Solucion Al Examen

7/25/2019 Solucion Al Examen

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Solucion al primer Parcial - Analisis Numerico

1. Hallar la condicion del problemaP : Rn Rn R/P(x, y) =n

i=1 |xiyi|

Solucion:

Sean x = (x1,...,xn), y = (y1,...,yn), x = (x1,...,xn), y = (y1,...,yn) vectores en Rn donde

xk =xk(1 +k) yyk =yk(1 +k) con |k| epsy |k| epsparak = 1,...,n.

Planteamos

|P(x,y)P(x,y)||P(x,y)| =

|n

i=1 |xiyi

|n

i=1 |xiyi

||

|n

i=1 |xiyi

||

= |n

i=1 |xi(1+i)yi(1+i)

|n

i=1 |xiyi

||

|n

i=1 |xiyi

||

|n

i=1 |xiyi(1+i)(1i)|

ni=1 |

xiyi

||

|n

i=1 |xiyi

||

= |n

i=1 |xiyi(1+iiii)|

ni=1 |

xiyi

||

|n

i=1 |xiyi

||

Despreciandoii 0 para i = 1,...,n

|n

i=1 |xiyi(1+ii)|

ni=1 |

xiyi

||

|n

i=1 |xiyi

||

|

n

i=1 |

xi

yi |+

n

i=1 |

xi

yi |(|i|+|i|)

n

i=1 |

xi

yi |||n

i=1 |xiyi

||

= |n

i=1 |xiyi

|(|i|+|i|)|

|n

i=1 |xiyi

||

|n

i=1 |xiyi

||i|+n

i=1 |xiyi

||i||

|n

i=1 |xiyi

||

=n

i=1 |xiyi

||i|+n

i=1 |xiyi

||i|n

i=1 |xiyi

|

2n

i=1 |xiyi

|

ni=1 | xiyi | eps

= 2eps

De donde = 2 y el problema esta bien condicionado.

1


2/6

2. Hallar una raiz real positiva mediante el Metodo del Punto Fijo para xx ex = 0 con


3/6

3. Mediante el metodo de Splines Cubicos a justar los puntos de la siguiente tabla

x 2.0 3.4 6.8 7.9f(x) 815 924 716 1007

Solucion:

Un Trazador Cubico es una funcion que interpola a fen los 4 puntos dados definida de lasiguiente forma:

S(x) =

S0(x) si x [x0, x1]S1(x) si x [x1, x2]S2(x) si x [x2, x3]

Donde Si(x) =ai+bi(x xi) +ci(x xi)2 +di(x xi)

3 parai= 0, 1, 2.

Para el calculo de ai plateamos ai= f(xi) parai= 0, 1, 2, 3

a0 = f(x0) = 815

a1 = f(x1) = 924

a2 = f(x2) = 716

a3 = f(x3) = 1007

Para el calculo de hi planteamos hi= xi+1 xi para i = 0, 1, 2.

h0= x1 x0 = 1, 4

h1= x2 x1 = 3,4

h2= x3 x2 = 1, 1

Para el calculo de ci planteamos

1 0 0 0h0 2(h0+h1) h1 00 h1 2(h1+h2) h20 0 0 1

c0c1c2c3

=

03h1

(a2 a1) 3h0

(a1 a0)3h2

(a3 a2) 3h1

(a2 a1)

0

Luego obtenemos

1 0 0 01,4 9,6 3,4 00 3,4 9 1,10 0 0 1

c0c1c2c3

=

0417,1008977,1658

0

3


4/6

Resolviendo obtenemosc0= 0, c1= 81,9013, c2= 108,5739 yc3= 0

Para el calculo de bi planteamos bi= 1hi

(ai+1 ai) hi3(2ci+ci+1) parai= 0, 1, 2.

b0= 1h0

(a1 a0) h03

(2c0+c1) = 107,8876

b1= 1h1

(a2 a1) h13(2c1+c2) = 1,4160

b2= 1

h2 (a3 a2) h2

3(2c2+c3) = 184,9246Para el calculo de di planteamosdi =

13hi

(ci+1 ci) para i = 0, 1, 2.

d0= 13h0

(c1 c0) = 19,5003

d1= 13h1

(c2 c1) = 18,6740

d2= 13h2

(c3 c2) = 32,9011

Finalmente planteamos:

S(x) =

S0(x) = 815 + 107,8876(x xi) + 0(x xi)2 19,5003(x xi)3 si x [2,0S1(x) = 924 + 1,4160(x xi) 81,9013(x xi)

2 + 18,6740(x xi)3 si x [3,4

S2(x) = 716 + 184,9246(x xi) + 108,5739(x xi)2 32,9011(x xi)

3 si x [6,8

4


5/6

4. mediante el metodo de Newton-Raphson determine las intersecciones de las curvasy +x2 = 4yx +y2 = 6 en el intervalo que usted establezca.

Solucion:

Consideremos el siguiente grafico

6 4 2 0 2 420

15

10

5

0

5

10

15

GRAFICO

Graficamente observamos que existen 4 puntos en comun entre ambas parabolas, sean A,B,CyD dichos puntos.

SeaAel punto del primer cuadrante, hallar dicho puntoAtomemos la aproximacion (x0, y0) =(1, 35;2,15).

Planteamosf(x, y) =y +x2

4 yg(x, y) =x+y2

6

Tambien consideramos la matriz JacobianaJ(x, y) =

f

x

f

yg

x

g

y

=

2x 1

1 2y

El determinante de la matriz Jacobiana esta dada por det(J(x, y)) = 4xy 1

Para aplicar el metodo de Newton Raphson planteamos para n= 0, 1,...

xn+1= xn 1

det(J(xn,yn))(f(xn, yn)

g(xn,yn)y

g(xn, yn)f(xn,yn)

y )

yn+1= yn 1

det(J(xn,yn))(g(xn, yn)

f(xn,yn)x

f(xn, yn)g(xn,yn)

x )

Para nuestro caso tenemos para n = 0, 1,...

xn+1= xn 1

4xnyn1((yn+x

2n 4)(2yn) (xn+y

2n 6)(1))

5


6/6

yn+1= yn 1

4xnyn1((xn+y

2n 6)(2xn) (yn+x

2n 4)(1))

Para n = 0

x1= x0 1

4x0y01((y0+x

20 4)(2y0) (x0+y

20 6)(1)) = 1,3585

y1= y0 1

4x0y01((x0+y

20 6)(2x0) (y0+x

20 4)(1)) = 2,1544

Para n = 1

x2= x1 1

4x1y11((y1+x

21 4)(2y1) (x1+y

21 6)(1)) = 1,3585

y2= y1 1

4x1y11((x1+y

21 6)(2x1) (y1+x

21 4)(1)) = 2,1544

Veamos el error E1= |x2 x1| = 0< 0,001 yE2 = |y2 y1| = 0< 0,001.

Luego planteamos como solucion del sistema A(1,3585; 2,1544).

6

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