“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la

Educación”

Facultad de Ingeniería Civil

TEMA : Solución de ejercicios 11.30-11.44 del

Libro Merle C. Potter (Mecánica de

Fluidos, tercera edición)

CURSO : Hidráulica de Conductos

DOCENTE : Msc. Ing Walter La Madrid Ochoa

ALUMNOS : Rodríguez Arcela Theylor

Pazo Querevalu José Laureano

CICLO : 2015-2

Noviembre de 2015

EJERCICIO 11.30

La solución del flujo de agua en una red de tubos se muestra en la figura .Calcular:

a. La línea piezométrica desde el inicio hasta el fin del sistema.

b. La presión en cada nodo.

Solución

A. En el gráfico, en la tubería 1 el caudal será 450 lt/s=0.45m3/s

De la ecuación donde es la pérdida de altura a lo largo de una longitud L

para un valor de β=2.

Sea

la cota de la línea piezométrica en la sección A y el punto

inicial en la cota 100m.

De la ecuación de energía tenemos:

PARA LA TUBERIA 1

PARA LA TUBERIA 2

PARA LA TUBERIA 3

PARA LA TUBERIA 5

B. Calculo de la presión en cada nodo

PROBLEMA 11.31

Para el sistema mostrado determine la distribución de flujo de agua y la línea piezométrica J.

Los datos del sistema se dan en la tabla.

Solución

Trabajamos con las direcciones de caudal dadas por el problema. Aplicando la

ecuación de energía.

Del balance de caudales (ecuación de continuidad)

Depósito Elevación (ft)

Línea L(ft) D(in) f ∑

A 650 1 800 8 0.015 0

B 575 2 600 3 0.020 2

C 180 3 650 3 0.020 2

4 425 3 0.025 3

5 1000 4 0.015 4

Luego tenemos:

√

√

√

También:

√

√

Finalmente reemplazando en la ecuación de continuidad:

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

( √

√

) √

Calculamos el valor de , usando también la ecuación de longitud equivalente

∑

Calculamos los valores usando Excel:

Depósito

Elevación

Línea L(ft) D(in) f

∑ (ft)

A 650 1 800 8 0,015 0 0,000 2,29

B 575 2 600 3 0,020 2 25,000 322,21

C 180 3 650 3 0,020 2 25,000 347,99

4 425 3 0,025 3 30,000 293,21

5 1000 4 0,015 4 88,889 99,91

Luego reemplazamos valores en α:

√

√

( √

√

) √

√ √ √

Resolveremos la ecuación usando el método de Newton Raphson, tomando como valor inicial

612.5 que está dentro del dominio de la siguiente función.

√ √ √

Derivando la función

√

√

√

Calculando los valores en Excel

612,5 0,93933267 -0,0700918 -13,4014628

625,901463 -0,06537204 -0,08146653 0,8024405

625,099022 -0,00040401 -0,08046891 0,00502066

625,094002 -1,5233E-08 -0,08046284 1,8932E-07

625,094001 0 -0,08046284 0

625,094001 0 -0,08046284 0

Luego el valor de

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

PROBLEMA 11.32

A través del sistema de tuberías mostrado fluye agua. Determine la distribución mediante el

método de Hardy Cross.

Solución:

Asumimos un sentido para el cálculo:

De la ecuación:

∑

∑|

| Para n=2

Para un sentido horario la pérdida de carga es positiva.

(

)

(

)

Asumiendo caudales y

Iterando:

Primera iteración

Y

Segunda iteración

Y

Tercera iteración

Termina el cálculo

Y

PROBLEMA 11.33

Determine la distribución de flujo para el siguiente sistema

Tubo L(m) D(mm) e(mm) ∑

1 500 300 0,15 0

2 600 250 0,15 0

3 50 150 0,15 10

4 200 250 0,15 2

5 200 300 0,15 2

Solución:

Usando el Software EPANET VERSION 2.0

Usar el símbolo de

forma de embalse para

dibujar los reservorios.

Usar el círculo para

dibujar los nudos.

Usar el símbolo del

segmento para dibujar

las tuberías

Click en

proyecto y

buscar la

opción

“opciones de

cálculo “

Al hacer doble click

sobre un embalse

escribiremos solo la

elevación en la

opción “altura total”.

Al hacer doble

click sobre un

nodo escribiremos

en la opción “cota

“la elevación y si

hubiera una

descarga se

escribiría en la

opción “Demanda

Base”

Doble click en

una tubería.

Usaremos las

opciones

LONGITUD (L),

DIAMETRO (D),

RUGOSIDAD (e) Y

COEFICIENTES DE

PÉRDIDAS (k)

Click en el rayo, para

calcular el sistema.

Click en informe y

luego en tablas. Aquí

nos pedirá si

queremos los

resultados en los

nodos o en las

tuberías.

Es posible

copiar

estos

resultados

“señalándo

los y

copiarlos

con el

icono al

costado de

la “X” y

pegarlos

en Excel

Resultados

Tabla de Red - Líneas

Longitud Diámetro Rugosidad Caudal Velocidad Pérd. Unit. Factor de Fricción Estado

ID Línea m mm mm LPS m/s m/km

Tubería 1 500 300 0.15 137.07 1.94 11.28 0.018 Abierto

Tubería 2 600 250 0.15 -62.07 1.26 6.14 0.019 Abierto

Tubería 3 50 150 0.15 36.50 2.07 73.49 0.051 Abierto

Tubería 4 200 250 0.15 100.58 2.05 17.86 0.021 Abierto

Tubería 5 200 300 0.15 -25.58 0.36 0.52 0.023 Abierto

Tabla de Red - Nudos

Cota

Demanda Base Demanda Altura Presión

ID Nudo m LPS LPS m m

Conexión 3 4 0 0.00 9.36 5.36

Conexión 4 1 0 0.00 5.68 4.68

Conexión 5 0 75 75.00 5.79 5.79

Embalse 1 15 No Disponible -137.07 15.00 0.00

Embalse 2 2 No Disponible 62.07 2.00 0.00

PROBLEMA 11.34

A través de los tubos en serie se bombea agua a 20ºC como se muestra en la figura. La

potencia suministrada a la bomba es de 1920 kW y su eficiencia es de 0.82. Calcular la potencia

suministrada a la bomba usando el método de Hardy Cross, usar la ecuación

[

]

.

Tubo L (m) D (mm) e (mm) ∑

1 200 1500 1 2

2 300 1000 1 0

3 120 1200 1 10

Aplicando las formulas y resolviendo en

Excel tenemos:

[

]

∑

(m)

0,018 168,3 0,071

0,020 0,0 0,486

0,019 638,9 0,473

Para la bomba:

, Como el caudal no es conocido

Reemplazando valores

Aplicando Hardy Cross

∑

∑|

|

(

)

Primera iteración:

Segunda iteración:

Tercera iteración

Finalmente el caudal será

PROBLEMA 11.35

Determine la descarga en el sistema de tuberías mostrado

1. Con solución exacta.

2. Usando Hardy Cross

El líquido transportado es agua y las pérdidas son proporcionales al cuadrado de la velocidad,

la curva característica de la bomba es de , donde está en metros y

está en

⁄ .

Solución:

1. Aplicando la ecuación de energía

2. Usando el método de Hardy Cross

Y como los caudales son iguales

(

)

(

)

ITERACION CAUDAL(Q)

1 0.20 -0.0694

2 0.1306 -0.0184

3 0.1122 -0.00152

4 0.1107 -0.0

Luego el caudal será:

/seg

PROBLEMA 11.36 El sistema suministra agua a dos aspersores (C y E) y a un deposito (F). El agua es

suministrada por el depósito (A) situado a más altura que (F). Los aspersores se

representan hidráulicamente con orificios de valores K. relativamente altos. Determine

la distribución de flujo mediante el método de Hardy Cross.

Tubo L (m) D (mm) e (mm) ∑

1 200 100 0.1 2

2 150 50 0.1 30

3 500 100 0.1 0

4 35 50 0.1 35

5 120 100 0.1 2

Solución mediante el programa EPANET V2.0

RESULTADOS:

Tabla de Red - Líneas

Longitud Diámetro Rugosidad Caudal Velocidad Pérd. Unit.

Factor de Fricción Estado

ID Línea m mm mm LPS m/s m/km

Tubería 1 200 100 0.1 9.28 1.18 16.40 0.023 Abierto

Tubería 2 150 50 0.1 1.58 0.81 24.80 0.037 Abierto

Tubería 3 500 100 0.1 7.70 0.98 10.98 0.022 Abierto

Tubería 4 35 50 0.1 -0.55 0.28 6.55 0.082 Abierto

Tubería 5 120 100 0.1 7.15 0.91 10.24 0.024 Abierto

Tabla de Red - Nudos Cota Altura Presión

ID Nudo m m m

Conexión 5 121.5 121.72 0.22

Conexión 6 115.5 116.23 0.73

Embalse 1 125 125.00 0.00

Embalse 2 118 118.00 0.00

Embalse 3 116 116.00 0.00

Embalse 4 115 115.00 0.00

PROBLEMA 11.37 Resolver el problema anterior usando una bomba de 10 KW al inicio.

Solución:

Tabla de Red - Nudos Cota Demanda Altura Presión

ID Nudo m LPS m m

Conexión 5 121.5 0.00 149.86 28.36

Conexión 6 115.5 0.00 120.64 5.14

Conexión 7 170 0.00 169.11 -0.89

Embalse 1 125 -23.13 125.00 0.00

Embalse 2 118 4.79 118.00 0.00

Embalse 3 116 2.57 116.00 0.00

Embalse 4 115 15.78 115.00 0.00

Tabla de Red - Líneas

Longitud Diámetro Rugosidad Caudal Velocidad Pérd. Unit. Factor de Fricción

ID Línea m mm mm LPS m/s m/km

Tubería 2 150 50 0.1 4.79 2.44 212.39 0.035

Tubería 3 500 100 0.1 18.34 2.34 58.43 0.021

Tubería 4 35 50 0.1 -2.57 1.31 132.65 0.076

Tubería 5 120 100 0.1 15.78 2.01 47.02 0.023

Tubería 1 200 100 0.1 23.13 2.94 96.25 0.022

Bomba 6 No Disponible

No Disponible

No Disponible 23.13 0.00 -44.11 0.000

PROBLEMA 11.38

En la figura P11.38 se muestra un sistema condensador de agua de enfriamiento de una planta

termoeléctrica. Desde un deposito A se bombea agua a través de una tubería de diámetro

grande [1], que pasa a través del condensador [2], y se descarga a través de otra tubería de

diámetro grande [3] en el estanque receptor, lugar B. El condensador se compone de un gran

número de tubos elevados de diámetro pequeño colocados en paralelo; en ambos extremos

del condensador se localiza una gran caja llena de agua llamada cabezal, C Y C´. se conocen las

elevaciones en A y B de la superficie de agua, lo mismo que las longitudes y los diámetros de

los tubos 1 y 3.

E l condensador tiene N tubos idénticos, cada uno con el mismo diámetro conocido D2 y de

longitud L2. El factor de fricción de todos los tubos es el mismo valor constante, y la curva de la

bomba se representa de manera aproximada mediante la relación HP= a0 + a1Q + a2Q + a3Q.

Se supone que las perdidas menores son insignificantes.

(a) deduzca un coeficiente de resistencia de tubo único R2 para los tubos del condensador.

(b) escriba la ecuación de energía para todo el sistema, utilizando las variables dadas

requeridas y expresando la resistencia al flujo en función de los coeficientes de resistencia de

los tubos 1 y 3, y el coeficiente de resistencia equivalente del tubo 2.

(c) elabore un algoritmo de Hardy Cross para determinar la descarga a través del sistema.

(d) Si Za=2m, Zb=0m, L1=100m, D1=2m, L2=15m, D2= 15m, D2= 0.025m, N=1000, L3=200m,

D3=2m y f= 0.02, calcule la descarga y la línea piezométrica. Los coeficientes de la curva de la

bomba son a0=30.4, a1 =-31.8, a2=18.6 y a3 =-4.0, donde Q está en metros cúbicos por

segundo.

(e) Si la parte superior del condensador se encuentra a una altura de 6m ¿cuáles son las

presiones de la parte superior de los cabezales corriente arriba y corriente abajo?

SOLUCION:

a. Siendo R2 ser el coeficiente de resistencia para un solo tubo en el condensador.

después

, la solución para W; tenemos:

Por lo tanto:

b.

, Hp y Q son las incógnitas.

c.

d.

e.

PROBLEMA 11.39

Determine la distribución de flujo en el sistema ramal o ¨en forma de árbol¨ mostrado en la

figura. El líquido que fluye es agua. Peso específico=62.5 lb/ft3. El origen del flujo es una gran

tubería (lugar A) mantenida a una presión constante de 60psi. Cada rama está localizada sonde

se conoce la línea piezométrica. (Cortesía de D. Wood)

SOLUCION:

IDENTIFICACION DEL ENLACE INICIO NODO FIN NODO LONGITUD DIAMETRO

1 1 3 1500 10

2 3 4 400 10

3 4 5 600 10

4 5 6 800 8

5 6 10 700 8

6 10 9 1000 10

7 9 8 750 10

8 8 7 450 10

9 7 6 550 10

10 7 4 800 10

11 8 3 800 10

12 2 9 1450 10

RESULTADO EN NODOS

Nodo demanda Altura Presión

3 0 246.28 39.55

4 2 242.23 39.96

5 1 241.55 39.67

6 1 241.71 41.9

7 1 242.26 39.98

8 0 244.65 41.01

9 1 245.4 43.5

10 1 242.35 44.35

1 -3.82 275.4 0

2 -3.18 265.4 0

RESULTADO DE TUBERIAS

Identificación de Enlace Caudal velocidad

perdida de carga estado

1 3.82 7.01 19.41 abierto

2 2.69 4.93 10.14 abierto

3 0.82 1.51 1.13 abierto

4 -0.18 0.51 0.2 abierto

5 -0.41 1.17 0.91 abierto

6 -1.41 2.58 3.05 abierto

7 0.77 1.41 1 abierto

8 1.9 3.49 5.32 abierto

9 0.77 1.41 1 abierto

10 0.13 0.24 0.04 abierto

11 -1.13 2.07 2.04 abierto

PROBLEMA 11.40

El sistema de 12 tubos mostrados en la figura P11.40 representa una región de baja presión

que está conectada a un sistema de alta presión mediante reguladores ajustados a 50psi.

Determine la presión y la distribución de flujo de agua con las demandas mostradas. Suponga

un coeficiente de Hazzen Williams C=120 para todos los tubos (Cortesía de D. Wood).

SOLUCION:

RESULTADO EN NODOS

Nodo demanda altura presión

3 0 246.28 39.55

4 2 242.23 39.96

5 1 241.55 39.67

6 1 241.71 41.9

7 1 242.26 39.98

8 0 244.65 41.01

9 1 245.4 43.5

10 1 242.35 44.35

1 -3.82 275.4 0

2 -3.18 265.4 0

RESULTADO DE ENLACES Identificación de Enlace caudal velocidad Presión

1 3.82 7.01 19.41

2 2.69 4.93 10.14

3 0.82 1.51 1.13

4 -0.18 0.51 0.2

5 -0.41 1.17 0.91

6 -1.41 2.58 3.05

7 0.77 1.41 1

8 1.9 3.49 5.32

9 0.77 1.41 1

10 0.13 0.24 0.04

11 -1.13 2.07 2.04

5.83 13.79 abierto

PROBLEMA 11.41

Determine la distribución de flujo en el sistema de suministro de agua tubos mostrado en la

figura P11.41.La curva características de la bomba está representada por los siguientes datos

(Cortesía de D. Wood)

SOLUCIÓN:

RESULTADO EN NODOS Nodo demanda altura presión

5 0 146.93 143.93

6 0 61.82 49.82

7 60 41.24 26.24

8 0 40.32 28.32

9 110 31.32 13.32

10 110 30.78 15.78

11 0 36.07 24.07

12 60 31.94 25.94

13 60 30.77 18.77

1 -516.4 3 0

2 56.12 30 0

3 83.11 34 0

4 -22.83 34 0

RESULTADO DE ENLACES

Identificación de Enlace caudal velocidad perdida de

carga estado

1 265.67 2.76 35.25 abierto

2 145.21 1.51 9.85 abierto

3 35.21 0.37 0.71 abierto

4 4.72 0.05 0.02 abierto

6 92.45 1.31 9.04 abierto

7 135.63 1.41 8.68 abierto

8 107.62 1.12 5.65 abierto

9 250.73 2.61 27.08 abierto

10 120.46 1.25 6.97 abierto

11 56.12 1.79 25.86 abierto

12 22.83 1.29 33.81 abierto

13 516.4 4.11 56.74 abierto

14 83.11 1.18 7.42 abierto

16 55.28 0.57 1.92 abierto

18 56.4 0 -143.93 abierto

PROBLEMA 11.42

La disposición de las demandas de aguas requeridas por un complejo industrial propuesto se

muestra en la figura P11.42.Diseñe una red apropiada y determine la potencia útil necesaria de

una bomba que satisfaga las demandas. Los criterios de diseño son los siguientes:

1. El depósito a más baja altura suministrada agua al sistema. El depósito más alto

suministra agua solo para uso en situaciones de emergencia, tales como fuego,

ruptura de líneas, etc. En operación normal. No hay flujo hacia dentro y hacia afuera

de él.

2. En operación norma, las presiones en la red pueden oscilar entre 80´y 120´psi.

3. Se tiene colocar dos válvulas de compuerta en cada línea (una en cada extremo).Para

aislarla en caso de una ruptura o cuando se requiere mantenimiento.

4. Todas las demandas deben ser satisfechas en el caso de la ruptura de una sola línea

compresiones máximas permisibles de 20psi.

5. Los tubos son de hierro colocados con los siguientes diámetro estándar disponibles:

4, 6, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 36, 42 y 48in. Los tubos pueden ser colocados en cualquier

lugar dentro de la región.

SOLUCIÓN:

RESULTADO EN NODOS Nodo demanda altura Presión

2 0 747.25 107.13

3 0 743.63 101.23

4 25 740.98 100.09

5 50 739.62 90.83

6 80 739.31 86.36

7 0 739.39 82.06

8 50 738.84 81.82

9 100 738.84 88.32

10 75 739.97 95.31

11 100 740.28 91.11

1 -480 500 0

RESULTADO DE ENLACES

Identificación de Enlace caudal velocidad perdida de

carga estado

1 55.66 0.63 0.57 abierto

2 -24.34 0.28 0.12 abierto

3 54.2 0.61 0.55 abierto

4 4.2 0.05 0 abierto

5 -95.8 1.09 1.57 abierto

6 -170.8 1.94 4.57 abierto

7 178.54 2.03 4.96 abierto

8 130.66 1.48 2.78 abierto

9 105.66 1.2 1.88 abierto

10 480 3.06 7.63 abierto

11 78.54 0.89 1.08 abierto

12 480 0 -247.25 abierto

PROBLEMA 11.44

Un sistema de irrigación dispone de una tubería de abastecimiento casi horizontal que está

conectada a un tanque por un extremo y a una válvula de apertura rápida por el otro. La

longitud del tubo es de 2500 m, y su diámetro es de 100mm. Si la altura del agua en el tanque

es de 3m, ¿Cuánto tiempo se llevara para que el flujo llegue a 99% de la condición de estado

continuo si la válvula se abre instantáneamente desde una posición cerrada? Suponga que el

agua es incompresible, y que la tubería inelástica, f=0.025 y K=0.15 una vez que la tubería se

abre.

SOLUCIÓN: