REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL OESTE SUCRE

“CLODOSBALDO RUSSIÁN”

CUMANÁ ESTADO SUCRE

LÓGICOS BÁSICOS Y ÁLGEBRA DE BOOLE

FACILITADOR:

ANA VASQUEZ

PARTICIPANTES:

Rodríguez José C.I: 22.112.828

De la Rosa Carlos C.I: 24.873.849

García Emil C.I: 24.103.036

Estacio Jorge C.I: 24.878.578

PNF en Electricidad

Trayecto II, Trimestre I

Sección: 1

Cumaná, Febrero 2015

INTRODUCCIÓN

El Álgebra de Boole es una parte de la matemática, la lógica y la electrónica que

estudia las variables, operaciones y expresiones lógicas. Debe su nombre a George Boole,

matemático británico quien la definió a mediados del siglo XIX. En el siglo XX el trabajo de

Boole es tomado por Claude Shannon para la descripción de circuitos eléctricos, más

específicamente circuitos con relés. Esta álgebra trabaja con los dos valores provenientes de

la lógica, verdadero y falso, estos son sustituidos usualmente por los símbolos existentes en

un sistema binario, 1 y 0 respectivamente.

Muchos componentes utilizados en sistemas de control, como contactores y relés,

presentan dos estados claramente diferenciados (abierto o cerrado, conduce o no conduce).

A este tipo de componentes se les denomina componentes todo o nada o también

componentes lógicos. Para estudiar de forma sistemática el comportamiento de estos

elementos, se representan los dos estados por los símbolos 1 y 0 (0 abierto, 1 cerrado). De

esta forma podemos utilizar una serie de leyes y propiedades comunes con independencia del

componente en sí; da igual que sea una puerta lógica, un relé, un transistor, entre otros.

Atendiendo a este criterio, todos los elementos del tipo todo o nada son representables por

una variable lógica, entendiendo como tal aquella que sólo puede tomar los valores 0 y 1. El

conjunto de leyes y reglas de operación de variables lógicas se denomina álgebra de Boole,

ya que fue George Boole quien desarrolló las bases de la lógica matemática.

CONCEPTO LÓGICOS BÁSICOS.

Lógica positiva.

Para que el circuito de relés en serie sea una compuerta AND, y el circuito de relés

en paralelo sea una compuerta OR, tenemos que usar lógica positiva. Esto es, que el valor

del voltaje alto signifique 1, y que el valor del voltaje bajo signifique 0. O lo que es lo mismo,

escribir unos (1) cuando el voltaje es alto, y ceros (0) cuando es bajo en la tabla de funciones,

si hacemos esto, habremos obtenido las tablas verdaderas para los dos tipos de compuerta.

De este modo la tabla verdadera de un circuito con relés en serie usando lógica

positiva dice que: la salida será 1 solo cuando todas las entradas sean 1. Que es lo mismo que

vimos anteriormente cuando estudiábamos la tabla verdadera para una compuerta AND.

Por tal motivo el circuito formado por relés en serie solo será una compuerta AND si

usamos lógica positiva, por tal motivo es mejor llamarla compuerta positiva AND.

Lógica negativa.

Las tablas verdaderas para esas mismas compuertas, usando lógica negativa son

completamente diferente. Recuerde que en este caso el valor de voltaje alto corresponde al 0

y el bajo al 1.

Cuando se usa esta lógica el comportamiento de las compuertas hechas con relés en

serie realizan la función OR, contrariamente a lo que sucede con lógica positiva. Lo mismo

sucede con el circuito paralelo, realizan la función AND, en lugar de la OR como era en el

caso de lógica positiva.

Todo esto muestra una regla muy importante:

"Una compuerta AND positiva actúa como compuerta OR negativa y una compuerta

OR positiva actúa como una compuerta AND negativa". Aunque parezca poco importante,

esta diferencia resulta muy útil cuando se diseñan sistemas digitales.

Para completar diremos que un inversor será siempre un inversor, aunque se use

lógica positiva o negativa.

Familias Lógicas

Una familia lógica es un conjunto de circuitos integrados que implementan distintas

operaciones lógicas compartiendo la tecnología de fabricación y en consecuencia, presentan

características similares en sus entradas, salidas y circuitos internos. La similitud de estas

características facilita la implementación de funciones lógicas complejas al permitir la directa

interconexión entre los chips pertenecientes a una misma familia.

Teniendo en cuenta el tipo de transistores utilizados como elemento de conmutación,

las familias lógicas pueden dividirse en dos grandes grupos: las que utilizan transistores

bipolares y las que emplean transistores MOS.

La primera familia lógica en aparecer en el mercado, a principios de la década del 60,

fue implementada con lógica de transistores bipolares acoplados por emisor (ECL, Emitter

Coupled Logic). A fin de desarrollar circuitos de alta velocidad los transistores conducen en

zona activa y de esta manera se minimiza el tiempo de conmutación entre conducción y corte.

Casi inmediatamente aparecieron otras familias lógicas basadas en transistores bipolares

conmutando entre corte y saturación a fin de reproducir dentro de un chip los circuitos que

hasta ese momento se realizaban utilizando componentes discretos. La primera de estas

familias fue implementada con resistencias y transistores bipolares y se la identifica como

lógica RTL (Resistor Transistor Logic). La integración de resistencias demanda gran

cantidad de área de silicio, reduciendo la cantidad de compuertas que se podían incluir dentro

de un mismo chip. Para mejorar el aprovechamiento del área algunas resistencias de los

circuitos comenzaron a ser reemplazadas por diodos, principalmente en las etapas de entrada,

dando lugar a la aparición de la lógica de diodos y transistores identificada como DTL (Diode

Transistor Logic). Finalmente, los transistores multiemisor reemplazaron los diodos y se

llegó a una topología circuital que dio lugar a una familia lógica basada fundamentalmente

en transistores bipolares y una mínima cantidad de resistencias. Esta familia, denominada

lógica TTL (Transistor Logic), se popularizó rápidamente y mantiene, aún en la actualidad,

su vigencia.

Con el correr del tiempo la familia TTL se convirtió en un conjunto de familias lógicas

que si bien entre sí difieren en velocidad, consumo de energía y costo, mantienen

características de entrada y salida compatibles de manera que en un sistema digital pueden

mezclarse componentes de distintas familias TTL.

Los principales inconvenientes de los circuitos con transistores bipolares son el alto

consumo y, como consecuencia, la baja escala de integración admisible (cantidad de

dispositivos posibles de integrar en un mismo chip) que se relaciona directamente con una

baja complejidad del circuito.

Como alternativa para soslayar estos inconvenientes y facilitar el aumento del nivel

de integración surgieron las familias basadas en transistores de efecto de campo de compuerta

aislada (MOS, metal oxide semiconductor) de enriquecimiento. En esta tecnología, los

circuitos lógicos pueden ser implementados íntegramente con transistores MOS evitando la

presencia de resistencias, en consecuencia, para implementar una función lógica dada se

ocupa menor área de silicio con un proceso de fabricación más simple. Además del hecho

que, dado que los transistores MOS son controlados por tensión y no permiten la circulación

de corriente en sus entradas, requieren menos potencia para su funcionamiento facilitando el

aumento de la escala de integración.

Teniendo en cuenta que los transistores MOS tienen un único tipo de portadores, y en

el caso de los transistores con canal tipo N (NMOS) los portadores son electrones que tienen

una movilidad considerablemente mayor que la de los huecos responsables de la conducción

en los de canal P (PMOS), las primeras familias lógicas de transistores MOS se basaban en

transistores de canal tipo N, siendo conocida como familia NMOS.

A fines de los setenta surgieron procesos tecnológicos que permitían integrar

transistores canal N y canal P simultáneamente en una misma pastilla. De esta manera surge

la tecnología de transistores MOS complementarios (CMOS, complementary MOS). El

conjunto de familias CMOS posee ventajas indudables sobre la TTL, y aún sobre la misma

NMOS; sobre todo en cuanto al mínimo consumo de potencia haciendo que rápidamente se

estableciera como el estándar dando lugar a un aumento vertiginoso de la escala de

integración hasta llegar a poner cientos de millones de transistores en un mismo chip.

Las familias TTL no han experimentado cambios importantes en los últimos años,

mientras que la permanente evolución de la tecnología CMOS puso a disposición familias

CMOS capaces de reemplazar en forma directa los integrados TTL incluso con mejor

rendimiento. Las familias TTL siguen estando presentes en el mercado si bien a partir de

mediados de los ochenta los circuitos CMOS fueron ganando rápidamente el primer lugar en

preferencias.

El importante y permanente desarrollo de la tecnología CMOS llevó a la aparición de

circuitos con cada vez mayor velocidad de respuesta y nivel de complejidad, imponiéndose

como la preferida en el diseño de microprocesadores y microcontroladores. En los ochenta,

la sistematización del diseño de circuitos integrados CMOS abrió la posibilidad de

implementar circuitos integrados a medida del usuario surgiendo importantes líneas de

trabajo alrededor del desarrollo de circuitos integrados de aplicación específica (ASIC,

Application Specific Integrated Circuits), con esta tecnología surgen y se desarrollan los

dispositivos de lógica programable en campo, y procesos que permiten integrar un sistema

complejo completo dentro de un único chip. Hoy la tecnología CMOS ha reemplazado casi

totalmente a las tecnologías basadas en transistores bipolares no sólo en circuitos digitales

sino también en circuitos analógicos.

Familia RTL

RTL son las iniciales de las palabras inglesas Resistor, Transistor, Logic. Es decir es

una familia cuyas puertas se construyen con resistencias y transistores. Fue la primera familia

lógica en aparecer antes de la tecnología de integración. Pertenece a la categoría de familias

lógicas bipolares. El esquema básico de una puerta NOR en la siguiente figura:

Características de esta familia.

- Puerta básica NOR.

- Frecuencia de utilización típica 8MHz.

- Inmunidad al ruido BAJA.

- Potencia típica disipada 12 mW.

- Número de funciones realizables ALTO.

- Intervalo de temperatura de funcionamiento.

- 55ºC a 125ºC ó 0ºC a 75ºC.

- Tensión de alimentación 3v.

- Cargabilidad de salida (fan-out) BAJA.

Es posible mejorar el tiempo de propagación añadiendo un condensador en paralelo

con cada una de las resistencias Rc, con lo que obtendríamos una nueva familia lógica, que

se denominaría RCTL. Sin embargo, el elevado número de resistencias y condensadores

dificulta la integración por lo que tanto esta técnica, como la RTL, no se utiliza en los

modernos diseños aunque pueda aún encontrarse en equipos muy antiguos.

La aparición de los circuitos DTL, con su mayor velocidad e inmunidad al ruido

significó el fin de los circuitos RTL.

Familia DTL

Las siglas DTL vienen de las iniciales de las palabras inglesas Diode Transistor Logic.

Es decir estamos tratando con una familia compuesta básicamente por diodos y transistores

(sin olvidar a las resistencias). Los diodos se encargan de realizar la parte lógica y el transistor

actúa como amplificador inversor. Esta separación de funciones nos permite empezar a

estudiar esta familia viendo cómo se construye la lógica con los diodos.

En las DTL se observa que la impedancia de salida a nivel alto es tres veces mayor

que en RTL. Si consideramos que una puerta DTL va a excitar a una serie de puertas de su

misma familia conectadas a su salida, y que cada una de ellas tiene una capacidad parásita a

masa, veremos que las capacidades de las puertas de carga aparecen en paralelo y de la que

nos resultará una constante de tiempo de valor igual al producto del número de puertas por

la capacidad parásita y por la resistencia de salida de la puerta que soporta la carga. De donde

resultará, como principal consecuencia o característica, que nos disminuirá

considerablemente la velocidad de conmutación en las transiciones de un nivel a otro.

Características de esta familia.

- Puerta básica. NAND.

- Frecuencia de utilización típica Entre 12MHz y 30MHz.

- Inmunidad al ruido BUENA.

- Potencia típica disipada 8mW a 12mW.

- Número de funciones realizables ALTO.

- Intervalo de temperatura de funcionamiento.

- 55ºC a 125ºC ó 0ºC a 75ºC.

- Tensión de alimentación 5v.

- Cargabilidad de salida (fan-out) Limitada a 8 por el fabricante.

- La velocidad de conmutación, en el caso que estamos considerando viene fijada por:

la velocidad de los dispositivos que la componen y Las constantes de tiempo de los circuitos.

Otro aspecto que hay que considerar es la inmunidad al ruido, debido básicamente a

las interferencias producidas por el ambiente exterior al circuito y a la alta impedancia que

suelen ofrecer estas puertas. Para evitar esto último se crearon las puertas HTL, de

funcionamiento análogo a las DTL, introduciendo un diodo zener en lugar del diodo

convencional utilizado para las puertas DTL.

Familia TTL

Esta familia es una de las más empleadas en la construcción de dispositivos MSI. Está

basada en el transistor multi-emisor. Este transistor es un transistor con varios emisores, una

sola base y un solo colector. En la siguiente figura se muestra el símbolo de este transistor,

su representación en transistores con un solo emisor y su forma de operación:

Debido a que la intensidad de base de un transistor bipolar es muy pequeña, en

primera aproximación podemos decir que es nula por lo que la base del transistor T1 siempre

está conectado a polarización. Cuando cualquiera de las entradas se encuentra en un nivel

bajo, el transistor T1 se encontrará en la región de saturación, ya que la unión BE está

conduciendo y la unión BC siempre está directamente polarizada, lo cual provocará que la

base del transistor T2 tenga una tensión de 0.4 v (0.2v de la caída entre colector y emisor y

0.2v del nivel bajo, como ya veremos). Esta situación provoca que dicho transistor esté

cortado. Al estar T2 cortado, la tensión de base de T3 será 0, lo cual implica que T3 también

esté cortado. En cambio, el transistor T4 estará en zona activa directa o en saturación

(dependiendo de los valores de las resistencias R2 y R4), que provocará que el diodo

conduzca colocando en la salida un nivel alto.

Cuando todas las entradas se encuentren a nivel alto, el transistor T1 estará en la zona

activa inversa, ya que la unión BE está cortada y la unión BC está conduciendo. Esta situación

provoca que la tensión de base del transistor T2 sea aproximadamente de 1.4 v., llevando a

dicho transistor a saturación. Por lo tanto, el transistor T3 estará igualmente saturado y en la

salida se colocará un nivel bajo. En cambio, el transistor T4 se encontrará en zona activa

directa, pero el diodo no conducirá, desconectando la salida de la tensión de polarización.

• VOL = VCE(SAT)3 = 0.2v.

• VOH = VDD - VBE(SAT)4 - VD(ON) = 3.8 v.

• VIH es la tensión para que el transistor T1 salga de zona activa inversa.

• VIL es la tensión para que el transistor T1 salga de saturación.

Familia ECL

La familia ECL se basa en un amplificador diferencial. Para que el retraso de esta

familia sea mínimo, se impone la restricción de que los transistores del amplificador trabajen

en los límites de Z.A.D. - corte y Z.A.D. - saturación. Este hecho implica que la diferencia

de tensión que tenga que soportar sea mínima. Esta situación tiene tres implicaciones básicas:

Niveles de tensión altos y bajos cercanos (que le proporciona una alta velocidad).

Incompatibilidad con otras familias lógicas.

Disposición de salidas diferenciales, es decir, tanto de la salida complementada como

sin complementar.

El esquema de una puerta lógica ECL, junto a su tabla de comportamiento (en la que

se ha incluido la zona de operación de sus transistores y los límites de los transistores de

amplificación), se muestran en la siguiente figura:

El funcionamiento de la puerta es el siguiente. Los niveles lógicos estarán alrededor

de la tensión VREF, luego la intensidad que pasará por la resistencia REE será

aproximadamente constante e igual a: IEE = (VREF - Vγ)/REE.

Cuando en la entrada existe un nivel bajo (una tensión menor que VREF), el transistor

T1 estará en el límite de corte mientras que el T2 estará en el límite de saturación. Por lo

tanto, toda la intensidad pasará a través de T2. Así los valores de tensión en los colectores de

T1 y T2 serán Vcc y Vcc-IEE·RC, respectivamente. Podemos apreciar que estos valores

dependen en gran medida de la intensidad, y por lo tanto el fan-out tiene una gran influencia.

Para reducir esta influencia y aumentar este fan-out, necesitaremos unas etapas de salida,

formadas por las parejas de los transistores T3 y T4 con sus respectivas resistencias. Los

transistores T3 y T4 siempre estarán en zona activa directa suministrando la intensidad

necesaria y desacoplando la función lógica del resto del circuito. Por lo tanto, la señal F'

tendrá un nivel alto (Vcc VBE (ON)), y la señal F tendrá un nivel bajo (Vcc - VBE (ON) -

IEE·RC).

Cuando en la entrada existe un nivel alto, la operación es similar cambiando el

transistor T1 por el T2.

Así, los niveles de tensión y márgenes de ruido de esta familia, de forma aproximada,

se muestran en la siguiente tabla. Los valores de VREF, RC y REE se establecen para que

dichos valores se encuentren cerca de la mitad de los raíles de polarización.

Para mantener las anteriores condiciones de operación, en una sola puerta ECL

únicamente se pueden implementar las siguientes operaciones:

Inversión/seguimiento.

Operación nor/or.

Tal como podemos ver en la siguiente figura:

Familia CMOS.

Esta familia basa su operación en la utilización de los transistores NMOS y PMOS

funcionando como interruptores, de tal forma que los transistores NMOS suministran el nivel

bajo (ya que no se degrada con la tensión umbral) y los transistores PMOS suministran el

nivel alto (ya que no se degrada con la tensión umbral).

Una puerta construida con la familia CMOS solamente estará formada por

transistores, como se muestra en siguiente figura:

El funcionamiento de la puerta es el siguiente. Cuando en la entrada hay un nivel bajo,

el transistor T1 estará cortado mientras que el T2 estará conduciendo. Por lo tanto, el

transistor T2 colocará en la salida un nivel alto (que será directamente el nivel de

polarización), y el transistor T1 evitará el paso de corriente por lo que no consume potencia

en estática, sólo en el transitorio.

Cuando en la entrada hay un nivel alto, el transistor T2 estará cortado mientras que el

T1 estará conduciendo. Por lo tanto, el transistor T1 colocara en la salida un nivel bajo (que

será directamente el nivel de tierra), y el transistor T2 evitará el paso de corriente por lo que

no consume potencia en estática, sólo en el transitorio.

En el caso de la familia CMOS, al igual que en la NMOS, se puede construir cualquier

fórmula compleja. En el caso de los transistores NMOS, se construyen igual que en la familia

NMOS, pero en los transistores PMOS es la función inversa. Es decir,

La conexión en paralelo forma una operación AND, mientras que la conexión en serie

forma una operación OR.

Se tiene que verificar que ambas ramas (de transistores NMOS y PMOS) generan la

misma función lógica. Este hecho implicará que el nodo de salida siempre estará conectado

a un solo nivel lógico, es decir, al nodo de polarización (nivel alto) o al nodo de tierra (nivel

bajo). En el caso de que no se cumpla dicha restricción, podemos encontrarnos en dos

situaciones diferentes:

Que el nodo de salida esté conectado a la tensión de polarización y al nodo de tierra

de forma simultánea. Esta situación no se debe permitir nunca, ya que el valor lógico

de salida sería indeterminado.

Que el nodo de salida no esté conectado a ningún nodo, ni a tensión de polarización

ni a tierra. Esta situación es problemática porque dejaríamos la salida en alta

impedancia y cualquier dispositivo parásito podría alterar el valor lógico.

Por lo tanto, algunos ejemplos de funciones complejas construidas en la familia

CMOS se muestran en la siguiente figura:

ÁLGEBRA DE BOOLE.

En algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos

valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados

por dos operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.), (la operación producto

se indica generalmente mediante la ausencia de símbolos entre dos variables lógicos).

Operaciones en álgebra de Boole.

El álgebra de Boole se basa en un conjunto en el que se han definidos tres operaciones

internas: una unaria y dos binarias. Estrictamente hablando solo son necesarias dos, la unaria

y una de las binarias, así, por ejemplo, en la lógica binaria con la negación y el producto

podemos definir la suma:

Con la ley de Morgan:

Esta expresión resulta más compleja, pero

partiendo de la negación y el producto binarios define la

suma binaria.

En la imagen de la derecha podemos ver un

circuito en paralelo de dos pulsadores a y b, que

corresponde a la suma binaria de a y b, y su equivalente

en un circuito en serie de a y b, los dos dan como

resultado la misma tabla de verdad, y por tanto son

equivalentes, lo artificioso el circuito serie para obtener

el mismo resultado que en un circuito paralelo deja ver

lo conveniente de considerar esa función, la posibilidad de obtener la suma de dos variables

binarias mediante la negación y el producto señalan que, de forma primaria, el álgebra de

Boole se basa solo en dos operaciones, y que cualquier expresión en la que intervenga la

suma puede transformarse en otra equivalente en la que solo intervienen la negación y el

producto.

En el caso de la teoría de conjuntos con el complemento y la intersección podemos

definir la unión:

De una forma similar al álgebra binaria, o cualquier otra álgebra de Boole, La

definición del álgebra con solo dos operaciones complica las expresiones, pero permite

determinar ciertas relaciones muy útiles, así como otras operaciones distintas.

En el álgebra de Boole definido en un conjunto las operaciones son internas, dado

que parte de elemento de , para obtener un resultado en .

Sin pérdida de la generalidad, y dado las distintas formas que puede adoptar el álgebra

de Boole consideraremos la lógica proposicional con las proposiciones: a, c, b, entre otros;

que pueden tomar los valores verdadero: V o falso: F. Y las conectivas lógicas sobre esas

proposiciones que dan como resultado otras proposiciones lógicas, cada proposición: a, b, c,

entre otros; define un conjunto A, B, C, entre otros; Que podemos representar de forma

gráfica en un diagrama de Venn.

Operaciones nularias.

Una Operación nularia es la que devuelve un valor sin necesidad de argumentos,

podemos ver Tautología y Contradicción

La tautología presenta el valor verdadero sin

necesidad de argumentos o independientemente de

las variables sobre la que se calcule. En teoría de

conjuntos corresponde al conjunto universal.

En lógica proposicional corresponde al valor:

verdadero:

En un circuito de conmutación corresponde a una conexión fija o puente cerrado.

La contradicción, por el contrario, presenta

siempre el valor falso, sin necesitar argumentos o

independientemente de los argumentos presentados.

En teoría de conjuntos corresponde al conjunto

vacío.

En lógica proposicional corresponde al valor:

falso:

En un circuito de conmutación, corresponde a la no conexión o puente abierto.

Operaciones unarias.

Una Operación unaria es la que solo necesita un argumento para presentar un

resultado, podemos ver dos operaciones unarias: identidad y negación.

La operación identidad de una proposición

presenta el valor de la variación.

Esta operación se puede hacer con el

dispositivo electrónico Buffer amplificador.

En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente abierto:

Interruptor NA.

La operación negación lógica de una

variable presenta el valor contrario del

argumento, o los casos contrarios de los

recogidos en el argumento.

Esta operación se hace con la Puerta NOT.

En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente cerrado:

Interruptor NC.

Operaciones binarias.

La operación binaria es la que necesita dos argumentos, de hecho es la forma más

generalizada de operación, normalmente cuando nos referimos a operaciones, nos referimos

a operaciones binarias, en el álgebra de Boole podemos ver las siguientes operaciones

binarias:

La conjunción lógica presenta

resultado verdadero solo cuando sus

dos argumentos son verdaderos.

Normalmente representado:

La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a la intersección de conjuntos

en teoría de conjuntos, o a la puerta lógica AND:

En circuitos de conmutación sería un circuito en serie de interruptores.

La Negación alternativa

presenta resultado verdadero en todos

los casos excepto cuando sus dos

argumentos son verdaderos. Esta

operación es la negación de la

conjunción.

La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NAND.

La disyunción lógica acepta dos

argumentos presentando como resultado

verdadero si uno u otro de los argumentos

es verdadero.

La disyunción puede expresarse:

La operación disyunción lógica de proposiciones, es equivalente a la unión de

conjuntos en teoría de conjuntos, a la puerta lógica OR:

Y al circuito en paralelo en circuitos de conmutación.

La Negación conjunta presenta

resultado verdadero solo cuando sus dos

argumentos son falsos. Esta operación es la

negación de la disyunción.

La negación conjunta de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NOR.

La condicional material presenta

resultado falso si el primer argumento es

verdadero y el segundo falso, en el resto

de los casos presenta resultado verdadero,

esta operación no es conmutativa y puede

expresarse:

A esta operación también se llama implicación: a implica b:

si a es verdadero b es verdadero.

si a es falso y b es verdadero, la implicación es falsa.

si a es falsa, la implicación es verdadera independientemente el valor de b.

A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:

La negación condicional material

presenta resultado verdadero si el primer

argumento es verdadero y el segundo falso,

en el resto de los casos presenta resultado

falso, esta operación no es conmutativa y es

la negación de la condicional material,

también suele llamarse diferencia de a y b,

puede expresarse:

A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:

La Condicional material inversa es la

operación que presenta resultado falso si el

primer argumento es falso y el segundo

verdadero, en el resto de los casos presenta

resultado verdadero, esta operación no es

conmutativa y es el resultado de permutar a y b

en la condicional material, puede expresarse:

A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:

La Negación condicional material

inverso presenta resultado verdadero si el primer

argumento es falso y el segundo verdadero, en el

resto de los casos presenta resultado falso, esta

operación no es conmutativa y es la negación de

la condicional inverso, también suele llamarse

diferencia: b - a, puede expresarse:

A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:

La bicondicional presenta resultado

verdadero si los dos argumentos son iguales,

esto es: si a y b son verdaderos o si a y b son

falsos.

Le corresponde la Puerta XNOR.

La disyunción exclusiva presenta

resultado verdadero si los dos argumentos

son dispares, esto es si de los dos argumentos

uno es verdadero y otro falso, es la negación

de la bicondicional:

Esta operación también se llama o exclusivo, uno o el otro pero no los dos, le

corresponde la puerta lógica: XOR.

Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se

pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra

booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario

si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A

para todos los posibles valores de A y B.

Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B

º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) =

(A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto

a un operador binario " º " si A º I = A.

Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador

booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Un sistema de elementos B y dos operaciones binarias cerradas (·) y (+) se denomina

ALGEBRA de BOOLE siempre y cuando se cumplan las siguientes propiedades:

1.- Propiedad conmutativa:

A + B = B + A

A · B = B · A

2. Propiedad distributiva:

A· (B+C) = A· B + A· C

A + B· C = (A+B) · (A+C)

3. Elementos neutros diferentes

A + 0 = A

A · 1 = A

4. Siempre existe el complemento de A, denominado A’

A + A’ = 1

A · A’ = 0

Principio de dualidad: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los

postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin más

que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.

Constante: cualquier elemento del conjunto B.

Variable: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante

o fórmula completa.

Teoremas.

Teorema 1: el elemento complemento A’ es único.

Teorema de los elementos nulos: para cada elemento de B se verifica:

A+1 = 1

A· 0 = 0

Teorema 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.

0’=1

1’=0

Teorema de idempotencia: para cada elemento de B, se verifica:

A+A=A

A· A=A

Teorema de involución: para cada elemento de B, se verifica:

(A’)’ = A

Teorema de absorción: para cada par de elementos de B, se verifica:

A+A· B=A

A· (A+B)=A

Teorema 7: para cada par de elementos de B, se verifica:

A + A’· B = A + B

A · (A’ + B) = A · B

Leyes De Morgan.

Para cada par de elementos de B, se verifica:

(A+B)’ = A’· B’

(A· B)’ = A’ + B’

Teorema de asociatividad: cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la

propiedad asociativa:

A+ (B+C) = (A+B)+C

A· (B· C) = (A· B) · C

CONCLUSIÓN

Los circuitos digitales pueden concebirse como un conjunto de operaciones de lógica

binaria. El álgebra de Boole permite manipular estas operaciones lógicas de forma

sistemática por medio de un conjunto de leyes, reglas y teoremas, dominar el álgebra de

Boole es muy importante para poder comprender el funcionamiento de los sistemas digitales

y los procedimientos básicos que se utilizan para diseñarlos

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole,

constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el

advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos

de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.

Las compuertas lógicas son los dispositivos electrónicos más sencillos que existen, pero al

mismo tiempo son los más utilizados en la actualidad.

BIBLIOGRAFIA

http://emp.usb.ve/mrivas/tema_4a.pdf

http://www.monografias.com

http://www.upo.es/isa/lmercab/EB-Tema2.pdf

http://es.slideshare.net/AnaGavidiaEstrada/boole-8228835

Hoernes G. “Introducción al álgebra de Boole y a los dispositivos lógicos”.

Editorial Paraninfo, Madrid, 1972.