So Lucio Nex Amen 20 Dic
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C´ alculo Infinitesimal - Grupo E100 Examen 4: 20 de diciembre de 2011 Apellidos y nombre: Indicaciones previas La duraci´ on del examen es 1 hora y 45 minutos. Solo se permitir´ an preguntas durante los primeros quince minutos. No se podr´ a utilizar ning´ un tipo de calculadora, ni ordenador port´ atil. Los tel´ efonos m´ oviles deber´ an estar apagados. No se puntuar´ an resultados que no est´ en debidamente justificados. P-1 (1.5 puntos) 1. Definici´ on de conjunto de nivel de una funci´ on f : IR 2 → IR. 2. Determinar los conjuntos de nivel de la funci´ on f (x, y)= e x 2 +y 2 . Soluci´ on: 1. Teor´ ıa desarrollada en clase. 2. Al ser f (x, y)= e x 2 +y 2 se tiene Dom(f )=IR 2 y f (x, y) ≥ 1 ∀(x, y) ∈ IR 2 . Para cada c la curva de nivel tiene por ecuaci´ on e x 2 +y 2 = c = ⇒ x 2 + y 2 = ln(c) Por tanto si c< 1 no existe curva de nivel. Para c = 1 la curva de nivel es el punto (0, 0) y para c> 1 la curva de nivel es una circunferencia centrada en el origen y de radio ln(c). P-2 (1.5 puntos) Considerar l´ ım (x,y)→(0,0) x 3 y x 6 + y 2 1. Determinar el l´ ımite a lo largo de toda recta de la forma y = mx. 2. Determinar el l´ ımite a lo largo de toda c´ ubica de la forma y = mx 3 . 3. ¿Existe el l´ ımite? Explicar la respuesta. Soluci´ on: 1. l´ ım (x, y) → (0, 0) y = mx x 3 y x 6 + y 2 = l´ ım x→0 x 3 mx x 6 + m 2 x 2 = l´ ım x→0 x 2 m x 4 + m 2 = 0 m 2 =0 2. l´ ım (x, y) → (0, 0) y = mx 3 x 3 y x 6 + y 2 = l´ ım x→0 x 3 mx 3 x 6 + m 2 x 6 = l´ ım x→0 m 1+ m 2 = m 1+ m 2 3. Al obtener valores distintos del l´ ımite para familias de trayectorias distintas, podemos afirmar que no existe el l´ ımite. P-3 (1 punto) 1. Definici´ on de plano tangente. 2. Determinar el plano tangente a la superficie z = e x (sen y + 1) en el punto (0,π/2, 2).
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EXAMEN CALCULO UNIVERSIDAD POLITECNICA MADRID INGENIERIA
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Calculo Infinitesimal - Grupo E100 Examen 4: 20 de diciembre de 2011
Apellidos y nombre:
Indicaciones previas
La duracion del examen es 1 hora y 45 minutos. Solo se permitiran preguntas durante los primeros quinceminutos.
No se podra utilizar ningun tipo de calculadora, ni ordenador portatil.
Los telefonos moviles deberan estar apagados.
No se puntuaran resultados que no esten debidamente justificados.
P-1 (1.5 puntos)
1. Definicion de conjunto de nivel de una funcion f : IR2 → IR.
2. Determinar los conjuntos de nivel de la funcion f(x, y) = ex2+y2.
Solucion:
1. Teorıa desarrollada en clase.
2. Al ser f(x, y) = ex2+y2se tiene Dom(f) = IR2 y f(x, y) ≥ 1 ∀(x, y) ∈ IR2. Para cada c la curva de nivel
tiene por ecuacion
ex2+y2= c =⇒ x2 + y2 = ln(c)
Por tanto si c < 1 no existe curva de nivel. Para c = 1 la curva de nivel es el punto (0, 0) y para c > 1 lacurva de nivel es una circunferencia centrada en el origen y de radio
√ln(c).
P-2 (1.5 puntos) Considerar lım(x,y)→(0,0)
x3y
x6 + y2
1. Determinar el lımite a lo largo de toda recta de la forma y = mx.
2. Determinar el lımite a lo largo de toda cubica de la forma y = mx3.
3. ¿Existe el lımite? Explicar la respuesta.
Solucion:
1. lım(x, y)→ (0, 0)
y = mx
x3y
x6 + y2= lım
x→0
x3 mx
x6 + m2x2= lım
x→0
x2m
x4 + m2=
0m2
= 0
2. lım(x, y)→ (0, 0)
y = mx3
x3y
x6 + y2= lım
x→0
x3 mx3
x6 + m2x6= lım
x→0
m
1 + m2=
m
1 + m2
3. Al obtener valores distintos del lımite para familias de trayectorias distintas, podemos afirmar que no existeel lımite.
P-3 (1 punto)
1. Definicion de plano tangente.
2. Determinar el plano tangente a la superficie z = ex(sen y + 1) en el punto (0, π/2, 2).
Solucion:
1. Teorıa desarrollada en clase.
2. Sea z = ex(sen y + 1). Derivando parcialmente respecto de x y respecto de y se obtiene:
∂z
∂x= ex(sen y + 1)
∂z
∂y= ex cos y
Por tanto, la ecuacion del plano tangente a la superficie en el punto (0, π/2, 2) es
z − 2 =(
∂z
∂x
)(0,π/2)
(x− 0) +(
∂z
∂y
)(0,π/2)
(y − π/2)
z − 2 = 2(x− 0) + 0(y − π/2) → z = 2x + 2
P-4 (1.5 puntos) Sea f(x, y, z) = e−x sen(yz). ¿Es cierto que las derivadas fxyy, fyyx y fyxy son iguales?
Solucion: Sea f(x, y, z) = e−x sen(yz). Para cualquier punto (x, y, z) ∈ IR3 se obtiene:
fx = −e−x sen(yz) fxy = −ze−x cos(yz) fxyy = z2e−x sen(yz)fy = ze−x cos(yz) fyy = −z2e−x sen(yz) fyyx = z2e−x sen(yz)fy = ze−x cos(yz) fyx = −ze−x cos(yz) fyxy = z2e−x sen(yz)
Luego fxyy = fyyx = fyxy ∀(x, y, z) ∈ IR3.
P-5 (1.5 puntos) Se dice que una funcion f : IR2 → IR es homogenea de grado n si f(tx, ty) = tnf(x, y). Determinarel grado de la funcion f(x, y) = x3 − 3xy2 + y3 y probar que
xfx(x, y) + yfy(x, y) = nf(x, y)
Solucion: Como
f(tx, ty) = (tx)3 − 3tx(ty)2 + (ty)3 = t3(x3 − 3xy2 + y3) = t3f(x, y)la funcion es homogenea de grado 3.Derivando parcialmente se obtiene
fx(x, y) = 3x2 − 3y2 fy(x, y) = −6xy + 3y2
Por tanto,
xfx(x, y) + yfy(x, y) = x(3x2 − 3y2) + y(−6xy + 3y2) = 3x3 − 9xy2 + 3y3 = 3f(x, y)
P-6 (3 puntos)
1. Definicion de diferenciabilidad de una funcion f : IR2 → IR en un punto (a, b).
2. Estudiar la diferenciabilidad de las siguientes funciones en el (0, 0)
f(x, y) =
5xy
x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)f(x, y) = 4xy + 6y2x + 1
Solucion:
1. Teorıa desarrollada en clase.
2. Sea f(x, y) =
5xy
x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0). En primer lugar estudiamos la continuidad de la funcion en
(0, 0). Calculamos el lımite por coordenadas polares y obtenemos:
lımr→0
f(r cos α, r senα) = lımr→0
5r cos α r senα
r2 cos2 α + r2 sen2 α= lım
r→0
5r2 cos α senα
r2= lım
r→05 cos α senα = 5 cos α senα
Se obtiene que el valor del lımite depende de α. Por tanto, no exite el lımite y como consecuencia la funcionno es continua en (0, 0). Como la continuidad es condicion necesaria para la diferenciabilidad, podemosafirmar que la funcion no es diferenciable en (0, 0).Consideramos f(x, y) = 4xy + 6y2x + 1. f es coninua en IR2 (funcion polinomica). Como
fx = 4y + 6y2 fy = 4x + 12yx
son continuas en IR2, por la condicion suficiente de diferenciabilidad podemos afirmar que f es diferenciable(con continuidad) en IR2. Por tanto, f es diferenciable en (0, 0).
