Solución Parcial Estadística

ESTADISTICA

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERA CIVILESTADSTICA GRUPO O1PRIMER PREVIOJunio 18 de 2014

Nombre: ___________________________________________________________Cdigo:___________Grupo:___

Favor entregar la presente hoja junto a la hoja de la solucin.

Problema 1. Un estudiante de ingeniera se encuentra estudiando la teora de probabilidad, para el estudio el estudiante realiza un experimento que consiste en lanzar un dado y a continuacin lanzar una moneda tantas veces como puntaje se haya obtenido en el dado. El estudiante se encuentra interesado en la variable aleatoria discreta que describe el nmero total de sellos obtenidos al finalizar el experimento. Por experiencias anteriores, el estudiante afirma que las probabilidades de resultados en la moneda son los siguientes:

a) Obtener las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada para el nmero total de caras que se obtienen al finalizar el experimento. b) Calcular el coeficiente de curtosis para el nmero total de caras que se obtienen al finalizar el experimento.c) Calcular la probabilidad de obtener a lo ms cuatro sellos al finalizar el experimento.

Solucin:Para simplificar la solucin se utiliza el tringulo de Pascal, el cual se observa en la siguiente figura:

El tringulo de Pascal permite calcular los coeficientes del nmero de veces que se repite una probabilidad en un diagrama de rbol. A continuacin se resaltan los coeficientes en color rojo donde son utilizados.

La probabilidad del obtener alguno de los puntajes en el dado es:

De acuerdo con las probabilidades suministradas en el enunciado se tiene que:

Puntaje en el dado de 1, Lanzamientos de la moneda 1.






Solucin a:Se realizan las sumatorias para los valores que puede tomar la variable , que representa el nmero total de caras al finalizar el experimento.

La funcin de masa de probabilidad es:

La funcin de masa de probabilidad acumulada es:

Solucin b.Para el clculo del coeficiente de curtosis se utiliza la expresin que se muestra a continuacin.

Es necesario realizar el clculo de la media y la desviacin estndar del nmero total de caras obtenidas en los lanzamientos de la moneda.

Remplazando los valores correspondientes en la expresin del clculo del coeficiente de curtosis.

Solucin c:Para la solucin del enunciado se supone que la variable aleatoria representa el nmero total de sellos al finalizar el experimento.

Se sabe que:

En trminos de la variable aleatoria se tiene que:

Problema 2.El ingeniero Juan labora en una reconocida empresa constructora, la empresa constructora se encuentra en el proceso de elaboracin de una propuesta de licitacin para la construccin de un puente en concreto reforzado y el urbanismo de los alrededores, la entrega de la propuesta de licitacin es en la secretaria de infraestructura del municipio donde se construir la obra. El ingeniero Juan debe llegar antes de las 5:00 p.m. a la oficina para entregar el proyecto, en el trayecto de la oficina del ingeniero Juan a la oficina de la secretaria de infraestructura, el ingeniero Juan corre el riesgo de encontrar las vas obstruidas por concepto de una protesta estudiantil. En la siguiente figura se muestran las diferentes rutas por las cuales el ingeniero Juan puede llegar a la oficina y las probabilidades de que la ruta se encuentre obstruida por la protesta estudiantil.

a) Calcule la probabilidad de que el ingeniero Juan no alcance a entregar la propuesta en la Secretaria de infraestructura por concepto de obstruccin en las vas debido a la protesta estudiantil.b) Determine la ruta en que el ingeniero Juan tendr la mayor posibilidad de entregar la propuesta en la secretaria de infraestructura.c) Calcule el nmero total de rutas posibles entre las que el ingeniero Juan puede decidir para llegar a la secretaria de Infraestructura.

Solucin a:Para la solucin del inciso (a) se debe reducir el sistema tal como se muestra en la figura anterior, en la figura se presentan las probabilidades de que no exista paso debido a las vas obstruidas por la protesta estudiantil, como se pregunta la probabilidad de que el ingeniero no alcance a entregar la propuesta, los que se traduce en que no encuentre paso por ninguna de las vas.

Para la solucin se debe encontrar el complemento de cada probabilidad (la probabilidad de que si haya flujo), esto con la finalidad de que el desarrollo no se extienda ya que se trabaja con la probabilidad de que estn obstruidas

Para el camino 1

Por lo tanto la probabilidad que se encuentre disponible el paso por la camino 1 ser:

De tal manera la probabilidad de que se encuentre obstruida ser el complemento

Para el camino 2



Reduciendo el sistema se obtiene la figura que se observa a continuacin:

Para el camino 3.

0.90453889

La reduccin del sistema queda de la forma que se muestra en a continuacin.

De la misma manera como se venido reduciendo el sistema se trabaja esta parte.

Por lo tanto la probabilidad de que el ingeniero no pueda entregar la propuesta de en la secretaria de infraestructura por concepto de obstruccin en las vas por la protesta estudiantil es:

Solucin b:La ruta dibujada en la Figura es la ruta con la cual el ingeniero Juan tendr la mayor posibilidad de entregar la propuesta en la secretaria de infraestructura, su clculo se presenta de la siguiente manera:

Si se calculan las rutas restantes se podr dar cuenta de que esta ruta posee la probabilidad ms alta de que el ingeniero entregue la propuesta.

El nmero de rutas posibles entre las que el ingeniero Juan puede decidir para llegar a la secretaria de infra estructura se presenta en la siguiente figura.

Problema 3.Un estudiante de Ingeniera Civil es reconocido entre sus amigos por las excusas que da a sus docentes cuando entrega un trabajo tarde. Los amigos del estudiante sostienen que cuando el estudiante entrega un trabajo tarde: el 15% de las veces dice que el tiempo no le alcanzo para terminar el trabajo, las veces que dice que la entrega tarde se debi a calamidad familiar son el triple de las veces que dice que el retardo se debi a que el tiempo no le alcanzo para terminar el trabajo, 12% de las veces dice que se debi a enfermedad propia, el 13% de las veces dice que el archivo digital se le dao. De las veces que dice que se debi a falta de tiempo, el 55% de las veces el profesor no le recibe el trabajo, para cuando el estudiante dice que se debi a enfermedad propia este porcentaje es de 85%, de las veces que dice que fue por concepto de otros motivos, el 20% de las veces el profesor le recibe el trabajo. Se sabe que si un profesor no le recibe el trabajo al estudiante, la posibilidad de que la excusa que haya utilizado el estudiante sea el dao del archivo digital es de 14.85%. En el caso en el que el estudiante entregue un trabajo tarde y la excusa que utilice sea calamidad familiar; la posibilidad de que el estudiante haya realizado el trabajo completo es del 57%, la posibilidad de que el profesor le reciba el trabajo y el estudiante realice el trabajo completo es del 12% y la posibilidad de que el profesor no le reciba el trabajo al estudiante y el estudiante no haya hecho el trabajo completo es del 8%. a) Suponga que en cierto trabajo el estudiante entrega tarde, el estudiante dice al profesor que se le borro el archivo digital. Calcule la probabilidad de que el profesor le reciba el trabajo al estudiante.b) El profesor no le recibe un trabajo al estudiante, que este entrego tarde. Calcule la probabilidad de que la excusa que uso el estudiante haya sido calamidad familiar.c) Si en el trascurso del semestre el estudiante entrega un total de 15 trabajos fuera del tiempo de plazo. Calcule el nmero ms probable de trabajos que se espera que le sean aceptados por los profesores al estudiante. Solucin:Con los datos del enunciado es posible plantear el siguiente diagrama de rbol:

Procedimiento para el clculo de la variable .Para el clculo de la variable se utiliza la teora de conjuntos.

De los datos del enunciado se sabe que:

Solucionando las expresiones se tiene que:

La variable est definida como:

Procedimiento para el clculo de la variable .De los datos suministrados por el enunciado se tiene que:

Solucin a:De acuerdo a las condiciones del enunciado se tiene que:

Solucin b:De acuerdo a las condiciones del enunciado se tiene que:

Solucin c:De acuerdo a las condiciones del enunciado se tiene que:

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERA CIVILESTADSTICA GRUPO D1PRIMER PREVIOJunio 18 de 2014



Problema 1. Un estudiante de ingeniera se encuentra estudiando la teora de probabilidad, para el estudio el estudiante realiza un experimento que consiste en lanzar un dado y a continuacin lanzar una moneda tantas veces como puntaje se haya obtenido en el dado. Por experiencias anteriores, el estudiante afirma que las probabilidades de resultados en la moneda son los siguientes:

a) Obtener las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada para el nmero total de caras que se obtienen al finalizar el experimento. b) Calcular el coeficiente de curtosis para el nmero total de caras que se obtienen al finalizar el experimento.c) Calcular la probabilidad de obtener a lo ms cuatro sellos al finalizar el experimento.

Solucin:Para simplificar la solucin se utiliza el tringulo de Pascal, el cual se observa en la siguiente figura:

El tringulo de Pascal permite calcular los coeficientes del nmero de veces que se repite una probabilidad en un diagrama de rbol. A continuacin se resaltan los coeficientes en color rojo donde son utilizados.

La probabilidad del obtener alguno de los puntajes en el dado es:

De acuerdo con las probabilidades suministradas en el enunciado se tiene que:







Solucin a:Se realizan las sumatorias para los valores que puede tomar la variable , que representa el nmero total de caras al finalizar el experimento.

La funcin de masa de probabilidad es:

La funcin de masa de probabilidad acumulada es:

Solucin b.Para el clculo del coeficiente de curtosis se utiliza la expresin que se muestra a continuacin.

Es necesario realizar el clculo de la media y la desviacin estndar del nmero total de caras obtenidas en los lanzamientos de la moneda.

Remplazando los valores correspondientes en la expresin del clculo del coeficiente de curtosis.

Solucin c:Para la solucin del enunciado se supone que la variable aleatoria representa el nmero total de sellos al finalizar el experimento.

Se sabe que:

En trminos de la variable aleatoria se tiene que:

Problema 2.El ingeniero Juan labora en una reconocida empresa constructora, la empresa constructora se encuentra en el proceso de elaboracin de una propuesta de licitacin para la construccin de un puente en concreto reforzado y el urbanismo de los alrededores, la entrega de la propuesta de licitacin es en la secretaria de infraestructura del municipio donde se construir la obra. El ingeniero Juan debe llegar antes de las 4:00 p.m. a la oficina para entregar el proyecto, en el trayecto de la oficina del ingeniero Juan a la oficina de la secretaria de infraestructura, el ingeniero Juan corre el riesgo de encontrar las vas obstruidas por concepto de una protesta estudiantil. En la siguiente figura se muestran las diferentes rutas por las cuales el ingeniero Juan puede llegar a la oficina y las probabilidades de que la ruta se encuentre obstruida por la protesta estudiantil.

a) Calcule la probabilidad de que el ingeniero Juan no alcance a entregar la propuesta en la Secretaria de infraestructura por concepto de obstruccin en las vas debido a la protesta estudiantil.b) Determine la ruta en que el ingeniero Juan tendr la mayor posibilidad de entregar la propuesta en la secretaria de infraestructura.c) Calcule el nmero total de rutas posibles entre las que el ingeniero Juan puede decidir para llegar a la secretaria de Infraestructura.

Solucin a:Para la solucin del inciso (a) se debe reducir el sistema tal como se muestra en la figura anterior, en la figura se presentan las probabilidades de que no exista paso debido a las vas obstruidas por la protesta estudiantil, como se pregunta la probabilidad de que el ingeniero no alcance a entregar la propuesta, los que se traduce en que no encuentre paso por ninguna de las vas.

Para la solucin se debe encontrar el complemento de cada probabilidad (la probabilidad de que si haya flujo), esto con la finalidad de que el desarrollo no se extienda ya que se trabaja con la probabilidad de que estn obstruidas

Para el camino 1



Para el camino 2



Reduciendo el sistema se obtiene la figura que se observa a continuacin:

Para el camino 3.

0.90453889

La reduccin del sistema queda de la forma que se muestra en a continuacin.

De la misma manera como se venido reduciendo el sistema se trabaja esta parte.

Por lo tanto la probabilidad de que el ingeniero no pueda entregar la propuesta de en la secretaria de infraestructura por concepto de obstruccin en las vas por la protesta estudiantil es:

Solucin b:La ruta dibujada en la Figura es la ruta con la cual el ingeniero Juan tendr la mayor posibilidad de entregar la propuesta en la secretaria de infraestructura, su clculo se presenta de la siguiente manera:

Si se calculan las rutas restantes se podr dar cuenta de que esta ruta posee la probabilidad ms alta de que el ingeniero entregue la propuesta.

El nmero de rutas posibles entre las que el ingeniero Juan puede decidir para llegar a la secretaria de infra estructura se presenta en la siguiente figura.

Problema 3.Un estudiante de Ingeniera Civil es reconocido entre sus amigos por las excusas que da a sus docentes cuando entrega un trabajo tarde. Los amigos del estudiante sostienen que cuando el estudiante entrega un trabajo tarde: el 15% de las veces dice que el tiempo no le alcanzo para terminar el trabajo, las veces que dice que la entrega tarde se debi a calamidad familiar son el triple de las veces que dice que el retardo se debi a que el tiempo no le alcanzo para terminar el trabajo, 12% de las veces dice que se debi a enfermedad propia, el 13% de las veces dice que el archivo digital se le dao. De las veces que dice que se debi a falta de tiempo, el 55% de las veces el profesor no le recibe el trabajo, para cuando el estudiante dice que se debi a enfermedad propia este porcentaje es de 85%, de las veces que dice que fue por concepto de otros motivos, el 20% de las veces el profesor le recibe el trabajo. Se sabe que si un profesor no le recibe el trabajo al estudiante, la posibilidad de que la excusa que haya utilizado el estudiante sea el dao del archivo digital es de 14.85%. En el caso en el que el estudiante entregue un trabajo tarde y la excusa que utilice sea calamidad familiar; la posibilidad de que el estudiante haya realizado el trabajo completo es del 57%, la posibilidad de que el profesor le reciba el trabajo y el estudiante realice el trabajo completo es del 12% y la posibilidad de que el profesor no le reciba el trabajo al estudiante y el estudiante no haya hecho el trabajo completo es del 8%. a) Suponga que en cierto trabajo el estudiante entrega tarde, el estudiante dice al profesor que se le borro el archivo digital. Calcule la probabilidad de que el profesor le reciba el trabajo al estudiante.b) El profesor no le recibe un trabajo al estudiante, que este entrego tarde. Calcule la probabilidad de que la excusa que uso el estudiante haya sido calamidad familiar.c) Si en el trascurso del semestre el estudiante entrega un total de 15 trabajos fuera del tiempo de plazo. Calcule el nmero ms probable de trabajos que se espera que le sean aceptados por los profesores al estudiante.

Solucin:Con los datos del enunciado es posible plantear el siguiente diagrama de rbol:

Procedimiento para el clculo de la variable .Para el clculo de la variable se utiliza la teora de conjuntos.

De los datos del enunciado se sabe que:

Solucionando las expresiones se tiene que:

La variable est definida como:

Procedimiento para el clculo de la variable .De los datos suministrados por el enunciado se tiene que:

Solucin a:De acuerdo a las condiciones del enunciado se tiene que:

Solucin b:De acuerdo a las condiciones del enunciado se tiene que:

Solucin c:De acuerdo a las condiciones del enunciado se tiene que:

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERA CIVILESTADSTICA GRUPO K1PRIMER PREVIOJunio 18 de 2014



Problema 1. Suponga que un experimento estadstico consiste en lanzar un dado veces.a) Calcular la probabilidad de obtener nicamente resultados pares en todos los lanzamientos.b) Calcular la probabilidad de obtener resultados iguales en los lanzamientos del dado.c) Calcular la probabilidad de obtener resultados superiores o iguales a cuatro.

Solucin a:Utilizando el concepto bsico de la probabilidad

Por lo tanto para calcular la probabilidad de obtener nicamente resultados pares hacemos la representacin de los tres primeros tiros de un solo nmero en este caso ser el 2 cuya representacin es la misma para el resto de ramas.

Para el lanzamiento nmero 1 Se toma el nmero de favorables sobre posibles por lo tanto tenemos:

3 que son los nmeros pares del dado y 6 son las posibilidades totales es decir las 6 caras del dado, por lo tanto la posibilidad en para el primer tipo es de:

Para el lanzamiento nmero 2Para el segundo lanzamiento del dado de igual manera se toma nmero favorables sobre posibles:

El nmero de favorables es 9 ya que como se ve en la figura por cada tiro solo van a presentarse 3 favorables y como van 2 tiros el nmero de favorables aumenta, de igual manera el nmero de posibles que se calcula utilizando la regla multiplicacin 6x6=36

En este momento ya se puede definir la secuencia de como ocurre el evento a medida que el dado se lanza n veces, se observa que tanto el nmero de favorables como el de posibles aumenta conforme aumenta el nmero de lanzamientos de esta forma damos que la probabilidad de obtener nicamente resultados pares en todos los lanzamientos ser:

Solucin b:De la misma manera que en el inciso (a) se toma en cuenta la definicin bsica de la probabilidad

El nmero de resultados posibles est dado por la regla de la multiplicacin

El nmero de resultados favorables es de 6, por lo tanto la probabilidad del evento es:

Que sera lo mismo que tener:

PUNTO 3

El punto 3 se puede resolver de la misma forma en la que se resolvi el punto 1, por lo tanto no se volver a explicar. La probabilidad de obtener resultados superiores o iguales a cuatro es:

Problema 2.Un oficial de trnsito tiene como costumbre realizar un retn en cierto cruce en donde el trnsito de vehculos es alto, el oficial sostiene que la mayora de los conductores que merecen comparendo prefieren ayudarle para la gasolina o para el almuerzo que cancelar el valor legal del comparendo, situacin que se conoce como soborno, el oficial afirma que de los conductores que merecen, el 20% es por concepto de cinturn de seguridad, el 22% es por concepto de alta velocidad y el 35% por concepto de ruedas lisas. De los conductores que merecen comparendos por concepto de ruedas lisas el 85% decide ayudarle para la gasolina y no cancelar el valor legal del comparendo, de los conductores que merecen comparendo por otros tipos de infracciones, el 16% decide cancelar el valor del comparendo y no pagar el soborno. Si un conductor merece comparendo por concepto de sobrecupo, la probabilidad de que soborne al oficial es del 85%. Si un conductor decide pagar el comparendo legal, la posibilidad de que la causa de la generacin del comparendo sea alta velocidad es de 22.36%. Para los conductores que merecen comparendo por concepto del cinturn de seguridad, el oficial lanza una moneda y si el resultado que resulta es el que el oficial pens toma una decisin; la posibilidad de que el resultado de la moneda resulte como lo pens el oficial es de 40%, la posibilidad de que salga el resultado que pens el oficial y el conductor pague soborno es de 25% y la posibilidad que no salga el resultado que pens el oficial y el conductor no pague soborno es de 25%.a) Si en cierto da el oficial de trnsito detiene a 27 conductores, calcule el monto ms probable que obtendr por concepto de sobornos, si cada conductor que le paga soborno contribuye con una suma de $50.000.b) Si un conductor cancela soborno, calcule la probabilidad de que la causa de la infraccin sea por concepto de sobrecupo.c) Si un conductor decide cancelar el valor legal del comparendo, calcule la probabilidad que la causa del comparendo sea por concepto de cinturn de seguridad o ruedas lisas.

Solucin:Para la solucin del problema se realiza el siguiente diagrama de rbol.

Si se observa en el rbol no se encuentra la probabilidad de la forma de pago del Cinturn de Seguridad, ya que en el ejercicio no se da directamente, en el enunciado se brinda la siguiente informacin la posibilidad de que el resultado de la moneda resulte como lo pens el oficial es de 40%, la posibilidad de que salga el resultado que pens el oficial y el conductor pague soborno es de 25% y la posibilidad que no salga el resultado que pens el oficial y el conductor no pague soborno es de 25%." informacin con la cual es posible obtener los datos faltantes de la probabilidad de la legalidad o el soborno del Cinturn de Seguridad, como alternativas de solucin se tiene: Desarrollar realizando un nuevo diagrama de rbol. Desarrollar realizando Conjuntos.

Solucin por conjuntosSe plantean los siguientes eventos:

Con los resultados obtenidos, el rbol queda de la forma que se observa en la siguiente figura:

La solucin del siguiente ejercicio se realizara teniendo en cuenta la siguiente condicin

Segn datos del enunciado se tiene que:

Solucin a:Se utilizando la siguiente relacin:

El monto ms probable que obtendr el polica ser la cantidad N de favorables multiplicada por la cantidad que paga cada infractor que concilia por medio de sobornos que sera de $50.000.

Solucin b: Del enunciado se deduce que:

Dejando todo en funcin de Z:

Solucin b: Del enunciado se deduce que:

Dejndolo todo en funcin de Z:

Problema 3.Un estudiante de Ingeniera Civil realiza un estudio sobre el error en la longitud de un gancho de acero de refuerzo utilizado en la construccin de cierta viga de una edificacin de vivienda. Al finalizar el estudio, el estudiante deduce que la funcin de densidad de probabilidad que modela el comportamiento de la variable aleatoria continua que corresponde a la longitud de error en centmetros es de la forma:

De la experimentacin el estudiante ha obtenido los siguientes datos, y sabe que

)

0.500.50000.600.81000.701.15000.801.49500.901.87121.002.2500

0.550.66220.650.97250.751.31250.851.67250.952.0525

a) Calcule los valores de las constantes a, b, c, d, f y la funcin de probabilidad acumulada.b) Calcule el coeficiente de asimetra para la longitud del error de ganchos.c) Calcule el valor de la mediana para la longitud del error de los ganchos.

Solucin a:Utilizando el ajuste de curvas por mnimos cuadrados.

En la siguiente tabla es posible observar los valores mencionados en el sistema matricial planteado.

0.500.50000.25000.12500.06250.25000.1250

0.550.66220.30250.16640.09150.36420.2003

0.600.81000.36000.21600.12960.48600.2916

0.650.97250.42250.27460.17850.63210.4109

0.701.15000.49000.34300.24010.80500.5635

0.751.31250.56250.42190.31640.98440.7383

0.801.49500.64000.51200.40961.19600.9568

0.851.67250.72250.61410.52201.42161.2084

0.901.87120.81000.72900.65611.68411.5157

0.952.05250.90250.85740.81451.94991.8524

1.002.25001.00001.00001.00002.25002.2500

8.2514.74846.46255.2593754.420831312.0232910.112813

Resolviendo el sistema se obtiene:

Con las dems condiciones se obtiene:

Resolviendo el sistema planteado se obtiene:

Para el clculo de la funcin de probabilidad acumulada:

Para el tramo 1.

Para el tramo 2.

Solucin b:Para el clculo del coeficiente de asimetra se utiliza la siguiente expresin:

Se debe realizar el clculo de la desviacin estndar y el valor esperado.

Solucin c:Para el clculo de la mediana se utiliza la funcin de distribucin de probabilidad acumulada.

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