So Lucio Nario 2 ei

El Solucionario de Matemticas para 2. de ESO es una obra colectiva concebida, diseada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educacin, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal.

En su realizacin ha participado el siguiente equipo:

Ana Mara Gaztelu Augusto Gonzlez

EDICINAnglica Escoredo Rafael Nevado Carlos Prez

DIRECCIN DEL PROYECTODomingo Snchez Figueroa

Matemticas 2ESOBiblioteca del profesoradoSOLUCIONARIO

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Presentacin

2

DESCUBRE LA HISTORIA

1 Dionisio el Exiguo fue un monje que naci a finales del siglo v. Busca informacin sobre su vida y sobre sus aportaciones a la creacin del calendario cristiano.

Una biografa sobre la vida y la obra de Dionisio el Exiguo se puede encontrar en: http://ec.aciprensa.com/wiki/Dionisio_el_Exiguo

2 Investiga sobre el encargo que el papa Juan I hizo a Dionisio el Exiguo. Fueron correctos los clculos del monje?

En esta pgina se puede encontrar el encargo del papa Juan I a Dionisio el Exiguo:http://www.erain.es/departamentos/religion/historia/antigua/sigloI-A.htm

Una aclaracin sobre los problemas del nuevo calendario se puede encontrar en:

http://www.uv.es/ivorra/Historia/Cero.htm

3 Cul fue la polmica que se cre en los ltimos aos de la dcada de los noventa sobre el inicio del siglo xxi? A qu se debi esa polmica?

En esta pgina se puede encontrar una explicacin del ao en que comienza un siglo:

http://ecmes.wordpress.com/2006/05/17/cristo-nacio-6-anos-antes-de-cristo/

EVALUACIN INICIAL

1 Expresa, utilizando nmeros enteros, estas situaciones.

a) El submarino est situado a 25 m bajo el nivel del mar.

b) El hecho ocurri en el ao 255 antes de cristo.

c) La cima de la montaa est situada a 2 210 m sobre el nivel del mar.

d) No me queda dinero.

a) -25 m b) Ao -255 c) +2 210 m d) 0

2 Resuelve las siguientes operaciones.

a) 82 - 14 : 2 3 + 12 : 3

b) 18 : 3 5 - 24 : 6 : 2 + 25

c) 7 6 : 21 - 25 : 5 + 16 2 : 8

d) 55 : 5 - 9 : 3 3 + 17

a) 82 - 21 + 4 = 65 c) 2 - 5 + 4 = 1

b) 30 - 2 + 25 = 53 d) 11 - 9 + 17 = 19

3 Determina cules de estas divisiones son exactas.

a) 35 : 2 c) 138 : 4 e) 356 : 6

b) 84 : 3 d) 223 : 5

Solo es exacta la divisin del apartado b).

4

Nmeros enteros1

El ao cero

El pequeo monje corra por los pasillos del palacio papal, y su cara denotaba una satisfaccin que difcilmente lograba reprimir.

Cuando por fin lleg a la sala donde se encontraba el Papa, se arrodill, bes su anillo y, con falsa modestia, dijo:

Lo encontr, Su Santidad: el Ao de la Salvacin, cuando Nuestro Seor vino al mundo.

El Papa ley con avidez el documento que Dionisio el Exiguo le haba entregado, en el que databa el nacimiento de Cristo en el ao 753 de la fundacin de Roma. Al mismo tiempo, el monje repeta:

El ao 754 de la fundacin de Roma es nuestro primer ao: primus anno Domini, el ao primero de la Era del Seor.

Pero lo que estos dos personajes no podan imaginar es que, al contar los aos de forma ordinal: ao primero, ao segundo, ao tercero, eliminaban el ao cero. Este hecho provoc una enorme polmica hace algunos aos; as, mientras unas personas mantenan que el siglo XXI comenzaba el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban que este siglo comenz el 1 de enero de 2001.

1SOLUCIONARIO

5

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El nombre de la serie, Los Caminos del Saber, responde al planteamiento de presentar un proyecto de Matemticas centrado en la adquisicin de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemtico, dentro de la etapa obligatoria de la en-seanza, debe garantizar no solo la interpretacin y la descripcin de la realidad, sino tambin la actuacin sobre ella.

En este sentido, y considerando las matemticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolucin de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumno. Pretendemos que esta resolucin no sea solo un instrumento, sino que pueda entenderse como una propuesta didctica para enfocar la adquisicin de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el libro del alumno.

35

1

c) Para llegar de la galera 11 a la 14 deben perforar 30 m, ya que las galeras son huecas y no hay que perforarlas, por lo que tardarn: 30 ? 12 = 360 minutos.

Para llegar de la galera 18 a la 14 deben perforar 40 m, y tardarn: 40 ? 9 = 360 minutos.

Por tanto, los dos equipos de salvamento tardarn el mismo tiempo.

145

La lesin de tobillo de Miguel no le impide hacer la compra semanalmente. Miguel visita peridicamente las pginas de Internet de dos supermercados y luego compara los precios.

Ha confeccionado una tabla con la diferencia de precios de los artculos que necesita en los dos supermercados, Super 1 y Super 2.

Eres capaz de Comprendera) Si una botella de aceite cuesta 2,15 en el Super 1, cunto cuesta en

el Super 2?b) Si una lechuga cuesta 65 cntimos en el Super 2, cunto cuesta en el Super 1?

Eres capaz de Resolverc) Si compra pan, una botella de zumo y un kilo de arroz, dnde le saldr

ms barato?

Eres capaz de Decidird) En qu supermercado es ms barato hacer toda la compra?e) Cunto dinero se ahorrar?

a) 2,15 - 0,72 = 1,43

b) 65 + 2 = 67 cntimos

c) Si lo compra en el Super 1: 3 + (-23) + (-16) = -36

En el Super 1 le costar 36 cntimos menos que en el Super 2.

d) y e) Si hace toda la compra en el Super 1:

-6 + 72 + (-9) + (-23) + 8 + 2 + (-12) + 3 + (-16) = 19

Si hace toda la compra, le sale 19 cntimos ms cara en el Super 1.

SOLUCIONARIO

34

Pon a PRuEba tuS CaPaCIDaDES

144

En un pozo minero ha habido un derrumbe. Se han activado las medidas de emergencia y se ha formado un equipo de salvamento.

De los 32 mineros que permanecan en el interior de la mina en el momento del derrumbe tan solo dos de ellos siguen atrapados.

La estructura de esta mina subterrnea de carbn est formada por galeras horizontales. adems, la distancia vertical entre cada dos galeras es de 10 m, y su altura, 2 m.

eres capaz de comprender

a) a qu profundidad se encuentran los mineros atrapados?

eres capaz de resolver

b) Los equipos de salvamento estn en las galeras 18 y 11. Qu grupo de salvamento se encuentra a menor distancia de los mineros?

eres capaz de decidir

c) Es necesario perforar para llegar hasta los mineros. Segn los tcnicos, solo se puede perforar 1 m cada 12 minutos al descender y 1 m cada 9 minutos al ascender. Desde qu galera se llegar primero?

a) El suelo de la primera galera est a 12 m de la superficie, el suelo de la segunda a 12 metros ms, el de la tercera a otros 12 m del suelo de la segunda

El techo de la galera 14 estar a:

14 ? 12 - 2 = 166 m de profundidad

b) La distancia entre el suelo de la 11 y el techo de la 14 es: 3 ? 12 - 2 = 34 m

La distancia entre el suelo de la 14 y el techo de la 18 es: 4 ? 12 - 2 = 46 m

Estn a menor distancia los situados en la galera 11.

Nmeros enteros

El derrumbe se ha producido en la galera

14. Creemos que es donde permanecen los

dos mineros. Artculo EnSuper1es

Bote de tomate frito 6 cnt. ms baratoBotella de aceite 72 cnt. ms caraBotella de refresco 9 cnt. ms barataBotella de zumo 23 cnt. ms barataBolsa de galletas 8 cnt. ms caraLechuga 2 cnt. ms caraKilo de tomates 12 cnt. ms baratoBarra de pan 3 cnt. ms caraKilo de arroz 16 cnt. ms barato

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3ndiceUnidad 1 Nmeros enteros 4-35

Unidad 2 Fracciones 36-69

Unidad 3 Nmeros decimales 70-97

Unidad 4 Sistema sexagesimal 98-119

Unidad 5 Expresiones algebraicas 120-143

Unidad 6 Ecuaciones de primer y segundo grado 144-175

Unidad 7 Sistemas de ecuaciones 176-213

Unidad 8 Proporcionalidad numrica 214-243

Unidad 9 Proporcionalidad geomtrica 244-275

Unidad 10 Figuras planas. reas 276-309

Unidad 11 Cuerpos geomtricos 310-349

Unidad 12 Volumen de cuerposgeomtricos 350-373

Unidad 13 Funciones 374-405

Unidad 14 Estadstica 406-431

PresentacinEl nombre de la serie, Los Caminos del Saber, responde al planteamiento de presentar un proyecto de Matemticas centrado en la adquisicin de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemtico, dentro de la etapa obligatoria de la en-seanza, debe garantizar no solo la interpretacin y la descripcin de la realidad, sino tambin la actuacin sobre ella.

En este sentido, y considerando las matemticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolucin de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumno. Pretendemos que esta resolucin no sea solo un instrumento, sino que pueda entenderse como una propuesta didctica para enfocar la adquisicin de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el libro del alumno.

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1

c) Para llegar de la galera 11 a la 14 deben perforar 30 m, ya que las galeras son huecas y no hay que perforarlas, por lo que tardarn: 30 ? 12 = 360 minutos.

Para llegar de la galera 18 a la 14 deben perforar 40 m, y tardarn: 40 ? 9 = 360 minutos.

Por tanto, los dos equipos de salvamento tardarn el mismo tiempo.

145

La lesin de tobillo de Miguel no le impide hacer la compra semanalmente. Miguel visita peridicamente las pginas de Internet de dos supermercados y luego compara los precios.

Ha confeccionado una tabla con la diferencia de precios de los artculos que necesita en los dos supermercados, Super 1 y Super 2.

Eres capaz de Comprendera) Si una botella de aceite cuesta 2,15 en el Super 1, cunto cuesta en

el Super 2?b) Si una lechuga cuesta 65 cntimos en el Super 2, cunto cuesta en el Super 1?

Eres capaz de Resolverc) Si compra pan, una botella de zumo y un kilo de arroz, dnde le saldr

ms barato?

Eres capaz de Decidird) En qu supermercado es ms barato hacer toda la compra?e) Cunto dinero se ahorrar?

a) 2,15 - 0,72 = 1,43

b) 65 + 2 = 67 cntimos

c) Si lo compra en el Super 1: 3 + (-23) + (-16) = -36

En el Super 1 le costar 36 cntimos menos que en el Super 2.

d) y e) Si hace toda la compra en el Super 1:

-6 + 72 + (-9) + (-23) + 8 + 2 + (-12) + 3 + (-16) = 19

Si hace toda la compra, le sale 19 cntimos ms cara en el Super 1.

SOLUCIONARIO

34

Pon a PRuEba tuS CaPaCIDaDES

144

En un pozo minero ha habido un derrumbe. Se han activado las medidas de emergencia y se ha formado un equipo de salvamento.

De los 32 mineros que permanecan en el interior de la mina en el momento del derrumbe tan solo dos de ellos siguen atrapados.

La estructura de esta mina subterrnea de carbn est formada por galeras horizontales. adems, la distancia vertical entre cada dos galeras es de 10 m, y su altura, 2 m.

eres capaz de comprender

a) a qu profundidad se encuentran los mineros atrapados?

eres capaz de resolver

b) Los equipos de salvamento estn en las galeras 18 y 11. Qu grupo de salvamento se encuentra a menor distancia de los mineros?

eres capaz de decidir

c) Es necesario perforar para llegar hasta los mineros. Segn los tcnicos, solo se puede perforar 1 m cada 12 minutos al descender y 1 m cada 9 minutos al ascender. Desde qu galera se llegar primero?

a) El suelo de la primera galera est a 12 m de la superficie, el suelo de la segunda a 12 metros ms, el de la tercera a otros 12 m del suelo de la segunda

El techo de la galera 14 estar a:

14 ? 12 - 2 = 166 m de profundidad

b) La distancia entre el suelo de la 11 y el techo de la 14 es: 3 ? 12 - 2 = 34 m

La distancia entre el suelo de la 14 y el techo de la 18 es: 4 ? 12 - 2 = 46 m

Estn a menor distancia los situados en la galera 11.

Nmeros enteros

El derrumbe se ha producido en la galera

14. Creemos que es donde permanecen los

dos mineros. Artculo EnSuper1es

Bote de tomate frito 6 cnt. ms baratoBotella de aceite 72 cnt. ms caraBotella de refresco 9 cnt. ms barataBotella de zumo 23 cnt. ms barataBolsa de galletas 8 cnt. ms caraLechuga 2 cnt. ms caraKilo de tomates 12 cnt. ms baratoBarra de pan 3 cnt. ms caraKilo de arroz 16 cnt. ms barato

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EVALUACIN INICIAL






a) -25 m b) Ao -255 c) +2 210 m d) 0


a) 82 - 14 : 2 3 + 12 : 3

b) 18 : 3 5 - 24 : 6 : 2 + 25

c) 7 6 : 21 - 25 : 5 + 16 2 : 8

d) 55 : 5 - 9 : 3 3 + 17

a) 82 - 21 + 4 = 65 c) 2 - 5 + 4 = 1

b) 30 - 2 + 25 = 53 d) 11 - 9 + 17 = 19


a) 35 : 2 c) 138 : 4 e) 356 : 6

b) 84 : 3 d) 223 : 5


4

Nmeros enteros1

El ao cero







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EVALUACIN INICIAL






a) -25 m b) Ao -255 c) +2 210 m d) 0


a) 82 - 14 : 2 3 + 12 : 3

b) 18 : 3 5 - 24 : 6 : 2 + 25

c) 7 6 : 21 - 25 : 5 + 16 2 : 8

d) 55 : 5 - 9 : 3 3 + 17

a) 82 - 21 + 4 = 65 c) 2 - 5 + 4 = 1

b) 30 - 2 + 25 = 53 d) 11 - 9 + 17 = 19


a) 35 : 2 c) 138 : 4 e) 356 : 6

b) 84 : 3 d) 223 : 5


Nmeros enteros

El ao cero







1SOLUCIONARIO

5

280854 _ 0004-0035.indd 5 25/04/11 22:20

6007 Ordena, de menor a mayor, los siguientes nmeros enteros:

+8 -2 +3 +11 0 -7 -9

-9 < -7 < -2 < 0 < 3 < 8 < 11

008 Si a < -3, puede ser a < 0?

Como a < -3 y -3 < 0, entonces a < 0 siempre.

009 Calcula utilizando los dos mtodos estudiados.

a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4c) 15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6d) -(4 - 9 + 3) + (11 - 8 - 7) + (-15)e) (+3) - (4 + 7 - 9) - (-19 + 3 - 10) + (-2)

a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9 = -3 - 6 - 7 + 9 = -9 - 7 + 9 = -16 + 9 = -7

-11 + 8 - 6 - 7 + 9 = (8 + 9) - (11 + 6 + 7) = 17 - 24 = -7

b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 = -5 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 = = 7 - 15 - 1 + 10 - 4 == -8 - 1 + 10 - 4 == -9 + 10 - 4 = 1 - 4 = -3

3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 = (3 + 12 + 10) - (8 + 15 + 1 + 4) == 25 - 28 = -3

c) 15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6 = 1 + 9 - 21 - 13 + 6 = 10 - 21 - 13 + 6 == -11 - 13 + 6 = -24 + 6 = -18

15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6 = (15 + 9 + 6) - (14 + 21 + 13) == 30 - 48 = -18

d) -4 + 9 - 3 + 11 - 8 - 7 - 15 = 5 - 3 + 11 - 8 - 7 - 15 = = 2 + 11 - 8 - 7 - 15 = = 13 - 8 - 7 - 15 == 5 - 7 - 15 =-2 - 15 = -17

-4 + 9 - 3 + 11 - 8 - 7 - 15 = (9 + 11) - (4 + 3 + 8 + 7 + 15) == 20 - 37 = -17

e) 3 - 4 - 7 + 9 + 19 - 3 + 10 - 2 = -1 - 7 + 9 + 19 - 3 + 10 - 2 = = -8 + 9 + 19 - 3 + 10 - 2 = = 1 + 19 - 3 + 10 - 2 = = 20 - 3 + 10 - 2 = = 17 + 10 - 2 = 27 - 2 = 25

3 - 4 - 7 + 9 + 19 - 3 + 10 - 2 == (3 + 9 + 19 + 10) - (4 + 7 + 3 + 2) = = 41 - 16 = 25

EJERCICIOS

001 Expresa con nmeros enteros.

a) El avin vuela a una altura de tres mil metros.b) El termmetro marca tres grados bajo cero.c) Le debo cinco euros a mi hermano.

a) +3 000 m

b) -3 C

c) -5

002 Halla el valor absoluto de:-4 +5 -13 +27 -1 +18

-4 = 4 +27 = 27

+5 = 5 -1 = 1

-13 = 13 +18 = 18

003 Escribe situaciones que correspondan a estos nmeros.

a) +57 c) -6 Cb) -100 m d) +2

a) El precio del taladro es cincuenta y siete euros.

b) El calamar vive a cien metros de profundidad.

c) La temperatura mnima en enero fue de seis grados bajo cero.

d) Somos dos hermanos.

004 El valor absoluto de un nmero entero a es 7. Qu nmero es?

Si a = 7, entonces a = +7 o a = -7.

005 Escribe el opuesto de estos nmeros.

a) -8 c) +3b) +54 d) -5

a) Op(-8) = +8 c) Op(+3) = -3

b) Op(+54) = -54 d) Op(-5) = +5

006 Copia y completa con el signo < o >, segn corresponda.

a) -2 4 -5 b) -7 4 0 c) -1 4 +2a) -2 > -5 b) -7 < 0 c) -1 < +2

Nmeros enteros

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007 Ordena, de menor a mayor, los siguientes nmeros enteros:

+8 -2 +3 +11 0 -7 -9

-9 < -7 < -2 < 0 < 3 < 8 < 11

008 Si a < -3, puede ser a < 0?

Como a < -3 y -3 < 0, entonces a < 0 siempre.

009 Calcula utilizando los dos mtodos estudiados.

a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4c) 15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6d) -(4 - 9 + 3) + (11 - 8 - 7) + (-15)e) (+3) - (4 + 7 - 9) - (-19 + 3 - 10) + (-2)

a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9 = -3 - 6 - 7 + 9 = -9 - 7 + 9 = -16 + 9 = -7

-11 + 8 - 6 - 7 + 9 = (8 + 9) - (11 + 6 + 7) = 17 - 24 = -7

b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 = -5 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 = = 7 - 15 - 1 + 10 - 4 == -8 - 1 + 10 - 4 == -9 + 10 - 4 = 1 - 4 = -3

3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 = (3 + 12 + 10) - (8 + 15 + 1 + 4) == 25 - 28 = -3

c) 15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6 = 1 + 9 - 21 - 13 + 6 = 10 - 21 - 13 + 6 == -11 - 13 + 6 = -24 + 6 = -18

15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6 = (15 + 9 + 6) - (14 + 21 + 13) == 30 - 48 = -18

d) -4 + 9 - 3 + 11 - 8 - 7 - 15 = 5 - 3 + 11 - 8 - 7 - 15 = = 2 + 11 - 8 - 7 - 15 = = 13 - 8 - 7 - 15 == 5 - 7 - 15 =-2 - 15 = -17

-4 + 9 - 3 + 11 - 8 - 7 - 15 = (9 + 11) - (4 + 3 + 8 + 7 + 15) == 20 - 37 = -17

e) 3 - 4 - 7 + 9 + 19 - 3 + 10 - 2 = -1 - 7 + 9 + 19 - 3 + 10 - 2 = = -8 + 9 + 19 - 3 + 10 - 2 = = 1 + 19 - 3 + 10 - 2 = = 20 - 3 + 10 - 2 = = 17 + 10 - 2 = 27 - 2 = 25

3 - 4 - 7 + 9 + 19 - 3 + 10 - 2 == (3 + 9 + 19 + 10) - (4 + 7 + 3 + 2) = = 41 - 16 = 25

SOLUCIONARIO

EJERCICIOS

Expresa con nmeros enteros.

a) El avin vuela a una altura de tres mil metros.b) El termmetro marca tres grados bajo cero.c) Le debo cinco euros a mi hermano.

a) +3 000 m

b) -3 C

c) -5

Halla el valor absoluto de:-4 +5 -13 +27 -1 +18

-4 = 4 +27 = 27

+5 = 5 -1 = 1

-13 = 13 +18 = 18

Escribe situaciones que correspondan a estos nmeros.

a) +57 c) -6 Cb) -100 m d) +2

a) El precio del taladro es cincuenta y siete euros.

b) El calamar vive a cien metros de profundidad.

c) La temperatura mnima en enero fue de seis grados bajo cero.

d) Somos dos hermanos.

El valor absoluto de un nmero entero a es 7. Qu nmero es?

Si a = 7, entonces a = +7 o a = -7.

Escribe el opuesto de estos nmeros.

a) -8 c) +3b) +54 d) -5

a) Op(-8) = +8 c) Op(+3) = -3

b) Op(+54) = -54 d) Op(-5) = +5

Copia y completa con el signo < o >, segn corresponda.

a) -2 4 -5 b) -7 4 0 c) -1 4 +2a) -2 > -5 b) -7 < 0 c) -1 < +2

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 7 25/04/11 22:20

8016 Escribe cmo se leen las potencias y calcula su valor.

a) 35 c) (-8)6 e) 103 g) (-4)2

b) 22 d) (-5)3 f) 42 h) (-2)3

a) 3 elevado a 5 es 243. e) 10 al cubo es 1 000.

b) 2 al cuadrado es 4. f) 4 al cuadrado es 16.

c) -8 elevado a 6 es 262 144. g) -4 al cuadrado es 16.

d) -5 al cubo es -125. h) -2 al cubo es -8.

017 Expresa en forma de potencia y halla su valor.

a) 6 6 6 c) (-2) (-2) (-2)b) 2 2 2 2 2 d) (-5) (-5)

a) 63 = 216 c) (-2)3 = -8

b) 25 = 32 d) (-5)2 = 25

018 Calcula el exponente de estas potencias.

a) 34 = 27 c) 44 = 64b) (-3)4 = -27 d) (-2)4 = 16

a) 33 = 27 c) 43 = 64

b) (-3)3 = -27 d) (-2)4 = 16

019 Busca dos nmeros tales que, al elevarlos a la cuarta potencia, tengan el mismo valor. Cuntos nmeros cumplen esta condicin?

Respuesta abierta. Por ejemplo: 24 = 16 = (-2)4

Todo nmero y su opuesto elevados a la cuarta dan el mismo resultado.

020 Expresa estas operaciones con potencias con una sola potencia, y utiliza la calculadora para resolverlas.

a) 34 35 c) 412 : 48 e) (-3)6 (-3)2 g) (-4)12 : (-4)8

b) 53 52 d) 74 : 7 f) (-5)3 (-5)2 h) (-7)4 : (-7)

a) 39 = 19 683 c) 44 = 256 e) (-3)8 = 6 561 g) (-4)4 = 256b) 55 = 3 125 d) 73 = 343 f) (-5)5 = -3 125 h) (-7)3 = -343

021 Resuelve las operaciones.

a) 52 52 + 36 : 35 + 102 103

b) 52 : 5 + 33 32 + 102 : 102

a) 52 ? 52 + 36 : 35 + 102 ? 103 = 54 + 3 + 105 = 625 + 3 + 100 000 == 100 628

b) 52 : 5 + 33 ? 32 + 102 : 102 = 5 + 35 + 1 = 5 + 243 + 1 = 249

010 Cathy tena en el banco 250 . Despus ha pagado un recibo de 485 y ha cobrado 900. Cul es su saldo actual?

250 - 485 + 900 = -235 + 900 = 665

011 Calcula el valor de a:4 - (a + 2) - 3 = -1

4 - a - 2 - 3 = -1 " -1 - a = -1 " a = 0

012 Resuelve estas multiplicaciones.

a) (-3) (+2) d) (+2) (+7)b) (-2) (-8) e) (+5) (-4)c) (+7) (-4) f) (-5) (-7)

a) -6 d) 14

b) 16 e) -20

c) -28 f) 35

013 Calcula las divisiones.

a) (-12) : (+6) d) (+21) : (+7)b) (-6) : (-2) e) (+24) : (-4)c) (+28) : (-4) f) (-42) : (-7)

a) -2 d) 3

b) 3 e) -6

c) -7 f) 6

014 Resuelve estas operaciones.

a) (-4) (+2) (-6) d) (+20) : (+2) : (-5)b) (+8) (-3) (-4) e) (-32) : (-4) : (-8) c) (-2) (-3) (-4) f) (-80) : (-20) : (-4)

a) 48 d) -2

b) 96 e) -1

c) -24 f) -1

015 Copia y completa con los nmeros adecuados.

a) (4) : 4 = -10 c) (-100) : (4) = -25b) 40 : (4) = -8 d) (4) : (-12) = 6

a) (-40) : 4 = -10 c) (-100) : 4 = -25

b) 40 : (-5) = -8 d) (-72) : (-12) = 6

Nmeros enteros

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91

016 Escribe cmo se leen las potencias y calcula su valor.

a) 35 c) (-8)6 e) 103 g) (-4)2

b) 22 d) (-5)3 f) 42 h) (-2)3

a) 3 elevado a 5 es 243. e) 10 al cubo es 1 000.

b) 2 al cuadrado es 4. f) 4 al cuadrado es 16.

c) -8 elevado a 6 es 262 144. g) -4 al cuadrado es 16.

d) -5 al cubo es -125. h) -2 al cubo es -8.

017 Expresa en forma de potencia y halla su valor.

a) 6 6 6 c) (-2) (-2) (-2)b) 2 2 2 2 2 d) (-5) (-5)

a) 63 = 216 c) (-2)3 = -8

b) 25 = 32 d) (-5)2 = 25

018 Calcula el exponente de estas potencias.

a) 34 = 27 c) 44 = 64b) (-3)4 = -27 d) (-2)4 = 16

a) 33 = 27 c) 43 = 64

b) (-3)3 = -27 d) (-2)4 = 16

019 Busca dos nmeros tales que, al elevarlos a la cuarta potencia, tengan el mismo valor. Cuntos nmeros cumplen esta condicin?

Respuesta abierta. Por ejemplo: 24 = 16 = (-2)4

Todo nmero y su opuesto elevados a la cuarta dan el mismo resultado.

020 Expresa estas operaciones con potencias con una sola potencia, y utiliza la calculadora para resolverlas.

a) 34 35 c) 412 : 48 e) (-3)6 (-3)2 g) (-4)12 : (-4)8

b) 53 52 d) 74 : 7 f) (-5)3 (-5)2 h) (-7)4 : (-7)

a) 39 = 19 683 c) 44 = 256 e) (-3)8 = 6 561 g) (-4)4 = 256b) 55 = 3 125 d) 73 = 343 f) (-5)5 = -3 125 h) (-7)3 = -343


a) 52 52 + 36 : 35 + 102 103

b) 52 : 5 + 33 32 + 102 : 102

a) 52 ? 52 + 36 : 35 + 102 ? 103 = 54 + 3 + 105 = 625 + 3 + 100 000 == 100 628

b) 52 : 5 + 33 ? 32 + 102 : 102 = 5 + 35 + 1 = 5 + 243 + 1 = 249

SOLUCIONARIO

Cathy tena en el banco 250 . Despus ha pagado un recibo de 485 y ha cobrado 900. Cul es su saldo actual?

250 - 485 + 900 = -235 + 900 = 665

Calcula el valor de a:4 - (a + 2) - 3 = -1

4 - a - 2 - 3 = -1 " -1 - a = -1 " a = 0

Resuelve estas multiplicaciones.

a) (-3) (+2) d) (+2) (+7)b) (-2) (-8) e) (+5) (-4)c) (+7) (-4) f) (-5) (-7)

a) -6 d) 14

b) 16 e) -20

c) -28 f) 35

Calcula las divisiones.

a) (-12) : (+6) d) (+21) : (+7)b) (-6) : (-2) e) (+24) : (-4)c) (+28) : (-4) f) (-42) : (-7)

a) -2 d) 3

b) 3 e) -6

c) -7 f) 6

Resuelve estas operaciones.

a) (-4) (+2) (-6) d) (+20) : (+2) : (-5)b) (+8) (-3) (-4) e) (-32) : (-4) : (-8) c) (-2) (-3) (-4) f) (-80) : (-20) : (-4)

a) 48 d) -2

b) 96 e) -1

c) -24 f) -1

Copia y completa con los nmeros adecuados.

a) (4) : 4 = -10 c) (-100) : (4) = -25b) 40 : (4) = -8 d) (4) : (-12) = 6

a) (-40) : 4 = -10 c) (-100) : 4 = -25

b) 40 : (-5) = -8 d) (-72) : (-12) = 6

Nmeros enteros

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029 Obtn un nmero cuya raz cuadrada entera sea 6 y su resto 2.

6 ? 6 + 2 = 36 + 2 = 38

030 Cunto puede valer como mximo el resto de una raz cuadrada entera?

El resto es, como mximo, el doble de la raz entera.

031 Calcula.

a) (+4) (-7) + (-3) (-2) c) (-4) (-5) - (+3) (-2)b) (+16) : (-8) + (-24) : (-6) d) (-12) : (-3) - (+4) : (-2)

a) -28 + 6 = -22 c) 20 - (-6) = 26

b) -2 + 4 = 2 d) 4 - (-2) = 6

032 Haz estas operaciones.

a) (+7) - (-12) (+5) c) [42 - (-4)] : [2 (-2)]b) (-5) - [(-6) - (-5) (-9)] d) (32 - 4) (-5) - 1

a) (+7) - (-12) ? (+5) = 7 + 60 = 67

b) (-5) - [(-6) - (-5) ? (-9)] = -5 - [-6 - 45] = -5 - (-51) = = -5 + 51 = 46

c) [42 - (-4)] : [2 ? (-2)] = [16 - (-4)] : (-4) = (16 + 4) : (-4) = = 20 : (-4) = -5

d) (32 - 4) ? (-5) - 1 = (9 - 4) ? (-5) - 1 = 5 ? (-5) - 1 == -25 - 1 = -26


a) (+45) : [(-7) + (+2)] d) (-8) [(+21) : (-3)]b) (+2) [(-63) : (-7)] e) (-7) - [(-14) : (+2) - (-7)]c) (-25) : [(+3) - (+8)]

a) (+45) : [(-7) + (+2)] = 45 : [-7 + 2] = 45 : (-5) = -9

b) (+2) ? [(-63) : (-7)] = 2 ? 9 = 18

c) (-25) : [(+3) - (+8)] = -25 : (-5) = 5

d) (-8) ? [(+21) : (-3)] = -8 ? (-7) = 56

e) (-7) - [(-14) : (+2) - (-7)] = -7 - (-7 + 7) = -7

034 Calcula.

a) (+50) - (-4)2 + (-3)3 b) -43 - (-5)2 - (-12)

a) (+50) - (-4)2 + (-3)3 = 50 - (+16) + (-27) = 50 - 16 - 27 = = 50 - 43 = 7

b) -43 - (-5)2 - (-12) = -64 - 25 + 12 = -77

10

022 Calcula el exponente que falta.

a) 46 44 = 49 b) (-7)4 : (-7)3 = (-7)3

a) 46 ? 43 = 49 b) (-7)6 : (-7)3 = (-7)3

023 Calcula estas potencias.

a) (74)6 c) 40 e) (-4)1

b) [(-2)3]4 d) (-2)0 f) 231

a) 724 d) 1

b) (-2)12 e) -4

c) 1 f) 23

024 Expresa como un producto o una divisin de potencias.

a) (3 2)3 c) [(-3) 2]3 e) [(-3) (-2)]3

b) (8 : 4)4 d) [(-8) : 4]4 f) [(-8) : (-4)]4

a) 33 ? 23 d) (-8)4 : 44

b) 84 : 44 e) (-3)3 ? (-2)3

c) (-3)3 ? 23 f) (-8)4 : (-4)4

025 Expresa como una sola potencia.

a) 83 23 c) (-12)5 45 e) (-14)8 (-7)8

b) 83 : 23 d) (-12)5 : 45 f) (-14)8 : (-7)8

a) 163 c) (-48)5 e) 988

b) 43 d) (-3)5 f) 28

026 Sin operar, di si las desigualdades son ciertas.

a) (1 : 2)3 < 41

b) (-2 : 7)3 > 1

a) Cierta b) Falsa

027 Halla la raz cuadrada de estos nmeros.

a) 169 c) 196 e) 225b) 400 d) 900 f) 1 600

a) !13 c) !14 e) !15b) !20 d) !30 f) !40

028 Calcula la raz cuadrada entera y el resto.

a) 45 b) 87 c) 115

a) Raz: 6, resto: 9 b) Raz: 9, resto: 6 c) Raz: 10, resto: 15

Nmeros enteros

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029 Obtn un nmero cuya raz cuadrada entera sea 6 y su resto 2.

6 ? 6 + 2 = 36 + 2 = 38

030 Cunto puede valer como mximo el resto de una raz cuadrada entera?

El resto es, como mximo, el doble de la raz entera.

031 Calcula.

a) (+4) (-7) + (-3) (-2) c) (-4) (-5) - (+3) (-2)b) (+16) : (-8) + (-24) : (-6) d) (-12) : (-3) - (+4) : (-2)

a) -28 + 6 = -22 c) 20 - (-6) = 26

b) -2 + 4 = 2 d) 4 - (-2) = 6

032 Haz estas operaciones.

a) (+7) - (-12) (+5) c) [42 - (-4)] : [2 (-2)]b) (-5) - [(-6) - (-5) (-9)] d) (32 - 4) (-5) - 1

a) (+7) - (-12) ? (+5) = 7 + 60 = 67

b) (-5) - [(-6) - (-5) ? (-9)] = -5 - [-6 - 45] = -5 - (-51) = = -5 + 51 = 46

c) [42 - (-4)] : [2 ? (-2)] = [16 - (-4)] : (-4) = (16 + 4) : (-4) = = 20 : (-4) = -5

d) (32 - 4) ? (-5) - 1 = (9 - 4) ? (-5) - 1 = 5 ? (-5) - 1 == -25 - 1 = -26


a) (+45) : [(-7) + (+2)] d) (-8) [(+21) : (-3)]b) (+2) [(-63) : (-7)] e) (-7) - [(-14) : (+2) - (-7)]c) (-25) : [(+3) - (+8)]

a) (+45) : [(-7) + (+2)] = 45 : [-7 + 2] = 45 : (-5) = -9

b) (+2) ? [(-63) : (-7)] = 2 ? 9 = 18

c) (-25) : [(+3) - (+8)] = -25 : (-5) = 5

d) (-8) ? [(+21) : (-3)] = -8 ? (-7) = 56

e) (-7) - [(-14) : (+2) - (-7)] = -7 - (-7 + 7) = -7

034 Calcula.

a) (+50) - (-4)2 + (-3)3 b) -43 - (-5)2 - (-12)

a) (+50) - (-4)2 + (-3)3 = 50 - (+16) + (-27) = 50 - 16 - 27 = = 50 - 43 = 7

b) -43 - (-5)2 - (-12) = -64 - 25 + 12 = -77

11

1SOLUCIONARIO

Calcula el exponente que falta.

a) 46 44 = 49 b) (-7)4 : (-7)3 = (-7)3

a) 46 ? 43 = 49 b) (-7)6 : (-7)3 = (-7)3

Calcula estas potencias.

a) (74)6 c) 40 e) (-4)1

b) [(-2)3]4 d) (-2)0 f) 231

a) 724 d) 1

b) (-2)12 e) -4

c) 1 f) 23

Expresa como un producto o una divisin de potencias.

a) (3 2)3 c) [(-3) 2]3 e) [(-3) (-2)]3

b) (8 : 4)4 d) [(-8) : 4]4 f) [(-8) : (-4)]4

a) 33 ? 23 d) (-8)4 : 44

b) 84 : 44 e) (-3)3 ? (-2)3

c) (-3)3 ? 23 f) (-8)4 : (-4)4

Expresa como una sola potencia.

a) 83 23 c) (-12)5 45 e) (-14)8 (-7)8

b) 83 : 23 d) (-12)5 : 45 f) (-14)8 : (-7)8

a) 163 c) (-48)5 e) 988

b) 43 d) (-3)5 f) 28

Sin operar, di si las desigualdades son ciertas.

a) (1 : 2)3 < b) (-2 : 7)3 > 1

a) Cierta b) Falsa

Halla la raz cuadrada de estos nmeros.

a) 169 c) 196 e) 225b) 400 d) 900 f) 1 600

a) !13 c) !14 e) !15b) !20 d) !30 f) !40

Calcula la raz cuadrada entera y el resto.

a) 45 b) 87 c) 115

a) Raz: 6, resto: 9 b) Raz: 9, resto: 6 c) Raz: 10, resto: 15

Nmeros enteros

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12

041 Escribe todas las parejas de nmeros cuyo producto d como resultado 30.

1 y 30, 2 y 15, 3 y 10, 5 y 6

042 Calcula a para que 3a6 sea mltiplo de 11.

a = 3 + 6 = 9

043 Descompn estos nmeros en factores primos, y calcula su mximo comn divisor y su mnimo comn mltiplo.

a) 18 y 20 d) 18 y 32

b) 28 y 42 e) 48 y 32

c) 18 y 4 f) 21 y 28

a) 18 = 2 ? 32 d) 18 = 2 ? 32

20 = 22 ? 5 32 = 25

m.c.d. (18, 20) = 2 m.c.d. (18, 32) = 2

m.c.m. (18, 20) = 180 m.c.m. (18, 32) = 288

b) 28 = 22 ? 7 e) 48 = 24 ? 3

42 = 2 ? 3 ? 7 32 = 25

m.c.d. (28, 42) = 14 m.c.d. (48, 32) = 16

m.c.m. (28, 42) = 84 m.c.m. (48, 32) = 96

c) 18 = 2 ? 32 f) 21 = 3 ? 7

4 = 22 28 = 22 ? 7

m.c.d. (18, 4) = 2 m.c.d. (21, 28) = 7

m.c.m. (18, 4) = 36 m.c.m. (21, 28) = 84

044 Halla el m.c.d. y el m.c.m. de estos nmeros.

a) 10, 12 y 35

b) 15, 20 y 27

a) 10 = 2 ? 5 12 = 22 ? 34

m.c.d. (10, 12, 35) = 1

35 = 5 ? 7 m.c.m. (10, 12, 35) = 22 ? 3 ? 5 ? 7 = 420

b) 15 = 3 ? 5 20 = 22 ? 54

m.c.d. (15, 20, 27) = 1

27 = 33 m.c.m. (15, 20, 27) = 22 ? 33 ? 5 = 540

045 Da dos valores de x para que se cumpla que m.c.m. (x, 8) = 40.

x puede tomar cualquiera de estos valores: 5, 10, 20 o 40.

035 Calcula diez mltiplos y todos los divisores de estos nmeros.

a) 8 b) 7 c) 4 d) 10

Cuntos mltiplos tiene un nmero entero?

a) 8

= {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80} Div (8) = {1, 2, 4, 8}

b) 7

= {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70} Div (7) = {1, 7}

c) 4

= {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40} Div (4) = {1, 2, 4}

d) 10

= {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100} Div (10) = {1, 2, 5, 10}

Un nmero entero tiene infinitos mltiplos.

036 Cules de los siguientes nmeros son primos?

4 5 9 11 14 17 21

Son primos 5, 11 y 17. Todos los dems nmeros son divisibles por 2 o por 3.

037 Copia en tu cuaderno y completa.

Div (18) = {1, 4, 4, 6, 4, 18} Div (45) = {1, 4, 4, 4, 4, 45}Div (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

038 Determina el valor de a.

Div (a ) = {1, 5, 11, 4}a = 55

039 Comprueba si son divisibles por 2, 3, 5, 10 y 11.

a) 145 b) 3 467 c) 12 624 d) 212

a) 145 es divisible por 5.

b) 3 467 no es divisible por ninguno de estos nmeros.

c) 12 624 es divisible por 2 y 3.

d) 212 es divisible por 2 y 11.

040 Descompn en factores primos.

a) 210 b) 270 c) 66 d) 92

a) 210 = 2 ? 3 ? 5 ? 7

b) 270 = 2 ? 33 ? 5

c) 66 = 2 ? 3 ? 11

d) 92 = 22 ? 23

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 12 25/04/11 22:20

13

1

041 Escribe todas las parejas de nmeros cuyo producto d como resultado 30.

1 y 30, 2 y 15, 3 y 10, 5 y 6

042 Calcula a para que 3a6 sea mltiplo de 11.

a = 3 + 6 = 9

043 Descompn estos nmeros en factores primos, y calcula su mximo comn divisor y su mnimo comn mltiplo.

a) 18 y 20 d) 18 y 32

b) 28 y 42 e) 48 y 32

c) 18 y 4 f) 21 y 28

a) 18 = 2 ? 32 d) 18 = 2 ? 32

20 = 22 ? 5 32 = 25

m.c.d. (18, 20) = 2 m.c.d. (18, 32) = 2

m.c.m. (18, 20) = 180 m.c.m. (18, 32) = 288

b) 28 = 22 ? 7 e) 48 = 24 ? 3

42 = 2 ? 3 ? 7 32 = 25

m.c.d. (28, 42) = 14 m.c.d. (48, 32) = 16

m.c.m. (28, 42) = 84 m.c.m. (48, 32) = 96

c) 18 = 2 ? 32 f) 21 = 3 ? 7

4 = 22 28 = 22 ? 7

m.c.d. (18, 4) = 2 m.c.d. (21, 28) = 7

m.c.m. (18, 4) = 36 m.c.m. (21, 28) = 84

044 Halla el m.c.d. y el m.c.m. de estos nmeros.

a) 10, 12 y 35

b) 15, 20 y 27

a) 10 = 2 ? 5 12 = 22 ? 34

m.c.d. (10, 12, 35) = 1

35 = 5 ? 7 m.c.m. (10, 12, 35) = 22 ? 3 ? 5 ? 7 = 420

b) 15 = 3 ? 5 20 = 22 ? 54

m.c.d. (15, 20, 27) = 1

27 = 33 m.c.m. (15, 20, 27) = 22 ? 33 ? 5 = 540

045 Da dos valores de x para que se cumpla que m.c.m. (x, 8) = 40.

x puede tomar cualquiera de estos valores: 5, 10, 20 o 40.

SOLUCIONARIO

Calcula diez mltiplos y todos los divisores de estos nmeros.

a) 8 b) 7 c) 4 d) 10

Cuntos mltiplos tiene un nmero entero?

a) 8

= {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80} Div (8) = {1, 2, 4, 8}

b) 7

= {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70} Div (7) = {1, 7}

c) 4

= {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40} Div (4) = {1, 2, 4}

d) 10

= {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100} Div (10) = {1, 2, 5, 10}

Un nmero entero tiene infinitos mltiplos.

Cules de los siguientes nmeros son primos?

4 5 9 11 14 17 21

Son primos 5, 11 y 17. Todos los dems nmeros son divisibles por 2 o por 3.

Copia en tu cuaderno y completa.

Div (18) = {1, 4, 4, 6, 4, 18} Div (45) = {1, 4, 4, 4, 4, 45}Div (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

Determina el valor de a.

Div (a ) = {1, 5, 11, 4}a = 55

Comprueba si son divisibles por 2, 3, 5, 10 y 11.

a) 145 b) 3 467 c) 12 624 d) 212

a) 145 es divisible por 5.

b) 3 467 no es divisible por ninguno de estos nmeros.

c) 12 624 es divisible por 2 y 3.

d) 212 es divisible por 2 y 11.

Descompn en factores primos.

a) 210 b) 270 c) 66 d) 92

a) 210 = 2 ? 3 ? 5 ? 7

b) 270 = 2 ? 33 ? 5

c) 66 = 2 ? 3 ? 11

d) 92 = 22 ? 23

Nmeros enteros

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14

052

Determina un nmero entero que est comprendido entre los nmeros que se indican.

a) -3 < 4 < 0 c) 7 < 4 < 10b) -8 < 4 < -5 d) -4 < 4 < -2

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) -3 < -2 < 0 c) 7 < 9 < 10

b) -8 < -6 < -5 d) -4 < -3 < -2

053

Escribe dos nmeros enteros.

a) Menores que +3 y mayores que -1.b) Menores que -3.c) Mayores que -6.d) Mayores que -2 y menores que +1.


a) -1 < 0 < +2 < +3

b) -6 < -5 < -3

c) -6 < -4 < -3

d) -2 < -1 < 0 < +1

054

Ordena, de menor a mayor, los siguientes nmeros: -4, 6, -7, 11, -9, -6, 0, 2 y -1.

-9 < -7 < -6 < -4 < -1 < 0 < 2 < 6 < 11

055

El opuesto de un nmero es -5. Cul es el nmero?

Si Op (n) = -5, entonces n = 5.

056

El opuesto del opuesto de un nmero es +3. Cul es ese nmero?

Si Op (Op(n)) = +3, entonces n = 3.

057

Qu valores puede tomar a en cada caso?

a) a = 6 b) a = 17

a) a = -6 o a = 6

b) a = -17 o a = 17

058

Cmo es el valor absoluto de un nmero cualquiera y de su opuesto?

El valor absoluto es siempre positivo; por ejemplo: -3 = 3 y 3 = 3

ACTIVIDADES

046

Expresa con un nmero entero.

a) Luis gan 6 000 en la lotera.

b) El termmetro marc 7 C bajo cero.

c) Marta vive en el cuarto piso.

d) La tienda est en el segundo stano.

a) +6 000 c) +4

b) -7 d) -2

047

Copia y completa esta recta numrica:

048

Representa estos nmeros enteros en una recta numrica:

-5, 7, -9, 0, -3 y 2

049

Cuntos nmeros enteros hay entre -4 y 4?

Hay 7 nmeros.

050

Copia y completa con el signo < o >.

a) -9 4 -12 c) -1 4 -4b) 3 4 -2 d) -7 4 -5

a) -9 > -12 c) -1 > -4

b) 3 > -2 d) -7 < -5

051

Halla el nmero anterior y posterior.

a) 4 < 4 < 4 c) 4 < -4 < 4b) 4 < 12 < 4 d) 4 < -8 < 4

a) 3 < 4 < 5

b) 11 < 12 < 13

c) -5 < -4 < -3

d) -9 < -8 < -7

Nmeros enteros

-3 -2 -1 0 1 2-4

-9 -5 -3 -0 -2 -7

-0 -4-4

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15

1

052

Determina un nmero entero que est comprendido entre los nmeros que se indican.

a) -3 < 4 < 0 c) 7 < 4 < 10b) -8 < 4 < -5 d) -4 < 4 < -2


a) -3 < -2 < 0 c) 7 < 9 < 10

b) -8 < -6 < -5 d) -4 < -3 < -2

053

Escribe dos nmeros enteros.

a) Menores que +3 y mayores que -1.b) Menores que -3.c) Mayores que -6.d) Mayores que -2 y menores que +1.


a) -1 < 0 < +2 < +3

b) -6 < -5 < -3

c) -6 < -4 < -3

d) -2 < -1 < 0 < +1

054

Ordena, de menor a mayor, los siguientes nmeros: -4, 6, -7, 11, -9, -6, 0, 2 y -1.

-9 < -7 < -6 < -4 < -1 < 0 < 2 < 6 < 11

055

El opuesto de un nmero es -5. Cul es el nmero?

Si Op (n) = -5, entonces n = 5.

056

El opuesto del opuesto de un nmero es +3. Cul es ese nmero?

Si Op (Op(n)) = +3, entonces n = 3.

057

Qu valores puede tomar a en cada caso?

a) a = 6 b) a = 17

a) a = -6 o a = 6

b) a = -17 o a = 17

058

Cmo es el valor absoluto de un nmero cualquiera y de su opuesto?

El valor absoluto es siempre positivo; por ejemplo: -3 = 3 y 3 = 3

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES

Expresa con un nmero entero.

a) Luis gan 6 000 en la lotera.

b) El termmetro marc 7 C bajo cero.

c) Marta vive en el cuarto piso.

d) La tienda est en el segundo stano.

a) +6 000 c) +4

b) -7 d) -2

Copia y completa esta recta numrica:

Representa estos nmeros enteros en una recta numrica:

-5, 7, -9, 0, -3 y 2

Cuntos nmeros enteros hay entre -4 y 4?

Hay 7 nmeros.

Copia y completa con el signo < o >.

a) -9 4 -12 c) -1 4 -4b) 3 4 -2 d) -7 4 -5

a) -9 > -12 c) -1 > -4

b) 3 > -2 d) -7 < -5

Halla el nmero anterior y posterior.

a) 4 < 4 < 4 c) 4 < -4 < 4b) 4 < 12 < 4 d) 4 < -8 < 4

a) 3 < 4 < 5

b) 11 < 12 < 13

c) -5 < -4 < -3

d) -9 < -8 < -7

Nmeros enteros

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16

063

Calcula estas restas.

a) (+11) - (+32) - (+21) - (+9) = 11 - 32 - 21 - 9 == 11 - 62 = -51

b) (-30) - (-55) - (+29) - (-17) = -30 + 55 - 29 + 17 == 72 - 59 = 13

c) (-43) - (+22) - (+14) - (-7) = -43 - 22 - 14 + 7 == 7 - 79 = -72

d) (+29) - (-12) - (-31) - (+54) = 29 + 12 + 31 - 54 == 72 - 54 = 18

064

Realiza estas sumas y restas combinadas.

a) (-21) + (-12) - (+9)b) (+17) - (+23) + (+34)c) (-32) + (-19) - (-11)d) (-54) - (+22) + (-10)

a) (-21) + (-12) - (+9) = -21 - 12 - 9 = -42

b) (+17) - (+23) + (+34) = 17 - 23 + 34 = 51 - 23 = 28

c) (-32) + (-19) - (-11) = -32 - 19 + 11 = 11 - 51 = -40

d) (-54) - (+22) + (-10) = -54 - 22 - 10 = -86

065

Calcula.

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1f) 9 + 14 - 6 - 93 + 19

a) 0 d) 5

b) -8 e) -90

c) -5 f) -57

059

Puede ser x = -1? Raznalo.

No, porque el valor absoluto de cualquier nmero es siempre positivo.

060

Calcula las siguientes sumas y restas.

a) (+12) + (+25)

b) (-9) + (+13)

c) (-3) + (-11)

d) (+17) + (-8)

e) (+19) - (+5)

f) (-21) - (+33)

g) (-7) - (-11)

h) (+22) - (-15)

a) 37 c) -14 e) 14 g) 4

b) 4 d) 9 f) -54 h) 37

061

Copia y completa esta tabla:

Fjate en las dos ltimas columnas. Qu observas?

La suma cumple la propiedad conmutativa, pero la resta no la cumple.

062

Realiza las siguientes sumas.

a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9)

b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17)

c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23)

d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50)

a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9) = 10 - 5 + 7 - 9 = 17 - 14 = 3

b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17) = -29 - 12 - 9 + 17 == 17 - 50 = -33

c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23) = -20 + 33 + 21 - 23 == 54 - 43 = 11

d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50) = -23 - 41 - 16 + 50 == 50 - 80 = -30

Nmeros enteros

a-7

-12+11+23

b+9-5

-18+17

a - b b - a a + b b + a-16-7296

167

-29-6

2-17-740

2-17-740

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17

1

063

Calcula estas restas.

a) (+11) - (+32) - (+21) - (+9) = 11 - 32 - 21 - 9 == 11 - 62 = -51

b) (-30) - (-55) - (+29) - (-17) = -30 + 55 - 29 + 17 == 72 - 59 = 13

c) (-43) - (+22) - (+14) - (-7) = -43 - 22 - 14 + 7 == 7 - 79 = -72

d) (+29) - (-12) - (-31) - (+54) = 29 + 12 + 31 - 54 == 72 - 54 = 18

064

Realiza estas sumas y restas combinadas.

a) (-21) + (-12) - (+9)b) (+17) - (+23) + (+34)c) (-32) + (-19) - (-11)d) (-54) - (+22) + (-10)

a) (-21) + (-12) - (+9) = -21 - 12 - 9 = -42

b) (+17) - (+23) + (+34) = 17 - 23 + 34 = 51 - 23 = 28

c) (-32) + (-19) - (-11) = -32 - 19 + 11 = 11 - 51 = -40

d) (-54) - (+22) + (-10) = -54 - 22 - 10 = -86

065

Calcula.

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1f) 9 + 14 - 6 - 93 + 19

a) 0 d) 5

b) -8 e) -90

c) -5 f) -57

SOLUCIONARIO

Puede ser x = -1? Raznalo.

No, porque el valor absoluto de cualquier nmero es siempre positivo.

Calcula las siguientes sumas y restas.

a) (+12) + (+25)

b) (-9) + (+13)

c) (-3) + (-11)

d) (+17) + (-8)

e) (+19) - (+5)

f) (-21) - (+33)

g) (-7) - (-11)

h) (+22) - (-15)

a) 37 c) -14 e) 14 g) 4

b) 4 d) 9 f) -54 h) 37


Fjate en las dos ltimas columnas. Qu observas?

La suma cumple la propiedad conmutativa, pero la resta no la cumple.

Realiza las siguientes sumas.

a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9)

b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17)

c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23)

d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50)

a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9) = 10 - 5 + 7 - 9 = 17 - 14 = 3

b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17) = -29 - 12 - 9 + 17 == 17 - 50 = -33

c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23) = -20 + 33 + 21 - 23 == 54 - 43 = 11

d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50) = -23 - 41 - 16 + 50 == 50 - 80 = -30

Nmeros enteros

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070


Qu observas en las dos ltimas columnas?

La multiplicacin cumple la propiedad conmutativa.

071

Calcula los siguientes productos.

a) (+21) (+3) (+4)

b) (+19) (-2) (+3)

c) (+13) (-5) (-6)

d) (-20) (-9) (-3)

a) 252 b) -114 c) 390 d) -540

072

Copia y completa estos productos.

a) (-5) 4 = -30b) 4 (+3) = 45c) (-9) 4 = 27d) 4 (-8) = -48

a) (-5) ? 6 = -30 c) (-9) ? (-3) = 27

b) 15 ? (+3) = 45 d) 6 ? (-8) = -48

073

18

066

067

Realiza estas operaciones.

a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)

a) 6 - 4 + 2 + 3 + 1 = 8 c) 3 + 2 - 3 - 1 + 5 + 7 = 13

b) 7 - 4 + 3 - 1 - 2 = 3 d) -8 + 1 + 4 - 7 - 9 = -19

068

Copia y completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.

a) (-11) + 4 = +4 d) (+3) - 4 = -7b) (+13) + 4 = +12 e) (-15) - 4 = +9c) 4 + (-20) = -12 f) 4 - (+8) = +7

a) (-11) + 15 = +4 d) (+3) - 10 = -7

b) (+13) + (-1) = +12 e) (-15) - (-24) = +9

c) 8 + (-20) = -12 f) 15 - (+8) = +7

069


a) (+12) (+4) c) (+5) (-35)b) (-42) (-3) d) (-14) (+5)

a) 48 c) -175

b) 126 d) -70

Nmeros enteros

HAZLO AS

CMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS y RESTAS COMBINADAS CON PARNTESIS?

Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)

PRIMERO. Se eliminan los parntesis.

Si estn precedidos por el signo +, se mantienen las operaciones del interior como aparecen.

Si estn precedidos por el signo -, todos los signos del interior se transforman en sus opuestos.

+ (-8 + 9) = -8 + 9

-3 + (-8 + 9) - (3 - 6) = -3 - 8 + 9 - 3 + 6

- (3 - 6) = -3 + 6

SEgUNDO. Se agrupan los sumandos positivos, por un lado, y los negativos, por otro.

-3 - 8 + 9 - 3 + 6 = (9 + 6) - (3 + 8 + 3) == 15 - 14 = 1

FF

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19

1

070


Qu observas en las dos ltimas columnas?

La multiplicacin cumple la propiedad conmutativa.

071


a) (+21) (+3) (+4)

b) (+19) (-2) (+3)

c) (+13) (-5) (-6)

d) (-20) (-9) (-3)

a) 252 b) -114 c) 390 d) -540

072

Copia y completa estos productos.

a) (-5) 4 = -30b) 4 (+3) = 45c) (-9) 4 = 27d) 4 (-8) = -48

a) (-5) ? 6 = -30 c) (-9) ? (-3) = 27

b) 15 ? (+3) = 45 d) 6 ? (-8) = -48

073

SOLUCIONARIO

Realiza estas operaciones.

a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)

a) 6 - 4 + 2 + 3 + 1 = 8 c) 3 + 2 - 3 - 1 + 5 + 7 = 13

b) 7 - 4 + 3 - 1 - 2 = 3 d) -8 + 1 + 4 - 7 - 9 = -19

Copia y completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.

a) (-11) + 4 = +4 d) (+3) - 4 = -7b) (+13) + 4 = +12 e) (-15) - 4 = +9c) 4 + (-20) = -12 f) 4 - (+8) = +7

a) (-11) + 15 = +4 d) (+3) - 10 = -7

b) (+13) + (-1) = +12 e) (-15) - (-24) = +9

c) 8 + (-20) = -12 f) 15 - (+8) = +7


a) (+12) (+4) c) (+5) (-35)b) (-42) (-3) d) (-14) (+5)

a) 48 c) -175

b) 126 d) -70

Nmeros enteros

a-4+6-9+7

b-6-8+5+8

a b b a24

-48-4556

24-48-4556

HAZLO AS

CMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS y RESTAS COMBINADAS CON PARNTESIS?

Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)

PRIMERO. Se eliminan los parntesis.

Si estn precedidos por el signo +, se mantienen las operaciones del interior como aparecen.

Si estn precedidos por el signo -, todos los signos del interior se transforman en sus opuestos.

+ (-8 + 9) = -8 + 9

-3 + (-8 + 9) - (3 - 6) = -3 - 8 + 9 - 3 + 6

- (3 - 6) = -3 + 6

SEgUNDO. Se agrupan los sumandos positivos, por un lado, y los negativos, por otro.

-3 - 8 + 9 - 3 + 6 = (9 + 6) - (3 + 8 + 3) == 15 - 14 = 1

HAZLO AS

CMO SE SACA FACTOR COMN EN OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS?

Calcula: -12 (-27) + (-12) (+17)

PRIMERO. Se determina si existe un factor que se repite en todos los sumandos. A este nmero se le denomina factor comn.

-12 ? (-27) + (-12) ? (+17)

-12 se repite en los dos sumandos

SEgUNDO. El factor que se repite multiplica a la suma o resta de los sumandos.

-12 ? (-27) + (-12) ? (+17) == -12 ? [(-27) + (+17)] = -12 ? (-10) = 120

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079

Escribe en forma de potencia, e indica la base y el exponente.

a) 7 7 7 7b) (-2) (-2) (-2)c) (-5) (-5) (-5) (-5) (-5)

a) 74 $ Base: 7, exponente: 4b) (-2)3 " Base: -2, exponente: 3c) (-5)5 " Base: -5, exponente: 5

080

Escribe en forma de potencia y en forma de producto.

a) Base 11 y exponente 4.b) Base -2 y exponente 3.

a) 114 = 11 ? 11 ? 11 ? 11 b) (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2)

081

Calcula las siguientes potencias.

a) 45 c) 142 e) 73 g) 54

b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4

a) 1 024 e) 343

b) 64 f) 81

c) 196 g) 625

d) 256 h) 1 296

082

Copia y completa.

a) (-2)4 = 4 c) (-2)4 = -8b) (-3)4 = 9 d) (-3)4 = -27

a) (-2)2 = 4 c) (-2)3 = -8

b) (-3)2 = 9 d) (-3)3 = -27

083


a) 50 b) 231 c) (-3)0 d) (-57)1

a) 1 c) 1

b) 23 d) -57

084


a) 53 54 c) (-3)5 (-3)3

b) 116 114 d) (-8)4 (-8)

a) 57 c) (-3)8

b) 1110 d) (-8)5

20

074

Resuelve sacando factor comn.

a) (-3) (-4) + (-3) (-9)b) 7 (-12) + 7 (+6)c) (-5) (+11) + (-5) (-10)

a) (-3) ? [(-4) + (-9)] = 39

b) 7 ? [(-12) + (+6)] = -42

c) (-5) ? [(+11) + (-10)] = -5

075

Copia y completa sacando factor comn.

a) 5 (-4) + 5 (-7) = 5 [4 + (-7)]b) (-9) 2 + (-9) (-4) = 4 [2 + (-4)]

a) 5 ? (-4) + 5 ? (-7) = 5 ? [(-4) + (-7)]

b) (-9) ? 2 + (-9) ? (-4) = (-9) ? [2 + (-4)]

076

Realiza estas divisiones.

a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2)b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1)

a) 1 c) 2

b) -3 d) 1

077

Opera.

a) (+21) (+2) : (-14) d) [(-2) (+7)] : (-14) (+3)b) (+5) : (-5) (-4) e) (+36) : [(-9) : (+3)] (+5)c) (+2) (+9) : (-3) f) (+36) : (-9) : (+2) (+5)

a) 42 : (-14) = -3 d) (-14) : (-14) ? (+3) = 3

b) (-1) ? (-4) = 4 e) (+36) : (-3) ? (+5) = -60

c) 18 : (-3) = -6 f) (-4) : (+2) ? (+5) = -10

078

Copia y completa las siguientes divisiones.

a) (-36) : 4 = -4 d) (+48) : 4 = -6b) (-54) : 4 = +9 e) (-63) : 4 = -7c) 4 : (-6) = -42 f) 4 : (+8) = +2

a) (-36) : (+9) = -4 d) (+48) : (-8) = -6

b) (-54) : (-6) = +9 e) (-63) : (+9) = -7

c) (+252) : (-6) = -42 f) (+16) : (+8) = +2

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 20 25/04/11 22:20

21

1

079

Escribe en forma de potencia, e indica la base y el exponente.

a) 7 7 7 7b) (-2) (-2) (-2)c) (-5) (-5) (-5) (-5) (-5)

a) 74 $ Base: 7, exponente: 4b) (-2)3 " Base: -2, exponente: 3c) (-5)5 " Base: -5, exponente: 5

080

Escribe en forma de potencia y en forma de producto.

a) Base 11 y exponente 4.b) Base -2 y exponente 3.

a) 114 = 11 ? 11 ? 11 ? 11 b) (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2)

081


a) 45 c) 142 e) 73 g) 54

b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4

a) 1 024 e) 343

b) 64 f) 81

c) 196 g) 625

d) 256 h) 1 296

082

Copia y completa.

a) (-2)4 = 4 c) (-2)4 = -8b) (-3)4 = 9 d) (-3)4 = -27

a) (-2)2 = 4 c) (-2)3 = -8

b) (-3)2 = 9 d) (-3)3 = -27

083


a) 50 b) 231 c) (-3)0 d) (-57)1

a) 1 c) 1

b) 23 d) -57

084


a) 53 54 c) (-3)5 (-3)3

b) 116 114 d) (-8)4 (-8)

a) 57 c) (-3)8

b) 1110 d) (-8)5

SOLUCIONARIO

Resuelve sacando factor comn.

a) (-3) (-4) + (-3) (-9)b) 7 (-12) + 7 (+6)c) (-5) (+11) + (-5) (-10)

a) (-3) ? [(-4) + (-9)] = 39

b) 7 ? [(-12) + (+6)] = -42

c) (-5) ? [(+11) + (-10)] = -5

Copia y completa sacando factor comn.

a) 5 (-4) + 5 (-7) = 5 [4 + (-7)]b) (-9) 2 + (-9) (-4) = 4 [2 + (-4)]

a) 5 ? (-4) + 5 ? (-7) = 5 ? [(-4) + (-7)]

b) (-9) ? 2 + (-9) ? (-4) = (-9) ? [2 + (-4)]

Realiza estas divisiones.

a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2)b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1)

a) 1 c) 2

b) -3 d) 1

Opera.

a) (+21) (+2) : (-14) d) [(-2) (+7)] : (-14) (+3)b) (+5) : (-5) (-4) e) (+36) : [(-9) : (+3)] (+5)c) (+2) (+9) : (-3) f) (+36) : (-9) : (+2) (+5)

a) 42 : (-14) = -3 d) (-14) : (-14) ? (+3) = 3

b) (-1) ? (-4) = 4 e) (+36) : (-3) ? (+5) = -60

c) 18 : (-3) = -6 f) (-4) : (+2) ? (+5) = -10

Copia y completa las siguientes divisiones.

a) (-36) : 4 = -4 d) (+48) : 4 = -6b) (-54) : 4 = +9 e) (-63) : 4 = -7c) 4 : (-6) = -42 f) 4 : (+8) = +2

a) (-36) : (+9) = -4 d) (+48) : (-8) = -6

b) (-54) : (-6) = +9 e) (-63) : (+9) = -7

c) (+252) : (-6) = -42 f) (+16) : (+8) = +2

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 21 25/04/11 22:20

22

091


a) (25)2 (22)4 c) [(-3)5]3 [(-3)4]3

b) (103)3 (102)4 d) [(-10)2]2 [(-10)3]3

a) 210 ? 28 = 218 c) (-3)15 ? (-3)12 = (-3)27

b) 109 ? 108 = 1017 d) (-10)4 ? (-10)9 = (-10)13

092


a) (62)5 : (63)3 c) [(-14)9]2 : [(-14)3]5

b) (237)2 : (233)4 d) [(-2)8]3 : (-2)4

a) 610 : 69 = 6 c) (-14)18 : (-14)15 = (-14)3

b) 2314 : 2312 = 232 d) (-2)24 : (-2)4 = (-2)20

093

094

Simplifica estos productos de potencias.

a) 54 253 e) (-12)3 185

b) 84 162 f) (-63)5 212

c) 63 125 g) 322 (-24)3

d) 47 32 h) -723 (-4)7

a) 54 ? 56 = 510 e) (-1) ? 26 ? 33 ? 25 ? 310 = (-1) ? 211 ? 313

b) 212 ? 28 = 220 f) (-1) ? 310 ? 75 ? 32 ? 72 = (-1) ? 312 ? 77

c) 23 ? 33 ? 210 ? 35 = 213 ? 38 g) 210 ? (-1) ? 29 ? 33 = (-1) ? 219 ? 33

d) 214 ? 25 = 219 h) (-1) ? 29 ? 36 ? (-1) ? 214 = 223 ? 36

085


a) 43 43 4 c) (-2)6 (-2)4 (-2)b) 95 92 94 d) (-7)3 (-7) (-7)6

a) 47 c) (-2)11

b) 911 d) (-7)10

086

Copia y completa.

a) 54 54 52 = 59

b) 13 133 134 = 135

c) (-11)4 (-11)4 (-11) = (-11)7

d) (-21)8 (-21)3 (-21)4 = (-21)11

a) 54 ? 53 ? 52 = 59 c) (-11)2 ? (-11)4 ? (-11) = (-11)7

b) 13 ? 133 ? 13 = 135 d) (-21)8 ? (-21)3 ? (-21)0 = (-21)11

087


a) 75 : 73 c) (-9)6 : (-9)3

b) 128 : 125 d) (-6)7 : (-6)

a) 72 c) (-9)3

b) 123 d) (-6)6

088


a) (28 : 23) 23 c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2

b) 35 : (37 : 34) d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)]

a) 25 ? 23 = 28 c) (-4)5 : (-4)2 = (-4)3

b) 35 : 33 = 32 d) (-5)3 : (-5)3 = (-5)0 = 1

089


a) (54)3 c) [(-3)4]3

b) (75)2 d) [(-9)3]3

a) 512 c) (-3)12

b) 710 d) (-9)9

090

Copia y completa.

a) (36)4 = 318 c) [(-2)4]4 = (-2)8

b) (85)4 = 820 d) [(-7)3]4 = (-7)9

a) (36)3 = 318 c) [(-2)2]4 = (-2)8

b) (85)4 = 820 d) [(-7)3]3 = (-7)9

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 22 25/04/11 22:20

HAZLO AS

CMO SE RESUELVEN PRODUCTOS DE POTENCIAS CUANDO LAS BASES TIENEN FACTORES PRIMOS COMUNES?


a) 84 162 b) 34 92 c) (-3)4 182

PRIMERO. Se descomponen las bases de las potencias en producto de factores primos.

a) 8 = 23 b) 3 = 3 c) -3 = -1 ? 3 16 = 24 9 = 32 18 = 2 ? 32

SEgUNDO. Se sustituyen las bases por su descomposicin en factores y se opera.

a) 84 ? 162 = (23)4 ? (24)2 = 212 ? 28 = 220

b) 34 ? 92 = 34 ? (32)2 = 34 ? 34 = 38

c) (-3)4 ? 182 = (-1 ? 3)4 ? (2 ? 32)2 == (-1)4 ? 34 ? 22 ? 34 == 1 ? 22 ? 38 = 22 ? 38

23

1

091


a) (25)2 (22)4 c) [(-3)5]3 [(-3)4]3

b) (103)3 (102)4 d) [(-10)2]2 [(-10)3]3

a) 210 ? 28 = 218 c) (-3)15 ? (-3)12 = (-3)27

b) 109 ? 108 = 1017 d) (-10)4 ? (-10)9 = (-10)13

092


a) (62)5 : (63)3 c) [(-14)9]2 : [(-14)3]5

b) (237)2 : (233)4 d) [(-2)8]3 : (-2)4

a) 610 : 69 = 6 c) (-14)18 : (-14)15 = (-14)3

b) 2314 : 2312 = 232 d) (-2)24 : (-2)4 = (-2)20

093

094


a) 54 253 e) (-12)3 185

b) 84 162 f) (-63)5 212

c) 63 125 g) 322 (-24)3

d) 47 32 h) -723 (-4)7

a) 54 ? 56 = 510 e) (-1) ? 26 ? 33 ? 25 ? 310 = (-1) ? 211 ? 313

b) 212 ? 28 = 220 f) (-1) ? 310 ? 75 ? 32 ? 72 = (-1) ? 312 ? 77

c) 23 ? 33 ? 210 ? 35 = 213 ? 38 g) 210 ? (-1) ? 29 ? 33 = (-1) ? 219 ? 33

d) 214 ? 25 = 219 h) (-1) ? 29 ? 36 ? (-1) ? 214 = 223 ? 36

SOLUCIONARIO


a) 43 43 4 c) (-2)6 (-2)4 (-2)b) 95 92 94 d) (-7)3 (-7) (-7)6

a) 47 c) (-2)11

b) 911 d) (-7)10

Copia y completa.

a) 54 54 52 = 59

b) 13 133 134 = 135

c) (-11)4 (-11)4 (-11) = (-11)7

d) (-21)8 (-21)3 (-21)4 = (-21)11

a) 54 ? 53 ? 52 = 59 c) (-11)2 ? (-11)4 ? (-11) = (-11)7

b) 13 ? 133 ? 13 = 135 d) (-21)8 ? (-21)3 ? (-21)0 = (-21)11


a) 75 : 73 c) (-9)6 : (-9)3

b) 128 : 125 d) (-6)7 : (-6)

a) 72 c) (-9)3

b) 123 d) (-6)6


a) (28 : 23) 23 c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2

b) 35 : (37 : 34) d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)]

a) 25 ? 23 = 28 c) (-4)5 : (-4)2 = (-4)3

b) 35 : 33 = 32 d) (-5)3 : (-5)3 = (-5)0 = 1


a) (54)3 c) [(-3)4]3

b) (75)2 d) [(-9)3]3

a) 512 c) (-3)12

b) 710 d) (-9)9

Copia y completa.

a) (36)4 = 318 c) [(-2)4]4 = (-2)8

b) (85)4 = 820 d) [(-7)3]4 = (-7)9

a) (36)3 = 318 c) [(-2)2]4 = (-2)8

b) (85)4 = 820 d) [(-7)3]3 = (-7)9

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 23 25/04/11 22:20

095

Escribe como potencia de una potencia.

a) 79 b) 68 c) (-12)6 d) (-8)12

a) (73)3 b) (64)2 c) [(-12)2]3 d) [(-8)4]3

096

Copia y completa.

a) (4)4 = 256 c) (4)3 = -27b) (4)5 = 243 d) (4)7 = -128

a) (4)4 = 256 c) (-3)3 = -27

b) (3)5 = 243 d) (-2)7 = -128

097

Calcula la raz cuadrada de estos nmeros.

a) 64 b) 121 c) 144 d) 196

a) !8 b) !11 c) !12 d) !14

098

Copia y completa.

a) 49 7!= b) 36 6!= c) 225 15!= d) 400 20!=

099

Calcula, sin operar, la raz cuadrada y el resto de estos nmeros.

a) 93 b) 59 c) 130 d) 111

a) 93 9= " Resto = 12 c) 130 11= " Resto = 9b) 59 7= " Resto = 10 d) 111 10= " Resto = 11

100

Halla el resto en cada caso.

a) Raz = 12 c) Raz = 30 Radicando = 160 Radicando = 901

b) Raz = 23 d) Raz = 32 Radicando = 532 Radicando = 1 030

a) Resto = radicando - (raz)2 = 160 - 122 = 160 - 144 = 16

b) Resto = radicando - (raz)2 = 532 - 232 = 532 - 529 = 3

c) Resto = radicando - (raz)2 = 901 - 302 = 901 - 900 = 1

d) Resto = radicando - (raz)2 = 1 030 - 322 = 1 030 - 1 024 = 6

101

Seala, sin realizar clculos, cules de las afirmaciones son falsas.

a) y resto 7 e) y resto 1

b) y resto 10 f) y resto 5

c) y resto 4 g) y resto 15

d) y resto 11 h) y resto 2

a) Verdadera e) Falsa: 92 + 1 = 82 ! 80b) Falsa: 52 + 10 = 35 ! 30 f) Falsa: 92 + 5 = 86 ! 85c) Falsa: 72 + 4 = 53 ! 45 g) Verdaderad) Verdadera h) Falsa: 142 + 2 = 198 ! 204

102

Escribe todos los nmeros enteros de dos cifras cuya raz cuadrada entera tenga de resto 2.

6, 11, 18, 27, 38, 51, 66 y 83

103

Escribe todos los nmeros de tres cifras menores de 500 cuya raz tenga de resto 10.

110, 131, 154, 206, 235, 266, 299, 334, 371, 410, 451 y 494

104

Un nmero tiene por raz cuadrada entera 5 y su resto es el mximo posible. Cul es el resto? y cul es el nmero?

El resto es 10 y el nmero es 35.

105

Halla el menor nmero que sumado a265 da un cuadrado perfecto.

El nmero es 24, ya que:

265 + 24 = 289 = 172

106

Resuelve las siguientes operaciones.

a) (-13) (+3) - (-12) (+7) d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8)b) (-3) (-12) - (-15) (-4) e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4)c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9) f) [(-4) + (-3) (-6)] : 7

a) (-13) ? (+3) - (-12) ? (+7) = -39 + 84 = 45

b) (-3) ? (-12) - (-15) ? (-4) = 36 - 60 = -24

c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9) = 5 + (-6) = 5 - 6 = -1

d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8) = [-25 + 5 + 4] : (-8) = -16 : (-8) = 2

e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4) = [-16 - 9 + 5] : (-4) = -20 : (-4) = 5

f) [(-4) + (-3) ? (-6)] : 7 = [-4 + 18] : 7 = 14 : 7 = 2

24

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 24 25/04/11 22:20

Escribe como potencia de una potencia.

a) 79 b) 68 c) (-12)6 d) (-8)12

a) (73)3 b) (64)2 c) [(-12)2]3 d) [(-8)4]3

Copia y completa.

a) (4)4 = 256 c) (4)3 = -27b) (4)5 = 243 d) (4)7 = -128

a) (4)4 = 256 c) (-3)3 = -27

b) (3)5 = 243 d) (-2)7 = -128

Calcula la raz cuadrada de estos nmeros.

a) 64 b) 121 c) 144 d) 196

a) !8 b) !11 c) !12 d) !14

Copia y completa.

a) b) c) d) 400 20!=

Calcula, sin operar, la raz cuadrada y el resto de estos nmeros.

a) 93 b) 59 c) 130 d) 111

a) " Resto = 12 c) " Resto = 9b) " Resto = 10 d) " Resto = 11

Halla el resto en cada caso.

a) Raz = 12 c) Raz = 30 Radicando = 160 Radicando = 901

b) Raz = 23 d) Raz = 32 Radicando = 532 Radicando = 1 030

a) Resto = radicando - (raz)2 = 160 - 122 = 160 - 144 = 16

b) Resto = radicando - (raz)2 = 532 - 232 = 532 - 529 = 3

c) Resto = radicando - (raz)2 = 901 - 302 = 901 - 900 = 1

d) Resto = radicando - (raz)2 = 1 030 - 322 = 1 030 - 1 024 = 6

25

1

101

Seala, sin realizar clculos, cules de las afirmaciones son falsas.

a) 23 4= y resto 7 e) 80 9= y resto 1

b) 30 5= y resto 10 f) 85 9= y resto 5

c) 45 7= y resto 4 g) 96 9= y resto 15

d) 60 7= y resto 11 h) 204 14= y resto 2

a) Verdadera e) Falsa: 92 + 1 = 82 ! 80b) Falsa: 52 + 10 = 35 ! 30 f) Falsa: 92 + 5 = 86 ! 85c) Falsa: 72 + 4 = 53 ! 45 g) Verdaderad) Verdadera h) Falsa: 142 + 2 = 198 ! 204

102

Escribe todos los nmeros enteros de dos cifras cuya raz cuadrada entera tenga de resto 2.

6, 11, 18, 27, 38, 51, 66 y 83

103

Escribe todos los nmeros de tres cifras menores de 500 cuya raz tenga de resto 10.

110, 131, 154, 206, 235, 266, 299, 334, 371, 410, 451 y 494

104

Un nmero tiene por raz cuadrada entera 5 y su resto es el mximo posible. Cul es el resto? y cul es el nmero?

El resto es 10 y el nmero es 35.

105

Halla el menor nmero que sumado a265 da un cuadrado perfecto.

El nmero es 24, ya que:

265 + 24 = 289 = 172

106

Resuelve las siguientes operaciones.

a) (-13) (+3) - (-12) (+7) d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8)b) (-3) (-12) - (-15) (-4) e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4)c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9) f) [(-4) + (-3) (-6)] : 7

a) (-13) ? (+3) - (-12) ? (+7) = -39 + 84 = 45

b) (-3) ? (-12) - (-15) ? (-4) = 36 - 60 = -24

c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9) = 5 + (-6) = 5 - 6 = -1

d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8) = [-25 + 5 + 4] : (-8) = -16 : (-8) = 2

e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4) = [-16 - 9 + 5] : (-4) = -20 : (-4) = 5

f) [(-4) + (-3) ? (-6)] : 7 = [-4 + 18] : 7 = 14 : 7 = 2

SOLUCIONARIO

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 25 25/04/11 22:20

26

110

Calcula, utilizando solo el resultado positivo de la raz.

a) : 5 + 33 : (-3)

b) 12 - 18 : 2 + (-4)

c) (-5) 32 - : [(-5) (-2) - 31]

d) (-8)5 : (-8)3 - (-4)2 ( - 20)

e) : [7 + (-5)]2 + (-2)3

a) : 5 + 33 : (-3) = 10 : 5 + 27 : (-3) = 2 - 9 = -7

b) 12 - 18 : 2 + (-4) ? = 12 - 9 + (-4) ? 11 = 12 - 9 - 44 == 12 - 53 = -41

c) (-5) ? 32 - : [(-5) ? (-2) - 31] = (-5) ? 9 - 7 : [10 - 3] == -45 - 7 : 7 = -45 - 1 = -46

d) (-8)5 : (-8)3 - (-4)2 ? ( - 20) = (-8)2 - 16 ? (4 - 1) == 64 - 16 ? 3 = 64 - 48 = 16

e) : [7 + (-5)]2 + (-2)3 = 12 : [7 - 5]2 - 8 = 12 : 22 - 8 == 12 : 4 - 8 = 3 - 8 = -5

111

Encuentra los errores en estas igualdades.

a) (-3) + (-5) - (-8) = -3 - 5 - 8 = -8 - 8 = -(8 - 8) = 0b) -9 - (-8) - (-7 - 2) = -9 + 8 + 7 - 2 = -1 + 7 - 2 = -6 - 2 = -8c) 5 - [-6 + 7 - (-2)] = 5 + 6 - 7 + 2 = 11 - 5 = 6d) 4 (-3) + (-5) (-2) = -12 - 10 = -22e) 4 - 5 (-2) = (-1) (-2) = 2

a) (-3) + (-5) - (-8) = -3 - 5 - 8 = -8 - 8 = -(8 + 8) = -16

b) -9 - (-8) - (-7 - 2) = -9 + 8 + 7 + 2 = -1 + 7 + 2 = -6 + 2 = -4

c) 5 - [-6 + 7 - (-2)] = 5 + 6 - 7 - 2 = 11 - 9 = 2

d) 4 ? (-3) + (-5) ? (-2) = -12 + 10 = -2

e) 4 - 5 ? (-2) = 4 - (-10) = 14

112

Copia y completa con mltiplos de 12.

12 = {12, 4, 36, 4, 60, 4, }

1

2 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, }

113

Halla los mltiplos de 7 comprendidos entre 20 y 40.

7

= {, 21, 28, 35, }

114

Obtn los mltiplos de 4 comprendidos entre 18 y 30.

4

= {, 20, 24, 28, }

107

Resuelve las operaciones.

a) (-11) [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)]b) (-8) [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)]c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)]d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)]

a) (-11) ? [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)] = (-11) ? 3 + 36 : 9 == -33 + 4 = -29

b) (-8) ? [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)] = (-8) ? 7 - 48 : (-8) == -56 + 6 = -50

c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)] = 42 : (-3) + 28 : 2 == -14 + 14 = 0

d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)] = 32 : (-16) - 24 : (-6) == -2 + 4 = 2

108

Efecta estas operaciones combinadas.

a) (-5)2 [3 + 28 : (-4)]b) 22 [-5 2 - 32 : (-8)]c) 33 : [-5 + (-7) (-2)]d) (-4)3 : [(-15) : 5 - (-45) : (-9)]

a) (-5)2 ? [3 + 28 : (-4)] = (-5)2 ? [3 - 7] = (-5)2 ? (-4) == 25 ? (-4) = -100

b) 22 ? [-5 ? 2 - 32 : (-8)] = 22 ? [-10 + 4] = 22 ? (-6) == 4 ? (-6) = -24

c) 33 : [-5 + (-7) ? (-2)] = 33 : [-5 + 14] = 33 : 9 = 27 : 9 = 3

d) (-4)3 : [(-15) : 5 - (-45) : (-9)] = (-4)3 : [-3 - 5] = (-4)3 : (-8) == -64 : (-8) = 8

109

Resuelve las operaciones considerando solo el resultado positivo de la raz.

a) 9 + (-3) [12 + (-7)]

b) 81 : 3 + 4 [-12 - 2 (-3)]

c) 7 (5 + 3) - 36 : (-3)

d) -3 - (-4) [ 64 - 5 (-2)]

a) 9 + (-3) ? [12 + (-7)] = 9 + (-3) ? 5 = 3 - 15 = -12

b) 81 : 3 + 4 ? [-12 - 2 ? (-3)] = 81 : 3 + 4 ? [-12 + 6] == 9 : 3 + 4 ? (-6) = 3 - 24 = -21

c) 7 ? (5 + 3) - 36 : (-3) = 7 ? 8 - 36 : (-3) = 7 ? 8 - 6 : (-3) == 56 + 2 = 58

d) -3 - (-4) ? [ 64 - 5 ? (-2)] = -3 - (-4) ? [8 + 10] == -3 - (-4) ? 18 = -3 + 72 = 69

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 26 25/04/11 22:20

27

1

110

Calcula, utilizando solo el resultado positivo de la raz.

a) 100 : 5 + 33 : (-3)

b) 12 - 18 : 2 + (-4) 121

c) (-5) 32 - 49 : [(-5) (-2) - 31]

d) (-8)5 : (-8)3 - (-4)2 ( 16 - 20)

e) 144 : [7 + (-5)]2 + (-2)3

a) 100 : 5 + 33 : (-3) = 10 : 5 + 27 : (-3) = 2 - 9 = -7

b) 12 - 18 : 2 + (-4) ? 121 = 12 - 9 + (-4) ? 11 = 12 - 9 - 44 == 12 - 53 = -41

c) (-5) ? 32 - 49 : [(-5) ? (-2) - 31] = (-5) ? 9 - 7 : [10 - 3] == -45 - 7 : 7 = -45 - 1 = -46

d) (-8)5 : (-8)3 - (-4)2 ? ( 16 - 20) = (-8)2 - 16 ? (4 - 1) == 64 - 16 ? 3 = 64 - 48 = 16

e) 144 : [7 + (-5)]2 + (-2)3 = 12 : [7 - 5]2 - 8 = 12 : 22 - 8 == 12 : 4 - 8 = 3 - 8 = -5

111

Encuentra los errores en estas igualdades.

a) (-3) + (-5) - (-8) = -3 - 5 - 8 = -8 - 8 = -(8 - 8) = 0b) -9 - (-8) - (-7 - 2) = -9 + 8 + 7 - 2 = -1 + 7 - 2 = -6 - 2 = -8c) 5 - [-6 + 7 - (-2)] = 5 + 6 - 7 + 2 = 11 - 5 = 6d) 4 (-3) + (-5) (-2) = -12 - 10 = -22e) 4 - 5 (-2) = (-1) (-2) = 2

a) (-3) + (-5) - (-8) = -3 - 5 - 8 = -8 - 8 = -(8 + 8) = -16

b) -9 - (-8) - (-7 - 2) = -9 + 8 + 7 + 2 = -1 + 7 + 2 = -6 + 2 = -4

c) 5 - [-6 + 7 - (-2)] = 5 + 6 - 7 - 2 = 11 - 9 = 2

d) 4 ? (-3) + (-5) ? (-2) = -12 + 10 = -2

e) 4 - 5 ? (-2) = 4 - (-10) = 14

112

Copia y completa con mltiplos de 12.

12 = {12, 4, 36, 4, 60, 4, }

1

2 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, }

113

Halla los mltiplos de 7 comprendidos entre 20 y 40.

7

= {, 21, 28, 35, }

114

Obtn los mltiplos de 4 comprendidos entre 18 y 30.

4

= {, 20, 24, 28, }

SOLUCIONARIO

Resuelve las operaciones.

a) (-11) [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)]b) (-8) [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)]c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)]d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)]

a) (-11) ? [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)] = (-11) ? 3 + 36 : 9 == -33 + 4 = -29

b) (-8) ? [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)] = (-8) ? 7 - 48 : (-8) == -56 + 6 = -50

c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)] = 42 : (-3) + 28 : 2 == -14 + 14 = 0

d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)] = 32 : (-16) - 24 : (-6) == -2 + 4 = 2

Efecta estas operaciones combinadas.

a) (-5)2 [3 + 28 : (-4)]b) 22 [-5 2 - 32 : (-8)]c) 33 : [-5 + (-7) (-2)]d) (-4)3 : [(-15) : 5 - (-45) : (-9)]

a) (-5)2 ? [3 + 28 : (-4)] = (-5)2 ? [3 - 7] = (-5)2 ? (-4) == 25 ? (-4) = -100

b) 22 ? [-5 ? 2 - 32 : (-8)] = 22 ? [-10 + 4] = 22 ? (-6) == 4 ? (-6) = -24

c) 33 : [-5 + (-7) ? (-2)] = 33 : [-5 + 14] = 33 : 9 = 27 : 9 = 3

d) (-4)3 : [(-15) : 5 - (-45) : (-9)] = (-4)3 : [-3 - 5] = (-4)3 : (-8) == -64 : (-8) = 8

Resuelve las operaciones considerando solo el resultado positivo de la raz.

a) + (-3) [12 + (-7)]

b) : 3 + 4 [-12 - 2 (-3)]

c) 7 (5 + 3) - : (-3)

d) -3 - (-4) [ - 5 (-2)]

a) + (-3) ? [12 + (-7)] = + (-3) ? 5 = 3 - 15 = -12

b) : 3 + 4 ? [-12 - 2 ? (-3)] = : 3 + 4 ? [-12 + 6] == 9 : 3 + 4 ? (-6) = 3 - 24 = -21

c) 7 ? (5 + 3) - : (-3) = 7 ? 8 - : (-3) = 7 ? 8 - 6 : (-3) == 56 + 2 = 58

d) -3 - (-4) ? [ - 5 ? (-2)] = -3 - (-4) ? [8 + 10] == -3 - (-4) ? 18 = -3 + 72 = 69

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 27 25/04/11 22:20

28

115

Calcula todos los divisores de:

a) 28 b) 54 c) 63 d) 90

a) Div (28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

b) Div (54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}

c) Div (63) = {1, 7, 9, 63}

d) Div (90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

116

Copia y completa los divisores de 42.

Div (42) = {1, 2, 4, 4, 4, 14, 4, 4}Div (42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

117

Dados los nmeros: 12, 15, 18, 24, 4, 423, 10, 267, 23, 2, di cules son mltiplos de:

a) 2 b) 3 c) 6

a) 12, 18, 24, 4, 10 y 2

b) 12, 15, 18, 24, 423 y 267

c) 12, 18 y 24

118

Escribe los mltiplos de 5 comprendidos entre 0 y 15.

a) Cules de ellos son mltiplos de 7?b) y cules son menores que 15?

5

= {, 5, 10, 15, }

a) Ninguno es mltiplo de 7. b) Todos son menores que 15.

119

Di cules de los siguientes nmeros son primos. Razona la respuesta.

a) 21 b) 19 c) 43 d) 39

Son primos 19 y 43, porque solo tienen dos divisores: ellos mismos y la unidad.

120

Averigua si los nmeros son primos o compuestos: 72, 147, 282, 331 y 407.

Compuestos: 72, 147, 282 y 407

Primo: 331

121

Realiza la descomposicin factorial de:

a) 3 850 b) 432 c) 561

a) 3 850 = 2 ? 52 ? 7 ? 11 c) 561 = 3 ? 11 ? 17

b) 432 = 24 ? 33

Nmeros enteros

122

Calcula el mximo comn divisor de cada par de nmeros.

a) 45 y 27 b) 28 y 21 c) 18 y 12

a) 2 c) 2

m.c.d. (45, 27) = 32 = 9 m.c.d. (18, 12) = 2 ? 3 = 6

b) 2

m.c.d. (28, 21) = 7

123

Halla el mximo comn divisor.

a) 6, 8 y 12 b) 16, 20 y 28 c) 40, 10 y 25

a) 6 = 2 ? 3 8 = 23 12 = 22 ? 3 m.c.d. (6, 8, 12) = 2

b) 16 = 24 20 = 22 ? 5 28 = 22 ? 7 m.c.d. (16, 20, 28) = 22 = 4

c) 40 = 23 ? 5 10 = 2 ? 5 25 = 52 m.c.d. (40, 10, 25) = 5

124

Si m.c.d. (x, 12) = 6, halla el valor de x.

El valor de x ser cualquier nmero mltiplo de 6 y que no sea mltiplo de 12, por ejemplo: 6, 18, 30, 42

125

Calcula el mnimo comn mltiplo.

a) 12 y 18 b) 15 y 45 c) 27 y 18

a) 12 = 22 ? 3 18 = 2 ? 32 " m.c.m. (12, 18) = 22 ? 32 = 36b) 15 = 3 ? 5 45 = 32 ? 5 " m.c.m. (15, 45) = 32 ? 5 = 45c) 27 = 33 18 = 2 ? 32 " m.c.m. (27, 18) = 2 ? 33 = 54

126

Obtn el mnimo comn mltiplo de los siguientes nmeros.

a) 12, 9 y 10 b) 4, 18 y 27 c) 8, 30 y 24

a) 12 = 22 ? 3 9 = 32 10 = 2 ? 5

m.c.m. (12, 9, 10) = 180

b) 4 = 22 18 = 2 ? 32 27 = 33

m.c.m. (4, 18, 27) = 108

c) 8 = 23 30 = 2 ? 3 ? 5 24 = 23 ? 3

m.c.m. (8, 30, 24) = 120

127

Halla dos nmeros cuyo m.c.d. sea 6 y su m.c.m sea 36.

Los nmeros son 36 y 6.

280854 _ 0004-0035.indd 28 25/04/11 22:20

29

1SOLUCIONARIO

Calcula todos los divisores de:

a) 28 b) 54 c) 63 d) 90

a) Div (28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

b) Div (54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}

c) Div (63) = {1, 7, 9, 63}

d) Div (90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

Copia y completa los divisores de 42.

Div (42) = {1, 2, 4, 4, 4, 14, 4, 4}Div (42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

Dados los nmeros: 12, 15, 18, 24, 4, 423, 10, 267, 23, 2, di cules son mltiplos de:

a) 2 b) 3 c) 6

a) 12, 18, 24, 4, 10 y 2

b) 12, 15, 18, 24, 423 y 267

c) 12, 18 y 24

Escribe los mltiplos de 5 comprendidos entre 0 y 15.

a) Cules de ellos son mltiplos de 7?b) y cules son menores que 15?

5

= {, 5, 10, 15, }

a) Ninguno es mltiplo de 7. b) Todos son menores que 15.

Di cules de los siguientes nmeros son primos. Razona la respuesta.

a) 21 b) 19 c) 43 d) 39

Son primos 19 y 43, porque solo tienen dos divisores: ellos mismos y la unidad.

Averigua si los nmeros son primos o compuestos: 72, 147, 282, 331 y 407.

Compuestos: 72, 147, 282 y 407

Primo: 331

Realiza la descomposicin factorial de:

a) 3 850 b) 432 c) 561

a) 3 850 = 2 ? 52 ? 7 ? 11 c) 561 = 3 ? 11 ? 17

b) 432 = 24 ? 33

Nmeros enteros

122

Calcula el mximo comn divisor de cada par de nmeros.

a) 45 y 27 b) 28 y 21 c) 18 y 12

a) 45=32?527=33

2 c) 18=2?32

12 =22?32

m.c.d. (45, 27) = 32 = 9 m.c.d. (18, 12) = 2 ? 3 = 6

b) 28=22?721=3?7

2

m.c.d. (28, 21) = 7

123

Halla el mximo comn divisor.

a) 6, 8 y 12 b) 16, 20 y 28 c) 40, 10 y 25

a) 6 = 2 ? 3 8 = 23 12 = 22 ? 3 m.c.d. (6, 8, 12) = 2

b) 16 = 24 20 = 22 ? 5 28 = 22 ? 7 m.c.d. (16, 20, 28) = 22 = 4

c) 40 = 23 ? 5 10 = 2 ? 5 25 = 52 m.c.d. (40, 10, 25) = 5

124

Si m.c.d. (x, 12) = 6, halla el valor de x.

El valor de x ser cualquier nmero mltiplo de 6 y que no sea mltiplo de 12, por ejemplo: 6, 18, 30, 42

125

Calcula el mnimo comn mltiplo.

a) 12 y 18 b) 15 y 45 c) 27 y 18

a) 12 = 22 ? 3 18 = 2 ? 32 " m.c.m. (12, 18) = 22 ? 32 = 36b) 15 = 3 ? 5 45 = 32 ? 5 " m.c.m. (15, 45) = 32 ? 5 = 45c) 27 = 33 18 = 2 ? 32 " m.c.m. (27, 18) = 2 ? 33 = 54

126

Obtn el mnimo comn mltiplo de los siguientes nmeros.

a) 12, 9 y 10 b) 4, 18 y 27 c) 8, 30 y 24

a) 12 = 22 ? 3 9 = 32 10 = 2 ? 5

m.c.m. (12, 9, 10) = 180

b) 4 = 22 18 = 2 ? 32 27 = 33

m.c.m. (4, 18, 27) = 108

c) 8 = 23 30 = 2 ? 3 ? 5 24 = 23 ? 3

m.c.m. (8, 30, 24) = 120

127

Halla dos nmeros cuyo m.c.d. sea 6 y su m.c.m sea 36.

Los nmeros son 36 y 6.

280854 _ 0004-0035.indd 29 25/04/11 22:20

133

134

El pasillo de una vivienda tiene 432 cm de largo y 128 cm de ancho. Se quiere poner baldosas cuadradas del mayor tamao posible, sin tener que cortar ninguna. Calcula sus dimensiones y el nmero de baldosas.

432 = 24 ? 33

128 = 27

m.c.d. (432, 128) = 24 = 16

Las baldosas medirn 16 cm de lado y sern: 27 ? 8 = 216 baldosas

135

30

128

A las 7 de la maana el termmetro marcaba 4 C bajo cero, y cinco horas despus marcaba 3 C sobre cero. Cul es la diferencia entre las dos temperaturas?

Hay 3 - (-4) = 7 C de diferencia.

129

Mara vive en el 3.er piso. Baja 5plantas para ir al trastero y luego sube 7 para visitar a su amigo Alberto. En qu piso vive Alberto?

3 - 5 + 7 = 10 - 5 = 5

Alberto vive en el 5.o piso.

130

Sara deja el coche en el tercer stano y sube 4plantas hasta su casa. En qu piso vive?

-3 + 4 = 1

Sara vive en el 1.er piso.

131

Luis tiene 123 . A fin de mes recibe 900 de sueldo y paga su hipoteca de 546 . Cunto dinero le queda finalmente?

Al final le quedan: 123 + 900 - 546 = 1 023 - 546 = 477

132

Cul es el mayor cuadrado que se puede formar con 52 sellos? Cuntos sobran?

El mayor cuadrado que se puede formar es el que tiene 7 sellos en cada lado, ya que 72 = 49, y sobran 3 sellos.

Nmeros enteros

280854 _ 0004-0035.indd 30 25/04/11 22:20

31

1

133

134

El pasillo de una vivienda tiene 432 cm de largo y 128 cm de ancho. Se quiere poner baldosas cuadradas del mayor tamao posible, sin tener que cortar ninguna. Calcula sus dimensiones y el nmero de baldosas.

432 = 24 ? 33

128 = 27

m.c.d. (432, 128) = 24 = 16

Las baldosas medirn 16 cm de lado y sern: 27 ? 8 = 216 baldosas

135

SOLUCIONARIO

A las 7 de la maana el termmetro marcaba 4 C bajo cero, y cinco horas despus marcaba 3 C sobre cero. Cul es la diferencia entre las dos temperaturas?

Hay 3 - (-4) = 7 C de diferencia.

Mara vive en el 3.er piso. Baja 5plantas para ir al trastero y luego sube 7 para visitar a su amigo Alberto. En qu piso vive Alberto?

3 - 5 + 7 = 10 - 5 = 5

Alberto vive en el 5.o piso.

Sara deja el coche en el tercer stano y sube 4plantas hasta su casa. En qu piso vive?

-3 + 4 = 1

Sara vive en el 1.er piso.

Luis tiene 123 . A fin de mes recibe 900 de sueldo y paga su hipoteca de 546 . Cunto dinero le queda finalmente?

Al final le quedan: 123 + 900 - 546 = 1 023 - 546 = 477

Cul es el mayor cuadrado que se puede formar con 52 sellos? Cuntos sobran?

El mayor cuadrado que se puede formar es el que tiene 7 sellos en cada lado, ya que 72 = 49, y sobran 3 sellos.

Nmeros enteros

HAZLO AS

CMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE EL m.c.d.?

Tres cuerdas de 4, 6 y 9 m, respectivamente, se quieren cortar en trozos igua-les. Cul es la longitud de los mayores trozos que se pueden hacer?

PRIMERO. Se analiza el problema.

La longitud de cada trozo tiene que ser un divisor de las longitudes de las cuerdas. Tiene que ser el mximo " Problema de m.c.d.

SEgUNDO. Se realizan los clculos.

4 = 22 6 = 2 ? 3 9 = 32

m.c.d. (4, 6, 9) = 1

Los trozos de mayor longitud son de 1 m.

HAZLO AS

CMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE EL m.c.m.?

Los libros de una estantera se pueden colocar en montones de 4, 6 y 9 libros sin que sobre ninguno. Cul es la menor cantidad de libros que puede haber?

PRIMERO. Se analiza el problema.

El nmero total de libros tiene que ser mltiplo de 4, 6 y 9. Tiene que ser el mnimo " Problema de m.c.m.

SEgUNDO. Se realizan los clculos.

4 = 22 6 = 2 ? 3 9 = 32

m.c.m. (4, 6, 9) = 22 ? 32 = 36

Como mnimo hay 36 libros.

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Calcula todos los nmeros enteros a y b que verifican estas condiciones. Cuando no exista ninguna solucin, explica por qu ocurre y, si hay infinitas posibilidades, describe cmo son.

a) a + b = 4 e) a b = 12 i) a2 = 64b) a + b = 4 f) a b = 12 j) a2 = -64c) a - b = 4 g) a : b = 12 k) a3 = 64d) a - b = 4 h) a : b = 1/2 l) a3 = -64

a) a = 0, b = !4 a = !1, b = !3 a = !2, b = !2 a = !3, b = !1 a = !4, b = 0

b) Hay infinitas soluciones, siendo a + b = !4.

c) Hay infinitas soluciones, siendo a = -b- 4 o a = b+ 4.d) Hay infinitas soluciones, siendo a - b = !4.

e) a = !1, b = !12 a = !2, b = !6 a = !3, b = !4 a = !4, b = !3 a = !6, b = !2 a = !12, b = !1

f) a = !1, b = !12 a = !2, b = !6 a = !3, b = !4a = !4, b = !3 a = !6, b = !2 a = !12, b = !1

g) Hay infinitas soluciones, siendo a = !12 ? b.

h) Hay infinitas soluciones, siendo b = !2 ? a.

i) a = !8

j) No hay solucin, las potencias pares no son negativas.

k) a = 4l) a = -4

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Si 12 + 22 + 32 + + 252 = 5 525, di cul es el valor de:

22 + 42 + 62 + + 502

Cada sumando de la segunda suma es el cudruple del mismo sumando de la primera, luego, la segunda suma es cuatro veces la primera.

22 + 42 + 62 + + 502 = 4 ? 5 525 = 22 100

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Ordena, de menor a mayor, estos nmeros:

22 006 - 2 22 008 22 005 + 2 007 22 006 + 2

Expresa como una potencia de base 2 la suma de los dos nmeros centrales.

22 005 + 2 007 < 22 006 - 2 < 22 006 + 2 < 22 008

22 006 - 2 + 22 006 + 2 = 2 ? 22 006 = 22 007

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Si m y n son nmeros enteros positivos, cul es el menor valor de m para que 2 940 m = n2?

2 940 = 22 ? 3 ? 5 ? 72

Si m = 3 ? 5 = 15 y n = 2 ? 3 ? 5 ? 7 = 210 tenemos que:2 940 ? 15 = 2102 = 44 100

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Nmeros enteros

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Alejandro tiene unas 150 fotografas. Puede pegarlas en un lbum en grupos de 8, 9 o 12 fotografas y sin que le sobre ninguna. Cuntas fotografas tiene Alejandro?

8 = 23

9 = 32

12 = 22 ? 3

El nmero de fotografas ha de ser mltiplo de 8, 9 y 12, por lo que ser mltiplo del m.c.m. (8, 9, 12) = 72.

El mltiplo de 72 ms cercano a 150 e

So Lucio Nario 2 ei

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