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Sistemas y Señales

Definiciones Básicas

Llamaremos sistema sistema al conjunto de elementos físicos, que relacionados entre sí,constituyen un todo para cumplir un determinado objetivo.

A las partes distinguibles las llamaremos componente del sistema.componente del sistema. Elcomportamiento de un sistema está determinado por un conjunto de ecuaciones matemáticasecuaciones matemáticasque relacionan las variables que interconectan diferentes elementos del sistema.

La elección de la variable variable debe ser tal que :

• Exista la facilidad para medirlas• Entreguen una descripción total del sistema

Lo anterior se puede lograr a través de las leyes físicas inherentes al sistema,representándolo por una ecuación del sistema.ecuación del sistema.

Como el interés se centra en conocer cuando ocurren las cosas, lo que nos lleva ala conclusión de que las variables que estudiaremos estarán en función del tiempo.

Visión Externa de un Sistema

Si se toma bajo observación un sistema y lo aislamos del resto del universo, podemosvisualizar que para suministrarle energía o medir alguna variable del sistema debemos atravesarla zona que separa el sistema del universo.

2 Teoría de Redes I

Sistema Instrumentos de mediciónFuente deEnergia

Excitación Respuesta

Puertas del sistema

Figura 1.1. Visión externa de un sistema.

Los puntos de entrada y salida del sistemas se llaman puertaspuertas y estas pueden ser:

• Puertas de alimentación (causas). Excitación• Puertas de observación (efectos). Respuesta

Diagrama de Bloque

El diagrama de bloque es un elemento que nos permite caracterizar en forma sencilla lossistemas, considerando éstos como simples “cajas negras”. Estas cajas negras poseen puertasde entrada y salida las cuales sirven para comunicarse con el exterior o con otros sistemas y asícrear entes más complejos.

SistemaExcitación Respuesta

Figura 1.2. Diagrama de Bloque.Excitación del sistema : Es un conjunto de señales independientes aplicadassimultáneamente al sistema.

Respuesta del sistema : Es el conjunto de cantidades físicas, medidas en las puertasde observación que nos interesan.

Visión Interna del Sistema

Dentro de un sistema, podemos encontrar subsistemas interconectados entre sí

Sub-Sistema 1 Sub-Sistema 2

Sub-Sistema 3

Sistema

Figura 1.3. Visión Interna de un sistema.

Componente del sistema : Es el elemento básico del sistema. Estos son subsistemas quepor su simplicidad, no es necesario seguir dividiéndolas. Dentro de estas componentes del

Sistemas y señales 3

sistema, existen elementos que almacenan energíaalmacenan energía, las cuales presentan un estadoestadoenergéticoenergético del sistema.

Estado energético del sistema : : Se define estado energético de un sistema en un instantede tiempo determinado, como el conjunto de los estados de todas las componentes quealmacenan energía del sistema.

Problemas del Análisis y Síntesis

Se dice que se conoce un sistema si se contestan las siguientes interrogantes :

• ¿Qué componentes forman el sistema?• ¿Cómo se interconectan?• ¿Cuál es el estado del sistema?

De acuerdo con esto podemos definir dos situaciones:

Análisis del sistema : Es el estudio que nos permite determinar como responde unsistema conocido a una cierta excitación dada.

Síntesis del sistema : Es el estudio de la construcción de un sistema a partir de unarelación dada entre la excitación y la respuesta.

Tipos de Variables Asociadas a los sistemas

Los sistemas pueden ser representados como simples cajas negras, la fig.fig. 1.4 establecealgunos elementos básicos en la caja negra

u

SistemaSistema

y 11

u 2

u n

y 2

y n

x (0) , ........,1 x (0) n

v 1 v 2 v n

Figura 1.4. Variables asociadas a un sistema.

Como se indica en la fig. 1.4, se distinguen distintos tipos de variables:

EntradasEntradas ( ui ): La entrada es un estímulo o excitación aplicada desde una fuente de energíaexterna. Usualmente para producir un respuesta determinada por ésta.


PerturbaciónPerturbación (vi): Es una entrada indeseable que afecta la salida del sistema, puede ser medibleo no medible.

SalidasSalidas ( yi): Son las respuestas obtenidas del sistema ante estímulos externos aplicados.Existen adicionalmente las salidas suprimidas, llamadas también variables internas.

EstadosEstados (xi), Son las variables que definen el estado energético del sistema.

Para el caso de un sistema determinístico, el conocer la función de entrada para todot>t0, y los estados iniciales en t=t0, es posible determinar completamente una única señal desalida para t>t0.

Clasificación y Tipos de Sistemas

Existen diferentes formas de clasificar los sistemas, algunas de las cuales se indican acontinuación.

Sistemas lineales y no lineales

Sean e1 (t) la excitación de un sistema y r1 (t) la respuesta del sistema a e1(t).Sea e2(t) la excitación al mismo sistema anterior r2 (t) la respuesta del sistema a e2(t) .Se dice que el sistema es lineal si y solo si se cumple :

Ae (t) + Be (t) Ar (t) + Br (t)1 21 2

Sistema Lineal

Donde A, B ctes. reales

Figura 1.5. Entrada y salida de un sistema lineal.

Es decir , en un sistema lineal se cumplen las principios de homogeneidadhomogeneidad ysuperposiciónsuperposición.

Propiedad de Homogeneidad (proporcionalidad): Si la excitación es aumentada (o disminuida)por una constante, la respuesta también es aumentada (o disminuida) por la mismaconstante.

Ae (t)

Sistema LinealAr (t) 1 1

Figura 1.6. Propiedad de Homogeneidad.

Propiedad de Superposición: Si el sistema se excita con más de una señal (excitación) deentrada, la respuesta será la suma de las respuestas correspondiente a cada excitaciónde entrada.


Sistema Lineale (t) +e (t)+e (t)+...+e (t)1 2 3 n r (t) +r (t)+r (t)+...+r (t)1 2 3 n

Figura 1.7. Propiedad de Superposición.

Básicamente esto significa que si se aplican dos (o más) excitaciones al sistema enforma separada, y se obtienen dos (o más) respuestas, al aplicar ahora una excitación quecorresponda a la suma de dos (o más) excitaciones, se debería obtener, una respuesta igual a lasuma de las respuestas independientes.

Finalmente, un sistema lineal se caracteriza por tener una relación entrada - salidaentrada - salida de lasiguiente forma

r (e)

e

r (e)

e

Figura 1.8. Curva característica de un sistema lineal.

Donde e es la excitación y r es la respuesta en función de la excitación. Si la excitación esuna función dependiente del tiempo, es decir, e(t), la respuesta r también será función del tiempo.

Ejemplo

Sea la siguiente curva de entrada /salida de un sistema y e(t) la excitación. Aplicar lapropiedad de homogeneidad.

r (e)

e

m

1

e(t)

t

A

t1 t20

Para aplicar esta propiedad, primero se debe determinar la respuesta asociada a laexcitación.


( ) ( )temtr ⋅=

Como la propiedad establece que se debe multiplicar la excitación por una constante,entonces, sea

( ) ( )teKteK ⋅=

Luego, la respuesta a dicha excitación será

( ) ( )temtr KK ⋅=reemplazando

( ) ( ){ }teKmtrK ⋅⋅=

( ) ( ){ }temKtrK ⋅⋅=

( ) ( ){ }trKtrK ⋅=

La propiedad de homogeneidad dice que la respuesta de un sistema sometido a unaexcitación Ke(t), deberá ser igual a la respuesta Kr(t), donde r(t) es la respuesta producto de laexcitación e(t).

Observe que si se toma la respuesta

( ) ( )temtr ⋅=

Y se multiplica por K, entonces esta nueva función

( ) ( )temKtrK ⋅⋅=⋅

Será igual a rK(t), luego se cumple la propiedad de homogeneidad.

Ejemplo

Considere el sistema del ejemplo anterior y las entradas e1(t) y e2(t). Aplique la propiedadde superposición.

r (e)

e

m

1

e (t)

t

A

t1 t20

1

e (t)

t

C

2

0


El aplicar esta propiedad requiere conocer las respuestas de las dos excitaciones, sean

( ) ( )temtr 11 ⋅=

( ) ( )temtr 22 ⋅=

Las respuestas del sistema debido a las excitaciones e1(t) y e2(t). Luego, la propiedad desuperposición establece que se debe ingresar la suma de las dos excitaciones y determinar surespuesta.

Sea la nueva excitación

( ) ( ) ( )teteteS 21 +=

Luego, la respuesta a dicha excitación será

( ) ( )temtr SS ⋅=Reemplazando

( ) ( ) ( ){ }tetemtrS 21 +⋅=

( ) ( ) ( )temtemtrS 21 ⋅+⋅=

( ) ( ) ( )trtrtrS 21 +=

Ahora, si se consideran las respuestas individuales obtenidas inicialmente, la propiedad desuperposición dice que, la suma de estas respuestas individuales debe ser igual a la respuestaobtenida usando como excitación la suma de las excitaciones individuales.

Como se puede apreciar, esta situación ocurre, pues rS(t) es igual a la suma de lasrespuestas obtenidas individualmente.

El sistema planteado en el ejemplo cumple con ambas propiedades, resulta bastante simple detrabajar, pues, su respuesta no es más que la excitación multiplicada por m, que es el parámetro querelaciona la entrada con la salida.

TareaDemostrar ambas propiedades gráficamente, usando la curva de entrada salida y lasexcitaciones dadas en el ejemplo 2.

Sistemas Activos y Pasivos

Sistemas Activos: Son aquellos sistemas que bajo alguna condición de excitación excitación ydurante algún intervalo de tiempo, son capaces transformar algún tipo de energía que les hasido suministrada por la excitación para ser utilizada en la obtención del objetivo del sistema.


Excitación Sistema Activo

respuesta

Energía

Figura 1.9. Sistema Activo.

También se dice que un sistema activo es un sistema que tiene componentes activas.Estas componentes activas sirven para proveer la energía para el funcionamiento de otrascomponentes del sistema. Como todos los sistemas (eléctricos, mecánicos, electrónicos, etc.),este transforma la energía .

Un amplificador de audio recibe señales de baja potencia, ya sea de un sistema Toca cinta(“DECK”) o de un CD Player, estas señales son amplificadas y la señal de salida, que va a losparlantes (Música), es de mayor potencia. La cantidad de energía restante, para proveer dichapotencia, es provista por el amplificador a través de su fuente de alimentación (red de 220volts), la cual le permite funcionar.

Entrada Salida(Audio) (Potencia)

220 V

AmplificadorDECKParlantes

e(t) r(t)

Figura 1.10. Equipo de audio.

Podríamos considerar una radio, la cual capta a través de su antena la señal de laemisora, esta es transformada y se manifiesta en la salida del parlante.

Sistemas pasivos: Por lo general, todos los sistemas son pasivos cuando no existe ningunaexcitación para que ocurra el proceso de transformación de energía.

Sistemas Variantes e In variantes en el tiempo

Sistema invariante en el tiempo : Es cuando la relación excitación - respuesta no dependendel instante en que es aplicada la excitación. Esto implica que la componentes delsistema permanecen constantes.

e (t) r (t)

Sistema Invariante

e (t-a) r (t-a)

en el Tiempo

Sistema Invarianteen el Tiempo

Figura 1.11. Sistema Invariante en el tiempo.


En la práctica ningún sistema es invariante en el tiempo, pues, sus parámetros sonafectados por determinados factores, sobretodo ambientales. La temperatura por ejemplo sueleser un factor importante en muchos sistemas electrónicos, ya que hace que la operación dedichos sistemas sea inapropiada. Si logramos controlar algunos factores externos, podríamosconsiderar que un sistema mantiene sus parámetros invariables, pero sólo por un período muypequeño de tiempo. Por otro lado, un sistema mecánico puede ser considerado como un sistemavariante en el tiempo, pues, resulta natural el hecho de que sus partes o componentes sufrandeterioros.

Sistemas Determinísticos y Probabilísticos

Un sistema es determinístico cuando existe una relación unívoca entre la excitación y larespuesta. Es decir, que existe certeza que para determinada excitación la respuesta tambiénserá conocida.

En el caso de un sistema probabilístico, solo tenemos un valor de una determinadaprobabilidad del valor de la respuesta.

Los sistemas Estocásticos, son una extensión de los probabilísticos pero consideranademás una variable temporal.

Sistemas de Parámetros Concentrados y Distribuidos

Los sistemas según su estructura pueden ser de parámetros concentrados odistribuidos. Un elemento puede considerarse concentrado, si su tamaño es despreciablecomparado con la longitud de onda, correspondiente a la frecuencia normal de operación delsistema.

En el caso de parámetros concentrados, el modelo matemático que resulta es un sistemade ecuaciones diferenciales ordinarias (las variables sólo serán en función del tiempo).

Por el contrario, si el sistema se de parámetros distribuidos generará un sistema deecuaciones en derivadas parciales; esto ocurre cuando al menos una de las variables es función ala ve<za del tiempo y del espacio. Ej. Una línea de transmisión, pues, sus parámetros varían deacuerdo a la distancia.

Sistemas Analógicos y Digitales

Sistema análogo : Son aquellos cuyas excitaciones y respuestas pueden tomar valorescontinuos. Muchos amplificadores de audio son todavía analógicos.

Sistema digital : Cuando la excitación y la respuesta toman valores discretos. Por ejemplo unmicroprocesador (componente fundamental de un computador) es un sistema digital. La granmayoría de los sistemas digitales trabaja la información en forma numérica.

t

f(t)

t

f(t)

Figura 1.12. Señal Análoga y señal discreta.


Sistemas Electrónicos y de Poder

Antiguamente la capacidad para manejar la energía eléctrica hacía la diferencia entre lossistemas electrónicos y de Poder. Hoy Muchos sistemas electrónicos son capaces de manejargrandes cantidades de energía.

Sistema de poder : Son aquellos que pueden realizar trabajos que demanden grancantidad de energía, además ellos poseen dimensiones físicas “grandes”. Por ejemplo , parasistemas eléctricos que circulan corrientes altas de valores de más de un Ampere.

Sistemas electrónicos: Poseen dimensiones físicas mucho menores que las anteriores yestán asociados al manejo de señales de pequeña potencia.

Formulación de Sistemas

Relaciones matemáticas del sistema : Esto implica, conocer las relacionesmatemáticas de las variables de cada componente (leyes físicas) y las relacionesmatemáticas de las variables a través de las conexiones de las componentes.

Sistema Físico Modelo Simbólico

Modelo Matemático

Figura 1.13. Elementos para la formulación de un sistema.

Para la formulación del sistema se debe tener muy claro la simbología a usar ylas leyes físicas que gobiernan a cada uno de los componentes del sistema.

Ejemplos de algunos sistemas

Un generador eléctrico, es un sistema que tiene una puerta mecánica y eléctrica deentrada y una puerta de salida que entrega energía eléctrica. En este caso una turbina o motorgenera el movimiento, el cual es transformado en energía eléctrica.

Un sistema de bases de datos puede ser visto de tal forma que las excitaciones son lasconsultas realizadas por el usuario, cuyo resultado corresponde a la respuesta obtenida.

Un acondicionador de señal es un sistema que transforma señales emitidas por algúnsensor o transductor, de tal forma de entregar en su salida una señal de magnitud estándarcompatible con un instrumento industrial de medición.

Un manipulador mecánico accionado digitalmente, permite el posicionamiento de algunaherramienta (fresa) el cual es controlado por un computador o microprocesador


Interconexión de sistemas

Los sistemas dependiendo del tipo de entrada y salida que tengan pueden serinterconectados, de tal modo de formar nuevos sistemas mucho “más grandes” y con objetivosdistintos a los planteados para los sistemas originales. Existe una conexiones básica llamadaconexión en cascada en la cual la salida de un sistema es conectada con la entrada de otrosistema. Como se indica en la fig. 1.14 , la entrada e2(t) tomará el valor de la salida r1(t). Larelación de entrada salida del sistema estará dada por e1 / r2.

Sistema-1e1 r 1 e2 r2

Sistema-2

r =1 e2Donde

Nuevo Sistemae1 r2

Figura 1.14. Sistemas conectados en cascada.

Un ejemplo clásico de sistemas conectados en cascada, son los amplificadoresmultietapa, los cuales son conectados de esa forma para mejorar la capacidad de amplificación.Existen otro tipo de conexiones de sistemas que pueden ser más complejas en los cuales lasentradas pueden alimentar a múltiples sistemas y a su vez la salidas de éstos pueden sersumadas.

Ejemplo

Considere los sistemas S1 y S2 los cuales son conectados en cascada, es decir, la salidade uno es la entrada del otro. Determine la relación de entrada - salida, r/e1 del nuevo sistema.

r (e )

e

m

1

1

1 1

1

r (e )

em

1

2

2 2

2

S re

21 S1

r1 e2 r2

Las respuestas de cada sistema individual

( ) ( )temtr 111 ⋅=

( ) ( )temtr 222 ⋅=Pero

( ) ( )tetr 21 =Luego

( ) ( ) ( ) ( ){ }temmtrmtemtr 11212222 ⋅⋅=⋅=⋅=Adicionalmente

( ) ( )trtr 2=Finalmente


( ) ( ){ }temmtr 112 ⋅⋅=

Ejemplo

Considerando los mismos sistemas del ejemplo anterior, determine la curva r/e1

r

+

+e

S

S

1

2

1 r

r

1

2

En el sistema mostrado, la entrada e1 alimenta los sistemas S1 y S2, por otro lado, lassalidas de ambos sistemas son sumadas para obtener una nueva respuesta del sistema.

Considerando el sistema mostrado se tiene

( ) ( )temtr 111 ⋅=

( ) ( )temtr 122 ⋅=Pero

( ) ( ) ( )trtrtr 21 +=

( ) ( ) ( )temtemtr 1211 ⋅+=Finalmente

( ) ( ) ( )temmtr 121 +=


Señales

Muchos de los sistemas eléctricos y electrónicos son alimentados por fuentes de energíalas cuales pueden variar o no en función del tiempo. Las señales son funciones de una o másvariables independientes y contienen información a cerca de la naturaleza o comportamiento dealgún fenómeno físico, como por ejemplo, las corrientes o los voltajes en un sistema eléctrico, loscuales fuerzan a una respuesta al sistema eléctrico.

Estas señales pueden ser representadas mediante formas de onda o funciones cuyoargumento, para nuestro interés, es el tiempo. En el presente apartado se clasifican ycaracterizan estas señales.

t

f(t)

Figura 1.15. Señales como funciones variables en el tiempo.

Clasificación desde el punto de vista de los sistemas

Estas pueden ser de Entrada o de Salida.

Señales de Entrada:

Estas pueden ser de dos tipos Excitaciones y Perturbaciones. En las primeras, existecontrol sobre ellas, pueden ser manipuladas a voluntad, pueden tomar cualquier valor que sedesee, obviamente dependiendo de los rangos máximos permitidos para dicha fuente de energía yen las segundas no existe control y pueden ocurrir en cualquier momento. Por lo general sonentradas indeseables, tales como Ruido en el caso de un sistema de radio comunicación, laapertura de una puerta en el caso de un sistema térmico, etc.

Señales de Salida

Estas señales pueden ser Respuesta o Variables Internas. La respuesta es la señalentregada por el sistema como consecuencia de alguna señal de excitación (o perturbación). Lasvariables internas son señales que representan las salidas de las diferentes componentesinternas del sistema.

Clasificación desde el punto de vista de su comportamiento en el tiempo.

Estas señales se clasifican en Periódicas y aperiódicas. Sea f(t) una señal, ésta seráperiódica si y solo si se cumple que

( ) ( ) nTtftf +=


Donde T es el período de la señal y n es un valor entero.

Estas señales presentan un comportamiento que se repite después de determinadotiempo. En las señales aperiódicas no existe este comportamiento repetitivo, luego no se cumplelo planteado inicialmente.

La Fig.Fig. 1.16 muestra señales periódicas clásicas usadas en ingeniería Eléctrica yElectrónica. Se tiene un tren de pulsos, dientes de cierra, señal sinusoidal rectificada.

f (t)

tT

a

2T 3T

f (t)

tT

a

2T 3T

(a) (b)f(t)

A

πωt

π2 π3

(c)

Figura 1.16. Señales periódicas. (a) Tren de Pulsos. (b) Diente de Sierra. (c) Señal sinusoidal rectificaca.

Señales Pares e Impares

Una señal es par si es idéntica a su reflexión alrededor del origen es decir:

( ) ( )tftf −= Una señal es impar si se cumplen que :

( ) ( )tftf −−=

La Fig. 1.17 muestra los ejemplos de señales pares e impares.

t

f(t)

A

-A

ω

f(b)=f(-b)

-b b t

f(t)

A

-A

ω

f(b)=-f(-b)

-C

C

-b b

(a) (b)

Figura 1.17. Ejemplo de señales. (a) Pares. (b) Impares.


Señales Típicas

Existen ciertos tipos de señales que son encontradas frecuentemente al trabajar consistemas eléctricos y electrónicos, la gran mayoría son funciones que dependen del tiempo.

t

f(t)

C

0

f(t)=C

t

f(t)

A

-A

ω

f(t)=A sen tω

t

f(t)

k

0

f(t)=Ke -at

t

f(t)

k

0

f(t)=Ke αt

Figura 1.18. Señales típicas usadas en un sistema eléctrico.

La señal constante, es decir, la que tiene un valor fijo para cualquier instantetiempo, es comúnmente llamada señal continua, se asocia habitualmente a una batería o pila, lacual entrega un valor fijo de voltaje entre sus terminales para todo instante de tiempo encondiciones ideales.

La función sinusoidal es una señal conocida como señal alterna es utilizada para elanálisis de diferentes sistema eléctricos y electrónicos, pues la gran mayoría de éstos sonexcitados por este tipo de señal.

La señales exponenciales están asociadas a la respuesta de algunos sistemas lineales,producto de haberse producido alguna “conmutación” en dicho sistema.No son las únicas, una combinación de dichas señales serán también parte del exhaustivo análisisen este curso.

Señales singulares

Las señales singulares son formas de onda básicas no diferenciables formalmente(presentan discontinuidades), representables en forma matemática muy simple, y sirven paraconstruir un gran número de señales. Estas señales sólo pueden concebirse en sistemas ideales.

Señal Escalón Unitario u((t))

t

u(t)

1

00- 0+

( )

>=<

=+

−

01000

ttt

tu adoindetermin

Figura 1.19. Escalón Unitario.


Esta señal se hace cero cuando el argumento es negativo y toma el valor 1 cuando elargumento es positivo. Al multiplicar la función escalón por una constante, esta toma el valor dela constante cuando su argumento toma el valor positivo y cero en el otro caso.

( ) ( )tuCtf ⋅=

Observe que C puede tomar distintos valores, en el caso de ser negativo, C=-K1, tenemoslo siguiente

t

f(t)

-K

0

f(t)=-K u(t)1

1

Figura 1.20. Escalón Unitario multiplicado por una constante negativa.

Se puede también atrasar o adelantar la función en el tiempo, esto se logra cambiando elargumento de la función ya sea sumándole o restándole una constante, es decir

t

f(t)

1

a0 t

f(t)

1

-a 0

Figura 1.21. Escalón Unitario atrasado y adelantado en el tiempo.

Para invertir la señal con respecto al tiempo (inversión de fase) sólo se debe cambiar elargumento a “menos su argumento”, es decir u(-t)

t

f(t)

1

0Figura 1.22. Escalón Unitario con argumento negativo.

Físicamente la función escalón se puede obtener usando una fuente de energía que tengaun valor constante en conjunto con un interruptor, pues, cuando éste esta abierto la excitaciónesta en cero y cuando el interruptor se cierra, la excitación toma el valor de la fuente de energía(Se produce un cambio abrupto). Evidentemente se debe considerar que el tiempo que se demorael interruptor en abrir y cerrar es cero.


Sistema 1

t=0

Sistema 2+

_

Sistema1.5 Volts

t=0

Figura 1.23. Implementación Física de un escalón.

Señal Rampa Unitaria r(t)

La siguiente señal se conoce como Rampa Unitaria.

t

r(t)

1

1

( )

≥≤

=000

ttt

tr

Figura 1.24. Rampa unitaria.

Esta señal Toma el valor cero cuando su argumento es negativo y toma el valor t cuandosu argumento es positivo. La rampa puede expresarse en función de la señal escalón, es decir

( ) ( )tuttr ⋅=

La rampa unitaria tiene pendiente igual a 1, y para cambiarla basta con multiplicar dicharampa por una constante. La pendiente entonces tomará dicho valor.

( ) ( )trCtf ⋅=

Al igual que el escalón unitario, la función rampa puede desplazarse en el tiempo,provocándose un adelanto o un atraso de la señal de la siguiente forma:

t

r(t)

1

a+1 a t

r(t)

1

1-a-a

r(t-a) r(t+a)

Figura 1.25. Rampa Unitaria atrasado y adelantado en el tiempo.


Para esta función se cumple lo siguiente:

( ) ( )∫∞−

=t

dutr ττ

Entonces

( ) ( ) ( ) 0−⋅=⋅= ∞− tututr tττ

o

( ) ( )dt

tdrtu =

Señal Impulso o Delta De Dirac δδ((t))

La siguiente función se conoce como Delta de Dirac o Función Impulso unitario

t

(t)

(1)

0

δ

( )

=∞≠

=000

tt

tδ

Figura 1.26. Impulso Unitario.

La función impulso unitario se relaciona con la función escalón mediante la siguienteexpresión:

( ) ( )∫∞−

=t

dtu ττδ

Donde la función escalón unitario es la integral de la función impulso unitario. De laexpresión se deduce que:

( ) ( )dt

tdut =δ

A partir de esto es posible determinar el área bajo la curva, es decir

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫+

−

+−

+

−

∞

∞−

=−=−−+=====0

0

00

0

0

10100 uuududd

dudArea τττ

ττ

ττδ

Es obvio que existe alguna dificultad formal con la derivada, como una definición deimpulso unitario, ya u(t) es discontinua en t=0 y en consecuencia NO es diferenciable formalmente.


Sin embargo, podemos interpretar esta ecuación considerando a u(t) como el límite de una funcióncontinua.

Definamos uε(t) como se indica en la siguiente figura.

t

u (t)

1

0 ε

ε

t

(t)

1

0 ε

εδ

ε

Figura 1.27. Funciones continuas que llevadas al límite representa un escalón y una rampa respectivamente.

Por lo tanto u(t) se define como

( ) ( )tulimtu εε

0→=

Luego definimos δ ε ( t) como:

( ) ( )dt

tdut ε

εδ =

Observemos que δε (t) tiene un área unitaria para cualquier valor de ε, y es cero fuera delintervalo (0 , ε). Note que mientras más angosto se hace el intervalo, la función se hace másangosta y más alta manteniendo el área unitaria en su forma límite.

t

(t)

1

0 ε

εδ

ε

t

u (t)1

0 ε

ε

1ε

ε

Figura 1.28. Haciendo el límite en forma gráfica.

( ) ( )tlimt εεδδ

0→=


Observe que el área siempre es unitaria, debido al producto de la base por la altura delrectángulo. En forma más general, la función impulso multiplicada por una constante K tendrá unárea bajo la curva igual a K. Es importante mencionar que la amplitudamplitud de impulso es infinitainfinita.

Al igual que las señales anteriores, podemos desplazarla del origen sumándole orestándole una constante, la que producirá el corrimiento a ese valor cuando el argumentosea cero.

t

(t)

(1)

0

δ

a t

(t)

(1)

0

δ

-a

( )at −δ ( )at +δ

Figura 1.29. Impulso Unitario atrasado y adelantado en el tiempo.

Señal Exponencial Compleja Y Sinusoidal

Este tipo de señal se caracteriza por la siguiente forma :

( ) stKetf =Donde s=±α ± jω y K es real.

Dependiendo de los valores de estos parámetros, la exponencial compleja puedeadoptar varias características diferentes.

Considere s real, s=α:

( ) tKetf α=

• Para s=α, positivo, se tiene una exponencial creciente, cuyo valor para t=0 es K. Estaseñal es utilizada para describir una amplia variedad de fenómenos, incluyendoreacciones en cadena en explosiones atómicas, reacciones químicas complejas, etc.

• Para s=-α, negativo, se tiene una exponencial decreciente, cuyo valor para t=0 es K. Estaforma de señal también es usada para describir una amplia variedad de fenómenostales como la respuesta de circuitos RC, de sistemas mecánicos amortiguados ymuchos otros más.

• La unidad de α, es la de t-1, este coeficiente mide la rapidez de cambio de la señal.Al inverso de α se designa con la letra τ , llamada constante de tiempo, y su unidades la misma de t.


( ) τt

Ketf =

t

f(t)

k

0

f(t)=Ke−α = Ke-tτ

τ

t

t

f(t)

k

0

f(t)=Keαt = Ketτ

Figura 1.30. Curvas exponenciales decreciente y creciente.

La constante de tiempo τ corresponde al tiempo en el cual la señal exponencial ha decaídoun 63% del valor máximo.

Esta señal puede también estar desplazada en el tiempo, ello se logra sumando orestando un valor constante en el argumento de la función.

t

f(t)

k

0

f(t)=Ke -a(t+b)

-b t

f(t)

k

0

f(t)=Ke -a(t-b)

b

Figura 1.31. Curva exponencial decreciente desplazada en el tiempo.(a) Adelantada (b) Retrasada

Tarea

Graficar las siguientes señales. Considere los valores de t hasta cinco veces la constantede tiempo. ¿Cuál es la constante de tiempo de cada curva?.

( ) tetf 05.03 −=

( ) ( )tetf 05.012 −−=

( ) ( )tetf 1.014 −−−=

Para valores de s complejo conjugado :

Si se fuerza que s sea solo imaginaria, es decir, de la forma


( ) ωω jsKetf tj ±== ± ,

Luego utilizando la relación de Euler, la cual asocia a las exponenciales complejascon las sinusoides, se tiene:

tjte tj ωωω sencos +=o

tjKtKKe tj ωωω sencos +=Sea

tjKtKKe tj ωωω sencos −=−

Entonces, si se suman ambas ecuaciones

tKtjKtKjKtKKeKe tjtj ωωωωωωω cossencossencos 2=−++=+ −

Claramente se llega a

2cos

tjtj eet

ωω

ω−+

=

Restando las ecuaciones, se tiene

jeet

tjtj

2sen

ωω

ω−−=

Observe que se está en presencia de una señal periódica.

En forma general se puede decir que la parte real de una exponencial compleja,correspondería a una señal sinusoidal de la siguiente forma:

( ) ( ){ } ( )φωφω +== + tKKetf tj cosRe

Y la parte imaginaria corresponde a

( ) ( ){ } ( )φωφω +== + tKKetf tj senIm

La Fig. 1.31 muestra las señales seno y coseno adelantadas en un ángulo φ.


tω

φ K sen( t+ )ω

K cos( t+ )ω φ

f(t)

φ

Figura 1.31. Señal sinusoidal.

Donde ω es llamada frecuencia angular de la sinusoide, y está relacionada con elperíodo de la señal T de la siguiente manera:

=

segrad

Tπ

ω2

Y φ corresponde al ángulo de fase de esta señal, es decir, que para t=0, el valorde f(t) es

( ) φcos0 Kf =

K corresponde a la amplitud de la señal.

Por lo general φ está en grados, luego conviene dejar ω en [º/seg], es decir

=

segTº360ω

Para K es real y s=0

Se genera lo que llamamos señal continua y su valor es igual a K.

t

f(t)

K

0

f(t)=K

Figura 1.32. Señal continua.


Descomposición de señales

En este punto se verá como se pueden componer diferentes formas de señales,utilizando las presentadas anteriormente.

Suponga que se quiere representar la función de la fig.fig. 1.33. como la suma deseñales conocidas.

t

f(t)

0 3 6 12 15

4

-2

-1

a=1

Figura 1.33. Señal compuesta por diferentes funciones variables en el tiempo.

Note que dicha señal tiene componentes con pendiente, componentes que se mantienen enun valor constante durante un determinado instante de tiempo, componentes que cambianabruptamente y componentes que caen con cierta “suavidad”.

f (t)

0

4

-1 3

1

f (t)=r(t+1)1

f (t)

0 3

2

f (t)=-r(t-3)2

6

-3

f (t)

0

4

-1 3

3 f (t)=f (t)+ f (t)3 1 2

f (t)

0 6

-4

3

4f (t)=-4u(t-6)4 f (t)

0

4

-1 3

5 f (t)=f (t)+ f (t)5 3 4

6t

f (t)

0 6

4

6 f (t)={u(t-6)-u(t-12)} 4e6-(t-6)

t

f (t)

0 3 6 12 15

4

-1

7 f (t)=f (t)+ f (t)7 56


f (t)

0 6

-2

12

8f (t)=-2u(t-12)8

f (t)

0 6

2

12

9 f (t)=2u(t-15)9

15

f (t)

0 6

-2

12

10

f (t)=f (t)+f (t)10 9 8

15

t

f (t)

0 3 6 12 15

4

-1

7 f (t)=f (t)+ f (t)7 56

f (t)

0 6

-2

12

10

f (t)=f (t)+f (t)10 9 8

15t

f(t)

0 3 6 12 15

4

-2

-1

a=1

Finalmente sumando f7(t) y f10(t) se obtiene la señal original. La expresión analítica para lafunción es la siguiente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )15212241266431 6 −+−−−−−+−−−−+= −− tutuetutututrtrtf ta

o podría considerarse

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )152122466431 6 −+−−−+−−−−+= −− tutuetututrtrtf ta

Tomando en cuenta que la exponencial es aproximadamente cero para 5 veces laconstante de tiempo.

Tarea

Construir las señales periódicas de la Fig. 1.16a y Fig. 1.20b en base a señales singulares.Considere período T.

Valores Instantáneos, Máximos, Peak to Peak, Medios y Efectivos de señalesSinusoidales

Valor Instantáneo

El valor instantáneo de una señal se define como el valor que toma dicha funciónen un tiempo determinado.

Ejemplo


Sea f(t) = 4 sen ( 3t + 30o ) Si evaluamos la función en t=6, tendremos el valorinstantáneo en dicho tiempo.

( ) ( ) 28.13018063sen46 −=

+

=

πf

Sea f(t) = 3 e-2t , luego el valor instantáneo en t=5 es

f(5) = 3 e-2*5 = 4,54.10-5

Valor Máximo y Valor Peak to Peak

Es el valor máximo que toma la función en algún intervalo de tiempo considerado.También es llamado valor “Peak”

Ejemplo

Sea f(t) = 4 cos( 5π t + 19), el valor máximo de esta señal es 4.

El valor “peak to peak” o Valor “Cresta a Cresta” se define como 2 veces el valormáximo de la señal.

t

f(t)

A

-A

ω

f(t)=A sen tω

V Vpeak-peakmáximo

T

Figura 1.34. Valor máximo y valor Peak de una señal.

Valor Medio

Se define como la media algebraica de los valores instantáneos durante unperiodo. El valor medio de la señal f(t) =Fm, luego se tiene

∫−=

2

1

)(1

12

t

tm dttf

ttF


Para el caso de una señal periódica, se tiene

∫=T

om dttf

TF )(

1

Donde T es el periodo de la señal.

En el caso de las sinusoides, siempre que no esté desplazada respecto de su origen,este valor seria cero. Ahora, si la señal tiene un desplazamiento, el valor medio corresponde adicho desplazamiento, se indica en la siguiente figura.

t

f(t)

ω

Valor medio

T

Figura 1.35. Valor medio de una señal sinusoidal desplazada.

Ejemplo

Calcular el valor medio de la siguiente señal periódica. Si se considera que el periodo es T.

t

f(t)

A

ω

TT 2

El valor medio calculado sería en un semi-periodo, debido a que la señal vale cero en elresto del período.

∫=2/

)(1 T

omed dttf

TF

∫=2/

)(1 T

omed dttf

TF


{ }π

ππ

ωωπ

ππ A

tA

ttdAFo

med =−== ∫ 0cos2

sen21

Valor Eficaz o Efectivo o RMS (Root Means Square)

Es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneosalcanzados durante un periodo o ciclo completo. El valor efectivo de f(t) será Fef, luego

( )∫−==

2

1

2

12

1 t

tRMSef dttf

ttFF

El significado físico es el siguiente:

La energía que disipará una corriente i(t) en una resistencia durante un lapso de tiempo,t2-t1, se identifica con lo que disiparía en iguales condiciones una corriente constante de valor Ief.El valor Ief así calculado se define como el valor efectivo o eficaz de la corriente i(t) en el lapso t2-t1.

Si la energía en el periodo de tiempo t2-t1 se define como

( ) ( )∫=−2

1

12

t

t

dttpttW

En la cual p(t) es la potencia. Reemplazando, la potencia en función de la corriente, dondeR es la resistencia eléctrica, se tiene

( ) ( ) ( )∫∫ ==−2

1

2

1

2212

t

t

t

t

dttiRdttRittW

Llamando a i(t)=Ief

( ) ∫∫ =2

1

2

1

22t

t

t

t

dtIRdttiR ef

Simplificando

( ) ∫∫ =2

1

2

1

22t

tef

t

t

dtIdtti

Integrando

( ) ( )∫∫ −==2

1

2

1

12222

t

tefef

t

t

ttIdtIdtti

Despejando Ief


( )∫−=

2

1

2

12

2 1 t

tef dtti

ttI

( )∫−==

2

1

2

12

1 t

t

dttitt

IIRMSef

EjemploEjemplo

Calcular el valor eficaz de la señal sinusoidal de la Fig. 1.34.

( )∫==π

ωωπ

2

0

2)sen(21

tdtAFF RMSef

{ }∫∫

−==

ππ

ωω

πωω

π

2

0

2

0

2

2)2cos(1

2)(sen

2td

tAtdt

AFef

−= ∫ ∫

π π

ωω

ωπ

2

0

2

0 2)2cos(

21

2td

ttd

AFef

−= 0

22

2π

πA

Fef

Finalmente

2A

Fef =

Observe que es independiente del periodo de la señal. Luego, una señal sinusoidal cuyovalor efectivo es el calculado, produce el mismo efecto calorífico que una señal constante de valor

2AFef = .

Tarea

Considere la señal ( ) ( )φω += tAtf sen y ( ) ( )φω += tAtf cos determine el valor eficaz.

Sistemas Y Señales - Web Quidel (Universidad de la...

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