Sistemas Mixtos
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Sistemas de Ecuaciones Mixtas
Un sistema de ecuaciones es un sistema mixto si por lo menos una de las ecuaciones del sistema es no lineal.
Por ejemplo:
⎩⎨⎧
==+1-2.x y
0 3y ² x
Estos sistemas pueden resolverse por distintos métodos, por ejemplo, por el
método de Igualación o sustitución, los resultados obtenidos los verificaremos
gráficamente
Resolución Analítica 1º Debemos despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
−=→=+
1-2.x y 1-2.x y
² x31 y 0 3y ² x
2º Ahora aplicamos igualación: al ser los primeros miembros iguales, los segundos
también lo son
1-2.x x31- entonces
y y como2 =
=
3º Igualamos a cero (0)
1-2.xx31 0 2 +=
4º Nos ha quedado una ecuación de segundo grado, la resolvemos mediante la
formula
2a4acbbx
2
1,2−±−
=
312.
1).(314.42
x1,2
−−±−=
32
3162
x1,2
±−=
De donde obtenemos:
Dos raíces reales distintas….........La recta y la parábola se cortan en dos
puntos
Dos raíces reales iguales..……...La recta y la parábola se cortan en un punto
Dos raíces complejas…….…………Las graficas no se cortan
6,45
32
2,32x 0,45
32
2,32x 21 −≅−−
≅≅+−
≅
5º Reemplazamos los valores encontrados en una de las ecuaciones del sistema
para encontrar el valor de y
13,91(-6,45) 2. yentonces 6,45x para0,110,45 2. yentonces 0,45x para
1-2.x y
22
11
−=−=−=−=−==
=
De esta manera obtenemos analíticamente la solución de un sistema de
ecuaciones mixtas. Recordar siempre que obtenemos 2 puntos por lo que
debemos expresar la solución como 2 pares ordenados
,9)(-6,45;-13 y)(0,45;-0,1 Sol
Resolución Grafica Para comprobar las soluciones encontradas debemos graficar el sistema y para
ello debemos identificar lo que vamos a representar
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→=
−=→=+
(recta) 1-2.x y 1-2.x y
(parábola) ² x31 y 0 3y ² x
Grafic
Las co
co de la par
Intersecci
Intersecci
Coordena
oordenada
V
y
x
rábola
ón con el e
031y −=
ón con el e
adas del vér
s del vértic
(0,0 Vertice
0²31y
312.0x
v
v
=−=
=−
=
R
eje y (Damo
in o0² ⇒=
eje x (Damo
x con int.0
31 . 0
0
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
rtice
e son xv =
0)
o
0
=
=
Representa
os a x el va
e ycon nt.
os a y el va
punto el en x
x
² x31
2
=
=
−=
2.a
b−=
es 0x =→
amos gráfic
lor cero)
punto el en
lor cero)
(0,0) o
a.x y 2vv =
s de eje el s
camente
(0,0)
cb.xv ++
simetria
Ahora nos ejercitamos, te damos las respuestas para que puedas
ver si vas bien, te sugiero anotes las dudas al lado del ejercicio si se presentan
para poder aprovechar al máximo los apoyos
Ejercicios Respuestas
1. ⎩⎨⎧
=++=
16- 2.y -3.x 4 4.x ² x y
( )( )5
13,329P
512,-9
10P
2
1
2. ⎩⎨⎧
=+=17 y 5.x
0 y - x - ²x
( )( ),507
38-P
,4718P
2
1
3. ⎩⎨⎧
=+=+
10 4.y 5.x y 4 4.x - ²x
( )1625,4
3P
(2,0)P
2
1
4. ⎩⎨⎧
== yx
y ²x
(0,0)P(1,1)P
2
1
5. ⎩⎨⎧
=+++=
14 y 4.x 6 x ² x - y
No pertenece a los
reales
6. ⎩⎨⎧
=+=+
4- 1 3.y -2.x 6- 20 16.x - ²2.x
No es sistema
7. ⎩⎨⎧
==++
12 y -4.x 0 y - 1 4.x ²4.x
No pertenece a los
reales
8. ⎩⎨⎧
==
x- y ²x - y
(1,-1)P(0,0)P
2
1
9. ⎩⎨⎧
=++=
0 8 3.y 2.x 0 y - ²x -
( )(2,-4)P
92,3
2-P
2
1 −
10. ⎩⎨⎧
=+=+
0 6 - y x 0 6.y ²x
No pertenece a los
reales
Ejercicios Adicionales
11. ⎩⎨⎧
==+
0 1 -2.y -x 0 y - 5 -4.x ²2.x -
No pertenece a los
reales
12. ⎩⎨⎧
==
2 y 0 y - 25 - ²x
(-5;2,2)P(5;2,2)P
2
1
13. ⎩⎨⎧
=+=8- y 4.x 0 4 - y - ²x
(-2,0)P(-2,0)P
2
1
14. ⎩⎨⎧
==
11- 5.y -2.x y- ² x - 9 -6.x
3)(1,43;-1,6P
33)(-7,83;-5,P
2
1
15. ⎩⎨⎧
==
2 4.y -5.x y 1 - ²x
)(1,57;1,46P
9)(-0,32;-0,P
2
1
16. ⎩⎨⎧
==+
0 1 -3.y -4.x 0 20 -8.x y - ²x
,17)(-8,88;-12P)(2,21;2,62P
2
1
17. ⎩⎨⎧
==+
2.x y 0 8.y ²x
(-16,-32)P(0,0)P
2
1
18. ⎩⎨⎧
=++=
1 y x 6 - x ²x - y
No pertenece a los
reales
1) Plantee y resuelva cada uno de los siguientes problemas
a) Se lanza una pelota hacia arriba y simultáneamente un ave levanta vuelo. la trayectoria
de la pelota se describe mediante la función 12x3xy 2 +−= y la correspondiente al vuelo
del ave, mediante 7,51,5xy += . Siendo (x, y)las coordenadas de ambas trayectorias:
• Grafiquen en un mismo sistema de coordenadas las graficas de ambas funciones
• Encuentren el o los puntos de intersección de las trayectorias de vuelo
b) Desde el momento que sale de la parada, un colectivo se mueve a medida que
transcurre el tiempo según la función 20,4xy = . En ese instante una persona observa el
colectivo y trata de alcanzarlo, moviéndose según la función 104xy −= . Siendo “x” el
tiempo transcurrido, e “y” la distancia recorrida, en metros.
• Grafiquen en un mismo sistema de coordenadas ambas funciones
• Hallen el tiempo que tarda la persona en alcanzar el colectivo y a que distancia de la
parada