Programacin Instituto Tecnolgico de Celaya

Ingeniera Qumica

LLOOSS SSIISSTTEEMMAASS DDEE RREEPPRREESSEENNTTAACCIINN NNUUMMRRIICCAA Es comn escuchar que las computadoras utilizan el sistema binario para

representar cantidades e instrucciones. En esta seccin se describen las ideas

principales en este sentido. Los sistemas de representacin numrica ms

usados son el sistema binario, el sistema octal, el sistema hexadecimal y, por

supuesto, el sistema decimal.

SSiisstteemmaa ddeecciimmaall En cuanto al problema de representar cantidades numricas, el sistema decimal

es el sistema tradicional. Recordemos que en este sistema, una cantidad

cualquiera, por ejemplo 1798, en realidad se lee como:

1 x 103 + 7 x 102 + 9 x 101 + 8 x 100 == 1 x 1000 + 7 x 100 + 9 x 10 + 8 x 1

Observe la diferencia entre los diversos conceptos involucrados: La

representacin de la cantidad en el sistema decimal (1798) y las "cifras" que

componen su representacin en este "sistema de numeracin" (en este caso

cuatro cifras: 1, 7, 9 y 8 colocadas en un cierto orden). En este sistema, el

valor de las cifras viene complementado por su posicin en el conjunto (se dice

que el sistema es posicional), de forma que el valor total de una expresin

viene representado por el producto de su valor-base (0 a 9) multiplicado por la

potencia de 10 que corresponda segn su posicin. Al final se suman los

resultados parciales. Resulta as que, en el sistema decimal, la cantidad ms

alta que se puede representar mediante una cantidad de cuatro cifras (como

ejemplo), nnnn, es como mximo:

9 x 103 + 9 x 102 + 9 x 101 + 9 x 100 == 9999

Es fcil verificar que un nmero decimal de n dgitos puede representar como

mximo a 10n nmeros (en el caso del ejemplo, para 4 dgitos, 104 = 10000).

Ejemplo:1534

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Valor posicional 103 102 101 100

4 en 100 4 4 x 100 4

3 en 101 3 3 x 101 30

5 en 102 5 5 x 102 500

1 en 103 1 1 x 103 1000

SSiisstteemmaa bbiinnaarriioo El sistema binario puede representar tambin cualquier cantidad basndose en

cifras que solo pueden tener dos valores, 0 y 1. Es importante resaltar que las

caractersticas fsicas de los dispositivos electrnicos (como las computadoras)

hacen que sea fcil representar con ellos a cantidades en el sistema binario.

Para lograr esto se hace corresponder los dos posibles valores de la variable

binaria con los dos estados fsicos de un circuito o dispositivo. Por ejemplo, con

los estados de circuito abierto (1) o cerrado (0); magnetizado (1) no

magnetizado (0); con luz (1), sin luz (0); etc. Esta es la razn por la cual las

computadoras utilizan el sistema binario. En cambio, el sistema decimal no es

muy adecuado para los dispositivos electrnicos, puesto que aqu, al ser un

sistema de base 10, cada cifra pueden tener diez valores distintos (0 al 9) y

sera complicada asignar cada valor a un estado fsico de algn dispositivo

electrnico.

El sistema binario es exactamente anlogo al decimal, con la diferencia de la

base de las potencias y de los posibles valores para cada cifra (0 1). En el

sistema binario la nueva base es 2 (en vez de 10 como en aquel caso). Por

ejemplo, la cantidad binaria 11100000110 se lee:

1x210 + 1x29 + 1x28 + 0x27 + 0x26 + 0x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20

Se puede probar que el nmero anterior resulta igualmente en el nmero "mil

setecientos noventa y ocho". La capacidad de representacin en el sistema

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binario es, sin embargo, menor que en el decimal. As, una cantidad binaria de

4 dgitos puede representar como mximo al nmero:

1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 == 15

En el caso de la numeracin binaria, tambin es fcil verificar que un nmero de

n dgitos puede representar como mximo a 2n nmeros (en el caso del

ejemplo, para 4 dgitos, 24 = 16).

Ejemplo: el nmero binario 1011 es igual al nmero decimal 11

Valor posicional 23 22 21 20 Valor decimal

1 en 20 1 1 x 20 1

1 en 21 1 1 x 21 2

0 en 22 0 0 x 22 0

1 en 23 1 1 x 23 8

OOttrrooss ssiisstteemmaass ddee rreepprreesseennttaacciinn nnuummrriiccaa

Adems del binario (sistema "natural" del ordenador), en la literatura

informtica y en los programas se utilizan otras formas de numeracin (sobre

todo para representar valores constantes). La ms comn de ellas es el

sistema hexadecimal.

El sistema hexadecimal, como los anteriores, tambin es posicional. En este

caso el valor de la posicin viene dado por potencias de 16 (160, 161, 162,).

Como slo poseemos 10 caracteres para representar los posibles dgitos, se

aaden las letras A, B, C, D, E y F.

Por tanto en base 16 disponemos de los siguientes caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, y F = 15.

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Como ejemplo, el nmero A52F corresponde al nmero 42287 en base decimal.

Valor posicional 163 162 161 160 Valor decimal

F en 160 F F x 160 15

2 en 161 2 2 x 161 32

5 en 162 5 5 x 162 1280

A en 163 A A x 163 40960

CCoonnvveerrssiinn ddee NNmmeerrooss eenn eell SSiisstteemmaa DDeecciimmaall aa llooss SSiisstteemmaass

BBiinnaarriioo yy HHeexxaaddeecciimmaall

Al Sistema Binario

Si lo que queremos es convertir un nmero decimal a binario, dividiremos

sucesivamente el valor decimal por 2 hasta llegar a 1. Los restos de las

divisiones nos indicarn el valor binario. El siguiente ejemplo corresponde a la

conversin del nmero 52 en base decimal al sistema binario

Divisin Cociente Resto

52 / 2 26 0

26 / 2 13 0

13 / 2 6 1

6 / 2 3 0

3 / 2 1 1

1 1

110100

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Sistema Hexadecimal

Para realizar la conversin al sistema decimal se sigue un mtodo similar al

anterior, slo que ahora se realiza divisiones entre 16. Vase el ejemplo de la

Tabla para el nmero 33210 = 14C 16

Divisin Cociente Resto

332 / 16 20 12 = C

20 / 16 1 4

1 1

AAllmmaacceennaammiieennttoo iinntteerrnnoo Una magnitud que solo puede tener dos valores se denomina bit (abreviatura

de "Binary digit"). Un bit es la menor cantidad de informacin que puede

concebirse en una computadora, y su abreviatura es b, por ejemplo: 10 Kb son

10000 bits. Resulta as que un interruptor que puede estar encendido o

apagado es (puede ser) un almacenamiento de 1 bit de informacin (basta con

hacer corresponder "encendido" con el valor 1 y "apagado" con el valor 0).

Tradicionalmente el almacenamiento interno de los ordenadores se realiza en

grupos de 8 (o mltiplos de 8) cifras binarias (bits); estos conjuntos (octetos)

son la menor cantidad de informacin que trata el ordenador con entidad propia

y reciben el nombre de bytes (suele abreviarse con B). Por ejemplo, 16 Kb y

16 KB. Se refieren a 16000 bits y 128000 bits respectivamente.

Podemos usar un smil para entenderlo: Aunque nuestro alfabeto tiene 26

caracteres no se utilizan aislados, para que tengan significado se utilizan en

grupos (palabras), los ordenadores utilizan tambin palabras, solo que estas

son siempre de la misma longitud (8, 16, 32 o 64 bits segn el modelo de

procesador).

Segn lo anterior, un octeto (una "palabra" de 8 bits), 1 Byte, puede almacenar

un nmero tan grande como 28 = 256, lo que deriva en que si, por ejemplo,

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reservamos una palabra de 8 bits para "describir" (contener) una variable,

sabemos de antemano que dicha variable no va a poder adoptar nunca mas de

256 estados distintos. Esto unido al hecho de que la forma de representacin

interna utiliza el sistema binario y los elementos y circuitos fsicos son

igualmente binarios (pueden adoptar solo dos estados) hacen que las potencias

de dos: 8, 16, 32, 64 etc. son "nmeros mgicos" en el mundo de las

computadoras.