sistemas mecanicos rotacionales

INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA

DEBER Nº6

TEMA: Ejercicios del capítulo 2 (Modelado mecánico en el dominio de la frecuencia).

OBJETIVO GENERAL Realizar el cuestionario de las preguntas de repaso que se presentan en capítulo 2.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Resolver los ejercicios propuestos en el libro de Norman S. Nise. Aplicar los conceptos aprendidos en clase. Responder las preguntas correctamente.

RESUMEN La resolución de ejercicios en sistemas mecánicos es muy parecida a los eléctricos ya que lo primordial es ubicar los elementos a trabajar con orden y así de esta manera empezar a plantear la matriz del sistema. De esta forma obtendremos la ecuación característica de dicho sistema en que estemos enfocando el trabajo.

ABSTRACT

The resolution of exercises on mechanic systems is almost the same than electric system, first of all we must localize the elements to work with an order by this way we can begin to solve the system’s matrix. Then we’ll get the equation characteristic of that system where we are working .

MARCO TEÓRICO

FUNCION DE TRANSFERENCIAUna función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.

La podemos definir formalmente como:

La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.

El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no

GALO FABARA SEXTO ELECETROMECÁNICA


debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.

Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la deconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la de convolución, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la seudoinversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de un vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.

Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.

Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión: donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y X (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada.

La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de

y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):



Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos. Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como:

DESARROLLO23. Encuentre la función de transferencia, G(s) = X1(s)/F(s), para el sistema mecánico de la traslación que se ilustra en la figura.

(s2+s+1)X1(s) -X2(s) = 0 → (1)-X1(s) +X2(s) = F(s) → (2)

De (1)

X2(s)=(s2+s+1)X1(s)

En (2)

(s2+s)X1(s) = F(s)

Entonces:

X1(s)F (s)

= 1s(s+1)

24. Encuentre la función de transferencia G(s) = X2(s)/F(s), para la red mecánica traslacional que se encuentra en la figura.

(s 2 + s + 1)X1 (s) − (s + 1)X2 (s) = F(s)−(s + 1)X1(s) + (s2 + s + 1)X2(s) = 0



X 2 (s )=[ S2+S+1 F (s)−(S+1) 0 ]

[ S2+S+1 −(S+1)−(S+1) S2+S+1]

=(S+1 ) F (s)

S2(S2+2S+2)

Entonces:

X2(s)F (s)

=( S+1 )

S2(S2+2 S+2)

25. Encuentre la función de transferencia, G(s) = X2(s)/F(s), para el sistema mecánico de la traslación que se ilustra en la figura. (Sugerencia: ponga una masa cero en X2(t).)

2x1(s) − 2x2 (s) = F(s)−2X1(s) + (5s + 2)X2(s) − 5sX3(s) = 0−5sX2 (s) + (10s2 + 7s)X3(s) = 0

X 2 (s )=[5S2+10 F (s)

−10 0 ][5S2+10 −10

−10 15

S+10]=

10 F (s )S (S2+50S+2)

Entonces:

X2(s)F (s)

=

110

∗(10 S+7 )

S (5S+1)



26.- Para el sistema de la figura 2.12, encuentre la función de transferencia G(s)=X1(s)/F(s)

[ 0F(s)]=[ s2+3 s+2−[ s+1 ] s2

−[ s+1 ]s2+2 s+1][ x1

x2]

X1=[ 0F s

−(s+1)s2+2 s+1]

[ s2+3 s+2−(s+1)s2

−(s+1)s2+2 s+1]

X1=−F ( s)(s+1)

( s2+3 s+2 ) ( s2+2 s+1 )−¿¿

X1=−F ( s)(s+1)

s4+2 s3+s2+3 s3+6 s2+3 s+2 s2+4 s+2−s2−2 s−1

X1=F ( s)

s3+4 s2+4 s+1

X1

F (s )= 1

s3+4 s2+4 s+1

27.- Encuentre la función de transferencia G(s)=X3(s)/F(s), para el sistema mecánico traslacional que se muestra en la figura P2.13



X3 ( s)=[ s2

−s0

−ss2+2 s+1

−1

0F (s )0 ]

[( s2+s+1 )−s0

−s( s2+2 s+1 )

−1

0−1

( s2+s+1 ) ]X3 ( s)=

−F(s)s2

( s2+s+1 ) ( s2+2 s+1 ) ( s2+s+1 )−(−1 ) (−1 ) ( s2+s+1 )−(−s)(−s) ( s2+s+1 )

X3 ( s)=−F (s)s

2

( s4+s2+1+2 s3+2 s2+2 s ) ( s2+2 s+1 )−s2−s−1−s4−s3−s2

X3 ( s)= F (s )s ( s3+3 s3+3 )

X3 (s )F (s )

= 1

s ( s3+3 s2+3 s+3 )

28.- Encuentre la función de transferencia X3(s)/F(s) para cada uno de los sistemas que se muestran en la figura P2.14



a.

X2 (s )=|( s2+2 s+1 )

−2 s−1

F ( s)00

−1−ss+1|

Δ=

−F ( s)|−2 s−1

−ss+1|

Δ

X2 (s )=−F (s ) (−2 s2−3 s )

Δ

X2 (s )F (s )

= 2 s+3s ( s3+6 s2+9 s+3 )

b.

X3 ( s)=|(4 s2+s+4 )

−(s+1 )−3

− (s+1 )(2 s2+5 s+1 )

−4 s

0F (s )0 |

Δ=

−F ( s )|(4 s2+s+4 )−3

−( s+1 )−4 s |

Δ

X3 ( s)=−F (s )(−16 s3−4 s2−16 s−3 s−3)

Δ



X3 (s )F (s )

= 16 s3+4 ss+19 s+332 s5+48 s4+114 s3+18 s2

29. Escriba, pero no resuelva, las ecuaciones de movimiento para el sistema mecánico traslacional que se muestra en la figura P2.15

[ 0F(s)0 ]=[k2+k3+s ( f v1+ f v 2 )+s2M 1 −[k 3+s ( f v 2 )] −s (f v1 )

−[k3+s (f v 2) ] k2+k3+s ( f v 3+ f v2 )+s2M 2 −s ( f v3 )−s ( f v1 ) −s ( f v 3+ f v 2 ) k 2+s ( f v 1+f v 3 )+s2M 1

][X 1(s)X 2(s)X3(s)]

(2+2 s+s2 ) X1 (s )−(1+s) X2 (s )−sX3(s)=0

−(1+s) X1 (s )+(1+s+s2 ) X2 (s )−sX3(s)=F (s )

−s X1 (s )−2 s X2 (s )−(1+2 s+s2 ) X3 (s )=0



ANALISIS DE RESULTADOSPodemos definir a un modelo matemático como un conjunto de ecuaciones con las que representamos dentro del sistema mecánico con precisión su función de transferencia, con lo cual vemos la aplicación aproximada del modelo físico mediante los cálculos matemáticos correspondientes a cada ejercicio o sistema con el que estemos tratando, siendo estos mecánicos para la actividad.

CONCLUSIONES Al realizar la función de transferencia comprendemos el funcionamiento, y la

función que realiza el sistema mecánico a estudiar. La función de transferencia nos facilita los cálculos pero se pierde información. Un sistema mecanico que puede ser representado por una ecuación diferencial

lineal e invariante con el tiempo se puede modelar como una función de transferencia.

RECOMENDACIONES Organizar la matriz de ecuaciones características del sistema. Minimizar los procesos para obtener la función. Trabajar en el dominio de la frecuencia.

BIBLIOGRAFÍA NORMAN S. NISE. (2006). SISTEMAS DE CONTROL PARA INGENIERÍA TERCERA

EDICIÓN. CIUDAD DE MEXICO. EDITORIAL CONTINENTAL. www.wikipedia.com http://www.uclm.es/profesorado/raulmmartin/AmpliacionMatematicas/laplace.pdf


http://www.uclm.es/profesorado/raulmmartin/AmpliacionMatematicas/laplace.pdf

http://www.wikipedia.com/


DEBER Nº7TEMA: Resolución de los ejercicios del capítulo 2 (Modelado en el dominio de la frecuencia).

OBJETIVO GENERAL Resolver los ejercicios que se plantean al final del capítulo.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Leer todo el capítulo 2 del libro guía de trabajo es decir Norman S. Nise. Revisar la resolución de circuitos por mallas y nodos. Utilizar el software MATLAB. Resolver los ejercicios.

RESUMEN Aplicamos la función de transferencia al modelo matemático de circuitos eléctricos, que incluyen redes pasivas y circuitos con amplificadores operacionales. Abarcando sistemas mecánicos y electromecánicos.

Las funciones de transferencia se obtienen mediante la ley de corrientes de Kirchhoff y sumando las corrientes que influyen de los nodos. Este método se lo conoce como análisis de nodos. Estudiaremos métodos como la función de transferencia en el domino de la frecuencia y ecuaciones en el dominio del tiempo.



ABSTRACT

We apply the transfer function to the mathematical model of electric circuits, including passive networks and circuits with operational amplifiers. Encompassing mechanical and electromechanical systems.

The transfer functions are obtained by Kirchhoff's current law and summing currents influencing nodes. This method is known as analysis nodes.

We will study methods such as the transfer function in the frequency domain and equations in the time domain.

MARCO TEÓRICO

FUNCION DE TRANSFERENCIA

MatLab es una potente herramienta para el análisis de sistemas descritos por funciones de transferencia.

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo, relaciona la transformada de Laplace de la salida con la transformada de Laplace de la entrada en un sistema de ecuaciones diferenciales a condiciones iniciales nulas. En forma genérica se representa de la siguiente forma:

En sistemas reales o físicamente realizables m <= n.

El polinomio del denominador igualado a cero representa la ecuación característica que se utiliza ampliamente en el análisis de la estabilidad del sistema.

Para crear funciones de transferencia en MatLab se utilizan los siguientes comandos:

a) g=tf(num,den)

dónde “num” es un vector que contiene los coeficientes del polinomio del numerador de G(s) ordenado respecto a las potencias de s donde el primer elemento es el coeficiente que acompaña a la mayor potencia de s. “den” es otro vector que contiene los coeficientes del polinomio del denominador de G(s) ordenados de la misma forma que para el numerador.

Ejemplo de sintaxis en MatLab



% Introducir una función de transferencia polinómica

b) g=zpk(z,p,k)

Donde “z” es un vector que contienen los ceros del numerador de G(s), “p” es un vector que tiene los polos de G(s) y “k” es la ganancia estática de G(s)


%Cargar en Matlab una G(s) que tiene ceros en -1 y -2, polos en -10, -3+/-3i

% y ganancia estática k=5

c) s=tf(‘s’)

A partir de esta instrucción de puede utilizar la “s” en las expresiones polinómicas de G(s) para que Matlab las interprete como funciones de transferencia.


% Introducir una función de transferencia polinómica



LCK. Ley de corrientes de Kirchhoff.

La ley de corrientes de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las corrientes hacia un nodo

es cero en todo instante.

Es importante mencionar las direcciones de las corrientes, a las corrientes salientes del nodo se les

considera corrientes negativas y a las entrantes positivas.

El primer paso para analizar un circuito es asignar las direcciones de las corrientes en cada resistencia en el sentido que creamos es correcto, en caso de haber equivocado el sentido el análisis nos dará una corriente negativa, esto no indica un error grave, solo que el sentido de la corriente es en sentido contrario al asignado. Una vez hecho esto se le asigna una caída de tensión o voltaje en cada resistencia.

LVK. Ley de voltajes de Kirchhoff.

La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es cero en todo instante.

La palabra algebraica indica la dependencia respecto a la polaridad de los voltajes que se encuentran al recorrer la trayectoria.

El sentido de la polaridad se le asigna por convención pasiva, y depende del sentido de la corriente que se le asigne a la resistencia.

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS

Análisis por mallas

Supongamos que tenemos el siguiente circuito



Las ecuaciones que tendremos al analizar por mallas son:

Análisis por nodos

Se hace de igual forma que con redes resistivas.



DESARROLLO5.- Utilice el MATLAB y las rutinas de matemática simbólica para hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones de tiempo.

a) f(t)=5t2 cos(3t+45o)

syms tf=5*t^2*cos(3*t+45);pretty(f)F=laplace(f);F=simple(F);pretty(F)

b)f(t)=5t e-2t Sen(4t+60o)

syms tf=5*t*exp(-2*t)*sin(4*t+60);pretty(f)F=laplace(f);F=simple(F);pretty(F)

12.- Utilice el MATLAB para generar función de transferencia

G (s )=5 ( s+15 ) ( s+26 )(s+72)

s (s+55 ) (s2+5 s+30 ) (s+56 )(s2+27 s+52)

En las siguientes formas:

a) El cociente de factores

b) El cociente de polinomios



Programa:

'Factored'Gzpk=zpk([-15 -26 -72],[0 -55 roots([1 5 30])' roots([1 27 52])'],5)'Polynomial'Gp=tf(Gzpk)

Literal a)

Literal b)

17.- Encuentre las funciones de transferencia G(s)=VL(s)/V(s), para cada red que se muestra en la figura.

(s+1)I1(s) – I2(s) = Vi(s) → (1) VL(s) = sI2(s).-I1(s) + (s+2)I2(s) = 0 →(2)

De (2)

I1(s) = (s+2)I2(s). de (3)

En (1) VL(s)/Vi(s) = s/(s2 + 3s + 1)

(s+1)(s+2)I2(s) – I2(s) = Vi(s)

I2(s)/Vi(s) = 1/(s2 + 3s + 1) → (3)



(2+ 2s ) I1 (s )−(1+ 1s )I 2 (s )=V (s)

−(1+ 1s ) I 1 ( s )+(2+ 1s +2 s )I 2 ( s )=0

I 2 ( s)=|2(s+1)

sV (s)

−(s+1)s

0 ||2(s+1)

s−(s+1)

s−(s+1)

s2 s2+2 s+1

s|=

V (s ) s4 s2+3 s+1

Entonces:

VL(s)=2s I2(s)

V L (s )V (s )

=2 sI 2(s)V (s)

V L (s )V (s )

=

2 sV (s)

∗V (s ) s

4 s2+3 s+1

V L (s )V (s )

= 2 s2

4 s2+3 s+1



21.-Encuentre G (s )=V 0(s)/V i(s) para cada uno de los circuitos amplificadores operacionales que ilustra en la figura

Z1(s)=5×105+106

s

Z2 ( s)=105+ 106

s

Z2Z1

=105+ 10

6

s

5×105+ 106

s

Z2Z1

=−15

S+10S+2



Z1 (s )=100000+ 1

1×106 s=100000 s+10

s

Z2 ( s)=100000+ 1

1×106 s+1

100000

=100000 s+20s+10

Z2Z1

=100000

s+20s+10

100000s+10

s

−Z2Z1

=−(s+20 ) s(s+10)2

22.- Encuentre la función de transferencia G(s)=Vo(s)/Vi(s) para cada uno de los circuitos amplificadores operacionales que se ilustra en los gráficos.



Z1 (s )=2000+ 1

1∗10−6 s

Z1 (s )=1000+ 1

1∗10−6 s

0−Vi ( s )ZI (s )

=Vi ( s)−Vo (s )

Z 2 (s )

Vo (s )Vi ( s)

=2000+ 1

1∗10−6 s+1000+ 1

1∗10−6 s

2000+ 11∗10−6 s

Vo (s )Vi ( s)

=3 (s+20/3)2(s+5)



Z1 (s )=2∗105+ (5∗1011)/ s

5∗105+106 /s

Z2 (s )=5∗105+ (1011)/s105+106/s

Z 1 ( s )+Z 2(s )ZI (s )

=

2∗105+

5∗1011

s

5∗105+ 106

s

+5∗105+(1011)/ s

105+106/s

2∗105+(5∗1011)/s5∗105+106/s

Vo (s )Vi ( s)

=7 (s+3.18)(s+11.68)2(s+7)(s+10)



EJEMPLO 2.14

Función de transferencia y circuito amplificador operacional inversor.

PROBLEMA: Encuentre la función de transferencia, V o(s)/V i(s) , para el circuito dado en la figura.

La función de transferencia del circuito amplificador operacional está dada por la ecuación:

V o

V i

=−Z2(S)Z1(S )

Z1=1

C1 s+ 1R1

= 1

5.6×10−6+ 1360×103

= 360×103

2.016 s+1

Z2=R2+1

C2 s=220×103+10

7

s

V o

V i

=220×103+10

7

s360×103

2.016 s+1

V o

V i

=−1.232 s2+45.95 s+22.55s

EJEMPLO 2.15



Función de transferencia y circuito amplificador operacional no inversor.

PROBLEMA: Encuentre la función de transferencia, V o(s)/V i(s) , para el circuito dado en la figura.

Z1 (s )=R1+( 1C1 s )

Z2 (s )=R2( 1

C2 s )R2+(1/C 2 s)

0−Vi ( s )ZI (s )

=Vi ( s)−Vo (s )

Z 2 (s )1¿

Vi ( s) (−Z 2 s−Z1 s )=−Vo (s )

Vo (s )Vi ( s)

=ZI ( s)+Z2 ( s)

ZI ( s)



Vo (s )Vi ( s)

=R1+( 1

C1 s )+R2( 1

C 2 s )R2+(1 /C 2 s)

R1+( 1C 1 s )

Vo (s )Vi ( s)

=C 2C1 R2R1S2+(C2 R2+C1R2+C 1R1 ) s+1

C2C 1R2 R1S2+(C 2R2+C1 R1 ) s+1

ANALISIS DE RESULTADOSHallamos la función de transferencia en cada circuito planteado utilizando resolviendo los circuitos ya sea por el método de nodos o mallas. Hemos obtenido un modelo satisfactorio de una red física como función de transferencia.

CONCLUSIONES Las funciones de transferencia se pueden obtener si se usa las leyes de Kirchhoff y

se suman voltajes alrededor de las mallas. En cualquier problema que se plantea lo que se debe determinar primero es ver

cual es la entrada y cual es la salida.

RECOMENDACIONES Realizar de forma ordenada los cálculos para evitar confusión. Utilizar las tablas para facilitar las transformadas. Resolver los circuitos de forma matricial.

BIBLIOGRAFÍA NORMAN S. NISE. (2006). SISTEMAS DE CONTROL PARA INGENIERÍA TERCERA EDICIÓN.

CIUDAD DE MEXICO. EDITORIAL CONTINENTAL. http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/

Anexos/apunte%20matlab%20parte1%20y%202.pdf


http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/Anexos/apunte%20matlab%20parte1%20y%202.pdf

http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/Anexos/apunte%20matlab%20parte1%20y%202.pdf


ContenidoDEBER Nº6..................................................................................................................................1

TEMA:.............................................................................................................................................1

Preguntas de Repaso Capítulo 2.....................................................................................................1

OBJETIVO GENERAL........................................................................................................................1

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.................................................................................................................1

RESUMEN.......................................................................................................................................1

ABSTRACT.......................................................................................................................................1

MARCO TEÓRICO............................................................................................................................1

FUNCION DE TRANSFERENCIA........................................................................................................3

DESARROLLO..................................................................................................................................5

ANALISIS DE RESULTADOS..............................................................................................................5

CONCLUSIONES..............................................................................................................................6

RECOMENDACIONES......................................................................................................................6

BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................................6

DEBER Nº7......................................................................................................................................7

TEMA:.............................................................................................................................................7

OBJETIVO GENERAL........................................................................................................................7

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.................................................................................................................7

RESUMEN.......................................................................................................................................7

ABSTRACT.......................................................................................................................................7

MARCO TEÓRICO............................................................................................................................7

DESARROLLO................................................................................................................................10

ANALISIS DE RESULTADOS............................................................................................................20



CONCLUSIONES............................................................................................................................20

RECOMENDACIONES....................................................................................................................20

BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................................................20


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