SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey...
-
Upload
claudio-padron -
Category
Documents
-
view
41 -
download
1
Transcript of SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey...
![Page 1: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/1.jpg)
SISTEMAS LINEALES DE
INECUACIONESAlejandro Camblor FernándezDepartamento de Matemáticas
IES Rey PelayoCangas de Onís
![Page 2: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/2.jpg)
ÍNDICE
Inecuaciones lineales de dos incógnitas ............................
Sistemas de inecuaciones lineales ......................................
Problemas textuales
de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato) ...........
de programación lineal (2º bachillerato) ..................
![Page 3: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/3.jpg)
La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano.
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.
3er paso: colorear el semiplano solución.
1 / 4
![Page 4: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/4.jpg)
Resuelve la inecuación: 3y2x5
Represento la recta: 3y2x5
Despejo la variable y:2x53
y
Tabla de valores: x y
1 -1
3 -6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
3030205
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución.
2 / 4
![Page 5: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/5.jpg)
Algunas inecuaciones son sencillas:
0x)a 0y)b 3x)c 2x)d 4y)e
Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes.
Asocia cada inecuación con su soluciónb
ac
d
e
3 / 4
![Page 6: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/6.jpg)
Resuelve las inecuaciones:
6y3x2)a
Asocia cada inecuación con su solución
b a
cd
yx2)b 4y2x)c 7y4x3)d
4 / 4
![Page 7: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/7.jpg)
La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región (si existe).
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.
3er paso: colorear el semiplano solución.
1 / 5
![Page 8: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/8.jpg)
Resuelve el sistema de inecuaciones:
7y3x2
1yx3
Represento la recta: 1yx3
Despejo la variable y: 1x3y
Tabla de valores: x y
1 4
-2 -5
Elijo el punto (2,2), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 141223
Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.
1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
2 / 5
![Page 9: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/9.jpg)
Resuelve el sistema de inecuaciones:
7y3x2
1yx3
Represento la recta: 7y3x2
Despejo la variable y:3x27
y
Tabla de valores: x y
2 1
-2 3
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 7070302
Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.
2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
3 / 5
![Page 10: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/10.jpg)
Resuelve el sistema de inecuaciones:
7y3x2
1yx3
2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación
1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores
4 / 5
![Page 11: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/11.jpg)
Resuelve los sistemas de inecuaciones:
4yx2
3yx)a
Asocia cada sistema con su solución
b
a
c
d
6yx2
4yx2)b
6y
1yx
9yx3)c
6y
3x
1yx
4yx)d
5 / 5
![Page 12: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/12.jpg)
Problemas de texto con inecuaciones
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er paso: plantear el sistema de inecuaciones.
2º paso: resolver el sistema dibujando la región solución.
3er paso: resolver el problema, dando la solución con una frase si es posible.
1 / 9
![Page 13: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/13.jpg)
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?
1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones
Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)
Chocolate x 0’5x 5x
Manzana y 1y 6y
Disponible 9 60
0y
0x
60y6x5
9yx5'0
2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 9yx5'0
Despejo la variable y: x5'09y
Tabla de valores:
x y
2 8
6 6Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
909005'0
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
2 / 9
![Page 14: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/14.jpg)
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 60y6x5
Despejo la variable y:6x560
y
Tabla de valores:
x y
6 5
12 0Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
600600605
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
0x 0y
3 / 9
![Page 15: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/15.jpg)
5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores
La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)
4 / 9
![Page 16: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/16.jpg)
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
Resuelve los problemas:
Asocia cada problema con su solución
cbad
5 / 9
![Page 17: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/17.jpg)
Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:
)decenasen(lujodeneverasdecantidad:y
)decenasen(normalesneverasdecantidad:x
0y
0x
18y6x3
12y3x3
6 / 9
![Page 18: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/18.jpg)
Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:
)decenasen(Btipobollosdecantidad:y
)decenasen(Atipobollosdecantidad:x
0y
0x
5'1y25'0x25'0
2y25'0x5'0
7 / 9
![Page 19: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/19.jpg)
Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:
)decenasen(montañadebicisdecantidad:y
)decenasen(paseodebicisdecantidad:x
0y
0x
12y2x3
8y2x
8 / 9
![Page 20: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/20.jpg)
ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:
autobusesdecantidad:y
microbusesdecantidad:x
4y
5x
0y
0x
6yx
200y50x25
9 / 9
![Page 21: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/21.jpg)
Problemas de programación lineal
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la función objetivo.
2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la región solución.
3er paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el punto de la región solución que la optimiza.
4º paso: escribir la solución con una frase si es posible.
1 / 6
![Page 22: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/22.jpg)
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima?
1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones
Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)
Chocolate x 0’5x 5x
Manzana y 1y 6y
Disponible 9 60
0y
0x
60y6x5
9yx5'0
2 / 6
La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor posible: y15x12venta
![Page 23: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/23.jpg)
2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 9yx5'0
Despejo la variable y: x5'09y
Tabla de valores:
x y
2 8
6 6Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
909005'0
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
3 / 6
9yx5'0
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 60y6x5
Despejo la variable y:6x560
y
Tabla de valores:
x y
6 5
12 0Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
600600605
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
60y6x5
![Page 24: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/24.jpg)
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
0x 0y
4 / 6
6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo
5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores
La solución del problema está en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas).
El vector de la función objetivo es: 4,512,15
y15x12venta
Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).
![Page 25: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/25.jpg)
5 / 6
7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado.
Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo.
Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema.
SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se obtienen 147 €.
![Page 26: SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022061301/54d6f7ec4979596c658b572b/html5/thumbnails/26.jpg)
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1’19 € el tipo A y a 0’89 € el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar?
Resuelve los problemas:
6 / 6
a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €.
b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59’40 €.
c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100 €.
d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 €.