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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

aoooCRITERIO SIMPLIFICADO PARA EVALUAR EFECTOS DE ESBELTEZ EN COLUMNAS DE CONCRETO REFORZADO

Darío Rivera Vargas1, Carlos Arce León1 y Paulo Sergio Alfaro Castillo1

RESUMEN Se presentan los resultados preliminares de un estudio orientado a derivar un criterio simple para evaluar efectos de esbeltez en columnas de edificios de concreto con desplazamiento lateral, debido a que los procedimientos existentes en los reglamentos son muy elaborados. Por el momento, se propone una expresión para valorar un factor de amplificación de momentos (δ), en función de las relaciones de aspecto del marco del edificio y de la columna por analizar. Se concluye, entre otras cosas, que la ecuación derivada a este respecto permite obtener valores conservadores de δ, con un margen de error aceptable en edificios poco esbeltos.

ABSTRACT Preliminary results of a study are presented in this work oriented to achieve a simple criterion in order to evaluate effects of slenderness in columns of reinforced concrete frames with lateral displacements, due to that existing procedures in Codes and regulations requires detailed calculation procedures. Is proposed an equation to evaluate an amplification moments factor (δ), depending on the aspect relationship of frame and column to analyze. The equation presented permits calculate conservative δ values with an acceptable margin of error in low and medium slender frames.

INTRODUCCIÓN ANTECEDENTES La inestabilidad de las estructuras ha sido un tema de estudio desde hace mucho tiempo, así, el concepto básico del comportamiento de las columnas con carga axial concéntrica fue desarrollado originalmente por Euler en 1757, del cual se pudo establecer que para columnas cortas, el valor de la carga resistente de pandeo es mayor que la correspondiente al aplastamiento por compresión directa, hablando propiamente de la falla del material, mientras que para elementos esbeltos (largos), la falla puede ocurrir por pandeo cuya resistencia disminuye en la medida que aumenta la esbeltez, lo cual pone en riesgo la estabilidad del elemento estructural. Una manera simple de explicar este efecto, es a partir de considerar que debido a la carga axial (P), la columna tiene una deformación (Δ) que provocará un momento adicional, denominado de segundo orden, en la columna, como se ilustra en la figura 1. En dicha figura se puede ver que el momento máximo (M) en la columna es igual al momento aplicado (Pe, donde e es la excentricidad) más el momento debido a la deformación del elemento (PΔ), de tal forma que M = P(e+Δ). Si la columna es muy esbelta, puede llegar a una deformación debida a carga axial y momentoP Pe , tal que, la deformación aumente indefinidamente sin que aumente la carga . Este tipo de falla se conoce como "falla por estabilidad," como se indica en la curva de interacción de resistencias (MacGregor y Wight, 2005).

P

En este sentido la esbeltez en elementos sometidos a la combinación de la carga axial y momento flexionante, efecto de flexocompresión, como suele ser común en las columnas de las edificaciones, puede provocar

1 Unidad de Investigación Multidisciplinaria, FES-Acatlán, UNAM, Santa Cruz Acatlán, Estado de México,

CP 53150, Teléfono: (55)5623-1750 Ext. 38899; [email protected]

1

mailto:[email protected]

XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver, 2008 .

problemas de inestabilidad en su estructura que conlleva a la formación de mecanismos de daño que pueden dar lugar al colapso de la misma.

Figura 1 Interacción de las resistencias en columnas esbeltas De esta manera, la esbeltez de una columna se expresa en términos de la relación , donde es un factor de longitud efectiva (que depende de las condiciones de vínculo de los extremos de la columna), es la longitud de la columna entre apoyos y r es el radio de giro de la sección transversal de la columna. En general, una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas en relación con su longitud. Con esta definición se puede desarrollar una familia de diagramas de interacción de resistencia para columnas con diferentes relaciones de esbeltez, como se ilustra en la figura 2, en la cual se aprecia que conforme la esbeltez se va incrementando en esa medida se reduce su resistencia a flexocomepresión.

/ukl r k

ul

Figura 2 Diagramas de interacción de resistencias para columnas con diferente esbeltez En relación a lo anterior, se disponen de trabajos de investigación en los que se han establecido límites convenientes de esbeltez en columnas de concreto reforzado con y sin desplazamiento lateral (MacGregor, Breen y Pfrang, 1970), de tal forma, que para valores por debajo de estos límites se pueden despreciar los momentos de segundo orden y considerar la carga axial y los momentos de primer orden para el diseño formal por flexocompresión de una columna de concreto reforzado. No obstante, en la práctica del diseño estructural de edificios de concreto se considera que para marcos con columnas y vigas de dimensiones habituales, así como de alturas de piso típicas, los efectos de esbeltez se pueden despreciar en la mayoría de los casos en estructuras con columnas sin desplazamiento, pero no así, en columnas con desplazamiento, en los cuales se pueden presentar situaciones en las que son críticos los efectos de esbeltez; el desplazamiento lateral relativo entre dos extremos de la columna, como sucede en marcos no contra-venteados sujetos a carga lateral o que presentan asimetría en carga o en geometría propician una reducción de la resistencia (MacGregor y Wight, 2005).

2


OBJETIVO Y ALCANCE En el diseño estructural de las edificaciones de concreto reforzado con cierta frecuencia es necesario valuar los efectos de esbeltez, en particular para las columnas que pueden experimentar momentos de segundo orden. Para ello se dispone de criterios que se han desarrollado para su consideración en el diseño, tal como se propone en las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto (NTC-Concreto, 2004), sin embargo para los diseñadores la aplicación de este procedimiento resulta un tanto laboriosa por lo que suele considerarse poco práctico, particularmente para el caso de evaluar los efectos de esbeltez en columnas que experimentan desplazamiento lateral o que se consideran no contraventeados. Por consiguiente, el objetivo de este trabajo radicó en realizar un estudio preliminar con miras a plantear un criterio que evalúe los efectos de esbeltez en columnas no contraventeadas, a través de un factor de amplificación de momentos que resulte sencillo y práctico de aplicar, de tal forma que sus valores resulten del orden de los que se obtiene con las especificaciones de las NTC-Concreto (2004) y ligeramente conservadores. Dicho criterio se limita a estimar el factor de amplificación en columnas no contraventeadas por considerar, por el momento, el caso más crítico en virtud de que en éste no es común despreciar los efectos de esbeltez y porque la aplicación de los criterios conforme a las NTC-Concreto (2004) suele ser muy elaborado. De igual manera, el alcance de este criterio reside en considerar la no linealidad geométrica, por lo que no se contempla el comportamiento no lineal de los materiales.

CRITERIOS PARA EVALUAR EFECTOS DE ESBELTEZ En la literatura existen diversos procedimientos para evaluar los efectos de esbeltez, siendo algunos muy elaborados y otros relativamente simples; estos últimos son los que a final de cuentas se toman en consideración en los reglamentos de diseño de estructuras de concreto. Sin embargo, se marcan ciertos límites que indican en que momento se utilizan uno u otro. Cuando las relaciones de esbeltez son moderadas se permite un análisis aproximado de sus efectos basándose en la determinación de un factor de amplificación de los momentos. Cuando la relación de esbeltez es elevada se requiere un análisis de segundo orden que considere el comportamiento no lineal del material, así como los efectos de la curvatura y del desplazamiento lateral del elemento, la duración de las cargas, la contracción y la fluencia lenta y la interacción con la cimentación (Alfaro, 2008). A continuación se hace una breve descripción de los criterios basados en métodos rigurosos de análisis, métodos simplificados y de algunos reglamentos, con objeto de hacer una revisión superficial de los procedimientos que se siguen para resolver los efectos de esbeltez. ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN Para evaluar de manera más rigurosa los efectos de esbeltez se requiere realizar un análisis de segundo orden, en la que se calcula los momentos adicionales que experimentan los elementos de concreto reforzado, sometidos a flexocompresión, al considerar de manera explicita la no linealidad del material y de la geometría. En el caso de considerar la no linealidad del material para el cálculo de los momentos de segundo orden, efectos P-∆, en la figura 3 se ilustra la capacidad de la carga de una columna en cantilever con y sin efectos P-Δ, en la cual se puede ver que cuando se presentan estos efectos, la resistencia a carga lateral de la columna se ve limitada conforme se incrementa el desplazamiento lateral. Este aspecto cobra mayor importancia durante una respuesta cíclica, como es la acción sísmica, ya que limita los desplazamientos residuales debido a la reducción de la rigidez, lo cual ha sido sujeto a diversas investigaciones en los últimos años, al buscar la forma de considerar este efecto de manera practica en el diseño de columnas de concreto reforzado (Bernal, 1987; Priestley, 1996).

3


Por otro lado, se tiene el método de Euler que analiza los efectos de esbeltez al considerar la no linealidad geométrica de la estructura, en la cual, al considerar un elemento simple (figura 3a) que está sometido a la acción de cargas verticales y horizontales, el momento de volteo se incrementa por las cargas verticales P, lo que incrementa el valor de los desplazamientos (Δ). Para resolver el problema, se parte de la siguiente ecuación diferencial de la elástica:

2

2

d y MEIdx

= (1)

La solución de dicha ecuación lleva a obtener la degradación de la matriz de rigideces [ del elemento estructural por efecto de la no linealidad geométrica, la cual está dada por:

]AAK

[ ] 2 23

2 2 2 3

sec 1tan1

sec 1 sec 1

AA

AA

dyEIEI

K LLDet

EI EIL L

φαααα

α αα α

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢= ⎣ ⎦⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2)

2

3 2

tan tan sec 1Det α α αα α α

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3)

2PL

EIα = (4)

donde, L es la longitud del miembro estructural, E el módulo de elasticidad del material e I el momento de inercia de la sección.

(a)

P

H

L Mn

PΔHL

Figura 3 Efectos P-∆ sobre la respuesta lateral de una columna en voladizo. (a) Diagrama de momento; (b) Respuesta de Fuerza-Desplazamiento.

La mayoría de los programas de análisis estructural que contemplan los efectos de segundo orden, adoptan esta teoría de análisis basada en la no linealidad geométrica, en la que su solución implica el desarrollo de varias iteraciones lo cual se logra satisfactoriamente con la ayuda de estos programas. MÉTODOS SIMPLIFICADOS DE ANÁLISIS Para evaluar los efectos de esbeltez de manera simplificada se han desarrollado los métodos siguientes: amplificación de momentos, momento complementario y factor de reducción. De estos métodos, el más

(b)

Fuer

za L

ater

al, F

Fn

Δy Δu Δ

Ko

LPΔ

Con PΔ

Sin PΔ

ΔF

4


utilizado es el de amplificación de momentos el cual consiste en obtener el valor de la carga axial (P) y el momento flexionante (M) de la estructura por medio de un análisis de primer orden, para posteriormente dimensionar dicha estructura para el mismo valor de la carga axial y el momento amplificado (δM), donde δ siempre es un valor mayor que la unidad. Este método se concentran en gran medida en considerar la no linealidad geométrica, sin embargo de manera indirecta tienden a contemplar el comportamiento inelástico de la estructura al considerar el factor recomportamiento sísmico (Q), como más delante se comenta, en el caso de evaluar los efectos de esbeltez en columnas con desplazamiento lateral. Al igual que en el método anteriormente descrito en el método del momento complementario se calculan los valores P y M mediante un análisis de primer orden y a partir de estos valores se calcula la excentricidad e = M/P que tendría la columna sí no hubiera efectos de esbeltez. A esta excentricidad, e, se agrega una excentricidad adicional, e1 que es función de las principales variables que intervienen en la reducción de resistencia por esbeltez. Al aumentar la excentricidad, el dimensionamiento de la columna se hace para un momento total que es igual al momento de primer orden más un momento complementario que resulta de multiplicar la carga P por la excentricidad adicional e1. En lo que respecta al procedimiento basado en el factor de reducción se supone que la carga axial (P) y el momento (M) que puede resistir una columna esbelta son iguales a los que puede resistir una columna corta, multiplicados por un factor de reducción y, que siempre es menor que la unidad. Por lo tanto, para fines de dimensionamiento, los valores de P y M obtenidos de un análisis de primer orden se dividen entre el factor y, con lo cual se obtienen valores amplificados, para los que se dimensiona la columna. En este método es más incierta la representación del comportamiento de la columna que en los dos métodos anteriores, por lo cual es poco empleado este procedimiento (González y Robles, 2007). REGLAMENTOS

Existen diferentes reglamentos (ACI-318, NTC-Concreto, Eurocódigo, Nueva Zelanda y AIJ) que hacen recomendaciones para revisar los efectos de esbeltez en edificaciones de concreto bajo su enfoque particular de análisis, tal como se comenta a continuación. El reglamento del ACI-318 y NTC-Concreto, en sus versiones vigentes, contemplan el método de amplificación de momentos para evaluar los efectos de esbeltez, que de manera separada analizan las columnas con y sin desplazamiento lateral, o dicho de otra forma, como elementos no contraventeados o contraventeados, respectivamente. Para efectos de este trabajo solo se comentará el caso en que se considera que los miembros experimentan desplazamiento lateral. Para elementos en compresión no contraventeados contra desplazamientos laterales, en ambos reglamentos puede despreciarse los efectos de la esbeltez cuando klu/r es menor que 22. De acuerdo al reglamento ACI-318, los momentos amplificados por desplazamiento lateral, δs, se calculan con la expresión siguiente:

1 1

1s Qδ = ≥

− (5)

0u

us c

PQ

V lΔ

= ∑ (6)

donde, Q es el índice de estabilidad, que es función de la suma de todas las cargas verticales por arriba del entrepiso cuyas columnas se revisan por esbeltez (ΣPu), de la deflexión lateral entre el piso superior y el piso inferior del entrepiso en consideración (Δo), de la fuerza cortante horizontal en el entrepiso considerado (Vu) y de la altura del entrepiso (lc).

Si δs calculado de esta manera es mayor que 1.5, δs debe calcularse a través de un análisis elástico de segundo orden o se puede calcular como:

5


1 1

10.75

su

c

PP

δ = ≥− ∑

∑

(7)

donde, ΣPc es la suma de las cargas críticas de Euler de todas las columnas del entrepiso en consideración. Los valores de k y de EI para calcular Pc se obtienen conforme a las recomendaciones que especifica este reglamento. Las NTC-Concreto (2004) establecen que en miembros con extremos no restringidos lateralmente, el factor de amplificación Fas se calcularán con:

1 1

1asFλ

= ≥−

(8)

uW QhV

λ Δ= (9)

donde, Wu es la suma de las cargas de diseño multiplicadas por el factor de carga correspondiente, acumuladas desde el extremo superior del edificio hasta el entrepiso considerado, Q es el factor de comportamiento sísmico, V es la fuerza cortante de entrepiso, Δ es el desplazamiento de entrepiso producido por V y h es la altura del entrepiso. Si Fas excede de 1.5, se deberá hacer un análisis de segundo orden. En el caso de otros reglamentos extranjeros como el Eurocódigo 8 (1994), en el apartado del diseño por estado límite último, se hace referencia a los efectos de segundo orden (efectos P-∆), en donde se establece que no necesitan ser considerados si se satisface la condición siguiente:

0.10tot r

tot

P dèV h

− ≤ (10)

donde, è es un coeficiente de sensibilidad derivado de entrepiso, Ptot es la carga axial total aplicada en el entrepiso, dr es la distorsión del entrepiso, Vtot es el cortante sísmico total de cada entrepiso y h es la altura de entrepiso. Por su parte, el reglamento de Nueva Zelanda (New Zealand Standards, 2005) también emite una serie de criterios para considerar los efectos P-Δ en el diseño de los elementos de concreto, que toma en consideración la no linealidad del elemento en la rigidez del sistema. Así, se considera un factor de ductilidad a utilizar, µact, por lo que se contemplan ciertos mecanismos de daño para determinar varios perfiles de deformación inelástica posibles, para con ello establecer el caso más crítico. Cuando μsd > 1.5 y el P-Δ límite aceptable se excede, el efecto P-Δ de las acciones necesita ser considerado de manera más detallada con base en un análisis no lineal “Push-over”. A falta de un análisis de estas características este reglamento recomienda utilizar un método simplificado dado en su apéndice C7.2. El reglamento japonés AIJ (1994), en el apartado sobre diseño en los que se asegura un mecanismo de fluencia de las edificaciones, se propone un procedimiento para evaluar los efectos de esbeltez mediante un factor de amplificación dinámica, que es aplicado al momento de diseño de columnas y muros estructurales, el cual se calcula por las ecuaciones siguientes:

1

0

1.0 chici

ci

ww ββ

⎛ ⎞⎛Δ= + ⎜ ⎟⎜Φ⎝ ⎠⎝

⎞⎟⎠

(11)

1

0

1.0 w whiwi

wi

w ββ

⎛ ⎞⎛Δ= + ⎜ ⎟⎜Φ⎝ ⎠⎝

⎞⎟⎠

(12)

6


donde, ωci, ωwi es el factor de amplificación dinámico de columnas y muros estructurales, respectivamente, ∆ω1 son los coeficientes modales que dependen de la forma modal que se esté analizando, Φ0 es el factor de amplificación de fuerza estructural en el mecanismo de fluencia, βci, βwi son los radios de fuerzas cortantes en columnas y muros estructurales en el modo fundamental de distribución de fuerzas sísmicas, y βchi es el radio de fuerza cortante en columnas y muros estructurales en el modo superior de distribución de fuerzas sísmicas. Como se pude ver, existen diferentes tipos de procedimientos para tomar en consideración los efectos de esbeltez en el diseño de las construcciones de concreto, en lo que unos son más complejos que otros, como es el caso del reglamento de Nueva Zelanda que ofrece un criterio muy elaborado. En tanto, el proceso que se sigue en las NTC-Concreto, que es similar al del ACI-318, a pesar de que se basa en un método simplificado, se llega a volver tedioso por los requerimientos y limitaciones que se tienen que revisar, por lo que deja de ser atractiva su aplicación en la práctica de diseño.

PROPUESTA DE CRITERIO SIMPLIFICADO PROCEDIMIENTO

De acuerdo a lo descrito anteriormente en relación a los criterios disponibles en la literatura para valorar los efectos de esbeltez, en este trabajo se vio conveniente seguir un criterio como el de los reglamentos del ACI-318 y las NTC-Concreto, que se basan en la obtención de un factor de amplificación de momentos, pero con la propuesta de una expresión más simplificada y de fácil aplicación. Para la obtención de la ecuación simplificad para evaluar un factor de amplificación de momentos (δ), en el caso de columnas con extremos no restringidos lateralmente, se procedió a realizar un estudio paramétrico con base en el análisis estructural que considera los efectos de segundo orden, correspondientes a 168 modelos de marcos planos, con diferentes configuraciones. Para realizar el análisis de segundo orden se utilizó el programa SAP 2000. Desde luego que en esta investigación se utilizó el método de las NTC-Concreto para el cálculo de los efectos de esbeltez, que de manera paralela se hicieron análisis de segundo orden con apoyo del programa SAP2000, con objeto de ir comprando y tener más claro la tendencia de comportamiento en el ajuste de las posibles ecuaciones que se pudieran derivar de este estudio paramétrico. Las propiedades mecánicas consideradas para los cálculos realizados fueron: concreto f’c = 19.61 MPa (200kg/cm2), por ser de los más desfavorables y el más usado en la práctica profesional, módulo de elasticidad E= 19,416.176 MPa (197,989.90 kg/cm2) y la carga repartida w=19.61 kN/m (2 t/m), tomando en cuenta cargas vivas, accidentales. Cabe mencionar que las únicas cargas que se variaron fueron las muertas, porque todos los marcos son diferentes. Además, se consideraron fuerzas cortantes con una distribución triangular en toda la altura del edificio, tal como se considera en un análisis sísmico estático. CASOS ANALIZADOS

Los casos que se analizaron serán descritos a continuación con la muestra de cada gráfica y sus observaciones, estos van de estructuras simples o de poca esbeltez hasta las de alta esbeltez. Estructuras poco esbeltas Las estructuras poco esbeltas son las que al momento de analizarlas por medio del reglamento y por los resultados arrojados por el programa SAP2000, tienen un factor de amplificación muy pequeño o despreciable. Para poder analizar las estructuras y poder ubicarlas dentro de una gráfica general, se tomó en cuenta la altura total del edificio (h), su base total (b), la altura de sus columnas (h1) y peralte o diámetro de la columna (d), como se muestra en la figura 4.

7


En la figura 5 se muestra la grafica englobando los marcos que están dentro de las estructuras poco esbeltas. En esta figura reaprecia que los factores de Amplificación (δ) van del orden de 1 como valor mínimo a 1.11 como valor máximo. Aquí se encuentran marcos de varios tipos como son los marcos simples de una sola crujía (trabe) y un nivel, o una crujía y cuatro niveles, marcos de dos y tres crujías con dos niveles, y marcos con dos y tres crujías y cuatro niveles (ver figura 6).

Figura 4 Se ilustra la definición de cada variable.

Figura 5 Estructuras consideradas poco esbeltas

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

0 1 2 3 4 5

δ

h/b (a)

SAP 2000 (h1/d<5)

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

0 1 2 3 4

δ

h/b (b)

NTC‐ concreto (h1/d<5)

Figura 6 Tipo de estructuras poco esbeltas en donde la relación h1/b<5. Solo para el caso (a) el valor

de h=h1

5

8


Como se puede observar en la figura 5, solo están graficados los puntos correspondientes a estructuras cuya relación de aspecto de columna no excede de 5 (h1/d<5). Para estas estructuras poco esbeltas los factores de Amplificación (δ) son pequeños y del mismo orden a los que se obtienen tanto con el programa SAP 2000 como con las disposiciones de las NTC-Concreto. Es importante hacer notar que por una parte se analizó la relación de aspecto de la estructura (h/b) y por el otro lado la relación de aspecto de la columna (h1/d), lo cual sirvió para ir clasificando en este trabajo a las estructuras con diferentes grados de esbeltez. Estructuras moderadamente esbeltas Para este caso el procedimiento de cálculo fue el mismo, los puntos marcados dentro de esta gráfica son los que están en el intervalo de relación de aspecto mayor o igual a 5 y menor a 10 (5<h1/d<10), estos se denominaron como estructuras moderadamente esbeltas. En la figura 7 se puede ver que los valores de amplificación están entre 1 (valor mínimo) y menor a 1.30 para el caso de los análisis realizados con el programa SAP 2000 y con las recomendaciones de las NTC-Concreto. También se observa que todos los valores son muy cercanos, no obstante se aprecia que los valores de δ se van incrementando conforme la estructura es más esbelta, en el caso de las NTC-Concreto.

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

0 1 2 3 4 5

δ

h/b(a)

SAP 2000 (5<h1/d<10)

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

0 1 2 3 4 5

δ

h/b(b)

NTC-Concreto (5<h1/d<10)

Figura 7 Estructuras moderadamente esbeltas Estructuras muy esbeltas Para el caso de estructuras esbeltas el rango de relación de aspecto de columna fue de valores mayores o iguales a 10 y menores a 15 (10<h1/d<15), las gráficas obtenidas son las que se presentan en la figura 8. En esta figura se aprecia que los valores de δ van desde 1.03 (valor mínimo) hasta 1.45 (valor máximo). Comparado con la gráfica del programa SAP 2000 se ven valores más cercanos entre si, aunque el tipo de relación de aspecto del marco varíe de una altura que va de uno hasta cuatro veces la base (b). Para los resultados de las NTC-concreto los valores más alejados se encuentran en dos estructuras, en donde son igual y mayor a 1.5, que de acuerdo a esta norma tienen que ser evaluados los efectos de esbeltez con un análisis de segundo orden, en donde, se considere la no linealidad geométrica y el comportamiento inelástico del material. Por lo anterior, en este trabajo se derivó una ecuación que evaluara los efectos de esbeltez en columnas cuya relación de aspecto no fuera superior a 15, debido a que se pueden obtener valores de δ superiores a 1.5, lo cual amerita un análisis más riguroso de segundo orden.

9


11.051.1

1.151.2

1.251.3

1.351.4

1.451.5

0 1 2 3 4 5

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

0 1 2 3 4

δ

h/b(b)

NTC‐Concreto (10<

δ

h/b(a)

SAP 2000 (10<h1/d<15)

Figura 8 Estructuras muy esbeltas ANÁLISIS DE RESULTADOS Y DERIVACIÓN DEL CRITETRIO Con los resultados anteriormente descritos se procedió a visualizar posibles tendencias de comportamiento que dieran lugar a derivar una ecuación que permitiera describir la variación del factor de amplificación de momentos (δ) en función de la relación de aspecto de la columna a analizar (h1/d) y de la relación de aspecto del edificio (h/b), en la cual se consideraron varios marcos planos, con variación en el tamaño de las columnas, del número de niveles y crujías del edificio. De esta forma se analizó en primera instancia la variación de δ conforme se cambia la relación de aspecto del edificio y de la columna, esta última bajo la modificación de la altura de su sección (secciones rectangulares), tal como se muestra en la figura 9. En dicha figura se presenta el caso de un marco con dos crujías y dos niveles en la que se valúan los efectos de esbeltez con el programa SAP2000 y las recomendaciones de las NTC-Concreto, como se podrá notar, los valores que se obtienen de aplicar las normas son conservadores respecto a los que resultan del análisis de segundo orden con la ayuda del programa.

5

h1/d<15)

Figura 9 Variación de δ respecto a la relación h1/d y h/b para el caso de un marco de dos niveles y dos crujías.

No obstante, la representación mostrada en la figura 9 no permitió llegar a una expresión general que considerara todos los casos posibles. Por consiguiente, tomando como referencia los valores de δ deducidos con el programa SAP2000, en una gráfica se colocaron todos los puntos obtenidos con objeto de analizar el comportamiento de δ en función de h1/d, independientemente del valor de h/b, como se aprecia en la figura 10. En esta figura se puede ver que de manera aproximada es posible analizar por separado los casos de

10


columnas de edificios que presentan los siguientes valores de relación de aspecto: h1/d ≤ 5, 5 < h1/d ≤ 10 y 10 < h1/d ≤ 15, ya que para algunos valores superiores a 15 se pueden tener factores de amplificación mayores a 1.5, que son en los casos en que se tienen marcos esbeltos, cuya relaciones de aspecto (h/b) es de 4, lo cual amerita un análisis riguroso de segundo orden de acuerdo a las NTC-Concreto.

Figura 10 Gráfica general con todos los puntos correspondientes a los diferentes casos considerados

en este estudio En la figura 11 se presentan los valores de δ para h1/d ≤ 5 y para diferentes valores de h/b, en la cual se aprecia que no haya una tendencia clara de comportamiento que se pueda relacionar mediante una ecuación, por lo que para esta relación de aspecto de la columna, independientemente de los valores h/b del edificio, se puede adoptar un valor constante δ = 1.03.

Figura 11 Gráfica general para los puntos de estructuras h1/d≤5

11


En las figuras 12 y 13 se muestran los puntos obtenidos para los casos: 5 < h1/d ≤ 10 y 10 < h1/d ≤ 15, respectivamente, y su variación respecto a h/b, que como se podrá notar, en ambos casos la envolvente de dichos puntos puede quedar cubierta con una recta cuyas ecuaciones se indican en las mismas figuras.

Figura 12 Gráfica general para los puntos de estructuras 5 < h1/d ≤ 10

Figura 13 Gráfica general para los puntos de estructuras 10< h1/d ≤ 15 Se reconoce que la forma de resolver el problema con envolventes no es la óptima, ya que en algunas configuraciones estructurales de marcos se obtiene valores conservadores con respecto a los que se obtendrían de aplicar las NTC-Concreto o bajo un análisis formal de segundo orden, sobre todo en las figuras 12 y 13, en las cuales se tiene bastante dispersión para una misma relación de aspecto del edificio (h/b). Sin embargo, también es cierto, que de esta manera se simplifica el problema a efecto de tener una estimación preliminar del factor de amplificación de momentos (para el caso de miembros no contraventedaos) con una expresión fácil de aplicar, sin la necesidad de hacer varias revisiones, además de que no se obtienen valores por debajo de los que indica el reglamento.

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

0 1 2 3 4 5

h/b

d

105.0 +=bhδ

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

0 1 2 3 4 5

h/b

d

δ

1.1055.0 +=bhδ

δ

12


Como resultado del análisis de las gráficas mostradas en las figuras 11 a 13, se derivó una ecuación base para evaluar el factor de amplificación de momentos en miembros con desplazamiento lateral (δ), que está en función de la relación de aspecto del marco del edificio (h/b), la cual se modifica de manera simple atendiendo al valor de la relación de aspecto de la columna (h1/d), tal como se muestra a continuación:

1.03δ = Si 1 5h

d≤

αδ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 105.0

bh

(13)

1.00α = Si 15 1h

d0≤ ≤

1.10α = Si 110 15h

d≤ ≤

EJEMPLO DE APLICACIÓN Considerando una edificación de estructuración típica se presenta un marco de tres niveles (figura 14) para el que se calculan los factores de amplificación considerando los métodos; de las NTC Concreto y el propuesto. Se considera una resistencia del concreto, f`c = 20 MPa, y las cargas consideradas son las que se muestran en la figura 14, en tanto que las dimensiones de la sección se varían para analizar tres casos. Se requiere determinar el factor de amplificación que predomina en las columnas inferiores de l edificio.

2 m m3 m

3 m

3 m

3.5 m

20 t

15 t

10 t

2 t/m

Sección

d

d

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Figura 14 Elevación del marco considerado

En la tabla 1 se muestran los resultados obtenidos, al mismo tiempo de comparar los valores obtenidos por ambos procedimientos. Para el caso de aplicar el criterio propuesto en este trabajo, la relación h/b = 9.5/8 = 1.19. Tabla 1. Cálculo del factor de amplificación de momentos con el criterio propuesto y las NTC-Concreto

d (m) h1 (m) h1/d α δ Criterio propuesto

δ NTC-Concreto

0.7 3.5 5 - 1.03 1.01 0.5 3.5 7 1.00 1.06 1.02 0.3 3.5 11.67 1.10 1.17 1.06

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CONCLUSIONES En este artículo se presentó un estudio preliminar sobre la propuesta de un criterio alternativo para valorar de manera simplificada los efectos de esbeltez en columnas no contraventeadas, con desplazamiento lateral, considerando algunas configuraciones estructurales de marcos planos, cuyas columnas tienen relación de aspecto no mayor a 15, y sin tomar en cuenta la no linealidad del material. Las conclusiones derivadas de este trabajo se describen a continuación. En la literatura existen diferentes procedimientos para tomar en consideración los efectos de esbeltez en el diseño de las construcciones de concreto reforzado, en la cual unos son más complejos que otros, como es el caso de los métodos formales para el análisis de segundo orden que contemplan de manera detallada la no linealidad geométrica y del material, o el caso de algunos reglamentos como el de Nueva Zelanda que propone el uso de análisis no lineales como el Push Over, que son poco factibles de usarse en la práctica. No obstante, se disponen de métodos simplificados como el factor de amplificación de momentos, que es adoptado por el reglamento ACI-318 y NTC-Concreto, pero que aun así, resulta tediosa su aplicación por los requerimientos que se tienen que revisar. Sin embargo, en este trabajo se vio la conveniencia de usar el concepto del factor de amplificación de momentos con diferente criterio para su evaluación, bajo un enfoque simple y práctico. De esta forma se realizó un estudio paramétrico de algunas configuraciones estructurales de marcos planos, con diferente relación de aspecto de los mismos y de la columna por analizar, al considerar como parámetros fijos a la carga y resistencia del material con valores del orden de los que suelen manejarse en el diseño estructural de edificios. De este estudio se pudo establecer un esquema para derivar una expresión simple a partir de considerara tres relaciones de aspecto de la columna bajo estudio. Por la forma en que se obtuvo dicha ecuación se obtienen valores conservadores con respecto a lo que se obtendría con las NTC-Concreto, sobre todo para marcos de edificios cuyos valores de h/b y h1/d son mayores a 3 y 5, respectivamente. Sin embargo, esta expresión resulta ser de simple aplicación y para el caso de edificios que no presentan fuerte esbeltez, como suelen ser la mayoría de los edificios, se obtiene un margen de error aceptable, como se pudo ver en el ejemplo de aplicación. Por consiguiente, se requiere seguir trabajando este criterio a fin de reducir el margen de error en los casos descritos anteriormente, así como calibrar más casos, y valorar con mayor cuidado el efecto de la variación de las cargas y de la resistencia del concreto, de tal forma, que a futuro se pueda obtener una recomendación más sólida y uso práctico en el diseño de los edificios de concreto.

REFERENCIAS

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