SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Nos interesan principalmente las funciones linealmente independientes o, de manera más concreta, las soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal. Aunque siempre podríamos apelar directamente a la definición 3.1, resulta que la cuestión de si las n soluciones y1 , y2 ,…, yn de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-esimo orden (6) son linealmente independientes puede resolverse de manera un tanto mecánica si usamos un determinante.

an ( x ) dn yd xn

+an−1 ( x ) dn−1 yd xn−1

+…+a1 ( x ) dydx

+a0 ( x ) y=0

DEFINICION 3.2: Wronskiano

Suponga que cada una del las funciones f 1 ( x ) , f 2 (x ) ,…, f n( x) posee al menos n−1derivadas. El determinante

W ( f 1 ,…, f n )=|f 1 f 2 ⋯ f nf 1' f 2

' ⋯ f n'

⋮ ⋮ ¿ ¿f 2(n−1)¿⋯¿ f n

(n−1)¿|Donde las primas denotan derivadas, se denomina wronskiano de las funciones

Teorema 3.3: Criterio para soluciones linealmente independientes

Digamos que y1 , y2 ,…, ynson nsoluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea (6) de n-esimo orden en el intervalo I . Entonces el conjunto de

soluciones de linealmente independiente en Isi, y solo si, W ( y1 , y2 ,…, yn )≠0para

toda xen el intervalo.

Del teorema 3.3 se deduce que cuando y1 , y2 ,…, ynson nsoluciones de (6) en un

intervalo I , el wronskiano W ( y1 , y2 ,…, yn)es idéntico a cero en el mismo.

Un conjunto de nsoluciones linealmente independiente de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-esimo orden recibe un nombre especial.

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DEFINICIÓN 3.3: conjunto fundamental de soluciones

Cualquier conjunto y1 , y2 ,…, ynde nsoluciones linealmente independiente de la ecuación diferencial lineal homogénea (6) de n-esimo orden en un intervalo Ise dice que es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

La pregunta básica de si existe un conjunto fundamental de soluciones para una ecuación lineal se responde en el teorema siguiente.

Teorema 3.4: Existencia de un conjunto fundamental

Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial lineal homogénea (6) de n-esimo orden en un intervalo I .

Semejante al hecho de que cualquier vector en tres dimensiones puede expresarse como una combinación lineal de los vectores linealmente independientes i , j , k ,cualquier solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-esimo orden en un intervalo Ipuede expresarse como una combinación de nsoluciones linealmente independientes y1 , y2 ,…, ynson los elementos fundamentales constitutivos de la solución general de la ecuación.

Teorema 3.5: Solución general: ecuaciones homogéneas

Digamos que y1 , y2 ,…, ynes un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea (6) de n-esimo orden en un intervalo I . Entonces, en el intervalo, la solución general de la ecuación es

y=c1 y1 (x )+c2 y2 ( x )+…+cn yn ( x ) ,

Donde c i ,i=1,2,…,nson constantes arbitrarias.

El teorema 3.5 afirma que si Y (x ) es alguna solución de (6) en el intervalo.

Entonces siempre se pueden encontrar constantes C1,C2,…,Cn de modo que

Y ( x )=C1 y1 (x )+C2 y2 ( x )+…+Cn yn ( x ) ,

Demostraremos el caso que se presenta cuando n=2.

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Demostración: Digamos que Y es una solución y y1 y y2 son soluciones

linealmente independientes de a2 y' '+a1 y

'+a0 y=0en un intervalo I . Suponga que

x=tes un punto en I para el cual W ( y1 ( t ) , y2 (t ) )≠0. Suponga también que Y (t )=k1 y

Y ' (t )=k2. Si ahora examinamos las ecuaciones

C1 y1 ( t )+C2 y2 ( t )=k1

C1 y1' (t )+C2 y2

' ( t )=k2 ,

Se deduce que podemos determinar C1 y C2de manera univoca, siempre que el determinante de los coeficientes satisfaga

|y1(t ) y2(t)y1' (t ) y2

' (t)|≠0.Pero este determinante solo es el wronskiano evaluado en x=t , y, por suposición, W ≠0.Si definimos G ( x )=C1 y1 ( x )+C2 y2(x ), observamos que G(x )satisface la

ecuación diferencial, dado que es una superposición de dos soluciones conocidas; G(x )satisface las condiciones iniciales

G (t )=C1 y1 ( t )+C2 y2 (t )=k1yG' ( y )=C1 y1

' (t )+C2 y2' ( t )=k2 ;

Y (x )satisface la misma ecuacion lineal y las mismas condiciones iniciales. Dado que la solucion de este problema de valor inicial es unica (teorema 3.1), tenemos Y ( x )=G(x )o Y ( x )=C1 y1 (x )+C2 y2 ( x ) .

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