Solución Gráfica 2 [Modo de Compatibilidad]

23/11/2015

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Solución Gráfica

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

SOLUCIÓN GRÁFICA

Caso Wyndor Glass Co. (LIBRO: Hillier y Lieberman)

Wyndor Glass es una empresa que planea lanzar 2 nuevos productos:

◦ Una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio◦ Una ventana colgante con doble marco de madera de 4

por 6 pies

La empresa posee 3 plantas:

◦ Fabrica marcos de aluminio y herrerías◦ Elabora marcos de madera◦ Fabrica vidrio y ensambla ventanas y puertas

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SOLUCIÓN GRÁFICA

La empresa desea reorganizarse para concentrarse en los productos más rentables:¿Se debe seguir con estos dos nuevos productos?

Si fuera así, ¿Cuál debe ser la mezcla de productos?

La pregunta a responder consiste en:

¿Qué combinación de productos (número de unidades de producto por semana) de esos dos nuevos productos maximizan la ganancia total para la empresa?


SOLUCIÓN GRÁFICA

Planta

Tiempo de producción por unidad

Tiempo disponible

por semanaPuertas Ventanas

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18Ganancia unitaria $3 $5

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SOLUCIÓN GRÁFICA

Maximizar Z = 3X1 + 5X2

Sujeto a:1X1 ≤ 4

2X2 ≤ 123X1 + 2X2 ≤ 18

X1 ≥ 0X2 ≥ 0


SOLUCIÓN GRÁFICA

9

4 6

x2

x1

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SOLUCIÓN GRÁFICA

Región de puntos o soluciones factibles

9

6

2

4

4 6

x2

x1

x*


SOLUCIÓN GRÁFICA

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SOLUCIÓN GRÁFICA


SOLUCIÓN GRÁFICA


9

6

2

4

4 6

x2

x1


Curvas de Nivel ( )

Si Z = 1515 = 3X1 + 5X2

Si Z = 3030 = 3X1 + 5X2

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SOLUCIÓN GRÁFICA


SOLUCIÓN GRÁFICA

9

6

2

4

4 6

x2

x1

x*


Solución Optima

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SOLUCIÓN GRÁFICA

9

6

2

4

4 6

x2

x1

x*


Solución Optima

2


SOLUCIÓN GRÁFICA

Solución óptima: X1=2 y X2=6


Sujeto a:1X1 ≤ 4

2X2 ≤ 123X1 + 2X2 ≤ 18

X1 ≥ 0X2 ≥ 0

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SOLUCIÓN GRÁFICA

9

6

2

4

4 6

x2

x1

x*


Solución Optima

Restricción 2

Restricción 3


SOLUCIÓN GRÁFICA

Con el desplazamiento de las curvas de nivel de lafunción objetivo se obtiene la solución óptima delproblema en la intersección de dos o más rectas.

En este caso:2x2 = 12 , y3x1+2x2 = 18 (son las restricciones activas).

Resolviendo, se obtiene:x1

* = 2 x2* = 6

z* = 3 x1* + 5 x2

* = 36

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SOLUCIÓN GRÁFICA

CASOS ESPECIALES: Cuando:

1) Haya más de una solución óptima. En el ejemplo, considerela nueva función objetivo: z = 6x1+4x2.

2) El problema no tenga solución, dada una región de puntosfactibles no - acotada. En el ejemplo, si sólo la planta unotiene restricción de tiempo.

3) El problema no tenga solución, porque no existen puntosfactibles. En el ejemplo, suponga que agregamos la restricción:x1 ≥ 5.


SOLUCIÓN GRÁFICA


9

6

2

4

4 6

x2

x1


Curvas de Nivel ( )

Si Z = 1212 = 6X1 + 4X2

Si Z = 2424 = 6X1 + 4X2

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SOLUCIÓN GRÁFICA






SOLUCIÓN GRÁFICA


9

6

2

4

4 6

x2

x1


Curvas de Nivel ( )

Si Z = 1212 = 6X1 + 4X2

Si Z = 2424 = 6X1 + 4X2

Desplazamiento sin límite

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SOLUCIÓN GRÁFICA






SOLUCIÓN GRÁFICA


9

6

2

4

4 6

x2

x1


Curvas de Nivel ( )

Si Z = 1515 = 3X1 + 5X2

Si Z = 3030 = 3X1 + 5X2

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� Cuando hay solución óptima, siempre existeuna en un vértice.

� Si una solución en un vértice, no tienesoluciones adyacentes mejores, esa es lasolución óptima (óptimo local es global).

El método gráfico no puede aplicarse cuando existen más de dosvariables de decisión.

El método Simplex es un método iteractivo (George Dantzig

1947) que sigue los siguientes pasos:

◦ Parte de una solución inicial

◦ Verifica los vértices adyacentes a la solución inicial

◦ Recorre la arista, hasta el vértice adyacente en dondese mejora la función objetivo (de acuerdo a lapendiente)

◦ Finaliza cuando ningún vértice provee una mejorsolución comparada con la solución actual.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE

PROGRAMACIÓN LINEAL

SOLUCIÓN GRÁFICA

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� Z=6X1+3X2

� S.a.:

� 3X1+2X2 <= 18

� 4X1+5X2 >= 20

� 5X1+ X2 <= 15

� X1, X2 >=0

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� Z = 29,4

� X1= 1,71

� X2 = 6,45

EL MÉTODO SIMPLEXProcedimiento Algebraico

Las soluciones se obtienen al resolver un sistema deecuaciones lineales que surgen a partir de laformulación del problema original:

Funciones delProblema Original

Transformación en Igualdades

Sistema de Ecuaciones Lineales

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Maximizar

Sujeto a: A x ≤ b

x ≥ 0

VARIABLE DE HOLGURA:

Es una variable no negativa que se adiciona al ladoizquierdo de una restricción funcional dedesigualdad ≤ para convertirla en una igualdadequivalente.


Maximizar Z = 3X 1 + 5X2

Sujeto a:1X1 ≤ 4

2X2 ≤ 123X1 + 2X2 ≤ 18

X1 , X2 ≥ 0


Sujeto a:1X1 +X3 = 4

2X2 +X4 = 123X1 + 2X2 + X5 = 18

X1 , X2 ,X3 , X4 , X5 ≥ 0

X1 y X2 son variables de decisiónX3, X4, X5 son variables de holgura

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CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES DE HOLGURA

� Coeficientes en la función objetivo son iguales a cero

� Coeficientes en las restricciones:◦ 1 en la restricción correspondiente

◦ 0 en las demás

� Sirven para completar las soluciones básicas

� Tienen un significado real

� Pueden aparecer en la solución óptima


SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE

Solución del sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (m<n),obtenida al hacer (n-m) variables igual a cero:


m restriccionesn variables (de decisión, de holgura,…)


Sujeto a:1X1 +X3 = 4

2X2 +X4 = 123X1 + 2X2 + X5 = 18

X1 , X2 ,X3 , X4 , X5 ≥ 0

Cuántas variables deben ser cero?

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m restriccionesn variables (de decisión, de holgura,…)

Maximizar Z = 3X 1 + 5X2Sujeto a:

1X1 +X3 = 42X2 +X4 = 12

3X1 + 2X2 + X5 = 18X1 , X2 ,X3 , X4 , X5 ≥ 0

Las variables básicas se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones lineales, después de decidir sobre las variables que serán cero

Si las variables básicas resultantes son ≥ 0, entonces la solución obtenida es una solución básica factible

El número de variables básicas es igual al número de restricciones

Las variables que no son cero se les conoce como Variables Básicas


1. Hallar una solución básica factible inicial partiendo de los coeficientes que forman la matriz identidad en las variables básicas:

Maximizar Z = 3X 1 + 5X2Sujeto a:

1X1 +X3 = 42X2 +X4 = 12

3X1 + 2X2 + X5 = 18X1 , X2 ,X3 , X4 , X5 ≥ 0

x1 x2 x3 x4 x5

1 0 1 0 0

0 2 0 1 0

3 2 0 0 1

Fila 1Fila 2Fila 3

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Variables Básicas:

X3, X4, X5

Variables no básicas:

X1 y X2

Como X1 y X2 son cero, entonces:

X3= 4 X4= 12 X5=18

La solución básica factible inicial es (0,0,4,12,18)


2. PRUEBA DE OPTIMALIDAD:

Es posible mejorar la función objetivo?:

Z = 3X1 + 5X2

Si es posible porque hay coeficientes positivos !

Con cual variable?

Con X2 porque su coeficiente 5 es el mayor de todos los coeficientes.

Entonces entra X2 como variable básica y reemplaza a una de las anteriores variables básicas, la cual se volverá cero.


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x1 x2 x3 x4 x5

1 0 1 0 0

0 2 0 1 0

3 2 0 0 1

Fila 1Fila 2Fila 3

x1 x2 x3 x4 x5

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

Fila 1Fila 2Fila 3

Entra X2 como variable básica y reemplaza a una de las anteriores variables básicas (X3, X4, X5), la cual se volverá cero.

Cómo hacerlo?

Por medio de la Prueba del cociente mínimo…..


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Obteniendo la matriz identidad incluyendo la columna de X2….


x1 x2 x3 x4 x5

1 0 1 0 0

0 2 0 1 0

3 2 0 0 1

Fila 1Fila 2Fila 3

x1 x2 x3 x4 x5

? 0 1 ? 0

? 1 0 ? 0

? 0 0 ? 1

Fila 1Fila 2Fila 3

3. PRUEBA DEL COCIENTE MÍNIMO (CM)

Esta prueba consiste en dividir el lado derecho de cada restricción, entre el coeficiente de la variable que entra (X2):

Fila 1 1X1 +X3 = 4Fila 2 2X2 +X4 = 12Fila 3 3X1 + 2X2 + X5 = 18

Fila 1: CM = ∞Fila 2: CM = 6 …. Fila pivoteFila 3: CM = 9

El menor coeficiente corresponde a la fila 2 e indica que la variable básica asociada (X4), es la primera variable básica en convertirse en cero.Por lo tanto, X4 es la variable que sale de la base convirtiéndose en variable no básica.


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Cuales son los nuevos valores de X2, X3 y X5?

Obteniendo la matriz identidad incluyendo la columna de X2….


x1 x2 x3 x4 x5

1 0 1 0 0

0 2 0 1 0

3 2 0 0 1

Fila 1Fila 2Fila 3

x1 x2 x3 x4 x5

? 0 1 ? 0

? 1 0 ? 0

? 0 0 ? 1

Fila 1Fila 2Fila 3

4. CALCULAR NUEVO SISTEMA DE ECUACIONES

Fila 1 1X1 +X3 = 4Fila 2 2X2 +X4 = 12Fila 3 3X1 + 2X2 + X5 = 18

4.1 Obtener 1 en la fila pivote (fila 2), dividiéndola entre el coeficiente de la variable que entra. Nueva restricción:

Fila 2 X2 +0.5X4 = 6

4.2 Obtener cero en la columna de la variable que entra (x2), anulando dicha variable en las demás restricciones:

Fila 1 original no posee X2, por lo tanto queda igual


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Fila 3:

Fila pivote actual (fila 2) se multiplica por: - 2 y se suma a la fila 3 original:Fila Pivote actual ………..… X2 +0.5X4 = 6

*(-2): - 2X2 - X4 =-12Fila 3 original 3X1 + 2X2 + X5 = 18Nueva Fila 3 3X1 - X4 + X5 = 6

Fila de la Función Objetivo:

Fila pivote actual (fila 2) se multiplica por: + 5 y se suma a la FO original:Fila Pivote actual ………..… X2 +0.5X4 = 6

*(+5): + 5X2 + 2.5X4 = 30Fila FO original Z - 3X1 - 5X2 = 0Nueva FO Z - 3X1 + 2.5X4 = 30


NUEVO SISTEMA DE ECUACIONES:

Fila FO Z - 3X1 + 2.5X4 = 30

Fila 1 X1 +X3 = 4

Fila 2 X2 + 0.5X4 = 6

Fila 3 3X1 - X4 + X5 = 6

Variables básicas: X2, X3, X5 Variables no básicas: X1, X4


X2= 6 X3= 4 X5=6

La solución básica factible es (0,6,4,0,6)

De aquí en adelante, se repite el procedimiento…..


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Es posible mejorar la nueva función objetivo?:Z = 30 + 3X1 – 2.5X4

Si es posible porque hay coeficientes positivos !Con cual variable?

Con X1 porque su coeficiente 3 es el mayor de todos los coeficientes.Entonces entra X1 como variable básica y reemplaza a una de las anteriores variables básicas, la cual se volverá cero. Cómo hacerlo?

Por medio de la Prueba del cociente mínimo…..


PRUEBA DEL COCIENTE MÍNIMO (CM)

Se divide el lado derecho de cada restricción, entre el coeficiente de la variable que entra (X1):

Fila 1 X1 +X3 = 4Fila 2 X2 + 0.5X4 = 6Fila 3 3X1 - X4 + X5 = 6

Fila 1: CM = 4Fila 2: CM = ∞Fila 3: CM = 2 …. Fila pivote

El menor coeficiente corresponde a la fila 3 e indica que la variable básica asociada (X5), es la primera variable básica en convertirse en cero.

Por lo tanto, X5 es la variable que sale de la base convirtiéndose en variable no básica.


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CALCULO DEL NUEVO SISTEMA DE ECUACIONES

Fila 1 X1 +X3 = 4

Fila 2 X2 + 0.5X4 = 6

Fila 3 3X1 - X4 + X5 = 6

4.1 Obtener 1 en la fila pivote (fila 3), dividiéndola entre el coeficiente de la variable que entra. Nueva restricción:

Fila 3 X1 - 0.33 X4 + 0.33X5 = 2

4.2 Obtener cero en la columna de la variable que entra (X2), anulando dicha

variable en las demás restricciones….


Fila 1:

Fila pivote actual (fila 3) se multiplica por: - 1 y se suma a la fila 1:Fila Pivote actual ………..… X1 - 0.33 X4 + 0.33X5 = 2

*(-1): - X1 + 0.33X4 - 0.33X5 = - 2Fila 1 original X1 + X3 = 4Nueva Fila 1 + X3 + 0.33X4 - 0.33 X5= 2

Fila 2: Queda igual

Fila FO:Fila pivote actual (fila 3) se multiplica por: + 3 y se suma a la función objetivo:

Fila Pivote actual ………..… X1 - 0.33 X4 + 0.33X5 = 2

*(+3): +3X1 - 1X4 +1X5 = 6Fila FO original Z - 3X1 + 2.5X4 = 30Nueva FO Z + 1.5X4 +1X5 = 36


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NUEVO SISTEMA DE ECUACIONES:

Fila FO Z + 1.5 X4 + X5 = 36

Fila 1 X3 + 0.33X4 - 0.33X5 = 2

Fila 2 X2 + 0.5X4 = 6

Fila 3 X1 - 0.33X4 + 0.33 X5 = 2

Variables básicas: X1, X2, X3 Variables no básicas: X4, X5


X1= 2 X2= 6 X3=2

La solución básica factible es (2,6,2,0,0)

De aquí en adelante, se repite el procedimiento…..



Es posible mejorar la nueva función objetivo?:Z = 36 -1.5X4 – X5

No es posible porque no hay coeficientes positivos

CONCLUSIÓN:

Esta última es la solución óptima!

Solución Gráfica 2 [Modo de Compatibilidad]

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