Sistemas de partículas y principios deconservación; colisiones (2013)

Héctor O. Di RoccoIFAS, Fac. de Cs. Exactas, UNCPBA

May 9, 2013

Abstract

El propósito principal de este capítulo es el estudio de dos sistemasespeciales de referencia: el sistema del laboratorio (SL), que es aquél enel cual hacemos las mediciones, y el sistema del centro de masas (SC),que es el que permite estudiar más sencillamente las distintas magnitudesfísicas. Luego, aplicaremos estos conceptos al estudio de distintos tiposde colisiones: elásticas, parcial y totalmente inelásticas. En la próximaclase, aplicaremos estos conceptos a un sistema de especial importanciaen ingeniería: el de los cuerpos rígidos.

Para el caso particular de dos partículas con interacción mutua, vamosa introducir un 3er. sistema: el denominado sistema relativo (SR), en elcual una de las partículas asume el rol de origen del SR.

1 Introducción

En la primera clase sobre Dinámica comenzamos estudiando un sistema dedos partículas, e introdujimos los conceptos de interacción y de cantidad demovimiento, p. Luego, nos enfocamos sobre una sola de ellas, introduciendo lanoción de fuerza, F. Ahora retomaremos el concepto de sistema de partículas,como un conjunto de cuerpos que identi�camos convenientemente... En el cursode estas clases, vamos a estudiar los sistemas de cuerpos desde dos sistemas dereferencia (perdón por la redundancia de la palabra sistemas): el de Laboratorio(SL), que es aquél sistema inercial donde se realizan las mediciones y elde Centro de Masas (SC, no necesariamente inercial), que de�niremos acontinuación.Para el caso de dos partículas, vamos a introducir el denominado sistema

relativo (SR), en el cual una de las partículas asume el rol de origen del SR.

1

2 Centro de masas

Sea el SL un sistema inercial con su origen O y las masas puntuales mi con susposiciones ri; de�nimos la posición del CM mediante

rCM =

PmiriPmi

=

PmiriM

: (1)

El signi�cado físico de rCM es que nos da idea de una cierta posición mediadel conjunto de masasmi:Derivando la ecuación anterior obtenemos la velocidaddel centro de masas respecto del SL (que, no olvidemos, es inercial)

vCM =drCMdt

=

PmiviM

=

PpiM

(2)�=m1v1 +m2v2m1 +m2

�para dos partículas; (3)

que podemos interpretar de la siguiente manera: dado que, de�niendo P como

P =X

pi =MvCM

resulta, por lo tantoF =MaCM ;

el centro de masa de un sistema se mueve como si fuera una partícula demasaM sobre la que actuara la suma de las fuerzas externas. También nos diceque la cantidad de movimiento total del sistema es igual al producto de la masatotal por una cierta velocidad "media", que es vCM . Si el sistema en estudioestá aislado, o sea que

PFext = 0; entonces P =cte. En este caso vCM es una

constante y, lo que es más importante: con respecto al SC, se cumple, dado quevCM=0 !!!, entonces P=0.Ejemplo: si consideramos la explosión (debido a fuerzas todas internas)

de una granada lanzada con tiro oblicuo, el CM se sigue moviendo en formaparabólica, si es que la resistencia del aire es despreciable.

2.1 ¿Cómo identi�car el sistema en estudio?

Las partículas que componen un sistema estarán sujetas tanto a fuerzas externasFi como internas, Fij ; estas últimas satisfaciendo las 3a ley de Newton: Fij =�Fji: Por ejemplo, si estudiamos el movimiento de tres carritos sobre unos rielescon rozamiento despreciable, unidos por dos resortes que proveen las fuerzasinternas, podemos llamar S al conjunto de los carritos nos 1 y 2, y S�al carritono 3. S+S�constituyen un sistema aislado. El resorte entre los carritos 1 y 2provee una fuerza interna para ellos, no entra en la discusión. El resorte adjuntoal carrito 3 provee, en el momento del choque la fuerza externa para el sistemaS.

2

1 2 3

S STendremos para el sistema aislado S + S0

P = PS +PS0 = cte; (4)

con lo cual

�P =0; �PS = ��PS0 ;�PS�t

= ��P0S

�ty tendiendo �t! 0

dPSdt

= �dPS0

dtcon lo cual F = �F0:

Si, en un sistema de dos partículas 1 y 2 actúan, sobre la no 1 las fuerzasF1 (externa) y F12 (interna) y sobre la no 2 actúan F2 y F21 (= �F12) ; resultaque

F

F F

F12

1221

dp1dt

= F1 + F12;dp2dt

= F2 + F21 = F2 � F12;

con lo cual

F =X

Fext =dp

dt=d

dt(p1 + p2) = F1 + F2:

COROLARIO: las fuerzas internas se anulan de a pares, de manera que no entran enla ecuación fundamental de la Dinámica. Esto sucede para fuerzas que satisfacenla 3a ley de Newton. El año venidero se estudiarán, en Electromagnetismo,fuerzas que no satisfacen dicha ley.

3

3 Movimiento relativo entre dos partículas ais-ladas del resto; masa reducida

Vamos a estudiar un sistema de dos cuerpos su�cientemente aislados del resto,tal que

PFext = 0 como, p.e., el sistema Tierra-Sol, el átomo H, etc. Queremos

estudiar el movimiento relativo entre las partículas 1 y 2, independizándonos delsistema inercial SL. Con respecto del origen O, las posiciones de las partículasson r1 y r2; llamemos r12 (= �r21) al vector que va de r2 a r1;de manera que

r1 = r2 + r12;

O

rr

r12

12

con lo cual la posición relativa de 1 respecto de 2 (es decir, pensando en unnuevo SR con origen en 2), es

r12 = r1 � r2

y la velocidad relativa seráv12 = v1 � v2: (5)

Como no actúan fuerzas externas

dv1dt

=F12m1

;dv2dt

=F21m2

�= �F12

m2

�por lo que

d

dt(v1 � v2) = a1 � a2 = a12

= F12

�1

m1+

1

m2

�= F12

�m1 +m2

m1m2

�:

Luego, podemos escribir

F12 =

�m1m2

m1 +m2

�a12;

llamando masa reducida � = (m1m= (m1 +m2)) ; la anterior toma la forma:

F12 = �a12:

4

El movimiento relativo de dos partículas (o sea, con origen del sistema de ref-erencia en una de ellas), sometidas a su interacción mutua es equivalente almovimiento de una partícula �citicia de masa � sobre la que actúa la fuerza deinteracción mutua F12:Cuando una de las masas es mucho mayor que la otra, p.e.: m1 >> m2;

resulta que � � m2: Por ello, al estudiar el sistema consistente entre una masam y la Tierra, solamente necesitamos ocuparnos de m y no de mT :Cuando sobre el sistema también actúan fuerzas externas, tendremos dos

ecuaciones para estudiarlo:

F =X

Fext=MaCM ; F12 = �a12:

4 Tres sistemas de referencia

Hasta ahora tenemos el SL (podemos pensar que es inercial o muy aproxi-madamente inercial), el sistema SC (no necesariamente inercial, puede rotary trasladarse respecto del SL); para dos partículas existe un tercer sistemaútil: elegir una de ellas como origen. En el caso del átomo H, o en el sistemaTierra-Sol, ambos cuerpos se mueven alrededor del CM, pero como uno de elloses mucho más masivo que el otro, elegimos el origen en el sol (o en el pro-tón). Efectivamente, si m1 >>> m2; la posición del CM coincide con la de lapartícula más pesada.Cuando necesitamos mayor precisión (cosa que en el átomo H es necesaria,

puesto que las magnitudes pueden medirse con asombrosa sutileza), es mejorestudiar las cosas desde el SC. En el caso del sistema solar, el CM está muycerca del CM del Sol (y está dentro del volumen del sol).Cuando hay más de dos cuerpos, el problema NO puede reducirse a un

problema de un cuerpo �cticio; no tiene solución cerrada, salvo en casos muyparticulares.

5 Relación entre las medidas hechas en los sis-temas SL y SC para r; v y P:

Los resultados que derivaremos son válidos para un no arbitrario de partículasaunque, por sencillez usaremos dos partículas.Notación: en general, usaremos las variables sin primar (p.e.: r, para in-

dicar cantidades referidas al SL, y primadas (p.e.: r�) para indicar cantidadesreferidas al SC.

5.1 Posiciones y velocidades

Consideremos el origen O del SL y sea rCM la posición del CM, en dondeubicamos el SC. Cada partícula de masa m� tendrá coordenadas r� respecto de

5

O y r0� respecto del CM:

r� = rCM+r0�; r0� = r� � rCM ;

así que, derivandov0� = v� � vCM ;

usando 2 y 5,

v01 = v1 �m1v1 +m2v2m1 +m2

=m2

M(v1 � v2) =

m2

Mv12 (6)

(¡aparece la velocidad relativa!). Integrando, resulta que

r01 =m2

Mr12: (7)

Análogamente, tendremos

v02 = v2 �m1v1 +m2v2m1 +m2

= �m1

M(v1 � v2) = �

m1

Mv12 (8)

yr02 = �

m1

Mr12: (9)

Esto signi�ca que vistas desde el CM, las partículas 1 y 2 se mueven endirecciones opuestas. Esta es una gran ventaja del SC1 .

5.2 Cantidad de movimiento

Respecto del SL

p1 = m1v1; p2 = m2v2; P = p1 + p2;

respecto del SC, teniendo en cuenta las ecs. 6 y 8 y la de�nición de masareducida

p01 = m1v01 =

m1m2

Mv12 = �v12; (10)

p02 = m2v02 = �

m2m2

Mv12 = ��v12; (11)

con lo cualP0 = p01 + p

02 = 0: (12)

Aunque este resultado lo hemos deducido para dos partículas, es válido engeneral. Es otra de las grandes ventajas de usar el SC: la cantidad de movimientototal del sistema respecto del SC es nula.

1Esto es válido para dos partículas. Véase la �gura 9.8 del libro de Alonso-Finn.

6

6 Momento angular

6.1 En SL

Recordamos que para 1 partícula se cumplen entre el momento (o torque) �!� yel momento angular L las relaciones

� = r� FL = r� p) �!� = dL=dt:

Para un sistema de dos partículas

L = r1�p1+r2�p2; (13)

si sobre la 1 actúan, como antes, las fuerzas F1 (externa) y F12 (interna) ysobre la no 2 actúan F2 y F21 (= �F12) ; tendremos

�!� 1 = r1 � (F1 + F12) ;

�!� 2 = r2 � (F2 + F21) = r2 � (F2 � F12) ;sumando

�!� 1 +�!� 2 = r1 � F1 + r2 � F2 + F21 � (r2 � r1)= r1 � F1 + r2 � F2 + F21 � r21;

el último término es nulo para fuerzas centrales, por lo cual, respecto del SL:

�!� =X�!� ext = d

dt(L1 + L2) ;

que se generaliza, para cualquier número de partículas a

��ext =dL

dt: (14)

COROLARIO. Si sobre un sistema sucede quePFext = 0 o

P�!� ext = 0;entonces L =cte (que es la ley de conservación del momento angular).

6.2 En SC

Ahora escribimosL0 � LCM= r01�p01+r02�p02 (15)

Usando las ecuaciones 7 y 9,

L0 =m2

Mr12 �m1v

01 +

��m1

Mr12

��m2v

02

=m2

m1 +m2r12 � �v12 �

m1

m1 +m2r12 � (��v12)

= �r12 � v12 = r12 � �v12: (16)

7

Es importante recalcar que este resultado es independiente del SL y queentran las cantidades del movimiento relativo.¿Cómo relacionar las cantidades 13 y 16? Teniendo en cuenta que L = r1�p1+r2�p2

y que v1 = v01 + vCM resulta entonces que

p1 = p01 +m1vCM ; p2 = p

02 +m2vCM ;

con lo cual

L =(r01 + rCM )� (p01 +m1vCM ) + (r02 + rCM )� (p02 +m2vCM ) ;

desarrollando y recordando 15, resulta que

L = L0 + (m1r01 +m2r

02)� vCM + rCM � (p01 + p02) + (m1 +m2) rCM � vCM :

El segundo término es nulo por las ecs. 7 y 9, el tercero es nulo por la ec.12, con lo cual nos queda el denominado Primer Teorema de König:

L = L0 + rCM �P: (17)

Signi�ca que L tiene en cuenta el momento angular interno LCM así comoel externo, donde toda la masa se puede considerar ubicada en rCM :PODEMOS SEPARAR, ENTONCES, EL MOVIMIENTO INTERNO DEL

MOVIMIENTO DEL CM. A manera de ejemplo, estudiaremos más adelante elmovimiento de una rueda al avanzar.

7 Momento de una fuerza

Análogamente al caso anterior, será �!� = r1�F1+r2�F2 y �!� 0 = r01�F1+r02�F2�!� = (r01 + rCM )� F1 + (r02 + rCM )� F2

= �!� CM + rCM � F: (18)

Por otra parte, derivando la ecuación 17

dL

dt=

dLCMdt

+ rCM �M dvCMdt

+MdrCMdt

� vCM

=dLCMdt

+ rCM �M dvCMdt

=dLCMdt

+ rCM � F;

ya que el términoMvCM �vCM es claramente nulo. Identi�cando los términoscon la ec. 18, reconocemos que

�!� CM =dLCMdt

: (19)

SUTILEZA IMPORTANTE: esta última ecuación es muy similar a la ec. (14)pero existen algunas diferencias. La ec. (14) vale cuando � y L se evalúancon respecto a un punto �jo en un sistema inercial, normalmente el origende coordenadas. La ec. (19) vale para el CM aunque éste no esté en reposocon respecto a un SRI. Es importante recalcar que, tanto para �!� como paraL, entran en juego solamente las fuerzas externas. Esto no ocurrirá cuandoconsideremos el apartado §9.

8

8 Energía cinética de un sistema, relación entrelas medidas en SL y en SC

Si consideramos, para simpli�car, solamente dos partículas tendremos, en el SL

K =1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

m1

2(v01 + vCM )

2+m2

2(v02 + vCM )

2

=1

2m1v

021 +

1

2m2v

022 +

1

2(m1 +m2)v

2CM + (m1v

01 +m2v

02) � vCM ;

dado que el último término es nulo, puesto que es p0 � vCM y p0 = 0 (ver ec.12), con lo cual

K = K 0 +M

2v2CM ; (20)

lo que constituye el 2o Teorema de König.Entonces, nuevamente, podemos separar el cálculo en dos partes: una, inde-

pendiente del SR inercial (K0) y la otra, consistente en considerar, respecto delSL toda la masa en el CM moviéndose con v2CM :

8.1 Comentario sobre los Teoremas de König

Podemos pensar el movimiento como

movimiento = movimiento del CM respecto del SI

+ movimiento interno respecto del CM,

válidos para el momento angular y para la energía cinética. El movimientose descompone en un movimiento "medio" del sistema (sea LCMcomo K 0) yun movimiento "interno", que es el del sistema respecto del CM.Una propiedad análoga NO existe para la cantidad de movimiento; mientras

que en SC P0 = 0; la cantidad de movimiento total es igual a la cantidad delcentro de masa: P =MvCM :

9 Teorema del Trabajo y la Energía cinética paraun sistema de partículas

Sea, análogamente, la ley fundamental aplicada a las partículas 1 y 2:

9

r

r

r

2

12

1

m1a1 = F1 + F12

m2a2 = F2 + F21 = F2 � F12;

multiplicando escalarmente por dr1y por dr2 respectivamente, y sumando

m1a1�dr1 +m2a2�dr2 = F1 � dr1 + F2 � dr2 + F12 � dr1 � F12 � dr2� F1 � dr1 + F2 � dr2 + F12 � d (r1 � r2)= F1 � dr1 + F2 � dr2 + F12 � dr12;

el factor a1�dr1 resulta

a1�dr1 =dv1dt�dr1 = dv1 �

dr1dt

= v1 � dv1; etc.

como si dt pudiera ser un divisor común y corriente.Además, siendo la energía cinética K = mv2=2 = m (v � v) =2 será dK =

mv�dv; con lo cual el primer miembro es dK1 + dK2 :

dK1 + dK2 = F1 � dr1 + F2 � dr2 + F12 � dr12;

e integrando adecuadamente (OJO, que tenemos dos partículas y por lo tantodos trayectorias respecto del SL más una 3a relativa, del cuerpo 1 respecto delcuerpo 2)

(K1f �K1i) + (K2f �K2i) = Kf �Ki =Wext +Wint

�K = Wext +Wint (21)

10

siendo

Wext =

ZF1 � dr1 +

ZF2 � dr2; Wint =

ZF12 � dr12:

La ecuación 21 es el teorema del trabajo y la energía cinética para un sistemade partículas.Es importante recalcar lo dicho antes: para consideraciones energéti-

cas hay que tener en cuenta las fuerzas internas.

EJEMPLO

Véase en el libro de Sears-Zemansky el apartado titulado Trabajo interior,en el que se dan dos ejemplos ilustrativos de fuerzas exteriores que no realizantrabajo; éste es provisto por el trabajo de fuerzas internas al sistema.

9.1 Casos de fuerzas conservativas

Si las fuerzas internas son conservativas, o sea existe una función potencial talque Z

F12 � dr12 = V12;i � V12;f ;

entoncesKf �Ki = V12;i � V12;f +Wext;

que escribimos(Kf + V12;f )� (Ki + V12;i) =Wext:

Llamando energía propia a la combinación U = K + V12; podemos escribirla anterior como

�U =Wext; (22)

lo que nos dice lo siguiente: el trabajo hecho por las fuerzas externas sobre unsistema de partículas es convertido en un cambio en la energía propia del mismo.Si el sistema está aislado, Wext = 0 y por lo tanto Uf = Ui: Esto nos llevará,en el 2o cuatrimestre, a la primera ley fundamental de la Termodinámica: laenergía interna de un sistema aislado permanece constante.Si las fuerzas externas también son conservativas, entonces Wext = Vext;i �

Vext;f y(Kf + V12;f )� (Ki + V12;i) = Vext;i � Vext;f

que arreglamos así

(Kf + V12;f + Vext;f ) = (Ki + V12;i + Vext;i)

(K + V12 + Vext)f = (K + V12 + Vext)i (23)

que es la ley de conservación de la energía mecánica.Recalcamos una vez más que la expresión más general es 21; las ecuaciones

22 y 23 valen para fuerzas conservativas.

11

1

2

y

y1

2

EJEMPLOConsideremos dos partículas de masas m1;m2; unidas por un resorte de

constante k; se lanza el sistema hacia arriba de manera que el potencial externoes el gravitatorio mientras que el interno, V12; está dado por el resorte. Entonces,

E =m1v

21

2+m2v

22

2+kx2

2+m1gy1 +m2gy2 = cte:

10 Ecuaciones universales de la Dinámica

Vinculadas a los teoremas de conservación, hemos deducido las Ecuaciones uni-versales de la Dinámica, válidas para cualquier sistema, cualquiera sea su natu-raleza física. Ellas son, válidas para sistemas inerciales, las siguientes:

Fext = dP=dt (24)

�!� ext = dL=dt (25)

�U =W ext (26)

La segunda ecuación es válida para fuerzas centrales; si no, hay que agregarle untérmino, cosa que podrá verse en los cursos de Mecánica Analítica. La últimaecuación nos lleva, en general, a la primera ley de la Termodinámica, y a la ley

12

de conservación de la energía mecánica, si las fuerzas exteriores dependen de unpotencial.Las ecuaciones universales nos proveen, en total, de siete ecuaciones es-

calares, las que pueden ser su�cientes o no, dependiendo del problema. En lasecuaciones 24 y 25 han desaparecido las fuerzas internas, por lo que si éstasson incógnitas, el problema no puede resolverse directamente; en muchos casospodrá subdividirse el sistema en sub-sistemas, tal que algunas de las fuerzasinternas pasen a ser externas. Recordar el ejemplo de los carritos unidos porresortes...

11 Choques (o Colisiones)

Se entiende por choque un proceso donde actúan fuerzas impulsivas, de muycorta duración, y en donde no se sabe o aún, no importa, cómo es exactamenteF (t) sino que puede considerarse que podemos utilizar el impulso I y la ley

I =

Z t1

t0

F (t) dt =

Z p1

p0

dp =�p;

lo que nos permite de�nir una cierta fuerza media eF tal queZ t1

t0

F (t) dt = eF�t; o sea eF = �p

�t:

F(t)

tFuerza impulsiva

En un choque elástico, como el de un bate contra una pelota, o en el choqueentre dos bolas de billar, el tiempo � de choque puede ser del orden � . 10�4s:En estos casos, podemos despreciar generalmente las fuerzas externas, puestoque Fext << Fint:

13

Como ejemplo, una pelota de tenis de masa m � 0:020kg que viaja a v �55m=s y que al ser golpeada con una raqueta está en contacto un tiempo del

orden de t � 10�2s; recibe una fuerza media de eF � 110N �� 11�!kg� :Los choques pueden catalogarse como elásticos (cuando se conserva K),

parcialmente elásticos (o, lo que es lo mismo, parcialmente inelásticos) o total-mente inelásticos (o plásticos). Estos fenómenos son importantes no solamenteen física clásica sino que es una de las principales fuentes de información acercade la física microscópica; por ejemplo, podemos citar la reacción

p+Ag107| {z }M=108

! �+ Pd104| {z }M=108

; la partícula � consta de 2p+ + 2n0

Ejemplos de este tipo se verán posteriormente en Física Moderna, MecánicaCuántica, Física Nuclear, etc.

12 Conservación de p

La ley de conservación de p es válida para todo tipo de colisiones, en cambio,K se conserva solamente en los choques elásticos. Se cumplen

�p1 = eF1�t así como �p2 = eF2�t;si 8t se cumple que debe ser eF1 = �eF2; entonces �p1= ��p2 y

�(p1 + p2) = �P =0

y por lo tantoP = p1 + p2 =cte:

13 Choques elásticos en 1D

Consideramos dos masas m1 y m2 con velocidades v1i y v2i (que constituyen losdatos del problema) y queremos conocer las incógnitas, las velocidades �nalesv1f y v2f : Dado que en este caso se conservan tanto K como P planteamos, sinnecesidad de su carácter vectorial

m1v1i +m2v2i = m1v1f +m2v2f

(que es la conservación de P), así como

m1v21i +m2v

22i = m1v

21f +m2v

22f :

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, que nos permitirán encontrar v1f yv2f : El resultado puede expresarse como

v1f =m1 �m2

Mv1i +

2m2

Mv2i;

14

v2f =2m1

Mv1i �

m1 �m2

Mv2i;

o bien en forma matricial:�v1fv2f

�=

�m1�m2

M2m2

M2m1

M �m1�m2

M

��v1iv2i

�:

13.1 Casos particulares; factor de transferencia R

1) Si m1 = m2 resulta que v1f = v2i y v2f = v1i, lo que implica un intercambiode velocidades.2) Si v2i = 0 (partícula # 2 inicialmente en reposo), entonces

v1f =

�m1 �m2

M

�v1i

v2f =

�2m1

M

�v1i;

2a) si, además, m1 = m2; se tendrá

v1f = 0;

v2f = v1i:

2b) Si m2 >> m1; que es, p.e., el caso del choque contra una pared

v1f = �v1iv2f ' 0;

lo que nos dice que hay un rebote de la masa #1.2c) Si m1 >> m2; entonces

v1f ' v1i

v2f ' 2v1i;

la masa #1 sigue prácticamente como venía, mientras que la #2 adquiere unavelocidad doble.Estudiemos el caso 2, calculando cuánto vale R = (K2f=K1i) : R mide la

transferencia de energía cinética, ya que nos dice qué proporción de K1i setransforma en K2f : Es sencillo hacer la cuenta:

R =4m1m2

(m1 +m2)2 ;

veamos cuándo R es máximo. Dada m1; ¿cuál es la masa m2 tal que R se hagamáximo? Derivando e igualando a cero

dR

dm2= 4m1 (m1 +m2) [(m1 +m2)� 2m2] = 0;

lo que implica que [(m1 +m2)� 2m2] = 0 y por lo tanto m1 = m2 y R = 1 :toda la energía cinética incidente K1i se transforma en K2f :

15

14 Choques parcial y totalmente inelástico

En el primer caso p1i + p2i = p1f + p2f , se conserva P así como la energíatotal, NO la energía mecánica2 . En el segundo caso, solamente podemos aplicar

m1v1i +m2v2i = (m1 +m2)vf ; vf = vCM ;

válida en 2D y 3D, ya que las partículas quedan "pegadas" al chocar.

EJEMPLO : péndulo balístico

(primer proceso: choque plástico, segundo proceso: conservación de la en-ergía mecánica)

Péndulo balístico

Consideremos un bloque de madera de masaM sobre el que incide un proyec-til de masa m con velocidad v1i: Si � ch << tosc; no habrá movimiento apreciabledel bloque hasta que t > � ch: El primer proceso es un choque completamenteinelástico, donde se cumple

mv1i = (m+M) vf ; de donde vf =mv1i

(m+M);

luego del choque, hay conservación de la energía mecánica: la energía cinéticadel sistema (proyectil + bloque) se convierte en energía potencial

(m+M)

2v2f = (m+M) gy;

(m+M)

2

(mv1i)2

(m+M)2 = (m+M) gy

de donde, podemos averiguar la velocidad del proyectil midiendo cuánto selevanta el sistema (proyectil + bloque) :

v1i =(m+M)

m

p2gy:

2Parte se transforma en calor.

16

La relación entre las energías Ki y Kf es

Kf

Ki=

m

(m+M);

el resto se ha convertido en calor (o sea, movimiento de las moléculas de masasm y M).

15 ¿Cómo se ven las cosas desde el SL y el SC?

Las relaciones importantes son:

K = K 0 +M

2v2CM ;

donde el segundo término es invariable y el primero varía o no, dependiendo deltipo de choque: K 0

f = K 0i (elástico); K

0f 6= K 0

i (inelástico). Además, tenemosque, en el SC, P0 = 0 :

m1v01 +m2v

02 = 0 8t;

lo que nos dice que

m1v01i +m2v

02i| {z }

p01i=�p02i

= m1v01f +m2v

02f| {z }

p01f=�p02f

= 0 (válida para todo tipo de choques)

17

En el caso completamente inelástico, m1v1i+m2v2i = (m1 +m2)vf ; lo quenos dice que

vf =p1 + p2M

= vCM ;

en cuanto a Ki y a Kf ; tendremos

Ki = K0i +

M

2v2CM

Kf =(m1 +m2)

2v2CM ;

lo que nos dice que Kf < Ki : hay una conversión de energía mecánica en calor:

�K = Kf �Ki = �K 0i;

�K es igual al negativo de la energía cinética respecto del CM: las fuerzasinternas son NO conservativas.En muchos escritos suele llamarse Q a lo que arriba hemos denominado �K:

Es una manera fenomenológica de que se cumpla la conservación de la energíatotal. De tal manera, escribimos las dos leyes de conservación como

P = p1i + p2i= p1f + p2f

yp21f2m1

+p22f2m2

=p21i2m1

+p22i2m2

+Q;

ambas ecuaciones, en principio, resuelven el problema. De acuerdo a su valor,tendremos los siguientes casos:

Q = 0 elásticoQ < 0 endoérgico: se pierde K, se gana VintQ > 0 exoérgico: se gana K a expensas de Vint:

:

Cuando decimos, p.e. algo así como "se pierde K, se gana Vint"; queremosdecir que cambia la con�guración de los cuerpos complejos, como que estuviesenunidos "por resortes", de manera que K se usa para deformar los resortes.

16 Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1. Estudiar el choque plástico de un bloque de masam1 con v1; contraotro bloque de masa m2 inicialmente en reposo (v2 = 0); vamos a suponer quese mueven sobre una mesa con rozamiento despreciable.

Aplicando

m1v1 = (m1 +m2)vCM ; vCM =m1

Mv1;

18

m m1 2

Ki =m1

2v21 ; Kf =

(m1 +m2)

2v2CM

por lo cual

Kf �Ki = Q = �m1m2

2 (m1 +m2)v21 = �

1

2�v21 ;

Kf

Ki=m1

M;

es una reacción de captura (por ejemplo, nuclear). Claramente, Kf < Ki (sepierde energía cinética)3 .Ejemplo 2. Estudiar el choque plástico entre una masa m1 con una veloci-

dad v1 = v1i y una masa m2 con velocidad v2 = v2j:

P

3En un choque nuclear de captura, la energía cinética perdida se ha convertido en energíapotencial del núcleo compuesto.

19

Choque en 2D

Elegimos el origen de coordenadas en el punto de choque; antes de él

pi=m1v1 +m2v2;

luegopf=(m1 +m2)vCM ;

la ecuación vectorial pi = pf es equivalente a las siguientes dos ecuacionesescalares

pxi = m1v1#= pxf = (m1 +m2) vCM cos �

pyi = m2v2#= pyf = (m1 +m2) vCM sin �;

el ángulo � que forma p con el eje x es tal que

tan � =m2v2m1v1

;

además

vCM cos � � (vCM )x =m1v1M

;

vCM sin � � (vCM )y =m2v2M

;

por lo cual

vCM =

q(m1v1)

2+ (m2v2)

2

M:

17 Choques elásticos en 2D

Hemos visto anteriormente que el problema de los choques en 1D queda com-pletamente resuelto aplicando las leyes de conservación de p y de Ecin : En 2Dy 3D tal solución completa no es posible, puesto que el número de incógnitases mayor que el de ecuaciones. Si consideramos el choque de una partícula demasa m1 que incide con velocidad v1 sobre una masa m2 en reposo, los datosson claramente tres mientras que las incógnitas son cuatro: v1f ; v2f ; �1; �2:

20

m

m

1

2

v

v

1 f

f2

Choque elástico en 2D

Las tres ecuaciones pertinentes son

p1i = pi = p1f cos �1 + p2f cos �2;

p2i = 0 = �p1f sin �1 + p2f sin �2;

K1i = K1f +K2f :

Todo esto hace que sea necesario medir experimentalmente �1 o �2 para com-pletar los datos necesarios. Evidentemente, aunque en principio sólo es necesariomedir uno de los ángulos, la medición de ambos serviría como veri�cación inde-pendiente.

18 Aplicación de los conceptos de colisiones a laFísica Microscópica

18.1 Modelo microscópico para la presión y la temper-atura (K=cte mientras que P 6=cte)

Consideremos el choque de una partícula de masam contra una pared (v2 = 0; m2 =1) :Importante: prestemos atención a qué signi�ca una ley de conservación de

una magnitud vectorial: si no hay fuerza externa en alguna de las direcciones,signi�ca que se conserva solamente ésa componente de p, NO se conserva p:

21

p p

p

i f

Por lo visto anteriormente, si incide en forma normal, vf = �vi: Si incideformando un ángulo � con el eje x se conservará la componente paralela a lapared, puesto que no hay fuerza externa en esa dirección: F exty = 0: El módulojpij = jpf j por lo cual j�pj = 2mv cos �: En 1s chocarán todas las partículasque estén dentro de un cierto cilindro de diámetro a, tal que el número es (nav)s�1: Por lo tanto, la fuerza media es

F =�p

�t = 1s=2mv (nav) cos �

1s;

además, a = A cos �; con lo cual la presión p = F=A será

p = 2nmv2 cos2 �:

O sea, le hemos dado un significado microscópico a la presión; es elintercambio de p por unidad de área y por cada segundo:

p =� jpj =�t (= 1s)

A� � jpj =A�t (= 1s)

:

(no confundir los dos signi�cados de la letra p).Como además, hay una ley macroscópica de la Termodinámica que expresa,

para los gases ideales, la proporcionalidad entre la presión y la temperatura:

pV = nRT;

ello implica que T es una medida de la energía cinética media de las partículas:

T =pV

nR=2nV mv2 cos2 �

nR=4nV cos2 �

nR

�1

2mv2

�:

18.2 El concepto de sección e�caz (o cómo medir tamañosen el micromundo)

Esta magnitud, de fundamental importancia en la Física microscópica, permiteaveriguar tamaños característicos de las pequeñísimas partículas del blanco.

22

Supongamos que éste está compuesto por q objetos, cada uno de ellos de área�; el área total será, entonces q�: Si sobre el área total A llegan R0 proyectilespor segundo

�R0 s

�1� y, sobre el área q� pegan R s�1 proyectiles, en el casoen que se absorben, estaríamos midiendo una cierta sección e�caz de absorción;contando el número R0=R estaríamos midiendo � :

q�

A=R

R0por lo cual � =

RA

qR0;

� tiene dimensiones de m2 pero, básicamente, tiene el signi�cado de unaprobabilidad de ocurrencia de un dado fenómeno. Efectivamente, si hay n

�m�3�

partículas en un cierto cilindro de longitud l [m] ; el producto n�l no tiene di-mensiones (como la probabilidad). Si tanto n como l son �jos, la probabilidadde ocurrencia es proporcional a �:Si en un blanco de área A y espesor x hay n partículas/m3 en el volumen

Ax habrá (nAx) partículas; si el área de c/u de ellos es �x; el área del total delas partículas es (nAx�x) por lo cual

RxR0

=nAx�xA

y entonces

�x =RxnxR0

:

19 Sistemas con masa variable; movimiento deun cohete

El estudio de este sistema puede leerse con provecho en los libros de Resnick-Halliday y de Alonso-Finn. ¡Es importante recalcar que la ley de movimientopara masas variables se deduce partiendo de un sistema de masa total constante!Esto se hace así porque sabemos cómo tratar con sistemas de masa constante.Si un cuerpo de masa M arroja una cierta cantidad de masa �M por efecto

de fuerzas internas (p.e.: por la explosión de los gases), será conveniente enfocarnuestra atención no solamente en la masa (M ��M) del cuerpo, sino consid-erar también la masa arrojada, �M . Esto facilita nuestra tarea puesto quehemos trabajado abundantemente con problemas de masa constante. Entonces,con respecto a un sistema inercial, partimos de

Fext =dP

dt�=�P

�t=Pf �Pi�t

;

donde, con Fext tenemos en cuenta el peso, la fuerza de roce debida a laatmósfera, etc. Dado que, siempre midiendo respecto de un S.I.

Pf = (M ��M) (v+�v) + u�MPi = Mv;

23

llegamos a

Fext �=[(M ��M) (v+�v) + u�M ]� [Mv]

�t' M�v��Mv + u�M

�t

y haciendo �t! 0;

Fext =Mdv

dt+ v

dM

dt� udM

dt=M

dv

dt+ (v � u) dM

dt

que podemos escribir también como

Fext =d (Mv)

dt� udM

dt;

d (Mv)

dt= Fext + u

dM

dt:

Esta ecuación es la formulación matemática de un principio impor-tantísimo: la tasa de cambio de la cantidad de movimiento es igual a la fuerzaexterna más la tasa del in�ujo (o e�ujo) de cantidad de movimiento provenientedel (o hacia el) medio ambiente.Por ejemplo: puede ser una gota de agua que mientras está cayendo aumenta

su masa por la humedad ambiente, o puede perderla por evaporación.IMPORTANTE: Téngase bien en cuenta que NO es

Fext =Mdv

dt+ v

dM

dt

como parecería indicarlo ingenuamente la fórmula fundamental F = dp=dt =d (Mv) =dt:

19.1 Otra manera de ver las cosas

La cantidad u� v es la velocidad relativa de los gases respecto del cohete; porconsiguiente podemos escribir

Mdv

dt= Fext + (u� v) dM

dt

= Fext + vreldM

dt

Mdv

dt= Fext + Freacci�on

en la cual Freacci�on es la fuerza de reacción ejercida sobre el sistema por la masaque sale de él.EjemploVamos a suponer vrel=cte y Fe = mg, todas actuando sobre el eje j. Usando

los signos correctos

dv + vreldm

m= �gdt; vrel � ve (velocidad de empuje)

24

e integrando Z v

v0

dv + vrel

Z m

m0

dm

m= �g

Z t

0

dt

con el resultado

v � v0 + ve ln�m

m0

�= �gt

v = v0 + ve ln�m0

m

�� gt:

Si v0 = 0; m0 = 3000 ton, m = 2780 ton, dm=dt = 1290 kg=s; entoncesv � 2523 m/s.Lo que se necesita es que m0 >> m (en lo posible) y que el combustible se

queme rápido (dm=dt grande).

19.2 Ecuaciones que aplican

Amodo de resumen, indicamos de diversas maneras las ecuaciones que se aplicanen el caso del movimiento de cuerpos con masa variable:

Fext =Mdv

dt+ v

dM

dt� udM

dt; (27)

Fext =d (Mv)

dt� udM

dt; (28)

Mdv

dt= Fext + (u� v) dM

dt; (29)

o bien:

Mdv

dt= Fext + vrel

dM

dt: (30)

Estos dos últimos casos pueden escribirse como

Mdv

dt= Fext + Freacci�on;

siendo Freacci�on es la fuerza de reacción ejercida sobre el sistema por la masaque sale de él.

20 Ejemplos importantes [1]

Estos ejemplos muestran que para sistemas de masa variable podemos tenercasos donde i) Fext = 0 pero a 6=0 y ii) Fext 6= 0 pero a =0:Caso 1: Fext = 0 pero a 6=0Una ametralladora va montada sobre una plataforma en una super�cie hor-

izontal sin rozamiento. La masa del sistema (plataforma + ametralladora) en

25

un instante determinado es M. En ese mismo instante la ametralladora disparabalas de masa m cuya velocidad, en el marco de referencia �jo a los rieles quese muestra, es u. La velocidad de la plataforma en este mismo marco es v y lavelocidad de las balas con respecto a la plataforma es u� v. El número de balasdisparada por unidad de tiempo es n (medido en s�1). ¿Cuál es la aceleraciónde la plataforma?Respuesta sucinta: El sistema es (plataforma + ametralladora); Fext = 0;

por lo tanto, de ec. (30),

Mdv

dt= vrel

dM

dt;

dv=dt = a; vrel = u� v; dM=dt = �mn; por lo tanto

Ma = �mnvrel; a = �mnvrelM

;

¡hay aceleración aunque no haya fuerza externa!Caso 2: Fext 6= 0 pero a =0Desde una tolva �ja se deja caer arena a una tasa dM=dt sobre una banda

conductora que se mueve con velocidad v respecto del SL. ¿Que fuerza se re-quiere para que la banda se siga moviendo con velocidad v?Respuesta sucinta: aquí la fuerza está asociada exclusivamente con el

cambio de masa. Si queremos que v se mantenga constante dv=dt = 0; ademásu =0; de modo que vrel = �v: Con todo ello

Fext = vdM

dt;

¡hay fuerza externa pero no hay aceleración!

References

[1] Resnick and Halliday

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