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Sistemas Estructurales III 2012

Ejemplo de resolución de un sistema hiperestático en losas y

vigas continúas. Método Ing. Lösser

Gatti / Citta / Rosenhurt / Decordoba / Cavallero / Neiff / Claro

FADU - UNL


Gatti / Citta / De Cordoba / Cavallero / Rosenhurt / Neiff / Claro 2 | d e 1 2 .

RESOLUCION DE LOSAS CONTINUAS

Método planteado por el Ing. B. Lösser.

En el ejemplo planteado, se observa que la luz de losa original, dada la distancia entre vigas, es 8 m.

Por lo tanto su e= (espesor) min, puede determinarse a partir de a relación entre la luz y el coeficiente m

(de tabla). Si las consideramos continuas y con la vinculación estática que se presenta en este ejemplo el

coeficiente m = 35.

Tenemos la siguiente estructura para un entrepiso de Hº Aº destinado a oficinas:

Pre-dimensionado de Losa:

Luz de losa= l0 = 8m

Luz de cálculo = lc = 10/0 x 0.80

� ��c

�

� �8�

35� 0.228 � 0.23

Se adopta h= 23cm y d= 25

Dato:

� = 0.43 t/m2

� = 0.25 t/m2

� = 0.68 t/m2



Teniendo en cuenta que el costo de las losas representa aproximadamente el 50% del costo de toda la

estructura, salvo situaciones espaciales resulta antieconómico sobredimensionar las mismas; por lo cual se

debe procurar reducirlo al mínimo posible.

Una forma de hacerlos es: manteniendo la posición de las vigas principales y plantear vigas secundarias. En

este caso, con luz de 8 metros, generando así una sucesión de losas de menor luz. Por tener menos luz y

trabajar en continuidad se logra reducir notablemente el espesor de las mismas, lo que redunda en una

reducción del costo (Aunque se incorporen vigas secundarias).

Recomendación general: Procurar lograr siempre que el “d” de losa macizas no supere los 12 cm, para

tener una estructura eficiente y económica.

Aplicamos el criterio explicado:

Las condiciones para poder aplicar el método de resolución del Ing Lösser, son:

1. Que las luces sean iguales (implica I iguales), admitiendo una variación máxima entre luces de un

tramo al otro del 10%.

2. Que existan solo cargas uniformemente repartidas iguales o muy uniformes en todos los tramos.

3. Solo si existen cargas puntuales iguales; podrán equipararse a una carga uniformemente repartida.

4. Que no existan voladizos



Las tablas plantean la resolución de 2 tramos, 4 tramos e infinitos tramos (n).

Cuando se trata de más de 4 tramos, deben combinarse las tablas de 4 tramos y de n tramos de la siguiente

manera:

Para los dos primeros tramos y los dos últimos se utilizara la tabla de 4 tramos y para los tramos

intermedios la de n tramos. Esto se debe a que la tabla de 4 tramos considera el 3er tramo con momento

en los dos apoyos; en cambio la de n tramos tiene el 3er tramo igual que el 1º con un apoyo articulado, es

decir, sin momento en ese apoyo. Las diferencias de vinculaciones provocan diferencias en los momentos

de tramos.

En el ejemplo:

Tenemos 8 tramos

Usaremos:

Tabla 14 para 4 tramos

Tabla 15 para “n” (infinitos) tramos.

TABLA 14 TABLA 15

Debemos considerar:

La relación � (landa) = �

�

Siendo

• � = carga permanente = suma de pesos propios de los materiales

• � = carga variable = sobre carga según destino por reglamentos

• � = � � �

Estos valores (g y p) se obtienen del análisis de cargas.

En el presente ejemplo, los mismos se dan como dato.

� = 0.43 t/m2

� = 0.25 t/m2

� = �

� =

�.��

�.�� t/m2 = 0.63 Con este valor, o el próximo inmediato inferior entro en la tabla. (Tabla 14 y 15)



Secuencia de Calculo:

1º paso: Calculo las reacciones según las indicaciones de la tabla.

En tabla 14

R1= Do → R1= 0.393 x q x l → R1= 0.393 x 0.68 t/m2 x 2.1m= 0.56 t/m

R2= D1 → R2=1.143 x q x l → R2= 1.143x 0.68 t/m2 x 2.1m= 1.63t/m

R3=D2 → D2= 0.928

• Las dos primeras reacciones (R1 y R2) las cálculo de la tabla 14 (4 tramos).

• La 3ra reacción (R3), la calculo promediando los valores de tabla 14 (4 tramos) con los valores de

tabla 15 (infinitos tramos).

• La reacción 4 (R4) la calculo con la tabla 15 (infinitos tramos).

En el caso de la tabla 15 R=D= 1x q x l

R3= �.��.�

� x 0.68t/m2 x 2.1m=1.38 t/m

R4= 1x 0.68t/m2 x 2.1m= 1.43 t/m

2º paso: Determinación de Momentos Flectores Máximos (en el tramo y en el apoyo.)

Según Tabla:

Mmáx M1= ��

��

Mmáx M2= ��

��

Entro a tabla con el valor � (o el valor inmediato inferior en tabla). Busco los coeficientes m1 y m2.

Para � = 063, los valores de tabla 14 son m1= 11.65 y m2=18.52.

Entonces los momentos flectores se calculan:

Mmáx M1= 0.68t/m x (2.1m)2 = 0.26 tm

11.65



Mmáx M2= 0.68t/m x (2.1m)2 = 0.162 tm

18.52

A partir del tramo 3 los valores del momento flector se igualan prácticamente hasta los 2 últimos tramos.

Por lo tanto, para todos los tramos centrales a partir del 3ro se utiliza la tabla 15 (Infinitos tramos).

Según tabla 15, si � = 063, m= 17.14

Mmáx M3= = 0.68t/m x (2.1m)2 = 0.175tm

17.14

Calculo de momentos en los apoyos (X)

El apoyo X0= es un apoyo simple, por lo pronto no existe momento.

Coeficientes para cálculo:

Según tabla 14

X1 → m1x= 8.89

X2 → m2x= 11.66

Según tabla 15

X3 → mx= 10.46

Entonces:

X1= - q x l2 = - 0.68t/m x (2.1m)2 = - 0.34 tm

m1x 8.89

X2 = - q x l2 = - 0.68t/m x (2.1m)2 = - 0.27 tm

M2x 11.66

X3 = - q x l2 = - 0.68t/m x (2.1m)2 = - 0.287 tm

Mx 10.46

Hasta aquí analizamos las losas y obtuvimos los valores de las reacciones sobre las vigas secundarias, los

momentos flectores máximos de los tramos y los momentos negativos de los apoyos.

Análisis de Vigas Secundarias:

V1-V1

Determino:

• � = 0.60 • � = � � �

Predimensionado de viga V1-V1:



Para calcular �, debemos estimar el valor de h de la viga y calcular asi su peso propio (�).

• -bo: 0.20m; d: 0.40m → Ppv1= 0.20 x 0.40 x 2,4 t/m3 = 0.19t/m

• -considerar la reacción de la losa sobre la viga =R1 (carga que ejerce la losa sobre V1). = 0.56t/m

• � = 0.56 � 0.19 � 0.75 t/m

Para calcular vigas de 2 tramos iguales, se deberá usar la tabla Nº 12.

TABLA 12

Datos de tabla:

R1= D0= 0.375 x q x l

R2=D1= 1.25 x q x l

Entonces:

1º paso:

Calculo Reacciones con tabla Nº 12

R1= D0= 0.375 x 0.75t/m x 8 = 2.25t

R1( reacción sobre V5)

R2=D1= 1.25 x 0.75t/m x 8 = 7.5t


2º paso:

Momento flect máx. en los tramos:

� = 0.60

M1 = q x l2 = 0.75t/m x (8m)2 = 3.84 tm

M1 12.5



Momento en el apoyo:

X1 = - q x l2 = 0.75t/m x (8m)2 = -6 tm

8 8

V2-V2

Determino:

• � = 0.60

• � = R2 + Pp de viga =1.63t/m

1º paso:


R1= D0= 0.375 x 1.63t/m x 8 = 4.89t


R2=D1= 1.25 x 1.63t/m x 8 = 16.3t


2º paso:


� = 0.60

M1 = q x l2 = 1.63t/m x (8m)2 = 8.34 tm

M1 12.5


X1 = - q x l2 = 1.63t/m x (8m)2 = 13.04 tm

8 8

V3-V3

Determino:

• � = 0.60

• � = R3 + Pp de viga =1.38t/m+0.19 t/m = 1.57t/m

1º paso:


R1= D0= 0.375 x 1.57t/m x 8 = 4.71t

Esquema de vinculación y de Esquema de momentos

de las vigas secundarias: V1- V1; V2- V2; V3- V3; V4-

V4.

Esquema de reacción de las vigas secundarias: V1-

V1; V2- V2; V3- V3; V4- V4; sobre las vigas principales

V5-V5, V6-V6




R2=D1= 1.25 x 1.57t/m x 8 = 15.7t


2º paso:


� = 0.60

M1 = q x l2 = 1.57t/m x (8m)2 = 8.03tm

M1 12.5


X1 = - q x l2 = 1.57t/m x (8m)2 = -12.56 tm

8 8

V4-V4

Determino:

• � = 0.60

• � = R4 + Pp de viga =1.43t/m+0.19 t/m = 1.62t/m

1º paso:


R1= D0= 0.375 x 1.62t/m x 8 = 4.86t


R2=D1= 1.25 x 1.62t/m x 8 = 16.2t


2º paso:


� = 0.60

M1 = q x l2 = 1.62t/m x (8m)2 = 8.29tm

M1 12.5


X1 = - q x l2 = 1.62t/m x (8m)2 = -12.96 tm



8 8

De este modo, calculamos las reacciones de todas las vigas sobre la viga V5 y V6. A continuación de analiza

la más solicitada de las dos: V6.

V6-V6

Tratándose de una viga principal que recibe las reacciones de las secundarias como cargas puntuales,

estimamos su sección mayor que la de las vigas secundarias.

Adoptamos: b0= 0.25m d= 0.60m

Pp: 0.25m x 0.60m x 2.4t/m3= 0.36t/m

Q= 0.36t/m → adoptamos 0.40t/m

Se recuerda que para cumplir con las

condiciones del método aplicado, deberán

convertirse las cargas puntuales de

diferentes valores que actúan sobre la viga en una serie de cargas iguales (P). Estas se obtienen

promediando las cargas que actúan sobre V6.

De este modo obtenemos una viga con carga uniformemente repartida (q=0.40t/m ) y cargas puntuales

(P=16.06) de igual valor.

Por el principio básico de la física, sabemos que podemos calcular por separado estos esfuerzos

procurados por estas dos situaciones de cargas diferentes y sumarlas luego para obtener esfuerzos totales.

ESTADO DE CARGA 1: “q” unificado.

Calculo de reacciones → Usamos Tabla Nº 12

RC3 =R1= 0.375 x q x l = 0.375 x 0.40t/m x 8.40m= 1.26t

Atención: En este caso Pp de v6 y q son iguales (0.40t/m)

porque no existe otra carga actuando sobre la viga. Es decir,

la viga 6, sostiene su peso propio como carga repartida y las

cargas puntuales de las vigas secundarias.

Si, por ejemplo, la viga 6 recibiera la carga de un muro sobre

ella, debería sumarse el Pp de la viga + Pp del muro.

Q=0.40t/m



RC4 =R2= 1.25 x q x l = 1.25 x 0.40t/m x 8.40m= 4.2t

Calculo de Mto. Flector de tramo:

M1 = q x l2 = 0.40t/m x (8.40m)2 = 1.98tm

M1 14.22


X1 = - q x l2 = 0.40t/m x (8.40m)2 = -3.56 tm

8 8

ESTADO DE CARGA 2: Cargas Puntuales

Calculamos el promedio de las cargas.

Promedio P= (R2V2+ R2V3+R2V4)x2 = P= (16.3t + 15.7t+16.2t)x2 = 16.06t

6

Atención: Consideramos las cargas que afectan a la viga, no las que descargan directamente

sobre las columnas/ apoyos.



Usamos la tabla 10.22.8 para cargas aisladas equidistantes de igual magnitud y luces iguales.

TABLA 10.22.8

Caso nº3:

De tabla:

RC3 = T0 = 1.031x P= 1.031x 16.06= 16.56t

RC4 = T1 = 3.938 x P= 3.938x 16.06t= 63.24t

Mto tramo= M1= 0.2656 x P x L = = 0.2656 x 16.06tx 8.4m= 35.8tm → 36t

Mto Apoyo= X1 = -0.4688x P x L = -0.4688 x 16.06t x 8.4m= 63.25tm

Sumando los esfuerzos a los dos estados de carga obtenemos los estados totales obtenemos los esfuerzos

totales.

Momentos Flectores Max.:

Mto de tramos: M1total= 1.98tm + 36tm = 37.98tm

Mto de apoyo= X1 total= -(3.56tm+63.25tm)= -66.81tm

Reacciones totales:

RC3= 1.26t+ 16.56t= 17.76

RC4= 4.2t+63.24t= 67.44t

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