SOBRE NORMAS Y PSEUDONORMAS VECTORIALES...

SOBRE NORMAS Y PSEUDONORMAS VECTORIALES

PRESENTADO POR:DUVÁN FERNANDO GUEVARA MUÑOZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDASFACULTAD DE CIENCIA Y EDUCACIÓN

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICASCOLOMBIA, BOGÓTA

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SOBRE NORMAS Y PSEUDONORMAS VECTORIALES

DUVAN FERNANDO GUEVARA MUÑOZ

Trabajo de grado para optar al título de matemático

Luis Oriol Mora Valbuena

Profesor Titular

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

COLOMBIA, BOGÓTA

AGRADECIMIENTOS

Primero le doy agradecimientos a las personas que siempre han estado incondi-

cionalmente conmigo apoyándome en el transcurso de la vida que son mi familia.

Segundo agradezco a gran parte de la planta de docentes del Proyecto curricular

de matemáticas de la Universidad Distrital, especialmente a mi tutor de grado que

me colaboró y guió, no solamente en esta mono grafía sino también a desarrollarme

como gran profesional.

I

INTRODUCCIÓN

Este trabajo es una monografía de tipo reconstructivo con base en el artículo �On

Vectorial Norms and Pseudonorma� del autor Emeric Deutsch publicado por Amer-

ican Mathematical Society en abril de 1971 el cual hace referencia a las normas y

pseudonormas vectoriales y sus propiedades.

El artículo hace una descripción de las normas y pseudonormas vectoriales, las

cuales son aplicaciones de Cn en Rk+ . Comienza enseñándonos cuáles son las pro-

piedades que debe cumplir una función para llegar a ser una norma vectorial y se-

guido nos indica cuáles de estas propiedades se deben cumplir para llegar a ser una

pseudonorma vectorial, posteriormente nos relaciona algunos subespacios vectoria-

les con las pseudonormas vectoriales, después de realizar algunas caracterizaciones

de estos subespacios vectoriales nos presenta el concepto de pseudonorma vectorial

regular. Los teoremas y algunas teorías el artículo no están detalladas por el autor

ademas no es clara algunas notaciones usadas en el articulo. Lo que nos lleva a la

pregunta ¾Como comprender mejor estas demostraciones?

El objetivo general de esta monografía se basa en desmenuzar algunas teorías y

conceptos planteados en el artículo, por esta razón en este trabajo se da una sín-

tesis teórica de algunas teorías, dando algunos ejemplos ilustrativos. Para esto, se

hace una recopilación detallada de conocimientos ya vistas durante la carrera de

matemáticas y clasi�car los temas más relacionados con las normas y pseudonor-

mas vectoriales. Este trabajo esta organizado en tres capítulos, donde el primero se

re�ere a conceptos básicos vistos en al carrera de matemáticas relacionado con el

artículo, en el segundo capítulo se hace una reseña de las de�niciones de normas y

pseudonormas vectoriales con algunos ejemplos, y en el tercer capítulo se hace un

análisis de algunos de los teoremas enunciados en el artículo.

II

Índice

1. Preliminares 1

1.1. Números Reales 1

1.2. Valor Absoluto y Desigualdad Triangular. 3

1.3. Números Complejos. 4

1.4. Espacios Lineales o Vectoriales. 5

1.5. Sumas Directas. 7

1.6. Funciones. 8

1.7. Norma. 9

1.8. Ortogonalidad. 11

1.9. El Dual. 11

2. Conceptos Básicos 13

2.1. Introducción a Las Normas y Pseudonormas

Vectoriales 13

2.2. Pseudonorma Vectorial Regular 16

2.3. Dual De Una Norma Vectorial 19

3. Análisis del artículo 20

3.1. Proposición 1 20








4. Conclusiones 29

Referencias 30

III

1. Preliminares

1.1. Números Reales.

Se da por hecho que el lector está familiarizado con el concepto de números reales

y sus propiedades. Un método para introducir los números reales lo proporciona en

1889 el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), él describió cinco axio-

mas para los enteros positivos que se utilizaron como punto de partida para una

construcción total. En este trabajo no se adopta el punto de vista constructivo, por

tanto el proceso lo tomamos de un punto avanzado, considerando los números reales

como conceptos primitivos que satisfacen un cierto número de propiedades que se

toman como axiomas, es decir, existen ciertos objetos llamados números reales que

satisfacen diez axiomas.

1.1.1. Axiomas de Cuerpo Sea R el conjunto de los números reales con dos ope-

raciones binarias llamadas suma identi�cada con (+) y multiplicación identi�cada

con (·), tales que cualquier par de números x ∈ R y y ∈ R se puede formar la suma

de x e y la cual se denota con x+ y, que es otro numero real y el producto de x e

y, se denota con x · y que es un número real. Ahora para x, y, z ∈ R, se cumple los

siguientes axiomas:

Axioma. (Leyes conmutativas)

x+ y = y + x

xy = yx.

Axioma. (Leyes asociativas)

x+ (y + z) = (x+ y) + z

x(yz) = (xy)z.

Axioma. (Ley distributiva )

x · (y + z) = xy + xz.

Axioma. Dados x e y números reales arbitrarios, existe un número z tal que x+z =

y, dicho número se designa por x−y. El número x−x se designa por 0, escribiremos

−x en vez de 0− x y −x se dice el opuesto aditivo de x.

1

Axioma. Si x e y son números reales y x 6= 0 entonces existe un número real z tal

que xz = y, z se designa por yx . El caso

xx se designar por 1.

1.1.2. Axiomas De Orden.

Observación 1. La relación de orden entre los números reales tiene una interpreta-

ción geométrica simple. Si x < y, el punto x está a la izquierda del punto y. Los

números positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda del 0. Si

a < b, un punto x satisface las desigualdades a < x < b, si y sólo si x está entre

a y b. Identi�quemos la existencia de una relación < que establece una ordenación

entre los números reales que satisfacen los siguientes axiomas.

Axioma. Se veri�ca una y sólo una de las relaciones x = y; x < y; x > y .

Axioma. Si x < y, entonces, para cada z, x+ z < y + z.

Axioma. Si x > 0 e y > 0 entonces x · y > 0.

Axioma. Un número x es positivo si x > 0 y x es negativo si 0 > x. Denotamos

R+,a los números positivos, y R−a los números negativos. El simbolismo x ≤ y se

hace referencia cuando x = y o x < y.

De�nición 2. Supongamos que a < b. Se de�ne un intervalo abierto (a, b) como

(a, b) = {x ∈ R|a < x < b}

donde {} es un conjunto.

El intervalo cerrado [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} del mismo modo de�nimos (a, b] =

{x ∈ R|a < x ≤ b} y [a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}los intervalos in�nitos de de�nen

como sigue:

(a,+∞) = {x ∈ R|x > a}

[a,+∞) = {x ∈ R|x ≥ a}

2

De�nición 3. Sea S un conjunto no vacío de números reales y supongamos que

existe un número B tal que

x ≤ B

para todo x de S. Entonces se dice que S está acotado superiormente por B. El

numero B se denomina una cota superior para S. Decimos cota superior debido a

que todo número mayor que B también es cota superior. Si una cota superior B

pertenece también a S, entonces B se llama el elemento máximo de S. A lo sumo

puede existir un B que sea elemento máximo. Si existe, se escribe

B = maxS

Así que, B = maxS si B ∈ S y x ≤ B para todo x de S. un conjunto sin cota

superior se dice que es no acotado superiormente.

Un número B se denomina extremo superior de un conjunto no vacío S si B tiene

las dos propiedades siguientes:

a) B es una cota superior de S.b) Ningún número menor que B es cota superior para S.

Un conjunto no puede tener dos extremos superiores distintos, si existe extremo

superior para un conjunto S, existe sólo uno y puede hablarse del extremos superior.

Con frecuencia se emplea el término supremo de un conjunto en vez de extremo

superior utilizando la abreviatura sup, escribiendo entonces:

B = supS.

El extremo inferior o ín�mo de S, designado por ınf S, se de�ne de forma análoga.

Axioma. (completitud)

Todo conjunto no vacío S de números reales acotados superiormente posee extremo

superior; esto es, existe un número real B tal que B = supS.

lo anterior es tomado de [1, pgs 1-4].

1.2. Valor Absoluto y Desigualdad Triangular. Si x es un número real,

el valor absoluto de x, designado por | x | se de�ne como,

| x | =

x si x ≥ 0

−x si x ≤ 0

Teorema 4. Si a ≥ 0, entonces tenemos la desigualdad | x |≤ a si y solo si,

−a ≤ x ≤ a.3

Teorema 5. Para números reales arbitrarios x e y se veri�ca

| x+ y |≤| x | + | y |

esta desigualdad es conocida como desigualdad triangular.

La anterior sección es tomada de [1, pg16].

1.3. Números Complejos.

De�nición 6. Si a y b son números reales, el par (a, b) se le llama número complejo

si la igualdad, la adición y la multiplicación de partes de de�nen del siguiente modo:

a. Igualdad.

(a, b) = (c, d) signi�ca que a = c y b = d.

b. Suma.

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).

c. Producto.

(a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc).

La condición de la igualdad, nos dice que el par (a, b) es un par ordenado. Así, el

número complejo (2, 3) no es igual al (3, 2). Los números a, b se les llama componen-

tes de (a, b), el número a se le llama la parte real y el número b la parte imaginaria

de (a, b).

1.3.1. La unidad Imaginaria.

El número complejo (0, 1) lo representamos con la letra i y se llama unidad imagi-

naria, tiene la propiedad que su cuadrado es −1, i2 = −1.

Si consideramos a = (a, 0), b = (b, 0) e i = (0, 1) conseguimos:

(a, b) = (a, 0) + (0, b)

= (a, 0) + (b, 0) · (0, 1)

= a+ bi4

Teorema 7. Todo número complejo (a, b) puede expresarse en la forma (a, b) =

a+ bi.

Demostración. Se encuentra en [2, pgs 441-442].

�

1.4. Espacios Lineales o Vectoriales.

Un espacio lineal es un conjunto de elementos de naturaleza cualquiera sobre el que

puede realizarse ciertas operaciones llamadas adición y multiplicación por números.

De�nición 8. Sea V un conjunto no vacío de objetos, llamados elementos. El

conjunto V se llama espacio lineal si satisface los diez axiomas siguientes que se

enuncian en tres grupos.

1.4.1. Axiomas. Los axiomas principales se pueden clasi�car en los axiomas de

clausura, adición, la multiplicación por números.

Axiomas de Clausura.

Axioma 1 (clausura respecto de la adición)

A todo par de elementos x e y de V corresponde un elemento único de V llamado

suma de x e y, designado por x+ y.

Axioma 2 (Clausura respecto de la multiplicación por números reales)

A todo x de V y todo número real a corresponde un elemento de V llamado producto

de a por x, designado por ax.

Axiomas para la Adición.

Axioma 3 (ley conmutativa)

Para todo x y todo y de V , tenemos x+ y = y + x.

Axioma 4 (ley asociativa)

Cualquiera que sean x,y,z de V , tenemos (x+ y) + z = x+ (y + z).

5

Axioma 5 (existencia de elemento cero)

Existe un elemento en V , designado con el símbolo 0, tal que x+ 0 = x para todo

x de V .

Axioma 6 (existencia de opuestos)

Para todo x de V , el elemento (−1)x tiene la propiedad x+−x = 0.

Axiomas para la Multiplicación por Escalares.

Axioma 7 (ley asociativa)

Para todo x de V y todo par de números reales a y b, tenemos a(bx) = (ab)x.

Axioma 8 (ley distributiva para la adición en V )

Para todo x y para todo y de V y todo número real a, tenemos a(x+ y) = ax+ ay.

Axioma 9 (ley distributiva para la adición de números)

Para todo x de V y todo par de números reales a y b, tenemos (a+ b)x = ax+ bx.

Axioma 10 (existencia de elemento idéntico)

Para todo x de V , tenemos 1x = x.

Los espacios lineales así de�nidos, se llaman, a veces, espacios lineales reales para

resaltar el hecho de que se multiplican los elementos de V por números reales. Si

en los axiomas 2, 7, 8 y 9 se reemplazan números reales por números complejos, la

estructura que resulta se llama espacio lineal complejo. Algunas veces un espacio

lineal se le llama espacios vectoriales lineales o sino simplemente espacio vectorial.

Lo anterior es tomado de [2, pgs 675-677].

1.4.2. Subespacio De Un Espacio Lineal. Dado un espacio lineal V y U un

subconjunto no vacío de V . Si U es también un espacio lineal, entonces U se llama

subespacio de V . El siguiente teorema nos da un sencillo criterio para determinar

si un subconjunto de un espacio lineal es o no un subespacio.

Teorema 9. Sea U un subconjunto no vacío de un espacio lineal V ; tal conjunto

U es un subespacio si y solo si satisface los axiomas de clausura.

6

Demostración. Se encuentra en [2, pg 682].

�

1.4.3. Conjuntos Dependientes e Independientes En Un Espacio Lineal.

De�nición 10. Un conjunto U de elementos de un espacio lineal V , se llama

dependiente si existe un conjunto �nito de elementos distintos de U, x1, ..., xk, y un

correspondiente conjunto de escalares c1, ..., ck, no todos cero, tales que

k∑i=1

cixi = 0.

El conjunto se le llama independiente si no es dependiente. En tal caso, cualesquiera

que sean los elementos distintos de x1, ..., xk de U y los escalares c1, ..., ckk∑

i=1

cixi = 0

implica c1 = c2 = ... = ck = 0.

La anterior sección es tomada de [2, pgs 681-683].

1.5. Sumas Directas.

Sea V un espacio vectorial de un campo K. Sea U,W subespacios de V de�nimos

la suma de U y W , como de todas las sumas u+w con u ∈ U y w ∈W . Denotamos

la suma como U +W, adicionalmente, si u1, u2 ∈ U y w1, w2 ∈W entonces

(u1 + w1) + (u2 + w2) = u1 + u2 + w1 + w2 ∈ U +W.

Si c ∈ K, entonces

c(u1 + w1) = cu1 + cw1 ∈ U +W.

Finalmente, (0 + 0) ∈ U +W. Por tanto U +W es un subespacio vectorial de V .

Nosotros decimos que V es una suma directa de U y W si para cada elemento v

de V existe únicos elementos u ∈ U y w ∈W tal que v = u+ w.

se denotara con

U ⊕W.

La sección anterior es tomada de [8, pg 19]

Teorema 11. El subespacio U +W es una suma directa si y solo si U ∩W = {0}.

7

Demostración. Se encuentra en [3, pg 113].

�

1.5.1. Descomposición De Un Espacio En Suma Directa De Subespacios.

Si para dos subespacios vectoriales U y W de V se cumple la relación

V = U ⊕W

se dice queW es un subespacio complementario de U , o bien que U es un subespacio

complementario de W . También se dice que V se descompone en suma directa de

sus subespacios U y W .

Teorema 12. Dos subespacios U , W de V son mutuamente complementarios si y

solo si cada vector del espacio total se obtiene como suma de uno de U con otro de

W , y, ademas, de manera única.

Dos subespacios U , W de V son mutuamente complementarios si y solo si

U +W = V

y

U ∩W = {0}.

La sección anterior es tomada de [3, pgs 113-117].

1.6. Funciones.

Los matemáticos consideran como funciones algunos tipos de relaciones, daremos

una idea general del concepto de función. Dados dos conjuntos de objetos, el con-

junto X y el conjunto Y , una función es una ley que asocia a cada objeto de X uno

y solo un objeto de Y . El conjunto X se denomina el dominio de la función. Los

objetos de Y , asociados con los de X forman otro conjunto denominado el recorrido

de la función. (Este puede ser todo el conjunto de Y , pero no es necesaria).

Si f es una función dada y x es un objeto de su dominio, la notación f(x) se utiliza

para designar el objeto que en el recorrido le corresponde a x, en la función f , y se

denomina el valor de la función f en x o la imagen de x por f .

1.6.1. De�nición Formal Como Conjunto De Pares Ordenados.8

Una función f es un conjunto de pares ordenados (x, y) ningún de los cuales tiene

el mismo primer elemento.

Si f es una función, el conjunto de todos los elementos x que aparecen como primeros

elementos de pares (x, y) de f se llama el dominio de f . El conjunto de los segundos

elementos y se denomina recorrido de f , o conjunto de valores de f . Una función

puede imaginarse como una tabla que consta de dos columnas. Cada entrada en la

tabla es un par ordenado (x, y); la columna de la x es el dominio de f , y la de las y,

el recorrido. Si dos entradas (x, y) y (x, z) aparecen en la tabla con el mismo valor

de x, para que represente una función es necesario que y = z. Dicho de otro modo,

una función no puede tomar dos valores distintos en un punto dado x. Por lo tanto,

para todo x en el domino de f existe exactamente un y tal que (x, y) ∈ f . Ya que

éste y está determinado con unicidad una vez se conoce x, podemos introducir para

él un símbolo especial. Es costumbre escribir

y = f(x)

en lugar de (x, y) ∈ f para indicar que el par (x, y) pertenece al conjunto f .


1.7. Norma.

Dado un elemento de un espacio lineal o vectorial llamado vector, en ocasiones como

en geometría o física, se necesita de�nir una función norma que nos represente la

longitud o magnitud de dicho vector.

De�nición 13. Sea V n un espacio vectorial con n > 0 un entero. Un conjunto

ordenado de n números reales (x1, ..., xn) se llama punto dimensional o vector con

n componentes. Los puntos o vectores se designan por medio de una sola letra por

ejemplo x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn).


1.7.1. Producto Escalar (Producto Interno). Introduzcamos ahora un nuevo

tipo de multiplicación llamada producto escalar o interior de dos vectores en V n,

donde V n es un espacio vectorial de dimensión n.

9

De�nición 14. Si x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn) dos vectores de V n, su producto

escalar se representa con 〈x, y〉 y se de�ne con la igualdad

〈x, y〉 =

n∑k=1

xkyk.

Así pues , para calcular 〈x, y〉 multiplicamos los componentes correspondientes de x

e y y sumamos luego todos los productos. Esta multiplicación tiene las propiedades

algebraicas siguientes.

Teorema 15. Para todos los vectores x, y, z de V n y todos los escalares c, se tienen

las siguientes propiedades:

1. 〈x, y〉 = 〈y, x〉 .2. 〈x, (y + z)〉 = 〈x, y + x · z〉 .3. c 〈x, y〉 = 〈c, x〉 · y = x · 〈c, y〉 .4. 〈x, x〉 > 0 si x 6= 0.

5. 〈x, x〉 = 0 si x = 0.

1.7.2. Norma de un Vector.

De�nición 16. Si x es un vector en V n, su longitud o norma se designa con ‖x‖y se de�ne mediante la igualdad ‖x‖ = (〈x, x〉) 1

2 . Las propiedades fundamentales

del producto escalar conducen a las correspondientes propiedades de la norma.

Teorema 17. Si x es un vector de V n y c un escalar, tenemos las siguientes

propiedades:

a) ‖x‖ > 0 si x 6= 0 (positividad),

b) ‖x‖ = 0 si x = 0,

c) ‖cA‖ = |c| ‖x‖ (homogeneidad).

1.7.3. Longitud o Norma De Un Elemento De Un Espacio Lineal o Vec-

torial. En un espacio vectorial V , el número no negativo ‖x‖ de�nido por la ecua-

ción

‖x‖ = (〈x, x〉)1/210

se denomina norma del elemento x.

En un espacio euclidiano, toda norma tiene las propiedades siguientes para todos

los elementos x e y, y todos los escalares c:

a) ‖x‖ = 0 si x = 0.

b) ‖x‖ > 0 si x 6= 0 (positividad).

c) ‖cx‖ = |c| ‖x‖ (homogeneidad).

d) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (desigualdad triangular).

El signo de igualdad es válido en la desigualdad triangular si y sólo si x e y son

dependientes.


1.8. Ortogonalidad.

De�nición 18. Un elemento x de un espacio con producto interno V se dice que

es ortogonal a un elemento y ∈ V si

〈x, y〉 = 0.

podemos decir que x y y son ortogonales, y se escribe con el símbolo x ⊥ y también el

símbolo 〈, 〉 quiere decir el producto interno. Simplemente, para conjunto A,B ⊂ Vescribimos x ⊥ A si x ⊥ a para todo a ∈ A, y A ⊥ B si a ⊥ b para todo a ∈ A y

para todo b ∈ B.Lo anterior es tomado de [4, pg 131].

1.8.1. Sistemas Ortogonales.

De�nición 19. Un sistema de vectores {u1, ..., un} se dice ortogonal si los vectoresque lo forman son ortogonales dos a dos:

〈ui, uj〉 = 0 para cualesquiera i 6= j, i, j ∈ {1, ..., n}.

1.9. El Dual.

1.9.1. Funcionales lineales. Un funcional es un operador cuyo rango se en-

cuentra en la linea real R o en el plano complejo C. Este último aparecen con tanta

frecuencia que se utilizan notaciones especiales denotamos funcionales por letras

minúsculas f, g, h, ..., denotamos el dominio de f por D(f), el rango por R(f) y el

valor de f en un punto x ∈ D(f) por f(x), con paréntesis.11

De�nición 20. Un funcional lineal f es un operador lineal con dominio en un

espacio vectorial V y el rango en un campo escalar K de V ; así,

f : D(f)→ K,

donde K = R si V es real y K = C si V son los complejos.

De�nición 21. Un funcional lineal f es un operador lineal acotado con rango en

un campo escalar de un espacio normado V el cual el dominio es D(f) de V . Así

existe un numero real c tal que para todo x ∈ D(f),

|f(x)| ≤ c ‖x‖ .

El conjunto de todos los funcionales lineales de�nidos en un espacio vectorial V

puede en sí convertirse en un espacio vectorial, este espacio es denotado por V ∗

y es llamado espacio dual algebraico de V , las operaciones algebraicas del espacio

vectorial son de�nidas de la siguiente manera natural. la suma f1 + f2 de dos

funcionales f1y f2 es el funcional s cuyo valor en cada v ∈ V es

s(v) = (f1 + f2)(v) = f1(v) + f2(v)

el producto αf, de un escalar α y un funcional f es un funcional p cuyo valor de

v ∈ V es

p(v) = (αf)(v) = αf(v).

1.9.2. Espacio Dual.

Sea V el espacio vectorial con norma, entonces el conjunto de todos los funcionales

acotados en V constituye un espacio vectorial con norma de�nida como

‖f‖ = supx∈V ;x 6=0

|f(v)|‖v‖

= supx∈Wj(p);‖v‖=1

|f(v)|

es llamado el espacio dual de V y es denotado por V ∗.


12

2. Conceptos Básicos

En esta sección daremos inicio a los conceptos primordiales para comprender teo-

remas y poder detallar algunas demostraciones de ellos.

2.1. Introducción a Las Normas y Pseudonormas Vectoriales.

De�nición 22. Sea Cn la notación del espacio vectorial de todas las n-uplas de nú-

meros complejos, y sea Rk+ el conjunto de todas las k-uplas de números no negativos

reales.

Una norma vectorial de orden k de Cn es una función p : Cn → Rk+ tal que cumple

las siguientes propiedades:

a) p(αx) = |α| p(x) tal que ∀x ∈ Cn, ∀α ∈ Cb) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ Cn

c) p(x) 6= 0 si x 6= 0.

De�nición 23. Una función p : Cn → Rk+ que satisface las propiedades a) y b) es

llamada una pseudonorma vectorial de orden k de Cn. Se denota a p1(x), ..., pk(x).

Las componentes de p(x).

Ejemplo 24. Consideremos el espacio Rk+ de�nimos la función:

N0(u1, ..., un) = sup{|u2| , .., |un|}

miremos que es una pseudonorma

a) Sea α un escalar

N0(αu1, ..., αun) = sup{|αu2| , .., |αun|}

= sup{α(|u2| , .., |un|)}

= α sup{|u2| , .., |un|}

= αN0(u1, ..., un)

b)

N0(u1 + v1, ..., un + vn) = sup{|u2 + v2| , ..., |un + vn|}

≤ sup{|u2|+ |v2| , ..., |un|+ |vn|}

= sup{|u2| , ..., |un|}+ sup{|v2| , ..., |vn|}

= N0(u1, ..., un) +N0(v1, ..., vn)13

efectivamente cumple las dos condiciones para ser pseudonorma.

De�nición 25. A cada pseudonorma p : Cn → Rk+ se le relaciona con los siguientes

subespacios de Cn

Kj(p) = {x ∈ Cn : pj(x) = 0} con (j = 1, .., k),

K(p) =⋂h

Kh(p),

Wj(p) =⋂h 6=j

Kh(p) con (j = 1, .., k),

W (p) = W1(p) + ...+Wk(p).

Observación 26. En caso de que p sea una norma vectorial se puede a�rmar elsiguiente teorema

Proposición 27. p es una norma vectorial si y solo si K(p) = {0}.

Demostración. Asumamos que p es una norma vectorial entonces p(x) 6= 0 si x 6= 0

por lo cual p(x) 6= 0 implica que pj(x) 6= 0 con j = 1, ..., k. Por tanto x /∈ Kj(p)

por lo tanto esto es K(p) =⋂Kj(p) = {0}.

Asumamos p(x) = 0 pero x 6= 0 como p(x) = 0 implica que pj(x) = 0 para

j = 1, ..., k. Por tanto x ∈ Kj(p) para j = 1, ..., k. Luego x ∈ K(p) con x 6= 0

contrario a la hipótesis por lo cual es una norma vectorial

�

Proposición 28. Si p : Cn → Rk es una pseudonorma vectorial arbitraria tenemos

(2.1)∑h 6=j

Wh(p) ⊆ Kj(p)

y

W (p) = Kj(p) +Wj(p)

Demostración. Supongamos que x ∈∑

h6=j Wh(p) esto implica que x /∈Wj(p) como

Wj(p) =⋂j 6=h

Kh(p) con (j = 1, .., k),

luego x ∈ Kj(p). Por tanto14

∑h6=j

Wh(p) ⊆ Kj(p).

Ademas,

W (p) =

k∑j=1

Wh(p)

=

∑h6=j

Wh(p)

+Wj(p)

⊆ Kj(p) +Wj(p).

�

Las proposiciones son tomadas de [7, pg 43-44].

De�nición 29. Sea p, q : Cn → Rk dos pseudonormas vectoriales se llaman con-

gruentes si

Wj(p) = Wj(q)

con j = 1, 2, ..., k. si p, q congruentes, En otras palabras

p = (p1, ..., pj , ..., pk)

q = (q1, ..., qj , ..., qk)

entonces

Wj(p) =⋂j 6=h

Kj(p) =⋂j 6=h

{x ∈ Cn : ph(x) = 0}

Wj(q) =⋂j 6=h

Kj(q) =⋂{x ∈ Cn : qh(x) = 0}

para todo j = 1, ..., k

Wj(p) = Wj(q).

Por otra parte, si p, q no son congruentes existe un j = 1, ..., k tal queWj(p) 6= Wj(q)

por tanto hay un x ∈Wj(p) y x ∈Wj(q)

x ∈⋂j 6=h

{x ∈ Cn : ph(x) = 0}

x /∈⋂j 6=h

{x ∈ Cn : qh(x) = 0}

por tanto existe h 6= j tal que qh(x) 6= 0.

15

2.2. Pseudonorma Vectorial Regular.

De�nición 30. Una pseudonorma vectorial p : Cn → Rk se dice que es regular si

W (p) = Cn.

Es decir como, W (p) = W1(p) + ...+Wk(p),

Wj(p) =⋂j 6=h

Kj(p) =⋂j 6=h

{x ∈ Cn : ph(x) = 0}

entonces W (p) ⊆ Cn por ser subespacio vectorial. Ahora bien, x ∈ Cn si la

pseudonorma es regular entonces existe x1, x2, ..., xk en Cn tal que xi ∈ Wi(p)

y x = x1 + x2 + ...+ xj−1 + xj+1 + ...+ xk. Por tanto

p(x1) = (p1(x1), p2(x1), ..., pk(x1)) = (p1(x1), 0, ..., 0)

p(x2) = (p1(x2), p2(x2), ..., pk(x2)) = (0, p1(x1), 0, ..., 0)

......

...

p(xj) = (p1(xj), p2(x1), ..., pk(xj)) = (0, ..., 0, p1(xj), 0, ..., 0)

p(x) = (p1(x1), p2(x2), ..., pk(xk))

lo que Cn ⊆W (p), por tanto Cn = W (p).

Ejemplo 31. Consideremos la función p : C3 → R2 con p(α, β, γ) = (|α| , |γ|),x = (α, β, γ).

como p(x) = (p1(x), p2(x)) entonces

p(x) = p(α, β, γ) = (|α| , |γ|)

de las de�niciones de los subespacios de Cn tenemos

Kj(p) = {x ∈ Cn : pj(x) = 0/j = 1, ..,k}

K1(p) = {x ∈ C3 : p1(x) = 0}

= {x ∈ C3 : p1(x) = |α| = 0⇔ α = 0}

= {(0, β, γ) : β, γ ∈ C}

K2(p) = {x ∈ C3 : p2(x) = 0}

= {x ∈ C3 : p2(x) = |γ| = 0⇔ γ = 0}

= {(α, β, 0) : α, β ∈ C}

K(p) =⋂Kj(p)

16

K(p) = K1(p) ∩K2(p)

= {(0, β, γ) ∩ (α, β, 0)}

= {(0, β, 0)}

Wj(p) =⋂

h6=j Kh(p)(j = 1, ..,k),

W1(p) = K2(p)

= {(α, β, 0) : α, β ∈ C}

W2(p) = K1(p)

= {(0, β, γ) : β, γ ∈ C}

W(p) = W1(p) + ...+ Wk(p).

W (p) = W1(p) +W2(p)

= {(0, β, γ) + (α, β, 0)}

= C3

por tanto p es una pseudonorma vectorial regular. Además como K(p) 6= 0 entonces

p no es una norma vectorial.

Ejemplo 32. Sea p una función tal que p : C3 → R3 de la forma p(α, β, γ) =(|α| , |γ| ,

√|α|2 + |β|2

)entonces p(x) = (p1(x), p2(x), p3(x))

Veamos que p(x) es una pseudonorma vectorial regular

p(x) = p(α, β, γ) =

(|α| , |γ| ,

√|α|2 + |β|2

)= (p1(x), p2(x), p3(x))

encontramos los subespacios de C3 asociados a la pseudonorma p

K1(p) = {x ∈ C3 : p1(x) = 0}

= {x ∈ C3 : p1(x) = |α| = 0⇔ α = 0}

= {(0, β, γ) : β, γ ∈ C}

K2(p) = {x ∈ C3 : p2(x) = 0}

= {x ∈ C3 : p2(x) = |γ| = 0⇔ γ = 0}

= {(α, β, 0) : α, β ∈ C}17

K3(p) = {x ∈ C3 : p3(x) = 0}

= {x ∈ C3 : p2(x) =

√|α|2 + |β|2 = 0⇔ α = β = 0}

= {(0, 0, γ) : γ ∈ C}

W1(p) =⋂h6=1

Kh(p)

= K2(p) ∩K3(p)

= {(α, β, 0) ∩ (0, 0, γ)}

= {0}

W2(p) =⋂h6=2

Kh(p)

= K1(p) ∩K3(p)

= {(0, β, γ) ∩ (0, 0, γ)}

= {(0, 0, γ)}

W3(p) =⋂h 6=3

Kh(p)

= K1(p) ∩K2(p)

= {(0, β, γ) ∩ (α, β, 0)}

= {(0, β, 0)}

W (p) = W1(p) +W2(p) +W3(p)

= {(0, 0, 0) + (0, 0, γ) + (0, β, 0}

= {(0, β, γ)}

vemos que p no es una pseudonorma vectorial regular porque W (p) 6= C3, además

como K(p) = {0} porque

K(p) = K1(p) ∩K2(p) ∩K3(p)

= {(0, β, γ) ∩ (α, β, 0) ∩ (0, 0, γ)}= {0}

entonces p es una norma vectorial.

18

2.3. Dual De Una Norma Vectorial.

De�nición 33. Sea p : Cn → Rk una norma vectorial y consideramos las funciones

qj : Cn → R

qj(y) = supx∈Wj(p);x 6=0

|y∗x|pj(x)

= supx∈Wj(p);x 6=0

〈y, x〉pj(x)

con (y ∈ Cn).

para cada j = 1, ..., k. entonces la función dada de la siguiente forma

pD : Cn → Rk

pD(y) = (q1(y), ..., qk(y))

para (y ∈ Cn), es llamado el dual de p.

Similarmente subespaciosKj(pD),K(pD),Wj(p

D) yW (pD) se de�ne de la siguiente

manera

Kj(pD) = {y ∈ Cn : qj(x) = 0/j = 1, .., k}

= {y ∈ Cn : supx∈Wj(p);x 6=0

|y∗x|pj(x)

= 0}

= {y ∈ Cn : |y∗x| = 0}

= {y ∈ Cn : 〈y, x〉 = 0}

K(pD) =⋂h

Kh(pD),

Wj(pD) =

⋂h6=j

Kh(pD) con (j = 1, .., k),

W (pD) = W1(pD) + ...+Wk(pD).

19

3. Análisis del artículo

Los siguientes teoremas son tomados del artículo [6] donde el trabajo a realizar es

desmenuzar las demostraciones para hacer una mejor comprensión de cada uno de

ellos.

3.1. Proposición 1. Si p : Cn → Rk es una norma vectorial entonces las

siguientes declaraciones son equivalentes:

i) p es regular.

ii) Entonces existe una norma v en Cn y una descomposición de sumas direc-

tas Cn = X1 ⊕ ... ⊕ Xk con proyecciones asociadas E1, ..., Ek tal que p(x) =

(v(E1x), ..., v(Ekx)) ∀c ∈ Cn.

iii) Si p(x) = u+ v con u, v ∈ Cn tal que x = y + z, p(y) = u y p(z) = v.

iv) Cn = Kj(p)⊕Wj(p) para todo j = 1, ..., k.

Demostración.

i)→ii) Por hipótesis sabemos que p es regular, en otras palabras W (p) = W1(p) +

...+Wk(p) = Cn. Ahora

(3.1) Wj(p) ∩Wi(p) = {0}

con j 6= i ya que Wj(p) = ∩j 6=hKh(p) y Wi(p) = ∩i6=hKh(p).Por tanto

∩j 6=hKh(p)⋂∩i 6=hKh(p) = {0}.

Lo cual son subespacios independientes dos a dos.

Ahora, W1(p) + W2(p) + ... + Wk(p) = W (p) = Cn (de�nición regularidad) y

Wj(p) ∩Wi(p) = 0 con j 6= i y 1 < j < k ; 1 < i < k (de�nición de independencia)

si y solo si W1(p),W2(p), ...,Wk(p) son subespacios complementarios.

Al ser subespacios complementarios podremos verlos como una suma directa de la

siguiente forma

Cn = W1(p)⊕ ...⊕Wk(p)

Sea E1, ..., Ek las proyecciones asociadas con esta descomposición de sumas directas.

Vemos que la función x→ v(x) = maxh ph(x) es una norma en Cn, ya que pi(x) =

pi(Ei).

Tenemos que para todo j = 1, ..., k y para todo x ∈ Cn,

v(Ejx) = maxh{ph(Ejx)} = max{ph(EhEjx)} = pj(Ejx) = pj(x).

ii)→iii) Tomemos x ∈ Cn y supongamos p(x) = u + v con u ≥ 0 y v ≥ 0,

consideremos un i �jo en Rk, tomemos pi(Eix) = ui + vi.20

Si pi(Eix) = 0, podemos decir yi = zi = 0.

Si wi = pi(Eix) > 0, podemos

yi =uiwiEix

zi =viwiEix

entonces yi + zi = Eix en ambos casos nosotros tenemos y + z = x y p(y) = u,

p(z) = v si y = y1 + ...+ yk y z = z1 + ...+ zk.

iii) →iv) Sea x ∈ Cn y sea j ∈ {1, ...k}. Denotemos

u = (p1(x), ..., pj−1(x), 0, pj+1, ..., pk(x)

v = P (x)− u

entonces P (x) = u+ v y por supuesto existen vectores y, z ∈ Cn tal que x = y+ z,

p(y) = u y p(z) = v entonces pj(y) = 0 y ph(z) = 0 para h 6= j por tanto y ∈ Ki(p)

, z ∈Wi(p) y así x = y + z ∈ Ki(p) +Wi(p) por tanto Cn = Kj(p)⊕Wj(p) por lo

que Kj(p) ∩Wj(p) = {0} es decir son independientes.

�

3.2. Proposición 2. Si p : Cn → Rk+ es una norma vectorial regular entonces

Kj(p) =⊕h 6=j

Wh(p)

con j = 1, ..., k. donde⊕n

i Wi(p) := W1(p)⊕W2(p)⊕ ...⊕Wn(p).

Demostración. Sea x ∈ Kj(p) entonces pj(x) = 0 y ya que p es regular es decir que

W (p) = W1(p) +W2(p) + ...+Wk(p) = Cn tenemos que x = x1 + ...+xk junto con

xh ∈Wh(p) con (h = 1, ..., k).

Ahora pj(xj) = pj(x) = 0 donde xj = 0 entonces

x = x1 + ...+ xj−1 + xj+1 + ...+ xk ∈∑h6=j

Wh(p)

Así

(3.2) Kj(p) ⊆∑h6=j

Wh(p)

y ya que tenemos 2.1. Ademas ya que losWh(p)′s son independientes por 3.1 y la re-

gularidad de p es decir W (p) =∑k

j=1Wj(p) = Cn entonces los Wh(p)′s son mutua-

mente complementarios. Además podemos verlo como∑

h 6=j Wh(p) =⊕

h6=j Wh(p)

y junto con las dos continencias tenemos que

Kj(p) =⊕h6=j

Wh(p).

21

�

3.2.1. Observación. Damos un ejemplo donde el contra-reciproco de la propo-

sición anterior es falso.

La norma vectorial p : C4 → R3de�nida por p(α1, α2, α3, α4) = (|α1|+ |α4| , |α2|+|α4| , |α3|+ |α4|)

K1(p) = {x ∈ C4 : p1(x) = 0}

= {x ∈ C4 : p1(x) = |α1|+ |α4| = 0⇔ α1 = α4 = 0}

= {(0, α2, α3, 0) : α2, α3 ∈ C}

K2(p) = {x ∈ C4 : p2(x) = 0}

= {x ∈ C4 : p2(x) = |α2|+ |α4| = 0⇔ α2 = α4 = 0}

= {(α1, 0, α3, 0) : α1, α3 ∈ C}

K3(p) = {x ∈ C4 : p3(x) = 0}

= {x ∈ C4 : p3(x) = |α3|+ |α4| = 0⇔ α3 = α4 = 0}

= {(α1, α2, 0, 0) : α1, α2 ∈ C}

W1(p) =⋂h 6=1

Kh(p)

= K2(p) ∩K3(p)

= {(α1, 0, α3, 0) ∩ (α1, α2, 0, 0)}

= {(α1, 0, 0, 0)}

pseudonorma

W2(p) =⋂h 6=2

Kh(p)

= K1(p) ∩K3(p)

= {(0, α2, α3, 0) ∩ (α1, α2, 0, 0)}

= {(0, α2, 0, 0)}

W3(p) =⋂h 6=3

Kh(p)

= K1(p) ∩K2(p)

= {(0, α2, α3, 0) ∩ (α1, 0, α3, 0)}

= {(0, 0, α3, 0)}

Así Kj(p) =⊕

h6=j Wh(p) con (j = 1, 2, 3), pero p no es regular ya que22

W (p) = W1(p) +W2(p) +W3(p)

= {(α1, 0, 0, 0) + (0, α2, 0, 0) + (0, 0, α3, 0)}

= {(α1, α2, α3, 0)

6= C4

3.3. Proposición 3. Sea p y q pseudonormas vectoriales de orden k en Cn y

asumamos que p ≤ q (es decir que p(x) ≤ q(x) para cualquier x ∈ Cn)

a) Si p es una norma vectorial entonces q es una norma.

b) Si q es regular entonces p es regular.

Demostración. Primero demostraremos las siguientes contenencias

i) Kj(q) ⊆ Kj(p)

ii) Wj(q) ⊆ Wj(p)

iii) K(q) ⊆ K(p).

iv) W (q) ⊆ W (p)

para todo j = 1, ..., k.

i) Sea x ∈ Kj(q) entonces qj(x) = 0, ahora por de�nición tenemos que Kj(p) =

{x ∈ Cn : pj(x) = 0} entonces qj(x) = 0 = pj(x) lo que quiere decir que x ∈ Kj(p)

por tanto Kj(q) ⊆ Kj(p).

ii) Por de�nición tenemos

Wj(q) =⋂h 6=j

Kh(q)

ahora como

Kj(q) ⊆ Kj(p)

entonces ⋂h6=j

Kh(q) ⊆⋂h6=j

Kh(p)

por tanto

Wj(q) ⊆Wj(p).

iii) Por de�nición

K(q) :=⋂Kh(q)

K(p) :=⋂Kh(p)

23

dado que

Kj(q) ⊆ Kj(p)

entonces ⋂Kh(q) ⊆

⋂Kh(p)

por tanto

K(q) ⊆ K(p).

iv) Por de�nición se tiene que

W (q) :=

k∑i=1

Wi(q)

W (p) :=

k∑i=1

Wi(p)

para cada componenteWi(q) se cumple queWi(q) ⊆Wi(p) por tantoW (q) ⊆W (p).

Ya que p es una norma vectorial si y solo si K(p) = {0} y además se cumple que

K(q) ⊆ K(p) entonces K(q) ⊆ {0} por tanto K(q) = {0} si y sólo si q es una norma

vectorial con lo cual queda demostrada la parte a). Para la parte b) tenemos que

q es regular por tanto W (q) = Cn, y ademas tenemos que W (q) ⊆ W (p) entonces

Cn ⊆W (p) por tanto Cn = W (p) lo cual implica que p es regular.

�

3.4. Proposición 4. Sea p y q normas vectoriales regulares de orden k en Cn

tal que p ≤ q entoncesa) Kj(q) = Kj(p) para j = 1, ..., k.

b) Wj(q) = Wj(p) para j = 1, ..., k.

Demostración. Como p y q con normas regulares entonces por la proposición 1

tenemos que Cn = Kj(q)⊕Wj(q) = Kj(p)⊕Wj(p) para todo j = 1, ..., k. implica

que

Kj(p) ⊆ Kj(q)

Wj(p) ⊆ Wj(q)

y ademas Kj(q) ⊆ Kj(p) y Wj(q) ⊆Wj(p) por la demostración anterior, por tanto

tenemos demostrada la parte a) y b).

�

3.5. Proposición 5. Si p es una norma vectorial, entonces

a) Kj(pD) = (Wj(p))

⊥ para j = 1, ..., k.24

b) Wj(pD) ⊇ (Kj(p))

⊥ para j = 1, ..., k.

c) K(pD) = (W (p))⊥.

d) pDes regular.

Demostración.

a)

Kj(pD) = {y ∈ Cn : qi(y) = 0}

= {y ∈ Cn : y∗x = 0,∀x ∈Wj(p)}

= {y ∈ Cn : 〈y, x〉 = 0,∀x ∈Wj(p)}

= (Wj(p))⊥.

b) Por de�nición se tiene que

Wj(pD) =

⋂h 6=j

Kh(pD)

ya que Kj(pD) = (Wj(p))

⊥ para j = 1, ..., k. por tanto Kh(pD) = (Wh(p))⊥ para

h = 1, ..., k., entonces nos queda

Wj(pD) =

⋂h6=j

Wh(p)

=∑h6=j

Wh(p)

de la ecuación 3.2 tenemos que∑h6=j

(Wh(p))⊥ ⊇ (Kj(p))

⊥

por lo tanto

Wj(pD) ⊇ Kj(p).

para j = 1, ..., k.

c) De la de�nición de K(pD) tenemos que

K(pD) =⋂h

Kh(pD)

por la parte a) ⋂h

Kh(pD) =⋂h

(Wh(p))⊥

=∑h

(Wh(p))⊥

25

por de�nición ∑h

(Wh(p))⊥

= (W (p))⊥

queda demostrado que

K(pD) = (W (p))⊥.

d) Tenemos por de�nición que

W (pD) =∑h

Wh(pD)

por la parte b) ∑h

Wh(pD) ⊇∑h

(Kh(p))⊥

donde ∑h

(Kh(p))⊥

=⋂h

(Kh(p))⊥

por de�nición ⋂h

(Kh(p))⊥

= (K(p))⊥

= Cn

como W (pD) = Cn si y solo si pD es regular.

�

3.6. Proposición 6. Si p es una norma vectorial regular entonces

Wj(pD) = (Kj(p))

⊥.

Demostración. Para desarrollar esta demostración vamos a hacer uso de las propo-

siciones 2 y 5 en la siguiente contenencia, por la parte b) de la proposición 5

Wj(pD) ⊇ (Kj(p))

⊥

de la proposición 2

(Kj(p))⊥

=∑h 6=j

(Wh(p))⊥

=⋂h 6=j

(Wh(p))⊥

26

por la parte a) de la proposición 5⋂h6=j

(Wh(p))⊥

=⋂h6=j

K(pD)

por la de�nición tenemos ⋂h 6=j

K(pD) = Wj(pD)

lo cual queda demostrado que

Wj(pD) = (Kj(p))

⊥.

�

3.7. Proposición 7. Si p, q : Cn → Rk son normas vectoriales tal que p ≤ q

entonces qD ≤ pD.

Demostración. Se sabe que

Kj(q) ⊆ Kj(p)

Wj(q) ⊆ Wj(p)

para j = 1, ..., k., Ahora por de�nición del dual tenemos, para todo j = 1, ..., k. y

todo y ∈ Cn,existe pDj (y) tal que

pDj (y) = supx∈Wj(p);x 6=0

|y∗x|pj(x)

= supx∈Wj(p);x6=0

〈y, x〉pj(x)

≥ supx∈Wj(q);x 6=0

|y∗x|qj(x)

= supx∈Wj(q);x 6=0

〈y, x〉qj(x)

= qDj (y)

por tanto queda demostrado.

�

3.8. Proposición 8. Si p : Cn → Rk es una norma vectorial regular de orden

k en Cn tal que Wi(p) ⊥Wj(p) para j 6= i entonces

a)Kj(pD) = Kj(p) para j = 1, ..., k.

b)Wj(pD) = Wj(p) para j = 1, ..., k.

27

Demostración. Usando la proposición 2 que nos dice que cuando tenemos p una

norma vectorial regular entonces Kj(p) =⊕

h 6=j Wh(p), deducimos Wi(p) ⊥Wj(p)

es decir que Wj(p) ·Kj(p) = 0 para j = 1, ..., k., ademas como p es norma regular

entonces por la proposición 1 Wj(p)⊕Kj(p) = Cn para j = 1, ..., k. y tenemos por

la proposición 5 la parte a) que Kj(pD) = Wj(p) para j = 1, ..., k.entonces

Kj(pD) = Wj(p) = Kj(p)

lo cual demuestra la parte a).

Ahora su tomamos la proposición 6 que nos dice que p es una norma vectorial regular

entonces Wj(pD) = Kj(p) y como p es norma regular entonces por la proposición

1 Wj(p)⊕Kj(p) = Cn para j = 1, ..., k. entonces

Wj(pD) = Kj(p) = Wj(p)

lo cual demuestra la parte b).

�

28

4. Conclusiones

1. Gracias a la síntesis teórica realizada en el trabajo se pudo obtener un en-

tendimiento detallado a distintos conceptos y notaciones, en los cuales se

observaron que no eran claros desde un comienzo en el artículo [6], lo que

permitió el desglozamiento de algunas de las teorías expuestas en el mismo

para que cualquier lector con un mínimo de conocimientos en matemáti-

cas pueda obtener al menos alguna idea sobre las normas y pseudonormas

vectoriales.

2. A pesar de las síntesis teórica realizada en el proceso del trabajo, podemos

llegar a la conclusión de la falta de aplicaciones practicas para las normas

y pseudonormas vectoriales puesto que no se encontraron investigaciones

realizadas a ninguna ciencia aplicada, por este motivo no se hicieron presente

ejemplos aplicativos, como a la economía o física.

29

Referencias

[1] Apóstol, Tom M. Análisis matemático, California Institute of Technology: Reverte, segunda

edición.

[2] Apóstol, Tom M. Calculus, blaisdell publishing company: Reverte, segunda edición vol 1.[3] Raya, Andrés. Álgebra y geometría lineal, Barcelona: Reverte.[4] Kreyszig, Erwin. Introductory Funcional Analisys With Applications, University of Windsor:

Wiley.[5] M. Fiedler and V. Pták, Generalized norms of matrices and the location of the spectrum,

Czechoslovak Math. J. 12 (87) (1962), 558-571. MR 26 #418.[6] Deutsch, Emeric (1971). On vectorial norms and pseudonorms. Proc. Am. math. Soc., 28,18-24.[7] Sunanda K. Khasbarda and N. K. Thakare, On vectoral Paranorms, Departament of mathe-

matics, Shibaji Univesity, Kolhapur.[8] Lang Serge, Linear Algebra, Yale University, Springer, third edition.

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SOBRE NORMAS Y PSEUDONORMAS VECTORIALES...

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