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New Jersey Center for Teaching and Learning

Iniciativa de Matemática Progresiva

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7º Grado

Geometría en 3-D

www.njctl.org

2013-02-22

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Tabla de Contenidos

Área Total· Prismas· Pirámides· Cilindros

· Prismas y CilindrosVolumen

· Pirámides, Conos y Esferas

Sección transversal de las figuras de 3 dimensiones

Click sobre el tema para ir a esta sección

Más Práctica / Revisión· Esferas

Sólidos tri-Dimensionales

Common Core: 7.G.3, 7.G.6, 7.EE.3

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Sólidos Tri-Dimensionales

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El siguiente enlace le llevará a una página con las figuras y los desarrollos interactivos en 3-D.

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Poliedros Una figura en 3-D cuyas caras son todas polígonos

Poliedros No Poliedros

Ordena las figuras en el lado adecuado.

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Sólidos tri Dimensionales Categorías y Características de Sólidos en 3-D :

Prismas1. Tiene 2 bases de polígonos congruentes que son paralelasentre si2. Los lados son rectangulares (paralelogramos)3. Nombrados por la forma de su base

Pirámides1. Tiene 1 polígono de base con un vértice opuesto2. Los lados son triangulares3. Nombrado por la forma de su base

click para revelar

click para revelar

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Sólidos tri Dimensionales Categorías y Características de Sólidos en 3-D :

Cilindros1. Tiene 2 bases circulares congruentes queson paralelas entre si2. Los lados son curvos

Conos1. Tiene 1 base circular con un vértice opuesto2. Los lados son curvos

click para revelar

click para revelar

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Sólidos tri-Dimensionales Vocabulario para Sólidos en3-D:

Poliedros Una figura 3-D cuyas caras son todas polígonos (Prismas y Pirámides)

Cara: Superficie plana de un Poliedro

Arista: Segmento formado por 2 caras que se unen

Vértices Punto donde 3 o más caras/aristas se unen

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Sort the figures.If you are incorrect, the figure will be sent back.

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1 Nombra la figura.

A Prisma Rectangular

B

C Prisma Hexagonal

D Pirámide Rectangular

E Cilindro

F Cono

Pirámide Triangular Tire

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2 Nombra la figura

A Pirámide Rectangular B Prisma Triangular C Prisma Octogonal D Pirámide Circular E Cilindro F Cono

Tire

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3 Nombra la figura

A Pirámide Rectangular B PirámideTriangular C Prisma Triangular D Pirámide Hexagonal E Cilindro F Cono

Tire

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4 Nombra la figura

A Prisma Rectangular B Prisma Triangular C Prisma Cuadrado D Pirámide Rectangular E Cilindro F Cono

Tire

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5 Nombra la figura

A Prisma Rectangular B Pirámide Triangular C Prisma Circular D Pirámide Circular E Cilindro F Cono

Tire

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Para cada figura, encuentra el número de caras, vértices y aristas.

¿Puedes encontrar una relación entre el número de caras, vértices y aristas de las figuras de 3 dimensiones?

Nombre Caras Vértices Aristas

Cubo 6 8 12

Prisma Rectangular 6 8 12

Prisma Triangular 5 6 9

Pirámide Triangular 4 4 6

Pirámide Cuadrada 5 5 8

Pirámide Pentagonal 6 6 10

Prisma Octogonal 10 16 24

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Formula de Euler

F + V - 2 = E

El número de aristas es igual a la suma de las caras y los vértices menos 2.

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6 ¿Cuántas caras tiene un prisma pentagonal?

Tire

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7 ¿Cuántas aristas tiene una pirámide rectangular?

Tire

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8 ¿Cuántos vértices tiene un prisma triangular?

Tire

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Sección Transversal de Figuras de 3

Dimensiones

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Las figuras de 3 dimensiones pueden cortarse en planos. Cuando se corta una figura 3D por un plano, el resultado es una figura en 2D.

Las secciones transversales de las figuras 3-D son figuras bidimensionales que están familiarizadas.

Mira el ejemplo de la página siguiente para ayudarte en tu comprensión

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Una sección transversal horizontal de un cono es un círculo

¿Puedes describir un corte transversal horizontal de un cono?

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Una sección transversal vertical de un cono es un triángulo.

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Un tanque de agua se construye en forma de un cilindro.

¿Cómo la sección transversal horizontal en comparación con la sección transversal vertical?

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La sección transversal horizontal es un círculo.La sección transversal vertical es un rectángulo

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9 ¿Qué figura tiene la misma sección transversal horizontal y vertical?

A

B

C

D

Tire

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10 ¿Qué figura no tiene un triángulo como una de sus secciones transversales?

A

B

C

D

Tire

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11 ¿Cuál es la sección transversal vertical de la figura mostrada?

A Triángulo

B Círculo

C Cuadrado

D Trapezoide

Tire

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12 ¿Cuál es la sección transversal horizontal de la figura mostrada?

A Triángulo

B Círculo

C Cuadrado

D Trapezoide

Tire

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13 ¿Cuál es la sección transversal vertical de la figura mostrada?

A Triángulo

B Círculo

C Cuadrado

D Trapezoide

Tire

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Volumen

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Volumen

Volumen

- La cantidad de espacio ocupado por una figura en 3-D - El número de unidades cúbicas para llenar una figura 3-D (en capas)

Unidades

Unidades3 o unidades cúbicas

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Actividad de Volumen

Toma cubos unitarios y crea un prisma rectangular con dimensiones de 4 x 2 x 1.

¿Qué sucede con el volumen si se agrega otra capa y que sea 4 x 2 x 2?

¿Qué sucede con el volumen si se agrega otra capa y que sea 4 x 2 x 3?

Tirepara el m

aestro

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Volumen de Prismas y Cilindros

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Volumen

Volumen de Prismas y Cilindros:

Área de la Base x Altura

Fórmulas de Área:

Rectángulo = la ó bh

Triángulo = bh ó 2 Círculo = r2

click para revelar

(bh)

click para revelar

click para revelar

click para revelar

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Encuentra el Volumen.

5 m

8 m

2 m

Res

pues

taR

espu

esta

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Encuentra el Volumen.

Res

pues

taR

espu

esta

10 yd

9 yd

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14 Encuentra el Volumen.

7 pulgadas 1 5

1 pulgadas 1 2

4 pulgadas

Res

pues

taR

espu

esta

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15 Encuentra el volumen de un prisma rectangular con un largo de 2 cm, un ancho de 3.3 cm y una altura de 5.1 cm.

Res

pues

ta

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16 ¿Cuál es una posible longitud,ancho y altura, para un prisma rectangular cuyo volumen es de = 18 cm3

A 1 x 2 x 18B 6 x 3 x 3C 2 x 3 x 3D 3 x 3 x 3

Tire

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17 Encuentra el volumen.

21 pies

42 pies

50 pies47 pies

Res

pues

ta

Slide 42 / 135

18 Un freezer en forma de caja mide 12 por 10 por 7 en el exterior. Los seis lados del freezer son de 1 unidad de espesor. ¿Cuál es el volumen interior del freezer en unidades cúbicas?

SUGERENCIA: ¡Es posible que debas hacer un dibujo!

Res

pues

ta

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19 Encuentra el volumen.

6 m

10 mR

espu

esta

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20 ¿Qué vaso circular contiene más agua?

AEl vaso A que tiene un diámetro de 7.5 cm y 12 cm de altura.

BEl vaso B que tiene 4 cm de radio y 11.5 cm de altura

Res

pues

ta

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21 ¿Cuál es el volumen del cilindro más grande que puede colocarse en un cubo que mide 10 pies de arista?

Res

pues

ta

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22 Un jardín circular tiene un diámetro de 20 pies yestá rodeado por un borde de hormigón que tiene una anchura de tres pies y una profundidad de 6 pulgadas. ¿Cuál es el volumen de hormigón del borde? Usa 3.14 para .π

Res

pues

ta

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Volumen de Pirámides, Conos y Esferas

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Demostración de como comparar el volumen de conos y esferas con el

volumen de cilindros

click para ir al sitio web

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Volumen de un Cono

(Área de la Base x Altura) 3

(Área de la Base x Altura) 1 3

Un cono tiene 1/3 del volumen de un cilindro con las mismas área de la base (B) y altura (h).

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V = 2/3 (Volumen del Cilindro)

r2 h( )2/3 V=ó

V = 4/3 r3

Volumen de una Esfera

Una esfera tiene 2/3 del volumen de un cilindro con las mismas áreas de la base (B) y altura (h).

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¿Cuánto helado puede contener un cucurucho si tiene un diámetro de 6 pulgadas y su altura es de 10 pulgadas?

(Sólo helado en el cono. No encima de él)

Tire

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23 Encuentra el volumen.

4 pulgadas

9 pulgadas

Res

pues

ta

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24 Encuentra el Volumen

5 cm8 cm R

espu

esta

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Si el radio de una esfera es 5.5 cm, ¿cuál es su volumen?

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25 ¿Cuál es el volumen de una esfera con un radio de 8 pies?

Res

pues

ta

Slide 57 / 135

26 ¿Cuál es el volumen de una esfera con un diámetro de 4.25 pulgadas?

Res

pues

ta

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Volumen de una Pirámide

(Área de la Base x Altura) 3

(Área de la Base x Altura) 1 3

Una pirámide tiene1/3 del volumen de un prisma con las mismas área de la base (B) y altura (h).

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Las Pirámides se nombran por la forma de su base..

El volumen de una pirámide es 1/3 del volumen de un prisma con las mismas area de la (B) y altura (h).

V = Bh13

=5 m

Longitud lado = 4 m

V = Bh13

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27 Encuentra el volumen de una pirámide triangular con aristas de la base de 8 pulgadas, altura de la base de 4 pulgadas y una altura de la pirámide de 10 pulgadas.

Res

pues

ta

8 in

10 in

4 in

pulgadas

pulgadas

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28 Encuentra el volumen.

8 cm

7 cm

15.3 cm

Res

pues

ta

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Área Total

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Área Total de Prismas

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Área TotalLa suma de las áreas de todas las caras exteriores de una figura en 3-D

Para encontrar el área total, debes encontrar el área de cada superficie de la figura luego súmalas.

6 pulg.

3 pulg.8 pulgadas

¿Qué tipo de figura está dibujada?

¿Cuántas superficies hay?

¿Cómo encuentras el área de cada superficie?

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Área Total

6 pulgadas

3 pulgadas8 pulgadas

Abajo Arriba Izq. Der. Frente Atras SUMA 24 8 8 6 6 8 8 24x 3 x 3 x 3 x 3 x 6 x 6 18 24 24 18 18 48 48 = 180 "2 18 48 + 48 180 "2

3 in

8 in

6 in

8 in

6 in

3 in

6 in

3 in

8 in

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Disposición de Cubos Unitarios

Busca todas las maneras posibles en que 24 cubos unitarios se puedan colocar en un prisma rectangular. Da a cada arreglo dimensiones y superficies. Arma un boceto

Longitud Ancho Altura Volumen Área Total Boceto

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Tirepara 6 disposiciones

¿Qué disposición de 24 cubos tiene la menor superficie total?

¿Cuál tiene la mayor?

Tire

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Disposición de Cubos Unitarios

Busca todas las maneras posibles en que 64 cubos unitarios se puedan colocar en un prisma rectangular. Da a cada arreglo dimensiones y superficies. Arma un boceto.

Longitud Ancho Altura Volumen Area Total Boceto

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Tirepara 7 disposiciones

¿Qué disposición de 64 cubos tiene la menor superficie total?

¿Cuál tiene la mayor?

Tire

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29 ¿Qué disposición de 27 cubos tiene la menor superficie total?

A 1 x 1 x 27B 3 x 3 x 3 C 9 x 3 x 1 Ti

re

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30 ¿Qué disposición de 12 cubos tiene la menor superficie total?

A 2 x 2 x 3B 4 x 3 x 1C 2 x 6 x 1D 1 x 1 x 12 Ti

re

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31 ¿Qué disposición de 27 cubos tiene la mayor superficie total?

A 1 x 1 x 25

B 1 x 5 x 5 Tire

Slide 73 / 135

32 ¿Qué disposición de 48 cubos tiene la menor superficie total?

A 4 x 12 x 1B 2 x 2 x 12C 1 x 1 x 48D 3 x 8 x 2E 4 x 2 x 6F 4 x 3 x 4

Tire

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Encuentre el área total de una caja de zapatos rectangular que tiene una longitud de 12 pulgadas, un ancho de 6 pulgadas y una altura de 5 pulgadas.

Arriba/Abajo Frente/Atrás Izq/Der Área Total 12 12 6 144 x 6 x 5 x 5 120 72 60 30 +60 x 2 x 2 x 2 324 pulgadas 2 144 120 60

5 pulgadas

6 pulgadas

12 pulgadas

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3 m5 m

7 m

Nombra la figura.Encuentra el área total de la figura.

Tire

Slide 76 / 135

33 ¿Cuántas caras tiene la figura?

2 m4 m

6 m Tire

Slide 77 / 135

34 ¿Cuántos problemas de área debe completar para encontrar la superficie total?

2 m4 m

6 m

Tire

Slide 78 / 135

35 ¿Cuál es el área de la figura de arriba o de abajo?

2 m4 m

6 m Tire

Slide 79 / 135

36 ¿Cuál es el área de la cara de la derecha o de la izquierda?

2 m4 m

6 m Tire

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37 ¿Cuál es el área de la cara del frente o de atrás?

2 m4 m

6 m Tire

Slide 81 / 135

38 ¿Cuál es la superficie total de la figura?

2 m4 m

6 m

Tire

Slide 82 / 135

Encuentra el Área Total.1. Dibuja y marca TODAS las caras2. Encuentra las dimensiones correctas para cada cara3. Calcula el ÁREA de CADA cara4. Encuentra la SUMA de TODAS las caras5. Marca las respuestas

5 yd

6 yd

4 yd

9 yd

5 yd

sigue los pasos para ver

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Triángulos Rectángulo Inferior 4 9 x 6 x 6 24 / 2 = 12 54 x 2 24 Superficie

Total 24 54+ 90 168 yd2

5 yd

6 yd

4 yd9 yd

5 yd

9 yd

5 yd

5 yd

6 yd

4 yd

Rectángulos Izq/Der ( de igual tamaño ya que es isósceles) 5 x 9 45 x 2 909 yd

5 yd

5 yd

6 yd

4 yd

CLICK PARA REVELAR

CLICK PARA REVELAR

CLICK PARA REVELAR

CLICK PARA REVELAR

Slide 84 / 135

Encuentra el Área Total.1. Dibuja y marca TODAS las caras2. Encuentra las dimensiones correctas para cada cara3. Calcula el ÁREA de CADA cara4. Encuentra la SUMA de TODAS las caras5. Marca las respuestas

9 cm

6 cm 11 cm

9 cm

9 cm

PRUEBA ESTA

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Triángulos Rectángulos

9 cm

6 cm 11 cm

9 cm

9 cm

9 cm

6 cm 11 cm

9 cm

9 cmTire

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39 Encuentra el área total de la figura de abajo.

21 pies

42 pies

50 pies

47 pies

1. Dibuja y marca TODAS las caras2. Encuentra las dimensiones correctas para cada cara3. Calcula el ÁREA de CADA cara4. Encuentra la SUMA de TODAS las caras5. Marca las respuestas

Tire

Slide 87 / 135

7 cm 3 cm

4 cm

15 cm

6 cm

5 cm

Encuentra el Área total.

Slide 88 / 135

Trapezoides 10 + 6 16 x 4 64 / 2 = 32 x 2 64

Rectángulo Inf. 6 x 15 90

Rectángulo Sup. 10 x 15 150

Rectángulos de Lados 5 x 15 75 x 2 150

Ärea total 64 90 150 + 150 454 cm2

7 cm 3 cm

4 cm

15 cm

6 cm

5 cm

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40 Encuentra el área de la figura de abajo.

8 cm 6 cm

10 cm

9 cm

Tire

Slide 90 / 135

41 Encuentra el área de la figura de abajo.

10 cm2 cm

6 cm

10 cm

6 cm

Tire

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Área Total en las Pirámides

Volver a laTabla deContenidos

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Área Total en las Pírámides

¿Que es una pirámide?

Un Poliedro con una base y caras triangulares que se unen en un vértice

¿Cómo encuentro el Área Total?

Sumando las áreas de todas las figuras que forman el cuerpo en 3-D

Slide 93 / 135

8 cm

7 cm

17.5 cm

Encuentra el Área Total.

sigue los pasos para ver

Slide 94 / 135

Encuentra el Área Total.

8 cm

7 cm

17.5 cm

8 cm

17.5 cm

7 cm

17.5 cm

7 cm

Rectángulo Inferior 8 x 7 56

Triángulos de Frente/Atrás

Triángulos deDer/Izq

Área Total 56 140+ 122.5 318.5 cm2

8 cm

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Encuentra el área de una pirámide cuadrada aristas de la base de 4 pulgadas y la altura del triángulo de 3 pulgadas.

4 pulgadas

3 pulgadasBase 4x 4 16

4 Triángulos Área Total 16+ 24 40 pulgadas2

click para revelarclick para revelarclick to reveal

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Encuentra el área total.

Asegúrate de mirar la base para determinar si se trata de un triángulo equilátero o isósceles (¡si tiene todos o dos de los triángulos laterales equivalentes!).

Base Triángulos(todos iguales)

Área Total 7+ 36 43 pulgadas2

4 pulgadas4 pulgadas

4 pulgadas

6 pulgadas

3.5 pulgadas

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42 Cuál tiene una mayor área total, ¿una pirámide de base cuadrada con una arista de la base de 8 pulgadas y una altura de 4 pulgadas o un cubo con una arista de 5 pulgadas?

Tire

A Pirámide CuadradaB Cubo

Slide 98 / 135

43 Encuentra el área total de una pirámide triangular con aristas de la base de 8 pulgadas, altura de la base de 4 pulgadas y una altura inclinada de 10 pulgadas.

8 pulgadas8 pulgadas

8 pulgadas

10 pulgadas

6.9 pulgadas

Tire

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44 Encuentra el Área Total

9 m9 m

12 m

11 m

6.7 m

Tire

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Área Total de Cilindros

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¿Cómo podrías encontrar el área total de un cilindro?

Slide 102 / 135

Nota que la longitud del rectángulo es en realidad la circunferencia de la base circular

Pasos1. Encuentra el área de las 2 bases circulares.2. Encuentra el área de la superficie curva (un rectángulo).3. Suma las dos áreas.4. Marca tu respuesta.

Slide 103 / 135

ALTURA

Radio

Radio

Lado curvo = Circunferencia de la Base Circular

ALTURA

Slide 104 / 135

Área de Círculos = 2 ( ) Área de la superficie curva = Circunferencia Altura = dh

2 r2 + dh2 r2 + 2 rh

-ó-

r2

Radius

Curved Side = Circumference of Circular Base

HEIGHT

ALTURA

Radio

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Encuentra el área total de un cilindro cuya altura es de 14 pulgadas y su base tiene un diámetro de16 pulgadas.

14 pulgadas

16 pulgadas Área de los Círculos = 2 ( r2 ) = 2 (82) = 2 (64) = 128 = 401.92 pulgadas2

Área de la Superficie Curva = Circunferencia Altura = d Altura = (16)(14) = 224 = 703.36 pulgadas2

Área Total = 401.92 + 703.36 = 1105.28 pulgadas 2

Slide 106 / 135

45 Encuentra el área total de un cilindro cuya altura es de 8 pulgadas y cuya base tiene un diámetro de 6 pulgadas.

Tire

Slide 107 / 135

46 Encuentra el área total de un cilindro cuya altura es de 14 pulgadas y cuya base tiene un diámetro de 16 pulgadas.

Tire

Slide 108 / 135

47 ¿Cuánto material se necesita para hacer una lata cilíndrica para jugo de naranja que tiene 15 cm de altura y un diámetro de 10 cm?

Tire

Slide 109 / 135

48 Encuentra el área total de un cilindro con una altura de 14 pulgadas y el radio de la base de 8 pulgadas.

Tire

Slide 110 / 135

49 En una granja debe pintarse un tanque de alimentación cilíndrico. El tanque tiene un diámetro de 7,5 pies y una altura de 11 pies. Un galón de pintura cubre 325 pies cuadrados. ¿Hay suficiente pintura? Explique..

Tire

Si

No

Slide 111 / 135

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Área Total de Esferas

Slide 112 / 135

Una esfera es el conjunto de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia desde el punto central.

Como un círculo, una esfera tiene un radio y un diámetro.

Verás que como un círculo, la fórmula para el área total de una esfera también incluye pi.

Radio

Área total de una Esfera

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Si el diámetro de la Tierra es 12,742 km, ¿cuál es su área total?

12,742 km

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Ptube este:

Encuentra el área total de una pelota de tenis cuyo diámetro es 2.7 pulgadas.

2.7pulgadas

click para revelar

Slide 115 / 135

50 Encuentra el área total de una pelota de béisbol que tiene un diámetro de 3,8 pulgadas..

Tire

Slide 116 / 135

51 ¿Cuánto cuero se necesita para hacer una pelota de basquetbol con un radio de 4.7 pulgadas?

Tire

Slide 117 / 135

52 ¿Cuánto caucho se necesita para hacer 6 pelotas de raquettball con un diámetro de 5.7 pulgadas cada una?

Tire

Slide 118 / 135

Más Práctica / Revisión

Volver a laTabla deContenidos

Slide 119 / 135

53 Encuentra el volumen.

15 mm

8 mm

22 mm Tire

Slide 120 / 135

54 Encuentra el volumen de una pirámide rectangular con una longitud de la base de 2.7 metros, un ancho de la base de 1.3 metros, y la altura de la pirámide es de 2.4 metros.

SUGERENCIA: ¡Dibujar un diagrama te ayudará!

Tire

Slide 121 / 135

55 Calcula el volumen de una pirámide cuadrada con aristas de la base de 4 pulgadas y una altura de 3 pulgadas.

Tire

Slide 122 / 135

56 Encuentra el volumen

9 m9 m

12 m

11 m

6 m

Tire

Slide 123 / 135

57 Encuentra el volumen

14 pies

21 pies

Tire

Slide 124 / 135

58 Encuentra el volumen

8 pulgadas

6.9 pulgadas

Tire

Slide 125 / 135

59 Encuentra el volumen

4 pies

7 pies

8 pies

9 pies

Tire

Slide 126 / 135

60 Un cono de 20 cm de diámetro y 14 cm de altura se utiliza para llenar una maceta cúbica de 25 cm de arista, con tierra. ¿Cuántos conos llenos de tierra serán necesarios para llenar la maceta?

20 cm

14 cm

25 cm

Tire

Slide 127 / 135

61 Encuentra el área total del cilindro.

Radio = 6 cm y Altura = 7 cmTire

Slide 128 / 135

62 Encuentra el área total.

11 cm

11 cm

12 cm

Tire

Slide 129 / 135

63 Encuentra el área total.

7 pulgadas

8 pulgadas

9 pulgadas

9 pulgadas

2 pulgadas

Tire

Slide 130 / 135

64 Encuentra el volumen.

7 pulgadas

8 pulgadas

9 pulgadas

9 pulgadas

2 pulgadas

Tire

Slide 131 / 135

65 Una caja de almacenamiento rectangular es 12 pulgadas de ancho, 15 pulgadas de largo y 9 pulgadas de alto. ¿Cuántos pulgadas cuadradas de papel de color se necesitan para cubrir el área total de la caja?

Tire

Slide 132 / 135

66 Encuentra el área total de una pirámide cuadrada con una longitud de la base de 4 pulgadas y una altura inclinada de 5 pulgadas

Tire

Slide 133 / 135

67 Encuentra el volumen.

40 m

70 m

80 m

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68 Una maestra hace 2 pares de dados de goma espuma para usar en juegos de matemática. Cada dado mide 10 pulgadas de lado. ¿Cuántas pulgadas cuadradas de tela necesita para cubrir los 2 cubos?

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