Ensayo Mecnica Clsica Martes 12 de Agosto del 2014

SOLITONES

Rafael Bravo

Departamento de Fsica, Universidad de Santiago de Chile (USACH), Av. Ecuador 3493, Santiago, Chile

rafael.bravog@usach.cl

Resumen

En el siguiente ensayo, se recopilan diversos aspectos de la teora de solitones, partiendo con una resea histrica acerca desu descubrimiento y su posterior descripcin matemtica que lleva a la ecuacion de Korteweg-de Vries (KdV) y sus propiedades.Luego se relacionan aspectos matemticos y fsicos, a travs del mtodo de scattering inverso, en el contexto de mecnicacuntica, pudiendo establecer una relacin entre estas ondas solitarias con un potencial transparente.

I. INTRODUCCIN

[1, 3]En el ao 1834, cerca de Edimburgo, Escocia,el cientfico e ingeniero naval, John Scott Russell, mien-tras se realizaban experimentos para determinar el dis-eo ms eficiente para los canales de botes, observ unfenmeno compltamente singular, mientras un botecruzaba el canal, tirado por caballos, se detuvo abrpta-mente, se gener en la proa de ste una onda de aguaque comenz a deslizarse por la superficie, lo que llamla atencion de Russell fue que esta onda, en vez de disi-parse, continu viajando, por un par de kilmetros, sinalterar su forma. En las propias palabras de Russell eldescubrimento se describe as

Yo estaba observando el movimiento de un barco que eratirado rpidamente a lo largo de un estrecho canal por un parde caballos, cuando el barco se detuvo de repente, la masa deagua que se haba puesto en movimiento en el canal, se acu-mul en la proa de la embarcacin en un estado de agitacinviolento, derrepente lo dej atrs con gran velocidad, tomandogran elevacin, este montn de agua redondeado y bien lisocontinu su curso a lo largo del canal, aparentemente sincambi de forma o disminucin de velocidad, lo segu a cabal-lo y lo adelant, cabalgando a una velocidad aproximada de14[Km/h], conservando su figura original, unos 9[m] de largoy unos 45[cm] de altura. Su altura disminuy gradualmente,despus de una persecucin de unos 2.3[Km] lo perd en lascurvas del canal, est ocurri en el mes de agosto de 1834, enel cual fue mi primer encuentro con este fenmeno singular yhermoso que he llamado onda de traslacin

Como ingeniero naval, Russell saba que el fenmenoque observ era realmente intrigante y se interes eninvestigarlo ms a fondo, dise en su casa, con laayuda de estanques un modelo que reproduca estaonda. En la literatura cientfica de la poca no encontrninguna referencia con respecto a este fenmeno.

Por lo tanto se dedic a conocer y estudiar laspropiedades de estas singulares ondas solitarias, su

objetivo era encontrar la "ecuacin de onda" o algunadescripcin matemtica que las describiera, lamentable-mente el no pudo llegar a esta descripcin, sin embargohizo importantes observaciones

Figura 1: Diseos originales de Russell

Las ondas son estables, y pueden viajar distan-cias muy grandes (las ondas ordinarias tienden aaplanarse y a caerse rpidamente).

La velocidad depende del tamao de la onda y suanchura en la profundidad del agua.

A diferencia de las ondas normales, estas ondasno se combinarn para formar otra, por lo queuna onda pequea se ve superada por una grande(no linealidad de estas ondas)

Si una onda es demasiado grande para la profun-didad del agua, esta se divide en dos, una grandey una pequea.

Finalmente Russell pudo recopilar datos suficientes co-mo para redactar un trabajo coherente, el cual envi a laRoyal Society de Edimburgo, su publicacin impresiona diversos investigadores en el mundo, los cuales tam-bin intentaron observar estas misteriosas ondas para

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poder desvelar los mecanismos de su formacin. Varioscientficos de su poca argumentaron que las ondas deforma permanente no podran existir, en particular Airyy Stokes decan que la disminucin de la onda era unauna indicacin de que aquellas no eran permantes, ellossin embargo dedicaron parte de su tiempo a entender elfenmeno. En el ao 1870 J. Boussinesq y Lord Rayleighencontraron que la amplitud de esta onda deba seruna onda viajera proporcional a sech2(x), poseyendoas una localizacin exponencial. Boussinesq encontrecuaciones en derivadas parciales que aproximan lasobservaciones de Russell, sin embargo no fue hasta elao 1895 cuando los cientficos alemanes Diederick Jo-hannes Korteweg y su estudiante de doctorado Gustavde Vries, presentaron en un trabajo, la ecuacin no linealque describe analticamente este fenmeno

ut

+ 6uux

+3ux3

= 0 (1)

Esta es la llamada ecuacion de Korteweg-de Vries oKdV, cuya solucin[2], si se asume u(x, t) = u(x ct)es

u(x, t) =c2

sech2(

c2(x ct)

)(2)

El primer trmino de la ecuacin (1) representa laevolucin temporal, el segundo trmino es el de nolinealidad y el tercero es de dispersin, esta ecuacinmuestra un balance entre no linealidad y dispersin.

Posteriormente, en el ao 1965 los fsicos matemti-cos Norman Zabusky y Martin Kruskal retomaron unfamoso problema numrico, FPU[8], que Fermi, Pasta yUlam formularon en 1955 con la computadora MANI-AC en Los Alamos, para una red anarmnica (conjuntode osciladores no lineales). El modelo del problema FPUera muy similar a una discretizacin de la ecuacin deKdV. Zabusky y Kruskal encontraron un tipo de on-da muy especial que aparentemente mostraba un com-portamiento como partcula, en especial, cuando dosde estas ondas interactuaban entre s en una colision,poniendo una onda con mayor amplitud atras de unade menor amplitud, como se sabe la de mayor amplitudtendr mayor velocidad y al alcanzar la onda pequea,stas interactan de manera no lineal, pero salen de estacolisin con su identidad intacta y solamente con uncambio de fase, llamaron a estas ondas solitrones, peropor problemas con una patente debieron rebautizarlascomo solitones, el trmino fue elegido para estar enconcordancia con el nombre de partculas elementales(electrn, protn, fotn, fermin, bosn, etc.). La rarezade encontrar comportamiento de partcula en una on-da no lineal, llevo posteriormente a estudiar a fondo

a los solitones, como fruto de esto Zabusky, Kruskal yotros investigadores encontraron un mtodo para re-solver la ecuacion de KdV que explicaba la dinmicadel solitn. Posteriormente con respecto a la teora desistemas integrables, fue importantsimo encontrar laintegracin de la ecuacin de KdV; los cientficos Gard-ner, Greene, Kruskal y Miura encontraron una relacinentre la ecuacin de Schrdinger y la ecuacin de Kdv.Si se considera un potencial u(x) para la ecuacin esta-cionaria de Schrdinger

H(x) = E(x) (3)

H =p2

2m+ u(x) p = ih d

dx

Los correspondientes datos de scattering (coefi-cientes de transmisin, reflexin, etc.), se transformande una manera extremadamente sencilla cuando el pote-nial u(x) cambia a u(x, t) (este parmetro temporal es-t solamente asociado a la ecuacin de Kdv, no tienerelacin alguna con la ecuacin de Schrdinger no esta-cionaria), siempre que u(x, t) satisfaga la ecuacin deKdV. Por lo tanto dada una condicin inicial u(x) para(1) se pueden hallar los datos de scattering asociadosy determinar la su evolucin de manera inmediata, so-lo resta encontrar que potencial u(x, t) tiene aqullosdatos de scattering, es decir es un probema de scatter-ing inverso, para ello se necesita resolver una ecuacinintegral, la ecuacin de Gelfand-Levitan-Marchenko(GLM), la solucin de esta ecuacin lleva a la resolu-cin del problema inverso y por lo tanto al problema decondiciones iniciales para la ecuacin de KdV. Este es elllamado mtodo de Scattering inverso. En el contextode fsica matemtica, el ao 1971 los investigadores dela Academia de Ciencias de la URSS Vladimir Zakharovy Aleksei Shabat, descubrieron otra ecuacin muy im-portante que involucra solitones, la llamada ecuacinno lineal de Schrdinger (NLSE)

it = 122x+ ||2 (4)

la cual ellos resolvieron utilizando el mtodo de scat-tering inverso, esta ecuacin tambin corresponde a unmodelo de sistema integrable.

Con el pasar del tiempo se fueron encontrando di-versas ecuaciones no lineales, en las que sus solucionesaparecan solitones, y as mismo abrindose sus reasde aplicacin, por nombrar algunas, ptica, plasmas,fibras de vidrio, redes nerviosas, cadenas moleculares,superconductividad, biologa, etc.

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II. PROPIEDADES DE LA KDV

A continuacin se mencionan algunas de las muchaspropiedades que posee la ecuacin de Korteweg-deVries.[6, 4]

La ecuacin (1) a travs de ciertas manipulaciones(t at , x bx , u cu) siempre es posible reducira la forma

ut 6uux + uxxx = 0 (5)Se dice que la ecuacin de Kdv tiene ciertas leyes de

conservacin. La ecuacin (1) puede ser representadaen forma de una ley de conservacin.

tu + x(3u2 + uxx) = 0 (6)

en efecto, la ecuacin (6) implica la conservacin dela integral (7) llamada "masa"

ddt

+

u(x, t)dx (7)

Siempre que la funcin u(x, t) y sus derivadas desa-parescan cuando x . Con un poco de lgebra esposible obtener una ecuacin (8) de conservacin parael llamado "momentum"

tu2

2+ x

(2u3 + uuxx 12 u

2x

)= 0 (8)

Y tambin para la llamada "energa"

t

(u3 12 u

2x

)+ x

(92

u4 + 3u2uxx + utux +12

u2xx

)= 0

(9)Si se introduce la siguiente susticin diferencial lla-

mada transformacin de Gardner

u = w + iewx + e2w2 (10)

siendo e un parmetro arbitrario, intruduciendo (10)en (1), se produce

ut + 6uux + uxxx = (1+ 22w + ix)(wt + (3w2 + 22w3 + wxx)x) = 0

ahora, si w(x, t) satisface la ecuacion de conserva-cion de Gardner

wt + (3w2 + 22w3 + wxx)x = 0 (11)

entonces u(x, t) es solucin de (1). Si se represen-ta w en forma de una serie infinita de potencias de e,w = n=1 e

nwn, a continuacin resolviendo (10) poriteraciones para e 1, subsecuentemente, se tiene:

w0 = u , w1 = iux , w2 = u2 uxx , ....Ahora, ajustando la expansin obtenida w =

n=1 enwn, en la ecuacin (11), se tienen series in-

finitas para las leyes de conservacin de la KdV co-mo coeficientes pares de potencias de e. Los valores

In =+

w2ndx son llamados, integrales de Kruskal,

como caso particular, las integrales de movimiento (7),(8) y (9), corresponden a los valores n = 1, 2 y 3 de lasintegrales de Kruskal respectivamente. Por lo tanto sedice que la ecuacin de KdV posee infinitas integralesde movimiento, es decir es compltamente integrable.

La ecuacin de KdV como aparece en (5) cor-responde a las ecuaciones de Euler-Lagrange demovimiento, construidas a partir de la densidad la-grangiana

L = 12xt+ (x) 3 12

(2x

)2(12)

en donde se define u(x, t) = xTambin la KdV en su forma (5) tiene una repre-

sentacin a travs de pares de Lax (L, A), en particularpuede ser formulada como la ecuacin de Lax

ddt

L = [L, A] LA AL (13)En donde L = 2x + u y el operador de Lax A =

43x 3 [2ux + (xu)]. Esto explica que la ecuacin deKdV tenga infinitas integrales de movimiento.

La ecuacin de KdV posee estructura Hamiltoniana.Si se representa (1) en la forma

ut =

xFu

(14)

En donde F [u] = I3 corresponde a la tercera inte-gral de Kruskal, correspondiente a la conservacin dela energa, y la derivada variacional para el funcional

F [u] =x2

x1f (x, u, ux) dx, es dado por

Fu

= fu d

dx

( fx

)(15)

La ecuacin (14) es realmente una representacinHamiltoniana de la KdV con I3 como Hamiltoniano,este resultado fue encontrado por Gardner.

Esta representacin puede ser reemplazada por elcorchete de Poisson

{F, G} =+

Fu

x

(Gu

)dx (16)

3

La conexin de las representaciones (14) y (16) conla forma tradicional de las ecuaciones de Hamilton parasistemas dinmicos de dimensin finita, es mostradaconsiderando las series de Fourier para u(x, t) peridi-co, u(x, t) = k= uk eikx. A continuacin para

qk =ukk

, pk = uk , H =i

2piF (17)

Se recuperan las ecuaciones de Hamilton en su for-ma ms comun

dqkdt

=Hpk

,dpkdt

= Hqk

(18)

Con el corchete de Poisson definido por

{F, G} = i2pi

k=

kFuk

Guk

(19)

Con esto se puede mostrar que las integrales deKruskal, se encuentran en involucin

{Ik, Im} = 0 , k, m (20)Denuevo se puede ver que la ecuacin de KdV rep-

resenta un sistema Hamiltoniano integrable.

III. SOLITONES EN FSICA

A continuacin se presenta de manera resumida,una de las aplicaciones que los solitones pueden teneren fsica, en particular el caso de un tipo especial de po-tencial que aparece en el contexto de mecnica cuntica,llamado reflectionless o transparente, su particularidades que el coeficiente de reflexin es 0.

[5]Utilizando el mtodo de scattering inverso, paraun potencial transparente, se tiene que este es posibleconstruirlo utilizando lo siguiente

u(x) = 2 d2

dx2ln[

1+2

2e 2x

](21)

Donde el parmetro corresponde a la energa delos estados ligados E = 2 y el parmetro estasociado con constantes de normalizacin. Es posiblemostrar que el parmetro introduce el parmetro tem-poral en el potencial u(x), en la forma (t) = (0)e4t.Con esto la solucin de (21) tiene la forma

u(x) = 22

cosh2 (x + )(22)

Donde =

22

Se puede probar que (22) es solucin de (5), por lotanto se ha obtenido una solucin solitnica, el potencial

que muestra la ecuacin (22) corresponde al potencialde Pschl-Teller

Figura 2: Forma del potencial de Pschl-Teller

La ecuacin de Schrdinger es analticamente solu-ble con este potencial, reduciendo sta a una ecuacinhipergeomtrica.

la forma general de este potencial es

u(x) = 22

cosh2(x)(23)

[7]Resumiendo un poco los clculos, al resolver laecuacin de Schrdinger, se tiene que la funcin deonda debe ser de la forma

= Ae + Bo (24)

Para x > 0

= A2 Ce(

eie eikx + ee eikx)+ B2 Co

(eio eikx + eo eikx

)Para x < 0

= A2 Ce(

eie eikx + ee eikx) B2 Co

(eio eikx + eo eikx

)Se busca una solucin asinttica de la forma

=

{eikx + Reikx , x < 0Teikx , x > 0

(25)

Con esto se tiene que

T =12

(e2ie e2io

); R =

12

(e2ie + e2io

)(26)

La intensidad para el coeficiente de transmisin es

|T|2 = sin2 (e o) (27)y para el coeficiente de reflexin

|R|2 = cos2 (e o) (28)

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estos satisfacen la ley de conservacin

|T|2 + |R|2 = 1en la forma (23), el potencial ser reflectionless, si y

solo si el parmetro tiene la forma

2 = n(n + 1) , n Nya que con esto es posible llegar a la condicin

e o = arctan[

sinh(pik/)sin(npi)

](29)

Como n N, la expresin (29) tomar el valore o = pi2 , con esto, de acuerdo a (27) y (28), setendr que |T|2 = 1 y |R|2 = 0, as de esta forma elpotencial es trasparente. Es posible ver que (22) corre-sponde al caso donde n = 1.

Existen otras maneras de construir este tipo de po-tencial, como es el caso de la transformacin de Dar-boux, que utilizando ciertos operadores, es posible con-struir (22) a partir del Hamiltoniano para una partculalibre. Esto solo se menciona como otra aparicin deSolitones en este contexto.

IV. CONCLUSIN

El desarrollo de la matemtica est intimamenteligado al desarrollo de la fsica, y es en este caso, con lossolitones, que las dos ciencias se complementan, en par-ticular en el rea de ecuaciones diferenciales. Ha sidoposible ver que no solo matemticos, sino tambin fsi-cos han estado involucrados en el desarrollo de la teorade solitones, a modo de ejemplo el caso del mtodode scattering inverso que emplea resultados obteniblesa partir de una ecuacin fsica como la ecuacin deSchrdinger, para poder encontrar una solucin a unaecuacin no lineal como la ecuacin de KdV.

Cabe destacar que el desarrollo de esta teora haabierto las posibilidades de avance en tecnologa, comopor ejemplo el caso de comunicacines, en donde hansido enviadas seales en forma de solitones pticos,

aprovechando su tiempo mayor de vida, que el de unaonda ordinaria (laboratorios Bell).

Como conclusin, se puede decir que el descubrim-iento hecho por Russel en el ao 1834, adems de atraerel inters de investigadores de diversas reas, ha po-dido ayudar al estudio de fenmenos no lineales y aldesarrollo de la teora de sistemas integrables, comotambin a varios campos de la fsica, incluso en tiemposactuales, los solitones han interesado a los fsicos departculas, tratando de encontrar relaciones entre estaspeculiares ondas con las ms elementales partculas queconforman nuestro universo.

REFERENCIAS

[1] Juan E. Npoles Valdes, Solitones, una no-linealidadno tan solitaria, (Universidad de la Cuenca del Plata,2005) I

[2] Klaus Brauer, the Kortewedg-de Vries equation: History,exact solutions, and graphical representation, (Universi-ty of Osnabrck, 2000) I

[3] Wikipedia, John Scott Russellhttp://en.wikipedia.org/wiki/John_Scott_RussellI

[4] Wikipedia, Kortewegde Vries equationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Korteweg-de_Vries_equation II

[5] Adrian Arancibia, Juan Mateos Guilarte, Mikhail S.Plyushchay (2013), 4, arXiv:1210.3666 III

[6] Roger Grimshaw, Gennady El, Karima Khusnutdi-nova, Nonlinear Waves II

[7] Siegfried Flgge, Practical Quantum Mechanics,(Springer 1994), 94, Problem 39. Potential hole ofmodified Pschl-Teller type III

[8] Mason A. Porter, Norman J. Zabusky, Bambi Huand David K. Campbell, Fermi, Pasta, Ulam and theBirth of Experimental Mathematics, (American Scien-tist, 2009) I

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IntroduccinPropiedades de la KdvSolitones en fsicaConclusin