SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 5.1 INTRODUCCIN Para el estudio de la vibracin de sistemas estructurales es necesario hacer uso de algunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad (1 GDL) que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisin de estas ideas. La utilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy directa y sencilla diversos conceptos tiles en la comprensin de sistemas dinmicos ms complejos. (Comentario Resaltado Arefatech12/11/2015 21:57:36en blanco)Asimismo muchas estructuras simples pueden ser representadas razonablemente como un sistema de 1 GDL. La solucin de sistemas complejos puede obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, as como ser parte de la solucin de problemas con mayor nmero de variables que pueden reducirse a una combinacin de sistemas de un GDL. (Comentario Resaltado Arefatech12/11/2015 21:59:08en blanco)"Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que slo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posicin del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada" [ Ref. 1 ] El sistema idealizado de una masa concentrada y un resorte sin peso, aunque sencillo, es una herramienta muy conveniente. Las [ Ref. # ] indican las referencias bibliogrficas listadas al final de cada Captulo. CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 5.2 MODELOS La viga simplemente apoyada o el prtico de un piso, que se muestran en la Fig. 5.1 pueden ser representados aproximadamente por un sistema de masa concentrada y resorte con una sola componente de desplazamiento, o sea 1 grado de libertad (GDL). m u u u u m m m .)( tfFtF =tF k k () () = F. f (t) Fig. 5.1 Sistemas de un grado de libertad (1 GDL) Se han desarrollado, inclusive, mtodos modernos para el anlisis inelstico simplificado de estructuras de edificios en que estos se reducen a sistemas de 1 GDL cuyo resorte presenta caractersticas fuerza-deformacin inelsticas y multilineales [ Ref. 10 ]. (Comentario Resaltado Arefatech12/11/2015 22:01:17en blanco)5.3 ECUACIN DE MOVIMIENTO La ecuacin diferencial del movimiento de un sistema de 1 GDL puede obtenerse de mltiples maneras: a) Aplicando la 2da. Ley de Newton F = m.a b) Usando el Principio de D'Alembert y aplicando las ecuaciones de equilibrio. c) Aplicando los principios de trabajos (desplazamientos) virtuales. d) Aplicando el Principio de Hamilton o conservacin de la energa del sistema. En cualquiera de los sistemas mostrados en la Fig. 5.1 se puede apreciar que la masa est sometida a una fuerza F(t), que vara con el tiempo. El resorte es elstico, as que la fuerza interna es siempre igual al producto de k.u . Ntese que no se incluye el peso ya que u es siempre medido desde la posicin neutra tal como se puede ver en la Fig. 5.2 . En dicha figura se ve que equivale a suponer inicialmente una masa sin peso. La ley de Newton indica que la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleracin imprimida. O sea: F = m.a (5.1) INGENIERA SISMORRESISTENTE SECC. 5.3: ECUACIN DE MOVIMIENTOF(t) - k.u = m. (5.2) (Comentario Resaltado Arefatech12/11/2015 22:02:28en blanco)Normalmente es ms conveniente usar el principio de D'Alembert de acuerdo al cual el equilibrio dinmico puede ser enforzado en cualquier instante aadiendo a las fuerzas (Comentario Resaltado Arefatech12/11/2015 22:02:39en blanco)externas e internas una fuerza de inercia igual al producto de la masa por la aceleracin, m., que se opone al movimiento, o sea orientada en el sentido negativo del desplazamiento. De esta forma el equilibrio ser: (Fig. 5.3) . uesttico udinmicoum k m m k k estticou.Posicin Neutra k=.mg F F(t) F. f (t) k(.+ uest ) mg F F(t)-k.u -m. 0 uest F / k m. k.u F(t) F.f(t) a) Posicin de Reposo b) Equilibrio Esttico c) Equilibrio Dinmico Fig. 5.2 Diagrama de cuerpo libre ku u&m F(t)ku mmu&& u&& mu&&F(t) Fig. 5.3 u es siempre medido desde la posicin neutra por ello no se incluye el peso F(t) - k.u - m. = 0 (5.3) m. + k.u = F(t) = F.f(t) (5.4) Esta ecuacin relaciona la aceleracin (d 2 u / d t 2), la fuerza en el resorte, y la fuerza aplicada en cualquier instante en el tiempo. Corresponde a una ecuacin diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. La solucin da la respuesta del sistema, o sea, la variacin de u con el tiempo. Esta puede ser escrita como Dr. JAVIER PIQU DEL POZO 4 CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD INGENIERA SISMORRESISTENTE la suma de la solucin general de la ecuacin homognea (segundo miembro cero), que involucra dos constantes de integracin, y cualquier solucin particular de la ecuacin completa o general. Las constantes de integracin se determinan imponiendo las condiciones iniciales (desplazamiento u y velocidad du/dt) en el origen del tiempo t = to (normalmente to = 0 ). 5.4 VIBRACIN LIBRE Cuando la fuerza F(t) es igual a cero estamos ante el caso de la vibracin libre. Esta puede producirse debido a ciertas condiciones iniciales (t=0) impuestas al sistema que resultan -a pesar de no haber fuerza excitadora- en un impulso inicial que se traduce en una vibracin. La ecuacin de movimiento es en este caso una ecuacin homognea cuya solucin corresponde a la solucin general de la ecuacin diferencial. En este caso la solucin de: t mt + B cos k mm. + k.u = 0 es u = A sen k (5.5) Haciendo m. = k y los desplazamientos y velocidad iniciales: 00 u (t = 0) = uu (t = 0) = u& & Evaluando las condicione iniciales se consigue: u = ( u ) sen t + u0 t 0 . . . cos & (5.6) SECC. 5.5: RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES 5 Dr. JAVIER PIQU DEL POZO b) Velocidad incial a) Desplazamiento inicial Amplitud Amplitud Fig. 5.4 Vibracin libre de un grado de libertad (1 GDL) La Ec. (5.6) da la respuesta, el desplazamiento, en cualquier instante debido a un desplazamiento inicial, o velocidad, o ambos. Como se observa en la Fig. 5.4 el movimiento es peridico, o sea se repite cada cierto tiempo, o lo que es lo mismo podemos llamarlo armnico con una frecuencia natural o perodo dados por: Frecuencia natural circular o angular (. ): m. = k , radianes/segundo (s- 1) (5.7) Frecuencia natural ( f ): mk p = p f = . 21 2 , Hertz (Hz) o (5.8) Perodo natural (T ): k= p m f T = 1 2 , segundos (s) (5.9) 5.5 RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES Es til analizar la respuesta de un sistema de 1 GDL a algunas excitaciones simples, que tienen una solucin analtica, a fin de ganar familiaridad con el comportamiento del sistema y con la influencia del perodo en la respuesta. uo-uo .u&o .u&o - uu ciclos/segundo CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD La solucin de la Ec. (5.4) consta de dos partes: la solucin homognea uh, que corresponde a la solucin general de la vibracin libre vista en la seccin anterior; ms la solucin particular, up -que es cualquier solucin que satisface la ecuacin diferencial- y que por lo general corresponde a una que tiene la misma forma matemtica que la funcin excitadora. u = up + A sen .t + B cos.t (5.10) Considrese el caso de una fuerza aplicada sbitamente y mantenida indefinidamente. En este caso up = constante. Reemplazando en la ecuacin de movimiento up = F1/k (donde lgicamente F1 es constante). Suponiendo que el sistema est inicialmente en reposo (desplazamiento y velocidad iniciales iguales a cero). F1u = (1-cos.t) (5.11)k En la Fig. 5.5 se observa la variacin de la respuesta con el tiempo. Partiendo de cero, la respuesta alcanzar un mximo de 2F1/k. 2 FAD 1FFig. 5.5 Carga constante. Factor de amplificacin dinmica 5.5.1 Factor de Amplificacin Dinmica ( FAD ) Una forma conveniente de adimensionar la respuesta consiste en expresarla en trminos de un factor de amplificacin dinmica, FAD en forma resumida. El FAD es la relacin (cociente) entre la respuesta y la deformacin (desplazamiento) esttica que sera causada por F1, o sea: uuu F1FAD == = , uest = (5.12)Fuu k1 esttico est k Por consiguiente para el caso anterior, de la fuerza aplicada sbitamente: mx = 2 u est (5.13) INGENIERA SISMORRESISTENTE SECC. 5.5.1: FACTOR DE AMPLIFICACIN DINMICA ( FAD )La fuerza en el resorte ser 2 F1. Para este caso entonces, la variacin en el tiempo del FAD ser: FAD (t) = 1 - cos . t y u = u est FAD (t) (5.14) Cualquier fuerza aplicada sbitamente y que se mantiene constante sobre un sistema da como resultado, como mximo una amplificacin de 2. (Veremos ms adelante sin embargo que cuando la fuerza vara en el tiempo despus de su aplicacin inicial pueden presentarse amplificaciones mayores). 5.5.1.A) Pulso Finito.- Si la fuerza mostrada en la Fig. 5.5 es aplicada por un cierto tiempo td , la solucin tiene que obtenerse en dos tramos. Uno hasta que t =td y otro cuando t > td. Para el primer caso la solucin anterior es aplicable. Pero cuando t > td ya la fuerza no est actuando y se tiene vibracin libre con las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad que haban en el instante t = td : F1u= (1-cos .t) , para t =td (5.15)k u= F1 (1-cos . td )cos .(t-td )+ F1 sen.t sen.(t - t) , para t > td (5.16)k kdd simplificando la Ec. (5.16): F1u= [cos.(t-t )-cos.t] , para t > td (5.17)kd El FAD para ambos casos, Ecs. (5.15) y (5.17), con .= 2p T , son los correspondientes a las Ecs. (5.18) y (5.19), es decir: FAD = (1-cos .t) FAD= 1-cos 2p t , para t = td (5.18)T FAD= cos.(t -td )-cos . t ttd tFAD = cos 2p(-) -cos 2p , para t > td (5.19)TT T Es conveniente adimensionar el parmetro tiempo como se indica en las ecuaciones anteriores, donde T es el perodo natural. Esto tambin sirve para enfatizar el hecho que Dr. JAVIER PIQU DEL POZO 8 CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD INGENIERA SISMORRESISTENTE la razn del tiempo de duracin a perodo natural, td /T -ms que el valor real de cualquiera de esas cantidades- es el parmetro importante. De la Ec.(5.11) y de la Fig. 5.5 podemos visualizar que el valor mximo del FAD=2 slo se alcanzar si td es igual a T/2 y en este caso no importa cuanto ms dure la aplicacin de la fuerza puesto que el mximo seguir siendo 2. Si td < T / 2, entonces el FAD ser < 1. En la Fig. 5.6 se observa la respuesta tpica para dos casos de td. En ambos casos el efecto del perodo es muy significativo. Veamos a continuacin que sucede cuando el periodo es relativamente largo o corto: - Si el perodo es relativamente corto, lo cual es carcterstico de un sistema rgido, el sistema responde rpidamente, alcanzando la mxima respuesta antes de que la aplicacin de la fuerza se detenga, resultando el FAD > 1. Ello es lgico puesto que antes de que alcanze td ya habr sobrepasado T/2 y por ende alcanzado el mximo no importando cuanto mas dure la carga. - Por otro lado, si el perodo es relativamente largo, lo cual es caracterstico de un sistema flexible, la respuesta mxima ocurre despus de que se ha detenido la fuerza, y el efecto de la misma disminuye, y el FAD < 1. Fig 5.6 Pulso rectangular finito 5.5.1.B) Carga Rampa.- Lo constituye una carga que vara linealmente hasta alcanzar todo su valor en un tiempo tr (este tipo de carga es otro caso de inters). La respuesta debe ser obtenida en dos etapas, o sea: (t - sen t ) kt F u = r .1 . , para t = tr (5.20) SECC. 5.6: EXCITACIN SSMICA. MOVIMIENTO DE LA BASE 9 Dr. JAVIER PIQU DEL POZO - sen t] t [1 + sen (t - t ) ku = F r r . .. 1 , para t > tr (5.21) En la Fig. 5.7 se muestran dos casos. Veamos: - Cuando la relacin del tiempo de subida de la fuerza al perodo es grande ( tr / T = 5 / 2 ), el sistema vibra relativamente rpido y la respuesta simplemente sigue a la curva esttica de carga. Por consiguiente la mxima respuesta dinmica difiere muy poco de la respuesta esttica a F1 ( FAD = 1). - Por otro lado, si la relacin es pequea ( tr / T = 1 / 4 ) el sistema responde lentamente debido al perodo largo. Esto resulta en un primer retraso, y despus en un "sobrepasar" a la curva esttica de carga. La respuesta dinmica es considerablemente mayor que la esttica. Esta es una observacin importante, ya que los esfuerzos en un sistema resistente son proporcionales al Factor de Amplificacin Dinmica. Fig 5.7 Carga constante con incremento triangular inicial (rampa) 5.6 EXCITACIN SSMICA. MOVIMIENTO DE LA BASE Un sismo produce un movimiento de la base de apoyo del sistema. En este caso la ecuacin del movimiento para el sistema de la Fig. 5.8 es aquella que relaciona la fuerza inercial del sistema m. y la fuerza que se produce en el resorte k.y, es decir: m. + k.y = 0 (5.22) donde: , es la aceleracin absoluta requerida para el clculo de la fuerza inercial CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD y , es el desplazamiento relativo de la masa con respecto al terreno, o sea la distorsin del resorte requerida para el clculo de la fuerza producida en el resorte al ocurrir el movimiento en la base de apoyo del sistema. u = u - uG mu&& m k y m m ky luego se cumple : u(t ) = uG(t ) + y(t ) u&& = u&& + &y&G uG (t) = uGo . f (t) Fig. 5.8 Sistema de 1 GDL sometido a movimiento de la base INGENIERA SISMORRESISTENTE SECC. 5.7: AMORTIGUAMIENTO. TIPOSEl movimiento de la base est definido por uG(t). Por facilidad podra descomponerse en una constante arbitraria uGo multiplicada por una funcin adimensional del tiempo, f(t). Por otro lado los desplazamientos absolutos y relativos se relcionan mediante y = u -uG (ver Fig. 5.8), la cual al ser sustituida en la Ec. (5.22) resulta: m. + k.(u - uG) = 0 (5.23) m. + k.u = - k uGo f(t) (5.24) Esta ecuacin es idntica a la Ec. (5.4) en donde F(t) ha sido reemplazada por k.uG(t) o F1 por k.uGo. Por consiguiente las soluciones analticas obtenidas para fuerzas aplicadas pueden usarse directamente en este caso. Es interesante analizar los casos lmite(Fig. 5.9). Veamos el comportamiento para: -Sistemas muy flexibles(Fig. 5.9a), en este caso el suelo alcanzar su mximo desplazamiento antes de que la masa tenga tiempo de reaccionar y por consiguiente el desplazamiento relativo mximo ser igual al mximo desplazamiento de la base (ymx.=uGo). Al mismo tiempo, la aceleracin mxima de la masa ser muy pequea comparada con la aceleracin de la base. -Por otro lado, para sistemas muy rgidos(Fig. 5.9b), la masa simplemente sigue a la base resultando en una aceleracin mxima de la masa igual a la mxima aceleracin de la base y el desplazamiento relativo es prcticamente cero. Sistemas Flexibles m m m ( a ) Gomx. uyu ==u u &&G &&u . 0 k . 0 T .8 u&u&&GSistemas Rgidos k .8 T . 0 ( b ) Fig. 5.9 Casos lmites Dr. JAVIER PIQU DEL POZO CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD El desplazamiento relativo es posiblemente la variable ms importante ya que es indicativo del esfuerzo en el resorte (o sea la estructura). Es comn especificar el movimiento de la base en trminos de aceleracin ms que de desplazamiento, ya que los sismos son precisamente registrados de esta manera. Ms an, la solucin en este caso da el desplazamiento relativo en vez de la respuesta del desplazamiento absoluto. Al derivar la expresin que relaciona los desplazamientos relativos y absolutos se obtiene = + G la cual al ser sustituida en la ecuacin de movimiento (5.22) nos da: m. + k.y = - m G (t) = - m Go f(t) (5.25) dividiendo entre m: + .2.y = - G (t) = - Go f(t) (5.26) La Ec. (5.25) es nuevamente la ecuacin de movimiento normalmente usada en que la fuerza aplicada es -m.G(t), y la incgnita representa un desplazamiento relativo (y) en vez de uno absoluto. Para el caso de un sismo G(t) no sigue una funcin analtica simple y ser necesario recurrir a procedimientos de integracin numrica para conocer la respuesta del sistema (esto se ver en la Secc. 5.11). Existe una relacin importante entre los valores mximos de la aceleracin absoluta y el desplazamiento relativo. Observando la Fig. 5.8 y la ecuacin de movimiento, Ec. (5.22), es evidente que los valores mximos de m. y k.y deben ocurrir simultneamente. Es decir: m.mx + k.ymx = 0 (5.27) ).( ym k = u mx&&mx (5.28) mx = -.2.ymx (5.29) Esta es una expresin general que siempre se cumple excepto cuando hay amortiguamiento en que hay un ligero error. Indica que la fuerza mxima en el resorte puede ser calculada, a partir la fuerza de inercia (m.mx) o de la distorsin del resorte (k.ymx). 5.7 AMORTIGUAMIENTO. TIPOS En toda la discusin anterior se ha ignorado la presencia del amortiguamiento. La mayora de las estructuras y suelos presentan amortiguamiento, pequeo en las estructuras, mayor en los suelos. Su efecto, sin embargo, no es importante para respuestas de corta duracin, o sea cuando la respuesta mxima ocurre en uno o dos ciclos de vibracin. Sin embargo, para respuestas de larga duracin que se extienden por varios ciclos puede ser extremadamente importante. Este es precisamente el caso de las excitaciones ssmicas. INGENIERA SISMORRESISTENTE SECC. 5.7.1: AMORTIGUAMIENTO VISCOSOEl amortiguamiento se manifiesta como una disminucin de la amplitud del movimiento en cada ciclo debido a la disipacin de energa. (Comentario Resaltado Arefatech01/11/2015 12:34:24en blanco)5.7.1 Amortiguamiento Viscoso Matemticamente la forma ms simple de considerar el amortiguamiento corresponde a la existencia de un amortiguador viscoso con una resistencia proporcional a la velocidad de deformacin (Fig. 5.10). La ecuacin de movimiento se convierte en: m.u&&+ c.u& + k.u = F(t) (5.30) donde c es la constante de amortiguamiento. m um&&ku )(tFu k c m)(tFuc&Fig 5.10 Sistema de 1 GDL con amortiguamiento viscoso La solucin de la ecuacin homognea es de la forma: u = e -.t (A sen Dt + B cos Dt) (5.31) k2donde: .=; .D=1-(5.32)m 1 c cc. = = = 2 km 2m. 2k La diferencia entre la frecuencia no amortiguada, , y la frecuencia amortiguada . D depende de . Para estructuras normales este valor es pequeo y la diferencia puede ser ignorada. Por ejemplo para = 0.05 segn la Ec. (5.32) se tiene D = 0.9987. . En la Secc. 5.7.2 se mostrarn expresiones para cuando el movimiento es libre amortiguado. A continuacin slo se mostrarn como es que vara pero de una manera general para que as se pueda entender con claridad el concepto del mencionado coeficiente de amortiguamiento. Basado en lo dicho en el prrafo anterior se tiene que: Dr. JAVIER PIQU DEL POZO 14 CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD INGENIERA SISMORRESISTENTE - debe ser < 1: Para que exista la vibracin (o sea para que D . sea un nmero real en las Ec. (5.32)). Ese es el caso de un sistema sub-amortiguado. La respuesta a una perturbacin inicial (Fig. 5.11) todava ser un movimiento armnico pero multiplicado por una exponencial decreciente, e-.t , que es el efecto del amortiguamiento. Este tipo de sistemas es el de mayor inters en la dinmica de sistemas sometidos a sismos. Fig 5.11 Vibracin libre con desplazamiento y amortiguamiento - Cuando = 1 u = e-.t (A + Bt) (5.33) El valor de c en el que = 1 se denomina el amortiguamiento crtico por consiguiente el sistema est crticamente amortiguado. No hay vibracin ya que de la Ec. (5.32). D = 0. - Cuando > 1 u = e (A senh D t + B h D t) -.t . ' cos . ' (5.34) . D ' = . 2 -1 En este caso el sistema est sobre-amortiguado (Fig. 5.12). Tampoco habr movimiento vibratorio. La masa retornar a su posicin original monotnicamente con velocidad decreciente. u-uo uo t uo e . -. SECC. 5.7.1.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERTICO O ESTRUCTURAL 15 Dr. JAVIER PIQU DEL POZO Fig 5.12 Sistema sobre amortiguado. No hay vibracin Es conveniente expresar la variable como una fraccin del amortiguamiento crtico: ccrt = 2 k m (5.35) c= ccrt (5.36) Para estructuras el valor equivalente de puede estar entre 0,01 y 0,05; para suelos puede alcanzar entre 0,10 y 0,20, o para grandes deformaciones a veces ms. En realidad el amortiguamiento viscoso y el concepto de viscosidad estn asociados con el comportamiento de los fludos (o flujo plstico en materiales estructurales). Bajo condiciones normales las estructuras presentan una cantidad insignificante de viscosidad. Las prdidas de energa bajo movimientos cclicos se debern principalmente a la friccin y al comportamiento inelstico (no lineal) de los materiales. 5.7.1.1 Amortiguamiento por Friccin o de Coulomb Este tipo de amortiguamiento se introduce en la ecuacin de movimiento, agregando una fuerza de friccin R, con el signo apropiado, dependiendo de la direccin del movimiento. m. + ku R = F(t) (5.37) m. + ku R = 0 (para el caso de vibracin libre) (5.38) La solucin de esta ecuacin es un poco ms complicada porque es necesario seguir la fuerza de friccin R que depende del signo de la velocidad. Por ejemplo para el caso de un desplazamiento inicial uo cuando t = to y no hay velocidad inicial, la respuesta sera [ Ref. 2 ] : uuoCAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD n .. R .. T . R . u = (-1) . uo -(2n +1) cos..t - to - n .+ . (5.39)... k .. . 2 . k . El movimiento se detendr cuando t = nT/2 donde n es el entero ms pequeo que hace R = kuo/2n+1. En la Fig. 5.13 se muestra esquemticamente la variacin del desplazamiento con el tiempo para este caso. u uo -uo Tk tR uu o 4-=Fig 5.13 Amortiguamiento por friccin o de Coulomb [ Ref. 3 ] 5.7.1.2 Amortiguamiento Histertico o Estructural La prdida de energa por el comportamiento nolineal de un resorte con caractersticas fuerza-deformacin inelsticas resultar, bajo movimientos cclicos, de la existencia de ciclos de histresis. (Fig. 5.14). El rea encerrada por cada lazo representa la energa disipada por ciclo. Para introducir este tipo de amortiguamiento en el anlisis sera necesario escribir una ecuacin de movimiento nolineal de la forma: m. + k(u) . u = F(t) (5.40) donde k(u) representa la rigidez secante del resorte para el desplazamiento u. F kF kF u u k u a) b) c) Fig 5.14 Resortes inelsticos INGENIERA SISMORRESISTENTE SECC. 5.7.1.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERTICO O ESTRUCTURALInterpretar las prdidas histerticas en la forma de un amortiguamiento equivalente es difcil para el caso de la vibracin libre. Por ejemplo, se tiene que: -Para el resorte elstico-perfectamente plstico, an si el desplazamiento inicial uo fuera mayor que el desplazamiento de fluencia uy, la respuesta , mostrada en la Fig. 5.15a, permanecera elstica con la masa oscilando entre uo y uo - 2uy sin ninguna prdida de energa. -Para un resorte con caractersticas fuerza deformacin bilineal, si uo > uy habr un nmero finito de ciclos o lazos de histresis de ancho decreciente y el movimiento se estabilizar eventualmente permaneciendo elstico alrededor de una posicin deformada permanentemente. Lo dicho se observa en la Fig. 5.15b. -Un comportamiento similar al caso anterior, mostrado el la Fig. 5.15c, puede esperarse para una curva fuerza deformacin curvilnea genrica. F FF ou u u uuo a) b) c) Fig. 5.15 Comportamiento inelstico 5.7.2 (Comentario Resaltado Arefatech01/11/2015 12:34:29en blanco)Casos de Amortiguamiento Viscoso definicin del trmino Decremento Logartmico. La razn por la cual en la seccin anterior no se trataron algunos casos que se desprenden al variar el comportamiento de la fuereza en la Ec. (5.30) es debido a que se pretenda que en dicha seccin el lector entienda de manera clara y concisa el significado del Amortiguamiento Viscoso. A continuacin presentaremos la vibracin libre con amortiguamiento (Secc. 5.7.2.1), definiendo a su vez el trmino decremento logartmico (Secc. 5.7.2.1.1); luego, presentaremos la vibracin forzada con amortiguamiento, cuando la fuerza es constante (Secc. 5.7.2.2). 5.7.2.1 Vibracin Libre con Amortiguamiento m um&&ku u k c m uc&Dr. JAVIER PIQU DEL POZO CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD Fig 5.16 Vibracin libre amortiguada Recordando que el amortiguamiento viscoso al ser considerado como una resistencia proporcional a la velocidad de deformacin es matemticamente la forma ms simple, procedemos a plantear la ecuacin diferencial que define el movimiento del sistema mostrado en la Fig. 5.16: m + cu& + ku = 0 (5.41) la solucin general supuesta y sus derivadas son: u = Cer t (5.42) u& = Crer t (5.43) 2 rtu&& = Cr e (5.44) donde C es una constante distinta a la constante c de amortiguamiento. Al reemplazar las Ecs. (5.42), 5.43) y (1.44) en la Ec. (5.41) se tiene: (mr 2 + cr + k) Cer t = 0 (5.45) donde: mr2 + cr + k = 0 (5.45a) c r 2 + r +.2 = 0 (5.45b)m La Ec. (5.45) nos indica que en realidad la solucin general sera la dada por la Ec. (5.46) y no como se supuso(Ec.(5.42)): rt rt1 2u = C1e + C2e (5.46) donde r1 y r2 son las races de la Ec. (5.45), en la que la constante Ci es distinta de cero ya que se desea una solucin distinta de la trivial, desprendiendose as la INGENIERA SISMORRESISTENTE SECC. 5.7.2.1: VIBRACIN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTOEcs. (5.45a) y (5.45b). Luego al resolver esta ltima, la cual es una ecuacin polinmica de segundo grado, se tiene: . 2 .. c c ..r =.- +.-(5.47)1 .. 2m.. 2m.. .. . . 2 .c c ..r2 =.- -.-(5.48).2m.. 2m.. .. . reemplazando estas ecuaciones en la Ec. (5.46) y luego factorizandola, se tiene la solucin general de la vibracin libre amortiguada: 2 .2. ... c ..c .... c . .. .-1 t -.. .-1 t-.. .t . ... 2m.. .... 2m.. .... 2m.. .u = e .C1e .C2e .(5.49) ..En la seccin anterior = c 2m.= c ccrtico fue definido. Entonces segn esto, la Ec. (5.49) quedara como se muestra en la Ec. (5.49a): 22. ...-1 ..t -...-1 ..t .-.t ...u = e .C1e C2e (5.49a) .A continuacin veremos las ecuaciones que definen el movimiento de vibracin libre amortiguada como resultado del comportamiento de . a) Sub Amortiguamiento (