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Sobre la caracterización de dos ecuaciones generadoras de tríos de términos
pertenecientes a la conjetura de Beal.
Rodolfo A. Nieves Rivas
Resumen.
En este breve artículo se presentan dos ecuaciones para la representación canónica de
los términos correspondientes a casos particulares y obtención de los tríos de la
ecuación de la conjetura de Beal. Luego se establece su caracterización y se concluye
con algunos ejemplos que nos permiten visualizar el comportamiento y sentar las bases
que nos garanticen la resolución definitiva de dicha conjetura.
Palabras clave: Representación canónica; Caracterización; Tríos de Beal.
Introducción:
Desde que se conoce el teorema de Pitágoras con su ecuación característica y los
diferentes métodos para la obtención de sus ternas o tríos pitagóricos primitivos y luego
con el surgimiento del estudio de las ecuaciones Diofanticas, así como el intento de
generalización de la ecuación de Pitágoras a exponentes mayores que Dos por parte de
Fermat y los resultados presentados por Matiyasevich en lo concerniente al décimo
problema de Hilbert. Y además con la solución presentada por Andrew Wiles con sus
curvas elípticas modulares al teorema de Fermat. Ahora surge otro problema al que hay
que enfrentar y este problema es conocido como: La conjetura de Beal. Dado que fue:
Andrew Beal quien la formuló.
En este breve artículo se presenta la caracterización y representación canónica de Dos
ecuaciones de aplicación general y resolución de esta conjetura. Sentando las bases que
nos garantizan el avance hacia la resolución definitiva.
Primera Caracterización:
Teorema:1 de Beal-Nieves.
Si: A = B
Cuando: C = A. 1n A
∆n≥3
Tal que: 1n A ϵ
Entonces la conjetura de Beal: Ax + B
y = C
z Es cierta
Si y solo si: x = n
Y además: y = (n+1)
Donde: z = n
Y por tanto: An
+ Bn+1
= Cn
Observación: Este teorema permite demostrar que efectivamente (A; B; C) tienen un
factor común igual a: A como lo establece la conjetura de Beal y el cual puede ser:
Primo o compuesto y si es compuesto entonces el factor común es un numero primo
perteneciente a la descomposición factorial de: A.
Ejemplos:
A = 31
n = 5
C = 62
B = 31
Ax + B
y = C
z = 31
5 + 31
6 = 62
5
A = 26
n = 3
C = 78
B = 26
Ax + B
y = C
z = 26
3 + 26
4 = 78
3
A = 127
n = 7
C = 254
B = 127
Ax + B
y = C
z = 127
7 + 127
8 = 254
7
A = 63
n = 3
C = 252
B = 63
Ax + B
y = C
z = 63
3 + 63
4 = 252
3
Primera ecuación canónica generadora de tríos de Beal:
Sea: ( an – 1 )
n + ( a
n – 1 )
n+1 = (( a
n – 1 ).a)
n
Para toda: a≥2
Y toda: n≥2
Segunda Caracterización:
Sea: Ax
+ By = C
z La ecuación de la conjetura de Beal.
Para: A = B ó A ≠ B
Cuando: C = c
Si: an + b
n = c
Y además: x = n
y = n
z = n+1
∆n≥3
Entonces: A = (a.c)
Cuando: B = (b.c)
Tal que: (a.c)n + (b.c)
n = c
n+1 → A
x + B
y = C
z
Generalización:
Sea: [a.( an + b
n)]
n + [b.( a
n + b
n)]
n = [a
n + b
n]
n+1
Cuando: a ≥ 2
Y además: b ≥ 2
Para toda: n ≥ 2
Segunda Ecuación canónica generadora de tríos de Beal:
Sea: (a.c)n + (b.c)
n = c
n+1
Solo cuando: an + b
n = c
Para toda: a≥1
Para toda: b≥1
Y toda: n≥2
Observación: para todo número primo de la forma: 4.m+1 = a2 + b
2 = c
Queda demostrado que: a=1 y además: A = C = c. Así como: b2 = 4.m
Esto está garantizado por la demostración de Fermat a la conjetura de: Girard.
Ejemplos:
a = 3
b = 5
n = 3
C = c = 152
A = 456
B = 760
4563
+ 7603 = 152
4 → A
x + B
y = C
z
a = 2
b = 3
n = 3
C = c = 35
A = 70
B = 105
703
+ 1053 = 35
4 → A
x + B
y = C
z
a = 1
b = 4
n = 2
C = c = 17
A = 17
B = 68
172
+ 682 = 17
3 → A
x + B
y = C
z
a = 3
b = 3
n = 4
C = c = 162
A = 486
B = 486
4864
+ 4864 = 162
5 → A
x + B
y = C
z
Criterio y Discriminante de Nieves sobre la conjetura de Beal.
Para que sea cierto que: Ax + B
y = C
z
Cuando: Ax + B
y = C
z Es la Ecuación de Beal.
Solo es necesario y suficiente que:
[A-x
/ C-z
] - [A-x
/ B-y
]= 1
[Cz / A
x] - [B
y / A
x]= 1
[Cz / B
y] - [A
x / B
y]= 1
[Ax / C
z] + [B
y / C
z]= 1
Ejemplos:
[1-1
/ 3-2
] - [1-1
/ 2-3
]= 1
[32 / 1
1] - [2
3 / 1
1]= 1
[32 / 2
3] - [1
1 / 2
3]= 1
[11 / 3
2] + [2
3 / 3
2]= 1
Observación: el ejemplo anterior está relacionado con la conjetura de catalán
presentada por Eugene charles Catalán en 1884 y demostrada por Preda Mihailescu
en el 2002.
[2-5
/ 3-4
] - [2-5
/ 7-2
]= 1
[34 / 2
5] - [7
2 / 2
5]= 1
[34 / 7
2] - [2
5 / 7
2]= 1
[25 / 3
4] + [7
2 / 3
4]= 1
Observación: El ejemplo anterior permite visualizar una de las condiciones cuando los
tres términos no tienen un factor común entonces al menos uno de las exponentes es
igual a: 2 y además cabe destacar que el termino: Cz = 3
4 puede cambiarse por: C
Z = 9
2
Comprobación de los valores correspondientes a los tríos de Beal; en la siguiente
tabla a través del discriminante o identidad en el criterio de Nieves.
Transformaciones
de: Cz
→ Cz = AX + By → Transformaciones
de: Bz
z x y
82= 26=43=641 → 82 = 391 + 52 → 52= 251 2;6;3;1 1 2;1
Discriminante o Identidad de Nieves.
[A-x
/ C-z
] - [A-x
/ B-y
]= 1
[Cz / A
x] - [B
y / A
x]= 1
[Cz / B
y] - [A
x / B
y]= 1
[Ax / C
z] + [B
y / C
z]= 1
Comprobación:
[39-1
/ 8-2
] - [39-1
/ 5-2
]= 1
[82 / 39
1] - [5
2 / 39
1]= 1
[82 / 5
2] - [39
1 / 5
2]= 1
[391 / 8
2] + [5
2 / 8
2]= 1
Transformación:
[39-1
/ 4-3
] - [39-1
/ 5-2
]= 1
[26 / 39
1] - [5
2 / 39
1]= 1
[43 / 25
1] - [39
1 / 5
2]= 1
[391 / 64
1] + [5
2 / 4
3]= 1
Teorema Principal:
“Todo número impar se puede expresar con la diferencia de dos cuadrados”
12-02 = 1
22-12 = 3
32-22 = 5
42-32 = 7
32-02 = 52-42 = 9
62-52 = 11
72-62 = 13
42-12 = 82-72 = 15
92-82 = 17
102-92 = 19
52-22 = 112-102 = 21
122-112 = 23
52-02 = 132-122 = 25
62-32 = 142-132 = 27
152-142 = 29
162-152 = 31
72-42 = 172-162 = 33
62-12 = 182-172 = 35
192-182 = 37
82-52 = 202-192 = 39
Teorema 1:
“Todo número impar se puede expresar con la diferencia de
dos cuadrados consecutivos”
12-02 = 1
22-12 = 3
32-22 = 5
42-32 = 7
52-42 = 9
62-52 = 11
72-62 = 13
82-72 = 15
92-82 = 17
102-92 = 19
112-102 = 21
122-112 = 23
132-122 = 25
142-132 = 27
152-142 = 29
162-152 = 31
172-162 = 33
182-172 = 35
192-182 = 37
202-192 = 39
Teorema 2:
“Dos números consecutivos siempre son coprimos”
Teorema 3:
“Si dos números no dividen la suma de ambos.
Entonces ambos son coprimos a la misma”
Teorema 4:
“Toda enésima potencia cuya base sea un número impar primo o compuesto
siempre es impar”
Teorema 5:
“Si las bases de los tres términos de la ecuación de Beal son coprimos.
Y además una de dichas bases es un número impar.
Entonces al menos uno de los exponentes es igual a dos”
Cz = Ax + By
12 = 1 + 02
22 = 3 + 12
32 = 5 + 22
42 = 7 + 32
52 = 9 + 42 → 32 = 9
62 = 11 + 52
72 = 13 + 62
82 = 15 + 72
92 = 17 + 82
102 = 19 + 92
112 = 21 + 102
122 = 23 + 112
132 = 25 + 122 → 52 = 25
142 = 27 + 132 → 33 = 27
152 = 29 + 142
162 = 31 + 152
172 = 33 + 162
182 = 35 + 172
192 = 37 + 182
202 = 39 + 192
CZ = Ax + BY
300429072 = 962223 + 438
210629382 = 762713 + 177
1222 = 114 + 35
712 = 173 + 27
712 = 34 + 25
132 = 52 + 122
Aplicación de los teoremas anteriores:
Cz = Ax + By
42 = 71 + 32
252 = 72 + 242
1722 = 73 + 1712
12012 = 74 + 12002
Demostración:
Ax = Cz - By
71 = 42 - 32
72 = 252 - 242
73 = 1722 - 1712
74 = 12012 - 12002
Observación: Dado que: Cz siempre es impar si: C es impar para toda: z
Entonces por el teorema principal la Conjetura de Beal es Cierta por el teorema: 5
Y además: Ax siempre es impar para toda: x Si y solo si: A es un número Primo impar
así como además: x es también impar. Y las transformaciones son posibles cuando: Ax
es una potencia de un número primo o un libre de cuadrado.
Cz = Ax + By
52 = 91 + 42
412 = 92 + 402
3652 = 93 + 3642
32812 = 94 + 32802
Demostración:
Ax = Cz - By
32=91 = 52 - 42
34=92 = 412 - 402
36=93 = 3652 - 3642
38=94 = 32812 - 32802
Transformaciones de términos:
CZ = Ax + BY z x y
12 = 11 + 02 2 1 2
22 = 31 + 12 2 1 2
32 = 51 + 22 2 1 2
42 = 71 + 32 2 1 2
32 = = 32 + 02 2 2 2
62 = 111 + 52 2 1 2
72 = 131 + 62 2 1 2
42 = = 151 + 12 2 1 2
92 = 171 + 82 2 1 2
102 = 191 + 92 2 1 2
52 = = 211 + 22 2 1 2
122 = 231 + 112 2 1 2
132 = 52 + 122 2 2 2
62 = = 33 + 32 2 3 2
152 = 291 + 142 2 1 2
162 = 311 + 152 2 1 2
72 = = 331 + 42 2 1 2
182 = 351 + 172 2 1 2
192 = 371 + 182 2 1 2
82 = = 391 + 52 2 1 2
Análisis de las transformaciones posibles en general:
Transformaciones de: CZ CZ = Ax + BY z x y
12 = 11 + 02 2 1 2
22 = 31 + 12 2 1 2
32 = 51 + 22 2 1 2
42 = 24 = 161 → 42 = 71 + 32 2 1 2
32 = = 32 + 02 2 2 2
62 = 111 + 52 2 1 2
72 = 131 + 62 2 1 2
42 = 24 → 42 = = 151 + 12 2 1 2
92 = 34 = 811 → 92 = 171 + 82 2 1 2
102 = 191 + 92 2 1 2
52 = = 211 + 22 2 1 2
122 = 231 + 112 2 1 2
132 = 52 + 122 2 2 2
62 = = 33 + 32 2 3 2
152 = 291 + 142 2 1 2
162 = 44 = 28 → 162 = 311 + 152 2 1 2
72 = = 331 + 42 2 1 2
182 = 351 + 172 2 1 2
192 = 371 + 182 2 1 2
82= 26=43=641 → 82 = = 391 + 52 2 1 2
Transformación con ejemplos triviales:
CZ CZ CZ = Ax + BY
12 = 11 + 02
22 = 31 + 12
32 = 51 + 22
42 = 71 + 32
32 = 91 + 02
62 = 111 + 52
72 = 131 + 62
42 = 151 + 12
92 = 171 + 82
102 = 191 + 92
52 = 211 + 22
122 = 231 + 112
52 = = 251 + 02
62 = 271 + 32
152 = 291 + 142
162 = 311 + 152
72 = 331 + 42
62 = 351 + 12
192 = 371 + 182
82 = 391 + 52
Cz = Ax + By
12 = 1 + 02
22 = 3 + 12
32 = 5 + 22
42 = 7 + 32
52 = 9 + 42
62 = 11 + 52
72 = 13 + 62
82 = 15 + 72
92 = 17 + 82
102 = 19 + 92
112 = 21 + 102
122 = 23 + 112
132 = 25 + 122
142 = 27 + 132
152 = 29 + 142
162 = 31 + 152
172 = 33 + 162
Resultados:
En la ecuación perteneciente a la conjetura de Beal necesariamente al menos uno de los
tres términos es un número impar primo o compuesto.Y dado que si la suma es par
necesariamente los otros dos términos o son ambos impares o ambos pares y si son
ambos pares el factor común es dos y si son ambos impares o al menos uno es impar la
suma es par o impar respectivamente y si es impar. Entonces la conjetura de Beal es
cierta por todo lo anterior.
Conclusión:
Y como los cuatro criterios anteriores son identidades esto permite la generalización de
los resultados conduciéndonos hacia la demostración definitiva de la conjetura de Beal
y asegurar que la misma es cierta.
Referencias:
[1] K. Raja Rama Gandhi; Reuven tint. Proof of Beal´s conjeture; Bulletin of
mathematical sciences & applications, vol. 2 ;Nº 3. Estados Unidos 2013.pp.61-64.
[2] Nieves R. Rodolfo “Demostración de una conjetura presentada en el quinto congreso
internacional de matemáticas en 1.912”. Memorias XIX Jornadas Técnicas de
Investigación y III de Postgrado. Ed, Horizontes.Venezuela,20011.pp.123-128.
Nota: Tercera entrega.