SolnP4_I-05_
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7/25/2019 SolnP4_I-05_
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Solucin Prueba N4.
Problema N1.
(1.1) Tenemos que,2
1m nnn n
li =2
1limn n
= 0 < 1.
Luego, por el criterio de la raz, la serie2
1
1n
n n
= converge.
(1.2) Tenemos que, para todo n *,3 3
.2 ( !) 2n n
n n
sen n
1+
Por otra parte, la serie1
3
2 1nn
n
= converge pues 1
3 3 2 1lim
3 2 1
n
nn
n
n +
+ =
1
2< 1.
En consecuencia, por el criterio de comparacin, la serie1
3
2 (nn
n
sen n
= + !) converge.
Problema N2.
(2.1) En primer lugar, note que1 1
2 2
( 3) ( 1) 3.
3 ln( ) ln( )
n n
nn nn n n n
+ +
= =
=
Tenemos que limn
3
ln( )n n
= 0 y la sucesin3
; *,
ln( )
n n
n n
2
es decreciente.
Luego, por el criterio de Leibnitz, la serie1
2
( 3)
3 ln( )
n
nn n n
+
=
converge.
(2.2) Tenemos que,1
2 2
( 3) 3.
3 ln( ) ln( )
n
nn nn n n
+
= =
=
n
Ahora bien, si f(x) =3
ln( )x, x[2, [ entonces f es continua y decreciente
en [2, [. Adems,
2( )f x dx
= 23
mln( )
b
bdx
x x li
= li 3 (ln(ln(b)) ln(ln(2)))mb
= .
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7/25/2019 SolnP4_I-05_
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Luego, por el criterio de la integral, la serie ,1
2
( 3)
3 ln( )
n
nn n n
+
=
diverge.
En consecuencia, la serie ,1
2
( 3)
3 ln( )
n
nn n n
+
=
converge condicionalmente.
Problema N3.
(3.1) Para todo x , 1 ( )sen nx
n n n
1y como lim
n
1
n= 0 entonces para
todo x , ( )
limn
sen nx
n= 0. Luego, la sucesin (fn; n *) converge puntualmente a
la funcin nula.
(3.2) Tenemos que, ( ) 1m sup limn nx
sen nxn n
=
li = 0; lo cual prueba que la sucesin
(fn; n *) converge uniformemente.
Problema N4. Para todo x]-1, 1[, se tiene que f(x) =1
2(ln(1 + x) ln(1 x)).
Pero,
0
1 ( )1
n
n
tt
=
= +
= 0
( 1)n n
n
t
=
y como la serie converge uniformemente sobre cualquier intervalo
cerrado contenido en ]-1. 1[ entonces, para todo x
0
( 1)n n
n
t
=
]-1, 1[,
0 00
1( 1)
1
x xn n
n
dt t dt t
=
= +
de donde,
ln(1 + x) = 1
0
( 1)
1
nn
n n
+
=
+ , para todo x]-1, 1[.
Anlogamente,
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7/25/2019 SolnP4_I-05_
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ln(1 x) = - 1
0
1
1
n
n
xn
+
= + , para todo x]-1, 1[.
Como las series 1
0
)
1
nn
n
( 1x
n
+
=
+ y 1
0
1
1
n
n n
+
= + son convergentes en ]-1, 1[
entonces
f(x) = 1 1
0 0
1 ( 1) 1
2 1 1
nn n
n n
x xn n
+ +
= =
+
+ +
= 2 1
0
1 2
2 2 1
n
n
xn
+
= +
= 2 1
0
.2 1
n
n
xn
1 +
= +
