ESTADISTICA ESPAÑOLA

Vol. 32, Núm. 123, 1990, págs. 201 a 364

Situación de la enseñanza de la estadísticaen bachillerato

porJt)SE COLERA

Profesor de lnstituto

INTRODUCCION

Es un hecho que fa estadística y la probabilidad, en el mundo escolar,están muy relegadas. Se ven, en general, poco y mal. Como consecuencia,los alurnnos acaban la enseñanza media sin saber casi nada de estostemas.

Los programas oficiales vigentes en la actualidad contemplan un trata-miento de las mismas suficientemente amplio ^aunque, acaso, no suficien-temente acertado) como para que se les dedicara mucha más atención dela que se les dedica.

^Cuáles son las causas? Posiblemente la preparación del profesorado enestadística y probabilidad diste rnucho de ser la adecuada para orientareficazmente a los alumnos: es frecuente que los profesores sepan poco deestos temas, no les gusten nada y carezcan por completo de recursos paradesarrollarlos en el aula.

Ser^a interesante estudiar por qué es precisamente esta parte de lasmatemáticas la que peor conoce el profesorado, tanto en su aspecto cientí--fico como en el didáctico. ^Acaso porque su formación inicial sea excesiva-mente abstracta y, en general, no Ilegaron a entender los fundamentos deaquello que estudiaron? zSe trata de un círculo vicioso consistente en que,como no gusta y se domina mal, se evita el tratarlo en clase, con lo cual lamejoría natural adquisición de recur ŝos didácticos que se produce conel ejercicio profesional no se da en estos temas, y así se sigue con pocainclinación a tratarlos en clase?

Los programas oficiales y, en consecuencia, los libros de texto invitan aun tratamiento excesivamente academicista. Además son muy densos, muyIlenos de contenido por lo que no es fácil propiciar un aprendizaje activo.

ZO2 ESTADISTICA ESPAÑOLA

z Hasta qué punto influye la selectividad, donde rara vez aparecen cues-tiones de estadistica o probabilidad para responder las cuales se requieranideas claras y no canocimientos anecdáticos, cálculo de parámetros opropiedades de la axiomática ?.

Para ir mejorando estas deficiencias caben distintas actuaciones:

C.a modificación de los programas, tarea que se encuentra en unabuena fase: programas de la reforma de ia enseñanza no universitaria, conla experiencia previa que se tiene de los cursos experimentales.

Formación del profesorado.

Modificación de los criterios orientadores del COU y de los ejerciciospropuestos en la selectividad, de modo que induzcan al profesorado aimpartir conocimientos razonables, que requieran saber interpretar y valorarlos métodos estadísticos y no el manejo anecdótíco de técnicas, cálculos yprocedimientos na bien er^tendidos.

A lo largo de este escrito me extenderé con algún detalle en cada uno deestos temas.

SlTUACION ACTUAL

Los actuales programas de bachillerato provienen de 1970 (La Ley Generalde Educación de Villar Palasíl. En elios las matemáticas se presentandentro del área "Matemáticas y Ciencias de la Naturaleza" con la que setrata de "capacitar al alumno para comprender los fenómenos naturales,científicos y técnicos de su entorno", y en la cual "se resaltará la importan-cia del mecanismo lógico implicito en el razonamiento científico habituandoal alumno a los métodos deductivo e inductivo y a la experimentación".

En los programas, la presencia de la Estadística y la Probabilidad seĉoncreta del siguiente modo:

Primer cursa (Alumnos de 1 5 años).

Hay nueve apartados entre los que figuran los dos siguientes:

Combinatoria. Prababilidad.

Variabie estadística. Medidas de posición central y de dispersión.

y como sugerencias metodológicas se recomienda

introducir la teoría combinatoria y noción de probabilidad para el casode un universo finito;

continuar el tratamiento estadístico de los colectivos, iniciado en laEGB.

SITUAC'!ON DE LA ENSEÑANZA DE L.A ESTADISTIC'A EN BACHlLLERATO 2^3

Es de destacar que ta probabifidad aparece como una prolongación de lacombinatoria. Esta supone, por una parte, una invitación a tratar la probabi-lidad fundamentalmente como "cálculo de probabilidades" y, por otra, aponer al alumno problemas de probabilidad para que se resuelvan porcombinatoria ciásica, lo cual supone una lirnitación y una dificultad espe-cial.

Segundo curso

No hay nada de estadística ni probabilidad, lo cual es chocante tratándo-se de un curso terminal para los alumnos que en 3.^ escogen ramas deletras en las que no vuelven a dar matemáticas ^Esto se ha paliado hacedos cursos mediante la introducción de una nueva asignatura Ma-temáticas ! I de COU de la cual hablaremos más adelante).

Es significativo que en este mismo curso se inc^uyan temas como trigo-nometría, cálculo de límites, derivadas, estudio del plano afín y hasta inte-grales, todo ello para alumnos, rnuchos de los cuales, repitámoslo, van aseguir estudios de fetras.

Tercer curso

Hay siete apartados entre las que figuran los dos siguientes:

Variable aleatoria. Distribución binomial y normal.

Distribuciones bidimensionales. Rectas de regresión. Correfación.

Entre ios objetivos que aparecen más adelante se encuentra éste:

Adquirir el concepto de variable aleatoria que perrnita la utilización delas funciones de distribución en su aplicación a las ciencias biológicas,físicas y sociales.

Y en las orient^ciones metodológicas hay éstas:

Se definirá, mediante ejemplos sencillos, el concepto de función dedistribución, valor medio y varianza de la misma. Se introducirá ei conceptode variable aleatoria continua. Estos conceptos se aplicarán a las distribu-ciones binomial y normal, respectivamente, debiendo utilizarse las tablascorrespondientes a la resolución de ejercicios de aplicación.

Las distribuciones estadístícas bidimensionales se limitarán al caso devariables discretas.

couEn el Curso de Orientación Universitaria se aconseja que, por un lado,

"sirva de síntesis y ordenación de los cursos anteriores ... por otra, depreparación para el acceso a la enseñanza superior".

204 ESTADISTI('A F.SPA!V()l_,4

En el programa hay cuatro apartados {Algebra, Geometría, Análisis yProbabilidad^ y se les da un cierto peso indicando, a título orientativo, elnúmero de semanas que puede dedicarse a cada uno de ellos: 6, 8, 9 y 4respectivamente.

Este es el bloque de Probabilidad:

"Ampliación del cálculo de probabilidades. E! alumno deberá profundizarlas nociones de probabilidad, estableciendo una axiomática de esta teoríaen conexión con e! álgebra de sucesos, Ilegando a obtener la noción deespacio de probabilidad. Conviene Ilegar hasta el Teorema de Bayes comoprimer ejemplo de inferencia estadística. Todo el tema deberá dar ocasiónpara proponer ejercicios tanto de rnotivacián como de aplicación de estemodelo matemático, en relación con otras disciplinas y con la vida real".

Los programas de estos cuatro cursos, además de ser muy densos,invitan a un planteamiento fuertemente academicista. Ambos extremospropician que el profesor, falto de tiempo, los recorte precisamente poraquellos temas cuya ausencia menos influya en la construcción de loscontenidos del resto del curso o de cursos venideros. En esta poda lostemas de estadística y probabilidad suelen ser los primeros en caer.

Es un hecho que una buena cantidad de profesores relegan por campletoesta parte, o la dejan para el final de curso y, entonces, o r^o les da tiempoo, a lo sumo, dedican unos pocos días a enseñar el cálculo rutinario dealgunos parámetros cuyo significado y cuya utilidad los alumnos no alcan-zan a entender.

La poda es especialmente grave en tercer curso pues el resto del progra-ma es amplio, fuerte e"importante" (trigonometría, geometría analítica,números cornplejos, funciones, derivadas, construcción de curvas, integra-les); como se ve "muy matemático" e"imprescindible para el alumno deciencias"; el núrnero de horas semanales (cuatro) escaso, y"la estadísticaes algo de lo que se puede prescindir, pues no se echará en falta en cursosposteriores'". Además, '"la formalización matemática de los conceptos esta-dísticos de este curso es fuerte, requiere una buena base de cálculo y deestadística con lo que su tratamiento en el aula resulta complicado".

En estos razonamientos, comunes a muchos profesores, subyacen lassiguientes concepciones:

"Lo básico, lo imprescindible para cursos posteriores, es la adquisiciónde rutínas, procedimientos, cálculos que se requieren para proseguir con 1aconstrucción y manejo matemático de conceptos posteriores, cargados derigor matemático", a despecho, en muchos casos, de la adquisición deideas, de hábitos de trabajo autónomo, de dísposicíón a enfrentarse con

SITUA(:ION DE LA ENSEÑANlA DE LA ESTADISTI('A EN E3.ACHIL,LERATO ZQ$

proólemas nuevos sencillos pero no triviales de rigor inte%ctual por locual sólo se maneja 1o que se ha asimilado y se puede hacer con plenoconocimiento de causa.

-- "La estadistica, pues, no es un conocimiento básico" salvo, acaso, elconocer algunas definiciones, las fórrnulas para abtener algunos paráme-tros y, a lo sumo, resolver algunos problemas de probabilidad utilizando laLey de Laplace.

"Para que un resultado matemático pueda ser utilizado es imprescin-dible que se formalice con rigor". Es decir, los conocimientos ricos enideas, bien sustentados por intuiciones, con significado perfectamente asi-milable y susceptibles de ser manejados con conocimiento de causa, sonrelegados (ignarados) si no se pueden presentar formalmente ma-temáticamente de forma correcta.

En CUU pasa algo parecido. Los contenidos de probabilidad (sorprenden-temente más pobres que los de 3.°1 son también los primeros que caencomo consecuencia de ia densidad del programa. Hay distritos universita-rios donde la mutilación se da desde la propia coordinación de la universi-dad (por ejemplo, en algún distrito se han excluído explícitamente losproblemas de cálculo de probabilidades "a posteriori" por ser difícil lafórmula de Bayes, sin tener en cuenta que, como veremos más adelante, sepueden resolver con toda sencillez sin conocer la fórmula de Bayes). Encualquier caso hay una buena proporción de profesores a quienes "no datiempo" a ver este bloque en el periodo lectivo -(los alumnos de C4U sonevaluados en sus centros hacia finales de mayo ► . Algunos de ellOS !ossuplen con clases complementarias a las que los alumnos que van a ir a laSelectividad acuden voluntariamente y en las cuales, frecuentemente, selimitan a darles algunas recetas para resolver ejercicios sabre probabilidad.

EL PAPEL DE LA SELECTIVIDAD. UN CASO SINTOMATICO: LASMATEMATICAS 11 DE COU

Hay algunos requisitos que debería cumplir todo examen:

que permita rnostrar al alurnno lo que sabe en vez de buscar lo queno sabe.

que el examinando no sienta desconfianza sobre sus conacimientos.

que el examinando tenga claro qué se le puede pedir, y que no seauna sorpresa.

No es demasiado aventurado decir que los exámenes de Selectividad, enmuchos casos, distan de cumplir esos requisitos. En general:

seleccionan poco: posiblemente aprueban más alumnos en la Selecti-

20ó ESTADISTICA ESPAÑOLA

vidad que las que pasarían si la selección se dejara a los Centros deBachillerato, pues en muchas ocasiones se aprueba a alumnos flojos parano privaries de la posibilidad de "probar suerte" en la Selecfividad.

seleccionan mal: las notas que los alumnos consiguen guardan pocacorrelación con los méritos mostrados durante el curso.

y, lo que es más grave, condicionan el tipo de preparación que se lesda, al menos en el COU.

Las matemáticas I! de CO U.

Esta asignatura fue concebida para aportar unos conocimientos inicialesa los afumnos de Ciencias Sociales y Humanístico-Lingiiísticas. En la Reso-lución correspondiente, establecida por las Direcciones Generales de Ense-ñanza Superior y la Renovación Pedagógica del M.E.C. se dice:

"La finalidad de este programa es proporcionar a!os alumnos, de unamanera eminentemente práctica, algunas herramientas sencillas del bagajematemático que constituyen una ayuda muy eficaz para el trabaja enCiencias Humanas y Sociales.

"Se insistírá en el sentido y aplicaciones de los enunciados y no en lademostración y desarrollo matemático de los mismos ^...)" y se añade laconveniencia de facilitar el uso de la calculadora y de tomar como referen-cia de partida los primeros cursos de bachillerato.

Es, pues, una materia dirigida a alumnos "de letras" con la que sepretende reconciliarlos con las matemáticas y dotarlos de unas herramien-tas^ indispensabies para sus estudios posteriores, en la que el conocimientaintuitivo y la utilización razonable de instrumentos matemáticos sencillosdeberían primar sobre las fundamentaciones teóricas, el exceso de nomen-clatura, las demostracianes y los desarrollos formales.

EI programa contempla tres grandes bloques a los que se les da elmismo peso: Algebra lineal (sistemas de ecuaciones, cálculo matricial y pro-gramacián lineall, .^t nálisis descriptivo de funciones y gráficas y Elementos deprobabilydad y estadística.

He aquí, pormenorizado, la parte del programa correspondiente a esteúltimo bloque, con sus orientaciones metodológicas:

Elementos de probabilidad y estadística.

Estadística:

Terminología: Población, muestra, individuo, variable...

EI porqu^ de las muestras. Como debe ser una muestra.

SITl1ACIUN DE LA ENSEÑANLA DE LA ESTADtST1CA EN BACHILLERATO

Manejo de tablas. Significado.

G ráficas estadísticas.

Parámetros estadísticos. Significados y cálculo: Media y desviación

típica, varianza. Mediana, cuartiles y centiles.

Distribuciones bidimensionales:

Correlacián. Significado. Cálculo del coeficiente de correlación e inter-

pretación.

Regresión lineal.

Probabilidad:

Azar y probabilidad. Leyes de la probabilidad. Asignación de probabili-

dades: probabi{idad "a priori" y"a posteriori".

Experiencias compuesta^. Probabilidad condicionada.

Cálculo de probabilidades sencillas.

Distribuciones de probabilidades discretas:

t Qué es una distribución de probabilidad?

Parámetros µ y a en una distribución de probabilidad.

Algunos ejemplos sencillos de probabilidad discreta.

Somera descripc+ón de la distribucíón binomial. Aplicaciones.

Fórmulas para la obtención de µ y Q.

Distribuciones de probabilidad continuas;

Peculiaridades de las distribuciones de variable continua.

Ley de distribución normal. Descripción. Cálculo de probabilidades de

distribuciones normales con el uso de tablas.

La binomial como aproximación a la normal.

Test de normalidad.

La finalidad de esta parte del curso es proporcionar a los alumnos

algunas nociones de estadística aplicada a las Ciencias Sociales y Hu-manas.

Se debe pretender que el aparato conceptual indispensable para este

objetivo se presente en todo momento firmemente apoyado en la intui-

ción y apoyado en aplicaciones prácticas.

La aproximación a las tareas rutinarias de los cálculos estadísticos rne-

diante el uso adecuado de la calculadora y el ordenador, facilitará las

aplicaciones reales de la estadística.

207

A partir del estudio de nubes de puntos se puede Ilegar al concepto de

zos ESTADISTICA ESPAÑOLA

relación estadística y su diferencia con la relación funcional. No es

necesario formalizar el concepto ni el cálculo de recta de regresión.

EI cálculo de frecuencias relativas y las observaciones referentes a su

estabilidad deben ser el cauce para la noción de probabilidad.

Es importante hacer resaltar la diferencia entre la probabilidad que se

asigna, y que dependerá de los elementos de juicio que se posean "a

priori" (Regla de Laplace) y la probabilidad "a posteriori" obtenida expe-

rimentalmente (como idealización de la frecuencia relativa).

La asignación de probabilidades debe realizarse mediante la experimen-

tación o aplicando la regla de Laplace. ^ 1 profesor valorará la necesidad

de repasar las técnicas de recuento, la combinatoria en particular, estu-

diadas en el primer curso.

La propia Dirección General de Renovación Pedagógica publicó unosmeses más tarse unas orientaciones Didácticas como información comple-mentaria útil para los profesores que impartirían dicha materia a partir delcurso 1988-89.

Como es lógico ante una materia nueva el profesorado debe acomodarsea la misma, tanto más cuanto que es una asignatura de matemáticas conun "sabor" claramente distinto del habitual. Este acomodo supuso la bús-queda y elaboración de material escrito que se adecuara al espíritu de estamateria, fundamentalmente actividades de aula acordes para desarrollarla.

En esta tarea de orientación, la coordinación desde la Universidad debiójugar un importante papel y de hecho lo jugó en muchos casos. Pero enalgunos se procedió a"Ilenar de contenido"" las líneas marcadas por elM inisterio y, así, aparecieron:

momentos de orden r.

momentos de una variable aleatbria absolutamente continua.

rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

coeficientes de asimetría y curtosis.

distribuciones marginales, mornentos de orden (r,s1.

varios test de normalidad.

fórmula de Bayes.

la fórmula de la función densidad de la distribución normal.

álgebra de sucesos y axiomas de probabilidad.

De este modo, en algunos distritos, el programa para estos alumnos deletras se hizo elevado y denso. Los alumnos, así, más que reflexionar y

SITI.'AC-'{Ow DE LA f tiSEtiAti7A DE t_.A EST^^DiSTI(^,^ F^.ti f3,^C'H11.LE-R,^1-T^O ZDy

resolver casos sencillos que cornprenden a fondo, deben aprender me-

morizar definiciones, procedimientos, fórmulas con vistas al examen.

Posiblemente cada uno de los apartados anteriores con algunas excep-ciones puedan ser tratados en el aula aunque los alumnos sean de letras.Pero hay una gran diferencia entre la posibilidad de tratar, como recursometodolágico, alguno de ellos y la obligación de enseñarlos como conteni-do exigible y susceptible de ser objeto de examen.

Veamos algunos ejemplo^:

En clase, después de haber estudiado la mediana y los cuartifes, cuandolos alumnos ^ los han manejado en casos concretos y han asimilado susignificado y el papel que juegan, se ies puede proponer que sitúen aproxi-madamente la mediana y los cuartiles en cada una de estas tres distribu-ciones:

Q, M e Q^ Q, M e Q3 Q, M e Q^

Posteriormente situará el punto medio de los dos cuartiles Q, + Q3

2

y lo comprará ^menor , igual, mayor) con la mediana. Relacionando lasdesigualdades obtenidas con el tipo de asimetría de la curva verá claro que

Q,+Q3 -Me^ Q,+Q3-2Me

2 2

tiene que ver con el tipo de asimetría de la curva. Si se quiere, incluso,estos aiumnos pueden razonar la conveniencia de conseguir que la unidaden que venga dada la variable no influya en el valor del parámetro, para locual puede ser interesante dividir por la mediana:

Q, + Q3 - 2 Me

2 Me

Esto, como objeto de una actividad de aula y, por tanto, como rno^ivo dereflexión sobre el papel de la mediana y 1os cuartiles, puede ser muyinteresante. Pero es supérfluo ^y por tanto contraproducente^ el pretenderque estos alumnos aprendan el proceso y la fórmula.

Ciertamente, es necesario que loŝ alumnos aprendan alguna fórmula y

algunos procesos, los imprescindibles para resolver, interpretar situaciones,

?!0 E5T.4DISTICA IrSPA V^LA

participar activamente en el proceso estadístico. Pero cuanto menores seanlas exigencias concretas mejor podrá dedicarse a aquello con lo que traba-ja.

E! alumno puede entender que las expresiones

^^X`_X I ^ {x,_X^2

Yn n

sirven para medir !a dispersión {el grado de alejamiento de la media) de losvalores de la variable. Y, si lo analizan en aigún caso concreto, comprende-rán que en la segunda de ellas los valores más alejados de la media tienen"más peso", "más protagonismo" que en la primera. De ahí, se puedeinferir que en la expresión

^(X^-X^r

n

el "peso" de los valores lejanos es tanto mayor cuanto mayor sea r, y queesta propiedad puede ser útil para estudiar propiedades sobre la forma dela curva: más o rnenos picuda, más o menos asimétrica.

Esto, como opción para el profesor, si la ve didácticamente adecuadopara algunos de sus alumnos, puede ser útil como motivo de reflexión. Perosi es un imperativo del programa Momentos de orden ^ por el cual estáobligado a hacerlo aprender a todos sus alumnos, en la mayoría de lascasos no producirá atro efecto que cargar el programa y dispersar laatención de los alurnnos con conocimientos innecesarios.

La fórmula de Bayes es difícil para estos alumnos. Difícil e innecesaria."En una casa hay tres Ilaveros, A, B y C, el primero con 5 Ilaves, el segundocon 7 y el tercero con 8, de las que sólo una de cada Itavero abre la puertadel trastero. Se escoge ai azar un Ilavero y de él una Ilave para intentarel trastero. (...) Si la Ilave escogida es la correcta, ^ cuál es la probabilidadde que pertenezca ai Ilavero A?" (Cuestión de selectividad).

Un alumno que haya aprendido a razonar en las pruebas compuestasvaliéndose del diagrama en árbol, procederá así:

La probabilidad de dar con una Ilave que abra el trastero es

56+40+35 _ 131/840.840

5(Tl'AC'1C7iti' Df I.A EtiSFti:AN7.A DE LA FSTA[^ISTIC`A E^ti B.1(`Fill.l..E:RATC^ 211

De cada 84o intentos conseguirá, por término medio, abrir el trastero en131 ocasiones. De elias 56 provienen de haber escogido el primer ilavero.La probabilidad pedida es, pues, 56/131.

{Ni que decir tiene que no se discute que la fórmula de Bayes eshermosa y útil, pero para usuarios de un nivel superior ai de estos aium-

nos ► . ^ No es preferible que estos aprendices sepan obtener tales resultadosmediante procedimientos sencillos en los que cada paso es razonado, y noaplicando una fórmula que están lejos de dominar?

Entiendo, pues, que el papel de la Universidad como coardinadora delCOU es aportar ideas, propiciar un intercambio de material didáctico entrelos profesores, recabar opinianes para mejor orientar a todos. Papel, que,sin duda, se juega en muchos casos, pero que cuando no es asi perturbaseriamente la marcha de COU.

Orientar sobre la buena marcha del curso y diseñar pruebds de seiectivi-dad que sirvan, además de para valorar a!os alumnos, para ratificar elespíritu de lo +que se persigue. Lo peor de incluir en la prueba de seiectivi-dad ejercicios fuera de lugar no es ya la desventaja que sufren los aiumnosque se examinan sino, fundamentalmente, el sesgo que produce en elplanteamiento de !os profesores de COU los cursos siguientes. Entre mu-chos ejemplos qi^e se padrían poner, señalo uno: Es un cierto distrito hasalido en Matemáticas !1 una integra! racional, claramente fuera delugar en estos programas. Los alumnos que hicieron ese examen pudieronesquivarla optando por otras cuestiones. Pero raro será el profesor que nose sienta obligado este curso a explicar este tipo de integrales, y quizáotras del mismo nivel, "por si acaso", con la consiguiente pérdida deatención a otras partes de la asignatura más formativas y útiles.

Veamos algunas preguntas de selectividad reiativas a estadistica y pro-babilidad que han aparecido al final del curso pasado y que, necesariamen-te, van a producir un vuelco enorme en la concepción de lo que se preten-de con estos programas pues, en última instancia, quienes imponen losprogramas son los que diseñan las pruebas por las que se decide si unalumno sabe o no:

Escribe la función de densidad de una distribución normal de media ,c^y desviación típica a.

Las calificaciones x; de 40 alumnos son como indica la tabla

x; 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f; j 2 2 4? 8 9? 4 3

2l2 E:STA[^IS^TIC'A ESPAti()I~A

Determina las frecuencias que faltan sabiendo que la nata media es 5,3 ycalcula la mediana.

De una estación parte cada 20 minutos un tren. Un viajero ilega deimproviso. Halla la función de distribución de la variable aleatoria " tiempode espera"" y calcula su media y su varianza.

t Qué transforrnaciones sufren la media aritrnética y la varianza deuna distribución de frecuencias cuando se dividen sus valores por unaconstante K? Razona la respuesta.

Como se ve, en todos ellos el énfasis está puesto en el conocimiento dela fórmula y en la capacidad del alumno para manipularla algebraicamente.En algún caso se requiere, incluso, el uso de integrales. Es decir, en elmejor de los casos son problemas algebraicos o análiticos sobre fórmulasde estadística. Del mismo tipo son los siguientes:

Se dan las ecuaciones de las rectas de regresión (de Y sobre X y de X

sobre Y) de una distribución bidimensional y se pide obtener diversosparámetros (p, crX, rrY, ,uX, ,uy,...} (Hay varias pruebas de selectividad de esteestilo).

Se da una tabla estadística con valores que oscilan entre 60 y 140 y

se ide calcular la media "efectuando el cambio x^ = x; -95 „

p ,10

(Es de señalar que no se trata de una sugerencia para facilitar la tarea delafumno que haya practicado el cambio de variables. EI alumno que no loconozca, dará el problema por perdido con casi toda seguridad}.

Hay varios problemas en los que se pide, entre otras cosas, probar sidos sucesos son o no independientes. Y se espera que el alumno aplique elcriterio "L P(A r1 B) = P(A} ^ P(B)?". No es fácil que el alumno entienda quétiene que ver ese criterio con lo que, intuitivamente, significa que dossucesos sean independientes.

Cabría señalar muchos más ejercicios de este tipo con los que pareceque lo que se pretende del alumno es que maneje técnicas muy concretas,con poco sabor estadístico, muy de tipo aritmético, algebraico o ar^alítico.(Recordemos que estamos hablando de alumnos de '"letras'").

MIRAI^IDO AL FUTURO: LA REF©RIVIA

En estos momentos se encuentra en periodo de discusión un proyecto dereforma de las enseñanzas no universitarias que supone modificacionesmuy fuertes con relación al currículum actual.

SITUACION DE LA Et^[SEÑANLA DE LA ESTADISTtCA EN BACNILLERATO 2 I 3

Dicha reforma tiene una importante componente administrativa f adscrip-ción de profesores, centros docentes, horarios, agrupamiento y promociónde alumnos,...^ que producen viva inquietud en el profesorado. En nada deeso vamos a entrar aquí, donde nos limitaremos a comentar algo de losaspectos curriculares en general, y el tratamiento de la estadística, enparticular.

La Educación Secundaria obligatoria está destinada a la totalidad dechicos de 12 a 1 6 años.

Los programas de matemáticas están inspirados en las tendencias act^^a-les de los profesores y grupos de trabajo más punteros en didáctica de ^asmatemáticas, tanto españoles como extranjeros. Señalemos algunas ^eestas tendencias:

Se da más protagonismo a las estrategias de pensamiento, a losprocesos generales que se pueden utilizar en campos distintos y con pro-pósitos diferentes, que a los bloques de contenido. ( Más que el "quéaprende el alumno", importa el "cómo Ilega a adquirir ese conocimiento"^.

Se pone mucho énfasis en la resolución de problemas no rutinarios.

Se da gran importancia al papel de la intuición. La intuición como víade adquisición de conocimientos y como cualidad que hay que desarrollar.

Se desmitifica el rigor matemático. Interesa el rigor como meta: hayque que conseguir que el alumno vaya aprendiendo a ser riguroso. Pero nocomo condición que debe cumplir todo lo que el alumno haga o vea enclase de matemáticas.

Se pone mucho interés en adecuar el grado de abstracción a las

posibilidades del alumno.

Se recupera, dándole enorme importancia formativa, la geometría dela figura.

Se reivindica el interés educativo del estudio de azar: estadística yprobabilidad.

Se utilizan los juegos como base para la adquisición de intuiciones.

Se sugiere la utilización de la historia de la matemática como impor-tante recurso didáctico.

Se fomenta el uso, bien administrado, de la calculadora.

Además de los objetivos educativos propios de las matemáticas seconsidera fundamental otro tipo de objetivos: fomentar la creatividad, elespíritu crítico del alumno, la constancia y el empeño en la búsqueda decaminos para resolver situaciones nuevas, el trabajo en equipo y, por enci-ma de todo, se tiene la convicción de que es fundamental que el alumno sesienta cómodo y motivado, para que lo que aprenda le sea útil y duradero.

2 14 ESTADISTICA ESPAÑOLA

Se deja al profesor, y al centro docente, una gran dosis de libertad enla elaboración de sus propios programas.

EI diseño curricular base ( D.C.B.j

En el programa de matemáticas aparecen 13 objetivos generales entrelos que se encuentran, cerrando la lista, estos tres:

I nterpretar gráficas relativas a diversos fenómenos (sociales, econó-micos, científicos, rnatemáticos...), analizando la relación que existe entre

las magnitudes que intervienen y estableciendo predicciones sobre su com-

portamiento o evolución.

I nterpretar la información relativa a estudios estadísticos presentadade forma gráfica o numérica, vatorando críticamente su alcance medianteel análisis de cómo se han obtenido los datos, cómo se presentan y paraqué se utilizan.

ldentificar fenómenos aleatorios presentes en el entorno, analizando laposibilidad de ocurrencia de cada resultado para establecer predicciones ocriterios de actuación posteriores.

Hay cinco bloques de contenido:

1. Números y operaciones: significado, estrategias y simbolización.

2. Medida, estimación y cálculo de rnagnitudes.

3. Representación y organización del espacio.

4. Interpretación, representación y tratamiento de la información (fenóme-nos causales y aleatorios).

5. Tratamiento del azar.

Estos bloques de contenido se desglosan con cierta rninuciosidad pres-tando atención, en cada uno de ellos, a hechos, conceptos y principios;

procedimientos; y actitudes, valores y normas.

Por ejemplo, en el bloque 4 se dan

E n e I a p a rta d o d e hechos, conceptos y principios:

• Obtención de información sobre fenómenos aleatorios. Las muestras ysu representatividad. Las tablas de frecuencias absolutas, relativas yporcentuales.

• Gráficas estadísticas usuales en los medios de comunicación y en elconocimiento científico.

• Los parámetros centrales y de dispersión como resumen de un conjun-to de datos estadísticos.

SITl1AC'ION DE LA ENSEÑAi`^ZA DE LA ESTADISTICA EN BACHiLLERATO Z I S

• Algoritmos para calcular parámetros centrales y de dispersión senci-Ilos.

• Dependencia aleatoria entre dos variables.

E n e I d e procedimien tos:

• Utilización e interpretación de los parámetros de una distribución yanálisis de su representatividad en relacián con ef fenómeno a que serefieren.

• Construcción de gráficas a partir de tablas estadísticas o funcionales,de fórmulas y de descripciones verbales de un problema, eligiendo encada caso el tipo de gráfico y medio de representacián más adecuado.

• Detección de errores en las gráficas, que pueden afectar a su interpre-tación.

• Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de una poblaciónde acuerdo con los resultados relativos a una muestra de la misma.

En el de actitudes, va/ores y normas

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de los fenguajes gráfico yestadístico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana ydel conocimiento científico.

Pero más ilustrativo, aún, del espíritu de estos nuevos programas es elapartado de orientaciones [^idácticas, que incluye más de cien sugeren-cias de las cuales cito algunas relativas a1 tema que nos ocupa:

• Una de las razones que justifican la presencia y el peso de la estadís-tica en esta etapa, es proporcionar instrumentos básicos para interpre-tar las informaciones que utilizan este tipo de técnicas. Es convenientetener en cuenta esto a la hora de seleccionar contenidos y actividades,que no deben limitarse al cálculo de parámetros de distribucionesdadas en forma de tabla. Es más, este tipo de actividades debe refegar-se a un segundo plano porque la proliferación de calculadoras y orde-nadores hace perder importancia a los algoritmos de cálculo de pará-metros y a la elaboración minuciosa de gráficos.

• La estadística invita a la utilización de contextos muy diversos. Esimportante presentar situaciones obtenidas de diversas fuentes ípren-sa, libros, publicidad, televisión...) y provenientes de distintos camposdel conocimiento ^sociología, economía, psicología, biología, antropolo-gía, etc.)

Precisamente por esta gran variedad de situaciones a las que se aplicala estadística y por la creciente utilización de su terminología comoargumento, es importante desarrollar la actividad crítica ante la infor-mación recibida en forma estadistica; la utilización de parámetros no

2!6 ESTADISTIC'A ESPAÑC}LA

adecuados, generalizaciones abusivas, gráficas mal construídas, térmi-nos imprecisos, etc... son errores habituales que es preciso conocer ysaber detectar. La prensa y los medios de comunicación en generalbrindan abundantes opartunidades para ello.

^ 1.a obtención de información de distinto tipo por {os prapios alumnoses una actividad que no debería faltar en clase de matemáticas. EIdiseño y realización de medicianes repetidas, encuestas, recuentos, etc.que sean susceptibles de un tratamiento estadístico o el estableci-miento de una relación y trazado de la gráfica correspondiente, hacenposible dar un mayor sentido a la tarea matemática propuesta y refle-xionar sobre las posibilidades y problemas que se pueden encontrar eneste tipo de actividades. -

Y sabre el estudio del azar:

• Las ideas sobre el azar y la probabilidad pueden irse introduciendopauiatinamente desde los primeros años de la etapa, aunque con unpeso creciente a medida que se avanza en ella. Tados los alumnnos,antes de Ilegar a 1a Educación Secundaria, tienen ideas previas sobre elazar, la dependencia e independencia de sucesos, etc., que es precisoconocer y tener en cuenta a la hora de diseñar y proponer actividades.No se debe olvidar que éstas deben ir encaminadas, principalmente, aldesarrollo y educación de la intuición sobre la probabilidad.EI desarrallo de esta intuición se realiza inicialmente a través de valo-raciones cuaiitativas sobre la posibilidad de ocurrencia de sucesos (esmuy probabie, es menos prabable que...), para pasar, posteriomente, aun enfoque frecuencial. E! cálculo de frecuencias no debe utilizarsesólo como un métado para asignar probabilidad a sucesos; el estudiode las frecuencias proporciona una información muy rica sobre elsignificado y cornportamiento de io aleatorio. Conviene dejar para losúttirnos añas el lenguaje probabilístico preciso y otros métodos deasignación de probabiiidades.

Desde luego, no parece deseable Ilegar a la formalización dei álgebrade sucesos y menos aún al establecimiento de una axiomática de laprobabilidad.

Puesta en práctica

Si el espíritu que emanan estos programas, con las correcciones a las

que se sometan tras el periodo de debate en que ahora se encuentran,fuera asumido por el profesorado, creo que se conseguiría un aprendizaje

más racianal y más sólido de las matemáticas y de la estadística en

particular.

S[TUAC`IC)N DE LA ENSEÑAN"LA DE LA ESTADISTIC'A EN BACHILLERATn 2^%

La condición con la que se inicia el párrafo anterior, no obstante, pareceque está muy lejos de ser conseguida. Además de los aspectos administra-tivos que, como queda dicho en páginas atrás, inquietan sobremanera a losprofesores, respecto a lo estrictamente curricular (objetivos, programas,evaluación,...} hay también fuertes reticencias que pueden resumirse en lasiguiente frase: "Se baja el nivel". Respecto a elia habría que discutir:

qué se entiende por "nivel"

cuál es el verdadero nivel con el que acaban, ahora, nuestros bachille-res.

Y añadir que esos programas están destinados a alumnos de 12 a 16años y que serán seguidos por otros dos cursos {el Bachillerato) cuyodiseño se encuentra ahora en fase de elaboración.

No obstante hay que admitir que, con esta forma en entender la ense-ñanza, si no se procede con acierto, se corre el serio peligro de trivializar laformación de los alumnos.

Es necesario, pues, proceder muy seriamente a una mentalización yformación del profesorado previas a la puesta en vigor de estos programas.

RESUMEN

EI aprendizaje de la estadística y la probabilidad en nuestro bachillerato

es, ahora, muy deficiente.

Pueden señalarse como causas:

Lo desacertado (densos, acadernicistasl de los programas vigentes.

La inadecuada formación de los profesores.

La desfavorable influencia de la Selectividad.

Se señalan como remedios:

La elaboración de nuevos programas, más acordes con las necesida-des del momento y con las tendencias actuales de la didáctica de las

matemáticas.

La actualización científica y didáctica del profesorado de enseñanza

media.

EI primero de los puntos (nuevos prograrnas} se encuentra en una fase

esperanzadora, aunque inquietante.

EI segundo requiere una buena poiítica de formación (terreno en el que,últimamente, se están haciendo intent©s serios aunque aún muy parciales y

2 ^ & ESTADISTICA ESPAÑOLA

no siempre certeros). En esta tarea de formación hay que tener muy encuenta

que la formación científica debe ir acompañada, de forma casi insepa-rable, de la formación didáctica.

que en esta tarea tienen mucho que decir tanto los profesores de

enseñanza media especialmente preparados por una dilatada dedicación a

la docencia y a la investigacidn didáctica, como aquellos profesores univer-

sitarios que se han interesado seria y largamente par ia didáctica de estas

niveles. Entre ambos colectivos debe procurarse un cl^ma de respeto y

valaración de cada uno de ellos hacia la importancia de la aportación del

atro.

SITUAC'lON DE LA ENSEÑAN"LA DE LA ESTADISTICA EN BAC'HILLERATO Z I 9

Comentarios sobre la Enseñanza de la Estadistica enBachillerato

^Qué es la Estadistica?

MAG DALENA COR DERO VALDAVI DA

Instituto Nacional de Estadistica

ROSARIO GARCIA FERNANDEZ

l.N.B. Tetuán-Vafdeacederas, Madrid

La Estadística es una ciencia de apro.ximación, se cog►en l©s datosde mil personas, por ejemplo, y de e/los se hace una idea global deun asunto q►ue puede implicar a millones de personas.

(Juan Muñoz, 14 años, 1.^ de B.U.P.i

La media es la suma de los habitantes dividido entre dos.(Anónimo, C.O.U.)

INTRODUCCiOlV

Si hace nueve años nos hubiesen preguntado ^Qué sabéis de Estadistica?nuest-a respuesta habría sido bastante pobre, y nos hubiésemos remitido alos conocimientos de combinatoria de nuestro primero de BUP, y a lasemana de probabilidad de COU, vivida muy intensamente porque faltabantres semanas para un examen de Selectividad y, por supuesto, dejada anuestro libre albedrío a la hora de estudiar, ya que, nunca nos examinamosde esta materia. Con una urgencia increíble, nos instaban a mecanizar laresolución de unos problemas de Bayes que no entendíamos, pero quecaían fijo, y a memorizar unos axiomas del Algebra de Boole, que, aunquecorrectamente enunciados, no motivaban mucho el estudio de los mismos.

En la formación matemática de bachillerato se intenta hacer comprenderconceptos tan abstractos como puede ser el de punto de acumulación ydesarrollos algebraicos con matrices, o espacios vectoriales, que difícilmen-

z^o ESTADISTICA ESPAÑOLA

te pueden llegar a ser comprendidos, y con unas aplicaciones prácticas tanlejanas, que escasamente motivan al alumnado. Sin embargo, se desesti-man otras disciplinas más cercanas a la vida cotidiana como es el caso dela Estadística.

Estamos en la época de las estadísticas. En los medios de comunicaciónlas cifras son muy importantes, los sondeos electorales han contribuido aello, así como las estadísticas del paro, e{ I PC, las encuestas de opinión, losíndices de audiencia,... En ei deporte aparecen las estadísticas de !os parti-dos televisados sobreimpresas en la pantalla. Los adolescentes de hoyconocen, a grandes rasgos, los conceptos más elementales, y por tanto. sonuna población a priori motivada para introducirse seriamente en el mundode la Estadística.

Los a#umnos responden mejor cuando están motivados, y nuestro objeti-vo en este comentario, es.en parte hacer constar esta realidad. ^ Por qué enéstas circunstancias se olvida una parte de las Mateméticas, tan dignacomo !a que más, y se imparten otras? No vamos a entrar en la respuestaa esta pregunta que está claramente expuesta en e! artículo de JoséCo#era, donde trata el tema de la formación del profesorado y la elabora-ción de los programas.

LA CIENCIA DEL PORCENTAJE

Hay quien ha afirmado que para un gran sector de la población "la Estadís-tica es la ciencia rr^ediante /a cua/ con gráficos, tasas de variación y porcenta-fes, se manipula la opinión desde la publicídad, /a tecnología o la economía ".Para conocer la opinión de los alumnos hemos pasado una encuesta en uncentro de bachillerato. Está claro que estos resultados no son representati-vos pero nos dan una idea, aunque sea parciaf.

- Hemos preguntado tQué es la Estadística?, y e! gráfico 1 muestra laspalabras utilizadas en la definición en diferentes cursos.

En los medios de comunicación se manejan muchas encuestas y son-deos, esto hace que en la definición de Estadística, el 29 % de los alu mnosde primero y el 2 5% de !os de tercero, hayan utilizado estos términos. Detodas formas la Estadística se destaca como la ciencia de los porcentajes,33 °lo y 54 °f° respectivarnente. En los comentarios de fos a!u mnos cabedestacar los referentes a resultados deportivos y estadísticas dei paro. Losgráficos ocupan el tercer lugar seguidos de los datos, las cifras.

Las respuestas particulares fueron de 1o más variado, hay quien afírmaque "Es un sitio donde se recogen datos'; o"Una rama de las Matemátícasq►ue se da a finales de primer^ o a principios de segundo'; y otros presentan

222 ESTaDIS^t ^C a ESPa!vOEa

Sólo el 30 °lo supo razonar acertadamente, siendo aceptada cualquierexplícación aproximada, puesto que nos encontramos con otro problema:no saben expresar sus ideas de forma ciara, y tienen dificultades de redac-ción y comprensión. EI principal fallo de su raionamiento es el significadode la media y el desconocimiento de la varianza. Para los alumnos, en unapoblación todos los individuos deben estar en torno a la media o porencima de ella, quedando por debajo sálo algunos casos aislados. Fallo ésteque también se da con relativa frecuencia en las afirmaciones que apare-cen en los medios de comunicación. Respuestas que utilizasen el conceptode asímetría no hubo ninguna.

Algunas ejemplos son: "La rr^itad está mejor a/imentada y la otra mitadestá peor alímentada, pvrque unos se encuentran por encima de la mediaeuropea y lvs otros no'; "Está peor alimentada debído a que los niñoseuropeos tienen una media de mejor a/imentacián"; "Yo creo que ígual, por-que la media de España es una parte bastante menor a la equiva/ente a todaEuropa. Por eso más o menos igua/".

Sería deseable fomentar el espíritu crítico de los alumnos ante la infor-mación que se les presenta, y para ello es necesar^a dotarles de las herra-m'rentas adecuadas.

Curiosamente, todos respondíeron bien a lo que es la Trigonometría.Muchos de estos alumnos no volverán a utilizar estos conceptos, perosaben definirlos correctamente, lo que hace constar que si se diera igualimpartancia a la Estadística serían capaces de expresarse en esta disciplinacon idéntica precisión.

^PARTIR DE GERO?

Es fácil criticar el programa que actualmente se imparte en los centrosde bachillerato, y difícil hablar sobre la enseñanza sin dedicar unas líneas aesta crítica.

EI primer curso está concebido como un repaso de las Matemáticas de laEG B, como consecuencia el programa es muy ampiio. La ídea, en teoría, esbuena, porque esto permite unificar el nivel de los alumnos para cursosfuturos y dar una visión global de las Maternáticas para posteriormenteprofundizar en temas concretos, con las herramientas que se han adquiridoen este curso. La realidad es bien distinta. Los alumnos Ilegan al bachillera-to sin saber operar con fracciones, ni representar puntos en la recta real, niplantear ecuaciones sencíllas, ni ... la lista podría ser demasiado larga. Portanto, el programa de primero, tan amplio, resulta demasiado grande. Estohace que se tenga que reducír, y dentro de esta reducción una de las

SITUAC'ION DE LA ENSEÑAN"LA DE LA ESTADISTIC'A EN BAC'NILLERATO 223

materias que se ve seriamente afectada es la Estadística. Los conceptos de"distribución de frecuencias'; "variable aleatoria`; 'inedidas de centralizacióny dispersión'; 'ĝráficos estadrstieos'; y algunas nociones de probabilidad,son reservados para cursos posteriores.

No haremos comentarios al curso de segundo, en el cual no hay Estadís-tica, aspecto éste que podría ser muy criticable.

En tercero, se debería entrar ya en conceptos como modelos teóricos dedistribuciones, con la binomial y la normal, modelos bidimensionales devariables aleatorias y relaciones entre ellas. La situación es que, o bien hayque partir de cero, ya que nos encontramos con alumnos que no hanrecibido clases de Estadística en primero, o bien hay que hacer un repasoamplio, puesto que existe una iaguna de un año sin tratar este tema, y enmuchos casos la laguna se hace más profunda ya que en este cursotampoco se imparte esta materia.

COU es un curso muy especial, y en é1 los intereses son de lo másvariado. Hay un examen de Selectividad que marca bastante las pautas delo que se imparte en este curso, donde siempre se acaban los programas, yse dan las lecciones de Probabilidad y Estadística correspondientes, comosabemos por propia experiencia.

En el programa, lo que se Ileva el mayor porcentaje de horas es elAnálisis, y lo que menos la Estadística, claro que siempre nos queda elconsuelo de pensar en la Geometría, la gran olvidada de la actual proígra-mación del bachillerato.

En Maternáticas, a pesar de ser una "ciencia experrmental'; el materialdidáctico se reduce en muchos casos a dados, barajas, urnas con bolas, ybotellas de plástico, paradójicamente elementos a utilizar en una clase deProbabilidad, lo que Ileva a identificar Probabilidad y juegos de azar. Olvidé-monos del material informático, quizá demasiado caro, y dejemos el restode los elementos a la imaginación del profesor.

Se necesita diseñar un nuevo programa para las IVlaternáticas del bachi-Ilerato. Esperemos que la próxirna Reforma propicie este cambio y searealmente un vehículo eficaz para que los alumnos se acerquen a lasMatemáticas sin el miedo que genera el considerarlas una disciplina abs--tracta y sin aplicaciones en la vida real. En una programación de estascaracterísticas la Estadística debería pasar a ocupar un lugar importante enla formación del alumno. No olvidemos sus múltiples aplicaciones en otrasdisciplinas, y el creciente interés que la sociedad actual manifiesta por lainformación cuantificada.

224 ESTA[aISTICA ESPAÑQLA

Secuencias y simulaciones aieatorias

SANTIAG O FER NAN DEZ

C.O.P. Txorierri r' 3 izcaya)

1. INTRODUCCION

tQué es la estadística? En una concepción profana, "estadística" signifi-ca información numérica, habitualmente ordenada en tablas, diagramas ográficos.

Sin embargo, la estadística es mucho más que eso. De entrada, se puededivídír en dos amplias ramas:

1) Estadística Descriptiva, relacionada con el resumen de datos y ladescripción de éstos.

2^ Estadística Inferencial (o Inductivai, estudia el proceso de utilizardatos para tomar decisiones en el caso más general del que formanparte estos datos.

Generalmente, cuando un profesor ha tenido que decidir entre escogeruna de las dos ramas, se ha decidido por la primera, privándoles a losalumnos del acercamiento a una forma de pensamiento interesante, comolo es el pensamiento inductivo.

Como sabemos, hay dos tipos de pensamiento lógico: el deductivo y elinductivo. EI primero ha sido cultivado, rnagnificado y encumbrado; yadesde la antigua cultura griega, míentras que el segundo no tuvo su "prue-ba de fuego" hasta los últimos años del siglo XVIII. Este pensamientoaparece en contadísimas ocasiones en nuestras aulas.

Si exceptuamos las observaciones triviales, no es posible la maypría delas veces acceder a una observación completa de los fenómenos de lanaturaleza; necesitamos una rnuestra sobre la cual actuar, para, a partir deella, sacar conclusiones respecto al conjunto que representa la muestra.Per©:

zCómo elegir, para que la muestra sea represer^tativa?

SITI;A('10^1 DE LA Eti'SFtiAN1A DE LA ESTADISTI(^A E_ti BA^'tilLLf^RATO Z25

Aunque a nivel superior hay toda una teoría que responde a la cuestiónanterior, sino que damos por supuesto que elegimos la muestra por unmétodo "fiable" para poder actuar y sacar conclusiones más generales.

Este método "fiable" va a consistir en:

Estab{ecer una tabla de números aleatorios.

2. NUMEROS A^EATORIOS, SIMULACIONES

Nuestros programas de Enseñanza Secundaria evitan este tema, quizáporque pensamos que no es adecuado a este nive{, o eien porque lasestrategias de pensamiento y proceso utilizados no son lo suficientementeinteresantes.

Creo, sin embargo, que es un tema adecuado para acceder a{os concep-tos de 'azar', 'muestra', 'frecuencia', etc., que se lo puede ir desbrozando abase de experiencias previas del alumno, que al mismo tiempo {e iránhaciendo adquirir una fuerte base intuitiva que guiará sus "pequeñas inves-tigaciones".

^Cómo desarrollar el tema?

Sin duda, la Simuiación es uno de los mejores caminos: proporciana ala{umno {a posibilidad de investigar él por su cuenta, y realizar así una seriede conjeturas que pueden ser reforzadas mediante planteamientos más"rigurosos" si así lo desea.

En una primera aproximación al tema no conviene presentarles una tablade números aleatorios ya confeccionada de antemano. Unas ideas genera-les pueden ayudarfes a crear su propia tabla y tomar un primer contactocon el concepto de {o "`a{eatorio".

Así, en un primer acercamiento, podríamos decirles que: una secuenciade dígitos.es aleatoria si:

Dado un dígito cualquiera, no existe ningún procedi-miento para adivinar e{ siguiente con una probabilidadmayor que 1 /10.

Ante esta presentación, se les ocurre escribir números al azar, y surgenasí secuencias del tipo:

1 23 1 98430 1 567463a...

Utros alumnos proponen los núrneros de lotería en{azados entre sí, o vanabriendo las páginas de un libro y anotando su numeración...

^:s^r.4r^^s^rit^^A F^^r^w^^t_n

Después de una breve discusión, se les presenta otra definición, ésta yamás aproxímada:

Una secuencia es aleatoria si:

Cada dígito aparece con una frecuencia de 1/1 O;

Cada pareja aparece con una frecuencia de 1/100;

Cada trío de dígitos aparece con una frecuencia de 1^1000

y así sucesivamente...

Tras haber confeccionado una serie de tablas, pueden producirse discu-siones interesantes en torno a la aleatoriedad o no de las secuenciasnuméricas aparecidas:

ILos alumnos, por ejemplo, dicen: No es aleatoria, ya que, des-pués de haber contado cien dígitos, aparece una vez el '5', y sinembargo veinticuatro veces el '3'.

E! profesor les plantea preguntas tales como: t,Te parece razona-ble sacar conclusiones contando únicamente con cien dígitos?Etc. ►

No tardan mucho en praponer métodos que supuestamente van a generarsecuencias aleatorias. Así por ejemplo:

n Tirar dardos sobre una diana circular, que está dividida en diez sectorescirculares iguales y numerados del 0 al 9, e ir contabilizando los resulta-dos.

n Hacer girar una ruleta decimal (dividida en diez sectores iguales y nume-rados del 0 al 9), e ir anotando los resultados.

C^tros alumnos proponen métodos más sofisticados, tales como:

n Levantar cada alumno af azar uno de los diez dedos de la mano, yanotar los resuttados; se comenta la aleatoriedad de la secuencia, puesparece que ^os dedos indices son los más levantados.

n C7ar valor numérico ordenado a las letras del abecedario, para, despuésde nambrar palabras, anotar sus correspondientes valores numéricos.

Así, por ejemplo:

a b c d e f g h i j k..1 2 3 4 5 6 ^ 8 9 10 11 .

DP acuerda con el1o, !a palabra " café" genera la secuencia 3, 1, 6, 5. Y,c► tr^a tanto, "jefe" dará fugar a la secuencia 1, 0, 5, 6, 5.

SI'Tl.'At'IOti DF. l_A E=ti^;E tiA,1ZA DE^ l_A E:STA[^IST-I^'.^ E ti I3;^( Filt_L.E FZAIE) ?^?7

Nuevamente se plantean discusiones:,las vocales salen muchas veces;

hay números que pueden generarse de formas distintas; así, por ejem-plo, la letra 'k' genera e1 ' 1 1', pero 1o mismo se genera tambiénrepitiendo dos veces la 'a`;

Pueden experimentarse asimismo otros procesos más matemáticos:

n Tomar un número al azar y multiplicarlo por otro "suficientemente irre-gular""; el resultado volverlo a multiplicar por otro "irregular" (© por elmismo anterior),..

Por ejemplo:Tomando e! número 45.068

multiplicarlo 45.068 x 19 = $56.292

y de nuevo 856.292 x 19 = 16.269.548

La secuencia así obtenida es:45068 856292 16269548

Una vez discutidas suficientemente las tablas que ellos proponen, con-vendría presentarles "a vuela pluma" procedimientos más serios: métodostales como ios de Newmann y Ulam son suficientes.

3. SIMULACIONES ALEATORIAS

En las orientaciones expresadas en el D.C.B, del área de matemáticas en

la E.S.O. aparecen, dentro del tema "Tratamiento de1 azar", expresiones del

siguiente tipo:

Gonviene realizar estimaciones de la probabilidad an-tes de calcularla.

Hay que desarrollar la intuición sobre lo aleatorio a'través de situaciones de azar.

Etc.

Uno de los caminos más rápidos para hacer simulaciones es coritar cor^una buena tabla de números aleatoríos. Si mandamas a un alumno tirarcien veces una moneda de Laplace para que vaya anotando los resultados(cuántas veces cae 'cara' y cuántas "cruz'}, seguramente dirá que "'es muypesado". Sin embargo, si contamos con una tabla de números aleatorios, eltiempo invertido pára obtener lo mismo no superará los cir^ca minutos(basta elegir un número al azar de esa tabla: si es par, anotan-^os elresultado como 'cara'; si impar, como ^'cruz'}.

,^g^ ESTAi^ISTICA ESPA^70LA

Unos e ĵ emplos habituaimente presentados en nuestras aulas pueden serobjeto de simulaciones:

Lanzamiento de una moneda

Lan2amiento de un dado

^anzamiento de dos monedas o de dos dados

Lluvia aleatoria sobre una cuadrícula

Cálculo de áreas

Movimientos al azar de un borracho .

EI juego de la LOTO

Nacirnientos en un hospital

Diversos juegos

Para seguir los ejemplos anteriores, nos serviremos de la siguiente tablade números aleatorios:

72771 11672 67492 42904

64647 94354 45994 42538

54885 15983 38472 43379

76295 69406 96510 16529

8350a 28590 49787 29822

24511 56510 72654 13277

45031 42235 96502 25567

23653 36707 ..... .....

SUPUESTO

Cálculo de Queremos obtener el área de una figura irregular. En primer

AREAS lugar se la introduce en un cuadrado de lado 1, y se lanzan

dardos sobre e^ cuadrado, para termínar el proceso con una

regla de tres. (Los dardos vienen definidos por un par de coor-

^ denadas, que son escogidas de entre 1os números aleatorios).

E, jemplo.^

Tomada la secuencia:

54815 15983 38472

433?9 76295 69403

SITUAC'ION DE LA ENSEÑAtYZA D ►E LA ESTAD[STICA EN BAt:HILLERATO

Coordenadas de los dardos:

1.ef dardo (xl,y1) _ (0,54485; 0,1 5983)

2.° dardo (x2,y2) _ (0,38472; 0,43379)

3.ef dardo (x3,y3) _ (o,7fi295; 0,69403)

4.°, etc.

Se contabiliza el número de dardos caídos dentro de la figura

'A' {1lamamos n a este número) y el número total de dardos

{Ilamamos N a este número).

Lu ego:Area Cuadrado N

Area figura A n

De donde:

Area figura A = n • Area Cuadrado

N

Movimientos Se considera una persona borracha,

al aiar de caminando al azar, moviéndose en

un borracho ocho posibles direcciones.

t Dónde se encontrará al cabo de

quince pasos? Se puede simular

mediante una secuencia aleatoria.

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

CONCLUS^ONES

229

n La simulación parece una de ias mejores formas de desarrollar unaimprescindible base intuitiva.

n La secuencia de dígitos aleatorios es de fácil y rápida utilización,permitiendo afrontar prob{emas "difíciies".

n EI concepto de "lo aleatorio"" es de fácil asimilación.

n Las nociones de frecuencia y probabilidad de un suceso aleatoriopueden ser adquiridos fácilmente, sentando bases para posteriores cálculos

,mas rigurosos.

^ 30 ESTADISTI^'A ESPAÑOL.A

suPUESTo

Lanzamiento Si el número es par, el resultado es 'cara'; si es impar, el

de resultado es 'cruz'

una rr^oneda -----------------------------------------------------------

Ejempla:

La secuencia 72771 1 1672 67492

s e c o n v i e rt e e n :+C+++ ++C+C C+C+C

Por tanto: resultado de los primeros quince lanzamientos:

frecuencia ( cara) = 6

frecuencia ( cruz) = 9

Lanzamiento Consideramos únicamente los seis números del dado: 1, 2, 3,

de 4,5y6

un dado excluyendo los demás (0, 7, 8 y 9)-----------------------------------------------------------

Ejempla:

De !a secuencia 64647 94354 45994

42538 54885

nos quedamos con:

6 4 6 4 4 3 5 4 4 5 4 4 2 5 3 5 4 5

frecuencia {n.° 1) = 0

frecuencia ( n.° 4) = 8

Aquí se ve la necesidad de ampliar el conjunto de números

aleatorios para Ilegar a valores próximos a los esperados

Lanzamiento Se toman dos dígitos seguidos. A los pares se les asigna "cara'

de y a los impares 'cruz"

dos monedas ------------------------------------------------------------

Ejemplv:

La secuencia: 54885 1 5983

38472 43379

76295 69406

se convierte en:

(+, C ) ; ( C, C ) ; {+,+) ; t+,+) ; { C,+) ;

(+, C ) ; ( C,+) ; ( C, C ) ; {+,+) ; (+,+) ;

(+, C ) ; ( C,+) ; (+, C ) ; ( C,+} ; ( C, C )

Aquí se puede discutir cuál es el valor esperado y contrastar

con 1os resultados obtenidos

SITUACION DE LA ENSEÑANZA DE LA ESTADISTICA EN BA('}{[LLERATO

Laniamiento Similar al ejemplo anterior

de dos

o más dados

Lluvia En primer lugar se identifica cada una de las casillas de la

aleatoria cuadrícula (mediante unos ejes cartesianos) y luega se conta-

sobre una bilizan de dos en dos los dígitos de fa secuencia aleatoria,

cuadricula despreciando aquellos que no son los de la cuadrícula

Ejemplo:

51 52 53 54 55 56 57 58 59

41 42 43 44 45 46 47 48 49

31 32 33 34 35 36 37 38 39

21 22 23 24 25 26 27 28 29

11 12 13 14 15 16 17 18 19

Tomada la secuencia: 54885 1 5983 3847243379 76295 69406

Las gotas de Iluvia caen en

54 88 51 59 83 38 47 24 33 79...

Las siete primeras gotas caen en las casillas enmarcadas con

un círculo

231

232 ESTADlSTlCA ESPAÑOLA

La estadistica en el Bachillerato actual

COMENTARIo

MANUEL GARCIA MARREROPII.AR RAMOS ALCAZAR

Profesores de ^nstituto

La situación de la estadística en el actual B.U.P. es de sobra conocida portodos los que Ilevamos tiempo impartiendo matemáticas en este nivel. Sianalizamos las programaciones de cada uno de los cursos en los queaparece la estadística nos encontramos con lo siguiente:

En primero de B.U.P. existen dos temas, Estadística Descriptiva y Cálculode Probabilidades. EI primero de ellos se explica generalmente. La grancantidad de ejemplos de que se dispone hace que su estudio sea interesan-te y aceptado por los alumnos. Asignaturas como la Geografía de segundode B.U.P. permiten utilizar algunos de los conocimientos de estadísticaadquiridos en primero y justifican su tratamiento.

En cuanto al estudio de la prababilidad en este mismo curso, el problemaes totalmente distinto, su introducción de manera axiomática quedaríafuera de lugar en primero de B.U.P., lo que obliga a resolver todos losejercicios que se plantean con métodos de combinatoria. Esto supone unagran dificultad que generalmente el alumno medio no logra superar. Porello la mayoría del profesorado descarta este tema en sus programaciones.Pienso que es la dificultad que supone para el alumno y no !a falta depreparación del profesor lo que hace que la probabifidad no se estudie eneste curso.

Por suerte para algunos y par desgracia para otros hada hay que decir dela estadística en el actual segundo de B.U.P.

En tercero de B.U.P. e! profesor se encuentra con un programa imposiblepor su amplitud, lo que le obliga a mutilarlo de manera importante, tenien-da en cuenta que 1a asignatura va dirigida fundamentalmente a los alum-nos de ciencias, el dilema a la hora de acortar el programa se plantea entredos temas las cónicas o la estadística, ya que, los temas de análisis son

SETUA^'lí?N DE^ LA ENSEÑANIA DE LA ESTADISTIC'A EN BAC'}i1LLERATO 233

incuestionables para la formación de estos alumnos. La mayoría del profe-sorado elige, quizás equivocadamente, el estudio de las cónicas. La razónde esta elección puede estar en que es en este curso cuando por primeravez se trata con algo de profundidad la geornetría. Materia esta que esfundamental en el estudio de las matemáticas. El pralongar el estudio de lageornetría hasta las cónicas nos satisface nnás que abordar la estadística.

AI contrario de lo que, creemos, ocurre en primero de B.U.P. donde sonfos alumnos quienes ponen las limitaciones, en tercero de B.U.P. es elgusto o!a mentalidad de la mayoría del profesorado lo que le inclina aabandonar el estudio de la estadística.

En C.O.U. I se introduce el concepto de probabilidad de un suceso comoel valor alrededor del cual se estaciona su frecuencia relativa cuando au-menta considerablemente el núrnero de veces que se repite el experimento,este planteamiento basado en la experiencia no supone ningún problemacomprensivo al alumno de este curso que pasa, sin gran dificultad, alestudio del espacio probabilístico y definicián axiomática de probabilidad.Tratamiento semejante se da a la probabilidad condicionada para terminarcon los teoremas de la probabilidad total y de Bayes, que al contrario de 10que suele decirse, resultan asequibles a los alumnos.

Este terna, aunque, como los otros temas de C.O.U., se desarrolle deforma apresurada, en la mayoría de los casas se trata correctamente y elalurnno que va a selectividad lo ha estudiado tanta como, por e^empio, lageometría euclídea, quiero decir que, al contrario que el profesor de tercero,el de C.O.U. explica la probabilidad a pesaro de la falta de tiempo.

EI curso de C.O.U. II tiene como objetivo principal el estudio de laestadística, pero las deficiencias de los alurnnos a los que esta dirigidohacen que este estudio se realice desde un punto de vista práctico sinningún tipo de profundización teórica que por otro lado sería muy difícilIlevar a cabo en cua{quier curso del nivel que nos ocupa, pues la profun-dización teórica de la estadística requiere conocimientos de análisis impo-sibles de abordar, cito como ejemplo el estudio matemático de la distribu-ción normal.

Visto esto y sabiendo que nos salimos del terria pasamos a tratar otrasdeficiencias tan graves como las relativ_as a ia estadística, debe estudiarsela que ocurre en los últimos cursos de E.G.B., probablemente es en sextocurso cuando nace la confusión con la que Ilegan los alumnos al B.U.P.Confusión que seguirá aumentando en primero y segundo de B.U.P. Losalumnos Ilegan al instituto con los conceptas básicos mal comprendidos ycon deficiencias en el cálculo. Pero lo peor es que creen saber las cosas yno quieren salir de los esquemas en los que se encuentran. Esta actitud les

2 34 EST,ADISTtCA E^SPA!VC)LA

impide aprovechar ta oportunidad que tienen en primero de consolidar loscvnocimientos insuficientemente adquíridos en los últimos cursos de E.G.B.

En primero de B.U.P. el profesor se ve obligado a repasar temas comonúmeros enteros, fraccionarios y decimales. Ecuaciones, sistemas y polino-mios. Con lo que escasamente quedarán tres meses para completar elprograma, esto no sería grave si al final se comprobase que el repaso delos temas descritos es bien aprovechado, pero suele suceder, que el alum-no que arrastra fallos en estos temas termina el curso sin haberlos supe-rado, lo que hace pensar que hay un momento para aprender ciertas cosasy pasado este, su aprendizaje se hace muy difícíl. Sin embargo, es de granimportancia que adquiera en primero un nivel aceptable en el cálculo; paraque en el curso siguiente le sean asequibles la física y las matemáticas. Deahí que lo expresado anteriormente sea tan grave o más que su falta deconacimientos estadísticos.

La tendencia actual a creer que la solución a los problemas de la ense-ñanza de las nnatemáticas está en Ilenarla de contenidos de estadística, porlas propias limitaciones de su estudio en los niveles de ^3,U.P. y C.O.U., escuanto menos discutible. Personalmente pienso que una asignatura a laque, en su mayor parte, solo puede dársele carácter superficial es de menortranscendencia para el alumno que otras partes de las matemáticas quepueden abordarse con mayor rigor y que suponen ^ aspectos más básicos decara a su formación y a lo que necesitará en sus estudios posteriores,textos como "manual de matemáticas para la enseñanza media" de A. G.Tsipkin editorial Mir Moscú dan consistencia a esta afirmación.

COMENTARlO

WEIVCESLAO GONZALEZ MAIVTEIGAUniversidad de Santiago de Compostela

En general comparto las consideraciones de José Colera sobre la ense-ñanza de la Estadística en el Bachillerato. Sin embargo, en lo que siguedesarrollo algunas opiniones personales sobre ciertos aspectos de interés.

M is consideraciones están basadas no sólo en mi experiencia comopro#esor de Estadística en ia Facultad de Niatemáticas sino además en miparticipación activa en los últimos dos años en la coordinación de laasignatura de Matemáticas II de COU, en la elaboración de las pruebas deselectividad y en la corrección de dichas pruebas.

Uno de los puntos de importancia que apunta J. Colera es el de lapreparación del profesorado. Indudablemente, dicha preparación en el cam-po de la Estadistica y de la Probabilidad dista mucho de ser la adecuada.

SITUACIO DE LA ENSFÑANlA DE^ LA ESTADISTtC'A EN KAC'HILLERATUN 235

Más aún en un distrito universitario como el nuestro, en donde la mayoríadel profesorado de enseñanza media tiene una clara formación abstracta(principalmente de tipo algebraico), lo cual dificulta la impartición en sumedida de 1a Estadística en los distintos cursos de Bachillerato. No obstan-te, esta tendencia comienza a sufrir cambios en base a las recientes pro-mociones de alumnos de nuestra especialidad de Estadística e Investiga-ción Operativa que empiezan a engrosar las plantillas de los institutos deGalicia.

A pesar de la propuesta de Colera "Forrnación del profesorado"' cara a lamejora de la enseñanza de la Estadística, la solución no es fácil ya quemucho del profesorado actual anclado en una enseñanza tradicional ponde-rada por la rigurosidad de los enfoques formales rnatemáticos es alérgico ainnovaciones como las que pueden representar la enseñanza de la modernametodología estadística.

Respecto a los contenidos de las asignaturas de BUP y COU ias deficien-cias son numerosas:

i) La realidad nos muestra que en el primer curso de BUP (a pesar delcontenido teórico) el único bagaje probabilístico - estadístico que el alumnoadquiere es una introducción al cálculo cornbinatorial pasando por la fór-mula " casos favorables / casos posibles ".

II) Como Colera afirma, es chocante la ausencia de temas de Estadís-tica y Probabilidad en el segundo curso. Mas aún si tenemos en cuenta quela introducción de la asignatura de Matemáticas I1 en COU es insuficiente.La realidad nos viene a afirmar que los alumnos de Ciencias, a pesar delcontenido teórico del tercer curso, apenas ven algo de Estadística y Proba-bilidad en dicho curso.

III) Desde mi punto de vista y sobre todo en base al punto 11), ha sidoun error la inclusión de 1a asignatura Matemáticas II sólo en las opciones Cy D de COU. Ello produce situaciones paradójicas, corno por ejemplo, quelos estudiantes de Biológicas, Medicina, ..., etc. (C^pción B} cursen las Mate-máticas I con una ausencia casi total de Probabilidad y Estadística, queapenas hayan visto algo de Estadística en las matemáticas de tercero deBUP y finalmente que tengan de forma exclusiva como asignatura relacio-nada con las matemáticas en su carrera, la Bioestadística.

IV) Esta deficiencia también se extiende a los alumnos de la opción A(Ingeniería, Matemáticas, Física, ...etc.) que en general son alumnos condesconocimiento total de la Estadística. En los últimos cursos que hevenido impartiendo en la asignatura de Estadística en el tercer curso de lalicenciatura de Matemáticas tuve la ocasión de contrastar con encuestassobre dichos alumnos tal desconocimiento.

^36 ESTADISTIC'A ESPAÑOLA

En lo que concierne a ia selectividad las opiniones de Colera son inclusoa mi juicio excesivamente optimistas. Sus críticas apuntan a que los ejerci-cios de las pruebas de selectividad tienen poco sabor estadístico con unaclara naturaleza aritmética o algebraica. Mi experiencia de los últimos añosme indica que esto todavia no es Io peor de dichas pruebas. Así, en laasignatura de Matemáticas I aparece únicamente un ejercicio de Estadís-tica que a su vez es opcional y en la de Matemáticas II, a pesar del grancontenido probabilístico-estadístico, existe una gran demanda por parte delprofesorado a la coordinación de este distrito de más cuestiones de tipoteórieo en las pruebas.

En resumen, creo que la introducción de la asignatura Matemáticas II,exclusivamente para los alumnos de letras, aunque represente un pasoimportante, es todavia insuficiente quedando todavía un largo camino porrecorrer en la enseñanza de la Estadística en el Bachillerato. EI contenidoreal del bagaje estadístico debe ser superior al actual para los alumnos deciencias. Además la formación del profesorado será algo fundamental atener en cuenta en Ios próximos años, tanto para aquel profesor con unalarga tradición en la enseñanza clásica de las Matemáticas en el Bachillera-to como para ese otro más reciente, que finalizando especialidades deMatemáticas generales tuvo escaso contacto con las asignaturas de Esta-dística. Basta con pensar que un profesor de estas características habríavisto una o dos asignaturas de Estadística sobre 23 ó 24 que puedenconstituir ia totalidad de la iicenciatura. Sin duda esto está en consonanciacon la actual licenciatura en Matemáticas ( ver artículo de Girón sobre laenseñanza de la Estadística en la Licenciatura de Ma^:emáticasy.

COMEtVTARlO

VICTOR HERNANDEZ

{Colmerrero y matemático)

Querido Ricardo:

Tu carta me pone en un serio compromiso. Me pides que exponga miopinión sobre la enseñanza de la Estadística en el Bachillerato, concedién-dome la gracia de suponer que ia tengo formada y que merece ser difundi-da. Temo que, como tantas otras veces, me sobrevaloras, pese a lo cualtrato de ordenar las ideas y deslindar hechos de deseos y sentimientos.

Me pongo a la labor con entusiasmo. Como suele ocurrir con las antiguasnovias, me agrada evocar Ios años que dediqué a la enseñanza media.Mejor aún, si están por medio Probabilidad y Estadística, de las que fuidevoto amante. Pero pronto se apodera de mí el desánimo. Me gustaría

SITUAC'ION DE LA ENSEÑANZ_A DE LA ESTADISTICA EN l3AC'HILLERATO 237

iniciar el alegato con una justificación aplastante, que no dejara lugar adudas acerca de las virtudes de !a .muza, algo así como:

La enseñanza de /a Estadística se justifica por su creciente aplícación a losmás diversos campos de las artes, las ciencias y las /etras, y por /a difusiónde sus términos en !a vída cotidíana.

11/las, resulta que otras disciplinas gozan también de tan difusas cualida-des, y me parece recordar que razones parecidas se esgrimen para exigir laincorporacíón a la enseñanza media de la educación sexual, varios dialectoslocales, la informática, la educación vial (que no sé si tiene que ver conandar, conducir autos o con la red de1 ferrocarril^, la economía y qué sé yo.Tampoco me sirve de mucho la lectura del escrito de don José Colera,porque, aparte de la primera frase -que da tono al resto--,

Es un hecho que !a estadística y/a probabilídad, en e/ mundo esco/ar, estánmuy re%gadas Se ven, en general, poco y mal.

razones, lo que se dice razones, no encuentro probabiemente el que vepoco soy yo. Por el contrario, hay algo que v^lle. Me sorprende que señalelo apretado de los programas de matemáticas como una causa del abando-no de las lecciones de estadística, sin indicar qué otras deben suprimirse enbeneficio de éstas.

Caigo así en la cuenta de que por muchas y muy evidentes que sean susgracias, la importancia o la insignificancia de un saber en el bachilleratodepende de dos cuestiones previas: t puede au mentarse el nú mero deasignaturas o su contenido actual? y^qué se quiere que sea la enseñanzamedia?.

Ahora, el malhumor me invade, avanzo en terreno pantanoso y empiezo acreer que tu encargo terminará, como otros, en la papelera, cuando, idepronto!, se hace la fuz. EI sentido común parece dictar que toda nuevaincorporación debiera ser, en realidad, sustrtucíón, y que cada ampliación deuna lección debiera acarrear una reducción equivalente en otra u otras. Noes así. Hay un fenómeno extraordinario, tan singular y maravilloso que sólotiene parangón con la expansión de Universo, y que permite incrementarcasi indefinidarnente los planes de estudio y los programas. Fenómeno que,si tienes la paciencia de seguir leyenda, conocerás hasta donde Ileguen rniscortas luces.

Hace treinta años, corrían tiempos pobres y menguados. Tanto era así,que ahora me parece que, hasta en el bachilferato teníamos pocas explica-ciones. Como lo oyes. A menudo, el profesor entraba en clase y decía:iestudio! Entonces hacíamos los deberes o leíamos. Otras, como debíaescasear la tiza, se nos obligaba a ejercitarnos en el cálculo mental.

ESTADIST[CA ESPAÑOLA

Eran tan flacos los libros como la época, y un curso de Matemáticaspodía reducirse a calcular con fracciones y reglas de tres, lo que te daráidea, si no lo recuerdas, del tranquilo y perezoso discurrir de nuestra vidade colegiales.

Así, luego de mucho repetir dictados, redacciones y cuentas, terminába-mos por no equivocarnos al pasar de centímetros a metros y escribir conortografía y algo de garbo.

Aprendíamos también a plantear ecuaciones, a manejar la tabla de loga-ritmos, algo de trigonometría y a callar.

Aquella enseñanza encajaba bien en una sociedad con unas valoresestablecidos y, casi universalmente, aceptados de grado o a la fuerza ,que la escuela transrnitía. Además, estudíar era una suerte, y ese privilegioIlevaba implícito un deber.

Hoy, por fortuna, la situación ha variado radicalmente. 1/ivimos un tiempode abundancia. Los programas y los libros han engordado bastante, y aún,me temo, han de engordar más. Por ello no se puede perder el tiempodejando a 1os chavales que estudien a su aire o jueguen a los barquitos. Sise hiciera así, no se expficaría ni la cuarta parte de lo establecido. Además,estudiar es un derecho, i qué digo derecho!, i es una obligación !, y yasabemos que las obligaciones terminan por ser odiosas. También los profe-sores están más y mejor preparados. Muchos de ellos podrían ser profeso-res de Universidad, y eso se nota.

Hoy hay rnucho que explicar, y no queda tiempo para dejar que ejemplosy ejercicios ferrnenten en cada muchacho, al ritmo que marca su propioimpulso vital. En ocasiones me pregunto tqué será del mozuelo que, consus catorce, quince o dieciséis años, descubra una tarde que cada vez quemira a Purita, su vecina, se^ pone colorado y casi no puede hablar? Puedeser que haga su descubrimiento el día que el profesor explique el teoremade/ coseno, y que, cuando su imagínación regrese al aula, se encuentre conque ya desfilaron por la pizarra los números complejos, la geametría mé-trica del plano, !as cónicas y el cálculo diferencial.

En esta carrera alocada, no sólo se paga el precio de dejar atrás aquienes los avatares de la vida les exigen hacer un alto en algún instantedel curso. Tarnbién se sacrifica el verdadero contenido de las asignaturas,en virtud de la ley fundamentai a la que me refería, una ley que acabo deinventarme y que dice así:

La intensidad corr que se explícan y practican /os fundamentos de urraasi,gnatura es inversarnente proporcional a! cuadrado de la extensión de suprograma.

SITUACION DE LA ENSEÑAN`LA DE LA ESTADt5TIC'A EN BACNILLERA"TO 239

En serio, engordar los programas equivale a estudiar más deprisa y de

puntillas. Madurar y asimifar Ilevan tiempo. Hay razones históricas queavalan lo que digo. La mayor parte de las lecciones de Matemáticas de laenseñanza media tratan temas que no tienen más de doscientos cincuentaaños de antig^edad. Además, posiblemente están formuladas en unos tér-minos que ni sus propios descubridores reconocerían. Francamente, mecuesta trabajo creer que lo que durante siglos se resistió a las mejorescabezas del pasado, pueda ser digerido y asimilado, en tan breve periodo,por los colegiaies.

Este proceso de digestión y asimilación es crucial. Cuando comemos lacarne de un animal, sus nutrientes pasan a ser nuestros, deja de ser sucarne para convertirse en nuestros músculos y en la energía que impulsanuestras acciones. Algo así ocurre con las ideas. Un concepto digerido yasimilado, es plenamente nuestro. Farma parte de nuestra inteligencia, denuestro mirar la vida, de nuestro ser, no corno aigo prestado sino propio. Locontrario es el empacho: la indigestión permanente, que a la larga, noproduce en los jóvenes más que un rechaza por todo lo que hueia aeducación.

Con el amontonamiento y la prisa, se roba el placer. EI estudio, se quierao no, es sacrificio. No es placentero en sí mismo. EI goce y disfrute estánen alcanzar la meta, por próxima que sea, o, en todo caso, en sentir cómocada vez está más cerca. Si pretendemos enseñar tantas casas que elestudiante no tenga nunca ocasión de recrearse y decir, i ahora sí !, i ya séesto!, si le obligamos a ir con !a lengua fuera, no tardará en sentarse aver{as pasar.

Quizá yo esté totalmente equivocado. Temo que sea superficialidad loque se demande: dar una visión general del mundo de hoy y una capa de

barniz de culturilla.

No es la primera vez que tropiezo con editoriales de escritores sesudosdonde se incluye a la enseñanza dentro del sector "servicios", junto aiturismo y la hostelería. Quizá sea una clasificación justa y acorde a nuestrotiempo.

Temo que nuestra sociedad no quiera una escuela frente al mundo, quedivulgue valores y pamplinas platónicas propias de griegos, romanos ydemás escombros del pasado. Sino que prefiera una enseñanza en y desde

el mundo actual, que mire a las picardías de la calle. Quizá por ello tenganvigor los argu mentos:

su utílidad en los campos más diversos.

su actualidad.

la difusión de sus términos en el mundo actual.

EST A^E^i i^ i E^SPAtiCjLA

y sobre todo

su uso en ta prensa.

Recuerdo que, no hace mucho, un catedrático de Historia cantemporánearesumía todas sus razones sobre la necesidad de enseñar su ciencia en elcurso de acceso a la Universidad, en una frase: es importante para /eer elperiódico. Y que, a menudo, se insiste en la necesidad de extraer de laprensa y Ca televísión, porque añado yo quizá ése es el baremo, hoygeneralmente admitido, de la importancia de las cosas.

Quizá el estilo periodístico, sobre toda de la televisión, deba ser ilevado alos planes de enseñanza y a las aulas. Quizá pronto el vídeo inunde ioscolegios, y gracias a él, se pueda enseñar un continente entero en una hora.

Temo que lo que quiera la sociedad sea enseñanza-turismo, pas2r ►mirar. Hacer una excursión apresurada por las ciencias y!as letras cuyoanimador cultura! sea el profesor ya el rey Ptolomeo (no sé cuántos)quería algo parecido de Euclides , y que los textos sean folletos de divul-

.,gac^on.

No todas las obras del hombre son tan efímeras, no todas se gastan hoyy desaparecen mañana. Algunas, pocas, quedan. En ésas, creo, debe funda-mentarse la enseñanza general. Esas obras son manantial inagotable deinspiración y solaz, son el pozo seguro en medio del secarral. Todav^arecuerdo y bendigo al profesor que me inició en las andanzas de nuestroseñor don Quijote. En la historia de su vida aprendí la fengua de mis padresy de mi tierra, y hallé un ideaf de vida. Puedo decir que, aún hoy, siempreque vuelvo a sus páginas, encuentro nueva luz y consuelo, guía y ejemplo.zQué hubiera sido si en vez de proporcíonarme la navefa de Miguel deCervantes, me hubiese dado otra de E/ coyote? Si la so^.:: --.^^ quiere leccio-nes de usar y tirar, me alegro de haber desertado de la enseñanza.

Por eso, querído Ricardo, e: ^ *almente en contra de enseñar estadís-tica en la enseñanza media, s^^. ._.c^ sea a cambio de aplicar una buenapurga, iel viejo aceite de ricino! al programa actual. Cierto es que tiene laestadística aplicaciones muy interesantes a las ciencias sociales, econó-micas y biológicas. Cierto tambíén, que contribuiría a dar un aire renovadoa la asignatura de matemáticas. No menos cierto, que muchos de susprincipios pueden ser entendidos por los jóvenes. Pero el hecho de quealgo pueda ser entendido, no justífica, según creo, que deba ser explicado.

Por último, si me !o permites, te hablaré de otra cuestión que, tambiéntemo, cada vez tiene menos que ver con la enseñanza: el aprender.

Ante todo, te confesaré que encuentro aspectos posítivos en los tiemposque vivímos. Hoy se puede ver con claridad las cosas, Ilamarlas por su

^r rt ->c ^c^ti r^f ^_^^ r^^r ^-^tir-^ r^r r-^ t^^ ^^r^r^^ ic -^ r^, ^^^^c t^ir r t K,1 r c^ ^^1

nombre, y hasta decidir algunas por nuestro santo y libre gusto. Esto, creo,acontece, cada vez más, con el aprender. No me refiero aquí a aprender unoficio, profesión o maña para ganarnos la vida, sino a buscar satisfacción apreguntas que nosotros mismos, gratuitamente, planteamos. En suma, aaprender por curiosidad y ganas de saber.

Antañ©, todo esto se mezcló con el propio fin de la enseñanza, hasta elpunto de dar por supuesto que un estudiante debía poseer un espírituexigente, de insatisfacción con lo dado no por ser dado, sino por estar ya

conseguido Ileno de ambición por hallar nuevas y mejores respuestas.Hogaño esta tramoya parece desmoronarse.

Puede que otra vez vuelva la raza de los curiosos a hacer, pensar ybuscar, por su propia iniciativa y placer, sin el apoyo o la traba de unmundo que consideraba, al menos de boquilla, que ése era un modelo que

seguir. Esa raza que Goethe definió:

Yo soy del línaje de aquél/osque de !o oscuro a!o claro aspíran

Pero me cabe la duda de si, a( fin, la mediocridad y la estulticia ganaránsu batalla contra la curiosidad. Porque esta estirpe no ha recibido, como lade Abraham, la promesa de la innumerabilidad. Por ello, reconozco, nosiento emoción mayor que la de contemplar cómo, generación tras genera-ción, rebrota la débil Ilama de la inteligencia, ni encuentro labor más dignade un hombre, que la de contribuir a mantenerla viva y anheJante.

COMENTARIO

JULIAN DE LA HORRA

Universidad Autónoma de Madrid

Cuando yo era estudiante de Preu en el Instituto Cardenal Cisneros deMadrid tuve la suerte de tener un excelente profesor de Matemáticas quenos fue explicando con claridad los distintos temas. Con una sola excep-ción: un par de lecciones sobre rectas de regresión y coeficiente de correla-ción lineal. Dejó estas dos lecciones para el final del curso y una tarde nosreunió en un aula a todos los alumnos de sus tres grupos para, en unasesión maratoniana, "explicarnos" todo aquello. Como es natural, la sensa-ción que me quedó fue que la Estadística era algo sumamente desagrada-ble. Por lo que se desprende del trabajo del Profesor Colera, las cosas nohan cambiado demasiado en los últimos veinte años.

E5TAUISTIC.^ ► ESP^^^+Of_A

Muchos factores influyen en esta situación:

a^ Por parte de1 M.E.C., poner unos programas enormes, al tiempa queabsurdos. Esto no ocurre sálo en Matemáticas; es un defecto común a1resto de las asignaturas. Pero es más grave en Matemáticas, por suscaracterísticas especiales.

by Por parte de !as Editoriales, presentar unos libros de texto especial-mente farragosos y malos en !a parte de Estadística.

c) Por parte de los profesores, !a existencia de un rechazo bastanteextendido hacia los conceptos de la Probabilidad y!a Estadística.

Pero me temo que todos estos factores se reducen a uno solo: !a igno-rancia. Así como la mayoría de los maternáticos saben para que sirvenconceptos tales como la derivada o la integral, sin embargo, muchos des-conocen la finalidad de los conceptos básicos en Probabiiidad y Estadística.Esta es una afirmación dura, pero no gratuita. Voy a dar algunos ejemplos(sólo algunos} que apoyan esta afirmación,

Para empezar, una perla que nos encontramos en e! programa de Mate-máticas ! I de C.O.U., y que viene recogida en el artículo del Profesor Coiera:

La binomial como aproximación a la normal

Estoy convencido de que esta aproximación se explicará en algún colegioo instituto, ya que si viene en e! programa podría "caer" en la Selectividad.

Por si aiguien piensa que esto puede ser simplemente una cosa anecdó--tica voy a dar dos ejemplos de como está tratada (sería preferible decirrr^altratada) la Probabilidad en un libro de texto de Matemáticas de C.O.U.(no indico la Editorial porque no pretendo criticar un libro concreto, sino unestiloy:

a} Dedica cuatro páginas a'"explicar" el concepto de álgebra de suce-sos. Para dar una idea del estilo "claro y sencillo" que se utiiiza voy arecoger textualmente la definición de unión de sucesos:

Se Ilama unión de sucesos y se denomina por U a/a ap/icación

S2 x S^ y> S^

(A, B y > A U B

q►ue asocia a cada par de sucesos (A, B) el suceso .A U B definido por lacorrdición.- el suceso A U B se realiza si y sólo sr se reali^za al menos uno delas dos sucesos.

SITUACION DE LA ENSE^JAN7.A DE LA ESTAUISTICA EN fiAC^HII_I_f=FZAT(^ ?43

La exposicián continúa con lindezas de este estilo y para terminar deaclarar las cosas inciuye en un ejempio diversas álgebras de sucesos relati-vas al lanzamiento de un dado. Posiblemente, el alumna terrnine pensandoque se puede lanzar el dado de acuerdo con diferentes álgebras, o algunabarbaridad por el estilo.

E1 concepto de álgebra de sucesos es un ejemplo de concepto que nopinta absolutamente nada en B.U.P. y C.O.U, (yo, incluso, lo evito en cursosde gioestad+stica en la Universidad). Conviene introducir sólo aquellos con-ceptos que son necesarios y ayudan a aclarar las ideas; el concepto deálgebra de sucesos 1o único que hace es estorbar en experimentos con unnúmero finito de posibles resultados.

b) La expasición del concepto de probabilidad candicionada tampocotiene desperdicio. Después de una introducción lamentable, se dedica algomás de una página a verificar que la probabilidad candicionada efectiva-mente verifica ios axiomas (esto es algo que está fuera de lugar en estenivel; no es que sea difícil; es, simplemente, innecesario). Pero lo meĵor es

la guinda; para que e! alumno entienda la utilidad de la probabilidad condi-cionada, se pone ei siguiente ejemplo:

Una urna contiene 12 bolas rojas y 8 negras. Se sacan dos bolas sin

reemplazamiento. Se pide cua/ es !a probabi/rdad de que /a segunda bo/a seanegra si se sabe que !a prímera ha sido negra.

En vez de utilizar el sentido común y razonar que si la primera ha sidonegra, quedarán en la urna 12 rojas y 7 negras, y por tanto, la probabilidadpedida es 7/19, el autor del libro se mete en unos cálculos mucho másfarragosos utilizando la definición de probabilidad condici©nada. Eso sí, elresultado es el mismo. La conclusión que sacará un alumno avispado esque la probabilidad condicionada sirve para calcular de manera complicadalo que se puede obtener de manera inrnediata sin probabilidad condiciona-da. Un alumno menos avispado se habrá perdido mucho antes.

,Por si fuera poca la confusión, el examen de Selectividad contribuye

también con su granito de arena. Lo peor de la Selectividad no es queseleccione poco; es que, además, selecciona mal. Para un alumno que seainteligente y trabajador tiene que resultar desalentador encontrarse con unexamen que no puede hacer, sencillamente porque el nivel de dificultad esde un orden superior. La única vez que he tenido la "fortuna" de estar enun Tribunal de Selectividad, los alumnos se encontraron con el siguienteproblema:

Sobre un intervalo se eligen dos puntos al azar. ^Cuá/ es Ia probabilidad deque con los tres segmentos resultantes se pueda formar un triángulo?

^-^^ t_ST;^[)15T1C^:1 t-SF':lti<)F_;^

Incluso en las mejores condiciones (de enseñanza y capacidadj, un alum-

no de C.O.U. no sabe por donde coger el probfema. Naturalmente, ninguno

1o hizo. Supongo que a algún genio, metido en su torre de marfil, le pareció

que el problema era bonito y lo puso. C2ue fuera adecuado o no, era una

cuestión irrelevante,

En definitiva, habremos ganado mucho cuando se expongan solamenteaquellos conceptos que son realmente necesarios e interesantes, se moti-ven de manera atractiva y, sobre todo, se ilustren con ejemplos adecua^dos.^Si, ^demás, los Gxámenes se diseñarán de manera adecuada para medir lacomprensión de es©s conceptos, la situación seria casi perfecta.

Reflexiones en torno a la enseñanza de #a estadística enbachi^ierato

JULIO MIRAS

Instituto Nacional de Estadística

1. PLÁNES DE ENSEÑANZA: DESEOS, PROYECTOS Y RECURSOS

Mi dedicación a la enseñanza de matemáticas de bachillerato durantedos cursos académicos en los años 1968-70, se encuentra lejana en eltiempo aunque su intensidad la mantiene fresca en mi memoria. Me satis-face pensar que acaso mis alumnos han aprendído tanto de mi como yo deellos. A falta de experiencias directas recientes, dispongo del interesantetrabajo dei profesor J. Colera que cumple la difícil misión de documentar,plantear y abrir el debate sobre la enseñanza de la Estadística en bachille-rato para este número especial de Estadística Española.

C^bservo que hoy Colera señala algunas características presentes en la

enseñanza de la Estadística en bachillerato (tales como programas y libros

de texto densos, que invitan a un tratamiento en exceso academicista,

junto con exámenes que condicionan a 1a memorización de fórmulas y

recetas que han de aplicarse mecánicamente, propiciando todo ello un

aprendizaje poco activoj que también estaban presentes en la enseñanza

de las matemáticas hace más de veinte años. Debo pensar que algo se

habrá avanzado en este plazo, aunque solo sea por la incorporación de

generaciones de profesores con conocimientos y actitudes más acordes

con los tiempos. Siempre existirán elementos condicionantes de la eficacia

de un sistema educativo, sin embargo es posible mejorarlo si se estudian

todos los factores que intervienen, se fijan objetivos alcanzables y se apor-

tan los recursos necesarios, teniendo presente la experiencia de1 pasado.

SI`i^l!A('l()N [)E:^ L.A E:tiSEÑANI.A DE: LA E:STr^[:)ISTI(' ^^ E-:ti BAC'H1l.LE^Ftr^^1() ?4 Ĵ

Qpino que es conveniente una profunda reflexión acerca de qué ha sido

las matemáticas a lo largo de la historia, cómo han sido creándose, queproblemas intentaban resolver y, por supuesto, qué misión tienen en lasociedad actual y previsiblemente tendrán en el futuro cercano, para alcan-zar algunas líneas de acuerdo acerca de los objetivos deseados en losgrados educativos anteriores al universitario. Debemos de tener en cuentaque el sistema educativo refleja las ideas, los comportamientos, los intere-ses de cada momento pero también configura, y de eso se trata, la socie-dad futura constituída por nuevas generaciones. Las matemáticas y la©stadística, que aquí nos ocupa, ni han tenido ni tienen hoy una existencia

al margen dei resto de las actividades intelectuales aplicadas a las pregun-tas y problemas de todo tipo que en cada momento histórico son objeto de

interés. En los ciclos anteriores al nivel universitario, una presentacián,digamos aséptica, excesivamente formalista y aislada de su evolución, delas relaciones con otras ciencias, de las aplicaciones; en otras palabras,desconectada de la realidad y de la sociedad, además de engañosa creoque no es pedagógicamente aconsejable y no contribuirá a la formación denuevas generaciones inte{ectualmente libres con mayor grado de responsa-bilidad y de conciencia del universo que viven y modifican.

Cabe pensar que el profesorado de bachilierato va a reproducir el métodoaprendido en la universidad y acaso no disponga de conocimientos, textosy demás elementos pedagógicos que le permitan adaptarse con éxito a unaenseñanza de orientación distinta. Cualquier proyecto del plan de estudiosdeberá contemplar este asunto que no es tanto una cuestión de recetassino de actitudes en el proceso de introduccíán conducción de los jóvenespor el camino del conocimiento científico. La universidad debe tomar con-ciencia de que no solo forma futuros profesionales, hábiles en el manejo deconceptos abstractos y en los procesos lógico-deductivos, sino tambiénfuturos profesores a los que se les va a exigir algo más.

2. MATEMATICAS Y ESTADISTICA

Parece que es claro distinguir qué teorías o capítulas de conocimientocientífico pertenecen al terreno de las matemáticas y aunque pudiera haberdudas con algunas partes de la física o de otras ciencias, creo que no esmayor problema la decisión en torno a en qué asignatura de bachillerato hade incluirse tal o cual tema. En el caso de la Estadística este asunto merecealguna reflexión. Si bien se estudia con mayor o menor intensidad en muydiversas facultades universitarias como instrumento necesario, entendidacomo ciencia deductiva pertenece al ámbito de las facultades de matemá-ticas y se incluye en bachillerato formando parte de esta área. Sin embar-go, entendida con un sentido más amplio en el que podemos incluir las

24ó FSTADISTICA ESPAÑOLA

actividades de captación, elaboracián y presentación de datos que sonproducto de un proceso de experirnentación u observacíón, así como !as deelección y determinación de criterios o modelos, más o menos complica-dos, para describir, analizar e incluso farmular predicciones o previsiones,nos plantea una faceta que no encaja estrictamente en un cuerpo deenseñanza, hasta hoy, típico de las matemáticas.

Si bien es cierto que la parte más formalizada es la que se refiere a ios

fenómenos aleatorios, donde los sucesos o casos individuales se supone

que se producen con arreglo a una ley de prababilidad, en un sentido

amplio los métodos y técnicas estadísticas incluyen aplicaciones en las que

no está en juego la probabilidad, o no e^ correcto suponerlo. No existe una

denominación que permita aislar estas partes de la Estadística. Además de

la que suele llamarse Estadístíca Descriptíva que básicamente hace refe-

rencia al tratamíento de dístribuciones de frecuencias mediante el cálculo

de parámetros o la aplicación de procedimientos de estimación y ajuste

que correspondería si se tratase de muestras en el contexto de un experi-

mento aleatoria, y de otras técnicas como la de Números Indices, pademos

incluir también procedimíentos empleados en censos, encuestas, formación

de estadísticas administrativas, etc. que no siempre constituyen capítulos

matemáticamente formalizados pero que requieren el manejo y estableci-

miento de conceptos claros a!a hora de definir, clasifícar y contar, ponién-

dose en evidencia la distancia que existe entre el fenómeno real y el

modelo o esquema intelectual utilizado.

Lo anterior nos conduce a notar el hecho de que en un sentido amplio, la

Estadística comprende capítulos que no encajan en un temario tradiciona!

de matemáticas, tanto por la variedad de sus técnicas y procedímientos,

que exceden •e! campo de los modelos estrictamente probabilístícos, como

por su vacación, proclamada sin sonrojo, de ciencia aplicada. Habrá que

decidir, en función de los objetivos de cada nivel educativo y rama o

especialidad, qué partes conviene o no incluir en un tarnarío de Estadística,

preguntándose a continuación si el profesorado de matemáticas generales

dispone de formación para una tarea tan específica a puede formarse en

plazos razonables. La inciusión dentro de !a asignatura de matemáticas

hace pensar que los contenidos se referirán a!a parte matemática de !a

estadística y siendo deseable que los alumnos que finalizan el nivei pre-

universitario (COU) tengan nociones del álgebra de sucesos, de la teoria

formal de la probabifidad, variable aleatoria, función de distribución, etc.,

sería inconveniente que no tuvieran antes (y al mismo tiempo) un acerca-

miento a problemas y técnicas empíricas que le permíta comprender su

posterior formalización matemática.

SITUAC[ON DE LA ENSEÑANZA DE LA E5TADISTIC'A EN BACNILLERATO 24^

3. LOS EXAMENES

EI exámen juega un papel clave puesto que además de servir para laevaluacián individual de los alumnos y para informar del éxito o fracasocolectivo respecto de un determinado plan de estudios, inevitablementeinfluye en el propio proceso educativo ocasionando una adaptación de losprofesores y alumnos a ser eficaces en tal tipo de prueba. De esta formapuede resultar un instrumento de observación no neutral, tanto para laevaluación individual como colectiva, y al rnismo tiempo perturbador de losobjetivos buscados en el plan de estudios. Por tanto es necesario tener encuenta esta influencia y reflexionar detenidamente acerca del tipo de cues-tiones que se proponen.

Estoy de acuerdo con las observaciones del profesor Colera sobre laspruebas de selectividad y me gustaría decir algo más sobre este asunto.Personalmente tengo cierta aversión a que se propongan problemas decuestiones que admiten una única vía de solución, muchas veces rebusca-da, poco acorde con situaciones reales, impidiendo que cada alumno puedahacer uso del razonamiento o técnica más adecuada a sus esquemasmentales o la posibilidad de que proponga una solución no esperada por el

examinador.

Qbviamente lo anterior debe interpretarse sin extremismos ya que tarn-bién son necesarios y formativos muchos tipos de problemas y cuestionesde única vía de solución, pero pueden tener el inconveniente de que condi-cionan a que el alumno memorice y aplique reglas o fórmulas mecánica-mente, dotándose de un repertorio de casos particulares que le conducirá auna visión casuística de la asignatura. En este contexta el alumno tiende aconsiderar la manipulación algebráica corno un fin y no como un medio, asícomo a desechar cualquier intento de razonar de forma autónoma a carn-bio de rebuscar en su memoria la fórmula o regla práctica que acaso le

resuelva el problema.

Conviene decir que fa realización de exámenes masivos, con limitacionesde tiempo, espacio o de consulta de libros y apuntes, condicionan a que losexaminadores propongan preguntas o problemas fácil y rápidamente corre-

gibles. Creo que conviene estimularlos, favoreciendo las condiciones cir-cunstanciales, para que formulen exámenes más creativos. Quizás unamedida útil y en muchas ocasiones fácilmente aplicable, consiste en permi-tir fa utilización de libros y apuntes; con elio además de acostumbrarse aluso de textos, los alumnos se descargan de aspectos memorísticos que,

24^3 [_ST ^1 [^[5T I('A E.SP,1 ti()L,^

siendo necesarios puesto que sin memoria no hay aprendizaje posible, no

deben jugar un papel esencial en un exámen de matemáticas o estadística.

De hecho, c^,aiquier profesor, investigador o profesional dispane y utiliza

textos cuando le es necesario para el desarrollo de su trabajo.

4. PROBABILI DAD Y VARIABLE ALEATORIA

En Ios actuales programas de bachillerato parece que hay excesiva prisapor introducir !a probabilidad y!as variables aleatorias. Antes de estar encondiciones de establecer un modelo probabilístico es necesario saberdeterminar el contexto y el experimento de referencia así como teneralguna experiencia en la obtención y manipulación de colecciones de datos.Las operaciones de definición de los elementos o sucesos integrantes delcolectivo o espacio ©bjeto de estudio, así como de las característicasobservables de los mismos, junto con el problema de clasificación de talesunidades en conjuntos o sucesos, homogéneos o equivalentes, en relacióncon algún criterio, ciertamente no pueden formalizarse a ia manera de unateoría matemática. Sin embargo de alguna forma el alumno necesita fami-liarizarse con este aspecto de! problema que es el primer vínculo de iareaiidad con la construcción intelectual que de ella va a hacerse.

Definir, c^asificar y contar son, en resumen, !os primeros pasos necesariospara cualquier operación posterior de descripción, análisis o inferencia acer-ca del colectivo objeto de estudio. Incluso en alumnos universitarios heobservado la confusión entre suceso y valor de la variable, quizás por laconveniente simplificación de afirmacíones tales como: sea x1, x2, ..., xnuna muestra, etc., etc. en vez de: sea x(s )^,..., x(snf las observacionesefectuadas en una muestra s 1, s2, ..., sn; o por suponer que siempre setrabaja en un espacio contenido en la recta real evitando el enojoso asunto,especialmente en espacios no finitos, de distinguir entre el experimentoaleatorio que da lugar a la presencia de un elemento o suceso y el procesode ©bservación del mismo que da lugar a un valor particular de ia variable.

De otra parte, creo que el proceso anterior, preferiblemente referido apoblaciones y no a muestras, deberá continuarse con la formación defrecuencias absolutas y reiativas, estudiando y apiicando sus propiedadespara la presentación de resultados y primera descripción de 1os mismos. Esaquí donde pueden conienzar a utilizar el concepto de variable observada ovariable estadística (sin referencia todavía a variable aleatoria^ y aprender adistinguir que, en el caso bidimensional, por ejemplo, los dos valores +del parcorresponden a una misma unidad o suceso, asunto este que a vecesconfunden con 1a presencia de dos poblaciones, impidiendo en lo sucesivola adquisición de nociones claras acerca del significado de la regresión y fas

SI`T^^l':^C'!Uti UE L.;^ E;NSE:i^irllilA DE L,^ E:S-T,^>DIS^^^1('^> E^_ti F3A('E^#ll_L^:RA^1^^O ^^y

distribuciones condicionadas. También, otras técnicas gráficas y procedi-mientos de Estadística Descriptiva deberían introducirse antes de entrar enla probabilidad, variable aleatoria, etc.

En cuanto a la combinatoria, creo estar de acuerdo con Colera en que noes oportuno tratarla como el atecedente natural de probabilidad. Es más,me parece inconveniente en el caso de alumnos de bachillerato puesto queaún siendo un instrumento útil y necesario para más tarde estableceralgunas distribuciones teóricas, la probabilidad es un concepto en el quepueden iniciarse intuitiva y experimentalme^nte sin necesidad de interponeruna técnica de cálculo de casos que suele resultar en principio árida aestos alumnos. En Estadística la combinatoria deberá aparecer cuando seanecesaria para generalizar la distribución de probabilidad de algunas varia-bles aleatorias típicas, como un instrumento útil y necesario, pera no esen-cialmente ligada a la probabilidad.

5. CONTENIDOS Y ORIENTACIONES

No voy a entrar en la especificación de contenidos proponiendo aigo asícomo un temario. Se está elaborando una Ley de Ordenación del SistemaEducativo que determina un período de Enseñanza Secundariaobligatoriapara alumnos de 12 a 16 años, al que siguen diversas opciones de Bachi-Ilerato y Formación Profesional. Solamente decir que para el ciclo de E.S.O.me parecen muy interesantes las tendencias, señaladas por Colera, propug-nadas por grupos de profesores interesados en didáctica de las matemáti-cas; de las citadas me gustaría reforzar, sin menosprecia^r las restantes, lautilización de la historia de la matemática (en relación con los problemasplanteados en otras ciencias o actividades, añadiría) como importante re-curso didáctico; la utilización de los juegos como base para la adquisiciónde intuiciones (añadiendo que también contribuyen a comprender y apren-der a realizar los procesos de elaboración de esquemas intelectuales, omodelos, para problemas reales concretos), así como el fornento de {acreatividad, el espíritu crítico, la constancia y empe "no en la búsqueda decaminos para resolver situaciones nuevas Íincluso en matemáticas y esta-dística, mediante el planteamiento de situaciones problemas que admitandiversas opciones o vías de solución, adaptados a nivel y edad de losalumnos, sin que necesariamente el rigor expositivo deductivo juegue unpapel de condición esencial).

Deseo también resaltar una de las sugerencias, entre las señaladas porCo{era en el apartado de orientaciones didácticas. Siempre he pensado quelas matemáticas, y por supuesto la estadística, deberían de contar conactividades de taller o laboratorio, utilizando cuando sea oportuno instru-

25^ EST,Ab1STICA ESPA^IOL_A

mentos y mecanismos, a modo de máquínas analógicas cuyo funciona-miento sea traducible a modelos matemáticos sencillos. En el caso de laEstadística, con mayor énfasis debe reforzarse la obtención de información,medíante el díseño y realización de mediciones repetidas, etc., etc.

En los siguientes ciclos de bachillerato y formación pr©fesional, quizá^s lospragramas se diversifiquen según una orientacíón preparatoria de estudiossuperiores en un caso y laboral en el otro. En general me muestro máspartidario de temarios menos densos pero mejor comprendidos que de locontrario. Por lo dernás, considero aplicables todas las anteriores reflexio-nes adaptando la exigencia de abstracción y rigor a nivel educativo corres-pondiente.

^-^c^r último, señalar que ha existido una tendencia a identíficar el nivel delos conocimientos con ^a amplitud de !os temarios y!a introducción deciertos conceptos, técnicas o teorías a edades excesivamente tempranas.Estoy convencido de que tanto en Matemáticas como en Estadística, debehacerse un esfuerzo para espigar 1os elementos básicos que deben ser biencomprendidos por los jóvenes, de modo que en sus etapas inicíales no sevean abrumados con problemas que resolverán más adelante sin excesivasdificultades teniendo bases elementales sólidas.

CC^f^IERITARIOJOSE GABRIEL PAL4M0 SANCHEZ

Universidad Politécnica de Madrid

Considero que el trabajo del profesor José Coiera constituye un esfuerzoserio y profundo por analizar ías causas de la situación actual de la ense-ñanza de la estadística en el bachi^lerato y las posibles vías de actuaciónpara su mejora.

Comparto con él la opinión de que nos encontramos en un momento enel que la estadística ha quedado relegada, y que sóio la parte correspon-

diente al cálcuío de pr©babilidades de C.o.U. se estudia con cierta profundi-

dad debido, sobre todo, a su inclusión en los exámenes de selectividad.

En líneas generales estoy de acuerdo con los tres tipos de actuacionesque propone el autor en su artículo aunque, en mi opinión, deberían tenerseen cuenta las siguientes consideraciones:

Con relación a ia formación del profesorado, es necesario contemplar,como una de las causas fundamentaies de la falta de conocimientos deestadístíca de los profesores de matemáticas, tanto de la enseñanza pú-blica como de la privada, la gran heterogeneidad de este conjunto de

SITUAC'ION DE LA ENSEtiANIA DE LA ESTADISTICA EN BACHILLERATO ^S ►

profesores. Ocurre que muchos de ellos no han estudiado jarnás estadís-tica, porque esta materia no formaba parte de su curriculum universitario. Yen el caso de los rnatemáticos, es evidente que la formación recibida porun elevado porcentaje de ellos fue excesivamente abstracta y, desde elpunto de vista de la enseñanza elemental, inadecuada.

Por otra parte, las pruebas de acceso al cuerpo de profesores agregadosde bachillerato, que conforman en la actualidad la gran mayoría de losprofesores de matemáticas de los institutos, tampoco eran muy exigentesen lo que a conocimientos estadísticos se refiere, tan sólo dos de los cientemas que componían el temario se dedican a problemas estadísticos:

Tema 94: Probabilidad. Probabilidades totales. Probabilidades compues-tas.

Tema 95.• Teorema de Bayes. Aplicaciones.( B.o. E. 4-3-74 ►

EI temario de los exámenes de acceso a catedráticos de bachillerato eranun poco más amplios en el aspecto estadístico, cinco temas sobre un totalde ciento tres:

Tema 70: Sucesos aleatorios. Probabilidad.

Tema 71: Variables aleatorias. Función de distribución. Distribuciónnormal.

Tema 72: La Ley de los grandes números.

Tema 73: EI teorema central del límite.

Tema 74: Distribuciones bidimensionales. Correlación. Líneas de Regre-sión.

( B.O. E. 4-3-74}

EI contenido de estos temas, y su escasez, pone de manifiesto el escasorelieve que el Ministerio de Educación concedía a la enseñanza de laestadística, así como la orientación casi exclusivamente probabilística de lamisma.

Conviene también reflexionar sobre la preparación de los profesores delas materias que harán uso de la estadística como herramienta y que, engran rnedida, serán los encargados de mostrar a los alumnos la utilidad quela estadística tiene en el desarrollo de muchos estudios no matemáticos.Así, en el punto n.° 37 del capítulo dedicado a orientaciones didácticas ypara la evaluación del D.C.B. puede leerse que "la estadística no tendrásentido si no se ha logrado, a través de las ciencias sociales, que el alumnocomprenda la utilidad de describir situaciones colectivas, de prever su

^ ^-^ E.ti7 .•^ [)IST I( ^.1 E_SPA ti()t_ ^1

evolución para controlar en lo posible consecuencias no deseadas, etc." Espues indispensable, en mí opinión, que los profesores de las ciencias socia-les y experimentales tengan un conocimiento suficiente y hagan uso en susclases de las técnicas estadísticas elementales, lo que resulta imprescindi-ble, además, si se desea "conseguir que los jóvenes asimilen de formacríiica los efementos básicos de la cultura de nuestro tiempo", que es unade las dos funciones que la educación secundaria obligatoria está Ilamada adesempeñar. ^^ibro blanco para la reforma de la enseñanza no universitaria^ L.B.i ).

Asimismo, dentro de este panorama de amplia heterogeneidad del profe-sorado de matemáticas, hay que tener presente además que los profesoresde E.G.B. están Ilamados a desempeñar un ímportante papel en el primercicio de la enseñanza secundaria obligatoria (L.B. Cap. VII, 4i }.

En consecuencia, y a corto plazo, sería necesario proceder a una ofertaamplia y seria de cursos de formación orientados a superar las deficienciasque, en este terreno, presentan los profesores de enseñanza secundaria. Sinolvidar que, desde mi punto de vista, la forrnación del nuevo profesorado yla forma de acceso a los centros de enseñanza deberían ser abjeto de unaprofundísima revisión, que incluiría una modificación sustancial, y especí-fica, en el currículum de todas aquellas personas que deseen dedicarseprofesionaimente a la educación no universitaria, y qu^ otorgue a todos losfuturos profesores unos conocimientos que les permita reafizar con eficaciasus funciones, que les faciiite mantener su nivel de formación con eltiempo y que, naturalmente según e! caso, incluiría unos rudimentos más omenos profundos de las técnicas estadísticas e informáticas básicas.

Por atra parte, y en lo referente a la modificación de los actuales progra-

mas de las enseñanzas básica y media, si bien considero acertada !a nueva

orientación de las matemáticas así como la voluntad de potenciar la pre-

sencia de la estadística en la enseñanza secundaria obligatoria, estimo que

la propia heterogeneidad del profesorado ya comentada anteriorme^^te y la

falta de preparación, en esta materia, de !os profesores de las ciencias

sociafes, pueden ser un serio inconveniente en el desarrollo de las ideas

propuestas en el D.C.B., máxime si se tiene en cuenta que es e! conjunto de

profesores ei que deberá diseñar el proyecto curricular del centro, que más

tarde se desarrollará en las programaciones definitivas de cada profesor.

Así pues, resulta muy verosímil la posibilidad de que básicamente lascosas permanezcan como están, si no en lo referente a los programas, sí enlo relativo a la "filosofia" educativa, que seguirá potenciando ia enseñanzade lo serio frente a lo falto de nivel, y de que las mayores innovacionesprovengan exclusivamente de iniciativas editoriales y no de la discusión y

S1Tl)AC'1C)^1 C^l^ ^A f^^.^1^F.?^IA^7A D}^ 1..^ ESTAIaI^T^I(^A f-ti HA('}^^Il_1_f=RATO ^^3

del estudio en los centros de enseñanza. Y más aún si no se dota a los

mismos del material informático imprescindible para poder atender los

objetivos propuestos.

Por último, en lo relativo a la selectividad, es obvio que el poder delexaminador es grande y que condiciona el proceso educativo, aunque talvez en la enseñanza secundaria obligatoria dicho poder queda restringidopor su lejanía. No obstante, en el nuevo bachillerato este problema se

volverá a plantear con toda su agudeza.

Pero, en mi opinión, el problema de fondo es más grave que la propuestade cuestionaríos de examen, y no afecta sólo a ia estadística sino que escompletamente general. Es decir, lo que hay que resolver es la re{aciónentre los distintos niveles educativos como medio de formación de losprofesores. Sería necesario potenciar el paso de profesores de secundariapor la universidad en estancias más o menos ,breves que permitiera unapuesta al día científica de este profesorado, así como facilitar la investiga-ción en temas docentes y e! desarrollo de tesis doctorales en este campo.Sin olvidar que, como ya ocurre en otros lugares, la presencia de unasección sobre didáctica en revistas especializadas podría incentivar el tra-bajo de muchos profesionales que se encuentran hoy aislados en sus

centros de enseñanza. En definitiva, creo que existen una amplia gama deposibilidades que permitirían aprovechar de una manera mucho más efi-ciente el potencial humano que actualmente exis*e en los centros de ense-ñanza no universitaria. Y que es tarea, en gran rnedida, de la universidad elcrear cauces para el logro de este objetivo.

En resumen, considero que, desde el punto de vista de los contenidos, lapropuesta de la reforma es muy valiosa pero que, sin una actuación decidi-da que modifique esencialmente la actitud y, en cierto modo, la aptitud delprofesorado, difícilmente se conseguirán logros importantes en la renova-ción de las enseñanzas elementales y, por supuesto, en la de la estadística.

COMENTARIO

VICENTE QUESADA PALOMA

Universidad Complutense de Madrid

En estos momentos en que hay gran desasosiego e inclus0 apatia porparte de muchos Profesores de Enseñanza Media en España, es muy loableel espíritu de renovación y mejora de la enseñanza de la Matemática enBachillerato. Profesores como J. Colera en Madrid, M. Balbuena en Cana-rias y otros, contribuyen a esta tarea con la esperanza puesta en dicha

mejora.

2 54 ESTADIS7 !C'A F.SPAÑULA

Quiero comentar el artículo del profesor Colera refiriéndome a los puntosque considera como principales causas de la deficiencia en la Enseñanza dela Estadística en España. En primer lugar estoy de acuerda con el profesorColera en que la formación del profesorado en Estadística y Probabilidad noes ^muy adecuado. Creo que la solucián en este caso sería la del Reciclajede los profesores. La Enseñanza de la Matemática como la de cualquierotra ciencia, varia de forma muy rápida, es pues necesario que el profesora-do tenga cada cierto tiempo un contacto con las nuevas metodologías yaspectos novedosos de la Ciencia en cuesti+ón. Para este reciclaje las Uni-versidades deberían jugar un papel importante. En esta línea, desde laFacultad de Matemáticas de la U.C.M. se han organizado dos cursos sobreProbabilidades y Estadística para Profesores de Enseñanza Media, quecreemos han sido fructíferos.

Respecto a la formación de los futuros Profesores de B U P, se imparteuna especialidad de Estadistica, y en general los alumnos que salen de ella,tienen suficiente preparación para dar cualquier parte de Estadística deBUP y COU. Hay que hacer notar que fa mayoría de estos alumnos no sededican a la Enseñanza, sino que trabajan en la Administración y Empresas.No obstante en otra especialidad, la de Metadología, de la misma Facultad,también se cursa una asignatura de Estadística y los alumnos tambiénestán capacitados para el mismo fin.

En resumen debe haber recíclaje y los primeros pasos están dados, existevoluntad por parte de la Universidad, y por parte de muchos Profesores deEnseñanza Media; es de esperar que el Ministeria de Educación tambiéncoiabore y que estos primeros pasos no se queden en los únicos.

EI segundo punto a tratar en mi comentario es el de los programas. Enmi opinió► n los programas de las asignaturas de B U P, junto con el Profesor,deberían servir en primer lu+gar para formar y, en segundo lugar, parainformar. Sin embargo en España, se da mucha más información queformación, lo que nos Ileva a que el alumno medio es incapaz de asimilartanta información. Desde la óptica de la Estadística que nos ocupa, losprogramas proporcionan una cierta información que sería suficiente si ade-más formaran. No creo sin embargo que un carnbio en los programas seríaadecuado, creo más bien en un espíritu de llevar la formación a los alum-nos a la par que una no muy extensa inforrnación. Siempre que llega unanueva Administración a la Educaciór^, debe establecer su "reforma", su"cambio de programas" y la experiencia nos dice que los resuitados suelenser m uy pobres.

SITUACION DE LA ENSEÑANLA DE LA ESTADISTICA EN BA(`HILLERATO Z Ĵ S

Por último quisiera comentar el punto dedicado a la mala influencia que,según el profesor Colera, tiene la Selectividad en 1a enseñanza de ia Mate-

^mática y en particular de la Estadística. En particular me referiré a losjuícíos que expresa ei profesor Colera con respecto a la Estadística en lasMatemáticas II de COU. Opina el profesor Coiera que la coordinación deCOU de la Universidad debió jugar un papel importante. He de decir enhonor a la verdad que la Coordinación de COU no supo nada del Programade Matemáticas II hasta que estuvo en el Boletín Oficial del Estado, inclusocon erratas importantes en algunos casos, como en el se pedía "aproximaria distribución Normal por la Binomial". Una vez que los coordinadorestuvieron en su poder el citado programa, en determinados distritos Univer-sitarios (Madrid es distrito único), los coordinadores se ponen en contactocon los Centros y se pasa a una labor de coordinación. Cuando se hanelaborado las pruebas de Selectividad (téngase en cuenta que en el distritode Madrid se examinan del orden de 40.000 alumnos) afgunos centrosreciben las "Orientaciones Didácticas", orientaciones que en ningún mo-mento han recibido los coordinadores de forma oficial sino por medío defotocopias de algún amigo. AI profesor Colera le parece muy alarmante quese le pregunte a un alumno "qué le ocurre a la media aritmética y lavarianza cuando los datos se dividen por una constante k". Es quizás másalarmante, en este contexto, la utilización como receta mágica para elestudio o comprobación de la Normalidad de unos datos: el contraste deKolmogorov-Smirnov, (eso sí, sin decirlo), ya que el alumno no sabe nadade contrastes, ni mucho menos de Estadística no paramétrica; y lo peligro-so no es solo eso, sino que alguno de los textos de BUP también utilizaneste contraste.

También, dentro de las recomendaciones metodológicas, apunta el profe-sor Colera: plantear la noción de independencia de sucesos. Creo que esmuy fácil explicarla a los alurnnos de BUP, pero para ello habría queintroducirse en el concepto de "información" como antagónico de "incerti-dumbre" e interpretar la probabilidad como una medida de nuestra incerti-dumbre; siendo así, los sucesos independientes serían aquellos en que laocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no proporciona "información"sobre la ocurrencia o no ocurrencia del otro, esto se expresa mediante laigualdad de la probabilidad condicionada con la probabilidad del suceso.

En resumen, quisiera que mis comentarios se vieran como un intento deabrir la Universidad a esta esperanzadora mejora de la Enseñanza de laEstadística en B U P y COU. Que la colaboración entre los diseñadores de la"Reforma" y la Universidad, ya sea a través de los ^epartamentos deEstadística ya sea a través de la Coordinación, sea efectiva y no solo uncúmulo de críticas entre estos dos colectivos.

256 ESTADISTICA ESPAÑOLA

COMENTARIO

. J. L. SAIVCHEZ-CRESPOEstadístico Facultativo y Catedrático de Universidad

1. INTRODUCCION

Coincido con el profesor Coiera en que la enseñanza de la Estadística enel Bachillerato está muy relegada y en quz se enseña poco y mal.

En mi opinión, un objetivo que debería de incluirse en ei proyecto dereforma, que en estos momentos se encuentra en periodo de discusión,podría consistir en proporcionar a ese gran segmento de población quetermina sus estudios con la enseñanza media, unos conocimientos que lepermitiesen seguir con cierto sentido crítico las "cifras estadísticas'" (lafamosa guerra de cifras) que con tanta frecuencia presentan Ios medios decomunicación. Así, por ejemplo, en el campo económico la Radio, la Televi-sión y la Prensa nos mencionan las CN (Cuentas Nacionales), el PIB (Pro-ducto lnterior óruto), el IPC (Indice de Precios ^al Consumoy etç. y en elcampo social se habla de subidas o bajadas en el desempieo sin indicar sise trata de la EPA (Encuesta de Población Activa) realizada por el INEClnstituto Nacional de Estadística) can un diseño medible, o del paro regis-trado en las Oficinas de C©locación del Ministerio de Trabajo. Por supuestoestos datos proceden de distintas fuentes y metodología y no son estricta-mente comparables.

En esta reflexión me centraré exclusivamente en ia metodología de lasencuestas p^r muestreo que, en mi opinión, podría y debería introducirseen la enseñanza media.

2. CoNOCIMIENTOS DE IUIUESTREO @UE DEBERIAN FIGURAR ENE L BAC H I LL.E RATO

Existen ciertas encuestas en 1as que sus promotores han de basar deci-siones importantes y demandarán que los errores debidos al muestreo seanrnedibles, así como información sobre la calidad de los datos. Como ejem-plo podríamos citar: la EPA que tiene por finalidad e1 estudio de uno de losfactores primordiales de la estructura econórnica y social de un país; elfactor trabajo. La Encuesta de Presupuestos Familiares en la que se recogeinformación sobre los gastos de consumo de las familias, y cuyo objetivo

SITUAC'ION UF LA ENSEtifAN7_A DE LA ESTADIST[( A E_ti BAt^HILLER.ATO ?57

, principal es 1a determinación de la denominada "cesta de la compra'" asícomo de las ponderaciones subsiguientes que han de utitizarse en el cálcu-to del Indice de Precios al Consumo (I PC).

Existe otro tipo de encuestas en las que no se piensa basar decisionesimportantes y el coste de un diseño medible sería prohibitivo. Entre estosprocedimientos el más popular es el muestreo por cuotas que en su fasefinal asigna a cada entrevistador un número de entrevistas a personas enun deterrninado grupo de edad, sexo, nive{ económico, etc. Sujeto a estasrestricciones el entrevistador. queda libre para la elección de las personas aentrevistar. En esta libertad está el punto débil del método al no podercalcularse los errores de muestreo, aunque el resto del proceso se hayarealizado siguiendo las normas del muestreo probabilístico. E! rnuestreo porcuotas puede proporcionar resultados muy útiles pero la dificultad está enconocer a priori hasta que punto van a serlo.

En otras encuestas se insinúa la aleatoriedad de la muestra, siendo elcaso más grave aquel en que se presenta una "ficha técnica" en la que nose especifica, con suficiente detalle, como se obtuvo la muestra pero noobstante se incluyen unos denominados '"márgenes de error" que sin elconocimiento exacto del proceso de selección carecen de significado.

También es relativamente frecuente, la utilización de un rnuestreo deconglomerados y presentar unos errores de muestreo como si la muestrahubiese sido obtenida por muestreo aleatorio simple. En este caso loserrores de muestreo presentados podrían ser muy inferiores a los que sehubiesen obtenido con las fórrnulas correctas. Sobre este tema hubo unapolémica en los EE.UU., hace ya casi medio siglo, Ilegándose al acuerdotácito de presentar los errores de muestreo solamente en los diseñosmedibles.

Quiero recatcar que los conocimientos de muestreo que creemos debenfigurar en el Bachillerato, no tienen por objeto formar expertos en la mate-ria. Su ún^ico propósito es que esa gran masa de Bachilleres puedan utilizarcon cierto sentido crítico la información que les proporcionan los medios decomunicación.

Los conceptos necesarios serían:

Población, marco, muestreo y muestra.

Unidades de muestreo y unidades de análisis.

Métodos de selección de la muestra.

Errores de muestreo y errores ajenos al mismo. Sesgos.

Tipos de muestreo.

258 ^:sr.a^^isT^^c^A ^_sPatic^t_^^

Los c^onceptos mencionados pueden verse en el libro ^*} de Azorin ySánchez-Crespo, páginas 1-28.

Creemos que en alguna c[ase práctica, o seminario se podrían considerarlas Encuestas de! I N E que se han mencionado en el texto. Ver páginas293-302 de la Referencia.

3. COMENTARiOS A LA SITUACfOIV ACTUAL Y REFORMAFUTURA

En mi opinión solo debería figurar en el Bachillerato la denominadaEstadística Descriptiva, como introduccián a la que se cursa en e! primeraña de las Facultades de Ciencias Económicas y Empresariales. Abarca lasrepresentaciones gráficas, las distribuciones de frecuencia, medidas de po-sición y de dispersión rectas y plano de regresión, y nú meros índices másimportantes, corno el I PC. ^

De la Estadística Matemática que, por ejemplo, hoy figura en el cuartocurso de las Facultades mencionadas en el párrafo anterior, después depasar los cursos de Matemáticas en primero y segundo, creo que nodebería figurar nada en el Bachillerato, No obstante podría introduc^rse lanoción de probabilidad en forma intuitiva y muy simple a partir de laspropiedades de las frecuencias relativas, y lo mismo se debería hacer con elconcepto de esperanza matemática o valor medio teárico. Pero desdeluego dejando para la Universidad la axiomática, el teorema de Bayes, y lasdistribuciones de probabilidad. No obstante se podría dar una idea de ladistribución norma[ al considerar los histogramas en las distribuciones defrecuencia.

Lo positivo que encuentro en estos comentarios cansiste en:

Evitar a los alumnos unas materias que no necesitan, que aún no tienenbase apropiada para comprender y que en general, se [es van a enseñarrnal.

En cuanto a la reforma futura creo puede resultar muy superior a 1aactual. Doy especial importancia a la construcción y crítica de gráficosutilizados por los medios de comunicación y en general al tratamiento delazar recogido en la página 1 7 del artículo del profesor Colera.

( ') Métodos y Aplicaciones del Muestreo. Alianza Editorial. Madrid. ^ 1 986).

SITUACION DE LA ENSEÑANIA DE^ LA ESTADISTIC'A E^N RAC`F^IILLE^RATC)

COMENTARIO

M.a INES SOBRONProfesora de Instituto

1. RELEVANCIA DE LA ^STADISTICA Ehl EL BACHtLLERATO

?59

Parece no haber duda sobre la conveniencia del estudio de la Estadística,dado el creciente uso de sus técnicas en los más diversos campos de laactividad humana. Algunos términos estadísticos forman ya parte del voca-

bulario usual, no exclusivo de expertos, y parece adecuado que sean cono-cidos por un bachiller.

^eneralmente, los alumnos aprenden distíntas representaciones, determi-nadas fórmulas y nuevos vocablos. Los mejores, interpretan correctamenteuna gráfica, entienden, al menos en parte, el significado de {as fórmulas, yno es erróneo el sentido que atribuyen a las palabras, aunque posíblementeincompleto.

Por encima de todo lo anterior, los métodos estadísti^os poseen cualida-des que les hacen ser extraordinariamente fructíferos en el ámbito de laEnseñanza Media, como son:

No necesitan desvincular a los alumnos de sus preocupaciones.

AI aplicarse en situaciones de índole rnuy diversa y pertenecientes adistintos campos, es posible basar el aprendizaje en cuestiones suscitadasy elegidas por los propios estudiantes; como, por ejemplo, sus aficiones uopiniones.

EI hecho de que el estudio verse sobre algo que realmente interesa, hace.que todo el contexto psicológico de la clase cambie. EI estudio deja de seratgo ajeno a los alumnos. No hay pues ninguna necesidad de otros tipos de"motivación" artificiales.

Hacen posíble la participación de los estudiantes en el proceso de mode-lización

Varias razones contribuyen a ello. En primer lugar, el abordar problemasde su entorno real, hace que se sientan impulsados a desarrollar su intui-ción y sus propios argumentos, para extraer las características esencialesde la situación y reflejarlas en un modelo.

Además, prácticamente todos los alumnos del grupo pueden participar

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en el proceso de aprendizaje, pues los conocimientos previos necesarios noresultan exciuyentes. AI fin y al cabo, sólo podemos aprender en relacióncon aquello que ya sabe^mos.

Por último, al presentarse e! problema en su contexto, no artificialmentesimplificado, se Ilega a!os conceptos después de un proceso de búsqueday razonamiento, en estrecha conexión con la situación real estudiada; sinque sea necesario dictar definiciones, axiomas o teoremas, como algo ajenoque debe ser recordado.

A bordan problernas abiertos.

Es decir, situaciones en las que hay grados de información y grados de"verdad". Problemas de mayor similitud a los que el ser humano debeenfrentarse en la actividad cotidiana; en contraposición a aquellos, másfrecuentes en el ámbito escolar tradicional, donde lo cognoscible es fijo ytoda respuesta sólo puede ser verdadera o falsa.

AI no pretender Ilegar a"la respuesta correcta", tiene sentido seguirmeditando sobre el terna. EI aprendizaje se observa como un proceso, nocomo un acontecimiento definitivo. Siempre se está en trance de ampliar elsignificado atribuido a un término, adquirir nuevas técnicas, asimilar nuevainformación, formular generalizaciones, etc.

Facilitan /a famí/iarizacíón eon e/ mét©da cientifico.

De forma implícita, la aplicación de las técnicas estadísticas Ileva consigola puesta en práctica de ciertas fases del método científico. Además, conproblemas adecuados, es posible desarrollar completamente dicho método.EI ejercítarse en su uso, es tanto o más importante que hallar ias solucio-nes de los problemas planteados. Se aprende una estrategia generadora deconocimiento.

^. ^2. ZQUE ENSENAR? Y tCOMO ENSENAR?

Desde el punto de vista del estudiante, la consideración separada decontenido y método, posiblemente resulte más artificial que real. EI procesoa cuyo través se realiza el aprendizaje, es parte importante del contenidode cualquier experiencia de enseñanza. Como resume Marshall McLuhanen su famoso aforismo: "EI medio es el mensaje".

EI siguiente guión no se propone como un programa, sino como unesquema general de referencia para las actividades escolares encaminadasa la enseñanza de la Estadística. De cada problema concreto, es decir, lascircunstancias y pretensiones en cada situación objeto de estudio, depen-derá 1a consideración de unas u otras facetas y, por supuesto, de losconocimientos, capacidad y actitud de ios alumnos de cada grupo.

51TUACION DE LA ENSEÑANZA DE LA ESTADISTI^'A EN BACHILLERATO Z6I

Se pretende que el orden seguido en el guión, concuerde con la sucesiónlógica de los hechos que acontecen en la mayor parte de las investigacio-nes.

Esquema general

Población. Espacio de probabilidad asociado a la pobiación.

-- EI problema de selección de una muestra. Técnicas de diseño demuestras. Espacio muestral teórico 4relativo al experimento de elección deuna muestra). Determinación del tipo de muestreo más adecuado, basada,por lo general, en el Cálculo de Probabilidades.

Obtención efectiva de la muestra mediante un proceso aleatorio, es decir,selección de un elemento del espacio muestral teórico. Espacio muestral

práctico.

Clasificación de los datos a obtener mediante experimentación. Esca-las de medida.

Caracteres. Variables aleatorias como instru mentos de medida. Distribu-ciones de probabilidad según los distintos espacios.

Estimación por analogía.

Características de las variables aleatorias: media, desviación típica, moda,mediana, cuartiles, coeficiente de variación, covarianza, etc. Estandarizacióno tipificación de variables aleatorias.

Presentación adecuada de resultados. Gráficas.

Modelos de distribuciones discretas. Las distribuciones binomial ehipergeométrica.

Modelos de distribuciones continuas. La distribución normal.

Aproximación de la binomial por la normal. EI teorerna centraf del límite.

Introducción a la estimación de parámetros en modelos de prcbabili-dad.

Cálculo de la probabilidad de una estimación aceptable para un errorfijado.

Estudio de1 tamaño adecuado de la muestra.

Test de hipótesis basados en distribuciones afines a la normal. Testde ajuste de una distribución empírica a una ley teórica.

Introducción a los modelos predictivos. La recta de regresión Coefi-ciente de correlación.

262 ESTADISTIC`A ESPAÑ(^LA

^Comencarios sub^-e el esquema

EI enfoque de ias actividades debiera dirigírse, no al desarrollo de unprograma, sino a la investigacián de distintas situaciones reales en cone-xión, si es posibie, con_ fenómenos o intereses próximos a!os alumnos. A!enfrentarse con problemas de un contexto bien conocido, es cuando eiestudiante mejor puede desarrollar su inteligencia, apoyar sus razonamien-tos, vislumbrar relaciones, formular conjeturas y validar decisiones. Losconceptos surgen con mayor oportunidad y más profundo sentido.

Puede ser conveniente, comenzar considerando como población ei con-junto de alumnos del grupo, ampliable a otros colectivos de estudiantes, ytener en cuenta más de una característiica como objeto de estudio, parapermitir distintos enfoques y la generación de mayor número de conceptos.

La importancia decisiva que la selección de la muestra tiene en losresultados proporcionados por ios métodos estadísticos es, en general,mejor comprendida, si se aborda el problema real de su obtención. Debie-ran considerarse distintos tipos de muestreo: con o sin repetición, estratifi-cado, sistemático, etc., y analizarse ventajas e inconvenientes de uno uotro.

En relación con ei muestreo estratificado, aparece el problema de fijaciónde los estratos, que puede servir de inicio al estudio de problemas másgenerales de clasificación.

E1 examen de los distintos tipos de muestreo, Ileva a la determinación delos espacios muestrales teóricos respectivos y la investigación de sus pro-piedades (clasificación de las muestras según distintos criterios), motivandoel Cálculo de Probabilidades.

Las experiencias en el aula se pueden referir a fenómenos de diversaíndole: aficiones, hábit©s, opiniones, lanzamientos de monedas y dados,juegos, distribución de bolas en urnas, tiempo de espera to número deensayos) hasta que acontece un suceso, etc. En ocasiones los datos seobtendrán mediante la utilización de instrumentos de medida con escalacontinua ^altura, peso, tiempo dedicado a determinada ocupación, etc.).

Considerando caracteres con dos modalidades, el estudio de la bondadde una muestra, para estimar la proporción de individuos que presentanuna determinada modalidad, conduce a la utilización de las distribucionesbinomial e hipergeométrica dependiendo del tipo de muestreo.

Con el aprendizaje de métodos de estimación estadística y la utilizaciónadecuada de test de hipótesis, no sólo se adquieren las técnicas correspon-dientes, sino que se incita a los alumnos a no aceptar la validez de cual-quier información antes de contrastarla y a decidir en condiciones de

SITUAC'lON DE LA ENSEÑAN"hA DE LA ESTADISTIC'A EN HA('HILLERATO 263

incertidumbre. Se considera conveniente e1 planteamiento de ejercicios querequieran la utilización de tablas estadísticas. ^

En poblaciones apropiadas, como alumnos de un grupo o lanzamientosde una moneda, se deberán tomar muestras de distinto tamaño, con el finde estudiar la repercusión de dicho tamaño sobre dístintas estimaciones.De esta influencia, se desprenderá la necesidad de calcular el tamaño de lamuestra en función de la precisión que se desee alcanzar en las estimacia-nes.

La existencia actualmente de publicaciones de diversa índole que sumi-nistran datos, facilita la obtención de información para su tratamíentoestadístico con distintos modelos y significados.

Es innegable que el tiempo disponible condiciona la enseñanza. Obliga-dos a elegir, puede ser preferible abordar un problema amplio, capaz degenerar distintos conceptos y ser analizado con distintos grados de infor-mación, a optar por la consideración de mayor número de planteamientosen condiciones excesivamente simplificadas. Un solo problema puede hacercomprender que la información nunca es completa y por tanto las conclu-siones son siempre relativas, que es trascendental saber distinguir entre"buena" o"mala" información y que el fin de toda investigación es elenriquecimiento de la información que se posee.

_3. LA ENSENANZA ACTUAL DE LA ESTADISTICA

Coincido con el profesor Colera en su opinión sobre la relegación de laEstadística en los estudios de bachillerato, no así en su consideración delos programas oficiales como ""suficientemente amplios" y, mucho menos,en su esperanza de que los nuevos programas de la reforma sirvan deremedio.

A todos los defectos que sobre la enseñanza de la Estadística se señalanen el artículo de referencia, añadiría el que considero más esencial: tapresentación desvirtuada de dicha ciencia. Estadística y Cálculo de Probabi-lidades se tratan separadamente, en forma fragmentada, y con escasarelación; el resultado es una Estadística donde poco se estima y nada sedice de las condiciones de validez de lo que se hace.

No deja de resultar sorprendente que, después de apuntar como tenden-cia: "Se reivindica el interés educativo del estudio del azar: estadística yprobabilidad", se exponga, en los apartados siguientes, la lectura crítica delos informes proporcionados por las distintas publicaciones como principalinnovación.

zba ESTADIS-T!T'A ESPAÑOLA

A pesar de todo, cabe la esperanza. En el campo de las matemáticas, elterreno que mejor se ajusta a las tendencias de la didáctica más avanzada,es, sin duda, el de la Estadística y la Investigacián Operativa; especialmen-te, en lo referente a esta última, los modelos formulados por grafos.