- 47 -

2

2

4.9

4.9 1

4.9

h t

h

2

2

2

2

2

4.9

19.6 4.9

19.6

4.9

4

4 0

2 2 0

h t

t

t

t

t

t t

1

2 0

2

t

t

2

2 0

2

t

t

SOLUCIÓN DE ECUACIONES

CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN Al finalizar la sección 2-2 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Saber identificar los elementos de una ecuación cuadrática completa. Saber resolver ecuaciones cuadráticas usando la factorización. Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de

tu avance.

ACTIVIDAD 2.2.1 Estudiando ecuaciones cuadráticas. Fecha: ____________ Física ¿Sabías que puedes conocer la altura de un puente

sobre un río sin necesidad de usar una cinta para medir? Si posees un cronómetro y una piedra solo tienes que contar los segundos que transcurren desde que sueltas la piedra en caída libre hasta que llegue al agua y

sustituir el dato en la fórmula 24.9h t . El resultado

numérico es la altura medida en metros. Caso contrario es cuando se conoce la altura, se sustituye el dato en la fórmula y se procede a resolver la ecuación surgida para conocer el tiempo de caída.

Suponer que una piedra llega al agua en un segundo, ¿cuál es la altura en metros del puente?

¿Cuánto tiempo dura en caída libre una piedra si el puente tiene una altura de 19.6 metros? Ecuación cuadrática Si después de igualar a cero y reducir los términos de una ecuación de un solo tipo de incógnita, uno

de los términos con variable aun conservara el exponente dos como máximo en la variable, entonces se trata de una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática en una variable. Las ecuaciones cuadráticas tienen por lo común dos fuentes de origen: problemas concretos de la vida real o personas que las producen de manera abstracta. Tratándose de utilidad, las ecuaciones cuadráticas tienen muchas aplicaciones, algunas se abordarán en este estudio.

La expresión 2 0ax bx c se denomina forma general de la ecuación cuadrática completa,

donde x es la incógnita. Los nombres de cada elemento son:

2 0ax bx c

Qué vas a aprender:

Utilizar ecuaciones

cuadráticas para

modelar situaciones

y resolverlas usando

la factorización

Por qué es importante:

Se pueden resolver

problemas

geométricos y de

caída libre

Término independiente Término lineal o de 1er grado

Término cuadrático o de 2do grado

- 48 -

Para que exista la ecuación cuadrática es necesario que el coeficiente 0a de lo contrario, el término

cuadrático faltaría y con él la ecuación cuadrática. Sin embargo, pueden faltar a su vez el término lineal o el término independiente dando lugar a la ecuación cuadrática incompleta. Las versiones de estas ecuaciones son dos:

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA

2 0ax bx Ecuación cuadrática incompleta donde falta el término independiente

2 0ax c Ecuación cuadrática incompleta donde falta el término lineal.

Hay varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas pero también las distintas formas como vienen las ecuaciones requieren para facilidad de solución uno u otro método. En este apartado abordaremos especialmente la solución por el método de la factorización.

Ecuaciones incompletas tipo 2 0ax bx La factorización necesaria para este tipo de ecuaciones es la extracción del

factor común, después de realizar la extracción se aplica la propiedad del producto nulo (cero), entonces los factores se convierten en ecuaciones lineales fáciles de resolver.

Ejemplos:

a) Resolver 2 10 0x x

b) Resolver 28 20 0x x

Con la práctica descubrirás que en este tipo de ecuaciones incompletas una solución siempre valdrá cero.

Ecuaciones incompletas tipo 2 0ax c Este tipo de ecuaciones puede factorizarse fácilmente cuando se trata de una

diferencia de cuadrados o de una simple diferencia. Ejemplos:

a) Resolver por factorización 2 36 0x

Comprobación:(sustituyen-

do cada solución en la

ecuación original)

1

2

2

2

0

0 10 0 0

0 0 0

0 0

10

10 10 10 0

100 100 0

0 0

x

x

2

1

2

10 0

10 0 Extrayendo el factor común

0 10 0 Aplicando la propiedad del producto nulo*

10 Despejando

x x

x x

x x

x

2

1

8 20 0

4 2 5 0 Extrayendo el factor común

4 0 2 5 0 Aplicando la propiedad del producto nulo

0 2 5 Despejando

4

0

x x

x x

x x

x x

x

2

5

2x

*La propiedad del

producto nulo establece

que si al multiplicar dos

factores el resultado es

cero entonces al menos

uno de esos factores es

igual a cero.

2

1 2

36 0

6 6 0 Factorizando la diferencia de cuadrados como dos binomios conjugados

6 0 6 0 Aplicando la propiedad del producto nulo

6 6

x

x x

x x

x x

Despejando

- 49 -

b) Resolver por factorización 2 5 0x

Ecuaciones cuadráticas completas Una buena cantidad de ecuaciones cuadráticas de este tipo pueden resolverse por

factorización siempre y cuando sean productos notables.

Ejemplos:

a) Resolver por factorización 2 8 16 0x x

b) Resolver por factorización 2 7 10 0x x

c) Resolver por factorización 24 2 2 5 12x x x x

ACTIVIDAD 2.2.2 Resolviendo ecuaciones cuadráticas por factorización. Fecha: ____________

1. Solamente simplificar cada ecuación y escribirla en el formato 2 0ax bx c .

a) 210 12 7x x b) 2

9 20x

2 5 0

5 5 0 Factorizando la diferencia de cuadrados como dos binomios conjugados

5 0 5 0 Aplicando la propiedad del product

x

x x

x x

1 2

o nulo

5 5 Despejandox x

2 8 16 0 Es un trinomio cuadrado perfecto

4 4 0 Factorizando como un binomio al cuadrado aquí mostrado en forma de factores

4 0 4 0 Aplic

x x

x x

x x

1 2

ando la propiedad del producto nulo

4 4 Despejandox x

2 7 10 0 Es un trinomio de segundo grado

5 2 0 Factorizando como dos binomios con un término común

5 0 2 0 Aplicando la propiedad del pro

x x

x x

x x

1 2

ducto nulo

5 2 Despejandox x

2

2 2

2 2

4 2 2 5 12

2 8 2 5 12 Aplicando la propiedad distributiva en el primer miembro de la igualdad

0 2 5 12 2 8 Pasando t

x x x x

x x x x

x x x x

2

odos los términos a un solo miembro de la igualdad

3 4 0 Reduciendo, resulta ser un trinomio de segundo grado

4 1 0

x x

x x

1 2

Factorizando

4 0 1 0 Aplicando propiedad del producto nulo

4 1

x x

x x

Despejando

Con un sencillo

razonamiento se puede

concluir que las

ecuaciones cuadráticas

que tienen la forma de

un trinomio cuadrado

perfecto tendrán única

solución pues provienen

de factores iguales

- 50 -

c) 16

6 0xx

d) 1 4

23

x

x

2. Escribe los valores de a, b y c de cada ecuación cuadrática, si es completa o incompleta y en caso de ser incompleta incluye el nombre del término faltante.

Ecuación a b c Completa o incompleta

Término faltante

a) 2 8 15 0x x 1 8 15 Completa

b) 2 18 0x x

c) 2 324x

d) 2169 0x

e) 2 20x x

3. Resuelve las ecuaciones cuadráticas incompletas por el método de factorización (extrayendo el factor común). Incluir comprobación en los ejercicios que lo indiquen.

a) 2 28 0x x Comprobar b) 25 35 0x x c) 2 36 0x x

d) 22 30

7 7x x e) 2 3x x Comprobar f) 230x x

g) 28 0x x h) 4 3 16x x x i) 210 50x x

j) 2 7 5 7v v v v k) 0 14y y l) 2 4

03 5

y y

- 51 -

4. Resuelve las ecuaciones cuadráticas incompletas por factorización. Incluir comprobación donde se requiera.

a) 2 169 0x Comprobar b) 2 324 0x c) 2 1000x

d) 8 8 25x x x e) 3 12 12 0x x f) 2 490

81x

g) 23 300 0x Comprobar h) 222 0

9x i) 2 98 0x

j) 2 72 0x k) 2 225 0x Comprobar l) 2 800 0x

5. Resolver las ecuaciones cuadráticas por factorización. Comprobar donde se requiera.

a) 2 18 81 0x x b) 2 32 256 0x x c) 2 10

4x x

d) 2 2 80 0x x e) 2 7 12 0x x f) 2 6 16 0x x

- 52 -

g) 2 40 400 0x x h) 2 2 15 0x x i) 2 10 9 0x x

j) 6 1 0x x k) 2 3 2 0x x l) 2 15 26 0x x

m) 3 2

4 6 04 3

x x

n) 2 10 3 15 0x x o) 2 2 1x x

p) 22 20 50 0x x q) 2 12 0x x r) 2 7 18 0x x

s) 2

2 5 5x x t) 2

5 49x Comprobar u) 5

6 0xx

v) 2 1

11 3

x x

x x

w)

8 112

1 2 3x x

x)

2

2 1

x

x x

- 53 -

6. En los siguientes ejercicios armar la ecuación cuadrática con coeficientes enteros más sencilla que tenga como soluciones los números dados.

Soluciones Ecuación Soluciones Ecuación Soluciones Ecuación

a) 0 y 6 b) 0 y –9 c) 0 y 4

5

d) –2 y 8 e) –3 y 3 f) 3

4 solamente

g) 12 solamente h) 2

3 y

1

4 i)

3

10 y

3

10

j) 3 y 7 k) –9 y 1 l) 12 y –12

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

1075

aciertos ______