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MATEMÁTICAS II Valores extremos Curso 10-11 de funciones de varias variables

ETSITGC Unidad Docente de Matemáticas 1/8

EJERCICIOS 1) Calcular el volumen de la caja rectangular más grande situada en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x+2y+3z = 6.

Solución #1: x + 2·y + 3·z - 6 = 0 #2: SOLVE(x + 2·y + 3·z - 6 = 0, z) x + 2·y - 6 #3: z = - 3 #4: x·y·z x + 2·y - 6 #5: x·y·- 3 x·y·(x + 2·y - 6) #6: - 3 d x·y·(x + 2·y - 6) #7: - dx 3 2·y·(x + y - 3) #8: - 3 d x·y·(x + 2·y - 6) #9: - dy 3 x·(x + 4·y - 6) #10: - 3 2·y·(x + y - 3) x·(x + 4·y - 6) #11: SOLVE- = 0, - = 0, [x, y] 3 3 #12: [x = 0 ∧ y = 0, x = 0 ∧ y = 3, x = 2 ∧ y = 1, x = 6 ∧ y = 0] 2 #13: z = 3 Sustituyendo en el volumen: #14: x·y·z = 2 . 1 . 2/3 = 4/3 es el volumen máximo. 2) Hallar, si existen, los valores máximo y mínimo absolutos en 2R de la función: ( ) 1y2yxxy,xf 22 −−−+−= Solución

=⇒==⇒

=−−=∂∂

=+−=∂∂

1- ,21P-1y ,

21x

02y2y f

01x2 xf

. 411 ,

21f =

−



2 x

f 2

2

−=∂∂ , 0

xy f 2

=∂∂

∂ , ⇒−=∂∂ 2

y f 2

2

0420

021 ,

21H >=

−−

=

−

Luego, ( ) 0P x

f 2

2

<∂∂ y ( ) 0PH > . Por tanto, f tiene un máximo relativo en P. ¿Es

también máximo absoluto? Completando cuadrados en la expresión de f, queda:

( ) ( ) ( )Pf41

411y

21xy,xf 2

2

=≤++−

−−=

Luego, efectivamente f posee máximo absoluto en P y vale 41 .

¿Tiene f mínimo absoluto? ( ) 1y2yy,0f 2 −−−= que tiende a ∞− cuando ∞→y . En consecuencia, no existe

mínimo absoluto de la función f. 3) Hallar los extremos absolutos de la función ( ) xy3yxy,xf 33 ++= en el círculo cerrado C de centro el origen y radio 22 . Solución Extremos relativos en el interior:

( ) ( )1,1P ,0,0P0x3y3

y f

0y3x3 xf

212

2

−−==⇒

=+=∂∂

=+=∂∂

Ambas soluciones (puntos críticos) son válidas por encontrarse en el interior del círculo de radio 22 . Extremos de f en la frontera (circunferencia de radio 22 ):

( ) ⇒−+λ−++=λ 8yxxy3yx),y,x(H 2233

( )⇒

=−+−=

=λ−+=

=λ−+=

λ

08yxH

0y2x3y3H

0x2y3x3H

22

2y

2x

( ) ( ) ( ) ( )13 ,13Py 13- ,13P ,2,2P ,2 ,2P 6543 −−−=−−=−−== .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 26Pfy 26Pf ,4Pf ,28Pf ,1Pf ,0Pf 654321 −=−=−==== .

Por tanto, el valor máximo absoluto de f en C es 28 y lo alcanza en el punto ( )2 ,2P3 = , mientras que valor mínimo absoluto de f en C es - 26 y lo alcanza en los puntos

( ) ( )13 ,13Py 13- ,13P 65 −−−=−−= . 4) Un cuerpo está limitado por la superficie 1zyx 222 =++ . La densidad del cuerpo depende de cada punto: ( ) yzxzxyzyx6z,y,xD ++++++= . Hallar los puntos del cuerpo en los cuales es máxima o mínima la densidad así como el valor de ésta en ellos.



Solución Máximos y mínimos de D en el interior del cuerpo:

−−−=⇒

=++=∂∂

=++=∂∂

=++=∂∂

21,

21,

21P

0yx1z D

0zx1y D

0zy1 xD

1 es el único punto crítico de D.

Este punto está en el interior del cuerpo por ser 143

21

21

21 222

<=

−+

−+

−

Extremos de f en la frontera (superficie esférica de radio1):

( ) ( )

( )

( )

⇒

=−++−=

=λ−++=

=λ−++==λ−++=

⇒−++λ−++++++

=−++λ−=λ

λ

01zyxH

0z2yx1H

0y2zx1H0x2zy1H

1zyxyzxzxyzyx6

1zyxz,y,xD),z,y,x(H

222

y

y

x

222

222

( ) ( ) ,31

32,

32P,

32

32,

31P,0,0,1P,1,0,0P 5432

−−

=

−−

=−=−= , ,

=

33

33,

33P6 , ,

−−−=

33

33,

33P7 , y P(x,y,z) tal que 1zyx −=++ , 0zz)1z(yy 22 =++++ ,

que además han de cumplir la condición 1zyx 222 =++ . La densidad en uno de estos puntos es D(P) = 5, ya que:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] 5112116zyxzyx

21zyx6PD 22222 =−−+−=++−++++++=

En el resto de los puntos candidatos, la densidad vale:

( ) ( ) ( ) ( ) 5.337Pfy 8.737PD 2,...,5,i 5,PD 5.25,421PD 76i1 ≈−=≈+===== .

Por tanto, el valor máximo de la densidad en este cuerpo es 37 + y lo alcanza en el

punto

=

33,

33,

33P6 , mientras que la densidad mínima es 5 y se alcanza en los

puntos 2,...,5i ,Pi = y P(x,y,z) tal que 1zyx =++ , 0zz)1z(yy 22 =++++ , 1zyx 222 =++ .

5) Sea c la curva intersección de las dos superficies: 1zyxyx 222 =−+− , 1yx 22 =+ . Hallar los puntos de c que están más próximos al origen. Solución



Se trata de minimizar la función distancia de un punto (x, y, z) al origen (0,0,0), o bien la distancia al cuadrado:

( ) ( )( ) 2222 zyx0,0,0,z,y,xd)z,y,x(f ++== Con la condición de que el punto (x, y, z) pertenezca a la curva c, es decir, verifique las ecuaciones de las dos superficies (tenemos, entonces, dos restricciones). La función lagrangiana es:

( ) ( )1yx1zyxyxzyx),,z,y,x(H 22222222 −+µ−−−+−λ−++=µλ d #3: H(x, y, z, λ, µ) dx #4: λ·y - 2·x·(λ + µ - 1) d #5: H(x, y, z, λ, µ) dy #6: λ·x - 2·y·(λ + µ - 1) d #7: H(x, y, z, λ, µ) dz #8: 2·z·(λ + 1) d #9: H(x, y, z, λ, µ) dλ 2 2 2 #10: - x + x·y - y + z + 1 d #11: H(x, y, z, λ, µ) dµ 2 2 #12: - x - y + 1 #13: SOLVE(λ·y - 2·x·(λ + µ - 1), λ·x - 2·y·(λ + µ - 1), 2·z·(λ + 1), 2 2 2 2 2 - x + x·y - y + z + 1, - x - y + 1, [x, y, z, λ, µ]) Considerando sólo las soluciones reales, se obtiene: #15: x = 0 ∧ y = 1 ∧ z = 0 ∧ λ = 0 ∧ µ = 1, x = 0 ∧ y = -1 ∧ z = 0 ∧ λ = 0 ∧ µ = 1, x = 1 ∧ y = 0 ∧ z = 0 ∧ λ = 0 ∧ µ = 1, x = -1 ∧ y = √2 √2 √2 0 ∧ z = 0 ∧ λ = 0 ∧ µ = 1, x = ∧ y = - ∧ z = ∧ λ



2 2 2 5 √2 √2 √2 = -1 ∧ µ = , x = ∧ y = - ∧ z = - ∧ λ = -1 ∧ µ 2 2 2 2 5 √2 √2 √2 5 = , x = - ∧ y = ∧ z = ∧ λ = -1 ∧ µ = , x = 2 2 2 2 2 √2 √2 √2 5 - ∧ y = ∧ z = - ∧ λ = -1 ∧ µ = 2 2 2 2 Que corresponden a los puntos: #24: P ≔ [0, 1, 0], P ≔ [0, -1, 0], P ≔ [1, 0, 0], P ≔ [-1, 0, 0], 1 2 3 4 √2 √2 √2 √2 √2 √2 P ≔ , - , , P ≔ , - , - , 5 2 2 2 6 2 2 2 √2 √2 √2 √2 √2 √2 P := - , , , P ≔ - , , - 7 2 2 2 8 2 2 2 f(P ) = f(P ) = f(P ) = f(P ) = 1 #29: 1 2 3 4 3 f(P ) = f(P ) = f(P ) = f(P ) = --- > 1 #30: 5 6 7 8 2 La mínima distancia se alcanza en los puntos P1, P2, P3 y P4, y dicha distancia vale 1. 6) Hallar el máximo de la función ( ) y2x3y,xf += en la región

( ){ }0y ,0x/Ry,xS 2 ≥≥∈= bajo la restricción xy + x + y = 5. Solución La ecuación xy + x + y = 5 corresponde a una curva que, restringida al primer cuadrante S, constituye un conjunto cerrado y acotado del plano. Por tanto puede asegurarse que f alcanza sus valores máximo y mínimo en dicho arco de curva por ser continua en él. Función lagrangiana:

( ) ⇒−++λ−+=λ 5yxxyy2x3),y,x(H

( )

⇒

=−++−=

=λ−λ−==λ−λ−=

λ

05yxxyH

0x2H0y3H

y

x

( ) ( )4,3P ,2 ,1P 21 −−== .

Solamente el punto 1P se encuentra en la región S. Valor de f en dicho punto: ( ) 7Pf 1 = .



Parece que el valor máximo pedido fuera 7, al no obtener ningún otro resultado; sin embargo, f(0, 5) = 10 > 7 y (0, 5) cumple la condición y pertenece a S. Luego, 1P (1, 2) NO proporciona el máximo buscado. La gráfica de la restricción es:

Los puntos ( )0,5P3 = y ( )5,0P4 = están en la frontera de S y, por tanto, no tenían porqué aparecer entre los puntos críticos de la función lagrangiana; pero, son también candidatos a estudiar: ( ) 15Pf 3 = , ( ) 10Pf 4 =

Luego, el máximo de la función ( ) y2x3y,xf += en la región ( ){ }0y ,0x/Ry,xS 2 ≥≥∈= bajo la restricción xy + x + y = 5 es 15 y se alcanza en el punto ( )0,5P3 = . 7) Estudiar los valores extremos de la función x12y9x2z 23 ++= sometidos a la condición x + y = 0. Solución Función lagrangiana:

( )( )

⇒

=+−=

=λ−==λ−+=

⇒+λ−++=λ

λ

0yxH

0y18H012x6H

yxx12y9x2),y,x(H y

2x

23

( ) ( )2,2P ,1 ,1P 21 −=−= ; ( ) ( ) 4Pf ,5Pf 21 −=−= Podría pensarse que en 1P se alcanza el mínimo y en 2P el máximo de f sobre la recta

0yx =+ , pero, esto no es así ya que, sobre la recta, la función toma los valores:

( ) ( )12x9x2xx12x9x2x,xfxy0yx 223 ++=++=−⇒−=⇒=+ ( ) ( )[ ] −∞=++=−

−∞→−∞→12x9x2xlimx,xflim 2

xx

( ) ( )[ ] ∞=++=−∞→∞→

12x9x2xlimx,xflim 2

xx

Y, en consecuencia, puede afirmarse que la función no posee máximo ni mínimo sobre la recta x + y = 0. Hay que observar que la recta x + y = 0 no es un conjunto compacto (cerrado y acotado) del plano y, por tanto, aunque f es continua, no podía asegurarse que la función fuera a alcanzar valores extremos en dicha recta.

8) Usar multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de un depósito cilíndrico circular recto de volumen 8π m3 y área mínima. Solución

V = volumen, A = área, BA = área de la base, LA = área lateral x = radio de la base, y = altura

x

y



La función a minimizar es ( )y,xfxy2xAAA 2

LB =π+π=+= , con la condición V = π=⋅π=⋅ 8y xyA 2

B , es decir, 08y x 2 =− . Función lagrangiana:

( )( )

( ) ( ) π==⇒

=−−=

=λ−=

=λ−+=

⇒−λ−+=λ

λ

12Pf ;2,2P

08yxH

0xx2H

0xy2x2y2H

8yxxxy2),y,x(H2

2y

x22

¿Realmente π12 es el valor del área mínima?

Tiene sentido la pregunta, pues la hipérbola 08yx 2 =− , en su rama x > 0, y > 0, no es un conjunto compacto del plano.

Analicemos cuánto vale la función en los puntos de la hipérbola:

xx16

x8x2x

x8,xf

x8y

3

22

22

+π=π+π=

⇒=

+∞=+

+→ xx16lim

3

0x, +∞=

++∞→ x

x16lim3

x

Luego, efectivamente, π12 es el valor del área mínima.

9) Encontrar los puntos donde la función f(x, y) = x2 + y2- xy - x - y alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en el recinto:

A = ( ){ }3y x,0y ,0x/Ry,x 2 ≤+≥≥∈ . Solución

Como f es continua en A, y éste es un conjunto compacto del plano, f alcanza sus valores extremos absolutos en A. Puede alcanzarlos en el interior o en la frontera. Extremos relativos en el interior de A:

( )1,1P01xy2

y f

01yx2 xf

1 =⇒

=−−=∂∂

=−−=∂∂

es el único punto crítico de f en

el interior de A; ( ) 1Pf 1 −= . Extremos de f en la frontera (los tres lados del triángulo):

1) En el lado sobre el eje OX: ( ){ }3x0 ,0y / Ry,xL 21 ≤≤=∈=

Reduzcamos el problema al caso de una variable: Si ( ) 1Ly,x ∈ , f(x, y) = ( )xf1 = x2 – x, [ ]3,0x∈ . Se trata de buscar los extremos absolutos de esta función de una variable en el compacto [0, 3].



Puntos críticos en el interior (0, 3):

( )

=⇒=⇒=−= 0,

21P

21x01x2x'f 21 ; ( )

41Pf

21f 21 −==

En los puntos frontera { }3 ,0 : ( )0,0P3 = , ( )0,3P4 = ( ) ( ) 0Pf0f 31 == ; ( ) ( ) 6Pf3f 41 ==

2) En el lado sobre el eje OY: ( ){ }3y0 ,0x / Ry,xL 2

2 ≤≤=∈= Reduzcamos el problema al caso de una variable: Si ( ) 2Ly,x ∈ , f(x, y) = ( )yf2 = y2 – y, [ ]3,0y∈ . Procedamos como en el lado anterior.

Puntos críticos en el interior (0, 3):

( )

=⇒=⇒=−=

21,0P

21y01y2y'f 52 ; ( )

41Pf

21f 52 −==

En los puntos frontera { }3 ,0 : ( )0,0P3 = , ( )3,0P6 = ( ) ( ) 0Pf0f 32 == ; ( ) ( ) 6Pf3f 62 ==

3) En el lado ( ){ }3yx,0y,0x / Ry,xL 2

3 =+≥≥∈= Podría analizarse como en los dos lados anteriores, reduciendo el problema al caso de una variable, o bien, utilizando multiplicadores de Lagrange. Emplearemos este último método. Función lagrangiana:

( ) ⇒−+λ−−−−+=λ 3yxyxxyyx),y,x(H 22 ( )

⇒

=−+−=

=λ−−−==λ−−−=

λ

03yxH

01xy2H01yx2H

y

x

=

23,

23P7 ; ( )

43Pf 7 −= .

Los puntos frontera de este lado ya están considerados antes: ( )0,3P4 = , ( )3,0P6 = .

Por tanto, el valor máximo absoluto de f en A es máx 643 ,6 ,0 ,

41 ,1 =

−−− y lo

alcanza en dos puntos de la frontera del recinto ( )0,3P4 = y ( )3,0P6 = , mientras que el

valor mínimo absoluto de f en A es mín 143 ,6 ,0 ,

41 ,1 −=

−−− y lo alcanza en el

punto ( )1,1P1 = del interior del recinto.

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