INTRODUCCIÓN:

Un amplificador operacional es un amplificador diferencial de muy alta ganancia con alta impedancia de entrada y baja impedancia de salida. Los primeros amplificadores operacionales fueron utilizados principalmente para realizar operaciones matemáticas tales como adición, sustracción, integración y diferenciación, de ahí el término operacional. Estos primeros dispositivos se construyeron con tubos de vacío y funcionaban con altos voltajes. Los amplificadores operacionales actuales son circuitos integrados lineales que utilizan voltajes de CD relativamente bajos y son confiables y baratos.

Figura 1: Amplificador operacional básico

En este trabajo se solucionará una ecuación diferencial de segundo orden la cual describe el comportamiento de un circuito RLC, para ello se contará con amplificadores operacionales sumadores e integradores.

Los circuitos sumadores pueden usarse para resolver ecuaciones algebraicas, y el integrador es un circuito analógico de suma importancia útil en redes de control siempre que se deba resolver una ecuación diferencial o se requiera la integral de un voltaje.

Figura 2: Amplificador sumador (Derecha), Amplificador Integrador (Izquierda).

El voltaje de salida de un Amplificador integrador se expresa de la siguiente forma:

Vsal=−1RC∫V 1dt (1)

DESARROLLO:

A continuación se hallará el circuito con amplificadores operacionales el cual solucionará la ecuación diferencial de un circuito RLC en serie, el circuito se muestra en la siguiente figura:

Figura 3: Circuito RLC para el desarrollo

Por medio de la ley de tensiones de Kirchhoff se expresan las caídas de tensión en el circuito:

V ent=V L+V C+V R

V ent=−L didt

+ 1C∫ i dt+Ri

Integrando con respecto al tiempo ambos lados de la ecuación:

∫V entdt=¿R∫ idt−Li+ 1C∬ idt ¿

Resolviendo para i se obtiene:

i= RL∫ i dt+

1LC∬ i dt−1

L∫V entdt

Cada uno de los términos de la ecuación se está sumando, por lo que se dispondrá de un sumador a la hora de elaborar el circuito. Ahora se reemplazará los valores de R, L y C correspondientes en la ecuación:

i=20∫ i dt+4∗106∬ i dt−2∫V entdt(2)

Ahora se elaborará el circuito, los amplificadores operacionales a utilizar son los sumadores e integradores los cuales se ilustran en la figura 2, las resistencias tienen un valor elevado ya que hay un factor de 106 y éste debe conservarse, por medio de la ecuación (1), se hallan los valores específicos de R y C en los integradores.

Figura 4: Circuito para la solución

Los valores correspondientes de las resistencias y capacitores son los siguientes:

R1=R2= 500kΩ

R3=R4=R6=R7=R8=R9=100kΩ

R5=R11=R12=R15=50kΩ

R10=25kΩ

R13=R16=R17=10kΩ

R14=2MΩ

C1=C2=1µF

C3=0.1µF

Al circuito se le aplica un voltaje de entrada, el amplificador A1 es un integrador, el cual va a

integrar ese voltaje de entrada, utilizando la ecuación (1), hallamos la salida la cual es −2∫V entdt

Al ingresar a A2, el cual es un sumador, hace que la señal de entrada cambie de signo por lo que su

salida es igual a 2∫V entdt .

Se observa que el amplificador A3 es un sumador, allí van a conectarse todas las salidas de los otros amplificadores, y según la ecuación (2), su salida debe ser igual a i=V salida.

Ahora, el amplificador A4, es un integrador; se observa que la entrada es precisamente i, por lo

que su salida y aplicando la ecuación (1) es −20∫ i dt, esta señal va al sumador principal (A3) y

también a un nuevo sumador (A5), el cual le hace cambiar su signo en su señal de salida con una ganancia de 200. Esta señal de salida va a un nuevo integrador (A6), por lo que su señal de salida

es una doble integral y por medio de la ecuación (1) se expresa así: −4∗106∬ idt , y luego va al

sumador principal.

En el sumador principal (A3), se suman −4∗106∬ idt ,−20∫ i dt y 2∫V entdt todas esas

señales de entrada cambian de signo al salir lo cual es exactamente la ecuación 2, y esa señal de salida es la solución de la ecuación diferencial.

SIMULACIONES:

Para este desarrollo, en primer lugar, se halló la función de transferencia con la ecuación (2), de forma manual del circuito RLC, dando como resultado:

CS

−CLS2+RCS+1

Al sustituir los valores de R, L y C, da una función de transferencia igual a:

0.5¿10−6 S−2.5∗10−7S2+5∗10−6S+1

En MATLAB se encontró su respuesta al impulso:

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0x 10

22 Impulse Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Figura 5: Respuesta al impulso

Ahora se simula el circuito mostrado en la figura 4 en el software Circuit Maker, se asumen Amplificadores ideales, por lo que no se toman en cuenta las resistencias de las entradas no inversoras, ya que estas se incluyen allí cuando se generan corrientes de polarización.

La entrada es un generador de señales, configurado en PULSE.

Al simular el circuito se obtiene la respuesta en la salida

Tanto en MATLAB, como en el simulador de circuitos se obtienen respuestas muy similares, por lo que se concluye que el circuito mostrado en la Figura 4, da una solución a la ecuación diferencial de un circuito RLC en serie.

BIBLIOGRAFÍA:

- Matthew N. O. Sadiku, Fundamentos de los circuitos eléctricos Tercera edición, Mc Graw Hill, 2006

- http://es.wikipedia.org/wiki/Amplificador_operacional - Robert L. Boylestad, Louis Nashelsky, Electrónica Teoría del circuito, Décima edición,

Pearson, 2009- L.M Faulkenberry. Introducción a los amplificadores operacionales con aplicaciones a CI

lineales, Limusa, 2005.