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7/26/2019 Slide 4.PDF Unlocked

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Relaciones Difusas y Principio de

Extensin

M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza

[email protected]

Conjunto Fuzzy:

Sea U un universo de discurso, por ejep!o U " Rn

Un conjunto #uzzy F en U se de#ine ediante una #unci$n de

pertenencia F: U %&, '(, donde F)u* representa e! grado en e! +uee! e!eento u U pertenece a! conjunto F

Se puede ver coo una genera!izaci$n de! concepto conjunto

convenciona!, cuyo grado de pertenencia tiene coo codoinio un

conjunto de s$!o dos va!ores &, '-

2M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza

Conunto Difuso


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2

ara conjuntos discretos, se sue!e ep!ear !a notaci$n:

/ " /)u* 0 u

3

or ejep!o, e! concepto 1teperatura corpora! uy a!ta2 se puede

representar coo:

/ " & . ' 0 3 4 5 & . 6 0 3 7 5 & . 7 0 3 8 5 ' 0 6 &


!otacin Discreta

4

ara conjuntos continuos, se sue!e ep!ear !a notaci$n:

/ " /)u* 0 u

or ejep!o:


Ee"plo de Conunto Difuso

xx

Ax

+

= 30

51

1


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3

Soporte de un conjunto #uzzy:

9s e! conjunto de e!eentos u U, ta!es +ue F)u* &

5

Centro de un conjunto #uzzy:

9s e! conjunto de e!eentos u U, en !os +ue F)u* a!canza su;


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4

Sean / y B dos conjuntos #uzzy en U

=ntersecci$n / B:

/ B)u* " in / )u*, B)u* -

7

#peracin %nterseccin


Sean & y B dos conuntos fuzzy en $

Co"ple"ento '

(u) * + , & (u)

8

#peracin Co"ple"ento



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5


Ee"plos


Propiedades de las #peraciones

Se usan !os sbo!os y para !a intersecci$n y !a uni$n


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6

11

>os conjuntos convenciona!es satis#acen:

>ey de !a contradicci$n: / " U

>ey de! edio e


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7

-,nor"a '

9s una #unci$n de %&,'( < %&,'( en %&,'( +ue veri#ica ciertos a


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8

Es usado para transfor"ar

conuntos difusos /ue tengan

iguales o distintos uni0ersos

seg1n una funcin de

transfor"acin en esos

uni0ersos.

Sean X e Y dos conuntos y f

una funcin de transfor"acin

de uno en otro'f: XY

B(y) = sup {A(x) / x X, y = f(x) }

SeaA un conjunto di#uso en 2.

9! Principio de Extensin sostiene +ue !a 1iagen2 deA en A, bajo !a #unci$n

f es un conjunto di#usoB = f (&*, de#inido coo:

La funcin sup se aplica si existen dos o ms

valores de x que tengan igual valor f (x).

(Ese caso no ocurre en el ejemplo)

Principio de Extensin (+3)


rincipio de 9


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9

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9jep!o:

Sea !a #unci$n # +ue proyecta puntos de! eje < en e! eje y de acuerdo con !a siguiente

re!aci$n:

9s una e!ipse de ejes a" y b" '


Ee"plo 5 +

41)(

2x

xfy ==

Considereos un conjunto #uzzy / en e! universo G, de#inido por:

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DCua! es e! conjunto #uzzy B " # )/*E


xxA2

1=)(

Continua6


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10

SegHn e! principio de ea #unci$n inversa es, despejando:


)]([sup)()( xy AyfxB 1=

212 yx =

Continua6


Continua6


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11


. 2.25

. .

. . . . .

:


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12


ariab!e !ingIstica:

9s una variab!e cuyos posib!es va!ores son pa!abras y pueden ser representados

ediante conjuntos #uzzy

or ejep!o:

ariab!e !ingIstica 1ve!ocidad2:

/dite va!ores !ingIsticos: lenta, moderada y rpida

/dite va!ores nuJricos: nHeros rea!es en %&, a


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13

9jep!o:

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Cua!+uier teperatura

precisa, p. ej. K&L, tiene un

Hnico grado de pertenencia

a cada va!or:

>N)K&* " &

M9O=UM)K&* " &.KP

Q=Q)K&* " &.3P


Ee"plo de 7aria8les 9ing:sticas

>os va!ores de una variab!e !ingIstica )odi#icadores !ingIsticos* pueden

ser:

riarios

Copuestos

>os va!ores priarios son !os va!ores inicia!ente de#inidos

Un va!or copuesto se obtiene anteponiendo a un va!or priario

odi#icadores coo MUA, , M/S M9S, ..., o cobinando

va!ores priarios ediante conectivos !$gicos


7alores de la 7aria8le 9ing:stica


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14

Se sue!en usar #unciones cuya #ora se puede ajustar ediante un

conjunto #inito de par;etros

or ejep!o, en !a #unci$n:

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a: anco de !a #unci$n

b: iprecisi$n

c: posici$n de! pico

SMALL MEDIUM LARGE

a 0.0005 0.0005 0.0005

b 3 3 3

c 20 50 80


bc)a(x1

1(x)

+=

Modelando 7alores Pri"arios

9s #recuente usar #unciones ;s e#icientes de coputar:

Funciones triangu!ares: / " triangu!o)pi, ci*


;uncin de Pertenencia -riangular

+

=

contrariocasoen

cpacpc

ap

a iiiiii

ii

iA

;

;)(

0

1


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15

Funciones trapezoida!es: / " trapecio)a, b, c, d*

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a b c d


;uncin de Pertenencia-rapezoidal

Funciones S: / " S ), , *

30

9jep!o:

coo! " S )P&, P, &*

ot " S )P&, 4P, '&&*


;uncin de Pertenencia Sig"oidea


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Funciones: / " ), *

31

9jep!o:

coo! " )P, &*

ediu " )P&, &*

ot " )4P, &*


;uncin de Pertenencia Pi

a!ores copuestos:

Cobinar va!ores ediante

conectivos !$gicos:

/O: tnora )in*

R: tconora )a


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a!ores copuestos:

/nteponer un odi#icador

!ingIstico a un va!or

Sea F un conjunto #uzzy en U )por

ejep!o, F " pe+ueTo*

MUA:

MUA F )u* " )F )u* *

M/S M9S:M/S M9S F )u* " )F )u**'0


Modificadores 9ing:sticos

MUY

MAS O MENOS

EN REALIDAD

MAS

MENOS

SOBRE

BAJO

Re!aci$n di#usa:

Sean dos universos U y

Una re!aci$n di#usa es cua!+uier conjunto di#uso de! universo dado por e! producto

cartesiano U <

Se de#ine ediante una #unci$n de pertenencia R)u, v*

34

Relacin Difusa

or ejep!o:

Sea U un universo discreto de tres teperaturas

U " u', u, u3- " '7, &, -

Sea un universo discreto de tres grados de uedad

" v', v, v3- " 3&, P&, 4&-

9! concepto 1abiente con#ortab!e2 podeos representar!o ediante !a re!aci$n #uzzy

R:

v' v v3

u'

u

u3

=

206020

50150

206020

...

..

...

R



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Coposici$n de re!aciones supstar:

Sea R una re!aci$n #uzzy en U <

Sea S una re!aci$n #uzzy en < N

>a coposici$n supstar de R y S es una re!aci$n #uzzy, representada coo R S, yde#inida coo:

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[ ]),(),(sup),( wvvuwu SRVvSR = o

9! operador puede ser cua!+uier tnora

Usua!ente es e! operador nio, y entonces se !!aa coposici$n supin

ara e! caso discreto )a


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%"plicacin en %ngeniera de Control

Sean / y B dos conjuntos #uzzy en G e A, respectivaente

Una ip!icaci$n #uzzy, / B, se de#ine coo un tipo especia! dere!aci$n #uzzy en G < A, de#inida ediante a!guna #unci$n de pertenencia

particu!ar /B )


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9jep!o:

Sea !a variab!e !ingIstica temperatura, con !os va!ores:

baja:

a!ta:


Ee"plo de %"plicacin de Ma"dani

210050 )(x.1

1(x)

+=

230050 )(x.1

1(x)

+=

Sea !a variab!e !ingIstica humedad, con !os va!ores:

baja:

a!ta:


270050 )(.1

1)(

+=

yy

230050 )(.1

1)(

+=

yy


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Considereos !a ip!icaci$n:

?eperatura " a!ta Quedad " baja

? a!taQ baja )


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perador de ip!icaci$n a


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23

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perador de ip!icaci$n producto acotado:

/B )as in#erencias #uzzy son procediientos coputaciona!es para eva!uar descripciones

!ingIsticas

Modus onens enera!izado )M*:

reisa ': =F < es / ?Q9 y es B

reisa : < es /V

Consecuente: y es BV

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9! M perite in#erir e! va!or #uzzy BV, dado un va!or de entrada /V y una re!aci$n de

ip!icaci$n R/ B )


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9! va!or in#erido BV se ca!cu!a ediante !a coposici$n de! va!or /V con !a

re!aci$n de ip!icaci$n R)


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Se introduce e! dato )sing!eton* :

< es /V

< es e


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Se obtiene !a re!aci$n R de#inida por !a siguiente tab!a:


Relacin en ;or"a -a8ular


Cdigo Matla8 de %nferencia Difusa


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28/28

bsJrvese +ue e! resu!tado es !a #unci$n de pertenencia de B recortada a una a!tura igua! a!

grado en e! +ue /V concuerda con /:


9ste va!or, e! grado en e! +ue /V concuerda con /, se denoina grado de satisfaccin

OF )Oegree o# #u!#i!!ent* de !a reg!a:

9n e! ejep!o: OF " &.P

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9n genera!:

[ ])()(),( ' xxRADOF AAXx

=


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