velocidad lineal.

    JKSTTOgf>lMTenemos a la rueda, y ubicamos, por simplicidad, la parte superior de la llanta

    a

    artg60=an => atV3=an /. an=l,73at

    Una rueda de radio de 10 cm gira de forma que la relacin la velocidad lineal de los puntos que se encuentran en su llanta y el tiempo que dura el movimiento viene dada por la ecuacin v=2t +t2. Hallar el ngulo que forma el vector aceleracin total con el radio de la rueda en los momentos en que el tiempo, tomado desde el momento en que la rueda comienza a girar t =lseg.y t =5sg.

    Tenemos que V=2t+t2

    =>a,= ^ =2t2t y an= y= (2t+t2).|0|

    ,,s e = i = > o= ts- '(i)an van/

    > SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1 Y II

  • SOLVER EDK D CINEMTICA

    a) Cuando t=l =s> 0 =tg_1 =2,54

    b) Cuando t=s 0= tg"! =0,098

    Un ponto A se mueve a velocidad constante v, a lo largo de la circunferencia de radio a, tal como se indica en el grfico. Hallar las componentes radial y transversal de la aceleracin.

    Descomponiendo V , en sentido radial y transversal, tenemos que: Vr=Vsen0 , Vr=Vcos0

    Ahora: ar=dvr

    dvr d0 d0 dt

    dea. =Vcos0. dt_dvr

    dr dt

    dv, d0 ^ at=d0 *

    deaf=-Vsen6.

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I www. ed ukper'y; con

  • Ahora se puede verificar que:

    CINEMATICA SOLVER EDK

    de_v

    dt a V2cos0

    ar= 9

    V2sen0ar=-

    Hallar la relacin entre las velocidades angulares en funcin de sus radios, para los discos de friccin que se indican en la fig.

    jsfflnnrCTW

    Ahora, en el punto A, la velocidad, es:VA=V

    Luego para la Io esfera

    W 1.R1=W2.R2Wi = R2

    \V2 R,

    IjjTp Un cilindro de radio 10 cm gira alrededor de un eje con la frecuencia 10 RPM. A lo largo de la generatriz del cilindro se mueve un cuerpo con la velocidad constante 2ocm/seg respecto a la superficie del cilindro. Hallar la (a) velocidad total (b) la aceleracin.

    www. eduKperu. corn SOLUCION ARIO FISICA LE IVA I Y I

  • r SOLVER EDK J CINEMAT,CA

    Ahora con la V respecto al cilindro, tenemos que

    A lo largo de eje:

    a=0, ll m/seg

    V,f(.=0,2m/s

    Vt=W.R

    Vtal=|o(0,l)=0,llm/s

    Vtal =Vrg+V2ra V,otai=0>22 m/seg

    Un punto p describe una semicircunferencia el movimiento proyectado sobre el dimetro es uniforme de velocidad v0. Hallar al velocidad y la aceleracin de p en la funcin de ngulo y hallar la direccin de su aceleracin total.

    T SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y IIwww. edukperu. com

  • CINEMTICA c SOLVER EDK

    Ahora del grfico vemos en el eje X, tenemosVsen0=Vo=>V=Vo/sen0

    Ahora ay=-Vyx dt x

    _dVx d0_ax_"d T 'd t-

    Ahora ayd x; d(vocot0 d0

    3y=dtVy= d dt V0av=-Vocsc20. - .r y sen0

    Vo3y sen30r a

    Una rueda de radio 10cm? gira aceleradamente de manera que el nmero de revoluciones aumenta V2 vuelta por segundo. Transcurridos dos segundos. Hallar (a) la aceleracin total y (b) el ngulo que hace la aceleracin tangencial.

    Tenemos que a=n rad/seg Por ecuacin de mcuv tenemos:

    www.eduHperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK D CINEMTICAw t= w 0t+^t2

    Piden cuando t = 2 segWt=2rc

    Ahora an4 = ( ^ ) 2=W2.R

    an=3,95 m/seg2 ....(*)Y at=a.R=(n)(0,l)=0,314 m/seg2

    a=Ja2+af

    a=3;962 m/seg

    Tambin tg0= aT

    0=85.5

    w Un aeroplano vuela entre dos puntos, cuya distancia es de 500km en la direccin este. Cuanto durara el vuelo si (a) sin viento (b) si el viento sopla de sur a norte y (c) el viento sopla de oeste a este. La velocidad del viento es de 40m/ seg, la del aeroplano con respeto al aire es de 500km/h (a) t =60min (b) t = 62min (c) t = 46.2min.

    A) Ahora no tenemos accin del viento

    2 SOLUCIONARIO FISICA LEI VA I Y II www. ed ukperu. corr

  • CINEMTICA c SOLVER EDK

    - O

    Vaero=500 km/h500 km

    t= r: = 1 hora500 km/ht=60min

    B) Como el viento sopla de sur a norte con Vviento=144 km/s la velocidad del aero plano en ese eje es: VNS=144 km/s

    500Kn>/

    C) Como el viento sopla de OE => Vtotai=500+144 :=> Vtota,=644 km/h

    500=> t=~ =46,58 min 644

    lyp Un mvil navega por rio a una velocidad que es 2 veces menor que la corriente de este. Qu ngulo respecto a la corriente debe mantener el bote para que esta lo arrastre lo menos posible?

    WWW.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

  • SOLVER EDK CINEMTICA

    Ahora analizando al mvil en la posicin mostrada => Vy=Vosen0

    => -=Vosen0 => t= ...(*)t 0 Vosen0Luego sea d= distancia arrastrada

    =>d=(2V0-Vx)t

    d=(2Vo-Vocos0)t de (*)

    Como deseamos que (1) sea mnimo

    => d =0

    => d =-l-2cos0Sen20

    n=>=3

    0-!=180-60 01= 120

    Los barcos P y Q poseen velocidades lOcm/seg y 8m /seg la distancia PQ es de 500m. La velocidad lom/ seg, forma con PQ un ngulo de45. Cul debe ser el

    ngulo 0que forma 8m/seg con PQpara que ambos barcos se encuentren.

    Sea t el tiempo necesario para encontrarse: da=8tdp=10t

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. e ukperti. corr

  • CINEMTICA c SOLVER EDK

    ,0^

    Geomtricamente tenemos:

    Por ley de sen0 8 _ lOt

    sen45 sen0

    tesen'(?'f)0=62,61

    qyp En un rio cuya corriente tiene la velocidad lm/esg se debe cruzar- perpendicularmente con una canoa que puede ir a 5m/seg (a) con qu direccin debe remarse en la canoa (b) con que velocidad se cruza.

    Como deseamos que la canoa debe ser perpendicular a la corriente del ro 5sen0=l

    wwvv. ecik per, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II C 9 T

  • SOLVER EDK J CINEMTICA

    = sen0=- 5

    8=sen - 50=11,54Como piden complementario => a=78,4

    a=75,27V=5 cos0

    V=4,89 m/seg

    Una varia de longitud 2m se mueve, tal que el punto p tiene velocidad constante de3m/seg. Cul es la velocidad del punto Q cundo 6 = 30.

    Veamos: tenemos del ......y=2sen0 ... (1) x=2cos0 ... (2)

    76 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eciukperu.com

  • CINEMATICA SOLVER EDK

    => x2+y2=4dx dy

    =* 2 d t'(x)+2y d t=0Luego: ^(x)+y^=0

    (3)(V3)+(l)Vy=0

    ==s> -Vy=3V3m/s

    Vy=5,19 m/s

    Se tiene dos mviles se mueven en lneas recta, cuyos grficos de velocidad - tiempo se indican en la figura adjunta. Si ambos partes de una misma posicin inicial. Al cabo de cunto tiempo se encontraran los mviles.

    Del grfico mostrado tenemos:

    V .3 .

    VB=r~~-(t-t2)+V0V m

    Sea t , al cual se encuentra => tambin ambos recorren la misma distancia,

    w vw eduKperu. corn SOLUCION ARIO FISICA LE IVA I Y II jC f S

  • SOLVER EDK ) CINEMTICA

    =* dA-dB

    => t=t2+ t2(t2t j)

    Dos mviles parten de la misma posicin inicial en forma simultnea, sus grficos de velocidad -tiempo se indican en la fig. Adjunta. Una de ellas es una recta y el otro un cuarto de circunferencia. Hallar (a) la aceleracin del segundo movimiento de funcin del tiempo (b)aceleracin del primer movimiento, sabiendo que el primer punto alcanza al segundo en el instante en que este queda en reposo (c) 1 tiempo que transcurre hasta que ambos puntos tengan igual velocida . ,

    Realizando su ecuacin de cada, de velocidad, segn la grfica:

    a)

    Por la ecuacin del movimiento tenemos:dv2

    a2= => a2=-t

    V0=t2b) Calculando el tiempo en que V2=0

    => t=V0Ambos recorren lo mismo

    Pero d)=d2

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed y kper. coiti

  • CINEMTICA SOLVER EDK

    7tV0

    3l _ 2t2c) Para(l)

    k V0 Vi=-. .t2 t2

    => t= 2to\[k2+4

    De una torre se arroja dos cuerpos con la misma velocidad v0 e inclinaciones 0V 02. Ambas cuerpos caen en mismo punto del suelo. Hallar la altura H de la torre H=falta

    i m n m m

    Para la primera piedra, tenemos que (por ecuaciones vect), podemos observar que:

    (1)X=V0 t2 COS0!Tambin H=^g t2-Vosen01 ....(2)

    Anlogamente para la piedra (2) tenemos X=V0 t2 cos02 .... (1)

    Vosen02t2 ....(2)

    Resolviendo

    H: 2V0 cos0, cos02 eos (0|+02) g sen^+G^vvww. ed u Kp?ru. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I

  • SOLVER EDK 3 CINEMTICA

    Un grupo se mueve a lo largo de una recta, su posicin con respecto al origen de coordenadas es: x(t)=t3-2t2+3t+2. Hallar (a) la velocidad media para el intervalo [2,3] Seg. (b) La velocidad instantnea t = 3seg (a) La aceleracin media en el intervalo [2,1] seg. (d) La aceleracin instantnea en 3seg. Para qu valores del tiempo su velocidad es cero.

    A) Sea X=t3.2t2+3t+2 Piden

    B)

    V=3t2-4t-3 ...(1)C) Ahora piden

    Pero V(3)=18m/sV(2)= 7 m/s

    amed=llm/s2D)

    de (1)Tenemos

    a=6t-4 a= 14 m/s2 de (*)

    w X(3)-X(2) 3-2

    =12 m/seg

    dxv= *

    V(3)- V(2)m^ed- ^2

    dv3=dt

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.eduNwu.com

  • CINEMTICA c SOLVER EDK

    3t2-4tr3=0

    3 t

    Se lanza un cuerpo con una velocidad de 300 m/seg y con un ngulo de tiro de 60. (a)Hallar la velocidad horizontal y vertical a los 10 seg despus del disparo. (b)El ngulo que forma la velocidad con la horizontal en el instante de 10 seg. (c) La aceleracin tangencial y normal a los 10 seg del disparo use g = 10m/seg2.

    Como el movimiento es un MPCL => Vx=300 eos 60=> Vfx=Vx=300 cos60=150 m/segAhora trabajando en el eje Y vectorialmente

    => Vfy = V0y + gt

    =s> V^=300 sen 60-(10) (10)

    V^=159,81 m/sega) => Vx=150 m/seg

    => Vy= 159.81 m/seg

    b) tg0=^ = l,O7X

    => 0o =46,9

    O aT= ....(*)

    Encontremos V en funcin de tV=150+(300 sen 60-10t)J

    V=10 Ct2-30 \/3t+900) 1/2

    10 (t-15V3)Vt2-30V3t+900

    => ar=7,3 m/s2

    a2+af=a2=g2

    SOLUCIONARIO FISICALEIVAI Y II

  • SOLVER EDK D CINEMTICA

    => aN=Vs2-a? aN=6,8 m/s2

    Desde la azotea de un edificio se lanza vertical mente, hacia arriba un cuerpo.Transcurridos 5 seg pasa por el punto situado a 20m por debajo de la azotea. Si g= lOm/seg2. Hallar (a) velocidad inicial (b ) la altura que se elevo por encima de la azotea (c ) la velocidad a la pasa por un punto situado a 30 m por debajo de la azotea.

    A ) Como el cuerpo desarrolla un MCL, = trabajando cot 3 ecuaciones vectoriales

    Un avin tiene una velocidad de 300 km/h con respecto al aire. El avin viaja ida y vuelta entre dos puntos PQ que distan 1200km. (a) cuanto tiempo tarda de ir de P a Q en un da en que el viento sopla a lOOkm/h de Q a P.(b) cuanto tiempo emplea si existe un viento cruzado de lOOkm/h. (c ) cuanto tiempo emplea si no hay viento.

    => h=Vot- |t2=22,05 m

    C) Por las ecuaciones vectoriales, tenemos que

    H=V0t+ ig t2

    -300=Vot-5t2=>-300=21 t-5t2 ...(* )

    82 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I! www.edukper gom

  • CINEMATICASOLVEREDK

    a)

    o = 400 QV = 200Kn)/ O Q

    b)

    _ 1200 1200 _ 9httotal 400 + 200 ~

    V

    100 3 0 0

    C)

    ^ 100= > CO S& = 300 => # = 70,5=> v y = 300sen70.5

    2400 o ,ut =----= 8.5hV

    Q 30 K7 h

    =>t = 2100=8h 300

    www. ed u Kper u .corri SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK ] CINEMTICA

    El vector posicin de una partcula es:r=t+(t-2)~-6t2 k, s i: m, t :seg. Hallar (a) En que instante la velocidad es mnima (b) el valor de la velocidad mnima (c) El radio de curvatura en funcin del tiempo (d) La aceleracin tangencial y normal cundo la velocidad es mnima.

    Se muestra

    a) r=t + (t-2 ) 2j-6 t2 k_ dr ~

    => V= = i+ 2(t-2)j-12t k dt

    Para que

    148t2-16t-17 ....(* )

    dv 2_ = 0 =* t= -seg

    b) En (*) del resultado obtenido, tenemos: Vmin=4,07 m/s2

    c) Para calcular S haremos uso de

    5= ^ (*Y5 |vx| ....C ;Calculando = ^dt=> =lj- 12k

    = Vx=(48-12 t)T+ 12j+k

    |Vx a|= V 144 t2-l 152t-2449

    (148t2- 16t-17)3/g V 1442-1152t>2449

    d) Piden r= ^ , para t=^ seg

    / 144 24\ar= ( l , - ^ ,- 3 7 ) (0 , 1 , -12)=0,96 m/seg2

    aN = 1 2 m/seg

    84 SOLUCIONARIO FISICA LEI VA I Y II www. eciukperu, co?t

  • CINEMTICA SOLVER EDK C

    Con que velocidad debe desplazarse una bolita por una mesa horizontal, si despus de abandonar la mesa a una altura de lm, recorra la misma distancia horizontal y vertical con relacin al punto de partida.

    m m r n m

    Luego de abandonar la bolita describe un movimiento parablico:Analizando en el eje "X; sea VX=V0

    Ahora d=V0t=>l=V0t ....(*)Ahora en el eje Y

    vot=0 =>dy=Voy+^ gt2

    1=^t2 => t=f

    En (*) tenemos: V0=V5=2,24 m/seg

    Cul debe ser el ngulo de tiro del proyectil lanzado del punto A, con una velocidad de 200m/seg, si un segundo proyectil se lanza con una velocidad de 150/mseg en direccin vertical del punto B para que colisionen.

    Para que ambas colisiones=> la altura de ambas debe ser la misma: para la esfera B (trabajando vectorialmente)

    H=V0Bt+|gt2 => H=150t-5t2 ...(*)

    Para la esfera A, en el eje Y

    H=V0Ayt+lgt2

    H=2OOcos0t-5t2 ....(* )(* )Asumiendo que la colisin fue en el ascenso de ambas de (**) y (*)

    => V 0Ay= 150

    => COS0= -4

    0 = 4 1 ,4

    -..corr SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I

  • SOLVER EDK 3 CINEMTICA

    Una persona se Halla en un edificio a una altura de lOOm y suelta una canica. Tres segundos despus lanza una segunda canica idntica a la primera. Cual debe ser la velocidad de lanzamiento de la segunda canica, para que ambos lleguen al mismo instante al suelo (g = lOm/seg2).

    jR a w ra tiiM

    Para la primera bolita, tenemos de las ecuaciones de MPCL

    =* H=V0 lt+ |t2

    H= | t2=* t=2V5seg

    Para la segunda tenemos: H= V0 (t-3)+|(t-3) 2

    100-Vo ( 2 V5-3)+5(2 VS-3) 2 => Vo=60,6 m/seg

    jp Se lanza hacia abajo una bolita con una velocidad de 5m/seg desde una altura de 200m. Despus de 2seg se lanza una bolita idntica con una velocidad desconocida. Cul debe ser el valor de la velocidad de la segunda bolita, para que las dos lleguen al mismo instante al suelo (g = lOm!seg2).

    Anlogo al anterior problema para ambas bolitas la distancia recorrida sonlas mismas: para la primera

    H=V01t+Igt2

    200=5t+ igt2

    t=5,84 segPara la segunda: como el tiempo el cual recorre t1=t-2=3,84 seg

    H=V02ti+^ gt?200=VO2 (3,84)+ 5(3,84)2 Vq2=32,89 m/seg

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. eci ukperu. corr

  • CINEMTICA SOLVER EOK

    Un avin vuela desde P a Q; separados una distancia de 2160mkm. En direccin este. Hallar el tiempo de vuelo ( despreciar el tiempo de bajada y de subida del avin (a) cuando no ase viento (b) si el viento va de sur a norte (c)El viento va de oeste a este. La velocidad del viento es 50m/seg y la del avin con respecto al aire es de 720km/h.

    a) V=-J t

    => t=3hb) Como en viento va de norte a sur

    => Vy=180km/m

    720 sen0= Vy

    720 sen0=18O km/m => 0=14.5

    Vx=720 cos0=697.1 km/m d

    t=-=3,lhv x

    c) Entonces, como Vviento=180 km/h .*.Vraro=900 km/h

    dt=~=2,4 h v

    S p La grafica se velocidad de un mvil en funcin del tiempo se indica en la grfica. Hallar la aceleracin media para los intervalos (a) [0,l]seg (b) [l,5]seg (c) [0.5,4].

    Por definicin, a, ^ ^ 2 ; mea tf-t0a) Parate [0,1]

    =* Vo=0 , V i=20

    www. cduKperu, co m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA i Y II K l

  • SOLVER EDK 3 CINEMTICA

    => amed= Y =20 m/seg2

    b) Para te [1,5]Vo=30m/seg ,V |=20 m/seg

    30-20amed ^ j 2,5 m/seg2

    C) te [0,5, 4]Para este caso: se relaciona V4=27,5 Vo,5=10

    27,5- 10a med= 3 5 =5 m/seg

    Un cuerpo que cae, recorre la mitad de su recorrido total en los dos ltimos segundos a partir del reposo. Hallar la altura desde la cual cae.

    Sea h , el recorrido total: de acuerdo al problema

    5 =V0lt+Igt2

    , para t=2 segDonde Vo velocidad inicial antes de que caiga ai suelo:

    5=Volt(2)+20 ...(* )

    Ahora sea tt , el tiempo empleado para que el cuerpo caiga

    =* h=V0t+5t2 h= 5tf ....(**) para V0l=V0+ g(t,-2)

    Vol=g(tr 2) ....(***)De (*), (**) y (***)

    => =20(t,-2)+ 20 ....(a )

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II "

  • CINEMTICA SOLVER EDK

    h=5tf

    => t1=6,81 seg h=231,0 m

    Un mvil realiza un movimiento rectilneo y su aceleracin est dada por a=-4x, donde x se mide en m y t en seg. Hallar la relacin de la velocidad en funcin de x, sabiendo que t0=0,X0=2m,v0=4m/seg.

    Dos mviles parten del mismo punto, con aceleraciones de bm/seg2 separado en un tiempo de 3seg. A que distancia del punto de partida se encontraran.

    Ejercicio para el lector

    Una partcula se mueve a lo largo de una curva, su posicin inicial esta dado la longitud del arco V]donde su rapidez es vty en su tiempo despus t2 la longitud del arco es s2 y se rapidez v2. Si en este trayecto la aceleracin tangencial es 3m/seg2. Hallarla rapidez v2?

    Tenemos que por definicin tenemos quea= -4x

    dv a= .v

    => J2xadx = /4vvdv

    => J*-4xdx = /4vvdv

    -2 (x2- 4)= j-8

    => V= [32-4x2] U2

    Me

    www edkper u, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK CINEMTICA

    Como la partcula, se mueve a lo largo de la trayectoriadv

    * a'=7 atds=vdv

    dv dv=> at = T => a t = T *v1 d ds

    /s 2 ards = Jv 2 vdv , en esta trayectoria at=cte=3 m/seg2

    vl-vf= 3 (VS,)= ^- i

    V2=V?+ 6 (S_2-S_1 )1/2

    57. Un hombre sostiene una bola fuera de una ventana a 12m del suelo. El lanza la bola hacia arriba con una velocidad de5m/seg. Que tiempo le lleva llegar hasta el suelo y con qu rapidez llaga al suelo.

    JR H IW f ilWPor las ecuaciones de un movimiento cada libre (vectorialmente)

    d=V0t+ ig t2

    -12=5t-5t2 => t=2,13seg Vf=V0+gt Vf=5-10 (2,13)Vf= -16,3 m/seg Vf=16,3 m/seg

    58. Por un plano inclinado de ngulo 45, se lanza una bola con la velocidad v0 y formando tambin un ngulo de 45 con la horizontal, que distancia por la horizontal recorrer la bola antes de deslizarse de plano?. No considere la friccin.

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.coif

  • CINEMATICA SOLVER EDK

    Del problema , descomponiendo V0 , a lo largo del piano y paralelo. Veamos

    En lo horizontal: V0cos45= tvuelo

    => tvuelo v 0 cos45=L ...(* )Ahora paralela al plano, en la posicin ms alta:

    => Vf= => V0 sen45 -a^

    t 2V0 sen45 /-in^vuelo- a v U

    Descomponiendo g a lo largo de plano tenemos que:

    a=g sen0 ... (2)En ( 1)

    tvuelo=2 ^ ..(**)

    En (*)L= V2S

    De una manguera brotan chorros de agua bajo los ngulos 9 y /? respecto al horizonte con la misma velocidad inicial v0. A que distancia con respecto a la horizontal los chorros se intersecan?.

    En el eje X, tenemos: X= tT V0 Cos p X= t2 V0 Cos 0

    www.edukper u . corr SOLUCIONARiO FISICA LE IVA I Y II

  • SOLVER EDK CINEMTICA

    tiCOs(3t2= i ^ r

    Ahora en el eje Y

    Y=V0 senptr |b ?

    Y=V0 sen012- |t|

    De (*) tenemos que2V0sen (0-P)

    ll g ( cos2p- cos20)Ahora:

    _ 2 Vp Cosp sen (0-p)g (COS2P-COS0)

    ii^ l Se lanza una partcula con velocidad v0, formando un ngulo 9 con la horizontal. Qu tiempo transcurrir para que la velocidad forme un ngulo /? con la horizontal?

    Veamos que en el eje X

    Vx=Vocos0

    Luego de t seg: Vtx= Vocos0

    En el eje Y Vfy= Vyo- gt

    Del resultado final Vfy=Vfx-tgp

    Vfy= VQ cos0 tgp

    Entonces:V0 cos0 tgP=V0 sen0-gt

    V=> t= (sen0-cos9 tgP)

    g

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  • DINMICA SOLVER EDK

    0 De un cuerpo de masa m1 se cuelga con una cuerda de de una masa m2, otro cuerpo de masa m3. Al cuerpo de masa m1 se aplica una fuer za f dirigida hacia arriba. Halla (a) la fuerza de la tensin en el extremo superior de la cuerda y en el centro de ella.

    m1

    J irsm21rc lI

    \ Te

    m3Hallamos la aceleracin del sistema

    IF=mta

    F-m1g-m2g-m3g=(m1-m2-m3)aF

    a=g--------mr m2-m3

    Ahora en el punto s, hallamos la tensin que se ejerce en la cuerdaIF=mta

    Fm3g+m2g-Ts= ( g - ) (m2+m3)V mi+m9+nriq/m1+m2+m3/

    \m1+m2+m3/Lo mismo hacemos con la tensin en el punto C:

    F

    -G

    m2m3S+ S-Tc=S-

    vvww. ed u kperu, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I

  • SOLVER EDK

    V f - ^ S L . ) FVm1+m2+m3/

    1 ................. ............ . DINMICA

    Se tiene el sistema que muestra en la figura, si m1=3kg,m2ym3=5km . Si no se considera el peso de la cuerda no ay rozamiento en la polea fija. Hallar (a) la aceleracin del sistema (b) la tensin de la cuerda que une a las masasnrit y m2

    Piden la aceleracin del sistema

    a) IF=maa=F/m

    a=-mig+m2g-m3g

    m1+m2+m3

    a=-(mT+ms-ms)------------------ cm1+m2+m3 v

    (3+4-5) a= b i(98)SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I www.edukperu.co

  • DINMICA L SOLVER EDK

    b) Del sistema S , tenemos:

    a=l,63 m/seg2

    i ifmiS

    ZF '=ma m1 g-T=mla T=mn(g-a)

    T = 3(9,8 - 1,63) T=24,51 N

    En el sistema que se da, hallar la velocidad y la aceleracin del bloque 3, sabien que las poleas son de radio iguales y no presentan rozamiento. Se conoce Xt =4m/seg , =-2m/seg2 x2 =-5m/seg, x2 =8 m/seg2.

    r

    m

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  • SOLVER EDK DINMICA

    La distancia de la cuerda desde el peso 1 hasta la polea B es:

    Derivando:

    rA mV, =4-r k J \

    fi a, =2^

    a - f i *

    X1

    m -5m

    XoX2

    Xt+tiR+Xo^ .- .O )

    X1+0+X0=0 ;

    X3

    Derivando (2):Xi=-X0... (2)

    X1+Xo=Q

    Xi =-Xq... (3)La distancia del peso (3) al peso (2) es:

    X3_Xo+X2_X()+tcR=C2 * (4)

    Derivando:

    SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I! www.edukperu,corr

  • DINMICA SOLVER EDK

    X 3 O^-X2 -X()+00 ) X 3 2Xo-X2.-- (5)Derivando (5): X3-2Xo+X2=0

    X 3 =2Xo-X2

    Para hallar la velocidad de (5) y (2)V3=2 (-X t ) -X2=2 (-4) - (-5)=-3m/seg2

    Para la aceleracin de (2), (3) y (6 ):a3 =X3=2 (-Xt )-X2=-2 (-2) -8=-4m/seg 2

    Dado el sistema de dos poleas fijas y una mvil en la cu ! es h a y tres masasm1 ;m2y m3

    Hallar la aceleracin de cada masa, si se desprecia el peso de las poleas, as como la friccin en las poleas.

    R

    Hallando la relacin de aceleraciones:X-|-Xo+7cR +X3-X0+7tR-l1

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  • SOLVER EDK ] DINMICADerivando:

    X1+2X0+X3=0... (1)Derivando

    X1+2X0+X3=0... 2)Para la otra cuerda:

    X2-Xo-7tR=l2

    X2-X=0

    DerivandoX2 = Xc ... (3)Las ecuaciones de dinmica para cada mesa es:

    rr^g-T^nM!

    m2g-T2=m2a2 ...(5) donde

    T!=T3 m3g-T3=m3a3T2=Ti+T3

    T2 = 27\ ...(7)

    4m] m3-3m2m3+m1 m2 4m1m3+m2m3+mlm2' m3+m2m3

    a2~ \4m1m3+m2m3+m1m24m! m3-3m1 m2+m2m3\4m! m3+m2m3+m1 m2) ^

    a Una persona se desliza sobre un trineo por una montaa de pendiente 6. Elcoeficiente de rozamiento entre la superficie y el trineo es /. Como de moverse el hombre de masa M con respecto al trineo de masa para que este ltimo se deslice por la pendiente con movimiento uniforme.

    98 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.c

  • DINAMICA SOLVER EDK

    Del Sistema totalI

    F=MaM: masa del hombre

    (M+m)gsen0-jj(M+m)gcos0=Ma(M+m)

    a= 77 g.(sen0-pcos0)M

    Dado el sistema que se muestra en la figura. La masa de la polea, de las cuerdas y la friccin se desprecia Hallar la aceleracin de las masas.

    rn m m im r

    Considerando quem2>m!

    tenemos el siguiente diagrama, de donde obtenemos quea1~a2

    Como la fuerza de gravedad es la que acta sobre el sistemaa1=a2=g

    Dado el sistema que se muestra en la figura. De la polea fija cuelga una masa m; qu fuerza F es necesario aplicar a la cuerda para que la masa m se mueva hacia arriba con aceleracin a.

    www.edukperu. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 99

  • SOLVER EDK DINMICA

    Dejamos ste ejercicio al lector.

    Hallar la aceleracin masam2(iTi2>mi)

    para el sistema dado. Se desprecia la masa de la polea, cuerdas y no hay rozamiento.

    JR t1 lffiW 7

    Por dinmica para cada masa tenemos:21-iT^ g sen0=m1a1

    lm2g-lT=m2a2

    De (1) y (2) obtenemos:2m2g-m1g sene=mla1+2m2a2

    Se muestra que ax = - a2Tl!

    =2m2g-m1g sen0= a2+2m2a2

    4m2g-2m1g sen0=m1a2+4m2a2

    =>a2=-2g(2m2-m1 sen0

    4m2+m!

    En sistema que se muestra la barra m es mayor que la bola m (M > M) . La bola tiene un orificio por donde se desliza el hilo con razonamiento. En el momento inicial la

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  • DINMICA SOLVER EDK

    bola se encuentra frente al extremo inferior de la barra. Despus de que el sistema quede libre. Ambos cuerpos se mueven con aceleracin constante. Hallar la fuerza de razonamiento entre el hilo y la bola, si al cabo de t segundos de haber comenzado el movimiento. La bola se coloc en la parte superior de la barra, que tiene una longitud L.

    La baria recorre X, mientras que la esfera recorre L+X. Por cinemtica tenemos que:

    X+L=^t2 ...(1 )

    X= (2 )

    D e ( l )y (2) tenemos:

    Por dinmica:Mg-fr=M.aM... (4)

    mg-fr=m.am... (5)De (4) y (5) en (3) obtenemos:

    2LmMfr=----- 9(M-m)t2

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    :

  • SOLVER EDK DINMICA

    Dado el sistema que se inicia en la figura, la superficie es lisa, se desprecia el peso de las poleas y de las cuerdas. Hallar la aceleracin de la masa mi.

    M m trm rn /

    Por dinmica a la masa m02T = m0a ... (1)Se demuestra que

    Por dinmica a las masas m1 y m2

    a=-ar a2

    mig-T=miaj

    -m2g 4- T = m2a2 ... (3)

    De (1) en (3) y reemplazando a =

    Tenemos:

    a=-ar a2

    m0(ar a2)

    =>a9=-

    -m2g=m2a2

    m0a1-4m2g4m2+m0

    ...(4)

    Sumando (2) y (3) y reemplazando a2 se tiene

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  • DINMICA SOLVER EDK

    Despejando ax:

    /m0ar 4m2g\

    4m2+rn1+m0 (nriT -hm2)'ai = 4m1m2+m0 (m1+m2)

    ED Sobres las masas mi y m2 actan las fuerzas F1 = bt y F2 =2bt; que estn unidos por un hilo que puede soportar la tensin T, donde b es una constante. Hallar en que instante el hilo se romper.

    m m m w mFc>

    m2 mi7777

    Para cuando el hilo se rompa de la a = 0 Por dinmica se tiene que

    IF=mtaF2-F1=(m1+m2)a

    2bt-bt=(m1+m2)abt=(mr m2)a

    Teniendo en cuenta la dinmica de cada masa:

    * 1 - 477^T

    m9 7777

    77mi777 /

    F2-T=m2a...(2)

    T-F^nr^a...(3)

    De (2) y (3) obtenemos la aceleracin:

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  • SOLVER EDK ] DINMICA

    Ta=

    2m1+m2Reemplazando en (1) obtenemos el tiempo en el cual el hilo se romper:

    T (m1+m2)b (2m,+m2)

    O Que fuerza acta en 1 seccin de una barra homognea de longitud L a la distancia x del extremo al que se aplica una fuerza R; dirigida a lo largo de la barra.

    LPor dinmica tenemos que R = ma ... (1) Definamos

    m mP = L~ = Y

    mx m =

    ...(2). x R

    Por dinmica para el trozo de la barra. rrR-F=m'a

    Utilizando (1) y (2) se tiene:X\

    0 Se tiene un prisma de masa M y ngulo 6, se le comunica aceleracin a hacia la izquierda. Una masa m se halla sobre el prisma. Cul es el valor mximo de esta aceleracin, para que la masa m permanezca inmvil con respecto al prima, sabiendo

    que el coeficiente de rozamiento entre las masas es /(/ < cotg 6)

    .

    SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II ..ei_,-Der.

  • DINMICA SOLVER EDK

    En el eje X para el bloque se tiene:

    -A

    yu

    O=ZFx=macos0+macos0-fr fr=macos0-macos0... (1)

    En el eje Y se tiene: XFy = N2 mgcosO masenO = 0 N2=mgcos0+masen0... (2)

    Sabemos quefr=pN2... (3)

    De (1), (2) y (3 ) encontramos que:9(1+jj cotO)

    max (cot0-p)

    Dado el sistema formado por el prisma de masa M y sobre l la masa m. despreciando el precio de la polea, de la cuerda y el rozamiento. Halla la aceleracin del prisma M.

    r SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

  • SOLVER EDK DINAMICA

    Haciendo DCL para cada masa:Por dinmica tenemos para la masa m: mg SenO - T = mam ... (1)

    Y para la masa M:T+N Sen0=(m+M)am

    Se demuestra que:am=am COS0

    De (1) y (2) y reemplazando am tenemos:

    mg Sen0+NSen0=(m+M)am+

    mg Cos0(l+Cos0)Cos0

    9m M Cos0+m(_+Cos0)

    < 9 Dado el sistema que se muestra en la figura, una polea fija por una barra, esta pasa a travs del cuerpo de la masa m2, y existe una fuerza de rozamiento Fr. Despreciando el peso de las cuerdas, hallar la aceleracin de las masas y la tensin del hilo.

    m i l i

    rifr

    Xm

    F'2

    SEI SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II16 www. edukperuvcm

  • DINMICA e SOLVER EDK

    Considerando m1 > m2, se tiene; del todo el sistema por dinmica obtenemos:a(m1+m2)=Fr F2-fr

    (mr m2)g-fr

    Por dinmica:

    De(l)en (2) tenemos:

    i IIm,T

    F1-T=m1a...(2)

    /2m2g+fr\T=m, ------V m1+m2)

    o Dado el sistema de masas que se muestra en la figura y j. es el coeficiente derozamiento entre la masa m y el plano indicado. Hallar la fuerza que presiona la cuerda sobre la polea. Se desprecia el rozamiento en la polea y su masa.

    Por dinmica a cada masa:

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  • SOLVER EDK 3 DINMICA

    fr=pmg cos0 IF=ma

    mg senO + [igra cosO T ma ... (1)Por dinmica:

    i Tm

    D e (l)y (2 ) tenemos

    rm3

    T-mg=ma... (2)

    mgT= (1 +jj cos0+sen0)

    Para hallar la fuerza que ejerce sobre la pelea, como las tensiones son iguales, entonces la fuerza F divide a la mitad al ngulo:

    T

    TT vPor ley de cosenos:

    F?=T2+T2+2T2 eos (|-e)

    F2=2T2 [l+cos (|-e)]

    F2=2T2 [l-l+2cos2^ - ^ ]

    Siendo

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  • DINMICA SOLVER EDK

    T= (1 +pcos0+sen0)

    En el sistema que se indica, la m1> m2. Se suelta el cuerpo de masa m2 y el sistema se pone en movimiento. Cul es la altura mxima del suelo a la que subir el cuerpo de masa m2. Desprecie las masas de las poleas y el rozamiento.

    /////////// r"2SDejamos el ejercicio para el lector.

    Se tiene una barra homognea de masa M y longitud L, es sometida a una fuerza F en uno de sus extremos. Hallar el valor de la fuerza que ejerce la regin 1 sobre laregin 2 .

    mi if-x-Por dinmica para todo el sistema.

    F=ma=>a= m

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  • SOLVER EDK ] DINMICA

    Definimos

    Por dinmica

    D e (l)y (2 ) se tiene:

    m

    m mp=r =cx

    m =m(L-X)

    F-F12=m'a

    XFf12=t

    Se tiene la mquina de Atwood dispuesta como se muestra en la figura. La polea en estado inmvil (las masas no se mueven) se equilibra en una balanza de palanca. En cuanto es necesario variar el peso en el plato derecho, para que al librarse la polea y moverse inmediatamente, el equilibrio se mantenga?

    Para que el sistema quede equilibrio, la aceleracin de la polea y de la masa en el platillo deben ser iguales.Hallando la aceleracin de la polea:

    m1g-Ti=m1a ~m2g + 7\ - m2a , donde T1 = T2

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  • DINAMICA

    El peso ser.

    (nym2)d _(m1+m2) S

    P=(m1-m2).a('mi-m9)(mr*m)

    --- . g

    SOLVER SDK

    Por dinmica para las 2 masas: mug ~ 2T ... ( 1)

    Se demuestra que

    De ( ) y (2) obtenemos:

    Por cinemtica:a2 ==4h

    Orij+mo)

    T-m2g=m2a2...(2)

    a2=2a!

    (mr 2m.o) a - ---1 g(m ^rr^ )

    8h(m1-2m2)gmj h4m2

    Luego de que el bloque de masa . llega a 1 piso. m2tiene una velocidad v, donde comienza a actuar la g como la aceleracin:

  • SOLVER EDK DINMICA

    > La mquina de Atwood, est colgada de una balanza de resorte, tal como se indica en que la figura. Hallar la aceleracin de los cuerpos, la indicacin de la balanza y la tensin en la cuerda que une a las masas.

    m\$Por dinmica para cada masa:

    D e (l)y (2 ) se tiene: g(m1-m2)=a(m1+m2)

    (mr m2)g- (m,+m2)...(3)

    Ahora hallamos, de (2) y (3):

    m!+m2Y la tensin de la balanza ser 2T

    RT=TB2T

    gmr T=am1

    T-gm2=am2

    T^ 2m1m2g

    4m1m2g 1 b=' "Tzr'm!+m2

    2 SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II www.edukper .com

  • DINMICA .( SOLVER EDK

    Se tiene el sistema que se indica en la figura, hallar (a) la aceleracin de cada peso. Supngase que las cuerdas y poleas son de peso despreciable, estas ltimas son lisas y las cuerdas son flexibles e inextensibles.

    g n n m n n r

    Como las cuerdas son inextensibles entonces estas permanecern constantes:

    1 ! =Xt -Xo+7tR+Xo-Xo+7tR +Xq Derivando 2 veces, siendo X0 = cte , se tiene:

    )C| +2X=0

    l2=X-Xo, derivando 2 veces, tenemos:* = * . . . ( 2 )

    13 =X2 _Xq + 7i R "+X3 -XqDerivando 2 veces, se tiene:

    X2-2X+X3=0 ..(3)

    De (1), (2) y (3) se tiene:X2+X^ +X3=0

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  • SOLVER EDK ) DINMICA

    ...(4)Por dinmica para cada masa, se obtiene:

    m^-T^m^!...(5)

    m2S-T2=m2a2 ... (6) se demuestra que

    m3S-T3=m3a3...(7)

    T=Ti=T2=T3...(8)

    De (4), (5), (6), (7) y (8) se tiene:/m! m2+m! m3-2m2m3\

    ai

    a2=(-

    a3=

    8

    S

    )S

    Reemplazando

    tenemos:

    V rr^ m3+m2m3+m1 m3 7 /m2m3+m1 m2-2m} m3\\ rr^ m3+m2m3+m1 m2 //m1 m3+m2m3-2m1 m2\V nr^ m3+m2m3+m1 m2 /'

    m! =2kgm2=4kgm3=3kg

    31 = ^ 3

    32=7

    93=-- 4 g

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  • DINAMICA c SOLVER EDK

    Un cuerpo est colgado de dos hilos que forman ngulos 61 y 02 con la vertical,como se indica en la figura. Demostrar que si se corta el segundo hilo, la tensin en el primero varia instantneamente en la aceleracin.sen 02/seg{01 + 02)cos 61.

    En el equilibrio, tenemos lo siguiente:T1cos01+T2cos02=mg... (1)

    T1sen01=T2sen02... (2)De (1) y (2) obtenemos:

    >r> _ mgsenGo1 sen (01 +02)

    Por dinmica

    mgcos01-To=-mvIT

    Pero como V = 0 al inicio

    De (3) y (4)

    To-mgcosO^O To-mgcosO!... (4)

    TV sen02 To~cos0r sen(01+eo)

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  • SOLVER EDK j DINMCASe tiene una esferilia de masa rn que se mueve alrededor de un alambre de radio R;: que se halia en un plano vertical. La esferilia tiene una velocidad uniforme vO a lo largo d! alambre. Hallar (a) la aceleracin centrpeta, (b) la componente radial y tangencia! de la fuerza que se ejerce sobre la esferilia, debido ai alambre en el instante en que el radio con a esferilia forma un ngulo 0 * con ia horizontal.

    j a s a s

    Se tiene que la aceleracin centrpeta es igual a:

    Para hallar las fuerzas tangencial y radical se tiene del grfico que;

    Por dinmica en el eje radical se tiene:Fr + mg senO mac

    f r = ~ gsend j

    Se tiene un sistema formado por dos poleas fijas y un peso de 10 kg.. Hallar (a) la fuerza mnima para que el sistema se encuentre en reposo, (b) si ia fuerza F tiene un valor de 198N, hallar la aceleracin del bloque, (c) cual debe ser e vior de la fuerza

    ~SDL LJC! CNARIO F'ISICALEIVA i Y l ~ ~ ~~

  • DINMICA SOLVER EDK F para que el peso suba con una aceleracin de 1.2 m/seg 2? (a) F= 98N; (b) a = 10 m/seg2; (c) = 110N.

    10 kS

    T m ga) Para que se encuentre en equilibrio, la tensin de la cuerda debe ser igual a la fuerza F

    F=t=mg

    F=(10kg) (9,8 ~ ) =98N

    b) Por dinmica se tieneF=ma

    F-mg 198-98 ma=-

    m 10 - = 10 -segzc) De (1) se tiene:

    F=98n=(10KG)(l,2-^yiV s egvF=1ION

    .j Se tiene un cuerpo de masa m y est sujeto por dos resortes iguales de constante de elasticidad k, alargados ambos a una distancio AL. Hallar la magnitud de la aceleracin del bloque en el instante de soltar el bloque. No hay rozamiento.

    www.edukpsru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II g T

  • SOLVER EDK D. DINAMICA

    m FkSenO^ J^ K s e n e

    FkCosOt

    Por dinmica en el eje X:IF

    IF=maa= m2Fk senG 2K ALa_ ------ = --- sen0

    m m

    Sobre los bloques de masa mi = 30kg. M2 =15 kg, existe una fuerza de rozamiento de 2 kg. Qu tiempo empleara partiendo del reposo para que el bloque m2 recorra una distancia 10m? si

    0=60.

    g W IB T O *

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  • DINMICA SOLVER EDK

    Considerando todo el sistema por dinmica obtenemos:

    ^0^

    rr^ g sen0-2fr=(m1+m2)a

    Por cinemtica tenemos que:

    X=Xo+V0t+-at220Para cuando recorra 10m; se tiene una aceleracin de a - ... (2)

    Ahora (2) en (1) obtenemos el tiempo en el que recorre 10 m.:t=2,04 seg

    Se lanza una partcula con una velocidad inicial vO, hacia abajo por un plano inclinado de ngulo 9 y longitud L. Cul ser el coeficiente de friccin cintica, si la partcula alcanza el extremo inferior del Plano justo cuando llega al reposo.

    FrPor dinmica en el eje X:

    w w w .edukpery.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA i Y II

  • SOLVER EDK 1 DINMICA

    mg sen0-pkmg cos0=ma

    gsen0-pkg cos0=a... ( 1)Por cinemtica obtenemos:

    a=^ = Vot=Vo (2 t t a K '

    L=V0t-at2... (3)

    Reemplazando (2) en (3), obtenemos la a

    Reemplazando (4) en (1), obtenemos

    pK=tan0-2Lgcos0

    Por una porcin de un canal circular de radio R, se desplaza una masa m7 sin friccin. Que altura H alcanza la masa, si el canal gira con una velocidad angular c unifrome.

    Del diagrama obtenemos que

    De (1), (2) y (3) tenemos:

    Pero

    Ncos0=mg... (1)

    NsenO = mw2r... (2)

    Y r = RsenO ... (3)

    mw2Rcos0=mg ... (4)

    m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I wwvv.edukperu.com

  • DINAMICA SOLVER EDK

    Reemplazando en (4) obtenemos

    R-H cos9= R

    Un plano inclinado de ngulo 9, gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular a). Un cuerpo de masa m se halla en el extremo inferior del plano inclinado y est a una distancia R del eje de giro. Hallar el coeficiente de rozamiento mnimo que permita que la masa m se mantenga sobre el plano inclinado.

    4 ^

    Por dinmica y la fuerza antribeta en X tenemos:

    U

    -N sen0+fr cos0=mac=mw2R... (1) En Y por equilibrio se tiene:

    mg=Ncos0+frsen0... (2) Siendo f r = /uKN, reemplazando en ( 1) y (2)

    Nsen0+jJKN cos0=w2Rm... (3) Ncos0+jjkN sen0=mg... (4)

    /

    www.edu kperu. com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II j 'jjf l

  • SOLVER EDK DINAMICA

    De (3) y (4) encontramos N:

    N=

    N=-

    w2Rm pK cosG-senG*

    mg

    (5)

    cos0-pKsen0

    Igualando (5) y (6); y despejando nK tenemos:w2Rcos0+gsen0g cos0-W sen0

    Una barra sin peso, doblado como se indica en la figura, gira con una velocidadangular w, respecto al eje BC. En el punto A de fa barra hav un cuerpo de mana m.Hallar La fuerza que ejerce la barra sobre la masa m.

    m m m M

    L>

    Hacemos DCL a la esfera:

    Por la fuerza antrpeta en X se tiene:F sen0-mac

    Fsen# = mW2R ... (1)Por equilibrio en el eje Y

    122 SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II*, :-dur _ _

  • DINMICA SOLVER EDK

    F cosO = mg ... (2)Elevando al cuadrado (1) y (2) y luego sumamos obtenemos:

    F2(sen20+cos20)=(mg)2+(mw2R)2

    F2=(mg)2+(mw2R)2Pero

    R=L sen0-.1/2

    F= |(mg)2+(mw2L sen0)2]

    Desde lo alto de una sem esfera de radio R, se desliza un cuerpo pequeo, sin rozamiento. A qu altura H se desprender dicho cuerpo de la cpula.

    tm m m

    Por dinmica tenemos que:mg sen0-N=mac

    mg cos0-N=m (1)

    Por la conservacin de la energa:

    (mgH-mgR)+ ^ mV2-0^ =0

    De (2) en (1):2mg

    mg sen0-N= (R-H) Rw w w .edukperu. com SOLUCIONARIO FISICA LEI VA I Y I

  • SOLVER EDK ] DINMICA

    Cuando el cuerpo se desprenda N = 0

    mgsen6=^-(R-H)...(3)

    Perosen0=H/R

    Reemplazando en (3) y despejando H se obtiene:2

    H=-R

    Hallar el radio R de un puente en arco, con la condicin de que la presin de un auto que se mueva con una velocidad v se haga tres veces menor en el punto ms alto del puente.

    M3nrnraiiT

    i

    Hallamos la fuerza centrpeta en el punto A y B: En el punto ms alto

    En el punto ms bajo

    w

    3 - T - *Sumando las expresiones (1) y (2)

    4P 2mv2 ~3 = R

    rt SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II ww ,v. sd ukperu.com

  • DINMICA SOLVER EDK

    P=mg 3v2

    R =2 9

    Un atleta pesa 70 kg. Se coloca sobre una balanza de resorte en un ascensor. Cuanto marcara la lectura de la escala de la balanza, si el ascensor, (a) sube con una velocidad constante de 5m/seg . (b) tiene una aceleracin hacia arriba de 5m/seg2 (c) tiene una aceleracin hacia abajo 3.4

    m/seg2(d) cae libremente debido a que el cable se rompe.

    a) Como la velocidad es constante no hay aceleracin, por tanto el peso que marca la balanza es 70 kg.

    b) Entonces la masa que marcar ser:ma+mg

    L=---- - =105,7 kgS

    ma mg

    c) Entonces la balanza marcarmg-ma

    L= ---=45,7 kgg

    www.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY I

  • SOLVER EDK ] DINMICA

    d) La aceleracin en el exterior ser la aceleracin de la gravedad ya que est en cada libre, entonces la balanza marcar:

    9 Un cuerpo de masa mtesta situado sobre una mesa giratoria horizontal que distan una distancia R del eje de rotacin, si el coeficiente de rozamiento esttico lmite entre el cuerpo y la masa es fis . Una cuerda une la masam1 con la masa m2, por medio de una polea sin friccin que se encuentran en la masa giratoria, tal como se muestra en figura. Entre que lmites de co debe de girar la mesa para que la masa m2 no se mueva Hacia arriba ni hacia abajo?

    L=m g^g=oS

    i

    iMiarLa velocidad angular superior es cuando la esfera tiende a salir del disco y es cuando la esfera tiende su movimiento hacia el centro:

    SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II wv-j sdukperu.com

  • DINMICA SOLVER EDK

    fr'icuando tiende a salir del disco Para el lm