Sistemas de EDO

Sistemas de EDO LinealesECUACIONES DIFERENCIALES

1.Sistemas de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias Lineales


EXPRESIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN

Al plantear los modelos matemá-ticos correspondientes a fenóme-nos físicos, surgen los sistemas de ED.Ejemplo 1:

F0

C0

x1(t)

V1

F1

C1

x2(t)

V2

F2*

C2

F2

C2

Determine la cantidad de soluto x1 y x2 para cualquier tiempo t.

Condiciones iniciales:x1(0) = a

x2(0) = b

Considerando:

F0 =F2 , F2* fijo y

F1 = F0 + F2* V1 y V2 constantes

Planteando los balances de masa, se obtiene:

En el tanque 1:

*

1 2 10 0 2 1

2 1

dx t F FF C x t x t

dt V V 1

En el tanque 2:

*

2 1 2 21 2 2

1 2 2

dx t F F F

x t x t x tdt V V V

1bis


Para encontrar las expresiones de x1(t) y x2(t) se deben resolver (1) y (1bis) en forma simultánea, esto es, como un sistema de EDO de primer orden lineal.

*1 1 2

1 2 0 01 2

*2 22 1

1 21 2

dx t F Fx t x t F C

dt V V

F Fdx t Fx t x t

dt V V

2

Expresado en forma matricial, junto con las condiciones iniciales tenemos:

*1 2

1 2

*2 21

1 2

'1 1 0 0 1

'2 22

0

;

0 0

F F

V V

F FF

V V

x t x t F C x a

x t x bx t

3


Ejemplo 2: Encontrar las corrientes I1 e I2 en el circuito que se muestra en la figura siguiente

Condiciones iniciales:

I1(0) = aI2(0) = b

R1

L2

R2

K E

I1 L1

I2

Planteando el modelo matemático visto para circuitos eléctricos en serie:

11 1 1 2 1 2 2

22 2 2 2 1 0

dI tR I t L R I t R I t E t

dtdI t

R I t L R I tdt

4

Expresado en forma matricial, junto con las condiciones iniciales tenemos:

' 11 2 21

11 1

2 2'2

22 2

1

2

;

0

0

0

I t E tR R RI tLL L

R RI t I tL L

I a

bI

5


Podemos inferir que la forma general de los EDO de primer orden es:

'1 1 1 1 0 1

'01

, , . . . ,

. .

. , .

. .

, , . . . ,

n

n nn n n

x t f t x t x t x t b

x t bx t f t x t x t

6

O en forma vectorial:

1 0' , , . . . , , ,

nx t f t x t x t f t x t x t b 7

Conversión a Sistemas de EDO LinealesECUACIONES DIFERENCIALES

CONVERSIÓN DE UNA EDO DE ORDEN n

A UN SISTEMA DE n EDO DE PRIMER ORDEN

La única condición para que una EDO de orden n pueda convertirse en un sistema de n EDO de primer orden es que pueda escribirse en forma normal, es decir de la forma siguiente:

1, , ' , . . . , n nx t f t x t x t x t 8

ECUACIONES DIFERENCIALES

1

'1 2

'2 3

'3 4

'1 2

'

''

'''

.

.

.

, , , . . . ,nn n

x t x t

x t x t x t

x t x t x t

x t x t x t

x t x t f t x t x t x t

Procedimiento a seguir:

Expresada la EDO de orden n en la forma de , definimos las siguientes funciones:

9

Conversión a Sistemas de EDO Lineales

Tomando las segundas igualdades, queda determinado un sistema de EDO de primer orden

'1 2

'2 3

'1 2, , , . . . ,

n n

x t x t

x t x t

x t f t x t x t x t

10

Solución de Sistemas de EDO LinealesECUACIONES DIFERENCIALES

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Un sistema de EDO de primer orden puede escribirse, en notación vectorial, como:

0' , ,

x t f t x t x t b 11

La solución de (11) , en un intervalo abierto I que contiene a , será un

vector solución de la forma , que satisface el

sistema (11) en I.

0 ,

t b

1 2, , . . . , T

nx t x t x t x t

Si es continua en I, se garantiza la existencia de solución

que satisface las condiciones iniciales:

, f t x t

x t

0

x t b

Si además las derivadas parciales , con i=1,...,n, son continuas

en I0 I, entonces se garantiza solución única en I0, con .

,

i

f t x t

x

0 0,

t b I


Solución de Sistemas de EDO Lineales

Teorema de Existencia y Unicidad para Sistemas de EDO de primer orden lineal:

' 1 0 11 11 1 12 2 1 1

'2 21 1 22 2 2 2

'1 1 2 2

0

. . ..

. . .; .

.. . .

n n

n n

n n n nn n nn n

x t bx t a t x t a t x t a t x t f t

x t a t x t a t x t a t x t f t

x t a t x t a t x t a t x t f t x t b

12

Forma matricial:

0' ,

tx t x t f t x t bA 13

Si las funciones aij(t) y fi(t) (con i,j = 1, . . . , n) son continuas en I, entonces

existe solución única , en I, que satisface las condiciones iniciales . x t 0

x t b

A partir de ahora se tratarán sistemas de EDO de primer orden lineales a coeficientes constantes no homogéneos, de la forma:

0' ,

Ax t x t f t x t b 14

A = matriz de coeficientes constantes.



SOLUCIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN LINEALES NO HOMOGÉNEOS

Vinculado al sistema (14) existe el sistema de EDO de primer orden homogéneo asociado:

' Ax t x t 15

La solución general del sistema (14) es:

h px t x t x t 16

Donde es la solución particular que satisface (14) y es la solución

homogénea del sistema de EDO homogéneo asociado (15).

px t

hx t



SOLUCIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN LINEALES HOMOGÉNEOS

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Sean soluciones de (15) en un intervalo I y sean c1, . . . , cn

constantes reales, entonces la combinación lineal es

también solución sobre I.

1 ,. . ., nt t

1 1 . . .

n nc t c t

Demostración

Si , con i = 1, . . . ,n, son solución de (15), cumplen i t

' A

i it t

La solución es: 1 1 . . .

n nx t c t c t

17

18

Derivando la solución (18) : ' '1 1' . . .

n nx t c t c t 19

Reemplazando (17) en (19)

1 1 1 1' . . . . . . A A A A

n n n nx t c t c t c t c t x t 20

Quedando comprobado el principio de superposición.



Derivando la solución (18) :

' '1 1' . . .

n nx t c t c t 19


1 1 1 1' . . . . . . A A A A

n n n nx t c t c t c t c t x t 20

Quedando comprobado el principio de superposición.



INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS SOLUCIONES

Las soluciones del sistema homogéneo (17)deben ser L.I. i t

La determinación de la independencia lineal se hace a través del determinante Wronskiano:

1 nW t t t

21

Si W(t) 0 las soluciones son LI.

Si W(t) ≡ 0 las soluciones son LD.



CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES

Sean soluciones LI de (15) en un intervalo I, entonces

constituye un conjunto fundamental de soluciones y la matriz

fundamental de soluciones es:

1 ,. . ., nt t

1 ,. . ., nt t

1

nt t t

El Det (soluciones LI) existe . 0 t W t 1 t

22



SOLUCIÓN GENERAL DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN LINEALES HOMOGÉNEOS A COEFICIENTES

CONSTANTES.

0

'

A

x t x t

x t b23

Sean soluciones de (23) en un intervalo I, por el principio

de superposición, la solución es:

1 ,. . ., nt t

1 1 . . .

h n nx t c t c t 24

O en forma matricial:

hx t t c 25



Además se cumple de (25):

0 0

10 0

10

h

h

x t t c

c t x t

c t b

26


10h

h

x t t t b

x t t b

Ω

27

Donde es una Matriz Fundamental de Soluciones

que cumple

10t t tΩ

0 Ω It



MÉTODO DE LOS VALORES PROPIOS

Un sistema de EDO lineal homogéneo a coeficientes constantes, puede expresarse en forma genérica como sigue

' 1 0 11 11 1 12 2 1

'2 21 1 22 2 2

'1 1 2 2

0

0

. . ..

. . .; .

.. . .

' ;

n n

n n

n n n nn nn n

x t bx t a x t a x t a x t

x t a x t a x t a x t

x t a x t a x t a x t x t b

x t x t x t b

A

28

Al observar el sistema vemos que las funciones derivadas pueden verse como la combinación lineal de las funciones incógnitas, por lo tanto la expresión funcional de éstas debe ser tal que no se modifique al derivarla, salvo por una constante. Entonces proponemos a la función exponencial como posible solución.


,

t

n

x t v e

v29

Si (29) es solución, entonces debe satisfacer el sistema (28), entonces

' tx t v e 30

Reemplazando (29) y (30) en (28), resulta:

tv e tv eA

v vA 31

Esta expresión representa un problema de valores propios y vectores propios.

0v A- I 32


Para que se cumpla (32) tenemos dos opciones:

1) , lo que lleva a la solución trivial 0

v 0

x t

2) Matriz singular, es decir: A- I

0 A- I A- IDet 33

A partir de (33) se obtiene la Ecuación Característica de la matriz A, de donde se obtienen los valores propios .

De aquí surgen tres posibilidades:

Caso I: Valores propios reales y distintos.

Caso II: Valores propios reales e iguales.

Caso III: Valores propios complejos (conjugados).


CASO I: VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOS

Sean 1, . . . , n valores propios reales distintos de la matriz de coeficientes A,

y sean sus vectores propios asociados , entonces las soluciones

(LI) son:

1,. . .,

nv v

11 1

n

t

tn n

x t v e

x t v e

34

La solución del sistema homogéneo (18) es:

11 1 . . .

ntt

h n nx t c v e c v e 35

Para obtener los valores de las constantes ci se imponen las condiciones iniciales.


CASO II: VALORES PROPIOS REALES E IGUALES

Existen dos posibilidades que determinan la forma de la solución:

I): Valores propios completos.

II): Valores propios defectuosos.

Se dice que el valor propio i de multiplicidad ki es completo si existen ki

vectores propios LI, asociados a dicho valor propio.

De lo contrario, se dice que son valores propios defectuosos.

Si solo existen pi vectores propios LI (con pi < ki), entonces al número di ( con

di = ki – pi) de vectores propios LI “faltantes” se denomina defecto del valor

propio i.

El escalar ki se denomina multiplicidad algebraica del valor propio i y pi es la

multiplicidad geométrica del mismo.


I) VALORES PROPIOS COMPLETOS

Las soluciones (LI) son:

1 1

t

tn n

x t v e

x t v e

36

La solución del sistema homogéneo (18) es:

1 1 . . . t t

h n nx t c v e c v e 37


I) VALORES PROPIOS DEFECTUOSOS

Para deducir la solución partiremos de un sistema de dos EDOL de primer

orden homogéneo a coeficientes constantes.

'1 11 1 12 2 1 0 1

'2 0 22 21 1 22 2

0

;

' ;

x t a x t a x t x t b

x t bx t a x t a x t

x t x t x t bA

38

Los valores propios (repetidos) son 1 = 2 = . Si son valores propios

defectuosos entonces sólo existe un vector propio asociado , entonces

una solución de (38) es:

1v

1 1

tx t v e 39


Como propuesta natural para la segunda solución surge la de multiplicar por

la variable independiente t la solución obtenida:

2 1 1

tx t t x t v t e 40

Si reemplazáramos (40) en (38) veríamos que no la satisface.

Entonces proponemos:

2 1 2

t tx t v t e v e 41

Su derivada es:

'2 1 1 2

t t tx t v e v t e v e 42

Reemplazando en (38):

1 tv e 1

tv t e 2 tv e 1

tv t eA 2

tv e

1 2 1 1 2 v v v t v t vA A

43


A partir de esta última igualdad se obtienen dos relaciones:

1 1

1 0

v v

v

A

A- I

Una de ellas, es la que permitió encontrar la primera solución : 1x t

44

La otra relación es:

1 2 2

2 1

v v v

v v

A

A I45

Resolviendo esta igualdad obtenemos 2v

Otra alternativa para encontrar las soluciones, sabiendo que los valores propios son defectuosos, se obtiene premultiplicando (45) por la matriz (A-I):

22 1 v vA I A I 46


Por (44), resulta:

2 2 0

vA I 47

Entonces, a partir de (47) se obtiene y de (45) se obtiene2v 1

v

Resumiendo, las soluciones son:

1 1

2 1 2

t

t

x t v e

x t v t v e48

La solución del sistema (38) será:

1 1 2 1 2

t thx t c v e c v t v e 49

Para obtener los valores de las constantes ci se imponen las condiciones iniciales.

no es un vector propio ordinario.2v


VECTORES PROPIOS GENERALIZADOS

Un Teorema Fundamental del Álgebra Lineal establece que toda matriz A, de dimensión n n, tiene n vectores propios generalizados.

Si i es un valor propio de A, entonces un vector propio de rango r asociado a i, es un vector tal que cumple:

1

0

0

A I

A I

ri

ri

v

v

50

Si r = 1, entonces es un vector propio ordinario o regular asociado a i.v

Cuando la dimensión de la matriz A es mayor o igual a tres (n 3) y por lo tanto la posibilidad de mayores valores de multiplicidad algebraica de los valores propios, aparecen cadenas de vectores propios generalizados, cada una de ellas relacionada a un vector propio ordinario asociado a un valor propio múltiple. La suma de estas cadenas es igual a la multiplicidad algebraica del valor propio.


Ejemplo:

Una cadena de longitud k de vectores propios generalizados con base en

el vector propio ordinario es un conjunto de k vectores generalizados,

, que cumplen:

1v

1,..., kv v

1

1 2

2 1

1

.

.

.

0

A I

A I

A I

A I

i k k

i k k

i

i

v v

v v

v v

v

51

Por ser un vector ordinario, de (51) se deduce que:1v

0A Ik

i kv 52


Índice de Valores Propios ()

Si i es un valor propio de multiplicidad algebraica ki de la matriz A ,

entonces el menor número natural que cumple con lo siguiente se denomina

índice del valor propio i:

n n

A I A Ii i irango r n k 53


SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO

Es posible demostrar que si i es un valor propio de multiplicidad ki, con

defecto d = ki – 1 se puede encontrar una cadena de longitud ki de vectores

propios generalizados y con ellos obtener ki soluciones LI, de la forma:

21

211. . .

1 ! 2!i

ktk

k k kv tv t

t v t v ek

54con k= 1,...ki

Las cadenas de vectores propios generalizados dependen del defecto del valor propio, lo cual puede generar complicaciones.


Ejemplo:

Para un valor propio de multiplicidad algebraica 4 (ki = 4), pueden ocurrir los siguientes casos:

1) Si d=0, entonces habrá 4 cadenas de longitud 1, es decir, existen 4 vectores propios ordinarios LI.

2) Si d=1, entonces habrá 2 cadenas de longitud 1 y una de longitud 2, es decir, existen 3 vectores propios ordinarios LI.

3) Si d=2, entonces habrá 2 cadenas de longitud 2 ó una cadena de longitud 3 y una de longitud 1, es decir, existen 2 vectores propios ordinarios LI.

4) Si d=3, entonces habrá una cadena de longitud 4, es decir, existe un solo vector propio ordinario.

La longitud de la cadena más larga es a lo sumo d +1


Obtención de las Cadenas de Valores Propios Generalizados

Procedimiento:

1- Determinación del número de cadenas: lo que permite conocer el número de vectores propios ordinarios (pi).

A I A Ii i ip n rango n r 55

Adicionalmente, podemos calcular el defecto del valor propio i a partir de

di = ki – pi.

Conocemos el número de cadenas pero no sus longitudes.


2- Cálculo del índice i del valor propio i (para la cadena más larga)

Se determina a través de (53)

A I A Ii i irango r n k 53


3- Generación de las cadenas de vectores propios generalizados

Si se cumple

1

0

0

A I

A I

ii

ii

i

i

v

v

57

para algún vector , entonces a partir de él generamos una cadena de longitud i ki, resolviendo

iv

1

2 1

1

.

.

.

0

A I

A I

A I

i ii

i

i

v v

v v

v

La cadena finaliza cuando se encuentra un vector propio ordinario, en este caso .1v

56


Si existen más cadenas, se repite el procedimiento partiendo de:

1

2

0

0

A I

A I

i

i

i

i

w

w

58

Si existe un vector , entonces se genera una nueva cadena de longitud i-1.

La suma del número de vectores propios generalizados debe ser igual a la

multiplicidad algebraica ki del valor propio i .

Cada cadena genera soluciones de la forma de (54).

21

211. . .

1 ! 2!i

ktk

k k kv tv t

t v t v ek

54

Los vectores de cada cadena son LI y también lo son entre cadenas, asegurando así soluciones LI del sistema de EDO de primer orden.


EJEMPLO

Encontrar la solución de con ' Ax t x t

A

3 1 1 1 0 0

1 1 1 1 0 0

0 0 2 0 1 1

0 0 0 2 1 1

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1

Para encontrar los valores propios resolvemos

0 A- I A- IDet


Ecuación Característica 52 0-

Por lo tanto los valores propios son:

1,2,...,5 62; 0

Solución para 6 = 0

66 6 6

tt v e v

Para determinar hacemos6v

6 6 6 0 0 0 0 1 10A- IT

v v O uno de sus múltiplos

Entonces 6 0 0 0 0 1 1

Tt


Solución para 2 = 2

Aplicaremos la secuencia de cálculo para vectores propios generalizados.

1- Determinación del número de cadenas:

( )A I

1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1

2

2 6 4 2ip n rango n r A I A I

Calculamos

Entonces existen 2 cadenas de vectores propios generalizados ó 2 vectores propios ordinarios LI, por lo tanto el defecto es: d = k – p = 5 – 2 = 3.


2- Cálculo del índice del valor propio = 2

6 5 1i i irango r n k A I A I

Sabemos que 12 4 1A Ir

Calculamos y determinamos su rango 22A I

( )A I

2

0 0 2 2 0 0

0 0 2 2 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 2 2

0 0 0 0 2 2

2

Entonces 22 2 1A Ir


Calculamos y determinamos su rango 32A I

( )A I

3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 4 4

0 0 0 0 4 4

2

entonces , por lo tanto el índice del valor propio 2 es igual a 3 32 1A Ir


3- Generamos, si es posible, una cadena de 3 vectores propios generalizados.

33

3 13

2 0

2 0

A I

A I

v

v

A partir de estas ecuaciones encontramos ó un

múltiplo de él.

3 0 0 0 1 1 1T

v

Ahora generamos los otros dos vectores de la cadena, uno de ellos vector

propio ordinario.

3 22A I v v

Hacemos

Y obtenemos 2 1 1 2 2 0 0T

v


Seguimos con: 2 12A I v v

1 2 2 0 0 0 0T

v

Y obtenemos

Además se comprueba que:

12 0A I v

Por lo tanto es el vector propio ordinario de la cadena1v , ,v v v1 2 3

Con los vectores encontrados generamos 3 soluciones LI del sistema, aplicando (54)

21 1

tt v e

22 1 2

tt v t v e

1

2

2 23 1 2 3

tt v t v t v e


Ahora generamos la segunda cadena, buscando un vector que cumpla:

25

2 15

2 0

2 0

A I

A I

v

v

Y encontramos que o un múltiplo de él. 5 0 0 0 0 1 1T

v

Generamos y verificamos que es un vector propio ordinario:4v

5 4 4 0 0 2 2 0 02A IT

v v v

Y cumple con 42 0A I v

Por lo tanto es el vector propio ordinario de la segunda cadena: 4v ,v v4 5

Obtenemos las dos soluciones faltantes:

24 4

tt v e

25 4 5

tt v t v e


La solución general es la combinación lineal de las 6 soluciones obtenidas:

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6t c t c t c t c t c t c t


CASO III) VALORES PROPIOS COMPLEJOS (CONJUGADOS)

El valor propio puede expresarse como = i.

Tomando 1 = + i, la solución tendrá la forma :

cos i tt t tv e a b i e a b i e t i e sen t

Aplicando la propiedad distributiva y agrupando, nos queda:

cos cos t t t tae t be sen t a ie sen t b ie t

cos cos t t t tae t be sen t i a e sen t b e t

Puede demostrarse que:

1

2

cos

cos

t t

t t

x t ae t be sen t

x t a e sen t b e t

59

60

61


Entonces, la solución del sistema (38) será

1 2cos cos t t

hx t c a t bsen t e c a sen t b t e 62

Para determinar las constantes ci se imponen las condiciones iniciales.


SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO DE PRIMER ORDEN A COEFICIENTES CONSTANTES NO HOMOGÉNEOS. SOLUCIÓN

PARTICULARLa solución general de (14) está dada por (16):

h px t x t x t 16

Tenemos dos métodos:

Método de los coeficientes indeterminados.

Método de variación de parámetros.

La solución particular está muy influenciada por la solución homogénea

y por la expresión de la función ( )f t


METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

( )f t

Polinómica, exponencial, seno, coseno, combinación lineal o producto entre ellas

Debe proponerse una solución LI con la solución homogénea, teniendo en

cuenta las funciones escalares que componen ( )f t

Si la solución propuesta es LD con la homogénea, debe multiplicarse por

un polinomio de grado uno completo, a coeficientes vectoriales de la

forma , si sigue siendo LD debe multiplicarse por un polinomio de

segundo grado completo y así sucesivamente.

a t b2

a t b t c


METODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS

Obtendremos algunas relaciones útiles a partir del sistema EDO homogéneo asociado.

' Ax t x t

63

Su solución es

hx t t c

Derivando

'hx t ' t c 64

Reemplazando (63) y (64) en (15)

15

A

A

' t c t c

' t t

65


Desarrollo del método de variación de parámetros

A partir de la solución homogénea proponemos la solución particular.

hx t t c

px t t u t

función a determinar( )u t

debe satisfacer el sistema no homogéneo.( )px t

66

Derivando (66)

'

px t ' t u t t u ' t

Entonces:

A' t u t t u ' t t u t f t

67

68



A t u t

At u ' t t u t

f t

Entonces:

t u ' t f t

69

70

Despejando

1

1

u' t t f t

u t t f t dt

71

La solución particular, reemplazando (71) en (66), resulta:

1

px t t t f t dt 72

Sistemas de EDO LinealesECUACIONES DIFERENCIALESAlternativamente, si incluimos las condiciones iniciales, (72) queda:

0

1 t

p tx t t s f s ds 73

La solución general entonces es:

0

1 10

t

tx t t t b t s f s ds 74

En particular, si A es a coeficientes constantes y

t0 = 0, entonces es posible demostrar que:

0 It ó t t

1 t s t s

En este caso la solución general de es:

0

1 10

10 0

t

t

t

x t t t b t s f s dt

x t t t b t s f s dt

0

t

tx t t b t s f s dt

75

76

77


LECTURA COMPLEMENTARIA

En el capítulo 2 durante el desarrollo del método de variación de parámetros

para una EDOL de orden 2, se impusieron condiciones a cumplir no del todo

claras y se mencionó que dichas condiciones se cumplen naturalmente al

tratar con sistemas de EDOL de primer orden. En este punto buscaremos

demostrar que se cumplen dichas condiciones.

Partiendo de una EDOL de segundo orden:

y'' t a y' t b y t F t 78

Las soluciones de la EDOL homogénea asociada a serán e 1y t 2y t

El determinante Wronskiano correspondiente es

1 2

1 2

y t y t

W ty t y t' ' 79


Y la matriz fundamental de soluciones es

1 2

1 2

y t y tt

y t y t*

' '80

Transformando la EDOL a un sistema de dos EDOL de primer grado:

' '

'' '

y t v t

y t v t w t

y t w t a w t bv t F t

81

Entonces el sistema es:

0' 0 1

'

'

A

v t v t

F tw t w tb a

x t x t f t

82


Las soluciones del sistema de EDOL homogéneo asociado a (82) serán:

11

2

v tx t

w t y

22

2

v tx t

w t 83

Y su matriz fundamental de soluciones es

1 2

1 2

v t v tt

w t w t 84

Para encontrar la solución particular de (82), aplicando el método de variación de parámetros, usaremos la ecuación(70)

11 2

1 2 2

0

'

'

u tv t v t

F tw t w t u t85


Pero, por (81) :

1 1

2 2

1 1

2 1

'

'

v t y t

v t y t

w t y t

w t y t

86

Entonces la expresión (85), reemplazando las igualdades de (86), queda

1 2 1

1 2 2

0

'

' ' '

y t y t u t

F ty t y t u t87

Expresión que se obtuvo en el capítulo 2, al imponer de manera casi arbitraria

la condición 1 1 2 2 0 ' 'y t u t y t u t

Con un procedimiento similar puede comprobarse la generalización del método de Variación de Parámetros para EDOL de orden n.

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