Estabilidad I Universidad Tecnolgica Nacional, Facultad Regional Buenos Aires Unidad N1: SISTEMAS DE FUERZAS TIPOS DE FUERZAS Volmenes Superficies Lneas (concepcin terica) o puntuales, cuando la superficie de contacto es muy pequea SISTEMAS DE FUERZAS CONCENTRADAS SISTEMAS DE FUERZAS DISTRIBUIDAS CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS CONCENTRADAS No concurrentes No concurrentes Concurrentes Paralelas RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS EQUIVALENCIAS ENTRE SISTEMAS DE FUERZAS EQUILIBRIO DE UN SISTEMA DE FUERZAS TEOREMA DE VARIGNON 1ino oR FiM M==o|zyxAPoXZYAAAREPRESENTACION VECTORIAL DE UNA FUERZA DATOS A ( XA , YA , XA) P , , , PX=P cos PY=P cos PZ=P cos 1 2 2 2(cos cos cos )cos cos cos 1P P i j k o | o | = + ++ + =2 3 Reemplazando 1 en 3 Reemplazando 2 en 4 4 cos cos cos i j k o o | = + +P Pxo =(cos cos cos ) P P i j k x o | o = + +(cos cos cos ) (cos cos cos ) P P i j k x i j k o | o | = + + + +P P =2 2 2(cos cos cos ) P P o | = + +(cosi+cosj+cosk)x(cosi+cosj+cosk)==cosi.cosi+ cosi.cosj + cosicosk +cosj.cosi +cosj.cosj+ cosj.cosk +cosk.cosi + cosk.cosj2 2 2 2 2 2 2 2 2+cosk.coskPor ser ortogonales los versores, su multiplicacion siemprees igual a 0 y su multiplicacion por si mismos es igual a 1. por lo tanto:=cos . i +cos .j +cos .k = cos +cos +cos BzyxAoXZYAAAPXBYAZAt17.2PROYECCION DE UNA FUERZA 1 3 2 Cos tP Pxt =(cos cos cos ) P P i j k o | = + +cos cos cost t tt i j k o | = + +OzyxAoXZYAAAPXBYAZACMPOd29.2rMOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO DATOS A ( XA , YA , XA) , , , O (X0 , Y0 , Z0) contiene a O yy PX=P cos PY=P cos PZ=P cos

r A Or xi yj zk= = A + A + AA OA OA Ox X Xy Y Yz Z ZA = A = A = x y zP Pi P j Pk = + +PP OPM r P = .MAGNITUD DE UN MOMENTO d , brazo de palanca, es la menor distancia entre el centro del momento y la fuerza concentrada OPM P r sen =.OPM P d =OPx y zi j kM x y zP P P= A A AO o o ox y zPM Mi Mj Mk = + +2 2 2( ) ( ) ( )O o o ox y zPM M M M = + +coscoscosoxMoPoyMoPozMoPMMMMMMo|===OzyxAoXZYAAAPXBYAZACMPedfirMPOMOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE DATOS A ( XA , YA , XA) , , , O (X0 , Y0 , Z0) contiene a O yy

r A O = .e OP PM M n =x y zP Pi P j Pk = + +PP.e OP PM M n =OoPPP12nejeM Po`M PeArrrr2rrrr1rrrr1 2P=P +P1 2r=r +r n 2eje n r c1p t c2p nMe op pM n = 2 1 M P rop = .( )epM =n P r .3 ( )( )1 2 1 2MePn P P r r (= + . + 1 1 1 2( ) ( )epM n r p n r p = . + .2 1( ) n r p + .2 2( ) n r p + .11 1ePM r p'= .1e opPM n M ''=1oPM'1e opPM M'=epMCUPLA PAR DE FUERZA PPMcNo produce traslaciones ! Produce solo rotaciones! 0 R =cM : Momento de la cupla, representa al sistema. Es un vector libre !!! PPMcOdrABrrABzyx( )c A BM r P r P = . + . ( )C A BM r r P = . CM r P Cte vector libre = . = =B A A Br r r r r r + = = PPPAOrTRASLACIN DE UNA FUERZA A UN PUNTO QUE NO PERTENECE A SU RECTA DE ACCIN PAOrr1SO'PPMMPOPO'En consecuencia: OPM r P = .'1OPM r P = .Trasladar una fuerza a un punto que no pertenece a su recta de accin involucra la generacin de una cupla de traslacin ,,de direccin perpendicular aOPMP3 ( ) ''o oo op p pM M M= +1 ' opM S P = .2 ( )' S o o = ( )'''1opopopM r P S PM r S PM r P= . + .= + .= .SISTEMAS DE FUERZAS ESPACIALES NO CONCURRENTES OyAioXZYAAAXoYoZoCMROA2A3A1A4O'OMRO'PRPPPPR124ii r52.7( , , )( , , )i i i ii ix iy izo o oAx y zP P i Pj P kOx y z= + + Datos: oM1OP1M2OM4OM3OMiOP2P3P4Pi11niinO oR piiR PM M====1( )ni iir P== .0090ORoRM===: R:ORMRORM'1 1, , ,90O O oR RR cte M M = = = =' O OR RM M =CASOS PARTICULARES 90R 0,M 00o OReI = = ==0 , M 0ORR = =El punto O pertenece a la recta de accin de la resultante 0,M 0ORR = =El sistema se reduce a una cupla ' O OR RM M Cte = =0,M 0ORR = =El sistema de fuerzas esta en equilibrio Es incapaz de producir traslaciones y rotaciones CONCEPTO DE EJE CENTRAL * ORM( )* OOOR RM M= ( )**OOO OR R RM M M= +( )* OORM r R= .O* es un punto que pertenece a la recta de accin de la resultante. Para resolver dicho problema (hallar O*) resulta de suma utilidad la aplicacin del teorema de varignon. En general el problema mas importante que se presenta en la determinacin de la resultante de un sistema de fuerzas es encontrar un punto, O*, que pertenece a su recta de accin. Es posible hallar la resultante del sistema O*XO*YO*ZO*MRo*REje torsor eje central del cuerpo* ' ',M , =0O oR R R eM M I = =CLCULO DEL BINOMIO DE REDUCCIN Calculo de R xi yj zkR R R R = + +111nx ixiny iyinz iziR PR PR P======Son la causa de los desplazamientos lineales 2 2 2x y zR R R R = + +coscoscosxRyRzRRRRRRRo|- =- =- =2 2 2cos cos cos 1R R Ro | - + + =Calculo deORMO o o oR x y zM Mi Mj Mk = + +Tendencia a producir giros alrededor del eje z ( ) ( ) ( )1 0 1 01 12 2 2( ) ( )

n nox iz iyi io o o oR x y zM P y y P z zM M M M= == = + + cos, cos, cosoo oyx zM M Mo o oR R RMM MM M Mo | - = - = - =2 2 2cos cos cos 1M M Mo | + + =Calculo deIc MROORMR''Oe ROe Ro o oxRx y y z zeeI e MReRRI MRR M R M R MIRM I= == + + ==I III IIO OR RR RM M==( ), , , , ,x y z x y zPP PM M M00000000ORix xiy yiz zRMP MP MP M=== == == = zyxoXoYoZoCO'OMRORPrnP1P2P3PiRA0( , ,0)A A Ai ix iy izA x y zP P i Pj P kR R = += +=1niix y zR PR R i Rj R k=== + +111nx ixiny iyinz iziR PR PR P======2 2 2x y zR R R R = + +coscoscosxRyRzRRRRRRRo|===2 2 2cos cos cos 1R R Ro | + + =( , , )0 admite resultanteo o oOReOx y zM r RI= .= 1 11 11 1I IIn nix jxi jn niy jyi jn niz jzi jR RP PP PP P= == == ===== La esttica puede plantear 3 ecuaciones Equilibrio 1110000nixiniyiniziRPPP=======Tambin se pueden plantear: a) 2 nulidad de momentos y uno de fuerzas b) 2 nulidad de fuerzas y uno de momento c) 3 ecuaciones de nulidad de momentos zyxoCP1P2A1A2AiA3A4P3PiP4oRROM(Ai-O)( , )0, ( , )0i i iioOzoRiOxAx yP P kyR M ===11 est contenido en el plano xy( )0 ( )el sistema admite resultanteznz iziO OR RnOR i iiO o oR x yOe RR R kR PM R MM A O PM Mi MjI M R==== = .= += 1 00ORRM==O pertenece a la recta de accion de la resultante recordar el teorema de varignon 2 00ORRM==El sistema se reduce a una cupla si al sistema le cambiamos el centro 3 00ORRM==El sistema est en equilibrio Debemos calcular un punto que pertenece a la recta de accin zyxoo*RROM(O*-O)RTeorema de varignon 1nO OR piiM M==O* pertenece a la recta de accion de la resultante y por lo tanto: *0ORM =11 1( * )( ) ( )ORnO OR Piin nOR iz i o iz i oi iM O O RM MM P y y i P x x j== == .== 1 * **1*1( ) ( )( ) ( )( ) ( )OR z o o z o onz o o iz i oinz o o iz i oiM R y y i R x x jR y y P y yR x x P x x=== = = 2 1 11 11 1I IIn niz jzi jn nix jxi jn niy jyi jR RP PM MM M= == == ===== 3 expresiones de equivalencia Equilibrio 00ORR M = . =111000nizinixiniyiPMM======Se pueden tambin plantear 3 ecuaciones de nulidad de momentoszyxocoRROMA1A2AiA3A4P1P2P3PiP4O pertenece al plano xy ( , )i i ii ix iyAx yP P i Pj = +DATOS: Se reduce a un binomio de reduccin 0090ORoRM===10el sistema admite resultante direccin ken el plano xyeORniix yIMRR PR R i Rj== c== +1nx ixiR P==1ny iyiR P==( ) ( )O OR PiO OR zOz iy i o ix i oM MM MkM P x x P y y=== 1 00ORRM==El punto O pertenece a la recta de accin de la resultante 2 00ORRM==El sistema se reduce a una cupla 3 00ORRM==El sistema esta en equilibrio zyxoo*RROM(O*-O)R* *( ) ( )( * ) ( ) ( )O OR PiO OPi iy i o ix i o ROR y o o x o oM MM P x x P y y k MM O O R R x x R y y k= ( = = (= . = 1 11 11 1 I IIO OI II R Rn nix jxi jn niy jyi jn ni ji jR R M MP PP PM M= == == == . ==== 3 expresiones de equivalencia: Equilibrio 00ORR M = . =111000nixiniyiniiPPM======Los ejes x e y no tiene por qu coincidir con los ejes de referencia. Pero no deben ser paralelos. 11'1000nixinOiinOiiPMM======2 ecuaciones de nulidad de momentos y una de nulidad de fuerzas no debe ser perpendicular a' OOR12000OiOiOiMMM===Tambin podemos plantear: O , O1 , y O3 no deben estar alineados zyxoRROMRP2P3PiPnRP1Aoc( , )i i ii ixx yiyAR R ix yP P i PjRj= += +DATOS:O pertenece al plano xy 0, si O no pertenece a la recta de accion de RMO OORR ZMMk ==yxoA90RtNO1 11 1I IIn nix jxi jn niy jyi jR RP PP P= == ==== 2 expresiones de equivalencia Equilibrio 0R =1100nixiniyiPP====O tambin: 1100nitinOiiPM====Acordarse de que la direccin de t no debe ser perpendicular al del vector OA yxoARNOo'OTRA: '1100nOiinOiiMM====O, O y A no deben estar alineados !!! zyxoRROMRP2PnPiRP1A1oco* A2AiAi(O*-O)1))((,yO Oi i iR ZnOZ iy i oii iyAx yPR RjM MkM PPjx x==== =DATOS: O pertenece al plano xy 0eI =1 00ORRM==El punto O pertenece a la recta de accin de la resultante 2 00ORRM==El sistema se reduce a una cupla 3 00ORRM==El sistema esta en equilibrio *( * ) ( )O O OR i ZOR y o oM M MkM O O R R x x= == . = 1 11 1 I IIO OI II R Rn niy jyi jn no oi ji jR R M MP PM M= == == . === Equilibrio 110, 000ORniyinoiiR MPM=== ===Equivalencia Estabilidad I Universidad Tecnolgica Nacional, Facultad Regional Buenos Aires FIN