Solucionario de Dinamica de Fluidos - Ing. J.F.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA- ENERGÍA

PROYECTO DE INVESTIGACION

“TEXTO: MECANICA DE FLUIDOS-PROBLEMAS

APLICATIVOS”

JEFE DEL PROYECTO

ING. JAIME GREGORIO FLORES SANCHEZ

CRONOGRAMA

(31-04-2003 Al 31-03-2005)

RESOLUCION RECTORAL: Nº 248-03-R

II

INDICE

RESUMEN

INTRODUCCIÓN

Capitulo I

CINEMATICA 2

Capitulo II

FLUJOS NO VISCOSOS Y VISCOSOS... 20

Capitulo III

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y TEORÍA DE

MODELOS. 36

Capitulo IV

ESTUDIO DEL FLUJO INTERNO

INCOMPRESIBLE. 56

Capitulo V

TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE. 114

Capitulo VI

FLUJO ALREDEDOR DE CUERPOS

SUMERGIDOS. 127

Capitulo VII

FLUJO COMPRESIBLE EN DUCTOS DE SECCION

VARIABLE. 142

Capitulo VIII

FLUJO EN DUCTOS DE SECCION

CONSTANTE SIN TRANSFERENCIA DE CALOR 154

III

Capitulo IX

FLUJO EN DUCTOS DE SECCION

CONSTANTE CON TRANSFERENCIA DE CALOR 164

Capitulo X

FLUJO EN CANALES ABIERTOS 176

METODOS Y MATERIALES

RESULTADOS

DISCUSION

REFERENCIA BIBLIOGRAFIA

APENDICE

IV

RESUMEN

Los temas tratados en este libro texto se suceden en un orden lógico de acuerdo

con los contenidos de la aplicación de la mecánica de fluidos. Luego de

considerar problemas de cinemática, flujos no viscosos y flujos viscosos, se

incluye aplicaciones del análisis dimensional, herramienta muy valiosa para la

simulación. También se da gran énfasis en flujo interno ya sean en tubos o ductos

con fluidos incompresibles, en donde se tienen tuberías en serie, en paralelo,

interconectados con tanques abiertos o cerrados, o también sin ellos; estos flujos

en tuberías pueden estar conectados mediante bombas de alimentación, sobre

todo cuando se trata de elevar líquidos desde un nivel inferior a otro nivel

superior. Es necesario recalcar que estas bombas se puedan regular su flujo

gráficamente (por catálogos) o en situo; se consideran todas las perdidas de

energía presentes en el flujo de fluidos. Seguidamente tratamos aplicación de

capa limite sea laminar o turbulento, como antesala a cuerpos sumergidos, que

también sirven en la introducción a la aeronáutica con los respectivos perfiles

aeronáuticos.

En la aplicación de flujos compresibles se empieza por toberas convergentes y

convergentes-divergentes, luego en ductos adiabáticos o no con fricción y sin

ella, así como el fenómeno de las ondas de choque.

Finalmente como parte complementaria se incluyen aplicaciones de canales

abiertos de diferentes secciones transversales.

En el apéndice se adjunta tablas, diagramas, curvas características, ábacos usados

que son herramientas muy empleadas en flujos de la mecánica de fluidos.

V

INTRODUCION

Con la finalidad de despejar las inquietudes o dificultades que encuentran los

alumnos u otras personas que realizan estudios de ingeniería, encontraran en el

presente una ayuda muy valiosa.

Libros de mecánica de fluidos hay muy variados con excelente contenidos, pero

con la diferencia que no todos lo enfocan los diferentes temas con la suficiente

exigencia que en algunos casos es necesario considerar lo cual deja un vació

generando dificultades para su interpretación respectiva.

Como en nuestro plan de estudios la mecánica de fluidos es primordial para

alumnos inclusive de otros especialidades, diferente o afines a la ingeniería

mecánica, es por esta que el presente texto servirá de ayuda muy valiosa, tanto

como consulta o en su fin que es un libro texto aplicativo al transporte de los

fluidos, sean incompresibles o compresibles, enfocados de una manera muy

explícita enfocado concientemente a los avances que estamos inmersos.

Los alumnos u otros lectores hallaran en esta obra los temas abordados

directamente con la suficiente amplitud, el rigor y la exigencia , expuesta de una

manera sencilla e interesante; en todos los capítulos se ha mantenido una seriedad

profunda y equilibrada, según lo que encontrara cuando se encuentre

desenvolviéndose profesionalmente.

CAPITULO I

CINEMATICA


FACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________

Ing. Jaime Flores Sánchez 2

1.1. Dada las funciones potenciales: 22 aybxyax

a) Probar que representa un flujo irrotacional.

Para que sea irrotacional se debe de cumplir que: 0. V

aybxy

aybxyax

yv

byaxx

aybxyax

xu

2)(

2)(

22

22

0)2()2(

0

y

aybx

x

byax

y

u

x

u

022 aa l.q.q.d

b) Hallar la función de corriente:

y

u

xv

1

2

12

2

)2(

Cby

axy

dybyaxd

2

2

22

2

)2(

Cbx

axy

dxaybxd

Cbx

axyby

axy

22

22

22

21

Cbxby

22

22

Rpta.

c) Determinar la aceleración:

))(2()2)(2( baybxabyax

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

a

a

x

x



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


xbxa

abyxbabyxa

a

a

x

x

22

22

4

224

)2)(2())(2( aaybxbbyax

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

a

a

y

y

ybyaay

224

Entonces: kajaiaa zyx

jybaixbaa .4.4 2222

Rpta.

1.2. Considere el campo de velocidad dado por:

kzjyiyxV 22 23

a) Demuestre si el campo es incompresible.

b) Calcule la aceleración de la partícula en el punto (3,1,2)

Solución:

a) el campo es incompresible si: 0.

V

.0)2).((. 22

kzjyiyxk

zj

yi

xV

.0.)2()3()( 22

z

z

y

y

x

yx

.0432 zxy No es incompresible.

b) Calculando la aceleración: yxu 2 ; yv 3 ; 22zw



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

Va

Descomponiendo en sus componentes: Pto= (3,1,2)

2223

223

222

/27)1()3(3)1()3(2

32

)0)(2())(3()2(

sm

yxyx

zxyxyyx

z

uw

y

uv

x

uu

xp

xp

xp

xp

a

a

a

a

2

22

/9

9

)0)(2()3)(3()0(

sm

y

zyyx

z

vw

y

vv

x

vu

yp

yp

yp

yp

a

a

a

a

23

3

22

/64)2(8

8

)4)(2()0)(3()0(

sm

z

zzyyx

z

ww

y

wv

x

wu

zp

zp

zp

zp

a

a

a

a

Finalmente:

2/0428.70

64927

sm

kji

kji

a

a

aaaa zpypxp

1.3. Un campo de flujo incompresible está dado por 323 yyx

a) Demuestre que el campo es irrotacional.

b) Obtenga el potencial de velocidades.

c) Bosqueje unas cuantas líneas de corriente en el 1er

cuadrante.

Solución:

a) Para que se cumpla la irrotacionalidad:

02

2

2

2

2

2

zyx



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


Entonces tenemos:

22 33 yxyx

u

xy

xyv 6

Entonces:

udxdx

u

23

22

3

33

yx

dxyx

xx

62

2

vdydy

v

23

6

xy

dyxy

xx

62

2

066 xx Es irrotacional.

b) el potencial de velocidad:

23 3xyx

23 30 xyx

22 3yx

yx 32

131 32 xxy

x

xy

3

132

x

xy

3

13

232 32 xxy

x

xy

3

232

x

xy

3

23

x

y

Φ



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


c) Línea de corriente:

323 yyx

xy 30

y

x

Ψ

1.4. Una función de corriente está dada por

B

yh

A

xsensen ; donde A

y B son constantes: ;0 Ax y >0

a) Podría representar un flujo potencial.

b) Si lo es, localice algunos puntos de estancamiento y trace la L.C.

Solución:

Se debe de probar que: 0

V

También: 0

y

u

x

v ………. (1)

yxu

xyv

Si se cumple entonces la Ec. (1)

representa un flujo potencial.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


B

y

A

x

BB

y

A

x

yyu coshsen

1senhsen

Luego:

B

y

A

x

BB

y

A

x

Byy

usenhsen

1coshsen

12

B

y

A

x

AB

y

A

x

xxv senhcos

1senhsen

Luego:

B

y

A

x

AB

y

A

x

Axx

vsenhsen

1senhcos

12

Sustituyendo todo en (1)

Tenemos:

y

u

x

v

0

B

y

A

x

BB

y

A

x

Asenhsen

1senhsen

122

= 0

Igualando tenemos: BABA 22

Si A = B, entonces es un flujo potencial

Luego: A = B = C

C

y

C

xsenhsen y

yu

C

y

C

x

Cu coshsen

1; Donde 0u para 0x y para Cx por

y0 .

Para:

C

y

C

x

Cxv senhcos

1; Donde 0v para 2/x por

y0 y para Cx 0 , para y=0



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


Luego los puntos (0,0) (πc,0)

x

V = 0

.u = 0

Ψ = 0

(0,0) (πc,0)Ψ = 0V = 0

.u = 0

Ψ = 0

1.5. Considere el campo de velocidades dado por jiV ByAxy

2 , donde

114 smA , 112 smB y las coordenadas se miden en metros.

Determinar la rotación del fluido; evalué la circulación alrededor de la

“curva” delimitada por y = 0, x = 1 y x = 0, y = 1. Obtenga una expresión

para la función de corriente.

Solución:

Analizando la rotación en campo de velocidades:

kjiV zyx

2

1

La velocidad angular en sus respectivos ejes es:

z

v

y

wx

2

1 ;

x

w

z

uy

2

1 ;

y

u

x

vz

2

1

Axyu , 2Byv 0w



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


0

x

w

y

w 0

z

v 0

z

u 0

x

v

xxAxy

uz 424

Por lo tanto:

kxkx 242

1 Rpta.

b) Determinando la circulación:

1

0

1

0

42)( xdxdydxdydAV zA

24

1

0

1

0

xdydx Rpta.

La función de corriente

dt

dxAxyu

x

dxAydt

ytAyt KeKexcxAyt 4lnln ; donde k es cte.

dt

dyByv 2

2y

dyBdt

11

11c

yBtc

yBt ; donde 1c es cte.

tcy

21

1 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


1.6. Un tanque cilíndrico de radio R = 4’’ se llena con agua a una profundidad

de 6 pulg. El tanque se hace girar alrededor de su eje vertical. Durante el

arranque, ott 0 , la relación de rotación está dada por o

o

t

t donde

.2segto y la velocidad rotacional y de estado estable es .78rpmo La

condición de no deslizamiento requiere que las partículas de fluido en la

pared del tanque tenga velocidad cero relativa a la misma. Para una

partícula en la pared determine la aceleración en el tiempo t = 1seg. y la

aceleración de estado estable.

.w

R

h

Solución:

La aceleración radial es:

2

2

r

r

rV

z

V

z

VVVV

r

VV rrzrrr

rpa

2rarp

…… (I)

La aceleración tangencial.

r

VV

z

V

z

VVV

r

V

r

VV rzr

pa



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


t

ra p

…… (II)

Reemplazando o

o

t

t en (I) y en (II).

2

2

2

o

o

rpt

tra

; o

o

p t

ra

Además ./168.8.78 segradrpm oo

Reemplazando los datos:

./168.8.78 segradrpm oo

r = 4’’

segto 2

.1segt

2

2

2

o

o

rpt

tra

2

rppulg/sega 72.66

)2(

)1()168.8()4(

2

2

2

o

o

p t

ra

2/34.16

2

)168.8)(4(segglpua p

.pulg/segaaa r

234.16,72.66,

Entonces: .pies/sega234.1,56.5

Rpta.

b) Existe aceleración en estado estable.

2

orra y 0a

2

rpulg/sega 86.266)168.8)(4( 2

Entonces: 2

rpies/sega 44.22 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


1.7. La componente X de velocidad de un flujo estable e incompresible en el

plano xy es xAu , donde A =2 m2/seg. y x se mide en mts. Demuestre

que la componente y mas simple de la velocidad para este campo de flujos

es 2xAyv . Evalué la aceleración de una partícula de fluido en el punto

(x,y) = (1,3).

Solución:

xAu , demuestre que 22 2 xyxAyv

xu 2 ….. (I), sabemos que para un flujo incompresible se cumple:

0

y

v

x

u…. (II)

Reemplaza (I) en (II)

22

20

2

xy

v

y

v

x

2

2

x

dydv )(

22

xfx

yv

Luego la expresión más simple para v seria escribiendo f(x)=0, es decir:

2

2

x

yv

Entonces:

jx

yi

xV

2

22m/seg.

Calculo de la aceleración en el punto (x,y) = (1,3)

2

22

xx

u

xu

z

uw

y

uv

x

uu

t

uxpa



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


132

422

xxp xxxx

uua Para (x,y) = (1,3), entones :

ixpa 4

z

vw

y

vv

x

vu

t

vypa

223

2242

xx

y

x

y

xy

vv

x

vuypa

444

448

x

y

x

y

x

yypa

Para (x,y) =(1,3), entonces:

jypa 12)3(4

jia 124 m. /seg2. Rpta.

1.8. Considerando el flujo unidimensional incompresible a través del canal

circular mostrado. La velocidad en la sección (1) está dado por

)(10 tsenuuu donde segmu /200 , segmu /21 y segrad /3.0

las dimensiones del canal son L = 1m. R1 = 0.2m. y R2 = 0.1m. Determine

la aceleración de la partícula en la salida del canal.

L

R1

R2V

y

x

.x1 .x2



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


Solución:

Por ser un flujo unidimensional: 0 wv

La velocidad:

kwjviuV

itsenuuV )(10

La aceleración en la dirección “x”:

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

Dt

Duxpa

)cos(1 tut

u

)cos(. 1 tu

xpa ………. (I)

Pero )(10 tsenuut

x

integrando.

)cos(10 t

utux

- en la salida del canal x = 1m.

)3.0cos(3.0

2)20(1 tt t = 1/20seg. Aproximadamente.

Reemplazando en (I)

)cos(. 1 tuxpa )20/1)(3.0(cos)3.0)(2(

xa

2/599.0 segmxa Rpta.

1.9. El campo de velocidades para un flujo estable no viscoso, de izquierda a

derecha sobre un cilindro circular de radio “a” está dado por:

e

r

aue

r

auV r

22

1sen1cos obtenga expresiones para la

aceleración de una partícula de fluido que se mueve a lo largo de la línea de



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


corriente de estancamiento )( y para la aceleración a lo largo de la

superficie del cilindro (r = a). Determine las posiciones en los cuales estas

relaciones alcanzan los valores máximos y mínimos.

e

re

Solución:

Las componentes de la velocidad son:

2

1cosr

auVr ;

2

1senr

auV

Por definición:

*

z

VVV

r

V

r

VV

t

V

Dt

VD rzrrrrr

2

222

2

22)(cos

1sencos2

1cosr

rau

r

a

r

u

r

ua

r

au

Dt

VD r

5

4422

5

22222 sencos2

r

rau

r

arua

Dt

VD r ……. (I)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


*

z

VVV

r

V

r

VV

t

V

Dt

VD zr

2

22

3

22

3

2

2

22

cossencos2

cosr

aru

r

aru

r

ua

r

aru

Dt

VD

5

44222

2

42sen

r

rarau

Dt

VD …………. (II)

Si 0 entonces

re

r

aruaa 5

22222 00

ara

Para r = a

Si 4

7;

4

3

a

ua

2

min

2 Rpta.

Si 4

5;

4

a

ua

2

max

2 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


Problemas Propuestos

1) Las componentes de la velocidad en un campo de flujo están dadas por:

222 zyxu ; 2zyzxyv y 42/3 2 zxzw . Se pide calcular:

a) Determinar la razón de dilatación volumétrica e interpretar los resultados.

b) Determinar una expresión para el vector rotación. ¿Se trata de un campo

de flujo irrotacional?

Rpta: a) o

b)

kyjzizy 2/2/52/ ; No

2) Para un campo de flujo bidimensional incompresible la componente de la

velocidad en la dirección “y” está dada por la ecuación: yxxyv 23 .

Determine la componente de la velocidad en la dirección “x” de modo que se

cumpla la ecuación de la continuidad.

Rpta: )(2/33/ 23 ygxxu

3) Se tiene las componentes de la velocidad en coordenadas esféricas como:

cos/8010 3rvr ; sen/8010 3rv . Se pide calcular la

aceleración de una partícula de dicho fluido para el punto (4; 180º).

Rpta: 8.2m/seg2.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


4) Las componentes de la velocidad de un flujo plano incompresible son:

a) cos21 BrArvr

b) sen2 Brv

Donde A y B son constantes… Calcule la función de corriente

correspondiente.

Rpta: CBrA sen1

5) Dada la función de corriente para un campo de flujo bidimensional

incomprensible está dada por la ecuación: yx 22 . Donde la función de

corriente está dada en unidades de pies2/seg. con “x” e “y” en pies.

a) Este campo de flujo es irrotacional.

b) Determinar la aceleración de una partícula de fluido en el punto x = 1

pies; y = 2 pies.

Rpta: a) Si. b) (cero)

CAPITULO II

FLUJOS NO

VISCOSOS Y

VISCOSOS



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________

Ing. Jaime Flores Sánchez

20

2.1 Cuando un avión vuela a través de un frente frío, un instrumento del

tablero indica que la temperatura ambiental desciende a una relación de

0.5 ºF por minuto. Otros instrumentos muestran una velocidad del aire de

300 nudos y una relación de ascenso de 3500 pies/min. Si el frente es

estacionario y verticalmente uniforme, calcule la relación de cambio de

temperatura con respecto a la distancia horizontal a través del frente frío.

Solución:

minº5.0 F

dt

dT Nota: 1 nudo = 0.5144 m/seg. = 1.688 pies/min.

300aireV Nudos aireV 30348 pies/min.

Vascenso = 3500 pies/min.

min/303843500

º5.0

pies

F

dt

dxdt

dT

dx

dT

piesFdx

dT/º104756.1 5 Rpta.

2.2 La distribución de la velocidad en un campo de flujo estable es

jiV yx

2352 con el eje z hacia arriba.

a) Demuestre si el campo de flujo es incompresible.

b) Determinar el gradiente de presiones.

c) La p entre los puntos (x,y) = (1,3), y el origen, si 3/2.1 mkg .



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


21

Solución:

a) 52 xu yv 23 Por continuidad:

022

2

x

u

x

u 02

2

2

y

v

y

v 0

y

v

x

u

022 Si es incompresible.

b) Por Navier Stokes

En el eje X:

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

uu

x

pg

z

uw

y

uv

x

uu

t

ux

En el eje Y:

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

vu

y

pg

z

vw

y

vv

x

vu

t

vy

En el eje Z:

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

wu

z

pg

z

ww

y

wv

x

wu

t

wz



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


22

Entonces:

x

p

x

uu

y

p

y

vu

z

pg z

0

x

px

)2)(52( y

py

)2)(23(

zp

zgzp00

104

x

x

p

64

y

y

p

zgp z …. (3)

zp

dxxp00

)104(1

yp

dyyp00

)64(1

)102( 2 xxp …..(1) )26( 2yyp …… (2)

Para el gradiente de presiones, tenemos:

pkz

jy

ix

p ).(

kgjyixp )64()104(

kgjyixp )64()104( Rpta

c) Presiones:

)26210( 22 zgyyxxp z ; para z = 0

p (0, 0) = 0

)0)3(2)3(6)1(2)1(10()3,1( 22 p

)0,0()3,1( ppp



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


23

2/6.9 mNp Rpta.

2.3 Un flujo laminar permanente circula entre dos placas paralelas fijas

separadas por una distancia “h” siendo el fluido incompresible

moviéndose de izquierda a derecha y no habiendo variación de la

viscosidad; hallar una expresión para evaluar la caída de presión en

función de la velocidad media, y el esfuerzo cortante en función del eje

“y”.

Solución:

y

x

h

De la EC. de Navier Stoke

VB

pVV

t

2).(

………. (*)

En este caso tenemos flujo laminar, el moviendo de fluidos es en la dirección

“x”.

i

x

VVVViVV x

xx ).(



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


24

Considerando flujo permanente: 0

t

i

y

V

x

Vjgj

yi

xi

x

VV xxx

x 2

2

2

2

)(1

jg

yi

y

V

x

V

xi

x

VV xxx

x

112

2

2

2

………. (I)

Considerando flujo uniforme, la velocidad permanece constante según x:

0

x

Vx

Reemplazando en (I);

2

21

0y

V

x

x

2

21

y

V

x

x

Considerando x

= cte y UVx

2

21

y

U

x

Integrando: 1

1Cy

xy

U

21

2

2CyC

x

yU

……… (II)

Por consideraciones de borde:

y = 0, U = 0

y = h, U = 0

En (II): C2=0

1

2

20 hC

x

h

x

hC

21 ….. (III)

Reemplazando (III) en (II):

x

hy

x

yu

22

2

yhyx

u

2

2

…… (IV)

La velocidad media: mV

h

Vdy

hb

bdyV

A

VdAVm

.

.

h

VdyVm

….. (V)

Reemplazando (IV) en (V): V = U



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


25

h

h

m hyy

xhh

dyyhyx

A

UdAV

0

230

2

232

2

x

hh

xh

hhh

xhVm

1262232

2323

…………….. (VI)

Si U > 0, habrá una caída de presiones a lo largo de x.

21 ppp ; 12 pp ; 0p

L

p

L

pp

LL

pp

x

p

21

12

12

En la expresión VI

L

phVm

12

2

por lo tanto.

2

12

h

LVp m

……. Rpta.

Para el esfuerzo cortante en función de “y “: en la expresión (IV)

hyyL

pU

2

2

1

2

2yhy

L

pU

……… (VII)

(VII) entre (VI)

2

2

2

2

6

12

2

h

yyh

V

u

L

ph

yyhL

p

V

u

mm

2

26

h

yyhVu m

El esfuerzo cortante está dado por la Ky de viscosidad de Newton.

22

2 266

h

yhuV

h

yyhV

yu

y

uu mm

2

26

h

yhuVm Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


26

2.4 Considere el flujo de baja velocidad entre los discos parabólicos según se

muestran. Suponga que el flujo es incompresible y no viscoso y que la

velocidad es puramente radial y uniforme en cualquier sección. La

velocidad del flujo es V= 15 m/seg. en R = 75 mm. Simplifique la ecuación

de continuidad a una forma aplicable a este campo de flujo. Muestre que

una expresión general para el campo de velocidades es

rerRVV )/( para

Rrri . Calcule la aceleración de una

partícula de fluido en las posiciones Rr y irr

.ri

R

V = 15m/seg

Solución:

Aplicando continuidad:

011

z

VV

rr

rV

r

zr

r

rV

rr

1= 0

KrV

r

rVr

r

0

Donde K = VR



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


27

. r

KVr

rr erRVV )/(

0

z

VVV

r

V

r

VV

r

V

Dt

DV rzrrrrr

r

VR

rr

RV

r

VV

Dt

DV rrr 3

22

r

RV

Dt

DVr ….(I)

De la ecuación (I):

Si irr .813

22 segkm

r

RV

Dt

DV

i

r Rpta.

Si Rr .33

22 segkm

R

RV

Dt

DVr Rpta.

2.5 La velocidad del aire en el múltiple de un MCI en )(10 wtsenVV ; si

Vo = 30m/s, f = 50 hz, la densidad es la mitad del aire estándar, con una

longitud del fuselaje de L= 0.3m .Calcular la variación de la presión que se

origina en kPa; para un tiempo de 2 seg. desprecie los efectos friccionantes.

Solución.

)(10 wtsenVV araire_stand21

smV /300 L=0.30m

f = 50 hz ?p



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


28

Euler (para efectos friccionantes).

z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

Vpg

En el eje X:

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

x

pg x

Observaciones:

V = unidimensional

iuV

)(10 wtsenVu

0

x

u, 0

y

u, 0

z

u

t

u

x

p

)cos(0 wtwVx

p

dxwtwVdp

L

0

0

0

)cos(

dxwtwVdp

L

0

0

0

)cos(

LwtwVp )cos(0

T = 15 ºC

P = 101.325 kpa

R = 0.2869Kj/kgºK (Tabla 4; Ref: 7)

3/2263.1 mkgRT

est

3/6131.02

mkgest

Sabemos que:

)50(22 f



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


29

Entonces, para t = 2seg. y s

rad.1553.314

tp cos)3.0)(1593.314)(30)(6131.0(

733.1p kN/m2 Rpta.

2.6 El campo de velocidades de un flujo viscoso incompresible está dado

por:

kyjyzizxV 42 222 La densidad del fluido es y la viscosidad

. Calcular el gradiente de presiones en el punto (2, 0, 1). El eje vertical es

Y.

Solución:

Aplicando 2da

ley de Newton a un elemento diferencial de fluido y

considerando la aceleración total (aceleración local + aceleración

convectiva).

VB

pVV

t

2).(

………….. (*)

De la distribución de velocidades podemos notar que V no depende del tiempo,

entonces el flujo es permanente 0

t

v; solo tenemos la aceleración

convectiva.

)).(()(

.).(

kVjViVz

Vy

Vx

VVV

Vz

ky

jx

ikVjViVVV

zyxzyx

zyx



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


30

kz

VV

y

VV

x

VV

jz

VV

y

VV

x

VVi

z

VV

y

VV

x

VVVV

zz

zy

zx

y

z

y

y

y

xx

zx

yx

x

).(

).()().(

…(I)

La aceleración convectiva para:

zxvx

2 ; xzx

vx 2

; 0

y

vx ; 2xz

vx

222 zyvy ; 0

x

vy; 24yz

y

vy

; zy

z

vy 24

(II)

yvz4 ; 0

x

vz ; 4

y

vz ; 0

z

vz

(II) en(I):

k

jia

yzyyx

zyyyzzyyxxyzyxzyx

)0(4)4)(2()0(

)4(4)4)(2()0()(4)0)(2()2(

222

222222222

kjia zyzyzyyxyzx

2234323 8)16842 ………… (III)

La fuerza viscosa por unidad de masa

V2 .

V

zk

yj

xi

zk

yj

xiV .)).((2

)).((2

2

2

2

2

22

kVjViV

zyxV zyx

kz

V

y

V

x

V

jz

V

y

V

x

Vi

z

V

y

V

x

VV

zzz

yyyxxx

)(

)()(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

…….. (IV)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


31

Luego:

zx

vx 22

2

; 0

2

2

y

vx ; 02

2

z

vx .

02

2

x

vy; 2

2

2

4zy

vx

; 2

2

2

4yz

vy

. … (V)

02

2

x

vz ; 02

2

y

vz ; 02

2

z

vz .

(V) en (IV):

jzizV 422 …….. (VI)

Finalmente en la expresión (*)

)42()8()168()42( 2343223

jzizp

kzyjzyzyiyxyx

kzyjzyyziyxzxzp

)8()884()422( 2233223

jgkzyjzyyziyxzxzp )()8()884()422( 2233223

kzyjgzyyziyxzxzp )8()884()422( 2233223 …(VI)

Con los datos en el punto (2,0,1)

jgip )4())1)(2(42( 23

jgip )4()162( Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


32


1) El potencial de velocidad para un campo de flujo bidimensional es:

23 53/5 xyx ; demostrar que se cumple la ecuación de continuidad y

determinar la función de corriente.

Rpta: Cyyx 3/55 32

2) Las componentes de la velocidad están dadas por: )(3 22 yxu ; xyv 6 .

Determine:

a) Este campo de velocidad, ¿satisface la ecuación de continuidad?

b) Determine la ecuación para el gradiente de presiones en la dirección y en

cualquier punto del campo.

Rpta: a) Si b) )(18 23 yxyy

p

3) Entre paredes en forma de cuña fluye agua hacia una pequeña abertura, como

se muestra en la figura. El potencial de velocidad con unidades de m2/seg.

para este flujo es rln2 ; con “r” en metros. Determine el diferencial de

presiones entre los puntos A y B.

Rpta: .78.1 kPap

π/6

θ

r

1 m. 2 m.

A B



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


33

4) Se tiene la función de corriente para un campo de flujo bidimensional

incompresible es: 22sen3 3 r . Donde está en pies2/seg. cuando

“r” está en pies y esta en radianes. Determinar el esfuerzo cortante; r en

el punto r = 2 pies; = π/3 rad. Si el fluido es agua.

Rpta: 25 /101.85 pieslbr

5) Un fluido viscoso incompresible se coloca entre dos placas paralelas

horizontales infinitas como se muestra como se muestra. Las dos placas se

mueven en direcciones opuestas a velocidad constante U1 y U2 como se

muestra. El gradiente de presiones en el eje “x” es cero y la única fuerza del

cuerpo se debe al peso del fluido. Usando la ecuación de Navier-Stokes,

obtener una expresión para la distribución de velocidades entre las placas.

Suponga que el flujo es laminar.

Rpta: 221 Uy

h

UUu

h

U1

U2

y

x

CAPITULO III

ANALISIS

DIMENSIONAL Y

TEORIA DE

MODELOS



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


36

3.1. Un tanque de H2O con D se vacía desde una altura h0; el hoyo de

drenaje tiene d . Suponga que

m depende o está en función de:

h; D; d; g; y

Determinar:

a) Número de parámetros adimensionales a encontrar.

b) Número de parámetros de repetitivos.

c) El número que contenga la .

Solución:

m : 1MT

h: L

D: L

d: L

g: 2LT

: 3ML

: 11 TML

M = 3

n =7

# = n-m = 4

En el sistema (MLT) la matriz

es:

1020001

1311110

1100001

T

L

M

gdDhm

Obs:

02

020

311

100

# de parámetros

repetitivos = 3

;; gd



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


37

... zyx gd

1132000 ..... TMLMLTLLLTM zzyyx

L: 013 zyx x = -3/2

M: 01z z = -1

T: 012 y y = -1/2

Entones el número en función de la viscosidad, será:

... 121

23

gd

...

21

23

gd Rpta.

3.2. Una pequeña esfera liquida de radio r0 y densidad 0 cae con una

velocidad U, en un segundo liquido de densidad y viscosidad . Las

prueba se llevan acabo dentro de un tubo de radio r. Mediante análisis

dimensional un conjunto de parámetros adimensionales para ser utilizado en

la determinación de la influencia de la pared del tubo en la velocidad de

sedimentación.

Solución:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


38

U: 1LT

: 3ML

0 : 3ML

r: L

r0: L

F: 2MLT

: 11 TML

m: 3

n: 7

# = n-m = 4 2010001

1113131

1011010

00

T

L

M

FrrU

Obs:

01

001

131

110

# de parámetros

repetitivos = 3

;;rU

* 01 ... zyx rU Entonces: 01

* 02 ... rrU zyx Entonces: rr02

* ...3

zyx rU

113000 ..... TMLLLMTLLTM zyyxx

L: 013 zxy z = -1

M: 01y y = -1

T: 01 x x = -1

Por lo tanto: ...

3rU

* FrU zyx ...4

23000 ..... MLTLLMTLLTM zyyxx



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


39

L: 013 zxy z = -2

M: 01y y = -1

T: 02 x x = -2

Entonces: ... 224

rU

F

...;;;

...

00

22 rUr

r

rU

FFF

...;;;... 0022

rUr

rUrF

Nota: Los parámetro 1 y 2 han sido determinados de manera similar a los 3

y 4 .

3.3. Suponga que la fuerza de resistencia R de una placa plana sumergida en

un fluido depende de la densidad y viscosidad de este, así como la velocidad

y el ancho (b) y la altura (h), de la placa. Encuentre un conjunto conveniente

de parámetros para organizar los datos:

Solución:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


40

F: 2MLT

: 11 TML

: 3ML

V: 1LT

b: L

h: L

m = 3

n = 6

# = n-m = 6

La “matriz de dimensiones” es

la siguiente:

001102

111131

000111

T

L

M

hbVFr

Obs:

01

010

113

001

# de parámetros

representativos

= 3

bV ;;

Calculando los parámetros:

* FrbVcba

... 111

1

213000

1 ... 111 MLTLLTMLTLMcba

L: 013 111 cba c1 = -2

M: 011 a a1 = -1

T: 021 b b1 = -2

Entonces: 221

.. bV

Fr

* ... 222

2

cbabV

1113000

2 ... 222 TMLLLTMLTLMcba



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


41

L: 013 222 cba c2 = -1

M: 012 a a2= -1

T: 012 b b2= -1

Entonces: bV ..

2

* hbVcba

... 333

3

LLLTMLTLMcba

... 333 13000

3

L: 013 233 cba c3= -1

M: 03 a a3= 0

T: 03 b b3 = 0

Entonces: b

h3 Rpta.

3.4. La potencia por área de sección transversal unitaria, E, transmitida por

una honda sonora es una función de la velocidad de onda, V, la densidad el

medio, , la amplitud de la onda, r, y la frecuencia de la onda, n.

Determine, por medio del análisis dimensional, la forma general de la

expresión para E en términos de las demás variables.

Solución:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


42

Hallando las dimensiones de E:

Según el problema: 3

2

32

MTEL

TML

A

PE

El estado de un fluido es función de: ),,,,( nrVEff

El rango de nuestros números adimensionales será: nm#

m = 5 ; n = 3 235#

Donde:

3 MTLE (Potencia por área de sección transversal unitaria)

1 LTV (Velocidad de onda)

3 ML (Densidad del medio)

Lr (Amplitud de onda)

1Tn (Frecuencia de onda)

La “matriz de dimensiones” es la

siguiente:

001102

111131

000111

T

L

M

hbVFr

Hallando el mayor subconjunto

cuadrado:

01

010

113

001

Calculando los números :

* ErVcba

... 111

1

331000

1 ... 111 MTLMLLTTLMcba



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


43

M: 011 b b1 = -1

L: 03 111 cba c1 = 0

T: 031 a a1 = -3

Entonces. 31

.V

E

* nrVcab

... 222

2

131000

2 .... 222 TLMLLTTLMcba

M: 02 b b2= 0

L: 03 222 cba c2 = 1

T: 012 b b2= -1

Entonces: V

nr.2

Como: ),( 21 ff ).

,.

(3 V

nr

V

Eff

Despejando E: ).

(. 3

V

nrfVE Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


44

3.5. Para que dos máquinas hidráulicas sean homólogas, estas deben (a) ser

geométricamente similares, (b) tener el mismo coeficiente de descarga

cunado se miran como un orificio: 222111 22 gHAQgHAQ , y (c)

tener la misma reilación de velocidad periférica a velocidad del fluido,

AQD . Demostrar que las relaciones de escala pueden expresarse como

cteNDQ 3 y 2NDA . N es la velocidad de rotación.

Solución:

Se tiene

222111 22 gHAQgHAQ 2211 22 gHVgHV

2

1

2

2

1

H

H

V

V

Se sabe que: 21 ReRe

2

2

1

2

NDND

2

22

2

11 DNDN

2

1

21

2

1

D

D

N

N

AQD QDA ….. (i) donde:

222111 HAQHAQ ….. (ii)

22

211

1 HD

cteQQH

D

cteQQ

222111 HDHD

Entonces: 2

22

2

2

11

1

D

H

D

H

Rpta.

22

22

11

11

D

cteQA

D

cteQA



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


45

3.6. Se efectúan mediciones de la fuerza de arrastre sobre un modelo de

automóvil en un tanque experimental lleno de agua. La escala de la longitud

del modelo es 1/5 de la del prototipo. Establezca las consideraciones

requeridas para asegurar la similitud dinámica entre el modelo y el

prototipo. Determine la fracción de la velocidad del prototipo en aire, a la

cual la prueba del modelo debe realizarse en agua. Las mediciones

efectuadas a diversas velocidades indican que la razón de fuerza

adimensional se vuele conste a velocidades de pruebas del modelo por

arriba de Vm = 4m/s. La fuerza de arrastre medida durante una prueba a está

velocidad es Fm = 182N. Calcule la fuerza de arrastré esperado sobre el

vehiculo prototipo operando a 90km/hrs. en aire.

Solución:

Modelo (agua) Prototipo (aire)

./4 segmVm

.182NFm

?pV

segmhkmVp /25/90

?pF ?pF

2

5

1

5

1

p

m

p

m

A

A

L

L mp AA 25



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


46

Usando número de Reynolds.

pm ReRe

airep

pp

aguam

mmLVLV

Considerando que tanto el agua como el aire se encuentran a 20ºC

(Tabla Nº 4; Ref: 7)

./101 26 segmmagua

./10514.1 25 segmpaire

./998 3mkgmagua ./21.1 3mkg

paire

p

p

m

m

m

p

p

m

mmp

L

LV

L

LVV

Reemplazando los datos.

5

610154.1

5

1

101

4

pV

./11.12 segmVp Rpta.

Ahora por similitud dinámica:

ppp

p

mmm

m

AV

F

AV

F

....22

222

54

11.12

998

21.1.182

m

p

m

p

m

p

mpA

A

V

VFF

pF =50.58N. Rpta.

Ahora nos piden Fp para: segmhkmVp /25/90



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


47

mm

m

mm LLLV 6

6104

101

4Re

mmmmm

m

mDAAAV

FC

0228.0

.)4)(998(

)182(2

..

222

Luego hacemos una tabla para valores de segmVm /4

Re mL6104 mL6106 mL6108

mDC mA0228.0 mA0101.0 mA0057.0

Prototipo:

mm

p

ppL

LLV6

51026.8

10514.1

525Re

)10376.3( 7

08204045.0 xey

0.0228

0.0101

0.0057

4 6 8

m

Dm

A

CA 2)(

6

210.

)(m

m

D LL

C

Del grafico para: 61026.8Re

mL

3100462.5 mD AC m

DA

C3100462.5



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


48

Luego: pppDp AVCF ...2

1 2

m

m

p AA

F 25.25.21.1.100462.5

2

1 23

.7.47 NFp Rpta.

3.7. El arrastre de onda sobre el modelo de un buque es 16N. a una velocidad

de 3m/seg. para un prototipo 15 veces más grande ¿Cuál será la velocidad y

el arrastre correspondiente, si el líquido es el mismo en cada caso?

Solución:

Datos:

Como se trata de una superficie libre, para buscar la similitud dinámica.

Para hallar la velocidad del prototipo usaremos el número de Fraude:

Lg

VFr

2

, entonces 22

22

m

m

p

p

pp

p

mm

m VL

LV

gL

V

gL

V

m

m

p

p VL

LV

21

Reemplazando los datos: ./61895.11)/3(15 21

segmsegmVp

./61895.11 segmVp Rpta.

Hallando el coeficiente arrastre se tiene:

22

212

21 .... LV

F

AV

FC DD

D

Fm = 16N Vm = 3m/ seg. Lp/Lm = 15



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


49

DpDm CC ; 22

2122

21 .... ppp

Dp

mmm

Dm

LV

F

LV

F

22

m

p

m

p

DmDpV

V

L

LFF

Reemplazando los valores.

22

3

61895.11

1

1516

NFDp kNFDp 54 Rpta.

3.8. Un modelo a escala de 1/5 de un torpedo a prueba en un túnel de viento

para determinar la fuerza de arrastre. El prototipo opera en agua tiene

533mm de diámetro y 6.7m de longitud, la velocidad de operación deseada

del prototipo es 28m/seg. Para evitar los efectos de compresibilidad en el

túnel de viento, la velocidad máxima se limita a 110m/seg. Sin embargo, la

presión en el túnel de viento puede variar mientras la temperatura se

mantiene constante a 20ºC. En condiciones de prueba dinámicamente

similares, la fuerza de arrastre sobre el modelo se mide como 618N. Evalué

la fuerza de arrastre esperada sobre el torpedo a escala natural.

Solución:

Prototipo en agua Modelo en aire

L = 6.7m y V = 28m/seg

CTP º20 segmP /101 26

3/998 mKgP

(Tabla Nº6; Ref: 10,13)

Fm = 618 N

CTm º20 segmm /1054.1 25

3/21.1 mKgm (Tabla4; Ref: 7,8)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


50

Como los números de Reynolds son equivalentes, entonces:

pm ReRe

p

pp

m

mmLVLV

p

m

p

p

mm V

L

LV

)28)(5(

101

10514.16

5

mV

./6.2119 segmVm

Del coeficiente de arrastre se tiene: 22

212

21 .... LV

F

AV

FC AA

D

DpDm CC ; 22

2122

21 .... ppp

Ap

mmm

Am

LV

F

LV

F

m

p

m

p

m

p

AmApV

V

L

LFF

22

Reemplazando los valores.

21.1

998

6.2119

28

1

5618

22

NFAp

Entonces: NFDp 73.2223 Rpta



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


51


1) Se sabe que el coeficiente de transferencia de masa: KC; depende de las

siguientes variable:

SIMBOLO NOMBRES UNIDADES

V Velocidad m/seg.

Densidad Kg/m3

Viscosidad Kg/m-seg.

refL Longitud de referencia m

D Coeficiente de difusión m2/seg.

Kc. Coeficiente de transferencia de

masa

Kg./m2.seg.

Calcular todos los parámetros adimensionales:

Rpta: DD

L

D

LK refrefc

;;

2) Evaluar los parámetro adimensionales; Re; Pr y (Re x Pr)1/2

para el agua que

fluye sobre una placa delgada de longitud 3m, utilizando la siguiente

información: T = 80ºF; Cp = 0.997 BTU/lbm.ºF; hc = 3.0BTU/h.pies2 ºF; K =

0.615W/m y a = 2.18m/seg.

Rpta: Re = 7.4·106; Pr = 5.98

(Re x Pr)1/2

= 6652



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


52

3) Deduzca una expresión para la velocidad de líquido que sale de un agujero en

el costado de un tanque abierto si la velocidad depende de la altura H del

agujero desde la superficie libre, la viscosidad y la densidad del fluido, la

gravedad y el diámetro del agujero.

Rpta:

H

d

gHf

gH

V;

4) La razón de flujo de agua sobre un dique depende de la altura hidrostática del

agua, el ancho del dique, la gravedad, la viscosidad, la densidad y la tensión

superficial. Relacione la razón de flujo con las demás variables.

Rpta:

235;;

gHgHH

wf

gH

Q

5) La fuerza de arrastre FD; sobre una esfera lisa que cae en un líquido, depende

de la velocidad de la esfera V; la densidad del solidó S ; la densidad del

liquido y su viscosidad; el diámetro de la esfera D y la gravedad g. obtenga

una expresión para FD.

Rpta:

222;

..;

V

gD

DVf

DV

F SD



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


53

6) Se desea probar un modelo a escala 1:5 de un sistema de tuberías de una

estación de bombeo de agua para determinar las pérdidas de cabeza. Se

encuentra disponible aire a 25ºC y 1 atm. para una velocidad del prototipo de

500m/seg. en una sección de 4m de diámetro con agua 15ºC. determinar la

velocidad y la cantidad de aire necesarias, y como se convertirían las perdidas

determinadas en el modelo a perdidas e el prototipo.

Rpta: 36.98m/seg.; 18.59m3/seg. (las pedidas iguales se

expresan en cabezas de velocidad)

7) Se va realiza un estudio submarino de una marsopa empelando un modelo a

escala 1:10 se simulará una marsopa que nada a 10m/seg. y efectúa un

moviendo natatorio a cada segundo. ¿que velocidad podría emplearse en el

canal de agua? ¿Cuántos movimientos deben efectuarse por segundo?

Rpta: 5 movimientos/seg.

8) Se piensa a realizar un estudio con modelos dirigibles (un globo grande que

viaja por el aire) el dirigible de 10m de diámetro viajará a 20m/seg. si se

propone usar un modelo a 40cm, diámetro en un túnel de viento o un modelo

de 10cm de diámetro en un canal de agua ¿Cuál alternativa debe escogerse?

Suponga que el modelo del túnel de viento se prueba con una velocidad de

15m/seg. y se mide la fuerza de arrastre de 3.2N ¿Qué fuerza habría esperar

sobre el modelo de canal de agua con una velocidad de 2.4m/seg. en el canal?

¿Qué potencia en caballos de fuerza se predeciría para superar el arrastre



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


54

sobre el prototipo? Suponga que el flujo es independiente del número de

Reynolds para Re > 105

Rpta: 4.16N; 71.14Kw

9) Se tiene un avión que se desplaza a 1120km/h a una altitud de 15km ¿Cuál es

la velocidad requerida a una altitud de 7km a fin de satisfacer la semejanza

del número de Reynolds.

Rpta: 1180km/h.

10) La razón de flujo sobre un dique es de 2m3/seg. de agua en una canal de agua

se prueba un modelo a escala 1:10 del dique: si se mide una fuerza de 12N en

el modelo ¿Qué fuerza debe esperar en el prototipo?

Rpta: 12000N.

CAPITULO IV

ESTUDIO DEL

FLUJO INTERNO

INCOMPRESIBLE



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


56

4.1. Determine el flujo Q. utilice el gráfico para encontrar los coeficientes de

pérdidas menores.

100pies

80pies

80pies

H2O

T= 60ºF

Diámetro

Nominal 10'’

Válvula de

compuerta

abierta

20p

ies

Expansión repentina

Entrada con bordes agudos

Dnominal = 14 pulg

L = 30pies.

40º Φ = 6’’

A

B

Solución:

piesL 1001

pulgD 02.101

2pulgA 02.101 2

B pulgA 27.28

piesL 802 pulgD 02.102

2pulgA 02.102 0 atmBA PPP

manométrica

0

AV piesL 803 pulgD 02.103

2pulgA 02.103

piesL 304

pulgD 134 2pulgA 73.1324

Para un H2O a 60ºF, tenemos 3/938.1 piesslug y segpie /1022.1 25




___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


57

Aplicando la ecuación de energía en entre los puntos A y B.

hzg

Vpz

g

VpB

BBA

AA 22

22

………. (I)

hg

Vzz B

BA 2

2

Donde: h = hp + hs

2

2

22

2

2

22

2

2

22

1

2

11

2222 gD

VLf

gD

VLf

gD

VLf

gD

VLfhp

Donde:

BVV 4.01 ; BVV 4.02 ; BVV 4.03 ; BVV 4.04 .

pie

pulgVVVV

g

fhp BBBB

1

12

''13

21.030

''02.10

4.080

''02.10

4.080

''02.10

4.0100

2

2222

2024.2 BfVhp

g

VK

g

VK

g

VK

g

VK

g

VK

g

VKhs xxxxxx

222222

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

Considerando interior cte par tubería y codo.

B

x

Bx V

A

AV

Bx VV 4.0

De (Tabla Nº 13; Ref: 5)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


58

5.01 K : Entrada

168.02 K : Codo

168.03 K : Codo

11.04 K : Válvula

18.05 K : Expansión.

96.06 K : Difusor.

222

222

)4.0(96.0)4.0(18.0)4.0(11.0

)4.0(168.0)4.0(168.0)4.0(5.0

)2.32(2

1

BBB

BBB

VVV

VVVhs

2013.0 BVhs

Reemplazando en (I)

222 0155.0013.0024.2100 BBB VVVf

22 0285.0024.2100 BB VVf ……………. (II)

Como solo tenemos una ecuación pero con dos incógnitas, debemos de

realizar iteraciones.

cmD

mm

45.24

046.0 00018.0

D

Asumiendo un f = 0.015 de (Tabla Nº 9; Ref: 11)

Reemplazando en (II) obtenemos: 22 0285.0024.2)014.0(100 BB VV

segpiesVB /94.41

Calculando el número de Reynolds.

7

5104.334445809

)1022.1(

)02.10)(94.41(Re

VD Turbulento.

Buscando en (Tabla Nº14; Ref: 12)………

00018.0

104.3Re 7

D

f = 0.014



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


59

Lo cual nos indica que el valor asumido de f = 0.014 es el correcto.

Entonces hallando el caudal.

)19630)(/94.41(. 2pie.segpieAVQ

./23.8 3 segpieQ Rpta.

4.2. ¿Qué presión P1 se necesita para hacer circular 100lt/seg. de agua hacia el

aparato con una presión manométrica P2 = 40kPa? El diámetro de la tubería

de acero comercial es 150mm. Suponga que ./10113.0 25 segm

325m

260m

16

0m

26

m

K = 0.9

K = 0.9

aire

K = 1

K = 0.4

agua

A

B1

2

Aparato

N.R

Solución:

Datos:

segmQ /1.0 3 ;

kPap 402 ;

m15.02

(acero comercial);

segm /10113.0 25

006.0

De (TablaNº9;Ref:

5)

segmVAVQ /66.5.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


60

Luego el reynolds: 5105.7ReRe

VD……….. (a)

Para el tubo de acero comercial: 0004.0

D

……. (b)

Ahora con (a) y (b) en diagrama de Moody: De (Tabla N º 14; Ref: 12)

Obtenemos el f=0.017, luego aplicando bernoulli entre los puntos 1 y 2

hpgzgVp

zgVp

..2

.2

2

2

221

2

11

hpgzgVp

zgp

..2

. 2

2

221

1

…… (I)

Donde: sf hhhp

Entonces: 321

2

2LLL

g

Vfh f

mhh ff 863.137260160325)81.9(2

)66.5()017.0(

2

mhKg

Vh s

i

is 225.519.09.04.0)81.9(2

)66.5(

2

24

1

2

Reemplazando en la ecuación (I) 12

2

221 ...2

zghpgzgVpp

:

)088.143(81.9)26(81.9)160(81.92

66.5

1000

1040

1000

23

1

p

MPap 774.21 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


61

4.3. Un ducto de sección trapezoidal transporta 2 pie3/seg. de queroseno. La

rugosidad es de 0.0004pies. ¿Cual es la caída de presión en 100 pies de

ducto? La temperatura es 50ºF.

1pie100pies

10pulg

A B

60º 60º

Solución:

Hallando el área del trapecio: AT = 71.1735pulg2

Hallando el perímetro: Pm = 35.553pulg

El diámetro hidráulico pulgP

AD

m

TH 8

553.35

)1735.71(44

667.5065

22 Q

VA

QV Donde Q es el caudal.

g

V

D

Lfhp

g

Q

D

Lfhp

Ho

oo

2

8 2

2

2

5

2

5 )7.5065)(2)(8(8

oD

.2.9 pulgDo

Aplicando Bernoulli entre los puntos (A) y (B)

hpzg

Vpz

g

VpB

BBA

AA 22

22

hpp .



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


62

g

V

D

Lfhp

H 2

2

; pulgd

pies

4.14

0004.0

00033.0

d

(Tabla Nº 9;Ref: 5)

AVQ .

pulg/seg./segpulg

A

QV

3

75.682

34562

5

26

2

105.1)12)(1037.2(

)3048.0)(8)(75.68(Re

VD

En el diagrama de Moody (Tabla N º14; Ref: 12) f = 0.018

3

3

12

3048.0)/2.2)(/814(24.0

kglbmkgp

2pulglbp /107 3 Rpta.

4.4. A través de una tubería fluye agua con un caudal de 5lt/seg. si se miden

las siguientes presiones manométricas: p1 = 12kPa, p2 = 11.5kPa y p3 =

10.3kPa ¿Cuáles son las pérdidas de altura entre (1) y (2); y entre (1) y (3)?

P1 P2

P3

10m

D1 = 50mm.

D2 = 50mm.

D3 = 30mm.

1 2

3



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


63

Solución:

Calculemos la Pérdidas de altura entre (1) y (2):

Ecuación de Bernoulli con pérdidas:

212

2

221

2

11

22 hpHg

VpH

g

Vp

Despejando: 21

2

2

2

121

21 22HH

g

V

g

Vpphp

21

21

pphp

………… (I)

Reemplazando los datos del problema en la ecuación (I)

321 /9810

5.1112

mN

kPakPahp

mhp 050968.021

Rpta

Calculemos la Pérdidas de altura entre (1) y (3):

1) Hallando las velocidades V1 y V3

Se sabe que el caudal es igual producto de la velocidad y el área de la sección

transversal por el cual fluye el fluido. AVQ . .

Despejando la velocidad: 2

4

i

i

i

iD

QV

A

QV

.

Como segmQ /005.0 3 , entonces:

./546479.2)1050(

)105(44123

3

2

1

1 segmVD

QV

./073553.7)1030(

)105(44123

3

2

2

2 segmVD

QV



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


64

Aplicando la ecuación de Bernoulli con pérdidas entre los puntos (1) y (3).

313

2

33

1

2

11

22 hpHg

VpH

g

Vp

Despejando: 31

2

3

2

131

31 22HH

g

V

g

Vpphp

………… (II)

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (II)

010)81.9(2

073553.7546479.2

9810

103.101012 2233

31

hp

Entonces: mhp 9533588.731

Rpta.

4.5. Escoja el diámetro interno de la tubería de manera que el empuje

horizontal sobre la tubería ejercida por el agua no exceda el valor de 30kN.

La tubería del agua es 5ºC. No tenga en cuenta las pérdidas menores.

32m

130m

32m

a

b

1

Solución:

Hallando la presión en el punto (b), para ello vamos a aplicar la ecuación de

Bernoulli entre los puntos (1) y (b).



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


65

b

bb Hg

Vph

g

Vp

22

2

1

2

11

Despejando la presión en el punto (b).

b

bb hh

g

V

g

Vpp 1

22

11

22

Simplificando y reemplazando los valores en la expresión anterior:

g

Vhp b

b2

2

1

2500313920 bb Vp ………………… (I)

Aplicando Bernoulli con pérdidas entre (a) y (b).

bab

bb

a

aa hphg

Vph

g

Vp

22

22

Condiciones que se debe de tener en cuenta, para poder simplificar la expresión:

atma pp ; VVV ba ; ah : Nivel de referencia. mhb 32

329810

0 b

ba

php …………………….. (II)

Pero: g

V

D

Lfhp ba

2

2

D

Vfhp ba

225688.8 …….. (III)

Reemplazando la ecuación (III) en (II)

329810

25688.80

2

bp

D

Vf …………………….. (IV)

Luego la ecuación (I) reemplazamos en (IV), obteniendo la siguiente expresión.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


66

329810

50031392025688.80

22

bV

D

Vf Donde V = Vb

Simplificando la expresión se obtiene:

22

0509684.025688.8

640 VD

Vf …… (a)

Además la fuerza producida por la el agua debe ser menor o igual a 30kN. Esto es

igual a la siguiente expresión:

2

2VAF

Despejando V2:

A

FV

22

Tenemos: 2

2

2

32 3944.76

)4/)(1000(

)1030(2

DV

DV

….. (b)

Reemplazando (b) en (a)

23

8937.378.630640

DD

f

Multiplicando por D3 la expresión. fDD 78.6308937.3640 3 ….. (c)

Ahora de la ecuación (c) daremos un valor a f. La primera selección será:

f = 0.015.

Reemplazando tenemos: )015.0(78.6308937.3640 3 DD

4617.98937.3640 3 DD

De estos valores obtenemos de valor máximo para “D”:

D1 = -0.5671 m

D2 = 0.28353 m.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


67

D3 = 0.28353 m.

D = Dmax = 0.28353m = 283.53 mm.

Pasamos a determinar el caudal para poder hallar el número de Reynolds.

En la ecuación (b) y

= 1.55·10-6 m2/seg.

LV .Re

9

610222.3

1055.1

)162)(82703.30(Re

Para el acero comercial 046.0 (Tabla Nº 9; Ref: 5)

hallando la rugosidad relativa:

4106224.153.283

046.0 D

En el diagrama de Moody f = 0.039 (Tabla Nº 14; Ref: 12)

Este nuevo valor obtenido se lleva a la ecuación (c).

)039.0(78.6308937.3640 3 DD

60042.248937.3640 3 DD

Hallando el nuevo valor de “D”

D1 = -0.75497 m

D2 = 0.37748 m.

D3 = 0.37748 m.

Por lo tanto el máximo diámetro para la tubería es:

D2 = 0.37748 m. Rpta.

segmV /82703.30)28353.0(

3944.762



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


68

4.6. Determine la distribución del flujo de agua en el sistema de tuberías

ramificadas que se muestra en la figura:

a) Sin una BBA en la línea 1.

b) Incluya BBA en la línea 1 junto al depósito inferior. La curva

característica de la bomba está dada por: 21.04.0250 QQHp , con Hp

en metros, Q en m3/seg. El coeficiente de Hazen-Williams para todos los

tubos es: C = 130.

[1]

[2]

[3]

[4]

Alt:30m

Alt:250m

Alt:300m

Alt:200m

Tubo L(cm.) D(m) HD(m) HDJ (m)

1 200 500 30 180

2 600 300 250 180

3 1500 300 300 180

4 1500 400 200 180

Solución:

Se ha estimado que HDJ = 180m. de la ecuación de continuidad se tiene:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


69

g

V

D

LfHHhp DjD

2

2

1

1

1111

g

V

D

LfHHhp DjD

2

2

2

2

2222

g

V

D

LfHHhp DjD

2

2

3

3

3333

g

V

D

LfHHhp DjD

2

2

4

4

4444

Sea:

012.01 f ; 014.02 f ; 015.03 f ; 013.04 f .

Reemplazando los valores en (I)

g

V

D

LfHHhp DjD

2

2

1

1

1111

)81.9(25.0

200)012.0(30180

2

11

Vhp

segmQsegmV /8616.4/76.24 3

11

Análogamente:

segmQsegmV /4948.0/00035.7 3

22

segmQsegmV /396.0/602856.5 3

33

segmQsegmV /3565.0/837.2 3

44

Comparando:

segmQQQQ /614238.38616.43565.0396.04948.0 3

1432

(I)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


70

Hallando el numero de Reynolds; para T = 20ºC segm /101 26

7

6

111 102.1

101

)76.24)(5.0(Re

VD

6

2 101.2Re 6

3 1068.1Re 6

4 10134.1Re

Hallando la rugosidad relativa.

D

Sea: = 0.006 (acero comercial) De (Tabla Nº 9; Ref: 5 )

00012.050

006.0

1

D

0002.030

006.0

2

D

0002.030

006.0

3

D

00015.040

006.0

4

D

Del diagrama de Moddy: (Tabla Nº 14; Ref: 12)

0125.01 f ; 014.02 f ; 0145.03 f ; 013.05 f .

Sea: .70mHDj

En forma análoga al anterior, para los f :

Hallando las velocidades:

)81.9(25.0

200)0125.0(3070

2

1V segmQsegmV /4598.2/52839.12 3

11



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


71

segmQsegmV /79388.0/2306977.11 3

22

segmQsegmV /557668.0/8894.7 3

33

segmQsegmV /908957.0/2332565.7 3

44

Luego: segmQQQQ /199389.0 3

1432

Nuevamente para .50mHDj

Para:

0125.01 f ; 014.02 f ; 0145.03 f ; 013.05 f .

Hallamos las velocidades y caudales.

)81.9(25.0

200)0125.0(3050

2

1V

segmQsegmV /7394389.1/85889.8 3

11

segmQsegmV /836792.0/83819.11 3

22

segmQsegmV /58141.0/22527.8 3

33

segmQsegmV /97637683.0/76976.7 3

44

segmQQQQ /65514.0 3

1432

Luego para hallar el DjH más aproximado, hallaremos por

Interpolación:

.666.54

705099389.065514.0

65514.070

mH

H

Dj

Dj



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


72

Luego hallaremos los caudales aproximados:

g

V

D

LfHH DjD

2

2

1

1

11 ……(ii)

Reemplazando los valores en (ii)

)81.9(25.0

2000125.030666.54

2

1V

segmQsegmV /93174.1/8383.9 3

11

En forma análogamente hallaremos las velocidades y los caudales por las

tuberías restantes:

segmQsegmV /8269725.0/699268.11 3

22

segmQsegmV /5759585.0/148146.8 3

33

segmQsegmV /961069.0/64794656.7 3

44

4.7. Determine la distribución de flujo de agua en el sistema que se muestra

en la figura. Suponga factores de fricción constante, con f = 0.02. La

relación carga-descarga para la bomba es 21060 QHp .



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


73

ZA=0m

ZB=50m

ZC=48m

P

[2]

[4]

[5]

[1]

[3]

AD

E

B

C

Tubo L(m) D(mm) K

1 100 350 2

2 750 200 0

3 850 200 0

4 500 200 2

5 350 250 2

Solución:

Calculamos una longitud equivalente Lo en el tramo DE, de diámetro Do = D1 =

350mm

Donde: 320 hphphp

Entonces: 3210 QQQQ ……. (I); f = 0.02 (cte)

Además i

ii

fL

ghpDQ

8

25



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


74

En (I)

21

3

5

3

21

2

5

2

21

0

5

0

L

D

L

D

L

D 0

65

0 106.1 LD

Para D0 =D1 = 350mm mL 32730

Entonces el sistema de tuberías equivalente será:

ZA=0m

ZB=50m

ZC=48m

P

[1']

[4]

[5]hE

E

B

C

A

[1]

Tubo L(m) D(mm) K

1´ 3273 350 2

4 500 200 2

5 350 250 2

EE z

phc

Además, en el nodo E: 5411 QQQQ

Luego aplicando Bernoulli, tenemos:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


75

2

1

1

11

2

1 10602

QkD

Lf

g

VHphphz AEEA

k

D

Lf

g

Vhz EB

4

44

2

4

2

k

D

Lf

g

Vhz EC

5

55

2

5

2

Reemplazando datos tenemos:

60018298.10 2

1 Vhz EA

2

465036.2 Vhz EB

2

55295.1 Vhz EC

Nota:

16

4

1

22

1

2

1

dVQ

Para luego tabulando tendremos la siguiente tabla:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


76

Tanq. hE zA-hE Vi i

1 40 -40 1.4129 0.13594

2 40 10 1.9424 0.00102

3 40 8 2.2874 0.11228

1 44.35 -44.35 1.2499 0.12025

2 44.35 5.65 1.4601 0.04587

3 44.35 3.65 1.5450 0.07584

1 44.45 -44.45 1.2459 0.11987

2 44.45 5.55 1.4471 0.04546

3 44.45 3.55 1.5237 0.07480

1 44.48 -44.48 1.2447 0.119750

2 44.48 5.52 1.4432 0.045339

3 44.48 3.52 1.5173 0.074478

1 44.486 -44.486 1.2444 0.119727

2 44.486 5.514 1.4424 0.045314

3 44.486 3.514 1.5160 0.074415

1 45 -45 1.2236 0.11773

2 45 5 1.3735 0.04315

3 45 3 1.4007 0.00876

segmQ /119727.0 3

1

segmQ /045314.0 3

4

Satisface



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


77

segmQ /074415.0 3

5

Luego calculo de 2Q y 3Q

./119727.0 3

321 segmQQQ y 32 hphp ………..(II)

gD

QLf

gD

QLf25

3

2

333

25

2

2

222 88

32 DD

2

1

2

3

3

2

L

L

Q

Q 32 0645.1 QQ

Reemplazando en (II), obtenemos.

segmQ /057991.0 3

3

segmQ /061736.0 3

2

4.8. Una tubería se compone de dos segmentos de tubo en serie. La gravedad

específica del fluido es 0.81. si la bomba A suministra una potencia

constante de 1MW, determine la descarga, la carga de presión en las

bombas A y B, y la potencia requerida de la bomba B. La presión mínima

permisible en el lado de succión de la B es de 150 kPa, y ambas bombas son

0.76 eficientes.

Tubo L(m) D(mm) K

1

2

5000

7500

750

750

2

10

0.023

0.023



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


78

[1]

[2]

Alt: 0m

Alt: 50m

P

P

A

B

Alt: 27m1

2

Solución:

Aplicando Bernoulli en los puntos (1) y (2)

2

2

221

2

11

22Z

g

VPhfHHZ

g

VPBA

mZZPPPVV atm 5000 212121

).....(..........50 hfHH BA

g

V

Dh

LF

g

V

Dh

LF

g

VK

g

VK

g

V

Dh

LF

g

VKehf

222222

2

2

2

22

2

1

1

11

2

22

2

11

22

42

22

2121221121

16

D

QVperoVVVAAAVAVQQPero

gD

Q

Dh

LF

Dh

LFKKhf

42

2

2

22

1

1121

8

Reemplazando en ()

)81.9()75.0(

8

75.0

7500023.0

75.0

5000023.010250

42

2

QHH BA



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


79

).(..........238.10350 2 aQHH BA

Aplicando Bernoulli entre 1 y la succión en B

BBB

A Zg

VPhfHZ

g

VP

22

2

1

2

11

00 111 ZVamanometricP

)81.9()75.0(

81

42

2

1

1

11

QK

Dh

LFZ

PH B

BA

mZKPaP BB 27150

81.9)75.0(

812

75.0

5000023.027

981081.0

1015042

23

QH A

).......(825.40877.45 2 bQHA

Q

AnwH

n

HQAw A

A

9810)81.0(

76.0106

QH A

).......(644.95

cQ

H A

Reemplazando en (c) en (b)

2825.40877.45644.95

QQ

3825.40877.45644.95 QQ

segmQ /051.1 3 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


80

La carga de presión (HA) se halla.

Reemplazado Q en (c)

051.1

644.95AH

mH A 91

(HB) se obtiene remplazado (HA) y (Q) en (a)

2)051.1(238.1035091 BH

respuestamHB 73

n

QHW B

B

81.0

76.0

051.1981081.073

BW

KwW B 802

Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


81

4.9. Determine la distribución de suministro de agua de 14 tubos que se

muestran en la figura .la curva característica para la bomba esta

representada por los datos:

Hp(m) 166 132 18

Q(L/s) 0 600 1000

Solución: El siguiente problema se da solución mediante un programa DELPHI.

P

1500; 400

K=5K=8

610; 350914; 350

760

; 35

0

610; 3

50

914;350

760; 350

975; 300

457

; 300

610; 350

610; 350

61; 1

50

3

12 12 18

15

126

K=10

K=8

K=10

34

30

1215

110L/seg

110L/seg

60L/seg

60L/seg

60L/seg

Elevación en m.

Longitud en m.

Diámetro en mm.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


82

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, Menus, StdCtrls, ExtCtrls, Grids, Buttons;

type

TForm1 = class(TForm)

Panel1: TPanel;

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

Edit4: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit5: TEdit;

Edit6: TEdit;

Edit7: TEdit;

Edit8: TEdit;

Edit9: TEdit;

Edit10: TEdit;

Edit11: TEdit;

Edit12: TEdit;

Edit13: TEdit;

Edit27: TEdit;

Edit28: TEdit;

Edit29: TEdit;

Edit30: TEdit;

Edit31: TEdit;

Edit32: TEdit;

Edit33: TEdit;

Edit34: TEdit;

Edit39: TEdit;

Edit14: TEdit;

Edit15: TEdit;

Edit16: TEdit;

Edit17: TEdit;

Edit18: TEdit;

Edit19: TEdit;

Edit20: TEdit;

Edit21: TEdit;

Edit22: TEdit;

Edit23: TEdit;

Edit24: TEdit;

Edit25: TEdit;

Edit26: TEdit;

MainMenu1: TMainMenu;

Iniciar1: TMenuItem;

iniciar: TMenuItem;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


83

Nuevo2: TMenuItem;

Salir1: TMenuItem;

Ver1: TMenuItem;

Figura1: TMenuItem;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Label9: TLabel;

Label10: TLabel;

Label11: TLabel;

Label12: TLabel;

Label13: TLabel;

Label14: TLabel;

Label15: TLabel;

Label16: TLabel;

Label24: TLabel;

Label25: TLabel;

Label32: TLabel;

Label33: TLabel;

Label34: TLabel;

Label35: TLabel;

Label36: TLabel;

Label37: TLabel;

Label38: TLabel;

Label41: TLabel;

Label42: TLabel;

Label43: TLabel;

Label44: TLabel;

Label45: TLabel;

Label46: TLabel;

Label47: TLabel;

Label48: TLabel;

Label49: TLabel;

Label50: TLabel;

Label56: TLabel;

Label57: TLabel;

Label58: TLabel;

Label59: TLabel;

Label60: TLabel;

Label61: TLabel;

Edit38: TEdit;

SG1: TStringGrid;

BitBtn1: TBitBtn;

Label17: TLabel;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


84

procedure Figura1Click(Sender: TObject);

procedure Salir1Click(Sender: TObject);

procedure iniciarClick(Sender: TObject);

procedure Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);




































procedure Nuevo2Click(Sender: TObject);

procedure FormCloseQuery(Sender: TObject; var CanClose: Boolean);

procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

procedure SG1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


85

var

Form1: TForm1;

implementation

uses Unit2;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Figura1Click(Sender: TObject);

begin

form2.visible:=true;

end;

procedure TForm1.Salir1Click(Sender: TObject);

begin

If MessageDlg('Está seguro que desea salir del

programa',mtConfirmation,[mbyes,mbno],0)=mryes then

Begin

MessageDlg('Terminando la aplicación ',mtInformation,[mbOk],0);

Close;

End;

end;

procedure TForm1.iniciarClick(Sender: TObject);

begin

label1.Visible:=true;






















___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


86






















edit1.Visible:=true;





























___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


87










bitbtn1.Visible:=true;

edit1.SetFocus;

iniciar.Enabled:=false;

end;

procedure TForm1.Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

if key=#13 then

edit26.SetFocus;

if not(key in['0'..'9',#8,'.',',']) then key:=#0;

end;


begin

if key=#13 then

edit2.SetFocus;

if edit1.Text='' then

edit1.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit3.SetFocus;


edit2.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit21.SetFocus;


edit26.SetFocus;


end;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


88


begin

if key=#13 then

edit20.SetFocus;


edit21.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit4.SetFocus;


edit3.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit19.SetFocus;


edit21.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit5.SetFocus;


edit4.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit18.SetFocus;


edit20.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit6.SetFocus;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


89


edit5.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit17.SetFocus;


edit18.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit7.SetFocus;


edit6.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit16.SetFocus;


edit17.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit8.SetFocus;


edit7.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit15.SetFocus;


edit16.SetFocus;


end;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


90


begin

if key=#13 then

edit9.SetFocus;


edit8.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit14.SetFocus;


edit15.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit10.SetFocus;


edit9.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit25.SetFocus;


edit14.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit11.SetFocus;


edit10.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


91

edit24.SetFocus;


edit25.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit12.SetFocus;


edit11.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit23.SetFocus;


edit24.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit13.SetFocus;


edit12.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit22.SetFocus;


edit23.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit34.SetFocus;


edit22.SetFocus;




___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


92

end;


begin

if key=#13 then

edit32.SetFocus;


edit39.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit33.SetFocus;


edit34.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit31.SetFocus;


edit32.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit30.SetFocus;


edit33.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit29.SetFocus;


edit31.SetFocus;


end;


begin



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


93

if key=#13 then

edit28.SetFocus;


edit30.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit27.SetFocus;


edit29.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit38.SetFocus;


edit28.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

BITBTN1.SetFocus;


edit27.SetFocus;


end;


begin

if key=#13 then

edit39.SetFocus;


edit13.SetFocus;


end;

procedure TForm1.Nuevo2Click(Sender: TObject);

VAR I,J: INTEGER;

begin

edit1.text:='';

edit2.text:='';

edit3.text:='';



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


94

edit4.text:='';

edit5.text:='';

edit6.text:='';

edit7.text:='';

edit8.text:='';

edit9.text:='';

edit10.text:='';

edit11.text:='';

edit12.text:='';

edit13.text:='';

edit14.text:='';

edit15.text:='';

edit16.text:='';

edit17.text:='';

edit18.text:='';

edit19.text:='';

edit20.text:='';

edit21.text:='';

edit22.text:='';

edit23.text:='';

edit24.text:='';

edit25.text:='';

edit26.text:='';

edit27.text:='';

edit28.text:='';

edit29.text:='';

edit30.text:='';

edit31.text:='';

edit32.text:='';

edit33.text:='';

edit34.text:='';

edit38.text:='';

edit39.text:='';

for I:=1 to sg1.colcount do

for J:=1 to sg1.rowcount do

begin

SG1.CELLS[I,J]:='';

end;

SG1.Visible:=FALSE;

label1.Visible:=false;











___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


95


































edit1.Visible:=false;

















___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


96






















bitbtn1.Visible:=false;

iniciar.Enabled:=true;

end;

procedure TForm1.FormCloseQuery(Sender: TObject; var CanClose: Boolean);

begin

if application.messagebox('Desea salir del programa','good bye',

mb_okcancel+mb_iconinformation)=idok then

begin

canclose:=true;

end

else

canclose:=false;

end;

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

var d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10,d11,d12,d13,

l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9,l10,l11,l12,l13,

h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7,h8,h9,h10,

h11,h21,h31,h41,h51,h61,h71,h81,h91,h101,h111,h121,h131,K,

R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10,R11,R12,R13,

q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,

qI12 , qII12, qI10,qIII10,qI9,qV9,qII11, qIV11,qIII8,qV8, qIII13,qIV13,

P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,

PIII8,PV8,PI9,PV9,PI10,PIII10,PII11,PIV11,PI12,PII12,PIII13, PIV13,

M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,

MIII8,MV8,MI9,MV9,MI10,MIII10,MII11,MIV11,MI12,MII12,MIII13,MIV13,

U1,U2,U3,U4,U5,



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


97

QN1,QN2,QN3,QN4,QN5,QN6,QN7,QN8,QN9,QN10,QNII11,QN12,QNII12,QN

13, QN11, QII9,

qnII9,QNV8,QNIII8,QNI9,qnV9,QNI10,qnIV11,QNI12, QNIII10

,QNIII13,qnIV13: real;

I:INTEGER;

begin

d1:=strtofloat(edit1.Text); // dimensiones de la tuberia

d2:=strtofloat(edit2.Text);












l1:=strtofloat(edit26.Text); // longitudes de la tuberias

l2:=strtofloat(edit21.Text);












h1:=strtofloat(edit39.Text); // alturas de la tuberias

h2:=strtofloat(edit34.Text);









H11:=H2-h1;

H21:=h3-h2 ;

h31:=h4-h3;

h41:=h5-h4;

h51:=h10-h5;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


98

h61:=h10-h7;

h71:=h7-h8;

h81:=h8-h9;

h91:=h9-h2;

h101:=h6-h9;

h111:=h5-h6;

h121:=h6-h3;

h131:=h7-h6;

K:=0.002113;

sg1.Visible:=true;

label17.visible:=true;

sg1.Cells[0,0]:='Tuberia (i)';

sg1.Cells[0,1]:='1';

sg1.Cells[0,2]:='2';

sg1.Cells[0,3]:='3';

sg1.Cells[0,4]:='4';

sg1.Cells[0,5]:='5';

sg1.Cells[0,6]:='6';

sg1.Cells[0,7]:='7';

sg1.Cells[0,8]:='8';

sg1.Cells[0,9]:='9';

sg1.Cells[0,10]:='10';

sg1.Cells[0,11]:='11';

sg1.Cells[0,12]:='12';

sg1.Cells[0,13]:='13';

sg1.Cells[1,0]:='Q_nuevo(L/s)';

//los R

R1:=K* L1/EXP(4.87*LN(D1));

R2:=K* L2/EXP(4.87*LN(D2)) ;

R3:=K* L3/EXP(4.87*LN(D3));

R4:=K* L4/EXP(4.87*LN(D3));

R5:=K* L5/EXP(4.87*LN(D5));

R6:=K* L6/EXP(4.87*LN(D6));

R7:=K* L7/EXP(4.87*LN(D7));

R8:=K* L8/EXP(4.87*LN(D8));

R9:=K* L9/EXP(4.87*LN(D9));

R10:=K* L10/EXP(4.87*LN(D10)) ;

R11:=K* L11/EXP(4.87*LN(D11));

R12:=K* L12/EXP(4.87*LN(D12));

R13:=K* L13/EXP(4.87*LN(D13));

// los Qi Iniciales

q1:=320;

Q2:=200;

q3:=160;

q4:=50;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


99

q5:=30;

q6:=-30;

q7:=40;

qI12:=40;

qI10:=-100;

qI9:=-120;

qII11:=-90;

qII12:=-40;

qIII10:=100;

qIII13:=50;

qIII8:=-40;

qIV11:=90;

qiv13:=-50;

qV9:=120;

qV8:=40;

qn2:=0;

QN3:=0;

QN4:=0;

QNI12:=0;

qnii12:=0;

QNI9:=0;

QN7:=0;

QNIII8:=0;

QNV8:=0;

qnIV11:=0;

qnIV13:=0;

qnV9:=0;

qnII9:=0;

qnI10:=0;

qnII11:=0;

// Malla I

while (q2-qn2)/q2> 0.0001 do

begin

qn2:=qn2+q2;

P2:=2*R2*ABS(Qn2);

M2:=R2*ABS(Qn2)*Qn2+H21;

end;

while (qi12-qnI12)/qi12> 0.0001 do

begin

qnI12:=qn12+qi12;

PI12:=2*R12*ABS(QnI12);

MI12:=R2*ABS(QnI12)*QnI12+H21;

end;




___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


100

begin

qnI10:=qnI10+QI10;

PI10:=2*R10*ABS(qnI10);

MI10:=R2*ABS(QnI10)*QnI10+h101;

end;


begin

qnI9:=qnI9+QI9;

PI9:=2*R12*ABS(qnI9);

MI9:=R2*ABS(qnI9)*QnI9+H91;

end;

U1:=-(p2+pI12+PI10+PI9)/(M2+MI12+MI10+MI9);

QN2:=QN2+U1;

SG1.Cells[1,2]:=FLOATTOSTR(abs(QN2));

// malla II

while (q3-qn3)/q3> 0.0001 do

begin

qn3:=qn3+Q3;

P3:=2*R3*ABS(QN3);

M3:=R3*ABS(QN3)*QN3+H31;

end;

while (q4-qn4)/q4> 0.0001 do

begin

qn4:=qn4+Q4;

P4:=2*R4*ABS(QN4);


end;

while (qII11-qnII11)/qII11> 0.0001 do

begin

qnII11:=qnII11+QII11;

PII11:=2*R11*ABS(QnII11);

MII11:=R11*ABS(QnII11)*qnII11+H111;

end;

while (qII12-qnII12)/qII12> 0.0001 do

begin

qnII12:=qnII12+QII12;

PII12:=2*R12*ABS(QNII12);

MII12:=R12*ABS(QNII12)*QNII12+H121;

end;

U2:=-(p3+p4+PII11+PII12)/(M3+M4+MII11+MII12);



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


101

QN3:=QN3+U2;


QN4:=QN4+U2;


// Malla III

while (qIII10-qnIII10)/qIII10> 0.0001 do

begin

qnIII10:=qnIII10+qIII10;

PIII10:=2*R10*ABS(QNIII10);

MIII10:=R10*ABS(QNIII10)*QNIII10+H101;

end;


begin


PIII13:=2*R13*ABS(qNIII13);

MIII13:=R13*ABS(qNIII13)*qNIII13+H131;

end;

while (q7-qn7)/q7> 0.0001 do

begin

qn7:=qn7+q7;

P7:=2*R7*ABS(QN7);


end;


begin


PIII8:=2*R8*ABS(QNIII8);

MIII8:=R8*ABS(QNIII8)*QNIII8+H81;

end;

U3:=-(pIII10+pIII13+P7+PIII8)/(MIII10+MIII13+M7+MIII8);

QN7:=QN7+U3;


// Malla IV

while (qIV11-qnIV11)/qIV11> 0.0001 do

begin

qnIV11:=qnIV11+qIV11;

PIV11:=2*R11*ABS(qnIV11);

MIV11:=R11*ABS(qnIV11)*qnIV11+H111;

end;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


102

while (q5-qn5)/q5> 0.0001 do

begin

qn5:=qn5+q5;

P5:=2*R5*ABS(QN5);


end;

while (q6-qn6)/q6> 0.0001 do

begin

qn6:=qn6+q6;

P6:=2*R6*ABS(QN6);


end;

while (qIV13-qnIV13)/qIV13> 0.0001 do

begin

qnIV13:=qnIV13+qIV13;

PIV13:=2*R13*ABS(QIV13);

MIV13:=R13*ABS(QNIV13)*QNIV13+H131;

end;

U4:=-(pIV11+p5+P6+PIV13)/(MIV11+M5+M6+MIV13);

QN5:=QN5+U4;


QN6:=QN6+U4;


// Malla V

while (q1-qn1)/q1> 0.0001 do

begin

qn1:=qn1+q1;

P1:=2*R1*ABS(QN1);


end;

while (qV9-qnV9)/qV9> 0.0001 do

begin

qnV9:=qnV9+qV9;

PV9:=2*R9*ABS(qnV9);

MV9:=R9*ABS(QNV9)*QNV9+H91;

end;

while (qV8-qnV8)/qV8> 0.0001 do

begin

qnV8:=qnV8+qV8;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


103

PV8:=2*R8*ABS(QNV8);

MV8:=R8*ABS(QNV8)*QNV8+H81;

end;

U5:=-(p1+pV9+PV8)/(M1+MV9+MV8) ;

QN1:=QN1+U5;


//LOS QUE ASE REPITEN

QN8:=qniii8+(U3-U5);


QN9:= (qnv9)+ (U5-U1);


QN10:=(qnI10) + (U1-U3);


QN11:=qnII11 +(U2-U4);


QN12:= qnII12+(U2-U1);


QN13:= qnIV13+(U4-U3);


end;

procedure TForm1.SG1Click(Sender: TObject);

begin

SHOWMESSAGE('Mecanica de Fluidos 2...');

end;

end.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


104

Problemas propuestos

1) Por un ducto horizontal rectangular de madera de 1 pies por 1.5 pies, circula

aire en condiciones normales a un régimen de 5000 pies3 /min. Determinar la

perdida de carga, la caída de presión y la potencia suministrada por el

ventilador para superar la resistencia al flujo en 500 pies del ducto.

Rpta: 440 pies; 0.233 lb./pulg2; 5.11 hp.

2) Por una tubería de 0.12 m. de diámetro que tiene una contracción repentina a

una tubería de 0.06 m. de diámetro circula a razón de 0.4 m3/seg. Determine

la caída de presión a través de la sección de contracción ¿Cuánto de esta

diferencia de presión se debe a las pérdidas y cuanto se debe a cambio de

energía cinética?

Rpta: 133 kPa; 39.7 kPa; 93 kPa.

3) A través de 2 tubos capilares y desde un tanque fluye queroseno como se

muestra en la figura. Determine las alturas “h” para que flujo este a punto de

convertirse en laminar para cada tubo capilar. La temperatura del queroseno

es 40ºC. Ignore las pérdidas por entrada a los capilares y trate el problema

como cuasi-estática.

Rpta: 272 mm; 183 mm.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


105

4m

m

0.8m

5m

m

0.6m

h

2

1 A B

4) Desde el tanque A hacia el tanque B fluye agua 40ºC ¿Cuál es el caudal para

la configuración que se muestra? Ignore las perdidas por entrada del tubo

capilar al igual que las perdidas por salida.

Rpta: 3.7·10-4

Ls/seg.

0.4

m

0.1

m0

.3m

0.0

8m

min 001.0

A

B

Y

5) Una bomba suministra 100 kw de potencia a un flujo vertical en un

rascacielos, a 30 m. una turbina extrae 20 kw de potencia ¿Qué tan alto puede

llegar el tubo hasta la siguiente bomba si esta requiere una presión

manométrica de entrada de 10000 Pa.? El caudal “Q” es 1m3/seg. suponga

que segm /1001141.0 24 .

Rpta: 22.8 m



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


106

6) Una tubería de acero comercial de 6 pulg. conduce 5 pies3/seg. de agua a 60ºF

hacia un aparato con una válvula “B” cerrada y una válvula “A” abierta. En

una emergencia, la válvula “A” esta cerrada y la válvula “B” se abre de

manera que los 5 pies3/seg. chocan con la superficie EG en forma

permanente como escape para este ultimo caso. ¿Cuál es la potencia requerida

por la bomba y cual es la fuerza sobre EG? Considere que a la salida se tiene

un chorro libre ignore la distancia desde B hasta EG.

Rpta: 94 hp; 247 lb.

100 pies500 pies

B

30 pies

bombadeposito grande

Aparato20 pies

E G

B

K = 0.1

K = 0.1

Φ = 6 pulg

A



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


107

7) Para la figura mostrada se tiene un flujo de 2 m3/seg. en la tubería. ¿Qué

potencia de salida cabe esperar de la turbina con una eficiencia 85%, si la

diferencia de altura de las superficies de los depósitos es de 60 m.?

Rpta: 932 kw.

300 m

P

Turbinadeposito grande

Agua

20ºCAgua

15ºC

Tubería de hierro colado

de 20 cm. de diámetro



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


108

8) Se tiene agua a 10ºC ( segm /10307.1 26 ): circulara del deposito A al

deposito B a través una tubería de hierro fundido ( = 0.26 mm.) de 20m de

longitud a un segmQ /002.0 3 , como se muestra. El sistema contiene una

entrada de borde ahusado y 6 codos regulares de 90º con rosca. Determine el

diámetro necesario para la tubería.

Rpta: 45mm.

Longitud total L = 200m.

A

B

2

1Elevación z2 = 0 m.

Elevación z1 = 2 m.

9) Calcular la distribución de flujo y la caída de la línea de declive hidráulico

para la disposición de los tres tubos paralelos que se muestra; utilice factores

de fricción variable; con = 10-6

m2/seg. donde la entrada total del agua es Q

= 0.02m3/seg.

Tubo L(m) D(m) e(mm) K

(1) 100 0.05 0.1 10

(2) 150 0.075 0.2 3

(3) 200 0.085 0.1 2

Rpta: Q1 = 0.0031 m3/seg; Q2 = 0.00727 m

3/seg; Q3 = 0.00962 m

3/seg.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


109

[1]

[2]

[3]

Q

10) Con la válvula cerrada, del deposito A al B el agua fluye como se muestra en

la figura. ¿Cuál es el caudal hacia el tanque B cuando la válvula se abre para

permitir el paso del agua también hacia el deposito “C”? Ignorar todas las

pérdidas menores y suponer que el factor de fricción es 0.02 para todos los

tubos.

Rpta: 0.0180 m3/seg.

C

Diámetro de cada tubo = 0.1 m.

80m 40m

75m

Elevación = 15m.

Elevación = 0

Elevación = 0

A

B

C



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


110

11) Para el sistema mostrado determinar la distribución de flujo Qi de agua y la

carga piezometrica H en la unión. La bomba tiene una potencia de 20 Kw.

suponer factores de fricción constantes.

Tubo L(m) D(m) f K

(1) 50 0.15 0.02 2

(2) 100 0.10 0.015 1

(3) 300 0.10 0.025 1

Rpta: Q1 = 54 L/seg.; Q2 = 32 L/seg.; Q3 = 21 L/seg. H = 44 m.

[1]

[2]

[3]

Alt: 10m

Alt: 30m

Alt: 15m

B

12) Para un caudal de 30L/seg. hacia B en la figura mostrada ¿Cuál es la cabeza

producida por la bomba? ¿Qué potencia se requiere para una eficiencia del

70%?

Rpta: h = 13m; P = 3.44Kw.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


111

Alt: 17 m

Alt: 27 m.

Alt: 30 m.

B

L = 300 m.

D = 300 mm.

ε = 3 mm.

L = 300 m.

D = 200 mm.

ε = 1 mm. L = 1000 m.

D = 200 mm.

ε = 1 mm.

L = 300 m.

D = 300 mm.

ε = 3 mm.

Alt: 0 m.

J

13) Los tanques (1) y (2) están expuestos a la atmósfera pero el tanque (3) tiene

una presión manométrica. P = 50 lb/pulg2; se tiene los siguientes datos:

z1 = 650 pies L1 = 2000 pies D1 = 3 pies

1D

e= 0.001

z2 = 600 pies. L2 = 2500 pies. D2 = 3.5 pies.

2D

e= 0.002

z3 = 50 pies. L3 = 2200 pies. D3 = 4 pies.

3D

e= 0.002

¿Cuáles son los caudales en las tuberías? El agua se encuentra a 60ºF. Ignorar

perdidas menores.

Rpta: Q1 = 227pies3/seg.; Q2 = 243pies

3/seg.; Q3 = 467pies

3/seg.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


112

L1 L2

z1

z2

z3L3

1

2

p3

CAPITULO V

TEORIA DE LA

CAPA LÍMITE



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


114

5.1. Hacia un aparato se aproxima agua; el aparato debe desviar una porción

del flujo. El agua se mueve con una velocidad U = 3m/seg. y se

encuentra a una temperatura de 5ºC. A que distancia de A a lo largo de la

parte horizontal del aparato la capa limite laminar tendrá un espesor de

1.2mm. Utilice la solución de Blasius.

Solución:

Utilizando la solución de Blasius tenemos:

21

Re96.4

xx

……………… (I)

Como. T = 5ºC tenemos: sm /1055.1 26 (Tabla Nº 6; Ref: 10)

Uxx Re

6

3

1055.1

)102.1)(3(Re

x 58.2322Re x

Sabiendo que: mm3102.1

Reemplazando en (I) tenemos:

21

Re96.4

xx

21

)58.2322(96.4

102.1 3

x

x = 0.0117m. Rpta.

5.2. Con el perfil: 2.sen yUu , determine la relación x utilizando

la ecuación integral de momentum de Von Kárman para un gradiente de

presión nulo, ¿Cuál es el porcentaje de error de su resultado comparado con

la solución exacta de Blasius?

Solución:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


115

2.sen yUu

Condiciones de contorno: 1..cc 0y 0u

2..cc y Uu

3..cc y 0dy

dVx

Aplicando estas condiciones se tiene:

1. 00 ¡Correcto!

2. Uu ¡Correcto!

3. 022cos yUdy

dVx ¡Correcto!

Haciendo: zy

zy dzdy

En la ecuación de Von Karman se tiene:

dy

V

V

V

V

xV

oo

o

0

2 1

dz

zz

xU

1

0

2

2 2sen

2sen

Integrando se tiene:

xU

13662.0

2…………….. (I)

También: 0

y

x

dy

dV



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


116

0

.22.cos

y

yU

2

U …………. (II)

(II) en (I): xU

U

13662.0

2 2

d

U

dx4975.11

U

x

232

2

1

212

1

795.4x

x

U

x

21

795.4

xUx

Entonces: 2

1

795.4

xUx

Rpta.

Calculo de o en la pared: de Ecu. (II) se tiene que

2

Uo

2

1

Re795.42 x

o

x

U

U

U

x

Uxo

21

Re3276.0

2

1

Re3276.0 2

xo U

Según Blasius: 2

1

Re96.4

xx

% error = %3266.310096.4

795.496.4

Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


117

5.3. Aire fluye en la región de entrada de un ducto cuadrado, como se muestra

en la figura. La velocidad es uniforme segmuo /30 , y el ducto es de

300mm. de lado. En una longitud de 8m aguas abajo desde la entrada, el

espesor del desplazamiento, * en cada pared mide 1.0mm. determine el

cambio de presión entre las secciones (1) y (2); desprecie todo tipo de

pérdidas.

h =

0.3

m

x

ou=

1.0

mm

.* 2

300mm

30

0m

m

1 2

Solución:

Como el flujo másico es constante entonces se cumple:

21

mm 2211 AVAV

Pero: bhA 1 y *

22 2 hbA

Luego: *

22 2 hbVbhUo

0067114.12 *

2

2

h

h

U

V

o

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


118

hpzg

Vpz

g

Vp 2

2

221

2

11

22 hp = 0

1

2

2

22

21

o

oU

VU

gpp

kpapp 06.610067114.130)81.9(2

9810 22

21 Rpta.

Además sabemos: dyV

V

2

0 0

*

2 1

Usando:

71

2

y

V

V

o

20 2

2

0 2

*

2

2 71

2 71

11

y

dy

dyy

88

71 2

02

2

*

2

27

8

y

m008.08 *

22 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


119

5.4. Aire estándar fluye entre dos placas paralelas como se muestra. La placa

superior es porosa de B a C y se inyecta aire a través de está superficie.

Como resultado, la velocidad de corriente libre, U(x), varia como

1)( xCUxU o , donde

1

1 4 sC y “x” es la distancia en metros medida

desde B. Una capa límite laminar se desarrolla a lo largo de la superficie

inferior; en mx 05.0 mm5.3 . Suponga que la distribución de la

velocidad en está capa limite es lineal. Estime la relación de crecimiento de

la capa limite dxd , en mx 05.0 .

segmUo /5 Uy

x

B C

Solución:

Dado: xxU 45)(

Para: mx 05.0

mm5.3

Por dato el perfil de velocidad es lineal.

byau



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


120

0y 0u 0a

y 0dy

du

y 0u

ub

y

U

u

U

y

u

y

0

…………. (I)

Por definición del en el flujo comprensible tenemos:

6

11 2

0

2

dx

dudy

U

u

U

u

yu

………………. (II)

Igualando la ecuación (I) y (II)

dx

dU

6

)45(

6

xdx

d

Donde el aire estándar(Tabla Nº 4; Ref: 7,)

3/29.1 mkg ; 25 /.N1071.1 mseg

Reemplazando datos:

))05.0(45)(29.1(105.3

)1071.1(63

5

dx

d 31037.4

dx

d Rpta.

5.5. Sobre una placa plana se mueve con una velocidad de corriente libre

uniforme de 30pies/seg. En una posición localizada a 6 pies del borde

frontal de la placa. ¿Cuál es el espesor de la capa limite? ¿Cuál es el



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


121

esfuerzo cortante sobre la superficie de la placa? Suponga que la capa limite

es laminar.

La temperatura del aire es 100ºF y la presión absoluta es 14.7lb/pulg2.

Resuelva este problema utilizando:

a) El perfil parabólico en la capa limite.

b) El perfil cúbico en la capa limite.

c) El resultado de la solución analítica de Blasius.

Solución:

a) Para un perfil parabólico:

2cybyU Para f (laminar) 0y 0U

y Uu

y 0dy

du

2

2

yy

U

u ……………. (I)

UyU

y

U

y

2

8

22

0

…………. (a)

xd

dUdy

U

u

U

u

dx

dU

15

21 2

0

2

……… (b)

Igualando las ecuaciones (a) y (b)

dxU

d

15 C

U

x

15

2

2



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


122

Para 00;0 Cx tenemos: U

x

30

Reemplazando datos tenemos:

.1081.5)30)(07084.0(

)6)(10992.3(30 37

pies

Rpta.

Reemplazando en (a).

)10813.5(

)30)(1099.3(23

7

psi51086.2 Rpta

b) Para un perfil cúbico:

3yyU Para f (laminar) 0y 0u

y Uu

y 0dy

du

3

3

22

3

yy

U

u

2

3

0

U

y

U

y

…………. (c)

xd

dUdy

U

u

U

u

dx

dU

840

1171 2

0

2

….……… (d)

Igualando (c) y (d).

Ordenando tenemos:

ddx

Udx

dU 2

117

)3(840

840

117

2

3



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


123

Integrando tenemos:

U

x

U

xC

39

840

89

840 2 Para: 00;0 Cx

Reemplazando datos: pies31093.4 Rpta.

En (a) psipielb 52

3

3

1053.2/64.3)1093.4(2

)1099.3)(30(3

Rpta.

c) Por la solución de Blasius:

21

21

)6)(30(07084.0

1099.3)6(96.496.4

7

xVx

o

Entonces: pies31026.5 Rpta.

21

21

)16)(30(07084.0

1099.3)30)(0708.0(332.0332.0

722

xVV

o

o

psipielb 523 106.2/10744.3 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


124

Problemas propuestos.

1) Se desea que una región laminar tenga por lo menos 2 m. de longitud sobre

una placa plana lisa. Se cuenta con un túnel de viento y un canal de agua.

¿Qué velocidad máxima puede escoger para cada uno? Suponga una baja

intensidad de fluctuación de la corriente libre.

Rpta: 4.5 m/seg.; 0.3m/seg.

2) Suponga que

2sen

yUu en una capa limite con gradiente de presión de

cero. Se pide calcular ?)( ko .

Rpta: x

UU

.33.0

3) Se tiene que el perfil de velocidad en cierta posición x dentro de la capa limite

es:

2

2210)(

yyyu ; una línea de corriente esta a 2cm de la placa plana

en el borde delantero ¿A que distancia está de la placa cuando x = 3m. (es

decir, cuanto vale h)?. Además, calcule el espesor de desplazamiento en x =

3 m. compare el espesor de desplazamiento con (h-2)cm.

Rpta: 21mm; 1mmm.

10 m/seg

Línea ó corriente

Capa límite 10 m/seg.

3 m.

u(y)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


125

4) Una placa plana lisa de longitud l=6m. y ancho b = 4m. se coloca en agua con

velocidad arriba de U = 0.5m/seg.; determinar el espesor de la capa limite y el

espesor cortante en la pared en el centro y el borde de la salida de la placa.

Suponga una capa limite laminar.

Rpta: 0.013m; 0.0716N/m2

0.0183m; 0.0506N/m2

5) Por una placa lisa circula agua con una velocidad corriente arriba de v =

0.02m/seg. determinar la velocidad del agua a una distancia de 10mm. de la

placa a distancia de x = 1.5m y x = 15m del borde principal.

Rpta: 0.00718 m/seg.

0.00229 m/seg.

CAPITULO VI

FLUJO

ALREDEDOR DE

CUERPOS

SUMERGIDOS



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


127

6.1. En el pasado los transatlánticos se equiparon con hidroaletas plegables

con el propósito de mantener la estabilidad durante las tormentas. Si el

barco se mueve a una velocidad de 40 nudos. ¿Cuál es el arrastre por

fricción superficial sobre las hidroaletas si cada una tiene 2m de longitud

y 2m de ancho? Para el agua de mar a 10 ºC, el coeficiente de viscosidad

es 23 /.10395.1 msegN y la densidad es 3/1026 mkg la

transición ocurre a 610Re cr . Calcule el arrastre superficial sobre las

hidroaletas suponiendo una capa limite turbulenta para toda su longitud.

Luego calcule el arrastre superficial teniendo en cuenta la porción

laminar de la capa limite.

b= 2

m

L= 2m

dAo

Analizando una hidroaleta

Solución:

Datos: ./5916.20/51479.0

40 segmnudos

segmnudosVbarco

Para el agua de mar a 10 ºC: 23 /.10395.1 msN y 3/1026 mkg

Para una capa limite de transición:

15/1Re1700Re074.0

xxfc …………. (I)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


128

Calculo de xRe :

Vxx Re

Tenemos: 35.30289579)10395.1(

)2)(5916.20)(1026(Re

3

x ……. (II)

Luego, reemplazando (II) en (I):

12/1 )35.30289579(1700)35.30289579(074.0 fc

3103.2 fc

La fuerza de arrastre viene dado:

bLVcFa f

2

21

Como en una hidroaleta se analiza en las dos superficies, luego:

kNFa 4)4()5916.20)(1026(103.2 23

Como son dos hidroaletas la fuerza de arrastre total será:

.82 kNFaFatotal Rpta

Suponiendo una capa limite turbulento se tiene:

51

Re074.0

xfc

310360332.2 fc

La fuerza de arrastre es: )4()5916.20)(1026(10360332.2 23aF

.11.4 kNaF

La fuerza de arrastre total de las dos hidroaletas será:

.22.82 kNaFaF total Rpta



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


129

Ahora teniendo en cuenta la porción laminar se tiene:

51

Re327.1

xfc

41041115.2 fc

La fuerza de arrastre es: .577.419 NaF

La fuerza de arrastre total de las dos hidroaletas será:

.154.8392 NaFaF total Rpta

**. Comentario: Se observa que en la capa limite de transición la fuerza de

arrastre está en compresión y es mucho mayor en comparación a la capa

límite turbulento y laminar.

6.2. ¿Cuál puede ser el peso del avión Mustang, si el ala tiene un área de la

forma en planta de 233pies2

y vuela con un ángulo de ataque de 3º a una

velocidad de 210 millas/hora. El aire se encuentra a 60ºF. ¿Cuál es la

potencia requerida para superar el arrastre de ala a está velocidad? Los

alerones se encuentra a cero grados.

α= 3º

FS

W

FA

u



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


130

Solución:

Datos:

horamillasU /210

2233piesA

º3

Para: FT º60 3/0769.0 pielbm

(Tabla Nº 4; Ref: 10,14)

Alerones a ºo

?aviónW ?potenciaP

a) De la figura: Sy FWF 0

Pero: ACUFs S

2

21

Hallando 35.0SC : de tablas para:

º3 y alerones º0 (Tabla Nº 8; Ref: 15)

SFW

2

2

21

1

47.1)233)(35.0()210)(0769.0(

seg

pie

mphWavión

lbf

NlbfWavión

1

448.489273.29880

Entonces: kNWavión 102.1329 Rpta.

b) Hallando la potencia requerida:

AVCVFP AA

3

21

Pero: 02.0SC (Fig. Nº 13; Ref: 15)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


131

3

3

21

1

47.1)233()210)(0769.0)(02.0(

seg

pie

mphP

kWP 146.7146 Rpta.

6.3. Una chimenea de 15cm de diámetro en un camión semirremolque se

extiende 2m verticalmente hacia arriba. Estime la potencia en caballos de

fuerza que la chimenea requiere para una velocidad de 90km/h.

Solución:

Datos:

.15.015 mcm

.2mL

segmhkmV /25/90

3/225.1 mkg

segmkg ./10781.1 3

?Pot

Hallando el número de Reynolds.

5

51058.2

10781.1

)15.0)(25)(255.1(Re

HVD

Obtenido el número de Reynolds, buscamos en(Tabla Nº 2; Ref:15): 78.0AC

4

15.0)25)(225.1)(78.0(

22

212

21

AVCF AA

NFA 25.3

Por definición tenemos que: VFPot A

WsegmNPot 25.81)/25)(25.3(

Entonces: HPPot 11.0 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


132

6.4. Un vehiculo se mueve a una velocidad de 10km/h sobre agua en la cual

penetra un par de timones plegables. El ancho del timón es constante e igual

a 0.75m y la longitud que se extiende dentro del agua es 1m. ¿Cuál es el

arrastre superficial sobre los timones si la transición ocurre a 5105Re cr ?

El agua es dulce y su temperatura es 15ºC.

1m.

0.75mV = 100Km/h

agua

Solución:

Sabemos:

Para Re transición.

1Re1700Re031.0 71 LLAC ; 5105Re cr …… (I)

VLL Re …… (II)

6

31002.24

10155.1

)1)(36/1000(999Re

L …… (III)

Reemplazando la (III) en (I)

3166 1066.2)1002.24(1700)1002.24(031.0 71

AA CC

Sabemos que FA es: AVCF AA

2

21



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


133

NFA 92.768)75.0()778.27)(999)(1066.2( 23

21

Pero como el timón tiene cuatro caras, la fuerza de arrastre sobre los timones es.

)92.768(44 NFF Atotal

NFtotal 68.3075 Rpta.

6.5. Un túnel de viento de laboratorio tiene una sección cuadrada de prueba

con lados de ancho w=305mm. y longitud 610mm. cuando la velocidad de

aire de la corriente libre en la entrada de la sección de prueba es

segmU /4.241 , la pérdida de carga desde la atmósfera es 6.5mm. de H2O.

Se forman capas límites turbulentos sobre la parte superior, inferior y las

paredes laterales de la sección de prueba. Las mediciones indican que los

espesores de las capas limite son .3.201 mm en la entrada y

.4.252 mm en la salida de la sección de prueba. Sin perfiles de velocidad

son de la forma del exponente 1/7. Evalué la velocidad del aire de la

corriente libre en la salida de la sección de prueba. Determine las presiones

estáticas en la entrada y la salida de la sección de prueba.

Solución:

Como es un flujo turbulento en 7/1n , sabemos:

1

0 00 0

*/11 yd

V

Vdy

V

VLL



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


134

10

87

1

0

*7

87

1

1 nnndn LLL

8

* LL

Para los dos casos:

.5875.28

3.20

8

1*

1 mmmmL

L

.175.38

4.25

8

2*

2 mmLL

δ

δ*

W-2δ*

W-2δ*

sección transversal del túnel de viento

Sabemos por continuidad 21 QQ

2211 VAVA

22*

11 )5375.2(25.3025.30 A

2

1 431.646 mmA

22*

22 )175.3(25.3025.30 A

2

2 2225.583 mmA

21 2225.583431.646 VV

Entonces: ./044.272 segmV Rpta.

Si por Bernoulli tenemos:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


135

2

2

221

2

11

22z

g

Vpz

g

Vp

22

2

1

2

221 VVpp

2

4.24

2

27204.1

22

21 pp 45.8021 pp Pa. Rpta.

6.6. Un avión de combate se mueve en el suelo después de aterrizar a una

velocidad de 350km/h. cuando el piloto despliega su paracaídas de freno. El

coeficiente de arrastre para el paracaídas es 1.2 y su área frontal es 30m2. El

avión tiene un coeficiente de arrastre de 0.4 y un área frontal de 20 m2. Si el

motor se encuentra apagado. ¿Cuánto tiempo se demora para desacelerar

desde 350km/h hasta 200km/h. el aire se encuentra a 10ºC y el avión tiene

una masa de 8000kg. ¿Cuál es la desaceleración máxima entre la gravedad.

Ignore la resistencia al giro de las ruedas?

Solución:

FA avión

FA paracaídas



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


136

segmhkmVo /22.97/350

segmhkmV f /55.55/200

2.1ApC 230mAp

4.0AaC 220mAa

.8000kgmavion

Para T = 10ºC de tabla 3/29.1 mkg


Aplicando la 2da ley de Newton en x

amF

AVCdt

dVmFA

2

21

Entonces:

dt

dVmVACAC aAappA 2

21

fV

V

t

aAappAV

dVmdtACAC

0

2

0

21

fV

V

aAappAV

mtACAC

0

21

f

f

aAappA VV

VV

ACAC

mt

0

02

Entonces:

segt 175.2)55.55)(22.97(

55.5522.97

)20(4.0)30(2.129.1

)8000(2

segt 175.2 Rpta.

La desaceleración máxima es para: maxVVo



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


137

aAappAo ACACV

ma 2

max2

1 ; reemplazando los valores.

)20(4.0)30(2.1)22.97)(29.1()8000(2

1 2

max a

2

max /53.33 segma

Entonces:

4179.3/81.9

/53.332

2

max

segm

segm

g

a Rpta.

6.7. El viento cruzado impulsa un bote quien lleva un perfil NACA-2415. si

el viento sopla con 20km/h y el bote a 4km/h. El perfil es de 1m. de alto con

longitud de cuerda de 4m calcular el empuje hacia delante T y lateral F, del

viento sobre el bote, considere un ángulo de ataque de 20º.

Solución:

Realizando el D.C.L del perfil NACA-2415

FS

W

FA

Φ θ

α

Φ

Φ

T

F



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


138

El ángulo de ataque es: º69.820

4arctanº20arctan

V

U

Para el perfil NACA 2415 de tablas se tiene: (Tabla Nº 9; Ref: 15)

15.1SC Y 011.0AC

./4.20204 2222 hkmVUW

22

22

21

)1000/1()3600(2

)4.20)(4)(15.1(19.1 AWCF SS NFs 9.87

22

22

21

)1000/1()3600(2

)4.20)(4)(011.0(19.1 AWCF DA NFs 841.0

Por equilibrio tenemos: W

FUFVFFT AS

AS

)()(sencos

Reemplazando los valores: 4.20

841.0)4(9.87)20( T .86NT Rpta.

También: W

FVFUFFF AS

AS

)()(cossen

Reemplazando los valores: 4.20

841.0)20(9.87)4( F

.1.18 NF Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


139


1) Un iceberg, flota con una aproximadamente 1/7 de su volumen fuera de la

superficie como se muestra si la velocidad del viento es U y el agua es

estacionaria, calcular la velocidad a que el viento mueve el iceberg por el

agua.

Rpta: 0.0187U.

1/7 volumen en aire

6/7 volumen en agua

2) Un globo de 80cm. de diámetro que pesa 0.5N esta lleno de helio a 20ºC y 20

kPa, sin tener en cuenta el peso del helio, estime la relación que existe cuando

el ángulo vale 70º y 50º.

Rpta: 24/23

α

4 m.

V



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


140

3) Un ciclista de carrera puede mantener una velocidad máxima de 50km/h.

estime la fuerza de arrastre que se debe exclusivamente a su cabeza. Si

suponemos que usa un casco fuselado bien ajustado, estime la fuerza de

arrastre reducida.

Rpta: 3.3N; 0.29N

4) Un automóvil con área de sección transversal de 3m2 recibe su potencia de un

motor de 40hp. Estime la velocidad máxima posible si la transmisión tiene

una eficiencia de 90% (La potencia del motor se cita justo antes de la

transmisión).

Rpta: 125km/h.

5) Suponga que la velocidad en las esquinas de un automóvil donde esta situado

los espejos retrovisores es de 1.6 veces la velocidad del automóvil. ¿Cuánta

potencia requieren los dos espejos retrovisores cuyo diámetro es de 10cm.; si

la velocidad del automóvil es de 100km/h?

Rpta: 0.3hp.

CAPITULO VII

FLUJO

COMPRESIBLE

EN DUCTOS DE

SECCION

VARIABLE



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


142

7.1. En una caja de toberas de una turbina de vapor el fluido se encuentra a

500psia y 800ºF que ingresa a una tobera convergente – divergente,

isentrópica para salir a 100psia a razón de 5lb/seg. Hallar la velocidad del

fluido a la salida en (pies/seg.); el área de salida de la tobera en (pies2) y

el área de la tobera en la garganta en (pies2).

Solución:

Po = 500psi

To = 1260ºR

Aire

seglbm /5

P2 =100psi

2

A*

Para el caso del aire: (Tabla Nº 4; Ref: 7)

Rlb

piesR

º1717

2

2

; 4.1K

Utilizando las definiciones:

1

2

2

2 2

11

k

k

o MK

p

p

Reemplazando los valores: 7.12.01100

5002

5.32

2 MM



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


143

2

2

2 2

11 M

K

T

To

Reemplazando los valores: RTT

º5.798)7.1(2.011260

2

2

2

Además la velocidad es: 22222 KRTMCMV

Según los valores obtenidos: )5.798)(1717)(4.1(7.12 V

./24.23552 segpiesV Rpta.

22

22

TR

p

3

22 /338.0)5.798)(2.32/1717(

)144(100pielb

222 VAm

)/24.2355)(/388.0(

/53

22

2segpiepielb

seglb

V

mA

23

2 1028.6 piesA Rpta.

Calculando el área de la garganta de la tobera:

)1(2

12

2

2

*

2

1

121

k

k

K

MK

MA

A

Reemplazando los valores, tenemos:

25*8.0

4.22

*

3

1017.24.0

)7.1(4.02

7.1

11028.6piesA

A

Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


144

7.2. La velocidad de entrada a un difusor isentrópico es 305m/seg., con

34.5kPa y 235ºC, si la presión se incrementa en un 30% a la salida, hallar la

velocidad y la temperatura del aire a la salida.

Solución:

1 2

Datos:

./3051 segmV

kPap 5.341

KTT º508273235 11

kPap 85.442

Para el aire (Tabla Nº 4; Ref: 7)

KkgJR .º/287

4.1k

Calculamos el M1: 1

11

C

VM

Pero: )508)(287)(4.1(11 KRTC ./79.4511 segmC

1

11

C

VM 675.0

79.451

30511 MM



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


145

A tabla de flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15)

73376.01

1 op

p

kPapo 018.4773376.0

5.341

91536.01

1 oT

T

KTo º97.55491536.0

5081

Como 21 oo pp 9539.0018.47

85.44

2

2 kPa

kPa

p

p

o

Cono este ultimo valor a tabla de flujo isoentropico. . (Tabla Nº 15; Ref: 15)

25.02 M ; 98765.02

2 oT

T )97.554)(98765(.2 T

KT º116.5482 Rpta.

Sabemos: )116.548)(287)(4.1(22 KRTC ./28.4692 segmC

Como 2

22

C

VM ; entonces:

28.46925.0 2V

./32.1172 segmV Rpta.

7.3. Se desea diseñar una tobera convergente – divergente para que fluya aire

desde un deposito a 8 bar. (abs.) y 250ºC, descargando a la atmósfera,

calcular el de la garganta y el diámetro de la sección de salida sabiendo

que es un flujo isoentropico de 20kg/s. también nos piden calcular la

temperatura, número de mach y la velocidad a la salida de la tobera.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


146

Solución:

Po = 8bar (abs)

To = 250ºC

Aire

K = 1.4

m

P2 =1.013bar

A*

2

Sabemos 1

2

2

2

2

2

11

k

k

o MK

p

p; también 127.0

8

013.1

2

2 op

p

Con el ultimo valor calculado a tablas de Flujo Isoentropico.(Tabla °N 15;

Ref:15)

M *A

A

op

p

oT

T

o

2.01 1.707 0.125 0.5531 0.22751

Sabemos: 22

2

2 22751.022751.0 o

o

o

O

RT

22751.02

Reemplazando valores 3

2 /203.1 mkg

De la tabla 01.22 M Rpta.

5531.02

2 oT

T )º523)(5531.0(2 kT



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


147

Entonces: KT º27.2892 Rpta.

Hallando C2: ./923.340)27.289)(287)(4.1(22 segmKRTC

Como: 2

22

C

VM

923.34001.2 2V

Tenemos: ./256.6852 segmV Rpta.

Sabemos: 222 AVm

2

22

2 02426.0)26.685)(203.1(

20m

V

mA

.58.172 cmD

Para la zona critica tenemos: M = 1

833.0*

oT

T )523(833.0833.0* oTT ==> KT º66.435*

También: 6339.0*

o

o 6339.0*

Hallando ( o ) 3/33.5)523)(287.0(

800mkgo

3* /3786.8)33.5(6339.0 mkg

Hallando C*:

./39.418)66.435)(287)(4.1(** segmKRTC

Sabemos: 2

**

* 01415.0)39.418)(3785.3(

20m

V

mA

.42.13* cmD Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


148

7.4. Por un difusor adiabático ingresa aire a 15 bar., 300ºK y 250m/seg.

siendo la relación de áreas de entrada con respecto a la salida de 1:2 como

consecuencia de la fricción la presión de estancamiento a la salida se reduce

al 97% se pide. Calcular la presión del aire a la salida, la velocidad del aire

a la salida y la eficiencia del difusor.

Solución:

1

2

P1 = 1.5bar

T1 = 300ºK

V1 = 250m/seg

Datos:

kPabarp 1502.11

KT º3001

segmV /2501

22

1 A

A

Calculamos el:

./189.347)300)(287)(4.1(11 segmKRTC

Entonces 1M :

1

11

C

VM 72.0

189.347

25011 MM



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


149

A tablas de flujo isoentropico con M1=0.72

Del dato: 2

*

*

1

2

1 .A

A

A

A

A

A

2

*

.08729.12A

A

Entonces 17458.22

*

A

A, con este valor obtenido a. (Tabla Nº 15; Ref: 15)

Por dato: 12 097 oo pp )8.211(97.02 kPapo

kPapo 446.2052

Luego hallamos rp2 y 2T

kPapp rr 56.194)446.205(947.0 22 Rpta.

KTKT º107.297)97.0)(º1.311(98456.0 22

Además: kPapkPap ii 6.200)8.211(947.0 22

./5.345)107.297)(287)(4.1( 222 segmCKRTC

Entonces 2V :

2

22

C

VM )5.345(28.02 V

kPapo 8.2111

KTo º1.3111 08729.1

*

1 A

A 7082.01

op

p 90606.01

oT

T

28.02 M 947.0

2

2 op

p 98456.0

2

2 oT

T



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


150

segmV /742.962 Rpta.

*Hallando la eficiencia del difusor:

%52.4456.194446.205

6.200446.205

22

22

ro

io

pp

ppn Rpta.

7.5. Una tobera para un túnel de viento supersónico está diseñada para

alcanzar un Mach de 3 con una velocidad de 200m/seg. y una densidad de

1kg/m3, en la sección de prueba. El tiene Cv = 3.1156kj/Kg.ºK; Cp =

5.1926kj/Kg.ºK. Calcule la presión y temperatura del gas. También para las

condiciones de estancamiento corriente arriba: la temperatura y presiones

del gas.

Solución:

Para la sección de prueba se tiene que el: KRT

VM

Despejando T:

KTRKM

VT º13.128

)2077)(67.1(

1

3

2000

.

12

2

2

Rpta.

kPappRTp 13.266)13.128)(2077(1 Rpta.

También conocemos.

KTTMk

T

Too

o º4.51432

67.0113.128

2

11 22

Rpta.

4925.2

21

2 32

67.0113.128

2

11

o

K

K

o pMk

p

p

kPapo 8507 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


151


1) Aire fluye de manera estable e isoentrópica desde condiciones atmosféricas

normales a través de un ducto convergente hacia una tubería receptor el área

de la sección transversal de la garganta del ducto convergente es de

0.05pies2. Determinar el caudal másico a través del ducto si la presión del

receptor es a) 10lb/pulg2 b) 5lb/pulg

2 (abs.).

Rpta: 0.0727slug/seg.

0.0769slug/seg.

2) Un gas ideal fluye isentrópicamente a través de una tobera convergente –

divergente en una sección, en la posición convergente de la tobera A1 =

0.1m2; p1 = 600kPa; T1 = 20ºC y Ma1 = 0.6 para la sección (2) en la parte

divergente de la tobera, determinar A2; p2 y T2 si MO2 3.0 y el gas con que se

trabaja es a) aire b) helio.

Rpta: a) 0.356m2; 20.8kPa (abs); 112ºK

b) 0.257m2; 24.8kPa (abs); 82.6ºK

3) Aire atmosférico normal (To=59ºF, Po=14.7lb/pulg2

) es enviado de manera

estable a través de una tobera convergente sin fricción y adiabática hacia un

flujo adiabático de área de sección transversal constante. El ducto mide

10pies de longitud y tiene un diámetro inferior de 0.5pies. el factor de fricción

medio para el ducto se puede estimar en 0.03. ¿Cuál es el caudal másico

máximo en slug./seg a través del ducto? Para este caudal máximo, determinar

los valores de la temperatura estática, presión estática, temperatura de



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


152

estancamiento, presión de estancamiento y velocidad en la entrada [sección

(1)] y en la salida [sección (2)] del ducto de área constante.

Rpta.

segslugm /246.0º

; Rº4871 T ; )(/8.11 2

1 absgpulbP l

Rº51901 T ; )(/7.14 2

01 absgpulbP l

./6171 segpiesV ; Rº4322 T ; 2

2 /34.6 gpulbP l

Rº51902 T ; )(/12 2

02 absgpulbP l ; ./10202 segpiesV

4) Un gas ideal fluye adiabáticamente entre dos secciones en una tubería de área

constante. En la sección (1) corriente arriba, )(lg/100 2

01 abspulbp ;

RT º60001 y 5.01 aM . En la sección (2) corriente bajo, el flujo esta

estrangulado. Determinar la magnitud de la fuerza por unidad de área de

sección transversal ejercida por la pared interior del tubo sobre el fluido entre

las secciones (1) y (2) si el gas es aire.

Rpta. 2730 lb/pies2 ,2550 lb/pies

2

5) Un gas ideal en un gran depósito de almacenamiento a 100 lb/pulg2 (abs) y

60ºF fluye isentrópicamente a través de un ducto convergente-divergente

hacia la atmósfera. El área de la garganta del ducto es de 0.1pies2. Determinar

la magnitud la presión, temperatura, velocidad y el caudal másico del gas en

la garganta del ducto si el gas con el que se trabaja es aire.

Rpta.528 lb./pulg2(abs.);433ºR

815 pies/ seg. 1.26 slug/seg.

CAPITULO VIII

FLUJOS EN

DUCTOS DE

SECCION

CONSTANTE SIN

TRNSFERENCIA

DE CALOR



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


154

8.1. Para el sistema mostrado, la tubería tiene 38.5m. de longitud, =100mm,

005.0FC para el flujo másico máximo calcular la temperatura estática

y el flujo del aire que descarga la tubería.

25 º C

80 bar

Solución:

Para el flujo másico máximo la tubería está estrangulada (el flujo) teniendo un

mach = 1 en la salida

7.7)1.0(

)5.38)(005.0(44 *

H

F

D

LC

Para la entrada del ducto se tiene con tabla de flujo Fanno 26.01 M . (Tabla

°N 16; Ref: 11); para luego a tabla de flujo isoentropico.(Tabla Nº 15; Ref:

15) con 26.01 M se tiene 9867.0oT

T; 9541.0

op

p

kPap p 3.28623.2862)3000(9541.0 11

KT KT º294º294)298(9869.0 11 Rpta.

Además:

4

2DKRTM

RT

pVAm



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


155

.4

1.0)294)(287(4.126.0

)294(287.0

3.2862 2

m

segkgm /81.23

Rpta.

8.2. Se está diseñando una línea para transportar gas natural. Por una tubería

de acero comercial, con una rugosidad absoluta de 0.0046cm., de

=14pulg, sch 40, el gas ingresa a 27m/seg., 10bar. 27ºC con

25 /.1011 msegN , para un n = 1.3 y 15.989kJ/Kmol. Asuma un flujo

adiabático. Calcular la máxima longitud de la tubería, la temperatura y

presión de salida para estas condiciones.

Solución:

Sabemos: KkgKjRg .º/52.0989.15

3143.8 . (Tabla Nº 4; Ref: 7)

3

1 /41.6)52.0(300

1000mKg

Calculemos el Reynolds para la entrada.

6

5

111 102.5101.1

)00254.0)(126.13)(27(41.6Re

DV

00014.0)54.2)(126(3.1

0046.0

D

. (Tabla Nº 9; Ref: 5)

Con estos resultados al diagrama de Moody . (Tabla Nº 14; Ref: 12)

013.0f

También;



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


156

06.0)300)(520(3.1

27

1

11

KRT

VM

A tabla de flujo Fanno. (Tabla Nº 16; Ref: 1), con

06.01 M

03.193. max

HD

Lf

; 1991.1

*

T

T

;

251.18*

p

p

mLL 5.4951013.0(

)0254.0)(126.13(02.193maxmax

Rpta.

KT º18.2501991.1

200* Rpta.

kPap 79.54251.18

1000* Rpta.

8.3. Por un ducto cuadrado de 10cm de lado, aislado y compuesto por cuatro

tramos iguales fluye aire, estando el ingreso a 3.5bar. y 27ºC; la descarga es

sónica a 1bar; el factor de fricción es 0.02, calcular:

a) La longitud del ducto.

b) El flujo másico.

c) La variación de entropía.

Solución:



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


157

T1 = 300ºK

P1 = 3.5bar

M5 = 1

P5 = 1bar

1 2 3 4 5

Hallando el diámetro hidráulico: aDH 1.0)1.0(4

)1.0)(1.0(4

Como a la salida el M1=1 1

5.3*

1 p

p

A tabla de flujo Fanno. (Tabla Nº 16; Ref: 1), con 1

5.3*

1 p

p M=0.31;

1774.1*

1 T

T;

8507.4. max

HD

Lf

mLL 25.2402.0

)1.0(8507.4maxmax Rpta.

Además: 111 AVm

..……… (I)

3

1

1

11 /065.4

)300)(287.0(

350mkg

RT

p

……….. (II)

./6.107)300)(287)(4.1(31.01111 segmVKRTMV ……….. (III)

01.01.0 2

1

2

1 AaA ………………. (IV)

Reemplazando los valores de (II), (III) y (IV) en (I)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


158

./374.4)01.0)(6.107)(065.4(111 segkgmAVm

Rpta.

Sabemos que la variación de entropía es:

1

5lno

o

p

pRs ………….. (a)

Con M5=1 a tabla de flujo

isoentropico: . (Tabla Nº 15; Ref: 15)

.8929.15282.0

15282.0 5

5

5 barpp

po

o

Con M1=0.3 a tabla de flujo

isoentropico: . (Tabla Nº 15; Ref: 15)

.741.39355.0

5.39355.0 1

1

1 barpp

po

o

Reemplazando los valores en la ecuación (a)

741.3

8929.1ln)287.0(ln

1

5

o

o

p

pRs

Entonces

KkgkJs º/1955.051 Rpta.

8.4. Aire fluye por un ducto aislado de sección constante aumentando el

Mach de 0.4 a 0.6 a consecuencia de la fricción. Al inicio del ducto se tiene

20psia y 70ºF, calcular la presión final, velocidad y el cambio de entropía.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


159

M1 = 0.4

T1 = 530ºR

P1 = 20psia

M2 = 0.6

1 2

Solución:

A tabla de flujo Fanno: . (Tabla Nº 16; Ref: 1)

M *TT *pp

0.6 1.1194 1.7634

0.4 1.1628 2.6958

12

1

*

*

2

1

2 6541.06541.06958.2

17634.1 pp

p

p

p

p

p

p

Entonces: psiap 08.132 Rpta.

RTTT

Mk

T

Too

oo º96.546)4.0(2.0113.1282

11 21

212

1

1

1

RTT

Mk

T

To º97.509)6.0(2.0196.546

2

11 2

2

2

2

2

2

2

97.509)49(6.02

2

22 V

KRT

VM

Entonces: ./93.6632 segpiesV Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


160

A tabla de flujo isoentropico: (Tabla Nº 15; Ref: 15).

M oTT opp

0.6 0.93284 0.784

0.4 0.96899 0.89562

.33.2289562.0 1

1

1 psiapp

po

o

.684.16784.0 2

2

2 psiapp

po

o

RsegpieRsegpiep

pRs

o

o º/50033.22

684.16ln)º/1717(ln 2222

1

5

Rsegpies º/500 22 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


161


1) La velocidad del aire que entra a un tubo de acero comercial con diámetro de

1 pulg. es 120 pies/seg. la temperatura y presión estáticas son 67 ºF y 30 psia.

Calcule la longitud necesaria de la tubería para alcanzar flujo sónico; también

la presión en el extremo del tubo. Suponga que la viscosidad del aire es

independiente de la presión.

Rpta: L = 207 pies; p* = 2.94 psia.

2) Se transporta hidrogeno por una tubería subterránea. El tubo mide 50m. de

largo, 10 cm. de diámetro y se conserva a una temperatura de 15ºC. la presión

y la velocidad iniciales son 250 kPa y 200 m/seg.; determine la caída de

presión en el tubo.

Rpta: p = 45.5 kPa.

3) Por un tubo de hierro forjado de 2.5 cm. de diámetro y 10 m. de largo fluye

oxigeno. Se descarga a la atmósfera donde la presión es 10 kPa. Si la presión

estática absoluta al principio del tubo es 500 kPa y la temperatura total es 293

ºK, calcule el flujo másico por el tubo.

Rpta:

m = 0.248 Kg. /seg.

4) Los números de Mach a la entrada y a la salida de un tubo de 0.5 pulg. de

diámetro y 20 ft de largo son 0.2 y 0.7, respectivamente. Calcule f en el tubo

para K =1.4.

Rpta: f = 0.0298



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


162

5) Se va a diseñar un sistema se soplador de aire y tubería para transportar

productos agrícolas por una tubería de acero de 20 cm. de diámetro y 120 m

de largo y la velocidad de salida debe ser de 50 m/ seg. Si la tubería de

descarga a la atmósfera. ¿Cuál será la presión, velocidad y densidad del aire a

la entrada de la tubería?

Rpta: 105 kPa; 47.6 m/seg.; 1.27 Kg./m3

CAPITULO IX

FLUJO EN DUCTOS

DE SECCION

CONSTANTE CON

TRANSFERRENCIA

DE CALOR



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


164

9.1. Un gas ideal (aire) entra en un ducto de diámetro 0.5pies con 20psia,

80ºF y 20pies/seg. alcanzando a la salida 1500ºF. Calcular la transferencia

de calor; la presión y el número de Mach a la salida.

1 2

P1 = 20 psia

T1 = 540ºK

V1= 200pies/s

T2 = 1960ºK

Solución:

Determinamos el número de Mach en la entrada M1:

18.054049

2001 M Luego en tabla de Flujo Raylich. (Tabla Nº 17; Ref: 3)

17078.0*

T

T 17078.0

1960

540*

2

2

2

*

1 T

T

T

T

T

T 61986.0

*

2 T

T

2959.2*

1 p

p A.T.F. Rayleich. . (Tabla Nº 17; Ref: 3) Entonces:

4.02 M Rpta

Psiap 71.82959.2

20* 9608.1*

2 p

p

)71.8(9608.19608.1 *

2 pp

Psiap 172 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


165

Con M1 = 0.18 a T.F. isoent . (Tabla Nº 15; Ref: 15) 99356.01

1 oT

T

RT

To º5.54399356.0

11

Con M2 = 0.4 a T.F. isoent. (Tabla Nº 15; Ref: 15) 96899.02

2 oT

T

RTo º72.202296899.0

19602

3

1 /1.0)540)(1717(

)144(20pielbs

Hallando el flujo masico: ./923.3)200)(5.0)(4/)(1.0( 2 seglbm

./1394)5.54372.2022)(24.0(927.3 segBTUQQ

./1394 segBTUQ

Rpta.

9.2. El aire entra a un ducto con un Mach de 2.0 y temperatura y presión de

170K. y 0.7bar respectivamente. La transferencia de calor tiene lugar

mientras el flujo procede abajo del ducto, la sección convergente

( 45.1/ 32 AA ) forma parte de la conexión de salida, como se muestra y el

Mach de salida es 1.0. Asumir que las condiciones de entra y salida del

número de Mach permanece fijos. Encuentre la cantidad y dirección de

transferencia de calor, si no hay OCHN y si hay en cualquier parte de la

ducto.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


166

M1 = 2.0

T1 = 170ºK

p1 = 0.7bar

1 32

M3 = 1.0

q

Solución:

*Supongamos que no hay OCHN:

KT º1701 ; barp 7.01

Con 21 M en tabla de flujo isoentropico.(Tabla Nº 15; Ref: 15)

KTT

To

o

º9755.3055556.0 1

1

1

Con 21 M en tabla de flujo Rayleich.(Tabla Nº 17; Ref: 2)

KTT

To

o

o º6510.3857934.0*

*

1

Además:

Tabla flujo isoentropico: (Tabla Nº 15; Ref: 15)

Con: 81.145.1 2*

2 MA

A

En la tabla de flujo Rayleich. (Tabla Nº 17; Ref: 2)para M2=1.81

KTT

To

o

o º6329.3218340.0 2*

2

)º9755.305º6329.321(.º/004.1)( 12 KKKkgkJTTCpm

Qoo



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


167

./105720.1 4 kgkJm

Q Rpta.

** Si hay una sacudida normal en (a) alguna parte del ducto.

1 32X

KT º1701 ; barp 7.01

Con 21 M en tabla de flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15)

KTT

To

o

º9755.3055556.0 1

1

1

KTT oox º9755.3051

Con 21 M en tabla de Onda de Choque Normal. (Tabla Nº 18; Ref: 3)

5774.0xM KTT

To

o

ox º6510.3857934.0*

*

Con: 45.15774.0*

2 A

AM x

Además:

Tabla flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15) 4498.02 M

En la tabla de flujo Rayleich: . (Tabla Nº 17; Ref: 2) para M2=0.4498



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


168

KTT

To

o

o º5969.2366135.0 2*

2

Como: 01 qTT oox

KTox º9755.305 y KTo º5969.2362

)º9755.305º5969.236(.º/004.1)( 2 KKKkgkJTTCpm

Qoxo

./109656.6 4 kgkJm

Q

./109656.6 4 kgkJm

Q Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


169

9.3. En la función del sistema, la fricción solo existes de 2 a 3 y de 5 a 6. El

calor es removido entre 7 y 8. El Mach en la sección 9 es 1. Dibuje el

diagrama T – S, para el sistema mostrado. Los puntos 4 y 9 se encuentran en

el mismo nivel horizontal.

1

32 4 5 6 7 8

9

choque

f fqq

M9 = 1

Solución:

M = 1

Po4= Po5

Po1 = Po2= Po3P06 P07

S

T

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P08 = P09



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


170

9.4. Aire ingresa a una cámara de combustión tiene de sección 0.28m2

constante a 0.7 bar. abs., -95ºC y 110m/seg., se le suministra 120kJ/kg. de

calor. A la salida de la C. de C. el fluido pasa por una tobera expandiéndose

isoentropicamente para salir por una sección de 0.2552m2, finalmente

ingresa a un calentador de sección uniforme donde se le añade cierta

cantidad de calor, para que el flujo salga con un Mach de 1.

a) El número de Mach a la salida de la tobera.

b) El calor transferencia en el ducto final.

V1 = 100m/seg

T1 = 178ºK

P1 = 0.7bar

A2 = 0.28m2

A3 = 0.2552m2

1 2

0s

21q

3 4

Solución:

KCp

VTTo º03.184

)5.1003(2

110178

2

22

111

Hallando C1 y M1:

./43.267)178)(287)(4.1(11 segmKRTC

Entonces 1M :



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


171

1

11

C

VM 4113.0

43.367

11011 MM

Con 4113.01 M a tabla de flujo Rayleigh. (Tabla Nº 17; Ref: 2)

KTT

To

o

o º74.33654651.0*

*

1

KTT

Tº54.28063448.0

*

*

1

barpp

p36030.09428.1 *

*

1

1523.1*

1 o

o

p

p

./82.33632658.0 *

*

1 segmVV

V

De la ecuación de energía: )( 1221 oo TTCpq

KTT oo º61.303)03.184(0035.1120 22

Luego: 9016.074.336

61.303*

2 o

o

T

T a tabla de flujo Rayleigh. (Tabla Nº 17; Ref: 2)

69.02 M

KTT

Tº27798739.0 2*

2

barpp

p51887.04401.1 2*

2

04596.1*

2 o

o

p

p

./94.23068564.0 2*

2 segmVV

V

Con 69.02 M a tabla de flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


172

2*

*

2 25413.01018.1 mAA

A

KTT

To

o

º38.30379662.02

72735.02 op

p

79602.02 o

004212.11018.128.0

2552.0.

*

3

*

2

2

3

*

3 A

A

A

A

A

A

A

A *

3 AA

Con 004212.1*

3 A

A a tabla de flujo isoentropico. (Tabla Nº 15; Ref: 15)

93.03 M

85253.03 oT

T

57212.0op

p

67107.0o

9337064.091306.0

85253.0

/

/

12

3

2

3 TT

TT

T

T o

Luego: KTT º64.258)9337064.0(277 33

De la ecuación de energía: )1(2

)1(2

3

2

3343

kM

MCpTq

Reemplazando los valores en la ecuación

./081.1)4.2()93.0(2

)193.0()64.258(0035.1

2

2

43 kgkJq

Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


173


1) Un gas ideal entra a un ducto de diámetro interior igual a 0.5 pies con p1= 20

lb./ pulg2 (abs.), T1= 80ºF y V1= 200pies/seg. ¿Qué razón de adición de calor

sin fricción en BTU/seg. es necesaria para que a la salida del ducto la

temperatura del gas sea T2 = 1500ºF ? También determinar p2, V2 y Ma2. El

gas es aire.

Rpta.1390 BTU/seg. 17.1 lb./pulg2(abs.).

868 pies/ seg.; 0.4

2) Por una tubería de área constante circula aire. En una sección (1) corriente

arriba, p1 = 15lb/pulg2 (abs.) , T1 = 530ºR y V1 = 200pies/seg. Corriente abajo

en la sección (2), p2 = 10lb/pulg2

(abs.) y T2 = 1760ºR. Para este flujo,

determinar las razones de temperatura y presiones de estancamiento, 1,02,0 /TT

y 1,02,0 / pp , así como la transferencia de calor por unidad de masa de aire que

fluye entre las secciones (1) y (2). ¿El flujo entre las secciones (1) y (2) es sin

fricción?

Rpta. 45.31

2 O

O

T

T 763.0

1

2 O

O

P

P

slug

lbpiesq

.1084.7 6

3) La razón de presiones de estancamiento a través de un choque normal en el

flujo de un gas ideal es 0.8. Determine el número de Mach del flujo que entra al

choque si el gas es aire.

Rpta.1.83



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


174

4) Una sonda de presión total se inserta en un flujo de aire supersónico. Justo

corriente arriba del orificio de impacto se forma una onda de choque. La sonda

mide una presión total de 500kPa (abs.). La temperatura de estancamiento en la

cabeza de la sonda es 500ºK. La presión estática corriente arriba del choque se

mide con un injerto en la pared, encontrándose que es igual a 100kPa (abs.). A

partir de estos datos, determinar el número de Mach y la velocidad del flujo.

Rpta. 1.87 ; 643m/seg.

5) Un avión se desplaza a Mach 2.0 a una altitud de 15km. El aire de entrada es

desacelerado hasta un número de mach de 0.4 en la entrada del compresor del

motor. Un choque normal ocurre en el difusor de entrada de corriente arriba de la

entrada del comprensor en una sección en que el número de Mach es 1.2. Para

difusión isentrópica, excepto a través del choque, y para atmósfera normal,

determinar la temperatura y presión de estancamiento del aire que entra al

compresor del motor.

Rpta. 390 ºK ; 94.1 lb/pulg2 (abs)

6) Un flujo de aire supersónico entra con Ma1 = 3.0 a una tubería adiabático de

área constante (diámetro interior = 1pie) que mide 30pies de longitud. Se estima

que el factor de fricción del tubo es 0.02. ¿Qué razón de presión en la salida del

tubo a presión de estancamiento en la entrada del tubo se produce en una onda de

choque normal ubicada en: x= 10pies, donde x es la distancia corriente abajo a

partir de la entrada del tubo? También determinar el número de Mach a la salida

del ducto.

Rpta. 69.0;19.0.

aSALIDA

ENTRADAO

SALIDA MP

P

CAPITULO X

FLUJO EN

CANALES

ABIERTOS



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


176

10.1. Se tiene una rampa de 0.5pies de alto en un canal rectangular de ancho

constante por el cual fluye agua a razón de segpiesq /72.5 2 . Como se

muestra en la figura. Si la profundidad corriente arriba mide 2.3pies,

determine la ecuación de la superficie corriente abajo de la rampa 22 zy .

(ignorar los efectos viscosos y la protuberancia).

Protuberancia

Superficie libre ó

rampa

.y1 = 2.3pies .y2

.z2 = 0.5pies

V1 = 2.5pies/seg V2

Rampa

Solución:

Se tiene que 21. zzlSo y 01 h . La conservación de energía. (Que para

estas consideraciones se podrá aplicar la ecuación de Bernoulli.)

2

2

221

2

11

22z

g

Vyz

g

Vy

Para las consideraciones dadas en la

figura del problema.

4.64

9.12

22

Vy ………………………………… (I)



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


177

A partir de la ecuación de continuidad tendremos.

1122 VyVy segpiesVy /75.5 2

22 ………… (II)

De la ecuación (II) y (I) tenemos.

0513.09.1 2

2

3

2 yy

Resolviendo la ecuación cúbica, las soluciones son:

piesy 72.12 piesy 638.02 piesy 446.02

Por lo tanto las elevaciones correspondientes serian.

pieszy 2.25.072.122 Ó pieszy 14.15.0638.022

¿Cuál de estas dos alturas se esperaría?

Está pregunta se responde haciendo uso del diagrama de energía especifica para

la ecuación 2

513.0

yyE ; que se muestra en el siguiente diagrama.

1 2 3

1

2

3

.yc = 1.01

.y1 = 2.30

0.5

(1)

(2)

(c)

(2´)

.q = 5.75 pies2/s.

Emin = 1.51 E1 = 2.40

E2 = 1.90

E, pies

.y, pie

s



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


178

Como en el enunciado del problema nos dice que despreciemos las

protuberancias, las condiciones correctas abajo corresponden al flujo

subsónico denotado por (2), no a condiciones supersónicas (2’) pero sin una

protuberancia en el fondo del canal, el estado (2’) es inaccesible desde el

estado (1) de la condición corriente arriba. Estas condiciones a menudo se

denominan accesibilidad de los regimenes de flujo. Así la elevación

superficial es: pieszy 2.222 Rpta.

10.2. En el canal de sección transversal trapezoidal que se muestra en la figura

circula agua. El fondo desciende 2.8 pies por 2000 pies de longitud.

Determinar el caudal si el canal está recubierto de concreto liso nuevo, o si

el perímetro mojado está cubierto de hierbas. Determine el número de

Fraude máximos para cada uno estos flujos, también indicar a que flujo

pertenece para el caso con hierbas.

5 p

ies

40º 40º

12 pies

Solución:

A partir de la ecuación de Mannig: 2/13/2 ..49.1

oSRhAn

Q …………….

(i)

Para el cual se uso, K = 1.49 debido a las unidades SIG.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


179

28.89º40tan

55)5(12 piesA

piesP 6.27º40sen

5212

Entonces

piesP

ARH 25.3

6.27

8.89

0014.02000

8.2oS

Reemplazando los valores obtenidos en (i):

nn

Q98.10

)0014.0()25.3)(8.89(49.1 2/13/2

A partir de los resultados obtenidos, buscamos en tabla para el concreto liso y

cubierto de hierbas.(Tabla Nº3 ; Ref: 14)

012.0n

segpiesQ /915012.0

98.10 3

Concreto liso.

03.0n segpiesQ /36603.0

98.10 3 Cubierto de hierbas

Número de Fraude 2/1

.yg

VFr : AQV / ./2.10. segpiesV lisoc

./08.4. segpiesV hierbac

Para el concreto liso (nuevo):



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


180

804.0

)5)(/2.32(

/2.102/12

piessegpies

segpiesFr Rpta.

Para el cubierto de hierbas:

322.0

)5)(/2.32(

/08.42/12

piessegpies

segpiesFr Rpta.

Para 50ºF calculemos el número de reynolds con piesRH 25.3 ;

segpies /1041.1 25

Entonces: 5

5104.9

1041.1

)08.4)(5.3(Re

VRH

Por lo tanto se encuentra en el intervalo de régimen turbulento. (Flujo)

10.3. Por un tubo de redondo de diámetro D circula agua a una profundidad

Dy 0 como se muestra a continuación, el tubo está sobre una pendiente

constante de o , el coeficiente de Nanning es n. ¿A que profundidad ocurre

el máximo caudal?

θ

y

D

0

0.5

1.0

0.5 1.0

D

y

maxQ

Q

Dy 938.0

máxlleno QQ 929.0

máxQ

0



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


181

θ

y

D

0

0.5

1.0

0.5 1.0

D

y

maxQ

Q

Dy 938.0

máxlleno QQ 929.0

máxQ

0

Solución:

A partir de E. Manning. 2/13/2 .. oSRhAn

kQ ………………. (I)

Donde; k, n y oS son constantes. senD

A 8

2

2

DP (Perímetro mojado)

4

)sen(

D

P

ARh

En (I) tenemos .)sen(

)4(8 3/2

3/5

3/2

3/82/1

DS

n

kQ o ……………… (II)

A partir de la ecuación (II) podemos escribir en términos de la profundad

entonces.

))2/cos(1(2

Dy



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


182

Pero también nos proporciona una grafica )(yQQ . Del cual nos muestra que

maxQ no ocurre cuando el tubo está lleno; max929.0 QQlleno pero si ocurre

cuando Dy 938.0 ó º30328.5 rad .

Así entonces maxQQ cuando Dy 938.0 Rpta.

10.4. A lo largo del canal de drenaje cuyos detalles se muestran a continuación

si la pendiente del fondo es 002.0oS se pide calcular el caudal.

3m 3m2m

02.01 n

015.02 n

03.03 n

0.6

m

0.8

m

Solución:

A partir del grafico tenemos 321 QQQQ ; para cada sección y de la

ecuación de Manning.

2/13/2..

1oii

i

i SRhAn

Q Donde K = 1, para unidades SI.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


183

Para la sección (1)

2

1 8.1)6.0)(3( mmmA ; mP 6.36.031

mP

ARh 5.0

6.3

8.1

1

11 ; 02.01 n


2

2 8.2)8.06.0)(2( mmmmA ; mP 6.3)8.0(222

mP

ARh 778.0

6.3

8.2

2

22 ; 015.02 n


2

3 4.2)8.0)(3( mmmA ; mP 6.36.033

mP

ARh 5.0

6.3

4.2

3

33 ; 03.03 n

Así, tendremos el canal total: 321 QQQQ

03.0

)5.0(8.1

015.0

)778.0(8.2

02.0

)5.0(8.1)002.0(1

3/23/23/22/1Q

segmQ /287.11 3 Rpta.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


184


1) En un canal rectangular de 10 pies de ancho fluye agua con un caudal de 200

pies3/seg. y una profundidad de 3 pies. Si la pendiente es 0.005, determine el

coeficiente de Manning, n y el esfuerzo cortante medio en los lados y en el

fondo del canal.

Rpta: 0.024; 0.585lb/pies2

2) En un canal cuya sección transversal es un triangulo equilátero fluye agua

como se muestra. Sea Qlleno el caudal cuando y = h. ¿En que porcentaje es

Qlleno menor que Q cuando y = h- y. ; donde y. h? es decir al colocar una

cubierta sobre este canal, ¿en que porcentaje se reduce el caudal?

Rpta: 23.7%

hy

3) En un canal de sección trapezoidal debe transportar 1.2m3/seg. de agua a 0.5

m/seg, esta abierto en tierra con paredes inclinadas 30º respecto a la

horizontal. Calcular las dimensiones del canal, si este tiene una pendiente de

0.0004, con un coeficiente de m = 0.85.

Rpta: 0.5634m; 3.284m; 5.2356m.



___________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________


185

4) El flujo agua corriente abajo desde una compuerta de purga en un canal

horizontal tiene una profundidad de 30 cm. y un gasto de 3.6 m3/m de ancho

la compuerta de purga mide 2 m. de ancho. ¿podría formarse un salto

hidráulico corriente abajo de esta sección? Si es así, ¿Cuál seria la

profundidad corriente abajo del salto?

Rpta: si y2 = 1.34m.

5) La cresta de vertedor alto y la cresta ancha tiene una elevación de 100m. Si el

vertedor mide 10 m. de largo y la descarga de agua sobre el vertedor es 25 m3

/seg. ¿Cuál es la elevación de la superficie del agua del estanque corriente

arriba?

Rpta: zagua= 101.4 m.

MATERIALES Y METODOS

El material bibliográfico empleado es muy amplio y variado desde aplicaciones

básicas hasta aquellas que lo hacen mas exigentes y reales como se muestran en

una industria especifica, con conceptos técnicos y de acorde con el avance

tecnológico en que vivimos actualmente.

La forma como se presenta este trabajo de investigación, constituye un intento

por llenar este vació existente en un solo libro con un método pedagógico,

deductivo y un análisis en las respectivas aplicaciones de la mecánica de fluidos.

RESULTADOS

La investigación que se ha realizado nos permite contar con material de la

mecánica de fluidos aplicada al transporta de los fluidos en un orden lógico. Los

estudiantes o cualquier persona interesada encontrara en el un marco practico

muy amplio.

Los temas tratados en el libro son explicados en una forma muy clara, sencilla y a

la ves rigurosa con la exigencia que requiere un estudiante o profesional de la

rama de ingeniería, sobre todo de a los de mecánica; los problemas aplicativos

son so comprendidos con pequeños esfuerzos y si es necesario se cuenta con la

consulta del profesor.

DISCUSIÓN

la elaboración de un libro de cualquier materia, en particular de flujos de

mecánica de fluidos es un proyecto por demás ambicioso y difícil en donde no se

podrá satisfacer a plenitud las aspiraciones y exigencias del lector; no obstante el

presente libro texto constituye un intento por llenar el vació dejado por las obras

de flujo de mecánica de fluidos, para de esta manera complementarlo, ampliando

las ya existentes , contribuyendo de esta manera en la formación de nuestros

alumnos y satisfacer la consulta, curiosidad de profesionales interesados o

involucrados en el área de la ingeniería.

BIBLIOGRAFÍA

1. FOX, Robert y Mc DONALD, Alan. Introducción a la mecánica

de fluidos, México: ed. Mc Graw-Hill Interamericana de México.

S. A. de C. V., cuarta edición, 1995.

2. SHAMES, Irvin. Mecánica de fluidos, Colombia: ed. Mc Graw-

Hill Interamericana de México. S. A., novena edición, 2000.

3. HIDROSTAL. Bombas de alta eficiencia, Perú: ed. Industrial

Grafica S. A., primera edición, 1994.

4. GERGHART, Philip. Mecánica de fluidos, México: ed. Addison-

Wesley Iberoamericana, S. A., segunda edición, 1995.

5. SOTELO, Gilberto. Hidráulica general, México: ed Limusa, S. A.,

primera edición, 1982.

6. POTTER, Merle. Mecánica de fluidos, México: ed. Prentice-Hall

Hispanoamericana, S. A. segunda edición, 1998.

7. OROZCO, Martha. Operaciones unitarias, México: ed. Limusa, S.

A. de C. V., primera edición, 1998.

8. SIMON, Anderw. Hidráulica practica, México: ed. Limusa, S. A.

de C. V., primera edición, 1994.

9. SALDARRIAGA, Juan. Hidráulica de tuberías, México: ed. Mc

Graw-Hill Interamericana. S. A., primera edición, 1998.

10. ROBERSON, John. Mecánica de fluidos, México: ed. Mc Graw-

Hill Interamericana. S. A. de C. V., segunda edición, 1991.

11. THOMPSON, Philip. Compressible-Fluid Dynamics, New York:

ed. Mc Graw-Hill Book CCO., primera edición, 1972.

12. STREETER, Víctor. Mecánica de fluidos, México: ed. Addison-

Wesley Iberoamericana, S.A., novena edición, 2000.

13. OWCZAREK, J. Fundamentals of gas Dynamics, New York: ed.

Pitman Publishing Coporation, primera edición, 1950

14. GOLDEN, Fredirick. Termo Fluidos, Terbomaquinas y Maquinas

Térmicas, México: ed. Compañía Editorial Continental, S.A. de

C.V., primera edición, 1991.

15. MUNSON, Bruce. Fundamentos de Mecánica de Fluidos, México,

ed. Limusa Wiley, S.A. de C.V., primera edición, 1999

APENDICE

190

Tabla Nº1 Coeficientes de resistencia para diversos cuerpos bidimensionales

Tabla Nº2 Coeficientes de resistencia para objetos con simetría

axial

191

Fig:Nº 1 Coeficiente de resistencia para cuerpos asimetricos.

192

Fig: Nº2 Efectos de la rugosidad sobre CD para un cilindro

Fug: Nº 4 Coeficiente de sustentación y

resistencia para cilindros giratorios en un

flujo uniforme

Fug: Nº 3 Coeficientes de sustentación

y resistencia para esferas giratorias en

fllujo uniforme

193

Fig: Nº 5 Coeficientes de sustentación y resistencia del perfil simétrico NACA

0009 de envergadura infinita, incluyendo el efecto de la deflexión del flan de

intrados (ténganse en cuenta que la rugosidad puede incrementar CD en un

100 hasta 300 por 100)

194

Fig: Nº 6 Polar de los perfiles estándar (0009) y laminar (63-009) del NACA

195

Fig: Nº 7 Efecto del alargamiento en la sustentación y resistencia; (a) incremento

en el ángulo de ataque efectivo; (b) incremento en la resistencia inducida.

(a) (b)

Fig: Nº 8 Actuaciones de perfiles con dispositivos hipersustentadores A = NACA

0009; B = NACA 63-009; C = Perfil de Kline – Fogleman ; en (a) se muestran

los perfiles D a I; (a) tipos de dispositivos hipersustentadores; (b) coeficiente de

sustentación de algunos dispositivos.

196

Fig: Nº 9 Curva polar para un ala con alargamiento 5.

197

Fig:10 Curva polar para el perfil de ala rectangular y de Clark de 6 pies de

cuerda y 36 pies de envergadura.

198

Fig: Nº 11. Grafica del factor de fricción f versus ReH

199

Tabla Nº 3. Valores promedios del n de Manning y la rugosidad e promedio.

Material n e, pies e. M

Asfalto 0.0016 0.018 0.0054

Ladrillo 0.0016 0.0012 0.0037

Canal de concreto

Pulido 0.012 0.0032 0.001

Sin pulir 0.015 0.008 0.0024

Tubo de concreto 0.015 0.008 0.0024

Tierra

Buena condición 0.025 0.12 0.037

Maleza y piedras 0.035 0.8 0.24

Tubo de hierro

Fundición 0.015 0.0051 0.0016

Hierro forjado 0.015 0.0051 0.0016

Acero

Corrugado 0.022 0.012 0.037

Remachado 0.015 0.0012 0.0037

Madera

Cepillada 0.012 0.0032 0.001

200

Fig: Nº 12. Hacia la derecha de A son posibles dos profundidades.

201

Tabla Nº 4

203

Tabla Nº 5

204

Tabla Nº 6

205

Tabla Nº 7. DIMENSIONES DE TUBERÍAS Y TUBOS CALIBRADOS

206

Tabla Nº 8. Tubos y tuberías calibradas de Cobre

207

Tabla Nº 9. Rugosidad relativa de algunos tubos.

208

Tabla Nº 10. Coeficiente de pérdida para una expansión repentina.

Tabla Nº 11. Coeficiente de pérdida para un difusor cónico común.

209

Tabla Nº 12. Coeficiente de pérdida para una contracción repentina.

210

Fig: Nº 12. Condiciones de flujo de entrada y coeficiente de pérdida.

Reentrante, KL = 0.8

Borde ahusado, KL = 0.5

Ligeramente redondeado, KL =

0.2 Bien redondeado, KL = 0.04

211

Tabla Nº 13. Condiciones de flujo de salida y coeficiente de pérdida.

Reentrante, KL = 1 Borde ahusado, KL = 1

Ligeramente redondeado, KL = 1 Bien redondeado, KL = 1

212

Tabla Nº 13.

Coeficientes de pérdida para componentes de tuberías:

g

VKh LL

2

2

213

Tabla Nº14. Diagrama de Moody para el factor de fricción

214

Tabla Nº 15.

216

Tabla Nº 16

218

Tabla Nº 17

220

Tabla Nº 18.

Solucionario de Dinamica de Fluidos - Ing. J.F.

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