SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, …

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

Ingeniería civil

SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, ROTACIONES, DEFLEXIONES Y DEFORMACIONES DE ESTRUCTURAS EN 2D MEDIANTE ANÀLISIS MATRICIAL DE RIGIDEZ (DIRECT STIFFNESS METHOD) “DEMAT”.

Universidad Distrital Francisco José de Caldas 07/04/2017


Ingeniería civil

1. SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, ROTACIONES, DEFLEXIONES Y

DEFORMACIONES DE ESTRUCTURAS EN 2D MEDIANTE ANÀLISIS MATRICIAL DE RIGIDEZ

(DIRECT STIFFNESS METHOD) “DEMAT”.

2. CRISTIAN FELIPE GONZÀLEZ COBOS ESTUDIANTE INGENIERIA CIVÌL

C.C.1018447889 de Bogotá Código: 20141579063

Tel: 796 32 30 Cel.: 319 634 79 94

Correo Electrónico: qbex32 @hotmail.com

INICIO DE CARRERA 2014-1 TERMINACIÓN DE MATERIAS 2016-2

JUAN CARLOS MANRIQUE ÀLVAREZ ESTUDIANTE INGENIERIA CIVÌL

C.C.1032424676 de Bogotá Código: 20141579032

Tel: 760 88 93 Cel.: 310 313 52 79

Correo Electrónico: [email protected]

INICIO DE CARRERA 2014-1 TERMINACIÓN DE MATERIAS 2016-1

ENTIDAD: UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÈ DE CALDAS

TIPO DE ENTIDAD: UNIVERSIDAD PÙBLICA

PROYECTO CURRICULAR: INGENIERIA CIVÌL

TIPO DE INVESTIGACIÒN: TEÒRICA

LINEA DE INVESTIGACIÒN: ESTRUCTURAS

PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL


Ingeniería civil

SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, ROTACIONES, DEFLEXIONES Y



CRISTIAN FELIPE GONZÀLEZ COBOS

20141579063

JUAN CARLOS MANRIQUE ÀLVAREZ

20141579032

MONOGRAFÍA PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL


FACULTAD TECNOLÓGICA

INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ D.C.

2017


Ingeniería civil

SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, ROTACIONES, DEFLEXIONES Y



CRISTIAN FELIPE GONZÀLEZ COBOS

20141579063

JUAN CARLOS MANRIQUE ÀLVAREZ

20141579032

MONOGRAFÍA PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL

TUTOR: ING. PAULO MARCELO LOPEZ P.


FACULTAD TECNOLÓGICA

INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ D.C.

2017


Ingeniería civil

Nota de aceptación:

____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________

____________________________ Firma del jurado...

____________________________ Firma del jurado……….

____________________________ Firma del jurado………

Bogotá D.C., ______ de ____________ del 2017.


Ingeniería civil

DEDICATORIA

A nuestros padres, por la formación, educación y sabiduría que nos han transmito desde la

niñez, para formarnos como personas integrales y de servicio a la sociedad.

A nuestros hermanos y amigos, por el apoyo incondicional que nos ha permitido afrontar

los problemas y circunstancias desfavorables a lo largo de nuestro camino.


Ingeniería civil

AGRADECIMIENTOS

Al ingeniero Paulo Marcelo López por darnos la iniciativa y seguimiento del proyecto. Sin su

colaboración no hubiera sido posible desarrollar esta idea.

Al ingeniero Sebastián Sánchez por brindarnos apoyo en situaciones complejas que

definieron el rumbo del proyecto.

A nuestros profesores, quienes con su profesionalismo y entrega nos otorgaron los

conocimientos para poder desarrollar este proyecto.


Ingeniería civil

Contenido INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 14

1. IDENTIFICACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA .................................................................... 15

2. JUSTIFICACIÒN .......................................................................................................................... 15

3. OBJETIVOS ................................................................................................................................. 16

3.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. 16

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................................................... 16

4. RESTRICCIONES DE USO ............................................................................................................ 17

5. MARCO DE REFERENCIA ............................................................................................................ 18

5.1 MARCO DE ANTECEDENTES .................................................................................................... 18

5.2 MARCO CONCEPTUAL ............................................................................................................. 24

5.2.1 Estructura ......................................................................................................................... 24

5.2.2 Análisis estructural ........................................................................................................... 24

5.2.3 Elementos estructurales .................................................................................................. 25

5.2.4 Tipos de estructuras ......................................................................................................... 25

5.2.5 Apoyos.............................................................................................................................. 26

5.2.6 Cargas ............................................................................................................................... 27

5.2.7 Método análisis matricial ................................................................................................. 27

5.3 MARCO REFERENCIAL ............................................................................................................. 29

5.3.1 Principios fundamentales del análisis matricial ............................................................... 29

5.3.2 Definición geométrica de la estructura ........................................................................... 30

5.3.3 Sistema de coordenadas .................................................................................................. 31

5.3.4 Grados de libertad ........................................................................................................... 31

5.3.5 Matriz de fuerzas internas ............................................................................................... 32

5.3.6 Matriz global de rigidez .................................................................................................... 32

5.3.7 La relación elemental de la rigidez .................................................................................. 33

6. DISEÑO METODOLÒGICO.......................................................................................................... 35

6.1 Tipo de investigación ........................................................................................................ 35

6.2 Población ........................................................................................................................... 35

6.3 Muestra ............................................................................................................................. 35


Ingeniería civil

6.4 Arquitectura del Software................................................................................................. 36

6.5 Casos de Uso ..................................................................................................................... 37

Funcionamiento General ............................................................................................................... 37

Descripción ...................................................................................................................................... 37

Normal .............................................................................................................................................. 37

Excepciones .................................................................................................................................... 38

Consolidación, Matriz inversa y calculo desplazamientos ....................................................... 39

Descripción ...................................................................................................................................... 39

Normal .............................................................................................................................................. 39

Excepciones .................................................................................................................................... 39

6.6 Diagrama de secuencia ..................................................................................................... 42

7. RESULTADOS ............................................................................................................................. 43

7.1 Vigas (programa dvigas) .................................................................................................... 51

7.1.1 formulario de entrada del programa de vigas ................................................................. 51

7.1.2 formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento .................................... 52

7.1.3 formulario del proceso de consolidación......................................................................... 59

7.1.4 formulario cálculo de desplazamientos desconocidos .................................................... 61

7.1.5 formulario graficas de cada elemento de la viga ............................................................. 63

7.2 Cerchas (programa dcerchas) ................................................................................................. 67

7.2.1 formulario de entrada del programa de cerchas ............................................................. 67

7.2.2 formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento de la cercha ............... 68



7.2.5 formulario del resultado de las reacciones y desplazamientos desconocidos en la cercha

.................................................................................................................................................. 77

7.3 Pórticos (programa dpinclinado) ............................................................................................ 79

7.3.1 formulario de entrada del programa de pórticos ............................................................ 79

7.3.2 formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento del pórtico ................. 80

7.3.3 formulario datos entrada de fuerzas desconocidas para la consolidación del pórtico ... 88

7.2.4 formulario del proceso de consolidación de pórticos ..................................................... 90

7.3.5 formulario del resultado de las reacciones y desplazamientos desconocidos en el pórtico

.................................................................................................................................................. 91


Ingeniería civil

7.4 Ejemplos de los programas de vigas, cerchas y pórticos. ....................................................... 96

8. CONCLUSIONES ....................................................................................................................... 113

9. RECOMENDACIONES ............................................................................................................... 114

10. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 115

11. ANEXOS ............................................................................................................................... 116

11.1 MAGNETICO DEEMAT ........................................................... ¡Error! Marcador no definido.

11.2 CODIGO FUENTE DEL SISTEMA ............................................ ¡Error! Marcador no definido.


Ingeniería civil

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Módulos generales ............................................................................................................ 36

Figura 2. Relaciones del sistema ...................................................................................................... 37

Figura 3. Caso de uso Funcionamiento General del sistema ........................................................... 40

Figura 4. Consolidación, Matriz inversa y calculo desplazamientos ................................................ 41

Figura 5. Diagrama de secuencia ..................................................................................................... 42

Figura 6. Formulario de entrada y recomendaciones de uso .......................................................... 51

Figura 7. Formulario de datos de entrada para la ecuación general matricial de cada elemento. . 52

Figura 8. Elemento prismático de viga sometido a flexión y corte .................................................. 53

Figura 9. Planteamiento matricial del elemento viga. ..................................................................... 53

Figura 10. Significado físico de los términos de la matriz de rigidez de un elemento prismático

sometido a flexión y corte. Donde los desplazamientos nodales no indicados explícitamente son

cero. .................................................................................................................................................. 54

Figura 11. Primer listado de fuerzas de empotramiento ................................................................. 55

Figura 12. Segundo listado de fuerzas de empotramiento ............................................................. 55

Figura 13. Tercer listado de fuerzas de empotramiento ................................................................. 56

Figura 14. Ecuación general matricial de cada elemento ................................................................ 56

Figura 15. Matriz de rigidez del elemento viga ................................................................................ 57

Figura 16. Formulario de consolidación ........................................................................................... 59

Figura 17. Matriz de consolidación de las matrices de rigidez de cada elemento .......................... 60

Figura 18. Formulario calculo desplazamientos y reacciones desconocidas ................................... 61

Figura 19.Inversa de la matriz de consolidación. ............................................................................. 62

Figura 20. Formulario grafica de cada elemento ............................................................................. 63

Figura 21. Grafica de cortante ......................................................................................................... 64

Figura 22. Diagrama de momento ................................................................................................... 64

Figura 235. Formulario de entrada y recomendaciones de uso ...................................................... 67

Figura 24. Formulario de matrices de rigidez en cerchas ................................................................ 68

Figura 25. Orientación arbitraria en el plano, de un elemento de cerca ........................................ 68

Figura 26. Matriz rigidez en coordenadas locales ............................................................................ 70

Figura 27. Matriz de transformación del elemento ......................................................................... 71

Figura 28. Matriz de rigidez en coordenadas generales .................................................................. 73

Figura 29. Formulario datos de entrada de desplazamientos desconocidos .................................. 74

Figura 30. Formulario de consolidación de cerchas ......................................................................... 76

Figura 31. Matriz de consolidación de cerchas ................................................................................ 76

Figura 32. Formulario del resultado de fuerzas y desplazamientos desconocidos ......................... 77

Figura 33. Formulario de entrada programa pórticos recomendaciones y uso .............................. 79

Figura 34. Formularios matrices de rigidez en elementos de pórticos ............................................ 80

Figura 35. Elemento de pórtico plano orientado arbitrariamente .................................................. 81

Figura 36. Primer listado de fuerzas de empotramiento para elemento del pórtico ...................... 83

Figura 37. Segundo listado de fuerzas de empotramiento para el elemento del pórtico .............. 83

Figura 38. Tercer listado de fuerzas de empotramiento para el elemento del pórtico ................... 84


Ingeniería civil

Figura 39. Fuerzas de fijación en coordenadas locales .................................................................... 84

Figura 40. Matriz de transformación del elemento del pórtico ....................................................... 85

Figura 41. Fuerzas de fijación en coordenadas generales ............................................................... 85

Figura 42. Matriz de rigidez local y desplazamientos locales del elemento .................................... 86

Figura 43. Matriz de rigidez local del elemento de pórtico ............................................................. 86

Figura 44. Matriz de rigidez general y desplazamientos desconocidos en coordenadas generales 87

Figura 45. Datos de entrada de fuerzas desconocidas para la consolidación ................................. 88

Figura 46. Formulario de consolidación de pórticos ........................................................................ 90

Figura 47. Matriz de consolidación del pórtico ................................................................................ 90

Figura 48. Formulario de desplazamientos y fuerzas desconocidas en el pórtico .......................... 91

Figura 49. Formulario graficas de cada elemento del pórtico ......................................................... 93

Figura 50. Diagrama de cortante en el elemento pórtico ................................................................ 93

Figura 51. Diagrama de momento para el elemento del pórtico .................................................... 94

Figura 52. Ejercicio viga con asentamiento diferencial .................................................................... 96

Figura 53. Formulario cuadro de entrada, Ejercicio viga con asentamiento diferencial ................. 97

Figura 54. Formulario de los datos de entrada del primer elemento del ejercicio de viga, con

asentamiento diferencial .................................................................................................................. 97

Figura 55. Formulario de los datos de entrada del segundo elemento del ejercicio de viga, con


Figura 56. Formulario de consolidación 1 del ejercicio de viga con asentamiento diferencial ....... 98

Figura 57. Formulario del cálculo de los desplazamientos desconocidos del ejercicio de viga con


Figura 58. Formulario del primer elemento para graficar, en el ejercicio de viga con asentamiento

diferencial ....................................................................................................................................... 100

Figura 59. Formulario del segundo elemento para graficar, en el ejercicio de viga con

asentamiento diferencial ................................................................................................................ 100

Figura 60. Formulario de grafica del primer elemento de la viga, en el ejercicio de viga con

asentamiento diferencial ................................................................................................................ 101

Figura 61. Ejercicio de viga ............................................................................................................. 101

Figura 62. Formulario inicio del programa y recomendaciones de uso en ejercicio de viga ......... 102

Figura 63. Formulario del primer elemento en el ejercicio de viga ............................................... 102

Figura 64. Formulario del segundo elemento en el ejercicio de viga ............................................ 103

Figura 65. Formulario de consolidación del ejercicio de viga. ....................................................... 103

Figura 66. Formulario del cálculo de los desplazamientos desconocidos en el ejercicio de viga. 104

Figura 67. Formulario del primer elemento para graficar, en el ejercicio de viga. ........................ 104

Figura 68. Formulario de grafica del elemento de la viga .............................................................. 105

Figura 69. Ejercicio de pórtico inclinado ........................................................................................ 105

Figura 70. Formulario inicio del programa y recomendaciones de uso en ejercicio de pórtico

inclinado .......................................................................................................................................... 106

Figura 71. Formulario del primer elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a

matrices de transformación. ........................................................................................................... 106


Ingeniería civil


las matrices de rigidez local y general. .......................................................................................... 107

Figura 73. Formulario del segundo elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a

matrices de transformación. ........................................................................................................... 107


las matrices de rigidez local y general. .......................................................................................... 108

Figura 75. Formulario de entrada de los desplazamientos conocidos y desconocidos en el ejercicio

de pórtico inclinado ........................................................................................................................ 108

Figura 76. Formulario de consolidación en el ejercicio de pórtico inclinado ................................ 109

Figura 77. Formulario de desplazamientos y fuerzas desconocidas en el ejercicio de pórtico

inclinado .......................................................................................................................................... 109

Figura 78. Formulario matriz inversa de la matriz de consolidación en el ejercicio de pórtico

inclinado .......................................................................................................................................... 110


matrices de transformación y obteniendo el valor de los desplazamientos y fuerzas desconocidas

........................................................................................................................................................ 110


las matrices de rigidez local y general y la obtención de los desplazamientos y fuerzas conocidas

........................................................................................................................................................ 111


matrices de transformación y obteniendo el valor de los desplazamientos y fuerzas desconocidas

........................................................................................................................................................ 111


las matrices de rigidez local y general y la obtención de los desplazamientos y fuerzas conocidas

........................................................................................................................................................ 112

Figura 83. Formulario de grafica de los elementos de pórtico inclinado ...................................... 112


Ingeniería civil

INTRODUCCIÓN

En el presente proyecto se muestra una trazabilidad de la Construcción de una herramienta

complementaria para el curso de análisis de estructuras II que permite sistematizar,

visualizar e interpretar el método matricial de rigidez de estructuras. El software facilita la

evaluación del comportamiento estructural de vigas, cerchas y pórticos en 2D mediante una

plataforma de visual Basic, de acuerdo a las configuraciones, condiciones y restricciones

realizadas por el usuario. Por consiguiente, apoya al desarrollo de criterios de diseño gracias

a su versatilidad mostrando y evaluando paso a paso el cálculo realizado del elemento

analizado.

Se adjuntan definiciones teóricas básicas del método matricial de rigideces que involucren

la aplicabilidad del sistema. Adicionalmente, como soporte al desarrollo realizado se

establece la operabilidad, alcance y posibles ampliaciones que puede surgir en el programa.


Ingeniería civil

1. IDENTIFICACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

Existen diferentes formas de interpretar el comportamiento estructural de un sistema

mediante el análisis Matricial de rigideces. Desarrollándose constantemente aplicaciones

que faciliten su entendimiento. No obstante, realizar evaluaciones de resultados del

método matricial sin un software de apoyo se convierte en una tarea dispendiosa debido

a la cantidad de operaciones matemáticas que se deben realizar simultáneamente. En

consecuencia, surge la necesidad adicionar una herramienta complementaria que apoye el

proceso y permita hacer revisiones de manera práctica.

2. JUSTIFICACIÒN

Actualmente la mayoría aplicaciones destinadas al análisis estructural se fundamentan en

el método directo de la rigidez (direct stiffness method DSM), presentando un avanzado

desarrollo en la consolidación de información y en la solución de la ecuación matricial

producto del sistema evaluado. sin embargo, no muestran la funcionalidad conceptual del

método de análisis, Dificultando la interpretación de resultados debido a su complejidad,

es decir, la capacidad de criterio de diseño se ve afectado cuando el usuario no posee

experiencia.

Por tal motivo, surge la necesidad de generar un complemento a dichas aplicaciones que

evidencie un paso a paso del cálculo realizado. En donde al momento de elaborar controles

del sistema no se requiera efectuar extensas modificaciones y se trabaje en conjunto con el

software principal de cálculo.

La aplicación muestra de manera específica el procedimiento del análisis de las rigideces,

mostrando la matriz de consolidación en la cual se fundamenta el desarrollo de la

estructura, además del análisis detallado por elemento estructural, adaptándose a

cualquier necesidad conceptual que se requiera como apoyo al software general utilizado.


Ingeniería civil

3. OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL

Desarrollar una herramienta de apoyo para el curso de análisis de estructuras II que permita

sistematizar, visualizar e interpretar el método matricial de la rigidez (direct stiffness

method DSM), en vigas, cerchas y pórticos en 2D. Utilizando una interface de usuario

Microsoft Visual Basic y Microsoft Excel.

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Mostrar al usuario la ecuación matricial ensamblada del elemento estructural

mostrando las fuerzas y los desplazamientos obtenidos.

Construir herramientas programables que se adapten a las configuraciones,

condiciones y restricciones realizadas por el usuario para cualquier elemento

estructural.

Evidenciar la trazabilidad del procedimiento solicitado al software de manera

sistemática y Documentada. Con el fin de que se cree un historial del

procedimiento efectuado.

Garantizar una plataforma amigable con el usuario, en donde se muestre de

manera gráfica el resultado del cálculo obtenido.


Ingeniería civil

4. RESTRICCIONES DE USO

EL Desarrollo “ DEMAT” contempla la sistematización y visualización del método matricial

de rigidez (direct stiffness method DSM) en vigas, cerchas y pórticos en 2D utilizando una

interface de usuario Microsoft Visual Basic y Microsoft Excel.

En cuanto a cerchas, Pórticos y vigas, el programa se basa en el método matricial del cálculo

de desplazamientos desconocidos, para después poder obtener las reacciones

desconocidas. Desarrollar grandes estructuras implica separar procesos de cálculo y luego

consolidarlos.

El software no permite guardar avances de procedimientos realizados, trabajar cálculos

matriciales de cerchas, pórticos y vigas simultáneamente, exportar algún tipo de resultado

a otro formato, graficar la deformación general de la estructura, graficar unificadamente el

cortante y momento de las estructuras calculadas, desarrollar más de 30 elementos en

cherchas, 10 en vigas y pórticos.


Ingeniería civil

5. MARCO DE REFERENCIA

5.1 MARCO DE ANTECEDENTES

El análisis estructural tuvo una evolución a lo largo de los miles de años, donde en la

antigüedad se hicieron construcciones usando marcos, vigas, arcos, y armaduras sin tener

un método de análisis estructural. Se hicieron demasiadas construcciones exitosas a lo largo

del tiempo como lo fueron catedrales, grandes puentes, pirámides, barcos de vela entre

otros, sin contar con una teoría real del análisis de una estructura.

Muchas construcciones de egipcios y otros antiguos, contaban con reglas empíricas

obtenidas de la experiencia, para así poder determinar los tamaños de los elementos

estructurales. Muchos consideran al egipcio Imhotep el primer ingeniero estructural del

mundo; quien construyo alrededor del año 3000 a.C., la gran pirámide escalonada de

Sakkara.

Aunque los griegos construyeron algunas magnificas estructuras, sus contribuciones a la teoría

estructural fueron pocas y muy espaciadas. Pitágoras (c. 582-500 a.C.), de quien se dice que creo la

palabra matemáticas, es famoso por el teorema geométrico que lleva su nombre. Este teorema en

realidad ya era conocido por los sumerios hacia 2000 a.C. Posteriormente, Arquímedes (257-212

a.C.) desarrollo algunos principios fundamentales de la estática e introdujo el término centro de

gravedad1.

Los romanos al igual que los griegos fueron constructores de grandes proyectos, donde en

ambos casos tenían pocos conocimientos del análisis de una estructura. Lo más probable es

que sus proyectos fueron enfocados desde un punto de vista más artístico, y usando reglas

empíricas basadas en sus experiencias. Solamente sus obras más exitosas han prevalecido

con el tiempo.

Una de las más grandes y notables contribuciones al análisis estructural, así como a todos los otros

campos científicos, fue el desarrollo de numeración hindú-arábigo. Matemáticos hindúes

desconocidos crearon en los siglos II y III a.C. un sistema de numeración del uno al nueve. Alrededor

del año 600 d.C., los hindúes inventaron el símbolo sunya (que significa vacío), que ahora llamamos

1 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 4-5. ISBN 970-15-1118-2.


Ingeniería civil

cero. Sin embargo, los indígenas mayas de la américa central ya habían desarrollado el concepto de

cero aproximadamente 300 años antes2.

En el siglo VIII d.C. los árabes tomaron ese sistema de numeración de los escritos científicos de los

hindúes. En el siguiente siglo, un matemático persa escribió un libro que incluyo al sistema. Su libro

fue traducido al latín algunos años después y llevado a Europa. Alrededor del año 1000 d.C. el papa

silvestre II decreto que los números hindú-arábigos deberían ser usados por los cristianos3.

Para poder desarrollar el concepto de análisis estructural, fue necesario iniciar con la ciencia

de la resistencia de los materiales. El Físico Francés Charles Augustin de Coulomb (1736-

1806), y el ingeniero matemático también francés, Claude Louis Marie Henri Navier (1785-

1836), dieron las bases de la ciencia de la mecánica de materiales. Publicando un libro en

1826, donde se analizaban las resistencias y deflexiones de vigas, arcos, columnas, arcos

colgantes y algunas otras estructuras.

El arquitecto italiana Andrea Palladio (1508-1580) uso por primera vez las armaduras

modernas, reviviendo o usando alguna de las estructuras antiguas romanas, como las reglas

empíricas para poderlas dimensionar. En 1847 se introdujo el primer método racional en el

análisis de estructuras, por Squire Whipple, siendo una gran contribución a la teoría de las

estructuras. Donde se puede señalar que este aporte dio el principio del análisis estructural

moderno.

Varios métodos excelentes para calcular deflexiones fueron publicados entre 1860 y 1870, y estos

aceleraron el desarrollo del análisis estructural. Entre los más importantes investigadores y sus

logros se cuentan: James Clerk Maxwell (1831-1879), de Escocia, por su teorema de las deflexiones

reciprocas publicado en 1864; Otto Mohr (1835-1918), de Alemania, por su método de los pesos

elásticos, presentado en 1870; Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), de Italia, Por su teorema del

trabajo mínimo en 1873; y Charles E. Greene (1842-1903), de Estados Unidos, por sus teoremas de

área-momento, publicado en 18734.

Con el uso de los ferrocarriles fue necesario la construcción de grandes puentes, los cuales

soportaban cargas móviles muy pesadas. Donde se adquirió gran importancia el cálculo de

esfuerzos y deformaciones. Ya que anteriormente no se tenía la necesidad de realizar

cálculos de estructuras estáticamente indeterminadas, pero debido a la construcción de

puentes para ferrocarriles dio origen a esta necesidad.

2NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 5. ISBN 970-15-1118-2. 3 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 5. ISBN 970-15-1118-2. 4 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 5. ISBN 970-15-1118-2.


Ingeniería civil

Un método para analizar vigas estáticamente indeterminadas (el teorema de los tres momentos)

fue dado a conocer en 1857 por el francés B.P.E. Clapeyron (1799-1864) y se usó para el análisis de

muchos puentes de ferrocarril. En las décadas que siguieron se hicieron otros muchos avances en el

análisis de estructuras indeterminadas, basados en los recientes métodos desarrollados sobre el

cálculo de deflexiones.

En Estados Unidos, dos grandes desarrollos en el análisis de estructuras estáticamente

indeterminadas fueron hechos por G.A. Maney (1888-1947) y Hardy Cross (1885-1959). En 1915

Maney presento el método pendiente-deflexión, mientras que Cross introdujo la distribución de

momentos en 19245.

A finales del siglo XIX eran muy usados los métodos clásicos de análisis estructural, pero

eran muy laboriosos sus cálculos, al ser usados en casos prácticos. Por lo cual presentaba

un gran defecto. Surgieron generaciones de ingenieros que trataron de reducir los cálculos,

donde surgieron métodos como giro deflexión, Cross, entre otros, los cuales eran usados

en determinado tipo de estructuras; y conduciendo a ecuaciones lineales, las cuales

resultaban difícil de resolver de forma manual.

En la primera mitad del siglo XX, muchos problemas estructurales complejos fueron expresados en

forma matemática, pero no se disponía entonces de computadoras para resolver prácticamente las

ecuaciones resultantes. Esta situación continúo en los años 40, cuando gran parte para analizar las

estructuras de aviones se realizó con matrices. Por fortuna, el desarrollo de las computadoras

digitales hizo práctico el uso de las ecuaciones para esas y para muchos otros tipos de estructuras,

incluido los edificios de gran altura6.

“En 1954, Turner, Clough, Martin y Topp presentaron el Método de los Desplazamientos, también

conocido como Método de las Rigideces pero no fue utilizado por cuanto en esa época el desarrollo

informático era incipiente. La teoría general por ellos formulada dio origen a una serie de algoritmos

para resolver estructuras con una simple regla de cálculo que era lo que se disponía por aquella

época En los años 1970 y 1980 se contaba con computadoras que ocupaban un gran espacio pero con muy

poca capacidad de memoria en los cuales cada línea de instrucción se perforaba en una tarjeta de

80 caracteres, de tal manera que un simple programa era escrito en un paquete de unas 50 o 100

tarjetas las mismas que debían ser entregadas al operador del sistema para su procesamiento. Con

ésta limitación no quedaba otra alternativa que usar algoritmos aproximados para resolver las

5 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 6. ISBN 970-15-1118-2. 6 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 6-7. ISBN 970-15-1118-2.


Ingeniería civil

estructuras en lugar de aplicar el Método de los Desplazamientos que estaba orientado al uso del

ordenador.

Uno de esos algoritmos fue el Método de las Rigideces Sucesivas desarrollado por el Ing. Alejandro

Segovia Gallegos con el cual se podía resolver pórticos planos con una regla de cálculo y los

resultados obtenidos eran muy satisfactorios.

Entre 1980 y 1985 empieza el gran desarrollo informático, se suprime la entrada de datos por

tarjetas, ahora los programas se graban en casetes y los computadores se conectan a un televisor.

Realmente fue un gran avance en comparación con la forma con que se trabajaba antes, ahora es

posible tener un ordenador en casa aunque sea muy primitivo con relación a los que se cuentan en

el siglo XXI. Este avance informático obligó a incluir en las materias de Ingeniería Civil la cátedra de

“Análisis Matricial de Estructuras” puesto que ya se vislumbraba que la Informática tendría gran

desarrollo.

Entre 1985 y 1995 hay un gran avance tecnológico en los computadores personales los famosos PC.

Se cuenta con computadores con gran capacidad de memoria en los cuales uno ya no tiene que

estar pensando en resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales por bloques debido a que no se

tenía suficiente memoria en el ordenador. Se cuenta con computadores muy rápidos en los que ya

no importa mucho el número de operaciones que se realicen porque las máquinas son muy rápidas.

Todo éste desarrollo informático llevó a que la materia de Análisis Matricial de Estructuras sea una

de las más importantes, a que el Método de los Desplazamientos sea estudiado con más

detenimiento toda vez que permite programar la solución de estructuras en forma sencilla,

empleando matrices. El gran desarrollo informático no solo se tiene en los ordenadores también se

tiene en los programas de computación. Por ejemplo antes de 1980 no se conocía el MATLAB, ahora

es muy utilizado ya que permite programar con bastante facilidad. Pero aparte de que MATLAB es

muy sencillo, el autor de este libro ha desarrollado el sistema de computación denominado

CEINCILAB utilizando la librería de programas de MATLAB simplificando notablemente el cálculo de

estructuras”7.

En la actualidad se requiere de herramientas de cómputo para un mayor análisis y

entendimiento de las estructuras, especialmente aquellas que tienen una mayor

complejidad. Meli piralla lo describe de la siguiente manera:

“la práctica del diseño estructural tiende en forma natural hacia una creciente automatización,

impulsada aceleradamente por la popularización del empleo de las computadoras. Es común el

empleo de programas de cómputo en el análisis estructural y su uso se está difundiendo en la etapa

de dimensionamiento, hasta llegar a la elaboración misma de los planos estructurales y de las

especificaciones. Este proceso es sin duda benéfico y va a redundar en una mayor eficacia y precisión

en el diseño, en cuanto se emplee con cordura. Buena parte del tiempo de un proyectista en una

7ROBERTO AGUIAR FALCONI, ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS, CUARTA EDICIÓN. Departamento de Ciencias de la Tierra y la Construcción, Universidad de Fuerzas Armadas ESPE Quito, Ecuador400 ISBN-9978-310-01-1.


Ingeniería civil

oficina de diseño estructural se dedica a la realización de cálculos rutinarios y a la preparación de

detalles más o menos estandarizados. Al recurrir a procedimientos automatizados de cálculo, se

libera al proyectista de esas tareas rutinarias y se le permite dedicar su atención a los problemas

fundamentales de la concepción de la estructura y de la solución de los aspectos básicos, así como

a la revisión de resultados. Es motivo, sin embargo, de gran preocupación observar lo que sucede

en diversas oficinas de proyectos, donde la implantación de sistemas automatizados de análisis y

dimensionamiento ha dado lugar a la aparición de una nueva clase de empleo subprofesional para

el ingeniero, el del “codificador”, quien tiene que preparar los datos de las cargas y las propiedades

de la estructura de acuerdo con ciertas reglas preestablecidas e introducirlas en un sistema de

cómputo. Como resultado recibe algunos cientos de hojas de computadora entre cuyos cientos de

miles de números debe elegir unos cuantos que le sirven para revisar si cumplen con lo que un

“instructivo de salida” la indica. En otros casos recibe ya las características finales de la estructura

en sus aspectos generales o hasta su mayor detalle. No se busca en esos casos eliminar labores

rutinarias al ingeniero, sino eliminar al ingeniero, realizar el proyecto sin necesidad de un director

pensante; el autómata no es en este caso solo la computadora sino también el usuario. Los más

graves errores se cometen cuando el responsable del proyecto pierde el control sobre el significado

de los números que está generando a todo lo largo del proceso.

Tanto a lo que se refiere al empleo de manuales y ayudas de diseño, como al de los programas de

cómputo, el proyectista debería tener grabados en su mente los siguientes mandamientos:

1) Nunca uses una de estas herramientas si no sabes en que teoría se basa, que hipótesis tiene

implícitas y que limitaciones existen para su uso.

2) Después de asegurarte que es aplicable a tu caso particular, cuida que puedas obtener los datos

que se requieren para su empleo y pon atención en emplear las unidades correctas.

3) una vez obtenido los resultados, examinarlos críticamente, ve si hacen sentido: si es posible

compruébalos con otro procedimiento aproximado, hasta que estés convencido de que no hay

errores gruesos en el proceso.

4) Analiza que aspectos no han sido tomados en cuenta en ese proceso y asegúrate que no alteran

el diseño. Por ejemplo, ninguna de esas herramientas suele tomar en cuenta concentraciones de

esfuerzos en los puntos de aplicación de las cargas o en irregularidades locales; si se dan estas

condiciones en tu estructura, revíselas por separado.

Actualmente están disponibles sistemas de cómputo que permiten generar una gran variedad de

modelos estructurales y analizar su respuesta ante una gran variedad de condiciones de carga. Estos

sistemas permiten visualizar en forma gráfica los modelos y generar de manera automática muchas

de las propiedades geométricas y mecánicas requeridas para el análisis. También cuentan con

postprocesadores de resultados que generan representaciones graficas de las configuraciones de

deformaciones y esfuerzos, o aun de las formas de vibrar de las estructuras sujetas a efectos

dinámicos. La mayoría de estos sistemas de cómputo están basados en la técnica de elementos


Ingeniería civil

finitos. La complejidad de los problemas y el número de ecuaciones simultaneas que estos sistemas

pueden resolver con asombrosos. Un ejemplo lo constituye el modelo de la catedral de la ciudad de

México que cuenta con 9000 elementos finitos y cuyo análisis requiere la solución de 30000

ecuaciones simultáneas. La posibilidad de obtener la distribución de esfuerzos a lo largo de la

estructura para los efectos del peso propio, ha hecho caer en desuso los estudios sobre modelos

físicos para análisis de esfuerzos, como los modelos fotoelásticos muy en boga hace algunas

décadas”8.

8 PIRALLA, Roberto Meli. Las Herramientas del Diseño. Diseño estructural. 2 ed. México: Limusa Noriega editores. P 30 y 35.


Ingeniería civil

5.2 MARCO CONCEPTUAL

5.2.1 Estructura

Se conoce como una estructura los elementos básicos de una construcción, que permite

recibir y transmitir cargas al terreno; donde todos sus elementos estén en equilibrio

estático. Donde cada una de sus partes conectadas soporta cargas, y el proceso constructivo

de una estructura requiere de una planeación, análisis, diseño y construcción. Elena blanco,

Miguel Cervera y Benjamín Suarez lo definen:

Se entiende por estructura aquella parte de la construcción que soporta el conjunto, es decir, que

es capaz de resistir las acciones que actúan sobre ella (peso propio, sobrecarga de uso, viento,

movimientos sísmicos, etc.)9.

5.2.2 Análisis estructural

En el análisis estructural, mediante el uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales,

permite calcular las fuerzas internas y deflexiones en un punto cualquiera de una estructura

resistente. Donde se deben tener en cuenta tres aspectos importantes, como lo son: las

condiciones de equilibrio de fuerzas externas e internas correspondiente a todos los

elementos de la estructura, la relación de fuerza con desplazamiento y por último la

compatibilidad de las deformaciones en todos los elementos estructurales.

El análisis de estructuras en un sentido amplio, es el conjunto de métodos y técnicas que permiten

estudiar el comportamiento de las estructuras bajo determinadas acciones, en las distintas etapas

que éstas atraviesan. En un sentido más clásico, el análisis de estructuras busca establecer las

condiciones de resistencia y rigidez de las estructuras analizadas a través de la Resistencia de

Materiales y de la Teoría de la Elasticidad10.

Para analizar apropiadamente una estructura, deben hacerse ciertas idealizaciones sobre cómo

están soportados y conectados los miembros entre sí. Una vez que se ha determinado esto y se han

especificado las cargas, las fuerzas de los miembros y sus desplazamientos pueden encontrarse

utilizando la teoría de la mecánica estructural11

9 BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Generalidades sobre el análisis de estructuras. Análisis matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 1 10 BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Generalidades sobre el análisis de estructuras. Análisis matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 1 11 HIBBELER, Russell C. Introducción. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Pearson Prentice hall. P 2. ISBN 970-17-0047-3.


Ingeniería civil

5.2.3 Elementos estructurales

Los elementos más comunes del que constan las estructuras corresponden a las columnas,

vigas y tirantes. Russell C. Hibbeler los define:

Tirante: Los miembros estructurales sometidos a una fuerza de tensión se denominan tirantes o

puntales de arriostramiento. Debido a la naturaleza de esta carga, estos miembros son esbeltos y

para formarlos se escogen perfiles redondos, rectangulares (varillas y barras), ángulos, canales, etc.

Vigas: las vigas son usualmente miembros horizontales rectos usados principalmente para soportar

cargas verticales, A menudo se clasifican según la manera en la que están apoyadas. En particular

cuando la sección transversal varia, la viga se denomina ahusada o acartelada. Las secciones

transversales de las vigas son también “compuestas”, como en los casos en los que se añaden placas

en su parte superior e inferior.

La mayoría de las veces, las vigas se diseñan principalmente para resistir el momento flexionante;

sin embargo, si son cortas y soportan grandes cargas, la fuerza cortante interna puede resultar muy

grande y ser la que determine el diseño.

Columnas: Los miembros que generalmente son verticales y resisten cargas axiales de compresión

se conocen como columnas. Para columnas metálicas se suele usar secciones tubulares y secciones

de patín ancho y para las de concreto son usuales las secciones circulares y cuadradas con barras de

refuerzo. En ocasiones, las columnas están sometidas a carga axial y a momento de flexión. Estos

elementos se llaman entonces flexocomprimidas12.

5.2.4 Tipos de estructuras

Un sistema estructural corresponde a la combinación de los elementos estructurales y

también a los materiales que están compuestos. En donde estos tipos de sistemas

estructurales están construidos de uno o más de cuatro tipos de estructuras básicas. Los

cuales son clasificados según el grado de complejidad en su análisis. Russell C. Hibbeler los

clasifica:

Armaduras: las armaduras consisten en barras a tensión y elementos esbeltos tipo columna,

usualmente dispuestos en forma triangular. Las armaduras planas se componen de miembros

situados en el mismo plano y se usan a menudo para puentes y techos, mientras que las armaduras

espaciales tienen miembros en tres dimensiones y son apropiadas para grúas y torres.

Cables y arcos: Otras dos estructuras que se usan para salvar grandes distancias son el cable y el

arco. Los cables suelen ser flexibles y soportar sus cargas en tensión. Sin embargo, a diferencia de

los tirantes, la carga externa no se aplica a lo largo del eje del cable y, en consecuencia, el cable

adopta una forma acorde con la carga aplicada. Los cables se usan generalmente para soportar

puentes y techos de edificios. Cuando se usan para estos fines el cable tiene una ventaja sobre la

12 HIBBELER, Russell C. Introducción. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Pearson Prentice hall. P 5-6. ISBN 970-17-0047-3.


Ingeniería civil

viga y la armadura. Como siempre están a tensión, los cables no resultan inestables ni se desploma

repentinamente como puede suceder con vigas y armaduras.

El arco debe ser rígido para mantener su forma y esto genera cargas secundarias en que interviene

la fuerza cortante y el momento flexionante, que deben considerarse en su diseño. Los arcos son

frecuentemente usados en estructuras de puentes, domos para techos y en aberturas para muros

de mampostería.

Pórticos: Los pórticos se usan a menudo en edificios y se componen de vigas y columnas que están

articuladas o bien son rígidas en sus conexiones. Igual que las armaduras, los pórticos pueden ser

bidimensionales o tridimensionales. La carga en un marco ocasiona flexión en sus miembros, y

debido a las conexiones rígidas, esta estructura es generalmente “indeterminada” desde el punto

de vista del análisis. La resistencia de un pórtico se deriva de las interacciones de momento entre

las vigas y las columnas en los nudos rígidos y, en consecuencia, los beneficios económicos de usar

un pórtico dependen de la eficiencia de usar tamaños menores de vigas, respecto a tamaños

mayores en las columnas debido a la acción “viga-columna” causada por la flexión en los nudos.

Estructuras superficiales: una estructura superficial esta echa de un material cuyo espesor es muy

pequeño en comparación con sus otras dimensiones. Algunas veces este material es muy flexible y

pues de tomar la forma de una tienda de campaña o de una estructura inflada con aire. En ambos

casos, el material actúa como una membrana sometida a tensión pura13.

5.2.5 Apoyos

El dispositivo que une la estructura al medio de suspensión se llama apoyo. El apoyo tiene una doble

función, por un lado, impedir o limitar los movimientos de la estructura y por otro, transmitir las

cargas que soporta la estructura al medio de suspensión. Por cada movimiento impedido, el apoyo

transmite a la estructura una reacción que impide el movimiento. Estas reacciones son iguales y de

sentidos opuestos a las fuerzas que la estructura transmite al medio de sustentación. Existen varios

tipos de apoyo:

El apoyo simple o articulado móvil solo coarta el movimiento de la sección de apoyo en una

dirección, permitiendo la traslación en la dirección perpendicular y el giro de la sección. La reacción

que produce es una fuerza en la misma dirección que el movimiento impedido.

El apoyo fijo o articulación permite el giro de la sección de apoyo pero impide totalmente el

movimiento de traslación, en este caso la reacción que transmite a la estructura es una fuerza de

dirección y modulo desconocido.

El empotramiento impide todo movimiento de la sección de apoyo, tanto de traslación como de

giro. La reacción que se produce es una fuerza de posición, dirección y modulo desconocidos, se

introducen tres incógnitas: dos componentes de la reacción y el momento sobre la sección de

apoyo14.

13 HIBBELER, Russell C. Introducción. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Pearson Prentice

hall. P 6-8. ISBN 970-17-0047-3. 14 BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Generalidades sobre el análisis de estructuras. Análisis

matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 5-6.


Ingeniería civil

5.2.6 Cargas

Las cargas de una estructura corresponden a dos tipos de códigos, las referentes a los

códigos de construcción y los de diseño. Donde estos corresponden a una guía para el

ingeniero estructural poder generar su diseño. Los códigos de construcción corresponden a

los requisitos mínimos de diseño y estándares de construcción, establecidos por una

institución oficial; mientras que los códigos de diseño generan normas técnicas usadas para

el requisito de diseño de una estructura. Donde en general, las cargas estructurales son

clasificadas de acuerdo a su carácter y su duración. Las cargas para un edificio según la NSR

10 se clasifican y definen:

Cargas muertas. Cubre todas las cargas de elementos permanentes de construcción incluyendo su

estructura, los muros, pisos, cubiertas, cielos rasos, escaleras, equipos fijos y todas aquellas cargas

que nos son causadas por la ocupación y uso de la edificación. Las fuerzas netas de preesfuerzo

deben incluirse dentro de la carga muerta.

Cargas vivas. Son aquellas cargas producidas por el uso y ocupación de la edificación y no deben

incluir cargas ambientales tales como viento y sismo15.

Cargas ambientales. Aquellas cargas causadas por el ambiente en que se encuentran la estructura.

Por lo que se refiere a los edificios, las cargas ambientales son causadas por lluvia, nieve, viento,

temperatura y sismo. Estrictamente hablando, estas también son cargas vivas, pero son el resultado

del ambiente en que se localiza la estructura16.

5.2.7 Método análisis matricial

El método de la rigidez mediante el análisis matricial, es un método de análisis de desplazamientos.

Puede usarse también un método matricial para el análisis de fuerzas, para analizar estructura. Muy

importante es que el método de los desplazamientos o la rigidez puede usarse para analizar

estructuras tanto determinadas como indeterminadas, mientras que el método de las fuerzas

requiere un procedimiento diferente para cada uno de esos dos casos. Es también mucho más fácil

formular las matrices necesarias para las operaciones hechas por la computadora si se usa el método

de los desplazamientos; una vez hecho esto, los cálculos con la computadora pueden efectuarse

eficientemente.

La aplicación del método de la rigidez requiere subdividir la estructura en una serie de elementos

finitos e identificar sus puntos extremos como nodos. Para el análisis de armaduras, los elementos

finitos se representa por cada uno de los miembros que forman la armadura y los nodos representan

los nudos. Se determinan las propiedades de fuerza-desplazamiento de cada elemento y luego se

15 MINISTERIO DE AMBIENTE, VIVIENDA Y DESARROLLO TERRITORIAL, Reglamento Colombiano de construcción sismo resistente. NSR-

10, Segunda actualización, Bogotá, Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica. AIS, 2010. 16 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial.

Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 21. ISBN 970-15-1118-2.


Ingeniería civil

relaciona entre sí mediante las ecuaciones de equilibrio planteadas en los nodos. Estas relaciones,

para todos los miembros de la estructura, se agrupan luego en lo que se llama matriz K de rigidez

de la estructura. Una vez establecida esta, los desplazamientos desconocidos de los nodos pueden

determinarse para cualquier carga dada en la estructura. Cuando se conocen estos

desplazamientos, las fuerzas externas e internas en la estructura pueden calcularse mediante las

relaciones fuerzas-desplazamientos para cada miembro17


hall. P 6-8. ISBN 970-17-0047-3.


Ingeniería civil

5.3 MARCO REFERENCIAL

5.3.1 Principios fundamentales del análisis matricial

Básicamente los métodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua real por un

modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en

forma matricial.

Al igual que en los métodos tradicionales, el modelo idealizado se configura de manera un poco

arbitraria por el analista. A continuación, se calculan las propiedades elásticas de cada elemento

mediante la teoría de un medio elástico continuo, se efectúa el ensamblaje de las propiedades

estructurales del conjunto y se procede entonces a resolver la estructura.

Naturalmente, al disminuir el tamaño de los elementos se incrementa la convergencia entre el

comportamiento del modelo y el de la estructura continua original.

El proceso de análisis se puede considerar como el estudio de cuatro etapas bien definidas, a saber:

1. Acción sobre la estructura

2. Acción sobre los elementos

3. Respuesta de los elementos

4. Respuesta de la estructura

Por acción se puede entender una fuerza o un desplazamiento impuestos sobre la estructura. A su

vez, ésta responde con desplazamientos o fuerzas respectivamente18.

Los métodos de análisis estructural a los que se van aplicar las técnicas matriciales son aptos para

estructuras en las que son válidos o se suponen validos los principios fundamentales de la Mecánica

de Estructuras, por tanto, se basan en el cumplimiento de:

I. compatibilidad. La deformación es una función continua y tiene un valor único en cada punto. En

consecuencia, los movimientos también lo son, y en particular, los movimientos en los extremos de

las piezas que concurren en un mismo nudo son identificados para todas las piezas.

II. Equilibrio. Tanto la estructura globalmente como cada parte de la misma y, en particular, cada

nudo y cada pieza de la misma están en equilibrio estático, bajo la acción de las fuerzas exteriores y

de los esfuerzos internos.

III. linealidad y principio de superposición. La estructura se comporta linealmente tanto a nivel local

(relación tensión-deformación según la ley de Hooke), como a nivel global (relaciones

desplazamientos-deformación y fuerzas-tensiones, según la hipótesis de los pequeños

movimientos). En virtud de esta pequeña linealidad, es válido el principio de superposición.

18 URIBE ESCAMILLA, Jairo. Conceptos generales. Análisis de estructuras. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 414.


Ingeniería civil

Los pasos necesarios para resolver una estructura mediante los métodos matriciales comienzan por

definir la geometría de la estructura y las acciones, así como las condiciones de apoyo de la misma.

De la definición del a geometría debe hacerse de forma digital para que se pueda operar con ella

fácilmente de manera algorítmica. La definición de las acciones debe ser general, de manera que se

puedan considerar la enorme variedad de cargas y acciones que pueden solicitar la estructura. De

igual manera, las condiciones de apoyo deben definirse de forma general. El proceso continua con

la identificación de las incógnitas, que serán movimientos incógnita de la estructura. Si se aplica el

método de la rigidez, o fuerzas hiperestáticas, en el caso de aplicar el método de la flexibilidad.

El método de la rigidez consiste en el proceso secuencial siguiente:

1. Definir la geometría de la estructura y las acciones, así como las condiciones de apoyo.

2. Identificar el número de movimientos incógnitas que determinan la deformación de la estructura,

teniendo en cuenta las correspondientes condiciones de compatibilidad en los nudos.

3. Resolver las piezas individuales, en función de los movimientos de sus extremos, satisfaciendo las

condiciones de equilibrio y compatibilidad de las piezas

4. Imponer las necesarias condiciones de equilibrio de los nudos

5. Imponer las condiciones de apoyo de la estructura

6. Determinar los movimientos incógnita resolviendo el sistema de ecuación resultante

7. Determinar los esfuerzos y las reacciones en la estructura.

La identificación de los movimientos incógnita de la estructura es trivial, ya que son todos los

movimientos desconocidos de los nudos, es decir, el número de incógnitas cinemáticas de la

estructura que es igual a:

𝑘 = 𝑔𝑙 ∗ 𝑛𝑛 − 𝑐𝑎

Donde gl es el número de grados de libertad a considerar por nudo, nn es el número de nudos en la

estructura y ca es el número de grados de libertad prescritos por las condiciones de apoyo19.

5.3.2 Definición geométrica de la estructura

Una estructura genérica de piezas rectas se define mediante una serie de líneas rectas, que

representan las directrices o ejes de las piezas, unidas unas a otras en puntos que representan los

nudos. Al definir dicha estructura, de cara al análisis por ordenador, se utiliza la siguiente notación:

Cada nudo se identifica por un número. El orden de numeración de los nudos es arbitrario, en

principio, esta numeración incide en el tamaño de la matriz de rigidez. La posición de los nudos se

define dando las coordenadas de estos referidas a un sistema global de referencia.

19 BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Generalidades sobre el análisis de estructuras. Análisis

matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 31-33.


Ingeniería civil

Cada pieza de la estructura se identifica también por un número. El orden de numeración de las

piezas es independiente del de los nudos y también arbitrario. En una pieza cualquiera “k” que une

los nudos “i” y “j”, se llama extremo “a” al de menor numeración y extremo “b” al opuesto. Se

adopta como sentido positivo de una pieza al definido por la secuencia a – b.

A cada pieza se le asigna un número que identifica el “material” de la pieza. El material de una pieza

está definido por el conjunto de propiedades mecánicas (físicas y geométricas) que se precisan para

caracterizar el comportamiento de esta. En una estructura reticulada de plano medio, por ejemplo,

es necesario definir el módulo de elasticidad del material E, el área A y el momento de inercia I, de

la sección de la pieza20.

5.3.3 Sistema de coordenadas

Como las cargas y los desplazamientos son cantidades vectoriales, es necesario establecer un

sistema coordenado para identificar su sentido correcto de dirección. Usando dos tipos diferentes

de sistemas coordenados. Un sistema coordenado global o de la estructura, usando ejes x, y,

especificara el sentido de cada una de las componentes externas de fuerza y desplazamientos en

los nodos. Un sistema coordenado local o de miembro se usara en cada miembro en especificar el

sentido de sus desplazamientos y cargas internas. Este sistema se identificara usando ejes x’, y’ con

el origen en el nodo “cercano” y el eje x’ señalando hacia el extremo “alejado”21.

5.3.4 Grados de libertad

Los grados de libertad no restringidos de una estructura representan las incógnitas principales en el

método de la rigidez y por tanto, deben ser identificados. Como regla general, hay dos grados de

libertad o dos posibles desplazamientos para cada nudo (o nodo) de una armadura. En las

aplicaciones cada grado de libertad debe especificarse en la estructura usando un número de

código, mostrado en el nudo o nodo y referido a su dirección coordenada global positiva por medio

de una flecha. En aplicaciones posteriores, los números de códigos más bajos se usaran siempre

para identificar los desplazamientos desconocidos (grados de libertad no restringidos) y los números

de código más altos se usaran para identificar los desplazamientos conocidos (grados de libertad no

restringidos). La razón para escoger este método de identificación tiene que ver con la conveniencia

de subdividir después la matriz de la estructura, de manera que los desplazamientos desconocidos

puedan encontrarse de la manera más directa posible.

Una vez etiquetada la armadura y especificados los números de código como se indicó, puede

determinarse la matriz K de rigidez de la estructura. Para ello, debemos primero establecer una

matriz de rigidez de miembro k’ para cada miembro de la armadura. Esta matriz se usa para expresar


matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 3. 21 HIBBELER, Russell C. Introducción. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Pearson Prentice

hall. P 655. ISBN 970-17-0047-3.


Ingeniería civil

las relaciones carga-desplazamiento del miembro en términos de coordenadas locales. Como no

todos los miembros de la armadura tienen la misma dirección, debemos desarrollar un medio para

transformar esas cantidades de cada sistema coordenado local x’, y’ del miembro a un sistema

coordenado global x, y de la estructura. Esto puede hacerse usando matrices de transformación de

fuerzas y desplazamientos. Una vez establecidas, los elementos de las matrices de rigidez del

miembro pueden transformarse de coordenadas locales a globales y luego usarlas para generar la

matriz de rigidez de la estructura. Hay, de hecho, dos maneras de hacer esta transformación.

Podemos primero construir una matriz ke de rigidez de elemento compuesto que representa las

relaciones carga-deflexión para todos los miembros de la armadura en términos de coordenadas

locales. Luego podemos desarrollar una matriz de transformación de la estructura específicamente

para la armadura en consideración y transformar ke de sus coordenadas locales a globales. Esto

dará K directamente. Por desgracia este método no sirve tan bien con una computadora debido a la

singularidad de K para cada armadura. En vez de esto, se usa el método alternativo, llamado

procedimiento directo de la matriz; esto es, cada matriz de rigidez se transformara separadamente

de coordenadas locales a globales. Cuando las matrices de rigidez globales para todos los miembros

de la armadura hayan sido determinados, la matriz de rigidez de la armadura se formulara

ensamblando entre si las matrices de rigidez de los miembros. Usando K, como se dijo

anteriormente, podemos determinar primero los desplazamientos nodales y luego las reacciones y

las fuerzas en los miembros22.

5.3.5 Matriz de fuerzas internas

Se denomina así la matriz que proporciona directamente las fuerzas internas en cada uno de los

elementos del sistema, a partir de los desplazamientos nodales. Modificándola de manera adecuada

se puede lograr una Matriz de esfuerzos unitarios, o simplemente Matriz de esfuerzos.

Una vez encontrados los desplazamientos de los nudos, se puede averiguar la deformación que

experimenta cada miembro. Éstas se pueden suponer como causadas por un sistema de fuerzas

nodales equivalentes23.

5.3.6 Matriz global de rigidez

Una vez calculada las ecuaciones elásticas de todas las piezas que forman la estructura en un sistema

de referencia común, el siguiente paso en el método de la rigidez es la construcción de la matriz

global de rigidez de la estructura. Esta matriz global se obtiene mediante el ensamblaje de las

matrices elementales de rigidez de las piezas.

Dicho ensamblaje se realiza considerando el equilibrio de fuerzas (y momentos, en su caso) que

actúan sobre cada nudo de la estructura; de ahí el nombre de método del equilibrio con el que


hall. P 655-656. ISBN 970-17-0047-3. 23 URIBE ESCAMILLA, Jairo. Conceptos generales. Análisis de estructuras. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 422.


Ingeniería civil

también se le denomina al presente método de cálculo. Obteniéndose la ecuación de forma

compacta:

𝑓 = 𝐾Δ

Donde f es el vector global de las fuerzas exteriores (incluidas las reacciones), K es la matriz global

de rigidez de la estructura y d es el vector global de movimientos en los nudos24.

5.3.7 La relación elemental de la rigidez

Una relación análoga existe entre las fuerzas y los desplazamientos en los extremos de una

componente de la estructura. Esta relación es la que sigue:

⟦𝑓⟧ = ⟦𝑘⟧⟦𝑥⟧

De la ecuación f es el vector de fuerzas, en coordenadas locales, que actúan en los extremos del

miembro. El termino x es el vector de desplazamientos, también en coordenadas locales, del

extremo del miembro. La matriz k es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales. Esta

ecuación puede ser expresada en coordenadas globales como

⟦𝑓𝑔⟧ = ⟦𝑘𝑔⟧⟦𝑥𝑔⟧

Cada término de la ecuación tiene el mismo significado que en la ecuación anterior, excepto que

ahora la relación se expresa en términos de coordenadas globales; en realidad de coordenadas

globales en el extremo del miembro25.

Solución general por el método de los desplazamientos

El planteamiento matricial por el método de los desplazamientos según lo descrito por Rafael Uribe

Escamilla es:

[𝐹] = [𝐾][𝛿]

Conduce después de una reordenación adecuada a una expresión de la forma siguiente:

[𝐹𝑛

𝐹𝑎] = [

𝐾𝑛𝑛 𝐾𝑛𝑎

𝐾𝑎𝑛 𝐾𝑎𝑎] [

𝛿𝑛

𝛿𝑎]


matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 54-55. 25 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial.

Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 503. ISBN 970-15-1118-2.


Ingeniería civil

En donde:

[Fn]= es el vector de cargas aplicadas (conocidas)

[Fa]= son las reacciones de los apoyos (desconocidas)

[δn]= el vector de desplazamiento de los nudos libres (desconocidos)

[δa]= los desplazamientos de los apoyos (conocidos y generalmente iguales a cero)

Expandiendo la ecuación anterior se obtiene:

[𝐹𝑛] = [𝐾𝑛𝑛][𝛿𝑛] + [𝐾𝑛𝑎][𝛿𝑎] (a)

[𝐹𝑎] = [𝐾𝑎𝑛][𝛿𝑛] + [𝐾𝑎𝑎][𝛿𝑎] (b)

Y despejando de la primera el vector [δn]

[𝛿𝑛] = [𝐾𝑛𝑛]−1[𝐹𝑛] − [𝐾𝑛𝑛]−1[𝐾𝑛𝑎][𝛿𝑎] (c)

Remplazando este valor en la ecuación (b):

[𝐹𝑎] = [𝐾𝑎𝑛][𝐾𝑛𝑛]−1[𝐹𝑛] − [𝐾𝑎𝑛][𝐾𝑛𝑛]−1[𝐾𝑛𝑎][𝛿𝑎] + [𝐾𝑎𝑎][𝛿𝑎]

Y factorizando por [δa]:

[𝐹𝑎] = [𝐾𝑎𝑛][𝐾𝑛𝑛]−1[𝐹𝑛] + [[𝐾𝑎𝑎] − [𝐾𝑎𝑛][𝐾𝑛𝑛]−1[𝐾𝑛𝑎]][𝛿𝑎] (d)

Las ecuaciones (c) y (d) constituyen la base de la solución matricial de una estructura por el método

de los desplazamientos.

En el caso muy común de desplazamientos nulos en los apoyos, en la dirección de las reacciones, el

vector [δa] resulta igual a cero y las ecuaciones (c) y (d) se reducen a:

[𝛿𝑛] = [𝐾𝑛𝑛]−1[𝐹𝑛] [𝐹𝑎] = [𝐾𝑎𝑛][𝐾𝑛𝑛]−1[𝐹𝑛]

Una vez averiguado los desplazamientos mediante las ecuaciones (c) o (e) se puede conocer las

fuerzas internas mediante la matriz de fuerzas internas correspondiente al tipo de elementos de la

estructura, con lo cual queda completo el análisis26.

26 URIBE ESCAMILLA, Jairo. Conceptos generales. Análisis de estructuras. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 426 – 427.


Ingeniería civil

6. DISEÑO METODOLÒGICO

6.1 Tipo de investigación

El desarrollo de la investigación es de tipo teórica-Cuantitativa. la información utilizada se

encuentra expresada en ecuaciones y leyes físicas definidas. en donde, el procesamiento de

datos y variables se pueden controlar y verificar mediante cálculos exactos.

La metodología aplicada se divide en 4 etapas Fundamentales:

Etapa1:

Se busca, estudia y analiza de diversas fuentes toda la información correspondiente al

método matricial de rigidez de estructuras. En donde se recopila la información relevante

para la investigación y desarrollo del tema.

Etapa 2:

El procedimiento teórico del cálculo de rigideces es plasmado en diagramas de flujo que

permitan establecer una secuencialidad y efectividad del método. Una vez realizado este

trabajo, se vincula los procedimientos a diversas hojas de cálculo de Microsoft Excel.

Etapa 3:

Con Una base de datos conformada y un procedimiento teórico plasmado en hojas de

cálculo, se crea una plataforma en Visual Basic que permita generar una interacción con

un usuario. En donde se le muestre de manera práctica y sencilla el seguimiento del

método matricial expuesto en las hojas previamente programadas.

Etapa 4:

Documentación y adaptación del aplicativo: Se crea un manual de instrucciones, además

de los ajustes gráficos de manejo al usuario.

6.2 Población La población utilizada en el desarrollo del software de análisis matricial son cerchas, vigas y

pórticos planos. De igual forma el producto debe ser interpretado por usuarios que comprendan el

área de la ingeniería civil.

6.3 Muestra Elementos estructurales (cerchas, vigas y pórticos) que cumplan con los parámetros básicos que

garanticen el correcto desarrollo del software.


Ingeniería civil

6.4 Arquitectura del Software

La aplicación DEMAT está desarrollada bajo una arquitectura stand alone, lo cual permite un

correcto funcionamiento sin necesidad de tener algún tipo de conexión a algún otro sistema, esto

también ofrece la posibilidad de que sea portable, de fácil acceso, y ligero en el espacio de

almacenamiento dado que no requiere de instalación previa alguna.

La aplicación consta de 3 módulos, los cuales funcionan del mismo modo cada uno con su

funcionalidad específica:

Figura 1. Módulos generales

Fuente: Autores

Se desarrolla en el lenguaje VISUAL BASIC permitiendo una mayor portabilidad entre usuarios

Windows.

La herramienta funciona bajo el Framework de desarrollo de Microsoft Excel, con lo cual se hace

necesario que éste esté instalado en el Pc Usuario para su correcto funcionamiento.

No se contempla el uso de base de datos o interfaces de comunicación ya que la aplicación no posee

la opción de guardar datos.


Ingeniería civil

Figura 2. Relaciones del sistema

Fuente: Autores

6.5 Casos de Uso

Se definen y describen secuencias de acciones, Sus actores (responsables) Y dependencias entre

actividades Con el fin de ejecutar el proceso del sistema.

Caso de uso Funcionamiento General

Descripción Programa de cálculo de matriz de rigidez

Precondición El usuario debe cerrar todos los archivos .exe que tenga

actualmente abiertos en el ordenador.

Secuencia

Normal

Paso Acción

1 El usuario ingresa al sistema

2 El sistema muestra la pantalla de elementos

3 El usuario ingresa los datos iniciales (inercia,

longitud, módulo de elasticidad y fuerzas de

fijación para el cálculo de la matriz de rigidez de

cada elemento)

4 El usuario ejecuta y el sistema muestra un cálculo

inicial de la matriz de rigidez del elemento


Ingeniería civil

5 El usuario repite el paso 4 dependiendo del

número de elementos que desee ingresar,

oprimiendo en el botón siguiente elemento.

6 Una vez ingresados todos los elementos, el

usuario da clic en el botón consolidar y el sistema

muestra la ventana de consolidación de

elementos.

7 Después de la consolidación y el cálculo de

desplazamientos desconocidos por parte del

sistema se procede a recalcular la matriz de

rigidez de cada elemento.

8 El usuario oprime el botón de ventana graficar, y

una vez digitada la magnitud y localización de

las fuerzas el procede a dar clic en el botón

graficar y el sistema muestra los diagramas de

cortante y momento del elemento.

Postcondición El sistema mostrará las deformaciones de la estructura y

los diagramas de cortantes y momentos.

Excepciones Paso Acción

3 En caso de que el usuario no conozca las

fuerzas de fijación, debe dar clic en el botón de

fuerzas de fijación, en dicha ventana se

calculan los datos a ingresar en la ventana

inicial de elementos.


Ingeniería civil

Caso de uso Consolidación, Matriz inversa y calculo desplazamientos

Descripción Consolida fuerzas y calcula desplazamientos

desconocidos

Precondición El usuario debe haber ejecutado las matrices de todos

los elementos

Secuencia

Normal

Paso Acción

1 El usuario ingresa a la ventana de consolidación

2 El usuario digita las fuerzas conocidas y

desconocidas.

3 El usuario ejecuta la consolidación y el sistema

muestra el resultado en la ventana.

4 El usuario abre la ventana de cálculo de

desconocidos

5 La ventana muestra la inversa de la matriz de

consolidación, y el resultado de los

desplazamientos desconocidos

6 El usuario oprime el botón de regresar a las

matrices de elementos y da clic en ejecutar en

cada elemento

7 El sistema recalcula y da el resultado final del

calculo

8 El usuario oprime el botón de ventana graficar, y

una vez digitada la magnitud y localización de las

fuerzas el procede a dar clic en el botón graficar

y el sistema muestra los diagramas de cortante y

momento del elemento.

Postcondición El sistema mostrará los desplazamientos de la estructura

y su respectiva grafica de cortante y momento.

Excepciones Paso Acción

3 En caso de que al usuario le haga falta un

elemento se puede devolver y recalcular usando

la pestaña de devolverse


Ingeniería civil

Figura 3. Caso de uso Funcionamiento General del sistema

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Figura 4. Consolidación, Matriz inversa y calculo desplazamientos

Fuente: Autores


Ingeniería civil

6.6 Diagrama de secuencia En el siguiente diagrama se muestra la secuencia de tareas y sus responsables definiendo entradas y salidas de cada tarea.

Figura 5. Diagrama de secuencia

Fuente: autores


Ingeniería civil

6.7 Diagrama de Flujo

6.8 Seudocódig

|DEMAT

DvigasDPorticos

Dcerchas

Bienvenida y restricciones del sistema

Conoce Las fuerzas de fijacion del elemento?

NO

SI

Calculadora de Fuerzas de fijación

Ingreso de datos elemento:- seccion de elemeno- Inercia-Longitud-Modulo de elasticidad- Fuerzas de fijación

CÁLCULO ECUACIÓN GENERAL MATRICIAL Y VISUALIZACION DE LA MATRIZ

EJECUTAR

Desea agregar elemento?

NO

SI

1

1

Ingreso de datos entrada de reacciones o fuerzas conocidas y desconocidas en cada nudo

CONSOLIDACIÓN

CONSOLIDAR

CONSOLIDACIÓN DE ELEMENTOS Y VISUALIZACIÓN DE LA MATRIZ

SIGUIENTE PASO

Desea modificar elementos?

SI

NO

ELEMENTOS

1

CALCULO INVERSA CONSOLIDACIÓN DE ELEMENTOS Y VISUALIZACIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS

CALCULO DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS

DESEA GRAFICAR?NO

GRAFICAR

GRAFICA

Dvigas

EJECUTAR

RECALCULA LA ECUACION MATRICIAL Y MUESTRA LAS FUERZAS DEL ELEMENTO

SI

2

SIGUIENTE ELEMENTO

2

GRAFICA

Ingreso de datos ingreso de cargas tanto en localizacion como en magnitud

GRAFICAR

MUESTRA GRAFICA DE CORTANTE Y MOMENTO DEL ELEMENTO

SALIR DE DEMAT?

SI

NO

GRAFICA SIGUIENTEELEMENTO?

NO

SI

SALIR DEMAT

FIN

FIN

2


NO

SI


Ingreso de datos elemento:- Inercia-Longitud-Modulo de elasticidad- Fuerzas de fijación-ángulo

CÁLCULO Y VISUALIZACION DE MATRIZ DEFIJACION EN COORDENAS LOCALES YMATRIZ FUERZAS DE FIJACION ENCOORDENADAS GLOBALES.

EJECUTAR


NO

SI

1

1


CONSOLIDACIÓN

CONSOLIDAR


SIGUIENTE PASO


SI

NO

ELEMENTOS

1



DESEA GRAFICAR?NO

GRAFICAR

GRAFICA

DPorticos

EJECUTAR

RECALCULA LA ECUACION MATRICIALY MUESTRA LAS FUERZAS DEL ELEMENTO

SI

2

SIGUIENTE ELEMENTO

2

GRAFICA


GRAFICAR


SALIR DE DEMAT?

SI

NO


NO

SI

SALIR DEMAT

FIN

FIN

2

CÁLCULO Y VISUALIZACION DE MATRIZ DEDESPLAZAMIENTOS EN COORDENADASLOCALES Y GLOBALES

SIGUIENTE PASO

RECÁLCULA Y VISUALIZA LA MATRIZ DEDESPLAZAMIENTOS EN COORDENADASLOCALES Y GLOBALES

SIGUIENTE PASO

Ingreso de datos delnudo- área del elemento- -Longitud-Modulo de elasticidad- ángulo

CÁLCULO Y VISUALIZACIÓN:-MATRIZ LOCAL-MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN-MATRIZ GENERAL-FUERZAS INTERNAS

EJECUTAR


NO

SI

1

1


CONSOLIDACIÓN

CONSOLIDAR


SIGUIENTE PASO


SI

NO

NUDOS

1



PASO ANTERIOR

DCERCHAS

EJECUTAR


2

SIGUIENTE ELEMENTO

2

SALIR DE DEMAT?

SI

NO

FIN


Ingeniería civil

|DEMAT

DvigasDPorticos

Dcerchas

Bienvenida y restricciones del sistema


NO

SI


Ingreso de datos elemento:- seccion de elemeno- Inercia-Longitud-Modulo de elasticidad- Fuerzas de fijación

CÁLCULO ECUACIÓN GENERAL MATRICIAL Y VISUALIZACION DE LA MATRIZ

EJECUTAR


NO

SI

1

1


CONSOLIDACIÓN

CONSOLIDAR


NO

SI


Ingreso de datos elemento:- Inercia-Longitud-Modulo de elasticidad- Fuerzas de fijación-ángulo

CÁLCULO Y VISUALIZACION DE MATRIZ DEFIJACION EN COORDENAS LOCALES YMATRIZ FUERZAS DE FIJACION ENCOORDENADAS GLOBALES.

EJECUTAR


NO

SI

1

1


CONSOLIDACIÓN

CONSOLIDAR

CÁLCULO Y VISUALIZACION DE MATRIZ DEDESPLAZAMIENTOS EN COORDENADASLOCALES Y GLOBALES

SIGUIENTE PASO

Ingreso de datos delnudo- área del elemento- -Longitud-Modulo de elasticidad- ángulo

CÁLCULO Y VISUALIZACIÓN:-MATRIZ LOCAL-MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN-MATRIZ GENERAL-FUERZAS INTERNAS

EJECUTAR


NO

SI

1

1


CONSOLIDACIÓN

CONSOLIDAR



SI

NUDOS

1


Ingeniería civil


SIGUIENTE PASO


SI

NO

ELEMENTOS

1



DESEA GRAFICAR?NO

GRAFICAR

GRAFICA

Dvigas

EJECUTAR

RECALCULA LA ECUACION MATRICIAL Y MUESTRA LAS FUERZAS DEL ELEMENTO

SI

2

SIGUIENTE ELEMENTO

2

GRAFICA


GRAFICAR


SALIR DE DEMAT?

SI

NO


NO

SI

SALIR DEMAT

FIN

FIN

2


SIGUIENTE PASO


SI

NO

ELEMENTOS

1



DESEA GRAFICAR?NO

GRAFICAR

GRAFICA

DPorticos

EJECUTAR


SI

2

SIGUIENTE ELEMENTO

2

GRAFICA


GRAFICAR


SALIR DE DEMAT?

SI

NO


NO

SI

SALIR DEMAT

FIN

FIN

2

RECÁLCULA Y VISUALIZA LA MATRIZ DEDESPLAZAMIENTOS EN COORDENADASLOCALES Y GLOBALES

SIGUIENTE PASO

SIGUIENTE PASO

NO



PASO ANTERIOR

DCERCHAS

EJECUTAR


2

SIGUIENTE ELEMENTO

2

SALIR DE DEMAT?

SI

NO

FIN


Ingeniería civil

Inicio DVigas

Elementos []

Repetir desde Elemento = 1 Hasta n

Leer: Secciòn_elemento ,

Inercia,

Longitud,

Modulo elasticidad,

Fuerza Fijación

SI fuerzas fijación [] = 0, entonces

fuerzas fijación [] = Calcular_fuerzas_fijacion()

Fin si

ecuación general _matricial (Inercia, Longitud, Modulo elasticidad , fuerzas fijación[] )

Fin Repetir

Leer: Fuerzas conocidas []

Fuerzas desconocidas []

Matriz = Consolidar (Elementos[] , fuerzas conocidas[] , fuerzas desconocidas[])

Mostrar: Matriz

Desplazamientos = Calcular_desplazamientos_desconocidos ( Elementos[] )

Calcular inversa ( Matriz )

Recalculo_ecuacion_matricial ()

Mostrar: Desplazamientos_d


ecuación general _matricial (Inercia, Longitud , Modulo_elasticidad ,

fuerzas_fijacion[] )

Mostrar : Fuerzas Elemento[i]

Si desea graficar , entonces

Leer : Carga_localizacion

Carga_magnitud

Mostrar Grafica (Elemento [i])

Fin si

Fin Repetir

Fin Dvigas


Ingeniería civil

Inicio DPorticos

Elementos[]


Leer: Inercia ,

Longitud ,

Modulo_elasticidad

Fuerza_Fijacion

angulo

SI Fuerza_Fijacion = 0 , entonces

Fuerza_Fijacion = Calcular_fuerzas_fijacion()

Fin si

Matriz_fijacion_local = Hallar_Matriz_de_fijacion_local (Inercia, Longitud ,

Modulo_elasticidad , fuerzas_fijacion[] , angulo )

Matriz_fijacion_global = Hallar_Matriz_de_fijacion_glocal (Inercia, Longitud ,

Modulo_elasticidad , fuerzas_fijacion[] , angulo )

Mostrar : Matriz_fijacion_local

Matriz_fijacion_global

Matriz_desplazamiento_local = Hallar_Matriz_desplazamiento_local (Inercia,

Longitud , Modulo_elasticidad , fuerzas_fijacion[] , angulo )

Matriz_desplazamiento_global = Hallar_Matriz_de_fijacion_glocal (Inercia,

Longitud , Modulo_elasticidad , fuerzas_fijacion[] , angulo )

Mostrar : Matriz_desplazamiento_local

Matriz_desplazamiento_global

Fin Repetir

Leer: Fuerzas_conocidas[]

Fuerzas_desconocidas[]

Matriz = Consolidar ( Elementos[] , fuerzas_conocidas[] , fuerzas_desconocidas[])

Mostrar: Matriz

Desplazamientos_d = Calcular_desplazamientos_desconocidos ( Elementos[] )

Calcular_inversa ( Matriz )

Recalculo_ecuacion_matricial ()


Ingeniería civil



ecuación_general _matricial (Inercia, Longitud , Modulo_elasticidad ,

fuerzas_fijacion[] )

Mostrar: Fuerzas Elemento[i]

Si desea graficar , entonces

Leer : Carga_localizacion

Carga_magnitud

Mostrar Grafica (Elemento [i])

Fin si

Fin Repetir

Fin DPorticos


Ingeniería civil

Inicio DCerchas

Elementos []


Leer: Áreas,

Longitud,

Modulo elasticidad

Fuerza Fijación

Matriz local = Hallar_Matriz_local (Areas, Longitud , Modulo elasticidad , fuerzas fijación)

Mostrar: Matriz local

Matriz_transformacion = Hallar_Matriz_transformaion (Areas, Longitud ,

Modulo_elasticidad , fuerzas_fijacion)

Mostrar: Matriz_transformacion

Matriz_general = Hallar_Matriz_general (Areas, Longitud , Modulo_elasticidad ,

fuerzas_fijacion)

Mostrar: Matriz_general

Fuerzas_Internas = Hallar_Fuerzas_Internas (Areas, Longitud , Modulo_elasticidad ,

fuerzas_fijacion)

Mostrar: Fuerzas_Internas

Fin Repetir

Leer: Fuerzas_conocidas[]

Fuerzas_desconocidas[]

Matriz = Consolidar ( Elementos[] , fuerzas_conocidas[] , fuerzas_desconocidas[])

Mostrar: Matriz

Desplazamientos_d = Calcular_desplazamientos_desconocidos ( Elementos[] )

Calcular_inversa ( Matriz )



Ingeniería civil


ecuación_ matricial (Inercia, Longitud , Modulo_elasticidad , fuerzas_fijacion[] )

Mostrar: Fuerzas Elemento[i]

Fin Repetir

Fin DCerchas


Ingeniería civil

7. RESULTADOS

El software DEMAT trabaja con el análisis de estructuras hiperestáticas, mediante el método

matricial de la rigidez para vigas, cerchas y pórticos. Siendo aplicable a elementos con cargas

puntuales, distribuidas y momentos. Permitiendo obtener desplazamientos desconocidos,

reacciones desconocidas, gráficas de cortante y momento de la estructura analizada.

7.1 Vigas (programa dvigas)

El programa para el análisis matricial de vigas, se basa en el método matricial del cálculo de

desplazamientos desconocidos, para después poder obtener las reacciones desconocidas.

Se usan formularios sencillos y de fácil manejo para el usuario.

7.1.1 formulario de entrada del programa de vigas

Figura 6. Formulario de entrada y recomendaciones de uso

Fuente: autores


Ingeniería civil

Al iniciar el programa aparece el formulario de entrada, donde se tienen 4 recomendaciones

importantes para su adecuado funcionamiento. La primera recomendación establece que

el usuario cierre todos los archivos de Excel que tenga abiertos, para no presentar

inconvenientes al momento de generar la consolidación de las matrices. Como segunda

recomendación, el usuario debe ingresar de manera ordenada en cada casilla únicamente

valores numéricos, ya que digitar letras o texto no permite el cálculo adecuado de las

matrices provocando errores, haciendo necesario recalcular todo el elemento. La tercera

recomendación, para el uso de decimales se debe usar la tecla punto. Finalmente, la cuarta

y última recomendación indica que DEMAT no guardara los procesos generados durante su

uso una vez sea cerrado el programa.

Teniendo claras las recomendaciones anteriormente citadas, el usuario puede

dar inicio al programa dando clic en el botón azul continuar.

7.1.2 formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento

Figura 7. Formulario de datos de entrada para la ecuación general matricial de cada elemento.

Fuente: autores

Después de “continuar” aparece el formulario donde se deben ingresar datos de entrada,

para poder obtener los valores de la matriz de rigidez y las fuerzas de fijación de cada

elemento en la viga, usados para la consolidación.


Ingeniería civil

Según Uribe Escamilla, en una viga se tienen elementos prismáticos sometidos en los

extremos a flexión y corte. Donde se incluye el efecto de las cargas repartida y axial,

actuando en los extremos del elemento de viga, según el eje principal.

Figura 8. Elemento prismático de viga sometido a flexión y corte

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Elemento sometido a flexión y corte en sus extremos. 2 ed. Bogotá

D.C.: ECOE ediciones. P 463.

X= sistema de ejes locales o ejes del elemento en “x”

Y= sistema de ejes locales o ejees del elemento en “y”

i= nudo inicial del elemento de la viga

j= nudo final del extremo del elemento de la viga

Mi= momento del nudo inicial del elemento

Mj= momento del nudo final del elemento

Өi= rotación en el nudo inicial del elemento

Өj= rotación en el nudo final del elemento

Yi= esfuerzo a cortante en el nudo inicial del elemento

Yi= esfuerzo a cortante en el nudo final del elemento

Vi= desplazamiento en el nudo inicial del elemento

Vj= desplazamiento en el nudo final del elemento

De donde Uribe escamilla muestra el planteamiento matricial de la figura 3 correspondiente

a al elemento de viga, en la siguiente ecuación matricial:

Figura 9. Planteamiento matricial del elemento viga.

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Planteamiento matricial del elemento viga. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE

ediciones. P 463.


Ingeniería civil

También Uribe escamilla, da la claridad que mediante el método de viga conjugada, se

puede determinar el significado físico en los términos de cada columna de la matriz de

rigidez. Para poder determinar las fuerzas que actúan en la estructura y la mantienen en

equilibrio en cada situación. Figura 10. Significado físico de los términos de la matriz de rigidez de un elemento prismático sometido a flexión y corte.

Donde los desplazamientos nodales no indicados explícitamente son cero.

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Significado físico de los términos de la matriz de rigidez de un

elemento prismático sometido a flexión y corte. Donde los desplazamientos nodales no indicados explícitamente son

cero. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 464.

A continuación, se explica el tipo, uso y requisitos de cada casilla de entrada:

Algo importante que debe hacer el usuario, es enumerar todos los

nudos encontrados en la viga. De esta manera en cada elemento de la

viga, se encuentra un nudo inicial y otro final. El usuario debe digitar en la opción

“elemento” el valor del nudo inicial y luego el nudo final.

El usuario debe calcular el valor de la inercia en cm4 de la viga

evaluada, para ser digitado en el cuadro blanco. También debe

introducir el valor de la longitud del elemento en metros, al igual

que su módulo de elasticidad (E) en mega páscales.

Como últimos datos de entrada, el usuario debe ingresar el valor

de las fuerzas de empotramientos o fijación en kilonewtons por

metro. Haciendo referencia a las fuerzas y momentos de fijación

del nudo inicial y final de cada elemento. Para poder obtener este

valor debe hacer uso de las ecuaciones de fuerzas de empotramiento, según las cargas

aplicadas y el caso que corresponda.


Ingeniería civil

Para facilitar el cálculo de las fuerzas de empotramiento, el

programa dispone de un listado de opciones según las

cargas aplicadas al elemento, para el respectivo cálculo de las fuerzas de fijación por parte

del usuario. Para acceder a este listado se da clic en el botón azul fuerzas de

empotramiento.

Figura 11. Primer listado de fuerzas de empotramiento

Fuente: autores

Figura 12. Segundo listado de fuerzas de empotramiento

Fuente: autores


Ingeniería civil

Figura 13. Tercer listado de fuerzas de empotramiento

Fuente: autores

Después de ingresar los datos de entrada anteriormente descritos, se

procede a dar clic al botón rosado ejecutar. Donde se obtiene los valores

de la matriz de rigidez del elemento, sus fuerzas de fijación y los valores en las casillas de

color gris dependientes de los datos iniciales.

Figura 14. Ecuación general matricial de cada elemento

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Ingresando los datos de entrada y dando ejecutar, obtenemos algunos valores en la

ecuación general matricial. Estos valores corresponden a las celdas en color gris, al igual

que los valores de las fuerzas de fijación (FF) y la matriz de rigidez (K). Los valores

correspondientes a los desplazamientos desconocidos (dd) y fuerzas desconocidas (F) de

cada elemento se obtienen al final del proceso, después de tener la matriz de consolidación.

La siguiente es la ecuación general matricial correspondiente a cada elemento:

(𝐹) = (𝐾) ∗ (𝑑𝑑) + (𝐹𝐹)

La matriz de rigidez del elemento se obtiene a partir de los datos de

entrada correspondientes a la inercia (I), módulo de elasticidad (E) y

la longitud (L). Con una determinada ecuación en cada celda de la

matriz.

Figura 15. Matriz de rigidez del elemento viga

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Matriz de rigidez del elemento viga. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P

464.

En la figura 7, se tienen todas las ecuaciones correspondientes a cada celda de la matriz de

rigidez de un elemento de viga. Dichas ecuaciones fueron formuladas en la matriz de rigidez

del programa de viga, siendo la misma para cada elemento.


Ingeniería civil

Los desplazamientos desconocidos del elemento se obtienen al final del todo

el proceso de las matrices. Pues se requiere tener la matriz de consolidación

para poder obtener al final estos desplazamientos. Inicialmente en el

programa aparecerán valores en cero, y al final después de obtener la

consolidación se puede acceder a las matrices de cada elemento, donde al

ejecutar nuevamente se obtiene los valores de estos desplazamientos

desconocidos.

La matriz de fuerzas de fijación se obtiene a partir de los datos de entrada.

Donde el usuario calcula cada fuerza empleando la formula correspondiente,

usando el listado dado por el programa en el botón fuerzas de empotramiento.

Las reacciones o fuerzas desconocidas del elemento, se obtienen al final de todo el

proceso, al igual que los desplazamientos desconocidos. Después de obtener la

matriz de consolidación y los desplazamientos desconocidos, se

puede encontrar estas reacciones desconocidas. Inicialmente

aparecerán valores en cero en la matriz de estas fuerzas. Después del

proceso de consolidación se puede obtener en la matriz de cada elemento, el valor de las

fuerzas resultantes o desconocidas.

Después de ingresar los datos iniciales de un elemento y dar

ejecutar a las matrices, se puede proceder al siguiente elemento

de la viga. Donde apareceré el mismo formulario para ingresar los valores de entrada

correspondientes, y obtener el valor en las matrices de cada elemento evaluado. Cabe

resaltar la importancia de la numeración de todos los nudos en la viga, para la correcta

consolidación de las matrices de rigidez y fuerzas de fijación.

Se dispone de la opción de poder regresar al formulario de un

elemento anteriormente evaluado en la viga, mediante el botón

naranja “anterior elemento”.

Se tiene la opción de poder salir del programa si se desea, dando clic al

botón rosado “salir de DEMAT”. Teniendo en cuenta, que no se guardan

los procesos ejecutados en su uso.


Ingeniería civil

Una vez ingresado todos los datos de entrada de cada elemento de

la viga, y obtenido las matrices de rigidez y fuerzas de fijación, se

procede al proceso de consolidación. Se da clic al botón naranja “consolidación”.

7.1.3 formulario del proceso de consolidación

Figura 16. Formulario de consolidación

Fuente: autores

En el formulario de consolidación se tiene una matriz de 22 filas por 22 columnas, donde se

realiza la consolidación de las matrices de rigidez de cada elemento de la viga. También se

tiene la matriz que consolida todas las fuerzas de fijación de cada elemento. Inicialmente

se deben registrar por el usuario las reacciones conocidas y después las desconocidas. Para

poder efectuar las diferentes consolidaciones de matrices.


Ingeniería civil

Los datos de entrada en este formulario corresponden a las reacciones o fuerzas

conocidas y desconocidas en cada nudo. En cada celda se tiene una lista

desplegable correspondiente a cada fuerza y momento de cada nudo; se debe

seleccionar en primera medida las fuerzas conocidas y al lado derecho donde se

encuentran unas “x”, se debe remplazar por el valor conocido de la fuerza.

Finalmente se debe colocar en la lista desplegable las fuerzas y momentos

desconocidos, dejando sin modificar el valor de “x” encontrado en el lado derecho.

Si las fuerzas y momentos son menor a la cantidad encontrada en formulario,

debido a los elementos de la viga, se debe eliminar las “x” de las celdas sin fuerzas

o sin dato.

Después de ingresar los datos de entrada se debe dar clic al botón

verde “consolidar”, para que se efectué la consolidación de las matrices

de rigidez y las fuerzas de fijación de cada elemento.

Figura 17. Matriz de consolidación de las matrices de rigidez de cada elemento

Fuente: autores

Según la cantidad de elementos en la viga, se tiene la misma cantidad de matrices de rigidez

de cada uno de los elementos. Los cuales, se toman todas para consolidar una matriz de

rigidez general. Se debe tener enumerado cada nudo en la viga, para poder identificar la

matriz de rigidez que corresponde a cada elemento. Estas matrices de rigidez se ensamblan

o se acoplan con superposición, obteniendo una matriz de rigidez general o consolidada en

la estructura de cercha, según la siguiente ecuación:

[𝐾] = [𝐾]𝑖−𝑗 + [𝐾]𝑖−𝑘 + [𝐾]𝑗−𝑘 ….


Ingeniería civil

Al darle clic a la opción de consolidación de la plataforma, se efectúa el proceso de

consolidación de las matrices de rigidez de cada elemento. Se obtiene una matriz general

de 22 columnas por 22 filas, que consolida todas estas matrices de rigidez.

Al igual que en la matriz de consolidación de las rigideces, al dar clic a “consolidar” se

obtiene la consolidación de las fuerzas de fijación de cada elemento. Agrupándolo en

una matriz de 22 filas por dos columnas; donde se tienen todas las fuerzas de

empotramiento de la viga y con la cual se puede obtener al igual que con el uso de la

matriz de consolidación de rigideces, los desplazamientos y reacciones desconocidas.

Al dar clic en el botón “elementos” nos devuelve a las plataformas de los

elementos de cada viga. En caso que se desee corregir algún dato de

entrada registrado.

Al dar clic en el botón “siguiente paso” nos permite avanzar a la

siguiente plataforma, correspondiente al cálculo de los

desplazamientos desconocidos en la viga.

Para salir del programa, en el formulario se tiene la opción “salir de

DEMAT” correspondiente al botón rosado, encontrado en la parte

derecha inferior de la plataforma.

7.1.4 formulario cálculo de desplazamientos desconocidos

Figura 18. Formulario calculo desplazamientos y reacciones desconocidas

Fuente: autores


Ingeniería civil

En el formulario de desplazamientos y fuerzas desconocidas, se obtiene los resultados de

estos desplazamientos y reacciones que se desean encontrar. Para ello se dispone de una

matriz inversa a la matriz de consolidación de rigideces, despreciando los desplazamientos

nulos.

Figura 19.Inversa de la matriz de consolidación.

Fuente. Autores

Una vez consolidados los elementos, se realiza el procedimiento de la matriz inversa. En

donde se toman los valores de la matriz de consolidación, que corresponden a las

reacciones conocidas en la viga. Los demás valores de filas y columnas de la consolidación,

se omiten por ser inoficiosas para obtener la matriz inversa.

Se tiene la matriz de las fuerzas o reacciones desconocidas (F), a la cual, se le

resta la matriz de las fuerzas de fijación (FF). Esto, con el fin de multiplicarlos

con la matriz inversa (I) y obtener el valor de los desplazamientos desconocidos

(δ).

(𝛿) = (𝐼) ∗ (𝐹) − (𝐹𝐹)

F FF


Ingeniería civil

Los desplazamientos desconocidos se obtienen de la descripción anterior, de restar

las fuerzas de fijación a las fuerzas conocidas y multiplicarlas por la matriz inversa.

Estos desplazamientos desconocidos son usados para después poder obtener las

fuerzas reacciones desconocidas.

Al dar clic en el botón “paso anterior” nos permite avanzar a la

anterior plataforma, correspondiente a la matriz de consolidación.



derecha superior de la plataforma.

Después de obtener el valor de los desplazamientos desconocidos

podemos dirigirnos a las plataformas correspondientes a los elementos

de la viga. Desde ahí se pude generar las gráficas de momento y cortante de cada elemento

de la viga.

7.1.5 formulario graficas de cada elemento de la viga

Figura 20. Formulario grafica de cada elemento

Fuente: autores


Ingeniería civil

En el formulario de gráficas, se obtienen graficas de momento y cortante para un elemento

de la viga. Se tienen la posibilidad de tener 12 cargas puntuales, 5 cargas distribuidas y 4

cargas de momento. Es la limitante que se tienen para estas cargas y la generación de las

gráficas.

Figura 21. Grafica de cortante

Fuente: Autores

Al ingresar el usuario los datos corespondientes a las cargas encontradas en el elemento, se

puede generar la grafica de cortante. Donde depende de las cargas aplicadas y los valores

de las reacciones desconocidas, que se calculan al final de todo el proceso de matrices.

Figura 22. Diagrama de momento

Fuente: Autores

Al igual q en el diagrama de cortante, el usuario debe ingresar los valores correspondientes

a las cargas, para finalmente poder generar la gráfica de momentos en cada elemento de la

viga.


Ingeniería civil

Para facilitar las gráficas al usuario, se tiene un esquema donde se

explica los elementos que se deben tener en cuenta, al momento

de introducir los datos en los cuadros las cargas. Se especifica lo

correspondiente a los datos de longitudes y cargas respectivas,

según la carga aplicada en la viga.

Inicialmente el usuario ingreso como datos de entrada la inercia del

elemento en cm4, la longitud en metros y por último el módulo de

elasticidad en Mega Pascales, en el formulario de cada elemento de

la viga. Los cuales son registrados también al formulario de las

gráficas.

También se tiene en el formulario de cada elemento de la viga, el

resultado de las reacciones de cortante y momento. Correspondiente

a las reacciones desconocidas que se obtienen al final del proceso de

las matrices, y que es calculada en el formulario de cada elemento al

dar clic en “ejecutar”.

El usuario debe ingresar el valor de las cargas puntuales encontradas en el

elemento de la viga. Por tanto, se tiene una tabla con la opción de 12 cargas

puntuales. En la columna (a) se registra la distancia desde el nudo inicial, a la

carga puntual en metros. En la columna (p) se ingresa el valor de la carga

puntual en kilonewtons.

El usuario debe ingresar el valor de las cargas distribuidas

encontradas en el elemento de la viga. Al igual que en las cargas

puntuales, se tiene un cuadro con la posibilidad de 5 cargas

distribuidas dentro del elemento. En la columna (b) se ingresa la

distancia del nudo inicial, al punto inicial de la carga distribuida.

En la columna (wb) se ingresa el valor inicial de la carga distribuida. La columna (c)

corresponde a la distancia del nudo inicial a punto final de la carga distribuida. Por último,

la columna (wc) se ingresa el valor final de la carga distribuida.


Ingeniería civil

También debe ser ingresado por el usuario de ser necesario, los datos de

entrada correspondientes a las cargas de momento, encontradas en el

elemento de la viga. Por lo cual, se tiene un cuadro con la posibilidad de

4 cargas de momento. En la columna (d) se registra, la distancia

correspondiente al nudo inicial y el punto donde se encuentra la carga

de momento. En la columna (m) se ingresa el valor de la carga de

momento.

Después de ingresar los datos correspondientes a las cargas, se debe dar

clic al botón “graficar”, para poder tener las gráficas de momento y

cortante en cada elemento de la viga.


anterior plataforma, correspondiente al cálculo de los

desplazamientos desconocidos.

Al dar clic al botón “siguiente elemento”, permite dirigir al

usuario a la plataforma correspondiente al elemento que sigue,

para poder generar las gráficas de momento y cortante.

Al dar clic en el botón “consolidación”, permite al usuario

dirigirse a la plataforma de la consolidación de matrices de

rigidez.





Ingeniería civil

7.2 Cerchas (programa dcerchas)

Al igual que el programa para el análisis matricial de vigas, el programa de cerchas se basa

en el método matricial del cálculo de desplazamientos desconocidos, para después poder

obtener las reacciones desconocidas. Se usan formularios de fácil manejo para el usuario.

A diferencia del programa de vigas, en el programa de cerchas no se tienen graficas de

momentos y cortantes de los elementos.

7.2.1 formulario de entrada del programa de cerchas

Figura 235. Formulario de entrada y recomendaciones de uso

Fuente: autores

Al igual que en el programa de vigas, al iniciar el programa aparece el formulario de entrada,

donde se tienen 4 recomendaciones importantes para su buen funcionamiento. La primera

recomendación establece que el usuario cierre todos los archivos de Excel que tenga

abiertos, para no presentar inconvenientes al momento de generar la consolidación de las

matrices. Como segunda recomendación, el usuario debe ingresar de manera ordenada en

cada casilla únicamente valores numéricos, ya que digitar letras o texto no permite el

cálculo adecuado de las matrices provocando errores, haciendo necesario recalcular todo

el elemento. La tercera recomendación, para el uso de decimales se debe usar la tecla

punto. Finalmente, la cuarta y última recomendación indica que DEMAT no guardara los

procesos generados durante su uso una vez sea cerrado el programa.

Teniendo claras las recomendaciones anteriormente citadas, el usuario puede

dar inicio al programa dando clic en el botón azul continuar.


Ingeniería civil

7.2.2 formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento de la cercha

Figura 24. Formulario de matrices de rigidez en cerchas

Fuente: Autores

Después de darle “continuar” aparece el formulario donde se deben ingresar unos datos de

entrada, para poder obtener los valores de la matriz de rigidez local y general, al igual que

la matriz de transformación en el elemento de la cercha, usados para la consolidación.

El usuario debe tener claro que en los elementos de una cercha, pues según el libro de uribe

escamilla, los elemento de la cercha se encuentran arbitrariamente orientados; donde se

tiene coordenadas tanto generales como locales, según la orientación de cada elemento.

Estos están sometidos a cargas de tensión y compresión simple, en la estructura de la

cercha.

Figura 25. Orientación arbitraria en el plano, de un elemento de cerca

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Elemento de cercha arbitrariamente orientado en el plano. 2 ed.

Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 429.


Ingeniería civil

Donde:

X= sistema de ejes generales o ejes de la estructura en “x”


Y= sistema de ejes generales o ejes de la estructura en “y”

Y= sistema de ejes locales o ejes del elemento en “y”

u= deformacion del elemento en el eje “x” de coordenadas generales

u= deformacion del elemento en el eje “x” de coordenadas locales

v= deformacion del elemento en el eje “y” de coordenadas generales

v= deformacion del elemento en el eje “y” de coordenadas locales

i= nudo inicial del elemento

j= nudo final del elemento

la figura anterior muestra la orientacion arbitraria que puede tener un elemento de la

cercha, al igual que sus ejes locales y generales. Tambien se identifica el nudo inicial y el

nudo final del elemento.

Teniendo claro lo anterior, para los terminos de coordenadas locales se tiene la siguiente

ecuacion:

[�̅�𝑖

�̅�𝑗] =

𝐴𝐸

𝐿[

1 −1−1 1

] [�̅�𝑖

�̅�𝑗]

Según Uribe Escamilla en coordenadas generales existen cuatro componentes de deflexion,

donde se empieza a expandir la ecuacion anteriormente a:

[ �̅�𝑖

�̅�𝑖

�̅�𝑗

�̅�𝑗 ]

=𝐴𝐸

𝐿[

1 0 −1 00 0 0 0

−10

00

1 00 0

] [

�̅�𝑖

�̅�𝑖

�̅�𝑗

�̅�𝑗

]

Donde se podria escribir o colocar en forma mas compacta de la siguiente manera:

[�̅�] = [�̅�][𝛿̅]


Ingeniería civil

El primer dato de entrada que debe ingresar el usuario, corresponde a la

numeración de los nudos (nudo inicial y nudo final en el elemento) e

ingresándolos en la opción “nudo”; Por tanto, el usuario debe enumerar

todos los nudos encontrados en la cercha. El usuario debe calcular el valor

del área del elemento de la cercha en mm2, debe registrar el valor de la

longitud del elemento en mm, el modo de elasticidad en Giga Pascales, y por último el

ángulo de inclinación del elemento en la cercha.

Al ingresar los datos de entrada anteriormente descritos, se procede a

dar clic al botón “ejecutar”. Donde se obtiene valores en la matriz de

rigidez local del elemento, los valores de la matriz de transformación y finalmente los

valores de la matriz de rigidez del elemento en coordenadas generales.

La matriz de rigidez del elemento se obtiene a partir de los datos

de entrada correspondientes al área de la sección del elemento

(A), módulo de elasticidad (E) y la longitud (L). Con una

determinada ecuación en cada celda de la matriz.

Figura 26. Matriz rigidez en coordenadas locales

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Matriz de rigidez en coordenadas locales. Libro Rafael Uribe

escamilla. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 430.

Para poder obtener los valores en la matriz de transformación,

se requiere de los datos de entrada correspondientes a el área

(a) de la sección del elemento, la longitud (l) del elemento, el

módulo de elasticidad (E), y finalmente el ángulo de inclinación

del elemento.

Con la figura 17 correspondiente a la orientacion arbitraria que puede tener un elemento

de la cercha, uribe escamilla muestra que se tienen las resultantes de los vectores de “X” y


Ingeniería civil

“Y” en coordenadas generales a locales, donde se tienen estas resultantes para los ejes

locales del elemento. Se tiene entonces:

�̅�𝑖 = 𝑋𝑖 cos ∅ + 𝑌𝑖 sin ∅

�̅�𝑖 = −𝑋𝑖 sin ∅ + 𝑌𝑖 cos ∅

�̅�𝑗 = 𝑋𝑗 cos ∅ + 𝑌𝑗 sin ∅

�̅�𝑗 = −𝑋𝑗 sin ∅ + 𝑌𝑗 cos ∅

Donde se expresa matricialmente en la figura 19.

Figura 27. Matriz de transformación del elemento

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Matriz de transformación del elemento. Libro Rafael Uribe


Donde 𝑐 = cos 𝜃 y 𝑠 = sin 𝜃

La forma compacta de expresar la ecuacion matricial de la figura 19 es la siguiente:

[�̅�] = [𝑇][𝐹]

[T]= matriz de transformacion

Despejando la matriz [F] de la ecuacion según el libro de uribe escamilla, se tiene la siguiente

ecuancion:

[𝐹] = [𝑇]−1[�̅�]


Ingeniería civil

Y tanbien según uribe escamilla, por algebra lineal se demuestra que para sistema de

coordenadas ortogonales la matriz de transformacion [T] resulta ortogonal, teniendo lo

siguiente:

[𝑇]−1 = [𝑇]𝑇

Para el caso de los desplazamientos ocurre lo mismo con las ecuaciones matriciales

teniendo:

[𝛿̅] = [𝑇][𝛿]

En el cual [T] se define como la misma matriz de transformacion referente a la ecuacion

matricial de las fuerzas.

Replazando las ecuaciones correspondiente a [F] se llega a la siguiente ecuacion para un

mayor entendimiento al usuario.

[𝐹] = [𝑇]𝑇[�̅�] = [𝑇]𝑇[�̅�][𝛿̅]

[𝐹] = [𝑇]𝑇[�̅�][𝑇][𝛿]

Si se compara la ecuacion anterior con la siguiente ecuacion dada, se tiene la ecuacion de

la rigidez [K] del elemento.

[�̅�] = [�̅�][𝛿̅]

[𝐾] = [𝑇]𝑇[�̅�][𝑇]

Para el valor de las coordenadas generales, se requiere de los

datos de entrada correspondientes a el área (a), longitud (l),

módulo de elasticidad (E) y el ángulo de inclinación del elemento.

Despejando las ecuaciones anteriomente dadas se llega a la ecuacion matricial de rigidez

de un elmento de cercha, correspondiente a la figura 20.


Ingeniería civil

Figura 28. Matriz de rigidez en coordenadas generales

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Matriz de rigidez en coordenadas generales. Libro Rafael Uribe


Donde:

𝑐2 = cos2 𝜃; 𝑠2 = sin2 𝜃; 𝑐𝑠 = (cos 𝜃) (sin 𝜃)

El valor de las fuerzas internas de cada elemento se obtiene al final

del proceso de consolidación y cálculo de desplazamientos y cargas

desconocidas en la cercha. Por tanto, cuando se finalizan estos

procesos, se llega nuevamente a la plataforma de los elementos de

la cercha, donde se da clic al botón “ejecutar” y por tanto se

obtiene el cálculo de las fuerzas internas.

Al dar clic en el botón “anterior elemento”, permite dirigir al

usuario a la plataforma correspondiente al anterior elemento de

la cercha.


ejecutar a las matrices, se puede proceder al siguiente elemento

de la cercha. Donde apareceré el mismo formulario para ingresar los valores de entrada

correspondientes, y obtener el valor en las matrices de cada elemento evaluado. Cabe

resaltar la importancia de la numeración de todos los nudos en la cercha, para la correcta

consolidación de las matrices de rigidez.

Una vez ingresado todos los datos de entrada de cada elemento

de la cercha, y obtenido las matrices de rigidez, se procede al

proceso de consolidación. Se da clic al botón azul “consolidación”.


Ingeniería civil





Figura 29. Formulario datos de entrada de desplazamientos desconocidos

Fuente: Autores

Después de pasar por los formularios de los elementos de la cercha y generar las matrices

de rigidez, el usuario pasa a la siguiente plataforma, correspondiente a los datos de entrada

de las fuerzas conocidas y desconocidos en los nudos de la cercha. Donde, se debe ingresar

inicialmente el valor de las fuerzas conocidas y dejando al final aquellas que son

desconocidas. Se tienen una lista desplegable en cada casilla para seleccionar el nudo

correspondiente. Es importante, que se dejen las “x” correspondiente a los

desplazamientos desconocidos, para que se pueda generar sin inconveniente el proceso de

consolidación


Ingeniería civil

El usuario debe registrar como datos de entrada para la consolidación, el valor de

las fuerzas conocidas y al final dejar las desconocidas sin modificar la “x” que se

tiene en la columna siguiente. Como se mencionó anteriormente se tiene una lista

desplegable donde se encuentran la referencia de los nudos que se pueden

encontrar en la cercha.

Al final del proceso de consolidación, se tiene como resultado el valor de las

fuerzas y desplazamientos desconocidos del elemento. Por tanto, los

desplazamientos se tienen al final de todo el proceso de consolidación.

[𝐹] = [𝐾][𝛿]

Al ingresar los datos de entrada de las fuerzas conocidas y

desconocidas, se procede a dar clic al botón “consolidación 1” para

pasar a la siguiente plataforma correspondiente a la consolidación.

Después de dar clic a “consolidación 1”, el usuario debe

dar clic en el botón “ver matriz de consolidación”, para

poder dirigirse a la matriz consolidada.

Al dar clic en el botón “elementos”, el usuario se dirige al

formulario anterior correspondiente a los elementos de la

cercha.

Si el usuario desea salir del programa, se tiene un botón en la

plataforma el cual se denomina “cerrar”.


Ingeniería civil


Figura 30. Formulario de consolidación de cerchas

Fuente: Autores

Después de dar clic en “consolidación 1” de la plataforma anterior de los datos de entrada,

se procede a la siguiente plataforma, donde se encuentra la matriz de consolidación

correspondiente a las matrices de rigidez de los elementos de la cercha. Esto con el fin, de

que el usuario pueda visualizar la matriz consolidada de la cercha evaluada.

Figura 31. Matriz de consolidación de cerchas

Fuente: Autores

El usuario tiene la posibilidad de visualizar la matriz de consolidación, correspondiente a las

matrices de rigidez de los elementos de la cercha. Esta matriz consta de 32 filas por 32

columnas.


Ingeniería civil

Dependiendo de la cantidad de elementos en la cercha, así mismo se tiene la misma

cantidad de matrices de rigidez de cada una. Donde se toman todas estas matrices de

rigidez y se consolidan todas en una sola matriz de rigidez. Es importante tener enumerado

cada nudo en la cercha, para poder identificar la matriz de rigidez que corresponde a cada

elemento. Estas matrices de rigidez se ensamblan o se acoplan con superposición,

obteniendo una matriz de rigidez general o consolidada en la estructura de cercha, según

la siguiente ecuación:

[𝐾] = [𝐾]𝑖−𝑗 + [𝐾]𝑖−𝑘 + [𝐾]𝑗−𝑘 ….

Al dar clic en el botón “fuerzas”, el usuario se dirige al

formulario anterior, correspondiente al ingreso de los datos de

las fuerzas conocidas y desconocidas.

Dando clic en el botón “siguiente paso”, se procede a la

plataforma correspondiente al cálculo de las fuerzas y

desplazamientos desconocidos en la cercha.

Dando clic en el botón “cerrar” el usuario da por finalizado el

uso del programa de cerchas. Cabe aclarar, que al salir del

programa no se guardan los cambios o procesos efectuados.

7.2.5 formulario del resultado de las reacciones y desplazamientos desconocidos en la

cercha

Figura 32. Formulario del resultado de fuerzas y desplazamientos desconocidos

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Después de tener la matriz de consolidación del formulario anterior, el usuario se dirige al

formulario correspondiente al resultado de los desplazamientos y reacciones desconocidas.

Estos valores se obtienen a partir, de unas multiplicaciones de determinadas matrices.

Dependiendo de los desplazamientos desconocidos, se obtiene al final del

proceso el valor de estos. Con la matriz de consolidación, la matriz inversa de

esta, y las operaciones de multiplicación de matrices correspondientes para

obtener estos valores. Donde los valores son obtenidos en radianes.

Al igual que en los desplazamientos desconocidos, al final del proceso se

obtiene el valor de las reacciones desconocidas de la cercha. También es

necesario o importante el uso de la matriz de consolidación, su inversa, y las

operaciones de multiplicación de matrices correspondientes. Los valores de

estas reacciones son en kilonewtons.

Al dar clic en el botón “ver matriz de desplazamientos”,

el usuario se dirige al formulario correspondiente a la

matriz de consolidación.

Al dar clic en el botón “paso anterior”, el usuario se dirige

al formulario correspondiente a los datos de entrada de

las reacciones desconocidas en la cercha.


Ingeniería civil

Dando clic en el botón “cerrar” el usuario da por finalizado

el uso del programa de cerchas. Cabe aclarar, que al salir del


7.3 Pórticos (programa dpinclinado)

Al igual que los programas de análisis matricial de vigas y cerchas, el programa de pórticos

se basa en el método matricial para el cálculo de desplazamientos desconocidos. Donde

después se puede obtener las reacciones desconocidas. También se usan formularios

sencillos y de fácil manejo para mayor facilidad al usuario. En el programa de pórticos se

tienen graficas de momentos, cortantes, cargas axiales y desplazamientos.

7.3.1 formulario de entrada del programa de pórticos

Figura 33. Formulario de entrada programa pórticos recomendaciones y uso

Fuente: Autores

Al igual que en los programas de viga y cerchas, al iniciar el programa aparece el formulario

de entrada, donde se tienen 4 recomendaciones importantes para su buen funcionamiento.

La primera recomendación indica que es necesario que el usuario cierre todos los archivos

de Excel que tenga abiertos, para no presentar inconvenientes al momento de generar la

consolidación en las matrices. La segunda recomendación es usar o digitar por parte del


Ingeniería civil

usuario solo valores numéricos, ya que digitar letras o texto no permite el cálculo adecuado

en las matrices, es por esto que se genera un error y debe ser recalculado, digitando el valor

numérico adecuado y correspondiente en cada casilla. Como tercera recomendación, para

el uso de decimales se debe usar la tecla punto. Finalmente la cuarta y última

recomendación es que el programa DEMAT no guardara los procesos generados durante su

uso, una vez sea cerrado el programa.

Teniendo claras las recomendaciones anteriormente citadas, el

usuario puede dar inicio al programa dando clic en el botón azul

continuar.

7.3.2 formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento del pórtico

Figura 34. Formularios matrices de rigidez en elementos de pórticos

Fuente: Autores

Al igual que en los programas de vigas y cerchas después de dar clic en “continuar” del

formulario de entrada, aparece el formulario donde se deben ingresar unos datos de

entrada en cada elemento, para poder obtener los valores de las matrices de

transformación, la matriz de rigidez local y general, y por ultimo las fuerzas de fijación en el

elemento del pórtico. Los cuales son usados para la consolidación de las matrices de rigidez

general.


Ingeniería civil

Según el libro de uribe escamilla, un elemento de portico plano inclinado esta orientado

arbitrariamente con respecto al eje X. Donde los ejes “X” y “Y” con barra, corresponden al

eje local o del miembro, pero si no tiene barra corresponde al eje general o de la estructura.

Un elemento de estos, esta sometido en sus extremos a cargas de corte, flexion y axial.

Figura 35. Elemento de pórtico plano orientado arbitrariamente

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Caso general del elemento portico plano, arbitrariamente

orientado. Libro Rafael Uribe escamilla. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 516.

Donde:

X= sistema de ejes generales o ejes de la estructura en “x”


Y= sistema de ejes generales o ejes de la estructura en “y”

Y= sistema de ejes locales o ejes del elemento en “y”

u= deformacion del elemento en el eje “x” de coordenadas generales

u= deformacion del elemento en el eje “x” de coordenadas locales

v= deformacion del elemento en el eje “y” de coordenadas generales

v= deformacion del elemento en el eje “y” de coordenadas locales

i= nudo inicial del elemento

j= nudo final del elemento

la figura anterior muestra la orientacion arbitraria que puede tener un elemento de la

cercha, al igual que sus ejes locales y generales. Tambien se identifica el nudo inicial y el

nudo final del elemento.

Como en el programa de viga es importante que el usuario enumerar

todos los nudos encontrados en el pórtico. De esta manera en cada

elemento del pórtico, se encuentra un nudo inicial y otro final. El usuario


Ingeniería civil

debe digitar en la opción “elemento” el valor del nudo inicial y luego el nudo final según la

numeración generada.

El usuario debe calcular el valor de la inercia en cm4 del pórtico

evaluado, para ser digitado o introducido en el cuadro blanco.

También debe introducir el valor de la longitud del elemento en

metros, al igual que su módulo de elasticidad (E) en mega páscales,

y por último el área de la sección del elemento evaluado en el pórtico correspondiente a

metros cuadrados.

Al igual que en el programa de vigas, el usuario debe ingresar como

datos de entrada el valor de las fuerzas de empotramientos o fijación en

kilonewtons por metro. Haciendo referencia a las fuerzas y momentos

de fijación del nudo inicial y final de cada elemento. Para poder obtener

este valor debe hacer uso de las ecuaciones de fuerzas de

empotramiento, según las cargas aplicadas y el caso que corresponda.

También se debe ingresar el ángulo en que se encuentra ubicado el

elemento del pórtico.

Al igual que en el programa de vigas para facilitar el cálculo

de las fuerzas de empotramiento, el programa de pórticos

dispone de un listado de opciones según las cargas aplicadas al elemento, para el respectivo

cálculo de las fuerzas de fijación por parte del usuario. Para acceder a este listado hay que

dar clic en el botón azul “fuerzas de empotramiento”.


Ingeniería civil

Figura 36. Primer listado de fuerzas de empotramiento para elemento del pórtico

Fuente: autores

Figura 37. Segundo listado de fuerzas de empotramiento para el elemento del pórtico

Fuente: autores


Ingeniería civil

Figura 38. Tercer listado de fuerzas de empotramiento para el elemento del pórtico

Fuente: autores

Después de ingresar los datos de entrada anteriormente descritos, se

procede a dar clic al botón “ejecutar”. Donde se obtiene los valores de

la matriz de rigidez del elemento, las matrices transpuestas, sus fuerzas de fijación y los

valores en las casillas de color gris dependientes de los datos iniciales.

Figura 39. Fuerzas de fijación en coordenadas locales

Fuente: Autores

Después de haber ingresado el usuario los datos de entrada y de dar clic en ejecutar, se

obtiene los valores correspondientes a la matriz de transformación (T). Necesarios para

poder obtener la matriz inversa de esta.


Ingeniería civil

Figura 40. Matriz de transformación del elemento del pórtico

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Matriz de transformación del elemento pórtico.. Libro Rafael

Uribe escamilla. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 516.

Donde la matriz de transformación se define en la siguiente ecuación:

[𝐹𝐹̅̅ ̅̅ ] = [𝑇][𝐹]

Como en el programa de cerchas, poder obtener los valores en la matriz de transformación,

se requiere de los datos de entrada correspondientes al área (a) de la sección del elemento,

la longitud (l) del elemento, el módulo de elasticidad (E), y finalmente el ángulo de

inclinación del elemento.

Figura 41. Fuerzas de fijación en coordenadas generales

Fuente: Autores

Teniendo los valores en la matriz de transformación, se puede obtener el valor de la matriz

inversa de transformación, necesario para el cálculo de las fuerzas de fijación en

coordenadas generales. Estas fuerzas de fijación en coordenadas generales (FF) se obtienen

a partir, de multiplicar la matriz inversa de transformación (T-1) por las fuerzas de fijación

en coordenadas locales (ff).

(𝐹𝐹) = (𝑇−1) ∗ (𝑓𝑓)


Ingeniería civil


ejecutar a las matrices, se puede proceder al siguiente

elemento del pórtico. Donde apareceré el mismo formulario para ingresar los valores de

entrada correspondientes, y obtener el valor en las matrices de cada elemento evaluado.

al dar clic en “paso siguiente” el usuario se dirige a la

plataforma correspondiente a las matrices de rigidez local y

general del elemento.

Figura 42. Matriz de rigidez local y desplazamientos locales del elemento

Fuente: Autores

Dada la siguiente ecuacion matricial se obtiene el valor de las fuerzas locales del elemento,

teniendo claro que es importante primero hayar el valor de los desplazamientos

desconocidos.

[�̅�] = [�̅�][𝛿̅] + [𝐹𝐹̅̅ ̅̅ ]

Figura 43. Matriz de rigidez local del elemento de pórtico

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Matiz de rigidez local del elemento portico. Libro Rafael Uribe



Ingeniería civil

Con cada ecuacion dada en cada celda, se obtienen los valores para la matriz de rigidez local

del elemento del portico.

Donde:

𝜆 = cos𝜙𝑥

𝜇 = cos𝜙𝑦 = sin𝜙𝑥

Con los datos de entrada ingresados por el usuario, se obtiene el valor de las matrices de

rigidez local del elemento, y sus fuerzas de fijacion local.

Figura 44. Matriz de rigidez general y desplazamientos desconocidos en coordenadas generales

Fuente: Autores

Para obtener el valor de la matriz de rigidez general del elemento, se requiere tenere la

matriz de rigidez en coordenadas locales. Con las ecuaciones correspondientes y con los

valore de la matriz de rigidez local, se obiene en cada casilla el valor de la matriz de rigidez

general. Tambien se tiene el valor de las fierzas de fijacion en coordenadas generales.

Para obtener la matriz de rigidez general del elemento se debe efectuar la siguiente

ecuacion matricial:

[𝐾] = [𝑇]𝑇[�̅�][𝑇]

Ya teniendo la matriz de riguidez local del elemento, y despues de ser hayadas los

desplazamientos desconocidos del elemento, se puede obtener el valor de las fuerzas

desconocidas en coordenadas generales con la siguiente ecuacion matricial:

[𝐹] = [𝐾][𝛿] + [𝐹𝐹]


Ingeniería civil

Una vez ingresado todos los datos de entrada de cada

elemento del pórtico, y obtenido las matrices de rigidez, las

matrices de transformación y fuerzas de fijación, se procede al proceso de consolidación.

Se da clic al botón “consolidación”.

Dando clic en el botón “cerrar” el usuario da por finalizado el uso del

programa de pórticos. Cabe aclarar, que al salir del programa no se

guardan los cambios o procesos efectuados.

7.3.3 formulario datos entrada de fuerzas desconocidas para la consolidación del pórtico

Figura 45. Datos de entrada de fuerzas desconocidas para la consolidación

Fuente: Autores

Después de pasar por los formularios de los elementos del pórtico y generar las matrices de

rigidez, el usuario pasa a la siguiente plataforma, correspondiente a los datos de entrada de

las fuerzas conocidas y desconocidos en los nudos del pórtico. Donde, se debe ingresar

inicialmente el valor de las fuerzas conocidas y dejando al final aquellas que son

desconocidas. Se tienen una lista desplegable en cada casilla para seleccionar el nudo

correspondiente. Es importante, que se dejen las “x” correspondiente a los

desplazamientos desconocidos, para que se pueda generar sin inconveniente el proceso de

consolidación.


Ingeniería civil

El usuario debe registrar como datos de entrada para la consolidación, el valor de

las fuerzas conocidas y al final dejar las desconocidas sin modificar la “x” que se

tiene en la columna siguiente. Como se mencionó anteriormente se tiene una lista

desplegable donde se encuentran la referencia de los nudos que se pueden

encontrar en el pórtico.

Al final del proceso de consolidación, se tiene como resultado el valor de las

fuerzas y desplazamientos desconocidos del elemento. Por tanto, los

desplazamientos se tienen al final de todo el proceso de consolidación.

[𝐹] = [𝐾][𝛿] + [𝐹𝐹]

Al ingresar los datos de entrada de las fuerzas conocidas y desconocidas,

se procede a dar clic al botón “consolidación” para pasar a la siguiente

plataforma correspondiente a la consolidación.

Después de dar clic a “consolidación”, el usuario debe

dar clic en el botón “ver matriz de consolidación”, para

poder dirigirse a la matriz consolidada.

Al dar clic en el botón “elementos”, el usuario se dirige al

formulario anterior correspondiente a los elementos del

pórtico.

Si el usuario desea salir del programa, se tiene un botón en la

plataforma el cual se denomina “cerrar”.


Ingeniería civil

7.2.4 formulario del proceso de consolidación de pórticos

Figura 46. Formulario de consolidación de pórticos

Fuente: Autores

Después de dar clic en “consolidación” de la plataforma anterior de los datos de entrada,

se procede a la siguiente plataforma, donde se encuentra la matriz de consolidación

correspondiente a las matrices de rigidez de los elementos del pórtico. Esto con el fin, de

que el usuario pueda visualizar la matriz consolidada del pórtico evaluado.

Figura 47. Matriz de consolidación del pórtico

Fuente: Autores

El usuario tiene la posibilidad de visualizar la matriz de consolidación, correspondiente a las

matrices de rigidez de los elementos del pórtico. Esta matriz consta de 32 filas por 32

columnas.


Ingeniería civil

Al dar clic en el botón “fuerzas”, el usuario se dirige al

formulario anterior, correspondiente al ingreso de los

datos de las fuerzas conocidas y desconocidas.

Dando clic en el botón “siguiente paso”, se procede a la

plataforma correspondiente al cálculo de las fuerzas y

desplazamientos desconocidos en el pórtico.

Dando clic en el botón “cerrar” el usuario da por

finalizado el uso del programa de Pórticos. Cabe aclarar,

que al salir del programa no se guardan los cambios o procesos efectuados.

7.3.5 formulario del resultado de las reacciones y desplazamientos desconocidos en el

pórtico

Figura 48. Formulario de desplazamientos y fuerzas desconocidas en el pórtico

Fuente: Autores

Después de tener la matriz de consolidación del formulario anterior, el usuario se dirige al

formulario correspondiente al resultado de los desplazamientos y reacciones desconocidas.

Estos valores se obtienen a partir, de unas multiplicaciones de determinadas matrices.


Ingeniería civil

Dependiendo de los desplazamientos desconocidos, se obtiene al final del

proceso el valor de estos. Con la matriz de consolidación, la matriz inversa de

esta, y las operaciones de multiplicación de matrices correspondientes para

obtener estos valores. Donde los valores son obtenidos en radianes.

Al igual que en los desplazamientos desconocidos, al final del proceso se

obtiene el valor de las reacciones desconocidas de la cercha. También es

necesario o importante el uso de la matriz de consolidación, su inversa, y las

operaciones de multiplicación de matrices correspondientes. Los valores de

estas reacciones son en kilonewtons.

Al dar clic en el botón “ver matriz de desplazamientos”,

el usuario se dirige al formulario correspondiente a la

matriz de consolidación.

Al dar clic en el botón “paso anterior”, el usuario se dirige

al formulario correspondiente a los datos de entrada de

las reacciones desconocidas en el pórtico.

El usuario al dar clic en el botón “graficas de

los elementos”, se dirige a la siguiente

plataforma correspondiente al formulario de los elementos del pórtico. Donde se puede

generar las gráficas de momento y cortante de cada uno.


Ingeniería civil




7.3.6 formulario graficas de cada elemento del pórtico

Figura 49. Formulario graficas de cada elemento del pórtico

Fuente: Autores

En el formulario de gráficas, se obtienen graficas de momento y cortante para un elemento

del pórtico. Se tienen la posibilidad de tener 12 cargas puntuales, 5 cargas distribuidas y 4

cargas de momento. Es la limitante que se tienen para estas cargas y la generación de las

gráficas.

Figura 50. Diagrama de cortante en el elemento pórtico

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Al ingresar el usuario los datos corespondientes a las cargas encontradas en el elemento, se

puede generar la grafica de cortante. Donde depende de las cargas aplicadas y los valores

de las reacciones desconocidas, que se calculan al final de todo el proceso de matrices.

Figura 51. Diagrama de momento para el elemento del pórtico

Fuente: Autores

Al igual q en el diagrama de cortante, el usuario debe ingresar los valores correspondientes

a las cargas, para finalmente poder generar la gráfica de momentos en cada elemento del

pórtico.

Para facilitar las gráficas al usuario, se tiene un esquema donde se

explica los elementos que se deben tener en cuenta, al momento

de introducir los datos en los cuadros de las cargas. Se especifica lo

correspondiente a los datos de longitudes y cargas respectivas,

según la carga aplicada en el pórtico.

Inicialmente el usuario ingreso como datos de entrada la inercia del

elemento en cm4, la longitud en metros y por último el módulo de

elasticidad en Mega Pascales, en el formulario de cada elemento de

la viga. Los cuales son registrados también al formulario de las

gráficas.


Ingeniería civil

El usuario debe ingresar el valor de las cargas puntuales encontradas en el

elemento del pórtico. Por tanto se tiene un cuadro con la opción de 12 cargas

puntuales. En la columna (a) se registra la distancia desde el nudo inicial, a la

carga puntual en metros. En la columna (p) se ingresa el valor de la carga

puntual en kilonewtons.

El usuario debe ingresar el valor de las cargas distribuidas

encontradas en el elemento del pórtico. Al igual que en las cargas

puntuales, se tiene un cuadro con la posibilidad de 5 cargas

distribuidas dentro del elemento. En la columna (b) se ingresa la

distancia del nudo inicial, al punto inicial de la carga distribuida.

En la columna (wb) se ingresa el valor inicial de la carga distribuida. La columna (c)

corresponde a la distancia del nudo inicial a punto final de la carga distribuida. Por último,

la columna (wc) se ingresa el valor final de la carga distribuida.

También debe ser ingresado por el usuario de ser necesario, los datos de

entrada correspondientes a las cargas de momento, encontradas en el

elemento del pórtico. Por lo cual, se tiene un cuadro con la posibilidad

de 4 cargas de momento. En la columna (d) se registra, la distancia

correspondiente al nudo inicial y el punto donde se encuentra la carga

de momento. En la columna (m) se ingresa el valor de la carga de

momento.

Después de ingresar los datos correspondientes a las cargas, se debe dar

clic al botón “graficar”, para poder tener las gráficas de momento y

cortante en cada elemento del pórtico.


anterior plataforma, correspondiente al formulario de los

elementos.

Al dar clic al botón “siguiente elemento”, permite dirigir al

usuario a la plataforma correspondiente al elemento que sigue,

para poder generar las gráficas de momento y cortante.


Ingeniería civil

Al dar clic en el botón “consolidación”, permite al usuario

dirigirse al formulario correspondiente a los datos de entrada

de las fuerzas desconocidas en el pórtico.



programa no se guardan los cambios o procesos efectuados

7.4 Ejemplos de los programas de vigas, cerchas y pórticos.

7.4.1 Ejemplo viga asentamiento diferencial (programa dviga)

Se tiene el siguiente ejercicio de viga con un asentamiento diferencial en el apoyo 2 de

3mm.

Figura 52. Ejercicio viga con asentamiento diferencial

Fuente: ejercicio de clase ingeniero Paulo Marcelo Palomino. Universidad Distrital francisco José de Caldas

Se da inicio al programa de viga, donde aparece el primer formulario con las

recomendaciones de uso del programa. Se da clic en el botón continuar.


Ingeniería civil

Figura 53. Formulario cuadro de entrada, Ejercicio viga con asentamiento diferencial

Fuente: Autores

Se tiene el formulario de los datos de entrada del primer elemento de la viga, para obtener

los valores de la matriz de rigidez, correspondiente al nudo 1 y 2.

Figura 54. Formulario de los datos de entrada del primer elemento del ejercicio de viga, con asentamiento diferencial

Fuente: Autores

Se continúa con el formulario de los datos de entrada del segundo elemento de la viga,

donde se obtienen los valores de la matriz de rigidez, correspondiente al nudo 2 y 3.


Ingeniería civil

Figura 55. Formulario de los datos de entrada del segundo elemento del ejercicio de viga, con asentamiento diferencial

Fuente: Autores

Después de ingresar los datos de entrada en el segundo elemento, se continúa al formulario

de consolidación. Se ingresan los datos de entrada, correspondientes a las fuerzas

conocidas y desconocidas en los nudos. Donde se consolidan las matrices de rigidez y las

fuerzas de fijación de los elementos de la viga.

Figura 56. Formulario de consolidación 1 del ejercicio de viga con asentamiento diferencial

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Se continúa al formulario del cálculo de los desplazamientos desconocidos, en los nudos de

la viga. Donde se obtiene la matriz inversa correspondiente a la matriz de consolidación, y

mediante la ecuación matricial se obtiene el valor de los desplazamientos desconocidos.

Figura 57. Formulario del cálculo de los desplazamientos desconocidos del ejercicio de viga con asentamiento diferencial

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Al dar clic en “graficas” del formulario anterior, se continúa al formulario del primer

elemento de la viga, donde se debe dar clic en “ejecutar” para poder obtener los valores de

las reacciones y fuerzas desconocidas en la ecuación matricial; para así poder proceder al

formulario del segundo elemento.

Figura 58. Formulario del primer elemento para graficar, en el ejercicio de viga con asentamiento diferencial

Fuente: Autores

Despues de dar clic “siguiente elemento” del formulario anterior, se procede al formulario del

segundo elemento de la viga. Donde se debe dar clic en “ejecutar” para poder obtener tambien los

valores de las reacciones y fuerzas desconocidas. Luego se da clic en “grafica” en los formularios

de los elementos, y se procede al formulario de la grafica.

Figura 59. Formulario del segundo elemento para graficar, en el ejercicio de viga con asentamiento diferencial

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Después de tener todos los valores en la ecuación matricial de los elementos de la viga, se

procede al formulario de gráfica, donde se grafica en este caso, el primer elemento de la

viga; obteniendo las gráficas correspondientes al momento y cortante del elemento.

Figura 60. Formulario de grafica del primer elemento de la viga, en el ejercicio de viga con asentamiento diferencial

Fuente: Autores

7.4.2 Ejemplo viga (programa dviga)

Se tiene un ejercicio de viga con dos elementos, y con modulo de elasticidas de 20000 MPa.

Figura 61. Ejercicio de viga

Fuente: Autores

Se da inicio al programa, donde aparece el primer formulario correspondiente a las

recomendaciones de uso; se da clic en “continuar”.


Ingeniería civil

Figura 62. Formulario inicio del programa y recomendaciones de uso en ejercicio de viga

Fuente: Autores

Se continúa al formulario del primer elemento de viga, donde se ingresan los datos de

entrada y al dar clic en “ejecutar” se obtienen los valores de la matriz de rigidez. Después

se procede al siguiente elemento de la viga.

Figura 63. Formulario del primer elemento en el ejercicio de viga

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Al continuar en el siguiente elemento de viga, se ingresan sus datos de entrada

correspondientes y se obtienen los valores de la matriz de rigidez. Se procede al formulario

de la consolidación.

Figura 64. Formulario del segundo elemento en el ejercicio de viga

Fuente: Autores

En el formulario de consolidacion, se ingresan los datos de entrada corresondientes a los

desplazamientos conocidos y desconocidos en la viga; para despues, poder consolidar todas

las matrices de rigidez de los elementos.

Figura 65. Formulario de consolidación del ejercicio de viga.

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Después de consolidar las matrices, se continúa al formulario del cálculo de los

desplazamientos desconocidos. Donde se obtienen la matriz inversa de la matriz de

consolidación, y los valores de los desplazamientos desconocidos en la viga.

Figura 66. Formulario del cálculo de los desplazamientos desconocidos en el ejercicio de viga.

Fuente: Autores

Se ingresa al formulario del primer elemento de viga, en donde al dar clic en “ejecutar” se

obtiene las fuerzas desconocidas en el elemento y los todos los valores de la ecuación

matricial general. Después se continúa al formulario del siguiente elemento.

Figura 67. Formulario del primer elemento para graficar, en el ejercicio de viga.

Fuente: Autores.


Ingeniería civil

En el Formulario del segunde elemento de la viga, también se da clic en “ejecutar” para

obtener el valor de las fuerzas y desplazamientos desconocidos en el elemento. Después se

da clic en “grafica” para ingresar a la plataforma de graficas de cada uno de los elementos

de la viga.

Figura 68. Formulario de grafica del elemento de la viga

Fuente: Autores

7.4.3 Ejemplo Pórtico (programa dpórtico)

Se tiene el siguiente ejercicio de pórtico inclinado, donde se tienen dos elementos con

empotramiento tal y como se observa en la figura 63.

Figura 69. Ejercicio de pórtico inclinado

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Se da inicio al programa de viga, donde aparece el primer formulario con las

recomendaciones de uso del programa. Se da clic en el botón “continuar”.

Figura 70. Formulario inicio del programa y recomendaciones de uso en ejercicio de pórtico inclinado

Fuente: Autores

Estando en el formulario del primer elemento de la viga, se ingresan los datos de entrada

para obtener los valores en las matrices de transformación y de rigidez local y general del

primer elemento del pórtico.

Figura 71. Formulario del primer elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a matrices de

transformación.

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Figura 72. Formulario del primer elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a las matrices de rigidez local y general.

Fuente: Autores

En el formulario del segundo elemento de la viga, se ingresan también los datos de entrada

para obtener los valores en las matrices de transformación y de rigidez local y general del

segundo elemento del pórtico.

Figura 73. Formulario del segundo elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a matrices de

transformación.

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Figura 74. Formulario del segundo elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a las matrices de rigidez

local y general.

Fuente: Autores

Entando en el formulario de los datos de entrada de desplazamientos conocidos y

desconocidos, se deben ingresar los datos de entrada de estos desplazamientos, para poder

obtener la matriz de consolidación de la rigidez de los elementos.

Figura 75. Formulario de entrada de los desplazamientos conocidos y desconocidos en el ejercicio de pórtico inclinado

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Estando en el formulario de la consolidación, se tienen los valores consolidados de las

matrices de rigidez de los elementos del pórtico inclinado.

Figura 76. Formulario de consolidación en el ejercicio de pórtico inclinado

Fuente: Autores

Dando clic en “siguiente paso” del formulario de consolidación, se ingresa al formulario del

resultado de los desplazamientos y fuerzas conocidas en el pórtico inclinado.

Figura 77. Formulario de desplazamientos y fuerzas desconocidas en el ejercicio de pórtico inclinado

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Se puede ingresar al formulario de la matriz inversa de la matriz de consolidación. Donde se

puede observar los valores obtenidos en esta matriz, para poder obtener el resultado de los

desplazamientos y fuerzas desconocidas del pórtico.

Figura 78. Formulario matriz inversa de la matriz de consolidación en el ejercicio de pórtico inclinado

Fuente: Autores

Después de tener el resultado de los desplazamientos y fuerzas conocidas en el pórtico, se

continua al formulario del primer elemento, donde dando clic en ejecutar se obtienen en la

ecuación matricial el valor de los desplazamientos y fuerzas desconocidas en el elemento.

Figura 79. Formulario del primer elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a matrices de

transformación y obteniendo el valor de los desplazamientos y fuerzas desconocidas

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Figura 80. Formulario del primer elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a las matrices de rigidez local y general y la obtención de los desplazamientos y fuerzas conocidas

Fuente: Autores

Al igual que en el formulario anterior, después de tener el resultado de los desplazamientos

y fuerzas conocidas en el pórtico, se continua al formulario del segundo elemento. Donde

dando clic en ejecutar se obtienen en la ecuación matricial el valor de los desplazamientos

y fuerzas desconocidas en el elemento.

Figura 81. Formulario del segundo elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a matrices de

transformación y obteniendo el valor de los desplazamientos y fuerzas desconocidas

Fuente: Autores


Ingeniería civil

Figura 82. Formulario del segundo elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a las matrices de rigidez local y general y la obtención de los desplazamientos y fuerzas conocidas

Fuente: Autores

Después de tener el valor de los desplazamientos en los elementos del pórtico, se continúa

al formulario de las gráficas. Se tienen en este caso la gráfica del primer elemento del

pórtico, ingresando los datos de las cargas.

Figura 83. Formulario de grafica de los elementos de pórtico inclinado

Fuente: Autores


Ingeniería civil

8. CONCLUSIONES

La construcción de la Plataforma de apoyo aplicada al método del cálculo matricial de

estructuras “DEMAT”. Muestra el cálculo de las rigideces, matrices de consolidación,

deformaciones y reacciones desconocidas de la estructura. características propuestas al

inicio del proyecto.

El modelo matemático planteado en Visual Basic cumple con el objetivo de apoyar al

usuario en cálculos básicos del análisis matricial de estructuras. Sin embargo, el modelo

tiende a presentar complicaciones cuando las estructuras presentan un considerable

número de elementos.

Se logró Mostrar al usuario de manera clara y precisa mediante esquemas y manuales. el

procedimiento de ensamble de la ecuación matricial del elemento estructural mostrando

las fuerzas y los desplazamientos obtenidos.

Respecto a la versatilidad del software, se cumplió con el objetivo de construir herramientas

programables que se adapten a las configuraciones, condiciones y restricciones realizadas

por el usuario para cualquier elemento estructural.

Se construye una herramienta de complemento para el estudiante del curso de análisis de

estructuras II.


Ingeniería civil

9. RECOMENDACIONES

Recomendaciones al momento de usar el software.

Se recomienda una vez iniciado el software, consultar el manual de usuario de tal manera que pueda ingresar de manera óptima datos y pueda interpretar adecuadamente los resultados obtenidos.

“DEMAT” es una plataforma .xml, se aclara que antes de iniciar el programa No se debe tener ningún tipo de archivo abierto de este tipo de extensión.

Con la finalidad de garantizar un óptimo desarrollo de la aplicación, no se recomienda trabajar simultáneamente varios tipos de cálculos de estructuras.

Una vez conocido el alcance del software, se recomienda no alterar de ninguna manera las funcionalidades del sistema. En caso de presentar inconvenientes descargar y reemplazar todos los archivos que componen el programa.

“DEMAT” es parte de la proyección de un programa general de aprendizaje. Es decir, en una segunda etapa se puede ampliar y mejorar características del sistema de manejo y de la versatilidad de procedimientos.


Ingeniería civil

10. BIBLIOGRAFIA

NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Análisis de estructuras métodos clásicos y

matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega

grupo editor. 2006. ISBN 970-15-1118-2.

HIBBELER, Russell C. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso.

3 ed. México: Pearson Prentice hall. ISBN 970-17-0047-3.

BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Análisis

matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015.

URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. 2 ed. Bogotá D.C.: Escuela

Colombiana de Ingenieros ediciones.

PIRALLA, Roberto Meli. Diseño estructural. 2 ed. México: Limusa Noriega editores.

MINISTERIO DE AMBIENTE, VIVIENDA Y DESARROLLO TERRITORIAL, Reglamento

Colombiano de construcción sismo resistente. NSR-10, Segunda actualización,

Bogotá, Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica. AIS, 2010.

ROBERTO AGUIAR FALCONI, ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS, CUARTA EDICIÓN.

Departamento de Ciencias de la Tierra y la Construcción, Universidad de Fuerzas Armadas

ESPE Quito, Ecuador400 ISBN-9978-310-01-1.

IAN SOMMERVILLE, INGENIERIA DE SOFTWARE, SEPTIMA EDICION, Pearson 2005 ISBN-84-

7829-074-5


Ingeniería civil

11. ANEXOS

SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, …

Documents

Transcript of SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, …