SISTEMAS ESTRUCTURALES - Facultad de Arquitectura UNAM · 2019-03-09 · tura en Arquitectura 2017,...

SISTEMASESTRUCTURALES

Autor Responsable: Perla R. Santa Ana Lozada

Corresponsable: Lucia G. Santa Ana Lozada

Colaboradores: Hector Allier Avendaño, Lorena Pérez Gómez, Nohemí López Roldan, Enrique Juárez Ortiz, Maria Fernanda Martínez HuitrónDra. Gemma Verduzco

Aprendizaje en experiencias y aprendizaje adaptativo

como estrategias didácticas para mejorar la enseñanza

de los aspectos estructurales en arquitectura.“

”

LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES

PRÁCTICAS CON MODELOS FÍSICOS

LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES

EQUIPO EDITORIAL

Coordinadora editorialErandi Casanueva Gachuz

RESPONSABLE DE DISEÑO EDITORIALAmaranta Aguilar Escalona

Diseño editorial y formaciónIsrael Reyes AlfaroLorena Acosta LeónMariana Ugalde

PAPIME PE 400516

Primera edición: 2018D.R. © Universidad Nacional Autónoma de MéxicoCiudad UniversitariaDelegación Coyoacán C.P. 04510 México, Ciudad de MéxicoFacultad de Arquitectura

Prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales

Hecho en México

Práctica 1 y 2. TensiónCatenaria y funicular

Introducción

Objetivos

Hipótesis

Materiales para el estudiante

Procedimiento

Práctica 1. Catenaria (curva equilibrio)

Práctica 2. Funicular con cargas puntuales

Análisis de resultados prácticas 1 y 2

Conclusiones prácticas 1 y 2

Ejercicios de aplicació

Referencias

12

13

18

19

20

21

22

25

35

36

37

39

Práctica 3 y 4. CompresiónArco biarticulado parabólico

Introducción

Objetivos

Hipótesis

Materiales

Procedimiento

Práctica 3. Arco parabólico biarticulado

con carga puntual móvil

Práctica 4. Arco parabólico biarticulado

con carga repartida

Análisis de resultados práctica 3 y 4

Conclusiones

Ejercicios de aplicación

Referencias

40

41

51

52

53

54

55

60

62

64

65

67

Contenido

Práctica 5 y 6. Pandeo

Introducción

Objetivos

Hipótesis

Materiales

Procedimiento

Práctica 5. Pandeo en elementos biarticulados

Práctica 6. Pandeo de barras biempotradas


Conclusiones


Referencias

68

69

75

76

77

78

79

83

86

87

88

89

Práctica 7 y 8. Flexión

Introducción

Objetivos

Hipótesis

Materiales

Procedimiento

Práctica 7. Flexión con cargas puntuales

Práctica 8. Flexión con carga repartida

uniforme y carga puntual

Análisis de resultados practicas 7 y 8


Conclusiones

Referencias

90

91

98

99

100

101

102

109

119

122

123

124

Práctica 9 y 10. Armaduras

Introducción

Objetivos

Hipótesis

Materiales

Procedimiento

Práctica 9. Armadura 1 plana

estáticamente determinada

Práctica 10. Armadura 2 plana

estáticamente determinada


Conclusiones


Referencias

125

126

132

133

134

135

137

147

153

157

158

160

Práctica 11. Marcos rígidos

Introducción

Objetivos

Hipótesis

Materiales

Procedimiento

Práctica 11. Marcos rígidos

Análisis de resultados

Conclusiones


Referencias

161

162

172

173

174

175

176

185

187

188

190

Práctica 12 y 13. Efecto de sismo en

edificios con marcos

Introducción

Objetivos

Hipótesis

Materiales

Procedimiento

Práctica 12. Comportamiento de sistema

a base de marcos rígidos de 1 y 2 niveles

bajo movimiento senoidal y sísmico

Práctica 13. Comportamiento de un sistema

formado por marcos semirígidos de 1 y 2

niveles bajo movimiento senoidal y sismico


Conclusiones


Referencias

Bibliografía

191

192

200

201

202

203

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208

209

210

212

213

IntroducciónLa arquitectura implica conocer aspectos estructurales así como

constructivos para llegar a una solución resistente, funcional y

estética. Actualmente existe en los estudiantes de arquitectu-

ra reticencia al aprendizaje de estos temas por considerárseles

complejos, recurriendo el alumno a obtener solamente el co-

nocimiento suficiente para aprobar las materias sin generar un

entendimiento y síntesis de afectación en la solución del objeto

arquitectónico que manejará en su quehacer cotidiano.

El objetivo del aprendizaje significativo sobre estas temáticas

consiste en que el alumno entienda los fundamentos mecáni-

cos que se producen en los elementos estructurales mediante la

reproducción, observación y relación de la respuesta física con

8

los conceptos teóricos (mecánica de materiales y estática) ante

distintas condiciones de trabajo e inducir al estudiante a reali-

zar la síntesis del conocimiento aplicado en la fase proyectual al

mostrar la aplicación de los elementos estructurales estudiados

dentro de distintos proyectos arquitectónicos como parte de su

sistema estructural.

Un medio empleado para lograr este objetivo, como se ha desa-

rrollado en distintas universidades nacionales y extranjeras, es

la aplicación de dos estrategias didácticas que se han manejado

por separado hasta el momento: Aprendizaje basado en la ex-

periencia y aprendizaje adaptativo.

El aprendizaje basado en experiencia genera el conocimiento

de conceptos teóricos mediante la experiencia y acción con ob-

jetos que le lleven a la comprensión de su funcionamiento; los

profesores se transforman en facilitadores que involucran a los

alumnos a experimentar y reflexionar en aspectos específicos

para llegar al conocimiento requerido (Asociación Internacional

de Aprendizaje Experiencial, 2018). El Aprendizaje adaptativo

aprovecha las herramientas tecnológicas para ir facilitando el

conocimiento conforme el nivel de entendimiento del alumno

(ITESM, Edutrends julio 2014).

Las bondades de las estrategias didácticas mencionadas ante-

riormente son: a) el estudiante en su totalidad se involucra en

la etapa de conocimiento y entendimiento, ya que no solo su

intelecto se ve inmerso en el problema, también sus sentidos,

sentimientos y personalidad se integran en la transformación

de conocimiento significativo; b) se genera la oportunidad de

reflexionar así como de sintetizar los conceptos teóricos a par-

tir de la observación de efectos y fenómenos tangibles reales;

c) los estudiantes se comprometen con generar su propio co-

nocimiento mediante la reflexión y síntesis; d) los maestros es-

tablecen un sentido de confianza, respeto y apertura con los

alumnos y su forma de racionalizar los problemas; e) el alumno

obtiene retroalimentación de su aprendizaje de forma instantá-

nea permitiendo comprender su error en ese momento; f) las

evaluaciones varían su nivel de complejidad dependiendo de la

capacidad o aptitud del estudiante.

9

Para aplicar la estrategia didáctica basada en experiencia con

los alumnos de la Facultad de Arquitectura de la UNAM den-

tro de su Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales,

se realizó el proyecto DGAPA PAPIME 400516 con el cuál se

adquirieron 3 modelos físicos comerciales y se fabricaron otros

3 modelos en el laboratorio, además de producir el presente

manual de prácticas que sirva como guía para lograr el objetivo

planteado. Para lograr el aprendizaje adaptativo se realizaron

prácticas virtuales las cuales complementan a las actividades

propuestas en este texto, sin embargo no serán expuestas en

el presente manual.

Considerando las temáticas que se abordan en las materias de

Sistemas Estructurales Básicos I, II y III así como Sistemas Es-

tructurales I, II y III dentro del Plan de Estudios de la Licencia-

tura en Arquitectura 2017, de la Facultad de Arquitectura de la

UNAM se desarrollaron las primeras 13 prácticas que presenta

este manual, abordando los siguientes 7 temas: tensión, com-

presión, pandeo, armaduras, flexión en vigas, marcos rígidos y

efectos sísmicos en marcos. El orden cronológico en el que se

presentan es con base en su grado de complejidad del tema,

sugiriendo se aborden en los siguientes semestres y materias:

Prácticas 1 y 2. Funiculares. Materia: Sistemas Estructurales Básico I (2º sem).

Prácticas 3 y 4. Arcos biarticulados. Materia: Sistemas Estructurales Básicos II (3er sem).

Prácticas 5 y 6. Pandeo. Materia: Sistemas Estructurales I (5º sem).

Prácticas 7 y 8. Flexión Materia: Sistemas Estructurales Básicos III (4º sem).

Prácticas 9 y 10. Armaduras Materia: Sistemas Estructurales Básicos II y III (3º-4º sem).

Prácticas 11. Marcos rígidos Materia: Sistemas Estructurales I y II (5º y 6º sem).

Prácticas 12 y 13. Sismo en marcos. Materia: Sistemas Estructurales II y III (6º y 7º sem).

Facultad de Arquitectura. Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales

Laboratorio de Sistemas Estructurales

Prácticas con modelos físicos en Laboratorio:

10

11

Cada práctica presenta un breve resumen de los aspectos teó-

ricos que se abordan en la misma dentro de la introducción,

los objetivos, hipótesis, materiales, procedimiento de trabajo,

análisis de resultados, conclusiones, ejercicios de aplicación y

bibliografía. Se pretende que el alumno asista al laboratorio una

vez que el profesor ha visto el tema con los alumnos durante

la clase teórica, de forma que el alumno viva la aplicación del

fenómeno y los efectos que presenta sobre los distintos objetos

de estudio.

El manual es de fácil acceso y entendimiento de forma que tan-

to profesores como alumnos puedan emplearlo e ir siguiendo

el método de experimentación planteado. El aspecto de apren-

dizaje de uso de los modelos empleados en cada práctica no

se aborda en este manual, sin embargo puede ser solicitada la

documentación en cuestión en el laboratorio de Materiales y

Sistemas Estructurales o en su defecto acercarse a tomar la ca-

pacitación para profesores que se imparte dentro del laborato-

rio para dicho fin.

Se agradece tanto a DGAPA como a la Facultad de Arquitectura

a través de su director M. en Arq. M. Mazari H, a la Coordina-

ción editorial, M. Erandi Casanueva G. ,Coordinación de comu-

nicación social L.D.G Alejandra Villa C. y al laboratorio de Ma-

teriales y Sistemas Estructurales de la Facultad de Arquitectura

a través de su responsable Dr. A. Muciño.

T E N S I Ó N . C AT E N A R I A Y F U N I C U L A R

PAPIME PE 400516

13

IntroducciónSe pretende interesar al alumno en las estructuras funiculares,

por medio del entendimiento de la geometría que adquiere un

cable al ser sometido bajo diferentes cargas.

14

Qué es una catenaria?

y − y0 = a*coshx − x0a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y1 = a*coshx1a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Es la curva cuyo trazo sigue la forma que adquiere una cadena

o cuerda de densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta

por sus dos extremos y que se encuentra sometida únicamente

a la fuerza de la gravedad.

La ecuación de la curva en equilibrio (catenaria) es la siguiente:

Ilustración 1a.

Representación de la catenaria en un plano

(1a)

Si se toman como referencia los ejes x1 , y1 la ecuación queda

de la siguiente forma:

Donde:

y1 es la coordenada del punto a calcular (cm o m)

a es la separación en el eje y del punto de origen

al punto a calcular (cm o m)

cosh se refiere a la expresión matemática “coseno hiperbólico”

¿

(2a)

15

Qué es un funicular?¿

Es la curva que describe un cable suspendido por sus extremos,

sometido a cargas en su longitud. Si las cargas son el propio

peso del cable se obtiene una catenaria. Si las cargas son uni-

formes en proyección vertical, se obtiene la parábola. Si son

perpendiculares a cada punto del cable generan un arco apro-

ximadamente, etc.

Como se puede observar en los esquemas de la ilustración 2a,

la geometría y clasificación de los polígonos funiculares depen-

de del punto donde se aplican las cargas, por lo que todas las

catenarias son polígonos funiculares, pero no todos los funicu-

lares son catenarias.

Ilustración 2a.

Tipos de polígono funicular

Los funiculares sólo resisten esfuerzos de tensión es decir que

las fuerzas que actúan sobre los funiculares tienden a estirar el

cable principal que forma este elemento.

Ilustración 3a.

Diferencias entre parábola y catenaria

16

Qué ecuaciones gobiernan un polígono funicular?

Para resolver una estructura de cables con cargas puntuales,

donde el claro y la flecha están establecidas, se pueden utilizar

las ecuaciones de equilibrio estático para determinar el trabajo

de cada tramo de cable.

Ecuaciones de equilibrio:

MA∑ = 0 Sumatoria de momentos (M) en el punto A igual a cero

Y∑ = 0 Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje vertical (Y)

igual a cero

X∑ = 0 Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje horizontal (X)

igual a cero

RA (1), RB (1) es la reacción vertical en el punto A o B (se refiere a las

fuerzas que actúan en el sentido contrario de las cargas

para poder soportar el sistema)

H (2) es la reacción horizontal

(3) es la tensión máxima en el funicular, siendo igual a la raíz

cuadrada de los componentes de las fuerzas en los extremos

M = P*d Momento igual a la fuerza aplicada P(4) por la distancia

d(7) al punto de apoyo A o B. (kg*cm o ton*m)

Donde:

L(5) es la longitud del cable.

s(6) es el punto máximo (caída del cable).

d(7) es la distancia horizontal del soporte izquierdo o derecho.

¿

Ilustración 4a.

Esquema de fuerzas aplicadas

de modo puntual

17

Para que un tensor soporte el esfuerzo interior de tensión (es-

fuerzo interno) que se produce debido a una carga axial ex-

terior, se requiere que este elemento esté construido con un

material cuyo esfuerzo resistente a compresión sea igual o ma-

yor al esfuerzo interno de la columna, es decir:

Cómo se predimensiona un cable de acero?

σ T =FtA

=σ resistente a tensión del material

σ resistente a tensión del material = 1520kg / cm2

El proporcionar una dimensión transversal al tensor (sección)

significa diseñar dicho elemento estructuralmente. Para poder

determinar de una forma aproximada y rápida la sección que

requiere el tensor para soportar la carga axial, se proporciona el

valor de esfuerzo resistente de tensión del acero considerando

un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo

de tensión permisible.

¿

(3a)

(4a)

18

• Que el alumno se interese de manera teórico-práctica

en las estructuras funiculares.

• Que el alumno aprenda a identificar un sistema funicular y

los esfuerzos que lo gobiernan dentro de elementos aplica-

dos en arquitectura.

• Que el alumno pueda reconocer las formas que toma

un cable sostenido por sus extremos.

• Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos

a proyectos arquitectónicos.

Objetivos

19

El comportamiento de un funicular depende de su geometría

de forma que siempre trabaje a tensión.

Se probará de forma práctica y numérica el comportamiento de

un funicular; para ello, se realizarán diferentes modelos a escala.

Para el caso de la catenaria, funicular que sólo soporta su propio

peso, calcularemos algunos de los puntos que forman la curva y

veremos si coincide el modelo físico con el cálculo matemático.

Ambas curvas deberían estar formadas por los mismos puntos;

dependiendo de los materiales que sean empleados, este mo-

delo y el cálculo podrán variar un poco.

Para los casos en los que se le aplique una carga puntual al ca-

ble, se determinará la deformación del cable con el modelo, y

con los cálculos, al igual que en la catenaria, el modelo realizado

debería ser muy similar al cálculo que comprueba el funciona-

miento del sistema

Hipótesis

20

Materiales para el estudiante

• Base de cartón corrugado de 30X30cm. *

• Hojas milimétricas.

• Hojas de papel albanene.

• Tachuelas. *

• Clips. *

• Cadena (para collares).

• Cubos de plastilina de 1cm3 (1g c/u). *

• Masking Tape. *

• Marcador.

* Estos materiales pueden ser comprados entre dos o tres personas, de modo que sean económicos y no haya desperdicios

Ya que se explicaron las expresiones que gobiernan a un funi-

cular procederemos a hacer cuatro casos modelos para hacer

las comparaciones entre ambos. Lo primero que se realizará

por participante:

ProfesorPresentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra

el plano de trabajo, cadena y pesos, ejemplificando cada paso

que realizará el alumno ante grupo.

Procedimiento

Ilustración 6a.

Modelo de

funicular profesor

EstudiantesArmarán la base sobre la cual se colocarán los modelos; esta

base siempre se posicionará verticalmente para que la gravedad

actúe directamente sobre el modelo.

Pasos:

• Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.

• Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación

que se desee para el polígono funicular (en el ejemplo 20 unidades).

• Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor

fijación de las tachuelas.

• Poner una hoja de albanene sobre la hoja milimétrica, servirá para

dibujar sobre ella el polígono funicular que se forme.

Ilustración 7a. Plano de trabajo para alumnos

21

22

Se debe colocar la cadena libre en el modelo del profesor, for-

mando una catenaria cuyo claro sea igual a 6.8 cm, con una caí-

da de 5.8 cm; la separación entre el borde inferior de la hoja y el

punto más bajo de la catenaria será de 1.5 cm. El alumno debe-

rá replicarlo con su propio material para evaluarlo, siguiendo los

pasos a continuación:

1Práctica

Catenaria (curva equilibrio)

• Colocar la cadena sobre las tachuelas,

ésta formara una catenaria.

• Deslizar la cadena para obtener

la altura deseada (5.8 cm).

• Marcar la curva sobre el albanene siguiendo

la forma que tiene la cadena

Ilustración 8a.

Catenaria de trabajo

• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica

• Resolver la ecuación de la curva en equilibrio

Y = 1.5( )* cosh x / 1.5( )( )

Para obtener la coordenada “h” ,

h = 1.5( )* cosh(x / 1.5( )⎡⎣ ⎤⎦ −1.5)

Se comprueba que la forma es correcta, del siguiente modo:

I. Para que la curva derivada de la expresión matemática sea si-

milar a la que se obtuvo de forma experimental, se debe encon-

trar una relación entre el claro y la altura. Esto se logrará con la

ecuación de la catenaria, considerando “X” como la mitad del

claro y el resultado en “Y” debe ser lo más parecido posible a la

altura. En este caso, “X” es igual a 3.4 y “a” es igual a 1.5.

3 5.64329353662545 4.14329353662545

3.1 6.01879359112219 4.51879359112219

3.2 6.42105374830430 4.92105374830430

3.3 6.85186249334734 5.35186249334734

3.4 7.31313524104010 5.81313524104010

3.5 7.80692285189263 6.30692285189263

x y h

23

II. Una vez que se tiene el claro qué se ocupará en la ecuación

matemática, se resuelve calculando módulos que correspondan

al número de los marcados en la hoja milimétrica; en este caso

serán 40 módulos de 0.16, es decir que calcularemos 20 módu-

los y los otros 20 serán el “espejo” de los que calculemos.

III Con ayuda de AutoCAD, traza la curva que obtuviste del

modelo y compárala con el cálculo matemático.

Ilustración 8a.

Gráfica final de catenaria en Autocad

0 1.50000000000000 0.00000000000000

0.17 1.50964364898365 0.00964364898365

0.34 1.53869859588889 0.03869859588889

0.51 1.58753843499465 0.08753843499465

0.68 1.65679115865393 0.15679115865393

0.85 1.74734723214425 0.24734723214425

1.02 1.86037104344703 0.36037104344703

1.19 1.99731587517961 0.49731587517961

1.36 2.15994259119179 0.65994259119180

1.53 2.35034227810303 0.85034227810303

1.7 2.57096313290955 1.07096313290955

1.87 2.82464194238764 1.32464194238764

2.04 3.11464055906158 1.61464055906158

2.21 3.44468784275129 1.94468784275129

2.38 3.81902760699265 2.31902760699265

x y h

2.55 4.24247318683495 2.74247318683495

2.72 4.72046932965910 3.22046932965910

2.89 5.25916220482100 3.75916220482100

3.06 5.86547843231807 4.36547843231807

3.23 6.54721414664506 5.04721414664506

3.4 7.31313524104010 5.81313524104010

24

Analiza los resultados

En la siguiente imagen se puede notar que, aunque la curva que

se formó en el modelo (línea roja) no coincide totalmente con

la resultante de las expresiones matemáticas (línea verde), esto

es debido a que la cadena que se utilizó tiene unas pequeñas

bolitas que no permite el libre paso de la cadena a través de los

puntos de amarre (tachuelas).

Ilustración 9a.

Comparativa catenaria

aritmética y obtenida

con el modelo físico

25

Práctica

Funicular con cargas puntuales

Ejercicio 1 Funicular con 1 carga puntual al centro

• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara

una catenaria

• Deslizar la cadena para obtener la caída “S” deseada (6.05 cm)

• Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) en el centro

de la catenaria, esto deformará la curva, por lo que dejará de

ser una catenaria

• Marcar la figura que se forma sobre el papel albanene

siguiendo la forma que tiene la cadena

• Tomar como referencias la posición en la hoja milimétrica

• Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas

puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo.

Una estructura con separación entre los puntos de amarre

de 20 cm (claro), al colocar la carga puntual de 1 gr en el

centro del cable con una caída igual a 6.05 cm

Ilustración 10a.

Modelo práctica 1 Funicular

carga puntual al centro

Donde tenemos los siguientes datos:

l es el claro, en este caso de 20cm

h es la caída o flecha, de 6.05cm

P1 es la carga puntual, de 1gr

2

26

Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extre-

mo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-

mento en el extremo A que sean igual a cero

MA∑ = 0 (girando a favor de las manecillas

del reloj es positivo)

P1 *10− Rb *20 = 0

Las expresiones que se utilizarán son:

MA = 0 ; M = Fuerza * distancia ; Fy = 0 Fx = 0∑∑∑




La reacción vertical en el punto B será igual a

Rb =1020

= 0.5gr

Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la

sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las

fuerzas con sentido hacia arriba:

+ ↑ Fy = 0∑

−P1 + Ra + Rb = 0 despejando tenemos,

Ra = 1− 0.5= 0.5gr

Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero,

ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al

punto C considerando sólo la mitad del cable para obtener la

reacción horizontal en B.

Mc∑ = 0

−Rb *5+ Hb *6.05= 0

, despejando tenemos

27

Despejando Hb tenemos,

Hb =+0.5x56.05

= 0.413gr

Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción

horizontal en el punto A,

+→ Fx = 0∑

Hb − Ha = 0

Ha = 0.413gr

Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-

ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-

yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las

reacciones en uno de los extremos del mismo:

V = H 2 + r 2VA = Ha2 + Ra

2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr (para tensión máxima)

VA = Ha2 + Ra

2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr

VB = Hb2 + Rb

2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr

Por último, calcularemos el área de un cable de acero que sería

necesario para soportar esta tensión; empleando acero estruc-

tural con un esfuerzo resistente a la tensión permisible (Fy),

igual a 1520 kg/cm2 tenemos que:

Ilustración 11a.

Geometría Funicular

carga puntual al centro

28

Ejercicio 2 Funicular con 2 cargas puntuales

Ilustración 12a.

Modelo para ejercicio Funicular 2 cargas puntuales

• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formará

una catenaria.

• Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm).

• Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm

del punto de amarre izquierdo.

• Con la ayuda de otro clip, colocar dos cubos (2 gr) a 4.5

cm del punto de amarre derecho.

• Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendo


• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica.

• Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas

puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo.

Una estructura con separación entre los puntos de amarre

de 20 cm, al colocar 2 cargas puntuales de diferente peso,

la altura se toma desde la parte más baja, por lo que en

esta ocasión queda de 6 cm, con una carga puntual de 1 gr

a 5.5 cm del punto izquierdo y otra de 2 gr a 4.5 cm del

punto derecho.

Los datos que tenemos son:

l es el claro, aquí de 20 cm

h es la caída o flecha, de 6 cm

P1 es la carga puntual, de 1 gr


29

Las expresiones que se utilizarán nuevamente son:

MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0






mento en el extremo A que sean igual a cero.

MA = 0∑ (girando a favor de las manecillas


P1 x 5.5 + P2 x 15.5 − Rb x 20 = 0

Despejando Rb tenemos:

Rb =1 x 5.5 + 2 x 15.5

20= 1.825gr




+ ↑ Fy = 0∑

−P1 − P2 + Ra + Rb = 0

Sustituyendo el valor de Rb y despejando Ra tenemos

Ra = 1+ 2−1.825= 1.175gr



punto C considerando sólo las fuerzas que se encuentran a la

izquierda del punto para obtener la reacción horizontal en A.

Mc = 0∑

−P1 x 10+ Ra x 15.5− Ha x 6 = 0

Ha =−1 x 10+1.175 x 15.5

6= 1.368gr

30

Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción

horizontal en el punto B,

+→ Fx = 0∑

Hb − Ha = 0

sustituyendo el valor de Ha y despejando tenemos

Hb = 1.368gr





V = H 2 + R2 (para tensión máxima)

VA = Ha2 + Ra

2 = 1.3682 +1.1752 = 1.803gr

VB = Hb2 + Rb

2 = 1.3682 +1.8252 = 2.28gr

Predimensionando el cable con ambas fuerzas

encontramos su área

Área del cable =Tmáx

1520kg / cm2

El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se

selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final

del mismo.

Ilustración 13a.

Geometría Funicular para dos cargas puntuales

31

Ejercicio 3 Funicular con 3 cargas puntuales

• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara

una catenaria

• Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm)

Ilustración 14a.

Modelo para ejercicio Funicular 3 cargas puntuales

• Con la ayuda de un clip colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm

del punto de amarre izquierdo

• Con la ayuda del clip colocar tres cubos (3gr)

al centro del claro

• Con la ayuda de otro colocar dos cubos (2gr) a 4.5cm

del punto de amarre derecho

• Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendo


• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica

• Resolver las ecuaciones para un sistema con cargas pun-

tuales considerando los datos obtenidos en el modelo. Una

estructura con separación entre los puntos de amarre de

20 cm, al colocar 3 cargas puntuales de diferente peso, la

altura se toma desde la parte más baja, por lo que en esta

ocasión queda de 5 cm, con una carga puntual de 1 gr a

5.5 cm del punto izquierdo, otra de 2 gr a 4.5 cm del punto

derecho y una más de 3 gr al centro del claro.

32

Los datos que tenemos son:

l es el claro, aquí de 20 cm

h es la altura o flecha, de 5 cm




Las expresiones que se utilizaran nuevamente son:







mento en el extremo A que sean igual a cero.

MA = 0∑ (girando a favor de las manecillas


P1 *5.5 + P2 *10 + P3 *15.5 − Rb *20 = 0

Despejando Rb tenemos




+ ↑ Fy = 0∑

−P1 − P2 − P3 + Ra + Rb = 0

Ra = 1+ 3+ 2− 3.325= 2.675 tongr

33



punto C considerando solo las fuerzas que se encuentran a la

derecha del punto para obtener la reacción horizontal en A.

MC = 0∑

+P3 *5.5 − Rb *10 + Hb *5= 0

Despejando Hb tenemos

Haciendo sumatoria de fuerzas en “X”, se obtendrá la reacción

horizontal en el punto B,

+→ Fx = 0∑

Hb − Ha = 0

Ha = 4.45 tongr





V = H 2 + R2 (para tensión máxima)

VA = Ha2 + Ra

2 = 4.452 + 2.6752 = 5.192 gr

VB = Hb2 + Rb

2 = 4.452 + 3.3252 = 5.55 gr

Predimensionando el cable con ambas fuerzas

encontramos su área

Área del cable =Tmáx

1520 kg /cm2

34

Ilustración 15a.

Geometría Funicular para

dos cargas puntuales

El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se

selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final

del mismo.


Como se mencionó en la hipótesis, al observar los modelos se

puede observar que la forma que tomó la cadena fue debido a

los pesos colocados.

La flecha o altura se da en el punto donde existe la carga de ma-

yor peso; dentro de un proyecto arquitectónico dichas alturas

son propuestas por el arquitecto y su proyecto.

35

Los polígonos funiculares pueden tener diferentes formas de-

pendiendo del peso que se les aplique, así como de la posición

en la que estos pesos se sitúen a lo largo del funicular. Es decir,

la forma responde a las cargas.

Una catenaria siempre es un funicular, pero un funicular no

siempre es una catenaria.

Las reacciones o tensión máxima de los polígonos funiculares

son diferentes en los tramos del cable debido a la distribución

de las cargas, pero ya que pertenecen a un mismo sistema, se

tomará en cuenta la tensión más grande para el cálculo del área

del cable, ya que éste debe ser un cable continuo y no pedazos

de diferentes medidas.


prácticas 1 y 2

Un funicular es un sistema formado por elementos flexibles

llamados cables que se deforman de acuerdo a las cargas que

soportan para que el elemento que lo forma siempre esté tra-

bajando a tensión.

Los apoyos de la funicular son importantes, ya que reciben los

empujes horizontales del cable, debiendo empujar en sentido

contrario para que el cable no “jale” al sistema hacia el centro.

La altura o flecha en un proyecto arquitectónico es propues-

to por el arquitecto dependiendo del claro, altura de entrepiso,

cargas y por supuesto su concepto.

Estos sistemas son muy eficientes en su trabajo, generando

soluciones limpias para librar claros grandes, y económicas

cuando se emplean materiales que trabajan muy bien a tensión

como es el acero.

Conclusiones prácticas 1 y 2

Ilustración 16a.

Geometría de distintos tipos de funiculares

36

• Realiza tu informe de la práctica y anexa tus conclusiones,

dibujos o esquemas.

• Realiza el caso 1 con una agujeta, toma una foto de la ca-

tenaria y cálcala en algún programa de dibujo asistido por

computadora (CAD, por sus siglas en inglés; como Auto-

CAD, Archicad, etc.), así podrás determinar qué tan similar

es lo que dibujaste con la expresión matemática adecuada.

• Realiza más modelos para poder explicar qué pasa.

• Si el claro es mayor, ¿las reacciones aumentan?

• Si las cargas son iguales, qué forma obtiene el cable

• Si hay mayor número de cargas, la altura ¿aumenta

o disminuye?


37

¿Qué son los cables que trabajan a tensión con sólo dos puntos de amarre?

a. Catenarias

b. Polígonos Funiculares

c. Parábolas

Cuestionario

¿Cómo es la figura que adopta sobre el plano de representación cuando se le aplica una carga uniformemente repartida a un cable?

a. Una catenaria

b. Una parábola

c. Un polígono de 3 lados

¿Por qué se dice que los polígonos funiculares sólo trabajan a tensión?

a. Porque los elementos que soportan todo el sistema

los empujan los extremos del cable hacia los pesos

que se aplican

b. Porque los elementos que soportan el sistema los

jalan a los extremos para mantenerse en equilibrio

c. Porque las cargas que se aplican solo se pueden poner

en el centro para poder mantener el equilibrio

38

39

Aroca Hernández-Ros, R. (2002). Funiculares. Cuadernos del

Instituto Juan de Herrera. Madrid: Instituto Juan de Herre-

ra-ETSAM.

Casañas, V., & Fernándes, C. (2012). Cables y arcos. Recuperado

el 25 de febrero de 2018, de Facultad de Arquitectura, Dise-

ño y Urbanismo. Universidad de la República. Montevideo,

Uruguay: http://www.fadu.edu.uy/estabilidad-i/files/2012/

02/estructuras_traccionadas.pdf

Departamento de Matemáticas-Formación a Distancia-PIE.

(2013). La caternaria en arquitectura. Recuperado el 25 de

febrero de 2018, de Escuela Técnica Superior de Ingenie-

ros de Caminos, Canales y Puertos: http://www2.caminos.

upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/

Chip%20geométrico/Catenaria.pdf

Onouye, B. (2012). Statics and Strength of Materials for Archi-

tecture and Building Construction. Prentice Hall, USA.

Referencias

40

C O M P R E S I Ó N .

A R C O B I A R T I C U L A D O P A R A B Ó L I C O

PAPIME PE 400516

IntroducciónSe pretende interesar al alumno en sistemas estructurales tra-

bajando a compresión por medio de la geometría del sistema;

empleando arcos biarticulados parabólicos, el alumno visualiza-

rá y comprobará la relación entre cargas, empujes horizontales

del arco y sus acciones internas bajo distintos tipos de distribu-

ción de cargas.

41

42

Qué es el esfuerzo de compresión?

Al aplicar una fuerza sobre el eje del elemento (carga axial) en

sentido de oprimirlo, éste trabaja oponiéndose a deformarse

produciendo un esfuerzo interior llamado esfuerzo de compre-

sión. La deformación del elemento se produce debido a que sus

partículas se juntan haciendo que su longitud se acorte y au-

mente su sección transversal.

Ilustración 1b.

Esfuerzo de compresión por carga axial

¿

43

Qué es un arco biarticulado?

Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabó-

lico cuyos esfuerzos internos, producto de soportar una carga

externa, son a compresión principalmente. Dependiendo de la

geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas

aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos

internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.

Se dice que el arco está biarticulado cuando en sus extremos

existe una “rótula” o articulación que le permite girar al arco en

dichos puntos, de forma que se generen menores esfuerzos de

flexión internos.

A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable

que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo lar-

go del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una

parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente

distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifuni-

cular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo

principal es a compresión bajo cargas uniformemente distribui-

das, estando biarticulado en sus extremos.

Ilustración 2b.

Funicular y antifunicular

con carga repartida

¿

44

¿Qué sucede cuando se tiene un arco biarticulado parabólico con carga puntual?

Cuando un arco tiene cargas puntuales en diferentes puntos,

su geometría no obedece a la funicular correspondiente, por lo

que comienzan a generarse momentos al interior del arco.

Para obtener la reacción horizontal que se produce en el extre-

mo del arco, debido a que se trata de un sistema hiperestático,

se recurre a aplicar el método de flexibilidades para encontrar

la reacción horizontal en el nudo B, liberando dicho nudo como

se muestra en la figura 3b.

Ilustración 3b.

Funicular y anti-funicular con carga repartida

Obteniendo la reacción en el extremo B tenemos:

RBX =5Pa8hL3

(L3 + a3 − 2La2 ) (1b)

Donde:

P = carga aplicada en el arco (kg o ton)

a = distancia donde se aplica la carga con respecto al punto “A” (cm o m)

h = la altura en el punto más alto del arco (cm o m)

L = longitud total del arco (cm o m)

Un arco parabólico presenta una geometría determinada por la

siguiente ecuación:

y = 4hL2(Lx − x2 ) (2b)

¿

45

Qué es una línea de influencia de la reacción horizontal de un arco?

Se le llama valor de influencia a la proporción obtenida de la

reacción horizontal “Rax” con respecto al valor de la carga apli-

cada para producir dicha reacción

x (3b) Reacciónvalor Influencia

Valor Carga Aplicada=

(3b)

Para obtener una gráfica de la tendencia de este valor, se va

variando la posición de una misma carga en distintos puntos del

arco, observando el comportamiento del valor de influencia a lo

largo del arco.

Para generar la gráfica de estos valores, se requiere que la lon-

gitud del arco sea también obtener el claro en proporción a la

longitud total, es decir:

(4b)

punto donde se aplica cargaFracción del Clarolongitud total de arco

= (4b)

Ilustración 4b.

Gráfica de Línea de Influencia de un Arco parabólico

La gráfica obtenida nos indica los efectos que presenta la car-

ga al ser colocada en distintos puntos del arco; como se puede

observar en la figura 4b, el reacción horizontal de mayor valor

se obtiene cuando la carga puntual se aplica al centro del arco.

¿

46

Cómo se obtiene el diagrama de momento flexionante de un arco parabólico bi-articulado?

Generalmente el valor de momento que interesa para diseñar

es el de mayor valor o máximo, el cual se presenta cuando la

carga está aplicada al centro del arco.

El primer paso para determinarlo de forma gráfica es obtener

el momento generado en el arco donde se colocó la carga, es

decir, al centro, siendo dicho momento igual a (ver figura 5b):

* (5b)CL XAM R h= (5b)

Y sobre la gráfica producto de estos valores se dibuja el diagra-

ma de momentos considerando el arco ahora como un elemen-

to horizontal, donde su valor cuando la carga está al centro del

claro es:

* (6b)4CL

P LM = (6b)

Donde:

P = carga puntual aplicada al centro del arco

L = claro total del arco

El diagrama final de momentos que presenta este arco es:

Ilustración 5b.

Diagrama de momento flexionte

¿

47

Qué es un arco parabólico con carga uniformemente repartida?

Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabó-

lico cuyos esfuerzos internos producto de soportar una carga

externa son principalmente a compresión. Dependiendo de la

geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas

aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos

internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.

A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable

que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo lar-

go del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una

parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente

distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifuni-

cular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo

principal es a compresión pura bajo cargas uniformemente dis-

tribuidas, estando biarticulado en sus extremos.

Ilustración 6b.

Reacciones sobre un arco anti-funicular

¿

Ray Rby

48

Debido a que el esfuerzo máximo se presenta en los extremos,

la resultante máxima se puede obtener a partir de la suma de

sus componentes:

FCmax =wLT2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ H 2 (11b)

La ecuación para obtener la geometría de la parábola se obtie-

ne a partir de sacar la sumatoria de momentos al extremo de

un tramo de la parábola, considerando el cortante y la fuerza

horizontal en dicho punto, obteniendo:

yx = 4SxLT

− x2

LT 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(12b)

Las reacciones verticales en los extremos serán igual a:

Ray = w∗ Lt2

(8b)

Para obtener el valor de la reacción horizontal H se genera una

sumatoria de momentos al centro del cable, de forma que:

Mcl = w∗ Lt2

8∑ − S ∗H = 0

(9b)

Despejando de esta expresión se obtiene:

H =w∗ Lt

2

8∗S (10b)

49

Cómo se predimensiona un arco parabólico con carga uniformemente repartida?

Todos los materiales presentan propiedades que los caracteri-

zan, las cuales pueden ser físicas, químicas, térmicas, etc. Las

propiedades mecánicas de un material definen cuánto resiste

dicho material al trabajar bajo distintos esfuerzos.

Cuando se aplica una carga axial de compresión a un elemento,

interiormente este elemento comienza a trabajar produciéndo-

se esfuerzos internos de compresión en el mismo. Para que el

elemento soporte dichas cargas, el material del que esté hecho

debe tener la capacidad de resistir dichos esfuerzos internos de

compresión, es decir,

σ C =FcA

=σ resistente a compresión del material (13b)

Donde:

σC es el esfuerzo interno de compresión actuante en la sección

transversal del elemento (kg/cm2 o ton/m2)

FC es la fuerza axial que comprime al elemento (kg o ton)

A es el área transversal del elemento (cm2 o m2)

Determinar una sección transversal al arco significa diseñar di-

cho elemento estructuralmente. Se puede obtener una sección

directamente de aplicar las expresiones anteriormente mencio-

nadas, sin embargo, el proceso de diseño implica considerar un

mayor número de conceptos que afectan la capacidad resisten-

te del material.

¿

50

el valor del módulo de elasticidad denominado como “E” (su

capacidad de deformarse y regresar a su estado original en el

rango elástico, empleado para obtener su deformación longi-

tudinal), Coeficiente de Poisson (proporción de deformación

transversal), su capacidad resistente a compresión llamada es-

fuerzo a compresión y su capacidad resistente a compresión

permisible, la cual será empleada en la práctica para predimen-

sionar los elementos.

Material E (kg/cm2) Coeficiente Poisson

Esfuerzo de compresión (kg/cm2)

Esfuerzo de comprensión permisible (kg/cm2)

acero 2100000 0.30 2530 1518

aluminio 700000 0.33 2600 1200

madera 140000 0.20 120 85

concreto 1900000 0.26 250 200

tabique rojo 700000 0.20 90 70

piedra 42184 0.38 800 600

Con base en lo anterior, para poder determinar de una forma

aproximada y rápida la sección que requiere el puntal para so-

portar la carga axial se proporcionan los valores de esfuerzo re-

sistente de compresión para distintos materiales considerando

un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo

de compresión permisible del material.

En la siguiente tabla se presentan las propiedades de algunos

materiales de construcción más comunes; podemos identificar

51

Objetivos• Que el alumno se interese de manera teórico-práctico

en las estructuras a compresión

• Que el alumno aprenda a identificar el trabajo de arcos

parabólicos con carga puntual

• Que el alumno obtenga de forma gráfica los momentos

que se producen en un arco bajo carga puntual

• Que el alumno establezca la relación existente entre el

comportamiento de los materiales y su aportación dentro

de los sistemas estructurales trabajando a compresión.

• Que el alumno comprenda la importancia de estos

conceptos dentro de su vida práctica proyectual y

constructiva.

52

HipótesisLos arcos parabólicos biarticulado bajo cargas puntuales pre-

sentan flexiones; con cargas uniformemente repartidas solo

trabajan a compresión.

Para ello se comenzará a comprender los efectos de flexión so-

bre elementos a compresión.

Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto

con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte al

proyecto arquitectónico.


con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte

al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención

de dimensiones de los elementos.

53

Materiales• Uso del equipo STR-10 (ARCO BIARTICULADO).

• Regla.

• Hojas cuadriculadas.

• Cuaderno.

• Calculadora.

Ilustración 7b. Equipo STR-10

Arco Biarticulado con medidor

54

ProcedimientoA partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del

comportamiento de arcos parabólicos biarticulados se compa-

rarán los valores teóricos con los valores prácticos de las reac-

ciones horizontales sobre el arco cuando se coloca carga pun-

tual sobre de éste.

55

Arco parabólico biarticulado con carga puntual móvil

3Práctica

Para ello se sugiere:

• Generar equipos de 2 a 3 personas.

• Verifique que el equipo presenta las siguientes dimensiones:

Separación entre articulaciones de 50 cm (500 mm), sepa-

ración entre segundo tornillo es de 6 cm (60 mm), como se

muestra en la figura 8b.

• Cada equipo dibujará el arco parabólico que se forma sobre

el arco, a escala, indicando la posición de cada uno de los

ganchos sobre el dibujo (la distancia entre argollas es de

5cm), para ello se usará la expresión:

y = 4hL2Lx − x2( )

• Se colocará en el primer gancho una carga de 0.5kg.

• Se debe leer la reacción horizontal que se obtiene al colo-

car dicha carga.

Ilustración 8b.

Equipo STR-10 con las dimensiones necesarias entre apoyos

• Cada miembro del equipo colocará el gancho en una posi-

ción distinta de forma que se coloque la carga en los 9 gan-

chos que presenta el arco y se deben apuntar los distintos

valores de reacción para cada caso.

56

• Para obtener el valor de reacción calculada es necesario em-

plear la expresión 1b para cada punto donde se va colocan-

do la carga:

Rx = 5Pa8hL3

L3 + a3 − 2La2( )

Donde:

a es la distancia donde se coloca el gancho con carga

P es el valor de la carga que para este caso sería de 0.5 kg

h es la altura del arco la cuál debe ser medida desde la articulación

fija al punto más alto del arco (siendo para este caso 10 cm

aproximadamente).

• La tabla que deben ir generando por equipo es la que se

presenta a continuación; en ésta se debe colocar el valor de

la reacción que mide el aparato (la reacción se encuentra

en Newtons, por lo que debe ser transformada a Kilogramo

Fuerza recordando que 1 Newton = .1019 kg).

Distancia del extremo A (cm)

Lectura de reacción (Kg)

Valor de reacción calculada (kg)

0 0 0

5* 0.1528 0.1532

10

15

20

25

30

35

40

45

50

* Se realiza como ejemplo los valores obtenidos para la carga ubi-

cada en el primer gancho, con una separación a 5 cm del extremo:

Lectura medida por el aparato lector: 1.5 Newtons.

Transformando a Kg = 1.5 N * .1019 KgF = 0.1528 Kg.

57

Proporción del Claro del Arco

Valor de influencia de la reacción horizontal obtenida del experi-mento

Valor de influencia de la reacción horizontal calculada

0 0 0

(ejemplo) 0.10 0.3056 0.3064

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.0

El valor de fuerza de reacción evaluado con la expresión 1b de

la práctica =

Rx = 5∗0.5∗58∗10∗503

(503 +53 − 2∗50∗52 ) = 0.1532kg

• Una vez que se ha terminado de llenar la tabla del paso 8, se

debe identificar el punto donde la carga aplicada produce la

mayor reacción en el arco; para ello se obtendrá la línea de in-

fluencia de la reacción horizontal, llenando la siguiente tabla:

58

• Finalmente generen el diagrama de momentos que se pro-

duce en este arco bajo la carga máxima aplicada, es decir,

cuando la carga se coloca al centro del claro.

Para ello se requiere recurrir a las expresiones 5b y 6b, ob-

teniendo nuevamente en cada punto (5 cm) los valores de

ambas. Como ejemplo se desarrollará solamente el valor

máximo de la gráfica.

Conociendo la reacción al horizontal cuando la carga se co-

loca al centro del claro de la tabla del paso 8:

Nuevamente se realizará como ejemplo los valores obtenidos

para el primer punto del arco que es a una distancia de 5 cm:

A partir de la expresión 4b, obtenemos la fracción del arco para

este primer punto:

5 0.1050

cmFracción del Clarocm

= =

Para obtener el valor de influencia en dicho punto, se emplea

la expresión 3b primeramente usando los valores medidos del

lector de fuerza del arco

0.1528 0.30560.50

KgValor InfluenciaKg

= =

Finalmente, se realizar la misma operación pero con los valores

obtenidos analíticamente

0.1532 0.30640.50

KgValor InfluenciaKg

= =

Una vez obtenidos todos los valores de la tabla, se realizarán

ambas gráficas de línea de influencia. Los valores permitirán ob-

tener una gráfica similar a la siguiente:

59

Reacción Horizontal obtenida del lector cuando carga a 25 cm:

0.478 kg. La altura del arco es de 10 cm.

MCL = 0.478∗10 = 4.78Kg ∗cm

Encontrando el momento máximo como si el arco fuera una viga

simplemente apoyada con la misma carga al centro tenemos:

Mcl =0.5∗504

= 6.25kg ∗cm

La gráfica de forma general presentará la siguiente geometría:

(ver figura del lado derecho).

¿Qué valor es el máximo encontrado? ¿Que implica dicho dia-

grama si se construye el arco con concreto reforzado?


Un arco parabólico biarticulado presentará esfuerzos de flexión

adicional a los de compresión cuando se colocan cargas puntua-

les sobre el mismo; esto se debe a que su geometría no obedece

a la antifunicular que le corresponde, como se aprendió en la

práctica 2 sobre funiculares.

60

Arco parabólico biarticulado con carga repartida

Práctica


• En equipo, se colocará en cada uno de los 9 ganchos que

tiene el arco una carga igual a 70gr de forma que el arco

soporte un total de 360gr.

• Apunte el valor de la reacción que presenta el aparato.

• Confronte dicho valor con la expresión matemática 10b.

Para ello, se debe obtener una carga uniformemente repar-

tida; para lo cual dividimos la carga total entre la longitud

total del arco en línea recta :

.360 .0072 /50

KgW Kg cmcm

= =

Donde LT es igual a 50 cm y S es igual a 10 cm

• ¿Cómo fueron los valores obtenidos analíticamente con res-

pecto a la lectura reportada por el lector del arco?

• Genere el diagrama de momentos internos que tiene este

arco, siguiendo el mismo procedimiento empleado en la

práctica 3.

El momento máximo generado en el arco seguirá siendo igual

al de la práctica 3, el diagrama de momentos que se modifica

es el de la trabe isostática con carga repartida, es decir:

MCL = RXA *h

4

61

Pero el momento de la viga con carga repartida será

Mcl =W ∗ L2

8

• ¿Qué es lo que pasa cuando se unen ambas gráficas como

en la práctica 3?

• Finalmente, obtenga el valor de fuerza de compresión máxi-

ma y predimensione la sección requerida para este arco si se

construye con aluminio. Para ello debe obtener el valor de

compresión máxima y determinar el área requerida colocan-

do el valor de esfuerzo resistente a compresión del aluminio.

FCmax =wLT2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ H 2

σ C =FcA

=σ resistente a compresión del material

Donde:

W es igual a la carga repartida del inciso anterior

LT es la longitud total del arco igual a 50 cm

H es la altura total del arco igual a 10 cm

El esfuerzo resistente a compresión permisible del aluminio

es de 1200 kg/cm2.

FCmax =wLT2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ H 2

62

El comportamiento del arco bajo la aplicación de la carga en

distintos puntos presenta momentos flexionantes internos, los

cuales afectan al arco obligando a que las secciones que lo for-

man sean de mayor dimensión, pues presenta en su interior tres

esfuerzos distintos: compresión, cortante y flexión (cortante y

flexión se ven en la práctica 7, 8 y 9).

Cuando el arco parabólico biarticulado presenta cargas unifor-

memente repartidas, el momento flexionante se anula ya que

su geometría es el antifunicular para dichas cargas trabajando

únicamente a compresión, presentando un diseño más ligero

por tener secciones más pequeñas.

Análisis de resultados práctica 3 y 4

63

La introducción a la generación de líneas de influencia es intui-

tiva, de modo que posteriormente puedan comprender dichas

líneas en otros elementos estructurales como son puentes con

cargas móviles. La gráfica que se genera en este ejercicio de lí-

nea de influencia corresponde a la reacción horizontal producto

de una carga móvil que se aplica a lo largo del arco.

El punto más desfavorable de aplicación de la carga es al cen-

tro del arco, ya que es cuando se presenta la mayor reacción

horizontal.

Un arco biarticulado es estáticamente indeterminado y los mo-

vimientos pequeños en los apoyos extremos del arco generarán

que la reacción horizontal disminuya incrementando el valor de

los momentos flexionantes

64

ConclusionesLos elementos a compresión como son los arcos han sido em-

pleados durante mucho tiempo en distintas soluciones arqui-

tectónicas y constructivas, como los puentes romanos o las ca-

tedrales románicas o góticas.

La posición de la carga es muy importante, así como su geo-

metría, ya que, si llegan a producirse momentos internos, su

diseño se vuelve más laborioso pues se requiere conocer un ma-

yor número de propiedades mecánicas del material para poder

dimensionarlo.

65


Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando este

tipo de arco biarticulado en los extremos.

Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma

sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de

cargas de automóviles o personas sobre de este, ancho de cal-

zada y respondan las siguientes preguntas.

66

a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto?

b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las sec-

ciones que forman al arco en dicha estructura?

c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones?

d. Se te pide generar un puente para peatones empleando un

arco; genera una propuesta arquitectónica dibujando su es-

tructura requerida para poder ser construido. Especifica el

material y secciones que podrías emplear para ello.

e. Dibuja su geometría de forma que sea un arco parabólico

biarticulado con carga uniformemente repartida.

67

ReferenciasMegson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.).

Oxford: Elsevier.

Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics.

New York: John Wiley & Sons Inc.

Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.).

Prentice Hall.

68

P A N D E O

PAPIME PE 400516

69

IntroducciónLos elementos estructurales bajo esfuerzos de compresión son

comunes en todo proyecto arquitectónico. Estos pueden formar

parte de una armadura o servir como puntales (elementos rectos o

inclinados que dan apoyo a otros elementos evitando que estos

últimos se deformen). A diferencia de los elementos que trabajan

bajo esfuerzos de tensión, los cuales sólo pueden fallar cuando

sus esfuerzos internos sobrepasan los esfuerzos resistentes del

material del que están hechos, un elemento trabajando a com-

presión puede fallar por dos motivos principalmente.

La primera forma de falla es por medio de la ruptura del elemen-

to, ya que el esfuerzo de trabajo interno es mayor al esfuerzo

resistente del material con el que está construido. La segunda

forma en que puede fallar un elemento trabajando a compresión

es debido al pandeo que puede sufrir dicho elemento.

Al aplicar una fuerza de compresión sobre cualquier elemen-

to, éste puede deformarse tanto axialmente como flexionarse

fuera de su eje principal; dicha deformación recibe el nombre

de “pandeo”.

70

Qué es pandeo?

Ilustración 1c.

Columna con problemas de pandeo

Es una deformación fuera del eje principal del elemento debido

a una fuerza axial de compresión; dicha deformación se pre-

senta en forma de curvatura, la cual varía debido a distintas

variables: a) las condiciones de sujeción en los extremos del

elemento que trabaja a compresión; b) su geometría (radio de

giro); c) su longitud (altura) libre.

¿

71

Qué es la relación de esbeltez?

Es la proporción entre la longitud efectiva de pandeo de un ele-

mento, denominado KL, y su distribución de masa alrededor de

su centroide o “radio de giro”. El valor de “K” se encuentra en

función a la proporción del elemento en compresión que se de-

forma alejándose de su eje centroidal principal; dicha longitud

de pandeo varía de acuerdo al tipo de restricción que presenten

los apoyos que sujetan al elemento en sus extremos, como se

muestra en la imagen 2c.

Ilustración 2c.

Valor de “K” para la longitud efectiva de pandeo

Con base en lo anterior, al multiplicar el factor K por la longi-

tud del elemento (KL), obtenemos la proporción de la columna

que puede pandearse o la longitud efectiva de pandeo, denomi-

nada como Le.

La relación de esbeltez se determina entonces con la siguiente

expresión:

KL Ler r

= (1c)

Donde:

KL es la longitud efectiva de pandeo (m o cm)

r es el radio de giro de la sección (sobre su eje menor, cm)

¿

72

Qué es el radio de giro?

El radio de giro, r, es una propiedad geométrica de las secciones

transversales y se refiere a la distribución de la masa de dicha

sección con respecto a su eje centroidal; toda sección presenta

radios de giro alrededor de sus dos ejes principales, obteniendo

el radio de giro sobre el eje “X” y sobre el eje “Y” como:

; x yIx Iyr rA A

= = (2c)

Donde:

lx es el segundo momento de inercia alrededor del eje x. (cm4)

ly es el segundo momento de inercia alrededor del eje y. (cm4)

A es el área transversal de la sección. (cm2)

¿

73

Qué es el esfuerzo crítico y la carga crítica?

Esfuerzo críticoCuando un elemento estructural presenta compresión, su capa-

cidad de carga dependerá de su relación de esbeltez. El esfuer-

zo máximo a compresión que soporte un elemento esbelto se

conoce como “Esfuerzo crítico de Euler” o solamente “Esfuerzo

crítico”, siendo su expresión:

σ CR =E ∗π 2

K ∗ Lry

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 =n∗E ∗π 2

Lry

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

(3c)

Donde:

k es el valor de condición de frontera de la sujeción en los extremos.

E es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)

L es la longitud del elemento. (m o cm)

ry es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)

n es función de la condición de frontera relacionado con el valor de

“k” como la expresión 4C.

2

1nk

= (4c)

Cuando una columna a compresión pura no presenta proble-

mas de esbeltez, su esfuerzo resistente a compresión es igual al

esfuerzo resistente del material del que está construido. Cuan-

do el valor del esfuerzo crítico de una columna a compresión es

menor al esfuerzo que soporta el material del que está hecha

la sección, entonces se dice que el elemento es esbelto y su es-

fuerzo resistente será igual al valor del esfuerzo crítico de Euler.

Si σ CR <σ material →σ diseño =σ CR

Si σ CR >σ material →σ diseño =σ material

Donde:

σ material = esfuerzo resistente a comprensión del material

σ diseño = esfuerzo válido para diseñar una sección

¿

74

Carga críticaA partir de conocer el esfuerzo crítico, Euler determinó la carga

crítica, la cuál es:

PCR = A∗E ∗π 2

K ∗ Lry

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 =n∗π 2 ∗E ∗ I y

L2 (5c)

Donde:

ly es el segundo momento de inercia del área (cm4); se selecciona la

inercia sobre el eje menor ya que el pandeo tomará dicha dirección.

E es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)

L es la longitud del elemento. (m o cm)

ry es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)

n es función de la condición de frontera relacionado con el valor de

“k” como la expresión 4C

Esta expresión será empleada cuando se requiere conocer la

carga que soporta un elemento a compresión cuando se haya

evaluado el esfuerzo crítico y éste sea menor al esfuerzo a com-

presión del material.

75

Objetivos• Que el alumno se interese de manera teórico-práctica en el

efecto de esbeltez y pandeo en elementos a compresión.

• Que el alumno aprenda a identificar los parámetros que

establecen la relación de esbeltez y su relación con el

esfuerzo crítico a compresión.

• Que el alumno establezca la carga resistente a compresión

de un elemento, con o sin problemas de esbeltez.

• Que el alumno determine la carga crítica de una sección y

a partir de dicho parámetro pueda establecer la resistencia

a compresión del elemento.

• Que el alumno comprenda la importancia de estos conceptos

dentro de su vida práctica proyectual y constructiva.

76

HipótesisTodos los elementos esbeltos trabajando a compresión sufren

de pandeo tanto local como general.

Para lograr el punto anterior se producirá el inicio del pandeo

en distintas barras de aluminio y se comprobará el valor de la

carga crítica que presente experimentalmente con respecto a

la obtenida empleando la expresión de carga crítica de Euler.

Se relacionarán los conceptos de radio de giro, esbeltez, pandeo

y carga crítica.


con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte

al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención

de dimensiones de los elementos.

77

Materiales• Uso del equipo STR-12 (PANDEO)

• Regla

• Hojas cuadriculadas

• Cuaderno

• Calculadora

• Práctica

A partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del

comportamiento de elementos a compresión con efectos de

pandeo, se compararán los valores teóricos con los valores

prácticos de la carga crítica de Euler.

78

Procedimiento

79

Pandeo en elementos biarticulados

Práctica



• Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada

una de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente.

• Cada equipo medirá la longitud de cada una de las

barras, apuntando su valor en la tabla mostrada en la

siguiente página.

Ilustración 3c.

Aparato STR-12 para visualizar y medir

la fuerza crítica de Euler ante pandeo

5

80

• Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su

inercia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una

barra rectangular sobre su eje menor es:

(6C)

Donde:

e es el espesor de la barra (cm).

b es la dimensión de la base de la barra (cm).

Número de barra Longitud (cm) Inercia barra Iy (cm4)

Lectura Carga de pandeo (N)

Lectura Carga de pandeo (Kg)

1 32 -85

2 37

3 42

4 47

5 52

• Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras,

ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a

aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.

• La tabla que se generará con sus valores respectivos medi-

dos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:

81

Para obtener el valor de la carga crítica de Euler se empleará la

ecuación 5C:

Pcr =nEI yπ

2

L2

Donde:

E es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de

aluminio este valor es igual a 700,000 kg/cm2.

ly es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).

L es la longitud de la barra (cm).

n es igual a la unidad para este experimento.

Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.

IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han

colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que pue-

de llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores comien-

za la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin

poder ser utilizada posteriormente.

• Para identificar la relación existente de la carga obtenida del

experimento con la expresión de Euler de la carga crítica,

cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el

inverso de la longitud al cuadrado.

Número de barra

Carga Critica Experimental (kg)

Carga Crítica de Euler teórica (kg)

1/L2

1

2

3

4

5

82

Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la lon-

gitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados, de

forma que se pueda probar la relación existente entre la car-

ga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de la barra.

El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se for-

ma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la

carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente.

• Finalmente obtenga la pendiente de la recta generada y con-

cluya si se genera una línea recta. Responda si la ecuación

de Euler determina con precisión el valor de la carga crítica

83

Pandeo de barras biempotradas

6Práctica



• Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada una

de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente

• Cada equipo medirá la longitud de cada una de las barras,

apuntando su valor en la tabla mostrada en la siguiente página

• Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su iner-

cia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una ba-

rra rectangular es:

(6C)

Donde:

e es el espesor de la barra.

b es la dimensión de la base de la barra.

• Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras,

ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a

aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.

La tabla que se generará con sus valores respectivos medi-

dos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:

Número de barra

Longitud (cm)

Inercia barra (cm4)

Carga de pandeo (N)

Carga de pandeo (Kg)

1 28 -429

2 33

3 38

4 43

5 48

84

Para obtener el valor de la carga crítica de Euler, se empleará la

ecuación 5C:

Pcr =nElyπ

2

L2

Donde:

E es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de

aluminio este valor es igual a 700,000 kg/cm2.

ly es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).

L es la longitud de la barra (cm).

n es igual a 4, ya que K es 0.5.(verificarlo con la expresión 4C).

Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.

IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han

colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que pue-

de llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores, comien-

za la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin

poder ser utilizada posteriormente.

• Para identificar la relación existente de la carga obtenida del

experimento con la expresión de Euler de la carga crítica

cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el

inverso de la longitud al cuadrado:

Número de barra

Carga Critica Experimental (kg)

Carga Crítica de Euler (kg)

1/L2

1

2

3

4

5

85

Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la

longitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados,

de forma que se pueda probar la relación existente entre la

carga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de

la barra.

El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se for-

ma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la

carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente.

• Genere una tabla final donde pueda obtener la relación en-

tre los gradientes de una barra articulada con respecto a

una barra biempotrada. El valor que obtenga será el valor

de “n” o condición de frontera.

N experimental = Gradiente de barra biempotradaGradiente barra biarticulada

¿Tiene algún sentido este resultado?

86


prácticas 5 y 6Una vez realizados los dos ejercicios, modificando las condicio-

nes de sujeción del elemento en el extremo, se pide relacionar

el valor de la pendiente de la recta que se genera en la gráfica

obtenida en cada ejercicio.

Para desarrollar la relación de las pendientes obtenidas, la pen-

diente obtenida por la barra biarticulada se tomará como la uni-

dad para obtener el valor proporcional para los demás casos.

El alumno debe verificar cómo cambia el comportamiento con-

forme se modifica la sujeción de la barra en los extremos; cómo

su pandeo siempre es sobre el eje menor de inercia y la carga crí-

tica es el valor de carga máximo que puede soportar el elemento

antes de iniciar su deformación plástica debido al pandeo.

Pendiente Barra bi-articulada

Barra bi-empotrada

Experimental -9.0 -34.9

Relación caso/ bi-articulada

-9.0/-9.0=1 -34.9/-9.0=3.9

Relación teórica “n”

1 4

Relación teórica

1 2

87

ConclusionesLos elementos a compresión, como son los puntales y colum-

nas, han sido empleados durante mucho tiempo en distintas so-

luciones arquitectónicas y constructivas; sin embargo, siempre

se han visto afectados por el fenómeno del pandeo.

La carga que soporta el elemento se verá reducida con base en

su geometría tanto de sección transversal como de longitud;

la carga crítica de Euler establece el valor máximo que puede

soportar un elemento antes de iniciar el pandeo y sufrir defor-

maciones permanentes.

88


Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando

puntales y revisa su geometría verificando cuál elemento sufri-

rá pandeo con mayor facilidad.

Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma

sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de

cargas de automóviles o personas sobre éste, ancho de calzada

y respondan las siguientes preguntas:

a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto?

b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las sec-

ciones que forman al arco en dicha estructura?

c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones?

Se te pide encontrar imágenes en la red de elementos que han

fallado por pandeo. Especifica el material y secciones presenta-

ban estos elementos.

89

ReferenciasMegson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.).

Oxford: Elsevier.



Beer, FP and Johnston, R. (2010). Statics and Mechanics of Ma-

terials. (12a ed.) Mc. Graw Hill.

F L E X I Ó N

PAPIME PE 400516

9191

IntroducciónSe pretende que el alumno conozca todo lo relacionado con el esfuer-

zo de flexión, tanto teórico como práctico, a través de la definición de

conceptos claros y precisos, además de la ejemplificación del fenóme-

no mediante la solución de ejercicios prácticos. Al final el alumno debe

poder realizar la síntesis de la repercusión de este esfuerzo sobre los

elementos estructurales, especialmente vigas.

92

Qué es flexión?

Es la distribución de esfuerzos que se producen al interior de

un elemento al aplicarle a este último una fuerza transversal,

generando una deformación llamada “deflexión”, siendo “la

flecha” el punto de máxima deformación. Al aplicar una carga

vertical al elemento en el sentido de la fuerza de la gravedad,

las fibras superiores de este cuerpo se acortan produciendo

esfuerzos internos de compresión mientras que las fibras infe-

riores se alargan produciendo esfuerzos de tensión.

La línea que separa las fibras que trabajan a tensión con res-

pecto a las que trabajan a compresión recibe el nombre de “eje

neutro”, punto en el cual no existe ningún esfuerzo. Finalmen-

te, al “curvearse” el elemento, se genera una curvatura con su

respectivo radio llamado “radio de curvatura”, el cual dismi-

nuye cuando aumenta la flexión y aumenta al disminuir esta

última.

Ilustración 1d. Viga con carga perpendicular a su eje principal. Ilustración 2d. Flexión en vigas.

¿

93

Qué es momento y un momento de flexión?

Un momento de fuerza es el producto de una fuerza aplicada

en un punto por la distancia perpendicular a dicha fuerza para

llegar al punto sobre el cual gira el elemento.

Donde:M es el momento (kg*cm, t*m)

Ilustración 3d. Torque o mo-

mento. (1d)

Momento de flexión

Para que el elemento sobre el cual se aplicó la fuerza esté en

equilibrio, la fuerza resultante a tensión (producto de la suma

de los esfuerzos de tensión) debe ser igual a la fuerza resul-

tante a compresión (producto de la suma de los esfuerzos de

compresión).

Ambas fuerzas son de igual valor, pero tienen sentido contra-

rio y se encuentran separadas una distancia, produciendo un

momento de flexión al interior del elemento.

Ilustración 4d. Momento

y Cortante sobre una viga.

M = Fuerza∗distancia (1d)

¿

94

Una viga es un elemento estructural, generalmente en posi-

ción horizontal, cuya función es soportar cargas externas y

transmitirlas hacia sus apoyos generalmente ubicados en los

extremos de la misma. El comportamiento de la viga depende-

rá de la forma en que se conecta con sus apoyos.

Ilustración 5d.

Ejemplo apoyo simple y representación

gráfica en el plano.

Apoyo simple

Es aquel apoyo que impide que el elemento se mueva única-

mente en un sentido, pudiendo moverse en la otra dirección,

así como girar alrededor de dicho apoyo.

Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en una

dirección, en dicha dirección se genera una reacción.

Flexión en vigasy tipos de apoyos

viga o ballena

viga enfrente = apoyo simple viga atrás = apoyo simple

reacción en yreacción en y

95

Apoyo articulado

Este apoyo impide que el elemento se mueva en todas las

direcciones; sin embargo, permite que el elemento gire alrede-

dor de todos los planos.

Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en dos

direcciones, en dichas direcciones se generan reacciones; aho-

ra se tienen reacción en X y en Y.

Ilustración 6d.

Ejemplo apoyo articulado y representación

gráfica en el plano.

columna inclinada

reacción en x

articulaciónmadera apoyo

reacción en y

96

Apoyo empotrado

Este apoyo impide que el elemento se mueva y gire en todas

las direcciones.

Para conocer el trabajo de flexión en una viga estáticamente

determinada que soporta carga, ya sea puntual o distribuida,

se recurre a obtener el valor de las reacciones en los apoyos

para posteriormente obtener las ecuaciones del momento

interior en la viga y plasmar dicho trabajo en diagramas cono-

cidos como diagramas de elementos mecánicos, de momento

de flexión.

Ilustración 7d.

Ejemplo apoyo empotrado

y representación gráfica

en el plano.

momento

reacción en x

reacción en y

empotramiento

97

La fuerza cortante es la distribución de las cargas actuantes

hacia los apoyos para que la viga esté en equilibrio. En la figura

4d se presenta el cortante que se transmite de la carga exter-

na hacia la viga, y su diagrama es la representación de la suma

algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje

de la viga y su transmisión hacia los apoyos.

Para obtener el diagrama de fuerzas cortantes en vigas se rea-

liza una sumatoria de fuerzas en “Y” o fuerzas verticales.

Qué es la fuerza cortante?

Fy∑ = 0 (2d)

En los ejercicios planteados a continuación el alumno practi-

cará cómo obtener el trabajo de flexión y cortante sobre una

trabe, generar su gráfica y relacionar sus resultados con las

deflexiones que se producen en la viga.

¿

98

Objetivos

98

• Que el alumno aprenda a identificar los diferentes tipos de vigas, su

función y comportamiento.

• Que el alumno aprenda a identificar y a calcular los esfuerzos

(cortante y momento) a los que está sometida una viga.

• Que el alumno pueda observar la deformación de una viga

sometida a diferentes cargas.

• Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos

arquitectónicos.

100

kg

40

cm

100

kg

100

kg

100

kg

100

kg

100

kg

100

kg

100

kg

100

kg

25

cm

9999

HipótesisLas trabes son elementos cuyo trabajo principal es a flexión y cortante

debido a las cargas que soporta.

Para verificar dicha hipótesis: se analizará el comportamiento de una

viga, para lo que se realizarán diferentes propuestas para saber cómo se

flexiona una viga y sus valores.

Para todos los ejercicios se determinará la deformación del modelo y,

con los cálculos, se verificará la deformación y trabajo obtenido.

Los resultados se obtendrán de forma manual así como con programa

de análisis estructural, pudiendo variar los valores ligeramente por

cuestiones de decimales empleados.

100100

• Esponja

• Plumones

• Plastilina

• Hojas milimétricas

• Cartón

• Latas de leche o pintura vacias

• Papel albanene

• Masking Tape

• Marcador

• Tachuelas

* Estos materiales pueden comprarse entre dos o tres personas, de forma que sean económicos y no se tengan desperdicios.

Materiales

101101

ProcedimientoLo primero que se debe realizar es:

Profesor:

Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el

plano de trabajo, viga formada por secciones de madera, eje neutro

y deflexión, ejemplificando cada paso que realizará el alumno ante el

grupo.

Alumnos:

Generarán la base sobre la cual se colocarán los modelos que generen

los mismos alumnos. La base se fabricará:

• Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.

• Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación

que se desee para la trabe.

• Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor


Ilustración 8d. Modelo de flexión del profesor

102

Visualiza el comportamiento a flexión de una viga sobre

un modelo para posteriormente calcular las reacciones, el

valor del cortante y momento de flexión de la trabe. Final-

mente, traza los diagramas de elementos mecánicos corres-

pondientes.

Inicia con el modelo

Construye un modelo con las características de la viga que

será analizada analíticamente y compara los resultados.

a. Haz una retícula en una hoja milimétrica con una gradua-

ción que te ayude a observar los esfuerzos que producirá

la viga.

Flexión con cargas puntuales

b. Coloca latas hasta lograr la altura necesaria, estas latas

servirán como los apoyos de la viga.

c. Apoya la esponja en las latas para formar el sistema.

7Práctica

103

d. Comienza a agregar peso proporcionalmente a las cargas

establecidas en el ejercicio anterior. Para este ejemplo uti-

lizamos plumones, pero se puede utilizar cualquier objeto

al alcance del practicante. Observa la flexión que producen

las cargas en la viga.

e. Sigue agregando las cargas necesarias conforme al ejer-

cicio. Observa los cambios que se van produciendo en la

viga.

f. Con la ayuda de un marcador, traza la curva generada por

la flexión de la viga y compara el resultado con el que se

obtenga en el siguiente ejercicio

Solución analítica de la vigaSe tiene una viga con tres cargas puntuales (equivalente a los

tres plumones).

Se inicia obteniendo las reacciones

Ilustración 9d.

Viga práctica 7.

700

0 k

g

10 0

00

kg

700

0 k

g

2.00 3.00 3.00

R1 R2

BA

2.00

104

Para obtener las reacciones R1 y R2 se requiere realizar suma-

toria de momentos en el extremo derecho, el cuál llamaremos

punto “B”. Para obtener el momento, este será igual a Fuerza

por distancia, ecuación 1D.

MB∑ = 0

(girando a favor de las manecillas del reloj es positivo)

+R1(10m)− 7000kg(8m)−1000kg(5m)− 7000kg(2m)+ R2(0m) = 0

∴+R1(10m)−56000kg ∗m−50000kg ∗m−14000kg ∗m = 0

∴+R1(10m)−12000kg ∗m = 0

Despejando R1

R1= 120000kg ∗m10m

= 12000kg

Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza

la sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas

las fuerzas con sentido hacia arriba:

+ ↑ Fy = 0∑

−24000kg + R2+ R1= 0

Despejando R2 tenemos

R2 = 24000kg −12000kg = 12000kg

Para obtener el diagrama de cortantes, se hará la sumatoria de

fuerzas en “Y” en todos los puntos donde hay carga puntual.

Sólo se tomarán en cuenta las fuerzas que estén a la derecha

de cada punto donde se pare para obtener la sumatoria.

Para obtener el diagrama de momentos se realiza la suma de

momentos de las fuerzas ubicadas a la izquierda de cada pun-

to donde están las cargas; el giro se considera positivo si es a

favor de las manecillas del reloj.

105

Cortantes

+ ↑ Fy = 0∑

Vx=0 = +12000kg

Vx=2 = +12000kg − 7000kg = 5000kg

Vx=5 = +12000kg − 7000kg −10000kg = −5000kg

Vx=8 = +12000kg − 7000kg −10000kg − 7000kg = −12000kg

Vx=10 = +12000kg − 7000kg −10000kg − 7000kg +12000kg = 0

2.00

R1 = 12 000 kg

700

0 k

g

700

0 k

g

10 0

00

kg

12 000

0

x = 0 x = 2 x = 5

-12 000

0V

5 000

-5 000

R2 = 12 000 kg

2.003.00 3.00

x = 8 x = 10

106

Momentos


Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio, modelo y

resultados con SAP2000.

Mx = 0∑

Mx=2 = +12000kg(2m)− 7000kg(0m) = 24000kg ∗m

Mx=5 = +12000kg(5m)− 7000kg(3m)−10000kg(0m) = 39000kg ∗m

Mx=8 = +12000kg(8m)− 7000kg(6m)−10000kg(3m) = 24000kg ∗m

Mx=10 = +12000kg(10m)− 7000kg(8m)−10000kg(5m)− 7000(0m) = 0

700

0 k

g

700

0 k

g

10 0

00

kg

2.00 2.003.00 3.00

R2 = 12 000 kgR1 = 12 000 kg

+

39 000 kg.m

x = 0

0

x = 2 x = 5 x = 8 x = 10 0

24 000 kg.m24 000 kg.m

107

Diagrama de cortantes

El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimien-

to del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa

SAP2000, los valores numéricos varían con un pequeño rango

de diferencia.

En ambos diagramas podemos observar la distribución de las

fuerzas verticales cortantes a lo largo de la viga. También po-

demos observar que, al tener las cargas puntuales simétricas,

los cortantes de la viga son simétricos y proporcionales a las

cargas.

Ilustración 10d.

Diagrama de cortantes obtenido con el programa SAP2000.

Ilustración 11d.

Diagrama de cortantes obtenido con los cálculos realizados.

5 000

-5 000

12 000

-12 000

0

0v

108

Diagrama de momentos

Los resultados de ambos diagramas de momentos son simila-

res, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los va-

lores debido a los elementos que toma en cuenta el programa

SAP2000 al analizar la viga.

En ambos resultados podemos observar que el momen-

to de flexión mayor se encuentra al centro con un valor de

39,000kg ∗m .

Esto mismo lo podemos comprobar en la flexión que presento

la viga en el modelo.

Ilustración 12d

Diagrama de momentos obtenido

con el programa SAP2000.

Ilustración 13d.

Diagrama de momentos obtenido

con los cálculos realizados.

Ilustración 14d.

Deformación y momento de la

viga modelada.

24 000 kg.m24 000 kg.m

39 000 kg.m

0

0

109

8Práctica

Ejercicio 1

Visualiza el comportamiento a flexión de una viga sobre un

modelo. Posteriormente, se debe calcular las reacciones, cor-

tante y momento de flexión de la misma. Traza los diagramas

de elementos mecánicos correspondientes. Construye un

modelo con las características de la viga por analizar

a. Prepara nuevamente el sistema completo (viga y apoyos).

Flexión con carga repartida uniformey carga puntual

b. Coloca la carga distribuida sobre la viga; en este ejemplo

colocamos una serie de plumones que actúan como la car-

ga distribuida. Observa el comportamiento de la viga al ir

agregando las cargas.

c . Agrega la carga puntual. Observa el comportamiento de la

viga al ir agregando las cargas.

110

d. Con la ayuda de un plumón, traza sobre la retícula la flexión

que generaron las cargas en la viga. Compara los resultados

obtenidos con los resultados del ejercicio anterior.

Solución analítica de la viga

Reacciones

Para obtener las reacciones R1 y R2 se requiere realizar suma-

toria de momentos en el extremo derecho, el cuál llamaremos

punto “B”. Para obtener el momento, éste será igual a la fuerza

por la distancia, ecuación 1D.

MB∑ = 0

(girando a favor de las manecillas del reloj es positivo)

+R1(10m)− 7000kg(8m)−1000kg(5m)− 7000kg(2m)+ R2(0m) = 0

∴+R1(10m)−56000kg ∗m−50000kg ∗m−14000kg ∗m = 0

∴+R1(10m)−12000kg ∗m = 0

Despejando R1

R1= 120000kg ∗m10m

= 12000kg

+ ↑ f y = 0∑

−(2000∗12)kg +16900kg −8400kg + R2 = 0

Despejando R2

∴R2 = 32400kg −16900kg = 15500kg

2 000 kg/m

7.005.00

R2

BA

R1

8 4

00

kg

111

Cortantes

Se obtiene el cortante dos veces en x=5 ya que debe ser sin

considerar la carga puntual y después ya debe sumarse dicha

carga.

Vx=5 = +16900kg −10000kg −8400kg = −1500kg

Vx=12 = +16900kg −8400kg − 24000kg − 7000kg = −15500kg

Vx=12(− ) = +16900kg −8400kg − 24000kg +15500kg = 0

+ ↑ Fy = 0∑

Vx=0 = +16900kg

Vx=5(− ) = +16900kg −10000kg = 6900kg

2 000 kg/m

R2=15 500 kg

6 900 kg

v0

-15 500 kg

-1 500 kg

0

R1=16 900 kg

16 900 kg

7.005.00

8 4

00

kg

112

Momentos

Se obtiene el diagrama de momento solo en estos valores que

son los máximos, ya que la geometría que une dichos puntos

será una parábola por ser carga uniformemente repartida.


Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio y del mo-

delo con los resultados con la ayuda del programa SAP2000.

Mx∑ = 0

Mx=0 = +16900kg(0m) = 0kg ∗m

Mx=5 = +16900kg(5m)−10000kg(2.5m) = 59500kg ∗m

Mx=12 = +16900kg(12m)− 2000kg(12m)(6m)−8400kg(7m)+15500kg(0m) = 24000kg ∗m

2 000 kg/m

R2=15 500 kg

59 500 kg · m

0M0

R1=16 900 kg

7.005.00

8 4

00

kg

+

113




SAP2000, los valores numéricos varían con un pequeño rango

de diferencia.

En este caso la distribución de fuerza cortante es lineal al igual

que la carga, presentándose un escalón donde está la carga

puntual. El cortante máximo se produce en los apoyos.

Ilustración 4.

Diagrama obtenido con el programa SAP2000.

Ilustración 5.

Diagrama obtenido con los

cálculos realizados.

6 900 kg

-15 500 kg

-1 500 kg

16 900 kg

0v0

114






El momento de flexión máximo se localiza fuera del centro de

la viga y tiene un valor de 59500kg * m, a 5 metros de uno de

los extremos, dicha distancia, coincide con la carga puntual de

8400kg , que incide en ese punto.

En el modelo podemos apreciar que la viga se flexiona más

hacia el lado de la carga puntual, lo cual coincide con los dia-

gramas antes analizados.

Ilustración 17d.


Ilustración 18d.

Diagrama de momento obtenido analíticamente

Ilustración 19d.

Diagrama obtenido con el modelo.

59 500 kg · m

0M0

115

Ejercicio 2Flexión de una vida en cantilivercon carga repartida uniforme.

Calcula las reacciones, el valor del cortante y momento flexio-

nante de la siguiente viga, y posteriormente traza los diagra-

mas correspondientes.

Cortantes

+ ↑ Fy = 0∑

Vx=2 = −(800kg ∗m)(2m) = −1600kg

Vx=4 = −(800kg ∗m)(4m) = −3200kg

Vx=6 = −(800kg ∗m)(6m) = −4800kg

Vx=8 = −(800kg ∗m)(8m) = −6400kg

Vx=10 = −(800kg ∗m)(10m) = −8000kg

800 kg / m

2.00 2.00 2.00

10.00

2.00 2.00

-1 600 kg

-3 200 kg-4 800 kg

-6 400 kg

-8 000 kg

0V

0

116

Momentos


Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio y del mo-

delo con los resultados con la ayuda del programa SAP2000.

Mx = 0∑

Mx=0 = 0kg ∗m

Mx=2 = −(800kg ∗m)(2m)(1m) = −16000kg ∗m

Mx=4 = −(800kg ∗m)(4m)(2m) = −6400kg ∗m

Vx=6 = −(800kg ∗m)(6m) = −14400kg ∗m

Vx=8 = −(800kg ∗m)(8m) = −25600kg ∗m

Vx=10 = −(800kg ∗m)(10m) = −40000kg ∗m

1 600 kg · m

6 400 kg · m

14 400 kg · m

25 600 kg · m

40 000 kg · m

0M0

117




SAP2000; los valores numéricos varían con un pequeño rango

de diferencia.

Al ser una viga en voladizo, el cortante mayor se produce en su

empotre; y al tener una carga uniformemente repartida sobre

la viga, los cortantes que se producen en ella van incremen-

tando proporcionalmente mientras nos vamos acercando al

empotre de la misma.

Ilustración 20d.


Ilustración 21d.

Diagrama obtenido con los cálculos realizados.

0

0V

-1 600 kg

-3 200 kg

-4 800 kg

-6 400 kg

-8 000 kg

118






En este caso, al igual que en el diagrama de cortante, el mo-

mento de flexión máximo se localiza en el empotre de la viga,

teniendo este momento un valor de 40000 kg * m.

Ilustración 22d.


Ilustración 23d.

Diagrama obtenido analíticamente.

1 600 kg · m

6 400 kg · m

14 400 kg · m

25 600 kg · m

40 000 kg · m

0

0M

119

Análisis resultadosprácticas 7 y 8

Compara los cortantes de las vigas anteriormente calculadas:

Ilustración 24d.

Diagrama obtenido analíticamente

119

R1=12 000 kg

12 000

0

-5 000

5 000

-12 000

0V

R2=12 000 kg

2.00 2.003.00 3.00

700

0 k

g

700

0 k

g

10 0

00

kg

2 000 kg/m

R2=15 500 kg

6 900 kg

v0

-15 500 kg

-1 500 kg

0

R1=16 900 kg

16 900 kg

7.005.00

8 4

00

kg

120

¿Cómo influyen las cargas en la formaen que se produce el cortante en la viga?

El cortante máximo se produce generalmen-

te en los apoyos, quienes reciben toda la

carga de las vigas. Cuando se tienen cargas

puntuales, el diagrama de fuerzas cortantes

presenta una geometría escalonada, hacien-

do cambio donde están las cargas externas;

en una viga con carga uniformemente repar-

tida, el cortante es una línea con pendiente

constante a lo largo de la viga.

Compara los momentos de flexión en las

vigas analizadas anteriormente:

Ilustración 25d.

Diagrama de momentos de ejercicio 1 práctica 7 y 8.

39 000 kg · m

R1=12 000 kgR1=??? kg R1=15 000 kg

R2=12 ???

24 000 kg · m 24 000 kg · m

59 500 kg · m

00

0

0M

2.00 2.00 5.00 7.003.00 3.00

700

0 k

g

700

0 k

g

8 4

00

kg

2 000 kg · m

121

¿Cómo influyen las cargas en la forma en que se pro-duce el momento de flexión en la viga?

Las cargas y su posición en la viga determinan la distribución

del momento de flexión en una viga, por lo que la posición en

la que se encuentren es muy importante ya que el momento

flexionante máximo estará en donde se concentre la mayor

cantidad de cargas.

El tipo de cargas aplicado sobre la trabe también es importan-

te, ya que con una carga distribuida el momento flexionante

mayor se producirá al centro de la viga; en cambio, si las cargas

son puntuales, el momento de flexión máximo se producirá en

donde haya mayor carga, lo cual puede ser en cualquier punto

de la viga.

¿Cuál es la relación entre el cortante producido y el momento de flexión en una viga?

La carga, el cortante y el momento están relacionados, ya que

la integral de la carga da como resultado el cortante y, obte-

niendo la integral del diagrama de cortante, se determina el

valor del momento en dicho punto.

122

Ejerciciosde aplicación

122

Realiza nuevos análisis con diferentes tipos de vigas para observar los

esfuerzos producidos en cada una de éstas. Toma como punto de par-

tida las siguientes vigas y analiza sus esfuerzos, realiza sus correspon-

dientes diagramas y compara tus resultados.

Propón casos de estudio con diferentes tipos de vigas, diferentes em-

potres o diferentes características en sus elementos y analiza cómo se

comporta cada una de las vigas.

Registra tus resultados en una práctica, agrega los diagramas que sean

necesarios para entender y analizar los resultados obtenidos.

3.00 7.00

5 0

00

kg

3 500 kg · m

123123

ConclusionesOtro aspecto importante a tomar en cuenta son los claros que cubrirá la

viga, ya que entre más grande sea el claro a cubrir mayor será la sección

de la viga para poder soportar los esfuerzos que las cargas ejercen sobre

ella.

Todos estos elementos influyen directamente en el proyecto arquitec-

tónico, por lo que es esencial conocer los procedimientos que en esta

práctica se llevan a cabo, para que con esto podamos crear un criterio

que apliquemos al momento de diseñar un edificio.

Los esfuerzos que actúan sobre una viga son dos, principalmeLos

esfuerzos que actúan sobre una viga son dos, principalmente: los

esfuerzos a cortantes y los momentos de flexión. Es importante cono-

cer cómo actúa cada uno de estos esfuerzos, la forma de calcularlos y

aplicarlo en el diseño arquitectónico.

Al calcular estos esfuerzos se deben tomar en cuenta diversos factores,

como el tipo de material del que se hará la viga, la forma en que está

apoyada y las cargas que va a soportar la misma. Estas últimas son par-

te esencial de este análisis, ya que una viga no presentará las mismas

deformaciones cuando esté sometida a una carga menor que cuando la

carga a soportar sea muy grande.

124124

ReferenciasDurán Peña, D. A. (15 de mayo de 2006). Paquete interactivo didác-

tico para apoyo del curso de comportamiento de materiales I (ca-

pítulo 4). Obtenido de Colección de Tesis Digitales - Universidad

de las Américas, Puebla: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/

documentos/lic/duran_p_da/capitulo4.pdf

Parker, H. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y construc-

tores. (R. Navarro Salas, Trad.) México: Limusa.

Quiñonez, A. (7 de junio de 2015). COMO RESOLVER UNA VIGA CON

SAP2000 v17.1.1 - BIAGGIO - UNMSM. Obtenido de YouTube: ht-

tps://www.youtube.com/watch?v=6-y8itaq7aE&t=550s

Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prenti-

ce Hall.

125

PAPIME PE 400516

A R M A D U R A S

126126

Introducción

126

¿Qué es una armadura?

Una armadura es un elemento cuya función es soportar cargas

y transmitirlas a sus apoyos, de forma similar a las vigas, por

ello también se conocen como trabes de alma abierta. Su vir-

tud principal es que a partir de su geometría descomponen la

flexión que tienen las vigas en fuerzas más sencillas, como son

la tensión y compresión, lo que permite elementos más esbel-

tos y económicos con respecto a una trabe.

127

Ilustración 1e.

Diagrama de una armadura y sus elementos.

El triángulo es la unidad geométrica básica de la armadura; es

una forma que no puede ser deformable, independientemente

de cómo están conectados sus elementos entre sí.

Las armaduras se componen de los siguientes elementos: (ver

figura 1e).

Las cuerdas superior e inferior son los elementos principales

de una armadura, ya que ellos transmiten las fuerzas a lo largo

de la misma. Las diagonales tienen como función generar

triángulos al interior del elemento, descomponiendo la flexión

en tensión y compresión dependiendo de cómo estén orienta-

das. Finalmente, los montantes sirven para acortar la distancia

entre nudos y para lograr la conexión de elementos con la

armadura.Ilustración 2e.

Esfuerzos de trabajo de una armadura.

128

Armaduras planas

Son armaduras que se encuentran contenidas en un solo pla-

no, formadas tanto sus cuerdas, diagonales y montantes por

uno o dos elementos cuando es metálica, como se aprecia en

la figura 3e. Cuando se trata de armaduras construidas con

madera, cada elemento puede estar formado por 2, 3 y 4 sec-

ciones, debido a su baja resistencia a la compresión y tensión.

Tipos de armaduras

Ilustración 6.

Armadura plana

Principios básicos de las armaduras:

a. Debe de tener triángulos en todo su interior.

b. Las cargas deben caer sobre los nudos.

c. Puede tener cualquier geometría, mientas que esté trian-

gulada en su interior.

d. Los nudos se consideran articulados aun cuando estén sol-

dados o atornillados.

e. Una armadura puede prescindir de montantes, pero siem-

bre debe tener diagonales.

129

Armaduras espaciales

Estas armaduras generan una superficie, por lo que están

contenidas en 3 planos; estas estructuras reciben el nombre de

doble manto por contar con cuerdas superior e inferior.

Una armadura espacial simple puede construirse a partir de un

tetraedro básico agregando tres elementos adicionales y un

nodo, y continuar de esta forma hasta formar un sistema de

tetraedros multiconectados.

Ilustración 5e.

Armadura tridimensional o “estructura espacial”.

De acuerdo con la posición de las diagonales e integración de

montantes, las armaduras planas pueden presentar distintos

nombres, como:

Ilustración 4e.

Algunos tipos de armaduras de acuerdo a su triangulación.

130

Selecciónde una armadura

La selección de una armadura depende de las condiciones del

proyecto arquitectónico así como sus requerimientos. Algunos

casos generales son:

• Para claros grandes las armaduras son una buena elección,

ya que por sus características presentan un menor peso

con respecto al de una trabe de alma llena. Las armaduras

pueden cubrir claros que van desde los 10 metros hasta

los 150 metros de largo; sin embargo, se debe considerar

que su peralte es mayor al de una trabe y cuando se tienen

claros mayores a 100 m se debe considerar una armadura

tridimensional preferentemente.

• Cuando se tienen cargas gravitacionales importantes sobre

un entrepiso y los claros son medianos a grandes para

dichas cargas (10 a 30 m), las armaduras pueden soportar

mayor carga que el de una trabe debido a presentar mayor

peralte pero ser ligeras al estar trianguladas.

• Cuando se tiene un gran número de instalaciones que

corren por el entrepiso, las armaduras son una buena

solución ya que permiten el paso de estas instalaciones

libremente sin quitar altura de entrepiso.

• Cuando el tiempo de construcción de la edificación es

muy corto para usar sistemas constructivos que conlleven

mayor tiempo del planeado.

• Cuando se quiere rigidizar una edificación, pueden sustituir

a trabes como a columnas.

131

Se requiere iniciar obteniendo el valor de las reacciones de los

apoyos que soportan a la armadura para comenzar a resolver

el trabajo de sus elementos; en esta práctica se abordará el

método de los nudos para determinar los esfuerzos internos

que se producen en cada barra de la armadura.

Este método se basa en encontrar el equilibrio en cada nudo

obteniendo las fuerzas interiores incógnitas con el equilibrio de

fuerzas sobre los ejes principales (en el eje x y eje y). Se debe

iniciar en un nudo donde se tengan dos barras y una carga

externa.

Cómo se conoce el trabajode cada elemento de una armaduraestáticamente determinada?

¿

132

Objetivos• Que el alumno identifique cada uno de los elementos que

conforman una armadura, así como la forma en que trabaja cada

uno de ellos.

• Que el alumno aprenda a diferenciar la forma de trabajo de una

viga de la de una armadura, así como las características técnicas de

acuerdo a las diferentes formas de empleo de ésta.

• Que el alumno pueda reconocer las formas que toma una

armadura, así como el trabajo de las barras de la armadura.


arquitectónicos.

132

133

HipótesisUna armadura plana descompone su flexión en un par de fuerzas (ten-

sión y compresión) gracias a su triangulación interior.

Para verificar lo anterior se relacionará las deformaciones de la arma-

dura sobre modelos con sus resultados numéricos y se determinará su

variación conforme se modifique la triangulación, peralte y valor de las

cargas.

El análisis de resultados para cada caso se comprobará mediante el de

un programa computacional de análisis de armaduras para comprobar

los resultados y mostrar los diagramas de trabajo de cada una de ellas.

133

134

Materiales• Base de cartón corrugado de 30X30cm*

• Hojas milimétricas

• Hojas de papel albanene

• Tachuelas*

• Varitas de madera balsa

• Hilo y Aguja

• Plastilina

• Masking Tape*

• Marcador

134

* Estos materiales pueden comprarse entre dos o tres personas, de forma que sean económicos y no se tengan desperdicios.

135

ProcedimientoProfesor

Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el pla-

no de trabajo, armadura y pesos, ejemplificando cada paso que realiza-

rá el alumno ante grupo.

Alumnos

Para construir su propio modelo, generarán la base sobre la cual se

colocarán nuestros modelos de armaduras.

135

136

Ilustración 6e.

Modelo de armadura para el profesor

a. Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.

b. Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la

separación que se desee para el polígono funicular. (en el

ejemplo 20 unidades)

c. Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener

una mejor fijación de las tachuelas.

137

9Práctica

Armadura planaestáticamente determinada

Visualiza el comportamiento de una armadura similar a la de

este problema; posteriormente calcular las reacciones y los

esfuerzos que se presentan en cada barra por el método de los

nudos. Dibuja el diagrama de axiales final de dicha armadura.

Inicia con el modelo.

Construye un modelo a escala de la armadura para observar su

deformación.

a. Corta las varitas de madera balsa para crear cada uno de los

elementos de la armadura (cuerdas, diagonales y montantes).

En total necesitarás:

· 9 varitas de 5 cm (montantes)

· 8 varitas de 7.5 cm (diagonales)

· 4 varitas de 40 cm (cuerdas)

138

b. Con la ayuda del hilo y la aguja, une cada uno de los ele-

mentos que conformará a la armadura.

c. Sobre un trozo de cartón más grande que el modelo de la

armadura pega una hoja milimétrica que nos ayudará a me-

dir la deformación de la armadura.

d. Coloca unos botes de pintura que servirán como apoyo de

la armadura.

e. Coloca la armadura sobre los apoyos (botes de pintura).

139

f. Agrega las cargas a la armadura de acuerdo con las posi-

ción de ellas presentadas en el ejercicio.

g. Con la ayuda de un plumón, marca sobre la retícula la de-

formación de la viga, posteriormente compara tus resulta-

dos con los obtenidos tanto aritméticamente como con el

programa SAP2000.

140

Reacciones

Se obtienen las reacciones de la armadura; en este caso al ser

un elemento con geometría simétrica y cargas iguales sobre

sus nudos, la reacción será igual a la suma de las fuerzas exter-

nas entre dos, ya que la mitad de dicha fuerza la debe soportar

cada apoyo.

+ ↑ Fy = 0 Ray∑ = 0.55∗ 92= 2.475T = 2.50T

Solución analítica de la armadurasimplemente apoyada

Se determina el ángulo que presentan las diagonales en la

armadura, de forma que se pueda determinar en cada nudo

su componente tanto en “X” como en “Y”. Para este caso, el

ángulo se obtiene: θ = tan−1 11

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 45º , como se muestra en la

figura siguiente:

141

Se debe iniciar el cálculo de la armadura en el nudo donde sólo

lleguen dos barras y exista una carga externa sobre el mismo,

por lo tanto comenzamos en el punto A. Una vez seleccionado

el nudo se aísla de las demás barras, se coloca el nombre de

la fuerza y su sentido (no importa que no sea el correcto, si el

signo nos da negativo significa que la flecha va en sentido con-

trario). Se hace sumatoria de fuerzas en X y en Y para obtener

el valor de las fuerzas.

Al pasar al siguiente nudo (en este caso el B), como se conoce ya

la fuerza de la barra AB, ésta se coloca sobre el nudo y debe indi-

carse en sentido contrario al obtenido en la barra AB para lograr

el equilibrio en la barra; véase figura anterior (lado derecho).

Para continuar con la solución por este método, se debe ir

recorriendo de nudo en nudo seleccionando siempre el nudo

donde se tienen solo dos barras con fuerzas incógnitas.

144

Cuando se han obtenido todas las fuerzas con sus sentidos, se

genera el siguiente diagrama, indicando que barras se encuen-

tran trabajando a tensión y cuáles a compresión.

Ilustración 7e. Esfuerzos presentes en la armadura.

145


Compara las deformaciones obtenidas con el prototipo de

la armadura y con los resultados obtenidos con el programa

SAP2000.

Ilustración 8e.Deformación obtenida con el modelo a escala de armadura plana de 8m de longitud.

Ilustración 9e.Deformación obtenida con el programa SAP2000 simulandouna armadura plana de 8m de longitud.

146

Qué relación hay entre la deformación obtenida con el prototipo y la deformación obtenida conel programa?

¿Ambos resultados son similares en la forma en que se deforma

la armadura, teniendo el punto de deformación más grande al

centro de ésta. Los elementos que presentan mayores esfuer-

zos son las cuerdas tanto superior como inferior; las diagona-

les realizan la descomposición de fuerzas obteniendo valores

menores a los de las cuerdas, mientras que los montantes casi

no trabajan.

Compara la forma de trabajo (tensión y compresión) obteni-

dos con los resultados calculados previos y con los resultados

del programa SAP2000.

Ilustración 10e. Resultados obtenidos con el programa SAP2000 (azul=tensión; rojo=compresión).

¿Qué relación hay entre ambos resul-tados?Los resultados obtenidos de la forma de

trabajo de los elementos que conforman la

armadura son iguales en ambos resultados;

esto se debe a que, aunque los resultados

numéricos presenten pequeñas diferencias,

la forma de trabajo de los elementos que

conforman la armadura es única para cada

caso.

147

Visualiza el comportamiento de una armadura similar a la de

este problema; posteriormente, calcula las reacciones y los

esfuerzos que se presentan en cada barra por el método de los

nudos. Dibuja el diagrama de axiales final de dicha armadura.


Construye un modelo a escala de la armadura para observar su

deformación.

10Práctica

Armadura planaestáticamente determinada

a. Arma el modelo (armadura y apoyos) al que se le irán

agregando las cargas de acuerdo con la práctica 9 presen-

tada anteriormente.

b. Agrega las cargas correspondientes.

c. Con la ayuda de un marcador traza la deformación (línea

roja) que generan las cargas en la armadura.

148

Reacciones

Se obtienen las reacciones de la armadura; en este caso al ser

un elemento con geometría simétrica y cargas iguales sobre

sus nudos, la reacción será igual a la suma de las fuerzas exter-

nas entre dos, ya que la mitad de dicha fuerza la debe soportar

cada apoyo.

+ ↑ Fy = 0 Ray∑ = 1.0∗ 52= 2.50T

Se determina el ángulo que presentan las diagonales en la

armadura, de forma que se pueda determinar en cada nudo su

componente tanto en “X” como en “Y”. Para este caso, el án-

gulo se obtiene: θ = tan−1 11

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 45º , ya que la separación entre

montantes es de 1 metro.

Solución analítica de la armadurasimplemente apoyada

150

Ilustración 11e.

Esfuerzos presentes en la armadura.

151


Compara las deformaciones obtenidas con el prototipo de

la armadura y con los resultados obtenidos con el programa

SAP2000

Ilustración 12e.

Deformación obtenida con el modelo a escala

de armadura plana de 8m de longitud.

Ilustración 13e.

Deformación obtenida con el modelo a escala de

armadura plana de 8m de longitud.

152

El trabajo de la cuerda inferior siempre fue a tensión, mientras

que la cuerda superior fue a compresión, debido a que ambas

armaduras presentan apoyos simples en los extremos además

de presentar una geometría y cargas simétricas. El trabajo de

las diagonales es importante para descomponer las fuerzas,

mientras que los montantes que presentan mayor trabajo es

en los apoyos, disminuyendo el mismo hacia el centro.

Qué relación hay entreambos resultados?

¿

Ilustración 14e.

Resultados obtenidos con el programa SAP2000

(azul= tensión; rojo= compresión).

153

Análisis resultadosprácticas 9 y 10

153

Considerando que ambas armaduras presentan el mismo

peralte y soportan la misma carga total, la primera armadura

analizada presenta mayores valores de esfuerzo en sus ele-

mentos, ya que su longitud es mayor que la segunda; sus va-

lores máximos se presentan al centro del claro en las cuerdas,

distribuyéndose y aminorando hacia los extremos.

¿Qué armadura presenta mayores esfuerzos en sus elementos?

154

¿Cuál es la relación entre los valores de los esfuerzos de las dos armaduras?

Cuanto más larga sea la armadura (mayor claro), los esfuerzos

internos serán mayores en los elementos (principalmente las

cuerdas). Para mantener un valor menor de esfuerzos en la

armadura es necesario aumentar el peralte de la misma, pro-

porcional al aumento de su longitud. El aumentar el peralte

producirá que los esfuerzos internos disminuyan generando

una solución más ligera y económica.

Como puede observarse, la relación del valor de esfuerzo

máximo de la armadura larga con respecto a la corta es del do-

ble, como lo es su relación entre claros: 4 a 8 m, indicando que

el efecto que más impacta al diseñar la armadura es el claro y

no tanto la carga que soporta.

155

¿A qué se debe que una armadura presenta mayores deformaciones si soportan a misma carga?

A que la proporción de la armadura no se conserva, ya que

sólo se aumenta la longitud de la armadura, pero no se aumen-

ta su peralte, haciendo que la primera armadura soporte ma-

yores esfuerzos.

Compara ambas deformaciones de las armaduras gráficamente.

Ilustración 15e.

Deformación en armadura plana de 4m de longitud

práctica 10 (SAP2000).

Ilustración 16e.

Deformación en armadura de 8m de longitud práctica 9 (SAP2000).

156

¿Qué harías para obtener la misma deformación en las dos armaduras?

Aumentar el peralte de la segunda armadura para que de esta

forma su relación entre peralte y longitud sea proporcional, y

que así los elementos soporten menores esfuerzos.

Otra solución es tener mayor número de diagonales y montan-

tes que ayuden a distribuir mejor los esfuerzos.

¿En dónde se presenta la mayor deformación en am-bas armaduras? ¿Por qué?

La mayor deformación se presenta en el centro de la armadura

debido a que es el punto más alejado entre los dos apoyos que

soportan a la armadura.

¿Es importante la posición de las diagonales en la armadura?

La orientación de las diagonales marca el esfuerzo al que es-

tará trabajando cada elemento de la armadura, es decir, la

posición de la diagonal puede generar que los elementos que

trabajaban en la práctica a tensión inviertan su esfuerzo a com-

presión, impactando al momento de diseñar estructuralmente

la armadura.

157

ConclusionesLas armaduras son elementos estructurales que nos permiten librar

grandes claros de una forma fácil y económica, por lo cual es impor-

tante que conozcamos sus elementos, la forma en que trabajan y su

comportamiento ante diferentes situaciones.

Como vimos en los ejercicios anteriores, al aplicarle cargas a las arma-

duras sus elementos comienzan a trabajar de diferente forma, tenien-

do esfuerzos a compresión y tensión con el fin de distribuir las cargas

hasta sus elementos de apoyo.

Los esfuerzos de los elementos que conforman una armadura varían

de acuerdo con diferentes factores, como la forma en que la armadura

recibe las cargas, la forma en que se apoya la armadura en sus extre-

mos y la manera en que están dispuestos los elementos que la confor-

man; por esto es importante conocer los diferentes tipos de armaduras

y así escoger la que mejor convenga de acuerdo con las necesidades a

cubrir.

La deformación es otro de los aspectos importantes de una armadu-

ra; ésta se presenta por las cargas a las que está sujeta la armadura y

por su geometría; a pesar de esto, una armadura puede cubrir un gran

claro y soportar grandes cargas y presentar una mínima deformación,

como se demostró en los ejercicios, debido a la forma en que los ele-

mentos que la conforman distribuyen las cargas.

Por lo anterior, una armadura es de gran utilidad cuando se quiere cu-

brir un gran claro o cuando se deben soportar grandes cargas, ya que,

en comparación con una viga, presenta mejores condiciones de trabajo

y resistencia en sus elementos, además de ser de menor costo que una

viga.

157

158


Realiza más modificaciones a la armadura con el fin de analizar su com-

portamiento en diferentes casos.

Realiza una propuesta de casos de estudio con diferentes tipos de ar-

maduras, diferentes empotres o diferentes características en sus ele-

mentos, y analiza cómo se comporta cada una de las armaduras.

Registra tus resultados en una práctica, agrega los diagramas que sean

necesarios para entender y analizar los resultados obtenidos.

158

159

Cuestionario

¿Cómo trabajan todos los elementos de una armadura?

a Tensión.

b. Compresión.

c. Tensión y compresión.

¿A qué ayuda el peralte de la armadura?

a. A disminuir el valor de los esfuerzos internos.

b. A incrementar el valor de los esfuerzos internos.

c. No tiene efecto.

¿Qué característica debe cumplirse en las armaduras?:

a. La carga debe aplicarse en los nudos de la

armadura.

b. La carga puede aplicarse en cualquier punto

de la armadura.

c. La carga puede ser repartida a lo largo de

las cuerdas.

159

160

ReferenciasNachtergal, C. (1969). Estructuras metálicas: cálulos y construcción.

(S. López Camarasa, Trad.) Madrid: Blume.

Parker, H. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y construc-

tores. (R. Navarro Salas, Trad.) México: Limusa.

Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prenti-

ce Hall.

160

161

M A R C O S R Í G I D O S

PAPIME PE 400516

162

IntroducciónUn sistema estructural son los marcos rígidos; este tipo de sistema es

comúnmente empleado para salvar grandes claros y resistir de forma

adecuada las fuerzas laterales debido a sismo o viento, por su simplici-

dad en el diseño y construcción.

Los marcos rígidos son estructuras en las que los elementos están

conectados de tal manera que se permite la transferencia de momen-

tos, cortantes y axiales que actúan sobre las trabes debido a las cargas

externas hacia las columnas. La conexión entre elementos es mediante

uniones rígidas capaces de transmitir los elementos mecánicos en la

viga sin que haya grandes desplazamientos lineales o angulares entre

sus extremos y las columnas en que se apoya.

Forman parte de la estructura, ya sea que estén compuestos por co-

lumnas-trabes o muros-trabes. Los marcos nos ayudan a comprender

el funcionamiento lógico de las cargas y cómo actúan en los elementos

que las soporten.

162

163

Un marco rígido se identifica como el sistema constructivo

compuesto por elementos verticales (columnas) y horizonta-

les (trabes), formando uniones rígidas. Un marco rígido traba-

ja repartiendo la carga del edificio de modo equilibrado, de la

trabe hacia las columnas, para finalmente repartirlas hacia el

suelo.

Qué es un marco rígido?¿

Ilustración 1f.

Transmisión de fuerzas o cargas hacia cimentación en marco rígido.

La trabe es un elemento estructural que principalmente está

sujeto a carga transversal, es decir, la carga es perpendicular o

normal a su eje longitudinal producto del peso del sistema de

piso o losa, así como el peso de muebles y personas, generando

flexión como su trabajo principal. La trabe transmite su trabajo a

la columna, que se encarga de llevar la carga hasta cimentación.

La columna es un elemento estructural prismático que princi-

palmente está sujeto a carga axial o normal, es decir, la carga

es paralela a su eje longitudinal; sin embargo, también debe

ayudar a las trabes que da soporte llevándose un poco del tra-

bajo de flexión de esta última.

Ilustración 2f.

Transmisión de fuerzas o

cargas hacia cimentación en

marco rígido

164

Esfuerzos principales de trabajo de un marco rígido

Cualquier sistema estructural soporta diversos tipos de carga,

lo cual origina que sufra deformaciones en cada una de las par-

tes o elementos que lo forman; por esta razón, cada elemento

realiza una actividad diferente de aquella que realizaba mien-

tras se encontraba en reposo.

A estas actividades se la llaman esfuerzos, siendo los principa-

les de compresión y tensión, como se ve en las prácticas 1, 2, 3

y 4. Esto sucede cuando se muestra un cambio de tamaño en

el elemento estructural, debido a fuerzas internas producidas

por una o más fuerzas aplicadas sobre la estructura. A conti-

nuación, se muestran fuerzas en el eje o axiales.

Ilustración 3f.

Diagramas de compresión y tensión.

Cuando un elemento como la viga recibe la carga perpendicu-

lar a su eje, se genera otro esfuerzo denominado “flexión”, el

cual se forma internamente por esfuerzos de flexión y com-

presión, los cuales, al ser un par de fuerzas de igual magnitud y

sentido contrario separados una distancia, producen el mo-

mento resistente de la viga.

165

Este momento resistente debe ser igual o mayor al que se pro-

duce debido a las cargas externas o momento actuante.

En cuanto a los momentos actuantes, se llaman de manera ge-

neralizada en algunas convenciones de representación gráfica

“momentos positivos”, como los que actúan en las partes cen-

trales de los tramos, y momentos “negativos” a los actuantes

en los extremos continuos o empotrados.

Momentos positivos

Cuando la zona de tensión se encuentra en la parte inferior,

teniendo a la zona de compresión en la parte superior, como

se observa en la imagen 5f (lado izquierdo).

Momentos negativos

Cuando la zona de tensión se encuentra en la parte superior,

teniendo a la zona de compresión en la parte inferior, como

se presenta en todos las trabes en volado ejemplificado en la

imagen 5f (figura derecha).

Ilustración 4f

Objeto sometido a esfuerzo de flexión.

Ilustración 5f.

Deformación de una viga a flexión.

166

La flexión se da cuando la tendencia al desplazamiento del

elemento se realiza en dirección hacia los apoyos. Tomando

un marco semirígido (donde la conexión entre trabes y co-

lumnas no es continua) como ejemplo, se puede observar en

la imagen 6f la transmisión de cargas de la trabe (la cual sufre

flexión) hacia las columnas, las cuales también se flexionan

hacia el interior del marco, tomando parte de la flexión de las

columnas.

Ilustración 6f.

Marco semi-rígido con carga al centro.

Ilustración 7f.

Marco rígido con carga al centro.

La deformación de un marco rígido con carga al centro varía

en la deformación que sufren las columnas así como la trabe

en sus extremos. En la imagen 7f se puede observar que la

trabe permanece recta junto al nudo y después se flexiona un

poco menos que en el marco semirígido (fig.6f). En cuanto a la

columna, podemos ver que en el marco semirígido el elemen-

to formaba una sola curva, mientras que en el marco rígido se

generan dos curvas.

167

La imagen 8f es la representación gráfica de la deformación y

trabajo del marco rígido; en esta figura se ha marcado la distri-

bución de los esfuerzos de tensión y compresión producto de

la flexión que sufren tanto la trabe como la columna.

Para poder transmitir las cargas hasta el suelo, las columnas

deben transportarlas de la siguiente manera:

a. Las trabes reciben las cargas y las llevan a sus apoyos; esta

distribución se refleja en el diagrama de cortantes de la

viga (ver práctica 8 y 9 flexión).

b. Dicho cortante de la trabe llega a la columna pero ésta lo

recibe como carga sobre su eje, es decir, se transforma en

una carga axial para la columna. Generalmente, dicha car-

ga axial es a compresión, aunque en algunos casos puede

estar a tensión.

c. La fuerza cortante que se produce en la columna debe

estar en equilibrio en ambos miembros; para pasar el cor-

tante de una columna a otra emplean a la trabe, que recibe

dicha fuerza como carga axial con valores muy pequeños,

que por ello generalmente son despreciados al diseñar las

trabes.

Ilustración 8f.

Momentos positivos y negativos.

Ilustración 9f.

Efecto cortante en trabe y axial

para la columna.

Ilustración 10f.

Efecto axial en la trabe, cortante

para las columnas

168

Método de distribución de momentos o cross para resolver un marco rígido

Es un método basado en desplazamientos, desarrollado por

Hardy Cross en 1930. Es un método de aproximación alto, en-

tre mayor número de iteraciones se realicen. Esencialmente, el

método comienza por asumir que todos los nudos de la estruc-

tura se encuentran empotrados. Al liberarlos, los momentos

internos en cada nudo se distribuyen y se ponen en equilibrio

hasta que los nudos rotan a su posición final.

Para la distribución de momentos, ésta se realiza mediante los

factores de rigidez de cada miembro y por nudo. Finalmente,

se transporta la proporción de momento a cada nudo.

Factor de rigidez de un elemento

Es la rigidez angular que presenta una viga o columna al pro-

ducirle un giro unitario (representando a un momento) en su

extremo.

Ilustración 11f.

Obtención del Factor de Rigidez Angula

para barra biempotrada.

169

se considera que K = 4EIL (1F) para barra biempotrada

donde:

K es el factor de rigidez de la barra (kg/cm).E es el módulo de elasticidad. (kg/cm2)

I es la inercia del elemento. (cm4)

L es la longitud del elemento. (cm)

Se considera que K = 3EIL (2F) para una barra empotrada-ar-

ticulada dónde:

K es el factor de rigidez de la barra.(kg/cm)E es el módulo de elasticidad. (kg/cm2)I es la inercia del elemento.(cm4)L es la longitud del elemento. (cm)

Ilustración 12f.

Rigidez angular para una viga empotrada-articulada

170

Factor de distribución de rigidez

Es la proporción de rigideces de las barras que llegan a un

nudo; significa qué tan rígido es un elemento con respecto a

otro que llega al mismo nudo.

K = K elemento deseadoΣK elmentos llegan al nudo

(3F)

Factor de transporte

Al producirse el giro unitario de un lado de la barra, los mo-

mentos que se producen en los extremos de la barra tienen

una proporción de “2” en una barra biempotrada; es decir uno

es el doble del otro.

Ilustración 13f.

elación momentos viga bi-empotrada con giro

unitario en extremo derecho

Por lo tanto, el factor de transporte o la relación de un mo-

mento con respecto al otro extremo es la mitad, es decir,

FT biemportada = 0.5 . Como el giro unitario puede generarse

en el nudo contrario de la misma barra, los momentos se in-

vierten y el factor de transporte será el mismo también para el

otro extremo.

En el caso de una trabe empotrada-articulada el factor de

transporte será igual a cero, FT emportada − articulada = 0 , ya

que el apoyo simple no puede tomar momento.

Ilustración 14f.

Relación momentos viga empotrada-articulada

con giro unitario en extremo derecho

171

Factor por momentos en los extremos de la barra

Debido a que el método supone que todas las barras son conti-

nuas, se considera que estas se encuentran “empotradas”, por

lo que es necesario conocer los momentos en los extremos de

estas vigas o columnas debido a la carga exterior aplicada.

Para una viga biempotrada con carga uniformemente repar-

tida, el momento en los extremos de la misma será igual a

M = WL2

12,

Donde:

W es la carga uniformemente reparti-

da (kg/m)

L es el claro de la viga (m o cm)

Ilustración 15f.

Relación momentos en los extremos

de una viga biempotrada.

W

L

M= wL2

12 M=wL2

12

172

Objetivos• Que el alumno identifique el comportamiento de las edificaciones

de acuerdo con modelo sencillo formado por marcos rígidos ante

cargas repartidas.

• Que el alumno aprenda a identificar las deformaciones en los

marcos rígidos bajo cargas gravitacionales.

• Que el alumno obtenga el trabajo interno en un marco rígido

debido a cargas gravitacionales.


arquitectónicos.

172

173

HipótesisEl trabajo de un marco rígido ante unas cargas gravitacionales

presentará los siguientes esfuerzos internos de flexión, cortan-

te y axial.

Para lograr el punto anterior se relacionará las deformaciones

del marco con los valores analíticos obtenidos.

Se analizará y sintetizará los conceptos de deformación, giro,

curvatura y deflexión en los elementos que forman al marco.

173

174

Materiales• Modelo marcos rígidos mediante sistema MOLA.

• 3 Pesas o plomada con peso.

• Alambre de cobre en tramos de 5 cm.

• Teléfono con cámara.

• Cuaderno, lápiz y calculadora.

• Masking tape o cinta adhesiva.

174

175

ProcedimientoProfesor:

Presentará el modelo de trabajo requerido por realizar por los estu-

diantes con el modelo MOLA.

Alumnos:

Para construir su propio modelo, generarán la base sobre la cual se

trazará la deformación del marco por modelar.

a. Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.

b. Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación

que se desee para el polígono funicular. (en el ejemplo 20 unidades)

c. Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor


175

176

Visualiza el comportamiento de un marco rígido con carga uni-

formemente repartida; posteriormente, calcula las reacciones

y los esfuerzos que se presentan en cada barra por el método

de Cross. Dibuja los diagramas de elementos mecánicos.


Construye un modelo de un marco rígido empleando el MOLA

con cargas distribuidas, como se observa en la siguiente imagen.

a. Coloca la base metálica y fija 4 apoyos; posteriormente,

coloca los elementos para columnas y el largo para trabe;

rigidiza el sistema colocando un tensor hacia los apoyos

de atrás. No olvides colocar los triángulos para rigidizar la

cimentación en la base.

11Práctica

b. Genera las cargas puntuales; apoyándote con pesos de 10

gramos, genera pesas pequeñas para colgar sobre el modelo.

Marcos rígidos

177

c. Para el marco rígido, deberás colocar un triángulo en cada

extremo de la parte superior

d. Traza el marco deformado sobre el papel milimétrico de

forma que puedas observar el trabajo de los elementos.

e. Compara esta deformación con la que se obtenga de la

evaluación numérica así como la que se obtenga de em-

plear un programa de análisis como es el SAP2000.

178

Solución analítica del marco rígido

Método de Cross

Pasos:

a. Identificar las respectivas barras indicándolas con letras

(opcional).

b. Unificar el marco rígido convirtiéndolo en una viga.

c. Determinar cuántos tramos de viga hay; posteriormente,

reconocer el tipo de apoyo (biempotrado/empotrada-

apoyada).

3m

0 t/m 1 t/m 0 t/m

Viga empotrada

3m

Viga empotrada

2m

Viga empotrada

179

d. Obtener el factor de rigidez de cada barra. Vaciar los resul-

tados en la tabla.

La rigidez del elemento 3 será igual a la del elemento 1,

K1= K3= 1.33 .

e. Obtener el factor de distribución de rigidez de cada nudo.

Vaciar los resultados en la tabla.

D.F.= K elementoK elementos∑

D.F. A - B = 1.331.33+∞

= 0 D.F. B - A = 1.331.33+ 2

= 0.40

D.F. C - D = 21.33+ 2

= 0.60 D.F. D - C = 21.33+ 2

= 0.60

D.F. F - E =1.33

1.33+∞= 0 D.F. E - F =

1.331.33+ 2

= 0.40

f. Obtener los momentos de viga de cada tramo (*). Vaciar

los resultados en la tabla.

g. Obtener la distribución de momentos, en donde se obtie-

ne en cada punto el diferencial de momento que ponga

en equilibrio los momentos ( (Σ = 0) ) en cada punto de la

estructura. Vaciar los resultados en la tabla.

(*) Las columnas no tienen momento ya que no tiene carga externa aplicada sobre ellas directamente.

MC−D = − (1)(2)2

12= −0.33

MD−C = (1)(2)2 / 12 = 0.33

w= 1Tm

3m 3m2m

D.F.

M

A.M.

00 .4

0

0

00 0

0

0.400.60 .6

-0.33

-0.33

0.33

0.33

+0 - 0.33 = -0.33

0.33 w pone en equilibrio.

+0 + 0.33 = +0.33 -0.33 w pone en equilibrio.

180

NOTA: El factor de rigidez de un empotramiento es igual a infinito.

h. Después de calcular las diferencias entre momentos en

ambos lados del apoyo, éstas se multiplican por su respec-

tivo factor de distribución de rigidez. Vaciar los resultados

en la tabla.

i. Se realiza el transporte de momentos. Vaciar los resultados

en la tabla.

181

El problema termina cuando en el transporte, en el punto don-

de hay continuidad, debe quedar lo más cercano posible a un

valor de cero.

En caso de que éste no quede en ceros, se deben realizar de

nuevo los incisos g al i, hasta que se tenga el número más

aproximado a cero.

j. El momento final se obtiene sumando cada columna a par-

tir de los momentos.

NOTA: No se deben incluir en la sumatoria final los

valores correspondientes a la diferencia de momentos

(A.M).

Para obtener los diagramas de elementos mecánicos para este

marco, emplearemos el siguiente método:

1.- Separar el marco en tramos y contemplar cada uno como

vigas con apoyo simple.

182

2.- Sacar reacciones, multiplicando los metros por la carga uni-

formemente distribuida, posteriormente, dividirlo entre dos.

En este caso solamente la viga presentará diagrama de cortan-

te isostático.

4.- Calcular el momento máximo isostático e hiperestático.

El momento máximo isostático = Es la integral del área

del triángulo del diagrama de cortante, formando una parábo-

la cuando hay cargas repartidas.

3.- Se obtiene el diagrama de cortante isostático de la trabe,

colocando las reacciones obtenidas.

Diagrama de momentos isostático. M máx = 1*1 / 2 = 0.5 t*m

5. Para dibujar el diagrama de momentos hiperestáticos, se

debe dibujar los momentos hiperestáticos sobre el diagrama

de momentos isostáticos. Para ello primeramente se localiza-

rán los momentos hiperestáticos obtenidos del Cross sobre el

eje horizontal considerando:

Del lado izquierdo el momento negativo se encontrará en

la parte superior y el positivo en la parte inferior, del lado dere-

cho el momento negativo se encontrará en la parte inferior y

el positivo en la superior.

183

Se utilizarán los valores del momento final (M.F.) obteni-

do de la tabla de Cross, colocándolos según sus momentos

negativos y positivos sobre el eje, dependiendo de cada tramo.

En este caso lo aplicamos a la trabe central.

Posteriormente se dibujarán los momentos isostáticos obteni-

dos sobre el diagrama anterior

Finalmente el momento hiperestático conserva del lado iz-

quierdo su signo, mientras que el momento del lado derecho

lo cambia; es decir, el eje de la viga isostática se mueve hacia

la línea de corrección quedando el diagrama final hiperestático

de este elemento

El diagrama de cortante hiperestático para este elemento se

obtiene a partir del diagrama isostático y se obtiene la diferen-

cia de cortante existente en los momentos hiperestáticos; para

ello se suman los momentos hiperestáticos en el tramo (C-D

en este caso) y se divide entre la longitud de la viga

Este número incrementa al cortante del lado donde hay mayor

momento y viceversa del lado opuesto.

184

Para las columnas, se dibuja directamente sus momentos

recordando que el primer valor de momento hiperestático

conserva su signo y el segundo valor de momento del mismo

elemento cambia su signo. Ejemplo columna izquierda:

Para obtener el diagrama de cortantes se realiza la misma

acción que se realizó para corregir el diagrama isostático de la

trabe y se coloca de forma constante en la columna.

Quedando los diagramas completos de la siguiente forma

V= Mab + Mba / Long. Element.

V= ( .086 + 0.172 ) / 3m = 0.086t

+.086+ .086

+.086t

+.086t.086t

+.086t -.086t

-.086t

-1.0t

+1.0t

+1.0t

+1.0t

+1.0t

-.172

0.30

-.172

-0.2-0.2

M VN

+1t

185

Análisisde resultados

A partir de observar la respuesta del marco bajo comportamiento físico

y resultados analíticos se presentan los resultados obtenidos emplean-

do el programa SAP2000.

Se puede observar que las deformaciones son similares analíticamen-

te a las del modelo generado; el comportamiento de un marco rígido

ante cargas gravitacionales siempre será similar, si éstas se encuentran

uniformemente repartidas.

185

186

Comparando los resultados numéricos obtenidos por el méto-

do de Cross en cuanto a momentos del marco con el obtenido

por el programa SAP2000, se puede observar que los resulta-

dos son muy similares, pudiendo observar al ver los tres dia-

gramas juntos la relación antes mencionada entre las fuerzas

cortantes y axiales para columnas y trabes.

Ilustración 15f.

Comparación deformación analítica SAP2000

con modelo generado MOLA

Ilustración 16f.

Diagramas de axiales, momentos y cortante del

marco.

187

ConclusionesLa mayor parte de las edificaciones en la Ciudad de México se han

resuelto mediante marcos rígidos desde hace muchos años debido a su

comportamiento adecuado ante cargas gravitacionales como acciden-

tales (sismo).

Resulta de vital importancia conocer su comportamiento y poder obte-

ner su respuesta analítica de forma que se comprenda su efecto sobre

las dimensiones de los elementos estructurales que darán apoyo al

proyecto arquitectónico.

187

188


• Plantee sobre un proyecto arquitectónico cómo resolverlo

mediante marcos rígidos, ubicando trabes y columnas que lo

soporten. Verifique de forma intuitiva cómo se transportan las

cargas gravitacionales desde las trabes hasta la cimentación

trazando con líneas rojas su trayectoria de las cargas.

• Verifique qué edificaciones existen a su alrededor con marcos

rígidos y vea sus claros, así como las dimensiones de sus elementos.

• Busque ejemplos de solución de sistemas de marcos rígidos

empleando distintos materiales constructivos y compare claros,

tamaño de secciones y solución en general.

188

189

Cuestionario

¿Cómo son todos los elementos de un marco rígido?

a. Continuos.

b. Unidos por nudos.

c. Separados.

¿Cuál es el método para solucionar un marco rígido?

a. Mediante la distribución de momentos.

b. Mediante la distribución de axiales.

c. Mediante la distribución de torsión.

¿Qué es un marco rígido?

a. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión,

cortante y axiales.

b. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión

y cortante.

c. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión.

189

190

ReferenciasGere, J. M., & Timoshenko, S. P. (1986). Mecánica de materiales. Méxi-

co: Grupo Editorial Iberoamérica.

Novely Cabrales, B. D. (2016). Análisis de estructuras. Método de la

rigidez. Barranquilla: Independiente

Hibbeler, R. (2015). Análisis estructural. (6ª ed.) Prentice Hall.

190

191

E F E C T O D E S I S M O E N E D I F I C I O S

C O N M A R C O S

PAPIME PE 400516

192

Introducción

192

¿Qué es un sismo?

Un sismo es energía liberada en forma de ondas debido al

movimiento de la litosfera terrestre sobre el manto. Existen

distintos movimientos de las placas por las que está formada la

litosfera, pudiendo ser: Divergentes, Convergentes o Subduc-

ción, Transformación.

193

Ilustración 1g. Tipo de movimiento de placas tectónicas.

Divergente

Transformación

Convergente

o subducción

La falla divergente es cuando las placas se mueven en sentido

contrario una con respecto a la otra, permitiendo la salida de

material candente desde el manto, como se muestra en la figu-

ra 1g superior. La falla convergente o de subducción se pro-

duce cuando las placas colisionan entre ellas, introduciéndose

la de mayor densidad por debajo de la menor densidad. Final-

mente, la falla de transformación es producto del movimiento

lateral de las placas.

194

Por qué se mueven los edificios?¿

Ilustración 2g.

Tipo de movimiento de placas tectónicas

Ondas sísmicas. Al moverse la corteza terrestre, se libera ener-

gía en forma de ondas, las cuales viajan por la litosfera hacia la

superficie de la corteza terrestre produciendo movimiento del

terreno cuando las ondas están ya en la superficie.

Las ondas que se generan en el punto donde se inicia el movi-

miento de una placa con respecto a otra se llama hipocentro

(localizado dentro de la litosfera). Las primeras ondas que se

generan al liberar tanta energía se conocen como llamadas

principales o “P” y las ondas “S”.

Las ondas principales, también llamadas ondas de cuerpo, pro-

ducen un movimiento uniaxial de compresión y descompresión

por todos los medios (manto y litosfera). Su velocidad es de 8

a 5 km/s (28,800 km/h).

Ondas P o principales

Ondas S o secundarias

195

La onda secundaria o de cortante se transmite por deforma-

ción cizallante, propagándose sólo en el medio sólido, como lo

es la litosfera. Sus velocidad es aproximadamente 1.73 veces

más lenta que la onda P, es decir, 4.6 km/s (16,600 km/h).

La onda secundaria, al salir a la superficie de la corteza terres-

tre, genera tanto movimiento horizontal como vertical del

terreno, descomponiéndose en las ondas Love y Rayleigh.

Los edificios que se encuentran desplantados sobre el terreno

afectado por las ondas sísmicas se mueven junto con el terreno,

iniciando dicho movimiento por su cimentación y produciendo

movimiento diferente en su parte superior; dicho movimiento

del edificio dependerá de distintas características de la edifica-

ción: geometría en planta y elevación, altura, rigidez de su es-

tructura portante y distribución de peso sobre sus entrepisos.

Ilustración 3g.

Movimiento del terreno por ondas S.

196

En qué consiste un edificio diseñado sísmicamente a base de marcos rígidoso semirígidos?

¿Un marco es un sistema estructural formado por trabes y co-

lumnas unidas de forma continua transmitiendo los esfuerzos

internos de trabajo de un elemento a otro en proporción a su

rigidez y distribución de carga. Cuando la edificación presen-

ta marcos en sus dos direcciones como elementos principales

para soportar las cargas se dice que el edificio se encuentra

resuelto a base de marcos rígidos.

Los marcos rígidos fueron el primer sistema empleado para

soportar movimientos sísmicos en edificios relativamente altos

en su momento (4 a 10 niveles en 1920-1940) por su compor-

tamiento al transmitir fuerzas sísmicas del piso a trabes y éstas

a las columnas. Cuando el suelo se mueve, la base del edificio

se va junto con el terreno y los entrepisos superiores permane-

cen inmóviles hasta que las columnas o elementos de la base

jalan a las trabes y por ende a los pisos superiores para iniciar

su movimiento de oscilación.

Ilustración 4g.

Movimiento del terreno por ondas S.

197

Al iniciar su movimiento de pisos superiores, el edificio co-

mienza a moverse como un péndulo, del cual puede determi-

narse su periodo o frecuencia fundamental o la que caracteriza

al movimiento del edificio.

Un marco semirígido es aquel en que las conexiones entre

trabes y columnas no son continuas, es decir, las columnas

soportan a las trabes pero no reciben los momentos de estos

elementos. Son marcos que presentan articulaciones en las

uniones entre trabes y columnas. Este tipo de marcos ante

sismo sufren mayores deformaciones laterales, por lo que es

necesario colocar contraventeos de columna a columna para

evitar que se desplace demasiado.

Ilustración 5g.

Representación de un edificio de 1 solo nivel para

análisis sísmico.

Ilustración 6g.

Representación de marcos semi-rígidos sin y con

contraventeo.

198

Respuesta sísmica de un edificioa base de marcos rígidos

El movimiento que produce un sismo a una edificación es en

todas direcciones, sin embargo, para poder estudiar el com-

portamiento de los edificios bajo efectos sísmicos, se emplean

los registros sísmicos medidos en terrenos o edificios existen-

tes. Los acelerogramas registran el movimiento del suelo de

un sitio determinado en tres direcciones principales: sentido

horizontal, longitudinal y componente vertical.

La respuesta de la edificación al movimiento y aceleración del

terreno producto del sismo dependerá de las características de

la edificación (periodo, rigidez y masa del edificio), así como

de la amplitud y frecuencia del movimiento. Cada sismo regis-

trado en un lugar se descompone y se verifican sus efectos en

los distintos tipos de edificaciones existentes que se desplan-

tan en dicho lugar.

Ilustración 7g.

Registro sísmico en una dirección

(“acelerograma”).

199

Qué es la amplitud y frecuenciade una onda?

¿La amplitud de una onda es el máximo punto que alcanza la

onda en su registro. El periodo es el tiempo que tarda en gene-

rarse una onda completa (sus unidades son los segundos) y la

frecuencia es el número de ondas completas que se producen

en un segundo, siendo sus unidades los Hertz.

Ilustración 8g.

Definición gráfica de amplitud, periodo

y frecuencia en ondas senoidales

Un acelerograma se encuentra formado por una serie de ondas

que representan el movimiento y aceleración que sufre el te-

rreno debido a un sismo. Para interpretar un acelerograma se

requiere distinguir las amplitudes máximas de aceleración así

como la frecuencia de las aceleraciones; entendiendo el mo-

vimiento del terreno se puede determinar su efecto sobre los

distintos tipos de edificaciones construidas sobre dicho suelo.

200

Objetivos• Que el alumno identifique el comportamiento de las edificaciones

de acuerdo con modelo sencillo formado por marcos rígidos bajo

movimientos del terreno.

• Que el alumno aprenda a diferenciar lo que es frecuencia y

amplitud de un movimiento.

• Que el alumno reconozca el comportamiento de edificios con

distintos periodos y determine los efectos del movimiento del

terreno.


arquitectónicos..

200

201

HipótesisUn acelerograma se encuentra compuesto por una serie de pulsos con

distinta frecuencia y amplitud, las cuales afectan a las edificaciones.

Para determinar la anterior hipótesis se relacionará las deformaciones

del edificio y la velocidad de movimiento de un sistema de marcos rígi-

dos de 1, 2 y 3 niveles con y sin diafragma rígido.

Se analizará y sintetizará los conceptos de periodo del edificio y sus

efectos con la amplitud y frecuencia del movimiento en la base mo-

viendo la edificación de forma unidireccional.

201

202

Materiales• Modelo marcos rígidos y semi-rígidos con el MOLA

• Mesa vibratoria unidireccional (shake table I)

• Teléfono con cámara de video

• Superficie reglada en la parte trasera del modelo

202

* Estos materiales pueden ser comprados entre dos o tres personas, de modo que sean económicos y no haya desperdicios

203

ProcedimientoEl Profesor:

Presentará el modelo de trabajo requerido por realizar por los estu-

diantes con el modelo MOLA.

Explicará que es un diafragma rígido, qué son los nudos continuos y

contraventeos, en caso de requerirlos.

203

204

12Práctica

Comportamiento de sistema a basede marcos rígidos de 1 y 2 nivelesbajo movimiento senoidal y sísmico

Pasos:

1. Se realizará el modelo de un nivel formado por marcos rígi-

dos (empotrado en la base, sus nudos y colocando diafrag-

ma rígido en cada nivel). Se colocará sobre la mesa vibra-

toria unidireccional para que los alumnos por equipo de 3

personas observen el comportamiento de la estructura.

2. Se colocará en la parte de atrás del modelo un cartón

blanco donde pueda trazarse el movimiento del marco. Se

puede colocar un plumón pegado al diafragma rígido.

3. Se excitará el sistema aplicando una onda senoidal con las

siguientes características:

· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 1Hz.

· Amplitud de 1cm y frecuencia de 1Hz.


· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 2.5 a 3Hz

4. Se generará una tabla para cada uno de los cuatro casos

descritos en el paso anterior.

Número de niveles del edificio

Desplazamientovisualizado (cms)

Respuestagenerada

Caso 11 solo nivel

Onda sensorialamplitud 0.5

Frecuencia 1 Hz

Movimientouniforme, armónico,desincronizado, etc.

Caso 2 Amplitud 1 cm Frecuencia 1 Hz

Caso 3 Amplitud 1.5 cm Frecuencia 2 Hz

Caso 4 Amplitud 0.5 cm Frecuencia 2.5 a 3 Hz

205

5. Al terminar el paso 4, se deberá agregar un nivel más al

modelo, volviendo a repetir los mismos 4 casos de exci-

tación senoidal. Los valores se vacían nuevamente en una

tabla similar a la de paso anterior.

6. El edificio de 2 niveles se probará bajo una de las compo-

nentes del registro sísmico de Kobe, Japón 1995. El alumno

deberá reportar las deformaciones del sistema y el movi-

miento del mismo. Deberá apuntas sus observaciones en la

tabla del paso 5.



Respuestagenerada

Caso 22 niveles


Frecuencia 1 Hz





Paso 6 Sismo Kobe, Japón


Contrasta los desplazamientos que sufrió cada caso y justifica

su comportamiento. Ahora contrasta el comportamiento de

un movimiento armónico con el de un movimiento asincró-

nico. ¿Cómo es la respuesta de los elementos que forman al

marco rígido y al marco semirígido?

206

13Práctica

Comportamiento de un sistema formadopor marcos semirígidos de 1 y 2 nivelesbajo movimiento senoidal y sismico

Pasos:

1. Se realizará el modelo de un nivel formado por marcos

semirígidos (empotrado en la base, pero la unión entre

elementos será articulada. No coloque el diafragma rígido

en ningún nivel). Se colocará sobre la mesa vibratoria uni-

direccional para que los alumnos por equipo de 3 personas

observen el comportamiento de la estructura.

2. Se colocará en la parte de atrás del modelo un cartón

blanco donde pueda trazarse el movimiento del marco. Se

puede colocar un plumón pegado al diafragma rígido.

3. Se excitará con una onda senoidal con las siguientes carac-

terísticas:


· Amplitud de 1cm y frecuencia de 1Hz.


· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 2.5 a 3Hz

4. Se generará una tabla para cada uno de los cuatro casos

descritos en el paso anterior.

207

5. Al terminar el paso 4, se deberá agregar un nivel más al

modelo colocando contraventeos verticales en ambas di-

recciones en ambos niveles, volviendo a repetir los mismos

4 casos de excitación senoidal. Los valores se vacían nue-

vamente en una tabla similar a la de paso anterior.

El edificio de 2 niveles se probará bajo una de las compo-

nentes del registro sísmico de Kobe, Japón 1995. El alumno

deberá reportar las deformaciones del sistema y el movi-

miento del mismo. Deberá apuntas sus observaciones en la

tabla del paso anterior.



Respuestagenerada

Caso 11 solo nivel


Frecuencia 1 Hz





Paso 6 Sismo Kobe, Japón

208

Análisisde resultados

208

A partir de observar la respuesta de las distintas edificaciones y com-

parar su tabla de resultados, el alumno deberá contestar las siguientes

preguntas:

• ¿Qué sistema sufrió mayores deformaciones? ¿Por qué sucedió

esto?

• ¿Cómo influye la amplitud del movimiento en el terreno en la

respuesta de las edificaciones estudiadas?

• ¿Cómo influye la frecuencia del movimiento en el terreno en la

respuesta de las edificaciones estudiadas?

• ¿Cómo es un acelerograma con respecto al comportamiento de

una onda senoidal? ¿Será distinto el comportamiento del edificio?

• Conociendo que los acelerogramas registrados en una zona

presentan características similares con lo cual se puede caracterizar

el movimiento de dicha región, ¿Podrá proponerse algún tipo de

solución estructural para tener menores problemas ante sismo?

209

ConclusionesLa respuesta de los edificios ante sismos constituye un punto funda-

mental por aprender cuando se vive en regiones sísmicas. Es importan-

te que los arquitectos comprendan los efectos de la estructura coloca-

da en sus proyectos para facilitar un mejor comportamiento de estos

ante sismos.

Aun cuando los efectos de periodo, rigidez, periodo del terreno, se

abordan de forma lúdica, no deja de ser importante visualizar dichos

conceptos para poder comprender la solución numérica cuando llegue

a plantearse por ingenieros.

209

210


Realiza una propuesta distinta de estructuración y pruébala en la mesa

vibratoria de forma que se analice el comportamiento de cada elemen-

to y después del sistema en conjunto.

Verifica qué edificios han sufrido más daños bajo los sismos recientes

sufridos en la República Mexicana y determina sus características de

estructuración.

Busca los acelerogramas de los sismos recientes registrados cerca de la

CDMX y trata de entender y sintetizar el comportamiento que tendrán

los edificios cercanos a dichas zonas.

210

211

Cuestionario

¿Cómo son todos los elementos de un marco rígido?

a. Continuos.

b. Unidos por nudos.

c. Separados.

¿En qué ayuda el diafragma rígido al edificio bajo comportamiento sísmico?

a. A transmitir de mejor forma los esfuerzos a todos

los elementos.

b. A incrementar el peso del entrepiso.

c. No tiene efecto.

¿Qué tipo de movimiento implica el sismo?

a. Del edificio en su parte superior.

b. Del terreno donde se desplanta la edificación.

c. Del movimiento del manto de la tierra.

211

212

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