SISTEMA DE ECUACIONES

Es la reunión de dos o más ecuaciones que deben satisfacerse para los mismos valores de las incógnitas.

SOLUCIÓN DEL SISTEMA

Es el conjunto de valores numéricos o literales que satisfacen las ecuaciones.

Los sistemas de ecuaciones pueden ser Numéricos o Literales, según la naturaleza de las ecuaciones que los constituyen.

Un sistema numérico es:

7 4 13

5 2 19

x y

x y

Un sistema literal es:

0

ax by abc

ax by

Cuando la solución de un sistema es única, es decir, existe un sólo valor para cada incógnita, el sistema se llama Determinado. Por lo general el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Para la resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado

con dos incógnitas se aplican métodos de eliminación, que

consisten esencialmente en eliminar una de las incógnitas y

obtener una sola ecuación de una incógnita.

Los métodos de eliminación más usuales son:

•Método por Sustitución

•Método por Igualación

•Método por Reducción

•Método Gráfico

•Método por Determinantes

MÉTODO POR SUSTITUCIÓN

1. Se despeja una de las incógnitas de una de las ecuaciones del

sistema.

2. Se sustituye este valor obtenido en la otra ecuación.

3. Se resuelva la ecuación de primer grado con una incógnita que

así se obtiene.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones

originales.

5. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en

las ecuaciones dadas.

REGLA: Para la eliminación por Sustitución, se siguen los siguientes pasos:

Ejemplo: Resolver por sustitución el sistema: 3 6

5 2 13

m n

m n

1

21°. Despejando “m” de la (1)

3 6

6 3

m n

m n

2°. Sustituyendo “m” en la (2)

5 2 13

5 6 3 2 13

m n

n n

3°. Resolviendo la ecuación obtenida

5 6 3 2 13

30 15 2 13

15 2 13 30

17 17

17

171

n n

n n

n n

n

n

n

4°. Sustituyendo “n” en (1)

3 6

3 1 6

3 6

6 3

3

m n

m

m

m

m

5°. Comprobando los valores

Ecuación (1) Ecuación (2)

3 6

3 3 1 6

3 3 6

6 6

m n

5 2 13

5 3 2 1 13

15 2 13

13 13

m n

R/ La solución del sistema es: 3 1m n

MÉTODO POR IGUALACIÓN

REGLA: Para la eliminación por Igualación, se siguen los siguientes pasos:

1. Se despeja una de las incógnitas en cada una de las ecuaciones,

ésta debe ser la misma en ambas.

2. Se igualan los dos valores de las incógnitas así obtenidas.

3. Se resuelva la ecuación de primer grado con una incógnita que

así se obtiene.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones

originales.

5. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en

las ecuaciones dadas.

Ejemplo: Resolver por igualación el sistema: 3 2 7

5 3

x y

x y

1

21°. Despejando “x” en ambas ecuaciones

Ecuación (1) Ecuación (2)3 2 7

3 7 2

7 2

3

x y

x y

yx

5 3

5 3

3

5

x y

x y

yx

2°. Igualando ambos despejes7 2 3

3 5

y y

3°. Resolviendo la ecuación obtenida

5 7 2 3 3

35 10 9 3

10 3 9 35

13 26

26

132

y y

y y

y y

y

y

y

4°. Sustituyendo “y” en (1)

3 2 7

3 2 2 7

3 4 7

3 7 4

3 3

3

31

x y

x

x

x

x

x

x

5°. Comprobando los valores

Ecuación (1) Ecuación (2)

3 2 7

3 1 2 2 7

3 4 7

7 7

x y

5 3

5 1 2 3

5 2 3

3 3

x y

R/ La solución del sistema es: 1 2x y

MÉTODO POR REDUCCIÓN

REGLA: Para la eliminación por Reducción, se siguen los siguientes pasos:

1. Determinamos que variable eliminar, luego el coeficiente de

dicha variable en la ecuación (1) se ha de multiplicar por la

ecuación (2), y el coeficiente de la variable a eliminar de la

ecuación (2) se multiplica por la ecuación (1). Procurando que

los coeficientes de la variable a eliminar tengan signos

contrarios.

2. Reducimos los términos y resolvemos la ecuación resultante.

3. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones

originales.

4. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en

las ecuaciones dadas.

Ejemplo: Resolver por reducción el sistema: 6 7 17

5 9 11

x y

x y

1

2

Vamos a eliminar la variable “x” y notemos que los signos de los coeficientes de dicha variable son iguales, por tanto hemos de multiplicar una de las ecuaciones por un coeficiente negativo.

1°. Multiplicando ambas ecuaciones 5 6 7 17

6 5 9 11

por x y

por x y

30 35 85

30 54 66

x y

x y

2°. Reduciendo términos

19 19

19

191

y

y

y

30x 35 85

30

y

x

54 66y

3°. Sustituyendo “y” en (1)

6 7 17

6 7 1 17

6 7 17

6 17 7

6 24

24

64

x y

x

x

x

x

x

x

4°. Comprobando los valores

Ecuación (1) Ecuación (2)

6 7 17

6 4 7 1 17

24 7 17

17 7

x y

5 9 11

5 4 9 1 11

20 9 11

11 11

x y

R/ La solución del sistema es: 4 1x y

MÉTODO GRÁFICO

Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas, consiste en hallar el punto de intersección de las gráficas

de Las ecuaciones lineales, para ello es necesario graficar las dos

ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.

1. Se despeja la variable “y” en cada una de las ecuaciones, y

luego se elabora una tabla, asignándole valores a “x”.

2. Se grafican ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano.

3. Se observa el punto de intersección de ambas gráficas.

4. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores del punto de

intersección observado en las ecuaciones dadas.

Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema: 3

3 2 4

x y

x y

1

21°. Tabulando ambas ecuaciones

Despejando “y” en (1)

3

3

3

x y

y x

y x

3 2 4

2 4 3

4 3

2

x y

y x

xy

3y x ,x y

3 0y 0, 3

3 1y 1, 4

3 2y 2, 5

4 3

2

xy

,x y

4 3 0

2y

2 0, 2

4 3 1

2y

7

2

71,

2

4 3 2

2y

5 2, 5

1

2

0

1

2

0

x x yy

4

5

3

Despejando “y” en (2)

2°. Graficando ambas ecuaciones en un mismo sistema

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1

-1-2

-3

-4

-5

-6

-7

x

y3°. Observando el gráfico,

notamos que la

intersección se da en el

punto 2, 1

4°. Comprobando los valores

Ecuación (1) Ecuación (2)

3

2 1 3

3 3

x y

3 2 4

3 2 2 1 4

6 2 4

4 4

x y

R/ La solución del sistema es: 2 1x y

En dicho punto, 2 1x y

MÉTODO POR DETERMINANTES

REGLA:

1. El valor de cada incógnita del sistema de dos ecuaciones de

primer grado con dos incógnitas, es una fracción que tiene por

denominador el determinante formado por los coeficientes de las

incógnitas “x” e “y”, llamado Determinante del Sistema, y

por numerador el determinante que se obtiene al sustituir en el

determinante del sistema la columna de los coeficientes de la

incógnita buscada los términos independientes de las ecuaciones

dadas.

2. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en

las ecuaciones dadas.

Ejemplo: Resolver por determinantes el sistema: 4 9 3

3 7 2

x y

x y

1

2

1°. Calculando valores para cada variable

3 9

3 7 2 92 7 21 18 33

4 9 4 7 3 9 28 27 1

3 7

x

4 3

4 2 3 33 2 8 9 11

4 9 4 7 3 9 28 27 1

3 7

y

2°. Comprobando los valores

Ecuación (1) Ecuación (2)

4 9 3

4 3 9 1 3

12 9 3

3 3

x y

3 7 2

3 3 7 1 2

9 7 2

2 2

x y

R/ La solución del sistema es: 3 1x y

GUÍA DE EJERCICIOS

5 3 22

2 0

x y

x y

2 12

3 16

x y

x y

5 9

2 4 8

x y

x y

Resolver utilizando el método de Sustitución los siguientes sistemas

Resolver utilizando el método de Igualación los siguientes sistemas

5

2 8

x y

x y

3 6

5 2 13

x y

x y

4 3 8

8 9 77

n m

m n

Resolver utilizando el método de Reducción los siguientes sistemas

2 2 10

2 4

x y

x y

3 4

2 3

x y

x y

0

5 18

x y

x y

Resolver utilizando el método Gráfico los siguientes sistemas1

7

x y

x y

5 3 0

7 16

x y

x y

2 3

1

x y

x y

Resolver utilizando el método por Determinates los siguientes sistemas

3 8 38

7 2 6

x y

x y

4 26

5 31 3

x y

y x

2 3 8

2 2 10

x y

x y