Solucin a los ejercicios propuestos en el mdulo C - 2

1.-Dos autos A y B van por una misma carretera. En la figura de este problema se indica en funcin del tiempo la posicin de cada uno en relacin con el comienzo de la carretera. Analice las afirmaciones siguientes, relacionadas con el movimiento de estos autos y seale las que son correctas. a)En el instante t = 0 , A se halla en el kilmetro cero y B en el kilmetro 60. b)Ambos autos se desplazan con movimiento uniforme, es decir rapidez constante. c)De t = 0 a t = 2,0 h , A recorri 120 km y B 60 km. d)La rapidez de A es 60 km/h y la de B es 30 km/h e)A alcanza a B en el instante t = 2,0 h al pasar por la seal del kilmetro 120. SOLUCION: a) Es verdadero, basta slo observar el grfico b)Es verdadero, porque la lnea del grfico posicin tiempo es recta. c)Es verdadero, basta mirar el grfico d)Es verdadero, la pendiente de la recta corresponde a la rapidez: En A, la pendiente es: vA = (120 - 0 ) km / (2,0 0 ) h = 60 km/h En B, la pendiente es : vB = ((120 60 ) km / ( 2,0 0 ) h = 30 km/h e)Es verdadero, porque el punto donde lo alcanza A a B es donde se cortan las dos rectas y esto ocurre en la posicin 120 km al tiempo de 2,0 horas. 2.-La tabla proporciona en varios instantes, la posicin x de una bicicleta respecto al kilmetro cero de la carretera por donde va.

X (m ) 200 180 160 140 120 100 t (seg) 0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

a)Construya el grfico x v/s t y escriba la ecuacin que proporciona la posicin x de la bicicleta en funcin del tiempo t b)Determine la rapidez de la bicicleta c)Suponga que el origen del conteo de la posicin se cambiara para la posicin inicial de la bicicleta y que el sentido en que avanza se considere positivo. Escriba para ese caso, la ecuacin que indica la posicin x en funcin de t SOLUCION: La rapidez de la bicicleta es la pendiente de la recta: v = (180 - 140 ) / ( 2 - 6 ) v = - 10 m / s La ecuacin de la posicin para la bicicleta es: x = xo + v t , donde xo es la posicin en t = 0 x = 200 - 10 t Si el origen del conteo se ubica en la posicin inicial ( 200 m ), y el sentido en que avanza se considera positivo, ahora la posicin inicial es cero y la rapidez resulta positiva, porque el objeto se mueve en la direccin considerada como positiva, luego resulta: x = 10 t

3.-Dos ciclistas A y B se encuentran en un mismo punto de una carretera horizontal. El ciclista A inicia su movimiento con rapidez constante de 36 km/h y el ciclista B con una rapidez constante de 40 km/h. A que distancia se encuentra A con respecto a B luego de 30 min si : a)Parten en el mismo sentido b)Parten en sentido contrario SOLUCION: a)Si parten en el mismo sentido: 30 min = 0,5 h A recorre dA = 36 km/h 0,5 h = 18 km ; B recorre dB = 40 km/h 0,5 h = 20 km B se encuentra 2 km ms alejado de A b)Si parten en distinto sentido A recorre dA = 36 km/h 0,5 h = 18 km ; B recorre dB = 40 km/h 0,5 h = 20 km B se encuentra a 38 km de A

4.-Dos ciudades A y B se encuentran en una carretera recta separadas 90 km. Desde A hacia B parte un camin con rapidez constante de 50 km/h y desde B hacia A parte otro camin con rapidez constante de 40 km/h. Considere en la figura, sentido positivo a la derecha: a)Escriba la ecuacin de la posicin del camin que sale de A y del camin que sale de B b)Luego de cunto tiempo se cruzan. c)Qu distancia logr recorrer cada uno?

SOLUCION: Al considerar como sentido positivo a la derecha, entonces el que sale de A tiene rapidez positiva, en cambio el que sale de B tiene rapidez negativa (se mueve a la izquierda) Ecuacin de posicin para el que sale de A : xA = 0 + 50 t xA = 50 t Ecuacin de posicin para el que sale de B : xB = 90 - 40 t Se cruzan cuando tienen la misma posicin, es decir cuando : xA = xB 50 t = 90 - 40 t 90 t = 90 t = 1 hora Entonces se cruzan luego de 1 hora. Determine la posicin donde se cruzan, para ello basta reemplazar t = 1 h , en cualquiera de las ecuaciones de posicin: xA = 50 t xA = 50 1 = 50 km Se cruzan en la posicin 50 km, entonces A recorri 50 km, en cambio B recorri 40 km.

5.-Dos partculas A y B se desplazan a lo largo de una misma trayectoria. Las ecuaciones de la posicin con respecto al mismo origen son : xA = 4t2 - 3 ; xB = 5t2 - 4t , con x medido en metros y t en segundos. Determine : a)En que instante(s) se cruzan (es decir tienen la misma posicin) y cul es esta? b)Qu velocidad lleva cada uno en el momento en que se cruzan? SOLUCION: a) Recuerde que cuando se cruzan tienen igual posicin, entonces al igualar xA = xB se tiene: xA = 4t2 - 3 ; xB = 5t2 - 4t 4t2 - 3 = 5t2 - 4t t2 - 4t + 3 = 0 Resolviendo la ecuacin de grado 2, se tienen como soluciones: t1 = 3 seg , t2 = 1 seg, al ser las dos soluciones positivas son correctas. La posicin en que se cruzan se obtiene reemplazando estos valores en cualquiera de ellas (por ejemplo xA ): t1 = 3 seg xA = 4 ( 3 )2 - 3 = 33 m ; t2 = 1 seg xA = 4 ( 1 )2 - 3 = 1 m Se cruzan en las posiciones: x1 = 1 m y en x2 = 33 m b)La velocidad que lleva cada uno en esos instantes est dada por la derivada de la posicin respecto al tiempo: xA = 4t2 - 3 vA = 8t Para t1 = 1 seg vA = 8 m/s , t = 3 seg vA = 24 m/s 6.-a) El tiempo de reaccin de un motorista es aproximadamente 0,7 s (intervalo de tiempo entre la percepcin de la seal para detenerse y la aplicacin de los frenos. Si los frenos de un auto pueden garantizar un retardamiento de 5 m/s2 , calcule la distancia recorrida por l suponiendo que su velocidad es de 72 km/h. b)Haga el grfico de la rapidez en funcin del tiempo desde el instante en que el motorista percibe la seal para detenerse y el instante en que se detiene. c)Calcule la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo a travs del grfico v v/s t SOLUCION: Empezaremos haciendo el grfico velocidad tiempo. Durante el tiempo de reaccin el movimiento es uniforme ( rapidez constante) y luego empieza propiamente tal el frenado (movimiento uniformemente retardado) Conocida la aceleracin ( - 5 m/s2 ) , la velocidad inicial ( 20 m/s ) , y la velocidad final ( 0 m/s), se determina el tiempo en detenerse: t = ( vf - vi ) / a t = ( 0 - 20 ) / - 5 = 4 seg La distancia recorrida es entonces: D1 = 20 0,7 = 14 m D2 = 20 4 / 2 = 40 m La distancia total recorrida es 14 m + 40 m = 54 m

7-El diagrama muestra la rapidez de una partcula en funcin del tiempo. Calcule: a)La aceleracin a los 8 s y a los 16 s b)El mximo desplazamiento con relacin a la posicin inicial en el intervalo de 0 a 20 s. c)La distancia recorrida de t = 0 hasta t = 20 s SOLUCION: a)La aceleracin a los 8 seg , es calcular la pendiente de la recta entre 6 seg y 14 seg. Para ello considero los puntos extremos de la recta : a = ( vf - vi ) / ( tf - ti ) = ( - 10 - 10 ) / ( 14 - 6 ) = - 2,5 m/s2 La aceleracin a los 16 seg, es calcular la pendiente de la recta entre 14 seg y 20 seg. Para ello considera los puntos extremos: a = ( 0 - - 10 ) / ( 20 - 14 ) = 1,7 m/s2 b)El desplazamiento est determinado por el rea bajo la curva en el grfico rapidez tiempo: Entre 0 y 10 seg, el desplazamiento es positivo (por ejemplo la partcula se mueve a la derecha). Entre 0 seg y 6 seg, el desplazamiento es: D1 = 10 6 = 60 m Entre 6 seg y 10 seg, el desplazamiento es: D2 = 10 4 / 2 = 20 m El desplazamiento desde el origen hacia la derecha es : 60 m + 20 m = 80 m Entre 10 seg y 20 seg el desplazamiento es negativo (la partcula se mueve a la izquierda). El desplazamiento est dado por el rea del tringulo de base 10 seg y altura 10 m/s: D3 = - 10 10 / 2 D3 = - 50 m Luego, la partcula se desplaz desde la posicin inicial 80 m hacia la derecha (mximo desplazamiento en relacin a la posicin inicial), en seguida se movi hacia la izquierda y se desplaz 50 m. El desplazamiento resultante es 30 m hacia la derecha. c) La distancia total recorrida por la partcula es 80 m + 50 m = 130 m

8.- Un auto al frenar , adquiere un movimiento uniformemente retardado cuya aceleracin tiene magnitud igual a 4,0 m/s2 . El conductor que iba a 72 km/h , se da cuenta de un obstculo frente a l. Aplica el freno y logra detenerse en un tramo de 60 m contados a partir del momento en que vio el obstculo. Cul fu el tiempo de reaccin del conductor? SOLUCION: Similar al anterior. Al hacer el grfico velocidad tiempo se puede calcular el tiempo durante la frenada: La aceleracin es - 4 m/s2 , la velocidad inicial es 20 m/s y la velocidad final es 0 m/s: t = ( 0 - 20 ) / - 4 = 5 seg Durante la frenada recorre una distancia: D2 = 20 5 / 2 = 50 m Significa que durante el tiempo de reaccin logra recorrer 10 m (recuerde que en total recorre 60 m): Entonces : D1 = 20 t 10 = 20 t t = 0,5 seg (tiempo de reaccin) 9.-Un conductor pasa frente a un motociclista de trnsito quien decide seguirlo porque el lmite de velocidad es 60 km/h y el auto iba a 72 km/h. El inspector partiendo del reposo, inicia la persecucin 10 s despus de que pas el auto , a una aceleracin constante. Se sabe que el motociclista alcanza al conductor a 3,0 km de donde parti. Determine la velocidad del motociclista en ese momento. SOLUCION. Cuando inicia la persecucin el inspector, el conductor se encuentra en la posicin 200 m (el conductor lleva 10 seg de adelanto, aqu el tiempo cuenta igual para los dos). La ecuacin de la posicin para el conductor es: xC = 200 + 20 t Es alcanzado en la posicin 3,0 km = 3000 m, reemplazando este valor en xC determinamos el tiempo en que fue alcanzado: 3000 = 200 + 20 t t = 140 seg la ecuacin del inspector, considerando como posicin inicial donde empieza la persecucin ( xo = 0 m ) , la velocidad inicial ( vo = 0 m/s, parte del reposo) resulta: xI = a t2 / 2 , conocemos el tiempo en que alcanza al conductor ( 140 seg) y la posicin en que lo alcanza ( 3000 m) 3000 = a ( 140 )2 / 2 a = 0,3 m/s2 La velocidad del inspector cuando lo alcanza es: vI = vo + a t vI = 0,3 140 = 42 m/s

10.- Un peatn est corriendo a 6,0 m/s, que es la mxima rapidez que logra desarrollar, a fin de alcanzar un autobs que est detenido. Cuando se encuentra una distancia d del autobs, ste inicia la marcha con una aceleracin constante de 1,0 m/s2 . a)Escriba la ecuacin de la posicin del peatn y del autobs. b)Si d = 25 m lograr alcanzarlo c)Calcule la menor distancia al autobs que el logra alcanzar. SOLUCION: La ecuacin de la posicin para el peatn es: xP = 6 t Para el autobs es: xA = d + 0 t + 1 t2 / 2 xA = d + 0,5 t2 Para ver si lo alcanza igualamos las posiciones: 6 t = d + 0,5 t2 Ordenando la igualdad resulta: 0,5 t2 - 6 t + d = 0 t = 6 + 36 - 2 d 2 Si d = 25 m , no existe solucin real (el trmino dentro de la raz es imaginario) Luego no lo alcanza. La menor distancia a la cul puede acercarse, es cuando el discriminante de la raz es positivo (cero) : 36 - 2 d = 0 d = 18m , luego se acerca a 7 m del autobs.

11.-En A se suelta desde el reposo un pequeo paquete que se desplaza a lo largo del transportador de roldanas ABCD. Al descender por los tramos AB y CD el paquete lleva una aceleracin uniforme de 4,8 m/s2 y su velocidad es constante entre B y C. Si en D su velocidad es 7,2 m/s, determine: a)La distancia entre C y D b)El tiempo que tarda en llegar a D SOLUCION En el tramo AB se conoce la velocidad inicial ( 0 ), el desplazamiento 3m , calculemos la velocidad final al llegar a B: ( vf )2 = ( vo )2 + 2 a d ( vf )2 = 0 + 2 4,8 3 v = 5,36 m/s Esta velocidad, que es la final al llegar a B, es la inicial para el tramo BC (aqu se mueve con velocidad constante) La velocidad en C ( 5,36 m/s ) es la velocidad inicial para el tramo CD, aqu podemos calcular el desplazamiento d, porque conocemos la aceleracin (4,8 m/s2 ), la velocidad final en D ( 7,2 m/s ) ( vf )2 = ( vo )2 + 2 a d ( 7,2 )2 = ( 5,36 )2 + 2 4,8 d d = 2,4 m Con la expresin vf = vo + a t , calculamos el tiempo empleado en cada tramo: AB: vf = vo + a t 5,36 = 0 + 4,8 t tAB = 1,11 s BC: v = d / t 5,36 = 3 / t tBC = 0,55 s CD: vf = vo + a t 7,2 = 5,36 + 4,8 t tCD = 0,38 s El tiempo total empleado desde A hasta D es: 1,11 + 0,55 + 0,38 = 2,04 s

12.-La altura de un globo sobre el suelo est dado por h = 3,0 t3 con h en metros y t en segundos. Despus de 2,0 s el globo deja caer una pequea valija con la correspondencia. Cunto tarda la valija en llegar al suelo? SOLUCIN La altura respecto al suelo es funcin del tiempo, al derivar esta expresin obtenemos la velocidad del globo como funcin del tiempo: h = 3,0 t3 v = 9,0 t2 A los 2 seg, el globo se encuentra a una altura de: h = 3,0 t3 con t = 2,0 s h = 3,0 ( 2 )3 = 24 m Su velocidad es: v = 9,0 t2 v = 9,0 (2 )2 = 36 m/s Como el globo esta subiendo, al soltar la valija, esta no cae inmediatamente al suelo, sino que se mueve inicialmente con la misma velocidad del globo, es decir 36 m/s: Nivel de referencia en el suelo: y = yo + voy t + g t2 La velocidad inicial con que cae la valija es 36 m/s yo = 24 m (altura desde donde inicial el movimiento): y = 24 + 36 t - 10 t2 y = 24 + 36 t - 5 t2 Al llegar al suelo, y = 0: 0 = 24 + 36 t - 5 t2 t = 7,8 s Tiempo en llegar al suelo 7,8 s.

13.-Para saber la profundidad de un pozo , una persona deja caer una piedra y 3,0 seg despus oy el ruido del choque contra el fondo del pozo. Se sabe que la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s : a)Calcule el tiempo que la piedra necesit para llegar al fondo del pozo. b)Determine la profundidad del pozo c)Cul sera el error cometido en el clculo de la profundidad si se despreciara el tiempo que el sonido necesita para llegar al odo de la persona? SOLUCION: Considere como nivel de referencia el suelo. Usamos las ecuaciones para la cada libre y para el movimiento del sonido con rapidez constante. Ecuacin para el sonido: ( 1 ) h = v t2 , con v = 340 m/s , h la distancia recorrida por el sonido desde el fondo del pozo al odo, t2 el tiempo empleado por el sonido en llegar al odo de la persona. Ecuacin para la cada de la piedra: ( 2 ) h = ho + voy t1 - g (t1)2 / 2 Cuando la piedra llega al suelo h = 0 ho es la posicin inicial (la profundidad del pozo h ) g , es la aceleracin de gravedad 10 m/s2 De la ecuacin ( 1 ) se tiene : t2 = h / 340 De la ecuacin ( 2 ) se tiene : ( 3 ) t1 = h / 5 Los 3 seg corresponden a la suma de t1 y t2 : t1 + t2 = 3 h / 5 + h / 340 = 3 Resolviendo esta ecuacin, se obtiene para h = 42 m Luego reemplazando este valor en ( 3 ) se tiene t1 = 42 / 5 = 2,89 seg, que es el tiempo empleado por la piedra en llegar al fondo del pozo. Si no se considera el movimiento del sonido de la piedra, la profundidad es: (ahora considero nivel de referencia donde se suelta la piedra y hacia abajo direccin positiva, luego el movimiento de cada se considera positivo: h = ho + voy t + g t2 / 2 h = 10 ( 3 )2 / 2 = 45 m Error cometido : Si se considera el sonido, la profundidad del puente es el 93 % de la profundidad sin considerar el sonido. Luego el error que se comete es de un 7 %.

Solucin a los ejercicios propuestos en el mdulo C - 3

4.-la posicin de una partcula que se mueve en el plano est dado por: r = ( 2 + 3t - 5t2 ) i + ( - 4t + 4t2 ) j a)Cul es la posicin cuando t = 1 s ? b)Cul es la velocidad total cuando t = 1 s ? c)Cul es la aceleracin total en t = 1s? SOLUCION Para calcular la posicin en t = 1 s, se reemplaza este valor: r = ( 2 + 3t - 5t2 ) i + ( - 4t + 4t2 ) j r = ( 2 + 3 ( 1 ) - 5 ( 2 )2 ) i + ( - 4 ( 2 ) + 4 ( 2 )2 ) j r = ( -15 i + 8 j ) Para obtener la velocidad, derivamos la posicin: r = ( 2 + 3t - 5t2 ) i + ( - 4t + 4t2 ) j v = d ( r ) = ( 3 - 10 t ) i + ( - 4 + 8 t ) j dt Luego, se evala en t = 1 s: v = - 7 i + 4 j Para obtener la aceleracin, derivamos la velocidad: v = ( 3 - 10 t ) i + ( - 4 + 8 t ) j a = d ( v ) = - 10 i + 8 j dt

5.-Una cucaracha sobre la mesa de un departamento se arrastra con una aceleracin constante dada por a = ( 0,3 i - 0,2 j ) cm/s2 . Esta sale desde un punto de coordenadas ( - 4 , 2 ) cm en el instante t = 0 y con velocidad inicial vo = 1,0 j cm/s. a)Cul es la posicin de la partcula en funcin del tiempo? b)Cul es la posicin en t = 2 s? c)Cul es la velocidad total en funcin del tiempo? d)Cul es la velocidad en t = 2 s? e)Cul es la rapidez en t = 2 s? SOLUCION: La figura muestra la cubierta de una mesa y en ella las direcciones x e y. Los datos indican que se trata de un movimiento con aceleracin constante. Obtenemos las componentes de la aceleracin en x, y en y: ax = 0,3 cm/s2 , ay = - 0,2 cm/s2 De igual forma la posicin inicial ( en t = 0 ) en x e y son: xo = - 4 cm , yo = 2 cm La velocidad inicial en x e y es : vox = 0 cm/s , voy = 1,0 cm/s La posicin en x est dada por : x = xo + vox t + ax t2 / 2 x = - 4 + 0 t + 0,3 t2 / 2 x = - 4 + 0,15 t2 La posicin en y est dada por : y = yo + voy t + ay t2 / 2 y = 2 + 1, 0 t - 0,2 t2 / 2 y = 2 + t - 0,1 t2 La posicin total es: r = x i + y j r = ( - 4 + 0,15 t2 ) i + ( 2 + t - 0,1 t2 ) j La posicin en t = 2 s es: r = ( - 4 + 0,15 t2 ) i + ( 2 + t - 0,1 t2 ) j r = ( - 4 + 0,15 ( 2 )2 ) i + ( 2 + ( 2 ) - 0,1 ( 2 )2 ) j r = ( - 3,4 i + 3,6 j ) cm

La velocidad en x est dada por : vx = vox + ax t vx = ( 0 + 0,3 t ) i La velocidad en y est dada por : vy = voy + ay t vy = ( 1,0 - 0,2 t ) j La velocidad total est dada por: v = vx i + vy j v = 0,3 t i + ( 1,0 - 0,2 t ) j En t = 2 s : v = 0,3 ( 2 ) i + ( 1,0 - 0,2 ( 2 ) ) j v = ( 0,6 i + 0,6 j ) cm/s La rapidez en t = 2 s es la magnitud de la velocidad, es decir: v = ( 0,6 )2 + ( 0,6 )2 = 0,6 cm/s

Solucin a los ejercicios propuestos en el mdulo C - 4

1.-Una esfera pequea se encuentra apoyada en un resorte comprimido que est sujeto a un carrito. Se sabe que el resorte al estirarse transmite a la esfera una velocidad inicial vertical para arriba , vB = 4,0 m/s. Suponga que el resorte se halla estirado mientras el carrito avanzaba en lnea recta sobre una superficie horizontal con una velocidad constante de vC = 3,0 m/s. a)Qu tipo de movimiento tendr la esfera? b)Cul es la forma de su trayectoria? c)Cul es la magnitud de la velocidad inicial vo con que la esfera fu lanzada? d)Cul es el ngulo de lanzamiento de la esfera? e)Despus de cunto tiempo la esfera regresar al carrito? o sea llegar al extremo del resorte? SOLUCION: La esfera tiene movimiento parablico porque tiene una velocidad inicial horizontal , la del carro ( 3 m/s ) y la velocidad inicial vertical que le proporciona el resorte ( 4 m/s ). La forma de su trayectoria es una parbola. La velocidad inicial de la esfera est dada por : v = 3 m/s i + 4 m/s j Magnitud: v = (3)2 + (4)2 = 5,0 m/s El ngulo de lanzamiento de la esfera est dado por: tg = 4 / 3 = 53 o Ecuacin de posicin para el movimiento de la esfera: Horizontal: x = xo + vox t x = 3 t Vertical: y = yo + voy t - ay t2 / 2 y = 4 t - 5 t2 En este caso solo basta ocupar la segunda ecuacin para calcular el tiempo en retornar al resorte, esto significa hacer y = 0 : y = 4 t - 5 t2 0 = 4 t - 5 t2 t1 = 0 y t2 = 0,8 seg

2.-Una pelota es lanzada horizontalmente con una velocidad vo desde un punto situado a una altura R arriba del suelo. Observe que el alcance de la pelota, al llegar al suelo, es tambin R. a)La trayectoria que describe la pelota en este caso, es una circunferencia, una elipse, una parbola o una hiprbola? b)Determine el valor de vo en trminos de R y de g . SOLUCION: a) La trayectoria es una parbola. Fijando el nivel de referencia en el suelo, se tiene: Mov. Horizontal: x = xo + vox t , con xo = 0 , vox = vo x = vo t Mov. Vertical: y = yo + voy t - g t2 / 2 , con yo = R , voy = 0 y = R + o t - g t2 / 2 y = R - g t2 / 2 Calcule el tiempo en llegar al suelo ( se hace y = 0 ) 0 = R - g t2 / 2 t = 2R / g Este tiempo es el mismo usado en recorrer la distancia horizontal x = R, reemplazando en x = vo t , se tiene . R = vo 2 R / g vo = g R / 2

3.- Una persona lanza oblicuamente una pelota con una velocidad inicial vo = 10 m/s y un ngulo de lanzamiento de 60o . Suponga que g = 10 m/s2 , desprecie la resistencia del aire y considere el momento de lanzamiento como el origen del conteo del tiempo ( t = 0 ). a)En el instante t =0,5 seg , cul es el valor de la velocidad de la pelota? b)Cul es la posicin de la pelota en t = 0,5 seg? c)Determine las componentes vx y vy de la velocidad de la pelota en t = 1,22 seg? d)Determine la posicin de la pelota en t = 1,22 seg? e)Calcule el instante en que la pelota llega al punto ms alto de su trayectoria. f)Cul es el valor de la altura mxima de la pelota? SOLUCION: Se escriben las ecuaciones de posicin y velocidad tanto para el movimiento horizontal como vertical (fijando nivel de referencia en el lugar donde se suelta la pelota) Posicin inicial : xo = 0 , yo = 0 (la pelota sale desde donde se ubica el origen) Velocidad inicial : vox = 10 cos 30o = 8 m/s voy = 10 sen 30o = 5 m/s Aceleracin : ax = 0 m/s2 , ay = - 10 m/s2 Movimiento horizontal : Posicin : x = xo + vox t x = 8 t Velocidad : vx = 8 m/s Movimiento vertical: Posicin : y = yo + voy t - 10 t2 / 2 y = 5 t - 5 t2 Velocidad : vy = voy + ay t vy = 5 - 10 t

En t = 0,5 seg la velocidad de la pelota es: Horizontal: vx = 8 m/s , Vertical: vy = 5 - 10 0,5 vy = 0 m/s (la pelota llega al punto ms alto) La velocidad total a los 0,5 seg es : v = 8 m/s i + 0 m/s j v = 8m/s i En t = 0,5 seg, la posicin de la pelota es: Horizontal : x = 8 t x = 4 m Vertical : y = 5 t - 5 t2 y = 1,25 m En t = 1,22 seg, la velocidad de la pelota es: Horizontal: vx = 8 m/s , Vertical: vy = 5 - 10 1,22 vy = - 7,2 m/s La velocidad total a los 1,22 seg es : v = 8 m/s i - 7,2 m/s j En t = 1,22 seg, la posicin de la pelota es: Horizontal : x = 8 t x = 9,76 m Vertical : y = 5 t - 5 t2 y = - 1,342 m Para calcular el tiempo en llegar al punto ms alto se hace ( vy = 0 ): vy = 5 - 10 t 0 = 5 - 10 t t = 0,5 seg La altura mxima, es la posicin en y, cuando t = 0,5 seg: y = 5 t - 5 t2 y = 1,25 m

4.-Un jugador de bsquetbol, lanza una pelota desde una altura de 1,5 m (respecto al suelo). En su trayectoria intercepta un aro situado a 2,0 m de altura. Finalmente toca el suelo en un punto que dista 10 m (distancia horizontal), del punto donde fue lanzada. Si el tiempo en el aire es de 1,0 seg, determine: a)Con que velocidad inicial fue lanzada la pelota? b)Qu altura mxima alcanz? Despus de cuanto tiempo? c)Cunto tiempo luego de ser lanzada atraviesa el aro? d)A que distancia se encuentra el aro del punto de lanzamiento? e)Cul es la velocidad al tocar el suelo? SOLUCION: a) La velocidad inicial de la pelota ( vo ) , se descompone en vox y en voy , con lo cul las ecuaciones para el movimiento horizontal y vertical se expresan por (siempre considerando nivel de referencia en el suelo) Horizontal: x = xo + vox t ( 1 ) x = vox t Vertical: y = yo + voy t - g t2 / 2 ( 2 ) y = 1,5 + voy t - 5 t2 En 1 seg recorre horizontalmente x = 10 m, reemplazando en la ecuacin ( 1 ), se tiene: 10 = vox 1 vox = 10 m/s En 1 seg en el movimiento vertical se encuentra en la posicin y = 0 , reemplazando en ( 2 ) se tiene: y = 1,5 + voy t - 5 t2 0 = 1,5 + voy 1 - 5 ( 1 )2 voy = 3,5 m/s

Las ecuaciones son ahora: Horizontal: ( 1 ) x = 10 t Vertical: ( 2 ) y = 1,5 + 3,5 t - 5 t2 Velocidad vertical: vy = voy - g t ( 3 ) vy = 3,5 - 10 t Tiempo en llegar al punto ms alto, se hace ( vy = 0 ) vy = 3,5 - 10 t 0 = 3,5 - 10 t t = 0,35 seg La altura mxima, resulta : y = 1,5 + 3,5 t - 5 t2 y = 1,5 + 3,5 0,35 - 5 (0,35)2 y = 2,11 m c) Para calcular el tiempo ocupado en llegar al aro, se calcula el tiempo en alcanzar la posicin y = 2,0 m , para ello se reemplaza en ( 2 ) : y = 1,5 + 3,5 t - 5 t2 2,0 = 1,5 + 3,5 t - 5 t2 5t2 - 3,5 t + 0,5 = 0 Resolviendo esta ecuacin se obtienen los valores: t1 = 0,2 seg , t2 = 0,5 seg Las dos soluciones son correctas, pues el baln se encuentra en dos instante en la posicin 2m, cuando va subiendo ( t1 ) y cuando va bajando ( t2 ), siendo este ltimo el que se pide. Para calcular , la distancia a que se encuentra el aro, se reemplaza t2 = 0,5 seg en la ecuacin horizontal, ( 1 ) : x = 10 t x = 10 0,5 x = 5,0 m Cuando llega al suelo, tiene una velocidad horizontal que es constante durante todo el movimiento vox = 10 m/s. En cambio la velocidad vertical se reemplaza en ( 3 ) para t = 1 seg: vy = 3,5 - 10 t vy = 3,5 - 10 1 vy = - 6,5 m / s La velocidad total con que llega al suelo es: v = vox + voy v = 10 m/s i - 6,5 m/s j Magnitud: v = ( 10 )2 + (6,5 )2 v = 11,92 m/s Direccin: tg = 6,5 / 10 = 0,65 = 33,0 o La velocidad con que llega al suelo tiene magnitud 11,92 m/s y en una direccin de 33,0 o bajo la horizontal.

5.-Una pelota resbala a lo largo de un tejado inclinado en un ngulo de 40 o respecto a la horizontal y situado a una altura h = 65 m sobre el suelo. La pelota llega al borde del tejado con una rapidez de 10 m/s y luego cae libremente. La pared opuesta ms prxima al tejado est a una distancia horizontal D = 20 m. Considere el nivel de referencia en el suelo. a)Exprese la velocidad inicial de la pelota en forma vectorial b)La pelota llega directamente al piso o choca con la pared opuesta? c)Determine las coordenadas donde choca la pelota d)Determine la velocidad de la pelota en el punto de impacto. SOLUCION: Se descompone la velocidad en una componente horizontal ( vox ) y en otra vertical ( voy ). vox = 10 m/s cos 40 o = 7,6 m/s voy = 10 m/s sen 40 o = 6,4 m/s La velocidad inicial es: v = 7,6 m/s i - 6,4 m/s j Las ecuaciones para el movimiento vertical y horizontal, considerando el nivel de referencia en el suelo son: Horizontal: x = xo + vox t ( 1 ) x = 7,6 t Vertical: y = yo + voy t - g t2 / 2 ( 2 ) y = 65 - 6,4 t - 5 t2 Para saber si la pelota llega directamente al piso o choca con la pared opuesta hay varias formas de hacerlo: () Calcule el tiempo en recorrer los 20 m horizontal, se reemplaza en ( 1 ): x = 7,6 t 20 = 7,6 t t = 2,63 seg Luego calculamos la coordenada y correspondiente a este tiempo reemplazando en ( 2 ): y = 65 - 6,4 t - 5 t2 y = 65 - 6,4 2,63 - 5 (2,63 )t2 y = 47,51 m Luego choca en la pared opuesta antes de llegar al suelo y lo hace en el punto de coordenadas x = 20m , y = 47,51 m

La velocidad en el punto de impacto, significa calcular su velocidad horizontal y vertical en ese instante: La velocidad vertical es : vox = 7,6 m/s La velocidad vertical es: voy = - 6,4 10 t , con t = 2,63 seg (tiempo en llegar al punto de Impacto) voy = - 6,4 10 2,63 voy = - 32,7 m/s La velocidad total es: v = vox + voy v = 7,6 m/s i - 32,7 m/s j Magnitud: v = (7,6)2 + (32,7 )2 v = 33,57 m/s Direccin: tg = 32,7 / 7,6 = 4,3 = 77 o

La pelota llega al punto de impacto con una velocidad de magnitud 33,57 m/s , en una direccin 77 o bajo la hotrizontal.

6.-El motociclista desea saltar por sobre 8 autos de altura h = 1 m , y largo d = 2 m. Para ello usar una rampa inclinada que no tiene roce en un ngulo de 45 o y de altura H = 12 m. El motociclista ingresa a la rampa con una velocidad vo y sube por ella sin acelerar (ya que no puede debido a que no hay roce). Calcular el valor de vo para que pueda realizar el salto. SOLUCION: La velocidad inicial del motociclista ( vo ) se descompone en vox y en voy : vox = cos 45 vo vox = 0,7 vo voy = sen 45 vo voy = 0,7 vo Se escriben las ecuaciones horizontal y vertical del motociclista, considerando nivel de referencia el suelo: Horizontal : x = xo + vox t ( 1 ) x = 0,7 vo t Vertical : y = yo + voy t - g t2 / 2 ( 2 ) y = 12 + 0,7vo t - 5 t2 Al saltar los 8 autos, la longitud horizontal que recorre es : x = 16 m (cada auto mide 2 m de largo), reemplazando en ( 1 ) queda la expresin en funcin del tiempo empleado para ello: x = 0,7 vo t 16 = 0,7 vo t t = 16 0,7 vo Este valor es el mismo tiempo empleado en encontrarse en la posicin vertical 1 m ( altura del auto), luego lo reemplazamos en ( 2 ): y = 12 + 0,7vo t - 5 t2 1 = 12 + 0,7vo 16 - 5 (16 / 0,7 vo )2 0,7 vo 1 = 12 + 16 - 5 256 1 = 28 - 2612,2 , al resolver para vo, se tiene: 0,49 (vo )2 (vo )2 vo = 9,83 m/s = 35,4 km/h

7.-Erica en su auto A acelera a razn de ( 3,0 i 2j ) m/s2 , en tanto que Julia en su auto B acelera a ( 1i + 3j ) m/s2 . Ambas parten del reposo en el origen de un sistema de coordenadas xy. Despus de 5,0 s: a)Cul es la rapidez de Erica respecto de Julia? b)Cul es la distancia que las separa? c) Cul es la aceleracin de Erica respecto a la de Julia? SOLUCION Erica y Julia e mueven con aceleracin constante, luego son vlidas las ecuaciones: x = xo + vox t + ax t2 , y = yo + voy t + ay t2 vx = d ( x ) / dt , vy = d ( y ) / dt Erica: Julia: ax = 3,0 m/s2 , ay = - 2,0 m/s2 ax = 1,0 m/s2 , ay = 3,0 m/s2 vox = 0 m/s , voy = 0 m/s vox = 0 m/s , voy = 0 m/s xo = 0 m , yo = 0 m xo = 0 m , yo = 0 m Posicin para Erica: rE = x i + y j = 1,5 t2 i - 1,0 t2 j , en t = 5 s rE = 37,5 i - 25,0 j Velocidad para Erica vE = vx i + vy j = 3,0 t i - 2,0 t j , en t = 5 s vE = 15,0 i - 10,0 j Posicin para Julia: rJ = x i + y j = 0,5 t2 i + 1,5 t2 j , en t = 5 s rJ = 12,5 i + 37,5 j Velocidad para Julia vE = vx i + vy j = 1,0 t i + 3,0 t j , en t = 5 s vE = 5,0 i + 15,0 j Velocidad de Erica respecto a Julia ( vE/J ) = Velocidad de Erica ( vE ) velocidad de Julia ( vJ ) ( vE/J ) = ( vE ) ( vJ ) = 15,0 i - 10,0 j - ( 5,0 i + 15,0 j ) = 10 i - 25 j Rapidez de Erica respecto a Julia: vE/J = ( 10 )2 + ( 25 )2 = 26,9 m/s Para calcular la distancia que las separa, primero calculemos la posicin de Erica respecto a Julia y luego obtenemos la magnitud de ese valor: rE/J = rE - rJ = 37,5 i - 25,0 j - (12,5 i + 37,5 j ) = 25 i - 62,5 j rE/J = ( 25 )2 + ( 62,5 )2 = 67,3 m Aceleracin de Erica respecto a Julia ( aE/J ) = aceleracin Erica ( aE ) aceleracin Julia ( aJ ) ( aE/J ) = ( aE ) ( aJ ) = 3,0 i - 2,0 j - ( 1,0 i + 3,0 j ) = 2,0 i - 5,0 j

Solucin a los ejercicios propuestos en el mdulo C - 5

1.-Dos poleas de Radios R1 = 10 cm y R2 = 30 cm estn acopladas por una banda de transmisin no extensible como muestra la figura. a)Suponiendo que la banda no se deslice sobre las poleas , cree Ud. que la velocidad lineal v1 de un punto en la periferia de la polea R1 es mayor , menor o igual a la velocidad v2 de un punto de la periferia de la polea R2? b)Si se sabe que la polea R1 gira con un frecuencia f1 = 60 rpm (rotaciones por minuto) , determine la frecuencia f2 de la polea R2. SOLUCION: En la ecuacin de transmisin de dos poleas bajo las condiciones que la banda no deslice, la velocidad lineal es la misma ( tiene la misma magnitud) en todos los puntos de la correa. Considerando que v = w R y que w = 2 / T = 2 f , se tiene: Para la polea 1 : v1 = 2 f1 R1 , para la polea 2 : v2 = 2 f2 R2 Como v1 = v2 2 f1 R1 = 2 f2 R2 reemplazando, se tiene: 60 (rpm) 10 cm = f2 30 cm f2 = 20 rpm

2.-Dos discos colocados en un mismo eje comn giran con frecuencia f constante. Siendo RA = 2 R B , determine la relacin : a) wA / wB entre las velocidades angulares b) vA / vB entre las velocidades lineales c) aA / aB entre las aceleraciones de los dos puntos mencionados en (b). SOLUCION: Los dos discos tienen la misma frecuencia, que es la frecuencia del eje: Se tiene wA = 2 fA y wB = 2 fB , como fA = fB = f , se tiene: wA = 2 f = 1 (las velocidades angulares estn en la razn 1 : 1 , es decir wB 2 f son iguales: wA = wB ) La velocidad lineal ( v ) depende de la distancia al centro: vA = wa RA y vB = wB RB , wA = wB = w ; RA = 2RB vA = w RA = w 2RB = 2 (es decir la velocidad lineal de A vB w RB w RB 1 es dos veces la de B, vA = 2 vB) La aceleracin centrpeta de un punto que describe una circunferencia es: a = v2 / R para el punto A : aA = ( vA )2 / RA , para el punto B : aB = ( vB )2 / RB Recordando que vA = 2 vB y que RA = 2 RB , se tiene: aA = ( vA )2 / RA = 4 ( vB )2 / 2RB = 2 (la aceleracin centrpeta de A es dos aB ( vB )2 / RB ( vB )2 / RB 1 veces la de B)

3.-El radio del cilindro de un carrete mide 2,0 cm. Una persona , en 10 seg desenrolla uniformemente 50 cm del hilo que est en contacto con el cilindro. a)Cul es la velocidad lineal de un punto de la superficie del cilindro? b)Cul es la velocidad angular del punto P , situado a 4,0 cm del eje de rotacin? SOLUCION: La persona desenrolla uniformemente una longitud de 50 cm = 0,5 m de hilo, en un tiempo de 10 seg, la rapidez lineal de cualquier punto del hilo es: v = d / t = 0,5 m / 10 seg = 0,05 m/s Con este valor calculemos la velocidad angular del cilindro: v = w R w = v / R w = 0,05 m/ s / 0,02 m = 2,5 rad / s La velocidad angular para todos los puntos del cilindro es la misma, luego, la velocidad lineal del punto P situado a 4 cm del eje de rotacin es: v = w R v = 2.5 0,04 = 0,1 m/s

4.- Un punto se mueve sobre un crculo de acuerdo a la ley s = t3 + 2t2 donde s se mide en pies a lo largo del crculo y t en segundos. Si la aceleracin total del punto es 16 2 pies / s2 cuando t = 2 s, determine el radio del crculo.

SOLUCION Como el objeto se mueve en un crculo, tiene dos aceleraciones, una tangencial ( aT ) y la otra normal ( aN ). La aceleracin tangencial es la derivada de la velocidad tangencial respecto al tiempo ( aT = d(v) / dt ) La velocidad tangencial es la derivada de la posicin (longitud a lo largo del trayecto) respecto del tiempo ( vT = d(s) / dt ) s = t3 + 2t2 vT = 3t2 + 4t aT = 6t + 4 , para t = 2 s , aT = 16 m/s2 aTOTAL = aT + aN ( aTOTAL )2 = ( aT )2 + ( aN )2 ( 16 2 )2 = ( 16)2 + ( aN )2 aN = 16 m/s2 La aceleracin normal es: aN = ( vT )2 / R 16 = ( 20 )2 / R R = 25 m El 20 m/s, se obtiene de evaluar la velocidad vT = 3t2 + 4t en t = 2 s

5.- Un auto pasa por un tramo curvo de una carretera de 750 m de radio a la velocidad de 100 km/h. Sbitamente aplica los frenos, haciendo que el vehculo disminuya de velocidad a ritmo constante. Sabiendo que al cabo de 8 s, la velocidad se ha reducido a 75 km/h , determine la aceleracin del auto inmediatamente despus de la aplicacin de los frenos.

SOLUCION Expresemos las velocidades en m/s: 100 km/h = 100 : 3,6 = 27,7 m/s , 75 km/h = 75 : 3,6 = 20,8 m/s Como el auto disminuye a ritmo constante la velocidad tangencial, se tiene que la aceleracin tangencial ( aT ) es: aT = ( vF - vI ) / t = ( 20,8 27,7 ) / 8 = - 0,87 m/s2 Inmediatamente tras la aplicacin de los frenos, la velocidad sigue siendo 27,7 m/s, y se tiene: aN = ( vT )2 / R = ( 27,7 )2 / 750 = 1,03 m/s2 ( aTOTAL )2 = (- 0,87 )2 + (1,03 )2 aTOTAL = 1,35 m/s2 Direccin: tg = 1,03 / 0,87 = 1,18 = 49,8o

6.-La figura representa en un instante dado la aceleracin y velocidad total de una partcula que se mueve en el sentido horario en una circunferencia de 2,5 m de radio. Si la aceleracin a = 15 m/s2 , en ese instante determine: a) la aceleracin normal b)la rapidez de la partcula c)la aceleracin tangencial

SOLUCION La aceleracin total ( a = 15 m/s2 ), se descompone en su componente normal ( aN ) y tangencial ( aT ): aN = cos 30 15 m/s2 = 12,9 m/s2 aN = ( vT )2 / R 12,9 = ( vT )2 / 2,5 vT = 5,67 m/s aT = sen 30 15 m/s2 = 7,5 m/s2 7.-Dos autos A y B van por una misma curva circular de una carretera desarrollando ambos 40 km/h. a)El conductor del auto A aumenta la velocidad a 80 km/h , la aceleracin centrpeta del auto se volver mayor o menor? Cuntas veces? b)El auto B , manteniendo su velocidad , entra en una curva ms cerrada y de radio dos veces menor. Su aceleracin centrpeta se vuelve mayor o menor ? Cuntas veces? SOLUCION: La rapidez lineal de cada auto es: vA = 40 km/h , vB = 40 km/h Si el conductor A aumenta la rapidez a 80 km/h (es decir el doble) , la aceleracin centrpeta aumenta 4 veces, recuerde que la aceleracin centrpeta es proporcional al cuadrado de la rapidez: ac = ( v )2 / R Si el auto B entra con la misma rapidez, pero en una pista de radio dos veces menor, la aceleracin centrpeta se vuelve dos veces mayor. La aceleracin centrpeta es inversamente proporcional al radio de la trayectoria: ac = ( v )2 / R

8.-Un disco de 1,0 m de radio situado sobre una plataforma se pone en rotacin contraria a las manecillas del reloj con una velocidad angular de 3,0 rad/seg en torno de un eje que pasa por su centro. La plataforma avanza por las vas con una velocidad de 4,0 m/s. Si consideramos un punto de la periferia de un disco , podemos afirmar que los mdulos de las velocidades de este punto , en relacin con la Tierra , cuando pasa en las posiciones (1) , (2) , (3) , (4) es en m/s : a) v1 = 4 ; v2 = 3 ; v3 = cero ; v4 = 3 b) v1 = 4 ; v2 = 5 ; v3 = cero ; v4 = 5,0 c) v1 = 7 ; v2 = 5 ; v3 = 1 ; v4 = 5 d) v1 = 1 ; v2 = cero ; v3 = 1 ; v4 = cero e) v1 = 7 ; v2 = 3 ; v3 = 7 ; v4 = 3 SOLUCION: La rotacin del disco es antihorario, conocido el radio 1,0 m y la velocidad angular 3,0 rad/seg, determinemos la magnitud de la velocidad lineal (tangencial): v = w R v = 3,0 1,0 = 3,0 m/s Esta velocidad es tangencial a cada punto en el sentido de la rotacin: Se determina la magnitud de la velocidad resultante en cada uno de los puntos mencionados, para ello se debe considerar la velocidad lineal ( tangencial ) en cada punto y la velocidad del carro: Punto ( 1 ) v carro = 4,0 m/s ; v tang. = 3,0 m/s vresult. = v carro + v tang. vresult. = 4,0 m/s + 3,0 m/s = 7,0 m/s Punto ( 2 ) v carro = 4,0 m/s ; v tang. = 3,0 m/s vresult. = v carro + v tang. vresult. = ( 4,0)2 + ( 3,0)2 = 5,0 m/s

Punto ( 3 ) v carro = 4,0 m/s ; v tang. = 3,0 m/s v = v carro - v tang. result. vresult. = 4,0 - 3,0 = 1,0 m/s Punto ( 4 ) v carro = 4,0 m/s ; v tang. = 3,0 m/s vresult. = v carro + v tang. vresult. = ( 4,0)2 + ( 3,0)2 = 5,0 m/s