Sobre Algunas Categor´ıas de Acciones Parciales Sobre Anillos

Sobre Algunas Categorıas de Acciones Parciales

Sobre Anillos

Proyecto de grado para optar al tıtulo de

Profesional en Matematicas con Enfasis en Estadıstica

Yenny Carolina Molano Castano, codigo 070250072009

Jessenia Ivonne Quintero Guiza, codigo 070250082009

Director

Jesus Antonio Avila

Profesor de tiempo completo del Departamento de Matematicas y Estadıstica

Universidad del Tolima

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas y Estadıstica

Programa de Matematicas con enfasis en Estadıstica

Ibague

2015

tf

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS

PROGRAMA DE MATEMÁTICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA

ACTA DE SUSTENTACIÓN TRABAJO DE GRADO

TÍTuIo: SoBRE ALGUNAS ceTeconÍAs DE ACCIoNES PARCIALES SoBREANILLOS

-

AUTORES: YENNY CAROLINA MOLANO, CÓOICO O7O25OA72OO}J ESSENTA IVoNNE eu INTERo, cóotco 070250082009

DIRECTOR: JESÚS ANTONTO ÁVruA CUZVTÁTV

JURADOS: YADIRA CAICEDO BRAVOnÉcron prNEDo rAprA

CALIFICACIÓN: 4.6 (Cuatro punto Seis)

_X_APROBO REPROBO

OBSERVACIONES: TRABAJO MERTTORIO

FIRMAS

ñ

//¿rtar Pt na¿,, t--HECTOR PINEDO TAPIAjurado 2

\o6.VILA GU

DIRA CAICEDO BRAVO

Director del Trabajo Director del Programa

Ciudad y fecha: Ibagué, l5 de mayo de 2015

Advertencia

“La Facultad de Ciencias y el jurado calificador, no son responsables de los con-

ceptos ni ideas expuestas por los autores del siguiente trabajo”(Artıculo 11, acuerdo

018 de 1984 del Concejo Directivo de la Universidad del Tolima).

Acuerdo 006 del Consejo Academico de la Universidad del Tolima por el cual adop-

ta la norma ICONTEC relacionada con presentacion de Tesis y Trabajos de Grado.

Artıculo Cuarto

Los autores autorizan a la Universidad del Tolima la reproduccion total o parcial

de este documento, con la debida cita de reconocimiento de la autorıa y cedemos

a la Universidad los derechos patrimoniales, con fines de investigacion, docencia e

institucionales, consagrados en el artıculo 72 de la ley 23 de 1982 y las normas que lo

instituyan o modifiquen.

Dedicatorias

A nuestros padres, quienes incansablemente nos han apoyado en todo momento.

A Jenny Molano por su dedicacion, paciencia e inteligencia.

Agradecimentos

A Jesus Antonio Avila por su apoyo, su paciencia y motivacion constante para la

culminacion de nuestros estudios profesionales y para la elaboracion de este trabajo

de grado.

A Ivonne ya que sin su ayuda y paciencia este proceso hubiese sido muy lento y no

tan productivo.

A todos aquellos que participaron de manera directa o indirecta en la elaboracion de

este documento.

Resumen

Sobre Algunas Categorıas de Acciones Parciales Sobre Anillos

En este trabajo se presentan algunos aspectos teoricos de la categorıa de acciones par-

ciales de grupos sobre anillos. En particular, se caracterizan los productos, igualadores

y pullbacks de esta categorıa. Ademas se introducen dos subcategorıas importantes

como son la categorıa de acciones parciales globalizables sobre anillos y la respecti-

va categorıa de acciones globales. Finalmente, se hace un estudio de los productos,

igualadores y pullbacks de estas dos subcategorıas, donde se probo que estas nociones

coinciden con los de la categorıa mayor.

Palabras Claves: Categorıa, subcategorıa, producto, igualador, pullback, accion par-

cial de grupos sobre anillos, accion global de grupos sobre anillos, accion parcial glo-

balizable.

Abstract

About Some Partial Actions on Categories of Rings12

In this work we present some theoretical aspects of the category of partial actions of

groups on rings. Specifically we characterize the product, equalizer and pullback of

this category. Finally, we study two important subcategories like the category of the

partial actions on rings and the respective category of global actions, showing that

products, equalizers and pullbacks are equal in these three categories.

Key Words: Category, subcategory, product, equalizer, pullback, partial action of

groups on rings, global action of groups on rings, global partial action.

Objetivos

Objetivos

Definir la categorıa G− pAni a partir de las acciones parciales de grupos sobre

un anillo con unidad y de los homomorfismos que preservan esta estructura.

Caracterizar los productos, igualadores y pullbacks en la categorıa

G− pAni.

Definir la categorıa G−pgAni a partir de acciones parciales globalizables sobre


Definir la categorıa G − Ani a partir de acciones globales sobre un anillo con

unidad y de los homomorfismos que preservan esta estructura.

Encontrar si es posible productos, igualadores y pullbacks sobre estas subcate-

gorıas de G− pAni.

Tabla de contenido

Introduccion 1

1. Preliminares de categorıas 3

1.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. La Categorıa G− pAni 16

2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Igualador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Algunas Subcategorıas de G− pAni 31

3.1. La Categorıa G− pgAni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2. Igualador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.3. Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2. Categorıa G− Ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.2. Igualador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.3. Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Conclusiones 53

Referencias Bibliograficas 54

11

Introduccion

La teorıa de categorıas fue introducida por Eilenberg y MacLane en 1945 ([6]),

ellos observaron que gran parte de los sistemas matematicos de la epoca podrıan ser

unificados y simplificados por una representacion con diagramas y flechas. Por este

motivo es que la primera impresion que causa la teorıa de categorıas es la de ser un

lenguaje universal. En los anos sesenta, Lawvere marco la pauta para el desarrollo

de un enfoque totalmente original a la logica y los fundamentos de las matematicas;

propuso una axiomatizacion de la categorıa de las categorıas y de la categorıa de

conjuntos; caracterizo categorıas cartesianas cerradas y mostro sus conexiones con los

sistemas logicos y varias paradojas logicas ([11]). La decada de 1970 vio el desarrollo

y la aplicacion del concepto en muchas direcciones diferentes. ([9])

Las acciones de grupos aparecen desde los inicios de la teorıa de grupos con los tra-

bajos de Lagrange y de Galois. Se podrıa decir que historicamente la primera accion

de grupo estudiada fue la accion del grupo de Galois sobre las raices de un polinomio.

El desarrollo de esta teorıa ha sido de gran importancia ya que son numerosos los

ejemplos y aplicaciones de las acciones de grupos en muchas ramas de las matemati-

cas, incluyendo algebra, topologıa, geometrıa, teorıa de numeros y analisis; tambien

en ciencias como quımica y fısica. Por otro lado, en la teorıa de operadores se ob-

servo que las acciones globales no eran la herramienta adecuada para modelar algunas

1

situaciones particulares de cierta importancia. Esto condujo a que Exel introdujera

en 1998 las acciones parciales de grupos sobre conjuntos ([7]).

El desarrollo de esta teorıa durante los ultimos diecisiete anos muestra que las acciones

parciales son una poderosa herramienta para generalizar resultados de las acciones

globales. Se destaca su versatilidad para ser utilizada en numerosas areas de las ma-

tematicas como sistemas dinamicos, topologıa y algebra (ver [4], [8], [10] y [13]).) En

el 2003 Abadie en ([1]) dio inicio al estudio de las acciones envolventes de una accion

parcial. Es posible probar que la restriccion adecuada de cualquier accion global es

una accion parcial.

Ahora bien, al resultar importante entrelazar la teoria de categorıas con las acciones

parciales de grupos, fue natural construir y estudiar la categorıa de acciones parciales

de grupos sobre conjuntos ([3]). De igual forma sera muy significativo realizar la

construccion de algunas categorıas de acciones parciales de grupos sobre anillos y

caracterizar algunos objetos y morfismos importantes como productos, igualadores y

pullbacks, lo cual es el objetivo de este trabajo.

En el capıtulo 1 se presenta la teorıa basica sobre categorıas y subcategorıas relacio-

nada con producto, igualador y pullback con sus respectivos ejemplos en la categorıa

de los anillos con unidad.

En el capıtulo 2 se define la categorıa de las acciones parciales sobre anillos. En

particular, se extienden algunos resultados conocidos para la categorıa de los anillos

con unidad relacionados con producto, igualador y pullback.

Finalmente, en el capıtulo 3 se define la categorıa de acciones parciales globalizables

sobre anillos y la categorıa de acciones globales sobre anillos; se demuestra que estas

dos son subcategorıas de la categorıa de acciones parciales sobre anillos, ademas se

caracterizan los productos, igualadores y pullbacks de estas dos subcategorias mos-

trando ası que estas nociones coinciden con los de la categorıa mayor.

2

Capıtulo1Preliminares de categorıas

Este capıtulo abarca los elementos de la teorıa de categorıas necesarias para construır

la categorıa de las acciones parciales sobre anillos y algunas de sus subcategorıas.

Se daran definiciones, y seguidamente ejemplos que nos ayudaran a desarrollar los

temas planteados en los proximos capıtulos.

1.1. Aspectos Generales

Definicion 1.1. Una categorıa es una cuadrupla C = (O,Mor, id, ◦) constituida

por:

(i) Una clase O, cuyos elementos son llamados C− objetos.

(ii) Para cada par (A,B) de C− objetos, el conjunto Mor(A,B), constituye todos

los C − morfismos de A en B. La afirmacion f ∈ Mor(A,B) se expresa

mas graficamente usando flechas, por ejemplo f : A −→ B es un morfismo o

Af

−→ B es un morfismo.

(iii) Para cada C − objeto A, existe un morfismo AidA−→ A llamado C − identidad

en A.

3

(iv) Una ley de composicion asociada con cada C − morfismo Af

−→ B y cada

C−morfismo Bg

−→ C un C−morfismo Ag◦f−→ C llamado composicion de

f y g sujeto a las siguientes condiciones:

(a) Es asociativa; es decir, para morfismos Af

−→ B, Bg

−→ C, y Ch

−→ D,

se tiene que h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .

(b) C − identidades actuan como identidades respecto a la composicion; es

decir, para cualquier C − morfismo Af

−→ B, se tiene idB ◦ f = f y

f ◦ idA = f .

Ejemplo 1.1. La categorıa Conj cuya clase de objetos es la clase de todos

los conjuntos; Mor(A,B) es el conjunto de todas las funciones de A en B, idA es la

funcion identidad de A, y ((◦)) es la composicion usual entre funciones.

Ejemplo 1.2. La coleccion de todos los anillos con unidad junto con los homomorfis-

mos de anillos que preservan la unidad conforman una categorıa denotada por Ani;

la operacion entre morfismos y el morfismo identidad se definen como en Conj.

Definicion 1.2. Dadas dos categorıas A,B, se dice que A es una subcategorıa de

B si se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Todo objeto de A es tambien un objeto de B. En terminos de contenencia de

clases esto quiere decir que Ob(A) ⊆ Ob(B),

(ii) Dados X, Y ∈ Ob(A), todo morfismo f : X −→ Y en A tambien lo es en B,

esto es, MorA(X, Y ) ⊆MorB(X, Y ),

(iii) Para cada objeto X de A, el morfismo identidad es el mismo morfismo identidad

de la categorıa B,

(iv) La composicion de morfismos en A es la inducida por la composicion de mor-

fismos en B,

4

Se dice que A es una subcategorıa plena deB si para cadaX, Y ∈ Ob(A), MorA(X, Y ) =

MorB(X, Y ).

Ejemplo 1.3. La categorıa Ani es una subcategorıa no plena de Conj pues los

Ob(Ani) ⊆ Ob(Conj); dados A,B ∈ Ob(Ani), y f ∈ MorAni(A,B), es una funcion

que preserva la estructura y la unidad, luego los MorAni(A,B) ⊆ MorConj(A,B);

ademas el morfismo identidad y la operacion entre morfismos de Ani se define igual

que en Conj.

Definicion 1.3. Sea {X, Y } un conjunto no vacıo de objetos de una categorıa C.

Se denomina producto del conjunto {X, Y } a un objeto de C denotado por X × Y

y un conjunto

{π1 : X × Y → X, π2 : X × Y → Y }

de morfismos llamados proyecciones, tales que para cada objeto P de C y cada

conjunto {f : P → X, g : P → Y } de morfismos existe un unico morfismo φ ∈

Mor(P,X × Y ) tal que el siguiente diagrama conmuta:

P

X × Y YX

φ

π1 π2

f g

Es decir: f = π1 ◦ φ, y, g = π2 ◦ φ

Ejemplo 1.4. Sean A,B ∈ Ob(Ani). Veamos que A × B junto a las proyecciones

asociadas al producto cartesiano.

πA : A× B −→ A

(a, b) 7→ π(a, b) = a

5

y

πB : A×B −→ B

(a, b) 7→ π(a, b) = b

forman el producto del conjunto {A,B}.

Note que el producto entre dos anillos con unidad es efectivamente un anillo con

unidad. Entonces A × B ∈ Ob(Ani). Ahora veamos que πA ∈ Mor(A × B,A) y

πB ∈Mor(A× B,B).

Sean x, y ∈ A× B, donde x = (a, b) y y = (c, d), con a, c ∈ A y b, d ∈ B.

πA(x+ y) = πA((a, b) + (c, d))

= πA(a + c, b+ d)

= a+ c

= πA(a, b) + πA(c, d)

= πA(x) + πA(y).

πA(x.y) = πA((a, b).(c, d))

= πA(a.c, b.d)

= a.c

= πA(a, b).πA(c, d)

= πA(x).πA(y).

Luego πA es homomorfismo de anillos.

Para 1A×B la unidad en A× B se tiene:

πA(1A×B) = πA(1

A, 1B) = 1A.

Luego πA preserva la unidad.

6

Ası πA ∈Mor(A× B,A); Analogamente se prueba que πB ∈Mor(A×B,B).

Ahora sea C ∈ Ob(Ani) y sean f1 ∈Mor(C,A) y f2 ∈Mor(C,B). Veamos que existe

una unica funcion f : C −→ A×B, tal que, πA ◦ f = f1 y πB ◦ f = f2.

C

A× B BA

f

πA πB

f1 f2

Se define

f : C −→ A× B

c 7→ f(c) = (f1(c), f2(c)).

Probemos primero que f esta bien definida y que es un morfismo de la categorıa Ani.

Se tiene que

f1(c) ∈ A y f2(c) ∈ B

por tanto

f(c) = (f1(c), f2(c)) ∈ A×B.

Luego f esta bien definida.

Sean x, y ∈ C.

f(x+ y) = (f1(x+ y), f2(x+ y))

= ((f1(x) + f1(y)), (f2(x) + f2(y)))

= (f1(x), f2(x)) + (f1(y), f2(y))

= f(x) + f(y).

7

f(x.y) = (f1(x.y), f2(x.y))

= ((f1(x).f1(y)), (f2(x).f2(y)))

= (f1(x), f2(x)).(f1(y), f2(y))

= f(x).f(y).

Luego f es homomorfismo de anillos.

Para 1C ∈ C.

f(1C) = (f1(1C), f2(1

C)) = (1A, 1B) = 1A×B.

Por tanto f preserva la unidad.

Luego f ∈Mor(C,A× B). Ahora tomemos c ∈ C entonces:

(πA ◦ f)(c) = πA(f(c)) (πB ◦ f)(c) = πB(f(c))

= πA(f1(c), f2(c)) = πB(f1(c), f2(c))

= f1(c). = f2(c).

Luego (πA ◦ f)(c) = f1(c) y (πB ◦ f)(c) = f2(c). Ahora, suponemos que existe otro

morfismo g : C −→ A × B con g(c) = (xc, yc) tal que πA ◦ g = f1 y πB ◦ g = f2.

Tomemos c ∈ C, entonces f1(c) = πA(g(c)) = πA(xc, yc) = xc y f2(c) = πB(g(c)) =

πB(xc, yc) = yc. Retomando, f(c) = (f1(c), f2(c)) = (xc, yc) = g(c), por lo que f es

unico.

Definicion 1.4. Sean f, g : A→ C un par de morfismos. Un morfismo h : I → A es

llamado un igualador de f y g si cumple las siguientes condiciones:

1. f ◦ h = g ◦ h.

2. Para cualquier morfismo h′ : I ′ → A con f ◦h′ = g◦h′, existe un unico morfismo

φ : I ′ → I tal que h′ = h ◦ φ, es decir el siguiente diagrama conmuta.

8

A CI

I ′

φ

h

h′

f

g///

Ejemplo 1.5. Sean A,C dos objetos de la categorıa Ani, dadas dos funciones f

y g ∈ Mor(A,C) el conjunto B = {a ∈ A : f(a) = g(a)} junto con la funcion

inclusion h : B −→ A, h(a) = a para todo a ∈ B son un igualador de las funciones

f y g.

Primero veamos que B es efectivamente un objeto de la categorıa Ani.

Sean x, y ∈ B.

• f(x− y) = f(x)− f(y) = g(x)− g(y) = g(x− y).

• f(x.y) = f(x).f(y) = g(x).g(y) = g(x.y).

Luego x− y ∈ B y x.y ∈ B por tanto, B es subanillo de A.

Sea 1A ∈ A.

f(1A) = 1C = g(1A).

Luego B tiene unidad.

Por tanto B es anillo con unidad 1A. Ahora, probemos que h ∈Mor(B,A).

Sean a, b ∈ B.

h(a+ b) = a+ b = h(a) + h(b).

h(a.b) = a.b = h(a).h(b).

Luego h es homomorfismo de anillos.

9

Para 1B ∈ B, h(1B) = 1A.

Luego h preserva la unidad.

Ası se tiene que h ∈Mor(B,A).

Veamos que h es un igualador de f y g, es decir cumplen con la Definicion 1.4.

1. Debemos ver que f ◦ h = g ◦ h, es decir que h iguala a las funciones f y g.

A CBh

f

g

En efecto, dado a ∈ B

(f ◦ h)(a) = f(h(a)) = f(a) = g(a) = g(h(a)) = (g ◦ h)(a).

Luego f ◦ h = g ◦ h.

2. Supongamos que h′ : B′ −→ A es otro morfismo tal que f ◦h′ = g ◦h′. Debemos

probar que existe un unico morfismo ϕ : B′ −→ B, tal que h ◦ ϕ = h′.

A CB

B′

ϕ

h

h′

f

g///

Para b ∈ B′ se tiene que:

f(h′(b)) = g(h′(b)).

Luego h′(b) ∈ B para todo b ∈ B′. Se define:

ϕ : B′ −→ B

b 7→ ϕ(b) = h′(b).

10

Es claro que ϕ es morfismo de la categorıa Ani ya que esta se define en terminos

de h′ la cual ya es morfismo de dicha categorıa. Con lo anterior claro se tiene

que h(ϕ(b)) = h(h′(b)) = h′(b) para todo b ∈ B′. Luego h ◦ ϕ = h′.

Ahora, supongamos que existe otro morfismo ϕ′ : B′ −→ B, ϕ′(b) = sb para

cada b ∈ B′ tal que h ◦ϕ′ = h′. Tomemos b ∈ B′, h′(b) = h(ϕ′(b)) = h(sb) = sb.

Retomando ϕ(b) = h′(b) = sb = ϕ′(b), por lo que ϕ es unico.

Definicion 1.5. Un diagrama

P A

B C

f

f

g g

es llamado Pullback si conmuta es decir si g ◦ f = f ◦ g y para cualquier diagrama

conmutativo de la forma g ◦ f ′ = f ◦ g′

P ′ A

B C

f ′

f

g′ g

existe un unico morfismo K : P ′ → P para el cual el diagrama

11

P ′

P A

B C

k

f ′

g′

f

f

g g

conmuta, luego f ◦ k = f ′ y g ◦ k = g′.

Ejemplo 1.6. En la categorıa Ani tomemos P = {(a, b) ∈ A × B : g(a) = f(b)},

g ∈ Mor(A,C), f ∈ Mor(B,C), y f ∈ Mor(P,A), g ∈ Mor(P,B) las restricciones

de las proyecciones usuales, consideremos el siguiente diagrama,

P A

B C

f

f

g g

Veamos que (P, f , g) es un pullback para (C, f, g).

Antes veamos que P ∈ Ob(Ani) y g ◦ f = f ◦ g.

Sean x, y ∈ P , entonces x = (a, b) y y = (c, d), donde a, c ∈ A y b, d ∈ B.

• g(a− c) = g(a)− g(c) = f(b)− f(d) = f(b− d). Luego x− y ∈ P .

• g(a.c) = g(a).g(c) = f(b).f(d) = f(b.d). Luego x.y ∈ P .

12

Luego P es subanillo.

Veamos que P tiene unidad, es decir que para 1P ∈ P se tiene que 1Pp = p =

p1P para todo p ∈ P . Para 1A×B ∈ A × B se tiene que g(1A) = 1C = f(1B),

por tanto 1A×B ∈ P . Sea p ∈ P , entonces p = (a, b), con a ∈ A y b ∈ B,

se tiene que: 1A×Bp = (1A, 1B)(a, b) = (1Aa, 1Bb) = (a, b) = p, analogamente

se tiene que p1A×B = p, ya que la unidad cuando existe es unica se tiene que

1A×B = 1P . Luego P tiene unidad, de aquı P ∈ Ob(Ani).

Sea (a, b) ∈ P.

(g ◦ f)(a, b) = g(f(a, b)) = g(a) = f(b) = f(g(a, b)) = (f ◦ g)(a, b).

Ası g ◦ f = f ◦ g

Supongamos que existe otro objeto P ′ junto con dos morfismos g′ ∈ Mor(P ′, B) y

f ′ ∈Mor(P ′, A), tales que g ◦ f ′ = f ◦ g′.

P ′ A

B C

f ′

f

g′ g

Definimos

φ : P ′ −→ P

p′ 7→ φ(p′) = (f ′(p′), g′(p′))

13

P ′

P A

B C

φ

f ′

g′

f

f

g g

Veamos que φ esta bien definida; sea p′ ∈ P ′.

g(f ′(p′)) = (g ◦ f ′)(p′) = (f ◦ g′)(p′) = f(g′(p′)).

Ası (f ′(p′), g′(p′)) ∈ P.

Probemos que φ ∈Mor(P ′, P ).

Sea p′1, p′

2 ∈ P ′.

φ(p′1 + p′2) = (f ′(p′1 + p′2), g′(p′1 + p′2))

= (f ′(p′1) + f ′(p′2)), (g′(p′1) + g′(p′2))

= (f ′(p′1), g′(p′1)) + (f ′(p′2), g

′(p′2))

= φ(p′1) + φ(p′2).

φ(p′1.p′

2) = (f ′(p′1.p′

2), g′(p′1.p

′

2))

= (f ′(p′1).f′(p′2)), (g

′(p′1).g′(p′2))

= (f ′(p′1), g′(p′1)).(f

′(p′2), g′(p′2))

= φ(p′1).φ(p′

2).

Luego φ es homomorfismo de anillos.

Sea 1P′

∈ P ′, φ(1P′

) = (f ′(1P′

), g′(1P′

)) = (1A, 1B) = 1A×B donde 1A×B ∈ P ,

ya que, se tiene que g(1A) = f(1B).

Luego φ preserva la unidad.

14

Ası φ ∈ Mor(P ′, P ).

Finalmente veamos que f ′ = f ◦ φ y g′ = g ◦ φ.

Sea p′ ∈ P ′ :

(f ◦ φ)(p′) = f(φ(p′)) = f(f ′(p′), g′(p′)) = f ′(p′).

y

(g ◦ φ)(p′) = g(φ(p′)) = g(f ′(p′), g′(p′)) = g′(p′).

Luego f ′ = f ◦ φ y g′ = g ◦ φ.

Probemos que φ es unico. Supongamos que existe otro morfismo φ′ : P ′ −→ P ,

con φ′(p′) = (qp′, sp′), tal que f ′ = f ◦ φ′ y g′ = g ◦ φ′. Tomemos p′ ∈ P ′,

f ′(p′) = f(φ′(p′)) = f(qp′ , sp′) = qp′ y g′(p′) = g(φ′(p′)) = g(qp′, sp′) = sp′; reto-

mando, φ(p′) = (f ′(p′), g′(p′)) = (qp′ , sp′) = φ′(p′). Luego φ es unico y por tanto

(P, f , g) es un pullback para (C, f, g).

15

Capıtulo2La Categorıa G− pAni

A continuacion se definen los G − pAnillos y G − pMorfismos que nos permitiran

construir la categoria G − pAni la cual es nuestro objeto de estudio, por tal razon

se encuentra el Producto, Igualador y Pullback de G− pAni. Para estos dos ultimos

conceptos categoricos, sera necesario definir lo que es un conjunto G− pInvariante.

2.1. Definicion

Definicion 2.1. Sea G un grupo con elemento identidad 1 y A un

anillo unitario. Una accion parcial α de G sobre A es una coleccion de

ideales Sg ⊆ A, g ∈ G, e isomorfismos αg : Sg−1 → Sg, tales que para todo g, h ∈ G

se cumple:

1. S1 = A y α1 es la aplicacion identidad de A.

2. S(gh)−1 ⊇ α−1h (Sh ∩ Sg−1).

3. (αg ◦ αh)(x) = αgh(x), para todo x ∈ α−1h (Sh ∩ Sg−1).

En este caso la accion parcial de G sobre A se escribe como α = {Sg, αg}g∈ G.

16

Note que (iii) implica que α−1g = αg−1 para todo g ∈ G. En efecto, si g ∈ G entonces

para cualquier a ∈ α−1g−1(Sg−1 ∩ Sg−1) = α−1

g−1(Sg−1) = Sg se tiene que (αg ◦ αg−1)(a) =

αgg−1(a) = α1(a) = a. De igual manera se tiene (αg−1 ◦αg)(a) = a para todo a ∈ Sg−1 .

De donde α−1g = αg−1 para todo g ∈ G.

Ademas, (ii) y (iii) implican que α−1h (Sh ∩ Sg−1) = Sh−1 ∩ S(gh)−1 . En efecto, pa-

ra todo g, h ∈ G se tiene que α−1h (Sh ∩ Sg−1) ⊆ Sh−1 ∩ S(gh)−1 y reemplazando

h por h−1 y g por gh se tiene α−1h−1(Sh−1 ∩ S(gh)−1) ⊆ Sh ∩ Sg−1 . Por consiguiente

Sh−1 ∩ S(gh)−1 ⊆ α−1h (Sh ∩ Sg−1) y ası se obtiene la igualdad deseada. Note que la

igualdad probada implica (ii). A lo largo de este capıtulo se entendera por

G − pAnillo a los anillos con unidad que tienen asociada una accion parcial de un

grupo fijo G y los respectivos Sg seran notados de acuerdo al anillo sobre el cual se

defina dicha accion parcial. Ademas si A es un anillo con unidad, entonces la unidad

se denota 1A.

Definicion 2.2. Sean A y B dos G − pAnillos y αA = {SAg , α

Ag },

αB = {SBg , α

Bg } sus respectivas acciones parciales. Una aplicacion f : A −→ B

se dice un G-pMorfismo de A en B si cumple con las siguientes condiciones:

(i) f es homomorfismo de anillos.

(ii) Si a ∈ SAg−1 implica que f(a) ∈ SB

g−1 y f(αAg (a)) = αB

g (f(a)).

(iii) f preserva la unidad, es decir f(1A) = 1B.

Ejemplo 2.1. 1. Si A,B y C son G − pAnillos, y f : A → B, h : B → C son

G− pMorfismos, entonces h ◦ f : A→ C es un G− pMorfismo.

Debemos ver que h ◦ f cumpla con la Definiciıon 2.2.

(i) h◦f es homomorfismo ya que la composicion de homomorfismos es homo-

morfismo.

17

(ii) Sea a ∈ SAg−1, veamos que h ◦ f(a) ∈ SC

g−1.

Ya que f y h son G − pMorfismos se tiene que si a ∈ SAg−1 entonces

f(a) ∈ a ∈ SBg−1, analogamente si b ∈ SB

g−1 entonces h(b) ∈ SCg−1; Con

esto claro se tiene que: Si a ∈ SAg−1, (h ◦ f)(a) = h(f(a)) ∈ SC

g−1. Ahora,

debemos ver que (h ◦ f)(αAg (a)) = αC

g (h ◦ f)(a).

(h ◦ f)(αAg (a)) = h(f(αA

g (a))) Def. composicion

= h(αBg (f(a))) Por ser f un G− pMorfismo

= αCg (h(f(a))) Por ser h un G− pMorfismo

= αCg (h ◦ f)(a).

Ası se tiene que (h ◦ f)(αAg (a)) = αC

g (h ◦ f)(a) para cada a ∈ SAg−1.

(iii) Debemos ver que h ◦ f preserva la unidad es decir (h ◦ f)(1A) = 1C.

Para 1A ∈ A se tiene:

h ◦ f(1A) = h(f(1A))

= h(1B)

= 1C

Luego (h ◦ f)(1A) = 1C. Ası h ◦ f es un G− pMorfismo.

2. la aplicacion identidad idA : A→ A es un G− pMorfismo.

Veamos que cumple con la Definicion 2.2,

(i) idA : A → A es homomorfismo, ya que la funcion identidad es homomo-

morfismon de anillos.

18

(ii) Si a ∈ SAg−1 entonces idA(a) ∈ SA

g−1 es inmediato, ademas

idA(αAg (a)) = αA

g (a)

= αAg (idA(a)).

Luego idAαAg = αA

g idA.

(iv) Debemos ver que idA preserva la unidad, pero ello es inmediato ya que

idA(1A) = 1A.

Lo cual implica que idA es un G− pMorfismo.

Definicion 2.3. La categorıa G− pAni esta constituida por:

(i) Una clase O, cuyos elementos son llamados G− pAnillos,

(ii) Para cada par (A,B) de G− pAnillos, el conjunto Mor(A,B) constituye todos

los G− pMorfismos de A en B,

(iii) Para cada G − pAnillo A, existe un G − pMorfismo AidA−→ A llamado G −

pIdentidad en A,

(iv) La ley de composicion usual entre funciones. Ademas esta ley de

composicion es asociativa.

2.2. Producto

Proposicion 2.1. Si G acta parcialmente sobre A, y G actua parcialmente sobre B

entonces G actua parcialmente sobre A× B.

Demostracion. Asumamos que αA = {SAg , α

Ag }g∈G, y α

B = {SBg , α

Bg }g∈G. Definamos

SA×Bg = SA

g × SBg , y α

A×Bg : SA×B

g−1 → SA×Bg , como αA×B

g (a, b) = (αAg (a), α

Bg (b)) para

cada g ∈ G.

19

Es claro que αA×Bg esta bien definida y es una biyeccion pues αA

g y αBg lo son. Ahora

verifiquemos que cumple con las condiciones de la Definicion 2.1

(i) S1 = A1 × B1 = A× B, ya que por hipotesis A1 = A y B1 = B.

α1 : S1 → S1 la cual esta definida como αA×B1 (a, b) = (αA

1 (a), αB1 (b)) =

(a, b) para todo (a, b) ∈ A× B.

Luego α1 es la identidad de A× B.

(ii) Sean g, h ∈ G.

Supongamos que (a, b) ∈ αA×Bh−1 (SA×B

h ∩SA×Bg−1 ) entonces αA×B

h (a, b) = (αAh (a), α

Bh (b)) ∈

SA×B(h) ∩ SA×B

(g)−1 = ((SAh × SB

h ) ∩ (SAg−1 × SB

g−1)) = ((SAh ∩ SA

g−1) × (SBh ∩ SB

g−1)).

Luego a ∈ αAh−1(SA

h ∩ SAg−1) ⊆ SA

(gh)−1 , y b ∈ αBh−1(SB

h ∩ SBg−1) ⊆ SB

(gh)−1 , ası se

tiene que (a, b) ∈ SA×B(gh)−1 . Por tanto α

A×Bh−1 (SA×B

h ∩ SA×Bg−1 ) ⊆ SA×B

(gh)−1

(iii) Sea (a, b) ∈ αA×Bh−1 (SA×B

h ∩ SA×Bg−1 ), entonces

αA×Bg ◦ αA×B

h (a, b) = αA×Bg (αA×B

h (a, b))

= αA×Bg (αA

h (a), αBh (b))

= (αAg (α

Ah (a)), α

Bg (α

Bh (b)))

= (αAg ◦ αA

h (a), αBg ◦ αB

h (b))

= (αAgh(a), α

Bgh(b))

= αA×Bgh (a, b).

Ası αA×Bg ◦ αA×B

h (a, b) = αA×Bgh (a, b) para todo (a, b) ∈ αA×B

h−1 (SA×Bh ∩ SA×B

g−1 ).

Luego αA×Bg es una accion parcial sobre A×B, por tanto G actua parcialmente sobre

A× B.

Proposicion 2.2. Dados los G − pAnillos A, B y A × B, las proyecciones

πA : A × B −→ A con πA(a, b) = a y πB : A × B −→ B con πB(a, b) = b

son G− pMorfismos.

20

Demostracion. Verifiquemos que πA y πB cumplen con (i), (ii), y(iii) de la Definicion

2.2. Se tiene del ejemplo 1.4 que πA es homomorfismo de anillos y ademas preserva

la unidad. Resta ver que πA preserve la accion.

Veamos que si x ∈ SA×Bg−1 entonces, πA(x) ∈ SA

g−1.

Sea x = (a, b) ∈ SA×Bg−1 entonces, a ∈ SA

g−1 y b ∈ SBg−1. Ahora, πA(x) = πA(a, b) = a.

Luego πA(x) ∈ SAg−1 .

Ahora, veamos que πA(αA×Bg (x)) = αA

g (πA(a, b)):

πA(αA×Bg (x)) = πA(α

A×Bg (a, b))

= πA(αAg (a), α

Bg (b))

= αAg (a)

= αAg (πA(a, b))

= αAg (πA(x)).

Luego πA(αA×Bg (x)) = αA

g (πA(x)) para todo x ∈ SA×Bg−1 .

Luego πA es un G− pMorfismo, analogamente se prueba que πB tambien lo es.

Proposicion 2.3. Sean A,B,C tres G − pAnillos. Para f1 ∈ Mor(C,A) y f2 ∈

Mor(C,B) en la categorıa G − pAnillos, la funcion f : C −→ A × B con f(c) =

(f1(c), f2(c)), para cada c ∈ C, es un G− pMorfismo.

Demostracion. Veamos que la funcion f satisface las condiciones de la Definicion 2.2:

Se tiene del ejemplo 1.4 que f es homomorfismo de anillos y ademas preserva la uni-

dad. Resta ver que f preserve la accion parcial.

Veamos que si x ∈ SCg−1 , entonces f(x) ∈ SA×B

g−1 .

Sea x ∈ SCg−1 . Entonces f(x) = (f1(x), f2(x)), donde f1(x) ∈ SA

g−1 y f2(x) ∈ SBg−1 .

Luego f(x) = (f1(x), f2(x)) ∈ SA×Bg−1 .

21

Ahora, debemos ver que f(αCg (x)) = αA×B

g (f(x)):

f(αCg (x)) = (f1(α

Cg (x)), f2(α

Cg (x)))

= (αAg (f1(x)), α

Bg (f2(x)))

= αA×Bg (f1(x), f2(x))

= αA×Bg (f(x)).

Luego f(αCg (x)) = αA×B

g (f(x)), para todo x ∈ SCg−1 .

De aquı f es un G− pMorfismo.

Teorema 2.1. El G− pAnillo A×B y el conjunto

{πA : A×B −→ A, πB : A×B −→ B}

constituyen el producto de los objetos A,B en la categorıa G− pAni.

Demostracion. Tomando f(c) = (f1(c), f2(c)) para cualquier c ∈ C con C un G −

pAnillo, y f1 ∈Mor(C,A), y f2 ∈ Mor(C,B) y por las proposiciones 2.2 y 2.3, basta

probar que el siguiente diagrama conmuta:

C

A× B BA

f

πA πB

f1 f2

Sea x ∈ C, entonces:

πB(f(x)) = πB(f1(x), f2(x)) = f2(x).

πA(f(x)) = πA(f1(x), f2(x)) = f1(x).

22

Luego πB ◦ f = f2 y πA ◦ f = f1.

Por ultimo veamos que f es unico. Suponemos que existe otro morfismo

g : C −→ A×B con g(c) = (xc, yc) tal que πA ◦g = f1 y πB ◦g = f2. Tomemos c ∈ C,

entonces f1(c) = πA(g(c)) = πA(xc, yc) = xc y f2(c) = πB(g(c)) = πB(xc, yc) = yc.

Retomando, f(c) = (f1(c), f2(c)) = (xc, yc) = g(c), por lo que f es unico.

2.3. Igualador

Definicion 2.4. Sea I ⊆ A, un ideal de A con A un G − pAnillo. I se dice G −

pInvariante si αAg (I ∩ S

Ag−1) = I ∩ SA

g , para todo g ∈ G.

Es suficiente probar αAg (I ∩S

Ag−1) ⊆ I ∩SA

g para todo g ∈ G. En efecto, si eso es cierto

entonces αAg−1(I ∩ SA

g ) ⊆ I ∩ SAg−1, lo cual implica I ∩ SA

g ⊆ αAg (I ∩ SA

g−1) que es la

otra inclusion.

Note que los conjuntos G − pInvariantes tienen como accion parcial la restriccion

de la accion del conjunto que los contiene. Es decir, αI = {I ∩ SAg , α

Ig}g∈G donde αI

g

esta definida como la restriccion de αAg a I ∩ SA

g−1 .

Proposicion 2.4. Dados dos G − pAnillos A, C junto con dos G − pMorfismos

f y g : A→ C, el subconjunto I = {a ∈ A : f(a) = g(a)} es tambien un G− pAnillo.

Demostracion. Veamos que I sea un G− pAnillo

Sean x, y ∈ I

• f(x− y) = f(x)− f(y) = g(x)− g(y) = g(x− y).

• f(x.y) = f(x).f(y) = g(x).g(y) = g(x.y).

Luego x− y ∈ I y x.y ∈ I, por tanto, I es subanillo de A.

23

Veamos que I tiene unidad.

Para 1A ∈ A se tiene que f(1A) = 1C = g(1A), luego 1A ∈ I, y ademas para

cada i ∈ I se cumple que 1Ai = i = i1A, por tanto ya que la unidad es unica se

cumple que 1A = 1I . Luego I tiene unidad.

Para SIg = I ∩ SA

g , veamos que SIg es un ideal de I.

Tomemos r ∈ I, x ∈ SIg , se tiene que xr ∈ I y xr ∈ SA

g , de donde xr ∈ I ∩SAg ,

es decir xr ∈ SIg , igualmente se tiene que rx ∈ SI

g . Luego SIg es un ideal de I.

Veamos que αAg (I ∩ S

Ag−1) ⊆ I ∩ SA

g para todo g ∈ G. Si a ∈ I ∩ SAg−1 , entonces

αAg (a) ∈ SA

g . Ademas f(αAg (a)) = αB

g (f(a)) = αBg (g(a)) = g(αA

g (a)). Lo cual

implica que αAg (a) ∈ I. Luego αA

g (a) ∈ I ∩SAg . Por tanto α

Ag (I ∩S

Ag−1) ⊆ I ∩SA

g ,

para todo g ∈ G. Ası I es G− pInvariante.

Luego I es un G− pAnillo.

Proposicion 2.5. Dados los G− pAnillos A, C e I = {a ∈ A : f(a) = g(a)} donde

f y g son G − pMorfismos de A en C, la aplicacion h : I −→ A donde h(a) = a

para todo a ∈ I, es un G− pMorfismo.

Demostracion. (i) Veamos que h es homomorfismo.

Sean a, b ∈ I, se tiene que:

h(a+ b) = a+ b = h(a) + h(b).

y

h(a.b) = a.b = h(a).h(b).

Luego h es homomorfismo.

(ii) Sea a ∈ SIg−1 , ya que SI

g−1 = I ∩ SAg−1 se tiene que a ∈ I y a ∈ SA

g−1 por tanto

h(a) = a ∈ SAg−1. Ası se tiene que si a ∈ SI

g−1 , entonces h(a) ∈ SAg−1 . Ademas:

h(αIg(a)) = αI

g(a) = αAg (a) = αI

g(h(a)). Luego h(αIg(a)) = αI

g(h(a)), para todo

a ∈ SIg−1 .

24

(iii) Para 1I ∈ I se tiene que h(1I) = 1A. Luego h preserva la unidad.

De donde h es un G− pMorfismo.

Teorema 2.2. Dados dos G−pMorfismos f y g : A→ C en la categorıa G−pAni,

el G − pAnillo I = {a ∈ A : f(a) = g(a)} junto con el G − pMorfismo inclusion

h : I → A, h(a) = a, para todo a ∈ I, es un igualador de f y g.

Demostracion. (i) Veamos que f ◦ h = g ◦ h.

A CIh

f

g

Es decir que h iguala a las funciones f y g. En efecto, dado a ∈ I

(f ◦ h)(a) = f(h(a)) = f(a) = g(a) = g(h(a)) = (g ◦ h)(a).

Luego f ◦ h = g ◦ h.

(ii) Supongamos que h′ : I ′ −→ A es otro G− pMorfismo tal que f ◦ h′ = g ◦ h′,

veamos que existe un unico G− pMorfismo φ : I ′ −→ I, tal que h ◦ φ = h′.

A CI

I ′

φ

h

h′

f

g///

Para b ∈ I ′ se tiene que f(h′(b)) = g(h′(b)). Luego h′(b) ∈ I para todo b ∈ I ′.

Se define

φ : I ′ −→ I

b 7→ φ(b) = h′(b).

25

Es claro que φ es G − pMorfismo ya que esta se define en terminos de h′ la

cual ya es G− pMorfismo, con lo anterior claro se tiene que

h(φ(b)) = h(h′(b)) = h′(b)

. Luego h ◦ φ = h′ para todo b ∈ I ′.

Ahora supongamos que existe otro morfismo φ′ : I ′ −→ I, φ′(b) = sb tal que h◦φ′ = h′.

Tomemos b ∈ I ′, h′(b) = h(φ′(b)) = h(sb) = sb. Retomando φ(b) = h′(b) = sb = φ′(b)

por lo que φ es unico.

Luego el G− pMorfismo h es un igualador de los G− pMorfismos f y g

2.4. Pullback

Proposicion 2.6. Sea el G − pAnillo A × B. Si g : A → C y f : B → C son

G− pMorfismos, el subconjunto P = {(a, b) ∈ A× B : g(a) = f(b)} es tambien un

G− pAnillo.

Demostracion. Veamos que P es subanillo.

Sean x, y ∈ P , entonces x = (a, b) y y = (c, d), donde a, c ∈ A y b, d ∈ B.

• g(a− c) = g(a)− g(c) = f(b)− f(d) = f(b− d).

• g(a.c) = g(a).g(c) = f(b).f(d) = f(b.d).

Luego x− y ∈ P y x.y ∈ P , por tanto P es subanillo de A×B.

Veamos que P tiene unidad.

Para 1A×B ∈ A × B se tiene que g(1A) = 1C = f(1B). Por tanto

1A×B ∈ P . Veamos que 1A×B es la unidad de P . Sea p ∈ P se tiene que

1A×Bp = (1A, 1B)(a, b) = (1Aa, 1Bb) = (a, b) = p. Igualmente se prueba que

p1A×B = p, ya que la unidad es unica se tiene que 1A×B = 1P .

26

Veamos que P es G− pInvariante.

Para SPg = P ∩ SA×B

g , es claro que SPg es un ideal de P .

Veamos que αA×Bg (P∩SA×B

g−1 ) ⊆ P∩SA×Bg , para todo g ∈ G. Si (a, b) ∈ P∩SA×B

g−1 ,

entonces αA×Bg (a, b) ∈ SA×B

g . Ademas g(αAg (a)) = αC

g (g(a)) = αCg (f(b)) =

f(αBg (b)). Lo cual implica que αA×B

g (a, b) ∈ P . Luego αA×Bg (a, b) ∈ P ∩ SA×B

g ,

y ası P es G− pInvariante.

Por tanto P es un G− pAnillo.

Teorema 2.3. La categorıa G− pAni tiene pullbacks.

Demostracion. Consideremos el siguiente diagrama en la categorıa G− pAni.

P A

B C

f

f

g g

Veamos que (P, f , g) donde P es el conjunto dado en la Proposicion 2.6 y f , g son

las restricciones de las proyecciones usuales, es un pullback para (C,f,g). Primero

debemos ver que g ◦ f = f ◦ g.

Sea (a, b) ∈ P.

(g ◦ f)(a, b) = g(f(a, b)) = g(a) = f(b) = f(g(a, b)) = (f ◦ g)(a, b).

Luego g ◦ f = f ◦ g.

Supongamos que existe otro objeto P ′ junto con dos G − pMorfismos

g′ ∈Mor(P ′, B) y f ′ ∈Mor(P ′, A), tales que g ◦ f ′ = f ◦ g′.

27

P ′ A

B C

f ′

f

g′ g

Definimos

φ : P ′ −→ P

p′ 7→ φ(p′) = (f ′(p′), g′(p′))

P ′

P A

B C

φ

f ′

g′

f

f

g g

Veamos que φ esta bien definida; sea p′ ∈ P ′.

g(f ′(p′)) = (g ◦ f ′)(p′) = (f ◦ g′)(p′) = f(g′(p′)).

Ası (f ′(p′), g′(p′)) ∈ P . Luego φ esta bien definida.

Probemos que φ es un G− pMorfismo.

(i) Veamos que φ es homomorfismo.

28

Sea p′1, p′

2 ∈ P ′.

φ(p′1 + p′2) = (f ′(p′1 + p′2), g′(p′1 + p′2))

= (f ′(p′1) + f ′(p′2), g′(p′1) + g′(p′2))

= (f ′(p′1), g′(p′1)) + (f ′(p′2), g

′(p′2))

= φ(p′1) + φ(p′2).

φ(p′1.p′

2) = (f ′(p′1.p′

2), g′(p′1.p

′

2))

= (f ′(p′1).f′(p′2), g

′(p′1).g′(p′2))

= (f ′(p′1), g′(p′1)).(f

′(p′2), g′(p′2))

= φ(p′1).φ(p′

2).

Luego φ es homomorfismo.

(ii) Sea p′ ∈ SP ′

g−1 = P ′ ∩ SA×Bg , entonces φ(p′) = (f ′(p′), g′(p′)) ∈ P , lo que proba-

mos al ver que φ esta bien definida. Ademas f ′(p′) ∈ SAg y g′(p′) ∈ SB

g , luego

φ(p′) = (f ′(p′), g′(p′)) ∈ SA×Bg . De aquı φ(p′) ∈ P ∩ SA×B

g = SPg .

Luego se tiene que si p′ ∈ SP ′

g−1 , entonces φ(p′) ∈ SPg .

Ahora, veamos que φ(αP ′

g (p′)) = αPg (φ(p

′)), para todo p′ ∈ SP ′

g−1 .

Sea p′ ∈ P ′.

φ(αP ′

g (p′)) = (f ′(αP ′

g (p′)), g′(αP ′

g (p′)))

= (αAg (f

′(p′)), αBg (g

′(p′)))

= αA×Bg (f ′(p′), g′(p′))

= αPg (f

′(p′), g′(p′))

= αPg (φ(p

′)).

Luego φ(αP ′

g (p′)) = αPg (φ(p

′)), para todo p′ ∈ SP ′

g−1 que era lo que se querıa

probar.

29

(iii) Veamos que φ preserva la unidad.

Sea 1P′

∈ P ′. Entonces φ(1P′

) = (f ′(1P′

), g′(1P′

)) = (1A, 1B) = 1A×B

y 1A×B ∈ P , ya que, se tiene que g(1A) = f(1B). Luego φ preserva la uni-

dad.

Por tanto φ es un G− pMorfismo.

Finalmente veamos que f ′ = f ◦ φ y g′ = g ◦ φ. Sea p′ ∈ P ′.

f ◦ φ(p′) = f(φ(p′)) = f(f ′(p′), g′(p′)) = f ′(p′)

y

g ◦ φ(p′) = g(φ(p′)) = g(f ′(p′), g′(p′)) = g′(p′).

Luego se tiene que f ′ = f ◦ φ y g′ = g ◦ φ.

Probemos que φ es unico. Supongamos que existe otro morfismo φ′ : P ′ −→ P , con

φ′(p′) = (qp′, sp′) para cada p′ ∈ P ′, tal que f ′ = f ◦ φ′ y g′ = g ◦ φ′. Tomemos

p′ ∈ P ′, f ′(p′) = f(φ′(p′)) = f(qp′, sp′) = qp′ y g′(p′) = g(φ′(p′)) = g(qp′, sp′) = sp′.

Retomando, φ(p′) = (f ′(p′), g′(p′)) = (qp′, sp′) = φ′(p′). Luego φ = φ′, por tanto φ es

unico.

30

Capıtulo3Algunas Subcategorıas de G− pAni

Este capıtulo lo constituyen algunas subcategorıas especiales de G − pAni, para las

cuales fue necesario definir conjuntos G − pgInvariantes y G − Invariantes. Al

igual que en los capıtulos anteriores se encontrara su Producto, Igualador y Pullback

finalizando ası con nuestro breve pero muy provechoso estudio de la categorıa G −

pAni. Es necesario dejar claro que todavıa hay mucho por estudiar y lo aquı planteado

fue tan solo una introduccion al tema.

3.1. La Categorıa G− pgAni

M.Dokuchaev y R. Exel demostraron que no toda accion parcial sobre un anillo es

globalizable. Para que esto suceda se debe tener que cada ideal Sg con g ∈ G, sea

generado por un idempotente central, es decir que para cada g ∈ G, existe 1g ∈ Sg

tal que 1gr = r1g ∀ r ∈ R y 12g = 1g, y ademas Sg = 1gR ([5], Teorema 4.5).

Se entendera por G−pgAnillo a los anillos con unidad que tienen asociada una accion

parcial globalizable de un grupo fijo G. 1Ag se entendera como un idempotente central

de cierto anillo A.

31

Definicion 3.1. Sean R y S dos G − pgAnillos y αR = {SRg , α

Rg }, α

S = {SSg , α

Sg }

sus respectivas acciones parciales globalizables. Una aplicacion f : R −→ S se dice un

G-pgMorfismo de R en S si cumple :


(ii) Si a ∈ SRg−1 implica que f(a) ∈ SS

g−1 y f(αRg (a)) = αS

g (f(a)).

(iii) f(1Rg ) = 1Sg para todo g ∈ G, es decir f preserva los idempotentes.

Ejemplo 3.1. 1. Si A,B y C son G−pgAnillos y f : A → B, h : B → C son

G− pgMorfismos, entonces h ◦ f : A→ C es un G− pgMorfismo.

Debemos ver que h ◦ f cumpla con la Definicion 3.1.

(i) h ◦ f es homomorfismo ya que la composicion de homomorfismos es

homomorfismo.

(ii) Sea a ∈ SAg−1, veamos que (h ◦ f)(a) ∈ SC

g−1.

Ya que f y h son G − pgMorfismos se tiene que si a ∈ SAg−1 entonces

f(a) ∈ a ∈ SBg−1. Analogamente si b ∈ SB

g−1 entonces h(b) ∈ SCg−1. Con esto

se tiene que si a ∈ SAg−1, (h ◦ f)(a) = h(f(a)) ∈ SC

g−1. Ademas

(h ◦ f)(αAg (a)) = h(f(αA

g (a))) def. composicion

= h(αBg (f(a))) por ser f un G− pgMorfismo

= αCg (h(f(a))) por ser h un G− pgMorfismo

= αCg (h ◦ f)(a).

Luego (h ◦ f)(αAg (a)) = αC

g (h ◦ f)(a) para cada a ∈ SAg−1.

(iii) Debemos ver que h ◦ f preserva los idempotentes es decir (h ◦ f)(1Ag ) = 1Cg

para todo g ∈ G.

32

Para 1Ag ∈ SAg se tiene:

(h ◦ f)(1Ag ) = h(f(1Ag ))

= h(1Bg )

= 1Cg .

Luego (h ◦ f)(1Ag ) = 1Cg para todo g ∈ G.

Ası h ◦ f es un G− pgMorfismo.

2. La aplicacion identidad idA : A→ A es un G− pgMorfismo.

Veamos que en verdad cumple con la Definicion 3.1,


morfismo.

(ii) Si a ∈ SAg−1 entonces idA(a) ∈ SA

g−1 es inmediato. Ademas

idA(αAg (a)) = αA

g (a)

= αAg (idA(a)).

(iii) Debemos ver que idA preserva los idempotentes, pero ello es inmediato ya

que idA(1Ag ) = 1Ag .

Por tanto idA es un G− pgMorfismo.

Definicion 3.2. La categorıa G− pgAni esta constituida por:

(i) Una clase O, cuyos elementos son llamados G− pgAnillos.

(ii) Para cada par (R, S) de G−pgAnillos, el conjunto Mor(R, S) constituye todos

los G− pgMorfismos de R en S.

33

(iii) Para cada G− pgAnillo R, existe el G− pgMorfismo RidR−→ R llamado G −

pgIdentidad en R.

(iv) La ley de composicion usual entre funciones. Ademas esta ley de


Teorema 3.1. La categorıa G− pgAni es una subcategorıa de G− pAni.

Demostracion. Veamos que se cumpla (i), (ii), (iii) y (iv) de la Definicion 1.2.

(i) Debemos ver que Ob(C) ⊆ Ob(D), donde C es la categorıa G− pgAni y D es

la categorıa G− pAni.

Sea A ∈ Ob(C). Entonces A es un anillo con unidad que tiene asociada una

accion parcial globalizable. Luego esta en particular es una accion parcial. Por

tanto Ob(C) ⊆ Ob(D).

(ii) Sean A,B ∈ Ob(C). Debemos ver que MorC(X, Y ) ⊆ MorD(X, Y ), es decir

que todo G− pgMorfismo f : X → Y es un G− pMorfismo.

Sea f ∈ MorC(X, Y ) entonces de acuerdo a las Definiciones 3.1 y 2.2 se tiene

directamente que f ∈ MorD(X, Y ). Luego MorC(X, Y ) ⊆ MorD(X, Y ).

(iii) Sea X ∈ Ob(C). La G−pgIdentidad idX : X → X es la misma G−pIdentidad.

(iv) La ley de composicion de G− pgAni es la misma que en G− pAni pero restrin-

giendo a los objetos de G− pgAni. Es decir la composicion de morfismos en C

es la inducida por la composicion de morfismos en D.

Luego se tiene que la categorıa G− pgAni es una subcategorıa de G− pAni.

3.1.1. Producto

Proposicion 3.1. Dados R y S dos G−pgAnillos, R×S es tambien un G−pgAnillo.

34

Demostracion. Como R y S tambien son G − pAnillos, por la Proposicion 2.1 se

tiene que R × S es un G − pAnillo es decir es un anillo con unidad 1R×S = (1R, 1S)

que tiene asociada una accion parcial. Debemos ver que αR×S es globalizable. Por la

Proposicion 2.1 basta ver que cada ideal es generado por un idempotente central, es

decir para cada g ∈ G, se tiene que SR×Sg = 1R×S

g R × S = R × S1R×Sg , para algun

idempotente 1R×Sg de R× S.

Llamando 1R×Sg = (1Rg , 1

Sg ) se tiene que :

SR×Sg = SR

g × SSg = 1Rg R × 1SgS = (1Rg , 1

Sg )(R × S) = 1R×S

g R× S.

Resta ver que 1R×Sg es idempotente central de R× S. Para 1R×S

g ∈ R× S se tiene:

1R×Sg 1R×S

g = (1Rg , 1Sg )(1

Rg , 1

Sg ) = ((1Rg )

2, (1Sg )2) = (1Rg , 1

Sg ) = 1R×S

g

y ademas para cada (a, b) ∈ R× S se tiene que

1R×Sg (a, b) = (1Rg , 1

Sg )(a, b) = (1Rg a, 1

Sg b) = (a1Rg , b1

Sg ) = (a, b)(1Rg , 1

Sg ) = (a, b)1R×S

g .

Luego 1R×Sg es idempotente y ademas esta en el centro de R×S por tanto 1R×S

g es un

idempotente central. Ası se tiene que cada ideal SR×Sg es generado por un idempotente

central. Por tanto αR×S es globalizable y ası R× S es un G− pgAnillo.

Proposicion 3.2. Dados los G− pgAnillos R, S y R× S, las proyecciones πR y πS

son G− pgMorfismos.

Demostracion. Veamos que πR y πS cumplen con la Definicion 3.1. Por la Proposicion

2.2 basta probar que πR y πS preservan los idempotentes.

Para 1Rg y 1Sg con g ∈ G se tiene que πR(1Rg , 1

Sg ) = 1Rg y πS(1

Rg , 1

Sg ) = 1Sg . Luego

πR y πS preservan los idempotentes, y por tanto son G− pgMorfismos.

35

Corolario 3.1. El G− pgAnillo R × S y el conjunto

{πR : R× S → R, πS : R× S → S}

constituyen el producto de R y S en la categorıa G− pgAni.

Demostracion. Sean los G − pgMorfismos f : T → R y g : T → S. Defina-

mos la funcion ψ : T −→ R × S con ψ(t) = (f(t), g(t)) para todo t ∈ T . Por

la Proposicion 2.3 basta probar que ψ preserva los idempotentes, para garantizar

que sea un G − pgMorfismo. En efecto, llamando 1R×Sg = (1Rg , 1

Sg ) se tiene que

ψ(1Tg ) = (f(1Tg ), g(1Tg )) = (1Rg , 1

Sg ) = 1R×S

g . Luego ψ(1Tg ) = 1R×Sg , por tanto ψ es

G− pgMorfismo. Ası por el Teorema 2.1 el siguiente diagrama conmuta.

T

R× S SR

ψ

πR πS

f g

Es decir, πS ◦ ψ = g , πR ◦ ψ = f y ψ es unico.

3.1.2. Igualador

Definicion 3.3. Sea I ⊆ R, un ideal de R con R un G − pgAnillo. I se dice G −

pgInvariante si αRg (I ∩ S

Rg−1) = I ∩ SR

g para todo g ∈ G.

Note que los conjuntos G− pgInvariantes tienen como accion parcial la restriccion

de la accion del conjunto que los contiene, es decir, αI = {I ∩ SRg , α

Ig}g∈G donde αI

g

es la restriccion de αRg sobre I ∩ SR

g−1.

Proposicion 3.3. Sean los G−pgAnillos R, S y los G−pgMorfismos p, q : R → S.

El conjunto I = {a ∈ R : p(a) = q(a)} es un G− pgAnillo.

36

Demostracion. De la Proposicion 2.4 y su respectiva demostracion tenemos que I

es un anillo con unidad y se tiene naturalmente una accion parcial sobre I, la cual

es la restriccion de la accion parcial sobre R. Resta ver que la accion parcial αI

es globalizable, es decir que para cada g ∈ G, SIg = I ∩ SR

g es generado por un

idempotente central.

Notese que para cada 1g ∈ R se tiene que p(1g) = 1g = q(1g). Luego 1g ∈ I es decir

todo idempotente central de R es idempotente central de I.

Veamos que 1gI = SIg para cada g ∈ G. Si x ∈ 1gI, entonces x ∈ SR

g , tenemos que

1gI ⊆ SRg ya que SR

g es ideal, luego x ∈ I ∩ SRg = SI

g , y ası 1gI ⊆ I ∩ SRg . Ahora,

tomemos x ∈ SIg entonces x ∈ I y x ∈ SR

g = 1gR por tanto

x = 1gr con r ∈ R

= 1g(1gr) por ser 1g idempotente

= 1gx.

Entonces x = 1gx con x ∈ I. Luego x ∈ 1gI, por tanto SIg ⊆ 1gI.

De las dos inclusiones tenemos que SIg = 1gI es decir αI es globalizable. De donde se

concluye que I es G− pgAnillo.

Vale la pena destacar que el morfismo h : I → R, donde h(a) = a para todo a ∈ I

evidentemente es un G− pgMorfismo.

Corolario 3.2. Dados dos G − pgMorfismos p y q : R → T en la categorıa

G−pgAni, el G−pgAnillo I = {a ∈ R : p(a) = q(a)} junto con el G−pgMorfismo

inclusion h : I → R, h(a) = a para todo a ∈ I, es un igualador de los

G− pgMorfismos p y q.

Demostracion. Por el Teorema 2.2 se tiene que:

(i) p ◦ h = q ◦ h

R TIh

p

q

37

(ii) Para cualquier morfismo h′ : I ′ → R con p ◦ h′ = q ◦ h′, existe un unico morfismo

ρ : I ′ → I tal que h′ = h ◦ ρ, es decir el siguiente diagrama conmuta.

R TI

I ′

ρ

h

h′

p

q///

Luego h es un igualador de p y q

3.1.3. Pullback

Proposicion 3.4. Sea el G − pgAnillo T × R. Si p : T → S y q : R → S son

G− pgMorfismos, el subconjunto P = {(a, b) ∈ T ×R : p(a) = q(b)} es tambien un

G− pgAnillo.

Demostracion. De la la Proposicion 2.6 y su respectiva demostracion tenemos que P

es un anillo con unidad y se tiene naturalmente una accion parcial sobre P , la cual

es la restriccion de la accion parcial sobre T × R. Resta ver que la accion parcial αP

es globalizable, es decir que para cada g ∈ G, SPg = P ∩ ST×R

g es generado por un

idempotente central

Notese que para cada 1T×Rg = (1Tg , 1

Rg ) se tiene que p(1Tg ) = 1Sg = q(1Rg ). Luego

1T×Rg ∈ P es decir todo idempotente central de T × R es idempotente central de P .

Veamos que 1gP = SPg . Si x ∈ 1gP entonces 1g ∈ P , tenemos que 1gP ⊆ SP

g ya que

SPg es ideal, luego x ∈ P ∩ ST×R

g = SPg , y ası 1gP ⊆ P ∩ ST×R

g . Ahora, tomemos

38

x ∈ SPg entonces x ∈ P y x ∈ ST×R

g = 1g(T × R) por tanto

x = 1g(a, b) con (a, b) ∈ T ×R

= 1g(1g(a, b)) por ser 1g idempotente

= 1gx.

Entonces x = 1gx con x ∈ P . Luego x ∈ 1gP , por tanto SPg ⊆ 1Pg .

De las dos inclusiones tenemos que SPg = 1gP es decir αP es globalizable. De donde

se concluye que P es G− pgAnillo.

Corolario 3.3. La categorıa G− pgAni tiene pullbacks.

Demostracion. Consideremos el siguiente diagrama en la categorıa G− pgAni.

P R

T S

p

p

q q

Se tiene por el Teorema 2.3 que (P, p, q) donde P es el conjunto dado en la proposicion

anterior y p, q las restricciones de las proyecciones usuales, constituyen un Pullback

para el (S, p, q). En efecto:

(i) Por el Teorema 2.3 se tiene que q ◦ p = p ◦ q.

(ii) Supongamos que existe otro objeto P ′ junto con dos G − pgMorfismos,

39

p′ ∈Mor(P ′, R) y q′ ∈Mor(P ′, T ), tales que q ◦ p′ = p ◦ q′.

P ′ R

T S

p′

p

q′ q

Entonces definimos

ρ : P ′ −→ P

a′ 7→ ρ(a′) = (q′(a′), p′(a′)) Para todo a′ ∈ P ′.

P ′

P R

T S

ρp′

q′

p

p

q q

Se tiene que ρ preserva a los idempotentes, dado que ρ(1P′

g ) = (q′(1P′

g ), p′(1P′

g )) =

(1Tg , 1Rg ) = 1T×R

g = 1Pg . Luego se tiene que ρ es un G − pgMorfismo, p′ = p ◦ ρ,

q′ = q ◦ ρ y ρ es unico.

40

3.2. Categorıa G−Ani

Definicion 3.4. Sea (G, .) un grupo y A un anillo con unidad. Se dice que G actua

globalmente sobre A si existe una operacion ∗ : G×A→ A tal que

(i) a ∗ 1 = a, para todo a ∈ A, 1 es la identidad en G.

(ii) (g.h) ∗ a = g ∗ (h ∗ a), para todo g, h ∈ G, a ∈ A.

(iii) g ∗ (a+ b) = g ∗ a+ g ∗ b y g ∗ (ab) = (g ∗ a)(g ∗ b), para todo g ∈ G y a, b ∈ A.

Se entendera por G−Anillo a los Anillos con unidad que tengan asociada una accion

global de un grupo fijo G.

Ejemplo 3.2. Sea A un anillo, definamos

SA = {f : A→ A : f es isomorfismo}

SA es el grupo de todos los isomorfismos de A en A, donde la operacion ((◦)) es

la composicion usual entre funciones, el elemento identidad sera la identica, y los

inversos seran las funciones inversas.

Definamos la operacion ∗ como f ∗ a = f(a), ası se tiene que

(i) i ∗ a = i(a) = a, para todo a ∈ A.

(ii) (f ◦ g) ∗ (a) = fg(a) = f(g ∗ a) = f ∗ (g ∗ a).

(iii) f ∗ (a + b) = f(a + b) = f(a) + f(b) = (f ∗ a) + (f ∗ b) y f ∗ (ab) = f(ab) =

f(a)f(b) = (f ∗ a)(f ∗ b).

Ası SA actua globalmente sobre A.

Ahora, sea (G,⊙) un grupo que actua globalmente sobre A y definamos

fg : A→ A

a 7→ fg(a) = g ∗ a para todo a ∈ A y ∗ es la accion global sobre A

41

Veamos que fg ∈ SA, para todo g ∈ G, es decir que fg es un isomorfismo.

1. Sean a, b ∈ A

fg(a+ b) = g ∗ (a+ b) fg(ab) = g ∗ (ab)

= (g ∗ a) + (g ∗ b) = g ∗ (a)g ∗ (b)

= fg(a) + fg(b) = fg(a)fg(b)

Luego fg es homomorfismo.

2. Supongamos que fg(a) = fg(b) para todo g ∈ G. Tenemos que a = 1 ∗ a =

(g−1g)a = (g−1g)b = 1 ∗ b = b. Luego fg es inyectiva.

3. Para cada a ∈ A existe b = g−1 ∗ a ∈ A tal que fg(g−1 ∗ a) = g ∗ (g−1 ∗ a) =

(gg−1) ∗ a = 1 ∗ a = a. Luego fg es sobreyectiva.

Ası fg es un isomorfismo. Por tanto fg ∈ SA, para todo g ∈ G.

La coleccion {fg}g∈G ⊆ SA determina completamente la accion de la siguiente manera:

(i) f1(a) = 1⊙ a = a es la identica en A.

(ii) fg⊙h = fg ◦ fh, para todo g, h ∈ G

Esta asociacion permite definir un homomorfismo de grupos de G a SA,

θ : G→ SA

g 7→ θ(g) = fg para todo g ∈ G

Proposicion 3.5. Toda accion global es en particular una accion parcial.

Demostracion. Sea A un anillo con unidad, (G, ∗) un grupo que actua globalmente

sobre A y α = {Sg, αg}g∈G donde Sg = A para todo g ∈ G y αg := fg : Sg−1 → Sg

un automorfismo de ideales tal que fg(a) = g ∗ a, para todo a ∈ Sg−1 . Veamos que α

actue parcialmente sobre A.

42

1. Ya que Sg = A para todo g ∈ G se tiene en particular para g = 1. Luego S1 = A.

Ademas para a ∈ A α1(a) := f1(a) = 1 ∗ a = a, es decir α1(a) es la aplicacion

identidad de A.

2. Sean g, h ∈ G y a ∈ f−1g (Sh ∩ Sg−1), como Sg = A, para todo g ∈ G, entonces

a ∈ f−1g (A) ⊆ A = Sgh−1. Luego f−1

g (Sh ∩ Sg−1) ⊆ Sgh−1.

3. Sea a ∈ f−1g (Sh ∩ Sg−1), entonces

(fg ◦ fh)(a) = fg(fh(a))

= fg(h ∗ a)a

= g ∗ (h ∗ a)

= (gh) ∗ a

= fgh(a).

Ya que se tiene 1, 2 y 3 de la Deficion 2.1 se tiene que α actua parcialmente sobre A.

Definicion 3.5. Sea (A, ⋄) y (B, ⋆) dos G − Anillos. Entonces una aplicacion

f : A→ B se dice G-Morfismo de A en B si:


(ii) f preserva la accion global. Es decir f(g ⋄ a) = g ⋆ f(a), para cada

g ∈ G, a ∈ A.

(iii) f preserva la unidad. Es decir f(1A) = 1B.

Ejemplo 3.3. 1. Si A,B y C son G − Anillos, y f : A → B, h : B → C

G−Morfismos, entonces h ◦ f : A→ C es un G−Morfismo.

Debemos ver que h ◦ f cumpla con las condiciones de la Definicion 3.5.

43

(i) h◦f es homomorfismo ya que la composicion de homomorfismos es homo-

morfismo.

(ii) Sea a ∈ A y g ∈ G, (f ◦h)(g∗a) = f(h(g∗a)) = f(g•h(a)) = g ·f(h(a)) =

g · (f ◦ h)(a). Luego (f ◦ h)(g ∗ a) = g · (f ◦ h)(a).

(iii) Debemos ver que h ◦ f preserva la unidad, es decir h ◦ f(1A) = 1C, para

todo g ∈ G.

Para 1A ∈ A se tiene:

h ◦ f(1A) = h(f(1A))

= h(1B)

= 1C

Luego (h ◦ f)(1A) = 1C para todo g ∈ G.

Ası h ◦ f es un G−Morfismo.

2. La aplicacion identidad idA : A→ A es un G−Morfismo.

Veamos que en verdad cumple con la Definicion 3.5,


morfismo.

(ii) Sea a ∈ A, idA(g ∗a) = g ∗a = g ∗ idA(a). Por tanto idA preserva la accion

global.

(iii) Debemos ver que idA preserva la unidad, pero ello es inmediato ya que

idA(1A) = 1A.

Lo cual implica que idA es un G−Morfismo.

Definicion 3.6. La categorıa G− Ani esta constituida por:

44

(i) Una clase O, cuyos elementos son llamados G− Anillos.

(ii) Para cada par (A,B) de G − Anillos, el conjunto Mor(A,B) constituye todos

los G−Morfismos de A en B.

(iii) Para cada G − Anillo A, existe un G − Morfismo AidA−→ A. llamado

G− Identidad en A.

(iv) La ley de composicion usual entre funciones, cabe decir que esta ley de


Teorema 3.2. La categorıa G− Ani es una subcategorıa de G− pgAni.

Demostracion. Veamos que se cumpla (i), (ii), (iii) y (iv) de la Definicion 1.2.

(i) Debemos ver que Ob(C) ⊆ Ob(D) donde C es la categorıa G − Ani, y D es

la categorıa G− pgAni. Se tiene por la Proposicion 3.2 que toda accion global

es en particular una accion parcial luego basta ver que esta accion parcial sea

globalizable.

Se tiene que para cada g ∈ G, Sg = A = 1A y ademas la unidad 1 es

evidentemente idempotente central. Luego la accion parcial es globalizable y

ası Ob(C) ⊆ Ob(D).

(ii) Sean X, Y ∈ Ob(C). Debemos ver que MorC(X, Y ) ⊆ MorD(X, Y ), es decir

que todo G−Morfismo f : X → Y es tambien un G− pgMorfismo.

Sea f ∈ MorC(X, Y ), entonces por la Definicion 3.5 resta ver que se cumpla

(ii) de la Definicion 3.1.

Se tiene que para todo g ∈ G, SXg = X y SY

g = Y , entonces si a ∈ SXg−1 f(a) ∈

SYg−1 . Y ya que para cada g ∈ G, 1g = 1 se tiene (ii). Luego MorC(X, Y ) ⊆

MorD(X, Y ).

(iii) Sea X ∈ Ob(C), la G− Identidad idX : X → X es la misma G− pgIdentidad.

45

(iv) La ley de composicion de G−Ani es la misma que en G− pgAni pero restrin-

giendo a los objetos de G−Ani. Es decir la composicion de morfismos en C es

la inducida por la composicion de morfismos en D.

Luego se tiene que la categorıa G−Ani es una subcategorıa de G− pgAni.

3.2.1. Producto

Proposicion 3.6. Dados A,B dos G−Anillos, A× B es tambien un G−Anillo.

Demostracion. Se tiene que A×B es anillo con elemento identidad (1A, 1B). Veamos

que G actua globalmente sobre A× B bajo g • (a, b) = (g ∗ a, g ⋄ b) donde ∗ y ⋄ son

las acciones globales de G sobre A y B respectivamente 1.

Sea x ∈ A × B, entonces x = (a, b) con a ∈ A y b ∈ B. Veamos que A × B son

G− Anillos

(i) 1 • (a, b) = (1 ∗ a, 1 ⋄ b) = (a, b).

(ii) (gh)•(a, b) = (gh∗a, gh⋄b) = (g∗(h∗a), g⋄(h⋄b)) = g•(h∗a, h⋄b) = g•(h•(a, b)),

para cada g, h ∈ G y (a, b) ∈ A× B.

(iii) Sean (a, b), (c, d) ∈ A× B y g ∈ G

g • ((a, b) + (c, d)) = g • (a+ c, b+ d)

= (g ∗ (a+ c), g ⋄ (b+ d))

= (g ∗ a+ g ∗ c, g ⋄ b+ g ⋄ d)

= (g ∗ a, g ⋄ b) + (g ∗ c, g ⋄ d)

= g • (a, b) + g • (c, d)

1Cuando no haya lugar a confusiones escribiremos g(a, b) = (ga, gb) sin necesidad de especificar

en particular cual es la accion global que actua.

46

g • ((a, b)(c, d)) = g • (ac, bd)

= (g ∗ (ac), g ⋄ (bd))

= ((g ∗ a)(g ∗ c), (g ⋄ b)(g ⋄ d))

= (g ∗ a, g ⋄ b)(g ∗ c, g ⋄ d)

= (g • (a, b))(g • (c, d))

Luego A×B es un G− Anillo.

Proposicion 3.7. Dados los G − Anillos A,B y A × B, las proyecciones πA ∈

Mor(A×B,A) y πB ∈Mor(A× B,B) son G−Morfismos.

Demostracion. (i) Veamos que πA es homomorfismo, es decir que si x, y ∈ A × B

donde x = (a, b) y y = (c, d) con a, c ∈ A y b, d ∈ B entonces, πA(x + y) =

πA(x) + πA(y) y πA(x.y) = πA(x).πA(y).

Sean x, y ∈ A× B

πA(x+ y) = πA((a, b) + (c, d))

= πA((a+ c, b+ d))

= a + c

= πA(a, b) + πA(c, d)

= πA(x) + πA(y).

πA(x.y) = πA((a, b).(c, d))

= πA((a.c, b.d))

= a.c

= πA((a, b)).πA((c, d))

= πA(x).πA(y).

Luego πA es homomorfismo de anillos.

47

(ii) Veamos que πA preserva la accion.

Sea (a, b) ∈ A × B y g ∈ G entonces πA(g • (a, b)) = πA(g ∗ a, g ⋄ b) = g ∗ a =

g ∗ πA(a, b).

Luego se tiene que πA(g • (a, b)) = g ∗πA(a, b) para cada (a, b) ∈ A×B y g ∈ G.

(iii) Veamos que πA preserva la unidad. Para 1A×B ∈ A×B, se tiene que πA(1A×B) =

πA(1A, 1B) = 1A.

Luego πA preserva la unidad.

Ası se tiene que πA ∈ Mor(A × B,A). Analogamente se obtiene que

πB ∈Mor(A× B,B). Por tanto πA y πB son G−Morfismos.

Corolario 3.4. El G− Anillo A× B y el conjunto de las proyecciones asociadas al

producto cartesiano πA, πB donde πA(a, b) = a y πB(a, b) = b, para todo (a, b) ∈ A×B

constituyen el producto del conjunto {A,B} en la categorıa G− Ani.

Demostracion. En efecto: Sean los G−Morfismos f1 ∈Mor(C,A), f2 ∈Mor(C,B)

y definamos la funcion f : C → A×B como f(c) = (f1(c), f2(c)). Por la Proposicion

2.3 se tiene que f es G−Morfismo. Luego por el Teorema 2.1 se tiene que el siguiente

diagrama conmuta.

C

A× B BA

f

πA πB

f1 f2

Es decir, πA ◦ f = f1 y πB ◦ f = f2 y que f es unico.

48

3.2.2. Igualador

Definicion 3.7. Sea I ⊆ R, con R un G-Anillo. I se dice G-Invariante si g ∗ I = I .

Es suficiente probar que g ∗ I ⊆ I, para todo g ∈ G, ya que si esto se tiene, entonces

g−1 ∗ I ⊆ I, lo cual implica que I ⊆ g ∗ I y se obtiene la otra inclusion.

Note que los anillos G − Invariantes tienen como accion global la restriccion de la

accion del anillo que los contiene.

Proposicion 3.8. Sean los G−Anillos A y B y los G−Morfismos f y g : A→ B.

El conjunto I = {a ∈ A : f(a) = g(a)} es un G− Anillo.

Demostracion. Se tiene de la Proposicion 2.4 que I es un anillo con unidad. Resta

ver que I es G − Invariante es decir que g ∗ I ⊆ I para todo g ∈ G. Sea x ∈ g ∗ I

entonces x = g ∗ i donde i ∈ I. Veamos que x ∈ I.

f1(x) = f1(g ∗ i) = g • f1(i) = g • f2(i) = f2(g ∗ i) = f2(x).

Luego g ∗ i ∈ I y por tanto I es G− Invariante, y ası tiene asociada la accion global

de A. Luego I es G− anillo.

Corolario 3.5. Dados dos G−Morfismos f1, f2 : A→ C en la categorıa G−Ani,

el G − Anillo I = {a ∈ A : f(a) = g(a)} junto con el G − Morfismo inclusion

h : I → A, h(a) = a, para todo a ∈ I, es un igualador de los G−Morfismos f1 y f2.

Demostracion. Por el Teorema 2.2 se tiene que:

(i) f1 ◦ h = f2 ◦ h

A CIh

f1

f2

(ii) Para cualquier morfismo h′ : I ′ → A con f1◦h′ = f2◦h

′, existe un unico morfismo

ρ : I ′ → I tal que h′ = h ◦ ρ, es decir el siguiente diagrama conmuta.

49

A CI

I ′

ρ

h

h′

f1

f2///

3.2.3. Pullback

Proposicion 3.9. Sea el G − Anillo A × B. Si f : A → C y g : B → C son

G −Morfismos, el subconjunto P = {(a, b) ∈ A × B : f(a) = g(b)} es tambien un

G− Anillo.

Demostracion. Se tiene de la Proposicion 2.6 y su respectiva demostracion que P es

un subanillo con unidad de A×B. Resta ver que P es G− Invariante.

Sea x ∈ g ∗ P entonces x = g ∗ (p1, p2) = (gp1, gp2) entonces para x = (gp1, gp2)

tenemos que f(gp1) = gf(1) = g(f2) = f(gp2). Por tanto x ∈ P , luego g ∗ P ⊆ P ,

lo que implica que g ∗ P = P para cada g ∈ G. Ası P es G − Invariante. Por

tanto tiene como accion global la accion del conjunto que lo contiene. Luego P es un

G− Anillo.

Corolario 3.6. La categorıa G−Ani tiene pullbacks.

50

Demostracion. Consideremos el siguiente diagrama en la categorıa G− Ani.

P A

C B

f

f

g g

Se tiene por el Teorema 2.3 que (P, f , g) donde P es el conjunto dado en la proposicion

anterior y f , g son las restricciones de las proyecciones usuales es un Pullback para

(B, f, g). Dado que se cumple:

(i) g ◦ f = f ◦ g.

(ii) Si suponemos que existe otro objeto P ′ junto con dos G − Morfismos g′ ∈

Mor(P ′, C) y f ′ ∈Mor(P ′, A), tales que g ◦ f ′ = f ◦ g′

P ′ A

C B

f ′

f

g′ g

Y ademas definimos

φ : P ′ −→ P

a′ 7→ φ(a′) = (f ′(a′), g′(a′))

51

P ′

P A

C B

φ

f ′

g′

g

f

g g

Se tiene que φ es un G−Morfismo, f ′ = f ◦ φ y g′ = g ◦ φ y φ es unico.

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Conclusiones

El desarrollo de este trabajo permitio obtener las siguientes conclusiones.

Se definio la categorıa G−pAni, a partir de las acciones parciales de grupos sobre


Se caracterizaron los productos, igualadores y pullbacks en la categorıa

G− pAni.

Se definio la categorıa G − pgAni, a partir de acciones parciales globalizables

sobre un anillo con unidad y de los homomorfismos que preservan esta estruc-

tura.

Se definio la categorıa G−Ani, a partir de acciones globales sobre un anillo con

unidad y de los homomorfismos que preservan esta estructura.

Mostramos que tambien es posible encontrar productos, igualadores y pullbacks

sobre estas subcategorıas de G−pAni, los cuales coinciden con los de G−pAni.

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Sobre Algunas Categor´ıas de Acciones Parciales Sobre Anillos

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