Sistemas Digitales, Clase N°7 1 Postulados del álgebra de boole Definición: Algebra Booleana es...
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Sistemas Digitales, Clase N°7
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Postulados del álgebra de booleDefinición:
Algebra Booleana es un sistema algebraico cerrado formado por dos elementos 0 y 1 (Conjunto K), y dos operadores AND (x) y OR (+); para cada par de elementos a y b K; a x b y a + b K.
Axiomas del algebra de Boole:Axioma 1:
Existen elementos idénticos llamados “0” y “1”, tal que, para a K :
• a + 0 = a (elemento neutro)• a x 1 = a (elemento identidad)
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Axioma 2: Ley de Conmutatividad
Para a y b K :
a + b = b + a
a x b = b x a
Axioma3: Ley de Asociatividad, Para a, b y c K :
a + ( b+c ) = ( a + b ) + c a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
Axiomas del álgebra de boole
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Axioma 4: Ley de DistributividadPara a, b y c K :
a + ( b x c ) = ( a + b) x (a + c)a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c)
Axioma 5: elemento inversoPara cada elemento a K existe su elemento
inverso tal que :
Postulados del álgebra de boole
0
1
aa
aa
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Establece que si una expresión es valida en el álgebra de Boole, entonces su expresión dual también lo es.
Determinamos la expresión dual remplazando los operadores “+” por “x” y viceversa y todos los elemento 0 por 1 y viceversa.
Ejemplo:
a + ( b x c ) = 1, expresión su dual es: a x ( b + c ) = 0
Principio de Dualidad
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Teoremas
• Teorema 1: Operaciones con “0” y “1”
• Teorema 2: Operaciones superfluas con “0” y “1”:
• Teorema 3:operaciones superfluas con una variable
aaa
aaa
001111
101000
0011 AA
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Teoremas• Teorema 4: Involución (el complemento del complemento de
A es igual a A).
• Teorema 5: teorema de Absorción:
• Teorema 6: t. de simplificación:
AA
abaa
abaa
)(
babaa
babaa
)(
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Teoremas • Teorema 7:
• Teorema 8:
ababa
ababa
)()(
)()()()( cabacbaba
cabacbaba
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Teoremas • Teorema 9: Teorema de Morgan
• En general:
baba
baba
zcbazcba
zcbazba
......
......
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Teoremas • Teorema 10: Consenso
)()()()()( cabacbcaba
cabacbcaba
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Funciones de Conmutación
Sean x1, x2, … , xn símbolos llamados variables, cada uno representa un 0 o un 1, definiremos:
• Función de conmutación: es una correspondencia que asocia un elemento del álgebra con cada una de las combinaciones de las n variables x1, x2, … , xn.
Ejemplos:
En general una función de conmutación queda definida por una tabla de verdad.
0000)1,1,0(
),,( 313211321
F
xxxxxxxxxF
n2
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Representación de una función de Conmutación
• Tabla de Verdad:
Evaluamos todos los posibles valores de entrada de la función y los colocamos en una tabla en forma ordenada de acuerdo al sistema binario ascendente.
Ejemplo: f(x,y) = a + b f(x,y) = a x b
a b a+b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
a b axb
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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Tabla de Verdad
• Describa una función de conmutación con 3 entradas a,b y c y una salida z, que es verdadera (1) cuando al menos 2 de sus entradas son verdaderas (1).
a b c f
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
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cbcbacbacbaf ),,(
1
1
1
0
1
0
0
0
100111
001110
010101
000100
100011
000010
000001
000000
fcbcbacbaabc
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Representación de una función de Conmutación
Formas Algebraicas• Suma de Productos: se construye al sumar (or)
términos productos (and).
Ejemplo:
• Producto de Sumas) se construye con el producto (and) de términos suma (or).Ejemplo:
dcadbcbadcbaf ),,,(
)()(),,,( dacbadcbaf
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Representación de una función de Conmutación
• Formas Canónicas:
Son formas Sumas de Productos y Productos de Sumas con características especiales. Existe una única forma canónica para cada función de conmutación.
Mintérmino: término de una función de conmutación que corresponde al “AND” de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.
Ejemplo:
Maxtérmino: término de una función de conmutación que corresponde al OR de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.
Ejemplo:
),,( cbaf cbacbacbam ;
),,( cbaf )(),( cbacbaM
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Formas Canónicas Suma de Productos
cbacbacbacbaf ),,(
a b c f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
cba
cba
cba
Relación con la tabla de verdad:
Cada mintérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que:
• Las variables no están complementadas si tienen el valor 1 para la combinación en la cual la función vale 1.
• Las variables están complementadas si tienen el valor 0 para la combinación en la cual la función vale 1.
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1100111
0000011
0000101
0000001
0000110
1010010
0000100
1001000
fcbacbacbacba
cbacbacbacbaf ),,(
Formas Canónicas Suma de Productos
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Formas Canónicas Producto de Sumas
)()()(),,( cbacbacbacbaf a b c f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Relación con la tabla de verdad:
Cada maxtérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que:
• Las variables no están complementadas si tienen el valor 0 para una combinación en que la función vale 0
• Las variables están complementadas si tienen el valor 1 para una combinación en que la función vale 0
cba
cba
cba
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Formas Canónicas Producto de Sumas
)()()(),,( cbacbacbacbaf
1111111
0110011
1111101
1111001
0101110
1111010
1111100
0011000
fcbacbacbacba
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Representación de una función de Conmutación
• Especificación decimal:– Suma de Productos:
– Producto de Sumas:
)7,5,3,1(),,(
),,(
)()()()(),,(
7531
Mcbaf
MMMMcbaf
cbacbacbacbacbaf
)7,6,3,1(),,(
),,(
),,(
7631
mcbaf
mmmmcbaf
cbacbacbacbacbaf
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Relación Mintérminos - Maxtérminos
)5,4,1,0()7,6,3,2(),,( Mmcbaf
mM
Mm
ii
ii
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Deducción de Formas Canónicas
• Teorema de expansión de Shannon:
• Ejemplo:
Si falta se multiplica por la suma es igual a 1
3213221321 ),,( xxxxxxxxxxf
),...,,1(),...,,0(),...,,(
),...,,0(),...,,1(),...,,(
212121
212121
nnn
nnn
xxfxxxfxxxxf
xxfxxxfxxxxf
ix )( ii xx )( ii xx
)7,2,6,4,5(),,(
),,(
)()(),,(
321
321321321321321321
32111323321321
xxxf
xxxxxxxxxxxxxxxxxxF
xxxxxxxxxxxxxxF
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Convertir a Suma de Productos Canónica
)7,6,4,3,1(
)()(
)0,,()1,,(
)()(
),0,(),1,(
)(
),,0(),,1(
),,(
m
cbacbacbacbacba
babacbababac
bacbafc
cbacbacbaba
cacabcaab
cabcafb
cacba
cbfacbfa
cacabacbaf a b c f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
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Convertir a Suma de Productos Canónica
)7,6,4,3,1(),,(
),,(
13
46
67
mcbaf
mmcbacbaca
mmcbacbaca
mmcbacbaba
cacabacbaf
ababa
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Convertir a Producto de Sumas Canónica
)3,2,1,0(
)()())(()()(
)()()()(
))()(())()((
)()(
)(),,(
M
cbacbacbacbacbacba
cbacbaccbaccba
cbabaccbaba
cbbaccbba
caacbaf