Sobre borrachos que caminan y porque son un modelo adecuado de transporte molecular.

Sobre borrachos que caminan y porque son un modelo adecuado de

transporte molecular.

Robert Brown

Rutheford

Gilbert (El presi)

Dalton CavendishRonalds (Telegrafo)

Amigotes arrancando el siglo XIX

La génesis del Movimiento Browniano:

Hipótesis 1: Es movimiento vital.

En contra?

Hipótesis 2: Es movimiento de un baño de moleculas.

En contra:

1) Como pueden moléculas tan pequeñas desplazar cuerpos tan grandes

2) Cada choque se produce cada 10 -12 segundos. El ojo resuelve (ergo el cine) cada 30 milisegundos. Como podemos ver este

movimiento?

Simulando movimiento Browniano

Modelando (matematizando, conceptualizando) el movimiento

Browniano

Jugándose el destino al azar ¿A donde se va?

A diferencia de la física que vimos hasta aquí, el resultado de este proceso es probabilístico. Comprender el problema ya no se trata de responder: “En 10 segundos llega a Mar del Plata” sino en 10 segundos lo mas probable es que este en Mar del Plata, es posible (estrellitas prohibidas!) que este en Chascomus, e imposible que este ....

RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?

Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas¿Como caracterizar este proceso?

¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?

0 100 200 300-40

-20

0

20

40

Tiempo

Pos

icio

n




100 200 300

-50

0

50

0.5

1

1.5




100 200 300

-50

0

50

1

2

3

4

5

6

7




100 200 300

-50

0

50

1

2

3

4

5

6

7

-50 0 500

200

400

600

800

1000

1200T=20

100 200 300

-50

0

50

1

2

3

4

5

6

7

-50 0 500

200

400

600

800

1000

1200




T=100

100 200 300

-50

0

50

1

2

3

4

5

6

7

-50 0 500

200

400

600

800

1000

1200




T=200


0 100 200 300-40

-20

0

20

40

Tiempo

Pos

icio

n

¿cuál es el desplazamiento medio del ensamble?


¿cuál es la dispersión (std)?Las distribuciones suelen ser mas ricas (e informativas) que lo que resumen un par de

números. En este caso, entendiendo la media y la std entendemos casi todo.

0 100 200 300-40

-20

0

20

40

Tiempo

Pos

icio

n

0 100 200 300-40

-20

0

20

40

Tiempo

Pos

icio

n

Std(random walk)

t

Oda al Maestro

¿Qué es esto?

{1,4,7,10,13,16,19,22,25,28…}

)1()( nxnx ii

partícula i es independiente de la partícula j

Paro donde estoy, tiro una moneda. Si sale cruz – un paso para la derecha.

Si sale cara – un pasito para la izquierda

RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.

)1()( nxnx ii

La derivada! Una ecuación diferencial estocástica.

dt

dx

i i nxI

nx )(1

)(

¿cómo demostrar que el promedio es cero?


i ii InxI 1)1(1

i

nx )1( Esto es cero por definición de

random-walk.

Demostración por inducción: 1) Vale para el primero.2) Si vale para (n-1) vale para

(n)

22 )()( nxnx

¿cómo demostrar la dispersión de un RW?


Demostración por inducción: 1) Vale para el primero.2) Si vale para (n-1) vale para

(n)

¿Cual de estos dos es fácil de calcular?

¿por qué estas dos cantidades son distintas?


2 21 1 1( 1) 2 ( 1)

ii i

x n x nI I I

2 21( ) ( )iix n x n

I

2( 1)x n 2Cero. La clave es que el paso

es independiente. Para cada trayectoria, de un valor x, con

un pasito para lante, existe otra con un pasito para

atrás…

21 ( 1)iix nI

¿cómo demostrar como crece la varianza?



2 2 2( ) ( 1)x n x n

Es decir, la varianza aumenta una cantidad fija en cada paso 2

2 2( )x n N 2( )x n N

Si el numero de pasos es proporcional al tiempo entonces

2( )x n t



2( )x n N

(Tiempo entre dos colisiones)(Distancia entre dos colisiones)

tN

2

22t

2 t D

2

2D

t

Causas y azares: Un poquito quien sabe para donde, y otro poquito para alla

Reglas del juego: Cada paso me muevo D para arriba, tiro una moneda y me muevo R para arriba si sale cara

y R para abajo si sale estrella. ¿A dónde llego?

D, el paso determinista.

R, el paso azaroso.




0 100 200 300-40

-20

0

20

40

Tiempo

Pos

icio

n

RANDOM WALKS FORZADOS: ¿a dónde se va cuando se camina con algo de orden y algo de azar?

Aun cuando la marcha determinista era hacia “arriba” existen caminatas que luego de un largo rato se

encuentran abajo. ¿Es esto posible? ¿Hasta cuando?

0 100 200 300-40

-20

0

20

40

Tiempo

Pos

icio

n


Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas

100 200 300

-50

0

50

1

2

3

4

5

6

7


Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas

100 200 300-50

0

50

1

2

3

4

5

6

7

)1()( nxnx ii

partícula i es independiente de la partícula j

La memoria


)1()( nxnx ii

La derivada! Una ecuación diferencial estocástica.

dtdx

La componente determinista (D)

La estocasticidad, el ruido, la temperatura, las

fluctuaciones (R)

Un numero

importante

1) Ciencia “Aplicada”. Ejercicio de transporte arquetípico: moléculas, pensamientos,

finanzas, nanocosas y otras tantas yerbas.

2) Ciencia básica. ¿cuándo llego a destino si marcho en una caminata al azar?

¿Y a que destino llego?

3) Héroes de la historia contemporanea. Europa-Europa. Engima y la pertinencia de

decidir bien y a tiempo.

El maestro: Alan Turing

Enigma

Implementación neuronal de los tres pasos:

1) Un método para cuantificar el peso de la evidencia de un evento individual a favor de distintas alternativas. (EL VOTO)

2) Un método para acumular y actualizar el peso proveniente de eventos múltiples. (LA ACUMULACION DE VOTOS)

3) Una regla de decisión para determinar si la evidencia era suficiente para determinar la hipótesis mas probable. (LA RESOLUCION)

PLANTEANDO EL PROBLEMA

Usted es un Romano y esta aquí

Usted quiere

llegar acá (meta)

Usted NO quiere llegar acá.

Esta flecha representa el tiempo.

+Usted hace una caminata al

azar con un forzado

Preguntas:1) ¿Cuánto tiempo

tarda en llegar?2) ¿Cuál es la

probabilidad de llegar al lugar equivocado?

Las reglas del juego

Esta flecha representa el tiempo.

E: El paso determinista(tiene una dirección)

T: El paso estocástico(se da con igual probabilidad en ambos sentidos)

B

A(umbral)

Res=ATiempo=t

t

Res=BTiempo=t2

t2

“Las neuronas que votan”

“Las neuronas que integran o acumulan el voto”

“Las neuronas que determinan el

umbral”

La neurofisiología de la toma de decisiones

Simulacro en el laboratorio de la toma de decisiones en un mundo incierto.

Mov = 11

Acum = 11

11

22

Mov = 6±ε

Acum = 6

6 ±ε

212

6 ±ε

318

6 ±ε

424

33

11

44

11

ε cuantifica las fluctuaciones y por lo tanto Su peso relativo disminuye con el numero de partículas

Mov = 6±ε

Acum = 6

6 ±ε

212

6 ±ε

318

6 ±ε

424

“Las neuronas que votan”

Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimientoEstas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión.

La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento.

Neuronas en MTUn clásico de la fisiología

tiempo

Potenciales de acción (intensidad

de la repuesta neuronal)

Primer ensayo (cada punto representa un disparo)

Décimo ensayo (el estimulo es el mismo, la respuestaligeramente variable)




Cada línea es un ensayo.Las respuestas de las neuronas son

ruidosas y por lo tanto hay que promediarlas. El experimentador

hace esto midiendo muchas veces. Y un sujeto decidiendo: ¿Como

resuelve el ruido?

Promedio

tiempo

Potenciales de acción (intensidad

de la repuesta neuronal)

Flucutuaciones




Neuronas de derecha.

Neuronas de izquierda(no responden al movimiento

a la derecha)

Las neuronas responden gradualmente a la

cantidad de movimiento. Dan un voto “graduado”.

Un codificador de movimiento provee el sustrato necesario para decidir hacia donde se mueven los puntos

¿Falta algo?


En cada momento estas neuronas reportan el estado del presente

perceptual

“Las neuronas que integran o acumulan el voto”

Cuando se llega a suficiente evidencia ¿cuánto es suficiente?

Se ejecuta la decisión.

Neuronas en LIP

Integracion ruidosa:Un random-walk forzado integra (promedia en el

tiempo) la evidencia provista por las neuronas de MT

EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un

random walk.

Estimulo

Respuesta

Neuronas en LIP


random walk.

El proveedor y el acumulador

de votos. ¿Hasta cuando

acumulan?

El estimulo, luego de una latencia, empiezan a acumular.

Un Random Walk forzado. La pendiente indica el forzado y es

proporcional a la coherencia. Cuanto mayor la pendiente, se llega antes al umbral y el tiempo de

respuesta es menor.

Neuronas en LIP


random walk.

El estimulo, luego de una latencia, empiezan a acumular.

Un Random Walk forzado. La pendiente indica el forzado y es

proporcional a la coherencia. Cuanto mayor la pendiente, se llega antes al umbral y el tiempo de

respuesta es menor.

ttdt

tdt

)(

Respuestas agrupadas en el momento de la respuesta. Todas las respuestas se realizan

cuando el integrado neuronal llega al umbral.

Existe de hecho otro circuito que responde en el momento que el integrador alcanza el umbral, lanzando la respuesta. Para aquel entonces –pese a que uno no lo supiese – la

decision estaba tomada.

Puede de hecho manipularse una

decisión. ¿Se puede hackear el codigo?

Poniendo a prueba la teoría: ¿Se puede forzar una decisión estimulando una neurona?

Estimulo en MT – Es “como si” cambiase la evidencia con que se nutre al random walk.

Como si el detector de movimiento detectase

mayor coherencia. Resultado: Aumenta la pendiente.

La carrera entre una partícula a velocidad constante y una caminata al azar.

EL RESULTADO DE MUCHAS CARRERASFísica del CBB

Mecánica Determinista

Rectilineus uniformus

02

xx

tx

El destino de una caminata al azar, diluirse es una forma (extremadamente lenta) de moverse.

tDxx

x

2

0

2

22

D

δ

scmD

2510Para una molécula en agua a temperatura

ambiente, D es aproximadamente

TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS

El problema mixto. En este ejemplo sencillo se factoriza la media y la varianza.

tDxx

tx

22

TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS: Descubriendo la maquinaria viendo su

trayectoria.

tDxx

tx

22

En física “Newtoniana” velocidad constante

equivale a ausencia de fuerzas.

Con disipacion (viscosidad, rozamiento, friccion, todo lo que sucede en la escala

molecular) esto equivale a fuerza constante (que hace trabajo).

Por lo tanto, si veo una particula moviendose a velocidad constante puedo inferir (AUNQUE NO LA VEA!) la existencia de un mecanismo activo, que consume energia, que media el

transporte.

(siguiente capitulo)

TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS: Descubriendo la maquinaria viendo su

trayectoria.

tDxx

tx

22

Transporte térmico. 1) No es dirigido – algunas particulas

llegan y otras se pierden (la esperanza de los ratchets).

2) Es lento … progresivamente lento (x(t)/t) decrece…

3) Puede ser pasivo (por difusion) o activo (por propulsion) en una trama intrincada

como el citoesqueleto, o las calles de Paris

Dos versiones canónicas de caminatas al azar:

1) Por fluctuaciones térmicas

tDxx

x

2

0

2

2) Por movimiento en un espacio “laberintico”

El autentico, verdadero, genuino.Un coeficiente de difusión con pedigríkT, densidad, masa...

Uno define un coeficiente de difusión a partir de esta relación, como una suerte de abuso de notación.

Arrastrando moléculas en un baño térmico.

kTvm 2

scmD

2510

Aprox 14 hs para recorrer 1cm.

¿Y cuanto tiempo para recorrer 10 cm?

Alexander Fleming

Alexander Fleming y su Lisozima

¿Cuanto tiempo tarda esta molécula en cruzar (sin obstrucciones) de un

lado al otro del aula?

A) 1ms B) 1s C) 1 minuto D) 1 hora E) 1 día F) 1 año G) 1 siglo

And the answer is….

hKmsmm

kTv /36/102

(la velocidad de una moto)

El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)

kTvm 2

tDxx

tx

22

22

D

Sedimentos, atmósferas, orbítales,

potenciales, temperatura y

sueños. Una ecuación importante.

Feynman (Cap 40) Nelson (Cap 3.2)

Planck Perrin Marie Curie AlbertoPoincareRutheford

Solvay 1911

Una atmósfera en un baño térmico

(aproximación 1 – temperatura constante)

El pequeño agujero negro que

todos llevamos adentro.

Mg

Aproximación 2 –Fuerza gravitatoria

constante

Pregunta 1:¿Que distribución tienen estas partículas?

Pregunta 2:¿Que tiene que ver con esto?

Mg

Caso extremo I: No hay temperatura (Símil Física I)

Mg

Caso extremo I: No hay temperatura (Símil Física I)

Se van todas para el fondo (porque el

medio, o la superficie tiene

rozamiento, si no oscilarían...)

Caso extremo II: No hay gravedad (Símil Física II – Primeros dias)

El gas esta en equilibrio.

La densidad es uniforme

TMg


constante

¿Y en este juego de dos jugadores (Gravedad y Temperatura)?¿Que?

TMg


constante

¿Y en este juego de dos jugadores (Gravedad y Temperatura)?¿Que?

Compromiso platónico:Mas abajo que arriba, de hecho a media que uno

sube la densidad disminuye

exponencialmente. Este decrecimiento ha de

estar ponderado por algo del estilo g/T.

h

h+dhEn ausencia de gravedad

)()( dhhPhP

Es decirP es constante

NkTVP

nkTP

Y dado que

P constante, equivale a n (es decir, la densidad) constante.

Mg

h

h+dh

Con gravedad

AFdhhPhP G )()(

La diferencia de presiones a de compensar la

fuerza gravitatoria

MgFG

gNmFG

gVnmFG

“El paso magico, hemos puesto en relación g (mecánica)con P (termodinámica)

Mg

h

h+dh

AFdhhPhP G )()( (Equilibrio)

gVnmFG (Newton)

nkTP (Gases)

A

VgnmdhhPhP

)()(

dhgnmdhhPhP )()(

dh

-

-

)()( hPdhhPdhgnm

)()( hkTndhhkTndhgnm nkTP

(Dividiendo) (Dividiendo)

dhhndhhn

nkTgm )()(

dh

dnn

kT

gm

kT

hgm

en

kT

hgm

enn

0

La solución

Compromiso salomónico:Mas abajo que arriba, de hecho a media que uno sube la densidad

disminuye exponencialmente. Este decrecimiento ha de estar

ponderado por algo del estilo g/T.

T

E(h)

p (para una partícula, esto es una probabilidad)

Sedimentos, atmósferas, orbítales, potenciales, temperatura y sueños. Una ecuación

importante.

kT

E

eCp


kT

E

en

Mg

hh+dh

El equilibrio en presencia de fuerzas y agitación térmica

kTvm 2

Relación entre cinética y temperatura

tDxx

tx

22

22

D

100 200 300-50

0

50

1

2

3

4

5

6

7

Sobre el movimiento de partículas en un baño térmico

Mas sobre fuerzas (a la newton) y termodinámica. Arrastrando una partícula en un

baño térmico. El caso general, otra ecuación importante de personaje celebre.

Feynman (Cap 43) Berg (Cap 4) Nelson (Cap 4)

Extra Extra: Buscar en la web teoremas de fluctuación-disipación.

Un modelo un poco mas sencillo de visualizar: en cada choque una partícula entrega

toda la energía cinética al medio.

maF

atv 0v

(Entre choques)

(En cada choque )Nt

F

vV- V+

2

2

1 av 2

2

1 av

m

f2f

Fvarrastre

t

v

Partícula NewtonianaLa velocidad aumenta

con pendiente F/m

2 6

Partícula en un campo de Fuerza F

sumergida en un baño térmico.

maF

atv 0v

(Entre choques)

(En cada choque )Nt m

f2

t

v 2 6

Partícula en un campo de Fuerza F

sumergida en un baño térmico.

Si observo en una escala de tiempo pequeña (menor que el tiempo típico de choques) parece un problema Newtoniano. La fuerza realiza trabajo, inyectando energía que la particula absorbe acelerandose y aumentando la energia cinetica.

En una escala de tiempo microscópica (mayor que el tiempo típico de choques) la partícula avanza fluctuando alrededor de una velocidad media constante, que llamamos v_arrastre. ¿Cuánto vale?

m

Fav max

m

Fvvarrastre

22

max

f

Fvarrastre

m

f2

F

v

δ V- V+

I. Lectura de la ecuaciónUn modelo molecular “de juguete” de viscosidad. En un arrastre

con choques térmicos, la velocidad (y no la aceleración) es proporcional a la fuerza.

II Pregunta: ¿Se podrá encontrar una relación termodinámica entre el

coeficiente de arrastre y variables termodinámicas como la temperatura o la difusión? Respuesta: SI

fFvarrastre

m

f2

fFvarrastre

F

v

δ V- V+ fFvarrastre

m

f2

Las ecuaciones necesarias del recetario C:

m

f2

v

De este problema especifico.

kTvm 2

Cinética

22

D

Difusión

2

22

v

mKT2

2

“ A traves de v” relacionar los y con KT

mKTD

2

Relacionar los y con D

mKTD

2 f

KTD

Llegamos a una relación simple entre D, f y T. Ahora parar y mirar.

fKT

D

Marian Smoluchowski

La relacion de Einstein - Smoluchowski

Einstein haciendo la gran Laplagne

La relacion de Einstein - Smoluchowski

Lo que NO esta NI de un lado NI del otro de la ecuación (las cantidades ausentes)

Por ejemplo la masa o el tamaño de la partícula. D y f, si dependen de estos valores, pero su producto no. Esta ecuación indica que la relación entre D y f es independiente

de estos factores haciendo, relacionando ambos como emergentes de una física estadística común. Partículas menores tendrán mayor difusión, pero menor arrastre.

kTfD

Lo que esta de un lado y otro de la ecuación (las cantidades relacionadas)

Esta ecuación establece una relación entre dos cantidades que, a priori son independientes. “El arrastre”, f y la difusión D. Establece además que estas dos

cantidades están relacionadas por la temperatura.

Esta ecuación es universal (lo cual aquí no les muestro) y relaciona propiedades de equilibrio del sistema – La temperatura, las fluctuaciones, con la disipacion (la perdida de energia) la viscosidad, cuando se lo saca del equilibrio. A estos teoremas que hoy

siguen siendo objeto de investigacion moderna se los llama genericamente: TEOREMAS DE FLUCTUCACION DISIPACION


kT

E

en

Mg

hh+dh

El equilibrio en presencia de fuerzas y agitación térmica

kTvm 2

Relación entre cinética y temperatura

kTfD

La relación entre fluctuaciones térmicas y resistencia al arrastre

F

V- V+

tDxx

tx

22

22

D

100 200 300-50

0

50

1

2

3

4

5

6

7

Sobre el movimiento de partículas en un baño térmico

Sobre borrachos que caminan y porque son un modelo adecuado de transporte molecular.

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