Sistemas Digitales - Ejercicios Resueltos

8/17/2019 Sistemas Digitales - Ejercicios Resueltos

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Sistemas digitales

Ejercicios resueltos y planteados

Mario Medina C.

Depto. Ing. EléctricaFacultad de IngenieríaUniversidad de Concepción

2014


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Prefacio

Esta es una colección de ejercicios de sistemas digitales que espero seade utilidad a aquellos alumnos empeñados en desarrollar las habilidadesy competencias asociadas a esta materia. Muchos de ellos aparecen en lostextos enumerados en la bibliografía de este documento; otros han sidocreados por el autor para ser usados en tareas y exámenes.

Es mi opinión que la única forma de aprender es haciendo. Se esperaque los ejercicios planteados sean desarrollados por Uds., los alumnos.Por ello, en la mayoría de éstos, sólo se indica la solución final.

Agradezco la colaboración de Jorge Salgado, quien aportara ejerciciosde su propia cosecha a este listado.

Estoy siempre dispuesto a responder consultas sobre estos ejercicios,ya sea via correo electrónico o en persona. Asimismo, rogaría me hicieranllegar cualquier corrección o comentario a los ejercicios de este libro.

Asi que, buena suerte, y provecho!

Mario Medina C. [email protected]

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/[email protected]


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Índice general

1 Sistemas numéricos 1

2 Códigos 10

3 Álgebra Booleana 16

4 Funciones Booleanas 22

5 Minimización de funciones mediante mapas de Karnaugh 28

6 Los métodos de Quine-McCluskey y Petrick 36

7 Diseño de circuitos combinacionales 39

8 Bloques estandarizados 56

9 Circuitos secuenciales 77

10 Registros y contadores 79

11 Análisis de circuitos secuenciales sincrónicos 85

12 Diseño de circuitos secuenciales sincrónicos 95

Bibliografía 100

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Capítulo1

Sistemas numéricos

Conversión entre bases

1.1 Realice las siguientes conversiones:

a) 3957310 a base 2

b) 9928010 a base 8

c) 43.37510 a base 2

d) 326218 a base 10

e) AE4316 a base 8

f ) 370148 a base 2

g) 7928810 a base 16

h) 202710 a base 8

i) 1101101012 a base 8

j) 12202013 a base 10

Solución

a) 10011010100101012

b) 3017208

c) 101011.0112

d) 1371310

e) 1271038

f ) 111110000011002

g) 135B816

h) 37538

i) 6658

j) 139610

1.2 Convierta los siguientes números a octal y a hexadecimal

a) 111010110001.0112 b) 10110011101.1012

1


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Capítulo 1: Sistemas numéricos 2

Solucióna) 7261.38 y EB1.616 b) 2635.58 y 59D.A16

1.3 Convierta los siguientes números a hexadecimal y luego a binario.

a) 757.2510 b) 123.1710 c) 356.8910 d) 1063.510

Solución

a) 2F5.416 y 1011110101.01002

b) 7B.2B16 y 1111011.00101012

c) 164.E316 y 101100100.11100012

d) 427.816 y 10000100111.12

1.4 Convierta los siguientes números decimales a octal y luego a binario.

a) 2983 6364 b) 93.73 c) 19003132 d) 109.30

Solución

a) 5647.778 y 101110100111.1111112

b) 135.5658 y 1011101.10111012

c) 3554.768 y 11101101100.111112

d) 155.2318 y 1101101.01001102

1.5 A qué corresponde el número 242.2510 en base 2?

Solución

11110010.012

1.6 A qué corresponde el número 4526.238 en decimal?

Solución

4526.238 = 2390.2910

1.7 Convierta el número 3BA.2514 a base 6. Para mayor facilidad, realice lasoperaciones aritméticas en base 10.

Solución

El número 3BA.2514 es igual a 3252.16.

1.8 Convierta el número 25749 a base 3.

Solución

21221113


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1.9 Deduzca un esquema para convertir directamente números en base 3a base 9. Utilice ahora el método deducido para convertir el número1110212.202113 a base 9.

Solución

1425.6739

1.10 Convierta el número 7813.4059 a base 16. Considere que log9 / log16 =0.792.

Solución

El número 7813.4059 en base 16 es 1683.73816

1.11 Convierta el número decimal no entero 97.31510 a:

a) binario

b) octal

c) hexadecimal

Recuerde que log10(10) = 1 y que log10(2) = 0.301.

Solución

a) La representación binaria del número es: 1100001.01010000102

b) La representación octal del número es: 141.24108

c) La representación hexadecimal del número es: 61.50816

1.12 Hay evidencia histórica que, en algunas culturas, se ha utilizado la base

20 para representar números. Entonces,

a) escriba los dígitos para un sistema base 20 usando una extensióndel mismo esquema de representación de dígitos empleado parahexadecimal

b) convierta 201010 a la base 20

c) convierta BCH.G20 al sistema decimal

Solución

a) A continuación, se muestra la equivalencia entre los valores en base10 y la extensión pedida para base 20.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J

b) 201010 = 50A20

c) BCH.G20 = 4657.810


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1.13 Calcule el valor de la base x si se sabe de 123x = 1111001102.Solución

La solución x = 21 se puede derivar mediante inspección, o mediante lasolución de una ecuación de segundo grado.

1.14 Encuentre el valor de la base r en la expresión BEEr = 269910.

Solución

La solución r = 15 puede ser derivada mediante inspección, o mediantela solución de una ecuación de segundo grado.

1.15 Sea XY Z6 un número en base 6 formado por los dígitos X,, Y y Z, yZY X9 un numero en base 9 formado por los mismos dígitos en ordeninverso. Entonces, determine el valor de los dígitos X, Y y Z tal que

se cumpla la igualdad X Y Z6 = Z Y X9. No considere la solución trivialX = Y = Z = 0.

Solución

La única combinación que cumple con la igualdad es X = Y = 5, Z = 2.

Aritmética en bases distintas a 10

1.16 Realice la siguiente multiplicación 120113 × 10213 sin pasar a otras ba-ses.

Solución

El resultado de la multiplicación en base 3 es 201110013

1.17 Un colega del Depto. Eléctrico acaba de estar de cumpleaños. Le pregun-té cuántos años cumplía y me dijo “XY años”, donde X e Y representan2 dígitos diferentes. Al comentarle que me parecían pocos, me dijo “Enrealidad son YX, pero le cambié la base”. Sabiendo que X = 3, indiquequé edades podría tener en realidad.

Solución

El colega podría tener:

a) 43 años, que en base 13 es 34

b) 53 años, que en base 16 es 35

c) 63 años, que en base 19 es 36

1.18 En “Alicia en el País de las Maravillas”, Lewis Carroll pone el siguienteacertijo numérico en boca de Alicia:

¡Dios mío, qué rompecabezas! Voy a ver si sé todas las cosasque antes sabía. Veamos: cuatro por cinco doce, y cuatro porseis trece, y cuatro por siete...

¡Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!


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Estas operaciones aritméticas tienen sentido si se consideran en basesdistintas a 10. Entonces, es verdad lo que dice Alicia? Llega en algúnmomento a 20?

Solución

No, Alicia nunca llega a 20.

1.19 Realice las siguientes sumas:

a) 100112 + 11012

b) 110100112 + 111011012

c) 100112 + 11011012

d) 1001112 + 1011012

Solución

a) 1000002

b) 1110000002

c) 100000002

d) 10101002

1.20 Realice las siguientes operaciones:

a) 100112 AND 101012

b) 110100112 OR 111011012

c) 10110112 AND 11011012

d) 1001112 OR 1011012

e) 10110112 XOR 11011012

f ) 1001112 NEXOR 1011012

g) 110010112 XOR 010100112

h) 1110102 NEXOR 1001102

Solución

a) 100012

b) 111111112

c) 10010012

d) 1011112

e) 01101102

f ) 1101012

g) 100110002

h) 1000112

1.21 Determine la incógnita X3 en la ecuación 10100102 + X3 = 21024.

Solución

La incógnita es X3 = 21013

1.22 Calcule el valor de la base X tal que se cumpla 145X = 10100102.

Solución

La base X tiene el valor 7.

1.23 Calcule la incógnita X3 en la igualdad: 110110112 + X3 = 133124.

Solución

La incógnita X3 tiene el valor 11253.


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1.24 Sea X = 5338, y Y = 2348. Calcule X + Y , X − Y , X × Y y X /Y usando labase octal. Calcule la división con a lo más 2 cifras decimales.

Solución

X + Y = 7678

X − Y = 2778

X × Y = 1515648

X/ Y = 2.168

1.25 Sume, reste y multiplique los siguientes números binarios

a) 11112 y 10102

b) 1101102 y 111012

c) 1001002 y 101102

Solución

a) Suma: 110012. Resta: 1012. Multiplicación: 100101102

b) Suma: 10100112. Resta: 110012. Multiplicación: 110000111102

c) Suma: 1110102. Resta: 11102. Multiplicación: 11000110002

1.26 El siguiente cálculo ha sido realizado por una especie particular de alie-nígena que tiene r dedos en sus manos.

(35r

+ 24r

) × 21r

= 1501r

Cuántos dedos tiene el alienígena en cada mano?

Solución

El alienígena tiene 4 dedos en cada mano. Por ello, realiza operacionesen base 8.

Representación módulo-signo y complemento a 2

1.27 Indique qué representan las siguientes secuencias de bits como enterospositivos en base 10, enteros con signo en base 10 y como caracteresASCII.

a) 11001012

b) 00111012

c) 01100102

d) 11011012

e) 11111002

f ) 10000012

g) 11101012

h) 11111112


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Solucióna) Entero positivo: 101. Entero con signo: −27. Caracter ASCII: ’e’

b) Entero positivo: 29. Entero con signo: 29. Caracter ASCII: GroupSeparator (GS)

c) Entero positivo: 50. Entero con signo: 50. Caracter ASCII: ’2’

d) Entero positivo: 109. Entero con signo: −19. Caracter ASCII: ’m’

e) Entero positivo: 124. Entero con signo: −4. Caracter ASCII: ’|’

f ) Entero positivo: 65. Entero con signo: −63. Caracter ASCII: ’A’

g) Entero positivo: 117. Entero con signo: −11. Caracter ASCII: ’u’

h) Entero positivo: 127. Entero con signo: −1. Caracter ASCII: DEL

1.28 Calcule el complemento a 2 de los siguientes números binarios.

a) 1001012

b) 100111012

c) 1101100102

d) 111012

e) 111112

f ) 10000112

g) 1110012

h) 111111112

Solución

a) 110112

b) 011000112c) 0010011102

d) 000112

e) 000012

f ) 01111012 g) 0001112

h) 000000012

1.29 Un computador tiene una longitud de palabra de 8 bits (incluyendo elsigno). Si se utiliza el complemento a 2 para representar los númerosnegativos, qué rango de enteros puede almacenarse en el computador?Y si se utiliza el complemento a 1? (Exprese sus respuestas en decimal).

Solución

Si se utiliza el complemento a 2, el rango de representación de enteroses de −128 a 127. Si se utiliza el complemento a 1, el rango de represen-

tación es −127 a 127.


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1.30 Realice las siguientes restas usando complemento a 2. Luego, verifiquesus resultados.

a) 100112 − 11012

b) 110100112 − 111011012

c) 10010112 − 11011012

d) 1001112 − 1011012

Solución

a) 1102

b) −110102

c) −1000102

d) −1102

1.31 Realice las siguientes restas sumando el complemento. Indique cuándo

se produce un rebalse. Suponga que los números negativos están repre-sentados en complemento a 2.

a) 11010−10100

b) 01011−11000

c) 10001−01010

d) 10101−11010

Solución

a) Resultado es 1102. Hay rebalse, así que el resultado es correcto

b) Resultado es 100112. No hay rebalse, así que el resultado correctoes −11012

c) Resultado es 1112. Hay rebalse, así que el resultado es correcto

d) Resultado es 110112. No hay rebalse, así qeu el resultado correctoes −1012

1.32 Sume los siguientes números en binario utilizando el complemento a 2para representar los números negativos y notación módulo-signo. Utili-ce una longitud de palabra de 6 bits, incluyendo el signo, e indique si seproduce un rebalse.

a) 21+11

b) (−14)+(−32)

c) (−25)+18

d) (−12)+13

e) (−11)+(−21)

f ) 31 + (−8)

Solución

a) El resultado correcto es 32, el cual no se puede representar en unapalabra de 6 bits. Hay un rebalse aritmético.

b) El resultado correcto es −46, el cual no se puede representar en unapalabra de 6 bits. Hay un rebalse lógico.


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c) El resultado correcto es −7. No hay rebalses.d) El resultado correcto es 1. Hay rebalse aritmético y rebalse lógico.

e) El resultado correcto es −32. Hay rebalse aritmético y rebalse lógi-co.

f ) El resultado correcto es 23. Hay rebalse aritmético y rebalse lógico.

1.33 Sean los siguientes dos números con signo en base 10, 375 y 489.

a) Convierta ambos números a base 2, y realice la resta en base 2 de375 − 489.

b) Ahora convierta ambos números a octal, y realice la misma restaanterior, pero en base 8.

c) Utilice ahora complemento a 2 para representar los números consigno +375 y −489.

d) Realice ahora la suma de los números anteriores en binario usandocomplemento a 2.

Solución

a) 37510 − 48910 = 1011101112 − 1111010012 = −0011100102

b) 37510 − 48910 = 5678 − 7518 = −1628

c) [01011101112] = 01011101112, [1111010012] = 10000101112

d) 1011101112−1111010012 = 01011101112+10000101112 = 11110001102

que es −

11100102 =−

11410


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Capítulo2

Códigos

Códigos ponderados

2.1 Construya un código ponderado BCD1523 para dígitos decimales. Si noes posible hacerlo, explique porqué no. Si es posible, escriba el número67310 en su código.

Solución

La siguiente tabla muestra una posible solución. Siguiendo esta codifi-cación, el número 67310 se escribe 1100 0110 0001BCD1523.

Dígito BCD15230 00001 10002 00103 00014 10015 01006 11007 01108 01019 1101

2.2 Construya una tabla para el código ponderado BCD4321 y escriba elnúmero 915410 en ese código.

Solución

La siguiente tabla muestra una posible solución. Siguiendo esta codifi-cación, el número 915410 se escribe 1110 0001 1001 0101BCD4321.

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Capítulo 2: Códigos 11

Dígito BCD4321

0 00001 00012 00103 01004 01015 10016 10107 10118 11019 1110

2.3 Es posible construir el código ponderado BCD5311? Si es así, indique latabla correspondiente. Si no es posible, indique porqué.

Solución

Si, es posible, y la siguiente tabla muestra una posible solución.

Dígito BCD5311

0 00001 00012 0011

3 01004 01015 10006 10107 10118 11009 1110

2.4 Es posible construir el código ponderado BCD6411? Si es así, indique latabla correspondiente. Si no es posible, indique porqué.

Solución

No es posible, ya que el código ponderado BCD6411 no puede represen-

tar los dígitos 3 ó 9.

2.5 Construya un código ponderado BCD7321 para base 12. Represente elnúmero B4A912 en dicho código.

Solución

La siguiente tabla muestra una posible solución. Siguiendo esta codifi-cación, el número B4A912 se escribe 1101 0101 1100 1010BCD7321.


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Dígito BCD7321

0 00001 00012 00103 01004 01015 01106 01117 10008 10019 1010

A 1100B 1101

2.6 Genere un código BCD5321 autocomplementado para base 12, y repre-sente el número 13510 en su nuevo código.

Solución

La siguiente tabla muestra una posible solución. El número 13510 enbase 12 equivale a B312, el que, siguiendo esta codificación, se escribecomo 1111 0011BCD5321.

Dígito BCD5321

0 00001 00012 00103 00114 01015 01106 10017 10108 11009 1101A 1110B 1111

2.7 Un registro de 16 bits contiene la secuencia 0100100101010111. Des-pliegue el resultado de interpretar esta secuencia como

a) Números BCD8421

b) Un número binario puro

c) Números en código Exceso-3


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d) Números BCD2421Solución

a) BCD8421: 4957BCD8421

b) binario puro: 1877510

c) Exceso-3: 1624Exc−3

d) BCD2421: 4357BCD2421

2.8 Codifique el número binario 1001110102 usando codificación Gray.

Solución

El número binario 1001110102 se escribe como 110100111Gray en códi-

go Gray.

2.9 Un computador representa información utilizando grupos de 32 bits.Indique el rango de los enteros sin signo que se pueden representar uti-lizando

a) código binario

b) código BCD2421

Cuál rango es mayor?

Solución

a) El rango de representación para el código binario es de 0 a 232 − 1,

es decir, 4, 294, 967, 296 enteros.b) El rango derepresentación para el código BCD2421 es de 0 a 108−1,

o 99, 999, 999, es decir, 100, 000, 000 enteros.

2.10 Diseñe un código BCD autocomplementado para representar dígitos enbase 14, que además cumpla con la propiedad que la representacionesde los dígitos menores a 7 comiencen todos con 0, y que los otros dígitoscomiencen con 1. Luego, utilice su código para representar el equivalen-te al número 982610 en base 14.

Solución

Existen dos códigos BCD que cumplen con la condición: BCD7321, yBCD6421. Como 982610 = 381C14, se tiene que en BCD7321 esto es

0100 1001 0001 1110, y en BCD6421 esto es 0011 1010 0001 1110.

2.11 Ud. desafía a un compañero a construir un código BCD de 4 bits talque una de las ponderaciones de las columnas sea negativa. Después depensarlo un poco, su compañero le propone el código BCD 8 4 −2 1.

a) Escriba la representación de los dígitos del 0 al 9 en este código.


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b) Es Ud. capaz de crear otro código BCD tal que una de las pondera-ciones sea negativa?

Solución

a) La representación de los dígitos del 0 al 9 en el código BCD 8 4 −21 se muestra en la siguiente tabla.

Dígito 8 4 −2 1

0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 1 1 03 0 1 1 1

4 0 1 0 05 0 1 0 16 1 0 1 07 1 0 1 18 1 0 0 09 1 0 0 1

b) Un ejemplo de otro código BCD tal que una de las ponderacioneses negativa es el código BCD 7 4 −2 1

Códigos detectores y correctores de errores

2.12 En un computador se ha recibido la secuencia de bits 1011111, que re-presenta un número codificado en Hamming(7, 4). Indique si ocurrió unerror en la transmisión y, si es así, cuál fue el número transmitido.

Solución

Error en el bit 2. Dato transmitido: 11112

2.13 En un computador se ha recibido la secuencia de bits 0110010, que re-presenta un número codificado en Hamming(7, 4). Indique si ocurrió unerror en la transmisión y, si es así, cuál fue el número transmitido.

Solución


2.14 En un computador se ha recibido la secuencia de bits 011100001010codificado usando codificación Hamming. Indique si ocurrió un erroren la transmisión y, si es así, cuál fue el número transmitido.

Solución



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2.15 En un cierto sistema digital, los número decimales 000 a 999 se repre-sentan en el código Reflejado Exceso-3. Se incluye también un bit deparidad impar como el bit menos significativo de cada número decimal.Analice los grupos de bit siguientes e identifique el número recibido.Identifique además los errores detectados, si los hubiese.

a) 1010110011010

b) 0110111001000

c) 0111001111110

d) 0010010111011

Solución

a) No tiene errores. Número recibido: 956b) Error en la paridad

c) Error en el segundo dígito

d) No tiene errores. Número recibido: 036

2.16 Se le pide enviar el dato binario BCD 0011 mediante el sistema de codi-ficación Hamming.

a) Calcular los bits de validación p4, p2 y p1.

b) Proporcione la palabra binaria que será enviada desde el transmi-sor.

c) El receptor recibe el mensaje 1010011. Calcule los bits de compro-bación c4, c2 y c1.

d) Determine si hubo un error de transmisión. En caso positivo, corrijael dato recibido.

Solución

a) p1p2p4 = 100.

b) La palabra transmitida es 1000011.

c) c4c2c1 = 011

d) Hubo un error de transmisión en el bit 3, por lo que el mensajerecibido se corrije a 1000011, y el dato recibido es 0011.


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Capítulo3

Álgebra Booleana

3.1 Demuestre que la operación XOR, A ⊕ B, también cumple con la propie-dad asociativa.

Solución Desarrollando ambos lados de la igualdad,

A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C

A ⊕ (BC′ + B′ C) = (A′ B + AB′ ) ⊕ C

A′ (BC′ + B′ C) + A(BC + B′ C′ ) = (A′ B + AB′ )C′ + (AB + A′ B′ )C

A′ BC′ + A′ B′ C + ABC + AB′ C′ = A′ BC′ + AB′ C′ + ABC + A′ B′ C

3.2 Demuestre que, para a,b,c ∈ {0, 1},

a) ab = ac no implica b = c.

b) Si ab = ac y a + b = a + c, entonces b = c.

Solución

a) Sea a = 0, b = 0, c = 1. Entonces, es claro que ab = ac = 0, a pesar queb c.

b) Si a = 0, entonces a + b = a + c implica b = c. Si a = 1, ab = ac implicab = c. Como esos son los únicos valores posibles de a, se demuestraque si se cumplen ambas condiciones, entonces b = c.

3.3 Demuestre las siguientes equivalencias utilizando los postulados del ál-

gebra Booleana, indicando en cada paso qué postulado se está aplicando.

a) a′ b′ + ab + a′ b = a′ + b

b) a′ + a(a′ b + b′ c)′ = a′ + b + c′

c) (a′ b′ + c)(a + b)(b′ + ac)′ = a′ bc

d) ab′ + b′ c′ + a′ c′ = ab′ + a′ c′

16


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Capítulo 3: Álgebra Booleana 17

e) wxy + w′

x(yz + yz′

) + x′

(zw + zy′

) + z(x′

w′

+ y′

x′

) = xy + x′

z f ) abc′ + bc′ d + a′ bd = abc′ + a′ bd

3.4 Dado que xy ′ + x′ y = z, muestre que xz′ + x′ z = y.

Solución

Desarrollando el lado derecho de la igualdad,

xz′ + x′ z = x(xy ′ + x′ y)′ + x′ (xy ′ + x′ y)

= x(xy + x′ y′ ) + x′ y

= xy + x′ y

xz′ + x′ z = y

3.5 Simplifique la expresión a+a′ b+a′ b′ c+a′ b′ c′ d+a′ b′ c′ d ′ e algebraicamente,

indicando la propiedad aplicada en cada paso.

Solución

La expresión simplificada es a + b + c + d + e.

3.6 La operación ≡ está definida para los dos variables a y b como a ≡ b =ab +a′ b′ . Suponiendo que c = (a ≡ b), indique cuál de las siguientes iden-tidades es válida.

a) a = b ≡ c

b) a ≡ bc = 1

Solución

Cabe hacer notar que la operación a ≡ b = ab + a′ b′ es el complemento de

la operación a ⊕ b = a′ b + ab′ .

a) La identidad es válida

a = b ≡ c

= bc + b′ c′

= b(a ≡ b) + b′ (a ⊕ b)

= b(ab + a′ b′ ) + b′ (ab′ + a′ b)

= ab + ab′

= a

b) En este caso, se tiene que la identidad no es válida.

a ≡ bc = · · ·a ≡ b(ab + a′ b′ ) = · · ·

a ≡ ab = · · ·

a(ab) + a′ (a′ + b′ ) = · · ·

ab + a′ + a′ b′ = · · ·

b + a′ 1


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3.7 Verifique que, si ab′

+ [b + b′

(a + bc)]′

= [a + a′

(ac + ab)](a + b′

), entoncesa = b′ .

Solución

ab′ + [b + b′ (a + bc)]′ = [a + a′ (ac + ab)](a + b′ )

ab′ + [b + a + bc]′ = [a + (ac + ab)](a + b′ )

ab′ + [a + b]′ = a(a + b′ )

ab′ + a′ b′ = a

b′ = a

3.8 Es válida la siguiente ley distributiva? A⊕BC = (A⊕B)(A⊕C). Demuestresu respuesta.

Solución

No, no es válida porque el lado izquierdo de la ecuación es equivalentea A′ BC + AB′ + AC′ , y el lado derecho es equivalente a A′ BC + A′ B′ C′

3.9 Simplifique la expresión P̄ + PQR + Q R̄

Solución

La expresión simplificada equivalente es P̄ + Q

3.10 Simplifique la expresión (A ≡ B ′ )(CD ⊕ B′ ) + ABCD para obtener unasuma de tres términos.

Solución

La expresión simplificada equivalente es AB′

C′

+ AB′

D′

+ BCD

3.11 Simplifique las siguientes expresiones, utilizando en cada caso sólo unode los teoremas. Indique el teorema utilizado.

a) X ′ Y ′ Z + X ′ Y ′ Z

b) (AB′ + CD)(B′ E + CD )

c) ACF + ACF

d) a(c + db) + a

e) (AB + C + D)(A′ B + D)

Solución

a) X ′ Y ′ Z + X ′ Y ′ Z = 1. Postulado 1.

b) (AB′ + CD)(B′ E + CD ) = CD + AB′ E. Teorema 3.

c) ACF + ACF = AF . Teorema 5.

d) a(c + db) + a = a + c + bd . Teorema 4.

e) (AB + C + D)(A′ B + D) = A′ B + D. Teorema 1.


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3.12 Demuestre algebraicamente las siguientes expresiones, indicando paracada paso la propiedad utilizada.

a) (X ′ + Y ′ )(X ≡ Z) + (X + Y )(X ⊕ Z) = (X ⊕ Y ) + Z ′

b) (W ′ + X + Y ′ )(W + X′ + Y )(W + Y ′ + Z) = X ′ Y ′ + W X + XY Z + W ′ Y Z

c) ABC + A′ C′ D′ + A′ BD′ + ACD = (A′ + C)(A + D′ )(B + C + D)

3.13 Utilice los teoremas del álgebra Booleana para demostrar la siguienteigualdad:

(abd + a′ b + b′ d + c′ )(c + ab + bd) = b(a + c)(a′ + c′ ) + d(b + c)

3.14 Usando una tabla de verdad, muestre que F1(x,y,z,w) = w′ z′ + w′ xy +

wx

′

z + wxyz es equivalente a F2(x,y,z,w) = w

′

z

′

+ xyz + wx

′

y

′

z + wyz.Solución

xy zw w′ z′ w′ xy wx′ z wxyz xyz wx′ y′ z wyz F1 F2

0000 1 0 0 0 0 0 0 1 10001 0 0 0 0 0 0 0 0 00010 0 0 0 0 0 0 0 0 00011 0 0 1 0 0 1 0 1 10100 1 0 0 0 0 0 0 1 10101 0 0 0 0 0 0 0 0 00110 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0111 0 0 1 0 0 0 1 1 11000 1 0 0 0 0 0 0 1 11001 0 0 0 0 0 0 0 0 01010 0 0 0 0 0 0 0 0 01011 0 0 0 0 0 0 0 0 01100 1 1 0 0 0 0 0 1 11101 0 0 0 0 0 0 0 0 01110 0 1 0 0 1 0 0 1 11111 0 0 0 1 1 0 1 1 1

3.15 Simplifique cada una de las siguientes expresiones utilizando principal-mente el teorema del consenso o su dual.

a) BC′

D′

+ ABC′

+ AC′

D + AB′

D + A′

BD′

b) W ′ Y ′ + W YZ + XY Z + W X ′ Y

c) (B + C + D)(A + B + C)(A′ + C + D)(B′ + C′ + D′ )

d) W XY + W XZ + W Y ′ Z + W ′ Z ′

e) A′ BC′ + BC′ D′ + A′ CD + B′ CD + A′ BD

f ) (A + B + C)(B + C′ + D)(A + B + D)(A′ + B′ + D′ )


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Solucióna) BC′ D′ + ABC′ + AC′ D + AB′ D + A′ BD′ = A′ BD′ + ABC′ + AB′ D

b) W ′ Y ′ + W YZ + XY Z + W X ′ Y = W ′ Y ′ + XY Z + W X′ Y

c) (B + C + D)(A + B + C)(A′ + C + D)(B′ + C′ + D′ ) = (A + B + C)(A′ + C +D)(B′ + C′ + D′ )

d) W XY + W XZ + W Y ′ Z + W ′ Z ′ = W XY + W Y ′ Z + W ′ Z ′

e) A′ BC′ + BC′ D′ + A′ CD + B′ CD + A′ BD = BC′ D′ + B′ CD + A′ BD

f ) (A + B + C)(B + C′ + D)(A + B + D)(A′ + B′ + D′ ) = (B + C′ + D)(A + B +D)(A′ + B′ + D′ )

3.16 Simplifique algebraicamente la expresión F(A,B,C,D) = BC′ D′ +BC′ D +

A′ C′ D′ + BCD ′ + A′ B′ CD ′ .

Solución

La expresión simplificada es F(A,B,C,D) = BC′ + BD′ + A′ D′

3.17 Aplicando las leyes de De Morgan, obtenga una expresión simplificadapara las siguientes funciones:

a) G = (xy + xz) (x̄ + ȳz)

b) F = (x + y)(xȳ + z)

Solución

a) G = x̄ + ȳ + zb) F = ȳ + z

3.18 Demuestre algebraicamente las siguientes igualdades.

a) x ⊕ y ⊕ z′ = x ⊕ y ⊕ z

b) x′ y′ z′ + x′ yt + xyz + xy ′ t′ = y′ z′ t′ + x′ z′ t + yzt + xzt ′

Solución

a) Desarrollando ambos lados de la igualdad, se tiene

x ⊕ y ⊕ z′ = x ⊕ y ⊕ z

(x′ y + xy ′ ) ⊕ z′ = (xy + x′ y) ⊕ zx′ yz + xy ′ z + xyz′ + x′ y′ z′ = xyz′ + x′ y′ z′ + xy ′ z + x′ yz


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b) Desarrollando el lado izquierdo de la igualdad, se tiene que éstepuede convertirse en la expresión del lado derecho de la igualdad.

x′ y′ z′ + x′ yt + xyz + xy ′ t′ = · · ·

x′ y′ z′ (t + t′ ) + x′ y(z + z′ )t + xyz(t + t′ ) + xy ′ (z + z′ )t′ = · · ·

x′ y′ z′ t + x′ y′ z′ t′ + x′ yzt + x′ yz ′ t + xyzt + xyzt′

+xy ′ zt′ + xy ′ z′ t′ = · · ·

(x + x′ )y′ z′ t′ + x′ (y + y′ )z′ t + (x + x′ )yzt + x(y + y′ )zt′ = · · ·

y′ z′ t′ + x′ zt + yzt + xzt ′ = · · ·

3.19 Muestre, usando álgebra Booleana, si acaso la operación A NAND B =(AB)′ es o no asociativa.

SoluciónPara ver si la operación A NAND B = (AB)′ es o no asociativa, debe-mos verificar si (A NAND B) NAND C = A NAND (B NAND C). Desa-rrollando ambas expresiones, se tiene:

(A NAND B) NAND C A NAND (B NAND C)((AB)′ C)′ (A(BC)′ )′

AB + C′ A′ + BC

Por lo tanto, la operación NAND no es asociativa.

3.20 Simplifique, usando los lemas y teoremas del álgebra binaria, las si-guientes expresiones:

a) abc′ d + ab′ c + bc′ d + ab′ c′ + acd + a′ bcd

b) (((a + b + a′ c′ )c + d)′ + ab)′

c) xzy + xz′ w + yz′ w + x′ y ′ z′ + xy ′ z′ w′ + yz ′ x

Solución

a) ab′ + bd

b) a′ d + b′ d + ab′ c + a′ bc

c) xy + z′ w + y′ z′


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Capítulo4

Funciones Booleanas

4.1 Escriba una ecuación que represente el siguiente enunciado:

El indicador de rebalse R se enciende sí y sólo si la descargaD es negativa, el controlador está encendido y el indicador denivel está activado, o si la descarga es positiva, el controladorestá apagado y el indicador de nivel está desactivado.

Solución

R = D̄CN + C̄ N̄ D

4.2 Represente cada una de las siguientes proposiciones como una expre-sión booleana

a) La caja fuerte de la empresa sólo debe abrirse cuando el jefe estáen la oficina o cuando el contador está en la oficina, y sólo dentrodel horario comercial y sólo cuando el guardia de seguridad estápresente.

b) Debo ponerme botas si está lloviendo e iré a almorzar al casino o simi mamá me lo dice.

c) Debe reírse de los chistes del profesor si éstos son divertidos, debuen gusto y no son ofensivos para otros, o si el profesor cuenta elchiste en clases (independientemente de si es divertido y de buengusto) y no es ofensivo para los demás.

d) La puerta del ascensor debe estar abierta si el ascensor está parado,se encuentra al nivel del piso y el temporizador del ascensor aún noha terminado, o si el ascensor está detenido, se encuentra al niveldel piso y alguien presionó el botón de Abrir.

4.3 Desarrolle y simplifique para obtener una suma de productos.

a) (A + B)(C + B)( D̄ + B)(AC D̄ + E)

22


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Capítulo 4: Funciones Booleanas 23

b) (A′

+ B + C′

)(A′

+ C′

+ D)(B′

+ D′

)Solución

a) AC D̄ + BE

b) A′ B′ + A′ D′ + B′ C′ + C′ D′

4.4 Descomponga cada una de las siguientes expresiones en factores paraobtener un producto de sumas.

a) AB + C′ D′

b) W X + W Y ′ X + ZY X

c) A′ BC + EF + DEF′

d) XY Z + W Z + XQ′

Ze) ACD ′ + C′ D′ + A′ C

f ) A + BC + DE

Solución

a) (A + C′ )(B + C′ )(A + D′ )(B + D′ )

b) (W + Z)(W + Y )X

c) (A′ + E)(B + E)(C + E)(A′ + D + F)(B + D + F)(C + D + F)

d) Z(W + X)(Q′ + W + Y )

e) (C + D′ )(A′ + D′ )

f ) (A + B + D)(A + C + D)(A + B + E)(A + C + E)

4.5 Reduzca la siguiente función a una suma mínima de productos, donde⊕ es la operación XOR, y ≡ es la operación NEXOR.

F = W XY ′ + (W ′ Y ′ ≡ X) + (Y ⊕ W Z)

Solución

F = W X̄ + W Ȳ + W̄ Y + W̄ X + X̄Y + Y Z̄

4.6 Para cada una de las siguientes expresiones, obtenga un producto desumas.

a) H ′ I ′ + JK

b) ABC + A′

B′

C + CD′

c) AB′ + ACD + ADE ′

d) AB′ C + B′ CD ′ + EF ′

e) W X ′ Y + W ′ X ′ + W ′ Y ′

f ) AB′ + (CD ′ + E)


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SoluciónLos productos de sumas pedidos son:

a) (H ′ + J )(H ′ + K )(I ′ + J )(I ′ + K )

b) C(A + B′ + D)(A′ + B + D)

c) A(B′ + D)(B′ + C + E ′ )

d) (B′ + E)(C + E)(A + D′ + E)(B′ + F′ )(C + F′ )(A + D′ + F′ )

e) Y ′ (X + W ′ )

f ) (A + C + E)(A + D′ + E)(B′ + C + E)(B′ + D′ + E)

4.7 Reduzca las siguientes funciones a su forma mínima de suma de pro-ductos:

a) F(A,B,C,D) = ABC[AC + BC(AC) ] + (A + C′ )(AC + B′ C′ )

b) F(A,B,C,D) = A′ B′ C + (A + B′ + C′ ) + A′ B′ C′ D

Solución

Las sumas de productos equivalentes son

a) F(A,B,C,D) = B′ C + A′ C + BC′

b) F(A,B,C,D) = A′ C + AB′ D

4.8 Use álgebra booleana para convertir la ecuación F(x,y,z,t) = x ⊕ y ⊕ z ⊕ ta la forma canónica de suma de productos.

SoluciónF(x,y,z,t) =

m(1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14)

4.9 Dada la función F(A,B,C,D) =

m(0, 1, 2, 6, 7, 14, 15).

a) Halle la expresión en términos producto de F .

b) Halle la expresión en términos suma de F .

Solución

a) A′ B′ C′ D′ + A′ B′ C′ D + A′ B′ CD ′ + A′ BCD ′ + A′ BCD + ABCD′ + ABCD

b) (A+ B +C′ + D′ )(A+B′ +C +D)(A+ B′ + C +D′ )(A′ +B +C + D)(A′ +B +C +D′ )(A′ +B+C′ +D)(A′ +B+C′ +D′ )(A′ +B′ +C +D)(A′ +B′ +C +D′ )

4.10 Sea la función f (a,b,c,d,e,f ,g, h) = ab′ cd ′ e+acd +acf ′ gh′ +abcd ′ e+acd ′ e+e′ h′ . Utilizando sólo los lemas y teoremas del álgebra Booleana, convier-ta esta función a:

a) su forma mínima de suma de productos

b) su forma mínima de producto de sumas


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Solucióna) suma de productos: f (a,b,c,d,e,f ,g, h) = ace + acd + e′ h′

b) producto de sumas: f (a,b,c,d,e,f ,g, h) = (a + e′ )(a + h′ )(c + e′ )(c +h′ )(d + e + h′ )

4.11 Un circuito combinacional tiene cuatro entradas A,B,C,D y cuatro sali-das, W , X , Y , Z. La salida representa un número en código Exceso-3 cuyovalor es igual al número de unos presentes en la entrada. Por ejemplo, siABCD = 1101, entonces la salida debe ser WXYZ = 0110.

a) Halle las expansiones en términos producto para X, Y y Z . Encuen-tre luego expresiones reducidas en forma de suma de productos

para X , Y y Z .b) Halle las expansiones en términos suma para X , Y y Z . Encuentre

luego expresiones reducidas en forma de producto de sumas paraX, Y y Z .

Solución

a)

X =

m(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

Y =

m(0, 7, 11, 13, 14, 15)

Z =

m(0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15)

X = A + B + C + D

Y = A′ B′ C′ D′ + ABD + ABC + ACD + BCD

Z = A′ B′ C′ D′ + A′ B′ CD + A′ BC′ D + A′ BCD ′ + ABC′ D′

+ ABCD + AB′ C′ D + AB′ CD ′

b)

X = ΠM (0)

Y = ΠM (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12)

Z = ΠM (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14)

X = (A + B + C + D)

Y = (A′ + C + D)(B + C + D′ )(B + C′ + D)(A + B + D)(A + B′ + C)

(A + B + D′ )

Z = (A + B + C + D′ )(A + B + C′ + D)(A + B′ + C + D)

(A′ + B′ + C′ + D)(A′ + B′ + C + D′ )(A′ + B + C′ + D′ )

(A + B′ + C′ + D′ )(A′ + B + C + D)


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4.12 Sea la función f (w,x,y,z) =

m(0, 8, 13, 14, 15). Un compañero suyo in-siste que esta función puede escribirse como una combinación de unafunción g () de 2 variables y una función h() de 3 variables, de la for-ma h(g (y, z),w,x). Indique si esto es así, y en caso positivo, escriba lasecuaciones para g () y h().

Solución

Hay dos posibles soluciones:

a) g (y, z) = ȳz̄ y h(g,w,x) = x̄g + wxḡ

b) g (y, z) = y + z y h(g,w,x) = x̄ḡ + wxg

4.13 Sea la expresión de 4 variables x1 ⊕ x3 + x1x3x4 + x̄1 x̄3x4 + x1 x̄2x3x4. Sean

además los siguientes costos:realizar la suma exclusiva de 2 expresiones Booleanas cuesta 90pesos

realizar el producto de 2 expresiones Booleanas cuesta 30 pesos

realizar la suma de 2 expresiones Booleanas cuesta 10 pesos

obtener el complemento de una expresión Booleana cuesta 5 pesos

Determine algebraicamente una expresión equivalente que minimice elcosto de su realización.

Solución

Una realización mínima en forma de suma de productos es: x̄1x3 +x1 x̄3 +

x4. Implementar esta expresión tiene un costo de 90 pesos. Alternativa-mente, implementar el producto de sumas equivalente (x1 + x3 + x4)( x̄1 +x̄3 + x4) tiene un costo de 80 pesos. Mejor aún, la expresión equivalente(x1 + x3)( x̄1 + x̄3) + x4 tiene un costo de 70 pesos. Asimismo, la expresión((x1 + x3)

′ + ( x̄1 + x̄3)′ )′ + x4) tiene un costo de sólo 65 pesos, al elimi-

nar completamente las operaciones producto. Finalmente, la expresión(x1 + x̄3)

′ + ( x̄1 + x3)′ + x4) tiene un costo de sólo 60 pesos.

4.14 Un circuito combinacional tiene cuatro entradas A,B,C,D y cuatro sa-lidas, W , X , Y , Z. La salida representa un número en código ReflejadoExceso-3 cuyo valor es igual al número de bits iguales a 0 presentes enla entrada. Por ejemplo, si ABCD = 1001, entonces la salida debe serWXYZ = 0111.

a) Muestre las 4 entradas y las 4 salidas en una tabla de verdad.

b) Escriba expresiones canónicas abreviadas como sumas de minitér-minos para las salidas X , Y y Z .

c) Halle expresiones mínimas como producto de sumas para X , Y yZ.


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Solucióna)

ABCD bits en 0 WXYZ

0000 4 01000001 3 01010010 3 01010011 2 01110100 3 01010101 2 01110110 2 01110111 1 0110

1000 3 01011001 2 01111010 2 01111011 1 01101100 2 01111101 1 01101110 1 01101111 0 0010

b)

W (A,B,C,D) = 0

X(A,B,C,D) =

m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)

Y (A,B,C,D) =

m(3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

Z(A,B,C,D) =

m(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12)

c)

W (A,B,C,D) = 0

X(A,B,C,D) = (A′ + B′ + C′ + D′ )

Y (A,B,C,D) = (B + C + D)(A + C + D)(A + B + C)(A + B + D)

Z(A,B,C,D) = (A + B + C + D)(A′ + B′ + D′ )(A′ + B′ + C′ )

(A

′

+ C

′

+ D

′

)(B

′

+ C

′

+ D

′

)


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Capítulo5

Minimización de funciones

mediante mapas de Karnaugh

5.1 Escriba la suma mínima de productos para cada una de las siguientesfunciones utilizando un mapa de Karnaugh.

a) f 1(a,b,c) = m0 + m2 + m5 + m6

b) f 2(d,e,f ) =

m(0, 1, 2, 4)

c) f 3(r,s,t) = rt̄ + r̄s̄ + r̄s

d) f 4(x,y,z) = M 0M 5

Solución

a) f 1(a,b,c) = āc + bc̄ + ab̄c

b) f 2(d,e,f ) = d′ e′ + e′ f ′ + d′ f ′

c) f 3(r,s,t) = r̄ + t̄

d) f 4(x,y,z) = y + xz′ + x′ z

5.2 Represente la función F(A,B,C,D) = A′ B′ +CD ′ +ABC+A′ B′ CD ′ +ABCD′

en un mapa de Karnaugh. Halle la suma mínima de productos para F yF.

Solución

a) F(A,B,C,D) = A′ B′ + CD ′ + ABC

b) F(A,B,C,D) = A′ BD + AB′ D + BD + AD

5.3 Dada la función F(A,B,C,D) = AB̄ D̄ + Ā(B̄ C̄) + CD ,

a) Exprésela como una sumatoria de minitérminos.

b) Encuentre una expresión mínima como producto de sumas utili-zando un mapa de Karnaugh.

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Capítulo 5: Minimización de funciones mediante mapas deKarnaugh 29

Solucióna) F(A,B,C,D) =

M (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15)

b) F(A,B,C,D) = (A + B + C)( Ā + B̄ + D)( Ā + C + D̄)

5.4 Para las siguientes funciones Booleanas P(A,B,C,D) =

m(0, 2, 4, 7, 8, 10)y Q(A,B,C,D) = ABD + B′ C′ D, use mapas de Karnaugh para encontrarla función R = P ⊕ Q en forma de producto de sumas.

Solución

R(A,B,C,D) = (B + C̄ + D̄)( Ā + B̄ + D)(A + B̄ + C + D̄)

5.5 Un circuito combinacional recibe como argumento un número en código

binario BCD2421, y genera una salida z que toma valor 1 si las entradasx3x2x1x0 contienen un número válido.

a) Represente la salida z en un mapa de Karnaugh.

b) Identifique los implicantes primarios esenciales y no esenciales.

c) Escriba una ecuación mínima SoP para la salida z.

Solución

a) El mapa de Karnaugh de la salida z es

x3x2

x1x0 00 01 11 10

00 1 1 1 0

01 1 0 1 0

11 1 0 1 1

10 1 0 1 0

b) Implicantes primarios esenciales: x3x2 y x′ 3x

′ 2.

Implicantes primarios no esenciales: x′ 3x′ 1x

′ 0, x2x

′ 1x

′ 0, x

′ 2x1x0, x3x1x0

c) Una ecuación mínima para la salida es z = x3x2 + x′ 3x

′ 2 + x

′ 3x

′ 1x

′ 0 +

x3x1x0

5.6 Use mapas de Karnaugh para simplificar la siguiente función, donded() indica los minitérminos superfluos.

F(A,B,C,D,E) =

m(0, 7, 11, 13, 14, 15, 16, 23, 28, 29, 30, 31)

+

d(1, 2, 8, 9, 17, 19, 25)


33/104


SoluciónF(A,B,C,D,E) = ABC + CDE + B′ C′ D′ + A′ BE + BCD

5.7 Encuentre una suma mínima de productos para la siguiente función.

f (a,b,c,d) =ΠM (5, 7, 13, 14, 15) ×ΠD(1, 2, 3, 9)

Solución

f (a,b,c,d) = (b′ + d′ )(a′ + b′ + c′ )

5.8 La siguiente figura presenta un mapa de Karnaugh de 5 variables. En-

cuentre una expresión mínima de suma de productos para esta función.

cd e

ab 000 001 011 010 110 111 101 100

00 1 0 0 1 1 0 0 1

01 1 0 0 X 1 1 0 1

11 0 X 1 0 0 1 X X

10 X 0 0 0 0 0 0 1

Solución

f (a,b,c,d,e) = a′ e′ + abe + cd ′ e′ + abcd

5.9 El código reflejado exceso 3 es un código adyacente simétrico. Se desea di-señar un circuito digital que reciba como entrada un dígito X = x3x2x1x0en código reflejado exceso 3, y que entregue como salida otro dígitoY = y3y2y1y0, tal que Y sea el equivalente en código BCD8421 de X .

Escriba los mapas de Karnaugh para las 4 variables y3y2y1y0, y muestrelas ecuaciones mínimas como productos de sumas para cada una.

Solución

Los mapas de Karnaugh pedidos se muestran a continuación.


34/104


x3x2 x3x2

x1x0 00 01 11 10 x1x0 00 01 11 10

00 X 0 0 X 00 X 1 1 X

01 X 0 0 X 01 X 0 1 X

11 X 0 0 X 11 X 0 1 X

10 0 0 1 1 10 0 0 0 0

y3 y2

x3x2 x3x2

x1x0 00 01 11 10 x1x0 00 01 11 10

00 X 0 0 X 00 X 0 1 X

01 X 1 1 X 01 X 1 0 X

11 X 1 1 X 11 X 0 1 X

10 0 0 0 0 10 0 1 0 1

y1 y0

Entonces, las ecuaciones para las variables de salida son:

y3 = x3x1x′ 0

y2 = (x′ 1 + x0)(x3 + x0)

y1 = x0

y0 = (x3 + x1 + x0)(x′ 3 + x1 + x

′ 0)(x3 + x

′ 1 + x

′ 0)(x

′ 3 + x

′ 2 + x

′ 1 + x0)(x3 + x2)

5.10 Un codificador de posición de un eje proporciona una señal de 4 bitsque indica la posición del eje en incrementos de 30 grados, utilizando elcódigo de la tabla adjunta. Diseñe un circuito lógico que indique en quécuadrante se encuentra el eje, usando dos bits llamados N / S̄ y O/ Ē paraindicar Norte/Sur y Oeste/Este, respectivamente.


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Cuadrante Posición x3x2x1x0

Noreste 0 − 300 0011

Noreste 30 − 600 0010

Noreste 60 − 900 0110

Noroeste 90 − 1200 0111

Noroeste 120 − 1500 0101

Noroeste 150 − 1800 0100

Suroeste 180 − 2100 1100

Suroeste 210 − 2400 1101

Suroeste 240 − 2700 1111

Sureste 270 − 3000 1110

Sureste 300 − 3300 1010

Sureste 330 − 3600 1011

Solución

N / S̄ = x′ 3O/ Ē = x′ 1 + x2x0

5.11 Utilice el método de minimización de Karnaugh para obtener una ex-presión simplificada para la función

f (A,B,C,D) =

m(0, 1, 2, 3, 4, 6, 12)+

d(5, 10, 11, 13)

en la forma de:

a) suma de productosb) producto de sumas

Solución

a) suma de productos: F(A,B,C,D) = ĀB̄ + Ā D̄ + B C̄

b) producto de sumas: F(A,B,C,D) = ( Ā + B)( Ā + C̄)(B̄ + D̄)


36/104


5.12 Un circuito posee dos entradas, X e Y , donde cada una de ellas corres-ponde a un número binario de 2 bits, de la forma X = x1x0, e Y = y1y0.La salida Z del circuito es 1 si el valor absoluto de la diferencia entre Xe Y es menor o igual a 1. Es decir, Z = 1 si y sólo si |X − Y | ≤ 1.

a) Represente la salida Z en un mapa de Karnaugh.

b) Identifique los implicantes primarios esenciales y no esenciales.

c) Escriba una ecuación mínima de suma de productos para la salidaZ que utilice el mínimo número de variables complementadas.

Solución

a) El mapa de Karnaugh de la salida Z es

x1x0

y1y0 00 01 11 10

00 1 1 0 0

01 1 1 0 1

11 0 0 1 1

10 0 1 1 1

b) Los implicantes primarios esenciales son: x ′ 1y′ 1 y x1y1, y los impli-

cantes primarios no esenciales son: x1x′

0y0, x′

1x0y′

0, x′

0y′

1y0, x0y1y′

0

c) La ecuación mínima de suma de productos pedida es z = x′ 1y′ 1 +

x1y1 + x1x′ 0y0 + x0y1y

′ 0

5.13 La siguiente figura presenta un mapa de Karnaugh de 5 variables. En-cuentre una expresión mínima de producto de sumas para la función Frepresentada en este mapa.

cd e

ab 000 001 011 010 110 111 101 100

00 1 1 1 0 0 0 X 1

01 0 0 1 0 0 1 1 0

11 0 1 1 1 1 1 0 1

10 X 0 0 X 0 0 0 1


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SoluciónUna posible solución es

F = (a+b′ +e)(a′ +c′ +d +e′ )(a+b′ +c+d)(b+d′ +e)(a′ +b+e′ )(b+c′ +e′ )(b′ +c+d+e)

5.14 Dada la función Booleana F(A,B,C,D) =

m(0, 1, 3, 5, 6, 8, 14)+

d(2, 4, 13),

a) Represente esta función en un mapa de Karnaugh

b) Obtenga una expresión mínima como suma de productos

c) Indique qué valores asignó a los minitérminos redundantes

Solución

a) Su representación en un mapa de Karnaugh es:

AB

CD 00 01 11 10

00 1 X 0 1

01 1 1 X 0

11 1 0 0 0

10 X 1 1 0

b) Su expresión mínima como suma de productos es F(A,B,C,D) =

A′ B′ + A′ C′ + BCD ′ + B′ C′ D′ .c) Las agrupaciones realizadas asignaron un valor 1 a los minitérmi-

nos 2 y 4, y un valor 0 al minitérmino 13.

5.15 Encuentre una expresión mínima en forma de suma de productos pa-ra la función f usando el mapa de Karnaugh. Indique los implicantesprimarios esenciales, si los hay:

f (a,b,c,d,e) =

m(1, 3, 5, 8, 9, 15, 16, 20, 21, 23, 27, 28, 31)

Solución

Los implicantes primarios esenciales son: a′ b′ c′ e, abde, acd ′ e′ , ab′ d ′ e′ ,

bcde, a

′

bc

′

d

′

.La suma de productos mínima puede escribirse de tres formas, que re-quieren el mismo número de términos productos y de literales.

f (a,b,c,d,e) = a′ b′ c′ e + abde + acd ′ e′ + ab′ d ′ e′ + bcde + a′ bc′ d′ + ab′ ce + a′ b′ d′ e

= a′ b′ c′ e + abde + acd ′ e′ + ab′ d ′ e′ + bcde + a′ bc′ d′ + ab′ ce + b′ cd ′ e

= a′ b′ c′ e + abde + acd ′ e′ + ab′ d ′ e′ + bcde + a′ bc′ d′ + acde + b′ cd ′ e


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5.16 Sea la función

F(A,B,C,D,E) =

m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 16, 21, 23, 25, 29)+

d(7, 17, 18, 19, 20, 28)

Utilice mapas de Karnaugh para minimizar esta función como

a) suma de productos, y

b) productos de sumas

Solución

El mapa de Karnaugh para esta función es

BC BC

DE 00 01 11 10 DE 00 01 11 10

00 1 1 1 0 00 1 X X 0

01 1 1 1 0 01 X 1 1 1

11 1 X 0 0 11 X 1 0 0

10 1 0 0 0 10 X 0 0 0

A′ A

a) La forma mínima de suma de productos es B′ C′ + CD ′ + AD′ E + B′ E

b) La forma mínima como producto de sumas es (A + B′

+ C)(B′

+D′ )(C′ + D′ + E)(B′ + C + E)


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Capítulo6

Minimización de funciones

mediante los métodos deQuine-McCluskey y Petrick

6.1 Halle una expresión en forma de suma de productos mínima para lafunción F(a,b,c,d,e) =

m(0, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 29, 30)+

d(4, 9, 21) utilizando el método de Quine-McCluskey.

Solución

Una expresión mínima en forma de suma de productos es F(a,b,c,d,e) =a′ e′ + a′ bc′ + b′ c′ e′ + bcd ′ e + bcde′ + ab′ c′ d + a′ b′ cd .

6.2 Halle todos los implicantes primos de la función F(x,y,z,t) dada porm(7, 12, 14, 15)+

d(1, 3, 5, 8, 10, 11, 13) utilizando el método de Quine-

McCluskey, y además encuentre todas las soluciones mínimas utilizandoel método de Petrick.

Solución

Los implicantes primos son x ′ t, xt ′ , zt , yt, xz e xy . En este caso, no hayimplicantes primos esenciales. El método de Petrick entrega 6 solucio-nes, de las cuales y(x + t) es mínima en términos de las compuertas bá-sicas a utilizar.

6.3 Utilice el método de Quine-McCluskey para determinar los implicantesprimos e implicantes primos esenciales para la función f (A,B,C,D) =

m(9, 12, 13, 15)+

d(1, 4, 5, 7, 8, 11, 14). Luego, utilice el método de Pe-trick para encontrar todas las soluciones mínimas.

Solución

Los implicantes primos son C ′ D, BC ′ , AC ′ , BD , AD , AB. En este caso,no hay implicantes primos esenciales. El método de Petrick entrega 7soluciones, de las cuales A(C′ + D), A(B + C′ ) y A(B + D) son mínimas entérminos de las compuertas básicas a utilizar.

36


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Capítulo 6: Los métodos de Quine-McCluskey y Petrick 37

6.4 Minimice la función F(a,b,c,d) =

m(0, 2, 6, 8, 9, 10, 12)+

d(5, 7, 14) uti-lizando el método de Quine-McCluskey, identificando los implicantesprimarios e implicantes primarios esenciales.

Solución

Los implicantes primos son b′ d ′ , cd ′ , ad′ , a′ bc, ab′ c′ y a′ bd . Los implican-tes primos esenciales son ab′ c′ , b′ d ′ y ad′ . La forma mínima es, entonces,F(a,b,c,d) = ab′ c′ + b′ d′ + ad′ + cd ′ .

6.5 Minimice la función f (A,B,C,D) =ΠM (0, 1, 4, 5, 6, 8, 10, 13, 15) · d(2, 7, 9)como suma de productos usando el método de Quine-McCluskey. Lue-go, utilice el método de Petrick para escoger una solución mínima.

Solución

Los implicantes primos son ABD′

, AB′

D, B′

CD , A′

CD y A′

B′

C. El impli-cante primo ABD′ es esencial. El método de Petrick encuentra 3 posiblessoluciones, de las cuales la solución mínima es f (A,B,C,D) = ABD ′ +B′ CD .

6.6 Dada la función F (X,Y,Z,T ) =

m(1, 7, 10, 11, 13) +

d(5, 8, 15), utili-ce el método de minimización de Quine-McCluskey para identificar losimplicantes primos esenciales y no-esenciales, y el método de Petrickpara encontrar todas las soluciones mínimas en la forma de suma deproductos.

Solución

Los implicantes primos esenciales son Y T y X ′ Z ′ T . Los implicantes pri-marios no esenciales son X Y ′ T ′ , X Y ′ Z y X ZT . Mediante el método dePetrick, se puede determinar que la solución mínima es Y T + X′ Z ′ T +XY ′ Z .

6.7 Sea la función F(x,y,z,t) =

m(0, 5, 7, 8, 9, 14, 15)+

d(1, 6, 11). Identifi-que los implicantes primos esenciales y no esenciales usando el métodode Quine-McCluskey y encuentre todas las expresiónes de suma de pro-ductos mínimas utilizando este método.

Solución

Los implicantes primos esenciales son yz y y ′ z′ . Los implicantes prima-rios no esenciales son x′ z′ t, x′ yt , xy ′ t y xzt . Existen dos formas mínimasde suma de productos: y z + y′ z′ + x′ z′ t y yz + y′ z′ + x′ yt . Ambas formasson la suma de 3 productos, y usan 7 literales.

6.8 Se desea construir un circuito que calcule un bit de paridad par parael código BCD 8421. Este circuito tiene, entonces, 4 entradas y 1 sali-da. Diseñe este circuito como una red AND-OR de dos niveles mínimautilizando el método de Quine-McCluskey. No olvide considerar los tér-minos redundantes. Indique todos los implicantes primarios esencialesy no-esenciales, e escriba la función mínima.


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Capítulo 6: Los métodos de Quine-McCluskey y Petrick 38

SoluciónLa función paridad para el código BCD8421 corresponde a los minitér-minos

m(1, 2, 4, 7, 8) +

d(10, 11, 12, 13, 14, 15). La aplicación del mé-

todo de Quine-McCluskey muestra que existen 7 implicantes primarios:A′ B′ C′ D, BCD, AD′ , B′ CD ′ , BC ′ D′ , AC , AB de los cuales los 5 primerosson implicantes primarios esenciales. Una función mínima AND-OR dedos niveles es A′ B′ C′ D + BCD + AD′ + B′ CD ′ + BC′ D′ .

6.9 Dada la función F(A,B,C,D) =

m(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12)+

d(1, 3, 5, 7), uti-lice el método de Quine-McCluskey para determinar

a) los implicantes primos,

b) los implicantes primos esenciales,

c) y la función mínima resultante.

Solución

Aplicando el método de Quine-McCluskey al problema, se obtiene que

a) los implicantes primos son A′ , B′ D′ , C′ D′ ,

b) los implicantes primos esenciales son A′ , B′ D′ , C′ D′ , y que

c) la función mínima resultante es A′ + B′ D′ + C′ D′ .


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Capítulo7

Diseño de circuitos

combinacionales

Circuitos con compuertas lógicas estándar

7.1 Toda función puede implementarse ya sea en su forma directa o en suforma inversa, con una compuerta NOT añadida a la señal de salida. Su-ponga que el costo de un circuito es proporcional sólo al número y tipode las compuertas AND y OR que lo implementan, es decir, que las com-puertas NOT son de costo cero. En ese caso, determine algebraicamentecuál forma de la función (directa o inversa) se simplifica al circuito demenor costo para la función f (x,y,z) = x′ y′ z′ + x′ y′ z + xy ′ z + xy ′ z′ + xyz,

indicando el costo.Solución

Toda función puede implementarse en forma de suma de productos óproducto de sumas. El costo de estas dos formas puede ser equivalente,o bien, una de las formas dará un circuito de costo mínimo. Además,ambas formas puede implementarse directa ó inversamente. Para todafunción, dada una forma de costo mínimo, siempre es posible construiruna forma inversa que también tenga costo mínimo cambiando todaslas compuertas AND por OR, y OR por AND, y negando la salida. Engeneral, esto se cumple sólo si las compuertas NOT son de costo cero.

Para la función f (x,y,z) = x′ y′ z′ +x′ y′ z + xy ′ z + xy ′ z′ + xyz dada, una fun-cion directa de costo mínimo es f (x,y,z) = y′ +xz, cuyocostoes un OR de

dos entradas y un AND de dos entradas. La función inversa equivalentees f (x,y,z) = y(x′ + z′ ), cuyo costo también es un OR de dos entradas yun AND de dos entradas.

39


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Capítulo 7: Diseño de circuitos combinacionales 40

7.2 Diseñe un circuito comparador de 2 bits utilizando sólo compuertasNAND. Las entradas al circuito son X = x1x0 y Y = y1y0, y las salidasson Z = z1z0, donde

Z =

0 if X = Y 1 if X > Y 2 if X < Y

Solución

La figura 7.1 muestra una posible solución construida usando sólo com-puertas NAND.

x’ y y y x x’

z0

z1

x y’ x y’ y’ x x’ y1 1 0 1 0 1 0

y’0 1 0 0

x’0 1 0 1 1

Figura 7.1: Comparador de 2 bits construido con compuertas NAND

7.3 Diseñe una compuerta XOR de dos entradas F(x, y) = x ⊕ y en base a4 compuertas NAND de dos entradas. Suponga que no dispone de lasentradas x̄ ni ȳ.

Solución

La figura 7.2 muestra una posible solución.

x

y

F(x,y)

Figura 7.2: Compuerta XOR construida con compuertas NAND de 2 entradas


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7.4 Considere la siguiente función lógica

F(A,B,C,D) =

m(0, 4, 5, 10, 11, 13, 14, 15)

a) Halle dos circuitos mínimos diferentes que implementen F. Identi-fique en cada circuito dos potenciales peligros.

b) Diseñe un circuito AND-OR para que F no presente ningún peligropotencial.

Solución

El mapa de Karnaugh de la función pedida es

AB

CD 00 01 11 10

00 1 1 0 0

01 0 1 1 0

11 0 0 1 1

10 0 0 1 1

a) Los dos circuitos mínimos se obtienen implementando las siguien-tes funciones. La primera puede ser implementada usando una com-puerta OR de 3 entradas, 2 compuertas AND de 3 entradas, y una

compuerta AND de 2 entradas. La segunda puede ser implemen-tada usando una compuerta AND de 3 entradas, 2 compuertas ORde 3 entradas, y una compuerta OR de 2 entradas. Entonces, si su-ponemos que el costo de una compuerta es proporcional al númerode entradas, ambas funciones tienen un costo similar.

F(A,B,C,D) = AC + BC′ D + A′ C′ D′

F(A,B,C,D) = (A + C′ )(A′ + C + D)(B + C + D′ )

b) La función F original puede ser implementada por el circuito AND-OR AC + BC′ D + A′ C′ D′ + A′ BC′ + ABD, el cual contiene 2 términos

redundantes y así no presenta peligros potenciales.7.5 Implemente la función Z = AE+BDE +BCEF utilizando sólo compuertas

lógicas NOR de dos entradas, minimizando el número de compuertas autilizar. Suponga que dispone de las entradas en sus versiones con y sincomplemento.


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SoluciónLa función anterior puede reescribirse como la red OR-AND Z = E(A +B(D + CF )), la que a su vez puede implementarse utilizando sólo 5 com-puertas NOR de dos entradas, como se muestra en la figura 7.3.

AC’

E’ B’

D

F’ Z

Figura 7.3: Implementación usando compuertas NOR

7.6 Dada la siguiente función lógica

F(A,B,C,D) =

m(2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15)

a) Diseñe un circuito usando sólo compuertas NAND de 2 entradas.

b) Diseñe un circuito utilizando sólo compuertas NOR de 2 entradas.

Si tuviese que escoger, qué diseño implementaría?

Solución

El mapa de Karnaugh de la función es

AB

CD 00 01 11 10

00 0 1 0 0

01 0 1 1 0

11 0 1 1 1

10 1 0 1 1

a) La función dada puede escribirse como la red AND-OR F(A,B,C,D) =B(D+A′ C′ )+C(A+B′ D′ ), que puede implementarse usando 7 NANDde 2 entradas, como se muestra en la figura 7.4.

b) La función dada puede escribirse como la red OR-AND F(A,B,C,D) =(A + (B + D′ )(BC + D))(C + B(A′ + D), que a su vez puede implemen-tarse utilizando 10 compuertas NOR de 2 entradas. Sin embargo,es más barato implementar el complemento de la función dada concompuertas NOR, y luego complementarla salida, como se muestraen la figura 7.5. Esto requiere sólo 8 compuertas NOR de 2 entra-das.


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B’

D’

A’

C’

A’

D’

C

B

F

Figura 7.4: Ejercicio 7.6a: implementación con NANDs

B’

D’

A’

C’

A’

D’

C

B F

Figura 7.5: Ejercicio 7.6b: implementación con NORs

7.7 Se desea implementar la función F(X,Y,Z,T ) =

m(0, 2, 3, 6, 12, 13, 15).Para ello, Ud. dispone de compuertas NOR y NAND de 2 y 3 entradas.Las compuertas de 2 entradas vienen en circuitos integrados contenien-do 4 compuertas por chip, a un costo de $250 por chip. En cambio, lascompuertas de 3 entradas vienen en circuitos integrados conteniendo 3

compuertas por chip, a un costo de $400 por chip.Diseñe y dibuje una implementación de costo mínimo para esta función.Suponga que tiene disponibles las entradas con y sin complemento.

Solución

La función solicitada puede implementarse usando 3 compuertas NORde 3 entradas y 3 compuertas NOR de 2 entradas como se muestra en lafigura 7.6. Esta implementación requiere 1 chip NOR de 3 entradas y unchip NOR de 2 entradas, a un costo de $650.

7.8 Dada la función F (X,Y,Z) = X ′ Y ′ Z ′ + XY Z ′ , implemente esta funcióncomo un circuito de dos niveles de tipo:

a) AND-NORb) NAND-AND

c) OR-NAND

d) NOR-OR

Sugerencia: utilice F̄ cuando sea necesario.


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F

X Z T’

X

Y’

X’

Y’

Z’

T

Figura 7.6: Ejercicio 7.7: implementación con NORs

Solución

a) AND-NOR: La función F puede ser implementada como F(X,Y,Z) =(Z N OR XY ′ NOR X ′ Y )

b) NAND-AND: La función F puede ser implementada como F(X,Y,Z) =Z ′ (X NAND Y ′ )(X′ NAND Y )

c) OR-NAND: La función F puede ser implementada como F(X,Y,Z) =(X + Y + Z) NAND (X′ + Y ′ + Z)

d) NOR-OR: La función F puede ser implementada como F(X,Y,Z) =(X NOR Y N OR Z) + (X′ NOR Y ′ NOR Z)

Circuitos con múltiples salidas

7.9 Halle un circuito mínimo de compuertas lógicas NOR-NOR con dos ni-veles para implementar las siguientes funciones. Considere si realizarun circuito con múltiples salidas es más conveniente que la realizaciónde 3 circuitos independientes.

f 1(a,b,c,d) =

m(10, 11, 12, 15)+

d(4, 8, 14)

f 2(a,b,c,d) =

m(0, 4, 8, 9) +

d(1, 10, 12)

f 3(a,b,c,d) =

m(4, 11, 13, 14, 15)+

d(5, 9, 12)

Solución

Los mapas de Karnaugh de las funciones f 1, f 2 y f 3 se muestran a conti-nuación.


48/104


ab ab ab

cd 00 01 11 10 cd 00 01 11 10 cd 00 01 11 10

00 0 X 1 X 00 1 1 X 1 00 0 1 X 0

01 0 0 0 0 01 X 0 0 1 01 0 X 1 X

11 0 0 1 1 11 0 0 0 0 11 0 0 1 1

10 0 0 X 1 10 0 0 0 X 10 0 0 1 0

f 1 f 2 f 3

Estas funciones pueden realizarse en forma independiente como las re-des OR-AND

f 1(a,b,c,d) = a(c + d′ )

f 2(a,b,c,d) = c′ (b′ + d′ )

f 3(a,b,c,d) = (b + d)(a + c′ )(a + b)

La implementación de estas funciones como una red NOR-NOR se mues-tra en la figura 7.7 y requiere de 7 compuertas NOR de 2 entradas y 1compuerta NOR de 3 entradas, y 12 literales. En este caso, no es po-sible diseñar un circuito con múltiples salidas que reduzca el número

y/o complejidad de las compuertas NOR mediante la reutilización detérminos compartidos.

c

a’

b’

d’

c b

d

a

c’

a

b

d’

1 f 2 f

3 f

Figura 7.7: Ver ejercicio 7.9

7.10 Diseñe un circuito de compuertas lógicas NOR mínimo de dos nivelespara implementar las funciones f 1(a,b,c,d) =

m(1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14)

y f 2(a,b,c,d) =

m(2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 14, 15). Utilice tantas compuertascomunes como sea posible. Compare el número de compuertas y de lite-rales con un diseño que considere las funciones de forma independiente.


49/104


SoluciónLos mapas de Karnaugh de las funciones f 1 y f 2 se muestran a continua-ción.

ab ab

cd 00 01 11 10 cd 00 01 11 10

00 0 1 1 1 00 0 1 1 1

01 1 1 0 0 01 0 0 0 0

11 0 0 0 0 11 0 0 1 1

10 1 1 1 1 10 1 1 1 1f 1 f 2

Las expresiones mínimas como producto de sumas para estas funcionesson:

f 1 = (c′ + d′ )(a′ + d′ )(a + b + c + d)

f 2 = (a + d′ )(c + d′ )(a + b + c)

Esta implementación requiere como mínimo 1 compuerta NOR de 4 en-tradas, 3 compuertas NOR de 3 entradas y 4 compuertas NOR de 2 en-tradas, y utiliza 15 literales.

Alternativamente, las funciones pueden escribirse como las redes OR-AND siguientes, donde los tres primeros términos de cada función soncompartidos. Esta implementación requiere como mínimo 3 compuertasNOR de 4 entradas, y 4 compuertas NOR de 3 entradas, y utiliza 16literales.

f 1 = (a + b + c + d)(a + c′ + d ′ )(a′ + c + d ′ )(a′ + c′ + d′ )

f 2 = (a + b + c + d)(a + c′ + d ′ )(a′ + c + d ′ )(a + c + d′ )

Ambas implementaciones se muestran en la figura 7.8.

7.11 Halle un circuito mínimo de compuertas lógicas NAND-NAND con dosniveles para implementar las siguientes funciones. Considere si realizar

un circuito con múltiples salidas es más conveniente que la realizaciónde 3 circuitos independientes.

Z1(a,b,c,d) =

m(0, 1, 7, 8, 9)

Z2(a,b,c,d) =

m(0, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15)

Z3(a,b,c,d) =

m(0, 2, 6, 7, 8, 10)


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cba

c’

d’

a’

d’

abcd

a

d’

c

d’

f 1

f 2

f

f

1

2

c’

c’

d’

d’

d’

d’

c

c

a

a

ab

d

a’

ca’

Figura 7.8: Implementaciones alternativas para el ejercicio 7.10

Solución

Los mapas de Karnaugh de las funciones Z1, Z2 y Z3 son:

ab ab ab

cd 00 01 11 10 cd 00 01 11 10 cd 00 01 11 10

00 1 0 0 1 00 1 0 0 1 00 1 0 0 1

01 1 0 0 1 01 0 0 1 1 01 0 0 0 0

11 0 1 0 0 11 0 1 1 0 11 0 1 0 0

10 0 0 0 0 10 1 1 0 1 10 1 1 0 1

Z1 Z2 Z3

Estas funciones pueden realizarse en forma independiente en forma desuma de productos como sigue:

Z1(a,b,c,d) = b′ c′ + a′ bcd

Z2(a,b,c,d) = b′ d′ + a′ bc + abd + ab′ c′

Z3(a,b,c,d) = b′ d′ + a′ bc

La implementación independiente de estas funciones como una red NAND-NAND requiere de 2 compuertas NAND de 4 entradas, 4 compuertas


51/104


NAND de 3 entradas, 5 compuertas NAND de 2 entradas, y 22 literales,y se muestra en la figura 7.9.

b’

c’

a’

c

d’

a’bc

b’

a’

abd

ab’c’

d

b

b’

bc

d’ z1

z3

z2


En caso de realizar un circuito de múltiples salidas, se puede observarque la función Z3 está contenida en la función Z2, por lo que se reduce elcircuito en 2 compuertas, a un circuito NAND-NAND con 2 compuertasNAND de 4 entradas, 3 compuertas NAND de 3 entradas, 3 compuertasNAND de 2 entradas, y 17 literales, lo que se muestra en la figura 7.10.

b’

c’

a’

c

b’

a’

abd

ab’c’

d

b bc

d’ z1

z3

z2



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7.12 Realice las siguientes 3 funciones como circuitos independientes de 2niveles AND-OR. Luego, realice un nuevo diseño, pero esta vez minimi-zando el número de compuertas a utilizar. Compare sus circuitos.

F(x,y,z,u) =

m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 12)

G(x,y,z,u) =

m(1, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14)

H (x,y,z,u) =

m(3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14)

Solución

Los mapas de Karnaugh de las funciones F , G y H se muestran a conti-nuación.

xy xy xy

zu 00 01 11 10 zu 00 01 11 10 zu 00 01 11 10

00 1 1 1 1 00 0 0 1 1 00 0 1 1 1

01 1 1 0 1 01 1 0 0 1 01 0 1 0 0

11 1 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 1 0 1

10 1 0 0 0 10 1 1 1 1 10 0 1 1 1

F G H

Estas funciones pueden realizarse en forma independiente como sigue:

F(x,y,z,u) = x′ z′ + x′ y′ + z′ u′ + y′ u

G(x,y,z,u) = zu′ + x′ yz + y′ z′ u + xu ′

H (x,y,z,u) = x′ y + xu ′ + y′ zu

Esta implementación, que se muestra en la figura 7.11, requiere 2 com-puertas OR de 4 entradas, 1 compuerta OR de 3 entradas, 8 compuertasAND de 2 entradas, 3 compuertas AND de 3 entradas, y 25 literales.

Alternativamente, las funciones F , G y H pueden implementarse utili-zando las siguientes ecuaciones:

F(x,y,z,u) = y′

zu + y′

z′

u + x′

y′

+ z′

u′

+ x′

yz′

G(x,y,z,u) = xu ′ + y′ z′ u + zu′ + x′ yz

H (x,y,z,u) = xu ′ + y′ zu + x′ yz ′ + x′ yz

Esta implementación, que se muestra en la figura 7.12, requiere 2 com-puertas OR de 4 entradas, 1 compuerta OR de 5 entradas, 4 compuertasAND de 2 entradas, 4 compuertas AND de 3 entradas, y 20 literales.


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u z’ y’

z y x’

u’

x

u’

z x’

z’

x’

y’

z’

y’

u

u’

x’

y

x

u’

y’ zu

H GF

Figura 7.11: Solución utilizando compuertas AND-OR

y’ z u y’ z’ u x’ y’ z’ u’ x u’ x’ y

F G H

z’ x’ y z u’ z

Figura 7.12: Solución utilizando compuertas AND-OR compartidas

7.13 Sean las siguientes funciones Booleanas de 4 variables:

f 1(a,b,c,d) =

m(0, 2, 6, 10, 11, 14, 15)

f 2(a,b,c,d) =

m(0, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15)

f 3(a,b,c,d) =

m(0, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

a) Encuentre expresiones mínimas de la forma suma-de-productospara cada una de estas funciones, en forma individual. Realice un

circuito combinacional usando compuertas AND y OR, e indique elnúmero y tipo de compuertas, y el número de literales de su diseño.

b) Realice ahora un circuito combinacional usando sólo compuertasNAND que implemente una solución de 2 niveles que minimice elnúmero total de compuertas. Compare el número de compuertas yde literales de este diseño con el diseño anterior.


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c) Suponga ahora que sólo tiene disponibles las entradas sin comple-mentar y que en pañol sólo tienen disponibles circuitos integradosde los siguientes tipos:

7404, que contiene 6 inversores

7400, que contiene 4 NAND de 2 entradas cada uno

7410, que contiene 3 NAND de 3 entradas cada uno

Además, cada chip cuesta $250. Encuentre, entonces, la implemen-tación más barata posible para estas funciones.

Solución

Los mapas de Karnaugh de las funciones f 1, f 2 y f 3 se muestran a conti-nuación.

ab ab ab

cd 00 01 11 10 cd 00 01 11 10 cd 00 01 11 10

00 1 0 0 0 00 1 0 1 1 00 1 1 1 0

01 0 0 0 0 01 0 0 1 1 01 0 1 1 0

11 0 0 1 1 11 1 1 1 0 11 1 1 1 1

10 1 1 1 1 10 0 1 1 0 10 0 0 1 1

f 1 f 2 f 3

a) La figura 7.13 muestra una posible solución que utiliza 26 litera-les y 7 compuertas AND de 2 entradas, 4 compuertas AN D de 3entradas, 2 compuertas OR de 4 entradas y 1 compuerta OR de 3entradas.

3

c

d’

a

c

a’

c’

b’d’

a

c’

b

c

a’cd

b’c’d’ d’

a’

c

a

d

c’

b

c f f f 1 2

Figura 7.13: Solución al ejercicio 7.13 usando compuertas AND y OR


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Las funciones implementadas son:f 1(a,b,c,d) = cd

′ + ac + a′ b′ d′

f 2(a,b,c,d) = ac′ + bc + a′ cd + b′ c′ d′

f 3(a,b,c,d) = bc′ + cd + ac + a′ c′ d ′

b) La figura 7.14 muestra una posible solución que utiliza 17 literalesy 3 compuertas NAND de 4 entradas, 2 compuertas NAND de 3entradas, y 5 compuertas NAND de 2 entradas.

c a c a’b’c’ d’ a c’ b c a’c d c’bd’

f f f 1 2 3

Figura 7.14: Solución al ejercicio 7.13 usando compuertas NAND

c) La figura 7.15 muestra una posible solución que usa sólo 6 com-puertas NAND de 3 entradas, 8 compuertas NAND de 2 entradas,y 4 compuertas NOT. Por ello, puede implementarse utilizando 5

chips a un costo total de $1250.7.14 Sean las siguientes funciones de 6 variables:

G =AC′ E + AC′ F + AD′ E + AD′ F + BCDE ′ F′

H =A′ BCD + ACE + ACF + BCE + BCF

a) Diseñe un circuito combinacional de dos niveles para estas 2 fun-ciones, sin considerar términos compartidos. Indique el número ytipo de todas las compuertas utilizadas. Suponga que Ud. no dis-pone del complemento de las variables de entrada.

b) Diseñe ahora un circuito combinacional minimizando el númerototal de compuertas usadas. Ud. sólo tiene disponibles compuertasNAND de 2 y 3 entradas. Suponga que Ud. no dispone del comple-

mento de las variables de entrada.

Solución

a) La figura 7.16 muestra una posible solución que usa 2 compuertasOR de 5 entradas, 5 compuertas NOT, 8 compuertas AND de 3 en-tradas, 1 compuerta AND de 4 entradas y 1 compuerta AND de 5entradas. El circuito tiene, entonces, 17 compuertas.


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a

c

b

f

f

f

1

2

3

d

Figura 7.15: Solución al ejercicio 7.13 usando compuertas NAND de 2 entra-das

A E A A AC’ E C’F D’ D’ F’ E’ DC B C C A F E B C B F E B C D A’C F A

H G

Figura 7.16: Solución al ejercicio 7.14 usando compuertas AND y OR


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b) Si se definen X = E + F y Y = CD , las ecuaciones anteriores puedenescribirse como

G =AXY ′ + BX ′ Y

H =A′ BY + ACX + BCX

Entonces, estas funciones pueden implementarse usando sólo 8 com-puertas NAND de 2 entradas y 6 compuertas NAND de 3 entradas,es decir, 14 compuertas NAND, como se muestra en la figura 7.17.

A

AC

BC

H

B

G X

B

D

C

A

F

E

Y

Figura 7.17: Solución al ejercicio 7.14 usando compuertas NAND de 2 y 3entradas

7.15 Sean las siguientes funciones:

f 1(a,b,c,d) =ΠM (0, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 13, 14)

f 2(a,b,c,d) =

m(1, 3, 6, 11, 12, 14, 15)

f 3(a,b,c,d) =

m(3, 4, 7, 9, 11, 12)

a) Obtenga una implementación mínima de estas funciones utilizan-do compuertas NAND que considere posibles términos comunespara así minimizar el número total de compuertas.

b) Ahora suponga que Ud. sólo dispone de circuitos integrados TTL74LS10, donde cada uno de estos circuitos cuesta $250 y contiene 3compuertas NAND de 3 entradas cada una. Realice ahora un diseñoque minimice el costo total de la implementación.


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Solucióna) Una posible solución es una red NAND-NAND que implemente las

funciones

f 1(a,b,c,d) = a′ b′ d + ab′ d + acd + a′ cd + a′ bcd ′

f 2(a,b,c,d) = a′ b′ d + acd + abd ′ + a′ bcd ′

f 3(a,b,c,d) = ab′ d + a′ cd + bc′ d ′

que requiere 7 NAND de 3 entradas, 2 NAND de 4 entradas, y 1NAND de 5 entradas.

b) Una posible solución es una red NAND-NAND de tres niveles queimplemente las funciones

f 1(a,b,c,d) = cd + b′ d + a′ bc

f 2(a,b,c,d) = a′ b′ d + acd + bd ′ (a + c)

f 3(a,b,c,d) = ab′ d + a′ cd + bc′ d ′

que requiere 13 NAND de 3 entradas, lo que a su vez requiere 5integrados 74LS10, a un costo total de $1250.


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Capítulo8

Bloques estandarizados

Multiplexores y demultiplexores

8.1 Implemente un multiplexor de 8 entradas utilizando un decodificadorde 3 entradas y compuertas NAND.

Solución


DECOD 3−a−8

Z

I

I

I

I

I

I

I

I

7

6

5

4

3

2

1

0

C B A

1 20

7 6 543210

E 1

Figura 8.1: Multiplexor 8-a-1 construido con un decodificador de 3 entradasy compuertas NAND.

56


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Capítulo 8: Bloques estandarizados 57

8.2 Implemente la función f (a,b,c,d) =

m(1, 3, 4, 9, 14, 15) usando sólo unmultiplexor de 4 entradas y compuertas NOR.

Solución


01

23 B

Z

A

ba

d

c

c

d cd’

f(a, b, c, d)

Figura 8.2: Solución al ejercicio 8.2 usando compuertas NOR

8.3 Implemente la función f (a,b,c,d) =

m(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 14) utilizan-do sólo un multiplexor de 4 entradas y compuertas NAND. Utilice lasseñales a y b para controlar el multiplexor.

Solución


d d’

cd’

f(a, b, c, d)c’

d’

0

1

2

3 ba

z

a b

Figura 8.3: Solución al ejercicio 8.3 usando compuertas NAND

8.4 Demuestre cómo conectar dos multiplexores 2-a-1 para formar un mul-tiplexor 3-a-1, sin utilizar ninguna otra compuerta adicional. La selec-ción de entradas es como sigue:

Si AB = 00, se selecciona la entrada I 0

Si AB = 01, se selecciona la entrada I 1

Si AB = 1−, se selecciona la entrada I 2

Solución



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Capítulo 8: Bloques estandarizados 58

I

I

I

B

A

0

1

2

Z

s

0

1

0

1

z

zs

Figura 8.4: Diseño de multiplexor 3-a-1 usando multiplexores 2-a-1

8.5 Demuestre cómo conectar dos multipl

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