UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

UNIDAD ACADMICA LOS NGELESDEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS

HPV/

Evaluacin 1.Elementos de Anlisis 425514.

1. Sean (E, d) un espacio mtrico y A E.

a. D la denicin de punto frontera de A.

b. Demuestre que A y Fr (A) son conjuntos disjuntos.

c. Demuestre la igualdadAC

= AC

Solucin.-

a. p E es punto frontera de A

r > 0 : B (p, r) A = B (p, r) AC = (4 puntos)

b. Sea p A. Se tiene entonces que

r > 0 : B (p, r) A

r > 0 : B (p, r) AC =

Esto implica que p / Fr (A). As

A Fr (A)C

y A Fr (A) = (5 puntos)

c. x :AC

= AC

x AC x AC x AC

x AC r > 0 : (B(x, r) {x}) AC =

r > 0 : B (x, r) AC =

r > 0 : B (x, r) A

x / A

x AC

(6 puntos)

2. Para el conjunto A = {(x, y) R2 : |x|+ |y| 1 x = 0} , haga una repre-sentacin geomtrica (grco de A) y determine:

a. el interior de A, indicando cmo se encuentra el radio para la bola abiertacentrada en cada punto de A que est contenida en A.

b. La clausura del conjunto A : (A )

c. si el conjunto A es conexo (debe justicar).

Solucin.- La grca es la regin interior a la curva |x|+ |y| = 1, incluyendola curva, sin el segmento que une los puntos (0,1) y (0, 1) .

-1 1

-1

1

x

y

(3 puntos)

a. A = {(x, y) : |x|+ |y| < 1 x = 0}. Si el punto est a la derecha del eje yel radio de la bola se determina como el mnimo de las distancias del punto aleje y, y a los segmentos que se encuentran en las rectas x+ y = 1 e y = x 1.Anlogo para un punto a la izquierda del eje y.

(5 puntos)

b. A = {(x, y) : |x|+ |y| 1}(3 puntos)

c. El conjunto A no es conexo, porque los abiertos B = {(x, y) : x > 0} yC = {(x, y) : x < 0} determinan una separacin para el conjunto A.

Esto es, B C = , A B = , A C = y A B C

(4 puntos)

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3. Con respecto a las armaciones, para un espacio mtrico cualquiera:

a. La unin de dos conjuntos compactos es un conjunto compacto.

b. La unin de dos conjuntos conexos es un conjunto conexo.

indique si son verdaderas o falsas. En caso de ser verdadera, demustrela y encaso de ser falsa mencione un contraejemplo.

Solucin.-

a. Verdadera.-

Sean K y M dos conjuntos compactos y probamos que K M es compacto.

Dado un cubrimiento abierto {G}I de K M se tiene que es cubrimientode K y tambin deM. Luego existen subcubrimientos nitos G1 , G2 , ..., Gmde K y G

1, G

2, ..., G

nde M.

As entonces G1, G2 , ..., Gm , G1 , G2 , ..., Gn es un subcubrimiento nitopara K M ; lo que muestra que K M es compacto.

(8 puntos)

b. Falsa.-

Basta considerar en R, los intervalos I = [2,1] y J = [1, 2], ambosconexos. Sin embargo, I J no es conexo, porque no es un intervalo.

(7 puntos)

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4. Demuestre que:

a. La interseccin de una familia nita de conjuntos abiertos es un conjuntoabierto.

b. La interseccin de una familia innita de conjuntos abiertos puede no serun conjunto abierto.

Solucin.-

a. Sean G1, G2, ..., Gn conjuntos abiertos y G = G1 G2 ... Gn.

Dado p G se tiene que

i : p Gi (abierto) y ri > 0 tal que B (p, ri) Gi

Luego, con r = min {r1, ..., rn} resulta que B (p, r) Gi , i. Por tanto,

B (p, r) G

Esto muestra que p es punto interior de G. Por lo tanto, G es abierto.

(8 puntos)

b. En R , se consideran n N : In = 1

n, 1n

, familia numerable de abiertos.

La interseccin de la familia es

n=1

In = {0}

conjunto que no es abierto.(7 puntos)

Cada pregunta vale 15 puntos.Tiempo: 100 minutos

14/04/15

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