7/23/2019 Solucion de POLEAS

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ASOCIACIN DE POLEAS

Dos objetos de masas m1 y m2 cuelgan de un conjunto de poleas combinadas de dosformas distintas (asociacin A y B). Calcula en qu condiciones el conjunto se encuentra

en equilibrio.Calcula en qu condiciones el conjunto se encuentra en equilibrio. Calcula

la aceleracin de cada uno de los objetos y la tensin de las cuerdas cuando no e!iste ese

equilibrio.

Concreta para los casos m1"#$ %g y m2"1&$ %g. Considera las poleas y cuerdas con

masas despreciables

Asociacin A

Las fuerzas que actan sobre cada uno de los elementos del sistema son las que se muestranen el dibuo! Siendo "# "$# "%& "'las tensiones en las distintas cuerdas & P $# P%los (esos delas masas! Para que el conunto se encuentre en equilibrio la suma de todas las fuerzas que

acten sobre cada uno de loselementos debe ser cero! Adem)s#los momentos de las fuerzas tambi*ndeben ser nulos! Estasconsideraciones (ermiten escribir lassi+uientes ecuaciones,

Ecuaciones que conducen a lossi+uientes resultados,

a- La tensin de la cuerda ."$- quesueta a la masa (eque/a .en

amarillo- es la mitad de la tensin lacuerda que tira de la se+unda (oleam0il ."%- & es un cuarto de latensin de la cuerda ."'- que sueta ala masa +rande .en azul-!

b- El 0alor de estas tensiones es,

T%T$=1

T$P$=1T

'P

%=1

T$=$2(m$+m%)g

T%=%

2(m$+m%)g

T'=32(m$+m%)g

%T$T%=1%T

%T

'=1

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c- La relacin entre los (esos de ambas masas es,

La 0entaa mec)nica se (one claramente de manifiesto! Con slo un (eso que es la cuarta(arte del otro el sistema &a est) en equilibrio! Si se a/adiera otra (olea m0il m)s# la relacin

ser4a tan solo de un octa0o! En +eneral# (ara esta forma de combinar las (oleas se (uedeescribir la si+uiente ecuacin

Siendo nel nmero de (oleas m0iles!

Si la relacin entre (esos no fuera la anterior# entonces el conunto no estar4a en equilibrio &se mo0er4a con aceleracin! Las ecuaciones a(licables a las masas deben escribirse a5ora,

Siendo a$& a%las aceleraciones con las que se mue0e cada una! Ambas est)n relacionadas &aque si una de la masas desciende la otra asciende & no (uede 5acerlo en cualquier cantidad!"omando como ori+en de distancias el ee de la (olea fia# se debe cum(lir durante todo elmo0imiento de la masa amarilla que la suma de %& '6&$debe (ermanecer constante .es decir#lon+itud de la cuerda que sueta a esta masa no (uede cambiar a lo lar+o del mo0imiento-! Por

tanto# cualquier cambio debe ser tal que cum(la,

Esto im(lica que cuando la masa amarilla desciende .oasciende- una distancia# la (rimera (olea m0il sube .o baa-la mitad de esa distancia! La 0elocidad & a aceleracin+uardar)n la misma relacin!7azonando de la misma forma (ara la se+unda (olea m0il#se debe cum(lir que &%6.&%8&'-# que es la lon+itud de la cuerdaque sueta a esta (olea# debe (ermanecer constante! Por tanto#a lo lar+o del tiem(o,

7esultado que nos indica# que si la (rimera (olea sube .obaa- la se+unda (olea 5ace lo mismo# (ero recorre unadistancia que es la mitad de la de la (rimera (olea m0il! La0elocidad & la aceleracin +uardar)n la misma relacin!Combinando este resultado con el anterior & sabiendo que laaceleracin de la se+unda (olea m0il es i+ual a laaceleracin de la masa azul# se (uede escribir,

% y'+ y$=1

y'=$% y$

% y% y'=1

y%=

$

% y

'

a$=3a%

T'P%=m%a%T$P$=m$a$

P$=

$

3P

%

P$=

$

%nP

%

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Como la masa de las (oleas se considera des(reciable .es decir# nula- el (roducto de su masa(or la aceleracin ser) nulo & (or tanto# las ecuaciones que se les a(lican si+uen siendo lasmismas & se obtiene el mismo resultado "9%"$# "%9%"$& "'93"$!

7eordenando todos estos resultados anteriores & des(eando nos queda que las aceleraciones0alen,

:na 0ez obtenidas las aceleraciones# los 0alores de tensiones en las cuerdas se calculansustitu&endo adecuadamente!

Concretando (ara los casos de m$9 '1 ;+ & m%9 $21 ;+! El sistema estar4a en equilibrio si la(area de masas 5ubiese sido '1 ;+ & $%1 ;+ o bien '

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Asociacin

Procediendo de la misma forma que en caso anterior# su(oniendo que eBiste equilibrio# se(ueden escribir las si+uientes ecuaciones,

De esas ecuaciones se lle+a al resultado de que la relacin entre (esos (ara que el sistema seencuentre en equilibrio es,

Las tensiones de las cuerdas (ueden calcularse,

Si a/adi*semos m)s (oleas m0iles encontrar4amos la si+uiente relacin entre ambos (esos,

Siendo nel nmero de (oleas m0iles!

T%T$=1%T$T%=1T$P$=1'T%P%=1

P$=

$

?P

%

P$=

$

%nP

%

T$=m

$g=

$

?m

%g

T%=

$

'm

%g=%m

$g

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Cuando la relacin entre los (esos fuera diferente a la anteriormente establecida# el conuntose mo0er4a con aceleracin! Las ecuaciones a(licables a las masa & a resol0er a5ora ser4an.teniendo en cuenta que la masa de las (oleas & cuerdas es des(reciable-,

Siendo a$& a%las aceleraciones con las que se mue0e cada masa! Ambas aceleraciones est)nrelacionadas! "omando como ori+en de distancias los ees de la (oleas fias# se debe cum(lir

durante todo el mo0imiento que la suma &$6?&%debe (ermanecer constante! Por tanto# cualquiercambio en esas distancias debe cum(lir que,

Es decir# cuando la masa amarilla desciende unacantidad# la masa azul lo 5ace slo un seBto!

Esa mima relacin se mantiene (ara 0elocidades &aceleraciones# lue+o,

7esol0iendo todas las ecuaciones# queda

Las tensiones en las cuerdas se (ueden calcular sustitu&endo adecuadamente en lasecuaciones!

Para el caso de m$9 '1 ;+ & m%9 $21 ;+! El sistema estar4a en equilibrio si la (area de masas

5ubiese sido '1 ;+ & $=1 ;+ o bien %2 ;+ & $21 ;+!En las condiciones que se dan# el (eso de la masa m% es inferior a ? 0eces el (eso de la masam$# lo que 5ar) que la masa m%ascienda con una aceleracin 1#%'@ m>s%& la masa m$bae conuna aceleracin de 8$!3' m>s%! Los 0alores de las tensiones son "9 21$#@2N# " $9 %21#@= N #"%9 21$#@2 N!

T%T$=1%T$T%=1T

$P

$=m

$a

$'T%P%=m%a%

y$+? y%=1

y%=$? y$

a$=?a%

a%=?m$gm%g

'?m$+m%

a$='?m$g+?m%g

'?m$+m%