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  • Representacin grfica de curvas en forma paramtrica

    Unidad Docente de Matemticas de la E.T.S.I.T.G.C.

    1

    1.- Representar la curva dada por

    x a(t sen t)y a(1 cos t)

    , siendo a > 0.

    2.- Emparejar cada curva con su grfica

    a)2

    3

    x ty t

    = = b)

    2x tty2

    = = c)

    x t senty 1 cos t = - = -

    d)t

    t

    x e cos ty e sent

    = = e)

    x senty cos t = =

    ) ) ) ) )

    3.- Realizar el estudio analtico y representar grficamente la curva

    2x cos t sent

    y sen t

    4.- Realizar el estudio analtico y representar grficamente la curva

    txt 3 ty

    (t 2)(t 3)

    5.- Realizar el estudio analtico y representar grficamente la curva

  • Representacin grfica de curvas en forma paramtrica

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    x 2 sen(t) - sen (2t)y 2 cos(t)- cos 2t

    6.- Realizar el estudio analtico y representar grficamente la curva

    3

    3

    x a cos ty a sen t

    donde a>0.

    7.- Se considera la curva de ecuacin:

    2t 1x(t)t

    4t 2y(t)t(t 2)

    . Estudiar:

    a) Simetras de la curva. b) Asntotas. c) Puntos crticos, puntos de tangencia horizontal y vertical, puntos singulares. d) Crecimiento y decrecimiento de la curva por ramas. e) Puntos de cortes con los ejes coordenados. f) Dibujo aproximado de la curva.

    8.- Hacer un estudio y representar grficamente la curva:

    x t sen 2ty t cos 3t

    9.- Hacer el estudio de la siguiente curva y representarla grficamente

    x sen(2t)ty tg2

    10.- De la curva dada por sus ecuaciones paramtricas:

    cos(t)

    cos(t)sen(t)

    x(t) e

    y(t) e

    Obtener: 1) Campo de variacin de t 2) Periodicidad 3) Simetras 4) Asntotas 5) Puntos crticos

    AdministradorNotaTodas las palabras en color azul estn recogidas en el Vademcum.

  • Representacin grfica de curvas en forma paramtrica

    Unidad Docente de Matemticas de la E.T.S.I.T.G.C.

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    6) Estudiar el crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos relativos 7) Representar aproximadamente la curva

    11.- Dada la curva

    3

    2

    2

    tx(t)t 3t 2 ty(t)

    t 1

    , se pide estudiar:

    a) Dominio b) Simetras c) Corte con los ejes d) Asntotas e) Puntos crticos. Puntos de tangencia horizontal y vertical. Puntos

    singulares. f) Estudio del crecimiento por ramas g) Dibujo de la curva indicando cada rama.

    12.- Dada la curva de ecuaciones paramtricas

    2

    3

    x(t) t 2y(t) t 2t

    , se pide:

    a) Campo de variacin de t. b) Estudio de simetras. c) Puntos crticos. d) Puntos de tangencia horizontal y vertical. e) Estudio del crecimiento por ramas. f) Calcular y(x) (derivada segunda de y respecto de x). g) Dibujo aproximado de la curva indicando las coordenadas de los puntos de corte con los ejes coordenados.

    13.- Dada la curva

    2

    2

    2

    tx(t)t 1ty(t)

    t 1

    , se pide:

    a) Dominio. b) Asntotas. c) Puntos crticos. Puntos de tangencia horizontal y vertical. d) Estudio del crecimiento por ramas. e) Corte con los ejes de coordenadas. f) Dibujo de la curva indicando cada rama.

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    14.- Dada la curva que tiene como ecuaciones paramtricas

    31 tx(t)

    tty(t)

    1 t

    , hallar:

    a) Campo de variacin de t. b) Asntotas c) Puntos crticos. Puntos de tangencia horizontal, vertical y singulares. d) Estudio por ramas del crecimiento y decrecimiento.

    15.- Dada la curva

    4 2

    62

    x(t) t240 t (3t 10t 3) y(t)

    t 1, se pide estudiar:

    a) Simetra b) Asntotas c) Puntos crticos. Puntos de tangencia horizontal y vertical. Puntos

    singulares d) Estudio del crecimiento por ramas.

    16.- Dada la curva de ecuaciones paramtricas

    3

    2

    3

    3tx1 t3ty

    1 t

    , estudiar:

    a) Asntotas. b) Puntos crticos. c) Puntos de tangencia horizontal y vertical. d) Cuntas ramas tiene la curva? Hacer un dibujo aproximado de la misma marcando claramente cada una de

    sus ramas.

    17.- Dada la curva 21 (t 1)x(t), y(t) ,(t 2)(t 1) t 2 a) Hallar la ecuacin de su asntota oblicua b) Hallar los puntos de tangencia horizontal y vertical

    18.- Dada la curva de ecuaciones paramtricas

    2

    3

    tx t 124y t 2t t3

    .

    Se pide estudiar:

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    a) Campo de variacin de t b) Simetras c) Periodicidad d) Puntos crticos. Puntos de tangencia horizontal y vertical e) Estudio del crecimiento y decrecimiento por ramas f) Dibujo aproximado de la curva indicando cada rama.

    19.- Dada la curva de ecuaciones paramtricas

    2

    2

    t t 1xt 1

    t 1y2 t

    , se pide:

    a) Asntotas. b) Puntos crticos. c) Puntos de tangencia horizontal y vertical. d) Dibujo aproximado de la curva indicando las coordenadas de los puntos

    crticos.

    20.- Sea la curva t

    x(t) ty(t) t e

    Se pide: a) Dominio de variacin de t b) Continuidad c) Simetras d) Interseccin con los ejes coordenados e) Puntos crticos. Crecimiento y decrecimiento f) Mximos, mnimos y puntos de inflexin g) Asntotas

    21.- Se considera la curva de ecuacin

    3x t, t - ,

    2 2y sen(3t). Estudiar:

    a.- Simetras de la curva. b.- Puntos crticos, puntos de tangencia horizontal y vertical, puntos singulares. c.- Crecimiento y decrecimiento de la curva por ramas. d.- Puntos de corte con los ejes de coordenadas. e.- Dibujo aproximado de la curva, en el que se indiquen los puntos obtenidos en los apartados anteriores.

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    22.- Representar la curva dada por

    2

    2

    3

    2

    txt 1ty

    t 1

    23.- Hacer un estudio completo y representar grficamente la curva:

    ( )2

    1xt t 1ty

    t 1

    = - = -

    24.- Una partcula se mueve en un plano vertical xy siguiendo la trayectoria de la

    curva:

    x t cos 2tty t tg2

    , solamente en la regin y0. Se pide:

    a) Posicin inicial 0 0x ,y de la partcula en el instante t = 0. b) Periodicidad de la curva. Intervalo de tiempo necesario para generar la

    trayectoria completa. c) Clculo de asntotas. Es una trayectoria finita? d) Calcular los puntos crticos, puntos de tangencia horizontal y vertical de

    la curva. e) Hacer un estudio del crecimiento y decrecimiento por ramas.Cul es la

    posicin (x, y) ms baja que alcanza la partcula? Cul la ms alta?

    25.- Una partcula se mueve en un plano vertical xy siguiendo la trayectoria de la

    curva:

    tx t tg2

    y t cos 2t, solamente en la regin y0. Se pide:

    a) Posicin inicial 0 0x ,y de la partcula en el instante t = 0. b) Periodicidad de la curva. Intervalo de tiempo necesario para generar la

    trayectoria completa. c) Clculo de asntotas. Es una trayectoria finita? d) Calcular los puntos crticos, puntos de tangencia horizontal y vertical de

    la curva. e) Hacer un estudio del crecimiento y decrecimiento por ramas. Cul es la posicin (x, y) ms baja que alcanza la partcula? Cul la ms alta?

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    26.- Como parte de un trazado de un circuito de entrenamiento de frmula 1, se

    est considerando la grfica de la curva:

    x t sen 2tty t cos2

    , se pide:

    a) Campo de variacin de t b) Simetras de la curva c) Periodicidad d) Dar un intervalo de longitud mnima donde debe variar t para obtener la

    grfica completa de la curva. Si no se quiere (lgico!) que en el circuito haya cruces, indicar razonadamente un intervalo al que haya que limitarse, dentro del hallado anteriormente.

    e) Asntotas f) En el intervalo [0, p ]: puntos crticos, puntos de tangencia horizontal y

    vertical. g) En el intervalo [0, p ]: ramas de la curva y estudio del crecimiento por

    ramas. h) Dibujo aproximado de la curva completa. A la vista del mismo, cuntas

    ramas tiene en total?

    27.- Dada la curva

    2

    2

    txt 1

    tyt 1

    , se pide:

    a) Hallar las asntotas b) Obtener los puntos de tangencia vertical y horizontal c) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la curva por ramas.

    28.- Dada la curva 2 42 2t 3t 2 tx(t), y(t) ,1 t 1 t

    , se pide:

    a) Simetras de la curva. b) Ecuaciones de las asntotas oblicuas. c) Puntos de tangencia horizontal, vertical y puntos singulares.

    29.- Dada la curva de ecuaciones paramtricas

    tx(t)t 1t 1y(t)

    t(t 1)

    , se pide:

    a) Hallar el Campo de variacin del parmetro t.

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    b) Estudiar la existencia de asntotas y en su caso calcularlas.

    c) Hallar los puntos crticos.

    d) Estudiar los puntos de tangencia horizontal, vertical y singulares.

    30.- Dada la curva:

    21x t

    t 1y t t 1

    . Se pide:

    a) Dominio b) Simetras c) Asntotas d) Puntos crticos, singulares y de tangencia vertical y horizontal e) Estudio del crecimiento y decrecimiento por ramas f) Corte con los ejes y con las asntotas

    31.- Indicar el perodo de la curva

    x(t) sen(3t)y(t) cos(2t)

    32.- Dada la curva:

    2

    2

    tx t t 1

    ty t t 1

    . Se pide: